MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN. RADIO DE GIRO. MOMENTO POLAR DE INERCIA. EJES Y MOMENTO DE INERCIA PRINCIPALES

“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LASEGURIDAD ALIMENTARIA” ‘‘Universidad César Vallejo’’ ASIGNATURA : RESISTENCIA DE MATERIALES TEMA: RESUMENES “MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN. RADIO DE GIRO. MOMENTO POLAR DE INERCIA. EJES Y MOMENTO DE INERCIA PRINCIPALES”. DOCENTE : Ing° Luis Fernando Gómez Chávez. ESTUDIANTE :Jhessel R. Ruíz Saavedra ESCUELA : Ingeniería Civil SEMESTRE : 2015-II TARAPOTO – PERU 2015 MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN: 1 r. el segundo momento de inercia se define para cada eje de coordenadas contenido en el plano de la sección Σ mediante la siguiente fórmula: Donde:    Ieje.y). por tanto. MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALES Si consideramos nuevamente una sección transversal plana Σ y la parametrizamos mediante coordenadas rectangulares (x. junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexión según X o según Y además del momento de inercia mediante: Estos momentos definen las componentes de un tensor de segundo orden: 2 . es el segundo momento de inercia alrededor del eje escogido. es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y. de la sección Σ. dA. es la mínima distancia del elemento dA al eje escogido.MOMENTO DE INERCIA El Momento de Inercia o Momento de Segundo Orden. DEFINICIÓN Dada una sección plana transversal Σ de un elemento estructural. es el diferencial de área. Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si Ixy = 0. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio. el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación. el momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal: 3 . cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales. El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que. Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formados por vectores propios del tensor de inercia. que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica. en la práctica la mayoría de secciones de uso en ingeniería se dan en (cm 4). la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia. Las unidades en el Sistema Internacional de Unidades para el segundo momento de inercia son longitud a la cuarta potencia. Si los ejes de referencia empleados no necesariamente son ejes principales la expresión completa de la tensión en cualquier punto genérico viene dada por: EJES PRINCIPALES DE INERCIA Como es sabido en mecánica del sólido rígido. y en ese caso podemos escribir la tensión perpendicular asociada a la flexión esviada simple del elemento estructural sobre cada punto de la sección Σ estudiada como: Siendo Mx y My las componentes del momento flector total sobre la sección Σ. si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal. en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. dichos ejes son perpendiculares. peonzas simétricas.Donde λ es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia correspondiente a dicho eje. MOMENTO POLAR DE INERCIA Es una cantidad utilizada para predecir el objeto habilidad para resistir la torsión. En los objetos con una variación significativa de cortes transversales (a lo largo del eje del par aplicado). todos serán iguales. Sin embargo. En general. la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. 4 . en el caso de la simetría esférica. el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica. Limitaciones El momento polar de inercia no se puede utilizar para analizar los ejes de sección circular.que no puede ser analizado en segmentos. Los sólidos rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y. los que sólo tienen simetría axial. En tales casos. DESCRIPCIÓN Un esquema que muestra cómo el momento polar de inercia se calcula de una forma arbitraria o sobre un eje P es la distancia radial al elemento dA. El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se lo llama momento polar de inercia. el momento polar de inercia puede ser utilizado para calcular el momento de inercia de un objeto con sección transversal arbitraria. en particular. En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el mismo valor y. Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor de inercia siempre se puede diagonalizar aunque. un enfoque más complejo que tenga que ser utilizado. Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes. y se representa por J. Momento Polar de Inercia 5 .Jz=∫p2dA Jz = Momento Polar de Inercia da = Un área elemental p = La distancia radial al elemento dA del eje z. El radio de giro para diversas secciones transversales es:  Sección cuadrada de lado :  Sección circular de radio : 6 . dadas dos secciones de la misma área la de menor radio de giro presentará menor rigidez torsional y también un peor comportamiento frente a pandeo. Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la misma. Es una medida del alejamiento promedio de la sección resistente del centro de gravedad.RADIO DE GIRO El radio de giro describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. RADIO DE GIRO DE ÁREA El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del cociente del segundo momento de área dividido por el área: Donde: ig= es el radio de giro Ieje= es el segundo momento de área o Momento de Inercia de la sección A= es el área de la sección transversal. RADIO DE GIRO DE MASA El radio de giro de una masa es similar excepto que se usara el momento de inercia de la masa. El valor numérico es dado por la siguiente fórmula: Donde dg es el radio de giro. 7 . I es el momento de inercia y m es la masa del objeto.