Modulometodosestadisticos USS

MODULO EDUCATIVO DEL CURSODE MÉTODOS ESTADÍSTICOS Autor: Msc. César A. Zatta Silva Universidad Señor de Sipan 2011-I INTRODUCCIÓN Las acciones que acometemos hoy se basan en un plan de ayer y las expectativas del mañana. Para satisfacer las necesidades de conocimiento sobre los Métodos Estadísticos, se ha diseñado este módulo teniendo en consideración los objetivos señalados en las competencias, capacidades y actitudes que el alumno debe alcanzar en este curso. Se contempla en este curso que los estudiantes conozcan el origen de la palabra estadística, las técnicas de recolección, organización, conservación, y tratamiento de los datos para su análisis y posterior interpretación de la información. En nuestros días, son de uso cotidiano las diferentes técnicas estadísticas que partiendo de observaciones muestrales o históricas, crean modelos lógicomatemáticos que se "aventuran" describir o pronosticar un determinado fenómeno con cierto grado de certidumbre medible. El avance tecnológico en la informática ha contribuido enormemente al desarrollo de la estadística, sobre todo en la manipulación de la información, pues en el mercado existen paquetes estadísticos de excelente calidad como el SPSS y MS Excel que ya existe en el computador sin mayores exigencias técnicas, Contenido Semana 1 Introducción, reseña histórica, contenidos. Objetivos. Definición de Estadística. Conceptos básicos importantes. Importancia y objeto de la estadística. Elementos básicos: Población, muestra, variable, unidad de estudio, parámetro. Clasificación de las variables. Semana 2 Organización y presentación de los datos. Tablas de distribución de frecuencias. Tipos de tablas estadísticas. Procesamiento de datos en cuadros y gráficos estadísticos. Semana 3 Métodos Estadísticos en la investigación, etapas de la investigación estadística: Planeamiento, organización, análisis e interpretación de datos, formulación de conclusiones. Técnicas de recolección de datos, observación, entrevista, cuestionario, encuestas por muestreo, sistemas de recolección. Semana 4 Medidas de Tendencia Central: Media Aritmética. Media Ponderada. Mediana. Moda. Medidas de Posición: Cuartiles. Deciles y Percentiles. Semana 5 Medidas de Dispersión. Descripción de las medidas de dispersión: Rango, Desviación y Varianza para datos simples y agrupados, Coeficiente de Variación Semana 6 Introducción al Cálculo de Probabilidades. Experimento aleatorio, espacio muestral, suceso o evento. Definición de Probabilidad Clásica, Probabilidad de Frecuencia Relativa, Probabilidad Subjetiva. Combinación, Variación, Permutación. Semana 7 Probabilidad de un evento. Teorema de la adición y de la complementación. Reglas de multiplicación y de probabilidad total. Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes. Semana 8 Variables aleatorias. Función de probabilidad. Variables aleatorias discretas y continuas. Distribuciones discretas de probabilidad. Distribución Binomial y de Poisson. Distribuciones continuas de probabilidad. Distribución Normal. Uso de Tablas Semana 9 Primer Examen Parcial Semana 10 Introducción a la Inferencia Estadística. Métodos y distribuciones de muestreo. Muestreo de la población. Métodos de muestreo probabilístico. Error de muestreo. Distribución de muestreo de medias muestrales. Tamaño de muestra. Semana 11 Introducción a la Teoría de la estimación Estadística.Estimaciones puntuales e Intervalos de Confianza sobre parámetros. Semana 12 Prueba de Hipótesis, introducción, hipótesis estadísticas, pasos para una verificación de hipótesis. Hipótesis para la media poblacional. Prueba de Hipótesis para una varianza poblacional y una proporción poblacional. Semana 13 Análisis de tendencia o series de tiempo. Análisis de regresión, formas de encontrar la regresión simple. Método de los mínimos cuadrados. La tendencia lineal. Semana 14 Correlación y desviación estándar. Tasas y Números Índices, aplicación de los números índices. Semana 15 Control de Calidad y Procesos Estadísticos. Aplicación de la estadística en trabajo de Investigación. Presentación de Diagnóstico en Proyecto Integrador. Semana 16 Segundo Examen Parcial administradores de instituciones. por ejemplo trata de la tabulación de datos. Es decir. en la educación. constituye uno de los idiomas esenciales para comunicarse en el mundo universal de la ciencia y la tecnología. Otra definición: La estadística es una rama de las matemáticas. Procesar. su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas.Semana 1 ESTADÍSTICA La Estadística es la ciencia que nos ofrece un conjunto de métodos y técnicas para: Recolectar. Estadística Inferencial: Incluye procedimientos que permiten la extrapolación y generalización sobre características que tipifican a todos los elementos de la población. proyectar su comportamiento y colaborar en la toma de decisiones sobre dicho problema. estudios de consumidores. Ahora bien. La estadística descriptiva. como tales. Consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia. Aquellos profesionales que no conozcan Estadística tendrán serias dificultades para ser expertos en su respectivo campo científico. Importancia Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos. sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos. resumen y descripción de los datos recopilados. esto es. contabilidad. médicos. con la finalidad de conocer el problema. la inferencia . y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones Método que sigue la Estadística Recolectar Resumir y Ordenar Procesar ESTADISTICA Tomar decisiones Analizar e Interpretar Presentar Clasificación: La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: la Estadística Descriptiva y la Inferencial. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales. organismos políticos. para organizar y resumir datos numéricos. análisis de resultados en deportes. Resumir. Estadística Descriptiva: Comprende a los procesos de consolidación. Analizar e Interpretar un conjunto de datos. Presentar . control de calidad y en otras actividades. Al número de elementos de una población se denota por “N. Grado de educación del entrevistado. Ejemplo: la población de los peces del mar. Z. nacionalidad del entrevistado. POBLACIÓN: Es el conjunto de todos los datos que intervienen en una investigación. etc. Ejm. Ejm. . Ejm. población de agencias de viaje existentes en la ciudad de Cajamarca. etc. Al número de elementos de una muestra se denota por “n”. Sexo del cliente. Sacar 2 pelotas blancas de una canasta de 8 pelotas entre blancas y negras. Se clasifican en: 4. VARIABLE: Es una característica de estudio de una población. Y. Una muestra tiene 2 características principales: Es representativa y es adecuada. Población Infinita: Conjunto infinito de elementos donde no se podría identificar a una unidad inicial ni a la unidad final. los árboles de la selva peruana 2.” Población finita: Es el conjunto finito de unidades de análisis donde se puede identificar a un elemento inicial y/o a un elemento final. etc. turistas de nacionalidad alemana que ingresaron al Perú en el año 2000. Se denota por las letras X. 3.estadística es el proceso de hacer afirmaciones o predicciones sobre toda la población tomando como base sólo a la información recabada a través de una muestra representativa. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1. MUESTRA: Es una parte de la población y como tal es también un conjunto de datos. UNIDAD DE ESTUDIO: Es el objeto o elemento indivisible que será estudiado. y que por tanto su medida no tiene un carácter numérico. Es quien nos va a dar la información. Ejm. Ejemplo: Población de hoteles de Lima.1 Variable cualitativa : Son aquellas variables que expresan cualidades o atributos. que toma diferentes valores Las variables son características observables referidas a la unidad de estudio. se define la unidad de análisis “hotel” 4. esta variables pueden ser: Nominales Sus valores representan un atributo a manera de etiqueta y no contiene información sobre ordenamiento. grado de satisfacción sobre la atención recibida por el cliente. Analizo todos los ratones que son de color blanco del total de ratones Muestra Probabilística: Comprende a las observaciones realizadas en unidades que han sido elegidas siguiendo un criterio probabilístico. Ejemplo: Se va a estudiar la capacidad hotelera de la ciudad de Lima. Muestra No Probabilística: Corresponde al subconjunto de observaciones elegidas siguiendo un criterio de representatividad establecida arbitrariamente por el investigador. Ordinales Sus valores sí representan un ordenamiento del atributo. esto es a cada unidad de la población se asigna probabilidad conocida para estar incluida como parte de la muestra. Número de aparatos de radio que hay en los hogares chiclayanos 6. Angulo de inclinación de los puentes 3. Discretas Son variables que toman valores que se expresan en números enteros. Peso promedio de las bolsas 6.4. Se quiere realizar un estudio para determinar la cantidad promedio de huevos que ponen los pingüinos hembras en el período reproductivo en Puerto Maldonado. Ejm. Ejm. Estudios que quieren hacer las alumnas y los alumnos del Colegio Manuel Pardo al terminar la Educación Secundaria 3. Determina la población y la muestra. toneladas embarcadas. etc. determinar cuáles son cualitativas y cuales son cuantitativas discretas o cuantitativas continuas 1. Se requiere determinar el grado de afectación que tuvo la salmonella en las gallinas provenientes de las granjas del empresario Gonzales 9. Profesión que te gusta . Se quiere determinar la audiencia de cierto programa televisivo de televisión de aire. número de hermanos. Comida favorita 8. etc. Número de taxis que ingresan por hora a Chiclayo 7. Ejemplos: El alumno deberá identificar las variables para las unidades de estudio siguiente *UNIDAD DE ESTUDIO: Estudiante Variables: Peso. *UNIDAD DE ESTUDIO: Empresa Variables: Ventas.2 Variable Cuantitativa: Comprende aquellos conceptos que sí pueden ser expresados en forma numérica porque corresponde a criterios de cantidad. ganancias. color de ojos. tipo de sangre. Total de alumnos. número de trabajadores. 8. y la variable de los siguientes ejemplos: 1. Tiempo dedicado a las tareas domésticas por los hombres y las mujeres que trabajan fuera del hogar en Lambayeque 2. etc. Número de habitaciones. Pueden ser: v. Se quiere estimar el grado de aceptación que tiene la mermelada de carambola en la zona oeste de Chiclayo B. c. Continuas Son aquellas variables que sus cantidades se expresan con números reales. Precio del pollo 2. Ingresos totales mes de julio. tienen parte fraccionaria.c. v. 7. edad. Color de ojos de las finalistas 5. es decir. Práctica Calificada Nº 01 A. número de computadoras. talla. Intención de voto en unas elecciones municipales 4. costo de servicio diario del hotel. Número de goles marcados por la selección 9. Es el resultado del proceso de conteo. De las siguientes variables. ingreso familiar. Grado de instrucción de los postulantes 4. Número de empleados. gastos en publicidad. Son el resultado del proceso de medición. etc. Horas que dedican a ver televisión los estudiantes de educación primaria del colegio San José 5. Pauling sobre rendimiento y características cognoscitivas de los alumnos pertenecientes al Colegio Público San Carlos. porcentaje de alcohol. Número de libro en un estante 17. Diámetro de las ruedas de varios coches 15. Suma de puntos obtenidos en un lanzamiento de dados C. Litros de agua contenidos en un depósito 18. Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase 11.10. Unidad de estudio Variable de estudio Población Muestra CASO Nº 02 Un proveedor de servicios de línea blanca desea saber cuál es la marca preferida de cocinas de las amas de casa pertenecientes a la ciudad de Chiclayo. Unidad de estudio Amas de casa Variable de estudio Marca de detergente (tipo cualitativa nominal) Población Amas de casa de la ciudad de Chiclayo Muestra 504 amas de casa CASO Nº 04: El Ingeniero de Producción de Cerveza Cristal en Motupe. Para llevar a cabo esta investigación selecciona una muestra de 504 amas de casa que fueron escogidas según zona o urbanización de la ciudad de Chiclayo. Número de acciones vendidas en la Bolsa de valores 14. dentro de su evaluación diaria. han cumplido con las parámetros de calidad en la producción del fin de semana. selecciona a 120 amas de casa que fueron escogidas según la zona de la ciudad de Chiclayo. tiempo maduración (cuantitativa) Población Producción de cerveza del fin de semana Muestra Producción de cerveza de un día . porcentaje de alcohol. Censo anual de los españoles 16. Temperaturas registradas en verano 13. ha llegado a resultados inesperados. Determina lo siguiente: CASO Nº 01: Dentro de los estudios sociales que realiza el Dr. tiempo de maduración. etc. Unidad de estudio Variable de estudio Población Muestra CASO Nº 03 Un investigador de mercado quiere saber cuál es la marca de detergente que más se utiliza o más prefieren las amas de casa de la ciudad de Chiclayo. La profesión de una persona 19. Unidad de estudio Cerveza Variable de estudio Brix. Para llevar a cabo esta investigación. desea saber si el brix (grado de azúcar). El color de los ojos de tus compañeros de clase 12. Unidad de estudio Estudiante Variable de estudio Características socio demográficas Población Estudiantes matriculados de Ing. de la especialidad de Ingeniería Agroindustrial matriculados en el 2º Semestre-Año 2006. Para realizar este estudio toma información sobre el tiempo que se demora en dar el servicio y el tiempo que demora en llegar el usuario (automóvil). Unidad de estudio Variable de estudio Población Muestra . Unidad de estudio Usuario de automóvil Variable de estudio Tiempo en dar el servicio y tiempo llegar usuario (cuantitativa) Población Todos los clientes del grifo Muestra Algunos clientes del grifo CASO Nº 07 Un investigador de mercado quiere saber cuál es la marca de jabones que más se utiliza o más prefieren las empleadas de casa de la ciudad de Tarapoto. Agroindustrial de la USS (cualitativa) Muestra Alumnos matriculados del 2º semestre CASO Nº 06: El gerente del Grifo “San Luis” ubicado en el ovalo está haciendo un estudio de factibilidad para determinar si es conveniente la instalación de un nuevo servidor de gasolina en dicho establecimiento.CASO Nº 05: Un investigador social desea saber cuáles son las características socio demográficas que influyen en el rendimiento académico de los Estudiantes de la Universidad Señor de Sipan. Para llevar a cabo esta investigación selecciona una muestra de 610 empleadas que fueron escogidas según zona o urbanización de la ciudad de Tarapoto. se registra según su nacionalidad NACIONALIDAD Argentina Boliviana Brasileña Venezolana TOTAL Número de Turistas (fi) 20 10 5 15 50 2.14.10 7 0. por tanto las unidades de análisis se ordenan de acuerdo con sus propios valores.00 Frecuencia Acumulada Absoluta Relativa (Fi) (Hi) 1 0.13 0.09.14.11. ORGANIZACIÓN DE VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS: Comprende clasificaciones de variables que sólo toman valores enteros.07 0. ORGANIZACIÓN DE VARIABLES CUALITATIVAS: Comprende la representación gráfica de conceptos cualitativos y/o atributos que se registran para las unidades de análisis.12.13.03 0.11.11.13.12. Ejm: Las puntuaciones obtenidas por los 30 alumnos del curso de Física I.11.13 0.10.00 El gráfico que corresponde a esta tabla de frecuencia se denomina: Histograma Histograma de frecuencias absolutas Histograma de frecuencias absolutas acumuladas .73 30 1.03 3 0.12.14.17 0.10.13.08.14.10.36 16 0. 1.14.12] Se consolida la información en una Tabla de Frecuencia: Notas Xi Frecuencia Absoluta ( fi ) Frecuencia Relativa ( hi) 08 09 10 11 12 13 14 TOTAL 1 2 4 4 5 6 8 30 0.10.13.53 22 0.Semana 2 ORGANIZACIÓN DE DATOS Y DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA Frecuencia: (fi) Número de individuos o elementos que pertenecen o aparecen en cada categoría.13. Ejemplo: El número de turistas que registraron su ingreso por el aeropuerto de Chiclayo el mes de Febrero.09.14.14.14. fueron: [12.27 1.23 11 0.13.20 0. 2 – 6. es necesario resumirla en una tabla de frecuencia.65 6.8 ) [ 8. Absoluta Fi Frec.6 ) TOTAL 5.9 * Realizar la clasificación y el conteo de datos en cada clase construida * Construir la Tabla de Frecuencia Intervalo de clase (escala de gasto) Marca de Clase Xi [ 5. el valor de las compras en revistas y periódicos para la sala de recepción fueron: Esta información diaria y dispersa no permitirá analizar su comportamiento.094 1.3.9 ) [ 7.0 ) [ 7.219 0. Acumul.15 Frecuencia Absoluta fi Frecuencia Relativa hi Frec.750 0.8333 = Aproximadamente = 0. durante los últimos 32 días.322 log n En el ejemplo: k = 1 + 3.967 = Aprox.2 – 5.0 / 6 = 0.8 – 9. 6 intervalos * Determinar el Tamaño del Intervalo de Clase ( c ) c = A/k A= Amplitud de los datos = (Observación máxima – Observación Mínima) = 10. ORGANIZACIÓN DE VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS: Comprende clasificaciones de unidades de análisis resultantes de una medición. que en ocasiones toman valores decimales.000 .0 k=6 Por tanto: c = 5. Acumul.156 0.7 ) [ 9.322 Log(32) = 5. Ejemplo: El Gran Hotel Chiclayo.094 0.2 = 5.250 0.094 0.531 0.281 0. Para organizar una tabla de frecuencia se deberá seguir el procedimiento siguiente: * Elegir el número de intervalos de clase ( k ) Se puede utilizar la regla se Sturges: Donde:k = número de intervalos n = número de datos k = 1 + 3.0 – 7.35 9.9 – 8.1 – 7. Relativa Hi 3 5 9 7 5 3 32 0.906 1.25 10.000 3 8 17 24 29 32 0.156 0.7 – 10.45 8.1 ) [ 6.55 7. 9 soles”? * ¿Cuántos días el hotel gastó “menos de 7.9 % Polígono de Frecuencias: Es la línea que une los puntos medios de los lados superiores (marcas de clase) de un histograma. ya que estos corresponden a los puntos medios de los intervalos.0 a menos de 7. Los puntos o vértices del polígono de frecuencias están situados.9 soles”? : 9 días : 17 días : 29 días : 53. en las marcas de clase.9 soles”? * ¿Qué porcentaje de días el hotel gastó “más de 7.1% : 46.9 soles”? * ¿Cuántos días el hotel gastó “menos de 9. por tanto. Histograma y Polígono de Frecuencias .7 soles”? * ¿Qué porcentaje de días el hotel gastó “menos de 7.Análisis de la distribución de frecuencias: * ¿Cuántos días el hotel gastó “de 7. D22:D28) B2:H8 Todos los datos D22:D28 La columna de datos del límite superior .USO DE MS EXCEL Construcción tablas tipo A en EXCEL: Para variables cualitativas y cuantitativas discretas Color Azul Rojo Verde Negro Blanco f F =contar.si($B$2:$H$11. grupos) = Frecuencia (B2:H8.B14) 21 16 13 8 12 h H Construcción tablas tipo B en EXCEL: Para variables cuantitativas continuas Las densidades de los materiales en estudio fueron: n = contar (celda inicio: celda final) K = numero de intervalos. con fórmula Xmin= Valor Mínimo = MIN (celda) Xmax= Valor Máximo = MAX( celda) Rango = Max – Min C = R/K Intervalos f = Frecuencia (datos. según la variable a graficar sea discreta o continua. dos o mas series Gráficos de barras horizontales Representan valores discretos a base de trazos horizontales. Se utilizan cuando los textos correspondientes a cada categoría son muy extensos. Pueden usarse para una serie. aislados unos de otros. aislados o separados unos de otros. . se emplean para tener una representación visual de la totalidad de la información. TIPOS DE GRÁFICOS Gráficos de barras verticales Representan valores usando trazos verticales. Los gráficos estadísticos presentan los datos en forma de dibujo de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos esenciales y compararlos con otros.PRESENTACIÓN DE DATOS MEDIANTE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Los gráficos son medios popularizados y a menudo los más convenientes para presentar datos. Pueden usarse para comparar y representar: una serie. dos o más series. en forma de porcentajes sobre un total.Gráficos de barras proporcionales Se usan cuando lo que se busca es resaltar la representación de los porcentajes de los datos que componen un total. Pueden ser: En dos dimensiones o tres dimensiones Gráficos de Áreas En estos tipos de gráficos se busca mostrar la tendencia de la información generalmente en un período de tiempo. Estos gráficos se utilizan para representar valores con grandes incrementos entre sí. Gráficos circulares Estos gráficos nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho. en dos dimensiones o en tres dimensiones. Se pueden usar para representar una serie. dos o más series. Las barras pueden ser: Verticales u Horizontales Gráficos de líneas En este tipo de gráfico se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Pueden ser para representar una. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor. . dos o más series. según lo que se desee destacar. ¿Cómo se determina el número de intervalos y la amplitud de ellos? 6. utilizando solamente la frecuencia relativa? ¿Por qué? 4. 8. ¿Qué es una marca de clase? 7.2 ¿Qué porcentaje tiene experiencia entre 5 y 7 años (incluyendo los extremos)? . RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS 1.1 Construir una distribución de frecuencias simple.1 ¿Qué porcentaje de las obreras tiene experiencia inferior o igual a 6 años? 8.3 ¿La frecuencia relativa acumulada 3. ¿Por qué se recurre al agrupamiento en distribuciones de frecuencias por intervalos? 5. Años de experiencia de las 50 operarias de agro exportadora “La Calidad” Ordenar la Información y responder: 8. ¿Qué es frecuencia absoluta? 2.PRACTICA CALIFICADA Nº 02 USANDO EL PAQUETE O SOFTWARE RESPECTIVO. La siguiente tabla relaciona las ausencias al trabajo de 50 obreros. 1 3 1 4 2 0 2 1 0 4 2 4 0 2 2 1 2 1 3 1 3 0 0 2 3 1 3 0 0 1 4 1 1 0 2 3 2 2 2 1 2 0 1 5 0 5 2 3 2 2 7.1 ¿La frecuencia acumulada? 2. Cómo se obtiene: 2. En una distribución de frecuencias ¿se pueden establecer conclusiones porcentuales. durante el mes de octubre.2 ¿La frecuencia relativa? 2. 7.2 Sacar 3 conclusiones. en la fábrica de confecciones "La Unión". Consumo de agua. y las conclusiones que de ellas se deriven. en m3de 184 familias n un barrio residencial de una ciudad durante el mes de octubre: Construir una distribución de frecuencias por intervalos. .9. Comparar las distribuciones con intervalos y sin intervalos. Peso de los sacos de ají páprika que fueron cosechados en los primeros 50 días de producción de la empresa Exporta SAC Construir una distribución de frecuencias y resaltar 3 conclusiones 10. FORMULACIÓN DE LAS HIPÓTESIS Una hipótesis es ante todo. resaltando todas sus características. una explicación provisional de los hechos objeto de estudio. y como no puede siempre mantener las mismas condiciones predeterminadas o a voluntad del investigador. Para el planeamiento de una investigación. proporción.). a su hipótesis contraria se le llama Hipótesis Alternativa (H1). DEFINICIÓN DE LA UNIDAD DE OBSERVACIÓN Y DE LA UNIDAD DE MEDIDA La Unidad de Observación. la revisión bibliográfica del tema. FIJACIÓN DE LOS OBJETIVOS Luego de tener claro lo que se pretende investigar. pero se registran las diferentes observaciones y se analizan sus variaciones. debemos presupuestar hasta dónde queremos llegar. en otras palabras. debe establecerse bajo qué unidad se tomarán las observaciones ya sea en metros. por norma general. entre otras cosas. varianza. someter nuestras proposiciones básicas a un análisis lógico. 4. para lo cual se deben tener en cuenta. entendida como cada uno de los elementos constituyentes de la población estudiada.. además. volumen. Estos deben plantearse de tal forma que no haya lugar a confusiones o ambigüedades y debe. debemos fijar cuáles son nuestras metas y objetivos. y su formulación depende del conocimiento que el investigador posea sobre la población investigada. 2. Es decir. etc. etc. . libras. La unidad de observación puede estar constituida por uno o varios individuos u objetos y denominarse respectivamente simple o compleja. El criterio sobre la unidad de medición debe ser previamente definido y unificado por todo el equipo de investigación. debe poderse probar para su aceptación o rechazo. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Al abordar una investigación se debe tener bien definido qué se va a investigar y por qué se pretende estudiar algo. pues. Si se trata de medidas de longitud. etc. mediano y largo plazo. establecerse diferenciación entre lo de corto. parte de la observación de un fenómeno. es decir. concreta e inteligible sobre el o los fenómenos que se pretenden estudiar. Una hipótesis estadística debe ser susceptible de demostrar. peso. Una hipótesis que se formula acerca de un parámetro (media.Semana 3 MÉTODOS ESTADÍSTICOS EN LA INVESTIGACION Y RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN El método estadístico. deja que actúen libremente. es a ellas a las que se les hará la medición. kilogramos. se debe hacer una ubicación histórica y teórica del problema. se llama Hipótesis de Nulidad y se representa por Ho. se debe establecer una delimitación clara. 3. esto es. debe definirse previamente. se siguen las siguientes etapas: 1. al fin de cuentas. pulgadas. con el propósito de rechazarla. para ver su accesibilidad y consultar los resultados obtenidos por investigaciones similares. así como entre los objetivos generales y los específicos. Diremos solamente que la muestra debe ser representativa de la población y sus elementos escogidos al azar para asegurar la objetividad de la investigación. 6. estudiar todos y cada uno de los elementos que conforman la población no es aconsejable. CLASIFICACIÓN Y ORDENACIÓN Después de haber reunido toda la información pertinente. así como por los establecimientos comerciales de un barrio o las unidades de vivienda de una ciudad. humanos y de tiempo y las limitaciones que se tengan en la zona geográfica. así como la cantidad y complejidad de las preguntas. pero no es el objetivo de este curso estudiarlos. con el fin de calcular el tamaño exacto de la muestra que conduzca a una estimación de los parámetros con la precisión establecida. por la homogeneidad de sus elementos. Existen desde el punto de vista de su manejabilidad poblaciones finitas e infinitas. deben establecerse los criterios sobre las condiciones en las cuales se ha de efectuar la toma de la información. establecer su número óptimo y preparar su entrenamiento adecuado. por ser demasiado grande el número de sus componentes o no se pueden controlar. DETERMINACIÓN DE LA POBLACIÓN Y DE LA MUESTRA Estadísticamente. Aquí el término infinito no está siendo tomado con el rigor semántico de la palabra. El establecimiento de las fuentes y cauces de información. LA RECOLECCIÓN Una de las etapas más importantes de la investigación es la recolección de la información. incomprensión a las . o si se necesitan agentes directos que recojan la información. Para hacer la crítica de una información. Existen diversos métodos para calcular el tamaño de la muestra y también para tomar los elementos que la conforman. puede ser considerado como infinito. la población se define como un conjunto de individuos o de objetos que poseen una o varias características comunes. entonces. en términos estadísticos. la ausencia de técnica. 5. los peces dentro de un estanque son un conjunto finito. No se refiere esta definición únicamente a los seres vivientes. descubrir dónde está la información y cómo y a qué "costo" se puede conseguir. etc. es fundamental el conocimiento de la población por parte de quien depura para poder detectar falsedades en las respuestas. de una o varias muestras piloto en las cuales se pondrán a prueba los cuestionarios y se obtendrá una aproximación de la variabilidad de la población. CRITICA. de acuerdo con los objetivos de la investigación son decisiones que se han de tomar teniendo en cuenta la disponibilidad de los recursos financieros. por correo.Asociado a la unidad de medida. es determinar si la encuesta se debe aplicar por teléfono. Muestra es un subconjunto de la población a la cual se le efectúa la medición con el fin de estudiar las propiedades del conjunto del cual es obtenida. ya sea por la poca disponibilidad de recursos. se necesita la depuración de los datos recogidos. una población puede estar constituida por los habitantes de un país o por los peces de un estanque. 7. En la práctica. Es. la cual ha de partir. a menos que se tenga experiencia con muestras análogas. por ejemplo. el grado de desarrollo. sin embargo. porque a veces es necesario destruir lo que se está midiendo. por eso se recurre al análisis de los elementos de una muestra con el fin de hacer inferencias respecto al total de la población. amén de todas las posibles causas de nulidad de una pregunta o nulidad de todo un cuestionario. LA PRESENTACIÓN Una información estadística adquiere más claridad cuando se presenta en la forma adecuada. respuestas al margen. en las que se establecen los cruces necesarios entre las preguntas. tablas y gráficos facilitan el análisis. para su fácil interpretación una tabla debe tener por lo menos: Un titulo adecuado el cual debe ser claro y conciso. el ajuste de modelos y las pruebas de las hipótesis planteadas. hay otros estudiosos del mismo problema a quienes se les puede aportar información. 10. 8. La Tabla propiamente dicha con los correspondientes subtítulos internos y la cuantificación de los diferentes ítems de las variables.preguntas. y las notas de pie de cuadro que hagan claridad sobre situaciones especiales de la tabla. 11. debe hacerse no sólo en función de las variables que relaciona. con el fin de establecer y redactar las conclusiones definitivas. se ordenan las respuestas y se preparan los modelos de tabulación de las diferentes variables que intervienen en la investigación. Es el análisis donde se cristaliza la investigación. pero se debe tener cuidado con las variables que se van a presentar y la forma de hacerlo. Los cuadros. El avance tecnológico y la popularización de los computadores hacen que estas tareas. LA TABULACIÓN Una tabla es un resumen de información respecto a una o más variables. crean confusión. PUBLICACIÓN Toda conclusión es digna de ser comunicada a un auditorio. antes que claridad. puedan ser realizadas en corto tiempo. manualmente dispendiosas. sino del lector a quien va dirigido el informe. No es aconsejable saturar un informe con tablas y gráficos redundantes que. EL ANÁLISIS La técnica estadística ofrece métodos y procedimientos objetivos que convierten las especulaciones de primera mano en aseveraciones cuya confiabilidad puede ser evaluada y ofrecer una premisa medible en la toma de una decisión. que ofrece claridad al lector sobre lo que se pretende describir. u otorguen los créditos a la fuente de la información. 9. Es más. . conocimientos y otros puntos de vista acerca de él. Además la elección de determinada tabla o gráfico para mostrar los resultados. Esta es la fase de la determinación de los parámetros y estadísticos muestrales para las estimaciones e inferencias respecto a la población. Separado el material de "desecho" con la información depurada se procede a establecer las clasificaciones respectivas y con la ayuda de hojas de trabajo. habitantes del distrito de Oyotún.MÉTODOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS PARA UNA INVESTIGACIÓN En una investigación científica se procede básicamente por observación. etc. La población en una investigación debe ser definida con precisión. FUENTES DE INFORMACIÓN Unidades Estadísticas: Elementos componentes de la población estudiada. por encuestas o entrevistas a los sujetos de estudio y por experimentación. Ejemplo: personal de una empresa. . de Internet. Se subdividen en: Observación Directa: Cuando el investigador toma directamente los datos de la población. Usa un cuestionario u otro medio para obtener los datos. Ejm: un científico realiza un experimento.FUENTES DE INFORMACIÓN PRIMARIAS Los datos provienen directamente de la población o muestra de la población SECUNDARIAS Los datos parten de datos preelaborados. naturaleza continuada y exactitud . ejemplo: anuarios estadísticos. de medios de comunicación. Observación Indirecta: Cuando los datos no son obtenidos directamente por el investigador. Debe realizar una encuesta Deben ser analizadas bajo 4 preguntas básicas que son: • ¿Es pertinente? cuando la información se adapta a los objetivos • ¿Es obsoleta? cuando ha perdido actualidad • ¿Es Fidedigna cuando la veracidad de la fuente de origen no es cuestionada • y ¿Es digna de Confianza? si la información ha sido obtenida con la metodología adecuada y honestidad necesaria. con objetividad. etc. En ella se pueden registrar situaciones que pueden ser observadas y en ausencia de poder recrear un experimento se cuestiona a la persona participante sobre ello.Encuesta: Constituye el término medio entre la observación y la experimentación. preferencias. La encuesta es un método descriptivo con el que se pueden detectar ideas. necesidades. hábitos de uso. . . Esto se conoce con el nombre de codificación. viene la fase de recuento de las respuestas. es preciso traducir estas respuestas a números. pero cuando las preguntas han tenido una contestación no numérica.Codificación. Una vez cumplimentados los cuestionarios. . Cuando estas son numéricas no hay ninguna dificultad. Por ejemplo: ¿Como ves el estado actual del Instituto? Muy Bien ……………. 5 Bien ……………... 4 Regular ……………. 1 No sabe/No contesta ……………... 3 Mal ……………... 0 . 2 Muy Mal ……………. EJEMPLO DE CUESTIONARIO . .REPASO: En el siguiente blog www. tales como:       Ficha Técnica-Encuesta INEI 2007 Modelo de Encuesta – INEI Caso – Preferencia por Leche Envasada Encuesta Servicio PLAZA VEA Estadística en la Investigación Científica Resultado Encuesta (Modelo Computacional) Se solicita organizarse en grupos y presentar el resultado de un cuestionario aplicado a determinada población sobre un tema libre.com encontrará información adicional sobre los temas descritos.blogspot.ingenieriainvestigacazasi. 60. llamadas así porque tienden a localizarse en el centro de la información. 32. 60. fi = Frecuencia absoluta. son de gran importancia en el manejo de las técnicas estadísticas. La media aritmética se calcula como la suma de todos los valores que toma la característica en estudio dividida por el número total de unidades experimentales observadas. Las principales medidas de tendencia central son: 1. 59. MEDIA ARITMETICA: Se conoce comúnmente como promedio.3 años 10 Interpretación: La edad media de estos pacientes es de: 52. 15. ya que la representatividad de ellas está asociada con el grado de concentración de la información. En símbolos: Como ejemplo. n = total de datos Ejemplo: . y 80. sin embargo. 71. _ x = 21+32+15+59+60+61+64+60+71+80 = 52.Semana 4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central. 61. su interpretación no debe hacerse aisladamente de las medidas de dispersión. 64. consideremos 10 pacientes de edades 21 años.3 años  Si se trata de datos agrupados se utiliza para variables discretas: Donde: Xi = valores que toma la variable. Un investigador social está interesado en conocer el número promedio de hijos en una muestra de 10 familias entrevistadas para una encuesta en particular. Luego de efectuar el trabajo de recolección de datos, el listado de las familias con su correspondiente número de hijos se formó la siguiente tabla: Familia No Número de Hijos 1 2 2 4 3 4 4 3 5 4 6 3 7 3 8 3 9 6 10 3 Con esta información se construye la tabla de frecuencias de la siguiente manera: Número de Hijos (Xj) Frecuencia (fj) Xjfj 2 1 2 3 5 15 4 3 12 6 1 6 Total 10 35 _ Luego: x = 35 = 3.5 10 Interpretación: La familia promedio proporcionada por la encuesta es aquella que presenta entre 3 y 4 hijos; el valor 3,5 es el resultado matemático del cálculo de la media aritmética pero no es un valor posible de la variable por su propia definición.  En el caso de datos numéricos continuos agrupados en intervalos de clase, el cálculo de la media aritmética es similar al caso anterior, es decir : _ Y = ∑Yi fi n Cuando se agrupan datos continuos en intervalos de clase, se pierde la información original. Luego, para solucionar este problema, Yi se calcula como el promedio entre los extremos de cada intervalo, es decir Yi representa el punto medio del intervalo de clase. Ejemplo: Calcular la media aritmética de la longitud de 100 tornillos fabricados por una máquina.(Tabla 1) Luego: _ Y = ∑Yi fi = 1014,0 = 10,14 mm N 100 Interpretación : En promedio el proceso productivo fabrica tornillos de 10,14 mm de longitud 2. MEDIANA: (Md o Me) Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones ordenadas. El 50% de las observaciones son mayores que este valor y el otro 50% son menores. A continuación se muestran los criterios para construir la mediana. Se puede construir los siguientes criterios: • Lo primero que se requiere es ordenar los datos en forma ascendente o descendente, cualquiera de los dos criterios conduce al mismo resultado. • Si n (tamaño de la muestra) es impar, entonces, la mediana coincide con el valor medio, el cual corresponde al dato Xn/2. • Si n (tamaño de la muestra) es par, no existe un solo valor medio, si no que existen dos valores medios, en tal caso, la mediana es el promedio de esos valores, es decir, los sumamos y luego los dividimos por dos. La Mediana para datos no agrupados Ejemplo 1: Dados los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3 correspondientes al número de hijos de 15 empleados de una empresa. Para la obtención de la mediana se deberán de ordenar. Tomemos el criterio de orden ascendente con lo que, tendremos: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 4, 4 Por otro lado el número de datos n = 15, siendo el número de datos impar se elige el dato que se encuentra a la mitad, una vez ordenados los datos, en este caso es 1. 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 4, 4 Mediana Interpretación: El número mediano de hijos para estos empleados es 1. Ejemplo 2: Las calderas de una planta de energía de vapor a alta presión tuvieron las siguientes eficiencias en porcentajes: 90,3 - 91,6 - 90,9 - 90,4 - 90,3 - 91,0 - 87,9 - 89,4 El tamaño de la muestra, n=8, número par. Luego los ordenamos y la mediana es la semisuma de los valores centrales o sea el promedio de esos valores. 87,9 - 89,4 - 90,3 - 90,3 - 90,4 - 90,9 - 91,0 - 91,6 Mediana = 90,3 + 90,4 = 90,35 2 Interpretación: El número mediano de eficiencia en porcentaje de las calderas de una planta de energía es de 90,35 % aunque el mismo no sea un valor posible de la variable.  Hallar la mediana de los siguientes datos: 7,10,15,13,10,12 La Mediana para datos agrupados Si tenemos datos agrupados en tablas simples de frecuencia, procedemos de la siguiente manera: • Calculamos el orden que ocupa la Mediana, lo llamaremos orden de la mediana, cuya fórmula es: Orden = n (este valor lo observamos en la frecuencia acumulada) 2 Ejemplo 1: Supongamos que el gerente de personal de una empresa obtuvo los siguientes datos, correspondientes al número de días que 19 de sus empleados faltan por enfermedad en un año. Luego: Orden = 19 = 9.5 (está contenido en Fj = 10) 2 Los datos se presentan en la siguiente tabla: qué valores ocupan esos lugares? Por lo explicado anteriormente. Pero. en dólares. veamos cómo se calcula la mediana Ejemplo: Tenemos los siguientes datos agrupados en una Tabla de Frecuencia que representan los montos de 40 préstamos personales. Entonces: Mediana = 39 + 39 = 39 2  Si los datos están agrupados en intervalo de clase. Ejemplo 2: Supongamos que la siguiente tabla corresponde a la vida útil en horas de 100 válvulas Orden = 100 + 1 = 101 = 50. Luego el valor número 50 y el valor número 51 son 39.La mediana es 8 Interpretación: El 50 % de los 19 empleados faltan menos de 8 días y el 50% restante más de 8 días. hay valores 39.5 2 2 Esto nos indica que la mediana se encuentra entre el lugar 50 y el lugar 51. (Tabla Nº 4) . desde el lugar 38 y hasta el lugar 57. en una compañía financiera de consumidores. 3.1. 3. 9 Respuesta: La muestra no contiene ningún dato repetido por lo que se considera que la muestra es amodal. 3. Ejemplos: 1. 4. 2. Se dice que cuando un conjunto de datos tiene una moda la muestra es unimodal.. cuando la muestra contiene más de un dato repetido se dice que es multimodal y un último caso es cuando ningún dato tiene una frecuencia. 7. 5.Determinar la moda del siguiente conjunto de datos: a). el que ocurre más frecuentemente.. es decir. 3 Respuesta: La moda de este conjunto de datos es igual a 3 y si considera unimodal. 7. 2. 6. . b). 2. cuando tiene dos modas bimodal. 3. en dicho caso se dice que la muestra es amodal.64 3. 3 Respuesta: Las modas de este conjunto de datos son 3 y 4 ya que ambas tienen la más alta frecuencia. por lo que la muestra es bimodal c). 3. 4. 7. 1. Moda para datos no agrupados Si tenemos datos sin agrupar. 5.1. 4. 2. 4. 1. 9.1. MODA: (Mo) La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia. 4 . la encontramos fácilmente observando cuál es el valor que más se repite... 8. 4. 3. 3. 6.En este caso se emplea la siguiente fórmula: Dónde: Li = Límite Inferior del intervalo que contiene a la Mediana Fi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior i-ésima fi = Frecuencia en la clase que contiene a la mediana Hi-1 = Frecuencia Relativa Acumulada en la clase anterior i-ésima hi = Frecuencia Relativa en la clase que contiene a la mediana c =Tamaño del intervalo de clase. 2. 6. 5. Mediana = 930. -3. Se puede hallar de la siguiente manera: Donde: Li= extremo inferior de la clase modal d1= (fi – fi-1). para un mismo conjunto de datos. que corresponde al valor 10. nos fijamos que valor corresponde a la mayor frecuencia absoluta. existen varios métodos para calcular la Moda. . d2 = ( fi – fi+1) Ejemplo: Hallar la moda de la tabla Nº 4 Solución: Mo = 685 Interpretación: El monto de préstamos personales en dólares más frecuente otorgados por una compañía financiera de consumidores es de 685 dólares.Moda para datos agrupados  En datos agrupados en tablas simples de frecuencias. Interpretación: La cantidad de días más frecuente que los empleados faltan por enfermedad es 10. pero aproximado. Cada método puede darnos un valor diferente. la mayor frecuencia absoluta es 4. En la siguiente tabla En este ejemplo.  En datos agrupados en intervalos de clases. Luego la Moda es 10. 5 gramos El primer cuartel Q1.5 gramos y el 50% restante superior a ese peso. Si Q3 = 156. Luego: Q1 = 151.154 . debe dividir a la primera mitad de la serie en dos partes iguales. Ejemplo: Supongamos que un veterinario ha registrado los pesos de 8 pollos de seis semanas de vida y ordenó de menor a mayor. divide a la segunda mitad de la serie en dos partes iguales.5 y un 25% será superior a ese peso. por lo cual Q1 se ubicará entre el 2º y el 3º valor de la serie. obteniendo: 150 .5 gramos significa que el 25 % de los pollos tendrán un peso inferior a 151. son valores de la variable que dividen al conjunto de datos (ordenados de menor a mayor) en cuatro subconjuntos que contienen la misma cantidad de datos.5 gramos Interpretación: Si Q1 = 151. Para calcular los cuartiles de una distribución de frecuencias se procede del mismo modo que en el caso de la mediana. .151 . Si Q2 = 154. como si nombre lo indica.MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES. La mediana de este conjunto de datos estará posicionada entre el 4º y 5º valor de la serie.5 gramos y el 75 % un peso superior a ese valor.155 . Los cuarteles se simbolizan con la letra Q. siendo: Mediana = Q2 = 154.156 .5 gramos significa que el 50 % de los pollos tendrán un peso inferior a 154.5 gramos significa que el 75 % de los pollos tendrán un peso inferior a 156.152 . salvo que ahora dividiremos a la distribución de la variable en cuatro partes iguales en lugar de dos.5 gramos Del mismo modo Q3.159 gramos. CUARTILES Los cuarteles de una distribución. Es decir: Q3 = 156. el tercer cuartel.157 . A partir de esta definición es evidente que la mediana coincide con el segundo cuartil. como su nombre lo indica. se aplica la fórmula de interpolación: Dónde: n/4: es el número total de observaciones dividido por 4 Fj-1 : es el mayor de las frecuencias acumuladas que no supera a n/4 Fj : es la frecuencia acumulada que le sigue a Fj-1 Xj-1 : es el extremo inferior del intervalo que tiene como frecuencia acumulada F. Se puede emplear la siguiente fórmula: Li = Límite Inferior del intervalo que contiene al Percentil Fi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior k-ésima fi = Frecuencia en la clase que contiene al Percentil c =Tamaño del intervalo de clase.57mm Interpretación: Q1= Este valor indica que el 25% de los tornillos miden menos de 8. . cuando se habla del percentil 15 se quiere expresar que es el valor de la variable que deja el 15% de los datos a su izquierda y el 85 % de los mismos a su derecha o lo que es lo mismo decir que es el valor de la variable que deja al 15 % de los datos por debajo de él y el 85% por encima.* Cuando se trata de cuartiles para datos agrupados continuos. 3%.36 mm mientras que el 75% restante mide más de 8. c ó h : amplitud de dicho intervalo Para la tabla No 1 (longitud de los tornillos). PERCENTILES: Los percentiles de una distribución. 98%. Respuestas: Q1= 8.. .57mm.57 mm mientras que el 25% restante mide más de 11. k = 1%. que dividen al conjunto de datos (ordenados de menor a mayor) en cien partes iguales.36 mm Q3= 11. son valores de la variable. Así. 99% Percentiles . calcular Q1 y Q3.. 97%.36mm Q3 = Este valor indica que el 75% de los tornillos miden menos de 11. Los percentiles tienen el mismo significado y la misma forma de cálculo que los cuartiles. 2%. Los estadísticos del programa de “Comida Sobre Ruedas”. Defina: media aritmética mediana y moda. Determine utilizando intervalos: la media. Para cada información de los ejercicios del capítulo 3. ¿Cuáles son las principales medidas de tendencia central? 3. ¿Cuándo se utiliza la media aritmética ponderada? 5. Número de comidas por día Número de días 0-5 5 . 7.15 15 . calcular e interpretar la media aritmética. 4. el cual lleva comidas calientes a enfermos confinados en casa.25 25 . mediana y la moda. Enuncie las propiedades de la media aritmética 6.Práctica Calificada Nº 04 1. Calcular la media.30 3 6 5 8 2 3 . mediana y moda a la siguiente tabla de frecuencia: 25 33 27 20 14 21 33 29 25 17 31 18 16 29 33 22 23 17 21 26 13 20 27 37 26 19 25 24 25 20 25 29 33 17 22 25 31 27 21 14 24 7 23 15 21 24 18 25 23 24 9. desean evaluar sus servicios.20 20 . la mediana y la moda.10 10 . ¿Qué es una medida de tendencia central? 2. Los siguientes datos representan las temperaturas observadas al proceso de fermentación en un día cualquiera de producción de cerveza “ALE”. Elaborar la tabla de frecuencia y determinar las medidas de tendencia central 8. El número de comidas diarias que suministran aparece en la siguiente tabla de frecuencia. cuyos pesos al nacer (en kilogramos) fue el siguiente: 22.35.33.43.43.40.46.50 12.42.31.38.36. Además. calcule e interprete: Q1 y P15. y comparar resultados 13. Las edades de 50 de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones de la nación reportadas aparecen en la siguiente tabla de frecuencias.42.41. Los datos anteriores al ser dispuestos en una tabla de distribución de frecuencias se obtuvieron en la siguiente tabla resultante. la mediana y la moda. Calcular la el promedio y la mediana para datos agrupados y no agrupados.45.40.42.38. y la moda. Calcule e interprete la media.10. Una granja ganadera registró durante febrero el nacimiento de 29 terneros. Ingresando a la biblioteca Digital E-libro .42. de la USS.46.46. Edades Frecuencias 50 y menos de 55 8 55 y menos de 60 13 60 y menos de 65 15 65 y menos de 70 70 y menos de 75 75 y menos de 80 10 3 1 11.39.34.44. de la página 47 a la 49 según corresponda a encontrar la media aritmética. la mediana.41.42.37.40. busquen en el libro: Título Autor: Editorial: Publicado: Estadística Colegio24hs Colegio24hs 2004 Y desarrollen los ejercicios 1 al 5. .46. 8. 100). 10. 8. 9. rango: 18 – 3 = 15. Las medidas de dispersión más usuales son: 1. 7. indicando por medio de un número la tendencia de los datos a dispersarse respecto al valor central o media. Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. 15. . no es una buena medida de la dispersión. 10. 5. pero en este caso el rango no indica diferencia entre ambos conjuntos. Ejemplo: a. 6. 18 hay mucha más dispersión en “x” que en “y”. 50. 5 y= 9. - Xmín. Sus valores se encuentran en un rango de: Rango = 100 – 1 = 99 b. 9. 3. el dato menor es 1 y el dato mayor es 100. RANGO ESTADÍSTICO. cuanto menor sea.Semana 5 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución. 8. 7. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos. 45. el rango es una pobre medida de la dispersión. mayor será la variabilidad. 8. 18 En ambos casos. Hallar el rango de los conjuntos: x= 12. 15. sin embargo si ordenamos se ven como sigue: x = 3. AMPLITUD Ó RECORRIDO. Cuando hay valores muy extremos. 9. 6. Cuanto mayor sea ese valor. 3. 55. por lo que “y” consiste esencialmente en ochos y nueves. Es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo en un grupo de números. Para averiguar el rango de un grupo de números:   Ordenamos los números según su tamaño Restamos el valor mínimo del valor máximo R= Xmáx. 18 y = 3. 12. 8. más homogénea será a la media. 8. 9. 18. 9. Para una muestra (1. (S2 ó δ2) 2. Específicamente.LA VARIANZA. La Varianza es el cuadrado de la desviación estándar  Para datos no agrupados  Para datos agrupados La variancia de los valores: (x1 x2 … xk) que ocurren con las frecuencias (f1 f2 … fk) es: . la varianza es una medida de que tan cerca o que tan lejos están los diferentes valores de su propia media aritmética. cuando más cerca estén las Xi a su media menos es la varianza. mayor es la varianza. Es una variable estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media). Cuando más lejos están las Xi de su propia media aritmética. La desviación estándar es siempre un valor no negativo S 2. también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza): 1. La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable 4. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión. la desviación estándar queda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante. (ó DESVIACIÓN TIPICA) La varianza a veces no se interpreta claramente. Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar no varía. 5. la desviación estándar es 1. 3.293 soles. Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante. la desviación estándar. que se halla como la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar o desviación típica nos informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media. Desviación Estándar: S = √S2 ó δ = √ δ2 (Es la raíz cuadrada de la varianza) Propiedades de la Desviación Estándar A su vez la desviación estándar. . DESVIACION ESTANDAR (S ó δ) .3. ya que se mide en unidades cuadráticas. Para el ejemplo anterior. más dispersos estarán los datos. Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña. cuanto mayor sea su valor. en la cual se compara la desviación estándar con el respectivo valor del promedio de los datos. se expresa en porcentaje: .4. COEFICIENTE DE VARIABILIDAD Es una medida de variabilidad de los datos que se expresa en porcentaje. 3 Desviación Estandar 4. Si tú fueras el entrenador. Los puntos conseguidos por cada una. ¿Cuáles son las principales medidas de dispersión? 3. ¿Cuál de las dos es más regular? c. a quién seleccionarías? .I. El entrenador de un equipo de baloncesto duda entre seleccionar a Elena o María. Para cada una de las informaciones de las unidades 2 y 4 de las sesiones anteriores. ¿Cuál es la utilidad de las medidas de dispersión? 2. La varianza c. calcular e interpretar: 4. en una semana de entrenamiento fueron: Elena 18 23 22 24 19 25 16 María 18 26 18 28 22 17 18 a. ¿Cuál de las dos tiene mejor media? b. fi 70 4 74 9 78 16 82 28 86 45 90 66 94 85 98 72 102 54 106 38 110 27 114 18 118 11 122 5 126 2 Calcula: a) El C.Practica Calificada Nº 05 1.2 Desviación media 4. 7. Calcula la desviación típica.4 Coeficiente de variabilidad 5. La desviación 6. ¿Cuál es la medida adecuada para comparar la dispersión entre varias variables que posean diferente magnitud o diferente unidad de medida? 4.I. La siguiente tabla muestra los coeficientes de inteligencia de 480 niños de una escuela elemental C. La tabla de frecuencias exhibe las edades de una muestra de 36 personas que asistieron a una película: Años f 8-13 2 14-19 7 20-25 13 26-31 5 32-37 9 Hallar: a. La media b.1 Rango 4. promedio de los niños estudiados b) Su desviación. 2. EXPERIMENTO ALEATORIO: Es cualquier hecho o fenómeno cuyo resultado no puede predecirse antes de que suceda.” Proverbio chino 1. Ejemplo: . Se representa comúnmente con la letra S. ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.El lanzamiento de 2 dados paralelamente y observar el puntaje obtenido .Tirar una moneda y observar cual de las caras queda hacia arriba .Rendir un examen y observar su resultado .Elegir un cliente del restaurante y preguntar su opinión sobre el servicio recibido. Ejemplos: * En el experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces El espacio muestral es un conjunto formado por 8 elementos: .Semana 6 INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES “Los planes corresponden al hombre. las probabilidades a Dios. (C. Ejemplos: * Del espacio muestral. EVENTO O SUCESO: Es un subconjunto de elementos que pertenecen al espacio muestral y que cumple una característica determinada. el espacio muestral es: 3.C).3077  Si se lanza un dado 2 veces cuál es la probabilidad de que: . (C. el evento A= puntaje obtenido es mayor de 3 A= [4.* En el experimento aleatorio de lanzar un par de dados. tiene 4 elementos * Al lanzar un par de dados.C. La probabilidad de que ocurra un evento A se define como el valor que corresponde al número de casos “favorables” entre el número de casos “posibles”: Ejemplos:  Si se lanza un dado.S.Se obtenga un puntaje < a 5 pero >= a 2 . el evento de obtener por lo menos dos caras es: E = [(C.C. el evento “la suma es igual a 7” será: 4.Se obtenga un puntaje igual a 8 .C)] . cuál es la probabilidad de obtener un puntaje mayor de 9. El valor de esta medida está comprendido entre [0 y 1]. PROBABILIDAD Es una medida que expresa la “tasa de ocurrencia de un evento a largo plazo”. 0.5  De un juego de 52 naipes se extrae una carta al azar (aleatoria). lanzamiento de un dado.6] * Al lanzar una moneda 3 veces.C.S). cual es la probabilidad de obtener un puntaje impar.5. (S.Se obtenga un puntaje <= a 4 .C). Rpta. Rpta. 0. De la urna que tienes a la derecha.OPERACIONES CON PROBABILIDADES 1.30 = 180 = 0. ¿Cuál es el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de una moneda? ¿Cuál es la probabilidad de cada una de las dos caras? 3. Bola con número par = F c) Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores 2. es decir la ocurrencia de uno de ellos impide automáticamente la ocurrencia del otro. Si el evento A y el evento B son excluyentes: A∩B = 0. ¿Cuántos casos tiene? b) Describe los siguientes sucesos: Bola Roja = A. Bola Roja con número impar = D. Bola Verde = B. Eventos Mutuamente Excluyentes Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando “no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo”. Intersección de Eventos: En el ejemplo anterior. Luego P(A∩) = 0 Ejemplo: Los clientes de una agencia de turismo se clasifican según nacionalidad y edad: ¿Cuál es la probabilidad de elegir un cliente joven o adulto? P(J U A) = P(J) + P(A) = 130 + 40 = 170 = 0. Por tanto. Si se lanza un dado. calcular la probabilidad de que un cliente elegido sea Joven o Extranjero: P(J U E) = P(J) + P(E) – P(J∩E) = 130 + 80 .9 200 200 200 200 Si A y B son no excluyentes: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) “o” = unión “y” = intersección Ejemplos: 1. Bola Azul = C.85 200 200 200 2. cuál es la probabilidad de obtener un puntaje impar . sacamos una bola a azar y anotamos su número a) Describe el espacio muestral. si 2 eventos son mutuamente excluyentes no habrá intersección entre ellos. 28 por Estadística y 10 alumnos por ambos cursos. En un salón de clase hay 15 alumnos y 24 alumnas. Secretario y Tesorero. P4 = 4! = 24 juntas COMBINACIÓN m C = m! n (m-n)! n! Se lee: “combinación de n en n elementos de un total de m” Son arreglos diferentes de n en n elementos de un total de m. Fórmula: Pn = n! Ejemplo: 1. Ejm. Si se selecciona al azar a uno de estos alumnos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que les guste Química o Estadística? b) ¿De qué se incline por Química y Estadística? c) ¿Qué no le guste ninguno de los 2 cursos? 6. CAB. cual es la probabilidad de que ésta sea de color rojo o tenga un puntaje menor de 5. 22 alumnos manifestaron inclinación por la Química. TÉCNICAS DE CONTEO Repaso de Factoriales n! = 1x2x3x4x……xn 0! = 1 1! = 1 PERMUTACIÓN “Pn” Una permutación es un conjunto de arreglos diferentes de n en n elementos de un total de n Se lee: Pn = permutación de n elementos. y de que sea alumna y que haya nacido fuera de Trujillo. Cuántas juntas directivas diferentes se podrían formar con las personas ABC y D. si dicha junta tiene los cargos de Presidente. Vicepresidente. En una encuesta aplicada a 50 estudiantes secundarios. Hallar la P[ ] de que sea alumno ó sea de Chiclayo. en los cuales no interesa el orden en que se presentan. la tercera parte de los hombres y la mitad de mujeres son de Chiclayo. BAC. CBA ] P3 = 3! = 6 2. Al extraerse una carta de un juego de 52 naipes. ACB. De cuántas formas diferentes se pueden sentar 3 personas ABC en 3 asientos consecutivos: [ ABC. Se desea elegir un comité de 3 personas entre 8 candidatos. cuantos comités diferentes pueden formarse: .4. BCA. 5. Si un conjunto A tiene 5 elementos.8 C3= 8! = 8! (8-3)! 3! 5! 3! VARIACIÓN 56 formas diferentes m V = m!__ n (m-n)! Se lee: “Variación de n en n elementos de un total de m”. Si hay 8 candidatos. Se desea formar una junta directiva con los cargos de presidente. se suelen elegir primero 15 semifinalistas. ¿De cuántas formas distintas se puede construir un comité de cuatro estudiantes? ¿De cuántas formas distintas se puede construir un comité de cuatro estudiantes si dos deben ser mujeres? . luego se eligen 5 finalistas. secretario y tesorero. Sí interesa el orden de los elementos. vicepresidente y secretario? 4. ¿De cuántas formas se puede elegir presidente. ¿Cuántas duplas se pueden formar con los elementos de A?. La junta directiva de la compañía ABC consta de 15 miembros. Ejm. En el concurso de belleza de Miss Universo. En una clase de estadística hay 30 estudiantes 24 hombres y 6 mujeres. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ocupar las 5 primeras posiciones entre las 15 semifinalistas? 3. ¿Cuántos equipos de basquet de cinco hombres se pueden formar de una escuadra de 12 hombres si no tienen en cuenta las posiciones de juego? 5. 2. cuantas juntas directivas diferentes se podría formar: 8! = 8! = 8x7x6x5! = 336 formas diferentes (8-3)! 5! 5! Ejemplos para el Aula: 1. en cada caso. diga cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso que se indica: a) CESTA I CESTA II b) BOLSA I BOLSA II Se extrae una pieza de fruta Suceso: OBTENER UNA PERA Se extrae una bola Suceso: OBTENER UNA BOLA VERDE ACTIVIDAD Nº 4 Resolver: 1. ¿Qué es más probable que aparezca el nombre de una chica o de un chico? b) Se lanza un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. 12 chicos y 18 chicas. P(practicar alguno de los tres deportes). 3. Sea amarilla. ACTIVIDAD Nº 3 En cada uno de los siguientes experimentos aleatorios. P(no practicar ninguno de los tres deportes. 25 personas practicaban futbol y baloncesto. 2. El resto no sabe o no contesta.Practica Calificada N° 06 ACTIVIDAD Nº 1 A continuación se describen varias situaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada? a) Sea un “as” b) Sea una carta negra ó un número menor de 5 c) Sea número 8 y de color rojo 4. Contesta la pregunta. Sea verde. 40 practicaban baloncesto y 30 practicaban ciclismo. 15 practicaban fútbol y ciclismo. cada uno escribe su nombre en una papeleta y la introduce en una caja. P(practicar los tres deportes). . b) Lanzamos dos monedas al aire. y 12 practicaban baloncesto y ciclismo. P(practicar fútbol y baloncesto). Hallar la probabilidad de sacar por suma 4 o 11 al lanzar dos dados. Se extrae una al azar. 5 amarillas y 7 verdes. tan sólo 5 personas practicaban los tres deportes. a) Representa el diagrama de Venn correspondiente. P(practicar sólo ciclismo). 50 practicaban fútbol. b) Calcula las siguientes probabilidades: P(practicar fútbol). al lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. Una urna tiene 8 bolas rojas. De 100 personas que fueron consultadas sobre sus preferencias a la hora de realizar un deporte. Además. razonando las respuestas: a) En una clase de 30 alumnos. ¿Qué es más probable que salga el 5 o el 1? c) Si lanzas una ficha cuyas caras son verde y rojo ¿qué color esperas que salga? ACTIVIDAD Nº 2 Indica el espacio muestral de los siguientes sucesos: a) Obtener par. c) Obtener impar al lanzar un dado cúbico. Por último. Se extrae aleatoriamente una baraja de un juego de 52 cartas. calcular la probabilidad de que: Sea roja. En una carrera de 500 metros participan doce corredores ¿De cuántas maneras pueden adjudicarse las medallas de oro. ¿Cuál es el número de casos posibles? 5.2 ¿Podremos numerar a los 3224564 habitantes de una ciudad con esos números? 4. plata. ¿Cuántas palabras distintas. Engarzando las 25 bolitas en un hilo. bronce? 12. Si se han dado en total 21 besos. ¿cuántas personas había? 11. secretario y tesorero de un club deportivo sabiendo que hay 14 candidatos? . con o sin sentido.5 y 6: 3. Combinaciones.Permutaciones. ¿Cuántos números de seis cifras existen que estén formados por cuatro números dos y por dos números tres? 6. Una fábrica de helados dispone de cinco sabores distintos (vainilla.2. acuerdan que dos de ellos se encargarán de comprar la comida y las bebidas ¿De cuántas formas posibles puede estar compuesta la pareja encargada de dicha misión? 9. de modo que no estén en el mismo dedo? 2. podremos formar con las letras de la palabra educación? ¿y con la palabra vacaciones? 8. Un grupo de amigos formado por Raúl. 8 azules y 7 blancas) para hacerse un collar.3. Variaciones 1. fresa y cola) y quiere hacer helados de dos sabores ¿Cuántos tipos de helado podrán fabricar? 10. Ricardo y Carmen organizan una fiesta. ¿cuántos collares distintos podrá realizar? 7.1 ¿Cuántos números distintos de siete cifras podríamos formar? 3.4. ¿De cuántas formas pueden cubrirse los cargos de presidente. Se lanzan al aire uno tras otro cinco dados equilibrados de seis caras. chocolate. Lola tiene 25 bolitas (10 rojas. Sonia. ¿De cuántas maneras se pueden colocar dos anillos diferentes en la misma mano. nata. Un grupo de amigos y amigas se encuentran y se dan un beso para saludarse. vicepresidente. Con los números 1. Al lanzar cinco dados de distintos colores ¿cuántos resultados podemos obtener? 3. dado que ha ocurrido B (o viceversa).67% P[B] . 50% B= labora en la tarde ……………. el 30% lo hace por las tardes y el 20% tanto en la mañana como por la tarde. 30% A Π B = labora en los dos turnos … 20% a) P[A/B] = P[A ∩ B] = 20/30 = 2/3 ó 66.. Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S. La probabilidad condicional de A. es decir sin relacionarlo uno con otro. En una empresa el 50% de trabajadores trabaja por la mañana.Semana 7 PROBABILIDADES CONDICIONALES Hasta ahora se ha estudiado la probabilidad absoluta de un evento. está dado por: P[ A/B ] = “ probabilidad de que ocurra A habiendo sucedido B” P[ A/B ] = P[A∩B] P[B] = n (A∩B) n(B) P[B/A] = “probabilidad de que ocurra B habiendo sucedido A” P[ B/A ] = P[B∩A] = n (B∩A) P[A] n(A) Ejemplos: 1. si se escoge aleatoriamente a un trabajador cualquiera: a) Cual es la probabilidad de que trabaje en la mañana si se conoce que labora en la tarde b) Cual es la probabilidad de que trabaje por las tardes si se conoce que labora por la mañana SOLUCIÓN A= labora en la mañana …………. Sin embargo pudiera ser de interés calcular la probabilidad de que ocurra un evento de cierto espacio muestral “S” a la luz de que otro evento de ese mismo espacio “S” ocurra. cual es la probabilidad de que este: a) Haya sido desaprobado en Matemática I conociéndose que fue desaprobado en Estadística Aplicada b) Haya sido desaprobado en Estadística Aplicada conociéndose que fue desaprobado en Matemática I c) De que haya sido desaprobado en Matemática I ó Estadística Aplicada SOLUCIÓN: M = desaprobó Matemática I =20% E = desaprobó Estad. los cuales son de 2 colores.b) P[B/A] = P[B ∩A] = 20/50 = 2/5 ó 40% P[A] 2.47% b) P[N ∩ M] = n(M ∩ N)/n(S) = 18/120 = 9/60 = 3/20 = 15% c) P[Ma] = 67/120 = 55. M=Metálico. De todos los alumnos que el ciclo pasado llevaron los cursos de Estadística Aplicada y Matemática I. En la parte preferencial de un teatro solamente hay 120 asientos.04% e) P[M/N] = P[Ma ∩ N]/ P[N] = n(Ma ∩ N)/n(N) = 22/40 = 11/20 = 55% . se tienen los siguientes datos: El 20% desaprobaron Matemática I El 35% desaprobaron Estadística Aplicada El 10% desaprobaron ambos cursos Si se escoge aleatoriamente a un alumno que lleva estos cursos. calcule la probabilidad de que este sea: a) De color azul b) De color negro metálico c) El asiento elegido sea de madera d) Sea de color azul si se sabe que es de metal e) El asiento sea de madera si se sabe que es de color negro f) El asiento no sea de color azul SOLUCIÓN A= Azul. El resumen se presenta en el recuadro siguiente: Asientos Azul Negro Total Metálicos 35 18 53 Madera 45 22 67 Total 80 40 120 Si se selecciona aleatoriamente uno de estos asientos. azules o negros.57% b) P[E/M] = 10/20 = ½ = 50% c) P[E UM] = P[E] + P[M] – P[E ∩M] = 35/100 + 20/100 – 10/100 = 9/20 = 45% 3. Ma=Madera a) P[A] = n(A)/n(S) = 80/120 = 2/3 = 66.83 % d) P[A/M] = P[A ∩ M] / P[M] = n(A ∩ M) / n(M) = 35/53 = 66. Aplicada =35% M ∩ E = desaprobaron ambos cursos = 10 a) P[M/E] = 10/35 = 2/7 = 28. N=Negro. algunos son de madera y otros son metálicos. Complemento de un suceso=> P[M’]= 1 – P[M] Sea de color azul: P[A], complemento = 1 – P[A] f) P[A]’ = 1 – P[A] = 1 - 80/120 = 40/120 = 4/12 = 1/3 = 33.33% TEOREMA DE BAYES Es un caso particular de la probabilidad condicional. Si A1, A2, A3, …, An, son sucesos mutuamente excluyentes de los cuales al menos uno de los sucesos Ai (i=1,2,3,…,n) debe ocurrir y siendo B un suceso cualquiera del espacio muestral, la probabilidad de que ocurra el suceso “Ak” habiendo ocurrido B se puede definir como: P[Ak / B] = P[Ak] . P[B/Ak] ∑ P[Ai] . P[B/Ai] Ejemplo 1 1. En una empresa el 50% de trabajadores pertenecen al área técnica profesional, el 30% son oficinistas y el 20% pertenecen al área de personal de servicio; se sabe además que el 8, 9 y 10% de los técnicos profesionales, oficinistas y personal de servicio respectivamente son provincianos. a) Represente las condiciones enunciadas en un árbol de probabilidades b) Si se selecciona al azar un trabajador, cual es la probabilidad de que este sea técnico profesional o personal de servicio. c) Sea técnico profesional si se conoce que es provinciano d) Sea de personal de servicio si se sabe que es de la capital SOLUCIÓN T= técnico profesional O=oficinistas S=personal servicio P=provinciano C=capital a) Árbol de probabilidades b) P[T U S] = P[T] + P[S] – P[T ∩ S] = 50/100 + 20/100 – 0 = 70/100 = 70% c) P[T/P] = _________50/100 x 8/100_______________________ 50/100x8/100 + 30/100x9/100 + 20/100x10/100 = 50 x 8_____________ = ___400 50x8 + 30x9 + 20x10 400+270+200 d) P[S/C] = P[S].P[C/S] P[T].P[C/T] + P[O].P[C/O] + P[S].P[C/S] = 400/870 = 40/87 ó 45.98% = 20/100 . 90/100 50/100x92/100 + 30/100x91/100 + 20/100x90/100 = 1800 = 1800 / 9130 = 180/913 ó 19.72 % 4600 + 2730 + 1800 Ejemplo 2 El 70% de los pacientes de un hospital son mujeres y el 20% de ellas son fumadoras. Por otro lado el 40% de los pacientes hombres son fumadores. Se elige al azar un paciente del hospital. ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador? Solución Diagrama de Árbol para el ejemplo: Ejemplo 3 Consideremos un control de calidad de una empresa en el cual se desea saber la probabilidad de que un determinado artefacto tenga una vida útil superior a las 1200hs. Para ello el dpto. de Control de Calidad separa 500 unidades de la producción y mide la vida útil de cada unidad. Los resultados de observan en la siguiente tabla: Duración(en hs) Menos de 800 800 a 899 900 a 999 1000 a 1099 1100 a 1199 1200 a 1299 1300 a 1399 1400 a más Total P(A) = 115 + 84 +41 500 ó Frec. Abs.(fi) 10 40 55 70 85 115 84 41 Frec. Relat. 2% 8% 11% 14% 17% 23% 17% 8% 500 100% = 23% + 17% + 8% = 48% Práctica Calificada N° 07 Ejercicio 1: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza Ejercicio 2: Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide: a. Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b. Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón? Ejercicio 3: En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide: a. Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años. b. Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido. Ejercicio 4: Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a. b. c. d. ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica? ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes? ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes? Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica? Ejercicio 5: El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias 1000 unidades en la segunda y 2000 en la tercera.8% y 2%. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar. Ejercicio 6: El volumen de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera. calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también.y el 70% de los créditos para consumo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? . Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%. 0. respectivamente. mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. Ejercicio 7: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. es más. en muchas ocasiones no podemos registrar todos los sucesos inmersos en el espacio muestral del experimento. en caso contrario diremos que es de tipo continuo. definimos la variable aleatoria X: el número de sellos obtenido. En el experimento de lanzar una moneda. En la tirada de dos dados si X es la suma obtenida: . generalmente. una vez.Semana 8 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES En el cálculo de probabilidades. y no con la simple descripción del suceso que pueda ocurrir. Si ese espacio muestral especificado como dominio es numerable. decimos que la variable es de tipo discreto. Variable Aleatoria Definición: Una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio muestral a los números reales. es más sencillo identificar los eventos numéricamente. Debemos recurrir a cuantificar esos símbolos iniciales en números reales que se puedan operar matemáticamente. Función de Distribución F(x)=p(X=x) Es la acumulada de una función de probabilidad. -: Limite inferior de la variable X . transforman eventos del espacio muestral en eventos numéricos. 1.1] que cumple con los axiomas de la teoría de la probabilidad. los cuales desde luego.FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Las variables aleatorias. 2. tienen asociada una probabilidad de ocurrencia. Función de Probabilidad f(x)=p(X=x): Es una función definida sobre una variable aleatoria a los reales en el intervalo [0. Ejemplo: En el Lanzamiento de una Moneda. X: Número de Sellos Ejemplo: X es la Suma Obtenida en el Lanzamiento de dos Dados: Ejemplo: ¿ Cuál es la probabilidad que un disparo impacte a menos de 15 cm del centro? ¿ a más de 9 centímetros? ¿Entre 7 y 14 centímetros? . 4 La diferencia sea mayor que 5 ó menor que 3 .3 La diferencia sea mayor que 2 pero menor o igual 5 2.CUESTIONARIO Y EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Defina: Variable aleatoria.2 La diferencia sea mayor que 2 2. variable aleatoria continua.1 La diferencia sea menor o igual a 5 2. variable aleatoria discreta. 2. función de probabilidad y función de distribución. En el ejercicio de la ficha de dominó. representar y calcular la probabilidad de ocurrencia de los siguientes eventos: 2. si X representa la diferencia absoluta entre los dos números. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL . . . Es el caso del número de llamadas que entran a una central telefónica en una unidad de tiempo.1 .DISTRIBUCIÓN DE POISSON La distribución de Poisson es de gran utilidad cuando tenemos variables distribuidas a través del tiempo ó del espacio. amén de su utilización como aproximación binomial cuando p es muy cercano a cero. (p<0. los artículos defectuosos que hay en un lote de producción. n>30). la cantidad de personas que atiende un cajero en una hora. o n superior a 30. La función de probabilidad de Poisson es: . los baches por kilómetro en una autopista. 2.H.Ejemplo: Un cajero de un banco atiende en promedio 7 personas por hora. cual es la probabilidad de que un una hora determinada: 1. Atienda exactamente 7 personas Consultando la tabla para la distribución de Poisson: Ejemplo: En cierto núcleo poblacional. De que haya alguna persona portadora. cual es la probabilidad: 1. Atienda más de 5 pero menos de 8 personas 4.I. Atienda más de 8 personas 3. No haya personas portadoras. Solución: . En una muestra de 80 personas. el 0.5% es portador del V. Atienda menos de 5 personas 2. también es útil como aproximación de los modelos binomial y poisson expuestos anteriormente. donde coinciden las medidas de tendencia central. La distribución normal.DISTRIBUCIÓN NORMAL Dada la caracterización propia de este modelo continuo. y yendo un poco más adelante. una herramienta de uso común. podemos asumir el supuesto de normalidad para una suma de variables. existen infinitas distribuciones normales. La forma acampanada de la variable normal. media. cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. máxime que la mayoría de las variables económicas y sociales se ajustan a una función normal. la simetría respecto a estos parámetros y la facilidad de su aplicación hacen de la distribución normal. sustentados en el teorema del “límite central” podemos afirmar que. resalta la perfección de esta curva definida por los parámetros Sin embargo. moda y mediana. ya que por cada media aritmética ó varianza diferente se describe una función también diferente: . Normal Diferente Media Igual Varianza Normal Diferente Varianza Igual Media . Las gráficas de este tipo son muy corrientes: Hay pocos individuos en los extremos y un aumento paulatino hasta llegar a la parte central del recorrido. donde está la mayoría de ellos. . DEFINICIÓN : Es la distribución más importante en la estadística. mediana y moda el mismo valor. dicha función viene dada por: <= >= . El valor máximo ocurre cuando U = Me = Mo En el caso de la Distribución normal de parámetros x y σ. teniendo la media. Es una distribución simétrica con respecto a su promedio. 14% b) Tenga un contenido menor a 975 cm3 P[ x < 975 ] P [ z ≤ 975 – 1000 ] 30 P [ z ≤ -0.58991 ó 58.67] Buscar en tablas 0. P[a ≤ x ≤ b] = P[x ≤ b] – P[x ≤ a] = P[Z ≤ b – u ] – P[Z ≤ a – u ] δ a) δ Tenga un contenido mayor a 1020 cm3 u = promedio = 1000 cm3 σ = 30 cm3 P [x > 1020] = 1 – P[ x ≤ 1020] = 1 – P[ z ≤ 1020 – 1000 ] 30 = 1 – P [ z≤ 0.67 = 1 – 0. P [x≤x] = P [ Z ≤ x – u ] δ II.0.33% c) Contenga entre 980 y 1030 cm3 P [980 ≤ x ≤ 1030] P [ z≤ 1030 – 1000 ] – P[z ≤ 980 – 1000 ] 30 30 P [ z≤ 1 ] – P [z ≤ -0.74857 = 025143 ó 25.20327 ó 20.. P [x≥x] = 1 – P[x ≤ x] = 1 – P[ Z ≤ x – u ] δ III.Z=x–u δ Casos: I. Ver en tablas .84134 .833] = 0.99% ……………………….25143 0.666 ] 0. La desviación estándar de la distribución fue de 1. Una prueba acelerada de duración en un gran número de pilas alcalinas tipo D.2.7 y 19. La distribución de las duraciones se aproxima a una distribución normal. Calcular: a) Probabilidad que dure más de 21 horas b) Probabilidad que dure como máximo 17. reveló que la duración media para un caso específico antes que falle es 19 h.2 h.8 horas c) Probabilidad de que su duración esté comprendida entre 18.3 h . blogspot.Nota: Las tablas utilizadas en esta sesión.ingenieriainvestigacazasi. se encuentran colgadas en el Aula Virtual de la USS y en el blog: www.com . 3 Más de 14 ventas? 1. Se toma una muestra de 50 personas mayores de 40 años.2 ¿Cuál es la probabilidad que haya exactamente 5hipertensos? 4. ¿cuál es la probabilidad de que el almacén realice: 1.8.4 Exactamente 5 ventas? 1.5 milímetros? 4.1 Haya exactamente 4 ventas? 2.2 Menos de 17 ventas? 1.5 milímetros.1 ¿Cuál es la probabilidad que haya más de 4 hipertensos? 3. Si al negocio entran 20 clientes. La probabilidad de que un visitante efectúe una compra en un almacén. Un lote de arandelas tiene un diámetro normal con media 10 milímetros y desviación típica 0.3 Menos de 9 milímetros? . Una de cada 10 personas mayores de 40 años de una comunidad. responder y comparar los resultados: 3. sufren de hipertensión.1 Exactamente 16 ventas? 1.5 ¿Cuál es el número esperado de ventas? 2. Si un almacén tiene en promedio 5 ventas por hora.2 Haya más de 3 ventas? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un diámetro: 4. Utilizando primero la distribución binomial y luego la aproximación a la distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora determinada: 2.3 No se efectúen ventas? 3. Se toma una arandela al azar. durante un día dado es 0.Practica Calificada N° 08 1.1 Superior a 10.2 Entre 9 y 11 milímetros? 4. la dificultad para acceder a todos los sujetos. . la escasez de recursos humanos y económicos. por lo que se estudia sólo a una parte de ellos. Entre los motivos que lo impiden se encuentran la falta de tiempo. se ha de diferenciar claramente entre población.. ya que se han de tener en cuenta multitud de aspectos para que el documento final contemple todos los apartados que cualquier estructura estándar considera y para que todos los investigadores sepan con qué y cómo deben proceder en todas las etapas de ejecución del estudio planteado. Estudiar a toda la población. posteriormente. que sería la manera más exacta de conocer lo que se pretende estudiar. Uno de los dilemas que se presenta cuando se inicia la elaboración del proyecto es decidir sobre los individuos o elementos que se incluirán en el estudio: qué características tendrán «criterios de inclusión y exclusión». generalizar o inferir los resultados obtenidos a toda la población. para. etc. a cuántos pacientes se estudiará «tamaño de la muestra» y cómo se elegirán para que entren a formar parte del estudio «técnica de muestreo». cuando se habla de sujetos de estudio.Semana 10 INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA La preparación de un proyecto de investigación es una tarea compleja. es casi imposible en la práctica. Por tanto. muestra e individuo. Determinar el Marco de la Muestra: Lista o grupo de indicaciones para identificar a la población meta Listas:  Directorio Telefónico de Organizaciones  Lista de correo .TEOREMA DEL MUESTREO DISEÑO DE MUESTRA 1. Definir la Población Meta: Conjunto de Elementos que poseen la información que se busca 2. En el área de vacunas sintéticas. toma su nombre. 1. Por Juicio: Se busca seleccionar a individuos que se juzga de antemano tienen un conocimiento profundo del tema bajo estudio. luego sería un personaje ideal para hablar sobre esa temática. . situación que no es cierta. 2. dado esa particularidad. para muchas personas el nombre da a entender que se está haciendo la selección de las unidades de análisis amañando las respuestas. es considerado una eminencia. Seleccionar las Técnicas de Muestreo T E C N IC A S D E MUESTREO Áreas Estratificado Grupo Por Simple Bola de Nieve Por Cuota Por Juicio Por Conveniencia Por Sistemático P ro b a b ilís tic o N o P r o b a b ilís t ic o TÉCNICAS NO PROBABILÍSTICAS: Es aquella en la cual los elementos del conjunto población no tienen la misma probabilidad de ser seleccionado. Es uno de los muestreos con mayor uso. por lo tanto. probablemente quedarían en la muestra algunas personas con poco dominio sobre el tema en estudio. debido a que se busca obtener una representatividad de la población consultando o midiendo unidades de análisis que pueden ser accesadas con relativa facilidad. Si se utilizará un método aleatorio. Patarroyo. se considera que la información aportada por esas personas es vital para la toma de decisiones. el Dr.3. ya que. Por Conveniencia: Su principal debilidad es el nombre. Por Bola de Nieve: Este muestreo no es tan común. Por Cuota: Se asemeja al muestreo estratificado en el sentido que busca representatividad de diferentes categorías o estratos de la población objeto de estudio. como es el caso de: drogadictos. Generalmente este tipo de muestreo se efectúa en forma proporcional al número de elementos de cada estrato. sin embargo. Generalmente se realiza con la ayuda de números aleatorios. Muestreo Aleatorio Simple: Es aquel en que cada uno de los elementos tiene la misma oportunidad de ser seleccionados. en función a sus porcentajes con respecto al número total de elementos de la población. TÉCNICAS PROBABILÍSTICA: Es aquella mediante la cual cada uno de los elementos de la población tienen la misma oportunidad de ser seleccionados Clases de Muestreo Probabilístico 1.3. esta mayoritariamente en estudios con poblaciones de difícil ubicación y/o identificación. personas son hábitos escasos etc. se pretende localizar a algunos individuos. lleven a otros y así sucesivamente. pero que tiene su aplicabilidad en diversos casos. para la selección de esas unidades no usa el azar: Es uno de los más usados en la práctica. de tal manera que estos. como por ejemplo de 10 en 10.Muestreo Estratificado: Es aquel que divide a la población en áreas o estratos. enfermos de VH Sida.Muestreo Sistemático: Es aquella técnica en la que después de seleccionarse aleatoriamente el 1er elemento de la muestra. Su aplicabilidad. el resto de elementos se selecciona mediante un sistema particular. 4. después de lo cual considera a cada uno de ellos para sacar parte de la muestra total. 2. es decir. . 3. Ejemplo Aplicativo 1. Una empresa decide premiar a sus trabajadores por el éxito obtenido en la última campaña. incluyendo bolsa de viaje. sorteando 10 pasajes entre ellos a la ciudad del Cuzco. Haga la selección de los trabajadores favorecidos en forma aleatoria simple. Punto de partida: Columna 8 y fila 5 Respuesta Números leídos en la tabla: ………………………………………………………………………………… Los trabajadores seleccionados fueron: . utilizando una tabla de números aleatorios. manera: 15 -----.57% X : 8.57 22. de Auditoría Interna Of. en cada uno de ellos se aplica muestreo aleatorio simple.8. en la nueva repartición el total es 15 trabajadores. de Asesoría Jurídica Of. de Auditoría Interna Of. equivale a 1 100 Una vez determinado el número a seleccionar en cada estrato. Solución Tenemos la siguiente distribución de trabajadores por sección: Jefatura Of. de Planeamiento y Desarrollo Secretaría General Of. Primer trabajador seleccionado es el número: ……………………….00 6 6 35 17. de Administración Total   N’ Trabajadores Porcentaje % 3 8 5 7 8. de Asesoría Jurídica Of. . Escoja aleatoriamente entre los 8 primeros trabajadores a uno y luego seleccione los restantes de tres en tres (contando a partir del primer trabajador seleccionado). Trabajadores restantes: ……………………………………………… 3.2.100% X -----. de Administración 3 8 5 7 6 6 Total 35 Hacemos la siguiente tabla de distribución Área de Trabajo Jefatura Of. entonces para hallar la cantidad de trabajadores por área se calcula de la sgte.29 trabajador.86 14. Supongamos que el dueño de la Empresa decide premiar a sólo 15 trabajadores. de Planeamiento y Desarrollo Secretaría General Of. pero en la premiación deben estar trabajadores de todas las áreas en forma proporcional a la cantidad que aparece en la lista.57 * 15 X = 1.14 17.14 100 N’ Trabajador Considerado 1 3 2 3 3 3 15 Se halla primero el porcentaje individual que representa cada trabajador en su área Ahora. Efectúe la selección de los 10 trabajadores del ejemplo anterior mediante un muestreo aleatorio sistemático.29 20. Punto de partida para seleccionar al primero: Columna 3 y fila 7. . NIVEL DE PRECISIÓN: ó Error Muestral El Error Muestral o Error de Estimación es el error a causa de observar una muestra en lugar de la población completa. ser expresadas como errores muestrales. Estas variaciones en las posibles muestras de una estadística pueden. como la media o el porcentaje. teóricamente. también es la diferencia entre un estadístico y su parámetro correspondiente. La estimación de un valor de interés. normalmente. la desconfianza es 1% γ = 0. 2. en la práctica el error exacto es desconocido. sin embargo.TAMAÑO DE LA MUESTRA El tamaño de la muestra es el número de sujetos que componen la muestra extraída de una población. estará generalmente sujeta a una variación entre una muestra y otra. Ejemplo: Si Confianza es de 99%. necesarios para que los datos obtenidos sean representativos de la población Conceptos:  Parámetro:  Estadístico: Característica de la Población Característica de la Muestra EL TAMAÑO DE LA MUESTRA DEPENDE DE TRES ASPECTOS: 1.99 . NIVEL DE CONFIANZA ESTIMADO (z) Probabilidad de que un intervalo de confianza incluya el parámetro de la población. El error muestral se refiere en términos más generales al fenómeno de la variación entre muestras. 01 α/2 α/2 0.58 * Nivel de Confianza 99% 98% 97% 96% 95% 94% 93% 92% 91% 90%           z = 2. CARÁCTER FINITO O INFINITO DE LA POBLACIÓN: Se considera finita cuando se conoce la población y es infinita cuando no se conoce el total de la población.70 z = 1.995 z = 2.58 z = 2. .17 z = 2.05 z = 1.96 z = 1.81 z = 1.α = 0.99 F(z) = 0.75 z = 1.64 El Intervalo de Confianza está compuesto por: Límite Superior y Límite Inferior 3.33 z = 2.88 z = 1. q z: nivel de confianza D: error aceptado/precisión requerida p: probabilidad de éxito que ocurra el suceso q: probabilidad que no ocurra el suceso NOTA1: Para población finita.z2.σ / D) 2 N. es decir que para cualquier tamaño de p y q. σ 2 __ (N-1).05.D2 + z2.50 = 50% Cuando se supone p=q=0. se obtiene el máximo tamaño de muestra. Caso II: Para promedios (variable cuantitativa) Para población infinita o grande (N desconocida) ~ ~ Para población finita (N conocida) n= n = (z . es decir: p = q = 0.D2+z2.p. “n” sea menor.q n= (N-1). se debe corregir el tamaño de la muestra de la siguiente manera: n = ____n____ (1 + n/N) NOTA2: Si no se conoce el dato previo de p y q.z2. σ2 .50.p.q Dónde: N.p.Cálculo de “n” (Tamaño de la muestra) Caso I: Para proporciones o porcentajes (variable cualitativa) ~ Para población infinita o grande (N desconocida) ~ Para población finita (N conocida) n = z2. si el valor de n/N > 0. se asume que cada uno de ellos vale 50%. Cuando el valor de P y de Q sean desconocidos o cuando la encuesta abarque diferentes aspectos en los que estos valores pueden ser desiguales.5 pulgadas.96x2. Z = Valor crítico correspondiente al nivel de confianza elegido E = Margen de error permitido (determinado por el responsable del estudio).5)2 D = 0.04 n = 96 hombres 2. es conveniente tomar el caso más adecuado. lo cual ocurre para P = Q = 50. P = 50 y Q = 50. aquel que necesite el máximo tamaño de la muestra. Ejercicios Resueltos de Tamaño de Muestra 1.5/0.05.5 n = 96. δ / D)2 z = 95% = 1.5” n = (z.5? Solución Datos: δ = 2.96 n = (1. ¿Cuál es el número de . Suponga que las estaturas de los hombres de cierto país tienen distribución normal con desviación estándar de 2. se debe corregir el tamaño de la muestra de la siguiente manera: n = ____n____ (1 + n/N) NOMENCLATURA n = Número de elementos de la muestra N = Número de elementos de la población o universo P/Q = Probabilidades con las que se presenta el fenómeno. luego. si el valor de n/N > 0. es decir. ¿De qué tamaño se debe tomar la muestra si se desea determinar un intervalo de confianza del 95% para la media con un error de estimación de 0.Dónde σ2 = varianza NOTA1: Para población finita. Se estima que la desviación estándar de los salarios no es mayor de $1000. Un analista desea estimar el salario promedio de los trabajadores de una compañía determinada con un margen de error de $250 y una confianza del 90%. expedientes que deben muestrearse investigación? Solución Datos: D = 250 z = 90% = 1.96)2.64 δ = 1000 3.D2 + z2. δ2____ z = 95% = 1. (144) 799.D2 + z2. (4000)2 (1499)(500)2 + (1. δ/D)2 n = (1.64x1000/250)2 n = 43.64)2. δ 2 z = 1.96 (N-1). Para ello se va a escoger aleatoriamente cierto # de ellas. ¿Cuántas naranjas deben seleccionarse?. z2 .96) 2 .14 > 0. como mínimo para satisfacer este objetivo de n = (z. Se desea que el erro de estimación sea máximo de 3 gr con una confianza del 90%.(4000)2 n = 211. ¿Cuántos alumnos deben seleccionarse? Solución Datos: D = 500 n = _____N . Suponga que la universidad solo tiene 1500 alumnos y que el costo tiene una desviación estándar aproximada de $4000.885 n = 41 naranjas . (1.03 n = 43 expedientes El rector de una universidad particular desea estimar el costo promedio de un año de estudios con un error de estimación menor a $500 y con una probabilidad del 95%. z2 . δ2 N = 1500 δ = 4000 n = 1500 .(3)2 + (1. δ2_____ D = 3 grs (N-1).64) 2 .144 n = 40. Solución Datos: N = 800 n = N .64 δ2 = 1.44 n = 800 .05 N 1500 Se debe corregir a: 1 + n_ N n _ = 211 1 + 211 1500 = 185 estudiantes Interpretación: Se debe tomar en cuenta a 185 estudiantes para que el resultado tenga una confianza del 95% y una precisión de 500$ ( un error no mayor a $500) 4. Se desea estimar el peso promedio de 800 naranjas. Suponga que la varianza es aproximadamente de 144 gramos al cuadrado. (1.3597 n = 211 alumnos En este caso se hace la comprobación: n = 211 = 0. determine el número de trabajadores que debe entrevistarse si desea que la proporción estimada presente un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 95%.05 (N-1). (1.58)2.49 n = 217 trabajadores En este caso se hace la comprobación: n = 217 = 0.(0.p. (0.q z = 95% = 1.05125 > 0.96) 2 .96 p = q = 0. Como es imposible consultar a los 500 trabajadores en un lapso razonable.q z = 99% = 2. 6. ¿Cuántos estudiantes deben incluirse en la muestra? Solución Datos: D = 0.D2 + z2. Se desea estimar en cierta ciudad la proporción de estudiantes que están a favor de la legalización de las drogas prohibidas.58 D2 p = q = 0. 5.05 N 500 . con un error máximo de 3 gramos.001)2 n = 16641 estudiantes Interpretación: Para que el % de estudiantes calculado tenga una confianza del 99% con un error no mayor de 1% se debe encuestar a 16641 estudiantes.50)2 499.01 n = z 2 .05)2 + (1.(0. z2 . p .5)(0. El jefe de personal de una empresa desea realizar una encuesta para determinar la proporción de trabajadores que está a favor de un cambio en el horario de trabajo.50)2 n = 217.434 > 0. procede a escoger aleatoriamente cierto # de trabajadores para entrevistarlos.5) (0.(0.50 n = 500 .05 N 800 Se debe corregir a: n _ = 41 = 1 + n_ 1 + 41 N 800 39 naranjas Interpretación: Se debe considerar a 39 naranjas para que el peso promedio calculado tenga una confianza del 90%. El error de estimación que se requiere es del 1% y un nivel de confianza del 99%.En este caso se hace la comprobación: n = 41 = 0.50 (no hay información previa ) n = (2.q__ D = 0.96)2. p. Solución Datos: N = 500 n = N. Un administrador universitario desea estimar la proporción de estudiantes inscritos en programas de postgrado en administración de empresas.70) (0.(0. el tamaño a considerar debe ser de 107 ventas. Un prospecto de comprador desea estimar el promedio de ventas por cliente (en $) en una tienda de juguetes ubicada en un aeropuerto.05 z = 1. Determine el mínimo tamaño de la muestra si: a) No existe ninguna base para estimar el valor apropiado de la proporción antes de tomar la muestra b) Si una información previa señala que la proporción no es mayor de 30% Solución a) Datos: D= 0. con un margen de error del 0. $32.70 D = 0.05 y una confianza del 90%.64 x o.30 q = 0. Con base en datos de otras tiendas similares.58 8 n = 107 Interpretación: Para que el promedio de ventas calculado sea aceptado con un 99% de confianza y un error que no sobrepase los 8 dólares. δ/D)2 D=8 n = ( 2. que también tienen licenciaturas en la misma área.05)2 n = 225.64 n = (1.50 n = 268. 8. si sobrepasa la muestra es pequeña.30). 7.96 n = 269 b) Datos: p = 0. ¿Qué tamaño de muestra se debe utilizar como mínimo.(0.64)2 .  El error generalmente no debe sobrepasar a un cuarto de la desviación estándar. se desea estimar las ventas promedio con un margen de error de $8 y un intervalo de confianza del 99%? Solución Datos: δ = $32 n = (z.05 n = [ 1.50]2 z = 90% = 1.93 n = 226 estudiantes .64 0. se deben considerar como muestra 151 trabajadores. se estima que la desviación estándar de ese tipo de ventas es de aprox.05 p = q = 0.58 x 32 )2 z = 99% = 2.Se debe corregir a: 1 + n_ N n _ = 217 1 + 217 500 = 151 trabajadores Interpretación: Para que el porcentaje de trabajadores que están a favor del cambio de horario calculado tenga una confianza del 95% y un error no mayor al 5%. 10´94. ¿Cuántas cajas debe escoger para que se cumplan los requisitos propuestos? 4. Por datos anteriores se sabe que el peso mínimo es 1´48 libras y el máximo es de 2´47 libras. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimación de P esté dentro de 0. Es necesario estimar entre 10.000 establos. Deseamos que el valor estimado que se vaya a obtener comparado con el verdadero no sea superior a 0´2 decilitros con una confianza del 95%. Los resultados fueron los siguientes: 11´02. ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se desea tener 96% de confianza que la media real esté dentro de 10 horas de la media real? 10. Suponga que en el ejercicio anterior se tiene una población de 300 focos. 10´78. Se desea determinar un intervalo de confianza del 95% con un error de estimación de 0´05. Queremos ajustar una máquina de refrescos de modo que el promedio del líquido dispensado quede dentro de cierto rango. 11´19. ¿De qué tamaño debe tomarse la muestra? 6.000. una media estimada del peso. Se desea hacer una encuesta para determinar la proporción de familias que carecen de medios económicos para atender los problemas de salud. 11. Se desea conocer el peso promedio de una determinada clase de pescado con un error de estimación de 0´02 y con un nivel de confianza del 99%. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal con una desviación estándar de 40 horas. Existe la impresión de que esta proporción está próxima a 0´35. 10´93. y se desea saber de que tamaño debe de ser la muestra. Como la varianza era desconocida se procedió a escoger una muestra piloto. El supervisor desea conocer con un error de estimación de máximo 0´1 y un nivel de confianza del 90%. 11´71. respecto al uso de fondos estatales para pagar abortos. Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para conocer qué proporción del electorado conoce la opinión de ella. 11´27. Se desea realizar una encuesta entre la población juvenil de una determinada localidad para determinar la proporción de jóvenes que estaría a favor de una nueva zona de ocio. 11´58. Una máquina llena cajas con cierto cereal.¿De qué tamaño debe escoger la muestra? Suponga que los pesos de estos pescados se distribuyen normalmente.Practica Calificada N° 10 1. Un productor de semillas desea saber con un error de estimación del 1% el porcentaje de semillas que germinan en la granja de su competidor. ¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere un confianza del 95% y un error máximo de estimación de 0.2 libras.10? . ¿Cuántos establos deben visitarse para satisfacer estos requerimientos? 3. Sabemos que la varianza es 1.000.¿De qué tamaño debemos escoger la muestra? 2. se encuentra que 340 están suscritas a HBO. El muestreo se realizará sin reemplazo. Canadá. El número de jóvenes de dicha población es N=2. 5. Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los ciervos cazados en el estado de Maryland.02? 12. En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de Hamilton. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de estudiantes que están a favor con un error de estimación de 0´05 y un nivel de confianza del 95 8. el número de vacas lecheras por establo con un error de estimación de 4 y un nivel de confianza del 95%. 11´14. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el 95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 libras? 9. Un estudio anterior de diez ciervos cazados mostró que la desviación estándar de sus pesos es de 12. ¿Qué tamaño de muestra debe tomarse para obtener un nivel de confianza del 95 7. La cantidad de líquido vertido por la máquina sigue una distribución normal con desviación estándar 0´15 decilitros. 11´59. En esta sección estudiaremos los procedimientos estadísticos que permitan estimar dos parámetros de una población: la media y la proporción. así que sería conveniente acompañar nuestra estimación con alguna medida que nos permitiera expresar la cercanía del estimador al parámetro. pero con la intención de que las estimaciones constituyan una buena aproximación de los parámetros desconocidos de la población. Razón para estimar Los administradores utilizan las estimaciones porque se deben tomar decisiones racionales. sabemos que aunque usemos un método bueno de estimación es prácticamente improbable que el valor de la estimación coincida con el verdadero valor del parámetro. por lo que asigna uno o varios valores numéricos a un parámetro de una población sobre la base de datos de muestra. . Tipos de estimación a) Estimación puntual: Consiste en un solo estadístico muestral que se usa para estimar el valor verdadero de un parámetro de una población que es desconocido. Cuando usamos una estimación puntual. expresado en general por medio de una fórmula. Una solución a ello no los brindan los estimadores por Intervalos de Confianza. que se utiliza para deducir la estimación. Estimación Es un valor específico observado de un estimador. Estimador Es la regla o procedimiento.Semana 11 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA La inferencia estadística es el proceso de usar resultados muestrales para obtener conclusiones respecto a las características de una población. sin que tengan la información pertinente completa y con una gran incertidumbre acerca de lo que pueda deparar el futuro. 1se acerca a 1. . Lo denotaremos por 1. ésto significa que aumenta la probabilidad de que el intervalo construido contenga al verdadero valor del parámetro que estamos estimando.b) Estimación por intervalo: Es la estimación de un parámetro de la población dado por dos números que forman un intervalo que contiene al parámetro con una cierta probabilidad. Los niveles de confianza que más se utilizan son 90%. Nivel de Significación: Llamaremos así al valor de . Conceptos básicos Nivel de Confianza Está asociado con la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga al parámetro de la población y es expresado en porcentaje. 95% y 99%. Note que a medida que e acerca a 0. Límites de Confianza Son el límite inferior y superior de un intervalo de confianza. donde es un valor tal que 0 1. . 7.t √n Dónde: s = desviación estándar t = distribución t-Student.975 y n =7 . donde t = 2. Ejemplo: Si δ = 95% (0.975 (también se halla p = 1 .ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA PARA MEDIAS MUESTRALES CASO I Muestra Grande: n ≥ 30 µ= δ .740) Ejemplo 1 Se desea estimar la experiencia docente promedio de los profesores de cierta universidad. se calcula usando el grado de confianza y los grados de libertad. calcular t-Student  Para p=0.∞/2)  Grados de libertad: n-1 = 8 – 1 = 7  Con p = 0.95 y n=18. siendo los resultados de experiencia medidos en años los siguientes: (δ = 95%) {11.13.10.95 + 0.025 = 0.95) y n = 8 ∞ = 5% (0.447 Ejemplos de uso de la tabla:  Para δ= 90% y n = 25. calcular t-Student (1.05)  p = 0.7.9.5.12} años . y para tal efecto se toma una muestra de 8 de ellos.z √n Dónde: z = distribución normal CASO II Muestra Pequeña: n < 30 µ= s .711) (1. se lleva a la tabla de la función de distribución t-Student. 447 √8 +.025 0. δ = 63 .25 Usando: 2.01 ∞/2 0. Calcular el intervalo de confianza del 95% Solución Se trata del caso I.94 años – 11. Confianza 95%  z = 1. δ+∞=1 Si tenemos que Confianza δ 0.05 0.10 0.05 0.995 Ejemplo 2 Se tomó una muestra aleatoria de 50 candidatos que se presentan a realizar la prueba de suficiencia en el departamento de selección.25)2 + … + (12-9. 2.25)2 + (7-9.76 .)2 =(11-9.25 2 S = ∑(xi .90 (90%) 0.94 y 11.94 años Entonces la estimación queda: µ = [6.56 años] Interpretación: La experiencia estimada promedio de los docentes de la universidad evaluada está entre: 6.Solución Hallamos = (11+9+7+13+10+5+7+12)/8 = 9.975 0.005 p= 1-∞/2 0.95 (95%) 0.99 (99%) ∞ 0. tenemos 11.z √n = 150 .96 .76 µ = 9.62 = 2.56 años con una confianza del 95%. dónde: µ= δ .25)2 n-1 7 S = √7.950 0. donde se tiene una media de 150 puntos y una desviación de 63 puntos. -.56 años tenemos 6.25)2 + (9-9. 6 gramos por mililitro.7] con una confianza del 95%.96 √50 150 + 14.575*0.2. la probabilidad de que la concentración media de zinc esté entre 2.96.µ = 150 63 . Solución La estimación puntual de es 2.3 √36      [2. En otras palabras.5 y 2. Suponga que los datos siguen una distribución normal con una desviación estándar de 0.6 2. por lo tanto el intervalo lo calcularíamos como: 2.631≤ µ ≤ 164.73] .5. 1.2.369 135.95. * Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.631 Los límites de confianza están entre 135.7 gramos por mililitro es de 0.3.369 Ejemplo 3 Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.575 por lo que el intervalo será más amplio: 2.6    √ y por tanto [2.47.369 150 14.6.369 164. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. * El valor de z del 95% es 1. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia media de los estudiantes.66 √61 10 √61 por tanto.43] con un nivel de confianza del 99%. 80 + 2.99  ∞ = 0.01  1 .  [76.66 10 .995 (60) = 2.la probabilidad de que la concentración media de zinc esté entre 2.995 2El tamaño muestral es mayor que 30.73 gramos por mililitro es de 0.47 y 2.∞/2 = 0.57.66 Sabemos que = 80 y s = 10 .99. a un nivel de confianza del 99%? Solución 1. ellos responden a una prueba de inteligencia en la que alcanzan una media de 80 y una varianza de 100. Ejemplo 4 Extraemos una muestra de 61 estudiantes universitarios. Sustituyendo en el intervalo de confianza tenemos: [80 – 2. .∞ = 0.83. por tanto buscamos en las tablas la distribución t de Student t0. Practica Calificada N° 11 I.8. la encuesta dio como resultado que 130 sí estaban de acuerdo. estime el error del número total de estudiantes.69.6. ESTIMACIÓN POR INTÉRVALOS 1. 2. a. 4. 2. Suponga que las ventas de los dos grupos se distribuyen normalmente con varianzas de 48 para los titulados superiores y 56 para los de estudios secundarios. Teniendo en cuenta los datos del problema III. Tomamos 60 empleados del segundo grupo y la media es 25.2. y si el numero de alumnos en cada una de las aulas inspeccionadas fue: 24. 75. estime el error del peso promedio. 3.9. De las 50 aulas que tiene un edificio de la facultad de matemáticas se escogieron al azar 5 y se determinó el número de alumnos que había en cada una de ellas en la primera hora de clases. 2. 63. Se desea medir la diferencia entre dos categorías de empleados en la actividad de seguros. 30. 3. Entre los miembros de una comunidad se escogieron 150 personas al azar y se les preguntó si estaban de acuerdo con los programas que el gobierno estaba desarrollando para prevenir el consumo de drogas. Una est formada por personas con título superior y la otra por personas que sólo tienen estudios secundarios. 90. Tomamos una muestra de 45 empleados entre los primeros y la media de ventas resulta ser 32. ¿qué puede decirse de acuerdo con el intervalo hallado? 2.8. el instructor considera que el tiempo promedio requerido por la población de trabajadores que recibe instrucción sobre esta m quina es superior a 5 minutos. Estime el peso promedio y la desviación estándar. 2.6. 3. 3. Suponga que el contenido de nicotina de estos cigarrillos sigue una distribución normal con una desviación estándar de 1 miligramo. 84. ESTIMACION PUNTUAL 1. Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una marca determinada dio un contenido promedio de nicotina de 3 miligramos. 5. II.4. 4. Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95% para el verdadero contenido promedio de nicotina en estos cigarrillos. Calcule e interprete un intervalo del 90% de confianza para la verdadera diferencia de las medias.5. . Los siguientes datos corresponden a los pesos (en kilogramos) de 15 hombres escogidos al azar y que trabajan en una empresa: 72. Teniendo en cuenta los datos del problema I.4. Suponga que los tiempos se distribuyen normalmente. El fabricante garantiza que el contenido promedio de nicotina es de 2. 3.7. 2. Estime la proporción de los que estaban de acuerdo y el error estándar. 62.4. 70. 4. Determine e interprete un intervalo del 95% de confianza para el verdadero tiempo promedio 4. 87. 6.8. 3. 5. 77. 4. ¿qué se puede decir de acuerdo con el intervalo hallado? 5. 86.9 miligramos. 35. 66. 68. El tiempo(en minutos) que tardaron 15 operarios para familiarizarse con el manejo de una máquina moderna adquirida por la empresa fue: 3. 91.3. 5. Estime el número de alumnos que hay en el edificio si todas las aulas se encuentran ocupadas a esa hora. b.8. 16. 28. 75. Si 75 de 1.9. Suponga que los tiempos para los dos grupos se distribuyen normalmente y que las varianzas son iguales.5 años. que tardan algunos hombres y mujeres en realizar cierta actividad en una empresa.5 Varianza=1. Un fabricante de baterías para automóvil asegura que las baterías que produce duran en promedio 2 años con una desviación estándar de 0. 3. Una fábrica desea saber la proporción de amas de casa que preferirían una aspiradora de su marca. 14.5. determine un intervalo del 90% de confianza para el cociente de varianzas . HOMBRES MUJERES n1=14 n2=25 Media=17 Media=19 Varianza=1. De acuerdo con el intervalo hallado.5.2. Se toma al azar una muestra de 100 amas de casa y 20 dicen que les gustaría la máquina. los cuales fueron seleccionados aleatoriamente. 10. 13. 11. 2. Se está considerando cambiar el procedimiento de manufactura de partes. 2. Si cinco de estas baterías tienen duración 1. en minutos. Se registraron los siguientes datos. determine un intervalo del 95% para la varianza e indique si es cierta la afirmación del fabricante. Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha aspiradora.500 partes del nuevo.7. ¿hay evidencia de que los dos tiempos promedio son iguales? 12.8 9.000 artículos del procedimiento actual presentaron defectos y lo mismo sucedió con 80 de 2. 15. De acuerdo con el intervalo hallado. Se toman muestras del procedimiento actual así como del nuevo para determinar si este último resulta mejor. determine un intervalo de confianza del 90% para la verdadera diferencia de proporciones de partes defectuosas. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 99% para la verdadera diferencia de medias. aunque desconocidas. 4 años. Tomando en cuenta los datos del problema IV. ¿hay evidencia de que las medias sean iguales? 8. También se utiliza una estimación mediante un intervalo. la desviación estándar o la forma de la población. pero a veces no se dispone de esta información. En este caso es necesario hacer una estimación puntual que es un valor que se usa para estimar un valor poblacional. Las hipótesis estadísticas se establecen entonces para tomar decisiones sobre el valor de algún parámetro poblacional. se plantea una hipótesis. Definición de HIPÓTESIS Hipótesis es una aseveración de una población elaborado con el propósito de ponerla a prueba. se emplea para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. Pero una estimación puntual es un solo valor y se requiere un intervalo de valores a esto se denomina intervalote confianza y se espera que dentro de este intervalo se encuentre el parámetro poblacional buscado. se describe como se puede tomar una muestra aleatoria y a partir de esta muestra estimar el valor de un parámetro poblacional en la cual se puede emplear el método de muestreo y el teorema del valor central lo que permite explicar como a partir de una muestra se puede inferir algo acerca de una población. . el cual es un rango de valores en el que se espera se encuentre el parámetro poblacional En nuestro caso se desarrolla un procedimiento para probar la validez de una aseveración acerca de un parámetro poblacional este método es denominado Prueba de hipótesis para una muestra. después se hacen las pruebas para verificar la aseveración o para determinar que no es verdadera. es decir. Por tanto.Semana 12 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LAS DECISIONES PRUEBA DE COMPROBACIÓN DE HIPÓTESIS Dentro del estudio de la inferencia estadística. En el análisis estadístico se hace una aseveración. Pero es necesario tener conocimiento de ciertos datos de la población como la media. la prueba de hipótesis es un procedimiento basado en la evidencia muestral y la teoría de probabilidad. lo cual nos lleva a definir y elaborar una distribución de muestreo de medias muestrales que nos permite explicar el teorema del limite central y utilizar este teorema para encontrar las probabilidades de obtener las distintas medias maestrales de una población. Otra razón es que de esta manera podemos controlar matemáticamente la probabilidad de cometer algunos tipos de error. En conclusión Lo que el investigador desea demostrar es parte de la hipótesis alternativa y no de la nula por varias razones. y luego encontrar evidencia concreta que nos lleve a rechazarla es un argumento más contundente que presumir que lo queremos demostrar es cierto para luego encontrar evidencia que apoya nuestro reclamo. La hipótesis nula se denota usualmente en símbolos por H0.  un electricista debe partir de la premisa de que la conexión eléctrica que va a revisar está viva con corriente eléctrica. o que el medicamento no es efectivo en la población de pacientes. Esta hipótesis.  un sicólogo parte de la premisa de que dos grupos de individuos sometidos a tratamientos distintos no mostrarán diferencias en su comportamiento. Se le llama nula pues la misma generalmente indica. se conoce como la hipótesis alternativa y se denota por Ha. elaborar un planteamiento de Hipótesis:  un maestro parte de la premisa de que el estudiante asiste al curso con el deseo de aprender. Tipos de Hipótesis La premisa de la cual se parte sobre el comportamiento de la población se conoce como la hipótesis nula.A partir de las siguientes premisas. Al hacer investigaciones es usual pensar en una hipótesis de investigación. tal como: demostrar que el medicamento es efectivo. . que la media poblacional es cero. esperábamos que así fuera. por ejemplo. podemos partir de la premisa de que la persona que maneja el otro vehículo en la intersección respetará la señal de Pare o Alto.  dependiendo del lugar donde vivamos. En este último caso puede reclamarse que observamos esos resultados sencillamente porque de acuerdo con nuestra premisa. lo que el investigador desea demostrar sobre la población. Una razón es que partir de una premisa contraria a lo que deseamos demostrar. El cero nos recuerda que se parte de la premisa de que el efecto es nulo o que las diferencias entre los grupos es cero.  un médico investigador parte de la premisa de que el nuevo medicamento no surtirá efecto alguno.  la sociedad parte de la premisa de que una persona es inocente hasta tanto se pruebe lo contrario mas allá de duda razonable. demostrar que hay una diferencia significativa en la ejecución en una prueba entre individuos que durmieron toda la noche e individuos que no durmieron. que no hay diferencia entre los parámetros asociados a grupos en la población. o que unas plantas tratadas con hormonas crecen más que el grupo control. Usando los datos o evidencia disponible el fiscal debe demostrar que sin duda razonable. que la puntuación promedio del grupo A es mayor que la obtenida por los estudiantes del grupo B. Por el otro lado. ambas medias son iguales: H0: μA = μB. la persona en efecto cometió el crimen. Para esto divide aleatoriamente a sus estudiantes en dos grupos. . mientras que al grupo B les trata neutralmente.Ejemplo 1 Una persona es arrestada y se le acusa de cometer algún crimen. Al grupo A les felicita cuando hacen algo bien y les refuerza positivamente. observar comportamiento culposo permite llegar eventualmente a la decisión de encontrar al individuo culpable. rechazando la hipótesis nula. La hipótesis nula en este caso es que no hay diferencia entre los grupos en la puntuación promedio en la prueba. lo cual se puede escribir en forma equivalente H0: μA . es decir.μB = 0. la hipótesis nula es que el individuo es inocente. Sin embargo. para decidir que un individuo no es culpable. las que por sí solas generalmente no demuestran su inocencia. En el caso de un acusado. esta persona es considerada inocente. La metodología de enseñanza es la misma para ambos grupos. H0: μA > μB. no basta con observar muchas acciones o evidencia consistentes con su inocencia. Ejemplo 2 Una maestra desea investigar si el refuerzo positivo a sus estudiantes les ayuda a obtener un mejor desempeño en el próximo examen. La hipótesis alternativa contiene el resultado que el maestro desea probar. Inicialmente. se habrán apoyado exclusivamente en el análisis de una parte de ésta. En cualquiera de los dos casos se comete un error al tomar una decisión equivocada. La probabilidad de cometer un error tipo I se denomina con la letra alfa α Un error tipo II. En la práctica un tipo de error puede tener más importancia que el otro. Para que cualquier ensayo de hipótesis sea bueno. lo cual puede ser o no ser posible. La probabilidad de cometer un error de tipo II denotada con la letra griega beta β. El estudio y las conclusiones que obtengamos para una población cualquiera. . y así se tiene a conseguir poner una limitación al error de mayor importancia. probablemente sea pequeña. La única forma de reducir ambos tipos de errores es incrementar el tamaño de la muestra. debe diseñarse de forma que minimice los errores de decisión. el tamaño de la muestra requerida. ya sea de aceptación del Ho o de la Ha. puede incurrirse en error: Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es verdadera y debía ser aceptada. De la probabilidad con la que estemos dispuestos a asumir estos errores. dependerá. Como es más fácil encontrar diferencias grandes. si la diferencia entre la estadística de muestra y el correspondiente parámetro de población es grande. por ejemplo. se denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula es aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada. depende de la diferencia entre los valores supuesto y real del parámetro de la población.Tipos de errores Cualquiera sea la decisión tomada a partir de una prueba de hipótesis. la probabilidad de cometer un error de tipo II. En la siguiente tabla se muestran las decisiones que pueden tomar el investigador y las consecuencias posibles. Las contrastaciones se apoyan en que los datos de partida siguen una distribución normal.  Región Crítica: Es la región del espacio muestral que. de acuerdo con un determinado test.  Región de Aceptación: Es la región del espacio muestral que. de acuerdo con un determinado test. obliga a rechazar la hipótesis nula si se encuentra en ella el estadístico de contraste. obliga a admitir la hipótesis nula. La prueba de comprobación de hipótesis se realiza mediante un procedimiento sistemático de 5 pasos . si se encuentra en ella el estadístico de contraste.TEST DE HIPÓTESIS O CONTRASTE DE HIPÓTESIS  Es una prueba de decisión que se establece a partir de la hipótesis nula con el fin de aceptarla o rechazarla. estén fuera de área de aceptación. La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Por lo general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o aceptar Ho. Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera. Si la estadística de prueba cae dentro de la región de aceptación. Nivel de significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Es una afirmación que se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro. Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o afirmaciones acerca de las poblaciones que se estudian. no se puede rechazar la hipótesis nula. no a una estadística de muestra. estos valores no son tan improbables de presentarse si la hipótesis nula es falsa. El nivel de confianza (1-α). El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro. cuando es verdadera en la población. este termino es mas adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula. La hipótesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población. Este nivel esta bajo el control de la persona que realiza la prueba. es decir. una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo (aceptación).Paso 1: Plantear la hipótesis nula Ho y la hipótesis alternativa H1. Se le conoce también como la hipótesis de investigación. indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada. La hipótesis nula es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos maestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. . Por otro lado. entonces. Se le denota mediante la letra griega α. La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones. La región de rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la estadística de prueba que no tienen posibilidad de presentarse si la hipótesis nula es verdadera. Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia. El valor crítico separa la región de no rechazo de la de rechazo. cuando en realidad es verdadera. también es denominada como nivel de riesgo. el nivel de significación indicará la probabilidad de no aceptarla. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia. para muestra grande y desviación estándar poblacional desconocida se determina por la ecuación: . en caso contrario se utiliza el estadístico t. el valor estadístico de prueba es z y se determina a partir de: El valor estadístico z.Paso 3: Cálculo del valor estadístico de prueba Valor determinado a partir de la información muestral. o cuando el valor de la muestra es grande (30 o más). si las muestras son de la prueba son iguales a 30 o más se utiliza el estadístico z. existen muchos estadísticos de prueba para nuestro caso utilizaremos los estadísticos z y t. Tipos de prueba a) Prueba bilateral o de dos extremos: la hipótesis planteada se formula con la igualdad Ejemplo H0 : µ = 200 H1 : µ ≠ 200 b) Pruebas unilateral o de un extremo: la hipótesis planteada se formula con ≥ o ≤ H0 : µ ≥ 200 H0 : µ ≤ 200 H1 : µ < 200 H1 : µ > 200 En las pruebas de hipótesis para la media (μ). cuando se conoce la desviación estándar (σ) poblacional. La elección de uno de estos depende de la cantidad de muestras que se toman. que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis nula.. La región de rechazo define la ubicación de todos los valores que son tan grandes o tan pequeños. También existe la posibilidad de que la hipótesis nula se acepte cuando debería haberse rechazado (error de tipo II). Paso 5: Tomar una decisión. se calcula el estadístico de prueba. En este último paso de la prueba de hipótesis. que la probabilidad de que se presenten bajo la suposición de que la hipótesis nula es verdadera.En la prueba para una media poblacional con muestra pequeña y desviación estándar poblacional desconocida se utiliza el valor estadístico t. con prueba de una cola a la derecha Valor critico: Es el punto de división entre la región en la que se rechaza la hipótesis nula y la región en la que no se rechaza la hipótesis nula. es muy remota Distribución muestral del valor estadístico z. Tenga presente que en una prueba de hipótesis solo se puede tomar una de dos decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis nula. Debe subrayarse que siempre existe la posibilidad de rechazar la hipótesis nula cuando no debería haberse rechazado (error tipo I). se compara con el valor crítico y se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis nula. . Paso 4: Formular la regla de decisión Se establece las condiciones específicas en la que se rechaza la hipótesis nula y las condiciones en que no se rechaza la hipótesis nula. la región de rechazo es de dos colas y está dada por: /2 /2 (2-colas. La región puede ser de una cola o de dos dependiendo de la hipótesis alterna. z ó t) Para H1 :   valor aceptado. la región de rechazo está dada por:  (cola izquierda.Importante! Región Crítica o de Rechazo: Una región crítica o de rechazo es una parte de la curva de z o de la curva t donde se rechaza H0. Ejemplos Para H1:  > valor aceptado. z ó t) . z ó t) Para H1 :  < valor aceptado. la región de rechazo está dada por:  (cola derecha. en este caso determinamos la desviación estándar de la muestra y la utilizamos en la formula reemplazando a la desviación estándar de la población.Ejemplo en la cual se indica el procedimiento para la prueba de hipótesis El jefe de la Biblioteca Especializada de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la UNAC manifiesta que el número promedio de lectores por día es de 350. Paso 01: Seleccionamos la hipótesis nula y la hipótesis alternativa Ho: μ═350 Ha: μ≠ 350 Paso 02: Nivel de confianza o significancia 95% α═0. debido a que el numero de muestras es igual a 30. Se considera el nivel de significancia de 0. .05 Datos: Día Usuarios Día Usuarios Día Usuario 1 356 11 305 21 429 2 427 12 413 22 376 3 387 13 391 23 328 4 510 14 380 24 411 5 288 15 382 25 397 6 290 16 389 26 365 7 320 17 405 27 405 8 350 18 293 28 369 9 403 19 276 29 429 10 329 20 417 30 364 Solución: Se trata de un problema con una media poblacional: muestra grande y desviación estándar poblacional desconocida. pero la desviación estándar de la población es desconocida. conocemos la media de la población. Para confirmar o no este supuesto se controla la cantidad de lectores que utilizaron la biblioteca durante 30 días.05 Paso 03: Calculamos o determinamos el valor estadístico de prueba De los datos determinamos: que el estadístico de prueba es t. la mitad de 0.05 da un valor de Zc = 1. El valor critico para 0.025. es por consiguiente 0.96.04706877 Rango 234 Mínimo 276 Máximo 510 Suma Cuenta Nivel de confianza (95. . es decir 0. esta en cada cola. el área en la que no se rechaza Ho esta entre las dos colas.95.4143965 Varianza de la muestra 2747.0%) 11184 30 19.36687081 Coeficiente de asimetría 0.571868 Paso 04: Formulación de la regla de decisión. lo cual se muestra en el cuadro que sigue.56951578 Mediana 381 Moda 405 Desviación estándar 52.8 9.05. La regla de decisión la formulamos teniendo en cuenta que esta es una prueba de dos colas.26897 Curtosis 0.Calculamos la desviación estándar muestral y la media de la muestra empleando Excel. Columna1 Media Error típico 372. .Por consiguiente la regla de decisión: es rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa.96 y +1. Como el estadístico de prueba calculado cae a la derecha del valor critico de Z.96.96 y +1.38 y lo comparamos con el valor critico de Zc = 1. Por tanto no se confirma el supuesto del Jefe de la Biblioteca. se rechaza Ho.96. En caso contrario no se rechaza la hipótesis nula si Z queda entre -1. En este último paso comparamos el estadístico de prueba calculado mediante el Software Minitab que es igual a Z = 2. si el valor Z calculado no queda en la región comprendida entre -1. Paso 05: Toma de decisión.96. Un inspector tomó una muestra que arrojó los sgtes. Las cantidades de oxígeno disuelto en partes por millón fueron: Antes de la ciudad 4. Ordene se multe al fabricante. pesos en onzas: 15. 5.9. Las cajas de cereal producidas en una fábrica deben contener un contenido de 16 onzas. El Ministerio del Ambiente requiere un mínimo de 5 partes por millón de oxígeno disuelto para que el contenido de oxígeno sea suficiente para la vida acuática. En una comprobación sistemática para ver que la máquina funciona adecuadamente.05: a) ¿Se puede afirmar que la máquina funciona adecuadamente? b) Se puede afirmar que la máquina está llenando un promedio mayor a 32 gramos con una significación de 1%? 2.9 5.8 y 15.7.1.0 y 4.8.2 5. Use una significación del 5%.06 gramos.1 Después de la ciudad 5. 15. 16. Seis muestras de oxígeno tomadas de un río durante la estación de poco agua tuvieron: 4. 15. 15. A un nivel de significación de 0.1 grs.7 partes por millón de oxígeno disuelto (ppm) . 4.15. se supone que el peso promedio de vitamina en cada botella es de 32 gramos.9. Para verificar su teoría. Dos métodos para enseñar a leer fueron aplicados a dos grupos de niños de escuela elemental seleccionados al azar y se compararon sobre la base de una prueba de comprensión de lectura administrada al final del período de aprendizaje.0. ¿Hay suficiente evidencia en los datos que indiquen que el oxígeno disuelto es menor que 5 partes por millón? Haga la prueba usando una significación del 5% 4. se toman aleatoriamente 46 botellas llenas y se advierte que contienen un promedio de 32. 3.9.7. 5. Los desechos industriales y la basura que se descargan en los ríos absorben oxígeno y por lo tanto reducen la cantidad de oxígeno disuelto disponible por los peces y otras formas de vida acuática.9.8 5. Una máquina llena botellas que contienen cierta vitamina. Un inspector de contaminación sospecha que cierta comunidad está descargando desperdicios semitratados en el río.0 4. 5.6.9 ¿Proporcionan los datos suficiente evidencia para concluir que el contenido medio de oxígeno en las ubicaciones que están después de la ciudad es menor que el de las ubicaciones que están antes de la ciudad?.1.9 4. Las medias y varianzas muestrales calculadas a partir de las puntaciones obtenidas en la prueba fueron: Método Nº de niños en grupo Promedio Varianza 1 11 64 52 2 14 69 71 Con los datos proporcionados se podrá afirmar que hay una diferencia significativa entre los promedios obtenidos por cada método?.0 4. con desviación estándar de 0. Indicar si es razonable que el inspector usando un nivel de significación del 5%. 16. Los desechos industriales y la basura que se descargan en los ríos absorben oxígeno y por lo tanto reducen la cantidad de oxígeno disuelto disponible para los peces y otras formas de vida acuática.8 4.3. Con el 5% de significación . 15. 5. obtuvo 5 muestras de agua del río seleccionadas al azar en una ubicación anterior a la ciudad y otras 5 en una ubicación posterior a la ciudad.Practica Calificada N° 12 1.7 4. 16.2. Una firma de ventas con descuento está considerando la compra de una gran partida de discos de un proveedor que afirma que en promedio. 10 personas seleccionadas al azar fueron asignadas a cada medicamento.4.6.92 min ¿Proporcionan los datos suficiente evidencia para concluir que existe diferencia entre los tiempos medios de absorción para los 2 medicamentos?. El IPC selecciona una muestra aleatoria de 100 tv y encuentra que 15 de ellos necesitan alguna reparación durante sus 2 primeros años de operación.5. 7. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5. El instituto de relaciones familiares informa que el 50% de los matrimonios que viven en la localidad llegan a una corte de divorcios dentro de su primer año de casados. Se realiza un experimento para comparar los tiempos medios requeridos para la absorción de los medicamentos A y B. ¿Qué conclusiones puede sacarse acerca de la valides de este informe si una muestra aleatoria de 400 matrimonios. ¿Existe una diferencia en la proporción de hombres universitarios versus mujeres universitarias que fuman por lo menos una caja de cigarrillos al día? Una muestra de 500 alumnos de una universidad reveló que 70 fumaban por lo menos una cajetilla por día. ¿Concluiría usted que el laboratorio ha exagerado a la efectividad del medicamento?. Use significación del 10%.20. Las medias y las varianzas para las dos muestras son los siguientes: Medicamento A Medicamento B Xa = 27.2 min Xb = 33. Un fabricante de televisores afirma que en promedio el 90% de sus televisores de color no necesita ninguna reparación durante sus dos primeros años funcionamiento.05¿existe una diferencia entre la proporción de alumnos y alumnas que fuman por lo menos una cajetilla diaria. Cada persona recibió una dosis oral del medicamento correspondiente y se observó el tiempo en minutos hasta que el medicamento llegó a un nivel específico en la sangre. solo 193 fueron a una corte de divorcios dentro de su primer año de casados?. ¿puede ser acusada esta compañía de pagar salarios inferiores con un nivel de significación del 1%? 8.20 y una desviación estándar de $4. Una muestra de 400 alumnas reveló que 72 fumaban al menos una cajetilla de cigarros diariamente. 9.5 min Sa = 16. la firma encuentra 15 imperfectos.6. Al examinar 400 de estos discos. Los salarios en una industria particular tiene una distribución normal con promedio de $23. Utilice un nivel de significación de 0. ¿Realizará la firma la afirmación del proveedor si exige una significación del 5%? 12. ¿Presentan los datos evidencia suficiente como para que el IPC pueda afirmar que el fabricante está mintiendo?. Considere una significación del 5%. Si una compañía en esta industria que emplea 40 trabajadores les paga en promedio $21. Un laboratorio farmacéutico ha elaborado un medicamento para tratar la presión sanguínea alta. Si 175 de 225 pacientes tratados con el medicamento experimentaron una disminución sustancial de la presión sanguínea. ¿Sirven estos datos para . Al nivel de significación de 0. 11. El laboratorio afirma que el medicamento efectivamente baja la presión en el 80% de los casos. o la diferencia en las proporciones puede ser atribuida a error de muestreo? 13.01 10.Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2. Utilice una significación del 1%. solo el 2% de losa discos tiene fallas.36 min Sb = 18. Con un nivel de significación de 0. una distribución Normal de media 11. con un nivel de significación igual a 0. se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18. 7. en la población general de adolescentes. con un nivel de significación del 5%? 19. 5. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y.confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6. Un sociólogo ha pronosticado. 9. se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el medio de duración en conversación fue de 290 minutos. La duración de las bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. 8. Para comprobarlo. ¿Se puede aceptar la hipótesis. 17. 11. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 30 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones: 11. 14. 24. 8. 19. 15.5. 14. bajando su tiempo de duración. con un nivel de confianza del 95%? 14. Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica: ¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 2%? 18. 9. 12. en la inspección del último lote producido.01. 4. de 120 € con una desviación típica de 40 €. que en una determinada ciudad. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos. Se cree que el nivel medio de protombina en una población normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 miligramos/100 ml. como máximo. 17. se obtiene una vida media de 750 horas. 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. 14. El control de calidad una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. ¿Se puede aceptar. después de comprobarlas. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. 6.5 mg/100 ml. 15. antes de enviarlo al mercado. ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía? 17. 10. 20.1. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Sin embargo. la afirmación de partida? 16. 8. 9. si se puede admitir el pronóstico. el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo? . 9. con derecho a voto. 6. 15. 17. Determinar con un nivel de significación del 1%. 23. 17. 16. Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen. la empresa o el gobierno. ya sea la familia. ordenados en el tiempo. Los datos son de la forma (yt. La previsión se suele basar en lo ocurrido en el pasado. cronológica o de tiempo) como un conjunto de datos.Semana 13 SERIES TEMPORALES / ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL Toda institución. en Sevilla. Ejemplo Los datos siguientes corresponden al número de contratos nuevos realizados por las empresas de menos de 10 empleados. SERIE TEMPORAL Se define una serie temporal (también denominada histórica. t) donde: yt Variable endógena o dependiente t Variable exógena o independiente Nota: realmente sólo hay una variable a estudiar que es yt. • Cantidad de lluvia caída al día durante el último trimestre. Aquí sólo hay una variable (explicamos una variable a partir de su pasado histórico). necesita realizar planes para el futuro si desea sobrevivir o progresar. Ejemplos • Nº de accidentes laborales graves en las empresas de más de 500 empleados de Lima. . La técnica estadística utilizada para hacer inferencias sobre el futuro teniendo en cuenta lo ocurrido en el pasado es el ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES. durante el período 19962000. En el análisis de regresión teníamos dos variables (explicábamos una variable a partir de la otra). La planificación racional exige prever los sucesos del futuro que probablemente vayan a ocurrir. durante los últimos 5 años. correspondientes a un fenómeno económico. • Ventas de nuestra empresa en los últimos 10 años. Las variaciones cíclicas.La tendencia. . .Las variaciones accidentales.Las variaciones estacionales. .Componentes de una serie temporal: . . LA TENDENCIA (T) Es una componente de la serie temporal que refleja su evolución a largo plazo. Estas oscilaciones periódicas no son regulares y se presentan en los fenómenos económicos cuando se dan de forma alternativa etapas de prosperidad o de depresión. de naturaleza lineal. Puede ser de naturaleza estacionaria o constante (se representa con una recta paralela al eje de abscisas). Ejemplo para las variaciones cíclicas Supongamos que tenemos las ventas trimestrales de un supermercado en el período 1990-1994. etc. de naturaleza exponencial. . Ejemplo para la tendencia LAS VARIACIONES CÍCLICAS (C) Es una componente de la serie que recoge oscilaciones periódicas de amplitud superior a un año. expresadas en millones de pesetas constantes del año 1990. de naturaleza parabólica. ¿Cómo actúan estas 4 componentes? Manual de Estadística Pag. verano.En Navidad las ventas de establecimientos se suelen incrementar. 66 • Modelo Aditivo : yt=T+C+E+A • Modelo Multiplicativo: yt=T·C·E·A • Modelo Mixto : yt=T·C·E+A . Su nombre proviene de las estaciones climatológicas: primavera.El clima afecta a la venta de determinados productos: los helados se venden fundamentalmente en verano y la ropa de abrigo en invierno. de forma repetitiva y en períodos iguales o inferiores a un año. una huelga. . Ejemplos de variaciones estacionales . etc).LAS VARIACIONES ESTACIONALES (E) Es una componente de la serie que recoge oscilaciones que se producen alrededor de la tendencia. LAS VARIACIONES ACCIDENTALES (A) Es una componente de la serie que recoge movimientos provocados por factores imprevisibles (un pedido inesperado a nuestra empresa. otoño e invierno. . residuales o erráticas. una ola de calor. También reciben el nombre de variaciones irregulares.El consumo de gasolina aumenta la primera decena del mes y disminuye en la última. t+1) / Y (i. y si: CV Ci < CV di ------------.t) di=Y(i. las horas no trabajadas por trimestre y trabajador entre 1992 y 1997 son: ¿Qué esquema de agregación es el más apropiado? 2º) Calculamos los Coeficientes de variación de ambas distribuciones: .¿Cómo detectamos el modo en que interactúan las componentes de una serie temporal? ¿Esquema aditivo o multiplicativo? 1º) Calculamos 2 tipos de indicadores: Ci= Y(i.t) 2º) Calculamos los coeficientes de variación para las series formadas por los dos indicadores.Esquema multiplicativo CV di < CV Ci ------------.t+1) / Y(i.Esquema aditivo EJEMPLO: Según la ECL. El conjunto de puntos se llama un diagrama de dispersión. (X2. Ejemplos: . entonces una muestra de N individuos revelaría las alturas X1. la presión de una masa de gas dada depende de su volumen y de su temperatura. etc. Es deseable expresar tales relaciones en forma matemática determinando una ecuación que conecte a las variables. El próximo paso es marcar los puntos (X1. ….INTRODUCCION AL ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL Hasta ahora hemos hecho la tabulación y el análisis para una sola variable. (XN. Y1). Y2. además de analizar una información en forma individual. Pero los investigadores. XN y los pesos correspondientes Y1. el rendimiento de un atleta depende de su edad. X2. los pesos de las personas dependen en cierta medida de sus alturas. …. generalmente se interesan en establecer cruces y buscar relaciones entre diferentes variables. estatura y peso. el primer paso es recoger datos que muestren valores correspondientes de las variables bajo consideración. YN) sobre un sistema de coordenadas rectangulares. YN. Por ejemplo. Y2). Ajuste de Curvas: Para hallar una ecuación que relacione las variables. AJUSTE DE CURVAS Y EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Relaciones entre Variables: En la práctica encontramos a menudo que existen relaciones entre dos(o más) variables. …. las circunferencias de los círculos dependen de los radios. Supongamos que X e Y denotan la altura y peso de personas adultas. de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. la estatura y el peso. Puede utilizar esta herramienta para analizar la forma en que los valores de una o más variables independientes afectan a una variable dependiente. para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular. intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. minimizando la energía o maximizando la entropía. Desde un punto de vista estadístico.El problema general de hallar ecuaciones de curvas aproximantes que se ajusten a un conjunto de datos se llama ajuste de curvas. Basándose en un conjunto de datos de rendimiento. la regresión determinará la incidencia de cada uno de los factores en la medición del rendimiento y podrán utilizarse estos resultados para predecir el rendimiento de un atleta nuevo no sometido a ninguna prueba. dados un conjunto de pares se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"). En su forma más simple. La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. puede analizar de qué modo inciden en el rendimiento de un atleta varios factores: la edad. Por ejemplo. Mínimos cuadrados Es una técnica de Análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática. un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados. La herramienta de análisis Regresión realiza un análisis de regresión lineal utilizando el método de los "mínimos cuadrados" para ajustar una línea a una serie de observaciones. en la que. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos. véase mínimos cuadrados ponderados). . Y1). lo que lleva por nombre regresión.44 2. traza un diagrama de dispersión que te oriente acerca de la ecuación de regresión más adecuada.32 3.(XN. procede al ajuste de la recta mediante mínimo cuadrado.0 1. y una vez elegida.1 141.2 4. Para la siguiente tabla de datos.La recta de mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (X1. YN) tiene por ecuación: Y = ao + a1X Al resolver simultáneamente las ecuaciones.1 193. que produce estimaciones con menor error cuadrático promedio. podemos hallar las constantes ao y a1 de las fórmulas: 2 ao = (∑Y)( ∑X ) – (∑X)( ∑XY) 2 a1 = N ∑XY – (∑X)( ∑Y) N ∑ X2 – (∑ X)2 2 N ∑ X – (∑ X) Ejercicios: 1.69 4. podemos ensayar el ajuste de un modelo estadístico que se adapte mejor a las “n” observaciones. . (X2.2 228.63 2.0 2. ….5 3. procede al ajuste de la recta mediante mínimo cuadrado. Ajuste Rectilíneo (Método de los Mínimos Cuadrados) La forma general de una ecuación de línea recta es: y = a + bx donde: X : Variable independiente Y : Variable dependiente a : Término independiente o intercepto b : Coeficiente de X Debemos establecer los parámetros “a” y “b” de la ecuación para poder expresar los valores de la variable Y en función de los valores de la variable X.5 1.5 2. y una vez elegida. x 2 3 6 10 20 30 y 126..14 2.0 250. Uno de los procedimientos muy comunes en el ajuste regresivo es el método de los mínimos cuadrados.46 2. traza un diagrama de dispersión que te oriente acerca de la ecuación de regresión más adecuada. Y2).3 Regresión Lineal Teniendo ya conocimiento de la intensidad de la relación entre las variables.99 3.0 3. Para la siguiente tabla de datos. X Y 1.5 170. manifestada a través del diagrama de dispersión. 9859 19. Utilizamos el método de los mínimos cuadrados para encontrar la recta.2276 4.5575 1.1539 4. .2905 3.0221 17.4643 11. podemos inferir que las variables tienen un comportamiento lineal. colocando gradualmente peso en el platillo y verificando la elongación del resorte.0740 9.7012 21. SOLUCIÓN 1.1213 2. Elaboramos el gráfico de dispersión De este gráfico.8001 12.2013 6.6232 18. variable dependiente (Y) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 Elongación 0 1.6604 5. obteniendo los siguientes resultados: Se pide establecer la relación entre las variables participantes de este suceso. Definimos las variables: Peso: variable independiente (X) Elongación.4457 11.7024 15. F Se tomaron las siguientes mediciones de elongación para diferentes pesos.7069 10.Ejemplo: Se realizó un experimento con una balanza.8981 15.1885 14. Por lo tanto debemos encontrar la recta que mejor se ajuste a los datos.6699 19.9964 7. 3. X Y F Elongación 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 0 1,5575 1,2905 3,1539 4,2276 4,6604 5,2013 6,9964 7,0740 9,7069 10,4643 11,4457 11,8001 12,1885 14,7024 15,8981 15,0221 17,6232 18,9859 19,6699 19,7012 21,1213 X^2 0 25 100 225 400 625 900 1225 1600 2025 2500 3025 3600 4225 4900 5625 6400 7225 8100 9025 10000 11025 X*Y 0 7,7873 12,905 47,309 84,552 116,51 156,04 244,87 282,96 436,81 523,22 629,51 708,01 792,25 1029,2 1192,4 1201,8 1498 1708,7 1868,6 1970,1 2217,7 Obteniendo los valores de los coeficientes siguientes: a = -0.15974784 b = 0.204333921 La ecuación de la recta quedaría: Y = -0.1597 + 0.2043 Partiendo de esta ecuación, vamos a inferir y hallar los valores de elongación cuando el peso es: 28, 72 y 110 Practica Calificada N° 13 1. El crecimiento de los niños desde la infancia a la adolescencia generalmente sigue un patrón lineal. Se calculó una recta de regresión mediante el método de mínimos cuadrados con datos de alturas de niñas norteamericanas de 4 a 9 años y el resultado fue: intercepto a=80 y pendiente b=6. La variable dependiente y es la altura en cm y x es la edad en años. - Interprete los valores estimados del intercepto y de la pendiente. - Cuál será la altura predicha de una niña de 8 años. - Cuál será la altura predicha de una mujer de 25 años. Comente el resultado. 2. En 1991 se publicó un trabajo “Diseñando plantas en climas difíciles” en la revista Field Crops Research, los datos usados en la investigación son: Duración 92 Rendimiento 1,7 92 2,3 96 1,9 100 2,0 102 1,5 102 1,7 106 1,6 106 1,8 121 1,0 143 0,3 Con x = la duración de la cosecha de porotos de soya en días, y = rendimiento de la cosecha en toneladas por hectárea. - Estime la recta de regresión mediante el método de mínimos cuadrados. Interprete los estimadores en el contexto de la pregunta. - ¿Existe una relación lineal significativa entre la duración y el rendimiento de la cosecha? - Verifique los supuestos. - Estime el rendimiento si la duración de la cosecha fue de 104 días 3. Un investigador cree que la inteligencia de los niños, medida a través del coeficiente intelectual (CI en puntos), depende del número de hermanos. Toma una muestra aleatoria de 15 niños y ajusta una regresión lineal simple. Los resultados aparecen en la salida adjunta. CI Hermanos 110 115 120 118 110 108 105 104 98 99 98 100 90 93 90 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 - Encuentre e interprete el coeficiente de correlación r. - Dé la ecuación de la recta de regresión. Interprete los estimadores en el contexto de la pregunta. - Verifique los supuestos de regresión. - ¿Existe una relación lineal significativa entre el número de hermanos y el coeficiente intelectual? 4. Se desea saber si existe alguna relación entre la ingestión y la absorción de grasas en lactantes desnutridos. Se realizan 20 determinaciones de ingestión y absorción cuyos resultados se muestran en la tabla que sigue: - Estime a y b mediante el método de mínimos cuadrados. Interprete los coeficientes de regresión. ¿Existe una relación lineal significativa entre la ingestión y la absorción de grasas? Verifique los supuestos ¿Cuánto vale la suma de los residuos calculados para las 20 determinaciones? Conteste SI o NO a las siguientes preguntas: - El gráfico de residuos muestra que la relación entre la ingestión y la absorción de grasas es lineal - El gráfico de residuos se puede usar para determinar si los residuos están normalmente distribuidos. - El gráfico de residuos se puede usar para verificar el supuesto de homocedasticidad. 5. La tabla más abajo presenta los datos sobre el número de cambios de aceite al año (x) y el costo de la reparación (y, en miles de pesos) de una muestra aleatoria de 10 autos de una cierta marca y modelo. # cambios aceite 3 5 2 3 1 4 6 4 costo en miles de peso 150 150 250 200 350 200 50 125 - Haga un gráfico de dispersión con los datos, verifique el supuesto de linealidad y valores extremos. - Encuentre la recta de regresión de mínimos cuadrados. - Interprete los valores estimados del intercepto y de la pendiente. - Estima cuál será el costo de reparación de un auto que ha tenido 4 cambios de aceite. - Si cambia x por y, obtendrá la misma recta de regresión? - Calcule el residuo para la primera observación (x=3, y=150). - Verifique los supuestos de la regresión lineal. teniendo presente que la búsqueda de relaciones entre variables debe ser lógica. . El sondeo del tipo y grado de la correlación. las variables sean independientes entre sí y la relación que puedan mostrar se debe únicamente al azar. donde se advierte la tendencia o no. de la información representada. Para fortalecer el indicio de correlación inicial. para observar la “nube de puntos” o diagrama de dispersión. o si por el contrario. es decir relacionar lo que sea razonable y no datos cuya asociación sea desde cualquier punto de vista absurda. o a través de terceras variables.yj) en un plano cartesiano. se grafica cada uno de los pares ordenados de las variables (xi. parte desde la misma presunción del investigador.Semana 14 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN/ TASAS Y NÚMEROS INDICE CORRELACIÓN En el análisis conjunto para dos o más variables es básica la búsqueda del tipo y grado de la relación que pueda existir entre ellas. entre la variable independiente “X” y la variable dependiente “Y”. donde: Algunas consideraciones importantes sobre el coeficiente de correlación lineal:  Es una cantidad sin dimensiones. entonces el resultado será el mismo independientemente de si el peso de todos los niños se mide en Kilogramos o en gramos e independientemente de si la altura de todos los niños se mide en metros o centímetros.A pesar de la ilustración visual que ofrecen las gráficas. definido como: . el indicador más acostumbrado es el Coeficiente de correlación. Por ejemplo.  Se verifica siempre que: . Para cuantificar la calidad de la dependencia. si se está buscando hallar el coeficiente de correlación entre el peso y la altura de los niños en determinada ciudad. solo podemos percibir la tendencia. es decir no depende de las unidades empleadas. entre las dos variables. mas no el grado o fortaleza de la relación. por ejemplo. o sea que cuando x aumenta.  Ello hace que. sólo sirve para decidir si hay o no una posible relación lineal entre dos variables. es decir una recta que decrece. para aceptar si hay una correlación lineal aceptable. es decir que los datos se ajustan perfectamente a una recta de pendiente positiva.  Pero esto no significa que no haya relación entre ellos dado que podrían ajustarse a una parábola o a cualquier otra curva. Si el coeficiente de correlación es igual a 1. la única manera de decidir inicialmente si debe sospecharse o no la existencia de relación entre dos variables es estudiar detenidamente el diagrama de dispersión correspondiente. o sea la nube de puntos. entonces hay una correlación lineal negativa perfecta.  Si el coeficiente de correlación es igual a -1. el coeficiente debe ser mayor que 0.3 entre dos variables?  Lo único que puede deducirse es que los datos no se ajustan a una recta.  Este es el gran inconveniente del coeficiente de correlación lineal: no sirve para decidir si hay o no una posible relación entre dos variables. es decir una recta que crece. ¿Qué puede deducirse si se rechaza la existencia de correlación lineal si. para aceptar la existencia de dicha correlación.  En cualquier otro caso. se pide calcular el Coeficiente de Correlación y determinar la fuerza de la correlación entre variables. en su caso. Para resolver Usando los ejercicios de análisis de regresión de la semana anterior. o sea que cuando x aumenta. Normalmente.  Y. . sólo después habrá que decidir con que curva se intentan ajustar los datos. entonces y disminuye.7.7 o menor que -0. entonces hay una correlación lineal positiva perfecta. se encuentra un coeficiente de correlación lineal de 0. Sólo se deduce que no hay correlación lineal aunque pudiera haber una correlación no lineal. definitivamente. es decir que los datos se ajustan perfectamente a una recta de pendiente negativa. En caso contrario. entonces también lo hace y. no hay ninguna regla estricta. se suele rechazar la existencia de correlación lineal. En demografía. o su ocurrencia a través del tiempo. Tasa Una tasa es la resultante de una fracción. pero para efectos de establecer comparaciones adecuadas del mismo fenómeno con otra región. TN = N * 1000 P Donde TN : Tasa de natalidad N : Número de nacidos vivos ocurridos en un periodo y área dada P : Población total del área a mitad del periodo. las tasas son de uso frecuente. en donde el numerador está contenido dentro del denominador: Ejemplos: D = R_ * 1000 M D: Tasa de deserción escolar. se utilizan ciertos indicadores denominados tasas e índices. mencionaremos las siguientes: TM = D * 1000 P Donde: TM : Tasa de mortalidad. PEA : Población económicamente activa. D : Número de defunciones en un periodo y área dada. R: Número de retiros durante el año. el análisis de un fenómeno basado en las cifras absolutas. con el fin de convertirlos en porcentajes. entre otras. 1000 o múltiplos de ellos. TC = M * 1000 P . ofrece una idea general de su tendencia o comportamiento. P : Población total en esa área a mitad del periodo. M: Número total de matriculados durante el año TE = PEAO * 1000 PEA TE: Tasa de empleo. Valga anotar que a las tasas se les debe multiplicar por una constante k. PEAO: Población económicamente activa ocupada. por millares etc.TASAS e INDICES Como ya se dijo. la cual generalmente es 100. 990 –2. resultados obtenidos de la encuesta nacional de hogares para los periodos comprendidos entre los años 1. Ejemplo: El siguiente cuadro muestra la evolución de la tasa de desempleo en Colombia. M : Número de matrimonios efectuados en un periodo y área dada.Donde: TC : Tasa de nupcialidad.000 . P : Total de la población a mitad del periodo. que incidan en el valor de la variable para ese periodo. teniendo presente que debe ser un periodo normal. es un indicador de los cambios relativos de una o más variables a través del tiempo. Para la construcción de un número índice. terremotos. Entre las principales aplicaciones de los números índice. esto es. dividiendo cada uno de los valores de la serie cronológica. es aquel que se calcula para una sola variable. Índice Simple Un número índice simple. se procede ante todo. 1 Índice de Base Fija Ip = Pn * 100. como comúnmente se le llama. grupos étnicos etc. que no se hayan presentado situaciones fortuitas (guerras. incendios u otro tipo de imprevisto). si la variable se refiere a precios Po Iq = Qn * 100. por el valor correspondiente al "periodo base" previamente definido.Índice Un número índice. profesiones . Además debe considerarse un periodo reciente que haga comparables los diferentes valores de las variables consideradas. está la de establecer comparaciones entre los indicadores de las diferentes zonas geográficas. a fijar el periodo de referencia o "periodo base" de la serie temporal. si la variable se refiere a cantidades Qo Ip : Índice de precios Pn: Precio del artículo en el periodo n P0 : Precio del artículo en el periodo base Iq : Índice de cantidades Qn : Cantidad del artículo en el periodo n Q0 : Cantidad del artículo en el periodo base . pero no se han tenido en cuenta las cantidades. ahora los índices del valor relativo.Consumo promedio de energía en la fábrica de confecciones “La Textil” En la primera tabla hemos calculado los índices de precios simples. que considere tanto los precios como las cantidades: Valor relativo = Pn * Qn * 100 Po * Qo . Calculemos. con base en 1995 y 1998 respectivamente. mientras que en la segunda tabla se han calculado los índices de cantidades sin considerar los precios. con un periodo base determinado. al cual se le nombra índice de base móvil. Es común que interese comparar un índice con el índice del periodo inmediatamente anterior. en consecuencia se debe fijar el periodo base en el periodo anterior al referenciado. . los índices simples de base fija.Índice de Base Móvil Solo hemos considerado. y así sucesivamente hasta completar la serie. esto es. ¿Para qué se utilizan los números índices? 4. 6.CUESTIONARIO Y EJERCICIOS PROPUESTOS 1.3 Los índices de valores. de cuatro artículos diferentes: . ¿Qué es un índice? 3. ¿Cómo se construye un número índice compuesto? 6. Los precios y las cantidades de un articulo X vienen dados en la siguiente tabla: Tomando como año base 1995. A continuación se relacionan los precios y las cantidades del año base. ¿Qué es una tasa? 2.2 Los índices de cantidades.1 Los índices de precios. 6. ¿Cómo se construye un número índice simple? 5. calcular para los otros años: 6. 7. en donde vivir y como vivir. la técnica mejora y comienzan a darse los primeros esbozos de manufactura. el mismo individuo. todo dependía de sus habilidades en la cacería y en el manejo de herramientas. La calidad se determinaba a través del contacto entre los compradores y lo vendedores. regularmente. aparecen los talleres de artesanos dedicados a la fabricación de gran variedad de utensilios y mercancías. Conforme la técnica se perfecciona y las poblaciones se transforman poco a poco en pueblos y luego en ciudades de tamaño considerable. el cliente escogía dentro de las existencias disponibles. La calidad era posible definirla como todo aquello que contribuyera a mejorar las precarias condiciones de vida de la época prehistórica. se da una separación importante entre usuario o cliente y el fabricante o proveedor. no existían garantías ni especificaciones. las buenas relaciones mejoraban la posibilidad de hacerse de una mejor mercancía. sin embargo. las cosas eran valiosas por el uso que se les daba. así como de su fuerza y voluntad. es decir. el usuario y el primitivo fabricante eran. las personas tenían pocas opciones para elegir lo que habrían de comer. vestir. cada taller se dedicaba a la elaboración . Conforme el ser humano evoluciona culturalmente y se dinamiza el crecimiento de los asentamientos humanos. lo que era acentuado por la dificultad de poseerlas.Semana 15 CONTROLES DE CALIDAD Y PROCESOS ESTADÍSTICOS Orígenes y evolución de la calidad Previo a la conformación de los primeros grupos humanos organizados de importancia. Japón asumió y desarrollo los planteamientos de Deming. E..U. es que sólo puede tener efecto en una empresa cuando ésta aprende a gestionar la calidad. Visita Japón en 1954 y convierte el Control de la Calidad en instrumento de la dirección de la empresa. Desarrolla el Diagrama Causa-Efecto como herramienta para el estudio de las causas de los problemas. se graduó en la Universidad de Tokio el año 1939 en Química Aplicada. colocarlas en su diagrama. eran especialistas en ello y basaban su prestigio en la alta calidad de sus hechuras. dando conferencias sobre Control de Calidad. Su fundamento básico de la calidad. A dichas conferencias asistieron un grupo numeroso y seleccionado de directivos de empresas para crear las bases sobre las que instaurar el Premio Deming. . premiando a aquellas instituciones o personas que se caracterizaran por su interés en implantar la calidad. relaciones y disciplinas. Sólo hay que buscar esta multiplicidad de causas. KAORU ISHIKAWA (1915-) El representante emblemático del movimiento del Control de Calidad en Japón es el Dr.de un producto. JOSEPH MOSES JURAN (1904-199) Nace en Rumania en 1904 y es otra de las grandes figuras de la calidad. ante la dispersión de datos. un cúmulo de causas. En 1950 W. Se traslada a Minnesota en 1912. Después de la II Guerra Mundial trabajó como consultor. Es contemporáneo de Deming. Se le descubre a raíz de la publicación de su libro. según su experiencia. En esta etapa surge el comerciante. Fue profesor en la misma Universidad. Imparte su conferencia sobre: "Gestión Sistemática del Control de Calidad". Los gurús de nuestros días Los gurús de esta nueva etapa idealizan las funciones y dinámica de la organización para insertarlas en un nuevo modelo de comportamiento. Nacido en 1915. sino que suelen ser. Parte de que los problemas no tienen causas únicas. Edward Deming visitó Japón. donde comprendió la importancia de los métodos estadísticos. sirviendo de intermediario entre el cliente y el fabricante. desechado por otras editoriales: "Manual de Control de Calidad". se dedicó a trabajar sobre el control estadístico de la calidad. y los convirtió en el eje de su estrategia de desarrollo nacional. las que correspondían a las necesidades particulares de sus clientes. EDWARDS DEMING (1900-1993) William Edwards Deming nació en 1900 en Wyoming. para hallar consecuencias. Kaoru Ishikawa. Entre estos tenemos: W. Este periodo de la calidad surge en la década de los 30’s a raíz de los trabajos de investigación realizados por la Bell Telephone Laboratories. Harry Roming y Harold Dodge. incorporándose después. En su grupo de investigadores destacaron hombres como Walter A. Para lograr lo anterior. puntualizó que no podían producirse dos partes con las mismas especificaciones. Edwards W. Shewhart no proponía suprimir las variaciones. Estos investigadores cimentaron las bases de lo que hoy conocemos como Control Estadístico de la Calidad (Statistical Quality Control. SQC). Shewhart. pues era evidente que las diferencias en la materia prima e insumos y los distintos grados de habilidad de los operadores provocaban variabilidad. . sino determinar cuál era el rango tolerable de variación que evite que se originen problemas. como fuerte impulsor de las ideas de Shewhart. el Dr. lo cual constituyó un avance sin precedente en el movimiento hacia la calidad. Deming (Cantú:1997).¿Qué es Control Estadístico de la Calidad (CEC)? Es una metodología orientada a la mejora de procesos productivos/servicios basada en la utilización de criterios estadísticos Comenzando con la aportación de Shewhart sobre reconocer que en todo proceso de producción existe variación (Gutiérrez:1992). desarrolló las gráficas de control al tiempo que Roming y Dodge desarrollaban las técnicas de muestreo adecuadas para solamente tener que verificar cierta cantidad de productos en lugar de inspeccionar todas las unidades. esta son las siguientes: o Hoja de control (Hoja de recogida de datos) o Histograma o Análisis paretiano (Diagrama de pareto) o Diagrama de Ishikawa: Diagrama de causa y efecto (Espina de Pescado) o Estratificación (Análisis por Estratificación) o Diagrama de scadter (Diagrama de Dispersión) o Gráfica de control La experiencia de los especialistas en la aplicación de estos instrumentos o Herramientas Estadísticas señala que bien aplicadas y utilizando un método estandarizado de solución de problemas pueden ser capaces de resolver hasta el 95% de los problemas. Diagramas de diagnóstico Controles o registros que podrían llamarse "herramientas para asegurar la calidad de una fábrica". etc… .variación aleatoria se debe al azar y no se puede eliminar por completo. Nota: la variación puede cambiar y cambiará la forma.Causas de variación Existen variaciones en todas las partes producidas en el proceso de manufactura. En la práctica estas herramientas requieren ser complementadas con otras técnicas como son: o La lluvia de ideas (Brainstorming) o La Encuesta o La Entrevista o Diagrama de Flujo o Matriz de Selección de Problemas. dispersión y tendencia central de la distribución de las características medidas del producto. . Hay dos fuentes de variación: .variación asignable es no aleatoria y se puede reducir o eliminar. ¿QUÉ PRETENDE EL CEC ?  REDUCIR LA VARIABILIDAD Y LA DISPERSIÓN  HACER LAS COSAS “BIEN A LA PRIMERA”  PREVENIENDO LOS FALLOS EN LUGAR DE CORREGIR SUS EFECTOS.  CORREGIR LOS PROCESOS DEFECTUOSOS EN VEZ DE LOS PRODUCTOS/SERVICIOS DEFECTUOSOS NATURALEZA DE LOS PROBLEMAS ESTADÍSTICOS 1.  LAS DECISIONES SE TOMAN EN FUNCIÓN DE DATOS Y NO DE PERCEPCIONES SUBJETIVAS. Problema con la tendencia central . Problema con las Medidas de Dispersión .2. . TRABAJO FINAL: Presentación de Proyecto Integrador: Diagnóstico de Caso de Estudio con Aplicación de Métodos Estadísticos .