PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO #1 Un camión puede transportar como máximo 9 Tm. por viaje. En un viaje desea transportar al menos 4 Tm. de la mercancía A y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A. Sabiendo que cobra 30 pts./kilo de A y 20 pts./kilo de B, ¿cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima? EJERCICIO #2 Resolver, gráficamente, el siguiente sistema de inecuaciones: EJERCICIO #3 Los 500 alumnos de un colegio van a ir de excursión. La empresa que realiza el viaje dispone de 10 autobuses de 40 plazas y 8 de 50, pero sólo de 11 conductores en ese día. El alquiler de los autobuses pequeños es de 5000 pts. y el de los grandes de 6000 pts. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? EJERCICIO #4 Resolver gráficamente el sistema de inecuaciones: EJERCICIO #5 Una fábrica produce dos modelos A y B de un producto. El beneficio que arroja el modelo A es de 4000 pts./unidad y el del B 6000 pts./unidad. La producción diaria no puede superar 400 unidades del modelo A ni 300 del B y en total no pueden superarse las 600 unidades. ¿Cuántas unidades de cada modelo debe producir la fábrica para obtener el máximo beneficio? EJERCICIO #6 Hallar el máximo y el mínimo de la función f(x,y) = x + y sometida a las restricciones: EJERCICIO #7 En unos grandes almacenes necesitan entre 6 y 15 vigilantes cuando están abiertos al público y entre 4 y 7 vigilantes nocturnos. Por razones de seguridad, debe haber más vigilantes cuando están abiertos. Si el salario nocturno es un 60% más alto que el diurno, ¿cómo debe organizarse el servicio para que resulte lo más económico posible? EJERCICIO #8 Maximizar y minimizar la función f(x,y) = 2x + y - 1 sujeta a las restricciones: EJERCICIO #9: Resuelva el siguiente problema de maximización de la función Z: Conteste: a) Si se añaden dos unidades del factor limitante A, ¿ en cuánto variará el producto de cada proceso para que la solución continúe siendo óptima ? b) ¿ Sería conveniente introducir la actividad X3 si los requerimientos por unidad de producto de dicha actividad de los insumos A y B son respectivamente, 1.5 y 2.5; y el precio unitario del producto de dicho proceso es $9. EJERCICIO #10 Resuelva el siguiente problema de maximización de la función Z: en consecuencia. deba modificarse la composición de bienes a ser incluídos en la nueva solución óptima ? b) Si fuera posible reducir en un 20% los coeficientes de insumo-producto del bien no incluído en la solución óptima original ¿ tendrá sentido producirlo ? EJERCICIO #11 a) Resuelva el siguiente problema de maximización de la función Z: b) Determine los precios sombra de los factores limitantes.. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. se ha adjudicado la construcción de 100 casas. éstas tienen un margen de utilidad diferente. así las casas tipo campo arrojan 5. pero para Constructora Casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla: .100 K$ y las de tipo rancho 5. EJERCICIO #12 La Constructora Casas Ltda.000 K$.Conteste: a) ¿ Qué variación mínima en el precio del bien 1 se requiere para que la solución encontrada deje de serlo. c) ¿ Cuál sería la variación en el nivel de cada actividad si se incorporase una unidad del primer factor limitante? 1. b) Encuentre la solución óptima graficamente. 100 gramos de fibras.Recurso por tipo de casa Campo 200 50 Rancho 100 120 Disponibilidad de horas 12000 13000 Carpintero Albañil a) Formule el problema de programación lineal. por lo menos. Explique si conviene o no fabricar las casas. EJERCICIO #13 Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con. 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características: CONTENIDO DE: FIBRAS PROTEÍNAS MINERALES PRECIO POR KG. Conteste: a) ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo ? b) ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: .Fibras ? . c) Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada “Colonial” que da un margen de utilidad de 4900 K$/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80 hr-albañil/casa.Proteínas ? -Minerales ? c) ¿ Cómo cambiaría su respuesta a cada uno de los puntos anteriores si se exige que cada unidad de compuesto pese un kilo exactamente ? 1 20% 60% 9% $10 PRODUCTO 2 30% 50% 8% $15 3 5% 38% 8% $8 . EJERCICIO #14 En el zoológico municipal. El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es. cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12. le pide que dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir. los distintos tipos de carne tienen las siguientes características y los siguientes precios: CONTENIDO DE: GRASAS PROTEÍNAS PRECIO POR KG. . para obtener una unidad de este bien. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo. que bajo las circunstancias.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B. el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente. En cambio. establezca la primera solución básica. el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B. respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes. que requiere 2% de capacidad de A. b) Haciendo uso del programa de factibilidad. EJERCICIO #15 En la empresa PROLINEAL. A 16% 22% $70 CARNE TIPO: B 18% 20% $90 C 25% 16% $100 Si se desea minimizar el costo de la alimentación de las fieras: a) Plantee el problema en términos de programación lineal. 10% de B y 0. en cambio. El gerente técnico opina. lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto. $1 y $3. En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería. obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión. que contenga igual cantidad de proteínas y de grasa. que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo. d) Encontrar la combinación óptima de tipos de carne a adquirir que minimiza el costo de la dieta por kilogramo de ración. c) Plantear el programa dual al planteado por usted. el bien 3.5% de C. Según un estudio de mercado. se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones. utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A. convendrá ofrecerlas en alquiler. no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. respectivamente. ésta debe almacenarse en silos del tipo A. . (denominamos este enunciado como el de almacenamiento). se requiere por hectárea 2 hombres. mientras que los del tipo C pueden almacenar ambos productos simultánea o indistintamente. B y/o C. haciendo uso del programa de factibilidad. cuyas capacidades son de 100 toneladas de cereales cada uno ( alternativamente. La ley laboral. 4 bolsas de semillas. debe venderse a un precio de $100 la tonelada de cereal sea cual fuere el producto). a) Formule el problema en términos de programación lineal.Cantidad de silos: uno de cada tipo. EJERCICIO #17 En una economía lineal. El costo de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno. establezca la primera solución básica. Una vez cosechada la producción.EJERCICIO #16 Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas. sin limitación. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un campo lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada.Cantidad de Hectáreas: 120 (Los precios rigen para la venta después del período de almacenamiento). por otra parte.Costo por bolsa de semilla de fertilizantes $10 .Cantidad de hombres: 320 . El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a 300 y 230 pesos respectivamente. Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas. 1. para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesitan. Los silos del tipo A sólo almacenan trigo. (denominamos este enunciado como el de producción). 6 bolsas de semillas y 3 de fertilizantes. Los valores pertinentes a los enunciados anteriores son: . los del tipo B sólo cebada. El empresario maximizador de beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270 meses/hombre.Precio por tonelada de cebada $160 . le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50 por meses/hombre. 2 de fertilizantes y 3 hombres. Por otra parte. en cambio. . c) Formule el programa dual correspondiente y luego.Costo por bolsa de semilla de trigo $5 . 2 bolsas de semillas de trigo por hectárea y 5 meses/hombre. para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal.Precio por tonelada de trigo $190 . b) Determine cuál será la solución óptima del empresario y el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades.5 bolsas de semillas de centeno por hectárea y 9 meses/hombre.Costo por bolsa de semilla de cebada $10 . por hectárea. 4% de la capacidad de la planta de producción y 8% de la de envasado. . y se verifican las condiciones necesarias para la aplicación de la programación lineal: a) Determine cuál será la asignación óptima de la mano de obra entre las distintas actividades si el precio de los tres tipos de guardapolvos -al que pueden venderse cantidades ilimitadas de los mismos. Si la empresa dispone en cada taller respectivamente de 100 cortadores y de 350 cosedores. por cada 100 unidades de detergente. b) Conteste: ¿produciría una nueva prenda cuyo precio es de $52 y que requiere 4 horas hombre de cortado y 5 de cosido. si el objetivo es maximizar los beneficios. operarios que deben cumplir con 200 horas de trabajo mensual cada uno. 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de envasado. respectivamente. El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas. capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. b) Plantee y resuelva únicamente el problema de producción.es de $20. . c) Plantee el dual de a) y la primera tabla de simplex. dos. Cada actividad utiliza enzimas. El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar. consumiendo 6 metros cuadrados de tela? c) Plantee el problema en términos de programación lineal si cada operario del plantel de cortadores pudiera trabajar 20 horas extras mensuales a un costo de $4 la hora adicional. Cada una de las prendas que es factible producir consume respectivamente. EJERCICIO #19 Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. por cada 100 unidades de detergente.a) Plantee el problema global (de producción y de almacenamiento) en términos de programación lineal. tres y cinco metros cuadrados de tela cuyo costo por metro cuadrado es de $3. por unidad. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Conteste: a) ¿ Cuál es el programa óptimo de producción y a cuánto ascenderá el beneficio esperado? . Las plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija.El segundo artículo se fabrica utilizando una hora hombre del taller de cortado y cinco del de cosido. . El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas. EJERCICIO #18 En una fábrica de guardapolvos se pueden producir tres tipos de prendas. $26 y $40 cada uno.La confección de la última especie de prenda requiere tres horas hombre de cada uno de los talleres señalados.La primera de ellas requiere dos horas hombre del taller de cortado y cuatro horas hombre del taller de cosido. mientras se requieren en los puntos de destino respectivamente de 30.5 respectivamente. encuentre el programa óptimo de transporte de los contenedores. 60 y 70 contenedores. le vende $50 requiere de unas 3 horas y 20 Km manejando su carro aproximadamente.A. y en qué porcentaje ? EJERCICIO #20 Si la siguiente tabla tarifaría establece los costos unitarios de transporte de contenedores de los centros de producción A. 40. $8 en semillas y 3 trabajadores. Si el empresario desea optimizar el resultado de su explotación. 50 y 100 unidades. siendo las cantidades disponibles de tierra y de trabajo de 100 y 130 unidades respectivamente. pero la visita en promedio dura 2 horas y debe manejar también en promedio 10Km. como vendedor de FERRETERIA C. Usted debe visitar comerciantesmayoristas y clientes que compran al detal. para producir 3 unidades de trigo se requieren 6 unidades de tierra. El presupuesto disponible para inversiones de esta naturaleza se ha fijado en $100. c y d: DESTINOS a A ORÍGENES B C 10 8 9 b 5 2 3 c 6 7 4 d 7 6 8 y en cada origen se dispone respectivamente de 50. Usted planifica viajar como máximo 600 Km por semana en su carro y prefiere trabajar no más de 36 horas a la semana.A. EJERCICIO #21 En una economía lineal. si ello fuera posible y de muy bajo costo. En una visita a un comprador al detal. LA INDUSTRIA SIDERÚRGICA . hacia sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. B y C. a los centros de consumo a. el director de finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la INDUSTRIA PETROLERA. Encuentre la combinación óptima de visitas a comerciantes y clientes al menudeo que le permitan maximizar sus ganancias EJERCICIO #23 El grupo ANTAR.000. Tomando en cuenta las áreas de inversión actuales. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5 unidades de tierra. tiene que decidir cómo asignar sus esfuerzos entre los diferentes tipos de clientes de su territorio. está analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones. El precio por unidad de trigo y centeno es $15 y $20. S. b. EJERCICIO #22 Usted. $10 de semillas y 6 trabajadores.b) ¿ Cuál planta aconsejará usted ampliar. interprete la solución del dual. Una visita a un comerciante mayorista usualmente le produce $20 en ventas.000. 2. la siguiente estrategia de inversión: 1.A. Desarrollar el modelo Matemático L EJERCICIO #24 Texas Instruments Inc. 2 y 3.. no puede exceder al 50% del total a invertir en el sector petrolero. A.A.2 y 0. cada uno. Tres nuevos computadores han sido diseñados y evaluados. Industria Petrolera.000. El computador 1 es empacado en 1 caja. Petróleos del Norte. con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo.000 unidades por año. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50. 4. el director ha identificado siete oportunidades de inversión. CETES TASA DE RENDIMIENTO (%) 50 75 40 70 45 55 60 El consejo de Administración ha impuesto. S. 0. 1.000 cajas de los minicomputadores 1. S. Hierro y Acero. los computadores 2 y 3son empacados.000 unidades. así como las tasas de rendimiento esperadas de las mismas. Formular el modelo como uno de PL 2. 3. Dicha información se da a continuación. El sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. S. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su línea con el fin de incrementar sus utilidades. 4 . Cada uno requerirá de una inversión de $300. Específicamente.A.5 horas técnicas por unidad respectivamente. La inversión en CETES debe ser por lo menos el 25% del total invertido en siderurgia. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300. Los computadores 1.A. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de planta técnica para estos nuevos productos. Aceros Monclova. por su parte. 2 y 3 requieren 1. S.Y EN CETES. OPCIONES DE INVERSIÓN Petróleo y Derivados. la cual resulta ser la de mayor rendimiento aunque también la de más alto riesgo. La inversión en Industria Petrolera S.000 y 100. S.A. respectivamente.A. S. No se debe destinar más del 50% del total de la inversión a una industria en particular. con una contribución en las utilidades de $20 por unidad. Siderúrgica Nacional. Este sistema puede empacar y despachar como máximo 25. Los parámetros relevantes son los siguientes: . $43 y $56 respectivamente. una limitación dado que no es posible producir más de 30 de estas prendas en total.Capacidad máxima disponible mensual en horas hombre del taller de cortado 2000. EJERCICIO #25 En un contexto que usted puede asumir como lineal. $12 y $9 por metro. a) Formule el problema en términos de programación lineal.El modelo "basic" (B).Los jeans comunes B. $4 y $4 por metro de los tubos A.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes.Costo de la tela por m2 $10. Para la siguiente semana. a $34. 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. B y C. cada metro de tubo.Los modelos B largo. Cada metro del tubo B requiere de 0. limitación que no rige para las prendas comunes. BP largo y BPU largo son variantes de los modelos comunes descriptos. . BPL y BPUL de igual modo. una fábrica de jeans produce varios modelos de pantalones: . Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones que aporten la máxima utilidad a la TEI. del taller de cosido 800.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0. El costo total se estima en $3. respectivamente en $10. pero requieren un 10% más de cada uno y de todos los insumos por prenda.El modelo "basic plus ultra" (BPU) es igual al modelo basic plus pero esta confeccionado previo planchado de la tela -que requiere de un lapso de 2 minutos por prenda de la concurrencia de Juanita. del taller de empaque 70. B y C respectivamente.6 minutos. Después de la producción.El modelo "basic plus" (BP) no es otra cosa que el modelo anterior al que se le agrega un bordado muy bonito cuya confección requiere de 1 minuto de la utilización del taller de bordado. El empaque se hace en un minuto y cada prenda esta lista para ser despachada previo desembolso de tres pesos por prenda en concepto de caja de embalaje y apliques varios en cada pantalón. la planchadora-. sin embargo. . del taller de bordado 250.computadores por caja. ¿ cómo modificaría su planteo? EJERCICIO #26 Una compañía produce tres tamaños de tubos: A. que totalizan 2000 metros de tubo A. Existe. que requiere 2 m2 de tela denim. sin importar el tipo. que son vendidos. 3 minutos hombre del taller de cortado para cortar las distintas piezas y 6 minutos hombre del taller de cosido. $40 y $50 respectivamente y los modelos BL. . BP y BPU se pueden colocar en cantidades ilimitadas a $30. b) Si fuera posible obtener un 50% de horas adicionales del taller de cortado a un precio de $1 por minuto. . . Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0. Juanita sólo trabaja 100 horas efectivas mensuales. . requiere 1 kg de material de soldar. Para producir cada uno de estos bienes se requieren respectivamente por cada 100 .50 0. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1.000 kgs de material para soldar y más tiempo de producción. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción.Como sólo se dispone de 40 hrs. Tabla 1: Datos referentes al problema: Tub o tipo Precio Deman Tiempo de Material Costo de Costo de compra de da Máquina(min/me para Producci a Japón ($/me Venta (metros tro) soldar ón tro) ($/metr ) (kg/metr ($/metro o) o) ) 10 12 9 2. la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A. A Usted como Gerente del Departamento de producción. Formule el modelo de PL B. Desarrollar el modelo Matemático y resuelvalo por medio del programa WINQSB C. $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C.000 5.500 kgs de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11. Solución con el programa WINQSB EJERCICIO #27 Un complejo industrial produce dos productos.000 4.60 1 1 1 3 4 4 6 6 7 A B C A. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía. A y B.000 0.45 0. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5. los que comercializa en mercados perfectamente competitivos a $120 y $630 por unidad respectivamente. en la medida en que no se excedan las 10 toneladas de consumo por período y de $15 por el excedente de dicho tonelaje. de modo que. es de $10. El equipo de ventas puede comercializar hasta un máximo de 3000 y 8000 unidades de A y B respectivamente por período. U1. La empresa considerada dispone de 10 operarios y de 3 supervisores y. U1 = 3. La materia prima indispensable para producir A es de 2 kg. si lo hubiera. También se necesita de máquinas tipo X y e tipo Y para el procesamiento de estos productos. por ejemplo. en cada período. V3 = 4. Las horas efectivas de trabajo suman 9 horas por período y por trabajador. Suponiendo que se cumplen los supuestos para la aplicación de la programación lineal: a) Plantee en términos de programación lineal el problema de optimización que enfrenta la Dirección del complejo industrial. L2 = 4. U3 denotan respectivamente a las variables funcionales y de holgura de un programa lineal y V1.unidades. por unidad cuyo costo por kg. U3 = 0. L2 simbolizan respectivamente a las variables funcionales y de holgura del correspondiente programa dual. V3. 4 y 8 horas/operario y. el período se asume de una duración de 9 horas. Fundamente su respuesta. ¿ puede el siguiente conjunto de valores constituir un par de soluciones óptimas? Q1 = 12. Mientras que el parque de máquinas de tipo Y utiliza igual tiempo de procesamiento por producto pero en forma secuencial. Es posible disponer horas/operario extra a un costo de $60 la hora. V2. Q2. EJERCICIO #28 Si Q1. V1 = 6. de 7 horas-máquina tipo X y de 13 horas-máquina del otro tipo. El producto B requiere a su vez como insumo de 2 unidades de A por cada unidad de B. U2. b) Plantee e interprete el problema dual si no existieran horas extras ni precios diferenciales por insumos. L1 = 0. 1 y 3 horas/supervisor. si se procesa A al máximo admisible por minuto no se puede procesar unidad de B alguna en igual lapso. Q2 = 0. V2 = 0. ni restricciones a la comercialización. Cuando no se especifica la duración. U2 = 4. El parque de máquinas tipo X tiene una capacidad para procesar 40 y 60 unidades de cada uno de los productos citados respectivamente por minuto y en forma simultánea. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete de envasados se resume en la siguiente tabla : Tarifa por paquete desde planta hasta el comercio Comerciante A Comerciante B Planta I Planta II $4 $6 $7 $5 . L1. EJERCICIO #29 Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 100 horas operario y dos plantas ubicadas en distintos puntos geográficos del país debe satisfacer los pedidos diarios de tres comerciantes en distintas zonas. produjera 50 y 100 paquetes respectivamente. Existen además las siguientes restricciones de rotación: i) no se puede cultivar el mismo producto en la tierra en que se lo cultivó en el periodo anterior y ii) no se puede cultivar C en mas de dos periodos en la misma tierra. 400 y 90 gramos. en el planteo anterior . En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características: CONTENIDO DE: FIBRAS PROTEÍNAS MINERALES PRECIO POR KG 1 20% 60% 9% $10 PRODUCTO 2 30% 50% 8% $15 3 5% 38% 8% $8 Si el compuesto no puede pesar más de 500 gramos. EJERCICIO #30 Asuma que debe programar la producción de una empresa agrícola en cada uno de los siguientes cuatro periodos en los que son elegibles tres cultivos posibles. 4/3 % de utilización de la capacidad de la maquinaria para envasado y de $ 2 en concepto de insumos varios.Pbt y Pct) son datos en todos los periodos.o si lo hace se debe pagar una multa de 20 centavos por gramo excedente por los primeros 50 grs y de 30 . los coeficientes de insumo producto son conocidos e iguales para cada cultivo en los distintos periodos pero diferentes entre sí (a.Comerciante C $5 $8 La elaboración diaria de cada paquete de envasados en la planta I requiere de 1/2 hora operario. obtenga un plan de transporte óptimo . por lo menos.requiere un 50% mas de todos los insumos por unidad de producto . 100 gramos de fibras. independientemente de los costos de producción. b) Si cada planta .el A.b y c) y los precios netos (Pat. La planta II-cuya tecnología es menos eficiente. EJERCICIO #31 Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con. el B y el C -. 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales pero que no excedan respectivamente de 150. El precio uniforme por paquete es de $ 13 y las cantidades diarias requeridas por los tres clientes es respectivamente de 50 . existe una restricción de tierra (T). 60 y 40 paquetes a) Plantee el problema de optimización que se le presenta al empresario en términos de PL. Formule el programa lineal a resolver. 000 20.000 30. A.000 + 20. Por otra parte. en donde elaboran una programación trimestral para ambos componentes. EJERCICIO #33 La empresa LAVAELECTRO S. acaba de recibir una orden para el siguiente trimestre.000 = (10.formule el problema de optimización que enfrenta el empresario en términos de PL si debe producir 10. dedo que a venta de lavadoras se ve afectada por cierta estacionalidad. con lo cual se tendría un nivel de producción constante. La compañía fabricante de lavadoras hace pedidos trimestrales a LAVAELECTRO S.000 Febrero 20.000 + 20. y 20. se envía una requisición al departamento de control de producción. el gerente de .centavos si excede de 50 grs. Haciendo X1 = número de vasos pequeños y X2 = el número de vasos grandes. y los más grandes a 9$.0) a (0. MES Componente X-126 A X-112 C Enero 30.A. es fabricante de dos componentes mecánicos para una gran compañía de lavadoras de ropa.000 10.000 Marzo 40.000)/3 unidades por mes del primer componente.000 + 40. Los vasos más pequeños se venden a $3 cada uno. Tiene suficiente de un compuesto especial (materia prima del vidrio) que le permitiría hacer 16 de los vasos pequeños u 8 de los vasos grandes. la cual se detalla a continuación.000=(30. EJERCICIO #32 Una persona tiene suficiente arcilla para hacer 24 vasos pequeños o 6 vasos grandes. LAVAELECTRO S.000)/3 unidades por mes del segundo componente.000 unidades del compuesto. El gerente de producción opina que lo mejor es fabricar en promedio 30.000 + 30. (a) Formular el problema (b) Resolver gráficamente Solución: a) Función Objetivo: Maximizar 3X1 + 9X2 Sujeto a: Restricción de arcilla: 1X1 + 4X2 ? 24 Restricción de compuesto: 1X1 + 2X2 ? 16 (b) Solución Gráfica X1 X2 Ingreso A 0 0 0 B 0 6 $54 C 8 4 $60* D 16 0 $48 *El ingreso optimo de $60 ocurrirá cuando se hagan y vendan 8 vasos pequeños y 4 vasos grandes Dibujar una línea de iso-profit en el gráfico desde (20.000 Después que se procesa la orden.6 2/3) como la línea de iso-profit de 60$. Los requerimientos mensuales varían de un mes a otro. A. 000 30.500 Capacidad Capacidad en en mano de almacén obra (m2) (horas) 1.000 Inventario Final 0 X126A 1 2 0 10. El gerente de control del producción ha decidido conciliar los objetivos en conflicto de los gerentes de producción y de finanzas. redundando en un alto costo financiero.000 1.000 0 Por tanto. dado que con una producción constante.000 30 .000 10. y además. el inventario que se generaría con una producción constante es: Mes Inventario Inicial 0 Producci Ventas ón 30.000 20.000 30. A esta sugerencia.000 300 300 300 Mes Enero Febrer o Marzo .000 30.000 1.000 10. que sería aún más costoso para la empresa. el gerente de finanzas sugiere que se produzca únicamente lo que se va a vender en cada mes. disponer de diferentes niveles de mano de obra de un mes a otro. Específicamente. el nivel de inventarios para los componentes sería alto.000 40.000 10.000 20. para la cual ha obtenido la siguiente información: Capacidad en maquinaria (horas) 800 1.000 20.000 20.000 10.000 10.000 1.000 20. el gerente de producción ha contestado que sería muy costoso para la compañía tener tiempo ocioso en la maquinaria durante ciertos meses al variar el nivel de producción.000 0 Y-112C 1 2 3 0 10.finanzas no opina lo mismo que el de producción. El costo mínimo.Component e X-126A Y-112C Horas-máquina por unidad 0. C. al igual que invertir efectivo. Sin embargo. la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano.60B .10 0. ¿Qué programa de producción debe establecer el gerente de control de producción? EJERCICIO #34 Una hiladora ha recibido una orden para producir un hilo que debe contener al menos 45 onzas de algodón y 25 onzas de seda. con una ganancia estimada de $4500. el costo de mantener una unidad en inventario se estima en 5% del costo de producción y actualmente se tienen en inventario 10. En ambos casos. es entonces $3A + $2B = 3*39 + 2*55 = $227.10B 45 25 La solución simultanea de dos ecuaciones de restricciones da A = 39 onzas y B = 55 onzas. se sabe que el costo de producción es $3. El Material A cuesta $3 por onza y el B cuesta $2 por onza. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas.05 Espacio unitario (m2) 0.000 y por hora-hombre no utilizada es $500. y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500.30 0. Una EJERCICIO #35 Una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos.30A + .000 para el segundo.50A + . La orden puede ser conformada para cualquier mezcla posible de dos tipos de Hilo (A y B).000 unidades del primer componente y 5.25 Adicionalmente.000 para el primer componente y $2.000 unidades del segundo.05 0.15 Horashombre por unidad 0. ambos amigos son . el costo por hora-hombre contratada adicionalmente es $1. Contienen las proporciones de algodón y seda que se presentan en la siguiente tabla: A B Algodón 30% 60% Seda 50% 10% ¿Qué cantidades (onzas) de hilos A y B deberían ser usadas para minimizar el costo de esta orden? Solución: Función Objetivo: Min C = 3A + 2B Restricciones: . cada uno planeado por cada amigo. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios. ¿Cuál es la ganancia total estimada? Indique por qué parece que cada una de las cuatro suposiciones de programación lineal se satisface razonablemente en este problema. la participación en las utilidades será proporcional a esa fracción. $20 y $25. a) b) c) Formule el modelo de programación lineal para este problema. La ganancia unitaria sería de $50. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos. ha decidido participar en una o ambas propuestas. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo). para los productos 1. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad. Resuelva este modelo con una gráfica. ¿Está en duda alguna de las suposiciones? Si así es. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. . ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto? EJERCICIO #36 Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora Tiempo disponible (en horas-máquina por semana) 500 350 150 El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es: Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad) Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora Producto 1 9 5 3 Producto 2 3 4 0 Producto 3 5 0 2 El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación. respectivamente. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. llámense productos 1. Formule y resuelva el modelo de programación lineal para este problema. 2 y 3. 2 y 3. sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. $360 y $300. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento.000 para invertir. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre. Formule y resuelva el modelo de programación lineal utilizando el programa WINQSB EJERCICIO #39 Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40. Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna flexibilidad.EJERCICIO #37 Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo) y 4000 horas-hombre durante el verano. 15 y 12 pies cuadrados. correspondientes a los tamaños grandes. para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande. que darán una ganancia neta de $420. 900 y 450 unidades diarias cada una. respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750. respectivamente. mediana y chica que se produce requiere 20. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900. la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. los jóvenes de la . Cada unidad grande. junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos: Ingrediente nutri cional Carbohidratos Proteínas Vitamínas Costo (US$) Kilogramo de maíz 90 30 10 42 Kilogramo de grasas 20 80 20 36 Kilogram o de alfalfa 40 60 60 30 Requerimientom ínimo diario 200 180 150 Formule y resuelva el modelo de programación lineal utilizando el programa SOLVER EJERCICIO #38 La compañía UNITECH tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. 2 y 3. mediano y chico. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. 1200 y 650 unidades diarias. Se cuenta con 13000. mediano y chico. 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio en las plantas 1. 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Para las cosechas no se necesita inversión. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio: Carga Peso(toneladas ) 1 2 20 16 Volumen (pies cúbicos/tonelada) 500 700 Ganancia ($/tonelada ) 320 400 . EJERCICIO #40 Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero. el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno. central y trasero. pero cada vaca requerirá un desembolso de $1.6 horas-hombres en el invierno. Formule el modelo de programación lineal para este problema. Las estimaciones de las horas-hombres y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son: Soya Horas-hombre en invierno Horas-hombre en verano Ingreso neto anual ($) 20 50 600 Maíz 35 75 900 Avena 10 40 450 La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. 0. Cada vaca necesita 1.00 la hora en el verano.familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5. 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5.200 y cada gallina costará $9. Los datos se resumen enseguida: Compartimiento Capacidad de peso (toneladas) 12 18 10 Capacidad de espacio (pies cúbicos) 7000 9000 5000 Delantero Central Trasero Para mantener el avión balanceado.5 acres.00 la hora durante los meses de invierno y por $6. y los costos de extracción de los minerales de cada mina son: Elemento Básico A B C 1 10 90 45 MINA 2 3 150 25 3 8 75 20 4 2 175 37 MINA 1 2 3 4 Costos en U$/Ton de mineral 800 400 600 500 1. Formule y resuelva el modelo de programación lineal utilizando el programa SOLVER. indicar ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo? Jugo de Naranja Jugo de Toronja 40 10 Jugo de Arándano 0 20 Existencia[gal] Costo [$/gal] 200 400 1. cada tonelada de mineral debe contener. Sus composiciones en libras/toneladas. EJERCICIO #41 Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la GMC. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos básicos. al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos básicos: A. En particular.50 0. por lo menos. B. Utilizando el el programa SOLVER. 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. la GMC desea hallar la combinación (mezcla) de costo mínimo para fabricar la banda. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguientes Utilizando el programa WINQSB. EJERCICIO #42 Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias. 1. por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. C. pero en distintas proporciones.3 4 25 13 600 400 360 290 Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas.75 Bebida A Bebida B 40 5 . El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. 5 libras de elemento básico A. o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Las cantidades 1. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. recibe $0.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2. o se pueden utilizar 3 unidades del componente A2 junto con 4 unidades del componente B2.5 horas de obrero calificado. un obrero calificado. 100 0 0 0 100 0 0 0 0 100 50 800 2.00 1.4 por hora de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta y aplicando el programa SOLVER.5 horas de obrero no calificado y 0. Los gastos de operación variables son de $1. Dos de estos obreros no calificados reciben $0. Q y R. Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0. Las componentes A1 y B1 se fabrican en la Fábrica UNO y las componentes A2 y B2 se fabrican en la Fábrica DOS. indicar ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades? EJERCICIO #44 Un producto se puede formar de 4 unidades del componente A1 junto con 3 unidades del componente B1.6 por hora. Cada componente necesita 3 materiales P. usted puede suponer que la calidad del producto es la misma. Los costos fijos semanales son de $800. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.75 0. ya sea como un producto terminado que entrega al mercado. . Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. 1. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato.5 horas de trabajador calificado. En cualquiera de las dos opciones. Sin embargo.4 por hora. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. se utilizan en diferentes proporciones.Bebida C Bebida D Bebida E determinada bebida. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. y el tercero. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.6 horas de obrero no calificado y 0.25 Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una EJERCICIO #43 Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos. EJERCICIO #45 Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). 1. El proceso 2 entrega 100 lbs de A. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber. B.usadas dependen del lugar y del tipo de componente a elaborar. 3 años después. Una corrida del proceso 1 tiene un costo de US$500 y una corrida del proceso 2 tiene un costo de US$100. El departamento de marketing ha especificado que la producción diaria debe ser no más de 500 lbs de B y 300 lbs de C y al menos 800 lbs de A y 100 lbs de D. Para tales efectos. 100 lbs de B y 100 lbs de D por hora. 5 y 4 dólares. 300 de Q y 500 de R. el número de corridas de producción en cada fábrica. C y D se pueden vender en 1. EJERCICIO #47 Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1. 100 lbs de B y 100 lbs de C. utilizando el programa WINQSB¿cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6? EJERCICIO #46 Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A. C y D) usando dos procesos de reacción diferentes (1 y 2). B. Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $1. Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1. al inicio del año 1 y del año 5. Suponga que una libra da cada químico A. camionetas y jeeps para el presente año. estudia la adquisición de vehículos de los tres . Unidades requeridas por corrida P 7 5 Q 3 6 R 10 5 Unidades producidas por corrida A1 5 0 B1 6 0 A2 0 7 B2 0 8 1. La actividad D estará disponible sólo 2 veces. Formule un modelo de programación lineal y aplicando el programa SOLVER. encuentre la solución óptima (todas en caso de existir óptimos alternativos). la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro.Además. Actualmente se dispone de 400 unidades de P. respectivamente.90 al final del año 5. aplicando SOLVER. si se conoce la siguiente tabla: Fábrica Material UNO DOS 1. Por cada hora que se realiza el proceso 1 éste entrega 400 lbs de A. Plantear el problema de programación lineal asociado que permita determinar. Cada dólar invertido en D al principio de año retribuye $1.70. tal que maximice la producción total del producto terminado.30 al final de ese año. 5.40 (una ganancia de $0. se cree que la gente llegará a la mesa a una tasa de 20 por hora. (d) Encontrar el número promedio de personas esperando en la cola para obtener alguna información.tipos. después del cual son vendidos. (f) Encontrar el tiempo esperado que una persona pierde sólo esperando en la cola para que se le responda una pregunta. EJERCICIO #49 Asumir que el empleado de la mesa de información en el problema 1 gana $5 por hora. no puede considerarse en pagos futuros. (b) Encontrar la proporción de tiempo que el empleado está ocupado. El costo del tiempo de espera. Basados en información obtenida de mesas de información similares. Vehículo Automóvil Camioneta Jeep Costo [US$] 7000 6500 5800 Ingresos primer año [US$] 3000 2300 2100 Ingresos segundo año [US$] 5400 5300 5000 Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente. EJERCICIO #48 Un nuevo mall está considerando instalar una mesa de información gestionada por un empleado. La empresa dispone de US$2000000 para la compra de vehículos este año. El costo del crédito es de 14% anual. en términos del enojo . (a) Encontrar la probabilidad de que el empleado esté desocupado. US$100 hoy valen US$85 dentro de un año). puede también decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. Todo excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y. La compañía usa una tasa de descuento del 15% para efectos de financiamiento (es decir. Formule un modelo de programación lineal para el problema y resuelva aplicando el programa SOLVER. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvamento). (e) Encontrar el tiempo promedio que una persona que busca información pierde en la mesa. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión inicial al recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del crédito deben haber sido pagado al final del primer año. por lo tanto. Se asume que las llegadas son Poisson y los tiempos de respuesta están exponencialmente distribuidos. Lleva un promedio de 2 minutos responder una pregunta. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años. (c) Encontrar el número promedio de personas recibiendo y esperando para recibir alguna información. . (b) Encontrar el número promedio de personas esperando en este sistema. (a) Encontrar la proporción de tiempo que los empleados estarán desocupados. y es exponencial. El tiempo de servicio promedia los 10 minutos. (d) Asumiendo el mismo nivel de salario y costos de espera que en el problema 2. encontrar los costos totales esperados en un día de 8 horas. EJERCICIO #52 Un mecánico sirve a 4 prensas.del cliente con el MALL es 12$ por hora de tiempo gastada esperando en la fila. Describir los parámetros del sistema. EJERCICIO #50 El MALL ha decidido estudiar la posibilidad de emplear dos empleados en la mesa de información. Describir las características principales del sistema. (c) Encontrar el tiempo esperado que una persona gasta esperando en el sistema. EJERCICIO #51 Tres estudiantes llegan por minuto a una máquina de café que entrega exactamente 4 tazas por minuto a una tasa constante. Encontrar todos los costos esperados en un día de 8 horas. Las máquinas se rompen después de un promedio de tiempo de 70 minutos siguiendo una distribución Poisson.