UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE CIENCIAS BASICAS AUTORA GLORIA LUCIA GUZMAN ARAGON 100404 – PROGRAMACION LINEAL EDGAR MAURICIO ALBA VALCARCEL (Director Nacional) LUIS GERMANA HUERFANO Acreditador SOGAMOSO Junio de 2010 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El presente módulo fue diseñado en el año 2004 por La Esp. Gloria lucia Guzmán Aragón, docente de la UNAD, y ubicado inicialmente en el CEAD de Neiva, ella es Licenciada en Matemáticas y Física, Especialista en matemáticas Avanzadas, Especialista en Docencia Universitaria, Magister en Dirección y Gestión de Recursos Humanos, Maestrante en educación con especialidad en ONLINE, se ha desempeñado como docente de la UNAD desde el 2004 y como tutor desde 1984 hasta la fecha, además ha sido catedrático de diversas Universidades de Cundinamarca y del Huila, ha desempeñado cargos de docencia administrativa como Rectora de varios colegios, Coordinadora Académica, Asesora pedagógica y en la actualidad es investigadora principal de los grupos Delta 515 y generación 21. El presente módulo ha tenido cinco actualizaciones, desarrolladas por la docente Gloria Guzmán en los años 2006, 2007, 2008 y 2009 con los aportes de la red de tutores que ella dirige y en 2010 por Edgar Mauricio Alba V. tutor del Cead Sogamoso y en equipo con el grupo de tutores del curso. Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las condiciones siguientes: • Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra). • No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. • Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra derivada a partir de esta obra. • Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos de la licencia de esta obra. • Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor • Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL INDICE DE CONTENIDOS INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN INTENSIONALIDADES FORMATIVAS a. PROPOSITOS OBJETIVOS Objetivo general Objetivos específicos: b. METAS c. COMPETENCIAS UNIDAD UNO INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CAPITULO 1 LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Introducción Lección 1 Antecedentes y origen de la I.O Lección 2 ¿Qué es la Investigación de operaciones? Lección 3 Metodología de la I.O. Lección 4 Componentes de investigación de Operaciones CAPITULO 2 CONJUNTOS CONCAVOS Y CONVEXOS Introducción Lección 5 Concepto de conjunto convexo UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Lección 6 Propiedades de los conjuntos convexos Lección 7 Ejercicios de aplicación Lección 8 Funciones cóncavas convexas CAPITULO 3. Leccion 13 Terminología y conceptos basicos UNIDAD DOS METODOS DE SOLUCION CAPITULO 1 METODO GRAFICO Lección 14 Introducción método Grafico Lección 15 Definición Lección 16 Concepto general del Método Grafico Lección 17 Pasos para solución mediante el método grafico Leccion 18 Ejemplos CAPITULO 2 METODO ALGEBRAICO Introducción Lección 19 Pasos para utilizar un método Algebraico Lección 20 Ejemplos desarrollados Lección 21 Taller CAPITULO 3 METODO SIMPLEX Introducción . CONCEPTUALIZACION DE LA PROGRAMACION LINEAL Introducción Lección 9 Concepto Lección 10 Formulación del problema de programación lineal Lección 11 Modelo general de programación lineal Lección 12 Otras formas de modelos de P.L. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Lección 22 Pasos para desarrollar el método Simplex Lección 23 Dualidad Lección 24 Comparación entre el método simplex y dual – simplex Lección 25 Análisis de sensibilidad Lección 26 Taller del método Simplex Lección 27 Taller Dualidad Lección 28 Degeneración Lección 29 Problemas de programación lineal con variables acotadas Lección 30 Algoritmo de descomposición Lección 31 La Programación Lineal basada en los computa . . • Identificar y manejar los algoritmos utilizados en la optimización de funciones lineales sujetas a restricción de tipo general. como apoyo a la industria y la ingeniería. con el propósito de: • Comprender los elementos teóricos que sustentan la programación lineal. El curso tiene 2 créditos académicos los cuales comprenden el estudio independiente y el acompañamiento tutorial. Tiene como objetivo Formular. Este curso está compuesto por dos Unidades didácticas a saber: Unidad 1. • Identificar diferencias entre la formulación de modelos y técnicas de solución. • Identificar y utilizar los métodos de programación lineal para la solución de problemas. Introducción a la Programación Lineal donde se pretende que el estudiante valore la importancia que tiene la investigación de operaciones en proporcionar herramientas para la construcción de modelos matemáticos en particular los de programación lineal. optimizando los recursos disponibles y facilitando la toma de decisiones. además es de tipo teórico. obtener y analizar soluciones a problemas de programación lineal. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL INTRODUCCIÓN El curso de Programación Lineal – Componente de Formación Disciplinar y tiene carácter básico en los programas de Ingeniería que oferta la UNAD. además de la conceptualización y las diferentes formas de presentación de un problema de programación lineal. . Estudiantes-Estudiantes: en los procesos de socialización que se realizan en el grupo de curso. En este sentido se realizarán tres tipos de evaluación alternativas y complementarias. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Unidad 2. de la siguiente manera: Tutor-estudiante: a trasvés del acompañamiento individual Estudiante-estudiante: mediante la participación activa en los grupos colaborativos de aprendizaje. El curso es de carácter teórico y la metodología a seguir será bajo la estrategia de educación a distancia. El sistema de interactividades vincula a lo9s actores del proceso mediante diversas actividades de aprendizaje que orientan el trabajo de los estudiantes hacia el logro de los objetivos que se pretenden. y pretende la socialización de los resultados del trabajo personal. Coevaluación: Se realiza a través de los grupos colaborativos. Acompañamiento tutorial: Corresponde al acompañamiento que el tutor realiza al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formación. algebraico. con los que se pretende que el estudiante posea herramientas para que busque la solución óptima a problemas simples y complejos que se le puedan presentar tanto en la cotidianidad como en el ejercicio de su vida profesional y/o laboral. El Sistema de evaluación del curso es a través de la evaluación formativa. que constituye diferentes formas de comprobar el avance en el auto aprendizaje del curso. Heteroevaluación: Es la valoración que realiza el tutor. simplex. estas son: Autoevaluación: evaluación que realiza el estudiante para valorar su propio proceso de aprendizaje. Métodos de Solución se plantean los diferentes métodos empleados para solucionar problemas a nivel gráfico. Estudiantes-Tutor: a través del acompañamiento a los pequeños grupos colaborativos de aprendizaje. Por tal razón es importante planificar el proceso de: Estudio independiente: Se desarrolla a través del trabajo personal y del trabajo en pequeños grupos colaborativos de aprendizaje. Tutor-Estudiantes: mediante el acompañamiento en el grupo de curso. podrá obtener los logros propuestos en este curso. videoconferencias. foros grupos de discusión. audio conferencias. En la medida en que usted adquiera el rol de estudiante. la interacción y la producción de nuevas dinámicas educativas. mediante la utilización de correo electrónico. El acceso a documentos adquiere una dimensión de suma importancia en tanto la información sobre el tema exige conocimientos y planteamientos preliminares. mediante la estrategia de la educación a distancia. interiorice y aplique los puntos abordados anteriormente. por tal razón es imprescindible el recurso a diversas fuentes documentales y el acceso a diversos medios como son: bibliotecas electrónicas. Sistemas de interactividades sincrónicas: permite la comunicación a través de encuentros presenciales directos o de encuentros mediados ( Chat. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Para el desarrollo del curso es importante el papel que juega los recursos tecnológicos como medio activo e interactivo. hemerotecas digitales o impresas. sitios Web especializados. se han convertido en el principal soporte para favorecer los procesos de aprendizaje autodirigido. Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento. tutorías telefónicas) Sistemas de interactividades diferidas: permite la comunicación en forma diferida favoreciendo la disposición del tiempo del estudiante para su proceso de aprendizaje. entre otros. así como un aprestamiento en los enfoques y métodos de la programación lineal. . buscando la interlocución durante todo el proceso de diálogo docente-estudiante Los materiales impresos en papel. medidas. Cubre tópicos tales como: Programación lineal. pero se podría decir que la investigación de operaciones es un enfoque científico interdisciplinario para la solución de problemas. . Las competencias que promueve el curso y que son necesarias son: COGNITIVA: Capacidad de apropiarse de un conjunto de conocimientos a través del desarrollo. decisiones. de tal forma que se busquen controles óptimos de operación. niveles y soluciones. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL JUSTIFICACIÓN No es del todo fácil definir qué es la investigación de operaciones. la metodología de la investigación de operaciones está diseñada para cuantificar y acotar estos problemas dentro de un marco de restricciones específicas. La programación matemática es quizás el área más desarrollada de la investigación de operaciones. monitoreo y aplicación de procesos de pensamiento. sujeto a varias restricciones. Existen diversas definiciones en textos. (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles. Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima. Utilizando modelos matemáticos como un recurso primario. dinámica y sujetiva de hombres. que envuelve la interacción compleja. La decisión óptima es la que Satisface un objetivo de administración. en este curso nos ocuparemos de la programación lineal y sus diversos métodos y técnicas de solución para una adecuada toma de decisión. además de otras variantes de métodos de programación tales como programación de metas. métodos y sistemas. en algunos casos no se les puede proporcionar una solución exacta por medio de los procedimientos matemáticos o por medio de técnicas de ensayo y error. a los cuales. programación de redes y programación entera. objetivos y variables. La dignidad humana. político. la convivencia la solidaridad. este proceso se puede planificar de la siguiente manera: Auto estudio: Estudio individual del material sugerido y consulta de otras fuentes ( documentales. CONTEXTUAL: Capacidad de ubicar el conocimiento en el contexto científico. tecnológico. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL COMUNICATIVA: Capacidad de comprender. cultural. expresar mensajes y de desarrollar procesos argumentativos. estudia nuevamente el tema. la coevaluación y la heteroevaluación. bibliografía recomendada. la tolerancia y la libertad que orientan las acciones del individuo como persona. es necesario que se planifique de manera responsable el proceso de auto estudio por parte del estudiante si se quieren lograr resultados positivos en el aprendizaje de los conceptos incluidos en el curso. Procesos de evaluación: Una vez se halla realizado el proceso de retroalimentación. así como la disposición y capacidad para aplicarlo en procesos de transformación que inciden en la calidad de vida de la población. social y en el plano nacional e internacional. consulta en biblioteca. desarrolle los diferentes momentos de evaluación propuesta para el curso como son la auto evaluación. Retroalimentación: Una vez el tutor haya resuelto las inquietudes. . Internet. VALORATIVA: Capacidad de apropiarse de valores como el respeto a la vida. entre otros) Trabajo en grupo: Creación de grupos de estudio o discusión con el propósi8to de preparar consultas estructuradas al docente tutor. como ser social y como profesional. Consultas al tutor de las inquietudes surgidas en el punto anterior. consulta a bases de datos documentales. Para el logro de estas competencias. apoyados por la asertividad en las relaciones interpersonales. teniendo en cuenta las sugerencias o respuestas dadas por el tutor. De esta manera se pretende alcanzar los objetivos propuestos del curso y de la programación lineal en la solución de problemas de aplicación. obtener y analizar soluciones a problemas de programación lineal. la tecnología e ingeniería. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: • Comprender los elementos teóricos que sustentan la programación lineal. es decir realizar el análisis de sensibilidad correspondiente. . • Permitir que los estudiantes resuelvan problemas del campo de la ciencia. con los conocimientos interiorizados del curso académico en mención. • Operar las soluciones planteadas a través de los diferentes métodos y tener en cuenta las condiciones variables. como apoyo a la industria y la ingeniería. • Fomentar en el estudiante características que deben identificarlo en su desempeño y actuación profesional de la Ingeniería. optimizando los recursos disponibles y facilitando la toma de decisiones. OBJETIVO GENERAL Formular. • Apropiarse de los diferentes métodos y técnicas para resolver problemas de programación lineal. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL INTENSIONALIDADES FORMATIVAS PROPOSITOS • Construir modelos de programación lineal que permita describir una situación dada en forma apropiada y así manipular los datos en forma ordenada y eficiente. • Valorará la importancia que tiene la programación lineal en situaciones organizacionales para las empresas en el mundo moderno. variables. METAS Al terminar el curso de programación lineal. por medio del uso de medios y mediaciones que la UNAD le ofrece. haciendo un proceso de abstracción de escenarios conocidos a escenarios desconocidos de las temáticas estudiadas. restricciones. COMPETENCIAS • El estudiante comprende e interpreta adecuadamente los conceptos de programación lineal. sensibilidad. • Identificar y manejar los algoritmos utilizados en la optimización de funciones lineales sujetas a restricción de tipo general. optimalidad. con su tutor y en general con la comunidad educativa.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL • Identificar y utilizar los métodos de programación lineal para la solución de problemas. el estudiante: • Identificará conceptos fundamentales de la programación lineal • Reconocerá los diversos métodos y técnicas para solucionar problemas de programación lineal. . • El estudiante adquiere destreza en el manejo de las TIC. • El estudiante aprende a compartir los conocimientos adquiridos con sus compañeros. • El estudiante identifica y maneja los diferentes métodos y técnicas para solucionar problemas que involucran la programación lineal. en su formación académica. • Identificar diferencias entre la formulación de modelos y técnicas de solución. como función objetivo. • Planteará y resolverá problemas en diferentes campos del saber. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL UNIDAD UNO INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL . La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados. con sus propias metas y sistemas de valores. proporcionaron el surgimiento de la Investigación de Operaciones. Este tipo de problemas. LECCION 4 COMPONENTES DE LA I. y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL CAPITULO 1 LA INVESTIGACION DE OPERACIONES INTRODUCCION LECCION 1 ANTECEDENTES Y ORIGEN DE LA I. . Sin embargo esta revolución creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas.O. LECCION 2 ¿QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES? LECCION 3 METODOLOGÍA DE LA I. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los componentes a convertirse en imperios relativamente autónomos. En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema. tal es el caso de los modelos de Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.O. INTRODUCCION Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y la separación de las responsabilidades administrativas en las organizaciones.O. desarrollado en 1947 por George Dantzing. la Programación Dinámica. Un factor importante de la implantación de la Investigación de Operaciones en este periodo es el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. son razones suficientes para desarrollar modelos que optimicen los resultados en estos campos del saber LECCION 1 ANTECEDENTES Y ORIGEN DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES La investigación de operaciones se origino en la segunda guerra mundial como una necesidad de dar solución a los problemas de carácter militar. los ciclos de vida de los productos se hacen más cortos. Líneas de Espera y Teoría de Inventarios fueron desarrolladas al final de los años 50. fue una gran ayuda para la Investigación de Operaciones. la distribución de productos. biólogos. matemáticos. Después de la guerra atrajo la atención de la industria que buscaba soluciones a problemas de complejidad y especialización ascendente en las organizaciones. la planeación de productos. psicólogos entre otros para emplear el método científico en la solución de problemas estratégicos y tácticos. Por lo tanto el desarrollo de la computadora digital. un ejemplo sobresaliente es el método Simplex para resolución de problemas de Programación Lineal. En la década de los 80 con la invención de computadoras personales cada vez más rápidas y acompañadas de buenos paquetes de Software para resolver . Para manejar los complejos problemas relacionados con esta disciplina. el estudio de mercados y la planeación de inversiones. estadísticos. Muchas de las herramientas utilizadas en la Investigación de Operaciones como la Programación Lineal. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y procedimientos correspondientes para solucionar problemas que surgían en áreas tales como: la programación de refinerías de petróleo. la abrumadora y acelerada era de la nueva tecnología y la internacionalización creciente. generalmente se requiere un gran número de cálculos que llevarlos a cabo a mano es casi imposible. los primeros interesados en estos aspectos fueron los británicos y los americanos quienes asignaron esta tarea a un grupos de físicos. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Actualmente la investigación de operaciones a incursionado en la administración con muy buenos resultados en este campo pues el ambiente de negocios al que se está sometido y los múltiples cambios que ellos generan. Muchos de los científicos que participaron en la guerra. Un segundo factor importante para el desarrollo de este campo fue el advenimiento de la revolución de las computadoras. se encontraron a buscar resultados sustanciales en este campo. Hoy en día se usa toda una gama de computadoras. desde las computadoras de grandes escalas como las computadoras personales para la Investigación de Operaciones. • La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento. se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común. unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. por grupos interdisciplinarios. pretende extraer los elementos fundamentales de un problema de decisión . a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización. primero para representar al problema y luego para resolverlo. (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. Algunos aspectos relacionados con la definición: • Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan. La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES La investigación de operaciones es la aplicación. del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas. LECCION 2. La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL problemas de Investigación de Operaciones esto puso la técnica al alcance de muchas personas. • La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos. Un enfoque de la investigación de operaciones abarca: • Construir un modelo simbólico que por lo general es un modelo matemático. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL que es complejo e incierto de tal manera que pueda optimizar una solución viable para la consecución de los objetivos de acuerdo al analista. generalmente implica a mucha gente de toda la organización. • Examinar y analizar las relaciones que determinan las consecuencias de la decisión realizada y comparar el método relativo de acciones alternas con los objetivos de quien va a tomar la decisión. La investigación de operaciones se aplica tanto a problemas tácticos como estratégicos de una organización. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES El uso de métodos cuantitativos para solucionar problemas. Los primeros tienen que ver con actividades diarias y los segundos tienen una orientación y una planeación organizada generalmente se apoyan en operaciones de carácter indirecto. El proceso de aplicar métodos cuantitativos requiere de una sucesión sistemática de pasos: Definición del problema Formulación de un Resolución del Solución modelo matemático. Los individuos de un equipo de proyectos proporcionan información de sus áreas respectivas respecto a diversos aspectos del problema. • Desarrollar una técnica de decisión que comprenda teorías matemáticas y que conduzca a la optimización de los resultados. LECCION 3. ¿Es válida la Modelo NO solución? modificado Implementación . modelo matemático. 1. DEFINICION Y FORMULACION DEL PROBLEMA: Esto incluye determinar los objetivos apropiados. las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización. etc. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL LECCION 4. COMPONENTES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES 4. 4. que utilizan procesos de deducción matemática.2 FORMULACION DE UN MODELO MATEMATICO: La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos.3 OBTENCION DE UNA SOLUCION APARTIR DEL MODELO Depende de las características del modelo. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. los límites de tiempo para tomar una decisión. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real. 4. las restricciones sobre lo que se puede hacer. los diferentes cursos de acción posibles. es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución. b) numéricos. que son de carácter inductivo y funcionan en . La selección del método de solución. emulan al sistema real. o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.4 PRUEBA DEL MODELO: Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar. 4. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes.6 ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES DE LA SOLUCION: Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. y comprobando que los resultados de modelo se comporten de una manera factible. en base a un modelo. 4. asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar. Además. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. que utiliza métodos que imitan o. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL base a operaciones de prueba y error. puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión. 4. si es posible. c) simulación.5 VALIDACION DEL MODELO: Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. En primera instancia abordaremos el concepto de conjuntos convexos. INTRODUCCIÓN En el presente capítulo podrá valorar la importancia que tiene el análisis de la convexidad de conjuntos así como los diferentes tipos de convexidad o concavidad de funciones toda vez que ellos constituyen los instrumentos fundamentales para el desarrollo de la Teoría de la Optimización Matemática. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 4. su definición y propiedades fundamentales para luego analizar el comportamiento de las combinaciones lineales convexas.7 IMPLEMENTACION DE LA SOLUCION: El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. CONCEPTO DE CONJUNTO CONVEXO LECCION 6. FUNCIONES CONCAVAS CONVEXAS . EJERCICIOS DE APLICACIÓN LECCION 8. . CAPITULO DOS CONJUNTOS CONVAVOS Y CONVEXOS INTRODUCCIÓN LECCION 5. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS LECCION 7. Consideremos los siguientes CONJUNTOS: CONJUNTO P P CONJUNTO Q Q . EJEMPLO. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL LECCION 5. CONCEPTO DE CONJUNTO CONVEXO. Para analizar el concepto de conjunto convexo vamos a plantear el siguiente ejemplo . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL CONJUNTO R R CONJUNTO T. T Definimos la idea de conjunto convexo como aquel conjunto que contiene cualquier segmento que une dos puntos del conjunto. Así por ejemplo según esta idea GRAFICA. el conjunto P • x P • y . en consecuencia P sería un conjunto convexo. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Obsérvese que para cualquier par de puntos (x. Consideremos el conjunto Q: Q x y Obsérvese que para cualquier par de puntos (x. y) que estén dentro del conjunto P. en consecuencia Q no sería un conjunto convexo. el segmento que une dichos puntos no queda dentro del conjunto. el segmento que une dichos puntos siempre queda dentro del conjunto. Consideremos el conjunto R: • x R • y .y) que estén dentro del conjunto Q. 3). • . Consideremos un último ejemplo en el plano.(7.(7.(5.3). UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL En este caso para cualquier par de puntos (x.1 ) Se puede ver que existen segmentos. y.y) de esta recta R.4).0).(6. como el indicado en la figura que se sale del conjunto por lo que este conjunto no sería CONVEXO. el segmento que los une queda dentro del conjunto. Por último sea el conjunto T: x T y Es claro gráficamente que para cualquier par de puntos x.(0. sea el conjunto T • • • • T (conjunto poligonal delimitado por los puntos (0. en consecuencia R es un conjunto convexo.8). el segmento que los une está totalmente contenido en dicho conjunto. (2.(0.2).1). no es convexo .(-1. es convexo b.(1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL • • • T EJERCICIOS Determinar si los siguientes conjuntos son o no convexos.3).0).1) SOLUCION: a.1) b. dibujándoles previamente: a. (- 1.0).3).(1.(2.1).1).(1. Conjunto poligonal determinado por los puntos (0. Conjunto poligonal determinado por los puntos (1. por ejemplo (1. Para delimitar la región del plano basta considerar un punto que no esté en la curva.2) si ese punto satisface la ecuación entonces ese es el recinto a considerar. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Podemos definir conjuntos en el plano de una manera más compleja: Así por ejemplo si consideramos el conjunto ¿Qué hacemos para dibujar este conjunto? Primero dibujamos la curva que delimita el conjunto. Entonces el recinto es . en nuestro caso como 2 sí es mayor o igual que 1. ¿Qué sucedería si no podemos representar gráficamente el conjunto. ¿Cuál es el significado de z= λ x+(1. como sucede con conjuntos de dimensión superior a 3? En esos casos es necesario dar una definición analítica de conjunto convexo. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Obsérvese que es claramente convexo pues cualquier par de puntos que estén en S3 el segmento que los une está claramente contenido en S3. es decir que si llamamos segmento de extremos por S es convexo si para cualesquiera .λ )y? Vamos a verlo en un ejemplo: . para lo cual efectuamos la siguiente definición: CONJUNTO CONVEXO: Diremos que un subconjunto S є Rn es convexo si para cualquier par de puntos y para cualquier λ є [0.1] se cumple que está en S. (x2. Habría que comprobar si b(x1.y2 entonces (1-b)x2. Y comprobando si el vector . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL EJEMPLO: Estudiar analíticamente si el conjunto anterior es un conjunto convexo.bx1+(1-b)x2 .(1-b)y2 Sumando ambas expresiones se obtiene la desigualdad por tanto S3 es un conjunto convexo. Para ello consideremos dos vectores de S3 (x1.y2).y1)+(1-b)(x2.y1).1] Es decir tendremos que comprobar si .y1 entonces bx1.by1 (pues b es positivo o cero) Y como x2.y2) es un vector que pertenece a S3 para cualquier valor de b en [0. by1+(1-b)y2 Como x1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Que una vez simplificado nos da Y al expandirle Si es un vector del conjunto S3. EJERCICIO Estudiar de forma gráfica si los siguientes conjuntos son o no conjuntos convexos. a. b. SOLUCIONES: a. Lo hacemos gráficamente, representando el conjunto. Para ello dibujamos los dos límites del conjunto x2+y2=1 y x2+y2=4 (circunferencias de radio 1 y radio 2) Definimos las expresiones Y luego las representamos como aparece. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL ¿cuál es el recinto? Ahora debemos determinar en que lado de las circunferencias se sitúa el conjunto. Tomemos un punto fuera de ambas circunferencias, por ejemplo (0,0),. Y comprobemos si se verifica la primera desigualdad para ese punto Efectivamente no se verifica, por tanto el conjunto se sitúa hacia fuera de la circunferencia. Por otro lado Es cierta por tanto el conjunto es la corona circular situada entre la circunferencia de radio 1 y la circunferencia radio 2. ¿Este conjunto es convexo? UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Claramente se ve que no, tomemos dos puntos cualesquiera por ejemplo (- 1,1/2) y (2,0), ambos pertenecen al conjunto, sin embargo el segmento que los une como se ve no pertenecen al conjunto. b. Consideremos las expresiones que definen los límites del conjunto: Representemos ambas rectas: 0).0). .0). comprobamos para (0. por tanto el recinto x+y=1 está al lado del (0. por ejemplo (0. y observamos que 0+0= 1 verifica la ecuación. tomemos un punto que no esté en dichas rectas. Comprobemos a qué lado de la recta x+y=1 se encuentra nuestro conjunto x+y=1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Para saber cuál es exactamente el recinto. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Y por otro lado para determinar el conjunto x-y=1 comprobamos que 0-0= 1 por tanto también es de la recta hacia el (0,0), con lo cual tendremos que el recinto será: UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL LECCION 6. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS. Vamos a estudiar qué sucede con la UNIÓN y la INTERSECCIÓN de conjuntos convexos. Comencemos con la INTERSECCIÓN de conjuntos convexos. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS. EJEMPLO. Sean los siguientes conjuntos convexos: Si los representamos tendremos: ¿Cuál es la intersección de estos dos conjuntos? UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Se puede ver que la intersección es el conjunto Se puede ver gráficamente que es un conjunto convexo. Y este ejemplo se puede generalizar con la siguiente propiedad: LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS ES UN CONJUNTO CONVEXO. UNIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS. A partir de los conjuntos convexos anteriores S y T, veamos cuál es el conjunto unión. 43. -1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Este conjunto no es convexo pues si considero dos puntos del conjunto por ejemplo (1.-0.3) Si representamos el segmento que une dichos puntos editando Obtenemos Segmento que no está totalmente contenido en el conjunto. Luego: LA UNION DE CONJUNTOS CONVEXOS EN GENERAL NO ES UN CONVEXO .04.57) y (2. EJERCICIOS DE APLICACION CONJUNTOS CONCAVOS Y CONVEXOS Representar los siguientes conjuntos de R2 e indicar cuáles son convexos: a. g. d. R2 e. LECCION 8. Por ello vamos a iniciar este apartado introduciendo el concepto de función cóncava y convexa para luego más tarde introducir condiciones que nos permitan reconocer si una función es cóncava o convexa dependiendo de sus propiedades de diferenciabilidad. i. h. b. f. Probar que todo subespacio vectorial de R3 es un conjunto convexo. FUNCIONES CONCAVAS Y CONVEXAS Las funciones cóncavas y convexas representan un papel fundamental en la Teoría de la Optimización ya que pueden garantizarnos la GLOBALIDAD de los óptimos locales. EJEMPLO. c. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL LECCION 7. Consideremos la siguiente función: Si dibujamos esta función y obtenemos . consideremos los puntos Si dibujamos el segmento que une dichos puntos en la gráfica obtenemos Qué claramente queda por debajo de la gráfica. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Observemos la gráfica de esta función en el intervalo [0. Por ejemplo. Consideremos otros pares de puntos de la gráfica por ejemplo: Al dibujar el segmento que une dichos puntos tenemos: . éste siempre queda por debajo de la gráfica.3 ] Podemos ver que en esta gráfica si dibujamos cualquier segmento que una dos puntos de la misma. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Consideremos otro par de puntos por ejemplo Si los dibujamos considerando Obtenemos Se puede observar que para cualquier par de puntos de la gráfica que toman valores en el segmento considerado el segmento que une dichos puntos siempre queda por debajo de la gráfica por ello podemos efectuar la siguiente definición: FUNCIONES ESTRICTAMENTE CONCAVAS Y CONCAVAS . 2 ]. Vamos ahora a introducir el concepto de función CONVEXA. Consideremos el siguiente ejemplo: EJEMPLO. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL DEFINICIÓN: Diremos que una función f es estrictamente cóncava en un conjunto M convexo si todo segmento que une dos puntos de la gráfica esta estrictamente por debajo de la gráfica. en este caso la gráfica sobre la que debemos enfocarnos es: Consideremos ahora nuevamente varios puntos de esta gráfica en dicho intervalo por ejemplo . Diremos que una función es CONCAVA (no estricta) si no todas las cuerdas que unen puntos de la gráfica en dicho intervalo quedan estrictamente por debajo. Consideremos la misma función anterior pero ahora considerada en el intervalo [3 . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL si dibujamos el segmento que los une por medio de la matriz se obtiene si ahora dibujamos el segmento que une los puntos Obtendremos Obsérvese que los segmentos quedan siempre por encima de la gráfica de la función. Por ello podemos realizar la siguiente definición: . diremos que la función es convexa en el intervalo dado. En estos casos. 3 ) .0) (f) En el recinto (0. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL FUNCIÓN CONVEXA. diremos que dicha función es convexa en el intervalo si todo segmento que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica. EJERCICIO Estudiar el carácter de las siguientes funciones en los recintos que se indican: (a) En toda la recta real: (b) En toda la recta real: ( C) En el intervalo (0. DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo de R.0) (e) En el recinto (-3 . Si siempre queda estrictamente por encima decimos que la función es estrictamente convexa.1 ) (d) En el intervalo (-1 . ESTRICTAMENTE CONVEXA b. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL SOLUCIONES: a. ESTRICTAMENTE CONVEXA c. ESTRICTAMENTE CONVEXA . ESTRICTAMENTE CONCAVA e.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL d. estrictamente CONCAVA f. ESTRICTAMENTE CONVEXA . Modelo general de programación lineal LECCION 12. Concepto LECCION 10.L. Terminología y conceptos básicos INTRODUCCION . Otras formas de modelos de P. Formulación del problema de programación lineal LECCION 11. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL CAPITULO 3 CONCEPTUALIZACION DE LA PROGRAMACION LINEAL Introducción LECCION 9. LECCION 13. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande. Es una manera eficiente de resolver estos problemas cuando se debe hacer una elección de alternativas muy numerosas que no pueden evaluarse intuitivamente por los métodos convencionales. y va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos. hasta el diseño de una terapia de radiación.1 INTRODUCCION . la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo. hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país. LECCION 9. incluyendo industrias medianas en distintos países del mundo. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios. Este problema de asignación puede surgir cuando deba elegirse el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. en forma óptima). No obstante. el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir. En este caso. etc. FORMULACION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL 10. las palabra programación no se refiere a programación en computadoras. La programación lineal es una técnica de investigación de operaciones para la determinación de la asignación optima de recursos escasos cuando la función objetivo y las restricciones son lineales. LECCION 10. Así. CONCEPTO El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. desde la planeación agrícola. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar? Expresado brevemente. el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades. en esencia es un sinónimo de planeación. n).m). UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Los términos clave son recursos y actividades. calidad. dichas restricciones pueden ser de capacidad. materia prima.. Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j.2.. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular. Condición técnica.. la función objetivo se maximizar o minimiza.2 ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PROGRAMACION LINEAL 1. balance de materiales..2. etc... 3. 2. aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j.. 10.. . o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos. en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Z = valor de la medida global de efectividad. 4. Xj = nivel de la actividad j (para j = 1. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema. mercado. bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1. Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. Función objetivo. Todas las variables deben tomar valores positivos. Algo muy parecido sucede aquí al formular las restricciones. Para este caso. no es obligatorio que se usen todos los recursos (en este caso. Más bien la limitación es que se use. considérese la siguiente afirmación: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. resolver el problema casi siempre es fácil. Si deben usarse todas las 100 horas disponibles. la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Para formular un problema en forma matemática. MODELO GENERAL DE PROGRAMACION LINEAL Formulación de modelos de Programación Lineal. Por ejemplo. Una vez hecha esa parte. cuando mucho. Aunque se ponga en duda. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas hablados” al estudiar un curso de álgebra. deben expresarse afirmaciones lógicas en términos matemáticos. la restricción será: 3A + 2B = 100 Sin embargo. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL LECCION 11. en la mayoría de las situaciones de negocios. horas de mano de obra). la afirmación anterior puede escribirse como una desigualdad: . lo que se tiene disponible. entre B . Además. Por ejemplo. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 3A + 2B ≤ 100 Para que sea aceptable para PL.A y 2. o la holgura. Los cuadrados. Todo lo que se tiene que hacer es agregar (o restar) una variable extra. la forma estándar para una restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del lado derecho. se restaría una variable de superávit en el caso siguiente: . etc. S se llama variable de holgura. el sentido de esta desigualdad se invierte. esto puede escribirse como: A ≤ 2B ó A . no son aceptables. las raíces cuadradas. Por ejemplo: B-A≥2 es lo mismo que B-A+S=2 En donde S representa la diferencia. Pero al multiplicar una desigualdad por -1. cada restricción debe ser una suma de variables con exponente 1. la restricción es que A debe ser por los menos el doble de B. ni tampoco los productos de variables. si se quiere que A sea por lo menos tan grande como B . por ejemplo. Puede ser necesario hacer esto para que los coeficientes del lado derecho sean positivos. entonces: A≤B–2 A – B ≤ -2 Por último B – A ≥ 2 Una nota final sobre desigualdades: es sencillo convertir una desigualdad en una ecuación. Si. Esto puede requerir algún reacomodo de los términos.2. Por otro lado.2B ≤ 0 Nótese que pueden moverse términos de un lado a otro de las desigualdades como si fuera un signo de igualdad. FORMA ESTÁNDAR DE LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar alguna medida numérica. La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero. la contribución marginal o los contactos con los clientes.2B -S = 0 Algunos métodos de solución (como el Método Simplex) y la mayoría de los programas de computadora (como el MathProg. que acompaña al libro “Introducción a la Investigación de Operaciones” de los autores Hillier y Lieberman) requieren que todas las desigualdades se conviertan en igualdades. La forma matemática del objetivo se llama función objetivo. . Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el problema.2B ≤ 0 es lo mismo que A . que viene en el ORCourseware. el número de empleados o el material de desperdicio. no se querría una solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos cuatro personas. Para la mayoría de los problemas esto es real. Con frecuencia el objetivo es evidente al observar el problema. La función objetivo tendrá. la ganancia. sólo puede haber un objetivo. Podría ser maximizar el rendimiento. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL A . la forma: Maximizar Z = 4A + 6B ó Minimizar Z = 2x1 + 5x2 Se analiza una aplicación para ilustrar el formato de los problemas de Programación Lineal. Podría ser minimizar el costo. Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede tener un problema de PL. se usa la letra Z para representarlo. no negativas. es decir. entonces. . que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n) de actividades competitivas de cualquier clase. m). c1x1 + c2x2 + .. x2 ≥0. n.. En particular..... La función que se desea maximizar... n). . . + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 + ... Ahora sea bi la cantidad disponible del recurso i (para i = 1. + cnxn.. 2. 2. este modelo consiste en elegir valores de x1. Por último defínase aij como la cantidad de recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i = 1.. + amnxn ≤ bm y x1 ≥ 0.. . m y j = 1. se llama función objetivo. xn ≥ 0 Ésta se llamará nuestra forma estándar (porque algunos libros de texto adoptan otras formas) para el problema de PL.... 2. 2. . 2.. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Supóngase que existe cualquier número (digamos m) de recursos limitados de cualquier tipo. Sea cj el incremento que resulta en Z por cada incremento unitario en xj (para j = 1. n).. . 2. Sea xj (una variable de decisión) el nivel de la actividad j. xn para: Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + .... 2. Etiquétense los recursos con números (1.... y sea Z la medida de efectividad global seleccionada... Se puede formular el modelo matemático para el problema general de asignar recursos a actividades. m) al igual que las actividades (1.... .. . . + a2nxn ≤ b2 am1x1 + am2x2 + . En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los modelos de PL... + cnxn... n).. Por lo general. x2.. sujeto a las restricciones: a11x1 + a12x2 + . Cualquier situación cuya formulación matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL.. se hace referencia a las limitaciones como . para j = 1. .. para algunos valores de i. 3. Las variables de decisión sin la restricción de no negatividad: xj no restringida en signo para algunos valores de j. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL restricciones. 2. + cnxn. Cualquier problema que incluya una. pero independientemente de la interpretación o el contexto. para algunos valores de i. varias o todas estas formas del modelo anterior también se clasifica como un problema de PL. reciben el nombre de parámetros del modelo.. + ainxn. siempre y cuando éstas sean las únicas formas nuevas introducidas. que representa el consumo total del recurso i) reciben el nombre de restricciones funcionales.. ³ bi.. Minimizar en lugar de maximizar la función objetivo: Minimizar Z = c1x1 + c2x2 + .. = bi. cj. Es conveniente agregar que el modelo anterior no se ajusta a la forma natural de algunos problemas de programación lineal. Las otras formas legítimas son las siguientes: 1. las restricciones xj ≥ 0 se llaman restricciones de no negatividad. + ainxn. Algunas restricciones funcionales en forma de ecuación: ai1x1 + ai2x2 + . bi.. + ainxn. Puede ser que la interpretación que se ha dado de asignación de recursos limitados entre actividades que compiten no se aplique. Las primeras m restricciones (aquellas con una función del tipo ai1x1 + ai2x2 + . Las variables xj son las variables de decisión. aij. lo único . De manera parecida. LECCION 12. Las constantes de entrada. 4. OTRAS FORMAS DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Algunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido mayor o igual: ai1x1 + ai2x2 + .. . ..+ amnxn ≤ bm x1.. Se verá que estas otras cuatro formas legales se pueden reescribir en una forma equivalente para que se ajuste al modelo que se presentó. unidades de recurso i que se consumen por unidad de variable j bi: Cantidad disponible de recurso i • Otra representación: . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL que se necesita es que la formulación matemática del problema se ajuste a las formas permitidas...+ a2nxn ≤ b2 .+ a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 +. FORMULACION ALGEBRAICA: FORMA CANONICA Todo problema de PL puede representarse como: Max (z) =c1x1+c2x2+.... x2. todo problema de PL se puede poner en nuestra forma estándar si se desea. Entonces... am1x1 + am2x2 +...xn ≥ 0 siendo: xj: Nivel de actividad de la variable xj cj: Contribución unitaria de xj a función objetivo aij: Coeficiente técnico..+cnxn sujeto a: a11x1 + a12x2 +. . • Es posible transformar un problema de PL a un problema equivalente en forma canónica. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL n Max (z) = ∑ c j x j j=1 sujeto a : n ∑a x ij j ≤ bi donde i = 1. m j=1 xj ≥ 0 j = 1. “≥“ e “=“ • Variables positivas. 2. 2.. TERMINOLOGIA Y CONCEPTOS BASICOS .. .. n • En forma matricial: Max (z) = C x sujeto a: Ax ≤ b x ≥0 • A esta forma se la denomina forma canónica IMPORTANCIA DE LA FORMA CANONICA • La forma canónica es importante porque todos los desarrollos e interpretaciones económicas del problema pueden referirse a la misma. . • Un problema de PL puede consistir en: • Buscar un máximo o un mínimo de la función objetivo • Restricciones de tipo “≤“. negativas o no restringidas en signo • Conversión de un problema lineal general a su forma canónica: • Cambiar el sentido de la optimización • Cambiar el sentido de la desigualdad • Cambiar una desigualdad en igualdad Variable de holgura o “slack” Variable surplus • Cambiar igualdades en desigualdades • Cambiar variables sin restricción de signo a otras de signo positivo o nulo LECCION 13. columnas o variables (xj) Representan los usos alternativos que deben competir entre sí para la obtención de los recursos de forma que se optimice la función objetivo • Recursos (bi) Son productos. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL • Conjunto factible Es el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente todas las restricciones (o “filas”) del problema • Actividades. si existe. tiempo. es representable mediante un poliedro convexo . Se cuantifican en el término independiente o Right Hand Side (RHS) del problema • El conjunto factible de un problema de PL. etc. EJEMPLOS . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL UNIDAD 2 METODOS DE SOLUCION CAPITULO 1 LECCION 14. PASOS PARA LA SOLUCION MEDIANTE EL METODO GRAFICO LECCION 18. INTRODUCCION METODO GRAFICO LECCION 15. DEFINICION LECCION 16. CONCEPTO GENERAL DEL METODO GRAFICO LECCION 17. INTRODUCCION METODO GRAFICO Antes de entrarnos por completo en los métodos analíticos de la investigación de operaciones es muy conveniente ver un poco acerca de las desigualdades de una ecuación lineal. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL LECCION 14. Pero por otra parte si en la ecuación no se quiere llegar a la totalidad del resultado se dará la ecuación en una forma diferente llamada inecuación: 2X + 3Y ≤ 60 en donde X. Y ≥ 0 . Por ejemplo tenemos la ecuación 2X + 3Y = 60 en donde X. Y ≥ 0 Es decir que para que se cumpla la igualdad de la ecuación nos tocaría adquirir 15 unidades de X y 10 unidades de Y respectiva mente: 2(15) + 3(10) = 60 Y la solución se daría por la misma línea recta. >0) En donde a. Si el signo es el ≤ la solución será el área inferior esa se sombreará o si por el contrario el sigo es ≥ el área a sombrear será la de todos los puntos por encima de la línea obtenida. c son constantes mientras que a “y” b son diferentes de cero . b. DEFINICION: Por definición de algunos libros una desigualdad entre dos variables es una desigualdad que puede escribirse de la forma: ax + by +c < 0 (o bien ≤ 0. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Dándose como solución factible un área sombreada que depende del signo de la desigualdad. LECCION 15. En la anterior grafica la solución más factible es la de los puntos más cerca del eje X (bajo la recta de la solución lineal ya que la ecuación es precedida por el signo ≤. ≥ 0. SOLUCION La región sombreada es la solución factible para la desigualdad planteada. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL En términos geométricos. Observemos a continuación las desigualdades y las regiones descritas por ellas: EJEMPLO 1: Determinar la región descrita por la desigualdad y ≤ 5 Cuando veamos un problema como este no nos asustemos porque el hecho de que no aparezca la x en ningún lugar de la ecuación solo quiere decir que x es cierto en cualquier punto de x. la solución de una desigualdad lineal en x y y consiste en todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad. EJEMPLO 2: Describir la región definida por la desigualdad: x ≥ -2 . Consecuencia las regiones apropiadas con respecto a las rectas correspondientes restaran evidentes. 2x + y > 3 x≥y y–1>0 Este sistema es equivalente y > -2x + 3 x =0. y =3 Y=0. y= 1 y > 1/2 Obsérvese que se ha escrito cada desigualdad de manera que “y “queda despejada. En primer lugar se trazan las rectas y = -2x + 3. sobre o por debajo de la segunda de ellas y por encima de la tercera esta región es la solución. x= 3/2 y≤x x= 0. y=x Y y=y Después se sombra la región que se encuentra simultáneamente por encima de la recta. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL EJEMPLO 3: Dando valores a x y y determinamos las rectas con las áreas correspondientes a las desigualdades planteadas. . y= 0 x=1 . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Entonces la solución para el anterior ejercicio seria la región sombreada. LECCION 16. También se requerirá que las restricciones correspondientes estén representadas mediante un sistema de desigualdades lineales o ecuaciones en x y en y y que todas las variables sean no negativas. Una función lineal en x y y tiene la forma: ax+by=0 Donde a y b son constantes. CONCEPTO GENERAL DEL METODO GRAFICO Ahora se considerara la forma en que se pueden resolver problemas de tipo lineal. . en donde la función dada se tendrá que maximizar o minimizar. En la actualidad tiene amplia aplicación en el análisis industrial y económico. LECCION 17. Aunque por lo general existe una cantidad infinitamente grande de soluciones para el sistema de restricciones (a las que se denomina soluciones factibles o puntos factibles). danzing a fines de la década de 1940 y se utilizo primero en la fuerza aérea de losa estados unidos como auxiliar en la toma de decisiones. En un problema de programación lineal a la función que se desea maximizar o minimizar se le denomina función objetivo. PASOS PARA LA SOLUCION MEDIANTE EL METODO GRAFICO Para llegar a una solución óptima en el método grafico se requiere seguir con una serie de pasos que podemos dar a continuación: 1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL A un problema en el que intervienen todas estas condiciones se le denomina problema de programación lineal. formulación del problema . Entonces el método grafico en la programación lineal es simplemente sacar de una situación (problema) ecuaciones lineales y convertirlas en desigualdades o inecuaciones para poder graficarlas y así sacar la región mas optima dependiendo del signo de la desigualdad esa área se sombreara y esa será la solución mas optima del problema. el objetivo consiste en encontrar una de esas soluciones que represente una solución óptima (es decir una solución que del valor máximo o mínimo de la fusión objetivo) En conclusión con lo que acabamos de revisar en la parte anterior sobre las inecuaciones nos da para definir literalmente el método grafico y el método algebraico dentro del ámbito de la programación lineal. La programación lineal fue desarrollada por George B. se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las restricciones. LECCION 18. 3. EJEMPLOS EJEMPLO: 1 Maximizar la función objetivo: Z= 3x + y Sujeto a las restricciones: 2x + y ≤ 8 2x + 3y ≤ 12 x. y ≥ 0 a continuación graficamos las desigualdades planteadas en las restricciones así: . obtención de la solución optima Para encontrar la solución óptima. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL El primer paso para la resolución por método grafico es expresar el problema en términos matemáticos en el formato general de la programación lineal (desigualdades) con un solo fin maximizar la contribución a la ganancia. 2. graficar las restricciones El próximo paso de la solución por método grafico es la graficación de las restricciones en el plano cartesiano para establecer todas las posibles soluciones. Se graficara siempre la función objetivo del problema y se dará la solución de acuerdo con el símbolo que este presente en las restricción de la función objetivo. 0) y el punto C que es el resultado de la intersección de las 2 inecuaciones cuyo valor aproximadamente en el plano esta dado por las coordenadas (3. y=8 y=0. Ahora bien el problema solicita la maximización de Z = 3x + y que se obtiene precisamente en el punto C(3. D(0. x=4 2x + 3y ≤ 12 x=0. B(4.4).2). x=6 x. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 2x + y ≤ 8 x=0. EJEMPLO: 2 .0).2). y ≥ 0 Se observa que la región factible esta conformada por los puntos A(0. y=4 Y=0. x=10 3x + 2y≥18 x=0. y ≥ 0 a continuación graficamos las desigualdades planteadas en las restricciones así: x + 2y≥10 x=0. x=6 x. y=9 Y=0. y ≥ 0 Región Factible (4. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Minimizar la función objetivo: Z= 2x + 3y Sujeto a las restricciones: x +2y ≥ 10 3x + 2y ≥ 18 x. y=5 y=0.3) . como uno de los métodos más importantes en el campo de la programación lineal. (10. a los cuales se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones.2). que se ha prestado para resolver problemas de gran . EJEMPLOS DESARROLLADOS LECCION 21. Ahora bien el problema solicita la maximización de Z = 3x + y que se obtiene precisamente en el punto C(3. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Se observa que la región factible esta conformada por los puntos (0.9). En la actualidad es una herramienta común.3) es el resultado de la intersección de las dos ecuaciones dadas como restricciones. PASOS PARA UTILIZAR EN METODO ALGEBRAICO LECCION 20. Muchas personas califican al método algebraico. CAPITULO 2 METODO ALGEBRAICO INTRODUCCION LECCION 19. (4. donde el punto (4. TALLER INTRODUCCION En ocasiones nos encontramos con problemas de índole magnitud.3).0). LECCION 19. por su simplicidad. En este capítulo se tratara la formulación de problemas utilizando el método algebraico para la solución de problemas de programación lineal. 2. Se hace un enfoque a la variedad de aplicaciones del método para que el estudiante interesado pueda tener una visión y ejercitar sus conocimientos. Veremos la siguiente manera de obtener gráficamente las soluciones al problema planteado y luego veremos como obtenerlas algebraicamente. 4. 1. El método algebraico contempla en su desarrollo al método grafico y de la misma manera el método grafico no estaría completo sin la rigurosidad del método algebraico pues la apreciación visual que da el grafico en la solución óptima puede estar sujeta a error por parte del analista. Encontrar la solución óptima A continuación se presentan el análisis algebraico y grafico de algunos problemas de programación lineal: LECCION 20. Definir el conjunto factible. compañías de todo el mundo han ahorrado miles y miles de pesos. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL magnitud. EJEMPLOS DESARROLLADOS . Graficar las restricciones. 3. sencillez y estilo de uso cientos de empresas. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones. podemos graficar las soluciones posibles y comprender algunos puntos interesantes respecto a las relaciones lineales. PASOS PARA UTILIZAR EN METODO ALGEBRAICO Dado que tenemos un problema de dos variables. 2 horas en B y 1 hora en C. 160 y 100. de una 1 en B y una 1 en C. ¿Cuántos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual? A B C UTILIDAD MANUALES(X) 2 1 1 4000 ELECTRICOS(Y) 1 2 1 6000 HORAS 180 160 100 DISPONIBLES SOLUCIÓN: 1. respectivamente. un artefacto eléctrico requiere de 1 hora en A. manuales y eléctricos. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL PROBLEMA 1: Supóngase una compañía fabrica 2 tipos de artefactos. supóngase además que el numero máximo de horas disponible por mes para el uso de las tres maquinas es 180. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de 3 maquinas: A. B y C. Paso: Planteamos la función objetivo y las restricciones correspondientes: MAX Z= 4000X + 6000Y SUJETO A: . Si la compañía vende todos los artefactos que fábrica. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de 4000 pesos y de 6000 pesos para los eléctricos. un artefacto manual requiere del empleo de la maquina A durante 2 horas. Paso: Elaboramos el gráfico correspondiente a las restricciones con el fin de precisar la región factible y determinar los puntos que la conforman: 2X + Y ≤ 180 X=0 Y= 180 Y=0 X= 90 X + 2Y ≤ 160 X=0 Y=80 Y=0 X=160 X + Y ≤ 100 X=0 Y=100 Y=0 X=100 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 2X + Y ≤ 180 X + 2Y ≤ 160 X + Y ≤ 100 2. C(80. B(40.0) .80). D(90. Paso: Con los puntos de la región factible: O(0.60) . A(0. Paso: Resolvemos el sistema de ecuaciones para determinar las coordenadas del punto B y C así: Para B: X + 2Y ≤ 160 Para C: 2X + Y ≤ 180 X + Y ≤ 100 X + Y ≤ 100 Y= 60 X = 80 X= 40 Y = 20 4.0) Maximizamos la función objetivo : .20) .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 3. 5 de B y 1 de C. y el de crecimiento normal que cuesta $3000 y contiene 2 unidades de cada ingrediente.80) 4000(0) + 6000(80) = 480000 (40. B Y C. Existen en el mercado dos marcas populares de fertilizante. ¿cuantos costales de cada marca debe comprar?. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL MAX Z = 4000x + 6000 y (0. Paso: La solución para el problema está representada por la fabricación de 40 artefactos manuales y 60 artefactos eléctricos generando una máxima utilidad de $ 520. EJEMPLO 2: Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos.000. Si el granjero desea minimizar el costo al tiempo que mantiene el mínimo de los ingredientes nutritivos que se requieren. . Las necesidades mínimas son 160 unidades de A.0) 4000(90) + 6000(0) = 360000 5. 200 de B y 80 de C. El llamado crecimiento rápido que cuesta $ 4000 el costal y contienen 3 unidades de A.60) 4000(40) + 6000(60)= 520000 (90.0) 4000(0) + 6000(0) = 0 (0. A. Paso: Determinamos la función objetivo y sus restricciones: MIN Z= 4000X + 3000Y SUJETO A LAS RESTRICCIONES: 3X + 2Y ≥ 160 5X + 2Y ≥ 200 X + 2y ≥ 80 2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL A B C COSTO CRECI/RAPIDO 3 5 1 4000 CRECI/NORMAL 2 2 2 3000 REQUERIMIENTO 160 200 80 SOLUCIÓN: 1.33 . Paso: Elaboramos la gráfica y determinamos la región factible: 3X + 2Y ≥ 160 X=0 Y= 80 Y=0 X= 53. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 5X + 2Y ≥ 200 X=0 Y= 100 Y=0 X= 40 X + 2y ≥ 80 X=0 Y=40 Y=0 X=80 3. PASO: Determinar las coordenadas de los puntos A y B: Para A: 3X + 2Y ≥ 160 Para B: 3X + 2Y ≥ 160 5X + 2Y ≥ 200 X + 2y ≥ 80 . 50) 4000(20) + 3000(50) = 230000 (0.100) 4000(0) + 3000(100) = 300000 5. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL -2X = -40 2X = 80 X = 20 X= 40 Y = 50 Y = 20 4. Paso: La solución del problema para el granjero está en comprar 40 unidades de crecimiento rápido y 20 de crecimiento normal.20) 4000(40) + 3000(20) = 220000 (20. con un costo mínimo de $ 220. Paso: Optimizamos la función objetivo: Z= 4000X + 3000Y (80.0) 4000(80) + 3000(0) = 320000 (40.000. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL LECCION 21. y ≥ 0 2. MAXIMIZAR . MAXIMIZAR P= 10x + 12y Sujeta a: x + y ≤ 60 x . TALLER 1.2y ≥ 0 x. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL P= 5x + 6y Sujeta a x + y ≤ 80 3x + 2y ≤ 220 2x + 3y ≤ 210 x. y ≥ 0 3.10y Sujeta a x – 4y ≥ 4 2x – y ≤ 2 x. MAXIMIZAR Z= 4x . y ≥ 0 4. MINIMIZAR Z= 7x + 3y Sujeta a 3x – y ≥ -2 . 70 horas. Un fabricante de juguetes que esta preparando un programa de producción para 2 nuevos artículos. son: para la maquina A. debe utilizar la i información respecto a sus tiempos de construcción que se proporcionan en la siguiente tabla. 40 horas. las horas de trabajo disponibles de los empleados por semana. ¿Cuántas unidades de cada uno deben fabricarse por semana con el objeto de maximizar las utilidades? ¿cual seria la utilidad máxima? MAQUINA A MAQUINA B TERMINADO “MARAVILLA” 2h 1h 1h “FANTASTICO” 1h 1h 3h . para terminado. Si las utilidades de cada juguete “maravilla” y cada juguete “fantástico” son de $40.000.000 y $60. cada juguete “maravilla” requiere de 2 horas en la maquina A. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL x+y≤ 9 x – y = -1 x. respectivamente. Por ejemplo. y ≥ 0 5. 90 horas. “maravilla” y “fantástico”. para la B. LA PROGRAMACION LINEAL BASADA EN LOS COMPUTADORES INTRODUCION . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL CAPITULO 3 METODO SIMPLEX INTRODUCCION LECCION 22. ALGORITMOS DE DESCOMPOSICION LECCION 31. DEGENERACION LECCION 29. PASOS PARA DESARROLLAR EL METODO simplex LECCION 23. TALLER METODO SIMPLEX LECCION 27. COMPARACION ENTRE EL METODO SIMPLEX DUAL Y EL DUAL-SIMPLEX LECCION 25. DUALIDAD LECCION 24. ANALISIS DE SENCIBILIDAD LECCION 26. TALLER DUALIDAD LECCION 28. PROBLEMAS DE PL CON VARIABLES ACOTADAS LECCION 30. El mejor método para resolver un problema de programación lineal es el método simplex. PASOS PARA EL DESARROLLO DEL METODO SIMPLEX 1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL En los capítulos 1 y 2 de esta unidad vimos como resolver problemas de programación lineal a través del método grafico y el método algebraico. ya que es un método de fácil aplicación. surgen grandes limitaciones a la hora de trabajar con estos dos métodos. de tipo algorítmico y conduce a una eficiente solución del problema. Por otra parte el método algebraico tarda demasiado tiempo aun para problemas de pocas variables y restricciones. X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Z b S1 a11 a12 a13 1 0 0 0 0 b1 S2 a21 a22 a23 0 1 0 0 0 b2 S3 a31 a32 a33 0 0 1 0 0 b3 S4 a41 a42 a43 0 0 0 1 0 b4 . Esto se debe a que el método grafico no resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres. y con más variables resulta imposible de utilizar. Elaborar la tabla simplex inicial. Este método establece una solución factible y luego prueba si es óptima o no. LECCION 22. Si no lo es busca una mejor solución y si esta no es optima entonces repite el proceso hasta hallar una solución óptima. CONCEPTO El método simplex fue desarrollado por George dantzig (1947) y es un método algebraico que se utiliza para resolver problemas de programación lineal en un número finito de pasos en una computadora. es decir que no es posible darle óptima solución a un problema. . El valor máximo de Z es el elemento del último renglón y la última columna. la variable entrante debe reemplazar a la variable saliente en el lado izquierdo de esta nueva tabla. Ocurre esto cuando las variables se encuentran del lado izquierdo de la tabla son iguales a lo elementos correspondiente de la última columna. una para cada restricción. si todos los indicadores de la tabla nueva son no negativos. S1. 6. Si cuando menos uno de los indicadores es negativo. entonces Z tiene un máximo cuando X1=0. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Z -C1 -C2 -C3 0 0 0 0 1 0 Indicadores Existen cuatro variables de holgura. 2. Si todos lo indicadores del último renglón son no negativos. comenzando con el paso 2. se debe repetir el mismo proceso con la nueva tabla. Si existen indicadores negativos. S2. Todas las demás variables son ceros. 3. Dividir cada uno de los elementos de la columna de b que se encuentran por encima de la recta punteada entre el correspondiente elemento de la columna de la variable entrante. X2=0 y X3=0. Este es un elemento pivote. El valor máximo es 0. 5. ya se tiene una solución óptima. Esta columna señala la variable entrante. encerrar en un círculo el elemento de la columna de la variable entrante que corresponde al menor cociente del paso 3. La variable saliente es la que se encuentra al lado izquierdo del renglón del elemento pivote. S3. Se debe realizar esta división solo en los casos en los que el elemento de la variable que entra sea positivo. localizar la columna en la que aparezca el indicador más negativo. 4. 7. y S4. Utilizar operaciones elementales sobre renglones para transformar la tabla en otra tabla equivalente que tenga un 1 en donde se encuentra el elemento pivote y 0 en las demás posiciones de esa columna. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL EJEMPLOS DESARROLLADOS EJEMPLO 1 Maximizar Z= 5X1+4X2 Sujeto a: X1+X2 ≤ 20 2X1+X2 ≤ 35 -3X1+X2 ≤ 12 X1≥0. X2≥0 Este problema de programación lineal se ajusta a la forma normal. La tabla simplex inicial es: x1 x2 S1 S2 S3 Z b Cocientes S1 1 1 1 0 0 0 20 20÷1=20 Variable S2 2 1 0 1 0 0 35 35÷2=17.5 Saliente S3 -3 1 0 0 1 0 12 Z -5 -4 0 0 0 1 0 . Por ello. Utilizando operaciones elementales sobre los renglones para obtener un 1 en la posición del pivote y 0 en las demás posiciones de esa columna. El menor cociente es 17. aparece en la columna x1. -5. se tienen: x1 x2 S1 S2 S3 Z b 1 1 1 0 0 0 20 2 1 0 1 0 0 35 -3 1 0 0 1 0 12 -5 -4 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 20 1 1/2 0 1/2 0 0 35/2 (Multiplicando el renglón 2 por 1/2) -3 1 0 0 1 0 12 -5 -4 0 0 0 1 0 . El elemento pivote es 2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Indicadores Variable Entrante El indicador mas negativo. x1 es la variable entrante. de modo que.5. S2 es la variable saliente. De modo que S1 es la variable saliente y ½ es el elemento pivote. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 0 1/2 1 -1/2 0 0 5/2 (Sumando al renglón uno el renglón 2 1 1/2 0 1/2 0 0 35/2 multiplicado por -1. Sumando al renglón cuatro el renglón dos 0 -3/2 0 5/2 0 1 175/2 multiplicado por 5) La nueva tabla es: x1 x2 S1 S2 S3 Z b Cocientes Variable S1 0 1/2 1 -1/2 0 0 5/2 5/2 ÷1/2=5 Saliente x1 1 1/2 0 1/2 0 0 35/2 35/2 ÷1/2=35 S3 0 5/2 0 3/2 1 0 129/2 129/2÷5/2=25(4/5) Z 0 -3/2 0 5/2 0 1 175/2 Indicadores Variable Entrante Obsérvese que en el lado izquierdo. Ya que -3/2 es el indicador más negativo se debe continuar con el proceso. se tiene: x1 x2 S1 S2 S3 Z b . La variable entrante es ahora x2. Utilizando operaciones elementales sobre renglones. El menor cociente es 5. sumando al renglón 0 5/2 0 3/2 1 0 129/2 tres el renglón 2 multiplicado por 3. x1 reemplazó a S2. Sumando al renglón cuatro el renglón 0 0 3 1 0 1 95 uno multiplicado por 3) 0 1 2 -1 0 0 5 1 0 -1 1 0 0 15 0 0 -5 4 1 0 52 (Multiplicando el renglón uno por 2) 0 0 3 1 0 1 95 La nueva tabla es: x1 x2 S1 S2 S3 Z b x2 0 1 2 -1 0 0 5 x1 1 0 -1 1 0 0 15 S3 0 0 -5 4 1 0 52 Z 0 0 3 1 0 1 95 . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 0 ½ 1 -1/2 0 0 5/2 1 1/2 0 1/2 0 0 35/2 0 5/2 0 3/2 1 0 129/2 0 -3/2 0 5/2 0 1 175/2 0 1/2 1 -1/2 0 0 5/2 (Sumando al renglón dos el renglón uno 1 0 -1 1 0 0 15 multiplicado por -1. sumando al renglón 0 0 -5 4 1 0 52 tres el renglón uno multiplicado por -5. S2=0). x3 ≥ 0 La restricción (10) no se ajusta a la forma normal. x2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Indicadores En donde x2 reemplazo a S1 en el lado izquierdo. multiplicando ambos lados de (10) por -1 resulta. S1=0. Sin embargo. el valor máximo de Z es 95 y aparece cuando x2=5 y x1=15 (y S3=52. TABLA SIMPLEX I x1 x2 x3 S1 S2 Z b Cocientes Variable S1 1 2 0 1 0 0 10 10÷2=5 Saliente S2 2 2 1 0 1 0 10 10÷2=5 Z -3 -4 -3/2 0 0 1 0 Indicadores Variable Entrante . Como todos los indicadores son no negativos. EJEMPLO 2 Maximizar Z= 3x1 + 4x2 + 3/2x3 Sujeta a: -x1-2x2 ≥ -10 2x1+2x2+x3 ≤ 10 x1. Ya que existen indicadores negativos. la variable saliente es S2 y el pivote se encuentra encerrado en un círculo. Por ello. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL La variable entrante es x2. La variable entrante es ahora x3. se obtiene la tabla III. Se escoge S1. TABLA SIMPLEX II . se puede elegir cualquiera de los dos. Dado que existe un empate en el menor cociente. se continúa el proceso. Se encierra en un círculo el pivote. TABLA SIMPLEX II x1 x2 x3 S1 S2 Z b Cocientes Variable x2 1/2 1 0 1/2 0 0 5 no hay puesto Saliente S2 1 0 1 -1 1 0 0 que 0 No es positivo Z -1 0 -3/2 2 0 1 20 0÷1=0 Indicadores Variable Entrante La tabla II corresponde a una SFB (solución básica factible) en la que una variable básica S2 es 0. Utilizando operaciones elementales sobre renglones. se obtiene la tabla 2. Utilizando operaciones elementales sobre renglones. como la variable saliente. la SFB es degenerada. S1 o S2. x3 ≥ 0 PASO 1: INICIALIZACIÓN: Maximizar Z . El máximo valor es Z=20. EJEMPLO 3: Considere el siguiente problema de programación lineal: Maximizar Z=2x1+5x2+8x3 Sujeto a x1+ x2+ x3 ≤ 12 8x1-4x2+4x3 ≤ 24 x2+ x3 ≤ 8 x1. Z es máxima cuando x2=5 y x3=0. y x1=S1=S2=0. Obsérvese que este valor es igual al valor de Z correspondiente a la tabla II. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL x1 x2 x3 S1 S2 Z b x2 1/2 1 0 1/2 0 0 5 x3 1 0 1 -1 1 0 0 Z 1/2 0 0 1/2 3/2 1 20 Indicadores En virtud de que todos los indicadores son no negativos. x2. En problemas con degeneración es posible llegar al mismo valor de Z en varias etapas del proceso simplex. 2. Cada una de las ecuaciones tiene una sola variable básica.B x1 x2 x3 x4 x5 x6 b Z -2 -5 -8 0 0 0 0 x4 1 1 1 1 0 0 12 x5 8 -4 4 0 1 0 24 x6 0 1 1 0 0 1 8 La solución básica falible de partida se obtiene fácilmente del sistema de ecuaciones (II). Esto quiere decir que. . en esa ecuación.6 Donde las variables de holgura son x4. la demás variables. sus valores son ceros y.…. la variable básica de la ecuación (2) es x5 ya que tiene coeficientes de +1 en esa ecuación y no aparece en ninguna de las otras ecuaciones. x5 y x6. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Z-2x1-5x2-8x3 = 0 (0) x1+ x2+ x3+ x4 =12 (1) (II) 8x1-4x2+4x3 +x5 =24 (2) x2+ x3 +x6 =8 (3) xj≥0. por consiguiente. Por ejemplo. j=1. La tabla inicial para la aplicación del algoritmo Simplex es: V. al ser no básicas. podemos deducir que el valor de x5 es igual a 24. puesto que es la que tiene mayor coeficiente en la función objetivo de (I).B. los valores de a'13 y b’1 son: Restricción 1 a'13 = 1 b'1 = 12 2 a'23 = 1 b'2 = 24 3 a'33 = 1 b'3 = 8 . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL De manera similar. Observe que en la tabla se pueden leer estos valores directamente. de la (1) se obtiene que x4 = 12 y de la (3) que x6 = 8. Entonces. viene dada por +∞ si a'13 ≤ 0 y b'1/a'13 si a’13>0. Bastará hacer corresponder a cada variable básica indicada en la primera columna. de la ecuación (0) se obtiene que Z = 0. (V.) los valores de la última columna (b). La variable básica saliente se determina de la siguiente manera: la cota superior de la variable básica entrante xent = x3. o bien es la de coeficientes más negativos en la tabla inicial (-8 en este ejemplo). es una matriz unidad. Observe además que la matriz correspondiente a las variables básicas de las restricciones. PASO 2: PROCESO ITERATIVO Primera Iteración La variable básica entrante es x3. en el conjunto de variables básicas se cambia a x5 por x3. La variable básica que corresponde a esa ecuación es x5 y es.8x2 + 8x3 + 2x5 = 48 . O sea: b’1/a'13 = 12/1 = 12 b'2/a'23 = 24/4 = 6 b'3/a'33 = 8/1 = 8 La menor cota superior es 6. Es decir. Ahora x3 es una variable básica. luego debe tener un coeficiente +1 en la segunda ecuación y no debe aparecer en ninguna otra. O sea. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Como todos los coeficientes de las ecuaciones i (i = 1. que es el coeficiente de x3 en la segunda restricción. por lo que las nuevas variables básicas son x4. Divida toda la ecuación por 4.x2 + 1x3 + 1/4x5 = 6 (A) 2. entonces la cota superior estará dada por b'1/a'13. (1) y (3) multiplique la ecuación (A) anterior por 8. Esto se logra de la siguiente manera: 1. la variable básica saliente. 2. x3 y x6. multiplicar la ecuación (A) por 8 se obtiene: 16x1 . es decir.3) son positivos. que corresponde a la restricción numero 2. (1) y (3). -1 y -1 uno a la vez. en cualquier otra ecuación distinta de la segunda restricción (que es la ecuación donde la variable básica es x3) el coeficiente de x3 debe ser cero. Para lograr ceros en los coeficientes de x3 en las nuevas ecuaciones (0). en consecuencia. y sume el resultado a las ecuaciones anteriores (0). La ecuación queda 2x1 . 2). 0.1/4x5 + x6 = 2 La solución presente después de la primera iteración es: (x1. para lograr un cero en el coeficiente de x3 de la ecuación (1). Z = 48 . para lograr un cero en el coeficiente de x3 de la ecuación (3).x1 + 2x2 + x4 – 1/4x5 = 6 Finalmente. x5. De manera similar. x4. (1) Ecuación A: -2x1 + x2 – x3 -1/4X5 = . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Esta ecuación sumada con la ecuación (0) se partida queda: Z + 14x1 – 13x2 + 2x5 = 48 Que vendría a ser la ecuación (0). 6. x6) = (0. x2. multipliquemos la ecuación (A) por -1 y sumemos el resultado a la ecuación (1). x3. 0. 6. multipliquemos (A) por -1 y sumemos el resultado a (3). La nueva ecuación (3) después de la transformación es: -2x1 + 2x2 .6 Ecuación (1): x1 + x2 + x3 + x4 = 12 Nueva Ecuación: . Esta segunda tabla proporciona una manera fácil de ver los valores actuales de las variables básicas después de que se ha realizado la primera iteración. La tabla inicial y la que resulta después de la primera iteración son las siguientes: V. registramos solamente los coeficientes de las variables y los colocamos inmediatamente debajo de la tabla inicial.B x1 x2 x3 x4 x5 x6 b Z -2 -5 -8 0 0 0 0 x4 1 1 1 1 0 0 12 x5 8 -4 4 0 1 0 24 x6 0 1 1 0 0 1 8 Tabla Inicial V.B x1 x2 x3 x4 x5 x6 b Z 14 -13 0 0 2 0 48 x4 -1 2 0 1 -1/4 0 6 x5 2 -1 1 0 1/4 0 6 x6 -2 2 0 0 -1/4 1 2 Tabla Después De La Primera Iteración . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Estos resultados se presentan de una manera sencilla en forma tabular. Al igual que se hizo con la tabla inicial. 1/4x5 + x6 = 2 La variable básica entrante es x2. Por consiguiente. puesto que su coeficiente es positivo (+13). todavía existe un coeficiente (el de x2) que es negativo. En este momento. Segunda iteración Después de la primera iteración. Para responder la pregunta. el sistema de ecuaciones queda: Z = -14x1 + 13x2 -2x5 + 48 -x1 + 2x2 + x4 . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Observe que si en la segunda tabla se intercambian las columnas de x5 y x3. La función objetivo después de la primera iteración es: Z + 14x1 – 13x2 + 2x5 = 48. veamos si es posible incrementar una de las variables de tal manera que la función objetivo aumente. o bien Z = -14x1 + 13x2 – 2x5 + 48 Si aumentamos x2 aumentará el valor de Z. puesto que es la que tiene mayor coeficiente en la función objetivo. A esta misma conclusión hubiésemos llegado si observamos que en la tabla después de la primera iteración.1/4x5 = 6 2x1 . . de nuevo se destaca la matriz unitaria. es oportuno preguntarse si la solución que se ha obtenido después de la primera iteración es la solución óptima.x2 + x3 + 1/4x5 = 6 -2x1 +2x2 . o bien es la del coeficiente más negativo en la tabla después de la primera iteración. todavía no hemos obtenido el valor óptimo y necesitamos realizar otra iteración. Se multiplica la ecuación resultante en el paso 1º. Se divide toda la ecuación (3) por 2. es decir. . Como x2 es ahora una variable básica. Esto se logra de la siguiente manera: 1. En este caso xent = x2 Restricción 1 a'12 = 2 . unos a las vez. y se suman los resultados a las ecuaciones (0).x3 y x2. procedemos de manera similar a lo que hizo en la primera iteración. Las nuevas variables son x4. (1) y (2). Entonces la variable básica saliente es x6. que es el coeficiente de x2 en esa ecuación. 2. -2 y +1. b'2 = 6 3 a'32 = 2 . b'3 = 2 Las cotas superiores son: 6/2 = 2 +∞ ya que a'22 = -1 < 0 2/2 = 1 La menor cota superior es 1 y corresponde a la tercera restricción. b'1 = 6 2 a'22 = -1 . por 13. debe tener un coeficiente +1 en la ecuación (3) y no debe aparecer en ninguna otra ecuación. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Para determinar la variable básica saliente. cambiamos x6 por x2. o sea: Z = 61. x6 = 4 (1) x1 + x3 + 1/8x5 + 1/2x6 = 7 (2) x1 + x2 .B x1 x2 x3 x4 x5 x6 b Z -2 -5 -8 0 0 0 0 x4 1 1 1 1 0 0 12 x5 8 -4 4 0 1 0 24 x6 0 1 1 0 0 1 8 Tabla Inicial . x4 = 4. los resultados se pueden presentar en forma tabular. x2 =1 y el resto de las variables son ceros.1/8x5 + 1/2x6 = 1 (3) Regla de parada Como todos los coeficientes de la ecuación (0) son positivos. x3 = 7. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL El resultado es: Z + x1 +3/8x5 + 13/2x6 = 61 (0) x1 + x4 . Al igual que en la primera iteración. son las siguientes: V. la solución presente es óptima. La tabla inicial y las que resultan después de la primera y de la segunda iteración. x4.B x1 x2 x3 x4 x5 x6 b Z 1 0 0 0 3/8 13/2 61 x4 1 0 0 1 0 -1 4 x5 1 0 1 0 1/8 1/2 7 x6 1 1 0 0 -1/8 1/2 1 Segunda Iteración La solución óptima es (x1. 4. 0). el proceso de hace bastante mas expedito utilizando directamente la tabla. 0.B x1 x2 x3 x4 x5 x6 b Z 14 -13 0 0 2 0 48 x4 -1 2 0 1 -1/4 0 6 x5 2 -1 1 0 1/4 0 6 x6 -2 2 0 0 -1/4 1 2 Primera Iteración V. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL V. x5. La determinación de las variables básica entrantes y salientes en cada iteración. x2. puede hacerse directamente a partir de cada una de las tablas. 1. Z = 61 Hemos visto la aplicación del método Simplex para obtener la solución óptima de un problema de Programación Lineal y su forma tabular asociada. x3. sin tener que pasar por las ecuaciones correspondientes. En realidad. x6) = (0. Ejemplo 4: . 7. Se eligen 3 (m) columnas linealmente independientes dentro de A ___ P4. sujeto a 2x1 + 5x2 . no confundir con adicionales. Expresamos estas condiciones en forma matricial. x5 y x6.12x2 + 3x3≤£ 9 1. además del uso de variables artificiales. recordando los pasos fundamentales en el método simplex.x3 ≤ 1 -3x1 . Nuestra función objetivo tendrá la siguiente expresión: Z = -5x1 + 8x2 + 3x3+ 0x4 + 0x5 + 0x6 Se resuelve el sistema en las variables correspondientes: . estamos utilizando tres variables adicionales: x4.8x2 + 2x3≤ 4 -2x1 . Maximizar Z = -5x1 + 8x2 + 3x3. P4 P5 P6 5 -1 1 0 0 1 2 -3 -8 2 0 1 0 4 - -2 3 0 0 1 9 12 Al introducir estas tres nuevas columnas. P5. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Observemos el siguiente ejemplo. P6. 4. Mientras haya coeficientes positivos se va a poder mejorar. Se plantea como aumentar el valor de una variable.0.2x1 .9) Obtenemos. teniendo en cuenta todas las anteriores condiciones: . Actuaremos sobre la variable x2. asimismo una "nueva" función objetivo: Z =-5x1 + 8x2 + 3x3+ 0· (1 .5x2 + x3)+ 0· (4 + 3x1 + 8x2 . Nuestro siguiente vértice debe cumplir las siguientes condiciones: x2=k>0. x2. se examina la función z=f(x1. x6³ 0 y de estas tres variables. ya que es la de mayor coeficiente. 8. x3) y de todos los coeficientes que sean positivos. se coge el mayor. al menos.1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 1 . Se resuelve el sistema en las variables señaladas.2x3) + 0· (9 + 2x1 + 12x2 .3x3 = x6 Haciendo x1= x2= x3= 0 se obtiene el vértice de salida: (0. de forma que las otras variables que aparecían en la expresión de Z sigan nulas y. x1= x3= 0 y x4. una de las que eran distintas de cero se anule.3x3) 2. una nula. al menos.2x1 .5x2 + x3 = x4 4 + 3x1 + 8x2 . x5. De aquí obtenemos que z0= 0 3. Para ver si es posible mejorar z0.2x3 = x5 9 + 2x1 + 12x2 .0. 41/5 x1 + 23/5 x3 + 8/5 x4 .5·k = x4 4 + 8·k = x5 9 + 12·k = x6 Debemos anular x4. ya que es imposible anular x5 y x6. 1/5 . La mejor elección será k=1/5. con valores positivos. Z = 8/5 . Se cambia la columna de la variable señalada que acaba de anularse por la de la señalada que aumentó su valor. Con este valor obtenemos el nuevo vértice de salida: (0. x3 y x4 .0. 4.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 1 . P2 P5 P 6 1 -1/5 1/5 0 0 1/5 2/5 1/5 0 2/5 8/5 1 0 28/5 14/5 0 3/5 12/5 0 1 57/5 Se resuelve el sistema y se encuentra la expresión de la función objetivo correspondiente a esa elección de columnas.57/5) Ahora debemos rehacer las expresiones.0. expresadas en función de x1. 28/5 . (0.20 x4 + 23/2 x5 Calculamos el vértice de salida. (mientras haya coeficientes positivos).0. que saldrá de sustituir el valor del vértice hallado en la nueva expresión de la función objetivo: z1= 8/5. obteniendo los siguientes valores: P2 P3 P6 1/2 1 0 1 1/2 0 3 1/2 0 1 4 5/2 0 14 5/2 0 0 -3/2 0 1 3 Se resuelve el sistema y se encuentra la expresión de la función objetivo: Z = 66 .3) è z2= 66 .14.3/5 ·k = x6 Elegimos k= 14 (2ª igualdad).0. haciendo x1= x4= x5= 0. x4= 0 Por tanto.21/2 x1 . 5.2/5 ·k = x5 57/5 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Obtenemos z1. Se repite cuantas veces haga falta el proceso. 1/5 + k/5 = x2 28/5 . x3= k x1.3. Manipular las ecuaciones del sistema para que éste sea equivalente y la matriz identidad aparezca en el sistema final. Debe elegirse m columnas linealmente independientes de A cualesquiera. Cuando las columnas de la matriz identidad están dentro de A. Introducción de nuevas variables. este primer vértice siempre se puede hallar. -1 0 0 1 1 48 1 2 -1 0 0 97 .14) Alcanzado para Z= 66 Comentarios • Para arrancar el simplex se precisa de un vértice inicial. puede que el simplex no arranque. 1 1 -1 0 1 1 1 -1 0 1 F1 F2.2F1 230 1 6 012 1 4 con Z. vértice solución: (0. 2.3. función objetivo del problema. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Ya no se puede mejorar este valor (no hay coeficientes positivos). Serán tantas como sean necesarias y donde sean necesarias para obtener la matriz identidad. variables artificiales (no confundir con adicionales). El proceso ha finalizado. Aun así. 3. Si Im no está dentro de A: (Im . matriz identidad de mxm.) 1. con m= nº de condiciones. .. de cuya solución se saca la solución del problema estudiado: I. Vs* = (v1. . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL -1 0 0 1 1 48 1 2 -1 0 0 97 0 2 0 -1 0 11 -1 0 0 1 1 0 0 48 1 2 -1 0 0 1 0 97 0 2 0 -1 0 0 1 11 5.x2 + x4 .. vn) solución de I. 0. Z* = C' t · X Si el problema aumentado tiene solución en un vértice en el que todas las variables artificiales toman el valor cero. llamado problema aumentado. Problema aumentado: A' ·X = B. Esta introducción afecta a las condiciones y a la función objetivo que quedará modificada en el sentido de que habrá dos variables nuevas más (variables artificiales).. Z = 2x1 ..3x5 . Z = Ct · X II. tendremos un vértice solución para el problema en la forma canónica... función objetivo del problema. 0 ) solución de II ___ Vs = (v1.. . v2.. Se añaden tantos sumandos nuevos como variables artificiales introducidas con coeficiente -M. Problema inicial (a su forma canónica): A·X = B... siendo M arbitrariamente grande. vn. que no hace falta especificar.M(x6 + x7) Obtenemos un nuevo problema.. v2.. con Z... llamado precisamente dual. La dualidad y el análisis de sensibilidad son potencialidades de éste método El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal. las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual. Si el primal es un problema de maximización su dual será un problema de minimización y viceversa. Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. LECCION 23. 5. 3. El método simplex además de resolver un problema de programación lineal llegando a una solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual. Los coeficientes de las restricciones en el problema primal. Los problemas dual y primal están relacionados a tal grado. 6. 2.1 PASOS PARA CONVERTIR UN PROBLEMA PRIMAL A UNO DUAL 1. Así. será la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual. que la solución simplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Si el problema aumentado tiene una solución en un vértice en el que alguna de sus componentes artificiales sea no nula. DUALIDAD Para cada problema de programación lineal hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal. Si el primal tiene m restricciones y n variables. el dual tendrá n restricciones y m variables. El dual permite resolver problemas de maximización resolviendo un problema minimización relacionado con aquel. 23. 4. el problema inicial no tiene solución. . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL PROBLEMA PRIMAL EN PROBLEMA DUAL EN FORMA CANONICA: FORMA CANONICA: MAX Z= CX MIN Z= BY Sujeto a: Sujeto a: AX ≤ b AY ≥ C X≥0 Y≥0 23.2 EJEMPLOS RESUELTOS EJEMPLO 1 Encontrar el dual del siguiente problema: . tendremos -X1 . X3 ≥ 0. X1. X2.X2 > -3.X2 ≥ 3. Y1.X2 ≥ -3. 2Y1 + 2Y2 ≥ 4. (11) X1 + X2 ≤ 1.X2 ≥ 2. (13) Y1. X1 . 4X1 . 0Y1 + Y2 ≥ 2.X2 > - 1 y 4X1 . Debido a que es un problema de minimización.X2 ≥ -1. EJEMPLO 2 Encontrar el dual del siguiente problema: Minimizar Z = 4X1+ 3X2 Sujeta a 3X1 . . las restricciones (12) y (13) deben quedar >. Y2 ≥ 0. (12) -4X1 + X2 ≤ 3. Por lo tanto: 3X1 . Y2 ≥ 0. Multiplicando ambos lados de (12) y (13) por -1. El duaL es: Minimizar W = 10Y1 + 10 Y2 Sujeta a Y1 + 2Y2 ≥ 3. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Maximizar Z = 3X1 + 4X2 + 2X3 Sujeta a X1 + 2X2 + 0X3 ≤ 10. 2X1 + 2X2 + X3 ≤ 10. COMPARACION ENTRE EL METODO SIMPLEX Y DUAL - SIMPLEX PRIMAL DUAL Necesita para comenzar una base Necesita para comenzar una base (primal) factible. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL El dual es: Maximizar W = 2Y1 – Y2 – 3Y3 Sujeta a 3Y1 – Y2 + 4Y3 ≤ 4.Y2 . LECCION 24. -Y1 .Y3 ≤ 3. Y2. Y1. Y3 ≥ 0. (dual) factible. . a fin de en todas las iteraciones. pivote de tal manera que se garantice Se determina luego la columna pivote que la factibilidad del primal se de tal manera que se mantenga la mantenga en la próxima base. El criterio de optimización para el dual El criterio para optimización para el primal es el criterio de factibilidad del Es el criterio de factibilidad para el dual. valores negativos. es muchas veces necesario realizar un análisis de sensibilidad. La no factibilidad del dual se La no factibilidad del primal se establece en el simplex primal. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Partiendo de una base primal factible. manteniendo una del primal a través de todo el proceso. manteniendo una factibilidad del primal. Partiendo de una base dual factible. si la establece en el dual – simples. si la columna pivote no tiene componentes fila pivote no tiene componentes con con valores positivos. luego se determina la fila segundo miembro de las ecuaciones. La columna pivote se selecciona La fila pivote se selecciona primero y primero entre aquellas columnas que entre aquellas filas que tienen un corresponden a un coeficiente valor actualizado negativo en el negativo. el se trata de alcanzar una factibilidad método trata de alcanzar factibilidad del dual. LECCION 25. esto es estudiar cómo cambia la solución del problema por cambios discretos que se . primal. factibilidad del dual a través del todo el proceso. Los elementos pivote son posibles en Los elementos pivotes son negativos todas las iteraciones. factibilidad dual en la próxima base. ANALISIS DE SENSIBILIDAD Una vez que se ha obtenido la solución óptima de un problema de programación lineal. acercarse a la factibilidad del primal. a fin de mantener la factibilidad del primal. Una forma de conocer los cambios que ocurren en la solución óptima de un problema de P. Otra manera es hacer uso de las propiedades del primal-dual estudiadas anteriormente. ya que es posible reducir muchos cálculos y ahorrar recursos y tiempo llegando a nuevas soluciones óptimas.L. CAMBIOS EN EL VECTOR DE DISPONIBILIDAD . y su resolución requiere recursos financieros. en el precio de materia producido. o sea. Generalmente estos cambios dan origen a un nuevo problema. En general. Con las propiedades del método simplex no se necesitará resolver el nuevo problema desde el principio. pues ese es el objetivo del análisis de sensibilidad. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL introduzcan en los distintos coeficientes de este problema. comparando con el que tendríamos que realizar si resolvemos el nuevo problema y es precisamente lo que haremos en esta sección. es decir. en el costo de operación. Los cambios discretos en esos coeficientes pueden o no afectar la condición de factibilidad (XB≥0) y la llamada condición de optimalidad (todos los Zj – Cj ≥ 0 para los problemas del tipo maximización). sin resolver el problema totalmente. es resolver completamente el nuevo problema y comparar su solución con la obtenida en el problema original. Después de llegar a la solución de un problema de programación lineal. las variables de decisión • Aumentar el número de restricciones. Esto puede ser. humanos y tiempo. Puede ocurrir que el administrador necesite hacer ciertos cambios en los recursos disponibles de la operación. sin embargo. esto último reduce bastante el esfuerzo computacional. etc. pero en ocasiones no es factible gastar y esperar más por el nuevo problema creado con el cambio ocurrido en las disponibilidades. cuando ocurren cambios (discretos) en uno o más coeficientes. completamente ineficiente. en los coeficientes de la función objetivo • Adición de nuevas actividades. El análisis de sensibilidad permite utilizar la tabla final para realizar operaciones con objeto de analizar los siguientes cambios en el problema de programación lineal: • Cambios en el vector de disponibilidad de recursos • Cambios en el vector de costos o precio. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Suponga el siguiente problema de programación lineal: Max Z= 8X1 + 6X2 Sujeta a: 4X1 + 2X2 ≤ 60 2X1 + 4X2 ≤ 48 X1 + X2 ≥ 0 El presidente de la fábrica decidió aumentar 2 horas de cada día en la capacidad de los dos departamentos (la fábrica trabaja 6 días a la semana. Z=132 X1= 12 X2= 6 H1= 0 H2= 0 Según la decisión del presidente el nuevo problema será: Max Z= 8X1 + 2X2 Sujeto a: 4X1 + 2X2 ≤ 71 2X1 + 4X2 ≤ 59 Para resolver ese problema utilizamos la tabla final del problema anterior. pero los sábados trabajan hasta medio día). Al presidente le interesa saber que efectos tendrán sus decisiones sobre la solución óptima actual. Base Variables de Variables de Solución Decisiones Holgura X1 X2 H1 H2 Z 0 0 5/3 2/3 132 Final X1 1 0 1/3 -1/6 12 X2 0 1 -1/6 1/3 6 . al nuevo vector de disponibilidad. pero como se sabe que la situación es temporal no se quiere cerrar la planta completamente. 14 (8. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Multiplicamos la matríz de los coeficientes tecnológicos de las variables que no están en la base. por consiguiente los nuevos valores de las variables básicas actuales son: X1 1/3 -1/6 71 14 = = X2 -1/6 1/3 59 7. por consiguiente el nuevo problema será: Max z= 8x1 + 6x2 SUJETO A: 4x1 + 2x2 ≤ 56 2x1 + 4x2 ≤ 25 Solución: .6) = 157 7. Para encontrar el valor Z multiplicamos el vector de costo o precio al vector de la nueva solución. y por problemas de liquidez no es posible cubrir el sueldo de todos los trabajadores. pero su inquietud es saber qué efectos tendrán estas nuevas decisiones en el nivel de producción y en su ganancia.5 Como X1 y X2 no son negativos la nueva solución es factible y óptima.5 Supóngase que por dificultades económicas no se puede vender el producto con la misma rapidez que el año pasado. así que el presidente decidió reducir la capacidad en ensamble y terminación a 56 y 25 horas respectivamente. aquí el método de dual simplex llega a ser importante para restablecer la factibilidad del problema. Entonces la nueva solución de la segunda restricción X2= -1 no es factible. y el recurso que rendirá más si aumentamos unas unidades.5 = = X2 -1/6 1/3 25 -1 Como los nuevos valores de las variables de decisión tienen signo negativo violan la propiedad del simplex. tenemos que ver en la tabla final de dual aquella variable dual correspondiente a la restricción primal que tiene el valor positivo más alto. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL X1 1/3 -1/6 56 14.5 X3 0 -6 1 -2 6 Óptimo La solución factible y óptima actual es: X1= 12. Para más información ver la interpretación de dual. el nuevo problema será: Max Z= 6X1 + 5X2 Sujeto a: . X2= 0. o sea. cuando el sector [b] ≥ [0] la solución no es factible. El presidente decide bajar el precio de la mesa a 6 pesos y el de la silla a 5 pesos.5 X2 0 1 -1/6 1/3 -1 Z 0 10 0 4 100 X1 1 2 0 ½ 12. Base X1 X2 H1 H2 Solución Z 0 0 5/3 2/3 110 X1 1 0 1/3 -1/6 14.5. X4= 0. CAMBIO AL VECTOR DE COSTO O PRECIO Supongamos que la compañía tiene mucha mercancía almacenada que no puede vender. X3= 6. Z= 100 No se debe olvidar que para encontrar cuál recurso hay que aumentar a fin de lograr el mejor rendimiento marginal. pero antes de hacer válida al decisión quiere saber qué efecto tendrá en su operación y ganancia. por la matriz de coeficientes tecnológicos multiplicamos Q por la matriz de los coeficientes del dual. restamos L. Para verificar si Q es el resultado de la F. si el resultado es el cero. la matriz de los coeficientes de las variables que no están en la base de la tabla final de simplex: el resultado de esta multiplicación le llamaremos Q.X2≥ 0 Solución: El análisis de sensibilidad para este tipo de cambio toma como punto de partida la solución óptima del problema original multiplicando el nuevo vector de costo o precio (valores de la función objetivo por la matriz de coeficientes tecnológicos). si Q ≤ 0 la solución no es factible. y llamaremos al resultado de esta multiplicación L. si no es óptima. seguimos con el procedimiento de simplex. C (vector de costo y precio) x Mariz de = Q Coeficientes Tecnológicos Q matriz de las variables = L De cual es dual . Si la solución es factible se debe verificar que la solución sea óptima también. con el nuevo vector de costo o precio. la solución es óptima si no seguimos con el procedimiento simplex. Hay una mejor explicación con el procedimiento de simplex. o sea.O. Si Q≥ 0 la solución es factible. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 4X1 + 2X2 ≤ 60 2X1 + 4X2 ≤ 48 X1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL L – C = 0. MAXIMIZAR Z= x1 + 2x2 Sujeta a 2x1 + x2 ≤ 8 2x1 + 3x2 ≤ 12 x1.O. (Z) correspondientes a X1 y X2 de la tabla final de simplex son: (8 6) – (8 5) = (2 1) LECCION 26. la solución es óptima 1/3 -1/6 (6. TALLER METODO SIMPLEX 1.5) = (7/6.5) 2 4 Los nuevos coeficientes de la F. 2/3) = (6. o verificamos la optimalidad 4 2 (7/6. x2 ≥ 0 .2/3) -1/6 1/3 Como Q. Una compañía de carga maneja envíos para 2 compañías. MAXIMIZAR Z= 8x1 + 2x2 Sujeta a x1 – x2 ≤ 1 x1 + 2x2 ≤ 8 x1 + x2 ≤ 5 x1. Tanto A como B hacen envíos a los mismos destinos. El costo de trasporte para cada caja de A es $7500 y para B es $5000. ¿Cuántas . x2 ≥ 0 4. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL 2. En un viaje. A y B. la B envía cajas de 1 pie³ con peso de 5 libras cada una. la compañía transportadora tiene un camión con espacio de carga para 2400 pies³ y capacidad máxima de 9200 libras. x2 ≥ 0 3. que se encuentran en la misma ciudad. La empresa A envía cajas que pesan 3 libras cada una y tiene un volumen de 2 pies³. MAXIMIZAR Z= -x1 + 3x2 Sujeta a x1 + x2 ≤ 6 -x1 + x2 ≤ 4 x1. La utilidad por unidad X. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL cajas de cada empresa debe transportar el camión para que la compañía de transportes obtenga el máximo ingreso? ¿cual es este máximo? 5. sin embargo si es su deseo hacerlo proceda. TALLER DUALIDAD En los siguientes problemas hay que encontrar solo la forma dual del ejercicio no es necesario que los resuelva. Y y Z es $3000. una compañía fabrica 3 productos X. MAXIMIZAR Z= 2x1 + 3x2 . cada producto requiere de los tiempos de maquina y tiempo de terminado como se muestran en la tabla. Z. 1. Los números de horas de tiempo de maquinas y de tiempo de terminado disponibles por mes son 900 y 5000 respectivamente. ¿Cual es la utilidad máxima al mes que puede obtenerse? TIEMPO DE TIEMPO DE MAQUINA TERMINADO X 1 4 Y 2 4 Z 3 8 LECCION 27. $4000 y $6000 respectivamente. Y. x2 ≥ 0 2. Para cada peso de publicidad la tabla que aparece en seguida presenta el numero de personas por grupo de ingresos. de cada uno de esos medios de comunicación alcanza.000 y cuando menos 6000 de las que ganan mas de $500. La empresa desea llegar a cuando menos 8000 personas de las que tienen ingresos de menos de $500. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Sujeta a x1 + x2 ≤ 6 -x1 + x2 ≤ 4 x1.000. utilizar el dual y el método simplex para hallar las cantidades que debe invertir la empresa en publicidad en periódicos y en radio. x3 ≥ 0 3. ¿cual es el costo total mínimo de publicidad? . x2. con un costo total mínimo. MAXIMIZAR Z= x1 + 8x2 + 5x3 Sujeta a x1 + x2 + x3 ≥ 8 -x1 + 2x2 + x3 ≥ 2 x1. para llegar a ese número de personas. Una empresa está comparando los costos de publicidad en dos medios de comunicación: periódicos y radio. 000 $500. es posible ir combinando sucesivamente un vector de la base y alcanzar una solución optima (o una indicación de que la solución no esta acotada) en un numero finito de pasos. METODO DE PERTURBACION DE CHARNES Se considera solamente la resolución de un problema particular.000 PERIODICOS 40 100 RADIO 50 25 LECCION 28. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL MENOS DE MAS DE $500. considerando un conjunto de problemas cuyos valores son modificados a un valor en particular. Para la solución de la degeneración en programación lineal existen dos métodos importantes: método de perturbación de charnes y método simplex generalizado. 1. . es complemento natural de un primer curso de investigación de operaciones para un estudiante de ingeniería. así como algoritmos para resolver problemas con estructuras especiales. Pero este capítulo se presentan algunos tópicos avanzados relacionados con la degeneración en programación lineal. DEGENERACION: INTRODUCCION Las unidades anteriores cubren los aspectos fundamentales del modelo de programación lineal. hemos visto que si existe una solución básica factible (pero no optima) al conjunto de restricciones y en ausencia de degeneración. DEGENERACION EN PROGRAMACION LINEAL En el desarrollo del método simple. Con el estudio de esta unidad entonces. Claro esta que en el uso de la técnica de perturbación con el método simplex en forma tabular. . Veamos a continuación un ejemplo ilustrativo del procedimiento para seleccionar el vector que debe salir de la base y que asegurará que el ciclaje no ocurrirá. • Comenzando con una matriz identidad como base podemos obtener siempre una solución básica inicial para el problema perturbado. En algunos casos no es importante hallar el valor de E (dado por algunos libros como el coeficiente que acompaña el resultado de la solución factible). PASOS PARA OBTENER UNA SOLUCION DEGENREADA APARTIR DE LA SOLUCION BASICA • Numeramos los vectores de tal manera que aquellos que conforman la matriz identidad estén de primero. USO DE LA TECNICA DE PERTURBACION EN EL METODO SIMPLEX EN FORMA TABULAR Para aplicar la técnica de perturbación de Charnes con el método tabular del algoritmo simplex se resuelve de la misma forma que el método simplex para realizar el cálculo de la SBF (solución básica factible). ya que no es necesario en la practica porque requiere de mucho trabajo sin embargo es importante ya que demuestra que cualquier valor entre 0 y Emax puede perturbar el resultado de la solución degenerada. En primer lugar consideramos las menores potencias de E porque los valores mas pequeños son los que cuentan. 2. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Cuando los valores no se modifican el conjunto de problemas incluye el problema original a resolver. debemos proveer las columnas para los vectores artificiales que se requieran. puesto que XB2/Y24=XB3/Y34=0 nos movemos entonces a la primera columna y determinamos: Y21/Y24 y Y31/Y34. Ahora bien. Tomemos entonces la columna de a2 (segunda columna) y calculamos Y22/Y24 y Y32/Y34.0/4}=0 (no es único) El vector que sale de la base esta unívocamente determinado. Y21/Y24=0/3=0 Y31/Y34=0/4=0 En ambos casos el coeficiente es cero. o sea: . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL a1 a2 a3 a4 a5 V. al dividir Xb/Yi4 se tiene Min {2/2.0/3.B x1 x2 x3 x4 x5 b Z 0 0 0 -4 -3 0 X1 1 0 0 2 4 2 X2 0 1 0 3 1 0 X3 0 0 1 4 2 0 En la primera iteración el vector a4 entra a la base. la variable X4 entra y sale X3.B x1 x2 x3 x4 x5 b Z 0 0 1 0 -1 0 X1 1 0 -1/2 0 3 2 X2 0 1 -3/4 0 -1/2 0 X3 0 0 ¼ 1 ½ 0 Primera iteración . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Y22/Y24=1/3. la nueva tabla será: a1 a2 a3 a4 a5 V. En otras palabras. Y32/Y34=0/4=0 En este caso se obtiene el coeficiente mínimo de cero. el elemento pivote es entonces Y34=4. Entonces sacamos de la base al vector a3. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Con una iteración adicional obtenemos la solución óptima. A partir de la información dada en las tablas, vamos a mostrar la solución correspondiente al problema perturbado. Para la primera tabla de acuerdo a la ecuación n+s Xb(E) = Xb + ∑ E ^ (j)Yj j=1 Tenemos: XB1 (E) = 2 + E +2E^(4) +4E^(5) XB2 (E) = 0 + E^(2) +3E^(4) +E^(5) XB3 (E) = 0 + E^(3) +4E^(4) +2E^(5) Z(E) = 0 Los nuevos valores XnBi(E) cuando se incorpora el vector a4 se obtiene la segunda tabla y son los siguientes: XnB1 (E) = 2 + E^(3) –(1/2)E^(3) +3E^(5) XnB2 (E) = E^(2) –(3/4) E^(3) –(1/2)E^(5) XnB4 (E) = 1/4E^(3) + 4E^(4) +2E^(5) ZN(E) = E^(3) + 4E^(4) + 2E^(5) Para los valores pequeños de E los XBi(E) son positivos. A demás ZN(E) > Z(E). UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL METODO SIMPLEX GENERALIZADO Esta técnica utiliza el concepto de vectores ordenados lexicográficamente. Un vector X es lexicográficamente positivo (y se denota por X>0) y su primer componente distinto de 0 es positivo. Dicho de otra manera, si examinamos el vector X de izquierda a derecha y encontramos que la primera componente distinta de cero es positiva, entonces el vector es lexicográficamente positivo. • Selección del vector que entra en la base El vector que entra en la base en cualquier iteración se determina de la misma manera que el método simplex común, de hecho es el mismo vector que entraría si tratáramos con la solución básica factible XB del problema original. • Selección del vector que sale de la base Para determinar el vector que sale de la base podemos utilizar una generalización de la formula usual; XBr/Yrk = min{ XBi/Yik, Yik > 0} i EJEMPLO Utilicemos el mismo ejemplo anterior para mostrar la solución obtenida utilizando el método simplex generalizado. V.B x1 x2 x3 x4 x5 b Z 0 0 0 -4 -3 0 X1 1 0 0 2 4 2 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL X2 0 1 0 3 1 0 X3 0 0 1 4 2 0 Z 0 0 1 0 -1 0 X1 1 0 -1/2 0 3 2 X2 0 1 -3/4 0 -1/2 0 X3 0 0 ¼ 1 1/2 0 Para la tabla inicial XB1=(2,1,0,0) XB2=(0,0,1,0) XB3=(0,0,0,1) Z=(0,0,0,0) Todos los vectores de las variables son lexicográficamente positivos. Para la segunda tabla se tiene XBN1=(2,1,0,-1/2) XBN2=(0,0,1,-3/4) XBN=(0,0,0,-1/4) ZN=(0,0,0,1) Los nuevos vectores de las variables son también lexicográficamente positivos y además ZN > Z. Un ejemplo típico ocurre cuando cada una de las actividades tiene el mismo tiempo recursos propios y recursos compartidos con otras actividades. estos tipos de restricciones se denominan restricciones de variables acotadas. PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL CON VARIABLES ACOTADAS En un problema de programación lineal. Sin embargo. entonces el tamaño de la base puede ser tal que la aplicación directa del método simplex convencional resulte poco eficiente. En un problema de programación lineal donde el número de restricciones de variables acotadas es pequeño. si este número de restricciones es grande. . LECCION 30. en el primer tipo las variables tienen cotas superiores y en el segundo tipo tienen cotas inferiores. se puede aplicar directamente el método simplex convencional sin tener inconveniente con el crecimiento de la base. frecuentemente ocurre que un cierto numero de restricciones sin de la forma: 0<Xj <uj o bien 0< lj<X. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL LECCION 29. ALGORITMO DE DESCOMPOSICION INTRODUCCION Frecuentemente se presentan problemas de programación lineal de gran tamaño y con una estructura especial. los cuales son computacionalmente imposibles de resolver. PRINCIPIO DE DESCOMPOSICION Los problemas de programación lineal con un gran numero de restricciones y una estructura especial. reducir el problema original de la forma modificada en función de las nuevas variables. 3. el cual consiste en dividir el problema original en subproblemas de más fácil manejo y luego resolver estos últimos casi independientemente. o sea. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL A este tipo de problemas se les suele aplicar un procedimiento de descomposición. Esto hace que sea conveniente utilizar el llamado principio de descomposición. para la iteración en curso y para cada subproblema determine un valor optimo utilizando la relación: . 2. ALGORITMO DE DESCOMPOSICION Pasos: 1. puesto que el tiempo de de solución se incrementa considerablemente con el numero de restricciones. dividir el problema original en un cierto número de subproblemas. encontrar una SBF al problema modificado. son a menudo computacionalmente difíciles de resolver. resolver estos últimos casi independientemente y luego reunir las partes para obtener la solución optima. A menudo es necesario utilizar la técnica de las variables artificiales. Vaya al paso 2. presenta paso a paso y calcula las operaciones usando el método Simplex. LA PROGRAMACION LINEAL BASADA EN LOS COMPUTADORES Este apéndice está basado en el uso de programas de computación. encuentra la guía clara. 4.phpsimplex. Por el link: http://www. PHP simplex es un programa gratis. que puede ayudar al estudiante a aclarar las dudas en la aplicación de la teoría dada en este módulo. . introduzca la variable que sea de la solución optima correspondiente a β y calcule B exp(-1). LECCION 31. En ayuda tutorial. Este programa fácil de manejar. si β≥0. la solución presente es optima. además calcula y realiza las gráficas cuando requiere realizar el problema por el método gráfico. para facilitar la aplicación de la Programación Lineal y poder obtener resultados rápidamente.com/simplex/simplex.htm entre. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL Minimizar Wj = (CB R0 Aj – Cj)Xj Sujeto A: BjXj=bj Xj≥0 Luego determine β(punto optimo)=min{βj} para todo j. en el caso contrario vaya al paso 4. haciendo control + clic sobre este vínculo. para poder usar el programa php simplex. 995. Hamdy A. Investigación de operaciones. Editorial Alfaomega. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL FUENTES DOCUMENTALES DOCUMENTOS IMPRESOS: THA. Gould y Schimidt. Investigación de operaciones en las Ciencias de Ingeniería. Editorial Prentice may. EPPEN. 3 edición . 5 edición 1. Introducción a la investigación de operaciones. PRAWDA. Editorial Prentice Hall. Robert. Investigación de Operaciones. Editorial McGraw Hill SHAMBLIN. BARROS. Juan. SASIENI. Editorial Addison-Wesley. Linear Programming. Investigación de Operaciones. Investigación operativa análisis de sistemas. 1969 . Investigación de operaciones e informática. Invitación a la investigación de operaciones. Investigación de operaciones. Métodos y Modelos de investigación de operaciones. MORA. Jose Luis. Yaspan. C:E:C:S:A MARTHUR Y SOLOW. Tomo I THIERAUF. Editorial Limusa 1. 7 edición. James.Oscar. Universitaria. Limusa. A. 1. Métodos Cuantitativos para la Toma de decisiones. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL GALLAGHER.979. Chile.982 HADLEY G. México. Editorial Limusa. Faure R. Watson. KAUFMANN . Editorial Trillas. SOFTWARE EDUCATIVOS: CPLEX NETPLOW OPTIMA PAFO SOCRATES MATLAB SIAM 2000 PIMAD . • Computers & Operations Research. • IIE Solutions. • Manufacturing Engineering. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – PROGRAMACION LINEAL GASS. Editorial McGraw Hill. • Industrial World en Español. • Mathematical Programming. • Operations Research. • Industrial Engineering. Methods and Applications. • Management Science. • International Journal of Operations & Production Management. 1969. • Mathematics of Operations Research. Linear Programming. Saul I. Revistas: • ters & Industrial Engineering. TODAS LAS DIRECCIONES QUE LLEVEN A INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. 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