1I.E. CÁRDENAS CENTRO MÓDULO DE MATEMÁTICA CICLO V GRADO DÉCIMO 2 TABLA DE CONTENIDO pág. UNIDAD 1 1. 1.1. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 3. 3.1. 3.2. ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS DE ACUERDO CON SU AMPLITUD EN FUNCIÓN DE SU POSICIÓN Ángulos consecutivos. Los que tienen un lado y el vértice común. Ángulos opuestos por el vértice Ángulos formados por dos paralelas y una transversal SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EL RADIÁN EL GRADO SEXAGESIMAL EL GRADO CENTESIMAL APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE THALES Y DE PITÁGORAS TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS (TEOREMA DE THALES) TEOREMA DE PITÁGORAS 6 6 7 7 8 9 13 13 13 14 18 18 18 21 PRUEBA TIPO ICFES UNIDAD 2 1. 1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. 1.1.6. 2. 2.1. 2.2. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS El seno El coseno La tangente La cotangente La secante La cosecante FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS ESPECIALES ÁNGULO DE 45º ÁNGULOS DE 30º Y 60º SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN LOS CUADRANTES PRIMER CUADRANTE SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS APLICACIÓN GEOMÉTRICA APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN INGENIERÍA APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TOPOGRAFÍA APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NAVEGACIÓN 25 25 26 26 27 27 27 27 28 28 28 30 30 30 31 31 31 33 34 35 36 3 1. 5.7. 2. 2.4. 5.3.5. 5.2.2.1.1. 4.1. 5. 5. 2.2.4.6. 1. 1.1. 4.3.1.1. 5. 5.3. 5.1.3.2. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN METEOROLOGÍA DOMINIO Y RANGO DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA DOMINIO DE UNA FUNCIÓN RANGO DE UNA FUNCIÓN ELABORACIÓN DE LA GRÁFICA DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA La función seno La función cosecante La función coseno La función secante La función tangente La función cotangente Propiedades de las funciones trigonométricas Funciones circulares recíprocas 37 39 39 39 40 40 40 40 40 40 41 41 41 42 PRUEBA TIPO ICFES UNIDAD 3 1.2. 1. 5. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO LA LINEA RECTA. PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 66 66 67 69 69 4 .1.1. 2.3.3.2.1. 2.3. 4.3. 1.1.8.3.3.1. 2. 5. ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS Ángulos dobles Ángulos medios 45 45 45 48 51 52 53 54 54 55 57 59 59 60 60 60 62 PRUEBA TIPO ICFES UNIDAD 4 1. 5.4.1. 5. 4.1.1. 2.3. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO Teorema del seno Teorema del coseno IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES COMPROBACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Por similitud con alguna fórmula Pasando a senos y cosenos Despejando las formulas Binomios conjugados SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS. 2.2. 4.5.1.2. 3.2. 1.2.1. Ecuación general de una parábola 5.1.2. Ejes de una elipse 5.2.1.2.1. 2. Directrices de la elipse 5.2. Puntos de una elipse 5. ELIPSE E HIPÉRBOLA 5.2.1.1.4.2. Aplicaciones 5.6. Aplicaciones 5. En coordenadas cartesianas 5.2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Ecuación de la recta dados punto–pendiente ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA PENDIENTE DE UNA RECTA RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 70 71 71 73 75 75 78 78 78 79 81 81 82 82 82 82 83 83 83 84 84 84 85 86 87 87 87 88 89 89 90 96 5. ELIPSE 5.2.2.2.1.2.3.2. 2.2. Ecuaciones paramétricas 5. Elementos de una elipse 5.3.2.1.3.4.3.3.1.2. Ecuaciones en coordenadas cartesianas 5. Ecuaciones en coordenadas polares 5. Ecuaciones de la elipse 5. HIPÉRBOLA 5. ESTUDIO DE LAS SECCIONES CÓNICAS: PARÁBOLA. Ecuación involucrando la distancia focal 5.2. Excentricidad angular de una elipse 5.2.1. En coordenadas polares 5. 4.1.5.3.2.3.1. Ecuaciones de la hipérbola 5. PARÁBOLA 5. Aplicaciones en el mundo real PRUEBA TIPO ICFES BIBLIOGRAFÍA 5 .1.3.3.1.2. Excentricidad de una elipse 5.3.1.1.1. 3. Ecuaciones de la parábola 5.2. Constante de la elipse 5.2.1.1.1.1. 2.2.3.1. Ángulo recto Un ángulo recto es d de amplitud igual a rad g Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100 centesimales). por lo tanto su abertura es nula. o menor de 100g (grados centesimales). rad Ángulo oblicuo Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. o sea de 0° 0°. DE ACUERDO CON SU AMPLITUD Tipo Ángulo nulo Ángulo agudo Descripción Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes.1. rad 6 . tiene u una na amplitud de g Equivalente a 360° sexagesimales (o 400 centesimales). Ángulo llano. Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. que coincide con el vértice. Es decir. .UNIDAD 1 1. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto. Suelen medirse en unidades tales como el radián. ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. 1. Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rady menor de rad. Ángulo completo o perigonal Un ángulo completo o perigonal. Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a g Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100 y menos de g 200 centesimales). extendido o colineal El ángulo llano tiene una amplitud de rad g Equivalente a 180° sexagesimales (o 200 centesimales). el grado sexagesimal o el grado centesimal. mayor de 0° y menor de 90° ( grados sexagesimales agesimales). reflejo o entrante Es el que mide más de rad y menos de rad.2.Ángulo convexo o saliente Es el que mide menos de rad.2. Se dividen en: Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90° α + β son complementarios α + β= 90° Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180° α + β son suplementarios α + β = 180° 7 . Ángulo cóncavo. más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200 y menos de g 400 centesimales). Ángulos consecutivos.1. g Esto es. EN FUNCIÓN DE SU POSICIÓ POSICIÓN 1. 1. Los os que tienen tienen un lado y el vértice común. g Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0 y menos de g 200 centesimales). centesimales 1. 360 grados sexagesimales equivalen a 2π radianes. vértice Aquellos quellos cuyos lados son semirrectas opuestas. Esta construcción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados. Ángulos ngulos opuestos por el vértice. Dos ángulos conjugados con vértices coincidentes. α es opuesto por el vértice con β γ es opuesto por el vértice con δ Como podemos verificar en la figura: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales 8 . Fijando nuestra atención en las rectas. Cada ángulo tiene dos lados lad y un vértice.2. o 400 grados centesimales. C son colineales (están en la misma recta). se restará α de 360° : β = 360° – 250º = 110º El ángulo β (beta) es el conjugado de α (alfa).Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos están en la misma recta.2. B. sabemos que estas pueden ser secantes (que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca). Como ya vimos. Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice (V). para obtener el ángulo conjugado de α que tiene una amplitud de 250° . por definición. nunca) Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. a es adyacente dyacente con b Û A. BD lado común para a y b Los ángulos adyacentes son suplementarios. un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas que parten de un mismo punto. Así. Ángulos conjugados se denomina a dos ángulos cuyas medidas suman 360º (grados ( sexagesimales). tendrán sus lados comunes. Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ángulos: Esta distribución numérica nos permite carecterizar parejas de ángulos según su posición.1. 7 y 8 son exteriores (o externos) respecto a las rectas: Ángulos internos (3. Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180º) Ángulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180º) Ángulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180º) Ángulos externos (1. 5 y 6 son interiores (o internos) y que los ángulos 1. 7 y 8).2. haciendo notar que los ángulos 3. 5 y 6). 4. Ángulos 1 y 7 son suplementarios (suman 190º) Ángulos 2 y 8 son suplementarios (suman º80º) 9 . Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios. 2. 2. Ángulos formados por dos paralelas y una transversal.3. 4. Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante. Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. entonces cada par de ángulos correspondientes es congruente entre sí. 1 y 5 son ángulos correspondientes (iguales). Ángulos alternos internos. 3 y 6 son ángulos alternos internos ∠3=∠6 4 y 5 son ángulos alternos internos ∠4=∠5 Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. 10 . Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas. Ángulos alternos externos. entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente entre sí. ∠ 1 = ∠ 5 2 y 6 son ángulos correspondientes (iguales) ∠ 2 = ∠ 6 3 y 7 son ángulos correspondientes (iguales) ∠ 3 = ∠ 7 4 y 8 son ángulos correspondientes (iguales) ∠ 4 = ∠ 8 Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.Ángulos correspondientes. 1 y 8 son ángulos alternos externos ∠1=∠8 2 y 7 son ángulos alternos externos ∠2=∠7 Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. entonces cada par de ángulos alternos externos es congruente entre sí. EJERCICIOS…… Ejercicio 1 Si calcular: 11 . entonces cuál(es) de las siguientes relaciones son siempre verdaderas: Alternativas a) b) c) d) e) solo I solo II solo III I. II y III I y II 12 .Ejercicio 2 Si del bisectriz . calcular Ejercicio 3) Si encuentre la medida de Ejercicio 4) En la figura. . centesimal 2. θ = s /r. el grado sexagesimal o el grado centesimal. 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales). como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal. es igual a la longitud del arco que delimitan los radios. junto con el estereorradián. Unidades Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del r radio.1. goniometría. derivadas Esta unidad se utiliza trigonometría. EL GRADO SEXAGESIMAL Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia. A partir de ese año. El grado sexagesimal. y sus divisores: el minuto sexagesimal y el segundo sexagesimal. está definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales). SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Los sistemas de medidas de ángulos son: el radián. Por tanto. ambas unidades figuran en a la categoría de unidades derivadas. . ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π. donde θ es ángulo. etc. 13 .2. primordialmente en Física. circunferencia Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto. es decir. s es la longitud del arco. 2. están definidos del siguiente modo: 1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales). el ángulo completo. infinitesimal El ángulo formado por dos radios de una circunferencia. 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales). cálculo infinitesimal. y r es el radio. Su símbolo es rad. puesto que simplifica los cálculos. medido en radianes. . medido en radianes. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades. es: El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos. EL RADIÁN El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. que sustiende una circunferencia de radio r. .2. y hasta ha el momento presente. así.32° -50. por ejemplo.696° Notación sexagesimal. Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal.25639° 2.01666667° (redondeando a ocho dígi tos) 1” = (1/60)′ = (1/3600)° = 0. resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades. Un grado centesimal equivale a nueve décimos de grado sexagesimal. 23.265° 123. se divide divide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales. separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal. con vértice común. grado centígrado o gradián (plural: gradianes). En las calculadoras suele usarse la abreviatura grad.3.2345° 12. lo que se busca es transformar en minuto y el segundo números decimales. Se representa como una "g" minúscula en superíndice colocada tras la cifra. no dejar espacio entre las cifras. en 400 grados centesimales. EL GRADO CENTESIMAL Un grado centesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/400 de la circunferencia. m c 14 .Notación decimal. Por ejemplo: g 12. las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo.70″ -2°34 ′10″ Teniendo cuidado como norma de notación.8″ 124°45 ′34. Cada cuadrante posee una amplitud 100 grados centesimales.00027778° Así 12° 15 ′23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12.4574 Sus divisores son: 1 grado centesimal = 100 minutos centesimales centesi (100 o 100 ) s cc 1 minuto centesimal = 100 segundos centesimales (100 o 100 ) El grado centesimal surge de la división del plano cartesiano en cuatrocientos ángulos iguales. es decir: escribir 12° 34 ′34″ y no 12° 34 ′ 34″ Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal sex teniendo en cuenta que: 1’ = (1/60)° = 0. El grado centesimal. La circunferencia se divide. Podemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos. y la suma de los cuatro cuadrantes mide 400 grados centesimales. ejemplo: 12° 34 ′34″ 13° 3 ′23. No deben confundirse los grados centesimales centesimales con el uso de fracciones decimales para expresar ángulos en grados sexagesimales. cosa que no ocurre con los grados sexagesimales.7931 grados sexagesimales con fracción decimal g c cc 26 43 67 gonios con minutos y segundos centesimales 26.4367 gonios o grados centesimales Los minutos y segundos de gonio se corresponden con la fracción decimal de gonio. Grados 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π g Radianes 0 15 . Conversión de ángulos comunes Unidades Revolución 0 Valores Degradianes Radiánes 0° 0 g 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Grados 0 50 g 100 g 200 g 300 g 400 g La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180° La equivalencia lencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200 La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes. .Equivalencia entre grados sexagesimales y centesimales 0° = 0 g g g g g 90° = 100 180° = 200 270° = 300 360° = 400 Ejemplo Los siguientes valores angulares son equivalentes: 23° 47' 35" grados sexagesimales 23. en la posición de los radianes. 16 .TABLA DE CONVERSIÓN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES EJEMPLOS: Ejemplo A Convertir 38° a radianes. Despejamos x. también simplificamos. Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba. 7869º 6.EJERCICIOS DE APLICACIÓN…… Por último obtenemos el equivalente decimal: x = 0.08º 2. entonces 1 ´= 1. 5. minutos y segundos: a) 25. Halla el suplemento de 100º36´48´´ 4. Expresa los siguientes ángulos en grados. Expresa en grados los siguientes ángulos medidos en radianes: º º 1 60 º º 1 1 También: 1 ´´= = 60 3600 Entonces tenemos que: 17º47´13´´ = 17º + 47´+ 13´´ ´ 1 1 = 17 + 47 + 13 60 3600 º a) π 2 b) − 8π 3 c) 3π 2π d) − 2 3 = 17º + 0. 78º c) 123.4 radianes a grados. Convierta 2. Ejemplo B: Convierte 17º47´13´´ a notación decimal.6632 radianes. Expresa en radianes los siguientes ángulos: a) – 180º b) 45º c) – 360º d) – 60º 17 . Expresa en sistema istema decimal los siguientes ángulos: a) 45º36´28´´ b) 125º45´78´´ c) 95º55´78´´ d) 179º59´36´´ 3.36º b) 46.41º d) 75.0036º = 17.7833º + 0. Como 1º = 60´. TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los 2 2 2 cuadrados de los catetos. o sea que se verifica: Si dos rectas de un plano son cortadas por varias paralelas . es decir . los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a sus homólogos de la otra . determinarán en esta otros dos segmentos .BC . que corten a la segunda recta s .2. Para calcular un cateto en un triángulo rectángulo se sigue la siguiente fórmula b + c = a 2 2 2 18 . y en una de ellas r .1. tomamos dos segmentos cualesquiera AB . al trazar por los extremos de estos segmentos rectas paralelas entre sí . la razón entre un segmento y su homólogo es constante. proporcionales a los primeros. a = b + c En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. 3. TEOREMAS DE PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS (TEOREMA DE THALES) Si tenemos dos rectas r y s de un plano. APLICACIONES DE LOS TEOREMAS DE THALES Y DE PITÁGORAS 3. En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el duplo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.3. 19 . 6 cm y 8.8 cm Calcula la longitud de un cateto en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m.EJERCICIOS………. Teorema de Thales Calcula la longitud de A’B’ en la figura adjunta Calcula AB en la figura adjunta Un árbol proyecta una sombra de 6 m y. Calcula la altura del árbol. y el otro cateto 16 m 20 . a la misma hora y en el mismo sitio. Teorema de Pitágoras Calcula la hipotenusa en el triángulo de la figura Calcula el cateto de C en el triángulo de la figura Calcula la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6.5 m proyecta una sombra de 2 m. un palo de 1. b) Tuvo 7 aciertos en el primer nivel y 15 aciertos en el segundo nivel. Responda las preguntas 5 a 8 de acuerdo a lo siguiente: El dueño de una fábrica de tanques de agua desea lanzar un nuevo modelo de tanques para el mercado.000 y $600. Además.PRUEBA TIPO ICFES RESPUESTA (TIPO I) Responda las preguntas 1 y 2 de acuerdo a lo siguiente: Con motivo de su aniversario un hipermercado ofrece rebajas de los productos que vende así: 1/3 en carnes. d) La mayor rebaja está en carnes puesto que 1/3 es mayor que 2/7. 2.000. Si una persona dice a su amigo que en el juego obtuvo un puntaje de 1595 puntos antes de pasar al tercer nivel. d) El volumen del tanque 4 es mayor puesto que el volumen del cilindro es la tercera parte del volumen del cono. c) Tuvo 13 aciertos en el primer nivel y 5 aciertos en el segundo nivel.000 en compras regala una boleta para participar en la rifa de una motocicleta. b) La mayor rebaja está en frutas puesto que 3/5 es el mayor de los racionales. Responda las preguntas 3 y 4 de acuerdo a lo siguiente: En un juego de computador que tiene seis niveles de dificultad. c) El volumen del tanque 2 es mayor. ya que corresponde a tres veces el volumen del cono.000 y $590. d) Tuvo 15 aciertos en el primer nivel y 7 aciertos en el segundo nivel. Es el mismo para todos los niveles. entonces. Va disminuyendo a medida que se avanza en el juego. 1. 21 . 4. un cliente recibe 17 boletas se puede establecer que: a) Sus compras fueron mayores a $600. c) Sus compras fueron superiores a $600. Teniendo en cuenta la información anterior se puede decir que el número de pruebas por nivel: a) b) c) d) Va aumentando a medida que se pasa a un nivel superior. b) Es mayor el volumen del tanque 2 porque el volumen del cilindro es 4 veces el volumen del cono cuando ambos tienen bases de igual radio. Pide a varios diseñadores que le presenten propuestas con el fin de poder ofrecer un tanque que cumpla con las necesidades de la industria “ capacidad máxima y volumen mínimo". c) La mayor rebaja está en productos de aseo puesto que el racional 1/8 es el que tiene mayor denominador. Si al pagar el mercado. eso quiere decir que: a) Obtuvo el máximo puntaje en los dos primeros niveles y no obtuvo puntos en el tercer nivel. 2/7 en electrodomésticos. b) Sus compras estuvieron entre $450. Los modelos que presentan los diseñadores son: 5. Varía dependiendo del número de aciertos o errores que se obtienen al finalizar un nivel. d) Sus compras estuvieron entre $550. En cada nivel se presentan cierto número de pruebas y se ganan o pierden puntos dependiendo de las fallas o aciertos así: Puntaje Máximo Nivel Puntaje perdido por puntaje por obtenido por cada error nivel cada acierto 1 50 10 1000 2 100 25 2000 3 150 75 3000 4 200 150 4000 5 250 250 5000 6 300 375 6000 3.000. De acuerdo con la información se puede decir que: a) La mayor rebaja está en frutas puesto que 3/5 es el racional con mayor numerador. 3/5 en frutas y 1/8 en productos de aseo. por cada $35. se obtienen 2000 puntos adicionales cuando al pasar de un nivel a otro no se han cometido fallas.000.000. Sólo se puede pasar a un nivel superior cuando se ha obtenido un puntaje a favor. Al comparar los volúmenes de los tanques 2 y 4 se puede decir que: a) Ambos volúmenes son iguales ya que las medidas de los radios de las bases y las alturas son iguales. Disminuye puesto que en la expresión que representa la altura. Si el radio de la base es igual a 4 m entonces.6. c) V3 = (3/4)V2. Si el volumen permanece constante y el radio de la base se triplica. Se dice que dos triángulos son semejantes si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Tienen dos ángulos congruentes. el radio está en el denominador y es directamente proporcional a la altura. De los tanques 3 y 4 se puede decir que: a) V3 = 4 V4. Dos ángulos son congruentes y el lado común a dichos ángulos en los triángulos también son congruentes. b) V3 = V4. el volumen del cilindro es: a) 28 m 3 m 3 c) d) Responda las preguntas 13 a 16 de acuerdo a lo siguiente: Se puede decir en términos generales en dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y diferente tamaño y dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. b) 8. Aumenta puesto que la expresión que representa la altura. c) V4 = V3. entonces se puede afirmar que la altura del cilindro es igual a: a) c) b) d) 22 . Tienen dos lados proporcionales y los ángulos formados por los lados proporcionales son congruentes. Si el volumen de un cilindro se obtiene multiplicando el área de la base por la medida de la altura. el radio está en el denominador y es inversamente proporcional a la altura. entonces se puede afirmar que la expresión que representa el volumen del tanque de aceite es: a) b) + 3) 10. y +3 3 y + 3y 2 c) y(y + 3) 2 d) y (y b) 19 m 3 c) 76 m 3 d) 112 Para los triángulos se tienen unos criterios con el fin de poder identificar cuando dos de ellos con semejantes o cuando son congruentes. se puede afirmar que el volumen del tanque con forma de cono es: a) Equivalente al volumen del tanque con forma de cubo. Teniendo en cuenta que el número = 3. Los lados correspondientes de los triángulos son proporcionales. La relación que se puede establecer entre el volumen de los tanques 2 y 3 es: a) b) V2 = (4/3) V3. 12. a medida que aumenta el radio de la base del cilindro. d) Equivalente a veces el volumen del tanque con forma de cubo. Se dice que dos triángulos son congruentes cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones: Tienen sus lados correspondientes congruentes. D) V4 = (1/3) V3. su altura h: a) Aumenta puesto que en la expresión que representa la altura. 7. d) V3 = (4/3) V2. Disminuye puesto que en la expresión que representa la altura.1416 es una constante. c) Equivalente a 4 /3 del volumen del tanque con forma de cubo. Si se considera el volumen del cilindro constante y dado por la siguiente expresión: V = Abase xh. Responda las preguntas 9 a 12 de acuerdo a lo siguiente: Para almacenar aceite se utiliza un tanque de forma cilíndrica que tiene las siguientes dimensiones: 9. el radio está en el numerador y es directamente proporcional a la altura. V2 = V3. Uno de los ángulos y los lados que forman dicho ángulo son congruentes. b) Equivalente a /3 del volumen del tanque con forma de cubo. el radio está en el numerador y es inversamente proporcional a la altura. 11. Noveno grado por ser el segundo grupo menos numeroso. De la afirmación "Dos pentágonos regulares son semejantes entre sí" se puede decir que: a) Es cierta puesto que los cocientes entre los lados correspondientes de los dos pentágonos no son iguales. Séptimo grado por ser el segundo grupo más numeroso. b) c) d) 18. Responda las preguntas 17 a 19 de acuerdo a lo siguiente: 19. Si el departamento de matemáticas el colegio está conformado por 6 hombres y 4 mujeres y las edades promedio son respectivamente 40 y 20 entonces se puede afirmar que la edad promedio de los integrantes del departamento de matemáticas del colegio es: 23 . Son congruentes puesto que en un triángulo equilátero todos los lados tienen igual medida.El concepto de semejanza de triángulos se puede extender a polígonos de más de tres lados. 16. Si dos triángulos rectángulos tienen uno de sus ángulos agudos iguales entonces se puede decir que son: a) b) c) d) Congruentes. Son congruentes y semejantes a la vez. De acuerdo con la información presentada en el texto no se puede deducir que: a) b) c) d) Dos pentágonos cualesquiera son semejantes. No son congruentes puesto que los tres ángulos son congruentes. 13. Es falsa puesto que al ser regulares los lados y ángulos de los dos pentágonos son iguales. Dos cuadrados cualesquiera son semejantes entre sí. El grupo más representativo de los estudiantes de secundaria en el colegio es: a) b) c) d) Octavo grado por ser el grupo más numeroso. b) c) d) c) d) 15. Sexto grado por ser el grupo menos numeroso. Es falsa puesto que los ángulos de los polígonos no son iguales. Podemos decir que dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Se pueden encontrar triángulos equiláteros que no son semejantes. Es cierta puesto que los ángulos son iguales y al calcular los cocientes de las medidas de lados correspondientes se obtiene el mismo resultado. No son semejantes puesto que sólo se debe cumplir una de las condiciones para que se pueda decir que lo sean. No son congruentes ni semejantes. Semejantes. La gráfica que representa correctamente la distribución de estudiantes de básica secundaria en el colegio es: a) b) 14. Dos polígonos regulares cualesquiera son semejantes. Los 1000 estudiantes de básica secundaria en un colegio se distribuyen de la siguiente manera: 130 en grado sexto 275 en grado séptimo 328 en grado octavo y 267 en grado noveno. 17. Si se tienen dos triángulos equilátero entonces se puede decir que: a) son semejantes puesto que cumplen con cualquiera de las tres condiciones que se deben cumplir para que dos triángulos sean semejantes. . 21. Si se desea escoger un representante de todos los empleados para leer las palabras de bienvenida al nuevo presidente de la empresa. administración y ventas. la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre es: a) 4/10 6/10 b) 2/10 c) 5/10 d) 22.a) 26 años b) 30 años c) 24 años d) 32 años 20. durante una semana del mes de agosto de 2006. El siguiente gráfico muestra el número de multas de tránsito tuvieron que pasar asar vehículos particulares por infringir la medida del “ pico y placa" en Bogotá. 24 . c) Dividir 15 entre 100 puesto que en ventas hay 15 mujeres del total de 100 empleados de la empresa. b) Dividir 30 entre 100 puesto que de los 100 empleados de la empresa 30 están en el departamento de ventas. un empleado sea escogida una mujer que trabaje en el departamento de ventas se debe: a) Dividir 15 entre 30 puesto que en el departamento de ventas de los 30 empleados 5 son mujeres. Para determinar la probabilidad que al seleccionar 23. La cantidad de hombres y de mujere mujeres que trabajan en la empresa es respectivamente: a) 40 y 60 b) 60 y 40 d) 45 y 65 c) 50 y 50 El número de multas impuestas en la semana fue: a) 200 b) 260 c) 250 d) 245 Responda las preguntas 21 a 23 de acuerdo a lo siguiente: . En dirección hay cinco mujeres y 15 hombres. d) Dividir 15 entre 70 puesto que hay 15 mujeres en el departamento de ventas y 70 empleados que no pertenecen al mismo. en administración 20 mujeres y 30 hombres y en ventas hay 15 hombres y 15 mujeres. En una empresa existen tres departamentos: dirección. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). aunque se pueden definir geométricamente o por medio edio de sus relaciones. Función Seno Abreviatura Equivalencias (en radianes) sin (sen) 25 . Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales. sino de la medida del ángulo y se las llama razones trigonométricas. y aparecen en las primeras tablas. se pueden considerar las siguientes razones entre los lados del Por lo que podemos afirmar: Las razones dadas en el primer triángulo. Dado cualquier triángulo rectángulo triángulo: ABC.UNIDAD 2 1.1. por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1). Algunas funciones fueron comunes antiguamente. triáng . se definen en relación de las dos primeras funciones. permitiendo do su extensión a valores positivos y negativos. no dependen de la longitud de los lados. 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO En matemáticas. pero no se utilizan actualmente. Las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales. EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS Las últimas cuatro. Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. e incluso a números complejos. siempre que tenga el mismo ángulo . 1. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente ictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: 1. del vértice A.1. en cuyo caso se trata de triángulos semejantes. en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo.1. El cateto opuesto (a) es el lado opue opuesto al ángulo . El seno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rect rectángulo ángulo que elijamos.1. En consecuencia. Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano. o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.Coseno cos Tangente tan Cotangente ctg (cot) Secante sec Cosecante csc (cosec) Para definir las razones trigonométricas del ángulo: . El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .2. por lo que la suma de sus ángulos internos es igual i a π radianes (o 180° ). El coseno: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: 26 . El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será: La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto. 1.5. La cosecante: de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: 27 . La secante: de un ángulo es la relación entre la longitud d de e la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: 1.3.1.6. La cotangente: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: 1.4.1. La tangente: de un ángulo gulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: 1.1.1. ¿Cuál es la altura del mástil medido en metros? 3. ÁNGULOS DE 30º Y 60º Esta es la otra escuadra clásica.1.EJERCICIOS…… 1. podemos suponer que cada lado mide 2 unidades. Sea el triángulo ACB. calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y B. 2. la sombra de un mástil es de 86 cm.2. Usando esta escuadra. 2. de valor 1. Si los rayos del sol forman un ángulo de 65º con el suelo y. como lo muestra la figura siguiente. rectángulo en C. 7. se le adosa otra escuadra. La altura h del triángulo es: 28 . y obtenemos un triángulo equilátero. ÁNGULO DE 45º Tenemos un triángulo rectángulo e isósceles (es una de los dos escuadras clásicas). sin pérdida de generalidad. 2. B y C. Calcular las razones trigonométricas del triángulo rectángulo de lados 7 cm. b y c los lados opuestos a los ángulos A. con b= 12 y c= 13.4 cm. ya que todos sus ángulos miden 60º. Como el tamaño no afecta a los cálculos. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS ESPECIALES A veces.4 cm y 2. para el ángulo de 19º. Se calcula la hipotenusa suponiendo los lados iguales b = c y se pueden suponer. y sean a. necesitamos y podemos calcular algunas razones trigonométricas para unos determinados ángulos: 2. calcula: a. ¿Cuál es la altura de la antena?. 45º y 60º. sen 60º + cos 60º . b. sen 30º + tan 45º.cot 45º c.Observación: Los valores obtenidos pueden sintetizarse en la siguiente tabla: EJERCICIOS…… 1. Comprueba si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: a. sen 30º .cos 45º + tan 45º. Aplicando los valores para ángulos de 30º. 1 – 2 sen 30º = cos 60º (sugerencia: sen A= (sen A) ) 2 2 2 2 29 . sólo hay que levantar la vista 30º para ver la punta de la antena. sen 45º + cos 45º = sen 60º + cos 60º 2 2 2 b. Si nos alejamos en la línea recta 30 m. 2. 3. 3. Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas. la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos. que es el radio de la circunferencia. lo llamaremos "y".1. PRIMER CUADRANTE Ya que "x". SEGUNDO CUADRANTE En el segundo cuadrante. 30 . vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x.3. entonces.2. mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . la designaremos "r". "r". Por lo tanto: el coseno. 3. El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. así que lo denominaremos "x". que se ubica sobre el eje y. el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x. SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN LOS CUADRANTES En el primer cuadrante. "y". al cateto opuesto. La hipotenusa. son positivas. tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos. Sugerencias para resolver triángulos rectángulos Todo triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos interiores. Resolver un triángulo es conocer estos seis elementos fundamentales. las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante. En este caso. En este caso la tangente (y su inversa.: .4. CUARTO CUADRANTE En el cuarto cuadrante. ya que caen sobre la parte negativa de los ejes.= +). el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x.3. mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y.3. la cotangente) resultan positivas (. 4. 31 . 3. CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Son muchas las situaciones donde se presentan problemas cuya solución se realiza mediante la resolución de triángulos rectángulos. TERCER CUADRANTE En el tercer cuadrante. Para hallar un elemento desconocido del triángulo rectángulo.- - Por geometría. Ángulo de elevación. tres bisectrices. son muy comunes los problemas en los que se necesita aplicar las razones trigonométricas en la 32 .Cuando en un triángulo rectángulo se conoce uno de sus ángulos agudos. sabemos que en todo triángulo se pueden trazar líneas notables: tres alturas. entonces se traza la altura correspondiente a la base (perpendicular bajada desde el vértice opuesto a la base) y este quedará dividido en dos triángulos rectángulos congruentes. ya sea la longitud de uno de sus lados o el valor de uno de sus ángulos agudos. Una de las mayores dificultades que se encuentra en el estudio y la comprensión de conceptos matemáticos es la aplicación de estos en la solución de problemas. un triángulo rectángulo puede resolverse si. Luego. También es importante conocer. . el punto A queda en la parte de abajo del observador que está en B y de la línea horizontal DB que pasa por B. Si la línea visual del observador al objeto está por debajo de la línea horizontal imaginaria. La resolución de uno de estos dos triángulos rectángulos nos permitirá resolver el triángulo. basta restar este valor de 90º (ángulo recto). además del ángulo recto. Observa y analiza estos conceptos en la siguiente gráfica: El ∢ CAB es un ángulo de elevación. y uno de sus ángulos agudos. el punto B está elevado con respecto al observador en A y la línea horizontal AC que pasa por A. El ∢ DBA es un ángulo de depresión. entender y aplicar los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión. . el ángulo recto. pero es isósceles o equilátero. se conocen dos de sus lados o un lado. escogemos una de las razones trigonométricas que contenga dicho elemento y otros dos elementos fundamentales conocidos para despejar el elemento en cuestión. Si la línea visual del observador al objeto está por encima de la línea horizontal imaginaria. es decir. para obtener el otro ángulo agudo del triángulo en mención. . En todo triángulo rectángulo siempre es conocido uno de sus ángulos interiores. En trigonometría. Estos conceptos se refieren al ángulo entre el horizontal y la línea visual del observador y la posición del objeto.Si el triángulo por resolver no es rectángulo. por ejemplo. Ángulo de depresión. tres medianas y tres mediatrices. b) Su perímetro 33 . Determina el significado de los siguientes términos que aparecen en el problema: sima. Realiza un esquema gráfico de figuras geométricas y donde representes solamente las magnitudes relevantes. (No es necesario dibujar los objetos como tales).1.solución de triángulos. calcula: a) Su área Solución a) Como el área de un triángulo se defi8ne como A= bh/2. Veamos el siguiente caso: Desde lo alto de una colina. 2. bajo un ángulo de depresión de 30º. debemos conocer el valor de la base y el valor de la altura. Para resolverlo. Escribe las relaciones y las fórmulas necesarias para desarrollar el problema. ángulo de depresión. Realiza los procedimientos aritméticos y algebraicos algebraicos necesarios para despejar el valor de la incógnita. Identifica en ese esquema las magnitudes que puedes puedes relacionar para encontrar el valor de la incógnita. Reemplaza los valores de las magnitudes conocidas con los datos del problema. una persona observa un venado en la sima. En el gráfico se observa que la hipotenusa (AC) vale 6cm y el ángulo agudo C= 40º. 3. 4. 6. ¿qué altura tiene la colina?. sugerimos los siguientes pasos: 1. APLICACIÓN GEOMÉTRICA Dado el triángulo rectángulo ABC que se muestra en la figura. 4. Si la distancia entre el observador y el venado es de 100 m. 5. etc. mide nuevamente el ángulo de elevación y obtiene 37º.5 m? 34 .858cm ) 2 2 A= 8. APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN INGENIERÍA David es un estudiante de ingeniería civil que desea medir la altura de una torre. Para ello. Luego se aleja 100 m en línea recta del punto P hasta el punto Q. tenemos: cos 40º = BC AC Hallamos el valor de BC: Solucionamos: BC= AC cos 40º BC= (6 cm) (0.596 cm Por tanto: A= A= bh 2 (4.643) AB= 3.Debemos entonces hallar el valor de la altura (AB) y el valor de la base (BC). tenemos que: Definición de sen C: sen 40º = AB AC Hallamos el valor de AB: Solucionamos: AB = AC sen 40º AB = (6 cm) (0. Como AB es el cateto opuesto al ángulo C.858 cm Usando la definición de cos C.596 cm + 6 cm P= 14. 454 cm 4.766) BC= 4. mide el ángulo de elevación y obtiene un valor de 75º.2. ubica el teodolito (instrumento que mide los ángulos de un terreno) en el punto P a una distancia x de la torre.866 cm b) Como el perímetro se define como la suma de los lados de la figura. ¿Cuánto mide la torre si el teodolito tiene una altura de 1.596cm )(3.858 cm + 4. entonces: Perímetro = AB + BC + AC P= 3. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TOPOGRAFÍA Un topógrafo necesita medir el largo de un túnel que debe atravesar una montaña para unir dos ciudades. Cuál es el ángulo de elevación en el otro extremo del túnel?.29 m 4.36 2. denotado por h1. para ello se ubica en la ciudad A y utiliza un teodolito. Como no conocemos el valor de ninguna de las hipotenusas.75 x + 75.36 x= 75. debemos usar la razón tangente del ángulo.Solución Grafiquemos la situación descrita La gráfica muestra dos triángulos rectángulos que tienen un lado común.36 2.98 X = 25.73 x = 0. 35 .98 x = 75. Entonces: Para el triángulo rectángulo ABP: tan 75º = Para el triángulo rectángulo ABQ: h1 x tan 37º = h1 x + 100 Hallamos el valor de h1 en las dos ecuaciones: h1 = x tan 75º h1 = (x + 100) tan 37º Obtenemos: Efectuamos operaciones: x tan 75º = (x + 100) tan 37º x tan 75º = x tan 37º + 100 tan 37º 3. instrumento con el cual encuentra las medidas que indica la figura.3. o sea. es el valor de b. ¿Cuál debe ser el ángulo de elevación que forma el reflector con la torre donde está el observador para visualizar la señal?. a. ¿Cuál es el valor del ángulo de depresión que se forma en el faro?.Solución a) El topógrafo apunta en su libreta los datos obtenidos de la siguiente forma y procede a realizar los cálculos: El largo del túnel está representado por la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC. cos 60º = 2km c c . b) Para hallar el valor del ángulo de elevación ∢ A + ∢ B + ∢ C = 180º 60º + 90º + = 180º = 180º . b.150º = 30º 4. entonces b= .4. b cos 60º 0. Solución Se bosqueja la situación descrita en el problema .5 El largo del túnel es 4 km. tenemos que: 36 . APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NAVEGACIÓN Una embarcación parte desde un faro que tiene una altura de 50m. b = . Por tanto. b = 4km . Cuando se encuentra a 2 km del faro sufre fallas en sus equipos de comunicación y envía una señal mediante un reflector. 5 m de altura en el punto Q y mide un ángulo de elevación de 80. hallando el valor de AD podemos conocer la altura. Por tanto. donde el cateto BD es la horizontal que se forma con la visual del observador.025 = 1. APLICCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN METEOROLOGÍA Un meteorólogo quiere saber la altura a la que se encuentra una nube.025 40 tan α = tan α = Por tanto. Ubica un teodolito de 1. tan α = 0. Por tanto.5º. 37 . rvador. usando la calculadora tenemos: α = tan−1 0.432º es el mismo ángulo de elevación 4. Entonces: tan α = cateto opuesto cateto adyacente 50km 50m = 2km 2000m 1 . Solución Se grafica la situación descrita en el problema. a) ¿A qué altura se encuentra ra la nube?. problema a) En la gráfica se observa que se forma el triángulo rectángulo ADB.a) El ángulo de elevación está representado por el ángulo . Como se conoce la altura del faro (cateto opuesto a ) y la distancia del faro al yate (cateto adyacente a ) podemos emplear la razón tan .432º = 1º 25´55´´ por ser alternos ternos internos paralelas. Para ello ubica un punto fijo P sobre el suelo y se ubica en el punto Q separado 2m del punto P. b) ¿Qué distancia separa la nube del punto B?. donde h= AD + DP. b) El ángulo de depresión =1. También vemos que la nube está a una altura h del piso.5. ciudad 2.5º AD = (2m) (5. Desde un faro puesto a 40 m sobre el nivel del mar se observa un barco con un ángulo de depresión de 55º.5 y su lado adyacente. El piloto de un avión que vuela a 2000 m de altura divisa la ciudad de destino con un ángulo de depresión de 15º. Un topógrafo grafo que se encuentra en el fondo de una zanja determina que el ángulo de elevación a uno de los bordes de dicha zanja es de 25º30´.95 m Como h = AD + DP.5º = AD AD = QP 2m Entonces: AD = (2m) tan 80.5º = AD . A qué distancia está esa ciudad?. ¿cuál es la profundidad de la zanja? 3. Si la zanja tiene 4 m de ancho. y además tenemos que calcular el cateto opuesto. Pero BD = QP BD Por tanto: tan 80.45m.976) AD = 11.5m. entonces: tan 80. EJERCICIOS…… 1.Como conocemos el ángulo 80. ¿A qué distancia se halla el faro del barco?. 38 .45m 13. entonces h= 13. y DP = 1. su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas). 39 . por eso se denomina “f(x)”. leyendo de abajo a arriba. DOMINIO Y RANGO DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que a cada número del conjunto de partida le corresponde una sola imagen del conjunto de llegada. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente). Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado por los valores que le asignemos a la variable independiente “X”). del lado derecho observamos el conjunto de llegada (representado por los valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que se extrae la raíz cuadrada del valor que se le asignó a “X”) y sobre la flecha está indicada la relación matemática (función) que transforma los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada (imagen).5. En la gráfica anterior notamos que si le asignamos los valores “-2” y “-1” a la “X” estos no tienen imagen. El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x). 5. por lo tanto no pertenecen al dominio de la función estudiada. El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función. 5. RANGO DE UNA FUNCIÓN Es el conjunto formado por las imágenes. Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas).1.2. leyendo como escribimos de izquierda a derecha. Los valores que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto de partida. Esto es lógico ya que los números negativos no tienen raíces reales sino raíces imaginarias. en la figura siguiente podemos observar gráficamente el comportamiento de la función raíz cuadrada de un número. Así. y tangente y su inversa. Se denota por f (x) = cos x. etcétera. 5. 5. La función secante. y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales. Se denomina función seno. 5. 5. es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. La función cosecante. Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. la cotangente. a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes.2.3. Esta función es periódica. 5. La función coseno. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno. ELABORACIÓN DE LA GRÁFICA DE CADA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa. y se denota por f (x) 5 sen x.4.5. La función seno. la secante. Se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.3. la cosecante. La función tangente. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x.3.La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba. Puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes. acotada y continua.3. La función seno es periódica. 40 . siendo x la variable independiente expresada en radianes.1. 5.3. acotada y continua. arco coseno.3. y existe para todo el conjunto de los números reales.3. coseno y su inversa. expresada por f (x) == arc cos x.8. En cambio. ya que sen (-x) = -sen x. La función recíproca del coseno es arco coseno. Es la inversa de la tangente. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente). La función tangente no está acotada. La función cotangente.3. según la relación siguiente: • • • La función recíproca del seno es arco seno. la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x. 5. simbolizada por f (x) = = arc sen x. Las funciones seno y coseno están acotadas. de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p. Propiedades de las funciones trigonométricas. Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes: • Las funciones seno. • • • Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales.3. 41 . coseno y tangente son de naturaleza periódica.5. tg (-x)=-tg x. para cualquier ángulo indicado en radianes. Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas.1]. ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca. La función recíproca de la tangente es arco tangente.6. denotada por f (x) == arc tg x. Funciones circulares recíprocas. Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen. 5.3.7. PRUEBA TIPO ICFES Responda las preguntas 1 a 4 teniendo como referencia la siguiente figura: 1. Teniendo en cuenta que el área de un cuadrado se obtiene elevando la medida del lado al cuadrado, entonces el área de la figura es: 2 2 a) (x + y) c) x 2 2 b) (x – y) d) y 2. Si el área de un rectángulo corresponde al producto de las medidas de la base y la altura, entonces se puede afirmar que el área del rectángulo 2 es: a) (y – x)y c) (x – y)y b) (x + y)y d) (y – x)x 3. Si x = 12 cm y y = 4 cm entonces, las áreas de las figuras 1, 2, 3 y 4 son respectivamente: a) 24cm2, 16cm2, 16cm2 y 8cm2. 2 2 2 2 b) 48cm , 32cm , 32cm y 16cm . 2 2 2 2 c) 144cm , 16cm , 16cm y 4cm . 2 2 2 d) 64cm , 32cm , 32cm y 16 cm. 4. Si x = 10 y y=3 entonces, el perímetro del rectángulo 3 es: a) 13 cm b) 26 cm d) 23 cm c) 16 cm 5. Del gráfico se puede deducir que: a) Durante los 2 primeros años las dos empresas tuvieron el mismo crecimiento puesto que ambas obtuvieron las mismas ganancias. b) Durante los 2 primeros años la empresa 1 fue la que tuvo un mayor crecimiento puesto que la recta que representa sus ganancias crece más rápido que la que representa las ganancias de la empresa 2. c) Durante los 2 primeros años la empresa 2 tuvo un mayor crecimiento puesto que la recta que representa sus ganancias crece más rápido que la que representa las ganancias de la empresa 1. d) Durante los dos primeros años las empresas tuvieron el mismo crecimiento puesto que las rectas que representan las ganancias son ambas crecientes. 6. Las ganancias de la empresa 1 fueron constantes durante los años. a) 4 y 8 b) 4 y 10 c) 6 y 12 d) 6 y 10 7. La empresa 2 obtuvo mayores ganancias que la empresa 1 en el año. a) 4 b) 6 c) 12 d) 2 8. En la recta que representa las ganancias de la empresa 1 durante los dos primeros años se pueden identificar los puntos (0,0) y (2,20). Si Responda las preguntas 5 a 9 teniendo en cuenta la siguiente información. El siguiente gráfico muestra la manera como crecieron las ganancias de dos empresas diferentes durante 12 años. En el eje x se representa el tiempo en años y en el eje y se representan las ganancias en millones. 42 para encontrar la pendiente de una recta se utiliza la expresión: entonces, se puede afirmar que la pendiente de dicha recta es: a) 10 d) 0. b) – 10 c) No se puede determinar a) Determinar la ecuación de la recta directriz y reemplazar x por 4. b) Encontrar el valor de la coordenada del foco en el eje x. c) Establecer cuál es el valor de la coordenada del foco en el eje y. d) Determinar el valor de la coordenada en y del vértice. 11. De la gráfica se puede deducir que: a) Durante las 4 primeras horas el nivel de rendimiento va disminuyendo puesto que la parábola en ese intervalo es creciente. b) Durante las 4 últimas horas el nivel de rendimiento va disminuyendo puesto que en ese intervalo la parábola es decreciente. c) Durante las 4 primeras horas el nivel de rendimiento va aumentando puesto que la parábola en ese intervalo es decreciente. d) Durante las 4 últimas horas el nivel de rendimiento va aumentando puesto que la parábola en ese intervalo es creciente. 12. Teniendo en cuenta que el vértice de la parábola tiene como coordenadas (4,8) y que los puntos en los cuales la parábola corta al eje x son (0,0) y (8,0), se puede decir que el tiempo en el cual un empleado alcanza su máximo nivel de rendimiento es: a) 0 horas c) 4 horas b) 8 horas d) 12 horas 13. El rendimiento de un empleado cuando ha trabajado 3 horas es: a) 7 b) 15 c) 8 d) 7,5 Para las preguntas 14 a 17 tenga en cuenta lo siguiente Una empresa determina el salario de sus vendedores dependiendo del número de unidades vendidas a partir de un sueldo fijo de $420.000 mensuales más $3.000 por unidad vendida. 14. El salario mensual de un vendedor que ha vendido x unidades en un mes se puede expresar con la ecuación y(x) dada por: a) y = 420.000x + 3.000 c) y = 3.000x – 420.000 b) y = 3.000x + 420.000 d) y = x + 420.000 / 3.000 9. Teniendo en cuenta que la forma general de ecuación de la recta es y = mx + b donde m es pendiente y b es el intercepto o valor donde recta corta al eje y se puede afirmar que ecuación que representa el crecimiento de empresa 2 durante los años 2 y 4 es: a) y = 4x – 10 c) y = 10x – 10 b) y = 2x + 16 d) y = 8x – 8 Para responder las preguntas 10 a 13 cuenta la siguiente información: la la la la la tenga en El gerente de una fábrica hizo un estudio con el fin de determinar el nivel de rendimiento de los empleados teniendo en cuenta el número de horas trabajadas en el día. La expresión que resultó fue: x representa el número de horas trabajadas. y representa el nivel de rendimiento. 10. Para determinar el máximo nivel rendimiento de un empleado se debe: 43 15. El salario que gana un vendedor que al final del mes tiene un total de 80 unidades vendidas es: a) $ 660.000 c) $ 500.000 b) $ 380.000 d) $ 1.300.000 16. La gráfica que representa el salario de un vendedor teniendo en cuenta el número de unidades vendidas es: a) Una función creciente puesto que entre menos unidades venda el salario será mayor. b) Una recta constante puesto que el sueldo fijo del que se parte es siempre el mismo. c) Una función creciente puesto que a mayor unidades vendidas, el vendedor tendrá mayor salario. d) Una recta decreciente puesto que entre menos unidades venda obtendrá un mayor salario. 17. La gráfica que representa en forma más aproximada la relación entre el número de unidades vendidas por mes y el salario recibido es: a) b) Responda las preguntas 18 a 20 teniendo en cuenta la siguiente información: Para almacenar aceite se utiliza un tanque de forma cilíndrica que tiene las siguientes dimensiones: 18. Si el volumen de un cilindro se obtiene multiplicando el área de la base por la medida de la altura, entonces se puede afirmar que la expresión que representa el volumen del tanque de aceite es: b) y + 3y a) y + 3 2 y (y+3) 2 3 c) y (y + 3) d) 19. Si el radio de la base es igual a 4 m entonces, el volumen del cilindro es: a) 28 m d) 112 3 b) 19 m m 3 3 c) 76m 3 20. Si el volumen permanece constante y el radio de la base se triplica, entonces se puede afirmar que la altura del cilindro es igual a: a) c) d) b) d) c) 44 si sus ángulos son diferentes también lo serán sus lados. Como ves en la figura anterior.1.1. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO 1.UNIDAD 3 1. Cómo calcular los distintos valores de un triángulo oblicuángulo. no tienen ningún ángulo interior de 90º. los dos triángulos son oblicuángulos. Tienes que estudiar dos sencillos teoremas para resolver los problemas referidos a estos triángulos. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos. 1. Teorema del seno.1. pero la suma de los grados de sus ángulos siempre ha de ser de 180º. Lógicamente. El siguiente triángulo es oblicuángulo: Trazamos la altura desde C hasta c: Tomando como referencia el ángulo B podemos escribir y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen B Tomamos ahora el ángulo A: 45 . El triángulo en azul claro BDC es rectángulo en D. Si trazamos la altura desde el vértice B tenemos: Esta última igualdad podemos escribirla: El recuadro último representa el teorema del seno. El sen C será igual al cateto opuesto (h) partido por la hipotenusa (a). Ejemplo: Los tres datos conocidos de un triángulo los tienes en la figura siguiente.y haciendo operaciones tendremos: h = b x sen A Observamos: h = a x sen B h = b x sen A podemos decir que : a x sen B = b x sen A Esta última igualdad podemos escribirla: y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen C Si calculamos el sen A en el triángulo color naranja escribiremos: ( h y b son los catetos y c la hipotenusa). a x sen C =c x sen A Recuerda que en toda proporción. luego haciendo operaciones: h = c x sen A. la hipotenusa es el lado a. El cateto opuesto al ángulo C es la altura (h) que partiendo del vértice B es perpendicular al lado b (90º en amarillo). Halla los tres datos que faltan por conocer: 46 . Lo definimos: En todo triángulo la relación de un lado entre el valor del seno del ángulo opuesto se mantiene constante. el producto de extremos es igual al producto de medios. Luego. a x sen C y c x sen A son iguales. a = 5. ¿qué cantidad de alambre se necesita para llevar a cabo dicha labor?. 4. Calcula la altura del avión en ese instante. Si la diagonal mayor de la mencionada figura tiene una longitud de 230 m y forma con los lados adyacentes ángulos de 38º y 40º. Solución El ángulo C = 180º – (121º+29º) = 30º Haces uso del teorema del seno.28 m. Se desea cercar un terreno que tiene forma de paralelogramo con tres hiladas de alambre. estas lo ven simultáneamente con ángulos de elevación de 35º y 48º. halla los otros tres: 5. calcula los otros 3: 47 . Cuando un avión pasa or el plano vertical de las mencionadas personas. En el dibujo siguiente tenemos un triángulo con tres datos conocidos.5 cm. Si el lado opuesto al menor de esos ángulos mide 11. determina la longitud del lado mayor del triángulo. En el siguiente triángulo aparecen 3 datos. b = 10. 2. Los ángulos interiores de un triángulo miden 30º y 55º. respectivamente. EJERCICIOS…… 1. Calculamos el valor de b: Calculamos el valor de a: 3.Respuesta: C = 30º.8 m. Dos personas A y B se encuentran a una distancia de 400m una de la otra. Teorema del coseno. Se trata de otro sencillo teorema también para la resolución de triángulos.2. Timando el triángulo amarillo podemos escribir.1. según el teorema de Pitágoras: 48 . Partimos del triángulo siguiente: Trazamos la altura desde el vértice C sobre el lado c y fijamos las proyecciones m y n de los lados a y b sobre el lado c: Puedes comprobar que los dos triángulos (amarillo y verde) en los que la altura ha formado son rectángulos (H = 90º).1. Según lo que has estudiado podemos decir que: Ejemplo: Respuesta: 23º Conocemos los tres lados de un triángulo: Solución ¿Cuánto vale el ángulo A? 49 . a= 7 cm. b= 6 cm. c= 5 cm. ∢ B = 120º. Si las longitudes de los lados son 8 cm y 12 cm. calcula la longitud de la diagonal mayor. b= 3 cm. b= 8 cm. a= 4 cm. ∢ A = 60º. aplica el teorema del coseno para resolver cada uno de los casos siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h) i) ∢ A= 60º. ∢ C = 30º. b= 6 cm. ∢ C= 36º. ¿Cuánto valen los ángulos A y B de la siguiente figura? 2. a= 3 cm. c= 10 cm. a= 12 cm. b= 8cm. a= 9 cm. 3.EJERCICIOS…… 1. Dado el triángulo ABC. a= 8 cm. b= 30cm. b= 14 cm. c = 12 cm. c= 5 cm. c= 7 cm. a= 20 cm. 50 . b= 10 cm. ∢ C = 45º. El ángulo entre los lados de un paralelogramo es de 60º. c= 12 cm. 3 sec θ = 1/cos θ sen θ = 1 − cos θ 2 2 De donde: cosθ = 1 sec θ sen θ = ± 1 − cos2 θ 51 . Por tanto. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES En matemáticas. para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones). Expresar una función trigonométrica en términos de otra. verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir.aplica 3 2 b) cos θ las identidades fundamentales para determinar: a) sec θ Solución a) Identidad fundamental: Despejamos sec θ: sec 2 θ = 1 + tan2 θ sec θ = ± 1 + tan2 θ 4 sec θ = ± 1 + 3 2 Reemplazamos tan θ: Efectuamos las operaciones: sec θ = ± 1 + 16 9 sec θ = ± Ejemplo 1. Ejemplo 2. Expresa sen θ en términos de cos θ. entonces el sen θ es positivo. con 0 ≤ θ ≤ . las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Calcular funciones trigonométricas de un ángulo agudo Dado: tanθ = 4 π .2. Solución Identidad fundamental: Despejamos sen θ: Por tanto: 25 9 5 3 sec θ = ± Por ser θ un ángulo del primer cuadrante. sec θ = sen 2θ + cos2 θ = 1 b) Identidad fundamental: 5 . Esas transformaciones deben apegarse a ciertas reglas obvias de la Lógica. 2. por otra parte. COMPROBACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Dada una proposición trigonométrica. ya sea por sustituciones de cualquiera de las fórmulas o por pasos algebraicos válidos.Reemplazamos sec θ y obtenemos: cos θ = 1 5 3 3 5 EJERCICIOS…… Escribe cada expresión en términos de la que se indique. es decir. Una identidad es cualquier cosa igual a sí misma. que lo escrito del lado izquierdo sea realmente igual a lo escrito del lado derecho. su procedimiento se basó en una premisa dudosa: En la Galaxia Andrómeda hay vida . 4.En la Galaxia Andrómeda hay vida. sin embargo. Las demostraciones trigonométricas se hacen de tal manera que no utilicen nada dudoso ni nada falso para que la conclusión no sea dudosa o falsa. como pueda ser que sí. la muerte existe en la Galaxia Andrómeda. de manera que se llegue a una igualdad que sin duda alguna sea cierta. De tal manera que las anteriores fórmulas son la base de las demostraciones que a continuación se estudiarán. ¿Y qué es cierto sin lugar a dudas?: Por una parte. Alguien que haya razonado de la manera anterior puede afirmar que ha demostrado que en la Galaxia Andrómeda se da la muerte. hay muerte. en este momento no se sabe con certeza si realmente existe vida o no por esos lugares. pueda ser que no. Todo debe ser cierto sin lugar a dudas para que la demostración sea válida. Para demostrar una proposición trigonométrica debe transformarse. si se establece el siguiente razonamiento: . por lo que su conclusión es dudosa. tan θ en términos de sen θ sen θ en términos de sec2 θ tan θ en términos de cos θ cos θ en términos de cot θ cot θ en términos de csc θ Efectuamos las operaciones: cos θ = 2.Donde hay vida. 1.1. . Es decir. . pues por eso se dedujeron paso a paso para verificar su validez y veracidad. toda identidad es cierta sin lugar a dudas por ser axiomática. 5. por lo tanto es dudosa su conclusión de que la muerte existe en la Galaxia Andrómeda. Por ejemplo. demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas. como el hecho de que "de algo dudoso se obtiene algo dudoso" o que "de algo falso se obtiene algo falso". las fórmulas anteriores lo son. 52 . 3.Por lo tanto. Axiomático es aquello tan evidente que no requiere demostración. se debe transformar el lado derecho para convertirlo en 1. Se compara la igualdad que debe demostrarse con la fórmula a la que se “parece”.1. según la forma que tengan: sen 2 x + cos2 x = senx csc x 1 2. 53 . De manera que. El siguiente esquema muestra la forma de hacer la comparación: 2 2 Las identidades de cociente son: Como tan x = Las identidades recíprocas son: 1 .1. Ejemplo. Demostrar que sen x + cos x = tan x cot x Demostración: La igualdad propuesta se "parece" a la fórmula (1) de los cuadrados (identidades pitagóricas). conviene clasificarlas o agruparlas.En resumen las identidades pitagóricas son: 2. ya que esta igualdad es cierta sin lugar a dudas por tratarse de la fórmula 1 de los cuadrados. + cos2 x = 1 csc 2 x 2 2 3. según la fórmula 3 de los cot x 2 recíprocos. EJERCICIOS…… Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas por similitud con alguna de las once fórmulas: Para facilitar la comprensión y aprendizaje de los procesos de demostración de igualdades trigonométricas. Por similitud con alguna fórmula. por comparación. sustituyendo en la igualdad propuesta se llega a: sen x + cos x = 2 1 ( cot x ) cot x sen 2 x + cos2 x = 1 Simplificando el lado derecho: Con lo que queda demostrado. Entonces el término que es diferente de la fórmula es el que se transforma hasta convertirlo en el correspondiente de la fórmula. tan x + senx csc x = sec x 1. cos x cos2 x + tan x cot x = csc 2 x sen 2 x Demostración: Pasando a senos y /o cosenos todas las funciones.2.3. De cada una de las once fórmulas es posible realizar dos despejes. Una vez pasadas todas las funciones a senos y/o cosenos. 4. ya que cualquier cosa es igual a sí mismo. sen 2 x + 1 = senx csc x sec 2 x 1 + cos2 x = 1 cs c 2 x tan2 x + senx csc x = sec 2 x 3. Un recurso muy útil en la demostración de igualdades trigonométricas. sabiendo que: sec x = csc x = 1 cos x y cot x = senx senx 2. con los cuales pueden hacerse sustituciones de la misma manera que con las fórmulas originales. la cotangente es igual a coseno entre seno . Pasando a senos y cosenos. Sustituyendo en la igualdad original se obtiene que: 1 cos x = 1 1 cos x senx senx aplicando la ley de la herradura: senx senx = cos x cos x Igualdad que es cierta sin lugar a dudas. ya que. es pasar todas las funciones a senos y/o cosenos. son en realidad las mismas fórmulas.1.1. Despejando las formulas. se hacen las simplificaciones algebraicas posibles y. la secante es igual a uno entre coseno y la cosecante es igual a uno entre seno. 54 . Demostrar que EJERCICIOS…… Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas pasando a senos y/o cosenos: 1.2. en virtud de que las seis pueden expresarse en términos de éstas. Ejemplo. Por lo tanto. ya que la tangente es igual a seno entre coseno . ha quedado demostrada. sec x 1 = csc x cot x 1 . se emplean nuevamente cualesquiera de las once fórmulas para transformar la igualdad propuesta en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas. aunque despejadas. 2. en caso necesario. multiplicar numerador y denominador por el binomio conjugado del que apareció originalmente para obtener la diferencia de cuadrados que a su vez 55 . Los dos despejes respectivos de las fórmulas de los cocientes son: 2. y al hacer el segundo despeje posible se obtienen las inversas entre sí. Obsérvese que en todos los casos. De los 2 despejes que es posible hacer en cada una de las tres fórmulas de los cuadrados (pitagóricas) . la fracción no se altera. como se muestran a continuación: Los dos despejes respectivos de las fórmulas de los cuadrados (pitagóricas) son: Cuando aparece una fracción cuyo denominador es uno de esos binomios conjugados. se obtiene en cada caso una diferencia de cuadrados. suele resultar muy práctico. si al operar ambos entre sí dan como resultado el elemento neutro de esa operación). o sea 1. el producto de las funciones que son inversas entre sí debe dar el elemento neutro de la multiplicación. es lo que se obtiene al hacer uno de los despejes posibles. por la misma definición de inverso dada (Un número es el inverso de otro. que por las reglas del Álgebra se pueden factorizar en dos binomios conjugados. Binomios conjugados. respecto de cierta operación. aplicando la propiedad de las fracciones si se multiplica el numerador y el denominador por la misma cantidad.4.Los dos despejes posibles en las seis fórmulas de los inversos o recíprocos son las que se muestran el anterior cuadro al lado derecho.1. 2). puesto que son los dos binomios conjugados que interesan: Por la fórmula (2. Entonces. conforme al cuadro anterior leído de derecha a izquierda. por lo que ha quedado demostrada. sustituyendo en el denominador 2 2 el valor de 1 . el cual así puede dividirse en varias fracciones o simplemente pasarse a senos y/o cosenos y/o aplicar alguna de las técnicas antes descritas. La ventaja que a veces se obtiene es que dicho denominador puede transformarse en otro de un solo término. aplicando la propiedad de las fracciones si se multiplica el numerador y el denominador por la misma cantidad. Como denominador (1 + sen x) es uno de los conjugadps que aparecen en el cuadro la fórmula (1. conforme al cuadro anterior.2.es igual a una función al cuadrado (ó a 1). es igual a cos x .sen x por su equivalente cos x: 1 = senx csc x Entonces: Simplificando: cos2 x = 1 − senx 1 + senx Y efectivamente.sen x . Demostrar que Demostración: Método 1. o sea su binomio conjugado respectivo para obtener la diferencia de cuadrados que. en conveniente conjugado. en la fórmula (2. para obtener (ver el cuadro anterior): Como Entonces: Igualdad que es cierta sin lugar a dudas. a su 2 vez. Haciéndolo se obtiene: cos2 x 1 = 1− 1 + senx csc x Efectuando solamente las multiplicaciones del denominador.2). la fracción no se altera . según la fórmula (2. ¡ya apreció el otro binomio!. la presencia de uno de esos binomios conjugados puede sugerir que debe buscarse el otro binomio en alguna parte de la igualdad para juntarlos y multiplicarlos con el objeto de obtener finalmente su equivalente cuadrado de un término. o sea. O bien.). por lo que es conveniente. por lo que es intentar localizar el otro binomio Método 2. ya que cualquier cosa es igual a sí misma. multiplicándolos.2). leída de derecha a izquierda en el cuadro anterior. juntándolos. El dos binomios anterior. 56 . multiplicar numerador y denominador por 1. en el lado derecho se obtiene: cos2 x = 1 − sen 2 x sen 2 x + cos2 x = 1 Con lo que queda demostrada. El denominador (1 + sen x) es uno de los dos binomios conjugados que aparecen en el cuadro anterior. cos x = (1 − senx )(1 + senx ) 2 Como la multiplicación de dos binomios conjugados da una diferencia de cuadrados. Ejemplo. factorizar la ecuación si es posible.360º o bien x=2. Las soluciones de cos(x)=1 son x=0º+k.360º.cos(x)= sen(x). Luego hay muchas soluciones.p radianes.EJERCICIOS GENERALES…… Demostrar las siguientes igualdades trigonométricas empleando cualquiera de todas las técnicas estudiadas. tras otra vuelta volverá a valer uno y así sucesivamente. Ahora si dividimos por 2 nos queda sen(x). 57 . todos los ángulos x de la forma x=90º+k. Obtenidas razonando sobre la circunferencia goniométrica.cos(x)= 2sen(x). podemos escribir la ecuación en la forma 2sen(x). SOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la que aparece una o más razones trigonométricas.k. Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes. Si queremos expresar la solución en radianes x=p/2+2. Ejemplos de ecuaciones trigonométricas: sen(x)=1 Es muy sencilla. sólo recordar la circunferencia goniométrica y observar que 90º es el primer ángulo cuyo seno es 1. Para resolver una ecuación trigonométrica es conveniente expresar todos los términos de la ecuación con el mismo arco (ángulo) y después reducirlo a una razón trigonométrica. como anteriormente.k. El seno no vuelve a valer uno hasta que el ángulo no valga 90º+360º=540º. Como sen(2x)= 2sen(x). Cuidado porque esta división supone que sen(x) es distinto de 0. sen(2x)=2sen(x) Necesita que apliquemos el primer paso. donde k es cualquier número entero.cos(x).p radianes. 3. o bien.Y si además dividimos por sen(x) queda cos(x)=1. no hay que dar los pasos indicados. por tanto las soluciones de la ecuación pedida son x=k.p radianes. 2 sen θ = 2 3 c. 360º. Cambiamos ahora sen(x) por z y nos quedará z2+3z+2=0. cot θ − 1 = 0 b. cos2(x)-3sen(x)=3 Se convertirá en una ecuación con una sóla razón trigonométrica si tenemos en cuenta la fórmula fundamental de la trigonometría.k. Expresa los resultados en grados. EJERCICIOS…… 1.. Encuentra las soluciones para θ.360º o bien x=3p/2+2. Ya está en función de una sóla razón y de un sólo ángulo.p radianes. Ahora bien las soluciones de sen(x)=0 incluyen a las de cos(x)=1.Cuando sen(x)=0 no podemos dividir. sen 2θ − 2cosθ + 1 =0 4 58 . Pasaremos de cos2(x)-3sen(x)=3 a la ecuación 1sen2(x)-3sen(x)=3. sen(x)=-1 tiene como soluciones x=270º+k. Luego las soluciones son: x=270º+k.k.360º o bien x=3p/2+2. que nos proporcionan sen(x)=-1 y sen(x)=-2. de las siguientes ecuaciones trigonométricas. esto ocurre para x=0º. Encuentra las soluciones para θ comprendidas entre 0º y 360º. Expresa el resultado en radianes. cos θ = 2 d. Pero estos valores son soluciones de la ecuación puesto que cuando sen(x)=0 también sen(x). ordenando y agrupando queda sen2(x)+3sen(x)+2=0. comprendidas entre 0 y 4π. 2 cos θ − 1 = 0 2 c. 3 csc θ = 2 a.. d.cos(x)= sen(x).p radianes.. 2 sen θ = −1 b. sen(x)=-2 no tiene solución alguna. ya que queda 0=0. cos θ + =0 2 a.180º. esta ecuación tiene las soluciones z=-1 y z=-2. 180º. Recurrimos continuamente a la circunferencia goniométrica. 2. es decir x=k. de las siguientes ecuaciones trigonométricas.180º o bien x=k. 1. Además.4.AB sen a = cos a cos b – sen a sen b. ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS 4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS Observemos la siguiente figura donde la zona gris corresponde al ángulo central "a" y la roja al ángulo central "b": Se tiene que: sen a = DC cos a = OD sen b = BA cos b = OB sen (a+b) =EA cos (a+b) = OE Entonces: sen (a+b)=EA=GF=GB+BF=OB sen a +AB cos a = sen a cos b +cos a sen b Por otro lado: cos (a+b)=OE=OG-EG=OB cos a . recordando las ecuaciones fundamentales: En resumen. las fórmulas de la adición de ángulos son: 59 . Si suponemos conocidas las razones trigonométricas de un ángulo "a" y queremos conocer las del ángulo "2a".2. Ángulos medios. Supongamos ahora que conocemos las razones trigonométricas del ángulo "a" y queremos. conocer las del ángulo "a/2". recordando que sen (-b) =-sen b . ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS 4. Si en las fórmulas del ángulo doble haciendo 2a=A y por tanto a=A/2 tenemos: Y sumando y restando miembro a miembro esta última con la ecuación fundamental de la trigonometría: Nos queda: 60 .2.Sustituyendo en esas expresiones "b" por "-b" y.1. podemos recurrir a las fórmulas del ángulo suma vistas en el apartado anterior haciendo b=a para obtener: 4.2. Ángulos dobles. basándonos en ellas. queda para las fórmulas de la diferencia de ángulos: 4.2. cos (-b) = cos b y tg (-b) = -tg b. θ) = . cos de 105º.sen θ cos (π . tan de 150º 3 2 13 2.sen θ sen(π . Utiliza las fórmulas de ángulos dobles:: tan θ sen 2θ = 2 sen 2θ 3 b) sen 3 θ = 3 sen θ − 4 sen θ 2 c) = sen 2 θ cot θ + tanθ a) 4. tan de 15º. Utiliza las fórmulas de ángulo medio para calcular: (sin calculadora) a) b) c) d) e) sen de 120º.θ) = . Utilizando la fórmula a propiada del seno o del coseno de la suma o de la diferencia de ángulos. calcula: 5 13 a) sen (θ + φ) b) sen (θ . Si senθ = y senϕ = .φ) sen 5π 6 61 .cos θ cos (π + θ) = . comprueba que: a) b) c) d) sen(θ + π) = .cos θ 3.Y de la segunda: De la primera despejando obtenemos: Finalmente dividiendo estas dos últimas: Ejemplo: Calcula seno y coseno de 22º30' Se cumple que: EJERCICIOS…… 1. c) Para el conjunto A ambos factores son positivos si x está en el intervalo (5. b) Las soluciones para el conjunto A son todos los números reales que se encuentran en el intervalo ( . 2. si el número es negativo.PRUEBA TIPO ICFES 1. Determina cuál de estas afirmaciones es falsa: a) Los números irracionales son aquellos que se escriben mediante una expresión decimal con infinitas cifras y no periódicas. invirtiendo en todo el recorrido 5 h.∞. b) En la figura 2 puede asegurarse que (∀ x) (x ∊ A ➱ x ∊ B). A partir de las siguientes gráficas responde: ¿cuál de las afirmaciones es correcta: b) El conjunto Z es un conjunto infinito. d) El conjunto de los números racionales es un conjunto denso. c) El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales infinitos periódicos o no periódicos.∞. entonces se puede plantear la siguiente ecuación: a) 2. donde cada número entero tiene un antecesor y un sucesor. 2). -x. 2) U (5. c) En la figura 1 puede asegurarse que (A : (∃x) (x ∊ A ۸ x ∉ B). b) A} se puede afirmar que: a) X es una solución si y solo si los factores son ambos positivos. d) Las soluciones para el conjunto B son todos los números reales en la unión (. B = {1.5 ( x – 3) = 8 b) 62 . La velocidad de la corriente del río es de 3 km/h. Para cada número entero x definimos el valor absoluto de x. ∞). ∞) y ambos son negativos si x está en (. 5). d) De la figura 2 podemos asegurar que: (A B) : (∃x) (x ∊ A ۸ x ∉ B). además cada número tiene un sucesor y un antecesor. su valor absoluto es el mismo número y es su opuesto. Sean A = {x / x ⊂ B) ⊄ a) ∊ ℝ ۸ (x – 5) (x – 2) > 0 }. Una embarcación ha navegado río abajo 8 km y ha vuelto.∞. es decir. c) d) 5. 4. como sigue: si el número x es positivo o cero. que indicamos |x|. 3. ¿Cuál es la velocidad propia de la embarcación? Si la velocidad propia de la embarcación se denota con la letra x. que entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Determina: a) En la figura 2 puede asegurarse que A es un subconjunto de B.5 (x + 3) + 2. ∞. d) Todo número menor a – 2 es una cota inferior y todo número mayor o igual a – 3 es una cota superior. d) La desigualdad siempre se cumple cuando x> 3/2.9 porque se encuentra dentro del rango definido por el conjunto. d) ( -1.2 < x ≤ 3 podemos asegurar que: a) Una cota inferior es -1. x + 2 < 0 x – 1 < 0 y la solución es ( . c) Una cota superior es 2. x es negativo. 7. b) (2.2). Todos los valores de x. dada por la gráfica es negativa. ∞) porque en este intervalo los valores de x son negativos. además. entonces x + 2 < 0 x – 1 < 0. entonces x + 2 < 0 x – 1 >0. porque se encuentra dentro del rango definido por el conjunto. b) x debe ser para que se cumpla la desigualdad. 10. para los cuales la función cuadrática. c) En esta expresión x> . forman el siguiente conjunto: a) Como el producto es menor que cero. 2) porque únicamente la función es negativa entre estos valores.∞. Lee el siguiente texto y analiza la gráfica que lo acompaña: Willebrord Snell y René Descartes lograron describir el cambio de dirección de la luz en el momento en que pasa de un medio a otro.2. b) Una cota superior es 3. d) Como el producto es menor que cero. 0) porque para todo valor de y. Se presentan dos casos para poder encontrar la solución de (x + 2) (x – 1) < 0: 63 . entonces x + 2 < 0 x – 1 > 0 y la solución es (1. Para un conjunto C= x ∊ ℝ/ . Si i es el ángulo que forma el rayo incidente con la perpendicular a la superficie que separa a los dos medios.1 porque es un número mayor a los elementos del conjunto.9. c) Como el producto es menor que cero. x + 2 >0 x – 1 < 0 y la solución es (. 1). siempre y cuando x ≠ 0. -1) U (2. tenemos la conocida Ley de Snell: a) (. y r es el ángulo formado por el rayo refractado con la perpendicular a la superficie y además. v1 es la velocidad de la luz en el medio 1 y v2 la velocidad de la luz en el segundo medio. 9. De la expresión que: se puede afirmar a) x ≠ 0 porque la expresión se convertiría en una indeterminación.2/3.c) d) 6. 8. c) (-∞. ∞) porque es la única forma en que los valores de la función se hacen negativos. b) Como el producto es menor que cero. 1). 600 πrad. Del punto anterior podemos afirmar que: a) Para hallar el ángulo que la varilla forma con el piso utilizamos el triángulo rectángulo determinado por la varilla y la diagonal de la base de la caja. c) Como una revolución equivale a 2πrad.300 rpm. El ángulo mide 90º.137 cm. 64 . b) Para hallar el ángulo que la varilla forma con el piso utilizamos el triángulo rectángulo determinado por la varilla y la diagonal de la base de la caja y la altura de la misma.14 cm y p es la longitud de la varilla. En una rueda que gira con velocidad constante. la cual mide 164.137 cm. podemos afirmar que el ángulo refractado es: a) 28º 30’ 45`` b) 22º 1` 28`` c) d) c) Si elegimos una función trigonométrica adecuada para relacionar la altura de la caja con la longitud de la varilla obtenemos 46º95´. 11. b) d es la longitud de la varilla y tiene un valor de 144. Lee el siguiente texto y analiza la gráfica que lo acompaña: La velocidad lineal (v) de un punto P es la distancia que recorre P por unidad de tiempo donde t es el tiempo transcurrido. (Una revolución equivale 2πrad). Si la rueda de un carro tiene un radio de 24 cm y gira con una velocidad angular de 2. si multiplicamos las rpm por 2πrad obtenemos el ángulo de rotación Ѳ que equivale a 4. 13.22 cm. Guardo una varilla de tal forma que se ubica siguiendo la diagonal principal de la caja.300 rpm (revoluciones por minuto). si dividimos las rpm por 2πrad obtenemos el ángulo de rotación Ѳ que equivale a 2300 π rpm. d) d es la longitud de la diagonal de la base y mide 113.Si tenemos que i = 30º y los medios son el aire y el agua donde la razón de v1 a v2 es 4:3 De acuerdo con lo anterior. 12. la cual mide 113. se define la velocidad angular como donde θ es el ángulo de rotación (medido en revoluciones) y donde t es el tiempo (medido en minutos). la velocidad angular (w) se define como el ángulo barrido en una unidad de tiempo. podemos afirmar que: a) d es la longitud de la varilla y tiene un valor de 113.12”. El ángulo mide 46º41´10. y p es la longitud de la varilla. Lee el siguiente texto y analiza la gráfica que lo acompaña: Una caja tiene una base cuadrada de 80 cm de lado y 1.2 m de altura. c) d es la longitud de la diagonal de la base y mide 113. podemos afirmar que: a) Como el ángulo de rotación se define como Ѳ = wt entonces el ángulo equivale a 2. d) Para hallar el ángulo que la varilla forma con el piso utilizamos el triángulo rectángulo determinado por la varilla y la diagonal de la base de la caja y la altura de la misma. para un ángulo en posición normal cuyo lado final se encuentra con un punto P sobre la circunferencia de radio r.92 cm. b) Como una revolución equivale 2πrad.143 cm. donde t es el tiempo medido en segundos y V (t) es el voltaje medido en voltios. es el inverso del periodo de la función. Si el voltaje de un circuito de corriente alterna está dado por la expresión V (t)= 170 sen (120 π t). El voltaje promedio de un circuito de corriente alterna está dado por |a|/ √ 2. El número de ciclos por segundo es la frecuencia de la corriente. es decir.400 π cm debido a que el arco es igual a s = r Ѳ. c) 0. La frecuencia es: -1 a) 1/60 segundos.d) El ángulo de rotación no puede ser hallado porque no hay datos suficientes (falta el tiempo de rotación). c) La amplitud de la función es 170/2π. De la información del punto anterior se puede afirmar que: a) La distancia que recorre la rueda es de 24 cm por unidad de tiempo. El voltaje promedio aproximadamente es: a) 240 voltios. d) El período es 1/60 segundos. b) El período de la función es 120π. es el trabajo o energía necesaria para mover una carga eléctrica de un punto a otro en contra o a favor de las fuerzas del 65 . b) La longitud de arco es de 110. -1 b) 60 segundos.7 voltios. b) 120 voltios. 17. De acuerdo con lo anterior. c) 60 s . d) 85 voltios. hallarse debido a que no tengo el tiempo que tarda girando. puede afirmarse que: a) La amplitud de la función es 1 porque esa es la amplitud de la función seno. d) 60 π s . 16. 15. El voltaje en un campo eléctrico. 14. c) Como la velocidad lineal es puede no campo donde esta se encuentra. d) La velocidad lineal está definida como por lo tanto la velocidad es Con la siguiente información responde las preguntas de la 15 a 18. 1.UNIDAD 4 1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano coordenado: Ejemplo: 66 . DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO Y COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 1. 1. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Si un segmernto de línea tiene puntos .2. entonces las coordenadas del punto medio son: Ejemplo: 67 . 3. entonces las . -6) 2.6) y 68 . Si un segmento de línea Coordenadas del punto medio son?. Usando (9.-5) y (2. Mostrarlo gráficamente. 4. Encontrar la distancia entre (-3. Encontrar el punto medio del segmento de línea con puntos (1. Punto medio de línea. tiene puntos .8).EJERCICIOS…… 1. Grafíquelas. Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado. LA LINEA RECTA. 2. donde A.2. sin excepción. conocidos esos dos puntos. Ahora bien. Vista en un plano. PENDIENTE Y ECUACIONES DE LA RECTA La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 Que también puede escribirse como ax + by + c = 0 y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta. vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). hay varias formas de representar la ecuación de la recta. y en que A y B no son simultáneamente nulos. La línea podemos verla. con abscisas (x) y ordenadas (y). todas las rectas del plano. El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta. Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana. 69 . como lo afirma el siguiente: Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0. Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano. para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano). una recta puede ser horizontal. representa una línea recta. B. Dicho en otras palabras.1. pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta. C pertenecen a los números reales ( ). 1. Como P. O sea y Luego. Sean P(x1. en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) quedan determinados por: Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0? 2. la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es: que también se puede expresar como Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1. 4) 70 . es posible determinar su ecuación. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.La ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0).1. se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. y1) y Q(x2. también perteneciente a la recta. y2) dos puntos de una recta. y). Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta. Para ello tomemos un tercer punto R(x. 2) y Q(3. Q y R pertenecen a la misma recta. y por los ejemplos anteriores. siendo x el valor de la abscisa y (y) el valor de la ordenada.2.1. 2. Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente: Cada punto (x. Ordenada) Ejemplo: El punto (–3. sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos está determinada por pero Luego. Si un par de valores (x. ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero. y) pertenece a la recta.2. ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta. Por lo ya visto. 71 . Ecuación de la recta dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente). y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas. 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5. Ejemplo: El punto (7.2. –3) y – y1 = m(x – x1) y – (–3) = –4(x – 5) y + 4 = –4x + 20 Luego la ecuación pedida es 4x + y – 16 = 0. y) = (Abscisa . 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5. (x. se dice que ese punto satisface la ecuación. si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos despejando. llegamos a: y – y1 = m(x – x1) Ejemplo: Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5. la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y). que se obtiene con la fórmula: y = mx + n que considera las siguientes variables: un punto (x. Respecto a esto.2. y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0. la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n). Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10. Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita. partiendo de la ecuación de la recta de la forma Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto). Si se conoce la pendiente m. Ejemplo. veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce. como veremos luego). y). Forma simplificada de la ecuación de la recta. 2. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y). puede ser un punto o puede ser el intercepto. esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y). Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. en el gráfico de la izquierda. como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente. m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa).Recordado lo anterior. Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n. Tenemos que hallar la ecuación de la recta. y n es el coeficiente de posición. 7). y = mx + b.1. que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). Usamos la información que tenemos: m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación y = 3x + 10. esto es. lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n. Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7. b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista). por lo tanto. La ecuación que se pide es y = 3x + 10. y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada. 72 . podemos deducir. Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra. o sea. con la fórmula: y – y1 = m(x – x1) Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos. queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos. la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1.3. la pendiente. Además: Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). y1) y tiene la pendiente dada m. Si nos dicen. a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta. Si n = 0 la recta pasa por el origen. Ahora. quedando como – y + 3x + 10 = 0. queda n = 1. para quedar 3x – y + 10 = 0 Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1. 1. Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general: y – 3x – 10 = 0. que luego ordenamos. la recta es perpendicular. y1) y P2 (x2. y despejando n. por ejemplo. Entonces. Determinar la pendiente. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas. PENDIENTE DE UNA RECTA Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados: Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si y = 0. sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos o dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 = m · 1 + n. 3). Entonces. 5). entonces esa otra también ambién tiene pendiente m = – 3. que es siempre constante. Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra. sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría: 3 = 2 · 1 + n. la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1. con la fórmula 2. 3) y (2. o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. entonces esa otra tiene pendiente 5. la cual amplificamos por –1. se establece de la siguiente manera: y – y1 = m(x – x1) 73 . Por lo tanto. 5 = m · 2 + n. que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1. y2). observemos el gráfico: gráfico Cuando se tienen dos puntos de una recta P1 (x1. 74 . ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 3. m = –1. entonces ¿cuál de las siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1? I) La pendiente de real. punto (–2. m = 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1. punto (–3/2. 2. 0) y – 0 = 0(x + 3) y=0 es positiva. 2) y tiene pendiente m = – 5. En la figura anterior las rectas L1 y L2 son perpendiculares. no es un número Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la pendiente Recuerde que la fórmula inicial es y – y1 = m(x – x1) 4. –1) y + 1 = 2(x + 3/2) y + 1 = 2x + 3 – 2x + y – 2 = 0 2x – y + 2 = 0 6. punto (–3. En la figura.EJERCICIOS…… 1. m = 0. II y III y de es cero. II) La pendiente de III) La pendiente de Alternativas A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I. 3) y – 3 = –1(x + 2) y – 3 = –x – 2 x+y–1=0 5. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Las rectas paralelas no se cruzan ni se juntan aunque se alarguen Dos rectas que al juntarse en un punto forman ángulo recto. El centro y un punto en ella. Determinación de una circunferencia. equidistantes del centro. se llaman perpendiculares. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos). 75 . 4. El centro y el radio.3. Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: Tres puntos de la misma. podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia. b) y con radio r─. Y que la a y la b (o la h y la k. de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a. 76 . Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo. También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto. y). según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a. la ecuación ordinaria es 2 2 2 (x ─ a) + (y ─ b) = r ¿Qué significa esto? En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática. Es decir. Nota importante: Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido. si nos dan la ecuación de una circunferencia. a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla. (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto.El centro y una recta tangente a la circunferencia. Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia. b). Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia). P (x. llamado centro. entrando en el terreno de la Geometría Analítica. Entonces. equidistante del centro un radio (r). 6x + 4y + 11 = 0 2 2 9x + 9y +18x -108y + 329 = 0 2 2 2x + 2y . eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios. podemos construir su ecuación ordinaria. otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que: 77 . y si operamos los binomios cuadrados que la conforman.3x + 2y + 75 = 0 Si F = a + b ─ r entonces Además. tendremos: x ─ 2ax + a + y ─ 2by + b ─ r = 0 ecuación que ordenada sería x + y ─ 2ax ─ 2by + a + b ─ r = 0 Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones: ─ 2a = D. debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0. Volviendo 2 2 2 a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a) + (y ─ b) = r . ─ 2b = B. obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia. a +b ─r =F la ecuación quedaría expresada de la forma: x + y + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia. Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─. la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo: No existe término en xy Los coeficientes de x e y son iguales. Ecuación reducida de la circunferencia.Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 (que en forma matemática representa una circunferencia). De la ecuación ordinaria a la ecuación general. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b ─ F > 0 (a + b ─ F debe ser mayor que cero) Nota: Para simplificar circunferencia: 2 2 2 2 2 2 la ecuación 2 2 general 2 de la (x + y ─ 2ax ─ 2by + a + b ─ r = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen: ─ 2a = A. a + b ─ r = C para tener finalmente x + y + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x + y + Dx + Ey + F = 0 A modo de recapitulación Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia. ─ 2b = E. 0) la ecuación queda reducida a: (x ─ a) + (y ─ b) = r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2 Si D = ─ 2a entonces x +y =r Si E = ─ 2b 2 2 entonces 2 Halla el centro y el radio de las siguientes circunferencias: a) b) c) d) x 2 + y2 + 4y -13 = 0 2 2 x + y . pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero. Ecuaciones de la parábola. ELIPSE E HIPÉRBOLA Las curvas cónicas. Apollonius escribió libros que introdujeron términos que hasta hoy son conocidos como parábola. Al ser PM paralela semejantes y así: a AC. K paralelos a B y C. Usando nuevamente los paralelismos: . tiene una 2 ecuación de la forma y=ax donde onde el parámetro a especifica la escala de la parábola. los triángulos HVP. Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas. fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Grie Griega ga hace mucho tiempo. Cuando el parámetro es positivo. Menaechmus realizó sus descubrimientos brimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de duplicar un cubo. Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. 5. matemáticas. ESTUDIO DE LAS SECCIONES CÓNICAS: PARÁBOLA. 5. todas las parábolas tienen la misma forma. PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta rect fija llamada directriz. ya que como se dijo antes.1. Por el teorema de potencia de un punto: punto . incorrectamente descrita como la forma de la parábola. obtenemos H. 78 . Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas. Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono.5. la parábola se abre «hacia arriba» y cuando do es negativo se abre «hacia abajo». HKA y BCA son .1.1. hipérbolas y elipses eran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base. Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz. hipérbola y elipse. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las matemáticas. 5. 79 . Así tendríamos: La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma . por lo que haciendo arroja la expresión moderna y=ax². La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su 2 vértice es (u. Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V. Sin embargo. se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Si la parábola es horizontal. agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente: La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma . Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice. dados dos puntos fijos. existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma mi distancia del último.Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en .1. Ecuación involucrando la distancia focal focal.v) tiene la forma (y-v)=a(x-u) .2. 0) y foco en (0.(0. A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal.0) y el foco es (0. la recta horizontal que pasa por (0. en (0. (0. el foco sería (0. La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. k) 80 . con vértice en (h. En est este e caso.p). Finalmente. p) y de esta forma: La ecuación de una parábola con vértice en (0. y: La ecuación de una parábola con vértice en (0. p). Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha». La directriz es por tanto. k+p) mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:. con vértice en (h. se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x.0) y foco en (p. k) y foco en (h. La es ecuación de una parábola .Consideremos el caso especial en que el vértice es (0.(0. Con esta configuración se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en (0.0) y foco en (0. Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba».0) y foco . las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.0) es .p) es . En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene La es ecuación de una parábola . obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.-p) es . de modo que en este caso la distancia focal es igual a p.p) es De forma alterna: La ecuación de una parábola con vértice en (0. k) y foco en (h+p. 3. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. ¿A qué distancia del sol se acercará el cometa? (sugerncia: el punto de la parabóla más cercano al foco es su vértice). Un faro de un automovil utomovil tiene un reflector parabólico de 6 pulgadas de diámetro y 3 de profundidad. la línea que une al sol con el cometa forma un ángulo de 60º con el eje de la parábola. Un cometa procedente del espacio profundo se acerca al sol siguiendo una órbita parabólica. Demuestra que la longitud del lado recto de la parábola x = 4cy está dado por |4c|. EJERCICIOS…… 1. 4. 2. . Aplicaciones . Ecuación general de una parábola parábola. Demuestra que la longitud de la cuerda focal (lado recto) de la parábola y = 4cx está dado por |4c|.Las trayectorias que siguen los proyectiles son parábolas. si se supone que este debe ir en el foco? (sugerencia: representa esta parábola en un plano cartesiano y coloca el vértice en el origen). La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es: si y sólo si y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma . 5. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.Concentrador parabólico. Cuando está a 10 millas llas del sol. el método que se emplea e en n las grandes centrales captadoras de energía solar.Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. 2 2 8 81 .3.4. Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas.5.1. .1. o. El mismo principio se aplica en una antena de radar. Newton lo demostró considerando a la Tierra como un plano y sin tomar en cuenta la fricción del aire. ¿A qué distancia del vértice debe ponerse el bulbo luminos luminoso. donde a es distinto de cero. 5. (PF1 + PF2 = 2a).2. 5. Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente. Si F1 y F2 son dos puntos de un plano. F1y F2 en el eje mayor.2. tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. e igual a la longitud del diámetro mayor. Ejes de una elipse. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado. es la medida del semieje mayor de la 5. Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro. El eje mayor 2a. es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse.1.5. El eje menor 2b.1. y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2.1. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Elementos de una elipse. La elipse es una curva plana y cerrada. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante. 82 . Puntos de una elipse. un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: donde elipse.2. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. ELIPSE La elipse es una línea curva. y el semieje menor (el segmento C-b de la figura).2. . es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: El semieje mayor (el segmento C-a de la figura).1.2. mientras que una elipse pse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si. cerrada y plana cuya definición más usual es: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano. esto es: es el ángulo para el cual el valor de la 5. En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse.5. también vale la o el sistema: La excentricidad indica la forma de una elipse. Excentricidad de una elipse elipse. con Dado que relación: .2. elipse La excentricidad angular función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad .2. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo) rojo). Su valor se encuentra entre cero y uno. una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.5. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico. 5. La excentricidad ε (épsilon) ) de una elipse es la razón entre su semidistancia tancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos). para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor: PF1 + PF2 = 2a 83 .4. Excentricidad angular de una elipse.2.3. y su semieje mayor.1. (No se debe usar la letra e para designarla. porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon. los vectores que van de los focos F1 y F2 a P.1. . Constante de la elipse. denominada por la letra c.1. . Además de la bien conocida relación . si es al revés. . Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha).2. Directrices de la elipse.2. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea. Ecuaciones de la elipse 5. entonces es vertical. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) ) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.2. cartesianas con centro en el origen. donde si a corresponde al eje de d las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal. existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que que se denomina foco– foco y a una recta dada –llamada llamada directriz directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma. origen La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas. la cual además es paralela a la directriz anterior. también es cierto que . también es útil la fórmula Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho.1. mayor 84 . siendo e la excentricidad y a el semieje mayor. En coordenadas cartesianas Forma cartesiana centrada en origen.2.1.5. El origen O es la mitad mi del segmento [FF']. La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad: La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse.2.6. es: donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse. 5. Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h. En coordenadas polares. la ecuación de la elipse es: (epc 1) Una a ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular calcular la excentricidad ). con el origen en uno de sus focos.2. con origen en su centro.2. En coordenadas polares. en caso contrario Formas polares centradas en un foco foco. b es el semieje menor de la elipse.Forma cartesiana centrada fuera del origen origen.2.k). . es: (epc 2) Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor. la forma polar es: 85 . En coordenadas polares Forma polar centrada en origen. la ecuación es: 5. convendrá utilizar la ecuación (epc ( 1). . la ecuación de la elipse es: (501) Para el otro foco: (502) En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular φ. Si no se quiere pre-calcular calcular la excentricidad utilizar la ecuación (epc 2). θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad. normalmente denotado . 3. ¿Cuál es la excentricidad de una circunferencia?. Demuestra que la ecuación de la elipse cuyos focos están sobre el eje Y y el centro en el origen.3. respectivamente. • En arquitectura se utilizan con may mayor frecuencia arcos con forma elíptica. 5. 5. Argumentación. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites.(502) ( y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas es el llamado semi-latus rectum de la elipse. ¿Puede afirmarse que una circunferencia es una elipse?. Comunicación. las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.2. 86 . La distancia desde el centro de la luna al centro de la tierra varía desde 221463 millas hasta ha 252710 millas. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos. EJERCICIOS…… 1. ¿Cuál es la excentricidad de la elipse? ? ¿Qué longitud tiene el eje mayor y el menor?. tiene la forma x2 y 2 + = 1 donde b>a. La tierra se mueve en órbita elíptica alrededor del sol. Comprobación. • Debido a la resistencia del viento. y este está en uno de los focos de la elipse. 4. ites. b2 a2 2.(503) } El ángulo de las ecuaciones ciones (501). Aplicaciones • Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. ¿Por qué?. El semi-latus latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco. Las distancias mínima y máxima de e la tierra al sol son 91446000 millas y 94560000 millas. Calcula la excentricidad de la órbita lunar y la longitud del eje mayor y el menor. D1 y D2. cónica una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor meno que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1. Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas ecuación de la hipérbola en su forma canónica. y Ecuación de una hipérbola con centro en el punto 87 . la cual es una constante positiva.1. Ecuaciones de la hipérbola.1. Ecuaciones en coordenadas cartesianas cartesianas. C. focos es igual a la distancia entre los vértices. Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas líne discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas). Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos. llamados focos. es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un puntoP de la hipérbola bola a uno de los focos y su correspondiente directriz. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto. perpendicular al eje transversal) son las dos directrices.5.3. jugado. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2. 5. La excentricidad e (e>1).3. 5.3. la línea negra que los une es el eje transversal. HIPÉRBOLA Una hipérbola es una sección cónica. Ejemplos: a) b) Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es horizontal; si es e al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno. Ecuación de la hipérbola en su forma compleja. compleja Una hipérbola en el plano complejo es el lugar r geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias , a dos puntos fijos llamados focos y , es una constante posi positiva igual al doble de la distancia (o sea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal. La ecuación queda: Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos. 5.3.1.2. Ecuaciones en coordenadas polares Hipérbola abierta de derecha a izquierda: Hipérbola abierta de arriba a abajo: Hipérbola abierta de noreste a suroeste: Hipérbola abierta de noroeste a sureste: 88 5.3.1.3. Ecuaciones paramétricas Hipérbola abierta de derecha a izquierda: Hipérbola abierta de arriba a abajo: En todas las formulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, mayor b es la longitud del semieje menor. 5.3.2. Aplicaciones plicaciones en el mundo real real. Para diseño de Puentes, ya que ue se puede distribuir el peso de todo el puente. Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra. Estadios deportivos, cuya finalidad es acomodar personas para poder presenciar algún deporte. 89 PRUEBA TIPO ICFES 1. Los triángulos ∆QNP y ∆NQM son rectángulos en P y en M respectivamente. Si además se sabe que son isósceles y congruentes, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas (s)? I) II) III) MT + PQ = QM + QT PM QN PMN 3. Si la parábola corresponde a la función 2 cuadrática y = x + 4x – 5, ¿cuál (es) de las proposiciones siguientes es (son) verdadera (s) I) La parábola intercepta al eje y en el punto (0, – 5). II) El vértice de la parábola es el punto (2, – 1). III) El eje de simetría es y = – 2. QPM = a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III 2. El triángulo tiene por vértices los puntos A (3,5), B (–3, 5) y C (– 3, – 3). ¿Cuál (es) de las afirmaciones siguientes es (son)? I) a) b) c) d) e) Ninguna. Sólo I. Sólo I y II. Sólo I y III. I, II y III. 4. O es el centro de la simicircunferencia. Si OC = CB y CD OB, ¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s) si AO = r? I) BD = r CBD = 2 II) CDB II) BA < BC III) ∆ CBA es rectángulo en B. a) b) c) d) Sólo I. Sólo II. Sólo III. Sólo II y III e) Ninguna de ellas. III) a) b) c) d) e) Sólo I. Sólo III. Sólo I y II. Sólo I y III. I, II y III. 90 Las alturas que parten desde el mismo ángulo en cada triángulo están en la razón: a) a : b : c .5. 2 2 2 c) √a : √b : √ 6. b) Sólo II. c) d) b) Sólo II. e) Ninguna de las anteriores. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a : y2 = – x2 + 16 y y2 = – x2 + 4? a) b) 91 . La siguiente expresión representa un número real I) a≠1 II) a ≤ 1 III) a < 1 c) Sólo III. b) a : b: c:. ¿Cuál(es) gráfico(s) representa(n) una función constante? I) II) 9. c) Sólo III. e) Ninguno. a) Sólo I. d) Sólo I y II. e) Falta información. d) Ninguna de las anteriores. 7. e) 8. Tres triángulos escalenos son semejantes y 2 2 2 sus áreas están en la razón a : b : c . La gráfica que corresponde a la función y = – x2 – 3x – 3 es: a) b) III) a) Sólo I. c. d) Falta información. d) II y IV. II) P. I y III. pq. e) Falta información. c) I y III. se cumple que: I) EG = EF II) ES = EQ 92 . IV) 3a es número b) I y III. II y III. b) Sólo III. 12. Es (son) verdades(s): a) Sólo I. e) Ninguna de las anteriores.333… es correcto: I) II) a es racional. b) II y III. III) 3p – q = a) b) c) d) e) Sólo I. Si a = 3. En la figura. 14. Si p representa un número par y q representa un número impar. b) Sólo III. Q y S se forma un triángulo rectángulo en S. c) III y IV. II) La diagonal de Q es igual a la diagonal de R. II y III. c) I y III. a) Sólo I. a) Sólo I. R y S son vértices de un trapecio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) corresta(s)?. Q. e) I. 10. e) 13. I) Si se unen P. ¿cuál (es) es de las siguientes expresiones es(son)? I) q + q = p + p. III) par a) Sólo II. d) I. Dos rectángulos Q y R tienen igual área. se tiene un sistema de ejes coordenados con los puntos P. R y S. entonces: I) Q y R tienen siempre igual ancho e igual largo. II. d) I. Al trazar la diagonal PR en el rombo PQRS. I. d) I. II) pq = 3q + 2. 11. II y III. c) I y III. III) Q y R tienen igual perímetro. III) PR > PQ.c) d) III) ∡ SPR = ∡QPR es correcta y está en buen estado. II y III. I y II. III y IV. e) Ninguna de ellas. II y III. Q. β c) 360º .2β b) 180º . Determina el radio de dicha esfera en función del área A y el volumen V. 16. Sólo III. AD = 4 cm y CD I) 2 AB. x + α es: entonces la suma a) b) c) d) e) Sólo I. Sólo II. I y II. O es el centro de una circunferencia de radio 8cm. Se puede decir que: c) d) CD = AD (BO + DO) II) AC = 8 cm. La resultante de dos vectores de módulos 3 y 4 unidades: a) Nunca puede ser igual a 7 unidades. con seguridad. ∆ AGF y ∆ DGC son isósceles en G y ∆ DEG ≅ ∆ BGC.15. III) CB = 8 √3 cm. Determina el perímetro de la zona sombreada de la figura. b) Es. Se tiene una esfera de volumen V cm y área A cm2. En el rectángulo ABCD. En la figura se tiene que ACDF es un rectángulo. se han unido los puntos medios de sus lados y luego se unen los puntos medios del nuevo cuadrilátero. ∆ ABE rectángulo. d) Es siempre dada por √32 + 42 e) Puede ser nula. a) 4 √a + b b) 2 2 17. En la figura se tiene que tanθ = 1/3. a) 90º + α d) 180º . entonces x= a) 8 b) 8√2 c) 12 d) 4 √10 e) Otro valor 19. c) 70º d) 20.β e) Ninguna de las anteriores 93 . el valor de α es: 18. e) Ninguna de las anteriores 21. c) Nunca es menor que 1 unidad. Si. a) b) c) 3 d) e) a) 35º b) 50º 140º e) No se puede determinar. menor que 7 unidades. Todas. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. del b) c) d) es paralelo al vector 29. e) Ninguna de las anteriores. Dados los vectores Se cumple que: a) La proyección de b) El vector sobre el eje x es – 7. El teorema del seno está descrito por la siguiente expresión: a) b) c) d) 3π – √3 e) Ninguna de las anteriores definen las tres paralelepípedo. c) Rectángulos. b) Triángulos rectángulos y oblicuángulos. Cuando la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo modulo. radio a y a) centros de dos el área sombreada es: a) Son paralelos. 25. d) El teorema de Pitágoras 27. entonces se cumple que: 94 . c) El volumen del paralelepípedo. 26.22. c) d) cos a = 1 – sin a. b) La superficie total del paralelepípedo. c) Triángulos oblicuángulos. 23. e) Ninguna de las anteriores. Se tiene el siguiente triángulo rectángulo: para calcular la longitud del cateto x se puede utilizar: a) La función sen30º. d) Donde sólo conozcamos los ángulos internos. El teorema de Pitágoras permite hallar longitudes de catetos en triángulos: a) Oblicuángulos. 30. 24. c) Forman un ángulo de 60º d) Son perpendiculares. b) La función cos30º. d) Ningún triángulo. c) La función tan30º. A y B son circunferencias. b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α. Si los vectores aristas de un representa a) La proyección de determinado por sobre el plano . e) Ninguna de las anteriores. La anterior afirmación se cumple en: a) Triángulos rectángulos. 2 2 c) El producto vectorial d) Los vectores a y c son paralelos. . b) Rectángulos y oblicuángulos. 28. d) La mitad de la superficie total paralelepípedo. El teorema de coseno está descrito por la siguiente expresión: a) a2 + b2 = c2. ¿qué ?. b) Forman un ángulo de 30º. β = 300º. Una función lineal se caracteriza por tener: a) Dos puntos de corte con el eje x. la empresa coloca una lámina delgada de forma triangular dentro de la caja como se ilustra a continuación: El siguiente dibujo representa el diseño de una piscina para niños que se quiere construir en un centro vacacional: La expresión que permite determinar la mínima cantidad de material requerido para la construcción de cada caja es: 39. c) Constante. Para empacar y proteger un artículo. 36. d) Tres puntos de corte con el eje x. Para recubrir el interior de la piscina con tela 2 asfáltica. c) Constante. de cartón con tapa y de arista x. d) No es función. 34. el constructor pide 30m .31. En la gráfica de una función lineal la pendiente mayor que cero indica que la función es: a) Creciente. 35. d) No es función. b) Decreciente. c) Un punto de corte con el eje x. Esta cantidad de material: a) No es suficiente porque faltaría aproximadamente 7 m2. Para empacar artículos. en unidades cuadradas está 33. 32. una empresa construye cajas de forma cúbica. La identidad trigonométrica para el seno de ángulos dobles está descrita por la siguiente expresión: 2 2 a) Sin a= 1 – cos a. b) Es suficiente porque son aproximadamente 2 25 m . como se indica en la figura: 2 2 c) d) representada por la expresión: El área de la lámina divisoria. 2 38. Para empacar dos artículos en la misma caja se requiere dividirla en dos compartimentos iguales con una lámina de cartón. La pendiente de esa recta se halla de la siguiente forma: a) b) b) 6x + 7 a) 6x + 7x c) 3x (x + 2)2 + 3x2 d) 3 (x + 2)2 + 3x2 37. c) No es suficiente porque faltarían 2 aproximadamente 14 m . Para trazar la gráfica de una función lineal basta conocer la información de sólo dos puntos (parejas ordenadas). d) cos 2a = 2 sin a cos a. usando el siguiente diseño: a) x 2 b) 2x 2 c) √2x 2 d) 2√2x . d) Es suficiente y sobrarían aproximadamente 2 25 m . b) Ningún punto de corte con el eje x. 2 c) sin 2a = 2 cos a – 1. En la gráfica de una función lineal la pendiente menor que cero indica que la función es: a) Creciente. 95 . b) sin 2a = 2sin a cos a. b) Decreciente. unsl. …<et al>.pdf http://es.com/elipse-e-hiperbola_1. 2005.cl/geometria/Recta_Ecuacion_de.monografias.cl/geometria/angulos_y_rectas.pdf http://trigo07.profesorenlinea. Nuevo pensamiento matemático 10.net/post/2007/09/08/signos-las-funciones-trigonometricas-segun-cuadrante http://www. 96 .html http://www.com/ALG/Formulas_punto_medio_y_distancia.fic.lacoctelera.html http://es.com/matematicas/funciones-trigonometricas http://www.mx/~lcastro/identidades%20trigonometricas.C3.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica) Ricardo Díaz D.org/wiki/%C3%81ngulo http://es.com/trabajos-pdf4/dominio-y-rango-funcion/dominio-y-rango-funcion.html http://es.A1n gulos http://www.html http://html. Libros & Libros S.html http://html.htm#8 http://tutormatematicas.umich.com/matematicas-trigonometria-plana/curso/Lecc-27. Nelson Jiménez R.htm http://www.profesorenlinea.rincondelvago.wikipedia.html# http://www. Bogotá.edu.profesorenlinea.org/mates/teortrigon.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas#Teoremas_de_la_suma_y_diferencia_de_.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica http://webfmn..rinconsolidario.hiru.ar/ingresantes/cuadernillo/cap5+prac. 320 p.wikipedia.A.wikipedia.aulafacil.rincondelvago.com/geometria-analitica_conicas.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia. Ed.BIBLIOGRAFÍA http://www.pdf http://www.