CódigoPGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 1 de 68 L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 PRESENTACIÓN En nuestra vida diaria nos llega con mucha frecuencia información estadística. Al leer un periódico o una revista, al consultar información en una enciclopedia o en un texto nos encontramos con cantidad de gráficos, tablas y dato que se presentan en variedad de formas. Tanto en la economía como en los deportes, pasando por las comunicaciones, el estudio de las poblaciones o los resultados de unas elecciones políticas, nos encontramos con datos manejados estadísticamente. En este módulo estudiaremos las nociones básicas de la estadística utilizando como herramienta primordial el modelo pedagógico institucional que nos permitirá, entre otras cosas, comprender algunas presentaciones estadísticas de datos. AREA DE MATEMÀTICAS Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 2 de 68 L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 TABLA DE CONTENIDO PROYECTO TRASVERSAL CONVIVENCIA Y SEXUALIDAD UNIDAD I Probabilidad Resultados y espacios muéstrales. Enfoques de la probabilidad. Escala de probabilidades. Diagramas de árbol. Los juegos de azar y las reglas de la probabilidad UNIDAD II TECNICAS DE CONTEO (PERMUTACIOJES, VARIACIONES, COMBINACIOES, TRIANGULO DE PASCAL) Y PROPIEDADES DE LA SUMATORIA Y PRODUCTORIA. Conteo de resultados. Permutaciones. Permutaciones con repetición. Combinaciones. Variaciones. Combinaciones según el triangulo de Pascal. Problemas de aplicación Propiedades de la sumatoria. Propiedades de la productora. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 3 de 68 L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 PROYECTO TRASVERSAL CONVIVENCIA Y SEXUALIDAD USO DE ANTICONCEPTIVOS No obstante que la prevalencia de uso de anticonceptivos entre mujeres adolescentes unidas se incrementó de 30% en 1987 a 48.8% en el año 2000, sigue siendo la más baja con respecto a los otros grupos de edad y significativamente menor en comparación con el total de las mujeres unidas. 3 Esta es una de las características distintivas de la población adolescente y pone de manifiesto que las estrategias para hacer llegar los métodos anticonceptivos a este segmento de la población no han sido del todo exitosas (Figura 4). Adicionalmente, la demanda insatisfecha de métodos anticonceptivos entre las mujeres unidas de 15 a 19 años es la más alta de todos los grupos de edad y representa más del doble con respecto al valor estimado para todas las mujeres. De acuerdo a las estimaciones hechas por el Consejo Nacional de Población (CONAPO) en 1997, el porcentaje de las adolescentes unidas de 15 a 19 años que no pudo obtener un método anticonceptivo a pesar de su deseo manifiesto de evitar el embarazo fue del 26.7 %; esta cifra contrasta con la obtenida para el grupo de mujeres unidas de 15 a 49 años, donde el porcentaje estimado fue de 12.1%. Se estima que durante el año 2000 ocurrieron en el país cerca de 366 mil nacimientos de madres de 15 a 19 años, lo que representa el 17% del total de nacimientos y una tasa específica de fecundidad de 70.1% por mil mujeres de ese grupo de edad. A pesar de que durante los últimos seis años el número de nacimientos se redujo en poco más del 10%, la prevención del embarazo no planeado en las adolescentes continúa siendo un desafío prioritario en salud reproductiva (Cuadro I). donde el porcentaje estimado fue de _______. A pesar de que durante los últimos seis años el número de nacimientos se redujo en poco más del _____ la prevención del embarazo no planeado en las _________ continúa siendo un desafío prioritario en salud. 2. _____ _____ el porcentaje de las adolescentes unidas de ____ a _____ años que no pudo obtener un ___________ __________ a pesar de su deseo manifiesto de evitar el embarazo fue del ______ esta cifra contrasta con la obtenida para el grupo de mujeres unidas de _____ a _____ años. No obstante que la prevalencia de uso de anticonceptivos entre mujeres adolescentes unidas se incrementó de __________________________ __________________________________________________________ b. Fuente: Estimación en base a las Encuestas Nacionales Sociodemográficas. Consulta por internet que significan las siglas CONAPO . ACTIVIDAD 1. busca las palabras desconocidas y realiza un glosario con ellas. 3. Representa la información anterior en un histograma.000 mujeres de 15 a 19 años. Teniendo como base el texto completa o contesta: a. Según el cuadro el nacimiento en miles de 1900 es de ____________ y el nacimiento en 1998 ________ y de 1996 hasta el 2000 es de __________ 4.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 * Por 1. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 4 de 68 L. 5. Lee cuidadosamente el texto anterior. c. F. Interpreta las reglas de probabilidad y las aplica para la solución de problemas de la vida cotidiana . teniendo como base la probabilidad de dos a más sucesos. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 PROBABILIDAD DESEMPEÑO Comprender y clasificar los enfoques probabilísticos y los clasifica según la escala e interpretar las regla de probabilidad y las aplica en problemas prácticos. INDICADORES DE DESEMPEÑO Comprender y clasificar los enfoques probabilísticos y los clasifica según la escala de probabilidad Construye diagramas de árbol. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 5 de 68 L. Basándose en dicha correspondencia. . de su abastecimiento de alimentos y de otros aspectos de su medio ambiente. cuando era estudiante de la Universidad de Padua. Aproximadamente por el año 3500 a. ochenta y siete años después de su muerte. Aunque la historia de la probabilidad se inicia con la correspondencia entre Pascal y Fermat. En 1520. considerados como los precursores de los dados.C. el primer libro impreso sobre probabilidad.. y fueron ampliamente desarrolladas en Egipto y otros lugares. Sabemos que el juego con dados ha sido popular desde esa época y que fue parte importante en el primer desarrollo de la teoría de la probabilidad.C. así como también en ella calcula probabilidades de obtener algunos resultados en juegos de cartas y especialmente en el denominado póker medieval. el físico-astrónomo-matemático alemán Christian Huygens. Incluso la idea de juego de azar tiene una larga historia. los juegos de azar eran practicados con objetos de hueso. (Razonamientos en juegos de azar). La llamada escuela probabilística o enciclopédico temática surge en Francia a partir del empleo de la matemática en el cálculo de probabilidades como instrumento de investigación. Dados cúbicos con marcas virtualmente idénticas a las de los dados modernos han sido encontrados en tumbas egipcias que datan del año 2000 A. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 6 de 68 L.F. y ha tenido que esforzarse por reducir esta incertidumbre y sus efectos. publicó en 1656 el libro De ratiociniis in ludo aleae. La humanidad siempre ha debido soportar la incertidumbre acerca del clima. Hierónimo Cardán escribió el libro sobre juegos de azar pero fue publicado en latín solo hasta 1663. a pesar de que es en esencia un libro de juegos de azar. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Los conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la civilización misma. este libro fue texto de referencia de estos dos genios de la matemática ya que en él se formulan importantes ideas referentes a la probabilidad. En esta obra se encuentra implícita la ley de los grandes números. maestro de Leibniz. ¿En que tiempo y quienes empezaron o se iniciaron los juegos de azar? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 3. ¿Quién y en que año publicó el primer libro impreso sobre probabilidades? ¿Qué titulo recibió dicha obra? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ .1922) y A. (1895 . Al tratar de dar soluciones a problemas relacionados con juegos de azar planteados por Antonio Gamboud. ¿En que año lo publico? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 4. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 El cálculo de probabilidades nace con Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665).L CHEBYSHEV. Pierre Simón Laplace (1749-1827) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855).1980). (1903 -1987). más conocido con el título nobiliario de caballero de Meré.F. Resuelve las siguientes preguntas: 1. (1821 . XIX y XX se destacaron algunos estadísticos como: EGON PEARSON. ¿Quién fue la primera persona en escribir un libro sobre juegos de azar?. hicieron trascendentales aportes a esta teoría hasta convertirla en el principal instrumento de análisis de los fenómenos aleatorios. P. ANDREI KOLMOGOROV. Posteriormente muchos otros matemáticos prestigiosos como Abraham De Moivre(1667-1754).M LYAPUNOV (1857 -1918). i(1856 . Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 7 de 68 L. Durante los S.1894). ¿En que se basó el desarrollo de la primera teoría de la probabilidad? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 2. ANDREI MARKOV. Estos experimentos reciben también el nombre de pruebas al azar. no se puede predecir el resultado que se va a obtener. ¿Según el texto quienes pueden ser considerados como los padres de la probabilidad? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 6. lo denominaremos . pero menor que uno). Por eso la formula general de una probabilidad es: 0 ≤ P(A) < 1(La probabilidad de un suceso A es mayor o igual cero. EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel en el que una misma acción da origen a resultados diferentes. 7. Escriba el nombre de 3 representantes de la teoría de la probabilidad en los siglos XIX y XX. Probabilidad es el grado de incertidumbre o creencia de que algún fenómeno o suceso pueda ocurrir y la forma de determinarlo o cuantificarlo numéricamente. 2. Antes de realizarlo. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 8 de 68 L. Resalta los personajes que hicieron participes de la historia de la probabilidad y consulta la biografía de cada uno de ellos. La probabilidad es un número entre 0 y 1 que permite predecir la ocurrencia de un evento o suceso dependiendo del entorno en el que se encuentre. Se puede repetir indefinidamente. El resultado que se obtenga. siempre en las mismas condiciones.F. de resultados posibles. A este conjunto. 3. Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: 1. pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 5. 9. K } de las 52 cartas del póker Por cada uno de los 4 palos de la baraja (Corazones. 3. Ejemplo: Un Experimento de Probabilidad sencillo y común que se puede efectuar es el lanzamiento de una moneda. La siguiente tabla muestra cómo se aplica el espacio muestral acerca de la probabilidad de otros experimentos. 10. es un espacio muestral para el experimento. El conjunto de los dos resultados igualmente posibles. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales. Es igualmente posible sacar al azar. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 espacio muestral y lo denotaremos normalmente mediante la letra S. B. Lanzar una moneda moneda. Q. 8.F. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 9 de 68 L. J. Este experimento tiene dos resultados posibles: Cara (c) y Sello (s) y ambos son igualmente posibles. 5. Experimento Aleatorio Resultados Espacio muestral (S) A. Dicho conjunto se simboliza con la letra mayúscula S y el número total de resultados n(s). Diamantes y tréboles) Sacar una carta al azar . 6. ESPACIO MUESTRAL: El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio recibe el nombre de Espacio Muestral. 4. Picas. 2. 7. Es igualmente posible que al caer la moneda S = { Cara.s} (CARA. cada una S = {1. SELLO). El conjunto {c. Sello } caiga cara o caiga sello. 5. B. resultados igualmente posibles. Enfoque la de la Frecuencia Relativa 1. D} misma probabilidad de D A detenerse en cualquiera El conjunto de los cuatro de las cuatro regiones resultados igualmente C B A. Enfoque Clásico o Probabilidad Clásica: Si en un experimento aleatorio existen n (S) resultados igualmente posibles. Enfoque Clásico 2.4.3. El indicador tiene la S = {A. posibles. es decir: n A númeroderesultadosfavorablesdeA P A nS númerototalderesulta dos . Girar la ruleta. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 10 de 68 L. C o D. B. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 C. Lanzar un dado D. Existen dos enfoques para el cálculo de probabilidades: 1. Es igualmente posible S = {1. C.2. entonces la probabilidad de que un evento A ocurra es el cociente del número de resultados favorables al evento A entre el número total de resultados posibles en el experimento.F.6} que cualquiera de las seis caras quede hacia El conjunto de los seis arriba. 4.076 = 7. 3. como un número entre 0 y1.6% 52 LAS PROBABILIDADES SIEMPRE DEBEN DARSE EN PORCENTAJES YA QUE ES LA FORMA MAS INDICADA DE DEFINIRLAS.6%. 2. . entonces 1 P( A) = 0. 5. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Ejemplo 1: Se juega un dado legal (un dado que no está cargado) y se observa la cara que muestra hacia arriba. Enfoque axiomático ó de la Frecuencia Relativa: Concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso. Ejemplo 2: Si se tiene una baraja de Póker de 52 cartas. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 11 de 68 L. 6} Si A representa el evento de que aparezca el número 2. corazones. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 2? El espacio muestral de este experimento tiene seis resultados posibles [n(S) = 6]. tréboles. que son: S = {1. Este resultado corresponde a la probabilidad 6 clásica. cual es la probabilidad de sacar un as? Si en una baraja existen 4 ases (Picas. 2. entonces la probabilidad de que sea un as es: 4 P( B) = 0. y diamantes).F. A = {2}.166 = 16. 5 (50%). el cual se considera como certeza absoluta. Si la probabilidad esta entre 0 (cero) y 0. La probabilidad igual a uno (1) ó al 100% corresponde al limite superior. estamos hablando de un suceso inverosímil. cuando la probabilidad es igual a 0. anotamos el número de veces que sale cara y las veces que sale sello. En el otro extremo correspondiente al límite inferior tenemos la probabilidad igual a 0 (cero) donde hablamos de sucesos de imposibilidad absoluta. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Este concepto tiene que ver directamente con la noción de frecuencias relativas. don de 0 ≤ hi < 1.5 (50%).F. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 12 de 68 L. los resultados fueron los siguientes: La probabilidad para el lanzamiento No 101 está dado por: Lanzamientos Número de veces que sale Cara 56 Sello 44 Frecuencia Absoluta: Cara: 56 veces Sello: 44 veces Frecuencia Relativa: 56/100 44/100 Probabilidad: P: 56% (éxito) Q: 44% (fracaso) Hay un 56% de probabilidades que en el lanzamiento No 101 caiga Cara y un 44% de probabilidades que caiga sello. Ejemplo: Supongamos que se lanza cien veces una moneda. nos encontramos con un . P = probabilidad de éxito Q = probabilidad de fracaso Es posible establecer una escala de valores entre 0 y 1. Un experimento consiste en hacer girar un indicador como el que se muestra en la figura. Veamos la gráfica para una mayor comprensión: 1. y cuando la probabilidad esta entre 0. Ejemplo: Morir algún día 0. 0. Ejemplo: Cruzar el océano nadando.5 (50%) y menos que 1. inverosímil. 0.F.0 < P < 0. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 suceso dudoso. 1.5 < P < 1. Escribe 3 ejemplos de sucesos verosímil. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda. 0. decimos que tenemos un suceso verosímil. Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 60 de ellas. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 13 de 68 L.0 Suceso Verosímil.0 Imposibilidad absoluta.5 Suceso inverosímil.0 (100%). Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 25 de ellas.0 Certeza absoluta.5 Hecho Dudoso. dudoso y certeza absoluta 2. Morado Café Negro Blanco . b. otro color} fuera un espacio muestral para este experimento. Encuentre un espacio muestral para este experimento. ¿Qué probabilidad debería asignarse a cada resultado? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3 En un juego de escalera los niños lanzaron un dado 150 veces uno de los niños que estaba anotando los resultados anunció que los números que cayeron fueron: Número Frecuencia 1 18 2 25 3 16 4 43 5 25 6 23 Total 150 .F. ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado en el espacio muestral? c. Si {Rojo. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 14 de 68 L. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 a. 2. al anterior. 6. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ b) Determinar la probabilidad de que en el lanzamiento 151 salga 1. Una muchacha recoge champiñones. 3. Después se come uno de los diez hongos. 5. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 a) ¿Que enfoque de la probabilidad está aplicando el ejercicio? Explicar. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 15 de 68 L. Decir a qué tipo de suceso pertenecen de acuerdo a la escala de probabilidades: a) En un tiro de bolos derribar 8 de los 10 pinos __________________ b) Sacar un estudiante de noveno al azar _______________________ c) Sacar un número par en el dado ____________________________ d) Todos nacemos de una mujer_______________________________ e) Mi abuela tiene 20 años ___________________________________ 3. 4. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya comido un hongo venenoso? ¿De qué tipo de suceso estamos hablando? . Accidentalmente recoge tres hongos venenosos que son casi idénticos a siete champiñones que ya había recogido. estimemos la probabilidad de que una ama de casa que esté en ese supermercado prefiera el” Detergente Nuevo y Mejorado” ¿A que tipo de suceso pertenece? 4. Si 380 de 700 amas de casa entrevistados en un supermercado declararon que preferirían el “Detergente Nuevo y Mejorado“.F. 3. DIAGRAMA DE ARBOL Los diagramas de árbol son útiles para contar resultados y para determinar probabilidades de algunos sucesos. b) La __________________ es un número entre__________________ que permite__________________la ocurrencia de un ___________________. 6. y este concepto tiene que ver directamente con la noción de __________________ donde _____________. e) El método ________________ concibe la________________como un número entre ______________.5 < P<1. entonces la _____________ de que ocurra se denota como ______________. pertenece a ________________. pertenece a _______________.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 5. entonces la _______________ de que ocurra un evento A es el ___________ de número de ___________________ entre el número de ________________________. c) Si el evento se representa como A. b) 0< P< 0. d) Según el enfoque___________________si en un _______________ existen n resultados igualmente ____________. según la escala de probabilidades: a) 0. Completar los siguientes enunciados: a) Probabilidad es el grado de ________________ o _________________ de que un __________ pueda __________________. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 16 de 68 L. .5. se debe 2 obtener cara en cada uno de los tres primeros lanzamientos. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 17 de 68 L. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Estos se utilizan para diagramar resultados en sucesos independientes.F. es decir que ninguno de los sucesos depende de otro (s) para poder ocurrir. Solución: El espacio muestra del lanzamiento de una moneda es: {Cara. así mismo la probabilidad de cualquiera de los es: P(cara) = ½ = 0. . Observe que para llegar al punto A en el árbol. Sello}. Ejemplo: determinar los posibles resultados y la probabilidad de obtener dos caras un sello en el lanzamiento de tres monedas.5 = 50% El diagrama de árbol para este ejemplo seria: 1 1 2 2 C S 1 1 1 1 2 2 2 2 C S C S 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 C S C S C S C S A B C D E F G H 1 Cada rama del árbol está marcada “ ” debido a que la probabilidad que resulte 2 1 cara o sello es . Así. Para encontrar la probabilidad multiplicamos las probabilidades a lo largo de cada rama del árbol.5 = 50% P(sello) = ½ = 0. 5% P(H) = P(SSS) = 1/8 = = 0. P(C) = P(CSC) = 1/8 = 0.5%. a los cuales se presentan hombres y mujeres.5% P(F) = P(SCS) = 1/8 = = 0. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 1 1 1 1 P(A) = P (CCC) = = 0. P(G) = P(SSC) = 1/8 = 0.125 = 12.125 = 12.125 = 12.5%. El gerente de una compañía.5%.125 = 12.125 = 12.5% P(B) = P(CCS) = 1/8 = = 0. desea ocupar tres vacantes en diferentes cargos.125 = 12. En el cuaderno resuelva lo siguiente: 1. construya el espacio muestral y determine: a.5%.5% P(D) = P(CSS) = 1/8 = = 0.125 = 12. teniendo en cuenta que hombres y mujeres tienen la misma probabilidad de ser elegidos. Puesto que todos los resultados son igualmente posibles. P(E) = P(SCC) = 1/8 = 0. La probabilidad de que se contraten 2 mujeres. El resultado B (Dos caras y un sello) se denota por el símbolo CCS. El diagrama del árbol indica que hay 8 resultados posibles para tres lanzamientos de una moneda. P(A) = P(CCC) = 1/8 = 0. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 18 de 68 L.125 = 12.5% 2 2 2 8 El resultado A (Tres caras) puede representarse mediante el símbolo CCC.125 = 12.F. La probabilidad de que se contraten 3 hombres. . elabore el diagrama de árbol. b. BD c. De acuerdo al siguiente indicador. AC f. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 2. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 19 de 68 L. AA d. P(A) = 1/3 P(B) = 1/6 P(C) = 1/4 B P(D) = 1/4 A C D Halle la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a. AA d. Halle la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a. B.F. realice el diagrama de árbol para el experimento de hacer girar el círculo en dos ocasiones. BA b. AB e. AC f. El espacio muestral para el experimento es {A. C} A C B 1 1 1 La P(A) = . BC 3. BB c. El símbolo AC representa el resultado en 2 4 4 el cual se obtiene A en el primer tiro y C en el segundo. De acuerdo al siguiente indicador realiza un diagrama de árbol para el experimento de hacer girar el indicador. P(B) = y P(C) = . CD . BC b. AB e. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 20 de 68 L. ¿cuántos resultados diferentes habría? a. ¿Cuál sería P(BCD)? d. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 4. ¿Cuál sería P (ABC)? Para el ejercicio 2 c. ¿Cuál sería P (AAA)? b. ¿Cuál sería P(CCD)? Para el ejercicio 3 Completar el siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn – Euler.F. MENTEFACTO CONCEPTUAL ENFOQUES Y ESCALA DE LA PROBABILIDAD . Si el diagrama de árbol de los puntos 2 y 3 se aplicara a tres tiros. F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 DIAGRAMA DE VENN-EULER PROBABILIDAD: EXPERIMENTO ALEATORIO: ESPACIO MUESTRAL: ELEMENTO MUESTRAL: ENFOQUE CLASICO: ENFOQUE RELATIVO: FRECUENCIA ABSOLUTA: FRECUENCIA RELATIVA: SUCESO IMPOSIBLE: SUCESO INVEROSIMIL: SUCESO VEROSIMIL: SUCESO DUDOSO: SUCESO CERTEZA ABSOLUTA: . Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 21 de 68 L. Vamos ahora a ver los juegos de azar más comunes en probabilidades y los elementos que los conforman. clasificados en 4 "palos" y numerados del 1 al 12 (no cuentan los ochos y los nueves). de allí se originó y fue con base en los juegos de azar que se creó la aún actual teoría de las probabilidades. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 22 de 68 L.F. la teoría de la probabilidad esta fuertemente ligada a los juegos de azar. BARAJA ESPAÑOLA La baraja española consiste en un mazo de 40 naipes. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 REGLAS DE LA PROBABILIDAD Como nos decía la Unidad I. uno rojo y uno azul. Ciertos mazos . LANZAMIENTO DE DOS DADOS En la grafica vemos el espacio muestral para el lanzamiento de dos dados. las diez primeras están numeradas del 1 al 10. espadas y bastos. Corazones. Los palos de la baraja de Póker son: Picas. el cual se clasifica en cuatro “Palos”. y se llaman "sota". Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 23 de 68 L. donde cada palo se compone de 13 cartas. copas. Diamantes y Tréboles . LA BARAJA DE POKER La baraja de Póker se compone de un mazo de 52 cartas. 11 y 12. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 incluyen Las figuras de la baraja española corresponden a los números 10. "caballo" y "rey" respectivamente. Los cuatro palos son: oros. las 3 restantes son las figuras y se representan con las letras J. Q y K.F. d. Se denomina probabilidad aditiva y será igual a la suma de las probabilidades de cada suceso.... Regla de la adición.F. 1 2 n De acuerdo a lo anterior mutuamente excluyente significa que solamente un solo suceso o evento puede ocurrir.. Regla del exponente... Sucesos Mutuamente Excluyentes: Si dos o más sucesos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo ensayo.. Regla de la multiplicación.. P p p . Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 24 de 68 L. p . p 1 2 3 n son las distintas probabilidades de n sucesos mutuamente excluyentes... La fórmula anterior la podemos expresar de una manera más fácil y entendible: P A B P A P B P A B C P A P B PC .. b.......... c. p 1 2 n Consideremos que p .. Para facilitar el cálculo de las probabilidades se emplean cuatro leyes o reglas que son: a... 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Las reglas de la probabilidad son operaciones útiles para calcular probabilidades de diferentes sucesos. estará dada por la suma de las probabilidades para cada suceso P p p ..... se dicen que son mutuamente excluyentes.. o sea que los demás no se pueden presentar al mismo tiempo. teniendo en cuenta el entorno y las circunstancias como estos se presentan. p . Regla del complemento REGLA DE LA ADICIÓN En la regla de la adición se contemplan dos tipos de sucesos: a... la probabilidad (P) de que uno de estos sucesos se presente en un solo ensayo. p . Si uno de los casos aparece queda excluido el otro. sacando una sola carta en una baraja Española de cuarenta cartas.53% 52 52 52 52 b. La formula general para los sucesos complementarios es: . o que no son mutuamente excluyentes. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Ejemplo 1: La probabilidad de obtener un As o un rey. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 25 de 68 L. P A 4 As 52 P B 1 DiezCorazones 52 P B 1 TresDiamantes 52 4 1 1 6 P A BoC P A P B PC 0. As Re y 4 1 4 1 P A P B 40 10 40 10 1 1 2 1 P A B P A P B 10 10 10 5 Ejemplo 2: La probabilidad de sacar un As ó un diez de corazones ó un 3 de diamantes.F.1153 11. extrayendo una sola carta de una baraja de Póker de 52 cartas. cuando la posibilidad de que ocurra un suceso no impide la ocurrencia del otro. Sucesos Compatibles o complementarios: Se dice que dos sucesos son compatibles. Cual es la probabilidad de obtener una J o trébol? 4. La probabilidad de que un alumno del Cisneros pierda matemáticas es del0. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 P A B P A P B P AyB Ahora. se dice que los sucesos son compatibles. Observamos que al extraer una carta puede ser as.5% 40 40 40 40 Utilizando la regla de la adición resuelve los siguientes ejercicios. la probabilidad de que P A 40 10 1 aparezca copas: P B .3. 1.F.2. ¿Cuál es la probabilidad de que usted gane? 3. el experimento con la bajara española de cuarenta cartas consiste en extraer una carta y se desea saber cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea as o copas. La probabilidad de obtener un tres o un cuatro en el lanzamiento de un dado. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 26 de 68 L. Cual es la probabilidad de que el alumno pierda matemáticas o estadística? . En este caso la probabilidad de uno de los dos sucesos se halla así: 4 La probabilidad de que aparezca un as: . Considere una baraja de Póker de 52 cartas y se desea extraer una carta.5 y de que pierda las dos es de 0. y de que pierda Estadística es de 0. 2. P A B 4 10 1 13 = 0. cumpliéndose la realización de las dos pruebas en forma simultánea.325 = 32. pero también puede ser as de copas. por tal razón. o también nos podemos referir a una probabilidad conjunta. la probabilidad de que sea as de copas: P AyB 40 40 . Al lanzar un dado Usted apuesta $10000 a que el numero obtenido debe ser par o divisible por 3. . Si todos tienen el mismo chance de ser seleccionados:¿ cual es la probabilidad de que el cargo sea ocupado por: a. ¿Un contador ó un tecnólogo ó un ingeniero? d.. 7 contadores..F. Una empresa ofrece un cargo al cual se presentan 35 aspirantes de diversas profesiones: 8 economistas.. la probabilidad (P) de que ocurran todos estos sucesos en un solo ensayo.. En caso contrario se dice que son dependientes. Pn . si el resultado de un suceso no afecta al otro estamos hablando de sucesos independientes. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 27 de 68 L. 4 tecnólogos. La probabilidad de sacar un 10 de corazones o un 6 de diamante o un as en una baraja de pokers REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN La segunda regla de la probabilidad es la regla de la multiplicación. ¿Un administrador ó un contador? c.. estará dada por el producto de cada suceso. si la probabilidad de presentación de ninguno de ellos queda influenciada por la presentación del otro.. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 5. ¿Un economista ó un ingeniero? b. Por lo tanto se efectuará la multiplicación de las probabilidades para cada suceso. ¿Un economista o un administrador ó un contador? 6 La probabilidad de obtener un 5 o un número mayor de 6 en el lanzamiento de dos dados.. 6 administradores.. Diferencias entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes . 10 ingenieros.. P = P1 P2 P3 . 7. P 1 2 n son las distintas probabilidades de presentación de n sucesos Independientes. Si P . Es decir. esta al igual que la regla de la adición se subdivide en dos tipos de sucesos que son: Sucesos independientes Dos o mas sucesos son independientes. P . aquí algunas diferencias: 1. por lo tanto se deben saber diferenciar. es decir que la probabilidad del segundo suceso depende del primer suceso. en lo independientes se espera la presentación de dos o mas sucesos.01 = 1% 40 40 1600 100 Ejemplo 2: Al lanzar dos dados ¿cual la probabilidad de obtener dos ases? 1 1 1 P= 0. monedas). Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 28 de 68 L. 3.027 2. para la segunda se tendrán 39. En los sucesos mutuamente excluyentes se tiene un solo dado. se debe hacer sin reposición. . en los independientes se tiene mas de un elemento (barajas.7% 6 6 36 Sucesos Dependientes: Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos. o se obtiene una sola cara del dad. En los mutuamente excluyentes se extrae una sola carta. es decir se espera la presentación de un sola suceso. una sola baraja una sola moneda. dados. Si se van a sacar tres cartas de una baraja. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Los sucesos independientes y los sucesos mutuamente excluyentes se parecen mucho. ella no vuelve a formar parte del total y en vez de tener en cuenta 40 cartas. si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en otras pruebas. En los mutuamente excluyentes se utiliza la conjunción “Ó” y en los independientes se utiliza la conjunción “Y” Ejemplo1: ¿Qué probabilidad tendremos de obtener dos reyes sacando una carta de una baraja y la otra de una segunda baraja? 4 4 16 1 P= = 0. es decir al extraer una carta.F. en el tercero lo que haya sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente. 2. . P A . 3 beisbolistas.521% 25 24 23 13800 7 6 5 b.52% 25 24 23 13800 . P 1 2 3 n Ejemplo 1: Probabilidad de obtener 3 ases.04% 40 39 38 59280 Ejemplo 2: En la sede de la asociación de deportistas se encuentran reunidos 6 futbolistas.. sacando sucesivamente tres cartas de una baraja española. 4 tenistas 7 atletas. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Recordemos. ¿Cuál es la probabilidad de que los que se fueron sean: a. en un orden determinado. cuando la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia de los otros.. PF 24 . sin volverlas a incluir (sin reposición) en el montón. P 2 . 1 beisbolista y 1 futbolista y 1 tenista? b. La formula general será: P P P P . que dos o más eventos son dependientes. y 5 golfistas. P 3 40 39 38 4 3 2 24 P 0.. PB 25 ..F. P T 25 24 23 7 6 5 210 P 1... P A . Si al iniciar la sesión solo había 22 deportistas. P T 23 3 6 4 72 P 0. 2 atletas y un golfista? 3 6 4 a. En caso contrario los sucesos son independientes. 4 3 2 P 1 . Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 29 de 68 L... es decir. sacando sucesivamente tres cartas. la carta que se extrae no se regresa a la baraja. De una baraja de Póker de 52 cartas se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin reposición. 4 ingenieros electrónicos. 1 ingenieros civil y un ingeniero electrónico y un ingeniero industrial? c. Supongamos que se dispone de tres barajas de 40 cartas cada una. 7 ingenieros industriales. ¿Cuál es la probabilidad para que los próximos dos artículos producidos por esta máquina no tengan fallas? 3. una de cada baraja. produce un artículo defectuoso por cada 200. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un As y un Rey de oros y un seis de copas? 2.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 1. 6 ingenieros civiles. Si al iniciar la sesión solo había 27 ingenieros. En la sede de la sociedad de ingenieros. 3 ingenieros industriales? . 8 ingenieros de sistemas. La probabilidad de obtener un As y un Rey de bastos y un Diez de espadas. 1 ingeniero mecánico y 1 ingeniero industrial y un ingeniero de sistemas? b. de una baraja de 40 cartas. ¿cuál es la probabilidad de que en la primera extracción aparezca un As de Picas y en la segunda una Q y en la tercera un seis? 5. Se desea extraer tres cartas. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 30 de 68 L. sin reposición. 4. Los resultados correspondientes a artículos producidos sucesivamente son independientes. están reunidos 5 ingenieros mecánicos. 2 ingenieros de sistemas y un ingeniero civil? d. Cual es la probabilidad de que los que hayan salido sean: a. Una máquina en buenas condiciones de trabajo. a. es decir 1.F. r) En la teoría de las probabilidades el conjunto universal es el total de las probabilidades.0 si hablamos en decimales. 3. 2. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 31 de 68 L. ó 4 cuando se arroja un dado común? En un problema de este tipo es mucho más conveniente y acertado obtener 2 primero P(A). t. Ejemplos: a) Sean U = { m. al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A. e } El complemento de A es A’ = (m. si lo expresamos en porcentajes. r. a. donde A es el evento de obtener los números 5 ó 6. se llama complemento de A con respecto a U. ó 100%. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 REGLA DE LA COMPLEMENTACIÓN La regla de la complementación esta ligada directamente con la teoría de conjuntos en la que se dice que si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U. que es en 6 . Las probabilidades de A yA’ están relacionadas según la siguiente igualdad: P A' 1 P A P A P A' 1 S A’ A Lo anterior se denomina regla de la complementación Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1. e } y A = { t. A = {(1.1)}. entonces.2). 0. en consecuencia: P A' 1 P A 1 . Evidentemente. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 este caso.5). 36 36 36 6 Si A y B son un par de eventos definidos en un espacio muestral S.6). (3. (2. donde A’ es el evento A de que la suma no sea 7. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 32 de 68 L. y 6 de ellos corresponden al evento A de que la suma es 7.66 66% 2 4 6 6 Ejemplo 2: Si se arrojan dos dados comunes. (6.3). la probabilidad de que A’ ocurra.4). . (5. (4.F. entonces la probabilidad de que ni A ni B ocurran es: P A'B' P AB 1 PA B ´' La anterior es la fórmula para la probabilidad de que no ocurra ninguno de dos eventos. Suponiendo que hay resultados igualmente probables. es igual a: P A P A' 1 P A 1 6 6 30 5 . ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de los dados no sea 7? En este experimento hay 36 posibles resultados. A’ representa el evento de no obtener un resultado de 5 ó 6. como se puede observar a continuación. etc. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 33 de 68 L. En tres lanzamientos será : 2 16 casos posibles. En cuatro lanzamientos será : Y así sucesivamente. 2 2 casos posibles 1 a. 4 d. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 S A B A B A'B' REGLA DEL EXPONENTE Es una forma muy sencilla para determinar el número de casos posibles. en algunos problemas de probabilidad.F. En dos lanzamientos será : 2 8 casos posibles 3 c. en el cual se tendrán dos resultados cara o sello. Ejemplo 1: Supongamos el lanzamiento de una moneda. durante todos los lanzamientos que sean necesarios . En un lanzamiento será : 2 4 casos posibles 2 b. En la regla del exponente hacemos uso de la operación denominada potenciación donde se tiene una base que esta representada por el número de resultados posible y un exponente que corresponde al número de experimentos realizados. Este valor tendrá como base el número de resultados posibles (Cara y sello) y como exponente al número de lanzamientos que hagamos. Los dígitos son 10 o sea 0. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 34 de 68 L.000 Ejemplo 4: Un código alfanumérico se compone de 2 números y 3 letras.000 b. 1. Dos dados será : 6 216 casos posibles. Tres dados será : Ejemplo 3: ¿Con cuántos billetes (boletos) juega una lotería. . La probabilidad de ganar con la compra de un 4 billetes será de 10 billete será: 1 P= 0.000 billetes.000 120 1. ¿Si cada uno de ellos tiene 4 cifras? b. 8. etc. 6. 3. se tendrá: 6 6 casos posibles 1 a. ¿Si se juega además con 120 series? a.200. 10. por lo tanto el número de 10000 .200.01% .0000008 0. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Ejemplo 2: Si consideramos el lanzamiento de dados. La probabilidad de ganar al comprar un billete será de: 1 P= 0. 3 c. 7. 9.F.0001 0. 5. Un solo dado será : 6 36 casos posibles 2 b. Ahora 10.00008% 1. entonces determinamos la cantidad de números posibles que conforman el código. 2. y cuál es la probabilidad de ganar si compro un billete? a. 4. ¿cuantos códigos diferentes puede haber? Como los dígitos son 10. Se sabe que en este proceso. Nicolás y Valentina estudian en el mismo curso: la probabilidad de que Juan pierda al menos una materia es de 0. entonces 26 17576 .04) de las costuras y el dos por ciento (0. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 35 de 68 L. La suma no es 8 c.02) de las pulidas tienen fallas.F. el cinco por ciento (0. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 100 . La suma es menor que o igual a 6 d. Se arrojan dos dados. ¿qué porcentaje de camisas resulta: a. Con fallas en sus tres componentes? b. Rr). Cual es la probabilidad de: . La suma no es 10 b. costura y pulimento.7. Determina la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos: a. siendo estas partes armadas aleatoriamente en cada camisa. En una fábrica de camisas se manufactura independientemente corte. El alfabeto se compone de 26 letras (Sin Ch. ¿Cuál es la probabilidad de que no aparezca un 4 o un 9? 2. luego determinamos la cantidad posible de letras que conforman el 2 10 código. 1.2 y la probabilidad de que Valentina no pierda ninguna es de 0. el cuatro por ciento (0.05) de los cortes. Por ultimo determinamos la cantidad total de códigos posibles: 3 10 * 26 100*17576 1757600 Códigos 2 3 diferentes. Ll. Sin fallas en sus tres componentes? 3. Sacar un resultado cuya suma de seis? b. a. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas. siete dígitos 5. Sacar un resultado cuya suma de siete? 2. a. Sacar un resultado cuya suma de diez? c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor a dos? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que habiéndose lanzado el dado. c. aparezca en la cara superior un valor par? b. ¿Cuántas series telefónicas pueden haber en una ciudad. ¿De que dos de las tres sean sellos? . Que Nicolás no pierda ninguna y Valentina al menos una. 4. seis dígitos b. b. Para los vehículos de servicio particular ¿Cuántas placas se pueden elaborar si se conforman de tres letras y tres dígitos? 1. Teniendo en cuenta el espacio muestral para el lanzamiento de dos dados: ¿Cuál es la probabilidad de: a. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 36 de 68 L. todos sean caras? c. d. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 a. si los números telefónicos están compuestos por: a. Las caras de un dado común se hallan numeradas de 1 a 6. Que Nicolás pierda una y Valentina ninguna.F. Que los dos pierdan al menos una materia. Que los dos no pierdan ninguna. un valor mayor a tres. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 4. ¿Cuál es la probabilidad de que sean varones. de obtener? (en cada uno debe establecerse el espacio muestral) a.F. De que en uno de ellos se presente el 4 y en el otro un valor menor a 4 b. 6. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 37 de 68 L. dos de tres hijos de una familia? 5. ¿Cuál es la probabilidad. Completar el siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn . en la experiencia de los dos dados.Euler MENTEFACTO CONCEPTUAL REGLAS DE LA PROBABILIDAD . uno azul y otro rojo. De obtener en el dado blanco un número menor de tres y en el dado rojo. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 38 de 68 L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 DIAGRAMA DE VENN-EULER SUCESOS: SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: SUCESOS COMPATIBLES: SUCESOS INDEPENDIENTES: SUCESOS DEPENDIENTES: REGLA DE LA ADICION: REGLA DE LA MULTIPLICACION: REGLA DE LA COMPLEMENTACION: REGLA DEL EXPONENTE: UNION DE SUCESOS: INTERSECCION DE SUCESOS: . Interpreta las propiedades de las sumatoria y productorias y los aplica en la solución ejercicios . Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 39 de 68 L. DESEMPEÑO Determinar permutaciones. Calcula combinaciones y utiliza el triangulo de pascal para solución problemas prácticos. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 TECNICAS DE CONTEO (PERMUTACIOJES. COMBINACIOES.F. variaciones y combinaciones y loa aplica en la solución de problema e interpreta las propiedades de las notaciones y las aplica en la solución de ejercicios INDICADORES DE DESEMPEÑO Calcula permutaciones y variaciones de los elementos de un conjunto y los aplica en la solución de problemas prácticos. TRIANGULO DE PASCAL) Y PROPIEDADES DE LA SUMATORIA Y PRODUCTORIA. VARIACIONES. El IPC es un indicador importante para hacer diagnósticos sobre la situación económica del país y por consiguiente para tomar decisiones sobre la política económica. ACTIVIDAD 8 1. ¿Para qué sirve el IPC? 4. Mediante procedimientos estadísticos se adquiere información sobre los precios de esta canasta básica. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 EL ESTADO COLOMBIANO Y LA ESTADISTICA El Departamento Administrativo Nacional de Estadística. Los artículos que componen esta canasta básica se determinan de acuerdo con el consumo usual de un hogar promedio. la llamada canasta familiar. Consulta 3 indicadores que sirvan para realizar diagnósticos sobre la economía del país. tanto trabajadores como empresarios lo tienen siempre en cuenta. Por ejemplo. ¿Cuál es el objetivo del DANE? 2. se mantienen fijos por un tiempo determinado y se modifican de acuerdo con los cambios en las costumbres de la población. es la institución encargada de realizar. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 40 de 68 L. analizar y publicar todas las estadísticas concernientes a las actividades esenciales del país. . ¿Por qué es tan importante el IPC en nuestro país? 5. con el objeto de orientar a todas las ramas del poder público en la toma de decisiones. Una de las tareas más conocidas entre las realizadas por el DANE es el cálculo del índice de precios al consumidor (IPC). Se trata de un instrumento estadístico que permite estimar en los hogares. con ellos se calculan los cambios producidos en el mes y se obtienen un índice porcentual que refleja el aumento o la disminución en un periodo determinado.F. para fijar el porcentaje del aumento anual de los salarios. DANE. ¿Qué significa IPC? 3. Este índice calculado se publica a principios de cada mes en todos los periódicos del país y a su vez se halla el acumulado de cada año. El símbolo n! se lee n factorial y se resuelve así: 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320 Ejemplo 1: supongamos que se tienen los siguientes números naturales 1. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 41 de 68 L. PERMUTACIONES Son una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto con un orden definido. 3. Se simboliza por Pn = n! o también nPn = n!. se lee como permutación de n elementos formados de n en n. 2. Según la formula anterior se tendrá que: N=4 4 4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = = 24 P Veamos cuales serían las cifras que se podrían permutar: 1234 2134 3142 4132 1243 2143 3124 4123 1324 2314 3214 4213 1432 2341 3241 4231 1342 2413 3412 4312 1423 2431 3421 4321 Ejemplo 2: Cuantas palabras de cinco letras se pueden formar con las letras de la palabra libro. N=5 5P5= 5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 . Con frecuencia la parte más difícil en el análisis de un experimento y en las operaciones relacionadas con las probabilidades asociadas con el experimento consiste en contar el número de resultados posibles. 4 y se quiere formar cifras de 4 dígitos.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Se definen como métodos que nos permiten conocer el número total de resultados de un experimento aleatorio sin enumeración directa. 2 3! x2! x2! 6 x2 x2 24 210 . r = 2 (aa) 4! 4 3 2 1 P4r2 2! 2 1 24 P4r 2 2 12 Ejemplo 2: ¿Cuantas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra tártara? N=7 r = 3(aaa). 1813 de 24 OCTUBRE 2003 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN: Cuando uno o varios elementos están repetidos. 2(tt) 7! 7 x6 x54 x3x2 x1 5040 P7r3. el cálculo de las permutaciones varía en este caso nos referimos a permutaciones con repetición y su fórmula es: n! Pnr r! Ejemplo 1: Cuantas permutaciones se pueden hacer con las tras de la palabra Casa? N = 4.F. 2(rr).2. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 42 de 68 L. pero con la diferencia a las permutaciones. Una señora invita a cenar a once amigos y después de sentarse ella. ¿Cuántas palabras de con o sin sentido idiomático pueden tomarse a partir de las letras de la palabra REPUBLICANISMO? 8. ¿Cuántas cifras de nueve dígitos se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? 6. De cuántas maneras se les puede calificar. 9. ¿Cuántas permutaciones se puede hacer con las letras de la palabra COOPERATIVISMO? VARIACIONES Son permutaciones en las que se implica orden en la colocación de los elementos. de que se toma únicamente una parte de los elementos del conjunto. Si un futbolista conoce siete jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que juegue las siete sin que ninguna se repita. . D. C. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 43 de 68 L.F. B. En una universidad de Bogotá a cinco estudiantes se les califica con las letras A. ¿De cuántas maneras se pueden sentar sus invitados? 4. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra MISSISSIPPI? 10. 3. 2. Un examen consta de 14 preguntas y se deja en libertad para contestarlas en el orden que se desee. Cuántas permutaciones se puede hacer con las letras de la palabra MURCIELAGO 5. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 1. ¿De cuántas maneras podrá contestar? 7. si todos los estudiantes obtienen calificaciones diferentes. ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con las letras de la palabra ESTADISTICA?. ¿Qué libertad le queda a ese jugador?. E. usándolos una sola vez? 10! 10! 10V 4 8 P4 5040 10 4! 6! .F. 5! 8! 8V 3 8 P3 336 8 3! 5! Ejemplo 3: ¿cuantas cifras de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al 9. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 nV r n Pr V r Son los diferentes símbolos. 3. se quiere determinar de cuantas maneras posibles se pueden ordenar 3 alumnos. n! n Pr n es el total de elementos del conjunto y r es aquella parte de los n r ! elementos que se quiere permutar. 2. si operamos de la siguiente manera: 1 4 SHIFT x 3 EXE con el resultado en pantalla de 24 observe que al teclear 1 4 SHIFT x 3 EXE en la pantalla aparece 4 P3 Ejemplo 2: si se tienen 8 pupitres puestos en fila. que pueden utilizarse y que se leen n como variaciones o permutaciones de n elementos tomados de r en r. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 44 de 68 L. con los siguientes resultados: 123 213 312 413 132 231 321 431 124 214 314 412 142 241 341 421 134 234 342 423 143 243 324 432 4! 4! 4V 3 4 P3 24 4 3! 1! Con la calculadora 4000 directamente se obtendrá el resultado de 24. Ejemplo 1: 1. Volvamos nuevamente a los cuatro números naturales: 1. 4 y formemos cifras de tres dígitos. N = 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000 1. el total de billetes será de 10000. C. 3. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 45 de 68 L. 7. ya que al no importar el orden de colocación da lo mismo ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB =. La fórmula que se utiliza en el cálculo de las combinaciones es: n! nCr n r !r ! Se pronuncia las combinaciones de n elementos organizados de r en r Ejemplo 1: Cambiemos el ejercicio de los cuatro números naturales por las primeras cuatro letras del alfabeto A. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 El caso anterior es diferente al de la lotería. ¿cuántas combinaciones se podrán hacer Una sola combinación. ¿De cuantas maneras distintas puede hacerlo? 2. Si un estudiante tiene 9 libros y sedea ordenar a 5 de ellos sobre un estante. a cada billete la corresponden 4 cifras de 4 dígitos.F. y 9. B. 4! 4! 4! 4 C 4 4 4 !4! 0!4! 14!1 . ¿Cuantas palabras de 5 letras diferentes se pueden formar con la 27 letras del alfabeto COMBINACIONES Las combinaciones son un arreglo de los elementos sin importar el orden en que se disponga. Si se desea combinarlos. etc. tomando los dígitos del 0 al 9 y además. 5. D. si ninguno puede aparecer más de una vez en cada número? 3. ¿Cuantos números de 4 dígitos pueden formarse con los dígitos 1. Ejemplo 2: Si se fueran a combinar esas cuatro letras de dos en dos. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 El 0! Es igual a 1. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 46 de 68 L.! .SHIFT . ¿Cuantos comités diferentes pueden seleccionarse entre 7 hombres y 4 mujeres. Tomamos la calculadora y la utilizaremos así: 0 . lo que se puede demostrar.= Y aparecerá como resultado 1. se tendría: AB = BA AC = CA BC = CB BD = DB CD = DC AD = DA 4! 4! 4! 24 C2 6 4 4 2 !2! 2!2! 4 4 Ejemplo 3: En este mismo ejercicio calcular las combinaciones de tres en tres. 3 hombres y dos mujeres b. ABC = BCA = CBA = ACB = BAC = CAB ABD = ADB = BDA = BAD = DAB = DBA ACD = ADC = CAD = CDA = DCA = DAC BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB 4! 4! 4! 24 C3 4 4 43 !2! 1!3! 6 6 1.F. si deben constituirse de: a. . 5 personas de las cuales por lo menos tres deben ser hombres. ¿Las tres deben ser rojas? b. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 47 de 68 L. Es necesario elegir un comité de 10 personas entre 6 abogados. si se desea que 3 de ellas sean negras y dos blancas? 10.F. 3. ¿De cuántas maneras se puede sacar dos manzanas de una caja que contiene ocho manzanas? 6. Se utiliza para resolver problemas que encierren combinaciones que en otro caso serían difíciles de solucionar. Cuántas selecciones de tres fichas se pueden formar si: a. 3 economistas y 3 ingenieros. Si el comité debe estar integrado por 4 abogados. hay que dar respuesta a solo 8 de las14 preguntas para pasar. Una caja contiene siete fichas rojas. seis fichas blancas y cuatro fichas azules. lo cual constituye en una herramienta o alternativa de hallar combinaciones de elementos. ¿cuantos conjuntos de 5 bolas pueden extraerse. De una bolsa que contiene 7 bolas negras y 5 blancas. la cual se puede extender para que tenga todas las filas que desee. . ¿Cuántas opciones diferentes tiene el estudiante para responder las preguntas necesarias para pasar? 9. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 2. Un examen costa de 14 preguntas. Trate de encontrar el patrón de formación del triangulo. ¿Cuántos comités compuestos de tres diputados y cinco senadores pueden formarse tomando como base un grupo de cinco diputados y ocho senadores? 4. ¿Cuantos grupos de cinco cartas se pueden armar de una baraja de Póker de 52 cartas? 8. ¿Cuántas comisiones de tres personas se pueden formar seleccionándolas entre diez personas? ¿De siete entre diez? 5. En la figura tiene diez filas. 8 economistas y 5 ingenieros. ¿Ninguna puede ser roja? 7. si se desea incluir 2 dos morenas y 4 rubias? COMBINACIONES SEGÚN EL TRIANGULO DE PASCAL Se llama Triangulo de Pascal a la distribución de números en forma triangular de la derecha. ¿Cuantos grupos diferentes pueden formarse de entre 5 señoritas morenas y 7 rubias. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 2 1 2 0 1 2 1 3 3 3 3 3 1 3 0 1 2 3 1 4 4 4 6 4 4 4 1 4 0 1 2 3 4 1 5 5 5 10 5 10 5 5 5 1 5 0 1 2 3 4 5 1 6 6 6 15 6 20 6 15 6 6 6 1 6 0 1 2 3 4 5 6 1 7 7 7 21 7 35 7 35 7 21 7 7 7 1 7 0 1 2 3 4 5 6 7 1 8 8 8 28 8 56 8 70 8 56 8 28 8 8 8 1 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 9 9 9 36 9 84 9 126 9 126 9 84 9 36 9 9 9 1 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ejemplo: En una prueba de cinco problemas el alumno puede responder tres problemas. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 48 de 68 L. hay diez combinaciones de 3 problemas que el alumno puede escoger. . ¿Cuántas combinaciones diferentes de problemas puede escoger el alumno? Tomemos la quinta fila del Triángulo de Pascal 1 5 10 10 5 1 5 problemas 0 problemas 4 problemas 1 problemas 3 problemas 2 problemas Así para un conjunto de 5 problemas.F. Por medio del Triangulo de Pascal. un alumno puede hacer siete cualesquiera. un equipo de cinco. ¿Cuáles serán los dos primeros números de la fila 17 del Triángulo de Pascal? 4. Margarita solo tiene dinero suficiente para comprar dos caramelos pero hay siete variedades de las cuales puede escoger.F. a. . 1813 de 24 OCTUBRE 2003 1. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar si no se tiene en cuenta que posición ocupa cada jugador? 2. En una prueba de diez problemas. a. ¿Cuántas selecciones diferentes puede hacer si ambos caramelos son distintos? 6. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 49 de 68 L. En la siguiente figura aparecen tres números consecutivos de una fila del Triangulo de Pascal. ¿Cuántas selecciones diferentes de los problemas puede hacer? d. ¿Cuáles son los números de la fila siguiente que van en el espacio? 66 220 495 3. Susana tiene nueve gatitos. Un entrenador debe seleccionar entre diez jugadores. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden seleccionar entre ocho personas? b. Quiere quedarse con tres y regalar los demás. halle las respuestas a las preguntas. Completar el siguiente mentefacto conceptual y el Diagrama de Venn-Euler. ¿Cuántos grupos diferentes de cuatro puede regalar? 5. ¿Cuántos comités de cinco miembros se pueden seleccionar entre siete personas? c. F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 MENTEFACTO CONCEPTUAL TÊCNICAS DE CONTEO . Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 50 de 68 L. 5040 d. El número de permutaciones que se pueden tomar con las letras de la palabra “mejoral” es: a. 504 e. 15. 4 b. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 51 de 68 L. 20 e. Ninguna de las anteriores 2. 5. es: a. El número de grupos de 5 estudiantes que se pueden formar con un total de 20 es: a. 6. 120 d. 5040 e. 3125 e. 3. 3.F. Ninguna de las anteriores 4. El valor de 5! es: a. 240 b. 140 c. El número de cifras distintas que se pueden formar con 3. Ninguna de las anteriores . 15 b. 7 b.504 c. Ninguna de las anteriores 3. resuelve y señala la respuesta correcta: 1. 100 d. 5. 7. 42 d. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Usando el procedimiento correspondiente. 1260 c. 25 c. La fórmula de la suma d. Ninguna de las anteriores . Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 52 de 68 L. P( A B ) = c. A B e. B c. Si A y B son un par de eventos independientes. P( A B ) = 0 B d. La fórmula clásica b. entonces: a. La fórmula de frecuencia relativa c. 1/2 b. 3/9 c. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 5. Ninguna de las anteriores 8. Ninguna de las anteriores 7. A b. P( A B ) = P(A) P(B) b. 3/8 d. el evento de menor probabilidad es: a. P P A B d. La regla de la complementación e. Si A y B son un par de eventos mutuamente excluyentes. P( A B ) = P(A) + P(B) A c. A B d. Se lanzan tres monedas en forma simultánea. Ninguna de las anteriores 6. P( A B ) = 0 b. 1/8 e. entonces: a. Si A y B son un par de eventos cualquiera. La probabilidad de que una sea cara es: a. se debe emplear: a. P PB A e.F. Para calcular la probabilidad de obtener cara con una moneda cargada. Ninguna de las anteriores 9. c. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 53 de 68 L. Federico desea apostar nuevamente utilizando únicamente el dinero que ganó. es correcto afirmar que si invierte los $100. 1.F. 3.000 es seguro que gana $100. . d. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 APLIQUEMOS LO APRENDIDO EN EL ICFES RESPONDE LAS PREGUNATAS 1 – 3 CON EL SIGUIENTE ENUNCIADO Federico fue el ganador de $100. perder es 10 veces mayor.000 en el chance y le pagan $500 por cada $1 apostado pero para ganar debe acertar en su orden los tres últimos dígitos de una lotería. Si Federico decide apostar los $100. d. 2.000 tiene que apostar mínimo $200. c. Si la mini lotería modificará las reglas y para ganar se deben acertar cuatro dígitos diferentes en el orden en que salgan en el sorteo. b. b. si en la mini lotería apuesta $50.000 en una mini lotería. Si no puede apostar más de una vez a cada trío de dígitos. b. puede apostar a todas los tríos de dígitos posibles. existe una posibilidad entre seis de que pierda. en el chance para ganar $100.000 apostó a tres dígitos diferentes y ganó porque los dígitos que seleccionó coincidieron con los sorteados (no importaba el orden).000 d. es correcto afirmar que a.000 a. él por un costo de $1.000. perder es 42 veces mayor. gana $100. en la mini lotería el número de posibles apuestas es menor que en el chance. ganar se reduce a la cuarta parte. incrementará sus ganancias. ganar es igual con cualquiera de las dos reglas. si en el chance apuesta $100 a cada trío posible. c. es correcto afirmar que la posibilidad de a. existen cinco posibilidades entre seis de que pierda. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 54 de 68 L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 CONTESTA LAS PREGUNTAS DE LA 4 – 6 CON EL SIGUIENTE ENUNCIADO En una institución escolar, de un grupo de 10 estudiantes conformado por 6 hombres y 4 mujeres, se van a elegir por votación: - 1 personero - 1 representante al consejo directivo - 3 representantes al consejo estudiantil (Para ocupar los cargos de presidente, secretario y tesorero) 4. Si fueran elegidos 3 hombres para ocupar los cargos del consejo estudiantil, el número de consejos diferentes que se podrían formar es A. 4 B. 6 C. 15 D. 20 5. Concluida la votación, un observador se da cuenta que de los 4 primeros estudiantes elegidos 3 son mujeres y 1 es hombre, el observador puede afirmar que el quinto estudiante elegido tendrá A. el doble de posibilidad de ser un hombre que una mujer. B. el doble de posibilidad de ser una mujer que un hombre. C. el triple de posibilidad de ser un hombre que una mujer. D. el triple de posibilidad de ser una mujer que un hombre. 6. La probabilidad de que los estudiantes elegidos sean 2 hombres y 3 mujeres es igual a la probabilidad de que los elegidos sean A. 4 hombres y 1 mujer. B. 1 hombre y 4 mujeres. C. 3 hombres y 2 mujeres. D. 5 hombres y ninguna mujer Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 55 de 68 L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 PERMUTACIÓN: COMBINACIÓN: VARIACION: PERMUTACION CON REPETICION: TRIANGULO DE PASCAL: Notación es la acción de indicar o representar por medio de signos convencionales términos estadísticos. Estas notaciones se pueden representar por medio de índices, subíndices y símbolos (productoria, sumatoria, etc.). El uso de la notación genera la rapidez, la versatilidad, la organización de los sistemas numéricos, los cuales en algunos problemas matemáticos y estadísticos eran muy grandes y engorrosos, lo que dificultaba la manipulación y la solución pronta a estos problemas; con la ayuda de la notación se sintetizaron grandes problemas y paso de dificultades grandes a pequeñas. Estas notaciones se representaron de la siguiente manera: Se reemplaza “n” en la ecuación después de sigma, por los enteros 1, 2,........,n y se suman las expresiones que resulten. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 56 de 68 L.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Ejemplo: En una encuesta a hogares sobre el presupuesto familiar se preguntó sobre el número de integrantes en la familia. Fueron encuestadas diez familias y los datos son los siguientes: 3 5 4 6 4 3 7 8 3 4 En primer lugar asignamos a cada valor su posición correspondiente así: X1 = 3 X2 = 5 X3 = 4 X4 = 6 X5 = 4 X6 = 3 X7 = 7 X8 = 8 X9 = 3 X10 = 4 X1 = 3 significa que la primera familia encuestada tiene tres integrantes. X2 = 5 significa que la segunda familia encuestada tiene cinco integrantes y así sucesivamente. La variable X en este caso es equivalente a las familias y el subíndice n es igual a la posición en la que la familia fue encuestada en distintas observaciones de un estudio estadístico también así: X1 “se lee” “equis sub-uno” que corresponde al primer dato. X2 “se lee” “equis sub-dos” que corresponde al segundo dato y así sucesivamente hasta Xn “se lee” “equis sub-ene” que es la última o n-esima medición. El conjunto de n observaciones constituye una muestra de tamaño n. El conjunto de datos X1, X2,......,Xn no permite apreciar los elementos importantes para analizar, pero sí conocer su posición. 1. A la siguiente familia de datos sobre el número de mascotas de 24 familias, asígnele el sub-índice correspondiente y de una ligera explicación sobre sus posiciones. 1 6 4 2 3 5 2 1 2 1 4 3 2 4 5 1 1 5 4 3 2 3 4 3 .F... 12. 15. 16. Con el fin de simplificar. Ejemplo: Dado un conjunto de datos: 4. X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9.. 3. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 2..... Porcentual 1 2 3 4 5 6 TOTALES a. Grafica en tu cuaderno de tres maneras diferentes los resultados obtenidos. X12 .. X10. Se simboliza (sigma). Realizar la tabla de Frecuencias para el punto 1. 22. X11... Xn Se puede representar la suma de los n primeros términos con la notación sumatoria o sigma. Notación simplificada y simbólica de la suma de un gran número de términos que guardan entre sí cierta relación. Relativa F.. Dato F.. así: . Absoluta F.. 5. 21... En estadística nos encontramos frecuentemente con la suma de un gran número de términos. Acumulada F. es indispensable indicar mediante un símbolo dicha suma. 14. 12. 20.. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 57 de 68 L. 8. F. ahora: 12 x = 4 + 8 + 3 + 12 + 15 + 16 + 20 +22 + 21 + 14 +12 +5 = 152 x 1 i PROPIEDADES DE LA SUMATORIA Además de que el signo de la sumatoria sea el más utilizado en las propiedades de Estadística.i que van desde 1 hasta n. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 58 de 68 L. Ejemplo: n n ki = k i i 1 i 1 . 1813 de 24 OCTUBRE 2003 n x i 1 i Donde: n = limite superior de la sumatoria Xi = elemento genérico de la sumatoria ∑ = Sumatoria i = limite inferior de la sumatoria Y esto se lee: La sumatoria de los equis sub . Entre algunas de las propiedades de la sumatoria tenemos: La sumatoria del producto de una constante por una variable: es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable. La letra X es el índice de la suma o variable de la sumatoria. las propiedades de la sumatoria tienen una gran importancia. = i 1 6 Ejemplo: 10 i = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 385 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i 1 . Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 59 de 68 L. i i 1 = nn 1 2 Ejemplo: 10 i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 i 1 10 i = 10102 1 10211 1102 55 i 1 n i nn 12n 1 2 b.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 5 2i (2)1 22 (2)3 (2)4 (2)5 2 4 6 8 10 30 i 1 Siendo igual a la expresión de: 5 2 i 21 2 3 4 5 215 30 i 1 Entre otros casos especiales de la sumatoria tenemos: n a. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 60 de 68 L. i 1 = 2 Ejemplo: 5 i 3 = 1 2 3 4 5 = 225 3 3 3 3 3 i 1 551 = 30 5 2 2 i 15 225 3 2 i 1 = 2 2 = Resolver las siguientes sumatorias: 5 1.F. i i 1 . 1813 de 24 OCTUBRE 2003 10 i 1010 120 1 11021 2 = = = 385 i 1 6 6 nn 1 n 2 i 3 c. i 5 5 4. 4) i 1 . i4 9 (i 10) 2 3.F. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 10 i 2 2. 5i i 1 8 (i 2 5. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 61 de 68 L. Se simboliza: (pi).F. Ejemplo: Dado el siguiente conjunto de datos: 2. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 8 2 i 6. i 2 12 7. 3. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 62 de 68 L. i 3 i 4 Notación simplificada y simbólica de la multiplicación de un gran número de términos que guardan relación entre sí. 6 X1 X2 X3 X4 . 4. .... n k = k k k ..F. La letra X es el índice del producto.. con lo que se llega al lado derecho de la expresión.. ahora: 4 x i 1 i 2 4 3 6 144 PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA El producto de una constante es igual a una potencia: en donde la base es la constante y el exponente es el límite superior del producto.... Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 63 de 68 L... 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Se puede representar el productos de los n primeros términos con la notación productoria así: n xi 1 i= x x 1 2 . xn Se reemplaza la n en la ecuación productoria por los enteros 1... n y se multiplican las expresiones que resultan.... esto se lee: La productoria de los equis sub-ene que van desde uno hasta ene... n n k x = k i 1 i n xi i 1 ... 2. k n k k n n i 1 k Ó sea i 1 Ejemplo: 3 2 = 2 2 2 2 8 i 1 3 El producto de una constante por una variable: es igual a la constante elevada al límite superior por la productoria de la variable.. k x x .... 2ii 1 . 1813 de 24 OCTUBRE 2003 n k x = k x k x .. x i 1 i 1 2 n 1 2 n n k x n = i i 1 Ejemplo: 3 2i = 2 i = 81 2 3 86 48 3 3 i 1 i 1 Resolver las siguientes productorias: 4 1....k x = k k k ..... Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 64 de 68 L.F.. i i 1 5 2.. (i i 2 2 3) 7 5. 3 8 i 2 . i 3 i 1 i 8 7. ii 3 2 3 6.F. (4i 4) i 1 8 4. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 65 de 68 L. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 3 3. 4. Redacta 2 ejemplos de sumatoria y 2 de productoria. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 12 8.4. 3. Realizar de los siguientes datos las sumatorias y productorias correspondientes: a. 0.F.5. 2.2. 9. 5. 1. 3.5. 7. i 2 i 3 1.7. ¿Qué se entiende por índice y subíndice? b.2. 4.5.8. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 66 de 68 L. 2.0. 2. 5. 1. 1. 3. 6. b. 12. Responder con sus propias palabras las siguientes preguntas: a. ¿Qué es una productoria? 3. ¿Qué es una sumatoria? c. 2. 1. . 1813 de 24 OCTUBRE 2003 INDICE: SUB.INDICE: SUMATORIA: PRODUCTORIA: CONSTANTE: NOTACION: SIGMA: PI: .F. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 67 de 68 L. Ed. 1813 de 24 OCTUBRE 2003 Estadística y Muestreo. Código PGF 02-R04 COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS BELTRAN ESTADISTICA GRADO NOVENO Página 68 de 68 L.com www. Ed.wikipedia. Pime www. Prentice Hall Serie Matemática Moderna Segundo Curso. Ed.F. Norma Manual Práctico de Estadística 2.com .monografias. Ecoe Ediciones Matemática con Tecnología Aplicada 10. Ed.