UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DIFERENCIALES 0 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS 100412 – ECUACIONES DIFERENCIALES RICARDO GOMEZ NARVAEZ Director JUAN JOSE CRUZ (Acreditador) Palmira, agosto 2012 1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por Carlos Iván Bucheli Chaves docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de San Juan de Pasto, el Autor es físico-matemático, especialista en docencia universitaria, magíster en enseñanza problemita y otros. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde 2001 hasta la fecha y ha sido catedrático de diversidad Universidades de Pasto. El presente módulo ha tenido 4 actualizaciones realizadas por su autor Carlos Iván Bucheli Chaves. Y una quinta actualización que se realiza con los tutores Ricardo Gómez Cead Palmira y Pablo Pinto (Bogotá). El material ha sido revisado por la dirección de la Escuela de Ciencias básicas, Tecnología e Ingeniería: Jorge Eliécer Rondón y por su primer acreditador: Ricardo Gómez Narváez, los cuales han aportado para la calidad de este material. 2 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales INTRODUCCIÓN El curso de ECUACIONES DIFERENCIALES, es una de las temáticas con mayor grado de importancia en el desarrollo de la educación superior ya que esta se considera una de las herramientas de mayor utilidad especialmente en el área de la ingeniería. La estrategia para comprender esta rama de la matemática, implica interés, dedicación compromiso y sobre todo responsabilidad. La enseñanza de las ecuaciones diferenciales ha experimentado una gran evolución, tanto en términos pedagógicos como el contenido. Lo que una vez se pudo considerar como una colección de métodos, ha avanzado sustancialmente con el fin de proporcionar a sus investigadores diversos experiencias, que un reconocido matemático ha denominado conceptualización, exploración y solución de problemas de dificultad superior. El curso de Ecuaciones Diferenciales, se ha sometido a diversos cambios estructurales con el único objetivo de consolidar un material práctico para el estudiante, este le permitirá instruirse con mayor facilidad y así obtener un mayor rendimiento académico. El curso contiene material necesario para un completo aprendizaje de ecuaciones diferenciales, los ejercicios desarrollados y propuestos no quieren otros conocimientos de los que se han trabajado a lo largo de la carrera. Se hace un desarrollo más o menos profundo, y un estudio detallado de las diferentes ecuaciones a tratar. En el desarrollo del curso, el estudiante tiene la oportunidad de encontrar las definiciones de los temas tratados incluidos en tres unidades, así mismos encontrará ejemplos prácticos por cada tema a tratar como también ejercicios para resolver. Una característica particular del módulo es la presentación resumida de los conceptos fundamentales a tener en cuenta en el desarrollo intelectual 3 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales INDICE DE CONTENIDO UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Capítulo 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. Lección 2: Concepto de una ecuación diferencial. Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial. Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Lección 5: Ejercicios propuestos. Capítulo 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Lección 6: Ecuaciones con variables separables. Lección 7: Ecuaciones Homogéneas. Lección 8: Ecuaciones exactas. Lección 9: El factor integrante. Lección10: Ejercicios Propuestos. Capítulo 3: CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Lección 11: Trayectorias Ortogonales. Lección 12: Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. Lección 13: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales. Lección 14: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Lección 15: Ejercicios Propuestos. UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR Capítulo 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. Lección 16: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución. Lección 17: La Solución General de una ecuación diferencial como Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes. Lección 18: Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes Constantes. Lección 19: Operador para la solución de ecuaciones diferenciales. Lección 20: Ejercicios Propuestos. 4 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Capítulo 5: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Lección 21: Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Lección 22: Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes Lección 23: Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes. Lección 24: Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior. Lección 25: Ejercicios propuestos. Capítulo 6: CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR. Lección 26: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Lección 27: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior Lección 28: Ecuaciones diferenciales de Euler. Lección 29: Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel . Lección 30: Ejercicios Propuestos. UNIDAD III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES Capítulo 7: GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES. Lección 31: Definición de serie matemática. Lección 32: Clasificación de las series matemáticas. Lección 33: Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas. Lección 34: Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial. Lección 35: Ejercicios Propuestos. Capítulo 8: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS. Lección 36: Estudio de Series De Potencias. Lección 37: Propiedades y Convergencia de las series de potencias. Lección 38: Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias. Lección 39: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante Series de potencias. Lección 40: Ejercicios Propuestos. 5 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Capítulo 9: FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS. Lección 41: Funciones analíticas. Lección 42: Series De Taylor. Lección 43: Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor. Lección 44: Series de MacLaurín. Lección 45: Ejercicios Propuestos. AUTOEVALUACION DEL CURSO 6 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales LISTADO DE TABLAS Pag. Tabla 1……………………………………………………………........ 40 Tabla 2 …………………………………………………………….… 41 7 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales LISTADO DE GRÁFICOS Pag. 1) Gráfica 1 …………………………………………………………… 16 2) Gráfica 2 …………………………………………………………… 46 3) Gráfica 3 …………………………………………………………… 55 4) Gráfica 4 …..………………………………………………………... 55 5) Gráfica 5 ……………………………………………………………. 56 6) Gráfica 6 ……………………………………………………………...56 7) Gráfica 7 ……………………………………………………………..105 8) Gráfica 8 …………………………………………………………….106 8 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 1 Nombre de la Unidad Introducción Justificación Intencionalidades Formativas 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma F ( x, y, y ') 0 En la que aparecen una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada. La razón por la cual a las ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales ordinarias1 En esta unidad trataremos los siguientes aspectos de mucha Importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, clasificación, tipo, orden, linealidad y métodos de solución para las ecuaciones de variables separadas y homogéneas. Donde los tipos de ecuaciones diferenciales a trabajar principalmente son las exactas y las lineales, veremos sus características, su modo de identificación y la manera de resolver cada una de ellas, dando ejemplos, ejercicios explicativos y aplicaciones para esta unidad. Las ecuaciones diferenciales, de primer orden, constituyen uno de los más importantes instrumentos teóricos y a su vez herramienta para la praxis y así interpretar y modelar fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad. Son por eso de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama. El área de los sistemas ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología, porque permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y logro de comportamientos deseados. El área de los sistemas es transversal y genérica. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento: sistemas mecánicos, eléctricos, de procesos, humanos, económicos entre otras áreas, por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las disciplinas, economistas, físicos, matemáticos entre otros. · Reconoce y distingue una ecuación diferencial de primer orden. · Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. es.wikibooks.org/ecuaciones diferenciales 9 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales · Reconoce la diferencia entre una solución particular y una solución general de la ecuación diferencial. · Define campo de direcciones correspondientes a la ecuación diferencial de primer orden. · Identifica ecuaciones diferenciales de variables separadas y homogéneas. · Emplea el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. · Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales homogéneas. · Reconoce una ecuación diferencial exacta y las resuelve. · Encuentra el factor integrante para una ecuación diferencial lineal. · Resuelve ecuaciones diferenciales lineales. · Identifica, distingue y resuelve correctamente ecuaciones diferenciales de Bernoulli. · Realiza sustituciones adecuadas para poder resolver ecuaciones diferenciales con tipos ya conocidos empleando sustituciones. · El estudiante plantea problemas correctamente empleando la modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden. · Por último, resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos. Denominación de capítulos 1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. 1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN. 1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Introducción Dejaremos de lado las funciones de dos o más variables y comenzaremos con el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, y así encontraras algunas definiciones importantes que nos permitirán el estudio de diferentes tipos y métodos de solución a la ecuación para luego ubicarlas en el fascinante mundo de las matemáticas como herramienta de aplicación a nivel socioeconómico y científico. 10 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Se indican las estrategias que debes seguir para el provecho de la unidad, las mismas están orientadas a explicar los aspectos relacionados con las ecuaciones diferenciales, su estructura y aspectos básicos. Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. Ver módulo de Cálculo diferencial y cálculo integral Unad 2010. Lección 2: Concepto de una ecuación diferencial Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Son ejemplos de ecuaciones diferenciales las siguientes: d2y dy 2 3y 0 dx 2 dx d2y 2x dx 2 d2y dy 3 (1 ) dx 2 dx f ( x) f ( x) 7 x 0 d2y y0 dx 2 y 3 x y cos( x) 0 y y 3x 2 11 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales x y 5 0 x 5u 3u 6 x 4 x3 En los anteriores ejemplos se observa que las ecuaciones cumplen la definición de ecuación diferencial, porque tienen derivadas de diferente orden y tipo (ordinarias y parciales), además en los ejemplos se observan diferentes notaciones de derivada como lo hemos aprendido en el cálculo diferencial. En resumen podemos decir que una ecuación que tiene derivadas se llama ecuación diferencial. A través de los ejercicios y actividades de esta franja, tendrás la oportunidad de verificar la comprensión del material en el cual las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes y útiles; sin embargo su manejo requiere del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y sus derivadas en la ecuación la reduce a una identidad. Por ejemplo, -2x derivando y sustituyendo es fácil comprobar que y = e es una solución de la ecuación diferencial: dy 2y 0 dx Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la forma y = C e -2x, solución general. Donde C denota cualquier número real. -2x -2x Derivando la ecuación y = C e derivando y’ = -2C e Reemplazando en la ecuación diferencial la función y su respectiva derivada, -2x -2x efectivamente existe una identidad -2C e = -2C e Ejemplo: Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial: d2y y0 dx 2 a) y = sen x b) y = e2x 12 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales c) y = 4e -x d) y = C ex Averiguemos: a) Como: y = sen (x) dy cos( x) dx d2y sen( x) dx 2 d2y y sen x – sen x 2 sen x 0 dx 2 Por tanto, y sen x no es solución. b) Como y e2 x tf ( x, y) y d2y 4e2 x entonces 2 dx d2y y 4e2 x e2 x 3e2 x 0 2 dx Por tanto, y = e2x no es solución. c) Como y = 4 e dy 4e x y dx –x d2y 4e x 2 dx entonces d2y y 4e x 4e x 0 2 dx Por tanto, y = 4 e –x es solución. 13 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales d) Como y = C ex dy Ce x dx d2y Ce x 2 dx d2y y Ce x Ce x 0 2 dx Por tanto, y = C e x es solución. Ejemplo: Solución particular Para la ecuación diferencial x dy 3 y 0 verificar que y = Cx3 es solución y dx hallar la solución particular determinada por la condición inicial y = 2 para cuando x = -3 Solución: Sabemos que y = Cx3 es una solución, ya que y’ = 3Cx2, por lo tanto: x dy 3 y x 3 Cx2 – 3 Cx3 0 dx Además, la condición inicial y = 2 cuando x = -3 implica que la solución general esta dada por: y = C x3, al remplazar el valor de x que es la condición inicial se tiene: 2= (-3)3C por tanto C= -2/27 Luego concluimos que la solución particular es: 2 x3 y 27 y = -2x3/27 Para determinar una solución particular, el número de condiciones iníciales ha de coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general. Recordemos que la solución de una ecuación diferencial no es una sola función, sino todo un conjunto de funciones (familia de soluciones). Ejemplo: y4 y c es la solución general de 4 dy x3 0 dx 14 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Derivando y Tenemos: 3 dy x3 al sustituir en la ecuación diferencial, la convierte dx en una identidad x = x 3 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas o familia de soluciones, una para cada valor asignado a la constante arbitraria C. El término “condiciones iníciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0 El problema de valor inicial implica hallar la solución de una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial Y(X0) = Y0, y es el punto de partida para encontrar la familia de curvas. Cabe aclarar que la solución del problema de valor inicial no es una familia de curvas, sino una curva de ellas que cumple las condiciones. Ejemplo: dy 2 x es fácil observar que la solución general dx es y = x2 + c generando una familia de curvas (familia de parábolas) y al dar una condición inicial se obtiene de esa familia de curvas una única curva, por ejemplo con la condición inicial y(2) = 5 tenemos que C=1 por tanto la curva es y = x2+1 (veamos la gráfica demostrativa): Al resolver la ecuación diferencial Gráfica de color rojo es la única curva que satisface las condiciones iníciales y las otras curvas pertenecen a la familia de curvas solución. Grafica 1 15 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad. 4.1 Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO): Ejemplo: dy a) 3 y e x , b) dx , c) d 2 y dy 3y 0 , dx 2 dx En el ejemplo b) podemos notar que hay dos variables dependientes y solo una variable independiente. Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP) Ejemplo: a) d2y d2y 0, dx 2 dz 2 b) 2u 2u u , x 2 v 2 v c) du dv 0 dx dx En estos estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente. 4.2. Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación: Por ejemplo: 3 a) d2y dy 2 3y 0 , dx 2 dx esta ecuación es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que esta definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2. 16 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales b) y’’’+ 3y’’ – 3y’ – y = 0 es una ecuación de orden 3 c) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y’ = dy/dx. 4.3. Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0 es: an ( x) y n an1 ( x) y n1 a1 ( x) y ' a0 ( x) y g ( x) En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que: La variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,…, an dependen solo de la variable x. Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes: a) d2y dy x 3 y e2 x , 2 dx dx b) y’’’ + y’’ + y = 0, c) (1-x) y’’ – 4xy’ + 5y = cos x Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos: a) (1-y) y’’ – 2y= ex, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y’’ también depende de y. b) y’’ + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y c) y’’ + y2 = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal. d) (y’’’)3 + xy’’ – 3y = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y’’’ es 3 y para ser lineal debe ser 1 Lección 5: Ejercicios propuestos Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias. 17 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales A. Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden: 1) dy 3xy x 2 dx Sol. Ordinaria y de primer orden 2) d2y dy 2 y 1 dx 2 dx Sol. Ordinaria y de segundo orden 3) d 2 x dy 4 x et 2 dt dt Sol. Ordinaria y de segundo orden 4) 2u du sec(t ) t 2 dt Sol. Parcial y de segundo orden. 5) d2y 2 dy ( 2 ) 3( ) 4 y 0 dx dx Sol. Ordinaria y de segundo orden. B. Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial. 1. y C1cos x C2 sen x 2. y C1e x 3. u e –t cos x C2e sen bx , x , senx , d2y yo dx 2 d2y dy 2 2y 0 2 dx dx u 2u b t t 2 2 18 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales C. Hallar la solución particular que pasa por el punto (-4,4) y 2 Cx3 , 2x( dy ) 3 y 0 dx Autoevaluación Capitulo 1 1. En las siguientes ecuaciones diferenciales establece el orden, el tipo y la linealidad. y y 4 y 0 y y d2y dy 2 0 2 dx dx y y 8 y 8 y 0 x 2. Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial. dy 4 y 32; y 8 dx x 2 dy 2 xydx 0; y ( 1 x2 dy 3 dy ) x y; y x 1 dx dx dy 1 x dx xy 2 Donde su solución es y = 2(Ln (x) + x c) (como x > 0, no se necesita de valor absoluto). - Grafique la familia de curvas o familia solución. - Encuentre una solución particular cuando y(1) = 4 3. verifique la solución de la ecuación diferencial 19 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Algunos casos importantes de Derivadas a. y = xn = nx n -1 ― y b. y = c ― y c. y = cx n ― y d. y ― e. y = cos x = cos x ― y f. y = sen x = ex ― y = ex g. y = lnx ― y = 1 x = fx gx = f x g x ― ― y ― h. y = fx gx ― = g x ― ― = g x + fx fx gx 0 gx f x g x - fx [gx] 2 g x ― j. y = f x ― ― y y = ncx n -1 = sen x y i. y = o 20 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Algunos casos importantes de Integrales - Capitulo 1 a. dx = x + c x n -1 b. x dx = c n 1 n 1 enx nx c. e dx = c n 0 n ax x d . a dx = c a 0 Loga cos Kx e. s e n Kxdx = c K 0 K dx f . = Lnx c x 1 g. = s e n 1 x c 2 1 x h. sec 2 xdx = tan x c n senKx c K j. csc x 2 dx = -ctgx c i. cos Kxdx = 21 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Introducción En este aparte daremos a conocer técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Como lo es la solución de ecuaciones por el método de separación de variables, solución de ecuaciones diferenciales homogéneas, solución de ecuaciones exactas y utilización del factor integrante. Entonces se da a conocer los procedimientos respectivos y a su vez ejemplos que afianzaran el aprendizaje. Una ecuación de primer orden y primer grado puede reducirse a la forma: M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Siendo M y N funciones de X e Y M x, y dx N x, y dy K Siendo una solución de la ecuación. Lección 6: Ecuaciones con variables separables En este aparte comenzamos estudiando técnicas para resolver familias específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Como una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma: M ( x) N ( y ) dy 0 dx Donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua de y solamente. Para este tipo de ecuaciones, todos los términos en x se pueden unir con dx y todos los términos en y con dy, y se obtiene una solución por integración. El procedimiento de resolución se denomina separación de variables. Los pasos necesarios son los siguientes: 1. Expresar la ecuación en forma diferencial: De la siguiente ecuación: M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Despejando obtenemos: M(x) dx = - N (y) dy 22 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2. Integrar para obtener la solución general: M ( x)dx N ( y)dy C Despejando obtenemos: M ( x)dx N ( y)dy C Igualmente la ecuación por variables separables se define: Definición: Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma: dy f ( x, y ) se puede expresar como una función que depende solamente de x, dx multiplicada por una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama separable. Es decir una ecuación es de variables separables si y solo si se puede escribir de la forma: dy g ( x) p( y ) dx La forma de resolver las ecuaciones por variables separables es la siguiente: 1. Operamos por 1/p(y) ambos lados de la ecuación por tanto se tiene: 1 dy g ( x) p( y ) dx 2. Por conveniencia sustituimos h(y)= 1/p(y), luego h( y ) dy g ( x) dx 3. Se sigue el paso al otro lado de la igualdad el diferencial dx, entonces h(y)dy = g(x) dx 4. Se integra ambos lados de la igualdad por lo tanto: h( y)dy g ( x)dx 5. Finalmente se obtiene: H(y) = G(x) +C 6. La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita. Ejemplos de separación: 23 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales ECUACION DIFERENCIAL EN VARIABLES SEPARABLES x2 3 y ( senx) dy 0 dx 3y dy x2 dx dy cos x dx dy dx 2 y e 1 x dy (tan x)dx 1 2 dy dx y e 1 x EJEMPLO Hallar la solución general de: ( x 2 4) dy xy dx Solución: Para empezar, observamos que y = 0 es una solución. Con el fin de hallar otras soluciones, supongamos y 0 y separamos las variables así: x 2 4 dy xy dx dy x 2 dx y x 4 Forma diferencial Separar variables Integrando, obtenemos: dy x 2 dx y x 4 Integrar Ln y 1 Ln( x 2 4) C1 2 24 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y eC1 x 2 4 y eC1 x 2 4 Como y 0 también es solución, podemos escribir la solución general como: y C x2 4 Solución general Recuerde que en ciertos casos no es posible escribir la solución general en la forma explícita y=f(x), por tanto se puede utilizar la derivación explicita para verificar dicha solución. Ejemplo: 2 x y dx e x ( y2 1)dy 0 donde y es diferente de 0 e x y 2 ln y 2 2c . 2 Donde la solución general es Ejemplo Por el método de separación de variables encuentre la solución general de la ecuación diferencial y encuentre su solución particular. y 2 y 2 Con la condición y= 1/2 si x = 4 Solución: Por tanto por separación de variables dy dy dy 2 2 y Entonces dx integrando dx se tiene: 2 2y dx 2 2y 2 2y x c Remplazando la condición inicial c = - 4 por tanto la solución 2 2 2y x 4 (solución implícita). particular es ln 2 ln Ejemplo Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (2,6) y tiene pendiente y x2 25 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Solución: como la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la curva entonces dy y dx x 2 Separando variables e integrando se llega a dy dx y x2 y e(1/ x )c ce1/ x 1 Entonces ln y c donde x -1/2 como y = 6 y x = 2 entonces 6 = C e luego C = 6 e y0 que se pide es y = 6 e 1/2 e-1/x simplificando 1/2 por tanto la curva y 6e(1/21/ x ) Al trabajar con las constantes en el método de separación de variables dicha constante aparece cuando integramos el lado derecho o sea dx por tanto utilizamos una sola constante C. Lección 7: Ecuaciones Homogéneas Una función f(x, y) es homogénea de grado n si para un número real n satisface la siguiente identidad: f (tx, ty) t n f ( x, y) Veamos con ejemplos si la función es homogénea o no. 2 3 2 a) f( x,y) = x y – 4x + 3xy es una función homogénea de grado 3 porque: f tx, ty = tx ty 4 tx 3 tx ty 2 3 = t 3 x2 y t 3 4 x3 t 3 3xy 2 = t 3 x 2 y 4 x3 3xy 2 2 = t f x, y 3 b) f x, y xe x/ y y sen y / x es una función homogénea de grado 1 porque: 26 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales f (tx, ty) txe x / y tysen t ( xe x / y ysen tf ( x, y) ty tx y ) x c) f(x,y) = x + y2 no es homogénea porque f(tx, ty) = tx + t2 y2 t x ty 2 t n x y 2 2 d) f( x, y) = x 2xy Es homogénea de grado f (tx, ty ) (tx) 2 2(tx)(ty ) f (tx, ty ) t 2 ( x 2 2 xy ) 3 3 e) f(x,y) = x y – xy + 5 No es homogénea (verificar) En una mayoría de casos se puede verificar si una función es homogénea si observas el grado de cada término de la función. Como ejemplo a lo anterior veamos ejemplos: f ( x, y) x 2 y y 2 x y 3 El grado de los 3 términos es 3 por tanto es homogénea de grado 3 f ( x, y) x5 12 xy Esta función tiene dos términos de grado 5 y 2 respectivamente por tanto no es homogénea. Ahora veamos si una ecuación diferencial es homogéneas. DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: Si la ecuación diferencial tiene la forma: M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Y cumple con la propiedad: 27 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales M (tx, ty ) t n M ( x, y ) y N (tx, ty ) t n N ( x, y ) Se dice que la ecuación diferencial es homogénea siempre y cuando tienen el mismo grado n. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Si la ecuación diferencial tiene el mismo grado de homogeneidad se pueden reducir a una ecuación de separación de variables utilizando una sustitución y= ux o x = vy Donde u y v son variables dependientes. Si elegimos y= ux entonces dy udx xdu M ( x, ux)dx N ( x, ux)[udx xdu ] 0 Por homogeneidad del mismo grado [ M (1, u) uN (1, u)dx xN (1, u)du 0 Y por tanto por homogeneidad la ecuación se transforma a variables separadas y procedemos a resolverla con los procedimientos para separación de variables, explicado con anterioridad en el modulo. Veamos lo anterior con ejemplos: Ejemplo: Resolver la ecuación: y 2 x2 dy dy xy dx dx Solución: y 2 dx ( x2 xy)dy 0 28 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Aquí M = y2 y N = x2 - xy. Ambas son homogéneas y de segundo grado “X” y “Y”. Además tenemos. dy y2 dx xy x 2 Haciendo la sustitución y = ux, se obtiene: du u 2 x u dx 1 u O sea udx x(1 u)du 0 A fin de separar las variables, dividimos por ux, esto da: du (1 u )du 0 x u Integrando se tiene: Lnx Lnu u C Lnux C u ux ec u ec , eu ux Ceu Pero u y Luego la solución general es: x y Ce y / x El aprendizaje significativo permite al estudiante, tener mayor conciencia sobre lo que se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidación, así como darse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para abordar los retos. Ecuaciones Homogéneas. Son de la forma y y f . x Se hace el cambio de la función y(x) por u(x) mediante y=ux, transformándose así la E.D. en una de variables separadas. 29 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: resolver la ecuación xy 2 dy y 3 x3 dx La ecuación la escribimos xy dy ( y x )dx 0 2 3 3 Como es una ecuación diferencial homogénea de grado 3 sustituimos Y ux por dy udx xdu tanto x(ux)2 (udx xdu ) ((ux)3 x 3 )dx 0 Haciendo distribución y reduciendo la ecuación se tiene: u 2 x 4du x3dx Como 3 Integrando y 3ln x 3c x 0, u 2 du 1 dx x remplazando la sustitución Y ux entonces u y / x obtenemos y 3x ln x 3cx 3 3 3 Ejemplo: Comprueba que la ecuación diferencial homogénea y de grado 1 al resolver la ( x y) dx x dy 0 es ecuación su resultado es x ln x y cx Lección 8: Ecuaciones exactas Si en la ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 El lado izquierdo corresponde a la derivada total de alguna función f (x,y) la ecuación diferencial es exacta. Criterio de exactitud Si M y N tienen derivas parciales continuas, entonces la ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es exacta si y solamente si: M N y x Ejemplos de comprobación para exactitud. 30 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales a) La ecuación diferencial: xy Es exacta porque: 2 x dx yx 2 dy 0 M N 2 xy y x xy2 x 2xy y x yx 2 2 b) la ecuación (y +1) dx + xy dy = 0 no es exacta. c) la ecuación cos y dx + (y2 + x sen y) dy = 0 no es exacta, a pesar de que difiere de la primera ecuación solamente en un signo. En algunos casos se ve que una ecuación es exacta después de una agrupación adecuada de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término. Ejemplo: ( x2 y)dx ( y 2 x)dy 0 Es exacta porque: M N ( x 2 y ) 1 ( y 2 x) y y x x Ejemplo: (4 x3 2 xy ) dx (3 x 4 y 2 x 2 )dy 0 M N 12 x3 y 2 2 x y x La ecuación es exacta. Ejemplo: (3e3 x y 2 x)dx e3 x dy 0 M N 3e3 x y x Ejemplo: La ecuación también es exacta. 31 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales (cos y y cos x)dx ( senx xseny )dy 0 M N seny cos x y x Solución de una ecuación diferencial exacta El método de solución de la ecuación diferencial exacta es el siguiente: 1. Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta M N y x 2. Suponemos que existe una función f tal que f M ( x, y ) x 3. Encontramos f integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x y mantenemos constante y: f ( x, y) M ( x, y)dx g ( y) , donde g (y) es la constante de integración. 4. Ahora derivamos f(x, y) con respecto a y por tanto se debe obtener N(x, y) f ( M ( x, y )dx g ( y )) y y g ( y ) N ( x, y ) M ( x, y )dx y donde 5. Ahora integrando esta última ecuación obtenemos respecto a y obtenemos g(y) 6. Reemplazamos lo encontrado y tenemos en su totalidad la función a encontrar f(x,y). Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial 2xy – 3x dx x 2 2 – 2y dy 0 Solución: La ecuación diferencial dada es exacta, ya que: 32 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales N x M y 2xy 3x 2 y Podemos obtener la solución general f ( x, y ) x 2x f x, y x – 2y 2 como sigue: M ( x, y)dx (2 x 3 2 )dx f ( x, y) x2 y x3 g ( y) Determinamos g( y) integrando N( x,y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f(x,y) g ( y ) N ( x, y )dy g ( y ) x 2 2 ydy y 2 C1 f ( x, y ) x 2 y x 3 y 2 C1 2x x2 dx 2 dy 0 Ejemplo: Resolver la ecuación y y Verificando las derivadas Suponemos f ( x, y ) M N 2x 2 y x y f 2x integrando respecto a x tenemos: x y x2 g ( y ) Ahora derivamos respecto a y se tiene: y 33 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales f x2 2 g ( y ) x y Igualando a N x, y x2 x2 2 2 g ( y ) y y Entonces g’(x) por lo tanto g(y) = c donde c es una constante arbitraria. x2 c esta es la función solución. Remplazando f ( x, y ) y Lección 9: El factor integrante Cuando una ecuación diferencial no es exacta se puede convertir en exacta, multiplicando por un factor apropiado u x, y , llamado factor integrante de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si la ecuación diferencial 2 y dx x dy 0 Es multiplicada por el factor integrante Ecuación no exacta u x, y x, la ecuación resultante 2 xy dx x2 dy 0 Es una ecuación exacta Otro ejemplo: si la ecuación y dx – xdy =0 Ecuación no exacta Si al multiplicarla por el factor integrante u ( x, y ) 1 , la ecuación resultante: y2 1 x dx 2 dy 0 Es una ecuación exacta. y y Y luego se resuelve la ecuación de acuerdo a lo explicado anteriormente. Ahora cuando se presenta una ecuación diferencial exacta es necesario encontrar el factor integrante. Cómo encontrarlo? Si M x, y dx factor integrante: N x, y dy 0 no es exacta entonces, se buscará un M N y x a ) si f (x N 34 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Función solo de x, diferencial. b) entonces e f ( x ) dx es un factor integrante de la ecuación M N y x si g ( y) M Función de solo de y, entonces ecuación diferencial. e g ( y ) dy es un factor integrante de la Ejemplo (2 xy y e y 2 xy 3 y)dx ( x 2 y y e y x 2 y 2 3x)dy 0 M 8 xy 3e y 2 xy 4e y 6 xy 2 1 y N 2 xy 4e y 2 xy 2 3 x La ecuación no es exacta. Sin embargo, M N 8 xy 3e y 8 xy 2 4 y x M N 4 y x g ( y) Luego: M y 35 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales e g ( y ) dy e 4 dy dx e4 Lny 1 y4 Es un factor integrante, al remplazarlo en la ecuación diferencial inicial la ecuación es exacta. dy x x2 x 2 4 (2 xe 2 3 )dx ( x e 2 3 4 )dy 0 dx y y y y EJEMPLO (2 x3 y 2 4 x 2 y 2 xy 2 xy 4 2 y )dx 2( y 3 x 2 y x)dy 0 M 4 x3 y 4 x 2 4 xy 4 xy 3 2 y N 2(2 xy 1) x La ecuación es exacta. El factor integrante es M N y x 2 xy N e 2 xdx ex 2 Si se introduce en la ecuación se convierte en: (2 x3 y 2 4 x2 y 2 xy 2 xy 4 2 y)e x dx 2( y3 x2 y x)e x dy 0 2 2 Luego la ecuación diferencial es exacta. Ejemplo 3 y 2 – x dx 2 y dy 0 Solución: La ecuación no es exacta, ya que M x x, y 2 y y N x x, y 0 36 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales My M ( y x) 2 y y N (2 y ) 0 x Sin embargo como: M y ( x, y) N x ( x, y) N ( x, y) 2y 0 1 h( x ) 2y x Donde e es un factor integrante. Multiplicando la ecuación diferencial dada por ex, obtenemos la ecuación exacta: y e 2 x – x ex dx 2y ex dy 0 Se deja al lector para que los anteriores ejercicios sean resueltos por el método de ecuaciones diferenciales exactas. Lección 10: Ejercicios Propuestos Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias. 1. De acuerdo a las ecuaciones diferenciales dadas completa los cuadros que se piden: 2u 2u 2u u 0 1) x 2 y 2 x 2 y 2 2) 3) ( x2 4) y” x y x 2 0 4) 5) d2y t sen( y) 0 dt 2 d 6 x d 4 x d 3 x x t dt 6 dt 4 dt 3 3 dr ds 6) d 2r ds2 1 d2y y sen(t ) 0 dt 2 37 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 7) 8) x2 dy y 2 dx 0 dy 2 x y xe x dx Ecuació Ordinaria Orden Función Variables n o Parcial incógnita independien tes 1 2 Ordinaria 6 x(t) t 3 4 5 6 7 8 Tabla 1 2. Para las ecuaciones ORDINARIAS responde también a lo siguiente Ecuació Lineal Términos NO Justificación de la NO linealidad n ¿SI o lineales NO? 2 NO Los coeficientes de la cuarta y de la xiv x’’’ tercera derivada dependen de la variable dependiente 3 5 6 7 8 Ecuación Están en forma estándar Homogéne Término ¿SI o NO? a NO (si NO lo están ponerlas en esa ¿SI o NO? homogéne forma) o 1 2 3 5 8 Tabla 2 38 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 2. Por separación de variables resuelva: 1. dy 3x 2 1 dx 2. dy dx 3 x y 3.xy 4 y dx 1 2 y2 4. dy ysenx dp 5. p (1 p ) dt 6.sec( x ) dy x cot( y ) dy 4. Determine si la ecuación diferencial es homogénea y determine el grado x3 y x 2 y 2 1. f ( x, y ) x 8y 2. f ( x, y) ( x y 1)2 3. f ( x, y) cos( x ) x y 4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y encuentre la solución particular. 1.xy 2 dy y3 x3 , y(1) 2 dx 2.xtdx x2 dt t x 2 t 2 dt , t (0) 1 5. Determine si es exacta, si es exacta resuelva la ecuación por su método caso contrario si no es exacta, encuentre el factor integrante. 1.(2 x y)dx ( x 6 y)dy 0 2.( x y)( x y)dx x( x 2 y)dy 0 39 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 3.( x 2 y 3 1 dx ) x3 y 2 0 2 1 9 x dy 4.(3x cos3x sen3x 3)dx (2 y 5)dy 0 Puedes tomar referencia de http://es.wikipedia.org METODO DE RESOLUCION f ( x, y) M dx g ( y) N dy g ( x) FORMULA GENERAL DE LA INTEGRACION Recordemos Factor integrante solo en función de x. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, u(x)), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: My Nx dx N u ( x) e Factor integrante solo en función de y. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, u(y)), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: Nx My M dy u( y) e Factor integrante solo en función de xy. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto al producto xy (es decir, u(x y)), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: Nx My u ( xy ) e N y M x dy 40 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Donde M * x = M·x Mencionando que: CAPITULO 3: CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN Introducción Antes de entrar de lleno a los campos de aplicación es necesario realizar una nota sobre una herramienta de las matemáticas como lo es las ecuaciones de Bernoulli, ecuación muy utilizada en física y en general las ciencias naturales. Como sabemos una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma: dy P( x) y Q( x) dx Donde P y Q son funciones continuas, y partiendo de esto no podemos olvidar que existen ecuaciones aplicativas no lineales que se pueden reducir a lineal como es el caso de las ecuaciones de Bernoulli las cuales tienen la siguiente notación: n dy P( x) y Q( x ) y dx Donde esta ecuación será lineal si n=0, pero la ecuación de Bernoulli tiene a n diferente de 0. Realizando procesos matemáticos podemos demostrar (investiga demostración) encontramos que la solución de la ecuación de Bernoulli es: y 1 n esta (1n) P( x ) dx (1 n)Q( x) (1n) P( x ) dxdx C e e Solución a la ecuación de Bernoulli. y xy xe x y 3 2 Ejemplo: Solucionar la siguiente ecuación de Bernoulli 41 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Solución: U= -3 usamos la sustitución z = y1-n = y4 derivando z’ = 4y3y’, 4e x multiplicando por 4y3 se tiene 4y3y’ + 4xy4 = y 2 Ahora ya tenemos la ecuación diferencial lineal z 4 xz 4 xe donde P(x) = 4xyademás integrando P se tiene la expresión 2x2 con lo que el factor x2 integrante para la ecuación diferencial es integrante la ecuación diferencial: 2 2 d [ ze2 x ] 4 xe x dx e2 x Por tanto z = 2e x2 y multiplicando por este factor Ce2 x sustituyendo el valor y 4 2e x ce2 x 2 de Z la solución general es 2 2 2 Trabaja con la ecuación de Bernoulli e investiga sus aplicaciones Lección 11: Trayectorias Ortogonales. Un problema común en electrostática, termodinámica e hidráulica es hallar la familia de curvas ortogonales toda la familia de curvas de acuerdo al comportamiento del fenómeno. Son ortogonales porque cada curva corta la familia de curvas de la solución del problema diferencial. Por ejemplo en electrostática las líneas de fuerza son ortogonales a las equipotenciales. En termodinámica es el flujo de calor ortogonal a las curvas llamadas isotermas y en hidráulica el flujo de corriente es ortogonal a las curvas potenciales de velocidad. También las curvas ortogonales son encontradas en estudios meteorológicos. 42 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Primero debemos encontrar dy f ( x, y ) para la familia de curvas dada, luego dx dy 1 encontramos permitiéndonos así encontrar las ortogonales. dx f ( x, y ) Ejemplo: Hallar las ortogonales para la ecuación térmica y = cx2. Esta familia es un conjunto de curvas parabólicas asimétricas al eje y, derivamos entonces para encontrar dy 2cx dx como la ecuación dada es y = cx2. Eliminamos c igualando c en las ecuaciones anteriores. dy 2 y dx x Ahora para las ortogonales se invierte ecuación es: dy x y la solución a esta dx 2 y 1 2 x y 2 k que son las curvas ortogonales a las parábolas. 2 Grafica 2 Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Lección 12: Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales. En la física los campos de fuerza son importantes para determinar direcciones y sentido de aplicación, intensidad de la misma y a su vez la magnitud de la fuerza aplicada, esta fuerza en su mayoría de tipo electromagnético. Veamos un ejemplo: 43 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Para hallar el campo de fuerzas dado por 2y f ( x, y ) i x2 y 2 Determinamos la pendiente del vector F(x, y) dy dx y2x x2 y 2 j ( y 2 x) x 2 y 2 ( y 2 x ) 2y 2y x2 y 2 En forma diferencial es ( y 2 x)dx 2 ydy 0 Resolviendo la ecuación y 2 e x 1 Ce x 2 x es decir, y x – 1 Ce Esta función nos muestra varias curvas representativas de esta familia. Si graficáramos la ecuación observamos que el vector fuerza es tangente a la curva que pasa por (x,y). Plantea tus propios problemas de la física en campos vectoriales y encuentra los campos de fuerza mediante la ayuda de las ecuaciones diferenciales. Lección 13: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales Texto http://www.caribu.byethost8.com/ Lección 14: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Como mencionamos anteriormente existe una gran gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. En este e material didáctico procederemos a encontrar solamente el modelo matemático (ecuación diferencial) de las aplicaciones y dejaremos al lector para resuelva la ecuación diferencial por procedimientos anteriormente explicados como transferencia en el curso. Aplicación 1. Un recipiente contiene 50 litros de una mezcla de 90 y 100 de A líquido y 10 por 10 de líquido B, se vierte este depósito a 4 litros/minuto una segunda mezcla que 44 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales contiene 50 por 100 y 50 por 100 respectivamente, al mismo tiempo se vacía en el recipiente a razón de 5 litros/minuto. La mezcla total se agita totalmente. Cuánto alcohol queda en el depósito después de 7minutos? Solución: Y= número de litros de B en el depósito en un tiempo t, y=50, cuando t=0 El número de litros en el instante dado t es 50-t El recipiente pierde 5 litros/minuto entonces ( 5 )y 50 t Es la cantidad de litros de B por minuto Como en el recipiente entran 2 litros de B por minuto entonces la ecuación para determinar cambio de cantidad está dada por la ecuación diferencial dy 5 2( ) y. Sugerencia (para resolver la ecuación se debe hacer dt 50 t P (t) = 5/(50-t). Y además al hacer t<50 se omite el valor absoluto en la integral y se remplaza luego la condición inicial y=5 cuando t=0 obteniendo la solución general y de esta remplazamos el valor pedido de t=7 minutos. Aplicación 2. Las ecuaciones diferenciales también son muy utilizadas para modelar el comportamiento de los circuitos eléctricos. Recordemos que en un circuito simple hay una corriente I (amperios), una resistencia r (ohmios), una inductancia L (n henrios) y una fuerza electromotriz constante E (en voltios). Gracias a la ley de Kirchhoff, si se cierra el interruptor W en t=0 la fuerza aplicada es igual a la suma de las caídas de potencial en el resto del circuito por tanto la ecuación diferencial dI RI E de la corriente es: L dt Ejemplo: la siguiente ecuación diferencial del circuito L(dI / dt ) RI sen(2t ) donde E sen 2t . Aplicación 3 Otra aplicación está en la segunda ley de Newton (caída de cuerpos) donde no se desprecia la resistencia del aire al cuerpo. Aquí g=gravedad (constante), m=masa, F=m.a La fuerza hacia abajo es: mg-kv y k es la constante de proporcionalidad. 45 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales La ecuación diferencial que refleja el comportamiento es: dv mg kv dt Entonces dv k v g dt m m Ejemplo: Un avión deja caer un cuerpo de masa m, hallar la velocidad en t tiempo. Suponer que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. S/ recuerde al utilizar la ecuación diferencial hacer b= k/m ya que son constantes y así separar variables. Aplicación 4. En la ingeniería de alimentos, es importante pensar en la conservación de alimentos, el alimento se transforma, siendo este proceso proporcional a la concentración y (t) del alimento sin cambios. Ejemplo: Si sabemos que la concentración es de 1/40 cundo t = 0 y 1/160 tras 2 horas. Hallar la concentración sin cambios a del alimento después de 5 horas. Aquí por ser cambio proporcional a y (t) la ecuación es: dy ky Resolvamos dx esta ecuación por separación de variables y encontremos c haciendo y(0)=1/40 además encontremos K haciendo y(2) = 1/160. Luego proceda a reemplazar la condición t =5 horas. Aplicación 5. En microbiología: Los microorganismos crecen con una rapidez de acuerdo al tamaño, las ecuaciones diferenciales permiten calcular la cantidad de microorganismos en un tiempo t. Entonces la población de microorganismos está en función del tiempo y (t) por dy tanto la ecuación diferencial es dt ky Ejemplo: si al comienzo hay 100 microorganismos y después de 5 horas 2000, calcular después de 8 horas. Aquí y(0) = 100 , y(5) = 2000, estas serán condiciones iníciales para la ecuación diferencial. Para encontrar c y k respectivamente c con la primera condición y k con la segunda condición. (Realiza el ejercicio). 46 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales APLICACIÓN 6. Problema del enfriamiento: La ley de newton establece que la razón de que un objeto se enfrié es proporcional a la diferencia de temperaturas entre objeto y medio ambiente donde T temperatura objeto y Tm temperatura medio. Entonces el dT cambio de temperatura es y por tanto la ecuación diferencial es dTm dT k (T Tm) donde k es la constante de proporcionalidad donde la ecuación es dt lineal. Ejemplo: Un cuerpo es retirado a 500 grados y es colocado en un cuarto a 100 grados; si la temperatura del cuerpo baja hasta 300 grados en una hora, cual es la temperatura al cabo de 6 horas. Sabemos que Tm=100, T (0) = 500 y t (1) = 300 dT KT 100 dt kt kt Integramos utilizando el factor integrante e T 75 ce ahora remplazamos la -kt condición T (0), para encontrar c, entonces T(t) = 75 + 225e si utilizamos T(1) encontramos k (Proceda a resolver el problema con estas indicaciones). Luego encuentre lo buscado T(6) Lección 15: Ejercicios Propuestos 1. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. t=1 hr 21 min. 2. Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad, determinar: la velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a moverse. s/ v 2.4m / seg. 3. Un cultivo de hongos crece con rapidez proporcional al tamaño. Si se tiene 1000 y después de 2 horas se tiene 2500. Cuantos hay en 6 horas. S/ 15.625 hongos. 4. Encontrar la corriente I en función del tiempo para un circuito de L = 1, R= 1000000 y fuerza = 1 voltio. S/ 1 amperio si t aumenta. 47 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 5. Si un cuerpo es sacado de un horno a 300 grados y se coloca en un recipiente a 75 grados, la temperatura del cuerpo decae a 200 grados en media hora. ¿Cuál es la temperatura a las 3 horas? S/ 81,6 grados. 6. Un cuerpo que pesa 64 néwtones se deja caer desde una altura de 100 metros cuya velocidad inicial es 10 m/s, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. La velocidad limite es de 128 m/s encontrar la posición en un instante t. s/ t 13 x(t ) 128 1534e 1534 7. En un recipiente hay 1 libra de sal en 100 galones de agua. Se sabe que la solución salina entra al tanque a razón de 3 galones por minuto, se agita el recipiente y sale la solución en la misma proporción. Que cantidad de sal hay en el recipiente en 2 horas. S/ 9.52 libras. 8. Halle las curvas ortogonales de x y cx . 2 2 Teorema De Bernoulli f lim p 0 n n Veamos la Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación: http://es.wikipedia ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada. 1. dy y dx x 2 Sol: 2. 2 y x C 2 2 dy x 2 2 dx 3y Sol: 1 3 x y 2x C 3 3 48 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 3. dy 3y dx 3 y C2 2 x (2 x) Sol: 4. x dy y dx Sol: y C1 x Hallar la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial dada. Ecuación diferencial Condición inicial y (0) 4 dy ex 0 dx dy 6) x y 0 dx dy 7) y ( x 1) 0 dx dy 8) xy ln x 0 dx 5) y y (1) 4 (2) 1 y (1) 0 Soluciones: 1 y eX 2 16 2 1 3 2 x2 y 4 16 3 1 y x2 x e 2 1 y nX Averiguar si la función es homogénea, y si es así, hallar el grado. 13. f x, y x3 – 4 xy 2 y 3 Sol. La función es homogénea de tercer grado. 14. f x, y 2 ln xy Sol. La función no es homogénea. 49 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 15. f x, y tg x y Sol. La función no es homogénea. x y 16. f x, y 2 ln Sol. La función es homogénea de grado cero. f tx, ty f x, y Resuelva la ecuación diferencial homogénea dy x y dx 2x 17. Sol: x c n 1 y x 18. 2 dy x y dx y Sol: x c 1 11 y 1 x 3 18 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia dada y dibújense varios miembros de cada familia, ver figura 3. a. x2 y 2 C Sol: Gráfica 3 50 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales b. x Sol: Cy 2 Gráfica 4 c. 2 x y C Sol: 2 2 Gráfica. 5 d. y Sol: 2 2Cx Gráfica 6 51 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 19. En las pirámides de inversión La cuantía A de una inversión P se incrementa a un ritmo proporcional al valor de A en el instante t. a) Obtener la ecuación de A como función de t. Sol: A ce rt b) Si la inversión inicial es de $1000,00 y el interés del 11 por 100, calcular el capital al cabo de 10 años. A 1000ert Sol: c) Si el interés es del 11 por 100, calcular el tiempo necesario para doblar la inversión. Sol: t 6, 28 20. La tasa de crecimiento de una población en Colombia en un instante dado es proporcional al tamaño de la población en dicho momento. Si hay 180 después del segundo día del experimento y 300 después del cuarto día. ¿Cuántas había originalmente? Sol: Q 65,32 FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 52 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 2 Nombre de la Unidad Introducción Justificación Intencionalidades Formativas 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR En esta unidad estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y su forma de solución, utilizando una herramienta del álgebra que es la ecuación característica. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial. Las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden, tienen una importancia fundamental en la Matemática y para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones1. El interés en esta unidad es la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinados problemas de carácter físico y/o técnico. - Reconoce una ecuación diferencial con coeficientes constantes. - Asocia a la ecuación diferencial con coeficientes constantes la ecuación característica. - Realiza la diferencia de las soluciones de una ecuación de de segundo orden, con respecto a las raíces de la ecuación característica. - Resuelve correctamente las ecuaciones de segundo orden y orden superior con coeficientes constantes. - Emplea correctamente los métodos para solucionar ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y orden superior. - Soluciona ecuaciones diferenciales no homogéneas por el método de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros. - Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes. - Encuentra el operador anular para una función y lo aplica correctamente en la solución de sistema de ecuaciones. - El estudiante plantea problemas correctamente empleando la modelación con ecuaciones diferenciales. http://personales.ya.com/casanchi/mat/problediferencial01 53 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales - Por último, resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos. Denominación de capítulos 2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN. 2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. 2.3. CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR. CAPITULO 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Introducción En este aparte estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y su forma de solución, utilizando una herramienta del álgebra que es la ecuación característica. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial. Lección 16: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución. Es necesario para comenzar con esta lección, tener en claro la notación de una ecuación diferencial de orden n, porque en la lección trabajaremos para aquellas ecuaciones donde n = 2 y así abordar las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Definición de Ecuación Diferencial Lineal de Segundo Orden n Sea w1 , w2 , de la forma: , wn y w1 x y n y f funciones de x con un dominio común. Una ecuación n1 w2 x y n 2 wn1 x y wn x y f x Se llama ecuación diferencial lineal de orden . Ahora si f x 0 se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario, se llama No homogénea. De Aquí en adelante nos ocuparemos de este tipo de ecuaciones diferenciales. n 54 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ahora la ecuación diferencial de segundo orden es: y w1 x y w2 x y f x Ejemplos: Son ejemplos de ecuaciones de segundo orden las siguientes. y 6 y 12 y 0 . y 4 y 4 y 0 d 2 y p dy k y 0 dt 2 m dt m y y 0 2 y 3 y 2 y 0 2 y 6 y 7 y 0 y 2 y 3 y 2sen x y 2 y 3 y e x Solución General de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden Para solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden se dan casos característicos para encontrar la solución general. En esta lección solamente daremos a conocer los diferentes casos que se pueden presentar en una ecuación diferencial de segundo orden: 1. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente independientes. Donde la clave es la ecuación característica que se puede asignar a la ecuación diferencial según la estructura de la misma. Recordando que la ecuación diferencial tiene la siguiente forma: y ay by 0 y en general la ecuación cuadrática m 2 am b 0 tiene raíces 55 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales m1 a a 2 4b 2 m2 y a a 2 4b 2 2. Solución de una ecuación mediante coeficientes indeterminados: funcionando bien si f x está formada por polinomios o funciones cuyas derivadas siguen un modelo cíclico. 3. Solución por variación de parámetros: Para poder solucionar el problema del anterior método. Procedamos entonces a analizar estos métodos. Lección 17: La Solución General de una ecuación diferencial como Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes. Concepto de independencia lineal: Decimos que las funciones única solución de la ecuación y1 , y 2 ,, y n son linealmente independientes si la C1 y1 C2 y 2 Cn y n 0 C C C 0 2 n Donde 1 linealmente dependientes. Ejemplo, las funciones . En caso contrario, las funciones se dice que son y1 x sen x e y2 x 2 , linealmente independientes. Porque los únicos valores de C1 y C 2 para los cuales C1 (sen x) C2 x 2 0 Para todo x Son C1 0 y C2 0 . Ejemplo: y1 x x, y2 x 3x son linealmente C1 x C2 3x 0 presenta C1 3, C2 1 . dependientes, porque 56 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Vemos entonces de aquí en adelante la importancia de la independencia lineal al construir la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La solución general de una ecuación diferencial se presenta como una combinación lineal de soluciones linealmente independientes ENTONCES: Independientes significa que ninguna es múltiplo de la otra. Si y1 y y 2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y ay by 0 y C1 y1 C2 y 2 Entonces la solución general es Donde C1 y C2 son las constantes. Pensemos y recordemos la solución de una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes por tanto la ecuación diferencial de segundo orden y memx , y m2emx , luego y emx , entonces tiene soluciones de la forma de hacer un reemplazo nos encontramos con una ecuación característica que nos permitirá encontrar las raíces de la ecuación m 2 e mx amemx be mx 0 e mx m 2 am b 0 Como e mx nunca se anula, y e mx es una solución si y solamente si m 2 am b 0 Ecuación característica Recuerde que la ecuación característica puede determinarse a partir de su y 2 y m y ecuación diferencial simple sustituyendo por m , por , por 1. Ejemplo: Encontrar la ecuación característica de la ecuación diferencial y 4 y 0 La ecuación característica es m 2 4 0 donde m 2 57 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y1 e m2 x e 2 x y 2 e m2 x e 2 x son Entonces e soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es y C1e 2 x C2 e 2 x También podemos decir que a independencia la podemos encontrar basándose en el Wronskiano, pensando en su generalización al caso n soluciones de las ecuaciones lineales de orden n. Definición (De Wronskiano). WRONSKIANO. Si cada una de las funciones y1(x), y2(x),...,yn(x) posee al menos n-1 derivadas, entonces el determinante Se llama Wronskiano. Sean y1, y2,...,yn las soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de n ésimo orden. El conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si W(y1, y2,...,yn) ≠ 0. Ejemplo: Sean y1= ex e y2=e2x soluciones de una ecuación diferencial, lo cual no son idénticamente cero. Como el Wronskiano Por lo tanto las soluciones son linealmente independientes. 58 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 18: Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes Constantes. - Ecuaciones Constantes. Teniendo en diferenciales cuenta los y a1 ( x) y a2 ( x) y m( x) lineales apartes homogéneas anteriores la con ecuación coeficientes diferencial es una ecuación de segundo orden, pero es necesario hacer dos suposiciones: 1. los coeficientes son constantes 2. m x 0 y por tanto esta será una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Una ecuación homogénea tiene dos (2) soluciones independientes y por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos. Todo lo anterior según la estructura de la ecuación característica (Ver lecciones anteriores). CASOS: 1. Caso 1: Soluciones reales y distintas. 2. Caso 2: Soluciones iguales y reales. 3. Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Estudiemos ahora cada uno de los casos: 1. Caso 1. Soluciones reales y distintas. Al resolver la ecuación característica se tienen las soluciones m1 y m2 entonces: Solución general es y C1e m2 x C2 e m2 x Ejemplo: y 16 y 0 La ecuación característica es m2 16 0 Ecuación característica m 4 . y1 em1x e4 x y2 em2x e4 x son Así que Luego e soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es 59 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y C1e4 x C2e4 x Ejemplo: y 6 y 7 y 0 La ecuación característica es m2 6m 7 0 Ecuación característica y1 em1x e7 x y2 em2 x e1x Así que m1 7, m2 1 . Luego e son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es y C1e7 x C2e1x 2. Caso 2. Soluciones iguales y reales. Al resolver la ecuación m m1 m2 entonces: Solución general es característica se tienen las soluciones y C1emx C2 xemx Ejemplo: y 4 y 4 y 0 La ecuación característica m 2 4m 4 m 2 0 2 tiene dos raíces complejas m 2 repetidas. Luego la solución general es y C1e 2 x C2 xe 2 x Ejemplo: Solución general y 20 y 100 y 0 60 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales La ecuación característica m2 20m 100 m 10 0 2 tiene dos raíces complejas m 10 y C1e10 x C2 xe10 x repetidas. Luego la solución general es Solución general 3. Caso 3. Soluciones complejas conjugadas La ecuación característica tiene Raíces complejas: Si m2 i , entonces la solución general es m1 i y y C1e x cos( x) C2e x sen ( x) Ejemplo: Resolver y 4 y 13 0 La ecuación característica m2 4m 13 0 Encontrando las raíces m 2 3i Siendo estas raíces complejas conjugadas. La solución general de la ecuación diferencial es: y C1e2 x cos(3x) C2e2 x sen (3x) Ejemplo: Ejemplo: Resolver y 6 y 12 0 La ecuación característica m2 6m 12 0 Encontrando las raíces m 3 3i Siendo estas raíces complejas conjugadas. 61 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales La solución general de la ecuación diferencial es: y C1e3 x cos( 3x) C2e3 x sen ( 3x) Recuerde que para resolver las anteriores ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales siempre va a encontrar un sistema de ecuaciones de 2 por 2 para así encontrar las constantes C1 y C2 de la solución general. Ejemplo: y 3 y 10 y 0; y(0) 1; y(0) 10 La ecuación característica es m2 3m 10 0 Ecuación característica y1 em1x e5 x y2 em2x e2 x Así que m1 5, m2 2 . Luego e son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es y C1e5 x C2e2 x 1 c1 c2 Ahora hallamos y Ahora con la primera condición y 0 1 se tiene y reemplazamos la segunda condición y(0) 10 donde 10 5c1 2c2 Con las dos ecuaciones encontradas por las condiciones iniciales se forma el sistema de ecuaciones y al resolverlo encontramos c1 valores encontrados y C1e C2e 5x para reemplazar en 12 5 , c2 7 7 la que son los solución general 2 x Entonces la solución particular es y 12 5 x 5 2 x e e 71 72 62 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones diferenciales lineales No homogéneas con Coeficientes constantes Ahora trabajemos en la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes y para ello existen los otros dos métodos nombrados con anterioridad en la Lección 1 de este capitulo, donde la solución es una suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular lo cual se puede dar así: Si se tiene que y ay by F x es una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. 1. Hacemos F x 0 para convertir la ecuación a una homogénea con y coeficientes constantes. Esta es la llamada solución Asociada h 2. Encontramos una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es y la llamada Solución particular p 3. Sumamos los resultados de 1 y 2 y por tanto encontramos la solución general de la no homogénea: y yh y p `. Por tanto los pasos 1 y 3 no tienen problema, lo verdaderamente nuevo para usted señor lector es como resolver el paso 2. Bueno entonces, manos a la obra: Utilizaremos el método de coeficientes indeterminados donde se debe suponer que la solución yp es una forma general de F x . Por ejemplo: 1. Si F x 3x 2 , escójase y p Ax Bx C . 2. Si F x 4 xe x , escójase 3. Si F x x sen 2 x 2 y p Axe x Be x . , escójase y p Ax B Csen2 x D cos 2 x . Entonces, por sustitución, determinamos los coeficientes de esta solución general. Por tanto y p se la puede encontrar con base en ensayos como los anteriores. Generalizando los ensayos los podemos denotar: 63 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales si f ( x) dr xr dr 1xr 1 ... d1x d0 Entonces ensayar con y p cr xr cr 1x r 1 ... c1x c0 si f ( x) beax Entonces ensayar con y p ceax si f ( x) b cos x csen x y p b cos x csen x Entonces ensayar con Si alguno de los términos de f x es solución de la homogénea, multiplicamos por x la solución. Veamos ahora ejemplos: Ejemplo d2y dy 2 3 y 2senx dx 2 dx Hallar la solución general de la ecuación Solución: Para hallar yh resolvemos la ecuación característica: m2 – 2m – 3 m 1 m 3 m 1 y m 3 Entonces la solución C1e Procedemos a encontrar x C2e3 x yp yh = C1e x C2e3 x donde utilizaremos para la f x 2sen x n x el ensayo y p A cosx B senx 64 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales d y p Asenx B cos x dx d2y p A cos x Bsenx dx 2 Reemplazando en la ecuación se tiene (4A 2B)cosx (2A 4B)senx 2sen(x)(-4A-2B) Igualados los coeficientes de 4 A 2B 0 y cos x y de sen x , que dan lugar al sistema. 2 A 4B 2 Donde A 1 y B 2 / 5 1 2 y yh y p C1e x C2e3 x cos( x) sen( x) 5 5 Ejemplo y 4 y 4 y 2 x 6 Entonces por pasos sería así: 1. y 4 y 4 y 0 La ecuación característica es: m 4m 4 0 aquí 2 x 2 x por tanto yh C1e C2 xe 2 2. para m 2 siendo real e igual f ( x) 2 x 6 probemos con y p AX B Derivando se tiene: y’ = A, y’’ = 0, reemplazando en la ecuación diferencial original se tiene: 4 A 2,4 A 4B 6 de donde A 1/ 2 y B 1 por tanto 65 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales yp 1 X 1 2 3. La solución general es la suma entonces 1 y C1e2 x C2 xe2 x x 1 2 Ejemplo y y y xsen( x) Realizando los pasos aprendidos Encontramos lo siguiente yh e x/2 (c1 cos 3 3 x c2 sen x) 2 2 y p Asen( x) B cos( x) Cxsen( x) Dx cos( x) y p sen( x) 2cos( x) x cos( x) Nota: Se deja al lector, la realización de los procesos para obtener los resultados anteriores. Su solución general es: yh e x/2 (c1 cos 3 3 x c2 sen x) sen( x) 2cos( x) x cos( x) 2 2 Otro de los métodos que nombramos anteriormente y que soluciona la dificultad que se presenta al solucionar con métodos anteriores las ecuaciones diferenciales de segundo orden es el método de variación de parámetros donde nos ayuda a encontrar la solución particular yp Sea u1 ( x), u2 ( x) soluciones característica entonces existe: miremos el camino: independientes de la ecuación diferencial y p r1 ( x)u1 ( x) r2 ( x)u2 ( x) r1( x)u1 ( x) r2 ( x)u2 ( x) 0 r1( x)u1 ( x) r2 ( x)u2 ( x) g ( x) 66 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplo: y y csc( x).cot( x) Aquí m2 1 0, yh c1 cos( x) c2 sen( x) Por tanto u1 ( x) cos( x), u2 ( x) sen( x) ahora y p r1 ( x)u1 ( x) r2 ( x)u2 ( x) y p r1 ( x)cos( x) r2 ( x) sen( x) Derivando según la explicación se tiene r1 ( x) cot( x), r2 ( x) cot( x) r1 ln( sen( x)) integrando encontramos los valores que necesitamos r2 cot( x) x Recuerde que aquí no termina el ejercicio solución, debes aplicar la combinación de yh y p que es la solución general. (Termínalo). Lección 19: Operador para la solución de ecuaciones diferenciales Daremos a conocer ahora la definición de operador diferencial, el cual se emplea para encontrar un anulador de función D. Para nosotros D será es la primera derivada, D3 segunda derivada D3 tercera derivada y así sucesivamente. Por tanto la ecuación diferencial de orden 2 quedaría así: a2 D2 y a1Dy a0 y f ( x) El polinomio en términos de D se llama operador diferencial coeficientes de este polinomio son constantes entonces: P D , y si los P D Es factorizable y dichos factores cumplen con la ley conmutativa. Ahora el operador anulador se define así: 67 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Si y f ( x) es una función derivable 2 veces, entonces a2 D2 a1D a0 si cumple que (a2 D a1D a0 ) f ( x) 0 2 Ejemplos: Función que anula Operador anular 6 x5 D 7 x 4 6 x3 8 e ax D5 D a x D2 En general 1. Dn anula funciones 1, x, x 2 , x3 , x 4 ,..etc. n 2. ( D a) anula funciones eax , xeax , x2eax , x3eax ..etc 3. ( D 2 D ( )) anula funciones 2 2 2 n e x cos x, xe x cos x, x 2e x cos x,...etc, e x sen x, xe x sen x, x 2e x sen x,...etc Ejemplo: encontrar el operador que anule a f ( x) e x cos(2 x) Nos remitimos a 3 entonces 1, 2 Remplazando en 3 se tiene: ( D2 2D 5). f ( x) 0 Recuerde que el operador es útil para solucionar sistemas de ecuaciones diferenciales, donde la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones derivables ecuaciones. g t , f x , w t , etc., que satisfacen las Ejemplo: dx 2x y dr dy x dr Utilizando operadores D se tiene D 2 x y 0 x Dy 0 68 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Formándose un sistema de ecuaciones 2 por 2 eliminamos la variable y multiplicando la primera ecuación por D entonces nos queda una ecuación en términos de x así: ( D2 2D 1) x 0 Ahora tenemos que la ecuación característica es m2 2m 1 (m 1)2 Así mismo eliminamos y tomando la ecuación y multiplicando por ecuación característica será ( D 2D 1) y 0 2 D 2 y la ecuación característica es m 2m 1 (m 1) sustituyendo lo anterior podemos demostrar que la solución 2 2 x(r ) c1er c2rer del sistema es y (r ) (c1 c2 )e r c2rer Lección 20: Ejercicios Propuestos 1. Por el método de variación de parámetros resolver: y 2 y y a) b) ex 2x 1 sol : c1e x c2 xe x xe x xe x ln x 2 w w tg ( x) sol : c1 cos( x) c2 sen( x) cos( x)ln(sec x tgx) y y csc( x)cot( x) c) sol : c1 cos( x) c2 sen( x) cos( x)ln(sen( x)) cos( x) xsen( x) 2. Encuentre el operador anulador para f (t ) 5e3t 6te2t a) b) sol : ( D 3)( D 2) 2 (5e3t 6te2t ) 0 f (t ) et sen(t ) e2t cos(t ) sol : ( D 2 2D D)( D 2 4D 5)(et sen(t ) e2t cos(t )) 0 3. Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: 69 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales x 2 y ( y) 2 2 xy 0 a) x2 x 1 sol : 2 ln(c1 x 1) c2 2 c1 c1 2 y ( y) 2 1 b) x sol : y 2 ln(cos( c1 )) c2 2 y 4 y 4 y 0 c) sol : y e 2 x (c1 x c2 ) y y 0 d) sol : y c1 cos( x) c2 sen( x) 1 1 y 2 y 0 x x sol : c1 x c2 x 1 y e) 4. Encontrar la solución particular de las anteriores ecuaciones cuando y(0) 4, y(0) 1 5. Hallar una solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales no homogéneas: a) y 5 y 14 y e 2 x sol : y p 1 2x xe 9 b)4 y 4 y y 4e x 2 1 2 2x sol : y p x e 2 6. Halle la ecuación diferencial por medio del operador 70 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 1.( D 2 2 D 1) y e x 3 1 2 x x e 3 2 2.( D 2 4 D) y cos( x) sol : e x (c1 x c2 ) sol : c1 c2e4 x 1 (4sen( x) cos( x)) 17 Los siguientes conceptos los puedes consultar en: - www.wikipedia.com - www.monografias.com - enciclopedia virtual Encarta ☻ Recordemos que un operador diferencial es un objeto matemático que permite ☻ La conversión de una función en otra, así el operador derivada convierte una ☻ Función en una función diferente llamada la función derivada ☻ Recordemos que deben cumplir con la forma y(n) + an−1(t)y(n−1) + · · · + a1(t)y0 + a0(t)y = f (t), ☻ El operador diferencial D, de una función es aquel que se emplea como anulador. ☻ Formula de la ecuación diferencial lineal de segundo orden; y w1 x y w2 x y f x ☻ Formula de la ecuación lineal de segundo orden homogéneo y w1 x y w2 x y 0 ☻ Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden tiene la forma L[y] = yn + a1y’+ a2y = 0 ☻ Las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes; son de las ecuaciones de la Forma Yy´´ + by´ + c = k(x) 71 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales ☻ Formula de la ecuación lineal de segundo orden no homogéneo y w1 x y w2 x y f x ☻ Para la solución de la ecuación lineal: se tiene en cuenta la ecuación característica y sus raíces. CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Introducción. Ahora en este capítulo nos interesa la s ecuaciones diferenciales cuyo orden n 2 . Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de orden superior tienen una gran variedad de aplicaciones a muchas situaciones físicas y ricas en consideraciones teóricas como son el teorema de la existencia y unicidad cuya demostración no es fácil de encontrar en libros de esta asignatura por eso y mucho más las ecuaciones diferenciales lineales d orden superior ocupan un lugar muy importante en la teoría matemática. Lección 21: Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Una ecuación diferencial cuya estructura es: a0 y a1 x y n n 1 a2 x y n 2 an1 x y an x y f x Se llama ecuación diferencial lineal de grado n . Si f x 0 la ecuación recibe el nombre de ecuación diferencial lineal de grado n homogénea y en caso contrario será no homogénea. Ejemplo: 4 1. y 2y 3y 6y 0 Lección 22: Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes. Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden en la que todos los coeficientes son constantes reales; es decir que sea de la forma: a 0 y a1 x y n Donde a 0 , a1 , a2 , n 1 a2 x y n 2 an1 x y an x y f x , an1 , an son constantes reales Ejemplo: 72 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 1. 1 y3 7 y 2 y senx Lección 23: Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes. Ya hemos visto que las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes, pueden ser homogénea y no homogénea, todo depende de quien sea f x , si es idénticamente cero estamos hablando de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes homogénea y en caso contrario estamos frente a una ecuación diferencial no homogénea. Ejemplos: 1. 5 y 3 2 y 2 y etgx 10 y 5 ecuación no homogénea. 2. y 5 y 33 y 0 ecuación homogénea. Lección 24: Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior. Para resolver una ecuación diferencial lineal de orden superior hay que tener en cuenta primero la ecuación diferencial homogénea para la cual se plantea y resuelve la ecuación característica y la naturaleza de sus raíces y luego se resuelve la ecuación no homogénea y la forma de f x para poder aplicar y encontrar un operador diferencial anulador. Los métodos de solución son los mismos que para la ecuación diferencial de segundo orden solo hay que hacer unas pequeñas adaptaciones. Lección 25: Ejercicios propuestos. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior: 1. y (4) y 0 sol: 2. y 6 y 11y 6 y 0 sol: 3. y c1e x c2e x c3sen( x) c4 cos( x) y c1e x c2e2 x c3e3 x y 3 y 7 y 5 y 0 73 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales sol: y c1e x e x (c2 sen(2 x) c3 cos(2 x) Resuelva por el método de coeficientes indeterminados 5. y 3 y 2 y 2e2 x sol : y c1e x c2 xe x (c3 6. 2 x 2 x )e 9 y y 4 x2 , y(0) 1, y(0) 1, y(0) 1 Ecuación diferencial lineal de orden n a0 y a1 x y n n 1 a2 x y n 2 an1 x y an x y f x Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes a 0 y a1 x y n Donde a 0 , a1 , a2 , n 1 a2 x y n 2 an1 x y an x y f x , an1 , an son constantes reales Ecuación diferencial lineal de orden n homogénea a 0 y a1 x y n n 1 a2 x y n 2 an1 x y an x y 0 Ecuación diferencial lineal de orden n no homogénea a 0 y a1 x y n n 1 a2 x y n 2 an1 x y an x y f x Para solucionar una ecuación diferencial lineal de orden n se tiene en cuenta las mismas condiciones que para ecuación de segundo orden donde la naturaleza de las raíces la da la ecuación característica. Cuando la ecuación diferencial de orden n es no homogénea, se resuelve primero la ecuación homogénea y luego se halla un operador diferencial anulador según sea f x . 74 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales CAPITULO 3: CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR Introducción Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes; en particular, las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes tienen numerosas aplicaciones tanto en la física e ingeniería mecánica y electricidad, como son la ecuación diferencial de las vibraciones de una masa en un resorte, movimiento libre no amortiguado, movimiento libre amortiguado, movimiento forzado, etc. Lección 26: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen aplicaciones en física en la ingeniería mecánica y en la electricidad, cuyos problemas se solucionan planteando y resolviendo una ecuación diferencial de segundo orden. Como: la ecuación diferencial de las vibraciones de una masa de un resorte d 2x m 2 dt a dx dt kx F x movimiento libre amortiguado d 2x m 2 dt a dx dt kx 0 Lección 27: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior Las ecuaciones diferenciales de orden superior tienen su aplicación en el campo de la mecánica celeste, es una herramienta poderosa para los astrofísicos en el descubrimiento de nuevas formas en el universo. Plantear y solucionar una ecuación diferencial de orden superior no es fácil, tiene su trabajo. Lección 28: Ecuaciones diferenciales de Euler Anteriormente se estudió la forma de solucionar ecuaciones diferenciales de orden n con coeficientes constantes. Se vio también la forma de de la función 75 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales complementaria se puede determinar fácilmente. Sin embargo la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes variables es un asunto completamente diferente, y solo en ciertos casos especiales la función complementaria se puede obtener explícitamente en forma cerrada. Un caso especial, de considerable importancia práctica, para la que afortunadamente esto se puede lograr, es la llamada ecuación de Euler (o bien, ecuación equidimensional). Esta ecuación es de la forma: a0 xn y a1 x n1 x y n Donde a 0 , a1 , a2 , n 1 an1 x x y an y f x , an1 , an son constantes reales. Observe la característica especial de esta ecuación cada término del primer miembro es un múltiplo constante de una expresión de la forma: dk y x dx k k La transformación x et reduce la ecuación a0 xn y a1 x n1 x y n n 1 an1 x x y an y f x a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Ejemplo: x2 Al introducir la expresión x d2y dx 2 2x x3 2y et ; entonces, suponiendo x dy dx d2y dx 2 dy dx dydt dtdx 1 d 2 ydt x dt 2 dx 0 se tiene t ln x y dy xdt 1 dy x 2 dt 1 d2y x 2 dt 2 dy dt Así se transforma en d2y dt 2 3 dy dt 2y e3t La cual ya se resuelve por los métodos antes ya vistos. 76 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 29: Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel d2y dy x x 2 p 2 y 0 donde p es en parámetro, 2 dx dx se llama ecuación de Bessel de orden p . La ecuación de Bessel y las funciones La ecuación diferencial x 2 de Bessel se presentan en conexión con muchos problemas de la física y la ingeniería, y existe una amplia literatura que trata la teoría y la aplicación de esta ecuación y sus soluciones. Si p 0 la ecuación anterior es equivalente: d2y x dx 2 2 x dy dx xy 0 y se llama ecuación de Bessel de orden cero. Esta ecuación tiene soluciones en un intervalo 0 x R . La ecuación de Chebyshev tiene la siguiente estructura: 1 x2 y xy p2 y 0 donde p es una constante real. Lección 30: Ejercicios Propuestos Resolver los siguientes problemas: 1. un peso de 12bl está colocado en el extremo inferior de un resorte suspendido de un techo. el peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio, el resorte está estirado 1.5 in. Después el peso se empuja hacia debajo de su posición de equilibrio 2 in y se suelta desde el reposo en t 0 . Determine la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante, y trace la gráfica del desplazamiento como una función del tiempo. 2. Un peso de 64 lb. Está unido al extremo inferior de un resorte que esta suspendido del techo. La constante del resorte es de18lb/pie. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio; después, se desplaza 6 in hacia debajo de está posición y se suelta en t 0 . En este instante se aplica una fuerza externa expresada matemáticamente por f t 3cos . 77 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Suponiendo que no existe amortiguamiento, determine el valor de lugar a una resonancia no amortiguada. que da Resolver las siguientes ecuaciones: 1. x 2 d2y dx 2 3x 2. x 2 d2y dx 2 12 x d2y 3. x dx 2 2 x dy dx 3y dy dx dy dx 4. x3 d3y dx3 4x2 5. x3 d2y dx 2 senx 5y 12 y d2y dx 2 8x 0 0 0 dy dx 8y 4ln x eln x 6. demuestre que J 0 kx , donde k es una constante, satisface la ecuación diferencial x d2y dx 2 dy dx k 2 xy 0 Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen muchas aplicaciones dentro de la física, la mecánica y la electricidad. Las ecuaciones diferenciales de orden superior tienen muchas aplicaciones dentro de la astrofísica, la mecánica celeste. La ecuación de Euler : a0 xn y a1 x n1 x y n n 1 an1 x x y an y f x La ecuación de Bessel: x2 d2y dx 2 x dy dx x2 p2 y 0 78 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales La ecuación de Bessel de grado cero: x2 d2y dx 2 x dy dx xy 0 79 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD 2 Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. y 5y 7y 0 2. 3y 11y 5y 3. 3y 4y 0 4. y 6y 5. 12 y 0 senxtgx 3e x 6y 5y 8y 4x2 1 Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1. 12y 15 y 6y 2. y 4 12 y3 y 3. 3y3 14 y 4. 23y 2y 15 y 0 15 y 22 y 5. y 0 0 26 y 16 y 22 y 18 e 36e 2x 1 senx Resolver las siguientes ecuaciones: d2y 7. x dx 2 2 23x 8. x 2 d2y dx 2 2x 9. x 2 d2y dx 2 10. x3 d3y dx3 d2y 11. x dx 2 3 dy dx dy dx 13 y 0 45 y 0 11x dy 12 y dx 0 4x2 d2y dx 2 58x dy dx 8y ln x senx 80 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2 AYRES, Frank Jr. Calculo diferencial e integral. Teoría y problemas. Latinoamericana S.A, 1982. N, Piskunov Cálculo diferencial e integral. Editorial Limusa. Noguera editores. TAKEUCHI, RAMIREZ, RUIZ. Ecuaciones Diferenciales. Limusa, Bogotá, 2.000. 81 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales UNIDAD 3 Nombre de la Unidad Introducción ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES En la presente unidad se abordaran temas claves para la resolución de ecuaciones diferenciales que implican el conocimiento desde la definición y clasificación de series matemáticas, técnicas para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas, hasta el estudio de propiedades y convergencia de series de potencia, complementando con las series de Taylor y Maclaurin como apoyo a la solución de ecuaciones diferenciales lineales de orden dos o superior. En complemento con lo anterior y buscando afianzar el conocimiento se proponen una serie de ejercicios de acuerdo a las temáticas presentadas los cuales deberán ser resueltos utilizando los planteamientos expuestos en cada teoría y que pueden ser complementados con otras fuentes documentales consultadas por el estudiante. Con esto se pretende orientar al estudiante en el reconocimiento, definición y aplicación de los temas planteados hacia la resolución de ecuaciones diferenciales. Justificación El estudio de series y funciones especiales para la solución de ecuaciones diferenciales es un tema necesario y que todo estudiante debe realizar para resolver este tipo de ecuaciones clasificadas en lineales, de orden dos o superior con coeficientes constantes buscando la solución que se pueda expresar explícita o implícitamente en términos de las funciones elementales llevando a un proceso complejo, en donde las series y funciones especiales se constituyen como un factor muy importante en el desarrollo de este tipo de ecuaciones basado en métodos, gráficos, numéricos y en especial las series de potencias y las series de Taylor y maclaurin. Con la adquisición de estos conocimientos el estudiante contara con una herramienta valiosa a la hora de trabajar con este tipo de ecuaciones buscando de forma mas efectiva y mejor orientada la solución y aplicación del conocimiento obtenido en diferentes áreas relacionadas 82 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Intencionalidades Formativas con este tema. En esta unidad el estudiante tendrá la oportunidad de adquirir, reconocer, definir y aplicar conocimientos relacionados con procedimientos y técnicas para resolver ecuaciones diferenciales; al brindar conocimientos teóricos y también la posibilidad de aplicación práctica mediante los ejercicios propuestos al final de cada tema en donde al final el estudiante lograra: . Aplica los conceptos básicos de series matemáticas. · Define las series de potencias · Reconoce la diferencia entre la aplicación de las series de potencias para ecuaciones diferenciales de primer orden y Orden superior. · Reconoce funciones y series especiales · Relaciona las funciones y series especiales con las Ecuaciones diferenciales. · Aplica el tema de series y funciones matemáticas para la solución de las ecuaciones diferenciales Buscando de esta manera que el estudiante desarrolle competencias argumentativas y propositivas orientadas a enriquecer el conocimiento en los temas planteados en esta unidad. Denominación de capítulos 3.1. GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES. 3.2. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS. 3.3. FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS. 83 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales CAPITULO 1: GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES Introducción En esta unidad usaremos las series matemáticas y en especial la serie de potencias para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. Por tanto en las lecciones siguientes se tratan únicamente de efectuar un breve repaso de las series de potencias. Se expondrán los conceptos y propiedades, sin realizar las demostraciones, además se darán a conocer funciones especiales que se expresan mediante ecuaciones diferenciales. (Estos temas serán retomados en un nuevo curso como es el caso del análisis numérico o métodos numéricos, como también matemáticas especiales). Lección 31: Definición de serie matemática Recordemos que una sucesión Sn converge a un número p o que es convergente con el limite p, si para cada número positivo dado Є, se puede encontrar un numero N tal que │Sn - p│< Є para todo n>N Geométricamente hablando, la expresión anterior significa que Sn se encuentra entre (Sn – Є) y (Sn – Є) cuando n>N. Se debe tener en cuenta que N depende del valor que se elija para Є. Ahora para el caso que tratamos p=Sn – Rn. Por lo tanto, │Sn - p│= │Rn│ luego la convergencia en x=x0 significa que podemos hacer │Rn(x0)│tan pequeño como queramos. Podemos resumir que una sucesión converge en un punto x=a si se cumple que │x - a│< R y diverge si │x - a│> R, donde R se llama radio de convergencia. El radio de convergencia puede determinarse a partir de los coeficientes de la serie, por medio de las siguientes formulas: A) 1 lim n cn R n B) C 1 lim n1 R n cn Siempre y cuando existan los limites. Ejemplo 84 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 1) Para 1 lim R n el caso de la serie m 1 n 3n1 lim (m 1)3 lim m 1 1 n ( m)(3n 1 ) n 3m m n 3 3 , el radio de convergencia es: 1/R= 1 dado que C=1 2) Si tenemos la serie 1 lim R n , el radio de convergencia será: m 1 n 3n1 lim (m 1)3 lim m 1 1 n ( m)(3n 1 ) n 3m m n 3 3 Luego el radio de convergencia es R=3, entonces el intervalo de convergencia │X│< 3, luego se tiene que [-3≤ x ≤3]. Lección 32: Clasificación de las series matemáticas Series aritméticas La forma general de estas series es: a + (a + d) + (a + 2d) +... + (a + (n - 1) d) El término d se llama diferencia. La suma de estas series se pueden calcular sumando el primer término y el último y multiplicando el resultado por la mitad del número de términos de la serie. 1 + 2 + 3 +... + n = (1 + n)*n / 2 1 + 3 + 5 +... + (2n - 1) = (1 + (2n - 1))*n / 2 = n2 Series geométricas La forma general de estas series es: a + ar + ar2 +... + arn - 1 El término r se llama razón. La suma de estas series se puede calcular multiplicando el último término por la razón, restándole el primero y dividiendo el resultado por la razón menos uno. S = a (1 - rn) / (1 - r) Si la razón es un numero comprendido entre -1 y 1, y el número de términos es muy grande, como en la fórmula de la suma, la razón está elevado a n, el resultado de la operación rn es un número que tiende a cero y la fórmula de la suma quedaría S = a / (1- r). 85 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Series aritmético-geométricas La forma general de estas series es: a + (a + d)r + (a + 2d)r2 + ... + (a + (n - 1)d)rn 1 Series-p La forma general de estas series es 1 + 1/2p + 1/3p +... + 1/kp +... Estas series fueron estudiadas por Jakob Bernoulli. Para p = 2 el problema se le resistió y también a Leibniz, hasta que Euler lo resolvió. El valor de esta serie para p = 2 es p2/6. Serie armónica Es un caso particular de las series-p. Cuando p = 1 la serie se llama armónica. Esta serie es muy curiosa. Aunque su término general tiende a cero, la serie diverge (no tiene un límite fijo). Series telescópicas La forma general de estas series es (a1 - a2) + (a2 - a3) + (a3 -a4) +... La suma de esta serie es S = a1 - an+1 Lección 33: Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas Ejemplos de Series de Potencias La forma de resolver las ecuaciones diferenciales aplicando el método de las series de potencias es el siguiente: Primero se tiene que una serie de potencias es una serie infinita (en potencia de xa) de la forma: donde c0, c1, … son constantes, llamadas coeficientes de la serie, la a es una constante, llamada centro y x es una variable. Si en particular a=0, se obtiene una serie de potencias de x 86 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Las series de potencias muy familiares son: La series de Maclaurin: Para resolver una ecuación diferencial por medio de series de potencia, primero se representan las funciones dadas en la ecuación por medios de series de potencias de x (o en potencias de x-a). Por lo tanto debemos saber como derivar una serie: Suponga que tenemos la serie Entonces la primera derivada es: La segunda derivada es: 87 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Y así sucesivamente. Ejemplo Resolver la ecuación diferencial y’ – y = 0 Sustituimos la primera derivada y’ y la función y, se tiene: Se agrupan las potencias iguales de x y se encuentra: Igualando a cero los coeficientes de cada potencia de x, se tiene Resolviendo estas ecuaciones, se pueden expresar c1, c2,… en términos de c0, entonces: , , ;… Con estos valores la ecuación , se transforma en: Si despejamos c0 y tenemos como solución: Lección 34: Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial. 88 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales El a0 x punto x0 d2y dx 2 a1 x d2y dx 2 a1 x a0 x x se dy dx dy dx llama a2 x y a2 x a0 x punto 0 si x y ordinario a1 x a0 x y de a2 x a0 x la ecuación diferencial de la ecuación normalizada 0 son analíticas en x0 . si una de ellas o ambas no es analítica en x0 entonces x0 se llama punto singular de la ecuación diferencial. Ejemplo: 1. 2. d2y dy x x 2 2 y 0 aquí x y x 2 2 son polinomios y son analíticos 2 dx dx en todo son todos los puntos ordinarios d2y dx 2 x dy x 1 dx 1 y x x 1 0 los puntos x 0 yx 1 la función no es analítica, luego son puntos singulares. Lección 35: Funciones Especiales en Ecuaciones Diferenciales. Método de Fobenius Algunas ecuaciones diferenciales de segundo orden, que tienen una gran importancia en muchas aplicaciones, tienen coeficientes que no son analíticas en x=0, pero son de tal naturaleza que puede aplicarse en el siguiente teorema: Teorema: Método de Frobenius. Toda ecuación diferencial de la forma , donde las funciones a(x) y b(x) son analíticas en x=0, tienen por lo menos una solución que puede representarse en la forma: Donde el exponente r puede ser cualquier número (real o complejo). 89 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ecuación diferencial de Legendre: La ecuación diferencial de Legendre: Se presenta en numerosos problemas, físicos particularmente en los problemas con valores a la frontera para el caso de la esfera. El parámetro n, es un número real dado. Se puede observar que la ecuación anterior se puede escribir de la forma: Ecuación diferencial de Bessel (de primera Clase). Una de las ecuaciones diferenciales más importantes en las matemáticas aplicadas es la ecuación de Bessel. Donde el parámetro v es un número dado, y se supondrá que v es un número real no negativo. Y tiene una solución es de la forma: Ejercicios Propuestos. Determine la solución en serie de potencias de x de cada una de las ecuaciones diferenciales d2y 1. dx 2 x dy dx y 2. d2y dx 2 x dy dx x2 y 0 3. d2y dx 2 x dy dx x3 y 0 0 90 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales d2y dx 2 x dy dx ( x 2 1) y d2y 5. dx 2 x dy dx 1 y x x 1 4. 0 0 Una serie de potencias en torno al punto x0 es una expresión de la forma: cn x x0 c0 c1(x x0 ) ... cn ( x x0 )n ... n n 0 Una serie de potencias es convergente cuando su n-ésimo término tiende a cero, cuando n crece indefinidamente. Solucionar una ecuación diferencial por medio de series infinitas no es más que buscar un método para solucionar ecuaciones que no se pueden resolver tan fácilmente. Las series de potencias se pueden derivar, integrar, dos aspectos fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales. CAPITULO 2: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS Lección 36: Estudio de Series De Potencias. Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias. Definiciones: Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma: n c x x c c ( x x ) ... c ( x x ) n 0 0 1 0 n 0 ... n n 0 Donde los cn son constantes. 91 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales - La serie converge en el punto x = a, si converge la serie numérica c a x n 0 n n 0 N lim cn a x0 Es decir, si existe y es finito el límite suma de la serie en N x a. Caso contrario la serie diverge en n 0 n , que se designa x a. - La serie puede converger para algunos valores de x y no para otros. Siempre converge para x = x o , siendo c o su suma en dicho punto. Es necesario dar a conocer un teorema que nos permitirá decir donde converge la serie, este es el llamado teorema de Abel. Teorema de Abel a n x x0 n “Una serie de potencias n0 converge siempre para todo valor de x x0 R x de un cierto intervalo abierto I x 0 R, x 0 R y diverge si . En los extremos del intervalo puede converger o no. Además en el intervalo la convergencia es absoluta, es decir, que converge en el a n x x0 n intervalo y la serie se puede escribir n0 I = intervalo de convergencia. Ahora la tarea es hallar el radio de convergencia de la serie: Es necesario tener en cuenta el siguiente criterio: Si existe lim n an , entonces R n 1 92 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Si existe lim n an1 , entonces an (Se entiende que si lim n n0 an y R 1 0 es R y si , es R 0 ) Ejemplo 1: averiguar si la serie converge en n x 3 2n x 3n n1 Solución: an Es Luego n 2 n 1 1 R 2 lim . Luego n an1 2(n 1) lim 2 n ( n 2) an y por tanto la serie converge en 1 1 3 , 3 2 2 5 7 , ahora reemplazando 2 2 es decir I En x 5 , la serie es 2 En x 7 , es 2 n0 que diverge por ser la armónica. 1 n n 1 n0 1 n 1 que converge (armónica alternada) Ahora resolvamos ecuaciones diferenciales por medio de series. Todas las funciones se pueden expresar como series de potencias, aquellas Funciones que si se pueden expresar se llaman analíticas. 93 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 37: Propiedades y Convergencia de las series de potencias. Criterios de convergencia Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente). Condición del resto Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que . Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero. Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón) Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos). Si existe con , el Criterio de D'Alembert establece que: si L < 1, la serie converge. si L > 1, entonces la serie diverge. si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe. Criterio de Cauchy (raíz enésima) 94 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Sea una serie que existe , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos , siendo Entonces, si: L < 1, la serie es convergente. L > 1 entonces la serie es divergente. L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión. Criterio de Raabe En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe. Sea una serie que existe , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos , siendo Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz. Criterio de la integral de Cauchy Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces converge si y sólo si es finita. Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie 95 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales converge si y sólo si la integral converge. Criterio de condensación de Cauchy Sea una serie monótona de números positivos decrecientes. converge si y sólo si la serie converge. Criterio de Leibniz Una serie de la forma (con ) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones: a) para n par y n impar b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que: Si esto se cumple, la serie contrario la serie diverge. es condicionalmente convergente de lo Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas. antes de 96 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Criterios de convergencia comparativos Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, |z| > 1. Entonces: Criterio de comparación directa (de la mayorante o de Gauss ) Si Si converge Si diverge converge diverge Criterio de comparación por paso al límite del cociente Entonces: Si L = 0 y Si y diverge diverge En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes). converge converge Tipos de convergencia Convergencia absoluta Una serie alternada an converge absolutamente si es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente 97 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 38: Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias. No todas las ecuaciones diferenciales se pueden desarrollar por medio de los métodos tradicionales que se han mencionado en las lecciones anteriores, por tanto es necesario recurrir a las series y en especial a las series de potencias. Debemos recordar que una serie de potencias representa a f(x) en un intervalo de convergencia I, y que podemos derivar la serie de potencias sucesivamente, para obtener series para f , f , f ", f ´, etc . Paso 1. Se considera la solución como serie. y c0 c1x c2 x 2 .... Donde las constantes se deben determinar. y cn x n n 0 Paso 2. Derivamos la ecuación anterior dy c1 2c2 X 3c3 x 2 = dx y ncn x n1 n 0 Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. Paso 6. Teniendo una condición inicial encontramos la constante encontramos la solución particular. c0 y así Veamos ejemplos tanto para ecuaciones diferenciales lineales como para ecuaciones diferenciales no lineales. Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y 2 y 0 98 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Paso 1. Se considera la solución como serie. y cn x n n 0 Paso 2. Derivamos la ecuación anterior y ncn x n1 n 0 Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. y 2 y ncn x n 0 nc x n 0 n1 2 cn x n 0 n 0 2 cn x n 0 n1 n n 0 Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C n 1 c n 0 n x 2 c x 0 n1 n n n 0 Obtenemos la fórmula de recurrencia cn1 2cn , n 1 n 1 cn1 2cn de donde n0 Esta fórmula genera los resultados siguientes en términos de c0 99 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales c1 2c0 2c1 22 c0 c2 2 2 2c2 23 c0 23 c0 c3 3 23 3! 2c3 24 c0 24 c0 c4 4 2 3 4 4! 2n c0 cn n! Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. 2n c0 n 2n n y x c0 x c0e2 x n 0 n ! n 0 n ! Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y xy 1 x 2 Paso 1. Se considera la solución como serie. y cn x n n 0 Paso 2. Derivamos la ecuación anterior 100 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y ncn x n1 n 0 Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. y xy ncn x n 0 n1 x cn x n 1 x 2 n 0 Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C c1 1 c2 c0 2 c3 (1 c1 ) / 3 Así sucesivamente, encontraremos los 2 3 c4 c0 2 c5 8 15 c6 c0 48 cn Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. Aquí la daremos a la solución una nueva forma de expresión: y c0 x c0 2 2 3 c0 4 x x x .... 2 3 8 Se deja al estudiante encontrar una solución particular para este ejercicio con las ecuaciones resultantes. Sol. Co 1 Comúnmente este tipo de solución se llama solución alrededor de cero. Lección 39: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante series de potencias. 101 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Para esta lección consideremos el mismo proceso de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial y xy y 0 Paso 1. Se considera la solución como serie. y c n 0 n xn Paso 2. Derivamos la ecuación anterior y ncn x , xy ncn x , n1 y n n 1 cn x n2 n n1 n1 n2 Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. n n 1 cn x n 2 n2 ncn x cn x n 0 n n1 n n 1 c n 2 n x n 2 n1 n 1 cn x n n 1 Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C, pero ajustamos índices sustituyendo n 2 en el primer miembro. (Diferencia clave). n n n2 n n2 n1 n 2 n 1 c x n 1 n x Se obtiene la fórmula de recurrencia cn2 n 1 c cn , n 2 n 1 n n 2 n0 102 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Y los coeficientes de la serie solución son c0 2 c3 c4 c2 c 0 4 24 c5 c2 c 1 5 3 5 c6 c4 c 0 6 246 c7 c5 c 1 7 35 7 c2 c1 3 1 c0 1 c0 c2 k k 2 4 6 2k 2 k ! k k 1 c1 c2 k 1 3 5 7 2k 1 k Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. x2 x4 y c0 1 2 2 4 x3 x5 c1 x 3 3 5 Utilizando la sumatoria tenemos: 1 x 2 k 1 x 2 k 1 y c0 k c1 2k 1 k 0 2 k ! k 0 3 5 7 k k Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial 2 (1 t ) y 2ty 2 y 0 Paso 1. Se considera la solución como serie. y cnt n n 0 103 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Paso 2. Derivamos la ecuación anterior y ncnt , n1 n1 ty ncnt , y n n 1 cnt n2 n n 0 n2 Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solucionar. (1 t ) n n 1 cnt 2 n 2 n2 2t ncnt n1 n 1 2 cnt n 0 n 0 Paso 4. Comparamos coeficientes de los dos miembros y hallamos los valores C, pero ajustamos los índices sustituyendo =n 2 en el primer miembro. (Clave de solución para encontrar las constantes). 2t ncnt n1 n1 2ncnt n n1 Se obtiene la fórmula de recurrencia n 1 cn2 cn n 1 Dando valores a k de 2, 3,4, 5, 6,7,…se obtienen las constantes o los llamados coeficientes de la serie solución, ellos son: cn 0 Para n impar 1 c4 c2 , c6 c0 3 En general c2 m 1 c0 , m 1,2,3,4,5,6,7,... 2m 1 Para n par. 104 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada. 1 2m t ] 2 m 1 m1 y c1t c0[1 Lección 40: Ejercicios Propuestos. Determinar la solución de cada un de las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la aplicación de series: 1. 12y 15 y 2. y 4 12 y3 6y y 3. 3y3 14 y 4. 23y 22 y 0 2y 0 15 y 0 26 y 22 y 36e 2x 1 5. y 15 y 16 y 18 e senx Puedes tomar referencia de http://es.wikipedia.org http://www.terra.es Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma: Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma: En el cual el centro es a, y los coeficientes cn son constantes. 105 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Ejemplos La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1 La serie de potencias todo La serie de potencias es absolutamente convergente para solamente converge para x = 0 En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma: Gráfica. 7 Sin (x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13. Expresiones analíticas 106 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales CAPITULO 3: FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS Introducción. En el presente capitulo se trataran las funciones especiales y series matemáticas ya que son métodos útiles a la hora de resolver ecuaciones diferenciales, para lo cual se abordaran los siguientes temas: funciones analíticas, series de Taylor, soluciones mediante series de Taylor, series de Maclaurin, algunos ejercicios propuestos y conceptos para recordar con el fin de una mejor comprensión y manejo de los mismos. Lección 41: Funciones analíticas. Lección 42: Series De Taylor. Gráfica. 8 Gráfico: TAYLOR (3·x·y + COS(x·y), x, 0, 6) 107 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Gráfica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación Autor: Carlos Buchely El teorema de Taylor establece que, si una función f x posee suficientes derivadas en un punto a, existen un entorno de a (cuya amplitud no se especifica) y un polinomio Pn ( x) , del grado n que se desee, tales que la diferencia f x – Pn x tiende a cero cuando x x a , y lo hace “más rápidamente” que – a . con algo más de precisión, entonces lim n xa también se dice, f x – Pn x 0 x – a f ( x) Pn ( x) 0 o como ( x a) n n Importante: a) Elegido el grado n, el polinomio Pn x es único. f ( n 1) (a) ( x a) n 1 . Para mayor precisión (n 1)! requiere calcular sólo un término más, no es necesario recalcular todo. b) P0 x f (a ; Pn1 x Pn1 x Es necesario tener en cuenta que existen los polinomios de Taylor, el polinomio de Taylor para fracciones algebraicas por ejemplo. f ( x) x3 2 x 3 2 x 2 x 1 . Se pide un desarrollo de Taylor de Sea la función racional grado 3 en a = 0. Desarrollando la división en potencias se tiene: 3 2 x 0 x2 x3 1 x n 2 x 2 X iYi i 1 1 6 1 5 1 6 3 1 5 6 10 4 12 Realizando operaciones de comprobación se tiene: x3 2 x 3 3 2 x x3 4 x 4 12 x5 2 3 f ( x) 3 x 5x 6 x 2 x2 x 1 1 x 2 x2 1 x 2 x2 El polinomio 3 x 5x 2 6 x3 es el polinomio de Taylor 108 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Lección 43: Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor Como ya tenemos la conceptualización y generalidades de las series de Taylor. Ahora es necesario aprender a resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales con la ayuda de las series de potencias y en general con series de Taylor. Para resolver ecuaciones diferenciales. x a: Un desarrollo en serie de Taylor, en torno al punto ( x a) ( x a) 2 ( x a) 3 y ' ' (a) y ' ' ' (a) .... 1! 2! 3! Ahora 1. La función y(h) tiene derivadas de todos los órdenes. 2. la serie converge. y ( x) y (a ) y ' ( a ) Si en particular hacemos a = xn y x = xn + h entonces la h2 h3 y ( x n h) y ( x n ) y ' ( x n ) h y ' ' ( x n ) y' ' ' ( x n ) .... 2 6 Si suponemos que y(x) es una solución de la ecuación diferencial de primer orden y’ = f(x, y) y además consideramos solamente dos términos de la serie anterior, se obtiene la siguiente aproximación: y( x n h) y( x n ) f ( x n , y( x n ))h Relacionando lo anterior con la equivalencia a la fórmula de Euler. y n 1 y n hf ( x n , y n ) Si se conservan tres términos de la serie, podemos escribir: h2 y ( x n h) y ( x n ) y ' ( x n ) h y ' ' ( x n ) 2 Realizando las sustituciones h2 yn 1 yn y h y 2 ' n '' n Ejemplo. 109 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales dy y2 t Usar las series de Taylor para hallar la solución en serie de dt Donde la condición inicial es y= 1 en t= 0. Usaremos los primeros términos de esta solución en serie para aproximar los valores de y Solución: Como c= 0 entonces, y y 0 y 0 t y 0 2 y 0 3 t t 2! 3! Como y (0) = 1 e y’ = y2 - t, derivando se tiene lo siguiente y0 1 y y 2 t y 0 1 y 2 yy 1 y 0 2 1 1 y 2 yy 2 y y 0 2 2 4 y 4 2 yy 6 y y y 4 0 8 6 14 2 y 5 2 yy 4 8 y y 6 y 2 y 5 0 28 32 6 66 Por tanto, la aproximación es: y y 0 y 0 t y 0 2 y 0 3 y 4 0 4 y 5 0 5 t t t t 2! 3! 4! 5! Reemplazando los valores encontrados tenemos 1 t 1 2 4 3 14 4 66 5 t t t t 2 3 4 5 Ahora ya se puede aproximar la solución de y para diferentes intervalos de t. es decir dar valores dentro de un intervalo en la anterior serie (Tema de un nuevo curso). Ejemplo. Usar las series x0 1, y0 1, de Taylor para hallar la solución h 0.1, aplicando la regla obtenemos en serie de Solución: 110 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y’’ 2 xy’ 2 y y 0 1 y 0' 2 x0 y 0 2(1)(1) 2 y 0'' 2 x0 y 0' 2(1)(2) 4 Por lo que la solución particular es: y1 y 0 y 0' h y o'' h2 0.12 1 2(0.1) 4( ) 1.23 2 2 ; Ejemplo. Utilice la fórmula de Taylor de tres términos para obtener la solución particular de y’ = (x + y – 1)2, en la cual y (0) = 2 Solución: x0 = 0, y0 = 2, h = 0,1 y’’ 2 x y 11 y’ y0 2 y 0' ( x0 y 0 1) 2 (0 2 1) 2 1 y 0'' 2( x0 y 0 1)(1 y 0' ) 2(0 2 1)(1 1) 4 Se obtiene la solución particular: h2 0.12 y1 y 0 y h y 2 1(0.1) 4( ) 2.1200 2 2 ' 0 '' o Verifica lo anterior, desarrolla ejercicios de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. Plantea tus propios ejercicios. Lección 44: Series de MacLaurín Es necesario recordar que las series de MacLaurin se relacionan con Taylor con la propiedad que en Taylor a 0 y estaremos hablando de McLaurin. Entonces Hablemos un poco de la serie de McLaurin 111 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales f (n) (0) n f (0) x 2 f(x) = f(0)+ f (0)x +...+ x + R n+1(x) + 2! n! f (n+1) (z) n+1 R n+1(x) = x (n+ 1)! donde 0 z x. n f (n) (0) n f(x) = x + R n+1(x) n! 0 . f (n) (0) n f (n) (0) n f (0) 2 + x +....+ x +... n! x = f(0)+ f (0)x 2! n! 0 Esta serie describe a f x cuando coincida cumple: con la fórmula de McLaurin si 1) Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie. 2) lím R n+1(x) = 0 n . Veamos un cuadro de series de Taylor notables tomadas de la web: http://es.wikipedia.org Función exponencial xn e n 0 n ! x para todo x (1)n1 n ln(1 x) x n n1 para x 1 Serie Geométrica 1 xn 1 x n 0 para x 1 Binomio (1 x) C ( , n) x n para todo x 1 y cualquier complejo n0 112 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Función trigonométrica (1)n 2 n1 sin x x n0 (2n 1)! (1)n 2 n cos x x (2 n )! n 0 para todo x para todo x B2 n (4)n (1 4n ) 2 n1 tan x x para x (2n)! 2 n1 (1)n E2 n 2 n sec x x para x (2n)! 2 n 0 (2n)! x 2 n1 2 n0 4 ( n!) (2n 1) arcsin x para x 1 n (1)n 2 n1 arctan x x 2 n 1 n 0 para x 1 Funciones Hiperbólicas 1 x 2 n1 para todo x n0 (2n 1)! 1 2n cosh x x para todo x (2 n )! n 0 sinh x B2 n 4n (4n 1) 2 n1 tanh x x (2n)! n1 para x (1)n (2n)! 2 n1 sinh x n x 2 n0 4 ( n!) (2n 1) 1 1 2 n1 x n 0 2 n 1 tanh x 1 2 para x 1 para x 1 113 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Esta franja incluye ejercicios propuestos, dirigidas a proveerte de un mecanismo que te permita determinar el nivel de dominio adquirido con relación a la unidad Nº dos. Lección 45: Ejercicios Propuestos 1. Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial. y 9 y 0 b. y 4 y 0 c. y 3xy 0 d. y xy 0 a. e. x 2 4 y y 0 Soluciones: a) y coe3 x c1e3 x b) y co cos(2 x) c1sen(2 x) (3)k 2 k (3)k x a x 2 k 1 1 k k 0 2 k ! k 0 1.3.5...(2k 1) c) y a0 x 2 k 1 d ) y a1 k k 0 2 k !(2k 1) e) y ao (1 x2 x4 ............) 8 128 2. Usar el teorema de Taylor para hallar solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales. Donde n es el número de términos a encontrar o aproximar. a. y 2 x 1 y 0 y 0 2, n 5 114 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales y 0 1, b. y 2 xy 0 y 0 3, n 4 Soluciones: a) 2 x 2 x 2 10 x3 2 x 4 y 2 1! 2! 3! 4! b) 3x 2 x3 12 x 4 y 1 1! 3! 4! 3. verificar si la serie converge a la función dada. n 0 1n x 2n1 2n 1 arctg x, 1,1 Ecuación diferencial: x 2 1y 2 xy 0 Soluciones: si converge utilizando la ecuación diferencial. x 2 1 y 2 xy 0 PREPARATE PARA LA EVALUACION FINAL I. Hallar la solución general de la ecuación diferencial. 1. dy y 2 x dx x 2. y 2 y e x 3. 10 x 8 y 2dx 8x 5 y 2dy 0 4. 1 y ln1 y dx dy 0 115 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales 5. x yy x2 y2 Solución: 3 2 1) y x ln x 2 x cx 2) y ce2x e x 2 3) 5 x 8 xy 2 x 2 4) ln(1 y) ce x 5) y 2 2cx c 2 5 2 y 2y c 2 II. Hallar la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden. 3 1. y y x x 2. y y 2 cos x 3. y 2 y y 2 xe sol: y c1sen( x) c2 cos( x) 5x x3 sol: y (c1 x)sen( x) c2 cos( x) x x3 x sol: y (c1 c2 x )e 3 III. Hallar la familia de trayectorias ortogonales 1. y 2 x C 116 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100412 – Ecuaciones Diferenciales Solución: Son círculos x 2 ( y k )2 k 2 IV. Hallar la solución utilizando series para la siguiente ecuación diferencial. 1. x 4 y y 0 Solución: xn y a 0 n k 0 4 V. Estudia las diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y realiza una aplicación de interés en alguna área de tu carrera profesional, la cual estas cursando en la Universidad Nacional Abierta y a distancia UNAD. Lo importante es que sea de tu creatividad y así realizar la transferencia en el curso. Puedes descargar aplicaciones y laboratorios en: http://www.caribu.byethost8.com/ Regístrate. 117