Teoría de ConjuntosFidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 01 OBJETIVO N° 01 Determinar y representar conjuntos. Estudie la información destacando los conceptos básicos, notaciones y formas existentes para la determinación de conjuntos. Así como en la Geometría las ideas de Punto, Recta y Plano son conceptos básicos que se admiten sin definición; las ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, también, ideas no susceptibles de definición. NOCIÓN DE CONJUNTO Conjunto: Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denominan elementos ó miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen al conjunto. Notación: Para denotar a los conjuntos se usan letras mayúsculas: A, B, C, X, etc. y para representar a sus elementos se usan letras minúsculas: a, b, c, etc. Relación de Pertenencia: Si un objeto “x” es elemento de un conjunto A, se dice que “x pertenece al conjunto A” ó que “x está en A”, y se denota por: x A. En caso contrario, “x no pertenece a A” y se denota por: x A. Ejemplo: Si A es el conjunto formado por: 8, -2, 6, {0,1}, 3 y 1; y B es el conjunto constituido por: 0 y 1; escribimos: A = { 8, -2, 6, { 0, 1 }, 3 , 1 ]; B = { 0, 1 }. En este caso: 1 Universidad Nacional del Santa Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso 8 A...( V ) -2 A...( V ) 6 A...( V ) 1 A 1 B...( V ) 0 A...( V ) 3 B...( V ) { 0, 1} A...( V ) { { 0, 1} } A...( V ) Se observa, además, que el conjunto B pertenece al conjunto A. DIAGRAMAS DE VENN-EULER Para representar gráficamente Diagramas de Venn-Euler a los conjuntos se usan los que son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas, como se ilustra a continuación con los conjuntos A y B del ejemplo dado anteriormente. A 3 {0,1 } B 0 8 1 -2 1 6 7 A 7 B (V) 9 B 0 B (V) { 0, 1 } B { 1 } B { 0, 1 } A -2 A (V) (V) DETERMINACION DE CONJUNTOS I. POR EXTENSION O EN FORMA TABULAR Cuando se indica explícitamente cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo : A = { 2, 3, 5, 7, 11 } B = { 1, 4, 9, 16, 25 } C = { a, e, i, o, u } II. POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVA Cuando los elementos del conjunto son caracterizados mediante una propiedad común. 2 Universidad Nacional del Santa Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Ejemplo: A = { p / p es un número primo p 12 } B = { x 2 / x Z+ x 5 } C = { x / x es una vocal } Esquema general: Conjunto = Forma del elemento Caracteristicas (Pr opiedadaes) Ejemplo: T = { x / x es un pronombre personal en Inglés } Nota: Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es el Diagrama de Lewis Carroll. DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL HOMBRES MUJERES Hablan Inglés No hablan Inglés Se observa que : Hombres que hablan Inglés Hombres que no hablan CONJUNTOS NUMERICOS Inglés 3 Universidad Nacional del Santa Teoría de Conjuntos Son Fidel Vera Obeso típicos en matemática los siguientes conjuntos numéricos: ¥ 0,1, 2,3, 4,... ¢ ..., 3, 2, 1, 0,1, 2,3,... n / n, d ¢ d 0 d ¤ ' decimales que no pueden exp resarse en forma de fraccion ¤ ¡ ¥ ¢ ¤ ¤ ' £ ^ x iy / x, y ¡ 1 i i 2 1 CLASES DE CONJUNTOS CONJUNTO FINITO Un conjunto es finito cuando posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algún momento. Ejemplo : A = { x / x es un hablante nativo de Quechua } B = { x / x es un mes del año } CONJUNTO INFINITO Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina. Ejemplo : A = { p / p es un número primo } B = { x / x R 8 x 9 } C = { x / x es una estrella de universo } CONJUNTOS ESPECIALES 1. CONJUNTO NULO O VACIO Es aquel conjunto que carece de elementos. Ejemplo : A = { x / x es el actual Virrey del Perú } B = { x / x N 7 x 8 } Notación: = { } = x / x x . A = B = = { }. 4 Universidad Nacional del Santa Teoría de Conjuntos 2. Fidel Vera Obeso CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON Es el conjunto que tiene un sólo elemento. Ejemplo: A = { x / x Z 10 x 12 } = B = { 2, 2, 2, 2, 2, .............} 3. { 11 } = {2} CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto. Ejemplo: A = { 1, 2, 3 }; B = { 2, 4, 6, 8 } Pueden ser conjuntos universales: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, .............} U = = {x / x N } * Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante un rectángulo. ILUSTRACIÓN RESUMEN NO ES UNITARIO NO ES VACÍO POR EXTENSIÓN ES: {-1, 0, 1, 2, 3} El conjunto B = { x Z / - 2 x 3 }. ES FINITO está por comprensión TIENE COMO CUNJUNTO UNIVERSAL A Z 5 Universidad Nacional del Santa entonces –5 W.. Determinar por extensión los siguientes conjuntos: a. x2 – 23 = 2 }.. A = { x N / x ... 5.... A b. 1.. = { } c. { x / x = 2n . El }. B = { x R / x3 + 2x = 0 } es unitario.} por comprensión es A = e. { a. 16... 6.. resolviendo los siguientes EJERCICIOS 1. 4. }. d.} 6 conjuntos Universidad Nacional del Santa ... 25. a.. El conjunto A e.. 5... R. . { a }. { a } A d. 9.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Compruebe su aprendizaje. X = { 3.... C = { x Z / .1 b.. conjunto A = { es un conjunto no vacío. a. 7. 10 } b..} c. Indicar cuales de Dado el conjuntos las siguientes proposiciones son verdaderas. 8. 2. A = { 4.. .. M = { x / x 5 } 3 } x es un pronombre personal en Inglés } Determinar por comprensión los siguientes a. 4... . GRUPO 1 A = { a.. 9..3. { a } } A Señalar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas.. Y = { 1. A = { x R / x2+1 = 0 } c.. -1..2 c. Si W = { x / x n Z+ }. 3. 3. = { b. Y = { x / x Z+ x2} 7 10 } Universidad Nacional del Santa . Son verdaderas a. 2. M = { I am. b y c. She is. 4. 2. Son verdaderas a y d. a. X = { x / x es impar x 3 } c. 0. a. You b. It is. A = { 5. 4. We are. You are. problema cuya CLAVE DE RESPUESTAS 1. They are }. con la clave. 3. 0 } c. A = { x / x es par 4 x b. 1. 2.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso IMPORTANTE Si sus respuestas no coinciden intente nuevamente resolver el respuesta es errónea. 3 } are. C = { -1. 3. 1. He is. que denota una parte de un universo.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Analice los ejemplos que se desarrollan a continuación haciendo hincapié en el uso correcto de la simbolización e identificación de elementos de un conjunto. pues no todo elemento de A. etc. se llama cuantificador universal y se denota por . “Para cada” ó “Para cualquier”. se verifica P(x)” ó equivalentemente “ x A / P(x)”. se llama cuantificador existencial y se denota por . 8 Universidad Nacional del Santa . verifica x2 . -3.4 = 0. es verdadera. tal que: x2 – 4 = 0. A la frase: “Existe un”.4 es diferente de 0. basta tomar x =1 A / 12 . mientras que a la frase: “Para todo”. tal que se verifica P(x)” ó equivalentemente:“ x A / P(x)”. cuantificacional. Por ejemplo. Ahora consideremos un conjunto cualquiera A. pues existe x = -2 A. y es falsa cuando x toma otros valores. 2. es falsa. se relacionada convierte con una en una proposición lógica ( V ó F ) de acuerdo con el valor que asume la variable x. CUANTIFICADORES Y CONJUNTOS Una función proposición proposicional P(x). la proposición: “Para todo x A. que denota la totalidad de objetos.4 = 0 es una función preposicional que se convierte en verdadera si x = 2 ó x = -2. por ejemplo : A = { -2. la función P(x): x2 . Así mismo. 0 } La proposición: “Existe por lo menos un x A. 1. etc. “Para algún” ó ”Algunos”. su negación es: 9 Universidad Nacional del Santa . burlando el cuantificador . puesto que la ecuación x3 + x2 . x 4 }. equivale a decir que: Para algunos xA.Teoría de Conjuntos 1. Es verdadera. a. Solución: a. y B / x . siendo el conjuntoA = { 0.5x + 6 = 0. y x = 5 y no para todos los demás elementos de A. c. x A / x3 + x2 . 4. b. b. 2. simbólicamente: ~[ x A / P(x)] x A / ~ P(x) Ejemplo 01: Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. x A / x2 . pues para 5 A no existe ningún valor y A / 5 + y 4. verifica P(x). x B / x – 1 < 2. xA 0 1 2 3 4 5 yA 2 3 0 1 0 No existe /x+y4 0+24 1+34 2+04 3+14 4+04 No se cumple Ejemplo 02: Determinar el valor de verdad y negar las siguientes proposiciones. 2.2x = 0.y = 0. simbólicamente: ~[ x A / P(x)] x A / ~ P(x). x B. 1. x A. Por otro lado. Negar que para todo xA. y A / x + y 4 Solución: a. Fidel Vera Obeso Negar que existe un x A. c. y B / x2 + y2 8. pues para x = 3.2x = 0 tiene dos soluciones x = 0. 3. x B. y para x = 4 no se satisface la inecuación. no verifica P(x). verifica P(x). b. c. no se verifica P(x). 5 }. a. equivale a decir que: Ningún x A. bastaba que hubiera una. pues x2 -4x + 5 = 0 se cumple sólo para x = 1. Es falsa. Es falsa. ó que: Todo x. dado el conjunto B = { x / x Z. y x = 1 en el conjunto A. Falsa. tal que se verifica P(x). .y 0 . Verdadera...1 2 ….Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ~ [ x B / x – 1 < 2 ] x B / x . y B / x2 + y2 < 8..(V) b.(F) 10 Universidad Nacional del Santa . Verdadera. y B / x .y = 0] x B.(V) c.. 1 2 3 4 yB 3 2 1 1 / x2+y2 8 12 + 32 8 22 + 22 8 32 + 12 8 42 + 12 8 Su negación es: ~ [ x B. y B / x . y B / x2 + y2 8 ] x B.. 1 2 3 4 yB 1 2 3 4 /x-y=0 1-1 2-2 3–3 4–4 = = = = 0 0 0 0 Su negación es: ~ [ x B.... x B... x B... x 4 }. y B / x2 + y2 8. tq y B / x2 + y2 < 8. x2 + y2 8 es la función proposición ACTIVIDAD N° 03 11 Universidad Nacional del Santa .Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ILUSTRACIÓN RESUMEN Es verdadero : es el Cuantificador Universal La proposición : es el Cuantificador Existencial x B. Su negación es (F): x B. donde B = { x / x Z. ¡Compare sus respuestas con la clave! CLAVE DE RESPUESTAS 1. r Q. 2. V. F. 3. 2. 6 }.2 < 4 . Z = { …. a.}. x R. y R / ( . x . b. b. Determinar por extensión el conjunto Z que satisface la proposición que se da en cada caso. Z = { 0. EJERCICIOS GRUPO 2 1.( x y ). y Z / x2 + y2 < 8 }. 5. a.x ) y = . Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas. a. b. 0. Z = { x / x Z .Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Analice los ejemplos que se desarrollan a continuación haciendo hincapié en el uso correcto de la simbolización e identificación de elementos de un conjunto. escribir la negación en cada caso. r Q.x y. 4. Z = { x / x Z.x ) y ≠ . ± 1. 2. 12 Universidad Nacional del Santa . x R. b. p Z / p ≤ r. y R /( . a. -1. Así mismo. p Z / p > r. 1. ± 2 }. r. Entre dos conjuntos cualesquiera se pueden establecer las siguientes relaciones: A. en tal caso se denota por: A B. Ejemplo. contenido ó es un subconjunto del conjunto B. basta que un sólo elemento de A no pertenezca B para asegurar que A no está incluido o contenido en B. Observación: A partir de la definición. q. ilustraciones y propiedades de la Inclusión e Igualdad de conjuntos. Si A = { q. Si B = { a. s } B p A B A s .q Observación: Si un conjunto tiene “n” elementos entonces tiene: 2n subconjuntos Ejemplo. Se lee :“A es subconjunto de B si y sólo si todo x de A es tal que si x A entonces x B”.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso OBJETIVO N° 02 ACTIVIDAD N° 01 Establecer la relación entre conjuntos y demostrar las propiedades de Inclusión e Igualdad de conjuntos. s } r B = { p. Es decir: A B [ x A / x A x B ]. si todo elemento de A es también elemento de B. Analice el siguiente texto remarcando las definiciones. Se denota por: A B. b } 13 Universidad Nacional del Santa . INCLUSIÓN: Se dice que un conjunto A está incluido. (F) - 7B …………. (V) - {{4}}B …………. b }. (V) - 7B ………….Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Los subconjuntos de B son: . la proposición: A B equivale a decir: “No es cierto que A está contenido en B”. Numero de subconjuntos de B es: 22 = 4. Ejemplo. equivale a demostrar que: “Existe al menos un x A tal que x B”. { 4 }. (V) - {3}B …………. { b }. { 3 }. { a }. La relación de Inclusión entre conjuntos goza de las siguientes propiedades: 14 Universidad Nacional del Santa . (V) - {{3}} B …………. (V) - {{{4}}}B …………. (F) Gráficamente se representa: U U B A H A A B Ejemplo: A H Demostrar que la proposición A B. Dar el valor de verdad a las siguientes proposiciones : - {3}B …………. esto es : AB ~ [A B ] ~ [ A / x A/ ~ ( x A x B ) x A/ x A x A x B ] Definición Aplicando la negación (xB)] x A/ [ x A x B ] Ley de p q Negación A B x A / (x A x B ) Propiedades de la Inclusión. { a. { { 4 } } }. Siendo B = { 3. En efecto. ó B A A B ó B A. Demostración de 1. Luego. conjunto A. x A / x A x B pues Además. A.1 Reflexiva: 1.4 A. Si A B y B C entonces A C.4 A. (*) 1.1 Demostrar que: A A equivale a demostrar que.2 Antisimétrica: Si A B y B A entonces A = B. x A / x A x A. Recuerde que la proposición p q es falsa sólo si p es verdadera y q es falsa. IGUALDAD DE CONJUNTOS: = Los conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos. Es decir A B Demostración de 1. 15 Universidad Nacional del Santa . esta ultima proposición es verdadera puesto que el antecedente ( x ) es falso. A x / ( x ) ( x A). que se verá mas adelante.3 Transitiva: 1. Por la propiedad transitiva de la Condicional: [(p q) (q r )] [p r]. A. 1. la cual es una proposición siempre verdadera.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso A A. x B / x B x C pues B C. En caso contrario se escribe: A B. Conjuntos Comparables. por que el conjunto vacío carece de elementos. x A / x A x C. En consecuencia. (*) Corresponde a la definición de Conjuntos Iguales. Los conjuntos A y B son comparables si: Si A B B. se dice que A y B son no comparables. pues: p p es una tautología como se ilustra a continuación: P V F P V V P A A Demostración de 1. A B.3 Si A B y B C entonces A C. Se denota por: A = B [(A B) (B A)]. A = B B = A. si A B B tiene uno ó más elementos que no pertenecen a A. 2. 6 } = { 1.3 Transitiva: A = B B = C A = C. 6. 6. 2. Se verifica que A = B pues todo elemento de B es también elemento de A. si A B A B. A es subconjunto propio de B. 6 }. Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B. 6 }. B = { 1. 4 }. Establecer si los siguientes conjuntos son iguales: A = { 1. B A y A B. C. -2. es decir. Ejemplo. Del ejemplo se concluye que un conjunto no varía si sus elementos repetidos se escriben una sola vez. A B. 1. 1. Propiedades de la Igualdad 2. Por hipótesis A = B y por definición: A= B (A B ) ( B A) ( B A) ( A B ) Prop. -2.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Nota: La definición establece la necesidad de demostrar la doble inclusión a fin de demostrar la igualdad de dos conjuntos. SUBCONJUNTO PROPIO. en este caso { 1.2 Debemos demostrar que B = A. Gráficamente. A. -2. Demostración de 2. En otras palabras. y todo elemento de A es elemento de B. B A.2 Simétrica: A = B B = A. U B A Ejemplo. Dados los conjuntos: A = { x / x Z x + 3 = x2 – 9 } B = { -3.1 Reflexiva: A = A. Conmutativa de B = A. -2. 16 Universidad Nacional del Santa . 6 }. Observación. 3. 4 } De A: ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) x = 0 x = 0. CONJUNTOS DIFERENTES: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro. Siendo: B son disjuntos x / x A x B A = {2. 2. Para hablar de estos conjuntos de alguna forma. CONJUNTOS DISJUNTOS Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes Simbólicamente : A y Ejemplo. B. Siendo: 17 Universidad Nacional del Santa . el proceso de contar sus elementos siempre termina. 1. 2. 3. Ejemplo.9 A x2 – x –12 = 0 x -4 x 3 B -3 4 ( x – 4 )( x + 3 ) = 0 x = -3 ó 4 A = B D. Se define : A B A B B A Ejemplo. A y B son disjuntos Gráficamente : A B 2 ` 5 4 7 3 F. Dados: A = { x / ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) x = 0 } B = { 0.6. 1.4} y B = {5.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso De A : x + 3 = x2 . 6 CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES. Dos conjuntos son equipotentes o coordinables cuando el número de sus elementos son iguales. 3 A E.7}. n. conjunto } 18 Universidad Nacional del Santa . Simbólicamente: A B <> n( A ) =n( B ) DIAGRAMAS LINEALES Son representaciones graficas que sirven para indicar relaciones de inclusión entre conjuntos Si : A AB B Si : A = B A B PROPIEDAD NZQRC ILUSTRACIÓN RESUMEN Es unitario Tiene 21=2 subconjuntos es sólo un símbolo Dado el conjunto A = {{}} Sus subconjuntos son { A. 12 } B = { m. p } A y B son equipotentes. 11.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso A = { 10. 6. cuál de estos conjuntos puede ser el conjunto X tal que: a. Determinar en cada caso. 5. i. -3. 6. indicar el valor de verdad de 5 las siguientes proposiciones. para sus EJERCICIOS GRUPO 3 1. A = B Hallar todos los subconjuntos de A. X B y X E d. A h. b. A { } A Dados los conjuntos A = { x / x N. 4. Sugerencia: Apóyese con un diagrama. 2 x 9 }. Si A = { 2. f. a. 2. 8 } C = { 3. X A y X E c. 0. 7 }. 3 }. A y B son comparables. }. 4 }. A R e. E = { 1. A = ¿Cuántos subconjuntos tiene A en cada caso? 19 Universidad Nacional del Santa . x Z+ } A b. 4 A 5 A c. A = { 2. 4 } A = { { } } c.{ 2 } A b.{ x / ( x2 – 5 )( x – 2 ) = 0. B A c. A B d. 4. B = { 2. compare resultados con la clave. X C y X D. X A y X E e. 4. Representar gráficamente las siguientes relaciones: a. 3.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelva los siguientes ejercicios reafirmar su aprendizaje. { 6 } A g. si: a. b. X A y X B b. D = { 2. CLAVE DE RESPUESTAS 1. e. Sólo B d. entonces H N. Si A = B y B = C. 20 Universidad Nacional del Santa .Teoría de Conjuntos 5. A = C. entonces A = . f. c. c. 2. e. Si H M M N. A A = BB B e. Ninguno e. Fidel Vera Obeso Demostrar las siguientes propiedades: a. Si A B y B A. D ó B b. X puede ser igual al conjunto que se indica en cada caso a. D i. Son verdaderas: a. A = A. b. a. entonces A = B. h. Sólo C Gráficamente: A 6 B D 2 4 C 5 E 2 3 9 3. 1 b. c. d. Si A . B A A B A A d. entonces d. A. 3. Representar gráficamente cada caso. denotado por A B formado por todos los elementos que pertenecen a A. = Símbolo de la disyunción Para representar gráficamente A B. U U De la definición se deduce que A (A B) y B). A B A A B B U Observación. 10 }. 4. 3. notación. 6. 5. A B = { x / x A x B}. Entre conjuntos se pueden realizar las siguientes operaciones: Unión. C = { 2. B (A Ejemplo. Hallar (a) A B (b) B C. B = { 3. representación e ilustración gráfica. 1. UNIÓN DE CONJUNTOS La Unión de los conjuntos A y B es otro conjunto. 21 Universidad Nacional del Santa . 7 }. a B ó a ambos. 6. 4.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso OBJETIVO N° 03 ACTIVIDAD N° 01 Efectuar operaciones con conjuntos e interpretar gráficamente los resultados. 6 }. 5. Infórmese sobre las operaciones entre conjuntos: definición. Intersección y Diferencia. 8. leyendo el siguiente texto. Si A = { 2. se tendrá presente las relaciones entre los conjuntos dados en cada caso particular. es decir A = A. A Nota : B A A ( A B ) A y B ( A B ) B B Conjuntos Disjuntos: A y B son disjuntos si A B = . y que B y C son no comparables con algún elemento común. 2. M B = R c. Es decir. 10 } Se observa que B A.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Solución. 3 B 2 4 7 8 6 5 2 2 A B B C 10 Sea A = {x R / x2 – 1 = 0}. 8. A. b. 7 } B C = { x / x B x C} = { 3. B = . A B = { x / x A x B } Gráficamente. 1}. luego:A B = A = { x / x A x } pero no existe x . Hallar (a) A B (b) M B (c) A M Solución. 5. A B = { x / x A x B } = { 2. 1 }. A = {-1. 5. A M = { x / x A x M } } = R. 4. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto denotado con A B formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. 6. Entonces: 2. B = {x R / x2 + 3 = 0} y M = R. A B = {-1. luego se tiene: 7 3 5 6 4 Ejemplo. 4. 6. M = R. a. U U 22 U Universidad Nacional del Santa . 3. Representar gráficamente cada caso. Hallar A B. A B = { x / { x / x A x B } = { a } B C = { x / x B x C } = { b. es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B. A C Si X Y. el complemento de A es el conjunto formado por los x A. c } A C = { x / x A x C } = Tenemos: `` A 4 2 b 4 c d a. A – B = { x / x A x B } Se lee : “A diferencia B” ó “A menos B” Gráficamente: A B A A B B U U U A . d }. A – B = A B´ Complemento de un Conjunto. 3. B C b. El complemento del conjunto A respecto al conjunto universal U. a. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La Diferencia de los conjuntos A y B. Es decir. B B 4 6 a A C d U 2 a 4 B b c U U A B. es el conjunto A’ formado por todos los elementos de U que no están en A. a }. Es decir. B = { a. esto es: 23 Universidad Nacional del Santa .B A partir de la definición se deduce que: a. A C c. Nota.Teoría de Conjuntos Ejemplo. B C b. Solución. denotado por A – B. C = { b. b. en ese orden. c }. A – B B – A b. entonces X Y = X. 4. c. En otras A’ = { x / x U x A } palabras. c. Fidel Vera Obeso Siendo A = { 2. A – A = c. Aº. Gráficamente: A’ A Otras notaciones : C A ó Observaciones : a.x ( A B’ ) De ( I ) y ( A - Def.} DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS. Z. de intersección ( x B’ ) Def. ( II ) de ( I ): [( A – B ) ( A B’ )] x ( A – B ) / x ( A – B ) x ( A B’ ) Pero x (A – B)(x A) ( x B) Def. x es impar }. A A’ = Ejemplo. Hallar A´. 24 Universidad Nacional del Santa .Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso A’ = U – A. Por definición de inclusión. de B’ Se ha demostrado que si un elemento cualquiera x. Demostración de ( II ): [(A B’) (A – B)] x (A B’)/x(A B´)x(A – B).B ( I ) = A B’ equivale a demostrar que: ( A – B )( A B’ ) y Demostración ( A B’)(A – B ). Pero x (A B’) (x A) (x B´) Def. Intersección ( x A ) ( x x ( A – B ) Luego. x es par . A A’ = U b. A . si A = { x / x Solución: A´ = { x / Siendo: x U x Z. de B´ Diferencia B ). Solución. ( II ) se concluye la demostración. A } U = Z A´ = { x / x 4. se concluye que : ( A – B ) ( A B’ ). Demostrar que A – B = A B’. x B´ ) Def. tal que x ( A – B ) implica que x ( A B’ ). de diferencia ( x A ) x ( A B’ ) Def. Ejemplo. Análogamente. Hallar: a. denotado por A B. 9 } A B = { 2. 1. 6. 7. A B Observaciones : 25 Universidad Nacional del Santa . A B = ( A – B ) ( B – A ). Luego. 6. es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen solamente a A ó solamente a B. B = {1. A C Solución. 7 }. B C = ( B – C ) U = B – C. 5. siendo A y C conjuntos disjuntos: A C = { 2. x B } = { 2. 5 } x A } = { 1. 3. es decir: A B = ( A – B ) ( B – A ) Gráficamente: A B U A B Ejemplo. 7. 4. a. 9 }. B C = ( B – C ) = B – C. 6. 7} C – B = {x / x C x B} = x pues C B. 3. Si A = {2. 4. es decir: B C = {x /x B x C }={4. c. 3. 9 } Gráficamente. A B A B A B a. 4. 7}. 5.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso La Diferencia Simétrica de los conjuntos A y B. 1. es decir: B C = { 4. b. 6. 5. donde: A – B = { x / x A B – A = { x / x B Entonces b. 9 }. A B B C b. 6. 9 } y C = { 1. 3. Teoría de Conjuntos 1. ACTIVIDAD N° 02 26 Universidad Nacional del Santa . = ( A B ) . 2.( A B). Si A y B son conjuntos disjuntos entonces A B = 3. Fidel Vera Obeso Si C B entonces B C es el complemento de C con respecto a B. A B A B. 2. 1. [B – ( A C )] [( A C ) – B ] c. [( x A ) ( x B )] Def. Luego. ( x A ) ( x B’ ) c. esto se expresa por: B – ( A U C ).B ) d. x (A . 27 Universidad Nacional del Santa . de diferencia. La proposición x ( A B’) es equivalente a: a. EJEMPLOS DE APLICACIÓN A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos sobre uso de las definiciones y operaciones con conjuntos. de B’ [ x ( A.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Analice los ejercicios resueltos sobre operaciones con conjuntos y su interpretación grafica. [B ( A C )] [( A B ) C] A B C Solución. Distinguimos la reunión de dos regiones sombreadas: - La superficie formada por elementos que solo están en B y no en A ó C. ( x A ) ( x B’ ) Solución.B )] Def. [B – ( A C )] [( A C ) – B ] b. las expresiones equivalentes a x (A B’) son (c) y( d). de Intersec. ( x A ) ( x B ) b. x (A B’) [(x A) (x B’)] Def. ¿A cuál de las expresiones corresponde la región sombreada? a. Luego la expresión dada es (b) correspondiente a la región sombreada.Teoría de Conjuntos - Fidel Vera Obeso La inferior formada por los elementos que están en la intersección de A con C pero que no pertenecen a B. ILUSTRACIÓN RESUMEN = A-B = { x / B = B-A = { x / A x A } x B } x x A B = { x / x A B} x Operaciones con conjuntos A B = ( A – B ) ( B – A ) A B = { x / x A x B } 28 Universidad Nacional del Santa . esto es: (A B) – B. A – B = B – A 1. D' C ' B D : x 10 . A B = U d. ¿Qué condiciones deben cumplir los conjuntos Ay B para que se verifiquen las siguientes relaciones? a. A B A B h. A – B = A f. ' D E B 'C ' AE B C ' E x Z . 4. A' C ' B A ' C B 'C ' AC B C ' B 29 I A C B A ' ' AC Universidad Nacional del Santa . x 5 . 5}. A B’ = B’ i. A E B C ' DE b. x 5 . c. 5}. EJERCICIOS GRUPO 4 1. A B = b. C B ' D E A a. D E ' B A' E d. xZ Dados los conjuntos: A = C = Hallar: 2 x 1: x Z . Si e. B = D ={3. DE B c.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelva los siguientes ejercicios para autoevaluar su aprendizaje. U C B B 'C C E ' A ' 2x : I ' D E A ' D A E B C ' DE 2. E = {3. C B A A C ' b. A B = B c. A = U g. A B B A A x ¢ : x 4 x 6 B x ¢ : x 0 x 6 C x ¢ / : ( x 1 x 2 4 x 3) Hallar: ' ' A C ' B C ' a. Se demuestran algunas de ellas. LEYES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 1.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso OBJETIVO N° 03 Demostrar las leyes ACTIVIDAD N° 01 del álgebra de conjuntos. Idempotencia 1 a) A A = A 2. bajo el título de Leyes Básicas del Álgebra de Conjuntos. son: 1) A B x A x A 2) A = B A B B A 3) A B = { x / x A x B } 4) A B = { x / x A x B } 5) A – B = { x / x A x B } 6) A B = ( A – B ) 7) A’ = { x / x U x A} ó / x B ó A – B = A B’ ( B – A ) A’ = { x / x A } A continuación se presentan las Propiedades de las Operaciones con conjuntos. 1 b) A A = A 2 b) A B = B A Asociativa 3 a) A ( B C ) = ( A B ) C 3 b) A ( B C ) = ( A B ) C 30 Universidad Nacional del Santa . Analice la siguiente información sobre las propiedades de las operaciones con conjuntos y las demostraciones realizadas. Las definiciones de las operaciones con conjuntos. Conmutativa 2 a) A B = B A 3. x ( A B) ( x A ) ( x B ) ( x B ) ( x A) x ( B A) Def. Unión x ( B A) x ( A B) . 5 a) A = A 5 a) A = A 6. (I) (A B) (B A) x (A B) / x (A B) x (BA) Pero. ’ = U 8 a) ( A’ ) ’ = A 9. Con lo que queda demostrado: (A B) (B A) Def. Leyes de D' Morgan 9 a) ( A B )' = A' B' 9 b) ( A B )' = A' B' 10. 4 (b). de x (A B ) Def. Unión Conmut. Demostración (2a) A B = B A. Leyes de Absorción 10 a) A ( A B ) = A 10 b) A ( A B ) = A A continuación se demuestran: 2 (a). 6 a) A U = A 6 b) A U = A 7. 8 b) U’ = . Fidel Vera Obeso Distributiva 4 a) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) 4 b) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) 5. esto es ( B A ) ( A B ) por 31 Universidad Nacional del Santa . 7 a) A A’ = U 7 b) A A’ = 8. Unión ( x A ) ( x B ) Conmut.Teoría de Conjuntos 4. x ( B A ) ( x B ) ( x A ) Def. Recuerde que dos conjuntos son iguales si y sólo si se verifica la doble inclusión: (I) ( A B ) ( B A ) (II) ( B A ) ( A B ) y Entonces debe demostrarse (I) y (II). de Def. 8 (a) y 9 (b). Inclusión II) ( B A) ( A B) x (B A)/ x (B A) x (A B) Pero. x ( A B ) x ( B A). recurriendo a la definición de Inclusión. Unión Luego. De (I) y (II) se concluye que: 32 Universidad Nacional del Santa . Análogamente se demuestra (II). de Intersección [xA xB] [xA xC] (p q) (p r) p ( q r) x A ( x B x C ) Def. Intersec x [ ( A B ) ( A C ) ] Def. Demostración (4b) A ( B C ) ( A B ) ( A C ) = Equivale a demostrar: (I) A ( B C ) ( A B ) ( A C ) y (II) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) . x ( A B ) ( A C ) / x ( A B) ( A C ) x (A B ) x ( A C) Def. ( x A B ) ( x A C ) Def. De (I) y (II) se sigue: A B = B A. de Inclusión ( A B ) ( A C ) A ( B C) . Intersec x A [ x B x C] Def. de Intersección x A x(BC) x A (BC) Luego x ( A B ) ( A C ) x A ( B C ) Def. Unión ( x A x B ) ( x A x C ) Propiedad distributiva de con respecto a : [p ( q r ) ( p q ) ( p r )].Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso definición de Inclusión. de . (I) x A ( B C ) / x A ( B C) x ( A B) (A C) Pero x A ( B C ) x A ( x B C ) Def. de Unión Def. En efecto. Unión Entonces x A ( B C ) x [ ( A B ) ( A C ) ] [ A ( B C) ] [ ( A B ) ( A C )] Def. de Inclusión 33 Universidad Nacional del Santa .Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso A ( B C ) = (A B) (A C). Unión Luego. Complemento [( x A ) ] Negación de xA pues: ( p) p Luego ( A’ )’ A por definición de Inclusión. Intersección Recuerda que: (p q) p q. De (I) y (II) se sigue la igualdad. Debe demostrarse: (I)( AB )’ A’B’ (II)A’B’ ( AB )’ y Para I x ( AB )’ / x ( AB )’ x AB [ x (AB)] Def. Complemento [ x A’] Negación de [ x A] Def. y (I) x ( A’ ) ’ / x ( A’ )’ x A’ Def. Debe demostrarse que : ( I ) ( A’ ) ’ A ( II ) A ( A’ )’. Complemento Negación de [x A x B] Def. (II) x A / x A [( x A ) ] Doble Negación [ x A] Negación de [ x A’ ] Def. Demostración (9b) ( A B )' = A' B'. Complemento A ( A’ )’ por definición de Inclusión. Demostración (8a) ( A’ ) ’ = A. x ( AB )’ x ( A’ B’ ) ( AB )’ A’B’ Por Def. Complemento x A’ Negación de x ( A’ )’ Def. ( x A) ( x B ) ( x A) ( x B ) Negación de ( x A’ ) ( x B’ ) Def. Complemento x ( A’ B’ ) Def. lo cual demuestra que: ( A’ B’ ) ( A B )’. Unión ( x A) ( x B ) Def. Complemento ( x A) ( x B ) Negación de [ (x A) (x B) ] Por que ( p q ) (p q) [ x A B ] Def. ILUSTRACIÓN RESUMEN Asociativa A(BC) = (AB) C A(BC ) = (AB) C Distributiva A (BC) =(AB)(AC) Leyes del Álgebra de conjuntos Absorción A (AB) = A A( AB) = A A(A’B) = AB A( A’B) = AB Morgan (A B) ’ = A’ B’ (A B) ’ = A’ B’ Conmutativa A B = B A B = B 34 A A Universidad Nacional del Santa .Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Para II x (A’ B’)’ / x (A’ B’) (x A’) (x B’) Def. Complemento Luego. x ( A’ B’ ) x ( A B )’. De ( I ) y ( II ) ( A B )’ = A’ B’. Intersección x A B Negación de x ( A B )’ Def. 2. x ( A B ) c. x A c. x A x ( A B ) x B x C ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas? a. x A ( x B x C ) b. A B A B = B c. A B’ = B’ A’ Universidad Nacional del Santa . 3. A B’ B’ A’ = ( A B )’ d. A B A’ B’ 35 b. x ( A B ) ( x C’ ) d.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Demuestre a continuación las leyes del álgebra que se mencionan EJERCICIOS GRUPO 5 I. Utiliza convenientemente las definiciones de las operaciones con conjuntos para resolver los problemas que se plantean a continuación. ¿Cuál es la expresión equivalente a: x [A (AB )]? a. ( x A ) ( x B ) ¿Cuál es la expresión equivalente a: x [A(B – C)]? a. x A x B b. 1. B. ( B C ) A’ b. Nota. ( A C ) B C C A’ III. 4. Con los conjuntos A y B se define una nueva operación . 2. siendo: 2n 1 . ( B C ) - A A’ C d. 2 }. Dados los conjuntos A. ( B – A ) C c. Hallar la expresión que representa sombreada. U = ¤ . n ¢ } 3 A = { x / x = B = { x / x2 – 7x = 0 } C = { x / ( x – 2 )( x2 – 9 )( x – 4 ) = 0 } a. 36 Universidad Nacional del Santa . A a. c. ( A B ) – d. 7. 3. B = { 1. Si A = { 5.Teoría de Conjuntos II. ¿Qué relación conjuntista representa la región sombreada?. Hallar: a. 9 }. II. 6. C y D. 7. A U la siguiente región B C IV. A B B A b. Fidel Vera Obeso Desarrollar: 1. A ( B C ) b. efectuar las operaciones indicadas y representar gráficamente los resultados. tal que : A B = ( A – B ) B’. ( B A ) B Repetir el siguiente diagrama y sombrear la región que se solicita en cada caso. 5. A ( B C ) c. M H P a) ( P Q)( H ' M ) b) H ' M ( P Q) c) ( P Q) ( H M ) Q d) ( H M ) U ( P Q) e) 37 ( P Q) ( H M ) Universidad Nacional del Santa .Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso a) ( A B ) C ' U A ' B ' C ' ' B C b) A A B C c) ( B C ) ( A B C ) d) ( A ' B ' C ') ' U ( A C ') U ( B C ') e) ( A B C ) U (C A ') U (C B ') V. Deducir del siguiente diagrama las operaciones que se han realizado para obtener la región sombreada. es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. A = { . Ejemplo 3. 3 } . Dado el siguiente conjunto: P (A) = { . 38 Universidad Nacional del Santa . P () = { }. P Nota. ( A ) = { X / X A } 1) X P (A) X A. 3 } . { { } }. Si A = { 1. Es decir. denotado por P (A). pues: A A . Ejemplo 1. A= {x/x–4=0} Ejemplo 4. { 3 } . { { { } } } } Determinar el valor de verdad de cada proposición. 2) A P (A) . Entonces: P (A) = { . Definición.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso OBJETIVO N° 03 Hallar el Conjunto Potencia de un Conjunto cualquiera y demostrar sus propiedades. { 2 } . { }. A }. ACTIVIDAD N° 01 Estudie la siguiente información que se ofrece sobre el Conjunto potencia y sus propiedades. El Conjunto Potencia de un conjunto A. Ejemplo 2. A. { 2. A }. etc. 2 } . { 1. { 1 } . entonces { 1 } A . { 2 } A. 2 . P (A). 3 } . { 1. ...... de XB P (A) Prop.....Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso A .... 4) ) Si A B P (A) P (B)........... sea X P (A) X A Def..... ( V ) {{}}A . ( V ) A ... P (B) Luego. ) P (A) P (B) A B 39 Universidad Nacional del Santa ...... 3) [ P (A) P (B) ] P (A B).. P (A B) = P (A) P (B)............ Transitiva de la Inclusión... ( V ) P (A): 1) AB P (A) P (B). En efecto. 2) A=B P (A) = P (B). ( V ) {{}}A ... X P (A) X P (B) X P (B) Definición de P (A) P (B)... ( V ) P (A) ... ( V ) {{}} {{{}}} {{{{}}}} Propiedades del P (A) ... Demostración de ( 1): A B P (A) P (B). ( V ) P (A) . P (A) P (B) ] P (A B). Unión ( X A) ( X B ) X (A B ) X Luego P (A) P 40 Def. P (B) x B Sub conjunto de B A B por definición de Inclusión. Conj. Pot. P(A) P(B) XP(A) X P(B) Demostración de (3) Sea X [ Def. P (A) {x} P (B) pues P (A) P (B) {x} B Def.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Sea x A {x} A Subconjunto de A {x} P (A) Def. P (A B) (B) P (A B) Universidad Nacional del Santa . Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ILUSTRACIÓN RESUMEN P(A) Se denota por P(A) X P(A) X A Conjunto potencia de A Se define por {X/XA} Si X = . {} A P(A) P(A) = Tiene 2n elementos. n es el número de letras de A 41 Universidad Nacional del Santa . { } }.{{}}.{ c }.{{a}}.{a.{a}}. CLAVE DE RESPUESTAS 1) P (C) = { .{}}.{}.{{}}.{. { } } . hallar: 4) a. c .{{a}}. { a } } . { c. P (A B) = P (A) P (B). { . { { } } . { } . } y B = { { } . 2) ¿En qué caso se cumple que: A 3) Siendo A = { a .{}.{}}.{a. siendo C = { . EJERCICIOS GRUPO 5 1) Hallar el Conjunto Potencia de C. 42 Universidad Nacional del Santa . C} 2) Si A = ó A = {} 3) P (A) P (B) = P (A) = {.{a}.{a}}.{a.{a}}. {}}.c } .}. P (A B) P (A) ? Demostrar que: P (A) = P (B) a. A=B b..Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelva los siguientes ejercicios para evaluar su aprendizaje. P (A) P (B) b.{ } } .{a.{.{a. { . . es primitiva por lo que se admite como la cantidad de elementos que hay en un conjunto.c} y B = {1. entonces: n(A B) = n( A ) + n( B ). Infórmese sobre las propiedades del número cardinal de conjuntos y sus aplicaciones que se ofrecen en el siguiente texto.b. n(B)= 5. entonces: n(A B) = n( A ) + n( B ).AB} ACTIVIDAD N° 01 OBJETIVO N° 06 Resolver problemas diversos relativos al Número Cardinal de Conjuntos.2}.{a}}.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso {.( A ) también se llama número Ejemplo. Nota.{a.-3. si A B = Obviamente que si A B = . A B es la parte sombreada del gráfico. A = {a. entonces n(A)= 3.{3}. Naturalmente que la idea del número de elementos de un conjunto finito cualesquiera. Propiedades: 1) Si A y B son conjuntos finitos disjuntos. entonces n ( A B ) = 0. 43 A B U Universidad Nacional del Santa . n( A ) = card (A).5. n[P(A)] = 23 = 8. n[P(B)]=5 = 32. Si cardinal del conjunto A.{a}}.{}. Se denota por. B y C son conjuntos finitos tales que: A B C entonces: n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C)– n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(A B C). 4) Si A.Ud. puede tomar A B = (A – B) B y demostrar lo mismo. en el gráfico dado observamos que: A B = [(A – B) (A B)] (B – A). entonces: A B A–B A B B–A U n(A B) = n(A) + n(B) – n(AB) En efecto. son conjuntos no finitos necesariamente A disjuntos. Luego: n(A B) = n[(A – B) (A B)]+ n(B – A) por (1) = n(A – B) + n(A B)+ n (B – A) por (1) = [n(A)– n(A B)]+ n(A B)+ n(B)– n(A B) por (2) n( A B ) = n(A) + n(B) – n(AB). son conjuntos no n(A) = n(A – B) + n(A B) finitos necesariamente disjuntos. 44 Universidad Nacional del Santa . U Con ( A – B ) ( A B ) = . Entonces por (1): ó n(A – B) = n(A) + n(AB) 3) Si A y B arbitrarios.Teoría de Conjuntos 2) Si A y Fidel Vera Obeso B arbitrarios. Nota . es decir A B es la unión de tres conjuntos disjuntos entre sí. expresamos: B A–B A B B–A A = ( A – B ) ( A B ).. 45 Universidad Nacional del Santa . a + 27 = 53 a = 26. Luego: a + c = 48. De un grupo de 100 alumnos: 49 no hablan Inglés. Gráficamente: Hablan un solo idioma I F a b c U Por dato: c + 27 = 49 c = 22. 53 no hablan Francés y 27 no hablan Inglés ni Francés.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Basta tomar: (A B C) = A (B C) y aplicar (1) y (3). Para fines prácticos es conveniente representar A B en un diagrama de Venn compuesto por zonas disjuntas como se ilustra a continuación: A B b a c U Donde: a = n( A – B ) b = n( A B ) c = n( B – A ) Ejemplo 1.¿Cuántos alumnos hablan uno de los idiomas? Solución: Hablan Inglés = I Hablan Francés = F n( I ’ ) = 49 n( I ) = 51. n( F ’ ) = 53 n( F ) = 47. Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ILUSTRACIÓN RESUMEN P2 P1 Cardinal de un conjunto P3 Es el número de elementos de un conjuntos 46 Universidad Nacional del Santa . B y C. EJERCICIOS GRUPO 7 1) Los conjuntos A. 3k y ( k-1) elementos. 30 sólo consumen el producto B. A y B tienen k/2 elementos comunes. 54 consumen el producto B. y B y C tienen 2. El número de personas que consumen sólo A y B es el triple de las personas que consumen los tres productos. Si existe un único elemento común a los tres conjuntos. Hallar el número de elementos [ ( A B ) – ( A B) ] – C. 50 sólo consumen el producto A. B y C.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso ACTIVIDAD N° 02 Resuelva los siguientes ejercicios para evaluar su aprendizaje. El número de personas que no consumen los productos mencionados son tantos como los que consumen sólo C. 47 Universidad Nacional del Santa . tienen k. A y C tienen k/4. de: 2) En una encuesta realizada a 150 personas sobre sus preferencias de tres productos A. respectivamente. se encontró el siguiente resultado: 82 consumen el producto A. El número de personas que consumen sólo B y C es la mitad de las personas que consumen sólo A y C. c) El número de personas que por lo menos consumen uno de los productos. 22 sólo con (S) 20 sólo con (E) 20 sólo con (C) 20 con (S) y (B) pero no con (E) 6 sólo con (C) y (E) 4 con (S) y (C) 24 con (B) y (E) 28 sólo (B). Entonces: 4) a) ¿Cuántas personas practican sólo un deporte? b) ¿Cuántas personas practican sólo dos deportes? c) ¿Cuántas personas practican al menos dos deportes? d) ¿Cuántas personas practican como máximo dos deportes? En un Congreso Internacional de Medicina. 32 básquet y 23 vóley. 80 cardiólogos votaron a favor. 60 europeos votaron en contra. Enfermería (E). 75 cardiólogos votaron en contra. de ellas 50 juegan fútbol . b) El número de personas que no consumen A. ¿Cuántos prefieren sólo (S) y (E). se debatió el problema de la Eutanasia. B ni C. Comunicación Social (C) y Biología en Acuicultura (B). Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. 3) Un club consta de 78 personas. si a todos por lo menos les gusta una carrera profesional? 48 Universidad Nacional del Santa . planteándose una moción: 115 europeos votaron a favor de la moción.Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso Determinar: a) El número de personas que consumen sólo dos de los productos. ¿ Cuántos médicos participaron en el congreso? 5) Se hizo una encuesta a 160 alumnos del CEPUNS sobre la preferencia de 4 carreras profesionales: Ingeniería de Sistemas (S). obteniéndose los siguientes datos: Ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B). Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones. El mismo número sabe manejar vehículos pero no maneja camiones ni tiene brevete. 13 saben encender un vehículo pero no tienen brevete. igual número a la UNS. 9 hombres. 11 no tienen brevete pofesional y no manejan camiones. 5 niños peruanos. d) ¿Cuántos saben encender un vehículo pero no manejarlos?. ¿Cuántos postulantes ingresaron a la UNT y a la UNS?. Si tienen los siguientes datos referente a un grupo de personas: 21 no tienen brevete profesional o no manejan camiones. téngase en cuenta que los que saben mecánica tienen brevete profesional. 14 peruanos. y 7 mujeres extranjeras. ingresando la mitad del total de postulantes. c) ¿Cuántos cometen infracción de manejar vehículos sin tener brevete?. b) ¿Cuántos no tienen brevete?. Se pregunta lo siguiente: a) ¿Cuántos son en total?. 7) Suponga que los brevetes sólo se consiguen legalmente. 8 saben manejar vehículos pero no tienen brevete. a) ¿Cuál es el número de personas del avión? b) ¿Cuántos son solamente peruanos? 49 Universidad Nacional del Santa . Los no ingresantes se presentaron a la UNMSM. 7 jóvenes extranjeros. los que tienen brevete profesional saben mecánica mientras que los que tienen brevete particular sólo están autorizados a manejar automóviles y así lo hacen. 400 lo hicieron a la UNT. 3 tienen brevete particular. de éstos 90 no se presentaron a la UNS y 1800 no se presentaron a la UNT.Teoría de Conjuntos 6) Fidel Vera Obeso De 700 postulantes que se presentaron a la UNS o a la UNT. Además. 6 peruanos varones. 2 saben mecánica y manejan camiones. 8) En un avión hay 9 jóvenes. Teoría de Conjuntos Fidel Vera Obeso 50 Universidad Nacional del Santa .