Departamento de EstudiosGenerales e Idiomas Módulo de Razonamiento y Representación Matemática G. MATEMATICAS 2016 George Polya 1887 - 1985 MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Tabla de contenido 1 2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS .......................................................................................................................... 7 1.1. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA ............................................................... 7 1.2. DESARROLLO TEMÁTICO: ........................................................................................................................ 7 1.3. USO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ............................................... 10 1.4. DESCUBRIR UN PATRÓN: ....................................................................................................................... 13 1.5. DE ATRÁS HACIA ADELANTE .................................................................................................................. 14 1.6. ELABORACIÓN DE UNA LISTA O TABLA .................................................................................................. 15 1.7. GRÁFICOS.............................................................................................................................................. 17 1.8. APLICACIÓN DE FÓRMULAS................................................................................................................... 17 1.9. ANALOGÍA O SEMEJANZA ...................................................................................................................... 21 1.10. SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR ............................................................................................................. 22 1.11. ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN ............................................................................................................ 24 1.12. CODIFICACIÓN: ..................................................................................................................................... 25 1.13. RESOLVER UNA ECUACIÓN: ................................................................................................................... 25 1.14. USAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS U OPERACIONES MATEMÁTICAS ....................................... 27 1.15. EJERCICIOS PROPUESTOS ...................................................................................................................... 28 1.16. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 33 1.17. WEBGRAFÍA: ......................................................................................................................................... 33 CONJUNTO Y NÚMEROS REALES ................................................................................................................... 34 2.1. OBJETIVOS: ........................................................................................................................................... 34 2.2. COMPETENCIAS: ................................................................................................................................... 34 2.3. DESARROLLO TEMÁTICO. ...................................................................................................................... 34 2.3.1. ¿QUÉ ES UN CONJUNTO? ................................................................................................................. 34 2.3.2. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS ........................................................................................................ 35 2.3.3. DIAGRAMAS DE VENN EULER ........................................................................................................... 36 2.3.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS ...................................................................................................... 36 2.3.5. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO ................................................................................... 38 2.3.6. EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS .................... 39 2.4. CONJUNTOS NUMÉRICOS...................................................................................................................... 41 2.4.1. NÚMEROS REALES ............................................................................................................................ 41 2.4.2. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. ............................................................................................ 44 2.4.3. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR ............................................................... 45 2.4.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE OPERACIONES CON RACIONALES: .................................................... 48 2.5. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................................... 50 2.6. BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................................... 55 Departamento de Estudios Generales e Idiomas MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 3 1-1-2016 RAZÓN Y PROPORCIÓN .................................................................................................................................. 57 3.1. MAGNITUD ........................................................................................................................................... 57 3.2. RAZÓN .................................................................................................................................................. 57 3.3. PROPORCIÓN ........................................................................................................................................ 58 3.4. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES ................................................................................ 59 3.5. Aplicaciones de la proporcionalidad directa .......................................................................................... 60 3.5.1. REGLA DE TRES SIMPLE Y DIRECTA.................................................................................................... 60 3.5.2. PORCENTAJE..................................................................................................................................... 61 3.6. Magnitudes inversamente proporcionales ............................................................................................ 64 3.7. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD INVERSA. ........................................................................... 65 3.7.1. Regla de tres simple inversa ............................................................................................................. 65 3.7.2. Regla de tres compuesta .................................................................................................................. 66 4 5 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO .................................................................................................................... 71 4.1. OBJETIVOS: ........................................................................................................................................... 71 4.2. COMPETENCIAS: ................................................................................................................................... 71 4.3. DESARROLLO TEMÁTICO: ...................................................................................................................... 71 4.4. INTERÉS SIMPLE .................................................................................................................................... 71 4.5. FORMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE .................................................................................... 73 4.6. CALCULO DEL CAPITAL, TIEMPO O RATA ............................................................................................... 75 4.7. INTERES COMPUESTO ........................................................................................................................... 76 4.8. ACTIVIDADES......................................................................................................................................... 77 4.9. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 78 CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA ........................................................................................................... 79 5.1. OBJETIVOS ............................................................................................................................................ 79 5.2. COMPETENCIAS .................................................................................................................................... 79 5.3. SISTEMAS DE MEDIDAS ......................................................................................................................... 79 5.3.1. CONCEPTOS BÁSICOS ....................................................................................................................... 79 5.4. SISTEMAS DE UNIDADES ....................................................................................................................... 80 5.5. EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL ............................................................................................................ 80 5.6. UNIDADES DE LONGITUD ...................................................................................................................... 81 5.7. UNIDADES DE LONGITUD DEL SISTEMA INGLES ..................................................................................... 83 5.8. PERÍMETRO DE FIGURAS ....................................................................................................................... 83 5.9. PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA ..................................................................................................... 85 5.10. UNIDADES DE SUPERFICIE Y ÁREA ......................................................................................................... 87 5.11. UNIDADES AGRARIAS ............................................................................................................................ 88 5.12. AREA DE FIGURAS ................................................................................................................................. 89 Departamento de Estudios Generales e Idiomas ....................8.... Competencias ....3........................................ 95 5.......................................................................................6................12.....5..............14..................... 5.................................4......................... 112 6.........4. 110 6........ Pareja Ordenada.......................................3.................................12........ 5........ ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES PARTICULARES ...........5.............................................................. 89 ÁREA DEL TRAPECIO... 90 ÁREA DEL PARALELOGRAMO..................................................... 89 ÁREA DE UN RECTÁNGULO ..............................3. 90 ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR ............ 97 FUNCIONES . UNIDADES DE VOLUMEN....................................14..................................3...................... 6 1-1-2016 ÁREA DE UN TRIANGULO ......14.......12...... 110 6................................................................. Intervalos ............................................................... 111 6...................................3..............................................................12................................................... 95 5....4........................2.................. 110 6........................................................................................................................................... 111 6........... VOLUMEN DE UN CILINDRO ............... 113 6......................6...... ESTUDIO DEL DOMINIO DE ALGUNAS FUNCIONES REALES ...... 133 6.............12.......... Función ................................. 116 6.....................................1................................ Función Creciente.. 89 ÁREA DEL ROMBO........ VOLUMEN DE UNA ESFERA .................................................................. 96 5.................................................................... 124 6..............................2............................................ 110 6.........................................1.......5...7........ 91 5...................................................................................7.............................................................................................................................................12.........................................................................................................................4..........................................1.. 5..............1........................................................................1... 95 5....................................12........2.............. 124 6...............14........................................... 110 6............. 138 Departamento de Estudios Generales e Idiomas ...........................................14........................................................................................ VOLUMEN DE CUERPOS ......................................6........... BASE CONCEPTUAL ......................3............................................. 117 6.......................................12........................ 5........... ............................................. 94 5............. PROBLEMAS ............................................................. WEBGRAFÍA ........................................................ .................................................. Representación de una Función...................................................2................................4......................... Decreciente y Constante......... 97 5......... 127 6............................................... ..............................3.............. 122 6. 5.....13..................... CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES .............3...........MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 5.................................................. INTRODUCCIÓN..14...................2...........3......................... FUNCIÓN LINEAL ..........3....................................................6........................................................ VOLUMEN DEL CUBO..........................................................................................................................................14...... 5.. VOLUMEN DE UN ORTOEDRO.............................................5......................................................................... Objetivos......................................................................... 95 5............................. 90 ÁREA DEL CÍRCULO.......................................... 5......................................4............. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE................................... .................................4............................................. 89 ÁREA DE UN CUADRADO........... FUNCIÓN CUADRÁTICA...........3.......... VOLUMEN DE UN CONO .............................3............. Las competencias genéricas. en su más elevado nivel al ingreso de nuestros jóvenes a la educación superior. por su función transformadora del pensamiento y de su capacidad de representar y comunicar conceptos y estructuras conceptuales complejas necesarias para su desarrollo mismo y el aprendizaje de otras áreas del conocimiento. En este nivel educativo. político . en el marco de los fines. están propuestos. en el marco de los desafíos planteados por la actual sociedad de la información y el conocimiento. para lo cual se apresta a la revisión y redefinición del currículo y microcurrículos. centrados históricamente en el aprendizaje de contenidos. las competencias. de la concepción y criterios y estrategias de evaluación. son la continuación de las competencias básicas desarrolladas en los niveles precedentes. son: 1 Tomado de Documento 3. son comunes a todas las profesiones. además de competir y desempeñarse eficientemente en cualquier circunstancia y espacio. En el caso de las competencias matemáticas. habilidades y destrezas existentes en todos los profesionales. por el desarrollo de competencias que habiliten a los egresados para asumir el reto de contribuir al desarrollo humano. ha decidido adelantar la reforma educativa necesaria para ponerse a tono con las circunstancias. social. tratadas a niveles de profundidad y extensión cercanos a la formación del pensamiento científico. por tal razón son transversales a todas las áreas y planes de estudios. constituyéndose en la base del dialogo e intercambio de saberes de los profesionales de los distintos países. con diferentes niveles de profundidad. de manera muy especial. las desarrolladas a partir de las matemáticas. llamadas genéricas. por definición. la Universidad del Magdalena. de la estrategia metodológica y.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 JUSTIFICACIÓN La enseñanza y el aprendizaje con base en el desarrollo de competencias en el sistema educativo colombiano. Sin embargo. Estándares recompetencias básicas MEN Departamento de Estudios Generales e Idiomas . se encuentra que la totalidad de los programas académicos tienen. son de ineludible presencia en la fase de formación general de todas las profesiones. desde la educación básica hasta la superior1. Misión y Visión institucionales. principios y valores contenidos en el PEI. son el sustrato de conocimientos. por el MEN. cursos de matemáticas específicas funcionales a cada programa y a otras áreas afines para cuya aprehensión y desarrollo se requiere solvencia en el manejo de las competencias matemáticas genéricas. En este sentido. Las competencias básicas matemáticas que se espera se encuentren desarrolladas. económico de la región y del país. Esta reforma curricular conlleva a una transformación del modelo pedagógico. capacidades. además es ya tradicional la dificultad que presenta la mayoría de los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas de su plan de estudios.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 La comunicación y Representación. en la dificultad de aprobación de los exámenes de admisión de las universidades oficiales y en el bajo desempeño en los cursos de matemática y lógica matemática de los estudiantes de primer semestre en el nivel superior. Departamento de Estudios Generales e Idiomas . se encuentra. Solución de problemas y Modelación. según datos recientes que el 53% y 57% respectivamente reprueban matemática y lógica-matemática respectivamente en primer semestre. Razonamiento y Argumentación. sabemos de la debilidad de los procesos educativos de los niveles precedentes reflejados en los deficientes resultados en las pruebas ICFES. Para el caso particular de la Universidad. Sin embargo. Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federal en Zúrich. Advirtió que para entender una teoría. Desarrollo y profundización del pensamiento lógico matemático.2. registros y representaciones matemáticas. Suiza. Por ello. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Describir las estrategias para resolver problemas Aplicar el modelo de Polya a la resolución de problemas. se debe conocer cómo fue descubierta. Entender el problema. 1. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA OBJETIVOS Identificar los pasos del modelo de Polya utilizado para resolver un problema. transformar y resolver problemas matemáticos. 2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. Ejecutar el plan 4. estuvo interesado en el proceso del descubrimiento.UU. plantear. Configurar un plan 3. cuando sea posible. generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: 1. Mirar hacia atrás Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas. COMPETENCIAS Capacidad para formular. Habilidad de conversión de un objeto matemático a los diferentes lenguajes. su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas. modelos y estructuras matemáticas en procesos y situaciones problémicas. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Identificación de regularidades.1. DESARROLLO TEMÁTICO: GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS George Polya nació en Hungría en 1887. Otros trabajos importantes de Polya son Descubrimiento Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 7 de 138 . Capacidad comunicativa en lenguaje matemático. En sus estudios. para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema. Polya. por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. que murió en 1985 a la edad de 97 años. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución. y Matemáticas y Razonamiento Plausible. 3. Volúmenes I y II. Usar una variable. Para resolver un ejercicio. ¿Entiendes todo lo que dice? ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? ¿Distingues cuáles son los datos? ¿Sabes a qué quieres llegar? ¿Hay suficiente información? ¿Hay información extraña? ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? Paso 2: Configurar un Plan. no importa que tan pequeño sea. depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 +2 o bien.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Matemático. la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ". propiedades y procedimientos -entre otras cosas-. Sin embargo. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de este autor (Editorial Trillas). Para resolver un problema. uno hace una pausa. Paso 1: Entender el Problema. los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. 1. enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. 2. reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Volúmenes I y II. es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta. es lo que distingue un problema de un ejercicio. Buscar un Patrón Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 8 de 138 . Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos. El Método de Cuatro Pasos de Polya. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final). Como apuntamos anteriormente. Usar razonamiento directo. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 9 de 138 . 13. Paso 4: Mirar hacia atrás. Buscar una fórmula. Resolver una ecuación 15. 19. Usar coordenadas. Usar un modelo. Usar razonamiento indirecto. Usar coordenadas Paso 3: Ejecutar el Plan. Usar casos 14. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. 18. 20. Trabajar hacia atrás. 11. Así. 21. para resolver un problema. 7. Resolver un problema similar más simple.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 4. uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos. 6. Usar simetría. Usar las propiedades de los Números. Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1. 5. algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas. Hacer una lista. ya sea oralmente o en forma escrita. Hacer un diagrama 8. 9. Usar análisis dimensional. Acepta el reto de resolver el problema. resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Identificar sub-metas. Este proceso lo podemos representar como sigue. 17. Hacer una figura. ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? ¿Adviertes una solución más sencilla? ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Comúnmente los problemas se enuncian en palabras. Resolver un problema equivalente. Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. 12. 16. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito. No tengas miedo de volver a empezar. 10. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!). USO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Existen varias estrategias para resolver problemas. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. En esencia. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. Cada vez que te enfrentes a uno de ellos. debes preguntarte: “¿hay otra manera de hacerlo?” Si tu respuesta es afirmativa.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 2. 13. comprobarás que muchas veces utilizamos una combinación de dos o más estrategias para resolver un problema. procede en la forma que has pensado. Si no estás progresando mucho. 11. su confianza crecerá. en su lugar provéelos con sugerencias significativas. trata el problema con números simples. 14. no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Habla contigo mismo. Si te sientes frustrado. 1. reflexionar. no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Consiste en realizar los siguientes pasos: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 10 de 138 . 7. 5. 4. Reescribe el problema en tus propias palabras. Analiza el problema desde varios ángulos. A continuación describiremos algunas estrategias para resolver problemas y enunciaremos algunos ejemplos para su análisis: ENSAYO Y ERROR Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones. 6. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9. Muchos problemas requieren de un período de incubación. 8. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 a años después. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos.3. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa. Después inténtalo de nuevo. Si es apropiado.. 12. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. pensar. 15. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución. 16. 3.. Tómate tiempo para explorar. consiste en realizar varios intentos para llegar a la solución. Siempre. 10. 2. Datos conocidos: Resultado de la suma: 132 Planteamiento de la suma Datos desconocidos: Cantidad a hallar bajo unas condiciones 2. Solución: 1. Ejemplo 1: Calcula un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el número buscado. Ejemplo 2: Escribe símbolos de suma y resta entre números compuestos de los dígitos: 3 5 9 1 0 5 3 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 11 de 138 . 3. 4. Elegir un valor (resultado. Comprobación: Verificando los cálculos con una calculadora se puede demostrar que ese es el número pedido. puesto que 132 es mayor que el cuadrado de 10. estas son: 1. Comprender el problema: Interpretación: Se va hallar un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el mismo número nos dé como resultado 132. Probar si hemos alcanzado el objetivo buscado. luego se pone a prueba las condiciones del problema. de forma que eliminemos las posibles repeticiones de ensayo agotando las soluciones hasta encontrar lo que buscamos.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 1. sino de manera ordenada. Ejecutar el plan: 102 + 10 = 100 + 10 =110 112 + 11 = 121 + 11 = 132 Respuesta: el número que cumple las condiciones es 11. 2. nos dé 132. 3. Esta estrategia puede ser puesta en práctica de formas diferentes. hasta encontrar el número que las cumpla. Ensayo y error dirigido: en él contrastamos cada respuesta para ver si estamos más cerca o más lejos del objetivo buscado. Llevar a cabo con éste valor las condiciones indicadas por el problema. 3. operación o propiedad) posible. Ensayo y error fortuito: realizado sin pautas o al azar. Desarrollar un plan: Estrategia: Ensayo y error Descripción: Se elige un valor entre 10 y 20. Ensayo y error sistemático: los valores no se eligen al azar. 3. 3. 9. Teodoro dijo haber contado 18 animales en total. el resultado tiene que ser 257. Luego. ya que 910 está muy lejos. Desarrollar un Plan Estrategia: Ensayo y error Descripción: El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y resta en posiciones diferentes. Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas. utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen. Por último. 257. cabe suponer que al menos una cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300. esta combinación no funciona. 5 y 3. Comprobar: Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen. 0. ¡es el arreglo correcto! Respuesta: 359 – 105 + 3 = 257 4. 2. 35 + 9 + 105 – 3 = 146. este ejercicio tampoco da 257. entonces. Llevar a cabo el Plan A partir de 359 se pueden agrupar los números en esta forma: 359 + 10 – 53 = 316. Comprender el problema: Interpretación: Se establece que los números son compuestos solo hay que usar los símbolos de suma y resta. Ejemplo 3: Judith y Teodoro fueron de visita a la granja de su abuelo. se intenta con 105. y resulta. Solución: 1. Como el resultado tiene tres dígitos. Judith afirma haber contado un total de 50 patas ¿Cuántos cerdos había? (sin utilizar ecuaciones). 5. Además. se prueba una combinación con 359 y 105: 359 – 105 + 3 = 257. 1. Datos conocidos: Solo se pueden hacer operaciones de suma y resta Dígitos dados en el siguiente orden: 3 5 9 1 0 5 3 Resultado de la operación: 257 Los dígitos no se pueden repetir Datos desconocidos: Las combinaciones de las operaciones en un orden específico que cumpla con el resultado dado.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 De modo que obtengas 257 como resultado. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 12 de 138 . Los dígitos no se pueden repetir y se tienen que presentar en el mismo orden que aparecen. Ejemplo: Para cada uno de los patrones siguientes. 48.2. Cerdos Gallinas Patas 14 4 64 12 6 60 10 8 Etc. 12. 2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Solución: Ensayo y error fortuito: Damos valores al azar. 3. 1. 5. determina los dos términos que siguen: a. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 13 de 138 . Un patrón en un problema se puede presentar como un comportamiento en el cual una misma cantidad se sume. … c. reste. 3. sino con figuras geométricas. -2. 5. En otras ocasiones el patrón no tiene que ver con números. 1. … d. Cerdos 1 2 3 Etc. 3. letras o comportamientos. … b. De forma dirigida: Cerdos 10 9 8 7 Gallinas 17 16 15 Gallinas 8 9 10 11 Patas 38 40 Patas 56 (nos hemos pasado) sobran cerdos 54 “ “ “ “ 52 “ “ “ “ 50 es la solución 1. 1. … e. DESCUBRIR UN PATRÓN: Te ayuda a describir algo que ocurre en repetidas ocasiones. 7. 3. 192. 1.4. 3. De forma sistemática: Se van dando valores de forma sistemática 1. 13. etc. 8. -4. multiplique o divide. Los números son alternos en signos. A partir del tercer número cada uno es la suma de los dos anteriores. Desarrollar un plan: Estrategia: descubrir un patrón Descripción: se observa en la serie dada que cada número es el producto de 4 por el número anterior. 9 y 11. Cada número es impar positivo. DE ATRÁS HACIA ADELANTE Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. … Datos desconocidos: los números que ocupan el quinto y sexto puesto de la serie dada. c. 21 y 34. 12. 48. 5 y -6. El valor absoluto de cada número es uno más que el anterior. Ejecutar el plan: 1er puesto: 3 2° puesto: 4(3)= 12 3er puesto: 4(12)=48 4to puesto: 4(48)=192 5to puesto: 4(192)=768 6to puesto: 4(768)= 3072. 1. b. Es útil cuando tienes que comenzar por la conclusión del problema y trabajar hacia delante. Resolvamos el inciso d utilizando los pasos de Polya: 1. Comprender el problema: Interpretación: dada la serie 3. Comprobar: Trabajando hacia atrás dividiendo el último número entre cuatro nos da el anterior y así sucesivamente. El primer día acudieron a verlo 80 espectadores menos que el segundo. Ejemplo: El manatí que cuidaban en la Parguera. 48. Datos conocidos: 3. 4. atrajo a muchas personas. 12. Respuesta: 768 y 3072 son los números pedidos. … determinar los dos números siguientes.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Solución: a. 3. (Nota: este patrón se conoce como la sucesión de Fibonacci) e.5. 192. 2. 192. El segundo día fueron 250 personas menos que Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 14 de 138 . Llevar a cabo el Plan Si se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más. Datos conocidos: Cantidad de espectadores el cuarto día: 500 personas Datos desconocidos: Cantidad de personas que vieron el manatí el primer día 2. el segundo y por último el primer día haciendo las operaciones respectivas. datos y combinaciones de números en forma organizada.6. solo queda restar 80 a la cantidad del segundo día.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 el tercero. Comprender el Problema Interpretación: Se desea determinar el número de personas que fueron a ver el manatí el primer día. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 15 de 138 . acomodada en filas y columnas. Desarrollar un Plan Estrategia: De atrás hacia adelante. Descripción: Como se conoce la cantidad que fue el cuarto día. Se sabe que ese día fueron 80 espectadores menos que el segundo. Al cuarto día fueron 500 personas. en el que se presentaron 500 personas. se calcula cuantos fueron el tercero. Para determinar la cantidad que acudió el primer día. cabe concluir que ese día hubo 550 asistentes. esto da 220 personas. ¿Cuántos espectadores vieron el manatí el primer día? Solución: 1. 3. 4. cuando fueron 250 menos que el tercero. En éste acudieron 50 personas más que el cuarto. Durante éste acudieron 50 personas más que el cuarto día. se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300 personas. ELABORACIÓN DE UNA LISTA O TABLA Con esta estrategia puedes llevar la cuenta de los números. Respuesta: el primer día acudieron 220 personas. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250 personas menos que el tercero. Una tabla es un arreglo rectangular de la información. Comprobar: Este procedimiento también se pudo organizar haciendo uso de la estrategia elaboración de una tabla: DIA ASISTENCIA CUARTO 500 TERCERO 500 + 50 = 550 SEGUNDO 550 – 250= 300 PRIMERO 300 – 80 = 220 1. el tercero 20 hojas y así sucesivamente. 20 el tercero y así sucesivamente. la cantidad total de hojas que tienen que estudiar es 300. Datos conocidos: Total de hojas: 300 Cantidad de hojas analizadas el primer día: 10 Cantidad de hojas analizadas el segundo día: 15 Cantidad de hojas analizadas el tercer día: 20 Datos desconocidos: Total de días para estudiar todas las hojas 2. 15 el segundo. 3. Se desea saber cuántos días más o menos tardarán en estudiar todas las hojas. Llevar a cabo el Plan: En este paso se prepara la tabla mencionada: HOJAS ESTUDIADAS DIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 15 20 25 30 35 40 45 50 30 TOTAL DE HOJAS ESTUDIADAS 10 25 45 70 100 135 175 220 270 300 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 16 de 138 . La primera se refiere al día que estudiaron las hojas.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Ejemplo: Los estudiantes de una clase de Botánica llevaron 300 hojas para estudiar sus características y propiedades curativas. De esta manera se continúa el patrón hasta llegar a la solución. La clase analizó 10 hojas el primer día. se pueden organizar los datos en una tabla con tres columnas. Desarrollar un Plan: Estrategia: hacer una tabla Descripción: Se observa que la cantidad de hojas por estudiar aumenta cinco cada día. Además. ¿Alrededor de cuántos días tardarán en estudiar todas las hojas? Solución: 1. el segundo estudió 15. la segunda a la cantidad de hojas que analizaron ese día y la tercera representa la cantidad de hojas acumuladas. Una vez descubierto. Esto define un patrón. Comprender el problema: Interpretación: En este caso se dice que la clase estudió 10 hojas el primer día. Observa que el patrón continúa hasta el noveno día y cambia en el décimo porque solo quedan 30 hojas por estudiar. APLICACIÓN DE FÓRMULAS Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 17 de 138 . Comprender el problema: Interpretación: Se tienen 5 monedas de diferentes valores en el bolsillo con las cuales se pueden formar diferentes cantidades. Datos conocidos: Cantidad de monedas y su denominación: Cinco monedas de 50. En conclusión. Ejecutar el plan Respuesta: 32 números diferentes 4. ¿Cuántas cantidades distintas puedes formar? 1. 500 y 1000 pesos. podemos sumar los valores de las monedas dando como resultado las cantidades que se podrían formar en el bolsillo.7. 1.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Respuesta: se necesitan 10 días para estudiar todas las hojas. Desarrollar un plan: Estrategia: Gráficos Descripción: Se hará una representación gráfica que muestre las combinaciones entre las cinco monedas. 200. el grupo demorará aproximadamente unos diez días en estudiar las 300 hojas. Comprobar: Revisa si la respuesta tiene sentido. 1. 100. 3.8. 500 y 1000 pesos Datos desconocidos: Cantidad que se pueden formar con las cinco monedas. Cantidad de números diferentes que se pueden formar 2. Comprobación: Siguiendo cada rama. 200. diferenciando las que no se tiene con las que se tiene con un menos. luego sumaremos cada combinación posible para determinar las cantidades. al final se cuentan dando como resultado 32 cantidades diferentes que se pueden formar. GRÁFICOS En tu bolsillo tienes 5 monedas de diferentes denominaciones: 50. 4. 100. Silvia y Carlos desean cancelar su matrícula de ingreso a la Universidad del Magdalena. En estos casos. las cantidades se representan con símbolos mejor conocidos en matemáticas como variables y su relación. el factor estrato socio-económico y el factor del colegio de procedencia. ésta se puede representar mediante una expresión matemática conocida como una fórmula. Gissella.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Cuando se conoce la relación entre dos o más cantidades. Ejemplo: Jaime. con una igualdad. Averiguan que la liquidación para alumnos nuevos en sus respectivos programas puede realizarse a través de la fórmula emitida por el acuerdo superior No. los cuales pueden determinarse a través de los valores de las tablas: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 18 de 138 . 017 en la cual se reglamenta que el valor de los derechos de matrícula puede calcularse así: Además deben tener en cuenta el factor del programa. MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 FACTOR DEL PROGRAGAMA ACADÉMICO FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO FACTOR COLEGIO DE PROCEDENCIA Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 19 de 138 . 2. proviene de colegio público.000.000.000. además de los valor de la pensión de los últimos dos grados.000. para su cálculo existe el acuerdo superior No. Descripción: La fórmula que debe utilizarse será: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 20 de 138 . proviene de colegio privado. Comprender el problema: Interpretación: El problema nos habla de cuatro estudiantes: Jaime. mientras que Carlos y Gisella de los programas de Ciencias de la educación (Licenciatura en Educación básica con énfasis en informática) y Ciencias básicas (biología) de estrato 2 y 3 respectivamente y de colegios públicos. Estudiante Carlos: programa admitido: Licenciatura en educación.000 y en grado 11 de $ 225. Silvia y Carlos que van a ingresar a la Universidad del Magdalena y desean saber cuál es el costo de la matrícula. Para Silvia. Datos conocidos: Estudiante Jaime: programa admitido: Contaduría. 017 en la cual se reglamenta el cobro de éstos derechos mediante una fórmula y unas tablas en el que se deben tener en cuenta el factor del programa. Solución: 1. Estudiante Gisella: programa admitido: Biología. Desarrollar un plan: Estrategia: Usar razonamiento directo y buscar una fórmula.000 y en grado 11 de $ 280. Determina cuánto dinero debe cancelar cada estudiante una vez liquidada su matrícula. Gissella.000 y en grado 11 de $ 225. Estudiante Silvia: programa admitido: Ingeniería ambiental. el factor estrato socio-económico y el factor del colegio de procedencia. Valor del salario mínimo legal mensual vigente a la fecha. estrato 2. Datos desconocidos: El valor que cada estudiante debe cancelar una vez liquidada su matrícula. estrato 3.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Donde: Jaime y Silvia pertenecen a los programas de Ciencias Empresariales (Contaduría) e Ingeniería (Ambiental) y provienen de Colegios privados y pertenecen a los estratos 4 y 5 respectivamente. pensión en grado 10 era de $200. estrato 4. el valor de la pensión en grado 10 era de $200. estrato 5. pensión en el grado 10 fue de $180.000 y en grado 11 de $ 280. proviene de colegio privado. La pensión de Jaime en el grado 10 fue de $180. proviene de colegio público. 500 Valor matrícula = (1.0 = 0.229007633) 𝑥 589.500 Valor matrícula = (1.500 = 911.586.011.6870229 3.5 180.5 y el de Gisella es $ 911. con casos. que nos proporcionarán estrategias válidas para la que nos ocupa.5 Nota: Así mismo puedes determinar el valor de la matrícula que debe cancelar Silvia y Carlos. probablemente. ante la situación que nos ocupa. surgirán procedimientos de ataque de dichas situaciones semejantes.229007633 Para determinar el costo de la matrícula de Gisella se procederá así: Valor matrícula = (1.000 Para calcular el Factor del colegio de procedencia = [(589. 1.337 + 0.0 = 0. buscar situaciones semejantes a la propuesta. Comprobar: Se comprueba utilizando la calculadora para determinar el valor de la matrícula. que ya se hayan resuelto. 4.716007633) 𝑥 589.956.15000 + 0. nos podemos preguntar: ¿A qué nos recuerda? ¿Es como aquella otra? Es muy bueno.500) + (589.305343511 + 0.000 225.956. 3.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Además se tendrán en cuenta los valores correspondientes a cada factor anotados en las tablas.011. ANALOGÍA O SEMEJANZA Consiste en la búsqueda de semejanzas (parecidos.0 Factor del colegio de procedencia = (0. a fin de encontrar un buen asidero que nos proporcione confianza. A veces. Ejecutar el plan: Para calcular el valor de la matrícula de Jaime se procede así: Valor matrícula = (1. relaciones.5 Respuesta: el valor de la matrícula de Jaime es de $ 1. Al hacerlo.500)] ÷ 3.586. similitudes) en el “archivo” de la experiencia.381679389) ÷ 3. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 21 de 138 .15000 + 0.547) 𝑥 589. juegos etc.060) 𝑥 589. problemas.337 + 0.500 = 1.9. Interpretación: Se pide hallar el área lateral del tronco de cono de la figura adjunta Datos conocidos: radio de la base mayor R y el de la base menor r. es decir trabajar hacia atrás.10. 1.1. Comprobar: Reemplace y calcule una de las dimensiones dadas. Comprender el problema.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Esta búsqueda será más fácil cuanta más experiencia tengamos en la resolución de problemas.2 Solución: 1. Particularizar significa simplificar el problema haciéndolo más concreto y específico.1. Descripción: La figura seccionada verticalmente se parece a un trapecio (estamos utilizando la analogía). PARTICULARIZAR Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar un conjunto más pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado. Esta estrategia suele ir asociada a la particularización y la generalización. SIMPLIFICAR. por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. 1 Ejemplo: Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura 1. Datos desconocidos: Área lateral 2. hasta que sea posible hacer algún progreso.1 1. A veces te encuentras con un problema que resulta difícil por su tamaño.uso de analogías o semejanzas. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 22 de 138 . En este caso se puede empezar construyendo un problema semejante más sencillo. y altura H. luego el área del trapecio es igual a: A[ Basemayor basemenor ] altura 2 h= lado generatriz del tronco de cono: h H 2 ( R r) 2 Luego: Area 2R 2r 2 H 2 R r 2 ¿Será cierto? 4. Desarrollar un plan: Estrategias: razonamiento directo. tratar de resolverlo y luego proceder a complicarlo hasta llegar al propuesto inicialmente. 3). tenemos 3 emparejamientos y así sucesivamente hasta encontrar el número posible de emparejamientos sin pasar los 16. (1. en el cual claramente hay una sola forma.3). (2. 4. Datos conocidos: número de jugadores: 16 Datos desconocidos: número de emparejamientos posibles 2. aparecen 15 grupos. comenzamos primero con dos jugadores. Desarrollar un plan: Estrategia: simplificar Descripción: Como el número de jugadores es elevado. pues sirve para adquirir confianza y. Ejemplo 16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en la primera ronda. Se utiliza en la técnica de demostración lógica denominada “contraejemplo”: basta encontrar una sola excepción para refutar de forma irrevocable lo que pretende ser una regla o una afirmación de carácter general.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Es una de las mejores estrategias para los principiantes.4) y (3. Ejecutar el plan: Anteriormente se mencionó que pasaba si habían dos y tres jugadores. proporciona ayuda en los atascos y bloqueos y nos permite entrar en materia manipulando los datos. la modificación del problema. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos? Solución: 1. Acude a ésta estrategia cuando no poseas ninguna idea que te haga prosperar. Si los jugadores son 6. Puede ir relacionada con otras estrategias como: la generalización. (1. La particularización puede hacerse al azar para entender el significado del problema o de forma sistemática para preparar el terreno hacia la generalización.4). (2. ya que en múltiples ocasiones te permitirá lograr un avance. Hallar el número de emparejamientos posibles. Comprender el problema: Interpretación: Hay 16 jugadores de tenis participando en un torneo. Si el número de jugadores es 3. en otros casos. Comprobar: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 23 de 138 . los cuales necesitan emparejarse entre sí en la primera ronda. aparecen 15 grupos (compruébalo) Respuesta: Con 6 jugadores. ahora probemos si los jugadores son 4.2). tenemos los siguientes 6 grupos: (1. 3. la experimentación.4). suprimir los hechos que pueden conducir a confusión. Una buena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la clave del éxito. De ésta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos más importantes del problema. Suele ser de gran ayuda enfocar el problema en términos de tres componentes fundamentales: antecedentes (origen y datos). ya que las figuras trazadas sobre el papel son fáciles de hacer. analítico. el analógico (modelos. Las figuras que te formes del problema deben incorporarse de forma sencilla a los datos relevantes y de esta manera. el objetivo y las operaciones que pueden realizarse en el ámbito del problema. figuras.). Ejemplo: Hay varias formas de sumar 10. consiste en adoptar un enfoque sistemático del problema. diagramas y esquemas.). algebraico.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas y sacar conclusiones 1 2 1 2 NO NO SÍ NO 2 jugadores. un emparejamiento 1 2 3 4 1 2 3 4 NO NO NO NO SÍ NO NO NO SÍ SÍ NO NO SÍ SÍ SÍ NO 4 jugadores. Estos símbolos o dibujos no se reservan al uso exclusivo de la geometría. esquemas. CODIFICACIÓN La organización. Los lenguajes que resultan útiles en la resolución de problemas son: el lenguaje de la Lógica el de las Matemáticas (geométrico. en general.11. probabilístico etc. tenemos: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 24 de 138 . ORGANIZACIÓN. Una buena organización suele ir asociada con la elección de una notación o código que organice la búsqueda de posibles caminos hacia la solución. Las diferentes notaciones y códigos nos conducen a utilizar un determinado lenguaje. croquis. mediante números impares y con cuatro sumandos. 6 emparejamientos 1. Las técnicas asociadas a la organización pasan por realizar: símbolos apropiados. de conocer y de recordar. pueden ayudar en todo tipo de problemas. diagramas etc. manipulaciones etc. gráficos.) y el imaginativo o pictórico (figuras. y de ahí muy a menudo se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación. MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 10 =1+1+1+7. en la 2ª un guante y en la 3ª dos guantes. 1. Comprobar: Usa la estrategia gráfica y verifica la respuesta. Representaremos por A los guantes y las cajas por B luego empezaremos a hacer las diferentes combinaciones. 10 = 1+1+3+5.12. 10 = 1+3+3+3. tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones). Para obtener 20 con 8 sumandos impares ¿Cuántas formas hay? Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático: 20= 1+1+1+1+1+1+1+13. CODIFICACIÓN: Ejemplo Se tiene 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda. 20 = 1+1+1+1+1+1+3+11. Ejecutar el plan: La secuencia BAA BA BAA nos indica que en la 1ª caja hay dos guantes. Respuesta: hay 9 formas 4. Datos conocidos: Número de cajas: 3 Número de guantes:5 Datos desconocidos: Número de posibilidades de distribuir en las tres cajas los 5 guantes 2. . RESOLVER UNA ECUACIÓN: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 25 de 138 . Desarrollar un plan: Estrategia: Codificación Descripción: Después de jugar un poco con el problema se puede llegar a definir un código que nos organice la búsqueda. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y así resolver el problema. así llegamos hasta 11 combinaciones posibles ¿Te atreves? 1. 20=1+1+1+1+1+1+7+7. . Comprender el problema: Interpretación: Se quiere saber de cuantas maneras se puede distribuir en tres cajas iguales 5 guantes de la mano izquierda. 3.13. todos ellos iguales ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas? Solución: 1. Sustituyendo: 𝑥 = 34 en (1) se tiene: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 26 de 138 . (−2) { Luego: −2𝑥 − 2𝑦 = −120 4𝑥 + 2𝑦 = 180 .MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Frecuentemente cuando se aplica la estrategia de usar una variable en la resolución de problemas. al mandar a un empleado a contar la cantidad de Conejos y gallinas éste le responde: “Contando todas las cabezas de los animales usted tiene 60. ( 1) 4𝑥 + 2𝑦 = 188 ____________________ 2𝑥 = 68 60 Por lo tanto 𝑥 = 2 = 34 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑗𝑜𝑠. ¿Cuántos Conejos y cuántas gallinas tiene José en su finca? Solución: 1. Comprender el problema: Interpretación: José es propietario de unos conejos y de unas gallinas. tal representación conlleva a una ecuación que puede ser de tipo lineal o cuadrática. manda a uno de sus empleados a realizar el conteo de estos. Ejecutar el plan: Se deben plantear dos ecuaciones teniendo en cuenta los datos conocidos así: 𝑥 + 𝑦 = 60 (1) (𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎𝑠) { 4𝑥 + 2𝑦 = 188 (2)( 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑦 𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑎𝑠) La solución del sistema se realiza aplicando el método de reducción: 𝑥 + 𝑦 = 60 . para ello debe asignarse variables así: Sea 𝑥 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑦 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑎𝑠 3. ¿Cuántos Conejos y cuántas gallinas tiene José en su finca? Datos conocidos: Número de cabezas: 60 Número de patas: 188 Datos desconocidos: Número de conejos y gallinas 2. Veamos el siguiente ejemplo: José es propietario de una finca en la cual cría conejos y gallinas. Para establecer el número de animales que posee. Al regresar el empleado dice a José: “Contando todas las cabezas de los animales usted tiene 60. Desarrollar un plan. pero si cuenta las patas el resultado es de 188”. Estrategia: resolver una ecuación Descripción: Se aplicará la estrategia de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. pero si cuenta las patas el resultado es de 188”. 8 m y el ancho de 3 m. 7. se expresará el largo y el ancho en centímetros. es decir. Comprobación: Se realiza reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (1) y (2): 𝑥 + 𝑦 = 60 34 + 26 = 60 1. Datos conocidos: El largo de la sala 7. con baldosas cuadradas lo más grande posibles. tiene dimensiones de 7.14. es importante establecer las relaciones que existen entre los datos suministrados. Desarrollar un plan: Estrategia: uso de las propiedades de los números. 3. Para determinar la medida del lado de la baldosa de tal manera que al colocarlas no se rompa ninguna. Como la baldosas debe ser lo más grande posible. Comprender el problema: Interpretación: La sala de Cristina va a ser remodelada. con baldosas cuadradas lo más grande posibles. Para resolver problemas donde intervienen cálculos numéricos u operaciones matemáticas. por lo tanto se debe buscar números que dividan exactamente a la vez ambos números. ¿Cuánto debe medir el lado de cada baldosa si al colocarlas se desea que no se rompa ninguna? Solución: 1. 8 m = 780 cm y 3 m = 300 cm. 8 m de largo por 3 m de ancho. Respuesta: hay 34 conejos y 26 gallinas. Dato desconocido: Longitud del lado de la baldosa cuadrada 2. se requiere establecer un número exacto de veces en 780 cm y 300 cm. es decir. 8 m de largo por 3 m de ancho. Entonces: 𝑦 = 60 − 34 = 26. Ejemplo: Cristina desea remodelar la sala de su casa que tiene 7. Descripción: Para efectuar los cálculos. 4. Ejecutar el plan: En consecuencia: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 27 de 138 . se debe elegir el mayor de los divisores comunes que corresponde al máximo común divisor de 780 y 300. divisores comunes. USAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS U OPERACIONES MATEMÁTICAS Entender la naturaleza intrínseca de los números a menudo es útil en la solución de problemas. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada baldosas para que al colocarlas no se rompa.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 34 + 𝑦 = 60. el cual establece que el valor de la matrícula se determina mediante la fórmula: PROGRAMA ACADÉMICO Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 28 de 138 . EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelve cada uno de los ejercicios utilizando el mayor número de estrategias para la solución de problemas 1.se detiene a descansar ¿Cuánto le falta aún por recorrer? 3. 1. respectivamente.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 780 300 2 390 150 2 195 75 3 65 25 5 13 5 1-1-2016 Respuesta: el lado de la baldosa debe medir 60 cm 4. razón por la cual compiten en una pista circular recorriéndola totalmente en 8. por el número hallado dará un valor exacto lo cual indica que ninguna baldosa se romperá al ser instalada. 10. Si parten juntos.23m. Daniela y Laura son estudiantes antiguos de la universidad del Magdalena.Luego regresa dando saltos de 7cm. Juan. Un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dando saltos de 11cm. Comprobar: Si divide cada dimensión. Al inicial semestre desean liquidar su matrícula para el año 2013. pero habiendo recorrido en total 1. ¿en cuántos minutos se encontrarán en la partida? 2. Cuatro patinadores participan en un torneo. largo y ancho. Álvaro.15. 12 y 15 segundos. sabiendo que ésta puede realizarse con base en el acuerdo superior 024 del 23 de junio del 2009. MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO El Colegio de procedencia se estimará de la siguiente manera: NÚMEROS DE CRÉDITOS ACADÉMICOS Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 29 de 138 . 000 y en el grado 11 de $ 350. ¿Cuál es el mínimo de tiempo que se necesita para asar las tres arepas por ambas caras? 5. o en sacarla y tres segundos en darle la vuelta. Los 1. ¿cuántos chocolates tenía la caja al inicio? Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 30 de 138 . Si a Camilo aún le queda un chocolate. 5 millones de galones de aceite. Se tarda 30 segundos en asar una cara de una arepa. El acuerdo 017 Para ello considera que: a. Andrea desea azar en una parrilla tres arepas. pero solo se puede azar por un lado. El acuerdo 024 b.000 y en grado 11 de $240.000 y de estrato 4. Proviene de institución educativa de carácter oficial (No privado) Establece semejanzas y diferencias entre ambas liquidaciones. 5 millones de galones de aceite caben en 125 carro tanques. Daniela pertenece al programa de derecho. Negocios Internacionales y Economía y realiza la respectiva liquidación teniendo en cuenta: a. Tal hecho ha ocasionado la muerte de muchas especies que allí habitan.000 y de estrato 5. En las inmediaciones de la isla de Salamanca hubo un derrame de aceite de palma. Camilo tiene una caja de chocolates y desea compartirla con sus mejores amigos. Pertenece al estrato 3 b. 5 segundos en colocar una arepa. 4. En la parrilla caben dos arepas a la vez. A Cristina regala la mitad de sus chocolates más uno. Se cree que se derramaron parte de los 1. ¿Cuál es la cantidad de aceite contenida en cada carro tanques? 6. Mientras que Juan y Laura provienen de colegios oficiales de estratos 2 y 3 respectivamente y de los programas de Ingeniería Civil y Antropología ¿Cuánto dinero debe cancelar cada estudiante al inicio del semestre? Selecciona un estudiante del programa de Ingeniería Ambiental.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Si se sabe que: Álvaro pertenece al programa de medicina. procede de colegio privado y la pensión de escolaridad en el grado 10 era de $300. ¿Dónde la liquidación es mayor? ¿Dónde es menor? ¿Por qué? Realiza tu propia liquidación con el acuerdo 017. de colegio privado y la pensión en el grado 10 era de $225. a José la mitad de los chocolates que le quedaron más uno y a Carlos la mitad de los que le quedaban más uno. 000 y $ 5. Discos: Se tienen dos discos circulares. Calcula la superficie de la parte del prado en la que no puede comer Canelo porque se lo impide la cuerda.. Solo tiene billetes de $20. Si lanzamos los dos discos al aire y sumamos los dos números. 10.x4x3x2x1? Nota: Como el resultado de 100! . 23.000 y en total hay $ 2 215 000. Su dueño lo ha atado con una cuerda de 15 m de largo en el centro de un prado de forma cuadrada de 30 m de lado. Gana el primero que sume 15. intenta primero resolver el problema análogo para 10!= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 8. Si dentro de 14 años el padre tendrá el duplo de la edad del hijo. 19. qué números estarían escritos en la cara oculta de cada disco? 11. En la otra cara tiene escrito otro número. 17. Juegan dos jugadores. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito un número. 21. Pablo pesa menos que Luís. es un número muy grande. 13. pero más que Esteban. ¿Cuántas millas viajó cada día? 9. 15.000 y de $ 5. Prueba ahora con estos tres discos sabiendo que los resultados que se obtienen son : 15. 6 7 8 ¿Y si los resultados obtenidos fuesen 12. 18.21.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 7. Muchos ceros. ¿cuál es la edad del padre? Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 31 de 138 . 20. ¿Cuántos apretones de manos se dan en total? 15. 17. 22.. 12. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra. ¿En cuántos ceros termina el número100! =100x99x98x. ¿Quién pesa más y quién le sigue en este orden? 14.000 hay? 12. se ponen sobre la mesa. 13. Canelo es un asno glotón. pero más que Pablo. Intenta elaborar dos estrategias que puedan conducir a la victoria: una para usarla si eres tú el primero en comenzar y otra si te toca en segundo lugar. 16.. Sumar quince: Nueve fichas numeradas del 1 al 9. 16. ¿Cuántos billetes de $20. podemos obtener estos resultados: 11. Lucía viajó 125 millas en dos días. El segundo día viajó 23 millas más que el primero. La edad de un padre y la de su hijo suman 47 años. 16 y 17. Un cajero contó 248 billetes. Luís pesa menos que Antonio. 20. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco. Cada uno coge una ficha por turno. En el salón de historia están estudiando las banderas de los países de las Américas.75 cada una. Arteaga. Martínez y Castro.000. La primera semana triplicó su dinero. La agenda de bolsillo tiene los siguientes precios. Su sueldo era de $18 000 anuales el primer año de trabajo. lo duplicó. La señora Martínez desea sembrar amapolas en el patio de su casa de modo que formen una verja recta. Si compras entre 4 y 24 de las mismas. El tanque de su carro tiene capacidad de 15 galones. Los precios son independientes del color. El segundo día estudiaron cuatro países. pero luego perdió $ 12. ¿Cuántos países estudiaron en total? 19. cuestan $39. Julia tiene un carro pequeño que le rinde 30 kilómetros por galón en el pueblo.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 16. El cuarto día estudiaron tres países menos que el tercer día.28 el litro y la premiun a $ 0. Si compras entre una o tres agendas del tamaño regular. El jardinero le indica que estas flores deben sembrarse a 2 pies de distancia entre ellas. Las agendas para el próximo año escolar están en oferta.000. 17. entre 4 y 24 cuestan $13. que ascendía a $ 224. La familia Sánchez vive entre las familias Arteaga y Castro. Guillermo va al casino semanalmente. A la semana siguiente llevó el dinero que le sobraba. pero dependen del tamaño. Cada día estudian algunas y aprovechan para estudiar la topografía del país. El sueldo anual de Miguel ha aumentado la misma cantidad en los últimos años.50. ¿Cuántos años lleva en el trabajo si ahora gana $30 000 anuales? 22. La distancia que desea cubrir mide 30 pies. El tercer día estudiaron la misma cantidad de países que estudiaron el segundo día. y 36 kilómetros por galón en el expreso. Si compra diez agendas de bolsillo color marrón y dos agendas negras de tamaño regular. ¿cuántas debe comprar para cubrir la verja de extremo a extremo si desea sembrar la primera amapola en uno de los extremos? 18. ¿cuánto se ahorró? Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 32 de 138 . ¿Cuánto le costará llenar el tanque de su auto con gasolina regular? (ayuda: 1 galón es aproximadamente equivalente a 1 galón = 3. La familia Sánchez vive dos pisos más arriba que la familia Martínez.32 el litro. entre una y tres cuestan $16. el presidente de JOTA MATEMAT decide comprar estas agendas para sus empleados. la semana siguiente lo intentó una vez más y cuadruplicó su dinero. El primer día estudiaron un país menos que en segundo día.000. En un edificio de 4 pisos vive la familia Sánchez. cuestan $47 cada una.95. con tanta suerte que no perdió nada y pudo regresar a casa con el total. pero después perdió $ 40. ¿En qué piso vive la familia Martínez? 20. la gasolina regular cuesta a $ 0. El quinto día estudiaron 2 países más que el cuarto día.7854118 litros). ¿Con cuánto dinero comenzó en la primera semana? 21. Para el día del ejecutivo. Si el séptimo año ganaba $24000. Habiendo guardado el dinero que le quedó. Las familias viven en pisos diferentes. International Thomson Editores. J. T. A. HERNANDEZ.cl/Portal. WEBGRAFÍA: http://www2. CARABALLO. Editorial Trillas. C. O.. L.. (2007).com/index..php?option=com_content&task=view&id=52&Itemid=7 4&limit=1&limitstart=3 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Página 33 de 138 . (1997)..17.pe/digesutp/formacioninicial/wpdescargas/educacionprimaria/didactica_mat/04_resolucion_de_problemas.herramientas/nuestros_sitios/7mm/sitio/respuesta3. “Razonamiento Matemático. SANTOS TRIGO. L. “La Resolución de Problemas Matemáticos Fundamentos Cognitivos”.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 1. BIBLIOGRAFIA CAMPISTROUS.minedu.planetamatematico.educarchile. 1.htm http://www.gob. RODRIGUEZ. “Aprende a resolver problemas aritméticos” (1996) Editorial Pueblo y Educación. CRUZ.16. Fundamentos y Aplicaciones”. RIZO.pdf http://www. OBJETIVOS: Comprender claramente el concepto y las formas de representación de conjunto.1.3. lenguajes. Capacidad para movilizar los conceptos básicos matemáticos: aritméticos. desarrollar ejercicios y problemas utilizando las operaciones y cardinalidad. Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de notación para crear. de análisis matemático. métrico. Capacidad comunicativa en lenguaje matemático. casas. plantear. transformar y resolver problemas matemáticos. COMPETENCIAS: Capacidad para formular. animales. Utilizar el modelo de Polya en la solución de situaciones problemas que requieren de la aplicación de las propiedades de las operaciones en los diferentes conjuntos numéricos. Desarrollar habilidades en el cálculo y aplicación de las operaciones y propiedades en los números Reales. mesas.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 2 CONJUNTO Y NÚMEROS REALES 2. Veamos un ejemplo de agrupar de como agrupar elementos: En conclusión podemos decir que un conjunto es: una agrupación de elementos con una o más características en común. etc. DESARROLLO TEMÁTICO.1. números.2. estadístico y financiero en diferentes situaciones y problemas de tipo matemático. variacional. 2. 2. geométricos. 2. creencias. ¿QUÉ ES UN CONJUNTO? Al querer agrupar diferentes objetos como: personas. letras. Debemos tener presente una o varias características en común. expresar y representar ideas matemáticas.3. autos. ideas. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 34 de 138 . al hacer la selección o al agrupar cualquier tipo de objeto por algún tipo de característica estamos formando un conjunto. se escribirían entre llaves) Ejemplo: A= {Pedro. 5. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS EXTENSIÓN cuando se describen exhaustivamente (es decir. Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto. SUBCONJUNTO: Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B.Los números enteros pares positivos: 2. 6.. e. martes.. Expresado de otra forma: A B = {x / x A x B} Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 35 de 138 . 4. i.Los equipos chilenos de fútbol profesional participantes en el actual campeonato nacional.. Ejemplo: B = {números pares} C = {números enteros positivos menores de 10} D = {x/x. 3. u. un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. si un objeto cualquiera forma parte o no de la colección. A está incluido en B y se anota A B. en tal caso. e. Se representa por el símbolo ∅ o { } Ejemplos: el conjunto B = {números impares entre 5 y 7} es un conjunto vacío ya que no existen ningún numero entre 5 y 7. dotados de una propiedad que permita decidir (sin ninguna ambigüedad posible).3. Consideremos. Juan. sábado. domingo} COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características de los elementos del conjunto o función proposicional p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto definido y sólo ellos. dentro de un universo contextual ó relativo U”.. Manuel} B= {a. Luis. son los días de la semana} CONJUNTO VACÍO: Es aquel conjunto que no tiene ningún elemento. jueves. 2.Las señoritas de nuestro curso de Matemáticas. que. . o.Los siete enanitos de Blanca nieves.2. o. por ejemplo. 4. son las vocales} E = {y/y.. miércoles. 2.. o bien que A está incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B.Las vocales: a.. u} C= {lunes.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Intuitivamente. los siguientes conjuntos: 1. y la relación entre un elemento y un conjunto es la de pertenencia. i.. Se escribe x ∈ A y se lee “(el objeto) x pertenece a (el conjunto) A” Habitualmente los conjuntos se designan por una letra mayúscula y los elementos del conjunto por una letra minúscula y entre paréntesis de llave. nombrando a todos y cada uno de sus elementos. viernes. Se denota con la letra U Ejemplos: Sean los conjuntos A = {tigres} B = {anfibios} C = {aves} D = {peces} Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A. 5. c. 5} y G = {2. 4} y B = {3. 6} y su se representa gráficamente por el diagrama de Venn Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 36 de 138 .4. entonces la unión entre A y B A ∪ B= {1. 2. d} B A 2. 3. 2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Ejemplo: si A = {1. 5} y B = {1. c. 6} son conjuntos disjuntos. 2. 3. y se representa por A ∪ B A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1. d. 5. OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. B. 4. CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto del que son subconjunto toda una familia de conjuntos.3. C y D y es conjunto de todos los animales U = {animales} por lo tanto este sería el conjunto universal. 6. 3. En ellos se representan habitualmente los conjuntos por un área plana. 4. DIAGRAMAS DE VENN EULER Es la forma sencilla e instructiva para poder representar los conjuntos y las relaciones que se producen entre ellos. 4. 7} entonces A B. 3. e} B = {b. CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo: E = {1. Si A no es subconjunto de B se escribe A B.3. A= { a. 2. 6}. b.. por lo general delimitada por un círculo. 5. 4.3. 3. 6} entonces la diferencia de A y B es A . 6}. 2. pero sí pertenecen al Universo. Se representa por A’ = A c y es igual a U – A. 4. Representado en un diagrama de Venn. se tiene: Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 37 de 138 . 5. 2. 4 } y B = {3. 4} y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn DIFERENCIA: La diferencia entre los conjuntos A y B (A – B) o (A \ B) es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B A B = A \ B = {x / x ∈ A ∧ x B} Ejemplo: Utilizando los conjuntos A = { 1. 4} y B = {3. 2 } y se representa gráficamente mediante el diagrama de Venn COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A. entonces la Intersección de A y B es A B = {3. 4. 3.B = { 1. A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejemplo: Si tomamos los mismos conjuntos A = {1. En otras palabras es la diferencia entre el conjunto Universo y el conjunto A. 3. 5.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 INTERSECCIÓN: La intersección de dos conjuntos A y B (A B) es el conjunto de todos los elementos comunes a A y a B al mismo tiempo. MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 DIFERENCIA SIMÉTRICA: Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos. A B = ( A B ) ∪ ( B A ) = ( A ∪ B ) ( A ∩ B) REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS OPERACIONES: (Escriba la operación) 2.3.5. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A. Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5. Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1. Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2. Entonces podemos analizar dos casos: Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 38 de 138 MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A B = , entonces el número de elementos en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y el número de elementos de B. Luego: Si A B = entonces n(A U B) = n(A) + n(B). Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces: n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; AB= A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q} n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9. B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A B , es decir, no son disjuntos. Se puede obtener el número de elementos de A U B de la siguiente forma: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B) (*) Ejemplo. Sean A = {x/ -3 < x < 4, x Z} y B = {x/ 2 x 6, x Z} Entonces: n(A) = 6 ; n(B) = 5 y A B = {2, 3} n(A B) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9. Aplicando (*) tenemos: como A B n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B) Si A B = entonces n(A B) = 0, puede entonces generalizarse: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B) Nota: Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto formado por la unión de más de dos conjuntos. Para tres conjuntos: n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) 2.3.6. EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Ejemplo 1: Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos: Estudian trigonometría: 40 Estudian álgebra: 55 Estudian geometría: 55 Estudian trigonometría y álgebra: 15 Estudian trigonometría y geometría: 20 Estudian álgebra y geometría: 30 Estudian las tres materias: 10 No van a la biblioteca: 5 ¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? Desarrollo: Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 39 de 138 MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Primer paso. Comprender el problema. El problema trata de una situación en la cual nos dan los resultados de una encuesta sobre los hábitos de estudio de 100 estudiantes, en una biblioteca. Debemos averiguar si la encuesta realizada es correcta. Es decir si existe coherencia en los resultados. Paso2. Configurar un plan. Resolveremos el problema por medio de dos estrategias para resolver el problema: Elaborar una gráfica y emplear una fórmula. Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda: A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados. B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza. C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudia cualquier combinación de materias. Paso3. Desarrollar el plan Elaboramos la gráfica del problema: Comenzamos por el final: No van a la biblioteca 5 y estudian las tres materias 10: Estudian Algebra y Geometría 30, pero como ya hay 10 en la zona de intersección de algebra y geometría, entonces colocamos 20 Estudian trigonometría y Geometría 20, pero como ya hay 10 en esa zona de intersección, entonces colocamos 10 15 estudian trigonometría y Algebra. Pero como ya hay 10 en esa zona, solo colocamos 5 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 40 de 138 colocamos solo 15 Hacemos lo mismo hasta completar 55 de Algebra y 40 de geometría Observamos que hay 95 estudiantes que asisten a la biblioteca a estudiar alguna asignatura y 5 estudiantes que no asisten a biblioteca. CONJUNTOS NUMÉRICOS 2.20 .MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 55 estudian Geometría. NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales R es el conjunto que obtenemos entre la unión de los conjuntos Racionales Q e Irracionales I. entonces basta decir que: R=QUI En la siguiente figura puedes observar gráficamente este hecho: Q Z R= + N I Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 41 de 138 . Por lo tanto la encuesta está bien realizada.1.15 . en los números racionales Q están ya incluidos los naturales N y los enteros Z. Por lo tanto la encuesta está bien realizada. 100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca. Analíticamente: empleamos la fórmula: n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(TA) – n(TG) – n(GA) + n(TAG) n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 . pero como en ese conjunto ya hay 40.30 + 10 = 95 95 Estudiantes que asisten a la biblioteca.4. Como ya es de tu conocimiento. 2.4. 4. Algunas características de los números reales son: El conjunto de los números naturales: N N = {1.58333 … Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 42 de 138 . –4. 3. 4. –1. 2. –3. 12. además. 1.625 ( decimal exacto) periódico (puro o mixto) 8 −14 Importante: debes recordar de cursos = −1.555 … −9 anteriores cómo se expresa un decimal 19 12 = 1. …. 10. decimal exacto o decimal −5 13 = 1.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Las siguientes ilustraciones nos muestran algunos aspectos de estos conjuntos numéricos que conforman a los reales: Cada punto de la recta representa un número racional o un número irracional. 11. 0. b 𝜖Z} Q Propiedad: todo número racional es 10 = −2 entero. …} El conjunto de los números enteros: Z Z = {…. –2. no tienen ni un primer ni un último elemento. …} El conjunto de los números racionales: Q = { a/b : a. 3. 2. los números reales pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo: 165−1 164 1. 2. es decir: 1MB = 210x210 Bytes = 220 Bytes = 1. 1. Ejecutar el plan.048. si se considera como una esfera.288.? Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 43 de 138 . Utilizaremos la estrategia de Razonamiento directo para resolver el problema. El problema nos informa que 1 byte representa a un caracter además que 1KB equivale a 210 B y que 1MB corresponde a 210 kB. en la memoria de 500 MB caben aproximadamente 524. periódico puro periódico mixto en forma de fracción. teniendo en cuenta que su radio es aproximadamente 6 x 10-6 mm.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 exacto.14155927… Tienen infinitas cifras decimales pero no forman período. Configurar un plan. /R Ejemplo2 ¿Qué volumen ocupa el átomo de oxígeno.4142136… números reales que no son racionales.000 caracteres.576 Bytes Por lo tanto 500 MB equivalen aproximadamente a: 500 MB = 500x(1.2345678910111213141516171819202122… I: está formado por todos aquellos √2 = 1. Ejemplo1. ¿Cuántos caracteres puede almacenarse en una memoria de 500 MB? Solución.576 Bytes) = 524. Como 1 kB equivale a 210 B y 1MB equivale a 210 kB.65 = 99 = 99 Representación gráfica de fraccionarios 3 3 8 6 El conjunto de los números irracionales 1. Además nos pide hallar cuántos caracteres se pueden almacenar en una memoria de 500 MB. 3. pi = 3. Si 210 bytes son un kilobyte (1kB). Un byte consta de 8 bits y representa un carácter (letra o dígito).000 Bytes Ahora como cada byte representa a un carácter. entonces tenemos que 1MB es 210 veces 210 Bytes. Comprender el problema. 210 kilobytes son un Megabyte (1MB).048.288. e Irracionales. 𝑑 𝑎 𝑐 𝑎. 𝑑 𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑎. Tenemos la siguiente información: El radio del átomo de Oxígeno: 6·10-6 mm Segundo paso. Utilizaremos la estrategia de Emplear una fórmula para resolver el problema. Ejecutar el plan. 𝑑 − 𝑏. Operaciones con fracciones.0478·10-16 mm 2. Una fracción es un número escrito en la forma a/b. racionales. Máximo Común divisor y Notación científica. 𝑟 3 V: volumen de la esfera: r: radio de la esfera Tercer paso. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES. o a un grupo de esas partes.4. 𝑐 × = 𝑏 𝑑 𝑏. se las denomina fracción. Así como los conceptos y aplicación de Mínimo Común Múltiplo. 𝑑 ÷ = × = 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏.2. de tal modo que b no sea igual a cero. 𝑐 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 ( ) = 𝑛 𝑏 𝑏 Suma de Fracciones de diferentes denominadores Sustracción de Fracciones de diferentes denominadores Multiplicación de Fracciones División de Fracciones Potenciación de Fracciones 𝑏 𝑐 +𝑏 = 𝑎+𝑐 𝑏 Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales. Entender el problema. La fórmula que utilizaremos es la del volumen de una esfera. Configurar un plan. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 44 de 138 . 𝑐 + = 𝑏 𝑑 𝑏. la cual es: 4 𝑉 = 3 𝜋.78·10-18 mm = 9.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Solución. Si 𝑎 𝑏 𝑦 𝑐 𝑑 son números racionales entonces: Suma de Fracciones con el mismo denominador 𝑎 Sustracción de Fracciones con el mismo denominador 𝑎 𝑐 𝑎−𝑐 − = 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎. (3.0478·10-16 mm Respuesta: el volumen del átomo de oxígeno es de 9. Remplazamos los valores en la fórmula respectiva: V = 4/3.14)(6 x 10-6 mm)3 = 904. 𝑑 𝑎 𝑐 𝑎. 𝑑 + 𝑏. 𝑐 − = 𝑏 𝑑 𝑏. Primer paso. a cada una de ellas. Nota: Se pide al estudiante que repase las operaciones y propiedades con números enteros. 54.} Múltiplos de 6 = {6. se dice que tenemos una Fracción Propia. A la parte superior de una fracción se le denomina Numerador y la parte inferior Denominador. 18. 16.3.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma a/b se llama número racional.C. será la multiplicación entre los divisores usados. 20. como el mínimo de ´este ´ultimo conjunto es 12. 2. 24. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 45 de 138 . 60. entonces el M. 12. 48. . 40. 48. . 36. luego el M.} Y la intersección entre ´estos dos conjuntos es = {12. . entre 4 y 6 es 12. la a. . se le llama Fracción Impropia. número racional. .M. 36. 12. El denominador es el número de partes en que está dividido el entero.} Luego.C.M). para determinar el M. 32. 24. la b. 42. 30.C. en sentido estricto. .. 36. una fracción o quebrado es la expresión de una cantidad dividida entre otra.M. . 66. es con la siguiente tabla: 4 6 ÷2 2 3 ÷2 1 3 ÷3 1 Donde se va dividiendo a los números hasta obtener el 1 para ambos. en este caso. Otra forma de determinar el M. 24.C. y cuando el valor del numerador es mayor que el denominador. Cuando el valor del numerador es menor que el denominador. En matemáticas. o sea. Diversas fracciones pueden tener el mismo valor (llamadas fracciones equivalentes). El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción. 48. el conjunto o grupo. y el conjunto de todas las fracciones equivalentes se denomina.M entre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus múltiplos.C. 8. El numerador es el número que está sobre la barra de fracción.4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (M. 28. .M. Por ejemplo. 44. entre dos o más números reales es el número más pequeño entre todos los múltiplos que tengan en común. Múltiplos de 4 = {4. Ejecutar el plan. 8. sabiendo que el primero viaja cada 18 días. . Configurar un plan.D) entre dos o más números reales es el divisor más grande que tienen en común. El problema nos pregunta por el tiempo mínimo en que vuelven a encontrarse 3 viajeros en Barranquilla. 2. Wilson va a Barranquilla cada 15 días y María va a Barranquilla cada 8 días. .C. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 46 de 138 .MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 De manera que obtenemos: 2 · 2 · 3 = 12 Máximo Común Divisor Cuando nos referimos al divisor de un número real estamos hablando de un número que divide exactamente (sin dejar resto) al número en cuestión.D. ya que en el peor de los casos el M. 4. 4. Otra manera de hallarlo es la siguiente: 16 40 2 8 20 2 M. 2. 16} Divisores de 40 = {1. Yon va a Barranquilla cada 18 días. 2. 40} Y la intersección entre ´estos dos conjuntos es = {1.C. Ejemplo3. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir en Barranquilla? SOLUCIÓN 1.D. 8. El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre dos o más números enteros siempre existen. El máximo común divisor (M. 20.M será la multiplicación entre ellos. La estrategia elegida es la de razonamiento directo. Entender el problema. será el 1. 15 y 8. y el M. 2.8} Por lo tanto el M. entre 16 y 40. Divisores de 16 = {1.C. 40) = 2x2x2 = 23 = 8 4 10 2 2 5 Observa que. para ello necesitamos conocer los conjuntos de sus respectivos divisores. 4. el segundo cada 15 días y el tercero cada 8 días. Hoy día 10 de enero han coincidido en Barranquilla los tres viajantes. busquemos el máximo común divisor entre 16 y 40. Por ejemplo.C. es 8. 10. En la que hallaremos el mínimo común múltiplo de 18.C. 3.D(16. 5. Configurar un plan. 15. luego hay que calcular el m. (18. 360 litros. Entender el problema. Elegimos la estrategia de razonamiento directo.c. cuyas capacidades son: 250 litros. 1.c.c. 360 y 540.m. 8) = 23 x 32 x 5 = 360 Luego Los tres viajeros volverán a coincidir en Barranquilla dentro de 360 días. = 23x32x5= 360 9 15 1 3 3 5 1 3 1 5 1 5 1 1 1 Otra forma Tenemos que: 18 = 2 x 32 15 = 3 x 5 8 = 23 Por lo tanto el m. de 18. de 15 y de 8. Para poder envasar la cantidad total de vino en forma exacta en garrafas de igual capacidad. 3. y 540 litros. Descomponiendo los números en sus factores 18 15 8 2 9 15 4 2 9 15 2 2 m. El problema nos informa que se tienen 3 toneles de vino así: Cantidad de litros de vino del primer tonel = 250 Cantidad de litros del segundo tonel = 360 Cantidad de litros del primer tonel = 540 Se nos pide hallar: el número de garrafas de igual capacidad necesarias para envasar todo el vino. En una bodega hay 3 toneles de vino. y el número de garrafas que se necesitan. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles. y la capacidad máxima de ellas. y además debe ser el Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 47 de 138 .MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 El número de días que han de transcurrir como mínimo para que los tres viajantes vuelvan a coincidir en Barranquilla tiene que ser un múltiplo de 18. Ejecutar el Plan. (18.c.m.m. 2.15. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales.m. 15 y 8 es m. (RESPUESTA) Ejemplo3. 8). y además tiene que ser el menor múltiplo común. esta debe ser un número divisor de 250. 4. Por lo tanto. es decir. El resto de la torta.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 máximo.D (250. fue: En conclusión. ¿Podría Martina tener una respuesta a esa pregunta? Primero se verá cuánto le tocará comer a cada hermano: Cada uno comerá una tercera parte del pedazo que ella trajo a casa. Martina se preguntaba. Por lo tanto hallamos el máximo común divisor de estos números. Martina se comió una novena parte. que es un cuarto del total. 360. 540). 540) = 2x5 = 10 Por lo tanto la Capacidad de las garrafas = 10 litros Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25 Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36 Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54 Número total de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas. la reparten en partes iguales entre las 9 personas presentes en la fiesta. M. si el pedazo que ella comió sería más grande o más pequeño que el que comerían sus hermanos. es decir la doceava parte de la torta. comerán la siguiente fracción de la torta completa: Comerán 1/12. Martina va a una fiesta de cumpleaños y allá le dan una cuarta parte de la torta. al cortar en 3 partes iguales el pedazo de torta que le regalaron para sus hermanos.C. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 48 de 138 . para que la reparta en su casa entre sus tres hermanos. 360. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE OPERACIONES CON RACIONALES: Multiplicación. 2. De las tres cuartas partes que quedaron para los que estaban en la fiesta. Martina comió la misma porción de torta que sus hermanos (1/12).D (250. la fracción de la torta completa que ella comió. 250 125 25 360 180 36 540 2 270 5 54 M.4.C. Respuesta: se necesitan 115 garrafas de 10 litros de capacidad. 200. con sus tres hijas en partes iguales. entonces lo que queda corresponde a los 4/6 de dicho valor: 1 . Repartiendo Doña Luisa tiene 3/4 de una pizza grande que quiere compartir.200.000 que representa la unidad.200. por lo tanto: A cada una le corresponden tres porciones de las 16 partes en que se dividió la pizza. para que hallemos el saldo o diferencia entre ellos y determinar así la cantidad de dinero que podría ahorrar mensualmente dicha persona. algunos de los cuales se dan en forma fraccionaria. Como el gasto inicial fue de 2/6 del total inicial.000. Ejecutar el plan : los datos corresponden del ingreso y los gastos mensuales de José Luis. que corresponde a lo que nos pide el problema. La información suministrada es la siguiente: Tenemos un ingreso mensual de $1.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 División. Comprender el problema: El problema plantea una situación en la cual nos informan acerca de los ingresos y gastos de José. ¿Cuántas fracciones de la pizza le tocan a cada una? 3 Para poder responder debemos realizar una división: ÷ 4 4 Recordemos que para dividir tenemos que multiplicar por el inverso. para la cena. Para abordar la solución del problema se proponen las estrategias: Razonamiento directo y representación gráfica Paso3. ¿Cuánto dinero puede ahorrar mensualmente? Solución: Paso1. Configurar un plan. Partimos inicialmente de un ingreso mensual de $1.200. Gasta 2⁄6 en alimentación y 5⁄8 de lo que le queda en otros gastos. Ejemplo 4.2/6 = 6/6 – 2/6 = 4/6 $1.000 Se tiene un gasto inicial equivalente a los 2/6 del ingreso mensual Un tercer gasto equivalente a los 5/8 de lo que queda Se nos pregunta por la cantidad de dinero que le queda para ahorrarla mensualmente Paso2.000 2/6 4/6 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 49 de 138 . José Luis gana mensualmente $1. En este caso el inverso de 4 es 1/4. 000 Respuesta / José Luis puede ahorrar mensualmente $300.000)] = (3x4x$1.400. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 $400.000 El saldo que le queda hasta ahora a José (S1) sería entonces de: S1 = 4/6.000 x 6)/4 Luego I = 4. c) 160 son habladores.000 De estos $ 800. Mirar hacia atrás: comprobamos la respuesta.000/3 y 8/8(S1) = (300.200.000 S1 = $8000.000/48 = $300.000 4/6(I) = $800.($800.00)/(8x6) = 14. lo que le quedó equivale a los 4/6. $300. Luego el saldo final S2 de José Luis es de: O también: S2 = 3/8.000/4 = $ 1. entonces 1/6(I ) = $800. se halló que: a) 68 se comportan bien.000 Como inicialmente se gastó los 2/6 de su sueldo (I).[4/6. es los 3/8 de ese saldo (5/8 + 3/8 = 8/8 = 1).000 $300.2000)/6 = $800. empezando por el final: Si el último gasto G2 fue 5/8 de lo que le quedaba (S1).200. luego le quedan los 3/8 de dicho valor.000) = $300.200.($1.000 Paso 4. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 50 de 138 .000.000. entonces lo que sobra.000 x 8)/3 = $800. b) 138 son inteligentes. luego: 3/8(S1) = $300. En una encuesta a 200 estudiantes.800.000 = 4/6 5/8 3/8 $800.000/4 y 6/6 (I) = (800. que corresponde a los $800.000 Nota: Según la gráfica también podemos calcular los 3/8 de los 4/6 del ingreso mensual para obtener la respuesta final así: 3/8.000 $800.000 Por lo tanto la respuesta obtenida satisface todas las condiciones del problema.($1.000) = (4x1. luego 1/8(S1) = $300.000 $500.5.000 que quedan gastó los 5/8.000.200. 2. ¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien. Calculo Integral y Razonamiento Matemático. Odontología y Medicina. no son habladores y no son inteligentes?. 85 hablan inglés y tienen por lo menos maestría. 40 son de asignatura y Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 51 de 138 . a 550 les gustan Odontología y Medicina. ¿Cuántos hombres no estudian licenciatura en prescolar? 4. 2. a 300 les gustan Medicina y Ingeniería Industrial.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA d) e) f) g) 1-1-2016 120 son habladores e inteligentes. 98 son mujeres. a 1200 Odontología. 13 se comportan bien y no son habladores. 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes. En una universidad se tienen los siguientes datos de 2500 estudiantes: a 750 Ingeniería Industrial. 160 hablan inglés. a 100 les gustan Ingeniería Industrial. se tiene: n(DIR) = 2 n(IR) = 8 n(DR) = 10 n(DI) = 7 n(D) = 25 n(I) = 15 n(R) = 35 Expresar simbólicamente y hallar el número de personas de: a) ¿Cuántos fracasaron exactamente en una prueba? b) ¿Cuántos aprobaron las 3 pruebas? c) ¿Cuántos fracasaron en la 1era y en la 3era. a 1350 les gusta Medicina. 60 estudian licenciatura en prescolar y 60 son mujeres que no estudian licenciatura en prescolar. De 250 maestros de una institución educativa se tienen los siguientes datos: 165 son de asignatura. pero no son inteligentes. De los 200 estudiantes de nuevo ingreso de una universidad. a 250 les Ingeniería Industrial y Odontología. Indique a cuántos de estos 2500 estudiantes les gusta: a) sólo una de estas materias b) exactamente dos de estas tres materias c) ninguna de las tres materias d) al menos una materia e) cuando mucho dos de estas tres materias 5. 110 tienen por lo menos maestría. Al final del semestre se hizo una encuesta sobre las materias que más perdieron los estudiantes: Calculo Diferencial. 85 son de asignatura y hablan inglés. pero no en la segunda? d) ¿Cuántos fracasaron al menos en dos pruebas? e) ¿Cuántos aprobaron al menos una materia? f) ¿Cuántos aprobaron la 2da ó la 3era pero no la 1era? 3. Siendo la clase de 60 alumnos. 15 se comportan bien y son habladores. 11 estudian inglés y 11 francés.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 tienen por lo menos maestría. 9 y 13 se obtuvo la siguiente información: 55 Encuestados ven el canal 7. Se pregunta: a) La cantidad de personas encuestadas b) La cantidad de personas que ven sólo el Canal 9 10. 70 son hombres profesionales solteros. 8. Con respecto a los empleados de una empresa se tiene la siguiente información: 170 son hombres. En una encuesta sobre preferencias de los canales de T. 46 Ven el canal 9. 7 estudian Inglés y Francés. y 5 no tienen ninguna de las características antes mencionadas. 125 son casados. 7. 12 estudian Alemán. 25 Ven los tres canales. 5 son mujeres casadas sin profesión. 8 familias tienen los tres servicios. también querían estudiar Ingeniería de Ejecución Ninguno quería estudiar Ingeniería Civil y Educación Preescolar 10 estudiantes preferían estudiar otras carreras Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 52 de 138 . 20 son hombres profesionales casados y 20 son mujeres solteras sin profesión. 3 Sólo ven el canal 13. 20 son mujeres profesionales solteras. Determine cuántos de los empleados son: a) hombres solteros sin profesión b) mujeres profesionales c) casadas profesionales 7. 4 tiene solamente servicio de Agua. 50 son hombres casados sin profesión.. Halla: a) El número de familias que tienen solamente servicio de Energía b) El número de familias que tienen servicio de agua y gas. 40 familias tienen servicio de Agua y 33 familias tienen servicio de Gas..V. ¿Cuántos estudiantes estudian sólo inglés? 9. 15 Sólo ven el canal 7 y el canal 9. se obtuvo entre otros los siguientes datos: 25 familias tienen servicio de Energía y Agua. En un curso compuesto por 22 estudiantes. 6 estudian alemán e inglés. 6 No ven T. 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. Al investigar un grupo de 480 estudiantes sobre sus intereses de estudios superiores se obtuvo la siguiente información : Todos los que querían estudiar Ingeniería Civil . Determine cuántos de estos 250 maestros: a) tienen las tres características b) tienen exactamente dos características c) tienen exactamente una de las características 6. sobre uso de servicios públicos. 2 Sólo ven el canal 13 y el canal 9.V. pero no de Agua. 12 tienen servicio Energía y gas. 33 Ven el canal 7 y el canal 13. En una encuesta realizada a 60 familias del barrio “El Pando Reservado”. 2 bocadillos. ¿Cuántos saltos hace si cada vez brinca 1/3 de la distancia que lo separa del punto B? 15. ¿Cuántos caracteres puede almacenar una memoria de 4 GB? 12. Pepe lleva 4 bocadillos y Rafa. les da 6 €. Al gastar 4⁄5 de mi capital y después los 4⁄5 de lo que me quedó. Dos puntos A y B se encuentran a 81 cm de distancia.000 ¿Cuál era mi capital? 17. resuelve los siguientes ejercicios: 11. Si el perímetro del rectángulo es de 120cm ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 53 de 138 . por cada pregunta acertada dan 3 puntos y por cada pregunta fallada equivocada o no contestada) quitan 2. Si en un momento determinado las huellas del galgo coinciden con las de la liebre.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 60 querían estudiar Educación Preescolar e Ingeniería de Ejecución 440 quieren estudiar Ingeniería de Ejecución 180 quieren estudiar Ingeniería Civil a) ¿Cuántos alumnos desean estudiar solamente Educación de Preescolar? b) ¿Qué porcentaje se interesa por estudiar 2 de las carreras mencionadas? Aplicando las operaciones y propiedades con números reales y teniendo en cuenta los pasos de Polya en la resolución de problemas. En una excursión. Reparten los bocadillos entre los tres por igual. Un saltamontes se desplaza desde A hasta C haciendo saltos. En una habitación hay taburetes de tres patas y sillas de cuatro patas. ¿Cuántos asientos hay? 16. 210 kilobytes son un Megabyte (1MB) y 210 MB son un Gigabyte (1GB). Un byte consta de 8 bits y representa un carácter (letra o dígito). El largo de un rectángulo equivale a 3 veces el ancho. tengo aún $200. Javier. como pago de lo que comió. Cuando hay una persona sentada en cada uno de ellos. ¿Cuántos litros hay que sacar de un barril que contiene 560 para que quede en él los 6⁄ del contenido? 7 13. el número total de patas y piernas es 27. ¿cuántas veces vuelve a ocurrir lo mismo en los siguientes 200 m? 18. En un examen de 20 preguntas. que no tiene comida. Un galgo persigue a una liebre. La liebre da saltos de 3 m y el galgo da saltos de 4 m. Cuando van a empezar a comer llega Javier. Si 210 bytes son un kilobyte (1kB). Un tercer punto C se encuentra entre A y B a 16 cm de B. ¿Cuántas preguntas ha acertado y cuántas ha fallado un alumno que ha obtenido un resultado de 15 puntos? 19. ¿Cómo se los deben repartir? 14. 077 d. Gabriela el día de su cumpleaños le regalaron una caja de chocolatina.000 litros c.2011x 10 encuentra las diferencias entre los pesos moleculares de un proteasoma y una proteína. Ninguna 27. gasto los 3⁄5 y después los 3⁄4 de lo que me quedó. María e. Un fabricante de zapatos puede vender todos los pares de zapatos que produce a un precio de $60 mil cada par.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 20. 2. Una joven emplea en estudiar la cuarta parte del día. Un granjero quiere cercar un potrero que tiene forma de triángulo rectángulo. 23. ¿Cuánto me queda?. El fabricante tiene costos fijos mensuales de $24 millones. Supongamos que dos cometas pasan cerca de la tierra cada 15 y 25 años respectivamente.000 litros d. 21.00. Si los dos coincidieron en el año 2002. a María le da 2/8 de lo que le quedo y por último a Diana le da 1/3 del resto. entonces podemos afirmar que el encuentro más próximo ocurrirá en el año: a) 2. Diana d.027 c. un 1/5 del resto a Adriana. 25. 2. Explica por qué el no puede determinar la cantidad exacta de cerca que necesita. Determina el peso molecular de un proteasoma.017 b. 600 c.200 litros. Tengo $500. la sexta parte en hace ejercicios. A la niña que le dio más chocolatinas es: a) Carmen b. b. El peso molecular de un proteasoma es aproximadamente 2. el menor número de pares que debe producir y vender al mes para obtener utilidades es: a) 300 b. Si el peso molecular de una proteína es aproximadamente 9.375 26. Adriana c. 2. 500 litros 28. 4000 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 54 de 138 .398x103 veces el peso atómico del carbono. Si el cuero e insumos necesarios para producir cada par le cuesta $20 mil. el cual es 1. Cuando entra al colegio le regala 1/6 de las chocolatinas a Carmen.52 x 105 veces el peso atómico del oxígeno. La cantidad de agua disponible para el día miércoles es: a) 1. 1. 24.000 litros de agua. Los proteasomas son estructuras dentro de las células que destruyen proteínas. 1200 d. el cual es igual a 1. Una alberca tiene una capacidad de 4. Un cateto mide 50 m y el otro 64 m.599x10. 2. al terminar el día lunes solo tenía los 4/5 de la capacidad total y el martes se consumió los 3/8 de lo que tenía el día lunes. Si Gabriela aún le queda 8 chocolatinas. 22. la novena en divertirse y la restante en dormir ¿Qué fracción del día duerme? En los siguientes problemas escoger la respuesta y justificar. 5 días 31. Gana en el negocio b. 4/6 de los conejos tienen una enfermedad. Si r denota el monto de la rebaja y a denota el monto del aumento.6. Pierde $15 por naranja. Con base en lo anterior. 152 dólares 2. entonces a. incrementa el nuevo precio en un 20%. Esta entre $ 500. Pierde en el negocio c. 14. a $600 la docena y las vende un valor de $75 la unidad. Un depósito de agua cuya capacidad es de 425.5 minutos B. se le dañaron treinta naranjas. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 55 de 138 . 33.000 d. Después de haberlos inyectado se observa que de los conejos enfermos han muerto 2/5 partes.000 b. Primera Edición —2004 Danny Perich C. posteriormente. Ni gana ni pierde d. 34. Fue menor de $550. Si entre todos gastan 124 dólares. r > a c. En un galpón. Decima Tercera Edición —1997 Dr. Un padre deja al morir 4500 euros para repartir entre sus tres hijos.5 segundo C. 3000 euros c. 3300 euros. 14.23 litros en 3 minutos y la segunda 31. el capital común que queda es: a) 252 dólares b. Aurelio Baldor Ejercicios PSU Matemática. r = 2a 30. 14. Aritmética. Un frutero compró 120 naranjas.000 y $ 600. 452 dólares c. Patricio el doble de lo que tiene Pedro menos 16 dólares y Juan tanto como los dos anteriores juntos más 18 dólares.000 c. El dinero que recibió el menor fue de: a) 1000 euros b. 352 dólares d. Un comerciante rebaja en un 20% el precio x de cierto producto y. Aurelio Baldor Geómetra. La primera vierte 25.43 litros se puede llenar por medio de dos llaves. r = a b.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 29.000 32. BIBLIOGRAFÍA.5 horas D. 200 euros d. Fue menor de $ 500. Decima Tercera Edición —1997 Dr. El Mayor recibe 2/9 de la herencia.3 litros en 5 minutos. Si tenía 600 conejos. Podemos afirmar que: a. ¿Cuánto tiempo tardara en llenarse si estando por la mitad se abren las dos llaves simultáneamente? A. 14. Pedro tiene 65 dólares. El dueño decidió vender cada conejo sano a $2000 y cada conejo enfermo a $800. entonces el dinero que se recibe por la venta: a) Fue mayor de $ 600. r < a d. el segundo 1/5 de la parte del mayor y el menor lo restante. Madrid México. Mac Graw Hill. Primera Edición —2006 Swokowiski Earl W. A. 1983. Y Carmen Gloria Bascuñan B. México 1994.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Matemática Hoy 7_ Básico. Mc. Graw Hill. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONJUNTO Y NÚMEROS REALES Página 56 de 138 . Editorial Iberoamericana 1996 Baldor. Cole Jeffery A. Álgebra Y Trigonometría Con Geometría Analítica 3 Edición. Álgebra Y Trigonometría 3 Edición. Primera Edición —2007 Marcelo Rodríguez Aguilera PSU Parte Matemática. Matemática PSU. Volúmenes 1 Y 2. Barnett Y Raymond A. Publicaciones Culturales. Primera Edición —1991 Ana María Panesi P. Álgebra. donde 𝑎 se denomina antecedente y 𝑏 consecuente Ejercicios 1. es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 5 son varones La razón entre el número de mujeres respecto al número de varones es 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 12 3 = = 𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 20 5 . En un terreno. ¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total? La diferencia entre una razón y una fracción radica que en la fracción los términos son números enteros con el denominador diferente de cero. es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 3 son mujeres La razón entre el número de varones respecto al total de estudiantes es 𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 20 5 = = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 32 8 . RAZÓN La razón entre dos cantidades 𝑎 y 𝑏 es la comparación de ellas mediante la división.1. es decir que por cada 5 varones hay 3 son mujeres 2. MAGNITUD Es la cualidad de un objeto que se puede medir La longitud de un cuadrado La capacidad de un recipiente El número de trabajadores de una obra La cantidad de dinero que se paga por un producto 3.2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 3 RAZÓN Y PROPORCIÓN 3. mientras que en la razón los términos pueden ser decimales. se denota a o bien a : b b . Si de los 32 estudiantes de un salón de clase 12 son mujeres y 20 varones entonces La razón entre el número de mujeres respecto al total de estudiantes es 𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠 12 3 = = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 32 8 . Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 57 de 138 . el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es de 80 metros cuadrados. El perímetro de un rectángulo es128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 5 : 3. d los medios 3.205 ¿Cuáles son los números? 4 4 3. d son los extremos y b.d=b. la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 1.3.200Kg y están en la razón 7 : 4.1 Propiedades de las proporciones En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos. La razón entre dos números es y su diferencia es 1. a. 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 . PROPORCIÓN Es una igualdad entre dos razones.c 2 4 = 5 10 2 .4 20 = 20 En una proporción o en una serie de razones iguales.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 3. donde a. La suma de las edades de dos personas es 80 años y están en la razón 7 : 9. 𝑎 𝑐 𝑑 𝑏 = entonces = 𝑏 𝑑 𝑐 𝑎 Ejercicios 1. Calcula el peso de cada vehículo? 6. Calcula su área Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 58 de 138 .10 = 5 . ¿Cuáles son las edades? 9 2.1. Calcula el valor de cada número 5. 𝑎 𝑐 𝑒 𝑎+𝑐+𝑒 = = = 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏+𝑑+𝑓 Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía. La suma de dos números es 91 y están en la razón 4 : 3. La razón entre dos números es y la suma de sus cuadrados 369 ¿Cuáles son los 5 números? 4. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 59 de 138 . Para calcularlo se divide por el opuesto. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 3. la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. A menos corresponde menos.1.3 Medio proporcional Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. el producto de los otros dos términos.4 6.1.4. al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera. x 6 36 = entonces x = =3 6 12 12 2 Ejercicios Calcular el valor de x en las siguientes proporciones 5 𝑥 20 4. se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. dividido por el término desigual. Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde más. 3 x = entonces 𝑥 2 =3×12=36 x 12 x=±√36 = ±6 3. 2 4 2 ×10 = entonces x= por lo que x=5 x 10 4 x 4 5 ×4 = entonces x= por lo que x=2 5 10 10 3.4 Tercero proporcional En una proporción continua. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales.2 Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los términos de una proporción.4 = 9 8 25 15 2 4+7 15 + 2 5 = 2 11 3 𝑥 3.1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando.6 = = 𝑥 14 105 35 𝑥 5. 2 kg costarán $2 800 y ½ kg costará $700. calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. el peso de un producto y su precio. A menos a menos. También son directamente proporcionales: El espacio recorrido por un automóvil y el tiempo empleado.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Son magnitudes directamente proporcionales.5.1. D 240 𝐾𝑚 → 3 ℎ 𝑥 𝐾𝑚 → 2 ℎ 240 𝐾𝑚 3ℎ = 𝑥 2ℎ 240 𝐾𝑚 × 2 = 3 × 𝑥 𝑥= 240 𝐾𝑚 × 2 3 = 160 𝐾𝑚 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 60 de 138 . ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros. Es decir: A más kilógramos de tomate mayor precio.1. Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? Son magnitudes directamente proporcionales. La longitud de los lados de un polígono y su área.4. 𝐶 𝐴1 → 𝐶 = 𝑥= 𝐴2 → 𝑥 𝐴2 𝑥 𝐴1 La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más a más. REGLA DE TRES SIMPLE Y DIRECTA Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales.1 Problemas 1. 3. El volumen de un cuerpo y su peso. Aplicaciones de la proporcionalidad directa 3. Si 1 kg de tomates cuesta $ 1400 . 3.5. A menos kilógramos de tomate menor precio. D 𝐴1 𝐶 𝐴2 . Así. ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27. ¿Cuántos metros cavarán.100. Marcela gana $ 540. es la fracción de un número entero expresada en centésimas. Para calcular el porcentaje de un número n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primero. A esa razón. Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. o tanto por ciento.000? 7. ¿cuánto pagará Ana? Son magnitudes directamente proporcionales. El término se deriva del latín per centum. si 2 kg cuestan $2 160. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Cuánto dinero gana en 10 días? 3. 42 operarios trabajando las mismas condiciones? 6. Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Es decir que en dos horas el automóvil recorre 160 Km 2. en un día. ya que a más kilos. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género? 4.000 mensuales (considera 30 días). Ana compra 5 kg de papa.2. PORCENTAJE Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos. mayor valor. pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Normalmente se representa con el símbolo %. que significa “por ciento”. Los cálculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados. Ejercicios Dado el número halla el porcentaje indicado: Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 61 de 138 . 20 por ciento significa 20/100. D 2 𝐾𝑔 → $2 160 5 𝐾𝑔 → 𝑥 2 𝐾𝑔 $2 160 = 5 𝐾𝑔 𝑥 2 × 𝑥 = 5 × $2160 𝑥= 5 × $2 160 = $5 400 2 3 Es decir que 5 Kg de papa costaran $5 400 3.5. Porcentaje. si mantiene su rapidez constante? 5. Tres metros de género valen $ 800. 3. del restante el 27% es utilidad para el estado y de lo queda el 51% es utilidad para Ecopetrol.68 8466. 20 de 80 3. lo restante corresponde al costo de producción de un galón del combustible ¿Cuál es el costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia?¿Cuál es el porcentaje de incremento del galón de gasolina corriente al usuario? Item % Precio de venta Vendedor 5 Margen de continuidad 1 mayorista 3 Transportador 4 Impuesto 27 Ecopetrol 51 Valor 8911.68 de dicho precio.77 El costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia es de $2791. del restante se descuenta un 1% de "margen de continuidad" . 4 el 30%: 4 x 2.3 1.68 x 2791. Ejercicios Calcula que tanto por ciento es… 1.44 8129. 90 de 1900 4.18 288 100 3. el minorista de la bomba recibe 5% de utilidad. 4.5 el 40% 840 el 25% 90 el 64% 200 el 28% 1. El precio del galón de gasolina corriente hoy en Colombia es de $8911.2 100 18 1600 el 18% : 1600 x 1600 x0. 6. 38 de 96 Problemas 1.99 7804. 16 de 360 2.77 Valor % 8911.10 8381. del restante los transportadores de combustible obtienen una utilidad del 4%.77 100 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 62 de 138 . 5.79 5697.50 2791.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 30 4 x0. del restante el distribuidor mayorista gana 3%. 5 100 𝑥 = $3 975 000 𝑥= Para saber el costo del vehículo se debe restar 53 000 000 – 3 975 000 =49 025 000 Por lo tanto se debe pagar $49 0250 000 4.5% = 𝑥 × 100% $53 000 000 × 7.21% 2.77 2791. Un joven práctica diariamente 3 deportes durante 2 horas. Una moto cuyo precio era de $5 000 000.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 𝑥= 1-1-2016 100% × $8911. 𝑥= 250 000 × 100% 5 000 000 = 5% 3. cuesta en la actualidad $250 000 más.5% $53 000 000 × 7. Si la impresora de la universidad imprime 8 hojas por minuto. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? $53 000 000 → 100% 𝑥 → 7.5%. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $53 000 000.21% $2791. a. ¿Cuánto tiempo le dedica a cada deporte? Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 63 de 138 .68 891168 = % = 319. En 1 hora cuántas hojas podría imprimir 5. como lo muestra el siguiente gráfico de sectores. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? Las magnitudes son directamente proporcionales $5 000 000 → 100% $250 000 → 𝑥 $5 000 000 100% = $250 000 𝑥 5 000 000 × 𝑥 = 250 000 × 100% El porcentaje de aumento será del 5%.5% $53 000 000 𝑥 100% = 7.77 El porcentaje de incremento de un galón de gasolina corriente en Colombia es del 319. ¿cuánto tardará en para imprimir 160 hojas tardará? b. nos hacen un descuento del 7. Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales.2% cada año. la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. En una granja el 35% de las aves son patos. ¿Cuánto se debe pagar por el vestido? ¿Cuál es el valor del descuento? 11. ¿Qué porcentaje de barriles se exporta? 14.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 6. al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera. Halle el precio de contado. Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8%. ¿Cuánto aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma? 10. Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando. se consumen 500 000 y el resto se exporta. Si el arriendo se incrementa en el 6. Si un salario se incrementa de $750 000 a $1 095 000 ¿cuál es el incremento porcentual? 16. Si a un trabajador le incrementan el salario mensual por 24 horas de trabajo semanal de $1 584 000 a $ 1 774 080 ¿cuál es el incremento porcentual del valor de la hora de trabajo? 17. Si el número de aves muertas fue de 28 800. El precio de un artículo más el impuesto del valor agregado (IVA) es de $ 145 000 si el IVA es del 16% halle el precio del producto sin IVA. El 56% de la producción de la palma africana se utiliza para la producción de aceite. Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 64 de 138 . El precio por la venta de un local es de 250 millones de pesos si se acuerda pagar 220 millones de pesos ¿Qué porcentaje se descontó? 3. ¿cuántas gallinas tenía la granja avícola? 9. El precio de un computador de $1 760 000. Suponga que el precio normal de un artículo es $60 000. ¿cuánto debe pagar de arriendo cada uno de los próximos 5 años? 12. Si el pago es de contado se hace un descuento del 12%. El 24% de las gallinas de una granja avícola murieron debido a una epidemia. determine el precio final del artículo 7. el 40% pollos y las restantes gallinas. Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios. 15. Si en la granja hay 300 aves. se consumen 500 000 y el resto se exporta ¿qué porcentaje se exporta? 13. ¿Cuántas gallinas que hay? 8.6. Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios. se le descuenta el 20% y al nuevo precio se le aumenta el 20%. 3. Son magnitudes inversamente proporcionales. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto? Son magnitudes inversamente proporcionales. A menos velocidad corresponde más tiempo. I 𝐴1 → 𝐶 𝐴2 → 𝑥 𝐴1 𝑥 = 𝐴2 𝐶 𝐴1 × 𝐶 = 𝑥 × 𝐴2 𝑥= 𝐴1 × 𝐶 𝐴2 La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más A menos menos más. Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad.1. la velocidad y el tiempo: A más velocidad corresponde menos tiempo.7. Problemas Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h. si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas. Es decir. 3. Problemas 1. A menos corresponde más.7. I 18𝑙/𝑚𝑖𝑛 → 14 ℎ𝑟𝑠 7 𝑙/𝑚𝑖𝑛 → 𝑥 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 65 de 138 . Regla de tres simple inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD INVERSA. ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde menos. calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Problemas 1. ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? Son magnitudes inversamente proporcionales: a más radio menos vuelta I 25 𝑐𝑚 → 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 75 𝑐𝑚 → 𝑥 25 𝑐𝑚 𝑥 25 × 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑥 = 100 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 𝑥= 75 𝑐𝑚 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 75 𝑐𝑚 La rueda de 75 cm dará 100 vueltas 3. Cuando la primera ha dado 300 vueltas. ¿cuánto tardarán en construirlo 5 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales. ¿qué cuesta la cantidad de agua vertida por 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes. 2. de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. 3 obreros construyen un muro en 15 horas.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 18 𝑙/𝑚𝑖𝑛 𝑥 14 ℎ𝑟𝑎𝑠 × 18 𝑥 = 36 ℎ𝑟𝑎𝑠 = 𝑥= 7 𝑙/𝑚𝑖𝑛 14 ℎ𝑟𝑠 7 Si el caudal fuera de 7 l/min se taradra 36 hras en llenar el deposito. Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $56000.7. I 3 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 → 12 ℎ𝑟𝑠 5 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 → 𝑥 3 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑥 15 ℎ𝑟𝑎𝑠 × 3 𝑥 = 9 ℎ𝑟𝑎𝑠 = 𝑥= 5 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 15 ℎ𝑟𝑠 5 5 obreros tardaran 9 horas en construir el muro 3.2. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Magnitudes Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 66 de 138 . ya que a más obreros tardarán menos horas. MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA N° Grifos 9 15 Tiempo (horas) 10 12 1-1-2016 Valor ($) 56 000 x Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Valor $.N° Grifos Valor $ . ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 8 horas diarias? Obreros 5 4 Magnitudes Horas diarias 6 8 Días 2 x Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Días .Obreros Días – Horas Diarias La relación sería Simplificando Despejando Relación A más obreros menos días A más horas diarias menos días Tipo de Relación Inversa Inversa 2 𝑑í𝑎𝑠 4 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 = = 𝑥 5 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 2 𝑑í𝑎𝑠 4 4 = = 𝑥 5 3 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 67 de 138 . 5 obreros trabajando. trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días.Tiempo Relación A más grifos abiertos más valor A más tiempo más valor La relación sería Tipo de Relación Directa Directa $56000 9 𝐺𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠 10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = = 𝑥 15 𝐺𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Simplificando y despejando 𝑥= $56000 × 15 × 12 9 × 10 𝑥 = $112 000 Mantener 15 grifos abiertos durante 12 horas cuesta $112 000 2. despejando 𝑥= 4 × 3 × 5 × 9 𝑑í𝑎𝑠 = 9 𝑑í𝑎𝑠 5×4×3 Por lo tanto 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar un muro de 50 m en 9 días. si se enciende la estufa durante 8 horas diarias? Organizamos las magnitudes Magnitudes Días funcionando Horas diarias 8 6 x 50 8 Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Galones 10 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 68 de 138 .Obreros Días – Horas Diarias Días – longitud el muro La relación sería . simplificando Relación A más obreros menos días A más horas diarias menos días A más días mas alto el muro Tipo de Relación Inversa Inversa Directa 9 𝑑í𝑎𝑠 10 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 30 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 = = = 𝑥 8 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 50 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 9 𝑑í𝑎𝑠 5 4 3 = = = 𝑥 4 3 5 .4. 4.2 3. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? Magnitudes Obreros Días Trabajando Horas diarias Longitud del muro 8 9 6 30 10 x 8 50 Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Días .875 𝑑í𝑎𝑠 ≈ 2 𝑑í𝑎𝑠 4×4 4 obreros trabajando 8 horas diarias construirán el muro en aproximadamente 2 días 𝑥= 3.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 2 𝑑í𝑎𝑠 × 5 × 3 = 1. Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. Una estufa de gasolina consume 10 galones en 8 días funcionando 6 horas diarias ¿cuánta gasolina se necesita para 50 días.1. ¿cuánto tiempo tardara en llenarse? Organizamos las magnitudes Capacidad (litros) 500 750 Magnitudes Sección (cm2) 4 5 Tiempo (Horas) 12 x Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita Magnitudes Tiempo . 5.4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 2×5 Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 69 de 138 . Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm 2 de sección. simplificando 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 500 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 5 𝑐𝑚2 = = 𝑥 750 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 4 𝑐𝑚2 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 2 5 = = 𝑥 3 4 .Capacidad Tiempo . despejando 𝑥= 3 × 4 × 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 14. la relación sería . encendiendo durante 8 horas diarias se necesitarían aproximadamente 84 Galones de gasolina. Un depósito de 500 litros de capacidad se llena con un grifo de 4 cm 2 de sección en un tiempo de 12 horas.33 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 ≈ 84 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 4×3 Por lo tanto para 50 días. despejando 1-1-2016 10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 4 3 = = 𝑥 25 4 25 × 4 × 10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 = 83.Sección Relación A más capacidad más tiempo A más sección menos tiempo Tipo de Relación Directa Inversa .Días Gasolina – Horas Diarias La relación sería 𝑥= Relación A más días más gasolina A más Horas más gasolina Tipo de Relación Directa Directa 10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 8 𝑑í𝑎𝑠 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = = 𝑥 50 𝑑í𝑎𝑠 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 . simplificando .MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA Magnitudes Gasolina . MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm 2 de sección tardaría en llenarse aproximadamente 14. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 dólares. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días? 7. ¿cuántas máquinas serán necesarias para triplicar la producción en 6 días. 6. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días? 9. Si 10 máquinas fabrican 4. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 8. trabajando la misma cantidad de horas diariamente? Departamento de Estudios Generales e Idiomas RAZÓN Y PROPORCIÓN Página 70 de 138 . Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura.000 unidades de un producto en 5 días. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 10. tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. Seis grifos.4 horas. Por ejemplo.3. DESARROLLO TEMÁTICO: En el mundo que nos rodea existe una disposición armoniosa en su estructura. gracias a la armonía implícita en la naturaleza. Aplicar la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés compuesto como regla de tres compuesta. Interpreto los porcentajes como fracciones con denominador 100 y uso este hecho para resolver problemas de contextos reales. las proporciones. En la presente guía retomarás los conceptos básicos de las razones. Planteo un esquema general para la resolución de problemas sobre interés simple. COMPETENCIAS: Uso la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés simple como regla de tres compuesta. cosas que a simple vista y en un consenso común nos parecen bellas. esto debido a que la naturaleza en general es ordenada en ciertos aspectos a causa de proporciones que la rigen. OBJETIVOS: Aplicar la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés simple como regla de tres compuesta.4. INTERÉS SIMPLE Cuando una persona solicita a una segunda dinero prestado. tanto por ciento e interés simple y compuesto de forma que puedas aprender de paso a deleitarte con la belleza. 4. la segunda exige a la primera una cantidad adicional por concepto de alquiler de dicho dinero. Valoro la importancia de la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés compuesto como regla de tres compuesta. Elaborar un esquema general para la resolución de problemas sobre interés simple. 4.1. Lo anterior obedece a que Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Página 71 de 138 .2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 4 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO 4. Aplico la proporcionalidad en el cálculo de porcentajes. 4. Deduzco o verifico las propiedades de las proporciones para solucionar problemas. Hago uso de los porcentajes y de la proporcionalidad para resolver problemas financieros. el muy conocido esquema del cuerpo humano de Leonardo Da Vinci está basado en una proporción. P.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 el dinero con el tiempo pierde su valor (se devalúa). así: Capital Interés Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Página 72 de 138 . me permito indicarle que deberá efectuar el pago de este importe en el plazo de un año. Cordialmente. El beneficio recibido por el banco o alquiler pagado por el dinero prestado se lama interés y se representa por I. El tiempo que dura el préstamo se representa por T. en el periodo de tiempo elegido. conservando la tasa porcentual y el tiempo. En la operación bancaria que hemos planteado se presta una cantidad de dinero y se recibe un beneficio en un tiempo determinado. En el ejemplo que estamos considerando: Capital: C= $2000000 Interés: I= $300000 Tiempo: T= 1 año Rata: R= 15% (ya que $300000 es el 15% de $2000000).B. El dinero prestado o cantidad invertida por el banco se llama capital y se representa por C. Dinero prestado + Interés = Monto (o dinero que se devuelve). Observemos que la cantidad prestada es el doble de la anterior. Consideremos la siguiente situación: El señor Vélez solicita al banco popular un crédito y obtiene la siguiente respuesta: Banco popular Estimado señor Vélez: Me es grato comunicarle que su petición de crédito por valor de $2000000 le ha sido aprobada en la reunión de la junta del banco. así como los intereses que corresponden a la cifra de $300000. por cada $100 se llama rata. tasa porcentual o tanto por ciento y se representa por R. J. El tipo de interés que hemos considerado se lama interés simple. La cantidad de dinero que se obtiene por el concepto de alquiler de la cantidad prestada se llama interés. entonces el interés a pagar será el doble. Además. ya que los interés no se acumulan al capital sino que se consideran como un fondo aparte del capital. A la cantidad que se cobra por concepto de interés. MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA $2000000 ↔ $4000000 ↔ 1-1-2016 300000 600000 Por tanto: El interés es directamente proporcional al capital. En general. el interés a pagar se duplica. Tiempo 1 año ↔ 2 años ↔ Interés $300000 $600000 Por tanto: El interés es directamente proporcional al tiempo. FORMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE Los problemas de interés simple consisten en hallar el valor de uno de los elementos I. conociendo los otros tres. semestral (6 meses) o trimestral (3 meses). Asi. se considera la rata anual (año de 360 días).5. por el mismo capital y a igual tasa porcentual. C. pero en algunos casos se presta dinero a una rata mensual. el interés a pagar en dos años es el doble del interés que se debe pagar por en un año. Finalmente. Rata 15% ↔ 30% ↔ Interés $300000 $600000 El interés es directamente proporcional a la rata. 4. 15% anual = 7.5% semestral = 3.75% mensual. T y R. al duplicar la tasa porcentual. ¿Qué cantidad debe devolver al banco después de 2 años? Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Página 73 de 138 . Para lograrlo tenemos la siguiente fórmula: I = C X T X R / 100 Ejemplos: 1) Un banco presta $100000 a una persona a una rata de 25% anual. Igualmente. Obtenemos: I = $106250. T = 50/ 360 año (1año = 360 días) y R = 27% anual. Debemos calcular el interés que producen $100000 en 2 años al 25% anual. ¿Qué interés cobrara el banco? Solución: De acuerdo con el enunciado: C = $850000. 2) Un señor recibe un préstamo de $850000 al 30% anual para pagarlo al cabo de 5 meses. Remplazamos en I = CxTxR / 100. T = 5/ 12 año (1 año = 12 meses) y R = 30% anual. Obtenemos I= $50000 Luego. En 5 meses el banco recibe un beneficio de $106250. 3) ¿Qué interés nos cobrara un banco por un préstamo de $300000 al 27% anual para devolverlo a los 50 días? Solución: De acuerdo con el enunciado: C = $300000. T= 2 años y R= 25 en I = CxTxR/ 100. Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Página 74 de 138 . Remplazamos C= $100000.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Solución: Monto = Dinero prestado + Interés. monto = $100000 + $50000 = $150000 Debe devolver $150000 al banco al finalizar los dos años de duración del préstamo. Monto = $100000 + Interés. Remplazando en I = CxTxR/ 100. Obtenemos: I = $11250. Tenemos: C= $175000. para que produzcan $125000 en 8 meses? Solución: Tenemos: C =? I = $125000 T = 8 meses y R = 25% anual. TIEMPO O RATA Cuando en un problema se pide calcular el capital. Tenemos que ahorrar $750000. entonces I = CxTxR / 100x12 T en días.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Los ejemplos 1. hay que tener en cuenta la unidad en que viene expresado el tiempo. Obtenemos: Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Página 75 de 138 . 5) ¿Qué capital tenemos que ahorrar en un banco. Remplazamos en I = CxTxR / 100x12. entonces I = CxTxR / 100 T en meses. al 25% anual. entonces I = CxTxR / 100x360 4) ¿Qué interés nos cobrara una persona por un préstamo de $175000 al 2. el tiempo o la tasa porcentual. 6) Por un préstamo de $42000 nos han cobrado $1960 al 4% mensual.2 y 3 nos indican que para calcular el interés. ¿Durante cuantos días hicimos el préstamo? Solución: Tenemos: C = $42000 I = $1960 R = 4% mensual T =? Remplazando en I = CxTxR / 100x30. T en años.6.5% mensual durante dos años? Solución: En este caso expresamos el tiempo en meses y aplicamos la fórmula de interés. Remplazamos en I = CxTxR / 100. Obtenemos: C= $750000. 4. CALCULO DEL CAPITAL.5% mensual. Obtenemos: I = $105000. remplazamos en la fórmula de interés los términos dados y luego despejamos la incógnita pedida. T = 24 meses y R = 2. 5 / 100 = $34. capitalizando intereses cada mes. INTERES COMPUESTO Tiempo Capital 2% mensual 1 2 3 4 5 6 1000 1020 1040.08 Capital al final de cada periodo 1020 1040. Obtenemos: R = 20%.42 1104.75 Segundo mes: 1383.5 / 100 = $33.20 1082. Solución: Primer mes: 1350 x 2. 7) ¿Qué tanto por ciento anual nos han cobrado por un préstamo de $800000 si hemos pagado $64000 de intereses en 4 años? Solución: Tenemos: C = $800000 T = 4 años I = $640000 R =? Remplazando en I = CxTxR / 100. El dinero estuvo prestado por 35 días.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 T = 35 días.59 Nuevo capital: 1383.5% de interés mensual. 4.75 Nuevo capital: 1350 + 33.40 1061. Se impuso a una tasa del 20% anual.14 Interés compuesto es el caso especial donde el interés devengado en cada unidad de tiempo. se suma al capital impuesto para devengar nuevos intereses.7. Ejemplo: Hallar el interés compuesto de $1350 en 3 meses al 2.75 + 34.22 21.06 20 20.40 1061.20 1082.34 Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Página 76 de 138 .75 = $1383.64 22.40 20.42 1104.06 1126.80 21.75 x 2.59 = $1418. 45 = $1453. Una cantidad de dinero prestada al 2. En cuanto tiempo un capital de $100000 duplica su valor si la tasa es del 20% anual.75% mensual de interés compuesto. ¿Qué dinero recibe el banco por intereses trimestrales? 5. capitalizando por bimestres (tiempo: 6 meses) 15.75 + 34. ¿Qué tanto por ciento mensual le renta la casa? 12. o colocar los $8000 al 2. si produjo $200000 a una rata del 30% anual? 9. ¿Qué interés produce un capital de $64000 colocado durante un año y 8 meses al 36% anual? 2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Tercer mes: 1418. Hallar el interés compuesto de $2100 en 12 meses al 2% mensual.79 4.34 x 2.8. Hallar el interés compuesto de $ 4350 en 18 meses al 2. capitalizando por trimestre. Que es más ventajoso: colocar $8000 al 3% mensual de interés simple.45 Capital final: 1418. Una persona compra una casa en $800000 y la alquila recibiendo $96000 en 8 meses. ¿Cuál es el capital que colocado al 18% anual produce $30000 durante 216 días? 7. ¿Durante cuánto tiempo ha estado colocado un capital de $800000 en un banco. Un estudiante gasta durante 10 meses de estudio $36000.79 Interés producido: $33.59 + 35.45 = $103. Ana hace un préstamo de $40000 al 20% anual durante tres meses 21 días.34 + 35. Alberto presta a Carlos $80000 al 30% anual con la condición de que mensualmente le pague los intereses. ¿Cuánto dinero ha entregado Carlos a Alberto por concepto de interés después de 9 meses? 4.5% mensual. 14.5% mensual durante 15 meses produce $112500. Al cabo de cuánto tiempo un capital de $144000 colocado al 20% anual produce un capital igual a las tres cuartas partes de su valor? 10. Si debe pagar los intereses por cuotas trimestrales. Un capital de $364000 se prestó durante 4 años y produjo $305760 de interés. ¿Qué capital colocado al 24% anual debe tener un padre de familia para poder cubrir exactamente los gastos de estudios en los 10 meses? 8.5 / 100 = $35. 13. ¿Cuánto pagara por concepto de interés? 3. ¿Cuánto dinero se prestó? 6. Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Página 77 de 138 . A un comerciante le fue aprobado un préstamo por $ 1200000 al 30% anual y con un plazo de 5 años. ACTIVIDADES Resuelve los siguientes problemas: 1. capitalizando intereses por semestres. ¿A qué tanto por ciento anual se prestó? 11. T. BIBLIOGRAFIA P. HERNÁNDEZ.9. “Módulo II: Proporcionalidad y Aplicaciones”. V.. Colombia.Preuniversitario Popular”. (2007).. “Matemáticas Básicas Aplicadas”. L. Fundamentos y Aplicaciones”. Departamento de Estudios Generales e Idiomas INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Página 78 de 138 . PÉREZ. M. J. B. International Thompson Editores. Editorial Voluntad. RODRÍGUEZ. ORTIZ.O. (1997) “ Razonamiento Matemático. Publicaciones INFOTEP. Universidad Tecnológica de Chile. (2003) “Inteligencia Lógico Matemática 7”. (2008) “ Prueba de Selección Universitaria Matemática. J. CARABALLO A. TORRES. y RAMÍREZ.Colombia. PAREDE. (2008). Universidad de Chile. CRUZ.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 4. JARA. San Andrés Isla. 5. CONCEPTOS BÁSICOS Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. expresar y representar ideas matemáticas. cilindros y esferas. modelos y estructuras matemáticas en procesos y situaciones problémicas. Calcular volúmenes y áreas de superficies de sólidos geométricos: rectangulares. Capacidad comunicativa en lenguaje matemático. COMPETENCIAS Capacidad para formular. Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 5 CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA 5. 5. Algunas unidades de medidas De longitud (m) De superficie (m2) De volumen (m3) De Capacidad (lt) De masa (gr) De tiempo (hora) De velocidad (m/sg) De temperatura (oC) Eléctricas (Voltio) De densidad (kg/m³) De energía (Julio) De fuerza (Newton) de peso específico (N/m3) de potencia (Vatio) de presión (Pa) de viscosidad (Pa·s) Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 79 de 138 . círculos. Reconocer los diferentes tipos de unidades de medidas. representar o crear figuras geométricas. SISTEMAS DE MEDIDAS 5.1.3. Calcular perímetros y áreas de las figuras planas: triángulos. 2. 2. 3. 5. Capacidad para juzgar la validez de un razonamiento lógico matemático. Reconocer figuras geométricas.2. plantear. Identificación de regularidades. transformar y resolver problemas matemáticos. Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad. 4. OBJETIVOS 1. Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y explicar situaciones del mundo real. Convertir mediciones de un sistema a otro 3.1. La medida es el número de veces que la magnitud contiene a la unidad. cuadriláteros.3. Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de notación para crear. Interpretar. área. Sistema Ingles de Medidas o anglosajón. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 80 de 138 . Masa. es una representación física de una unidad de medición 5. kilogramos y segundos Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro. Esta diversidad dificultó las relaciones comerciales entre los pueblos. El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10. El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos en la medida de las siguientes magnitudes: Longitud. Superficie. volumen. También es conocido como sistema MKS debido a que sus unidades básicas son metros.5. en especial las más industrializadas. Capacidad. el pie. Existen varios sistemas de unidades. es el resultado de la adopción. incluyendo partes del cuerpo para medir (la cuarta. SISTEMAS DE UNIDADES En el pasado cada país y en algunos casos cada región usaban unidades de medidas diferentes. EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Fue propuesto en 1792 por la Academia de Ciencias de París con el objetivo de unificar criterios en las medidas.4. volumen. 5. A nivel internacional los más usuales son Los siguientes: Sistema Internacional de Unidades o SI: es la forma actual del sistema métrico decimal y establece las unidades que deben ser utilizadas internacionalmente.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 En el presente capítulo se abordaran situaciones relacionadas con unidades de longitud. entre otras). Un patrón de medidas es el hecho aislado y conocido que sirve como fundamento para crear una unidad de medida. masa y tiempo. Fue creado por el Comité Internacional de Pesos y Medidas con sede en Francia. Definen un conjunto básico de ellas a partir del cual se deriva el resto. la braza. Para acabar con esas dificultades se unificaron criterios a través de los sistemas de unidades Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. entre las que destacan Gran Bretaña y los Estados Unidos. por parte de los países de habla inglesa. el jeme. el gramo y el segundo. MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures). 50 × 100 = 5000 cm En conclusión 50m = 500cm Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 81 de 138 . Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. las palabras griegas indicadas en la tabla tales como Deca. y los submúltiplos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci. ya que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación. centésima y milésima parte respectivamente. de acuerdo con el cuadro siguiente: Prefijo Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca Simbolo Factor Asociado P 1015 T 1012 G 109 M 106 K 103 H 102 D 101 Unidad patron 100 deci centi mili micro nano pico Femto d 10−1 c 10−2 m 10−3 µ 10−6 n 10−9 p 10−12 f 10−15 5. centi y mili. Los múltiplos y submúltiplos más usuales del metro son: Por lo tanto. entre otras que significan diez.6. que significan décima. el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. entre otras. cien y mil respectivamente. UNIDADES DE LONGITUD La unidad principal para medida longitudes es el metro. Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro. Hecto y Kilo. que se representa por m. Ejemplo 1: Pasar 50m a cm Solución Si se quiere pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros. 385m Ejemplo 5: Convertir 23500 cm en Km Solución En este caso no hay una equivalencia directa entre cm y Km.01 m 1mm = 0.001𝑚 4385𝑚𝑚 × = = 4.001m Ejemplo 3: Pasar 50m a cm Solución La equivalencia entre cm y la unidad patrón que es el metro es: 1cm = 0. de tal manera que 1cm = 0. se aplica entonces el factor de conversión 1𝑐𝑚 50 50𝑚 × = 𝑐𝑚 = 5000𝑐𝑚 0. por lo tanto el factor de conversión se hace de manera simultánea 0.385𝑚 1𝑚𝑚 1𝑚𝑚 Luego 4385mm = 4.01m.01𝑚 1𝐾𝑚 23500𝑐𝑚 × 0. aplicando el factor de conversión se tiene 0.01𝑚 × 1𝐾𝑚 235 23500𝑐𝑚 × × = = 𝐾𝑚 = 0. 4385÷ 1000 = 4.001m.385m También se pueden convertir unidades teniendo en cuenta los valores de equivalencias de los múltiplos y submúltiplos con respecto a la unidad patrón 1Km = 1000m 1Hm = 100m 1Dm =10m 1dm = 0.01m y 1Km = 1000m. pero si entre ambos y la unidad patrón que es el metro.1 m 1cm = 0.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Ejemplo 2: Pasar 4385mm a m Solución Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros.01𝑚 0.385m En conclusión 4385mm = 4. ya que hay tres lugares de separación.001𝑚 4385𝑚𝑚 × 0.01 Luego 50 m = 5000cm Ejemplo 4: Pasar 4385 mm a m Solución La equivalencia entre mm y la unidad patrón que es el metro es 1mm = 0.235 𝐾𝑚 1𝑐𝑚 1000𝑚 1𝑐𝑚 × 1000𝑚 1000 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 82 de 138 . luego de esto deberán sumarse los tres recorridos para hallar el número total de metros a recorrer Ejecutar el plan: Primer recorrido 5.8.21 cm 2.7.48 cm 91.54 cm 30.01𝑚 2500𝑐𝑚 × 0. UNIDADES DE LONGITUD DEL SISTEMA INGLES Tabla de Equivalencias Unidad Línea Pulgada Pie Yarda Milla Terrestre Símbolo l ´ 12 l ft 12´ 3 ft Mll 1700 yd Equivalencia 0.4𝐷𝑚 × 10𝑚 = = 164𝑚 1𝐷𝑚 1𝐷𝑚 Tercer recorrido 0. El mapa establece que desde la orilla se deben recorrer 5. a partir de tres datos recorridos expresados en diferentes unidades de longitud Configurar un plan: Como se dan los recorridos en diferentes unidades de medidas se deberá efectuar las respectivas conversiones con respecto a la unidad pedida es decir a metros.44 cm 1600 m 5.2𝐾𝑚 × 1000𝑚 = = 520𝑚 1𝐾𝑚 1𝐾𝑚 16. luego 16. para ello a los participantes se les ha dado un mapa.01𝑚 = = 25𝑚 1𝑐𝑚 1𝑐𝑚 El recorrido total es la suma de los tres recorridos Recorrido total = 520m + 164m + 25m =709m 2500𝑐𝑚 × Mirar hacia atrás: se verifica que la solución corresponde al recorrido total desde la orilla hasta el cofre 5.235Km Ejemplo 6: En un reallity se ha colocado la prueba de encontrar un cofre con unas monedas enterrado en una isla. ¿Cuantos metros deberán recorrer en total los participantes desde la orilla para llegar hasta el cofre? Solución Comprender el problema: se pide encontrar el número de metros recorridos desde la orilla hasta el punto donde está el cofre.4𝐷𝑚 × 10𝑚 16. PERÍMETRO DE FIGURAS Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 83 de 138 .4 Dm hacia el norte y por último 2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Luego 23500cm= 0.2𝐾𝑚 × Segundo recorrido 1000𝑚 5.500cm al oeste.2Km hacia el este. Solución Como no se conoce el valor de un lado (hipotenusa). este teorema establece que “en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos” Se puede escribir como ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏 2 𝑎2 = ℎ 2 − 𝑏 2 𝑏 = ℎ2 − 𝑎2 Por ejemplo: Calcular el perímetro del triángulo de la figura. este se calcula utilizando el teorema de Pitágoras ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ℎ2 = (8𝑐𝑚)2 + (6𝑐𝑚)2 = 64𝑐𝑚2 + 36𝑐𝑚2 = 100𝑐𝑚2 Extrayendo raíz cuadrada Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 84 de 138 . Observe los siguientes ejemplos NOTA: El teorema de Pitágoras es útil en los cálculos de perímetros de figuras. Se denotará como P.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 El perímetro de una figura geométrica de lados rectos es la suma de la medida la longitud de los lados de una figura geométrica (Su contorno). en caso de no serlo se realiza la conversión. con esto se determina la cantidad de metros lineales que se necesitan para el cercado de una hilera. Una vez conocido el perímetro se procede encontrar el valor a pagar por el alambre multiplicando el número de metros por el precio. Se pide calcular el perímetro de lote que tiene forma de un rectángulo (los lados paralelos entre si tienen la misma medida). teniendo en cuenta que las unidades de medidas sean las mismas. cada metro de alambre púa cuesta $700 y se requieren 4 hileras de alambre por cada lado del lote. Radio: Distancia del centro a un punto de la circunferencia. Elementos de la circunferencia Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la circunferencia. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 85 de 138 .MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 h= 10m EL perímetro del triángulo será P = 8m + 6m + 10m = 24 m 5. luego se procede a calcular su perímetro. PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es una Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro situado en el mismo plano que se llama centro. ancho 200m y 70cm.14 Ejemplo: Se desea cercar un lote de forma rectangular que mide 300m de largo 200m con 70 cm de ancho. r = radio y 𝝅 es una constante que equivale aproximadamente a 3. El perímetro de la circunferencia se calcula por la ecuación 𝒑 = 𝟐𝝅𝒓 Donde p = perímetro.9. Se requiere para esto un cercado con cuatro hileras de alambre de púas cuyo precio por metro lineal es de $700. ¿Cuántos metros de alambre se requieren y cuánto dinero se requiere para comprar dicho alambre? Solución Entender el problema: Se conocen las dimensiones del lote: largo 300m. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Configurar un plan: Se realiza un dibujo de la figura que representa el lote. Diámetro: Cuerda que pasa por el centro. d. La distancia entre Santa marta y barranquilla es de 91Km ¿Cuántas millas hay entre santa marta y Barranquilla? 6.55km.6m El valor a pagar por estos metros de alambre sería Valor a pagar = 4005.6 ×$700 = $2803920. 8ft +12” -1 yarda 4.7𝑚 100 Las dimensiones serían: largo 300m y ancho 200.9dm b. a.4 m = 4005. Calcula el perímetro del salón Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 86 de 138 .4m El perímetro calculado representa la cantidad de metros requeridos para colocar una hilera de cercado pero como se requieren 4 hileras el número total de metros requeridos será: N° total de metros = 4×1001. b. Si cada paso de Julia mide unos 65 centímetros. por lo tanto el perímetro del lote será P = 300m + 200. Resuelve cada operación y expresa el resultado en metros a. en cm y 𝜇m 2.7 m. Mirar hacia atrás: Con esta respuesta se satisface lo pedido en el problema ACTIVIDAD N° 1 1. 0.092Km +3.46Dm +436.7 m P = 1001.06Dm +300mm 3. a. Un salón de clases tiene forma rectangular. 325 km en Hm. ¿cuántos pasos deberá dar para ir de casa al colegio? 5. ¿Cuántos metros ida vuelta de la casa al colegio recorre Julia? b.7m + 300m +200. Realiza las siguientes conversiones 50km en m 35″ en ft 8ft en cm 0. e. c. 27. por lo tanto se convierten los cm en m 70 70𝑐𝑚 = 𝑚 = 0. Su largo es 6. La distancia de la casa de Julia al colegio es de 0.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Ejecutar el plan: Se realiza el dibujo Se observa que uno de los lados está medido en dos unidades diferentes: 200metros y 70 centímetros. en m y en dm 34m en mm.4m y su ancho de 5m a. 5 Hm2 en m2 Solución Tenemos que multiplicar. porque el Hm 2 es mayor que el m2.5 × 10000 = 15000 m2. EL rio Magdalena es nuestra fuente fluvial más importante.5 Hm2 =150000 m2 Ejemplo 7: Convertir 15000 mm2 en m2 Solución Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 87 de 138 . Ejemplo 6: convertir 1.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 b. Atraviesa al país de sur a norte en un recorrido aproximado de 1. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 100 veces menor que la unidad inmediata superior. Es decir que 1. Si las piedras tipo zócalos que se colocan en el salón son de 30cm de longitud ¿Cuántas piedras tipo zócalos se requieren para el salón? 7. UNIDADES DE SUPERFICIE Y ÁREA Son unidades de medida que permiten medir la extensión o área de un territorio. 1. El problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantas parejas de ceros como lugares haya entre ellas. ya que hay dos lugares entre ambos (cada lugar son dos ceros). por la unidad seguida de cuatro ceros.10. que se representa como m2.550km ¿A cuántas millas terrestre equivale la longitud del rio Magdalena? 5. En el sistema internacional de unidades la principal unidad de superficie es el metro cuadrado. Área es el decámetro cuadrado. es 1mm2 = 0. se suelen utilizar unas unidades especiales.015𝑚2 1𝑚𝑚2 1𝑚𝑚2 En conclusión 15000 mm2=0. 15. por ejemplo. ya que hay tres lugares entre ambos. es decir un campo en forma de cuadrado de 100 m de largo por 100 m de ancho.000001m2 Ejemplo 7: Utilizando los valores de equivalencia. porque el mm2 es menor que el m2.000001𝑚2 15000𝑚𝑚2 × = = 0. Hectárea es el hectómetro cuadrado. de un terreno. convertir 15000 mm2 en m2 Solución La equivalencia entre mm2 y m2.000 ÷ 1000000 = 0. es decir un campo cuadrado de 10 metros de largo por 10 metros de ancho. Centiárea es el metro cuadrado. por la unidad seguida de seis ceros.000001𝑚2 15000𝑚𝑚2 × 0. o la que ocupa un bosque.015m2 Los valores de equivalencias entre los múltiplos y los submúltiplos más usados con respecto a la unidad patrón m2 son 1Km2 = 1000000m2 1dm2 = 0. UNIDADES AGRARIAS Para medir superficies en el campo.0001m2 1Dm2 = 100m2 1mm2 = 0.015m2 5.000001m2 Aplicando factor de conversión se tiene: 0.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Tenemos que dividir. Estas unidades son: Unidad Centiárea Área Hectárea Símbolo Ca A ha Equivalencia 1 ca = 1 m2 1 a = 1 Dm2 1 ha = 1 Hm2 La superficie de un campo es habitual expresarla en hectáreas. llamadas agrarias.01m2 1Hm2 = 10000m2 1cm2 =0. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 88 de 138 . la superficie de un campo de trigo. Con ellas se expresa lo que mide.11.015 m2 Es decir que 15000 mm2 = 0. La suma de los cuatro ángulos es 360 grados. suman en total 360 grados.12. forma ÁREA DE UN TRIANGULO El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. El cálculo del área de una figura varía según la de cada una. (Dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos). es decir su región interior.4.3. ÁREA DEL ROMBO El rombo es un polígono que tiene los cuatro lados iguales y los ángulos son iguales dos a dos. La expresión matemática que permite hallar su área es: Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 × 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 A la 5.12. ÁREA DE UN RECTÁNGULO El rectángulo es un polígono de 4 lados cuyos lados paralelos son iguales entre si. La expresión matemática para calcular el área de un triángulo es 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Á𝑟𝑒𝑎 = 2 bh Sintetizada A 2 5.12. Los cuatro ángulos son rectos.12. La suma de sus tres ángulos es igual a180 grados. La expresión matemática que permite hallar el área del cuadrado es: Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 × 𝑙𝑎𝑑𝑜 Sintetizada A l l l 2 5. 5. AREA DE FIGURAS El área de una figura es la medida de su superficie. Los ángulos de un rectángulo son todos iguales y rectos. Para hallar el área se utiliza la siguiente expresión matemática: Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 89 de 138 .1.2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 5.12. ÁREA DE UN CUADRADO El cuadrado es un polígono que tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales. El trapecio es un polígono que tiene 4 lados. de ellos.14 por la longitud del radio elevada al cuadrado r 2 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 90 de 138 . que son iguales y paralelos. Los ángulos son distintos de 90º. El área se halla con la formula siguiente: Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 A bh 5. La suma de los 4 ángulos es 360 grados.7. La expresión matemática para hallar el área viene dada por A Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 (𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟) × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2 ( B b ) h 2 5. La suma de los 4 ángulos es de 360 grados.12.6. Dd 2 ÁREA DEL TRAPECIO.12. de dos en dos.5. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.12. El paralelogramo es un polígono que tiene 4 lados. Los cuatro ángulos son distintos de 90º. El círculo es la región delimitada por una circunferencia. dos son paralelos. ÁREA DEL PARALELOGRAMO. Para hallar el área del círculo se utiliza la siguiente formula: A r2 En este caso se multiplica el valor del número π que es aproximadamente 3.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 = 1-1-2016 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 × 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 2 A 5. ÁREA DEL CÍRCULO. Para calcular el área de estos polígonos se utiliza la siguiente expresión matemática 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 × 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 × 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 2 A n La 2 . entre otros. reemplazando valores 10𝑐𝑚 × 7𝑐𝑚 70𝑐𝑚2 𝐴= = = 35𝑐𝑚2 2 2 Es decir que el área del paralelogramo es de 35cm2 Problema 1: Calcula el número de baldosas cuadradas.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 5. Solución Entender el problema: se dan las dimensiones de las baldosas de forma cuadrada que representan una superficie pequeña con el fin de conocer cuántas de ellas se necesitan para cubrir una superficie más grande de forma rectangular. de 10 cm. luego se calcula el área de la superficie mayor que se va a embaldosar. La apotema es el segmento que va desde el centro del polígono hasta mitad de un lado. de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de largo y 9 m de ancho. Una vez calculadas las dos áreas para conocer cuántas baldosas se necesitan se divide el área de la superficie entre el área de la baldosa Ejecutar el plan: Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 91 de 138 . Configurar el plan: Se debe calcular primero el área de cada baldosa con el fin de conocer la superficie que cubre cada una de ellas. Debe tenerse en cuenta que las dimensiones tanto de las baldosas como de la superficie a embaldosar deben estar expresadas en las mismas unidades de medidas. Los ángulos también son iguales. hexágonos (6 lados). Ejemplo 1: calcular el área de un paralelogramo cuya base mide 10cm y la altura es de 7cm Solución El área del paralelogramo viene dada por 𝑏×ℎ 𝐴= 2 Se conoce la longitud de la base b= 10cm y la altura h= 7 cm.12. 1-1-2016 ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR Se consideraran los polígonos regulares que tienen más de 4 lados iguales por ejemplo pentágonos (5 lados).8. En la zona sombreada se va sembrar grama y el resto corales rojos.01 𝑚2 10000 La superficie que se va a embaldosar tiene forma de un rectángulo. se pide hallar el área del jardín que equivale al área del círculo. inscrito en una circunferencia de radio r =9m . ¿Cuál es el área del jardín. Configurar el plan: Primero se encuentra el área de la circunferencia conociendo el radio r = 9m. remplazando valores se tiene 𝐴 = 4 𝑚 × 9 𝑚 = 36 𝑚2 Ahora se divide el área de la superficie por el área de la baldosa 36 𝑚2 = 3600 0. Solución Comprender el problema: Se presenta un hexágono de apotema a =8m. qué área queda cubierta con corales y qué área queda cubierta con grama?. por lo tanto su área viene dada por 𝐴 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 × 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝐴= 𝐿×𝑎 Donde 𝐿 = 4 𝑚 y 𝑎 = 9 𝑚. el área sembrada por corales que corresponde al área del hexágono y el área sembrada con grama que corresponde la diferencia entre estas dos áreas. lo que significa en los 4m caben 40 baldosas y en los 9 m caben 90 baldosas. luego se calcula el área del hexágono cuya apotema mide 8 m. como no se conoce el valor de los lados del hexágono se utiliza el teorema de Pitágoras para hallarlo y por último se Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 92 de 138 .01 𝑚2 Por lo tanto se necesitan 3600 baldosas para enlosar la superficie.1m de lado.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Las baldosas tienen formas de un cuadrado de lado l = 10cm por lo tanto área de cada baldosa es 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑙 × 𝑙 𝐴 = 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚 = 100 𝑐𝑚2 2 2 Se convierten los 𝑐𝑚 a 𝑚 100 100𝑐𝑚2 = 𝑚2 = 0. Mirar atrás: para comprobar el resultado se podría estimar cuantas baldosas caben a lo largo y a lo ancho de la superficie. Por lo tanto 90×40 = 3600 baldosas Problema 2: En las instalaciones la Universidad del Magdalena se desea construir un jardín como el que está representado en la siguiente figura. Se tendrá en cuenta que cada baldosa tiene 0. Ejecutar el plan: Se calcula el área del jardín que corresponde al área del círculo que viene dada por 𝐴 = 𝜋.5 m2 a dm2 b.76m2 = 56.46m2 – 197. 38.46 m2 Se calcula el área sembrada con corales que corresponde al área del hexágono Como no se conoce la longitud del lado del hexágono. Convertir a metros cuadrados las siguientes unidades de superficie.7 m2 Mirar atrás: comprobar los cálculos ACTIVIDAD N° 2 1.52𝑚2 𝐴= = = 197. 520000 dm e. 𝑟 2 Reemplazando valores 𝐴 = 3. 𝐿 2 ( ) = 𝑟 2 − 𝑎2 Reemplazando valores 2 𝐿 2 (2) = (9𝑚)2 − (8𝑚)2 = 81𝑚2 − 64𝑚2 = 17𝑚2 Extrayendo raíz cuadrada 𝐿 =4. Convierta a la unidad indicada a.24m 2 Se calcula el perímetro del hexágono 𝑃 = 6𝐿 = 6 × 8.44𝑚 × 8𝑚 395.14 × (9𝑚)2 = 3. 0.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 calcula el área sombreada que se obtiene de la diferencia entre el área del círculo y el área del hexágono. 32 Dm2 b. 2 000 000 mm 3.78 Km2 a Hm2 c.46𝑚2 El área del jardín será de 254.24𝑚 = 49. aplicando el teorema de Pitágoras se puede calcular la mitad de la longitud del lado según se observa en la figura. 0.76m2 El área sembrada con grama se calcula restando el área del círculo menos la del hexágono A = 254.16 Hm2 = 2 2 d.008 km f. 1. Realiza las conversiones según se indique 2. a.12m despejando L se tiene L= 4.44𝑚 El área del hexágono viene dada por 𝑃×𝑎 𝐴= 2 49. 82.7 m2 Luego el área sembrada con grama es de 56. 30000 cm2 c.7 Dm2 a m2 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 93 de 138 .76𝑚2 2 2 El área de la plantación de corales es de 197.14 × 81𝑚2 = 254.12m×2=8. porque el Hm3 es mayor que el m 3 .000 y se desea vender por metros cuadrados.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 d. 7. Un terreno rústico de 5 hectáreas está valorado en $133. hasta los múltiplos. UNIDADES DE VOLUMEN. 8000 cm2 a m2 f. ¿Cuántos metros cuadrados se pueden cubrir con la alfombra? 5. La superficie de una mes a está formada por una parte centr al cuadrada de 1.36 hm 3 m3 Solución Tenemos que multiplicar. en la parte superior.025 m2 a cm2 4. Por lo tanto.000 m 3 Ejemplo: convertir 15 000 mm 3 cm 3 Solución Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 94 de 138 . Una alfombra rectangular tiene 95cm de ancho y 175cm de largo. La unidad de estas medidas es el metro cúbico.36 × 1000000 = 1. Los múltiplos y submúltiplos del m 3 son: Observamos que desde los submúltiplos. en la parte inferior. Ejemplo: convertir 1.13. por la unidad seguida de seis ceros.5m de lado y dos semicírculos adosados en l os lados opuestos. ¿Cuál es el precio del metro cuadrado? 6. el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos tríos de ceros como lugares haya entre ellas.000.350. ya que hay dos lugares entre ambos. Hállese el área de la mesa en m2 y en cm2 5. como muestr a la figura.360. 0. 1. cada unidad vale 1000 más que la anterior. Estas medidas aumentan y disminuyen de mil en mil. que es un cubo que tiene de arista un metro lineal y se representa por m 3 .77 Km2 a Dm2 e. VOLUMEN DE UN ORTOEDRO Cuando la medida de los lados no es igual. 8 vértices y 12 aristas.14. Su superficie está constituida por 6 cuadrados.14. que es el vértice de la pirámide.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Tenemos que dividir.3. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 95 de 138 . Llamaremos a la longitud del lado de cada cuadrado a El área total es A T 6 a2 Su volumen es V a3 5.14. VOLUMEN DEL CUBO El cubo es un cuerpo formado por seis caras.2. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE Una pirámide es un Poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común.14. 2cm de ancho y 5cm de alto Solución 40cm3 L=4cm.1. Elementos de una pirámide La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base. por la unidad seguida de tres ceros. a=2cm h=5cm El volumen es V = 4cm × 2cm × 5cm = 5. 15 000 ÷ 1000 = 15 cm 3 5. VOLUMEN DE CUERPOS El volumen es la medida del espacio que ocupan los cuerpos 5. ya que hay un lugar entre ambos. porque el mm 3 es menor que el cm 3 . que une la base con el vértice. al cuerpo se le conoce como ortoedro El área total se calcula a partir de A T 2(a b) (a c) (b c) Y el volumen puede calcularse utilizando la expresión matemática V L a c Ejemplo: calcular el volumen de un ortoedro de 4cm de largo. 2 m y su altura 6m Solución r = 2 m.36 m3 Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 96 de 138 . El área total es: A T 2 r ( h r ) Su volumen es: V r 2 h Ejemplo: calcular el área de un cilindro. luego el volumen es V 5.14 ( 2m) 2 6 m 3. por ser un rectángulo AB 3m 5m 15m2 .14 4m2 6 m 75 .14. Altura (h): Es la distancia entre las dos bases. Bases: Son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje.4. h = 6m El volumen es V r 2 h 3. esta distancia es igual a la generatriz. El área total es Á𝑟𝑒𝑎𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + Á𝑟𝑒𝑎𝐵𝑎𝑠𝑒 El área lateral puede calcularse a partir de 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝐵𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑐 Á𝑟𝑒𝑎𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2 Para calcular el volumen se utiliza la expresión matemática V AB h 3 Ejemplo: Calcular el volumen de una pirámide de base rectangular de ancho 3m y de largo 5m. Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice. A B h 15m 2 8m 120m 3 40m3 3 3 3 VOLUMEN DE UN CILINDRO Es el cuerpo engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. si sabemos que el radio de la base mide 0. Elementos del cilindro Eje: Es El lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo. Generatriz (g): Es el lado opuesto al eje.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales. y es el lado que engendra el cilindro. cuya altura es de 8m Solución Área de la base AB a b . aristas laterales. 5. Elementos del cono Eje: Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.3 cm 3 615 . Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie. 2 r h 3 3 .14 (7 cm) 2 12cm 3 .14.14 49cm 2 12cm 1846 . 1-1-2016 VOLUMEN DE UN CONO Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica. Altura (h): Es la distancia del vértice a la base.14. Base: Es el círculo que forma el otro cateto. V 5.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 5. Generatriz (g): Es la hipotenusa del triángulo rectángulo. calcular su volumen Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 97 de 138 . Diámetro: Cuerda que pasa por el centro. Su área es: A T 4 r 2 Su volumen es: V 4 3 r3 Ejemplo: El diámetro de una esfera mide 40 cm. El área total es: A T r (g r) Donde g es la generatriz g2 = r2 + h2 El volumen es V r2 h 3 Ejemplo: Calcular el volumen de un cono cuya base es un círculo de 7cm de radio y cuya altura mide 12 cm Solución r = 7cm. Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.6.4 cm 3 3 3 3 VOLUMEN DE UNA ESFERA Elementos de la esfera Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera. h = 12 cm. ahora se calcula el 2 2 12 . ya que el radio es la mitad del diámetro.24 𝑚3 1 000 𝑑𝑚3 Ahora hallamos espacio total del almacén 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛 = 5 𝑚 × 3 𝑚 × 2 𝑚 = 30 𝑚3 Dividimos el volumen del almacén por el de cada caja 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐴𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛 30 𝑚3 = = 125 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑎𝑗𝑎 0. 6 dm de ancho y 4 dm de alto.56 8000cm 3 100480 33493 . se pide encontrar cuantas cajas se pueden colocar dentro del almacén conociendo primero los respectivos volúmenes.15. ¿Cuántas cajas podremos almacenar? Entender el problema: Se dan las dimensiones de una caja que representa un cuerpo pequeño y las dimensiones del almacén que representa un cuerpo más grande.14 ( 20cm) 3 D 40cm 20 cm . UNIDADES DE CAPACIDAD. para hallar el radio se divide el diámetro entre 2. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 98 de 138 . Diseñar un plan: Se calcula el volumen de cada caja para conocer el espacio que ocuparía cada una de ellas.24 𝑚3 Entonces en el almacén se pueden depositar 125 cajas de las dimensiones dadas Mirar hacia atrás: se comprueban los resultados 5. 3m de ancho y 2m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Solución D = 40cm Se conoce el diámetro de la circunferencia. es decir r volumen V 4 3 r3 4 3 3 .3cm 3 3 3 Problema1: En un almacén de dimensiones 5m de largo. luego se calcula el volumen del almacén y para conocer el número de cajas que pueden almacenarse se divide el volumen del almacén entre el volumen de cada caja Ejecutar el plan: Inicialmente hallamos el volumen de cada caja 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑎𝑗𝑎 = 10 𝑑𝑚 × 6 𝑑𝑚 × 4 𝑑𝑚 = 240 𝑑𝑚3 El valor obtenido lo pasamos a m3 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝐶𝑎𝑗𝑎 = 240 𝑑𝑚3 × 1 𝑚3 = 0. 05525 dm3 d.000 125 Hm3 35. d.64 dm3 0. c. 1.014 km3 5.635 cm3 b.16 Hm3 137. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez. Realiza las conversiones que se indican en la tabla Convierta en metros Cúbicos a. 600. Los múltiplos y submúltiplos del litro son: Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidad mayor a otro menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. 0.000 mm3 Convierta en centímetro cúbicos a.004 Dm3 e. 000 cm3 1. b.000 dm3 3. 0.87 l ACTIVIDAD N° 3 1.5 m3 3. e. e.600 mm3 0.500.0750 Dm3 Convierta en milímetros Cúbicos a. b.000.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 La unidad de estas medidas es el litro. c.625 m3 c. 400ml Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 99 de 138 . 3. Ejemplo: Expresar 50 Hl Solución cl 50 × 10 000 = 500 000 cl Ejemplo: Expresar 2587 cl Solución l 2587 ÷ 100 = 25. 500. 3. 0. d. 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo. 5. UNIDADES DE MASA La principal unidad de masa del Sistema Internacional (SI) es el kilogramo (kg).000 ¿Cuánto cuesta pintarla interiormente? 3. Determinar el espacio que ocupa cada gorro ¿Qué cantidad de cartón se habrá utilizado en los 40 gorros? a. En un almacén de dimensiones 5 m de largo. Tonelada T Quintal q Kilogramo kg Hectogramo Hg Decagramo Dg gramo g decigramo dg centigramo cg miligramo mg Otras unidades de peso de uso común en el comercio de los productos agrícolas son: 1 libra (1 lb) = 453.907 toneladas métricas 1 UK ton (ton) = 1. b.6 m de alto y un grosor de 30 cm.35 g 1 US ton (ton)= 0.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 2. 6 dm de ancho y 4 dm de alto. 5.5 m de largo.16. Cuantos litros de agua se requieren para llenar la piscina completamente c. Si el metro cuadrado de la piscina se pinta a razón de $9. una piscina tiene la forma y las dimensiones que se indican en la siguiente figura. a. Una pared debe tener 7. ¿Cuál es el volumen de la piscina? b.016 toneladas métricas Ejemplo: Expresar 50 kg dg Solución Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 100 de 138 . ¿Cuántos ladrillos de 15 cm por 10 cm por 6 cm serán necesarios si en su construcción el cemento ocupa un 1. Para una fiesta se han diseñado 40 gorros con la forma y las dimensiones que indican en la en la siguiente figura.89m3 del volumen? 5. ¿Cuántas cajas podremos almacenar? 4.59 g 1 arroba (1 @) = 25 lb 1 onza (oz)= 28. Cada unidad métrica de masa es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la unidad inmediata superior. ya que hay dos lugares entre ambos. 2157 g d. cuyo bulto tiene una masa de 132. 213 q f. 50 kg × 10 000= 500 000 dg Ejemplo: Expresar 408 mg dg Solución Tenemos que dividir. 658 oz h. Un barco inglés lleva 15. 15 000 mg g. En una finca se recolectó durante la cosecha de café 1207 @ y 9 lb.5 dólares por tonelada norteamericana (US ton). ya que hay cuatro lugares entre ambos. a. 408 ÷ 100 = 4. Si al regresar de Bogotá a Armenia el camión es cargado con papa. Si se vendió a $3. 16 @ b. porque el miligramo es menor que el decigramo. 14 t e. Un camión con capacidad para 70 toneladas es cargado para transportar el producto desde Armenia hasta Bogotá.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Tenemos que multiplicar. Si se pagan 3.288 libras ¿cuantos bultos de papa puede transportar el camion a su máxima capacidad? 5. ¿cuántos bultos de café se pueden transportar al tiempo en el camión? b. porque el kilogramo es mayor que el decigramo. por la unidad seguida de cuatro ceros. ¿Cuál es valor de la cantidad de carbón que transporta el barco? 4.700 T de carbón. por la unidad seguida de dos ceros. aparece la siguiente información nutricional: Por 100 mL Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 101 de 138 . 17256 lb c.200 el kilogramo ¿cuánto dinero se recibió? 3. Expresa en kg las cantidades que se indican en la siguiente tabla a.08 dg ACTIVIDAD N° 4 1. En un envase de bebida. 0. Si Cada bulto de café tiene una masa de 70kg.25 US ton 2. b) La cantidad diaria recomendada de calcio es de 0. UNIDADES DE TIEMPO Segundo (s) Día Año Siglo Minuto (min) Semana Lustro Milenio Hora (h) Mes Década Equivalencias entre unidades de tiempo: 1 minuto = 60 segundos 1 hora= 60 minutos = 3.600 segundos 1 día = 24 horas 1 semana = 7 días 1 mes = 30 días (hay de 28 y de 31.25 mg a) Indica la cantidad de cada nutriente que hay en un vaso de 250 mililitros y en una botella de un litro de esta bebida.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA Proteínas Azúcares Grasas Fibra Sodio Calcio Vitaminas 1-1-2016 3.9 g 0.8 g 1. dividimos entre 60 12537 ÷ 60 = 208min + 57 seg. Dividimos entre 60 para hallar las horas que hay en 208 minutos Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 102 de 138 .17. ¿cuántos ml se deberá beber al día? 5.3 g 2.6 g 50 mg 120 mg 0. pero para los problemas se consideran de 30 días) 1 año = 365 días = 52 semanas 1 lustro = 5 años 1 década = 10 años 1 siglo = 100 años 1 milenio = 1.000 años Ejemplo: ¿A cuántas horas y minutos equivalen 12537 segundos? Solución Para saber cuántos minutos hay en 12537 segundos. Si se quiere cubrir la cuarta parte de dicha cantidad consumiendo esta bebida.8g. minutos y segundos. Por lo tanto en 12537 segundos hay 3horas. Con estas operaciones hemos transformado una expresión incompleja a otra compleja. (38. 28 minutos y 57 segundos ACTIVIDAD N° 5 1.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 208 ÷ 60 = 3horas + 28 min. 3 2 h 48 min 30 s c. 25 minutos y 13 segundos a segundos (3 h 25 min 13 s s) Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 103 de 138 . b) dividimos los 642 minutos entre 60 y obtenemos 10 horas y sobran 42 minutos. 1 12 413 segundos 2 8 179 segundos 3 7 950 segundos 4 7520 segundos 2. d. c. b.520 segundos a horas. Expresa en segundos: a. 4 3 h 36 min 42 s 3.520 s entre 60 y obtenemos 642 minutos y sobran 3 segundos. * De mayores a menores: Multiplicar Transforma 3 horas. 1 3 h 26 min 53 s b. Indica la diferencia de tiempo entre cada par de relojes 4. Expresar en horas y minutos: a. min y s) a) Dividimos 38.520 s h. El resultado final es: 10 horas. Resuelve la operación 6 h 13 min 24 s − 2 h 24 min 36 s Transformación de unas unidades a otras: * De menores a mayores: Dividir Transforma 38. 42 minutos y 3 segundos. ¿Cuántos metros separan a ciénaga de Barranquilla? 2. Determina a. 5. expresa esta distancia en millas y en pies b. La carretera Troncal del Caribe se extiende desde Turbo hasta Paraguachón. ¿Cuántos metros de alambre se requieren para el encerramiento del terreno? 3.18. c) Finalmente sumamos todos los segundos obtenidos. La ruta Santa Marta – Ciénaga cubre 28. Con estas operaciones hemos transformado una expresión compleja a otra incompleja. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 104 de 138 . La diferencia del perimetro entre una cancha con la dimensiones maximas y otra con las dimensiones minimas. ¿A cuántos cm equivale la distancia entre Santa Marta Y Cartagena? c. Un terreno rectangular de 40m de largo por 25 metros de ancho requiere ser encerrado con tres hilos rectos de alambre de púas. Una cancha futbol es un rectángulo que para partidos internacionales de acuerdo con el reglamento de la FIFA.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 a) Las horas las multiplicamos por 60 obteniendo los minutos y el resultado por 60 para calcular los segundos. TALLER GENERAL DEL CAPITULO 1. ¿A cuántos metros equivale el recorrido completo por la troncal del caribe? . TRAMO INICIO FINAL RECORRIDO (km) 1 Turbo Necoclí 45 2 Necoclì Puerto Rey 82 3 Puerto Rey Lorica 57 4 Lorica San Onofre 104 5 San Onofre Cartagena 99 6 Cartagena Barranquilla 120 7 Barranquilla Santa Marta 91 8 Santa Marta Palomino 72 9 Palomino Riohacha 90 10 Riohacha Praguachòn 88 a.03km. b) Los minutos los multiplicamos por 60 para obtener los segundos. sus dimensiones máximas son 45m de ancho por 100m de la largo y las dimensiones mínimas son de 40m de ancho por 90 metros de largo. Se divide en 10 sectores para facilitar la ubicación de poblaciones y puntos de obras según se indica en al siguiente tabla. Determinar el área lateral de la superficie y volumen que ocupa el cuerpo. Si la diagonal de un cuadrado es 15cm ¿Cuál es su área? 7. Si su altura mide 14 unidades ¿Cuál es la longitud de la base? 5. 8. ¿en cuntos km se diferencia el recorrido en su zona de un juez de linea que hace 10 veces ida y vuelta su recorrido en una cancha con las dimensiones maximas y otro que hace 15 veces el recorrido ida y vuelta en una cancha con dimensiones mìnimas? 4. en cm son 4. 7. Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 105 de 138 .8 y 8. La zona de recorrido de un juez de linea se situa entre la linea central y el banderin de esquina. 5. respectivamente ¿Cuál es el área del otro triangulo? 6. Si la razón de las áreas de dos triángulos es 3/2 y la base y la altura de uno de los dos triángulos miden 5cm y 8 cm.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 b. Calcula el área sombreada en cada caso. La altura de un prisma pentagonal recto es 10cm y las longitudes de las aristas de la base. El área de un triángulo es 196 unidades cuadradas. Los lingotes de oro tienen forma de prisma recto cuya base es un trapecio. Si ciertos lingotes tienen la medida indicada en la 17 ilustración y por centímetro cubico hay 2 Gramos ¿Cuántos kg de oro hay en un lingote como el de la siguiente figura? 10. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2. El prisma recto y la pirámide de la siguiente figura tienen la misma base y la atura de la pirámide es la mitad de altura del prisma. ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración? Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 106 de 138 . Si el círculo tiene 5cm de diámetro ¿Cuál debe ser la medida de la altura del cilindro? ¿Cuánto material se necesita? 11.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 9. de radio 50 m. 4cm y 10cm. Se quiere construir una caja cilíndrica que tenga 50cm3 de volumen. Si se extrae la pirámide y el espacio dejado por ella se rellena de agua ¿Cuántos ml de agua se pueden introducir? 13. se quiere sacar una columna cilíndrica del mayor volumen posible ¿Cuánta madera se desperdiciará? 12. a. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica. De un tronco de madera que tiene forma de prisma recto y cuyas dimensiones son 4m. ¿Cuál es el volumen del sistema? b. ¿Cuál es el área total del tanque? c.432m. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio? 17. ¿Cuántos centímetros más de cinta blanca tiene que comprar? 24. ¿Cuántos litros de agua se pueden almacenar en este tanque? b. uno de los cuales tiene capacidad para medir 7 litros y otro para medir 5 litros ¿De qué manera la persona puede medir 5 litros? 20. Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿cuál es la masa del recipiente vacío? 16. 2kg. La cinta azul mide 1 m.2 km. diámetro inferior de 60cm y altura de 1. Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio y 5 cm de altura se llena de agua. Los mayores murciélagos se llaman zorros voladores. Una persona se encuentra frente a una fuente con dos cántaros. ¿Una persona da un paseo en bicicleta y recorre 4. ¿Cuantos decímetros mide el murciélago? Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 107 de 138 . Cuántos m ha recorrido? 22. 2 dm y 5 cm." a. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg. ¿Cuál es la longitud en milímetros de cada trozo? c) Andrea necesita 1. Un recipiente que tiene la forma que se indica en la siguiente figura (medidas en cm) se llena completamente de agua. Si el espesor de las paredes del tanque es 20mm ¿Cuántos m 3 de material se requieren para elaborar el tanque? 19.3 metro de cinta blanca. a. ¿De cuántas formas distintas en número de bolsas puede un cliente llevarse 15 kg de arroz? 21. 8 cm y 5 mm. b) La cinta azul.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 14. a) Calcula la longitud en centímetros de cada cinta. b. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad? 15. en él se introduce una esfera cuyo diámetro es 10cm y luego se saca ¿Qué volumen de agua queda en el recipiente? 18. Con sus alas extendidas pueden alcanzar 1. ¿Qué significan las 5 décimas de metro? Explica. ¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden sacar de una varilla hierro de 5 m y 6 dm? 23.5 metros de longitud. la cinta blanca mide 6 dm. Las medidas internas de un tanque elevado son: diámetro superior de 76cm. Un comerciante vende arroz empacado en bolsas de 1kg. 5kg y 10kg. Andrea tiene una cinta azul y una cinta blanca. la ha cortado en 5 trozos iguales. 13a y 12 m2. La isla mayor de la Tierra es Groenlandia y mide 2. Una piscina se llena con 40 m3 de agua ¿cuál es la capacidad. Una finca de 30. Comparte y escribe las respuestas con tus compañeros y compañeras y discute cuándo es conveniente expresar las longitudes en metros y en otras unidades. Calcula la superficie en metros cuadrados de cada finca. la finca B está dividida en 16 parcelas iguales. aproximadamente.5 m por cada lado. En una caja de 0.000 km2 y una de las más pequeñas es Cabrera. ¿Cuántas veces cabe Cabrera en Groenlandia? 30. escribe cada medida tomando como unidad el metro. ¿Cuántos metros cuadrados le corresponderá a cada familia? 35. b. El programa.000 hectáreas a las víctimas del desplazamiento forzado. La finca A está dividida en 5 parcelas iguales. Una alberca mide 3. 300cm de ancho y 0. ¿cuántos cubos de 12 m3 caben? 37. 3 Dm2 y 18ca. 26. 15 a y 35ca.000 el m2 29. El vendedor de un terreno nos dice que ocupa una superficie de 55000 m2 ¿Cuántas hectáreas tiene el terreno? 31.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 25.000 el m2. y la finca C está dividida en 2 parcelas iguales. El distrito de Santa Marta compró un terreno de 20 Ha y 10a para un parque temático y un terreno de 20 Dm2 y 50a para una piscina olímpica. fruto del conflicto armado que se vive en el país. con 2000 ha. ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0. ¿Cuántos trozos puede contener la caja? 36. de la finca B y de la finca C? 28. ¿Cuántos litros de agua caben? 40. Calcula el precio del terreno si se vende a $500000 el m2.3 cm3.4498 dm3? 39.696 Dm3. 95cm. El Gobierno Colombiano devolverá 312. a. 32.55Dm de altura? Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 108 de 138 . Una niña de 4 años mide. Los trozos cúbicos de jabón de 5cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60cm de arista. b. de la piscina? 41. "Para establecer una comparación entre las diferentes estaturas que puede alcanzar una mujer y compararlas. Un caramelo tiene un volumen de 1. una finca B tiene una superficie de 5 Hm2. Un barco transporta 75 Dm3 de vino y se quiere envasar en cubos de 1. en litros. según indicó el Ministerio de Agricultura.487 familias. ¿Cuántas hectáreas tiene un solar de 20000 m2? 33. y una finca C tiene una superficie de 8 ha. Resulta increíble que a las 6 y media semanas de gestación sólo medía 5mm de longitud y en la edad adulta pueda alcanzar la estatura de 1 metro y 65 centímetros. Calcula: a. beneficiará a 130. ¿Cuál es la superficie en áreas de cada parcela de la finca A. ¿Cuál es el precio de un terreno de 8.225 ha se vende a $1200 el área ¿Cuál es el precio total? 34. La alcaldía de un municipio compró un terreno de 20 ha para un parque.2 m3.7 Hm2 a razón de $600 000 m2? 27. El precio del terreno para la piscina si se vende a $500. ¿Cuántos cubos se necesitarán? 38. El precio del terreno para el parque si se vende a $50.180. Una finca A tiene una superficie de 2ha. ¿Cuántos litros de gasolina caben en un depósito de 90dm de largo. ¿Cuánto dinero recibe un agricultor por la venta de 18 @ de yuca si en el mercado le pagan a $800 el Kg? 5.19.clarionweb. Y Carmen Gloria Bascuñan B. Primera Edición —2004 Danny Perich C. Mc.ciencia-ahora. Publicaciones Culturales. Decima Tercera Edición —1997 Dr. Álgebra. México 1994 5.pdf Departamento de Estudios Generales e Idiomas CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 109 de 138 . ¿Cuántos ladrillos de 15cm × 10 cm × 6 cm serán necesarios si en su construcción el cemento ocupa un 15% del volumen? 43. 700 toneladas métricas de carbón. A. Barnett Y Raymond A. Un sótano cuya superficie es de 208 m2 se ha inundado. Aurelio Baldor Geómetra. Álgebra Y Trigonometría Con Geometría Analítica 3 Edición. Un barco inglés lleva 15. Se extrae el agua con una bomba que saca 6hl por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarlo? 44. ¿Cuál es valor del embarque? 45. Una pared debe tener 7. Primera Edición —2006 Swokowiski Earl W. Decima Tercera Edición —1997 Dr. Volúmenes 1 Y 2. Álgebra Y Trigonometría 3 Edición. Editorial Iberoamericana 1996 Baldor.5 dólares por tonelada norteamericana (US ton).5m × 5. Primera Edición —1991 Ana María Panesi P.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 42.cl/Revista15/03MagnitudesFisicas. Matemática PSU. Mac Graw Hill.65 m de altura. Madrid México.6m y un grosor de 30 cm. Cole Jeffery A. El agua llega a 1. Si se pagan 3.20. WEBGRAFÍA: http://www. BIBLIOGRAFIA Aritmética. Graw Hill.es/5_curso/matematicas/tema512. Matemática Hoy 7_ Básico. Aurelio Baldor Ejercicios PSU Matemática. Primera Edición —2007 Marcelo Rodríguez Aguilera PSU Parte Matemática. 1983.pdf http://www. el crecimiento de la población en un periodo de tiempo. modelos y estructuras matemáticas en procesos y situaciones problémicas. la resistencia de un material a distintas temperaturas. BASE CONCEPTUAL 6. en fin. INTRODUCCIÓN. Interpretar gráficas relacionadas con situaciones reales mostrando los aspectos más relevantes 4. su uso es inevitable. ingenieros. Identificar una función inyectiva. Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva. Identificación de regularidades.P. plantear. En la vida diaria las funciones constituyen una poderosa herramienta para describir fenómenos. W. Capacidad para juzgar la validez de un razonamiento lógico matemático.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 6 FUNCIONES 6.1. como su pendiente. Habilidad para usar calculadoras y software matemáticos en la solución de problemas matemáticos. expresar y representar ideas matemáticas. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 110 de 138 . sobreyectiva y biyectiva 6. Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. economistas. J. La noción de función que más se utiliza en la actualidad fue dada en el año 1829 por el matemático alemán.3. Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.1. Son usados por físicos. 6. Lejeune-Dirichlet (18051859). El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. Capacidad para representar objetos matemáticos en diferentes registros o sistemas de notación para crear. En 1694 el matemático alemán G. Competencias Capacidad para formular.2. Comprender el concepto de función y relacionarlo con situaciones de la vida real 2.3.G. Objetivos 1. Determinar el dominio de una función 3. Determinar los puntos máximos y mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una curva 7. transformar y resolver problemas matemáticos. entre otros. Identificar las características y gráficas de las funciones lineal y cuadrática 6. Hallar la función inversa de una función 5. para establecer por ejemplo la variación del precio de un producto a través de los años. Dos parejas ordenadas (a.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Por ejemplo. b) = {x 𝜖 𝑅/ a < x <b} Gráficamente ∞ a b Cerrado Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b. d) son iguales si y solamente si a = c y b = d. b) y (c. excluyendo a y b. donde a se denomina primera componente y b segunda componente. su altura es a(10)=250 cm. b) = {x 𝜖 𝑅/ a ≤ x < b} ∞ a b Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 111 de 138 . Pareja Ordenada Conjunto de números de la forma (a.3. simbólicamente [a.2.3. Intervalos Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos. 6. FINITOS Abierto Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b. b] = {x 𝜖 𝑅/ a < x ≤ b} ∞ a b [a . b ϵ R. su altura podría estar relacionada con la edad mediante la función: a(edad)=edadx25 Con lo que si la edad es 10 años. simbólicamente (a. incluyendo a y b.3. b] = {x 𝜖 𝑅 / a ≤ x ≤ b} Gráficamente a ∞ Semi-abierto o semi-cerrado b (a . en un árbol que crece 25 cm cada año. b) con a. CONCEPTOS BÁSICOS 6. siendo el conjunto A el dominio de f (conjunto de partida). b. y f es el nombre de la función. Sean A y B dos conjuntos. Ejemplo: En la figura se puede apreciar una función f : X Y . con D f X 1.2. pero debe cumplirse que cada elemento del dominio sea preimagen de al menos un elemento del codominio. d Y Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 112 de 138 .∞) = {x 𝜖 𝑅/ x > a} [a. Puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio. d R f b. Al conjunto formado por todos los posibles valores de x. se le llama domino de la función. y el valor y se llama variable dependiente. c. La notación y = f (x) señala que y es una función de x.∞) = {x 𝜖 𝑅/ x ≥ a} (-∞.3. La variable x es la variable independiente. a) = {x 𝜖 𝑅/ x < a} (-∞. que son imágenes de x a través de f se le denomina rango o recorrido de la función. se denota por Rf. se expresa f: A → B. c. y el conjunto B el codominio (conjunto de llegada-Cf). que se denota y= f (x).MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Intervalos Infinitos: (a. una función de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A. a] = {x 𝜖 𝑅 / x ≤ a} ∞ a ∞ a ∞ ∞ a a 6.4 C f Y a. Función Definición. uno y solo un elemento y del conjunto B. se denota por Df y al conjunto formado por todos los posibles valores de y.3. En símbolos.4. pero hacemos énfasis particularmente en las reglas o consignas. Representación de una Función Una función se pueden representar de forma oracional. como diagramas de Venn.88 2 3 0.54 6 0. Esta representación sólo es útil en el caso de que los conjuntos de partida y de llegada contengan pocos elementos. De forma oracional Incluye hasta las manifestaciones de nuestros sentimientos o pensamientos. “ser el siguiente de”. Los datos de la tabla muestran el número de familias vinculadas a un proyecto apícola en la Sierra Nevada de Santa Marta desde el año 1999 hasta 2007 Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Nº de familias 128 253 378 503 628 753 878 1003 1128 7 0. de tabla.43 8 0. más 3 unidades”.38 2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 6.78 0.4.3. Ejemplo de función Ejemplo de no función Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 113 de 138 . como graficas cartesianas y por formulas. En forma de Tablas de valores en las que aparecen explícitamente los pares de valores [variable independiente – variable dependiente] que expresan la correspondencia que define determinada función. “ser el doble de…. Ejemplos: “ser la madre de”. Fracción de artefactos que funcionan después de t años de uso Años de uso Fracción de artefactos que funcionan 1 0. representadas por flechas de unión. etc.33 En forma de Diagramas de Venn son diagramas se muestran los conjuntos de partida y de llegada con sus respectivos elementos y las correspondencias establecidas entre éstos. Ejemplos: 1.69 4 0. “ser la cuarta parte de”.61 5 0.48 9 0. ordenados y crecientes de izquierda a derecha. también como si se tratara de una recta real. pues. la temperatura mínima se ha alcanzado a las dos de la tarde (14:00 horas) y la máxima a las ocho de la tarde (20:00 horas). Ejemplo: La siguiente gráfica representa la variación de la temperatura de un enfermo de un hospital a lo largo de un día. esta no representa a una función a esto se le conoce con el nombre de criterio de la recta vertical. uno horizontal (eje de abscisas) y otro vertical (eje de ordenadas).MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 En forma de Gráficas cartesianas: Son gráficas que se construyen a partir de dos ejes de referencia –llamados ejes de coordenadas–. ordenados y crecientes de abajo hacia arriba. Nuevamente. numéricos. la temperatura del enfermo (variable dependiente) depende de la hora del día (variable independiente). Los valores de ambas variables deben ser. La gráfica nos da una visión intuitiva de la relación entre dos magnitudes y el comportamiento de una magnitud en función de la otra. en el primero se colocan los valores de la variable independiente como si se tratara de una recta real. y y y x x x Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 114 de 138 . Una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un solo punto. A partir de ella es fácil determinar la relación entre la temperatura y las horas. Si una recta toca más de un punto de la gráfica. Habitualmente. y en el eje vertical se colocan los valores de la variable dependiente. Por ejemplo. 25𝑥 𝑓 (𝑥 ) = cos(𝑥) Por trozos. Según las fórmulas las funciones se clasifican en polinómicas o algebraicas y trascendentes. Las trascendentes. cuadráticas. racionales. irracionales y por trozos (por sección o por partes).MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA Es función 1-1-2016 No es función Es función y y y x x x Es función No es función Es función Otra forma de representar una función es a través de Fórmulas que son expresiones algebraicas (pueden incluir números y símbolos literales) que expresan la relación existente entre las variables independientes y la variable dependiente. cubicas. se llaman así para distinguirlas de las algebraicas. (por sección o por partes ) logarítmicas Exponenciales Trigonométricas 𝑥2 Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 115 de 138 . Ejemplo: Lineales Cuadráticas Polinómicas Polinómicas Las trascendentes Polinómiales 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 − 1 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 − 4 2𝑥 − 5 − 5𝑥 + 6 Racionales 𝑓 (𝑥 ) = Irracionales 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 + 2 2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5 𝑓 (𝑥 ) = 6 − 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 5 𝑓 (𝑥 ) = log 2 𝑥 𝑓 (𝑥 ) = (1200)20. polinómiales. exponenciales y las trigonométricas. y son las logarítmicas. Las polinómicas son las que se pueden representar mediante expresiones algebraicas y pueden ser lineales. f es una función sobreyectiva. 2. de todos los pares (x. Ejemplo 1: Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 116 de 138 . las y no se repiten. Ejemplo 1: Para determinar si una función es inyectiva. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no. 3)}. Función Sobreyectiva: Sea f una función de A en B. y y y x x x Inyectiva Sobreyectiva Inyectiva Ejemplo 2: Sean los conjuntos A= {1. (2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 6.5. CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES Función Inyectiva: Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. (3.3. 3}. 3}. si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. En otras palabras. graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. se puede observar que cada elemento del conjunto B es imagen de un solo elemento del conjunto A. y la función f: A → B definida así f = {(1. 1). En caso de que se repitan la función no es inyectiva. por tanto la función es inyectiva o uno a uno. 2). B = {1. bajo f. y) pertenecientes a la función. esto se conoce como el criterio de la recta horizontal. 2. 7 }. diremos que la función es Inyectiva.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Ejemplo 2: Sean los conjuntos A = { a . 5 . Función Biyectiva: Sea f una función de A en B. 7 ) }. o . 5 ) . Ejemplo 1: Ejemplo 2: Sean los conjuntos A = { a . Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A. 1 ) . En cambio. 5 . luego se puede observar que f es sobreyectiva porque no existen elementos del codominio que no sea imagen de algún elemento del dominio. 3 . ( u . 3 ) . ( e . 3 ) . u }.6. 5 ) . 3 . ( o . y la función f: A → B definida así f = { ( a . un elemento de A. llamado dominio. si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez. B = { 1 . 7 . ESTUDIO DEL DOMINIO DE ALGUNAS FUNCIONES REALES Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales. f es una función biyectiva. o . i . y la función f: A → B definida así f = { ( a . e . la función es sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de. ( i . 9 ) . 6. 7 ) }. 7 ) . i . ( o . u } y B = { 1 . ( i . otro número real. 9 }. e . 1 ) .3. f:D Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 117 de 138 . Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA. ( u . al menos. ( e . luego se puede observar que f es Biyectiva por ser inyectiva y sobreyectiva a la vez. f (x)= x 2 . 3x 4 Ejemplo: Sea f ( x) el dominio de f serán todos los números reales menos el 1. Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo. x 1 Es decir: D (f)=R-{1} Dominio de una función con radical El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.5x + 6 D=R Dominio de la función racional El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Gráficamente: Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 118 de 138 .MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA f( x) = y x 1-1-2016 Dominio de la función polinómica El dominio es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. cualquier número real tiene imagen. El dominio de una función irracional de índice impar es R. debemos exigir: Tengo que exigir de nuevo: Función Inversa Dada la función y=f(x) su inversa f -1(x) se obtiene expresando la función x=g(y). 2. Se despeja la variable independiente x. Ejemplos: 1. NOTA: No todas las funciones tienen inversa. es decir f -1. y la y por la x. 4. 3. y=4x + 1 𝑦−1 Despejando: 𝑥 = 4 2. 𝑦 = √𝑥 − 1 Despejando 𝑥 = 𝑦 2 + 1 𝑦 = 𝑥−2 f: A B Función Directa f: A B Función Inversa A B B A x f(x) f(x) x Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 119 de 138 . 𝑥+3 4. Intercambiando variables: y Función inversa: f 1 ( x) x 1 4 x 1 4 y=x2+1 Despejando: 𝑥 = ±√𝑦 − 1 Intercambiando variables: y x 1 Función inversa: f 1 ( x) x 1 Gráficas Gráficas y y=x^2+1 y y=4x+1 x=(y-1)^(1/2) x x=(y-1)/4 x 3.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada: 1. Se intercambian la x por la y. La ecuación obtenida es la inversa de la función dada. Expresar la ecuación anterior con notación de función inversa. MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA Despejando: 𝑥 = 3+2𝑦 𝑦−1 3 2x y 1 3 2x Función inversa: f 1 ( x) y 1 Gráficas Intercambiando variables: y y 1-1-2016 Intercambiando variables: y x 2 1 Función inversa: f 1 ( x) x 2 1 Gráficas y x=y^2+1 y=(x+3)/(x-2) y=(x-1)^(1/2) x x x=(3+2y)/(y-1) Raíces e Interceptos Las raíces o ceros son los puntos para los cuales f(x)=y=0, gráficamente son los puntos donde la gráfica corta al eje de la abscisa (x). No todas las funciones tienen raíces, puesto que puede haber curvas que no corten al eje "x". y Raices x y = x^3-4x Los interceptos son los puntos para los cuales x=0, es decir los puntos donde la curva corta al eje de la ordenada (y) y Intercepto x y = x^3-6x+3 Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 120 de 138 MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Ejemplos: Halle las raíces y los interceptos de cada función, si existen. 1. f(x) = x2-2x-3 Gráfica Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 y entonces x2-2x-3=0 Factorizando (x-3)(x+1)=0, entonces x - 3=0 por lo que x1 = 3 y x + 1=0 por lo que x2=-1 x Por lo tanto la función tiene dos raíces que son x1 = 3 y x2 = -1. Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos In te rce p tos Por lo tanto la función tiene un intercepto en y= -3 Para hallar las raíces hacemos f(x)=0 f(0)=-3 2. f(x)=x(x3-1) Ra ice s Gráfica y entonces x(x3-1)=0 Tenemos x1=0, x3-1=0 despejando x3=1, de donde x2=1 Por lo que las raíces son x1=0 y x2=1 Para los interceptos hacemos x=0, remplazando en la función obtenemos f(0)=-1 por lo tanto la función tiene un intercepto en y=-1 x Intercep tos Raiz Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 121 de 138 MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 6.3.7. Función Creciente, Decreciente y Constante Una función es creciente en un intervalo si para cualesquiera x1 y x2 dentro del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) < f(x2). Es decir una función es creciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) aumenta el valor de la ordenada (y). Una función es decreciente en un intervalo si para cualesquiera x1 y x2 dentro del intervalo, tal que x1 < x2 se cumple f(x1) > f(x2). Es decir una función es decreciente en un punto si al incrementar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) disminuye el valor de la ordenada (y). Una función es constante cuando al aumentar los valores de la abscisa (x) (movernos hacia la derecha) el valor de la ordenada (y) no varía. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 122 de 138 MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 No obstante, una función puede presentar varios máximos y mínimos. Para distinguirlos utilizaremos los siguientes conceptos: Ejemplo: A partir de la siguiente gráfica (muestra el perfil de una etapa de la Vuelta Ciclista a España) estudia el crecimiento y decrecimiento de la función y los máximos y mínimos. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 123 de 138 MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Los máximos relativos los alcanza en los puntos x = 50 y x = 150. FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales.y1) y P2(x2. 6. m < 0: La función es decreciente m = 0: La función es constante.1.4. Si m es indeterminada no existe función . cuyo codominio también todos los números reales.4. x = 175 y x = 225. Cuando se expresa como ecuación de la forma y = mx + b se le llama ecuación pendiente-ordenada al origen. la cual corresponde a la ecuación general de la línea recta y su gráfica es una línea recta. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES PARTICULARES 6. Ejemplo 1: En una factura de gas natural de la empresa Metro gas se lee: Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 124 de 138 . y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado de la forma de la forma Ax + By + C = 0 con A ≠ 0 y B ≠ 0 (A. En particular f(x) =ax + b es una función de primer grado o función lineal. La pendiente se puede calcular si se conocen dos puntos por donde pasa la recta P 1(x1. donde m representa a la pendiente y b el valor donde la recta corta al eje de las ordenadas (y). y2) entonces: y 2 y1 x 2 x1 Conociendo la pendiente y un punto se puede encontrar la ecuación de la línea recta con la ecuación punto pendiente: y y1 m( x x1 ) m Se pueden presentar las siguientes situaciones: m > 0: La función es creciente. B y C son constantes). Los mínimos relativos los alcanza en los puntos x = 0. demanda) . entre 0. La vendría expresada como: C ( x) 0. Como sabemos que la pendiente es: 𝑚= 𝑦2 − 𝑦1 4500 − 4000 500 1 = = =− 𝑥2 − 𝑥1 4000 − 5000 −1000 2 Significa que por cada 1000 que se incremente el precio la demanda disminuye la mitad.1 y 0. Recuerde que no es lo que factura la empresa. El segundo renglón dice que esa casa consumió. en el período facturado. 0.16725. a. aunque no usemos el gas.167. que son infinitas. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 125 de 138 . si se sabe que a un precio de $ 5000 la unidad se demanda 4000 unidades y por cada $1000 que se rebaje en el precio. x representa el precio y. Al construir una tabla que muestre el costo aproximado en dólares en función del consumo de gas se tiene: Es importante tener en cuenta que la empresa de gas sólo factura aproximando a m 3 enteros. por datos podemos considerar una primera pareja (5000. pero en este caso no sobre todas las cantidades posibles. es decir. etc.2 están 0. siempre hay infinitos.74 Donde C(x) es el costo en dólares y g es el consumo de gas en m3. Halle la pendiente ¿qué significa? Como el precio depende de la demanda. Si tomáramos la situación real de consumo. veríamos que la tabla sólo nos informaría sobre algunas cantidades. Ejemplo 2: La demanda de un producto tiene un comportamiento lineal.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Se puede observar que el primer renglón nos indica que siempre hay un cargo fijo de 7. recordemos que el conjunto de los números reales es un conjunto denso. la demanda crece en 500 unidades. por más cercanos que estén. y las unidades demandadas. es decir que entre dos números reales.13. y que se cobran aproximadamente 0. 0.15g 7. 4000) donde x1=5000 y y1=4000 y una segunda pareja (4000. En cambio al definir un modelo matemático para esta situación está nos permitirá calcular el costo real para cualquier valor de gas consumido. 111 m3.74 dólares. Por ejemplo. 4500) donde x2=4000 y y2=4500.15 dólares por m 3 consumido. las parejas ordenadas tendrían la forma: (Precio. ¿Qué precio máximo estaría dispuesto a pagar? Por gráfica $13000. 4500) y trazamos la recta que corte los dos ejes coordenados y Unidades Dem andadas P recio x d. ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen y qué significa? Por ecuación y gráfica la ordenada en el origen (b) es de 6500. es decir a $0 se demandan 6500 unidades. Grafique la función Ubicamos los puntos (5000. para un precio superior a este las unidades demandas serían negativas Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 126 de 138 . 4000) y (4000. e.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 b. Halle la ecuación de la demanda Como se conoce la pendiente y un punto utilizamos la ecuación y y1 m( x x1 ) Remplazando 1 ( x 5000) 2 1 y 4000 x 2500 2 1 y x 2500 4000 2 1 y x 6500 2 y 4000 c. Para una demanda de 5240 unidades. FUNCIÓN CUADRÁTICA Las funciones cuya fórmula es del tipo: y = a. para demandar 5240 unidades el precio unitario tiene que ser de $2520. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 127 de 138 .x2 + bx + c. con a. b.4.2.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Analíticamente tendríamos que hacer y=0 y remplazar en la ecuación. ¿cuál sería la demanda? Aquí x=4500 remplazando en la ecuación se tiene 1 y (4500) 6500 2250 6500 4250 2 Lo cual quiere decir que a $4500 se demandarían 4250 unidades g. así: 0=-1/2 x+6500 Despejando -6500=-1/2 x (-6500)*(-2)=x 13000=x x=13000 f. ¿cuál debe ser el precio unitario? Aquí y=5240 remplazando en la ecuación se tiene 1 5240 = − 𝑥 + 6500 2 Despejando 1 5240 − 6500 = − 𝑥 2 1 −1260 = − 𝑥 2 (−1260) ∗ (−2) = 𝑥 x 2520 Es decir. Si a > 0. Para un precio de $ 4500. c números fijos y a≠0 para cada función. se llaman funciones cuadráticas. abre hacia abajo. 6. La gráfica de la función cuadrática tiene una forma distintiva llamada parábola. la parábola abre hacia arriba y si a < 0. La función cuadrática tiene su vértice en b b V . Si la función tiene dos interceptos. f 2 a 2a Los interceptos de x de la gráfica de una función y = f(x) son los valores de x para los cuales f(x) = 0 llamados los ceros de la función. f(-b/2a)) f(-b/2a) Valor óptimo Mínimo Relativo La línea vertical que pasa por el vértice de una parábola recibe el nombre de eje de simetría porque una mitad de la gráfica es un reflejo de la otra mitad a través de esta línea. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 128 de 138 . Los ceros de la función cuadrática son las soluciones de la ecuación cuadrática que se pueden obtener a través de la fórmula general: b b 2 4ac x 2a Para la gráfica de la función. La ecuación del eje de simetría es b x 2a El valor óptimo (ya sea máximo o mínimo) de la función se alcanza en el vértice. El punto es mínimo si a > 0 y el punto es máximo si a < 0. se unen estos con el vértice 2. Para aquellos casos en que la función tenga un o ningún intercepto es necesario tabular la información y se recomienda tomar mínimo tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha del eje de simetría. que es el punto donde la parábola da la vuelta. f(-b/2a)) f(-b/2a) Valor óptimo Eje de Simetría x=-b/2a x a<0 a>0 x=-b/2a Eje de Simetría x V(-b/2a. se puede presentar dos situaciones: 1.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 y = x^2+2x-1 y = -x^2+2x+1 y y Máximo Relativo V(-b/2a. Ejemplo 2: María ha diseñado unos pendientes que se han de hacer con una lámina de oro. se tendría una tabla como la siguiente: Al trazar la gráfica aproximada de esta función. Ahora necesita trabajar en las dimensiones de cada triángulo. y se registrará las distintas alturas que fue alcanzando la pelota en función del tiempo transcurrido desde que se la arrojó al aire.1. se puede observar que el dominio es el intervalo de tiempo transcurrido desde que se arrojó la pelota hasta que llegó al suelo. viene dada por h(t ) 5t 2 15t 1 Donde h(t) es la altura que va alcanzando la pelota (en metros) y t es el tiempo transcurrido (en segundos). apenas pasados los 3 segundos de arrojada. La expresión que da origen al movimiento de la pelota. El diseño básico consiste en una forma triangular que tiene 5 mm más de altura que el ancho de la base.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Ejemplo 1: Si filmáramos el movimiento de una pelota. todos los valores comprendidos entre 0 y aproximadamente 3. es decir. No tiene más dinero disponible que el que le permite comprar 2 250 mm 2 de lámina de oro para hacer dos de estos pendientes. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 129 de 138 . Ejecutar el plan: bh . el área de cada triángulo es 2 x ( x h) A 2 Como son dos los triángulos que necesitamos para fabricar los pendientes. ¿Cuáles son las dimensiones de los triángulos? Datos conocidos: Área de la lámina de oro: 2250 mm2 Dimensión de la altura: 5 mm más que el ancho de la base Diseño de los pendientes: triángulos Datos desconocidos: Dimensiones del ancho y la altura 2. cuenta con el dinero suficiente para comprar 2250 mm2 de lámina de oro. En su diseño la altura es 5 mm más que el ancho de la base. Se sabe que la superficie mide 2250 mm2 lo cual representa el área del triángulo. 3. así que aplicaremos la fórmula del área de un triángulo. Desarrollar un plan: Estrategias: hacer una figura. haremos una representación gráfica ubicando la altura y la base. el área de los dos es: A 2 x ( x h) 2 Por tanto el área resultante es: x( x 5) 2250 Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 130 de 138 . obteniendo una ecuación cuadrática donde su solución nos conducirá a hallar las medidas de las dimensiones de los pendientes.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 Solución: 1. resolver una ecuación Descripción: Como el diseño de los pendientes es de forma triangular. Comprender el problema: Interpretación: María desea hacer unos pendientes en forma triangular. f(2)= f(5)= f(0)= b) Halla las imágenes de 2. lo que es lo mismo. los dos pendientes será: 2*(1125 2 2 mm2) = 2250 mm2 que corresponde a la cantidad de superficie disponible. función: inyectiva. 5 y 0 según la función g. g(2) = g(5) = g(0) = c) Escribe en tu cuaderno las expresiones o fórmulas de f y de g. Comprobar: 45 50 2250 1125 mm2. 5 y 0 según la función f. sobreyectiva o biyectiva. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 131 de 138 . Dado los siguientes diagramas sagitales. cuáles cumple con ser función. de 4. f(x) = g(x) = 2.5 cm y la altura tiene 50 mm o sea 5 cm.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 x 2 5 x 2250 x 2 5 x 2250 0 5 5 2 4 1 (2250) 5 25 9000 5 9025 2 1 2 2 5 95 x1 45 2 x 5 95 50 2 De las dos soluciones obtenidas sólo nos sirve la primera (una medida no puede ser un número negativo). La función g asocia a cada número natural el resultado de elevarlo al cuadrado y sumarle 3. 4. Dado los siguientes enunciados: La función f asigna a cada número natural el resultado de sumarle 3 y elevar la suma al cuadrado. x2 Se trata pues de unos pendientes triangulares cuya base es de 45 mm o. El área de un pendiente es: A EJERCICIOS 1. a) Halla las imágenes de 2. MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA a) b) c) d) e) f) 1-1-2016 3. Calcula el dominio de las siguientes funciones: Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 132 de 138 . a) b) c) d) e) f(x) = 4x – 2 f(x) = x3 – x f(x) = √x f(x) = 2 f(x) = 1 – x2 – x 4. Determinar si las siguientes funciones son o no inyectivas. Observando el gráfico. En un banco nos ofrecen un plazo fijo al 4% anual con una comisión de mantenimiento de 15€ anuales.50€ ¿cuánto costaban antes? 3. La norma indica que se debe pagar cierta cantidad por cada minuto y que no hay un mínimo. Dos excursionistas proyectan una caminata hasta un refugio de montaña.84€ ¿de cuánto tiempo dispongo? 2. Juan pone 1. El grupo perseguidor se encuentra a 10 Km del final corriendo a 12 Km/h.10€/min con un consumo mínimo de 10€. ¿Cuánto producirán 3000€ en un año? ¿Cuánto se ha invertido si se han recibido 185€? 4. En una ciudad tienen implantada la Ordenanza de Regulación del Aparcamiento (O.20€/min. Halla la ecuación que relaciona el precio con el tiempo y dibújala. a) f ( x) (4 x) 3 b) f ( x) 9 x 2 c) f ( x) x3 x 1 d) f ( x) 2x 3 x 1 6. cuentan con un perfil del trayecto y un gráfico distancia –tiempo confeccionado por un grupo que realizó la caminata el mes anterior. Si la función no tiene inversa.5. ¿Cuántos kilómetros recorrieron aproximadamente hasta llegar al primer descanso? ¿Cuánto tiempo se detuvieron? b. que se encuentra a 18 km de la ciudad. Si la inversa existe. ¿Alcanzarán al escapado si mantienen las velocidades? En caso afirmativo ¿cuánto tardarán y a qué distancia de la meta? 6. Para orientarse.A. En un comercio aplican el 15% de descuento a todos sus productos.R. En una etapa con final en alto un escapado está a 6 Km de la meta y circula a 9 Km/h. PROBLEMAS 1. responder: a. ¿Cuántos kilómetros recorrieron desde Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 133 de 138 . ¿Cuánto hay que pagar por un estacionamiento de 50 minutos? Si pago 0. La compañía B me ofrece pagar sólo por el consumo a 0. Quiero comprarme un teléfono móvil y he visitado varias compañías. Halla la ecuación que relaciona el precio rebajado con el original y dibújala.). La compañía C me ofrece un coste de 0. Sara con 1€ tiene 25 minutos.20€ y el parquímetro indica que dispone de 30 minutos. Determina si las siguientes funciones tienen inversa. ¿Cuánto cuesta una camisa que antes costaba 75€? He pagado por unos pantalones 42. apoya gráficamente este hecho verificando que una recta horizontal interseca a la gráfica en más de un punto. determínala y establece su dominio. Halla la ecuación que relaciona el interés producido con el capital invertido.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 5. Final de etapa. La compañía A me ofrece una cuota fija de 9€ al mes más 6 céntimos por minuto. ¿Qué compañía me interesa más? 5. sea cual sea la inversión realizada. Un cartero repartiendo el correo. b. d. Paseo en bicicleta parando una vez a beber agua. a. ¿Cuántos kilómetros hicieron en bajada? ¿Les llevó menos tiempo? 7.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 ese lugar hasta alcanzar la primera cima y cuánto tiempo tardaron en subirla? c. c. Asociar cada gráfica a las situaciones dadas. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 134 de 138 . Distancia recorrida por un auto de carrera en un tramo del circuito. Recorrido realizado por un micro urbano. b. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 135 de 138 . escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Dado los siguientes gráficos. La siguiente gráfica nuestra el crecimiento de una persona cada 5 años: a. c. ¿Cuánto midió al nacer? ¿A qué edad alcanza su altura máxima? ¿En qué período crece más rápidamente? ¿Qué intervalo de números pueden tomar la edad y la altura? ¿Por qué se pueden unir los puntos? 9. a.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 8. e. d. c. el tren regresa a las cocheras sin hacer parada alguna. Dada la siguiente gráfica que representa el movimiento de un tren: El tren sale de la estación y va ganando velocidad. En su recorrido para en varias estaciones para recoger viajeros. Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 136 de 138 . 10.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 b. Después de hacer su trayecto. d.4 millones de toneladas de carbono al año. ¿Cuánto tarda de una estación a otra? c.42 0. Indicar los intervalos de crecimiento. Realizar el gráfico de la función lineal obtenida. e. se muestra el aumento de la temperatura global que se pronostica para la tierra. Interpretar la pendiente y la ordenada al origen en el contexto del problema. Determinar la expresión algebraica (función lineal) que modeliza estos datos. La quema de combustibles fósiles produce 5.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 a. Representar gráficamente los datos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos. 12. La compañía eléctrica que suministra electricidad a las residencias familiares de un barrio. Predecir la temperatura estimada para los años 2014. considerada a partir de 1980 en Celsius. Estas emisiones son absorbidas por la atmósfera y por los océanos. ¿Qué distancia hay entre la primera y la última estación? d. como resultado de las emisiones de dióxido de carbono en el aire. En el año 1896 un científico sueco fue el primero en hablar del “efecto invernadero”. 2030 y 2110. En la tabla siguiente. fija un costo bimestral de $ 15. ¿Cuánto tarda en llegar a las cocheras. c.80 por residencia.1 A partir de esta información: a.68 2. si el consumo de energía no supera Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 137 de 138 . e. decrecimiento o constantes.84 1. ¿En cuántas estaciones se detiene para recoger viajeros? b. después de dejar a los pasajeros en la última estación? 11. b. aproximadamente. Año Aumento de Temperatura (°C) 1980 2000 2020 2040 2060 2080 0 0.26 1. El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad.093 Donde x representa los kwh consumidos. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. WEBGRAFÍA http://canek. Si una residencia abonó $318. el costo de energía suministrada puede representarse por la siguiente función lineal: C(x) = 0. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo: La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.MÓDULO DE RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA 1-1-2016 los 40 kwh.uam. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. 14. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio. podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. 6. Si el consumo de energía supera esa cantidad. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado.60 + (x – 40)0. ¿cuál fue el consumo de energía? 13.pdf Departamento de Estudios Generales e Idiomas FUNCIONES Página 138 de 138 .mx/Calculo1/Teoria/Funciones/FTFuncionReal. 15.6.