Modulo de Razonamiento Logico Matematico 2011.pdf

Razonamiento Lógico MatemáticoUTILIZANDO LA LÓGICA SIMBÓLICA EN SITUACIONES DE NUESTRO CONTEXTO U n i d a d I El hombre que hace algo puede equivocarse pero aquel que no hace nada ya está equivocado. E. Rótterdam Capacidades - Identifica y elabora proposiciones lógicas. - Demuestra la validez de una inferencia empleando leyes de equivalencia o tablas de verdad. - Usa el cuantificador lógico, universal y existencial en la simbolización de proposiciones. - Simboliza y diseña circuitos lógicos. Razonamiento Lógico Matemático Tema: 1 PROPOSICIONES Y CONECTIVOS LÓGICO, SIMBOLIZACIÓN Y VALORACIÓN DE PROPOSICIONES http://xtianlb.blogspot.com/2009/03/adivinanza-alemana.html 1. K 1.1 Reseña histórica de la lógica La lógica se inicia con Aristóteles (384-322 A.C.)Quien fue el primero en desarrollar el análisis formal de los razonamientos. Los escritos lógicos de Aristóteles están reunidos en un libro llamado “Organon” (significa “instrumento”, “propedéutica”, “metodología”) que contiene cinco tratados como son: Las categorías, Sobre las proposiciones, Los analíticos (primeros y segundos), Los tópicos y Las refutaciones sofísticas. De estos cinco tratados Los analíticos es el documento que contiene la naturaleza de la lógica y el silogismo. Posteriormente se inicia la lógica moderna con Leibniz (1646-1716) quien desarrolló el cálculo de la lógica proposicional (“Mathesis universalis”); Euler (1707- 1783), introdujo los diagramas que lleven su nombre para ilustrar geométricamente los silogismos. En 1854, el matemático inglés George Boole publicó su obra “An investigation of the laws of thought” (una investigación de las leyes del pensamiento) dando origen a la lógica matemática, interpretando de esta manera la afinidad de la lógica de clases y la lógica proposicional. El estudio de la lógica es fundamental en la vida del ser humano, ya que mediante ella es posible disciplinar y ordenar el conocimiento. Sólo mediante el conocimiento, el hombre es capaz de realizar su propia esencia, perfeccionando su vida: cuando la razón es el faro que guía las acciones del hombre, éste tiene que llegar necesariamente a la verdad Daniel Márquez Muro. Razonamiento Lógico Matemático Russell (1848-1925) junto con Whitehead (1861-1947) escribe “Principia matemática”, obra que generó investigaciones sobre la inferencia y sus aplicaciones. Actualmente la lógica moderna tiene múltiples aplicaciones en todos los campos. No olvides que: Francisco Miró Quesada Cantuarias, fue quien introduce y desarrolla la lógica matemática en Latinoamérica. 1.2 Lógica Es la ciencia que estudia los métodos o procedimientos formales para aplicar las leyes o reglas lógicas en el análisis de validez de las inferencias. Esta Disciplina tiene aplicación en todos los campos del saber; en la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no. Los matemáticos usan la lógica para demostrar teoremas e inferir resultados. En computación, para revisar programas y crear algoritmos. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas como los bits, gracias a ello se ha logrado el desarrollo de la tecnología. 1.3 Definiciones básicas de lógica 1.1.1. Lógica Proposicional Es una parte de la lógica que estudia las proposiciones y su relación entre ellas, así como las funciones que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos. 1.1.2. Enunciado Es toda frase u oración que señala alguna idea. Algunos enunciados son mandatos, interrogaciones o expresiones de emoción; otros en cambio son afirmaciones o negaciones que tienen la característica de ser verdaderos o falsos. Ejemplos: - ¿Cómo estás? - Esas flores son hermosas. - El cuadrado y el círculo son polígonos. - Mañana será viernes. - ( a + b) 2 = 625 - Juan es profesor de la USS. - X + 3 < 14 - 5 es divisor de 130. - Chiclayo es la ciudad de la amistad - Suker y Ronaldo juegan muy bien. - ¡Eres un campeón! Razonamiento Lógico Matemático 1.1.3. Enunciado Abierto Llamada también función proposicional, es un enunciado en el que intervienen una o más variables, que admiten la posibilidad de convertirse en una proposición lógica cuando la variable asume un valor determinado. Ejemplos: - El es un escritor peruano. - 36 6 2 = + x x - m + n s 3 - Ella es una psicóloga. - N es un número impar. 1.1.4. Proposición Llamado también enunciado cerrado, es toda expresión coherente que se caracteriza por poseer un valor de verdad (V) o falsedad (F) sin ambigüedad, en un determinado contexto. Por lo general se denotan con letras minúsculas como: p, q, r, s, etc., las cuales son llamadas variables proposicionales y se analizan en una tabla de verdad. Ejemplos: - La luna es un satélite. (V) - 132 es un número divisible por 2 y por 3. (V) - Ciro Alegría no fue literato. (F) - La velocidad es una magnitud vectorial. (V) - ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (V) - Los Moches se caracterizaron por sus huacos retrato. (V) - 16 es múltiplo de 7. (F) - 1250 > 20*102 + 5. (F) Los enunciados abiertos usan las palabras “el”, “ella” y los símbolos x, y, z, etc. No son proposiciones pero cuando se reemplazan estas palabras o símbolos por un determinado objeto o valor resultan ser proposiciones. p V F Tabla de verdad Valores veritativos Razonamiento Lógico Matemático 1.1.5. Proposiciones Simples y Compuestas PROPOSICIÓN SIMPLE PROPOSICIÓN COMPUESTA Llamada también atómica o elemental, monádicas o monarias. Expresa una sola idea y se representa por una sola variable (tienen un solo sujeto y un solo predicado), no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación. Ejemplos:  El bosque de Pomac se encuentra en Ayacucho.  1771 es un número capicúa.  El Señor de Sipán fue encontrado en el departamento de Lambayeque.  3 es un número par. Llamada también molecular o coligativa, esta formadas por dos o más proposiciones simples unidas por conjunciones gramaticales (conectivos) o afectados por el adverbio de negación NO. Ejemplos:  15 es divisible por 3 y múltiplo de 5.  Arequipa no es llamada la ciudad blanca.  Si mañana sale el sol entonces iremos de paseo.  Luís es abogado o ingeniero.  O Jorge esta en Chiclayo o en Trujillo.  2 + 3 + 5 + 1 >11 y 2 + 3 > 5 + 1 1.1.6. Conectivos Lógicos Los conectivos lógicos son palabras que sirven para enlazar proposiciones o cambiar el valor veritativo de una proposición. Sean las proposiciones “p” y “q”. Tenemos: SÍMBOLO OPERACIÓN ASOCIADA ESQUEMA SIGNIFICADO O INTERPRETACIÓN ~ Negación simple, interna o ligada. ~p No, no es cierto que . Conjunción producto lógico p.q Y ,pero, sin embargo , no obstante, aunque, etc. v Disyunción inclusiva o Incluyente Disyunción Débil suma lógica pvq O, salvo, a menos que, excepto ÷ Implicación Condicional, condicional simple implicación material p÷q Si …entonces…; implica; por lo tanto; de ahí que; de modo que; luego; en consecuencia; por consiguiente, etc. ÷ Doble implicación Bicondicional, equivalencia, etc. p÷q Si y solo si; siempre y solo cuando; solamente si; entonces y solo entonces es idéntico; cuando y solo cuando, etc. A Diferencia simétrica O Disyunción Exclusiva Excluyente Disyunción fuerte pAq O … O …; A no ser que Razonamiento Lógico Matemático 1.1.7. Operaciones con Proposiciones De la misma forma como en la aritmética y en el algebra se estudian operaciones entre números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones donde se determina su valor de verdad de la proposición resultante. A) Negación: Es una proposición cuyo valor es opuesto al de la proposición original. Ejemplo: Sea: p: Augustus de Morgan fue matemático. ~p: Augustus de Morgan no fue matemático. Su tabla de verdad es: B) La Conjunción: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico “y”. Ejemplo: 8 57 8 Su tabla de verdad es la siguiente Nota: Las palabras “pero”; “sin embargo”; “además”; “aunque”; “no obstante”, equivalen al conectivo de la conjunción. p ~p V F F V p q p . q V V V V F F F V F F F F Una tabla de verdad de una proposición da los valores verdaderos (que pueden ser V o F) de la proposición para todas las asignaciones posibles. El número de valores que se asigna a cada variable proposicional está dada por la fórmula: 2 n Donde: n es el número de proposiciones simples. Las palabras: no, no es cierto que, no es verdad que, es falso que, no ocurre que, no es el caso que, etc. Equivale al conectivo ~ La conjunción es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones componentes son verdaderas. En todo otro caso, es falsa. Razonamiento Lógico Matemático C) Disyunción inclusiva o incluyente o disyunción débil: Vincula dos proposiciones mediante el conectivo “O”. Ejemplo: Su tabla de verdad es la siguiente: D) Implicación o condicional Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante la conjunción condicional: “Si…entonces…” o sus equivalentes. La proposición condicional consta de 2 elementos, el antecedente y el consecuente. Ejemplo: 15 3 5 15 Su tabla de verdad es: Nota: Algunas formas gramaticales de la condicional son: p de ahí que q; p implica q; p de modo que q; p por lo tanto q; p deviene q; p conclusión q; dado p por eso q; p luego q; cuando p así pues q; p por consiguiente q; de p derivamos q; p cada vez que q, etc. p q p v q V V V V F V F V V F F F p q p ÷ q V V V V F F F V V F F V La disyunción sólo es falsa cuando sus componentes son falsas en otros casos es verdadera. La condicional tiene un valor falso cuando su antecedente p es verdadero y su consecuente q es falsa, en los demás casos será verdadero. Razonamiento Lógico Matemático E) Bicondicional o doble implicación Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: “….si y sólo si…”. Ejemplo: á La tabla de valores de verdad es: Algunas de sus formas gramaticales son: solamente si; cuando y sólo cuando; entonces y sólo entonces; es idéntico; cada vez que y sólo si; p es condición necesaria y suficiente para q; etc. F) Diferencia simétrica o disyunción exclusiva Cuando sólo uno de sus miembros puede ser aceptado, el otro queda inválido. Sus formas gramaticales son: “o…o…”; “o” (en sentido excluyente). Ejemplo: La tabla de valores de verdad es la siguiente: p q p ÷ q V V V V F F F V F F F V P q p Δ q V V F V F V F V V F F F La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, en caso contrario es falso. La disyunción exclusiva es verdadera sólo si sus componentes tienen valores diferentes; caso contrario será falso. Razonamiento Lógico Matemático Orientaciones: 1. A continuación se le presenta una lista de ejercicios, en las que vamos a diferenciar: enunciados, proposiciones y no proposiciones, así mismo su validez. 2. De acuerdo a lo estudiado realizar un informe de los contenidos desarrollados, ilustrados solo con ejemplos (5). La presentación depende de tu creatividad. 01. Los siguientes enunciados son proposiciones lógicas 1. ¡Silencio por favor! 2. ¡Siéntate ahora! 3. Regresaré pronto 4. Ojala apruebe matemática 5. ¡Ay! Son correctas : a) 1,2,3 b) 2,3,4 c) 3,4,5 d) todas e) n.a. 02. Son proposiciones simples: 1. Si llegas temprano, haremos fiesta. 2. Trabajas o juegas. 3. O tienes sed o tienes hambre. 4. La lluvia moja la pista. 5. La uva es cereal. Son incorrectas: a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5 d) 1, 3,5 e) n.a 03. Son proposiciones los siguientes enunciados: 1) Cinco es un número par. 2) Dios mío, ayúdame. 3) Ojala ingrese a la “U” 4) Toledo es presidente del Perú. 5) 8 + 5 = 12 Son correctas: a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5 d) 1,3,4 e) 1,4,5 04. Son proposiciones moleculares: 1) No solamente río, sino también lloro. 2) Al llover, por lo tanto la cosecha será muy buena. 3) Si hay oro, seremos millonarios. 4) Siempre que haya producción, habrá empleo. 5) O bien postulo a la “U” o bien trabajo. Son correctas: a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5 d) todas e) n.a 05. Son proposiciones atómicas: 1) El Nilo es río americano. 2) El Amazonas es río africano también americano. 3) El Misti es un nevado incluso un volcán. 4) La Universidad Nacional de Trujillo es institución pública. 5) El Instituto Nacional de Cultura es institución privada. Es absurdamente falso: a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 1, 4,5 d) 1, 3,5 e) 3, 4,5 06. Son proposiciones moleculares: 1) 2 es un número y representa dos unidades. 2) La palabra “lima” tiene varios significados. 3) 5 es un número primo e impar. 4) Al ser hoy día jueves, el viernes será mañana. 5) Los institutos son instituciones de educación superior. No son correctas, excepto: a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5 d) 1, 3,4 e) 2, 4,5 07. Son proposiciones conjuntivas. 1) Los alumnos del colegio Integral clases son muy estudiosos y dedicados. 2) Los peruanos son ciudadanos civilizados. ACTIVIDAD Nº 1 Razonamiento Lógico Matemático 3) Los animales vertebrados son carnívoros y ovíparos. 4) Es falso que los estudiantes de la UNT son negligentes. 5) No solamente el mercurio es un metal sino también el bromo. Son ciertas: a) 1, 3 y 5 b) sólo 1 y 3 c) 3, 4 y 5 d) 1, 2 y 3 e) todas 08. De las siguientes proposiciones son compuestas: 1. Melissa, Blanca y Carol son estudiantes 2. Todo átomo no puede ser divisible 3. Perú y Bolivia son países vecinos 4. Ayer trabaje. Hoy descanso 5. Te amo en cuerpo y alma Son innegablemente inciertas: a) 1, 2,4 b) 2,5 c) 2, 3,5 d) 3,5 e) n.a 09. Son proposiciones disyuntivas: 1. "Llueve a menos que el suelo esté mojado" 2. "Viene Víctor excepto que venga Raúl" 3. "Canta a menos que también baile" 4. "El ramo son de flores blancas del mismo modo que de flores rojas" 5. "Apruebo el curso solamente y cuando estudie" Son ciertas, solamente: a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5 d) Todas e) Ninguna 10. Son proposiciones conjuntivas: 1. "La tierra es un planeta tanto como el sol es una estrella" 2. "Marie Curie descubrió el polonio incluso el radio" 3. "Los rayos catódicos tienen carga negativa del mismo modo los rayos anódicos tienen carga positiva" 4. "Ya bien el sartorio es un músculo ya bien un hueso" 5. "O bien la Luna es un planeta o bien un satélite" Son ciertas, solamente: a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 3, 4, 5 d) todas e) ninguna 11. Son proposiciones conjuntivas: 1. No sólo los peces viven en el mar, también los moluscos. 2. Es falso que Arequipa sea un país y Yanaguara su capital. 3. Somalia no es país sudamericano pero es tercermundista. 4. España está entre Portugal y Francia. 5. Los números 12 y 35 son primos entre sí. No son ciertas: a) 2, 3 y 5 b) 2, 4 y 5 c) 1, 2 y 3 d) 1, 2 y 4 e) ninguna 12. De los enunciados siguientes: 1. ¡Qué terror! 2. Todos los mamíferos nacen por huevos. 3. 6 3 2 = + x x 4. 2 3 3 2 2 3 + = + 5. Mañana es martes. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta? a) Tres son proposiciones. b) Dos son proposiciones. c) Dos son enunciados. d) Todas son proposiciones. e) ninguna de las anteriores. 13. De los siguientes enunciados, ¿Cuáles son enunciados abiertos? 1. 7 es un número real. 2. 12 6 > + x 3. El cero es un número par. 4. El es un escritor peruano. 5. 8 es divisible por 2 y por 3. Razonamiento Lógico Matemático Son ciertas a) 2, 5 b) 2,4 c) 2, 3, 4 d) 1, 4,5 e) Todos. 14. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones? 1. ¿Qué hora es? 2. Federico Villareal fue un matemático nacido en Túcume. 3. x + ½ s ¾ 4. Las mariposas pertenecen al orden de los lepidópteros. 5. La amistad no es verdadera. a) 1, 2,5 b) 2, 3,4 c) 2, 4 d) 1, 3,5 e) Todos. 15. De las siguientes oraciones son proposiciones lógicas: 1. Leibniz es el fundador de la lógica matemática. 2. El arte de vencer se aprende en las derrotas. 3. Entre dos números racionales diferentes de cero, existen infinitos números racionales. 4. Deseo tanto sacarme la tinka. 5. Un parexágono es un hexágono en el cual un lado es a la vez igual en longitud y paralelo al lado opuesto. Son ciertas: a) 1, 3,5 b) 1, 2,4 c) 2, 4 d) 3,5 e) Todas. 16. Cuantas son proposiciones atómicas: 1. El volcán Misti se encuentra en el departamento de Arequipa. 2. 9 no es divisible por 2. 3. El 12 de octubre Colón descubrió América. 4. Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus elementos son iguales. 5. El sol es la estrella es una estrella que tiene luz propia. a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) Todas 17. Corresponden a proposiciones compuestas: 1. Chiclayo y Tarma corresponden a ciudades del norte peruano. 2. La Universidad “Señor de Sipán” s e ubica en Pimentel. 3. Diego de Almagro o Hernando de Luque fueron los conquistadores de América. 4. La epistemología es la ciencia que investiga el conocimiento científico. 5. Los ángulos de 43º y 65 no son complementarios. Son ciertas: a) Solo dos b) Solo tres c) Solo una d) Solo cuatro e) Todas 18. De las siguientes proposiciones. ¿Cuántas proposiciones conjuntivas existen? 1. Claudia trabaja a la vez que estudia. 2. La ostra y la lapa son moluscos. 3. Lima es capital del Perú así como Managua es de Nicaragua. 4. Mañana iremos a la playa siempre que salga el sol. 5. Jorge estudia álgebra no obstante que le gusta geometría. a) 3 b) 2 c) 4 d) 1 e) Todas 19. La expresión “Subió la gasolina por consiguiente subirá el pan” es una proposición: a) Disyuntiva débil. b) Implicativa. c) Disyuntiva fuerte. d) Conjuntiva. e) ninguna. 20. Cuántas de las expresiones son proposiciones: 1. Andahuaylas, pradera de los celajes. 2. 6 2 3 = + 3. ¡Arriba Perú! 4. 3 5 15 2 8 + = + 5. ¡Tú puedes, no desistas! a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Razonamiento Lógico Matemático 21. Indique cuantas de las siguientes expresiones no son proposiciones: 1. Arequipa, la blanca ciudad. 2. 6 2 4 = + 3. 5 3 2 = + 4. 13 3 2 2 2 = + 5. ¡Has ganado una computadora! a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 22. Indicar el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas: 1. 2 6 5 3 > v > 2. 14 + 233 = 11 + 3 ∧ 2 + 2 = 4 3. ( ) ( ) 50 7 20 4 2 2 2 2 = v = + 4. ( ) ( ) 6 3 2 9 5 3 = × . = + a) VVVV b) VVVF c) VVFV d) VVFF e) VFVF 23. Cuántas de las siguientes expresiones no son proposiciones lógicas: I. Lima, la tres veces coronada. II. El cuadrado es un cuadrilátero. III. No todo número primo es impar. IV. Algún día necesitarás de mí. a) Solo I b) Solo II c) I y II d) I y IV e) III y IV 24. Cuántas de las expresiones son proposiciones lógicas: 1. Juventud, divino tesoro. 2. Los polígonos son poligonales cerradas. 3. María, por qué has llegado tarde. 4. 9 5 4 > + 5. Un número impar no es divisible por 2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 25. Debes recordar que las proposiciones pueden ser simples o compuestas, según esto indica cuantas de las que se presentan son simples: 1. Si 8 es par entonces 9 es impar. 2. No es cierto que el día tiene 24 horas. 3. La capital del Perú es Lima. 4. Existen únicamente 20 polígonos regulares. 5. 150 es múltiplo de 5 y 49 múltiplo de 6. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 26. De las siguientes proposiciones. ¿En cuáles se utiliza la disyunción? I. Si voy al cine, no voy al teatro. II. Me voy al cine a al teatro. III. Si no voy el lunes, voy el martes. IV. 3 2 < ó 3 2 < a) II y IV b) I y III c) I y II d) II y III e) n.a 27. Indicar en cuales de las siguientes proposiciones se utiliza la condicional: I. Si voy al cine, no me quedo en casa. II. Hoy es lunes, luego tengo que trabajar. III. Que salga el Sol implica que se sienta calor. IV. Gané el juego entonces estoy contento. a) I; III y IV b) II y III c) I; II y III d) n.a e) Todas Razonamiento Lógico Matemático 1.4 Nociones previas de esquemas moleculares 1.4.1 Formalización de Proposiciones Es la representación de las proposiciones simples mediante variables proposicionales (p; q, r;..) y de los conectivos lógicos por sus respectivos símbolos. Ejemplo: Si encuentro trabajo y ahorro, viajaré a Miami. p: Encuentro trabajo q: ahorro r: viajaré a Miami 1.4.2 Jerarquía de Conectores y de Signos De Puntuación 1.4.3 Signos de Agrupación 1.4.4 Reglas de formalización de Esquemas moleculares Para formalizar un enunciado, se siguen las siguientes reglas: 1. Se adjudica una variable proposicional a cada proposición simple. Si la proposición se presenta más de una vez en el mismo enunciado, se vuelve a emplear la misma variable. 2. Cada contenido proposicional debe ser reemplazado por su respectivo conectivo lógico. 3. Cada contenido lógico debe tener un alcance, dominio o jerarquía específico. Formalización: ( ) r q p ÷ . 1. Bicondicional……………….↔ 2. Disyunción fuerte……………Δ 3. Condicional………………....÷ 4. Conjunción y disyunción…...,v 5. Negación……………………..~ 1. Dos signos ____. Pero,____ 2. Punto y seguido ____. Pero ____ 3. Punto y coma ____; pero ____ 4. Coma ____, pero ____ 5. Ningún signo ____ pero ____ JERARQUÍA DE CONECTORES JERARQUÍA SIGNOS DE PUNTUACIÓN Son los símbolos auxiliares Que permiten establecer la jerarquía de los conectivos lógicos y así evitar ambigüedades. Paréntesis ( ) Llaves { } Corchetes [ ] Barras | El conectivo lógico de mayor jerarquía es aquel que no está afectado por ningún signo de colección. ( ) r q p . ÷ ( ) | | s r q p ÷ ÷ v ( ) | | { } ( ) t p s r q p . v ÷ ÷ . Conectivos de mayor jerarquía Razonamiento Lógico Matemático Ejemplo: Roxana viajó a España, pero regresó pronto o no viajó a tal lugar. Solución: + Adjudicamos una variable a cada proposición: p: Roxana viajó a España q: regresó pronto p: viajó a tal lugar + Reemplazamos el contenido proposicional por su conectivo lógico: Pero…. . O…….. v no …… ~ + Teniendo en cuenta la jerarquía, su esquema sería: 1.5 Esquema molecular Es la combinación de variables y conectivos lógicos debidamente jerarquizados, se simbolizan mediante meta variables que son las letras mayúsculas a partir de A, B, C,… Ejemplos:  A = p ÷ (q . r)  B = (p v q) . [ r ↔(q v s)]  C = ~(pv ~ q) ÷ [ (pv r) ↔(q v s)] 1.6 Evaluación de los esquemas moleculares por la tabla de verdad Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de los valores de cada una de las variables proposicionales y se realiza mediante las denominadas “Tablas de verdad” creadas por Wittgenstein. Los valores obtenidos se denominan Matriz principal y corresponden al conectivo de mayor jerarquía. Ejemplo: Evalúa [~ (p . q) v p] ÷(p ↔ q) p q [ ~(p . q) v p] ÷ (p ↔ q) VV VF FV FF F V V V V F F F VV VV VF FF V F F V V F F V Matriz principal p . (q v ~ p) Conectivo de mayor jerarquía Razonamiento Lógico Matemático 1.7 Tipos de esquemas moleculares 1.7.1 Tautología. Una proposición es una tautología si y sólo si es verdadera para todas las asignaciones posibles. Ejemplo: Consideremos la proposición compuesta: [(p÷q) . p] ÷ q p q [( p÷ q) . p] ÷ q V V F F V F V F V V V F F V V F F V F F V V V V V F V F Desarrollando su tabla tenemos que la proposición compuesta resulta todas verdadera, entonces decimos que la proposición es una tautología o una ley lógica. Ejemplo: Si analizamos la proposición t: (p÷q) ÷ (~ p v q) realizando su tabla de verdad: 1.7.2 Contradicción. Una proposición es una contradicción si y sólo si es falsa para todas las asignaciones posibles. Ejemplo: Consideremos la proposición compuesta: ~ [(pv q) ÷ (qv p)] p q ~ [( p v q) ÷ (q v p)] V V F F V F V F F F F F V V V V V V V V V F V V Desarrollando su tabla tenemos: que la proposición compuesta resulta toda falsa entonces decimos que la proposición expresa una contradicción. 1.7.3 Contingencia.- Una proposición que no sea una ni una tautología ni una contradicción se denomina contingencia (casualidad, eventualidad). Ejemplo: Sea el enunciado: p v ~ q p q p v ~ q V V F V F V V V F p q (p ÷ q) ÷ ( ~ p v q ) V V V V F V V V F F V F F F F V V V V V F F F V V V V F Razonamiento Lógico Matemático F F V 1.8 Valor de verdad por el método directo Parte de las tablas de verdad se puede utilizar el método de directo para encontrar el valor de verdad de una fórmula lógica o esquema molecular. Ejemplos: 1. Dadas las proposiciones: p: 11 es un número primo. q: 19 es un número par. r: es un cuadrado perfecto. Hallar el valor de verdad de: Solución Definimos el valor de verdad real de las proposiciones. Entonces: p ÷V; q ÷ F; r ÷ V Reemplazamos dichos valores en la fórmula dada y aplicamos la regla de los conectores según la jerarquía. Así: 2. Si la proposición: ( ) ( ) s r q p ÷ ÷ . ~ es falsa. Hallar el valor de verdad de p, q, r y s. Solución ( ) | | ( ) | | { } p r q r q p ÷ A v ÷ . Es importante tener en cuenta que: + Un esquema tautológico se representa por T + Un esquema contradictorio se representa por ± + Un esquema consistente se representa por Q ( ) | | ( ) | | { } p r q r q p ÷ A v ÷ . V F F V F V V V V V V La fórmula lógica es: V (Tautología) ( ) ( ) s r q p ÷ ÷ . ~ V V V F V F F p ÷V; q ÷ V; r ÷ F, s ÷ F Razonamiento Lógico Matemático Orientaciones: 1. Demostrar que en cada una de los casos siguientes los esquemas moleculares son tautológicos, contradictorios o contingentes. 2. Evaluar mediante tablas de verdad aquellos ejercicios en el cual se les propone realizar. 3. A partir de lo estudiado dar ejemplos aplicativos de esquemas moleculares. 01. La proposición: “la lima, naranja, limón no es cierto que sean cítricos”, se simboliza: a) – (p . q . r) b) (p . q . - r) c) (- p . - q . - r) d) [(- p . - q) v – r] e) n.a 02. “Jamás en invierno hace calor, aún cuando en verano llueve al igual que hay eclipse asimismo hay evaporación de agua tal como no hay granizo”, se simboliza: a) (- p . - q . - r . - s . - t) b) (- p . q . r . - s . - t) c) (- p . q . r . - s) d) (- p . q . r . s . - t) e) n.a 03. “En modo alguno sucede que, no haya aumentado la producción armamentista excepto que también sea absurdo que los países latinos hayan empobrecido más”, se formaliza: a) (- p v – q) b) – (- p v – q) c) –(p v – q) d) –(- p v q) e) n.a 04. La fórmula: - (- p . - q . r) ; se traduce: a) Es falso que, ni la pulga ni el chinche ni los piojos sean insectos. b) No es veraz que, la pulga también el chinche no sean insectos pero también lo son los piojos. c) Es innegable que, ni la pulga ni el chinche son insectos pero sí lo es el piojo. d) Todas e) b y c 05. La traducción CORRECTA de la fórmula proposicional : (A . B) & C es: a) Estudio y trabajo, salvo que también soy responsable b) Estudio y trabajo, vemos que también soy responsable c) Estudio y trabajo, o incluso soy responsable d) Estudiar y trabajar, excepto que incluso sea responsable. e) Estudiar y trabajar, a no ser que además sea responsable. a) (A . B) v C b) (A . B) . C c) (A . B) v C d) (A . B) v C e) (A . B) v C 06. Hallar la tabla de verdad de: (~p v q) ÷ (p v ~q) a) VFVF b) VVVV c) FFFF d) VFFV e) FFFV 07. La proposición: ~p ¬ ( q v ~r) es falsa la proposición s es verdadera. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I) (P ¬ q) II) ~s · (~p . r) III) (p . ~q) v ~r IV) (~p v q) ¬ r a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.a 08. Formalizar: “Si luchas por triunfar, entonces triunfarás, sin embargo no luchas por triunfar”. a) p ÷ (q . r) b) p ÷ (q . ~r) c) (p ÷ q) . ~p d) (p ÷ q) . (p v q) e) (p ÷ q) v ~q 09. Si: (p . ~q) ÷ r es falsa, Determinar el valor de p, q y r a) VVV b) FFF c) VFF d) VFF e) FVF 10. Señale la alternativa que muestra una proposición: a) Te deseo lo mejor. b) ¿Cuántos años tienes? c) Si a = 8 y b = -3, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 d) El lapicero está cansado. e) Responde correctamente. 11. [(~q v p). (p ÷ q)] v p Hallar si el resultado y/o matriz es: ACTIVIDAD Nº 2 Razonamiento Lógico Matemático a) Tautológico b) Contradictorio c) Consistente d) Contingente e) c y d 12. (p ÷ r) A (~q ÷ p) Hallar si el resultado y/o matriz es: a) Tautológico b) Contradictorio c) Consistente d) Contingente e) c y d 13. [p v (q ÷ ~p)] ÷ [(p . q) v ~ q] Hallar si el resultado y/o matriz es: a) Tautológico b) Contradictorio c) Consistente d) Contingente e) c y d 14. [(~ r ÷ p) . ~q] ÷ [~ p v (q ÷ ~r)] Hallar si el resultado y/o matriz es: a) Tautológico b) Contradictorio c) Consistente d) Contingente e) c y d 15. Si la proposición: ( ) ( ) s r q p v ÷ . es falsa. Determinar el valor de las siguientes proposiciones: I) ~ r II) p ↔ q III) p v q a) VVV b) VFF c) FVF d) FFV e) FFF 16. La fórmula: [-(q v -p) ÷ -(-q ÷ -p)]; es: a) Tautológica b) contingente c) contradictoria d) imprecisa e) n.a 17. Si la estructura lógica es falsa : [ (A ÷ -B) v (-C ÷ -D)] Los valores de verdad de: I. (A ÷-B) ÷ [(A v B) . -B] II. -(A ÷ B) ÷ -(C v D) III. (A ÷ B) v (C ÷ -D) Son los siguientes: a) 101 b) 010 c) 100 d) 111 e) n.a 18. La fórmula: [(q v p) ÷ (q ÷ p)]; es : a) Tautológica b) contingente c) contradictoria d) imprecisa e) n.a 19. Si la estructura lógica: [(p ÷ - q)] v (- r ÷ - s) es falsa. Los valores de verdad de p, q, r y s; Son respectivamente: a) 1101 b) 1010 c) 1100 d) 1111 e) n.a 20. Si: p=V; q=F; r= - V; - s=F; el valor de la verdad de la fórmula: ) r p ( )] s r ( ) q p [( ÷ . ÷ ÷ v . ÷ ÷ es: a) Verdadera b) Falsa c) Indeterminada d) Inconsistente e) N.A. 21. ¿Cuáles de los siguientes esquemas moleculares son tautológicos? I) | | p q q p ÷~ ~ . ÷ ) ( II) | | p q q p ÷~ ~ . ÷ ) ) ( III) | | q q p ÷ . ÷ ) p ) ( a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Todos 22. Se tiene el siguiente esquema: ( ) ( ) q p q p . ÷ v ~ ~ , se afirma que: a) Es contingencia b) Es tautología c) Es contradicción d) No se puede afirmar nada e) N o es un esquema molecular 23. En relación a la proposición compuesta: ( ) | | ( ) | | r q p r q p S ~ ~ : v . A . ÷ Indique cuál de los enunciados es la correcta: a) S es contradicción b) S es una tautología c) S es contingencia d) Ninguna anterior e) Todas 24. Determina cuantas verdades tiene la matriz principal de: ( ) | | ( ) | | p q r r q p v ÷ A . ÷ ~ ~ ~ a)2 b)5 c) 6 d) 7 e) n.a 25. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tautológicas? I. ( ) ( ) p q q p . ÷ ÷ ~ ~ II. ( ) | | p p q p ÷ v . III. ( ) ( ) | | p q p q p ÷ . . v IV. ( ) ( ) q p q p . ÷ ÷ ~ ~ ~ V. ( ) ( ) q p q p v ÷ . ~ ~ a) Solo I, IV y V b) Solo I y II c) Solo I, II y III d) Solo III, IV y V e) Solo III y V 26. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son contradicciones? I. ( ) | | p p p q ~ ~ . ÷ v Razonamiento Lógico Matemático II. ( ) | | { } ( ) r r q q p q ÷ ÷ v v . ~ ~ ~ III. ( ) ( ) q p q p ÷ ÷ v ~ a) Solo I b) Solo I y II c) I y III d) II y III e) Todas 27. Si es falso. Determine los valores de verdad de “p”, “q”, “r” y “s” a) FVFV b) VVFF c) VVVF d)VVVV e) VFVF 28. Si la proposición: ( ) ( ) | | s s r q p ÷ ÷ . ÷ ~ , es falsa, hallar los valores de verdad de p, q y r a) VFF b) FFF c) VVV d) VFV e) FVV 29. Si el esquema molecular: es verdadero, determine los valores de verdad de , a) VFV b) FFF c) FVF d) VVF e) FVV 30. Construir una tabla de verdad para una de las siguientes proposiciones: a) ( ) ( ) q p q p v ÷ . ÷ b) ( ) | | ( ) | | r q p r q p ÷ . ÷ v ÷ ÷ v . c) ( ) | | ( ) q p p q p v ÷ A ÷ . d) ( ) ( ) | | ( ) p q q p q p ÷ . ÷ ÷ ÷ ÷ A ÷ v ÷ ¿Cuántas son tautológicas? a) 1 b) 2 c) 3 d) Todas e) n.a 31. Si el esquema ( ) ( ) p r p q v ÷ ÷ es falso, hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) ( ) ( ) y m x p ÷ ÷ . b) ( ) | | ( ) q r r q p v ÷ A ÷ . c) ( ) ( ) q s p r . ÷ ÷ d) ( ) ( ) s r m q ÷ A ÷ ÷ e) ( ) ( ) p q p r v ÷ ÷ ÷ A | | ) ( ) q s r q p ÷ ÷~ . ~ . | | ) ( ) ( ) ( s q q r q p A v ÷~ v ~ ÷ ~ " " q p ÷ s r y s r ÷~ v " " " Razonamiento Lógico Matemático Tema: 2 IMPLICACIONES Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS http://a7.idata.over-blog.com/2/63/94/20/Balanza2-1-.gif Sean los esquemas moleculares o fórmulas proposicionales (o simplemente proposiciones compuestas) r p A ÷ A ÷ = ( ) r q p B ÷ v . ÷ = ( ) r q p C . . ÷ = Debemos distinguir los conceptos de implicación y equivalencia de los conceptos condicional y bicondicional respectivamente. La implicación y la equivalencia son relaciones entre fórmulas proposicionales, mientras que la condicional y la bicondicional son relaciones entre proposiciones. Así tendremos las siguientes definiciones: 2. G 2.1 Implicación lógica. Una fórmula A implica a B, cuando unidos por el condicional “ ÷”, siendo A antecedente y B consecuente, el resultado es una Tautología. 2.2 Equivalencia lógica Dos fórmulas B y C son equivalentes cuando unidos por el bicondicional “ ÷” el resultado es una Tautología. Existen varias equivalencias de la lógica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia o leyes lógicas que son formas proposicionales tautológicas con carácter general que permiten transformar y simplificar fórmulas lógicas. Razonamiento Lógico Matemático 2.3 Equivalencias notables. Existen varias equivalencias de la lógica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia o leyes lógicas que son formas proposicionales tautológicas con carácter general que permiten transformar y simplificar fórmulas lógicas. Dos formulas F 1 y F 2 son equivalentes si: F1 ÷ F 2 resulta ser una tautología. Y se denota F 1 ÷ F 2 Un ejemplo de equivalencia es: q p ÷ ÷ ( ) q pA ~ . Basta revisar las tablas de verdad La siguiente tabla muestra estas leyes. Las leyes lógicas nos ayudan a simplificar expresiones simbólicas, las cuales representan enunciados. También nos sirve para demostrar la equivalencia entre esquemas moleculares. Ley de equivalencia Fórmula Ley de equivalencia Fórmula Conmutación p.q = q. p pv q = qvp p ÷ q = q ÷ p Distribución p. (qv r) = (p .q) v (p. r) pv(q .r) = (p vq) . ( pv r) Asociación (p .q) . r = p.(q .r) (p vq) v r = pv (qv r) (p ÷ q)÷r = p ÷ (q÷r) Complemento p . ~ p = F pv ~ p = V ~(~p) = p ~V = F ~ F = V Idempotencia p. p = p pvp = p Identidad p v F = p p. V = p p v V = V p. F = F Involución ~ (~ p) = p Absorción p.(pv q) = p pv (p.q) = p p.( ~ pvq) = p.q ( ) q p q p p v = . ÷ v Implicación p÷ q = ~pv q Doble Implicación p÷q = (p÷ q) . (q÷ p) ( ) ( ) q p q p q p ÷ . ÷ v . = ÷ q p ÷ ÷ ( ) q pA ~ De Morgan ~ ( p. q) = ~ pv ~q ~ (pv q) = ~ p . ~q Razonamiento Lógico Matemático Ejemplos: a) Se tiene el siguiente esquema: ( ) ( ) | | q s r q p ~ ~ ~ . . ÷ . , simplificar utilizando las leyes lógicas. Solución: ( ) ( ) | | q s r q p ~ ~ ~ . . ÷ . ( ) ( ) | | q s r q p ~ ~ ~ ~ . . v . ÷ ……………..condicional ( ) ( ) | | q s r q p ~ ~ ~ . . v v ÷ ……………..…De Morgan ( ) ( ) | | q q p s r ~ ~ ~ . v v . ÷ ………………conmutativa ( ) | | { } q q p s r ~ ~ ~ . v v . ÷ ………………Asociativa ( ) | | { } p s r q q v . v . ÷ ~ ~ ………………..conmutativa q ~ ÷ ………………..absorción b) Simplificar ~ {[(p ÷ q) . ~ p] v p} Solución: ~ {[(p ÷ q) . ~ p] v p} ÷ ~ {[~ p . (p ÷ q)] v p} ley conmutativa ÷ ~ {[~ p.(~p v q)] v p} ley implicación ÷ ~ {[~ p . (~p v q)] v p} ley absorción ÷ ~ {(~ p) v p} ley absorción ÷ ~ (F) ley complementación ÷ V c) Demostrar que: ( ) | | q p p q q p v ÷ v ÷ . ~ ~ ~ Solución: ( ) | | p q q p v ÷ . ~ ~ ~ ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) q p q p p p p q p p q q p q q p p q q p p q q p v . v v . v v . v . v v . . v v . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Condicional De Morgan Conmutativa Absorción Conmutativa Absorción Razonamiento Lógico Matemático Orientaciones: 1. Simplificar cada una de las proposiciones propuestas que se te presentan, utilizando las leyes de equivalencia. 2. A partir de lo estudiado dar ejemplos aplicativos de cada una de las leyes de equivalencia. 01. Por D.M. “No obstante que existe la tristeza así también existe la alegría”, equivale a: 1. No sucede que, exista tristeza salvo que nunca haya alegría 2. No acontece que, nunca haya tristeza excepto que a la vez tampoco exista alegría. 3. Es obviamente negable que, salvo que haya tristeza; no hay alegría. 4. No es lícito decir que, excepto que no haya tristeza; tampoco exista alegría. 5. A menos que no haya tristeza, no existe alegría. Son absolutamente no absurdas: a) Todas b) 4 y 2 c) Sólo 5 d) 3 y 1 e) N.A. 02. La contra recíproca de “Los niños son innegablemente desnutridos cuando no ingieran proteínas”, es: 1. Porque los niños son nutridos por tanto ingieren proteínas. 2. Si los niños no ingieren proteínas, son desnutridos. 3. Los niños son nutridos puesto que proteínas ingieren. 4. Los niños ingieren proteínas ya que no son desnutridos. 5. Puesto que los niños nunca son desnutridos por ende los niños ingieren proteínas. Son indudablemente no falsas, excepto: a) Todas b) 3 y 2 c) 1, 2, 3, 4 d) 1, 5,4 e) N.A. 03. Simplifica la siguiente proposición: ( ) | | q p q p v ÷ . ~ ~ ~ a) p÷ ~ q b) ~ p ÷ q c) p÷ q d) p vq e) p v ~ q 04. Después de simplificar la proposición, lógica: ( ) | | { } p r p q p . ÷ . v ~ ~ ~ se obtiene: a) ~ q b) ~ p c) p÷ q d) p e) q 05. Simplificar a su mínima expresión: → ∨∼ ∧ ∼ → ∧ ∨ ∧ a) p÷ q b) p c) q d) p .q e) ~p v ~ q 06. Negar la proposición siguiente: “Todos los médicos son estudiosos” a) Existen médicos que son estudiosos b) No Existen médicos que no son estudiosos c) Todos los médicos no son estudiosos d) Existen médicos que no son estudiosos e) No es cierto que existen médicos que no son estudiosos 07. Formalizar: “Si luchas por triunfar, entonces triunfarás; sin embargo no luchas por triunfar” a) ( ) r q p . ÷ b) ( ) r q p ~ . ÷ c) ( ) p q p ~ . ÷ d) ( ) ( ) q p q p v . ÷ e) ( ) p q p ~ v ÷ 08. La fórmula proposicional: ÷(÷p ÷ ÷q) Equivale a: 1) ÷(p ÷ q) 2) p ÷ ÷q 3) p v ÷q 4) ÷p v q 5) p v q Son ciertas: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, 2 y 5 e) 1, 4 y 5 09. La proposición: “Jugar equivale a recrear, salvo que, recrear no sea lo mismo que jugar”. Equivale formalmente a: a) 0 b) 1 c) p d) ÷p e) p . q 10. La fórmula: “÷(p v ÷p) ÷ (÷q . q)”. Equivale a: ACTIVIDAD Nº 3 Razonamiento Lógico Matemático ( ) ( ) | | { } ( ) q t q p s p s r . A . ÷ . ÷ v ~ ) ~ ( ~ a) p b) q c) ÷p d) ÷q e) 1 11. La fórmula: “÷(p÷F)v(p÷F)” Equivale a: a) p b) V c) F d) ÷p e) p . p 12. La fórmula proposicional: ( ÷ p ÷ q ) Equivale a: a) ÷(p ÷ ÷q) b) p ÷ ÷q c) ÷p v ÷q d) ÷(p v ÷q) e) ÷(p v q) 13. La proposición: “Hace calor si y sólo si estamos en verano”. Equivale a: a) No estamos en verano porque hace calor, o, no hace calor porque estamos en verano b) Si hace calor, estamos en verano; o también; si estamos en verano, hace calor c) Si hace calor, estamos en verano; pero; si estamos en verano, hace calor d) Estamos en verano y hace calor, además, hace calor o estamos en verano e) Estamos en verano y hace calor, o sólo, ni estamos en verano ni hace calor. 14. “No hay fantasmas a menos que no hay brujerías”, negado totalmente es igual a: 1. Existen brujerías asimismo fantasmas, negablemente. 2. Existen fantasmas al igual que brujerías. 3. Es refutable que, al haber brujerías se derive que no hay fantasmas. 4. Es incierto que, no hay brujerías mientras que hay fantasmas. 5. Es inobjetable que, dado que hay brujerías por ende nunca existen fantasmas. Es obviamente no inciertas: a) 4 y 5 b) 1, 2,3 c) 2, 3,4 d) 1 y 5 e) N.A. 15. Simplificar: (D v S) ÷ [ S ÷ ( D v D) ] a) D b) S c) S . D d) F e) ÷S v D 16. ¿Cuáles de los siguientes enunciados que se pueden considerar como proposiciones equivalentes? I. Si tengo plata entonces voy al cine. II. Si no tengo plata entonces no voy al cine. III. No tengo plata o voy al cine. a) I y II b) I y III c) II y III d) I, II y III e) Ninguna 17. Sabiendo que la proposición “p” es verdadera. ¿En cuál de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de las proposiciones. I. ( ) ( ) q p q p ~ ~ . ÷ v II. ( ) r p q ~ v ÷ III. ( ) r q p ÷ . ~ IV. ( ) ( ) p r q p ~ v . v a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) III y IV 18. Si “t” es falsa y la proposición: es verdadera: Hallar los valores de la verdad de “p”, “q” y “r” a) VVV b) VFF c) FVV d) FFF e) VVF 19. Al simplificar: ~ (p ÷ q) v ~ (p v q) se tiene: a) ~ q b) q c) p d) ~ p e) ~ p v q 20. La negación de: “Ni eres artista de cine ni estrella de fútbol”, es: a. No es cierto que seas artista de cine y estrella de fútbol b. Eres artista de cine y estrella de fútbol c. No eres artista de cine o no eres estrella de fútbol d. Eres artista de cine o estrella del fútbol e. Eres artista de cine o no eres estrella del fútbol 21. Determine cuál es la proposición equivalente a: "Juan no mejorará, si sólo toma agua” a) Si Juan no toma agua mejorará b) Juan toma agua y no mejorará c) Juan toma agua y mejora d) No es el caso que Juan tome agua y mejore e) No es el caso que Juan tome agua o mejore 22. Si la negación del esquema ( ) ( ) r s q p ÷ ÷ v ÷ ÷ es verdadera: hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares. a) ( ) | | ( ) | | s r p q q r . v ÷ ÷ . ÷ b) ( ) | | ( ) q p q q p ÷ ÷ ÷ ÷ v v ÷ 23. Dados los esquemas moleculares: ( ) ( ) q p q p A . ÷ ÷ . ÷ = ( ) q p B ÷ ÷ ÷ = ( ) q p C ÷ v ÷ = Razonamiento Lógico Matemático ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? a) A es equivalente a B b) C es equivalente a B 24. Dados los esquemas moleculares: q p A A = r p B ÷ = ) ( r q C ÷ . ÷ = Determinar si la conjunción de A y C implican a B. 25. Si la proposición: ( ) ( ) q r q p ÷ A ÷ es falsa, cual es el valor de verdad de : ( ) | | q p q p ÷ ÷ v A ÷ a) V b) F c) F o V d) Tautología e) n.a 26. Dados los siguientes esquemas moleculares: ( ) | | q q p A v ÷ ÷ ÷ = ( ) p q B ÷ A ÷ = Verificar si: a) A implica en B. b) A es equivalente a B. 27. Si: ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | p q q p q r q p ÷ . ÷ v ÷ . ÷ v v ÷ ÷ es verdadera. Hallar el valor de verdad de p, q y r, respectivamente. a) VVV b) FFF c) FFV d) VFV e) FVF 28. De la falsedad de: ( ) ( ) s r q p ÷ ÷ ÷ v ÷ ÷ , hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: ( ) p s q A ÷ ÷ ÷ v ÷ ÷ = ( ) ( ) q p s r B ÷ ÷ ÷ ÷ . ÷ ÷ = ( ) | | r s q p C ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = a) VVV b) FFF c) FFV d) VFV e) FVF Razonamiento Lógico Matemático Tema: 3 INFERENCIAS LÓGICAS Y CIRCUITOS LÓGICOS http://4.bp.blogspot.com/_5R-pOXY8b6c/TEPjq_ljr- I/AAAAAAAAADs/3N94wiEZkdA/s400/cuadro.jpg 3.1 Inferencias lógicas. Es el conjunto de proposiciones en donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas extraemos otra conocida como conclusión. Ejemplo: P 1 : Todos los peruanos son americanos. P 1 : Juan es peruano Entonces: C: Juan es americano. 3.1.1 Métodos de demostración Las inferencias se denotan de dos formas, así: “Mientras existan los pensamientos existirán las palabras, mientras existan las palabras existirán los hechos y mientras existan los hechos existirán las reflexiones”. Kung FuTse, Confucio b) Forma Horizontal: Cuando la conjunción de premisas que implican a la conclusión se escribe horizontalmente en forma explícita usando los conectores . ,÷ P 1 . P 2 . P 3 .…. . P n ÷ C Premisas Conclusión a) Forma vertical: La conjunción de premisas que implican a la conclusión se escriben verticalmente uno después del otro y al término de la última premisa se escribe una raya y tres puntos para luego escribir la conclusión. P1 P2 P3 . . . Pn C Premisas Conclusión Razonamiento Lógico Matemático 3.1.2 Reglas de inferencia Las reglas de inferencia son tautologias que modelan razonamientos universalmente correctos. Para determinar su validez se analiza la forma de las proposiciones involucradas y no de los valores especificos de cada variable. Estas reglas se relacionan para precisar una demostracion. Ejemplo: ¿Es válido el siguiente argumento? Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico. Si se hace usted rico, entonces será feliz. ________________________________________________ Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz. Sea: p: Usted invierte en el mercado de valores. q: Se hará rico. r: Será feliz De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera: p → q q → r ______ p → r Ejemplo: ¿Es válido el siguiente argumento? Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso El ingreso se eleva. _________________________________________ Los impuestos bajan Solución: Sea: p: Los impuestos bajan. q: El ingreso se eleva. Tenemos: p → q q _____ p Razonamiento Lógico Matemático Las reglas de inferencia al relacionarse entre las proposiciones que participan en un proceso de razonamiento permiten determinar otras nuevas líneas validas y para esto se debe tener especial cuidado al aplicar la regla correcta. Existen varias reglas de inferencia que se pueden aplicadar en una demostracion entre ellas tenemos: 1. Adición 4. Conjunción p p _______ q p۷q _________ p ۸q 2. Simplificación 5. Modus ponens p ۸q p _________ p → q p _________ q 3. Silogismo disyuntivo 6. Modus tollens p۷q p → q ~ p ~ q _________ ___________ q ~ p 7.- Silogismo hipotético p → q q → r ________ p → r 3.1.3 Validez de una inferencia La validez es una cualidad de las inferencias, solamente las inferencias pueden ser válidas (correctas) o inválidas (incorrectas). Una inferencia es válida cuando la conclusión se ha derivado lógica y necesariamente de las premisas. En la validez no interesa el contenido de las proposiciones (sean verdaderas o falsas) que integran la inferencia, sino que la estructura que tenga cumpla con las reglas, métodos y procedimientos de la lógica. Ejemplo: Todo universitario es estudiante (V) Algún tacneño es universitario (V) Algún tacneño es estudiante (V) Inferencia válida Razonamiento Lógico Matemático 3.1.4 Método para determinar la validez de una inferencia Existen diversos métodos, entre los más utilizados tenemos:  Método de las tablas de verdad.  Método de las leyes lógicas.  Método de las inferencias notables. Aquí solo veremos los métodos de tablas de verdad y el método abreviado. 3.1.5 Prueba de la validez por tablas de verdad Como una inferencia es válida si y sólo si (P1 . P2 . P3 .…. . Pn) ¬ Q, es una tautología. Entonces debemos analizar la tabla de verdad de toda la inferencia. Ejemplo: Se tiene el siguiente razonamiento: “Manuel es contador o administrador, pero Manuel es administrador por tanto Manuel no es contador”. Determinar si es válido o no. Además P 1: Manuel es contador o administrador : (p v q) p q P 2 : Manuel es administrador: q Q: Manuel no es contador: ~ p Luego la inferencia se simboliza de la siguiente forma: |(p v q) . q| ÷ ~p . Analizamos la tabla de verdad: En conclusión el razonamiento no es válido, puesto que debe ser una tautología. 3.1.6 Prueba de la validez por método abreviado Este procedimiento evita la tarea de construir tablas, es conveniente sobre todo cuanto se trabaja con más de dos proposiciones simples. Consiste en suponer la conjunción de premisas Verdadera y la conclusión Falsa, como única posibilidad que invalida la implicación (inferencia): (P1 . P 2 . P 3 . …. . P n ) ÷ Q ( V . V . V . …. . V ) ÷ F V p q | ( p v q ) . q| ÷ ~p V V V V V F F V F V F F V V F V V V V V F F F F F F V V “Manuel es contador o administrador, pero Manuel es administrador por tanto Manuel no es contador” ( P 1 . P 2 ) ¬ Q Razonamiento Lógico Matemático Ejemplo: Si el clima está seco entonces el enfermo se mejora Si el enfermo se mejora, la familia gasta menos dinero Luego, si el clima es seco, la familia gasta menos dinero. Solución: p: “El clima es seco” q: “El enfermo se mejora” r: “La familia gasta menos dinero” Forma lógica será: p ÷ q q ÷ r p ÷ r La inferencia se simboliza de la siguiente manera: ( ) ( ) | | ( ) r p r q q p ÷ ¬ ÷ . ÷ Utilizando el método abreviado tenemos: V . V F Se tiene: (i) p ÷ r ÷ F V F p ÷ V y r ÷ F (ii) (p ÷ q) . (q ÷ r) ÷ V (V ÷ q) . (q ÷ F) V V Donde: V ÷ q ÷ V y q ÷ F ÷ V Se observa que: “q” puede tomar el valor de verdad (V o F) y así se llega a una contradicción al reemplazar el valor de verdad en el esquema molecular. ( ) ( ) | | ( ) r p r q q p ÷ ¬ ÷ . ÷ La argumentación es correcta Razonamiento Lógico Matemático 3.2 . Circuitos. http://2.bp.blogspot.com/_BuaRahAIcHM/Slk- zyNviLI/AAAAAAAAAL0/l2ZzdSfPTgg/s320/circuitoelemental.gif 3.2.1 Circuitos conmutadores Un circuito conmutador es un circuito eléctrico que contiene interruptores para el paso o interrupción de la corriente. Para el diseño de estos circuitos designemos por “p” y “q” dos interruptores eléctricos que dejan pasar corriente y por “~p” y “~q” los que no dejan pasar corriente estos se pueden conectar por un alambre en serie o en paralelo. Gráficamente tenemos: Figura (1) Figura (2) En la figura (1) se tiene un circuito en serie y se representa por: ∧ En la figura (2) se tiene un circuito en paralelo y se representa por: ∨ Observación: Su evaluación en tablas de verdad es: Donde: 1 = verdadero (V) 0 = falso (F) p q p ۸ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p q p ۷ q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Vamos a ejemplificar la materialización del cálculo proposicional, empleando el más antiguo de los dispositivos que ya fue utilizado para fines lógicos por nuestro sabio ingeniero Leonardo Torres Quevedo, a finales del siglo XIX, al construir sus máquinas aritméticas y su jugador de ajedrez. Razonamiento Lógico Matemático Ejemplo1: Describe simbólicamente el siguiente circuito: Solución: Observemos que el circuito esta en serie y en paralelo, tenemos: - p y q están en paralelo es decir: p v q - p, (p v q) y q están en serie, es decir: p ۸ (p v q) ۸ q - r y q están en paralelo es decir: r v q - r , (r v q) y p están n serie, es decir: r ۸ (r v q) ۸ p Luego: la representación de todo el circuito es: [p ۸ (p v q) ۸ q] v [r ۸ (r v q) ۸ p] 3.2.2 Simplificación de circuitos Para la simplificación de circuitos se debe tener en consideración las leyes de equivalencia. Ejemplo 2: Del ejemplo anterior se tiene que el circuito queda simplificado de la siguiente manera: [p ۸ (p v q) ۸ q] v [r ۸ (r v q) ۸ p] Ξ {[p ۸ (p v q)] ۸ q} v {[r ۸ (r v q)] ۸ p} Ξ (p ۸ q) v (r ۸ p) Ξ [(p ۸ q) v r] ۸[(p ۸ q) v p] Ξ [(p ۸ q) v r] ۸ p Ξ [(p v r) ۸ (q v r)] ۸ p Ξ [(p v r) ۸ p] ۸(q v r) Ξ p ۸(q v r) Luego: se obtiene el circuito: Ejemplo 3: Simplificar el siguiente circuito p r p p q r q q q p q p ~p ~q p ~q ~p p q p q r Razonamiento Lógico Matemático Solución: Tenemos: {[p ۸ (p v q) ۸ ~q] v [q ۸ (~q v p) ۸~ p]} ۸~ p ۸ (p v q) Ξ {(p ۸~q) v [(q ۸p) ۸~ p]} ۸ (~ p ۸ q) Ξ {(p ۸~q) v [(q ۸(p ۸~ p)]} ۸ (~ p ۸ q) Ξ {(p ۸~q) v (q ۸ F)} ۸ (~ p ۸ q) Ξ {(p ۸~q) v F} ۸ (~ p ۸ q) Ξ {(p ۸~q)} ۸ (~ p ۸ q) Ξ (p ۸~ p) ۸ (~q ۸ q) Ξ F ۸ F Ξ F Orientaciones: 1. Aplicando las leyes de la implicación determinar la conclusión de las afirmaciones propuestas. 2. Demostrar cada uno de los argumentos anteriores si son válidos o no. 3. Simplificar y representar los circuitos propuestos. Se tiene los siguientes argumentos: 01. Si ha llovido, entonces la tierra está húmeda; ha llovido. Por tanto ………………………………………… 02. Si ha venido, entonces ha llegado; ha venido. En consecuencia …………………………………………… 03. Si ha vendido, entonces tiene dinero; ha vendido. En conclusión ……………………………………… 04. Si ha llovido, entonces la tierra está húmeda; la tierra no está húmeda. Por tanto ………………………………… 05. Si ha venido, entonces ha llegad; no ha llegado. En consecuencia …………………………………… 06. Si ha vendido, entonces tiene dinero, no tiene dinero. Entonces …………………………………… 07. Ha llovido o la tierra está seca; la tierra no está seca. Por tanto …………………………………… 08. Ha venidos ha ido; no ha ido. En consecuencia …………………………………… 09. Ha vendido o ha comprado, no ha comprado. Entonces …………………………………… 10. .“Si Edilberto es senil, es cascarrabias. Al ser cascarrabias es obvio que siempre está refunfuñando”. En consecuencia: 1. En el caso que Edilberto sea viejo estará refunfuñando. 2. Edilberto es senil además refunfuña. 3. No es senil salvo que refunfuñe Edilberto. 4. Es falso que, si Edilberto no es senil por ello refunfuñe. 5. Es imposible que, Edilberto sea viejo mas no refunfuñe. Son ciertas: a) 1, 2,3 b) 1, 3,5 c) 3, 4,5 d) 2, 4,5 e) 2 y 4 11. “Ya que existió el Racionalismo por ende surgió el Empirismo. Sin embargo, es innegable que el culto a la razón tuvo gran vigencia en la Filosofía”. Por ello: 1. No tuvo vigencia el culto a la experiencia. 2. También tuvo vigencia el Empirismo. 3. Apareció el Eclecticismo. ACTIVIDAD Nº 4 Razonamiento Lógico Matemático 4. Es indefectible que el culto a la experiencia tuvo vigencia. 5. Existió el Racionalismo. Son anti incorrectas: a) Sólo 5 b) 1 y 5 c) 2 y 4 d) 2, 5 y 4 e) 1, 3 y 5 12. “Salvo que no diga la verdad, soy honesto. Más si fuese el caso que dejé de ser honesto”, concluiríamos en: 1. Siempre digo la verdad. 2. Dejé de decir la verdad. 3. Nunca digo la verdad. 4. Hablo mentiras. 5. Es porque a veces miento y a veces digo la verdad. Son correctas: a) 1, 3,5 b) 1, 3 c) 2, 4,3 d) 3, 5 e) n.a 13. No hay aprendizaje a menos que a la vez haya enseñanza. Empero no hay enseñanza excepto que incluso haya instrucción”, por tanto: 1. Si hay aprendizaje, hay instrucción. 2. Al no haber instrucción tampoco hay aprendizaje. 3. Jamás hay aprendizaje salvo que a la vez haya instrucción. 4. Es mentira que, hay aprendizaje sin embargo no hay instrucción. 5. Hay instrucción salvo que también no haya aprendizaje. Son inciertas: a) 1, 2,3 b) 2, 3,4 c) 3, 4,5 d) Todas e) 1, 3,5 14. “No hay ascetas a menos que haya estoicos. Si hay estoicos por ende existen castos”, en consecuencia: 1. Dado que hay castos se deduce que hay ascetas. 2. Hay castos salvo que inexistan ascetas. 3. Puesto que no hay ascetas se infiere que inexistan castos. 4. Es objetable que, existan ascetas sin embargo no existen castos. 5. Jamás habrá castos salvo que hayan ascetas. Son falsas: a) 1, 3,5 b) 2, 4,5 c) 2 y 4 d) 1 y 3 e) N.A. 15. Dadas las siguientes premisas: “Siempre que el genoma emite información, es obvio que será un receptor”, sin embargo “El genoma no es un receptor”. Por lo tanto, el genoma: a) Emite información b) No emite información c) Emite genes d) Emite ruídos e) n.a 16. "La tenia es un parásito que vive en el intestino del buey y bien, o también en el intestino de la vaca; al igual que la tenia no vive en el intestino de la vaca". Luego: a) Es objetable que la tenia es un parásito que vive en el intestino del buey. b) La tenia es un parásito que vive en el intestino de la vaca. c) La tenia vive en el intestino de la vaca o el buey. d) Es inobjetable que la tenia vive en el intestino del buey. e) N.A 17. El circuito adjunto: Se formaliza: a) (÷p v q) . (p v ÷q) b) (÷ p . q) v (p . ÷q) c) (÷p v ÷q) . (p v q) d) (÷ p . ÷q) v (p . q) e) ÷(÷ p . q) v ÷(p . ÷q) 18. El circuito adjunto: ÷p q p ÷q p ÷p p q ÷q ÷q Razonamiento Lógico Matemático Se formaliza: a) (p v q) . (÷p v ÷q) . (÷p v q) b) (p v q) . ÷(÷p v q) . (p v ÷q) c) (p v q) . (÷p v ÷q) . ÷(p v q) d) (p v q) . (÷p v ÷q) . (p v ÷q) e) (p v q) . (÷p v ÷q) . (p v ÷q) 19. El circuito adjunto: Se formaliza: a) (p . q) v (r . s) B) (p v q) . (r v s) c) (p v q) v (r . s) D) (p v q) . (r . s) e) (p . q) v (r v s) 20. El circuito adjunto: Se formaliza: a) [(p v q) . r] v s b) (p v q) . (r v s) c) p v [q . (r v s)] d) [(p . q) v r] v s e) p v [(q . r) v s] 21. El circuito adjunto: Se formaliza: a) [(p . q) v ÷p] . (p . q) b) [(p . q) v ÷p] . (p v ÷q) c) [(p . q) v ÷p] v (p . ÷q) d) [÷(p . q) v p] v (p . ÷q) e) [(p . q) v ÷p] . (p . ÷q) 22. El circuito adjunto: Se formaliza: a) [A . (÷A v ÷B)] . [(÷A v ÷B) . A] b) [÷A . (A v B)] v [(÷A v ÷B) . A] c) [÷A . (A v B)] v [(÷A v ÷B) . A] d) [÷A . (A v B)] v [(÷A v ÷B) . ÷A] e) [÷A . (A v B)] . [(÷A v ÷B) . A] 23. Simplificar los siguientes circuitos: a) b) ÷A A B ÷A ÷B A p q r s p q r s p q ÷p p ÷q q ~q p ~p ~p ~p q q p p Razonamiento Lógico Matemático Tema: 4 CUANTIFICADORES http://ayura.udea.edu.co/logicamatematica/imagenes/Image249.gif 4.1 Función proposicional. Una función proposicional es un enunciado abierto que contiene una o más variables que aceptan cualquier valor, sea numérico u otro. Estos valores hacen del enunciado abierto una proposición verdadera o falsa. Por ejemplo si el enunciado abierto fuera “x es un individuo de cabello rubio”, la variable “x” aceptaría como valores los nombres de los individuos. Si Jorge fuera un individuo de cabello rubio, el enunciado abierto se convertiría en proposición verdadera, caso contrario en proposición falsa. Ejemplos. Las siguientes son funciones proposicionales:  p(x): x es un planeta del sistema planetario solar. Es función de la variable.  q(x, y): x es múltiplo de y. Es función de dos variables.  r(x, y, z): x 2 + y 2 + z 2 = 4. Es función de tres variables.  s(x, y): x es hermano de y. Es función de dos variables. 4.2 Dominio de una función proposicional. El dominio de una función proposicional es el conjunto de todos los valores que se pueden reemplazar en la variable o variables, de tal manera que la convierten en una proposición verdadera o falsa. Ejemplos. Si la función proposicional fuera:  p(x): “x es un individuo de cabello rubio”, su dominio tendría que ser todos los individuos. Es decir; D p = {individuos}.  Si consideramos la función proposicional: q(x, y): “x es un hermano de y”, su dominio será todas las parejas de personas. Es decir; D q = {pareja de personas}.  Siendo la función proposicional: Vamos a ejemplificar a los enunciados, ayudándonos de los cuantificadores universal y existencial. Razonamiento Lógico Matemático R(x, y, z): “x 2 + y 2 + z = 4”, su dominio estará constituido por todas las ternas de números, pudiendo ser estos desde naturales hasta complejos; D r = {ternas de números}. 4.3 Solución de una función proposicional. Un elemento del dominio se dice que es una solución de una función proposicional, si al reemplazarlo en la variable la convierte en una proposición verdadera Ejemplos. 1 es solución de la función proposicional p(x): x 2 + 5 = 6. Marte es solución de la función proposicional “x es un planeta del sistema planetario solar” 4.4 Cuantificador universal. La palabra para todo, antepuesta a una función proposicional se llama cuantificador universal. Se denota de las dos siguientes maneras: ) ( : x p D x p e ¬ ) ( / x p D x p e ¬ Se lee: Para todo x en el dominio se cumple p(x). Observación: Una función proposicional cuantificada universalmente es verdadera, si son verdaderas todas las proposiciones particulares obtenidas al sustituir los elementos de su dominio en ella; caso contrario es falso. 4.5 Cuantificador existencial. La palabra existe algún, antepuesta a una función proposicional, se llama cuantificador existencial. Se denota de la siguiente manera: ) ( / x p D x p e - Se lee: Existe un x en el dominio, tal que p(x). Observación: Una función proposicional cuantificada existencialmente, es verdadera si al menos una de las proposiciones particulares obtenida al sustituir los elementos del dominio en la variable es verdadera. Ejemplos. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) 4 3 / 2 = + e - x x R x Proposición verdadera. b) 3 2 : 2 > + e ¬ x x R x Proposición falsa. Observación: De los ejemplos anteriores se deduce, que tanto el cuantificador universal, como el existencial convierten a la función proposicional en una proposición. Razonamiento Lógico Matemático 4.6 Negación de proposiciones que contienen cuantificadores. Las proposiciones con cuantificadores al ser negadas cambian en su estructura, si tiene cuantificador universal se cambia en existencial y si tiene cuantificador existencial en universal. Este proceso se resumen en: a) ~∀ ∈ : () ≡ ∃ ∈ /~() b) ~∃ ∈ : () ≡ ∀ ∈ : ~() 4.7 Simbolización de las proposiciones categóricas clásicas. La lógica funcional permite analizar las proposiciones categóricas clásicas y las inferencias en que sus términos juegan un papel significativo. Según la teoría de la cuantificación, las proposiciones categóricas típicas se simbolizan de la siguiente manera: ANÁLISIS CLÁSICO ANÁLISIS DE LA LÓGICA FUNCIONAL UNIVERSAL AFIRMATIVA Todo S es P ) ( ) ( : x P x S x ÷ ¬ UNIVERSAL NEGATIVA Ningún S es P ) ( ) ( : x P x S x ÷ ÷ ¬ PARTICULAR AFIRMATIVA Algún S es P ( ) ) ( : x P x S x . - PARTICULAR NEGATIVA Algún S no es P ) ( ) ( : x P x S x ÷ . - Ejemplo 1. Simbolizar las siguientes proposiciones. a. Todo niño es activo. b. Todo niño sano es activo. c. Algún niño enfermo no es activo. Solución a. Simbólicamente: ) ( ) ( : x P x S x ÷ ¬ ; donde x x S : ) ( es un niño y x x P : ) ( es activo b. Simbólicamente: ) ( ) ( : x P x S x ÷ ¬ ; donde x x S : ) ( es un niño sano y x x P : ) ( es activo c. Simbólicamente: ( ) ) ( : x P x S x ÷ . - ; donde x x S : ) ( es un niño enfermo y x x P : ) ( es activo. Ejemplo 2. Negar las siguientes proposiciones: a. B x A x x e ÷ e ¬ : b. ( ) B x A x x e ÷ v e - / c. 16 4 : 2 = ÷ < ¬ x x x Solución a. | | ( ) ( ) B x A x x B x A x x e ÷ e ÷ ¬ ÷ = e ÷ e ¬ ÷ / : ( ) B x A x x e ÷ . e - = / B x A x x e . e - = / b. ( ) | | ( ) ( ) | | B x A x x B x A x x e ÷ v e ÷ - ÷ = e ÷ v e - ÷ : / ( ) ( ) B x A x x e ÷÷ . e ÷ ¬ = : B x A x x e . e ¬ = : c. | | ( ) ( ) 16 4 / 16 4 : 2 2 = ÷ < ÷ ¬ ÷ = = ÷ < ¬ ÷ x x x x x x ( ) 16 4 / 2 = ÷ . < - = x x x 16 4 / 2 = . < - = x x x Razonamiento Lógico Matemático Orientaciones: 1. A continuación se le presenta una lista de ejercicios, en las que vamos a diferenciar los cuantificadores universales y existenciales. 2. De acuerdo a lo estudiado realizar un informe de los contenidos desarrollados, ilustrados solo con ejemplos (5). La presentación depende de tu creatividad. 01. Escribe utilizando los cuantificadores cada una de las siguientes proposiciones: a) Algunos cuadriláteros son cóncavos. b) Todos los círculos son simétricos. c) Ciertos números son pares. d) Todo número mixto es decimal. e) Todas las parábolas son semejantes. f) x es la suma de dos primos. g) Todo número par es la suma de dos primos. h) x = m.n, donde “m” y “n” son primos. i) Todos los cuadriláteros son convexos. j) Todos los círculos del mismo radio son iguales. 02. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados, considerando como universo el conjunto de los números reales. a) x x x = ¬ 3 : b) x x x = - 2 : c) 0 2 3 : 2 = ÷ + - x x x d) x x x < ÷ ¬ 3 : e) 0 5 2 : 2 = + ÷ - x x x f) x x x x 5 3 2 : = + ¬ g) 6 3 : > + ¬ x x h) 6 3 : > + - x x i) 8 10 : 2 s ÷ ¬ x x j) 15 2 : 2 = + - x x x 03. Niega los enunciados del ejercicio anterior. 04. Niega los siguientes enunciados. a) Todos los estudiantes de Ingeniería estudian Matemáticas. b) Algunos estudiantes de Ingeniería estudian Música. c) Es falso que algunos números no son compuestos. d) Ningún hombre es deshonesto. e) 11 es un número primo. f) Existe un ciudadano que no elige a sus gobernantes. 05. Niega los siguientes enunciados. a) ) ( ) ( : x q x p x ÷ v b) ) ( ) ( : x q x p x ÷ ¬ c) 0 : ; = - ¬ xy y x d) ) ( : ) ( : x q x x p x - . ¬ e) ) ( : ) ( : x q x y p y ÷ ¬ ÷ - f) ) ( : ) ( : x q x x p x ¬ v ÷ - g) ( ) | | ) ( : , y q x p y x ÷ v ¬ h) | | ) ( ) , ( : , y q y x p y x ÷ - i) | | ) ( ) ( : , y q x p y x . - j) ( ) z y x p z y x , , : , , ¬ - ¬ 06. Formaliza los siguientes enunciados. a) Existe “x”, donde “x” es un cuadrilátero y “x” es cóncavo. b) Para toda “x”, para toda “y”, si “x” e “y” son círculos entonces “x” es simétrico a “y”. c) Existe “x”, donde “x” es número y “x” es par. d) Para toda “x” y toda “y”, si “x” e “y” son parábolas, entonces “x” es semejante a “y”. e) Existen “m” y “n”, donde “m” y “n” son primos y “x = m.n” f) Para toda “m” y toda “n”, si “m” y “ n” son círculos del mismo radio, entonces son iguales. g) Para todo “x”, si “x” es un número par, existe “m” y “n” donde “m” y “n” son primos y “m = m + n”. ACTIVIDAD Nº 5 Razonamiento Lógico Matemático RESOLVEMOS PROBLEMAS DE TEORÍA DE CONJUNTOS Y PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Se alcanza el éxito convirtiendo cada paso una meta y cada meta en un paso. C. Cortez Fuente: http://edu.jccm.es/ies/labesana/index.php?option=com_content&task =view&id=218&Itemid=0 Capacidades - Aplica operaciones con conjuntos en la solución de problemas. - Identifica magnitudes directa e inversamente proporcionales. - Infiere procedimientos para resolver problemas con proporcionalidad. - Resuelve problemas de regla de tres simple y compuesta. - Comprende el concepto de tanto por ciento como una forma de comparación. U n i d a d I I Razonamiento Lógico Matemático Tema: 5 DEFINICIONES BÁSICAS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS http://www.ehu.es/ehusfera/mathvideos/files/2010/05/conjuntos.gif 5.1 Noción de conjunto El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que como se verá en los ejemplos, pueden ser cualquiera: números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Si bien los conjuntos se estudian como entidades abstractas, veamos ejemplos particulares de conjuntos. Ejemplos: 1) Los números 2,4, 6 y 8. Es decir: A = {2, 4, 6, 8} 2) Las soluciones de la ecuación y 2 - 3y – 2 = 0. 3) Las vocales del alfabeto: a, e, i, u, o. Es decir: B = {a, e, i, u, o} 4) Las personas que habitan la tierra. 5) Los estudiantes: Fernando, Carlos y Erick. C = {Fernando, Carlos, Erick} 6) Los países: Alemania, Francia, Finlandia. Es decir: D = {Alemania, Francia, Finlandia} 7) Las ciudades capitales de Europa. 8) Los números: 2, 4, 6, 8,… Es decir: E = {2, 4, 6, 8,….} 9) Los ríos de Perú. La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo. Razonamiento Lógico Matemático 5.2 Notación Es usual denotar los conjuntos con las letras mayúsculas: A, B, X, Y,…Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas a, b, c, x, y, al definir un conjunto con la efectiva enumeración de sus elementos, por ejemplo, al A que consiste en los números 2, 4, 6 y 8, se escribe A = {2, 4, 6, 8}. Separando a los elementos por comas y encerrándolos entre llaves { }. Esto es la llamada “forma tabular de un conjunto”. Pero si se define un conjunto; enunciando propiedades que deben tener sus elementos, como, por ejemplo, el H, conjunto de todos los números pares, entonces se emplea una letra por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe H = {x|x es par} lo que se lee “H es el conjunto de los números x tal que x es par”. Se dice que esta es la forma de definición por comprensión o constructiva de un conjunto. Téngase en cuenta que la barra vertical “|” se lee “tales que”. Para aclarar el empleo de la anterior notación, se escriben de nuevo los conjuntos de los ejemplos anteriores, designando los conjuntos respectivamente. Ejemplos: 1) A = {2,4,6,8} 2) F={y | y 2 - 3y – 2 = 0} 3) B={a, e, i, o, u} 4) G={x|x es una persona que habita la tierra} 5) C={Fernando, Carlos, Erick} 6) D={Alemania, Francia, Finlandia} 7) I={x|x es una ciudad capital y x está en Europa} 8) E= {2, 4, 6, 8,…} 9) J={x|x es un río y x esta en Perú { Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus elementos se escribe xeA, que se puede leer x pertenece a A ó x está en A. Si por el contrario x no es un elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre sus elementos, se escribe xeA, que se lee “x no está en A” o “x no pertenece a A” Es costumbre en los escritos matemáticos poner una línea vertical “|” u oblicua “/” tachando un símbolo para indicar lo opuesto o la negación del significado del símbolo, ejemplo: B = {a, e, i, o, u}, aeB; beB; eeB; f eB. G= {x|x es par}, 3eG; 2eG; 11eG; 12eG. Razonamiento Lógico Matemático 5.3 Cardinal de un conjunto Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Se denota mediante la letra "n" así: n(A): se lee “El cardinal del conjunto A” o “la cantidad de elementos que tiene el conjunto A” Ejemplo: Dado el conjunto A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} ÷ n(A) = 6 5.4 Relación de pertenencia Un elemento pertenece (e) a un conjunto si forma parte o es agregado de dicho conjunto. Un elemento no pertenece (e) a un conjunto si no cumple con la condición anterior. Esta relación vincula un elemento con un conjunto, más no vincula elementos o conjuntos entre sí. Es decir el símbolo e representa la relación que existe entre un elemento y un conjunto, cualquier elemento "x" pertenece o es elemento del conjunto A (x e A) o no es elemento del conjunto A ( x e A) Ejemplo 1: Dado el conjunto: A = {14; 23; 17; 29} Entonces: 14 e A (14 pertenece a A) 29 e A (29 pertenece a A) 15 e A (15 no pertenece a A) Ejemplo 2: Dados los conjuntos: A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} y B = {a, e, o} Se tiene que: 8 e A 0 e B 11 e A g e B {0; 2} e A Nota en esta última expresión {0; 2} e A que para usar la relación de pertenencia se relaciona un solo elemento con el respectivo conjunto. Razonamiento Lógico Matemático 5.5 Determinación de un conjunto 5.5.1 Por Comprensión o de forma constructiva: Es cuando se define al conjunto se enuncia una propiedad común que caracterizan a todos los elementos de dicho conjunto. Ejemplo: A = {x / x es un número natural par menor que 15} B = {x / x es una vocal abierta} C = {x/x e N . 4 < x s 7} 5.5.2 Por extensión o de forma tabular: Es cuando se nombran explícitamente a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: Desarrollando los conjuntos que están escritos arriba por comprensión serán escritos por extensión así: A = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14} B = {a, e, o} C = {5, 6, 7} Ejemplo: Denotar por comprensión el siguiente conjunto: B = {99; 999; 9999; 99999} Solución: 99 = 100 – 1 = 10 2 – 1 999 = 1000 – 1 = 10 3 – 1 9999 = 10000 – 1 = 10 4 – 1 99999 = 100000 – 1 = 10 5 – 1 Luego entonces, si llamamos “x” al exponente de 10 podremos decir que este x e N, donde 2 s x < 6 Así, el conjunto denotado por comprensión sería: B = {10x – 1 / 2 s x < 6; x e N} 5.6 Clases de conjunto 5.6.1 Por el número de elementos: A) Vacío o Nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota así: u ó {} Ejemplo 1: A = {x e N/ 5 < x < 6} Desarrollando por extensión será: A = {} o A = u Razonamiento Lógico Matemático Ejemplo 2: B = {x e R/ x ≠ x } Desarrollando por extensión será: B = u o B = {} B) Unitario o Singletón: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento; es decir su cardinal es 1: Ejemplo: G = {x e Z / -4 < x < -2} Desarrollando por extensión será: G = {-3} n(G) = 1 C) Universal: (U): Es un conjunto de referencia para el marco de una situación particular, es posible elegirlo de acuerdo a lo que se trate. También se puede definir como un conjunto referencial que se tiene convenientemente para el estudio de otros conjuntos incluidos en el. Ejemplo: Donde: U = {-7; -3 ; 2 1 ; 7 3 ÷ ; 1; 2 ; 5 ; 3,25} (Conjunto Universal) N = { 1; 2 } Z = {-7; -3; 1; 2 } Q = {-7; -3; 2 1 ; 7 3 ÷ ; 1; 2 } Q* = { 5 } D) Finito: Aquel que tiene un limitado número de elementos. Su cardinal se puede determinar: U N .1 .2 Z Q* 5 R 3,25 C .-3 .-7 Q ½ -3/7 Razonamiento Lógico Matemático Ejemplo: M = {x/x es una ciudad del Perú} E) Infinito: Aquel que posee una cantidad ilimitada de elementos: Ejemplo: K = {x/x es un número natural} 5.6.2 Por la relación entre los conjuntos A) Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento común. Su gráfica es: A · B = u Ejemplo 1: Consideremos los siguientes conjuntos: A = {1; 2; 4; 6} B = {5; 8; 16; 3} Entonces: A · B = u Ejemplo 2: Consideremos los siguientes conjuntos: A = {x, g, t, d} B = {m, n, u, r} Entonces: A · B = u B) Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen por lo menos un elemento común (pero no todos). Su gráfica es: A · B = u Ejemplo 1: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 5; 4; 6} B = {5; 8; 16; 3} Entonces: A · B = {5} = u Ejemplo 2: Sean los conjuntos: A = {x, g, t, d} B = {m, n, x, u, r} Entonces: A · B = {x} = u A B A B Razonamiento Lógico Matemático A A B B C) Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y solo si A c B ó B c A. Su gráfica es: BcA AcB Ejemplo 1: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} B = {1; 2; 3; 5; 8} Entonces: A c B Ejemplo 2: Sean los conjuntos: A = {x, g, t, d} B = { x, g} Entonces: B c A D) Equipotentes o Equivalentes: Cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca. (tienen el mismo número de elementos) Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} + + + + B = {a, b, c, d} Se tiene: n(A) = n(B) = 4 Luego: Se dice que: A y B son Conjuntos equivalentes 5.6.3 Conjunto especiales: A) Conjunto de Conjuntos: También se le denomina "Familia de Conjuntos" y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos: Ejemplo: Así tenemos: A = {{3}, {1, 4}, {6, 7}} B) Conjunto Potencia: Se llama conjunto potencia de A (o conjunto de partes de A) al conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Se le denota por: P(A) El número de elementos de P(A) está dado por 2 n , donde "n" representa el número de elementos del conjunto A. Razonamiento Lógico Matemático Es decir: n|P(A)| = 2 n(A) Ejemplo: Si: A = {1, 3} y n(A) = 2 elementos Entonces: n |P(A)| = 2 n(A) = 2 2 = 4 Luego: P(A) = {u, {1}, {3}, {1, 3} 5.7 Relaciones entre conjunto 5.7.1 Relación de inclusión Es la relación que existe entre dos conjuntos: Se dice que "El conjunto A está incluido en el conjunto B (Se denota A c B), cuando todo elemento que pertenece al conjunto A también pertenece al conjunto B. Es decir: A c B · ¬x, xeA ¬ xeB El número de subconjuntos de A: n|P(A)| = 2 n(A) Ejemplo: Si: A = {1; 2; 3} y n(A) = 3 elementos Entonces: El número de subconjuntos de A: n |P(A)| = 2 n(A) = 2 3 = 8 Es decir: P(A) = {u, {1},{2}, {3}, {1, 3} {1,2}, {2, 3}{1, 2, 3}} Observación: Se dice que A es subconjunto propio de B si y solo si A c B y A = B. Y el número de subconjuntos propios de A, esta dado por: 2 n(A) – 1 5.7.2 Relación de igualdad Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Es decir: A = B · A c B . B c A Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {x/x e N . 0 < x s 3}. Tenemos: Desarrollando por extensión al conjunto B se tiene: B = {1; 2; 3} Luego: A = B 5.8 Operaciones con conjuntos Entre las operaciones de conjuntos tenemos: 5.8.1 Unión o reunión (AB): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto A y/o a B. Es decir: Razonamiento Lógico Matemático A B {x/x e A ó x e B} Ejemplo: Consideremos los conjuntos: A = {1; 2; 3} B = {3; 4; 5} Luego: A B = A = {1; 2; 3; 4; 5} Propiedades. - AB = BA - AA = A - Ac(AB) - Au = A - Bc (AB) - AU = U U = Conjunto Universal 5.8.2 Intersección (A·B): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto A y B (son elementos comunes o ambos). Es decir : A·B = {x/x e A.x e B} Ejemplo: Sean: A = {1; 2; 3} B = {3; 4; 5} Luego: A · B = { 3 } A A A B B B A A A B B B A ·B=| Razonamiento Lógico Matemático 5.8.3 Diferencia (A-B): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a "A" pero no al conjunto "B". Es decir : A - B = {x/x e A . x e B} Ejemplo: Considere los conjuntos: A = {1; 2; 3} B = {3; 4; 5} Se tiene: A - B = {1; 2 } Propiedades: - A-B = B-A - A-A = u - (A-B) c A - A - u = A - (B-A) c B - u - A = u - (A-B) (A·B) = A - A - B = u = B - A ¬ A = B Gráficamente tenemos: A – B B – A A – B B - A 5.8.4 Diferencia simétrica (AAB): La diferencia simétrica de A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A ó B pero no a ambos conjuntos. Es decir: A A B = {x/xeA ó xeB; xe(A·B)} También: AAB = (A-B) (B-A) AAB = (AB) - (A·B) Ejemplo: Sean los conjuntos: A A A B B B A A A B B Razonamiento Lógico Matemático A = {1; 2; 3} B = {3; 4; 5} Entonces: A A B = { 1; 2; 4; 5} Propiedades: - A A A = u - A A u = A - A A B = B A A - Si: A y B son conjuntos disjuntos, entonces A A B = A B - Si: B está incluida en A, entonces: A A B = A – B 5.8.5 Complemento (A') (Aº): Es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A. Es decir: A' = {x/xe U xeA} Gráficamente se tiene: Ejemplo: Considere los conjuntos: A = {1; 2; 3} U = {1; 2; 3; 4; 5} Se tiene: A' = { 4; 5 } Propiedades: - AA' = U - A·A = u - (A')' = A - u' = U Leyes de Morgan: (AB)' = A' · B' (A·B)' = A' B' A A B B A B A B Razonamiento Lógico Matemático Leyes y propiedades del algebra de conjuntos 1. Reflexivas 1A. A A = A 1B. A · A = A 1C. A A A = A 2. Conmutativas 2A. A B = B A 2B. A · B = B · A 2C. A A B = B A A 3. Asociativas 3A. A (B C) = (A B) C 3B. A · (B · C) = (A · B) · C 3C. A A (B A C) = (A A B) A C 4. Distributivas 4A. A (B · C) = (A B) · (A C) 4B. A · (B C) = (A · B) (A · C) 4C. (A B) · C = (A · C) (B · C) 4D. (A · B) C = (A C) · (B C) 5. De la inclusión Si: ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = A | = = · = ¬ c A - B B A B - A A B A B B A B A 6. De la exclusión Si A y B son disjuntos: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = A = | = · ¬ B A B A A B - A B A 7. Elemento neutro 7A. A | = A 7B. A · | = | 7C. A U = U 7D. A · U = A 8. Del complemento 8A. (A')' = A 8B. A A' = U 8C. A · A' = | 8D. |' = U 8E. U' = | 9. De la diferencia 9A. A - B = A · B' 9B. A - B = B' - A' 10. Leyes de Morgan 10A. (A B)' = A' · B' 10B. (A · B)' = A' B' 11. De absorción 12A. A (A · B) = A 12B. A · (A B) = A 12C. A (A' · B) = A B 12D. A · (A' B) = A · B Razonamiento Lógico Matemático Orientaciones: 1. Se te presentan una lista de ejercicios, en las que deberás aplicar las definiciones, clases y propiedades de conjuntos. 2. Se te presenta una lista de problemas de dos conjuntos a más, que deberás desarrollar tomando los criterios básicos de los conjuntos. 01. Sean: U = {1; 2; 3;...} A = {2x / x e U . x s 5} B = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ e + A y y / 2 4 C = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ e + B Z Z / 3 1 2 ¿Cuántos elementos tiene P(C)? a)8 b) 16 c) 10 d) 4 e) 32 02. Para dos conjuntos M y N se cumple que: n(M N) = 8, además n[P(M)] + n[P(N)]=160. Determine n[P(M · N)] a) 14 b) 15 c) 16 d) 4 e) 8 03. Si un conjunto tiene 4095 subconjuntos propios. ¿Cuántos elementos tiene dicho conjunto? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 04. Si n representa el número de elementos, siendo A y B dos conjuntos, tales que : n(A B) = 35; n(A – B) = 15; n(B – A) = 12 Hallar: 3[n(A)] – 2[n(B)] – n(A·B) a) 24 b) 21 c) 27 d) 18 e) 10 05. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes, se obtuvo 28 estudian español, 30 alemán, 42 francés, 8 alemán y español, 10 francés y español, 5 francés y alemán; 3 los 3 idiomas. ¿Cuántos no estudian ningún idioma o solo estudian 2 idiomas? a) 25 b) 34 c) 22 d) 20 e) 18 06. Al determinar por comprensión el conjunto : P = {1, 2/5, 1/4, 2/11, 1/7} Se obtiene: a) {1/2 (3n-5) / n e N, 1 < n s 5} b) {1/2 (3n – 5) / n e z + , 1 s n s 5} c) {2/(3n-1) / n e z + , 1 s n s 5} d) {2/(3n+1) / n e N, 1 s n s 5} e) {2/(3n-1) / n e N, 1 s n < 5} 07. Hallar (b + c) 2 – a 2 . Si a, b y c se obtienen de los conjuntos iguales : A = {a + 3; 7 – a} B = {a – 3; 13 – a} C = {2; b + c} a) 39 b) 38 c) 8 d) 5 e) 38,5 08. A y B son conjuntos finitos y se sabe que n(A·B) =1 ; n(B–A) = 4 ; n[P(AB)] = 126 + n[P(A·B)]. Hallar n(A). a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3 09. Sean A, B y C conjuntos tales que: A c C ; C B; n(A ·B) = 30; n(A B) = 90 ; n(A) = n(B) + 30 ; n(C) = 120.Determinar n [(C – A) (B – A)] a) 55 b) 50 c) 45 d) 40 e) 36 10. Si D c (A A B) simplificar: (A B) – [(B – D) (A – D) (A · B)] a) A B b) B c) D d) A – B e) A 11. En un avión viajan 120 personas, de los cuales : a) Los 2/3 de ellos no beben b) Los 4/5 de ellos no fuman c) 72 no fuman ni beben ¿Cuántas personas fuman y beben o, ni fuman ni beben? a) 82 b) 80 c) 88 d) 86 e) 84 12. De un grupo de estudiantes que rindieron exámenes los resultados fueron: 10 aprobaron Matemática y Física; 07 aprobaron Matemática y Química; 09 aprobaron Química y Física, 17 aprobaron Matemática; 19 aprobaron Física; 18 aprobaron Química y 4 aprobaron los 3 cursos. ¿Cuántos alumnos rindieron ACTIVIDAD Nº 5 Razonamiento Lógico Matemático exámenes? y ¿Cuántos aprobaron sólo 1 curso? a) 31 y 2 b) 32 y 10 c) 33 y 12 d) 32 y 14 e) 32 y ninguno 13. Del total de damas de una oficina, 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. ¿Qué fracción no son ni morenas, ni tienen ojos azules? a) 9/10 b) 3/10 c) 2/15 d) 1/6 e) 1/5 14. Se tiene 2 conjuntos comparables A y B los cuales tienen uno 3 elementos más que el otro, el número de sus conjuntos potencias difieren en 3584. Calcular el cardinal de la unión de ambos conjuntos. a) 8 b) 17 c) 10 d) 11 e) 12 15. Un club de deportes tiene 38 frontistas, 15 pimponistas y 20 tenistas. Si el número total de jugadores es 58 y solo 3 de ellos practican los 3 deportes. ¿Cuántos jugadores practican solamente un deporte? a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 46 16. De un grupo de 242 alumnos del CPU – SIPAN, se sabe que 95 practican natación, 82 practican atletismo y 110 no practican estos deportes. ¿Cuántos alumnos practican estos dos deportes? a) 37 b) 45 c) 42 d) 39 e) 40 17. En un pueblo Ético, Pelético y Pelempempético hay 38 pelados, 15 peludos y 20 pelempempudos. Si el total de pobladores es 58 y sólo 3 de ellos son pelados, peludos y pelempempudos. ¿Cuántos tienen exactamente una de las tres características? a) 9 b) 13 c) 26 d) 36 e) 46 18. Sean los elementos : A = {2; 3; 4} B = {2; 4; 6} y C = {1; 2; 3; 4} Determinar el número de elementos de P si: P = [(C – A) (C – B)] [(B-A) (B-C)] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 19. ¿A qué operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico? a) (B C) – A A B b) (B · A) – C c) (A · C) – B d) (A C) – B e) (B · C) – A C 20. La siguiente gráfica corresponde a : a) A B · C A B b) (A C) · B c) (B C) · A d) (A B C) e) A (B · C) C 21. A un encuentro de Psicología asistieron 100 personas: 10 chilenos, 20 argentinos, 15 peruanos y 25 bolivianos. ¿Cuántas personas asistieron que no eran ni chilenos ni bolivianos? a) 35 b) 45 c) 65 d) 75 e) 50 22. De un grupo de 36 invitados a una fiesta, se sabe que 18 son argentinos, 8 peruanos y 19 son músicos. De los músicos 4 no son, ni argentinos, ni peruanos, además 5 son músicos peruanos. ¿Cuántos de los artistas no son peruanos? a) 15 b) 14 c) 13 d) 22 e) 11 23. En un grupo de 70 personas, 32 saben inglés, 26 castellano, 37 alemán, 6 inglés y castellano, 9 castellano y alemán y 12 inglés y alemán. ¿Cuántos saben los 3 idiomas? a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 15 24. Dados los conjuntos unitarios: A = {x +7; 2 x + 5} y B = {y – 3; 5y – 15} Halar el valor de: “x + y” a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 25. Si los conjuntos A y B son iguales, hallar la suma de los elementos del conjunto “C”. A = { 2 b 1 - a 4 ; 5 + }; B = {125; 64} C = { 3 x / x e N . b s x s a} a) 36 b) 27 c) 100 d) 80 e) 90 Razonamiento Lógico Matemático 26. Si n representa el número de elementos, siendo A y B dos conjuntos, tales que: n(A B) = 35; n(A – B) = 15; n(B – A) = 12 Hallar: 3[n(A)] – 2[n(B)] – n(A·B) a) 24 b) 21 c) 27 d) 18 e) 10 27. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de aritmética, 53 no llevan álgebra y 27 no llevan aritmética ni álgebra. ¿Cuántos alumnos llevan un solo curso? a) 36 b) 48 c) 40 d) 28 e) 54 28. En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. Si todos hablan por lo menos un idioma. ¿Cuántas personas del grupo hablan exactamente dos de estos idiomas? a) 25 b) 20 c) 18 d) 36 e) 32 29. De cierto número de figuras geométricas se sabe que 60 son cuadriláteros, 20 son rombos, 30 son rectángulos y 12 no son rombos ni rectángulos. ¿Cuántos son cuadrados? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 30. De 76 alumnos; 46 no estudian lenguaje, 44 no estudian historia y 28 no estudian ni lenguaje ni historia. ¿Cuántos estudian lenguaje e historia? a) 14 b) 10 c) 26 d) 16 e) 24 31. De un grupo de 100 personas; 40 son mujeres, 73 estudian matemática, 12 mujeres, no estudian matemática. ¿Cuántos hombres no estudian matemática? a) 60 b) 15 c) 28 d) 31 e) 30 32. En una batalla se sabe que 45 soldados fueron heridas en la cabeza, 42 en el brazo, 40 en la pierna, 7 en la cabeza y en le brazo, 12 en el brazo y pierna y 15 en la cabeza y la pierna. Si 120 fueron los soldados y ninguno queda ileso. ¿Cuántos fueron heridos en las tres partes? a) 22 b) 23 c) 24 d) 26 e) N.a 33. De los 60 alumnos que componen un salón de clases 32 juegan fútbol y 25 juegan básquet. ¿Cuántos juegan exclusivamente un deporte si 10 no practican ninguno? a) 43 b) 45 c) 47 d) 31 e) 39 34. De 300 personas se sabe que, 90 leen el comercio; 60 leen la República y 10 leen ambos diarios. ¿Cuántos leen solo uno de estos dos diarios? a) 130 b) 160 c) 170 d) 210 e) N.a 35. 92 alumnos se fueron de campamento, de los cuales: - 47 llevan sándwich mixtos - 38 de queso - 42 de jamón - 28 de queso y mixto - 31 de jamón y mixto - 26 de queso y jamón - 25 los tres tipos de sándwich ¿Cuántos llevaron empanadas, si se sabe que varios del total de alumnos lo hicieron? a) 1 b) 5 c) 20 d) 15 e) 25 Razonamiento Lógico Matemático Tema: 6 MAGNITUDES, RAZONES Y PROPORCIONES http://www.turismoporelmundo.com/imagenes/piramides.jpg LA GRAN PIRÁMIDE DEL FARAÓN KEOPS Hace aproximadamente 4 500 años, el rey Keops mandó construir para se tumba una pirámide de 146 metros de altura sobre una superficie de 52 900 m 2 . Cada lado de la base mide 230 m y el ángulo de inclinación de las paredes es de 51º 52’. Se emplearon aproximadamente unos seis millones de toneladas de piedra trabajando en ella unos 100 000 hombres. La proporción geométrica de esta pirámide supone un estudio de cálculo matemático increíble para esos tiempos. Razonamiento Lógico Matemático Magnitudes Magnitud: Es todo aquello que experimenta cambios susceptibles de ser medido. Cantidad: Llamada valor, es el resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud. Ejemplos: MAGNITUD CANTIDAD Número de obreros 25 obreros Velocidad 80 Km./h Área 253 m 2 Peso 132 Kg. Longitud 47 m Tiempo 95 s 6.1 Magnitudes proporcionales: 6.1.1 Magnitudes directamente proporcionales : Frecuentemente en los comercios se fijan los precios unitarios de los productos que se ofrecen, por ejemplo en una tienda de abarrotes: 1 kilo de arroz, 1 litro de aceite, 1 lata de leche. Conociendo el valor unitario de dichos productos es fácil calcular el precio de una determinada cantidad de mercaderías. Por ejemplo en una institución se desea confeccionar uniformes para los trabajadores, por lo que es necesario comprar la tela para ello se utilizará dos magnitudes como son la longitud y el precio. Es importante tener en cuenta que a cada longitud de tela le corresponde un precio determinado, que si al duplicar, triplicar la longitud se duplica o triplica también el precio. Así: Por lo tanto diremos que estas dos magnitudes son directamente proporcionales y 50 es su constante de proporcionalidad. LONGITUD PRECIO 1 m S/.50 2 m S/.100 5 m S/.250 10 m S/.500 12 m S/.600 20 m S/.100 0 Obsérvese que la relación cociente entre cada dos valores correspondientes es constante: 50 20 1000 12 600 10 500 5 250 2 100 1 50 = = = = = = Donde 50 es la constante de proporcionalidad En conclusión diremos que dos magnitudes son directamente proporcionales (DP) si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas el valor de la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Razonamiento Lógico Matemático Obsérvese que el producto de las magnitudes es constante: 24 2 * 12 12 * 2 3 * 8 6 * 4 = = = = Siendo 24 la constante de proporcionalidad inversa Al graficar dos magnitudes directamente proporcionales, se tiene que: k b a b a b a b a tg n n = = = = = =   3 3 2 2 1 1 u 6.1.2 Magnitudes inversamente proporcionales: Consideremos dos magnitudes: los obreros que realizan una obra y los días que tardan en realizarla. Veamos la siguiente correspondencia: 4 obreros realizan una obra en 6 días, 8 obreros lo harían en tres días, 2 obreros harían la misma obra en doce días, 12 obreros hacen la obra en 2 días. obreros días 4 obreros 6 días 8 obreros 3 días 2 obreros 12 días 12 obreros 2 días Si A y B son DP se cumple: te cons ValordeB ValordeA tan = te cons B A B DP A Si tan ) ( : = ¬ b 1 b 2 b 3 b n u a n a 3 a 2 a 1 B A Recta La representación de la proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen. En conclusión, dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP) si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores de la otra disminuyen o aumentan en la misma proporción respectivamente. Razonamiento Lógico Matemático Al graficar dos magnitudes inversamente proporcionales se tiene: PROPIEDADES k b a b a b a b a n n = = = = = * * * * 3 3 2 2 1 1  6.2 Razones y proporciones 6.2.1 Razón: Se denomina así a la comparación que existe entre 2 cantidades, la cual se puede hacer de dos maneras: 1. Si: ( ) ( ) ( )C DP A C DP B B DP A ¬ . 2. Si: ( ) ( ) B DP A B IP A 1 ¬ Si: ( ) ( ) B IP A B DP A 1 ¬ 3. Si: ( ) ( )B DP A B DP A ¬ 1 1 4. Si: ( ) ( ) ( ) ( )D DP A C B A DP A C DP A B DP A * * ¬ Entonces si A y B son IP se cumple: (Valores de A) (Valores de B)= constante ( ) te cons B A B IP A Si tan * : = ¬ b 1 b 2 b 3 b n a n a 3 a 2 a 1 B A Hipérbola equilátera Razonamiento Lógico Matemático 1. Razón Aritmética: También llamada por diferencia; cuando se encuentra el número de unidades que una cantidad excede a otra. 1 r b a = ÷ ÷Valor de la R.A Razón aritmética 2. Razón Geométrica: También llamada razón por cociente; cuando averiguamos cuántas veces una cantidad contiene a otra. 2 r b a = ÷Valor de la R.G Razón geométrica Observación: En ambos casos anteriores, se cumple: a ÷ antecedente b ÷ consecuente 6.2.2 Proporción: Se denomina así a la igualdad que existe entre 2 razones y puede ser de dos tipos: 1. Proporción Aritmética: Es la igualdad de 2 razones aritméticas. Así: 1 r b a = ÷ y 2 r d c = ÷ ¬ d c b a ÷ = ÷ Donde:  a y d se llaman extremos.  B y c se llaman medios Clases: a) P. A. Discreta: Cuando todos sus términos son diferentes. Así: d c b a ÷ = ÷ Observaciones.  d c b a = = = ; a cada una se le llama cuarta diferencial.  a y d ÷ extremos b y c ÷ medios.  Se cumple que: c b d a + = + b) P. A. Continua: Cuando los términos medios son iguales. Así: d c b a ÷ = ÷ Observaciones:  a, b y c son las terceras diferenciales.  “b” es la media diferencial o media aritmética.  Se cumple que : 2 c a b + = Razonamiento Lógico Matemático 2. Proporción Geométrica: Es la igualdad de 2 razones geométricas. Así: 1 r b a = y 2 r d c = ¬ d c b a = Clases: a) P.G. Discreta: Cuando todos sus términos son diferentes. Así: d c b a = Observaciones:  d c b a = = = ; a cada una se le llama cuarta proporcional.  a y d ÷ extremos b y c ÷ medios.  Se cumple: c b d a . . = b) P. G. Continua: Cuando los términos medios son iguales. Así: c b b a = Observaciones:  a, b y c son las terceras proporcionales.  “b” es la media proporcional.  Se cumple que : c a b . 2 = 6.2.3 Propiedades (prop. Geométrica) Dada la proposición geométrica. d c b a = Se tiene: P.1. d d c b b a ± = ± P.2. c d c a b a ± = ± P.3. d c b a d b c a = = ± ± 6.2.4 Serie de razones geométricas equivalentes Se denomina así al conjunto de más de 2 razones que tienen el mismo valor, así: k b a = 1 1 ; k b a = 2 2 ; k b a = 3 3 ; … ; k b a n n = Razonamiento Lógico Matemático ¬ k b a b a b a b a n n = = = = = ... 3 3 2 2 1 1 Propiedades Dada la serie: k b a b a b a b a n n = = = = = ... 3 3 2 2 1 1 P.1. k b b b b a a a a n n = + + + + + + + + ... ... 3 2 1 3 2 1 P.2. n n n k b b b b a a a a = × × × × × × × × ... ... 3 2 1 3 2 1 “n” ÷ # de razones que conforman la serie. Propiedades 1.- Si 3 2 = 12 8 ¬ 3 3 2 ± = 12 12 8 ± 2.- Si 3 2 = 12 8 ¬ 3 2 3 2 ÷ + = 12 8 12 8 ÷ + 3.- Si 3 2 = 12 8 ¬ 12 3 12 3 8 2 8 2 ÷ + = ÷ + 4.- Si 3 2 = 12 8 ¬ 8 12 8 2 3 2 + = + 5.- Si 3 2 = 12 8 ¬ 8 12 8 2 3 2 ÷ = ÷ 6.- Si 3 2 = 12 8 ¬ 12 3 8 2 + + = 3 2 = 12 8 7.- Si 3 2 = 12 8 ¬ 12 3 8 2 ÷ ÷ = 3 2 = 12 8 Razonamiento Lógico Matemático Orientaciones: 1. Se te presenta una lista de ejercicios de magnitudes, que deberás resolver aplicando los conocimientos básicos estudiados. 2. Se te presentan ejercicios aplicativos de razones y proporciones. Magnitudes 01. Las magnitudes A y B son directamente proporcionales. Cuando A es igual a 5, B es igual a 15. Hallar el valor que toma B cuando A es igual a 7. a) 22 b) 21 c) 23 d) 24 e) 25 02. Sean las magnitudes A y B donde A es I.P a B. Si cuando A toma el valor de 8, B toma el valor de 3. Calcular el valor que toma B cuando A toma el valor de 2. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 03. Las magnitudes A y B son D.P cuando A = 20; B = 5. Calcular B cuando A = 12. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Las magnitudes A y B son I.P cuando A vale 8, B vale 6. ¿Qué valor tomará A cuando B es 4? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 05. Las magnitudes A 2 y B son D.P cuando A vale 10, B es 7. ¿Qué valor toma A cuando B vale 28? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 06. Si A es D.P a B, cuando A = 6, B = 8. Calcular A cuando B = 12. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 07. Las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. Cuando A = 4, B = 3. Calcular el valor que toma B, cuando A toma el valor de 6. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 08. Sean las magnitudes A y B donde A es I.P a B, cuando A = 100, B = 3. Calcular B, cuando A = 9. a) 11 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15 09. Sean las magnitudes A y B donde A es D.P a B 2 . Si cuando A es igual a 20, B es igual a 6. ¿Qué valor tomará A, cuando B es igual a 3? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. S i A es I.P a ( ) 1 2 ÷ B , siendo A igual a 24, cuando B es igual a 10. Hallar A, cuando B es igual a 5. a) 97 b) 98 c) 99 d) 96 e) 95 11. Si A es I.P a 3 B , además cuando A vale 35, B vale 27. ¿Cuánto vale A, cuando B valga 343? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 12. Sean las magnitudes A y B, donde A es D.P a ( ) 1 2 + B . Si cuando A = 8, B = 3. ¿Qué valor tomará A cuando B = 7? a) 35 b) 40 c) 45 d) 30 e) 25 13. A es D.P a B e I.P a C 2 . Cuando A = 10; B = 25; C = 4. Hallar A cuando B = 64 y C = 8. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. La presión de un gas es I.P al volumen del recipiente que lo contiene. ¿A qué presión está sometido un gas, si al disminuir esta presión en 8 atmósferas, el volumen de dicho gas se triplica? a) 12 atm b) 1 atm c) 2 atm d) 3 atm e) 10 atm 15. Si las magnitudes A y B son D.P. Calcular: a + b + c A 10 b 40 5 B a 9 24 c a) 24 b) 20 c) 22 d) 26 e) 28 16. Si las magnitudes A y B son I.P, calcular: m + n + a A 30 n 2 m a B n 15 10 1 a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71 17. Si las magnitudes A y B son I.P. Calcular: m + n + p A 9 m 3 p B 8 2 n 6 a) 70 b) 71 c) 72 d) 73 e) 74 18. Si A es D.P a B e I.P a C, hallar el valor de C, cuando A = 10 y B = 8, si cuando A = 8; B = 6 y C = 30. ACTIVIDAD Nº 6 Razonamiento Lógico Matemático a) 32 b) 33 c) 34 d) 35 e) 36 19. Dividir el número 1000 en 3 partes que sean directamente proporcionales a los números 2; 3 y 5. Dar como respuesta la cuarta parte del número menor. a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50 20. Un abuelo reparte 840 soles en partes proporcionales a las edades de sus tres nietos, siendo éstas 6; 5 y 10 años. ¿Cuánto corresponderá al nieto mayor? a) S/ 300 b) S/ 350 c) S/ 400 d) S/ 450 e) S/ 500 21. El premio de un sorteo se reparte en forma inversamente proporcional al número de boletos adquiridos y son respectivamente: 2; 3 y 7. ¿Cuánto dinero recibió el que compró más boletos, si en total se repartió S/ 1 271? a) S/ 186 b) S/ 187 c) S/ 188 d) S/ 189 e) S/ 200 22. Al dividir 1 600 en tres partes inversamente proporcionales a 3 2 , 5 1 y 6. Calcular la suma de las partes menor y mayor. a) 1 239 b) 1 240 c) 1 241 d) 1 242 e) 1 243 23. Nataly repartió cierta cantidad de dinero entre 3 niños en partes proporcionales a los números 4; 5 y 7 si el tercero recibió S/ 42 más que el primero. ¿Qué cantidad de dinero repartió? a) S/ 224 b) S/ 225 c) S/ 226 d) S/ 227 e) S/ 228 24. Repartir 5 600 en partes proporcionales a los números 448 , 567 y 847 . Indicar la mayor parte. a) 2 200 b) 2 400 c) 2 300 d) 2 250 e) 2 350 Razones y proporciones 01. Hallar los valores de a, b y c en cada uno de los siguientes casos:  4 3 2 c b a = = ; 54 = + + c b a  7 3 c b a = = ; 88 = + + c b a  2 3 c b a = = ; 48 . . = c b a  c b a 1 5 2 = = ; 96 = + + c b a  c b a 5 10 3 = = ; 14 = ÷ ÷ c a b  c b a = = 2 4 ; 189 2 2 2 = + + c b a  4 3 2 d c b a = = = ; 384 . . . = d c b a  c b a 5 1 2 = = ; 4 10 . . = c b a 02. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en la relación de 1; 3 y 5. Hallar la medida del mayor ángulo. a) 132° b) 100° c) 134° d) 135° e) 136° 03. En el auditorio de la USS hay 400 personas, 240 de las cuales son mujeres. ¿En qué relación se encuentran el número de hombres y el número de mujeres? a) 2 1 b) 3 2 c) 3 4 d) 9 5 e) 3 1 04. Un granjero tiene 1 365 animales entre conejos, gallinas y patos. El número de gallinas es al número de conejos como 2 es a 5 y el número de patos es al de gallinas como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja? a) 585 b) 586 c) 587 d) 588 e) 589 05. Sabiendo que: “a” es la media proporcional de 8 y 32. “b” es la tercera proporcional de 32 y a. “c” es la cuarta proporcional de a; b y 6. Hallar (a + b + c) a) 27 b) 24 c) 32 d) 28 e) 29 06. Sabiendo que la media proporcional de 2 y 32 es a la tercera proporcional de “a” y 24 como 1 es a 2; hallar “a”. a) 27 b) 24 c) 36 d) 28 e) 29 07. En una proporción geométrica de razón 3, la suma de los términos de la segunda razón es menor que la suma de los términos de la primera razón en 56. Determinar la diferencia de antecedentes. a) 40 b) 42 c) 44 d) 48 e) 49 Razonamiento Lógico Matemático 08. En un corral hay “n” aves entre patos y gallinas. Si el número de patos es a “n” como 5 es a 12 y la diferencia entre el número de patos y el número de gallinas es 18. ¿Cuál será la relación entre patos y gallinas, si se mueren 13 gallinas? a) 9/10 b) 4/5 c) 1/2 d) 3/5 e) 5/7 09. La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 60 unidades y al otro se le suma 33, entonces ambos resultados serían iguales. Determinar el menor número. a) 86 b) 88 c) 96 d) 99 e) 126 10. La suma, diferencia y cociente de 2 números están en la relación de 10, 6 y 1. Hallar el mayor de dichos números. a) 16 b) 22 c) 26 d) 32 e) 36 11. La suma de dos cantidades inversas es a la suma de las cantidades como 3 es a 4. Si una de ellas es el triple de la otra. Hallar la mayor. a) 2 b) 2/3 c) 3/2 d) 9/2 e) 7 12. Calcular la tercera diferencial de B y A, sabiendo que A es la cuarta proporcional de 5/6, 1/4, 2/3 y B es la tercera proporcional de 1/8 y 1/6. a) 8/45 b) 2/49 c) 16/45 d) 1/4 e) 3/97 13. En una proporción geométrica contínua la diferencia entre el término mayor y menor es 5 y entre el término medio y el menor de los extremos es 2. Determine la suma de sus términos. a) 25 b) 35 c) 15 d) 30 e) 32 14. En las siguientes razones equivalentes: d D c C b B a A = = = ; La suma de los antecedentes es 27 y la de los consecuentes es 48. Hallar el valor de: | | Dd Cc Bb Aa E + + + = 5 a) 160 b) 180 c) 190 d) 150 e) 140 15. Si: 11 7 5 c b a = = y 780 2 2 2 = + + c b a . Hallar: c b a × × a) 1350 b) 2050 c) 2850 d) 3080 e) 3280 16. Si se sabe que: d s c r b q a p = = = y ( )( ) 6724 = + + + + + + d c b a s r q p Calcular el valor de: | | cr ds qb pa I + + + = 2 1 a) 40 b) 41 c) 80 d) 82 e) 164 17. Dada la siguiente serie: k c C b B a A = = = calcular: ( )( ) ( )( ) c a C B A b a C A c b a B A E + + + + + + = 5 5 5 5 5 5 . . a) k b) 1/k c) k/5 d) 3k/4 e) k/9 18. La suma del antecedente y consecuente de una razón geométrica es 120 y su razón es 0.5. ¿Cuál es la semidiferencia de dichos números? a) 70 b) 40 c) 20 d)80 e) 60 19. Se tiene dos terrenos, uno en forma cuadrada y el otro en forma de triángulo equilátero. Si el lado del primer terreno es al lado del segundo como 5 a 3, la razón entre las áreas es: a) 33 3 100 b) 33 2 100 c) 33 2 120 d) 27 3 100 e)5/3 20. Los números a, b y c son entre sí como 2, 3 y 4. Hallar el menor número, sabiendo que a + b + c = 72 a) 4 b) 8 c) 24 d) 16 e) 32 21. Dos números enteros "x", “y” son proporcionales respectivamente a 3 y 5, y satisfacen la siguiente relación: 3x 2 + 5y 2 - 2xy = 488. , Luego la diferencia "y -x", es: a) 9 b) –2 c) 6 d) 2 e) 4 22. En un corral se tienen ovejas y gallinas, la razón de ovejas a gallinas es de 4 a 3. Si el total de animales es de 280, el número de ovejas es: a) 160 b) 100 c) 120 d) 80 e) 140 Razonamiento Lógico Matemático Tema: 7 REGLA DE TRES Y PORCENTAJES http://miempresaglobal.com/comocurarsedelcancer/wp- content/uploads/2010/03/e_porcentajes_576.jpg 7.1 Regla de tres Es una operación que tiene por objeto, dados 2 o más pares de cantidades proporcionales siendo una cantidad la desconocida o la incógnita, se tiene que hallar el valor de ésta última. La regla de tres puede ser Simple o Compuesta. Es simple cuando intervienen sólo dos pares de cantidades proporcionales. Es compuesta cuando intervienen tres o más cantidades proporcionales. 7.2 Regla de tres simple: En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas, como datos y una desconocida o incógnita. Esta regla puede ser directa o inversa, según las magnitudes que intervienen sean directamente proporcional (D.P) o inversamente proporcional (I.P). 7.2.1 Regla de tres simple directa: Para calcular el valor de la incógnita se multiplican los datos en aspa y se divide entre el otro dato. Magnitud 1 D.P Magnitud 2 más a más A C B X A C B X · = En la actualidad se hace mucho uso de la regla de tres simple e inversa, así como la compuesta. Las ganancias o pérdidas, la rebaja o descuentos, se expresan en porcentajes. Razonamiento Lógico Matemático 7.2.2 Regla de tres simple inversa: Si la regla es inversa se multiplican los datos en fila y se divide entre el otro dato; este cociente es el valor de la incógnita. 7.3 Regla de tres compuesta: En la regla de tres compuesta intervienen tres o más pares de cantidades proporcionales. Para resolver los problemas los problemas de Regla de tres Compuesta, aplicamos el método llamado “la ley de signos”, que consiste en lo siguiente: 7.4 Porcentajes 7.4.1 Tanto por cuanto: El “a” por “b” de una cantidad “N”, es otra cantidad “x” de la misma especie, tal que sea a la primera como a es b. ) N ( b a x b a N x = ¬ = Ejemplo: Hallar el 8 por 11 de 99 X = 72 99 11 8 = | . | \ | Magnitud 1 I.P Magnitud 2 más a menos A C B X C A B X · = Si son directamente proporcionales Si son inversamente proporcionales D.P I.P Arriba (-) Abajo (+) Arriba (+) Abajo (-) Razonamiento Lógico Matemático 7.4.2 Tanto por ciento: Es el número de partes tomadas de cada 100 partes iguales en que se puede dividir un todo. Se puede expresar mediante una fracción. Ejemplo: 50 % = 2 1 100 50 = , luego 50% representa la mitad de una cantidad. En lugar de usar la regla de tres para calcular % se puede aplicar una fórmula directa: A% de N = N x 100 A Ejemplo: 25% de 900 = 225 ) 900 ( 100 25 = Nota: Cuando tengamos varios porcentajes que afectan a una cantidad, es preferible efectuarlo como multiplicaciones sucesivas ( forma directa), para evitar la regla de tres, ya que nos tomaría más tiempo y trabajo. Ejemplo: El 25% del 50% del 20% del 40% de 2000 es: 2000 x 100 40 x 100 20 x 100 50 x 100 25 = 20 7.5 Descuentos sucesivos: Si queremos representar dos descuentos sucesivos del D 1 % y D 2 % en un descuento único (D u ), diremos: D u = 100% - (100- D 1 ) %(100 - D 2 ) % Para n descuentos sucesivos del D 1 %, D 2 %........y D n % será: D u = 100% - (100- X 1 ) %(100- X 2 ) %............. (100- X n )% Ejemplo: Hallar el descuento único que remplace a 3 descuentos sucesivos del 50%, 20% y 10% D u = 100% - (100- 50) %(100-20) %(100-10) % D u = 100% - (50) %(80) %(90) % D u = 100% - x 100 80 x 100 50 90% D u = 100% - 36% D u = 64% Razonamiento Lógico Matemático 7.6 Aumentos sucesivos: Si queremos representar dos aumentos sucesivos del A 1 % y A 2 % en un incremento único (A u ), diremos: A u = (100 + A 1 ) %(100 + A 2 ) % - 100% Para “n” aumentos sucesivos del A 1 %, A 2 %........y A n % será: A u = (100 + A 1 ) %(100 + A 2 ) %.............(100 + A n ) % - 100% Ejemplo: Hallar el incremento único que remplace a 3 incrementos sucesivos del 50%, 20% y 10% A u = (100 + 50) %(100 + 20) %(100 + 10) % - 100% A u = (150) %(120) %(110) % - 100% A u = x 100 120 x 100 150 110% - 100% A u = 198% - 100% A u = 98% 7.7 Compras y ventas: Precio de lista (PL): es el precio que tiene un artículo antes de hacerse un descuento para después ser vendido (está en el cartel de lista de precios). Precio de venta (PV): es el precio en el que realmente se vende el artículo; es decir, luego de afectarle el incremento o descuento del caso. Precio de Costo o de compra (PC): es el precio que paga el vendedor (minorista) por la compra de un artículo al fabricante o mayorista. Ganancia (G): es la utilidad que se obtiene al vender un artículo. Pérdida (P): es cuando se ha realizado una venta por un precio menor al precio de compra. PV = PC + G PV = PC – P Razonamiento Lógico Matemático Si quisiéramos determinar el precio de venta de un artículo, luego de afectarle aumentos o descuentos diremos: PV = PL (100 +A 1 ) %(100 +A 2 ) %.................(100 +A n ) % PV = PL (100 -D 1 ) %(100 -D 2 ) %......…..........(100 -D n ) % Ejemplo: Una turbina “PELTON” para generar energía eléctrica tiene un precio de 30000 dólares. ¿Cuál es el precio de venta si se aplican dos descuentos sucesivos del 12% y 18%. PV = 30000 (100 -12)%(100 - 18)% PV = 30000 (88)%(82)% PV = 30000 | . | \ | | . | \ | 100 82 100 88 = 21648 dólares Nota: Tenga presente que la ganancia y la pérdida que se calcule , siempre será con respecto al precio de costo, y los descuentos con respecto al precio de venta; aunque el problema no lo especifique. Si el problema indica lo contrario o da otras variantes, se aceptarán las condiciones de éste. 7.8 Variaciones porcentuales: Es la disminución o aumento porcentual. De una expresión cuando uno o más de sus elementos varía. Ejemplo: Si el lado de un cuadrado aumenta en un 20% ¿En qué tanto por ciento aumenta su área? Área del cuadrado = L 2. Inicialmente: Si el lado es “L”, el área es L 2 = 100% L 2 Con la variación : El lado será 100% L + 20 % L = 120% L El área será (120% L) 2 = L % 144 L 100 120 2 = | . | \ | El área aumenta: 144% - 100% = 44% Razonamiento Lógico Matemático 7.9 Porcentaje de ganancia La ganancia puede ser expresada como un porcentaje del precio de costo o del precio de venta. 100 1 Gc 1 Gv 1 = ÷ Gv = % de ganancia respecto a la venta Gc = % de ganancia respecto al costo Ejemplo: Una empresa vende árboles de navidad ganando el 40% del precio de costo. ¡Qué porcentaje del precio de venta gana? Aplicando la fórmula: 100 1 40 1 GV 1 = ÷ Gv = 66,66% La recaudación depende del precio y de la demanda (artículo, trabajo, etc). RECAUDACIÓN = PRECIO x DEMANDA Inicialmente se considera que los elementos que intervienen, se encuentran a un 100%. Ejemplo: El precio de una casa disminuye en un 30% y su demanda aumenta en un 50%. ¿En qué % aumenta la recaudación? Al principio: Precio = 100% Demanda = 100% Recaudación = 100% Al variar el precio y la demanda Recaudación = 70% x 150% = 100 150 x 100 70 Recaudación = 105% La recaudación aumentó en un 5%. Razonamiento Lógico Matemático Orientaciones: 1. Se te presenta una lista de ejercicios, que deberás resolver aplicando los conocimientos básicos estudiados. Regla de tres Simple 01. Un auto tarda 9 horas en recorrer un trayecto yendo a 60 km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 45 km/h? a) 10 h b) 12 h c) 13 h d) 14 h e) 19 h 02. Si 32 libros de Matemática cuestan S/. 80, ¿Cuánto se pagará por 40 libros de Matemática? a) S/.80 b) S/.90 c) S/.100 d) S/.120 e) S/.130 03. A y B recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean están en la razón de 15 a 21. Si la velocidad de A es de 56 km/h. ¿Cuál es la velocidad de B? a) 40 km/h b) 35 km/h c) 30 km/h d) 25 km/h e) 20 km/h 04. Había comprado 13,5 kg de café por 94,50 soles, pero por error me envían 1 kg menos. ¿Cuánto debo pagar? a) S/.80,50 b) S/.84,50 c) S/.86,50 d) S/.87,50 e) S/.88,50 05. Ocho obreros pueden hacer una obra en 24 días. ¿Cuánto días se demorarán 12 obreros en hacer la misma obra? a) 19 d b) 18 d c) 15 d d) 16 d e) 14 d 06. Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demoran 18 días para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán la misma obra? a) 30 d b) 29 d c) 15 d d) 18 d e) 19 d 07. Cierto número de ovejas son alimentadas con 60 kg de pasto. Pero si disminuimos en 15 el número de ovejas, entonces se necesitarían solamente 40 kg de pasto. Hallar el número de ovejas. a) 40 b) 43 c) 45 d) 44 e) 49 08. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obra se termine en 8 días? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 09. Un propietario tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración? a) 110 b) 115 c) 120 d) 125 e) 130 10. Un auto a 60km/h, cubre la distancia de Lima a Piura en 16 horas. ¿A qué velocidad debe recorrer para cubrir dicha distancia en la mitad del tiempo? a) 120km/h b)110km/h c) 105km/h d) 100km/h e) 130km/h 11. En un cuartel 200 soldados tienen víveres para 40 días, si se cuadriplicara el número de soldados. ¿Para cuánto tiempo durarían los víveres? a) 10 d b) 11 d c) 12 d d) 15 d e) 13 d 12. Si 135 obreros construyeron 30 metros de pista, 63 obreros. ¿Cuántos metros construirán en igual tiempo? a) 14 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 13. Una cuadrilla de trabajadores laborando 9 horas diarias terminan una obra en 21 días, haciéndolos trabajar 2 horas diarias menos. ¿En cuántos días terminarían la misma obra? a) 11 d b) 15 d c) 10 d d) 27 d e) 30 d 14. Un grifo que da 18 litros por minuto emplea 28 horas para llenar un depósito. ¿Qué tiempo emplearía si su caudal fuera de 42 litros por minuto? a) 10 h b) 11 h c) 12 h d) 15 h e) 13 h 15. Para recorrer 44 km en 2 horas; una persona dio 60 000 pasos, si sus pasos son ACTIVIDAD Nº 7 Razonamiento Lógico Matemático de igual longitud. ¿Cuántos pasos dará para recorrer 33 km en 3 horas? a) 44 000p b) 45 000p c) 43 000 p d) 33 000 p e) 30 000 p 16. Para pintar un cubo de 10 cm de arista se gastó 12 soles. ¿Cuánto se gastará para pintar otro cubo de 15 cm de arista? a) S/.11 b) S/.15 c) S/.20 d) S/.27 e) S/.30 17. Un reloj que da las horas por campanadas demora 6 segundos en dar las 4. ¿Cuánto demorará en dar las 8? a) 15 s b) 11 s c) 12 s d) 14 s e) 13 s 18. La cantidad de granos de maíz que entran en un balón esférico de 3 dm de diámetro es 120. ¿Cuántos granos entrarán en un balón? a) 480 b) 600 c) 960 d) 1 440 e) 130 Regla de tres Compuesta 01. Para pavimentar 180 metros de pista; 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos días se necesitarán para pavimentar 120 metros de la misma pista con 4 obreros menos? a) 18 d b) 15 d c) 20 d d) 25 d e) 30 d 02. Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias en 12 días hacen 60 sillas. ¿Cuántos días necesitarán 40 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer un ciento de las mismas sillas? a) 4 d b) 8 d c) 9 d d) 5 d e) 3 d 03. Si 180 hombres en 6 días, trabajando 10 horas cada día, pueden hacer una zanja de 200 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿En cuántos días, de 8 horas, harían 100 hombres una zanja de 400 m de largo; 4 m de ancho y 3 m de profundidad? a) 54 d b) 15 d c) 20 d d) 25 d e) 30 d 04. 15 obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? a) 14 d b) 45 d c) 20 d d) 25 d e) 30 d 05. En 24 días 15 obreros han hecho 1/4 de una obra que les fue encomendada. ¿Cuántos días empleará otra cuadrilla de 30 obreros que tienen doble rendimiento que los anteriores, en terminar la obra? a) 14 d b) 18 d c) 20 d d) 25 d e) 30 d 06. En una fiesta infantil a Pepito le obsequiaron 25 caramelos en una gorrita de forma cónica con diámetro de base 20cm. y altura 5 cm. Jaimito al percatarse de ello escoge un gorrito de radio 20 cm. pero la altura era de 2 cm. ¿Cuántos caramelos más obtuvo Jaimito? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 21 07. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se retiran 6 obreros. ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra? a) 36 días b) 12 días c) 48 días d) 24 días e) 15 días 08. Un Ingeniero puede construir 600 mts. de carretera con 40 obreros en 50 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardaría el Ingeniero en construir 800 mts. de carretera, con 50 obreros doblemente eficientes que las anteriores, en un terreno de triple dificultad trabajando 2 horas más por día? a) 55 b) 64 c) 44 d) 128/3 e) 72 09. 30 hombres se comprometen a hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9 días solo han hecho los 3/11 de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres. ¿Podrán terminar la obra en el tiempo fijado, o no, y si no es posible, cuántos días más necesitarán? a) Si b) No, 4 días c) No, 3 días d) No, 5 días e) No, 6 días 10. Se emplean 12 hombres durante 6 días para cavar una zanja de 30 m. de largo, 8 m. de ancho y 4 m. de alto, trabajando 6 horas diarias. Si se emplea doble número de hombres durante 5 días, para cavar otra zanja de 20 m. de largo, 12 m. de ancho y 3 m. de alto. ¿Cuántas horas diarias han trabajado? a) 2 7/10 h. b)2 9/10 h. c)3 1/10 h. d) 2 5/11 h e)2 3/10 h. Razonamiento Lógico Matemático 11. Un capataz contrata una obra que debe comenzarla el día 1º de Febrero y terminarla el 7 de Marzo del presente año (1999). El día 1º de Febrero pone a trabajar 20 hombres, los cuales trabajan hasta el día 14 inclusive a razón de 6 horas diarias. Ese día el propietario dice que necesita la obra terminada el día 22 de Febrero. Entonces a partir del día 15, coloca más obreros que trabajan 9 horas diarias en vez de 6 y logra complacer al propietario. ¿Cuántos obreros aumentó el capataz a partir del día 15? a) 15 obreros b) 6 obreros c)8 obreros d) 9 obreros e) 10 obreros Porcentajes 01. ¿Qué porcentaje del 25% de 48000 es el 10% de 6000? a) 5% b) ½ % c) 35% d) 25% e) 17,5% 02. El 40% del 50% de A es el 30% de B. ¿Qué porcentaje de (2A + 7B) es A + B? a) 25% b) 12,5% c) 20% d) 10% e) 22,5% 03. ¿De qué número es 208 el 4% más? a) 150 b) 250 c) 270 d) 200 e) 300 04. ¿De qué número es 360 el 30%? a) 1000 b) 1100 c) 1200 d) 2400 e) 2500 05. ¿De qué número es 1560 el 40% menos? a) 2000 b) 2200 c) 2400 d) 2500 e) 2600 06. Dos descuentos sucesivos del 40% y 10%. ¿A qué descuento único equivale? a) 40% b) 54% c) 72% d) 46% e) 52% 07. ¿A qué aumento único equivalen 2 aumentos sucesivos del 50% y 20%? a) 60% b) 70% c) 80% d) 160% e) 180% 08. ¿A qué descuento único equivalen los descuentos sucesivos del 10%, 20% y 25%? a) 54% b) 45% c) 55% d) 46% e) 50% 09. Si el lado de un cuadrado disminuye en 90%. ¿En qué porcentaje disminuye el área? a) 99% b) 90% c) 1% d) 10% e) 80% 10. Si el lado de un triángulo equilátero aumenta en un 40%. ¿En qué porcentaje aumenta su área? a) 86% b) 76% c) 60% d) 96% e) 84% 11. El radio de un círculo aumenta en un 20%, luego decrece en un 50%. ¿En qué porcentaje varía el área inicial? a) 64% b) 44% c) 72% d) 36% e) 75% 12. En la expresión: E = a 2 b, "a" aumenta en 20% y "b" en un 25%. Entonces E aumenta en: a) 20% b) 45% c) 60% d) 75% e) 80% 13. Una tela al lavarse, se encoge el 10% en el ancho y el 20% en el largo, si se sabe que la tela tiene 2m. de ancho. ¿Qué longitud debe comprarse si se necesitan 36 m 2 de tela después de la lavada? a) 20 b) 25 c) 30 d) 36 e) 40 14. Si vendo 2 artículos en S/. 5400 c/u, ganando 25% en el primero y perdiendo 25% en el segundo. Entonces al final : a) gano S/. 6400 b) pierdo S/. 640 c) gano S/. 720 d) pierdo S/. 720 e) No gano, ni pierdo 15. El fabricante de un producto gana el 10%, el mayorista el 20% y el minorista gana el 30%. Si el consumidor adquiere el producto a s/.858. Averiguar el precio de costo de dicho producto. a) 450 b) 348 c) 530 d) 500 e) 610 Razonamiento Lógico Matemático 16. Un empleado gana 30% más de lo que gana su ayudante. El sueldo del empleado aumenta en 40% y el de su ayudante en 20%. Luego de estos aumentos, el sueldo de ambos suman S/. 906. ¿Cuál era el sueldo del ayudante, antes del aumento? a) 200 b) 300 c) 230 d) 320 e) 500 17. El 25% del 50% del 20% del 40% de 2000 es: 18. El pasaje de Chiclayo a Lima costaba $60. si desde ayer aumentó en 20% ¿cuánto es ahora el costo de dicho pasaje? 19. El costo de hospedaje en nuestro hotel por un día es de $80; pero por ser usted nuestro cliente le haremos un descuento del 30%, le dijeron a don Cecilio. Entonces ¿Cuánto debe pagar don Cecilio? 20. Si el lado de un cuadrado aumenta en un 20% ¿En qué tanto por ciento aumenta su área? 21. Hallar el descuento único que remplace a 3 descuentos sucesivos del 50%, 20% y 10% 22. Hallar el incremento único que remplace a 3 incrementos sucesivos del 50%, 20% y 10% Razonamiento Lógico Matemático Tema: 8 INTERESES http://cristoensangre.blogspot.com/2009/11/oracion-para-atraer-el-dinero.html 8.1 Interés simple. La regla de interés simple es una operación que tiene por objeto calcular el interés que produce un capital prestado a un % y durante un tiempo determinado. Los elementos que intervienen en la regla de interés simple son: Capital, %, tiempo e interés o rédito (C; %, t; I). 8.1.1 Fórmula para calcular el Interés Simple: Para obtener la fórmula para calcular el interés “I” producido por un capital C, prestado a un % anual en t años, aplicamos la siguiente fórmula: 100 % t C I × × = Calcular el interés cuando el tiempo se da en años. Ejemplo: Se ha prestado un capital de S/. 4 000 al 8% anual, durante 2 años. Datos C = S/. 4 000 8% tanto por ciento t = 2 años 100 2 8 4000 × × = I ¬ 640 . / S I = Un hombre verdaderamente rico, es aquel cuyos hijos corren a sus brazos aun cuando tiene las manos vacías Anónimo. Razonamiento Lógico Matemático 8.1.2 Cuadro de Fórmulas del Interés Simple. Para calcular en años meses y días. Años Meses Días 100 % t C I × × = 1200 % t C I × × = 36000 % t C I × × = t I C × × = % 100 t I C × × = % 1200 t I C × × = % 36000 t C I × × = 100 % t C I × × = 1200 % t C I × × = 36000 % % 100 × × = C I t % 1200 × × = C I t % 36000 × × = C I t 8.2 Descuentos simples: descuento comercial o bancario Para calcular el descuento comercial se aplican las mismas fórmulas del interés sustituyendo el interés “I” por el descuento “D” y capital “C” por el valor nominal “V n ”. Así las fórmulas para calcular el descuento en años, meses y días son: Años Meses Días 100 % t V D n × × = 1200 % t V D n × × = 36000 % t V D n × × = Valor Nominal (V n ): Es la cantidad escrita en la letra o pagaré. Valor Actual (V a ): o valor efectivo, es el valor del documento el día que se negocia o descuenta. El descuento es igual al valor nominal menos el valor actual. a n V V D ÷ = El valor actual es igual al valor nominal menos el descuento. D V V n a ÷ = Razonamiento Lógico Matemático Orientaciones: 1. Se te presenta una lista de ejercicios de intereses, que deberás resolver aplicando los conocimientos básicos estudiados. Problemas de interés y descuentos 01. Hallar el interés que produce un capital de S/. 4 600 prestado al 9% anual, durante 4 años. a) S/.1 656 b) S/.1 655 c) S/.1 654 d) S/.1 653 e) S/.1 652 02. Hallar el interés producido por S/. 4 800 colocado al % 4 3 12 durante 1 año; 2 meses y 20 días. a) S/. 740 b) S/. 748 c) S/. 654 d) S/. 653 e) S/. 652 03. Hallar el capital que prestado al 0,5% mensual durante 2 años ha producido un interés de S/. 840. a) S/. 7 656 b) S/. 7 655 c) S/. 7 000 d) S/. 7 653 e) S/. 7 652 04. ¿Cuál es el capital que colocado al 4% durante 72 días ha producido 126,40 soles de interés? a) S/. 16 656 b) S/. 15 655 c) S/. 15 654 d) S/. 15 800 e) S/. 16 652 05. ¿A qué % anual se prestó un capital S/. 1 700 que en 1 año y 3 meses ha producido S/. 255 de interés? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 06. ¿A qué tanto por ciento hay que colocar S/. 2 400 para obtener S/. 144 de interés en 16 meses? a) 4,5 b) 5,5 c) 6,7 d) 4,6 e) 7,8 07. Hallar el tiempo que estuvo prestado S/. 1 680 que al 5% ha producido S/. 21 de interés. a) 2 meses b) 3 meses c) 4 meses d) 5 meses e) 6 meses 08. ¿Durante cuánto tiempo hay que colocar S/. 950 al 8,25% para obtener S/. 313,50 de interés? a) 5 años b) 6 años c) 4 años d) 3 años e) 2 años 09. Halla el interés que producen; S/. 25 500 colocados al 4% durante 43 años y 3 meses. a) S/. 44,115 b) S/. 16,551 c) S/. 16,542 d) S/. 16,533 e) S/. 44,652 10. Halle el interés que producen; S/. 87 600 colocados al 6% del 10 de octubre al 12 de noviembre. a) S/. 165, 6 b) S/. 165, 5 c) S/. 165, 4 d) S/. 481, 8 e) S/. 482, 8 11. ¿Qué interés produce S/. 3 000 al 4,8% desde el 5 de agosto hasta el 25 de diciembre? ACTIVIDAD Nº 8 Razonamiento Lógico Matemático a) S/. 65, 6 b) S/. 65, 5 c) S/. 65, 4 d) S/. 65, 3 e) S/. 56, 8 12. ¿A qué tanto por ciento hay que colocar S/. 4 800 para obtener S/. 300 de interés durante 1 año 3 meses? a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9% 13. ¿A qué tanto por ciento hay que colocar S/. 25 500 para obtener S/. 2 465 de interés después de 1 año, 7 meses y 10 días? a) 6% b) 8% c) 10% d) 16% e) 15% 14. Hallar el tiempo en que estuvo colocado un capital de S/. 950 que al % 4 1 8 produjo interés por S/. 313,50 a) 4 años b) 5 años c) 6 años d) 7 años e) 8 años 15. Hallar el descuento comercial y valor efectivo respectivamente de una letra por S/. 2 560, descontada 45 días antes de su vencimiento, al 9% anual. a) S/. 28, 80 y S/. 2 531, 20 b) S/. 65, 50 y S/. 2 534, 19 c) S/. 65, 40 y S/. 2 350, 10 d) S/. 65, 30 y S/. 3 452, 20 e) S/. 65, 20 y S/. 4 356, 15 16. Hallar el descuento y valor actual respectivamente de una letra por S/. 4 200 al 9,5% que vence el 16 de noviembre y es descontada el 5 de setiembre del mismo año. a) S/. 28, 80 y S/. 2 531, 20 b) S/. 79, 80 y S/. 4 120, 20 c) S/. 65, 40 y S/. 2 350, 10 d) S/. 65, 30 y S/. 3 452, 20 e) S/. 65, 20 y S/. 4 356, 15 17. Hallar el valor nominal y actual respectivamente de una letra descontada en S/. 85,80 al 12% faltando 3 meses para su vencimiento. a) S/. 28, 80 y S/. 2 531, 20 b) S/. 65, 50 y S/. 2 534, 19 c) S/. 65, 40 y S/. 2 350, 10 d) S/. 2 860 y S/. 2 774, 20 e) S/. 65, 20 y S/. 4 356, 15 18. Hallar el tiempo que faltaba para el vencimiento de una letra por S/. 9 600 que descontada al 9% dio un valor efectivo de S/. 9 480. a) 40 días b) 50 días c) 60 días d) 70 días e) 80 días 19. Por una letra de S/. 9 000 descontada al 8% recibí solamente S/. 8 730. ¿Cuántos días faltaba para su vencimiento? a) 140 días b) 150 días c) 160 días d) 135 días e) 145 días 20. 20. Por una letra de S/. 2 147,60 descontada al 3% recibí un valor efectivo de S/. 2 136,86. ¿Cuántos días faltaban para su vencimiento? a) 40 días b) 50 días c) 60 días d) 35 días e) 45 días 21. Por una letra de S/. 8 400 que vende dentro de 3 meses he recibido un valor efectivo de S/. 8 295. ¿A qué % fue descontada la letra? a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9% 22. Una letra por S/. 3 600 que vence el 4 de julio fue descontada el 27 de marzo del mismo año, recibiéndose un valor efectivo de S/. 3 520, 80. ¿A qué % se realizó el descuento? a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9% Razonamiento Lógico Matemático BIBLIOGRAFÍA Colección Ingenio. (2008). Razonamiento Matemático. Perú. Coveñas, N. M. (2009). Razonamiento Matemático. Lima: Bruño. Figueroa, G. (2008). Matemática Básica I. Lima: FEJOVICHS. Lázaro, C. M. (2009). Matemática Básica I. Perú: Moshera. Lizárraga, P. M. (2006). Razonamiento Matemático. Lima: Megabyte. Lluén, C. E. (2006). Cálculo Lógico. Un enfoque didáctico. Lambayeque. Timoteo, V. S. (2007). Razonamiento Matemático. Lima: San marcos. Tori, A. (2009). Razonamiento Matemático. Lima: Colección Racso. Venero, B. A. (2009). Matemática Básica. Lima: Gemar.