Modulo de Calculo Diferencial

March 25, 2018 | Author: TONGUINO | Category: Derivative, Logarithm, Sequence, Real Number, Interval (Mathematics)


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Universidad NacionalAbierta y a Distancia FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA CALCULO DIFERENCIAL JORGE ELIÉCER RONDÓN DURÁN diferencial FRANCISCO ORTEGON CAMACHO Cálculo BOGOTÀ, D.C., 2006 1 Universidad Nacional Abierta y a Distancia COMITE DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector © Editorial UNAD, 2006 Primera edición 2006 Roberto Salazar Ramos Vicerrector Académico Sehifar Ballesteros Moreno Vicerrector Administrativo Maribel Córdoba Guerrero Secretaria General Edgar Guillermo Rodríguez Díaz Director Planeación Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra sin autorización de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD La edición de este módulo estuvo a cargo del Centro Nacional de Medios Educativos UNIDAD DE PUBLICACIONES Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería Interventor Diagramación y armada elecrónica F.M. Digital Gráficas Ibañez Bogotá, D.C. 2006 2 Contenido PROLOGO DE LOS AUTORES............................................................ 15 NOTACION........................................................................................... 19 AUTOEVALUACI{ON INICIAL.............................................................. 25 UNIDAD UNO. SUCESIONES Y SUS LIMITES................................... 29 MAPA CONCEPTUAL........................................................................... 31 Objetivos......................................................................................... 33 1.1 Definición de sucesión................................................................ 35 1.1.1 Introducción..................................................................... 35 1.1.2 Definición de sucesión....................................................... 36 1.2 Determinación de una sucesión.................................................. 37 Ejercicio 1.1............................................................................................ 42 43 1.3.1 Sentido de variación de una sucesión................................. 43 Ejercicio 1.2............................................................................................ 52 1.3.2 Cotas y sucesiones acotadas superiormente........................ 53 1.4 Progresiones.............................................................................. 62 1.4.1 La progresión aritmética.................................................. 65 Ejercicio 1.4............................................................................................ 70 1.4.2 La progresión geométrica.................................................. 71 Ejercicio 1.5............................................................................................ 78 1.5 Sucesiones que convergen a cero................................................. 79 Cálculo (Cotas)...................................................................................... diferencial 1.3 Sentido de variación de una sucesión. Sucesiones periódicas. 3 1.5.1 Conjunto de puntos, intervalos y vecindades...................... 79 1.5.2 Definición de sucesión convergente a cero.......................... 80 1.5.3 Criterio de comparación.................................................... 87 Ejercicio 1.6............................................................................................ 91 1.5.4 Reglas de cálculo con sucesiones que convergen a cero........ 92 1.6 Sucesiones que convergen........................................................... 95 1.6.1 Límite de una sucesión...................................................... 95 1.6.2 Propiedades fundamentales de la sucesión convergente....... 100 Ejercicio 1.7............................................................................................. 106 n    1   1 +    ................................................... 1.6.3 La sucesión    n   107 1.7 Sucesiones divergentes............................................................... 112 1.7.1 Sucesión divergente .......................................................... 113 1.7.2 Propiedades de las sucesiones divergentes.......................... 116 1.8 Sucesiones con forma indeterminadas......................................... 119 1.8.1 Límites de expresiones racionales...................................... 120 Lectura complementarias......................................................................... 125 Autoevaluación 1..................................................................................... 128 Ejercicios complementarios...................................................................... 131 UNIDAD DOS. LIMITE DE UNA FUNCIÓN. CONTINUIDAD.............. 133 Objetivos.......................................................................................... 135 Introducción..................................................................................... 137 2.1 Límite de una función cuando x tiende a X0................................. 139 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD 2.1.1 Definición: límite de una función cuando x tiende a x0 ( x → x 0 ) ..................................................................... 145 2.1.2 Propiedades de los límites.................................................. 149 2.2 Formas indeterminadas.............................................................. 155 Ejercicio 2.1............................................................................................. 163 ( ∞ ) .............................................................. Límite de una función cuando x tiende a infinito ( ∞ ) ........ 164 2.3 Límties al infinito 2.3.1 164 2.3.2 Límite de una función cuando x tiende a menos infinito (− ∞ ) ............................................................................... 172 Ejercicio 2.2............................................................................................ 176 2.3.3 Propiedades de los límites de las funciones cuando x tiende a infinito.......................................................................... 4 177 Ejercicio 3.3............................................................................................ 184 2.4 Límites infinitos: funciones que tienden a ∞ cuando x tiende a ∞ . 2.4.1 Definiciones para cuando tanto la variable como la función tienden a inifito o a menos infinito......................... Ejercicio 2.4............................................................................................ 2.4.2 Propiedades de límites de funciones que tienden a ∞ cuando x tiende a : formas indeterminadas................................... Ejercicio 2.5............................................................................................ 185 187 194 205 2.5 La función tiende a infinito cuando x tienede a x0 ....................... 207 a x0.................................................................................. 210 2.6 Límites unilaterales.................................................................. 213 Ejercicio 2.6............................................................................................ 229 2.7 Asíntotas verticales y horizontales.............................................. 232 2.7.1 Asíntotas verticales.......................................................... 232 2.7.2 Asíntotas horizontales....................................................... 235 Ejercicio 2.7............................................................................................ 241 2.8 Continuidad............................................................................... 242 2.8.1 Definición: función continua en un punto.......................... 245 2.8.2 Propiedades de las funciones continuas.............................. 246 Ejercicio 2.8............................................................................................ 249 2.8.3 Continuidad en un intervalo............................................. 251 2.8.4 Continuidad por la derecha o por la izquierda.................... 254 Ejercicio 2.9............................................................................................ 259 2.9 Evaluación de los límites mediante la computadora..................... 261 270 UNIDAD TRES. LA DERIVADA............................................................. 273 Introducción..................................................................................... 277 CAPITULO 1. LA DIFERENCIACION................................................... 277 1.1 La razón de cambio.................................................................... 283 1.1.1 Introducción..................................................................... 284 1.1.2 Incrementos...................................................................... 288 1.2 La derivada............................................................................... 299 Ejercicio 3.1............................................................................................ 300 Cálculo Autoevaluación 2................................................................................... diferencial 2.5.1 La función tiende a menos inifito (− ∞ ) cuando x tiende 5 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD 1.3 Técnicas de diferenciación........................................................... 303 1.4 Regla de cadena.......................................................................... 308 1.5 Derivada de la función implícita.................................................. 311 Ejercicio 3.2............................................................................................. 313 1.6 Diferenciales.............................................................................. 317 Ejercicio 3.3............................................................................................. 318 1.7 Derivadas de funciones transcedentales. La función exponencial.. 334 Ejercicio 3.4............................................................................................. 335 1.8 Derivadas de las funciones trigonométricas.................................. 346 Ejercicio 3.5............................................................................................. 347 1.9 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.................... 359 Ejercicio 3.6............................................................................................. 360 1.10Derivadas de orden superior........................................................ 360 Ejercicio 3.7............................................................................................. 374 1.11 Cálculo de la derivada mediante la computadora......................... 375 Capítulo 2. Aplicaciones de la derivada.................................................... 381 Ob jetivos................................................................................................ 383 Introducción............................................................................................ 385 2.1 Aplicaciones inmediatas de la derivada........................................ 387 2.1.1 Dirección de una curva...................................................... 387 2.1.2 Ecuaciones de la tangente y normal. La longitud de la 6 subtangente y la subnormal.............................................. 395 2.1.3 Sentido de variación de una función. Monotonía ................ 410 2.2 Tasas de cambio relacionadas..................................................... 425 2.3 La razón derivación de la física................................................... 452 2.3.1 Optimización en físca........................................................ 457 2.3.2 La derivación en economía................................................. 461 2.3.3 Función elasticidad........................................................... 463 2.3.4 Función ingreso................................................................. 471 2.3.6 Optimización en economía................................................. 477 2.3.7 Modelo de inventarios........................................................ 483 2.3.8 La derivada en otras situaciones........................................ 489 Autoevaluación final............................................................................... 513 Glosario.................................................................................................. 519 diferencial 475 Cálculo 2.3.5 Ingresos por impuestos...................................................... 7 8 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD Lista de figuras La población urbana está notada con +. La población rural lo están con x................................................................................... 46 1.2 Diagrama de flujo para la parte 1.................................................. 63 1.3 Diagrama de flujo para la parte 2.................................................. 65 1.4 Vecindad de centro en 2 y radio 0.001. Nòtese que el intervalo 1.5 es abierto.....................................................................................  (− 1 )n  Gráfica para algunos puntos de la sucesión ................   n   80 80 1.6  2n − 3   ..................... Gráfica para algunos puntos de la sucesión   n +1  95 1.7  3n   ..................... Gráfica para algunos valores de la sucesión   2n + 1 98 2.1 Gráfico de la resistencia en función del diámetro, en el intervalo de 2.60 a 2.80 cms........................................................................ Gráfico para la resistencia en función del diámetro en el intervalo 0.026 mm a 0.028mm................................................................... (3x − 1)(x − 2) 141 2.3. Gráfica para: f (x ) = .................................................. 144 2.4 Gráfico que ilustra: lím f (x ) = L .................................................. x → x0 145 2.5 Circunferencia unidad.................................................................. 150 2.6 Gráfica de la potencia (P vatios) necesaria para alzar cajas con x−2 conservas en función del tiempo t (segundos).................................. diferencial 2.2 140 Cálculo 1.1 165 9 2.7 Gráfico que ilustra: lím f ( x) = L .................................................. x→∞ 2.8 Temperatura en el centro de una lata que contiene un alimento 167 gelificado sometido a calentamiento en un esterilizador (Baumgaktner J.G. y Herson A.C.)............................................... 2.9 Curva de producción de ácido láctico en leche incubada con un cultivo a 43ºC................................................................................ 2.10 170 170 Curva típica del tiempo necesario para reducir los microorganismos en un producto alimenticio, a una temperatura dada (Baumgakther J.G. y Herson A.C. ).................................................................... 1 171 2.11 Gráfica de: f ( x ) = + 2 ........................................................ 172 2.12 Gráfico que lustra: lím f ( x) = L ................................................... x → −∞ 173 2.13 Población colombiana, P, con base en los datos del censo de 1913 x+3 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD y la tasa de crecimiento entre los censos de 1964 y 1973 en 10 función del tiempo t (año)............................................................... 186 2.14 Gráfico que ilustra: lím f ( x ) → ∞ x →∞ ............................................. 187 2.15 Gráfico que ilustra: f ( x ) = L → − ∞ ................................ 189 2.16 f ( x ) ............................................... Gráfico que ilustra el: lím x →−∞ 190 2.17 f ( x ) → − ∞ ....................................... Gráfico que ilustra el lím x →−∞ 190 2.18 Gráfica para 2.19 Gráfico que ilustra: 2.20 Representación gráfica para g ( x ) = lím x →∞ f (x) = 7 ................................................. 207 f ( x ) → ∞ .......................................... 209 ( x −1 ) 2 lím x → x0 −7 (x − 1)2 ..................................... 210 2.21 f ( x ) → − ∞ .......................................... Gráfico que ilustra: lím x → x0 212 2.12 Gráfica de las ganancias «y» en función de la cantidad de producto vendido......................................................................................... 214 .3...................  x si x ≠ 0 f (x ) =   − 1 si x = 0 1 x 7 (1 − x ) 2 1 x 7 (1 − x ) 2 .....30 Gráfica para la función f ( x )= ...... 226 2....................33 Gráfica para la función f ( x )= .........6 Círculo trigonométrico con énfasis en el primer cuadrante............................. 216 217 219 ...3 11 . 233 2........... 239 ..................... 229 2.......... 20 x − 3000 si 1000 < x ≤ 1500 243 2.................................3. 2......................................2...2.4 Gráfico que ilustra el lím + f ( x ) = L x → x0 2........ 235 2...............37  x si x ≠ 0 Gráfico para f (x ) =  .............Gráfico que ilustra el 2..........................27 Círculo trigonométrico con énfasis en el segundo cuadrante............................  − 1 si x = 0 243 2x 2 − 4x − 6 diferencial lím Cálculo f ( x ) = L .................. 228 2.......................1 Gráfica para la función f ( x )= ................5 Representación gráfica de la función 2.................. 227 2....... 236 2.....2.........2.............5 Gráfica para la función f ( x )= x 2 +1 x x → x 0− ................29 Gráfica para la función del problema 1............... 240 2......36 20 x − 1000 si 500 ≤ 1000 Gráfica para f (x )  .............2 Gráfica para la función f ( x )= ..............3.4 Gráfica para la función f ( x )= − x 2 + 2x + 11 2...................... 232 2.........28 Gráfica para y = tan x...........................3................ 285 3.................... 286 3................................12 Gráfica para el ejemplo 9...... 319 3........... 395 3..............39 Gráfica para la función del ejercicio 2................... 433 3........3 Gráfica para la función y = f(x) = 5x2 -7x + 1 .............................. − 3 265 2............ 436 3..46 Gráfica para la función g(x) con Derive...UNAD 2........ 430 3................ 2 [ ......... 266 2....................7 Gráfica de funciones..................10 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería..............................................6 Gráfica para la función 3x3...........13 Gráfica para el ejemplo 9................ 251 2...................... 257 2........41 Gráfica para la función .......5 Gráfica para la función y = ax ................. 393 3..................................................... 249 2.......................................... 268 3............................................1 Gráfica para la función y = f(x) = 3x + 1.. x = −10...... 446 ........... 3....9 Gráfica para la recta tangente y normal para la curva y = f (x).............................................................. 259 2..........2 Gráfica para la función del ejercicio 2................................................38 Gráfica para ..............11 Gráfica para el ejemplo 7..........f (x ) = ( 3x − 1 ) ( x − 2 ) (x−2 ) 2.. x = −4.14 Gráfica para el problema 4 canal abierto..................45 Gráfica para el ejemplo 1 con Derive................................ 314 3.......................................8...... 244 2..10 Gráfica para el ejemplo 5........................4x2 + 2x + 5 y la recta tangente 2 en x = 1.9........................................................................................ y = 3x + 3 ....... 388 3..........4..................................43 Gráfica para el denominador f (x )  1 si x ≠ 0    0 si x = 0 y = 6 x 5 + 41x 4 + 100x 3 + 129x 2 + 94 x + 35............40 Gráfica para la función f (x) = 2x + 1 en el intervalo ] 0...........8 Gráfica para la circunferencia x2 + y2 = 13 y la parábola y2 = x + 1.4 Gráfica para las diferenciales............2 Gráfica para la función y = f(x) =√x + 5.... 376 3..... ............... 287 3.........44 12 265 Gráfica y = 6 x5 + 41x 4 + 100x 3 + 129 x 2 + 94x + 35................................................... ........... 13 ...............20 Gráfica para el ejemplo 1.....................................................3........17 Las distintas categorías de elasticidad de la demanda........24 Gráfica para el ejemplo 1.................. 500 3. 466 3.............. 498 3............ 500 3............................19 Gráfica para el ejemplo 1..................................................................................................15 Gráfica para el problema 4 ................. 462 3................................................ 510 Cálculo diferencial ................. 507 3..............21 Gráfica para el ejemplo 2...............................................................................................16 Gráfica variable discreta y continua....................................... 502 3.......23 Gráfica para el ejemplo 1................ 448 3.................... 505 3..............................18 Gráfica para el ejemplo 1.....22 Gráfica para el ejemplo 1... pero a donos y adquiriendo mayor agilidad mental. por tanto nuestro estudio tiene un etapa de nuestro proceso de aprendizaje de la alcance a largo plazo. de las expresiones Ingeniería. ya sea en la misma fundamentales de la Matemática Básica en los rama de las Matemática o en otro campo. Matemática. vamos a estudiar?.Prólogo de los autores D espués de asimilar los conceptos manejar otros conceptos. disciplinán- que la Matemática es muy importante. Además. Ciencias Agrarias algebraicas. de ello. Administración. Es aquí donde tenemos que ver muy 15 . nos servirá?. blemente cierto conocimiento básico de estamos en condiciones de iniciar una nueva Matemática.. veces nos parecen tan abstractas.. lleguemos a formularlas en voz alta: ¿qué desarrollando nuestra capacidad lógica. requieren induda- dientes gráficas y de la Trigonometría. claro. cuando estamos estudiando Matemá- indiscretamente. para evitar que el preguntas: ¿qué vamos a estudiar? ¿para qué cabello se nos erice. pero en estudio de los fenómenos de crecimiento de la otras ocasiones estamos adquiriendo las población. etérea. tres preguntas. sus propiedades. surgen. ejercitándonos esto? ¡cómo lo haremos? Sí. y nos gustaría hallar aplicaciones Pero volvamos a nuestras insidiosas inmediatas y concretas. del desarrollo de ciertas especies. sin que nos demos plenamente cuenta Tras este anuncio tan alentador. tales como el manejo de debemos olvidar que muchas áreas de sistema numérico. de las funciones y sus correspon- y Ciencias Humanas. herramientas necesarias que nos permitirán del estudio de la inflación. sabemos en la interrelación de conceptos.denominada Cálculo Diferencial. lejana. Las sucesiones se aplican en la aplicaciones inmediatas y concretas. No cursos nivelatorios. del consumo de Cálculo su convergencia o divergencia y algunos casos diferencial estudiaremos las sucesiones. ¿para qué nos servirá todo ordenando nuestro pensamiento. aunque no tica estamos formando nuestro espíritu...En la primera unidad claramente que a veces podemos hallar especiales. . fijar los mecanismos básicos y reforzar los conocimientos adquiridios. pues lo que aprendamos a la carrera. lo olvidaremos. elementos..yo Asimismo debemos estudiar diariamente y no pensar: "dejémoslo para el fin de semana cuando sí podremos dedicarnos con juicio. e informarnos acerca de: 16 . permiten. podremos empezar. o determinar el momento más adecuado para sacar un producto al mercado y maximizar los beneficios. Química.UNAD por ejemplo. cómo resolver problemas de máximos unidad trataremos primordialmente de hallar y mínimos. de nuestro libro y partimos. menudo derivadas: la velocidad y la Al principio de cada unidad hay una acelaración son ejemplos de ello. tan común en Matemáticas. y cuando x tiende x. y determinar si una función dada es continua en un punto a en un intervalo. sentar las bases para el estudio de los límites podemos estudiar diversas aplicaciones de ésta y continuidad de las funciones. Debemos luego fijar un y. En esta críticos. El conocimiento de los límites o de los puntos de discontinuidad de las funciones puede ser de gran utilidad. de la electricidad. Conociendo los mecanismos de derivación. Hay un límite. en especial. cuando x tiende a un valor establecido. el cual permite introducirnos en el tema de las Derivadas. esencial para nosotros: fábrica en función de la cantidad de mercancía producida. de las cuales las sucesiones son tan sólo un caso particular. el límite de una función. además. que abordaremos en . cuando deseamos minimizar el costo de un empaque. justificación que nos permiten ubicarnos en el dispongamos de todos estos contexto del tema.xo a x0 . En el caso de la fábrica. Regresamos ahora a nuestra tercera pregunta: ¿cómo estudiar? Aquí es muy importante estar decididos a aprender y a poner de nuestra parte todo cuanto sea necesario para llegar a la meta deseada. Nos armamos Estamos acostumbrados a emplear muy a de lápiz y papel. maximizar las ganancias de una horario de estudio y cumplirlo estrictamente.." Esto no es conveniente. Vivimos rodeados de funciones. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Por ejemplo. Sabemos que el autoaprendizaje es un proceso que requiere cierto tiempo para asimilar. cómo determinar los puntos abordaremos en la segunda unidad. que va a ser el límite del cociente Esto es especialmente útil cuando queremos.petróleo. Allí nos familiarizaremos con el concepto de derivada y con el Cuando procedimiento para hallar una derivada. dicho conocimiento puede ayudar a decidir si conviene o no contratar un turno para trabajar de noche y satisfacer una mayor demanda. que y en particular. la tercera unidad. las ganancias de una fábrica son función de la cantidad de mercancía vendida.. o bien. Física. Son una demostración. Cuando nos equivoquemos. no hay una mala aplicación de los conceptos. impedimento para que sigamos adelante.qué vamos a ver y cuáles son nuestros objetivos. ojalá subrayando las ideas que. Aquí resultado o conclusión. consultar al tutor. nos permita recordar lo ya visto y reforzado. Cuando haya un ejemplo o Esta es una trampa que debemos evitar. revisar al tutor. Así podremos percibir dónde seguridad y fluidez. La gran mayoría de ejercicios trae respuesta. mirar la respuesta sin haber intentado desarrollar el ejercicio es dañino.. lo que deberíamos hallar. Necesitamos la práctica. diferencial hay un ejercicio que sí debemos hacer y llevar 17 .. No debemos asustarnos si nos parecen muchos. para tener una idea global de que se mirada hacia la información de retorno antes trata. Si éste no es el caso.. cuanto más necesario: numerosos.. Confirmar la respuesta o el proceso es útil. analizando más en detalle las afirmaciones hechas. verificar si concuerda con ocurre lo mismo. tratar de hacerlo por nuestra cuenta ganar un mayor dominio del tema. los que llevan asterisco y no traen entonces los ejemplos resueltos y mirar si respuesta. que al principio de cada periodo de estudio. Buscar si hay errores en la secuencia de El que no logremos hacerlos todos no es operaciones. luego volver a leerlo con más de resolver el ejercicio propuesto. las entendemos y. conviene. Es un proceso similar al están nuestras dificultades y tratar de de aprender a montar en bicicleta. mejor. sino volver a la carga una y otra vez. atentamente todas las instrucciones. Si aún falla. ni desalentarnos si tenemos dificultades. Puede resultar muy útil elaborar un pequeño resumen. nada más detenimiento. 4. volver a hacerlo una tercera vez. Podríamos incluir las definiciones y las propiedades importantes en dicho resumen. para tener una idea de cómo empezar... Debemos leer con detenimiento la justificación y los objetivos para saber qué debemos lograr y para verificar al final si los hemos alcanzado. mayor sin mirar el libro. una vez leído el numerosos para que podamos ejercitarnos y proceso. Si realmente la respuesta no es correcta. Conviene leer inicialmente cada párrafo de Podremos caer en la tentación de volver a la corrido. Pero Si el problema no radica allí. escuchamos solucionarlas. 1. claves. con ejercicios sabemos montar en bicicleta. ¿Qué debemos hacer? Tratar de dolorosos tropiezos desarrollaremos los resolverlos y cuando hayamos llegado a algún reflejos necesarios para evitar las caídas.? ¡No! Sólo y su correspondiente información de retorno después de algunas sesiones y algunos (confirmación). Cálculo 2. debemos desalentarnos. comunicarlo a los autores. 3. (Ver guía didáctica). es necesitamos hacer ejercicios. ¿está todo listo ya? ¿ya Hallaremos tres autoevaluaciones. necesario. si tenemos el tesón Esta evaluación tiene por lo tanto dos partes. al fallamos en algún tema de la primera parte. resultarnos muy útiles. necesarios para esta nueva etapa de nuestro Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. parte también figuran en las autoevaluaciones relacionados con el Si tema finales de las unidades correspondientes y Los amantes de la Matemática hallarán al deberán permitirnos medir el progreso final de cada unidad. ya que a veces. hallaremos la evaluación inicial. Los ejercicios de la segunda rápido. 1. Así Antes de abordar nuestra primera unidad. que deseaba. al compartir otras sabremos que necesitamos revisar los experiencias y otros puntos de vista. Si no lo logramos en un intento. lo 2. Ayudarnos a determinar qué tanto manejamos de los nuevos temas a estudiar. estamos en condiciones de iniciar el estudio de éste módulo.Dicen que Edison tuvo que hacer mil experimentos para descubrir. Ayudarnos a determinar si disponemos de todas las herramientas o requisitos Ánimo y buena suerte. que tiene dos propósitos: Ahora. nos conceptos enriqueceremos y podemos avanzar más correspondiente. Los grupos colaborativos pueden correspondientes a dichos propósitos. lo lograremos en otro. podremos darnos cuenta de nuestro progreso. estudiar en grupo.UNAD estudio. Es probable que suplementarios con un nivel de dificultad inicialmente no estemos encondiciones de mayor. una serie de ejercicios alcanzado tras el estudio. hacer todos los ejercicios y que después de estudiar la unidad si podamos lograrlos. al final de uno. 18 Los autores . Notación a: número real a: aceleración A. B: número reales C: costo C1: costo de preparación de manufactura C2: costo de mantener una unidad de inventario por periodo C3: costo por la no entrega oportuna C: costo promedio Ct : costo después de un impuesto d: demanda Df: dominio de la función f Dx: derivada con respecto a x diferencial de x dy: diferencial de y dy/dx: derivada de y con respecto a x dny/dxn : derivada enésima o derivada de orden "n" de y con respecto a x e: número de Euler: 2.71828 e: exponencial Ey/Ex: elasticidad de y con respecto a x f: función f(x): valor de una función en x gof: composición de f por g i: unidad imaginaria. − 1 corriente i: subíndice x Cálculo dx: diferencial Dxf = f ´(x): derivada con respecto a x 19 . bien de una función precio q razòn común de una progresión geométrica carga (Coulombios) razón común en un progresión geométrica 20 q número de artículos que deberán ser incluidos en un inventario cada vez Q caudal R resistencia R conjunto de números reales R(t) vector de posición R* conjunto de los reales no nulos .UNAD superíndice NI conjunto de los números naturales N número natural n0 número natural específico p período.. j. . por la izquierda ln x logaritmo de x = log x log x logaritmo de x = ln x log a x logaritmo en base a de x. a +1.k: vectores unitarios a lo largo de los ejes k: subíndie una constante número de artículos que entran por período (a una fase uniforme) durante la formación del inventario lím f(x) x a límite del valor de la función f cuando x tiende a "a" lím f(x) x ∞∞ límite del valor de la función f cuando x incrementa sin límite lím f(x) x xo+ límite del valor de la función f cuando x tiene a x0 para valores mayores que x0.}. I ={a. ingreso It: ingreso después de un impuesto u. es x xo- decir.. con a ≠ e M cota superior m cota inferior Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. por la derecha decir. bien de una sucesión.I: conjunto de naturales mayores o iguales "a". es lím f(x) límite del valor de la función f cuando x tiene a x0 para valores menores que x0. R*+ conjunto de los reales positivos R*- conjunto de los reales negativos r diferencia común en un progresión aritmética radio vector en coordenadas polares S suma de los primeros términos de una progresión s espacio -1 Sen x función inversa de seno t impuesto tiempo T ingreso captado por un impuesto (el gobierno capta este impuesto) ua primer término de sucesión un enésimo término de una sucesión U utilidad v velocidad v velocidad promedio x variable independiente (por lo general) cantidad demanda u ofrecida variable..x1 = ∆x ∆y incremento en y δ número real positivo. del cual 7 es el único elemento diferencial y´ Cálculo y 21 . x2 .β constantes ∆ incremento ∆f incremento en f ∆x incremento en x. por lo general dependiente y (n) derivada de y con respecto a la variable independiente derivada enésima de y o de orden "n" α. generalmente muy pequeño ϕ ángulo variable en coordenadas polares π constante: = 3. generalmente muy pequeño ε número real positivo. ∑ sumatoria ∅ conjunto vacío ϕ ángulo ψ ángulo entre radio vector y la tangente { } notación para un conjunto {7} conjunto..141592654. b) . 2 .b] el conjunto a < x ≤ b..intervalo cerrado [a.b[ el conjunto a ≤ x < b.ε . ≥ mayor o igual que. existe por lo menos un x x ≠ diferente ≅ aproximadamente igual N δ (a) vecindad de centro en a y radio δ N δ (a) vecindad reducida con centro en a y radio δ Vδ (a) vecindad de centro en a y radio δ ∧ V(x0. punto que indica multiplicación. como en (a . cualquiera que sea x ∃ existe un x. 11.17} conjunto cuyos elementos son 7.b[ el conjunto a < x < b. 17 [a. 3 .(a m ∑ ak sumatoria de ak desde k = n hasta k = m inclusive a valor absoluto k = n z 22 norma de z 1. b] el conjunto a ≤ x ≤ b.{7.intervalo semiabierto por la derecha ]a. > mayor que....UNAD se incluye el punto indicado ⇒ implicación o implica ⇔ equivalente o equivalencia ∞ infinito . 13.3853 decimal que se repite indefinidamente < menor que.intervalo semiabierto por la izquierda ]a.13.x0+ ε ) vecindad de centro en x0 y de radio ∈ {un} n≥ a o sucesión No se excluye el punto indicado Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.intervalo abierto ⊆ inclusión ⊂ inclusión propia ∪ ∩ reunión ∈ pertenece ∉ no pertenece intersección A para todo x.. ≤ menor o igual que.11.. + b) ó en 1 ... y) coordenadas cartesianas ∴ por consiguiente Λ y/o diferencial factorial de n Cálculo n! 23 .n   k coeficiente binomial na = a1/ n la raíz enésima de a (r. ϑ) coordenadas polares (x. 24 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD . nos indicarán los puntos críticos que sería bueno repasar para no tener dificultades a lo largo de este curso. Si f y′ g son funciones de reales a reales y están definidas por } y′ f og 4A. pero con un criterio diferente. Las primeras doce preguntas que tienen la letra A. inicial Antes de iniciar nuestro estudio. cos   x +1 x  2 para h ( − 1 ) = h es el conjunto F() V() [( − 1 )2 ] y′ h2 ( −1 )= [ h ( − 1 ) ]2 F() V() 3A. No se espera que debamos saber las respuestas antes de haber estudiado la unidad correspondiente. Sen  3x + π  es igual a sen  3x   4   4  1 − 3x 2 F() F() V() diferencial { D ( g o f ) = x ∈ R.Autoevaluación seguida. tras el estudio. Podemos tratar de contestarlas. tres por cada una de las unidades que componen el curso. Sólo nos resta hacer acopio de ánimo y perseverancia. y x ≤ 5 x V() Cálculo f ( x ) = 5 − x y g ( x ) = 3 x 2 + 4 entonces g o f = 19 − 3x 25 . ¡pero sí después de hacerlo! Por lo tanto. e iniciar las labores ¡Buena suerte! 1A El dominio de la función y = f (x) = {x x ∈ R y −1 ≤ x < 1 } 2A. un progreso medible en la autoevaluación final de cada uno. Simplemente nos indicarán cómo la unidad correspondiente nos brindará nuevos conocimientos y nos permitirá lograr. no debemos alarmarnos si no sabemos resolverlos en este momento. Los valores de la función h(x) = son 1 y 4 respectivamente 3x − 1 1 + x2 x −1 1  . desarrollemos la autoevaluación que se presenta en Luego siguen 12 preguntas con la letra B.  e3x e−4x log   ex  11A. El conjunto solución para la desigualdad 6A.  a bc d log   gk  12A.5A. La sucesión cuyo término general es u = 9  3 − n + 1  es convergente n   F() V() 2B. 26 son los reales excepto 7A. la sucesión {wn }n ≥ 0 es una progresión aritmética. sen (x ) x  = cot   1 − cos (x ) 2  F() V() 1B. Dada la sucesión     − n ( x +1 )   = (b log (a ) ) + d log (d ) + k log (g )   {u n }n ≥ 1 = { n +1 − n −1 } es cero {un }n ≥ 0 definida por su primer término u0 = 8 fórmula de recurrencia u n + 1 = − 2 3 u n + 10 { } definida con base en la sucesión u n entonces.UNAD F() V() El conjunto solución para la desigualdad x 2 < 25 es 0 ≤ x ≤ 5 9A.005 es : x−5 10A. El conjunto solución para la desigualdad 3 x − 2 < 4 x + 7 7 El conjunto solución para la desigualdad − Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. El conjunto solución para la desigualdad x −1 < 0 es − 1 < x < 1 x +1 x −1 < 0 x +1 −1 < x < 1 8A. El límite de la sucesión F() V() 3B. 605 595 <x <− 399 401 n F() V() son los reales excepto F() V() F() V() F() V() F() V() 2x + 3 < 0. −9 ≤ x ≤ − 5 F() V() y la { } y la sucesión v n n≥0 en la forma siguiente: v n = u n − 6 de término general wn = log v n F() V() . 00 por metro cua- x3 +1 es A (− 1. El punto de inflexión para f (x ) = F( ) V() V() Cálculo drado. V() sen (2x ) 1 + tan (2 x ) 10B. 0 ) 2x F() diferencial 12B. entonces. V() si x ≤ 0 sea continua son: a = 8/9 y´ b = 1 7B.00 por metro cuadrado y para las paredes $8. el costo mínimo del empaque es de $47. F() El porcentaje de error permisible en x para que el porcentaje de error en x n sea menor del 1% es 1 % 8B. Un empaque en forma de paralelepípedo de base cuadrada.4B.08 27 . La función 2 cos (2x ) 1 + 2 sec2 (2 x ) (tan (x ) )tan (2x ) = 1 e lím x→π es y ´ = 4 f (x ) = −(x + 3 )(x − 3 )2 admite un mínimo relativo en x = 3 y un máximo relativo en x = −1 F( ) V() 11B. tiene un volumen de 0. lím x→2 x 2 − 3x =1 x 2 − 5x + 6 F() 5B.064 m3. para la tapa y el fondo $12. Los valores de a y´ b que permiten que la función 2x + 1  f (x ) ax 2 + b 3x  si 0 < x < 3 si x ≥ 3 ( n) V() F() V() F() V() F() V() La derivada para la función: y= 9B. está elaborado con un material que cuesta. lím x →∞ (4 − x )(x − 2) = ∞ F() 6B. 28 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD . 2 Determinación de una sucesión 1.3 Sentido de variación de una sucesión.5 Sucesiones que convergen a cero diferencial 1.UNIDAD Sucesiones y sus límites 1 Contenido 1.8 Sucesiones formas indeterminados 29 .6 Sucesiones convergentes 1.1 Las sucesiones 1. Sucesiones monótonas 1.4 Progresiones 1.7 Sucesiones divergentes Cálculo 1. UNAD .30 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 31 Cálculo diferencial Matemática Teórica Conceptualización tiene Superiormente Inferiormente Decrecientes Acotadas Crecientes Monótonas gentes tal como Clasificación tiene SUCESIONES Propiedades Teoremas Convergentes Diver- Menos infinito Más infinito MAPA CONCEPTUAL Aritméticas Propiedades Geométricas Progresiones pueden ser . 32 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD Identificar los principios y características de las sucesiones. . Hallar los primeros términos de una sucesión, a partir de su término general, dado el (o los) primer (os) término (s) de una sucesión, y la relación de recurrencia . Hallar el término general, en caso de ser posible; o aún, dados los primeros términos de una sucesión, hallar una sucesión que se ajuste a estos términos. . Determinar el sentido de variación de una sucesión, su período (si existe), una cota superior y una cota inferior (si existen). . Hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones aritméticas y determinar sus características: su diferencia común, su primer término, la suma de sus n primeros términos y su sentido de variación. . Hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones geométricas y determinar sus características: su razón común, su primer término, la suma de sus primeros términos y su sentido de . diferencial variación. Indicar, dadas varias sucesiones, cuáles de ellas convergen. . Cálculo OBJETIVOS . Indicar, dadas varias sucesiones, cuáles de ellas divergen. 33 34 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD 1.1 Las sucesiones 1.1.1 Introducción Como tendremos la ocasión de verlo a lo largo de la unidad, las sucesiones nos resultan de gran utilidad práctica, en particular cuando trabajamos con datos relacionados con el crecimiento de la población mundial, el aumento del consumo de electricidad, o el incremento de un capital en función del tiempo. En Ingeniería, Administración y otras áreas también se nos presentan aplicaciones, que podemos manejar mediante el concepto de sucesión. Veamos un ejemplo. Para efectuar un control microbiológico de un alimento, tomamos una muestra en la que hallamos 100 bacterias por mililitro (Escherichia Coli); denominamos por t0 el tiempo inicial de incubación. Sabemos que la población de la Escherichia Coli se duplica en un intervalo de tiempo de 20 minutos ( t1 = 20 minutos). Si mantenemos las condiciones favorables, ¿cuántas bacterias podríamos esperar al cabo de 40 minutos ( t2 = 40 minutos)? ¿al cabo de 60 minutos (t3 = 60 minutos)?...¿al cabo de 2 horas (t6 = 120 minutos)? Designemos por unel número de bacterias al cabo de un tiempo tn. Podemos ver con facilidad que: si n = 0, t0 = 0, u0 = 100 si n = 1, t1 = 20, u1 = 2u0 si n = 2, t2 = 40, u2 = 2u1 si n = 3, t3 = 60, u3 = 2u2 si n = 4, t4 = 80, u4 = 2u3 si n = 5, t5 = 100, u5 = 2u4 u5 ⇒= 2 (1600) = 3200 si n = 6, t6 = 120, u6 = 2u5 u6 u1 ⇒= 2 (100) = 200 u2 ⇒= 2 (200) = 400 u3 ⇒= 2 (400) = 800 u4 ⇒= 2 (800) = 1600 diferencial ⇒= 2 (3200) = 6400 Al cabo de 40 minutos podríamos, por lo tanto, esperar 400 bacterias por mililitro; al cabo de 60 minutos, 800 bacterias por ml.; alcabo de 2 horas 6400 bacterias por ml. Cálculo Tenemos además la ocasión de observar un fenómeno muy interesante; al conjunto 35 de números naturales {0, 1,...n...} le asociamos un conjunto de números reales {100, 200, 400, ... un}. Este último conjunto recibe el nombre de sucesión. ¿Qué es entonces una sucesión? 1.1.2 Definición de sucesión . Sea a un número natural . Sea I el conjunto: I = {a, a +1, a + 2,...}; para a = 1, 2, 3, ... . Una sucesión es una función de I en los números reales. Para referirnos a la imagen u(n) del número natural n, escribirmos simplemente un . El número real un es un término de la sucesión . El número real ua es el primer término de la sucesión Representamos la sucesión por medio de la notación {u n } n ≥a Cuando no hay ambigüedad posible acerca del primer término de la sucesión, en particular cuando a = 0, escribimos: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD {u n } = {un } n ≥0 Así por ejemplo, en el caso anterior en el cual a era igual a cero y teníamos I = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } Tenemos ahora otro ejemplo. Podemos expresar la sucesión U definida (para todo natural no nulo n) por la expresión u n = 1 , en la forma siguiente: n 1   1 1 1  U=  = 1, ... ...  n  n≥1  2, 3, n,  36 Puesto que: si n =1 u = 1 1 = 1; si n = 2, 1 u2 = 1 1 ; si n = 3; u3 = 2 3 También podríamos haber escrito en forma más sencilla, puesto que el término no está definido para n = 0 1  U=   n n ≥0 En forma similar, para la sucesión U definido por la expresión un = 1 n (n − 1) (n − 2) : podríamos escribir:   1 1 1  1 1 U= = , , ...,    n (n − 1 ) (n − 2 )  n≥ 3  6 24 6, n (n − 1 )(n − 2)  n ≥3 1.2 Determinación de una sucesión Determinar una sucesión consiste en dar una "regla" que permita hallar sus términos. Existen varias formas de hacerlo: a) Podemos disponer de una fórmula que nos permita calcular directamente la imagen de todo natural n por la sucesión U, reemplazando n por su valor. Es así como,por ejemplo, la sucesión U definida por mente determinada. {u n }=  2n1   n > 0 está perfecta- Podemos obtener sus primeros términos reemplazando n en la fórmula general por los 1 1 si n = 2, u 2 = = 2 (2 ) 4 Cálculo 1 1 si n = 1, u = = 1 2 (1 ) 2 diferencial valoares 1, 2, 3, 4, ... hallando 37 si n = 3, u3 = 1 1 = 2 (3 ) 6 1  1 1 1 1  =  , , ,... ,...   2 n 2 4 6 2 n  n >0   {u n }n >0 =  b) Podemos calcular el término u n en función de términos anteriores (como u n-1, u n-2 ,...). en este caso, el conocimiento de los primeros términos de la sucesión nos permite ____ siguientes ___ calcular los términos de la sucesión, uno por uno. Conocemos entonces la sucesión por recurrencia. La fórmula que nos permite hallar un en función de términos anteriores es una "relación de recurrencia". Ejemplo 1 Esta era precisamente la situación planteada en la introducción. Partiendo de un número inicial u 0 = 100 bacterias por mililitro, sabíamos que la población se duplicaba al cabo de un intervalo de tiempo de 20 minutos; por lo tanto, para un natural n comprendido entre 0 y 6, podíamos escribir que un término u n u n −1 o sea: un = 2 un − 1 de la sucesión era el doble del anterior (0 < n ≤ 6 ) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD Empleando el valor inicial u 0 podíamos hallar la expresión general para, u n , puesto que: 38 Si n = 0, t 0 = 0, Si n = 2, t Si n = 3, t Si n = 4, t 4 = 80 , y en general u u 0 = 100 Si n = 1, ( t1 = 20, ) 2 = 40, 2 u = 2 u = 2 2u = 2 u 2 1 0 0 3 = 60 , u n n =2 u 3 = 2u 2 3 = 2  22 u  = 2 u 0 0  4 u 4 = 2 u 3 = 2  23 u 0  = 2 u 0   0 u1 = 2u 0 Ejemplo 2 Tenemos una sucesión definida por su término inicial u 0 = 3 y la relación de recu3 rrencia u n +1 = u n . Deseamos hallar los primeros términos de dicha sucesión, así 5 como el término general u n , sí es posible, en función de n. Partimos de u 0 = 3 ; de acuerdo con la relación de recurrencia: 3   3 u1 =   u 0 = 3   5   5 Proseguimos: Luego: 3 3  3 3 u = 3 = 3   5 1 5   5   5 u3 = 3 2 3  3 3 3  u 2 =  3    = 3   5 5  5  5    u4 = 3 3 u = 5 3 5 n Generalizando: Ejemplo 2 u2 =  3 3 3   =   5      3  3 u n = u0   = 3   5    5 3  3  5  4 n 3 rrencia u n +1 = u + ( 3π − 1 ) u 0 = − 5 , y la relación de recu. Deseamos hallar los primeros términos de dicha sucesión, diferencial Tenemos una sucesión definida por su término inicial así como el término general u n , sí es posible, en función de n. Cálculo Partimos de u 0 = −5; entonces u1 = u0 + ( 3 π − 1 ) = − 5 + ( 3π − 1 ) 39 Proseguimos: u 0 = −5; entonces u1 = u0 + ( 3 π − 1 ) = −5 + ( 3π − 1 ) u 2 = u1 + ( 3π − 1 ) = (− 5 + (3π − 1 ) ) + ( 3 π − 1 ) = − 5 + 2 ( 3π − 1 ) u 3 = u 2 + ( 3π − 1 ) = (− 5 + 2 (3π − 1 ) ) + ( 3 π − 1 ) = −5 + 3 ( 3π − 1 ) u 4 = u 3 + ( 3 π − 1 ) = (− 5 + 3 (3π − 1 ) ) + ( 3π − 1 ) = −5 + 4 ( 3 π − 1 ) Generalizando: u n = u0 + n ( 3π − 1 ) = −5 + n (3 π − 1 ) Ejemplo 4 Tenemos una sucesión definida por su término inicial recurrencia u n +1 = 6 − un . Deseamos hallar los primeros términos de dicha cha sucesión, así como el término general Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD Entonces u 0 = 0, u1 = u 0 = 0 , y la relación de 6 − u0 = 6 − 0 = u2 = 6 − u1 = 6− 6 − u0 = u3 = 6 − u2 = 6− 6− 6 u4 = 6 − u3 = 6− 6− 6− un en función de n, si es posible. 6 6− 6 6 ¿Qué observamos? en este caso ya no nos resulta tan fácil expresar el término general un en función de n y u0. No siempre podemos expresar en forma sencilla el término general en función de n y nos resulta entonces, más práctico emplear la relación de recurrencia. c) Dados los primeros términos de una sucesión, también podemos hallar el término nésimo de dicha sucesión, si suponemos que las propiedades comprobadas a partir de los primeros términos siguen siendo válidas para los términos no escritos. 40 Ejemplo 5 Supongamos que disponemos de los primeros términos de la sucesión: { un }= { − 2 ,4, − 8,16 ,... } ¿Qué observamos? Podemos escribir: (− 2 ) = ( − 2 )1 4 = ( − 2 )2 ; − 8 = ( − 2 )3 ;16 = ( − 2 )4 . Si suponemos que la relación se mantiene para todos los otros términos de la sucesión, podremos tomar como n-ésimo término de n esta sucesión: u n = ( − 2 ) . Por lo tanto, una posible sucesión equivalente sería: { un } = {− 2,4 ,...,( − 2)n ,...}n ≥1 Ejemplo 6 Examinemos ahora otro caso. Disponemos de los primeros términos de una sucesión { w n } =  1 , 2 , 3 ,...  y deseamos hallar el n- ésimo término de dicha 2 3 4  suce-sión, bajo la suposición de que la propiedad observada para los primeros términos sigue siendo válida para los demás términos no escritos de la sucesión. Observamos entonces los primeros términos y notamos que son fracciones cuyo denominador es igual al numerador incrementado en uno (1); por lo tanto podemos n tomar como n- ésimo término : w n = . Por lo tanto, una posible sucesión equin +1 valente sería: diferencial 2 3 4 n  ...  n + 1  n≥1 Cálculo { un } =  1 , 2 , 3 ,..., 41 Ejercicio 1. 1 ... 4. . {u n } = {1. un = un . 1 1    2 5 10 17  .  5.. 5. 5. 1.99 n }n ≥1  2  n≥0 2. con base en la relación de recurrencia dada y con el primer término de dicha sucesión.. v n = 3v n−1 . {v n } =  1 .1 En los ejercicios del 4 al 6. en . hallar el término general un de cada sucesión. ..ésimo término de cada sucesión. { wn }= {0.9 . . { vn } =    2 22 32 42 . v 0 = 2 . calcular los seis primeros términos de cada sucesión.. {u n }=  3    (n − 4 )  n ≥ 5 función de n. con base en los primeros términos.   8.En los ejercicios del 1 al 3. y suponiendo que las propiedades comprobadas para Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.hallar el n.1 + 3. u n = 1 u n −1 u0 = 1 5. } 9. u0 = 2 En los ejercicios 1 del 7 al 9.3..UNAD dichos términos siguen siendo válidos para los sucesivos: 42 7.   5. { un }=  n (n + 1)  3. 6. 000 habitantes. El primero de enero de 1983. tales como el sentido de variación de la sucesión.000 habitantes. y una disminución de la población rural del orden del 3% anual. la población urbana de una zona del país era igual a 5´850. puede ser de gran utilidad para nosotros. Prevemos que en dicha zona se presentará durante la próxima década un aumento de la población urbana del orden del 5% anual. Sucesiones monótonas El estudio de ciertas características de una sucesión. 43 . examinamos un ejemplo que nos permita visualizar mejor lo que ocurre. Expresar un y´ vn en función de n ´ en función de u n y v n +1 en función de diferencial Expresar u n +1 Cálculo 1. Antes de definirlas formalmente. disminuir o permanecer en el mismo valor? ¿Vuelven a adquirir los términos de una sucesión dada valores que ya habían tomado anteriormente? ¿Hay acaso valores los cuales son siempre menores que cada uno de los términos de una sucesión? ¿Hay acaso valores los cuales son siempre mayores que cada uno de los términos de una sucesión? Debido a ello nos conviene conocer y analizar dichas características. Si designamos por un la urbana y por v n la rural previstas para el primero de enero del año (1983 + n). 2.1. en tanto que la población rural era igual a 3´250. su eventual periodicidad.3 Sentido de variación de una sucesión. la posible existencia de cotas. permitiéndonos contestar preguntas del tipo: ¿Presentan los términos de una sucesión una tendencia a aumentar. Si el aumento es del orden del 5% anual.97)2 v0) = (0. Veámos la solución: 1) Consideremos la población urbana. representada por v n para el primero de enero del año (1983 + n). u0 = 5´850. v0 = 3´250. Calcular los valores de las poblaciones urbanas y rurales previstas para la próxima década y representarlos gráficamente.05 u0) = (1. de enero de 1984).97)3 v0 y en forma general: v n = 44 : ( 0.05)3 u0 n En general: u n = ( 1. (1°.000 y v 0 = 3´250.97 (0. de enero de 1984).97v0) = (0.97v0 n = 2. (1°. v3 = 0. (1°.05u2 = 1.05)2 u0 n = 3.03 v n ⇒ v n +1 = 0.05 (1.97 )n v 0 para 0 < n ≤ 10 .05 (1.05u n En forma similar para la población rural. conocemos hasta ahora las sucesiones rrencia.05u1 = 1. (1°. (1°.05)2 u0) = (1. u3 = 1. de enero de 1985).05u0 n = 2.3. podemos escribir: v n +1 = v n − 0 . 05 un ⇒ u n +1 = 1 . y con una disminución del orden del 3% anual. (1°. u2 = 1.000 n = 1.05 ) u 0 Pasemos ahora a la sucesión para 0 < n ≤ 10 {v n } . de enero de 1986). En forma similar n = 0.97)2 v0 n = 3.000 ) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. de enero de 1985). v1 = 0. (1°.97 = (0. 97 v n Con lo anterior. entonces: u n +1 = un + 0.UNAD Examinemos la sucesión { un } n = 0. queremos determinar u n y vn explícitamente en función de n ( sabiendo que : u 0 = 5´850. de enero de 1983). representada por un para el primero de enero del año (1983 + n). (1°. 2) {un } y´ {vn } por recu- A partir de la fórmula de recurrencia. v2 = 0. u1 = 1.000 n = 1. de enero de 1986). de enero de 1983). n AÑO POBLACIÓN URBANA POBLACIÓN RURAL 0 1983 5850000 3250000 1 1984 6140000 3150000 2 1985 6450000 3060000 3 1986 6770000 2970000 4 1987 7110000 2880000 5 1988 7470000 2790000 6 1989 7840000 2710000 7 1990 8230000 2630000 8 1991 8640000 2550000 9 1992 9080000 2470000 10 1993 9530000 2400000 1. Para 0 ≤ n ≤ 10.antes n de ver la definición formal. y además. reemplazando en dichas expresiones.3. la población urbana crece continuamente. por ejemplo.1. y como es obvio el modelo propuesto es forzosamente impreciso. 45 . Cálculo 2. 1.3 sino u3 ≅ 6770000). cada término de la sucesión es menor que el término anterior. (Es necesario tener en cuenta que los resultados deben ser números enteros. no tiene sentido escribir resultados con más de 3 cifras significativas. cada término de la sucesión es mayor que el término inmediatamente anterior: Se comprueba que u n +1 > u n diferencial Para 0 ≤ n ≤ 10.1 Sentido de variación de una sucesión ¿Qué podemos notar al observar dichas sucesiones? (Las del ejemplo). dado que los datos fueron suministrados con 3 cifras significativas. Por lo tanto v n+1 < v podemos apreciar este fenómeno en la figura 1. no escribiremos (u3 = 6772106.3) A partir de las expresiones explícitas podemos hallar fácilmente los valores requeridos. la población rural disminuye continuamente. 1 gráfica para la población urbana y rural en el ejemplo considerado. SUCESIÓN CRECIENTE: una secesión { un }n ≥a es creciente a partir de n0 si y sólo si. para todo natural mayor o igual que n0 se cumple Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. cada término era mayor que el término inmediatamente anterior (0 < n ≤ 10). habíamos notado que dicha población crecía continuamente.+ + x + + x x + x + x + + x x + x + x + x + x FIGURA 1. para todo natural mayor o igual que no se cumple u n +1 ≥ u n Nota: una sucesión { un }n ≥a será estrictamente creciente a partir de n0 si y sólo si. se comprueba que: u n +1 > u n 46 . la gráfica tenía una tendencia ascendente.1 La población urbana está notada con + La población rural lo están con x Figura 1.UNAD u n +1 > u n Ejemplo 1 En el caso de la población urbana expuesto anteriormente. 05 )n u 0 = ( 0 . examinemos el signo de la diferencia un +1 − u n . diferencial ( 3π − 1 ) > 0 Cálculo Pero.De acuerdo con la rela- ción de recurrencia.05 ) ( 1 . Ejemplo 2 Demostremos que la sucesión { un } = {3n 2 + n + 70 } es creciente. un +1 − u n = ( 1 . podemos escribir: un +1 − u n = u n + ( 3π − 1 ) − u n = 3π − 1 asegurar que la sucesión entonces u n +1 − u n > 0 ⇒ u n +1 > 0 {un } con lo cual podemos es creciente.Puesto que. 3 { un } definida por su término inicial u0 = . Con éste fin exami- nemos el signo de la diferencia: u n +1 − u ⇒ u n +1 − u =  3 ( n + 1)2 + ( n + 1 ) + 70 n n   −  3n2 + n + 70  = 6n + 4     { Podemos entonces asegurar que la sucesión { un } = 3n 2 + n + 70 Ejemplo } es creciente.5 y por la u n +1 = u n + ( 3π − 1 ) ? ¿Es o no creciente la sucesión relación de recurrencia Para saberlo.05 )n + 1 u 0 − ( 1 .05 )n u 0 > 0 Podíamos entonces asegurar que dicha sucesión era creciente. dado que 47 . . 5 Tomemos otro caso. se cumple que: Nota: una sucesión {u n+1 }n≥a u n +1 ≤ u n será estrictamente decreciente a partir de n0 si y sólo si. .. puesto que: v n +1 − v n = ( 0. se comprobaba que v n +1 < v n .  n  2 3 4 n ≥1 Observamos que cada término es menor que el inmediatamente anterior.97 )n v 0 = − 0.. y al cabo de 10 años. 03 ( 0.. la gráfica tenía una tendencia descendente. cada término de la sucesión era menor que el término inmediatamente anterior.SUCESIÓN DECRECIENTE: una sucesión {u n+1 }n≥a es decreciente a partir de n0 si y solo si... .UNAD Ejemplo es estrictamente decreciente.. era tan sólo de 2´400. para todo natural mayor o igual que n0 se cumple que: u n +1 < u n Ejemplo 4 Volvamos al caso de la población rural expuesto anteriormente.000 habitantes).000 habitantes.habíamos notado cómo dicha población disminuía continuamente (inicialmente era de 3´250.97 )n v 0 < 0 Podemos entonces asegurar que la sucesión de la población rural definida por: { v n } = {( 0. . para todo natural mayor o igual a . Examinemos la sucesión {u n }= {1/ n }n ≥1 1  1 1 1   1..97 )n + 1 v n − ( 0.97 )n v 0 }0< n≤10 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Decimos que esta sucesión es estrictamente decreciente porque en forma general podemos escribir que: un + 1 < un 48 . La sucesión será estrictamente decreciente.u = ⇒ u n + 1 − un = − n n +1 n +1 n n +1 Hacemos común denominador 1 1 n −( n +1 ) −1 un + 1 − un = − = = n n ( n + 1 ) n ( n +1) n +1 Dado que: n > 0 y n +1 > 0 ⇒ n(n +1 ) > 0 ⇒ −1 <0 n( n +1 ) Por consiguiente: un + 1 − un < ⇔ un + 1 < un Ejemplo 6 { } ¿Será posible afirmar que la sucesión u n definida por su término inicial u 0 = − 5 y por la relación de recurrencia: u es decreciente? ¿Por qué? n + 1 = un − 2 + 3 ( ( Examinemos el signo de la diferencia u n + 1 − u n ) ) De acuerdo con la relación de recurrencia: ( un + 1 − un = un − ( 2 +3 ) )− un = − ( Podemos entonces asegurar que la sucesión ) 2 + 3 < 0 ⇔ un + 1 < un {un } es estrictamente decreciente. para todo natural mayor o igual que n0 se cumple Cálculo que: u n +1 = u n 49 . si y sólo si. { un }n ≥a es constandiferencial SUCESIÓN CONSTANTE O ESTACIONARIA: una sucesión te o estacionaria a partir de n.Demostrémoslo: un = 1 1 1 1 . Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.. ya visto. se denomina sucesión estrictamente monótona.UNAD o bien decreciente. = entonces 3 2 SUCESIÓN MONÓTONA: una sucesión es monótona a partir de n0. puesto que es estrictamente creciente para todo valor de n comprendido entre cero y diez..Ejemplo 7 La sucesión { v n } = que u n +1 = u n {( − 1)2n } 2n Dado que: u n = ( − 1) Ejemplo es constante puesto que para todo natural n se cumple ( 2 n +1 = 1 y u n +1 = ( − 1) ) = ( − 1)2 (n + 1) = 1 8 La sucesión  3 cos (n π)  2 { v n } =     es constante puesto que para todo natural n se cumple que u n +1 = u n Dado que: 3 3 cos n π = y 2 2 3 3 cos [ ( n + 1 ) π ] = 2 2 u n = u1 = u2 = . un = u n +1 = . si es creciente. podemos decir que se trata de una sucesión estrictamente monótona. Ejemplo 9 Volviendo nuevamente al caso de la población urbana.. Una sucesión monótona cuyos términos consecutivos sean diferentes. 50 .. es una sucesión oscilante. como lo habíamos visto.1.acercándosecadavezm ásadichovalor. 1 . 51 . Ejemplo 11 La sucesión correspondiente a la población rural ya vista.03 . La sucesión { v n } = {sen ( n ) } La sucesión { un } es otro ejemplo de una sucesión que no es monótona..00 . puesto que sus términos oscilan entre el - valor 1 y el valor 1. son por consiguiente estrictamente monótonas. 2. − 1. ni decreciente. 1..88 ..} no es monótona. son estrictamente crecientes. 2 . 2 .cuyosprim erotérminos son{:0 . por ejemplo la sucesión { un } = {( − 1)n } = { w n } = {1. } es otroejem plodeunasucesiónnomonótona.. definida por el término inicial u 0 = 0 yporlarelaciónderecurrencia .99.45..Ejemplo 10 Las sucesiones { v n } = {n + 1 } y { w n }= {3n 2 + n + 70 } que. puesto que no es creciente. − 1. que era estrictamente decreciente también es estrictamente monótona.puestoquenoesnicrecientenidecreciente. Tenemos que ver sin embargo que una sucesión puede no ser monótona.sus u n +1 = 6 − un Cálculo diferencial térm inososcilanalrededorde2. Demostrar que la sucesión definida por Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Demostrar que la suecesión definida por 2.2 a) . { un } =  4. c) Justificar con base en el signo de la diferencia (un + 1 = un ) en el caso que sea monótona.En los ejercicios propuestos a continuación (1 a 9) Calcular los cinco primeros términos de cada sucesión.UNAD mente decreciente. n   2 n +1   { un }= {5 (−1 )n } 1. - 52 3. mente creciente. { v n }=  n    n +1  n   n  +1  { v n } =  n    2n  { un } =  es estricta- es estricta- Ejercicio 1. decreciente. 5. o no monótona. b) Indicar si la sucesión propuesta es creciente. si S es acotado por encima. 53 .1. a > 0. además por la ley clausurativa podemos elegir el número a en tal forma que (r + a) ∈Q entonces debemos llegar a la conclusión que Cálculo siempre tendremos un elemento de los racionales tal que sea mayor que la cota que proponemos y por lo tanto el conjunto de los racionales no es acotado por encima. ( S s1 s2 s3 . decimos que r es la mínima cota superior si: ´ 1) r es cota superior para S y 2) r ≤ t para todo t que sea cota superior de S Ilustramos estos conceptos con unos ejemplos. sus correspondiente concepto de cota superior y de cota inferior. . también es cota superior..2 Sucesiones acotadas 1. Lo demostraremos en la siguiente manera: diferencial Supongamos que r es una cota superior para Q.3. decimos que S es un conjunto acotado por encima.2. s4 sn−1 ] R r De especial interés para nuestra construcción de esta parte es el concepto de mínima cota superior. Ejemplo 1 El conjunto de los números racionales (Q) no tiene cota superior. y r es una cota superior. para ello tomemos el conjunto S ⊂ R.1 Cotas Por conveniencia recordamos el concepto de conjunto acotado y el de cota. Supongamos que tenemos un conjunto S el cual es un subconjunto del conjunto de los números reales (R). entonces por definición de cota superior r + a. si logramos hallar un número real r tal que para cualquier elemento s de S se cumple que s ≤ r.3. Empezamos por definir lo que es un conjunto acotado por encima y luego el que lo es por debajo y. entonces. 0. De la parte (a) cero es una cota superior.Ejemplo 2 El conjunto S = {r ∈ Q r ≤ 0} tiene cotas superiores y por ende tiene una cota superior. en nuestro caso. a) Sí tomamos un número t tal que 0 ≤ t. Por lo tanto.4 es cota superior porque para cualquier s ∈ S. 0. entonces t es la máxima cota inferior si: 54 . 1. 1/2. (Recordemos 0 . también 0. Ahora supongamos que t es cualquier otra cota superior.3 los decimales periódicos).3 es igual a 1/3 (0 . Ejemplos de cotas superiores para el conjunto en cuestión serían 0. Sin embargo. es decir. Obviamente que también se nos presenta el concepto máximo cota inferior. todo número no negativo es una cota superior para S.3. Evidentemente vemos que el conjunto es acotado por encima. t ≤ s. la cual es la mínima superior. 1023. es decir. Entonces 0 ∈ S y por esto 0 ≤ t . b) Cero es la mínima cota superior para S. etc.333. 1000000. 1/3 es mayor o igual. Supongamos que podemos hallar un t el cual es siempre menor o igual a cualquier elemento s ∈ S.1.. la mínima cota superior es 1/3 porque para cualquier elemento de S. Ahora veamos el concepto cota inferior de un conjunto S ⊂ R. Demostración: remitiremos al conjunto de los racionales en donde hallaremos que ) ) significa que el número 3 se repite indefinidamente). cero. } hallarle algunas cotas superiores y la mínima cota superior.UNAD positivo es cota superior. entonces decimos que el conjunto S es acotado por debajo y t es una cota inferior. Ejemplo 3 Consideremos el conjunto S = {0.33. como r ≤ t para r ∈ S.. además cualquier entero Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. la mayor de todas las cotas inferiores. s ≤ 4 . tenemos que r ≤ t para cualquier r ∈ S. 0. por lo cual cero es la mínima cota superior de S por la definición.. decimos que es acotado.1) t es cota inferior para el conjunto S y 2) t ≥ r para todo r que sea cota inferior de S. Un conjunto S que es acotado por encima y por debajo.000 y por lo tanto v n ≤ M .2. Ejemplo 4 El conjunto de los números naturales N es acotado inferiormente porque cualquier entero negativo es cota inferior. Con esto creemos estar preparados para abordar el tema de las sucesiones acotadas que a continuación trataremos. 55 .2 Sucesiones acotadas superiormente Regresemos rápidamente a nuestro ejemplo de la población rural. los valores de la población eran siempre menores o iguales diferencial Para 0 ≤ n ≤ 10 que M = 3´250. porque como ya vimos no es acotado por encima y por lo tanto los negativos tampoco tendrá cota inferior.000 . y que dicha Cálculo sucesión es acotada superiormente.3. Decimos que M es cota superior de la sucesión de la población rural. ¿Qué otro fenómeno podemos observar? . Ejemplo 5 El conjunto de los números racionales no es acotado inferiormente. 1. comprobamos que v n ≤ 3´250 . u 4 = − 15 b) Como notamos que los términos de la sucesión parten de u 0 = 5 y van decrecien- do paulatinamente. Ejemplo 1 Tomemos otro caso. determinemos el signo de la diferencia ( ) un − 5 = − n2 − n + 5 − 5 = n2 − n 56 ( un − 5 ) . si y sólo si. una cota superior a) u 0 = 5. para todo natural n ≥ 2 se verifica que u n ≤ M  n −1  Demostrémoslo: examinemos el signo del a diferencia u n − M un − M = n n − 2n + 2 −n + 2 −2 = = n −1 n −1 n −1 ∀n ≥ 2 − n + 2 ≤ 0 y n − 1 > 0 ⇒ Ejemplo 2 Dada la sucesión definida por Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. u3 = − 7.¿Qué es entonces un sucesión acotada superiormente? Una sucesión { un }n ≥a es acotada superiormente. tomamos M = 5 como una posible cota superior. si es posible. u2 = − 1. u1 = 3. Decimos que M = 2 es una cota superior de la sucesión {u n }=  n  n ≥2 puesto que. existe un número real M tal que para todo natural n del conjunto I se cumple que u n ≤ M M es una cota superior de la sucesión. .UNAD −n + 2 n ≤ 0 ⇔ ≤ 2 ⇔ un ≤ M n −1 n −1 { un } = {− n2 − n + 5 } a) Calcular los cinco primeros términos de la sucesión b) Hallar. Para asegurarnos de que esto sea cierto. existe un número real m tal que. Ejemplo 1 En el ejemplo referente a la población urbana. se cumple que: un ≥ m El número real m es una cota inferior de la sucesión. u n ≥ 5´850 .000.000 es una cota inferior de la sucesión. cualquier número menor que m también es cota inferior. sí y sólo si.3 Sucesiones acotadas inferiormente Una sucesión { un }n ≥a es acotada inferiormente. Cálculo Evidentemente. para todo natural n (n ∈ I). puesto que: ∀ n ≥ 2 un − M = 5 n2 −5 =  5   admite al número real M = 5 como una  n 2  { un } =  5 − 5n 2 n2 ≤0 1.000 . esto es. diferencial Podemos entonces decir que m = 5´850.( ) Pero dado que: n 2 − n ≤ 0 ⇔ un − 5 ≤ 0 ⇔ un ≤ 5 Por consiguiente. 57 .2. habíamos comprobado que dichos valores eran siempre mayores o iguales que 5´850. sí podemos tomar M = 5 como una cota superior de la sucesión { un } = {− n 2 − n + 5 } Ejemplo 3 La sucesión { un } definida por cota superior de la sucesión.3. n  − 1  n >1 {u n } =  Demostración. u5 = 3 2 5 b) Com o vem os que los térm inos de la sucesión parte de u1 = 4 y van decreciendo paulatinamente. u3 = . acercándose a 2. si es posible. Evidentemente el signo de la diferencia( un − m ). tomemos m = 2 como una posible cota inferior (recordemos que u1 = 4 > 2). para todo natural n > 1 se cumple que: u n ≥ m. u 2 = 3. u 4 = . Examinemos el signo de la diferencia ( u n +1 − 2 ) u n +1 − 2 = 4u n − 4 4u n − 4 − 2u n 2 un − 4 2 ( un − 2 ) −2 = = = un un un un ¿Qué vemos? La diferencia ( u n +1 − 2 ) ( u n +1 − 2 ) 58 tiene el mismo signo que la diferencia puesto que para todo n. Decimos que m = 0 es una cota inferior de la sucesión n   puesto que. Solución: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. b) Hallar. una cota inferior.Ejemplo 2 Tomemos ahora otro caso. . con m = 0 un − m = n n − 0= n −1 n −1 n y dado que: ∀ n > 1 ≥ 0 ⇔ un − m ≥ 0 ⇔ un > m n −1 Ejemplo 3 Dada la sucesión recurrencia { un } definida por un término inicial u1 = 4 u n +1 = y por la relación de 4 (u n − 1 ) un a) Hallar los cinco primeros términos de la sucesión. u n > 0 .UNAD 8 5 12 a) u1 = 4. u n − 2 = 4 − 2 > 0 b.3. cuando admite una cota superior M y una cota inferior m. M = 2 es una cota superior de dicha sucesión y m = 0 es una cota La sucesión {u n } = inferior de la misma sucesión. ( un − 2 ) > 0 ⇒ u n +1 − 2 > 0 . Por consiguiente hemos mostrado por inducción que la sucesión { un } admite al real m = 2 como una cota inferior. (Cualquier real menor a dos también es cota inferior).2. en otras palabras.4 sucesiones acotadas Una sucesión es acotada cuando lo es superiormente e inferiormente. {u n }=  5    n 2  n ≥1 diferencial 2 es acotada.O sea. ∀ La sucesión { un } definida por todo n ≥ 1 : 0 < u n ≤ 5 . puesto que de acuerdo con lo expuesto    n −1  anteriormente. ( un (la propiedad es cierta para n = 1) − 2 ) > 0 ⇒ ( u n +1 − 2 ) > 0 (si la propiedad es cierta para n también lo es para n + 1). es decir. se cumplirá entonces para todo natural n ∈ I : m ≤ un ≤ M un ≤ M1 . También es posible dar la condición como Ejemplo 1  n  es acotada. con M1 un número real. 1.puesto que para Cálculo Ejemplo n ∈ I m ≤ un ≤ M 59 . S e c u m p l e n d o s c o n d i ciones: a. Ejemplo 3 La sucesión defindia por u1 = 4 y por la relación de recurrencia 4 ( un −1 ) es una sucesión acotada. u n +1 = Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD ∀n 60 2 ≤ un ≤ 4 . y por cota inferior m = 2 o sea. puesto que admite como cotas superior un cualquier número real mayor igual que M = 4. n ≥1 { un } =   1   2   n +1  admite a m = 5 como diferencial Demostrar que la sucesión Cálculo 4. si las tienen.  1 /  2  n ∈ N      61 .  −7     n  n≥1 5. hallarles cotas superiores. 3n − 4  3.  n∈N   n + 1   Ejercicio 1. n +1   { un } =  ( − 1)   n 6.  2 − 6r ≤ 10   r∈Q r    Hallar la mínima cota superior para cada uno de los conjuntos siguientes: { un } =  n 2 + 3n + 5   una cota inferior. { un } = 7. 1.Para los subconjuntos de los racionales que a continuación se proponen.3  n  2. ¿cuánto habrá ganado el señor X al cabo de 5 años? 2. con el fin de que. Podemos ver que: 62 si n=0 u0 = 0 si n=1 u1 = u0 + 10000 (0.25) = 7500 si n=4 u4 = u3 + 10000 (0. o bien por el producto por una constante. cada año la institución le entrega al señor X los intereses correspondientes.00.25) = 2500 si n=2 u2 = u1 + 10000 (0. El señor X consigna sus ahorros en una institución financiera que le ofrece unos intereses del 25% anual.25) = 5000 si n=3 u3 = u2 + 10000 (0. El señor X decide reinvertir cada año los intereses que le paga la institución. también le reporten nuevos intereses. Ejemplo 1 1. ¿De qué suma Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Dispone inicialmente de un capital de $10000.4 Progresiones Dos tipos de sucesiones nos resultan especialmente interesantes. o bien por la suma de una constante. Estas sucesiones son la progresión aritmética y la progresión geométrica. sumados al capital.UNAD dispondrá el señor X al cabo de 5 años? 1) Designemos por un la suma de que dispondrá el señor X por concepto de intereses acumulados no invertidos al cabo de n años.25) = 10000 si n=5 u5 = u4 + 10000 (0.25) = 12500 .1. veamos primero un ejemplo antes de definirlas. Para visualizar mejor sus características. puesto que podemos deducir sus términos a partir de los anteriores. 63 .2). O sea en general: u n +1 = u n + r Esta sucesión recibe el nombre de progresión aritmética. mediante la adición de una constante r = 10000 x (0. como el que presentamos a continuación. y de r = 2500. Principio n=0 u0 = 0 No Fin n←n+1 ? n≤5 Si un+ 1 = un + r diferencial FIGURA 1. Lo empleamos constantemente en la programación y en forma un poco modificada en el estudio del tratamiento que han de recibir en Ingeniería.2 Diagrama de flujo para la parte 1 Sigamos su desarrollo: Definimos los valores de partida: n = 0. Podríamos resumir la secuencia de operaciones que efectuamos en un esquema muy sencillo. Este esquema recibe el nombre de diagrama de flujo (figura 1.Nos hallamos entonces frente a una sucesión muy especial. para el cálculo de los cinco primeros términos de la sucesión (posteriores a u0).25). Cálculo 1. en la que cada término se obtiene a partir del inmediatamente anterior. a partir del término u0 = 0. u0 = 0. (Los valores iniciales se representan convencionalmente dentro de bloques de forma ). 25 (10000) = 12500. que en este caso equivale a u 2 = u1 + r .06) = 30517. Comparamos el valor de n con 5. n es efectivamente menor o igual que 5.25 (12500) = 15625. (las comparaciones se representan convencionalmente mediante el símbolo no ? si si n es menor o igual que 5. posteriormente le asignamos a n un nuevo valor: su valor actual incrementado en una unidad. hasta que n sea igual a 6. Repetimos el proceso.00 si n = 2 v2 = 1. o sea 1. o sea n ← 1 + 1. Como a n le acabamos de asignar el valor 1.25 v2 = 1.25 v0 = 1. 3. Le asignamos a n su valor anterior más uno. (los cálculos se representan convencio).UNAD Para la segunda parte del problema que estamos resolviendo: 2) Designemos por vn la suma total de que dispondrá el señor X al cabo de n años de reinvertir sus intereses. 5. por ejemplo. aquí u1 = u0 + r Incrementamos el valor de n en 1 unidad. a n le asignamos por lo tanto el valor 2.25 si n = 4 v4 = 1.25 (24414. comparamos el valor actual de n con 5.25 v1 = 1.25) = 24414. Podemos ver que: 64 si n = 0 v0 = 10000. aquí.2. Por lo tanto calculamos u n +1 = u n + r . Entonces. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Efectuamos el cálculo u n +1 = u n + r nalmente por bloques de forma 4.00 si n = 3 v3 = 1. aquí n = 0 es menor que 5.58 .25v4 = 1.06 si n = 5 v5 = 1. lo que nos permite desplazarnos a la siguiente instrucción. n← 0 + 1. esto lo representamos simbólicamente como n ← n + 1.y reanudamos el proceso que ha de finalizar cuando n adquiera el valor 6.25 (19531.25 (15625) = 19531. realizamos el paso si- guiente.00 si n = 1 v1 = 1.25 v3 = 1. esto significa que a n le asignamos ahora el valor 0 + 1. puesto que sólo queremos calcular los cinco términos de la sucesión posteriores a u 0. en una segunda etapa. si y sólo si.4.25). para el cálculo de los cinco términos posteriores a v0. q Esta sucesión recibe el nombre de progresión geométrica. a partir de v0 = 10000 y de que = 1. 65 .25. en lo que cada término se obtiene a partir del inmediatamente anterior.3) como el que presentamos a continuación.3 Diagrama de flujo para la parte 2 1.multiplicándolo por un término constante q (q = 1. se cumple que: Cálculo u n +1 = u n + r El número r recibe el nombre de diferencia común de la progresión aritmética.1 La progresión aritmética { un }n ≥a recibe el nombre de progresión aritmética. para diferencial Una sucesión todo natural n mayor o igual que a. O sea v n +1 = v n . Principio n=0 v0 = 10000 No Fin ? n≤5 n←n+1 Si vn+ 1 = vn q FIGURA 1.Nos hallamos frente a otra sucesión muy especial. Podríamos también resumir la secuencia de operaciones que efectuamos en un diagrama de flujo (figura 1. 3..1) + n + S= n + (n ..25)... de los n primeros naturales. de no haber hallado Euler un método fácil e ingenioso para resolver dicha dificultad.Tal era el caso. + (n ..1) + (n .. si tenemos: si n = a + 1 ua + 1 = u a + r si n = a + 2 ua + 2 = ua+1 + r = (ua + r) + r = ua + 2r si n = a + 3 ua + 3 = ua+2 + r = (ua + 2r) + r = ua + 3r si n = a + 4 ua + 4 = ua+3 + r = (ua + 3r) + r = ua + 4r Y en general: si n = a + p u a+p = u a + p r. esta constante r = 2500 era la diferencia común de la progresión aritmética considerada. Deducíamos cada término del inmediatamente anterior.2) + (n . escribimos dos veces la misma suma: la primera en la forma convencional y la segunda.. En efecto.+ (n +1) + (n +1) 2S = n (n + 1 ) ⇒ S = 66 n (n + 1 ) 2 . + 2 + 1 2S =(n +1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +..2.UNAD términos de la sucesión { un }{1.3) + . De acuerdo con lo propuesto por él.. mediante la adición de una constante: 10000 (0. Las progresiones aritméticas constituyen un ejemplo particularmente sencillo del paso de una definición por una fórmula de recurrencia a una definición por medio de una fórmula explícita. comenzando por el último término y terminando con el primero. o sea de los n primeros Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. concluímos u n = u a + (n − a )r Generalizando: el término n-ésimo de una progresión aritmética con primer término ua y diferencia común r de la forma: u n = u a + (n − a )r Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.. Pero. A menudo tenemos que hallar la suma. }n ≥ a Nos resultaría un proceso largo y tedioso. por ejemplo de la sucesión cuyos términos eran igual a la suma de la que dispondría un señor X por concepto de intereses acumulados (no reinvertidos) al cabo de n años. S= 1 + 2 + 3 + 4 + . puesto que: a + p = n. S por ejemplo. Generalizando. + ua 2S = n [2ua + (n .. menor en 25 m a aquella recorrida durante el segundo (u3 = u1 . diferencial Si la propiedad observada sigue siendo válida. durante el quinto segundo recorrerá una distancia menor en 25 m a aquella recorrida durante el cuarto segundo.25). la segunda.25). o sea: u 5 = u4 − 25 = 25959 − 25 = 15 ..1) r) S = (ua + (n . podríamos hallar por medio de un proceso análogo la suma S de los n primeros términos de una progresión aritmética de primer término ua y de diferencia común r.1) r) + (ua + (n . y así sucesivamente. o sea: u 4 = u 3 − 25 = 15 .975 − 25 = 15950 m En forma similar. durante el segundo recorrió una distancia de u2 = 16000 m.950 Cálculo a) 67 . 15. + (ua + (n .2) r) + .000m durante el segundo. 16.. menor en 25 m a aquella recorrida durante el segundo (u3 = u 2 .1) r] 2 1 Un proyectil disparado verticalmente hacia arriba recorre 16025m durante el primer segundo.1) r] S= Ejemplo n [2ua + (n . en la forma convencional. durante el tercer segundo recorrió una distancia u3 = 15975 m.975m durante el tercer segundo. Escribimos dos veces la misma suma: la primera. comenzando por el último término y terminando por el primero: S = ua + (ua + r) + (ua + 2r) + .. podremos decir que el proyectil recorrerá durante el cuarto segundo una distancia menor en 25 m a aquella recorrida durante el tercer segundo. Si se supone que el movimiento del proyectil se ciñe a lo observado durante los 3 primeros segundo: a) b) ¿Qué distancia habrá recorrido durante el cuarto segundo? ¿durante el quinto? ¿A qué tipo de sucesión corresponden dichos datos? ¿cuáles son las características de dicha sucesión? y ¿cuál será su término n-ésimo? c) ¿Qué distancia total habrá recorrido al cabo de 12 segundos? Solución: El proyectil recorrió el primer segundo una distancia u 1= 16025m. corresponderá por lo tanto a la suma de los doce primeros términos de la progresión.4.25 Su término enésimo será de la forma: u n = u1 + (n − 1 )r = 16025 − 25 (n − 1 ) c) La distancia total recorrida por el proyectil al cabo de 12 segundos. Comportamiento de la progresión aritmética para grandes valores de n.1 Propiedades de la progresión aritmética De acuerdo con la definición de progresión aritmética u n +1 − un = r Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. entonces u n +1 − u n > 0 ⇒ un +1 − un creciente b. a una progresión aritmética de primer término u1 = 16025 y de diferencia común negativa r = . entonces: u n +1 − u n = 0 ⇒ u n +1 = u n y por lo tanto la progresión es constante. en estas circunstancias. si r = 0. 68 . reemplazando: S= 12 [2 (16025 ) + 11 (− 25 ) ] = 190650 m 2 1. dicha distancia seá entonces de: S= n [ 2ua + (n − 1 ) r ] 2 O sea.1. Si r > 0. Si r < 0.UNAD Vemos entonces. que la diferencia común r es la que define la situación: a. entonces u n +1 − u n < 0 ⇒ u n +1 − u n : cuando r < 0 la progresión es :cuando r > 0 la progresión es decreciente Ahora. por consiguiente.b) Los datos de distancia recorrida por el proyectil corresponden entonces. Si seguimos examinando la suma de lo que podría disponer el señor X. el número M tal que para todo natural del conjunto I se cumpla que: u n ≤ M. u1 = 2500 . tampoco es acotada. u 2 = 5000 . año tras año. a Efectuamos el producto y despejamos n: u a + ( n − a ) r ≤ M ⇒ nr ≤ M − ua + ar y si r > 0 ⇒ n ≤ M − ua + ar r Esta desigualdad nos restringe de hecho los valores que pueden tomar el natural n. u 4 = 10000 . Pero si. de acuerdo con la definición de sucesión acotada superiormente. una cota superior. mientras no nos detuviéramos. la progresión no está por lo tanto acotada superiormente. por concepto de intereses acumulados (no reinvertidos) al cabo de n años y de la que afirmábamos que se trataba de una progresión aritmética de diferencia común r = 2500 y de término inicial u0 = 0. ) .. u3 = 7500 . veíamos cómo. u 5 = 12500 . Podíamos entonces preguntarnos: ¿una progresión aritmética creciente de diferencia común r positiva será acotada? o bien ¿seguirán sus términos creciendo indefinidamente? Busquemos entonces. Podemos concluir que si definimos { un } = { a 0 + ( n − r )r } esta sucesión de diferen- Cálculo diferencial cia común r no es acotada.. y por lo tanto no es acotada. Se puede hacer un razonamiento similar para una progresión aritmética de diferencia común r negativa (y por tanto decreciente) y verificar que la progresión no está acotada inferiormente. y sin que se le pudiera asignar un tope. de acuerdo con la definición de progresión aritmética: u n = u a + ( n − a ) r entonces podemos escribir u + ( n − a )r ≤ M . es decir. la relación un ≤ M no se cumple para todo natural n. se iba incrementando dicha suma de dinero ( u 0 = 0. y al no serlo. 69 . hallar el número de términos incluidos en la suma y el primer término. 70 Ejercicio 1. y la diferencia común de Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. indicar si se trata o no de una progresión aritmética. 8. y sabien- do que la suma de sus 54 primeros términos es de 270.4 Para las sucesiones propuestas calcular la diferencia . 7. u n +1 − un + 6. 3.Para las sucesiones propuestas en los ejercicios 1 a 4. u n +1 = 2u n + 3. Dada la progresión aritmética { un }n ≥1 de término u1 = 0. hallar el primer término y la expresión para el término n-ésimo. de n-esimo término 6 y sabiendo que la suma de sus n. hallar su diferencia común y su primer término. { un } = { 3n + 5 } Para las progresiones aritméticas propuestas hallar rápidamente la suma de los cinco primeros términos (partiendo de u0). { un } =  3 n + 1  2  4*. { un } = { n + 3 } 7. 1. 5.UNAD dicha progresión. u 0 = 1 ( u n +1 − u n ) y dependiendo de si es constante o no. hallar su diferencia común y su término enésimo en función de n. indicar si la sucesión es una progresión aritmética. hallar el número de términos incluidos en la suma. u 0 = −3 2. Dada la progresión aritmética { un }n ≥1 de diferencia común r = 2. Cuando lo sea. Dada la progresión aritmética 6.primeros términos es igual a 150. Cuando lo sea. { un } = { n − 1 } { un }n ≥1 de diferencia común r = 4. sa- biendo que la suma de sus n primeros términos es igual a 410 y que el n-ésimo término es igual a 50. tal determinación resultaba muy sencilla. Como ya lo hemos observado. el término n .ésimo de una progresión geométrica de primer término U α y razón común q será de la forma: Cálculo u n = q (n − a)ua 71 . ua +1 = q (q u a ) = q 2u a u a+p = q p u a ( ) y si : a + p = n ⇒ u n = q n −a u a diferencial Generalizando. u3 = 2 u 2 = 2  22u 0  = 23 u 0 . u n = 2n u0   Entonces el n. Pero en general. En el primer ejemplo del capítulo. puesto que teníamos: u1 = 2u 0 . podemos afirmar: u a+2 = q. se cumple u n +1 = q.ésimo término de la progresión geométrica de razón común q.2 La progresión geométrica Una sucesión { un }n ≥a recibe el nombre de progresión geométrica si y sólo si. nuestra definición de progresión geométrica está dada por una fórmula de recurrencia. u n El número q recibe el nombre de razón común de la progresión geométrica. para todo natural n mayor o igual que a. ua . lo podemos escribir como: u1 = q n u 0 Tratemos de generalizar este proceso: Para una progresión geométrica u a+1 = q. ( ) u 2 = 2 u1 = 2 2u 0 = 22 u 0 . { un }n ≥a de razón común q.1.4. nos interesa trabajar con una expresión que nos permita hallar directamente un término un sin tener que calcular todos los anteriores. Partiendo de la progresión geométrica { un } definida por:  1.. + q n Hallemos ahora la diferencia q S .Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. + qn − 1    Lo que está en el paréntesis es la suma que hemos obtenido anteriormente. q. + q n −1 Determinemos inicialmente q. q 3 .... + q n −1ua = ua  1 + q + q2 + . entonces: u a  qn − 1    S= q −1 72 q ≠1 . S = 1 + q + q 2 + ..... siguiendo el proceso Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. que llamaremos S. q 2.S: ( q S − S = q + q 2 + q 3 + ...UNAD anterior: S = u a + q ua + q2 u a + ..... + q n −1      Supongamos que deseamos hallar la suma de sus n primeros términos. + q n − 1 + q + q 2 + . + q n −1 Por consiguiente: ) S (q − 1 ) = q n − 1 Despejamos a S: S = qn −1 q ≠1 q −1 Se puede generalizar este proceso a la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica de razón q y de primer término ua (q ≠ 1) .. S q S = q + q 2 + q 3 + . 2 .  2  2 2  de razón común q = 1/2 y de término inicial ua = 3. unimos los puntos medios del segundo cuadrado..Ejemplo 1 La suma de los n primeros términos de la progresión geométrica { un } =  3 3 3   3. y así sucesivamente. del segundo cuadrado..... ¿Qué relación existe entre ellos? 73 . . De la misma manera. del tercer ¿A qué tipo de sucesión corresponden dichos datos? ¿Cuáles son sus características? c) ¿Cuál será la suma del perímetro de los seis primeros cuadrados obtenidos en esa forma? Cálculo b) diferencial cuadrado. n −1 . unimos los puntos medios de dichos lados en tal forma que obtenemos un nuevo cuadrado inscrito en el primero. De acuerdo con la expresión anterior:   1 n  3    −1 n  2     = 6 1 −  1   S=     1   2     − 1 2    1   32 − 1  (31 )(3) 93 = = si n = 5 ⇒ S = 6 1 − 5  = 6  16 16  32   2  Ejemplo 2 Tenemos un cuadrado cuyo lado es de 36m. a) Calcular los perímetros del primer cuadrado.. obteniendo un nuevo cuadrado inscrito en el segundo. El tercer cuadrado A´´ B´´ C´´ D´´.UNAD  18 2   2  2    = 18m Tendrá un perímetro de: u3 = 4 (18) = 72 m Para ver la relación que existen entre ellos.m. examinemos los cocientes: u u 2 y 3 u1 u2 74 . según el teorema de Pitágoras: 2 2 (36 / 2 ) = 18 2 . la longitud del lado.A B' B A" B" A' C' D" C" D D' C a) El perímetro del primer cuadrado ABCD es: u1 = 4 (36) = 144 m El segundo cuadrado A´ B´ C´ D´. ( ) Tendrá un perímetro de: u 2 = 4 18 2 = 72 2 m. según el teorema de Pitágoras: 2 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. la longitud del lado. Por otra parte u3 u 2 = 72 72 2 = 1 2 = 2 2 Podríamos seguir repitiendo el proceso y ver que cada perímetro se deduce del anterior. 75 .4. La gráfica de la población urbana un en función del número de años n transcurridos a partir de 1983 muestra una clara tendencia ascendente.2. Puesto que cada término es mayor Cálculo que el inmediatamente anterior.1 Propiedades de la progresión geométrica Sentido de variación de la progresión geométrica: ¿Cuándo podemos decir que una progresión geométrica es creciente. decreciente o estacionaria? diferencial Retornemos a nuestros ejemplos.Por una parte: u 2 = 72 2 = 2 u 144 2 1 .05 (q > 1) y de término inicial u0 = 5850000 (u0 > 0). recordemos que corresponde a una progresión geométrica de razón común q = 1. nos hallamos frente a una sucesión creciente. podremos decir que los datos de los perímetros de los cuadrados 2 corresponden a una progresión geométrica de razón común y de priq= 2 mer término u1 = 144. multiplicando por una constante: q = b) 2 2 Por lo tanto. su n-ésimo término será de la forma:  2  u n = un q n − 1 = 144   2    c) n −1 La suma de los perímetros de los seis primeros cuadrados obtenidos será: ( u qn −1 S= 1 q −1 Reemplazando: ) 6     2   144  −1    2     S= = 126 2 + 2  2   − 1  2    ( ) m 1. Puesto que cada término es menor que el inmediatamente anterior. decreciente o estacionaria. En forma intuitiva vemos que el sentido de variación de la sucesión (el hecho de que sea creciente.000 . Dada una progresión geométrica de razón común q y de término inicial ua . ni constante (los términos son alternadamente positivos y negativos) 76 . la gráfica de la población rural v n en función del número de años n transcurridos a partir de 1983 muestra una clara tendencia descendente.A su vez. Analicemos estos para el caso general. recordemos que corresponden a una progresión geométrica de razón común q = 0. (v0 > 0).97 ( 0 < q < 1) y de término inicial v0 = 3´250. nos hallamos frente a una sucesión decreciente. podremos decir si es creciente. y´ (q − 1 ) El estudio de dichos signos nos lleva a los resultados que resumiremos a continuación: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. decreciente o estacionaria) depende de la razón común y del primer término de la sucesión. ni partir del segundo término) ≠0 decreciente. q . dependiendo del signo de la expresión: u n +1 − u n Pero si u n +1 = q u n ⇒ u n +1 − un = q u n − un = u n (q − 1 ) n −a Sabemos además que: u n = ua q Entonces u n +1 − u n = u a q n −a (q − 1 ) Esta expresión nos permite ver claramente cómo el sentido de variación de la progresión geométrica { un }n ≥a depende de los signos de u a .UNAD PRIMER TÉRMINO RAZÓN COMÚN SENTIDO DE VARIACIÓN DE LA SUCESIÓN ua q >0 0<q<1 sucesión decreciente >0 1<q sucesión creciente <0 0<q<1 sucesión creciente <0 1<q sucesión decreciente 0 cualquiera sucesión constante nula cualquiera q=0 sucesión constante nula (a cualquiera q=1 sucesión constante q<0 sucesión ni creciente. y sólo si. en el que teníamos un progresión geométrica ( ) definida por: u n = 2 n u0 u 0 = 100 . ¿Qué ocurre cuando n crece? En el ejemplo del control microbiológico. los valores hubiesen seguido disminuyendo cada vez más.97) veíamos que a medida que n crecía. si no nos hubiésemos detenido.97 correspondía por lo tanto a una sucesión acotada. aceptaremos que una progresión geométrica no nula de razón común q Cálculo diferencial es acotada si.97 v0 (v0= 3250000. q = 0. En general. los valores de v n menguaban. sino que hubiésemos proseguido. q = 2 veíamos que. si en vez de detenernos en n = 6 hubiésemos proseguido. correspondiente a una progresión definida por nn= 0.Comportamiento de la progresión geométrica. verificándose siempre la desigualdad: v0 ≥ 0. si (− 1 ≤ q ≤ 1 ) 77 .27 • 10 32 Visiblemente. q ≤ 1 o sea. en el ejemplo de la población rural de una zona. u100 = 2100 ( 100 ) = 1 . los valores de un hubiesen sido cada vez mayores: u10 = 210 (100 ) = 1. Esta progresión geométrica de razón q = 0. 024 • 105 . Indicar en cada caso si la sucesión { un } es o nó una progresión geométrica. En el caso que lo sea, hallar su razón común y el término un en función de n. 1. u n +1 = 3u n ; u0 = 1 2. u n +1 = 3u n + 2; u0 = − 1 3. u n +1 = ( − 2 ) u 0 ; u 0 = − 1 4. 5. { v n } =   1   n     3  n ≥1 Dada la sucesión { un }n ≥0 definida por: u 0 = −2 , y por la fórmula de u +4 recurrencia U (u ) = n ; si { v n } ; si v n = u n + i es la sucesión n 2 definida por la relación a) Hallar el valor de i que permite que b) Expresar vn en función de n 7. {u }= {− 9.  n 5 (n − 1) } { v n } sea una progresión geométrica. 8. {u }= n  − 2n      { un }= {2 (− 1) n } n ≥1 10. Si la canasta familiar para los obreros cuesta 24000 pesos el primero de enero de 1984 (u0), y si se supone que la tasa promedio de inflación mensual Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD es del 1.4%, ¿cuánto podría costar dicha canasta? - ¿El primero de febrero de 1984 (u1)? -¿El primero de marzo de 1984 (u2)? - ¿El primero de abril de 1984 (u3)? b) - ¿El 31 de diciembre de 1984 (u12)? ¿A qué tipo especial de sucesión se ciñen estos datos? ¿Cuáles son sus características? c) Si se supone que la tasa promedio de inflación anual para 1984 será del 17%, ¿cuánto costaría dicha canasta al final del año? d) ¿Cuál será la tasa promedio de inflación mensual para año 1984,. a partir de una tasa promedio de inflación anual del 17%? 78 Ejercicio 1.5 6.  {u n } =  2n  n ≥ 0 1.5 Sucesiones que convergen a cero 1.5.1 Conjunto de puntos, intervalos y vecindades Localicemos un conjunto de puntos (número reales) sobre el eje real o sobre la recta real, esto lo denominamos como un conjunto de puntos unidimensionales. Es importante recordar los conocimientos adquiridos sobre intervalos estudiado en la temáticas de desigualdad. Vecindad: Veamos el conjunto de todos los puntos x tales que |x - a| < δ, donde δ > 0. Este conjunto tiene una connotación especial y lo llamaremos una vecindad de centro «a» y radio δ. Utilizaremos la notación Vδ ( a ) para la vecindad de centro a y radio δ. Debemos citar que también es muy utilizada la notación N δ ( a) para la misma vecindad, es decir, centro de a y radio δ. Al conjunto de todos los puntos x tal que 0 < x − a < δ , en el cual excluímos x = a lo denominamos una vecindad reducida de centro a y radio δ, utilizaremos la notación ˆ (a ) ó N ˆ (a ) V para la vecindad reducida. Tengamos encuenta que δ δ ˆ (a ) = Vˆ (a ) − { a } . V δ δ Examinemos ahora con mayor detenimiento una vecindad de centro en 2 y radio 0.001 V0.001 (2) o lo que es lo mismo:  1999 2001  V= ,   1000 1000  Vemos que también hubiésemos podido expresarla de otra manera. diferencial hubiésemos podido escribir V = ] 2 − 0 .001 , 2 + 0 .001 x − 2 < 0.001 Cálculo o también: 79 Con cualquiera de estas expresiones nos referimos a la misma vecindad. Podemos ver la representación gráfica de dicha vecindad en la figura 1.4 FIGURA 1.4 Vecindad de centro en 2 y radio 0.001 Nótese que el intervalo es abierto ( ) 1999 2 2001 1.5.2 Definición de sucesión convergente a cero Partamos de un ejemplo que nos permita pasar fácilmente del concepto intuitivo a la definición forma. Tomemos la sucesión servemos qué ocurre: u1 = − 1; u2 = Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD u 99 = − {u n }n ≥1 =  (− 1n)   n  , calculemos algunos términos yob-   1 −1 1 −1 1 ; u3 = ; u4 = ;...u 9 = ; u10 = ; 2 3 4 9 10 1 1 1 ; ...; u1000 = ;...u10001 = − 99 1000 10001 Ubiquemos en un eje horizontal los puntos correspondientes a los términos de la sucesión { un } . u1 u3 u5 u9 u10 u6 u4 u7 u8 FIGURA 1.5 Gráfica para algunos puntos de la sucesión  (− 1 ) n   n 80    u2 x -1 1 3 1 5 1 7 1 9 0 1 1 1 10 8 6 1 1 4 2 ¿Qué notamos? Vemos intuitivamente cómo, a medida que n aumenta y toma valores suficientemente grandes, los términos de la sucesión van tomando valores cada vez más cercanos a cero; aunque ninguno tome el valor de cero. Por ejemplo, a partir de n > 100, (N = 100), todos los términos de la sucesión  (− 1 ) n  serán menores en valor absoluto que 0.01 y por ende, estarán en la    n  vecindad de centro cero y radio 0.01, o lo que es lo mismo un < 0.01 En forma similar, a partir de n > 1000, (N = 1000), todos los términos de la sucesión serán menores en valor absoluto que 0.001; todos estos términos estarán en la vecindad de centro cero y radio 0.001, es decir: u n < 0 .001 Se dice entonces que la sucesión { un } =  (− 1)   n n    converge a cero. En forma similar recordemos rápidamente el ejemplo de la población rural en n descenso de una zona del país, cuya expresión era v n = ( 0 .97 ) v 0 para el primero de enero del año (1983 + n). Siendo muy osados, supongamos que este ritmo de disminución de población rural se mantiene constante indefinidamente, y no sólo por una década, como se había planteado inicialmente. ¿Qué pasaría a medida que transcurrieran los años? si n = 0 v 0 = 3250000 si n = 10 v 10 = (0.97)10 (3250000) ≅ 2400000 si n = 20 v 20 = (0.97)20 (3250000) ≅ 1770000 si n = 100 v 100 = (0.97)100 (3250000) ≅ 150000 diferencial Hallemos algunos valores y examinémoslos. Cálculo si n = 1000 v 1000 = (0.97)1000 (3250000) ≅ 0 81 ¿Qué notamos? Observamos que en caso límite, si esta disminución de población rural se mantuviese constante e indefinidamente, dicha población tendería a cero, al hacer n lo suficientemente grande. Diremos entonces, que la sucesión { v n } = {(0.97 )n v 0 } converge a cero. SUCESIONES QUE CONVERGEN A CERO: decimos que una sucesión converge a cero, si para todo número real ε estrictamente positivo y por pequeño que sea, es posible hallar un número natural N tal que, si n > N, los términos un de la sucesión cumplen: un < ε También decimos entonces que esta sucesión tiende a cero, o que tiene por límite cero y escribimos lím un = 0 n→∞ Acostumbramos igualmente a escribir { u } → 0 . n Ejemplo 1 { } Examinemos ahora la sucesión q n . En donde q < 1 . (Recordemos que se trata de Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD una progresión geométrica de razón común q). ¿Convergerá a cero? De acuerdo con la definición, para que ello ocurra, dado cualquier real ε > 0 , por pequeño que sea, debemos hallar un natural N tal que se cumpla que: q n < ε ( ) q <1 . Queremos hallar a partir de esta desigualdad el valor de n; para hacerlo recurrimos a los logaritmos: q n < ε ⇔ log q n < log ε Además, log ab = b 82 log a Podemos escribir: q n < ε ⇔ log q < log ε Recordemos que el logaritmo de un número comprendido entre 0 y 1 será siempre negativo, siempre y cuando la base sea mayor de 1; para evitar cualquier problema tomemos logaritmo en base "e", o lo que es lo mismo logaritmo natural*. 0 < q < 1 ln q < 0 Recordemos que al dividir ambos miembros de una desigualdad por un número negativo debemos cambiar el sentido de la desigualdad, podremos determinar n en la siguiente forma: qn < ε ⇔ n > ln ε ln q * Nota: utilizaremos cualquiera de las notaciones para logaritmo, es decir, log x = ln x. Si deseamos otra base lo indicaremos, log a (x ) . Por lo tanto si tomamos par N el mayor entero contenido en, ln ε log ε = ln q log q se cumplirá la condición requerida, de que n > N entonces q n < ε Podremos concluir que: la progresión geométrica q n , de razón comprendida entre -1 y 1 converge a cero. Este resultado es empleado frecuentemente y nos conviene tenerlo presente. 2 ¿Es posible asegurar que la sucesión { un } =    n +7  qué? converge a cero? ¿Por  converge a cero debemos  n +7  lograr que todo real ε > 0 , por pequeño que sea, hallar un natural N talque: 5 2 Cálculo Para poder afirmar que la sucesión { un } =  5 2 diferencial Ejemplo 83 Si n > N, entonces u n < ε Examinemos la última desigualdad 5 un < ε ⇔ <ε 2 n +7 Pero, para todo natural n: 5 n2 + 7 > 0 y >0 ⇒ 2 n +7 5 2 n +7 = 5 2 n +7 Por consiguiente, tenemos: 5 un < ε ⇔ <ε 2 n +7 Tomando los inversos y despejando n2 un < ε ⇔ n2 > 5 − 7ε ε un < ε ⇔ n > 5 − 7ε ε Y por consiguiente: Si tomamos para N el mayor entero contenido en Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD cumple la condición requerida: ∀∧ > 0 , ∃N { un } =  tal que si n > N, entonces    n +7  Ejemplo 5 2 podemos decir que un < ε y por consiguiente la sucesión converge a cero. 3 Dada la sucesión { un } =  1   2  n − 2 n≥2 y dado un número positivo,ε , hallar un natural N tal que; si n > N, entonces un < ε 84 5 − 7ε ε −4 y b) para ε = 10 −2 a) Para ε = 10 b) Para un número positivo ε cualquiera, por pequeño que sea. ¿Qué se puede concluir? Solución: −2 a) Debemos hallar un natural N tal que, si n > N, entonces u n < 10 Analicemos la última desigualdad un < 10 − 2 ⇔ Si recordamos que 1 2 n −2 a a = , b b < 10 −2 , por una parte, y por otra parte que n ≥ 2 entonces (n2 - 2) > 0, podemos escribir: u n < 10 − 2 ⇔ 1 n2 − 2 < 10 −2 ⇔ 1 n2 − 2 < 10 −2 Si tomamos los inversos: un < 10 −2 ⇔ n 2 − 2 > 1 10 −2 Y, si despejamos a n2: u n < 10 − 2 ⇔ n 2 > 102 Si despejamos a n: un < 10 −2 ⇔ n > 102 Por consiguiente, si tomamos para N el mayor entero contenido en 102 , o sea diferencial N= 10, se cumplirá la condición requerida: Cálculo Si n > N , entonces u n < 10 −2 85 b) Dado un número positivo ε cualquiera, tan pequeño como se quiera, deseamos hallar un natural N tal que: si n > N, entonces u n < ε Procedemos en forma análoga. Partimos de la última desigualdad  1 u n < ε ⇔  2  n −2   < ε  Para n≥ 2 se cumple que (n2 - 2) > 0, podemos escribir: un < ε ⇔ 1 2 n −2 <ε ⇔ 1 2 n −2 <ε Tomando los inversos: ( ) un < ∈ ε ⇔ n2 − 2 > 1 / ε Despejando a n2: un < ε ⇔ n 2 > 1 + 2ε ε Despejando a n: un < ε ⇔ n > 1 + 2ε ε Por consiguiente, si tomamos para N el mayor enterio contenido en Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD se cumplirá la condición requerida: Si n > N, entonces un < ε Podremos concluir que dado un real ε>0 cualquiera (tan pequeño como queramos) podemos hallar un natural N tal que, si n > N, entonces  1  Por este hecho, la sucesión { un } =  converge a cero.   n2 − 2  Escribimos: 86 1 + 2ε ε  1   2  →0  n −2  un < ε . 1.5.3 Criterio de comparación A veces no podemos demostrar que una sucesión converge a cero simplemente con base en la definición. Tenemos entonces que recurrir a otro método, como el del criterio de comparación. ¿Qué nos dice dicho criterio? {v n } Sea { un } una sucesión que coverge a cero, Si la sucesión se comporta en for- ma tal que existe un real positivo k y un natural N tales que, para todo natural n mayor que N se cumpla que: vn ≤ k un Entonces la sucesión también coverge a cero. En resumen: para dos sucesiones { un si lím n→∞ ( u n ) = 0 ´y } y´ { v n } v n ≤ k v n ⇒ lím n→∞ n → ∞ ( vn ) = 0 obviamente si n > N Demostración: Tomemos un número positivo ε . El hecho de que {u n } converge a cero, permite afirmar que existe un natural N tal que para todo natural n mayor que N, se cumpla: un < ε y si además, para dicho natural: v n ≤ k u n Entonces: v n ≤ k un < ε vn < k ε Cálculo diferencial Por lo tanto, para todo natural mayor que N, se cumplirá: Y si definimos para mayor comodidad ε´= k ε . Tendremos: v n < ε´ Por lo tanto, de acuerdo con la definición, la sucesión {v n } cumple con las condiciones y converge a cero. 87 Para todo natural n mayor o igual a 2 se cumple que: np > n ⇒ 1 1 < n np 1  Pero.UNAD Ejemplo 2 Examinemos la sucesión definida por { v n } =  3n2 − 1   n +1  Queremos demostrar que converge a cero. Si n ≥ 1. Debemos entonces buscar otra sucesión más sencilla. o por lo menos conocida. como habíamos visto anteriormente. la sucesión definida por { u n } =   n converge a cero. Busquemos entonces otra sucesión más sencilla de la que sí sepamos que converge a cero. podemos concluir que: 1 lím v n = lím =0 n→∞ n → ∞ np Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Por consiguiente se tiene que: 1) lím n→∞ ( u n ) = 0 y´ 2) v n < k ( k = 1) De acuerdo con el criterio anterior. entonces: 3n − 1 2 n +1 >0 ⇒ Por otra parte: 3n − 1 < 3n y 88 3n − 1 2 n +1 = n2 +1 > n2 ⇒ 3n − 1 n2 + 1 3n − 1 n2 + 1 < 3n n2 . de la que sí sepamos que converge a cero.Ejemplo 1 Examinemos la siguiente sucesión definida por:  1  ( con p ≥ 2 )  p   n n ≥1 {vn } = Queremos demostrar que converge a cero. con base en el criterio de comparación que la sucesión definida por     n 2 + n − 10  { un } =  1 converge a cero. Deseamos examinar el término u n = 1 2 n + n − 10 Evidentemente que n > 10 entonces n − 10 > 0 Si tomamos los inversos: 1 2 n + n − 10 ≤ 1 n2 = 1 2 n + n − 10 y n 2 + n − 10 ≥ n 2 . es  1  decir. la sucesión   . Como esta la conocemos y sabemos que  n2   1  lím   = 0 n → ∞  n2  89 . para todo natural n ≥ 1 0< Si llamamos 3n − 1 2 n +1 < 3n n { un } =  1  n 2 = 3 1  =3   n n tendremos: 1  1) lím ( un ) = lím   =0 n→∞ n→∞ n y (con 2) v n < k un k = 3) De acuerdo con el criterio de comparación:  3n − 1  lím ( v n ) = lím  2  = 0 n → ∞ n→∞  n +1 Ejemplo 3 Demostremos.Por lo tanto. (n ≥ 10 ) Cálculo diferencial Hemos hallado una sucesión que hace posible aplicar el criterio de comparación. { v n } =  1   entonces u n ≤ v n  n2  Es muy importante recordar que las siguientes sucesiones convergen a cero.UNAD 1) 90  1   p n  ∀ n ≥1 p >0 y 2) {q n } ∀ q tal que q < 1 . Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 1  2  n + n − 10 Entonces podemos concluir que la sucesión puesto que { un } =  1   y  n + n − 10  2    converge a cero. indicar cuáles convergen a cero. justificando en cada caso la respuesta. hallar 2 un natural N tal que. ¿qué se puede concluir? Hallar las sucesiones que convergen a cero. { v n } =  3n − 2    3n2 + 2  9.01 c) Para todo real ε > 0 (por pequeño que sea). entonces un < ε b) Si ε = 0. 3. { wn } =   3n ( ) 8. − 100    4. 11   13  − 100 . Dada la sucesión { un }n ≥0 =  x −1 < 3 ] 3 .99.Representar gráficamente las siguentes vecindades. { w n } =  cos n   n   Cálculo diferencial   5 22n  91 . 3    n + 3 n ≥0 4. radio ε y los puntos extremos x − ε y x + ε 0 0 x <3 2. ) 5    2n  { u n }=  De las sucesiones propuestas a continuación. si n >N. 001 a) Si ε = 0. 7. indicando para una de ellas ( ) ( cuál es el centro.01 [ y dado un real positivo. { un } =  2n + 3  6. justificando su afirmación en cada caso.  3n − 2  Ejercicio 1. 5. 5.6 1. y λ ∈ R+ ⇒ {u λn }→ 0 . entonces la sucesión Si 92 {un} → 0 {unλ } también converge a cero.1.5. también coverge a cero.UNAD Si { un } es una sucesión que converge a cero y si { v n } entonces la sucesión Si { un } → 0 { un ⋅ v n } es una sucesión acotada.4 Reglas de cálculo con sucesiones que convergen a cero Es posible demostrar los siguientes teoremas. entonces la sucesión Si { un } → 0 { k un } también converge a cero. y´ k ∈ R ⇒ {k un } → 0 Teorema 3 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. y m ≤ vn ≤ M ⇒ { u n ⋅ v n }→ 0 Teorema 4 λ Si { un } es una sucesión de términos positivos que converge a cero. Teorema 2 Si { u n } es una sucesión que converge a cero y k es un número real cualquiera. Teorema 1 { un } Si {vn } y´ { un + v n } son dos sucesiones que convergen a cero entonces su suma también converge a cero. y´ λ es un real positivo cualquiera. Si { un } → 0 y´ {vn} → 0 ⇒ {un + vn } → 0 ´´ Esto se puede extender a un número mayor de sumandos. que aceptaremos y emplearemos frecuentemente. denominemos: = 1 5 n + 2n 5n  2 vn =    5 y´ n Tendríamos: wn = un + vn La sucesión {wn} la podemos considerar como la suma de dos sucesiones más sencillas y sobre todo más conocidas.Ejemplo 1 Examinemos el caso de la sucesión  { wn } =  1 + 2n  5 n     Podemos descomponer wn: wn = 1 + 2n 5 n 1 un = n 5 Y. por ser la razón común menor de 1. a)  1  Concéntremonos inicialmente en la sucesión { un } =  n  5  Reconocemos que ésta es una geometría de razón común 1/5 y por lo tanto converge a cero. b)   2  n  Pasemos ahora a la sucesión { v n } =     la cual nos es familiar puesto   5   que nos resulta ser una geométrica de razón común 2/5 y con el mismo criterio que empleamos en (a) converge a cero. entonces la sucesión también converge a cero 2 Podemos factorizar wn: n n { w n } = 2 (nn + 1) =  2  3 n  3 Cálculo diferencial  2n (n + 1 )  Examinemos la sucesión { w n } =    para n ≥ 1  3n n   n +1     n  93 . c) Ejemplo Las dos sucesiones { un + v n } { un } y´ { v n } convergen a cero. tendríamos w n = (un ) (v n ) .UNAD Entonces la sucesión {un}→L n +1 ≤2 n es acotada. a)   2  n      puesto que se   3   trata de una progresión geométrica de razón común q = 2/3. menor que 1. la sucesión Concéntremonos inicialmente en la sucesión. puesto que podemos hallar una cota superior M = 2: ∀n ≠ 0 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. o sea expresamos w n como un producto (u n ) (v n ) .n 2  Ahora denominamos como u n =   3  y´ v n = n +1 . Como la sucesión cesión { w n } = { (u n ) (v n ) } → 0  2 n (n + 1)    →0  3n n  94 es acotada. n >0 n Por lo tanto. converge a cero. puesto que podemos hallar una cota inferior m = 1. b) { un } = { un } → 0  n +1  Pasemos ahora a la sucesión { v n } =     n   Notamos que se trata de una sucesión acotada inferiormente. { un } converge a cero y la sucesión { wn } { (u n ) (v n ) } también converge a cero. ∀n ≠ 0 n +1 ≥1 n También notamos que se trata de una sucesión acotada superiormente. la su- . Examinemos el caso de la sucesión { u n } =    n +1  Determinemos algunos de sus términos: u0 = − 3 u5 = u1 = − 1 / 2 7 6 u10 = u6 = 17 11 9 7 u7 = u 20 = u2 = 1 / 3 u3 = 3 / 4 11 8 13 9 37 21 u8 = u100 = u 4 =1 u9 = 197 101 u1000 = 3 2 1997 1001 Ubiquemos en un eje horizontal los puntos correspondientes a los términos de la sucesión { un } (figura 1.1 Límite de una sucesión Ejemplo 1 Partamos aquí también de un ejemplo que nos permita pasar fácilmente del concepto  2n − 3  intuitivo a la definición formal.6 Sucesiones convergentes 1.1.6 Gráfica para algunos puntos de la sucesión  2n − 3     n +1  u8 u7 Cálculo diferencial u2 u9 u20 u100 x 1 2 0 1 3 3 4 1 7 6 9 11 13 3 7 8 9 2 37 21 2 95 . u1 u3 u4 u5 u6 FIGURA 1.6.6). converge hacia el número real L. dado un real positivoε { un } converge hacia L.. si y sólo si.950. cualquiera tan pequeño como queramos. Debemos entonces hallar un natural N tal que.995. demostrémoslo con base en la definición. para entonces { un − L } → ε Examinemos la última condición: un − L < ε ⇔ 2n − 3 −2 < n +1 Hagamos el común denominador: un − L < ε ⇔ 96 2n − 3 − 2n − 2 n +1 <ε ε > 0 . 1000. ..¿Qué observamos? Vemos cómo.). Decimos que la sucesión { un } =  2n − 3   n +1  Definición: decimos que una sucesión do la sucesión { un − L } { un } converge a dos. los términos de la sucesión van tomando cada vez valores más próximos a dos (1. se dice que la sucesión o sea.UNAD Tras haber visto intuitivamente cómo convergía la sucesión { un } =  2n − 3  al límite L = 2. cuan- converge a cero.. que { un }→ L ... a medida que n aumenta y toma valores lo suficientemente grandes (100. si n > N  n +1  .) aún cuando ninguno tome el valor 2. se cumple que: un − L < ε Una sucesión no convergente se denomina divergente. Decimos entonces que L es el límite de la sucesión { un } . 1. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. y escribimos: lím un = L n→∞ o bien { un − L } → 0 Desde el punto de vista analítico. es posible hallar un natural N tal que para todos los términos un de la sucesión... si n > N. 97 . 2 {u n } =  2n3n+ 1  Consideremos la sucesión definida por.Simplifiquemos: un − L < ε ⇔ −5 < ε n +1 un − L < ε ⇔ −5 5 < ε⇔ < ε n +1 n +1 Por consiguiente: Inventamos la fracción n +1 1 > 5 ε un − L < ε ⇔ Despejamos a n: un − L < ε ⇔ n > 5− ε ε Si tomamos para N el mayor entero contenido en requerida: ∀ ε >0 . si n > N entonces un − L < ε { un } =  2n − 3  Y podemos asegurar que la sucesión  n +1  converge a 2. sus términos: u =0 0 u6 = u =1 18 13 u11 = 33 23 u = 1 u7 = 2 7 5 u12 = 6 5 u8 = 36 25 u = 3 24 17 u100 = 9 7 u9 = 100 67 u = 4 27 19 calculemos algunos de 4 3 u = u10 = 10 7 u1000 = 5 15 11 1000 667 Cálculo diferencial Ejemplo  5 − ε  .7). se cumplirá la condición    ε  Ubiquemos sobre un eje horizontal los puntos correspondientes a los términos de dicha sucesión (figura 1. si n > N. Para asegurar que la sucesión converge a 3/2 necesitamos hallar un natural N tal que. a medida que n aumenta y toma valores lo suficientemente grandes. los términos de la sucesión se van aproximando cada vez más a 3/2.entonces: un − L < ε En nuestro caso: un − L < ε ⇔ 3n 3 − <ε 2n + 1 2 Efectuemos la operación indicada. sin llegar a tomar dicho valor. si n > N. se cumpla que: 3 <ε 2 ( 2n + 1 ) Invertimos la fracción en la desigualdad: 3 2 (2 n + 1 ) 1 <ε ⇔ > 2 ( 2n + 1) 3 ε Despejamos el término n: 2 ( 2n + 1) 1 3 3 − 2ε > ⇔ (2n + 1 ) > ⇔ 2n > 3 ε 2ε 2ε 98 .UNAD Simplifiquemos: <ε ⇔ 3 <ε 2 (2n + 1 ) Debemos por lo tanto hallar un natural N tal que. un − L < ε ⇔ 6n − 6n − 3 2 ( 2n + 1) un − L < ε ⇔ −3 2 (2 n + 1 ) <ε Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.u0 FIGURA 1.7 Gráfica para algunos valores de la sucesión u1 u2  3n    2n +1  u3 u4 u100 x 0 6 1 9 5 4 7 3 3 2 Vemos cómo. Entonces: n> 3 − 2ε 4ε Por lo tanto. es necesario que para todo ε > 0 escojamos un natural N tal que. n  2n + 1  Ejemplo 3 Demostremos que la sucesión { un } =  3n − π     7n − 2  converge a 3/7.entonces u n − L > ε Examinamos la última condición: un − L < ε ⇔ 3n − π 7n − 2 − 3 < ε 7 Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos − 7π + 3 ( 7 7n − 2 2 ) < ε Cálculo diferencial un − L < ε ⇔ Obervamos que por una parte: − 7 π + 3 2 < 0 ⇒ − 7π + 3 2 = 7 π − 3 2 99 . Para poder asegurar que la sucesión converge a 3/7. podemos concluir en efecto un − L > ε { }  3n  La sucesión u =  converge a 3/2 o tiene a 3/2 por límite. se cumple que: 3n 3 − 2n + 1 2 < ε para todo n > 3 − 2ε 4ε Asignamos a N el mayor entero contenido en que: ∀ε > 0 y n > N 3 − 2ε 4ε . si n > N. 6.Y por el denominador si n entonces: 7n − 2 > 0 ⇒ 7n − 2 = 7n − 2 Por consiguiente: un − L < ε ⇔ 7π − 3 2 ( 7 7n − 2 ) < ε Debemos despejar a n.{ un − L } → 0 La sucesión{ un − L } 100 es entonces acotada se cumple . { un } =  3n − π    7 n − 2  1.UNAD ∀ ε >0 .2 Propiedades fundamentales de la sucesión convergente 1) Sea { un } una sucesión tal que { un } → L Por lo tanto. si n > N entonces u n − 3 < ε 7 Lo que nos permite asegurar que en efecto la sucesión: converge a 3/7. el cual es posivito ) Desarrollemos y agrupemos u n − L < ε ⇔ 49 n ε > 7 2 ε + 7 π − 3 2 Despejemos a n: un − L < ε ⇔ n > 7 2 ε + 7π − 3 2 49 ε   Si tomamos para N el mayor enterno contenido en  7 2 ε + 7 π − 3 2    49 ε   la condición requerida: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. para ello multipliquemos por (7n − 2 ) ( u n − L < ε ⇔ 7π − 3 2 < 7 ε 7 n − 2 . { v n } y { wn } son sucesiones tales que: a) { un } → L. si para { un } dada ∀ nεI o bien u n +1 < u n o bien u n +1 > u n y m ≤ u n ≤ M 101 . { v n } y { wn } a) { un } → L. también tiene el mismo límite.Existen entonces dos números reales m y M tales que: m ≤ un − L ≤ M Basándonos en las propiedades de las desigualdades. si { un }. { v n } → L´ b) si existe un natural n0 tal que. b) Existe un natural n 0 tal que. O sea. Entonces y {v n } → L { w n }→ L Este teorema se conoce como el teorema del emparedado. Concluimos entonces que: Toda sucesión convergente es acotada. 4) Sean { un }. podemos entonces escribir que: m + L ≤ un ≤ M + L Esto nos permite ver que a su vez. la sucesión es acotada. si n > n 0 ⇒ u n ≤ w n ≤ v n . 3) Si una sucesión está comprendida entre dos sucesiones que tienen el mismo límite. 2) Es posible demostrar los teoremas siguientes y nosotros los admitiremos: una sucesión convergente no puede tener más de un límite. si n > n0 : y tres sucesiones tales que: { wn }→ L´´ y u n ≤ wn ≤ v n 5) Cálculo diferencial Entoces: L ≤ L´´ ≤ L´ Una sucesión monótona acotada es convergente. O sea. tampoco será convergente. u5 = 30 . no acotada puesto que no podemos determinar una cota superior M tal que.UNAD { un } es una sucesión no acotada. . u 9 = 86 Vemos que nos hallamos frente a una sucesión creciente. { un } = {n2 + 5 } Ejemplo no es convergente. para todo n mayor que N se cumpla que: un ≤ M Según vimos anteriormente. Calculemos algunos de sus términos: u 0 = 5.Entonces: 6) { un } → L Una sucesión decreciente acotada inferiormente es convergente. Por lo tanto. si Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.u 8 = 69 . un +1 ≤ u n . u 3 = 14 . toda sucesión convergente es acotada. y un ≤ m ⇒ { un } → L´ y Ejemplo L ≥m 1 { 2 Estudiemos la convergencia de la sucesión { un } = n + 5 } . O sea. 2 Estudiemos la convergencia de la sucesión: {wn} = 102  3n + (− 1)n sen n  n −1   .  (n ≥ 2) . u2 = 9. si para { un } dada: ∀ nεI . u4 = 21. u1 = 6. y por el teorema del emparedado:  3n + (− 1 )n sen n   →3 n −1   Ejemplo 3 Estudiemos la convergencia de la sucesión:  2  { w n }  n + n −21   (n + 2 )  Vamos inicialmente a tratar de enmarcarla entre dos sucesiones más sencillas. cuya Cálculo diferencial convergencia la conozcamos. puesto que: ( ) n 2 + n −1 n 2 + n − 1 − 1= n 2 + n − 2 103 . Empezamos entonces por enmarcar el numerador de la fracción correspondiente wn.Para todo natural se cumple que: − 1 ≤ sen n ≤ 1 ⇒ − 1 ≤ ( − 1 )n sen n ≤1 De donde: 3n − 1 3n + ( − 1 ) sen ( n ) 3n + 1 ≤ ≤ n −1 n −1 n −1 Si denominamos: { un } =  3n − 1    y  n −1  { v n }=  3n + 1     n −1  Nos hallamos en la situación en la que: u n ≤ wn ≤ v n Y como podemos comprobar fácilmente con base en la definición que: { un } → 3 y {vn } → 3 Por consiguiente. la sucesión será también convergente. la sucesión será también una sucesión convergente y converge a 1. puesto que ( n + 2 )2 es siempre positivo podemos escribir. 104 .Dado que: Entonces: ( ) n 2 + n − 1 < n 2 + n − 1 + 1 = n2 + n n2 + n − 2 < n2 + n − 1 < n2 + n Volvamos a la sucesión { w n }.UNAD n+2  y n    n +2  { v n } =  Tendremos: u n ≤ wn ≤ v n Conocemos que: { un } → 1 y { vn } → 1 Por lo tanto. n2 + n − 2 (n + 2)2 < n2 + n −1 < (n + 2)2 n 2 + 2n (n + 2)2 Factoricemos: (n + 2) (n − 1) (n + 2)2 < n2 + n −1 2 (n + 2) n (n + 2) < (n + 2)2 Simplifiquemos: n −1 n2 + n −1 n < < 2 n +2 n +2 (n + 2) Denominemos: { un } =  n − 1  Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Verifiquémoslo.Ejemplo 4  2n    { un } =  Demostremos que la sucesión es convergente. Una cota inferior para esta sucesión es m = 0 La sucesión convergente. { Examinemos la diferencia u n − un +1 u n − u n +1 = u n − u n +1 = u n − u n+1 = u n − un +1 = Puesto que: } 2n +1 − 1 + 2 n 1 + 2 n +1 2n ( ) ( 2 n 1 + 2n +1 − 2 n +1 1 + 2 n (1 + 2 ) (1 + 2 ) n n +1 ) 2 n (1 − 2 ) = 1 + 2 n +1 1 + 2n 1 + 2 n+1 2 n − 2n +1 (1 + 2n ) ( ) ( − 2n (1 + 2n ) (1 + 2n+1 ) )( ) <0 {un − un+1 }< 0. la sucesión {un } es monótona creciente.será por consiguiente 105 . en que cada término es menor que el siguiente.  2n    { un } =    1 + 2n  es monótona y acotada.   1 + 2n  Calculemos inicialmente algunos de sus términos: u0 = 1 2 u1 = 2 3 u2 = 4 5 u3 = 8 9 u4 = 16 17 u5 = 32 33 Observamos que: u 0 < u1 < u2 < u3 < u 4 < u5 Apararentemente.nos hallamos frente a una sucesión creciente. Una cota Cálculo diferencial superior para esta sucesión es M = 1. 3 y 5.  100 e 9  =nn n    2n  n ≥1 . L = 5  2n + 7  5  −2 n + . que la sucesión converge a 2. b) ¿Es dicha sucesión acotada? c) Demostrar que es creciente.UNAD  n  n≥ 1 n    2n + 1  7) { un } =  8) { un } = {− 9) Dada la sucesión 5 ( n −1) u n +1 = 2 + u n 106 } { un }n ≥0 definida por la relación de recurrencia y su primer término a) Hallar los cinco primeros términos de dicha sucesión. entonces en los siguientes casos: b) Si ε = 0 .7 a) .1) Dada la sucesión  3n + 4    y un real ε > 0 . 6) { un } =  − 7  Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. por pequeño que sea ¿Qué se puede concluir? 2) { un } =  3) {wn } = 4) { un } n ≥1 5) 10 n  . d) ¿Qué se puede concluir? e) Demostrar. con base en la definición. (pueden resultar muy útiles los resultados de las autoevaluaciones 2. Ejercicio 1. L= 5 9 L =1 { un } =  n≥ 1 Indicar si la sucesión es o no convergente y explicar la razón en la que se basa su afirmación.hallar un natural N  2n + 1  { un } = tal que: un − 3 / 2 < ε si n > N.01 c) Para todo ε > 0 .001 Si ε = 0. así como los ejercicios de aplicación). 705 10000  10001  =   10000  ≅ 2.250  2 2 3 3  1 5 u 4 = 1 +  =   ≅ 2.6.522 6   6  1 4 u 3 = 1 +  =   ≅ 2.441  4 4 4 5 5  1 7 u 6 = 1 +  =   ≅ 2.n   1   1 +    n  1.488 5   5 10 1   u10 = 1 +   10  10  11  =   10  10000 1   u10000 = 1 +   10000  6 100 1   u100 = 1 +   100  ≅ 2. aunque no del todo indispensable.594 100  101  =   100  ≅ 2. estudiémosla ahora. 718 ¿Qué observamos? Vemos que se trata de una sucesión creciente (cada término de la sucesión es mayor que el anterior) y acotada (los términos de la sucesión son mayores que m = 0 y menores que M = 3).3 La sucesión    Hay una sucesión especialmente interesante que no la hemos visto aún y que resulta fundamental para la Matemática. Se trata de la sucesión definida por:  { u n } =   1+ 1    n   n   Calculemos sus primeros términos y observemos qué ocurre: 2  1 u1 = 1 +  = 2  1 2  1 3 u 2 = 1+  =   = 2.nos permitirá entender mejor las conclusiones que sí son a su vez imprescindibles. (La demostración.370  3 3 6  1 6 u 5 = 1 +  =   ≅ 2. Cálculo diferencial Comprobésmolo. 107 . UNAD las calculadoras de bolsillo. + a 0 y n donde: ak = n (n − 1) (n − 2) (..) (n .. Muchas veces estaremos en la presencia del producto de los enteros positivos consecutivos. ) (n − (k − 1))   = (1) (2) (3) (. esta notación es la que normalmente se presenta en Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. ) (n − (k − 1) ) (1) (2) (3) (. con base en lo anterior podemos escribir el término enésimo de la sucesión propuesta como: n 1   n  n 1  n 1  n 1  u n =  1 +  =   1n +   1n −1 +   1n − 2 + .. es decir. + 2 n 0 1 n 2 k           n nk Debemos analizar el término  n  n −k 1   1  k nk Ya dijimos que 108 n  n (n − 1) (n − 2) (. por el momento nos conformamos con n que sea un natural. también es equivalente al combinatorio de Los ak los conocemos como los coeficientes binomiales y los notamos como n en k que lo notamos como nCk .. ak = n (n − 1) (n − 2)(. ) ( k − 1) (k ) si multiplicamos numerador y denominador por (n .Recordemos inicialmente el concepto de factorial y luego el de la expansión de un binomio a la potencia n. + a k x n− k y k + . el producto (1) (2) (3) (4) (. (1!). factorial de 1.. es 1. es decir (x + y)n.1) (n).. ) ( n − (k − 1) )(n − k )! n! = k! ( n − k) (n − k ) ! k! n    y lo k  leemos como el coeficiente binomial de n en k. además..k)! entonces. y lo leemos n factorial.... El otro concepto que debemos recordar es el de la expansión del binomio a una potencia. podríamos esperar una expresión como la siguiente: ( x + y )n = a n x n + a1 x n −1 y + a 2 x n − 2 y 2 + ..... +   1n − k + .. por definición 0! = 1 y obviamente.. a este producto lo notamos como n!.... Por nuestra experiencia en productos o en la elevación de potencia.. ) ( k) k   n  n −n 1   1 n  nn . + ⇒ u n − 1 = 1+ + + + .. + 1 +  →1 + 1 + + + .. También 1n-k = 1.Nos resulta que el numerador es un polinomio en «n» de grado k. con lo cual podemos escribir el término como: n k + b1n k−1 + b2 n k− 2 + .. n     si n es grande entonces: { } u n = 1 +1 + 1 1 1 1 1 1 1 + + .... + 2! 3! n! 2! 3! 4! n! Tomenos la sucesión { sn} donde sn es la suma de los primeros (n + 1) términos de la Cálculo diferencial progresión geométrica de razón común q = 1/2.. + 1/ 2 n 109 . por lo tanto. + b k −1 n  n  n −k 1   1 = k k k  n k! n Los coeficientes b. entonces los sumandos que tienen como denominador a «n» elevado a una potencia mayor o igual a 1 tienden a cero. + n 2 ! 3 ! k ! n !   n  1    La sucesión que tenemos que acotar la llamaremos { un}... si la fracción la representamos como la suma de fracciones con común denominador k!nk y por numeradores los respectivos sumandos del numerador tendremos:  n  n −k 1 nk b n k−1 b n   1 = + 1 + . son las constantes que resultan del desarrollo del producto del numerador.. entonces  1 +   = u n . es decir: s n = q0 + q1 + q2 + q3 + . no tiene un sumando que sea una constante. + k −1 k k k k  n k! n k! n k! n k Simplificamos: bk −1 n  1 1 b   = + 1 + .. + k k −1 k! k! n k  n k! n Como ya lo hemos establecido si n se hace muy grande.. + q n .... es decir. además no presenta sumando libre en n.. q = 1/ 2 s n = 1 + 1/ 2 + 1/ 4 + 1 / 8 + . para n grande podemos escribir: n 1 1 1 1  1 + .. por lo cual. k! 2 k 1 1 1 + + . debido a que k! > 2k y por 1 1 < y por lo tanto . + 2 2 2 2n u n −1 = 1 + sn es la suma de progesión geométrica y por lo tanto: sn = ( 1 / 2 )n +1 − 1 = 2 (1− (1/ 2)n +1 ) 1 / 2 −1 Si ⇒ ∞ ⇒ s n = 2 .. Entonces Ejemplo  1    1+ n   n     → e   1 Estudiemos la convergencia de la sucesión 110  n2 + 2  1     { w n } =   1+ 2    n + 2     .UNAD Normalmente trabajamos con una calculadora o computadora y dependiendo de la máquina utilizaremos una aproximación a un número determinado de cifras decimales.... en honor a su descubridor Euler. el primer 1. ( u n − 1 < 2 ⇒ u n < 3 ) Con lo cual hemos logrado establecer que { un } es creciente y acotada y toda sucesión de este tipo converge.. ≅ 2.1). + 2! 3! n! b b b b 11 11 11 sn = 1 + + + . entonces: (k > 3).¿Qué podemos observar entre un y´ sn ? a) un tiene sumando más.71828 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. b) Los sumandos de un son menores que los sumandos de sn.. que (un.universalmente por la letra minúscula «e». «e» es un irracional y su valor aproximado es: e = 2. a lo más es igual a 2 y por lo tanto un es menor que 3. esto quiere decir.718281828459045235360287. La mínima cota superior para { u n } es notada. Recurrimos a una sustitución: p = n2 + 2 Podemos escribir:  1   w n = 1 +  2  n +2 n2 + 2  1 =  1+  p  p De acuerdo con lo visto anteriormente y además observamos que si n → ∞ también p → ∞ . llegamos a expresar wn en una forma que conocemos: Hacemos la sustitución: p  { w n } =   2n2n+ 3     Cálculo diferencial  1 w n = 1 +   p De acuerdo con lo visto anteriormente la sucesión { wn} converge a «e» 2n / 3  p   1       = 1 +     →e p       111 . B >0 2 2 } 2 = −3 2 v 3 = − 8 (r e s p e c t i v a m e n t e } + 1 si n > N u n > B ⇔ n { un } → + ∞ v + ∞ + 1 −n 2 +1 < −B ⇒ v n ⇔ v 4 = − 15 v 5 = −2 4 v 10 = − 99 v 10 = −9 9 9 9 − ∞ ) n 2 −1 > B ⇔ n > B + 1 < −B > B − 1 ⇔ n > B −1 (respectivamente− ∞ ) Así.   { w n } =    Ejemplo  1  1 +     n2 + 2  n2 + 2      =     p  1    1+   → e p    2 Estudiemos la convergencia de la sucesión:  { w n } =   2n2+n 3    2n / 3      Directamente no podemos decir nada.0 5 ) n u 0 = 1 v = 0 n 0 l í m n → {− }= 1 n2 + 1 u n → ∞ { }= − n < −B ⇔ u n = n ∀ . podemos expresar el término wn en forma que conocemos: 2n / 3  2n / 3  3  1     w n =  1 +    = 1 +   2n    2n / 3  2n = p . entonces la sucesión converge a «e». Tratamos entonces de expresar el término wn en forma más sencilla o conocida: 2n + 3 = 1+ 2 n Si efectuamos la división: u v { v { v n vn n 3 2n = 1( .obviamente que si n tiende a infinito también lo hace 3 p. sin dar muestras de estancarse. Examinemos ahora la sucesión { u n }= u 2 + 1 algunos de sus términos: u0 = 1 u2 = 2 u2 = 5 u3 = 10 u4 = 17 } .05)10 (5850000) ≅≅9´530. entonces. { Veamos otro ejemplo.05) (5850000) ≅≅7.UNAD Decimos. Calculemos u5 = 26 u10 = 101 u1000 = 1000001 ¿Qué observamos? Vemos que se trata de una sucesión creciente (cada término es mayor que el anterior) no acotada (no tiene cota superior).7 Sucesiones divergentes Para formarnos inicialmente una idea intuitiva acerca de lo que es una sucesión divergente.000 ≅≅15´520. retornemos por un momento al ejemplo de la población urbana en la que el n crecimiento tenía una expresión de la forma u n = (1.000 u10 = (1.108 si n = 1000 u1000 = (1.1027 si n = 20 u20 = (1.05)20 (5850000) 100 ¿Qué observamos? Notamos que a medida que los años transcurren. las cifras de población siguen creciendo muy rápidamente.1. supongamos que este ritmo de aumento de población urbana se mantenga constante indefinidamente y no sólo por una década.000 si n = 100 u100 = (1. ¿Qué pasaría a medida que transcurrieran los años? Hallemos algunos valores y examinémoslos: si n = 0 si n = 10 u0 = 5´8500. entre mayor sea el valor de n.05 ) u 0 para el primero de enero del año (1983 + n).05)1000 (5850000) ≅≅9. Siendo muy osados. 112 . como se había planeado inicialmente.05.69. mayor será el valor de u n. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. que { un} es una sucesión divergente que tiende hacia más infinito. Decimos. ( − ∞ ) 1. que { vn} es una sucesión divergente que tiende hacia menos infinito. entonces. por grande que sea. que { un} es una sucesión divergente que tiende hacia más infinito. que se trata de una sucesión decreciente (cada término de la sucesión es menor al anterior) no acotada (no admite cota inferior). Para ello. entonces un es mayor - que B (o respectivamente menor que B). 113 . entre mayor sea el valor de n. ( + ∞ ) Examinemos en forma similar la sucesión { Calculemos algunos de sus términos: { v n }= − n 2 + 1 v0 = 1 v1 = 0 v 2 = −3 v3 = −8 v4 = −15 } v 5 = −24 v10 = −99 v10 = −9999 ¿Qué observamos? Notamos. Decimos. determinemos el natural N tal que. para expresar que todo real B > 0. si n > N. por grande que sea.se presenta un crecimiento sin límites.7. menor será el valor de vn. se presencia una disminución sin límite. entonces un > B.1 Sucesión divergente Decimos que una sucesión { un} es divergente y que tiende hacia más infinito (+ ∞ ) - (respectivamente hacia menos infinito ( ∞ ). es posible hallar un natural N tal que. si n > N. y podemos demostrarlo. es necesario que para todo real B. entonces. Escribimos entonces: lím u n → + ∞ ( respectivamente − ∞ ) n →∞ {u n } → + ∞ 1 { 2 Demostremos que la sucesión { u n }= n + 1 Cálculo diferencial Ejemplo ( respectivamente − ∞ ) } es divergente y tiende a más infinito (+ ∞ ). Ejemplo 2 Regresemos a la sucesión { vn }= {− n2 + 1 } que según vimos intuitivamente. si n > N. a N el valor del mayor entero contenido en B − 1 vemos que se cumple la condición requerida ∀B > 0 . por grande que sea. Necesitamos. y demostraremos que ello se cumple. tendía hacia menos infinito (− ∞ ) . a N el mayor entero contenido en B+1 .UNAD que para todo real B > 0. entonces Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. hallar un natural N tal que. entonces. 114 } diverge y tiende hacia menos . vemos que se cumple la condición requerida: ∀ B> 0 . entonces vn < − B . entonces. Examinemos la última condición: v n < − B ⇔ − n 2 + 1 < −B Despejamos el término n: v n < − B ⇔ − n 2 + 1 < −B ⇔ n 2 − 1 > B ⇔ n > B + 1 Si el asignamos. si n > N ⇒ un >B Y podemos concluir que la sucesión { u n }= {n 2 + 1 } diverge y tiende hacia más infinito.Pero dado que: u n = n 2 +1 u n > B ⇔ n2 +1> B Despejamos el término n: u n > B ⇔ n 2 > B −1 ⇔ n > B −1 Si el asignamos. si n > N ⇒ vn < −B { Y podemos concluir que la sucesión { vn }= − n2 + 1 infinito (− ∞ ) . Examinemos la última desigualdad: u n > B ⇔ 7e n + Despejamos a en u n > B ⇔ en > π >B 5 1  π  B−  7  5 Tomemos logaritmos en base e. u n > B ⇔ n > log 1 π  + log  B −  7 5  Por consiguiente. De acuerdo con la definición. entonces un > B. por grande que sea.Ejemplo 3 Demostremos que la sucesión {u n } π  =  7e n +  5  diverge hacia más infinito (+ ∞ ) . si le asignamos a N el mayor entero contenido en (log 1 / 7) + log ( B − π / 5) se cumple la condición requerida: ∀B > 0 . necesitamos que para todo real B. si n > N. para todo real B. {v n } definida por: { v n } =  − 3  7  n + 5  diverge hacia  natural N tal que si n > N. debemos hallar un vn < − B . Ejemplo {u n } π  =  7e n +  5  diverge hacia más infinito 4 Demostremos que la sucesión menos infinito (− ∞ ) .entonces Cálculo diferencial De acuerdo con la definición. por grande que sea. hallar un natural N tal que. 115 . si n > N ⇒ u n > B Y podemos concluir que la sucesión (+ ∞ ) .  n +5   diverge a menos infinito 1. Si { u n }→ + ∞ y si a ∈ + ⇒ { a. Si { u n }→ + ∞ {v n } → + ∞ R y R Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. se cumple que: u n ≤ v n entonces { v } → + ∞ n 4. se puede emplear la definición. si n > N ⇒ vn < − B { v n } =  − 3  7 Y podemos asegurar que la sucesión (− ∞) . y si existe un natural n0. para demostrar que una sucesión { un} es divergente y en particular las que tiende hacia infinito (+ ∞.7. pero a menudo se 1.UNAD prefiere emplear las siguentes propiedades: ⇒ { u n + v n }→ + ∞ . tal que. Si {u n }→ + ∞ 2. u n }→ − ∞ 3.2 Propiedades de las sucesiones divergentes En general. Las siguientes sucesiones tienden hacia el infinito: { an } { a > 0} {n } (m > 0) m { q } ( q >1) { n } n 116 y { u n + vn }→ + ∞ . ó − ∞) . si n > n0. u n } → + ∞ Si { u n }→ + ∞ y si a ∈ − ⇒ { a.Examinemos la última desigualdad: vn < − B ⇔ − 3 7 n +5 <− B Despejamos el término en n! vn < − B ⇔ n > 7 49 ( B + 5) ⇔ n > ( B + 5) 2 3 9 Si le asignamos a N el mayor entero contenido en la condición requerida: 49 ( B + 5) 2 vemos que se cumple 9 ∀B > 0 . ⇒ { u n Si {u n } → − ∞ . por consiguiente la sucesión 5   n  donde k = 5/3 (k > 0) será divergente y tenderá hacia más infinito (+ ∞). a∈ ⇒ {u n ± a } → + ∞ Si {u n } → − ∞ . es divergente y tiende hacia más infinito (+ ∞). y si existe un natural n0 tal que: si n > n0 entonces { v Ejemplo R R Si + v n } → −∞ se cumple que u n ≤ v n n} → − ∞ 1 5  Demostremos que la sucesión { u n }=   n + 2  es divergente. ya sabemos que una sucesión del tipo { kn }. y a∈ * −⇒ {a . ⇒ {u n . a∈ ⇒ {u n ± a } → − ∞ R Si R 5.u n } → − ∞ Si {u n } → − ∞ . vn } → + ∞ Si {u n } → − ∞ . y { v n } → − ∞.{ u n } → + ∞. ya∈ * +⇒ {a . la 3  5  sucesión { u n }=  n + 2  también será divergente y tenderá hacia más infinito (+ ∞) . 3  5   n +2→ ∞ 3  2 Demostremos que la sucesión es { w n }=  4 3 3 1 2   2n + n + n + 3n + 5  4 5   Cálculo diferencial Ejemplo divergente. 3  De acuerdo con las propiedades anteriores. Nota: En forma similar {u n } → − ∞ .u n } → + ∞ Si { u n } → − ∞ . con k > 0. y { v n } → − ∞. 117 . {n m }→ + ∞ (si m > 0) b. de acuerdo con las propiedades enunciadas anteriormente: a.  Y por lo tanto.  n 2 + 3n + 3   → +∞ n   118 . Por lo tanto. podemos concluir: { w n }= Ejemplo  4 3 2 1 2   2n + n + n + 3n + 5  → + ∞ 4 5   3  n 2 + 3n + 3  Demostremos que la sucesión { v n }=    es divergente. n   Comparémosla con una sucesión más sencilla y conocida. { u n } → + ∞. Examinemos el numerador. o mejor. { t n }=  15 n   2  { } n  .UNAD n 2 + 3n + 3 > n 2 Por lo tanto: ( n ≠ 0 ) n 2 + 3n + 3 n 2 n 2 + 3n + 3 > ⇒ >n n n n Pero de acuerdo con las propiedades enunciadas anteriormente. m > 0) y {u n } = { 2n 4 }→ + ∞ (a = 2. a ∈ * ) + Por las mismas razones.Podemos considerar que. R y a ∈ * ⇒ { au } → + ∞ + n { } Examinemos la sucesión elemental { u n }= 2 n 4 R {n 4 }→ + ∞ (m = 4. y = {3n } son divergentes y tienden a más finito . la sucesión  n 2 + 3n + 3   que cumple con la condición: vn > un también será divergente y n   { v n } =  tenderá hacia más infinito (+ ∞). Sabemos que: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. propiedades de las sucesiones {v n }=  34 n 3  . sabemos que la sucesión { un } = { n } es divergente y tiende hacia más infinito (+ ∞). la sucesión { u n }= { k n } con k = −1 ( k ∈ *− ) será divergente y tenderá hacia menos infinito  − 2− n   n   (.∞). Cálculo diferencial ¿Qué concluimos en cuanto al límite de la sucesión { un+ vn }? Nada podemos decir.∞). sabemos que la sucesión R { w n }= { n } es divergente y tiende hacia más infinito (+ ∞). Por consiguiente.  −2−n   → −∞ n   1. Comparemos dicha sucesión con otra más sencilla y conocida. 119 .8 Sucesiones con formas indeterminadas Tenemos dos sucesiones { un } y { vn } tales que { un } n → + ∞ y { vn } n → − ∞ . Dado que además la sucesión { v n } =  verifica la desigualdad vn < u n Podemos concluir que será divergente y tenderá hacia menos infinito (. Para todo entero positivo n: ( } n con k = −1 k ∈ *− − 2 −n <− n n R { un }= { k ) De acuerdo con las propiedades enunciadas anteriormente.Ejemplo 4  −2−n  Demostremos que la sucesión { v n }=   n   es divergente. Se trata de una forma indeterminada. vn ) si u n → 0 y vn → ∞ .6.8. límite de la forma ( + ∞ − ∞ ) 5) λ lím ( u n n ) si u n →1 y λ n → ∞ . Esto ocurre a menudo con las expresiones en las que intervienen fracciones o raíces.3 cuando trabajamos con la sucesión n    1   1 +     recordemos que ésta sucesión converge a e. existen ciertas combinaciones de sucesiones a las que no podemos aplicar las reglas mencionadas anteriormente.1 Límites de expresiones racionales Ejemplo 1 {u n } =  3n3 + 52n2 + 10n − 2   120 2n + 3n − 1  . Lo anterior lo podemos resumir en los casos siguientes: 1) lím ( u n / v n ) si u n → ∞ y v n → ∞ .   n   Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. límite de la forma 2) lím ( u n / v n ) si u n → 0 y v n → 0 . límite de la forma (0) (∞ ) 4) lím ( u n + v n ) si u n → + ∞ y v n → − ∞ . límite de la forma 1∞ 6) λ lím ( u n n ) si u n → 0 y λ n → 0 . A tales combinaciones las denominamos formas indeterminadas. límite de la forma ∞ ∞ 0 0 3) lím ( u n . puesto que no se cumplen las hipótesis requeridas. límite de la forma ∞ 0 Un caso particular lo vimos en la sección 1.UNAD En ciertos casos podemos levantar la indeterminación. Entonces recurrimos a procedimientos como el que a continuación exponemos: 1. límite de la forma 00 7) λ lím ( u n n ) si u n → ∞ y λ n → 0 .Generalizando. y por lo tanto hallar el límite de la sucesión. lím n →∞ n → ∞ n →∞  1  − =0 lím  2 n →∞ n   10   2 n lím Por consiguiente: n → ∞  lím lím n →∞  = 0     3 +   1 n    5 n .Si examinamos cada término del numerador y del denominador. + 10 n 2  −2   = 0 lím   . examinamos el límite de la expresión resultante.  5 10 2  n 3  3 + + −  3 2 n n2 n3  3n + 5n + 10n − 2  un = = 2  3 1  2n + 3n − 1 n 2 2 + −    Para n ≠ 0  5 10 2 n  3 + + − 2 n n n3 un =   3 1   2 +  − n  n2   n2  n    De acuerdo con lo visto anteriormente. recurrimos a un artificio: factorizamos en el numerador el término de mayor grado en n. repetimos el proceso para el denominador.que normalmente hemos de poder determinar sin mayores dificultades. entonces  3 1  2+ −  n n2   =2    5 10 2  3+ + 2 − 3 n  n n lím  3 1 n → ∞  2+ − n  n2 Cálculo diferencial Podemos deducir que:   = 3  2   121 . tenemos: 5 lím   = 0 . n → ∞ n3  2 − n 3     =  3 lím  = 0 n → ∞ n  3 = 0 . simplificamos (n ≠ 0) . vemos ∞ las reglas anteriores llegaríamos a una forma indeterminada del tipo ∞ que al aplicar ∞    un →  ∞   Para levantar dicha indeterminación. Buscamos luego el límite de la expresión resultante. lím n → ∞  n 2 n → ∞ n   3  lím  n → ∞  n2 122   = 0.  n → ∞ n    2  −  = 0. Recurrimos entonces al artificio ya explicado: factorizamos ∞ en el numerador el término de mayor grado en n. lím   n → ∞  n3  .    2   n3   3 5   2 −  + n 1  n2    1 3 2  n   5 − +  − 2 n n  n3  De acuerdo con lo visto anteriormente:  5  3   lím  −  = 0. hacemos lo mismo con el denominador y luego simplificamos ( n ≠ 0 ) Por lo tanto:  3 5 n 2  2 − + n  n2  1 3 n 3  5 − + − n n2  Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.De donde: Entonces: Ejemplo  5 10 n  3 + + − n n2  lím  3 1 n →∞  2 + − n  n2 2   n 3  →+ ∞     3n 3 + 5n 2 + 10 n − 2    →+ ∞  2n 2 + 3n − 1  2 Examinemos la sucesión     5n 3 − n 2 + 3n − 2  { v n } =  2n 2 − 3n + 5 Al aplicar las reglas mencionadas inicialmente. vemos que llegaríamos a una forma indeterminada del tipo ∞ . lím  −  = 0.     1   = 0.UNAD vn = Para n ≠ 0 : vn = . Por consiguiente:  3 5  2− +  = 2. entonces n →∞ n  2n 2 − 3n + 5 2 lím vn = lím = (0)   = 0 3 2 n →∞ 5 n → ∞ 5n − n + 3n − 2  2n 2 − 3n + 5  3  5n − n 2 + 3n − 2 Ejemplo  → 0  3  2n 2 + 3n − 5  Examinemos la sucesión { w n } =    5n 2 − 2n + 3  Al aplicar las reglas mencionadas inicialmente. factorizamos. ∞ Hacemos entonces lo sugerido anteriormente. simplificamos y calculamos el límite de la expresión resultante  3 5   2 + 3 − 5 n 2  2 + − 2 n n n2  n = wn =  2 3  5− 2 − 3  n 2  5 − − n n2 n n 2   Cálculo diferencial n ≠0 123 . vemos que llegaríamos a una forma ∞ indeterminada del tipo . lím  n n 2  n →∞  y  1 3 2  5 − + =5 lím −   2 n n n →∞  n3  Podemos concluir:  3  2 − + n  lím 1 n → ∞ 5− + 3 n n2 Y como 5   n2  = 2 2 5 − n3  1  lím   = 0. convergía y tendía hacia cero.UNAD Que una expresión de tipo racional cuyo numerador era del mismo grado que el denominador.De acuerdo con lo ya establecido:  5 3 lím   = 0. entonces lím 2 + −   n n2  n →∞  = 2     2 3   = 0. entonces lím 5 − + = 5   n →∞ n n 2   Podemos concluir. Que una expresión de tipo racional cuyo numerador era de grado inferior al denominador. 124 . entonces que: 3 5 − n n2 2 lím w n = lím = 2 3 n →∞ n →∞ 5 5− − 2 n n 2+  2n 2 + 3n − 5  2  2 → 5  5n − 2n + 3  ¿Qué observamos en los ejemplos anteriores? Que una expresión de tipo racional cuyo numerador era de grado superior al denominador. divergía y tendía hacia el infinito. convergía y tendía hacia el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y del denominador. lím n → ∞ n  n → ∞  n 2   3 5  = 0. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. lím  − 2 n →∞n n → ∞ n  3  2  lím  −  = 0. claro que también podemos hacer gráficas. como son las computadoras y las calculadoras de bolsillo. 24 = 16. antes del advenimiento de las máquinas electrónicas. Ante todo. ¿A partir de qué exponente efectúa un redondeo la máquina citada? 125 . tal vez. solo deseamos que se logre tener un sentido de lo que la tecnología nos depara. 25 = 32. ¿a partir de qué natural. tomar conciencia de los cálculos que realizan. la máquina hace un redondeo. 4. 2n si n es un natural. 210 = 1024. los número como la mantisa. que nos brinda la tecnología. debemos invitar a nuestros queridos lectores a verificar el. Examinando el caso con otra base.Lectura complementaria Calculadoras y computadoras. Sus sistemas algebraicos Queremos hacer un comentario muy breve de una herramienta muy útil. lo conocemos en esa forma. por Cálculo diferencial ello 134217728 lo debe almacenar como 1. como almacena los números y como hace los cálculos. Observamos que si la potencia tiene más de ocho cifras o dígitos. una cuestión importante es saber la capacidad del respectivo instrumento. por ejemplo 3. entrar en profundidad con estos asuntos. una sencilla Casio (fx120). a su vez. pero a la vez. sea necesario. el resultado ya no es exacto. así llamado. tener el suficiente juicio para tener el cuidado de no creer que siempre y en forma incontrovertible dichas herramientas son infalibles. 21 = 2. es decir. Las preguntas que debemos hacernos en este caso ¿el resultado obtenido es exacto?. en nuestro caso. entonces ¿por qué termina 227 en cero. software de su respectiva calculadora o computadora. (227 = 134217728).432. 225 = 33´554. que entendamos que sobrepasamos la capacidad de la calculadora. ó 6. es decir. uno término muy utilizado. 8. 226 = 67108864 ¿Qué notamos?. 227 = 134217730. en el manejo de los algoritmos. 2n. deberá necesariamente terminar en 2. para hacer cálculos. de ninguna manera. el exponente del número 10. Las calculadoras y las computadoras almacenan los números en una forma exponencial. 23 = 8.34217728 x 108. sino que la máquina hace un redondeo? Veamos unos ejemplos: 25 = 32. 22 = 4. y por ende. No pretendemos. ¿habrá posibilidad de que unos sean exactos y otros no?. Para empezar veamos algunas potencias de 2. 00000008 . x = 10. Pero. la calculadora que utilizamos tiene una mantisa de 8 dígitos.00000008 )8 f (1.5555555555556 x 10 1.00000008 )4 + 4 ] − (1. podíamos aceptar los resultados.00000008 ) 4 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD f (10 ) = (10 4 ) 2 + 4 − 10 8 10 4 = 8. 9999952 (1. 00000008 ) = = 23. así hacemos una serie larga de operaciones. Con lo anterior podemos afirmar que una máquina con 12 dígitos de mantisa almacenaría - 1/7 como 1. 315 = 14348907. el natural 17 efectúa el primer redondeo. hagamos el cálculo aplicando una forma algebraicamente equivalente. 317 = 129140160. 2 ( x 4 + 4) − x8 f ( x) = x4 126 = x8 + 8x 4 + 16 − x 8 x4 = 8x 4 + 16 x4 . por encima de estos. si la situación lo permite.Calculemos: 320 = 3486784400.42857142857 x 10 1 y una máquina de 14 dígitos almacenaría 5/9 como - 5. por ejemplo. si calculamos: (x 4 + 4)2 − x 8 f (x) x4 hagamos con x = 1. 316 = 43046721 En este caso. x = 100. donde posiblemente puede resultar redondeo desastrosos es en las diferencias de números muy próximos. x = 1000 y x = 10000 Con la calculadora recibimos f (1) = (14 + 4)2 −18 = 24 14 2 [ ( 1. Como podemos observar.002 f (100 ) = ((100 ) 4 + 4)2 −100 8 =10 f (1000 ) = ((1000 ) 4 + 4)2 −1000 8 100 4 1000 f (10000 ) = 4 = ((10000 )4 + 4)2 −10000 8 10000 4 0 1000 4 = =0 0 10000 4 =0 Ahora. es decir. empieza hacer redondeos. en estos casos. Es decir. x = 1. ni lo otro. en cuanto al resultado que da la máquina. cada persona tiene a su disposición una calculadora o computadoras diferente. y todo debido al redondeo. nuestra calculadora con el comando exponencial - (xy) no efectúa la operación ( 64)2 .00000008) 4 = 8+ 16 (1. entonces.00000016 100 4 8 (1000 4 ) + 16 f (10000 ) = 1000 4 = 8. De todas maneras. como fácilmente se comprende. (x4 + 4)2 es aproximadamente igual a x8 y sobre todo porque nuestra calculadora solo tiene una mantisa de 8 dígitos. debe consultar con el señor tutor cómo podría tener acceso a alguna de estas herramientas en su respectivo Cead.0000000000 000016 Notamos que en f(10) el redondeo lo podemos aceptar. o no posible de calcular. En este caso. ( 64)2/3 el resultado E.9999952 f (10) = 8 (10 4 ) + 16 f (100 ) = 10 4 = 8. 00000008) 4 + 16 (1.9999952 = 23 .es - decir. Por esto.y en f(1000) y f(10000) no son resultados que podamos aceptar. 10 en contra de 8. concluimos que nuestra calculadora no hace potencial de números negativos. o en caso extremo ni lo uno. es decir Casio (fx120) . pero sabemos que esto equivale a ( 64) elevado al cuadrado y luego extraer la raíz cúbica. pero. o en último caso en un sitio que ofrezca este servicio. con el comando x2 si. Cálculo diferencial Esta es la razón por la cual se proponen pocos problemas sin información de retorno. 127 . En la siguiente unidad tendremos la oportunidad de utilizar estas herramientas con mayor intensidad. error.(1) = 8 (14 ) + 16 14 f (1.00000008) = = 24 8 (1.0016 8 (100 4 ) + 16 f (1000 ) = = 8.00000008) 4 = 8 + 15 .00000016. - Otro ejemplo con nuestra calculadora.0000000000 16 8 (10000 4 ) + 16 10000 4 = 8. en f(100) resulta un tanto alto. { u n } =  − ( n − 1)   2 3 n ≥ 0 2. estacionaria o periódica. { u n } = { 2 + 3 (n + 2 ) }n ≥1 En las sucesiones dadas: a) Partiendo de la definición por recurrencia y del primer término de cada Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. b) Hallar. e) Indicar si la sucesión estudiada es una progresión aritmética o geométrica. e) Indicar si la sucesión estudiada es convergente o divergente.Para las sucesiones propuestas en los ejercicios: a) Hallar los cinco primeros términos de cada sucesión. hallar su límite. una cota superior para cada sucesión. 128 Autoevaluación unidad 1 acotada. si es posible. Indicar si la sucesión es acotada. cuando sea posible. 1. o una progresión geométrica. hallar su diferencia común o su razón común según el caso.UNAD sucesión. decreciente o estacionaria. una cota inferior. si es convergente. hallar una cota inferior. Indicar si la sucesión estudiada es o no c) Indicar si la sucesión estudiada es creciente. hallar su diferencia o razón común y la suma de sus diez primeros términos. b) Hallar los cinco primeros términos de cada sucesión c) Hallar un cota superior para cada sucesión. d) Indicar si la sucesión estudiada es creciente. en caso de ser posible. cuando sea posible. decreciente. d) Indicar si la sucesión estudiada es una progresión aritmética. hallar el término general en función de n. .hallar. si corresponde a uno de estos dos tipos. con base en la definición. ¿cuál será la máxima tasa i de aumento que podríamos afrontar si quisiésemos comprar la nevera en 1990? Cálculo diferencial Se supone que la población colombiana. 5)  4 −n  Demostrar que la sucesión { v n } =  1 + 2n    u0 = 1 4) u n+1 = 3 un .u1?. a donde converge cada una de las sucesiones:  2  6) { w n } =  3n2 + 1  8) {u n } = {  7)  2n − n n ≥1 { u n } =  1 +   3n  1   3n     n ≥ 1 } n + 1 − 3n − 1 n ≥ 1 9) Dada la sucesión { u n } definida por: n≥0 a) Hallar un+2 en función de un b) ¿Es dicha sucesión periódica? c) ¿Es convergente? u0 = 0 y u −5 u n+1 = n u n −1 10) Deseamos comprar una nevera que cuesta 45000 pesos en enero de 1984. a) ¿Cuál sería la población colombiana el 1° de enero de 1985.u2?. el 1° de enero de 1984. en enero de 1986. la cual nos garantiza una tasa del 24% anual. Los consignamos en una institución financiera. ¿Cuánto tendremos en enero de 1985. En los ejercicios dados hallar. u 3?. si es convergente hallar su límite.u1? b) ¿Cuál sería la población colombiana el 1° de enero de 1986. un? b) Si el precio de la nevera se incrementa en un i% por año. ¿en enero de 1987.9%.1/2.f) Indicar si la sucesión estudiada es convergente o divergente. a) Designemos por { un} la sucesión cuyo término general un corresponde a la suma de la que podríamos disponer en enero del año (1984 + n). 2 u0 = 2 converge a L = . Sólo disponemos de 20000 pesos.u2? 129 . cuando sea posible. ¿en enero de (1984 + n). fue de u 0 = 30800000 habitantes y que la tasa promedio de incremento anual de la población es de i = 2. 3) u n +1 = u n + 3. . ¿cuáles son sus características? d) ¿Cuál sería la población colombiana el 1° de enero de (1984 + n). + v2 + ...+ un e) Demostrar que la sucesión aritmética 130 { w n }n≥0 n≥0 y {u n } n ≥0 ? En el caso de que lo sean. ¿De qué clase de sucesión se trata? ¿Cuáles son sus características? b) ¿Son convergentes las sucesiones { v n } Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. + u2 + .UNAD valor converge cada una? c) Calcular S = v0 + v1.+ vn d) Calcular S´ = u0 + u1.c) ¿De qué tipo de sucesión se trata?. ¿a qué de término general w n = log v n es una progresión ..un? e) ¿Cuál sería la población colombiana el 1° de enero del año 2000? f) ¿A partir de que año es posible esperar que se duplique la población colombiana existente el 1° de enero de 1984? Dada la sucesión {u n } u n +1 = y la sucesión {vn } definida por su primer término u0 = 8 y la relación de recurrencia: n ≥0 2 u n + 10 3 definida con base en la sucesión { un } en la siguiente forma: n ≥0 vn = u n − 6 a) Hallar el término general de la sucesión { un } en función de n. sean tres términos consecutivos de una progresión geométrica. cos 3x. cos 2x.Ejercicios Complementarios 1) a) Determinar el conjunto tal que: cos x. cos 2x. b) Determinar el conjunto que: cos x. cos 3x sean tres términos consecutivos de una progresión aritmética (en este orden). 131 . 2) Consideremos la progresión geométrica { u n }n ≥1 u 3 − u1 = − 6 definida por: u 2 = −1 a) Demostrar que los términos u1 y u3 son inversos el uno con respecto al otro. dar los tres términos de la sucesión. e) Hallar lím S n→∞ 3) a) Demostrar que el perímetro de toda línea poligonal regular convexa inscrita { pn} b) ¿Es creciente { pn} o decreciente? c) ¿Es creciente { p´n} o decreciente? Cálculo diferencial es menor que el de la línea circunscrita asociada { p´n}. Para cada valor de x. d) Calcular la suma de los n primeros términos de la sucesión que denominaremos S. en este orden. b) Hallar la razón común q (q < 0) c) Hallar un en función de n. w0 y w1 : Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. expresar dicha cantidad en .4) Sea {u n } la sucesión definida por la relación de recurrencia n ≥1 2 u n +1 = u n + 2k a) Mostrar que existe un número real k´ tal que la sucesión { vn} sea una progresión geométrica si se cumple que: vn = u n − k´ b) Calcular S´= v1 + v2 + ...UNAD S´´= w1 + w 2 + . + vn c) Hallar S = u1 + u 2 + .. + w n 132 no depende de n.... + u n en función de u1 y n d) Si la sucesión 2 w n +2 3 − { w n } n ≥1 w n +1 + está definida por la relación de recurrencia: 1 wn = 0 3 1   w Demostrar que  w n + 2 − 2 n + 1   función de w0 y w1 e) Determinar en función de n. 2.7 Asíntotas verticales y horizontales diferencial 2.8 Continuidad Cálculo 2.3 Límites al infinito 2.6 Límites unilaterales 2.UNIDAD Límite de una función continuidad 2 Contenido 2.2 Formas indeterminadas 2.5 La función tiende a infinito cuando x tiende a xo.1 Límite de una función cuando x tiende al infinito 2.4 Límites infinitos 2.9 Evaluación de los límites mediante la computadora 133 . UNAD .134 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 135 Cálculo diferencial Límites al infinito Lenguaje formal Lìmites unilaterales Lìmites infinitos Límite de una función clases Conceptualización tiene Horizon- Límite de una función Vertical pueden ser Asíntotas permite Punto Intervalo pueden ser Continuidad permite . 136 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD . Determinar si una función dada es continua o discontinua en un punto o en un intervalo. + Hallar el límite de una fucnión cuando x tiende a X o ó Xo (si existe). . y determinar si la función es continua o no en un punto o en un intervalo. Cálculo OBJETIVOS General 137 . Hallar el límite de una función cuando x tiende a Xo (si existe) . Xo ó al infinito.Obtener el límite de una función cuando la variable tiende a un valor establecido. Hallar el límite de una función cuando x tiende al infinito (si existe) . . X o . + Demostrar si una función dada tiende al infinito cuando x tiende a Xo. Hallar las asíntotas tanto verticales como horizontales de diferencial una función dada (si existen) y trazar la gráfica de dicha función con base en ello. Demostrar si una función dada tiende a un límite cuando x tiende al infinito. . . Especìficos . UNAD .138 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Sin embargo. con la temperatura del centro de una lata de alimento gelificado.con el concepto de límite sobre sucesiones. bajo ciertas condiciones? (caso de una función que podría tender al infinito). a la resistencia de un cable. Tras esto. sometida a calentamiento en un esterilizador. al cabo de cierto periodo de tiempo. si el diámetro está dentro de cierta margen estrecha? (caso de una función que tiende a un límite cuando x tiende a Xo). y observar qué ocurre cuando x toma valores infinitamente grandes o infinitamente pequeños. tuvimos la ocasión de trabajar 139 . Cálculo INTRODUCCION E n la unidad anterior. las sucesiones son tan sólo un caso particular de función: aquel en el cual el domino de la función corresponde a los naturales o a un subconjunto de los naturales. cuando la variable independiente se acerca a un valor dado? diferencial ¿Qué le ocurre por ejemplo. podemos entonces extender las nociones ya vistas a funciones cuyo dominio de definición incluye valores tan grandes como queramos o que su valor absoluto lo sea. podemos interesarnos en otro porblema ¿qué le ocurre a una función. como podemos darnos cuenta. que se puede expresar como función de su diámetro (fijando los demás parámetros). ¿Qué ocurriría por ejemplo. nos enfrentamos a un nuevo problema: la continuidad. nos conviene disponer de todas las herramientas que nos facilitan esta tarea: las asíntotas. en nuestra fábrica. por ello entramos a Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. pero por valores menores? ¿Qué ocurre cunado se acerca por valores superiores o mayores? (límites unilaterales). Si las ganancias de una fábrica son función de la cantidad de mercancía vendida.¿Qué ocurre con una función cuyo denominador tiende a cero cuando la variable indpendiente tiende a un valor dado? (Caso de una función que tiende al infinito cuando x tiende a Xo). tendría que contratar otro turno e incrementar los gastos fijos. lo cual modificará la función ganancias. 140 . o cuando la gráfica presenta un salto? ¿Qué ocurre en el punto crítico en el cual. ¿qué ocurre cundo el nivel de ventas se acerca al valor crítico. ¿Qué ocurre por ejemplo cuando una función no está definida para un valor de la variable independiente. Dada la constante necesidad de trazar gráficas. tanto verticales como horizontales.UNAD emplearlas en esta unidad. modificando la función ganancias?. Tras esto. y si por encima de cierto nivel de ventas se necesita contratar un nuevo turno. forman parte de dichas herramientas y son una aplicación de los conceptos de límites con los que ya trabajamos. 030 0.026832 m ≅ 2. ¿Cuál sería la representación gráfica de R en función de d. De acuerdo con la expresión de resistencia en función del diámetro del cable.0346 0.03000 Ω necesitaríamos un cable de diámetro: d= 2.0273 0.0256 0.68cms 0.0290 0.60 y 2.16 x10 − 5 d2 (d : metros ) 1. En nuestra planta procesadora de frutas estamos instalando el sistema eléctrico. si d varía entre 2.0305 Ω ? 1.0248 0.2.1 Límite de una función cuando x tiende a x o Partamos nuevamente de un ejemplo.0266 0.0330 0. podemos expresarla en función del diámetro del cable d.03000 Ω (ohmios).80 cms? 3. 141 .0280 0. ¿Dentro de qué intervalo tendría que estar el diámetro del cable para que pudiéramos asegurar que la resistencia esté comprendida entre 0.0260 0. 10 −5 = 0.0283 0.0351 0. podemos decir que para tener una resistencia R= 0.0276 0.0305 0.0295 y 0. ¿Cuál debería ser el diámetro del cable para que su resistencia R fuese igual 0. mediante la siguiente ecuación: R= 2.0270 Cálculo d diferencial 2.0320 0.0250 R 0. 16 .0300 Ω ? (suponiendo que pudiésemos medir exactamente tanto la resistencia como el diámetro del cable) 2. La resistencia de la línea eléctrica ha de ser igual a 0. 028 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.028m 142 0.032 0.030 0. en el intervalo 0.0264 0.026 m a 0.2 plot for 2.0268 0. title = plot for 2.031 0. d = 0. .026 .3 0. 16 ) / ( ( d ∧ 2 ) * 10 ∧ 5 ) R : = 0000216000 0000 1 d2 > plot ( R.028 .028 .026 0.0272 0.0276 0.029 0.1 Gráfico de la resistencia en funcióndel diámetro.> R : ( 2. 0.UNAD FIGURA 2. 66 y 2. convendría entonces. como sabemos.0268 0.0300 Ω Cálculo si d = 0.0266 0.0305 0. en el intervalo de 2.R Ω 0.2 Gráfico de la resistencia en función del diámetro.026 0.0305 y 0.033 0.029 0.0305 < R < 0.0295 Ω .035 0.60 a 2. en la realidad) podríamos afirmar que: R = 0.028 0.025 0.027 0.029 0.032 0.028 0.031 0.0300 0.034 0.0270. 0.0266 < d < 0.0295 0. o sea: Para que 0.027 0.026 0. Para estar seguros de que la resitencia del cable esté comprendida entre 0.0268 m 143 .70 cms.0295 se requiere que 0.030 d (m) 3. ¿Qué observamos? diferencial Si nuestras medidas estuviesen despojadas de toda incertidumbre (lo que no ocurre. de acuerdo con la gráfica trazada que el diámetro del cable estuviese comprendido entre 2.80 cms.024 FIGURA 2. 01 2.0300 Ω .10 2.40 4.0268 m = 0.60 5.0003 .20 2.15 5.99 1.45 5.75 5. excepto para x = 2. f ( x ) = 3x − 1 Observemos qué ocurre en los alrededores de x = 2. o sea para valores de x cercanos. Tomemos la función f definida por la ecuación: ( 3x − 1) ( x − 2 ) (x −2) D= R f ( x) = − { 2} Sabemos que la función f está definida para todos los valores de x.30 5. Tomemos inicialmente valores menores a 2 que se vayan aproximando cada vez más a dicho valor.9999 f(x) 2 3.15 2.50 5.25 4. si x es diferente de 2. su resistencia tiende a 0.85 1.97 4.75 1.90 1.999 1. podemos simplificar la expresión de f (x) por ( x − 2 ) .001 2.UNAD presentamos a continuación: 144 x 1 1.997 4.0268 m. lo único que podemos asegurar: cuando el diámetro del cable tiende a 0.25 2.Pero como nuestras medidas necesariamente tienen un margen de error.50 4.0300 Ω Veamos otro ejemplo.80 1. obteniendo: para x ≠ 2.55 4. o sea: lím R d → 0.85 4.95 1.70 4. y obtenemos así. y luego valores mayores a 2 que se vayan aproximando cada vez más a dicho valor. pero no iguales a 2. las tablas de valores que Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.0001 f(x) 8 6.03 5.05 2.003 5.50 1. Además.50 2.9997 x 3 2. 0001.001 O bien. cuando x − 2 < 0.001 a 2). cuando x toma el valor de x= 1.003.003 a 5). también vemos que podemos lograr que el valor de f(x) se acerque a cinco tanto como queramos. ¿Podemos invertir el punto de vista? Además de observar que entre más cercano sea el valor de x a 2. cuando x toma el valor de 2. siendo tal que f(x) = 5 + 0.003 a 5).¿Qué observamos a partir de la tabla de valores? Notamos que a medida que x se aproxima cada vez más a 2.999 (que es menor en 0. f(x) se aproxima cada vez más a cinco. f(x) se acerca todavía más a cinco. tomando valores de x lo suficientemente próximos a dos. podríamos lograr tener f(x) = 5 + ε (siendo ε un real positivo tan pequeño como queramos ) tomando valores de x tales que x = 2 + δ (siendo δ un real positivo dependiente de ε ) . podemos lograr tener f(x) = 5 + 0. cuando 0 < x − 2 < δ Al estar en capacidad de determinar. cuando x + 210. Dicho en otra forma.003. podemos decir que el límite de f (x) cuando x tiende al valor 2 es L = 5.003 (que es mayor en 0.001 (que es mayor en 0.001 entonces f(x) = 5 + 0. o sea: f ( x ) − 5 < ε. a una vencidad para x de centro 2 le asociamos una vecindad para f(x) de centro 5. 003. Precisemos un poco más esta idea.001 a 2) f (x) toma el valor y=4. Por lo tanto.997 (que es menor en 0. puesto que f no está definido para x=2): sí por ejemplo.0003. más cercano será el valor de f(x) a cinco. f(x) toma el valor y= 5. o sea: f ( x ) − 5 < 0.001. en forma general. Cuando x se aproxima aún más a 2. y podemos escribir: f ( x ) = lím x→ 2 ( 3x − 1) ( x − 2 ) =5 x− 2 Cálculo lím x→ 2 145 . tomando valores de x tales que x = 2 + 0. siendo tal que x= 2 + 0. para todo número real ε positivo un número real diferencial δ que cumpla la condición anterior. (sin llegar a tomar dicho valor. y 6 5+ 5 E 5- 4 3 2 1 2-5 -4 -3 -1 -1 FIGURA 2.3 Gráfico para f ( x) = -2 0 1 2+5 2 x 3 4 5 6 7 2-5 ( 3x − 1 ) ( x − 2 ) x−2 NOTA: Vemos claramente que f (x) estará comprendido entre ( 5 − ε ) y ( 5 + ε ) siempre y cuando x esté comprendida entre ( 2 − δ ) y ( 2 + δ ) ( aún cuando f(x) no esté definido para x = 2. o sea: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. lo cual lo designamos con el símbolo φ ). más se acercará f(x) al valor L= 5 ( sin llegar a tomarlo).UNAD f ( x ) − 5 < ε siempre que 0 < x − 2 < δ y por lo tanto lím f (x) = 5 x→ 2 146 . y que entre más se acerca x al valor 2. 147 . pueda existir. Así por ejemplo.1. cuando para todo número real positivo ε (tan pequeño como queramos) podemos hallar un número real positivo δ tal que: f ( x ) − < L ε siempre que: 0 < x − xo < δ Escribimos entonces: lím x → xo f(x) = L f x -¥ x0- x0 f(x) x0+ d ¥ -¥ l x-xl0 < d L- L L+ ¥ l f(x) .1 Límite de una función cuando x tiende a ( x → xo ) Definición: sea f una función definida en todo punto de un intervalo abierto ( que contenga (Xo) excepto tal vez en dicho punto .2. aún cuando x −2 f ( x) = ( 3x −1) ( x − 2 ) x −2 Cálculo diferencial no estaba definida para x o = 2.L < lim f(x) = L x x0 x FIGURA 2. Decimos que el límte de f (x) cuando x tiende a xo es L. cuando x tienda a x o .4 Gráfico que ilustra: lím f ( x ) = L x → xo Es muy importante que veamos claramente que no es indispensable que la función esté definida en x o para que el límite. vimos que lím x→ 2 ( 3x − 1) ( x − 2 ) = 5 . Ejemplo 1 Con base en la definición. con base en la definición. x →1 Debemos hallar un δ > 0 tal que. para determinar el valor de δ . en efecto: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. o sea que: si f ( x ) − 5 < ε entonces x −2 < δ Y hemos demostrado que. como debe ser para que el límite exista. entonces dividimos ambos miembros de la desigualdad por 3: ( 3x −1 ) − 5 < ε ⇔ x− 2 < ε / 3 Tomamos δ = ε /3 y así se cumple la condición requerida. Ejemplo 2 Demostremos que lím 4x2 = 4. para todo ε > 0 si f ( x ) − 4 < ε 148 entonces x −1 < δ . demostremos que: lím x→ 2 ( 3x − 1) = 5 Debemos hallar un δ > 0 tal que para todo ε > 0 f (x )−5 < ε 0 < Pero x −2 < δ f ( x ) − 5 = ( 3x − 1) − 5 Desarrollamos las operaciones indicadas y despejamos para x f ( x ) − 5 < ε ⇔ ( 3x − 1) − 5 < ε ⇔ ( 3x − 6 ) < ε ⇔ 3 ( x − 2) < ε ⇔ 3 x − 2 < ε Vemos que será mejor despejar la expresión x − 2 .UNAD lím ( 3x − 1 ) = 5 x→ 2 NOTA: Vemos que ε depende de δ . Para hacerlo.O sea. si x − 1 < 1 entonces x +1 < 3. como también la diferencia de cuadrados.. Volvamos a la expresión que queríamos simplificar: 4x 2 − 4 = 4 x − 1 x + 1 < 4 x − 1 3 ( si x − 1 < 1 ) O sea: 4 x 2 − 4 < 12 x −1 12 x − 1 < ε ⇒ x − 1 < ε 12 ε . nos convendría hallar una cota superior al término x + 1 . reemplazamos f(x) por su expresión f ( x ) − 4 < ε ⇔ 4x 2 − 4 < ε Factorizamos por 4.. reduciendo aún más el radio de la vecindad de centro 1) podremos escribir: x −1 < 1 Entonces x −1 < 1 ⇔ − 1 < x − 1 < 1 ⇒ 0 < x < 2 Si a esta desigualdad le sumamos 1 obtendremos la expresión x+1: 1<x+1<3 O lo que es lo mismo. tendremos: 4x 2 − 4 < ε ⇔ 4 x − 1 x +1 < ε Para determinar δ . δ = 1/10. debemos lograr despejar la expresión hallar un δ tal que x − 1 puesto que debemos x −1 < δ . si fijamos δ =1 (arbitrariamente. que nos permita simplificar la expresión. puesto que también podríamos tomar δ = 1/2. Cumple la condición δ = f ( ε ) 12 Cálculo Entonces: δ = diferencial Puesto que la expresión debe ser menor que ε . Para valores cercanos a x=1.. 149 . δ =1/4. podemos suponer que: x −3 < 1 (También podríamos suponer que: x − 3 < 1/ 2. 5 entonces x −3 < δ Reemplazamos a f(x) por su valor: f ( x) −L < ε ⇔ x −1 2 − 2x −1 5 <ε Hagamos las operaciones indicadas y factoricemos: f (x ) − L < ε ⇔ x −1 2 5x − 5 − 4x + 2 1 − = = 2x − 1 5 5 ( 2x − 1) 5 x −3 2x −1 Puesto que x tiende a 3. excepto para x = 1/2. x − 3 < 1/ 4. para todo ε > 0: si f ( x ) − 2 < ε. ) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.Ejemplo 3 Con base en la definición.. Debemos hallar un δ > 0 tal que.UNAD Lo que equivale a escribir: x − 3 < 1⇔ − 1 < x − 3 < 1 ⇒ 2 < x < 4 Si multiplicamos los miembros de la desigualdad por dos y luego restamos 1 con el fin de obtener la expresión ( 2x − 1) 2 < x < 4 ⇒ 4 < 2x < 8 ⇒ 3 < 2x − 1 < 7 Si tomamos los inversos: 1 1 1 1 1 < < ⇒ < 7 2x − 1 3 2x − 1 3 (Esto porque x está en la vecindad de 3) 150 . demostrar que: lím x→3 f ( x ) = lím x→3 x −1 2 = 2x − 1 5 Dicha función está definida para todo valor de x.. existe. es único.Por consiguiente. entonces x − 3 < 15 ε 5 15 Si tomamos para δ el menor valor entre 1 ý 15 ε . para que se verifique que: f ( x) − x −3 2 < ε basta que < ε. reemplazamos dicho valor f (x ) − 2 1 = 5 5 x −3 x −3 2 11 <     x −3 ⇒ f (x ) − < 2x − 1 5 15 53 Por lo tanto. Si el límite de una función f cuando x→ xo . 151 . si f ( x ) − 2 < ε entonces x − 3 < δ = 15ε 5 Por lo tanto: lím x→3 f ( x ) = lím x→3 x −1 2 = 2x − 1 5 2. o dicho de otra forma: Si lím f(x) = L x → xo y lím f(x) = L’ ⇒ x → xo L = L’ Una consecuencia práctica muy útil de esta propiedad es la de que si dos funciones toman valores iguales en una vecindad. para todo positivo. 1. con centro en x o. se cumple que: ∀ ε > 0. Veámoslas inicialmente y luego pasaremos a su aplicación. 2 5 (x −1) (x +1) x −1 Cálculo 2 5x − 5 5 ( x −1) = lím = lím x −1 x −1 x →1 x →1 x →1 lím diferencial el mismo límite cuando x→ xo . entonces tendrán Así por ejemplo.2 Propiedades de los límites Dos propiedades esenciales nos pueden resultar muy útiles en nuestro trabajo con los límites.1. reducida o no. excepto para x = 0.Si en una vecindad. definida para todo valor de x. entonces: lím x →1 5x 2 − 5 = lím 5 ( x + 1) = 10 x →1 x −1 2. Analicemos la siguiente situación: sen x .5 Circunferencia unidad 152 x A B . x Sea la función f ( x ) = f ( x ) = lím Queremos determinar el lím x → xo x → xo sen x x Veamos: Utilicemos una circunferencia de radio 1. pero se puede consultar en un libro de cálculo. entonces: Como una aplicación. vamos a demostrar una propiedad que utilizaremos más tarde. la función f ( x ) = 5x 2 − 5 x −1 y la función g (x) = 5 ( x + 1 ). y si además lím g (x) = lím lím x → xo x → xo f(x) = L x → xo h (x) = L. (circunferencia unidad). reducida o no.UNAD θ = ángulo [ 1 θ r2 2 θ = −π . Teorema del emparedado. Recordemos: Area sector circular: A = Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.Si x ≠ 1.π 2 2 ] r = radio Area triángulo: A= 1 bx h 2 b = base y h = altura C D y O FIGURA 2. con centro en xi . se cumple que: g (x) < f (x) < h ( x ). si bien la demostración no es imprescindible. toman los mismos valores en la vecindad reducida con centro en 1. cos θ sen θ . entonces : 2 Area (OBC) = θ 2 y y= r sen θ luego: Reemplazando en la desigualdad θ cos 2 θ sen θ cos θ θ ≤ ≤ 2 2 2 Dividimos la desigualdad por θ cos θ . cos θ = 2 2 Area (OBC) = 1 θr 2 pero r = 1. luego: Aplicamos límite cuando θ tienda a cero.Según la figura: Area ( OAD ) < Area (OAC) < Area (OBC) Area (OAD) = 1 2 θ r donde r = x entonces: 2 1 θ x2 2 x = cos θ . entonces: Area (OAD) = Area (OAD) = pero x = r cos θ ( r = 1). entonces obtenemos: cos θ sen θ θ ≤ ≤ 2 2θ 2 θ cos θ cos θ ≤ lím θ→0 sen θ 1 ≤ θ cos θ multiplicamos por 2 toda la desigualdad. luego: 1 θ cos 2 θ θ cos 2 θ = 2 2 Area (OAC) = 1 x − y pero x = r cos θ 2 Area (OAC) = 1 sen θ. entonces: sen θ 1 ≤ lím θ→0 θ θ → 0 cos θ valorando los límites: cos θ ≤ lím sen θ ≤ 1 por el teorema del emparedado θ→0 θ θ→0 sen θ =1 θ Así queda demostrado el teorema Cálculo lím diferencial 1 ≤ lím 153 . UNAD x → xo lím x → xo 6. lím tan x =1 x x→ 0 x→ 0 3. Si a y b son dos números reales cualesquiera: lím x → xo (ax + b) = axo + b 4. Si lím x → xo lím x → xo 7. reducida o no.Es muy importante recordar este resultado. Si c es una constante: lím x → xo 5. entonces: (f (x) g (x)) = 0 f(x) = 0 y g (x) ≠ 0 en la vecindad de xo. reducida o no. así como otros dos. como lo veremos posteriormente. Si lím Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. entonces: f ( x) =0 x → xo g ( x ) lím 154 . podemos utilizar los siguientes resultados: 3. lím sen x =1 x 2. entonces: (af (x) ) = 0 f (x ) = 0 y g (x) es acotada en la vecindad de xo. En resumen: 1. lím x→ 0 1− cos x x 2 = 1 2 Para hallar directamente el límite de una función f cuando. Si lím x → xo c=c f(x) = 0. para todo real a. que se derivan de él. Si lím f(x) = L y lím g (x) = L’.8. entonces: lím x →x0 e f ( x) f (x ) = = n e lím L x →x f (x ) 0 diferencial 14. L’ ≠ 0 entonces: x → xo L L' Si lím f(x) = L y a > 0. Si lím f(x) = L y lím g(x) = L’. entonces: x → xo x → xo lím ( f(x) g (x) ) = L • L’ x → xo 10. Si lím af (x ) = a L x → xo lím x → xo f(x) = L. L > 0 y n cualquier real ( f (x) )n = Ln 13. entonces: x → xo x → xo lím ( f(g) + g (x) ) = L + L’ x → xo 9. Si lím f (x) = L y se cumple que: x → xo o bien L > 0 y n es un entero positivo cualquiera. Si lím f (x) = L f (x ) = g (x ) lím x → xo 11. o bien L ∈ R y n es un entero positivo impar. y x → xo lím g(x) = L’. entonces: x → xo lím x → xo 12. n Cálculo lím x → xo 155 . podemos escribir: lím x →1 f ( x ) = lím x →1 2 x 2 + x +1 = x +3 lím x →1 2x 2 + x + 1 x +3 De acuerdo con la propiedad 8.Ejemplo 1 Hallemos el lím x→3 f (x) = lím ( x 2 + 2 x − 1 ) x→3 Podemos escribir. de acuerdo con las propiedades enunciadas anteriormente: lím x→3 f ( x ) = lím ( x 2 + 2 x − 1 ) = lím x→3 x→3 x 2 + lím x→3 2 x − lím 1 x→3 Lo anterior por la propiedad 6.UNAD Hallemos el lím x →1 f ( x ) = lím x →1 2x 2 + x + 1 x +3 De acuerdo con la propiedad 11. Efectuando: lím f ( x ) = ( 3 ) ( 3 ) + 2 ( 3 ) − 1 = 14 (propiedades 1 y 2) x→3 Ejemplo 2 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. podemos escribir: lím ( 2x 2 + x + 1) x →1 lím x →1 156 f (x ) = lím x →1 (x +3) . En forma más explícita: lím f ( x ) = ( lím x ) • ( lím x→3 x→3 x→3 x ) + ( lím 2 ) • ( lím x) − lím 1 x→3 x→3 x→3 Lo anterior por la propiedad 7. 1− 1 0 En el lenguaje matemático se le llama indeterminación a formas como: 0 α . lo que buscamos es que éste exista. Estas indeterminacionees se pueden eliminar para algunas 0 α funciones por métodos algebráicos. pero veamos este caso: lím x →1 x 2 −1 . Si lo resolvemos. 157 .De acuerdo con las propiedades 7 y 10 ( lím x →1 f (x ) = 2 ) . obtenemos: x −1 12 − 1 0 = Una indeterminación. 1α . . ( lím x →1 x ) 2 + lím lím x →1 x + lím x →1 x + lím x →1 x →1 1 3 De acuerdo con las propiedades 1 y 2 lím x →1 f (x ) = 2 ( 1) 2 + 1 + 1 = 1+ 3 4 =1 4 2. al reemplazar la tendencia. 0°.2 Formas indeterminadas Cuando deseamos resolver un límite. α. de los cuales la factorización y racionalización son los Cálculo diferencial más utilizados para tal fin. α − α . luego Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Desarrollemos el producto notable: lím h→o x 3 3x 2 h + 3xh 2 − x3 h Simplificando: 3x 2 h + 3xh 2 h→o h lím Factorizando y simplificando: h ( 3x 2 + 3xh ) h→o h lím = lím ( 3x 2 + 3xh ) h→o Evaluando: lím 3 x 2 + 3 xh = 3 x 2 + 3 x ( 0 ) = 3 x 2 . tenemos: ( x + 0 ) 3 − x3 0 = 0 0 La idea es eliminar la indeterminación.Ejemplo 1 ( x + h )3 − x 3 x→ o h Calcular: lím Si sustituimos la tendencia.UNAD h→o lím h→o 158 ( x + h )3 − x 3 = 3x 2 h . nos veríamos en un grave aprieto puesto que llegaríamos a una forma indeterminada del tipo 0 . tomando el límite del cociente de las funciones como el cociente de los límites de las funciones. Debemos 0 recurrir a otro método.Ejemplo 2 f ( x ) = lím Calculemos el xlím →2 x→ 2 x 3 + 2x 2 − 4x − 8 x −2 Si intentasemos hacerlo como lo hicimos anteriormente. Vamos por lo tanto a tratar de factorizar y simplificar: lím x→ 2 f ( x ) = lím x→ 2 x 3 + 2x 2 − 4x − 8 = lím x→ 2 x −2 ( x 2 + 4x + 4 ) ( x − 2 ) x −2 De acuerdo con lo expuesto al comienzo de la sección: lím x→ 2 ( x 2 + 4x + 4 ) ( x − 2 ) = lím ( x 2 + 4 x + 4 ) x→ 2 x −2 De acuerdo con la propiedad 6: lím x→ 2 f ( x ) = lím x→ 2 ( x 2 ) + lím x→ 2 4 x + lím x→ 2 4 De acuerdo con las propiedades 10 y 1: lím x→ 2 f ( x ) = ( lím x ) 2 + 12 = 2 2 + 12 = 16 x→ 2 Por lo tanto: x→ 2 x 3 + 2x 2 − 4 x − 8 = 16 x −2 diferencial x→ 2 f ( x ) = lím Cálculo lím 159 . 11 y 2: lím f ( x ) = lím lím f ( x ) = lím x→ 4 x→ 4 4 +2=4 Por esto: x→ 4 160 x→ 4 x −4 x −2 =4 ( (x −4) x +2 x −4 ) .UNAD De acuerdo con las propiedades 6. 0 utilizamos el artificio que ya hemos empleado varias veces: multiplicamos y dividimos por ( x +2 ): lím f ( x ) = lím x→ 4 x→ 4 ( x + 2 ) = lím ( x −2 ) ( x +2 ) x→ 4 ( x − 4) De acuerdo con lo visto al comienzo de la sección: lím x→ 4 f ( x ) = lím x→ 4 ( x +2 ) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.Veamos ahora situaciones donde la racionalización es el camino para eliminar la indeterminación. nos enfrentamos a la forma indeterminada del tipo 0 . Para levantar dicha indeterminación. cuando x tiende a 4. Ejemplo 1 x −4 f ( x ) = lím Hallemos el xlím →4 x→ 4 x −2 Si tratamos de hallar directamente el límite de la función. lím x→0 f ( x ) = lím x→0 tan ( x )  =  lím x  x →0 lím 1  x→0  sen ( x )   •  x cos ( x )   lím x→0         Como ya habíamos establecido: lím x→0 sen ( x ) =1 x y lím f ( x ) = lím tan ( x ) =1 x lím x→0 cos ( x ) = 1 x→0 Cálculo x→0 diferencial Entonces: 161 .Ejemplo 2 tan ( x ) x→0 x f ( x ) = lím Hallemos el lím x→0 Podemos escribir: tan ( x )  sen ( x ) =  x  cos ( x )   1   sen ( x )   1    =    x   cos ( x ) x      Por lo tanto: lím x→0 f ( x ) = lím  sen ( x ) 1  • x cos ( x )  tan ( x ) = lím x→0 x    De acuerdo con la propiedad de producto. x →0 lím x→ 0 162 x→ 0 1 − cos ( x ) = lím x→ 0 x sen ( x ) • lím x→ 0 x   = lím  x→ 0  sen ( x )  sen ( x )   • lím x → 0 x 1 + cos ( x )   lím 1 + cos (x) = 1 + 1 = 2.UNAD x→ 0 1 − cos ( x )  sen ( x )   sen ( x ) = lím    x → 0 x x    1 + cos ( x ) Como lím sen (x) = 0. lím cos (x) = 1. nos conviene hacer aparecer la expresión . entonces: x→ 0 sen ( x )  0  = (1 )  = 0 1 + cos ( x )  2  . ( conjugado del numerador) lím x→ 0 1 − cos ( x ) = lím x→ 0 x ( 1 − cos ( x ) ) ( 1 + cos ) ( x ) ) = lím x→ 0 x ( 1 + cos ( x ) ) 1 − cos 2 ( x ) x ( 1 + cos ( x ) ) Recordemos que: sen 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = 1 ⇒ 1 − cos 2 ( x ) = sen 2 ( x ) Reemplacemos: lím x→ 0 1 − cos ( x ) = lím x→ 0 x 1 − cos 2 ( x ) = lím x ( 1 + cos ( x ) ) x → 0 sen 2 ( x ) x ( 1 + cos ( x ) ) Como conocemos el límite: sen( x ) sen(x) = 1.Ejemplo 3  1− cos ( x )    Hallemos xlím →0 x   Para levantar la indeterminación. lo cual nos lleva a x x escribir: lím x→ 0 lím Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. multiplicamos numerador y denominador por ( 1 + cos x ). 0 Dividimos cada termino por x. h → 0. luego: x→ 0 aplicamos propiedad de límite de cociente. Luego cuando x→0. lím ( x) = sen ( 7x ) x lím 5 sen ( 5x ) ( 5x ) 7 sen (7 x ) lím x→ 0 ( 7x ) sen 5x x→ 0 x→ 0 sen ( h ) h sen ( h ) lím 7 h →0 h lím 5 h →0 sen ( 5x ) x sen ( 7x ) lím x→ 0 x lím x→ 0 En el numerador multiplicamos y dividimos por 5 y en denominador por 7 Reemplazamos 5x por h en el numerador y h por 7x en el denominador.Ejemplo 4 sen Hallemos xlím → 0 sen ( 5x ) ( 7x ) Si lo reemplazamos directamente: sen ( 5 x ) = sen ( 7 x ) lím x→ 0 0 es in det er min ación . sen ( h ) 5 h = = sen ( h ) 7 7 lím h →0 h 5 lím h →0 diferencial ( x) sen ( 7x ) x sen 5x Cálculo lím 163 . lím ( a+x − ( x →∞ lím ( x →∞ x −a a+x ( )2 − ( a+x + a+x + x →∞ a+ x + x →∞ x −a x −a x −a 2a lím x −a x−a ) )2 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD x →∞ 164 ( a+x − x−a ) = lím x →∞ ( ) operando a+x − x +a a+x + = evaluando el límite : = 2a ∞ + Luego: lím a+x + a+x + 2a lím )( x−a ) =0 ∞ = 2a = 0 ∞ x−a ) .Ejemplo 5 a+x − lím x →∞ x−a Al valorar directamente: lím ( a+x − x−a )= a+∞ − ∞ −a = ∞ − ∞ x →∞ Para eliminar la indeterminación. racionalizamos multiplicando y dividiendo por la conjugada. Si ε = 0. f ( x ) = lím 6.Demostrar. xlím →0 sen 2x sen 3x 9. lím tan 2 ( 2x ) sen 2 x x→ 0 15. xlím →0 tan 2x tan 5x 14. que las funciones propuestas tienden al límite indicando cuando x tiende al valor dado. lím x →6 x − 3 x →6 3. xlím →2 x→ 2 3x + 4   x +1 −1  x+ 4 − diferencial 2x + 1 f ( x ) = lím 4. lím x →1 e  x2 − x − 2   x −2      = e2 Cálculo 18. Si ε es un real positivo tan pequeño como queramos.1. lím x→ 0 x cos x 13. con base en la definición.1 b. lím x→ 0 1− cos x sen x 11.01 y c. xlím →0 2 7. Si ε = 0. lím x→ −3 x→ −3 x Ejercicios 2. hallar el real positivo δ tal que: si f ( x ) − 10 < ε entonces x −1 < δ a. xlím →1 e −x 2x 3 + 4x + 5 3  17. lím x→−2 f ( x ) = lím x→−2 ( x2 −x −6 ) = 0 x f ( x ) = lím = 2 2.  x 2 −1     x −1    = 165 . Si f ( x ) = 3x + 7 y si ε es un real positivo dado. xlím →1 1 − cos x x x + 3 −2 x −1 x → 0 1− cos x 10. lím 5e − x + 2 x→ 2 16. lím x → 0 x sen x 12. lím x→ 0 8. ¿Qué se puede concluir? Demostrar: lím x→ 0 e e 19. 1. xlím →0 2   5 tan 2 x 9x sen x x3 − 8 x −2 f ( x ) = lím 5. . Pero este trabajo constante lo podemos efectuar.3 Límites al infinito (∞ ) En la unidad anterior tuvimos la oportunidad de ver qué sucedía con el término enésimo de una sucesión cuando n era cada vez mayor. si lo efectuamos en  dos segundos. puesto que las sucesiones son un caso particular de función.2.10 107 -5 9. En esta ocasión.UNAD segundos=45 vatios. cuando x tiende hacia el infinito.10 10000 -2 9.9 9. n tendía a infinito ( n → ∞ ). o en dos segundos.3. o sea. es decir.10 -4 106 9.10 -3 100000 9. habremos desarrollado una potencia menor P2= W/t2 = 90 julios/2 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.10 -6 . 2. entonces es posible extender lo ya estudiado y en especial observar qué ocurre con ciertas funciones cuando x toma valores tan grandes como queramos. hagamos una tabla de valores y obsevémosla: 166 t 1 2 5 10 100 1000 P 90 45 18 9 0. ¿Qué ocurre a medida que gastamos más tiempo en efectuar nuestra labor? Para visualizarlo mejor.. este conocimiento nos va a servir de punto de partida. en un segundo.. Tenemos que alzar ciertas cajas con conservas que están en el piso y colocarles sobre un estante.   segundo   . por ejemplo. habremos desarrollado una potencia  1julio = 1vatio P1= W/t1 = 90 julios/1 segundo = 90 vatios. la potencia desarrollada habrá sido de P3 = W/t3 = 90 julios/10 segundos = 9 vatios. si lo hacemos en diez segundos. efectuamos un trabajo constante de 90 julios.. o en diez segundos. Si lo efectuamos en 1 segundo. veamos primero un ejemplo concreto.1 Límite de una función cuando x tiende a infinito ( ∞ ) Para abordar más fácilmente el tema. al hacerlo. que a medida que gastamos más tiempo. acercándose finalmente a 0 cuando t toma valores muy grandes. o sea a medida que t crece.6 Gráfica de la potencia (P vatios) necesaria para alzar cajas con conservas en función del tiempo t (segundos) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 tiempo (segundos) ¿Qué notamos? Vemos. o sea P. disminuye sensiblemnte.P Potencia (vatios) 90 80 70 60 50 40 30 20 t FIGURA 2. Análogamente a lo visto para las sucesiones. veamos otro ejemplo: 167 . decimos entonces que P tiende a un límite L= 0 cuando t tiende hacia el infinito. tanto a partir de la tabla de valores como de la figura 2. Escribimos: t→+ ∞ P = lím t→+ ∞ w =0 t diferencial lím Cálculo Antes de pasar a la definición formal. la potencia que desarrollamos.6. Escribimos:  1 +2 límite f(x) = límite  x→∞ x→∞  x +3   = L = 2  Pasemos ahora a la definición formal. x 5 10 100 1000 f(x) 2.000 2. si y sólo si.1 Examinemos ahora el caso de una función como : f ( x ) = x + 3 + 2 Esta función está definida para todos los valores de x. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.0097 2.001 10. Su domino de definición es por lo tanto D = ℜ − { − 3 } . tal que: f ( x ) − L < ε siempre y cuando que x > A y lo escribimos como: lím f(x) = L x→∞ 168 (Ver figura 2. tan grande como queramos.125 2. ¿Qué ocurre a medida que x crece? Para visualizarlo mejor. a medida que x crece. la función se va aproximando a 2. decimos entonces que la función f tiende a un límite L= 2 cuando x tiende hacia el infinito. excepto para x +3 = 0.UNAD Definición: límite de una función cuando x tiende hacia infinito: Decimos que una función f admite al número real L por límite cuando x tiende hacia el infinito. Análogamente a lo visto para las sucesiones.7) . hagamos una tabla de valores de x y de f(x) y examinémosla detenidamente.0769 2. para todo número real ε > 0 (tan pequeño como queramos) existe un número real A.0001 ¿Qué observamos? Vemos de la tabla anterior que. pero sin alcanzar a adquirir dicho valor. en el cual habíamos podido apreciar intuitivamente como f(x) tendía hacia el límite L = 2 cuando x tendía hacia el infinito. para todo real ε < 0 se cumple que: f ( x ) − L < ε siempre que x > A f (x ) − L = a a = : podemos escribir: b b diferencial Si recordamos que 1 1 +2−2 = x +3 x +3 Cálculo 1 1 1 = = x+3 x +3 x +3 ∀x ∈ D.7 Gráfico que ilustra lím x→∞ L- L L+ f(x) =L y L+ L L- FIGURA 2. entonces x + 3 > 0 ⇒ x + 3 = x + 3.f x f(x) A FIGURA 2. y 169 . debemos hallar el número real A > 0 tal que.7A x A Ejemplo 1 Apliquemos dicha definición al caso anterior. si x > − 3. De acuerdo con la definición. Ejemplo 2 2 x +1 Sea f ( x ) = x − 1 ¿Qué ocurre cuando x aumenta indefinidamente? Veamos la tabla de valores de x y de f(x) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 170 f (x) = 2 x +1 x − 1 tiene por límite L= 2 cuando x tiende al . Demostremos que la función infinito.75 10 50 100 1000 2.061 2.UNAD x f(x) 5 2.030 2.003 Notamos que a medida que x crece indefinidamente. f(x) se acerca a 2.1 1 1 = ⇒ <ε x +3 x +3 x +3 f (x) − L = Despejemos x: 1 1 1 1− 3 ε < ε ⇒ x +3 > ⇒ x > − 3 = x +3 ε ε ε Si tomamos A = 1−3ε se cumple la condición requerida ε f ( x ) − L < ε siempre que x > A 1 Podemos asegurar que efectivamente f ( x ) = x + 3 + 2 tiende hacia el límite L=2 cuando x tiende hacia el infinito.333 2. Hasta ahora hemos apreciado este fenómeno para funciones cuyas expresiones analíticas conocíamos y a partir de las cuales trazamos sus correspondientes gráficas. no profundizamos en su estudio ya que las hallaremos en otras diferencial asignaturas más adelante. 171 .8. correspondiente a la gráfica de calentamiento de un alimento gelificado. debemos hallar el real A > 0 tal que. En la figura 2. para todo real ε > 0 ( por pequeño que sea) se cumpla: f (x ) −L = 3 x −1 Despejemos la desigualdad: f ( x ) −L = 3 x −1 1 3 3+ ε <ε⇒ > ⇒ x −1 > ⇒ x > x −1 3 ε ε ε Tomemos: A = 3 +ε ε vemos que A = f ( ε ) se cumple la condición requerida: f ( x ) − L < ε siempre que x > A 2x + 1 Podemos asegurar que f ( x ) = x +1 tiende hacia el límite L= 2 cuando x tiende al infinito ∞ .De acuerdo con la definición. Cálculo vemos cómo. Por ello vemos a continuación tres gráficas de fenómenos en los cuales apreciamos esta tendencia. Lo más interesante para nosotros en este momento. Pero es bastante común en la práctica. la temperatura se estabiliza en valor muy próxima a 120°c y allí se mantiene. es ver claramente cuán práctico y tangible es el concepto de límite cuando la variable tiende al infinito. hallar situaciones en las cuales se obtienen datos experimentales a partir de los cuales se trazan las gráficas y se trata de determinar las leyes que rigen el fenómeno. a partir de un período de 80 minutos. 4 0. y Herson A. T(°C) 120 100 80 60 40 20 FIGURA 2. tras aproximadamente nueve horas. corresponde a la curva de producción de ácido láctico incubado con un determinaod cultivo a 43°C.6 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.G.C) 0 20 30 60 80 t (min) 1% Acido Láctico 1.9.8 0.0 0.UNAD 1.8 Temperatura en el centro de una lata que contiene un alimento gelificado sometido a calentamiento en un esterilizador (Baumgaktner J.2 FIGURA 2.En la figura 2.4 1.9 Curva de producción de ácido láctico en leche incubada con un cultivo a 43°c 172 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (horas) . el porcentaje de ácido láctico se estabiliza en un nivel cercano al 1.6 0.4%.2 1. vemos cómo. x f(x) -5 1.10000 1. tendientes hacia menos infinito ( .1000 1. pero sin llegar a adquirir dicho valor.2 Límite de una función cuando x tiende a menos infinito 1 Volvamos a la función estudiada inicialmente. y Herson A.G. a una temperatura dada (Baumgaktner J. la función f(x) se va aproximando a 2.∞ ) ? Para visualizar mejor. 173 .3.11 que a medida que x decrece y toma valores cada vez menores.100 1.9897 . corresponde a la curva típica del tiempo necesario para reducir los microorganismos en un producto alimenticio a una temperatura dada.C) 0.9999 diferencial ¿Qué observamos? Vemos a partir de la tabla de valores y de la figura 2.10.5 -10 1. la fracción del número de microorganismos sobrevivientes se estabiliza en un nivel muy próximo a cero.01 0 10 20 30 t (minutos) 2.9990 .10 Curva típica del tiempo necesario para reducir los microorganismos en un producto alimenticio. N/No N= Número de microorganismos sobrevivientes No= Número inicial de microorganismos en el producto 1 FIGURA 2. hagamos una tabla de valores de x y de f(x) y examinémosla.La figura 2. vemos cómo. Decimos entonces que la función f(x) tiende al Cálculo límite L = 2 cuando x tiende hacia menos infinito. a partir de un período de aproximadamente 30 minutos.8571 . f ( x ) = x + 3 + 2 con dominio de definición R D= − { − 3 } ¿Qué ocurre a medida que x toma valores cada vez menores.1 0. 11 Gráfica de f ( x ) = 1 +2 x +3 Escribimos: lím x →− ∞  1   + 2  = L = 2 x →− ∞  x + 3  f ( x ) = lím Definición Decimos que una función f admite al número real L por límite cuando x tiende hacia menos infinito.12) f x Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. para todo número real ε > 0. existe un número real A > 0 tal que: f ( x ) − L < ε siempre que x < − A lím x →− ∞ f (x ) = L y escribimos: (Ver figura 2.UNAD f(x) x A 0 L- FIGURA 2. sí y solo sí .x=-3 y lim f(x) =2 x ∞ y=2 lim f(x) =2 x FIGURA 2.12 y L+ L L- x . tan pequeño como queramos.A 174 L L+ . entonces x + 3 < 0.Ejemplo 1 Apliquemos inicialmente esta definición al caso anterior. 175 . en el cual habíamos podido ver intuitivamente como f (x) tendía hacia el límite L = 2 cuando x tendía hacia menos infinito. ( − ∞ ) . De acuerdo con la definición. debemos hallar el número real A > 0 tal que para todo real ε > 0 se cumpla que: f ( x ) − L < ∈ siempre que x < − A Pero. si examinamos la expresión f ( x ) − L y recordamos que a a = b b  1  1 1 f ( x ) − L =  + 2  − 2 = = x + 3 x + 3 x +3   Puesto que si x < − 3 . tendremos x + 3 = − ( x + 3 ) y podemos escribir: f (x ) − L =  1 1 = −  x +3  x +3    Despejamos para x − 1 1 1+ 3 ε < ε ⇔ x +3 < − ⇔ x < − x+3 ε ε Si tomamos: A = 1+ 3ε veamos que A = f ( ε ) ε Se cumple la condición requerida: < ε siempre que x < − A diferencial f (x) − L Cálculo 1 Podemos afirmar que efectivamente la función definida por f ( x ) = x + 3 + 2 tiende hacia el límite L = 2 cuando x tiende hacia menos infinito. 50 . f(x) se acerca a 2. entonces f ( x ) − L = = =− 2 2x + 1 − ( 2x + 1) 2x + 1 − 1 1 1+ ε < ε ⇔ 2x+ 1 < − ⇒ x < − 2x + 1 ε 2ε 1+ε Si tomamos A = 2 ε se cumple la condición requerida f ( x ) − L < ε siempre que x < − A 4x + 1 Podemos afirmar que efectivamente la función definida por f ( x ) = 2x + 1 tiene como límite a L = 2 cuando x tiende hacia menos infinito 176 (−∞ ).0050 2.20 2. .0006 Esta tabla nos muestra como a medida que x decrece indefinidamente. debemos hallar el número real A > 0 tal que para todo real ε > 0 se cumpla que: f ( x ) − L < ε siempre que x < − A como Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.Ejemplo 2 Sea f la función definida por f ( x )= 4x + 1 2x + 1 ¿Qué ocurre cuando x tiende a menos infinito? Elaboremos una pequeña tabla de valores.0101 2.1111 -10 .UNAD Si f (x) − L = 4x + 1 4x + 1 − 4x − 2 −1 1 −2 = = = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2x +1 1 1 1 1 x < − . x -5 f(x) 2.800 2. 4x + 1 Demostremos que la función f ( x ) = 2x + 1 tiende al límite L = 2 cuando x → − ∞ De acuerdo con la definición.0526 2.100 .0256 . f ( x ) = 3 x5 . mediante una tabla de valores. 5x − 1 1. f ( x ) = 3 + 2x . a partir de la definición de límite de una función demostrar que las funciones tienden hacia el límite indicando en cada caso particular. observar qué ocurre cuando x toma valores que tienden a menos infinito ( − ∞ )? Luego. 1+7x 3. f ( x ) = 3x + 2 . L =0 L= 7 2 diferencial 3 Cálculo 5. Luego. L= 5 3 L =0 L = 7 2 Hallar el valor de a y b tales que se cumpla que:     ¿Para las funciones propuestas en los ejercicios 4 al 6. 5x − 1 5 4. f ( x ) = 3 + 2x . a partir de la definición del límite de una función. f ( x ) = Ejercicios 2. 2. cuando x tiende a menos infinito ( − ∞ ). cuando x tiende al infinito.2  2x 3 − x 2 + x − 1 lím f ( x ) = lím  − ( ax + b ) = 0  2  2x + x − 1 177 . L = 3 x5 . demostrar que las funciones tienden al límite indicado. f ( x ) = 3x + 2 .Para cada una de las funciones propuestas (ejercicios 1 al 3) observar qué ocurre cuando x toma valores cada vez mayores. 1 + 7x 6. lím f (x ) g (x) = L L’ x→∞ R c. lím ( k f ( x ) ) = kL donde k ∈ x→∞ f (x ) L = si L' ≠ 0 d. lím x→∞ g (x ) L' 2. entonces: a. y si existe un intervalo [ A. lím ( f (x) + g (x)) = L + L’ x→∞ b. para todo real x que pertenezca a ese intervalo. Para todo número r > 0 la función f definida por f ( x ) =  r  tiende a cero cuando  x  x tiende hacia infinito. entonces la función g tenderá hacia cero cuando x tienda hacia infinito ( o menos infinito). a veces nos puede resultar más sencillo emplear. sin embargo.2.3 Propiedades de los límites de las funciones cuando x tiende a infinito Hemos visto como emplear la definición del límite de una función para demostrar que la función tiende a un límite L cuando x tiende hacia el infinito. en vez de dicha definición las siguientes propiedades: 1. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. se cumpla que g ( x ) ≤ f ( x ) . Escribimos: lím x→∞ 178 1 xr = 0 . Si el límite de la función f(x) es cero cuando x tiende hacia infinito ( o a menos infinito). α ) o ( − α. A ] tal que. Si el límite de una función f(x) es L cuando x tiende hacia infinito ( o menos infinito). y el límite de la función g (x) es L’ cuando x tiende hacia infinito ( 0 menos infinito).3.UNAD  1  3. como sen x =0 x lím x→− ∞ f ( x ) = lím x→− ∞ 1 = 0 (propiedad 3) x diferencial lím Podemos.: lím x→ +∞ f ( x ) = lím x→ +∞ 1 =0 x (propiedad 3) Podemos. ¿Qué ocurre cuando x tiende hacia menos infinito ( − ∞ ) ? Solución Para todo valor de x podemos escribir: sen x ≤ 1 Dividamos por x : sen x 1 ≤ x x Si denominamos: f ( x ) = 1 sen x . Pero. de acuerdo con la propiedad 2 concluir: x→ +∞ g ( x ) = lím x→ +∞ b.Ejemplo 1 Sea g ( x ) = sen x con dominio D = R − { 0 } x a. En forma similar. g (x ) = x x entonces tendremos: g( x) ≤ f ( x) a. dado que. ¿Qué ocurre cuando x tiende hacia infinito ( ∞ ) ? b. de acuerdo con la propiedad 2 concluir: x→− ∞ g ( x ) = lím x→− ∞ sen x =0 x Cálculo lím 179 . 2.a) .2. Hallar el lím h(x) x→− ∞ Solución a.c) 5x −1 5 = 3x + 2 3 Por consiguiente: lím x→− ∞ 180 h ( x ) = lím x→− ∞  3 2 sen x 5x −1  +  7π x 3x + 1   = 0+ 5 = 5  3 3  (prop. 1. lím x→∞ 5x −1 5 = 3x + 2 3 Por consiguiente:  3 2 sen x 5x −1  h ( x ) = xlím + → ∞  7π x 3x + 1  lím x→∞  = 0+ 5 = 5  3 3  ( prop.a. En forma similar. 2.Ejemplo 2 h (x ) = Sea 3 2 sen x 5x − 1 + 7π x 3x + 2 a. Hallar el lím x→∞ h(x) b.UNAD b. lím x→− ∞ sen x = 0 ⇒ xlím →− ∞ x lím x→− ∞ 3 2 sen x =0 7π x (prop.c) De acuerdo con el ejercicio 1 de la autoevaluación No. de acuerdo con lo visto en el ejemplo anterior y el ejercicio 1 de la autoevaluación No.1.1.1. De acuerdo con lo visto en el ejemplo anterior: lím x→∞ 3 2 sen x sen x = 0 ⇒ lím =0 x → ∞ x π x (propiedad 1. ) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. ¿Qué ocurre cuando x tiende a − ∞ ? Solución Factoricemos inicialmente el denominador de g (x) g (x) = a.3) Concluimos. ¿Qué ocure cuando x tiende a + ∞ ? b. según la propiedad 2 que: x→∞ g ( x ) = lím b.  a. y no perdiendo de vista que estamos trabajando con cantidades positivas: 0< 1 1 1 1 ≤ ⇒ ≤ x ( 2x − 3 ) x x ( 2x − 3 ) x Como el lím x→∞ 1 =0 x (prop. por consiguiente : x ( 2x − 3 ) ≥ x Si tomamos los inversos. 1 2x 2 − 3x ( 0 sea si = 1 x ( 2x − 3 ) x ∈ [ 2. ∞ [) entonces 2x − 3 ≥ 1. Si x ≥ 2.Ejemplo 3 Sea g ( x ) = 1 2x 2 − 3x 3   2   con do min io D = R −  0. teniendo en x Cálculo cuenta que en este caso x es negativo: 181 . Si x < − 2 x→∞ ( 1 = lím x ( 2x − 3 ) x → ∞ o sea si x ∈ ] − ∞. − 2 1 2 2x − 3x [ ) entonces : = 0 2x − 3 ≤ − 7 Si tomamos los inversos y además multiplicamos los dos miembros por diferencial lím 1 . 1.c): lím x→− ∞  Concluimos ( Prop. 1.2) lím x→− ∞ Ejemplo Sea g ( x ) = lím x→− ∞ 1 =0 x ( 2x − 3 ) 4 f ( x )= 5 3 senx x 2x −3x 2 +  D = R −  0. ¿Qué ocurre cuando x tiende a + ∞ ? b.2 las expresiones 0< 1 1   y−  son positivas: x ( 2 x − 3)  7x  1 1 1 ≤ − ⇒ x ( 2x − 3 ) 7x x ( 2x − 3 ) Ahora. De acuerdo con lo visto en los ejemploa 1 y 3: lím  1   2 x 2 − 3x  lím sen x = 0 ⇒ lím x→∞ x x→∞ x→∞ 182  5  = 0 ⇒ lím =0 2  x → ∞ 2x − 3x  3sen x =0 x ( Prop.UNAD a.) .1 1 1 −1 ≥ − ⇒ ≤ 2x − 3 7 x ( 2x − 3) 7x Como para x < .3) lím x→− ∞    ≤ − 1 7x    = 1 x 0  1   1  −    = 0 7   x  Podremos afirmar (prop. dado que (prop. 1. ¿Qué ocurre cuando x tiende a − ∞ ? Solución a.  3  2 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.c) ( Prop.c. h( x ) = f ( x ) − L = 6 x 2 − 3x + 3 x2 + x −1 −6 = 6x 2 − 3x + 3 − 6 x 2 − 6 x + 6 x 2 + x −1 = − 9x + 9 x 2 + x −1 ¿Qué vemos? Primero para todo x ≥ 1 ( o sea x ∈ [ 1.a) b. ) 3sen x =0 x ( Prop. Examinemos esta nueva función h (x).Concluímos: lím x→∞  5 3 sen x   + =0  2x 2 − 3x  x   (Prop. ) Concluímos: lím x→− ∞ Ejemplo  5 3 sen x   + =0  2x 2 − 3x  x   5 Demostremos que la función f ( x ) = 6 x 2 − 3x + 3 x 2 + x −1 tiene como límite L = 6 cuando x tiene al infinito ( ∞ ) . 1. 1. 1. c.c. ∞ [ ) se cumple que : x 2 + x −1 ≥ x 2 diferencial Tomamos los inversos y multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por − 9x + 9 2 x + x −1 ≤ − 9x + 9 x2 Cálculo −9x + 9 183 . Esto equivale a demostrar que la función h ( x ) = f ( x ) − L tiende a cero cuando x tiende al infinito. En forma análoga: lím 1 = 0 ⇒ lím x→− ∞ 2x 2 − 3x lím sen x = 0 ⇒ lím x→− ∞ x x→− ∞ 5 x→− ∞ 2x2 − 3x =0 ( Prop. Recordemos que: a + b ≤ a + b .1.3) lím =0 x→∞ ⇒ lím (Prop.1. tendremos: g (x) = 0 Concluímos que: lím h ( x ) = lím lím f (x) = L = 6 x→∞ x→∞ Por lo tanto: x→∞ 184 ( f ( x) − L) = 0 .a) + y como lím 9 x2 x→∞ .c)  9    = 0  x2  (Prop.1. entonces − 9x + 9 x 2 + x −1 ≤ 9x x2 + − 9x = 9x y por lo tanto: 9 x2 Simplificamos y reemplazamos: − 9x + 9 ∀ x ≥ 1.c) Con lo cual recibimos: lím Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. h ( x ) = f ( x ) − L = x 2 + x −1 ≤ 9x x + 9 x2 Como: 1 =0 x→∞ x lím 1 x→∞ x 2 ⇒ lím (Prop.UNAD x→∞  9 9    = 0 +  x x2  Denominamos por g ( x ) = h (x ) ≤ g( x) 9 x (Prop. tendremos: − 9x + 9 x 2 + x −1 − 9x ≤ + x2 9 x2 Puesto que estamos en el caso en el cual x ≥ 1 .3) x→∞ 9    =0 x  (Prop. Ejercicios Hallar los límites de las funciones siguientes: a. h ( x ) = 4 3x 2 − 1 2 4.L) =0) diferencial 2.  5x − 1  −  3x + 2 5 sen x +3 x 3. que: lím x→∞ h ( x ) = xlím →∞ 5x 2 3x 2 + 2 (Conviene demostrar que el lím x→∞ =L= φ (x) 5 3 = lím x→∞ ( h (x) . con base en las propiedades de los límites de las funciones cuando x tiene a infinito. b. Demostrar. h ( x ) = 185 . h ( x ) = Ejercicios 2. Cuando x tiende a menos infinito.3 4 5 Cálculo  1+ 7x   3 + 2x 1. Cuando x tiende al infinito. 4 Límites infinitos: funciones que tienden a cuando x tiende a ∞ ∞ Hasta ahora sólo hemos trabajado con funciones que tenían un límite cuando x (variable) tendía a infinito. El peso de benzoato de sodio que vamos a emplear es por lo tanto función del peso total de jugo que estamos produciendo.01x Donde: x = peso de jugo producido f(x) = y = peso de benzoato de sodio requerido. lo podríamos calcular por medio de la siguiente expresión: f (x) = y = 0. f(x) también lo hace. Estamos produciendo jugo de mora a escala industrial. para poder conservarlo durante mayor tiempo sin que sufra alteraciones y de esta manera evitar las quejas. ¿Qué ocurre a medida que x crece? Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Escribimos: lím x→∞ 186 f(x) → ∞ . Partamos de un ejemplo concreto. le agregamos uno de los agentes conservadores que más se utilizan en la manufactura de alimentos: benzoato de sodio. en concentración del orden del 1% en peso.2. A veces podemos observar que la función crece indefinidamente a medida que x crece (o decrece).UNAD Hagamos una tabla de valores que nos permite observar mejor el fenómeno: x 100 f(x) 1 1000 10000 10 100 100000 106 107 108 1000 104 105 106 109 107 ¿Qué notamos? Que a medida que x crece. Decimos entonces que f(x) tiende al infinito cuando x tiende al infinito. pero ese no es el único caso que podemos hallar. como el caso que estudiaremos a continuación. 10100 diferencial .107 . Hagamos entonces una tabla que nos permita visualizar mejor el fenómeno. a medida que transcurriesen los años. y podríamos escribir: lím t →∞ P = ∞ P Población (millones de habitantes) 50 40 30 20 10 FIGURA 2.106 .También podemos mirar la curva correspondiente al aumento de la población colombiana en función del tiempo (figura 2.01 x (que nos sirvió de introducción) observemos ahora qué ocurre a medida que x decrece sin límites.105 . si no se presentara cambio alguno en el ritmo de aumento de la población.108 .100 . P. allí apreciamos la misma tendencia.100 .1000 -10000 .100000 . la población crecería sin límites.1000000 .13).10000 f(x) -1 .13 Población colombiana. .1098 Cálculo x ¿Qué notamos? 187 . con base en los datos del censo de 1913 y la tasa de crecimiento entre los censos de 1964 y 1973 en función del tiempo t (años) 1960 1970 1980 1990 2000 Desprendiéndonos ahora del sentido concreto de la ecuación del primer ejemplo f(x) = 0. 14 ) f x -∞ 0 A x>A lim f(x) x ∞ FIGURA 2.14 Gráfico que ilustra: lim f ( x ) → ∞ x→∞ 188 f(x) ∞ -∞ 0 ∞ B f(x) > B ∞ . Decimos entonces que f(x) tiende a menos infinito (− ∞) cuando x tiende a lím x → −∞ f(x) − ∞.1 Definiciones para cuando tanto la variable como la función tienden a infinito o a menos infinito 1. Decimos que el límite de una función f (cuyo dominio de definición es D) tiende al infinito cuando x →∞ si: ∀B > 0 ( por grande que sea ) ∃ A > 0 tal que ∀ x∈ D f (x) > B siempre que x > A Escribimos: lím Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD x→∞ f(x) → ∞ (Ver figura 2.4.Que a medida de que x decrece. 2. f(x) también lo hace. Escribimos: = −∞ Podemos pasar ahora a la definición formal. B siempre que x > A Escribimos: f (x ) = − ∞ lím x→∞ (Ver figura 2.2.16) Cálculo lím diferencial Escribimos: 189 . Decimos que el límite de una funcion f (que tenga D por dominio de definición) tiende a menos infinito ( − ∞ ) cuando x → ∞ . Decimos que el límite de una función f tiende al infinito cuando x → − ∞ si: ∀B > 0 ( por grande que sea ) ∃ A > 0 tal que ∀ x ∈D f (x) > B siempre que x < − A x→− ∞ f (x ) = − ∞ (Ver figura 2. si: ∀ B > 0 ( por grande que sea ) ∃ A > 0 tal que ∀ x ∈D f (x) < .15 Gráfico que ilustra: xlím →∞ f(x) ∞ -∞ -B f(x) < -B ∞ 0 -∞ f (x )→ − ∞ 3.15) f x -∞ 0 A x>A lim f(x) x ∞ FIGURA 2. B . Decimos que el límite de una función f tiende a menos infinito ( − ∞ ) cuando x → − ∞ si: ∀B > 0 ( por grande que sea ) ∃ A > 0 tal que ∀ x ∈D f (x) < .B siempre que x < .16 Gráfico que ilustra: lím f ( x ) x→ −∞ 4. 2.f x f(x) -∞ ∞ -A 0 -∞ 0 ∞ B x > -A f(x) > B ∞ lim f(x) x -∞ FIGURA 2.A Escribimos: lím Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD x→− ∞ f (x) = −∞ (Ver figura 2.17 Gráfico que ilustra: lím x→− ∞ 190 f (x) = → −∞ 0 ∞ f(x) <.12 FIGURA 2.17) f x f(x) -A 0 x > -A lim f(x) x -∞ ∞ -B -∞ Fig. 01 B = 100 B 0.01 vemos que se cumple la condición requerida: f (x) > B siempre que x > A En efecto podemos escribir: lím 0.Ejemplo 1 Volvamos a nuestro ejemplo inicial.01x y apliquemos la definición formal.01 x = ∞ Cálculo diferencial x→∞ 191 .01 x > B Despejemos x : x > Si tomamos: A = ∀B > 0 B 0. De acuerdo con ella. para afirmar que lím x→∞ que: ∀B > 0 ∀x ∈R f(x) = ∞ . donde f(x) = 0. debemos hallar un real A > 0 tal f (x) > B siempre que x > A Analicemos la última condición: f(x) > B ⇔ 0. debemos hallar un número real positivo A tal que: ∀B > 0.UNAD x →− ∞ 192 0.Ejemplo 2 Partiendo de la misma ecuación y abstrayéndonos de su sentido físico.01 x < − B ⇒ x < − B = − 100 B 0. vemos que se cumple la condición requerida: ∀B > 0 f ( x ) < − B siempre que x < − A En efecto.01 Si tomamos A = 100B. 01 x → − ∞ Apliquemos la definición formal. f ( x ) < − B siempre que x < −A Analicemos la condición: f ( x ) < − B ⇔ 0. De acuerdo con ella. podemos escribir: lím Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. habíamos visto intuitivamente que: lím x →− ∞ 0.01 x → − ∞ . lím 10x 2 → ∞ x→− ∞ 4. hallar dos reales positivos A y A’ tales que: f(x) > B siempre que x > A. Si B = 106 hallar dos reales positivos A y A’ tales que: f(x) > B siempre que x > A. lím 193 . a.4 3.En los ejercicios de 1 a 4. xlím →− ∞ 3− 2 x → −∞ 5 3− 2 x→ ∞ 5 5. f(x) > B siempre que x < − A' Ejercicios 2. f(x) > B siempre que x < − A' b. xlím →∞ 10x 2 → ∞ diferencial x→∞ Cálculo 1. ∀B por grande que sea. demostrar que las funciones que se proponen tienen los límites indicados: 2. Dada la función f(x) = x2 + 16 y un número real B > 0. con base en las definiciones que acabamos de ver. entonces: g (x ) = ∞ ( o lím x→− ∞ 2. Si la función f es tal que lím f(x) = ∞ x→∞ ( o lím f (x) = − ∞ ).2. Si la función f es tal que lím x→∞ g (x) = − ∞ ) f (x) = − ∞ (respectivamente lím y si existe un número real x o tal que. Si a > 0.2 Propiedades de funciones que tienden a ∞ cuando x tiende a ∞ : A veces resulta más sencillo y corto emplear ciertas propiedades de las funciones que tienden a ∞ cuando x tiende hacia ∞ . ∞ [ ( o respectivamente. ¿ Cuáles son dichas propiedades? Veámoslas: 1. entonces: xa = − ∞ g(x) = + ∞ ) [ x→− ∞ f(x) → − ∞ ) (respectivamente . se cumpla que f (x) ≤ g (x). ∞ de ] − ∞.UNAD 3.4. para todo número real x del intervalo de ] − ∞ . xo ] ) lím x→∞ [ xo. para todo elemento de [ x o. Xo ] ) se cumpla que f (x) lím x→∞ g(x) = − ∞ (o lím x→− ∞ Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. que aplicar las definiciones que acabamos de estudiar. lím x→− ∞ Si a es impar: lím xa = ∞ x→− ∞ 194 ≥ g (x). entonces lím x→∞ xa = ∞ Si a es entero positivo Si a es par. si existe un número x→∞ real xo tal que. sólo tenemos lím x→∞ f ( x ) en [ xo. En forma similar. Entonces la función g también tenderá a ∞ cuando x tiende a ∞ ( o − ∞ ). α ) ó ( − α . x0 ] . Por consiguiente. ∞ [ ó ] − ∞ . si sospechamos que una función g tiende a ∞ cuando x tiende a ∞ ( o − ∞ ) y queremos confirmar esta hipótesis sin emplear la definición.∞ ) y si la función g que analizamos es mayor que f(x) en [ x0 .NOTAS 1. ∞ [ ó ] − ∞ . nos dice que: Si la función f tiende a − ∞ cuando x tiende a ∞ ( o − ∞ ) Si la función g que analizamos es menor f(x) en Entonces la función g también tenderá a − ∞ [ xo. ∞ [ ó ] − ∞. xo ] f(x) x → − ∞ f(x) x → − ∞ ) lím x→∞ ( o lím x→− ∞ Concluimos entonces que: lím x→∞ g(x) → ∞ ( respectivamente : lím x→− ∞ g(x) → ∞ ) 2. xo ] f(x) → − ∞ (ó lím x→− ∞ f(x) → − ∞ ) Cálculo g(x) ≤ diferencial que hallar una función f tal que: 195 . En forma más sencilla y menos rigurosa. xo ] cuando x tiende a ∞ ( o − ∞ ) Por consiguiente. sólo tenemos que hallar una función f tal que: f ( x ) ≤ g ( x ) en un intervalo [ xo. la propiedad 1 nos dice que: Si la función f tiende a ∞ cuando x tiende a ∞ ( o . la propiedad 2. si sospechamos que una función g tiende a − ∞ cuando x tiende a ∞ ( o − ∞ ) y queremos confirmar esta hipótesis sin emplear la definición. tendremos g(x) ≤ h (x) y puesto que: lím x→− ∞ h(x) = lím x→− ∞ (0.01x.01x + sen x ≤ 0.01x + senx = − ∞ x→− ∞ 196 x→− ∞ ) = −∞ . Si tomamos f (x) = 0. por la propiedad 1 que: lím g(x) = lím x →∞ x→∞ ( 0.01x + sen x ) = ∞ b. ¿Cuál es el límite de dicha función cuando x → − ∞ ? Solución Para todo número real x.01x + 1 a. tendremos g(x) ≥ f (x) y puesto que: lím x→∞ f(x) = lím x→∞ 0.01 x + sen x .01x ≤ 0.01 x = ∞ Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.01x a cada miembro de la desigualdad : 0.01x + 1. sabemos que podemos escribir: 0 ≤ sen x ≤ 1 Si sumamos el término 0.UNAD Podemos concluir. cuando x → ∞ ? b.01x + 1 Podremos concluir por la propiedad 2: lím g ( x ) = lím ( 0. Si tomamos h(x) = 0.Concluimos entonces: g(x) → − ∞ lím x→∞ Ejemplo (o lím x→− ∞ g(x) → − ∞ ) 1 a. ¿Cuál es el límite de g(x) = 0. cuando x tiende a −∞ a. Cuando x tiende a ∞ y b. por la propiedad 1 que: 197 .Ejemplo 2 ¿Cuál es el límite de g ( x ) = x2 + x +3 x −1 a. g(x) > f (x) Y puesto que: lím x→∞ f (x) = lím x→∞ x = ∞ x→∞ g ( x ) = lím x→∞ x2 + x +3 x −1 =∞ Cálculo lím diferencial Podremos concluir. x2 +x + 3 x2 > x −1 x Simplifiquemos: x2 + x +3 >x x −1 Si tomamos f (x) = x tendremos para x > 1. multiplicando miembro a miembro estas dos desigualdades de términos positivos. Si x > 1 o sea si x ∈ ]1. ∞ [ ⇒ x − 1 < x tomamos los inversos 1 1 > x −1 x y puesto que en este caso: x2 + x + 3 > x2 Podremos escribir. sin embargo se puede presentar una pequeña complicación.1 [ Podremos escribir: x2 + x − 2 + 5 x 2 + x + 3 ( x + 2 ) ( x −1 ) + 5 5 = = =x +2 + x −1 x −1 x −1 x −1 Entonces: x2 + x +3 < x+3 x −1 Si tomamos f(x) = x + 3. Veámos un ejemplo.UNAD sucesiones. Si x < 1 o sea si x ∈ ] − ∞ . tendremos g (x) < f (x) y puesto que: lím x→− ∞ f(x) = lím x→− ∞ (x+3) → − ∞ Podemos concluir. Ejemplo Sea 3 f ( x ) = x5 + 3 3 x − 2x 2 − 7 x + 5 4 a. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x → − ∞ ? 198 . Para salvar dicho obstáculo aplicaremos el mismo proceso empleado en la unidad de Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. por la propiedad 2 que: lím x→− ∞  x2 + x +3  x −1 x →− ∞   g ( x ) = lím   =−∞   A veces.b. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x → ∞ ? b. como aquella a la que nos enfrentamos en la unidad de sucesiones: las formas indeterminadas. sería de la forma ∞ − ∞ ¿Qué ocurre? No podemos concluir nada. Un límite de la forma ( ∞ − ∞ ) corresponde precisamente a una forma indeterminada. recurrimos al mismo proceso empleado en el caso de las sucesiones: Factorizamos:  3 2 7 5 f ( x ) = x 5  1 + − − + 2 3 4  4x x x x5     Puesto que: lím x→∞  3    4x2   = lím  x→∞   2  −  = lím    x 3  x →∞   − 7   x4   = lím  x →∞   5     5  =0  x  Podemos deducir que:   1+ 3 − 2 − 7 + 5   4x 2 x 3 x4 x5   =1   diferencial lím x→∞ Si recordamos que: x→∞ x5 → ∞ ( 3 ) Cálculo lím 199 . lím x2 = ∞ ⇒ lím x = ∞ ⇒ lím x→∞ x→∞ x→∞ lím x →∞ lím x→∞ x→∞ x3 = ∞ 3 3 x → ∞ 4 ⇒ 2x 2 = − ∞ − 7 x = − ∞ ⇒ lím 5 =5 x→∞ El límite de f (x). como lo vimos anteriormente. Si recurriéramos al proceso corriente. tendríamos: lím x5 = ∞ . Para resolver dicho problema.a. que nos permite simplificar el proceso. tendremos: lím x→− ∞ f ( x ) = lím x→− ∞  3 2 7 5 x 5  1 + − − + 2 3 4  4x x x x5     Y como  3  x → − ∞  4x 2 lím   = lím  x→− ∞   2  −  = lím    x3  x → − ∞   − 7   x4   = lím  x → −∞   5     5 = 0  x  Entonces: lím x→− ∞ Ahora: lím  3 2 7 5  1 + − − + 2 3 4  4x x x x5 x→− ∞   =1  x5 = − ∞ .Podremos concluir lím x→∞ f ( x ) = lím x→∞  3 2 7 5 x 5  1 + − − + 2 3 4  4x x x x5   =∞   b.UNAD Podremos concluir que: lím x→− ∞ f ( x ) = lím x→− ∞  3 2 7 5 x 5  1 + − − + 2 3 4  4x x x x5   = −∞   Observemos nuevamente este ejemplo más de cerca. O sea. partiendo de la expresión ya factorizada para levantar la indeterminación. el límite de un polinomio cuando x → ∞ igual al límite de su término de mayor grado. Esta es una característica muy útil de los límites de los polinomios. ¿Qué notamos? La expresión 3   f ( x ) =  x 5 + x3 − 2x 2 − 7x + 5  4   corresponde a un polinomio de grado 5. ¿Cuál fue su límite cuando x → ∞ ? El límite fue el equivalente del límite de su término de mayor grado. 200 es . Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. En forma similar. por lo tanto podremos escribir que: lím x→∞ f ( x ) = lím x→∞ 7x3 2x 2 Simplificamos: f ( x ) = lím lím x→∞ x→∞ 7 x =∞ 2 b. el límite cuando x tiende al infinito de un polinomio. puesto que si →−∞ entonces x ≠ 0 7 x →− ∞ 2 x = −∞ Cálculo lím f ( x ) = lím x →− ∞ 201 . es el límite de su término de mayor grado. Siguiendo el proceso usual. Cuando x tiende a − ∞ Solución a. Cuando x tiende a ∞ 7 x 3 + 8x 2 + 5x + 3 2 2 x + 8x + 3 y b. el numerador es un polinomio de tercer grado por 7x3 y el denominador es uno de segundo grado para 2x2.Ejemplo 4 Deseamos conocer el límite de la función f ( x ) = a. hallaríamos: lím x→∞ ∞ ∞ f (x ) = Desafortunadamente ∞ ∞ es una forma indeterminada. Hacemos algo similar cuando x tiende a − ∞ En efecto: x→∞ f ( x ) = lím x→∞ 7x3 2x 2 diferencial lím Simplificamos. Pero de acuerdo con lo que vimos anteriormente. ¿Qué podemos hacer? Lo mismo que hicimos con las sucesiones. multiplicar y dividir por la expresión.Ejemplo 5 Veamos otro ejemplo en el que intervengan esta vez radicales. cuando x tiende a ∞ de: f (x) = x +1 − x −1 De acuerdo con el proceso usual. tendremos: lím x→∞ f ( x ) = lím x→∞ ( x +1 − x −1 )= ∞ −∞ Nos hallamos entonces frente a una forma indeterminada. Determinemos el límite.UNAD Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos: lím x→∞ x + 1 − x +1 f (x) = x +1 + x −1 = lím Y concluímos: lím x→∞ 202 f ( x ) = lím x→∞ x→∞ ( 2 x +1 + x +1 − x −1 ) x −1 =0 =0 . ( x +1 + ) x −1 por consiguiente: Por lo tanto: lím x→∞ f ( x ) = lím x→∞ ( x +1 − x −1 )( x +1 + x +1 + x −1 ) x −1 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Podremos decir que x = x2 Obtendrémos entonces: f ( x ) = lím x→∞ 3x 2 + 4 x2 = lím x→∞ 2− 3+ 5 x 4 ( obviamente x ≠ 0 ) x2  5   −  = lím Por lo tanto. aparentemente más complicado. De acuerdo con el proceso usual. teniendo en cuenta que. Cuando x tiende a − ∞ a. pero también con radical. en este caso. lím x→∞ f ( x) = ∞ ∞ Nos hallamos frente a una forma indeterminada. cuando x tiende a infinito. ¿Qué hacer? Vamos a dividir el numerador y el denominador de nuestra expresión racional por x. tendremos.Antes de pasar a la autoevaluación veamos un último ejemplo. Ejemplo 6 Determinemos el límite de f ( x)= 2x − 5 3x 2 + 4 a. es positivo. Cuando x tiende a − ∞ b. dado que lím x→∞  x  x →∞ diferencial x→∞ 5 x  4     2  =0  x  Cálculo lím 2− 203 . entonces si x tiende a − ∞ . en este caso.lím x→∞ 2x − 5 f ( x ) = lím x→∞ 3x 2 + 4 = 2 3 = 2 3 3 b. esto es. sin embargo. dividimos tanto el numerador como el denominador de nuestra expresión por x.UNAD x→− ∞ 204 f ( x ) = lím x→− ∞ f ( x ) = lím x→− ∞ 2x − 5 3x 2 + 4 2x − 5 3x 2 + 4 − 2t − 5 = lím t→ ∞ = −2 3 3t 2 + 4 =− 2 3 3 = lím t→ ∞ − 2 −5 / t 3+ 4 / t 2 = −2 3 = −2 3 3 . Busquemos ahora cuál es el límite de f(x) cuando x tiende a − ∞ . estamos consideranto valores negativos de x. x = − t . Como lo acabamos de hacer. Hagamoslo: lím x→− ∞ lím Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. lógico que t → ∞ . nos facilitará el manejo de la expresión un cambio de variable. f (x ) = 8. f ( x ) = 3 + 2x − 5x 2 3 5 x − x3 4 9 6x 3 + 2x − 1 x 2 −1 diferencial 3.2x3 .5 2. f (x) = x5 . Cuando x tiende a infinito b. g (x) = x ( 3 + sen x) Cálculo 1. f ( x ) = x − x + 3 7 x 5. Cuando x tiende a menos infinito 5x 2 + 2x + 1 x −1 3 x 4 +1 x 2 2 5 4. g ( x ) = Ejercicios 2.8 6. f ( x) = 7. g ( x ) = 205 .Hallar el límite de las siguientes funciones: a. UNAD .206 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 9 0. x 0 0. la ( x −1) 2 función f está definida para todo valor de x.2.8x107 2.9995 0. excepto para xo = 1.75 0.8 f(x) 7 28 112 175 0.5 0.95 0.18 Gráfica para -5 -4 -3 -2 -1 x 1 2 3 4 5 6 7 7 Cálculo f (x ) = -6 diferencial y ( x − 1) 2 207 .8 x 109 3 2 1 -7 FIGURA 2.995 0.99995 700 2800 280000 2.5 La función tiende a infinito cuando x tiende a x o Tomemos inicialmente la función definida por f ( x ) = 7 . o sea por valores mayores?. o sea por valores menores? ¿Qué ocurre cuando x se aproxima a 1 por la derecha. D = R − {1 } (Dominio: reales menos uno) ¿ Qué ocurre cuando x se aproxima a 1 por la izquierda. como podemos verlo. Hagamos una tabla de valores para observar mejor este fenómeno. 05 1.2 f(x) 7 28 112 175 1.5 1. f (x) toma valores cada vez mayores y crece sin límite. y escribimos: lím − x →1 f(x) = ∞ Examinemos ahora lo que ocurre cuando x se aproxima a uno por la derecha. y crece sin límites.1 1. x 2 1. Vemos que a medida que x se acerca por la derecha.8 x 109 ¿Qué observamos a partir de la tabla de valores y de la figura 2. f(x) toma valores cada vez mayores.UNAD o bien por la izquierda entonces decimos que la función tiende al infinito. Decimos entonces que f(x) tiende hacia infinito cuando x tiende a uno por valores menores. Escribimos: f ( x) → ∞ .25 1. o sea por valores mayores a 1. cuando x tiende a 1 por valores mayores y escribimos: lím + x →1 f(x) →∞ En resumen.00005 700 2800 280000 2.18.¿Qué observamos a partir de la tabla de valores y de la figura 2. o sea por valores mayores. reducida o no. Decimos que f(x) tiende hacia al infinito ( ∞ ) cuando x tiende a xo . si para B > 0 ( por grande que sea) existe un de Ciencias δ > 0 tal que f ( x ) > B para lím Facultad x → xo 208 x − xo < δ . bien por la derecha Básicas e Ingeniería.0005 1. la función que estamos analizando tiende al infinito.8x107 2.005 1. lím − f (x) = lím + f(x) = lím f ( x ) → ∞ x →1 x →1 x →1 Definición Sea f una función definida en una vecindad de x o . Decimos entonces que f(x) tiende a infinito ( ∞ ) .18? Vemos que a medida que x se acerca por la izquierda ( o sea por valores menores ) a 1. y f (x) > B. Para todo B > 0. demostremos que lím x →1 f (x ) =∞ (recordemos que f (1) no existe). δ > 0 > B ⇔ ( x −1) 2 < 7 B Recordemos las propiedades de los valores absolutos: f ( x ) > B ⇔ x −1 < Si tomamos δ = 7 B 7 B se cumplirá la condición requerida.19 lím f ( x ) → ∞ x → x0 Volvamos a nuestra función f ( x ) = 7 ( x − 1) 2 . debemos hallar un δ tal que si f ( x ) > B entonces f ( x) = 7 ( x − 1) 2 x − 1 < δ.19) ∞ FIGURA 2. lím x →1 diferencial podemos decir: f (x ) = ∞ Cálculo Ilustra: 209 . por grande que sea.También suele escribirse: lím x → xo f (x ) = (verse figura 2. Por tanto. 995 . D = R − {1 } ¿Qué ocurre cuando x se aproxima a 1 por la izquierda ( x → 1− ) ? Hagamos nuevamente una pequeña tabla de valores.99995 . la función g ( x − 1) 2 está definida para todo valor de x.2.700 .UNAD -5 -6 -7 -8 -9 -10 FIGURA 2.8 x 109 y X0 = 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 Básicas e Ingeniería. x 0 0.8x107 .20 Representación gráfica para g ( x) = −7 Facultad de Ciencias ( x − 1) 210 2 -11 -12 1 2 3 4 5 6 7 x .9 0.5.28 . Tomemos la función definida por g ( x) = −7 .9995 0. Como podemos verlo.5 0.75 0.8 0.2.1 La función tiende a menos infinito ( − ∞ ) cuando x tiende a x o.112 .280000 0.175 .2.95 f(x) -7 . excepto para Xo = 1.2800 0. Escribimos: x → xo f (x ) → −∞ ( Figura 2.175 .28 .00005 . y decrece sin límite.1 1. g (x) toma valores cada vez menores.21 ) Cálculo lím 211 . y escribimos: lím − g ( x ) → − ∞ x →1 ¿Qué ocurre cuando x se aproxima a 1 por la derecha ( x → 1+ ) ? Hacemos una pequeña tabla de valore:s x 2 1.25 1.Vemos que a medida que x tiende a 1 por la izquierda ( x → 1− ).2800 1.2. Decimos entonces que g (x) tiende hacia menos infinito ( − ∞ ) cuando x tiende hacia 1 por la derecha.112 . g (x) toma valores cada vez menores.20? Vemos que a medida que x tiende a 1 por la derecha ( x → 1+ ) . por grande que sea. tal que si f (x) < − B entonces . existe un δ > 0 .005 .8x107 .05 f(x) -7 . y decrece sin límtes. si para todo B > 0. Decimos que f (x) tiende diferencial hacia menos infinito ( − ∞ ) cuando x tiende a xo .8 x 109 ¿Qué observamos a partir de la tabla de valores y de la figura 2. reducida o no.2.700 .2 1. y escribimos: lím + g ( x ) → − ∞ x →1 En resumen: lím − x →1 g (x) = lím + x →1 g (x) = lím x →1 g (x) → − ∞ Definición Sea f una función definida en una vecindad de x o . Decimos entonces que g (x) tiende hacia menos infinito ( − ∞ ) cuando x tiende hacia 1 por la izquierda.280000 1.5 1.0005 1. por grande que sea. Básicas e Ingeniería. por lo tanto.21 Ilustra: lím f ( x ) → − ∞ x → xo Ejemplo 1 g( x) = Volvamos a nuestra función −7 ( x − 1) 2 . B de Ciencias podemos concluir que: lím Facultad x →1 212 g (x ) → −∞ . debemos hallar un δ > 0 tal que si g (x) entonces x −1 < δ . Para todo B > 0 . demostremos que lím x →1 g ( x ) →− ∞ (recordemos que g (1) no existe).UNAD ∀ x ∈D g ( x ) = −7 ( x − 1) 2 7 < − B ⇒ ( x − 1) 2 < B Recordemos las propiedades de los valores absolutos: g ( x ) < − B ⇒ x −1 < Tomamos δ = 7 B 7 y así se cumplirá la condición requerida y g (x) < − B .FIGURA 2. 19000).1000 (unidades monetarias) si 500 < x < 1000 (kg). ¿qué se observa?.1000 = 18980 unidades monetaria Cálculo y(999) = (20) (999) 213 . y = 20x .2. Si 500 < x < 1000. Figura 2. Nuestra fábrica produce diariamente de 500 a 1000 kilogramos de un producto dado. Si 1000 < x < 1500. 19000) y (1500.1000. cuando tenemos una demanda superior a 1000kg. ¿A partir de cuándo nos conviene contratar otro turno? 1.3000. y = 20x . tenemos que contratar otro turno de trabajo de noche. (Ecuación de la recta que pase por los puntos (500. permitiéndonos obtener una ganacia « y » dependiente de la cantidad de producto vendido « x ». ¿Cómo podríamos representar gráficamente las ganancias: «y» en función de la cantidad de producto vendido x? ¿ Cuál es nuestra ganancia cuando logramos vender exactamente 1000 kg del producto?. Analicemos lo que ocurre. Si vendemos 990 kg. (Ecuación de la recta que pasa por los puntos (1100. y(1000) = (20) (1000) diferencial tendremos una ganancia de: . de mercancía. ¿cuándo vendamos 999 kg? y ¿si vendieramos 1001 kg?. si 1000 < x < 1500. 9000) y (1000. la ganancia se puede expresar en función de x como: y = 20x . de mercancía.22.3000.22. lo que eleva los costos y nos permite obtener ganancias del orden de : y = 20x . 27000)). 2. Pero. Figura 2.6 Límites unilaterales Para conceptualizar los límites unilaterales. analicemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Vemos nuevamente un ejemplo que nos facilite entender los conceptos. tendremos una ganancia de . Si logramos vender exactamente 1000 kg.1000 = 19000 unidades monetarias. 22 Gráfica de las ganancias «y» en función de la cantidad de producto vendido x.) nuestra ganancia se irá aproximando a 19000 unidades monetarias. Diremos que cuando la cantidad de mercancía vendida tiende a 1000 kg.3000 = 17020 unidades monetarias.UNAD Mientras nos aproximemos a los 1000 kg de mercancía vendida. pero por valores menores (tales como 999 kg. pero por valores menores ( o sea por la izquierda. 300 2000 x Si vendieramos 1001 kg de mercancía.y 26000 22000 y (5 = 2 00 0 x £ -1 x £ 0 10 00 00 ) 18000 14000 10000 (1 y = 00 20 0 x < -3 x £ 0 15 00 00 0) 30000 28000 6000 1500 1300 1100 900 700 500 100 FIGURA 2. tenderá a 19000 unidades monetarias. ¿Qué observamos? Básicas e Ingeniería. tendríamos una ganancia de: y(1001) = (20) (1001) . escribiremos: Facultad de Ciencias lím − x → 1000 214 (y) = 19. lo que simbolizamos por 1000.) las ganancias tienden a 19000 unidades monetarias.000 . debido a la necesidad de contratar el turno nocturno.. los dos límites son distintos. las ganancias superarán las obtenidas con el turno normal). cuando estemos seguros de vender más de 1100 kg. lo que simbolizamos por 1000 lím + x → 1000 + ) las ganancias tienden a 17000. podemos hallar un δ > 0 tal que: f ( x ) − L < ε entonces 0 < xo − x < δ.23). puesto que estos dos kilos de más no alcanzan a compensar el costo del turno nocturno. (o sea. tales como 1001 kg. pero por valores mayores. tenderá a 17000. por derecha. Definición: límite unilateral por la izquierda Sea f una función definida en un intervalo abierto ( a. tanto que nos resulta más rentable vender 999 kg de mercancía que 1001 kg. Diremos que cuando la cantidad de mercancía vendida tiende a 1000 kg. xo ).En cambio. δ > 0 Cálculo diferencial L recibe el nombre de límite unilateral por la izquierda o límite por la izquierda. y las ganancias se irán aproximando a 17000 unidades monetarias. nuestra ganancia será distinta. escribiremos: y = 17000 Como bien lo vemos. Decimos que límite de f (x) cuando x tiende a xo por la izquierda es L y escribimos: lím − x → xo f(x) = L Si para cualquier ε > 0 ( no importa lo pequeño que sea). aún menor. mientras nos aproximamos a los 1000 kg de mercancía vendida. 215 . pero por valores mayores. y a partir de 1100 kg. Sólo nos conviene contratar un turno de noche. de mercancía diaria (puesto que: y1000 = y1100 = 19000. (Figura 2. de Ciencias Las propiedades relativas a las operaciones algebráicas sobre los límites son válidas para los límites por la derecha o por la izquierda. b).24) Debemos tener bien claro que como lo vimos en el ejemplo anterior. y escribimos: lím x → x + o f(x) = L’ Si para cualquier ε > 0 ( no importa lo pequeño que sea). decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a xo por la derecha es L’ . δ > 0 L’ recibe el nombre de límite unilateral por la derecha o límite por la derecha (figura 2. podemos hallar un δ > 0 tal que: Básicas e Ingeniería.23 Ilustra: lím x → x− o f ( x) = L Definición: límite unilateral por la derecha Sea f una función definida en un intervalo abierto (xo .FIGURA 2.UNAD si f ( x ) − L' < ε entonces 0 < x − xo < δ . el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a xo no ha de ser necesariamente igual al límite por la derecha f(x) cuando x tiende a xo . sólo tendremos que remplazar Facultad x → xo 216 por x → xo + ó x → xo − según el caso. . FIGURA 2. Para todo ε > 0 si y = 20x - y = 19000 1000 debemos hallar un δ > 0 tal que: y − 19000 < ε entonces 0 < 1000 − x < δ Pero a su vez: y − 19000 = 20x −1000− 19000 = 20x − 2000 Factorizamos: diferencial lím y − 19000 = 20 x − 1000 Si: y − 1900 = 20 x − 1000 < ε Cálculo Ilustra: 217 . lím x →1000− si 500 < x < 1000.24 x → x+ o f ( x ) =L Ejemplo 1 Demostremos que en efecto. En nuestro ejemplo: lím − x →1000 f ( x ) ≠ lím + f (x) x →1000 Básicas e Ingeniería. se cumplirá la condición requerida. definida en un intervalo. x − 1000 = 1000 -x Por lo tanto. tendremos: 0 < 1000 − x < Si tomamos δ = ε 20 ε . puesto que 20 si y − 19000 < ε entonces 0 < 1000 − x < δ lím podremos afirmar que: y = 19000 − x →1000 Prodríamos demostrar en una forma similar que lím + x →1000 y = 17000.x −1000 : Podemos despejar ε 20 x − 1000 < Pero. y además: lím x → xo f(x) = L Ahora si: lím de Ciencias − f (x) x →1000 lím Facultad x → 1000 218 ≠ lím +f ( x) x →1000 f(x) no existe . existe. podemos concluir que: . para todo ε > 0 . pero aplicando esta vez la definición de límite por la derecha.UNAD ¿Pero qué ocurriría si ambos límites fuesen iguales? Si para una función f dada. lím − f x → xo (x) = lím + x → xo f (x) = L. para valores de x menores que 1000. entonces el límite de f(x) cuando x tiende a Xo. Ejemplo 2 Tomemos la función f (x) definida por: x si x ≠ 0 −1 si x = 0 { f ( x) = a. ¿Cuál es el límite: lím − f(x)? x→0 c. 1) FIGURA 2. ¿Cuál es el límite: lím x→0 d. ¿Cuál es el límite: lím x→ 0 + f(x)? f(x) (si existe)? y x diferencial (0. ¿Cuál es su gráfica? b.Esto significa que si los límites unilaterales en un punto no son iguales.25 Representación gráfica de la función x si x ≠ 0 Cálculo { f ( x) = − 1 si x = 0 219 . el límite en dicho pundo no existe. lím − f(x) = lím − ( x→0 x→0 -x) =0 Puesto que cuando x tiende a cero. pero positivos. Tracemos la gráfica de la función.UNAD d. c. por lo tanto.a. ¿Qué notamos? lím − f(x)= lím + f(x) = 0 x→0 x→0 De acuerdo con lo que acabamos de ver. lím x→0 + f(x) = lím + x = 0 x→0 Puesto que cuando x tiende a cero por la derecha.la función toma valores muy próximos a cero. En este caso x = − x. si x = 0. Básicas e Ingeniería. pero positivos. ∞ ] . el límite de la función f(x) cuando x tiende a cero existirá y además: lím de Ciencias x→ 0 f (x) = 0 Vemos que a pesar de ello: Facultad lím f(x) ≠ f (0) x→ 0 220 . f ( x ) = x Pasemos luego al caso en el cual x < 0. Examinemos inicialmente el caso en el cual x > 0. la función toma valores muy próximos a cero. figura 2. Pasemos ahora al estudio de los límites: b.30. por la definición de la función. En este caso x = x. por lo tanto si x∈ ] 0. ∞ ] . f (x) = 1. f ( x ) = − x - Finalmente. por la izquierda. si x ∈ ] 0. B entonces 0 < xo − x < δ . debemos.Ejemplo 3 Demostremos que: lím x → 2 − h ( x ) = lím x → 2 − 3x → −∞ x−2 Puesto que el dominio de la función es D = R - { 2 }. Analicemos: h (x )<−B ⇔ Multipliquemos por x - 3x < −B x −2 2. De acuerdo con la definición. hallar un real δ > 0 . tal que si h(x) < . para todo número real B. x> 2B 2B 2B − 6 − 2B ⇒ x −2 > −2 ⇒ < x −2 3+B 3+ B 3+B Entonces: x−2> −6 6 ⇔ 2 −x < 3+B 3+B 6 Tomemos como δ = 3 + B asi se cumple las condiciones requeridas: ∀ B > 0 si h ( x ) < − B entonces 0 < x − xo < δ 3 → −∞ x −2 Cálculo lím − h ( x ) = lím − x →2 x →2 diferencial Concluímos que en efecto: 221 . no olvidando que es una cantidad negativa: h ( x ) < − B ⇔ 3x > − B ( x − 2 ) ⇒ x ( 3 + B ) > 2B Dividamos por 3 + B > 0 y luego restemosle 2. por grande que sea. tal que si h (x) > B entonces 0 < x − xo < δ . hallar un número real δ > 0 . Puesto que el dominio de la función es D = R . Examinemos la condición: h (x ) > B ⇔ 3x >B x −2 Recordemos que x . 3x − 2B > B ⇒ 3x > B ( x − 2 ) ⇒ x ( 3 − B ) > − 2B ⇒ x < si B > 3 x− 2 3−B Restemos 2 a cada miembro de la desigualdad. puesto que: ∀ B > 0 si h ( x ) > B ⇒ 0 < x − xo < δ Concluímos que en efecto: Facultad de Ciencias lím + h ( x ) = lím + x →2 x →2 222 3x =∞ x −2 . debemos. multipliquemos por esta cantidad y despejemos a x. De acuerdo con la definición.Ejemplo 4 3x →∞ + h ( x ) = lím + Demostramos que: lím x →2 x →2 x −2 Demostrémoslo.UNAD x −2< Tomamos 6 B −3 6 B − 3 como δ y así cumpliremos con la condición requerida.{ 2 }.2 > 0. x< − 2B 2B 2B 2B − 2B + 6 ⇔x< ⇒x−2< −2= 3− B B− 3 B− 3 B− 3 Básicas e Ingeniería. por grande que sea. para todo real B > 0. denominemos el polinomio del numerador por f (x) y el del denominador por g (x). f (x ) tendremos: h ( x ) = g ( x ) a. xlím→ 5 − h ( x ) = xlím→ 5 − 2 x − 2 x − 15 h ( x ) = lím + b. Necesitamos hallar el lím x → 5− Ocupémonos inicialmente del lím h ( x ) = lím x → 5− f (x) g (x ) f (x) Puesto que las reglas referentes a las operaciones algebráicas sobre los límites cuando x → xo siguen siendo válidas cuando x → x − o lím x →5 g ( x ) = ( lím x →5 x )2 − 3 ( lím x →5 x )+ + o cuando x → x o podemos escribir: lím ( x ) 2 = 5 2 − 3 ( 5 ) + 2 = 12 x →2 . cociente de dos polinomios.Ejemplo 5 Hallar si existen: x 2 − 3x + 2 a. 223 .15 = ( x . lím x →5+ x →5 c.2x .2x . lím x →5 x 2 − 3x + 2 2 x − 2 x − 15 x 2 − 3x + 2 h ( x ) = lím x →5 2 x − 2 x − 15 Vemos ante todo que h (x) es una expresión racional.5 ) ( x + 3 ) Cálculo Vemos que g (x) = x2 diferencial A continuación calculemos el límite de g(x) cuando x → 5 − .15 es factorizable en: g (x) = x2 . 5 ).)..y podremos escribir: lím − g ( x ) = ( 0...0.) ( 8 ) = 0x →5 Volvamos ahora a nuestra expresión racional h (x).4. por consiguiente y de acuerdo con la propiedad 3... lím x →5 + f ( x ) = ( lím x →5 + x ) 2 − 3 ( lím x →5 + x ) + lím x →5 + 2 = 52 − 3( 5 ) + 2 = 12 de Ciencias Calculemos el límite cuando x → 5 + del denominador g ( x ) = x 2 − 2 x − 15 Facultad x 2 − 2 x − 15 = ( x − 5 ) ( x + 3 ) .99) la diferencia ( x . vista anteriormente.3 ) x →5 x →5 x →5 x →5 Por lo tanto..9.Lo que nos permite escribir: lím − g (x) = lím − ( x . si hallamos el producto de los límites. Deseamos hallar: Básicas e Ingeniería.. vemos que el numerador f (x) tiende hacia 8 en tanto que el denominador g (x) tiende hacia 0. calculamos el límite cuando x → 5 del numerador f(x).0. cuyo límite queremos determinar cuando x tiende hacia 5-.1.UNAD lím + h ( x ) = lím + x →5 x →5 x 2 − 3x + 2 f ( x) = lím + g (x ) x → 5 2 x − 2x − 15 + En forma similar al proceso anterior.5 ) se acercará a cero (0) por valores negativos ( como . . notando sobre todo que cuando x se acerca a 5 por la izquierda ( como 4.5 ) ( x + 3 ) = lím − ( x .0. lo que representamos por 0.. podremos asegurar que: f (x ) x 2 − 3x + 2 = lím → −∞ − h ( x ) = lím x →5 − g (x ) − 2 x →5 x → 5 x − 2x − 15 lím b. 224 lím + ( ( x − 5 ) ( x + 3 ) ) = lím + x →5 x →5 ( x − 5 ) lím + x →5 ( x + 3) .. lím − ( x . ).Vemos que cuando x se acerca a 5 por la derecha ( como 5. de acuerdo con la propiedad 1. si existe: a. hallar.. podremos asegurar que: lím + x →5 c.. 0. x →5 Ejemplo 6 Dada la función h (x) = tan x. lím  π  h(x) x→  2 diferencial Por conveniencia.01. seno de x y coseno de x. 5.1.. Queremos hallar lím h (x) lím x →5− f ( x) = lím + x →5 g (x ) h ( x ) = lím + x →5 x 2 − 3x + 2 2 x − 2 x − 15 →∞ Pero vemos que: h ( x ) ≠ lím h (x ) x →5+ Sólo podemos concluir que el lím h (x) no existe.01.1... lo que representamos por 0+.... lím π − h(x) x →   2 b. Podemos entonces escribir: f ( x) sen x = g( x ) cos x Cálculo h ( x ) = tan x = 225 .. lím  π  + x→   2 h(x) c. podemos expresar la función h(x) = tan x como el cociente de dos (2) funciones que quizás conocemos mejor.) la diferencia ( x − 5 ) se acercará a cero (0) por valores positivos ( cuando 0.. y que nos permite escribir: lím + x →5 g ( x ) = ( 0+ ) ( 12 ) = 0+ Volvamos ahora a nuestra expresión racional h (x) cuyo límite queremos determinar cuando x tiende hacia 5+: vemos que el numerador f(x) tiende hacia 12 en tanto que el denominador tiende hacia 0+: por lo tanto. Deseamos conocer lím x →( π / 2) −h ( x ) = lím x →( π / 2) − f (x ) sen x = lím − g ( x ) x → ( π / 2 ) cos x Para refrescar la memoria. cuando x tiende a ( π / 2 ) − .UNAD x →(π / 2) Facultad FIGURA 2. por lo tanto: lím − f(x) = lím − senx = 1 lím − g(x) = lím − cos x = 0+ x →(π / 2) x →(π / 2) x →(π / 2) x →(π / 2) Regresamos a nuestra función racional h (x) = tan x cuyo numerador tiende hacia 1 cuando x tiende hacia ( π / 2 ) − . ubiquémonos en el círculo trigonométrico (figura 2. Allí vemos que. podremos decir que: lím de Ciencias Básicas e Ingeniería.26 Circulo trigonométrico con énfasis en el primer cuadrante 226 − h ( x ) = lím x →(π / 2) − f(x) = lím − g (x ) x →(π / 2) sen x →∞ cos x .26).a. en tanto que su denominador tiende hacia 0+ cuando x tiende hacia ( π / 2 ) − . mientras el cos x tiende hacia 0 por valores positivos. el sen x tiende hacia 1. estamos en el primer cuadrante. nos estamos acercando a ( π / 2 ) por la izquierda. 27 Circulo trigonométrico con énfasis en el segundo cuadrante b. lím x →(π / 2) + h ( x ) = lím x →(π / 2) + f ( x) sen x = lím + x → ( π / 2 ) g (x ) cos x Ubiquémonos de nuevo en el círculo trigonométrico ( figura 2. y cos x < 0 ). por lo tanto: lím + lím + x →(π / 2) x →(π / 2) f(x) = lím x →(π / 2) senx = 1 + g(x) = lím x →(π / 2) + cos x = 0- Regresamos a nuestra función racional h (x) = tanx cuyo numerador tiende hacia 1 diferencial cuando x tiende hacia ( π / 2 ) + .FIGURA 2.cuando x tiende hacia ( π / 2 ) + . en tanto que su denominador tiende hacia 0. Vemos que a medida que x tiende a ( π / 2 ) + por la derecha f(x)= sen x tiende a 1 y g(x) se aproxima a cero (0) por valores negativos (puesto que estamos en el segundo cuadrante. podremos concluir que: x →(π / 2) + h ( x ) = lím x →(π / 2) + f ( x) sen x = lím →−∞ + g ( x ) x → ( π / 2 ) cos x Cálculo lím 227 .27). Deseamos conocer. en tanto que cuando x tiende hacia π / 2 por la derecha. podremos concluir que no existe.UNAD asciende indefinidamente. una Facultad de Ciencias rama de la curva desciende indefinidamente. cuando x tiende a π / 2 por la izquieda una rama de la curva Básicas e Ingeniería.28) FIGURA 2.c. Recordemos rápidamente al gráfica de la función h (x) = tan x ( figura 2. no existe ).28 Para y = tan x Vemos que en efecto. Puesto que lím x →(π / 2) − (tan x ) ≠ lím el límite de tan x cuando x tiende a π / 2 x →(π / 2) + (tan x ). ( lim x →(π / 2) tan x. 228 . i. c. lím + f (x) f. Para la función cuya gráfica se representa a continuación (figura 2. x→3 x→5 x→6 x→ 6 x→9 m. k.6 x Cálculo FIGURA 2. lím + f (x) l. Ejercicios 2. lím f (x) d. lím f (x) j. g. lím − f (x) h. los siguientes límites: f(x) 7 6 5 4 3 2 1 lím − f (x ) x→3 b. e. lím x→3 + f(x) lím − f(x) x→5 lím f(x) x→5 lím + f (x) x→6 lím − f (x) x→9 lím f (x) x→9 lím + f x →11 (x) diferencial a. lím − f (x) x →11 n.29 Gráfica para la función del problema 1 229 .29) hallar en caso de que existan .1. lím x→4 (x −4) (x −3) x−4 x −5 3. si existen. x→0 lím + f(x). xo = − π / 2 x→ 4 + x → −7 x+5 − x+7 (x +7) 2 .UNAD En los ejercicios del 6 al 9. si existen: 6. lím 8. lím 4 − x2 9. h ( x ) = 230 x +9 x +9 x x−3 2 x −9 3+ 3x − 12 7. lím x→9 + x → 2− Facultad de Ciencias 10. x→0 lím f(x) x→ 0 Básicas e Ingeniería. hallar los límites indicados. lím . hallar los límites indicados a continuación (si existen) − 2. lím f (x) p. xo = − 3 3 cos 2x 11. xlím →3 1x + 3 5. Sea f (x) la función definida en la siguiente forma: f ( x)= { − 3 si x < 0 0 si x = 0 4 si x > 0 Trazar una gráfica y hallar. lím + f (x) r. x → 11 x →14 lím − f (x) x →14 lím x → 14 f (x) En los ejercicios 2 a 9. q. lím + x→5 x 2 − 4 x − 21 + 4.o. lím −f(x). h ( x ) = cos x . Cálculo i) 231 . d. . x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 f (x ) iii) g ( x ) diferencial a.x2 + 5 12. h ( x ) = x +1 13. xo =1 x −1 14. h ( x ) = . ii) f (x) lím f (x) = 5. lím g (x) = 0 lím f (x) → ∞ . lím g(x) → ∞ lím f (x) = 5. f*. f (x) + g (x) . e*. lím g (x) = 7 lím g (x) → − ∞ lím g (x) = 0 x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 lím f (x) → ∞ . lím g (x) → ∞ lím f(x) = 0. c. cuando x→ xo (si existe) de: b. ¿Cuáles serán los límites. xo = −1 3 4 ex − 5 . g (x). lím f (x) = 0. { 0 }. y Básicas e Ingeniería.UNAD lim f(x) ∞ x 1 lim f(x) ∞ + x 1 x de Ciencias x=1 Asíntota vertical FIGURA 2.7 Asíntotas verticales y horizontales Es muy común el que tengamos que trazar gráficas de las funciones con las que trabajamos.2. pero además de ello hay algo que puede facilitar nuestra labor. para ello recurrimos a puntos que calculamos y resumimos en una tabla de valores.7. las cuales pueden ser verticales. Veamos qué son.1 Asíntotas verticales Ejemplo 1 Examinemos por ejemplo la gráfica para la función f(x) = 1/x (figura 2. como es el saber si presenta o nó asíntotas. excepto para x = 0. horizontales u oblicuas.30) la cual está definida para todos los valores de x. D= R . 2.30 Gráfica para la función Facultad f ( x )= 232 1 x . (Ver en la figura 2. Decimos que x = 0 es una asíntota vertical para la curva y = 1/x. D = R .31 Gráfica para la función 7 f ( x) = 2 ( x − 1) 233 . que está definida para todos los valores de x.¿Qué notamos? Vemos que la curva corespondiente a f ( x ) = 1 x se acerca cada vez más a la recta de ecuación x = 0. excepto para x = 1. sin llegar jamás a intersectarla. y lim f(x) x 1- ∞ lim f(x) x 1+ ∞ x diferencial x=1 Asíntota vertical Cálculo FIGURA 2.{ 1 }.31). Vemos además que: lím − x →o Ejemplo 1 x → −∞ y 1 lím + x →o x → ∞ 2 Recordemos la gráfica para la función f ( x ) = 7 ( x −1) 2 . en el Facultad segundo ejemplo. Decimos que x = 1 es una asíntota vertical de la curva y= 7 ( x − 1)2 . lím f(x) → ∞ d. lím + o x →x c. Así mismo. la recta x = 1 era una asíntota vertical porque satisfacía las condiciones (a) y (c): lím x →1 − 7 ( x −1 ) 2 →∞ y lím x →1 + 7 ( x − 1 )2 →∞ de Ciencias Es frecuente hallar asíntotas verticales del tipo x = x o cuando la función no está definida para x = xo . sin llegar jamás a intersectarla. Vemos además que: lím − x →1 7 ( x − 1) 2 →∞ 7 lím + y x →1 ( x − 1)2 →∞ Definición: asíntota vertical Decimos que la recta x = xo es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si se verifica alguna o algunas de las condiciones siguientes: a.¿Qué notamos? Vemos que la curva correspondiente a f ( x ) = 7 se acerca a la recta de ecuación ( x − 1)2 x = 1. lím x → o + o 1 → ∞ y lím − x →0 x 1 → − ∞ . la función no estaba definida para xo = 1. 234 . en el ejemplo x 2. la recta x = 0 era una asíntota vertical porque satisfacía las condiciones: (a) y (d). en el primer ejemplo. lím x →x x →x o + o − f (x ) → −∞ f (x ) → −∞ o Básicas e Ingeniería.UNAD En el ejemplo 1 ya visto. lím x →x − f(x) → ∞ b. la función f no estaba definida para xo = 0. 32) y x Asíntota horizontal y=0 Asíntota vertical x=0 FIGURA 2. Cálculo f ( x) = 235 .32 Gráfica para la función 1 x ¿Qué notamos? diferencial Vemos que la curva correspondiente a f (x) = 1/x se acerca cada vez más a la recta de ecuación y = 0. sin llegar e intersectarla jamás. Decimos que y = 0 es una asíntota horizontal para la curva y = 1/x.2.7.2 Asíntotas horizontales Ejemplo 1 Examinemos nuevamente la gráfica de la función f (x) = 1/x (figura 2. Vemos además que: lím x →−∞ Ejemplo 1 =0 x y 1 =0 x lím x →∞ 2 Recordemos la gráfica de la función f (x )= 7 ( x −1 ) 2 . (figura 2. ( x −1 )2 .UNAD FIGURA 2.33) y x Básicas e Ingeniería. Decimos que y = 0 es una asíntota Facultad horizontal de la curva y = 236 7 .33 Gráfica para la función f ( x) = y=0 Asíntota horizontal x=1 Asíntota vertical 7 ( x − 1) 2 ¿Qué notamos? Vemos que la curva correspondiente a f ( x ) = 7 ( x −1 ) 2 se acerca cada vez más a la recta de Ciencias de ecuación y = 0. sin llegar a intersectarla jamás. Vemos además que: lím 7 x →− ∞ ( x − 1) 2 =0 7 lím y x →∞ ( x − 1)2 =0 Definición: asíntota horizontal Decimos que la recta y = c es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si se verifica alguna o algunas de las condiciones siguientes: a. lím x →∞ f (x) = c b. ¿Para qué valores de x está definida f (x) ? f(x). lím − f(x). Hallar los siguientes límites: 237 . lím + f(x) x → −1 lím x →∞ f(x). la recta y = 0 era una asíntota horizontal porque satisfacía ambas condiciones: lím x →− ∞ Ejemplo 7 ( x − 1) 2 =0 lím y x →∞ 7 ( x − 1) 2 =0 3 Examinemos la función definida por: f ( x ) = − x 2 + 2x + 11 2x 2 − 4x − 6 a. lím x →− ∞ f (x) = c En el ejemplo 1 ya visto. x →3 lím x → −1 − lím + x →3 f(x) f(x) Cálculo lím x →− ∞ diferencial b. la recta y = 0 era una asíntota horizontal porque satisfacía ambas condiciones: 1 =0 x lím x →∞ y 1 =0 x →− ∞ x lím En el ejemplo 2. puesto que lím f ( x ) = − . Trazar la gráfica de la función (x). podemos ver que hay una asíntota horizontal: Facultad 1 1 1 y = − . a.UNAD − x 2 + 2 x + 11 2 =− 1 2 =− 1 2 →− ∞ de Ciencias c. D=R . Calculemos los límites indicados: lím = lím = x →− ∞ x →∞ 2 2 x − 4x − 6 − x 2 + 2 x + 11 2 2 x − 4x − 6 = lím x →− ∞ = lím x →∞ − 1 + 2 / x + 11 / x 2 2−4/ x −6/ x 2−4/ x −6/ x − = − x 2 + 2x + 11 8 = → ∞ − 2 ( x + 1) ( x − 3 ) 2( 0 ) ( − 4 ) lím + = − x 2 + 2x + 11 8 = →− ∞ + 2( x +1) ( x − 3) 2( 0 )( − 4 ) x → −1 lím − = − x 2 + 2x + 11 8 = − 2 ( x + 1) ( x − 3 ) 2( 4)(0 ) lím + = − x 2 + 2 x + 11 8 = → ∞ + 2 ( x + 1) ( x − 3 ) 2 ( 4)(0 ) x →3 x →3 2 − 1 + 2 / x + 11 / x 2 lím x → −1 Básicas e Ingeniería.1. De lo anterior. Tratemos de factorizar el denominador de la función f(x): − x 2 + 2 x + 11 f (x) = 2x 2 − 4x − 6 = − x 2 + 2 x + 11 2 ( x + 1) ( x − 3 ) Vemos que la función f (x) estará por lo tanto definida para todos los valores de x excepto para x = -1 y x = 3. 3 } b.c. y lím f ( x) = − x → ∞ x →− ∞ 2 2 2 238 . ¿Hay asíntotas verticales? ¿Horizontales? ¿Cuáles? d.{ . 9 3.26 2.1.8 2.34).1.62 9.También hay dos asíntotas verticales: x= .28 0.3 1 .76 -10.26 − x 2 + 2x + 11 2 2x − 4x − 6 -0.8 2. puesto que lím −f(x) x → −1 = ∞ .6 -0.6 -3.3 1.3 -0. x = 3 Asíntota vertical x = -1 Asíntota vertical y x y = .1. x →3 y lím x → −1 +f(x) = −∞ y y lím + f(x) = ∞ x →3 Dichas asíntotas las apreciamos mejor en la siguiente figura (figura 3.2 .23 .27 diferencial Tabla de valores para la función Cálculo f ( x) = 239 .28 -2.10.9 -0.5.1 -0.1 3.½ Asíntota horizontal FIGURA 2.38 0.5 3.28 9.25 4.75 .3. puesto que lím − f(x) = − ∞ .44 2 .5 -1. x = 3.5 4 5 10 1.34 Gráfica para la función −x 2 + 2 x + 11 2 2x − 4x − 6 x -10 -5 f(x) .0.17 .0.47 x f(x) f ( x) = -2 -1. UNAD y Asíntota oblicua y=x x de Ciencias Asíntota vertical x=0 FIGURA 2. bisectriz del primer y tercer cuadrante. entonces la recta recibe el nombre de asíntota de la curva. Veamos un ejemplo. Básicas e Ingeniería. Definición: asíntota oblicua Si para una curva dada. Ya hemos visto las asíntotas horizontales y verticales. la distancia del punto a la recta decrece continuamente y se aproxima a cero. como un punto sobre la curva se aleja indefinidamente del origen. obviamente.35. lo mismo sucede si x → − ∞ . pero es posible una asíntota oblicua. por lo tanto. si hacemos la división la función la podemos expresar como f(x) = x+1/x. existe una recta tal que. también. La gráfica la presentamos en la figura 2.35 Gráfica para la función f ( x) = x 2 Facultad x 240 +1 . puesto que 1/x tiende a cero (0).Podemos establecer una generalización con la siguiente definición. la curva presenta una asíntota vertical de ecuación x = 0. Si hacemos que x → ∞ . la recta y = x es una asíntota oblicua. Asíntota oblicua: Consideremos la función f ( x) = x 2 El dominio de la función. vemos que la función va a tomar valores próximos a x. es D = R +1 x -{0} Sin embargo. hallar las asíntotas verticales y horizontales para las funciones que se dan: x− 3 1. h ( x ) = x2 +5 x +1 5 8. h ( x ) = 1 x Cálculo 3. h ( x ) = x2 + 2x + 1 2 −x Ejercicios 2. h ( x ) = x − 4 7. 6. horizontales y si es posible en algún caso las oblicuas. h ( x ) = 5. determinar las asíntotas tanto verticales. Con lo anterior trazar las gráficas correspondientes.7 Justificándolo: diferencial 3 x 4 4.En los ejercicios del 1 al 5. h ( x ) = 2. h ( x ) = 2 x −9 4 + x2 x 3 cos 2x cos x 1− x 1+ 3x En los ejercicios del 10 al 13. h ( x ) = 4x + 3 − 241 . 37) ¿Qué ocurre en xo = 1000? f (1000) = 19000 lím − x → 1000 f (x) ≠ 19000 y lím + x → 1000 f (x) = 17000 Entonces: lím ≠ f (x) lím + x → 1000 f (x) lím ⇒ x → 1000 (x) no existe Básicas e Ingeniería. Pensemos en otro caso visto anteriormente.8 Continuidad Antes de definir formalmente lo que es una función continua en un punto x = xo .3000 si 1000 < x < 1500 Examinemos la gráfica (figura 2.2. Cuando hablámos de los límites unilaterales.UNAD Decimos entonces que la función f (x) es discontinua en el punto xo = 1000. habíamos estudiados el caso de una fábrica cuya ganancia podía expresarse como: 20x . el de la función definida por: Facultad de Ciencias f (x) ≅ 242 { x si − 1 si x ≠ 0 x= 0 . (f (1000) si existe. pero lím x → 1000 f (x) no existe).1000 si 500 < x < 1000 { f (x) = 20x . volvamos a algunos de los ejemplos ya vistos. para ver intuitivamente el concepto. 1000 { si 500 < x < 1000 f (x) = diferencial 20x .3000 si 1000 < x < 1500 FIGURA 2.37 x − si 1 si x ≠ 0 Cálculo f (x) { x= 0 243 .36 20x .0 x30 0 20 y= 0 20 x10 0 y= FIGURA 2. 244 .UNAD -3 -4 FIGURA 2. Por otra parte lím f (x) = 5. ( x− 2) Primero examinemos la gráfica (Figura 2. ¿Qué ocurre en x = 0? Por una parte: f (0) = . Decimos entonces que x→ 2 Facultad de Ciencias la función f (x) es discontinua en el punto x = 2.38 Gráfica para f ( x) = ( 3x − 1 ( x − 2 ) ( x −2 ) ¿Qué ocurre en x = 2 ? Por una parte f (2) no está definida.37).Examinemos la gráfica (figura 2.1 y otra lím f (x) = 0 x→ 0 Entonces: f (0) ≠ lím x→ 0 f (x) Decimos entonces que la función f ( x ) es discontinua en el punto x = 0. excepto para x = 2. Recordemos otro ejemplo ya visto.38) y 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 Básicas e Ingeniería. correspondiente a la función definida para f ( x) = ( 3x − 1( x − 2 ) que existe para todos los valores de x. 2.1000 si 500 < x < 1000 20x .1 Definición: función continua en un punto Decimos que la función f es continua en el punto x o si y sólo sí. lím x → xo f (x) = existe 3.3000 si 1000 < x < 1500 f(x) era discontinua en el punto x 0 = 1000 porque no existía el lím x → 1000 f (x) condición 2. condición 2. era discontinua en el punto x 0 = 2. decimos que la función f es discontinua en el punto xo. 245 . La función definida por: { x si x ≠ 0 era discontinua en el punto x 0 = 0 porque el lím f ( x ) x → xo La función definida por f (x) = ( 3x −1) ( x − 2) ( x − 2) ≠ f ( x 0 ) . Cálculo diferencial porque f ( 2 ) no existía.8. lím x → xo f ( x ) = f ( xo ) Si no se cumple con estas tres condiciones. Así por ejemplo la función definida por: { 20x . f (xo) existe 2. condición 1. se cumple simultáneamente que: 1. de Ciencias ¿ Será continua f en xo = 1? 1. af + bg es continua en x 0 ( a y b dos reales cualesquiera) . entonces: a. f e. D = R. entonces las funciones definidas por f ( x) .2 Propiedades de las funciones continuas 1. definida para todo número real x−3 excepto x = 3. Si f y g son dos funciones continuas en xo. f + g es continua en x 0 b. f . f (x) = af ( x ) son continas en xo. f (1) = 0 2.2.{ 3 }. lím Facultad x →1 246 f (x) = f (1) = 0 . Ejemplo f (x) y a . ¿ Será continua dicha función en xo = 1? ¿ Por qué? Básicas e Ingeniería.g es continua en x 0 c. f (1) existe . 1 Tomemos la función definida por h ( x ) = x 2 −1 .UNAD Podemos considerar esta función h como una expresión racional proveniente del cociente de dos polinomios: h( x ) = x 2 −1 f ( x ) = x−3 g( x ) D=R-{3} Examinemos por aparte a f y a g. Si f es una función continua en x= xo .8. f/g es continua en x 0 si g ( x 0 ) ≠ 0 2. g es continua en x 0 d. puesto que tanto f como g son continuas en xo = 1. porque cumple las condiciones para serlo. g (1) = . y puesto que g (xo ) ≠ 0.3 es continua en xo= 1. g (x) + h (x) Donde: y h (x ) = x 2 +1 Cálculo f ( x ) = x . la función g definida por g (x) = x . ¿Será continua g en xo = 1? 1. ¿ Será continua dicha función en xo = 0? ¿Por qué? Podemos escribir: diferencial u (x) = 3 f (x) . podemos concluir que la función definida por: h ( x) = f(x) g (x ) = x 2 −1 x −3 lím x →1 Ejemplo también será continua en xo = 1. y además: x 2 −1 x −3 = h (1) = 0 =0 −2 2 Tomemos la función definida por u (x) = 3 x cos x + x 2 +1 definida para todo número real. g (1) existe. lím g (x) = g (1) = x →1 -2 Por lo tanto.1 es continua en xo = 1.La función f definida por f (x) = x 2 . g ( x ) = cos x 247 . D = R. Por consiguiente.2 2. lím f (x) = f (0) = 0 x→ 0 Por lo tanto la función f (x) = x es continua en xo = 0 . el producto de dos de ellas. Pasemos ahora a analizar a g: ¿ Será continua en xo = 0? g (x) = cos x 1. lím h(x) = h (0) = 1. la función g definida por g (x) = cos x es continua en x 0 = 0. la función h definida por es h ( x ) = x→ 0 x 2 +1 continua en x 0 = 0 Básicas e Ingeniería.Analicemos inicialmente f ¿Será continua en xo = 0? f(x) = x f (0 ) = 0 . Por consiguiente la función definida por u (x) = 3 x de Ciencias función continua en x 0 = 0 y : lím Facultad x→ 0 248 3 x cos x + x 2 +1 = 3 ( 0 ) 1 + 1 =1 cos x + x 2 +1 será una . Por lo tanto. ¿Será continua en xo = 0? h ( x) = x 2 +1 1. y la suma de la función resultante y de h será continua en x 0 . también será continuo en x 0 = 0. f. f y g. h (0) existe. dicho producto multiplicado por una constante. por lo tanto.UNAD Las tres funciones. g (0) = 1 2. h (0) = 1 2. Veamos finalmente h (x). lím x→ 0 g (x) = g (0) = 1 . g y h son continuas en x 0 = 0. por lo tanto. seguirá siendo continua en x 0 = 0. g (0) existe. x ' o = 3 x2 −9 .8 y 2.8 Ejercicios 2. 6 5 3 2 1 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 FIGURA 2. si la función es continua o discontinua en x = 3.39 decidir. x = 5. h ( x ) = 249 . Utilice las gráficas y resultados de las autoevaluaciones 2. x' o = 1 Cálculo 2.1. x = 4. h ( x ) = − 5x + 3 + 1 x2 diferencial x−3 . Para la función cuya gráfica se presenta en la figura 2.9. dado la razón matemática para ello.8 4 En los ejercicios del 2 al 8 indicar si las funciones que se presentan son continuas o discontinuas en los puntos especificados ( xo ).39 Gráfica para la función del ejercicio 2. obviamente Ejercicios dado una razón matemática. x = 6. x = 9 y x = 11. xo = − 3. xo = 0 . 3. x 0 = −1 Con base en las propiedades de las funciones continuas. h ( x ) = x + 2 . 2 x" = π . en cada caso dé la razón o las razones matemáticas. h ( x ) = 4 x + x 2 + 3 .UNAD 10. 2 x"' = 0 − x +5 6. h ( x ) = 2x + 3 . 7 −x 9. x0 = − 3 / 2 7.4. x0 =1 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. h ( x ) = x ( x −1 ) ( x+1) 2 . h ( x ) = 3 cos x . x 0 = 0 8. h (x) = sen x . x 0 = π / 2. x0 = 0 cos 2 x 5. decidir si las siguientes funciones son continuas o no en los puntos x 0 indicados. h ( x ) = 4 +x2 x . x 0 = 0 250 . x' 0 = 3π . Definición: decimos que una función es continua en un intervalo si lo es para cada punto del intervalo. Como ejemplo. Partamos de la función definida por f (x) = 2x + 1 cuya gráfica mostramos en la figura 2.3 Continuidad en un intervalo Tomemos un ejemplo. Intuitivamente tenemos el concepto de una función continua en el intervalo. f ( xo ) existe .40 Gráfica para la función f (x) = 2x + 1 en el 2 3 x ]0. lím x → xo diferencial el conjunto de los reales. entonces: ¿Qué observamos en el intervalo ] 0 . 2 [ ? ( Recordemos que ] [ significa intervalo abierto) y 5 4 3 y = + 2x 1 2 1 FIGURA 2. ∀ xo ∈ R. f ( xo ) = 2xo + 1 f ( x ) = f ( xo ) Cálculo intervalo 1 251 . no presenta ningún salto. 2. como vemos la gráfica la logramos deslizando continuamente el lápiz. ∀ Xo ∈ R . es continua en 1.2 [ Observamos que para dibujar la gráfica no necesitamos levantar el lápiz. es decir.40 y definida para todo real. demostremos que la función definida por f (x) = 2x + 1. La función está definida en todos los puntos del intervalo.8.2. la función valor absoluto de x son continuas para todos los reales. Ejemplos ¿ En qué intervalos son continuas las siguientes funciones? 6 3 2 1. Facultad Por tanto podríamos tomar el intervalo 252 ]−∞. f ( x ) = (2 1 x−π 3 ) 7 x +3 2 + x 2x 3 − 7x 2 + 8x 4 x − 3 sen x + 5 x x 3 −1 x −1 Analicemos cada caso. 1. ∞ [ . será continua en el conjunto de los reales. f ( x ) = 3x 6 + 2x 3 − 5x2 + 1 x−π 3 Nos hallamos ante una función polinómica f definida para todos los reales y continua de Ciencias en el conjunto de los reales.UNAD 4. Sabemos que las funciones polinómicas. entonces la función f (x) = 2x + 1 definida para todo real. f ( x ) = 3x + 2 x − 5x + 2.Como se cumplen las tres condiciones necesarias para que la función sea continua. f ( x ) = 3. la función cos ( x ). f ( x ) = Básicas e Ingeniería. la función sen (x). decimos que la discontinuidad es removible. la función f será continua para todo real positivo. ∞ [ x 3 −1 x −1 La función racional f cociente de dos expresiones polinómicas será continua en su domino de definición.( ) 2 + 7 2. y por lo tanto en todo intervalo que no contenga a x = 1. Cuando se presenta así. ∞ [ − 3 sen x + 5 x En forma similar. f (x ) = ] 0. f ( x ) = 2x 3 − 7x 2 + 8x 4 x ] 0. ∞ [ . 1 [ U ] 1. podríamos tomar el intervalo ] − ∞. f ( x ) = 2 x + 3 x Nos hallamos ante una función f que será definida para todo real tal que x > 0. La función f es continua en todo su dominio y por lo tanto el intervalo será 3. Podríamos tomar el intervalo 4. 253 . En este caso en particular. Debemos tener presente que no todas las Cálculo diferencial discontinuidades son removibles. si definieramos la función en 1 como : f ( 1 ) = lím x →1 x 3 −1 x −1 = xlím →1 ( x −1 ) ( x 2 + x + 1 ) x −1 = lím x →1 x 2 + x + 1= 3 entonces tendríamos una nueva función continua. . lím Básicas e Ingeniería. 1. f (xo ) = Exista y b.UNAD x → x + o + o f (x) = Exista f ( x ) = f ( xo ) 2. lím − f ( x ) = f ( xo ) x→x o de Ciencias 3. Decimos que la función f es continua por la izquierda de xo .1 < x < 1. Decimos que la función f es continua por la derecha de xo . lím − f (x) = Exista x→x o c. los puntos extremos del intervalo. b ] es continua en [ a . O sea. se cumple simultáneamente que: a. 254 y . Sabemos que f sólo 2 > 0. su dominio de definición es por lo está definida cuando 1 . 1 [ . x→ 1 Pero se puede extender el concepto de continuidad para incluir xo = -1 y xo = 1. si y sólo si. f (xo )= Exista b. ni lím + f(x) existen. si y sólo si es continua en el intervalo abierto ] a . No es continua ni enxo = 1. puesto que ni lim x → −1 − f(x). ¿Cómo? Veámoslo. Decimos que una función que tiene un dominio que incluye el intervalo cerrado [ a .8. vemos además que: lím + f (x) = 0 x → −1 y que lím − x→ 1 f (x) = 0 La función f (x) es entonces continua en el intervalo abierto ] − 1.4 Continuidad por la derecha o por la izquierda Tomemos por ejemplo la función definida por f ( x ) = 1 − x 2 . 1 ] .2. ni en xo = − 1 . lím x→− x c. b ] . se cumple simultáneamente que: a. si y sólo si. b [ Facultad si es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b.x tanto D = [ − 1. Podemos ver que: 1.Ejemplo 1 Volvamos a nuestra función definida por f ( x ) = 1 − x 2 . es por lo tanto continua sobre el Cálculo diferencial intervalo cerrado [ − 1. 1 [ . f es continua por la derecha de xo = a. lím + f ( x ) = 0 x → −1 c. que tiene por dominio de definición el intervalo cerrado [ − 1. f (1) = 0 b. 1 ] . 1 ] .1. lím + f ( x ) = f ( x → −1 -1) 2. lím − x →1 f (x) = f (1) = 0 c. f ( -1) . definida sobre D = [ − 1. 1 [ . f es continua por la izquierda de xo = 1 . continua en ] − 1. continua por la derecha de x 0 = -1. puesto que: =0 b. 255 . puesto que: a. lím − f ( x ) = f ( 1 ) x →1 3. f. 1 ] y que es continua en el intervalo abierto ] − 1. continua por la izquierda de xo = 1. f no es continua por la derecha de cero (0). no es continua por la izquierda de cero (0).Ejemplo 2 Dada la función definida por f ( x ) = la figura 2. 0 [ ∪ ] 0 . por lo tanto.∞ [ 256 . f (0) = 0 b. lím − f (x) x→ 0 ≠ f (0) Básicas e Ingeniería. 2. xlím + f (x) ≠ f (0) →0 3. Ver figura 2. 1. la función f (x). Facultad de Ciencias ] − ∞ . f ( 0 ) Exista b.41. necesitaríamos que: a. En forma similar. xlím →0 − f ( x ) Exista c. puesto que: f (0) = 0 y xlím + →0 f (1) = 1. La función f será continua en cualquier intervalo que no contenga cero (0). si { sio siy sólo x=0 x ≠ 0 cuya gráfica se muestra en ¿Podremos decir que es continua por la izquierda de cero?. lím −f (x) =f(0) x→ 0 ¿Qué ocurre? a.41. ¿Qué es continua por la derecha de cero? ¿En qué intervalo será continua?.UNAD Por lo tanto. Para que f fuera continua por la izquierda de 0. por ejemplo. lím x→ 0 − f (x) = 1 c. . si y sólo si. b [ y es continua por la izquierda de b. es continua en el intervalo abierto ] a . si y sólo si. Ejemplo 3 Tomemos la función definida por f ( x ) = ¿Será continua o discontina en ] − 3. 257 . Decimos que una función f que tiene un domino que incluye el intervalo semiabierto por la izquierda ]a. es continua en y es continua por la derecha de a.b ] es continua en ] a . b ] . 3 [ ? ¿ ] − 3. 3 ] ? diferencial Hallemos inicialmente el domino de f. 3 ] ? ¿ [ − 3.y 3 2 y = 1 si x … 0 1 FIGURA 2.b [ [a.41 Gráfica para la función f ( x = 1 si x ≠ 0 0 si x = 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x { Aún nos falta por ver un último caso. b [ . Veámoslo: Definición: decimos que una función f que tiene un dominio que incluye el intervalo semiabierto por la derecha [ a . 3 [ 3− x 3+ x ? ¿ [− 3 .b [. 3−x Necesitamos que x ≠ − 3 y 3+ x ≥ 0 Cálculo Hagamos una tabla de signos para ver mejor que ocurre. es continua en el intervalo abierto ]a. 3 [ . y que sea continua por la derecha de ( − 3). Como ya lo habíamos visto. una función racional es continua en su dominio de definición: f es continua en el intervalo semiabierto por la izquierda ] − 3. lo que ya verificamos. Se presenta un salto: será por lo tanto continua en el intervalo intervalo ] − 3.x -3 Signo de (3-x) + Signo de (3+x) − 3− x Signo de 3 + x − 0 3 + + + + − + + + − Vemos entonces que nuestro dominio de definición estará dado por el intervalo D 3−x = ] − 3. 3 ] . y que sea continua por la derecha de ( − 3). Por lo tanto f no será continua por la derecha de ( − 3 ) y no lo será en el intervalo cerrado [ − 3. 3 ] que cumple con las dos condiciones requeridas. 3 [ y en ] − 3. 3 [ ? Para que ello sea cierto. 3 ] ? Para que esto sea verdad. 3 [ que está incluida en el ¿ Será continua en [ − 3. f ( x) = 3−x 3+ x será . 3 [ . 3 ] . Veamos si cumple con los requerimientos necesarios: Básicas e Ingeniería.UNAD Ante todo: f ( − 3 ) no existe. de Ciencias En conclusión. podemos decir que la función definida por Facultad continua en 258 ] − 3. x ≠ − 3 y 3 + x ≥ 0 . 3 ] . por lo tanto f no será continua en [ − 3. 3 ] . necesitamos que f sea continua en el intervalo ] − 3. ] − 3. pero f ( − 3) no existe. necesitamos que sea continua en ] − 3. ¿ Será continua en el intervalo semiabierto por la derecha [ − 3. lo que ya verificamos. 3 ] . 1. h ( x ) = 2 x −9 259 . especificando aquellos puntos en los que f es continua sólo por la izquierda.9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Determinar los intervalos en los cuales f es continua.42 Gráfica para la función del ejercicio 2.9 6 ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones? 6. Para la función cuya gráfica se presentamos a continuación (figura 2. 25 − x 2 5 h ( x) = x −5 { f (x) = 1 x 3 cos 2x cos x 0 si x < 0 2x si 0 < x < 1 x2 si 1 < x < 3 4 si x > 3 Cálculo 4.42) y 7 5 4 3 2 1 1 FIGURA 2. 15 x Ejercicios 2. o bien solo por la derecha. h ( x ) = 4x + 3 − diferencial x −3 2. h ( x ) = 3. Determinar en cada uno de los intervalos indicados.+ a six xsi <x >1 1 2 sen x si x < π / 2 10. 0 [. si es posible. [ 3 . ] − ∞. 0 ]. 3 ]. 260 h (x ) = x2 +5 x +1 13 . [ 0. g (x )= 1 x −1 ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones? Facultad de Ciencias 12. h ( x ) = x 2 2x + 1 2−x . − 3 [. f ( x ) = x+2 x 2 −9 x x ] − ∞ . ] 0. { f (x)= a sen x + b cos x si . ] − ∞.UNAD 11. f ( x ) = 8. −3 ]. los valores de las constantes a y b que permitan que las funciones enumeradas a continuación sean continuas. 9. ∞ [ . ] − ∞. ] −3 . ∞ [ . ] − 3 . Básicas e Ingeniería. f ( x )= x . ∞ [ Determinar. si la función es continua o no: 7. f (x) = {12x.π / 2 < x < π / 2 si x > π / 2 Para cada una de las funciones f y g enumeradas. [ − 3 . hallar f o g y determinar en que intervalos es continua f o g. 3 [. ∞ [. Trigonometría. muMath. podemos mencionar: derive. 261 . debe verse cual o cuales están a la disposición del lector. solo queremos presentar a nuestros lectores la disponibilidad de un instrumento. Mattab. Obviamente.2. sobre todo si es en R 3 . Algunos son más conocidos que otros. En conjunción con esto intentamos proveer a nuestros lectores con instrumentos para resolver problemas y promover la confianza y el buen juicio en su utilización. nuestro objetivo primario es integrar la computación simbólica y las gráficas por computadora para facilitar el entendimiento de los conceptos y expandir el orden y variedad de aplicaciones. Maesyma. que nos permite olvidar las largas rutinas que normalmente hacemos cuando empleamos papel y lápiz y en particular cuando nos enfrentamos a hacer la gráfica de una función. de todas maneras. etc. Otros programas similares al Derive para computadoras personales (PC). Mathematics Exploration Tool Kit y Theorist.. Reduce. Entre los programas (software) más conocidos en el medio. Maple. además de los ya mencionados son Mathematica. que son programas que tienen un sistema algebraico de computación ( en inglés: computer algebra system CAS). analizar y estudiar muchos tipos de problemas. Nuestro objetivo no es hacer un curso de ninguno de ellos. Teoría de Números y las gráficas necesarias para resolver. Cálculo. Derive lleva a cabo muchos de los pasos matemáticos y aproximaciones que involucran el Algebra.9 Evaluación de los límites mediante la computadora En la actualidad hay programas para computadora personal con los cuales podemos hacer aplicaciones del Cálculo Infinitesimal. También esperamos reducir las manipulaciones tediosas así que más tiempo Cálculo diferencial se lo podamos dedicar a la formulación de problemas y al análisis de los resultados. Facultad f := 262 x +3 − 2 x −1 . MAPLE Vamos a utilizar el programa Maple para hacer los siguientes ejemplos: x +3 −2 1. Hallar el límite de f cuando x→ k para k el valor hallado en a. > ># Ejemplo 1.UNAD b. en este aspecto. 7 de la autoevaluación 2. sencillamente un comentario) ># El primer paso es entrar la fórmula para f: de Ciencias > f: = ( sqrt ( x + 3 ) . pero el que desee informarse sobre ellos debe verlos en el respectivo manual.7. Debemos manifestar que no damos normas sobre ninguno de los comandos. sino. ¿Para qué valor de la función f (x) presenta una discontinuidad removible? Básicas e Ingeniería. es diferente.7 ) x + 4 −3 ) x −1 − 2 Ejercicio No.1 ) . Sea f ( x ) = Ejercicio No. Ninguno de los programas propuestos. lím + x → 1 3. x−k 5 4 6 x + 41x + 100 x 3 +129 x 2 + 94 x + 35 a. (Nota: si escribimos > # en Maple no significa que sea ejecutable. 8 de la autoevaluación 2. utilizaremos esta aproximación para demostrar su capacidad básica. o consultar con las personas entendidas.La mejor manera de aprender como se utiliza un programa de computadora es utilizarlo para resolver uno o dos problemas. lím x →1 x −1 ( 3( 2 2.2 ) / ( x . > plot (denominador) ># De esta gráfica es visible que el denominador toma valores que Cálculo denominador: = 6 x5 + 41 x4 + 100 x3 + 129 x2 + 94 x + 35 263 . x = 5 ) . ># es mediante su gráfica.3 ) .1 ) . x = 1 ) . f := > (2 3( ) x + 4 −3 ) x −1 − 2 límt ( f . 1 > > > Ejemplo 3. continua en todo ># punto excepto en los puntos donde el denominador sea cero ># La manera más fácil de obtener una idea donde están estos puntos.k ) / ( 6 * x^5 + 41 * x^4 + 100 * x^3 + 129 * x^2 + 94 * x + 35 ).> límt ( f. > f: = ( x f := x−k 5 4 6x + 41x + 100 x 3 + 129 x 2 + 94 x + 35 denominador: 6 * x^5 + 41 * x^4 + 100 * x^3 + 129 * x^2 + 94 * x + 35 diferencial > . 1/4 > > ># Ejemplo 2 ># De nuevo el primer paso es entrar la fórmula para f: > f : = 2 * ( sqrt ( x . y por lo tanto. ># Parte (a) ># Esta es una función racional.2 ) / 3 * ( sqrt ( x + 4 ) . la gráfica está -10 < x < 10.7/2. vemos que el único punto donde es cero es en x = . .. asi que reducimos. ># Ahora. x = . ># bién. ># plot (denominador. ># verifiquemos esto mediante la utilización de f solve: ># f solve (denominador = 0.7/2.3 ) . Esto significa (puesto que denominador ># es continuo) que debe pasar a través de cero al menos uan vez. x = . f := x+7 / 2 5 4 6x + 41x + 100 x 3 + 129 x 2 + 94 x + 35 ># Nos falta ver si el límite existe > límit ( f.4 .4 .50000 ># Bueno.># son positivos y negativos.7/2 > f.4 < x < .3 ) . ># De la gráfica notamos que podemos restingir nuestra atención a ># .UNAD 1/4 264 ># La función será dada por la fracción y f (-7/2) = 1/4. fue correcto. .3. x = . Como se ># omitió el intervalo. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. seleccionamos k así que el numerador sea también cero ># en x = ># k: = . k= . Para ># compensar esto. . . en nuestra fórmula para f no queremos dividir por cero. > quit .7/2).. Demasiado grande ># para estimar donde ocurre esto.3.7/2. x. .9 -3.43 Gráfica para el denominador y = 6 x 5 + 41x 4 + 100x 8 + 129x 2 + 94x + 35 .. 265 .6 -3. DERIVE diferencial Ahora con Derive ilustramos otros ejemplos..2 -3. -320 x = − 4 .8 -3.1 -4 -80 -3. Cálculo Analizar el comportamiento de las siguientes funciones alrededor de los valores indicados.43 Gráfica para el segundo denominador 5 4 3 2 y = 6 x + 41x + 100x + 129x + 94x + 35 . Lo mismo debemos decir si se trabaja con cualquier otro programa.. 10 320 240 160 80 -4. x = − 10 .280000 210000 140000 70000 -10 -9 -8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -70000 3 4 5 6 7 8 9 10 -140000 -210000 -280000 FIGURA 2.0 -160 -240 FIGURA 2. − 3 Hemos hecho lo anterior sin decirles que cada uno de los estudiantes necesita tener acceso a una computadora y que la computadora tiene que tener acceso a Maple.4 -3. digitamos: ( x^2 + 2x .3 ) / (abs ( x + 3 )) Esto se muestra en la pantalla en el área de trabajo como: 1: x 2 + 2x − 3 x +3 Para obtener la gráfica de esta función. g ( x ) = x 2 + 2x − 3 x = −3 x+3 x 2 + 2x − 3 x =− 3 x +3 A menudo la gráfica nos da una información valiosa.45 Gráfica para el ejemplo 1 con Derive 266 -7 -8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . Ejecutamos el comando Plot en este menú para obtener la gráfica de la función resaltada. seleccionamos el comando Autor y digitamos la función. seleccionamos el submenú graficador (plot). y 8 7 6 5 Básicas e Ingeniería.UNAD 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 de Ciencias -6 x = -3 Facultad FIGURA 2. f (x) = 2. Así que nuestro primer paso es hacer la gráfica de la función alrededor de los valores de interés. para nuesto caso.1. Para esto. − f(x). Recordemos que con la tecla Tab avanza el control a la siguiente parte del menú. Para verificarlo. Autor ( x^2 + 2x -3)/(x+3) x 2 + 2x − 3 x +3 Cálculo 6: diferencial En la pantalla vemos 267 .3. Primero utilizamos la flecha de dirección ↑ para resultar la función en la expresión #1. y seleccionamos x = -3 y la dirección izquierda. utilizamos los comandos Calculus. . Entonces. seguimos un procedimiento similar. podemos tomar el límite de f (x) como x aproxima a -3. ejecutamos los comandos Calculus. Limit. xlím → −3 x+3 3. Primero. lím x → −3 +f (x). Entonces. y por lo tanto. hay una discontinuidad. es decir. Esta vez el resultado es: x 2 + 2x − 3 x+3 5. por la izquierda y por la derecha. volvemos a la ventana Algebra. 4 Con el fin de obtener el límite por la derecha. Seleccionamos Simplif y para obtener el lím x → −3 + 4. El resultado es: x 2 + 2x − 3 x+3 x 2 + 2x − 3 − 2. Seleccionamos Simplif y para conseguir el lím x → −3 1.La gráfica muestra un salto. Seguimos un procedimiento similar para g (x). una discontinuidad de f (x) en x = . Limit. y seleccionamos x = -3 y la dirección derecha.4 Estos límites diferentes nos verifican que se presenta un salto. 3 produce cero (0) en el denominador de g (x). tomemos los límites. El resultado es: de Ciencias 7. aunque el Básicas e Ingeniería. δlím > 0 Facultad 8.UNAD valor de x = . Ejecutamos Plot para obtener la nueva gráfica de g(x) como sigue: y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 FIGURA 2. Ejecutamos Calculus Limit y seleccionamos el punto x = seleccionamos Simplify. 268 -4 x 2 + 2x − 3 x +3 -3 en ambas direcciones.Ejecutamos Plot Delete All para eliminar las gráficas anteriores. Analicemos el comportamiento de la función g(x). .46 Gráfica para la función g (x) con Derive El comportamiento de g(x) alrededor de x = .3 aparece un tanto diferente. 269 .Por consiguiente hacemos hincapié en que: lím [ f ( x ) . 0 ] = lím x → 1000+ f ( x) lím [ f ( x ) . x . x . x . a . a . a . 1 ] = xlím →x +o f ( x ) Debido a la misma disponibilidad de los programas solo podemos sugerir como autoevaluación que se realicen algunos ejercicios propuestos en las evaluaciones anteriores Cálculo diferencial y verificar los resultados. −1 ] = lím + −f ( x ) x→ xopor x→ xoóx→ xo lím [ f ( x ) . lím3x h(x)>B⇔ >B x−2 f(x) c. xlím <⇔ x<⇒ x−2<−2= f ( x ) 3−B B−3 B −3 B−3 c. lím 6 x− 2< B −3 f(x) . lím δ > 0f ( x ) f(x) x 1 + x 2 −1 −B 2 2B B 2 2B −B 2+6 b. 0 lím <x−xo<δf ( x ) f (x) = 4. lím lím h( x)=lím d.Autoevaluación 3x + 7 3 = 2x − 1 2 hallando el número real A > 0 tal que 1. 3lím >B ⇒ x3>B (− x2)⇒ x(3−B )>−2B ⇒ x<si B >3 Facultad de Ciencias x− 2 270 3−B 3x →∞ x−2 e. lím Básicas e Ingeniería. f ( x ) = x3 + x x2 + 4 3. Para x −2B f ( x ) a.UNAD x → 2 − x 2 − 3x x 2 − 5x + 6 f(x) b. Para f ( x ) = a. Demostrar que δlím > 0 para todo ε > 0. si f ( x ) − L < ε entonces x > A. 2. ¿ Tiene una asíntota horizontal? ¿ Cuál? d. lím + x → 2 1 − cos 2 x 3x 2 Cálculo a. h(x) =lím x2−3x+2 f(x) x2−2x−1 5 lím f ( x ) f(x) lím h(x)=lím g(x) d. ¿Cuál es su dominio ? La función es R → R b.−x +3 5. ¿Tiene una asíntota vertical? ¿Cuál? e. x2−3x+2 c.2x + 3 si x > 0 ¿Es la función f continua en xo = 0? (ilustrar con la gráfica) 3x límh(x)=lím =∞ x−2 sen 2x x b. ¿Tiene una asíntota horizontal? f. Dada la función definida por f ( x ) = x+3 a. x2 − 9 6. Determinar: 271 . ¿Cuál es su dominio? La función es de R → R b. Hallar: lím lím h(x)=lím f ( x ). Hallar: lím x →2 + f ( x ). x2−2x−15 lím límh(x)=lím x2−3x+2 x2−2x−15 f (x) h (lím x) = g(x) f ( x ). Si f es la función definida por: f(x)= { x+3 si x < 0 . ¿En qué intervalo (s) es continua la función? c. lím lím f ( x ). Dada la función definida por f ( x ) = 2x + 5 a. Trazar su gráfica. xlím + → 2 sen 4x sen 7x c. ¿ Tiene una asíntota vertical? g. Trazar su gráfica 7. ¿En qué intervalo (s) será continua f? e. lím diferencial 8. 272 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD . Cálculo diferencial UNIDAD La derivada 3 273 . UNAD Otros casos Derivadas en física y economía Optimización Tasas de cambio relacionadas Monotonía de una función Extremos de una función Dirección de curva en Aplicaciones .274 Definición formal de derivada Razón de cambio como Aspecto geométrico y físico como Principios Cociente Producto Resta Suma función Variable Exponencial logarítmica Trigonométrica Hiperbólicas Trigonométrica inversa Hiperbólica inversa Regla cadena implítica Diferenciales como Función trascendental Radical como Función algebráica para Específicos Potencia Formas indeterminadas L´Hopital Derivada orden superior Básicas son Técnicas de derivación tiene DIFERENCIACIÓN MAPA CONCEPTUAL Constante Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Normalmente. El Cálculo es un resultado natural de la aplicación del Algebra y de la Geometría Analítica a ciertos problemas de la Física y Cálculo diferencial INTRODUCCION ¿ de la Geometría. sobre todo si consideramos que estamos en la parte inicial. el crédito de la invención del Cálculo se le atribuye a los trabajos independientes de sir Isaac Newton (1642. significa piedra. algunos aspectos históricos. en Latín Calculus. Los griegos hicieron contribuciones conceptuales 275 .Qué es el cálculo? Por supuesto. El uso moderno del vocablo en la Matemática se refiere a una de sus ramas que comenzó a desarrollarse durante el siglo XVII. Sin embargo. Algunos de estos problemas habían sido considerados por los matemáticos de la Grecia Antigua. hacemos el intento de bosquejar las ideas básicas y los requisitos para el Cálculo. La palabra cálculo. La naturaleza del movimiento continuo fue objeto de mucha especulación. en forma muy breve. ambos hicieron grandes contribuciones para el logro de un método matemático nuevo. estas ideas básicas hacen ver que es una disciplina interesante e importante. habida cuenta de que los antiguos utilizaron piedras para llevar sus cuentas.1727) y de Gottfried Wilhelm Leibnitz (16461716). no podemos responder a esta pregunta a plena satisfacción. mencionaremos a continuación. UNAD su función. Los matemáticos griegos lo desarrollaron sin Algebra y solo en el siglo XVII con el progreso de la Geometría Analítica se abrió paso las ideas con las cuales fue posible un avance vertiginoso en el estudio del movimiento y de otros tipos de cambios continuos. Estos problemas fueron tratados por el método de límites. el concepto de límite. Otro tipo de problema que interesó a los griegos fue el de calcular los elementos de las figuras curvas: el área de un círculo. la superficie de una esfera. en general el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. cuando este tiende a cero. 276 . es una de las características esenciales del Cálculo de hoy día. y para hacer estudios analíticos de los varios movimientos. obviamente. El Cálculo fue el elemento clave en estos avances. Así pues. y el concepto de razón de cambio. Será materia del siguiente curso de Matemáticas el Cálculo Integral. el círculo fue visto como un límite de polígonos inscritos y circunscritos.muy importantes para dilucidar el movimiento. con el podemos aproximarnos con relativa facilidad a otros conceptos que hacen ver cuan útil es el Cálculo. el cual ya ha sido ilustrado. En el primero estudiaremos. pero no fue sino hasta el desarrollo del Cálculo que la humanidad dispuso de un método sistemático para describir en forma cualitativa y cuantitativa conceptos como la velocidad y la aceleración. como son la derivada y la integral. o mejor el límite del cociente del incremento de la función con respecto al incremento de la variable. El concepto central del Cálculo es el de límite. Podríamos decir que en el Diferencial dada la función obtenemos su razón de cambio y en el Integral dada la razón de cambio hallamos Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. mucho más general en su forma. el volumen de una esfera o de un cono. Un método análogo de límites. 3 Técnicas de diferenciación 1.7 Derivada de funciones transcedentales.9 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 1.5 Derivada de la función implícita 1.6 Diferenciales 1.11 Teorema de Rolle.2 La derivada 1. La función exponencial y logarítmica 1.12 Formas indeterminadas 1.10 Derivadas de orden superior 1.13 Cálculo de la derivada mediante la computadora 277 .1 La razón de cambio 1. y valor medio Cálculo diferencial 1.4 Regla de la cadena 1.Capítulo 1 La diferenciación Contenido Introducción Objetivos 1.8 Derivadas de las funciones trigonométricas 1. hallar su derivada. . .UNAD . . Estudiar las funciones exponenciales y logarítmica y hallar sus derivadas.OBJETIVOS General . Dada una función hallar su derivada. teorías y desarrollo del cálculo diferencial. . Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. producto o cociente de funciones. Específicos . Conocer los teoremas de Rolle y del valor medio y la ley de la media. 278 . . Iniciar el estudio de la matemática infinitesimal a través del análisis de principios. Hallar el límite de una forma indeterminada por medio de técnicas de diferenciación. Dada una función o una variable. Dada la suma. . Hallar el diferencial de una función. Hallar las derivadas de las funciones trigonométricas y de sus inversas. calcular su incremento. Aspecto geométrico de la diferenciación Uno de los problemas más analizados en la antiguedad fue determinar la pendiente de una recta tangente. Arquímedes. entonces h tiende a cero.1) para la curva f (x ) = x 2 Solución: aplicando la fórmula de pendiente: m = lím h→0 f (1 + h) − f (1) = lím h h→0 Luego: m = lím h→0 (1 + h )2 − 12 h = lím h→0 Cálculo diferencial m = lím h→0 a+h 2h + h 2 h h (2 + h ) = lím (2 + h ) = 2 luego m = 2 h h→0 279 . Euclides. P h Aplicando límite se puede haller la pendiente de la a f (a + h ) − f (a ) h Ejemplo curva en el punto P. se interesó por determinar cómo se puede obtener la pendiente de una recta tangente de una curva en un punto dado. 1 Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (1. Veamos la siguiente situación: pendiente de la recta secante: es recta secante ms = Q f (a + h ) si hacemos que P esté fijo f (a + h ) − f (a ) f (a ) f (a + h ) − f (a ) h y que Q se acerque a P. Siendo m la pendiente de la recta en el punto P. consideraba la tangente como una recta que tocaba una curva en un punto. distancia (x) Q x ( t1 ) x (t 0 ) P t0 función velocidad v=f(t) x (t 0 + h) − x ( t0 ) h t1 tiempo (t) podemos obtener la velocidad en P. si hacemos que Q se acerque a P. estudiaron el movimiento de los cuerpos.1630) se preocupó y analizó el movimiento de los planetas.1642) y Newton (1642 . Se sabía cómo hallar la velocidad promedio o velocidad media en un intervalo de tiempo. ∆t intervalo de tiempo El problema se presentaba cuando se deseaba hallar la velocidad en un instante dado. Galileo (1564 . Los matemáticos y científicos «hecharon mano» del Cálculo Diferencial para resolver el problema.1727). es decir la rapidez del objeto. x ( t + h ) − x (t ) v (t ) = lím h h→0 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. esto ocurre cuando ∆t tiende a cero.Aspecto físico de la diferenciación El estudio del movimiento ha inquietado al hombre a través de la historia. esto ocurre cuando h tiende a cero. Keppler (1571 .UNAD velocidad instantánea (rapidez) Ejemplo 2 1) Una partícula se mueve según la función posición: x ( t ) = 2 t 2 − 1 (m ) cuál será la velocidad en elsegundo momento (seg) Solución: x ( t) = 2t 2 − 1 (m ) función x ( t) = 2 (t + h )2 − 1(m ) 280 función incrementada . v +v v= 0 2 v0 = velocidad inicial v = velocidad final x 0 + x1 También se puede escribir: v = ∆t x0 y x1 = distancia inicial y final. todos ellos se concentraron en el análisis de la velocidad. 2 = 8. m / seg. 281 .v (t ) = lím h→0 v (t ) = lím h→0 x (t + h) − x ( t ) h m/seg función velocidad ( 2 (t + h)2 −1 )− (2t 2 −1) = lím [2 (t 2 + 2 th + h 2 )−1 ]− 2t 2 +1 h h→0 v (t ) = lím h→0 2t 2 + 4th + 2h 2 − 1 − 2t 2 + 1 4th + 2h 2 = lím h h h→0 v (t ) = lím h→0 h v (t ) = 4t velocidad para t tiempo. Ahora [ (4t ) + 2h ] = h h lím 4t + 2h = 4t + 2 (0) = 4t h→0 v (t = 2) = 4. Cálculo diferencial Más adelante se trabajará en este aspecto cuando definamos la derivada de una función. 282 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD . una aplicación mucho más amplia.1. la razón de cambio lo debemos hallar mediante un proceso que involucra un límite. que son los incrementos que Cálculo diferencial experimentan las variables. En Economía se emplea mucho el término «marginal». por ejemplo. Es decir. se habla. estos conceptos son la razón de cambio del costo o del ingreso con respecto a la cantidad producida o vendida.1 Introducción La velocidad. y x 0 . La acelaración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.como bien sabemos. sin embargo. La inclinación de un tejado y lo empinado de una carretera de montaña son ejemplos de la razón de cambio de la distancia vertical con respecto a la distancia horizontal. En Física el término potencia significa la razón de cambio del trabajo hecho con respecto al tiempo. del ingreso marginal. podemos preguntar cómo es la razón de cambio de «y» con respecto a «x». y 0 son valores fijos. pero éste es un caso particular y en el caso general. la magnitud de la fuerza es hallada como razón de cambio en la energía potencial con respecto a la distancia. para el valor particular x0 como el límite: y − y0 lím x − x0 x → x0 Si el límite existe. 283 . Si x e y son cantidades relacionadas. En ciertas clases de problemas. que en este capítulo veremos sólo las técnicas para hallar las derivadas y. bajo condiciones muy especiales.1 La razón de cambio 1. A continuación estudiaremos las diferencias indicadas. del costo marginal.1. y la ley de la media. el teorema de Rolle y el del valor medio. es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. la razón de cambio es una constante. El concepto de la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra tiene. como caso de suma importancia. definimos la razón de cambio de y con respecto a x. Siempre que dos cantidades medibles son relacionadas en tal forma que la cantidad «x» de una de ellas determine en forma única la cantidad «y» de la otra. si «y» es directamente proporcional a «x». para ver luego las derivadas de las funciones de uso corriente. es la derivada de y con respecto a x en x = x0 . entonces el incremento en y es: ∆ y = f (x ) − f (x 0 ) 3 Evidentemente. el oro. mayor o igual al valor final. el certificado de cambio. La notación para el incremento de x es ∆x: ∆x = x − x 0 1 que leemos: delta de x igual a ( x − x0 ) Debemos hacer hincapié en que ∆x es la notación para el incremento y en ningún caso significa un producto. el petróleo. Pues bien. El incremento puede ser positivo. puesto que el valor inicial puede ser menor. negativo o nulo.1. o lo que es lo mismo. Este concepto lo definimos como la diferencia entre dos puntos o dos valores.UNAD ∆y = y − y 0 2 Además. si y es una función de x. digamos y = f(x). el café y el petróleo fluctúan. Por una razón análoga el incremento en y es: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.1. estos son casos particulares de lo que en Matemática se conoce como el incremento. la unidad de poder real (UVR). que el incremento sobre la variable x es la diferencia entre x el valor final y x0 como valor o punto inicial de la variable. unas veces suben otras bajan.que lo expresamos como: ∆ f ( x) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) Donde: ∆ x = x − x 0 284 4 . es decir. etc. Este incremento es generado por un incremento en la variable x.2 Incrementos A diario los medios de comunicación nos informan sobre la dinámica de los precios de los rubros y que inciden en la economía del país como son el café. en cambio otros como. como la UVR y el certificado de cambio. Vemos que algunos tienen tendencia hacia el alza. el miembro derecho de la ecuación es también un incremento que lo notamos como ∆f(x). el incremento en x es igual a ( x − x0 ) . Ver figura 3.Ejemplo 1 Hallar el incremento para la función y = 3x + 1. El valor de la función en (x + ∆x) es: f (x + ∆x ) = 3 (x + ∆x ) + 1 El incremento para la función es la diferencia ∆ f ( x) = f (x + ∆x) − f ( x) Reemplacemos ∆ f ( x) = (3x + 3∆x + 1) − (3x + 1) Simplifiquemos ∆ f ( x ) = 3∆x Para este caso.1. calculemos el valor de la función en x y en (x + ∆x). solo depende del incremento en x.1 Gráfica para la función y = f(x) = 3x+1 Cálculo diferencial ∆y x ∆x 285 . para un incremento en x de ∆x. y FIGURA 3. Para hallar el incremento para la función. la variable independiente. el incremento en la función resulta independiente del punto o del valor de x. 2 Gráfica para la función y = f (x ) = x 2 + 5 286 ∆x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 x 3 4 5 6 .UNAD Ver figura 3.Ejemplo 2 Hallar el incremento en la función f (x ) = x 2 + 5 para un incremento en x de ∆x. y 5 4 ∆y 3 2 1 FIGURA 3.2. Para hallar el incremento en la función calculemos el valor de la función en x y´ en x + ∆x El valor de f(x + ∆x) es: f (x + ∆x ) = (x + ∆x )2 + 5 El incremento de la función es: ∆ f ( x) = f (x + ∆x) − f (x ) Reemplacemos: ∆ f ( x) = ( x + ∆x )2 + 5 − x2 + 5 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 1)2 − 7 (1 .0) = − 0.1): f ( 1 . Calculemos primero f(1. 7 + 1 = − 0.1) = 5 ( 1 . Para calcular el incremento en la función.0 y x = 1.3 y x=1 x=1. cuando x varíe de x = 1. luego hacemos la diferencia. 65 Calculemos la diferencia para obtener el incremento ∆ f = f (1. hallemos los valores que toma la función en x = 1. 21) − 7 .0 a x = 1.1) + 1 = 5 (1.3 Gráfica para la función y = f (x ) = 5 x 2 − 7 x + 1 x ∆x (7/10. -9/20) 287 . 05 − 7.1 ∆y Cálculo diferencial FIGURA 3.35 Ver figura 3.1.1) − f (1.1 + 1 = 6.0): f (1. 0 ) = 5 (1)2 − 7 (1) + 1 = −1 Ahora calculemos f(1.65 − (− 1) = 0.Ejemplo 3 Calcular el incremento en la función f (x ) = 5 x 2 − 7 x + 1 .1. para el ejemplo 2 es un valor finito que debemos calcular para cada punto. Esta razón de cambio define la derivada. Este cociente es de gran importancia porque nos permite medir la razón de cambio de la función con respecto a la variable independiente. podemos entrar en el estudio de las derivadas. es decir.Incremento relativo : Definido el incremento de una variable como el cambio que manifiesta la variable. para el ejemplo 1 de la Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. ahora definamos el incremento relativo. el cual relaciona el cociente entre el incremento de las variables: Incremento relativo de la variable y respecto a x se define como: ∆y f (x ) − f (x 0 ) = ∆x ∆x pero f (x ) − f (x 0 ) = f ( x + ∆x ) − f (x ) luego ∆y f (x + ∆x ) − f (x ) = ∆x ∆x se le conoce como el incremento relativo de la función f(x) respecto a la variable x. Estamos interesados no solamente en la razón de cambio para cualquier incremento de la variable independientes. Con el análisis del incremento de las variables x y y. o más concretamente: 288 .UNAD sección anterior el valor del cociente es de 3. en particular.2 La derivada El cociente de los incrementos (incremento relativo) de la función y la variable independiente puede tomar diferentes valores. 1. sino en una razón de cambio instantánea. La derivada para un punto particular . la obtenemos mediante el valor de la función que nos determina la derivada. Dx (y ) = D x (f (x ) ) y f ´ (x ) dx Entonces: d (f (x ) ) f ( x + ∆x ) − f (x ) = lím dx ∆x → 0 ∆x 5 Cuando una función tiene derivada. en x = x0.Definición: Si la función f(x) es continua y además el límite del cociente ∆f(x)/∆x existe cuando ∆x tiende a cero. entonces este límite es la derivada de la función con respecto a la variable x. por ejemplo. la derivada tiene el valor dado por: lím ∆x → 0 Ejemplo f ( x 0 + ∆ x) − f ( x0 ) d ( f ( x 0 )) = = f´(x 0 ) ∆x dx 6 1 Hallar la derivda para la función y = x Cálculo diferencial ∆ y = x + ∆ x − x ( Incremento en y) Hacemos el cociente ∆y/∆x: (Incremento relativo) ∆y x + ∆x − x = ∆x ∆x 289 . decimos que la función es diferenciable. dy f (x + ∆x ) − f (x ) = lím dx ∆x → 0 ∆x La derivada la notamos por cualquiera de las formas siguientes: dy . La derivada es también una función definida de conformidad con la ecuación (5). Tomemos el límite del cociente cuando ∆x tiende a cero: (Definición de derivada) ∆y lím = lím ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 x + ∆x − x ∆x Para evaluar el límite multipliquemos la fracción por ∆y lím = lím ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ( x + ∆x + x : (conjugada) ) ( x + ∆x + x ) ( ∆x x + ∆x + x ) x + ∆x − x Efectuemos los productos y simplifiquemos: lím ∆x → 0 ∆x Entonces la derivada para x + ∆x − x ( ) = lím x + ∆x + x ∆x → 0 1 x + ∆x + x y = x es: dy 1 = dx 2 x Ejemplo 2 Hallar la derivada para la función f(x) = 1/x. Para hallar la derivada calculemos el incremento en la función: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD ∆ f ( x) = f (x + ∆x ) − f ( x) Para f(x) = 1/x ∆ f(x ) = 1 1 − x + ∆x x Efectuemos la diferencia: ∆ f ( x) = 290 x − x − ∆x x ( x + ∆x ) = 1 2 x . Calculemos el incremento en y: ∆y = {(x + ∆x )2 −1 }2 − (x 2 −1)2 Efectuemos las operaciones: { ∆ y = x 2 + 2 x∆x + ( ∆x )2 − 1 }2 − (x 2 −1)2 Ordenemos el primer cuadrado: { ∆ y = x 2 − 1 + (2 x + ∆x ) ∆x }2 − (x 2 − 1)2 Desarrollemos el primer cuadrado: ( ∆y = x 2 −1 )2 + 2 (x 2 −1) (2x + ∆x)∆ x + (2x + ∆x )2 (∆x )2 − (x 2 − 1)2 Agrupemos los términos semejantes y simplifiquemos: ( ∆y = 2 x 2 −1 ) (2 x + ∆x )∆x + (2x + ∆x )2 (∆ x)2 {( ) ∆y ∆x 2 x 2 − 1 (2x + ∆x ) + (2x + ∆x )2 ∆ x = ∆x ∆x Cálculo diferencial Factoricemos y hagamos el cociente ∆y/∆x: } 291 .Hacemos el cociente ∆f(x)/∆x tomamos el límite: ∆f ( x) lím = lím ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x Entonces: Ejemplo − ∆x −1 −1 x( x + ∆x ) = lím = ∆x ∆x → 0 x( x + ∆x) x 2 dy 1 =− dx x2 3 ( )2 Hallar la derivada para la función y = x 2 − 1 . Entonces: dy =1 dx 292 . Este resultado. dicho más simple: y = x. Las reglas básicas de diferenciación facilitan la solución de obtener la derivada de funciones. en el caso de ser verdadero.UNAD dy =0 dx Demostración: dy f (x + ∆x) − f ( x) k−k k−k 0 = lím = lím = lím = =0 dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x → 0 ∆x La derivada de una constante es cero. la derivada de una suma es la suma de las derivadas. el límite de una suma es la suma de los límites. Siendo k una constante. para y = f(x) = k Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 2) Derivada de una variable: cuando la función se define como una varible: y = f(x)= x. entonces se define. facilitará el cálculo de las derivadas.Simplifiquemos y tomemos el límite: ) { ( ∆y lím = lím 2 x 2 − 1 (2 x + ∆x ) + (2x + ∆x )2 ∆ x ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 } Evaluemos el límite: lím ∆x → 0 { 2 (x 2 −1) (2x + ∆x ) + (2x + ∆x )2 ∆x }= 2 (x 2 −1) 2x ( ) Entonces la derivada para y = x 2 − 1 es: ( ) dy = 4x x 2 − 1 dx REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Como la derivada está definida como un límite debe disfrutar de las propiedades de los límites. 1) Derivada de una constante: sea f(x) = k. por ejemplo. Por lo tanto. no a una variable sino a una función. será el valor de la constante.x. aplicamos la definición de derivada: dy f (x + ∆x) − f ( x) k (x + ∆x ) − kx k ( x + ∆x − x ) = lím = lím = lím dx ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 Luego: dy ∆x dy = lím k. x. 4) derivada de una constante por función: haciendo extensivo el caso anterior. la derivada de una variable es uno. decimos que la derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.Por definición: dy ( x + ∆x ) − x = lím ∆x = lím =1 dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x Entonces. entonces: =k dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 dx La derivada de una constante por una variable. sea: F (x ) = k f ( x) entonces: Cálculo diferencial dy df = (k f (x ) ) = k = k f ´ (x ) dx dx 293 . = lím k. la derivada de esta función es de la forma: dy =k dx para k constante ≠ 0 Demostración: Como y = k . 3) Derivada de una constante por variable: existen muchas funciones que tienen la forma: y = f(x) = k. Demostración: Como F (x ) = f (x ) ± g (x ) ⇒ F´ (x ) = lím ∆x → 0 f (x + ∆x ) ± g (x + ∆ x) − [ f ( x) ± g (x ) ] ∆x reagrupando términos: F´ (x ) = lím ∆x → 0 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Sea f(x) y g(x) funciones diferenciables. g (x ) + f (x ) . derivar dicho producto.UNAD F´ (x ) = f ( x + ∆x ) − f (x ) g (x + ∆x ) − g (x ) por definición ± lím ∆x ∆x ∆x → 0 de derivada f ´ ( x) ± g´ (x ) 6) Derivada de un producto de funciones: cuando tenemos el producto de dos funciones. entonces: F´ (x ) = f ´ (x ) ± g´ ( x) Esto significa que la derivada de la suma o resta de funciones. que significa la suma o resta de las dos funciones. es equivalente a la suma o resta de la derivada de cada función. ahora: F (x ) = f (x ) . g´(x ) 294 . no sigue la norma del caso anterior. si F (x ) = f (x ) ± g ( x) . g (x ) decimos que su derivada es: F´ (x ) = f ´ (x ) . este tipo de derivada es muy particular.Demostración: Sea: F ( x) = k f (x ) entonces : F´ (x ) = lím ∆x → 0 F (x + ∆x ) − F ( x) ∆x luego : k f (x + ∆x ) − k f ( x) k [ f ( x + ∆x ) − f ( x)] = lím ∆x ∆x ∆x → 0 F´ (x ) = lím ∆x → 0 F´ (x ) = k ⋅ lím ∆x → 0 f (x + ∆x ) − f (x ) = k f ´ (x ) ∆x 5) Derivada de suma/resta de funciones: sean f(x) y g(x) dos funciones diferenciables. f ´ (x ) − f (x ). lím ∆x ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 Aplicando límite y simplicando tenemos: dF = f (x ) . g(x ) = lím dx ∆x → 0 ∆x Sumamos y restamos f ( x + ∆x ). g ( x) veamos: dF f (x + ∆x ). g ( x + ∆x ) − f (x ) . g (x ) − f (x ). g (x ) − f (x ). g (x + ∆x ) − f ( x + ∆x ) . C´ (x )= Cálculo diferencial 7) Derivada de un cociente de funciones: sea f(x) y g(x) funciones diferenciables y sea C (x ) = f (x ) con g(x ) ≠ 0 se define la derivada del cociente de la siguiente manera: g(x ) g (x ). g( x) ] + [ f (x + ∆x ). es la suma de dos productos. g( x) = lím dx ∆x → 0 ∆x dF = lím dx ∆x → 0 [ f ( x + ∆x ). g´(x ) [ g (x ) ]2 295 . g( x) ] ∆x dF f (x + ∆x ) [ g (x + ∆x ) − g ( x) ] + g (x ) [ f (x + ∆x ) − f (x ) ] = lím dx ∆x → 0 ∆x dF f (x + ∆x ) [ g (x + ∆x ) − g ( x)] g ( x) [ f (x + ∆x ) − f ( x) ] = lím + lím dx ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x → 0 dF = lím f (x + ∆ x) dx ∆x → 0 lím ∆x → 0 g (x + ∆ x) − g ( x) f (x + ∆x ) − f ( x) + lím g (x ). el primero es la derivada de la primera función por la segunda función y el segundo producto es la primera función por la derivada de la segunda función. f ´(x ) dx Así queda demostrado la derivada de un producto de dos funciones. g (x + ∆x) − f ( x + ∆x ) . Demostración: F´ (x ) = dF f (x + ∆x ).Como vemos la derivada de un producto. g´(x ) + g (x ). g(x ) + f ( x + ∆x ). g (x + ∆x ) C´ ( x) = lím = lím ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x → 0 reorganizando  g (x ). g ( x + ∆ x ) ∆x → 0   g (x ) ( f ( x + ∆x ) − f (x ) ) f (x ) ( g( x) − g (x + ∆x ) )  1  C´ ( x) =  lím + lím  ⋅∆lím ∆x ∆ x x → 0 g ( x ) . para hallar la derivada. Ejemplo 1 A continuación veamos algunos ejemplos. f (x + ∆x ) − f (x ). g(x) ∆x → 0   g (x ) f ( x + ∆x ) − g ( x).Demostración: Por definición: f (x + ∆x ) f ( x) g (x ) f (x + ∆x) − f (x ). f (x ) + f ( x).g(x ) − f ( x). g (x + ∆x )  f(x) . g(x + ∆ x) 1  sumamos y restamos C´ ( x) = lím ⋅   ∆x g(x ). 296 . g ( x + ∆x ) − g ( x + ∆x ) g(x ) g(x ). g ( x + ∆x ) ∆x → 0  ∆x → 0 por propiedad de límites:  C´ ( x) = g (x )⋅ lím  ∆x → 0 f (x + ∆x ) − f ( x) − f (x )⋅ lím ∆x ∆x → 0 g (x + ∆ x) − g(x )   ∆x  Aplicando límite y simplificando: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.g ( x + ∆x )  1 C´ ( x) = lím ⋅   ∆x g(x ). donde identifiquemos qué regla o reglas se aplican. g (x + ∆x ) ∆x → 0   g (x ) ( f (x + ∆ x) − f (x ) ) + f (x ) (g(x ) − g ( x + ∆x ) )  1 C´ ( x) = lím ⋅   ∆ x g ( x ) .UNAD C´ ( x) = [ g (x )⋅ f ´ ( x) − f (x )⋅ g´ ( x) ]⋅ C´ ( x) = 1 [ g(x )]2 luego : g (x )⋅ f ´ (x ) − f (x )⋅ g´ (x ) (g (x ) ) 2 Así queda demostrado la derivada de un cociente de dos funciones. luego: dy = 3 ⋅ 2x − 0 = 6x dx 2) Derivar la función: y = g (x ) = 7x + 1 x Solución: observamos que corresponde a la suma de dos funciones: dy d = dx dx ( 7x ) + dy d =7 (x ) + dx dx La primera derivada ya sabemos resolverla. enseguida demostraremos que Cálculo diferencial dy = dx d x3 − 4 ⋅ la 2 derivada de 3x es 6x y de x3 es 3x2 297 .1) Hallar la derivada de y = f (x ) = 3 x 2 − 5 Solución: vemos que la función es la resta de dos términos. la d  1   dx  x  x⋅ segunda es un cociente d ( 1) − 1 ⋅ d ( x) x ⋅ 0 − 1⋅ 1 dx dx = 7 (1) + luego : 2 (x) x2 dy 1 =7− dx x2 3) Hallar la derivada de la función: y = h( x) = 3x 2 − 5 x3 − 4 Solución: vemos que corresponde al cociente de dos funciones. Luego: Como dijimos. luego: ( ) la primera derivada es una constante por variable dy d d = 3x 2 − ( 5) dx dx dx y la segunda una constante ( ) dy d =3 x2 − 0 dx dx En seguida demostraremos que la derivada de x2 es 2x. luego aplicando la fórmula para cociente: ( ( ) dx ( ) )( ) dx ( d 3 x 2 − 5 − 3x 2 − 5 ⋅ ( x3 − 4 )2 ( ) ( 3x 2 − 0 ) dy x − 4 ⋅ ( 6 x − 0 ) − 3x − 5 ⋅ = 2 dx x3 − 4 3 ( ( ) ( x3 − 4 2 ) ) ) Las derivadas indicadas corresponden a restas. UNAD tema. o simplificar haciendo los productos Los ejemplos que desarrollamos son relativamente simples. pero a medida que vamos avanzando en el estudio de las derivadas. 298 .( ) ( ) dy 6x x 3 − 4 − 3x 2 3x 2 − 5 = 2 dx x3 − 4 ( ) Se puede dejar indicada así. vamos adquiriendo más destrezas en el Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. determinar el incremento producido en la función por las condiciones especificadas.1) Si f(t) = t2 + 3t .8t. donde m y b son constantes. si x varía de 0. Si f(x) = 4x. − 4) 1 1+3 Cálculo diferencial 1 − 3x 2 + 2 1+ 3 299 . v en m/seg y t en segundos. para un incremento ∆x. 8) y = x log x.8t2 .5 a 1. (e la constante ya determinada). ¿Cuál será el incremento de f cuando t varíe de t a t + 1? 2) Demuestre que para cualquier incremento en x. ¿Cuánto tiempo tar- dará para alcanzar la velocidad de 30m/seg.1/t.? Para los siguientes ejercicios. - 5) y = log x 1. 7) y = sen x. Ejercicio 3.1 3) Hallar dy/dx para las funciones siguientes: 9) y = 3x 2 + 2 10) y= x 11) y = x3 + 1 12) y = 3+ 13) y= 14) Hallar la derivada para la función y = x + 3 − x + 7 en el punto (14. ¿Cuál será el incremento en la función cuando x varíe de 5 a 6? 4) La velocidad de un automóvil que parte del reposo está relacionada mediante la ecuación v = 9. 6) y = ex. para un incremento ∆x. para incremento ∆x. el incremento en la función y = mx + b es ∆y = m∆x. .. + nx(∆x) n−1 + ( ∆x)n 2 Luego: dy = lím dx ∆x → 0 300 x n + nx n−1 ∆x + n ( n − 1) n − 2 x (∆x )2 + .. Las funciones de uso corriente son combinaciones de polinomios. a continuación vamos a analizar algunas técnicas de diferenciación pára obtener la derivada de una función algebraica y también para funciones trascendentales.. Sea y = f (x ) = x n con n ≠ 0 entonces su derivada esta definida como: dy = nxn −1 dx Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. funciones trigonométricas y sus inversas. Derivada de funciones algebraicas Estudiadas las reglas básicas de diferenciación. sin embargo.1. donde (x + ∆x) n es un binomio que se puede resolver por el Binomio de Newton. la función exponencial. + nx(∆x )n −1 + (∆x )n − x n 2 ∆x . que estudiaremos más adelante. Derivada de la función potencia: es la función más conocida y su derivada es muy sencilla. como vimos anteriormente la derivada por definición es el límite del cociente de dos incrementos.UNAD Demostración: por definición dy = lím dx (x + ∆x )n − x n ∆x dy f (x + ∆x ) − f ( x) = lím aplicando a x n será : dx ∆x → 0 ∆x . por lo cual debemos emplear las propiedades de la derivada para hacerlo en forma más sencilla y útil.3 Técnicas de diferenciación La diferenciación es el proceso de hallar la derivada de una función. veamos: ( x + ∆x )n = x n + nx n −1∆x + n (n − 1) x n −2 (∆x )2 + . sin embargo. la demostración es algo extensa. hallar la derivada a partir de la definición es un proceso demasiado engorroso. la logarítmica e hiperbólica. hallemos su deriva mediante la aplicación de (12): dy x m . 2 Cálculo diferencial Ejemplo 4 2 Hallar dy/dx para y = 12 x + 5x + 4 x − 2 301 ... m x m −1 = dx x 2m Simplifiquemos la expresión: dy m = −m x m −1− 2m = − m x − m −1 = − m dx x +1 O sea que la derivada para y = xn con «n» un entero los podemos hallar mediante la aplicación de (10). obtenemos: dy = n x n −1 dx Queda demostrado la derivada de xn Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1 N Hallar al derivada para y = x − m . + nx(∆x )n + (∆x )n −1  2   ∆x dy n (n − 1) n − 2 = lím n x n −1 + x ∆x + ..0 − 1.dy = lím dx ∆x → 0 n (n − 1) n − 2   ∆x  n x n−1 + x ∆x + . + nx (∆x )n + (∆x )n −1 dx ∆x → 0 2 Aplicando límite a cada término y simplificando.. n ∈ Apliquemos la ley de los exponentes: 1 y= xm Esto es un cociente. Para hallar la derivada apliquemos la propiedad de la linealidad: ( ) ( ) dy d d d = 12 x4 + 5 x2 + 4 ( x) + d ( −2) dx dx dx dx dx Luego: dy = 12 ( 4x 3 ) + 5 ( 2x) + 4 (1) + 0 dx Efectuemos las operaciones: dy = 48x 3 + 10 x + 4 dx Ejemplo 3 Hallar dy/dx para y = x3 +5 x4 − 2 Hallemos la derivada mediante la aplicación de la derivada de cociente y de potencia dy = dx ( x 4 − 2) d d ( x3 + 5) − ( x 3 + 5) ( x 4 − 2) dx dx ( x 4 − 2) 2 Ahora.UNAD dy ( x 4 − 2) (3x 2 ) − ( x3 + 5) ( 4x 3 ) = dx ( x 4 − 2) 2 Efectuemos las operaciones indicadas: dy 3x 6 − 6x 2 − 4x6 − 20 x3 − x6 − 20 x3 − 6x 2 = = dx ( x 4 − 2) 2 ( x 4 − 2) 2 O también: dy x6 + 20 x3 + 6 x 2 =− dx ( x 4 − 2) 2 302 . hallemos las derivadas indicadas: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. ó. z) (x. ó . En primera instancia.4 Regla de la cadena La regla de la cadena es una técnica de cálculo para hacer derivación en casos donde hay composición de funciones. notada como fog. z ) ∈ f } 7 f og = f [ g ( x) ] Cálculo diferencial Que también. y ) ∈ g y ( y. que leemos composición de g por f. f og = { ( x. podemos expresarla como: 8 303 . recordemos la definición de la función compuesta. g compuesto f.Ejemplo 4 Hallar dy/dx para y = 3 x 5 − 7 / x 3 + 12 / x 7 Apliquemos la propiedad de la linealidad de la derivada: ( ) dy d d =3⋅ x5 − 7 ⋅ dx dx dx (x −3 )+12 ⋅ dxd (x −7 ) Hallemos las derivadas indicadas: ( ) ( dy = 15 x 4 − 7 − 3x − 4 + 12 − 7x − 8 dx ) Operando: dy 21 84 = 15 x 4 + − dx x4 x6 1. f de g. La derivada de la función compuesta la hallamos mediante la aplicación de la definición.UNAD Para facilitar el límite. hagamos z = g(x). hagamos «y» igual a la función compuesta: y = f o g = f [ g (x ) ] Hallemos el incremento en y: ∆ y = f [ g (x + ∆x ) ] − f ( g( x )) Hagamos el cociente ∆y/∆x: ∆y f [ g (x + ∆x ) ] − f [ g ( x) ] = ∆x ∆x Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. tomemos el límite ∆y f ( z + ∆z) − f ( z) ∆z lím = lím ⋅ lím ∆ x ∆ z ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 304 9 . si f (x ) = x 4 y g( x) = 1 .Por ejemplo. ∆x ∆x ∆z Si ∆x tiende a cero entonces ∆z también los hace. entonces x −1  1  f og = f [ g ( x ) ] = f    x −1  Reemplacemos:  1  f og =    x −1  4 Por una razón análoga la compuesta g o f es: go f = g [ f ( x ) ] Para nuestro caso: g o f = g [ f ( x) ] = g ( x 4 ) = 1 x 4 −1 Observemos que la composición no es conmutativa. multipliquemos y dividamos por ∆z: ∆y f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z = . por consiguiente: z + ∆z = g (x +∆x) Reemplacemos estos valores en la función compuesta: ∆y f (z + ∆z ) − f ( z) = ∆x ∆x Ahora. Entonces : dy dy du dy du = ⋅ pero ⋅ = 10 u9 y = 3x 2 − 2 dx du dx du dx Cálculo diferencial Agrupando : dy = 10 u 9 ⋅  3x 2 − 2  reemplazan do u por 3x 2 − 2x + 1 tenemos :   dx 9 dy = 10  x3 − 2x + 1  ⋅  3x 2 − 2      dx 305 . Sea y = f(u) y u= g(x) si g es diferenciable en x y f es diferenciable en u. luego : (f o g)´ = f ´ (g (x ) )⋅ g´ (x ) por la notación de Leibniz: dy dy du = ⋅ dx du dx Ejemplo 1 ( )10 3 Hallar la derivada de y = f ( x ) = x − 2 x + 1 Definamos : u (x ) = x3 − 2x + 1 y f (u ) = u10 .Por definición los tres límites dan lugar a las derivadas dy df . Veamos una forma alternativa de definir la regla de la cadena. dx dz dx 11 Las ecuaciones anteriores define la regla de la cadena. veamos: f o g = f [ g (x ) ] . dx dz y dz dx Recordemos que z = g(x) y por lo tanto: dz d [ g ( x ) ] = dx dx Reemplacemos: dy d ( f o g) d (f ( g ( x )) = = = f ´( z) g´( x ) dx dx dx 10 O lo que es lo mismo: d ( f o g ) df dz = . Entonces f o g es diferenciable en x. En general. La función la podemos considerar como la composición de las funciones: θ ( t) = t −2 y t = ψ ( x ) = 4 x 3 − 1 .UNAD  1   Hallar df/dx para la función f ( x) =  1 −   x2  2 Hallemos la derivada mediante la aplicación de (9) con θ( t ) = t 2 y t = Ψ ( x) = 1 − df = θ´ ( t) Ψ´ ( x) dx Reemplacemos:  1    x2  dx d  1− dt2 df = ⋅ dx dt Efectuemos las derivadas: df = 2t dx 306  2     3   x  1 x2 . la denominamos la derivada interna. en f o g la derivada interna es g´(x).1) igual a 12x2. dx dt dx Efectuemos las derivadas indicadas: df = − 2t −3 (12 x 2 ) dx Expresemos todo en función de x: df − 24 x 2 = −2 ( 4x 3 − 1) −3 (12 x 2 ) = dx ( 4x3 − 1) 3 La derivada de (4x3 . Ejemplo 3 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.Ejemplo 2 ( Hallar dy/dx para la función f (x ) = 4 x 3 − 1 )−2 . La derivada la hallamos mediante la aplicación de (9) df = θ´ ( t ) ψ´ ( x ) dx Reemplacemos: df d ( t −2 ) d (4x 3 − 1) = . sin olvidarnos de la derivada interna:  df 1  2 4  = 2  1 − =  2 3 dx  x  x x3 Ejemplo 4  3  Hallar df/dx para f ( x) =  3x − 1  2  4x + 1     1   1−     x2  5 Hallemos directamente la derivada: 3x 2 − 1 Sea u(x ) = y f (u ) = u5 2 4x +1  4 x 2 + 1   9 x 2  −  3x 3 − 1  (8 x ) du       Ahora : = 2 dx  4 x 2 + 1    df du 36 x 4 + 9 x 2 − 24 x 4 + 8x = 5u 4 Ahora : = 2 du dx  4 x 2 + 1    Efectuemos las operaciones indicadas:  3x3 − 1  df  = 5  4x 2 + 1  dx   4 36 x 4 + 9x 2 − 24 x 4 + 8x ( 4x 2 + 1) 2 = 5 ( 3x 3 − 1) 4 (12 x 4 + 9x 2 + 8x) ( 4x 2 + 1) 6 Luego: ( )4 (12x 4 + 9x 2 + 8x ) ( 4x 2 + 1)2 Cálculo diferencial df dy 5 3x 3 − 1 = = dx dx 307 . y hacemos la derivada directamen- te. eludimos el reemplazo por  1   1−     x2  θ y Ψ .Expresemos la derivada en función de x:  df 1  2 4  = 2  1 − =  2 3 dx  x  x x3 En la práctica. tratándolo como un producto: d (xy ) = x dy + y ⋅ 1 = x dy + y dx dx dx La derivada del tercer término es: 2 y 308 dy dx . La derivada para la función implícita la hallamos mediante la aplicación de las técnicas de la diferenciación y la regla de la cadena. El proceso se puede definir en 3 pasos: a) Se deriva la ecuación dada. donde x es variable y y la función. La nomenclatura más usual para definir una función es: y = f(x). Hallemos la derivada para el segundo término. sen (xy) + y 2 = 0 . como por ejemplo 3xy + xy = 0. c) Se despeja dy dx Ejemplo para obtener la derivada. Derivemos la función con respecto a x mediante las técnicas conocidas de la diferenciación: d dx (x 2 + xy + y2 ) = dxd (x 2 ) + dxd ( xy ) + dxd (y 2 ) = dxd (7 ) Conocemos las derivadas de x2 y de 7. aplicando la regla de la cadena y las reglas básicas de derivación. por lo tanto la variable dependiente no se expresa explícitamente en función de la variable independiente.1. b) Se agrupan los diferenciables. esto es. 1 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD Hallar dy/dx para x 2 + xy + y 2 = 7 La variable independiente es x. 2x y 0.5 Derivada de la función implícita La función implícita es una en la cual la variable dependiente y la independiente van combinadas. Lo primero que debemos saber es con respecto a qué variable se desea hacer la derivada. Reemplacemos: d ( x 2 + xy + y 2 ) dy dy = 2x + x + y + 2y =0 dx dx dx Despejemos dy/dx: dy 2x + y =− dx x + 2y Ejemplo 2 Hallar dy/dx para x+y =7 x−y Derivemos la función como un cociente. teniendo en cuenta la regla de la cadena ( x − y) (1 + dy / dx) − ( x + y) (1− dy / dx) ( x − y) 2 Si x ≠ =0 y. podemos multiplicar por (x -y)2 dy   ( x − y ) 1 +  − ( x + y ) (1 − dy / dx ) = 0 dx   Agrupemos los términos que tengan como factor dy/dx: dy (x − y + x + y ) + x − y − (x + y ) = 0 dx Efectuemos las operaciones indicadas: 2x dy − 2y = 0 dx Por consiguiente: dy y = dx x 3 Cálculo diferencial Ejemplo Hallar dy/dx para x 3 y − 4 x 2 y 2 + 5 xy3 = 5 309 . 3x 2 y + x 3 dy dy dy − 8xy 2 − 8x 2 y + 5y3 + 15xy 2 =0 dx dx dx Agrupemos los términos que tengan el factor dy/dx: dy 3 ( x − 8x 2 y + 15 xy 2 ) + 3x 2 y − 8xy 2 + 5y3 = 0 dx Despejemos dy/dx: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD dy 8xy 2 − 3x 2 y − 5y 3 = dx x 3 − 8x 2 y + 15 xy 2 310 . teniendo en cuenta la regla de la cadena.Derivemos la función como suma de productos. UNAD 25) 312 x y + y x =1 x+3 x3 y =1 x 2 + y 2 = 15 .Hallar dy/dx para las funciones siguientes: 21) xy = 4 22) 23) x3 y = y3 x 2 + y5 24) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Por ejemplo. (x 3 -1)5 entonces f´(x) = 5 3x 2 (x 3 (x 3 - . es dx. entonces dy diferencia l de y en tér min os de x y dx = dx el diferencia l de x dy f ´( x )dx = = f ´( x ) dx dx 13 es la derivada de y con respecto a x.1)4 y dy = f´(x)dx. entonces dy = 0 y si dx ≠ 0. Obviamente. Partimos del hecho de que y es una función de x. esto es. también nos hemos acostumbrado a escribirlo: dy = 15 x 2 ( x3 − 1) 4 dx ( Cálculo diferencial Y si lo tratamos esto como una función y multiplicamos ambos miembros por dx: )4 dy = 15 x 2 x 3 − 1 dx La interpretación geométrica de los diferenciables la podemos hacer apoyándonos en la figura 1. o sea: dy = 15x2 1) 4 dx. es una nueva variable independiente y su dominio son los reales. este último resultado no nos trae nada de nuevo puesto que debidamente definimos dy en otras palabras. es dy es una función de x y dx. ≠ El diferencial de x. ´ cuando dx 0. sea igual a la derivada de y con respecto a x. definida por: 12 dy = f´ (x) dx Los diferenciales de x y dy tienen las siguientes propiedades: si dx = 0. si y = .4 313 . ahora nos proponemos definir dx y dy denominados los diferenciales de x e y respectivamente.1. y = f(x). en tal forma que su relación. El diferencial de y.6 Diferenciales Al definir la derivada aparece la notación dy/dx. lo planeamos de esta manera.1) 4 = 15x2(x 3 . 4 Gráfica para los diferenciales θ θ θ La curva representa la función y = f(x). El diferencial dy = RT. En todo caso: dy RT = = tan θ dx PR Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. si R está a la derecha de P (como en (a) y (c)). dy es la parte principal del incremento. y b) dy es la cantidad de cambio en y por dx unidades de cambio en x a lo largo de la tangente a la curva en P. 314 . y para cada caso trazamos la tangente a la curva en el punto P. El diferencial dx = PR. en el caso contrario es negativo ((b) y (d)). En consecuencia: a) dy/dx es la razón de cambio de y por unidad de cambio de x.UNAD f´(x) da la pendiente de la curva en P y por lo tanto: dy = f ´( x )dx = tanθ ( PR) = RT RT es el cambio en y a lo largo de la recta tangente que generamos por un cambio dx en x. es positivo si T está por encima de R (como en (a) y (d).θ FIGURA 3. obviamente es positivo. de lo contrario es negativo. los diferenciales son susceptibles de un manejo algebraico como el de cualquier otra variable. en estas circunstancias aparece el diferencial de t. en un punto P donde la función es diferenciable. La función df es lineal en dx. ¿en qué porcentaje decrece el radio? 315 . Para el caso en el cual la función está definida mediante un parámetro. la derivada de y con respecto a x es igual al diferencial de y dividido por el diferencial de x si dx ≠ 0. el coeficiente de proporcionalidad es la derivada en el punto. Suponiendo que el hilo es un cilindro circular recto de sección transversal pequeña y que el volumen permanece constante. entonces el parámetro es la variable independiente (t en nuestro caso) para la función. y los diferenciales de y y de x los´definimos mediante las ecuaciones: dx = g´(t) dt 14 dy = f´(t) dt 15 Y la derivada dy/dx la expresamos en la forma siguiente: dy dy / dt dx = . Ejemplo 1 Cálculo diferencial Un hilo es estirado en tal forma que su longitud se incrementa en el uno por ciento (1%).Por lo tanto. y la derivada de la curva en el plano xy la podemos expresar como una función de t. el diferencial dy(o df) es proporcional a dx. Al ser nuevas variables. si ≠0 dx dx / dt dt 16a dy el diferencia l de y en términos de t y dt = dx diferencia l de x en términos de t y dt 16b O también: O lo que es lo mismo. esto es una gran ventaja para los desarrollos pertinentes. como una nueva variable con dominio en los reales. dt. cualquiera que sea el parámetro. digamos y = f(t) y x = g(t). r= V −1 / 2 x π V = πx El radio lo podemos considerar como una función de la longitud. Podemos calcular la variación del radio mediante su diferencial: dr = − 1 2 V −3 / 2 x dx π Como necesitamos el porcentaje de variación. designemos por x la longitud. dividamos la ecuación del diferencial del radio por la ecuación que da el radio: dr = r − 1 V −3 / 2 x dx 2 π V −1/ 2 x π Simplifiquemos: dr 1 dx =− r 2 x Para pequeñas variaciones. puesto que el volumen es constante.Como dato del problema tenemos que el volumen es constante. despejemos de aquí el radio. donde r es el radio. El volumen V es V = π r2x. el área de la sección transversal es A =π r2. los diferenciales son del mismo orden que los incrementos.5%) 316 .UNAD dr 1 dx 1 1 −1 =− =− ⋅ = r 2 x 2 100 200 En consecuencia el radio decrece aproximadamente en 1/2 por ciento (1/2% 0. dx 1 entonces como: por consiguiente: ≅ x 100 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. hallar el porcentaje en el cual decrece la función cuando x se incrementa en el 1/2%.1) Si y = 5x3. hallar el porcentaje en el cual se incrementa la función cuando x se incrementa en el 2%.3 3) 317 . 2) Si y = 1/x4. hallar la disminución en la función cuando x se incrementa de 16 a 16.03 Cálculo diferencial Si y = 2x2. de 5 a 5.01. 4) Si y = 1/√x. hallar el incremento aproximado en la función cuando x varía Ejercicio 3. Q0 = cantidad de material radioactivo inicial k = constante t= tiempo En la ecuación debemos restringir la base. a los positivos diferentes de 1. Si la base es negativa hay que extender la función a los complejos. la tasa de interés y el tiempo. mediante la ecuación: M = C ( 1 + i)t Donde M = monto = capital más créditos C = capital i = la tasa de interés en base 1 t = el tiempo o mejor. Otro ejemplo es la degradación de un material radioactivo: Q = Q 0 e − kt Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.1. En todos los casos el dominio de la función corresponde a los reales y su recorrido a los reales positivos. essto quiere decir que la función se ajusta a una ecuación del tipo: y = A a kx donde A.7 Derivada de funciones trascendentales. debido a que en esta forma la función es de reales a reales. el número de periodos de conformidad con la tasa Para una deuda determinada C é i son constantes y las variables son el monto y el tiempo. y debe ser diferente de 1 para eludir la función constante.UNAD Q = cantidad de material radioactivo en el tiempo t. Un ejemplo sencillo es el monto de una deuda impuesta a interés compuesto. a. es decir el número que se eleva a una potencial real. dicho monto está relacionado con el capital. k son constantes y además «a» es positiva y diferente de 1. La función exponencial: existen muchos fenómenos que tienen un comportamiento de tipo exponencial. 318 . f (x 2 ) < f (x1 ) si x 2 > x1 .La gráfica para la función y = la vemos en la figura 1. observamos que si a > 1 la función es creciente.f (x2 ) > f (x1) si x2 > x1. para 0 < a < 1. La experiencia ha enseñado que la función exponencial Cálculo diferencial debe definirse como: y = ax a > 0 319 . esto es.5 con 0 < a < 1 y con a > 1. Podemos cambiar la base para las funciones de tipo exponencial mediante la ecuación: b x = x log a b Este hecho exige la selección de una base que tenga un manejo matemático sencillo y además que sea de gran utilidad. es decir. y y 5 5 4 4 y = (1 3) 3 x x y = (1 2 ) 3 2 2 1 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 y 0 1 3 y 5 5 4 4 x x y=2 3 FIGURA 31. la función es decreciente.5 Gráfica para la función y = a x 2 y=4 3 2 2 1 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 Además. con orientación del tutor. aplicamos la definición: dy f (x + ∆x ) − f (x ) = lím dx ∆x → 0 ∆x si desarrollamos la función en mención: dy a x + ∆x − a x = lím = lím dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 a x  a ∆x − 1    = a x lím ∆x ∆x → 0 a x∆ − 1 ∆x Al desarrollar este último límite. La derivada es de la forma: dy = a x Ln (a ) dx Demostración: Para y = a x . haciendo ∆ x cercano a cero por la derecha o izquierda llegamos a que dicho límite es igual a Ln (a).UNAD Derivada de y = ex : como consecuencia del caso anterior. por ejemplo para lím ∆x → 0 2 ∆x − 1 ≅ 0 . Si y = e x . 320 . para definir la derivada.Derivada de y = ax : la función y = ax es la función exponencial típica. podemos definir la derivada de la «función exponente natural».6931 ≅ Ln 2 . Entonces : ∆x dy = a x ⋅ Ln (a ) dx Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. entonces: dy dy = e x Ln e ⇒ = ex dx dx ¿por qué? Demostración: La demostración será un ejercicio que debe desarrollar el estudiante. debemos asumir que a > 0. que a su vez es función de la variable. agrupando du dy dy du = ⋅ = 2u Ln 2 ⋅ 3 = 3 Ln 2 ⋅ 2 (3x −1) ya que u = 3x − 1 dx du dx dy = 3 Ln 2 ⋅ 2 (3 x−1) dx 2 ( Cálculo diferencial Ejemplo ) 4 x 2 − 2 + 10x Hallar la derivada de la función: y = 3 e 321 . Entonces por la regla de la cadena: dy du = a u Ln a dx dx Igual para y = e u . entonces: y =au donde u es función de x.Podemos generalizar las derivadas para cuando la función exponencial tiene como variable otra función. luego : dy du = eu ⋅ dx dx Ejemplo 1 Hallar la derivada de y = f (x ) = 2 3x −1 Solución: y = a u . Luego: Vemos que es una función de la forma u = 3x − 1 y du =3 dx dy y = 2u y = 2u ⋅ Ln 2 . La función logarítmica La inversa de la función exponencial es la función logarítmica. recordemos la definición de nuestro primer libro de Algebra: «El logaritmo de un número es el exponente al cual hay que elevar un número llamado base para reproducir el número». El logaritmo lo notaremos como: y = loga x 322 . la primera exponencial y la segunda lineal.UNAD función con esta propiedad. Derivamos cada una y al final las sumamos. entonces : du = 8x dx Agrupando: ( 2 dg dg du dg = ⋅ = 3e u ⋅ 8x → = 24x e 4 x − 2 dx du dx du ) Ahora derivemos h ( x ) = 10 x dh = 10 dx Agrupamos los resultados: ( ) 2 dy = 24 x e 4 x − 2 + 10 dx Es verdad que la función exponencial de base e es su propia derivada. Es la única Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. entonces : dg = 3e u du Por otro lado : u ( x ) = 4x 2 − 2.Solución: Vemos que se trata de una suma de dos funciones. Precisamente esta forma se presenta en los libros de nivel introductorio. Llamemos: g ( u ) = 3e u . log a b =1 / log b d. Si la base es el número e. obtenemos: Cálculo diferencial dy 1 = y dx a ln ( a ) Reemplacemos ay por x obtenemos: dy 1 = dx x ln ( a ) 323 . Sea y = loga (x ) . log a a = 1 c. ln a dy =1 dx Despejemos la derivada. Por conveniencia transcribimos algunas de las propiedades de los logaritmos. la hallamos mediante la derivación de la función inversa. log a x n = n log a x f. log a 1 = 0 b. entonces su derivada es: dy 1 = dx x ln ( a ) d  y  d  a  =  dx  dx y Demostración: (x ) esto nos resulta : dy Como y = log a (x ) entonces su inversa será a y = x Derivemos con respecto a x: d  y d ( x ) esto nos resulta : a  =  dx dx  a y . su recorrido a los reales. a. log a ( x / y) = log a x − log a y g. log a x = log b x / log b a Con esta última propiedad vemos que el cambio de base en los logaritmos es cuestión de una constante. log a xy = log a x + log a y e. y. se le llama logaritmo natural y se denota Ln(x).Esta notación es para un logaritmo en base a. Derivada de y = loga (x ) : La derivada para la función logaritmo. El dominio de la función logaritmo corresponde a los reales positivos. luego : = y dx e dx x Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. se obtiene por la función inversa. despejamos la derivada: dy 1 dy 1 = . pero ey = x. entonces: dy 1 du = ⋅ dx u dx Ejemplo 1 Hallar dy/dx para y = e x Hallemos la derivada mediante la aplicación de la regla de la cadena u = x dy d  u  du = e  ⋅ dx du   dx 324 . entonces: d  y d ( x ) desarrollando: e  =   dx dx ey ⋅ dy =1 dx .UNAD En general. para x>0.Generalizando: y = log a (u ) . siendo u función de x : dy 1 du = * dx u ln ( a ) dx Derivada de y = ln(x) : al igual que en el caso anterior. Derivamos esta ecuación por la técnica de la ímplicita. para una función de la forma: y = ln (u) siendo u función de x. Sea y = ln(x) . la derivada de ln(x). entonces su derivada es la forma: dy 1 = dx x Demostración: Como y = log e (x ) entonces su inversa será: e y = x . Efectuemos las derivadas: dy 1 e x dy e x = eu = ⇒ = dx dx 2 x 2 x 2 x Ejemplo 2 e x + e −x Hallar dy/dx para y = 2 2 2 - Apliquemos la regla de la cadena con u = x2 para el primer sumando. y v = x2 para el segundo: dy 1 d  x 2  1 d  −x 2  = ⋅  e + ⋅ e  dx 2 dx   2 dx   O también: dy 1 d  u  du 1 d  v  dy = ⋅ + ⋅  e ⋅ e  ⋅ dx 2 dx   dx 2 dx   dx Efectuemos las derivadas: 2 dy 1 u 1 1 2 1 = e ⋅ 2 x + e v (− 2x ) = 2x ⋅ ex − 2x ⋅ e − x dx 2 2 2 2 Expresemos la derivada en función de x: 2 2  d  ex + e− x dx  2  Ejemplo    x2 − x2    = x  e − e   3 Hallar dy/dx para y = xex Cálculo diferencial Derivemos directamente el producto: dy = xe x + e x = e x (1 + x) dx 325 . Ejemplo 4 Hallar dy/dx para y = e x − e −x e x + e −x Derivemos el cociente: d (e x − e −x ) d (ex + e −x ) ( e x + e− x ) − (e x − e −x ) dy dx dx = 2 dx x − x (e + e ) Efectuemos las derivadas: ( )( )( )( dy e x + e−x e x + e −x − e x − e −x e x − e− x = 2 dx e x + e −x ( ) ) Efectuemos los productos del numerador: 2x −2x  2x −  e − 2 + e− 2x  dy e + 2 + e 4   = = 2 2 dx  e x + e− x   ex + e− x      Simplifiquemos: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD 2  x2 e + e− x  d  2  dx Ejemplo     = 4 2  ex + e −x    5 Hallar dy/dx para y = x log x: log (x) = ln (x) Derivemos directamente el producto: dy d (x log x ) 1 = = log x + x. dx dx x Simplifiquemos: dy = 1 + log (x ) = 1 + ln (x ) dx 326 . Ejemplo 6 Hallar dy/dx para y = log x2 +1 3 3x5 + 1 Para facilitar la derivada.empleamos las propiedades de los logaritmos. Ejemplo 7 Hallar dy/dx para y = e1/ log x Hallem osladerivadam ediantelaaplicacióndelaregladelacadena: ) Cálculo diferencial ( dy d e1 / log x deu du de u d (1 / log x) = = ⋅ = ⋅ dx dx du dx du dx 327 . podemos escribir la función como: x2 +1 y = log 3 5 3x + 1 = ( ) ( ) 1 1 log x 2 + 1 − log 3x5 + 1 2 3 Derivemos la función: dy 1 2x 1 15x 4 = ⋅ − ⋅ dx 2 x 2 + 1 3 3x5 + 1 Los términos 2x en el primer sumando y 15x4 en el segundo son las derivadas internas. simplifiquemos: dy x 5x 4 = − dx x 2 + 1 3x 5 + 1 Efectuemos la diferencia: dy 3x 6 + x − 5x 6 − 5x 4 x − 5x 4 − 2x 6 = = dx x 2 + 1 3x 5 + 1 x 2 + 1 3x5 + 1 ( )( ) ( )( ) Debemos resaltar la simplificación que se presenta al aplicar las propiedades de los logaritmos. Efectuemos las derivadas: ( ) dy d d = e1/ log x = dx dx du (e u ) * dudx Reemplacemos las derivadas:   − e1 / log x dy 1 = = eu ⋅  −  x log 2 x  dx x log 2 x   Ejemplo 8 Hallardy/dxparay=(logx3/2 ) Apliquemos la regla de la cadena: u = logx ( ) dy d (log x )3 / 2 d u 3 / 2 du = = ⋅ dx dx du dx Efectuemos las derivadas: ( ) d u 3/ 2 3 du d (log x) 1 = u1 / 2 . = = du 2 dx dx x Reemplacemos las derivadas Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Tomemos los logaritmos a ambos miembros y apliquemos las propiedades de los logaritmos: log y = 328 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 log x 3 + 1 + log x5 − 1 − log x 2 + 1 3 5 2 .UNAD dy 3 1 / 2 1 3 1 3 (log x )1 / 2 3 Log (x ) = u ⋅ = ⋅ (log x )1 / 2 ⋅ = = dx 2 x 2 x 2x 2x Ejemplo 9 Hallar dy/dx para y = ( x3 + 1)1/ 3 ( x5 − 1)1/ 5 ( x 2 + 1)1 / 2 Hallemos la derivada mediante la diferenciación logarítmica. Hallemos la derivada con respecto a x: 3x 2 1 dy 1 = y dx 3 x 3 +1 1 5x 4 1 2x − 5 x5 − 1 2 x 2 +1 + Despejemos la derivada y simplifiquemos:  x2 dy x4 x  =y  + −  dx  x 3 + 1 x 5 − 1 x 2 + 1  Expresem osladerivadaenfuncióndex: ( ) ( )1/ 5 ( ) dy x 3 + 1 1/ 3 x 5 − 1 = dx x 2 +1 1 / 2  x2 x4 x  + −  x3 + 1 x5 − 1 2 x +1      Ahora podem oshacerlas operacionesindicadas: ( ) ( ) ( ) dy x 3 + 1 1/ 3 x 5 − 1 1/ 5  x 2 ( x5 − 1) ( x 2 + 1) + x 4 ( x 3 + 1) ( x 2 + 1) − x ( x 3 + 1) ( x 5 − 1) =  dx x 2 +1 1 / 2 ( x3 + 1) ( x 5 − 1) ( x 2 + 1)  ( )1 /3 ( )1 / 5 ( ) dy x 3 + 1 x5 −1 = 1/ 2 dx x 2 +1      x 2 ( x 7 + x5 − x 2 − 1) + x 4 ( x5 + x3 + x 2 + 1) − x ( x 8 − x 3 + x 5 − 1)   ( x 3 + 1) ( x5 − 1) ( x 2 + 1)      Sigam osconlasmultiplicaciones: ( ) ( ) ( ) dy x 3 + 1 1/ 3 x5 − 1 1 / 5 = 1/ 2 dx x2 +1  x 9 + x 7 − x 4 − x 2 + x9 + x 7 + x 6 + x 4 − x 9 + x 4 − x 6 + x    3 5 2   ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)   Agrupem oslostérm inossem ejantes: ( )1 / 3 ( )1 / 5  x9 + 2x 7 + x 4 − x 2 + x  dy x3 +1 x 5 −1 = 1/ 2 dx x 2 +1 ( )  ( x3 + 1) ( x 5 − 1) ( x 2 + 1)    O tam bién: )1 / 3 (x 5 −1) 1/5 (x 2 + 1)1/2 (x 9 + 2x 7 + x 4 − x 2 + x) (x3 +1) (x 5 −1) (x 2 + 1)2 Cálculo diferencial ( dy x 3 + 1 = dx 329 . Ejemplo 10 5 Hallar dy/dx para y = 3x3 − 1 ( 4x 2 − 1 x3 + 2x 4 ex 3 ) 1+ x Como primer paso para hallar la derivada. tomemos los logaritmos a ambos miembros: log y = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 log 3x3 − 1 + log 4x 2 − 1 + log x + log x 2 + 2 − log (x + 1) − x 5 4 3 Derivemos con respecto a x: 1 dy 9x 2 8x 1 2x 1 = + + + − −1 2 2 y dx 5 3x3 − 1 x 3 ( x + 1) 4 4 x −1 x +2 ( ) ( ) Despejemos la derivada:  dy 9x 2 8x 1 2x 1 =y  + + + − −1 3 2 2 dx x x +2 3 (x + 1)  5 3x − 1 4 4x − 1 ( ) ( )    Hasta aquí tenemos la derivada expresada en función de y y la suma de unas fracciones.UNAD + − ) ( ) ( )( ) 15 3x3 − 1 4x 2 − 1 x 2 + 2 (x + 1) + 2x (15) 3x 3 − 1 4x 2 − 1 (x ) ( x + 1) ( )( )( ) 15 x 3x 3 − 1 4x 2 − 1 x 2 + 2 (x + 1) ) ( ) ( )( ) ( ( )( )( ) ) 5 3x 3 − 1 4 x 2 − 1 ( x) x 2 + 2 − 15 3x 3 − 1 4x 2 − 1 (x ) x 2 + 2 ( x + 1)   15x 3x 3 − 1 4x 2 − 1 x 2 + 2 ( x + 1)  Efectuemos los productos y agrupemos los términos semejantes:  − 180 x 9 + 498 x8 + 423 x 7 + 234 x 6 + 554 x5 − 129 x 4 − 139 x3 − 165 x 2 − 10 x + 30 dy =y dx  15 x ( 3x 3 − 1) ( 4x 2 − 1) ( x 2 + 2) ( x + 1) 330    . hagamos la suma de las fracciones: ( )( ( ) )( ( )( )( ) ( )( ( )( )  27 x 2 4x 2 − 1 x 3 + 2x (x + 1) + 30 x 3x 3 − 1 x 3 + 2x (x + 1) dy =y  + dx  15 3x 3 − 1 4x 2 − 1 ( x) x 2 + 2 (x + 1) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. sobre todo si se hace sin la derivación logarítmica. la derivada para la función propuesta es muy engorrosa. reemplazamos: dy = x x (1 + Log (x ) ) = x x + x x Log (x ) dx 12 Cálculo diferencial Ejemplo Tan−1 x Hallar dy/dx para y = (sen x ) 331 .Por último reemplacemos «y» en función de x: 5 4  dy  3 x3 − 1 4 x 2 − 1 ( x 3 + 2x )  =  dx  ex 3 1 + x    − 180 x 9 + 498 x8 + 423 x 7 + 234 x 6 + 554 x 5 − 129 x 4 − 139 x 3 − 165 x 2 − 10x + 30      15 x (3x3 − 1) ( 4x 2 − 1) ( x 2 + 2) ( x + 1) Evidentemente. tomemos los logaritmos a ambos miembros: log y = x log x Derivemos con respecto a x: 1 dy 1 = log (x ) + x ⋅ = Log (x ) + 1 y dx x Despejemos la derivada: dy = y (Log (x ) + 1 ) dx pero y = x x . Ejemplo 11 Hallar dy/dx para y = xx Este caso es típico de diferenciación logarítmica. Hay funciones para las cuales la forma de obtener la derivada es mediante la diferenciación logarítmica. obtenemos: dx du dx 2 dy = Ln (2) ⋅ 2(3x + 4) ⋅ 6 x reorganiza ndo : dx 2 dy = 6x Ln (2)⋅ 2 (3x + 4) dx Ejemplo 14 3 Hallar la derivada de: y = 4 ln (2x −5) + e x −1 332 .UNAD dy dy du = ⋅ = 2u Ln ( 2)⋅ 6x. Luego : du dx Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Ejemplo 13 2 Determinar la derivada de: y = 2(3x +4 ) Solución: Sea u = 3 x 2 + 4 y y = 2 u. reemplazan do u por 3x 2 + 4. por la derivada de la función exponencial dy du = 2 u ⋅ Ln (2) y = 6x + 0.Tomemos los logaritmos a ambos miembros: log y = Tan − 1 (x ) log (sen x Derivemos con respecto a x: 1 dy 1 1 Log (sen (x )) = log(sen x) + Tan −1 (x ) cos (x ) = + Tan −1 (x ) ⋅ cot (x ) 2 y dx 1 + x 2 sen (x ) 1+x Despejemos la derivada y expresémosla en función de x: −1  log (sen (x ))  dy = (sen x ) Tan x  + Tan −1 (x ) cot (x ) 2 dx  1+ x  −1 recordemos que y = [ sen (x )]Tan (x ) en este ejercicio. = . = 2. ahora : dg du 1 dv = 4 u ⋅ ln (4). u ( v) = ln v y v ( x) = 2x − 5.Solución: Por ser una suma de funciones derivamos cada una y al final las agrupamos. du dv v dx Luego : dy 1 ln 2x −5 =4 ⋅ ln (4) ⋅ ⋅ 2 reorganiza ndo : dx (2 x − 5) dy 1 ln 2x − 5 = 2 ln 4 ⋅ ⋅4 dx (2x − 5) ln 2 x −5 Cálculo diferencial dy 2 ln 4 ⋅ 4 = dx (2x − 5) 333 . Sea : g ( u) = 4 u . x >1 ex 1+ x2 1 x 2 +1 Ejercicio 3.4 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD Hallar dy/dx para las funciones siguientes: .334 1) y = e 1/ x 2) y = e − 1/ x + e1 / x 3) y = e − 1/ x + e1 / x 4) y= 5) y = log 6) y = ( x 2 + 1) log 7) y = log 8) y = log 3 (3 x + 7 ) 9) 2 y=7 x − x 10) y = log 3 ( 3 x +1) 11) 2 y = ( x 2 + 1) x +1 12) y = (e −x + e x )x 1 1+ x2 x 3 +1 x −1 . Para hallar las derivadas de las otras funciones trigonométricas utilizamos las identidades trigonométricas y obviamente las técnicas de diferenciación. o lo que es lo mismo en radianes. entonces : dx ∆x → 0 ∆ x 335 .y) = cosx cosy + senx seny. recordemos que las funciones trigonométricas son periódicas y además su argumento lo podemos expresar como un radián o en grado. esto es. preferimos que las funciones sean de reales a reales y por lo tanto su argumento lo expresamos como un real. o sea: f ( x) = . hallamos la derivada de la función seno. mediante la aplicación de la definición y el conocimiento que tenemos de lo visto anteriormente.sen(x). La función sen (x): Cálculo diferencial Empecemos con la derivada de la función seno: sea y = sen(x). f ( x) = f(x).1. Para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas. Luego: dy ∆y = lím .8 Derivadas de las funciones trigonométricas En primer término. c) cos (x d) Las funciones coseno y secante son funciones pares. entonces: ∆y = sen (x + ∆x) . . sin embargo.f(x). En este momento es bueno recordar algunas identidades trigonométricas: a) La identidad fundamental: sen 2x + cos2x = 1 b) La función trigonométrica de x es igual a la cofunción del complementeo (π/2-x). - - Las demás funciones trigonométricas son impares. sea y = cos (x) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. reemplazan do : ∆x ∆x ∆x → 0 sen (x ) ⋅ 0 + cos ( x) ⋅ 1 = cos ( x). por consiguiente : d (sen (x )) = cos (x ) dx Generalizando: sea y = sen (u) y u = f(x) podemos definir la derivada.dy cos (x ) sen (∆ x)   sen (x ) cos (∆x ) − sen ( x) = lím +   dx ∆x → 0  ∆x ∆x  lím ∆x → 0 sen ( x) (cos ( ∆x) − 1) + lím ∆x ∆x → 0 sen (x ) ⋅ lím ∆x → 0 lím ∆x → 0 cos (x ) sen ( ∆x) ∆x por propiedad de límites separando límites cos (∆x) − 1 sen (∆x ) + cos (x )⋅ lím ∆x ∆x ∆x → 0 cos (∆x ) − 1 sen (∆x ) = 0 y lím = 1.UNAD ∆ y = cos (x + ∆x ) − cos (x ) Luego : dy ∆y cos ( x + ∆x ) − cos ( x) = lím = lím dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x dy cos ( x) cos (∆x ) − sen ( x) sen (∆x ) − cos (x ) = lím dx ∆x → 0 ∆x dy cos ( x) cos (∆x ) − cos (x ) − sen (x )sen (∆x ) = lím dx ∆x → 0 ∆x dy = lím dx ∆x → 0 336  cos (x ) [ cos (∆x ) − 1 ] sen (x ) sen ( ∆x)  −   ∆x ∆x   . utilizando la regla de la cadena: dy du = cos (u) ⋅ dx dx Función cos (x): Ahora determinemos la derivada de la función cos(x). luego. luego: la derivada derivada de cociente dy cos 2 (x ) + sen 2 (x ) 1 = = = sec2 (x ). tenemos: Cálculo diferencial d (tan (u(x ))) = tan (u ) ⋅ du dx dx Funciones: cot (x). lím − sen (x ) ⋅ lím ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x dx ∆x Como en el caso de sen (x). pero dy cos ( x) ⋅ ( cos ( x)) − sen (x ) ⋅ (− sen (x )) = dx cos 2 (x ) tan (x ) = . sec (x). los límites propuestos están definidos y sus valores son 0 y 1 respectivamente. estas funciones tienen su derivada: 337 . veamos: Función tan(x): sea y = tan (x). por la regla de la cadena: d ( cos (u )) = − sen (u) ⋅ du dx dx sen (x ) cos (x ) se convierte en un cociente de dos funciones. siendo u función de x. por consiguiente: 2 2 dx cos (x ) cos (x ) d (tan ( x)) = sec2 (x ) dx También generalizando para tan(u). csc (x): al igual que en los casos anteriores. por consiguiente : dx d ( cos (x )) = − sen ( x) dx Generalizando: sea y = cos (u) y u = f(x). luego: dy = cos (x )⋅ 0 − sen ( x) ⋅ 1.dy cos (x ) ( cos (∆x) − 1) = lím − lím dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 sen (x )sen (∆x ) ∆x dy cos (∆ x) − 1 sen (∆x ) = cos ( x). las derivadas de las funciones trigonométricas son relativamente fáciles de obtener.UNAD Hallar dy/dx para y = sen(3x) Para la derivada. permitirán adquirir destreza en la resolución de derivadas de este tipo. sino comprender cómo es la derivada de cada una. como u = 3x. Las realizadas en sen (x). sirven como orientación para hacer los restantes. Ejemplo 1 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. reemplazan do y obtenemos: dy = 3cos (3x ) dx dx 338 . apliquemos la regla de la cadena con u = 3x: dy d = (sen (3x ) ) = d (sen (u ) )⋅ du dx dx dx dx Efectuemos las derivadas: dy d = (sen (3x ) ) = d (sen (u ) ) ⋅ du dx dx dx dx d (sen (3x) ) = cos (u )⋅ 3.d (cot (x ) ) = − csc 2 x dx d dx Generaliza ndo : (sec (x ) ) = sec (x ) ⋅ tan (x ) d dx (cot (u (x )) ) = − sec 2 (u ) ⋅ du Generaliza ndo : dx d (sec (u (x )) ) = − sec (u) ⋅ tan (u )⋅ du dx dx d (csc (x ) ) = − csc (x ) ctn (x ) dx También podemos generalizar: d dx (csc (u (x ) )) = − csc (u )⋅ cot (u) ⋅ du dx Las demostraciones. se dejan como la primera actividad de los ejercicios. Los ejemplos y ejercicios propuestos. la idea no es memorizar las fórmulas. Como podemos ver. cos (x) y tan (x). derivémosla como tal: dy d = sen (x ) ⋅ dx dx ( cos (x ) ) + cos(x ) ⋅ d ( sen (x ) ) dx Hallemos las derivadas y efectuemos los productos resultantes: dy = sen x (− sen x) + cos x cos x = cos2 x − sen 2 x dx Ejemplo 4 Hallar dy/dx para y = tan (x2 + 1) Apliquemos la regla de la cadena con u = (x2 + 1) y derivemos: Cálculo diferencial d  d 2  (tan (u) ) ⋅ du  tan  x + 1   =   dx  dx dx Efectuemos las derivadas: dy d = (tan (u ) ) ⋅ du = sec 2 (u )⋅ 2x = 2x sec 2  x 2 + 1  dx du dx 339 . apliquemos la regla de la cadena con u = sen (x) ( ) ( ) ( ) dy d d d du = sen 2 (x ) = u2 = u2 ⋅ dx dx dx dx dx Efectuemos las derivadas: dy = 2u ⋅ cos (x ) = 2 sen (x ) cos (x ) dx Ejemplo 3 Hallar dy/dx para y = sen(x) cos (x) La función es un producto.Ejemplo 2 Hallar la derivada para y = sen 2x Para la derivada. apliquem os la regla de la cadena: y = tan (u). v = 2x + π/ 4 entonces: Aplicamos la regla de la cadena tres veces dy dy du dv = ⋅ ⋅ dx du dv dx Efectuem os las derivadas: dy du dv = 3u 2 . v = 2x.Ejemplo 5 3 Hallar dy/dx para y = sec (2 x + π / 4 ) 3 Para la derivada. apliquemos la regla de la cadena: y = u . entonces: dy d = (tan (sen (x ) ) ) = dy ⋅ du ⋅ dv dx dx du dv dx Efectuem os las derivadas: dy du dv = sec 2 (u ). = cos (v ).UNAD Para la derivada. =2 du dv dx Reem placem os las derivadas: dy  =  sec 2 (u)  (cos (v )) (2 )   dx [ ] Expresem os la derivada en función de x: = 2 sec2 (sen 2x ) cos 2x dy dx 340 . = sec (v ) tan (v ). =2 du dv dx Reem placem os: dy = 3 u2 ⋅ sec (v ) tan (v )⋅ 2 dx Expresem os la deriva en función de x: ( ) dy d = sec3 (2x + π / 4) = 6 sec3 (2x + π / 4)⋅ tan (2x + π / 4 ) dx dx Ejemplo 6 Hallardy / dx para y = tan [ sen (2x ) ] Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. u = sec v . u = sen (v). luego definimos: d (sen h (x ) ) = cos h (x ) dx Demostración: Para demostrar esta derivada. Si queremos generalizar a sen h(u). corresponde a cos h (x). Función sen h(x): recordemos que sen h( x) = sea y = sen h (x). La derivada es de la forma:  2  Cálculo diferencial d (cosh(x ) ) = sen h (x ) dx Demostración: Al igual que en el caso anterior: [ ] ( ) d d 1 1 d 1 (cosh(x ) ) =  ex + e −x  = ⋅ ex + e − x = dx dx  2 2  2 dx ( e x − e −x ) 341 . siendo u función de x. luego: d (sen h (x ) ) = cos h (x ) dx Así queda demostrada la derivaa de la función seno hiperbólico.Derivadas de funciones Hiperbólicas En el curso de algebra. Trigonometría y Geometría Analítica. se estudiaron las funciones hiperbólicas. partimos de la definición de funciones hiperbólicas sen h(x) y cos h (x). luego no debemos dejar pasar desapercibidas sus derivadas. d 1  x 1  1 d  x   e − e− x   = ⋅  e − e − x  =  ex + e− x    2 dx   2  dx  2  Esta última expresión. entonces: ( 1 x e − e −x 2 ) . tenemos: d (sen h (u ) ) = cos h (u) ⋅ du dx dx Función cos h (x): la función coseno hiperbólico está definido como: y = cosh (x ) = 1  x  e + e −x . las cuales se conocen sus derivada. se puede expresar como cociente de dos funciones. entonces su derivada será: d ( tanh( x) ) = sec h 2 (x ) dx Demostración: Como tanh (x). entonces: d ( tanh (x ) ) = d dx dx  senh( x)  cosh(x )⋅ (cosh(x ) ) − senh(x ) ⋅ senh(x )   =  cosh (x )  cosh2 ( x) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. con u función de x. tenemos: d (cosh(u ) ) = sen h( x )⋅ du dx dx e x − e −x Función tanh(x): la tanh(x) se define como: y = tanh ( x) = e x + e −x senh (x ) es decir: tanh (x ) = .Siendo ésta última expresión senh (x).UNAD Luego : dy cosh2 (x ) − senh2 (x ) 1 = = = sec h 2 (x ). por consiguiente : 2 2 dx cosh ( x) cosh (x ) d = ( tanh ( x) ) = sec h 2 (x ) dx También podemos generalizar a tanh(x). luego: d (cosh(x ) ) = sen h(x ) dx Generalizando a cos h(x). Luego : cosh (x ) y = tanh (x). d du = ( tanh (u ) ) = sec h 2 (u) ⋅ dx dx 342 . con u función de x. tenemos: d ( csc h (u) ) = − csc h (u) ⋅ coth (u ) ⋅ du dx dx Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1 ( ) 2 Sea y = senh 3x − 5 x hallar su derivada : dy = cosh (u )⋅ (6x − 5) dx ( dy = (6x − 5) cosh 3x 2 − 5x dx Cálculo diferencial 2 Solución: definamos y = senh (u ) y u = 3 x − 5 x . entonces : d (coth (x ) ) = − csc h 2 (x ) dx Sea y = sec h (x ). csch(x): daremos la definición de la derivada de estas funciones y su generalización. entonces: d ( coth (u ) ) = − csc h 2 (u) ⋅ du dx dx sea y = sech(u). obtenemos: ) 343 . entonces: d (sech (x ) ) = sech (x ) ⋅ tanh (x ) dx Sea y = csc h (x ).Función: coth(x). para u función de x. Se deja como ejercicio la demostración de las mismas: Sea y = coth ( x). luego : reemplacemos u.sech(x). para u función de x. entonces: d ( sec h ( u) ) = sec h (u ) ⋅ tang (u) ⋅ du dx dx por último: sea y = csch (u). entonces : d (csc h (x ) ) = − csc h(x ) ⋅ coth (x ) dx Para estas funciones también podemos generalizar: y = coth (u) para u función de x. UNAD dy = senh 2x 2 − 5 ⋅ sech 2 e2 x ⋅ 2 e 2x + tanh e 2x ⋅ cosh 2x 2 − 5 ⋅ (4x ) dx reorganizando: ( ) ( ) ( ) ( dy = 2 e 2x ⋅ senh 2 x 2 − 5 sec h 2 e 2x + 4x tanh e 2x ⋅ cosh 2x 2 − 5 dx Ejemplo 4 Hallar la derivada de: y = 344 tanh (5x) sech (10x ) ) . derivemos con la regla para producto: ( ) ( ) ( ) ( ) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. = 2 luego : du dv du dy = sec h 2 (u) ⋅ (− sen ( v) ) ⋅ (2x ) reordenando y reemplazan do : dx dy = − 2 sec h 2 (cos (2x ) ) − sen ( 2x) dx Ejemplo 3 ( ) ( ) Determinar la derivada de y = senh 2 x 2 − 5 ⋅ tanh e 2x Solución: Vemos que se trata de un producto de dos funciones. dy du dy = sec h 2 (u ).Ejemplo 2 Hallar la derivada de: y = tanh (cos (2x)) Solución: Sea y = tanh(u ) y u = cos (v ) y v = 2x calculemos las derivadas de cada función. = − sen (v ). Solución: Se trata de la derivada de un cociente. sec h (10 x ) = dx sec h 2 (10 x ) dy 5 sec h (10 x )sec h 2 (5x ) 10 tanh (5x ) ⋅ tanh (10 x ) ⋅ sec h (10 x ) = − dx sec h 2 (10 x ) sec h 2 (10 x ) Cálculo diferencial dy 5 sec h 2 (5x ) 10 tanh (5x ) ⋅ tanh (10 x ) = − dx sec h (10 x ) sec h (10 x ) 345 . luego: dy sec h (10 x ) ⋅ sec h 2 (5 x )⋅ 5 − tanh (5x ) ⋅ sec h (10 x )⋅ tanh (10 x )⋅ 10 = dx sec h 2 (10 x ) dy 5 sec h (10 x ) ⋅ sec h 2 (5 x ) − 10 tanh (5x )⋅ tanh (10 x ). Hallar dy/dx para las funciones siguientes: y = sen (3 x ) cos ( 2x ) 2) y = sen 2 x − cos2 x 3) y = x 3 cos ( x 2 ) 4) y = sec( x ) tan (1 / x ) 5) y = sec 2 ( x ) + tan 3 ( x ) 6)  1 y = sen   x + tan ( x) 7) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.5 1) .UNAD 9) 346   y = senh  2 x 2 − 4    y= ( ) 8) cosh 10 x − x 2 − sen(2x ) ( coth x 2 − 2 ) 10)      cosh x 2 − 1    y= tanh (ln (3x − 2 ) ) y= sec h ( tanh (Ln (3x + 2 ) ) ) ( ( coth cos 5x 2 − 3x3 )) Ejercicio 3. ∞< y < ∞ y = cotx 0≤ x ≤π . La experiencia ha demostrado la conveniencia de restringir el dominio como lo mostramos en la tabla siguiente: FUNCION DOMINIO RESTRINGIDO RECORRIDO y = senx -π/2 ≤ x ≤ π/2 -1 ≤ y ≤ 1 y = cosx 0≤ x ≤π -1 ≤ y ≤ 1 y = tanx -π/2 < x < π/2 .∞ < y ≤ -1 ∪ 1 ≤ y < ∞ y = cscx -π/2 ≤ x < 0 ∪ 0 < x < π/2 . si restringimos el dominio de cada una de las funciones.1. las convertimos en funciones uno a uno y sus respectivas inversas son funciones.9 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas Las funciones trigonométricas son periódicas y por lo tanto no son funciones uno a uno.∞< y < ∞ y = secx 0 ≤ x < π/2 ∪ π/2 < x ≤ π .∞ < y ≤ -1 ∪ 1 ≤ y < ∞ Existen dos notaciones de uso común para las funciones trigonométricas inversas: ambas Arcsenx = Sen -1 (x) Arccosx = Cos-1 (x) Arctanx = Tan-1 (x) Arccotx = Cot-1 (x) Arcsecx = Sec -1 (x) Arccscx = Csc-1 (x) Cálculo diferencial se leen como arco de la función trigonométrica: 347 . sin embargo. razón por la cual sus inversas son relaciones. entre otras razones. luego: cos ( y ) = (1 − sen2 (y ))1 / 2 Por Por lo tanto: 348 dy dy =1 ⇒ = dx dx dy   sen −1 (x ) =  dx  1 1 − x2 1 1 − sen 2 ( y) = 1 − sen 2 ( y ) . Hacemos hincapié en que la función la escribimos con mayúscula y la relación con minúscula. Derivada de Sen -1 (x): Sea y = Sen -1 (x) . por ejemplo Sen -1 (senx) = sen (Sen -1 x) = x b) Cos-1 (x) + Sen -1 (x) = π/2 -x c) Cos-1 (senx) = Sen -1 (cosx) = π/2 - d) cos (Sen -1x) = sen (Cos-1 x) = √1 x2 e) Tan-1(x) = Cot-1 (1/x).Utilizaremos la segunda notación. hacemos su inversa y la derivamos como una función implícita. reemplazando : 1 1− x 2 . por ser la empleada en las calculadoras de bolsillo.entonces: dy = dx 1 1 − x2 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. recordemos la regla de la cadena. Sen -1(x) = Csc-1 (1/x). Cos-1(x) = Sec -1 (1/x) Para deducir las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. A continuación recordemos algunas identidades de las funciones trigonométricas inversas que nos pueden resultar muy útiles: a) La función de su inversa o la inversa de la función es igual al argumento. cos y dy =1 dx Expresemos cos (y) en función de sen (y) mediante la identidad cos2(y) + sen 2(y) = 1 y tengamos en cuenta la restrición de dominio.UNAD Demostración: sen y = x Derivemos la función con respecto a x. entonces : 1 − x2 π . d   cos −1 (x ) = − entonces: dx   1 1 − x2 dy 1 = dx 1 + x 2 Demostración: tenemos: y = Tan −1 (x ) ⇔ tan (y ) = x. entonces: d (tan (x )) = d y ⇒ sec 2 (y) ⋅ dy = 1 despejamos dy . luego dy 1 reemplazando: = dx 1 + x 2 Derivada de Sec-1 (x): La derivada para arcosecante la hallamos mediante la identidad: Tomemos la derivada: Sec −1x = Cos −1 (1 / x ) )  1  −     x2  d  1  1   Cos −1    = = x dx    2 2 x x −1 x x Cálculo diferencial ( d d  1 −1  1   Sec −1 x =  Cos    = − dx dx  x  1 − (1 / x )2 Efectuemos las operaciones: 1 x 2 −1 349 .despejamos cos −1 (x ) 2 −1 −1 Demostración: por la identidad cos (x ) + sen (x ) = cos −1 (x ) = 1 π − sen −1 (x ) 2 Aplicamos derivadas. ya que podemos resolver esta derivada. luego : dy = 12 dx dx dx dx dx sec (y ) pero sec 2 (y ) = 1 + tan 2 (y ) por identidades trigonométricas y además tan(x) = x. luego: d  d  π d π d  d    cos −1 (x ) =  − sen −1 (x )  =  −  sen −1 (x )  = 0 −  sen −1 (x )   dx  2   dx  dx   dx  2  dx  Por la definición de la derivada de sen −1 (x ) . derivamos respecto a x Derivada de Tan −1 (x ) : sea y = Tan −1 (x ) .Derivada de Cos-1 (x): sea dy =− dx y = cos −1 (x ). ( ) d Sec −1 x = dx Por tanto: 1 x2 −1 x Derivada de Csc-1 (x): La derivada para Arcocosecante la hallamos mediante la Csc−1( x) = π / 2 − Sec−1 (x ) identidad: Tomemos la derivada: Por lo tanto: ( ) ( ) d d Csc−1 ( x) = 0 − Sec −1 x = 0 − dx dx ( ) d Csc−1 ( x) = − dx 1 x x 2 −1 1 x2 −1 x Derivada de Cot −1 (x ) : dy 1 −1 Sea y = Cot (x ). Ejemplo 1 Hallar dy/dx para la función y = Sen -1 (3x) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. por eso el valor absoluto. por consiguiente el cociente x 2 /|x| es un positivo. entonces : dx = − 1 + x2 Demostración: se deja como ejercicio para hacerlo en pequeño grupo colaborativo.UNAD La derivada la hallamos de conformidad con la regla de la cadena: (u = 3x) y la derivada para Sen -1 (x): dy d  du =  Sen −1 (u )  ⋅   dx du dx Efectuemos las derivadas: d du (Sen −1 (u) )= 1 y 1−u2 du =3 dx Reemplacemos las derivadas y expresemos la derivada en función de x: ( ) dy d = Sen −1 (3x) = dx dx 350 3 1 − 9x 2 .Observemos que x2 es un positivo y la √x2 = |x|. Ejemplo 2 Hallar dy/dx para la función y = Sen -1 √x Apliquemos la regla de la cadena: u = √x ( ) dy d du = Sen −1 (u ) ⋅ dx du dx Hallemos las derivadas: ( ) d Sen −1 ( u ) = du 1 y 1−u2 du 1 = dx 2 x Reemplacemos las derivadas y expresemos la derivada en función de x: ( dy Sen −1 dx Ejemplo ( x )) = 1 1 1 x − x2 ⋅ = = 1− x 2 x 2 x 1 − x 2  x − x 2    3 Hallar dy/dx para la función y = Tan-1(x2) Apliquemos la regla de la cadena: u = x2 dy d  d  du −1  2   −1 =  Tan ( u )  ⋅  Tan  x   = dx dx     du   dx y du = 2x dx ( ) d  2x  Tan −1 x 2  =  1 + x4 dx  Cálculo diferencial Hallemos las derivadas: d  1 −1  Tan (u )  =   du 1 + u2 351 . Ejemplo 4 Hallar dy/dx para la función y = Sen -1 (cos(x)) La derivada la podemos hallar directamente o mediante la identidad Sen -1 (cos(x)) = π/2-x. entonces: dy d   d = =  Sen  cos − 1( x)   =    dx dx dx  dy = − dx Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD Ejemplo    x  1 − 2x −x 1 − x 2  = = 1 / 2 1/ 2  2  2 1 − x 2  1 − x      1 − x2 6 Hallar dy/dx para la función y = tan (Sen -1 (x)) Apliquemos la regla de la cadena: u = Sen -1(x) dy d   −1   d (tan (u ) ) ⋅ du =  tan  sen (x )   = dx dx     du dx Hallemos las derivadas: d (tan (u ) ) = sec2 u du 352 y du = dx 1 1− x2 . La derivada la podemos hallar directamente o mediante la identidad sen  Cos− 1(x ) =   1− x2 . entonces: ( ) dy d d = Sen −1 (cos (x ) ) = (π / 2 − x ) = − 1 dx dx dx Ejemplo 5 Hallar dy/dx para la función y = sen (cos-1(x)). Reemplacemos las derivadas: dy d   −1  2 −1  =  tan  Sen (x )   = sec  Sen (x )  ⋅     dx dx  1 1− x2 - Recordemos que cos (Sen -1(x) ) = √1 x2 por consiguiente: sec2  Sen − 1( x)  =   1 2  cos  Sen − 1( x)    = 1 1− x2 En consecuencia la derivada es: dy d = dx dx Ejemplo 1  − 1 (x )  =    tan  Sen 3/ 2     1− x 2      7 Hallar dy/dx para la función y = Cot-1 (cos(x)) dy d = dx du  Cot − 1 ( u)  ⋅ du     dx y u = cos(x ) Hallemos las derivadas: d  1 −1   Cot (u ) = −  du  1+ u 2 y du = − sen (x ) dx Reemplacemos las derivadas: Cálculo diferencial dy 1 (− sen(x ) ) = sen(x ) =− 2 dx 1+u 1+ u2 Reemplacemos u en función de x: dy d  sen x − 1 ( ( ) ) = cos x  =  Cot  1 + cos 2 x dx dx  353 . como Cosh (y ) = dx dx Cosh ( y) 1 + Senh 2 (y ) . (− α . luego : = . Trigonometría y Geometría Analítica. α ) Derivada de senh-1 (x): sea y = senh-1(x). Recordemos estas funciones:  Senh −1 (x ) = Ln  x +   x 2 +1   para x ∈ R  Cosh −1 (x ) = Ln  x +   x 2 +1   para x ≥ 1 Tanh −1 (x ) = 1  1+ x  Ln   2  1− x  para − 1 < x < 1 Coth −1 ( x) = 1  x +1  Ln   2  x −1  para  2  1+ 1 − x Sech −1 (x ) = Ln  x         2  1 1+ 1+ x Csch −1 (x ) = Ln  + x  x  Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. entonces: dy = dx 1 x2 +1 Demostración. 0) ∪ (0. Primer método Como y = Senh −1 (x ) ⇒ x = Senh (y ) . α ) para 0 < x ≤ 1      para (− α.Derivada de funciones hiperbólicas inversas Al igual que las funciones trigonométricas.UNAD x > 1. como lo analizamos en el curso de Algebra. las hiperbólicas tienen su inversa. 1 = Cosh ( y) ⋅ 354 dy dy 1 . derivamos respecto a x. 1 ) ∪ (1. reemplazamos: 1 x2 −1 Cálculo diferencial dy = dx Derivada de Tanh-1 (x): para la tangente hiperbólica inversa. Entonces: pero Senh (y) = Cos 2 (y) Además Cosh (y) = x.Luego. x = senh(x). entonces: 355 . por consiguiente: dy = dx 1 x2 +1 Segundo método  y = Senh −1 (x ) = Ln  x +  dy = dx 1 x 2 +1 x+ ⋅  x 2 + 1 . derivamos respecto a x. luego derivamos :  d  x + dx   dy 1  = ⋅ 1+ dx x + x 2 + 1  dy = dx  x 2 + 1  desarrollando esta derivada :     simplifica ndo : x 2 + 1  x 1 x2 +1 Derivada de Cosh-1 (x): Definimos y = Cosh-1(x). el procedimiento es similar: Sea y = Tanh-1 (x). entonces: dy = dx 1 x2 −1 para x > 1 Demostración: Como y = Cosh −1 (x ) ⇔ x = Cosh(y ) 1 = Senh (y) ⋅ dy dy 1 ⇒ = dx dx Senh (y) . Entonces : 1 = Sech 2 (y )⋅ dy . despejamos dy / dx . 1) ∪ (1.UNAD Sea y = Coth −1 (x ). dx Sech 2 (y ) Luego: dy 1 = por otro lado : Tanh 2 (y ) = x 2 . obtenemos : dx dy 1 = pero Sech 2 (y ) = 1 − Tanh 2 (y ) por identidade s. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. es decir (− α. entonces: dy 1 = para x > 1. entonces dy = dx x −1 ( ) Ejemplo 1 x 1− x2 1+ x2 Hallar la derivada de y = Sech −1 3 x 2 − 5 356 . derivamos respecto a x. por consiguiente : dx 1− Tanh 2 ( y) dy 1 = quedando demostrada esta derivada dx 1− x 2 Derivada de Coth 2 (x ) − Sech −1(x ) − Csch −1 (x ) : vamos a definir las derivadas de estas funciones. α ) dx 1 − x 2 −1 Sea y = Sech −1 (x ).dy 1 = dx 1 − x2 para x < 1 es decir − 1 < x < 1 Demostración: −1 Como y = Tanh (x ) ⇔ x = Tanh (y ). entonces dy = dx Sea y = Csch −1 (x ). las demostraciones quedan como ejercicio para que los estudiantes las desarrollen en pequeño grupo colaborativo y/o con el tutor. reemplacem os : dx dy = dx Ejemplo 1 2 ⋅ 6x =  3x 2 − 5  + 1   6x 9x 4 − 30 x + 26 2 Derivar: y = Tanh −1 (ln (2 x ) ) Solución: Sea u = ln (v) y v = 2x. = 2. Entonces : dx dy dy du dy = ⋅ derivamos : = dx du dx du 1 2 u +1 du = 6 x. luego : si y = Tanh −1(u ). = . Luego : y = Senh −1 (u ) ⇒ du = 6 x. simplifica ndo 2 dx du dv dx 1 − ln (2x ) 2x dy 1 = dx x 1− ln 2 (2x ) ( 3 ( −1 Hallar la derivada de: y = ln Cosh (x ) Cálculo diferencial Ejemplo ) ) 357 .Solución: Sea u = 3x 2 − 5 . entonces hallemos las derivadas dy 1 du 1 dv = . agrupando 2 du dv v dx 1− u dy dy du dv 1 1 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2. entonces : 1 x2 −1 = 1 x 2 − 1 Cosh−1 (x ) . luego : dy 1 = du u y du = dx Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD dy 1 = ⋅ dx Cosh −1 (x ) 358 1 x 2 −1 .Solución: Sea u = Cosh −1 (x ). Hallar dy/dx para las funciones siguientes: y = sen −1 1− x 2 3) y= Cos− 1 ( x) 2) y = Sen − 1 ( tan (x ) ) .6 1+ x2 Cálculo diferencial 1) 359 . Tan − 1 ( x ) ( ) 5) y = Tan −1 ( x ) + Cot −1 ( x ) 6) y = Sen − 1( 2 x ) Cos −1 (3 x ) 7) y = Sec − 1(cos ( x ) + 2) 8) y = Senh −1 ( 3 Cos (2 x ) ) 9)  4x − 5  y = Tanh −1    x+2  10) y = Cosh −1 (4x − 2) Senh −1 (ln (x ) ) Ejercicio 3. − π / 4 ≤ x ≤ π / 4 4) y = Cot ( x ) . que representa la derivada primera. si repetimos el proceso de diferenciación vamos obteniendo las derivadas de orden superior. y (n ) ( x ) Teóricamente el proceso lo podemos repetir indefinidamente. sin importar que la derivada sea nula o no. Aceptamos que f(0) (x) = f (x).10 Derivadas de orden superior Hemos visto que la derivada de una función es una nueva función notada por f ´(x) o por cualquiera otra forma de las que hemos mencionado anteriormente.UNAD Utilizamos el número natural entre paréntesis para simbolizar el orden de la derivada y distinguirlo de la función al exponente «n». esto es. Por ejemplo. la derivada cuarta de f(x) = x2 es cero para todo x y por consiguiente la derivada de orden superior a la cuarta también será cero. la podemos derivar de nuevo para obtener una función que designamos por f ´´(x) y que denominaremos la derivada segunda. 360 . es decir: d (f ( x) ) = f ´´( x) dx Otras formas de notar la derivada segunda son: d 2y dx2 . la derivada de orden «n» es sencillamente la función que resulta de haber aplicado el proceso de diferenciación n veces. A esta función. Otras maneras de notar la derivada de orden «n» son: D nx f . esto es: f ( n) ( x ) = d dx (f (n −1) (x) ) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. d ny dxn . o sea.1. dn dx n f ( x ). En general. la primitiva. D2x y y´´. Ejemplo 1 Hallar la derivada cuarta para y = x4 Derivemos la función para obtener la derivada primera: dy = 4x3 dx Obtengamos la derivada para la función 4x3 y así hallamos la derivada segunda para la función y = x4 d 2y = dx2 ( ) d 4x 3 = 12x 2 dx Derivemos de nuevo la función 12x2 d3 y dx3 = ( ) d 12 x 2 = 24 x dx Derivemos la función 24x d 4y dx4 = 1 dx (24 x ) = 24 4 Luego la cuarta derivada de y = x es 24 Ejemplo 2 Hallar la derivada quinta para y = cos(x) Diferenciemos sucesivamente las funciones: d 2y dx2 d3 y dx3 = = Cálculo diferencial dy d = (cos x ) = − sen(x ) dx dx d  dy  d (− sen(x ) ) = − cos(x )  = dx  dx  dx d  d 2 y  d = (− cos( x) ) = sen(x ) dx  dx2  dx   361 . d 4y dx4 = d5 y dx4 2 Ejemplo d  d3 y dx  dx 3  =  = d  dx  d  d 4 y dx  dx4  (sen(x ) ) = cos( x)   = (cos (x ) ) = − sen(x )   3 Hallar d3y / dx3 para y = x2sen(x) Debemos derivar.UNAD d3 y dx3 d3 y dx3 d3 y dx3 362 = ( d  dy  d x 2 cos( x) + 2x sen (x )  = dx  dx  dx ) = − x 2 sen( x) + 2x cos(x ) + 2x cos(x ) + 2 sen( x) = − x 2 sen( x) + 4x cos(x ) + 2 sen(x ) = d  d 2 y dx  dx2  (  d = − x 2 sen(x ) + 4x cos( x) + 2 sen(x )  dx  ) = − x 2 cos( x) − 2x sen (x ) − 4x sen (x ) + 4 cos(x ) + 2 cos(x ) = − x 2 cos( x) − 6 x sen( x) + 6 cos(x ) .para luego derivar las funciones que vayamos obteniendo: ( ) dy d = x 2 sen( x) = x 2 cos( x) + 2x sen (x ) dx dx d 2y dx2 d 2y dx2 d 2y dx2 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. en primera instancia. el producto de x2 por sen(x). Ejemplo 4 Hallar la derivada tercera para y = e α x sen β x . Derivemos el producto para obtener la derivada primera: ( ) dy d α x = e sen(βx ) = e α x α sen (β x) + eα x β cos(β x) dx dx dy = eα x [ α sen(βx ) + β cos(β x ) ] dx Obtengamos la derivada segunda: d 2y dx 2 d 2y dx 2 = d dx  dy  d   =  dx  dx (e αx [ α sen(βx) + βcos (βx ) ]) ( = eα x α 2 sen (β x) + αβ cos(β x) + αβ cos(β x ) − β 2 sen(βx ) ) Obtengamos la derivada tercera: d3 y dx3 d3 y dx3 = d  d 2 y dx  dx2  ( [  d = eα x α 2 sen(β x ) + 2αβ cos(β x) − β 2 sen(β x )  dx  ( ]) = e αx α 3 sen(β x) + 2α 2 β cos β − αβ 2 sen(β x ) + α 2β cos(βx ) − 2αβ 2 sen (β x) − β 3 cos(βx ) d3 y dx3 ( = e αx α 3 sen(βx ) + 3α 2β cos β − 3αβ 2 sen (β x ) − β 3 cos(βx ) ) ) En los últimos ejemplos podemos observar que la derivada tercera tiene unos coeficientes como los de la expansión del binomio (a + b)3. esta relación la hallamos en la regla de Leibnitz para derivada de orden «n» para una función dada como un producto. digamos y = uv. ciertamente existe una relación en los Cálculo diferencial coeficientes. α y β son constantes. donde u = u (x) y v = v (x). la cual establece: d ny dxn = dn dxn n (uv ) = ∑ k =0 (nk )u (n −k) v(k ) 363 . dx d 3y =0 dx = 2. dx d 2u dx 2 dv = β cos(β x ). dx2 dv = cos( x) . Para el ejemplo 3: y = x2sen(x) Tomemos u = x2 y v = sen(x). v = sen x.Recordemos que (nk ) () n! es el coeficiente binomial: n = k (n − k ) ! k! Esta regla la podemos fácilmente verificarla en los ejemplos 3 y 4 que acabamos de revolver.UNAD α x sen(β x ) Para el ejemplo 4: y = e Tomemos como u = e α x y v = sen (β x ) Hallemos las derivadas correspondientes: u = e αx . d 2y dy = 2x. y hallemos las correspondientes derivadas para u y v. d3 v dv3 = − β 3 cos(β x) . dx u = x 2. d 3v dx3 = − cos( x) Apliquemos la regla de Leibnitz: d3 y = dx3 d3 dx 3 (uv) = d3− k (x 2 ) d k (sen x ) ( x 2 sen(x ) ) = ∑ (3 ) k dx3 dx3− k dxk 3 d3 k =0 Reemplacemos las derivadas: d3 dx3 (x 2 sen x) = 0. dx = α 2e α x . d 2v dx2 = − sen(x ) . d 2v dx2 d3u dx3 = α 3e αx = − β 2 sen (β x). 364 du = α e αx . sen(x )+ 3(2) cos(x) + 3(2x) (− sen(x ) )+ x 2 (− cos(x ) ) Simplifiquemos la expresión: d3 dx3 (x 2 sen x )= 6 cos(x )− 6x sen(x )− x 2 cos(x ) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. v = sen(βx ). dv 1 = . =6 d 3v dx3 = 2 x3 Reemplacemos: dx d3 dx 3 (uv) = 3 d 3− k dk ( x 3Ln (x )) = ∑ (3 ) ( x 3) ⋅ (Ln (x )) k dx3 dx3− k dxk d3 3 Cálculo diferencial d3 0 (x 3Ln (x ) ) = 6 Ln (x ) + 3 ⋅ 6x ⋅ 1x + 3(3x 2 )  − x12  + x 3  x23      365 . d 2v dx 2 =− dx3 1 x2 . du = 3x 2 . dx v = Ln (x ) .Apliquemos la regla de Leibnitz: d3 y d3 d3 dx dx3 = dx3 (uv) = 3 (e αx sen(βx) )= ∑ (3k ) dxd33−−kk (e αx ) dxdkk (sen(βx) ) 3 0 Reemplacemos las derivadas: d3 dx3 (e αx sen(βx ) ) = e α x sen (βx) + 3α2 eαx βcos (βx )+ 3αe αx (− β2 sen (β)x )− eαx β3 cos(βx ) 3 Simplifiquemos la expresión: ( ) ( d3 αx e sen (β x ) = eα x α 3 sen (β x) + 3α 2β cos (β x) − 3αβ 2 sen β − β 3 cos (β)x dx Ejemplo ) 5 Hallar la derivada tercera para y = x3 Lnx Apliquemos la regla de Leibnitz con u = x3 y v = log(x) Hallemos las derivadas correspondientes: u = x3 . dx x d 2u dx 2 d3 u = 6x . La derivada primera la obtenemos mediante la aplicación de las ecuaciones. dx g´( t ) x = g( t ) Por consiguiente:  dy  d  dt  d =  = θ´( t) = (θ´( t) ) 2 dx dx dx dt La derivada es la de un cociente. dy dy / dt h´( t ) = = dx dx / dt g´( t ) Observemos que la derivada es de nuevo una función del parámetro y por lo tanto la derivada segunda la hallamos mediante la aplicación de las ecuaciones. dy h´( t ) = = θ( t). y = h (t) y x = g (t). por lo tanto: d 2y θ´( t) = g´( t) h´´(t ) − h´( t) g´´( t) [ g´(t ) ] 2 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 366 .Simplifiquemos la expresión: d3 dx3 (x3 Ln (x)) = 6 Ln ( x) +18 − 9 + 2 = 6Ln (x ) +11 = 6Ln (x )+ 11 Derivada de ecuaciones paramétricas Veamos ahora como hallar las derivadas de orden superior cuando la función está representada por medio de ecuaciones paramétricas.UNAD Reemplacemos esta derivada en la derivada segunda: g´(t ) h´´( t) − h´( t) g´´( t) 2 d y dx2 [ g´( t ) ] 2 = g´( t) Simplifiquemos la expresión: d 2y dx2 = g´(t ) h´´( t) − h´( t) g´´( t) [ g´(t ) ] 3 Mediante este procedimiento podemos hallar las demás derivadas de orden superior. dt dx = −b sen ( t ) dt  dy / dt  Hagamos el cociente:    dx / dt  dy / dt dy a cos t a = = = − cot( t ) dx / dt dx − b sen t b Entonces la derivada primera es − ( a / b) cot ( t ) = θ ( t) Hallemos la derivada segunda: d (θ (t)) d  dy  dt =  = 2 dx  dx  dx / dt dx d 2y Efectuemos las derivadas indicadas: θ´( t) = ( a / b ) csc 2 ( t ) . dx / dt = − b sen t Reemplacemos: d 2y dx2 ( a / b) csc2 ( t) a csc2 ( t) a =− =− csc3 ( t) 2 2 − b sen ( t ) sen ( t ) b b 7 Cálculo diferencial Ejemplo = Hallar la derivada tercera para la función expresada por las ecuaciones paramétricas: x = t 2 / 2.Ejemplo 6 Hallar la derivada segunda (d2y/dx2) para la función expresada mediante las ecuaciones paramétricas: y = asen(t). x = bcos(t) ´ dx/dt: Hallemos las derivadas dy/dx y dy = a cos ( t ). y =1− 7 367 . por ejemplo dos casos: Lím x→0 368 Sen( x) x y Lím x→a f (x ) − f (a ) x−a .Hallemos las derivadas dy/dt y dx/dt: dy dx = −1. =t dt dt Hagamos el cociente: (dy/dt) / (dx/dt): dy / dt dy − 1 = = dx / dt dx t Entonces la derivada primera es − 1 / t = θ( t) Hallemos la derivada segunda: d (θ (t) ) d  dy  dt =  = 2 dx  dx  dx / dt dx d 2y Efectuemos las derivadas indicadas y reemplacémoslas: d 2y dx2 = 1/ t 2 1 = = ψ( t) t t3 Hallemos la derivada tercera: d3 y d = 3 dx dx  dy2   dx2   =   d (ψ ( t) ) dt dx dt Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD Efectuemos las derivadas indicadas y reemplacémosla: d3 y dx3 = −3/ t4 3 =− t t5 Formas indeterminadas Hay situaciones en Matemáticas en donde el resultado obtenido no hace dudar sobre la toma de una decisión. No hay coincidencia hacia donde tiende el resultado. L´Hopital demostró Cálculo diferencial Si lím x→a que lím x→a f (x ) = lím g (x ) x → a f ´ (x ) g´(x ) 369 . veamos las indeterminaciones más conocidas en cálculo. 00 . La solución al problema va más allá de lo analizado hasta el momento. Regla De L´Hopital: f (x ) = 0 f ´(x ) Además: lím x → a g´( x) y lím g(x ) = 0 x→a existe para cualquier sentido finito o infinito. 0 para el caso α α − α . Las herramientas Algebraicas y Geométricas no son suficientes para resolver el problema que permita eliminar dichas indeterminaciones. como resultado: denominador manda la operación hacia el infinito. hay otras. requiere más vagage matemático. α 0 . 0⋅α α α → manda la operación al infinito α → manda la operación a cero Las demás se pueden explicar de la misma manera. En honor a su nombre se le conoce como la regla de L´Hopital. donde presenta una técnica que resolvía el problema sobre indeterminaciones. En 1696 el matemático francés Guillaume Fracois Antoine de L´Hopital.son situaciones comunes en el cálculo. α . publicó su primer libro de Cálculo Diferencial. α 0 . al resolver los límites obtenemos. ya que el numerador manda la operación a cero y el En los casos propuestos. solo 1α no es fácil demostrar que es una indeterminación. 0 → operación hacia cero 0 → operación hacia infinito Aunque esta es la indeterminación más común. 1α . 0 0 conocida como Indeterminación. sen(x ) = Lím x x→0 Luego: Lím x→0 cos(x ) = Lím x→0 1 cos(x ) = cos(0) = 1 Entonces: Lím x→0 sen( x) =1 x Este límite ya lo habíamos demostrado geométricamente.La demostración. Luego como la Solución: 0 0 indeterminación es de la forma . por el teorema del emparedado. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Lo importante para nosotros es aplicar dicha regla adecuadamente en las situaciones que se requieran. α 1 Hallar Lím x→0 sen(x ) x Solución: valorando el límite tenemos Lím x→0 sen(x ) 0 = x 0 . que es la indetermi- nación que permite utilizar la regla de L´Hopital. 2x 2 Lím x→2 x + 5 −3 2 x −4 = Lím x→2 2 x2 +5 2x = Lím x→2 1 2 2 x +5 = 1 6 Recordemos como la derivada en L´Hopital OJO No es derivada de un cociente. la podemos consultar en un libro de cálculo. podemos aplicar L´Hopital. 370 .UNAD Ejemplo 2 Calcular: Lím x→2 x2 +5 −3 x2 − 4 vemos que la función NO está definida para x = 2. «Es importante aclarar que dicha regla solo se puede utilizar en los casos 0 0 ó Ejemplo α ». si evaluamos : = =0 + 2 2 x → 0 Tan ( x) x → 0 Sec (x ) Sec (0) 1 Entonces: Cálculo diferencial si evaluamos. Evaluando : 1 eα =0 4 Desarrollar el siguiente límite: Lím x → 0+ [ Sen (x ) ]x Solución: evaluando directamente obtenemos la forma nación: primero hacemos una transformación. Luego α aplicamos L´Hopital. entonces: Ln [sen ( x)] Cot (x ) −x2 = Lím + = Lím + 1/ x x→0 x → 0 Tan (x ) −1 / x 2 0 .Ejemplo 3 x Hallar Lím x → α ex Solución: Si evaluamos el límite directamente obtenemos la forma α . Luego volvemos a a plicar 0 2 −x − 2x − 2 (0) 0 L´Hopital: Lím = Lím + . Lím x→α Ejemplo x ex = Lím x→α 1 ex . ( 0+ )0 + que es indetermi- y = [ Sen (x ) ]x entonces: x y = e Ln [ Sen (x ) ] = e xLn [Sen (x ) ] si aplicamos límite a x Ln [ Sen (x ) ] no podemos aplicar L´Hopital ¿por qué? Luego hacemos una nueva transformación: x y = e xLn [ Sen (x ) ]  Ln [sen (x )]     = e  1/ x la expresión del exponente. si puede tomar la forma Lím + x→0 α α . volvemos a tener una indeterminación  Ln [Sen (x ) ]  Lím +  x → 0 1/ x = e 0 = 1 y=e  371 . sea. la función toma la forma ∞/∞. se puede volver a aplicar L´Hopital hasta cuando se elimine dicha indeterminación. Entonces: Lím x→0 4 x − 2x = Lím x x→0 4x Ln 4 − 2x Ln 2 = Lím 1 x→0 [4 x Ln (4) − 2 x Ln (2) ] Luego: Lím 4 x Ln ( 4) − Lím 2x Ln (2) = Ln (4) Lím 4 x x→0 x→0 x→0 − Ln (2) Lím 2x . Apliquemos la regla de L´Hopital para evaluar el límite del logaritmo de la función: lím Ln ( y) = lím x→∞ x→∞ 372 Ln (x ) x = lím x→∞ 1/ x =0 1 . Luego podemos aplicar 0 L´Hopital. evaluando: x→0 4  Ln (4) − Ln (2) = Ln   = Ln (2). Ejemplo Hallar: 5 Lím x→0 4x − 2x x Solución: al evaluarlos directamente obtenemos la forma 0 . hagamos y = x1/x y tomemos los logaritmos: Ln ( y) = Ln ( x) x Ahora.Nota: si al aplicar L´Hopital a una indeterminación y ésta persiste. por consiguiente : 2  Lím x→0 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD Ejemplo 4 x − 2x = Ln (2) x 6 x1 / x Evaluar: lím x→∞ La función presenta la forma ∞0. es necesario discernir cuál es el caso.Por consiguiente: lím Ln (y ) = lím x1 / x = e 0 = 1 x→∞ x→∞ De los ejemplos nos queda ahora que no siempre es cuestión de aplicar la regla de L´Hopital para salvar la indeterminación. En consecuencia. 373 . Cálculo diferencial para poder realizar una operación exitosa. Evaluar los límites siguientes: 5x 2 + 32 x − 21 lím 2 x → 3 / 5 20x − 17 x + 3 3) lím 5) π  lím  − x  tan ( x ) x → π/2 2  (ex − e− x ) − 2 sen(x ) 2x3 x→0 lím x→y 4) cos( x ) − sen ( x ) lím cos ( 2x ) x → π/4 6)  π   2xtan (x ) −  lím cos(x )  x → π/2  8)  x 2 +1    lím x → ∞  x 2 −1    10) lím x→0 2 x −1 lím x→∞ 9)  1 lím 1 +  x→∞  x 11)   lím tan 2 (x )  2 sen2 (x ) + 3sen(x ) + 4 − sen2 (x ) + 6 sen( x) + 2  x → π/2   14) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.7 1) .UNAD x2 7) 12) 374  x +1    x −2 sen (x ) − sen (y) x−y 2) lím x→0 x2 (cos(x ) + sen(x ))1 / x ( lím 1 − 2x x → 0− )sen (x ) 13) (1 + sen( x) )csc x ( lím − 1 − 2 x x→0 )sen (x ) Ejercicio 3. y0 = subs (x = x0. Lo trabajaremos a través de ejemplos. fprime).1.4x2 + 2x + 5. y m = f ´(x0) es la pendiente en el punto. Ejemplo 1 Sea f(x) = 3x3 . calculamos estas cantidades para la función dada: > x0: = 1. f := 3x 3 − 4x 2 + 2x + 5 ( ) La ecuación de la recta tangente en el punto x0 es y − y 0 = m x − x 0 donde y = f (x 0 ) es el valor de la función f en x0.1 Derivadas y rectas tangente con Maple El objetivo es utilizar Maple para resolver algunos problemas típicos que involucran la diferenciación y la construcción de la recta tangente. fprime: = 9 x 2 − 8 x + 2 > m:= subs (x = x0.11 Cálculo de la derivada mediante la computadora 1. (x0 es cualquier valor en el dominio de la función). 375 . Lo primero que debemos hacer es entrar la fórmula para f: > f : = 3* x ∧ 3 − 4 * x ∧ 2 + 2 * x + 5. x0: = 1 Cálculo diferencial y0:= 6 Para hallar la pendiente debemos hacer la derivada para f: >f prime: = diff(f.11. En Maple x0 se escribre x0 Ahora. f). Hallar la ecuación de la recta tangente en x = 1. x). 10 6.88 5.96 0.00 FIGURA 3. la ecuación de la recta tangente es y = g(x). m:= 3 Así.86 0.02 1.04 6. Esta propiedad de y = f(x).94 5. Sobre cualquier intervalo más corto las dos gráficas podrían ser indistinguibles dentro de la resolución de la pantalla.99 1.05.12 6.. x = 0.6 Gráfica para la función 3 2 y = 3x − 4x + 2 x + 5 y la recta tangente en Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Un hecho matemático importante es el de que toda función diferenciable es localmente lineal en la vecindad de cualquier punto donde la derivada existe.95 0. y = 3x + 3 5.x0): >g:= y0 ´+ m* (x . como en el siguiente comando: > plot ({f .02 6.06 6. title A function and its tangent line).97 0.UNAD en x = 1. donde g(x) = y0 + m (x .. g } . 376 .01 1. 1.98 5. la resumimos diciendo que f es lineal localmente.14 6.95. hacemos las gráficas de ambas funciones y = f(x) y´ y = g(x) sobre un intervalo alrededor de x0 = 1.05 La recta tangente es una aproximación buena para y = f(x) sobre este intervalo.04 1.16 6.> m:= subs (x = x0. en la vecindad con centro en x = 1 y radio δ pequeño.18 6.08 6.03 1. fprime). (Ver figura 1.6) 6.90 5.92 5.96 5.98 0.00 1.x0): g:= 3 + 3x Ahora. Para dibujar las dos gráficas simultáneamente debemos cerrar las dos expresiones entre corchetes. >deriv: = diff (f/g. x). h : = sqrt( 7 − 3 * x ∧ 2) f := 3x 2 − 5x + 4 g := tan(3x ) ( h : = 7 − 3x 2 a) )1 / 2 Nos resulta muy fácil calcular la derivada utilizando el comando diff : >diff (f*g. (6x − 5) tan (3x) + 3 (3x 2 − 5x + 4 )sec2 (3x ) Es claro que Maple conoce la regla para la derivada del producto.Ejemplo 2 Sea f (x ) = 3x 2 − 5 x + 4 . pero podemos hallar Cálculo diferencial b) simplemente por entrar el comando. y h (x ) = 7 − 3 x 2 . 377 . g(x) y´ h(x) > f := 3 * x ∧ 2 − 5 * x + 4. Desde este punto no incluimos la respuesta de Maple.Utilizando Maple hallar cada una de las siguientes derivadas: d  f ( x)    dx  g( x )  a) d (f ( x) g(x )) dx b) c) d 2  f (x )    dx2  g( x)  d) d  g( x )    dx  f ( x ) h( x )  f) d f ( g( h( x ))) dx e) d f ( g( x )) dx Lo primero que debemos hacer es entrar las expresiones para f(x). g := tan( 3* x). x). g ( x ) = tan (3 x ). suprimiremos la respuesta por terminar el comando con dos puntos. > diff (g/f*h). De manera similar $n. La instrucción $2 ordena a Maple para que repita la operación (esto es. Para que Maple tome la derivada segunda directamente incluimos x$2 en el comando «diff». x): Es pertinente explorar otras aplicaciones de este programa que son muchas. Por comparación de los términos vemos que las dos expresiones para la derivada segunda son las mismas. x$2). ordena que lo haga n veces. Primero. Es útil redefinir f.Aparece que Maple también ha diferenciado este cociente utilizando la regla del producto. c) Podemos hallar la derivada segunda. los paréntesis son necesarios alrededor de f*h en el denominador. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Mostraremos aquí los dos métodos: >deriv 2:= diff(deriv. x). Si deseamos ver el resultado. o por ordenarle a Maple que halle la derivada segunda directamente. d) En el comando que sigue notamos dos cosas. hacerla dos veces). reemplazamos los dos puntos por punto y coma. bien por diferenciar la derivada primera. g := x → tan(3 * x). 378 . x). g y h como funciones. h := x → sqrt( 7 − 3 * x ∧ 2) : > ≠ Entonces : > diff ( f ( g( x))). esta vez se aplica dos veces: >diff (f(g(h(x))). Segundo.UNAD e) Esto es un ailustración de la regla de la cadena. x) : f) Otra aplicación de la regla de la cadena. > diff (f/g. más que como expresiones: > f := x → 3* x ∧ 2 − 5 * x + 4. Podemos volver a escribir el resultado como sigue: > normal (deriv). Derivar con el programa Derive Para hallar la derivada de una función cuando utilizamos Derive es cuestión simple y directa. más bien es una herramienta para comprobar el desrrollo de derivadas hechas manualmente. Reflexión: los software permite simplificar el procedimiento de derivación. que en la mayoría de las veces. Entonces seleccionar el menú Calculus. La primera manera es Autor la función en el área de trabajo. Calculus Differentiate y respondemos con la variable de diferenciación x y el orden 1. El estudio de la teoría es fundamental para comprender los alcances del cálculo diferencial. excepto en la derivada de un polinomio. Por las mismas razones que hemos expuesto en las unidades anteriores. Hay dos métodos para obtener la derivada de una función. La digitada para hallar es como sigue: dx AUTHOR 3x ∧ 3 − 4x ∧ 2 + 2 x + 5 Ejecutamos. 379 . pero por ningún motivo sustituye el estudio de los contenidos del curso. Por esto la diferenciación se lleva muy bién mediante la computadora cuando los cálculos se lleguen a complicar. las cuales utilizamos en forma repetitiva. no formulamos una autoevaluación para hacer mediante un programa Cálculo diferencial de computadora. involucra solamente unas pocas reglas. Sale el resultado como sigue: 1 : 3x 3 − 4x 2 + 2x + 5 2: [ ] d 3x 3 − 4x 2 + 2x + 5 dx 3 : 9x 2 − 8x + 2 En el segundo método: Author (enter) Dif (f. aún para funciones relativamente simples. el resultado rápidamente se va complicando y ampliándose. Seleccionar el differentiate y entrar los parámetros para el orden y la variable de df diferenciación. En adición. n) (enter) (n= orden de la derivada) Simplify (enter) (enter) La diferenciación es un proceso. Entonces ejecutamos Simplifly. tales como aquellas que utilizamos en los ejemplos. Autoevaluación 1) Dadas las funciones: a) f (x ) = x −2 x +1 b) Hallar f (0). donde ∆t es: a) 2.1. 5) . Ψ( 2) Ψ( x ) + F (1) . b) 1.UNAD y = sen x . f (1 / 2). Ψ ( 4) ¿ Existe f (− 1). Ψ (0) . 4) Si f ( x ) = ( x3 − x). f ψ( x ) = ( 2 ). F ( −1. Ψ ( −2). Ψ (0). F( −1) .03 7) La masa (en gramos) de una varilla delgada no homogénea AB que tiene una longitud de 30 cm.5) . Ψ (1). f (1). d) 0. Ψ (2). exp resar u como función x . Ψ( −1) F(1) 3) Dadas las funciones: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. F( 3) . u = 1 + v 2 . y Ψ ( −1) 2) Dadas las funciones: F ( z) = 2 z− 2 y Ψ ( z) = 2 z −2 Hallar F (0) . c) 0. en centímetros 380 m = 3l2 + 5l . F( 2. c. f (− 2) . f (2) .hallar : a)   π  f  Ψ     12   5) Expresar explícitamente a «y» a partir de las funciones dadas: a) Ln (x ) + Ln (y ) (y + 1) = 4 6) La ecuación que gobierna cierto movimiento rectilíneo es: b) f [Ψ( x ) ] c) Ψ(Ψ( x )) b) 2x + y  x 2 − x  = x 3 + 7   s = t3 +3/ t Hallar la velocidad promedio durante el intervlao que va de t = 4 á t + ∆t. Ψ ( x) = sen(2 x). está distribuida de acuerdo con la ley. v = log y . x−2 x +1 f (1/ 2) . F ( 2) . n.1 x  x3 − x + 1   b) 2 x − e) ( 1 + x ) 4 3  1  x + 1  − 1  x  c) f) mz 2 + nz + 4p p+q Cálculo diferencial a) v3 − 2v v 2 + v +1 381 .0000003t3 (cal/gr) Hallar el calor específico del agua en t = 30°C y en t= 100°C. q son constantes). 3x + 0.7 x 5 d) P/x 12) ¿En qué punto. m. b) 1.1 10) Hallar el cociente ∆y/∆x bajo las condiciones dadas. Hallar: a) La densidad promedio de la varilla b) La densidad lineal 1) en el punto que dista 5 cm. para las funciones siguientes: a) y = 2x 3 − x 2 +1 b) y = x parax = 1. requerida para elevar la temperatura de una unidad de masa de agua. t. b. z. p. con las variables.4 11) Hallar las derivadas para las funciones siguientes: a) 5 1/ x3 b) x 4 x c) 0. la pendiente de la tangente a la parábola cúbica y = x3 es igual a 3? 13) Diferenciar las funciones siguientes (x. a. ∆x = 0. v. c) 0. 9) Hallar el incremento de la función y = x3 en el punto x1 = 2 cuando el incremento ∆x es: a) 2. desde 0° a t°C está dada por: Q = t + 0.00002t2 + 0. u. 5x 2 − 0. 2) en el extremo de la varilla 8) La cantidad de calor.5 d) 0.Donde l es la longitud de la varilla medida desde A. ∆ x = 0. Q.1 para x = 4. c. de A. d) x 4 − (1 / 3)x 3 + 2. y. 14) Hallar la derivada para la función en el punto indicado: a) ( x ) = ( x 2 + x + 1) ( x 2 − x + 1); evaluar f ´(0) y f ´ ( 2) b) s ( t) = c) Ψ ( z) = 3 t2 + ; evaluar s ´(0) y s ´(2) 5− t 5 a−z ; evaluar Ψ ´(1) 1+ z 15) Diferenciar las funciones siguientes: 3 2 a) (5 x + x − 4 ) c) y= 5 1+x 1− x b)  1+ x2 y=  1+ x  5     c) y= 2  x 2 − x − 1     2 2 3 / 2 y evaluar u´(1) d) u ( v) = ( v + v + 2) 16) Diferenciar las funciones siguientes: tan(x ) x b) s = a) y= d) y = cot 1 + x 2 sen( t) 1 + cos( t) c) y = tan ( x / 2) 3 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD 17) Diferenciar las funciones siguientes: a) y = xSen − 1x + 1 − x 2 d) y = Sen −1 b) y = x sen x ⋅ Tan −1x c)  2 x −1   y = Cos − 1    3  c) y= sen α sen( x) 1 − cosα cos(x ) 18) Diferenciar las funciones siguientes: a) d) 382 y = x10 x −1 y = e Sen ( 2x ) b) y = x3 + 2x ex 1 − 10 x 1+ 10 x 19) Diferenciar las funciones siguientes: 2 a) y = xx d)  x  y=   1+ x  cos x b) y = (sen x ) x e) y = 5  1 + xe  x  3   c) y= f) y= ( x + 1) 3 5 4 x−2 ( x − 3) 2 3x 2 − 1 3x3 + log 1 + x 2 + Tan −1 ( x) 20) Hallar la derivada dy/dx para las funciones siguientes: a) x1 / 2 + y1 / 2 = a 1/ 2 b) x 3 + ax 2 y + bxy 2 + y 3 = 0 21) El lado de un cuadrado es de 80mm. c) 2 x + 2 y = 2 x + y ¿Cuál es el incremento en su área si el lado es incrementado en: a) 10mm? b) 5mm? c) 1mm? Hallar la parte principal del incremento en el área del cuadrado y estimar el error relativo (en porcentaje) que se presenta al reemplazar la parte principal por el incremento. 22) Hallar el valor aproximado en el incremento de y= varía de π / 3 a π / 3 + 1 /100 1 + cos ( x ) 1 − cos ( x ) cuando x 23) Demostrar que la función «y» dada por: Tan −1 y = log x 2 + y2 x satisface la relación x(dy-dx) = (dy + dx) 24) Hallar los límites siguientes: d) e x −1 lím x → 0 sen ( x) lím (tanx)2 x −π x → π/2 b) lím x→a e) lím x→0 xm −a m xn −a n   1    log (e x −1)   x c) f) cos x log ( x − a ) lím + x→a log e x − ea ( lím x→0 )  log (1+ x)1+ x 1  −  x  x2  Cálculo diferencial a) 383 2 Aplicación de las derivadas CAPITULO Capítulo Contenido APLICACIONES INMEDIATAS DE LAS DERIVADAS Dirección de una curva Extremos de una función Monotonía de una función Análisis general de funciones TASAS DE CAMBIO RELACIONADAS OPTIMIZACIÓN DERIVADAS DE LA FÍSICA OPTIMIZACIÓN EN FÍSICA DERIVADAS DE LA ECONOMÍA Función elasticidad Función ingreso diferencial Ingresos por impuestos Optimización en economía Ingreso total Cálculo Modelo de inventarios OTRAS APLICACIONES 385 386 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD . Reconocer la dirección de la curva de una función y . Hallar los puntos extremos de una función. . Hallar los intervalos en los cuales es creciente y en los cuales una función es decreciente, es decir, el sentido de variación de la función. . Resolver problemas de tasas relacionadas. . Hallar la velocidad y la aceleración de una función posición. . Analizar funciones económicas, por medio de elasticidad, ingreso, impuestos, otros. . Describir matemáticamente situaciones de tipo físico, geométrico, químico, económico, otros. Resolver problemas de optimización. diferencial . Cálculo OBJETIVOS expresar la ecuación de su recta tangente y normal. 387 388 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD n el capítulo anterior, analizamos los métodos analíticos del cálculo diferencial, el siguiente paso es utilizar dichos métodos para la solución de problemas en los diferentes campos del saber como la ingeniería, la administración, las ciencias humanas, las ciencias agrarias y demás. El cálculo diferencial es un área de las matemáticas que tiene gran utilidad y por ende en este capítulo analizaremos el sentido de variación de una función, problemas de optimización, determinación de máximos y mínimos, fenómenos físicos, económicos, ingenieriles y donde se presetan cambios a través del tiempo. En muchos fenómenos de la naturaleza, la función que lo describe está determinada, en otros se debe construir dicha función a través de la descripción del mismo. Es un punto que aquí abordaremos y será la demostración de la transferencia que el estudiante haya desarrollado, por lo cual es pertinente un buen trabajo de reconocimiento y profundización en este curso académico. Los problemas analizados son tomados de la realidad y para su comprensión y entendimiento es pertinente leerlos las veces que sea necesario, no debemos preocuparnos si a primera vista los vemos complicados, ya que con un trabajo organizado y una buena cantidad de ejercicios resueltos, podemos acercarnos a la adquisición de habilidades y competencias cognitivas, para diferencial resolver problemas de diferentes campos del saber. Es importante ser persistente en la resolución de problemas donde se requiere el cálculo diferencial, esto nos llevará a Cálculo INTRODUCCION E excelentes resultados. 389 390 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD 2.1 Aplicaciones inmediatas de la derivada Comezamos nuestras aplicaciones de la derivada con la parte geométrica que esperamos resulte lo suficientemente sencilla para nuestros estudiantes. temas como la dirección de una curva, la recta tangente y normal a una curva; el sentido de variación de una función; la convexidad de una función, son los conceptos que expondremos a continuación. 2.1.1 Dirección de una curva Ya hemos establecido que para una función y = f ( x ), es posible determinar, mediante la derivada, la pendiente de dicha curva:  dy    = pendiente de la curva en el punto Po.  dx  Po ( 4.1 ) La dirección de una curva, en cualquier punto, la definimos como la dirección de la recta tangente a la curva en ese punto. Si θ es el ángulo de inclinación de la recta tangente, entonces la pendiente es igual a la tangente trigonométrica de θ y por ende: dy = tan θ = pendiente de la curva en cualquier punto dx En la figura 3.7 presentamos las gráficas de unas funciones; puntos como A, D y F donde la dirección de la curva es paralela al eje X, la recta tangente es horizontal. θ = 0; y por tanto dy =0 dx θ = 90º y por esto dy dx diferencial En puntos tales como B, C y E donde la dirección de la curva es perpendicular al eje X, la recta tangente es vertical. llega a ser infinita Cálculo Con el siguiente ejemplo daremos mayor claridad a lo expuesto. 391 y D A x F Figura 3.7 a y C A B E FIGURA 3.7 Gráfica de funciones Básicas e Ingeniería- UNAD Ejemplo Figura 3.7 b 1 Para la curva y = x 3 − 2 x 2 − 11x + 12 a. Hallar la inclinación θ cuando x = 1 de Ciencias b. Hallar la inclinación θ cuando x = 0 Facultad c. Hallar donde la dirección de la curva es paralela al eje OX. 392 x Hallar los puntos donde la dirección de la curva es paralela a la recta x + 3y . nos daría un ángulo de − 85° 14´ 10. para llevarlo al intervalo deseado simplemente le sumamos 180°. esta es la razón por la cual hemos asignado a arco tangente de el ángulo de 94° 45´ 49. Solución a. por consiguiente: dy  dy  = 3x 2 − 4x − 11.Si hallamos la derivada y calculamos su valor en x = 1.11´´ .7 = 0. a saber: 2 + 37 3 y x2 = 2 − 37 Cálculo x1 = 3 393 . si x = 1 ⇒   = 3 ( 1) 2 − 4 (1 ) −11 = − 12 dx dx   x =1 tan θ = −12 y por consiguien te tan −1 ( −12 ) = θ = 94° 45´ 49. En la calculadora.11´´ Recordemos que para la inclinación de la recta. entonces: dx dy = 3x 2 − 4x −11 ⇒ 3x2 − 4x −11 = 0 dx Aplicamos la fórmula cuadrática: 4 ± 16 − 4 ( 3 ) ( − 11) 6 = 2± 4 + 33 3 diferencial x= Entonces la curva presenta dos puntos donde su dirección es paralela al eje 0X.89´´ . c. Hallar donde la inclinación es de 45° ( θ = 45 ° ) e.d. el ángulo va de cero a ciento ochenta grados: − 12 0 ≤ θ < 180o . tendremos la tangente trigonométrica de θ . La dirección de la curva es paralela al eje 0X cuando dy = 0.  3 27  394 37  y    2 − 37 110 + 74  .UNAD Efectuemos las sumas y= 230 − ( 82 ) ( 3 ) − 22 ( 9 ) + ( 12 ) ( 27 ) 49 − 8 ( 3) − 11( 9 ) + 27 27 y= 110 74 − 27 27 Para x = y= 37 = 2 − 37 3 110 − 74 37 37 27 su valor será 110 + 74 37 27 Los puntos donde la dirección de la curva es paralela al eje 0X son: Facultad de Ciencias  2 + 37 110 − 74  . si x = 2+ 37 3 3  2 + 37     − 2  2 + 37  ⇒ y=      3 3     2  2 + 37   + 12 − 11    3   Efectuemos las operaciones: y= 8+(3) (4) 37 + ( 3 ) ( 2 ) ( 37 ) + 37 37 27 −2 4 + 4 37 + 37 9 − 11 2 + 37 Simplificando: y= 12 8 + 222 8 + 74 22 − − + 12 + 27 9 3 37 + 37 27 37 − 8 37 9 − 11 37 3 Básicas e Ingeniería.  3 27  37    3 + 12 .Nos falta calcular el valor de la ordenada: y = x 3 − 2 x 2 − 11x + 12 . dy = 3x 2 − 4x − 11 entonces para dy = 1 ⇒ 3x 2 − 4x −11 =1 dx Aplicamos la fórmula cuadrática a 3x2 .12 = 0: x= 4± 16 − 4 ( 3 ) ( − 12 ) 6 2± = 4 + 36 3 .   3 27   10    Cálculo  2 + 2 10 110 − 142  . Para x = 2 − 2 10 3 y= 10 = 110 − 142 10 27 el valor de y es: 110 + 142 10 27 (Comprobarlo) diferencial y= Los puntos donde la inclinación es de 45° son:  2 − 2 10 110 + 142 10  y  . por lo tanto debemos igualar la derivada a 1 y despejar el valor de x.  3 27  395 . Ahora hallamos el valor para y si x =  2 + 2 10   y=    3   3  2 + 2 10   −2    3   2 = 2 ± 2 1+ 9 3 = 2 ± 2 10 3 2 + 2 10 3  2 + 2 10   + 12 −11    3   Efectuamos los productos: y= 8 +3 (4 ) (2 10 ) + 3 ( 2 ) ( 4 ) ( 10 ) + 8 ( 10 ) 10 27 −2 4 + 8 10 + 40 2 + 2 10 − 11 + 12 9 3 Agrupamos: y= 24 8 + 240 8 + 80 22 − − + 12 + 27 9 3 10 + 80 10 27 − 16 10 22 10 − 9 3 Efectuamos las operaciones y simplificamos: 248 − 264 − 198 + 324 104 − 48 − 198 + 27 27 .d. La tangente trigonométrica de 45° es igual a 1.4x . es decir.e Recordemos que la recta y la curva son paralelas si tienen la misma inclinación. la misma pendiente. o sea. Para x = − 3 el valor de y es: y = (− 4 / 3 )3 − 2 (− 4 / 3 ) 2 − 11(− 4 / 3 ) + 12 = − ⇒ y= 64 32 44 − 64 − 96 + 396 + 324 560 − + + 12 = = 27 9 3 27 27 560 27 Los puntos donde la curva es paralela a la recta x + 3y − 7 = 0 Facultad de Ciencias ( 8 / 3. 396  − 340 / 27 ) y  − 4 / 3. Para x = 8/3 el valor de y es: y = ( 8 / 3 )3 − 2 ( 8 / 3 )2 −11 ( 8 / 3 ) + 12 = y = 512 128 88 − − +12 27 9 3 512 − 384 − 792 + 324 − 340 340 = ⇒ y =− 27 27 27 Básicas e Ingeniería.UNAD 4 . =− dx dx 3 Ahora igualamos la derivada de la curva a − 1 para hallar los puntos donde la curva es 3 paralela a la recta: dy 32 = 3x 2 − 4x − 11 ⇒ 3x 2 − 4x − 11 = − 1/ 3 ⇒ 3x 2 − 4x − =0 dx 3 Aplicamos la fórmula cuadrática: x= 4± 16 − 4 ( 3 )( − 32 / 3 ) 6 = 2± 4 + 32 3 = 2± 6 3 .  560   27  son: . la pendiente para la recta es: 1+ 3 dy dy 1 = 0. por este último procedimiento: que los valores de x son menos cuatro y tres.3 ) = 0 esto indica entonces diferencial los valores de x. por consiguiente. el ángulo entre dos curvas en un punto común será el ángulo que hacen sus rectas tangente en el punto. no tiene significado Cálculo menos cuatro.Puesto que una curva en cualquier punto tiene la misma dirección como su recta tangente en el punto. Ahora debemos hallar el punto de corte de las dos curvas: y2 = x + 1 e y 2 =13 − x 2 como y 2 = y 2. ⇒ x +1 =13− x 2 ⇒ x 2 + x −12 = 0 Despejamos a x mediante la fórmula cuadrática. Ejemplo 2 Hallar el ángulo que hacen el siguiente par de curvas en su intersección: y2 = x +1. porque y2 es positivo. pero para y2 = x + 1. entonces solo tiene sentido x = 3. 397 . nos limitaremos a un solo punto.8 Gráfica para la circunferencia x2 + y 2 = 13 y la parábola y2 = x + 1 Lo primero que debemos ver es la simetría respecto al eje 0X de las dos curvas. x2 + y2 = 13 y x FIGURA 3. O mediante la factorización hallamos ( x + 4 ) ( x . UNAD Ahora el ángulo − 3 / 2 −1 / 4 −7/ 4 −7 / 4 14 = = =− 1+ ( − 3 / 2 ) ( 1 / 4) 1 − 3 / 8 5/ 8 5 α lo hallamos por la inversa: α = tan − 1 ( − 14 / 5 ) = − 70 ° 20' 46 .23" + 180° = 109° 39' 13. Debemos calcular los valores de las derivadas en el punto (3.7" Facultad de Ciencias Estos valores los hemos obtenido mediante una calculadora de bolsillo. 398 .2) Reemplazamos los valores obtenidos tan α = Básicas e Ingeniería. 2): 2 Para y = x + 1 ⇒ dy 1 1  dy  = ⇒  =  dx 2y dx   (3.23" Como el ángulo debe ser positivo entonces: α = − 70° 20' 46. Solo consideramos el punto en el primer cuadrante. debido a la simetría.Hallemos ahora las derivadas: dy dy 1 2 Para y = x + 1 ⇒ 2y dx = 1 ⇒ dx = 2y dy dy x 2 2 Para y + x =13 ⇒ 2y dx + 2x = 0 ⇒ dx = − y El punto de corte es: y 2 = x + 1 ⇒ y 2 = 3 + 1 ⇒ y = ± 2 .2) Recordemos que el ángulo entre las rectas es: tan α = tan σ 2 − tan σ 1 + tan σ2 tan σ1 (4.2) 4 2 2 Para y + x = 13 ⇒ dy x 3  dy  = − ⇒   =− dx y dx 2   (3. La longitud de la subtangente y la subnormal y B A P1 (x1 . y el punto de contacto por P1 ( x1. y1). lo denominaremos la longitud de la tangente (TP1).Ecuaciones de la recta tangente y normal. es: Recta tangente y − y1 = m 1 ( x − x1 ) La normal siendo perpendicular a la tangente. y1) y tiene la pendiente m es: y − y1 = m ( x − x1 ) Si la recta es tangente a la curva AB en el punto P1 ( x1. y − y1 = − 1 ( x − x1 ) m1 diferencial Ecuación de la recta normal Cálculo El segmento de la recta tangente el cual está comprendido entre la intersección con el eje X y el punto de contacto. y1 ) la ecuación de la recta tangente TP.9 Gráfica para la recta tangente y normal para la curva y = f ( x ) La ecuación de la recta que pasa a través del punto ( x1. su pendiente es el recíproco negativo de m 1. y puesto que también pasa a través del punto de contacto P1 ( x1. y su 399 . y1 ). y1 ). tendremos para la ecuación de la normal P1 N. entonces m es igual a la pendiente de la curva en (x1. Si notamos este valor de m por m1. y1 ) y = f(x) q q T M N x FIGURA 3. UNAD punto dado. la consideran negativa. En el triángulo TP1 M. Ejemplo 3 Hallar las ecuaciones de la tangente y normal. tan θ = m 1 = MN = m1MP 1 = m1y1 longitud de la subtangente = y1 m1 MN . algunos autores la consideran positiva. tan θ = m1 = TM = MP1 y = 1 m1 m1 MP1 por esto TM Entonces: En el triángulo MP 1N. tenemos la longitud de la normal ( P1 N ) y la longitud de la subnormal (MN). Si la subnormal se extiende a la derecha de M. Lo primero que tenemos que hacer es obtener la derivada y luego calcular su valor en el Básicas e Ingeniería.2). Entonces: 2x − 8y dy dy − 2x x  dy  =0 ⇒ = = ⇒   dx dx − 8y 4y  dx  = 5 8 Mediante la aplicación de la ecuación de la recta tangente es: de Ciencias 5 y−2 = ⇒ 8 x −5 5x − 25 = 8y − 16 ⇒ 5x − 8y = 9 Facultad La ecuación de la normal la obtenemos mediante la aplicación de la ecuación de la recta normal. si lo hace a la izquierda negativa. tenemos: 400 . por esto: MP1 Entonces: longitud de la subnormal = m1y1 Debemos hacer una aclaración: si la subtangente se extiende a la derecha de T. (5. si lo hace a la izquierda. negativa. y las longitudes de la subtangente y subnormal a la curva x2 − 4y2 = 9 en el punto (5.proyección sobre el eje 0X la llamamos la longitud de la subtangente (TM).2). esto es. De una manera análoga. de los cuales se tienen varios tipos. Teorema: sea la función y = f ( x ). la hallamos mediante dicha ecuación. Un valor f (c ) es un máximo absoluto de f ( x ) si: f ( x ) < f ( c ) para todo x en el dominio de f ( x ).2 401 .− 8 y −2 = ⇒ − 8x + 40 = 5y − 10 ⇒ 5y + 8x = 50 5 x −5 La longitud de la subtangente la obtenemos mediante la ecuación para dicha recta. Un valor f ( k ) es un mínimo absoluto de f ( x ) si f ( x ) > f ( k ) para todo x en el dominio de f ( x ). con I ∈ R . b ] . 2. entonces f (x) diferencial siempre tendrá un máximo y un mínimo absoluto en I. el cual se considera un intervalo cerrado finito. Los valores máximos y mínimos de f (x ) en I. 5  5 MN = longitud subnormal = m1 y1 =   ( 2 ) = 4  8  Extremos de una función Los valores extremos de una función. TM = lóngitud subtan gente = y1 2 16 = = m1 5 / 8 5 La longitud de la subnormal. Es pertinente inicialmente hacer referencia a lo que es un intervalo compacto. sea I = [ a. b ] un intervalo compacto. luego: 1. continua en el intervalo I = [ a. Extremos absolutos: sea la función y = f (x) definida en el intervalo I. El teorema anterior nos garantiza la existencia de extremos absolutos en un intervalo compacto. Cálculo 2.1. se le conocen como los valores extremos de la función. son comunmente conocidos como máximos y mínimos. UNAD 2π ] x . 402 en y un mínimo absoluto en f  3π  = − 1 . en el intervalo 1 [ 0.Máxima Mínima a b a b A a b B Ejemplo C 1 Determinar los extremos absolutos para la función: f ( x ) = sen ( x ) Solución: y Para la función f (x) = sen ( x ). π π 2 1π 2 2π x tiene f  π  = 1  2 un máximo absoluto Ejemplo 2 Identificar los extremos de la función: f ( x ) = x2Solución y La función f ( x ) = x 2 tiene un de Ciencias mínimo absoluto en f (0) = 0 pero no tiene máximo absoluto en el Facultad intermedio de los reales. 2  -1 Básicas e Ingeniería. De acuerdo con lo anterior. Extremos relativos: los extremos relativos o locales. para todo x en I. donde el valor mayor nos indica un máximo Cálculo y el valor menor un mínimo. son los llamados valores críticos y los valores extremos frontera. son también extremos relativos o locales. para todo x en I. Como es obvio. todo extremo absoluto. f ' (c ) = 0 b. Se iguala f ' ( x ) a cero. presentadas en el teorema de extremos absolutos son ejemplos de extremos de frontera. excepto extremos de frontera. 2. se procede de la siguiente manera: diferencial 1. surge la pregunta ¿cómo se obtienen los valores extremos? Los únicos valores del dominio de una función. El valor f (k) en un mínimo relativo de la función si: f (x) > f (k ).b) entonces: 1. Sea f ( x ) una función definida en el intervalo I= (a. A partir de f ( x ). Las gráficas a y b de la página anterior. Para encontrar los valores extremos. f ' ( x ) = 0 3. 403 . El valor f (c) es un maximo relativo de la función si: f ( x ) < f ( c ). b ] . Valor crítico: los valores críticos de una función y = f ( x ) son aquellos para los cuales se cumple una de las siguientes situaciones: a. Se evalua f ( x ) en los valores obtenidos. se dice que f ( x ) tiene extremos frontera. f ' ( c ) = No existe. que contenga a c. se dan sobre intervalos abiertos. se obtiene f ' ( x ) 2. que contenga a k.Extremos frontera: cuando uno de los extremos de la función f ( x ) está en las fronteras del intervalo I = [ a. donde pueden tomar valores extremos. 2 ] Básicas e Ingeniería.6x2 + 6x Ahora: f ' ( x ) = − 6 x 2 + 6 x = 0 ⇒ − 6 x ( x + 1 ) = 0 ⇒ x = 0 y x = − 1 1 . 2.1/2 ) = 1 f(0)=0 f ( 1 ) = 1 máximo absoluto f ( 2 ) = .UNAD Solución Hallemos f’ ( x ) = . será el único valor crítico.2 ) = 4 máximo absoluto f(1)=1 Mínimo absoluto x -2 Ejemplo -1 1 2 [ Sea la función f ( x ) = − 2 x 3 + 3 x 2 . 1 ] Solución Hallemos f ' ( x ) ⇒ f ( x ) = x 2 . f ' ( x ) = 2 x . 1. Ahora: f ' ( x) = 2x = 0 ⇒ x = 0 .Ejemplo 1 Hallar los valores extremos de la función: f ( x ) = x2 en el intervalo I = [ − 2. 2 Para la función dada: f ( . Luego: f ( 0 ) = 0 mímino absoluto y Máximo absoluto f ( . 0. hallar los valores extremos en − 1 2 .4 mínimo absoluto de Ciencias Valores críticos: − y 2 x -2 2 -2 Facultad -4 404 . Para reforzar el teorema anterior. Teorema: sea f ( x ) una función definida en el intervalo I. 405 .Ejemplo 3 Dada la función: f ( x ) f ( x ) = 3 x hallar los valores extremos. entonces c es un valor crítico. Demostración: la demostración se deja como ejercicio para que consulten en libros de cálculo. el cual contiene c. Pero no siempre cualquier valor crítico o punto frontera nos indica la presencia de un valor extremo. Luego la función NO tiene valores extremos en x = 0. veamos el siguiente teorema: Teorema de format: sea y = f ( x ) una función definida en el intervalo I. Teorema de Rolle: Michel Rolle. un matemático francés (1652-1719) propuso en Cálculo 1691 un teorema que lleva su nombre. El recíproco del teorema anterior no necesariamente se cumple. A continuación analizamos dos teoremas sobre funciones derivables. (Analice con su tutor esta situación) Los valores extremos de las funciones se dan sólo en los puntos críticos o puntos frontera. Demostración: investigarlo en libros de cálculo. Solución Primero hallemos f ' ( x ) f' (x) = 1 − x 3 1 3 Esta función f ' ( x ) no esta definida en x = 0. ya que garantizan la existencia de valores extremos. es decir. luego si f ( x ) tiene un extremo relativo en un valor c ∈ I . entonces f ' ( c ) = 0. Si f ( x ) tiene un extremo local en c y si f ' ( c ) existe. funciones diferencial continuas en intervalos compactos. conocidos como teoremas de existencia. entonces: Facultad f(0) = 0-4(0)+2 =2 f ( 4 ) = ( 4 )2 . Solución: la función y ( x ) es continua en el intervalo propuesto. de tal manera que si: f ( a ) = f ( b ) = 0.Sea f ( x ) una función continua en el intervalo compacto [ a. Verificar que la función satisface el teorema de Rolle. lo que escapa a los alcances de este curso.4 ( 4 ) + 2 = 2 406 . entonces existe un número c en ( a. b ) tal que f’ ( c ) = 0. 4 ] .UNAD hacerse horizontal. b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a. Geométricamente el punto es aquel donde su recta tangente es paralela al eje x. y0 x a C b Demostración: la demostración matemática para este teorema se basa en algunos resultados técnicos sobre conservación del signo en un límite. es diferenciable en dicho intervalo.4x + 2. Como la función es continua en el intervalo compacto y diferenciable en el intervalo abierto. Sin embargo. luego la recta de la tangente para la función en algún momento debe Básicas e Ingeniería. de Ciencias Ahora hallamos f ( a ) y f ( b ). y El teorema de Rolle garantiza la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado. definida en el intervalo [ 0. Ejemplo 1 Sea la función y ( x ) = x2 . además. El contenido geométrico del teorema establece que existe un valor c en el que la derivada de la función se anula. utilizaremos la geometría como camino para una demostración del teorema en mención. b ). Luego f ( 0 ) = f ( 4 ) Como la anterior cumple la primera parte del teorema, entonces, debe existir un valor c en (0,4) tal que f’ ( c ) = 0. f’ ( x ) = 2x - 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x=2 Vemos que c = 2, está en el intervalo ( 0, 4 ). Por consiguiente el teorema se cumple. Ejemplo 2 [ − 1, 1 ] . Dada la función: f ( x ) = x - x3; definida en Aplicar el teorema de Rolle para hallar el valor c, tal que f’ ( c ) = 0. Solución: la función f ( x ) es continua y diferenciable en el intervalo definido. Ahora hallemos f ( - 1 ) y f ( 1 ), entonces: f ( - 1 ) = ( - 1 ) - ( - 1 )3 = 0 f ( 1 ) = 1 - ( 1 )3 = 0 > f(a)=f(b) Cumpliéndose la primera parte del teorema, seguimos el proceso para hallar c. f ' ( x ) = 1 - 3x2. Como f ' ( c ) = 0, entonces: 1 − 3x 2 = 0 ⇒ 3x 2 = 1 ⇒ x 2 = 1 / 3 ⇒ x = 1 3 =± 3 3 Existen dos valores para c. y La función tiene dos valores y − 3 3 x -1 1 diferencial 3 3 3 Cálculo críticos: 3 407 Ejemplo 3 Para la función f ( x ) = x 3 + 2x2 - 8x + 1, definida en el intervalo [ 0, 2 ] , aplicar el teorema de Rolle para hallar el valor o valores críticos. Solución: la primera parte del teorema se cumple, es decir, continuidad, diferenciabilidad y f ( a ) = f ( b ). Entonces procedemos a hallar c. f ' ( x ) = 3x2 + 4x - 8 Resolviendo la ecuación por la cuadrática: x1 = x2 = − 4 + 112 6 − 4− 6 112 ≅ 1,097 ≅ − 2, 43 El teorema de Rolle solo aplica para x 1 = 1,097 ya que este valor está dentro del intervalo definido. x2 no cumple el teorema debido a que está fuera del intervalo definido. Teorema del valor medio: llamado también el teorema de Lagrange, es una generalización del teorema de Rolle. Para este teorema se elimina la condición de que f ( a ) = f ( b ); es decir que los valores de la función en los extremos del intervalo sean Básicas e Ingeniería- UNAD iguales. Sea f ( x ) una función continua en el intervalo compacto [ a, b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a, b ) luego debe existir un valor c en el intervalo ( a, b ) tal que: f '(c ) = f ( b ) −f (a ) b −a El teorema nos indica que la gráfica de una función f ( x ), continua y diferenciable en el de Ciencias intervalo [ a , b ] , tiene una recta tangente no vertical T en el punto c ∈ ( a, b ) , la cual es Facultad paralela a la recta secante S, que une los puntos a y b. 408 y T S x a b C Demostración: En la gráfica vemos que f ( x ) y es la curva, g ( x ) es la recta secante, luego: y = f(x) D(x) y = g(x) D(x)=f(x) − g(x) Ahora: f ( b ) − f ( a) g ( x) = ( x− b) + f ( b) b−a x a C b Luego:  f ( b ) −f (a ) D ( x ) = f ( x ) −  ( x −1 ) + f ( b ) b−a     Como D ( a ) = D ( b ) = 0 ⇒ D' ( c ) = 0 , por el teorema de Rolle: D' ( x ) = f ' ( x ) − f ( b ) −f ( a ) . Así queda demostrado el teorema. b −a diferencial f '( x ) = f (b ) − f (a ) Pero D' ( c ) = 0 , luego b−a Cálculo NOTA: la pendiente de la recta tangente en ( c, f ( c ) ) es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por ( a, f ( a ) ). 409 Ejemplo 1 Dada la función f ( x ) = x 3 − 12 x , en el intervalo [ − 1, 3 ] . Hallar un valor de C, que satisfaga el teorema del valor medio. Solución: Vemos que la función es continua y diferenciable en el intervalo propuesto. Ahora: f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 12 ( − 1 ) = 11 f ( 3 ) = ( 3 ) 3 − 12 ( 3 ) = − 19 Hallemos f’ ( x ): tenemos: c2 = f ' ( x ) = 3 x 2 − 12 . Luego : f ' ( c ) = 3 ( c ) 2 − 12 , siguiendo el proceso f ( 3 ) − f ( −1 ) − 9 − 11 = 3 ( c ) 2 − 12 ⇒ = 3c 2 − 12 , depejando c y obtenemos: 3 − ( −1 ) 4 12 − 5 7 = ⇒ c= ± 3 3 7 = 1,53 13 La solución será: c = 1,53 . El valor − 1,53 no se toma ya que no pertenece al intervalo considerado. Básicas e Ingeniería- UNAD Ejemplo 2 Establecer si la función f ( x ) = 3 x2 en el intervalo [ − 8 , 27 ] cumple el teorema del valor medio. Solución: la función es continua en el intervalo propuesto, ahora: f (−8 ) =4 f ( 27 ) = 9 de Ciencias Ahora: 2 f '( x ) = 3 3 x Aplicando el teorema: Facultad f ( b )− f ( a ) 9 − (+ 4 ) 2 5 2 = f' ( c ) ⇒ = ⇒ = 3 3 b−a 27 − ( − 8 ) 35 3 c 3 c 410 Despejando c tenemos: c = 102 Vemos que 102, no pertenece al intervalo definido; además, f’ ( 0 ) no existe. El teorema del valor medio no se cumple para este caso, debido a que f ( x ) no es diferenciable en todo el intervalo propuesto. Podemos graficar el ejemplo anterior: y 3 y = x2 x -8 Ejemplo 3 Demostrar que la función f ( x ) = x 27 en el intervalo [ − 2, 2 ] no cumple el teorema del valor medio. Solución: la función es continua en el intervalo propuesto, pero no tiene derivada para x = 0, ya que: f ' ( x ) = − x para ( − 2 ,0 ) f ' ( x ) = x para ( 0, 2 ) y Luego la función no es diferenciable en el intervalo ( - 2, 2 ). Esto hace que el diferencial teorema de valor medio no se cumpla. x 2 Cálculo -2 411 Ejemplo 4 Dada la función: p ( x ) = x Ln(x). Para el intervalo [ 1 , e ] , verificar el teorema de Lagrange. Solución: la función es continua y diferenciable en el intervalo dado. Luego: f ( 1 ) = 1Ln ( 1 ) = 0 f ( e ) = e Ln ( e ) = e Ahora: f ( b )− f ( a ) = f ' ( c) ⇒ b−a e−0 = 1 + Ln ( x ) ⇒ e −1 e = 1 + Ln ( c ). Despejamos C : Ln ( c) = e − 1 = 1 e −1 e −1 e −1  1   Luego :    e−1  c=e ≅ 1,7895 .... Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería- UNAD El valor de c está en el intervalo ( 1 , e ), luego el teorema de valor medio se cumple en este caso. 412 Responder falso o verdadero en las siguientes expresiones: 1. Si una función f ( x ) tiene un punto crítico en C, entonces f ( x ) tiene un extremo local en dicho punto. 2. Si la función g ( x ) tiene un extermo local en Xo, entonces g ( x ) tiene un punto crítico en dicho punto. 3. Si una función f ( x ) está definida de R → R , continua en el intervalo I, su 4. Si f ( x ) es una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ] , entonces f ( x ) siempre alcanza un máximo y un mímino en dicho intervalo. Para las funciones dadas, determinar los valores críticos y los puntos críticos, en el intervalo dado. [ − 3 ,1 ] 6. y ( x ) = x [ −2 ,2 ] 1 7. f ( t ) = t − 1 [ 0, 2 ] 8. G ( x ) = ( x − 1 ) 3 [ − 3, 3 ] 9. h ( x ) = 3 x 4 − 24 x 3 + 66 x 2 − 72 x 11. I ( x ) = x + 12. J ( x ) = 2e 3x 1 x [ 5, 12 ] [ 1, 2 ] diferencial 10. H ( x ) = Ln ( x 2 − 4 x ) [ 0, 15 ] [ 0, 5 ] Cálculo 5. f ( x ) = x 2 + 3x − 1 Ejercicios 3.8 derivada nunca se vuelve cero, entonces no tiene extremos locales. 413 2.1.3 Sentido de variación de una función: monotonía Lo que deseamos es determinar los intervalos en los cuales la función va creciendo y en los que va disminuyendo. Para ello tracemos la recta que une los puntos ( x1, f ( x1 )) y ( x2, f ( x2 ), por conveniencia hagamos x2 > x1, calculamos la pendiente de esta recta: m= f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1 Por nuestra hipótesis el denominador es positivo, por lo cual el signo de la pendiente de recta lo define el numerador, si f ( x2 ) > f ( x1 ) entonces el cociente es positivo, de lo contrario es negativo; pero además, podemos analizar que nos sucede si x2 tiende a x1 ; en otras palabras que sucederá con la derivada de la función, entonces si la derivada es positiva la función será creciente, de lo contrario decreciente. Definición: sea la función f ( x ), definida en el intervalo I, donde I ⊆ R ; además, f ( x) es derivable en I. Entonces: f ( x ) es creciente en I, si f ' ( x ) > 0, para todo x ∈ I. f ( x ) es decreciente en I, si f ' ( x ) < 0, para todo x ∈ I. Por ejemplo la función f ( x ) = x2, es creciente en el intervalo x > 0, ya que: f’ ( x ) = 2x es mayor que cero. f ( x ) es decreciente en x < 0, ya que f’ ( x ) = 2x es negativa Básicas e Ingeniería- UNAD en este intervalo. Ejemplo 1 Para la función f ( x ) = 2x3 + 3x2 - 36x + 12, hallar los intervalos en donde es creciente y donde es decreciente. de Ciencias Para esto debemos hallar la derivada: Facultad f ‘ ( x ) = 6x2 + 6x - 36 414 Deseamos el conjunto de puntos que hace que la derivada sea positiva, entonces factorizamos la derivada y vemos en qué intervalos el producto es positivo y en cuáles es negativo. 6x2 + 6x - 36 = 6 ( x2 + x - 6 ) = 6 ( x + 3 ) ( x - 2 ) Entonces 6 es positivo; x + 3 es positivo si x > - 3 y x - 2 es positivo. Si x > 2; de los cuales podemos afirmar que la derivada es positiva si x > 2 o si x < - 3. Para el intervalo − 3 < x < 2 la derivada es negativa. Así pues, la función en creciente para ( −∞ < x < −3 ) U ( 2 < x < ∞ ); y es decreciente para (− 3 < x < 2) . Observación Debemos llamar la atención, aunque nos parezca un tanto repetitivo, al hecho de que si f ( x2) > f (x1) con x2 > x1 no necesariamente en el intervalo ( x1, x2 ) la función es creciente, puesto que en este intervalo no podemos garantizar que la derivada sea positiva, 1 así por ejemplo, la función f ( x ) = cos  x  para el intervalo ( 0.1 < x < 0.2), presenta    1   1  cos   = − 0.83907153; cos   = 0.40808202; la 0 . 1    0.2  1 1  diferencia entre f (x2) - f ( x1) es positiva, pero la derivada f ' ( x ) = 2 sen  x  se comporta así:   las condiciones enmarcadas: f ' ( 0 .1 ) = 1 0.54402112  1  sen   =− y 0.01 0 . 1 0.01   f ' ( 0 .2 ) = 1  1  − 0.95892427 sen  = , así en 0.04 0.04  0 .2  los dos puntos extremos la derivada es negativa, pero por ejemplo para x = 0.15 el valor de la derivada es: f ' ( 0 .15 ) = 1 ( 0.15 ) 2 0.37415123  1  sen  =  0.15  ( 0.15 ) 2 Vemos que la derivada cambia de signo por lo tanto no podemos afirmar que la función 1  f ( x ) = cos   es creciente en el intervalo x  0.1, 0. 2 ) . 2 Hallar los intervalos donde la curva y = e − x 2 es creciente y donde es decreciente. diferencial Ejemplo ( Lo que tenemos que observar es el signo de la función, el cual es positivo en todo su dominio. f ( x ) = e −x 2 ⇒ f ' ( x ) = − 2 xe − x 2 ⇒ f '' ( x ) = e − x 2 ( 4x 2 − 2 ) Cálculo (−3<x<2) 415 Puesto que e − x 2 es positiva, el signo de la derivada primera lo da el factor - 2x, así si x < 0 entonces f’ ( x ) > 0 y si x > 0 entonces f ' ( x ) < 0, por lo cual la función es creciente para el intervalo Ejemplo ( −∞ , 0 ) y es decreciente para ( ∞,0 ). 3 Sea la función: f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 7 . Determinar la monotonía de al función. Solución: primero determinanos: dy = 6x 2 − 6x − 12 = 6 ( x 2 − x − 2 ) dx Factorizamos: 6 ( x − 2 ) ( x + 4 ) Luego los valores críticos son: x = 2 y x = - 1. Ahora: Como 6 es positivo, el valor de la función lo dan los factores ( x - 2 ) y ( x + 1 ). para los valores críticos, identifiquemos los intervalos, a saber: Primero: ( − α, − 1 ), segundo ( − 1. 2 ), tercero ( 2, α ) Hallemos f ' ( x ) para el valor en cada intervalo y este nos dirá cómo se comporta la función en dicho intervalo. Para el primero: f ' ( − 2 ) = 6 ( − 2 ) 2 − 6 ( − 2 ) − 12 = 24 , luego f ' ( x ) > 0 en el int ervalo ( − α , − ) , Básicas e Ingeniería- UNAD Para el segundo: de Ciencias luego f ( x ) es creciente. − 2 está en el int ervalo ( − α , − 1 ) . Veamos gráficamente el comportamiento de esta función: f ' ( 0 ) = 6 ( 0 )2 − 6 ( 6 ) − 12 = − 12, luego f ' ( x ) < 0, en el int ervalo ( − 1,2 ) entonces f’(x) es decreciente, 0 está en el int ervalo ( − 1, 2 ) . Para el tercero: f ' ( 3 ) = 6 ( 3 ) 2 − 6 ( 3 ) − 12 = 54 − 30 = 24 , luego f ' ( x ) > 0 , entonces f ( x ) es creciente. Facultad 3 está en el int ervalo ( 2, α ) . 416 Si f ' ' ( x ) < 0 para todo x ∈ I.3x . además f ( x ) es dos veces derivable en I. Luego: diferencial Si f ' ' ( x ) > 0 para todo x ∈ I . está íntimamente ligado a la segunda derivada. según el siguiente teorema: Teorema: sea f ( x ) una función definida en el intervalo I. entonces la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia arriba en el intervalo I.12x + 7 x -1 2 -15 Concavidad: el concepto de concavidad está relacionado con la curvatura de la gráfica de la función. entonces la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia abajo en el Cálculo intervalo I. 417 . siendo I ∈ R . y y x x a b Cóncava hacia arriba a b Cóncava hacia abajo El sentido de concavidad de la gráfica de una función.y 15 3 2 y(x) = 2x . Para determinar la concavidad de una función.UNAD f ( x ) =x 6 + x4 + x2 + 7 para I ∈ R Solución: f ' ( x ) = 6x 5 + 4x 3 + 10x f ' ' ( x ) = 30 x 4 + 12x 2 + 10 Vemos que f’’ ( x ) para todo x ∈ R . Ejemplo 1 Determinar la concavidad de f ( x ) = x 5 − 4 x 3 en x = 1 Solución: primero hallamos f ' ' ( x ) . luego: Facultad de Ciencias f ''( x ) >0 418 ∀ x ∈ R . luego f ( x ) es cóncava hacia abajo en x = 1. ésta se debe derivar dos veces y observar cómo se comporta la segunda derivada en el intervalo definido. Ejemplo 2 Identificar el sentido de concavidad de la gráfica de la función: Básicas e Ingeniería.El teorema nos establece la relación entre el signo de la segunda derivada y la concavidad de la misma. . siempre será positivo. Entonces: f ' ( x ) = 5x 4 − 12 x 2 f ' ' ( x ) = 20 x 3 − 24 x Hallamos: f ' ' ( x = 1 ) = 20 ( 1 ) 3 − 24 ( 1 ) = 20 − 24 = − 4 Entonces: f ' ' ( x = 1 ) < 0 . Luego f ( x ) es cóncava hacia arriba en todos los reales. tomemos x = 2 f ' ' ( 2 ) = 18. α ). f ' ' ( x ) > 0. entonces en el int ervalor ( 12.Ejemplo 3 Sea: f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 7 Solución: f ' ( x ) = 6x 2 − 6 x − 12 f ' ' ( x ) = 12 x − 6 Ahora: f ' ' ( x ) = 12 x − 6 = 0 ⇒ 6 ( 2x − 1) = 0 ⇒ x = 1 2 Veamos cómo se comporta en f ' ' ( x ) un valor antes de 1/2 y después de 1/2. 1 2 ) y ( 1 2 . Para el segundo intervalo. Para el primer intervalo: tomemos x = 0 f ' ' ( 0 ) = − 6. 419 .1. 12 ) la función es cóncava hacia abajo. α ) la función es cóncava hacia arriba. y 15 1.98 ½ diferencial -15 Una forma de especificar el cambio de concavidad en una curva es por medio de las llamados Cálculo puntos de inflexión.91 x . entonces en el int ervalor (− α . ya que hay dos intervalos ( − α. f ' ' ( x ) < 0. y En la gráfica C y C1 son puntos críticos y K es un punto de inflexión. Teorema: si ( x. 1 ). Solución: debemos ( x ). la función tiene un mínimo local en C Si f ' ' ( c ) < 0 . α ) concavidad hacia abajo c K C1 x A través del criterio de la segunda derivada. de Ciencias 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1 Punto de inflexión Luego tenemos dos intervalos ( − α . Veamos cómo se comporta f ' ' ( x ) en los intervalos dados.UNAD de la gráfica. entonces: f’’ ( x ) = 0 ó f ' ' ( x ) no está definida en x = k. se le llama puntos de inflexión. los valores de x donde ocurre esto. Luego: ( − α . Facultad f ' ' ( 0 ) = 6 ( 0 ) − 6 = − 6. Identificar los puntos de inflexión y hacer un bosquejo Básicas e Ingeniería. Como f ' ' ( x ) < 0 en ( − α. entonces: sea una función f ( x ) definida en el intervalo I ∈ R .Puntos de inflexión: en los gráficos se puede observar el sentido de cambio en la concavidad de la curva. la función tiene un máximo local en C Ejemplo 1 Dada la función f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 4 . 1 ) y ( 1. 420 . α ) . tal que para C ∈ I se cumple que f ' ( c ) = 0 luego: Si f ' ' ( c ) > 0 . K ) concavidad hacia arriba ( K . luego: hallar primero f'' f ' ( x ) = 3x 2 − 6x f ' ' ( x ) = 6x − 6 Ahora: f ' ' ( x) = 0 indica los puntos de inflexión. también se puede identificar puntos extremos. f ( x ) ) es un punto de inflexión de la gráfica y = f ( x ). entonces f ( x ) es cóncava hacia abajo en este intervalo. x -1 Ejemplo 1 2 2 Determinar la concavidad de la función: f ( x ) = 5x 5x 4 + 3 Identificar los puntos de inflexión. Como f ' ' ( x ) > 0 en ( 1. Si linealizamos la expresión nos queda: 1500 x 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = 0 . 0 ) . ( 1. α ) Reemplacemos un valor en cada intervalo para ver cómo se comporta y’’ ( x ) en dicho intervalo. 0 ) es cóncava hacia arriba 421 . Solución: f '( x ) = 15 ( 1− 5x 4 ) ( 5x 4 + 3 ) 2 f '' ( x ) = 1500 x 3 ( x 4 − 1 ) ( 5x 4 + 3 ) 3 Los puntos donde f’’ ( x ) = 0 lo determia el numerador de la última fracción. ( − 1. 1 ). x = 1 Los intervalos son: diferencial ( − α. I. f '' (− 12 ) > Cálculo f ' ' ( − 2 ) < 0 luego f ( x ) en ( − α. x = 0. − 1) es cóncava hacia abajo 0 luego f ( x ) en ( − 1. = Punto de Inflexión 4 P. ( 0. − 1) . entonces f ( x ) es cóncava hacia arriba en este intervalo. es decir: 1500 x 3 ( x 4 − 1 ) . y P. I. Luego los valores de x que son solución: x = − 1.f ' ' ( 2 ) = 6 ( 2 ) − 6 = 6. α ). f’’ ( x ) < 0. 3 de Ciencias luego f ( x = 0 ) = 3 0 + 2 . α ) es cóncava hacia arriba Un bosquejo de la gráfica: y 0 -1 Ejemplo x 1 3 Determinar la concavidad de la función: f ( x ) = 3 x + 2 Identificar los puntos de inflexión. f’’ ( x ) > 0. Solución 1 f (x) = 3 3 x2 2 f ''( x ) = 9 3 x5 Básicas e Ingeniería. 0 ) y El punto de inflexión será en: x = 0.UNAD Podemos ver que f’’ ( x ) nunca es cero. 1 ) es cóncava hacia abajo f ' ' ( 2 ) > 0 luego f ( x ) en ( 1. Entonces: Para x > 0. 2 ) y= x+2 (0. luego f ( x ) es cóncava hacia arriba en el intervalo ( 0. pero No está fefinida para x = 0. punto de inflexión: ( 0. luego f ( x ) es cóncava hacia abajo en el intervalo ( − α.f '' ( 12 ) < 0 luego f ( x ) en ( 0. α ) Para x < 0 . 2) Facultad 0 422 x . k ( y ) = Ln 5.6) punto de inflexión en (2.Para los ejercicios dados a continuación. que cumple las siguientes 2s + 3 condiciones: continua en [ 0. cóncava hacia arriba en el intervalo: diferencial ( 2. h ( x ) = 4x 3 − 6x 2 + 5x − 8 9. L(t) = e 2x − e − 2x 10. f ( 0 ) = 8 y f ( 6 ) = . 423 . 6. g ( x ) = 3 sen ( x ) 8. 6 ] . cóncava hacia abajo en Ejercicios 3.9 1 ( 0. h ( t ) = t 2 + 2t − 3 3. f ( x ) = x 3 − 12 x − 1 7. L ( x ) = x2 − 3 x2 +3 y−3 x2 En las funciones dadas determinar la concavidad de las mismas.6 ). identifique los puntos críticos y la monotonía de la función: 1.6 ). Hacer un bosquejo de la gráfica h ( x ) que cumple: decreciente en (0. Hacer un bosquejo de la gráfica de la función g ( x ).3).2 Cálculo 12. f ( 0 ) = 1 y f ( 6 ) = 3. j (x) = 4. f ( x ) = 3x + 4 2. M (s) = 3 11. los puntos extremos. de Ciencias f ' ( − 2 ) = 6 ( − 2 ) − 3 ( − 2 ) 2 = − 12 − 12 = − 24 . es decir. ( 0. Decrecient e en ( − α. f ( x ) cambia. Luego f ' ( x ) = 6 x − 3 x 2 = 3x ( 2 − x ) Luego los valores críticos son x = 0 y x = +2. α ) . el dominio son los Reales. f ‘ ( x ) < 0. además. sus asíntotas. luego es simétrica respecto al orígen. su monotonía. si es par o impar. su continuidad. su concavidad. Continuidad: como la función tiene como dominio los reales. los Reales. 0 ) f ' ( 1 ) = 6 ( 1 ) − 3 ( 1 ) 3 = 6 − 3 = 3 . los puntos de inflexión. entonces para cualquier a ∈ R . Luego la función es continua x →a x →a Básicas e Ingeniería. 2 ) . 0 ) .x ). lím f ( x ) = f ( a ). subyectiva y biyectiva. se cumple: lím f ( x ) = f ( a ) existe . como se comporta f ( x ). Entonces examinamos los intervalos ( − α . α ) 424 . Con lo aprendido podemos identificar de una función: su dominio. ya estamos en capacidad de describir en detalle las funciones.Análisis general de funciones Con todo el ‘’vagaje matemático’’ que hemos venido estudiando respecto a las funciones. Simetría: al reemplazar x por ( . Ejemplo 1 Hacer el ánalisis general de la función: f ( x ) = 3 x 2 − x 3 Solución Dominio: por ser polinómica. entonces es impar. entre las características que poseen las funciones. Creciente en ( 0 . Decreciente en ( 2 . ( 2. inyectiva. 2 ) Facultad f ' ( 3 ) = 6 ( 3 ) − 3 ( 3 ) 3 = 18 − 27 = − 9 .UNAD en su dominio. Monotonía: para determinar en donde crece y decrece la función tenemos que hallar f’ ( x ) y ver donde f’ ( x ) > 0. su gráfica. Por el criterio de la segunda derivada: f ' ' ( x ) < 0 . Vertical: se debe cumplir: lím f ( x ) = ± α x→α Como la función es continua en su dominio. podemos hacer la gráfica. Gráfica: con la descripción matemática que tenemos. ya que f’ ( x ) pasa de ( − ) a ( + ) . Horizontal. es decir donde f’’ ( x ) = 0 f ' ' ( x ) = 6 − 6 x = 0 ⇒ x = 1 . no hay valores para a que limiten la función. entonces el punto ( 0. por lo cual No es invertible. y Máximo local 4 diferencial 2 x 1 2 3 Mínimo local Cálculo Punto de Inflexión 425 . Concavidad: identifiquemos los puntos de inflexión. La función NO es inyectiva. Lo mismo para x = 2.2 ). α ) Función sobreproyectiva: porque todos los elementos del rango son imagen al menos de un elemento del dominio. cóncava hacia abajo y viceversa. 1 ) y ( 1. el punto ( 2. Punto de inflexión ( 1.Puntos críticos: como x = 0 es un valor crítico. Luego hay dos intervalos ( − α .4 ) es un máximo local. ya que f’ ( x ) pasa de ( + ) a ( − ) Asíntotas. 1) f ' ' ( 2 ) = − 6 ⇒ f ( x ) es cóncava hacia arriba en ( 1. α ) . se debe cumplir: lím x→α para la función: lím x→α f (x) = L ó lím x→− α f (x)= L ( 3x 3 − x 3 )= Ind ¿por qué? No hay asíntota horizontal. 0 ) será un mínimo local. f ' ' ( 0 ) = 6 ⇒ f ( x ) es cóncava hacia arriba en ( − α . No hay asíntotas verticales. α ). entonces : x x2 x2 x2 − 12 + 6x = 0 ⇒ 6x = 12 ⇒ x = 2. entonces el punto ( 2. La función decreciente en ( − α. Los int ervalos : ( − α. 0) ∪ ( 0. La función decreciente en ( 0. − 3 2 ). ( 0. 426  6 6 =  α − α = 0 − 0 = 0 .  0 0  Facultad y = 0 es asíntota vertical. Continuidad: la función es continua en su dominio de definición. Entonces x = 0 es asíntota  . tampoco impar. es valor crítico. 0 ) 4 2 12 6 g' ( 1) = − x+→ α = − 12 < 0. de Ciencias  6 6 Vertical: lím  2 − x  x  6 6  = − = α − α = Ind ≅ α . No tiene simetría respecto a y ni respecto al origen. corresponde a un mínimo local y a su vez es un mínimo absoluto ( ¿por qué?). La función creciente en ( 2. 0 ). 2 ) 1 1 12 6 4 g' ( 3 ) = − + = − + 2 > 0.UNAD g' ( − 2) = − x →0 Puntos críticos: como x 2. no es par.6 x 2 g ( x ) = Ejemplo + 6 x 2 Hacer el análisis general de la función: g ( x ) = 6 x2 + 6 x Solución Dominio: todos los Reales diferentes de cero: Simetría: g(−x)= 6 x2 + x ∈ R / x ≠ 0. α ) Monotonía: − 12 + 6x − 12 + 6x 6 = . α ) 27 3 9 Básicas e Ingeniería. ( − α .  6 6 Asíntotas: Horizontal: lím  2 − x  x horizontal. 2 ) y ( 2. 12 g' ( x ) = − + Luego: 12 6 − = − 3 − 3 < 0. 6 x . Como = 0. La función g ( x ) es cóncava hacia abajo en ( 4. La función g ( x ) es cóncava hacia arriba en el intervalo ( − α. g' ' ( 5 ) = 6 6 − < 0. 125 ) 6 Los intervalos para identificar concavidad: ( − α .Concavidad: primero los puntos de inflexión: g' ' ( x ) = 24 x3 − 6 x2 24 − 6 x = 0 ⇒ x = = 24 − 6x x3 = 0. Determinar por qué. y g(x) 0 x 2 x = 0 asíntota horizontal -2 Cálculo diferencial y = 0 asíntota vertical 427 . α ) g' ' ( 1) = 24 − 6 > 0 . 4 ) y ( 4. 25 5 La función g ( x ) no es inyectiva. − 1. 4 ) . Punto de inf lexión en (4. α ). luego 24 = 4. L ( x ) = x Ln ( x ) 9. L ( y ) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 3 5. M (x) = x x +1 6.f ( x ) continua en los R .5 ) Facultad de Ciencias . monotonía.f(0) =0 y f(1)=2 . imagen. Dada la función F ( x ). para x > 0 Básicas e Ingeniería. f’’ ( x ) > 0. − 12 ) Ejercicios 3. Creciente en el intervalo ( 0. N(z)= z2 + z − 6 z −1 7. simetría si la tiene. Tiene dos ceros reales: x = . p (x ) = x 8. para x > 0 .Las funciones dadas a continuación. si cumple: x 2 +1 . f’ ( x ) > 0. f ( x ) es una función par . h ( t ) = t 3 ( 3t − 8 ) 4.1/2 .3 y x = 2. hacer un bosquejo de la gráfica y determinar la ecuación. Valor crítico en x = . g ( x ) = x3 + x + 4 3. Para la función G ( X ).3 a 2 . si la tiene. asíntotas si las tiene y un bosquejo de la gráfica f ( x ) = 2 x 3 − 3 x − 10 2.UNAD 10. son los únicos . f ' ( x ) < 0 en 428 ( − α . .10 1. si cumple: . hacer un bosquejo de su gráfica. deben ser analizadas en forma general: dominio. Cóncava hacia arriba en . Las relaciones entre las tasas de cambio. cada situación se resolverá de acuerdo con las circunstancias dadas. 429 . Como una guía en la solución de problemas de razón de cambio relacionadas podremos utilizar las siguientes normas o reglas: Primer paso: dibujemos una figura que ilustre el problema. las variables que están involucradas son funciones del tiempo. Quinto paso: substituyamos las cantidades conocidas en el resultado que hemos hallado por diferenciación ( paso tercero) y resolvamos para la cantidad desconocida. debemos ver que la secuencia de pasos que hemos expuesto hay que ejecutarla de conformidad con el problema propuesto.2. las hallamos mediante diferenciación . Ante todo. Establecemos perfectamente las variables y cantidades conocidas y desconocidas y en particular cuales varían con el tiempo. Tercer paso: diferenciamos con respecto al tiempo Cuarto paso: Hagamos una lista de las cantidades dadas y de las requeridas. A continuación presentamos algunos ejemplos Cálculo diferencial para ilustrar el tema. A estos problemas los denominamos de tasas de cambio relacionadas. Las relaciones entre las variables quedan establecidas por las condiciones del problema en particular.2 Tasas de cambio relacionadas En muchos problemas. por lo tanto. Segundo paso: Obtengamos una relación entre las variables y cantidades involucradas que nos representan la situación del problema en cualquier instante. UNAD globo cuando éste mide 3 pies? Solución V= 4 3 πr volumen del globo 3 Según el problema: dv = 20 pie 3 / min dt r = 3 pies 430 .Ejemplo 1 El lado de un cuadrado se expande con el tiempo. dx Por otro lado. estará relacionado con el aumento de longitud. dx = f'( t ) dt t = tiempo Luego : Por consiguiente el aumento del área. el cambio de longitud en función del tiempo. ¿ A qué razón varia el radio del Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. x = f ( t ). Luego: Ejemplo dA dx = 2x . dt dt 2 A un globo se le inyecta aire a razón de 20 pie 3/min. ¿Cómo será la razón de aumento del área con la razón de aumento de la longitud del lado? Solución El área de un cuadrado está definida: A = x2. donde x= longitud del lado. Ahora: dA = 2 x cambio del área en razón de la longitud. S el área de la superficie y r su radio. notamos las ecuaciones de los ejemplos por letras con un subíndice que sea el número del ejemplo problema. Conocemos el volumen en función del radio. Por conveniencia.1768 pie/min Ejemplo 3 Hallar la velocidad con la cual aumenta el volumen y el área de la superficie de una esfera. relacionado con el cambio del radio. V = 4 3 πr . 431 . entonces.Ahora: dv 4 dr = π • 3r 2 • El cambio del volumen. despejando: dr dv / dt 20 pies 3 / min = = ≅ 0. si su radio incrementa a una velocidad de 3 mm /seg.1768 pie / min dt 4π r 2 4π . 3 S = 4πr 2 . 9pie 2 El radio cambia a razón de 0. el volumen y el área de la esfera estan relacionados por las ecuaciones Cálculo anteriores. Solución: No requerimos del primer paso porque tenemos un concepto claro de lo que es una esfera. como también el área de la superficie. Segundo paso: notamos por V el volumen de la esfera. a ) Para cuando el radio sea de 2mm y b) para cuando sea de 4mm. diferencial En todo momento. dt 3 dt La incógnita es dr/dt. notamos por l el lado del triángulo equilátero y por A su área: A = 432 1 b x h. se está incrementando en una velocidad de k metros/hr. b. reemplacemos: a. para r = 2mm y r = 4mm y dV/dt = 3mm/seg. .UNAD dS dr dS = 8πr ⇒ = 8π ( 4 ) ( 3) = 96π mm 2 / seg dt dt dt Ejemplo 4 El lado de un triángulo equilátero es de «a» metros. Para r = 2mm y dr/dt = 3mm/seg.Tercer paso: Hacemos las derivadas con respecto al tiempo: dV dr = 4π r 2 . b = l 2 . y la velocidad en que aumenta el área es 48 π mm 2 / seg. dV dr dV = 4πr 2 ⇒ = 4π ( 4 ) ( 3 ) = 4π mm 3 / seg dt dt dt dS = 8πr dt dr ds ⇒ = 8π ( 2 ) ( 3 ) = 48π mm 2 / seg dt dt La velocidad a que aumente el volumen es 48 π mm 3 / seg. dt dt ds dr = 8π r dt dt Cuarto paso: conocemos para el instante dado a r y dr/dt: requerimos dV/dt y dS/dt. ¿Con qué rapidez está incrementado el área del triángulo? Solución Las variables son el lado del triángulo equilátero y el área del triángulo. Para r = 4mm y dr/dt = 3mm/seg dV dr dV = 4πr 2 ⇒ = 4π ( 4 ) 2 3 = 192 π mm3 / seg dt dt dt Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. = 2 2 4 Como ya tenemos la relación entre el área. dt 4 dt 2 dt Reemplazamos los valores conocidos: 3 dl dA dA = l ⇒ = dt 2 dt dt Ejemplo 3 2 a • k m 2 / hr 5 Una carrilera atraviesa una autopista en un ángulo de 60°. De la figura 3. Solución Debemos relacionar los puntos sobre la carrilera y la autopista. A. para cualquier instante. es h = l sen 60° = h = l 3 2 . entonces la base es un lado y la altura. 3 3 dl dA dl = • 2l = l .10 podemos Cálculo ver que la locomotora puede estar en el punto A o en el punto B. h. Por consiguiente: h l A= l 3 3 2 1 l • l .Necesitamos una función que relacione el área del triángulo equilátero con su lado. diferencial ¿Con qué rapidéz cambia la distancia entre ellos?. es cuestión de que tomemos la derivada con respecto al tiempo. y el automóvil en C o en 433 . l . Un automóvil está a 500 metros de la intersección y se acerca a ella con una velocidad de 30 km/hr. sabemos que el área del triángulo es igual a un medio de la base por la altura.t. Una locomotora está a 500 metros de la intersección y se aleja de ella a una velocidad de 60 km/hr. y el lado. y . con el automóvil en C’ COˆA = 60 ° y CO obtenemos triángulos que son congruentes con los ya establecidos. no conocemos z y . y derivemos la ecuación con respecto al tiempo para tener: dz dx dy dx dy z 2 = x 2 + y2 − xy ⇒ 2z = 2x + 2y −y −x . recordemos la ley del coseno para el triángulo.UNAD Notemos por x a OC y por y a OA . .C’. dt dt dt dt dt Conocemos x . luego: dt dt dt para el instante en que x = 500 m. entonces: 1 A C y x 0 60° 60° z x B C FIGURA 3. Para el triángulo COA: la distancia entre la locomotora y el automóvil la notamos por z. Notemos la intersección por O. Ahora bién. ecuación anterior. la distancia entre locomotora y automóvil está dada para cualquier instante.: 434 e y = 500m. además. reemplazamos estos valores en la . reemplacemos para tener: 2 z 2 = OC 2 + OA − 2 ( OC ) ( OA ) cos 60 ° ⇒ z 2 = x 2 + y 2 − 2 xy cos 60 ° Así. los triángulos que podemos considerar son ∆COA y ∆COB con ángulos ˆ B = 120 ° . para z la podemos reemplazar. recordemos que cos 60° = 1/2. dx dy dz .10 Gráfica para el ejemplo 5 2 2 a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos A ⇒ z 2 = OC + OA − 2 (OC ) ( OA ) cos 60 ° Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Sustituimos estos valores en la ecuación derivada.1/2. obtenemos : dz dx dy dy dx = 2x + 2y + x + y dt dt dt dt dt 2z ( 2 500 3 diferencial Reemplacemos los valores conocidos: ) dzdt = 2 ( 500 ) ( − 30 ) + 2 ( 500 ) ( 60 ) + 500 ( 60 ) + 500 ( − 30 ) Cálculo Efectuemos las operaciones indicadas y despejemos a dz/dt: 435 . entonces: dt 2z dz dx dx dx dy = 2x + 2y −y −x ⇒ dt dt dt dt dt ⇒ 2 ( 500 ) dz = 2 ( 500 ) ( − 30 ) + 2 ( 500 ) ( 60 ) − 500 ( − 30 ) − 500 ( 60 ) dt dz dt ⇒ 1000 = − 30000 + 60000 + 15000 − 30000 Despejemos dz/dt.z 2 = x 2 + y 2 − xy ⇒ z 2 = ( 500 ) 2 + ( 500 ) 2 − ( 500 ) ( 500 ) ⇒ z = 500 como y aumenta con el tiempo. Calculemos la distancia: z 2 = x 2 + y 2 + xy ⇒ z 2 = (500 ) 2 + ( 500 ) 2 + ( 500 ) ( 500 ) = 3 ( 500 ) 2 → z = 500 3 Derivemos con respecto al tiempo z 2 = x 2 + y 2 + xy . dz −30000 + 60000 + 15000 − 30000 = = 15 km / hr dt 1000 Ahora consideremos el triángulo COB : con la misma notación anterior la distancia para cualquier instante es: z 2 = x 2 + y 2 − 2xy cos 120 ° ⇒ z 2 = x 2 + y 2 + xy Recordemos que cos 120° = . dy = 60 km / hr además x va disminuyendo entonces dt dx = − 30 km / hr . y que x = y = 500m. entonces para los diferentes valores de l tendremos: 436 a. b) ¿ 10cm ?.45 3 dz − 30000 + 60000 + 30000 −15000 45000 = = = = 15 3 km / hr dt 3 2 500 3 1000 3 ( Ejemplo ) 6 Cada arista de un cubo se incrementa a una velocidad o tasa de 1 cm/seg. ¿x cm ? Solución Notamos por V el volumen del cubo y por l la longitu de la arista del cubo. Conocemos el volumen del cubo en cualquier instante. ¿Con qué rapidez cambia el volumen cuando la longitud de la arista es: a) 5cm?.UNAD Como dl/dt = 1 cm/seg. dV dV = 3l 2 dl / dt ⇒ = 3 ( x ) 2 ( 1) = 3x 2 cm 3 / seg dt dt . c. dV dV = 3l 2 dl / dt ⇒ = 3 ( 10 ) 2 ( 1 ) = 300 cm 3 / seg dt dt c. dt (b6) Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. dV dV = 3l 2 dl / dt ⇒ = 3 ( 5 ) 2 ( 1 ) = 75 cm 3 / seg dt dt b. V = l3 (a6) Derivamos ( a6 ) con respecto al tiempo: dV V = l3 ⇒ = 3l 2 dl / dt. ¿Está hacia abajo? Solución Conocemos que el volumen de un cono es un tercio de su base por la altura. Como sabemos que las partes homólogas de triángulos semejantes son proporcionales.h y su radio es r. la altura del cono es de 10 metros y el radio de la base es de 4 metros. tendremos los triángulos semejantes ∆ ABD y ∆EFD . el cono del recipiente y el otro cono. por consiguiente: D (a) (b) E R C F G H r E B D H F r h A R B C diferencial h A Cálculo FIGURA 3. por R el radio del recipiente ( R = 4m) y por r el radio a la altura del nivel del agua. como el vértice está hacia arriba.Ejemplo 7 Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto. el uno. uno que tenga como altura la diferencia entre la altura del recipiente menos el nivel del agua. Entonces. Por lo pronto. Si notamos por H la altura del cono del recipiente ( H = 10m) y por h la altura del nivel del agua. entonces debemos expresar el volumen en función de la altura del nivel del agua. El agua se vierte en el recipiente a una tasa o velocidad constante de 5 metros cúbicos por minuto. podemos observar que dicho volumen lo podemos considerar como la diferencia de dos conos.La altura de este último triángulo es H . ¿Con qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la altura del nivel de agua es de 5 metros si a) el vértice del cono está hacia arriba? b.11 Gráfica para el ejemplo 7 437 . entonces nosfaltasolohacerlosreem plazosdelosvaloresconocidosen7)(ycluego despejar dh/dt: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. derivemos el volumen con respecto al tiempo: V= πR 2  1 dV πR 2  3 dh  3 2 =  H − 2 (H−h)  ⇒  − 2 ( H − h ) ( −1 )  3  dt 3 dt  H   H Obviamente dQ/dt es igual a dV/dt. por la ley de conservación de la materia. por lo tanto dQ/dt= 5m 3/min. es: V = Volumen del cono del recipiente . Ahora veamos el caso con el vértice hacia abajo. entonces como nos solicitan la velocidad con la cual se eleva el nivel del agua. V.UNAD π ( 4 )2 dV πR 2  3 dh  = ( H −h )2 ⇒ 5 m 3 / min =   dt 3  H2 dt  3 ⇒ 5m 3 / min =  3 dh    ⇒ ( 10 − 5 ) 2 2 dt   ( 10 )  16π  3 dh  ( 5 ) ( 100 ) dh 5 ( 25 ) ⇒ = = m / min 3  100 dt  ( 16 ) ( 25 ) π dt 4π b. Como ya establecimos el volumen del agua en el recipiente para cualquier instante. V= = 1 1 1 π R 2 H − πr 2 ( H − h ) = π 3 3 3 1 π 3  2 R2 R H− ( H − h )3 2  H  2  R2 R H − ( H − h )2 ( H − h )    H2  π R2  1 3  =  H − 2 ( H −h )  3  H   Notemos por Q el volumen de agua que se vierte al recipiente. En la gráfica se nos presentan los triángulos semejantes proporcionales: 438 ACB y AED en los cuales las partes homólogas son .H H −h R = ⇒ r = ( H−h ) R r H Por lo cual el volumen del agua en el cono.volumen del cono por encima del agua. la altura la notamos por y. es igual a 300 pies. ¿Con qué rapidez el niño debe soltarle la cuerda cuando la cometa está a 500 pies de él? Solución Hacemos que el niño esté en el punto A. por lo tanto derivémosla para poder obtener la velocidad con la cual varia el nivel del agua: V = πR 2 3H 2 h3 ⇒ dV πR 2 2 dh = h dt dt H2 Despejemos dh/dt y reemplacemos los valores conocidos: dV π R 2 2 dh dh H2 dV dh ( 10 ) 2 (100 ) ( 5 ) = h ⇒ = ⇒ = •5 = 2 2 2 dt 2 2 dt dt dt dt ( 16 ) ( 25 ) π H πR h π(4) (5) dV 5 = m / min dt 4π Ejemplo 8 Un niño deja volar su cometa a una altura de 300 pies. tenemos: Cálculo z 2 = x 2 + y2 439 .H h = ⇒ R r r= R h H El volumen del agua en el recipiente es: V= 1 1 1 R2 2 πR 2 3 base x altura = πr 2 h = π h .h = h 3 3 3 H2 3H 2 Relación válida para cualquier instante. De acuerdo con la relación pitagórica. El cateto AB lo notamos ya como y el otro como x y la hipotenusa como z. El diferencial triángulo ABC es rectángulo. el viento la arrastra horizontalmente alejándola del niño con una velocidad de 25 pies/segundo. La distancia horizontal la notamos por x y la distancia del niño a la cometa por z. que esta filmando el despegue.UNAD Despejemos dz/dt y simplifiquemos: dz 2 ( 400 ) ( 25 ) 4 = = ( 25 ) = 20 pies / seg dt 2 ( 500 ) 5 Ejemplo 9 Un cohete despega a 2000 m de una cámara de video. t. 2z dz dx  dz  = 2x ⇒ 2 ( 500 )   = 2 ( 400 ) ( 25 ) dt dt  dt  Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. y = 300: z 2 = x 2 + y2 ⇒ ( 500 ) 2 = x 2 + ( 300 ) 2 = 250000 − 90000 = x 2 ⇒ x 2 = 160000 ⇒ x = 400 Reemplazamos estos valores en la ecuación derivada. z A Esta relación es válida para todo instante.12 Gráfica para el ejemplo 9 C 25 pies/seg. por ello la ecuación anterior la derivamos con respecto al tiempo. para obtener la velocidad dz/dt. luego: 2z dz dx = 2x dt dt ( y = cons tan te) La distancia x la calculamos mediante la ecuación anterior para el caso de z = 500 .B x y FIGURA 3. El aparato se eleva verticalmente a razón de y = 50t2 ( y = altura y t = tiempo) ¿ cuál será el ritmo de cambio del ángulo de elevación σ de la cámara 10 segundos después del despegue? 440 . Como dy/dt = velocidad del cohete: V = d ( 50t 2 ) =100 t.000) 2 40 20 = 2 x 29 29 diferencial Cos ( σ ) = Cálculo dσ 20 = rad / seg dt 29 441 .000 )2 +( 2. 000 2 4000000(10) 40. depejamos dσ / dt y obtenemos : dt 2000 dt dσ 1 dy = • . 000. Tan ( σ ) = y .000 )2 40' 000. por trigonometría: dσ = dt dσ = dt dσ = dt 2 .000 metros de altura. luego : 2 dt 2000 sec ( σ ) dt Cos 2 ( σ ) • t dσ 100 t = Cos 2 (σ ) • = dt 2000 2 Pero necesitamos hallar Cos ( σ ) . 000) 2 = ⇒ reemplazamos t ⇒ como t = 10 y y = 5.000 = 1 2( 25'000.Solución Cuando t = 10 seg ⇒ y = 50 (10 ) 2 = 5. 000 ) 2 y 2 + ( 2000 ) 2 • 1 2( ( 5. Derivamos para obtener dσ / dt entonces : 2000 Sec 2 ( σ ) • dσ 1 dy = • .000 + 4' 000. 000)2 ) 2 1 2 ( 29'000. 000 y 2 + ( 2000 (2. Por otro lado: dx dσ = incognita dt y σ Según la gráfica 2000 m. a razón de 6 km/hr. su altura está aumentando a razón de 2 cm/min ¿Con qué rapidez aumenta el volumen del cilindro? Rta. 018 cm 2 / seg dt Una persona de 1. dy =? dt =4 . 6. 4. ¿ Con qué rapidez se alejan los puntos después de 2 minutos de iniciar el movimiento? Rta . ¿Qué tan rápido aumenta el volumen del cubo.UNAD metros del piso. El movimietno para x = t2 y para y = 3t3. su radio aumenta a razón de 1/50 cm/seg. dy =? dt dy = 16 dt Rta .50 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.353 km / hr dt Dos puntos A y B parten del origen de coordenadas.11 x 3 ty 3 = 1 ∴ dx . dy 3 = dt 2 Un cilindro circular recto tiene una base. Si las aristas de un cubo están aumentando a razón de 3cm/seg. dr = 50 π cm 3 / min dt Un disco metálico se dilata con el calor. un radio de 5cm.80 mts se aleja de un farol que está a una altura de 3. cuando una arista mide 12 cm de longitud? R: dv/dt = 1296 cm3/seg 2. dy =? dt dy 1 = 3 dt 676 Rta . medida en centímetros. dt = −3 Rta . ¿Con qué rapidez aumenta el área del disco cuando su radio mide 81/10 cm? Rta.1. moviéndose sobre los ejes positivos X y Y respectivamente. dA = 1. ¿ Con qué rapidez crece la sombra que la persona proyecta sobre el piso? Rta . ds = 6. Para las siguientes funciones hallar el cambio de la variable respecto al tiempo: y = 4x + 3 ∴ dt dx dt = − 1 x = y 3 − 3y 2 + y∴ dx 3. 5. t en minutos. 442 220 37 dV = cm / min dt 37 Ejercicios 3. b.3 Optimización: problemas En este momento queremos aplicar los resultados ya establecidos a algunos problemas típicos de valores críticos. Tomaremos en cuenta estas relaciones ( como lo veremos en los ejemplos) diferenciaremos la función que aparece en ( c ). Determinamos las variables de las cuales depende. Ejemplo 1 ¿ Cuál es el rectángulo de perímetro P que tiene la mayor área? Solución diferencial Paso (a): la variable a ser maximizada es el área . esto es. A. haremos la derivada igual a cero.2. Paso ( b ) : las variables de las cuales depende A son el largo y el ancho del rectángulo. denom inem os estas variables com o l y w. e. d. Le asignamos un símbolo. En la solución de estos problemas los pasos esenciales son: a. Debemos determinar l y w para Cálculo maximizar A. c. Determinar la variable la cual se va a maximizar o minimizar o lo que es lo mismo a optimizar. Escribiremos cualquier relación adicional la cual exista entre las variables independientes. 443 . Escribiremos la relación funcional entre la variable a optimizar y las variables de las cuales depende. y por ello hallaremos el valor óptimo de la variable en cuestión. las variables cuyos valores fueron seleccionados para optimizar la variable en la parte (a). Como lo podemos ver en los dos extremos el área se hace 444 . Método explícito: de la última ecuación. y queremos hallar el valor de w el cual maximice la variable A. el valor de w nos queda determinado según la anterior ecuación. Sabemos que: P = 2l + 2w Paso (e): En este momento hay dos aproximaciones posibles. el cual está establecido. El procedimiento directo. digamos l. Para ver que es un máximo absoluto necesitamos solamente verificar en los puntos extremos w = 0 y w = P/2 del dominio de definición de A. tenemos: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.Paso ( c ): La relación explícita entre A. Si tomamos la derivada con respecto a w. dA P  P  A =  −w  w ⇒ = − 2w dw 2  2  Si hacemos la derivada dA igual a cero en (e1) hallamos w = P/4. Observamos que A depende aparentemente de 2 variables l y w. el área depende de solo una variable w. dw Puesto que d2A/dw2 = .2 < 0. P = 2l + 2w ⇒ P P =l+w ⇒l= −w 2 2 Reemplazamos la última ecuación en la primera. el cual seguramente es el correcto o el más práctico para este problema. digamos l es fijado. Pero. esto es un máximo relativo. l y w es: A = lw Paso (d): La relación adicional entre las variables independientes la hallamos en el perímetro. P. A este método lo llamamos explícito.UNAD  P  A = lw ⇒ A =  − w  w  2  Ahora. vemos solo una de estas es independiente porque tan pronto el valor. consiste en que eliminemos una de las variables. hallamos l = w. lo cual somos incapaces de escribirla explícitamente. y diferenciamos.cero. l es p/4. pensemos que no somos capaces de resolver (b1) para cualquiera de las variables en término de las otras. el rectángulo de mayor área con un mismo dw perímetro es un cuadrado. En este problema sencillo. Método implícito. para un perímetro dado. el área máxima posible siendo P2/16. y así el rectángulo deseado el cual. y por ello sustituirla en la función a optimizar. Cálculo diferencial Si hacemos 445 . entonces w = P/4 es claramente el máximo deseado. esto es. Este método es diseñado para problemas en el cual es difícil o imposible despejar una de las variables debido a lo complicado de resolver la ecuación que las liga. A = lw obtenemos: dA dl =l + w dw dw Para hallar dl/dw diferenciamos P = 2l + 2w respecto a w. tiene área maxima es un cuadrado. En este caso podríamos imaginar que la ecuación ( b1 ) determina a l en términos de w y así pensamos de la variable P como una que represente una función de w. Concebimos a l como una función de w. Pero por vía de ejemplo. por supuesto. y obtenemos: 2 dl dw + 2 = 0 Sustituimos esto en último en ⇒ dl dw = − l dA para obtener dw dA dl dA = l+ w ⇒ = l + w ( −1) dw dw dw dA = 0 . no presenta dificultad alguna en despejar paral en (b1). Si reemplazamos en la segunda ecuación hallamos que para w = P/4. respectivamente.Ejemplo 2 Entre todos los cilindros circulares recto inscritos en una esfera de radio R. entonces: h2 4 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD R R2 = r2 + r h FIGURA 3. La dependencia explícita de V en r y h es: V = πr 2 h Paso ( d ). Solución Paso ( a ). lo notaremos por V. Nuestro problema es maximizar V. Una relación adicional entre r y h se nos presenta debido a la condición de que el cilindro está inscrito en la esfera de radio dado R. donde r y h no son independientes una de la otra. V depende de radio y altura del cilindro.13 Gráfica para el ejemplo 2 Paso ( e ). porque al fin y al cabo lo podemos hacer en en 446 . pues están ligados por la condición que se presenta en la última ecuación. En vez de que despejemos r explícitamente. Paso ( c ). vemos que si el cilindro está inscrito en la esfera. Paso ( b ) . hallar el de máximo volumen. digamos r y h. Vamos a maximizar el volumen de cilindro. Refiriéndonos a la siguiente figura. y obtenemos: = 0 dr dh 2 r + h 2 Por lo tanto: dr dh = − h 4r Si sustituimos la última ecuación en dV/dh obtenemos:  dV dr dr h dV    h  2  = π  2 rh +r2  y = − ⇒ = π  2 rh  −  + r  dh dh dh 4r dh    4r    Cuando igualamos dV a cero. Con esto en mente diferenciamos V = πr 2 h  = π  2 rh  dV dh dr dh con respecto a h y obtenemos:  + r2  .términos de h. para obtener: h 2 ⇒ r = 2 3 R.  Para hallar dr/dh diferenciamos R2 con respecto a h. 1 2 = 3 R=h 2 R 3 Cálculo y r = 2 diferencial h2 h h2 h2 3h 2 y r= ⇒ R2 = + ⇒ R2 = ⇒ 4 2 4 4 2 R 2 =r 2 + Con las dimensiones obtenidas el volumen máximo es: 447 . y descubrimos la selección óptima de r: dh  dV  h  h2 h 2  = 0 ⇒ 0 = π  2 rh  − +r2 =0 ⇒r =  +r  ⇒ − dh 4 r 2   2   Para hallar r explícitamente sustituimos la ecuación anterior en R2. solamente nos imaginamos que no hacemos esto y pensamos de la variable r como representando una función de h. el intervalo que puede tomar x es: 0 ≤ x ≤ 2 3. donde dos de las vértices toquen la curva. Expresemos el ára del rectángulo en función de x.UNAD Además: x ≥ 0 Definimos el rango que puede tomar: x : 12 − x 2 = 0 ⇒ 12 − x = 0 ⇒ x = ( 12 − x 12 = 2 )( 3 x ) 12 + x = 0 y Por ley de producto nulo: 12 + x = 0 ⇒ x = − 12 La última opción se rechaza. además la puerta debe ser rectangular. x 2 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. vemos que el cilindro inscrito ocupa 3 alrededor del 58% del volumen disponible. cuya ecuación es de la forma f ( x ) = 12 − x 2 . Luego. Puesto que el volumen de la esfera es Ejemplo 3 Un arquitecto desea construir el frente de una casa en forma parabólica. ya que x > 0. y) La ecuación de la curva: y = 12 − x 2 Area de rectángulo: A = 2 x • y y = 12 . (x. entonces: 448 . ¿Cuáles deben ser las dimensiones y el área de la puerta? Solución Una gráfica nos ayudará en la solución. El arquitecto desea que la puerta cubra la mayor área. 2  2 4 V = πr 2 h ⇒ Vmáx = π  R 2  • R = R3 3   3 3 3 V máx = 4 3 9 R3 4 π R 3 . Sabemos que = 0 no ofrece puntos extremos: dx dx Luego: 24 − 6 x 2 = 0 ⇒ 6 ( 4 − x 2 ) = 0 . h y su sección . Ejemplo 4 La sección transversal de un canal abierto tiene la forma de un trapecio isósceles. Tenemos la altura de la lámina de agua. que notamos por x. diferencial Paso ( b ): El perímetro húmedo depende de la base del trapecio. finalmente: A = 24x − 2x 3 Esta es la función que debemos optimizar. La notamos por P. la única posibilidad es que: 4 − x 2 = 0 ⇒ ( 2 − x ) ( 2 + x ) = 0 . El ángulo lo tomamos como el ángulo que hace la horizontal con el lado inclinado del canal. dA dA = 24 − 6x 2 . y las longitudes de los dos lados inclinados del trapecio que lo notamos por z. lo la ley del producto nulo: 2 − x =0 ⇒ x =2 y 2 + x =0 ⇒ x = − 2 Por consiguiente la solución es x = 2 ¿por qué? Así: las dimensiones Largo: 2 x = 2 ( 2 ) = 4 Alto: x = 12 − x 2 = 12 − ( 2 ) 2 = 8 Area: 4 x 8 = 32 unidades cuadradas. ¿Cuál debe ser la inclinación de los costados para que el perímetro mojado o húmedo de la sección sea mínimo. S. Como 6 nunca es cero. Consideramos que el trapecio tiene su base menor en el fondo del canal o lo que es lo mismo en la solera Cálculo del canal. 449 . luego : A = 2x ( 12 − x 2 ).A = 2x • y pero y =12− x 2 . si el área de la sección viva del agua en el canal es igual a S y el nivel del agua es igual a h? Solución Paso (a): La variable que vamos a minimizar es el perímetro húmedo. sera: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.14 Gráfica para el ejemplo 4 Canal abierto Paso ( c ): El perímetro húmedo será la suma de la base menor del trapecio más dos veces la longitud del lado inclinado del trapecio. φ  S=   h fórmula del trapecio 2   Vemos en la gráfica que la longitud del lado inclinado es: z = h csc φ Paso ( e ) : derivamos el perímetro con respecto a x. el área de la sección.φ z h z x FIGURA3.S. entonces debemos hallar la base mayor.UNAD  x + x + 2 h cot . la cual debe ser la base menor más dos veces h cot φ . entonces: Base mayor = x + 2h cot φ Por lo tanto. la derivamos respecto a x: dz dφ = h ( − cscφ cot φ ) dx dx 450 . P = x + z ( 2 ) = x + 2z Paso (d): Como de la sección transversal de la lámina lo que conocemos es la altura. dp dz =1 + 2 dx dx Como z = h csc φ . entonces: dx dP dP = 1 − 2 cosφ ⇒ = 0 =1 − 2 cosφ ⇒ cos φ =1 / 2 dx dx φ = Cos −1 1 / 2 = π / 3 ≡ 60° Ahora hallamos la derivada segunda del perímetro respecto a x: dx 2 = 2 sen φ dφ  1  = 2 sen φ  sen2 φ  dx  h  Lo anterior lo obtenemos al reemplazar 1 sen 2 φ h por diferencial d 2p dφ en la derivada segunda. si derivamos S con respecto a x. entonces anterior dφ : dx dS = 0 y podemos despejar en la ecuación dx dφ : dx dS dφ 1  = 0 ⇒ 1− h esc2φ dφ = h  1− h esc2φ dφ =0 ⇒ = sen 2 φ  dx dx dx   dx h Reemplazamos dφ dt en dx dx dz 1 = − h esc φ cot φ sen2φ = − cosφ dx h La expresión para la derivada del perímetro con respecto a x. 451 . la podemos expresar como: dP dz dP = 1+2 ⇒ =1 + 2 ( − cos φ ) dx dx dx En el punto extremo dP = 0 . por lo tanto presenta un mínimo.Ahora bien. Cálculo Por consiguiente. logramos una expresión para S = ( x + h cotφ ) h ⇒ ( ) dS dφ   = h  1 + h − csc2 φ  dx dx   Sabemos que s es constante. el ángulo de inclinación debe ser de 60° para un perímetro húmedo mínimo. dx Vemos que la derivada segunda en el punto es positiva. ϕ .UNAD Paso ( a ): La variable a optimizar es la iluminación. de los rayos luminosos. I. r. Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. k es la intensidad del foco luminoso. Paso (c ) La iluminación se expresa explícitamente como: I =k 452 sen ϕ r2 .15 Gráfica para el ejemplo 5 Paso ( b ) : La iluminación depende de la distancia. r es la distancia del foco luminoso a la superficie iluminada. FIGURA 3. del foco al punto y del ángulo de inclinación. Solución Indicación: la iluminación se expresa por la fórmula: I =k sen ϕ r2 Donde ϕ es el ángulo de inclinación de los rayos.Ejemplo 5 ¿A qué altura sobre el centro de una mesa redonda de radio «a» se debe colocar una bombilla eléctrica para que la iluminación del borde sea máxima. Paso ( d ) . La relación entre r y ϕ de la figura es: r cos ϕ = a Paso (e): Derivamos la iluminación con respecto a la distancia r: I =k sen ϕ r Igualamos 2 ⇒  cos ϕ d ϕ 2 sen ϕ  dI =k  −  dr  r 2 dr r3  dI a cero: dr  cos ϕ d ϕ 2 sen ϕ  cos ϕ dϕ 2 sen ϕ dI =0= k  − = .  ⇒ 2 3 2 dr dr dr  r r  r r3 Ahora hallamos dϕ mediante la diferenciación de r cos ϕ = a dr dϕ dϕ cos ϕ Como: cos ϕ − r sen ϕ dr = 0 ⇒ dr = r sen ϕ Reemplazamos Como dϕ dI en dr dr cos ϕ dϕ 2 sen ϕ cos ϕ = ⇒ 2 3 dr r r r2  cos ϕ  2 sen ϕ   = ⇒ cos2 ϕ = 2 sen2 ϕ 3  r sen ϕ  r Recordemos que cos2A + sen 2A = 1 ⇒ cos 2 ϕ = 1 − sen 2 ϕ Reemplazando: Como: cos 2 ϕ = 2 sen 2 ϕ ⇒ 1 − sen 2 ϕ = 2 sen 2 ϕ ⇒ 1 = 3 sen 2 ϕ Por la ley transitiva ( a = b y b = c ⇒ a = c ) diferencial Como 1 = 3 sen2 ϕ ⇒ sen2 ϕ =1 / 3 ⇒ cos2 ϕ = 1 −1 / 3 = 2 / 3 Reemplacemos este valor de coseno en r cos ϕ = a luego: 2 3 = a⇒ r= a 3 Cálculo r cosϕ = a ⇒ r 2 453 . para 4 metros de metal x puede tener máximo 1.UNAD Pt = Pcírculo + P cuadrado ⇒ 4 = 2π r + 4x. pero hasta dónde. Entonces: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Como x es para el cuadrado. Este obviamente debe ser x > 0. despejamos r : 2 ( 1− x ) r= π Ahora determinamos el intervalo para x. ya que el perímetro será máximo de 4. A continuación reemplazamos r en la ecuación de área total: dA 4 =2x + dx π 454 [ 2 (1 − x ) 2 = x2 + 4( r − x )2 π ( − 1 ] = 2x + 4 ( 2x − 2 ) π  2( r − x )  At = x 2 + π   π   Ahora derivamos A respecto a x.Ahora bien nos preguntan por la altura. de la figura vemos: r sen ϕ = h ⇒ a 3 2 . 6 Se desea construir un círculo y un cuadrado en 4 metros de metal. ¿Cuánto de metal se debe usar en cada figura para obtener el área máxima entre las dos figuras? Solución Area total: área círculo más área cuadrado r x Area círculo: π r 2 Area cuadrado: x 2 La cantidad de metal será el perímetro de las dos figuras. . Luego: 0 < x < 1. a 2 1 = h ⇒ h= a = 3 2 2 la altura que se debe colocar la bombilla eléctrica es: h = Ejemplo a 2 2 unidades de longitud. .56 Reemplazamos los valores extremos en la función como: A ( x =0 ) =( 0)2 + 4 = 1. Por consiguiente todo el material se debe usar para el círculo. Como: dA 4 8x 8 = 0 ⇒ 2x + ( 2x − 2 ) = 0 ⇒ 2 x + − = 0 dx π π π Luego: 2πx + 8x + 8 = 0 ⇒ 2πx + 8x − 8 = 0.Debemos despejar x.56 ) = ( 0.56 ) 2 = 0. 273 .. Finalmente: π x = 4 π + 4 . para determinar el punto óptimo. 455 . π A ( x = 0. favor comprobar que esto es cierto Ahora: x = 0.56 ) 2 + A ( x =1 ) = (1 ) 2 + 4 ( 1 − 0.560 π 4 (1 −1 )2 =1 π Cálculo diferencial Vemos que el área es máxima cuando x = 0. Es. referidas a la cuestión espacio-tiempo. v = lím t → t0 f ( t ) − f ( to) t − to Básicas e Ingeniería. como f’ ( t 0 ). Este valor es el límite cuando t tiende a t 0 . Obviamente este es un ejemplo de una razón de cambio. así la posición en t1 . v . estos son ejemplos con los cuales nos vemos involucrados todos los días. que comiencen o terminen en t 0 . estas velocidades promedio pueden aproximarse a un valor bien definido que notamos como v.2.4 La derivación en la fìsica En nuestro diario quehacer.UNAD lo cual también podemos escribir como: v = lím ∆t → 0 ∆f ( t ) df (t) = = f ' (t ) ∆t dt Este valor límite. por ejemplo que la fila en el banco se moviese más rápido. t 1 ≤ t ≤ t 2 será: s −s f ( t2 ) − f ( t1 ) v= 2 1 = t 2 − t1 t 2 − t1 Supongamos ahora que deseamos definir la velocidad instantánea en el tiempo t 0 . natural definir la velocidad. es una medida de cuan rápido se hace el desplazamiento en la vecindad de t 0 . y son la generalización del concepto de velocidad y aceleración. durante el intervalo de tiempo. o por el contrario que no fuesen tan veloces. pues. Por definición la velocidad promedio es la relación entre el espacio recorrido y el tiempo empleado. de Ciencias De lo anterior podemos concluir: V ( t) = ds dt La velocidad instantánea es la derivada de la función distancia Facultad respecto al tiempo. en el tiempo t 0 . si hallamos las velocidades promedio sobre intervalos de tiempo cada vez más pequeños. 456 . entonces si designamos por s el espacio recorrido y por t el tiempo empleado y conocemos la función que liga el espacio con el tiempo. o que la devaluación del peso fuese lenta y no muy rápida. digamos s = f ( t ). v ( t 0 ). nos enfrentamos a situaciones en las cuales desearíamos que las cuestiones se decidieran más rápido. si existe. será s 1 = f ( t1 ) y en t 2 : s 2 = f ( t 2 ). por lo tanto la velocidad promedio. nos ocuparemos del movimiento de un punto geométrico u objeto cuyas dimensiones son despreciables comparadas con la distancia entre los objetos o con el movimiento que se estudia. v ( 0) = 0 ¿cuál es su velocidad en t = 1. los cuerpos caen con la misma aceleración.Ahora: qué sucede cuando ∆V( t) El cambio de la velocidad respecto al tiempo. es decir. t= 2. si el espacio está dado como s = 9. t = 4?. ∆t lim ∆t → 0 es lo que conocemos como aceleración: Luego: a( t) = dv dt Para nuestras aplicaciones. si el cuerpo parte diferencial del reposo.81 t 2/2. ¿Para estos Cálculo mismos instantes cuál es la aceleración del cuerpo? 457 . Ejemplo 1 Consideremos una partícula que se mueve a lo largo de un sendero para el cual la función espacio recorrido-tiempo empleado es: s = A sen ( ω 0 t ) A y ω0 son constantes ¿Cuál es la velocidad en el tiempo t 0 ? La velocidad en t 0 es: f ( t o + ∆t ) − f ( t o )  ds  v (t o ) =  = f ' ( t o ) = A ωo cos ωo t o  = lím ∆t  dt  ∆ t→ 0 Ejemplo 2 En el vacio. donde el espacio es medido en metros y el tiempo en segundos. a. luego: de Ciencias x = 2 ( 0 )2 + 6 ( 0 ) + 2 = 2 Facultad El cuerpo está a 2 metros del origen de referencia. ¿Cuál será la posición inicial del cuerpo? b. Ejemplo 3 Un cuerpo se mueve bajo la función de distancia dada por la expresión: Básicas e Ingeniería. hallamos la derivada de la velocidad con respecto al tiempo: a= d 2s dt 2 = dv = 9. concluimos que la aceleración es constante en todo el dominio. La posición inicial en cuanto a t = 0. derivemos la función: v (t ) = ds = 9.81 m / sg  t =1 t=2  ds  ⇒   = 19. ¿Cuál será la aceleración a los 2 segundos de iniciar el movimiento? Solución a.24 m / sg  dt  t = 4 Para la aceleración. 458 . ¿Cuál es la velocidad inicial del cuerpo? c. ¿Cuál será la velocidad del cuerpo a los 3 segundos de iniciar el movimiento? d.Como la velocidad es la derivada del espacio con respecto al tiempo. Donde x está en metros y t en segundos.UNAD x = 2 t 2 + 6 t + 2 . cuando está en reposo.62 m / sg  dt  t = 2 t=4  ds  ⇒   = 39.81 t dt Para los instantes propuestos: t=1  ds ⇒   dt   = 9. 81 m / sg 2 dt De la ecuación. Para hallar la velocidad recordemos que v ( t ) = dx . luego debemos averiguar la dt función distancia. La velocidad a los 3 segundos será: v = 4 ( 3 ) + 6 = 18 m/seg. a los 2 segundos de iniciar el movimiento.b. Como la aceleración es constante. Luego la velocidad inicial es de 6 m/seg. debemos derivar la velocidad: a= dv d = ( 4t + 6 ) = 4 dt dt Luego: a = 4 m/seg 2. la aceleración Cálculo diferencial será 4 m/seg 2 459 . entonces: V inicial = 4 ( 0 ) + 6 = 6m/seg. d. Para hallar la aceleración. dx = 4t + 6 dt Para hallar la velocidad inicial t = 0. c. 5 )  3 2 9  Q− . 7. 600 2 π Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto de mayor volumen inscrito en un cono circular rectode 10 cm. Los postes se separan 25 metros. 2 y= 2 Encontrar el punto sobre la parabola y = x 2 que esté más cercano al punto P ( 0. 3. Rta . debe pasar una cuerda. El techo cuesta el doble por pie cuadrado que las paredes.m. el segundo navega hacia el sureste a razón de 30 millas/hr. Identifique dos número positivos cuyo producto sea 10 y cuya suma sea la menor posible: Rta . Un observatorio debe tener forma de cilindro circular recto y su techo debe tener forma semiesférica. Rta ..   2 2    A los 7. a las 8:09 a. x= .12 Rta .a. la cual debe descansar en un punto del piso. cuales serán las dimensiones del rectángulo de tal manera que presenta la mayor área posible.UNAD Rta . 2. ¿ En qué instante estarán más cerca los barcos? Rta.200 m3 ? Básicas e Ingeniería. si el primero navega hacia el oeste a razón de 20 millas/hr. ¿Cuáles serán las dimensiones que dan el menor costo para un volumen de 1.m. A 10 metros del poste de 20 Facultad metros de altura. ¿En de Ciencias qué punto del piso debe descansar la cuerda para minimizar la longitud de la misma? Rta. de radio y 24 cm de altura.600 Altura : 3 π Radio : 6. 460 Ejercicio 3. 2 . x= 10 . 3. 5. y= 10 Un rectángulo está inscrito en un círculo de radio 1.1. 4. 1 3 3. un barco está a 60 millas al este de otro barco. r= 20 cm. 3 h = 8 cm Entre dos postes de 20 y 30 metros de altura. es decir el dominio de la función. ¿En dónde debe desembarcar el bote para llegar en el menor tiempo posible a una casa ubicada a 15 metros del punto más cercano de la playa al bote? Solución Hagamos un gráfico que nos muestre el fenómeno: C P. w Hacer un dibujo que ilustre de la mejor manera el problema.2. w Aplicar el criterio de la primera derivada para hallar los valores críticos. debe hacer la persona para llegar a la casa. La persona que está en el bote puede remar a razón de 10 metros por minuto y correr a razón de 20 metros por minuto. a la casa. w Escribir la ecuación matemática que ilustre simbólicamente el problema w Identificar los valores admisibles para la variable independiente. Ejemplo 1 Un bote se encuentra a 20 metros del punto más cercano a la playa de forma rectilinea. d2 15 m. se deben seguir las recomendaciones propuestas para llegar a la solución óptima. B P Cálculo d2= distancia del punto de desembarco 461 . para aresolverlo. d1 x La línea al punto de desembarco. 15 .x describe la trayectoria que C= casa y Q el punto de desembarco d1= distancia de ubicación inicial del bote Q diferencial en el menor tiempo posible. Recordemos algunos aspectos que debemos tener en cuenta.4. punto más cercano de la playa al bote ( B ). Con algunos ejemplos podemos ilustrar este tipo de optimización. w Aplicar los valores críticos a las condiciones del problema.1 Optimización en física Para resolver problemas de optimización en física. 75 11.47 15 2. Para establecer que verdaderamente es un mínimo: X Facultad de Ciencias 0 462 T 2.Luego: por distancia x 2 + ( 20 ) 2 d1 = d 2 = 15 − x Ahora el tiempo utilizado en cada trayectoria será: d t1 = 1 = v2 x 2 + 400 10 d 15 − x t2 ? = 2 = v1 20 La restricción de la variable x será que solo puede tomar entre 0 y 15 luego: 0 ≤ x ≤ 15 El tiempo total T = t1 + t 2 = x 2 + 400 10 + 15 − x 20 Los valores críticos son: 0.547 Es obvio que debemos tomar el valor positivo. luego x = 11.33 3 Básicas e Ingeniería.33 = ± 11. vemos que corresponde a un mínimo. al evaluar en la función de T. dT = dx x 10 x 2 + 400 − 1 20 Ahora despejemos x: x 10 x 2 + 400 = 1 ⇒ 20 x = 10 20 x 2 + 400 ⇒ 2x = x 2 + 400 Luego : 400 4 x 2 = x 2 + 400 ⇒ 3x 2 = 400 ⇒ x 2 = ≅ 133 . que lo que pide el problema.547 2.50 mínimo T= x 2 + 400 60 + 15 − x 20 .547m hay un punto crítico.UNAD x= ± 133 . 15 y el obtenido al desarrollar dT dx . que corresponderá al menor tiempo posible del recorrido. Así la persona taradará 2. Pero primero debemos establecer el intervalo que puede tomar θ : Analice ésto y consúltelo 0 0 ≤ θ ≤ 90 0 Ahora: dx 2 v 02 cos 2θ 2 v0 2 cos 2θ = pero = 0 ⇒ 2v0 2 Cos 2θ = 0 dθ g g Luego: Cos 2θ = 0 2 θ = cos−1 ( 0 ) = π θ= Aplicamos función inversa: 2 π 2=π 4 2 Cálculo diferencial Luego el ángulo que permite el máximo alcance es: π 4 = 45 0 463 . debemos derivar la función x respecto a θ para hallar los valores críticos. Ejemplo 2 El alcance horizontal de un movimiento parabólico está dada por la función: x= v 2 • sen ( 2 θ ) g ¿ Con qué ángulo se debe lanzar un objeto apra que su alcance sea máximo? Solución: como el alcance horizontal x está en función del ángulo θ .Conclusión: el desembarco debe ser a 11.47 minutos en llegar a la casa.547 metros el punto Q. En qué momento la velocidad es de 0 m/seg. t el tiempo en segundos.1. al final de t segundos. Cuando tienen la misma velociedad Rta : En t = 3 seg 4 Un cuerpo se mueve según la ley de movimiento dado por: x = 2 sen ( 3t ) . donde x es distancia recorrida en metros. Un movimiento es gobernado pro la función x = 2 t 2 + 3t en metros. a = 4 m/seg2 El movimiento de un cuerpo lo gobierna la función x = Tan − α ( t ) .UNAD a= − 3 m / seg 2 50 1 4 t − 5t3 + 12t 2 . a. v = 4m/seg. ¿Cuál será la velocidad Rta : 4. 3.13 cuando t = 2 segundos? . ¿Cuál será la velocidad a los 4 segundos de iniciar el movimiento? Rta. cuál será la aceleración. cuando t = 3 segundos. 2. sus distancias dirigidas desde el origen son: x1 = 4 t − 3 t 2 y x 2 = t 2 − 2 t de Ciencias 7. Básicas e Ingeniería. ¿cuál será la velocidad del cuerpo cuando la aceleración es cero? (tomar el valor positivo). Cuando tienen la misma posición Rta: En t = 3 seg 2 b. Un cuerpo que se mueve según la ley de movimiento: x = 4t + 8 en metros. S esta dado en metros 2 y t en segundos. ¿Cuál será la aceleración a los 5 segundos de iniciar el movimiento? Rta. Rta : 5. v= v = 11 m/seg Dos cuerpos se mueven a lo largo de un eje coordenado. Facultad Rta : 464 Para t = 30 Ejercicio 3. Un cuerpo se mueve según la ley S = Rta: 6. 1 m/seg 5 Para el ejercicio 3. Sin embargo. costo marginal. debido a que esto es Cálculo tema de otro curso.2. elasticidad cruzada. ingresos por concepto de impuestos.5 La derivación en la economía El estudio anterior de la razón de cambio. elasticidad. la cual esté definida en un intervalo y se extienda o aproxime a P. pues en algunos casos no tiene sentido producir fracción de un bien o servicio. la ganancia marginal y el costo marginal se definen como las derivadas de las funciones G y C respectivamente. debemos hallar una buena función. Consideraremos otros conceptos como son los de costo total. ingreso total. trataremos la utilidad en operación de monopolio. su dominio debe consistir por lo menos en un intervalo. no en una colección de puntos discretos. la ganancia marginal en x 0 es el límite cuando x tiende a x 0 ( x → xo ) de G ( x ) − G ( x o) G( x) −G (xo ) es decir . En Economía. debemos hallar un modelo continuo de P. En consecuencia. si el costo total «C» de producir y comercializar x unidades de un artículo lo suponemos que está en función de x solamente. efecto de los impuestos sobre la operación en monopolio y modelos de inventario. lo podemos trasladar palabra por palabra a situaciones de ganancias y costos. No entraremos en diferencial detalles a analizar las propiedades que deban tener dicha función. Cuando estemos en optimización. es decir. Supongamos que G ( x ) representa la ganancia obtenida al vender x unidades de cierta mercancia y que C ( x ) representa el costo de producir x unidades de esa mercancia. Continuamos con los costos. para que podamos aplicar las técnicas de derivación a una función. costo promedio. elasticidad de la demanda. Es decir. entonces la función del costo total la podemos representar mediante la expresión C = f ( x ). ingreso marginal. 465 . lím x → x0 x −xo x −xo Los problemas típicos de la Economía los debemos llevar a un dominio P que en algunos casos consta de los enteros no negativos. y x Variable discreta y x FIGURA 3.16 Variable discreta y continua Variable continua Solo queremos ver una aplicación más de la derivada. Si la función de costo total la representamos por C = f ( x ) entonces el costo promedio (costo medio por unidad) es: Básicas e Ingeniería.UNAD C= C f (x ) = x x y el costo marginal es: y CT = Costo Total CP = Costo Promedio dC = f'(x) dx CT de Ciencias b m CP Facultad x 466 . 2. al cambio relativo de la variable independiente.5. La función de costo promedio. ¿ Cuál es la ecuación de la función de costo promedio? c.1 Función elasticidad La razón de cambio relativo ( o proporcional) de la variable dependiente. ¿ Es el anterior un conjunto de ecuaciones que podríamos esperar hallar realmente en la práctica ? ¿ Por qué? a. La función de costo marginal. Por lo tanto. C = C = 2 x 2 − 3 x − 12 x c. C . Entonces: dC = CM = 6x 2 − 6x − 12 dx b. CM. porque por lo menos cuando se produce una unidad debe incurrirse en algun costo positivo. a. ¿ Qué ecuación representa la función de costo marginal? b. la elasticidad nos resulta Cálculo ser independiente de las unidades en que se expresan las variables que consideramos. que conocemos como la elasticidad de la dependiente con respecto a la independiente. la hallamos al hacer la derivada del costo total C. Tal concepto nos mide la respuesta proporcional de la diferencial variable dependiente a los cambios proporcinales en la variable independiente. Si calculamos f ( 0 ) = −12 y f ( 1) = 2 − 3 −12 = −13 . La elasticidad de una función no tiene unidades debido a que las magnitudes empleadas en su definición son cambios relativos por unidad.Ejemplo 1 Una empresa tiene una función de costo total representado por la ecuación: C = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x . 467 . la hallamos al dividir la función de costo total por la cantidad producida x. con lo cual vemos que la ecuación no representa una función de costos. en donde C representa el costo total y x la cantidad producida. la llamada elasticidad-arco y la denominada elasticidad punto. La elasticidad de y = x ( x ) en (x1. esto es: Ey Ex x +x y −y x +x ∆y = 1 2 • 2 1 = 1 2 • y1 + y 2 x 2 − x1 y1 + y 2 ∆x La elasticidad-punto no presenta ninguna ambiguedad. es decir. y1) es: Ey de Ciencias Ex x = 1 y1 dy = η dx ( x1 . la elasticidad de la función correspondiente a dos arcos diferentes no es la misma. la elasticidad de una función depende de su ámbito de variación. Esto nos ilustralaam biguedaddelaelasticidad-arco. por lo tanto. Por ejemplo.UNAD mayor empleo. Lo anterior nos da finalmente la definición de la elasticidad con: Ey Ex = x dy y dx Algunos autores simbolizan la elasticidad por la letra griega eta. En general.Se nos presentan dos conceptos de elasticidad. si la consideramos sobre una recta. algunos autores proponen utilizar la elasticidad en el punto ( x 1/y1 ) o en ( x 2/y2 ) y una que corresponda a un valor medio de la elasticidad-arco entre los puntos ( x1/y1 ) y ( x2/y2 ) que quizás sea lo de Básicas e Ingeniería. La elasticidad -arco corresponde a la elasticidad de una función entre dos puntos. entonces ∆ y / ∆ x tiende a dy/dx. la elasticidad de y con respecto a x la expresamos en primer término por: Ey Ex = ∆y / y x ∆y = ∆x / x y ∆x Si hacemos que ∆ x tienda a cero. y1 ) Facultad También es posible que la representemos como la derivada logarítmica.puesnoesevidentes1i /yx o 1 o bien x2/y2 cual de los dos debemos utilizar en la definición. La elasticidad-punto ( o simplemente elasticidad) es la que corresponde a una función en un punto específico. esto es: 468 . η . Aunque el cociente de los incrementos es el mismo. si y = f ( x ). Por esta razón. no lo es el cociente de x dividido por y en dos puntos de coordenadas diferentes. en un arco o segmento de línea. por ejemplo. la demanda suele clasificarse como: perfectamente elástica ( η→ − ∞ ) . y de la respuesta de precio. η ≤ 0 . Quizás el uso más frecuente de la elasticidad en Economía comprende el análisis de la elasticidad del precio de la demanda. Esto lo podemos visualizar mejor en la figura siguiente figura. Existe el concepto entre las demandas de dos o más artículos.1 dy d ( log y ) y dx x dy = dx = = d Ex ( log x ) 1 dx y dx dx x dx Ey La elasticidad la hemos definido como una propiedad de cualquier función diferenciable. por lo tanto. 469 . a cambios en el precio o en el ingreso. relativamente inelástica ( − 1 < η < 0 ) y perfectamente inelástica ( η = 0 ) . la elasticidad suele considerarse para las funciones de demanda. relativamente ( η < − 1 ) . elástica unitaria si η = 1 . precio. como medida del efecto de un cambio en el precio sobre la cantidad demandada. oferta. Como la elasticidad no tiene unidades podemos comparar la respuesta de las cantidades demadas de diversos bienes ante cambios en sus precios. la elasticidad la emplean los economistas como una medida de la respuesta de la cantidad demanda u ofrecida. La elasticidad cruzada evalúa la respuesta de la cantidad demandada por un bien ante cambios en el precio de otro. sin embargo. Por esta razón. es decir. que la demanda es elástica si elástica η > 1 . e inelástica si η < 1 . costo total o ingreso total a cambios en la cantidad. elástica unitaria ( η = −1 ) . este tipo de análisis se describirá a continuación: El empleo clásico del concepto de elasticidad es en el análisis de la capacidad de respuesta de la cantidad demandada de un artículo por cambios en su precio. Vemos. costo e ingreso. Sabemos que la pendiente de la demanda es negativa. en la teoría económica. es una función decreciente. La elasticidad de la demanda por A con respecto al precio de B la definimos como: diferencial dxA E xA x P dxA = A = B E pB dpB x A dp B pB Cálculo donde x = cantidad y p= precio. por lo tanto. 17 Las distintas categorías de elasticidad de la demanda 470 x x .6 (b) y y Precio Inelástica Perfectamente Elástica Precio x Cantidad Cantidad Fig. 4.6 (c) Básicas e Ingeniería. 4.UNAD y Perfectamente Inelástica Precio Cantidad de Ciencias Fig.6 (e) Facultad FIGURA 3.y y Precio Elástica Precio Elástica Unitaria x Cantidad x Cantidad Fig. 4. 4.6 (d) Fig. Obtener la elasticidad-arco en el punto correspondiente al cambio en el precio. Determinar la elasticidad-punto en los dos puntos d. puesto diferencial que el del precio lo conocemos: Cálculo p 1 =1 ⇒ p 2 = 1+ ( 0. b.1 ∆p = 0. 05 = 3. la cantidad demandada la consideran los economistas como variable dependiente y el precio como la variable independiente.95 − 5 = − 1. Determinar la elasticidad-arco en el punto. Evaluar la elasticidad-arco con base en los valores medios de cantidad y precio. 1) ( 1 ) = 1. c. Ejemplo 1 Para la función de demanda: x = 10 − 5 p 2 en el punto x = 5 y p = 1. y la cantidad demandada como variable independiente. a. sus elasticidades cruzadas son positivas. Solución a. en el análisis que comprende la elasticidad-precio de la demanda. 1 x1 = 5 ⇒ x 2 = 10 − 5 ( 1.95 ∆ x = 3. Sin embargo. debemos hacer una aclaración: en las funciones de demanda suele representarse con el precio como variable dependiente. sus elasticidades cruzadas son negativas. el precio crece un 10%. Aquí. 21) = 10 − 6. Calculamos el nuevo precio y la nueva cantidad y el incremento en la cantidad. 05 471 .Y la elasticidad -arco cruzada cuando p B cambia de p B a p B 2 y x A1 cambia de x A a x A2 se determina por: xA −xA Ex A p B1 + p B2 2 1 = • Ep B x A1 + x A2 pB 2 − p B1 Cuando los bienes se sustituyen entre sí. Cuando los bienes son complementarios entre sí. 95 − 5 = 2. reemplazamos los valores en la fórmula anterior. 05 ) 1 .UNAD d.06 3 . Para la elasticidad.1 ( − 1. debemos hallar primero la derivada: x =10 − 5p 2 ⇒ dx = − 10p dp Ahora la elasticidad está dada por: Ex p dx E = ⇒ para x = 5 ý p =1 entonces x Ep x dp E p p=1 Ex Para x = 3 .92 3. 1 Ep x ∆p E p p=1 5 ( 0.1 ( − 10 ) ( 1. 05 ) p 2 − p1 Ep 5 + 3 .46 p 1 2 • x 2 − x 1 ⇒ E x = 1 + 1 .arco con base en los valores medios de cantidad y precios.1 • 3.5 5 b. 1 • ( − 1. la hallamos mediante la fórmula. Ex Ep Facultad de Ciencias Ex Ep 472 = p p +p = − 2. 155 =− ≅ − 2.5 = ⇒ = =− =− = − 2. 1 ⇒ E p = p=1. Para la elasticidad punto.1 ) 0 .395 .1 x1 + x 2 .1.95 Básicas e Ingeniería.95 1 .95 y p = 1.95 ( 0. Para el punto correspondiente al cambio en el precio. 95 0 .Como tenemos los incrementos y el punto.1 ) 0 .05 10 . = 1 ( −10 ) ( 1) = − 2 5 1 . Ex p ∆x Ex = ⇒ Ep x ∆p Ep = 1 .1 − 1 8.05 ) 1. calculamos la elasticidad mediante la fórmula: Ex p∆x Ex 1 ( − 1.p =1 −1 c. 1 ) = − 3 . 10.m. ¿Cuál es la elasticidad cruzada de la demanda del maíz cuando el precio del trigo varía de 8 a 10? Solución Lo primero que vamos a hacer es despejar el precio en la función de demanda:  x −12  x = 12 + 5p 2 / 3 ⇒ x −12 = 5 p 2 / 3 ⇒    5  3/ 2 =p Conocemos la fórmula con la cual podemos hallar la elasticidad cruzada: Ex p dx = Ep x dp Ahora hallemos la derivada dx/dp: x = 12 + 5p2 / 3 ⇒ dx / dp = 10 −1/ 3 p 3 Reemplazamos: diferencial Ex p dx E p 10 10 p = ⇒ x = • = 2 / 3 3 3 Ep x dp E p 12 + 5 p 3 p 36 p + 15 p Calculamos la cantidad demandada de maíz para cuando el precio del trigo es de u.Ejemplo 2 La demanda del maíz está relacionada con el precio del trigo como sigue: x = 12 + 5 p 2 / 3 En donde x es la cantidad demandada de maíz ( en una unidad conveniente de peso) y p es el precio del trigo ( por ejemplo. en unidades monetarias por la unidad de peso que establezca para el maíz). ¿Cuál es la cantidad demanda del maíz cuando el precio del trigo es de u.m. Determinar la ecuación para la elasticidad cruzada de la demanda del maíz con respecto al precio del trigo.10?.8?. 473 . ¿Cuál es la cantidad demandada de maíz cuando el precio del trigo es de u.8 Cálculo y luego cuando sea de u.m.m. la función de demanda está representada por una hipérbola equilátera generalizada. la representada por el tipo generalizado de hipérbola equilátera. un tipo de función. En muchos análisis teóricos. tiene una elasticidad constante. cuando es conveniente tener una elasticidad Básicas e Ingeniería. Sin embargo.42 E p p = 8 36 3 8 + ( 15 ) ( 8 ) ( 36 ) ( 2 ) + 120 192 12 Para p = 10 y x = 12 + 5 3 100 Ex 10 (10 ) 100 = = ≅ 0. Facultad x= 474 a pm ⇒ dx = − amp − m −1 dp . o como lo llaman los economistas en su ámbito de variación.UNAD invariable de la demanda en el todo el dominio. Si la función de demanda se expresa mediante la hiperbole equilátera generalizada: x= a pm Para calcular la elasticidad.p = 8 ⇒ x =12 + 5 3 64 = 12 + 5 : 4 = 32 p = 10 ⇒ x = 12 + 5 3 100 Como la elasticidad cruzada es: Ex 10 p = 3 Ep 36 p + 15 p Entonces para p = 8 y x = 32 tendremos: Ex 10 ( 8 ) 80 80 5 = = = = ≅ 0 . en general. debemos hallar la derivada y reemplazarla en la expresión de Ciencias de la elasticidad. 44 3 3 E p p = 10 36 10 + ( 15 ) ( 10 ) 36 10 + 150 La elasticidad de una función no es. constante en todo su dominio. la elasticidad de la demanda es la constante . es decir. p = f ( x ).2 Función ingreso Para cualquier función de demanda dada. el número de unidades demandadas.5. En términos de cambios aproximados en el precio y en la cantidad demanda. el ingreso. Ejemplo 3 Obtener la elasticidad de la demanda x con respecto al precio p. un incremento del 1% en el precio tiene como consecuencia una disminución del m% en la demanda. esto es: I = xp = x f ( x ) y el ingreso marginal con respecto a la cantidad demandada es: diferencial dI dp =x +p dx dx La elasticidad de la demanda con respecto al precio es: Cálculo Ex p dx = Ep x dp 475 . y p. el precio por unidad de la cantidad demandada. es el producto de x. para la función: p= 10 x 5/ 4 De conformidad con lo visto inmediatamente la elasticidad debe ser: − 5 / 4 . es decir . Solamente una hipérbola equilátera generalizada tiene elasticidad constante en todos sus puntos. para diferentes puntos sobre la curva. la elasticidad varía para diferentes valores de x ý p. E x Ep = −5/4 2. a cualquier nivel de precio y de cantidad. Para cualquier otro tipo de función.m. pm Ex p dx Ex = ⇒ = p   a Ep x dp Ep  ( )   − amp − m − 1 = − m   Esto es. I. luego: Básicas e Ingeniería. I podríamos considerarlo también como una función del precio.UNAD I = G ( p ) Ejemplo 1 La demanda para un bien en particular está dada por la expresión: ( x + 6 ) ( p + 12 ) = 360 donde x es la cantidad demandada y p es el precio por unidad. ¿Cuál es el ingreso total y el marginal si los precios son: i) 6.y dado que. ii) 8 y iii)12. tenemos: dx    1 + p =p  1+ E  E  x  x x   Ep  Ep     xp        De una manera alternativa: dI dp =x +p =p dx dx  x dp   + 1 = p p dx   E   1+ p  E x       1    = p  1+   E x     E p   El ingreso marginal puede ser positivo o negativo. Facultad c. I = xp = pg (p ) = G ( p ). dx 1 = dp dp / dx al reemplazarlo en la ecuación anterior y despejar dp/dx tenemos: Ex p = Ep x 1 ( dp / dx ) ⇒ dp = dx p  E  x x   Ep    Ahora reemplacemos la ecuación anterior en dI dp dI = x +p ⇒ = dx dx dx dI . de Ciencias a. Determinar la expresión para el ingreso total y para el ingreso marginal. Logicamente. A partir del ingreso marginal hallar la expresión para la elasticidad de la demanda. 476 . b. esto es: p= 360 − 12 x+6 ý dI 1728 − 144 x − 12 x 2 = dx (x + 6)2 reemplazamos: Cálculo Como diferencial Ex p = Ep I' ( x ) − p 477 . Como ya conocemos el precio en función de la cantidad demanda y además la elasticidad en función del precio y el ingreso marginal. al despejarla de la ecuación anterior. para ello recordamos que el ingreso total es el producto de la cantidad demandada por su precio. Vamos a expresar el ingreso total en función de la cantidad demanda. I. El precio lo obtenemos de la expresión para la demanda: ( x + 6 ) ( p + 12 ) = 360 ⇒ p + 12 = 360 360 ⇒p= − 12 x+6 x +6 Entonces el ingreso total. es:  360  288 x −12 x 2 I ( x ) = xp = x  − 12  = x +6  x +6  El ingreso marginal lo hallamos mediante la derivada del ingreso total: dI ( x ) ( x + 6 ) ( 288 − 24 x ) − ( 288 x −12 x 2 ) 1728 + 144 x − 24 x 2 − 288 x +12 x 2 = = dx ( x + 6 )2 ( x + 6 )2 dI 1728 − 144 x −12 x 2 = dx ( x + 6 )2 b. es to es: I = xp.Solución a. nos resta hacer los reemplazos pertinente. entonces: dI = I' ( x ) = p dx   1   1+ E x   E p    I' ( x ) 1 I' ( x ) − p 1  =  ⇒ p = 1+ E ⇒ Ex p x   Ep Ep  Entonces logramos la expresión para la elasticidad en función del precio y el ingreso marginal. 4 225 . x ( 12 ) = −6 =9 8 + 12 12 + 12 Los ingresos totales serán: Básicas e Ingeniería. x = 12 ) = 12 x 8 = 96 ( ii ) I ( p = 12. x = 9 ) = 9 x 12 = 108 ( iii ) Los ingresos marginales serán: dI ( x ) 1728 − 144 x − 12 x 2 = = I'( x ) dx ( x + 6 )2 Reemplazamos los valores: I ' ( p = 6.UNAD I = xp ⇒ I ( p = 6. x =14 ) = de Ciencias I ' ( p = 8 . entonces nos dx damos cuenta de la conveniencia de hallar la cantidad demanda a los precios así: p =6 ⇒ x +6 = x ( 8) = 360 360 360 ⇒ x= −6 ⇒ x (6) = − 6 = 14 p + 12 p + 12 6 + 12 360 360 − 6 = 12. Como nos solicitan el ingreso total y marginal y como este último es dI . x = 12 ) = Facultad I ' ( p = 12 . x = 14 ) = 14 x 6 = 84 (i) I ( p = 8. x = 9 ) = 478 1728 − ( 144 ) ( 14 ) − 12 ( 14 ) 2 ( 14 + 6 ) 2 1728 − ( 144 ) ( 12 ) −12 ( 12 ) 2 (12 + 6 ) 2 1728 − ( 144 ) ( 9 ) −12 ( 9 ) 2 (9+ 6) 2 = = − 6 .6 = − = 33 5 − 1728 16 = − = − 5 .360 −12 Ex x +6 360 ( x + 6 ) −12 ( x + 6 ) 2 = = Ep 1728 − 144 x −12 x 2 360 1728 − 144 x − 12 x 2 − 360 ( x + 6 ) + 12 ( x + 6 ) 2 − +12 x +6 ( x + 6 )2 Efectuando las operaciones: Ex 360 x + 2160 −12 x 2 − 144 x − 432 = = E p 1728 −144 x −12 x 2 − 360 x − 2160 + 12 x 2 + 144 x + 432 E x 1728 + 216 x − 12 x 2 = Ep − 360 x c.33 324 3 − 540 = − 2 . la función de la oferta despues del impuesto es: pt = g ( x ) + t Si la función de demanda es p = f ( x ). entonces el punto de equilibrio antes de impuestos. E ( xt. Observemos que un subsidio lo podemos 479 . La función de la oferta se puede representar mediante p = g ( x ). y en consecuencia. y (iii) un impuesto de t unidades monetarias se aplican a cada unidad producida del bien o la comodidad. analicemos cómo serán los ingresos por concepto de un impuesto. en donde x representa el número de unidades del artículo ofrecido y p es el precio por unidad. el cual incluye el impuesto.5.2. geométricamente. t unidades hacia arriba. Demanda: p=f(x) y oferta p = g ( x ) El punto de equilibrio después del impuesto. lo que equivale a lo siguiente: las mismas cantidades diferencial se ofrecen a precios mayores.p) es la solución simultánea de las ecuaciones. a trasladar la curva de oferta original. suponemos que al gravar un bien con un impuesto el precio al consumidor aumentará. oferta pt = g ( x ) + t Vemos que lo anterior es equivalente. Si se aplica un impuesto de t unidades monetarias por unidad.3 Ingresos por impuestos Normalmente los gobiernos establecen impuestos sobre un determinado bien o servicio. o bien. Demanda: p = f ( x ). yt ) es la solución de las ecuaciones. a los mismos precios se ofrecen cantidades menores del bien considerado. el incremento en el precio correspondiente al punto de Cálculo equilibrio es menor que el valor del impuesto. en el cual el precio no depende de la cantidad producida. Excepto en el caso de precio constante. (ii) los productores ajustan la curva de oferta al nuevo precio. Entonces nos referimos al efecto que tienen los impuestos sobre el equilibrio del mercado en las condiciones siguientes: (i) existe un mercado de competencia pura en el cual la cantidad por los consumidores demandada depende únicamente del precio ( la función de la demanda no cambia). E ( x. Claro. la cantidad de demanda disminuirá. Ejemplo 1 Determine la expresión para el ingreso por concepto de un impuesto de t por unidad. Solución Debemos obtener la función de la oferta después del impuesto. − 20 + x + t + 2 x 2 = 0 Aplicamos la ecuación cuadrática: x= −1 ± 1− 4 ( 2 ) ( t − 20 ) −1 ± = 4 Solo tiene sentido económico x = Facultad T = tx t = 480 1 4 1+ 160 − 8. esto es: p=5+x+t Ahora calculamos el punto de equilibrio mediante la solución del sistema: y p=5+x+t Básicas e Ingeniería. El ingreso total T por concepto de impuestos percibido por el gobierno como resultado del gravamen de t por unidad del bien es igual a : T = txt donde xt es la cantidad del bien correspondiente al punto de equilibrio después del impuesto. si la función de demanda es p = 25 − 2 x 2 y la de oferta antes del impuesto p = 5 + x. el precio al consumidor decrecerá y la cantidad demandada se incrementará. t − 1± = 4 −1 + ( −1 + 161 − 8t 4 161 − 8t 4 ) 161 − 8t • t . La curva de oferta se desplazará entonces hacia abajo un número de unidades equivalente al importe del subsidio.considerar como un impuesto negativo.UNAD o sea: de Ciencias p = 25 − 2 x 2 Por consiguiente el ingreso por concepto del impuesto es: 25 − 2 x 2 = 5 + x + t . 5. Tenemos que ser reiterativos en que estamos interesados en presentar aplicaciones de la derivada y solo eso. El ingreso total que recibe. y cuando la oferta aumenta. U = I − C = xp − xc Suponemos que el monopolista maximizará sus ganancias. suponemos que es conocida la función de demanda p = f(x). en donde p = f ( x ) La utilidad total U es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Trataremos utilidad en operación de monopolio. ingreso total captando por el gobierno que provenga de la imposición de un gravamen y modelos de inventarios. I.4 Optimización en Economía Vamos a considerar de una manera muy somera problemas de valores críticos en la Economía. En las formas más comunes de competencia imperfecta en el mercado. C = xC Presumimos que el monopolista controlará la oferta x ý por consiguiente el precio p (determinado mediante la función de demanda). lo hacemos a parte por lo peculiar del tema. el precio es relativamente alto. y que el precio que el consumidor debe pagar depende unicamente de la cantidad demandada. efectos de los impuestos sobre la operación en monopolio. cuando la oferta es limitada. entonces el costo total C de producir x unidades es. I = xp . entonces U tiene un máximo Cálculo diferencial relativo si y solo si: 481 .2. de tal manera que le favorezca sus intereces. el precio disminuye. (como una función de la cantidad producida). es. Si C representa el costo promedio de producir una unidad de un cierto bien o articulo. En una situación de monopolio el monopolista controla el precio regulando la oferta de la comodidad en cuestión. U = 26 x − 3 x 3 − 3 x 2 − 2 x −14 482 . Conocemos la función de demanda y de costo promedio por lo tanto.dU dU dI dC dU dI dC =0 ⇒ = − si = 0⇒ = dx dx dx dx dx dx dx dI dC = dx dx Luego: además d2U dx 2 < 0 o sea d 2I dx 2 < d2 C dx 2 Para que tal punto máximo sea relevante. la utilidad es dada explicitamente mediante la ecuación: U=I-C=xp-x C Reemplazamos: U = x ( 26 − 3 x 2 ) − ( 3 x 2 + 2 x + 14 ) Simplificamos y tomamos la derivada con respecto a x. U. Solución Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD La función a optimizar es la utilidad del monopolista. Ejemplo 1 La función demanda para un bien en particular es: p = 26 − 3x 2 El costo promedio del monopolista para producir y comercializar el bien es: C = 3x + 2 + 14/x Hallar la utilidad máxima que el monopolista puede alcanzar. debe ocurrir en el intervalo para el cual las funciones de costo y de demanda tienen un significado económico. no tiene sentido económico. U = 32 − 48 64 112 162 − 112 50 − − 14 = 18 − = = 9 9 9 9 9 La aplicación de un impuesto t (por unidad) a un artículo producido por un monopolista. incrementa en t el costo promedio.dU = 24 − 6x − 9x 2 dx Igualamos du a cero dx 0 = 24 − 6 x − 9 x 2 = − 3 ( 3x 2 + 2 x − 8 ) Factorizamos la expresión : − 3 ( x + 2 ) ( 3x − 4 ) = 0 Con lo cual x = − 2 . x = 4/3.Ct = I . C t = C + tx diferencial La utilidad después del impuesto es: Cálculo U = I . Hallamos la derivada segunda de la utilidad :  d 2U   = − 6 − 18x →  < 0 ⇒ máximo 2  2  dx  dx  x = 4/3 d2 U La máxima utilidad : U = 24 ( 4 / 3 ) − 3 ( 4 / 3 ) 2 − 3 ( 4 / 3 ) 3 − 14 Simplifiquemos.tx 483 . y en t x el costo total.C . En tal caso el precio de equilibrio y la cantidad para la cual la utilidad del monopolista es máxima después del impuesto. la podemos obtener al maximizar las utilidades empleando para ello la función de costo después del impuesto. De la misma manera. Ingreso total El ingreso total captado por el gobierno es : Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. T es otra vez una función de t y resulta nula si t es cero.UNAD T = tx en donde x representa la cantidad producida después de que se establece el impuesto. T alcanzará un valor máximo que puede evaluarse por el procedimiento usual. y el precio resultará incrementado después de la imposición. 484 . traslada una distancia t hacia arriba. un subsidio se puede considerar como un impuesto negativo.U tiene un máximo relativo si y solo si dU dU dI dCt dI dC d ( tx ) = 0. no es sino la del costo marginal antes del gravamen. es decir = − = − − dx dx dx dx dx dx dx con lo cual tendremos dI dCt dI dC t − =0 ⇒ = dx dx dx dx Como d2 U dx 2 debe ser negativo para un máximo. Por consiguiente. o cuando tenga un valor lo suficientemente grande que provoque que el producto quede fuera del mercado. y el análisis general no se modifica. la cantidad producida para obtener la utilidad máxima se verá disminuída. entonces: d2 I dx 2 < d 2 Ct dx 2 En vista de que la gráfica del costo marginal después de impuestos. La demanda después de la imposición del gravamen es la misma.x2 Oferta 5+x=P Solución Debemos maximizar el ingreso del gobierno t. El punto de equilibrio lo obtenemos al resolver el sistema. La oferta después del impuesto es : p = 5 + x + t. p = 25 − 2 x 2 ý p = 5 + x + t ⇒ 25 − 2 x 2 = 5 + x + t Despejamos para x : 2 x 2 + x − 20 + t = 0 ⇒ x = − 1± 1− 4 ( 2 ) ( t − 20 ) − 1± = 4 161 − 8t 4 La expresión explicita para el ingreso del gobierno es :  − 1+ 161 − 8t T = tx = t   4      Derivamos la expresión para T con respecto a t :  dT − 1+ 161 − 8t −8 = +t  dt 4  ( 2 ) 4 161 − 8t     Simplificamos : 4 161 − 8t = 161 − 12 t − 161 − 8t 4 161 − 8t dT a cero : dt 0 = 161 − 12t − 161 − 8t 4 161 − 8t Cálculo Igualamos 161 − 8t + 161 − 8t − 4t diferencial − dT = dt 485 . si la demanda y la oferta son : Demanda p = 25 .Ejemplo 1 Determir el ingreso máximo del gobierno que puede obtener aplicando un impuesto t ( por unidad ). UNAD  115  161 −12  −  9  ⇒ 483 − 460 − 3 4 ( 115 )  115  161 − 8   = 0 ⇒ 161 − − 3  9  529 3 = 23 23 115 − .La fracción es igual a cero si su numerador es cero. entonces : 161 −12 t − 161 − 8 t = 0 ⇒ 161 − 12 t = 161 − 8 t Suponemos que los dos miembros son positivos. Hagámoslo: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. elevemos al cuadrado : 25921 . la raiz es solución de la ecuación.8 t Simplifiquemos : 144 t2 .3856 t + 25760 = 0 → 16 ( 9t2 .241 t + 1610 ) = 0 Despejemos para t. 3 3 9 Ahora con 14: 161 −12 ( 14 ) − 161 − 8 ( 14 ) = 0 ⇒ 161 −168 − 161 − 112 ≠ 0 luego 14 es una raiz extraña.3864 t + 144 t2 = 161 . nos lleva a que verifiquemos si las raices son de la ecuación o no. t2 = = 14 18 18 9 18 El hecho de que elevemos al cuadrado. mediante la fórmula cuadrática: t= t= ( 241 ) 2 − 4 ( 9 ) ( 1610 ) 241 ± 18 241 ± 121 = 18 = 241 ± 58081 − 57960 18 241 ± 11 230 115 252 ⇒ t1 = = . dT 1 =− + dt 4 486 161 − 8t − 4 1449 − 920 ⇒ 9 t 161 − 8t ⇒ . Hallemos la derivada segunda de T con respecto a t. con el diferencial costo de escacez de los artículos producidos o en existencia. se nos presentan diversas situaciones de acuerdo con la naturaleza de la Cálculo demanda.5 Modelo de inventarios Ahora veamos el modelo de inventario. y en algunos modelos. ( iii ) el costo de no tener suficientes existencias de los productos. Los costos del inventario son de tres tipos: ( i ) el costo de surtir un pedido o de iniciar una tanda de producción ( costo de preparación de manufactura ). El control de los inventarios intenta equilibrar la economía respecto de pedidos grandes o partidas de producción de gran magnitud.5. con los procedimientos utilizados para surtir o producir.8 t > 0 ⇒ Calculamos el ingreso para t =  −1 + 161 − 8t T = tx = t   4  T= 115  −1 + 36   − t ( −1 / 2 ) ( 161 − 8t ) − 3 / 2 ( − 8 ) 161 > 8t ⇒ 161 d 2T > t. con el costo de mantenimiento del inventario. < 0⇒ 8 dt 2 máximo 115 ⇒ 9  115   115  − 1+ 161 − 8 9 =  9  4          529  115  − 3 + 23  115 ) ( 20 ) ( 115 ) 5 575 = = =  = 3  36  3 108 27 27   Entonces el ingreso máximo es 575 27 2. incluyendo el costo de capital o intereses y el costo de almacenamiento ( costo de conservación o mantenimiento). El objetivo del control de inventario es el de minimizar el costo total del citado concepto.d2 T dt 2 d2 T dt 2 = = −8 (4)(2) −2 161 − 8t Para t > 0 y 161 − 8 t − − 1 161 − 8 t 4t (161 − 8 t ) 3 161 . En la práctica. incluyendo la perdida de la buena imagen comercial ( costo de la escacez). ( ii ) el costo de llevar o constituir el inventario. con la facilidad de 487 . Los modelos de inventarios que vamos a tratar en esta sección tiene como característica el supuesto de que la demanda es conocida y uniforme. en muchas situaciones en que interviene la demanda de un insumo para la producción. El costo total del inventario por periodo es. Los modelos que consideramos también suponen que el costo de preparación de manufactura. no hay escacez del bién considerado. al menos como una aproximación. con los riesgos de la escacez y algunos otros. La notación que utilizaremos será: D = demanda por período C1 = costo de preparación de manufactura Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. aquí daremos algunos aspectos que son fundamentales. Vamos a ver dos tipos de modelos de inventario uno por lotes y el otro continuo. Esto es.UNAD C2 = costo de mantener una unidad en inventario por período q = número de artículos que deberán ser incluídos en inventario cada vez.almacenar. Ningun modelo de los que vamos en esta sección admiten la escacez de los bienes. El inventario promedio es q/2 y el costo de mantener el inventario por período es ( C2q )/2. Aunque estos temas se trabajan con mayor detalle en el área de investigación de operaciones. esta totalmente alejado de la realidad en muchos casos referentes a la demanda de bienes al menudeo. Modelo A: demanda uniforme. Para estas situaciones es más apropiado un modelo que considere la demanda probable de la comodidad o el producto. Hay D/q lotes por período. no trataremos los modelos probabilísticos sino los determinísticos. el costo unitario del mantenimiento del inventario y el costo de la escacez no dependen del numero de artículos considerados. ingreso por lotes. A pesar de que este supuesto puede ser apropiado. por consiguiente: C q CD C= 2 + 1 2 q 488 . por lo cual el costo total de preparación es ( C1D )/q. ingreso continuo. t1 = tiempo durante el cual los artículos son colocados en el inventario. C1 = costo de preparación de manufactura. Modelo B: demanda uniforme. 489 . q = número de artículos que deberán ser colocados en el inventario durante la formación del mismo con el objeto de minimizar el costo total del inventario.dC Para que el costo sea minimo dq = 0 . De modo que 2C1 D C2 artículos deberan ser colocados en el inventario cada D/q veces por periodo. k = número de artículos que entran por período ( a una tasa uniforme ) durante la formación del inventario. entonces : dC C 2 C1D C C D 2c D = − ⇒ 2 − 1 = 0 ⇒ q2 = 1 ⇒ dq 2 q 2 q c2 2 2 q= 2C1D C2 Así que C es mínimo si q = 2C1D C2 . Cálculo t = t1 + t2 = tiempo requerido para un ciclo del inventario. C2 = costo de mantener un artículo en inventario por período. D = demanda por periodo. no hay escacez de bienes. diferencial t2 = tiempo durante el cual no se colocan artículos en el inventario. dq = 0 . ( 2C1D ) / C2 ( 1− D / k ) artículos deberán ser colocados en el inventario D/q veces por período. 2 k  q2  dC Para que el costo total sea mínimo.UNAD q2 = Ahora hallemos d 2C dq 2 = 2 C 1D q3 >0 2C1D ⇒ C2(1− D/ k) q= 2C1D C2 (1−D /k) d 2C dq2 entonces se trata de un mínimo. El costo de llevar inventario por periodo es. 490 . Por lo tanto. Así que el costo total del inventario por periodo es. C2 ( q − D t1) C2q ( 1− D / k ) = 2 2 y el costo de preparación de manufactura es C1 ( D/q ). Así C es mínimo si q = ( 2 C1D ) / C2 (1 − D / k ) . hallemos entonces la derivada dC 1 D CD  = C2  1 −  − 1 dq 2 k  q2  dC 1 D  C1D  si dq = 0 ⇒ 2 C2  1 − k  − 2   q Despejemos q: Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.Observamos que t1 = q/k ý t = D/q. 1  D CD C = C2q  1−  + 1 . Ejemplo 1 Suponga que la demanda de un producto son 30 unidades al mes y que los artículos se retiran de manera uniforme. El costo de producción es 1 u.30 u.m. esto es: C = C1 + C3q + C 2q 2 2a 2D el costo total por unidad de tiempo es: C + C 3q + C2 q 2 / 2a DC1 C q Ct = 1 = + DC 3 + 2 q/D q 2 La cantidad óptima la hallamos mediante la deriva con respecto a q : DC C dCt =− 1+ 2 dq q2 2 El punto crítico en − dCt dq = 0.u. Solución Obtengamos el costo total. 3 0.83 meses D 30 Cálculo t= 491 . que tiene como componentes el costo de la corrida y el costo de almacenamiento. la obtenemos sencillamente por medio de : q 54. 3 ( 30 ) ( 30 ) 30 = = 30 0.77 3 diferencial q= Para determinar en que tiempo debe hacer la corrida.m. por artículo por mes. DC1 C 2 DC1 C 2 2 DC1 + =0 ⇒ = ⇒ =q2 ⇒ q = 2 q2 2 2 C q 2 20C t C2 reemplazamos los valores: 2 ( 30 ) ( 15 ) = 0. Suponga que no se permiten faltantes.77 = ≅ 1.3 10 ≅ 54 .m. determine cada cuándo conviene hacer una corrida de producción y de qué tamaño debe ser. por artículo y el costo de mantener un inventario es de 0. entonces. El costo fijo de preparación cada vez que se hace una corrida de producción es de 15 unidades monetarias. . 1 x . Si la función R ( x ) = 50x − 1 2 x y C ( x ) = 4x + 10.¿Cuál será la cantidad de sustancia.40 por Kg. apra una utilidad de 1. Sea I ( x ) = 600 x − a. Donde x = cantidad en Kg de sustancia t C costo en dólares. en la producción de una sustancia esta dada por C (x) = 4 x + 6 . R ( x ) = 600 − Rta. Adem{as 2 1 2 el costo de producir x prendas está dado por. Rta. a. Ingreso = 1. ¿Cuál será el ingreso total? b. 450 b. si el costo marginal es de $0. 25 kg x3 . 2.1.000 4 c. se obtienen en promedio 30 unidades por árbol. ¿Cuántos árboles se deben plantar con el fin de obtener la mayor producción?. 000 + x . 540 3. 4. 50 cu/kg b. de distancia? b.UNAD el precio por unidad está gobernada por la función: p ( x ) = 150 − c. 4 a. Cada ves que se siembra un árbol pro Km. Una compañía de confecciones determina que con el fin de vender x prendas. C ( x ) = 4. ¿Cuánto es el ingreso.048. la producción disminuye una unidad de fruta por árbol.6 unidades.14 a. 25 árboles 492 Ejercicio 3. La función de costo total C. En un cultivo de frutas. R ( x ) = 150 x − 1 2 x 2 3 2 x + 150 x − 4. a. ¿Cuál será la función ingreso marginal? b. las funciones ingreso 2 total y costo total respectivamente. ¿Cuál será el ingreso marginal cuanso se venden 20 aparatos? 3 20 x 2 b. la función ingreso total por la venta de x aparatos 20 para computador. P ( x ) = − 5. ¿Cuál será la utilidad total? Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 16 kg. cuando se venden 10 prendas? a. 4. cuando se siembran 20 árboles en Km 2 de terreno.? Rta. ¿Cuál será el número de unidades que se deben producir y vender para obtener la máxima utilidad? Rta. Como la función dy/dt es decreciente. como también la variable independiente puede ser otra que no sea el tiempo. esto se debe a que aunque la razón de cambio tiene intrínsicamente un sentido dinámico. La sentencia de que el desempleo continua creciendo nos dice que la derivada es positiva: dy/dt > 0 Hay una voz de aliento en el enunciado. Ejemplo 1 Las noticias dicen que el desempleo sigue creciendo pero a un ritmo menor y que posiblemente se está llegando al final de la recesión. su derivada es negativa. Solución A esta noticia le podemos dar un tratamiento matemático de la siguiente manera: supongamos que y representa el número de personas sin empleo en el instante t. como lo es el desempleo.6 La derivación en otras situaciones Lo primero que debemos hacer es precisar qué vamos a entender por «en otras situaciones». Empezamos con un ejemplo de tipo social. y que la función sea diferenciable. esto es: Cálculo d  dy  d 2 y <0  = dt  dt  dt 2 493 . vamos a tratar razones de cambio en las cuales la variable dependiente no necesariamente es la longitud o el espacio recorrido. y hagamos que y sea una función del tiempo .2. Debemos aclarar que el caso particular de aplicaciones en cuestión de tipo económico lo trataremos aparte. el ritmo de cambio del desempleo es la derivada dy/dt. es decir. aunque en algunos casos puede ser el tiempo. dy/dt esta decreciendo ( el desempleo sigue creciendo pero más lentamnte que antes). t. Con el fluir del tiempo «y» va cambiando. puesto que nos dice que el ritmo del crecimiento diferencial es menor. El consumo en las primeras cuatro horas es: y = (16 ) ( 4 ) − ( 4 ) 2 = 64 − 4 2 = 48m 3 / hr Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. ¿Cuál es la razón promedio de consumo durante las cuatro primeras horas?. La razón instantánea la calculamos imediante la derivada: dy  dy  = 16 − 2t . lo cual conlleva a que la recesión está llegando a su límite y pronto dy/dt será cero y entonces cambio de signo para lograr una reactivación de la economía. ¿durante las cuatro horas siguientes?.t − t 2 0 ≤t ≤ 8 a. Ejemplo 2 Supongamos que la cantidad total de agua ( en metros cúbicos) consumida por una pequeña comunidad durante las primeras horas t horas de la noche es: y = 16.Lo anterior lo resuminos. ¿durante esas ocho horas? b. lo malo de la noticia es dy/dt positivo.UNAD la razón promedio: oy 4 = 48− 0 = 12m3 / hr 4 la razón promedio para las cuatro horas siguientes: y = 4 8 y ( 8 ) − y ( 4) 16 ( 8 ) − ( 8 ) 2 − y ( 4 ) 128 − 64 − 48 16 = = = = 4 m3 / hr 4 4 4 4 b. ¿ Cuál es la razón instantánea de consumo para t=2? ¿ para t = 6? Solución a. pero lo esperanzador es dy2 /dt2 es negativa. para t = 2 ⇒   = 16 − 4 =12 m 3 / hr dt  dt  t=2  dy    = 16 − 2 ( 6 ) = 4 m 3 / hr dt   t=6 494 . ¿ A qué razón instantánea está cambiando el volumen. en cualquier tiempo t. como la altura está dada por la fórmula h = 0.000 t 2 ( 10 − t ) m 3 b. El volumen en las tres primeras horas incrementa: ∆V = V3 − Vo = 15.Ejemplo 3 Una represa sobre cierto río forma un lago con un área de 1.01t2 (10-t). como función del tiempo t.000 ( 3 ) 2 ( 10 − 3 ) = 15. V. en las tres primeras horas? ¿En las tres horas siguientes ? ¿En las seis horas? c.5 millones de metros cuadrados. 01t 2 ) ( 10 − t ) = 15 . será: V = 1'500 . 000 0.000 ( 9 ) ( 7 ) m 3 La razón promedio V será: o V3 = 945000 − 0 = 315000m3 / hr 3 En volumen para las tres siguientes horas incrementa en: [ ( 16 ) 2 ( 10 − 6 ) − ( 3 ) 2 ( 10 − 3 ) = 15000 [ ( 36 ) ( 4 ) − ( 9 ) ( 7 ) ] = 15000 ] diferencial ∆V = V6 − V3 = 15000 [144 − 63 ] Cálculo = 15000 [ 81 ] = 1215000 m 3 495 . Hallar la fórmula para v = volumen sobre el normal. entonces el volumen sobre el normal.01 t 2 (10 − t ) 0 ≤ t≤ 6 donde: h = altura sobre nivel normal ( metros) t = tiempo (horas) a. La altura del lago se eleva durante una tormenta de acuerdo con la fórmula: h = 0. ¿ Cuál es la razón promedio con la que cambia el volumen. b. El volumen sobre el normal es el volumen que va a tener la presa por la tormenta. ¿En el tiempo t = 1 ? Solución a. ( dP/dt)/P. ∆ P / ∆t . en términos absolutos. entonces: dv = 15000 dt [ 2t (10 − t ) − t ] =15000 ( 20t −3t 2 2 ) m3 / hr En el tiempo t = 1  dv  = 15000 ( 20 − 3) =15000 ( 17 ) = 255000 m 3 / hr    dt  t=1 Ejemplo 4 Durante los sesentas la población. P ( en millones). Hallar la tasa de crecimiento instantáneo en 1. es decir.UNAD a.000 m 3 / hr 3 V 6 − V0 15 . de América creció aproximadamente de acuerdo con la fórmula: P ( t ) = 180e 0.960.964 en términos absolutos dP/dt. y en términos relativos. 000 ( 0 ) ( 10 − 0 ) = = ( 15 . Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.13 −1 496 ) . Hallar la tasa de crecimiento promedio durante la década. La razón instantánea la calculamos mediante la derivada: Como V = 15000 t2 ( 10 . 013t donde t está en años contados a partir de 1. Solución a.000 ) ( 6 ) ( 4 ) = 360 .013x 0 = 180e 0 . 000 ( 36 ) ( 6 − 10 ) − 15. La década tiene 10 años por consiguiente.000 m 3 6 6 c. b.La razón promedio V será: 3 V6 = 0 V6 = 1'215000 = 405. el crecimiento en estos diez años en la población es: ( ∆ P ( t ) = 180e 0 .t ) + VN . VN lo consideramos como constante.13 − 180 = 180 e 0. el volumen normal del agua en el lago.013x10 − 180e 0. 05 ohmios y un condensador de 100 microfaradios y una fuente que suministra una corriente alternada modelada por la función 100 cos (200t).013) e 0.01 cos (200t) + 0.013x5 = 180 (0. 1964. debido a que ha transcurrido 1960. 0. 1961. La tasa instantánea en 1964. Hallemos la derivada. 1962.013 5 Un circuito eléctrico incluye una resistencia de 20 ahmios. 013x 5 = 0 .5 millones / año ∆t 10 b.065 ≅ 2. conlleva que t = 5. una bobina de 0.5 millones /año Para la tasa relativa se debe conocer la población. Podemos probar (utilizando las leyes de la electricidad) que la carga en este circuito en el en coulombios Cálculo q ( t ) = 0.013)e P’(5) = 180 (0.13 − 1 ) ≅ 2. No olvidemos que el último año con decena 6 es 69.13 − 1 ) = = 18 ( e 0.Entonces la tasa de crecimiento promedio en la década es: ∆P ( t ) 180 ( e 0. 1963.005 sen (200t) diferencial regimen estable es dada por: 497 .013t P’(t)=180(0. Hallar la corriente en el circuito en cualquier instante t. la cual es: P ( 5 ) = 180 e0.013 ) e0.013x5 Entonces:  dP / dt    P   1964 Ejemplo = 180 ( 0 . donde t se mide en segundos.013) e 0.013 x 5 180 e0. La corriente es entonces: dq = − 2 sen 200t + cos 200t amperios (en coulombios por segundo) dt Ejemplo 6 Determínese la razón de cambio de la energía cinética de una partícula con respecto a su velocidad. por v (t) la velocidad de la partícula en el tiempo t. También dt conocemos la segunda ley de Newton sobre el movimiento que afirma que: Conocemos que F = ma donde f ( t ) es la fuerza que actúa sobre la partícula en el tiempo t. Sabemos que la energía cinética de una partícula con masa m y velocidad v es: E= 1 mv 2 2 Por lo tanto: dE d = dv dv  mv 2   2    = mv   Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Solución Notamos por m la masa de la partícula. derivamos la función de energía con respecto al tiempo: dE dv = mv dt dt dv = a . demuéstrese que la razón de cambio de la energía cinética con respecto al tiempo es la fuerza que actúa sobre la partícula multiplicada por la velocidad. Por consiguiente: dE = mva = mav = F.v dt 498 .UNAD Ahora. por E(t) = la energía cinética de la partícula en el tiempo t. Siendo a la aceleración de la partícula en el tiempo t. Solución Hallemos el puntaje de las 4 horas de estudio mediante el valor de la función con t =4. 499 .25t ( 3 + 5e −0. 9 ) df ( t ) = f ' ( t ) dt ⇒ [ df ( t ) ] t=4= 3.25 ) e −025t ( 3 + 5e −0 . 25t 2 ) = 3 .9 x1 = 3. por estos ejemplos que las razones de cambio son derivadas y las reglas generales para la diferenciación nos permiten obtener relaciones entre las razones de cambio. En la aplicación a problemas específicos las funciones ( las variables ) que en ellos aparecen diferencial deben identificarse y uno debe conocer las leyes científicas que expresan las relaciones Cálculo entre estas funciones.25 t ) después de t horas de estudio.92701 ≅ 3. 25t 2 250 e −1 ( 3 + 5e −1 2 ) = 250 e −0.Ejemplo 7 Supongamos que una persona tiene un puntaje f ( t ) = 200/ ( 3 + 5e -0.9puntos Vemos.25 x 4 = ) 200 ( 3 + 5e −1 ) ≅ 41 Para el puntaje adicional por la hora de estudio. lo hacemos mediante la derivada: f' ( t) = f' (4) = − 200 ( 5 ) ( − 0. ¿Cuál es el puntaje de la persona después de 4 horas de estudio? Hallemos f’ (4) y hagamos un estimativo de cuántos puntos adicionales podría obtener la persona estudiando una quinta hora. f (4) = 200 ( 3 + 5e −0 . Trazar las gráficas de f ý f´´ sobre los mismos ejes. ¿ Cómo están relacionadas estas Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Hallar los máximos y los mínimos relativos de f.2.8 ). f: = x ( 2x.3 ) ( x+3. Trazar la gráfica de esta función. Trazar las gráficas de f ý f’ sobre los mismos ejes. A continuación presentamos unos ejemplos trabajados con detalle.3 ) ( x+3.3 ) * ( x+3. c.UNAD gráficas? d.¿ Cómo están relacionadas estas gráficas? Discutir la concavidad de f y hallar los puntos de inflexión de la gráfica de f.8 ) a. Estos son necesarios en muchas aplicaciones y problemas de la Matemática y resultan útiles en el trazado de la gráfica de una función.7 La computadora en las aplicaciones de las derivadas El propósito de esta sección es seguir explorando las capacidades de Maple para estudiar máximos y mínimos de una función. Solución Primero definimos la función f: > f:= x*( 2*x.8) 500 . b. La correlación entre la gráfica o las propiedades geométricas de las funciones y las operaciones algebraícas y analíticas llevadas a cabo sobre ellas es una de las características más importante de Maple. Ejemplo 1 Para la función f ( x ) = x ( 2x. De la gráfica los extremos son menores que 30 y Cálculo mayores que . La situación la podemos mejorar utilizando un intervalo menor para x. litle = ‘ plot for example 1 (a ) ). Maple siempre utiliza al intervalo [ − 10. ¿ La gráfica manual da una aproximación razonable a la gráfica trazada con Maple? b.4.4. >Digits: = 6. 10 ] para x. Ensayemos el intervalo ..4 < x < 3 ). 3/2. Esto deja la gráfica siguiente : 501 . utilizando estos hechos : ( i ) la gráfica cruza el ejedelasabscisas(X)enloscerosdef(x):x-=3. Digits: = 6 a. > plot ( f.10. diferencial Vemos dos extremos sobre la gráfica. la gráfica de f sobre el intervalo . Esta estimación que acabamos de hacer nos lleva a decidir el intervalo para y. Esta gráfica no nos es tan útil debido a que con la escala dada no nos muestran las características de la gráfica. Esto lo hacemos con el comando. y solo en estos puntos. para disminuir el tiempo de computadora. ( ii) La gráfica es lisa y es una curva continua por ser un polinomio. 0. tratemos de bosquejar la gráfica utilizando la información que tenemos de la función: Hacemos el bosquejo de la gráfica de f. Insistimos que cuando el comando «plot» se da sin ninguna especificación en el intervalo de x ( como lo acabamos de hacer ). o mejor si x → ∞ ⇒ f ( x ) → ∞ Ahora estamos listos para ordenar la gráfica de f por Maple. Antes de ordenar a Maple trazar la gráfica de f. ( iii ) Como x se hace grande f ( x ) también lo hace. > plot ( f ). 3.3 ( esto es. Primero lo hacemos aproximadamente por el solo hecho de analizar la gráfica hecha mediante Maple ( esto es. pero que nos queden incluidas todas las raíces..Reducimos el número de dígitos a seis. este intervalo es denominado el intervalo característico. 8.4 < x < 3). x = . De la gráfica de Maple podemos estimar las coordenadas de cada uno de los extremos. Deseamos hallar los puntos extremos de f. . 3.4 . 3. llamamos a Maple para que halle y’ (x) y entonces resuelva y’ ( x ) = 0 : > f prime : = diff ( f.8 ) + x ( 2x – 3 ) > roots : solve (f prime....2. 30. x = .2. y= .34394 > x 2 : = root [1 ]. f = x ( 2x ..8 ) > Digits: = 6. title = Plot for example 1 ( b ) ’ ). Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 30. x 2 : = .8 ) + 2x ( x + 3.810603 502 .UNAD f prime : = ( 2x –3 ) (x + 3.8 ).34394 (ver gráfico 3. x = 4. x).10. 810603. Para localizar los extremos con mayor precisión.10. y = .> f: x* ( 2*x -3)* ( x + 3.19 ) Estos son los dos puntos críticos donde f’ ( x ) = 0. x ). x 1 : = . la designamos por ‘ root [ 2 ] ’ > x 1 : = root [ 2 ] . Notémoslo como x1 ý x2 para referencias ulteriores. > Digits. x1 es el menor. title = ‘ plot for example 1 8a) ‘ ) : y 30 20 10 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x -10 FIGURA 3.18 Gráfica para el ejemplo 1 Plot ( f.3 ) ( x + 3. . Puesto que esta raíz está en la lista de segunda. = 6 > plot ( f. roots : = . La situación la podemos mejorar utilizando un intervalo menor para x. De la gráfica de Maple podemos estimar las coordenadas de cada uno de los extremos. 10 ] para x. >Digits: = 6.4. Esto lo hacemos con el comando. 8. este intervalo es denominado el intervalo característico. Primero lo hacemos aproximadamente por el solo hecho de analizar la gráfica hecha mediante Maple ( esto es.3. ( ii) La gráfica es lisa y es una curva continua por ser un polinomio. Maple siempre utiliza al intervalo [ − 10.10. Digits: = 6 a. pero que nos queden incluidas todas las raíces. ¿ La gráfica manual da una aproximación razonable a la gráfica trazada con Maple? b.. > plot ( f. diferencial Vemos dos extremos sobre la gráfica. Insistimos que cuando el comando «plot» se da sin ninguna especificación en el intervalo de x ( como lo acabamos de hacer ). Esta gráfica no nos es tan útil debido a que con la escala dada no nos muestran las características de la gráfica. la gráfica de f sobre el intervalo . o mejor si x → ∞ ⇒ f ( x ) → ∞ Ahora estamos listos para ordenar la gráfica de f por Maple. De la gráfica los extremos son menores que 30 y Cálculo mayores que .. 3/2. ( iii ) Como x se hace grande f ( x ) también lo hace. utilizando estos hechos : ( i ) la gráfica cruza el eje de las abscisas ( X ) en los ceros de f ( x ): x =.4 < x < 3). litle = ‘ plot for example 1 (a ) ).Reducimos el número de dígitos a seis. > plot ( f ). Esto deja la gráfica siguiente : 503 . tratemos de bosquejar la gráfica utilizando la información que tenemos de la función: Hacemos el bosquejo de la gráfica de f. x = .4 < x < 3 ). 3. y solo en estos puntos. Esta estimación que acabamos de hacer nos lleva a decidir el intervalo para y.3 ( esto es.4. para disminuir el tiempo de computadora. . Deseamos hallar los puntos extremos de f. 0. Ensayemos el intervalo . Antes de ordenar a Maple trazar la gráfica de f. 3. tittle = Plot for example 1 ( d )’). x = .= ( 2x .3 ) * ( x + 3 .. f2prime}.8 ) + x ( 2x .30. tittle = plot for example 1 ( c ) ‘ ): y 30 20 10 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -10 FIGURA 3.. X = . fprime. y = . > Digits: = 6 > f prime: = diff ( f.3 ) > plot ( { f.. 30. Y = -20. x ).> f : x* ( 2* x .8 ) .4 .4. fprime} . Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.20 Gráfica para el ejemplo 1 504 -20 2 3 x .3.3 ) ( x + 3..19 Gráfica para el ejemplo 1 -20 > f2prime: = diff (fprime. x ). f: = x ( 2x .8 ) > Digits: = 6.20 .3 ) ( x + 3.UNAD > plot ( { f. y 30 20 10 x -4 -3 -2 -1 1 -10 FIGURA 3.8 ) + 2x ( x + 3. Hay otro comando ‘ f solve ‘. que nos cuenta que Maple hace aproximaciones numéricas a las raíces reales. utilizando Z en lugar de x. puesto que es simplemente una forma de volver a enunciar el problema original.Ejemplo 2 Para la función h ( x ) = x5 – x4 – 15x3 – x2 + 28x + 7.1. 1. Lo que ha sucedido con el comando ‘solve’ de Maple es el de tener que hallar las raíces exactas. Este comando es precisamente el que necesitamos aquí: diferencial > f solve ( h. 505 . cada una calculada a seis dígitos. .47680. h: = x5 – x4 – 15 x3 – x2 + 28x + 7 Le pedimos a Maple que halle las raíces mediante la utilización del comando ‘solve‘ : > Solve ( h.47881.21748 Cálculo Maple ha hallado las cinco raíces. y como no hay una manera general de hacerlo por ser un polinomio de quinto grado..x ). 4. entonces no lo hace.x ). el número corriente de dígitos. >h : = x^5 – x^4 – 15* x^3 – 3* x^2 + 28*x + 7. Root of ( Z5 – Z4 – 15Z3 – Z2 + 28Z + 7 ) Esto no es muy útil.96299.2. .256496. a) Hallar las raíces de h ( x ) = 0 b) Trazar la gráfica para y = h ( x ) c) Hallar h’ ( x ) y trazar la gráfica para y = h’ ( x ) Solución Este ejemplo involucra un polinomio de quinto grado. Ahora seguiremos apreciando la capacidad de Maple para tratar una función aparentemente complicada. . 3 .5.5.. Por ensayo y error hallamos un intervalo que incluya los extremos de la función. Vemos que no tenemos elementos de juicio para determinar cual debe ser el mayor y menor valor de la gráfica en los varios intervalos. x = . title = ‘Another Plot for example 2 (b’) ).b) Ahora bien deseamos trazar la gráfica de h.50. la derivada de h ( x ).x = -3 . Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. podemos llevarla a una forma más específica mediante una elección conveniente para el intervalo y. Ahora utilizamos Maple para trazar la gráfica de h. estimamos que puede ser – 225. hacemos un bosquejo de la gráfica de h. Seleccionamos un intervalo que incluya todas las raíces : > plot ( h. x = . hprime: = 5x4 – 4x3 – 45x2 – 2x + 28 > plot ( h prime. Las características interesantes de la gráfica no están muy nítidas debido a la escala..21 Gráfica para el ejemplo 2 506 -220 2 3 4 5 x . Ahora comparamos las dos gráficas. c) Para obtener h’ (x). le pedimos a Maple que halle h’ (x) y luego trace su gráfica. con esto en mente. title = ‘ Plot for example 2 ( b ) ’ ). debemos hacer el trabajo correspondiente..UNAD > quit y 40 20 -3 -2 -1 1 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 FIGURA 3. > plot ( h. y = -225. x ).5.50. si los queremos tener.3.. > h prime: = diff ( h.. title= ‘Plot for example 2 (c) ´ ). para ello utilizamos las raíces de h ( x ) = 0 que obtuvimos en ( a ) y analizamos el comportamiento de h ( x ) cuando x se hace grande. Primero entramos la función : > f : = sen ( x ) + x* cos ( x^2 ). sobre − π ≤ x ≤ π ). En algunas versiones de Maple ( tales como para X – windows ) esto puede hacerse muy fácil utilizando el ratón. b) Hallar los máximo y mínimo locales o relativos c) Hallar el máximo y mínimo absoluto de f en el intervalo dado. x = . miramos los puntos donde f ’ ( x ) = 0. Para otras versiones tendrá que hacerse a ojo. title = plot for example 3 ( a ) ). f prime : = cos x + cos ( x2) – 2 x2 sen (x2) > Digits : = 6 Cálculo Digits : = 6 507 .. x). Maple lo hace así: diferencial > f prime : = dify ( f. f : = sen ( x ) + x cos ( x2 ) ( a ) Para trazar la gráfica de f sobre – Pi. Para determinar los máximos y mínimos de f con mayor precisión. Trazar la gráfica de f en el intervalo − π ≤ x ≤ π .Pi ( esto es. utilizamos el comando > plot ( f. y estimar en donde están ubicados los puntos extremos. b) La función f presenta varios máximos y mínimos locales o relativos.Pi..Ejemplo 3 Para la función f ( x ) = sen x + x cos x2 en el intervalo − π ≤ x ≤ π a.Pi. Podemos estimar las coordenadas de esto puntos de la gráfica. Maple puede hallar solo una raíz en cada ocasión.UNAD Repetimos el proceso para hallar un tercer punto crítico: > x3 : = f solve ( f prime.3).. Por ejemplo 1. 2. f )). y2 : = -.. por simetría el punto (-x1. El estimativo hecho anteriormente podría ayudarnos a hacer esto. especificando un intervalo que excluya la raíz ya conocida ( esto es..pi > x4 : = f solve ( f prime.2.40527 El punto ( x1. y1 = 1.10008 La gráfica nos indica que hay otro punto crítico en el intervalo abierto 2. x. (En general. x. x1 ) e incluya al menos otra raíz.. De la gráfica vemos claramente que (x1. x4 : = 3.08700 508 . f )). y3 : = 3.824635 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.7.f )).-y1) es un mínimo local o relativo.7. 1.. 2.y1) es un máximo local relativo. x )..pi). x1 : = -920110 Esto es una de las raíces de f’ ( x ) = 0. al resolver una ecuación que no sea un polinomio. > x2 : = f solve (f prime.2 ).50968 > y3 : = eval f ( subs ( x = x3.> x1 : = f solve ( f prime. x2 : = 1. y1 ) determinado por Maple debe ser próximo a uno de los que hemos estimado mediante el análisis de la gráfica.82428 > y2 : = evelf ( subs ( x = x2. para hallar otro punto crítico debemos utilizar ‘f solve’ de nuevo. x3 : = 2. x. En seguida hallamos el valor correspondiente de y: > y1 : = evalf ( subs ( x = x1. 22 Gráfica para el ejemplo 3 509 .2x2 sin ( x2) > plot ( 8 f. fprime: = cos ( x ) + cos ( x2 ) . title = Plot for example 3 ). fprime).Pi. x ).Pi. x = .Pi. title = plaot for example 3 (d ) ): y 8 6 4 2 -3 -2 -1 1 2 3 x -2 -4 -6 diferencial -8 -10 -12 -14 -16 Cálculo FIGURA 3.. f: = sin ( x ) + x cos (x2 ) > plot ( f . x = . y 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 x -1 -2 -3 > fprime: = diff ( f.Pi.> f: = sin ( x ) + x* cos ( x 2).. que valor de x en el intervalo 0 < x < 3 da el rectángulo de mayor area bajo la elipse. f )). Observamos que esta grafica tiene simetría. además la grafica de f presenta simetría alrededor del origen (esto es. f )). donde f tiene un valor de 3. es una función de x . (Igualando la derivada a cero..10008. > quit Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.21. Antes de concluir con el ejercicio. Queremos conocer. De una manera similar. específicamente la gráfica f’ (x) es simétrica alrededor del eje Y esto es. Cuando el área es expresada en términos de x .UNAD Ejemplo 4 Se inscribe un rectángulo en el primer cuadrante que tenga los lados paralelos a los ejes de coordenadas y un vértice sobre el arco de la elipse 4x2+9y2 =36.10008.> y4 : = eval f ( subs ( x = x4. y5 : = .3.Pi. el mínimo absoluto está en el punto – x3. la cual entonces buscamos maximizar por los métodos normales.Pi está en el punto x3. f ‘ (x) es una función par).83589 C) Aprovechamos la simetría de la función para cuncluir que el máximo absoluto sobre – Pi. donde f tiene el valor – 3.) 510 . title = Plot forexample 3 (c). x = -Pi.01549 Finalmente evaluamos f en los extremos : > y5 : = eval f ( subs ( x = pi.2. f es > una función impar). ¿ Cuál es el rectángulo de mayor área?. trazamos la gráfica para f (x) > plot ( f prime. etc.. y4 : = . en efecto. Para cada x hay un rectángulo cuya base y altura ( por eso su área) depende de X. Solución Aquí necesitamos un plan o estrategia. como lo mostramos en la figura 4. 0) FIGURA3. necesitamos una expresión para la altura del rectángulo. ahora le pedimos a Maple que resuelva la ecuación para y. De ésta manera podemos comenzar. su área es el producto de f por x. y ) . Puesto que el rectángulo de base x. de estas dos expresiones para y. queremos la que hace y > 0. > eq : = 4* x^ 2 + 9* y^2 = 36 eq : = 4x2 + 9y2 = 36 Resolvemos esta ecuación para y como una función de x. Llamamos a esta función f : > f : = “ [1 ] . y ) = 0).23 Gráfico para el ejemplo 4 x y Para conseguir una expresión para el área del rectángulo ( de base x) con un vértice sobre la elipse. ( Advertencia : Maple no puede trazar la gráfica de una ecuación dada en la forma de f ( x.y 4x2 + 9y2 = 36 (0. > solve ( eq. diferencial f : = 2/3 ( -x2 + 9)½ Ahora estamos en la parte crucial del problema : configurar la función que va a ser Cálculo maximizada. tiene altura f.2) (3. la cual la obtenemos al resolver la ecuación de la elipse para y en términos de x. Llamamos esta función g: 511 . Así la función para maximizar es x* f. Maple presenta dos soluciones. El intervalo apropiado para x es 0.3. y así.½ 9½ 2½. g prime : = 2/3 ( . ½ 9½ 2½. x ).12132 El área del rectángulo correspondiente a x crit ( esto es. Denominamos a este valor A: > A : = subs ( x = xcrit. 2. X Zeros : = . Esto es lo que podemos ver en la grafica. x crit : = ½ 9½ 2½ Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. . x = 0..UNAD > eval f ( ‘’ ). title ’’Plot for example 4). Verificamos esta conclusión analíticamente. > plot ( g. A:=3 De la gráfica parece que esto es un máximo más que un mínimo.x2 + 9 )½ .> g : = x* f.x2 + 9 )½ Resolvemos la ecuación g prime = 0 > x zeros : = solve ( g prime. g ). Para obtenerlo con precisión tomamos la derivada de g con respecto a x: > g prime : = diff ( g. con base de 0 á xcrit ) es el valor de g en x = x crit. g = 2/3 x ( -x2 + 9 ) ½ Para estudiar el comportamiento de g. trazamos su gráfica. de dos maneras: primero utilizaremos la prueba de la derivada segunda: 512 .3.2/3 x2/( . > x crit : = ‘’ [ 2 ]. Designaremos esta solución x crit .½ 9½ 2½. x ). Obviamente g tiene un solo máximo en la vecindad de x = 2. ½ 9½ 2½ Hay solo dos soluciones distintas de la ecuación y estamos interesados en la positiva.. 8/3 Por ser negativa la derivada segunda. x ). el otro a la derecha. vamos a utilizar la idea.25. g2 prime : = − 2 x 2 x3 − ( − x 2 + 9 )1/ 2 3 ( − x 2 + 9 ) 3 / 2 > subs ( x = xcrit. y x = 2. Como un método alternativo de verificar que g tiene un máximo local o relativo en x = xcrit = 2.25 como punto a la derecha de x = xcrit : > eval f ( subs ( x = 2. el segundo es negativo.12132.> g 2 prime : = diff ( g prime. g prime : = . Cálculo > quit.. 513 . g2 prime ). se trata de un máximo. entonces g presenta un máximo en x = xcrit: Ahora hallamos el valor de y que corresponde a x crit: > y crit: = subs (x = x crit.37798 El primer número es positivo. Seleccionamos x = 2 como punto de la izquierda. g prime )). evaluamos g prime en dos valores de x cercanos a x = x crit. 0298142 > eval f (subs ( x = 2. g prime )). Específicamente. de la prueba de la derivada primera. aunque no sea preciso el enunciado.f): y crit: = 1/3 91/2 21/2 Finalmente calculamos la razón de x crit a y crit: > x crit / y crit: diferencial 3/2 Observamos que este valor es el mismo como la relación de los dos semi ejes de la elipse. uno a la izquierda de x = xcrit. g2 prime : = . por lo cual se trata de un máximo. g prime : = . m.22. por pie cuadrado. en un extremo la profundidad debe ser de 2 pies y en el otro de 12 pies. Debe tener una capacidad de 5300 píes cúbicos. El fondo tiene un mayor costo y es de 2.MTH. el ancho x y le largo de y. Los dos extremos serán rectángulos. El costo para los rectángulos de los extremos es de 0. por pie cuadrado. necesitamos determinar la longitud y el ancho x que nos den como resultado el menor costo de la construcción.m.m) por pie cúbico para todo el estanque. Un bosquejo del estanque en la longitud notada como y y el ancho como x lo mostramos en la figura 4. Para hacer esto.95 u. así el volumen es 7xy el cual debe ser igual  2 2   a 5300 pies cúbicos. x 2 pies Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. Los costos de la excavación son de 0. entrar los datos y luego simplity y entrar.24 Gráfico para el ejemplo 5 x Lo primero que debemos hacer es determinar la ecuación para el volumen del estanque.25 u.A continuación presentamos un ejemplo utilizando el programa derive. Ejemplo 5 Necesitamos construir un estanque en el piso para criadero de peces. El fondo debe ser inclinado.UNAD y 12 pies FIGURA 3. por pie cuadrado.70 u. El costo para los párales es de 1. utilizamos una fórmula que sea: como profundidad el promedio  12 + 2 14  = = 7  . Para las aplicaciones de la derivada mediante derive debemos cargar el archivo DIF-APS.28 unidades monetarias ( u.m. 514 . 7 ( 14 x ) + 2 . la longitud del fondo es y 2 + 100 . 7xy = 5300 2. Entonces estamos listos para empezar con devive.También necesitamos determinar la longitud del fondo.28 (7xy) + 0.95  x  515 . 95   7x  7x     59 ( 49 x 2 + 280900 ) sign( x ) 14 + 49 x 13250 + + 1484 5 x Cálculo 5:   5300  2   + 100     7x     diferencial  3: 0. y = y = 5300 7x Entonces Author la función de costo C 0.5 (7y) + 2. la cual es simplemente la hipotenusa de un triangulo con catetos y ý 10 pies.28(7xy) + 0. Primero AUTHOR 7xy = 5300 Y soLve fory.95 (x sqrt( y¨^2+100)) Entonces ejecutamos Manage Substitute y reemplazamos y por y = 5300 7x Simplificamos esta expresión para conseguir la nueva función de costos en términos de x solamente .7(14x) + 2. queremos hallar el mínimo para la función de costo:  C=0. extremos.5(7y) + 2. es la suma de los costos de excavación. el fondo 2.28  7 x + 0 .70 (10x)= 0. C.7 (14x) + 2.7 (14x) + 2. laterales 2 (1. Los resultados 1. Los resultados en la pantalla:  ( y 2 + 100 )    5300    5300   x 4 : 0.28 (7xy) + 0. por esto.95 y 2 + 100 .5 (7y) + 2. Por consiguiente.70 (4x) + 0. párales longitudinales y el fondo.28 (7xy).70(14x). 5 7 + 2 . extremos 0.95  x  y 2 +100   Cuando 7xy = 5300. La función de costo.25) (7y). Excavación 0. 4610 14 70000 + 7337321538 849 3265025000 + 49 26. es como sigue. colocamos derive en el modo Aproxímate mediante la utilización del comando Options Precisión. − 13250 x 2 + 40 5 x = 26. 59 12. Determinamos la longitud relacionada y mediante Manage Substitute para reemplazar x por 26. El resultado después que ejecutemos appro X. y= 7 5300 26.1202 Volvemos al mode Exact utilizando Options Precision. con diferenciación con respecto a x y de orden primero.1202 en la presentación # 5 utilizando Manage Substitute y Simplify para obtener el costo total del estanque: 516 ( 49 261002 2 + 280900 ) SING ( 261202 ) 11. Digitamos simplify para ejecutar la operación la pantalla nos muestra esto: 6: d  59  dx   ( 49 x 2 + 280900 ) sign ( x ) 14 413 x 7. ( 49x 2 + 280900 ) 2 − 13250 + x2 +  49x 13250 + + 1484  5 x  40 5 Enseguida.UNAD 10. mediante la edición del comando Calculus Differentiale.Hallamos el mínimo de esta función. y = 28. 413 x 7. Entonces ejecutamos con cotas de 0 y 40 para conseguir el punto critico siguiente.9868 Reemplazamos x por 26. 59 7858274438 849 13. 1202 .1202 e la expresión para y (expresión # 2).1202 13250 + + 1484 5 26. ( 49 x + 280900 ) 2 2 8.1202 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería. 9. 4. 2 x 2 − xy + y 2 =16 . b. s medido en metros y t en segundos. ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m/seg? b.Autoevaluación 1.2) c. 5. Dada la ecuación para el movimiento rectilíneo. ( 2.5 t2 . (3. y 2 + 2 y − 4x + 4 = 0. hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto indicado. 3. − 2 ) 2.3 cos ω t. Para la circunferencia x2 + y2 = r2. a. Para las funciones propuestas a continuación.7t. hallar la posición y la aceleración cuando la partícula llega al primer momento en el diferencial cual está en reposo. t > 0 da la función de posición de una Unidad 3 2x + 1 a. y = 3 − x . La expresión s = t3 . hallar las ecuaciones de la tangente y normal y las longitudes de la subtangente y subnormal en el punto ( x1. ¿ Cuándo es 0 (cero) la aceleración? ¿Cuál es el significado de este valor de t? 20 4. y 1). ( 1. 517 . como s = 5t + t +1 .5 ) partícula. Cálculo x = 4 sen ω t . Las ecuaciones del movimiento de un punto son: y = 3 sen ω t + 4 cos wt ( ω es una constante). La arista de un tetrahedro regular tiene una longitud de 10 centímetros. 6. La cantidad de carga. C. 8. Básicas e Ingeniería. y además la cantidad demandada aumenta en el 30%. El volumen de una célula esférica en crecimiento es V = 4 3 πr .UNAD a. Supongamos que el costo. donde C se expresa en de Ciencias unidades monetarias. de producir x unidades de cierto producto está dado por la fórmula C = 10000 + 22x + x2/12000000. a. Halle la razón instantánea de cambio de V con respecto a r. 518 . Obtenga la elasticidad-arco en el punto correspondiente al cambio c. Dada la función de demanda p = ( x -4)2 si x = 1 y p = 9.1 centímetro por minuto. Cuando aumentaron sus ingresos a 1200 unidades monetarias.3t2 + 18t + 7. ¿Cuál es el costo marginal cuando x = 120000? 11. 7. pudo comprar 36 unidades de ese bien en el mes. que ha pasado por un punto de un conductor hasta el tiempo t ( medido en segundos) se expresa con: q = t3 . está incrementando a razón de 0. cuando r = 5 µm . Halle la corriente cuando (a) t = 3/2 seg.Determinar la trayectoria del movimiento y la magnitud de la velocidad y de la aceleración. q. Cuando los ingresos de una cierta persona eran de 1000 unidades monetarias al mes compraba 30 unidades de un bien en dicho lapso. Hallar la rapidez con Facultad la que incrementa el volumen.1 µm µm = 10−6 m b. Suponiendo que no hubo cambio en el precio del bien o en algún otro factor relevante. ¿ cuál fue la elasticidad de la demanda del bien con respecto a los ingresos de dicha persona? 9. Determinar la elasticidad-arco en el punto dado b. C. 10. y b) t = 4 seg. Evalúe la elasticidad arco con base en los valores medios de cantidad y precios. Determine la elasticidad -punto en los dos puntos d. en coulombs. 3 Hallar la razón promedio de cambio de V con respecto a r cuando éste cambia de i) 5 a 8 µm ii) 5 a 6 µm iii) 5 a 5. el número de artículos vendidos se incrementa en 100 por semana.4 = C. b) ¿ Cuán grande debe ser el descuento que ofrezca el fabricante para diferencial maximizar su ingreso? c) Si la función de costos semanal es C ( x ) = 68. Dada la cónica x2 + 3xy + 2y2 . Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 metros de distancia. si en un momento dado sus distancias hasta el punto de intersección de sus rutas eran iguales a « a » y « b » respectivamente. ¿ cuál tiene Cálculo que ser la magnitud del descuento para maximizar la utilidad ? 519 . La recta AB es tangente a la curva cuya ecuación es y = ex + 1 en A y cruza el eje Xs en B. 16.12.6 metros /seg. 17. La ley para la expansión adiabática del aire es PV1.m. hallar el máximo y mínimo valor de y. Dos barcos navegan con velocidades constantes u y v por rectas que forman entre sí un ángulo θ . a) Halle la función de demanda. Un fabricante ha vendido 1000 artículos por semana a 450 unidades monetarias (u. ¿En qué razón cambia la presión si el volumen disminuye a razón de 1 pie cúbico por segundo? 14. Si un hombre de 2 metros de estatura camina desde la lámpara hacia el edificio a una velocidad de 1. de descuento que ofrezca. Hallar las coordenadas de A si la longitud de AB es un mínimo.6y + 5 = 0. ¿Con qué rapidez decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando se halla a 4 metros de éste? 13. Una investigación de mercado indica que por cada 10 u.m.) cada uno.5x .000 + 150x. Si en un momento dado el volumen es de 10 pies cúbicos y la presión 50 libras por pulgada cuadrada. 15. Hallar la distancia mínima entre los barcos. hallar la Facultad velocidad que hace mínimo el costo del viaje si cubre una distancia L.02 pulgadas por segundo. 19. el área entre ellas la notamos por A. ¿Con qué rapidez incrementa A ( o decrece) cuando r1 = 4 pulgadas y está creciendo a una tasa de 0. ¿Qué dimensiones debe tener este cuerpo par que el área de la superficie total sea mínima. y C2 de radio r 2. Hallar las dimensiones del mayor paralelepípedo rectangular de base cuadrada el cual se puede cortar de una esfera maciza de radio r.2. b. g '' (0 ) =0 ( n = 1. Suponiendo que el costo por hora del viaje de un barco es a + bv n. si x ≠ 0 y f (0 ) = 0 tiene un mínimo en el punto x = 0. 24. n son constantes positivas. y que para t > 0. Básicas e Ingeniería. 520 . 21. de Ciencias Si (3/5) a < b < a. si su volumen es igual a V? 22.UNAD a. Demostrar que la función f ( x ) = e − 1 x2 . r1 es de 3 pulgadas y r es de 5 pulgadas. r2 > r > 0. Un cuerpo está formado por un cilindro circular recto que está rematado por una semiesfera. Hallar cuando el área A será máxima. r1 incrementa a una tasa constante de “a” pulgadas/ segundo y r2 incrementa a una tasa constante de “b” pulgadas. Suponiendo que en el tiempo t = 0. n > 1 y v es la velocidad del viaje.3 ) 20. 23.18. Comprobar que la curva y = x +1 x 2 +1 tiene atres puntos de inflexión situado sobre una recta. mientras r 2 = 6 pulgadas y está creciendo a una tasa de 0. Dadas dos circunferencias concéntricas.01 pulg/seg? b. Circunscribir entorno a una esfera dada un cono circular recto de volumen mínimo. donde a . de radio r1. y la función g ( x ) = xe − 1 x2 . C. si x ≠ 0 y g (0 ) = 0 No tiene un extremo en el punto xo = 0 apesar de que: f ' ' ( 0 ) = 0. El peso de la unidad de longitud de la palanca es k. ¿Cuál es la longitud de la palanca para que una carga P sea balanceada por la menor fuerza posible? ( El momento de la fuerza de balanceo Cálculo diferencial debe tomarse como igual a la suma del momento de la carga y el de la palanca) 521 . la carga.Una palanca de segunda clase tiene su punto de soporte en A.25. P. está suspendida del punto B ( AB = a). 522 Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería.UNAD . entonces la recta es una asíntota para la curva. por lo tanto. Aproximaciones a la raiz de una ecuación: un valor el cual es más próximo a la raiz que la anterior. y ) ∈ g y ( y. 523 . o también la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo. Si x → x −o ⇒ f ( x ) → − ∞ Composición de funciones: f og = } ( x . z ) ( x . obtenida por un método determinado. z ) ∈ f { diferencial fog = f [ g ( x ) ] Cálculo Concavidad hacia abajo: la curva presenta concavidad hacia abajo si su derivada segunda es negativa. Asíntota: si. la cuerda está por debajo del arco de la curva. la distancia del punto a la recta disminuye continuamente y se aproxima a cero. como el punto sobre la curva se aleja indefinidamente del origen. Si x → + xo ⇒ f (x ) → − ∞ Si x → x −o ⇒ f ( x ) → ∞ . para una curva dada.GLOSARIO Aceleración: razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Asíntota horizontal: decimos que la recta y = c es una asíntota horizontal para la función f ( x ) si se verifica alguna o algunas de las condiciones siguientes: lím f ( x ) = c x→∞ ó lím f ( x ) = c x→∞ Asíntota vertical: decimos que la recta x = x o es una asíntota vertical para la función f ( x ) si se verifica alguna o algunas de las condiciones siguientes: Si x → + xo ⇒ f (x ) → ∞ . existe una recta tal que. Si es instantánea la da la derivada de la velocidad con respecto a tiempo. Convexidad hacia abajo: la curva presenta convexidad hacia abajo si su derivada segunda es positiva. 524 . S ∈ S ⇒ s ≤ r . la cuerda queda por encima del arco de la curva. etc. la derivada del costo es igual a costo marginal. seguros. y bajo condiciones especiales. Costo de mantenimiento: costo de mantener un artículo en el inventario. Costo de ordenamiento: cada vez que se haga un pedido se incurre en una erogación. esto es lo que se denomina costo de ordenamiento. t es cota inferior si para cualquier elemento del conjunto S.Concavidad hacia arriba: la curva presenta concavidad hacia arriba si su derivada segunda es positiva. incluye el capital comprometido. Cota superior: para un conjunto S. S ∈ S ⇒ t ≤ s . Costo marginal: el costo que conlleva producir una unidad más. Costo: la erogación que se hace para producir un artículo o comodidad. la cuerda queda por debajo del arco de la curva. Cota inferior: para un conjunto S. por lo tanto. también es posible definirlo como la razón de cambio del costo. Básicas e Ingeniería. Costo por faltantes: el costo por no tener el artículo disponible cuando se necesita. r es cota superior si para cualquier elemento del conjunto s. Curva de demanda: curva la cual muestra la cantidad que el consumidor adquirirá a sucesión mediante la comparación con una sucesión conocida. impuestos. la cuerda está por encima del arco de la curva.UNAD Criterio de comparación: criterio que permite decidir sobre la convergencia de una de Ciencias Costo promedio: el costo total dividido por la cantidad producida. Facultad un precio dado. Convexidad hacia arriba: la curva presenta convexidad hacia arriba si su derivada segunda es negativa. espacio en el almacén. notada como : Ey Ex = ∆y / y ∆x / x = x ∆y y ∆x s i ∆x → 0 ⇒ Ey Ex = x dy mide la respuesta proporcional y dx de y a los cambios proporcionalmente en x. 525 . Derivada enésima: es la derivada de la derivada de orden «n . La elasticidad de la demanda por A con respecto al precio de B se define como: diferencial dx A p dx A Ex A x = A = B dp B x Ep dp B A B pB Cálculo Función continua en un intervalo: decimos que una función f definida en un intervalo es continua en el intervalo si lo es para todo punto del intervalo. f ( x + ∆x ) − f ( x ) lím x→∞ ∆x este límite lo notamos por df/dx. Derivada: llamamos derivada al límite siguiente. Diferenciación: es el proceso de hallar la derivada de una función. Elasticidad cruzada: la elasticidad cruzada evalua la respuesta de la cantidad demandada por un bien ante cambio en el precio de otro. es una variable independiente.Curva de oferta: curva la cual muestra la cantidad que el productor ofrecerá a un precio dado. dnf dx n = df ( n −1 ) ( x ) dx Elasticidad: ( tasa o razón de cambio proporcional) la razón de cambio relativa ( o proporcional) de la variable dependiente. cuando existe. Si el diferencial es de la variable independiente. Si el diferencial es de la variable dependiente es una variable que depende del producto de la derivada por el diferencial de la variable independiente. etc. Diferencial: una nueva variable.1 » es decir. al cambio relativo (proporcional) de la variable independiente. digamos y. f ‘ ( x ). El intervalo puede ser cerrado. Formas indeterminadas: si la expresión toma alguna de las formas siguientes es indeterminada: ∞ 0 . ∞ 0 ( ∞ − ∞ ). ∞° Incremento: la diferencia entre dos valores de la variable. se denota por " ∆" . lím f ( x ) = f ( xo) x→∞ Función creciente: si la derivada de la función es positiva y por lo tanto f ( x 2 ) > f ( x 1) para x2 > x1. y semiabiertos. a < x < b. Intervalo: el intervalo ( α. Función decreciente: si la derivada de la función es negativa y por lo tanto f (x2) < f (x1) para x2 > x1. no se da una variable explícitamente en función de la otra. es decir. también es posible definirlo como la razón de cambio del ingreso. 1∞ . 526 .. 0. Función implícita: es una función en la cual las variables van combinadas. ó ∆y. abierto ninguno de los extremos pertenece al intervalo.∞. donde los dos puntos extremos pertenecen al de Ciencias intervalo. etc . o sea. 0°. ∆ x. por ejemplo. Facultad bien por la izquierda o bien por la derecha: a < x < b.UNAD Ingreso: la cantidad de dinero que se obtiene por la comercialización de la producción o venta del producto en cuestión. .Función continua en un punto: decimos que la función f ( x ) es continua en el punto xo si y sólo si se cumple que: 1. Básicas e Ingeniería. f ( xo) existe y 2. β ) representa el conjunto de puntos tales que α < x < β . Ingreso marginal: el ingreso que se obtiene al vender una unidad más. la derivada del ingreso. si y sólo si para todo número real ε > 0 (tan pequeño como lo queramos). Ley de la media: si f ( x ) y g ( x ) y sus derivadas son continuas en el intervalo cerrado. f ( x ). f ( x ). no importa lo grande que sea. no importa lo grande que sea A. existe un real A > 0. tal que: f (x)−L < ε siempre y cuando x > A Y escribimos lím f(x)=L x→∞ Límite de una función. a < x < b. tal que: f ( x ) − L < ε siempre y cuando x < − A y escribimos: lím f(x)=L x→∞ Límite de una función. para todo número real ε > 0 ( tan pequeño como lo que vemos ) existe un número real A > 0. y si además g’(x) no se anula dentro del intervalo.Inventario (control): el objetivo del control del inventario es el de minimizar el costo total por este concepto. cuando x tiende a menos infinito: decimos que una función f ( x ) tiene el límite L cuando x tiende a menos infinito. entonces existe un valor c entre a y b tal que: f (b) −f (a) f'( c ) = g (b ) −g ( a ) g' ( c ) Límite de una función cuando x tiende a infinito ( ∞ ) : decimos que una función tiene el límite L cuando x tiende a infinito. si y sólo si. cuando x tiende a Xo: decimos que la función tiene el límtie L si y solo si. para todo real ε > 0 ( tan pequeño como lo queramos). existe diferencial un número δ > 0 tal que: f ( x ) − L < ε siempre y cuando x − x o < δ Cálculo y escribimos entonces: 527 . Longitud de la subtangente polar: Longitud de la proyección sobre la perpendicular de Ciencias al radio vector trazada por el polo del segmento comprendido entre el punto de contacto y el corte de la tangente con dicha perpendicular. Longitud de la subtangente: longitud de la proyección sobre el eje de las abscisas del segmento de la tangente comprendido entre el eje de las abscisas y el punto de contacto con la curva. cuando x tiende a Xo por la izquierda: decimos que la función tiene el límite L si y sólo si para todo real ε > 0 ( tan pequeño como lo queramos) existe un número o δ > 0 tal que: f ( x ) − L < ε siempre y cuando 0 < Xo − x < δ y escribimos lím − f ( x ) = L x → x0 Longitud de la subnormal: longitud de la proyección sobre el eje de las abscisas del segmento de la recta normal comprendido entre el eje Xs y el punto de contacto. f ( x ) cuando x tiende a xo por la derecha: decimos que la función tiene el límite L cuando x tiende a x o por la derecha. f ( x ). Longitud de la subnormal polar: longitud de la proyección sobre la perpendicular al Básicas e Ingeniería. longitud del polo al corte de la normal con la perpendicular antes mencionada. si y solo si para todo real ε > 0 ( tan pequeño como lo queramos) existe un número δ > 0 tal que: f ( x ) − L < ε siempre y cuando 0 < x − Xo < δ Y escribimos: lím f(x)=L x → x+ 0 Límite de una función.UNAD radio vector trazada por el polo del segmento comprendido entre el punto de contacto y el corte de la normal con dicha perpendicular. Facultad longitud del polo al corte de la tangente con la perpendicular antes mencionada. 528 .lím f(x)=L x→∞ Límite de una función . o lo que es lo mismo. o lo que es lo mismo. r es la mínima cota superior si r < t para toda cota superior. tal que para todo x en la vecindad y en el dominio de f: f(x)< f(c) Mínimo absoluto: para una función definida en un intervalo lo da xo si f ( xo ) < f ( x ) para todo x del intervalo. r. del conjunto. q. denominada la diferencia común de la progresión aritmética. del conjunto. tal que. es decir.Máxima cota inferior: la mayor de todas las cotas inferiores. es decir. un+1 = un + r diferencial Progresión geométrica: sucesión en la cual cada término se deduce del anterior mediante la multiplicación por una constante. f(x)> f(c) La pendiente: de una función es igual o la derivada de la función calculada en el punto en cuestión. un+p = un se denomina el periodo de la sucesión {un}. tal que para todo x en la vecindad y en el dominio de f. Máximo relativo: lo da c si existe una vecindad de c. Periodo de una sucesión: el menor número entero positivo p. Progresión aritmética: sucesión en la cual cada término se deduce del anterior mediante la adición de una constante. Cálculo un+1 = unq 529 . Mínima cota superior: la menor de todas las cotas superiores. Máximo absoluto: para una función definida en un intervalo lo da xo si f ( xo ) > f ( x ) para todo x del intervalo. t es la máxima cota inferior si t > r para toda cota inferior. Mínimo relativo: lo da c si existe una vecindad de c. N (c). denominada la razón común de la progresión geométrica. r. t. N (c). La razón de cambio: la razón que hay entre el cambio de una variable con respecto a otra. y también los puntos extremos del intervalo si pertenecen al intervalo. dx dz dx Básicas e Ingeniería. dx Regla de L’ Hopital: si las funciones f ( x ) y g ( x ) son diferenciables y además f ( a ) = g ( a ) = 0. entonces: Facultad de Ciencias lím x→a 530 f (x) f ' (x ) = lím g ( x ) x → a g' ( x ) . entonces resulta que su derivada es igual: d ( f o g ) df dz = . Regla de la cadena: el hacer la derivada de la función compuesta f o g. y se quiere relacionar las distintas razones de cambio para un punto dado de la variable. este punto se obtiene igualando la derivada segunda a cero.Puntos críticos: de una función definida sobre un intervalo son los puntos del intervalo donde la derivada o es cero o no existe. Razón de cambio relacionadas: se da cuando varias variables son función de una variable en particular. Recta tangente: la recta que tenga un punto en común con la curva y tenga la misma pendiente de la curva en el punto. Cuando el cambio de la variable con respecto al cual se hace la razón tiende a cero se denomina la derivada.UNAD donde z = g ( x ) y fog=f(g(x)) dz se denomina la derivada interna. por lo general el tiempo. Puntos de inflexión: el punto en el cual cambia el sentido de la concavidad. Sucesión: función de variable natural. M. si y sólo si existe un número real «m» tal que para todo natural del conjunto de definición de la sucesión se cumple que: un > m Sucesión acotada superiormente: una sucesión {un} es acotada por encima o superiormente. Se cumplirá entonces: m < un < M o también un < M' Sucesión acotada inferiormente: una sucesión {un} es acotada inferiormente. O sencillamente { un }.Relación de recurrencia: fórmula que nos permite hallar un término de la sucesión en función de los términos anteriores. función de N → R se representa por la notación { un } n > a . Sucesión acotada: una sucesión es acotada cuando lo es por encima y por debajo. es decir. si y sólo si para todo natural mayor o igual que no se cumple que: Cálculo u n + 1 < un 531 . y cota inferior. m. para todo x→∞ natural mayor o igual que no se cumple que: diferencial u n + 1 > un Sucesión decreciente: una sucesión {un} es decreciente a partir de n o. si y sólo si existe un número real «M» tal que: un < M Sucesión constante o estacionaria: una sucesión {un} es constante o estacionaria a partir de no si y sólo si. cuando admite cota superior. para todo natural mayor o igual que no se cumple que: u n + 1 = un Sucesión convergente: decimos que una sucesión es convergente si: lím un = L Sucesión creciente: una sucesión {un} es creciente a partir de n o si y sólo si. y además f (a) = f ( b ) = 0. se cumple un+p = un.UNAD costo total por periodo. 532 . una sucesión {un} es periódica a partir de n o si y sólo si. en coordenadas polares. x o + δ ) de Ciencias Velocidad: razón de cambio entre el espacio y el tiempo. es decir: lím u x→∞ n no existe Sucesión monótona: una sucesión es monótona a partir de no si es creciente a partir de no.f ( a ) = f’ ( c ) ( b . existe un natural p tal que para todo n mayor que p. Valores extremos: de una función son los máximos y mínimos relativos de la función. entonces existe un número c entre a y b donde f ’ (c) es cero. Teorema de Rolle: si f ( x ) es una función continua en el intervalo cerrado a < x < b y diferenciable en el abierto a < x < b. Sucesión periódica. o también f ( b )− f ( a ) = f'( c ) b−a Tamaño económico del lote: cantidad que conforme a los supuestos.a ). Vecindad: decimos que V o N es una vecindad con centro en xo y radio δ si se cumple: Vg ( x o ) = Ng ( x o ) ⇔ x − x o < δ ⇔ ( x o − δ . o bien es decreciente a partir de no. minimiza el Básicas e Ingeniería. Facultad ψ : ángulo entre el radio vector y la recta tangente. existe al menos un número c entre a y b tal que: f ( b ) .Sucesión divergente: decimos que una sucesión diverge si no tiene límite cuando n tiende a infinito. esto es: f ’ ( c ) = 0 para algún c: a < c < b Teorema del valor medio: si f ( x ) es continua para el intervalo cerrado a < x < b y diferenciable en el abierto a < x <b. Si es instantánea la da la derivada del espacio con respecto al tiempo.
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