Modulo Calculo Integral (2)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral            UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS 100411 – Cálculo Integral JORGE ELIÉCER RONDON DURAN Autor JOSÉ PEDRO BLANCO ROMEERO Director Nacional MARTIN GOMEZ ORDUZ Acreditador Bogotá, D. C Agosto de 2010 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El presente módulo fue diseñado en el año 2007 por el Ing. JORGE ELIECER RONDON DURAN docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de JOSE CELESTINO MUTIS, el Autor es de profesión ingeniero. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde hace varios años, empezando como tutor hasta el cargo que ocupa en la actualidad de coordinador nacional de Ciencias Básicas. Como novedades se presentan otros aspectos didácticos que facilitan el estudio autónomo del cálculo integral, así como la estructura y contenidos solicitados por la VIMMEP y la ECBTI. MARTIN GOMEZ, licenciado en física y matemáticas de la UPTC, tutor de tiempo completo de Yopal – Casanare, apoyó el proceso de revisión de estilo del módulo y dio aportes disciplinares, didácticos y pedagógicos en el proceso de acreditación del material didáctico, este trabajo se llevo a cabo en los meses de Julio y Agosto de 2009. Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las condiciones siguientes: • Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra). • No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. • Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra derivada a partir de esta obra. • Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos de la licencia de esta obra. • Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor • Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   INTRODUCCIÓN La matemática es una ciencia eminentemente teórica, debido a que parte de teorías y definiciones, cuyas demostraciones se soportan en el principio de la lógica, los axiomas y postulados, que permiten el desarrollo de habilidades de pensamiento de orden superior, especialmente la Deducción, Inducción y la Abstracción, pero a su vez presenta dificultades para poder desplegar dichas habilidades, ya que se requiere trabajar el sentido de análisis, desarrollo del raciocinio, aspectos no fáciles de activar en la mente humana. El Cálculo Integral es el área de las matemáticas, que pertenece al campo de formación disciplinar y tiene carácter básico en cualquier área del saber, debido a que los Ingenieros, Administradores, Economistas, Físicos, Químicos, por supuesto los Matemáticos y demás profesionales requieren de esta área del saber. Un buen conocimiento del cálculo diferencial, permite y facilita trabajar el curso de cálculo integral, en donde se desarrollan teorías, principios y definiciones matemáticas propias del cálculo infinitesimal. El objetivo fundamental es que los estudiantes puedan identificar, comprender e interiorizar las temáticas que cubren el curso, con el fin de adquirir conocimientos matemáticos que le den capacidad de resolver problemas donde el cálculo Univariado es protagonista. El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias, Tecnología, Ingeniería e Investigación, que requiere un trabajo sistemático y planificado, para poder cumplir el propósito fundamental que es saber integrar, técnica que permite solucionar problemas de estos campos. Por otro lado, la integración es necesaria para otros escenarios como las Ecuaciones Diferenciales, los Métodos Numéricos, la geometría diferencial, la Probabilidad, la Estadística Avanzada y otras áreas del conocimiento. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Las Unidades Didácticas que conforman el curso son: La Integración, Los Métodos de Integración y Las Aplicaciones de las integrales. En la primera unidad se desarrolla lo referente a la antiderivada o primitiva, la integral indefinida, la integral definida, el teorema fundamental del cálculo y las integrales impropias. La segunda unidad presenta lo relacionado con las técnicas de integración, iniciando con las integrales inmediatas producto de la definición de antiderivada, la integración por cambio de variable o también llamada sustitución, integración por partes, integración por fracciones parciales, integración de funciones trascendentales; tales como, exponencial, logarítmica, trigonométricas e hiperbólicas. La tercera unidad presenta las aplicaciones de la integración, tales como áreas bajo curvas, longitud de una curva, volúmenes de sólidos de revolución, la integración en la física, en la estadística y en la economía. En los ejercicios propuestos, para las primeras temáticas, no se dan las respuestas ya que éstas son muy obvias, pero para las demás temáticas, se ofrecen las respuestas, con el fin de motivar el procedimiento de los mismos. Es pertinente desarrollarlos de manera metódica y cuidadosa; además, confrontar la respuesta obtenida con la dada en el módulo, cualquier aclaración compartirla con el tutor o el autor a través del correo [email protected] Como el conocimiento se va renovando y actualizando, los aportes que se hagan al presente material serán bien venidos, esperando así una actividad continua de mejoramiento en beneficio de todos los usuarios del material. Como el material presenta las temáticas fundamentales, es pertinente complementar con otras fuentes como libros, de los cuales se presentan en la bibliografía, Internet y otros. Es recomendable desarrollar el trabajo académico de manera adecuada, como se explicita en el modelo académico – pedagógico que la UNAD tiene, para obtener los mejores resultados del curso. El estudio independiente, como primer escenario, es fundamental para la exploración, análisis y comprensión de las temáticas. El Acompañamiento Tutorial, debe permitir complementar el trabajo realizado en el escenario anterior, especialmente en la aclaración de dudas, complementación y profundización pertinente. En este aspecto, se deben explorar las herramientas que estén a la mano para aprovechar de la mejor manera dichos recursos, así el grado de aprendizaje es más amplio y se verá mejor reflejado el aprendizaje autónomo. El autor. La constante de integración CAPÍTULO 2: LA INTEGRAL DEFINIDA Lección 6: Lección 7: Lección 8: Lección 9: Sumas De RIEMANN Área bajo la curva Estimación por sumas finitas. Definición Lección 10: Integral definida CAPÍTULO 3: TEOREMAS Lección 11: Teorema de integrabilidad Lección 12: Valor medio de una función Lección 13: Primer teorema fundamental del cálculo Lección 14: Segundo teorema fundamental del cálculo Lección 15: Teorema de simetría Actividades de autoevaluación de la Unidad 1 Fuentes documentales de la Unidad 1 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   INDICE DE CONTENIDO UNIDAD UNO: LA INTEGRACION CAPÍTULO 1: LA INTEGRAL INDEFINIDA Lección 1: Lección 2: Lección 3: Lección 4: Lección 5: La integración La Antiderivada Integral indefinida Propiedades de las Integrales indefinidas.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   UNIDAD DOS: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN CAPÍTULO 4: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I Lección 16: Integrales Impropias con integrando discontinuo Lección 17: Lección 18: Lección 19: Lección 20: Integrales impropias con límites de integración infinitos Integrales Inmediatas Integrales inmediatas con sustitución Integración por cambio de variable CAPÍTULO 5: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN II Lección 21: Integración por racionalización Lección 22: Integración por sustitución trigonométrica caso I Lección 23: Integración por sustitución trigonométrica caso II Lección 24: Integración por sustitución trigonométrica caso III Lección 25: Integración por partes CAPÍTULO 6: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN III Lección 26: Integración por fracciones parciales. Lección 27: Integración de función exponencial Lección 28: Integración de función logarítmica Lección 29: Integración de la función trigonométrica Lección 30: Integración de la función hiperbólica Actividades de autoevaluación de la Unidad 2 Fuentes documentales de la Unidad 2 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. CAPÍTULO 9: EN LAS CIENCIAS Lección 41: Integrales en la física: trabajo y movimiento. Lección 43: Integrales en la estadística: Función de distribución Lección 44: Integrales en la economía.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Lección 36: Volumen de sólidos de revolución: Método de arandelas Lección 37: Volumen de sólidos de revolución: Método de casquetes cilíndricos Lección 38: Volumen de sólidos de revolución: Método de rebanadas o discos. Lección 45: Integrales en las ciencias sociales. CAPÍTULO 8: VOLUMEN DE SUPERFICIE DE REVOLUCION. Lección 42: Integrales en la hidráulica: bombeo de líquidos. Lección 40: Volumen. Actividades de autoevaluación de la Unidad 3 Fuentes documentales de la Unidad 3 . Lección 39: Momentos y centros de masa. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   UNIDAD TRES: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES CAPÍTULO 7: ANÁLISIS DE GRAFICAS Lección 31: Área de regiones planas Lección 32: Área entre curvas Lección 33: Área de superficies de revolución Lección 34: Longitud de una curva Lección 35: Longitud de un arco en forma paramétrica. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   LISTADO DE TABLAS Tabla No.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 1 Listado de integrales inmediatas. 20 Figura No. 11 Figura No. 6 Figura No. 18 Figura No. 4 Figura No. 5 Figura No. 2 Figura No. 3 Superficie de revolución Superficie de revolución de y = x 2 . 13 Figura No. 15 Figura No. 9 Figura No. 21 Polígonos circunscritos Polígonos inscritos Partición Área Integral impropia Convergencia Sustitución trigonométrica caso 1 Sustitución trigonométrica caso 2 Sustitución trigonométrica caso 3 Aplicación Área bajo la curva Particiones Grafica de 2x Grafica de x3 Grafica de y=3-x2 Área entre curvas Grafica solución problema No. 19 Figura No. 10 Figura No. 3 Figura No. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS Figura No. 16 Figura No. 1 Figura No. 8 Figura No. 7 Figura No. 17 Figura No. 1 Solución área bajo curvas Solución problema No.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 14 Figura No. 12 Figura No. 44 Figura No. 39 Figura No. 36 Figura No.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 34 Figura No. 33 Figura No. 37 Figura No.demanda Excedente del consumidor Excedente del productor . 1 Solución volumen ejemplo No. 1 Solución problema No. 2 Centro de masa Centroide Teorema de Pappus Bombeo Bombeo circular Curva oferta . 35 Figura No. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Figura No. 40 Figura No. 41 Figura No. 22 Figura No. 38 Figura No. 26 Figura No. 31 Figura No. 32 Figura No. 30 Figura No. 28 Figura No. 43 Figura No. 2 Demostración casquetes Rebanadas Discos Solución problema No. 3 Casquetes Desarrollo sólidos de revolución Solución ejemplo No. 27 Figura No. 24 Figura No. 29 Figura No. 45 Superficie de revolución de y = x Longitud de curva Demostración longitud de curva Longitud de curva paramétrica. 25 Figura No. 23 Figura No. 42 Figura No. 1 Solución ejemplo No. Arandelas Solución volumen ejemplo No. 3 Por primera vez utilizo el símbolo que aparece de estilizar la S de las sumatorias. Mayor información en el siguiente link: http://www. quien enfrento primero este problema al parecer fue Eudoxo de Cnido por allá por el siglo IV antes de nuestra era. Nació en 1564 en PIZA y murió en FLORENCIA 1642 (Italia). Eudoxo ideo el método de exhaucion el cual consistía en descomponer en partes muy pequeñas las aéreas y los volúmenes para luego componerlas y de esta manera obtener las superficies y los grosores de los cuerpos.matematicas. La Geometría griega se interesó pronto por las áreas de figuras en el plano y los volúmenes de cuerpos geométricos. Algunos estudiosos de la antigüedad que se interesaron por el tema fueron: KEPLER1 Estaba interesado en las cónicas para su aplicación en la astronomía. al estudiar la trayectoria de un proyectil y hallar la integral que expresa el espacio recorrido en un movimiento uniformemente acelerado.asp?id_contenido=45558 ___________________ 1 2 Nació en 1571 en WEIL DER STADT y murió en RATISBONA en 1630 (Alemania).profes.net/archivo2. plantea el cálculo del área de una órbita considerándola que esta formada por triángulos infinitamente pequeños con un vértice en el Sol. por lo tanto. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   UNIDAD 1: LA INTEGRACION Introducción: Una dificultad que enfrento a la humanidad desde hace muchos siglos fue el cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos conocidos. esto da origen a un cálculo integral rudimentario. GALILEO2 Se interesa por la parábola. También tempranamente descubrieron que el tratamiento de las figuras de contornos curvilíneos no era sencillo de abordar. LEIBNIZ3 Sistematizo y logro un desarrollo eficiente.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. El estudio de los volúmenes lo retomo para el cálculo del vino al ver la inexactitud de la capacidad de los toneles. ∫ . las integrales definidas y los teoremas en los cuales se basan. la integral definida y en el tercer capítulo retomamos el tema de los teoremas claves para comprender mejor el estudio de las integrales. • Los estudiantes interpreten las diferentes teorías. En esta primera unidad presentamos tres capítulos en los cuales tratamos las bases de la integración empezando por la integral indefinida. es por eso que temas tan importantes son abordados en esta unidad. la hidráulica y otros campos de las ciencias. la estadística. definiciones y teoremas del cálculo integral para poder comprender en diversos escenarios su mejor manera de utilizarlos. • Manejar de manera apropiada las integrales indefinidas.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Justificación: Tanto la integral como la derivada son herramientas importantes que ayudan a resolver problemas en la física. Intencionalidades formativas: Para esta unidad podemos enumerar como intencionalidades formativas las siguientes: • Que los estudiantes identifiquen los principios del cálculo integral para asimilar la teoría de las integrales. la probabilidad. • Adquirir facilidad de expresión y vencer el miedo en la interacción con las NTIC Asimilación de conceptos Conceptos Competencias . Contextuales: • Adquirir los conocimientos propios del curso académico con el fin de aplicarlos en la solución de problemas de su carrera y de esta manera poner el práctico el aprendizaje significativo. diferentes clases de integración. De conocimientos • Adquirir las técnicas propias del cálculo integral. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Presentamos un cuadro con el resumen del contexto teórico de esta unidad CAPITULO 1: La integral indefinida Denominación de CAPITULO 2 La integral definida los capítulos CAPITULO 3 Teoremas que la sustentan Los lectores de la primera unidad la integración.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. • El conocimiento en matemáticas se adquiere con papel y lápiz en la realización de ejercicios que están propuestos en esta unidad o en la bibliografía y cibergrafia sugeridas. estarán en capacidad de comprender los conceptos fundamentales del cálculo integral en cuanto a sus orígenes. Esta Unidad parte de conceptos elementales para ir adentrando al estudiante en conceptos más amplios y complejos empleados en el Cálculo Integral. la apropiación de la simbología empleada. los teoremas que la sustentan y tienen una visión general del curso. • Los estudiantes deben desarrollar habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de problemas prácticos. • Interpretar y entenderlos la diferente simbología y su aplicación. Comunicativas: • Adquirir la jerga propia del lenguaje utilizado en el cálculo integral. • Adquirir capacidad de valoración y tolerancia con nuestros compañeros virtuales o presenciales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Valorativas: • Adoptar.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. . identificar y practicar lo valores de la UNAD. independiente de Newton. siendo su primer presidente. el producto y el cociente. La relación Diferenciación – Integración es una de los conocimientos más importantes en el mundo de las Matemáticas. como la suma y la resta. Inicialmente Leibniz al proceso de integración lo llamo: “Calculus Summatorius” pero en 1. de la dinastía Bernoulli. politólogo y matemático. dada una función se halla el área comprendida bajo la curva o dada una fuerza variable. Ideas descubiertas en forma independiente por los grandes Matemáticos Leibniz y Newton.670. muy utilizado en los sistemas informáticos. Gran Filosofo. . donde una deshace o anula la otra. es decir dada una curva calcular su pendiente o dado el recorrido de un móvil calcular su velocidad.696 influenciado por Johann Bernoulli.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 1: La integral indefinida Introducción La derivada corresponde a la noción geométrica de tangente y a la idea física de velocidad. Precursor de la Lógica Matemática. desarrollo el Cálculo. Gottfried Wilhelm von Leibniz1 ___________________ 1 Julio de 1646 – Noviembre de 1716 HANNOVER Alemania. por lo tanto.684. su notación es la que se utiliza actualmente. Descubrió el sistema binario. Contribuyo a la creación de la Real Academia de Ciencias en Berlín en 1. mientras que la idea de integral está relacionada con la noción geométrica de área y la idea física de trabajo. se calcula el trabajo realizado por dicha fuerza. Partiendo de este último concepto este capítulo pretender ilustrar el concepto de la integral indefinida. Lección 1: La integración En el mundo de las Matemáticas encontramos que existen operaciones opuestas. publicando su trabajo en 1. De la misma manera la Integración es una operación opuesta a la Diferenciación. le cambio el nombre a Calculus Integrelis. en el cual tenemos que si nos dan la derivada de una función nosotros debemos hallar dicha función. ¿cual será un D(x)? Debemos buscar una función cuya derivada es cos(x). Para la notación de antiderivada hubo diversas propuestas.    Para todo x en el dominio de f(x). Otro ejemplo: f(x) = cos(x). ¿cual será una función D(x) cuya derivada es 2x? Con algo se astucia y conocimientos sólidos en diferenciación podemos identificar que D(x) = x2. Trigonometría. Posteriormente se ∫ (2 x)dx = x 2 +c Para el otro: ∫ cos( x)dx = sen( x) + c Posteriormente se aclara el concepto de la c DEFINICIÓN No 1:  Una función D(x) es una antiderivada de la función f(x). digamos f ( x) . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   El cálculo ha sido una secuencia de áreas matemáticas entrelazadas. consiste en hallar un “dispositivo” (técnica) que nos de todas las funciones posibles. comencemos por pensar que se tiene una función. Geometría. ya que como se dijo en el párrafo anterior. El dispositivo para éste proceso es llamado La Integración.. pero la del gran Matemático Leibniz es la más utilizada universalmente. es pertinente tener claros los principios de las áreas nombradas y además los de Cálculo Diferencial. evidentemente es sen(x). Para los ejemplos anteriores con la notación de Leibniz se tiene: ∫ . analizará esta notación. Veamos un ejemplo sencillo: Sea f(x) = 2x. digamos D( x) tal que: D' ( x) = f ( x) . donde se utilizan principios de Álgebra. se debe destacar que para desarrollar el curso de Cálculo Integral. Identificar una función a partir de su derivada.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Así D(x) es una antiderivada de f(x). el trabajo consiste en encontrar otra función.. Veamos: Si derivamos D(x) = x2 obtenemos f(x) = 2x.dx . si:    D’(x) = f(x). a dichas funciones se les llama Antiderivada de f(x). donde f(x) es su derivada.     . la integración es la opuesta a la diferenciación. luego D(x) = sen(x). Lección 2: La Antiderivada Para conceptuar la Antiderivada. entonces tenemos que: G’(x) = F’(x). luego: Si f(x) = sec2(x). siendo C una constante.  entonces:   G(x) = F(x) + c   para alguna constante c. entonces D(x) = tan(x) + C . Solución: Si recordamos sobre derivadas de funciones trigonométricas.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. podemos saber que la función cuya derivada corresponde a sec2(x). TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se le llama la Integral Indefinida de f(x) y se puede escribir: ∫ f ( x)dx = D( x) + c TEOREMA:  Sean F(x) y G(x) antiderivadas de f(x) en un intervalo cerrado I. pero también puede ser D(x) = x4 + 2x + 12. por una definición previa que dice: si g’(x) = f’(x) entonces: g(x) = f(x) + c para todo x en el intervalo I abierto. Demostración: Como G(x) y F(x) son antiderivadas de f(x). ya que al derivarla obtenemos 4x3 + 2. Luego: Si f(x) = 4x3 + 2. es antiderivada de la función f(x). Solución: Una función puede ser x4 + 2x + 5. Ejemplo No 2: Encontrar todas las funciones cuya derivada es: f(x) = sec2(x). En general cualquier función de la forma D(x) = x4 + 2x + C. Ejemplo No 1: Encontrar todas las funciones cuya derivada es f(x) = 4x3 + 2. entonces D(x) = x4 + 2x + 5. para alguna constante c. Por consiguiente: G(x) = F(x) + c. es tan(x). f(x) = 3x2 + 4 3. utilizando las definiciones y teoremas. f(x) = 3/x4 – 6/x5 5. ∫ (3 + 7 x ) dx 2 2 . f(x) = x21 – x10 4. la forma de las funciones cuya derivada corresponde a sec2(x) es: D(x) = tan(x) + c Ejemplo No 3: Hallar algunas funciones cuya derivada es g(x) = 12 Solución: Cualquier función de la forma 12x + C es antiderivada de g(x). G(x) = 12x + 25 En general: G(x) = 12x + C Los ejercicios propuestos. ∫ ( x 5 − 6 )dx 7. G(x) = 12x + 10. f(x) = (3x2 – 5x6) / x8 Desarrollar la operación propuesta: 6.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. f(x) = 8 2. luego algunas de estas puede ser: G(x) = 12x + 5. EJERCICIOS: Encontrar la antiderivada F(x) + C de las siguientes funciones: 1. se deben desarrollar. analizados en este aparte. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Por consiguiente. 10. ∫ ( y + 4 y )3 dy y2 2 ∫ [sen ( x ) − csc ( x ) dx ] ∫ dx . 9. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   8.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. f(x) = Integrando dx = diferencial de la variable.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Luego podemos definir la integral indefinida de la siguiente manera: ∫ f (x)dx = D(x) + c Donde: ∫ Símbolo de integración. quizás pensando que este tipo de integrales incluye una constante arbitraria. Veamos un poco esta nomenclatura matemática: Por definición de derivada tenemos: d [D ( x )] = f ( x ) ⇒ D ' ( x ) = f ( x ) dx dx La operación opuesta: d ( D( x)) = f ( x) ⇒ d ( D( x)) = f ( x)dx dx ∫ d ( D( x)) = ∫ f ( x)dx ⇒ D( x) =∫ f ( x)dx + c . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 3: Integral indefinida. podemos formalizar desde el punto de vista matemático la integral indefinida.646 – 1.716) a la Antiderivada la llamo Integral Indefinida. Conociendo el concepto de Antiderivada. D(x) = La integral de f(x) c = constante de integración. Leibniz (1. INTEGRALES INMEDIATAS: INTEGRAL DERIVADA ∫ dx = x + C n ∫ x dx = d ( x + c) = 1 dx para n ≠ -1 x n +1 +c n +1 e nx +c n ⎤ d ⎡ x n +1 + c⎥ = x n ⎢ dx ⎣ n + 1 ⎦ ⎤ d ⎡ e nx + c ⎥ = e nx ⎢ dx ⎣ n ⎦ d dx ⎡ ax ⎤ + c⎥ = a x ⎢ ⎣ Log ( a ) ⎦ nx ∫ e dx = para n ≠ 0 ax ∫ a dx = Log (a) + c x para a > 0 ∫ sen(kx)dx = − ⎟ dx ∫⎜ ⎝ x⎠ ⎛1⎞ cos(kx) +c k para k ≠ 0 d ⎡ cos(kx) ⎤ − + c ⎥ = sen(kx) ⎢ dx ⎣ k ⎦ = Ln ( x ) + c d [Ln ( x ) + c ] = 1 x dx 1 d Sen −1 ( x) = dx 1− x2 ⎡ 1 ⎤ −1 ∫ ⎢ 1 − x 2 ⎥ d x = Sen ( x) + c ⎣ ⎦ [ ] ∫ sec ( x)dx = tan(x) + c 2 d [tan( x) + c] = sec 2 ( x) dx Tabla No. basado en la teoría de la antiderivada. se puede obtener algunas integrales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   No debemos olvidar la constante de integración.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Con base en las definiciones anteriores y los conceptos analizados. 1 ___________________ 1 Listado de integrales inmediatas. . Aplicando propiedad 3 e integrales inmediatas. 2. podemos destacar las siguientes propiedades. ∫ − 4dx = −4∫ dx = −4 x + c 5 2x 2x 2x e dx = e dx = e +c 5 5 ∫ ∫ 2 Aplicando las propiedades 1 y 2. 3. consecuencia de las aplicadas en la diferenciación. p +1 La demostración se puede hacer por medio de la técnica de sustitución. Veamos algunos ejemplos: 1. ∫ kdx = kx + c ∫ [kf ( x ) ± kg ( x ) ]dx = ∫ kf ( x ) dx ± ∫ kg ( x ) dx ⎡ f ' ( x) ⎤ ⎥dx = Ln f ( x ) + c ∫⎢ f ( x ) ⎣ ⎦ La demostración se pude hacer por medio de sustitución.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 6. 4. Para las propiedades indefinidas. ∫ (3 x 2 + 4 x 3 − 2 sen ( x ) dx = ) ∫ 3x 2 dx + ∫ 4x 3 dx − ∫ 2 sen ( x ) dx . 2. 1. p +1 [ f ( x) ] +c ∫ [ f ( x)] f ' ( x)dx = p 5. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 4: Propiedades de las integrales. ∫ − f (x)dx = −∫ f (x)dx ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx 3. 2 ) (10 x − 2 cos( 2 x ) )dx = 1 (5 x 5 2 − sen ( 2 x = ) ) 5 +c Aplicamos la propiedad 6. A partir de lo anterior.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Si recordamos el ejemplo ∫ sec 2 ( x)dx = tan( x) + c . Ejemplo No 1. Por otro lado. cuando estamos integrando donde hay suma o resta. … . pero todas las constantes obtenidas se pueden agrupar en una sola. Desarrollar: Solución: Aplicando las propiedades de suma y resta tenemos: ∫ (7 x 4 + 2e x − cos( x))dx . Lección 5: La constante de integración. luego: ∫ 3x 4. podemos especificar algunas antiderivadas. D(x) = tan( x) + 2 . podemos observar que las antiderivadas de una función sólo se diferencian por una constante C dada. D(x) = tan( x) + 100 . 2 dx + ∫ 4x 3 dx − ∫ 2 sen ( x ) dx = x 3 + x 4 + 2 cos( x ) + c Aplicamos la propiedad 5. D(x) = tan( x) + 5 . ya que son muchas las antiderivadas de una función que contiene el integrando. Retomando lo manifestado en el Teorema No 1. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Aplicamos las propiedades 3 y 4. se afirma que la constante de integración es propia de las integrales indefinidas. D(x) = tan( x) + 2 . ∫⎜ ⎝ 3x ∫ (5 x ⎛ 6x ⎞ 2 ⎟dx = Ln 3 x + 4 + c 2 + 4⎠ − sen ( 2 x ) 4 5. cada término tendrá su constante de integración. f ( x) = 3sen(2 x) + 2e 2 x . 7 5 x + c1 + 2e x + c 2 − sen( x) + c3 . f ( x) = x 4 + 2π 3. luego las constantes las podemos agrupar en una 5 7 5 7 sola: x + c1 + 2e x + c 2 − sen( x) + c3 = x 5 + 2e x − sen( x) + C 5 5 Ejemplo No 2. f ( x) = 20 2.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Hallar: ∫ (2 x + e 4 x dx ) Solución: Aplicando las propiedades y las integrales inmediatas: ∫ (2 x +e 4x ) 2x 1 + c1 + e 4 x + c 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ e dx = 4 Ln(2) x 4x Agrupado las constantes: ∫ (2 x + e 4 x dx = ) 2x 1 + e4x + c Ln ( 2 ) 4 EJERCICIOS: Hallar las antiderivadas de las funciones dadas: 1. f ( x) = 1− x x 4. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ∫ (7 x 4 + 2e x − cos( x))dx = ∫ 7 x 4 dx + ∫ 2e x dx − ∫ cos( x)dx desarrollando cada integral. ∫ (25 x ∫ (e −t 3 + 2 sec 2 ( 3 x ) dx ) + 2 sen ( 5 x ) − 7 dx ) ⎡ sec 2 ( x) ⎤ ⎥dx ∫⎢ ⎣ tan( x) ⎦ 9. 5. 7.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Aplicando las propiedades. 10. resolver las siguientes integrales. 8. ∫( 4 t 2 + 3 t − 2 ) (8 t + 3 )dx ⎛ ex ⎞ ∫⎜ ⎜ ex + 5⎟ ⎟ dx ⎝ ⎠ . ∫ 6dx 6. ~ ∆X1 = X1 – X0. pero no necesariamente debe ser regular. incluso. escoge un “punto muestra”. donde a = X0 y b = Xn Ahora sea ∆Xi = Xi – Xi-1 El tamaño del subintervalo. se desarrolló en el curso de Álgebra. Hacemos una partición P del intervalo I en n subintervalos. entonces: . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 2: La integral definida Introducción ∫ f (x)dx = F (b) − F (a) a b Para analizar las integrales definidas es necesario el estudio de los conceptos de Sumatorias. b]. El tema de Sumatorias. Sumas de Riemman y áreas bajo la curva. Como la partición se hizo sobre la función f(x). Lección 6: Sumas de Riemann Comencemos por definir una función f(x) en el intervalo cerrado I = [a.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Cada una se irán desarrollando de manera secuencial. puede ser un punto frontera. En cada subintervalo se xi . podría ser no continua. en dicho intervalo puede haber valores positivos y negativos. Trigonometría y Geometría Analítica. para poder interiorizarlas adecuadamente. sin embargo para cualquier duda o aclaración es pertinente consultarlo en dicho curso. para facilidad se hace una partición regular. dicha partición debe tener la condición que: X0 < X1 < X2 < … < Xn-1 < Xn. ∆X2 = X2 – X1 Así para los demás intervalos. la partición es regular. Ejemplo No 1: Evaluar la suma de Riemman para la función f(x) = x2 +2 en el intervalo [-2. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Rp = ∑ n i =1 f (~ xi )Δ xi Suma de Riemman. 1 Polígonos circunscritos. No.5. 2]. Se toma ~ xi como el punto medio del i-ésimo 2 − (−2) 1 ∆Xi = 0. con esto se obtienen 8 intervalo. . cuyos puntos medios son: Tomemos X0 = -2 y ___________________ 1 1826 Alemania – 1866 Suiza. Georg Friedrich Bernhard Riemann1 Fig. También: Δxi = = 8 2 subintervalos. tomando P = 8 Solución: Xn = 2. Aquí Rp es la suma de Riemman para f(x) en la partición P.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 5 = 13.855] * 0.75. La partición es regular y los puntos muestra definidos son: ~ x1 = 1.75) 2 + 2 = 5. -0. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   -1.0625 + 2.68 .25 Rp = [3.75.25.75)+f(-0. ~ x2 = 1.131928 + 1.75.0625 + 2.0625 + 3.50] * 0.68) + f(1.20) + f(1.25 Ejemplo No 2: Evaluar la suma de Riemman para la función h(t) = t3 – 2t. Apliquemos la fórmula de sumas de Riemman: R p = ∑ 8 i=1 f (~ xi)Δ xi Entonces: Rp = [f(-1.75) = (−1.25)+f(0.5625 + 5.25.92)] * 0.672 – 0.75)+f(1. 1.25)+f(-0. 2].25. definiendo el tamaño de cada subintervalo y el punto muestra de cada uno. -0.0625] * 0. Rp = [5.5625 + 3.5625 + 2.25 = 0. 0.9637 Resolver el ejemplo anterior utilizando 8 subintervalos P = 8.25)+f(1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ~ ~ x3 = 1.0625 y así para los demás. x4 = 1.75)] * 0. 1.38) + f(1.25 Rp = [-0. -1. en el intervalo [1.5 En la función se reemplaza: f ( x = −1.3816 + 3.2779] * 0.20 .25)+f(0.75)+f(-1.25. .38 .92 Solución Tenemos todos los insumos para hacer la suma correspondiente: R p = ∑ 4 i=1 f (~ xi)Δ xi Entonces: Rp = [f(1. 0.75.5 Rp = [25.5625 + 2.   Pero la genialidad de Arquímedes. No. otros. también lo llevo a demostrar que con polígonos circunscritos. Cuando la frontera de una figura es curva la situación es de un análisis más profundo. propuso una solución consistente en que al considerar una sucesión de polígonos inscritos que aproximen la región curva. se llegaba al mismo resultado. triángulos. que puede ser más y más precisa. El gran matemático de la antigüedad ARQUIMEDES.   Cuando P tiende a infinito ( P → ∞ ). 2 Polígonos inscritos. Fig. . la geometría plana (estudiada en matemática básica) permite calcular dichas áreas. por ejemplo rectángulos. paralelogramos. a medida que el polígono aumenta el número de lados. el área del polígono se hace semejante a la del círculo. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 7: Área bajo la curva Concepto Intuitivo: Para hallar el área de una figura con lados rectos. ya que se requiere mayor trabajo matemático.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. El proceso consiste en hallar el área de la región A ( R ) acotada por el intervalo [a. cuya longitud ∆x es: Δx = x n − x0 2 − 0 2 = = n n n Partición regular. b]. Fig. Para determinar cómo se halla el área bajo la curva. Xi = 2i/n. X1 = 2/n. … . 3 Partición. Xn = n(2/n) = 2 El área de la región Ri es f(xi-1) ∆x . para nuestro caso tomemos: [0. 2] en n subintervalos. . X2 = 4/n. No. A( Rn ) = f ( x0 )Δx + f ( x1 )Δx + L + f ( xn−1 )Δx Para la función que estamos analizando tenemos: 2 8i 2 8 ⎛ 2i ⎞ f ( xi )Δx = x Δx = ⎜ ⎟ * = 3 = 3 i 2 n n n ⎝ n ⎠ 2 i 2 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 8: Estimación por sumas finitas. El área total de la región Rn será la suma de las áreas de todos los rectángulos inscritos en la curva. entonces: X0 = 0. Comencemos: X0 = 0 X1 = X0 + ∆x = ∆x X2 = X1 + ∆x = ∆x + ∆x = 2∆x X3 = X2 + ∆x = 2∆x + ∆x = 3∆x M Xi = Xi-1 + ∆x = (i – 1) ∆x + ∆x = i∆x M Xn-1 = (n-1) ∆x Xn = n∆x Pero ∆x = 2/n. 2] La partición P del intervalo [0. utilizaremos el principio de los polígonos inscritos y además una de las funciones más conocidas: f(x) = x2.… . donde puedes reforzar estos conceptos. . Si f(x) ≥ 0 en [a. Trigonometría y Geometría analítica. b). Lección 9: Definición Sea f(x) una función definida en el intervalo cerrado [a. unidad tres.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. el área bajo la curva de f(x) en el intervalo definido esta dado por: A = Lim∑ f ( xi )Δx n→∞ i=1 n Ejemplo 1: Calcular el área bajo la curva de f(x) = 3x2 – x en el intervalo [1. Por consiguiente: 4 ⎞ 8 ⎛8 4 = A ( R ) = Lim A ( R n ) = Lim ⎜ − + 2 ⎟ n→ ∞ n→ ∞ 3 n 3 n ⎝ ⎠ 3 NOTA: Realice la misma demostración pero usando rectángulos circunscritos. b] y continua en el intervalo abierto (a. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Luego: A( Rn ) = 8 2 2 8 0 + 1 + 2 2 + L + (n − 1) 2 = 3 3 n n [ ] ⎡ n(n − 1)(2n − 1) ⎤ ⎢ ⎥ 6 ⎣ ⎦ Revisar las propiedades de las sumatorias en el modulo de Álgebra. Luego: 8 ⎡ 2n 3 − 3n 2 + n ⎤ 4 ⎡ 3 1⎤ A( Rn ) = ⎢ ⎥ = ⎢2 − + 2 ⎥ 3 6⎣ n n ⎦ n ⎦ 3⎣ Entonces: A( R n ) = 8 4 4 − + 2 3 n 3n A medida que n se hace más grande. b]. 3]. entonces el área de la suma de los rectángulos inscritos es más y más aproximado al área de la curva. obtenemos: 2 A = Lim n→ ∞ n ⎡ 3 n 2 + 12 ni + 12 i 2 n + 2 i ⎤ − ∑ ⎥ ⎢ 2 n n ⎦ i→1 ⎣ n . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Comencemos el proceso hallando Δx = 3 −1 2 = n n x0 = 1 x1 = x0 + Δx = 1 + 2 n+2 = n n 2 2 4 n+4 x 2 = x1 + Δx = (1 + ) + = 1 + = n n n n 6 n+6 ⎛ n + 4⎞ 2 x3 = x 2 + Δx = ⎜ ⎟ + = 1+ = n n ⎝ n ⎠ n x i = x i −1 + Δ x = 1 + n + 2i 2i = n n Ahora por la definición: A = Lim n→ ∞ ∑ n n i =1 f ( x i ) Δ x = Lim n→ ∞ ∑ [3 x n i→1 2 i − xi Δ x ] ⎡ ⎛ n + 2i ⎞ 2 ⎛ n + 2i A = Lim ∑ ⎢ 3 ⎜ ⎟ −⎜ n→ ∞ n ⎝ n ⎠ i→1 ⎢ ⎣ ⎝ ⎞⎤ 2 ⎟⎥ ⎠⎥ ⎦ n Desarrollando las potencias y multiplicando.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. tenemos: 2 A = Lim n→ ∞ n ⎡ 3 n 2 + 12 ni + 12 i 2 ⎤ 2 ∑ ⎢ ⎥− 2 n i→1 ⎣ ⎦ n n ∑ ∑ n n i =1 ⎡ n + 2i ⎤ ⎢ n ⎥ ⎣ ⎦ 2 A = Lim n→ ∞ n 12 12 2 ⎤ 2 ⎡ + + − 3 i i ∑ ⎢ ⎥ n n2 n ⎦ i→ 1 ⎣ n i =1 2 ⎤ ⎡ + 1 i⎥ ⎢ n ⎣ ⎦ 2 A = Lim n→ ∞ n 12 ⎡ n + 3 ⎢ n ⎣ ∑ n i =1 12 i+ 2 n ∑ n i =1 2 ⎤ 2 i ⎥− *n− n ⎦ n 2 ∑i i =1 n Recordemos las propiedades de las sumatorias. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Aplicando las propiedades de las sumatorias. 2 A = Lim n→ ∞ n ⎡ 12 ⎢3n + n ⎣ ⎛ n 2 + n ⎞ 12 ⎛ n 2 + n (2 n + 1 ) ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ + n2 ⎜ ⎜ 6 ⎝ ⎠ ⎝ ( ⎤ )⎞ ⎟ ⎟⎥ ⎠⎦ ⎡2 2 ⎛ n 2 + n ⎞⎤ ⎜ ⎟ − ⎢ *n + ⎜ ⎟⎥ 2 n n ⎝ ⎠⎦ ⎣ 2⎡ 6n 2 + 6n 4n3 + 6n 2 + 2n ⎤ 2 ⎡ n2 + n ⎤ A = Lim ⎢3n + + ⎥ ⎥ − ⎢n + 2 n→∞ n n ⎦ n n ⎦ n⎣ ⎣ .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   12 12 4 2⎤ ⎡ +8+ + 2 −2−2− ⎥ A = Lim ⎢ 6 + 12 + n→ ∞ ⎣ n n n n⎦ 24 2 4 ⎤ ⎡ A = Lim ⎢ 26 − 4 + − + 2⎥ n→ ∞ n n n ⎦ ⎣ 22 4 ⎤ ⎡ + 2⎥ A = Lim ⎢ 22 + n→ ∞ n n ⎦ ⎣ Aplicando límite: A = 22 + 0 + 0 = 22 Unidades cuadradas. . g(x) = x3 donde a = 0 y b = 2 Con partición regular. SUGERENICA: Siga el procedimiento anterior. 4. 2] 7. 4] y n = 10 2x − 1 x . • Graficar la función de los rectángulos que la aproximan. • Calcular la suma de Riemman 5. f(x) = x + 1 donde a = -1 y b = 2 Con partición regular. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   EJERCICIOS LECCION No. 3.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. h( x) = x + 2 8. Demostrar que el área bajo la curva para la función y = 2 x − 2 x 2 en el intervalo [0. 4: 1. 1] es 1/3. 4] y n = 6 [2. g(x) = x3 – 1 [1. P ( x) = [1. f(x) = sex(x) [0. f(x) = x2 + 4 donde a = 2 y b = 4 Con partición regular. Hallar el área del polígono circunscrito para la función propuesta: 2. Para las funciones dadas: • Determinar los puntos de evaluación. teniendo en cuenta las propiedades de las sumatorias. π] y n=4 y n=4 6. correspondientes a los puntos medios de cada subintervalo dado según el valor de n. b]. ∑ f ( x ) Δx i de la función definida en el intervalo dado. igual que en el caso de la derivación. DEFINICIÓN: Sea f(x) una función definida en el intervalo cerrado [a. tan pequeño como se quiera. si la norma p de la partición asociada. Lim p →0 ∑ i =1 n f ( xi )Δx = L Esto significa que dado un ε > 0. es menor que δ. podemos hacer una definición formal sobre la integral definida. existe un δ > 0 tal que: ∑ f ( x )Δx − L = ε i =1 i n Para todas las sumas de Riemman que el límite dado existe y es L. dx = Diferencial de la variable. se dice Surge la pregunta: ¿Qué funciones son integrables? La respuesta es que NO todas las funciones son integrables en un intervalo cerrado I. o sea. la integral definida de f(x) que va de a hasta b se define como: ∫ f (x)dx = Lim∑ f (x )Δx a n→∞ i =1 i b n Llamada también la Integral de Riemman Donde: a = Límite Inferior b = Límite Superior f(x) = El integrando.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 10: Integral definida. Conocidos y estudiados los conocimientos sobre Sumas de Riemman y áreas bajo la curva. la función que se va a integrar. Analizando un poco el límite de la sumatoria. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Asociado al caso de límite, se requiere que la suma de Riemman tenga límite, ya que hay casos donde esta suma se puede hacer muy grande, como es el caso de: ⎛ 1 ⎞ Lim ∑ ⎜ ⎜x ⎟ ⎟ n→∞ i =1 ⎝ i ⎠ n 2 Existen además funciones acotadas que pueden no ser integrables, por el grado de complejidad de la misma, como es el caso de: ∫ 0 2 e − x 2 dx Para esto existe un teorema de integrabilidad que nos garantiza las funciones integrables en un intervalo cerrado I, su demostración NO está al alcance de este nivel ya que requiere cálculo avanzado. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 3: Teoremas Introducción En este capítulo se presentan tres teoremas o afirmaciones que se pueden demostrar como verdaderas dentro un contexto lógico, esos tres teoremas nos ayudan a comprender los conceptos empleados en el cálculo integral. El teorema del valor medio, de la integrabilidad, primer y segundo teorema fundamental del cálculo y el teorema de simetría, los cuales pasamos a comprender en el siguiente espacio. Lección 11: Teorema de integrabilidad. Si f(x) es acotada en el intervalo cerrado [a, b] y si f(x) es continua excepto en un número finito de puntos, entonces f(x) es integrable en [a, b]. En particular si f(x) es continua en todo el intervalo, entonces es integrable en [a, b]. Consecuencia de este teorema podemos ver que las funciones polinómicas, seno y coseno, son integrables en todo el intervalo cerrado I. Las funciones racionales lo son en I siempre y cuando dicho intervalo no contenga puntos en donde el denominador es cero. Ahora podemos hacer la siguiente relación como conclusión de lo que venimos analizando: Área bajo la curva de y = f(x) en el intervalo cerrado [a, b] es equivalente a ∫ f ( x )dx a b PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA: Las propiedades aplicadas a la integral indefinida, también son aplicables a las integrales definidas. Veamos algunas. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   1. ∫ f ( x)dx = 0 a b Para a = b a 2. ∫ a b f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b c b Para a < b 3. ∫ a b b f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a c b b Para a < c < b 4. ∫ [ f ( x) ± g ( x]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a a a 5. ∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx a a b b 6. ∫ Kdx a b = K (b − a ) 7. Si f(x) y g(x) son funciones integrables en el intervalo I = [a, b] y si f(x) ≥ g(x) Para todo x en [a, b], entonces: ∫ a b f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx a b Lección 12: Valor medio de una función. El concepto de valor medio lo conocemos muy bien, por los principios de Estadística, pero en este caso vamos a calcular el valor promedio de una función f(x) en un intervalo cerrado I. Para este caso escogemos una muestra de puntos en el intervalo I, construyendo la Partición correspondiente, donde: x0 < x1 < x2 … b−a < xn; además, x0 = a y xn = b. La diferencia entre los puntos es: Δx = n El valor promedio de la función f(x) está dado por el promedio de los valores de la función en x1, x2, … xn: f ( x) = n 1 [ f ( x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) + ... + f ( xn )] = 1 ∑ f ( xi ) n n i =1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Si multiplicamos y dividimos por b – a tenemos: f ( x) = 1 n ⎛b−a⎞ f ( xi )⎜ ⎟ ∑ b − a i=1 ⎝ n ⎠ Recordemos que: Δx = b−a , luego: n 1 n f ( x) = ∑ f (xi )Δx b − a i =1 DEFINICIÓN: Corresponde a la suma de Riemman. Para la función f(x) integrable en [a, b] y sabiendo que la suma de Riemman tiene límite: 1 n 1 ( ) Δ = f (x) = Lim f x x f (x)dx ∑ i ∫ n→∞ b − a − b a i=1 a Ejemplo 1: Hallar el valor promedio de la función sen(x) en [0, π] Solución: Aplicando la definición tenemos: b 1 1 f ( x) = f ( x ) dx sen ( x ) dx = ∫ b−a ∫ 0 π − 0 a f ( x) = f ( x) = b π 1 π π 1 ∫ sen ( x ) dx = 0 1 π (− cos( x ) )π 0 = 1 π [− cos(π ) − ( − cos( 0)] π [1 + 1] = 2 π El proceso requiere la aplicación del teorema fundamental del cálculo, el cual estudiaremos en seguida. Ejemplo 2: Cual será el valor promedio de la función f(x) = x2 – 2 en el intervalo [0, 4] π/2] Lección 13: Primer teorema fundamental del cálculo Para enunciar el teorema. Determinar el valor medio de la función: g(x) = sen2(x) cos(x) para el intervalo [0. Sabemos que: A( x ) = ∫ f (t ) dt a x . donde x > 1. Hallar el valor promedio para la función f(x) = 4x3 en el intervalo [1. 3] 3. Cual será el valor promedio de la función f(x) = cos(x) en el intervalo [0. con la aplicación de la fórmula para valor promedio de la función: f ( x) = 1 b−a ∫ a b f ( x ) dx = 4 1 4−0 ∫ (x 4 0 2 − 2 dx = ) 1⎛1 3 ⎞ ⎜ x − 2x⎟ 4⎝3 ⎠0 4 1 ⎛1 1 ⎡ 64 1 ⎛ 40 ⎞ 10 ⎞ ⎤ f (x) = ⎜ x3 − 2 x ⎟ = − 8 − 0⎥ = ⎜ ⎟ = ⎢ 4⎝3 4 ⎣ 3 4⎝ 3 ⎠ 3 ⎠0 ⎦ f ( x) = 10 3 EJERCICIOS: 1. ya que va acumulando el área bajo la curva dada t = a hasta t = x. analicemos la siguiente situación: Sea A(x) el área bajo la curva de la función f(t) a dicha función se le llama función acumulada. 3] 2. π/2] 4. Cual será el valor promedio de la función g ( x) = x x + 16 2 en el intervalo [0. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Al igual que en el caso anterior.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. entonces: Se debe anotar que x es variable y que la tasa de acumulación en t = x es igual al valor de la función f(x) que se está acumulando en t = x. Demostración: Por la definición de derivada: x + Δx x ⎤ 1 ⎡ ⎡ F ( x + Δx ) − F ( x ) ⎤ f (t ) dt − ∫ f (t ) dt ⎥ F ' ( x ) = Lim ⎢ = Lim ⎢ ∫ ⎥ Δx → 0 Δx ⎣ ⎦ Δx → 0 Δ x ⎣ a a ⎦   .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. sabemos por definición de áreas bajo la curva que: d dx ∫ a x f ( t ) dt = f ( x ) A( x ) = Lim ∑ f ( xi ) Δx n→∞ i =1 n Al relacionar las ecuaciones anteriores: Lim ∑ f ( xi ) Δx = ∫ f (t ) dt n→∞ i =1 a n x Ahora definamos a B(x) como el límite de la sumatoria. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Por otro lado. b). de tal manera que dB d = f ( x) Luego: f (t )dt = f ( x) dx dx ∫ a x TEOREMA: Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a. b] y sea x un punto en (a. por teorema de valor medio: x + Δx 1 Δx ∫ f (t )dt = x f (c ) Donde x < c < x + ∆x Pero cuando ∆x tiende a cero. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral     x + Δx x ⎤ 1 ⎡ 1 − = Lim Lim f ( t ) dt f ( t ) dt ⎢ ⎥ ∫ ∫ Δx → 0 Δ x a ⎣ a ⎦ Δx → 0 Δ x x + Δx ∫ f (t ) dt x Si observamos cuidadosamente la última expresión. Como ∆x > 0. entonces c tiende a x. tiene antiderivada. f(x) es continua. podemos deducir que corresponde a límite del valor promedio de f(x) en el intervalo [x. x + ∆x].UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. además. x + Δx ⎤ 1 ⎡ F ' ( x ) = Lim f ( t ) dt f (c ) = f ( x ) ⎢ ⎥ = Lim ∫ Δx → 0 Δ x ⎣ a ⎦ Δx → 0 Este teorema en su concepto expresa que toda función intervalo cerrado. Ejemplo 1: Desarrollar: Solución: Por la definición del teorema: x ⎤ d ⎡ 4 t dt ⎢ ⎥ = x dx ⎣ ∫ 1 ⎦ 4 x d ⎡ 4 ⎤ ⎢ t dt ⎥ dx ⎣ ∫ 1 ⎦ f(x) continua en un . P ' ( x) = 2 x cos( x 2 ) .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. hacemos cambio de variable. tenemos: teorema: Ejemplo 3: Si P( x) = ∫ cos(t )dt 1 dF d = t 2 + 4t − 2 dt por definición del ∫ dx dx 1 x ( ) dF = x 2 + 4x − 2 dx x2 Calcular P’(x). U = x2. Solución: El integrado por definición es F’(x) = f(x) entonces: F’(x) = x2 + 4x – 2 Si lo resolvemos por otro lado. luego: P( x) = ∫ cos(t )dt. Solución: Como el límite superior tiene potencia. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 2: Dado: F ( x) = ∫ t 2 + 4t − 2 dt 1 x ( ) Hallar F’(x). Por la regla de la cadena: 1 u u ⎤ du dP dP du dP d ⎡ * = ⇒ = ⎢ ∫ cos( t ) dt ⎥ * dx du dx dx du ⎣ 1 ⎦ dx Desarrollando: dP du = cos( u ) * = cos( u ) * 2 x dx dx recordemos que u = x2 en este contexto. fundamental para resolver integrales definidas. lo garantiza el primer teorema fundamental del cálculo.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. En cálculo el estudio de los límites es fundamental. la evaluación de dichas integrales se garantiza por medio del segundo teorema fundamental. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 4 x2 Sea H ( x) = Solución: ∫ (2t − 4)dt 1 Hallar H’(x). La existencia de la antiderivada. Hacemos cambio de variable así: u = x2 ahora: u ⎤ du dH d ⎡ = (2u − 4) * (2 x ) = ⎢∫ (2t − 4)dt ⎥ * dx dx ⎣ 1 dx ⎦ Reemplazando u tenemos dH = 2x 2 − 4 * (2x) = 4x 3 − 8x dx dH = 4 x 3 − 8x dx ( ) Por consiguiente: Lección 14: Segundo teorema fundamental del cálculo. se estudio la relación que tienen estos dos límites. dos límites muy importantes en cálculo son: ⎛ f ( x + Δx) − f ( x) ⎞ f ' ( x) = Lim⎜ ⎟ Δx → 0 Δx ⎝ ⎠ y Lim f ( x i ) Δ x n→ ∞ Por medio del teorema fundamental número uno. luego G(x) es una antiderivada de f(x). luego para todo x en [a. sabemos que G ' ( x) = f ( x) Para todo x en [a. donde P(x) y G(x) solo difieren por una constante. Luego al igual que G(a). TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   TEOREMA: Sea f(x) una función continúa en un intervalo definido. x=a Para G (a ) = ∫ f (t )dt = 0 a ¿Recuerdas? ¡saber porque verdad! P(a) = G(a) + C P(a) = 0 + C entonces: P(a) = C. sea P(x) una antiderivada de f(x) en el intervalo dado. para P(x) y G(x) continuas en el intervalo dado. por lo cual se debe tener presente estos aspectos. podemos decir: . b]. por consiguiente es integrable en el intervalo cerrado [a. por lo tanto: P(b) – P(a) = [G(b) + C] – C = G(b). sabemos: P’(x) = G’(x). b]. b]: P(x) = G(x) + C. Por el teorema de antiderivada.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. entonces: b ∫ a f ( x ) dx = P ( b ) − P ( a ) Demostración: La demostración requiere los conocimientos de teoremas y definiciones estudiadas anteriormente. luego: P(a) = G(a) + C y P(b) = G(b) + C en el intervalo cerrado definido. b]. pero P(x) es también antiderivada de f(x). Sea la función G ( x) = ∫ f (t )dt a x para x en el intervalo [a. … . 2. Esta misma demostración se puede hacer por las sumas de Riemman. veamos: Primero participamos el intervalo [a. entonces: b−a Δx = para i = 1. b) y continua en [a. … Por asociación de las dos ecuaciones anteriores: Si tomamos limite a ambos lados de la ecuación cuando n tiende a infinito. x2. b].UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. como ∆x es el tamaño de cada subintervalo. x1. … . n Ahora: n P(b) – P(a) = [P(x1) – P(xo)] + [P(x2) – P(x1)] + … + [P(xn – P(xn-1)] resumiendo: P (b) − P(a ) = ∑ [P( xi ) − P( xi −1 )] i =1 n Como P(x) es una antiderivada de f(x) derivable en (a. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   x =b G (b) = ∫ f (t )dt a Por consiguiente: b P(b) − P(a ) = ∫ f ( x)dx a Así queda demostrado el teorema. xi) donde i = 1. b] en: xo. obtenemos: Lim n→ ∞ ∑ i =1 n f ( c i ) Δ x = Lim ( P ( b ) − P ( a )) = n→ ∞ ∫ a b f ( x ) dx Por consiguiente: P (b ) − P ( a ) = ∫ a b f ( x ) dx . 3. además: ∆x = xi – xi-1. xn donde xo = a y xn = b. por el teorema del valor medio P(xi ) − P(xi−1 ) = P' (ci )(xi − xi−1 ) = f (ci )Δx P (b) − P(a) = ∑ [P( xi ) − P( xi −1 )] = ∑ f (ci )Δx i =1 i =1 n n para ci € (xi-1. 3. 2. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 4]. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 1: Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver: Solución: ∫ xdx a b ∫ a b x2 xdx = 2 x=b x=a 1 2 b2 a2 = − = b − a2 2 2 2 ( ) Ejemplo 2: Resolver la integral: Solución: ∫ (x 2 0 3 − 4 x )dx ∫( 2 0 ⎡1 ⎛1 ⎞ x − 4 x dx = ⎜ x 4 − 2 x 2 ⎟ = ⎢ 2 4 − 2 2 2 ⎝4 ⎠ 0 ⎣4 3 ) 2 ⎤ ⎡1 ( ) ( )⎤ ( ) ( ) 0 2 0 − − ⎥ ⎥ ⎢4 4 2 ⎦ ⎣ ⎦ ∫ (x 2 0 3 − 4 x dx = ) 16 − 8 = 4 − 8 = −4 4 Ejemplo 3: Demostrar que: Solución: ∫⎜ ⎝ 1 4 ⎛ x − 1 ⎞ 47 dx = 2 ⎟ 12 x ⎠ Como luego: x− 1 x2 es continua en [1. se puede aplicar el teorema fundamental. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. luego se puede integral. por medio del teorema fundamental. π ∫ 0 π 2 sen ( x ) dx = − cos( x ) 0 2 = − cos( = 0 +1=1 π π 2 ) − ( − cos( 0 )) ∫ sen ( x ) dx 0 2 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   1 1 ⎞ ⎛ ⎛2 3 −2 −1 ⎞ ⎜ x − 2 ⎟dx = ∫ ( x 2 + x )dx = ⎜ x 2 + x ⎟ ∫ x ⎠ ⎝3 ⎠1 1⎝ 1 4 4 4 Evaluando: ∫⎜ ⎝ 1 4 4 ⎛ x− 1 ⎞ 16 1 5 11 1 ⎡2 3 ⎡2 3 −1 ⎤ −1 ⎤ dx = ⎢ (4 ) 2 + (4 ) ⎥ − ⎢ (1) 2 + (1) ⎥ = + − = + 2 ⎟ x ⎠ ⎦ 3 4 3 3 4 ⎦ ⎣3 ⎣3 1 ⎞ 11 1 47 ⎛ x − dx = = + = ⎜ ⎟ 2 ∫ 3 4 12 x ⎝ ⎠ 1 Ejemplo 4: π Hallar el valor de: Solución: ∫ 0 2 sen ( x ) dx La función seno es continua en el intervalo propuesto. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 15: Teorema de simetría. Si f(x) es una función par, entonces: −a ∫ f ( x)dx = 2∫ f ( x)dx 0 a a Si f(x) es una función impar, entonces: Demostración: Vamos a demostrar ejercicio. a 0 −a ∫ f ( x)dx = 0 a la primera parte del teorema, el segundo se deja como −a ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx −a 0 a Ahora hacemos una sustitución u = -x, luego du = -dx. Por definición, si f(x) es par. Se cumple: f(-x) = f(x), entonces: −a a a ∫ 0 f ( x ) dx = − −a ∫ 0 f ( − x )( − dx ) = − ∫ f ( u ) du Luego: a 0 ∫ 0 f ( u ) du = ∫ 0 f ( x ) dx Por lo tanto: −a ∫ a f ( x ) dx = ∫ 0 a f ( x ) dx + ∫ 0 a f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx 0 a EJERCICIOS: 1. Escribir las siguientes integrales como una sola: a-) 2 ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 0 2 2 3 b-) ∫ 0 f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 2 1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   2. Hallar ∫ f ( x)dx. 0 4 si ⎛ 2x donde: f ( x) = ⎜ ⎜ x 2 + 2 si ⎝ x <1 x ≥1 x<3 x≥3 3. Calcular ∫ 0 4 ⎛ 2 x 2 si f ( x)dx. donde: f ( x) = ⎜ ⎜ x + 1 si ⎝ 4: Desarrollar: π ∫ (x 1 0 2 +1 ) (2 x )dx 10 5. Hallar − ∫π (sex ( x) + cos( x) ) 2 dx 6. Para un gas ideal, la presión es inversamente proporcional al volumen, el trabajo requerido para aumentar el volumen de un gas particular de V = 2 a V = 4 V2 esta dado por la siguiente expresión: V1 ∫ P(V )dV donde la constante de proporcionalidad para este caso es de 12. Cual será el valor de la integral. 7. La temperatura T en una región particular, está dada por la función T(t) = 75 – 20cos(π/6)t promedio Durante todo el año. donde t = tiempo en meses. Estimar la temperatura UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella que responde correctamente a la pregunta planteada entre cuatro opciones identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. 1. En la suma de Riemman la función se aplica sobre los puntos muestra, éste representa: A. El valor representativo del subintervalo B. El valor representativo del intervalo C. El valor representativo del área D. El valor representativo de la ordenada 2. La resolución de integrales indefinidas originan A. Una función B. Un escalar C. Infinito D. Cero 3. La resolución de integrales definidas originan A. Un escalar B. Otra función C. Cero D. Uno UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   4. Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x un punto en (a, b), entonces: d dx ∫ a x f ( t ) dt = f ( x ) La definición dada corresponde a: A. El primer teorema fundamental del cálculo B. El segundo teorema fundamental del cálculo C. El teorema del valor medio de una función D. La definición de integral impropia π 5. Al resolver A. Diverge B. 1/2 C. 2 D. 0 ∫ tan( 0 2 2 x ) dx Su resultado es: 6. Al resolver A. 5,276 B. 2,789 C. 1,432 D. 10,450 ∫y 0 2 y + 1dy se obtiene 7. 7Ln(2) 10.345 8. 26. 20.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.679 D.456 D. 2Ln(3) B. 10.895 9. 5 / 3Ln(2) C. 0. Al resolver A. 5Ln(10) D. 4Ln(4) C. Al resolver A. Al resolver A.293 B. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   7.3927 B. 2 / 2Ln(3) B. 17. 7 / 3Ln(6) ∫e 0 1 3 x +1 dx se obtiene ∫ π o cos 2 ( x ) sen 2 ( x )dx se obtiene ∫ x− 1 x dx se obtiene x ∫ x * 3 dx 2 se obtiene .287 C. 0.453 C. 2. Al resolver A. 3 / Ln(7) D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   HOJA DE RESPUESTAS.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. J. J. R. Pearson Education: Prentice hall. R. McGraw Hill. FUENTES DOCUMENTALES DE LA INTERNET   http://www. Bogotá. (1998) Cálculo Vol. Edición sexta. (1998) Cálculo de una Variable. Mc Graw Hill.com/temario/calculin/index. México.htm  http://thales. (1987) El Cálculo con Geometría Analítica. SMITH. LARSON. Thomsom-Learning. UNAD Ciencias básicas PURCELL. 1. (2007) Cálculo infinitesimal de una Variable.wikipedia. México. Y HOSTETLER. J. México. Pearson educación. 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PITA. uam.htm  http://usuarios.shtml  http://www.matematicasypoesia.dma.fi.monografias.iponet.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.5&random=false  http://www.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/  http://www.jsp?expr=x%5E2*%28x‐4%29%5E0.com.upm.fata.com/trabajos10/historix/historix.pdf  http://www. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   http://www.unam.es/ProbIntegral/problema110.wolfram.html    http://integrals.mx/tecnologia/material/sem‐01/Calculo_I_Historia_1.htm  .es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.es/ddt/logica1.com/index.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   UNIDAD 2: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Cuando el integrado presenta radicales. Para desarrollar el método de fracciones f ( x) parciales. integrando se presentan expresiones como: a 2 − x 2 . es decir. se utiliza cuando la función que conforma el integrando es tal que una parte es la derivada de la otra parte y las dos están en forma de producto. En el mundo matemático. La integración por partes esta relacionada con la regla de la cadena. se debe tener en cuenta: Para la fracción p ( x ) = con g(x) ≠ 0 sea g ( x) una fracción racional propia. es una técnica que se puede utilizar cuando en el a2 + x2 . se presentan casos donde la integral es un Producto de Funciones. es posible que obtenerlos no . Por un teorema de álgebra avanzada se afirma que toda fracción racional. la racionalización puede ser un camino para superar dicho problema. es por medio de las integrales inmediatas. siendo a > 0. La sustitución trigonométrica. donde se resuelven utilizando el principio de la antiderivada. casos donde se aplica la técnica llamada integración por partes. f(x) debe tener menor grado que g(x) y por otro lado. En muchas ocasiones se ha manifestado que toda regla de derivación da origen a una regla de integración. se puede presentar problemas para resolver la integral. se puede descomponer en suma de fracciones racionales más simples. Como ∫ dx = x + c 1 ∫ x dx = Ln( x) + c ∫ kdx = kx + c para k = constante n ∫ x dx = x n +1 +c n +1 La técnica de sustitución por cambio de variable. Introducción: La primera forma de desarrollar integrales. Las condiciones básicas para establecer que se puede aplicar una sustitución es una buena observación de la función a integrar y algo de perspicacia matemática. es decir. Teóricamente cualquier polinomio con coeficientes reales se puede escribir como producto de factores lineales reales y / o factores cuadráticos. el cociente de dos polinomios.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. científico y otros. x2 − a2 . que g(x) se pueda descomponer en factores primos. actividad que nos ocupa en esta unidad y • Encontrar un numero (escalar) si la integral es definida Debido a la complejidad de las aplicaciones. realizar muchos ejercicios sobre un papel. adquieran las habilidades necesarias para su solución. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   sea tarea fácil. tener algo de fortuna. por lo tanto requerimos de técnicas o metodologías apropiadas para su solución. Justificación: Para poder desarrollar las integrales debemos manejar bien las derivadas. • La idea central de la UNIDAD es que los estudiantes al enfrentarse con cualquier tipo de integral. conocer algunas integrales directas y aplicar las técnicas de integración que analizaremos en esta unidad. los cuales se encuentran al final de cada lección. • La mejor manera de solucionar integrales es realizando ejercicios. Para esta SEGUNDA UNIDAD tenemos tres capítulos en los cuales tratamos las diferentes técnicas de integración básicas para el entrenamiento de los estudiantes que están tomando el curso. tal como vamos a detallarlas en las siguientes lecciones. Descomposición En Factores Cuadráticos. al final de la unidad o en la bibliografía y cibergrafia recomendada.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. de los ejercicios de aplicación y de los mimos problemas teóricos. aparecen integrales que no es posible solucionar por los teoremas básicos de las antiderivadas. Presentamos un cuadro con el resumen del contexto teórico de esta unidad . Descomposición En Factores Lineales Repetidos. Intencionalidades formativas: • Que los estudiantes se familiaricen con los métodos de integración. sin aprenderse de memoria los métodos de integración. Descomposición En Factores Lineales Simples. Al resolver una integral se pueden presentar dos casos: • Necesitamos obtener una antiderivada si la integral es indefinida. Los métodos de integración se presentan de una manera sencilla y de menor dificultad a mayor dificultad. Contextuales: • Adquirir los conocimientos propios de los métodos de integración. • Adquirir conocimiento mediante la realización del mayor número posible de ejercicios. De conocimientos • Adquirir las técnicas propias de los métodos de integración de la unidad. Comunicativas: • Adquirir el manejo de los elementos involucrados en los diferentes métodos de solución de integrales. Asimilación de conceptos Conceptos Competencias • Los estudiantes deben desarrollar habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de problemas prácticos. para facilitarle su asimilación al lector. • Adquirir capacidad de valoración y tolerancia con nuestros compañeros virtuales o presenciales. Denominación de CAPITULO 2 Métodos de integración II los capítulos CAPITULO 3 Métodos de integración III Apropiarse de los métodos de integración que están al alcance de este módulo. ver sus ventajas y desventajas y aprender a manejarlos. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. • Interpretar y entender la diferente simbología y su aplicación. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 1: MÉTODOS de integración I. • Adquirir facilidad de expresión y vencer el miedo en la interacción con las NTIC Valorativas: • Adoptar. identificar y practicar lo valores de la UNAD. -2].UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ∫ f (x)dx = Lim ∫ f (x)dx a t →b− a b t Lección 16: Integrales impropias con integrando discontinuo. Existen casos en que el teorema NO se cumple. Fig. Por lo cual. cuando vamos a integral lo primero que debemos observar es que se verifique el teorema. 5 Integral impropia. dichas situaciones son las que abordaremos en este aparte del curso. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 4: Métodos de integración I Introducción El teorema fundamental del cálculo se puede aplicar bajo la condición de que la función sea continua en el intervalo de integración. No. La función que observamos es dada por la ecuación: f ( x) = integrarla en el intervalo [1. 1 x2 y deseamos . debido a que el integrando es discontinuo en el intervalo propuesto. 8]. ¿Por qué? El problema requiere que recordemos dos términos: Continuidad y Acotación. donde el límite es el valor de la integral. Considere el caso de: DEFINICIÓN: Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. La integral que estamos analizando se le llama Integral Impropia. Ejemplo 1: Integral la función f ( x ) = Solución: Como la función es discontinua en x = 0. b). decimos que la integral impropia es convergente. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Sin pensarlo dos veces lo que haríamos es: dx = ∫ x − 2 dx = 2 ∫ −2 x −2 1 1 1 − x 1 =− −2 3 2 Obviamente la respuesta NO es correcta. entonces planteamos una solución aplicando la definición dada anteriormente. Si el límite no existe. 1 3 x en el intervalo (0. entonces: b t ∫ 0 1 dx 1− x ¡Argumente y comparta con sus compañeros¡ ∫ a f ( x ) dx = Lim− t→b ∫ a f ( x ) dx Si el límite existe y es finito. decimos que la integral impropia es divergente. . entonces: ∫ 0 1 dx = Lim− t→1 1− x ∫ 0 t dx = Lim− − 2 t→1 1− x [ ( 1− x )] t 0 Evaluando: ∫ 0 1 dx 1− x = − 2 Lim− t→1 1− x t 0 = − 2 (0 − 1 ) = 2 La integral propuesta es convergente y converge a 2. luego el intervalo a tomar será [0.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. . debemos tomar el límite unilateral. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ⎛ 1 ⎜ ⎜3 ∫ x 0 ⎝ 8 ⎞ ⎟ ⎟dx = Lim t→ 0+ ⎠ ∫x t 8 − 13 2 3 23 ⎤ ⎛ 3 23 ⎞ ⎡3 3 ( ) (t ) ⎥ dx = Lim x Lim = − 8 ⎜ ⎟ t→0+ ⎝ 2 t→0+ ⎢ 2 ⎠t ⎣2 ⎦ 8 Evaluando obtenemos: 33 3 23 3 ⎛ 1 ⎞ (0 ) = * 4 = 6 dx = 64 − ⎜ ⎟ ∫ 3 2 2 4 x ⎝ ⎠ 0 8 Por consiguiente: ⎛ 1 ⎞ ⎜ 3 ⎟dx = 6 ∫ 0⎝ x ⎠ 8 Ejemplo 2: Determinar la convergencia o no convergencia de la siguiente expresión: ∫ 0 1 dx 1− x Solución: Como la función NO está definida para x = 1. 1). UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 3: Demostrar que Solución: ∫x 0 1 1 k dx es convergente si k < 1. DEFINICIÓN: Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto (a. si el límite existe la integral converge y si el límite no existe. podemos resolver integrales impropias con integrado discontinuo. Con las definiciones dadas. estimado estudiante demostrar que: a-) ∫ 0 1 dx 1− x2 Converge a 3 3 2 . la integral diverge. Con el fin de fortalecer el tema. b]. ∫ 0 1 1 ⎛ x − k +1 ⎞ 1 −k ⎜ ⎟ = = dx Lim x dx Lim ∫ t→0+ t →0+ ⎜ − k + 1 ⎟ xk ⎝ ⎠t t 1 Evaluando: ⎛ x − k +1 ⎞ ⎡ 1− k +1 1 t − k +1 ⎤ 1 ⎜ ⎟ =⎢ − dx = Lim = ⎥ k ∫ ⎟ + ⎜ t →0 x ⎝ − k + 1 ⎠ t ⎣ − k + 1 − k + 1⎦ 1 − k 0 1 1 Para k < 1 ¿Qué pasará si k ≥ 1? Hacer el análisis con los compañeros del pequeño grupo colaborativo. entonces: ∫ f (x)dx = Lim ∫ f (x)dx a t →a+ t b b Al igual que en el caso anterior. entonces: ∞ ∫ f (x)dx = Lim ∫ f (x)dx a R→∞ a R o −∞ ∫ f (x)dx = Lim ∫ f (x)dx R→−∞ R a a Si los límites existen.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. La resolución de este tipo de integrales. utiliza también límites para eliminar una posible indeterminación. Administración y otros. tal es el caso de: ∞ ∫e 0 − x 2 dx muy utilizada en Probabilidad. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   b-) ∫ 0 π 4 dx 3 2 − 3x Converge a 1 2 ( 3 4 − 3 101 ) c-) ∫ tan( 0 2 2 x ) dx Diverge. también podemos encontrar unas integrales impropias donde uno de los límites es infinito. . b) o (-∞. Lección 17: Integrales impropias con límites de integración finitos En el campo de las integrales impropias. Estos ejercicios deben desarrollarlos en el pequeño grupo colaborativo y socializarlo con el tutor. a]. pero también hay casos en Economía. entonces la integral impropia diverge. DEFINICIÓN: Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [a. Pero si el límite no existe. entonces las integrales impropias son convergentes.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 1: Determinar la convergencia o divergencia de: ∫ 1 ∞ 1 dx . x2 Solución: Observamos que el límite superior es infinito. 6 Convergencia. entonces aplicando la definición tenemos: ∞ ∫ 1 1 dx = Lim ∫ x − 2 2 R →∞ x 1 R ⎡ 1⎤ dx = Lim − ⎢ ⎣ x⎥ ⎦ R →∞ R Evaluando el límite. Ejemplo 2: − 1 Demostrar que: − ∞ ∫ dx x es divergente. . No.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Fig. tenemos: 1 ∞ 1 −1 dx = Lim − R −1 = 0 + 1 = 1 2 ∫ → ∞ R x 1 ( ) La integral propuesta converge a 1. si ∞ −∞ ∫ a ∞ f ( x)dx y ∫ f ( x)dx a son convergentes. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Siguiendo el mismo procedimiento anterior: −1 −∞ −1 ∫ dx x dx x −1 = Lim R → −∞ ∫ R dx x 1 [x ]− R −∞ ∫ = Lim R → −∞ Ln Si evaluamos el límite: −1 −∞ ∫ dx x = [Ln − 1 − Ln R ]= −∞ Como el límite no existe. En estudios matemáticos sobre fenómenos luminosos. la integral diverge. hacemos uso de la siguiente definición: DEFINICIÓN: Sea f(x) una función continua en el intervalo (-∞. entonces la integral total diverge. se puede encontrar integrales impropias. ∞). sonido y en general en fenómenos ondulatorios.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. donde los dos límites de integración son infinitos. electricidad. . Para resolver ente tipo de integrales. decimos que por la siguiente relación: ∞ −∞ ∫ f ( x)dx ∞ es convergente y su valor se puede hallar −∞ ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx −∞ a a Si alguna de las integrales diverge o las dos. −∞ . ⎠ Inicialmente definamos a = 0 y así aplicando la definición: ⎛ 1 ⎞ dx = ⎜ 2 ⎟ ∫ x 1 + ⎝ ⎠ −∞ ∞ ⎛ 1 ⎞ dx + ⎜ 2 ⎟ ∫ x 1 + ⎝ ⎠ −∞ a ∞ ∫⎜ ⎝1+ a ⎛ 1 ⎞ ⎟ dx x ⎠ 2 En seguida aplicamos el límite: ⎛ 1 ⎞ Lim ∫ ⎜ dx + Lim 2 ⎟ b → −∞ c →∞ + 1 x ⎝ ⎠ b a ⎛ 1 ⎞ dx ⎜ 2 ⎟ ∫ + 1 x ⎝ ⎠ a c Integrando: b → −∞ Lim Tan [ −1 (x) ] a b + Lim Tan c→ ∞ [ −1 (x) ] c a Evaluando el límite: b → −∞ Lim Tan −1 ( a ) − Tan −1 (b ) + Lim Tan −1 (c ) − Tan −1 ( a ) c→∞ [ ] [ ] Como a = 0. entonces: [0−(−π 2)] +[π 2 −0] =π Ejemplo 2: ∞ −x e ∫ dx La integral converge.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Demostrar que: Diverge. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 1: ∞ Dada la integral: Solución: −∞ ∫⎜ ⎝1+ ⎛ 1 x 2 ⎞ ⎟ dx Determinar si converge o diverge. pero la segunda diverge. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Aplicando la definición dada para estos casos tenemos: ∞ −∞ ∫e −x dx = −∞ ∫e 0 −x dx + ∫ e − x dx 0 ∞ Llamemos a la primea integral A y a la segunda B Desarrollemos la primera integral: −x −x e dx = Lim e dx = Lim − e ∫ A= ∫ −x −∞ R→−∞ R R→−∞ 0 0 ( ) o R = Lim − e0 − (−eR ) R→−∞ [ ] Evaluando: −x −∞ 0 ∫ e dx = −e + e = −1+ 0 A= −∞ 1 = −1 + 0 = −1 e∞ Converge Ahora desarrollemos la segunda integral: ∞ −x −x ∫ e dx = Lim∫ e dx = Lim− e −x 0 R→∞ 0 R→∞ R B= ( ) R o = Lim− eR − (−e0 ) R→∞ [ ] Evaluando: ∞ B= ∫e 0 −x dx = −e∞ + e0 = −∞ + 1 = −∞ Diverge Vemos que la primera integral converge. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. por consiguiente la integral original diverge. ∫ cot( 0 x ) dx 9. en caso de que converja. ∫ tan( x ) dx 0 5. −1 1 ∫ 1 1 dx x 3. − ∞ ∫ 1 dx x4 . ∫ 0 5 x −5 − 4 5 dx 10. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   EJERCICIOS LECCION No. x dx 2 ∫ x + 1 10 7.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ∫ Ln ( x ) dx 0 ∞ 4. −∞ ∞ 4x e ∫ dx 1 6. hallar el valor correspondiente: 1. ∫ 0 1 1 3 x dx 2. 2: Determinar SI la integral converge o diverge. ∫ 0 1 2 1− X 2 2 dx π 8. ∫ cosh( x ) dx = senh ( x ) + c La idea no es memorizar estas fórmulas. ∫ senh ( x ) dx = cosh( x ) + c 18.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ∫ kdx 4. 12. las propiedades analizadas. solo que con un buen análisis se pueden utilizar en muchas situaciones. ∫ sec(x) tan(x)dx = sec(x) + c ∫ ⎛ x⎞ = Sen −1 ⎜ ⎟ + c ⎝a⎠ a −x ∫ csc(x) cot(x)dx = − csc(x) + c ∫a ∫x 2 dx 2 2 a≠0 1 dx ⎛ x⎞ = Tan −1 ⎜ ⎟ + c a ≠ 0 2 a +x ⎝a⎠ dx x2 − a2 = ⎛a⎞ 1 ⎟ Cos −1 ⎜ ⎜ x ⎟+c a ⎝ ⎠ 15. = kx + c para k = constante x n +1 + c para n ≠ -1 3. 14. 9. ∫ cos(nx)dx = n sen(nx) + c ∫ sec ( x)dx = tan(x) + c 2 10. 1. ∫ csc (x)dx = − cot(x) + c 2 11. ∫ x dx = n +1 5. ∫ sen(nx)dx = − n cos(nx) + c 1 n≠0 8. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 18: Integrales inmediatas. Recopilando lo estudiado en integrales indefinidas. 13. ∫x dx x2 − a2 = ⎛x⎞ 1 ⎟ Sec −1 ⎜ ⎜ a ⎟+c a ⎝ ⎠ 16. nx ∫ e dx = 1 nx e +c n≠0 n 1 n≠0 7. podemos exponer a continuación las integrales obtenidas por definición de la antiderivada o primitiva. ∫ dx n = x+c 2. . Inicialmente vamos a hacer un recuento de las integrales que se pueden resolver utilizando el concepto de antiderivada. 17. x ∫ a dx = 1 ∫ x dx = Ln( x) + c ax +c Lna para a > 0 y a ≠ 1 6. desarrollamos la integral.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. luego con la fórmula numero 5 se puede resolver esta integral. luego con la fórmula numero 2 se puede resolver esta integral ∫ 5 dx ∫ 5 dx = 5x + c Ejemplo No 3: Hallar la siguiente integral: ∫ 30e 4 x dx Solución: Tenemos la integral de una constante por una función. podemos sacar la constante de la integral y luego operar la función. x 4 ∫ dx 4x ∫ 4 dx = Ln 4 + c x Ejemplo No 2: Resolver: Solución: En este caso se trata de una constante. veamos: ∫ 30e 4x dx = 30∫ e 4 x dx Por la fórmula 6. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo No 1: Resolver: Solución: Como podemos ver se trata de una función exponencial. 1 15 30∫ e 4 x dx = 30( e 4 x ) + c = e 4 x + c 4 2 Por consiguiente: . por las propiedades estudiadas. ahora resolvemos cada integral. es conveniente resolverlo primero paras poder luego hacer la integración.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   4x ∫ 30e dx = 15 4 x e +c 2 Ejemplo No 4: Resolver: Solución: Se trata de la integral de una constante por una función trigonométrica. obtenemos: . 4 2 ∫ x dx − ∫ 8x dx − ∫ 16dx = 1 5 8 x + c1 − x 3 + c2 + 16x + c3 5 3 Sumando las constantes en una sola. ∫ (x 2 − 4 dx ) 2 ∫ (x 2 − 4 dx = ∫ ( x 4 − 8x 2 + 16)dx = ∫ x 4 dx − ∫ 8x 2 dx + ∫ 16dx 2 ) Se aplico la linealidad para las integrales. la solución es de la siguiente manera: ∫ 20 cos(5 x)dx ⎛1 ⎞ 20 cos( 5 x ) dx = 20 cos( 5 x ) dx = 20 ⎜ sen (5 x ) ⎟ + c ∫ ∫ ⎝5 ⎠ ∫ 20 cos(5 x)dx = 4sen (5 x) + c + c Ejemplo No 5: Resolver la siguiente integral: Solución: Vemos que e integrado es un producto notable. se puede llevar la función dada a una forma tal que se pueda aplicar alguna de las funciones inmediatas para resolverla. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   1 5 8 1 8 x + c1 − x 3 + c2 + 16x + c3 = x 5 − x 3 + 16x + c 5 3 5 3 Por consiguiente: ∫ (x 2 − 4 dx = ) 2 1 5 8 3 x − x + 16x + c 5 3 Lección 19: Integrales inmediatas con sustitución En algunos casos la función NO tiene la forma directa para resolverla como integral inmediata.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. pero haciendo una pequeña transformación. observemos la fórmula 13. Ejemplo No 6: Resolver la integral: Solución: Si observamos detalladamente. luego: . esta función no tiene una forma conocida de las integrales inmediatas. entonces: 3 − 2 x − x 2 = 3 − ( x 2 + 2 x + 1) + 1 organizando: ∫ 1 3 − 2x − x 2 dx 4 − ( x + 1) 2 ahora incluyámoslo en la integral: ∫ 1 3 − 2x − x 2 dx = ∫ 1 4 − ( x + 1) 2 dx = ∫ 1 2 2 − ( x + 1) 2 dx Ya lo tenemos de la forma de una integral inmediata. sin embargo por la forma de la función se puede inferir que 1 podemos llevarla a la forma ∫ Para esto debemos transformar el dx 2 a − x2 trinomio a la forma a2 – x2.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ∫ ⎛ x + 1⎞ dx = Sen −1 ⎜ ⎟+c ⎝ 2 ⎠ 2 − ( x + 1) 1 2 2 Por consiguiente: ∫ ⎛ x + 1⎞ dx = Sen −1 ⎜ ⎟+c ⎝ 2 ⎠ 3 − 2x − x 2 1 Ejemplo No 7: π Resolver la integral: Solución: sen ( x ) dx 2 ∫ x 16 + cos ( ) 0 2 La forma de la función no es conocida. al final se evalúan los límites. ⎝ 4 ⎠ Entonces reemplazamos: 1 1 ⎛U ⎞ ⎛ cos( x) ⎞ − Tan −1 ⎜ ⎟ = − Tan −1 ⎜ ⎟ Evaluando en los límites propuestos: 4 4 ⎝4⎠ ⎝ 4 ⎠ 1 1 1⎡ ⎛U ⎞ ⎛ cos( x) ⎞ 2 −1 ⎛ cos(π / 2) ⎞ −1 ⎛ cos(0) ⎞ ⎤ − Tan −1 ⎜ ⎟ = − Tan −1 ⎜ ⎟ = − ⎢Tan ⎜ ⎟ − Tan ⎜ ⎟⎥ 4 4 4⎣ 4 ⎝4⎠ ⎝ 4 ⎠0 ⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ π Resolviendo y simplificando: − 1⎡ 1 1 ⎛ cos(π / 2) ⎞ −1 ⎛ cos(0) ⎞ ⎤ −1 −1 −1 ⎛ 1 ⎞ Tan −1 ⎜ ⎟ − Tan ⎜ ⎟⎥ = − Tan (0) − Tan (1 / 4) = Tan ⎜ ⎟ ⎢ 4⎣ 4 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎝ 4⎠ [ ] . Apliquemos la integral sin límites. para facilitar el proceso. Entonces: 2 +x ⎝a⎠ Sea U = cos(x) luego: dU/dx = -sen(x) entonces: dU = -sen(x)dx. pero se puede transformar a la forma ∫a 2 1 ⎛ x⎞ dx = Tan −1 ⎜ ⎟ según la forma propuesta. ∫ 16 + cos sen ( x ) dx = 2 ( x) ∫ 16 + U − dU 2 =− 1 Tan 4 −1 ⎛U ⎞ ⎜ ⎟ Pero U = cos(x).UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. x +1 x +1 ∫ 3x2 + 2x dx = x +1 3x − 1 + ∫⎜ ⎝ ⎛ 1 ⎞ ⎟ dx x +1⎠ Aplicando la linealidad obtenemos: ∫ 3 xdx − ∫ dx + ∫ x + 1dx = Ejemplo No 9: 1 3 2 x − x + Ln ( x + 1) + c 2 Un ejemplo más para adquirir destreza en este tipo de situaciones: Resolver la integral dada a continuación: Solución: ∫ sen ( x ) dx cos 2 ( x ) Separemos el cos2(x) en cos(x)*cos(x) y reorganizando: ∫ cos sen ( x ) dx = 2 (x) ∫ cos( sen ( x ) dx = x ) * cos( x ) ∫ sen ( x ) 1 * dx cos( x ) cos( x ) .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. pero es un polinomio que podemos dividir para reducirlo lo más que se pueda. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Luego: π ∫ 16 + cos 0 2 1 sen ( x ) ⎛1⎞ dx = Tan −1 ⎜ ⎟ 2 ( x) 4 ⎝4⎠ Ejemplo No 8: Hallar la solución de la integral propuesta: Solución: La función del integrado No tiene forma conocida. ∫ 3x 2 + 2x dx x +1 1 3x 2 + 2x = 3x − 1 + Aplaquémosle la integral. 2 ∫ x x + 2 dx 2 ( ) ∫ 1 4 − x2 dx 5. ∫ 1 + sen 3. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Por identidades trigonométricas: sen ( x ) 1 * ∫ cos( x) cos( x)dx = ∫ tan( x) * sec( x)dx Esta última integral tiene la forma de la fórmula 11 de las integrales inmediatas. 4. entonces: ∫ tan( x) * sec( x)dx = sec( x) + c Por consiguiente: ∫ sen ( x ) dx = sec( x ) + c cos 2 ( x ) EJERCICIOS: 1. 6. ∫x 2 4 dx + 2x + 5 ∫ senh (5 x)dx .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ∫ dx x2 + 4 cos( x ) dx 2 ( x) 2. se puede aplicar esta técnica. Como el método tiene que ver con el producto de una función y su derivada. entonces: ∫ f [g(x)]g′(x)dx = ∫ f (U )dU = P(U ) + c Por consiguiente: P(U ) + C = P[g (x)] + C Demostración: Podemos demostrar que la derivada de P(g(x)) + C es la función que conforma el integrado. ∫ f [g(x)]g′(x)dx = ∫ f (U )dU = P(U ) + c La técnica de sustitución por cambio de variable. Pero la pregunta es ¿Qué funciones se pueden integrar por cambio de variable? Cuando la función que conforma el integrando es tal que una parte es la derivada de la otra parte y las dos están en forma de producto. el siguiente teorema sustenta dicha técnica: TEOREMA: Sea g(x) una función derivable y supongamos que P(x) es una antiderivada de la función f(x). pero haciendo un “Truco Matemático” llamado cambio de variable. es posible la resolución de muchas integrales.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. estaría implícita la regla de la cadena. Las condiciones básicas para establecer que se puede aplicar una sustitución es una buena observación de la función a integrar y algo de perspicacia matemática. se utiliza cuando la función que se desea integrar NO se le puede aplicar las fórmulas de las integrales inmediatas. Si además U = g(x). TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 20: Integración por cambio de variable. veamos: . lo cual indica que dicha sustitución no es la adecuada y se debe intentar con otra forma de sustituir. ahora derivemos esta función: dU = 4 x 3 ⇒ dU = 4 x 3 dx Reemplazando es la integral dx . dv. 2. Una vez realizada la integración. dw. v. Reemplazar todos los términos en el integrado de tal forma que queden expresados solo en función de la nueva variable 4.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   d (P( g ( x)) + C ) = P' ( g ( x)) * g ' ( x) dx Pero por hipótesis P(x) es antiderivada De f(x). 5. A veces no se puede hacer esto. luego: P' ( g ( x ) ) * g ' ( x ) = f ( g ( x ) ) − g ' ( x ) Así queda demostrado el teorema. Ejemplo No 1: Desarrollar: ∫ (x Solución: Vemos que la función es un producto de dos funciones: x 4 + 10 4 + 10 ) 62 4 x 3 dx ( ) 62 y 4 x 3 lo que nos sugiere una sustitución. elegir una variable digamos u. la nueva variable se reemplaza por la variable original y así obtenemos la integral deseada. Definimos la nueva variable U = x 4 + 10 . … que sustituya parte del integrado. Resolver la integral bajo la nueva variable. w. Hallar el diferencial de la variable seleccionada: du. Los pasos para aplicar la técnica de sustitución son: 1.… 3. por lo cual se hace el entonces: reemplazo de nuevo: U = x 4 + 10 (x ( ) 10 4 x + x dx = ∫ 4 62 3 4 + 10 63 ) 63 +c Ejemplo No 2: Hallar: ∫ 3x 2 sen ( x 3 ) dx Solución: Elegimos la nueva variable V = x3. tenemos: − cos(V ) + c = − cos(x 3 ) + c por consiguiente: 2 3 3 3 x sen ( x ) dx = − cos( x )+c ∫ Ejemplo No 3: Desarrollar: ∫ sen ( x ) x dx .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ahora derivamos reemplazamos: dV = 3x 2 ⇒ dV = 3x 2 dx dx Si ∫ 3x 2 sen ( x 3 ) dx = ∫ sen (V ) dV = − cos( V ) + c Reemplazando el valor de V en función de x. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Original: ∫ (x 4 + 10 4 x 3dx = ∫ U 62 dU 62 ) Esta si se puede resolver: U 63 ∫ U dU = 63 + c . 62 Pero la función original es x y no U. u= x⇒ dx dx du 1 − 12 = x ⇒ du = ⇒ 2du = dx 2 x 2 x Reemplazando en la integral. ∫ sen ( x ) dx = x ∫ sen ( u ) 2 du = 2 ∫ sen ( u ) du = − 2 cos( u ) + c Como u = x reemplazamos en la integral obtenida. Solución: ∫ tan( x ) dx = sen ( x ) 1 dx = ∫ cos( x ) ∫ cos( x ) * sen ( x )dx Hacemos cambio de variable: u = cos(x). luego: du = −sen( x) ⇒ du = −sen( x)dx reemplazando: dx Pero u = cos(x) entonces: sen( x) 1 dx = − ∫ cos(x) ∫ u du = −Ln u + c ∫ tan( x)dx = − Ln cos(x) + c .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ∫ sen ( x ) dx = − 2 cos( x x) + c Ejemplo No 4: Hallemos la integral de tan(x). nos resulta. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Siguiendo los pasos descritos. pero primero debemos ajustarlo par poder aplicar este tipo de integral. ∫ e3x 4−e 6x dx ∫ e3 x 4−e 6x dx = ∫ e3 x 22 − e Luego: ( ) 3x 2 dx Ahora si podemos hacer cambio de variable. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo No 5: Resolver: Solución: Observando detenidamente esta integral. integral: w = e3 x dw = 3e3x dx y dw 3x =e 3 reemplazando en la ∫ e3 x 4 − e6 x dx = ∫ dw 1 −1 ⎛ w ⎞ 3 =1 = Sen ⎜ ⎟+c ∫ 2 2 2 2 3 3 ⎝2⎠ 2 −w 2 −w dw Finalmente: ∫ 3x 1 −1 ⎛ e ⎞ dx = Sen ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟+c 6x 3 4−e ⎝ ⎠ e3 x .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. vemos que tiene la forma de Sen-1(x). se puede presentar problemas para resolver la integral. Ejemplo No 1: Resolver: Solución: 2 Haciendo un cambio de variable: u = x ⇒ 2udu = dx luego reemplazamos: ∫ x− 1 x dx . que permiten el desarrollo de habilidades de pensamiento de orden superior. esto quiere decir que “trabajando es como aprendemos”. la racionalización puede ser un camino para superar dicho problema. pero a su vez presenta dificultades para poder desplegar dichas habilidades. como se ha sugerido en todas las lecciones. Lección 21: Integración por racionalización. se debe comprender uno previo que facilite la comprensión del siguiente y de esta forma ir avanzando en el desarrollo de los temas. desarrollo del raciocinio. los tres casos de integración por sustitución trigonométrica y la integración por partes temas claves en el desarrollo del curso. debido a que parte de teorías y definiciones cuyas demostraciones se soportan en el principio de la lógica. ya que se requiere trabajar el sentido de análisis. esto indica que para comprender un tema. veamos algunos casos. especialmente la Deducción. los axiomas y postulados. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 5: Métodos de integración II Introducción En este capítulo vamos a detallar los métodos de integración por racionalización. entonces ANIMO y a realizar todas las integrales que se nos presenten. Inducción y la Abstracción.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. aspectos no fáciles de activar en la mente humana. requiere un esfuerzo sistemático en el análisis de contenidos. Para este capítulo tenemos que las matemáticas se vuelven una ciencia un poco teórica. con la realización de muchos ejercicios. Cuando el integrado presenta radicales. El manejo complejo del trabajo mental para el estudio de las Matemáticas. reemplazamos en la integral original: ∫x 3 x + π dx = ∫ (V 3 − π (V )( 3V 2 ) dV = ∫ ( 3V 6 − 3π V 3 ) dV Si volvemos a reemplazar.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. . obtenemos ) Desarrollando: finalmente: 3 7 3 V − πV 4 + c 7 4 x 3 x + π dx = 7 4 3 (x + π ) 3 − 3 π (x + π ) 3 + c 7 4 Esperamos que estos ejemplos modelos permitan desarrollar destreza para resolver este tipo de integrales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ∫ x− ∫ x− 1 x dx = ∫ 2udu u 1 = 2∫ du = 2 ∫ du = 2 Lu u − 1 + c 2 u (u − 1) u −1 u −u tenemos finalmente: Reemplazando u = x 1 x dx = 2 Ln x − 1 + c Ejemplo No 2: Hallar la integral de: Solución: Haciendo x3 x + π dx V = 3 x +π ⇒V 3 = x +π ⇒ x =V 3 −π derivamos: 3V 2 dV = dx .  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   EJERCICIOS: En los siguientes ejercicios desarrollar la integral. 3 x dx ⎛4⎞ Rta: 6 − 24 Ln⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎛ 2⎞ Rta: 2 + 2 Ln⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ Rta: 6. 1. ∫ x +1 3. ∫ (x + 3 ) ∫ 4+ 0 1 x3 4 dx Rta: Ln x + 3 + 9 27 9 − + +c 2 x + 3 2(x + 3) (x + 3)3 5. ∫x 3 x 3 + 2dx 2 9 2 3 (x 3 +2 ) 3 +c 8.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ∫ x + 2 dx 2 4 x 7. Rta: ∫ sen ( x ) − cos( x ) dx sen ( x ) Rta: x − Ln sen ( x ) + c 4. ∫ cos( x ) sen ( x ) + 1dx Rta: (sen( x) + 1)3 + c . x ∫ x * 3 dx 2 Rta: 1 x2 3 +c 2Ln3 3 2 x − x + Ln x + 1 + c 2 3x 2 + 2 x dx 2. indicando paso por paso. Fig. No.5a sen ⎜ ⎟ + a ⎝a⎠ 2 2 2 −1 La sustitución trigonométrica. x2 − a2 . analicemos los tres casos: PRIMER CASO: . Haciendo el reemplazo a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sen 2 (θ ) . 7 Sustitución trigonométrica caso 1 . a2 + x2 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. es una técnica que se puede utilizar cuando en el integrando siendo se presentan expresiones como: a 2 − x 2 . a > 0. entonces nos resulta a cos(θ ) . la función mantiene sus condiciones para serlo como tal. La 2 2 restricción se debe a que en este intervalo. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 22: Integrales por sustitución trigonométrica caso I ∫ 2 2 ⎛ x⎞ x a −x a − x dx = 0. organizando: : a 2 − x 2 : La sustitución es de la forma x = asen (θ ) para − π ≤θ ≤ π a 2 − a 2 sen 2 (θ ) = a 2 (1 − sen 2 (θ ) ) = a 2 cos 2 (θ ) . Como a 2 − x 2 está dentro de una raíz. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Por la gráfica: sen(θ ) = x ⎛ x⎞ ⇒ θ = Sen −1 ⎜ ⎟ Por otro lado. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Pero la expresión final debe expresarse en función de x y no de θ. También por la gráfica: a ⎝a⎠ cos(θ ) = a2 − x2 Reemplazando: a . luego transformamos a θ en X. la gráfica anterior nos ayuda a hacer dicha transformación. luego: a2 a2 a ∫ cos (θ )dθ = θ + sen(2θ ) + c 2 4 2 2 Pero la variable original está en función de X y no de θ. lo que se resuelve usando el siguiente gráfico: Desarrollemos: ∫ ∫ ∫ a 2 − x 2 dx Siendo x = asen(θ ) entonces: Haciendo el reemplazo: dx = a cos(θ )dθ a 2 − a 2 sen 2 (θ ) a cos(θ )dθ esto es equivalente a: a 2 (1 − sen 2 (θ )a cos(θ )dθ = ∫ a 2 cos 2 (θ )a cos(θ )dθ Por la identidad: cos 2 ( x) = ∫a 2 cos 2 (θ )dθ = a 2 ∫ cos 2 (θ )dθ 1 + cos(2 x) 2 reemplazamos para poder integrar: a2 a2 ⎛ 1 + cos(2θ ) ⎞ a ∫ cos (θ )dθ = a ∫ ⎜ dθ + ∫ cos(2θ )dθ ⎟dθ = 2 2 ∫ 2 ⎝ ⎠ 2 2 2 La última parte si se puede integrar. lo que se hace por medio del cambio que se propuso inicialmente: x = 3sen (θ ) Despejamos ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ sen (θ ) = ⎜ ⎟ ⇒ θ = Sen −1 ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝a⎠ Finalmente: ∫ ⎛ x⎞ dx = Sen−1 ⎜ ⎟ + c ⎝a⎠ 9 − x2 1 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ∫ a 2 − x 2 dx = 2 2 2 a2 a2 a2 ⎛ x⎞ a x a −x θ + sen(2θ ) = Sen−1 ⎜ ⎟ + * a 2 4 2 ⎝a⎠ 2 a ∫ a2 ⎛ x⎞ x 2 a − x dx = Sen−1 ⎜ ⎟ + a − x2 + c 2 ⎝a⎠ 2 2 2 Ejemplo 1: Desarrollar: Solución: Hacemos: ∫ 1 9 − x2 dx x = 3sen (θ ) ⇒ dx = 3 cos θdθ 3 cos(θ ) 9 − (3 cos(θ )) 2 Reemplazando: ∫ 1 9 − x2 dx = ∫ dθ = ∫ 9 1 − sen2 (θ ) ( 3 cos(θ ) ) dθ = ∫ 3 cos(θ ) 3 cos2 (θ ) dθ Simplificando: cos(θ ) ∫ cos(θ ) dθ = ∫ dθ = θ + c Pero θ debemos expresarlo como X.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 23: Integrales por sustitución trigonométrica caso II a 2 + x 2 La sustitución es de la forma x = a tan( θ) para − π 2 ≤θ ≤ π 2 El procedimiento es similar al caso anterior. 8 sustitución trigonométrica caso 2 tan(θ ) = x a Despejando el ángulo: θ = Tan − 1 ⎜ ⎟ ⎛ x⎞ ⎝a⎠ Ejemplo 2: Resolver: Solución: Hacemos el cambio de variable: reemplazamos: ∫ 16 + x 2 dx x = 4 tan(θ ) luego: dx = 4 sec 2 (θ )dθ y ∫ 16 + x 2 dx = ∫ 16 + 4 2 tan 2 (θ ) * 4 sec 2 (θ )dθ resolviendo: .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. solo que la gráfica cambia: Fig. No.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ∫ 16 1 + tan 2 (θ ) * 4 sec 2 (θ )dθ = ∫ 4 sec 2 (θ ) * 4 sec 2 (θ )dθ Simplificando: ( ) 16∫ sec 3 (θ )dθ . n ∫ sec (u)du = 1 n−2 secn−2 (u ) tan(u ) + secn−2 (u )du ∫ n −1 n −1 Para n ≠ 1 Siguiendo con el ejemplo: 1 ⎡1 ⎤ 16∫ sec 3 (θ )dθ = 16⎢ sec(θ ) tan(θ ) + ∫ sec(θ )dθ ⎥ + c Resolviendo: 2 ⎣2 ⎦ 1 ⎡ ⎤ 8 sec( θ ) tan( θ ) + ∫ sec( θ ) d θ ⎥ = 8 sec( θ ) tan( θ ) + 8 Ln sec( θ ) + tan( θ ) + c ⎢ 2 ⎣ ⎦ Debemos transformar el ángulo en la variable x. 8 sec( θ ) tan( θ ) + 8 Ln sec( θ ) + tan( θ ) = 8 x 2 + 16 x * + 8 Ln 4 4 x 2 + 16 x + +c 4 4 1 x+ 2 Resumiendo: 16 ∫ sec (θ ) d θ = x x + 16 + 8 Ln 2 3 x 2 + 16 +c 4 Finalmente: ∫ 1 x + x 2 + 16 16 + x 2 dx = x x 2 + 16 + 8Ln +c 2 4 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Esta integral se puede resolver por la siguiente fórmula. 9 Sustitución trigonométrica caso 3 sec( θ ) = x a θ = Sec −1 ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ Ejemplo 3: Solucionar la integral propuesta: Solución: ∫ x2 − 4 dx x La sustitución: x = 2 sec( θ ) ⇒ dx = 2 sec( θ )tn (θ ) d θ si reemplazamos: ∫ x2 − 4 dx = x ∫ 4 sec 2 (θ ) − 4 2 sec( θ ) tan( θ ) d θ 2 sec( θ ) .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. No. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 24: Integrales por sustitución trigonométrica caso III . x 2 − a 2 : La sustitución es de la forma: x = a sec(θ ) para − π ≤θ ≤ π Fig. Los 2 2 pasos para desarrollar integrales de este tipo son similares a los casos anteriores.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Operando: ∫ 4 sec 2 − 1 2 tan( θ ) d θ = ∫ 2 tan 2 (θ ) tan( θ ) d θ = 2 ∫ tan 2 (θ ) d θ = 2 ∫ sec 2 (θ ) − 1 d θ 2 ( ) ( ) Si aplicamos la linealidad. . 10 aplicación sec( θ ) = x a tan(θ ) = x2 − 4 2 Si reemplazamos: ∫ ⎛ x2 − 4 ⎞ x2 − 4 x2 − 4 ⎟+c − 2Tan −1 ⎜ dx = 2 ⎜ ⎟ 2 2 x ⎝ ⎠ El propósito de esta técnica es que cuando se presenten casos de integrales que contengan las formas descritas anteriormente. Pero es pertinente que se desarrollen ejercicios sobre el caso para adquirir destreza en la misma. luego: Según la gráfica siguiente: Fig. No. tenemos: 2∫ sec2 (θ )dθ − 2∫ dθ = 2 tan( θ ) − 2θ + c Por la sustitución hecha.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Esto se adquiere con mucha observación de la integral propuesta y algo de perspicacia. se utilicen adecuada y correctamente. reemplazamos el ángulo por x. ∫ x(x 2 2 dx + 16 ) Rta: 1 Ln 16 x x 2 + 16 +c .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ∫ ∫ 1 3 − x2 25 − x 2 2 − x2 4 − x2 dx Rta: 5. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   EJERCICIOS: Lección No. ∫ 2x − 3 1− x2 dx Rta: − 2 1 − x − 3Sen ( x) + c ⎛ 25x ⎞ 1 19 ⎟ x 25 − x 2 − Sen−1 ⎜ ⎜ 25 ⎟ + c 2 2 ⎝ ⎠ 4. dx Rta: 3 −1 6. ∫ 4 − x2 dx x Rta: 2Ln 2 − 4 − x2 + 4 − x2 + c x 2. 4 1. x2 ∫ 1 + x 2 dx Rta: x − Tan −1 ( x) + c 2 −1 3. El éxito de la técnica está en la selección de las función u y v. Ejemplo 1: Desarrollar: ∫ xsen ( x)dx . casos donde se aplica la técnica llamada integración por partes. es decir. La elección debe ser tal que u se pueda derivar y v se pueda integrar. La integración por partes está relacionada con la regla de la cadena. entonces: d ( f ( x) * g ( x) ) = f ( x) * d g ( x) + g ( x) * d f ( x) Si integramos las dos ecuaciones: dx dx dx f ( x) * g ( x) + g ( x) * f ( x)⎥ ∫ dx ( f ( x) * g ( x)) = ∫ ⎢ dx dx ⎣ ⎦ d d d f ( x) * g ( x) = ∫ f ( x) * g ' ( x)dx + ∫ g ( x) * f ' ( x)dx ⎡ ⎤ Tenemos: [ ] Reorganizando: Llamemos a u = f(x) y v = g(x). científico y otros. tal que la integral del segundo miembro de la ecuación se pueda integrar fácilmente. aquí vamos a relacionar algunos modelos que darán las pautas para aplicar esta técnica. ∫ udv = u. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 25: Integración por partes. haciendo diversos ejercicios.v − ∫ vdu Fórmula para la regla de la cadena. se presentan casos donde la integral es un Producto de Funciones.v − ∫ vdu En el mundo matemático.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Esto se adquiere con la práctica. En muchas ocasiones se ha manifestado que toda regla de derivación da origen a una regla de integración. Sean f(x) y g(x) dos funciones diferenciables. ∫ f ( x) * g' ( x)dx = f ( x) * g( x) − ∫ g( x) f ' ( x)dx Si reemplazamos en la ecuación anterior: ∫ udv = u.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Vemos se presenta un producto. veamos: du = dx y v = − cos( x) Como ya tenemos todas las ecuación: partes que necesitamos. reemplazamos en la ∫ udv = u * v − ∫ vdu = xsen( x)dx = x(− cos( x)) − ∫ − cos( x)dx x ( − cos( x )) − ∫ − cos( x ) dx = − x cos( x ) + sen ( x ) + c Finalmente: ∫ xsen ( x ) dx = − x cos( x ) + sen ( x ) + c Ejemplo 2: Resolver: Solución: Una integral muy conocida. . u = x y dv = sen( x)dx derivar u e integrar v. luego se sospecha una integración por partes. entonces debemos Hacemos el cambio de variable. ∫ Ln ( x ) dx u = Ln( x) ⇒ du = 1 dx x Por otro lado: dv = dx ⇒ v = x Si aplicamos la fórmula: 1 udv = u * v − vdu ⇒ xLn ( x ) − x ∫ ∫ ∫ x dx = xLn ( x ) − x + c Entonces: Ejemplo 3: Desarrollar la integral: ∫ Ln ( x ) dx = x (Ln ( x ) − 1 ) + c ∫ xe x dx .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. una vez desarrollada podemos asimilarla.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Sea u = x ⇒ dx = dx y dv = e dx ⇒ v = e x x luego: ∫ udv = u * v − ∫ vdu ⇒ ∫ xe dx = xe x x − ∫ e x dx Resolviendo: ∫ xe dx = e (x − 1) + c x x Ejemplo 4: π Resolver: x csc ∫ π 6 2 2 ( x ) dx Solución: Elegimos: Entonces: integral: π 2 u = x ⇒ du = dx Por otro lado: dv = csc2 ( x)dx ⇒ v = − cot(x) Resolviendo la segunda ∫ x csc 2 2 ( x)dx = − x cot( x) − ∫ − cot( x)dx ∫ x csc ( x)dx = − x cot(x) + Ln sen( x) 2 Ahora evaluemos los límites: ∫ x csc π 6 ( x ) dx = [− x cot( x ) + Ln sen ( x ) ]π 2 π 6 Desarrollando: π ∫ x csc π 6 2 2 ( x ) dx = 3 π + Ln 2 6 NOTA: No podemos olvidar que elegir u debe ser tal que se pueda derivar y dv tal que se pueda integrar. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. tengamos esto muy en cuenta. Teniendo en cuenta los principios del método y lo desarrollado sobre integración. se puede resolver cualquier problema de este tipo. Ejemplo 1: Desarrollar Solución: Aplicando la resolución por partes: u = x 2 ⇒ du = 2 xdx luego: y ∫x 2 e x dx dv = e x dx ⇒ v = e x ∫x 2 e x dx = x 2 e x − ∫ 2 xe x dx = x 2 e x − 2 ∫ xe x dx y dv = e dx ⇒ v = e x La última integral la resolvemos por el mismo método: u = x ⇒ du = dx x x x x Reemplazando de nuevo: ∫ xe dx = xe − ∫ e dx = xe − e x x +c Reagrupando: 2 x 2 x x 2 x x x x e dx = x e − 2 xe dx = x e − 2 xe − e +c ∫ ∫ ( ) ∫x 2 e x dx = x 2 e x − 2 xe x + 2 e x + c = e x x 2 − 2 x + 2 + c ( ) El problema exigió aplicar el método dos veces. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Fenómeno de Recurrencia: Hay situaciones donde se debe aplicar la integración por partes varias veces. Ejemplo 2: Resolver: Solución: x e ∫ cos( x ) dx u = e x ⇒ du = e x dx y dv = cos( x)dx ⇒ v = sen( x) reemplazando: .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   x x e cos( x ) dx = e cos( x ) − ∫ x sen ( x ) e dx ∫ Debemos integrar esta última expresión: u = e x ⇒ dx = e x dx x y x dv = sen( x)dx ⇒ v = − cos(x) x x Reemplazando: x ∫ sen( x)e dx = − cos( x)e − ∫ − cos(x)e dx = − cos( x)e + ∫ cos(x)e dx Como esta integral está precedida de un signo negativo. 1. obtenemos: x x x x e cos( x ) dx = e sen ( x ) + e cos( x ) − cos( x ) e dx ∫ ∫ La última integral es similar a la primera. Agrupando toda la integral. justificar porque se utiliza este método.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ∫ x cos(x)dx Rta: xsen( x) + cos(x) + c . entonces la integral quedaría: cos( x)e x − ∫ cos( x)e x dx . luego las podemos agrupar así: ∫e x cos( x ) dx + ∫ cos( x ) e x dx = e x sen ( x ) + e x cos( x ) 2 ∫ e x cos( x ) dx = e x sen ( x ) + e x cos( x ) + c Finalmente: x e ∫ cos( x ) dx = 1 x e (sen ( x ) + cos( x ) ) + c 2 EJERCICIOS: Resolver las siguientes integrales usando el método de integración por partes. ∫y 0 2 y + 1dy Rta: 5. 2 x ∫ Ln ( x)dx 2 x sec ( x)dx ∫ Rta: 1 3 1 x Ln( x) − x 3 + c 3 9 x tan( x) + Ln cos( x) + c 48 3 − 4 15 3. Rta: 4. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   2. ∫ Ln ( x ) x dx Rta: 2 xLn(x) − 4 x + c 3 2 3 3 4 3 x x +4 2 − x +4 5 +c 2 3 45 6. 5 3 ∫ x x + 4dx π Rta: ( ) ( ) 7. ∫ cos 0 2 2 ( x ) dx Rta: π 4 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 6: Métodos de integración III Introducción En este capítulo vamos a ver los métodos de integración un poco más complicados debido a los temas a tratar como son las fracciones parciales. se pueden realizar las graficas de cada ejercicio con la ayuda de un graficador (software libre) de los cuales existen páginas web indicadas en la cibergrafia. Para desarrollar el método de fracciones parciales. la función exponencial. Lección 26: Integración por fracciones parciales. en este aparte se utiliza esta herramienta para desarrollar un tipo particular de integrales. se puede descomponer en suma de fracciones racionales más simples. la función logarítmica. ⎡ a P( x) b ⎤ dx dx = + ⎥ ∫ Q(x) ∫ ⎢ ⎣x−λ x−β ⎦ En el curso de Álgebra. se estudiaron los principios sobre fracciones parciales. Profundizaremos un poco sobre las fracciones parciales y luego las llevaremos al mundo de las integrales. Trigonometría y Geometría Analítica. se debe tener en cuenta: . la función trigonométrica y la función hiperbólica. Sin embargo si se presentan dificultades se puede acudir al tutor. La graficacion de los ejercicios facilita y visualiza las cantidades que se están pidiendo.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. se dio el concepto y algunos ejemplos ilustrativos. el cociente de dos polinomios. es decir. sin embargo los temas son tratados con mucho cuidado y con ejercicios muy sencillos fáciles de digerir por el lector. Por un teorema de álgebra avanzada se afirma que toda fracción racional. esto y la realización de muchos ejercicios y ejemplos resueltos los prepara con el fin de enfrentar este tipo de problemas. 3x − 1 = Ax − 3A + Bx + 2B . es posible que obtenerlos no sea tarea fácil. que g(x) se pueda descomponer en factores primos. . digamos por factorización. entonces se debe igualar los numeradores. A B A( x − 3) + B( x + 2) Ax − 3 A + Bx + 2 B = + = ( x + 2)( x − 3) ( x + 2)( x − 3) x + 2 x −3 Como el denominador es equivalente.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales la expresión: p ( x ) = Solución: El polinomio lo podemos expresar de la siguiente manera: 3x − 1 x −x−6 2 p( x) = 3x − 1 A B = + x − x−6 x+2 x−3 2 El trabajo consiste en encontrar los valores de A y B. Veamos a continuación algunos tipos de descomposición en fracciones parciales. (x – λ2) . Veamos cómo se realizaría. Descomposición En Factores Lineales Simples: Cuando g(x) se puede descomponer fácilmente. Para x: 3 = A + B Luego hacemos equivalencia entre términos: Para términos independientes: -1 = -3A + 2B . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Para la fracción p ( x ) = f ( x) g ( x) con g(x) ≠ 0 sea una fracción racional propia. Teóricamente cualquier polinomio con coeficientes reales se puede escribir como producto de factores lineales reales y / o factores cuadráticos. f(x) debe tener menor grado que g(x) y por otro lado. es decir. para obtener factores lineales simples de la forma (x – λ1). . reemplazando en las fracciones propuestas obtenemos: p( x) = Ejemplo 2: 3x − 1 7 8 = + x − x − 6 5 ( x + 2 ) 5 ( x − 3) 2 Descomponer en fracciones parciales D( x) = Solución: Factorizando el denominador: 5x − 7 x − 3x + 2 2 5x − 7 5x − 7 = x − 3 x + 2 ( x − 2 )( x − 1) 2 Expresamos la última fracción como suma e fracciones parciales. Resolviendo tenemos que: A = 7/5 y B = 8/5. p(x) = f (x) ax + b A B = = + g(x) (x + p)2 (x + λ1 ) (x + λ1 )2 Veamos unos ejemplos: .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. 5x − 7 A B A( x − 1) + B( x − 2) Ax − A + Bx − 2 B = + = = (x − 2)(x − 1) x − 2 x − 1 (x − 2)(x − 1) (x − 2)(x − 1) Haciendo equivalencia de numeradores: Descomposición En Factores Lineales Repetidos: En algunos casos cuando se busca linealizar el denominador aparece un término lineal al cuadrado. que se pueden resolver por los métodos estudiados en el curso de Álgebra. entonces se escribe la suma con dos términos lineales. Trigonometría y Geometría Analítica. uno con grado 1 y el otro con grado 2. Igualemos los numeradores: x − 2 = Ax+ A + B Para la variable x: 1 = A Para término independiente: -2 = A + B Desarrollando. se debe proceder como se ilustra en los siguientes ejemplos.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. sumar fracciones e igualar términos: x−2 A B A(x + 1) + B = + = 2 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) (x + 1)2 A(x + 1) + B Ax + A + B = (x + 1)2 (x + 1)2 Desarrollando el numerador. obtenemos que A = 1 y B = -3 Entonces: p( x) = 1 3 x−2 = − 2 (x + 1) (x − 1) (x − 1)2 Descomposición En Factores Cuadráticos: Cuando se presentan caso donde el denominador presenta términos cuadráticos que no se pueden reducir. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 3: Descomponer en fracciones parciales: Solución: p ( x) = (x + 1)2 x−2 x−2 A B = + 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1)2 El desarrollo es similar al caso anterior. el numerador debe tener término lineal. existen varios métodos de resolución. entonces: A Bx + c A(x 2 + 1) + (Bx + c )( x − 1) Ax 2 + A + Bx 2 − Bx + Cx − C = = + x −1 x2 +1 (x − 1)(x 2 + 1) (x − 1)(x 2 + 1) Como en los casos anteriores. luego solo igualamos el numerador: Para la variable x2: 0 = A + B Para la variable x: 4 = -B + C Para el término independiente: 3 = a – C Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 4: Reducir a fracciones parciales: Solución: La expresión la podemos escribir como: 4x + 3 (x + 1)(x − 1) 2 4x + 3 A Bx + c = + 2 (x + 1)(x − 1) x − 1 x + 1 2 Observemos que como el denominador tiene término cuadrático.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. aplique la que desees y debes llegar a : A = 7/3 B = -7/3 C=½ Reemplazamos en la fracción original: ( −7 x+ 1 4x + 3 7 A Bx + c 3 2 = + = + x 2 + 1 ( x − 1) x − 1 x 2 + 1 3( x − 1) x2 +1 ) Simplificando: 4x + 3 A Bx + c 7 3 − 14 x = + 2 = + (x + 1)(x − 1) x − 1 x + 1 3(x − 1) 6( x 2 + 1) 2 . el denominador es similar. Ejemplo 5: Expresar como fracciones lineales: Solución: El planteamiento es así: (x + 3)(x 2 + 2)2 6 x 2 − 15 x + 12 (x + 3)(x 2 + 2) 6 x 2 − 15 x + 12 2 = A Bx + c Dx + E + 2 + 2 x + 3 x + 2 ( x + 2) 2 Realice todo el procedimiento como se ha venido haciendo y debe obtener: A = 1. en los cuadráticos.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. D = 5. diciendo afirmando que las fracciones parciales. ahora apliquémosla para desarrollar integrales: Ejemplo 1: Desarrollar: Solución: ∫x 2 3x − 1 dx − x−6 . es un método algebraico que permite rescribir expresiones racionales. como fracciones racionales sencillas. de tal forma que permite hacer integraciones para este tipo de expresiones algebraicas. E = 0 Finalmente: (x + 3)(x 2 + 2) 6 x 2 − 15 x + 12 2 = 1 − x+3 5x A Bx + c Dx + E + 2 + 2 = + 2 + 2 2 x + 3 x + 2 ( x + 2) x + 3 x + 2 ( x + 2) 2 Podemos resumir esta temática. B = -1. en este caso el procedimiento es similar a los casos anteriores. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Como en el caso de los factores lineales. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES: Sabiendo como se resuelven las fracciones parciales. veamos un ejemplo. también se pueden encontrar factores repetidos. C = 3. por medio de la factorización: Del ejemplo 1 de fracciones lineales simples. en el ejemplo 3 de la descomposición de fracciones parciales. podemos hacer: ⎛ 7 8 ⎞ 7 8 7 1 8 1 ⎜ ⎟ + dx = dx + dx = dx + dx ∫⎜ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ 5 ( x + 2 ) 5 ( x − 3 ) 5 ( x + 2 ) 5 ( x − 3 ) 5 x + 2 5 x − 3 ⎝ ⎠ Desarrollando: 7 1 8 1 7 8 dx + ∫ dx = Ln x + 2 + Ln x − 3 + c ∫ 5 x+2 5 x −3 5 5 Ejemplo 2: Desarrollar: Solución: Debemos aplicar fracciones parciales a la fracción dada. obtuvimos que: ∫ x − 2 ( x + 1 )2 para x ≠ -1 x−2 1 3 = − 2 (x + 1) (x − 1) (x − 1)2 Luego a partir de esto podemos aplicar la integral: ∫ x − 2 dx = ( x + 1 )2 ∫ ⎡ 1 − ⎢ 1 x − ⎣ 3 ( x − 1 )2 ⎤ ⎥ dx ⎦ Operando: ⎡ 1 3 ⎤ 1 3 − dx = ∫ dx − ∫ dx ⎢ ∫ ⎣ x − 1 (x − 1)2 ⎥ x −1 (x − 1)2 ⎦ .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Debemos tratar de linealizar el numerador. vemos que esta fracción se puede escribir así: ∫x 2 ⎛ 7 3x − 1 3x − 1 8 ⎞ ⎟ dx = ∫ dx = ∫ ⎜ + ⎜ ⎟dx (x − 3)(x + 2) − x−6 ⎝ 5( x + 2) 5( x − 3) ⎠ Aplicando la propiedad de la suma de integrales. reemplazando: du = −1 +c u Agrupando los términos: 1 3 3 ⎛ 1⎞ dx − dx = Ln x − − − = Ln x − + +c 1 3 1 ⎜ ⎟ ∫ x − 1 ∫ (x − 1)2 1 u x − ⎝ ⎠ Finalmente: x−2 3 dx = Ln x − + +c 1 ∫ ( x +1)2 x −1 Como se puede ver en los ejemplos expuestos. 2x 3 − 4x 2 − x − 3 x 2 − 2x − 3 2x 3 − 4 x 2 − x − 3 5x − 3 5x − 3 = 2 x + = 2 x + (x − 3)(x + 1) Ahora: x 2 − 2x − 3 x 2 − 2x − 3 ⎡ 2x3 − 4x 2 − x − 3 5x − 3 ⎤ 2x + ⎥dx ∫ x 2 − 2x − 3 = ∫ ⎢ ( )( ) − + x 3 x 1 ⎣ ⎦ . para obtener una fracción propia y así aplicar el método analizado. veamos: ∫ (x − 1) ∫u −2 3 2 dx = 3∫ ( x − 1) dx −2 Definimos u = x – 1 luego du = dx. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   La primera integral es inmediata. es con el fin de llevar la función a una forma de integración inmediata. la transformación de la expresión racional en fracciones más simples. Una vez integrada se hace el cambio de la variable de sustitución a la variable original. Ejemplo 3: Integrar la función: Solución: Como se trata de una fracción impropia. primero se debe hacer la división. la segunda se puede resolver por cambio de variable.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. veamos: 5x − 3 A B = + (x − 3)(x + 1) x − 3 x + 1 Desarrollando. ∫ ∫ x−5 dx x2 −1 x +1 dx x2 − x − 6 Rta: 3Ln x + 1 − 2Ln x − 1 + c 3. Entonces: Favor corroborar este resultado: ⎡ 2x 3 − 4x 2 − x − 3⎤ 3 2 ⎤ ⎡ + dx ⎥dx = ∫ ⎢2 x + ∫⎢ 2 ⎥ − 3 + 1 x x − 2 − 3 x x ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Aplicando la linealidad: ∫ 2xdx + ∫ 3 2 dx + ∫ dx = x 2 + 3Ln x − 3 + 2Ln x + 1 + c Reorganizando: x −3 x +1 ⎡ 2x3 − 4x 2 − x − 3⎤ 3 2 2 ( ) ( ) dx = x + Ln x − 3 x − 1 +c ⎥ 2 ∫⎢ x − 2 x − 3 ⎣ ⎦ EJERCICIOS: En cada caso. resolver la integral aplicando las fracciones parciales. [ ] 3 ∫ 4x −1dx Rta: 3 Ln 4 x − 1 + c 4 2. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Separando las integrales: ⎡ ⎤ 5x − 3 2 x + ⎥dx = ∫⎢ ( )( ) x − 3 x + 1 ⎣ ⎦ ∫ 2 xdx + ∫ 5x − 3 dx (x − 3 )(x + 1) La primera integral es directa. tenemos que A = 3 y B = 2. la segunda debemos hacer fracciones parciales. 1. Rta: 1 4 Ln x + 2 + Ln x − 3 + c 5 5 . ∫ 3x 17 x − 3 dx 2 +x−2 Rta: 5 Ln 3x − 2 + 4 Ln x + 1 + c 3 7. ∫ (8 x − 1) 3 2 dx Rta: − 3 +c 64 x − 8 5. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   4. 5x + 9 ∫ 8x 2 + 2x + 4dx ⎛ ⎞ Rta: 5 Ln4x2 + x + 2 + 67 31Tan−1⎜ 31(8x +1)⎟ + c ⎜ ⎟ 16 248 ⎝ 31 ⎠ 6.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. x3 ∫ x 2 + x − 2dx Rta: 1 8 1 x 2 − x + Lnx +2 + Lnx −1 +c 2 3 3 . ax ∫ a dx = Ln(a) + c x .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 27: Integración de función exponencial. podemos partir de la derivada y proceder a obtener la integral. Para resolver la integral. veamos: y = ax Entonces: dy = a x Ln(a) para a ≠ 1. Función: y = ax Para definir la integral de este tipo de función. x x e dx = e +c ∫ Toda función exponencial tiene una base a > 0 y diferente de uno. hacer dx de la siguiente manera: una transformación Aplicando la integral: a x = e Ln ( a ) = e xLn ( a ) x ∫a x dx = ∫ e xLn ( a ) dx Multiplicamos y dividimos por 1 tenemos: Ln(a ) 1 xLn( a) e Ln(a)dx Ln(a) ∫ Hacemos cambio de variable: u = xLn(a) ⇒ du = Ln(a)dx 1 1 u 1 xLn(a) u e du = e = e +c Ln(a) ∫ Ln(a) Ln(a) luego hacemos el reemplazo para obtener: Pero e xLn(a) = a x . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. solo que aquí debemos evaluarla. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 1: Desarrollar: Solución: Según la fórmula obtenida la integración será de la siguiente manera: x ∫ 2 dx = ∫2 x dx 1 2x + c Ln ( 2 ) Ejemplo 2: Resolver Solución: Para facilitar el proceso hagamos un cambio de variable u = 2x luego du = 2dx reemplazando: 2x u ∫ 3 dx = ∫ 3 ∫3 2x dx du 1 u 1 1 3u = ∫ 3 du = * 2 2 2 Ln (3) Reemplazando la variable u por 2x obtenemos: 2x 3 ∫ dx = 1 32 x + c 2 Ln (3) Ejemplo 3: Resolver Solución: ∫4 0 1 3x dx Siguiendo el procedimiento anterior podemos hallar dicha integral. . 1 3x 3x e dx = e +c ∫ 3 . realizamos el mismo procedimiento que el caso anterior. y = ex ⇒ dy = e x ⇒ dy = e x dx dx Aplicamos la integral a ambos lados: x x e dx = e +c ∫ x x ∫ dy = ∫ e dx ⇒ y = e + c Por consiguiente: Ejemplo 1: Hallar la integral de Solución: Haciendo cambio de variable u = 3x. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ∫4 0 1 3x dx Como u = 3x.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. para determinar su integral. luego du = 3dx. entonces: ∫4 0 1 3x dx = ∫4 u du 1 1 = * 4u 3 3 Ln ( 4 ) 1 1 1 1 * 43x = 43x Reemplacemos la variable: 3 Ln ( 4 ) 3 Ln ( 4 ) Evaluando: 0 43 40 63 = − = 4 dx ∫ 3 Ln ( 4 ) 3 Ln ( 4 ) 3 Ln ( 4 ) 0 3x 1 Función: y = ex La función exponencial natural tiene como base el número de Euler. reemplazando: 3x u ∫ e dx = ∫e e 3x 1 du 1 u = ∫ e du = eu + c 3 3 3 Finalmente reemplazamos u por 3x. Función: y = Ln(x) donde u = Ln(x). Al igual que en la función exponencial. ∫ Ln ( x ) dx Por otro lado: dv = dx. luego du = 3dx. La integral de esta función se puede hacer por partes. las funciones logarítmicas tienen su derivada. Es pertinente recordar las propiedades de este tipo de funciones. luego v = x Reemplazando: ∫ Ln ( x ) dx = xLn ( x ) − ∫ x x dx = xLn ( x ) − ∫ d x + c 1 . luego du = dx / x. entonces: ∫e 3 x +1 dx = ∫ e u 1 du 1 u = ∫ e du = e u + c 3 3 3 Reemplazando u por 3x +1 obtenemos: 1 3 x+1 3 x +1 e dx = e +c ∫ 3 Lección 28: Integración de función logarítmica. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 2: Desarrollar: Solución: ∫e 3 x +1 dx Definimos u = 3x + 1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. luego: ∫ Log10 (x)dx = Una forma alternativa para esta integral es: ∫ Log (x)dx = xLog (x) − xLog e + c 10 10 10 Intente demostrar la última igualdad. será muy interesante. Ejemplo 1: Resolver: Solución: ∫ Log 2 ( x ) dx x . solo cambia la base. Si la base del logaritmo es cualquier a > 0 y a ≠ 1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. lo cual se hace de la siguiente manera: Log10 ( x) = Ln( x) Así. la integral es de la misma manera. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Finalmente: ∫ Ln(x)dx = xLn(x) − x + c Función: y = Log10 (x) Para resolver este tipo de integral. podemos desarrollar la integral. Ln(10) ∫ Log 10 ( x ) dx = ∫ Ln (10 ) dx = Ln (10 ) ∫ Ln ( x ) dx 1 [xLn(x) − x] + c Ln(10) Ln ( x ) 1 La última integral. aplicamos la conversión de cualquier logaritmo en logaritmo natural. ya se desarrollo por partes. 1. du = (1/x)dx Si reemplazamos: 1 2 Ln( x) 1 1 1 dx = udu = u +c * Ln(2) ∫ x Ln(2) ∫ Ln(2) 2 Ln(x). luego: Log2 ( x) Ln2 ( x) Ln2 ( x) Ln2 (4) Ln2 (1) Ln2 (4) dx = Ln(2) * Ln(2)∫ = = − = 2Ln(2) 1 2 1 2 2 2 x Ejercicios: Resolver las siguientes integrales. 3x+1 e ∫ dx 4 4 Rta: 1 3 x +1 e +c 3 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Primero hacemos la transformación a logaritmo natural y luego hacemos una sustitución para poder integrar. desarrollando paso por paso. veamos: ∫ Log 2 ( x ) Log 2 ( x ) 1 Ln ( x ) dx = ∫ dx = dx ∫ x xLn ( 2) Ln ( 2) x para x > 0 Por sustitución: u = Ln(x). para justificar la respuesta obtenida.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. para obtener: Reemplazamos u por Log 2 ( x) Ln 2 ( x) ∫ x dx = 2Ln(2) + c Ejemplo 2: Desarrollar: Solución: ∫ 1 4 Ln(2) Log 2 ( x) dx x ∫ Ln(2)Log2 ( x) Log2 ( x) dx = Ln(2)∫ dx Esta integral se desarrolló en el ejemplo x x 1 4 anterior. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. las cuales también tienen integrales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   2. analizaremos a continuación las integrales de dichas funciones. (Ln ( x ) + 1)2 dx x Rta: 1 (Ln ( x ) + 1)3 + c 3 5. ∫ sen(nx)dx = −1 cos(nx) + c n . ya que estamos analizando la integral de las funciones trigonométricas. Función: y = sen(x) La integral de la función sen(x) la desarrollamos por el concepto de antiderivada. pero es pertinente relacionarla en este momento. x ∫ x ( 2 ) dx 2 Rta: 2 1 2 x −1 + c Ln(2) 3. Ln 2 ( x ) ∫ x dx Rta: 1 3 Ln ( x ) + c 3 Lección 29: Integración de la función trigonométrica 1 ( ) nx dx = sen(nx) + c cos ∫ n Dentro de las funciones trascendentales tenemos las funciones trigonométricas. ∫ (e ∫ x 2 + 2e− 2 dx x ) 2 Rta: 4x + e x − 4e−x + c 4. du = ndx. luego: du 1 = ∫ cos( u ) du La función cuya derivada es cos(u). es el u u –cos(u). 1 ( ) cos nx dx = sen(nx) + c ∫ n Demostración: Tomemos: ∫ cos(nx)dx y hacemos una sustitución: u = nx. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Demostración: Tomemos: ∫ sen(nx)dx y hacemos una sustitución: u = nx. por consiguiente: ∫ sen ( nx ) dx = n ( − cos( x )) + c = − n cos( x ) + c 1 1 Función: y = cos(x) La integral de cos(x). luego: ∫ sen ( nx ) dx = ∫ sen (u ) du 1 = ∫ sen (u ) du La función cuya derivada es sen(u). podemos hallar la integral de la tangente. veamos: ∫ tan(x)dx = −Ln cos(x) + c . es el n n ∫ cos(nx)dx = 1 sen(nx) + c n Función: y = tan(x) Con los conocimientos sobre identidades trigonométricas y la integración por cambio de variable.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. también se desarrolló por el concepto de antiderivada. du = ndx. luego: ∫ cos( nx ) dx = ∫ cos( u ) sen(u). reemplazando: du sen( x) dx = − ∫ cos(x) ∫ u = − Ln u + c Reemplazando el valor de u. obtenemos: ∫ tan( x ) dx = − Ln cos( x ) + c Funciones: y = cot(x) y = sec(x) y = csc(x) Con los conocimientos adquiridos. luego du = -sen(x)dx. sec(x) + tan(x) sec 2 ( x) + sec(x) tan(x) ∫ sec(x)dx = ∫ sec(x) * sec(x) + tan(x)dx) = ∫ sec(x) + tan(x) dx Por sustitución: u = sec( x) + tan( x) ⇒ du = sec( x) tan( x) + sec 2 ( x) dx Reemplazando: ( ) . se pueden obtener las siguientes integrales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Demostración: Descomponemos la tangente en su equivalencia con seno y coseno. así: ∫ tan( x)dx = ∫ cos( x) dx sen( x) Sea u = cos(x). ∫ cot(x)dx = Ln sen(x) + c ∫ sec(x)dx = Ln sec(x) + tan(x) + c ∫ csc(x)dx = Ln csc(x) − cot(x) + c Demostración: Vamos a demostrar la integral de sec(x) y las demás se dejan como ejercicio para que lo resuelvan en el pequeño grupo colaborativo y luego lo compartan con el docente.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. las potencias y las técnicas de integración estudiadas. reemplazamos para obtener finalmente: ∫ sec( x ) dx = Ln sec( x ) + tan( x ) + c Para la csc(x) la demostración es similar. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   sec 2 ( x ) + sec( x ) tan( x ) ∫ sec( x ) + tan( x ) dx = du ∫ u = Ln u + c Como u = sec(x) + tan(x). Ejemplo 1: Resolver: Solución: Por la identidad: sen 2 ( x) = ∫ sen 2 ( x ) dx 1 − cos(2 x) 2 Reemplazamos 1 ⎛ 1 − cos( 2 x ) ⎞ 2 (1 − cos( 2 x ) )dx sen x dx = dx = ( ) ⎟ ⎜ ∫ ∫⎝ ∫ 2 2 ⎠ Por la propiedad de la linealidad: 1 1 1 1⎛1 ⎞ dx − ∫ cos( 2 x ) dx = x − ⎜ sen ( 2 x ) ⎟ + c ∫ 2 2 2 2⎝2 ⎠ 2 ∫ sen ( x ) dx = Finalmente: 1 1 x − sen ( 2 x ) + c 2 4 Ejemplo 2: . “echamos mano” de las identidades trigonométricas. Funciones tipo: y = senn (x) y = cosn (x) Para resolver integrales de este tipo.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Algunos ejemplos nos ayudarán a comprender la metodología. utilizamos la identidad siguiente: 1 1 ⎛ 1 + cos( 4 x ) ⎞ 1 2 (1 + cos( 4 x ) )dx = cos ( 2 x ) dx = dx = ⎜ ⎟ 4 ∫⎝ 2 8∫ 4∫ ⎠ 1 1 1 1 dx + cos( 4 x ) dx = x + sen ( 4 x ) + c Reagrupando los resultados: 8∫ 8∫ 8 32 1 1 1 1 x + sen ( 2 x ) + x + sen ( 4 x ) + c Operando términos semejante: 4 4 8 32 1 1 3 x + x = x Finalmente: 4 8 8 4 ∫ cos ( x ) dx = 3 1 1 x + sen ( 2 x ) + sen ( 4 x ) + c 8 4 32 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Resolver la siguiente integral: Solución: ∫ cos 2 4 ( x ) dx Podemos expresar cos ( x) = cos ( x) 4 ( ) 2 1 ⎛ 1 − cos(2 x) ⎞ 2 =⎜ ⎟ = (1 − 2 cos(2 x) + cos (2 x) ) 2 4 ⎝ ⎠ 2 Aplicándole la integral: 4 cos ∫ ( x ) dx = ⎡1 2 1 − 2 cos( 2 ) + cos (2 x) x ∫⎢ ⎣4 1 2 ( )⎤ ⎥dx ⎦ = ∫ 4 dx − ∫ 2 cos( 2 x ) dx + 4 ∫ cos 1 1 1 x + sen ( 2 x ) + ∫ cos 2 ( 2 x )dx 4 4 4 Para resolver la última 1 + cos(4 x) cos 2 (2 x) = luego: 2 1 1 ( 2 x )dx Desarrollando obtenemos: integral. para reducir el grado del integrado.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. obtenemos: 1 1 1 1 1 1 1 1 x − ∫ (1 + cos( 4 x ) )dx = x − ∫ dx − ∫ cos( 4 x )dx = x − x − sen ( 4 x ) + c 4 8 4 8 8 4 8 32 Simplificando términos semejantes: 1 1 1 x− x= x 4 8 8 . usamos las identidades de ángulo mitad. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Funciones tipo: y = senm ( x)cosn ( x) Siendo m y n par. Cuando m y n son pares positivos. Recordemos: sen 2 ( x ) = Ejemplo 1: Resolver: Solución: 1 − cos( 2 x ) 2 y cos 2 ( x ) = 1 + cos( 2 x ) 2 ∫ sen 2 ( x) cos 2 ( x)dx Aplicando la identidad que se referencia ⎡1 − cos(2 x) 1 + cos(2 x) ⎤ 2 2 sen x x dx dx Desarrollando: ( ) cos ( ) = * ∫ ∫⎢ ⎥ 2 2 ⎣ ⎦ 1 1 1 ( )( ) 1 − cos( 2 x ) 1 + cos( 2 x ) dx = dx − cos 2 ( 2 x )dx ∫4 ∫ ∫ 4 4 Por la identidad referenciada anteriormente: cos 2 (2 x) = Reemplazamos: 1 + cos(4 x) 2 1 1 1 1 ⎡1 + cos( 4 x ) ⎤ 1 1 (1 + cos( 4 x ) )dx dx − ∫ cos 2 ( 2 x )dx = x − ∫ ⎢ dx = x − ∫ ⎥ 4 4 4 4 ⎣ 2 4 8∫ ⎦ Resolviendo la última integral. . se utiliza la factorización con la identidad fundamental. Ejemplo 1: Desarrollar la integral dada: ∫ cos 4 ( x) sen3 ( x)dx Solución: Descomponemos el integrado así: ∫ cos 4 ( x ) 1 − cos ( 2 )sen ( x ) dx 4 Por cambio de variable: u = cos(x) luego du = -sen(x)dx. Para el caso donde m o n es un entero par y el otro cualquier valor. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Finalmente: 1 1 2 2 sen ( x ) cos ( x ) dx = x − sen(4 x) + c ∫ 8 32 Ejemplo 2: Utilizando los argumentos que se han trabajado. Lo demás es como se ha venido ⎥ 2 ⎣ ⎦ trabajando. mostrar que: 2 4 sen ( x ) cos ( x)dx = ∫ 1 1 1 x − sen(4 x) + sen 3 (2 x) + c 16 64 48 Trabájelo con el pequeño grupo colaborativo y luego compártalo con el docente para identificar posibles fallas.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ⎡1 + cos(2 x) ⎤ Sugerencia: cos ( x) = ⎢ . entonces: ∫ cos 4 ( x ) 1 − cos ( 2 )sen ( x ) dx = ∫ u (1 − u )(− du ) = − ∫ (u 4 2 − u 6 du ) .. 2 4 Funciones tipo: y = senm (x)cosn (x) Siendo m ó n par. Funciones tipo: sen (mx)cos(nx)dx sen(mx)sen(nx)dx cos(mx)cos(nx)dx Para resolver este tipo de integrales. química. tenemos: 4 ∫ cos ( x ) sen ( x )dx = − 1 cos 5 ( x ) + c 5 Así queda demostrada esta integral. se utilizan identidades trigonométricas que permiten resolver integrales de este tipo. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Operando la integral: − ∫ (u 4 − u 6 du = − ) 1 5 1 7 u + u +c 5 7 Reemplazando la variable: 4 3 cos ( x ) sen ( x )dx = ∫ 1 1 cos 7 ( x ) − cos 5 ( x ) + c 7 5 Ejemplo 2: Mostrar que Solución: Por cambio de variable u = cos(x). entonces: 4 4 4 cos ( x ) sen ( x ) dx = u ( − du ) = − u ∫ ∫ ∫ du 4 ∫ cos ( x ) sen ( x )dx = − 1 cos 5 ( x ) + c 5 Operando la integral. muy utilizadas en las áreas de ingeniería eléctrica. tenemos: 1 − ∫ u 4 du = − u 5 + c 5 Reemplazando la equivalencia de u por cos(x). luego du = -sen(x)dx. de alimentos y otras. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. sen(mx)sen(nx) = − cos(mx) cos(nx) = 3. tenemos: − − − 1 1 [ ] sen ( 9 x ) − sen ( x ) dx = − 2∫ 2 1 2 [∫ sen (9 x)dx − sen ( x)dx ] 1 [∫ sen (9 x)dx − sen ( x)dx ] = − 1 sen ( 9 x ) dx + sen ( x )dx 2∫ 2∫ 1 1 1 1 sen ( 9 x ) dx + sen ( x ) dx = − cos( 9 x ) + cos( x ) + c 2∫ 2∫ 18 2 . sen(mx) cos(nx) = 1 [sen(m + n) x + sen(m − n) x] 2 1 [cos(m + n) x − cos(m − n) x] 2 2. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Las identidades que resuelven el problema son: 1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 1 [cos(m + n) x + cos(m − n) x] 2 Algunos ejemplos modelos nos ilustrarán el proceso. Ejemplo 1: Resolver: Solución: Utilizando la primera identidad tenemos: ∫ sen ( 4 x ) cos( 5 x )dx ∫ sen ( 4 x ) cos( 5 x )dx = − − 1 ( sen ( 4 + 5) x + sen ( 4 − 5)x ) dx 2∫ 1 1 [sen (9 x ) + sen ( − x ) ]dx ( sen ( 4 + 5 ) x + sen ( 4 − 5 ) x ) dx = − 2∫ 2∫ Desarrollando la integral. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 1. 1 1 ∫ cos( x) cos( 4 x)dx = 1 [cos(1 + 4) x + cos(1 − 4) x ]dx 2∫ 1 1 [ ] [cos(5 x) + cos( −3 x)]dx cos( 1 + 4 ) x + cos( 1 − 4 ) x dx = 2∫ 2∫ 1 1 1 [ ] cos( 5 x ) + cos( − 3 x ) dx = cos( 5 x ) dx + cos(3 x )dx 2∫ 2∫ 2∫ 1 1 1 1 cos( 5 x ) dx + cos( 3 x ) dx = sen ( 5 x ) + sen (3 x ) + c 2∫ 2∫ 10 6 Finalmente: ∫ cos( x) cos( 4 x)dx = 10 sen(5 x) + 6 sen(3x) + c Ejercicios: Desarrollar los siguientes ejercicios. ∫ cos (x)sen (x)dx 2 1 1 x − sen(4 x) + c 8 32 . identificando con qué principio se está trabajando. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Por consiguiente: ∫ sen ( 4 x ) cos( 5 x )dx = 2 cos( x ) − 18 cos( 9 x ) + c Ejemplo 2: Resolver: ∫ cos( x) cos(4 x)dx Solución: Aplicando la identidad 3 de las vistas atrás podemos resolver dicha integral. 1 1 ∫ sen 4 ( x) cos( x)dx 2 Rta: 1 sen 5 ( x ) + c 5 Rta: 2. para su solución.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   3. ∫ sen (4x) cos (4x)dx 5 2 4⎛ x⎞ 2⎛ x ⎞ sen cos ⎜ ⎟ ⎟dx ∫ ⎝ 2⎠ ⎜ 2 ⎝ ⎠ Rta: − 1 1 1 cos3 (4x) + cos5 (4x) − cos7 (4x) + c 12 10 28 4. ∫ cos( 2 x ) cos( x )dx Rta: 6. Rta: 1 1 1 x − sen(2x) − sen3 ( x) + c 16 32 24 2 1 sen(2x) cos(x) − cos(2x)sen(x) + c 3 3 5.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. ∫ cos(x)Ln(sen(x))dx Rta: sen( x) Ln(sen( x) ) − sen( x) + c . en este aparte se estudiarán las integrales de dichas funciones. así se justifica la integral del senh(x). Función tanh(x): Por definición sabemos que: tanh( x) = senh( x) . En cursos anteriores se ha analizado las funciones hiperbólicas y sus derivadas. entonces: hacemos cambio de variable: ∫ tanh( x)dx = ∫ cosh( x) dx senh ( x ) . Función cosh(x): El coseno hiperbólico es de la forma es senh(x). sabemos que la función cuya derivada es el senh(x) corresponde al cosh(x). luego: 1 x e + e − x y su derivada 2 ( ) ∫ cosh(x)dx = senh(x) + c Demostración: Se deja como ejercicio para que el estudiante con los principios aprendidos lo demuestre y por supuesto lo comparta con sus compañeros y su tutor. utilizamos el principio de la primitiva.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Función senh(x): Recordemos que el seno hiperbólico es de la forma: 1 x e − e−x 2 ( ) y su derivada es el cosh(x). lo que está plenamente demostrado Entonces para obtener la integral de cosh(x). cosh( x) ∫ tanh(x)dx = Ln cosh(x) + c Demostración: Apliquémosle la identidad a la integral. ∫ senh(x)dx = cosh(x) + c Demostración: Por el principio de la antiderivada. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 30: Integración de la función hiperbólica. Función sech(x) y csch(x): Al igual que las funciones hiperbólicas anteriores. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   u = cosh(x) y du = senh(x)dx. La demostración se recomienda trabajarla con el tutor. estas últimas funciones.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. para afianzar los conocimientos sobre este tipo de funciones. reemplazando: ∫ tanh( x)dx = ∫ cosh( x) dx = ∫ tenemos: senh ( x ) du = Ln u + c u Reemplazando el valor de u ∫ tanh( x ) dx = Ln cosh( x ) + c Función coth(x): De la misma manera que la tangente hiperbólica. también tiene su integral. entonces reemplazamos: ∫ cosh( 6 x ) dx . ∫ sech(x)dx = tan −1 senh(x) + c ⎛ x⎞ ( ) csc h x dx = Ln tanh ⎜ ⎟ +c ∫ ⎝ 2⎠ Ejemplo 1: Resolver: Solución: Hacemos cambio de variable u = 6x. du = 6dx. la cotangente cosh( x) donde: hiperbólica tiene su equivalencia: coth( x) = senh( x) ∫ coth(x)dx = Ln senh(x) + c Demostración: Se deja como ejercicio para hacer en el pequeño grupo colaborativo. para dejar la integral en función de x y no de u. primero debemos aplicar la identidad que dice: senh 2 ( x ) = cosh( 2 x ) − 1 Luego: 2 . reemplazamos a u por 6x.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. hacemos cambio de variable u = 3x. entonces: ∫ tanh( 3 x ) dx = ∫ tanh( u ) ∫ tanh( 3 x ) dx = Ejemplo 3: Resolver: Solución: du 1 1 = ∫ tanh( u ) du = Ln cosh( u ) + c 3 3 3 reemplazando el valor de u por 3x. ∫ cosh( 6 x ) dx = Ejemplo 2: Desarrollar: Solución: 1 senh ( 6 x ) + c 6 ∫ tanh( 3 x ) dx du = 3dx. obtenemos: 1 Ln cosh( 3 x ) + c 3 ∫ senh 2 ( x ) dx Para resolver esta integral. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ∫ cosh( 6 x ) dx = ∫ cosh( u ) du 1 1 = ∫ cosh( u ) du = senh (u ) + c 6 6 6 Como u = 6x. Como en el caso anterior. 2 ∫ x cosh(πx + 5)dx Rta: 6. ⎛ x⎞ tanh ⎟dx ∫ ⎜ 7 ⎝ ⎠ Rta: 7Ln e 7 + e x −x 7 +c 2. ∫ senh(1 − 2 x)dx ∫ cosh( x ) dx senh ( x ) Rta: 4. Rta: Ln senh( x ) + c 1 senh(πx 2 + 5) + c 2π 5. ∫ sec h t tanh t t dt Rta: − 2 sec h t + c − 1 cosh(1 − 2 x ) + c 2 3. ∫ cos( x)senh(sen( x))dx Rta: cosh( sen ( x )) + c . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ⎛ cosh( 2 x) − 1 ⎞ 2 senh x dx ( ) = ⎟dx ∫ ∫⎜ 2 ⎝ ⎠ Desarrollando tenemos: 1 1 1 ⎛ cosh( 2 x) − 1 ⎞ ( ) = − = − dx cosh( 2 x ) 1 dx cosh( 2 x ) dx dx ⎜ ⎟ ∫⎝ 2 2∫ 2∫ 2∫ ⎠ Operando tenemos: 1 1 1 * senh(2x) − x + c 2 2 2 Finalmente: 2 ∫ senh ( x ) dx = Resumiendo: 1 1 senh ( 2 x ) − x + c 4 2 1 1 senh ( 2 x ) − x + c 4 2 Ejercicios: 1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. B. C. 1.  se obtiene: 2x +c A. Una vez la seleccione. D. D. D. usted debe seleccionar aquella que responde correctamente a la pregunta planteada entre cuatro opciones identificadas con las letras A. Cuando se desarrolla la expresión  ∫ sen ( x ) − cos( x ) dx . Al resolver las siguientes integrales ∫ 2 dx  y   ∫ sec x 2 ( x)dx .   x − Ln[sen( x )] + c 2 + Ln[cos( x )] + c 1 + Ln[cos(x )] + c 2 − Ln[sen(x )] + c .  se obtiene: sen ( x ) A. B. Tg ( x ) + c 2x +c Ln(2) Sen( x ) + c C. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación. frente al cual. problema o contexto. C. 2. usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado. Ln(2) B. B.es: (x − 3)(x + 6) 3 ) . C. D. El valor de la integral ∫ (x (x 2 −1 dx . Racionalización   ∫ (x + 3x 2 − 18 x dx . Simplificación D.es: + x (x − 1) 2 ) ) A.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. El procedimiento para solucionar la integral A. Sustitución trigonométrica B. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   3. C. Ln ( x − 1 ) + k Ln ( x + 1 ) + k 2 Ln x 2 + 1 + k Ln ( x ) + k ( ) 5. Si se desea resolver la integral de la función adecuada es: A. b 2 − x 2 la sustitución mas x = bsen( x ) x = bTg( x ) x = b sec( x ) x = b cos( x ) 4. B. Por partes C. D.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   HOJA DE RESPUESTAS. A 1 2 3 4 5 B C D .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. htm  http://thales. Octava Edición. J. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2   RONDON. Madrid.cica. Mc Graw Hill.html  http://sigma.com/matematicas‐integrales/curso/Temario.edu. México. Y MINTON. Y HOSTETLER. (2001) Cálculo de una Variable. R. THOMAS Y FINNEY (1987). R. (1987) El Cálculo con Geometría Analítica. México.co/index_archivos/calculo1y2/formulasdecalculo1y2. UNAD Ciencias básicas PURCELL. Thomsom-Learning. 1. 1. sexta edición. FUENTES DOCUMENTALES DE LA INTERNET   http://www.univalle. México. México.E (2007) Calculo Integral. Edición sexta. LARSON. (1992). Cálculo Aplicado. DE BURGOS.aulafacil. Pearson Education: Prentice hall.esp/integral.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Primera edición. (1998) Cálculo de una Variable.cat/~jlagares/integral. Mc Graw Hill. Pearson educación.wikipedia.html  http://es.com/temario/calculin/index. 1. LEYTOLD. SMITH. Harla. C.pdf  http://www.xtec. México. J. (2007) Cálculo infinitesimal de una Variable. Cálculo con Geometría Analítica Vol.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo  http://www. 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Para esta TERCERA UNIDAD tenemos tres capítulos en los cuales tratamos las aplicaciones prácticas de las integrales. economía. Justificación: En esta unidad nos vamos a concentrar en la realización de ejercicios de aplicación a algunas de las ciencias ya mencionadas y que el lector puede necesitar solucionar en su vida profesional. longitud de curvas). al lanzar un objeto macizo y metálico al aire esta volverá a caer a la tierra debido a la fuerza de la gravedad. en el movimiento. la hidráulica. si se lanza con más fuerza volverá a caer más lejos. El manejo de este tipo de problemas su entendimiento y posterior aplicación en la vida profesional del estudiante es clave y fundamental como objetivo del presente modulo. en el trabajo. Hablemos de la aplicación de las integrales a la astronomía y dentro de ella la velocidad de escape de un objeto para sacarlo de la órbita de la tierra. electrónica. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   UNIDAD 3: APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES. En esta unidad se insiste en las técnicas de solución de las integrales vistas en la unidad anterior. etc. en la hidráulica. eléctrica. centros de masa y por último la aplicación en la solución de problemas prácticos de la física. sino también en los principios propios de cada tipo de problema de aplicación partiendo del análisis de graficas (área bajo curvas. la estadística y la economía. Introducción: Existen múltiples aplicaciones de las integrales en la ingeniería civil.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Competencias Contextuales: • Adquirir los conocimientos propios de la solución de problemas de aplicación. Denominación de CAPITULO 2 Volumen de superficies de revolución los capítulos CAPITULO 3 En las ciencias. Asimilación de conceptos Analizar los caminos adecuados para la solución de problemas de aplicación. • La solución de diversos con la ayuda de las matemáticas. • Adquirir conocimiento mediante la realización del mayor número posible de ejercicios. . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Intencionalidades formativas: • Que los estudiantes se observen las aplicaciones en la vida diaria de las integrales. • Los estudiantes deben desarrollar habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de problemas prácticos. esto con el fin de adquirir destrezas en el manejo de las múltiples variables que intervienen en la solución de dichos problemas. • Nuevamente se recalca en la realización de diversos problemas de aplicación. Conceptos De conocimientos • Adquirir las técnicas propias para la solución de problemas prácticos. Se presentan problemas de aplicación sencillos y se indican todos los pasos para su realización. Presentamos un cuadro con el resumen del contexto teórico de esta unidad CAPITULO 1: ANÁLISIS DE GRAFICAS. • Adquirir capacidad de valoración y tolerancia con nuestros compañeros virtuales o presenciales. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Comunicativas: • Adquirir el manejo de los elementos involucrados en los diferentes métodos de solución de problemas prácticos. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. identificar y practicar lo valores de la UNAD. • Adquirir facilidad de expresión y vencer el miedo en la interacción con las NTIC Valorativas: • Adoptar. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Dentro de las áreas de regiones planas. Física. además. Lección 31: Área de regiones planas. tenemos dos casos. Economía. Como ejercicio de ilustración vamos a abordar diversos contextos que permitan comprender la amplitud que tiene las integrales como herramienta matemática para resolver problemas de diversa índole. Administración. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 7: Análisis de graficas. Las integrales se pueden aplicar y tiene aplicaciones en Ingeniería. estamos en capacidad de realizara diversas aplicaciones que tiene esta maravillosa área de las matemáticas. Geometría y otras. el área se puede calcular por una simple fórmula geométrica. Analicemos estos casos: Área Bajo Una Curva: Cuando tenemos una línea recta de la forma como se ilustra en la figura. 11 Área bajo la curva. el área bajo la curva y el área bajo curvas. Introducción Fig. Analizados y aprendidos los principios sobre integración. Estadística. estudiadas las diferentes técnicas de integración. x2 = x1 + ∆x = xo + 2∆x. sino una curva. 12 Particiones. Primero dividamos el intervalo I en n subintervalos iguales Δx = Los puntos de la partición: b−a n xo = a. Sea y = f(x) una función definida en el intervalo I = [a. b] y continua en el intervalo abierto I. n. xi = xi-1 + ∆x = xo + i∆x para i = 1. … . Cada subintervalo será la base de un rectángulo cuya altura será f(ci). TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   1 1 A = b * h = (b − a) y 2 2 La situación es relativamente fácil de manejar. las rectas x = a y x = b. 3. … . xi]. Fig. Consideremos la región R acotada por la curva y = f(x).UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. al sumar todas las áreas se obtiene una aproximación al área de la región R así: A= ∑ f (c ) Δx i =1 i n . 2. la situación dificulta cuando la línea no es recta. además f(x) ≥ 0. x1 = xo + ∆x. para ci ε [xi-1. luego se obtienen Ai = f(ci) ∆x. la idea es hallar el área de la región R. para dicho caso el procedimiento es más largo y cuidadoso. es decir. el área de R será cada vez más exacta. 3] .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. obtenemos el mismo resultado. aplicando la fórmula para un triángulo. Solución: Aplicando la fórmula definida podemos hallar el área pedida A = ∫ 2 xdx = x 2 0 4 4 0 = 4 2 − 0 2 = 16 El área es de 16 unidades cuadradas. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Si aumentamos el número de subintervalos. FUNCIÓN y = 2x 10 Varaible y 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 Si resolvemos el problema por el método geométrico. que n se haga suficientemente grande. es decir. No 13 Grafica de 2x Hallar el área acotada por la curva g(x) = x3 en el intervalo [1. 1 1 A = bxh = 4x8 = 16 2 2 Ejemplo 2: Variable x Fig. entre x = 0 y x = 4. A = Lim ∑ f ( ci ) Δ x = n→∞ i =1 n ∫ f ( x ) dx a b Por consiguiente área bajo la curva: A= ∫ f (x )dx a b Ejemplo 1: Hallar el área bajo la curva para la función f(x) = 2x. 4 0.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.6 0.2 A = ∫ (3 − x 2 )dx 0 1 1 ⎞ ⎛ A = ⎜ 3x − x 3 ⎟ 3 ⎠0 ⎝ 1 Variable x Fig.5 0 0 0. 1] 2 3 ( ) 3 Solución: FUNCIÓN Y = 3 .5 1 0.5 2 1.5 3 Variable y 2. No.8 1 1. 15 Grafica de y = 3 − x2 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: FUNCIÓN y = x3 30 20 f(x) 10 0 0 1 2 Variable x 3 4 Por la fórmula tenemos: Fig.x2 3. No. 14 Grafica de x3 A = ∫ 1 3 1 x dx = x 4 4 3 3 1 1 1 1 A = x 4 = 3 4 − 14 = (81 − 1) 4 1 4 4 1 1 80 A = x 4 = (81 − 1) = = 20 Unidades cuadradas 4 1 4 4 Ejemplo 3: Calcular el área bajo la curva f ( x) = 3 − x en el intervalo [0.2 0. El área del rectángulo i-ésimo será: Ai = hi * ∆x reemplazando: Ai = [f(ci)-g(ci)] * ∆x . partimos de dos funciones f(x) y g(x). No. El método se hace utilizando rectángulos que aproximen el área de la región descrita. asumiendo que f(x) ≥ g(x) para todo x en el intervalo [a. para i = 1. la idea es hallar el área entre las curvas f(x) y g(x) sobre el intervalo dado. 16 Área entre curvas. el Fig. 2. Forma la base de un rectángulo cuya altura será: f(ci)-g(ci) para ci € [xi-1. b]. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ⎡ 1⎤ ⎡ 1 ⎤ A = ⎢3 − ⎥ − ⎢0 − * o⎥ ⎣ 3⎦ ⎣ 3 ⎦ A = 3− 1 8 = 3 3 Unidades cuadradas. xi]. … Cada subintervalo [xi-1. 3.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Lección 32: Área entre curvas. xi]. Dividimos intervalo en n b−a Los puntos subintervalos Δx = n de la partición serán: xi = a + iΔx . Para desarrollar esta temática. que consiste en buscar en donde x coinciden: 4 − x = x 2 − 16 ⇒ x 2 + x − 20 = (x + 5)(x − 4) L uego los límites son: x = -5 y x = 4 Fig. No. Hacer La gráfica explicativa. luego: A = Lim∑[ f (ci ) − g(ci )]* Δx n→∞ i =1 n DEFINICIÓN: Sean f(x) y g(x) funciones continuas en el intervalo [a.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Desarrollar la integración y valorar para hallar el área. Identificar los límites de integración 3. Solución: Hallamos los límites. 17 Grafico solución problema . b]. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   El área total será la suma de las áreas de los n rectángulos. Ejemplo 1: Hallar el área entre las curvas f(x) = 4 – x y g(x) = x2 – 16. Establecer la fórmula de integración 4. luego el área de la región acotada por las curvas f(x) y g(x) desde a hasta b esta dado por: A = ∫ [ f (x ) − g (x )]dx a b Para hallar el área entre dos curvas se debe: 1. para identificar f(x) y g(x) y saber cual es la función superior e inferior 2. .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. en el intervalo [0. 18 Grafico solución área bajo curvas. luego lo que debemos hacer es utilizar la fórmula para obtener el área. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Vemos que la función f(x) > g(x). entonces: A = −5 ∫ [(4 4 − x )− (x 2 − 16 )]dx 4 1 1 ⎞ ⎛ A = ∫ 20 − x − x dx = ⎜ 20x − x 2 − x3 ⎟ 2 3 ⎠ −5 ⎝ −5 4 2 ( ) Evaluando tenemos: 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 125 425 675 A = ⎜ 20(4) − (4) 2 − (4) 3 ⎟ − ⎜ 20(−5) − (−5) 2 − (−5) 3 ⎟ = + = 2 3 2 3 3 6 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ El área entre las curvas es de 675/6 unidades cuadradas. Solución: Fig. No. Ejemplo 2: Determinar el área comprendida entre las curvas f(x) = 2 – x2 y g(x) = x2. como se pudiera pensar. solo que se debe establecer cual será la función menor y cual la función mayor. 2]. Como se conocen los límites. no hay necesidad de calcularlos.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   El problema lo debemos resolver en dos partes: La primera será el intervalo de [0. 2]. La segunda parte será el intervalo [1. A2 = ∫ [ g ( x) − f ( x )]dx = ∫ x 2 − 2 − x 2 dx Operando: 1 2 1 2 2 [ ( )] A2 = ∫ x − 2 − x dx = ∫ (2 x − 2)dx = ∫ 2 x dx − ∫ 2dx Integrando: 2 2 2 2 1 1 1 1 [ ( )] 2 2 2 2 2 ⎡2 ⎤ A2 = ∫ 2 x dx − ∫ 2dx = x 3 − 2 x 1 = ⎢ (2 3 − 13 )⎥ − [2(2 − 1)] Desarrollando: 3 1 ⎣3 ⎦ 1 1 2 2 2 2 ⎡2 A2 = ⎢ 2 3 − 13 ⎣3 ( 2 14 8 )⎤ [ ( ) ] 2 2 1 * 7 2 2 − − = − = − = ⎥ 3 3 3 ⎦ Finalmente sumamos las dos áreas para hallar el área total: A1 + A2 = 4 8 12 + = =4 3 3 3 El área entre las curvas es de 4 unidades cuadradas. . 1]. donde la función mayor es f(x) = 2 – x2 y la menor g(x) = x2. donde la función mayor es g(x) = x2 y la menor 2 – x2.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Para la primera parte: A1 = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx Reemplazando: 0 1 A2 = ∫ 2 − x − x dx = ∫ 2dx − ∫ 2 x 2 dx 2 2 0 0 0 1 ( ) 1 1 Integrando: 2 2 ⎞ 2 4 ⎛2 A1 = 2x 0 − x3 = (2(1) − 2(0)) − ⎜ 13 − 03 ⎟ = 2 − = 3 0 3 ⎠ 3 3 ⎝3 1 1 Ahora hallamos la segunda parte. No. Solución: Fig. 2] es 40 / 3.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 3: Determinar que el área entre las curvas cuyas funciones son: f ( x) = x 2 + 2 y g ( x) = − x en el intervalo [-2. . 19 Grafico solución A= −2 2 ∫ [x 2 2 + 2 − ( − x ) dx ] A= −2 ∫ [x 2 + x + 2) dx Integrando: 2 ] 1 ⎡1 ⎤ A = ⎢ x3 + x 2 + 2 x⎥ Evaluando: 2 ⎣3 ⎦ −2 1 1 ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡8 ⎤ ⎡ 8 ⎤ A = ⎢ 2 3 + 2 2 + 2 * 2⎥ − ⎢ (−2) 3 + (−2) 2 + 2 * (−2)⎥ = ⎢ + 2 + 4⎥ − ⎢− + 2 − 4⎥ 2 2 ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ A= 26 14 40 + = 3 3 3 Así el área entre las curvas son efectivamente 40 / 3 unidades cuadradas.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   EJERCICIOS: Lección No. el objetivo es determinar el área de la superficie generada. y g(x) =1 j(x) =7−x2 Rta: π 2 unidades cuadradas 4. La intersección entre p ( x) = e x y q( x) = 1 − x 2 Lección 33: Área de superficies de revolución a = 2π ∫ f (x )ds A B Sabemos que toda curva representa una función. 2 De los ejercicios propuestos. se genera una Superficie de Revolución. f ( x ) = 2x 2 y g ( x) = 3 Rta: 18 unidades cuadradas 2. No. Fig. 20 Superficie de revolución . 4x2 + y = 4 2 f (x) = cos (x) y x4 − y =1 Rta: 104 15 unidades cuadradas 3. que se puede ilustrar en el plano cartesiano. hallar el área entre las curvas propuestas 1. 5. Si giramos la curva alrededor de uno de sus ejes.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. h(x) = x2 −1 y Rta: 64 unidades cuadradas 3 Rta: Trabajarla con el Tutor. Subdividimos el intervalo a = xo < x1 < x2 < . A = Lim ∑ 2π y i Δ s i p →0 i =1 n Aplicando los principios de sumatorias y límites: A = 2π ∫ f ( x ) ds Como ds es el diferencial de longitud y equivale a: a b 1 + ( f ' ( x) ) dx . . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   En la gráfica el giro se está realizando alrededor del eje x. al girar se observa la banda de color amarillo que se forma. obtenemos finalmente la ecuación del área de una 2 superficie de revolución. Ejemplo 1: Hallar el área de la superficie generada al rotar sobre el eje x la función y = x2 en el intervalo [0. . y = f(x) denota una curva suave. Área generada de la curva f(x) alrededor del eje x: A = 2π ∫ f ( x ) 1 + [ f ′( x )] dx 2 a b Para calcular áreas de de superficies de revolución. El área se puede aproximar por la de un cono truncado.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. reemplazando. con a ≤ x ≤ b . 1] . < xn = b Así la curva se divide en n partes. obtenemos lo que llamamos el área de la superficie de revolución. pero en muchas ocasiones se requiere un método de aproximación conocido como los métodos numéricos. se puede utilizar las integrales ordinarias. es decir. 2 π y i Δ s i Al sumar las áreas de todas las bandas y tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero. Sea ∆si la longitud de i-ésimo pedazo de la superficie y yi la ordenada. Ejemplo 2: Dada la curva y = x la cual gira alrededor del eje x. por lo cual se recurre a los métodos numéricos. para 0 ≤ x ≤ 2 . 2 A = ∫ 2π * x 2 1 + (2 x ) dx 0 A = 2π ∫ x 2 1 + 4 x 2 dx 0 1 Esta integral no se puede resolver por los métodos tradicionales de integración. 21 Superficie de revolución de y = x 2 Como y = x2 entonces. cual será el área de la superficie de revolución generada. 1 y = x2 Cuando gira alrededor de x.8097.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. para sí obtener el valor aproximado de: 3. y’ = 2x Ahora aplicamos la ecuación para obtener el área. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Fig. volvemos a A= π 2 (4 x + 1) 2 3 0 = π (9 2 3 − 13 = ) π 2 729 − 1 = 728 π ≅ 42. No. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Fig.3825 2 . 22 superficie de revolución de y = x Solución: Dado que f ( x) = x ⇒ f ' ( x) = Ahora: ( f ' ( x) ) = 2 1 2 x 1 Luego aplicamos la formula: 4x ⎛ 1 ⎞ ⎟ dx 1 A = 2π ∫ x ⎜ + ⎜ 4x ⎟ 0 ⎝ ⎠ 2 A = 2π ∫ 0 2 2 ⎛ 4x + 1 ⎞ ⎟ dx = 2π ∫ x⎜ ⎜ ⎟ 4 x 0 ⎝ ⎠ x (4 x + 1) dx = π ∫ 4 x + 1dx 4x 0 2 1 1 ⎛1 3 ⎞ A = π ∫ u 2 du = π ⎜ u 2 ⎟ 4 ⎠ ⎝2 cambiar la variable original.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Entonces: Como hicimos cambio de variable. de la curva 1 x = y 3 en 0 ≤ y ≤ 1 3 Solución: Como x = fórmula: 1 3 y ⇒ x' = y 2 3 por otro lado: x' = y 2 ⇒ ( x') = y 4 2 Ahora aplicamos la 1 2 A = 2π ∫ y 3 1 + y 4 dy = π ∫ y 3 1 + y 4 dy Por cambio de variable: 3 3 0 0 1 1 u =1+ y ⇒du= 4y dx 4 3 1 du 1 1 2 2 3 4 2 = π ∫u 2du Luego: π ∫ y 1+ y dy = π ∫u 3 0 3 4 6 1 Integrando: 1 ⎛ 2 32 ⎞ π ⎜ u ⎟ Cambiando de nuevo la variable. luego en estos casos la ecuación cambio en algunos aspectos.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   En muchos casos el giro de la curva se hace alrededor del eje y. el área de la superficie generada al girar la curva f(y) alrededor del eje y es de la forma: Área generada de la curva f(y) alrededor del eje y: A = 2π ∫ f ( y ) 1 + [ f ′( y )] dy 2 a b Ejemplo 3: Calcular el área de la superficie generada al girar alrededor del eje y. Si x = f(y). tenemos: 6 ⎝3 ⎠ 1 4 A = π⎛ ⎜ 1+ y 9 ⎝ ( ) 3 ⎞ =π ⎟ ⎠0 9 1 ( 8− 1 ) Por consiguiente: A= π ( 2 9 2 −1 ) . siendo f(y) una curva suave y además mayor o igual a cero. 1. h(x) = x3 Para 0≤ x ≤1 Eje X Rta: π 27 (10 10 − 1 ) 4. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   EJERCICIOS: Calcular el área de la superficie de revolución generada al girar alrededor del eje establecido. p) x2 = 4py En los puntos (0. m(x) = r2 − x2 Para −r ≤ x ≤ r Eje X Rta: 4πr 2 6. g ( x) = Para 0≤ x ≤ 2 Eje Y Rta: 12π 3. 1 1 f (x) = x 4 + 2 4 8x 3 1 ( 2 + x2 ) 2 3 Para 1≤ x ≤ 2 Eje Y Rta: 253 π 20 2. de las funciones propuestas. 0) y Rta: Eje Y 8 2 πp 2 2 − 1 3 ( ) 5.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. La parábola (2p. 1 q ( x) = x 3 3 Para 1≤ x ≤ 7 Eje X Rta: 28 2π . b]. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 34: Longitud de una curva PQ = (Δx )2 + (Δy )2 Cuando queremos medir la longitud de una línea recta. 23 Longitud de curva. donde la función es continua. → Longitud PQ = (Δx) 2 + (Δy) 2 Para calcular la longitud del segmento total. se debe hacer la sumatoria de la partición. Fig. por ejemplo medir la longitud de la cuerda de luz que va de un poste a otro. No. o sea. La situación cambia cuando la línea que se desea medir es curva. . es decir: L = ∑ i =1 n (Δxi )2 + (Δyi )2 La aproximación a la longitud de la curva mejora. si la partición se hace más fina. Se desea calcular la longitud de la curva y = f(x) entre [a. y uniendo los puntos de los segmentos de tal forma que se forme una trayectoria poligonal que aproxime la curva.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. cuando la norma de la partición tiende a cero. Haciendo la partición de manera usual. la sumatoria tiene límite calculable. solo colocamos una regla o metro y hacemos la medición. f (ck ) ) de la curva PQ → donde la tangente es paralela a dicho segmento. se denomina SUAVE y su gráfica es una curva suave. existe un punto (ck . Fig. 24 Demostración longitud de curva. por el teorema del valor medio. obtenemos: L = ∑ (Δxk ) + ( f ' (ck )Δxk ) 2 k =1 n 2 . Para una función f(x) suave.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Podemos inferir que: f ' ( x ) = Luego: Δy k Δxk Δyk = f ' ( x)Δxk Si reemplazamos en la fórmula que tenemos para la longitud L. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   DEFINICIÓN: Una función f(x) cuya primera derivada es continua. No. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. la longitud de la curva y = f(x) desde a hasta b equivale a: L = ∫ 1 + [ f ′( x )] dx 2 b a Ejemplo 1: Hallar la longitud de la curva y = x2 en el intervalo [-1. b]. con estos argumentos podemos aplicar la ecuación para hallar la longitud. 1]. muestra que se debe hallar la derivada de la función y luego elevarla al cuadrado. L = ∫ 1 + [ f ' ( x)] dx = ∫ 1 + (2 x ) dx 2 2 a −1 b 2 Para resolver esta integral podemos aplicar la fórmula siguiente: ∫ a 2 + x 2 dx = 2 x a2 a2 + x2 + Ln x + a 2 + x 2 + c 2 2 2 [ ] Reemplazando: 2 L=∫ −1 1 ⎡ 2x 2 2 ⎤ 1 + (2 x ) dx = ⎢ 1 + (2 x ) + Ln⎛ ⎟⎥ ⎜ 2 x + 1 + (2 x ) ⎞ ⎠⎦ −1 ⎝ 2 2 ⎣ . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Reorganizando el radical: L = ∑ 1 + ( f ' (ck )) Δxk 2 k =1 n Suma de Riemman. De la curva. realicemos esto: f(x) = x2 luego: f’(x) = 2x y (f’(x))2 = (2x)2. Solución: La ecuación para hallar la longitud de la curva. DEFINICIÓN: Sea f(x) una función suave en [a. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Simplificando y evaluando: 2 2 ⎡ 2x 1 1 ⎡ 2 2 ⎤ 2 2 ⎤ L=⎢ 1 + (2 x ) + Ln⎛ ⎜ 2 x + 1 + (2 x ) ⎞ ⎟ ⎥ = ⎢ x 1 + (2 x ) + Ln 1 + (2 x ) ⎥ ⎠ ⎦ −1 ⎣ 2 2 ⎝ ⎦ −1 ⎣2 ( ) 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ 2 2 ⎞ L = ⎜ 2 1+16 + Ln(1+16)⎟ − ⎜−1 1+ (−1* 2) + Ln1+ (−1* 2) ⎟ Desarrollando: 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ L = 2 17 + Ln(17) Ln(5) + 5− = 11. Solución: Como en el caso anterior. 4]. 2 L = ∫ 1 + [ f ' ( x)] dx = ∫ 2 a 1 b 9 ⎛ 3 12 ⎞ 1 + ⎜ x ⎟ dx = ∫ 1 + x dx 4 ⎝2 ⎠ 1 4 Hacemos cambio de variable: u = 1+ 9 9 x ⇒ du = dx Despejamos dx = (4/9) du.094 2 2 ( ) Ejemplo 2: Hallar la longitud de la curva f ( x) = x 3 en el intervalo [1. veamos: f ( x) = x 3 ⇒ f ' ( x) = 3 12 X 2 4 Ahora aplicamos la fórmula de longitud. luego reemplazamos: 4 4 .  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   L = ∫ 1+ 1 4 9 4 4⎛2 3 ⎞ x dx = ∫ u du = ⎜ u 2 ⎟ 4 9 9⎝3 ⎠ 9 x .7360 = 7. Como u = 1 + 4 3 9 4 ⎛ 2 32 ⎞ ⎡ 8 ⎛ 9 ⎞ 2 ⎤ 1 + x dx = ⎜ u ⎟ = ⎢ ⎜1 + x ⎟ ⎥ 4 9⎝3 27 4 ⎠ ⎥ ⎠ ⎢ ⎣ ⎝ ⎦1 4 4 L=∫ 1 Evaluando: 3 3 ⎡ 8 ⎛ 9 ⎞ 32 ⎤ 8 ⎛ 9 ⎞ 2 8 ⎛ 9 ⎞ 2 L = ⎢ ⎜1 + x ⎟ ⎥ = ⎜1 + * 4 ⎟ − ⎜1 + *1⎟ 27 4 ⎠ ⎥ 27 ⎝ 4 ⎠ 27 ⎝ 4 ⎠ ⎢ ⎣ ⎝ ⎦1 8 ⎛ 9 ⎞ L = ⎜1 + * 4 ⎟ 27 ⎝ 4 ⎠ 3 2 8 ⎛ 9 ⎞ − ⎜1 + *1⎟ 27 ⎝ 4 ⎠ 3 2 3 2 8 8 ⎛ 13 ⎞ = (10) 2 − ⎜ ⎟ 27 27 ⎝ 4 ⎠ 3 3 2 3 8 8 ⎛ 13 ⎞ L = (10) 2 − ⎜ ⎟ 27 27 ⎝ 4 ⎠ = 9.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. lo sustituimos para que la solución quede en función de x.3697 − 1.634 . como 4 se propone originalmente.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 35: Longitud de un arco en forma para métrica.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Las funciones paramétricas. No. Δwi Es la proyección de la longitud de la curva en un triángulo rectángulo. según: x = f (t ) Para y = f (t ) a≤t ≤b Al igual que en el caso de la longitud de curvas suaves. La longitud de Δwi se obtiene de la siguiente manera: . definidas en x y y dependen de un parámetro t. 25 Longitud de curva paramétrica. Fig. Δsi Corresponde al segmento de longitud de la curva. x = f (t ) En este aparte se analizará la longitud de curvas suaves. la idea es aproximar la curva por medio de un segmento formado por una trayectoria polinomial. del cual es la hipotenusa. donde las funciones están dadas en forma paramétrica. será el límite de la ecuación anterior. ti) tal que: f (ti ) − f (ti−1 ) = f ' (ci )Δti y g (ti ) − g (ti −1 ) = g ' ( ki ) Δti Luego: Δwi = ( f ' (ci )Δti )2 + (g' (ki )Δti )2 n La longitud total de la trayectoria Polinomial será: ∑ Δw = ∑ ( f ' (c )) + (g' (k )) Δt 2 2 i =1 i i =1 i i n i Si observamos bien. cuando la norma de la partición tiende a cero. Por consiguiente.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. entonces: b L=∫ a [ f ' (t )]2 + [g ' (t )]2 dt Dicho de otra manera: L= ∫ a b ⎡ dx ⎤ ⎡ dy ⎤ + ⎢ dt ⎥ ⎢ dt ⎥ dt ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 Así se puede calcular la longitud de una curva con ecuaciones paramétricas. deducimos que corresponde la suma de Riemman. sabemos que existen los puntos ci y ki que pertenecen al intervalo ( ti-1. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Δwi = (Δxi )2 + (Δyi )2 Debemos definir Δxi y Δy i . los cuales son equivalentes a: Δxi = f (ti ) − f (ti−1 ) y Δyi = g(ti ) − g(ti−1 ) Por el teorema del valor medio. la longitud del arco establecido. . 0 ≤ t ≤ 2π . La forma x = 4 cos( t ) ⇒ dx = − 4 sen (t ) dt y y = 4 sen(t ) ⇒ dy = 4 cos(t ) dx Por la fórmula de longitud: L = ∫ a 2π b ⎡ dx ⎤ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎡ dy ⎤ + ⎢ ⎥ dt = ⎣ dt ⎦ 2 2 2π ∫ (− 0 2 4 sen ( t ) ) + (4 cos( t ) ) dt 2 2 2π L = ∫ (− 0 4 sen ( t ) ) + (4 cos( t ) ) dt = ∫ 0 16 ( sen 2 ( t ) + cos 2 ( t ) dt 2π L = ∫ 0 16 sen ( t ) + cos ( t ) dt = 2 2 2π ( ) 2π ∫4 0 sen 2 ( t ) + cos 2 ( t ) dt 2π L = ∫ 4 sen ( t ) + cos ( t ) dt = 2 2 0 ∫ 4 dt = 4 t 0 2π 0 = 4 ( 2 π − 0 ) = 8π El perímetro del círculo propuesto tiene como longitud 8π. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 1: Encontrar el perímetro del círculo x 2 + y 2 = 16 . derivamos las dos variables respecto al parámetro. Ejemplo 2: 1 Calcular la longitud de la curva.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. cuya ecuación paramétrica está dada por: x = t 3 3 1 y y = t 2 para 0 ≤ t ≤ 1 2 . para paramétrica de la ecuación es: y = 4sen (t) y x = 4cos (t) Solución: Como se sabe como se comporta x e y respecto a t. dx 1 x = t3 ⇒ = t2 dt 3 hallar la longitud. Por integración hallar la longitud de la curva f ( x) = 2 x + 3 en el intervalo [1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. y y= dy 1 2 t ⇒ = t . Reemplazando obtenemos: 1 2 L = * u 2 3 3 2 2 = 6 (t 2 + 1 ) 1 3 0 = 1 3 ( 8 − 1 = ) 1 2 3 ( 2 − 1 ) La longitud de la curva paramétrica es de EJERCICIOS: Solucionar los siguientes ejercicios. 3] Rta: 2 5 . ya que estamos trabajando con la variable u. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Primero calculamos las derivadas de las funciones x e y. cuando sustituyamos de nuevo u por x sí hacemos la evaluación de los límites. ahora aplicamos la ecuación para dt 2 L = ∫ a b ⎡ dx ⎤ ⎢ ⎣ dt ⎥ ⎦ 2 2 2 ⎡ dy ⎤ + ⎢ dt = ⎣ dt ⎥ ⎦ 2 2 ∫ (t ) 1 2 0 2 + (t ) dt 2 L = ∫ (t ) 1 0 + (t ) dt = ∫ (t 1 0 4 + t 2 )dt ) = ∫ t 1 0 t 2 + 1 dt du 2 3 2 Por cambio de variable: u = t + 1 ⇒ du = 2tdt despejamos tdt = Luego: L = ∫t 0 1 t 2 + 1 dt = ∫ u du 1 = 2 2 ∫ (u ) 1 2 du = 1 2 * u 2 3 2 No utilizamos los límites. 1 2 2 −1 3 ( ) 1. Hallar la longitud de la curva g ( x) = (4 − x ) 3 2 3 Entre 1 ≤ x ≤ 8 Rta: 9 3.9578 4. cuya ecuación es: f ( x) = 20 cosh⎜ ⎟ . 4] 2 1 Ln(2) ≅ 4 6. ⎝ 20 ⎠ Cual será la longitud de la cuerda que descansa entre los dos postes. π] Rta: 4π 7. Cual será la longitud de la curva p ( x) = Rta: 6 + 1 2 x − Ln( x) en el intervalo [2. cuya ecuación paramétrica está dada por: x = 4sen(t ) y y = 4 cos(t ) − 5 . Hallar la longitud de la curva. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   2. e x + e−x cosh(x) = 2 Rta: 20(senh(1) − senh(−1) ) ≡ 47 metros 6. Calcular la longitud de la hipocicloide de cuatro vértices.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. x e y se miden en metros. en el intervalo [0.1732 5. Los hilos de un tendido eléctrico suspendidos entre dos torres tiene la forma de ⎛ x ⎞ una catenaria. que tiene como ecuaciones paramétricas: x = asen 3 (t ) y y = a cos 3 (t ) donde 0 ≤ t ≤ 2π Rta: 6a . Cual será la longitud de la curva h( x) = 2 x − x 2 en el intervalo 0 ≤ x ≤ 2 Rta: ∫ 0 2 4 x 2 − 8 x + 5dx Por integración numérica se obtiene: 2. se nos forma un tubo hueco.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. longitud de curvas y área de superficies de una curva al rotar. Introducción V = ∫ A( x )dx a b Haciendo un seguimiento a las secciones anteriores. las demostraciones siguen la línea de las sumas de Riemman. hay varias técnicas. vemos que por medio de integrales podemos hallar áreas bajo la curva. Ahora nos preguntaremos ¿Que ocurre con el volumen de figuras engendradas al girar una curva? La respuesta está dada también por medio de integrales. Imaginémonos un tubo macizo. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 8: Volumen de superficie de revolución. Lección 36: Volumen de sólidos de revolución: método de arandelas. situación que vamos a analizar. las cuales analizaremos en seguida. 26 Arandelas V = Volumen de la arandela A = Área de la base . Fig. que al hacerle una rebanada por el centro. No. Toda arandela tiene un área y un volumen. Para hallar el volumen de un sólido de revolución. solo es pertinente resaltar que sea el camino que se tome. al particionarlo obtenemos arandelas. V = ∫ π (R(x )) − (r ( x )) dx 2 2 a b [ ] Podemos ver que R y r son funciones de x. Ejemplo 1: Dadas las curvas f ( x) = x 2 y g ( x) = 2 x . 27 Solución volumen . Solución: Fig.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   h = Grosor V = A* h Pero: A = π R2 − r2 ( ) Luego: V = π (R 2 r 2 ) * h Utilizando un procedimiento similar al caso de las rebanadas o discos. No. ubicadas en el primer cuadrante. podemos obtener el volumen del sólido formado por las arandelas. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y acotado por las curvas dadas. Con estos argumentos podemos hallar el volumen. pero si es alrededor del eje y se expresa como R(y) y r(y). Ejemplo 2: Hallar el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje x las curvas dadas por: y = −x + 3 Solución: y g ( x) = x 2 + 1 Primero hallemos los límites de integración. V = ∫ π [(R ( y ) ) b a 2 − (r ( y ) ) dy 2 ] Reemplazando: V = ∫ 0 4 π ⎢ ⎢ ⎣ 4 ⎡ ( π 12 y ) 4 2 2 ⎛ y ⎞ ⎤ − ⎜ ⎟ ⎥ dy ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎦ = π ∫ 0 4 ydy − π ∫ 0 4 1 y 2 dy 4 Integrando: V = π 2 y2 − 0 y3 0 = π 2 (16) − π (64) = 8π − 16 π 12 3 8 = π 3 El volumen del sólido generado es de 8 π unidades cúbicas. Importante hacer la gráfica explicita de la situación.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Como las funciones giran alrededor del eje Y. Si es alrededor del eje x se expresa las funciones de la forma R(x) y r(x). se debe expresar las funciones así: x = f(y). sobre cual eje gira. si despejamos x obtenemos: x = -2 y x = 1. para este tipo de problemas. (Por favor corroborar estos límites) Entonces: R ( x) = − x + 3 y r ( x) = x 2 + 1 V = ∫ π (− x + 3) − x 2 + 1 dx Desarrollando: 2 2 1 [ ( )] −2 . esto ocurre cuando: − x + 3 = x 2 + 1 . lo esencial es identificar las funciones R(x) y r(x). además. 3 NOTA: Si observamos detenidamente. como vemos en la gráfica.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   V = ∫ π x − 6 x + 9 − x + 2 x + 1 dx = π ∫ (8 − 6 x − x 2 − x 4 ) dx 2 4 2 1 [( ) ( )] 1 −2 −2 1 1 ⎞ 117 ⎛ V = π ⎜ 8 x − 3x 2 − x 3 − x 5 ⎟ = π 3 5 ⎠ −2 5 ⎝ El volumen del sólido generado es de Ejemplo 3: Hallar el volumen del sólido generado al rotar la curva x 2 + y 2 = 4 alrededor del eje x = -1. Solución: 1 117 π unidades cúbicas. No. 5 Fig. lo que origina un cilíndrico hueco de radio 1. podemos ver que la curva gira alrededor del eje x = -1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 28 Solución ejemplo 3 Observando las figuras. luego: . ahora: R( y) = 1 + 4 − y 2 y r ( y ) = −1 . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   V = ∫π ⎡ 1+ 4 − y2 ⎢ ⎣ −2 2 2 ( ) − (− 1) ⎤⎥⎦dy 2 2 Luego: V = ∫ π 1 + 2 4 − y 2 + 4 − y 2 − 1 dy −2 2 [( ) ] V = ∫ π 2 4 − y 2 + 4 − y 2 dy = 2π ∫ 2 4 − y 2 + 4 − y 2 dy −2 [( )] 2 ( ) Por simetría 2 0 V = 2π ∫ 2 4 − y + 4 − y dy = 4π ∫ 4 − y dy + 8π ∫ dy − 2π ∫ y 2 dy 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 ( ) 2 2 Integrando: 2 V = 4π ∫ 0 ⎛y y2 y ⎞ 2 2 2 − y + Sen −1 ( ) ⎟ + 8πy 0 − πy 3 4 − y dy + 8π ∫ dy − 2π ∫ y dy = 4π ⎜ 4 ⎜2 ⎟ 2 2 ⎠0 3 ⎝ 0 0 2 2 2 0 Evaluando: 2 2 2 ⎛y y2 2 2 −1 y ⎞ 2 V = 4π ∫ 4 − y 2 dy + 8π ∫ dy − 2π ∫ y 2 dy = 4π ⎜ 4 y Sen ( )⎟ + 8πy 0 − πy 3 − + ⎟ ⎜2 2 2 ⎠0 3 ⎝ 0 0 0 2 2 0 ⎛y ⎡ ⎛π ⎞ ⎤ y2 2 3 2 2 −1 y ⎞ 2 V = 4π ⎜ ⎟ + 8πy 0 − 3 πy = 4π ⎢2⎜ 2 ⎟ − 0⎥ + 16π − 3 π (8) ⎜ 2 4 − y + 2 Sen ( 2 ) ⎟ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 0 ⎠0 ⎝ 2 2 ⎡ ⎛π ⎞ ⎤ 2 16 V = 4π ⎢2⎜ ⎟ − 0⎥ + 16π − π (8) = 4π 2 + 16π − π Operando: 3 3 ⎣ ⎝ 2⎠ ⎦ V = 4π 2 + 32 π Unidades Cúbicas. 3 EJERCICIOS: 1. Sea la región R la cual está delimitada por las curvas y = f(x) y y = g(x), donde f(x) > g(x), si R se hace girar alrededor del eje x entre los valores a y b. Cual sería el volumen del sólido generado. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   2. Cómo se hallaría el volumen del sólido generado, cuando se hace girar la curva y= 1 alrededor del eje y = -1, entre x = 1 y x = 3 x3 3 Rta: 2⎞ ⎛ 1 V = π ∫ ⎜ 6 + 3 ⎟dx x ⎠ 1⎝ x 3. Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x las curvas: y = 1 y y = cos( x) entre -π/2 y π/2 Rta: π 2 − 2π 4. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y las curvas x =1 y x = tan( y ) en: 0 ≤ y ≤ π 4 Rta: 1 2 π −4 4 ( ) 5. Cual será el volumen del sólido generado por las curvas y = x y giran alrededor del eje x. Rta: y = 1 , cuando 2 π 3 6. Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y las curvas y = x 2 , la recta x = 0 y la recta x=2 Rta: 8π Todas las respuestas, están dadas en unidades cúbicas. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 37: Volumen de sólidos de revolución: método de casquetes cilíndricos. V = π R2 − r 2 h En muchos problemas de diferentes áreas del saber, el método del casquete cilíndrico es muy adecuado para la solución de la situación presentada. Un cascarón de forma cilíndrica, es un sólido acotado por dos cilindros circulares rectos, de forma concéntrica, con radio interior r y radio exterior R; además, una altura h ( ) Fig. No. 29 Casquetes. El volumen será: V = Ab * h Donde Ab es el área de la base y h la altura. Pero el área de la base será: Ab = πR 2 − πr 2 , luego: V = π (R 2 − r 2 ) * h Desarrollando: V = π (R + r )(R − r ) * h Para obtener la ecuación que permite hallar el volumen, debemos hacer una transformación: Multiplicamos y dividimos por 2 la última ecuación, luego: UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ⎛R+r⎞ V = 2π ⎜ ⎟( R − r ) * h ⎝ 2 ⎠ Ahora, definimos radio promedio como: R = R+r y cambio del radio como: 2 Δr = R − r . Por consiguiente: V = 2πRhΔr Para hallar el volumen del sólido de revolución al girar la región acotada por la curva y = f(x) al rededor de un eje de coordenadas, hacemos la partición, llevando la norma de ésta a cero y, sumamos las fracciones formadas, de esta manera se logra obtener el volumen del sólido. Fig. No. 30 Desarrollo sólidos de revolución. Según la primera gráfica: ΔV ≅ 2πxf ( x ) Δx Si llevamos la partición a cero y sumamos todas las partes, obtenemos: La obtención de la ecuación, ha seguido los mismos principios que hemos venido utilizando, o sea por medio de las sumas de Riemman. V = 2π ∫ xf ( x )dx a b 5 5 [ ] ⎛r⎞ Dada la recta y = ⎜ ⎟ x con r > 0 y h > 0. Solución: Fig. el eje x y la recta x = h. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 1: Al hacer girar la curva y = x alrededor del eje y entre las rectas x = 0 y x = 4. Encontrar el volumen del sólido generado. La recta y se ⎝h⎠ hace girar alrededor del eje x. 31 Solución ejemplo 1 Como: V = 2π ∫ xf ( x)dx a 4 4 b reemplazamos en los datos que tenemos: 4 V = 2π ∫ x * x dx = 2π ∫ x * x 2 dx = 2π ∫ x 2 dx 0 0 0 1 3 Aquí ya podemos integrar: 2 5 V = 2π x 2 5 Ejemplo 2: 4 0 5 4 128 = π (4) 2 − 0 = π Unidades cúbicas. . se genera un sólido de revolución.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. No. ilustrar el caso y hallar el volumen del sólido generado. Fig. No.Método de arandelas b. h . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Resolverlo por: a. 32 Solución ejemplo 2 ⎛r ⎞ V = ∫ π R ( x) − r ( x) dx ⇒ V = ∫ π ⎜ x ⎟ dx Desarrollando el cuadrado e h ⎠ 0 ⎝ a b h 2 2 ( ) 2 integrando: r2 2 r2 2 r2 ⎛1 3 ⎞ ⎛r ⎞ V = ∫ π ⎜ x ⎟ dx = π ∫ 2 x dx = π 2 ∫ x dx = π 2 ⎜ x ⎟ Evaluando: h ⎠ h h 0 h ⎝3 ⎠0 0 0 ⎝ h h h 2 h r2 ⎛1 3 ⎞ r2 ⎛1 3 ⎞ 1 2 V = π 2 ⎜ x ⎟ = π 2 ⎜ h ⎟ = πr h h ⎝3 ⎠0 h ⎝3 ⎠ 3 1 V = πr 2 h 3 Corresponde al volumen de un cono circular recto.Método de casquetes Solución: a.Por el método de arandelas.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Por el método de casquete: Fig. . ⎡ h ⎞ ⎛ ⎛1⎞ ⎤ V = ∫ 2π yf ( y ) dy = 2π ∫ y ⎜ h − y ⎟dy = 2πh ∫ ⎢ y − ⎜ ⎟ y 2 ⎥dy r ⎠ ⎝r⎠ ⎦ a 0 ⎝ 0 ⎣ b r r Desarrollando la integral. las rebanadas verticales nos llevan a una buena solución. la región por encima de la parábola f ( x) = x 2 y por debajo de la curva g ( x) = 2 − x 2 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   b. Ejemplo 3: Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 33 Demostración casquetes. No. ⎛ y2 1 3 ⎞ ⎛ r2 r3 ⎞ ⎡ ⎛1⎞ ⎤ ⎟ ⎜ π − = V = ∫ ⎢ y − ⎜ ⎟ y 2 ⎥dy = 2πh⎜ y 2 h ⎜ 2 3r ⎟ ⎜ 2 − 3r ⎟ ⎟ r ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠0 ⎝ ⎠ 0⎣ r r Simplificando: V = 1 πr 2h 3 Volumen de un cono circular recto. Solución: Por el tipo de grafica. Como podemos observar los dos métodos conllevan al mismo resultado. las secciones transversales perpendiculares al eje entre estos planos son cuadrados verticales cuyas bases van del semicírculo y = − 1 − x 2 al semicírculo y = 1 − x 2 . Rta: 16/3 2. Hallar el volumen del sólido generado entre los planos perpendiculares al eje y por y = 0 y. x 4 . Las secciones transversales perpendiculares al eje y son discos circulares cuyos diámetros van desde el eje y hasta la parábola x = 5 y 2 Rta: 8π 3. No. y = 2. 34 Rebanadas. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   h = 2 − x2 − x2 Ahora: b V = ∫ 2π xf ( x ) dx a Fig. V = ∫ 2π x (2 − 2 x )dx 1 2 0 = ∫ 4π x (1 − x )dx 1 2 0 = 4π 1 ∫ (x − x )dx 1 3 0 V = ∫ 0 1 1 ⎛1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 ⎞ 4 π x − x dx = 4π ⎜ x 2 − x 4 ⎟ = 4π ⎜ − ⎟ = 4 π ⎜ ⎟ 4 ⎝4⎠ ⎝2 4⎠ ⎝2 ⎠0 3 ( ) V = π Unidades cúbicas.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. x = 4 y el eje y. Encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la curva 1 π Rta: y = . con x = 2. Ejercicios: 1. Hallar el volumen del sólido generado por los planos perpendiculares a la recta x = -1 y x = 1.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   4. Encontrar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y la curva 1 23 y = x 3 + 1 . Se perfora un agujero redondo de radio r que para por el centro de una esfera sólida de radio R. cuya área es A(x). en cada punto x del intervalo definido. Fig. 35 Discos.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Luego A es función de x de valor real. la sección transversal del sólido corresponde a la región R(x). ΔVi = A(ci )Δxi . (R > r) encontrar el volumen del sólido producido Rta: 3 4 π R2 − r 2 3 ( ) Lección 38: Volumen de sólidos de revolución: método de rebanadas o discos. V = ∫ A( x )dx a b Para hallar el volumen del sólido descrito en la gráfica. Rta: π 4 30 5. No. y = 1 – x y x = 1. Las capas o rebanadas formadas se suman para formar el volumen del sólido en el intervalo definido. El volumen del sólido será aproximadamente la suma de Riemman.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Ejemplo 1: Una pirámide de 3 m. cuando la partición se hace muy pequeña. se requieren buenos principios de geometría plana y espacial. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Donde ci es el punto contenido en el intervalo [x i −1 . el volumen será de la forma: V = ∫ A ( x ) dx a b A(x) es el área de la figura obtenida. por lo cual se recomienda en caso de recordar algo al respecto. consultar el módulo de Matemáticas Básicas de la UNAD. hallar el volumen de la pirámide. NOTA: Es pertinente tener presente que para resolver problemas de este tipo. de altura tiene base cuadrada de 3 m. 0 3 . No. de lado. Solución: El área de la sección transversal es: ahora: A(x) = x2 1 V = ∫ x dx = x 3 3 0 2 3 3 = 0 1 3 3 1 3 − 1 = (27 ) 3 3 Fig. x i ] . 36 Solución problema 1 ( ) Resolviendo: V = ∫ x 2 dx = 9 Unidades cúbicas. V ≈ ∑ A(ci )Δxi i =1 n Sabiendo que el área se debe obtener según el tipo de figura que se obtiene. ya que la figura el muy conocida. Ejemplo 2: Hallar el volumen del sólido de revolución al hacer girar la región R(x) alrededor del eje X y acotada por la curva f ( x) = x en el intervalo 0 ≤ x ≤ 3 . pero no ocurre siempre así. como el volumen es área de la base por la altura. entonces: ΔV = π ( f ( x) ) Δx 2 Luego: V = ∫ π ( x ) dx = ∫ πxdx = π ∫ xdx 2 0 0 0 3 3 3 Integrando obtenemos: 1 1 9 V = π ∫ xdx = πx 2 = π 32 − 0 2 = π 2 2 2 0 0 3 3 ( ) . Solución: Fig. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   El ejercicio fue relativamente fácil. veamos otros ejemplos. No. 37 solución problema 2 El área para un círculo es: A = πR 2 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Luego: V = Ejemplo 3: 9 π 2 unidades cúbicas. Encontrar el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje Y la región acotada por la curva y = x2 en el intervalo [0, 4]. Solución: Como y = x 2 ⇒ x = y Ya que necesitamos rotarlo alrededor de Y, como A = πR 2 , Siendo R = ΔV = π y , entonces: ( y ) Δy 2 Por la suma de Riemman, obtenemos: V = ∫ π ydy = π 0 4 ∫ 0 4 1 ydy = π y 2 2 4 = 0 1 π 42 − 02 2 ( ) Finalmente: V = 1 π 4 2 − 0 2 = 8π 2 ( ) Unidades cúbicas. Ejemplo 4: Dada la función y = 2 − 1 2 x . Hallar el volumen del sólido generado por la curva 2 alrededor del eje y para 0 ≤ x ≤ 2 . UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Solución: Como el giro es alrededor del eje y, despejamos x, luego: y = 2 − 1 2 x ⇒ x = 4 − 2 y . En seguida 2 aplicamos la ecuación para el volumen del sólido alrededor del eje y, entonces: V = ∫ π ydy 0 2 =π ∫ 0 2 4 − 2 y dy Desarrollando: V =π ∫ 0 2 4 − 2 y dy = π 4 y − y 2 ( ) 2 0 = 4π Unidades cúbicas. Ejercicios: 1. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por y = 2 − x , en x = 0 y y = 0, alrededor del eje x. Rta: 8 π 3 2. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva 32 y = x para y = 2 y x = 0, alrededor del eje y. Rta: π 5 3. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva 224 y = x para y = 2 y x = 0, alrededor del eje x = 4. Rta: π 15 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   4. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva 1 y = x 3 para y = 0 y x = 1, alrededor de x = 1 Rta: π. 10 5. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva 206 y = x 2 + 1 para [0, 2], alrededor del eje x. Rta: π 15 6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva 256 y = 4 − x 2 para [0, 2], alrededor del eje x. Rta: π 15 7. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la curva y = 4 − x 2 para [0, 2], alrededor del eje y. Rta: 8π 8. Una pirámide se levanta 500 metros sobre una base cuadrada de 750 metros de lado. Cual será el volumen de la pirámide. Rta: 93.750 metros cúbicos UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 39: Momentos y centros de masa Recordando los principios de dinámica y mecánica, sabemos que el momentum es el producto de la masa y la distancia respecto a un punto de equilibrio. Fig. No. 38 equilibrio Momentum = x1*m1 + x2*m2 El triángulo nos indica el punto de equilibrio. Para un sistema de masas η = m1, m2, m3, … mη ubicados en los puntos x1, x2, x3, … , xη respectivamente a lo largo del eje x, el momentum total M, será la suma de los momentum individuales. M = ∑ x i * mi i =1 n Cuando M = 0, se presenta equilibrio si el punto de equilibrio esta en el origen. Generalmente esto no ocurre, la situación es cómo hallar el punto para que un sistema de masas este en equilibrio. Si llamamos Ce el punto donde un sistema de masas puede estar en equilibrio, entonces: (x1 − Ce )m1 + (x2 − Ce )m2 + (x3 − Ce )m3 + ... + (xn − Ce )mn = 0 Operando: x1m1 + x2m2 + x3m3 +...+ xnmn = m1Ce + m2Ce + x3Ce +...+ mnCe Despejando Ce obtenemos lo que se conoce como el centro de masa: Siendo m la masa. podemos hallar el centro de masa a lo largo de una varilla con densidad variable. Ce = ∫ x ρ ( x ) dx a b ∫ ρ ( x ) dx a b . llegamos al siguiente planteamiento: Δm = ρ ( x)Δx .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Luego: m = ∫ ρ ( x)dx a b Corresponde a la masa en un punto dado de la recta Por otro lado: ΔM = xρ ( x)Δx Por medio de la teoría de integrales llegamos a: M = ∫ xρ ( x ) dx a b Con todo lo anterior. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ce = ∑ n i =1 n xi m i i ∑m i =1 Físicamente el centro de masa es el punto donde concentramos toda la masa del sistema. Si deseamos distribuir dicha masa a lo largo de una recta de alambre con densidad variable. ρ ( x) densidad en el punto x y Δx ubicación de la masa respecto al punto de equilibrio.  TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Dicho de otra manera: Ce = M m La parte fundamental para resolver problemas de este tipo. Hallar el centro de masa.800 2 2 20 2 16.940 − 20 = (2 x − 1)dx = x 3 − x = ∫ 3 3 3 0 0 2 20 Agrupamos los dos resultados: .000 15. Ejemplo 1: Una varilla de 20 cm. De longitud presenta una densidad de ρ ( x) = 2 x 2 − 1 .000 400 − = 79.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. es identificar claramente la función densidad en el punto establecido. Solución: C e = ∫ a b x ρ ( x ) dx Aplicando la ∫ a b ρ ( x ) dx ecuación: Reemplazando términos: 20 C e = ∫ x (2 x 2 − 1 ) dx − 1 ) dx 0 20 ∫ 0 (2 x 2 Integramos cada parte: 20 1 1 (2 x − x)dx = x 4 − x 2 ∫ 2 2 0 3 20 = 0 160. para estos casos hablamos de centróides. No. 13 3 Centímetros Ejemplo 2: Encontrar el centro de masa de una lámina homogénea. la densidad es constante. luego el centro de masa de la región. 38 Centro de masa 1 2 f ( x) * f ( x) m x = f ( x) Aplicando la fórmula obtenida: π Ce( y ) = ∫M 0 π x dx = dx 1 sen( x) * sen( x)dx ∫ 2 0 π π = 1 sen 2 ( x)dx ∫ 20 π π Por identidades tenemos: ∫m 0 ( x) ∫ sen( x)dx 0 ∫ sen( x)dx 0 . ya que la mayor cantidad está por debajo de ½. 940 ≅ 14 . Solución: Cuando la lámina es homogénea.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. La región es simétrica en x = π/2. 800 15 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   C e = 79 . cuya forma es una región acotada por la curva y = sen(x) para 0 ≤ x ≤ π. pero para ya el centro de masa será menor a 1/2. será dada por la forma de la región. Ahora: Mx = Fig. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. No. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ce( y ) = 1 (1 − cos(2 x) )dx 2∫ 0 π π Integremos por separado y al final agrupamos: ∫ sen( x)dx 0 1 1 π π π ⎞ (1 − cos(2 x) )dx = 1 ⎛ ⎜ x − sen(2 x) ⎟ = − sen(2π ) = ∫ 20 2⎝ 2 2 ⎠0 2 4 π π π ∫ sen( x)dx = − cos( x) 0 π 0 = −(cos(π ) − cos(0) ) = 2 Agrupando: Ce (y) = π 2 = π 2 4 Ejemplo 3: Mostrar que el centroide de la región acotada por las curvas y = x 3 y y = x . 39 Centroide. Ce ( x ) = ∫ x( 1 0 1 x − x 3 dx x − x 3 ) dx ) ∫( 0 . es: Ce( y ) = 3 7 Ce( x ) = 12 25 Solución: Fig. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Hallar el centro de masa de un objeto cuya función densidad es: ρ ( x) = para 0≤x≤6 Rta: Ce = 16/5 x +2 6 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ce( x ) = 5 5 ⎛ ⎜ 2 5 x 2 − 15 x ⎞ ⎟ ⎝ ⎠0 3 4 ⎛ ⎜ 2 3 x 2 − 14 x ⎞ ⎟ ⎝ ⎠0 1 1 Desarrollando: Ce( x) 2 (1) − 1 (1)) 1 ( 12 5 = 5 = 5 = (23 (1) − 14 (1)) 512 25 Referente al eje y tenemos: Ce ( y ) = ∫ ( 1 0 1 2 x + x 3 )( x − x dx 3 ) ∫( 0 1 = x − x ) dx 3 ∫ 2 [( 1 1 x ) 2 − ( x 3 ) 2 dx x − x dx 3 ] 0 ∫( 1 0 ) Desarrollando: Ce ( y ) = ∫( 1 0 1 x − x 6 dx ∫ 20 1 ( 1⎛1 2 1 7⎞ ⎜ x − x ⎟ 5 2⎝2 7 ⎠0 3 = = 18 = 1 5 7 ⎛ 2 32 1 4 ⎞ 12 x − x 3 dx ⎜ x − x ⎟ 4 ⎠0 ⎝3 ) 1 ) EJERCICIOS: 1. Tres partículas tienen masas 8. 4 y 6. ¿cual será el centro de masa? Rta: Ce = 17/9 4. -2 y 3 respectivamente. Calcular el centro de masa para un objeto que tiene como densidad: ρ ( x) = x +4 4 Rta: Ce = 0 2 para el intervalo: -2 ≤ x ≤ 2. están ubicadas a lo largo de una recta en 3.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 3. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   2. Un alambre tiene forma semicircular con radio 10 cm y densidad de 12 gr/cm3 ¿Cuál será el centro de masa del alambre? Rta: Ce = 20/π . un griego de Alejandría. . entonces el volumen del sólido que se genera es igual al área de la región multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la región durante el giro. entonces: V = 2π D * A Veamos la demostración: Fig. Si D es la distancia desde el eje de rotación al centroide.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Como L(y) es continua. Dichas fórmulas simplifican el procedimiento para este tipo de problemas. en el siglo III propuso dos fórmulas para relacionar los centróides de superficies y con sólidos de revolución. No. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 40: Volumen TEOREMA DE PAPPUS: Pappus. 40 teorema de Pappus Sea L(y) = Longitud transversal de la sección R. Teorema Del Volumen: Si una región plana R se gira alrededor de una recta en el plano que no interfecta el interior de la región. perpendicular a y. Solución: V = 2π D * A π 0 Como π Hallamos el área: A = ∫ sen( x)dx = − cos( x) 0 = −(cos(π ) − cos(0) ) = 2 El volumen del sólido de revolución será: 1 1 ⎞ V = ∫ πsen ( x)dx = ∫ [1 − cos(2 x)]dx = ⎜ x − sen(2 x) ⎟ = π 2 20 2⎝ 2 ⎠0 2 0 2 π π π π⎛ π Si aplicamos Pappus: V = 2πDA = 2π * 2 * D = 4πD . Hallar el volumen por el teorema de Pappus. tenemos: V = 2π A y consiguiente: Pero y=D Por V = 2π D * A Ejemplo No 1: La región acotada por y = sen( x) para 0 ≤ x ≤ π .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. se hace girar alrededor de x. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   V = 2π y2 y1 ∫ yL ( y ) dy Para y1 y y2 dados. La coordenada en y del centroide esta dado por : y2 y= y1 ∫ yL( y)dy A Luego: Ay = y2 y1 ∫ yL( y)dy Reemplazando Ay en la ecuación de volumen. TRABAJO: En el curso de Física General. b] un intervalo donde x es continua. La mayoría de los fenómenos de la naturaleza. la fuerza varia. Sea F(x) la fuerza a lo largo de la trayectoria x y sea [a. La idea es hallar el trabajo realizado por la fuerza F(x) en dicho intervalo. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   CAPITULO 9: En las ciencias. SOLVED. donde w = trabajo. ETC en los cuales se incluye la integración simbólica y el diseño de graficas. MAPLE. podemos definir el trabajo W realizado por una fuerza F(x) a lo largo del intervalo [a. presentan una característica la cual consiste en que a medida que el objeto se mueve en una trayectoria. El trabajo realizado a lo largo del intervalo será aproximadamente F(ck) multiplicado por ∆xk. aprendimos que cuando un objeto se mueve una distancia dada. como por ejemplo en el diseño de programas graficadores y que solucionan integrales indefinidas y definidas como DERIVE. y su norma tiende a cero. Introducción Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias. b] en k subintervalos y sea el punto ck en cada subintervalo [xk-1. pero para mover el objeto. d = distancia y θ el ángulo entre el vector fuerza y el vector distancia. lo que indica que la fuerza es función de la distancia. aparte de los temas que vamos a estudiar en este capítulo. Tomamos un c k ∈ [x k −1 . Particionamos el intervalo [a. xk]. Lección 41: Integrales en la física: trabajo y movimiento. se requiere de una fuerza constante w = f*d*cos (θ). se realiza un trabajo. luego el trabajo total será: Si la partición es grande.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. x k ] . b] de la siguiente manera: b W = ∫ F ( x ) dx a W = ∑ F (ck ) Δxk k =1 n . también existen aplicaciones en el software computacional. Rta: (32/4)G Julios. Si 100 ergios es el trabajo realizado para mover la partícula desde el origen hasta un punto x = c Hallar c si debe cumplir que c>0 Rta: C ≈ 7. podemos aplicar directamente la ecuación del trabajo. Rta: 158/3 Julios 2. F = G 1 2 2 Donde G es la constante x universal de la gravedad y x la distancia entre las masas. Si m1=2 Kg y está en el origen. cual será el trabajo realizado si el objeto se desplaza de x = 1 metro a x = 3 metros. Una partícula se mueve a lo largo del eje x debido a una fuerza F ( x) = 4 x − 2 dinas. Un objeto se mueve a lo largo del eje x debido a una fuerza F ( x) = (2 x + 1) 2 en Newton. . pero en muchas ocasiones se debe determinar la función fuerza a partir del análisis del fenómeno presentado.5] x2 2 −2 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 4⎞ 8 W = ∫ 2 dx = = −2⎜ − ⎟ = −2⎜ − ⎟ = Julios x 1 ⎝ 5 1⎠ ⎝ 5⎠ 5 1 x 5 5 En este ejemplo la función fuerza está definida. cuando dos partículas de masa m1 y m2 se atraen mutuamente.588 3.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. 2 a lo largo del intervalo [1. Ejercicios: 1. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   La parte crucial para resolver problemas de este tipo es identificar claramente la función fuerza. la magnitud de la fuerza de atracción es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional m *m al cuadrado de la distancia entre ellas. Ejemplo 1: Cual será el trabajo realizado por una fuerza F ( x) = Solución: Como tenemos la función fuerza. m2= 4 Kg Qué trabajo se realiza para mover m2 de del primer metro a quinto metro de distancia. Por la Ley de Gravitación Universal de Newton. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. mas alto es el valor de la constante. se puede calcular con la ecuación definida para trabajo realizado por una fuerza variable. despejamos k y obtenemos: k = 23. El trabajo realizado para estirar o comprimir un resorte.5 Metros.5).5 metros. se sabe la ley de Hooke. 0 ( ) Los límites de integración se obtiene sabiendo que el resorte se estira 4 metros desde su posición original.33x y así podemos hallar el trabajo. por la ley de Hooke: 35 = k (1. Qué trabajo se requiere para que le resorte se estire 4 metros Solución: Como W = ∫ F ( x)dx a b pero F(x) = kx. el resorte se estira de 2 a 3.33 2 W = ∫ F ( x)dx = ∫ 23. Ejemplo 1: Un resorte tiene una longitud de 2 metros. entonces x = 1. dicho resorte se estira hasta 3.33xdx = 23.665 4 2 − 0 2 = 186. Al aplicar 35 Newton.33 Nw/m. es decir.64 Julios. . x = 0. Entonces. lo cual se puede hacer con los datos del problema. 23.5 metros. además. se ha establecido que a mayor rigidez del resorte. se requiere una fuerza F ( x) = kx . al aplicarle una fuerza de 35 Newton.33∫ xdx = x 2 0 0 a b 4 4 4 = 11. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   LEY DE HOOKE: Por teoría de la Física general. la cual establece que para mantener un resorte estirado o comprimido x unidades de su longitud natural. Ahora planteamos la función fuerza: F ( x) = 23. luego debemos determinar el valor de la constante. donde k es la constante del resorte. cual será el trabajo realizado para estira el resorte. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 2: Un resorte es tal que la fuerza requerida para mantenerlo estirado s centímetros esta dado por F = 12s. Una cuerda tiene 50 metros de longitud. qué trabajo se realiza para estirar dicho resorte 8 centímetros. pie-Lb Rta: 703. que trabajo se hace para recogerla completamente. por otro lado el resorte se estira de 30 a 45 centímetros. si se encuentra completamente vertical Rta: 780 Julios . cual será el trabajo realizado para 0 ≤ x . Solución: Tenemos la función fuerza F = 12s. 15 centímetros.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. El motor de un automóvil ejerce una fuerza F ( x) = 800 x(1 − x) en la posición x.983 3. Si la longitud del resorte es de 30 centímetros y se estira hasta 45 centímetros. es decir. Rta: 384 ergios 2. La fuerza que mantiene un resorte estirado x centímetros es F(x) = 12x dado en dinas. luego: 1 W = ∫ 12sds = 12 * s 2 2 0 Ejercicios: 15 15 = 6 15 2 − 0 2 = 1350 ergios. 0 ( ) 1. Así describir el movimiento del cuerpo. d'h = − g Por la segunda ley de Newton dt ' h(0) = 20 metros y dh (0) = 10 metros. Por las condiciones iniciales. un nadador se lanza con una velocidad de 10 m/seg. y=s(t) y’ = v(t) y’’ = a(t) Ahora la idea es que a partir de la función aceleración obtener la función velocidad y luego la función posición. v= ds dt dv d 2 s a= = dt dt 2 Unos ejemplos nos ayudan a aclarar estos conceptos. veíamos que a partir de la función posición obteníamos la función velocidad y aceleración. en dirección ascendente. ¿Con qué velocidad toca el agua el nadador? Solución: h(t) es las altura sobre el nivel del mar. dt Luego: d 2h dh dh = − g ⇒ = − gdt ⇒ = − gt + c ∫ dt ∫ dt 2 dt dh = v(t ) ⇒ 10 = − g (0) + c ⇒ c = 10 por consiguiente: dt Ahora: Como v(t) = −gt +10 .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Movimiento: Cuando estudiamos las derivadas. Ejemplo No 1: Desde una altura de 20 metros. tenemos: 1 20 = − g(0)2 +10(0) + c ⇒ c = 20 2 h = − 1 gt 2 2 Luego: + 10 t + 20 Ejemplo No 2: Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 50 m/seg. del lanzamiento. (se ignora la resistencia el aire) cual será la altura de la pelota cuando han transcurrido 2 seg.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   1 h = ∫ v(t)dt = ∫ (−gt +10)dt ⇒ h = − gt2 +10t + c 2 Para hallar la constante.8 dh = − gdt = − gt + c dt ∫ Como dh ( 0 ) = 50 dt Entonces: dh = − gt + 50 = v (t ) dt Pero v(0) = 50 entonces: . Solución: Por definición: d 2h = −g dt 2 Ahora: Siendo g = 9. Las condiciones iniciales para un objeto que se deja caer desde una altura de 150 metros son: a-) y(0) = 150 b-) y(0) = 0 c-) y(0) = 50 d-) y(0) = 15 Rta: a y’(0) = 0 y’(0) = 150 y’(0) = 15 y’(0) = 150 . Ejercicios: 1. de haber sido lanzada la pelota. 2 Ejemplo No 3: Del problema anterior.8t Entonces.6 m / seg .8(3) = 50 − 29. calcular la velocidad a los 3 seg. reemplazando el tiempo tenemos: v (t ) = 50 − 9.4 = 21.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   h= ∫ (− gt + 50 dt = − ) 1 2 gt + 50t + c 2 Como h(0) = o.6 metros. Luego: h=− 1 2 gt + 50t 2 Cuando t = 2 seg. Solución: Como v (t ) = 50 − 9.4 = 30. entonces: h=− 1 g ( 2) 2 + 50( 2) = 100 − 78. a-) Cual será la altura máxima alcanzada por el cuerpo b-) El tiempo de vuelo del cuerpo. 3. ¿Cuál será la velocidad con que la persona toca el agua al dejarse caer de dicha altura? Rta: − 8 20 m/seg.081 segundos .408 metros b-) 4. siendo x’(t) = 0 y x(0) = 0. además θ0 = 0 y w = 1. Rta: a-) 20. Un objeto se mueve según la ecuación: x' ' (t ) = −25sen( wt + θ 0 ) . sabiendo que 25 24 sen(4t ) + t 4 16 dv = − g Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba. Una persona se encuentra a 20 metros de altura de una piscina olímpica.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Rta: x(t ) = 4. con dt una velocidad de 20 m/seg. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   2. Cual será la ecuación de x(t) para este problema. . No. 41 Bombeo. es necesario hacer un trabajo. se desea bombear el agua por la parte superior del tanque. Con algunos ejemplos modelos podemos analizar problemas de este tipo. para así poder aplicar dicha ecuación. Cuando se desea desplazar un líquido. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 42: Integrales en la hidráulica: bombeo de líquidos. Solución: Se debe hallar W = ∫ F ( x)dx La clave está en determinar la función F(x) para el a b fenómeno en mención. Determinar cuanto trabajo se debe hacer para bombear toda el agua. Ejemplo 1: Un tanque esférico de 10 metros de radio y lleno de agua. Debido a que los recipientes o lugares donde se almacena el líquido no tiene forma regular. la ecuación W = F*d no aplica directamente. se requiere una transformación según la forma del recipiente. Inicialmente sabemos que el intervalo de la variable x está entre 0 y 20 ¿porqué? Fig.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. La resolución se sigue por las sumas de Riemman. W = F * d = 1000 π (20ci − ci2 )Δx(20ci − ci ) W = F * d = 1000 π 20 − ci ci Δx 2 Por consiguiente: ( ) El trabajo total será el realizado en cada capa.000 Kg/m3 que corresponde a la densidad del agua. F = m * g = ρVg = Vρg = V * peso Pero el peso es de 1. luego por Pitágoras: (10 − ci )2 + ri2 = 102 ⇒ ri2 = 100− (10 − ci )2 ⇒ ri2 = 20ci − ci2 La fuerza para mover el líquido (agua).333. la altura es 10 – ci. Luego: F = V * peso = πr 2 h * 1000 = 1000πr 2 h Entonces: Donde ya conocemos r2 F = 1000π 20ci − ci2 Δx ( ) Aplicando la teoría de partición y por la sumas de Riemman.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. es la gravedad sobre el mismo. su valor es de 10 metros.33) Finalmente: 3 4 ⎠0 ⎝ W = 1000π (13.333.333.33) = 13'333.33 Julios. W = ∑1000 π 20 − ci ci Δx 2 i=1 20 2 n ( ) Si aplicamos límite cuando n tiende a infinito: 20 W = ∫1000 πx(20 − x) dx = 1000 π ∫ 400x − 40x2 + x3 dx 0 0 20 ( ) Integrando: 40 1 ⎞ ⎛ W = 1000π ⎜ 200 x 2 − x 3 + x 4 ⎟ = 1000π (13. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   El radio r corresponde a la profundidad de x = ci y que es la hipotenusa del triángulo. . el disco tiene como grosor Δy y altura y. con peso ρvΔy .UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. hallar el trabajo para: a-) Bombear el agua del tanque por la parte superior b-) Bombear el agua 10 metros por encima del nivel del tanque. 10 ⎝ 10 ⎠ La fuerza necesaria para elevar el disco de agua es igual a su peso. luego el volumen será: π ⎜ y ⎟ Δy . a-) Según la gráfica. entonces el trabajo requerido para elevar el disco de agua será: 4 ⎛ ⎞ w = f * d = ⎜ ρπ ( y ) 2 Δy ⎟ * (10 − y ) Por consiguiente: 10 ⎝ ⎠ 16 2 16 w = ∫ ρπ y (10 − y )dy = ρπ ∫ 10 y 2 − y 3 dy 100 100 0 0 10 10 ( ) Resolviendo: . tiene un 4 2 4 ⎛4 ⎞ y . si la altura es de 10 pies y el radio de la parte más ancha es de 4 pies. Solución: Fig. 42 Bombeo circular. y = radio 10 x . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 2: Un depósito en forma de cono circular recto está lleno de agua. No. 137.39 Lb-pie 100 100 4 ⎠0 ⎝3 0 10 ( ) 10 Se tomo la densidad como 62. Ahora ΔW = F * d = F * (14 − y ) El tanque mide 10 metros de largo y 4 metros que debe subir demás el líquido hace que la altura sea 14 metros. Luego: F = ρΔV = 9.3X106 Julios para bombear el agua 4 metros por encima del tanque. Solución: Por un lado: ΔV = πr 2 h el peso del agua es de 9. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   w= 16 16 1 ⎞ ⎛ 10 ρπ ∫ 10 y 2 − y 3 dy = ρπ ⎜ y 3 − y 4 ⎟ = 26.60 Lb – pie Ejemplo 3: Mostrar que para un tanque lleno de agua.800 N/m3. Pero ΔV = 25πΔy . se debe hacer un trabajo de 69.000πΔy ’.800ΔV . Por otro lado. entonces: donde h = Δy Luego: ΔV = π (5) Δy .687.800 * 25πΔy = 245. solo que para este caso la altura es 20 – y.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. luego: w = ∫ ρπ 0 10 16 2 16 y (20 − y )dy = ρπ ∫ 20 y 2 − y 3 dy 100 100 0 10 ( ) Los límites no cambian ¿porque? 4 4 1 ⎞ ⎛ 20 w= ρπ ∫ 20 y 2 − y 3 dy = ρπ ⎜ y 3 − y 4 ⎟ 25 25 ⎝ 3 4 ⎠0 0 10 ( ) 10 Evaluando: w = 130.4 Lb/Pie3 b-) El razonamiento es similar a la caso anterior. como 2 F = ρΔV = 9. Ahora si podemos hallar el trabajo: . de forma cilíndrica vertical de 5 metros de radio y 10 metros de altura. Es llenado con agua hasta 8 metros de altura.040 Julios 3. Así queda demostrado el problema. Qué trabajo se requiere para vaciar el tanque hasta la parte superior. Qué trabajo se necesita para bombear el combustible hasta el nivel superior del tanque.000π ∫ (14 − y )dy = 245. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   1 ⎞ ⎛ W = ∫ 245. cuyo peso es 51. que trabajo se realiza en este proceso.libra 4.2 Lb/pie3. Un tanque cilíndrico vertical tiene 20 metros de altura y 10 metros de radio.3X106 Julios. Dagua = 9.814 pies-libra 2. 10 metros de altura y 4 metros de radio en la parte más ancha.229. Rta: 816.000π (14 − y )dy = 245. Rta: 6 3. Un tanque tiene forma de cono circular invertido.48 pies.800 N/m3 Rta: 862’055. el tanque tiene 30 pies de alto y 20 pies de diámetro.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.000π ⎜14 y − y 2 ⎟ 2 ⎠0 ⎝ 0 0 10 10 10 Evaluando obtenemos: W = 69. Qué trabajo se realiza para bombear el agua a un nivel de 4 metros por encima del tanque.4X10 Julios . Rta: 7’238. Un tanque de almacenamiento de forma cilíndrico vertical tiene Kerosén. el radio es de 10 pies y se desea bombear por la parte superior el agua hasta que el tanque quede a la mitad. Un tanque esférico está lleno de agua. Ejercicios: 1. Función de distribución: Es la probabilidad de que una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad f(x) tome un valor menor o igual que x.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Este tipo de función no puede ser negativa. además. F ( x) = P( X ≤ x) . Estudiaremos dos casos de los muchos que se presentan. ya que corresponde a una función de probabilidad. es acumulativa. 0 ≤ F ( x) ≤ 1 . que significa el área bajo la función de densidad de probabilidad sobre el intervalo (-∞. x]. tampoco puede ser decreciente debido a que es acumulativa. Entonces para cualquier x. Por la notación de integrales: F (x ) = −∞ ∫ f (t )dt y F(∞) = 1 x De la función de distribución se puede resaltar: -) F(-∞) = 0 -) p( x1 < X ≤ x2 ) = F ( x2 ) – F ( x1 ) -) p( x1 < X ≤ x2 ) = P ( X ≤ x2 ) – P ( X ≤ x1 ) ≥ 0 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 43: Integrales en la estadística: función de distribución. P(X ≤ x) = F(x) Donde: F(x) es la función de distribución y x la variable aleatoria. como ilustración de las integrales a la ciencia de la estadística. P (a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x )dx a b En Estadística las integrales son una herramienta para hallar probabilidades de ocurrencia de sucesos de variables aleatorias tipo continuo. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. entonces: P (a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x )dx a b Área bajo la curva: Donde P(a ≤ X ≤ b) significa la probabilidad que la variable aleatoria tome un valor entre a y b. 1]. Algunas propiedades de esta función: -) f(x) ≥ 0 ya que p(x)≥ 0 ∞ -) p(−∞ < x < ∞) = −∞ ∫ f ( x)dx = 1 -) 0 ≤ p (a ≤ x ≤ b) ≤ 1 Ejemplo 1: Dada una función de distribución F(x) = 2x – x2 densidad de probabilidad Solución: La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución Como f(x) = F’(x) entonces: en [0. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Función de Densidad de Probabilidad: También se le llama Densidad de Probabilidad. Hallar la función de f ( x) = dF = 2 − 2x dx . Sea f(x) una función llamada como función de densidad de probabilidad. la función f(x) obviamente debe ser integrable en el intervalo establecido. Al elemento f(x)dx se le conoce como probabilidad elemental o elemento diferencial de probabilidad. 1 ≤ X ≤ 3 Solución: Por definición: P (a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx a b Como X está en la condición para que f ( x) = 2e −2 x entonces: P (1 ≤ X ≤ 3) = ∫ 2e − 2 x dx = 2 ∫ e − 2 x dx 1 1 3 3 Operando: ⎛ e −2 x ⎞ −6 −2 −2 −6 P(1 ≤ X ≤ 3) = 2⎜ ⎜ −2 ⎟ ⎟ = − e − e = e − e ≅ 0.04 = 0.36 Ejemplo 3: Una variable aleatoria tiene como función de densidad de probabilidad: ⎛ 2 e −2 x f ( x) = ⎜ ⎜ 0 ⎝ para x>0 para otros Cual será la probabilidad de que la variable tome un valor entre 1 y 3.2) = ∫ (2 − 2 x )dx = (2 x − x ) 0 2 0.4 − 0.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.1328 ⎝ ⎠1 3 ( ) . hallar la probabilidad de que un evento aleatorio sea {X ≤ 0. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior.36 Por consiguiente: P( X ≤ 0.2) = 0. 2 P ( X ≤ 0.2} Solución: 0. 2 0 = 0. utilizadas en el mundo de la Estadística. x2 de Pearson. tales como: La Normal.02 2. La densidad de probabilidad de una variable aleatoria está dada por la función: ⎧ x ⎪ f (x) = ⎨2 − x ⎪ 0 ⎩ si si para 0 < x <1 1≤ x < 2 otroscasos ( ) a-) Hallar la función de distribución b-) Determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con esta función de distribución tome un valor mayor a 1. Estas se pueden explorar en el curso de Estadística y de Probabilidad. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 4: Para el ejemplo anterior.2 y 0. Ejercicios: 1. Log normal.8) = 0.6) = 0. cual es la probabilidad de que la variable tome un valor mayor que ½.2 ≤ X ≤ 0.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. otras. tome un valor entre 0. Solución: Siguiendo el procedimiento de la definición: 1 P( X ≥ ) = 2 ∞ 1 ∫ 2e 2 −2 x ⎛ e −2 x dx = 2⎜ ⎜ −2 ⎝ ⎞ −2 x ⎟ ⎟ = −e ⎠ 12 ∞ ∞ 1 2 1 P( X ≥ ) = − e −∞ − e −1 = e −1 − e −∞ ≅ 0.8 Rta: a-) F ( x) = 2 x − 1 2 x 2 b-) P( X > 1. Para el ejercicio numero 1.16 .3678 2 Existen muchas funciones de densidad de probabilidad.6 Rta: P (0. determinar la probabilidad de que una variable aleatoria con esta función de distribución. 09 4. La función de distribución de una variable aleatoria está dada por la expresión: 4 ⎧ ⎪1 − 2 F ( x) = ⎨ x ⎪ ⎩ 0 para para x>2 x≤2 Cual será la probabilidad de que la variable aleatoria: a-) Tome un valor menor que 3 b-) Tome un valor entre 4 y 5 Rta: a-) P ( x < 3) = 0.0916 5. Para el caso de la vida útil del artículo electrónico referenciado en el ejercicio anterior.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. cuya función de densidad de probabilidad es: 1 f ( x ) = xe 9 − x 3 Para x > 0 La planta tiene una capacidad diaria de 12 millones de Kw/hr. El consumo de energía de cierta planta es una variable aleatoria. Cual será la probabilidad de que el suministro de energía sea inadecuado en un día dado. ¿Cuál será la probabilidad de que el artículo electrónico dure entre 2 y 4 años? Rta: P(2 < x < 4) = 0. con función de densidad de probabilidad: f ( x) = 6e −6 x ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo dure menos de 3 meses? Rta: P (0 < x < 3 / 12) = 0.7768 6. Rta: P (0 < x < 12) ≅ 0.555 b-) P (4 < x < 5) = 0. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   3.000006144 . la vida útil de un artículo electrónico es una variable aleatoria. CURVA DE OFERTA – DEMANDA La gráfica muestra la curva de oferta P = S(x) y la curva de demanda P = D(x). debido a que al vender cantidades mayores. La curva de oferta del productor P = S(x). Utilidad: Es el concepto asociado con una función que describe el grado de beneficio o satisfacción. la curva es creciente. La curva de demanda del consumidor P = D(x). el precio de venta sube. la curva generalmente es decreciente. Fig.C = ∫ D( x )dx − QP 0 Q En Economía son muy usados los términos demanda y oferta. nos da el precio por unidad al cual el vendedor está dispuesto a ofrecer x unidades. nos da el precio de demanda que el consumidor está dispuesto a pagar por unidad para x unidades. 43 curva oferta – demanda. cuando el consumidor recibe x unidades. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 44: Integrales en la economía. el precio baja.Yp) corresponde al punto de equilibrio. . ya que a mayores cantidades.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. E. No. P(Xc. No.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. Esto significa los ingresos extras que recibe el productor. Para Q artículos el precio es P. No 45 Excedente del productor.) En términos sencillos. el excedente del consumidor E. cuando se ofrece mayores cantidades del artículo.C = ∫ D( x )dx − QP 0 Q Excedente del Consumidor EXCEDENTE DEL PRODUCTOR: (E. Así. El área total bajo la curva es la utilidad total U. Lo anterior se traduce en la utilidad del consumidor. E. 44 Excedente.C. . luego el gasto total será QP. cuando disminuye el precio a razón de aumentar la compra del artículo.C. Fig. cuando el consumidor aumenta la compra del artículo. el excedente del consumidor será entonces la utilidad menos los gastos totales. a razón del aumento del precio. para una cantidad x de artículos. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR: (E. Fig. Q U = ∫ D( x)dx 0 D(x) es la función demanda. es la cantidad de dinero que ahorra un consumidor cuando compra un artículo a P precio.P.) Los economistas lo refieren a la utilidad que recibe el productor. E.El punto de equilibrio es donde D(x) = S(x).El E. el excedente del productor se calcula con la ecuación para este fin.C. el punto de equilibrio será: P(2.El punto de equilibrio b. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Como Q es la cantidad de artículos ofrecidos a P precio. que corresponde a la función oferta de producción.El E. El excedente del productor E. = 1 (− 27 + 125) − 18 = 32. así: yE = (2 – 5)2 = 9. E.C. Ejemplo 1: Dadas las funciones demanda D(x) = (x – 5)2 y de oferta S(x) = x2 + x + 3. utilizados la ecuación para E. será el recaudo total menos el área bajo la curva.667 3 c. la cantidad recaudada será de QP.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. en el punto de equilibrio Solución: a.P = QP − ∫ S ( x)dx = 18 − ∫ x 2 + x + 3 dx 0 0 2 2 ( ) Desarrollando tenemos: .667 − 18 = 14. Haciendo las operaciones algebraicas: x 2 − 10 x + 25 = x 2 + x + 3 . es decir: (x – 5)2 = x2 + x + 3. despejamos la variable. C.Para calcular el excedente del consumidor. hallar a. = ∫ ( x − 5) dx − QP = ( x − 5) − (2) * (9) 3 0 0 2 2 2 Evaluando y simplificando: E. en el punto de equilibrio c.P = QP − ∫ S ( x )dx 0 Q Excedente del productor. C. luego: xE = 2. Ahora podemos hallar el valor de y. 9) b. 1 3 E.De igual manera que en el caso anterior.P. P. luego P = 20/2 + 2(20) = 50.200 − 0.0001x )dx − 537.P = 18 − ⎜ x3 + x 2 + 3x⎟ = 18 − = ≅ 7.075.200 – 0. para x = 20.33 X 10 −5 ( ) 500 0 − 537.500 2 0 E.500 E. Solución: Para un producto cuya función oferta es: S ( x) = 1 x + 2x . Entonces: QP = 20*50 = .837.500 = 570. P.500 Ahora calculamos el E.33 2 3 3 ⎝3 ⎠0 Ejemplo 2: La demanda de un producto está gobernada por la función: D( x) = 1.C.000 A continuación se calcula el E: P. luego P = 1. entonces el gasto total será de QP = 500*1075 = 537. 500 2 E.837. C. 2 Para este caso Q = 20. utilizando la ecuación correspondiente.2(500) – 0.200 x − 0.1x 2 − 3.200 − 0.0001(500) = 1.337. 1. = ∫ (1.2 x − 0.500 = 33.5 − 537.5 Ejemplo 3: Determinar el E. = 1.2 x − 0. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   32 22 1 ⎛1 ⎞ E.C.C.5 − 537.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.0001x 2 ¿Cuál será el excedente del consumidor para un nivel de ventas de 500 unidades? Solución: Para este caso Q = 500. = 570. Calcular el excedente del productor en el punto de equilibrio.67 4. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ E.33 . Para un precio 10 de venta de $10. = 1.000− (100+ 400) = 500 EJERCICIOS: x + 5 . Rta: a-) Q = 37 b-)E. Rta: E. La función demanda para un producto es de la forma D( x) = a-) Cual será el nivel de venta para un precio de $10 450 . cuando la venta es de un artículo.P. = $1. Calcular el excedente del productor cuando el precio de venta es de $10.15 3.000− (100 + 400) 2 ⎠ ⎝4 ⎠0 0⎝ 20 20 E. = 1. Para el caso el problema 3. la función demanda y oferta son respectivamente: D( x) = (x − 4 ) 2 y S ( x) = x 2 + 2 x + 6 .000 − ⎜ x 2 + x 2 ⎟ = 1.000 − ∫ ⎜ x + 2x ⎟dx = 1.166.= 407. x+8 b-) encontrar el excedente del consumidor para el nivel de ventas de la parte a. calcular el excedente del consumidor. 1.=$4.67 2.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.P. C. La función oferta de cierto artículo está dada por: s ( x) = Rta: E. = $3.C. En un análisis económico.P. Rta: E. P. El concepto de “Marginal” hace referencia al cambio que manifiesta una cantidad. en este orden de ideas si conocemos la función costo marginal C’(x) o dC/dx. 2 C ( x) = ∫ (3 x − 12)dx = Pero C(4) = 16. cuando hay un cambio muy pequeño de una segunda cantidad. se obtiene: c = 40. origina dx un costo de $16. se puede evaluar si se conoce el costo general. Con el principio de la antiderivada. entendiendo este último como el costo necesario para producir x unidades de cierto artículo. Al realizar el proceso de integración. El costo marginal será C’(x) siendo x=xi para i = 1. entonces a dicha función se le llama función costo marginal. … Si la derivada existe. no puede ser negativo.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. podemos inferir que a partir del costo marginal podemos hallar el costo total. es decir. se debe hacer notar otros términos que en economía son frecuentes como costo marginal y costo total. 3. 2. C(x). se puede hallar el costo total. luego c’(x) ≥ 0 Ejemplo 1: dC = 3x − 12. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   COSTO TOTAL: Siguiendo el estudio de las integrales en la economía. entonces: C ( x ) = ∫ c′( x )dx Costo total de producción NOTA: El costo marginal. Dad la función costo marginal Solución: Como dC ≥ 0 ⇒ 3x − 12 ≥ 0 Luego x ≥ 4 Ahora: dx 3 2 x − 12 x + c 2 3 2 (4) − 12(4) + c despejando c. la constante arbitraria. Hallar la función costo total. el costo sin producir unidad alguna. la producción de 4 unidades. entonces: 16 = Por consiguiente: C ( x) = 3 2 x − 12 x + 40 2 . entonces: 10 = 6 5(0) + 4 + c Despejando c se obtiene: c = 38/5. tomamos las condiciones dadas: C(0) = 10. Finalmente: 5 6 38 5x + 4 + 5 5 C ( x) = . despejando dx = du/5. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Pero la mínima cantidad que se debe producir es de 4 unidades. 3∫ dx 5x + 4 = 3∫ du 5 = 3 u −1 / 2 du 5∫ u Luego: Integrando se obtiene: 3 u1/ 2 6 * +c = u +c 5 1/ 2 5 C ( x) = 6 5x + 4 + c 5 Para hallar el valor de c. ahora reemplazamos en la integral original. x ≥ 4 Ejemplo 2: En un proceso de producción la función costo marginal está dada por: dC 3 = dx 5x + 4 El costo general es de $10. ¿Cuál será el costo total? Solución: C ( x) = ∫ 3 5x + 4 dx = 3∫ dx 5x + 4 Aplicando cambio de variable: u = 5x + 4 entonces du = 5dx.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. debemos recordar el concepto de ingreso marginal. el ingreso total lo podemos obtener a partir del ingreso marginal.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. despejando c se obtiene que c = 0. … La función R ‘ (xi) si existe se le llama ingreso marginal. R ( x ) = ∫ R′( x )dx Ejemplo 1: Cual será el ingreso total para la función marginal R ‘ (x) = 300 – x Solución: Por definición: R ( x) = ∫ R' ( x)dx ⇒ R( x) = ∫ (300 − x )dx = 300 x − 1 2 x +c 2 Para hallar el valor de c. por consiguiente: 1 R( x) = 300x − x 2 2 Recordemos que cuando x = 0. para x = xi con i = 1. 3. R(0) = 0 Reemplazando en la función obtenida: 300(0) – ½(0)2 +c = 0. denotado por R ‘ (x). cuando el número de unidades es cero. 2. por medio de integrales indefinidas. entonces el ingreso será: R(x) = p*x Según la ecuación anterior. Si p es el precio unitario y x las unidades vendidas. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   INGRESO TOTAL: Para estudiar el ingreso total. no hay ingresos. “Esta función puede ser positiva. A partir del ingreso marginal. podemos obtener el ingreso total. partimos de la siguiente premisa: El ingreso es cero. negativa o cero” Se interpreta como la tasa de cambio del ingreso total cuando se requieren x unidades. es decir. . Si produce diariamente x unidades. entonces: R(40) = −(40) 2 + 80(40) − 700 R(x = 40) = 3. Solución: a-) C ‘ (x) = 2x + 20 Entonces: C ( x) = ∫ (2 x + 20)dx = x 2 + 20 x + c Para C(0) = 700.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. luego: 700 = 02 + 20(0) + c. El costo general es de $700. el valor por producción marginal es 2x + 20. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Ejemplo 2: La utilidad total se le llama P(x) y se define como: P(x ) = R(x ) − C (x ) Una compañía tiene para un artículo el valor de $100 la unidad. P(x) = 100x − x2 + 20x + 700 = −x2 + 80x − 700 Así.300= 900 Desarrollando: . Hallar: a-) La función utilidad total b-) La utilidad que se obtiene al producir 40 unidades. c = 700. la función costo total será: C ( x) = x 2 + 20 x + 700 La función ingreso será: R(x) = 100x como tenemos la función costo total C(x). solo reemplazamos para x = 40.200− 2. entonces podemos calcular la función utilidad. precio de venta. la función utilidad total será: ( ) P(x) = −x2 + 80x − 700 b-) Como conocemos la función utilidad. Rta: C( x = 50 ) = 26. En la producción de una pasta de jabón para tocador. 725 3. Rta: R(x =10) = 0 2. cual será el ingreso total cuando se requieren 10 unidades de la mercancía. El costo general es de $800. ¿Cuál será el ingreso total para 12 unidades? Rta: R(x =12) = 528 4.550 . cual será el costo total en la producción de 50 artículos.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. La fábrica de bombillas “El Alumbrador” tiene como precio de venta para su artículo el valor de $700 la unidad. 4 1. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   EJERCICIOS: Lección No. ¿Cuál será la utilidad al producir 50 bombillas? Rta: P(x) = $27. el valor por producción marginal es 5x + 8. La función costo marginal para cierto artículo está gobernado por: 3 C ' ( x) = 5x + 4 Si el costo general es de $10. Si produce diariamente x unidades. la función ingreso marginal se determinó como: R ' ( x) = 8 − 2 x + x 2 . Para cierta mercancía la función ingreso marginal está dada por: R ‘ (x) = 20 – 4x. 5 3 Para determinar t usamos la información sobre la población inicial o sea t = 0 . TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Lección 45: Integrales en las ciencias sociales.5 + 1 1. La población actual es de 25. La derivada de p(t ) expresa la rata de cambio de la población. cambia con el tiempo. Si t = 0 → P(t ) = 25000 = C Por lo tanto: P(t ) = 3t + 8t 1. Vemos los siguientes ejemplos: Problema No. 1 La rata a la cual está creciendo la población de cierta ciudad.5 + 25000 3 1. Se calcula que dentro de t meses la rata de crecimiento será de 3 + 4 t personas por mes.000 personas. + 25000 = 25216 . es decir dp = 3+ 4 t dt Se deduce que la función población p (x ) es una integral. Cual será la población dentro de 16 meses? SOLUCION: Designemos p (t ) la población dentro de t meses.5 8(16) Dentro de 16 meses la población será de: P(16) = 3(16) + 3 personas. por lo tanto: p(t ) = ∫ 3 + 4 t dt = 3t + ( ) 4 t +1 4t 3 / 2 8t 3 / 2 + c = 3t + + c = 3t + +c 0.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. entonces: f (0 ) = 2.5 . por lo tanto para hallar la función de crecimiento integramos: ∫ (4 x + 5e )dx = 2 x 2x 2 + 2. Cuantas habrá después de transcurrir 8 horas? SOLUCION: La rata de crecimiento se obtuvo de derivar.5 + c = 10000 . las bacterias de cierto cultivo estarán creciendo a una rata de 4 x + 5e 2 x por hora. 2 Dentro de x horas. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   Problema No.5 f ( x ) = 2 x 2 + 2. El número de bacterias actual es de 10.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. por lo tanto: c = 9997.5e 2 x + 9997.5e 2 x + c Para determinar C realizamos x=0 en f ( x ) .000. B. C.   2. 1. usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado. frente al cual. El área entre las curvas 4x2 + y = 4  y   x4 − y =1 es: A. márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. D.61 . D.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. D. B. 2.78 3.094 1. C. C. problema o contexto. 104 15 10 53 4 17 235 45 B. usted debe seleccionar aquella que responde correctamente a la pregunta planteada entre cuatro opciones identificadas con las letras A. Una vez la seleccione.98 4. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación. Cuál será el volumen del solido generado por las curvas y = x y  y = 1 cuando giran alrededor del eje x: A. 5 .  Entonces un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba.   3. C. Sea la variable aleatoria X.  la región por encima de la parábola f ( x) = x 2 y por debajo de la curva g ( x) = 2 − x 2 A.   20.416 4. B.408 13. El volumen del solido generado cuando se hace girar alrededor del eje y .456 54. Si dv = − g .287 2. que tiene como función de densidad de probabilidad ⎛ 2e −2 x f ( x) = ⎜ ⎜ 0 ⎝ para x>0   para otros Cuál es la probabilidad de que la variable tome un valor mayor que 0. C. D.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral     3. dt 20m . B.  Que altura alcanza? seg con una velocidad de A.1416 6.652 4. D.98 5.321 37.     Cuál será el ingreso total cuando se requieren 10 unidades de la mercancía? A. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   A. D. La función ingreso marginal está dada por R( x ) = 20 − 4 x . C. A 1 2 3 4 5 6 B C D .7865 0. C. 0 1 2 3 HOJA DE RESPUESTAS.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS. B. B.   0.4531 0.1943 6.3678 0. D. com/matematicas‐integrales/curso/Temario. Pearson Education: Prentice hall. R. BAUM Y MILLES. Pearson educación. LARSON. SMITH. Mc Graw Hill.cica.xtec.com/temario/calculin/index. México.matematicasbachiller. 1.co/index_archivos/calculo1y2/formulasdecalculo1y2. McGraw Hill. R. Cuarta edición. Bogotá.pdf  http://www. 1. México. México. J.univalle. Mc Graw Hill. C. Bogotá.html  http://es. THOMAS Y FINNEY (1987). sexta edición. PITA. (1992).htm  http://thales. Addison Wesley Iberoamericana. STEWART. (2001) Cálculo de una Variable.htm  . México.wikipedia. R. Cálculo Aplicado. E (2001) Cálculo.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo  http://www. México.edu. R. Limusa. Thomsom-Learning. Segunda Edición.esp/integral. (2002) Cálculo Vol. LEYTOLD. Octava Edición.cat/~jlagares/integral. FUENTES DOCUMENTALES DE LA INTERNET   http://www. J. Y MINTON. Primera edición. Edición sexta. UNAD Ciencias básicas PURCELL. Madrid. Y HOSTETLER. 1. México.html  http://sigma. (1998) Cálculo Vol. (1998) Cálculo de una Variable.E (2007) Calculo Integral. L. J. Harla. DE BURGOS. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 3   RONDON.aulafacil. (1987) El Cálculo con Geometría Analítica. Cálculo con Geometría Analítica Vol. (2007) Cálculo infinitesimal de una Variable.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54‐1‐p‐Integral. es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/  http://www.jsp?expr=x%5E2*%28x‐4%29%5E0.uam.es/ddt/logica1.UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD   ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS.html    http://integrals.monografias. TECNOLOGÍA E INGENIERÍA   CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral   http://www.iponet.shtml  http://www.unam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/histmatem/calculo/calculo.upm.5&random=false  http://www.matematicasypoesia.wolfram.com/index.htm  http://usuarios.com.com/trabajos10/historix/historix.htm    .mx/tecnologia/material/sem‐01/Calculo_I_Historia_1.dma.fi.fata.es/ProbIntegral/problema110.pdf  http://www.