Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan rahmat dan karunia-Nya,sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini dengan lancar, serta dapat menyelesaikan modul tepat pada waktu yang telah di tentukan. Penyusun menyadari bahwa terlaksananya ini berkat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, kami ucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada Ibu Dian selaku dosen mata kuliah bahan ajar matematika yang telah membantu dan membimbing kami dalam pembuatan modul ini dan teman teman yang telah mendorong kami untuk menyelesaikan modul ini. Penyusun sangat memahami bahwa apa yang telah di dapatkan selama pembuatan modul belumlah seberapa. Penyusun menyadari sepenuhnya bahwa modul ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat penyusun harapkan demi kesempurnaan modul ini. Penyusun berharap modul ini dapat bermanfaat bagi penyusun sendiri khususnya, dan bagi para pembaca yang budiman umumnya
Tulungagung, Desember 2015
Tim Penyusun
iii
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR
iii
DAFTAR ISI
iv
PM 1 BILANGAN BULAT
2
Pendahuluan
2
Kegiatan Belajar 1 Menemukan Konsep Bilangan
4
Tes Formatif
6
Kunci Jawaban Tes Formatif
6
Rangkuman
7
Latihan
7
Kegiatan Belajar 2 Operasi Bilangan Bulat
9
Tes Formatif
17
Kunci Jawaban Tes Formatif
17
Rangkuman
18
Latihan
19
Kegiatan Belajar 3 FPB Dan KPK
20
Tes Formatif
27
Kunci Jawaban Tes Formatif
27
Rangkuman
28
Latihan
28
Kegiatan Belajar 4 Perpangkatan Bilangan Bulat
29
Tes Formatif
33
Kunci Jawaban Tes Formatif
34
Rangkuman
34
Latihan
35
Kegiatan Belajar 5 Pola Bilangan Bulat
36
Tes Formatif
43 iv
Kunci Jawaban Tes Formatif
44
Rangkuman
45
Latihan
45
Kegiatan Belajar 6 Menemukan konsep bilangan Pecahan
46
Tes Formatif
50
Kunci Jawaban Tes Formatif
50
Rangkuman
51
Latihan
51
Kegiatan Belajar 7 Bilangan Rasional
52
Tes Formatif
53
Kunci Jawaban Tes Formatif
53
Rangkuman
54
Latihan
54
SOAL EVALUASI MPM 1
55
MPM 2 BENTUK ALJABAR
58
Pendahuluan
58
Kegiatan Belajar 1 Mengenal Bentuk Aljabar
60
Tes Formatif
62
Kunci Jawaban Tes Formatif
62
Rangkuman
63
Latihan
63
Kegiatan Belajar 2 Mengenal Suku Pada Bentuk Aljabar
64
Tes Formatif
65
Kunci Jawaban Tes Formatif
65
Rangkuman
66
Latihan
66
Kegiatan Belajar 3 Operasi Hitung Pada Aljabar
67
Tes Formatif
68
v
Kunci Jawaban Tes Formatif
69
Rangkuman
69
Latihan
70
Kegiatan Belajar 4 Perkalian Bentuk Aljabar
71
Tes Formatif
75
Kunci Jawaban Tes Formatif
76
Rangkuman
77
Latihan
78
Kegiatan Belajar 5 Pembagian Bentuk Aljabar
79
Tes Formatif
80
Kunci Jawaban Tes Formatif
80
Rangkuman
82
Latihan
82
Kegiatan Belajar 6 Memahami Cara Menyederhanakan Aljabar
83
Tes Formatif
86
Kunci Jawaban Tes Formatif
86
Rangkuman
88
Latihan
89
SOAL EVALUASI MPM 2
90
MPM 3 SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL 93 Pendahuluan
93
Kegiatan Belajar 1 Bentuk Aljabar
95
Tes Formatif
97
Kunci Jawaban Tes Formatif
97
Rangkuman
98
Latihan
98
Kegiatan Belajar 2 Operasi Bentuk Aljabar
100
Tes Formatif
103
vi
Kunci Jawaban Tes Formatif
104
Rangkuman
104
Latihan
104
Kegiatan Belajar 3 Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel
106
Tes Formatif
108
Kunci Jawaban Tes Formatif
109
Rangkuman
110
Latihan
110
Kegiatan Belajar 4 Menyelesaikan Persamaan Linear satu Variabel
112
Tes Formatif
114
Kunci Jawaban Tes Formatif
114
Rangkuman
115
Latihan
116
Kegiatan Belajar 5 Masalah Nyata Yang Berkaitan Dengan Persamaan Linear Satu Variabel 117 Tes Formatif
118
Kunci Jawaban Tes Formatif
119
Rangkuman
120
Latihan
120
Kegiatan Belajar 6 Masalah Nyata Yang Berkaitan Dengan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 122 Tes Formatif
123
Kunci Jawaban Tes Formatif
123
Rangkuman
124
Latihan
124
SOAL EVALUASI MPM 3
126
MPM 4 SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL 129 Pendahuluan
129
Kegiatan Belajar 1 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
131 vii
Tes Formatif
132
Kunci Jawaban Tes Formatif
132
Rangkuman
132
Latihan
133
Kegiatan Belajar 2 Menentukan Penyelesaian SPLDV
134
Tes Formatif
138
Kunci Jawaban Tes Formatif
138
Rangkuman
142
Latihan
142
Kegiatan Belajar 3 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
144
Tes Formatif
148
Kunci Jawaban Tes Formatif
148
Rangkuman
149
Latihan
149
Kegiatan Belajar 4 Mencari Daerah Penyelesaian Dari SPLDV
150
Tes Formatif
151
Kunci Jawaban Tes Formatif
152
Rangkuman
153
Latihan
153
SOAL EVALUASI MPM 4
154
MPM 5 HIMPUNAN
156
Pendahuluan
156
Kegiatan Belajar 1 Konsep Himpunan Dan Notasinya
158
Tes Formatif
159
Kunci Jawaban Tes Formatif
162
Rangkuman
164
Latihan
165
Kegiatan Belajar 2 Penyajian Himpunan
167
viii
Tes Formatif
169
Kunci Jawaban Tes Formatif
170
Rangkuman
172
Latihan
172
Kegiatan Belajar 3 Himpunan Kosong, Himpunan Nol, Himpunan Semesta 174 Tes Formatif
176
Kunci Jawaban Tes Formatif
176
Rangkuman
177
Latihan
178
Kegiatan Belajar 4 Diagram Venn
179
Tes Formatif
182
Kunci Jawaban Tes Formatif
184
Rangkuman
187
Latihan
187
Kegiatan Belajar 5 Himpunan Bagian
189
Tes Formatif
193
Kunci Jawaban Tes Formatif
194
Rangkuman
195
Latihan
195
Kegiatan Belajar 6 Himpunan Antar Himpunan
196
Tes Formatif
198
Kunci Jawaban Tes Formatif
198
Rangkuman
199
Latihan
199
Kegiatan Belajar 7 Operasi Himpunan
201
Tes Formatif
211
Kunci Jawaban Tes Formatif
211
Rangkuman
212
Latihan
214
ix
Kegiatan Belajar 8 Menyelesaikan Masalah Menggunakan Konsep Himpunan 215 Tes Formatif
216
Kunci Jawaban Tes Formatif
216
Rangkuman
217
Latihan
217
SOAL EVALUASI MPM 5
218
MPM 6 ARITMATIKA
224
Pendahuluan
224
Kegiatan Belajar 1 Harga, Laba, Dan Rugi
226
Tes Formatif
227
Kunci Jawaban Tes Formatif
227
Rangkuman
228
Latihan
228
Kegiatan Belajar 2 Rabat, Pajak, Bruto, Tara, Dan Netto
230
Tes Formatif
233
Kunci Jawaban Tes Formatif
233
Rangkuman
235
Latihan
236
SOAL EVALUASI MPMP 6
237
MPM 7 PERBANDINGAN
240
Pendahuluan
240
Kegiatan Belajar 1 Menentukan Perbandingan
242
Tes Formatif
244
Kunci Jawaban Tes Formatif
245
Rangkuman
246
Latihan
247
Kegiatan Belajar 2 Jenis-Jenis Perbaningan
248
x
Tes Formatif
254
Kunci Jawaban Tes Formatif
254
Rangkuman
256
Latihan
256
Kegiatan Belajar 3 Skala
258
Tes Formatif
260
Kunci Jawaban Tes Formatif
261
Rangkuman
263
Latihan
263
SOAL EVALUASI MPM 7
265
MPM 8 PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR
271
Pendahuluan
271
Kegiatan Belajar 1 Bilangan Berpangkat
273
Tes Formatif
274
Kunci Jawaban Tes Formatif
275
Rangkuman
275
Latihan
276
Kegiatan Belajar 2 Perkalian Pada Perpangkatan
277
Tes Formatif
279
Kunci Jawaban Tes Formatif
280
Rangkuman
280
Latihan
280
Kegiatan Belajar 3 Membagi Dua Bentuk Perpangkatan
282
Tes Formatif
283
Kunci Jawaban Tes Formatif
283
Rangkuman
283
Latihan
284
Kegiatan Belajar 4 Pembagian Dalam Perpangkatan
285
xi
Tes Formatif
286
Kunci Jawaban Tes Formatif
286
Rangkuman
287
Latihan
287
Kegiatan Belajar 5 Notasi Ilmiah
288
Tes Formatif
289
Kunci Jawaban Tes Formatif
289
Rangkuman
290
Latihan
290
Kegiatan Belajar 6 Perpangkatan Bilangan Pecahan
291
Tes Formatif
294
Kunci Jawaban Tes Formatif
294
Rangkuman
295
Latihan
295
SOAL EVALUASI MPMP 8
296
MPM 9 RELASI FUNGSI
299
Pendahuluan
299
Kegiatan Belajar 1 Pengertian Dan Penyajian Fungsi
301
Tes Formatif
304
Kunci Jawaban Tes Formatif
306
Rangkuman
307
Latihan
307
Kegiatan Belajar 2 Mencari Ciri-Ciri Fungsi
308
Tes Formatif
310
Kunci Jawaban Tes Formatif
311
Rangkuman
312
Latihan
312
Kegiatan Belajar 3 Penyajian Fungsi
313
xii
Tes Formatif
316
Kunci Jawaban Tes Formatif
316
Rangkuman
317
Latihan
318
SOAL EVALUASI MPM 9
319
KUNCI JAWAN SOAL EVALUASI
321
DAFTAR PUSTAKA
xiv
xiii
Materi yang dibahas dalam modul pembelajaran matematika ini adalah tentang bilangan bulat dan operasinya serta pengajarannya pada siswa. Selanjutnya uraian materi yang akan dibahas dalam modul pembelajaran matematika ini adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, pola bilangan bulat, menentukan konsep bilangan pecahan (penjumlahan dan pengurangan pecahan, perkalian dan pembagian pecahan) dan bilangan rasional. Setelah Anda mempelajari diharapkan Anda mampu :
modul
pembelajaran
matematika
ini
1. Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten, dan teliti, bertanggung jawab, responsi, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah. 2. Menunjukkan prilaku ini tahu dalam melakukan aktifitas di rumah, sekolah dan masyarakat sebagai wujud implementasi penyelidikan operasi bilangan bulat. 3. Membandingkan dan mengurutkan berbagai jenis bilangan serta menerapkan operasi hitung bilangan bulat dan bilangan pecahan dengan mamanfaatkan berbagai sifat operasi. 4. Menggunakan pola dan generalisasi untuk menyelesaikan masalah. 5. Memahami dan mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan perpangkatan bilangan bulat. 6. Memahami dan mengetahui jenis-jenispola bilangan bulat serta mampu menyelesaikan pola bilangan bulat. 7. Memahami konsep dan mampu menyelesaiakan permasalahan tentang bilangan pecahan juga yang berkaitan dengan operasi hitungnya. 8. Memahami bilangan rasional
2
Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
3
*Kegiatan Belajar 1
Pengertian Bilangan Bulat Kamu masih ingat dengan bilangan bulat bukan? Pada salah satu acara TV seorang pembawa acara mengajak kita untuk mengetahui suhu di beberapa kota. Alat yang biasa digunakan untuk mengukur suhu udara adalah thermometer.Bilangan-bilangan yang terdapat pada thermometer terdiri atas bilangan bulat negative, nol, dan bilangan bulat positif. Suhu kota Surabaya 30˚C, suhu kota Tokyo yang sedang mengelami musin dingin memiliki suhu menyntuh 0˚C, sedangkan di kota Alaska yang mengalami musim dingin dengan cuaca yang ekstrim memiliki temperature dingin mencapi 25˚C dibawah titik beku. Dari uraian data di atas dapat kita nyatakan sebagai berikut: Suhu kota Surabaya adalah 30˚C Suhu kota Tokya adalah 0˚C Suhu kota Alaska adalah -25˚C Pada ketinggian 15 m dari permukaan laut, burung burung elang mengintai mangsanya (ikan) pada kedalaman 2 m dari permukaan air laut.Pada saat ikan berada dikedalaman 1 m , elang laut itumelakukan gerak meluncur menyambar ikan menggunakan cakarnya. Dalam peristiwa tersebut ikan bergerak dari kedalaman 2 m ke 1 m , sedangka elang bergerak dari ketinggian 15 m ke kedalaman 1 m. Berapa meter turunya elang laut? Berapa m naiknya ikan?Jawaban dari pertanyaan-pertanyaan itu dapat diperoleh dengan melakukan pengerjaan hitung bilangan bulat, seperti berikut ini. Bilangan bulat merupakan kumpulan dari bilangan asli, bilangan nol, dan bilangan negative Bilangan asli
: 1, 2, 3, 4,…
Bilangan nol
:0
Bilangan negatif
: …, -3, -2, -1
Bilangan bulat dinotasikan dengan “Z”, Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Bilangan lain yang ada dalam bilangan bulat adalah: Bilangan cacah: C = {0, 1, 2, 3, …}
4
1. Bilangan ganjil: J = {1, 3, 5, …} 2. Bilangan genap: g = {2, 4, 6, …} 3. Bilangan prima: {2, 3, 5, 7, …} Himpunan bilang bulat ditulis: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Pada garis bilangan |
|
|
|
|
|
|
|
|
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Keterangan: 1. Bilangan bulat negatif merupakan kelompok bilangan yang terletak disebelah kiri nol. 2. Pada garis bilangan mendatar, jika bilangan a terletak disebelah kiri b maka a kurang dari b, ditulis a < b atau b> a(dibaca b lebih besar dari a) 3. Untuk a < b maka: perubahan dari a ke b disebut perubahan naik sedangkan perubahan dari b ke a disebut turun.
Membandingkan Dua Bilangan Bulat Dengan menggunakan garis bilangankita dapat membandingkan dua bilangan bulat .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Semakin Kecil
Semakin Besar
Garis bilangan menunjukkan: -5 < -3
-1 < 0
2>1
-1 > -3
Contoh 1.1.1 Jika permukaan air laut dinyatakan dengan 0 meter, tulislah letak suatu tempat yang ditentukan sebagai berikut: a. 175 m di atas permukaan air laut b. 60 m di bawah permukaan air laut
5
Penyelesaian : a. 175 m di atas permukaan air laut = 0 + 175 = 175 m b. 60 m di bawah permukaan air laut = 0 – 60 = – 60 m
1. Jika menabung dinyatakan bilangan positif, maka mengambil tabungan dinyatakan bilangan negatif. Rudi menebung uang sebasar Rp. 10.000,00, pada suatu hari Rudi ingin membeli buku tulis seharga Rp.3.000,00. Berapa sisa tabungan Rudi? 2. Bagaimana menyatakan? a. Suhu 8˚C di atas 0˚C b. Suhu 2˚C di bawah 0˚C 3. Bagaimana menyatakan? a. Ketinggian 1500 m di atas permukan laut. b. Kedalaman 750 m di bawah permukaan laut. 4. Berilah tanda “” atau “=” dari bilangan berikut: a. -3 . . . .-2
c. -28 . . . .28
b. -4 . . . .0
d. -15 . . . .-19
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Menabung Rp10.000,00 = 10.000 Mengambil Rp 3.000 = -3.000 Sisa tabungan Rudi = 10.000 – 3.000 = 7.000 Jadi sisa tabungan Rudi adalah Rp 7.000,00 2. a. Suhu 8˚C di atas 0˚C = 0 + 8 = 8˚C b. Suhu 2˚C di bawah 0˚C = 0 – 2 = -2˚C 3. a. ketinggian 1500 m di atas permukaan air laut = 0 + 1500 = 1500 m b. kedalaman 750 m di bawah permukaan air laut = 0 – 750 = -750 m 6
4. a. -3 < -2
b. -4 < 0
c. -28 < 28
d. -15 > -1
Bilangan bulat merupakan kumpulan dari bilangan asli, bilangan nol, dan bilangan negative.Bilangan asli lebih besar dari bilangan nol, bilangan nol lebih besar dari bilangan negatif, dan bilangan positif lebih besar dari bilangan negatif.
1. Tulislah letak suatu posisi benda-benda berikut dengan bilangan bulat. a. Kapal selam berada 25 m di bawah permukaan air laut. Permukaan air laut sebagai titik 0. b. Pesawat terbang berada pada ketinggian 3.000 m di atas permukaan air laut. Permukaan air laut sebagai titik 0. 2. Jika nilai siswa lebih dari 60, maka lulus ujian. Berapakah banyak siswa yang lulus dan tidak lulus ujian dari nilai 15 siswa berikut: 70, 65, 50, 40, 75, 80, 70, 75, 65, 55, 45, 50, 60, 55, 85. 3. Urutkan bilangan-bilangan di bawah ini dari yang terkecil. a. -5, 4, -2, 1, 6 b. 20, -21, -41, 11, -15 c. 59, -72, -60, 85, 91 d. -103, 141, -111, 124, -132 4. Lengkapilah dengan lambang < atau > sehingga menjadi pernyataan yang benar a. -100 ____ 99 b. -1.010 ____ -1.001
7
c. 99 ____ 95 d. 243____ -43 5. Misal letak benda di permukaan laut dinyatakan 0 m dan suhunya 0˚C. nyatakan pernyataan berikutdalam (x, y) dengan x = letak benda dalam meter dan y = suhu dalam ˚C. a. Suhu air laut pada kedalaman 100 m adalah 15˚C. b. Suhu udara di atas permukaan laut setinggi 1.500 m adalah 17˚C
8
*Kegiatan Belajar 2
Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat Penerapan operasi tambah dan kurang banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masaalah dalam kehidupan sehari-hari.Pola bilangan sering memudahkan kita dalam menentukan hasil penjumlahan banyak bilangan, sebagai ilustrasi bagaimana Gauss menggunakan pola bilangan untuk mendapatkan jumlah 99 bilangan asli yang pertama. Perhatikan pola berpikir Gauss Tentukan nilai dari: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+98+99 Penyelesaian: ketika Gauss mendapatkan masalah penjumlahan seperti di atas, sementara teman-temannya berpikir menjumlahkan berurutan dia menggunakan pola pikir menjumlahkan 1 dan 99 didapat nilai 100,menjumlahkan 2 dan 98 didapat nilai 100 dan seterusnya sehingga dia mendapatkan 49 pasang bilangan berjumlah 100 dan tersisa satu bilangan 50. Jadi 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+98+99 = 49 x 100 +50 = 4950 1. Penjumlahan dan sifat-sifatnya a. Beberapa cara menjumlahkan 1) Penjumlahan dengan mistar sederhana Misal :
2) Penjumlahan dengan bola bermuatan Bayangkan beberapa partikel listrik bermuatan positif dan negatif, positif merupakan lawan negatif, hal ini berarti satu muatan positif dan satu muatan negatif jika dicampur akan memperoleh bola tidak bermuatan atau nol (0)
9
Misal : Bagaimana menjumlahkan -2 dengan 1 atau -2 + 1= …? 1. Wadah berisi 2 buah bola 2. Masukkan 1 bola 3. Bola tersebut bercampur denagan salah satu bola akan saling meniadakan (hilang tak bernilai) 4. Sisa 1 bola
jadi -2 + 1 = -1
b. Penjumlahan dengan garis bilangan Jika menggunakan garis bilangan, maka: 1) Bilangan positif sebagai pergeseran ke kaanan 2) Bilangan negatif sebagai pergeseran ke kiri Misal : 3 + 6 = …?
6
3 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3+6=9
6 + -4 = …? -4 6 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
6 + -4 = 2 6 + -4 = 2
10
c. Invers jumlah atau lawan suatu bilangan Lawan (invers jumlah) dan bilangan a adalah (-a) Lawan (invers jumlah) dan bilangan (-a) adalah a Misal : 2 lawannya -2
-8 lawannya 8
d. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat 1) Sifat tertutup Artinya sembarang bilangan bulat jika dijumlahkan menghasilkan bilangan bulat juga. Misal : 8 (bilangan bulat) + (-2) (bil.bulat) = 6 (bilangan bulat) 2) Sifat komutatif Artinya untuk sembarang bilangan bulat a dan b jika dijumlahkan hasilnya sama dengan penjumlahan bilangan bulat b dan a a+b=b+a Misal : (-5) + 10 = 10 + (-5) 3) Sifat asosiatif Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku: (a + b) + c = a + (b + c) Misal : (4 + 5) + 7 = 4 + (5 + 7) 9 + 7 = 4 + 12 16 = 16 4) Penjumlahan dengan nol Nol (0) disebut unsure identitas penjumlahan, artinya untuk sembarang bilangan bulat a selalu berlaku: a+0=0+a=a Misal : 9 + 0 = 9 (hasilnya sama dengan bilangan itu sendiri)
11
2. Pengurangan dan sifat-sifatnya a. Pengurangan dengan mistar sederhana Bagaiman mengurangkan 5 dengan 3 atau 5 – 3 = …? Bilangan kedua
Bagian atas digeser hingga angka 3 dibagian atas sejajar (berimpit) dengan angka 5 dibagian bawah (bagian diam). Angka dibagian bawah yang sejajar dengan nol di bagian atas merupakan hasilnya, aitu 2 b. Pengurangan dengan bola bermuatan Bagaimana mengurangkan bilangan bulat menggunakan bola bermuatan positif dan negatif? Misal : -3 – 2 = ? Bayangkan di dalam kotak terdapat 3 bola dan 2 pasang bola (bermuatan nol) kemudian ambil 2 boah bola hasilnya 5 bola .
c. Pengurangan dengan garis bilangan Bagaimana mengurangkan bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan? Misal : 2–6=? 2 -6 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Geser ke kanan 2 satuan mulai dari nol, kemudian 6 satuan ke kiri mulai dari ujung pergeseran tadi.
12
d. Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat 1) Mengurangi p dengan q sama artinya dengan menambah p dengan lawan dari q.p – q = p + (-q) Misal : 1 – 2 = 1 + (-2) = -1 2 – 1 = 2 + (-1) = 1 1 – 3 = 1 + (-3) = -2
Contoh 1.2.1 Harga 1 kg rambutan di pasar Ngemplak 2 bulan yang lalu Rp. 8.000,00, karena musim buah rambutan pada saat ini maka harga 1 kg buah rambutan sekarang Rp. 3.000,00. Berapa penurunan harga, hitung dengan konsep operasi pada bilangan bulat!
Penyelesaian : Harga 1 kg rambutan mula-mula Rp. 8.000,00 Harga 1 kg rambutan sekarang Rp. 3.000,00 Misal x penurunan harga 1 kg rambutan maka diperoleh persamaan: 8000 + x = 3000, maka didapat x = 3000 – 8000, maka x = -5000 Jadi penurunan harga rambutan per kg adalah Rp. 5.000,00
Contoh 1.2.2 Sebuah kapal selam mula-mula berada pada kedalaman 105 meter di bwah permukaan laut. Karena suatu sebab kapal selam bergerak ke dalam sejauh 85 meter. Coba tentukan posisi kapal selam dari permukaan laut dengan penjumlahan bilangan bulat!
Penyelesaian : Posisi mula-mula kapal selam 105 m di bawah permukaan laut Bergerak ke dalam 85 m. missal posisi akhir kapal selam adalah h. Kita dapat persamaan: -105 + (-85) = h, maka h = -190 Jadi posisi terakhir kapal selam adalah 190 meter di bawah permukaan laut.
13
Perkalian Dan Pembagian Bilangan Bulat 1. Perkalian dan sifat-sifatnya a. Arti perkalian 3 x 6 = 6 + 6 + 6 = 18 5 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 3 x (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = (-12) Bagaimana dengan -3 x -4 = …? Untuk bentuk perkalian di atas gunakan sifat-sifat berikut: 1) Positif x positif = + x + = + (positif) 2) Negatif x negatif = – x – = + (positif) 3) Positif x negatif = + x – = – (negatif) 4) Negatif x positif = – x + = – (negatif) 5) Bilangan bulat x 0 = 0 b. Sifat-sifat perkalian 1) Sifat tertutup Jika a dan b bilangan bulat, maka a x b = bilangan bulat juga 2) Jika a adalah bilangan cacah, maka a x 0 = 0 3) 1 meerupakan unsur identitas perkalian Jika a adalah bilangan cacah, maka a x 1 = a (bilangan itu sendiri) 4) Sifat komutatif (pertukaran) Jika a dan b adalah bilangan cacah, maka a x b = b x a 5) Sifat asosiatif (pengelompokan) Jika a, b, dan c adalah bilangan cacah, maka berlaku sifat: (a x b) x c = a x (b x c) 6) Sifat distributif (penyebaran) a x (b ± c) = (a x b) ± (a x c) (a ± b) x c = (a x c) ± (b x c)
14
2. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian a. Arti pembagian Misal: 3 x a = 27, berapakah nilai a ? Untuk menentukan nilai a, ada dua cara yaitu: 1) Dengan perkalian 3 x a = 27, berarti bilangan berapa yang harus dikalikan dengan 3 menghasilkan 27? Bilangan itu adalah 9 2) Dengan pembagian 3 x a = 27, sama artinya dengan 27 dibagi berapa sama dengan 3 ?atau 27 dibagi 3 sama dengan berapa? Jawabannya 9 Hal di atas menunjukkan kebalikan dari perkalian
bahwa
pembagian
merupakan
Untuk sembarang bilangan asli a, b, dan c selalu berlaku: a:b=c↔a=bxc
Contoh 1.2.3 Tentukan nilai p, jika 9 x p = 63
Penyelesaian : 9 x p = 63 p
= 63 : 9
p
=7
Contoh 1.2.4 Selesikan :
Penyelesaian : (sifat distributif)
15
(sifat komutatif)
Contoh 1.2.5 Jika * berarti “kalikan bilangan pertama dengan 60, kemudian hasilnya dibagi dengan bilangan ke dua”, hitunglah nilai dari: a. 4 * 24 b. 24 * 4
Penyelesaian : a. 4 * 24 b. 24 * 4 Tentunya 4 * 24 = 24 * 4, hal ini menunjukkan bahwa pada operasi * tidak berlaku sifat komutatif b. Pembagian dengan nol Untuk sembarng bilangan cacah a, selalu berlaku 1)
a : 0 = ~ (tak terdefinisi)
2)
0 : a = 0, dengan a ≠ 0
Pada pembagian berlaku aturan: 1)
=+:–=
= negatif (–)
2)
=–:+=
= negatif (–)
3)
=+:+=
= positif (+)
Contoh 1.2.6 Jalan yang panjangnya 70 m akan ditanami pohon dengan jarak antar pohon 5 m. Berapa banyak pohon yang dibutuhkan?
Penyelesaian : Banyak pohon yang dibutuhkan = 70 : 5 = 14 Jadi banyak pohon 14 batang.
16
1. Hari pertama Bu Wilda berdagang di pasar rugi Rp. 75.000,00. Hari kedua masih merugi Rp. 65.750,00. Pada hari ketiga rugi lagi Rp. 75.500,00. Tetapi ia mendapatkan uang di jalanan Rp. 350.000,00. Hasil penjualan hari keempat mendapat untung Rp. 32.750,00. Berapa jumlah untung atau ruginya Bu Wilda selama 4 hari? 2. Ganti nilai s dengan bilangan yang tepat! a. 9 x (-s) = -54 b. -20 : s = -5 c.
s : 14 =-3
3. Tentukan nilai p dengan menggunakan sifat-sifat operasi pada bilangan bulat! a. p x 6 = 89 x (-18 +18) b. (-4 x 62) x p = (-4 x 62)
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Kerugian diibaratkan bilangan negatif dan keuntungan diibaratkan sebagai bilangan positif, maka = (-17.500 – 65.750 – 75.500) + (350.000 + 32.750) = -158.750 + 382.750 = 224.000 Jadi untung bu Wilda selama berdagang 4 hari adalah Rp.224.000,00 2. a. 9 x (-s) = -54 (-s) = -54 : 9 -s = -6
b. -20 : s = -5
c. s : 14 = -3
s = -5 x (-20)
s = -3 x 14
s = 100
s = -42
s=6 3. a. p : 6 = 89 x (-18 +18) p : 6 = 89 x 0 p=0
b. (-4 x 62) x p = (-4 x 62) -248 x p = -248 p = -248 : -248 p=1
17
1. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat a. Sifat tertutup b. Sifat komutatif c. Sifat asosiatif d. Penjumlahan dengan nol 2. Sifat-sifat pengurangan a. p – q = p + (-q) 3. Aturan perkalian a. Positif x positif = + x + = + (positif) b. Negatif x negatif = – x – = + (positif) c. Positif x negatif = + x – = – (negatif) d. Negatif x positif = – x + = – (negatif) e. Bilangan bulat x 0 = 0 4. Sifat-sifat perkalian a. Sifat tertutup b. a x 0 = 0 c. unsur identitas perkalian, a x 1 = a d. Sifat komutatif (pertukaran) e. Sifat asosiatif (pengelompokan) f. Sifat distributif (penyebaran) 5. Aturan pembagian a.
=+:–=
= negatif (–)
b.
=–:+=
= negatif (–)
c.
=+:+=
= positif (+)
18
1. Hitunglah pengerjaan hitung berikut ini: a. 14 + (-7) b. -25 - (-35) c. -135 + 351 d. 217 – (-127) 2. 113 + (-321) – x = - 121 + 97 – (- 101). Berapakah nilai x yang memenuhi? 3. Hitunglah : a. -24 x (-11) – (-24) x 21 b. (28(-17)) x 15 4. Diketahui -345 : 5 = m dan 207 : 9 = n tentukan nilai m + n! 5. Hitunglah nilai (320 : 4) : (150 : 15) ! 6. Pak Ahmad mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 62 m dan lebar 26 m. berapa kira-kira luas tanah pak Ahmad?
19
*Kegiatan Belajar 3
Menentukan Konsep Bilangan Bulat Habis Dibagi Bilangan Bulat Misal 20 : 2 = 10 Dari pembagian bilangan bulat ini kita dapat menyebut: 20 adalah bilangan yang dibagi, sedangkan 2 adalah bilangan pembagi, dan 10 adalah bilangan hasil pembagian. Dapat dikatakan 2 habis membagi 20 atau 20 hadis dibagi 2. Berdasarkan pembagian diatas ini, kita temukan definisi sebagai berikut: Definisi Misalkan a dan b bilangan bulat! Bilangan a dikatakan habis dibagi b dengan b ≠ 0 jika ada bilangan bulat k sehingga berlaku a = k x b atau a merupakan kelipatan dari b
Contoh 1.3.1 Tentukanlah bilangan bulat yang habis membagi 8!
Penyelesaian : Bilangan-bilangan bulat yang habis membagi 8 adalah:
1, karena ada bilangan bulat 8 sehingga berlaku 8 = 8 x 1.
2, karena ada bilangan bulat 4 sehingga berlaku 8 = 4 x 2.
4, karena ada bilangan bulat 2 sehingga berlaku 8 = 2 x 4.
8, karena ada bilangan bulat 1 sehingga berlaku 8 = 1 x 8.
Maka bilangan bulat yang habis membagi 8 adalah 1, 2, 4, dan 8.
20
Menentukan Konsep Faktor-Faktor Bilangan Bulat Perhatikan perkalian bilangan bulat berikut! 12 = 3 x 4, dari perkalian bilangan bulat ini kita dapat menyebut: 3 adalah bilangan yang dikalikan, 4 adalah bilangan pengali, sedangkan 3 dan 4 faktor dari 12. Berdasarkan kedua contoh perkalian ini , kita temukan definisi berikut. Definisi Misalkan a dan b bilangan bulat! Bilangan b dikatakan faktor dari a jika dan hanya jika a habis dibagi b Contoh 1.3.2 Tentukanlah bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10!
Penyelesaian : Bilangan-bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10 adalah:
1, karena 1 merupakan faktor dari 10.
2, karena 2 merupakan faktor dari 10.
5, karena 5 merupakan faktor dari 10.
10, karena 10 merupakan faktor dari 10.
Maka bilangan bulat yang merupakan faktor dari 10 adalah bilangan 1, 2, 5, dan 10.
Menemukan Konsep Bilangan Prima Definisi Bilangan prima adalah bilangan positif yang tepat memiliki 2 faktor bilangan 1 dan bilangan itu sendiri.
Misal: 2, 3, 5, 7, 11, …
21
Faktor Prima Dan Faktorisasi Prima Dari Bilangan Bulat Perhatikan hal berikut! Bilangan-bilangan bulat yang merupakan factor dari bilangan 10 adalah bilangan 1, 2, 5, dan 10. Faktor dari bilangan 10 yang merupakan bilangan prima, yaitu bilangan 2 dan 5, dapat dinyatakan sebagai berikut.
2 merupakan faktor dari 10 dan 2 adalah bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 2 adalah faktor prima dari 10.
5 merupakan faktor dari 10 dan 5 adalah bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 5 adalah faktor prima dari 10.
1 merupakan faktor dari 10 dan 1 bukan bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 1bukan faktor prima dari 10.
Himpunan yang anggotanya faktor prima dari 10 adalah {2, 5}.
Bilangan-bilangan bulat yang merupakan faktor dari 12 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Faktor dari bilangan 12 yangmerupakan anggota himpunan bilangan prima, yaitu bilangan 2 dan 3, dapat dinyatakan sebagai berikut:
2 merupakan faktor dari 12 dan 2 adalah bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 2 adalah faktor prima dari 12.
3 merupakan faktor dari 12 dan 3 adalah bilangan prima, sehingga dikatakan bahwa 3 adalah faktor prima dari 12.
Himpunan yang anggotanya faktor prima dari 12 adalah {2, 3}. Definisi Untuk a dan b anggota himpunan bilangan bulat. Bilangan b disebut faktor prima dari a, dan b merupakan bilangan prima Bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dari faktor-faktor prima bilangan tersebut.
Misal: 6 = 2 x 3 (2 dan 3 adalah bilangan prima) 8 = 2 x 2 x 2 (2 adalaah bilangan prima) 15 = 3 x 5 (3 dan 5 adalah bilangan prima)
22
Proses menyatakan suatu bilangan bulat kedalam perkalian faktor-faktor prima bilangan disebut faktorisasi prima. Misal: faktorisasi prima 42 adalah 2 x 3 x 7 faktorisasi prima 80 adalah 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 24 x 5 faktorisasi prima 140 adalah 2 x 2 x 5 x 7 = 22 x 5 x 7
Kelipatan Bilangan Bulat kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, … kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, … kelipatan persekutuan 2 dan 3 adalah 6, 12, 18, …
Faktor Persekutuan Dan Kelipatan Persekutuan Bilangan Bulat Faktor-faktor suatu bilangan diberikan sebagai berikut.
Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, 8.
Faktor dari 10 adalah 1, 2, 5, 10.
Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15.
Dari faktor-faktor bilangan di atas ditemukan:
Faktor bilangan 8 yang sama dengan faktor bilangan 10 yaitu 1 dan 2.
Faktor bilangan 8 yang sama dengan faktor bilangan 15 yaitu 1.
Faktor bilangan 10 yang sama dengan faktor bilangan 15 yaitu 1 dan 5.
Faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih sering disebut dengan faktor persekutuan bilangan,berdasarkan faktor-faktor bilangan 8, 10, dan 15 di atas kita sebut:
Faktor persekutuan bilangan 8 dan 10 yaitu 1 dan 2.
Faktor persekutuan bilangan 8 dan 15 yaitu 1.
Faktor persekutuan bilangan 10 dan 15 yaitu 1 dan 5.
23
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Untuk menentukan sebanyak-banyaknya kelompok yang dapat dibentuk dengan syarat anggotakelompok adalah campuran dari siswa kelas 7, 8 dan 9, serta setiap kelompok memiliki banyak anggotayang sama, kita terlebih dahulu menentukan faktor dari bilangan 32, 36, dan 42 Faktor dari 32 adalah bilangan 1, 2, 4, 8, 16, 32 Faktor dari 36 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Faktor dari 42 adalah bilangan 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 21, 42 Kita perhatikan ketiga bilangan memiliki faktor yang sama, yaitu 1, 2. Jadi sebanyak-banyaknya kelompokyang dapat dibentuk adalah 2 kelompok sebab bilangan 2 adalah faktor bersama terbesar yang dimiliki oleh bilangan 32, 36 dan 42. Sehingga dapat ditetapkan bahwa: Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat atau lebih adalah bilangan terbesardi antara faktor-faktor persekutuannya.
Contoh 1.3.3 Tentukan FPB dari bilangan 72, 48, dan 40.
Penyelesaian : Cara I Menentukan FPB melalui penentuan seluruh faktor dari bilangan 72, 48 dan 40. Faktor dari 72 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Faktor dari 48 adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48. Faktor dari 40 adalah bilangan 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Faktor Persekutuan dari 72, 48 dan 40 adalah 1, 2, 4, 8 Berarti Faktor Persekutuan Terbesar dari 72, 48, dan 40 adalah 8
Cara II Menentukan FPB melalui penentuan faktor-faktor prima dari bilangan 72, 48 dan 40 atau dengan menggambarkan pohon faktor dari bilangan 72, 48 dan 40.
24
Berdasarkan pohon faktor di atas, bilangan 72, 48 dan 40 dapat dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor primanya 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3² 48 = 2 × 3 × 2 × 2 × 2 = 3 × 24 40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5 Perhatikan berapa banyak faktor prima yang sama dan dimiliki oleh kedua bilangan itu. Ternyata factor prima yang sama adalah bilangan 2 sebanyak 3. Sehingga FPB dari 72, 48 dan 40 adalah 23 = 8
Cara III Menentukan FPB melalui pembagian bilangan 72, 48 dan 40 dengan bilanganbilangan prima.
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Setiap bilangan cacah memiliki kelipatan.Kelipatan dapat diartikan sebagai perkalian.Suatu bilanganuntuk mendapatkan bilangan tertentu dari bilangan yang diberikan.Permasalahannya adalah berapa kalilipat suatu bilangan mendapatkan bilangan tertentu, yaitu bilangan-bilangan yang dapat membagi habisbilangan tersebut.Untuk lebih memahami kita mencoba memecahkan permasalahan berikut. Definisi Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dua bilangan bulat positif atau lebih adalah bilangan terkecil di antara kelipatan persekutuannya.
25
Contoh 1.3.4 Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12 !
Penyelesaian : Cara I Kelipatan 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ... Kelipatan 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72,... Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 adalah 24, 48, ... Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 8 dan 12 adalah 24.
Cara II Menentukan KPK sebagai hasil kali faktor-faktor prima dari bilangan 8 dan 12 melalui pohon faktor.
8 = 2 × 2 × 2 = 23 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
KPK dari 8 dan 12 adalah23 × 3 = 24
Cara III Melakukan pembagian terhadap bilangan-bilangan prima dengan bilanganbilangan prima. Perhatikan langkah-langkah berikut.
KPK dari 8 dan 12 adalah 24
23 × 3 = 24
Faktor Persekutuan Terbesar Dan Kelipatan Persekutuan Terkecil Untuk menentukan FPB dan KPK dua bilangan bulat atau lebih dapat dilakukan dengan menyatakan masing-masing bilangan dalam faktorisasi prima. Contoh 1.3.5 Tentukan FPB dan KPK dari 24 dan 60! 26
Penyelesaian : Faktorisasi prima 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 Faktorisasi prima 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 FPB dari 24 dan 60 adalah 22 x 3 = 4 x 3 = 12 KPK dari 24 dan 60 adalah 23 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120
1. Tentukan faktorisasi prima dari 45! 2. Tentukan faktor dari 12! 3. Tentukan FPB dan KPK dari 12 dan 10!
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Faktorisasi prima dari 45 adalah 3 x 3 x 5 2. Faktor dari 12 adalah: 1 , karena 1 merupakan faktor dari 12 2, karena 2 merupakan faktor dari 12 3, karena 3 merupakan faktor dari 12 4, karena 4 merupakan faktor dari 12 6, karena 6 merupakan faktor dari 12 12, karena 2 merupakan faktor dari 12 Maka factor dari 12 adalah 1,2, 3,4, 6, dan 12 3. Faktorisasi prima dari 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 Faktorisasi prima dari 10 = 2 x 5 = 2 x 5 Maka FPB dari 12 dan 10 = 22 x 3 x 5 = 60 Maka KPK dari 12 dan 10 = 2
27
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat atau lebih adalah bilangan terbesar di antara faktor-faktor persekutuannya. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dua bilangan bulat positif atau lebih adalah bilangan terkecil di antara kelipatan persekutuannya.
1. Tentukan FPB dan KPK dari 30, 45, dan 70! 2. Ayah membeli 12 pensil dan 30 buah buku tulis. Pensil dan buku tulis itu akan dibagikan kepada beberapa anak. Tiap anak harus menerima pensil dan buku tulis dengan jumlah yang sama. a. Maksimal berapa anak yang menerima alat tulis itu? b. Berapa masing-masing pensil dan buku tulis yang diterima tiap anak? 3. Nanda, Burhan, dan Putri les matematika di “Bimbel Cerdas”. Nanda les setiap 3 hari sekali, Burhan les setiap 2 hari sekali, dan Putri les setiap 4 hari sekali. Ketiga anak les bersama-sama pada hari Sabtu tanggal 4 Agustus 2015. Kapan ketiga anak tersebut bisa les bersama-sama lagi?
28
*Kegiatan Belajar 4
Berpangkatan Bilangan Bulat Misal : Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Kemudian lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi dua bidang kertas menjadi dua bagian yang sama. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk dengan syarat garis lipatan harus membagi bidang kertas menjadi dua bagian yang sama.
Alternatif penyelesaian Buat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Temukan model matematika yang menyatakan hubungan banyak lipatan kertas dan banyak bidang kertas yang terbentuk. Selanjutnya diskusikan. Banyak lipatan
Banyak kertas
bidang Pola perkalian
1
2
2=2
2
4
4=2x2
3
8
8=2x2x2
4
...
...
5
...
...
...
...
Dan seterusnya
Pada lipatan kertas pertama diperoleh 2 bidang kertas pada lipatan kedua diperoleh 4 lipatan, untuk selanjutnya dapat dituliskan: =2
Dibaca dua pangkat satu
=4
Dibaca dua pangkat dua
=8
Dibaca dua pangkat tiga
= 16
Dibaca pangkat empat
29
= 32
Dibaca pangkat lima
= 64
Dibaca pangkat enam
Dari pola di atas diperoleh bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan yang
berulang.
Definisi Misalkan a bilanagn real dan n bilangan positif, berpangkat jika dan hanya jika =
disebut bilangan
n faktor Dengan sebagai bilanagn pokok (basis) dan n adalah pangkat. 1. Pangkat Bulat Negatif Definisi Misalkan positif`
adalah biangan real dan
0, m adalah bilangan bulat
=
a. Sifat-1: Jika adalah bilangan real dan positif maka
≠0, madalah bilangan bulat
=
Bukti: =
Sebanyak m factor =
Sebanyak m factor =
30
Contoh 4.1 Jika nilai x= -2 dan y= 2 tentukan nilai
=...
Penyelesaian : =
=
=
2. Pangkat Nol Definisi Misalkan a adalah bilangan real dan
0,
=1
Untuk lebih memahami definisi 8, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0. =8
= 27
=4
=9
=2
=3
=1
=1
Perhatikan hasil permangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasilnya pemangkatannya adalah 1. 3. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif a. Sifat ke-1 Jika adalah bilangan real, m dan n adalah bilangan bulat positif, maka = Bukti : x
=
m faktor
n faktor
b. Sifat ke-2 Jika a bilangan real dan bulat positif, maka
Bukti:
=
≠0, m dan n adalah bilangan
=
(sesuai definisi)
Pada persyaratan sifat-2, Apa arti
≠0 ?
31
Bagaimana jika = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian Pada sifat-2 di atas, terkait bilangan bulat positif m dan n, ada 3 (tiga) kemungkinan kasus, yaitu (a) m> n, (b) m= n, dan (c) m< n.
Kasus (a) m> n Jika m dan n bilangan bulat positif dan m> n maka m– n > 0. Dengan demikian
=
=
)
(
(m-n) faktor =(
)
(m-n) faktor = Jadi
=
, dengan m, nbilangan bulat positif dan
m>
n (terbukti)
Kasus (b) jika m= n, maka
= 1. Untuk pembuktiannya
perhatikan sifat-3 berikut.
Kasus (c) jika m< n. Coba kamu buktikan sendiri.
c. Sifat ke-3: Jika
bilangan real dan
bulat positif dengan m= n, maka Bukti :
=
≠0, m dan n adalah bilangan
= 1.
, sebab m = n
=
= 1 (terbukti) d. Sifat ke-4: Jika abilangan real dan n positif, maka =
≠0, mdan nadalah bilangan bulat
Bukti :
32
n
=
n factor =(
)(
m faktor
)
m factor )
m faktor
)
m faktor
n faktor
m x n fatkor n
=
=
(terbukti)
e. Sifat ke-5 : Jika abilangan real dan positif, maka
≠0, madalah bilangan bulat m
adalah bilangan real positif dan
=
Bukti: Karena mbilangan bulat positif, maka maka berdasarkan sifat 5 berlaku
0 , karena m dan m
=
=
> 0,
=
Ubah ke bentuk sederhana / bentuk perpangkatan: 1. 2.
. .
= =
3.
=
4.
=
5.
=
33
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Ada 2 cara dalam penyelesaiannya: a.
=
b.
.
2.
=
3.
=1
4.
=
5.
=
=x
.9 =
=
=
1. bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan yang berulang, contoh : =
sebanyak n kali.
2. Berikut sifat – sifat pada bilangan bulat: a.
=
b.
= 1
c.
x
d.
=
e.
= 1, jika a bilangan real dan a
=
0, m dan n bilangan bulat
positif juga m = n f. g.
= =
34
Kerjakan soal berikut: 6. 7.
. .
= =
8.
=
9.
=
10.
=
35
*Kegiatan Belajar 5
Siapkan satu lembar kertas! Dan lakukan hal-hal dibawah ini! 1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk persegipanjang) sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas? 2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup. Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? Catatlah banyaknya potongan kertas yang terjadi pada tabel di bawah. 3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali. Setelah siswa melakukan kegiatan secara kelompok hasil kerjanya secara lengkap banyaknya lipatan dan banyaknya potongan kertas adalah sebagai berikut. Banyak lipatan kertas
Banyak potongan kertas yang terjadi
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64
Diskusikan dengan temanmu untuk menjawab pertanyaan berikut ini! 1. Apakah banyaknya lembaran kertas yang keteraturan? Jika ya, jelaskan keteraturannya!
terjadi
mempunyai
2. Apakah dapat ditentukan banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas? Berapakah banyaknya lembar kertas itu?
36
Alternatif Penyelesaian : 1. Ya, alternatif jawaban untuk pertanyaan bagian a adalah :
Banyak lipatan kertas
Banyak potongan kertas yang terjadi
1
2 =2
2
2 =4
3
2 =8
4
2 = 16
5
2 = 32
6
26= 64
1 2 3
4 5
Banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat dengan cara di atas membentuk pola. 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., merupakan salah satu contoh pola bilangan.atau Banyaknya lembaran kertas berikutnya diperoleh dari dua kali banyaknya kertas sebelumnya. Jawaban tidak harus sama dengan ini kamu bisa membuat kalimat sendiri. 2. Jika dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas, banyaknya lembar kertas 8 adalah 2 = 256 lembar
*Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek.
Perhatikan tiga rangkaian pola berikut.
37
1. Rangkaian keempat dan kelima dari gambar di atas adalah :
2. Pada rangkaian keempat 13 buah dan pada rangkaian kelima 17 buah. Alternatif jawaban siswa menghitung banyaknya persegi pada rangkaian keenam diantaranya adalah : Rangkaian 1, jumlah persegi = (4 x 1) – 3 = 1 Rangkaian 2, jumlah persegi = (4 x 2) – 3 = 5 Rangkaian 3, jumlah persegi = (4 x 3) – 3 = 9 Rangkaian 4, jumlah persegi = (4 x 4) – 3 = 13 Rangkaian 5, jumlah persegi = (4 x 5) – 3 = 17 Rangkaian 6, jumlah persegi = (4 x 6) – 3 = 21 Maka : Pola bilangan yang terbentuk dari gambar di atas, yaitu 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... 1. Bilangan 1 merupakan suku pertama,5 merupakan suku kedua, 9 merupakan suku ketiga, dan seterusnya. Untuk menentukan bilangan pada suku tertentu harus diketahui dahulu aturanyang digunakan untuk mendapatkan bilangan pada suku berikutnya. 2. Perhatikan pola bilangan 2, 4, 6, 8, . . . Tentukan bilangan-bilangan pada ketiga suku berikutnya! Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya?
38
3. Untuk mencari ketiga suku berikutnya pada soal berikut dicari dengan cara berikut. 2
,4 , 6 , 8 , ____, ____ , ____
+2
+2
2 , 4 , 6 , 8 , 10, 12 , 14, Jadi tiga suku berikutnya adalah 10, 12, dan 14. Aturannya adalah dimulai dengan bilangan 2 dan suku-suku berikutnya didapat dengan menjumlahkan suku sebelumnya dengan 2 4. Pola bilangan 1, 3, 9, 27, . . . Bilangan pada ketiga suku berikutnya adalah 81, 243, 729 Alternatif jawaban : Suku berikutnya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 3.
Pola Bilangan Segitiga Pernahkah kamu menjumpai “pemandu sorak (cheerleader)” melakukan atraksinya dalam suatu pertandingan olahraga (misalnya basket)? Seringkali dalam atraksinya mereka membentuk piramida manusia, yaitu saling berdiri di antara pemain-pemainnya, sehingga pada puncaknya hanya berdiri seorang saja. Pada gambar di samping bawah ini dianggap bahwa piramida manusia tersebut belum mencapai puncak. Dan sama dengan segitiga yang disusun seperti pada gambar:
V
V
V
V
V
V
V
Bilangan juga dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga sebagai berikut:
39
a. b.
mewakili bilangan 1 mewakili bilangan 3
v v
v
v
c.
v
mewakili bilangan 6 v v
1. Apakah piramida manusia itu berbentuk limas? Sebutkan bentukyang tepat untuk menjelaskannya! 2. Berapa banyak orang bila tingginya 2 tingkat dan 3 tingkat? 3. Misalkan satu orang dalam piramida tersebut digambarkan dengan tanda “ “pada suatu piramida. Gambarlah pola banyaknya orang dalam piramida manusia itu.
v v
v v
v v
v v
v v v v
v v
v v
Banyaknya tanda “ “ pada suatu piramida menunjuk pada ilangan 1, 3, 5, ... . Karena bentuknya seperti segitiga, maka pola ilangan itu dinamakan Pola bilangan segitiga. 4. Buatlah tabel untuk menunjukkan banyaknya tingkat dan banyaknya orang dalam piramida itu. (Selesaikan tabel ini dengan mengisi bagian...). Tingkat 1 2 3 4 5 6 7 Banyaknya orang 1 3 6 .... .... .... .... Alternatif jawaban : Tingkat 1 2 3 4 5 6 7 Banyaknya orang 1 3 6 10 15 21 28 5. Perhatikan polanya. Bagaimanakah hubungan banyaknya orang dalam piramida manusia itu dengan banyaknya tingkat? Alternatif Penyelesaian: Banyaknya orang pada tingkat berikutnya diperoleh dari banyaknya ingkat yang dimaksud ditambah dengan banyaknya orang sebelumnya.
40
Atau banyak orang sebelumnya ditambah dengan tingkat yang mau dibuat. 6. Lanjutkan tabel di atas. Berapa banyaknya orang bila tingkatnya 9? Banyaknya adalah 45. Coba kamu diskusikan kenapa bisa dapat 45. Karena bentuk susunan orang adalah banyaknya orang pada tingkat
berbentuk
segitiga maka
berikutnya diperoleh dari luas segitiga, yaitu ½ n (n+1), dengan n bilangan asli.
Pola Bilangan Persegi Setiap tahun suatu perusahan penerbangan mengadakan pertunjukan dirgantara.
Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat?Untuk menjawabnya lakukan kegiatan berikut. Perhatikan tabel berikut. Berapakah jumlah pesawat yang berada di angkasa, setelah penerbangan grup ketiga, kemudian sesudah penerbangan keempat, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat? Banyaknya pesawat baru
Grup ke
Jumlah pesawat diangkasa
1
1
1
2
3
4
3
5
9
4
7
16
1. Jika pola penerbangan diatas di lanjutkan berapa banyak pesawat yang diterbangkan pada penerbangan grup ke-5 dan ke-6? Jawab : 9 pesawat dan 11 pesawat 41
2. Berapakah jumlah pesawat yang ada di angkasa setelah penerbangan grup ke-5 dan ke-6, bila pesawat-pesawat pada grup-grup sebelumnya belum mendarat? Jawab : 25 pesawat dan 36 pesawat. 3. Jelaskan dan diskusikan hubungan antara grup pesawat dan jumlah pesawat yang ada di angkasa? Alternatif Jawaban : grup pesawat dipangkatkan dua akan sama dengan jumlah pesawat diangkasa. 4. Bilangan-bilangan pada kolom jumlahpesawat diangkasa pada tabel di atas merupakan bilangan kuadrat. 5. Perhatikan model dari bilangan kuadrat berikut. Apakah membentuk pola bilangan kuadrat?
1
x1
1+3=2x2 =4
1+ 3+ 5 = 3 x 3 =9
1+3+5+7 = 4 x 4 = 16
Karena bilangan-bilangan 1, 4, 9 dan 16 berhubungan dengan bentuk persegi, maka pola bilangan itu dinamakan juga pola
bilangan persegi
Pola Bilangan Persegi Panjang Di kota-kota besar, lahan untuk berkebun sudah makin berkurang atau bahkan tidak ada lagi. Sehingga untuk berkebun atau menanam tanaman digunakan pot-pot yang berbentuk persegi dari kayu-kayu yang diisi dengan tanah. Berikut rangkaian pot-pot tersebut.
42
v
Rangkain 1 R. 2
R. 3
R. 4
Apakah banyaknya pot-pot tersebut membentuk suatu pola? Tuliskan pola itu. Ya, karena bilangan 2, 6, 8, 12, dan 20 berhubungan dengan bentuk persegi panjang, maka pola bilangan ini disebut atau dinamakan pola bilangan persegi panjang.
Pola Bilangan Segitiga Pascal Dinamakan pola segetiga pascal karena ditemukan oleh Blaise Pascal.
1 2 3 4
Bilanga dari baris ke 2 adalah hasil penjumlahan dari dua bilanagn pada baris ke 1.
1. Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan 36 2. Pada pola bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...bilangan yang ke-50 adalah
43
3. Bilangan yang ke-30 dari pola bilangan persegi adalah
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,..54, 64, 75, 87.. +2 +3 +4 dan seterusnya+9 +10 +11 dan sterusnya 2. 1 = 2 x 1 -1 3=2x2–1 5=2x3–1 Dari pola diatas maka bilangan yang ke-50 = 2 x 50 -1 =99 3. 1 = 1 x 1 4=2x2 9=3x3 16 = 4 x 4 Jadi bilangan ke-30 = 30 x 30 = 900
44
Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek pada bilangan bulat.berikut beberapa pola pada bilangan bulat: 1. Pola segitiga Berbentuk segitiga, dan memiliki pola bilangan bulat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,.... 2. Pola persegi Bilangan yang membentuk pola persegi 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, .... 3. Pola persegi panjang Bilangan yang membentuk pola persegi panjang 2, 6, 12, 20,... 4. Pola segitiga pascal Bilangan yang membentuk pola segitiga pascal yaitu bilanganbilangan pada segitiga pascal
1. Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan 36 2. Pada pola bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...bilangan yang ke-50 adalah 3. Bilangan yang ke-30 dari pola bilangan persegi adalah 4. Tentukan banyaknya lingkaran pada pola yang ke-25 pada pola persegi panjang
45
*Kegiatan Belajar 6
Definisi Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dinya takan dalam bentuk , a dan b bilangan bulat, b≠ 0 dan b bukan faktor dari a.
Penjumlahan Pecahan Misalkan a, b, c, dan d bilangan bulat dengan b ≠ 0 dan d ≠0. Jika adalah pecahan maka
a b
c
+d =
ad bc
a b
dan
c d
bd
Contoh 1.6.1 3 6
+
4 5
= ...
Penyelesaian : 3 6
+
4 5
=
15 24 30
=
39 30
Pengurangan Pecahan Contoh 1.6.2 1-
4 5
=...
Penyelesaian :
46
1-
4 5
=
5 5
4 5
-
=
1 5
Perkalian Bilangan Pecahan Contoh 1.6.3 2 3
9x
= ...
Penyelesaian : 2 2 + 3 3
2 3
2
2 3
+3
2 3
2 3
2 2 + 3 3
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
=
9x2
3
=
18 3
=6
1. Perkalian bilangan asli dengan pecahan biasa dan sebaliknya. Untuk lebih mudah memahami bagaimana cara mengalikan bilangan asli dengan sebuah pecahan atau perkalian sebuah pecahan dengan bilangan asli, perhatikan masalah-masalah berikut. Terdapat enam buah gelas yang akan diisi air sampai penuh. Ternyata 1 setiap gelas hanya dapat memuat 10liter air. Berapa liter air yang dibutuhkan untuk mengisi keenam gelas tersebut?
Banyak air yang dibutuhkan adalah =6×
1 10
=
1 10
=
1 1 1 1 1 1 10
=
6x1
=
6 10
+
1 10
+
1 10
+
1 10
+
1 10
+
1 10
10
Jadi banyak air yang dibutuhkan
6 10
liter
47
Contoh 1.6.4 3x
3 4
= ...
Penyelesaian : perhatikan gambar berikut:
3 4
3 4
3 4
1
24
Berdasarkan gambar diatas 3 x
3 4
=
3 4
+
3 4
+
3 4
=
3 3 3 4
=
9 4
1
= 24
2. Bilangan asli dengan bilangan campuran Sifat Untuk a, b, dan c bilangan asli, berlaku: a. a x =
axb
b.
bxa
xa=
c c
c. 1 x = x 1 = 3. Perkalian Pecahan Biasa dengan Pecahan Biasa Contoh 1.6.5 2 3
x
1 4
=...
Penyelesaian : 2 3
x
1 4
=
1x2 3x4
=
2 12
48
Pembagian Pecahan Bu Vera memiliki 5 potong roti. Roti tersebut akan dibagikan pada 3 orang anaknya dan tiap anak mendapat bagian yang sama. Berapa potong yang diperoleh tiap anak ?
Alternatif Penyelesaian Banyak roti yang dimiliki Bu Vera adalah 5 potongBanyak anak Bu Vera adalah 3 orangKarena tiap anak mendapat bagian yang sama, maka banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah 5 : 3 = …. ? Perhatikan gambar berikut
Berdasarkan gambar di atas, banyak roti yang diperoleh masing-masing anak adalah 1 3
1
1
+ 3+ 3 +
1 3
+
1 3
=
1 1 1 1 1 3
=
5 3
2
= 13
Cara memperoleh: 5:3=(3+2):3=(3:3)+(2:3) =1+
2 3=
2
13
Beberapa sifat yang perlu dicermati 1. Setiap pecahan dibagi 1 hasilnya pecahan itu sendiri 2. Setiap pecahan memilii kebalikan 3. Setiap pecahan dikalikan dengan kebalikannya hasilnya 1 4. Hasil bagi bilangan 1 dengan sebuah pecahan, maka hasilnya adalah kebaliakan pecahan itu.
49
Kerjakan Soal berikut :
1.
+
2.
+3 =
3.
-
4.
=
=
-
=
5. 2 :
=
Kunci Jawaban Tes Formatif 1.
=
2.
=
3.
=
4. 5.
=x
=
x
=
50
1. Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dinya takan dalam bentuk , a dan b bilangan bulat, b≠ 0 dan b bukan faktor dari a. 2. Berikut beberapa konsep pada operasi bilangan pecahan: a.
+ =
b. a x
=
c.
xa=
d.
=
x1=
Kerjakan Soal berikut : 1.
+
2.
+3 =
3.
-
4.
-
5. 2 :
=
= = =
51
*Kegiatan Belajar 7
Definisi Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk
a b
, a dan b bilangan bulat dan b
0.
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk dan b bilangan bulat dan b
0.
Perhatikan difinisi diatas,untuk a dan b bilangan bulat serta b a yang dihasilkan b jika:
a b
, a
0, bilangan apa
1. a = 0 2. a = b 3. a > b, a dan b memiliki faktor prima 4. a < b, a dan b memiliki faktor prima 5. a > b, a kelipatan dari b 6. a < b, a faktor dari b Penyelesaian 1. Jika a = 0, Jika a = 0 ( tentu b a
0)
0
Makab = b, kita ambil sembarang nilai b, maka perhatikan 0 1
= 0,
Maka
0 5 a b
= 0;
0 20
= 0;
0 200
= 0;
selalu menghasilkan bilangan 0
2. a = b silahkan coba sendiri dan simpulkan
52
3. a > b, a dan b memiliki faktor prima perhatikan : 2 3
3
, 7,
7 11
Maka
a b
selau menghasilkan bilangan pecahan biasa
4. a < b, a dan b memiliki faktor prima silahkan coba sendiri dan simpulkan 5. a > b, a kelipatan dari b 4 2
= 2,
99 33
10
= 3, 2 = 5
Maka selalu menhailkan bilangan bulat 6. a < b, a faktor dari b silahkan di coba sendiri dan simpulkan a
bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk b, dengan
a dan b
bilangan bulat dan b≠ 0. Namun banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan a dalam bentukb, dengan a, b bilangan bulat dan b≠ 0. Seperti bilangan √3,√5 ,√7, dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan bilangan irasional.
1. Ubah dalam bentuk pecahan 0,125 2. Ubahlah bentuk desimal dari 3. Ubah dalam bentuk desimal 4. 0,3333333 ubah dalam bentukpecahan
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. 0,125 =
=
2. 3 : 2 = 0,666666 3. 3 : 7 = 0,428571428571 53
4. 0,333 = 1 angka yang di ulang berarti x = 0,333 10x = 3,333 -9x = -3 X=
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk , a dan b bilangan bulat dan b 0.bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan
a dan b bilangan bulat dan b≠ 0.
Namun banyak bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
,
dengan a, b bilangan bulat dan b≠ 0. Seperti bilangan √3,√5 ,√7, dan sebagainya. Bilangan-bilangan tersebut dinamakan bilangan irasional.
Nyatakan dalam bentuk pecahan! 1. 32 2. 120 3. 22,5 4. 90 Nyatakan dalam bentuk desimal 1. 2. 2
54
SOAL EVALUASI MPM 1 1. Hsil dari 45 + (-35) + 30 – 125 = … a. 80
b. -85
c.85
d. 75
c. 312
d. 324
c. 59
d. 60
2. 144 : 12 + 25 x 12 = … a. 300
b. 310
3. (720 – 330) : (4 + 6) = … a. 39
b. 49
4. 35 – 6 x (7 +13) = n. nilai n adalah … a. 80
b. -85
c. 85
d. 75
5. Supaya kalimat menjadi benar harga n pada kalimat n + 65 + 87 + (-21) = 184 a. 50
b. 53
c.60
d. 63
c. 3, 5, 7
d. 2, 3, 5, 7
6. Faktor prima dari 252 adalah… a. 2, 3, 5
b. 2, 3, 7
7. Hasil dari (-146) + 35 + (-65) = … a.-176
b. 176
c. 157
d. -157
c. 12
d. 20
8. FPB dari 40 dan 60 adalah … a. 8
b. 10
9. FPB dan KPK dari 25 dan 50 adalah … a. 25 dan 50
b. 50 dan 25 c. 20 dan 60 d. 25 dan 55
10. KPK dari 28, 24, dan 30 adalah … a. 840
b. 740
c. 420
d. 500
11. Faktor prima dari 880 adalah … 12. FPB dan KPK dari 44 dan 68 dalah … 13. (-25) + 13 x (-9) = … 14. Pada pukul 10.00 lampu A dan B menyala bersama-sama. Jika lampu A menyala setiap 8 menit dan lampu B setiap 12 menit, kedua lampu menyala bersama-sama pada pukul …
55
15. Momon akan membagikan 40 buah buku gambar dan 50 bolpoin. Ia ingin membagikan buku gambar dan bolpoin secara adil, maka jumlah anak yang akan menerima maksimal … 16. Tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi: 60, 196, atau 225? 17. Seorang anak menyusun persegi dari batang lidi yang mengikuti pola persegi sebagai berikut:
berapa banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5? 18. Tentukan nilai dari: 2
3
a. 3 +3 =... 4
3
b. 5 : 5 = ... c. 2
3 3
= ...
19. Nyatakan 0,45 dalam bentuk pecahan 20. Misal kamu mempunyai 28 liter minyak. Kamu diminta mengisikan semua minyak itu pada 8 kaleng. Jika setiap kaleng harus sama berapa liter harus diisikan pada tiap kaleng?
56
Modul ini berisi teori tentang Bentuk Aljabar dan menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional pada masalah yang berbentuk simbolik dan verbal. Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan operasi bilangan bulat. Setelah Anda mempelajari diharapkan Anda mampu :
modul
pembelajaran
matematika
ini
1. Mengenal bentuk aljabar. 2. Menjelaskan pengertian suku bentuk aljabar. 3. Mengetahui macam-macam suku pada bentuk aljabar. 4. Membedakan antara suku tunggal, suku banyak dan suku-suku sejenis. 5. Memahami operasi hitung pada bentuk aljabar. 6. Menentukan hasil penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar. 7. Mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan. 8. Siswa dapat menentukan hasil perkalian pada bentuk aljabar. 9. Siswa dapat mengetahui sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar. 10. Siswa mampu menyelesaikan perkalian suatu bilangan dengan suku dua bentuk aljabar 11. Siswa dapat menyelesaikan perkalian suku dua dengan suku dua. 12. Siswa dapat memahami operasi pembagian pada bentuk aljabar. 13. Siswa mampu memahami cara penyederhanaan bentuk aljabar. 58
14. Siswa dapat menyederhakan bentuk pecahan aljabar. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain. 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
59
*Kegiatan Belajar 1
Aljabar bukan hanya membahas permasalahan yang berkaitan dengan operasi hitung bilangan, tetapi juga memiliki cakupan bahasan yang lebih luas lagi, yaitu mengenai hubungan antara bilangan-bilangan tersebut. Dalam pengerjaan dengan aljabar, sebuah bilangan yang tidak diketahui, atau belum diketahui, dapat diwakili dengan menggunakan simbol berupa huruf, misalnya x dan y, yang disebut dengan variabel. Dengan demikian, variabel-variabel tersebut dapat memiliki berbagai variasi nilai. x
Pada Gambar di atas , dus (kotak) pertama berisi wafer, dan kotak kedua berisi buah yang dikemas sendiri. Berat kotak wafer tertera pada kotak kemasan yaitu 8kg, sedangkan berat kotak buah belum diketahui. Jika berat kotak buah kita nyatakan dengan x kg, dan jumlah berat seluruh kotak kita nyatakan dengan y kg, maka diperoleh : Berat kotak seluruhnya adalah (8+x) atau y=8+x. Uraian di atas menunjukkan bahwa situasi dalam kehidupan sehari-hari dapat dinyatakan dalam bentuk aljabar. Suatu bentuk aljabar dapat terdiri dari bilangan, variabel, atau gabungan dari bilangan dan variabel yang terkait dengan operasi hitung. Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam matematika. Kata aljabar berasal dari kata al-jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat yang diambil dari buku karangan Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi (780-850 M), yaitu kitab al-jabr wal-muqabalah yang membahas tentang cara menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar atau "Buku Rangkuman untuk Kalkulasi dengan Melengkapakan dan Menyeimbangkan” yang ditulis pada tahun 820 Masehi. Buku pertama AlKhawarizmi yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dikenal sebagai Liber algebrae et almucabala oleh Robert dari Chester (Segovia, 1145) dan juga oleh Gerardus dari Cremona pada abad ke-12. Karena pengaruhnya 60
yang besar di bidang aljabar, Al Khawarizmi dijuluki sebagai Bapak Aljabar. Namun, julukan itu diberikan pula pada Diophantus, seorang ilmuwan dari Yunani kuno. Pemakaian nama aljabar sebagai penghormatan kepada AlKhawarizmi atas jasa-jasanya dalam mengembangkan aljabar melalui karyakarya tulisanya. Al-Khawarizmi adalah ahli matematika dan ahli astronomi termasyhur yang tinggal di Baghdad (Irak) pada permulaan abad ke-9. AlKhawarizmi diperkirakan meninggal sekitar 850 Masehi. Namun, karya-karya besarnya masih terus berkembang dan banyak dipelajari hingga saat ini.
Contoh 2.1.1 Suatu ketika terjadi percakapan antara Pak Agus dan Pak Budi. Mereka berdua baru saja membeli buku di suatu toko grosir. Pak Agus : “Pak Budi, kelihatannya beli buku tulis banyak sekali.” Pak Budi : “Iya Pak. Ini pesanan dari sekolah saya. Saya beli dua kardus dan 3 buku. Pak Agus beli apa saja?” Pak Agus : “Saya hanya beli 5 buku saja Pak, untuk anak saya yang kelas VIII SMP.” Dalam percakapan tersebut terlihat dua orang yang yang menyatakan banyak buku dengan satuan yang berbeda. Pak Agus menyatakan jumlah buku dalam satuan kardus, sedangkan Pak Budi langsung menyebutkan banyak buku yang ia beli dalam satuan buku.
Penyelesaian : Alternatif pemecahan masalah disajikan dalam tabel berikut.
Simbol x bisa mewakili sebarang bilangan. Jika x = 10, maka 2x + 3 = 2 × 10 + 3 = 20 + 3 = 23 Jika x = 15, maka 2x + 3 = 2 × 15 + 3 = 30 + 3 = 33
61
Jika x = 20, maka 2x + 3 = 2 × 20 + 3 = 40 + 3 = 43 Jika x = 40, maka 2x + 3 = 2 × 40 + 3 = 80 + 3 = 83 Jika x = 50, maka 2x + 3 = 2 × 50 + 3 = 100 + 3 = 103 Nilai bentuk aljabar di atas bergantung pada nilai x. Dalam konteks di atas x menyatakan banyak buku dalam satu kardus. Bentuk aljabar dalam diatas x menyatakan banyak buku yang ada dalam kardus
1. Pak Tohir memiliki dua jenis hewan ternak, yaitu sapi dan ayam. Banyaknya sapi dan ayam yang dimiliki Pak Tohir secara berturut-turut adalah 27 sapi dan 1.500 ayam. Seluruh sapi dan ayam tersebut akan dijual kepada seorang pedagang ternak. Jika harga satu sapi dinyatakan dengan x rupiah dan harga satu ayam dinyatakan dengan y rupiah, tuliskan bentuk aljabar harga hewan ternak Pak Tohir? 2. Arman mempunyai 5 buah robot dan 8 buah mobil-mobilan. Jika Arman diberi 2 buah robot oleh ibu dan 3 mobil-mobilannya ia berikan kepada Anto, berapa sisa robot dan mobil Arman. Nyatakan dalam bentuk aljabar?
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. x adalah jenis hewan ternak sapi y adalah jenis hewan ternak ayam bentuk aljabar = 27x + 1.500y 2. x menyatakan robot y menyatakan mobil-mobilan 5x + 8y + 2x – 3y = 7x + 5y
62
Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam matematika. Kata aljabar berasal dari kata al-jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat yang diambil dari buku karangan Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi (780-850 M), yaitu kitab al-jabr wal-muqabalah yang membahas tentang cara menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar.
1. Suatu ketika Pak Veri membeli dua karung beras untuk kebutuhan hajatan di rumahnya. Setelah dibawa pulang, istri Pak Veri merasa beras yang dibeli kurang. Kemudian Pak Veri membeli lagi sebanyak 5 kg. Nyatakan bentuk aljabar dari beras yang dibeli Pak Veri. 2. Pak Deni membeli tiga gelondong kain untuk keperluan menjahit baju seragam pesanan sekolah SMP Semangat 45. Setelah semua seragam berhasil dijahit, ternyata kain masih tersisa 4 meter. Nyatakan bentuk aljabar kain yang digunakan untuk menjahit. 3. Bu Niluh seorang pengusaha kue. Suatu ketika Bu Niluh mendapat pesanan untuk membuat berbagai macam kue dalam jumlah yang banyak. Bahan yang harus dibeli Bu Niluh adalah dua karung tepung, sekarung kelapa, dan lima krat telur. Nyatakan bentuk aljabar harga semua bahan yang dibeli oleh Bu Niluh . 4. Bu Marhawi membeli 14 kg tepung, 17 kg wortel, dan 4 kg tomat. Karena terlalu lama disimpan 4 kg tepung, 3 kg wortel, dan 3 kg tomat ternyata rusak/busuk. Tentukan tepung, wortel, dan tomat yang tersisa. Jika harga tepung, wortel, dan tomat secara berurutan adalah x rupiah, y rupiah, dan z rupiah, nyatakan harga barang yang dibeli Bu Marhami tersebut dalam bentuk aljabar. 5. Sinta pergi ke toko untuk membeli alat-alat tulis. Alat tulis yang dibutuhkan yaitu 12 buku tulis, 2 pensil, 3 bolpoin, 1 penghapus dan 1 penggaris. Nyatakan alat-alat tulis yang dibeli Sinta ke dalam bentuk aljabar.
63
*Kegiatan Belajar 2
Bentuk-bentuk seperti 4a, 6ab2, 2p+15, 7p2-10p, 8x-4y+9 dan 6x2+3xy-8y disebut bentuk aljabar. ax2+bx+c = 0 ; a,b,c,x dan 0 adalah lambang-lambang aljabar, a dan b disebut koefisien; c disebut konstanta; x2 dan x disebut variabel. Suku Tunggal dan Suku Banyak Bentuk aljabar seperti 4a, 6ab2, dan -5a2bc3 disebut bentuk aljabar suku satu atau suku tunggal. Bentuk aljabar seperti 2p+15, 7p2-10p, dan -6p3+5pq disebut bentuk aljabar suku dua atau binom. Bentuk aljabar seperti 8x-4y+9 dan 6x2+3xy-8y2 disebut bentuk aljabar suku tiga atau trinom. Bentuk aljabar yang terdiri dari beberapa suku disebut suku banyak atau polinom. Misalnya : p3 + 2p2 – 7p – 8 → suku empat 9x3 – 4x2y – 5x + 8y – 7y2→ suku lima
Suku-Suku Sejenis Perhatikan bentuk aljabar 5a2 dan -7x2y + 3 ! Pada bentuk 5a2, 5 disebut koefisien dan a disebut variabel (peubah), dan pada bentuk -7x2y + 3, – 7 adalah koefisien dari variabel x2y dan 3 adalah kosntanta. Bentuk aljabar -7x2y + 3 – 7 adalah koefisien x2y 3 adalah kosntanta x dan y adalah variabel (peubah) Suku-suku yang dikatakan sejenis bila memiliki variabel atau kombinasi variabel yang sama, dan variabel yang sama itu harus memiliki pangkat yang sama juga. Dengan kata lain, suku-suku yang sejenis hanya boleh berbeda 64
pada koefisiennya. – 9xy dan 7xy2 bukan suku sejenis, karena xy tidak sama (tidak sejenis) dengan xy2. Dengan demikian , dapat disimpulkan sebagai berikut : Suku –suku yang sejenis pada bentuk aljabar hanya boleh berbeda pada koefisiennya.
1. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut ! a. 7a + 18 – 3a b. 2x4 – 5x3 – 4x2 + 7x 2. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut ! a. 9k + 8m – 4km – 15k + 7km b. 7p2 – 8p2q – 11p2 + p2q + 12pq2
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Banyak suku pada 7a + 18 – 3a adalah 3, yaitu 7a, 18, dan -3a.
b. Banyak suku pada 2x4 – 5x3 – 4x2 + 7x adalah 4, yaitu 2x4, -5x3, -4x2, dan 7x. 2. a. Suku-suku yang sejenis pada 9k + 8m – 4km – 15k + 7km adalah :
9k dan -15k
-4km dan 7km
b. Suku-suku yang sejenis pada 7p2 – 8p2q – 11p2 + p2q + 12pq2 adalah:
7p2 dan -11p2
-8p2q dan p2q
65
Suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar memiliki variabel-variabel yang sama dan pangkat dari masing-masing variabel juga sama. Jadi, suku-suku yang sejenis hanya boleh berbeda pada koefisiennya.
1. Tentukan mana yang termasuk suku tunggal ! 4a+8ab, 5a2b, 7xy2, 6x2-9y-12, 15yz, 10p+14qr 2. Tentukan mana yang termsuk suku banyak ! 6x2-9y-12, 15yz, 10p+14qr, 4a+8ab, 5a2b, 7xy2, 3. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut ! 3bc+13a+18b+7ab+bc-5b-8a-12ab 4. Manakah yang termasuk koefisien dan konstanta pada bentuk aljabar berikut ! 2pq – 3qr + 20 – 4p2q + 11 5. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut ! 8x3 – 17xy – 15z dan 11k – 10l + 14m – 12n + 21
66
*Kegiatan Belajar 3
Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut. 1. Suku-suku yang sejenis 2. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan, yaitu : a. ab + ac = a(b + c) atau a(b + c) = ab + ac, b. ab – ac = a(b – c) atau a(b – c) = ab – ac. 3. Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu : a. Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif, b. Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat
positif,
c. Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulatnegatif adalah bilangan bulat negatif. Dengan menggunakan ketentuan-ketentuan tersebut, maka hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis. Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan sukusuku yang sejenis.
Contoh 2.3.1 Pak Srianto seorang tengkulak beras yang sukses di desa Sumber Makmur. Suatu ketika Pak Srianto mendapatkan pesanan dari pasar A dan B di hari yang bersamaan. Pasar A memesan 15 karung beras, sedangkan pasar B memesan 20 karung beras. Beras yang sekarang tersedia di gudang Pak Srianto adalah 17 karung beras. Misal x adalah massa tiap karung beras. Nyatakan dalam bentuk aljabar: a. Total beras yang dipesan kepada Pak Srianto
67
b. Sisa beras yang ada di gudang Pak Srianto, jika memenuhi pesanan pasar A saja c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Srianto, jika memenuhi pesanan pasar B saja.
Penyelesaian : a. Total beras yang dipesan kepada Pak Srianto adalah (15x) + (20x) atau (35x) kilogram beras. b. Jika Pak Srianto memenuhi pesanan pasar A saja, maka sisa beras adalah 2 karung beras atau 2x kilogram beras. c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Srianto untuk memenuhi pesanan pasar B adalah 3 karung beras atau -3x kilogram beras. (tanda
negatif menyatakan kekurangan)
Pada cerita di atas terdapat operasi antara dua bentuk aljabar, yaitu: 1. Penjumlahan (20x) + (15x) = 35x 2. Pengurangan (17x) − (15x) = 2x 3. Pengurangan (17x) − (20x) = −3x Bentuk 17x − 15x bisa juga ditulis penjumlahan dua bentuk aljabar (17x) + (−15x) .
1. Tentukan penjumlahan bentuk aljabar berikut. a. -3m + 4n − 6 dengan 7n − 8m + 10 b. 15a + 7b− 5c dengan −11a − 12b + 13d 2. Pengurangan bentuk aljabar berikut. a. -3m + 4n − 6 dengan 7n − 8m + 10 b. 15a + 7b − 5c dengan −11a − 12b + 13d
Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku yang sejenis.
69
1. (15i + 14b + 13k) + (−30i − 45j + 51k) = ... 2. Tentukan hasil penjumlahan (3 − 17x + 35z) dan (4x + 23y − 9). 3. (42n + 35m +7) - (50m − 20n + 9) = ... 4. Tentukan hasil penjumlahan bentuk aljabar : 3(2x2 – 4x + 5) dengan 2(4x2 + 3x – 7) 5. Tentukan hasil pengurangan bentuk aljabar : -x2 + 6xy + 3y2 dari 5x2 – 9xy -4y2
70
*Kegiatan Belajar 4
Perkalian Suatu Bilangan dengan Suku Dua
x2
x(x + 4)
x
4
x
4x
4
Perhatikan Gambar di atas ! gambar sebelah kiri menunjukkan sebuah persegi panjang dengan ukuran sebagai berikut : Panjang = (x + 4) satuan, Lebar = x satuan Luas persegi panjang tersebut = x (x + 4) satuan luas. gambar sebelah kanan menunjukkan bahwa untuk menentukan luas persegi panjang pada gambar sebelah kiri dapat dilakukan dengan cara membagi (menyekat) persegi panjang tersebut menjadi dua buah persegi panjang, sehingga luasnya menjadi x2 + 4x. Oleh karena luas kedua persegi panjang pada kedua gambar adalah sama, berarti x(x + 4) = x2 +4x. dengan demikian, bentuk perkalian x(x+4) dapat dinyatakan sebagai bentuk penjumlahan x2 + 4x. Dengan menggunakan cara seperti di atas, hasil perkalian suatu bilangan dengan suku tiga dapat ditentukan seperti berikut : x(x + y + 4) = x [(x + y) + 4] = x (x + y) + 4x = x2 + xy + 4x Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan pada bentuk aljabar disebut menjabarkan. Untuk sembarang bilangan x, y, dan k selalu berlaku :
Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua 1. Menggunakan Hukum Distributif
Persegi panjang-persegi panjang pada gambar di atas memiliki ukuran yang sama, sehingga luasnya juga sama. Dengan demikian, terdapat hubungan sebagai berikut. (x + 2)(x + 5) = x(x + 5) + 2(x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10
(1) Gambar (ii) (2) Gambar (iii)
= x2 + 7x + 10 Pada proses pengerjaan di atas, langkah (1) dan (2) menggunakan hukum (sifat) distributif. Dengan demikian penjabaran bentuk perkalian (x + 2)(x + 5) menjadi x2 + 7x + 10 merupakan penjabaran dengan
hukum distributif.
Pada penjabaran di atas, ternyata suku dua yang pertama, yaitu (x + 2) diuraikan, sedangkan suku dua yang kedua, yaitu (x + 5) tetap. Dengan demikian, penjabaran menggunakan hukum distributif dapat ditunjukkan dengan skema berikut. (x + 2)(x + 5) = x(x + 5) + 2(x + 5) Perkalian suku dua dengan suku dua dapat dijabarkan dengan menggunakan hukum distributif, yaitu :
72
(x + a)(x + b) = x(x + a) + 2(x + b)
Contoh 2.4.2 Tentukan hasil perkalian berikut dengan menggunakan hukum distributif! (2x - 3) (x + 1)
Penyelesaian :
2. Menggunakan Skema Perhatikan langkah-langkah penyelesaian perkalian dua suku dua ! (3x + 4)(x – 2) = 3x2 – 6x + 4x – 8 Ternyata hasil perkalian tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan skema berikut . (3x + 4) (x – 2) = 3x(x) + 3x(-2) + 4(x) + 4(-2) = 3x2 – 6x + 4x – 8 Langkah (2) pada skema di atas disebut perkalian suku luar dan langkah (3) disebut perkalian suku dalam. Hasil perkalian suku luar dan suku dalam sering kali dapat disederhanakan Perkalian dua suku dua dapat dijabarkan dengan menggunakan skema berikut : a. (x + p)(x + q)
Contoh 2.4.3 Jabarkanlah bentuk perkalian suku dua berikut ! (x + 3) (x - 2)
73
Penyelesaian :
3. Penggunaan Perkalian (x + a)(x + b) Pada bahasan ini akan dipelajari tentang penggunaan perkalian istimewa (x + a) (x + b) yang khusus, yaitu jika a + b = 10, sehingga hasil perkalian dari (x + a)(x + b) dapat dinyatakan sebagai berikut . (x + a) (x + b ) = x2 + (a + b)x + ab
, a + b = 10
= x2 + 10x + ab = x(x + 10) + ab Kita gunakan hasil perkalian di atas juga untuk menyelesaikan perkalian berikut.
Dengan menggunakan cara di atas, maka hasil perkalian dua bilangan yang angka puluhannya sama dan angka samanya berjumlah 10 dapat diperoleh dengan cara yang lebih mudah.
Contoh 2.4.4 Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi dan Pak Halim mempunyai kebun semangka berbentuk persegipanjang. Ukuran panjang kebun semangka Pak Halim 10 m lebihnya dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Sedangkan lebarnya, 3 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Jika diketauhi luas kebun Pak Halim adalah 450 m2, Tentukan luas kebun apel Pak Idris.
Penyelesaian :
74
Untuk memecahkan persoalan tersebut bisa dengan memisalkan panjang sisi kebun apel Pak Idris dengan suatu variabel, misal variabel x. Panjang kebun semangka Pak Halim 10 meter lebih panjang dari panjang sisi kebun apel, bisa ditulis x + 10. Sedangkan lebarnya 3 meter lebihnya dari panjang sisi kebun apel Pak Idris, bisa ditulis x + 3. Seperti yang kita ketahui bahwa luas persegi panjang adalah panjang × lebar. Namun dalam permasalahan menentukan panjang sisi kebun tersebut kita sedikit mengalami kesulitan karena yang dikalikan adalah bentuk aljabar. Dalam permasalah tersebut luas kebun Pak Halim adalah hasil kali dari x + 10 dengan x + 3. Luas kebun Pak Halim dapat ditulis dalam bentuk aljabar Luas = 2 2 panjang × lebar = (x + 10) × (x + 3) = x + 3x + 10x + 30 = x + 13x + 30 satuan luas Selain dengan cara tersebut, kita bisa menentukan luas kebun Pak Halim dengan cara perkalian bersusun seperti berikut. Jadi, luas kebun Pak Halim adalah x2 + 13x + 30 satuan luas. Dari kedua cara tersebut, silakan menggunakan cara yang menurut kalian paling mudah. Untuk lebih jelasnya bagaimana mengalikan bentuk aljabar tersebut mari amati ilustrasi berikut.
1. Jabarkanlah bentuk-bentuk berikut ! a. x (3x + 5) b. x (3x + y + 5)
75
2. Tentukan hasil perkalian berikut dengan menggunakan hukum distributif! (3x + 4) (x – 2) 3. Sebuah lahan berbentuk persegi panjang dengan panjang (2x - 3) meter, dan lebar (x + 6) meter. Sekeliling lahan tersebut dibuat selebar 2 meter. Hitunglah luas lahan yang tersisa !
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Penjabaran : a. x (3x + 5)
= x (3x) + x (5) = 3x2 + 5x
b. x (3x + y + 5)
= x (3x) + x(y) + x (5) = 3x2 + xy + 5x
2.
3. Ukuran lahan yang tersisa adalah : Panjang
= (2x -3) – 2 . 2 = (2x - 3) – 4 = (2x - 7) meter
Lebar = (x + 6) – 2 . 2 = (x + 6) – 4 = (x + 2) meter Jadi luas lahan yang tersisa adalah = panjang sisa lahan x lebarnya = (2x - 7) (x + 2) = x2 + 4x – 7x – 14 = (2x2 – 3x - 14) m2
76
1. Untuk memudahkan dalam perhitungan perkalian suku dua dan suku banyak, yang perlu diingat adalah :
a. x(x + k) = x(x) + x(k) = x2 + xk b. x (x + y + k)
= x(x) + x(y) + x(k) = x2 + xy + xk
c. (x + p)(x + q) = x(x) + x(q) + p(x) + p(q) = x2 + (p+q)x + pq d. (x + p)(x + q + r) = x(x) + x(q) + x(r) + p(x) + p(q) + p(r) = x2 + xq + xr + px + pq + pr 2. Operasi penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar memiliki beberapa sifat, antara lain a. Sifat Komutatif
a+b=b+a a×b=b×a b. Sifat Asosiatif
a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c c. Sifat Distributif (perkalian terhadap penjumlahan)
a × (b + c) = a × b + a × c atau a (b + c) = ab + ac
77
1. Hasil dari penjabaran bentuk perkalian (x + 4) (x + 15) adalah.... 2. Hasil dari perkalian a(3a + 8b) adalah... 3. Jabarkan perkalian disamping menggunakan skema (a + 3) (a + 5).... 4. Hasil dari (5x - 4) (3x + 2) adalah.... 5. Jabarkan dan sederhanakan perkalian disamping (a - 3) (a2 – 2a + 5) ....
78
*Kegiatan Belajar 5
Operasi Pembagian Bentuk Aljabar Operasi pembagian bentuk aljabar adalah lawan dari operasi perkalian bentuk aljabar. Jika dua bentuk aljabar memiliki factor-faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama. Misal bentuk aljabar 8a dan 2a memiliki faktor yang sama yaitu 2a. Sehingga hasil pembagian 8a dengan 2a dapat disederhanakan yaitu 8a : 2a = 4. Demikian halnya dengan 6xy dan 3y yang memiliki faktor yang sama yaitu 3y, sehingga 6xy : 3y = 2x. Pada pembagian bentuk aljabar, jika pembagiannya merupakan suku dua, maka hasil pembagiannya dapat ditentukan dengan cara bagi kurung seperti pembagian pada bilangan bulat positif. Contoh 2.5.1 diketahui suau persegi panjang mempunyai luas = x2 + 13x + 30 satuan luas, dan panjangnya = x + 10 satuan panjang, kalian diminta untuk menentuk bentuk aljabar dari lebarnya. Bagaimana langkah kalian untuk menentukan lebarnya?
Penyelesaian : Luas = panjang × lebar. Dapat kita tulis: Lebar =
luas panjang
Lebar tanah Pak Halim dapat ditentukan dengan membagi bentuk aljabar luas tanah dengan bentuk aljabar dari panjang.
dari
Lebar = Pada kegiatan tersebut, kita telah menentukan hasil bagi x2+ 13x + 30 oleh + 10 adalah x + 3.
x
79
1. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ! a. 2x2 + 3x - 4 oleh x + 3. b. x3 + 2x2 – 11x + 12 oleh x – 4 2. tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ! a. 28 a5b3 : (-7 a4) b. 42 x7y8z : 6x3y2 3. Diketahui (x + 3) adalah salah satu faktor dari x2+ 5x + 6. Tentukan faktor yang lainnya.
3. Diketahui (x + 3) adalah salah satu faktor dari x2+ 5x + 6. Tentukan faktor yang lainnya. .
x+2 . x2 + 3x 2x + 6 2x + 6 0
Jadi faktor yang lain tersebut adalah (x + 2).
81
1. Operasi pembagian bentuk aljabar adalah lawan dari operasi perkalian bentuk aljabar. 2. Jika dua bentuk aljabar memiliki factor-faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama. 3. Pada pembagian bentuk aljabar, jika pembagiannya merupakan suku dua, maka hasil pembagiannya dapat ditentukan dengan cara bagi kurung seperti pembagian pada bilangan bulat positif
1. Hasil dari operasi aljabar disamping adalah (x2 + 9x + 18) : (x + 6).... 2. Tentukan hasil operasi disamping 27a5b : 9a4b..... 3. Hasil dari -72x8y9z7 : (-12x2y3z) adalah..... 4. Hasil dari (2x2 - 10x + 12) : (2x - 4) adalah.... 5. Hasil dari (8 p6q4 : 4p4q3)3 adalah......
82
*Kegiatan Belajar 6
Menyederhanakan Pecahan Aljabar jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan bilangan yang sama kecuali nol, maka diperoleh pecahan baru yang senilai, tetapi menjadi lebih sederhana. Misalnya: 18 24
=
3x6 4x6
=
3 4
Dengan demikian, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor yang sama, maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini berarti, bahwa untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar harus didingat kembali tentang ciri-ciri bentuk aljabar yang dapat difaktorkan beserta aturan faktorisasinya.
Pada contoh 2, x ≠ -4 dan juga x ≠ 4, sebab jika x = -4 atau x = 4, maka penyebut pecahan tersebut menjadi nol. Hal ini menyalahi konsep dalam pecahan yaitu: 1. Penyebut suatu pecahan tidak boleh nol 2. Suatu pecahan tidak boleh disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak didefinisikan. Dengan demikian, pada Contoh 3, nilai m ≠ 0, dan juga m ≠ -3.
83
Untuk selanjutnya, yang dibicarakan pada pembahasan ini adalah pecahan aljabar yang penyebutnya bukan nol. Dalam menyederhanakan pecahan bentuk aljabar, kadang-kadang dalam proses pengerjaannya harus kita gunakan lawan dari suatu bentuk aljabar, yaitu –(a - b) = b – a sehingga pecahan aljabar tersebut dapat disederhanakan.
Penjumlahan Dan Pengurangan Pecahan Aljabar Pada pembahasan tentang operasi bilangan pecahan, telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan yang mempunyai penyebut sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan pembilangpembilangnya, yaitu: atau
+ =
-
=
dengan b ≠ 0
Aturan tersebut dapat digunakan untuk menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar.
Contoh 2.6.2 1.
+
2.
-
3.
+
4.
-
Penyelesaian : 1.
+
=
=
2.
-
=
=
3.
+
4.
-
= =
= =
Jika pecahan-pecahan memiliki penyebut yang berbeda, maka penyebutpenyebut tersebut harus disamakan lebih dahulu. Untuk menyamakan penyebut-penyebut pecahan tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari enyebut-penyebut tersebut. Kemudian masing-maasing pecahan diubah menjadi pecahan lain yang senilai, dan penyebutnya merupakan KPK yang sudah di cari.
84
Perkalian Dan Pembagian Pecahan Aljabar Pada pembahasan tentang perkalian bilangan pecahan, telah dipelajari bahwa hasil perkalian dua pecahan dapat diperoleh dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut. Yaitu: ×
dengan b, d ≠ 0
=
Dengan demikian, hasil perkalian dalam bentuk aljabar dapat diperoleh dengan menggunakan aturan diatas.
Contoh 2.6.3 ×
Penyelesaian : ×
=
pembilang dan penyebut dibagi dendang b
=
Untuk pembagian dua pecahan, telah dibahas bahwa membagi dengan suatu pecahan sama dengan mengalikan pecahan tersebut dengan pecahan kebalikannya, yaitu; :
=
×
dengan b, c, d ≠ 0
Contoh 2.6.4 :
Penyelesaian : :
= =
×
pembilang dan penyebut dibagi dengan a
= =
85
1. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut! a.
b.
2. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut! a.
b.
-
+
3. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut! a.
b.
×
:
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a.
=
b.
=
=
2. a.
=
=
=
=-
=-
-
=
=
-
= = =
b.
+
=
+ = =
86
= 3. a.
×
=
×
pembilang dan penyebut dibagi
=
dengan x(x + 3) = = x -3
b.
:
=
:
=
×
=
pembilang dan penyebut dibagi dengan (x - 2) dan x
= =
87
1. Penyederhanaan pecahan aljabar Pecahan yang pembilangnya, atau penyabutnya, atau kedua-duanya berbentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. =
=
2. Penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar Menjumlahkan
atau
mengurangkann
pecahan
bentuk
aljabar
dilakukan dilakukan dengan menyamakan penyebut-penyebutnya, kemudian
menjumlahkan
atau
mengurangkan
pembilang-
pembilangnya. Untuk menyamakan penyebut-penyebutnya, tentukan KPK dari penyebut pecahan tersebut. + -
=
=
=
-
=
3. Perkalian dan pembagian pecahan aljabar a. Perkalian pecahan
aljabar dilakukan dengan mengalikan
pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. ×
=
b. Pembagian
dengan b, d ≠ 0 pecahan
aljabar dilakukan
dengan mengalikan
pecahan tersebut terhadap kebalikannya. :
=
×
dengan b, c, d ≠ 0
88
1. Hasil dari 2.
-
3.
×
4.
:
5.
-
adalah..... =..... =..... =..... =.....
89
SOAL EVALUASI MPM 2 1. Bu Marhawi membeli 14 kg tepung, 17 kg wortel, dan 4 kg tomat. Karena terlalu lama disimpan 4 kg tepung, 3 kg wortel, dan 3 kg tomat ternyata rusak/busuk. Tentukan tepung, wortel, dan tomat yang tersisa. Jika harga tepung, wortel, dan tomat secara berurutan adalah x rupiah, y rupiah, dan z rupiah, nyatakan harga barang yang dibeli Bu Marhami tersebut dalam bentuk aljabar. 2. Koefisien untuk variabel a dan b2 dari bentuk aljabar 2a2 – a – 4ab2 – 3b2 berturut –turut adalah ... 3. Suku-suku sejenis dari bentuk aljabar 3p2q + 5pq2 + 3p2q2 – 4pq2 adalah ... 4. Apakah 5x3y2 dan -5x3y4 merupakan suku sejenis? 5. Bentuk paling sederhana dari 7x – 4y + 6 – 4x + y – 6 adalah ... 6. Bentuk paling sederhana dari 9 – 4(2x + 5) adalah ... 7. Hasil penjumlahan dari 5ab + 2bc – d dan 3ab – 2bc + 6d adalah ... 8. Hasil pengurangan -2(3p + 2) dan 2p + 6 adalah ... 9. Tentukan hasil penjumlahan bentuk aljabar: 3(2x2 – 4x + 5) dengan 2(4x2 + 3x – 7) 10. Tentukan hasil pengurangan 5x – 3y + 7 dari 5y – 3x – 4 11. Jabarkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut! a. 4x (x2 + 2xy – 3y2) b. (3p + 2) (3p - 2) c.
(2x - y) (4x2 + 2xy + y2)
d. (2x2 – 10x) (x2 + 3x) 12. Tentukan hasil operasi hitung bentuk aljabar berikut! a. 18a4b : 3a3b b. 36a8b3 : 9a5b2 c. 2x2 + 7x − 15 oleh x + 5 d. 6x2 – 7x – 24 oleh 3x – 8
90
13. Sederhanakan pecahan-pecahan aljabar berikut! a. b.
91
Modul ini berisi tentang persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel yang meliputi unsur unsur bentuk aljabar dan pengoprasian bentuk aljabar serta pengertian persamaan dan pertidak samaan linear satu variabel. Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat harus menguasai kompetensi yaitu : himpunan, bilangan, perbandingan dan bentuk aljabar. Setelah Anda mempelajari diharapkan Anda mampu :
modul
pembelajaran
matematika
ini
1. Mengembangkan sikap logis dan rasa ingin tahu 2. Mengidentifikasi unsur unsur bentuk aljabar 3. Mengembangkan sikap analitik dan percaya diri pada daya dan kegunaan matematika. 4. Melakukan operasi pada bentuk aljabar. 5. Mengembangka sikap responsif dan terbuka. 6. Memahami persamaan linear satu variabel (SPLDV). 7. Mengembangkan sikap konsisten dan teliti. 8. Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel. 9. Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah nyata yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini!
93
2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
94
*Kegiatan Belajar 1
Pengertian Bentuk Aljabar Untuk memahami pengertian bentuk aljabar dan suku, perhatikan contohcontoh berikut!
1.
Ada dua buah apel, jika apel disimbolkan dengan a, maka dapat ditulis 2a
2.
Ada sebuah apel dan tiga buah pisang, jika pisang disombalkan dengan p, maka dapat ditulis a dan 1a+3p
3.
Ada tiga buah apel dan dua buah pisang dan satu tomat, jika tomat disimbolkan dengan t, dapat dituliskan 3a+2p+1t
Untuk selanjutnya jika jumlah bendanya satu, mak cukup dituliskan simbolnya saja, seperti contoh nomor 2, cukup dituliskan a+3p dan nomor 3 dituliskan 3a+2p+1t.
Bentuk aljabar 2a memiliki satu suku, yaitu 2a
Bentuk aljabar a+3p memiliki dua suku yaitu a dan 3p
Bentuk aljabar 3a+2p+t memiliki tiga sulku yaitu 3a, 2p, dan t
Bentuk aljabar 4a-2p-t memiliki tiga suku yaitu 4a,-2p dan –t
Pengertian Faktor Kalau kamu sakit, dan kamu pergi ke dokter, kamu akan diberi resep. Misalkan obat yang dibeli dengan resep dokter : Pada botol obat turun panas ditulis 3x1 sendok teh Pada botol ditulis 3x1 sendok teh
95
Apa artinya dari “3x1” atau “3x2”? 3x1 artinya dalam sehari obat turun panas yang harus diminum 3 kali, sekali minum 1 sendok teh. Dengan perkataan lain dalam sehari obat turun panas yang harus diminum adalah 3 sendok teh, yaitu 1 sendok teh+1 sendok teh +1 sendok teh. Sehingga 3x1 artinya 1+1+1. 3x2 artinya dalam sehari obat batuk yang harus diminum 3 kali, sekali minum 2 sendok teh. Dengan perkataan lain dalam sehari obat turun panas yang harus diminum adalah 6 sendok teh, yaitu 2 sendok teh +2 sendok teh +2 sendok teh. Sehingga 3x2 artinya 2+2+2 Arti dari aturan perkalian diatas sebenarnya sama dengan perkalian dalam matematika. Kita tahu bahwa 6=3x2, 3 dan 2 disebut faktor dari 6. Demikian juga dalam bentuk aljabar berikut ini.
3b = 3xb berrarti faktornya 3 dan b
-5ab = -5 x a x b berarti faktor faktornya -5. a dan b
7a2b = 7 x a x a x b bararti faktor faktonya 7, a dan b
Pengertian Koefisien, Variabel, Konstanta, Suku Sejenis Dan Suku Tidak Sejenis Pengertian bentuk aljabar bentuk ini : 5a – b – 7 Pada suku 5a yang merupakan perkalian 5 dan a, atau 5 x a , maka bilangan 5 disebut koefisien dan a disebut variabel atau peubah. Pada suku –b yang merupakan perkalian -1 dan b, maka koefisienya adalah -1 dan variabelnya adalah b. Pada suku 7 tidak ada variabel yang menyertainya, maka bilangan 7 yang merupakan tunggal disebut konstanta.
Suku Sejenis Perhatikan bentuk aljabar : 2p+4q-3p +q Bentuk aljabar tersebut mempunyai empat suku, yaitu 2p, 4q, 3p dan q Dimana 2p dan -3p merupakan suku sejenis, begitu juga dengan 4q dan q merupakan suku sejenis, sedangkan 2p dan -3q atau 2p dan q merupakan suku tidak sejenis. Jadi dapat disimpulkan
Dua suku atau lebih dapat dikatakan sejenis apabila variabel dan suku tersebut adalah sama
96
1.
Dua suku atau lebih dikatakan tidak sejenis apabila variabel dari sukusuku tersebut adlah tidak sama
jika kamu melihat tiga pohon kelapa dua perahu dan 1 orang. Bagaimana kamu menuliskannya dalam bentuk aljabar
2. Pak budi penjual bermacam-macam buah. Buah yang dijualnya Kelompokan menurut jenisnya. Ada apel, jeruk, anggur, alpukat dan yang lainya. a. Apakah nama buah yang dijual pak budi dapat diwakilkan oleh suatu lambang tertentu ?jika ya, kemukakan paling sedikit 3 contoh lambang yang dapat digunakan b. Pilih salah satu lambang, kemudian sebutkan nama buah yang diwakili oleh lambang itu
Kunci Jawaban Tes Fomatif 1. Ada tiga pohon kelapa, jika pohon kelapa disimbolkan dengan a,maka dapat ditulis 3a. Dan dua perahu kita tuliskan dengan p ,kemudian 1 orang kita tuliskan dengan t . jika kita jumlah semuanya dapat kita tuliskan 3a + 2p+t 2. Jawab a. Ya, misal apel kita simbolkan dengan a, jeruk kita simbolkan p dan anggur kita simbolkan dengan t. b. Misal t yang diwakili oleh anggur
97
1. Dua suku atau lebih dapat dikatakan sejenis apabila variabel dan suku tersebut adalah sama 2. Dua suku atau lebih dikatakan tidak sejenis apabila variabel dari suku-suku tersebut adlah tidak sama
Cermati pernyataan berikut ini dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawaahnya dengan menuliskan jawaban pada (tabel) yang disediakan “Banyaknya pohon jati milik pak Makmur10 batang lebihnya dari banyak pohon jati milik pak budi, berapa kemungkinan pohon pak makmur dan pak budi?” a. Jika poho jati pak makmur 40 batang, berapa pohon pa budi? b. Bila banyak pohon pakmakmur 75 batang, berapa banyak pohon pak budi? c. Jika banyak pohon pak makmur adalah p, berapa banyak pohon milik pak budi? d. Jika pohon milik pak budi adalah 30, berpa banyak pohon milik pak makmur? e. Jika banyak pohon pak budi adalah 100, berapa banyak pohon milik pak makmur? f. Jika banyak pohon milik pak budi adalah p, berapa banyak pohon milik pak makmur?
98
Banyak pohon pak makmur
Banyak pohon pak budi
35
...
40
...
75
...
P
...
...
30
...
100
...
K
a. Misalkan simbol p mewakili banyak milik pak makmur, bilangan apakah yang diwakili p? b. Apakah p mewakili bilangan? jawab:............................................................................................ ...................................................................................................... ..............................
99
*Kegiatan Belajar 2
Menjumlahkan Dan Mengurangkan Bentuk Aljbar Untuk memahami operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, perhatikan situasi berikut. Dalam tas Nindra terdapat 10 buku dan 7 pensil. Selanjutnya , kedalam tas itu dimasukan 2 buku dan di ambil 3 pensil. Dalam tas Nindra sekarang ada (10 – 2) buku dan (7 – 2) pensil, atau 12 buku dan 4 pensil. Jika dalam tas Nindra banyak buku dinyatakan dengan huruf b, dan banyaknya pensil dinyatakan dengn huruf p, maka situasi tas Nindra semula adalah 10b+7p, kemudian terjadi 2b – 3p sehingga situasi tas Nindra menjadi (10b+7p) + (2b – 3p) atau (10+2)b + (7 – 2)p atau 12b+4p Dari situasi diatas dapat dimengerti bahwa penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabarhana dapat dikerjakan pada suku-suku yang sejenis dengan menjumlahkan dan mengurang koefisien pada suku-suku sejenis. Jadi dapat disimpulkan, dua bentuk aljabar dapat dijumlahkan atau dikurangkan bila bentuk kedua bentuk aljabar itu sejenis Contoh 3.2.1 1. Hasil penjumlahan dari 8x2 – 5x – 11 dan 20 + 5x – 9x2 adalah ... 2. Hasil pengurangan 2p – q dari q – p + 3 adalah...
Perkalian Suku Konstanta Dengan Bentuk Aljabar sebuah perusahaan akan memberi paket lebaran pada setiap karyawan yang terdiri dari 1 kaleng biskuit, 2 botol sirup, dan 10 bungkus mie instan. Jika perusahaan itu mempunyai 100 orang karyawan, maka perusahaan itu harus menyediakan 100 paket lebaran atau (100 x 1)keleng biskuit , (100 x 2) botol sirup dan (100 x 10) bungkus mie instan. Jika x menyatakan banyaknya kaleng biskuit, y menyatakan banyak botol sirup dan z menyatakan banyak mie instan, maka dapat ditulis, 100 100 100 atau 100 2 10 . sifat apakah yang berlaku terkait situasi ini? Pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu . Sifat ini akan dipakai untuk menyelesaikan perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar suku dua. Contoh 3.2.2 Tuliskan perkalian berikut senagai jumlah atau selisih dengan menggunakann sifat dstributuf. 1. 4(3x + 5y) 2. 5(2p2q – 3pq2)
Penyelesaian : 1. 4(3x + 5y)
=(4 3
4
5
2
2
=12x + 20y 2. 5(2p2q – 3pq2)
= 5
q) – (5
3
2
)
= 10p2q – 15pq2
Perkalian Antara Dua Bentuk Aljabar Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk meentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil antara dua bentuk aljaber, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk lajabar suku dua dengan suku dua beriukut. (ax + b)(cx + d)
= (ax x cx) + (ax x d) + (b x cx) + (b x d) =acx2 + (ad + bc)x + bd
Selain dengan cara sekema diatas , untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif sepertiuraian berikut. 101
Contoh 3.2.3 Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih 1. (2x + 3) (3x - 2) 2. (-4a + b) (4a + 2b)
Penyelesaian : 1. Cara (1) dengan sifat distributif (2x + 3) (3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2) = 6x2 – 4x + 9x – 6 =6x2 + 5x – 6 Cara (2) dengan skema. (2x + 3) (3x – 2)= 2x X 3x + 2x X (-2) + 3 X 3x + 3 X(-2) = 6 +x2 – 4x + 9x – 6 =6x2 + 5x – 6 2. Cara (1) dengan sifat distributif (-4a + b) (4a + 2b) = -4a(4a + 2b) + b(4a +2b) = -16a2 – 8ab + 4ab +2b2 =-16a2 – 4ab +2b2 Cara (2) dengan skema (-4a + b) (4a + 2b) = (-4a) x 4a + (-4a) x 2b+b x 4a+b x 2b = -16a2 – 4ab + 2b2
102
Pembagian bentuk aljabar Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
Contoh 3.2.4 Sederhanakan pembagian bentuk aljabar berikut. 1. 3xy:xy 2. 6a2b2:3a2 b
Penyelesaian : 1. 2.
= 3a3b2 :
3a2b =
=
1. Jika andi mempunyai 10 permen berwarna biru dan 4 permen berwarna merah, kemudiana diberikan kepada Brian, 3 permen berwarna biru dan satu permen berwarna merah. a. Bagaimanakah bentuk aljabar yang dapat dituliskan untuk menggambarkan keadaan banyaknya permen aldi mula-mula? b. Bagaimanakah bentuk aljabar yang dapat dituliskan untuk menggambarkan keadaan banyak permen aldi setelah diberikan kepada Brian? 2. Untuk menyumbang korban bncana alam, siswa kelas VII A sebanya 32 anak sepakat masing – masing membawa 5 buah mie instan dan 2 botol air mineral. Seluruh sumabngan yang terkumpul akan dikemas dalam 8 kantong plastik dan diserahkan kepada poanitia korban bencana alam di sekretariatan OSIS a. Tulislah bentuk aljabar yang menyatakan jumlah sumbangan dari kelas VII A b. Tulislah bentuk aljabar yang menyatakan isi tiap- tiap kantong plastik.
103
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Permen andi mula-mula adalah 10b + 4m b. Permen aldi setelah diberikan Brian adalah 10b + 4m – (3b + m) = 10b + 4m – 3b - m =(10 – 3)b + (4 – 1)m =7b + 3m 2. a. Jumlah sumbangan kelas VII Adalah (32 x 5)x + (32 x 2)y =160x + 64y b. Isi tiap- tiap kantong plastik adalah
160 8
64 8
= 20x + 8y
1. Penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya dapan dikerjakan pada dua suku yang sejenis dengan menjumlahkan atau mengurangi koefisia pada suku-suku sejenis. 2. Jadi dapat disimpulkan , dua bentuk aljabar dapat dijumlahkan atau dikurangi bila kedua bentuk aljabar itu sejenis.
1. Fara mempunyai 3 pak buku. Fira mempunyai 2 pak lebihnya dari buku yang dimiliki Fara. Fero mempunyai 6 pak kurangnya dari buku yang dimiliki Fara a. Berapakah jumlah buku Fara dan buku Fira? b. Berapakah buku Fira dan Firo?
104
2. Aldi mempunyai pensil 8 buah, aldo mempunyai pensil 2 buah lebihnya dari pensil yang dimiliki aldo, alda mempunyai 8 buah kurangya dari pensil yang dimiliki aldi. a. Berapakah hasil pengurangan pensil aldo dengan pensil aldi? b. Berapakah hasil pengurangan pensil aldi dan alda?
105
*Kegiatan Belajar 3
Kalimat Pernyataan
Pernahkan kamu mengaajukan pertanyaan saat berdiskusi di dalam kelas ? pernahkah kamu dperintah ibumu dirumah ? Pernahkah kamu mendengar berita ditelevisi ? Pernahkah kah kamu membyat pernyataan ? coba kamu berikan contoh – contoh kalimat pertanyaan, klimat perintah kalimat berita dan kalimat pernyataan. Perhatikan beberapa kalimat berikut ini! 1. Warna bendera Indonesia adalah merah putih 2. Bendera Indonesia berwarna merah putih biru 3. Tabung adalah bangun ruang 4. Banyaknya simetri lipat pada persegi adalah 4 5. -8 < 3 6.
3 4
6 7
9 11
7. Bilangan genap dikalikan bilnagan ganjil adalah bilangna genap. Manakah diantara kalimat diatas yang merupka kalimat benar ? dan manakah yang salah ?
106
Definisi 11 Kalimat yang sudah diketahui nlai kebenaranya atau salah disebut kalimat pernyataan . KALIMAT TERBUKA 1. Masalah binatang peliharaan Safira mengatakan, “saya mempunyai 9 ekor kucing persia”. Bagaimana pendapatmu tentang ucapan Safira ? benar atau salah ? 2. Perhatikan kalimat “ 10 ditambah suatu bilangan hasilnya 15”. Apakah kamu bisa menentukan kalimat itu benar atau salah ? Kita tidak dapat menentukan kalimat itu benar atau salah karena “suatu bilangan” pada kalimat itu belum diketahui nilainya. Benar atau salah nya tergantung pada berapakah “suatu bilangan “itu. Jika “suatu bilangan” itu diganti dengan 5, maka kalimatnya menjadi “10 ditambah 5 hasilnya 15”, kalimat itu adalah kalimat benar. Jika “suatu bilangan “ diganti dengan 2, maka kalimatnya menjadi “10 ditambah 2 hasilnya 15”, kalimat ini adalah kalimat yang salah.
Definisi 12 Kalima yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat terbuka . “suatu bilangan “ pada kaimat diatas belum dikethui nilainya. dalam matematika, suatu yang belum diketahui nilainya dinamakan variabel atau peubah. Biasaya disimbolkan dengan huruf kecil x, y, u atau bentuk yang lain. “10 ditambah suatu bilangan hasilnya 15” . jika suatu bilangan diganti dengan x, maka kalimat itu dapat ditulis dalam simbol matematika 10 + x = 15
Pengertian Persamaan Linear Sebelum membahas persamaan linear satu variabel (PLSV), perhatikan kalimat matematika berikut ini! 4+5=9
107
12 - 5=3 + 4 Masing-masing kalimat diatas merupakan kalimat yang bernilai benar yang menggunakan tanda sama dengan. Kalimat demikian disebut persamaan. Persamaan adalah suatu kalimat terbuka yang memuat hubungan dengan menggunakan tanda sama dengan. Perhatikan beberapa kaimat terbuka yang berbentuk persamaan. 1. x + 7 = 15
2. 10y = 15
3. 5 + 2p = 15
Setelah memahami pengetian persamaan, amatilah lebih lanjut bentuk-bentuk persamaan diatas, misalnya x + 7 =15. Pada persamaan ini terdapat satu variabel, yaitu x yang berpangkat satu. Oleh karena itu, bentuk x + 7 = 15 disebut persamaan linear satu variabel. Demikian pula bentuk persamaan linear lainya seperti 10y = 5 dan 5 + 2p = 15, karena dihubungkan dengan tanda sama dengan, hanya terdapat satu variabel saja, dan variabelnya berpangkat satu.
1. Ayu membeli 3kg buah mangga yang berisi 20 buah a. Sampai dirumah adiknya meminta beberapa mangga, ternyata mangganya tersisa 17 buah. Berapakah mangga yang diminta adiknya? b. Jika ayu mengambil untuk dirinya 8 buah mangga dan sisanya dibagi rata dengan ketiga temanya, berapa mngga yang diterima masingmasing teman ayu? 2. Sebuah kelompok sirkus mempunyai enam ekor harimau, tiga jantan dan tiga betina. Jika setiap hari pemiliknya memberi 48 kg daging untuk makanan harumau- harimau tersebut dan setiap harimau mendapatkan bagian yang sama. Berapakah berat daging yang dimakan setiap harimau dalam sehari? a. Jika setiap harimau memakan daging n kg sehari, dan daging yang dimakan oleh keenam harimau itu 48 kg, tulis kalima terbuka yang berkaitan dengan berat daging yang dimakan oleh keenam hariamau tersebut. b. Jika seekor harimau jantan memekan daging dua kali yang dumakan harimau betinadan daging yang dimakan keenam harimau itu 36 kg, berapa kilogram daging yang dimakan tiap harimau jantan ? tulis
108
kalimat terbuka dari pernyataan persamaan linear satu variabel?
tersebut.
Apakah
merupaka
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Pada masalah diatas, jika banyak magga yang diminta adik Ayu dimisalkan x buah, maka diperoleh kalimat 20 – x = 17 a. Manakah variabel atau peubah dari kalimat tersebut? b. Ada berapa variabelnya c. Apakah 20 – x = 17 merupakan kalimat terbuka? d. Pada kalimat 20 – x = 17 tanda penghubung apakah yang digunakan? a. Pada kalimat 20 – x = 17 berapakah oangkat tertinggi dari variabelnya? Kalimat terbuka yang menggunakan kalimat penghubung “ = “ disebut persamaan. Jika pangkat tertinggi dari variabel suatu persamaan adlah satu, maka persamaan itu disebut (PLSV). Jadi 20 – x = 17 merupakan salah satu contoh PLSV a. Jika y dganti 2, maka kalimat itu menjadi 8 + 3(2) = 17. Dan kalimat tersebut bernilai salah. b. Jika y dganti dengan 3, maka kalimat itu menjadi 8 + 3(3) = 17. Dan kalima it bernilai benar. Pengganti y supaya 8 +3y = 17 menjadi benar adalah 3. Pengganti persamaan (peubah) sehingga persamaan menjadi benar disebut penyelesaian persamaan, sedangkan himpunan yang memuat penyelesaian disebut himpunan penyelesaian. 2. Penyelesaian a. Berat daging yang dimakan oleh setiap harimau 48 : 6 = 8kg b. Jika dimisalkan setip harimau makan daging m kg maka diperoleh hubungan 6 x m = 48. Nilai m belum dietahui, oleh karena itu merupkan variabel atau peubah. Kalimat terbuka 6m = 48 menggunakan tanda “ = “. Kalimat terbuka yang menggunakan tanda “=” disebut persamaan jika pangkat tertinggi dari variabel pada suatu persamaan adalah satu, maka persamaan tersebut persamaan linear. Persamaan linear yang haanya memuat satu variabel disebut persamaan linear satu variabel. Jadi 6m= 48 merupakan salah satu contoh PLSV Jika dimisalkan setiap kg daging yang dimakan harimau jantan adalah j, dan yang dimakan harimau betina adalah b, maka kalimat 109
terbukanya dapat dituliskan j = 2b dan j + b = 36. Kalimat terbuka ersebut mempunyai dua variabel yaitu j dan b, maka kalimat tersebut bukan PLSV.
1. Kalimat yang mengandung informasi yang sesuai dengan fakta atau kenyataan disebut kalimat bernila benar. 2. Kalimat yang mengandug pernyataan yang tidak sesuai dengan fakta atau kenyataan disebut kalimat bernilai salah.
1. Periksa kalimat-kalimat berikut ini manakah yang merupakan pernyataan? Jelaskan. Jika sebuah kaliamat merupakan pernyataan tentukan nilai kebenaranya. a. Pasir adalah benda padat. b. 2 + 7 = 10 c. 12 – y = 17 d. Hasil kali 42dan lima adalah 40 e. Jumlah sebuah bilangan cacah dengan 6 adalah 11 f. Layang- layang buakan bangun segi empat. g. X adalah bilangan prima. h. Jika x = 2 maka 10 – x = 8 2. Periksalah kalimat- kalimat berikut ini, manakah yang merupakan kalimat terbuka? Tuliskan alasannya a. 5 + n = 17
110
b. 10 – 4 = 6 c. Lima kali suatu bilangan adalah 20 d. Kuadrat dari 3 lebih besar dari 10 e. Jumlah 14 bilangan dengan suatu bilangan kurang dari 23 f. Harga satu liter minyak tanah dinaikan Rp 1.000.000 menjadi Rp7000.00
111
*Kegiatan Belajar 4
Menentukan Bentuk Setara Dari PLSV (Dengan cara kedua ruas ditambah, dukurangi, dikalikan, dibagi dengan bilangan yang sama) perhatikan contoh berikut ini: 1. 2x + 2 =6 2. 2x + 4 =8 3. 2x = 4 4. 4x + 4 = 12 5. X + 1 = 3 Himpunan penyelesaian (hp) dari 2x + 2 =6 adalah 2 Himpunan penyelesaian (hp) dari 2x + 4 =8adalah 2 Himpunan penyelesaian (hp) dari 2x = 4adalah 2 Himpunan penyelesaian (hp) dari 4x + 4 = 12 adalah 4 Himpunan penyelesaian (hp) dari X + 1 = 3adalah 2
Bentuk Penyelesaian Dari PLSV Menyelesaiakan persamaan sama artinya dengan menentukan pengganti variabel sehingga persamaan menjadi bernilai benar. Untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel, kita gunakan aturan pesamaan yang setara, yaitu dua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama. Contoh 3.4.1 Tentukan himpunan penyelesaan persamaan berikut dengan peubah pada himpunan bilangan bulat. 1. 3x + 5 = 2x + 3 3x + 5 – 5 = 2x + 3 – 5
Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel Bentuk Pecahan Dalam menyelesaikan persamaan linier satu variabel bentuk pecahan, caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan kedua ruas dikalikan dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian PLSV diselesaikan.
Contoh 3.4.2 Tentukan penyelesaian dari persamaan
, jika x variabel pada
himpuna bilangan rasional.
Penyelesaian :
10
=10
(kedua ruas dikalikan KPK dari 2 dan 5)
2x – 20 = 5(x - 1) 2x – 20 + 20 = 5x - 5 +20
(kedua ruas ditambah 20)
2x = 5x + 15 2x – 5x = 5x + 15 – 5x
(kedua ruas dikurangi 5x)
-3x = 15
113
=
(kedua ruas dibagi -3)
= -5 Jadi himpuna penyelesaian dari
adalah (-5
1. Rima dan Alvi membeli peren lolipop. Rima membeli 5 bungkus, sedangka Alvi membeli 2 bungkus. Banyak permen lolipop dalam seiap bungkus adalah sama. Selesaikan pertanyaan berikut ini. Jika rima memberi kakaknya sembilan permen dan sisanya sama dengan banyaknya permen Alvi, berapakan banyaknya setiap permen dalam seyiap bungkus ? 2. Jembata gantung terpanjang di dunia adalah Akashi Kaikyo yang berada di Jepang, yang memiliki panjang 1.991. Jepang juga memiliki jembatan Shimotsui Straight. Jembatan Akashi Kaikyo memiliki panjang 111 meter lebih panjang dari dua kali panjang jembatan Shimotsui Straight . berapakah panjang dari jembatan Shimotsui Straight ?
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Kalimat tersebut dapat dituliskan dalam kalimat matematika 5x – 9 = 2x Untuk menghitung banyaknya permen dalam setiap bungkus, maka harus dicari nilai pengganti dari permisalan tadi, yaitu dapat dilakukan dengan membuat kesetaraan : 5x – 9 = 2x 5x – 9 + 9x = 2x + 9 5x
= 2x + 9
5x – 2x = 2x – 2x + 9 3x x
(kedua ruas ditambah 9)
= 9 =3
(kedua ruas dikurangi 2x)
(kedua
ruas
dibagi
3)
Jadi banyaknya permen lolipop dalam setiap bungkus adalah 3 buah. 2. Misalkan panjang jembatan Shimotsui Straight adalah p. Karena panjang jembatan Akashi Kaikyo adalah 1.991 meter, dan dari kalimat “ jembatan
114
akashi Kaikyo memiliki panjang 111 lebih panjang dua kali panjang jembatan Shimotsui Straight “ maka kalimat tersebut dapat dituliskan dalam kalimat matematika 2p + 111 = 1.991. Untuk menghitung panjangnya jembatan Shimotsui Straight maka harus dicari jilai pengganti dari permisalan tadi, yaitu dapat dilakukan dengan membuat kesetaraan 2p + 111 = 1.991. 2p = 1991 – 111 2p = 1880 = P = 940 Jadi panjang jembatan Shimotsui Straight adalah 940 meter.
1. Untuk menentukan bentuk setara dan menetukan penyelesaian dari PLSV
gunakan
aturan
persamaan
setara, yaitu
kedua ruas
ditambah,dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama 2. Untuk menyelesaikan PLSV brentuk pecahan caranya hampir sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat bentuk pecahan kedua ruas dikalikan dengan KPK dari penyebut-penyebutnya.
115
1. Pada hari minggu Salwa membuat kue Dunat. Tapi ia lupa menghitung semua kue dunat yang telah dubuatnya, sekarang banyak dunat yang masih tersisa adalah 15 buah. Setelah bertanya kepadakeluarganya. Salwa mengetahui jumlah dunat yang telah dimakan sebanyak 12 buah. Berapa dunat yang telah dibuat Salwa? a. Tulislah persamaan yang berkaian dengan situasi itu b. Tentukan penyelesaian persamaan tersebut c. Berapa banyak dunat buatan Salwa? 2. Pada pelajaran olahraga, pak Hamid meminta murid kelas VII A berlari mengelilingi lapangan basket. Aldi, telah mengelilingi lapangan itu sebanyak 10 kali putaran. Lari sejauh itu sama dengan dari banyak seluruh putaran yang harus diharuskan. Berapa putarankah siswa-siswi kelas VII A harus berlari mengelilingi lapangan basket ? a. Tulislah persamaan yang berkaian dengan situasi itu b. Tentukan penyelesaian persamaan tersebut c. Berapa putaran yang harus dilakukan Aldi?
116
*Kegiatan Belajar 5
Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kalimat terbuka yang berbentuk cerita. Bila kalimat tersebut diterjemahkan ke dalam kalimat matematika, maka penyelesaiannya akan lebih mudah.
Contoh 3.5.1 Tiga kurangnya dari suatu bilangan hasilnya 5
Penyelesaian : Untuk membuat kalimat matematika, bilangan yang belum diketahui dimisalkan terlebih dalam sebuah variabel. Misal : suatu bilangan tersebut adalah
maka diperoleh persamaan
Contoh 3.5.2 Keliling sebuah persegi yang panjang sisinya adalah
adalah 16 cm.
Maka persamaannya adalah
Untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang memuat konsep persamaan linear satu variabel adalah terlebih dahulu menyusun permasalahan tersebut kedalam model matematika. Model matematika adalah model yang menggunakan konsep dasar matematika dalam penggambarannya, seperti objek dalam masalah dinyatakan dalam peubah, tetapan atau parameter, hubungan antar objek dinyatakan sebagai sebagai fungsi, persamaan ataupun pertidaksamaan. Langkah-langkah penyelesaian soal cerita persamaan adalah sebagai berikut : 1. Memahami masalah 2. Menyusun rencana dengan melambangkan penuh
mengambil
sebuah
variabel
untuk
117
3. Membentuk persamaan 4. Menyelesaikan persamaan itu
Contoh 3.5.3 Sebuah perusahaan mempunyai karyawan sebanyak 49 orang. ada berapa karyawan berhalangan hadir karena sakit, sehingga karyawan yang hadir hanya ada 38 orang. Berapa orang yang berhalangan hadir ?
Penyelesaian : 1. Memahami masalah Diketahui banyak karyawan ada 49, tetapi yang hadir hanya 38, ditanyakan yang tidak hadir 2. Menyusun rencana Memisalkan yang tidak hadir dengan sebuah variabel, misal x 3. Membentuk persamaan 49
38
4. Menyelesaikan persamaan
(kedua ruas dikurangi 49)
(kedua ruas dikalikan -1)
Jadi banyak karyawan yang berhalangan hadir ada 11 orang
1. Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang.
Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas tanah petani tersebut.?
118
2. Banyaknya kambing milik pak Maman adalah 54 ekor. Beberapa ekor
kambing laku terjual, sehingga pak Maman membeli kambing lagi sebanyak 8 ekor. banyak kambing pak Maman sekarang ada 55 ekor. a. Buatlah model matematika yang menyatakan situasidi atas. b. Beberapa banyak kambing pak Maman yang terjual?
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Misalkan panjang tanah
maka lebar tanah
.
Model matematika dari soal diatas adalah
, sehingga
Penyelesaian model matematika diatas sebagai berikut :
18 18
6
18 x 12 216 m2 2. Penyelesaian : Diketahui : banyak kambing mula-mula 54 ekor, beberapa kambing terjual? Membeli kambing lagi sebanyak 8 ekor, banyak kambing sekarang 55 ekor Misal banyak kambing yang terjual adalah
119
Sehingga persamaannya adalah
Jadi banyak kambing pak Maman yang terjual ada 7 ekor
Langkah-langkah penyelesaian soal cerita persamaan adalah sebagai berikut : 1. Memahami masalah 2. Menyusun rencana dengan mengambil sebuah variabel untuk
melambangkan penuh 3. Membentuk persamaan 4. Menyelesaikan persamaan
1. Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?
120
2. Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun, sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun. Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan datang. 3. Asti dan Anton bekerja pada sebuah perusahaan sepatu. Asti dapat membuat tiga pasang sepatu setiap jam dan Anton dapat membuat empat pasang sepatu setiap jam. Jumlah jam bekerja Asti dan Anton 16 jam sehari, dengan banyak sepatu yang dapat dibuat 55 pasang. Jika banyaknya jam bekerja keduanya tidak sama, tentukan lama bekerja Asti dan Anton 4. Paman memanen apel sebanyak 520 buah. Seluruh buah mangga tersebut akan dimasukkan ke dalam 10 kotak A dan 20 kotak B. Kotak A dapat menampung buah apel sebanyak ( buah dan kotak B dapat menampung buah. a. Berapakah banyak buah apel pada masing-masing kotak A? b. Berapakah banyak buah apel pada ,asing-masing kotak B? 5. Pada suatu hari dijalanan kota tulungagung, Andi melakukan sepeda sehat dengan kecepatan12km/jam pada bagian pertama. Kemudian dilanjutkan dengan kecepatan 20 km/jam pada bagian kedua. jarak yang telah ditempuh Andi selama 2 jam adalah 34 km. a. Buatlah model matematika untuk menyatakan keterangan diatas? b. berapakah panjang lintasan yang telah ditempuh pada bagian kedua bersepedanya?
121
*Kegiatan Belajar 6
Model matematika adalah model yang menggunakan konsep dasar matematika dalam penggambarannya seperti objek dalam masalah dinyatakan dalam peubah, tetapan atau parameter, hubungan antar objek dinyatakan sebagai fungsi persamaan ataupun pertidaksamaan. Langkah pertama dalam menyelesaikan soal cerita adalah membuat model matematika dari soal tersebut. Dalam pemodelan matematika, kita menerjemahkan data pada soal ke dalam pertidaksamaan. Langkah-langkah penyelesaian soal cerita pertidaksamaan adalah sebagai berikut : 1. Memahami masalah 2. Menyusun
rencana dengan melambangkan peubah
mengambil
sebuah
variabel
untuk
3. Membentuk pertidaksamaan 4. Menyelesaikan pertidaksamaan itu
Contoh 3.6.1 Louis dan Christ masing-masing berusia
tahun dan
tahun. Jika
umur louis kurangdari umur Christ tentukan nilai .
Penyelesaian : Model matematika dari masalah di atas adalah
Untuk menentukan nilai , kita lakukan sebagai berikut
(kedua ruas dikalikan 2)
(kedua ruas dikurangi 3) 122
(kedua ruas dikurangi 4a)
Agar umur Louis kurang dari umur Christ, maka
1. Luas maksimal sebuah area parkir adalah 300 m2. Diketahui luas ratarata untuk sebuah bus adalah 24 m2 dan untuk sebuah mobil adalah 6 m2. Jika jumlah mobil yang dapat ditampung diarea parkir adalah 10 buah lebih banyak daripada bus, maka a. Susunlah model matematika untuk menyatakan keterangan diatas. b. Tentukan jumlah bus maksimal yang dapat ditampung dalam area parkir tersebut.
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Penyelesaian : a. misal luas daerah parkir yang diperlukan untuk sebuah bus adalah b dan luas parkir yang diperlukan oleh sebuah mobil adalah m Sehingga dapat dituliskan b. Dengan menggantikan salah satu variabel, maka dapat diselesaikan:
Jadi banyaknya bus yang dapat ditampung dalam daerah parkir adalah tidak lebih dari 8 bus 123
Langkah-langkah penyelesaian soal cerita pertidaksamaan adalah sebagai berikut : 1. Memahami masalah 2. Menyusun rencana dengan mengambil sebuah variabel untuk
melambangkan peubah 3. Membentuk pertidaksamaan 4. Menyelesaikan pertidaksamaan
1. Sebuah mobil dapat mengangkut muatan tidak lebih dari 2000 kg. Berat sopir dan kernetnya 150 kg. Ia akan mengangkat beberapa kotak barang. Tiap kotaknya 50kg. a. Berapa paling banyak kotak yang dapat di angkut dalam sekai pengangkutan? b. jika ia akan mengangkat 350 kotak, paling sedikit berapa kali pengangkutan kotak itu akan terangkut semuanya? 2. Pak Todung memiliki sebuah mobil box pengangkutan barang dengan daya angkut maksimal 1 ton. Berat pak Todung adalah 50kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap beratnya 25 kg. Berapa kotak paling banyak dapat diangkut pak todung dalam sekali pengangkutan? 3. Rika pergi ke sebuah cafe, ia memesan 2 buah soft drink dan sebuah hamberger. Haega satu gelas soft drink adalah Rp. 8.000,-. Jika harga hamberger tidak lebih dari Rp. 23.000,- dan n adalah jumlah uang yang harus Rika bayae dikasir maka berapakah jumlah uang yang harus Rika bayarkan dikasir? 4. Dimas mempunyai 700 kartu dan evan mempunyai 500 kartu. Masingmasing memberikan kartu kepada ilham dalam jumlah yang sama . Sisa kartu yang dimiliki Dimas lebih kecil atau sama dengan 3 kali sisa kartu
124
yang dimiliki evan. Tentukanlah masing masing kartu yang diberikan kepada ilham? 5. Pak Jaya akan membuat pagar keliling dengan panjang = dua kali lebar pagar. Dikarenakan keterbatasan dana, pak Jaya hanya mampu membangun pagar dengan total panjang (keliling) 120 meter. Berapakah ukuran panjang dan lebar pagar maksimal yang dapat dibangun oleh pak Jaya?
125
SOAL EVALUASI MPM 3 1. Tentukan hasil dari a. 4(2x – 1) b. – 5(4x – 4) c. – 2(5 – x) 2. Jika a = x2 – xy + 3y2 dan b = x2 + 2xy – y2 tentukan hasil dari a. a+2b b. 2a – b c. 3a – 2b 3. Harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp 275.000,00. a. Buatlah model matematika yang menggambarkan keadaan di atas b. Selesaikanlah model matematika tersebut kemudian tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal 4. Sebuah pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan untuk penumpang kelas ekonom batas bagasinya adalah 20 kg. Jika daya tampung bagasi pesawat tidaklebih dari 1.440 kg, maka a. Tuliskan model matematika untuk menyatakan keterangan diatas b. Tentukan batas banyaknya penumpang kelas ekonomi 5. Rumah ibu Suci dibangun diatas sebidang tanah berbentuk persegi panjangnya 20 m dan lebarnya (6y-1)m. Jika luas tanah ibu Suci tidak kurang dari100 m2, a. Berapakah lebar terkecil tanah ibu Suci? b. Jika biaya untuk membangun rumah diatas tanah seluas 1 m2 dibutuhkan uang Rp 2.000.000,-. Berapakah biaya terkecil yang harus disediakan ibu Suci, Jika besarnya dibangun seluruhnya? 6. Rani mempunyai 70 kartu dan Kiki mempunyai 50 kartu . Rani dan Kiki akan memberikan kartu kepada Ifa dalam jumlah yang sama. Sisa kartu yang dimiliki Rani sama dengan tiga kali sisa kartu yang dimiliki Kiki. a. Buatlah modul matematika untuk menyatakan situasi di atas. b. Berapakah banyak kartu yang diterima Ifa?
126
c. Berapakah sisa kartu yang dimiliki Rani? d. Berapakah sisa kartu yang dimiliki Kiki?
127
Modul ini berisi teori tentang sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel serta menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar-dasar operasi bilangan bulat, bentuk aljabar, serta sistem persamaan dan pertidaksamaan satu variabel. Setelah Anda mempelajari diharapkan Anda mampu :
modul
pembelajaran
matematika
ini
1. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dan kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. 2. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik dan menggambar grafiknya. 3. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode subtitusi. 4. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode eliminasi. 5. Menjelaskan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode subtitusi-eliminasi. 6. Dapat menghadapi permasalahan tentang pertidaksamaan linear satu variabel. 7. Dapat menghadapi permasalahan pada kasus pertidaksamaan linear di kehidupan sehari-hari.
persamaan
dan
8. Dapat berpikir kreatif dalam membangun konsep dan sifat permasalahan persamaan dan pertidaksamaan linear dan menerapkannya dalam kehidupan nyata. 9. Mampu membangun model matematika permasalahan nyata terkait dengan pertidaksamaan linear dua variabel dengan berbagai model. 129
10. Mampu mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep persamaan dan pertidaksamaan linear nilai mutlak dan menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
130
*Kegiatan Belajar 1
Bentuk Umum Dua buah persamaan linear dengan dua variabel (SPLDV) yang memiliki satu penyelesaian disebut sistem PLDV (SPLDV). Bentuk umum, yaitu:
Mengenal Sistem Persaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Perhatikan permasalahan berikut! Untuk acara ulang tahun Fira, ibu membuat beberapa macam kue. Oleh karena itu, ibu membeli bahan-bahan untuk membuat kue, yaitu 5 kg terigu dan 3 kg gula dengan harga sluruhnya Rp 30.000,00. Ternyata bahan yang dibeli ibu tersebut kurang, sehingga ibu menyuruh Fira untuk membeli 2 kg terigu dan 2 kg gula dengan harga seluruhnya Rp 16.000,00. Berapakah harga 1 kg terigu dan 1 kg gula? Masalah diatas merupakan bentuk dari masalah sistem persamaan linear dua variabel.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah dua persamaan atau lebih yang menggunakan variabel-variabel yang sama. Penyelesaian dari sistem persamaan lineardua variabel merupakan pasangan terurut bilangan yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut. Persamaan diatas dapat dijadikan sistem persamaan linear dua variabel berikut. Misal terigu = x dan gula = y, maka 5x + 3y = 30.000 2x + 2y = 16.000 Bentuk diatas merupakan bentuk baku dari sistem persaan linear dua variable
131
1. Ketika musim hujan akan tiba Andi mempersiapkan membeli payung 2 buah, dan jas hujan 3 buah, seharga Rp.15.000,00. Kmudian ibu membeli lagi payung 4 buah dan jas hujan 2 buah dengan harga Rp.20.000,00, maka berapakah harga 1 buah payung dan 1 buah jas hujan? 2. Dalam sebuah gedung pertunjukan terdapat 400 orang penonton . harga tiap lembar karcis untuk kelas II adalah Rp. 5000 sedangkan untuk kelas 1 Rp. 7000. Hasil penjualan karcis sebesar Rp. 2.300.000. berapa banyak penonton yang membeli krcis kelas I dan berapa banyk penonton yang membeli karcis kelas II ?
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. Misalkan payung = x, dan jas hujan =y, maka: 2x + 3y = 15.000 4x + 2y = 20.000 2. Misalkanpenontonkelas I = x dan penonton kelas II = y x + y = 400 7000x + 5000y = 2300.000
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel adalah dua persamaan atau lebih yang menggunakan variabel-variabel yang sama. 2. Bentuk umum dari SPLDV, yaitu:
132
1. Harga 1 kg beras dan 4 kg minyak goreng Rp14.000,00. Sedangkan harga 2 kg beras dan 1 kg minyak goreng Rp10.500,00. 2. Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. 3. Sebuah toko kelontong menjual dua jenis beras sebanyak 50 kg. Harga 1 kg berasjenis I adalah Rp 6.000,00 danjenis II adalah Rp 6.200,00/kg. Jika harga beras seluruhnya Rp 306.000,00
133
*Kegiatan Belajar 2
Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Grafik Untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik, dapat menggunakan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Gambar grafik himpunan penyelesaian dari masing-masing kedua persamaan pada sebuah bidang koordinat. 2. Tentukan titik potong grafik tersebut. Titik potong ini yang merupakan penyelesaian SPLDV tersebut,.
Contoh 4.2.1 Lihat kembali permasalah yang ada di atas.
Penyelesaian : Langkah 1 : Kita gambargrafik 5x + 3y = 30.000 dan 2x + 2y = 16.000.
X
0
6.000
Y
10.000
0
Titik potong dengan sumbu X dan Y adalah (0, 10.000) dan (6.000, 0). 2x + 2y = 16.000 X
0
8.000
Y
8.000
0
134
Langkah 2 : Kedua garis berpotongan dititik (3.000, 5.000). Jadi, harga 1 kg terigu Rp 3.000,00 dan 1 kg gula Rp 5.000,00.
MenentukanPenyelesaian SPLDV dengan Metode Subtitusi Subtitusi artinya mengganti. Menyelesaikan suatu persamaan linear dua variabel dengan metode subtitusi artinya menyelesaikan dengan cara mengganti suatu variabel dengan variabel yang lain.
Contoh 4.2.2 Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode subtitusi.
Penyelesaian : ...1 ...2 dapat diubah menjadi ...3 Subtitusikan 3 ke 2, artinya menganti variabel x pada 2 dngan 10 – y diperoleh
135
...4 Subtitusikan 4 ke 1, diperoleh
Jadi, himpunan penyelesaiannya (14, - 4)
Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Eliminasi Eliminasi artinya menghilangkan. Menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi artinya menghilangkan salah satu variabel persamaan dengan menyamakan dahulu koofisien salah satu variabel persamaan itu.
Contoh 4.2.3 Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan model eliminasi.
Penyelesaian : Koefisien variabel y pada sistem persamaan linear itu adalah sama, sehingga yang di hilangkan variabel y terebih dahulu.
Selanjutnya untuk menentukan besarnya nilai y, kita hilangkan variabel koefisien x. Koefisien variabel x pada sistem persamaan linear itu belum sama sehingga harus disamakan terlebih dahulu tanpa memperhatikan tanda. Koefisien variabel lebih mudah disamakan dengan mencari KPKnya. KPK 2 dan 1 adalah 2
136
x 1 x 2
Jadi, himpunan penyelesaian adalah (4, 0)
MenentukanPenyelesaian SPLDV dengan Metode subtitusi - Eliminasi Merupakan gabungan dari metode subtitusi dan eliminasi
Contoh 4.2.4 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:
Penyelesaian : x3 x2
Subtitusi
, di peroleh
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (-1, 4)
137
1. Selesaikan SPLDV berikutdengan metode grafik. a. b. 2. Tentukanpenyelesaian SPLDV berikut dengan metode subtitusi a. b. 3. Tentukanhimpunanpenyelesaiandari SPLDV dengan metode eliminasi? a. b. 4. Tentukanhimpunanpenyelesaiandari eliminasi?
SPLDV
denganmetode
subtitusi-
a. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk ? b. Himpunan penyelesaian dari
adalah...
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a.Y = 3x X
0
0
Y
0
0
138
X
0
0
Y
0
0
X
0
-2
Y
-2
0
X
0
Y
-3
b.
0
2. a.
139
3. a.
x5 x3
x7
x5
4. a.
x5 x2
140
x3 x5
141
1. Ada
empat
metode
yang
dapat
digunakan
untuk
mencari
penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, yaitu: a. Metodegrafik b. Metode subtitusi c. Metode eliminasi d. Metode subtitusi – eliminasi 2. Menyelesaikan suatu persamaan linear dua variable dengan metode subtitusi artinya menyelesaikan dengan cara mengganti suatu variable dengan variabel yang lain. 3. Eliminasi artinya menghilangkan salah satu variable persamaan dengan menyamakan dahulu koofisien salah satu variable persamaan itu.
Selesaikan soal-soal berikut dengan sembarang metode 1. 2. 3. 4. 5. 6.
142
7. 8. 9. 10. 11. 12.
143
*Kegiatan Belajar 3
Bentuk Umum Berikut bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel. ax + by > c ax + by < c ax + by ≥ c ax + by ≤ c Dengan : a = koefisien dari x, a ≠ 0 b = koefisien dari y, b ≠ 0 c = konstanta a, b, dan c anggota bilangan real.
Mengenal Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Diketahui system pertidaksamaan berikut, x + y ≤10 2x + 3y ≤ 24 x ≥ 0, y≥0
Pengertian
pertidasamaan linier dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing- masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah , . Persamaan diatas dapat dijadikan sistem persamaan linear dua variabel berikut, Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (10, 0) dan (0,10).
144
Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (12, 0) dan (0,8). Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan di atas. Sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian system persamaan tersebut. Sehingga daerahpenyelesaiandari SPLDV tersebutdapatdigambarkanseperti di bawahini.
Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel berupa pasangan terurut (a, b) yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel. Semua penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel disatukan dalam suatu himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua variabel biasanya disajikan dalam bentuk grafik pada bidang koordinat cartesius. Langkah- langkah yang harus diambil untuk menggambar kan grafik penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel, hampir sama dengan langkah - langkah dalam menggambarkan grafik persamaan linear dua variabel. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian sistem ptidaksamaan linear dua variabel yaitu: 1. Menentukan Penyelesaian SPLDV Dengan Kalimat Terbuka Menggunakan , ≤ , ≥ 5 + x >10 x – 4 < 12 3x – 2 ≤ 7 2x + 6 ≥ 4 145
Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama misal x > y maka x + a > y + a Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, misalnya x ≤ y maka a . x ≤ y . a dengan a > 0 Suatu pertidaksamaan akan berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama misal x ≤ y maka –x a ≥ -y a (berubah tanda karena kedua ruas dikali dengan bilangan negatif yang sama) misal x ≤ y maka (berubah tanda karena kedua ruas dibagi dengan bilangan negatif yang sama). Contoh 4.3.1 Tentukan HP dan gambar pada garis bilangan dari pertidaksamaan 3(x – 1) + 1 < 7
Penyelesain : 3( x – 1) + 1 < 7 3 x –3 + 1 < 7
Ruas kiri diselesaikan terlebih dahulu
3 x –2 < 7 3x –2 + 2 < 7 + 2 Kedua ruas ditambah lawan dari –2 yaitu 2 3x < 9 HP = { x | x < 3 , x
Kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 3 yaitu 3 R}
2. Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan kalimat tertutup menggunakan tanda , ≤, ≥ 7 + 3 ≥ 15 2 -6 < -4 + 10 3x5≤5x6 20 : 2 > 9 : 4 Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama misal x > y maka x + a > y + a Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, misalnya x ≤ y maka x ≤ y.a dengan a > 0
146
Suatu pertidaksamaan akan berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama misal x ≤ y maka –x a ≥ -y a (berubah tanda karena kedua ruas dikali dengan bilangan negatif yang sama) misal x ≤ y maka (berubah tanda karena kedua ruas dibagi dengan bilangan negatif yang sama).
Contoh 4.3.2 Tentukan HP dan pertidaksamaan
gambar
grafik
garis
bilangan
dari
suatu
–2 ≤ 2x – 4 ≤ 2 + x
Penyelesaian : Pertidaksamaan –2 ≤ 2x – 4 ≤ 2 + x terdapat dua tanda pertidaksamaan maka ada tiga ruas ( ruas kiri, ruas tengah, ruas kanan ) sehingga ada dua penyelesaian. Penyelesaian pertama ,bentuk pertidaksamaannya adalah - 2 ≤ 2x – 4 Ruas kiri dan ruas tengah …….(a) -2x ≤ -4 +2 -2x ≤ -2 x≥1
Berubah tandanya karena kedua ruas dibagi dengan –2
HP= {x | x ≥ 1, x
R}
Penyelesaian kedua, bentuk pertidaksamaannya adalah 2x–4≤2+x
Ruas tengah dan ruas kiri …..(b)
2x – x ≤ 2 + 4 x ≤ 6 HP 6 HP = {x | x ≤ 6, x
R}
Pertidaksamaan –2 ≤ 2x – 4 ≤ 2 + x terdapat dua nilai x yaitu x ≥1 dan x ≤ 6 atau 1 ≤ x ≤ 6 Sehingga HP = {x | 1 ≤ x ≤ 6 , x
R
147
1. Tentukan HP dan gambar pada garis bilangan dari pertidaksamaan 3(x – 1) + 1 < 7 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3 dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. 3( x – 1) + 1 < 7 3 x –3 + 1 < 7
Ruas kiri diselesaikan terlebih dahulu
x –2 < 7 3x –2 + 2 < 7 + 2 Kedua ruas ditambah lawan dari –2 yaitu 2 x, atau 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,… ,17}
x>9 jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 9 ; x bilangan asli ≤ 17} HP = {10, 11, 12, 13, 14, 17}
152
Jika Anda memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, dan pertidaksamaan tersebut saling berkaitan maka terbentukl ah suatu sistem. Sistem inilah yang dinamakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
1. Tentukan daerah penyelesaian dan system pertidaksamaan linier berikut, x + 2y ≥ 6 3x + 2y ≤ 18 x ≥ 0 y≥0 2. Dalam himpunan pertidaksamaan x ≥ 1, y ≥ 2 x + y ≤ 6, dan 2 x +3y ≥ 15, nilai minimum dari 3x + 4y adalah 3. Tunjukan pada diagram cartesius daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut untuk x,y R x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y < 6 4. Tunjukan pada diagram cartesius daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut untuk x,y R x ≥ 0, y ≥ 0, x + y < 6, 8x + 3y ≤24 5. Tunjukan pada diagram cartesius daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut untuk x,y R x ≥ 4, y ≥ 0, x + y < x, x + y ≥ 4
153
SOAL EVALUASI MPM 4 1. Sepuluh tahun yang lalu usia ayah Ika adalah empat kali usia Ika. Enam tahun yang akan datang usia ayah Ika adalah dua kali usia Ika. Berapa usia Ika dan ayahnya sekarang? Nyatakan permasalahan tersebut dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terlebih dahulu. 2. Satu tahun yang lalu umur Budi 2 kali umur Andri, sementara 2 tahun yang akan datang umur Andri adalah umur Budi. Umur Andri sekarang adalah.... 3. Harga 4 ekor ayam dan 5 ekor bebek adalah Rp 530.000,00, sedangkan harga 3 ekor bebek dan 2 ekor ayam adalah Rp 300.000,00. Berapa harga seekor bebek? 4. Himpunan penyelesaian dari 5. Himpunan adalah...
penyelesaian
adalah... dari
6. Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya. 7. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini. a. 2x + 3y ≥ 12 b. 2x – 5y > 20 c. 4x – 3y < 12 d. 5x + 3y ≤ 15
154
Modul ini berisi rangkuman materi mengenai Himpunan. Materi himpunan sebenarnya adalah materi baru pada tingkat pendidikan SMP/ MTs yang pada tingkat sebelumnya belum diajarkan, sehingga materi sebelumnya yang menjadi syarat sebenarnya juga sangat sedikit. Adapun materi prasyarat tersebut adalah operasi bilangan bulat, bentuk aljabar. Setelah Anda mempelajari diharapkan Anda mampu :
modul
pembelajaran
matematika
ini
1. Memahami konsep himpunan 2. Memahami cara menyajikan himpunan 3. menemukan himpunan kosong, himpunan nol dan himpunan semesta 4. Menyajikan suatu himpunan atau lebih menggunakan diagram venn 5. Memahami tentang himpunan bagian 6. Siswa dapat memahami hubungan antar himpunan 7. Siswa dapat, melakukan operasi komplemen pada himpunan
irisan,
gabungan,
selisih,
dan
8. Siswa dapat menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini! 2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan.
156
3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
157
*Kegiatan Belajar 1
Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang didefinisikan dengan jelas. Yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah adalah dapat ditentukan dengan jelas adalah dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu benda (obyek) termasuk dalam suatu kelompok yang ditentukan atau tidak. Bendabenda (obyek) yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu. Misal : 1. Kumpulan hewan berkaki dua, merupakan himpunan karena hewan berkaki dua terdefinisi dengan jelas. Anggotanya adalah ayam, bebek, burung, dll 2. Kumpulan lukisan indah, bukan merupakan suatu himpunan karena lukisan indah tidak terdefinisi dengan jelas (bersifat relatif)
Notasi Himpunan dan Anggota Himpunan 1. Notasi Himpunan Suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, seperti A, B, C, ..., Y,Z. Adapun benda atau obyek yang termasuk dalam himpunan itu ditulis didalam kurung kurawal yang terpisah dengan koma {..., ..., ...}. Contoh 5.1.1 a. A adalah himpunan warna lampu lalu lintas. Warna lampu lalu lintas adalah merah, kuning, dan hijau. Jadi, himpunan di atas ditulis A = {merah, kuning, hijau}. b. B adalah himpunan lima bilangan cacah yang pertama. Lima bingan cacah yang pertama adalah 0, 1, 2, 3, dan 4. Jadi, himpunan di atas di tulis B ={0, 1, 2, 3, 4} 2. Anggota Himpunan 158
Setiap benda atau obyek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan . Adapun suatu benda atau obyek yang tidak berada dalam suatu himpunan itu disebut bukan anggota himpunan, dinotasikan dengan . Contoh 5.1.2 Diketahui B = {0, 1, 2, 3, 4} Bilangan 0, 1, 2, 3, 4 merupakan anggota himpunan B, ditulis 0 1 2 B, 3 B, dan 4 B
B,
Karena bilangan 5, 6, dan 7 tidak terdapat dalam himpunan B, maka bilang itu bukan anggota himpunan B, maka bilang itu bukan anggota himpunan B, dan ditulis 5 B, 6 B, dan 7 B. 3. Banyaknya Anggota Suatu Himpunan Banyaknya anggota himpunan A dinotasikan oleh n(A) Contoh 5.1.1 Diketahui: A={1, 3, 5, 7, 9, 11} Banyaknya anggota himpunan A adalah 6, ditulis n(A) = 6
1. Diantara kumpulan berikut, manakah yang merupakan himpunan atau bukan himpunandan beri alasannya! a. Kumpulan bunga-bunga yang indah b. Kumpulan siswa kelas 1 SMP yang berulang tahun pada tanggal 1 Juli c. Kumpulan guru-guru SMP yang bijaksana d. Kumpulan bilangan genap antara 1 dan 10 e. Kumpulan bilangan genap kurang dari 20 f. Kumpulan guru-guru yang cantik g. Kumpulan siswa kelas 1 SMP yang pandai h. Kumpulan walimurid yang sabar i. Kumpulan buku paket matematika SMP 159
j. Kumpulan orang-orang yang rajin belajar 2. Diketahui P = {bilangan pembagi dari 24} Periksalah apakah pernyataan ini benar atau salah. a. 1
P
b. 5
P
c. 10
P
d. 2
P
e. 6
P
f. 12
P
g. 3
P
h. 8
P
i. 20 j. 4
P P
3. Diketahui P = {nama-nama bulan berhuruf awal J dalam kalender} Periksalah benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini. a. Januari b. April c. Juli
P P
P
d. Oktober
P
e. Februari
P
f. Mei
P
g. Agustus
P
h. November i. Maret j. Juni
P
P P
k. September l. Desember
P P
4. Diketahui A={nama bulan yang berumur 31 hari dalam kalender} B={nama hari dalam satu minggu yang diawali dengan huruf S}
160
C={warna dalam lampu lalu lintas} Dengan menggunakan tanda
atau , lengkapilah pernyataan berikut
a. Februari....A b. Juni...A c. Agustus...A d. Oktober...A e. November...A f. Rabu...B g. Sabtu...B h. Jum’at...B i. Senin...B j. Ungu...C k. Merah...C l. Kuning...C m.Hijau...C n. Maret...A o. Jingga...C p. Kamis...B 5. Diketahui M = Himpunan semua propinsi di Indonesia. Periksalah dan tentukan apakah pernyataan ini benar atau salah a. Jakarta
M
b. Kalimantan Timur c. Jawa Timur
M
d. Banjarmasin
M
e. Timor timur
M
M
f. Ujung Pandang
M
g. D.I. Yogyakarta
M
h. Bali
M
i. Jayapura
M
161
j. Palembang k. Banda Aceh l. Maluku
M M
M
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Bukan himpunan b. himpunan c. himpunan d. Bukan himpunan e. himpunan f. himpunan g. Bukan himpunan h. Bukan himpunan i. himpunan j. Bukan himpunan 2. P = {1,2,3,4,6,8,12,24} a. Benar b. Benar c. Benar d. Benar e. Benar f. Benar g. Salah h. Benar i. Salah j. Benar 3. P = {januari, juni, juli} a. Benar b. Benar
162
c. Benar d. Benar e. Benar f. Benar g. Benar h. Salah i. Benar j. Benar k. Benar l. Benar 4. A = { Januari, Maret, Mei, Juli, Agustus, Oktober, Desember} B = { Senin, Selasa, Sabtu } C = {merah, hijau, kuning} a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p.
163
5. a. Benar b. benar c. benar d. salah e. benar f. benar g. salah h. benar i. salah j. salah k. salah l. benar
1. Himpunan adalah kumpulan didefinisikan dengan jelas.
benda-benda
atau
obyek
yang
2. Himpunan dinotasikan dengan huruf kapital. 3. Anggota atau elemen himpunan dinotasikan dengan , sedangkan yang bukan anggota atau elemen himpunan dinotasikan dengan 4. Banyaknya anggota himpunan dinotasikan oleh n (A)
164
1. Diketahui: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 8,12, ...96} P = {s, a, k, i, t} Q = {k, u, c, i, n, g} Salin dan isilah dengan lambang menjadi kalimat yang benar a. 3
A
b. 0
A
c. 72
B
d. 54
B
e. a
P
f. u
Q
g. t
Q
h. n
P
atau
pada titik-titik berikut sehingga
2. Nyatakan benar atau salah setiap kalimat berikut: a. 2
{0,1,2,3,4}
b. 4
{1,4,9,16}
c. 8
{bilangan genap}
d. km e. 2
{satuan panjang} {252}
3. Tentukan banyaknya anggota setiap himpunan berikut a. A = {warna bendera Indonesia} b. B = {propinsi di Indonesia} c. C = {nama hari dalam seminggu} d. D = {huruf pembentuk kata MATEMATIKA} e. E = { bilangan asli yang merupakan faktor dari 18}
165
4. Di antara kelompok atau kumpulan berikut, tentukan yang termasuk himpunan dan bukan himpunan, beri alasan yang mendukung a. Kumpulan kendaraan bermotor b. Kumpulan negara-negara di Asia Tenggara c. Kelompok binatang serangga d. Kelompok binatang buas e. Kumpulan bilangan kecil 5. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan kurung kurawal a. Nama-nama bulan dalam setahun b. M adalah binatang mamalia c. N adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20 d. Y adalah himpunan planet-planet dalam tata surya e. L adalah bilangan prima ganjil
166
*Kegiatan Belajar 2
Menyatakan Suatu Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu: 1. Dengan Kata-kata Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan kata-kata, yaitu dengan menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. Misal : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 30 Himpunan P dapat ditulis P ={bilangan prima antara 10 dan 30}. 2. Dengan Mendaftar Anggota-Anggotanya Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebut nama anggotanya, yaitu dengan menulis anggota-anggotanya dalam kurung kurawal yang dipishkan dengan tanda koma. Misal : {P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 30} ditulis P = {11, 13, 17, 19, 23, 29} 3. Dengan Notasi Pembentukan Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, yaitu dengan menyebutkan semua syarat keanggotaanya yang dinyatakan dengan variabel. Contoh:a. P = { bilangan prima antara 10 dan 30} Jika ditulis dengan notasi pembentukan sebagai berikut: P = {x| 10 b. C adalah himpunan lima bilangan cacah yang pertama. Jika ditulis dengan notasi pembentukan sebagai berikut: C = {y|y adalah lima bilangan cacah yang pertama}
167
Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga Diberikan A adalah himpunan bilangan asali dari 10 sampai dengan 30. Jika himpunan A dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya, maka A ={10,11, ..., 28, 29, 30}dan n(A)=21. Oleh karena itu, himpunan A dikatakan sehingga himpunan berhingga. Diberikan B adalah himpunan bilangan bulat, jika himounan B dinyakan dengan mendaftar anggota-anggotanya, maka B ={...,–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} dan n(B)= tidak berhingga. Oleh karena itu, himpunan B dikatan himpunan tak berhingga. Dari uraian dapat disimpulkan bahwa: 1. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga, disebut himpunan berhingga 2. Himpunan yang memiliki banyak anggota himpunan tak berhingga
tak berhingga, disebut
Contoh 5.2.1 diberikan himpunan-himpunan berikut 1. A adalah himpunan bilangan asli yang kurang atau sama dengan 9 2. C {y|y adalah bilangan bulat genap}
Penyelesaian : 1. Maka A={1, 2,3,4,5,6,7,8,9} dan n(A)= 9 Jadi, himpunan A adalah berhingga 2. Maka D = {..., –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, ...}dan n(D) adalah tak berhingga Jadi, himpunan D adalah himpunan tak berhingga
168
1. Diketahui P = {1,2,3,4,5,8,11,12,13,15,18,21}. Nyatakan himpunanhimpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya! a. A = himpunan anggota P yang kurang dari 10 b. B = himpunan anggota P antara 4 dan 14 c. C = himpunan anggota P yang lebih dari 9 d. D = himpunan anggota P yang ganjil e. E = himpunan anggota P yang genap 2. Nyatakan bilangan berikut dengan kata-kata a. K = {0,1,2,3,4} b. L = {7,9,11,13,15} c. M = {x | x
12, x adalah bilangan ganjil}
d. Q = {y | 3
y
10, y bilangan genap}
3. Nyatakan bilangan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya a. D = {m | m 7, m adalah bilangan prima} b. E = {x | –4
x 4, x adalah bilangan bulat}
c. F = {bilangan prima yang kurang dari 3} d. G = {bilangan komposit antara 0 dan 20} 4. Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan a. A = {bilangan asli yang kurang dari 7} b. B = {bilangan cacah yang lebih dari 4 dan kurang dari 17} c. C = {bilangan prima antara 25 dan 40} d. D = {bilangan bulat antara –5 sampai dengan 3} e. E = {8,10,12,14} f. F = { 0, 1, 2, 3, 4, ...} g. G = {x, :,+,-}
169
5. Lengkapilah tabel berikut ini! Dinyatakan dengan kata-kata A
Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan
Dinyatakan dengan mendaftar anggotanya
P={bilangan ganjil kurang dari 16 dan habis dibagi 3}
B
Q={ x | x C}
10, x
C adalah himpunan bilangan cacah C D
T = {11,13,17,19} R={y|-2 B}
y
4, y
B adalah himpunan bilangan bulat E
K={2,4,8,16,32}
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. A = {1, 2, 3, 4, 5, 8} b. B = {5, 8, 11, 12, 13} c. C = {11, 12, 13} d. D = {1, 3, 5, 11, 13, 15, 21} e. E = {2, 4, 8, 12, 18} 2. a. Himpunan bilangan cacah kurang dari 5 b. himpunan bilangan ganjil antara 5 dan 17 3. himpunan bilangan asli kurang dari 12 4. himpunan bilangan genap antara 3 dan 9 3. a. D = {7, 9, 11, 13, 17, 19, 23 ...} b. E = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} c. F = {2} d. G = { } 170
4. a. A = {k | k < 7, k adalah bilangan asli} b. B = { n | 4 < n < 17, n bilangan cacah} c. C = { y | 25 < y < 40, y bilangan prima} d. D = { m | -5 < m e. E = { n | 8
n
3, m bilangan bulat} 14, n bilangan genap}
f. F = { y | y ≥ o, y bilangan cacah} g. G = { k | k operasi hitung matematika sederhana}
5.
Dinyatakan dengan kata-kata
Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan
Dinyatakan dengan mendaftar anggotanya
A
P={bilangan ganjil P={ x | x < 16, x K } P = {3, 6, 9, 12, 15} kurang dari 16 dan K adalah bilangan habis dibagi 3} ganjil dan habis dibagi 3
B
Q={bilangan cacah Q={ x | x 10, x C} Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, kurang dari sama 6, 7, 8, 9, 10} C adalah himpunan dengan 10} bilangan cacah
C
T={bilangan prima T={y | 11 antara 10 dan 20} y }
y
P adalah prima D
R={bilangan
R={y|-2 B}
19, T = {11,13,17,19}
bilangan y
4, y
R = {-2,-1,0,1,2,3,4}
B adalah himpunan bilangan bulat E
K = {bilangan K = {x | 2x K={2,4,8,16,32} genap 2x sebelumnya, x Q } sebelumnya antara Q adalah bilangan 1 dan 35} genap
171
1. Himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu: a. Dengan kata-kata: dengan menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. b. Dengan mendaftar anggota-anggotanya:dengan menulis anggota-anggotanya dengan kurung kurawal yang dipisahkan dengan tanda koma. c. Dengan notasi pembentuk himpunan:dengan menyebutkan semua syarat keanggotaanya yang dinyatakan dengan variabel. 2. Himpunan berhingga
berhingga : himpunan yang memiliki banyak anggota
3. himpunan tak berhingga : himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga
1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-angotanya. a. P adalah himpunan huruf pembentuk kata MAHASISWA b. L adalah himpunan nama bulan yang berumur 30 hari c. R adalah bilangan genap kurang dari 10 d. S adalah himpunan lima huruf pertama dalam abjad 2. Seledilkilah himpunan-himpunan berikut berhingga atau tak berhingga, berilah alasannya a. B adalah bilangan asli yang habis dibagi 3 b. C adalah bilangan cacah yang kurang dari 1001 c. M adalah bilangan bulat kurang dari -4
172
d. K adalah himpunan bangun datar dalam matematika 3. Salin dan isilah titik-titik ada kalimat berikut sehingga menjadi kalimat yang benar a. A = {bilangan prima kurang dari 25} maka n(A) b. B = {huruf pembentuk kata TULUNGAGUNG} maka n(B) c. C = {faktor dari 20} maka n(C) d. D = {faktor persekutuan dari 15 dan 45} maka n (D)
173
*Kegiatan Belajar 3
Himpunan Kosong Jika K adalah himpunan persegi panjang yang dibentuk oleh 3 sisi. Maka anggota himpunan K tidak ada, karena persegi panjang mempunyai empat sisi, bukan tiga sisi, sehingga himpunan K dikatakan himpunan kosong. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Notasi himpunan kosong adalah {} atau . Banyaknya anggota himpunan kosong adalah n{ } = 0.
Himpunan Nol Jika N = {x | x , x adalah bilangan cacah}, maka N ={0} dan n(N)=1, sehingga himpunan N disebut himpunan nol, yaitu himpunan yang anggotanya angka nol. Jadi, himpunan N = {0} bukan himpunan kosong. Himpunan nol adalah himpunan yang anggotanya angka nol. Himpunan nol ditulis dengan N ={0} dan banyaknya anggotanya satu atau n(N) =1 Catatan: {0}
Contoh 5.3.1 Diberikan himpunan-himpunan berikut P = { x | x adalah anggota prima genap } Q = { y | y adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 2}
Penyelesaian : P = {2}. Jadi, P bukan himpunan kosong Q = { karena bilangan ganjil tidak ada yang habis dibagi 2, sehingga disebut himpunan kosong
174
Himpunan Semesta
Perhatikan gambar di atas ! Gambar di atas menunjukkan kelompok buah-buahan yang terdiri atas jeruk, pisang, apel, dan anggur. Jika ditulis dalam bentuk mendaftar maka A = {jeruk, pisang, apel, anggur}. Apa yang dibicarakan pada himpunan A ? karena anggota himpunan dari A merupakan jenis buah-buahan, maka semesta pembicaraan dari himpunan A adalah himpunan buah-buahan, dan ditulis S ={buah-buahan}. Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari A, dan himpunan S memuat semua anggota A. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa: Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan. Himpunan semesta dinotasikan dengan S.
Contoh 5.3.2 Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari a. D= {1,3,5,7,9} b. K={ayam,itik,burung}
Penyelesaian : a. Himpunan semesta yang mungkin adalah: S={bilangan asli} atau S={bilangan cacah} b. Himpunan semesta yang mungkin adalah: S={ayam,itik,burung} atau S={hewan berkaki dua} atau S={hewan unggas}
175
1. Diantara himpunan-himpunan himpunan kosong?
berikut,
manakah
yang
merupakan
a. {y | y bilangan cacah yang kurang dari 1} b. {bilangan ganjil yang habis dibagi 2} c. {Bilangan prima antara 8 dan 10} d. {bilangan asli antar 3 dan 4} e. {bilangan genap yang habis dibagi 5 dan hasilna bilangan genap} f. {bilangan cacah yang jika dikalkan 7 mengasilkan 7} g. { x | x bilangan cacah jika ditambah 9 menghasilkan 9} 2. Tentukan sebuah himpunan semesta untuk himpunan berikut a. A = {a,b,c,d,e} b. B = {2,4,6,8,10} c. C = {3,5,7,11} 3. Tentukan dua himpunan semesta untuk himpunan berikut a. P = {3,5,7,11} b. Q = {a,i,u} c. K = {kubus, balok, prisma, limas} 4. Tentukan tiga himpunan semesta untuk himpunan berikut a. {0,2,3,6} b. {11,13,15,17,19} c. {2,3,5,7,11,13} d. {3,6,9,12,15} e. {21,24,27}
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. Bukan himpunan kosong b. himpunan kosong
176
c. himpunan kosong d. himpunan kosong e. bukan himpunan kosong f. bukan himpunan kosong g. bukan himpunan kosong 2. a. Huruf-huruf abjad b. bilangan genap positif c. bilangan prima 3. a. Bilangan prima, bilangan ganjil b. huruf-huruf abjad, huruf vokal c. bangun 3 dimensi, bangun yang mempunyai ruang 4. a. Bilangan, Bilangan cacah, {0,2,3,6} b. bilangan ganjil, bilangan yang tidak habis dibagi 2, {11,13,15,17,19} c. bilangan prima, bilangan asli yang faktornya ada 2, {2,3,5,7,11,13} d. bilangan kelipatan 3, bilangan yang habis di bagi 3, {3,6,9,12,15} e. bilangan kelipatan 3 antara 20 dan 28, bilangan yang habis dibagi 3, {21,24,27}
1. Himpunan kosong : suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota 2. Himpunan nol : himpunan yang anggotanya angka nol 3. Himpunan semesta : himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau terkait
177
1. Diantara himpunan berikut mana yang termasuk himpunan kosong a. Himpunan siswa SMP yang berumur kurang dari 10 tahun b. Himpunan kuda yang berkaki tiga c. Himpunan kubus yang mempunyai 12 sisi d. Himpunan bilangan prima genap yang habis dibagi 2 e. Himpunan nama bulan yang berumur kurang dari 30 hari f. Himpunan bilangan asli anatara 10 dan 11 g. Himpunan penyelesaian untuk 2x = 3, x bilangan cacah h. L = { x x + 4 = 0, x
bilangan asli}
2. Tentukan sebuah himpunan semesta yang mungkin untuk himpunanhimpunan berikut a. A = {1,4,9,16,25} b. B = {1,3,5,7,9,11} c. E = {m, dm, cm, mm} d. F = {persegi, persegi panjang, segitiga, trapesium} 3. Sebutkan paling sedikit 2 buah himpunan semesta yang mungkin dari tiap himpunan berikut. a. G = { x x = 2n, n
bilangan cacah }
b. H = { x x = 2n – 1, n
bilangan cacah }
c. P = {honda, yamaha, suzuki} d. Q = {merpati,dara, puyuh} 4. Tentukan sebuah himpunan semesta untuk himpunan berikut a. { kucing, anjing} b. { besi, nikel, tembaga, perak} c. {bensin, pertamak, pertalite} d. {bumi, venus, merkurius}
178
*Kegiatan Belajar 4
Membuat Diagram Venn Himpunan dapat dinyatakan dengan gambar himpunan yang disebut diagram venn. Diagram Venn pertama kali diperkenalkan oleh pakar matematika berkebangsaan Inggris yang bernama John Venn (1834-1923). Dalam membuat diagram venn perlu diperhatikan ketentuan sebagai berikut: 1. Himpunan semesta (S) digambarkan dengan sebuah persegi panjang, dan di pojok kiri atas di tulis huruf S. 2. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta digambarkan dengan kurva tertutup sederhana. 3. Setiap anggota himpunan digambarkan dengan sebuah noktah, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya. Jadi, setiap noktah mewakili satu anggota. 4. Untuk himpunan tak berhingga, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan. Misal : 1. Diketahui S={1,2,3,4,5,6}. Maka diagram venn dari himpunan S adalah
179
2. DiketahuiS={1,2,3,4,5,6,7,8} dan A={2,3,5,7}.Jika digambarkan dalam diagram Venn, maka:
3. Diketahui S = {bilangan asli}={1,2,3,4,...} A = {bilangan ganjil}={1,3,5,7,...} B = {bilangan genap}={2,4,6,8,...} Karena tidak ada anggota persekutuan antara A dan B, maka diagram venn dari himpunan di atas adalah sebagai berikut.
4. Diketahui S={1,2,3,...,9,10}, P={1,3,5,7,9}, dan Q={2,4,5,9}. Karena ada anggota persekutuan antara P dan Q yaitu 5 dan 9, maka diagram venn dari himpunan di atas adalah sebagai berikut.
5. Membuat diagram venn dari himpunan-himpunan berikut. S = {bilangan asli kurang dari 9}={1,2,3,4,5,6,7,8} 180
D = {bilangan asli genap antara 1 dan 7}={2,4,6} E = {bilangan asli kelipatan 2 yang kurang dari 7}={2,4,6} Karena anggota-anggota D dan E adalah sama, maka diagram venn untuk D dan E adalah sebagai berikut
Membaca Diagram Venn Berikut ini akan dibahas cara menyatakan suatu himpunan dengan mendaftar anggota-anggotanya dari diagram venn yang diketahui
Contoh 5.4.1
dari diagram venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut ini dengan mendaftar anggota-anggotanya 1. Himpunan S 2. Himpunan P 3. Himpunan Q 4. Himpunan S yang anggotanya menjadi P dan Q 5. Himpunan S yang anggotanya menjadi anggota P atau Q 6. Himpunan S yang anggotanya tidak menjadi anggota P maupun Q
181
Penyelesaian : 1. Semua noktah yang ada dalam persegi panjang anggota S Jadi, S ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,...,20} 2. Semua noktah yang ada di dalam kurva P adalah anggota P Jadi, P ={1,3,6,9,12,15,18} 3. Semua noktah yang ada di dalam kurva Q adalah anggota Q Jadi, Q ={3,4,5,6,7,8,9} 4. Semua noktah yang ada di dalam kurva P dan sekaligus di dalam kurva Q adalah anggota P dan Q Jadi, himpunannya;{3, 6, 9} 5. Semua noktah yang ada di dalam kurva P maupun di dalam kurva Q adalah anggota P atau Q. Jadi, himpunannya:{1,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18} 6. Semua noktah di luar kurva P dan Q tidak menjadi anggota P mauoun Q. Jadi, himpunannya: {2,10,11,13,14,16,17,19,20}
1. Buatlah diagram Venn-nya a. S = {0,1,2,3,4,5} dan A = {1,3,5} b. S = {huruf vocal} dan B = {a,i,u} c. S = {bilangan cacah antara 0 dan 10} dan C = {bilangan cacah genap antara 1 dan 10} d. S = {1,2,3,4,5,6}, P = {1,2} dan Q = {4,5} e. S = {a,b,c,d,e,f}, F = {a,b,c,d} dan G = {a,d,e} 2. Diketahui S={x|x
15, x bilangan asli}
A={y|y
10, y bilangan asli ganjil}
B={b|1
b
11, b bilangan asli genap} 182
C={c|c
10, c bilangan prima}
D = {faktor dari 6} E = {empat bilangan prima yang pertama} Nyatakan himpunan-himpunan tersebut dengan mendaftar anggotanya, kemudian buatlah diangram venn untuk masing-masing himpunan berikut, dengan S sebagai himpunan semestanya a. S, A dan B b. S, A dan C c. S, B dan C d. S, C dan D 3. Buatlah diagram Venn untuk himpunan S = {semua siswa dikelasmu} A = {siswa di kelasmu yang berkacamata} B = {siswa di kelasmu yang kidal} 4. Perhatikan diagram Venn berikut. Misalkan S = Himpunan siswa di kelasmu M = Himpunan siswa yang menyukai matematika B = Himpunan siswa yang menyukai bahasa Inggris K = Himpunan siswa yang menyukai kesenian
Jika setiap siswa diwakili oleh sebuah titik, maka tentukan: a. berapa orang siswa yang menyukai matematika? b. berapa orang siswa yang menyukai matematika dan kesenian? c. berapa orang yang menyukai bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian?
183
d. berapa orang siswa yang menyukai ketiga-tiganya? e. berapa orang yang hanya menyukai kesenian saja? f. berapa orang yang menyukai matematika dan bahasa Inggris tetapi tidak menyukai kesenian? g. berapa orang yang tidak menyukai ketiga-tiganya? h. berapa orang yang hanya menyukai salah satu dari ketiga pelajaran tersebut?
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a.
b.
c.
d.
e.
2. a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} A = {1, 3, 5, 7, 9} B = { 2, 4, 6, 8, 10}
184
b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} A = {1, 3, 5, 7, 9} C = {2, 3, 5, 7}
c. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} B = {2, 4, 6, 8, 10} C = {2, 3, 5, 7}
d. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14} C = {2, 3, 5, 7} D = {1,2,3,6}
185
3.
4. a. 7 orang b. 10 orang c. 5 orang d. 1 orang e. 3 orang f. 8 orang g. 8 orang h. 8 orang
186
1. Diagram venn : cara menyatakan himpunan dengan gambar himpunan. 2. Cara membuat diagram venn sebagai berikut: a. Menggambar persegi panjang dan menulis S di pojok kiri dengan S himpunan semestanya b. Setiap anggota himpunan digambarkan dengan sebuah noktah, dan nama anggotanya berdekatan dengan noktahnya c. Himpunan tak berhingga anggotanya tidak perlu dituliskan
1. Diketahui himpunan-himpunan berikut S = {bilangan cacah kurang dari 15} A = {lima bilangan cacah ganjil yang yang yang pertama} B = {lima bilangan cacah genap yang yang yang pertama} C = {faktor dari 8} D = {tiga bilangan kuadrat yang pertama} Nyatakan himpunan tersebut dengan mendaftar anggotanya, kemudian buatlah diagram venn untuk masing-masing himpunan berikut, dengan S sebagai himpunan semestanya. a. Himpunan S, A, B b. Himpunan S, A, C c. Himpunan S, B, D d. Himpunan S, A, C, D e. Himpunan S, B, C, D 2. Perhatikan diagram venn dibawah!
187
S = {siswa yang gemar olahraga} P = {siswa yang gemar bola voli} Q = { siswa yang gemar bola basket} Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah. Dari diagram itu, sebutkan anggota himpunan berikut.
a. Himpunan siswa yang gemar olahraga b. Himpunan siswa yang gemar bola voli c. Himpunan siswa yang gemar bola basket d. Himpunan siswa yang gemar bola voli dan basket e. Himpunan siswa yang gemar bola voli saja f. Himpunan siswa yang gemar bola basket saja g. n(S), n(P), dan n(Q)
188
*Kegiatan Belajar 5
Pengertian Himpunan Bagian Perhatikan himpunan-himpunan berikut ini! P={2,3,5,7}, Q={4,6,9}, dan R={0,1,2,3,4,5,6,7} Dari ketiga himpunan di atas, terlihat bahwa setiap anggota P yaitu 2,3,5,7 menjadi anggota himpunan R. Oleh karena itu, himpunan P merupakan himpunan bagian dari himpunan R, dan ditulis P R atau R P. Jika digambar dalam diagram Venn, maka
P
R
Adapun semua anggota himpunan Q, yaitu 4,6,9 tidak menjadi anggota dari himpunan P. Oleh karena itu, himpunan Q bukan himpunan bagian dari himpunan P, dan ditulis Q P. Demikian juga tidak semua anggota Q menjadi anggota R, yakni 9 R. Oleh karena itu, himpunan Q bukan himpunan bagian dari R dan ditulis Q R. Jika digambar dalam diagram venn maka:
P
R
189
Q
R
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa: 1. Himpunan P merupakan himpunan bagian dari R, jika dan hanya jika setiap anggota P menjadi anggota himpunan R. Notasi himpunan bagian dari R adalah P
R atau R
P.
2. Himpunan Q bukan merupakan himpunan bagian dari R, jika anggota Q yang tidak menjadi anggota R. Notasi Q bukan himpunan bagian dari R adalah Q
R.
3. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri, yaitu P P, Q Q, dan R R. 4. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan dan ditulis P atau {} P.
Contoh 5.5.1 Diketahui A = {a,b,c,d} Tentukan himpunan bagian dari A yang mempunyai anggota 1. Nol anggota 2. Satu anggota 3. Dua anggota 4. Tiga anggota 5. Empat anggota
Penyelesaian : 1. Himpunan bagian a mempunyai nol anggota adalah himpuan
A.
2. Himpunan bagian a mempunyai satu anggota adalah {a},{b},{c},{d}
190
3. Himpunan bagian a mempunyai dua anggota adalah {a,b}, {a,c},{ a,d}, {b,c}, {b,d}, dan {c,d} 4. Himpunan bagian a mempunyai tiga anggota adalah {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, dan {b,c,d} 5. Himpunan bagian a mempunyai empat anggota adalah {a,b,c,d} = A
Menentukan Jumlah Banyaknya Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan Untuk mengetahui banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan, maka pelajarilah dan perhatikan tabel berikut ini. No
Berdasarkan tabel di atas, terlihat bahwa terdapat hubungan antara banyaknya anggota suatu himpunan dengan banyaknya himpunan bagian dari himpunan tersebut. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut: Jika suatu himpunan yang mempunyai n anggota, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan itu adalah Cara lain untuk menentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan adalah dengan pola bilangan segitiga Pascal. Di bawah ini adalah contoh mencari banyaknya himpunan bagian dari himpunan ya ng beranggota 4.
Pada pola bilangan segitiga Pascal, angka tengah yang berada di bawahnya merupakan jumlah dari angka di atasnya. Himpunan bagian dari {a,b,c,d} yang mempunyai: 0 anggota ada 1, yaitu {} 1 anggota ada 4, yaitu {a},{b},{c},{d} 2 anggota ada 6, yaitu {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d} 3 anggota ada 4, yaitu {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d} 4 anggota ada 1, yaitu {a,b,c,d} Jadi, banyaknya himpunan bagian dari {a,b,c,d} ada 16 himpunan.
192
1. Tentukan himpunan bagian antara himpunan-himpunan berikut. A={2,3,4} B={bilangan asli kurang dari 7} C={a,i,u,e} E={a,u} F={bilangan prima genap} 2. Tentukan himpunan bagian dari P = {bilangan prima antara 1 dan 20} berikut ini dengan mendaftar anggotanya a. Himpunan bilangan ganjil anggota P b. Himpunan bilangan genap anggota P c. Himpunan anggota P yang kurang dari 10 d. Himpunan anggota P yang lebih dari 7 3. Diketahui G = {x|1 33 × 32 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 => 33 × 32 = 35 Jadi, 33 × 32 = 33+2. Perkalian bilangan berpangkat tersebut memperjelas sifat berikut ini. “Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka am × an = am+n ”
Contoh 8.2.1 Sederhanakan dan tentukan hasil perkalian bilangan berpangkat berikut ini. 1. 52 × 53 2. (–2)4 × (–2)5 3. 23 × 34 4. 3y2 × y3
Penyelesaian : 1. Berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat, maka: 52 × 53 = 52+3 52 × 53 = 55 2. Berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat, maka: (–2)4 × (–2)5 = (–2)4+5 (–2)4 × (–2)5 = (–2)9 3. Karena bilangan pokoknya tidak sama maka 23 × 34 tidak dapat disederhanakan.
277
4. Berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat, maka: 3y2 × y3 = 3y2+3 3y2 × y3 = 3y5, dengan y = bilangan rasional.
Perpangkatan Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif Misal : => (23)2 = (2 x 2 x 2)2 => (23)2 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) => (23)2 = 26 => (23)2 = 23x2 Jadi, (23)2 = 22×3 = 23×2 = 26 Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari tersebut memperjelas sifat berikut. Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka(am)n = am×n = an×m
Contoh 8.2.2 Sederhanakan dan tentukan hasil perkalian bilangan berpangkat berikutini. 1. (34)2 2. [(½)2]2
Perpangkatan Dari Bentuk Perkalian Jikan bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka (a × b)n = an × bn
Contoh 8.2.3 Tentukan hasil perpangkatan dari bentuk perkalian berikut inia. 1. (2 × 5)2 2. {(–3) × 2)3 3. (–3pq)4
Penyelesaian : 1. Dengan menggunakan sifat perpangkatan dari bentuk perkalian, maka: (2 × 5)2 = 22 × 52 (2 × 5)2 = 4 × 25 (2 × 5)2 = 100 2. Dengan menggunakan sifat perpangkatan dari bentuk perkalian, maka: {(–3) × 2)3 = (–3)3 × 23 {(–3) × 2)3 = –27 × 8 {(–3) × 2)3 = –216 3. Dengan menggunakan sifat perpangkatan dari bentuk perkalian, maka: (–3pq)4 = (–3)4 × p4 × q4 (–3pq)4 = 81p4q4
1. Sederhanakan 2. Sederhanakan
279
Kunci tes formatif 1.
=
2.
=
=
1. Menyederhanakan operasi perkalian pada perpangkatan dengan basis yang sama adalah dengan menambahkan eksponennya.
am × an = am+n 2. Memangkatkan Suatu Perpangkatan adalah dengan mengalikan pangkat/eksponennya.
(am)n = am×n = an×m 3. Memangkatkan
Suatu
Perkalian
Bilangan
adalah
dengan
memangkatkan basis yang berbeda dengan 1 eksponen yang sama. (a × b)n = an × bn
1. Sederhanakan perpangkatan berikut ini. a.
x
b.
x
c.
x
d. e.
x
x
280
2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk paling sederhana: a.
x
b. c. d.
x x
+
x
x
281
*Kegiatan Belajar 3
Bagaimana dengan sifat pembagian bilangan berpangkat bilangan bulat positif? Untuk hal tersebut silahkan simak penjelasan dan contoh soalnya di bawah ini. Untuk lebih mudah memahami sifat pembagian bilangan berpangkat bilangan bulat positif, silahkan pelajari operasi hitung berikut. => 35/32 = (3 x 3 x 3 x 3 x 3)/(3 x 3) => 35/32 = 3 x 3 x 3 => 35/32 = 33 => 35/32 = 35–2 Jadi, 35/32 = 35–2 Pembagian bilangan berpangkat tersebut memenuhi sifat berikut. “Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat positif maka am/an = am–n dengan m > n. Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang sifat pembagian bilangan berpangkat bilangan bulat positif, silahkan simak contoh soal di bawah ini.
Contoh 8.3.1 Sederhanakan dan tentukan hasil pembagian bilangan berpangkat berikut ini. 1. 37/34 2. (–5)6/(–5) 4 3. 2p5/p2
Penyelesaian: 1. Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat, maka: 37/34 = 37–4 37/34 = 33 37/34 = 27
282
2. Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat, maka: (–5)6/(–5) 4 = (–5)6–4 (–5)6/(–5) 4 = (–5)2 (–5)6/(–5) 4 = 25 3. Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat, maka: 2p5/p2 = 2p5–2 2p5/p2 = 2p3
Sederhanakan
Kunci Jawaban Tes ormatif =
=
Secara umum bentuk
dapat diubah menjadi am–n
283
1. Sederhanakan pembagian pada perpangkatan berikut ini. Tuliskan jawabanmu dalam bentuk bilangan berpangkat a. b. 2. Sederhanakanlah operasi berikut ini. Tuiskan jawabanmu dalam pangkat a. b.
x
284
*Kegiatan Belajar 4
Pembagian pada perpangkatan memilki beberapa macam cara, diantaranya yaitu: 1. Menyederhanakan operasi pada perpangkatan Sederhanakan bentuk jumlahkan pangkat dari pembilang =
Sederhanakan
=
kurangkan pangkat dari basis 4
=
sederhanakan
2. Operasi perkalian dan pembagian pada perpangkatan Sederhanakan bentuk
. Tuliskan jawaban dalam bentuk bilangan
berpangkat =
kurangkan pangkat
=
sederhanakan
=
jumlahkan pangkat
=
sederhanakan
3. Penerapan pembagian pada perpangkatan dalam kehidupan nyata Berdasarkan data BPS tahun 2010 jumlah penduduk pulau jawa mencapai 130 juta jiwa (melalui proses pembulatan). Sedangkan luas pulau jawa mencapai . Berapakah kepadatan penduduk pada tahun 2010? Jawaban Luas area = Kepadatan penduduk
=
285
=
subtitusikan populasi penduduk dan luas area
=
tulis kembali dalam bentuk pembagian terpisah
=
kurangkan pangkat
=
sederhanakan
Jadi kepadatan penduduk pulau jawa tahun 2010 adalah 1.000 jiwa /
1. Sederhanakan bentuk pembagian bilangan berpangkat berikut 2. Sederhanakan bentuk perpangkatan dari 3. Sederhanakan bentuk
Kunci Jawaban Tes Formatif c.
= = = = 512
d.
= = = 100
e.
= = =49 286
Pembagian pada perpangkatan memilki beberapa macam cara, diantaranya yaitu: Menyederhanakan operasi pada perpangkatan dan operasi perkalian dan pembagian pada perpangkatan
1. Bentuk sederhana dari (4a)-2 x (2a) 2. Hasil dari 42 x 323/5 x 128-3/7 adalah 3. Nilai x yang memenuhi, jika 54+x = 3. 125 adalah 4. Jika a = 27 dan b = 32, maka nilai dari 3(a-1/3) x 4b2/5 adalah 5. Bentuk sederhana dari (23)4 x (23)-5 adalah
287
*Kegiatan Belajar 5
Bagaimana membaca dan menulis notasi ilmiah? Pada kegiatan ini kamu diminta untuk melakukan pengamatan secara berkelompok . lakukan langkah kerja yang telah disajikan 1. Dengan menggunakan kalkulator saintifik, kalikan dua bilangan besar, sebagai contoh 2.000.000.000 3.000.000.000 Berapa nilai yang muncul dikalkulator? 2. Tentukan hasil perkalian 2.000.000.000 dengan 3.000.000.000 tanpa menggunakan kalkulator. Berapa hasilnya? 3. Apa yang kamu simpulkan dari hasil (1) dan (2) ? 4. Periksa kembali penjelasanmu dengan menggunakan hasil kali bilangan besar yang lain. Dari kegiatan diatas mari kita buktikan 1. Nilai yang muncul dalam kalkulator 2. 6.000.000.000.000.000.000 3. Dari kedua penyelesaian dapat kita simpulkan bahwa notasi ilmiah lebih mudah digunakan karena mempersingkat penulisan Dan dari kegiatan diatas dapat kita simpulkan bahwa: 1. Sebuah bilangan dikatakan tertulis dalam bentuk notasi ilmiah (baku) ketika
Faktor pengali berada diantara ...≤ t ≤...
Basis dari bentuk perpangkatan 10 memiliki pangkat...
2. Faktor pengali lebih besar dari 1 dan kurang dari 10 contoh 2,3 disini angka yang berwarma merah merupakan faktor pengali
,
3. Pemangkatan 10 harus memilki pangkat bilangan bulat 2,3 , disini angka yang berwarna merah merupakan pemangkatan 10 yang memilki pangkat bilangan bulat yaitu 3
288
Menulis Notasi Ilmiah Dalam Bentuk Biasa Nyatakan notasi ilmiah ini dalam bnetuk biasa 1.
= 2,16
100.000 dapatkan hasil dari perpangkatan 5 dari
basis 10 =
2.
lakukan operasi perkalian dengan memindahkantanda desimal sebanyak 5 ke tempat kanan
= 0,16
dapatkan hasil dari perpangkatan (-3) dari
basis 10 =
lakukan perkalian dengan memindahkan tanda desimal sebanyak 3 ke tempat kiri
1. Tuliskan kembali dalam bentuk biasa 2. Tuliskan dalam bentuk baku 3. Tuliskan dalam bentuk baku 120.000.000.000
Kunci Jawaban Tes Formatif 1.
= 325.000
2. 3.
289
1. Sebuah bilangan dikatakan tertulis dalam bentuk notasi ilmiah (baku) ketika
Faktor pengali berada diantara ...≤ t ≤...
Basis dari bentuk perpangkatan 10 memiliki pangkat...
2. Faktor pengali lebih besar dari 1 dan kurang dari 10 contoh 2,3 , disini angka yang berwarma merah merupakan faktor pengali 3. Pemangkatan 10 harus memilki pangkat bilangan bulat 2,3
,
disini angka yang berwarna merah merupakan pemangkatan 10 yang memilki pangkat bilangan bulat yaitu 3
1. Sederhanakan dalam bentuk baku a. b. c. 2. Tuliskan kembali dalam bentuk biasa a. b. c. 3. Tuliskan dalam bentuk baku a. 0,0000123 b. 880
290
*Kegiatan Belajar 6
Pada kegiatan ini, kamu diminta untuk mengamati suatu rumusam matematika yaitu Theorema Pythagoras berlaku pada sebuah segitiga yang salah satu sudutnya adalah siku-siku. Perhatikan dengan seksama langkahlangkah aturan Pythagoras berikut ini:
rumus umum Pythagoras akarkan kedua ruas untuk mendapatkan panjang sisi miring segitiga siku-siku di dapatkan persamaan umum untuk mencari panjang sisi miring segitiga siku-siku
Berikut ini disajikan kubus, dengan menggunakan definisi diatas dapat menemukan luas permukaan dan sisi kubus yang ada
291
Volume (s x s x s =
Panjang sisi )
(s)
Luas Permukaan (6 x s x s)
Metode 1 = = =(
)³
=( )³ = =
=
Metode 2 = = = =( = =
=
Menghitung Bentuk Pangkat Pecahan 1. Mengubahnya menjadi Operasi Akar Untuk mengubah bilangan pangkat pecahan menjadi akar, dapat dipergunakan rumus berikut: am/n = a1/n x m = (a1/n)m Misalkan kita ingin menyelesaikan bilangan 272/3 272/3 = 271/3x2 = (271/3)2 = (3√27)2 = 32 = 9
292
2. Mengubah Bilangan Pokok Menjadi Bilangan Yang Berpangkat Sama Dengan Penyebut Pada Pangkat Pecahan Dengan cara ini kita bisa menyelesaikan soal bilangan berpangkat pecahan tanpa harus mengubahnya dahulu ke dalam operasi akar. Perhatikan contoh berikut: 43/2 = (22)3/2 = 22x3/2 = 23 = 8 272/3 = (33)2/3 = 33x2/3 = 32 = 9
Contoh 8.6.1 Hitung bentuk pecahan dibawah ini: a.
b.
Penyelesaian : a. Metode 1
= =3
Metode 2
= = = =3
b. Alternatif penyelesaian: Metode 1
= = = =4
Metode 2
= = = =4 293
Metode 3
= = = =4
1. Tuliskan bentuk perpangkatan pecahan dari 2. 65/2 x 6
3/2
sederhanakan
3. Sederhanakanlah bentuk berikut (45/2)3/5
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. 2.
= = = 1.296
3.
= =
294
Untuk menyelesaikan pangkat dengan bilangan bialngan pecahan ada dua cara penyelesaian: 1. Mengubahnya menjadi Operasi Akar dengan rumus 2. Mengubah Bilangan Pokok Menjadi Bilangan Yang Berpangkat Sama Dengan Penyebut Pada Pangkat Pecahan
1. Coba selesaikan beberapa bilangan berpangkat pecahan tersebut menjadi bentuk akar: a. 51/2 b. 63/2 c. 127/2 2. Dapatkan bentuk perpangkatan yang ekivalen dengan bilangan dibawah ini a. b. c. 3. Tuliskan bentuk perpangakatan pecahan dari a. b.
295
SOAL EVALUASI MPM 8 1. Sederhanakan! a. b. 2. Nyatakan perpangkatan berikut dalam bentuk paling sederhana a.
x
b.
x
c. 4 x
+
x
3. Temukan nilai x pada persamaan matematika di bawah ini a.
=
b.
=
4. Dalam sebuah penelitian diket seekor Amoeba S berkembangbiak dengan membelah diri sebanyak 2 kali tiap 15 menit. a. Berapa banyak Amoeba S selama satu hari jika dalam suatu pengamatan terdapat 4 ekor Amoeba S? b. Berapa banyak jumlah Amoeba S mula-mula sehingga dalam satu jam terdapat minimal 1000 Amoeba S? 5. Nyatakan bilangan di bawah perpangkatan dengan basis 2.
ini
dalam
bentuk
yang
memuat
a. 64 b. 20 c. 100 d. 6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini. a. b.
= 81 x
x
= 64
7. Sederhanakan ekspresi bentuk aljabar berikut ini. a.
296
b. 8. Cahaya bergerak dengan kecepatan . Berapa jauh cahaya bergerak dalam satu tahun? Tentukan hasilnya dalam notasi ilmiah 9. Tentukan hasil dari 10. Nyatakan perpangkatan ini dalam bentuk lain 11. Berapakah nilai n
=
12. Berapakah nilai n 13. Hasil dari 14. Hasil dari 15. Tuliskan hasil perpangkatan berikut 16. Hasil operasi dari 7 17. Sederhanakan 24
×
×3
×b
: 12
297
Modul ini berisi tentang Relasi, akan diuraikan mengenai pengertian relasi, menyatakan relasi dari dua himpunan menggunakan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius. Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah menguasai materi himpunan. Setelah Anda mempelajari diharapkan Anda mampu :
modul
pembelajaran
matematika
ini
1. Menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi. 2. Menyatakan suatu relasi dengan diagram panah. 3. Menyatakan relasi dalam himpunan pasangan terurut. 4. Menyatakan relasi dalam diagram Cartesius. 5. Siswa dapat memahami ciri-ciri fungsi 6. Siswa dapat memahami fungsi dan bukan fungsi 7. Siswa dapat memahami daerah asal atau domain dan daerah kawan atau kodomain 8. Siswa dapat menentukan daerah hasil atau range 9. Siswa dapat menyajikan fungsi dalam berbagai bentuk 10. Siswa dapat menentukan nilai dari suatu fungsi Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul pembelajaran matematika ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan teliti bagian pendahuluan ini sampai Anda memahami secara tuntas tentang apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini!
299
2. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan. 3. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan. 4. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat, jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah mempelajari modul ini. 5. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu konsultasikan hasil tersebut pada guru / tutor. 6. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan pada guru/tutor pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.
300
*Kegiatan Belajar 1
Pengertian Relasi Tahukah kamu, apa yang dimaksud dengan relasi? Kata lain dari relasi adalah hubungan. Misalnya, relasi antara beberapa sutradara dengan film yang dibuatnya. 1. Riri Riza adalah sutradara film “Petualangan sherina”. 2. Rizal Mantovani “Kuntilanak”.
adalah
sutradara
dari
film
“Jelangkung”
dan
3. Indra Yudhistira pernah menyutradarai film “Andai Ia Tahu” dan “Biarkan Bintang Menari”. 4. Film “Jelangkung” disutradarai oleh Jose Purnomo. Dari data-data tersebut, terdapat dua himpunan, yaitu himpunan sutradara S = (Riri Riza, Rizal Mantovani, Indra Yudhistira, dan Jose Purnomo}, dan himpunan judul film F = {Petualangan Sherina, Jelangkung, Kuntilanak, Andai Ia Tahu, dan Biarkan Bintang Menari}. Dari kedua himpunan tersebut, kamu dapat menggambarkan relasinya sebagai berikut.
S Riri Rizal Rizal Mantovani Indra Yudhistira Jose Purnomo
F Petualangan Sherina Jelangkung Kuntilanak Andai Ia Tahu Biarkan Bintang Menari
Perhatikanlah, relasi pada gambar di atas menunjukkan himpunan S ke himpunan F dan ditulis S → F. Relasi yang menghubungkan kedua himpunan tersebut adalah “sutradara dari”. 301
Dengan demikian, relasi antara dua himpunan A dan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Pada dasarnya hidup di dunia ini saling ketergantungan satu sama lain. Seperti halnya relasi atau hubungan manusia dengan Tuhan, hubungan manusia dengan manusia, dan hubungan manusia dengan alam. Oleh karena itu, kita sebagai makhluk Tuhan yang diberi akal dan pikiran diwajibkan saling berhubungan baik satu sama lain, sehingga menimbulkan perasaan tenang dan tentram.
Menyajikan Relasi 1. Relasi dalam diagram panah Relasi dalam diagram panah dilukiskan/ dinyatakan dalam dua daerah (lingkaran/elips), arah panah, dan nama relasi. Daerah pada pangkal arah panah disebut domain, daerah pada ujung arah panah disebut kodomain, dan pasangan dari pangkal arah panah adalah range.
Contoh 9.1.1 Diberikan A = {0, 1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lukiskan relasi dalam diagram panah yang menyatakan relasi “satu kurangnya dari” dari himpunan A ke himpunan B.
Penyelesaian : Domain: A = {0, 1, 2, 3} terletak disebelah kiri (pangkal arah panah) Kodomain: B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Terletak disebelah kanan (ujung artah panah) Nama relasi: A satu kurangnya dari B Model Matematika: R(x) = x + 1
302
Relasi dalam diagram panah: A
Satu kurangnya dari
B
0
1
1
2
2
3
3
4 5 6
Range: R : A -> B = {1, 2, 3, 4}. 5 dan 6 tidak mempunyai pasangan. 2. Relasi dalam himpunan pasangan terurut Sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat juga dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut berikut: (x, y) dengan x ϵ A dan kawan dari A adalah y ϵ B. semua pasangan terurut (x, y) yang menghasilkan kalimat benar disebut himpunan penyelesaian dari relasi tersebut.
Contoh 9.1.2 Diberikan A = {1, 8, 27, 64, 81} dan B = {1, 2, 3, 4}. Tuliskan relasi dalam himpunan pasangan terurut.
Penyelesaian : Domain: A = {1, 8, 27, 64, 81} Kodomain: B = {1, 2, 3, 4} Nama Relasi: A pangkat tiga dari B Range: {1, 2, 3, 4} dengan 81 tidak ada pasangan. Himpunan pasangan terurut: {(1, 1), (8, 2), (27, 3), (64, 4)} a. Relasi dalam diagram Cartesius Diagram Cartesius atau grafik Cartesius terdiri atas dua sumbu yang saling tegak lurus. Sumbu horizontal mewakili domain (sebagai x) dan sumbu vertikal (tegak) mewakili kodomain (sebagai y).
303
Hubungan x dan y dinyatakan sebagai pasangan terurut (x, y) dan ditandai dengan sebuah titik ( ) seperti terlihat pada gambar
Y Pasangan terurut
Kodomain b
(a,b)
O
a
Domain
X
Kata Cartesius diambil dari nama seseorang ahli matematika Prancis yang bernama Rene Descartes (nama latinnya: Renatius Cartesius) yang hidup pada masa 1596-1650. Misalkan A dan B adalah dua himpunan, maka produk Cartesius dari A dan B memuat semua pasangan terurut (a, b) dengan a ϵ A dan b ϵ B. Produk Cartesius dari A dan B dinyatakan dengan A x B. Bila pengertian itu ditulis dalam notasi pembentuk himpunan diperoleh: A x B = {(a, b)} | a ϵ A, b ϵ B}. Jadi, produk Cartesius dari dua himpunan A dan B tidak komutatif atau bisa dinyatakan sebagai berikut.: A x B ≠ B x A. Pertidaksamaan itu berlaku untuk semua kondisi kecuali himpunan A sama dengan himpunan B atau salah satu himpunan adalah himpunan kosong. Apabila himpunan A mempunyai n anggota dan himpunan B mempunyai m anggota, maka A x B mempunyai nm anggota. Secara notasi matematis banyak anggota produk Cartesius dapat dituliskan sebagai berikut: n (A x B) = n (A) x n (B).
1. Lukiskan diagram panah untuk menyatakan relasi “faktor dari” dari himpunan A = {2, 3, 5} ke himpunan B = {1, 6, 10, 17}.
304
2.
A
B
Jakarta
Bali
Medan
Jawa
Pontianak
Sumatera
Denpasar
Kalimantan
a. Salin diagram di samping dan lukiskan panah dari setiap kota pada himpunan A ke pulau pada himpunan B tempat kota tersebut. b. Lengkapilah kalimat ini. Diagram panah tersebut menunjukkan relasi ... dari himpunan A ke himpunan B. 3. Sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B dalam himpunan pasangan terurut adalah sebagai berikut : {(-2, 2), (-1, 3), (0, 4), (1, 5)}. a. Tuliskan domain yang merupakan himpunan A dan range pada himpunan B. b. Tuliskan nama relasi dari himpunan A ke himpunan B. 4. Relasi dalam diagram Cartesius di samping mempunyai nama . . .
4
--
2
--
O
--
--
--
6
--
--
--
8
2
4
6
8
305
Kunci Jawaban Tes Formatif 1.
A
faktor dari
B
2
1
3
6 10
5
17
2. a. A
nama kota dari
B
Jakarta
Bali
Medan
Jawa
Pontianak
Sumatera
Denpasar
Kalimantan
b. “Nama kota dari” 3. a. Domain: A = {-2, -1, 0, 1} Range: {2, 3, 4, 5} b. “empat kurangnya dari” 4. “lebih besar sama dengan”
306
1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan pemasangan anggota (elemen) A dengan anggota B. Relasi A ke B bisa ditulis “R: A → B”. Himpunan A disebut daerah asal (domain), himpunan B disebut daerah kawan (kodomain), dan pasangan anggota A di B disebut daerah hasil (range). 2. Adapun cara menyajikan relasi ada 3, yaitu dengan: diagram panah,
pasangan terurut, dan diagram cartesius.
1. Nyatakan relasi “kuadrat dari” dalam pasangan terurut , bila diketahui A= { 1, 2, 3 } dan B= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. 2. Jika diketahui A= {1, 2, 3 } dan B= { a, b, c, d }. Maka n (A2 x B2) adalah . . . 3. Sebuah relasi dari himpunan C ke himpunan D dalam himpunan pasangan terurut adalah sebagai berikut : {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}. Tentukan : domain, kodomain dan range. 4. Sebuah hubungan antara dua himpunan ditulis sebagai pasangan terurut: (5, 7), (6, 8), dan (7, 9). Nama hubungan yang mungkin dari pasangan terurut tersebut adalah . . . 5. Apabila R: A → B adalah (2, 8), (3, 12), (4, 16), maka R-1 : B → A adalah . . .
307
*Kegiatan Belajar 2
Fungsi atau pemetaan adalah Relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan yang lain. Syarat suatu relasi merupakan fungsi atau pemetaan adalah: 1. Setiap anggota A mempunyai pasangan di B 2. Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
Contoh 9.2.1 Diketahui diagram panah: (1)
(3)
A
B
(2)
A
B
1.
.a
1.
.a
2.
.b
2.
.b
3.
.c
3.
.c
A
B
(4)
A
B
1.
.a
1.
.a
2.
.b
2.
.b
3.
.c
3.
.c
308
Diagram yang menunjukan fungsi adalah ...
Penyelesaian: 1. Diagram panah pada (1) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai pasangan tepat satu pasangan di B. 2. Diagram panah pada (2) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B. 3. Diagram panah pada (3) bukan fugsi, karena terdapat anggota A yaitu 3 mempunyai dua pasangan di B. 4. Diagram panah pada (4) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 2 mempunyai dua pasangan di B dan anggota A yaitu 3 tidak mempunyai pasangan di B.
Notasi fungsi:
f : x → y atau f : x→f(x) A
B
1.
.a
2.
.b
3.
.c
Dibaca: “fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B” Domain (daerah asal) = A = {1,2,3} Kodomain (daerah kawan) = B = {a,b,c} Range (daerah hasil) adalah himpunan semua nilai fungsi atau himpunan semua anggota kodomain yang menjadi pasangan dari anggota himpunan domain Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = c Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = a. Jadi daerah hasilnya adalah {a,c} Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b, maka
309
1. Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B adalah ba 2. Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A adalah ab.
“Setiap fungsi merupakan relasi, tetapi relasi belum tentu suatu fungsi.”
1. Perhatikan gambar! B
A
a
B
A
b
1.
.4
1.
.4
2.
.5
2.
.5
3.
.6
3.
.6
B
A
c 1.
.4
2.
.5
3.
.6
Manakah yang merupakan fungsi dan berikan alasan! 2. Tentukan banyak anggota himpunan dari B = {a,b} ke A = {1,2,3} yang bisa menjadi fungsi
310
Kunci Jawaban Tes Formatif 1. a. bukan, karena ada anggota A yang tidak berpasangan dengan anggota B yaitu 2 b. ya, karena semua anggota di A memiliki pasangan di B c. bukan, karena ada anggota di A yang memiliki 2 pasangan di B yaitu 1 berpasangan 4 dan 5 2. ab = 32 = 9 a. {(a,1), (b,1)} b. {(a,1), (b,2)} c. {(a,1), (b,3)} d. {(a,2), (b,1)} e. {(a,2), (b,2)} f. {(a,2), (b,3)} g. {(a,3), (b,1)} h. {(a,3), (b,2)} i. {(a,3), (b,3)}
311
1. Fungsi adalah aturan yang memasangkan setiap anggota dari dua himpunan secara sistematis dengan tepat satu pada himpunan yang lain. Dinotasikan dengan f : x → y atau f : x→f(x). Dapat dikatakan fungsi apabila memenuhi syarat sebagai berikut: a. Setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan di Himpunan B b. Setiap anggota himpunan A dipasangkan tepat satu anggota himpunan B. 2. Adapun cara untuk menentukan banyaknya anggota himpunan selain mendata ialah dengan rumus ba, dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B dan fungsi dari A ke B. 3. Di dalam fungsi dikenal istilah domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan) adalah daerah yang menjadi pasangan dalam fungsi, dan range (derah hasil) adalah himpunan dari anggota kodomain yang menjadi pasangan dari domain
1. Perhatikan gambar berikut! Manakah yang merupakan fungsi! B
A
a
B
A
b
a.
.4
1.
.4
b.
.5
2.
.5
c.
.6
3.
.6
2. Tentukan domain dan range dari diagram panah dari soal a (yang merupakan fungsi)! 3. Tentukan banyak anggota himpunan dari A= {1,2,3,4} ke B= {1,4,9} !
312
*Kegiatan Belajar 3
Berikut adalah cara – cara menyajikan fungsi yang biasa digunakan di dalam Matematika. Ada lima cara, yaitu: 1. Himpunan Pasangan Berurutan Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang didefinisikan adalah “ dua kali dari”. Maka bila dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, yaitu {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} 2. Diagram Panah Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang didefinisikan adalah “ dua kali dari”. Dapat dinyatakan dengan diagram panah, sebagai berikut: M
N
1.
.2
2.
.3
3.
.4
.5
3. Rumus Fungsi Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang .6 didefinisikan adalah “ dua kali dari”. Yang didefinisikan dengan himpunan pasangan berurutan, yaitu {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}. Maka dapat dilihat polanya sebagai berikut: (1, 2) → (1, 2×1) (2, 4) → (2, 2×2)
313
(3, 6) → (3, 2×3) Jadi, untuk setiap x ∊ M = {1, 2, 3} maka (x, 2 × x) merupakan anggota dari fungsi tersebut. Bentuk ini biasa ditulis dengan f(x) = 2x untuk setiap x ∊ M. Inilah yang dinyatakan dengan bentuk rumus tersebut. 4. Tabel Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang didefinisikan adalah “ dua kali dari”. Maka penyajiannya sebgai berikut: X
1
2
3
f(x)
2
4
6
5. Grafik Diketahui fungsi f dari M = {1, 2, 3} ke N = {2, 3, 4, 5, 6}. Dimana yang didefinisikan adalah “ dua kali dari”. Dapat dinyatakan dengan grafik sebagai berikut:
Menghitung Nilai Fungsi Contoh 9.3.1 Suatu fungsi linier f memiliki nilai 5 pada waktu x = 1, dan memiliki nilai 1 pada waktu x = −1. Tentukan rumus fungsinya .
314
Penyelesaian : Untuk menentukan rumus fungsi dari suatu fungsi linear f memiliki nilai 5 pada waktu x = 1, dan memiliki nilai 1 pada waktu x = −1, lakukan prosedur berikut.
Langkah 1 Dari soal tersebut, diketahui bahwa fungsi f adalah fungsi linier, maka fungsi f itu dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b
Langkah 2 Diketahui bahwa f(1) = 5 dan f(-1) = 1
f(x) = ax + b, maka f(1) = a(1) + b = 5 a+b=5
(1
f(-1) = a(-1) + b = 1 -a + b = 1
(2
Langkah 3 Dari persamaan (1 dan (2 diperoleh
a+b
=5
-a + b
=1
2a
=4
a
=2
Langkah 4 dari langkah 3 didapat a = 2, kemudian subtitusikan kesalah satu persamaan, misal persamaan (1
a+b
=5
2+b
=5
b
=5–2
b
=3
dengan demikian didapat nilai a = 2 dan b = 3 Jadi rumus fungsinya adalah f(x) = 2x + 3
315
1. Diketahui suatu fungsi f dengan daerah asal A = {6, 8, 10} dengan rumus fungsi f(x) = 3x – 4. Tentukan a. Nyatakan fungsi tersebut dengan tabel b. Nyatakan fungsi tersebut dngan grafik 2. Tentukan rumus fungsi jika diketahui fungsi f dinyatakan oleh f(x) = ax + b dengan f(-1) = 2 dan f(2) = 11
f(-1) = 2 ⟹ -a + b = 2 f(2) = 11 ⟹ 2a + b = 11 – -3a
=9
a=
= -3
subtitusikan nilai a = -3 ke : -a + b = 2 -3 + b = 2 b=2+3 b=5
f(x) = ax + b = -3x + 5 = 5 – 3x Jadi rumus fungsi yang terbentuk adalah f(x) = 5 – 3x
Fungsi dapat disajikan dengan beberapa cara, yaitu himpunan pasangan berurutan, diagram panah, rumus fungsi, tabel dan grafik. Adapun cara menentukan nilai fungsi yaitu dengan rumus fungsi f(x) = ax + b.
317
1. Suatu fungsi didefinisikan oleh f(x) = ax + 5 , jika f(-1) = 1. Tentukan rumus fungsinya! 2. Sajikan dengan himpunan pasangan berurutan dan tabel dari soal a, jiak diketahui domainya {-2, -1,0,1,2}
318
SOAL EVALUASI MPM 9 1. Sebuah hubungan antara dua himpunan ditulis sebagai pasangan terurut: (-1, 2), (1, 4),, (5, 8), (3, 6), dan (7, 10). Nama hubungan yang mungkin dari pasangan terurut tersebut adalah . . . 2.
A 2 3 4 5
B 1 2 3 4 5
a. Angka 2 mempunyai kawan . . . pada himpunan B. b. Angka 3 pada himpunan B merupakan pasangan . . . dari himpunan A. c. Range dari relasi dalam diagram panah tersebut adalah . . . 3. Apabila R: A → B adalah (1, 5), (4, 5), (1, 4), (4, 6), (3, 7), (7, 6), maka R-1 : B → A adalah . . . 4. Diketahui himpunan A = {2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6}. Tentukan: a. n(A) dan n(B) b. A x B c. B x A d. n (A x B) dan n (B x A) 5. Jika A = {a, b}, B = { 1, 2} dan C = {4, 5, 6}. Carilah: a. n (A x B) b. n (A x C) c. n (B x C) d. n (A x (B x C)) 6. Jika n (A) – 1 = 8 dan 3n (B) – 9 = 0, maka n (A x B) = . . . 7. Diketahui n (A) = 8 dan n (B) = 2 maka n (A2 x B) = . . .
319
8. Perhatikan gambar berikut !
a)
A .
B b)
1. 2. 3. 4.
A .
B
1.
.1
4.
.2
.1 .2 9.
.3
10.
.3 .4
a. Tentukan domain dan range dari diagram tersebut ! b. Tentukan banyaknya himpunan yang bisa menjadi fungsi ! 9. Fungsi kuadrat f yang ditentukan oleh f (x) = x2 - 2x yang daerah asalnya ialah A = {x | -3≤ x ≤ 5, x R} Tentukan: a. Gambarlah grafik fungsi kuadrat tersebut b. Pembuat nol fungsi (pembuat nol fungsi adalah nilai pengganti x sedemikian hingga f(x) bernilai nol)
320
KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 1 1. B 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A 7. A 8. D 9. A 10. A 11. Faktor prima dari 880 adalah 2, 5, dan 11 12. FPB = 4, dan KPK = 748 13. -142 14. Pukul 10.24 15. 10 anak 16. 196 dan 225 17. 60 lidi
18. a. 243 b. 5 c. 64 9
19. 20 321
20.
liter minyak
KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 2 1. 10x + 14y + z 2. -1 dan -3 3. 5pq2 dan -4pq2 4. bukan suku sejenis. 5. 3x – 3y 6. -8x – 11 7. 8ab + 5d 8. -8p – 2 9. 14x2 – 6x + 1 10. -8x + 8y – 11 11. a. 4x³ + 8x²y – 12xy² b. 9p² - 4 c. 8x³ - y³ d. 2x - 4x³ - 30x² 12. a. 6a b. 4a3b c. 2x – 3 d. 2x – 3 13. a. b.
KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 3 1. a. 8x + 4 b. -20 + 20 c. -10 + 2x 2. a. 3x2 – 3xy +y2 322
b. X2 + 5y2 c. X2 + 4xy + 7y2 3. a. b. Jadi harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp 275.000,00 4. a. b. Jadi banyaknya penumpang pesawat kelas utama adalah tidak lebih dari 12 orang 5. a. Jadi lebar terkecil tanahibu Suci adalah 5 meter b. Jadi biaya paling kecil adalah 100 m2 x Rp 2.000.000,- = Rp 2.000.000,6. a. b. Jadi kartu yang diterima Ifa adalah 40 kartu c. Sisa kartu yang dimiliki Rani adalah 30 kartu d. Sisa kartu yang dimilikiKiki adalah 10 kartu
KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 4 1. Umur Ayah Ika sekarang 42 tahun dan umur Ika sekarang 18 tahun 2. 3. Harga seekor bebek adalah Rp. 70.000,00 4. (-1,-1) 5. (19,
)
6. 3x + y 72,
x+y
48,
x
0,
y
0
7. a.
323
b.
c.
d.
KUNCI JAWABAN SOAL EVALUASI MPM 5 1. a. P = {A, B, C, D, E, F, G, dan H} b. K = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} c. L = {Bintang, Beringin, Kepala Banteng, Rantai, Padi dan kapas} 2. a.Himpunan Peralatan Sekolah b.Himpunan Kota di Jawa Timur c.Himpunan bulan dengan huruf depan M 3. a. Himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah
324
b. himpunan semester yang memenuhi adalah transportasi dan himpunan kendaraan bermesin
himpunan
alat
c. himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah 4. a. A dan P
b. A, P, dan H
c. C, G, H, P
5. a. {a,b}, {a,c}, {a,d}, {a,e}, {b,c}, {b,d}, {b,e}, {c,d}, {c,e}, {d,e} b. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e} c. {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e} d. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e} e. {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e} 6. a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}. c. Q adalah himpunan tiga binatang buas. Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}. 7. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. a. Dinyatakan dengan kata-kata. Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}
325
b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Z = {20