PUNTO DE EQUILIBRIOTOMA DE DECISIÓN BAJO RIESGO E INCERTIDUMBRE ARBOL DE DECISIÒN 1 ACME Manufacturing desea aumentar su capacidad con el fin de evitar una operación cuello de botella mediante la adquisición de nuevo equipo. Dos empresas han presentado sus propuestas. La propuesta A tiene costos fijos anuales de $ 50,000 y un costo variable por unidad de $ 12. La propuesta B tiene costos fijos anuales de $ 70,000 y un costo variable por unidad de $10. El precio de venta para ambas propuestas sería de $ 20 por unidad. a) Determine el punto de equilibrio en unidades y en dólares para la propuesta A. b) Determine el punto de equilibrio en unidades y en dólares para la propuesta B. c) Determine el volumen de producción para el cuál sería indiferente escoger la propuesta A o la propuesta B. (Grafique ambas funciones de costo total). d) Si el volumen esperado es de 8,500 unidades, ¿cuál alternativa debe escogerse? Solución: a. Punto de equilibrio de A: QA = CFA / (PA – VA) = 50,000 / (20 – 12) = 6,250 unidades $A = CFA / (1 – VA / PA) = 50,000 / (1 – 12 / 20) = $ 125,000.00 b. Punto de equilibrio de B: QB = CFB / (PB – VB) = 70,000 / (20 – 10) = 7,000 unidades $B = CFB / (1 – VB / PB) = 70,000 / (1 – 10 / 20) = $ 140,000.00 c. Punto de Indiferencia: UTILIDADA = UTILIDADB VENTAA – COSTO TOTALA = VENTAB – COSTO TOTALB Q VA + CFA = Q VB + CFB Q (VA – VB) = CFB – CFA Q = 20,000 / 2 = 10,000 unidades 2 500 unidades se debe elegir la propuesta A pues ofrece el menor costo.000 Q (unidades) d. 3 .Costo Total ($) A B 8.500 10. Para un volumen de 8. 60 0. A la Gerencia de Mauricio Deportes le interesa saber lo siguiente: a) ¿Cuál es el punto de equilibrio en dólares de la empresa? b) Para alcanzar el punto de equilibrio.40 0.25 0. para frontón y para squash.Vi / Pi) Tenis 40 30 0.V2) + … + QN (PN .V1) + Q2 (P2 .60 0.V1) + Q2 (P2 .CF 4 .(CF1 + CF2 + … + CFN) UTILIDAD = Q1 (P1 .000 de ventas anuales.75 0.VN) .V2) + … + QN (PN .000. Producto Precio de Venta ($) Costo Variable ($) % de las Ventas Raqueta de Tenis 40 30 50 Raqueta de Frontón 25 15 40 Raqueta de Squash 25 15 10 Los costos fijos anuales ascienden a $ 200.000.Mauricio Deportes produce una variedad de raquetas: raqueta para tenis.40 0.50 0.04 a) Para evaluar la primera pregunta deduciremos la ecuación que se emplea para dicho cálculo: UTILIDAD = Q1 (P1 .VN) . La capacidad de producción es de $ 1.V i / Pi Wi Wi (1 .40 0.160 Squash 25 15 0. La siguiente tabla muestra los datos importantes para los productos fabricados.125 Frontón 25 15 0.10 0. ¿qué cantidad de cada tipo de raqueta deberìa venderse al año? c) ¿Cuál sería la utilidad o pérdida si se opera al 70 % de la capacidad. Solución: Tipo de Raqueta Pi Vi Vi / Pi 1 . 692 Frontón 0.000. se calcula de la siguiente forma: Raquetas WI PI SEQ (WI / PI) Tenis 0.VN / PN) .V1 / P1) + (Q2 P2 / S) (1 .70 x 1.VI / PI) SEQUILIBRIO = 200.VI / PI) – CF UTILIDAD = (0.846 Squash 0.VN / PN) .10 25 2.V1 / P1) + W2 (1 .500.461 c) Para el cálculo de la utilidad si se trabaja al 70 % de la capacidad de la planta: UTILIDAD = S Σ WI (1 .325 = $ 615.384.CF ] Recordando que el punto de equilibrio se obtiene cuando la utilidad es de cero: SEQUILIBRIO = CF / ∑ WI (1 .UTILIDAD = Q1 P1 (1 .CF ] UTILIDAD = S [ W1 (1 .325) – 200.V2 / P2) + … + WN (1 .00 5 .VN / PN) .V1 / P1) + Q2 P2 (1 .000) (0.CF UTILIDAD = S [ (Q1 P1 / S) (1 .50 40 7.000 / 0.000 UTILIDAD = $ 27.V2 / P2) + … + QN PN (1 .62 b) Para el cálculo de las cantidades a vender de cada tipo de raqueta.40 25 9.V2 / P2) + … + (QN PN / S) (1 . Solución: VALOR ESPERADO Método I II III IV Cálculos 0. Mínimax e.00 “ La mejor opción es la del Método de Fabricación II ” 6 . Maximin d.25 (100) + 0.25 NIVEL DE DEMANDA Moderada Alta 200 300 300 400 300 350 300 400 0.20 (600) 0.35 (300) + 0. Máximax c.35 0. b.25 (250) + 0.20 (350) + 0.50 300. Valor Esperado.La gerencia de Producción Empaques Colón está considerando cuatro métodos alternativos para la fabricación de empaques de cartón corrugado.20 (425) 0.35 (300) + 0. Criterio de Hurwixz con coeficiente de optimismo de α = 0.00 328.25 (100) + 0.20 (400) + 0. De la Razón Insuficiente (Laplace).20 (400) + 0.40.75 322.35 (300) + 0.20 (500) 0.20 Muy Alta 600 500 425 450 0.35 (200) + 0. La rentabilidad que depende del método de fabricación y del nivel de demanda de los consumidores.20 ¿Cuál es el mejor método de fabricación de acuerdo con los siguientes criterios?: a.25 (175) + 0. f. se ha estimado como se muestra en la siguiente tabla: Unidad anual (en miles de dólares) Método de Fabricación I II III IV Probabilidad Baja 100 175 250 100 0.20 (450) Resultado 275.20 (300) + 0. MÁXIMAX Método I II III IV Observe que se coloca el valor más grande de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada método de fabricación. Demanda Máxima 100 175 250 100 “La mejor opción es la del Método de Fabricación III” MÍNIMAX Nivel de Demanda Método de fabricación BAJA MODERADA ALTA MUY ALTA I II III IV 150 75 0 150 100 0 0 0 100 0 50 0 0 100 175 150 Máximo de cada costo por método 150 100 175 150 “La mejor opción es la del Método de Fabricación II” 7 . Demanda Máxima 600 500 425 450 “La mejor opción es la del Método de Fabricación I” MAXIMIN Método I II III IV Observe que se coloca el valor más bajo de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada método de fabricación. 40) (100) 0.40 (500) + (1 – 0. 0. 600 500 425 450 D Mín.00 343.40) (250) 0. “La mejor opción es la del Método de Fabricación II” 8 .50 Observe que es el mismo cálculo del valor esperado.40 ) Método I II III IV D Máx.40) (175) 0.40 (600) + (1 – 0.25 312.75 331.40 (450) + (1 – 0. + ( 1 – α) D Mín.40 (425) + (1 – 0.HURWICZ ( α = 0.40) (100) Resultado 300 305 320 240 “La mejor opción es la del Método de Fabricación III” LAPLACE Método I II III IV D Promedio 300. con la diferencia de que todos los tipos de demandas tienen igual ponderación de ocurrencia. 100 175 250 100 α D Máx. Este margen relativamente alto refleja lo perecedero del artículo y gran riesgo de almacenarlo. Desarrolle la matriz de utilidades condicionales. Usted se enfrenta al problema de cuánto ordenar el día de hoy para satisfacer la demanda de mañana.Usted se dedica a la venta de fresas frescas en un ambiente de gran competencia. Asumiendo que la ventas futuras se comportarán de igual forma que las ventas históricas: a. Mínimax d. Determine la Utilidad que se obtendría con información perfecta. Maximax b. Criterio de Hurwicz con coeficiente de optimismo de α = 0. de días con esa venta 18 36 27 9 1. Empleando el criterio del Valor Esperado. Ventas Diarias 10 11 12 13 No. Usted compra las fresas en $ 3 00 la caja y las vende a $ 8 00 la caja. La siguiente tabla muestra las ventas pasadas de los últimos 90 días. el producto no tiene ningún valor después del primer día en que se ofrece a la venta. a. d. Asumiendo una situación de toma de decisiones bajo incertidumbre. Determine el Valor de la Información Perfecta. Maximin c.70 9 . 2. b. determine la cantidad de cajas a comprar. determine la mejor alternativa utilizando. c. Absoluta F.20) + 55 (0.40 40 % 12 27 0.30) + 55 (0.10 10 % Totales 90 1.40) + 55 (0.20) + 49 (0.E.40) + 60 (0. 10 = 50 (0. 12 = 44 (0. 13 = 41 (0.E.20) + 52 (0.E. primero se establecieron las probabilidades para cada demanda según las frecuencias: Demanda F.40) + 50 (0.00 100 % Por último la utilidad esperada se obtiene de la fórmula: Utilidad Promedio Esperada = Σ U i * P i : U.30) + 65 (0.20 20 % 11 36 0.20) + 50 (0. Relativa Probabilidad 10 18 0.10) = 54 U. Matriz de Utilidades Condicionales Para el cálculo de los coeficientes de la Matriz de Utilidad se basará en la ecuación: Utilidad = 8 00 Cantidad Vendida – 3 00 Cantidad Comprada Para el cálculo de la Utilidad esperada.30) + 50 (0.E.10) = 50 U.40) + 57 (0.Solución: PARTE I a.30 30 % 13 9 0. 11 = 47 (0.10) = 51 10 .30) + 60 (0.10) = 53 U. la cual resulta de: 50 (0. E.10) ] – 54 = $ 2 50 PARTE II a. I. P. La Utilidad Esperada con información perfecta será de $ 56 50.30) + 65 (0. La mejor opción resulta ser la de comprar 12 cajas pues con ella se obtiene la mayor Utilidad Esperada con un valor de 54. = U. ( Ū ) V.40) + 60 (0.20) + 55 (0.30 0.10 b. MÁXIMAX Alternativa 10 11 12 13 Utilidad Máxima 50 55 60 65 Observe que se coloca el valor más grande de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada alternativa. P.40 0. P. E. E. R. = [ 50 (0. – U. I.20) + 55 (0. c. I.Compras Demanda Utilidad Promedio 10 11 12 13 Esperada 10 50 50 50 50 50 11 47 55 55 55 53 12 44 52 60 60 54 13 41 49 57 65 51 Probabilidad 0.40) + 60 (0. “La mejor opción es la Alternativa de comprar 13” 11 . B.10) = 56 50 d.30) + 65 (0. V. E.20 0. El valor esperado con información perfecta no es más que la diferencia de tomar de la matriz de utilidades el mejor valor de cada columna y multiplicarlo por su probabilidad correspondiente y el de la utilidad esperada con información perfecta. 70) (50) 0. 0. MINIMAX Compras Máximo Costo de Demanda 10 11 12 13 Oportunidad 10 0 5 10 15 15 11 3 0 5 10 10 12 6 3 0 5 6 13 9 6 3 0 9 Observe que se toma la utilidad más alta de cada columna (demanda) y ese se hace cero. “ La mejor opción es la Alternativa de comprar 12 ” d. 50 47 44 41 α U Máx. Utilidad Mínima 50 47 44 41 “ La mejor opción es la Alternativa de comprar 10 ” c. CRITERIO DE REALISMO ( α = 0.b.70 ) Alternativa 10 11 12 13 U Máx.70 (50) + (1 – 0.70) (41) Resultado 50 53 55 58 “ La mejor opción es la Alternativa de comprar 13 ” 12 .70 (60) + (1 – 0. MÁXIMIN Alternativa 10 11 12 13 Observe que se coloca el valor más bajo de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada alternativa.70 (55) + (1 – 0.70) (47) 0. 50 55 60 65 U Mín.70) (44) 0.70 (65) + (1 – 0. + ( 1 – α) U Mín. La compañía las compra en $ 6 00 y las vende en $ 10 00. Las langostas que no se vendan durante el día no tienen ningún valor para la empresa. Desarrolle la matriz de utilidades condicionales. Criterio Minimax 4. b. a.7 ) 13 . determine la decisión óptima utilizando: 1. ¿Qué cantidad de langostas debe comprar la empresa diariamente a fin de maximizar la utilidad esperada? c. Criterio Maximax 2.La Compañía Frescura del Mar es una distribuidora de langostas frescas. La distribución de la demanda diaria histórica se muestra en la siguiente tabla: Demanda 20 25 40 60 No. Criterio Maximin 3. de días que ocurrió 10 30 50 10 La empresa desea determinar la cantidad de langostas que deberá comprar cada día. ¿Cuál es el valor esperado de la información perfecta para la empresa? d. Criterio de Hurwicz ( α = 0. Si no se conocieran las probabilidades de ocurrencia de los posibles niveles de demanda. 10) + 10 (0.E.50) + 160 (0.10) = 95 U. 40 = .E.160 (0.E.30 0.10 10 % Totales 100 1.E.10) + 80 (0.10) = 80 U.30) + 160 (0.30) + 40 (0.50 0.10 0.50 50 % 60 10 0. 20 = 80 (0.10) .50) + 240 (0.10) = ( 5 ) 14 .10) = 95 U.Solución a.30) + 80 (0.00 100 % Aquí se expone la matriz de utilidades: Compras Demanda 20 25 40 60 20 80 80 80 80 25 50 100 100 100 40 ( 40 ) 10 160 160 60 ( 160 ) ( 110 ) 40 240 Probabilidad 0.30 30 % 40 50 0.10) + 100 (0.50) + 100 (0. primero se establecieron las probabilidades para cada demanda según las frecuencias: Demanda F. Relativa Probabilidad 20 10 0.40 (0.10 10 % 25 30 0.30) + 100 (0. 25 = 50 (0.50) + 80 (0. 60 = . Matriz de Utilidades Condicionales Para el cálculo de la Utilidad esperada.10 b.110 (0. Absoluta F. Utilidad Promedio Esperada = Σ U i * P i : U. E. I. = 80 ( . E. E. . “ La mejor opción es la Alternativa de comprar 60 ” MÁXIMIN Demanda 20 25 40 60 Utilidad Mínima 80 50 ( 40 ) ( 160 ) Observe que se coloca el valor más bajo de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada alternativa.10 ) V. E. Aunque aconsejaría comprar 40 pues hay menos riesgo de tener clientes insatisfechos si se excede de 25 langostas la demanda. = 142 .U. I. Donde U.10 ) + 100 ( . P. Para los criterios de decisión bajo incertidumbre. por tanto ambas son buenas. Para el cálculo del valor esperado de la información perfecta se empleará la siguiente ecuación: V. P. se detalla lo siguiente: MÁXIMAX Demanda 20 25 40 60 Utilidad Máxima 80 100 160 240 Observe que se coloca el valor más grande de la demanda probable que se presentó en la tabla para cada alternativa. P.95 = 47 d. P. E. E. I. = U.50 ) + 240 ( . no es mas que la diferencia de tomar de la matriz de utilidades el mejor valor de cada columna y multiplicarlo por su probabilidad correspondiente: U. “ La mejor opción es la Alternativa de comprar 20 ” 15 .Observe que tanto la opción de comprar 25 como 40 langostas diarias dan igual valor de utilidad esperada. I. R. c.30 ) + 160 ( . I. P. B. CRITERIO DE REALISMO ( α = 0.40) 0.70 ) Alternativa 20 25 40 60 U Máx. 80 100 160 240 U Mín.160) Resultado 80 85 100 120 “ La mejor opción es la Alternativa de comprar 60 ” 16 .70) (50) 0. “ La mejor opción es la Alternativa de comprar 40 ” d.70 (80) + (1 – 0.70 (240) + (1 – 0.70 (160) + (1 – 0.70) (. + ( 1 – α) U Mín.70) (.MINIMAX Compras Demanda Máximo Costo de 20 25 40 60 Oportunidad 20 0 20 80 160 160 25 30 0 60 140 140 40 120 90 0 120 120 60 240 210 120 240 240 Observe que se toma la utilidad más alta de cada columna (demanda) y ese se hace cero.70) (80) 0. 80 50 ( 40 ) ( 160 ) α U Máx. 0.70 (100) + (1 – 0. ayude al Gerente a decidir que opción es la más conveniente.La Gerencia del Grupo Industrial HYLSA ha detectado la necesidad de expandir la capacidad de sus instalaciones para fabricar un nuevo producto con una vida estimada de explotación de 8 años y lo han contratado a Usted para que evalúe las distintas alternativas disponibles y recomiende la mejor. Utilizando el modelo del Árbol de Decisión. Una segunda expansión de 25 000 unidades por año al cabo de tres años produciría una ganancia neta anual de $ 700 000 si la demanda es alta y de $ 120 000 si la demanda es baja. El Grupo HYLSA está considerando dos alternativas de expansión: La primera consiste en aumentar la capacidad de sus instalaciones en 40 000 unidades por año de una sola vez. Las predicciones del mercado indican una probabilidad de un 60 % de que haya una gran demanda en el horizonte de planeación y una probabilidad del 40 % de que la demanda sea baja. 17 . Una planta de 15 000 unidades por año produciría una ganancia neta anual de $ 300 000 si la demanda es alta y de $ 150 000 si la demanda es baja. Las ganancias estimadas bajo cada una de los resultados posibles: Una planta con capacidad de 40 000 unidades por año produciría una ganancia neta de $ 800 000 anuales por los próximos 8 años si la demanda es alta y de $ 100 000 anuales si la demanda es baja. La segunda alternativa consiste en aumentar la capacidad en 15 000 unidades por año y considerar una segunda expansión de 25 000 unidades por año 3 años más tarde. 60) DEMANDA BAJA (0. BAJA (0.40) 100 k / año 2 EXPANSION TOTAL 6 EXPANDIR 1 EXPANSION PARCIAL DEMANDA ALTA (0.40) 120 k / año 300 k / año 150 k / año 18 .40) 120 k / año DEM.60) NO EXPANDIR 9 DEM.60) 4 NO EXPANDIR 300 k / año 7 DEM.60) DEM. ALTA (0.40) 150 k / año 8 DEM. BAJA (0.40) 5 DEM. ALTA (0. BAJA (0.60) 700 k / año DEM. BAJA (0.40) EXPANDIR DEM.60) 700 k / año 3 DEMANDA BAJA (0. ALTA (0.800 k / año DEMANDA ALTA (0. ALTA (0. 8 = 5 [ (0. pues ofrece mayor valor esperado” 19 . 3 = 0.60) (8) (800) + (0. 6 = V.40) (150) ] = 1.40) (120) ] = 2. E.340 k V.40 [ (3) (150) + 2. E.CALCULOS DEL VALOR ESPERADO V. E.340 ]= 3.200 k V.40) (8) (100) = 4.60 [ (3) (300) + 2. 2 = (0.160 k V. E.60) (700) + (0.60) (300) + (0. E. 7 = V.060 k “La expansión total es más beneficiosa.340 ] + 0. 9 = 5 [ (0. E. Una expansión de la línea de productos requeriría una inversión de $ 100 000 mientras que el aumentar los inventarios requiere de $ 12 000. Expansión y baja demanda $ 600 000. Expandir la línea de productos. Si los inventarios se aumentan. sólo se anticipan $ 800 000 de utilidad con la expansión. En este caso hay una probabilidad de 50 % para una gran demanda y 50 % para una baja demanda. Inventarios y baja demanda $ 400 000. se espera una utilidad anual de $ 1 000 000. Inventarios y gran demanda $ 550 000. se espera una utilidad de $ 900 000 si la demanda es grande y de $ 600 000 si la demanda es baja. Aumentar los inventarios para proveer un mejor servicio a los clientes. se anticipa una leve recesión. La empresa está considerando dos alternativas para mejorar esta situación: 1. Si la demanda aumenta y se ha expandido la línea de productos.La situación financiera de la Compañía ACME no ha sido buena durante los últimos años. En caso de que la economía no mejore. Existe una probabilidad del 70 % de que la economía general del país mejore. 2. en cuyo caso hay un 80 % de probabilidad para una gran demanda por los productos por los productos de la Compañía ACME. Si la demanda es baja. Las utilidades se estiman en este caso como sigue: Expansión y gran demanda $ 750 000. ¿ Qué alternativa recomendaría Usted a la Compañía ACME ? 20 . 20) 600 k / año 3 DEM. BAJA (0. ALTA (0.30) MEJORA LA ECONOMIA (0. BAJA (0. BAJA (0.50) 550 k / año 400 k / año 21 .50) 600 k / año 6 DEM.4 MEJORA LA ECONOMIA (0.70) DEM.80) 900 k / año DEM.50) 750 k / año 5 DEM. ALTA (0. ALTA (0. ALTA (0.80) DEM.70) 1 AUMENTAR INVENTARIO DEM.50) NO MEJORA LA ECONOMIA (0.30) 7 DEM.000 k / año 800 k / año 2 EXPANDIR LINEA NO MEJORA LA ECONOMIA (0.20) 1. BAJA (0. 7 = (0.000) + (0.50 – 100 = 774.20) (800) = 960 k V. pues ofrece mayor valor esperado” 23 .80) (900) + (0. E. 4 = (0.50) (550) + (0. = V. E.70) (840) + (0. 5 = (0.50 k b) Propuesta de Aumentar el Inventario: V.20) (600) = 840 k V. 6 = (0. E.CALCULOS DEL VALOR ESPERADO V. E.50 – 12 = 718.50 k Finalmente: a) Propuesta de Expansión de la Línea: V.50 k V. 2 – Inversión Inicial = 874.30) (675) = 874. E. = V.50) (400) = 475 k V. E. E.50 k “La expansión de la línea es más beneficiosa. 2 = (0.70) (960) + (0.30) (475) = 730. 3 – Inversión Inicial = 730.50) (600) = 675 k V. E. E.50) (750) + (0. E. 3 = (0.80) (1. 000 pero la respuesta del mercado sería excelente o buena con probabilidades de 0.20.000. El costo total de este plan sería de $150.La compañía de cosméticos “Hueles bien” ha desarrollado un nuevo perfume que. No sólo interactúa con la química del cuerpo de la persona que lo usa para crear una fragancia única. Se han diseñado dos planes de comercialización. pero con probabilidades de ocurrencia de 0. Su mayor énfasis estará en comerciales de televisión.40 y 0. La campaña costaría otros $75. tiene un potencial tremendo.000 y $250. Identifique la secuencia óptima de decisiones que se debe seguir.50 y 0. sino que es especialmente duradero.000 y $10. Este plan costaría $50.30 respectivamente. El segundo plan de comercialización es más agresivo que el primero. según la opinión de la administración. todavía es posible realizar de manera inmediata una campaña de comerciales de televisión o dejar que se presente la respuesta de mercado baja.50 cada una.000 respectivamente.000 se piensa que se puede obtener una respuesta alta. moderado o baja del mercado con probabilidades de 0. 0.000 respectivamente. El primero sigue la práctica usual de la compañía de regalar pequeñas muestras del nuevo producto en la compra de otros productos de esa línea y de colocar anuncios en las revistas populares de mujeres. $100.000 y cambiaría la respuesta a alta o moderada con ingresos iguales a los antes presentados. Los ingresos serían de $200. Los ingresos con los dos resultados posibles serían de $300.60 respectivamente. Si más tarde pareciera que la respuesta del mercado va a ser baja. 24 . 50) 100 k 5 CAMPAÑA TV DEM. ALTA (0. ALTA (0. BAJA (0.DEM. MODERADA (0.50) 300 k 3 DEM. BUENA (0.50) 250 k 25 .20) PLAN Nº 1 2 200 k DEM.30) 4 200 k 100 k DEM. EXCELENTE (0. MODERADA (0.50) 1 SIN CAMPAÑA TV 10 k PLAN Nº 2 DEM.50) DEM. 50) (100) = 150 k V. 3 = (0.40) (300) + (0.60) (250) = 270 k Finalmente: c) Propuesta de Plan Nº 1: V.5 k d) Propuesta de Plan Nº 2: V. E. 2 – Inversión Inicial = 112. 4 = 150 . 5 = (0. = V. E. E.30) (75) = 112. E.50) (200) + (0.5 k V.CALCULOS DEL VALOR ESPERADO V. E.5 – 50 = 62. E. 3 – Inversión Inicial = 270 – 150 = 120 k “El Plan Nº 2 de Mercadeo es más beneficioso.75 = 75 k V. = V.50) (100) + (0. E. 2 = (0. E.20) (200) + (0. pues ofrece mayor valor esperado” 27 .