DEFINICIÓNModelo Matemático: En ciencias aplicadas, un Modelo matemático es aquel que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. Un modelo matemático es la descripción matemática de una situación real. La rama de la matemática que se encarga de estudiar sistemáticamente las propiedades de los modelos es la teoría de modelos. Un modelo matemático consta al menos de dos conjuntos básicos de elementos: 1. Variables de decisión y parámetros Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar. 2. Restricciones Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativo. Esquema del proceso de modelado SITUACIÓN DEL MUNDO REAL MODELO DEL MUNDO REAL MODELO MATEMÁTICO CONCLUSIONES además de los 40. exprésese la producción. la producción promedio disminuye en 5 manzanas y como restricción no puede haber más de 60 árboles por hectárea.EJEMPLO 1 Sean x1 y x2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2. entonces: . Representemos por x el número de árboles plantados. entonces podemos representar el modelo como: C = 3x1 + 5x2 (Costo total de Producción) Sujeto a: 8x1 + 7x2 500 x1 0 y x2 0. Solución: La producción actual de la huerta puede obtenerse de la siguiente forma: (300)(40) = 12000 manzanas por hectárea y por año. Si por cada árbol que se plante por hectárea. además de los 40. Si el tiempo total de producción está restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2. la producción = (número de árboles por hectárea) (producción promedio anual de un árbol). los parámetros son los costos de producción de ambos productos. Puesto que la producción promedio por árbol disminuye en 5 manzanas por cada árbol plantado. EJEMPLO 2 Una huerta de manzanos tiene 40 árboles por hectárea y el promedio de producción es de 300 manzanas por árbol y por año. $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. y en general. . así como al desarrollo de procedimientos para su solución.. los modelos matemáticos de los . que solamente hace unos años no se podían abordar.Producción: promedio anual de un árbol = 300 – 5x. Tanto el diseño como la operación se pueden facilitar mediante la simulación del proceso o de sus partes.. La primera y más evidente de ellas es que debe poseer unos conocimientos sólidos y versátiles tanto en ingeniería como en matemáticas. y la producción total será: P = (40 + x)(300-5x) Obsérvese que 0 ≤ x ≤ 60 ANTECEDENTES El empleo de métodos científicos (modelos matemáticos) en el análisis de procesos no es nuevo.Especificación matemática. La construcción de modelos matemáticos teóricos o semiteóricos constituye frecuentemente una necesidad preliminar. analógicas e hibridas) que en la actualidad permiten el estudio de problemas de gran complejidad.Análisis detallado para obtener modelos matemáticos. Una gran parte de este crecimiento de las aplicaciones científicas se debe sin duda a la existencia y empleo de calculadoras de gran capacidad (digitales. 2. Para adquirir competencia en el análisis de procesos se requiere una doble capacidad por parte del ingeniero. 3. pero la verdad es que se observa un creciente interés en los últimos diez años en este campo.Síntesis y presentación de resultados para asegurar la total comprensión. al reconocimiento y definición de problemas. ¿Qué es análisis de procesos? El análisis de procesos se refiere a la aplicación de métodos científicos. Esto quiere decir: 1. a fin de encontrar las condiciones de operación prohibidas. VENTAJAS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Experimentación económica. Repetición de experimentos. lo cual no es posible en el plano real. . con el fin de comparar distintos diseños y procesos que todavía no están en operación y ensayar hipótesis sobre sistemas o procesos antes de llevarlos a la práctica. CLASIFICACION DE MODELOS Para los propósitos de ingeniería resulta conveniente. sobre descripciones matemáticas planteadas para ayudar y comprender procesos físicos complejos. también es posible establecer características de funcionamiento.procesos se pueden manipular mucho más fácilmente que los procesos reales. Con un modelo matemático adecuado se pueden ensayar intervalos extremos de las condiciones de operación. Se pueden introducir nuevos factores o elementos de un sistema y suprimir otros antiguos al examinar el sistema con el fin de ver si estas modificaciones son compatibles. utilizar un tipo de modelo que tenga una base conceptual y no física. y también se puede llevar a su punto más crítico o de quiebre. económica y completa que en un plano real. Estudio de conmutabilidad. Es posible estudiar procesos existentes de una forma más rápida. de forma más segura se puede simular una operación fuera de las condiciones o intervalos normales. que pueden ser imposibles de realizar en un modelo real. es decir representado por enunciados matemáticos y modelos en forma de símbolos. Extrapolación. En el modelo matemático se puede introducir o retirar a voluntad un error. Los modelos exponenciales son muy frecuentes en el estudio de crecimientos poblacionales. en el cálculo de intereses bancarios. Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado. usan números para representar aspectos del sistema modelizado. en general se contentan con predecir si el estado del sistema irá en determinada dirección o si aumentará o disminuirá alguna magnitud. Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado. y generalmente . Habrá ocasiones en las que no todos los datos pertenecen a la misma curva. Modelos cuantitativos o numéricos. En dicha situación trataremos de encontrar aquella parábola que mejor represente el modelo que estamos analizando. Modelo Cuadráticos: los que se pueden expresar por medio de una ecuación cuadrática. Modelo exponencial: se representan por medio de una función exponencial. sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoría de aspectos. se puede obtener el resultado mediante una grafica o una ecuación.Por supuesto que en la práctica todo esto no es tan fácil como puede parecer a primera vista. --Según la información de entrada Modelos heurísticos (del griego euriskein 'hallar. Modelos empíricos (del griego empeirikos relativo a la 'experiencia'). Los modelos se pueden clasificar de la siguiente manera: --Según su representación matemática Modelo Lineal: los que después de ser analizados matemáticamente. --Según el tipo de representación Modelos cualitativos o conceptuales. así como también diversos fenómenos físicos. se representan por medio de una función lineal. gráficos o descripciones causales. inventar'). estos pueden usar figuras. los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados. y probabilística o heurística cuando es aleatorio. Para determinar el punto exacto para resolver alguna problemática administrativa. pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y aproximada en su cuantificación. Este tipo de modelos requiere comparar diversas condiciones.incluyen fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos que relacionan los valores numéricos. . de situaciones medibles de manera precisa o aleatoria. combinada. Modelo de optimización. variables o qué parámetros deben ajustarse para lograr un resultado o estado concreto del sistema modelado. sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre. Además. casos o posibles valores de un parámetro y ver cuál de ellos resulta óptimo según el criterio elegido. Probabilístico. --según su aplicación u objetivo Modelo de simulación o descriptivo. Para saber con precisión como está algo en una organización. --Según la aleatoriedad Determinista. Este tipo de modelos pretende predecir qué sucede en una situación concreta dada. se refiere a modelos matemáticos poco predecibles. investigación. por ejemplo con aspectos de programación lineal cuando es de manera precisa. Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. o cualquier otra situación. etc. área de operación. Cuando la optimización es entera o no lineal. de producción. que no se conoce el resultado esperado. Estocástico. Este modelo pretende ayudar a decidir qué nuevas medidas. Modelo de control. Si el ingeniero dispone de dos series de datos (una correspondiente al proceso real y otra al modelo) para un modelo relativamente poco complicado. . Otros criterios a considerar. o bien los ensayos se pueden llevar acabo modificando las condiciones de operación del proceso real. tiempo. Cuando el proceso que se ha de evaluar no se puede ensayar en una forma totalmente operacional (debido al coste. optimizada o controlada y por tanto requeriría un modelo matemático predictivo. riesgo etc. Tales simulaciones dan lugar a nuevos problemas. suele ser preciso introducir una cantidad considerable de subjetividad en el análisis a la hora de establecer la concordancia entre las dos series de datos. tal vez convenga revisar el modelo o bien intentar otro modelos de ataque.¿CÓMO SE EVALUA EL MODELO? El ingeniero puede recoger datos y ver la forma en que dichos datos se ajustan a las predicciones del modelo. En cualquier caso. además de la fidelidad. para evaluar un modelo son: Exactitud Reproductibilidad Coste Tiempo Complejidad Capacidad y posibilidad de aplicación.) la base de evaluación debe desplazarse hacia ensayos de algunas aproximaciones del sistema. Identificación de un problema o situación compleja que necesita ser simulada. si la respuesta del modelo concuerda satisfactoriamente con los resultados experimentales. estudios en planta piloto. Si la concordancia es mal. CONSTRUCCION DE UN MODELO MATEMATICO En muchos casos la construcción o creación de modelos matemáticos útiles sigue una serie de fases bien determinadas: 1. aumenta la confianza del ingeniero en la aptitud de las descripciones matemáticas. Esta fase requiere además identificar el mayor número de datos fidedignos. También podría incluir la confección de algoritmos. etc. ya que una modelización muy exacta puede ser más complicada de tratar y por tanto menos útil. químicas. qué tipo de herramienta matemática se usará. etc. Elección del tipo de modelo. rotular y clasificar las incógnitas (variables independientes y dependientes) y establecer consideraciones. Esta elección debe ser suficientemente simple como para permitir un tratamiento matemático asequible con los recursos disponibles. esto requiere precisar qué tipo de respuesta u “output” pretende obtenerse. geométricas. Si los resultados no se ajustan bien. 4. el éxito del análisis de procesos depende grandemente de la . frecuentemente se vuelve a la fase 1.2. LIMITANTES Es preciso reconocer que el análisis de procesos tiene algunas limitaciones importantes: La primera de ellas reside en la disponibilidad y exactitud de los datos. y para qué pretende usarse el modelo. que representen adecuadamente el fenómeno en estudio. Comparación de resultados los resultados obtenidos como predicciones necesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el modelo está prediciendo bien. es decir. ensamblaje de archivos informáticos. físicas. cuales son los datos de entrada o factores relevantes. Formalización del modelo en la que se detallarán qué forma tienen los datos de entrada. En esta fase posiblemente se introduzcan también simplificaciones suficientes para que el problema matemático de modelización sea tratable computacionalmente. Es importante mencionar que la inmensa mayoría de modelos matemáticos no son exactos y tienen un alto grado de idealización y simplificación. como se adaptan a la información previa existente. 3. etc. BIBLIOGRAFÍA . La segunda limitación reside en los recursos disponibles para la manipulación de los planteamientos matemáticos que componen el modelo. Hay estructuras que son fáciles de definir y describir matemáticamente pero que no se pueden manipular con los conocimientos actuales. La tercera limitante en la utilización de modelos consiste en suponer que representan al sistema real fuera del intervalo de las variables para el que el modelo ha sido originalmente propuesto. aunque el modelo este bien definido y resulte adecuado para la situación real. debido a limitaciones teóricas o de las técnicas de cálculo. En estas condiciones. Los estudios que se pueden realizar con el sistema son solamente tan exactos como los datos físicos y químicos que se introducen en el modelo.información básica disponible para el análisis. Dicha extrapolación puede constituir un aspecto valioso del modelo pero puede conducir también a errores. no resultaría un método razonable para el desarrollo de predicciones. ¿QUÉ ES EL ANÁLISIS DE PROCESOS? 3. BISCHOFF 2.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico 4. El modelo matemático.wikipedia. RÍOS. http://es. Salvador Gorbea Portal CUESTIONARIO 1.1. ESCRIBE DOS VENTAJAS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS 4. ¿QUÉ ES UN MODELO MATEMÁTICO? 2.KENNETH B. MODELIZACIÓN. DAVID MAUTNER HIMMELBLAU. SEGÚN LA CLASIFICACIÓN POR REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA ¿QUÉ MODELOS ENCONTRAMOS EN ELLA? . SIXTO (1995). ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS. ALIANZA UNIVERSIDAD 3. ESCRIBE DOS CRITERIOS A CONSIDERAR PARA EVALUAR UN MODELO 7. DESCRIBE BREVEMENTE EL MODELO DETERMINISTA 10. ESCRIBE UNA LIMITANTE PARA LA CREACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO 9. ESCRIBE DOS VENTAJAS DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Experimentación económica . 3. así como al desarrollo de procedimientos para su solución. para la definición de problemas. QUE RAMA DE LAS MATEMÁTICAS ESTUDIA LAS CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS CUESTIONARIO RESUELTO 1. ¿QUÉ ES EL ANÁLISIS DE PROCESOS? Es la aplicación de métodos científicos. ESCRIBE LOS PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO 8. ¿QUÉ ES UN MODELO MATEMÁTICO? Un modelo matemático es la descripción matemática de una situación real.5. SEGÚN LA CLASIFICACIÓN DE ENTRADA ¿QUÉ MODELOS ENCONTRAMOS EN ELLA? 6. 2. 8. ESCRIBE LOS PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO Identificación. DESCRIBE BREVEMENTE EL MODELO DETERMINISTA . Comparación de resultados. Formalización. Suponer que representan al sistema real fuera de las variables para el que el modelo ha sido originalmente propuesto. ESCRIBE DOS CRITERIOS A CONSIDERAR PARA EVALUAR UN MODELO Exactitud Reproductibilidad Coste Tiempo Complejidad Capacidad y posibilidad de aplicación. 9. ESCRIBE UNA LIMITANTE PARA LA CREACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO Disponibilidad y exactitud de los datos. Elección del tipo. Extrapolación Estudio de conmutabilidad Repetición de experimentos 4. 7. Recursos disponibles para la manipulación de los planteamientos matemáticos que componen el modelo. SEGÚN LA CLASIFICACIÓN DE ENTRADA ¿QUÉ MODELOS ENCONTRAMOS EN ELLA? Modelos heurísticos Modelos empíricos 6. SEGÚN LA CLASIFICACIÓN POR REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA QUÉ MODELOS ENCONTRAMOS NOMBRA DOS Modelo lineal Modelo cuadrático Modelo exponencial 5. 10. los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados.Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Interacción con el asunto Situación Investigación M O D E L A J E Construcción Matemática Formulación Solución Modelo Matemático Interpretación Convalidación M A T E M Á T I C O . QUE RAMA DE LAS MATEMÁTICAS ESTUDIA LAS CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS Teoría de modelos. Además. Tanto indirectamente (a través de libros y revistas especializadas) como directamente in situ (a través de datos experimentales obtenidos con especialistas del área). debe hacerse una investigación sobre el asunto. los límites entre ambas .Representar una situación “real” con un modelo matemático involucra una serie de procedimientos. Interacción con el asunto Una vez delineada la situación que se pretende estudiar. Aunque hayamos dividido esta etapa en dos sub etapas. Identificamos el proceso en tres etapas. divididas en cinco subetapas. poder utilizarlo. evaluando cuán significativa y relevante es la solución. se torna necesario un chequeo para así comprobar. . en qué nivel éste se aproxima al problema real y a partir de ahí. o gráfico. elaborar un informe en el que se comuniquen todas las facetas del desarrollo. Entonces.no son tajantes: el reconocimiento de la situación-problema se torna cada vez más claro. variables. Es aquí que se da la “traducción” de la situación-problema al lenguaje matemático. Intuición y creatividad son elementos indispensables en esta etapa. volviendo al problema investigado. con el fin de propiciar su uso. a medida que se van conociendo los datos. o representaciones. Se debe concluir esta sub etapa con un conjunto de expresiones aritméticas y fórmulas. o programa computacional que nos lleven a la solución o nos permitan deducir una. el proceso debe ser retomado en la segunda etapa cambiando hipótesis. etc. derivada del modelo que está siendo investigado. Es importante al concluir el modelo. Está subdividida en formulación del problema y solución. Construcción Matemática Ésta es la etapa más compleja y desafiante. se comprueba la adecuación-convalidación. o ecuaciones algebraicas. se comprueba la adecuación del mismo. Si el modelo no atiende a las necesidades que lo generó. Para interpretar el modelo se analizan las implicaciones de la solución. se hace primero la interpretación del modelo y posteriormente. De esta forma. Modelo Matemático Para poder concluir el modelo.