MODELOS DE OPTIMIZACIÓNDE REDES AGENDA • Introducción • Terminología • Problema de la ruta más corta • Árbol de expansión mínima • Problema de flujo máximo • Problema de flujo de costo mínimo • Método CPM de truques entre tiempo y costo. DE DÓNDE SURGEN? Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones como: • Las redes de transporte • Las redes eléctricas • Las redes de comunicaciones que predominan en la vida diaria. APLICACIONES: • Distribución • Planeación de proyectos • Localización de instalaciones • Administración de recursos • Planeación financiera TERMINOLOGÍA: • Red: • Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. • Los puntos se llaman nodos (o vértices). • Las líneas se llaman arcos. TERMINOLOGÍA: • Los arcos se etiquetan al dar el nombre de los nodos en sus puntos terminales. . • Los arcos de una red pueden tener un flujo de algún tipo que pase por ellos • Arco dirigido: • Si el flujo a través de un arco se permite sólo en una dirección. • siempre se pone primero el nodo de donde viene y después el nodo hacia donde va. • Arco no dirigido o ligadura: • Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones.TERMINOLOGÍA: • Otra manera de etiquetarlo es A → B. . TERMINOLOGÍA: • Red dirigida: • Una red que tiene sólo arcos dirigidos. canales Mensajes Estaciones de bombeo Tuberías Fluidos Centros de trabajo Rutas de manejo de materiales Trabajos . • Ejemplo: Nodos Arcos Flujo Cruceros Caminos Vehículos Aeropuertos Líneas aéreas Aviones Puntos de conmutación Cables. • Red no dirigida: • si todos sus arcos son no dirigidos. de manera que el flujo del nodo i al nodo j a través de esta trayectoria es factible.TERMINOLOGÍA: • Trayectoria: • Es una sucesión de arcos distintos que conectan nodos. . • Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tiene) puede ser hacia o desde el nodo j. • OB–BD–DT (O → B → D → T ) • Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección es hacia el nodo j. . que tiene exactamente n –1 arcos.TERMINOLOGÍA: • Ciclo: • Es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. • Árbol de expansión: • Es una red conexa de n nodos. • Red conexa: • Es una red en la que cada par de nodos está conectado. CONSTRUCCIÓN… C D B E A . C D B E A .CONSTRUCCIÓN… • El primer arco puede ir en cualquier lugar de modo que conecte algún par de nodos. C D B E A .CONSTRUCCIÓN… • Cada arco nuevo debe agregarse entre un nodo que ya haya sido conectado a otros nodos y a un nuevo nodo no conectado. CONSTRUCCIÓN… C D B E A . CONSTRUCCIÓN… C D B E A . es decir el flujo que entra es igual al que sale. • Nodo de trasbordo: • Satisface la conservación del flujo. . • Nodo demanda: • Donde el flujo que llega excede al que sale de él. • Nodo fuente: • Tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo supera al que entra a él.TERMINOLOGÍA: • Capacidad del arco: • La cantidad máxima de flujo que puede circular en un arco dirigido. • El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino. PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA: • Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. • A cada ligadura se asocia una distancia no negativa. . 2. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos. . .) • Datos de la n-ésima iteración: • n – 1 nodos más cercanos al origen (que se encontró en las iteraciones previas). (Este paso se repetirá para n = 1. incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. hasta que el n-ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.) . . ALGORITMO DE LA RUTA MÁS CORTA: • Objetivo de la n-ésima iteración: • encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. el resto son nodos no resueltos. esto es. y su ruta más corta es la que genera esta distancia. se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. ALGORITMO DE LA RUTA MÁS CORTA: • Candidatos para n-ésimo nodo más cercano: • cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato.) • Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: • para cada nodo resuelto y sus candidatos. . (Los empates proporcionan candidatos adicionales. el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales). ALGORITMO DE LA RUTA MÁS CORTA: N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión . EJEMPLO: A 15 C 100 20 10 O B 30 50 60 T . EJEMPLO: A 15 C 100 20 10 O B 30 50 60 T . EJEMPLO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O B Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano 30 B Distancia mínima Última conexión 30 OB . EJEMPLO: A 15 C 100 20 10 O B 30 50 60 T . EJEMPLO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O B 30 2 B C 30+10=40 Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión B 30 OB C 40 BC . EJEMPLO: A 15 C 100 20 10 O B 30 50 60 T . EJEMPLO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O B 30 2 B C 3 C O A A Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión B 30 OB 30+10=40 C 40 BC 40+15=55 100 A 55 CA . EJEMPLO: A 15 C 100 20 10 O B 30 50 60 T . EJEMPLO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O B 30 2 B C 3 C O 4 C B Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión B 30 OB 30+10=40 C 40 BC A A 40+15=55 100 A 55 CA T T 40+50=90 30+60=90 T T 90 90 CT BT . EJEMPLO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O B 30 2 B C 3 C O 4 C B Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión B 30 OB 30+10=40 C 40 BC A A 40+15=55 100 A 55 CA T T 40+50=90 30+60=90 T T 90 90 CT BT . EJEMPLO: OB–BC–CT (O → B → C → T ) con 90 OB–BT (O → B → T ) con 90 A 15 C 100 20 10 O B 30 50 60 T . D.C. Estas cifras se resumen en la siguiente tabla donde un guion indica que no hay conexión directa sin pasas por otras ciudades. EJERCICIO: • Usted debe hacer un viaje en auto a otra cuidad que nunca ha visitado. Según la ruta que elija hay otras 5 ciudades (llamadas A. .B. Estudia un plano para determinar la ruta mas corta a su destino. El plano muestra los km de cada carretera que es una conexión directa entre dos ciudades sin que otra intervenga.E) por las que puede pasar en el camino. EJERCICIO: Ciudad Punto A Punto B Punto C Punto D Punto E Destino Origen 40 60 50 - - - Punto A - 10 - 70 - - Punto B - - 20 55 40 - 10 Punto C Punto D - - - - - 60 Punto E - - - - - 80 . EJERCICIO: A 40 D 10 60 O 70 60 55 B 20 T 40 50 C 10 E 80 . EJERCICIO: A 40 D 10 60 O 70 60 55 B 20 T 40 50 C 10 E 80 . EJERCICIO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O A Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano 40 A Distancia mínima Última conexión 40 OA . EJERCICIO: A 40 D 10 60 O 70 60 55 B 20 T 40 50 C 10 E 80 . EJERCICIO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O A 40 2 A O B B 40+10=50 60 Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión A 40 OA B 50 AB . EJERCICIO: A 40 D 10 60 O 70 60 55 B 20 T 40 50 C 10 E 80 . EJERCICIO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O A 40 2 A O B B 40+10=50 60 3 B O C C 50+20=70 50 Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión A 40 OA B 50 AB C 50 OC . EJERCICIO: A 40 D 10 60 O 70 60 55 B 20 T 40 50 C 10 E 80 . EJERCICIO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O A 40 2 A O B B 40+10=50 60 3 B O C C 4 B C E E Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión A 40 OA B 50 AB 50+20=70 50 C 50 OC 50+40=90 50+10=60 E 60 CE . EJERCICIO: A 40 D 10 60 O 70 60 55 B 20 T 40 50 C 10 E 80 . EJERCICIO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O A 40 2 A O B B 40+10=50 60 3 B O C C 4 B C 5 A B Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión A 40 OA B 50 AB 50+20=70 50 C 50 OC E E 50+40=90 50+10=60 E 60 CE D D 40+70=110 50+55=105 D 105 BD . EJERCICIO: A 40 D 10 60 O 70 60 55 B 20 T 40 50 C 10 E 80 . EJERCICIO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O A 40 2 A O B B 40+10=50 60 3 B O C C 4 B C 5 6 Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión A 40 OA B 50 AB 50+20=70 50 C 50 OC E E 50+40=90 50+10=60 E 60 CE A B D D 40+70=110 50+55=105 D 105 BD D E T T 105+60=165 60+80=140 T 140 ET . EJERCICIO: A 40 D 10 60 O 70 60 55 B 20 T 40 50 C 10 E 80 . EJERCICIO N Nodos resueltos conectados directamente a nodos no resueltos Nodo no resuelto más cercano conectado 1 O A 40 2 A O B B 40+10=50 60 3 B O C C 4 B C 5 6 Distancia total n-ésimo nodo involucrada más cercano Distancia mínima Última conexión A 40 OA B 50 AB 50+20=70 50 C 50 OC E E 50+40=90 50+10=60 E 60 CE A B D D 40+70=110 50+55=105 D 105 BD D E T T 105+60=165 60+80=140 T 140 ET . EJERCICIO: OC–CE–ET (O → C → E → T ) con 140km A 40 D 10 60 O 70 60 55 B 20 T 40 50 C 10 E 80 . GRACIAS POR SU ATENCIÓN .