Initiation à la Modélisation GARCHPar Jean – Paul Tsasa V. Kimbambu Chercheur co – accompli au Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative [email protected] – B.P. 16 626 Kinshasa I – http://www.lareq.com Mai 2012 Econométrie et Prévision L’économétrie de série chronologique distingue généralement cinq approches de prévision économique selon qu’il s’agit de modèles de : - lissage exponentiel ; - régression à équation unique ; - régression multiéquationnels ; - moyenne mobile autorégressive intégrée [univariés] et - moyenne mobile autorégressive vectorielle [multivariés]. Une attention particulière sera accordée au quatrième type de modèles. Processus autorégressif et Processus à moyenne mobile Yule et Slutsky considèrent indépendamment deux mécanismes permettant de générer un processus. Leurs travaux sémantiques ont mis à jour le processus AR et le processus MA, respectivement d’ordre 2. Ces processus constituent un des atouts majeurs pour diagnostiquer les informations contenues dans une chronique économique ou financière. Processus autorégressif Soit la chronique Zt, le prix d’un actif financiers, supposée faiblement stationnaire à niveau (stable), le processus autorégressif s’écrit : Ce modèle signifie que la valeur de Z au temps t est la somme de la valeur de sa proportion au temps t – 1 et d’un choc aléatoire au temps t (innovation). En généralisant, on obtient un processus AR(p), soit : - La valeur prise par la variable Z au temps t dépend de sa valeur dans les périodes antérieurs, plus un bruit blanc. Une manipulation mathématique simple nous permet d’écrire : Jean – Paul Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economies Quantitative 1 le processus autorégressif à moyenne mobile sera également intégrée (ARIMA) et s’écrit : Limite du processus autorégressif à moyenne mobile Tout comme la variable Zt peut ou ne pas être une marche aléatoire. c’est – à – dire non stationnaire à niveau. le processus ARIMA perd ses quelques vertus. de même. le modèle à moyenne mobile autorégressive intégrée (ARIMA). En généralisant. Processus autorégressif à moyenne mobile La variable Zt peut avoir en même temps les caractéristiques du processus AR et celles du processus MA. q) : Si la variable Zt est intégrée. elle le devient : par conséquent. Jean – Paul Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economies Quantitative 2 . Il s’agit des modèles : - autorégressifs conditionnellement hétéroscédastiques (ARCH) et - autorégressifs conditionnellement hétéroscédastiques généralisés (GARCH). Partant de cette faiblesse. Dans ce cas. proposé par Box et Jenkins. et qu’après différentiation. Dans ce cas. le processus à moyenne mobile devient MA(q) : Ce processus apparait comme une combinaison linéaire de termes d’erreur de nature bruit blanc. devient quasi – impuissant. il peut également se caractériser par le phénomène de volatilité groupée. Engle (1982) et plus tard Bollerslev (1986) et Taylor (1986) développèrent une méthodologie qui prend en compte le phénomène de volatilité. notamment sa capacité prédictive. les chroniques des prix des actifs financiers ou de certains agrégats économiques tels que les cours des actions et de change ou le taux d’inflation sont caractérisés par les volatilités ! Face à ces caractéristiques.Processus à moyenne mobile Le processus Zt peut également être modélisé comme suit : - La valeur de Z au temps t est donc égale à une constante plus une moyenne mobile des termes d’erreur stochastique actuel et décalé. Or généralement. le processus est dit ARMA (p. après une différentiation. La variation relative de la variation relative ajustée de et est donnée par : la mesure de la volatilité . elles deviennent stationnaires. elle continuera à l’être dans la période actuelle. on obtient un processus AR(p) : Ainsi obtient – on les modèles ARCH(1) et ARCH(p) Comment tester l’effet ARCH ? Soit : La variance du terme suit un processus ARCH(1). DE ce fait. la connaissance de la volatilité caractérisant les variables instruments est indispensable. chercher à modéliser les chroniques caractérisées par un phénomène de volatilité implique une prise en compte de sa variance variable. Comment modéliser les chroniques caractérisées par un phénomène de volatilité ? Rappelons que les chroniques financières sont généralement de marches aléatoires. nombre d’économistes considère que l’inflation n’est pas un mal en soi. par ailleurs. que les méthodes de prévision de ces modèles supposent également que la chronique en cause est stationnaire. Jean – Paul Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economies Quantitative 3 . le chroniques différentiées présentent de volatilité. Cette approche a eu un grand écho dans le monde des économistes. Par exemple. Considérons une variable En notant et son logarithme. dans la formulation des politiques économiques ou dans le processus de prise de décision. Il en est de même pour le taux de change ou les cours d’actifs financiers. c’est – à – dire la variance des chroniques financières est hétéroscédastique. Et souvent. mais sa variabilité le demeure car ne facilitant pas la réalisation de prévisions. Si est significativement positif.Notez. le processus AR(1) de la volatilité s’écrit : La variable est effectivement une mesure de la volatilité puisqu’elle devient plus élevée pendant les périodes de forte variation et moins élevée lorsque les variations seront faibles. Cela suppose que si la volatilité était forte dans la période antérieure. Ainsi. on conclut qu’il y a un phénomène de volatilité groupée. Cependant. car celle – ci peut être autocorrélée. En généralisant. mais aussi de sa variance conditionnelle de la période antérieure. d’absence d’effet ARCH : Cela signifie que l’on ne rejette pas l’hypothèse nulle d’après laquelle : Et puisque la variance n’est pas observable. c’est – à – dire 1 Ainsi. Jean – Paul Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economies Quantitative 4 . on obtient : Stratégie proposée par R. on obtient : Cela suppose que le processus est stable. Lorsque la variance est non conditionnelle c’est – à – dire le processus ARCH est donc stationnaire. En considérant un ARCH(1). on recourt à la régression suivante pour mener le test en 1 cause : où est la variance MCO obtenu dans le modèle de régression primitif. L’approche développée initialement par Engle (1982) a été généralisée par Bollerslev (1986) et Taylor (1986) : Soit : En considérant les vecteurs paramétriques et un polynôme d’opérateur de retard L. le modèle GARCH se résume comme suit : La variance conditionnelle du terme d’erreur au temps t dépend non seulement du terme de l’erreur au carré dans la période antérieure. on a : En cas d’absence d’autocorrélation d’erreur et donc. Engle.En généralisant. une bonne nouvelle. En nomalisant le modèle GARCH.Conversion du processus GACH en ARCH Davidson et MacKinnon (1993) montrent qu’un modèle GARCH(p. Modèle TGARCH (Threshold GARCH) Ce modèle avec effet de seuil a été décrit en 1993 par Glosten. nous utilisons la troisième méthode. q) équivaut quasiment à un modèle ARCH(p+q). très faibles. ils définissent un modèle avec contrainte : ii. plusieurs autres variantes de modèles de variance ont été développées. sur la place financière ou sur le marché a un impact de Pour alors qu’une mauvaise nouvelle aura un impact de l’impact de la nouvelle sera asymétrique (présence d’un effet de niveau). Au-delà de la spécification standard ARCH et de sa généralisation GARCH. Modèle IGARCH (Integrated GARCH) Ce modèle a été co – spécifié par Engle et Bollerslev en 1986. Considérons à cet effet un modèle GARCH(1. Ainsi. Jaganatha et Runkle. Jean – Paul Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economies Quantitative 5 . Ainsi. Lorsque le modèle TGARCH devient GARCH. l’estimation efficace en une étape et le maximum de vraisemblance. puis par Zakoïan en 1994. i. Dans ce cours. et en cas de choc négatif. par exemple. La nature de chocs a donc un effet sur la variance conditionnelle. le processus GARCH est une spécification particulière du modèle TGARCH. on obtient ainsi un processus ARCH(2): Il existe trois principaux moyens d’estimer les modèles de régression à erreurs ARCH et GARCH : les moindres carrés généralisés faisables. et si ce que la mauvaise nouvelle aura tendance à accentuer la volatilité. Il s’écrit : En cas de choc positif. 1) : En considérant que les variances des erreurs pour les périodes t-i tel que i ≥ 2. Modèle CGARCH (Component GARCH) La variance conditionnelle dans le modèle GARCH(1. Ainsi. Le modèle est symétrique si v. Modèle EGRACH (Exponetiel GARCH) Ce modèle a été introduit par Nelson en 1991. par ailleurs. Modèle PGARCH (Power GARCH) Taylor et Swert ont introduit. une extension du modèle GARCH qui considère la déviation standard plutôt que la variance. l’impact est asymétrique. pour tout i. la dernière équation n’est qu’une combinaison de deux premières équations.iii. APPPLICATION Jean – Paul Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economies Quantitative 6 . en 1986 et en 1989. 1) est donné par : Dans le modèle CGARCH. k devient variable : La première équation décrit la composante transitoire puissance qui converge vers zéro avec la La deuxième équation décrit la composante de long terme comme puissance qui converge vers k avec Et. Si on retrouve le modèle standard GARCH. respectivement. la mesure de l’effet de seuil. pour tout iv. La spécification de la variance conditionnelle dans le modèle EGARCH est : Ce modèle considère le logarithme de la variance conditionnelle et intègre. 1993. pp. 31. Journal of Economic Survey. « Econometric Policy Evaluation: A Critique ». Estimation and Testing ». Jean – Paul Tsasa Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economies Quantitative 7 . pp 1 – 48. 305 – 366.Bibliographie BERA Anil K. « Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity ». New York. LUCAS Robert E. Holden Day. 1976..P. San Francisco. 1993. Econometrica. ENGLE Robert. Journal of Econometrics. « Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the variance of United Kingdom Inflation ». pp. PP. 1 . BOLLERSLEV Tim P. 7. SIMS Christopher A. and Matthew L. 1978. in Canergie – Rochester Conference Series. « Macroeconomics and Reality ». 50. pp. num. vol. vol. 48 . Revue. Time Series Analysis : Forecasting and Control. MacKINNON. 1982. The Phillips Curve. Econometrica. BOX George E. 1986. HIGGINS. Amsterdam. DAVIDSON Russell and James G.. « ARCH Models: Properties. Oxford University Press. 1980. 19 – 46.. Estimation and Inference in Econometrics. and Gwilyn M. North – Holland. éd. 307 – 326. JENKINS. vol. 987 – 1007. vol.