Faculté des Sciences Appliquées Département PROMETHE Laboratoire de Thermodynamique Professeur Jean LebrunTHERMODYNAMIQUE APPLIQUEE ET INTRODUCTION AUX MACHINES THERMIQUES 2004-2005 Modélisation d’une tuyère convergente/divergente Vincent LEMORT 1 Descriptif de la tuyère étudiée On se propose d’étudier une tuyère convergente /divergente alimentée en air par un réservoir. La pression et la température de l’air dans le réservoir sont respectivement de 500 kPa et de 500 K. L’aire du col de la tuyère est égale à 40 cm2 et l’aire de la section de sortie est égale à 80 cm2. On demande de décrire l’écoulement au sein de la tuyère (partie convergente, partie divergente et col) en fonction de la pression en sortie de la tuyère (« ambiance » sur le schéma ci-dessous, en anglais : « back pressure »). L’écoulement est supposé isentropique tout au long de la tuyère. Réservoir Psu = 500 kPa Tsu = 500 K Csu ~ 0 m/s Ambiance Col Sortie Athr =40 cm2 Aex =80 cm2 Figure 1.1 Tuyère convergente/divergente alimentée par un réservoir 1 Campus du Sart Tilman – Bâtiment B 49 – Parking P 33 – B-4000 LIEGE (Belgium) tel : +32 (0)4 366 48 24 – fax : +32 (0)4 366 48 12 [email protected] - http://www.ulg.ac.be/labothap la pression diminue.ac. la vitesse de l’air diminue et la pression augmente au fur et à mesure que l’on se rapproche de la section de sortie.ulg.2 Conditions d’entrée dans la tuyère Puisque l’air est au repos dans le réservoir.be .T=T_su) h_0_su=h_su+0.5*C_su^2 Tableau 2-1 Conditions d'entrée dans la tuyère 3 3.ac. M<1 Accélération M<1 M<1 Décélération M<1 Figure 3. de l’air commence à parcourir la tuyère du réservoir vers la sortie. P_su=500E3 "[Pa]" T_su=500-273 "[°C]" C_su=0 "[m/s]" s_su=entropy(air. Dans la partie convergente.P=P_su) h_su=enthalpy(air. Simultanément. dans la partie divergente. la vitesse de l’air à l’entrée de la tuyère est nulle.1 Analyse des différents écoulements en fonction de la pression de sortie Ecoulement subsonique tout au long de la tuyère Imaginons que nous abaissons progressivement la pression en dehors de la tuyère. la vitesse de vitesse de l’air augmente au fur et à mesure que l’on se rapproche du col. en partant d’une pression égale à la pression dans le réservoir. Dès que la pression en sortie de la tuyère est inférieure à la pression dans le réservoir.1 Ecoulement subsonique tout au long de la tuyère (a) 2 Campus du Sart Tilman – Bâtiment B 49 – Parking P 33 – B-4000 LIEGE (Belgium) tel : +32 (0)4 366 48 24 – fax : +32 (0)4 366 48 12 vincent.T=T_su.be/labothap .http://www.lemort@ulg. Au contraire. 5*C_thr^2 h_thr=enthalpy(air.ulg.ac.2 Ecoulement tout juste choqué Plus on abaisse la pression à la sortie de la tuyère. C_crit=sqrt(gamma*r*(T_thr+273)) Mach_thr=1 Mach_thr=C_thr/C_crit r=8314/MM_air MM_air=molarmass(air) gamma=1. Nous pouvons dès lors calculer le volume massique de l’air au col. Il existe cependant une valeur maximale de la vitesse au col qui correspond à un nombre de Mach égal à 1 (vitesse du son au col). L’écoulement au travers de la tuyère conserve l’enthalpie totale (conduit adiabatique.http://www.s=s_thr) T_thr=temperature(air. plus on augmente la vitesse au col et le débit d’air.P=P_thr.4 Tableau 3-1 Vitesse au col égale à la vitesse du son s_thr=s_su h_0_thr=h_0_su h_0_thr=h_thr+0. Dès lors nous pouvons calculer la pression et la température de l’air au col.T=T_thr. nous avons fait l’hypothèse d’un écoulement isentropique.P=P_thr.3.s=s_thr) Tableau 3-2 L'écoulement est isentropique et conserve l'enthalpie totale Nous pouvons montrer que la pression Pthr au col calculée par les deux derniers blocs d’équation est égale à la pression critique définie par (écoulement supposé isentropique) : Pcrit 2 γ −1 = P0.ac.be .P=P_thr) "[m^3/kg]" M_dot=C_thr*A_thr/v_thr "[kg/s]" γ Tableau 3-3 Calcul du débit dans la tuyère 3 Campus du Sart Tilman – Bâtiment B 49 – Parking P 33 – B-4000 LIEGE (Belgium) tel : +32 (0)4 366 48 24 – fax : +32 (0)4 366 48 12 vincent. su γ + 1 Nous obtenons une pression Pthr égale à 264. et enfin déterminer le débit massique qui parcourt la tuyère.7°C. A_thr=40E-4 "[m^2]" v_thr=volume(air. L’écoulement est dit « choqué ». De plus.be/labothap . indéformable).014 kPa et une température Tthr égale à 144.lemort@ulg. immobile. 6 m/s et nombre de Mach Machex égal à 0.ulg.s=s_ex) A_ex=80E-4 "[m^2]" s_ex=s_thr {P_ex=500E3} "pour updater les guesses (avec l'équation suivante)" h_0_ex=h_0_thr h_0_ex=h_ex+0. La même méthode de calcul que celle exposée ci-dessous nous permet de calculer la pression en sortie de tuyère qui correspond à un écoulement tout juste choqué ainsi que la vitesse de l’air à la sortie de la tuyère.696 kPa.s=s_ex) Mach_ex=C_ex/C_crit_ex C_crit_ex=sqrt(gamma*r*(T_ex+273)) Tableau 3-4 Calcul de la pression et de la vitesse de sortie dans le cas d'une tuyère tout juste choquée Nous obtenons les conditions d’écoulement suivante à la sortie de la tuyère : température Tex égale à 218°C.5*C_ex^2 h_ex=enthalpy([email protected]://www. la vitesse de l’air augmente progressivement dans la partie convergente (avec un nombre de Mach inférieur à 1).ac.s=s_ex.P=P_ex) T_ex=temperature(air. 4 Campus du Sart Tilman – Bâtiment B 49 – Parking P 33 – B-4000 LIEGE (Belgium) tel : +32 (0)4 366 48 24 – fax : +32 (0)4 366 48 12 vincent.P=P_ex. M_dot=C_ex*A_ex/v_ex "conservation du débit" v_ex=volume(air.& Le débit M qui parcourt la tuyère est égal à 3. L’écoulement dans la partie divergente de la tuyère est également supposé isentropique et conserve également l’enthalpie totale. dans le cas d’une tuyère tout juste choquée.3053 M<1 Accélération M=1 M<1 Décélération M<1 Figure 3.2 Ecoulement tout juste choqué (b) Ainsi.607 kg/s. vitesse Cex égale à 135. la vitesse de l’air est égale à la vitesse du son au col (nombre de Mach=1) et la vitesse de l’air décroît progressivement dans la partie divergente (nombre de Mach inférieur à 1).P=P_ex. pression Pex égale à 468.be/labothap .be . M<1 Accélération M=1 M>1 Acc.5 Ecoulement sur-détendu Si nous continuons à abaisser la pression en dehors de la tuyère.ac.lemort@ulg. Audelà de ce choc l’écoulement se met à décélérer et le nombre de Mach est inférieur à 1.4 3.ulg.3.3 Ecoulement choqué dans la partie divergente Si nous continuons à abaisser la pression en sortie de la tuyère.be/labothap .3 Ecoulement choqué dans la partie divergente (c) 3. L’évolution du nombre de Mach dans la tuyère est donc la suivante : inférieur à 1 dans la partie convergente. l’écoulement va continuer à accélérer à la sortie du col. égal à 1 au col. M<1 Décélération M<1 Figure 3. l’onde de choc a lieu en dehors de la tuyère. Dans ce cas.4 Ecoulement choqué à la sortie de la tuyère (d) 3. supérieur à 1 dans toute la partie convergente et inférieur à 1 en dehors de l tuyère. l’écoulement accélère tout au long de la tuyère et cesse d’accélérer directement après la sortie de la tuyère. égal à 1 au col. Des ondes de choc et des réflexions ont 5 Campus du Sart Tilman – Bâtiment B 49 – Parking P 33 – B-4000 LIEGE (Belgium) tel : +32 (0)4 366 48 24 – fax : +32 (0)4 366 48 12 vincent.4 Ecoulement choqué à la sortie de la tuyère Pour une pression de sortie suffisamment basse. mais il devient supérieur à 1 dans une portion de la partie divergente.http://www. En un endroit de la partie divergente (fonction de la pression de sortie). cette onde de choc apparaît dans la section de sortie de la tuyère. M<1 Accélération M=1 M>1 Accélération M<1 Figure 3. un onde de choc apparaît. Le nombre de Mach est inférieur à 1 dans la partie convergente.ac. Le nombre de Mach au col reste égal à 1.be . supérieur à 1 dans la partie divergente avant le choc et inférieure à 1 au-delà du choc et en dehors de la tuyère. be/labothap .P=P_ex_sup) T_ex_sup=temperature(air.sup égale à 703.P=P_ex_sup. Elle dévie ver l’intérieur du jet. l’écoulement est uniformément supersonique et aucune oscillation n’a lieu dans le jet en [email protected]=s_ex_sup. supérieur à 1 dans toute la partie divergente ainsi qu’à la sortie de la tuyère. 6 Campus du Sart Tilman – Bâtiment B 49 – Parking P 33 – B-4000 LIEGE (Belgium) tel : +32 (0)4 366 48 24 – fax : +32 (0)4 366 48 12 vincent.sup égal à 2. pression et vitesse) sont les mêmes dans le cas d’un écoulement choqué à la sortie de la tuyère. Ces conditions de sortie (température. vitesse Cex. l’onde de choc n’est plus perpendiculaire à la paroi.s=s_ex_sup) s_ex_sup=s_thr {P_ex_sup=50E3} "pour updater les guesses (avec l'équation suivante)" h_0_ex_sup=h_0_thr h_0_ex_sup=h_ex_sup+0. L’écoulement résultant consiste en un mélange d’écoulements supersoniques et subsoniques (ou uniquement supersoniques si la pression de sortie est suffisamment basse). Supersonique ou mélange sub/supersonique avec oscillations Figure 3.simultanément lieu dans le jet en sortie.039 kPa. ce qui produit une contraction initiale du jet.sup égale à 47.s=s_ex_sup) Mach_ex_sup=C_ex_sup/C_crit_ex_sup C_crit_ex_sup=sqrt(gamma*r*(T_ex_sup+273)) Tableau 3-5 Calcul de la pression et de la vitesse de sortie dans le cas d'une tuyère dont la partie divergente est supersonique Nous obtenons les conditions d’écoulement suivante à la sortie de la tuyère : température Tex. Dans ce cas.45°C. L’évolution du nombre de Mach dans la tuyère est donc la suivante : inférieur à 1 dans la partie convergente.5*C_ex_sup^2 h_ex_sup=enthalpy(air. Remarquons qu’à la sortie de la tuyère.195.5 Ecoulement sur-détendu (e) 3. il faudrait réduire la pression en dehors de la tuyère de manière à ce qu’elle soit égale à la pression de sortie de la tuyère. égal à 1 au col.6 Conditions de design de la tuyère convergente/divergente Idéalement. pression Pex.sup égale à -17.be . Le jet présente ensuite des oscillations de vitesse et de pression. M_dot=C_ex_sup*A_ex/v_ex_sup "conservation du débit" v_ex_sup=volume(air.5 m/s et nombre de Mach Machex.ac. sur et sous détendu.P=P_ex_sup.http://www. http://www.7 Ecoulement sous-détendu (g) 7 Campus du Sart Tilman – Bâtiment B 49 – Parking P 33 – B-4000 LIEGE (Belgium) tel : +32 (0)4 366 48 24 – fax : +32 (0)4 366 48 12 vincent. si la pression en dehors de la tuyère est diminuée d’avantage un nouveau déséquilibre a lieu puisque la pression à la sortie de la tuyère est cette fois supérieure à la pression en dehors de la tuyère.be/labothap .be . 3. M>1 avec oscillations Figure 3. L’écoulement résultant en dehors de la tuyère présente des oscillations de vitesse et de pression. Le jet dévie juste à la sortie de la tuyère.ulg. l’écoulement isentropique (caractérisé par un nombre de Mach égal à 1 au col et sans onde de choc dans le divergent) présente deux solutions : une subsonique et une supersonique.Remarquons également que ces équations sont les mêmes que celle qui nous ont permis de calculer la pression à la sortie de la tuyère dans le cas d’un régime choqué au col. M<1 Accélération M=1 M>1 Accélération M>1 pas d'oscillations Figure 3. En réalité. continuer à abaisser la pression de sortie n’augmente pas le débit mais modifie l’allure de l’é[email protected] Ecoulement sous-détendu Enfin.ac. A ce moment.6 Conditions de design de la tuyère convergente/divergente (f) Il est également important de retenir que le débit dans la tuyère atteint sa valeur maximale dès que la vitesse au col est égale à la vitesse du son (Mach 1). http://[email protected]/labothap .ac.4 4.1 Récapitulatif des différentes configurations d'écoulement en fonction de la pression en dehors de la tuyère 4.607 3.607 3.607 Tableau 4-1 Débit dans la tuyère selon la configuration d'écoulement 8 Campus du Sart Tilman – Bâtiment B 49 – Parking P 33 – B-4000 LIEGE (Belgium) tel : +32 (0)4 366 48 24 – fax : +32 (0)4 366 48 12 vincent.607 3.1 Récapitulatif Evolution de la pression le long de la tuyère Réservoir (su) Col Sortie (ex) Ambiance Psu = 500000 [Pa] Pex = 468696 [Pa] Pcrit = 264014 [Pa] Pex.be .607 3.2 Evolution du débit au travers de la tuyère Configuration (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Débit [kg/s] < 3.607 3.sup = 47039 [Pa] Distance le long de la tuyère Figure 4.ac.ulg.607 3.607 3.
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