Modelado y Análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia en Estado Estacionario

Modelado y Análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia en Estado EstacionarioDr. José Horacio Tovar Hernández Dr. Héctor Francisco Ruiz Paredes Dr. Máximo Hernández Ángeles Noviembre 2003 CONTENIDO Introducción 1. MODELADO DE LINEAS DE TRANSMISIÓN 1.1 Introducción 1.2 Impedancia Serie de Líneas de transmisión 1.2.1 Resistencia de la Línea 1.2.1.1 Resistencia de Corriente Directa 1.2.1.2 Efecto de la Temperatura sobre la Resistencia 1.2.1.3 Efecto Piel 1.2.1.4 Efecto Corona 1.2.2 Impedancia Serie de Líneas de Transmisión Monofásicas 1.2.3 Ecuaciones de Carson 1.2.4 Impedancia Serie de la Línea Trifásica 1.2.4.1 Impedancia Serie de una Línea Trifásica con Hilos de Guarda 1.2.4.2 Impedancia Serie de Líneas Trifásicas con Conductores Agrupados en cada Fase 1.2.5 Filosofía General del Cálculo de Parámetros de Líneas de Transmisión 1.2.6 Aspectos Computacionales 1.2.6.1 Lectura de Datos 1.2.6.2 Formación de la Matriz de Distancias entre Conductores 1.2.6.3 Cálculo de la Matriz General de Impedancias Serie 1.2.6.4 Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados en las Fases 1.3 Admitancia en Paralelo de Líneas de Transmisión 1.3.1 Conductancia de Líneas de Transmisión 1.3.2 Capacitancia Monofásica 1.3.3 Capacitancia para Líneas de Transmisión 1.3.4 Aspectos Computacionales 1.3.4.1 Lectura de Datos 1.3.4.2 Formulación de la Matriz de Distancias 1.3.4.3 Construcción de la Matriz de Coeficientes de Potencial 1.3.4.4 Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados 1.3.4.5 Cálculo de la Matriz Y abc 1.4 Transposición de Conductores en Líneas de Transmisión 1.4.1 Método General de Transposición 1.4.2 Línea No Transpuesta 1.4.3 Línea con Transposiciones Parciales 1.5 Línea de Transmisión con Circuitos Múltiples 1.6 Transformación Lineal de Componentes Simétricas 1.6.1 Cambio del Marco de Referencia de Fases al Marco de Referencia de Secuencias 1.6.2 Obtención de la Matriz de Transformación de Componentes Simétricas 1.6.3 Transformación de un Sistema Trifásico de Circuitos Múltiples 1.7 Modelado Monofásico de Líneas de Transmisión 2. MODELADO DE TRANSFORMADORES MONOFASICOS 2.1 Transformador Monofásico con Relación de Transformación Nominal 2.2 Transformador Monofásico con Cambiador de Derivación No Nominal 2.3 Modelo del Transformador Monofásico con Cambiador de Derivación No Nominal en Cada Devanado 2.4 Transformadores Defasadores 3. FORMULACION NODAL PARA MODELAR SISTEMAS ELÉCTRICOS 3.1 Introducción 3.2 Técnicas de Transformación Lineal 3.3 Método de Inspección 3.4 Concepto de Admitancias Compuestas 3.5 Líneas de Transmisión sobre un mismo Derecho de Vía 3.6 Líneas de Transmisión con Dos Circuitos en Paralelo 4. MODELADO DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS 4.1 Matriz de Admitancias Primitiva de un Transformador Trifásico 4.2 Modelos de Transformadores con Conexiones Comunes 4.2.1 Transformador Estrella-Aterrizada/Estrella-Aterrizada 4.2.2 Transformador Estrella-Aterrizada/Delta 5. MODELADO DE LA MAQUINA SINCRONÍA 5.1 Ecuaciones en el Marco de Referencia de Fases 5.2 Modelos de Secuencia de la Máquina Síncrona 6. MODELADO DE CARGAS 6.1 Introducción 6.2 Representación de Cargas en Componentes de Fase y Secuencia 6.2.1 Carga Conectada en Estrella 6.2.2 Carga Conectada en Delta 6.3 Modelos Típicos de Cargas 7. MODELADO DE ELEMENTOS DE COMPENSACIÓN 7.1 Introducción 7.2 Compensadores en Derivación 7.3 Compensadores Serie 8. SISTEMA POR UNIDAD 8.1 Introducción 8.2 Definiciones de Por Unidad y Por Ciento 8.3 Ventajas de Utilizar Valores en Por Unidad o Por Ciento 8.4 Relaciones Generales entre Cantidades del Sistema 8.5 Cantidades Base 8.6 Cantidades en Por Unidad 8.7 Impedancias en Por Unidad de Transformadores 8.8 Cambio de Base 9. MEDODOLOGIA GENERAL PARA EL ANÁLISIS DE FALLAS 9.1 Introducción 9.2 Simulación de Fallas en Derivación 9.2.1 Falla de Línea a Tierra 9.2.2 Falla de Doble Línea a Tierra 9.2.3 Falla entre Líneas 9.2.4 Falla Trifásica sin Aterrizar 9.2.5 Falla Trifásica Aterrizada 9.3 Cálculo de Corrientes y Voltajes de Falla 9.4 Simulación de Fallas Serie 9.4.1 Una Fase Abierta 9.4.2 Dos Fases Abiertas 10. PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA: FORMULACION Y MÉTODOS DE SOLUCION 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Introducción Formulación Nodal de Ecuaciones de Voltaje y Corriente Definición Convencional del Problema Formulación del Problema Cálculo de Flujos de Potencia Formulación de Estudios de Flujos de Potencia en Coordenadas Polares 18 10.7 10.16 10.8 Cálculo de Flujos de Potencia en Coordenadas Polares Formulación de Estudios de Flujos de Potencia en Coordenadas Rectangulares 19.1 Inclusión de Límites de Generación de Potencia Reactiva en el Newton Polar 10.12 10.9 10.13 10.17.11 10.17 Expansión en Series de Taylor Método de Newton en Coordenadas Polares Método de Newton Deshonesto Método de Newton Desacoplado en Coordenadas Polares Método Desacoplado Rápido Método de Newton en Coordenadas Rectangulares Inclusión de Límites de Potencia Reactiva en Generales 10.10.15 10.17.19 Existencia y Unicidad de la Solución Efecto de la Tolerancia de Convergencia Referencias .14 10.2 Manejo de Límites de Generación de Potencia Reactiva en el Newton Rectangular 10.10 Cálculo de Flujos de Potencia en Coordenadas Rectangulares Solución del Problema de Flujos de Potencia por el Método de Gauss-Seidel 10. El sistema de transmisión termina en una subestación reductora o subestación de potencia. y el equipo de compensación son componentes cuya modelación debe ser rigurosa con el objeto de que los análisis o estudios que de ellos se hagan sean lo mas representativo y exacto posible. normalmente en tensiones de 13. donde la tensión de servicio normalmente es de 115 KV y de la cual se distribuyen circuitos de subtransmisión que van a alimentar subestaciones de distribución cuyos circuitos alimentadores normalmente trabajan a 34. y utilización de energía eléctrica. distribución y comercialización reguladas por una comisión reguladora de energía. tanto en su modelo como sus características de operación y control.Introducción Un sistema eléctrico de potencia comprende a los subsistemas de generación. 23 y 13. Dado que la palabra distribución esta asociada con la utilización de la energía. distribución.2KV. termoeléctricas. La máquina síncrona. nucleares y de gas. La energía proveniente de una planta se lleva a un transformador elevador conectado al sistema de transmisión a través del cual se transporta energía eléctrica generalmente a tensiones de 230 y 400KV. transmisión. Tradicionalmente han sido manejados bajo esquemas llamados verticales pero en la actualidad cada subsistema puede ser manejado en forma independiente a través de compañías públicas y privadas denominadas de producción. residenciales e industria pequeña. transmisión.8KV. La generación de energía se realiza en plantas hidroeléctricas. En cada uno de los subsistemas se tienen diversos componentes eléctricos cuyo conocimiento. transformadores eléctricos trifásicos y monofásicos. cargas. De poco sirve contar con excelentes métodos de análisis si los parámetros eléctricos o modelos que se usarán en los estudios son . es necesario para el diseñador de sistemas eléctricos de potencia. De los transformadores de distribución se alimentan usuarios comerciales.5. se considera que las grandes plantas industriales son casos especiales del subsistema de potencia ya que pueden estar directamente conectadas a tensiones de 230 y 115Kv. líneas de transmisión (aéreas y subterráneas). estabilidad dinámica y transitoria. fallas en líneas y componentes. operación económica. localización de compensadores. Una modelación apropiada servirá de base para realizar con confianza análisis de flujos de potencia. La modelación que se presenta en estas notas se relacionan con el estado estable o estacionario siendo el objetivo principal el obtener modelos de secuencia positiva. estabilidad de voltaje. La obtención de los parámetros o constantes como la resistencia. etc.115. DEFINICIÓN DE TENSIONES ESTANDARES Clase de voltaje asociados voltajes de sistema nominales voltaje de sistema Sistemas monofásicos Bajo voltaje (120V) 120/240 V 110.aproximados o incorrectos. inductancia y capacitancia se considera fundamental para el desarrollo de los modelos trifásicos y sus equivalentes monofásicos. Como parte de la aplicación de los modelos obtenidos se presenta la metodología para realizar estudios de flujos de potencia tanto en subsistemas de trasmisión y subtransmisión como en subsistemas de distribución. negativa y cero partiendo de modelos trifásicos magnéticamente acoplados.125. conductancia.127 . 13200Y/7620 13800 22860Y/13200 23000 24940Y/14400 34500 46000 (subtransmisión) 69000 115000 138000 161000 230000 (transmisión) 354000 500000 735000-765000 1 MV 220.7200 11000.Sistemas trifásicos Bajo voltaje Medio voltaje 240 480 600 2400 (distribución primaria) 4160 4800 6900 12000Y/6930 12470Y/7200.575 2200. 230. 120000 132000 154000 220000 400000 550000 800000 CAPITULO 1 .11500 14400 Alto voltaje Extra alto voltaje Ultra alto voltaje 33000 48300 66000 110000.250 440. 460 550.2300 4000 4600 6600. Modelado de líneas de transmisión . CAPITULO 1 MODELADO DE LINEAS DE TRANSMISION 1. En México y otros países. La transmisión de dicha energía puede realizarse ya sea por corriente alterna (c. subtransmisión y distribución. Cuando se opera con voltajes de 66 .) o directa (c. y de acuerdo al diseño de la línea puede ser de transmisión aérea o subterránea.a.d. se tiene clasificadas a las redes en tres categorías: transmisión.). En conjunto. los niveles de voltajes desde 115 kV o mayores son considerados como de transmisión.1 INTRODUCCION La línea de transmisión es el elemento más común de los que conforman las redes eléctricas. estos elementos constituyen las arterias a través de las cuales fluye la energía eléctrica desde centros de generación hasta centros de consumo. Dependiendo del nivel de voltaje al cual se realiza la transmisión de energía eléctrica. Aspectos como la transposición de líneas y obtención de modelos monofásicos desacoplados son analizados posteriormente.5 kV están relacionados con redes de distribución. se obtienen los correspondientes al efecto en derivación. niveles de tensión menores a 34. . 1.hasta 115 kV se dice que la red es de subtransmisión. Por otro lado. se desarrolla el modelo de los parámetros serie y posteriormente. En base a esto. la transmisión de energía eléctrica es aérea. excepto en pocas situaciones. Por último. de modo que el aislante común entre conductores es el aire circundante a los conductores. es necesario desarrollar un modelo matemático que represente el comportamiento de la línea de transmisión aérea de corriente alterna y trifásica.2 IMPEDANCIA SERIE DE LINEAS DE TRANSMISION. Este modelo se caracteriza por cuatro parámetros principales: • • • • Resistencia serie Inductancia serie Conductancia en derivación Capacitancia en derivación. Primeramente. además de que los dispositivos de generación y de transporte se diseñan para que operen con corriente alterna trifásica. 1 Resistencia de Corriente Directa La resistencia de c. 1. la cual puede calcularse mediante la expresión siguiente: (1.Los dos parámetros serie de la línea de transmisión aérea se analizan en conjunto. número de los mismos por fase. lo cual depende de un diseño adecuado de la línea. entre otros.d.1 Resistencia de la Línea La resistencia en conductores de una línea es causa de las pérdidas por transmisión. Estas pérdidas tienen que ser mínimas. las cuales están dadas por la expresión I2R.1) donde: ρ = resistividad del material conductor (Ω -m) l = longitud del conductor (m) A = área efectiva de la sección transversal del conductor (m2) . donde I es la corriente que fluye a través de conductor y R es la resistencia del mismo.2. 1. aunque previamente se mencionarán algunos conceptos concernientes a la resistencia. tomando en consideración factores como el calibre de conductores.1. se caracteriza por tener una densidad de corriente distribuida uniformemente en toda la sección transversal del conductor. tipo de material e influencia del medio ambiente.2. . 1. en lugar del métrico decimal.2) donde R1 y R2 son las resistencias a las temperaturas t1 y t2. puede usarse cualquier sistema congruente de unidades. en el cual se ha dibujado dos filamentos hipotéticos iguales además del centro. se hará el análisis. entonces la longitud y área del conductor estarán dadas en ft y ft2.2. A partir de la Figura 1. Para el aluminio T es aproximadamente 228.2. Esta variación está dada por la siguiente ecuación: (1.2 Efecto de la Temperatura Sobre la Resistencia. dentro del margen normal de utilización de la línea de transmisión. Sin embargo. Puede concluirse que un incremento de temperatura causa un aumento de la resistencia y viceversa. respectivamente.3 Efecto Piel Para el análisis de este efecto.Si se utiliza el sistema inglés. Un cambio en la temperatura causará una variación en la resistencia. en forma prácticamente lineal. que es lo más usual.1. respectivamente.1. de modo que resulte que la unidad de longitud esté dada en kilómetros o millas. 1. será necesario considerar lo siguiente: 1. La constante T depende del material conductor y se define como la temperatura a la cual la resistencia del conductor es igual a cero.1. donde se muestra un conductor seccionalizado transversalmente. Las reactancias alejadas del centro (como la del filamento A). serán menores que las de los filamentos alrededor del centro del conductor (como el filamento B). la corriente que entra por un extremo del conductor. resultante del campo magnético variante producido por la corriente en el propio conductor. ésta será la misma para ambos (suposición 4). la condición anterior se satisface con la densidad de corriente uniforme que resultará en caídas de tensión por resistencia uniformes. Al medir una caída de tensión en cada uno de los filamentos.Figura 1. existirá un voltaje inducido en cada filamento. es decir. . Si se trata de corriente alterna. todas las secciones transversales resultarán ser iguales. además de la caída de tensión por resistencia. para compensar la reactancia menor. Las dimensiones del conductor son uniformes. 2. Las líneas de flujo de este campo magnético circularán de acuerdo al eje del conductor y algunas encerrarán al filamento B sin hacerlo con el A. si se secciona el conductor en diferentes tramos. La corriente será la misma para toda la longitud del conductor. 4. En corriente directa. será la misma que saldrá por el otro extremo. Apoyándose en las dos suposiciones anteriores. las densidades de corriente deben ser mayores cerca de la periferia del conductor.1. esto es. debido a la posición geométrica de ambos. puede suponerse que cualquier sección transversal del conductor será una superficie equipotencial. 3. para producir caídas de tensión iguales. Sección transversal de un conductor mostrando dos de sus filamentos. Por lo tanto. la inductancia debida al flujo interno en el conductor se verá disminuida.2. sí influye en la eficiencia de operación de la línea de transmisión. Una ionización extrema resultará en la presencia de arcos eléctricos entre conductores. Esta es la llamada resistencia de c. L son ligeramente mayor y menor que la unidad. siendo este fenómeno conocido como efecto piel.d.1. Por otro lado. Este efecto puede detectarse audiblemente por el zumbido que produce y visualmente por el aura luminosa que se presenta en cada conductor de fase. Este efecto está relacionado con la producción de campos eléctricos debidos a altas densidades de carga cuya intensidad es capaz de ionizar el aire circundante a los conductores de fase de la línea de transmisión. se tendrá lo siguiente: y para la inductancia interna: donde α R y α respectivamente. Si se expresa tales conclusiones mediante fórmulas. 1.a. se incremente ligeramente. el cual causará que la resistencia de c.El resultado final es que la energía electromagnética no se transmite en el interior del conductor sino que viaja en las regiones que rodean el conductor debido a que la distribución de densidades de corriente a través de la sección transversal del conductor no es uniforme.4 Efecto Corona Aunque este fenómeno no afecta a la resistencia en una forma directa. debido a que su existencia producirá pérdidas adicionales. . El efecto corona producirá pérdidas e interferencias radiofónicas. El desarrollo de esta parte del modelo considerará el efecto de retorno por tierra. pero resulta difícil de obtener un modelo analítico que permita calcularlas de manera exacta. es la parte dominante de la impedancia serie. El efecto de retorno por tierra consiste en considerar que las corrientes en las líneas tienen una trayectoria de retorno a través de los neutros de los equipos conectados a tierra. debido a la gran cantidad de variables involucradas. Comúnmente. igual a la unidad de longitud de las coordenadas entre los conductores de la línea. . Los resultados son obtenidos usando relaciones empíricas y métodos estadísticos. La tierra se simula por medio de un conductor ficticio de longitud infinita. xL = ω L. A este conductor se le supone un radio medio geométrico. la reactancia correspondiente a la inductancia. 1. estas pérdidas se expresan en kW/km. Tales pérdidas serán relativamente pequeñas en ambientes secos y tienden a incrementarse en ambientes más húmedos. la cual determina el efecto sobre la capacidad de transmitir y la caída de tensión.2. denotado por Dsg. el efecto corona debe tomarse en cuenta para diseñar adecuadamente las líneas de transmisión.2 representa esta situación. Como se mencionó anteriormente. Para condiciones normales de diseño. situado debajo de la superficie del terreno que tiene una resistividad uniforme y paralelo a la línea. La Figura 1.2 Impedancia Serie de Líneas de Transmisión Monofásicas. Este dominio de la inductancia sobre la resistencia se aprecia por medio de la relación x/r >> 1 para líneas de transmisión de alta tensión. Sin embargo. este parámetro está compuesto por los efectos resistivo e inductivo de la línea. llegando inclusive a magnitudes 15 veces mayores. 3) Sabiendo que renglones en la ecuación (1. Restando Además. se deduce que .3): . las caídas de tensión están dadas por: (1.2.2. . Línea monofásica considerando el efecto de retorno por tierra.Figura 1. Al observar la Figura 1. La y Lg son las inductancias propias de la línea y del efecto de retorno por tierra. rg es la resistencia del supuesto conductor que representa al efecto de retorno por tierra. mientras que Mag representa al efecto mutuo inductivo entre ambos conductores. a su vez.Esta expresión puede escribirse en términos de una sola corriente. Si se substituye las expresiones (1. resultando: donde: (1.5) en la ecuación (1. están definidas por las siguientes expresiones: Ω /ul (1.5) donde ra es la resistencia del conductor de la línea. las cuales.4) cuyas componentes son impedancias primitivas. ul representa cualquier unidad de longitud y k es una constante de conversión para unidades de longitud. respectivamente.4). se obtiene lo siguiente: . ω es la frecuencia en rad/s. 7). S es la longitud del conductor a.6).8) Sabiendo que Dsg = 1. Si se suman las inductancias. tal como se describe en (1. se definirá a la constante De como: . (1.7) En estas expresiones (1.6) donde las inductancias están definidas por las expresiones siguientes: (1.(1. . empíricamente. Dsa es el Radio Medio Geométrico (RMG) del conductor a.7). El cálculo de la constante De está dado por: (1.(1.9) y substituyendo en la ecuación (1. Carson encontró que. la impedancia de la línea estará dada por: (1.11) donde f es la frecuencia en ciclos/s o Hz. ésta puede calcularse mediante las fórmulas siguientes: (1.12) siendo ρ la resistividad de la tierra en Ω -m. Para calcular el valor de la resistencia del efecto de retorno por tierra.10) En las expresiones anteriores. Cualquier efecto en los extremos de la línea en los puntos de aterrizamiento son despreciables para frecuencias de estado estacionario.2. = impedancia mutua entre los conductores i y j. Carson publicó sus ecuaciones para calcular la impedancia de un circuito. Carson supone que la tierra es una superficie uniforme. sólida e infinita con una resistividad constante.1. plana. John R.13) Ω /mi (1.3 Ecuaciones de Carson En 1926.14) donde: = impedancia propia del conductor i. Estas ecuaciones actualmente son muy utilizadas para el cálculo de parámetros de líneas de transmisión aérea y subterránea. = resistencia del conductor i. el Dr. = frecuencia en rad/s. considerando el efecto de retorno por tierra. Las ecuaciones de Carson son las siguientes: Ω /mi (1. . Los factores siguientes: . donde las primeras relacionan a los conductores con sus imágenes.3. y se determinan mediante las Series de Carson donde Las distancias y se calculan de acuerdo a lo mostrado en la Figura 1. .1609347 = radio exterior del conductor i. .G = 0. .3 Conductores de una línea monofásica y sus imágenes.Figura 1. ) dentro de las expresiones de la Serie de Carson podrán ser aproximadas a 1. se tiene que: de modo que puede aproximarse a lo siguiente: De la misma manera. >> . se obtiene lo siguiente: .Normalmente. puede simplificarse a: Analizando de manera más detallada la expresión anterior. que. una frecuencia de 60Hz y una resistividad de 100 Ω -m. de modo que los ángulos serán pequeños y las funciones Cos(. de acuerdo a los resultados anteriores. Para una distancia = 100 pies. Resultando: Mediante estas aproximaciones, las ecuaciones de Carson pueden simplificarse de manera significativa. Tanto las impedancias serie como mutua están afectadas por el término 2Q, de tal manera que: (1.15) (1.16) Substituyendo las expresiones anteriores en (1.13): (1.17) donde: (1.18) 2 (1.19) Substituyendo (1.15) dentro del paréntesis en (1.17), este resulta en lo siguiente: Definiendo: ft Entonces, Ω /mi (1.20) De la misma manera: Ω /mi (1.21) Nótese la semejanza entre los valores que la referencia [8] presenta para k y para , los cuales se presentan en la Tabla 1.1. Tabla 1.1 Constantes para el cálculo de inductancias. Constant e k Unidad de Longitud km mi Logaritmo Natural 0.0002000 0.0003219 Logaritmo Base 10 0.0004605 0.0007411 2π k km mi 0.001257 0.002022 0.002893 0.004656 f = 50 Hz fk km mi 0.01000 0.01609 0.02302 0.03705 ω k km mi 0.06283 0.10111 0.14460 0.23280 f = 60 Hz fk km mi 0.01200 0.01931 0.02763 0.04446 ω k km mi 0.07539 0.12134 0.17360 0.27940 Las expresiones siguientes son una forma alterna de las ecuaciones de Carson: Términos diagonales Zii-g = (ri+Rii-g) +j (xi + Xii-g) Términos fuera de la diagonal Zij-g = Rij-g + jXij-g Donde ri es la resistencia interna del conductor i xi es la reactancia interna del conductor i Rii-g es la componente resistiva externa de la auto impedancia Zii-g considerando el efecto de retorno por tierra Xii-g es la componente reactiva externa de la auto impedancia Zii-g considerando el efecto de retorno por tierra Rij y Xij son las componentes resistiva y reactiva de las impedancias mutuas Zij-g respectivamente considerando efecto por tierra. Las componentes internas ri y xi para un conductor particular se obtienen de los manuales de conductores. Las componentes externas se encuentran mediante las ecuaciones: 1.2.4 Impedancia Serie de la Línea Trifásica Para calcular la impedancia serie de una línea trifásica, considerando el efecto de retorno por tierra, se procede en forma similar al cálculo de la impedancia serie de la línea monofásica. La configuración de los circuitos se muestra en la Figura 1.4, identificándose impedancias, voltajes y corrientes. Figura 1.4. Línea trifásica incluyendo el efecto de retorno por tierra. se conoce el valor de . se observará que: (1.4.De la Figura 1. en la dirección dada a las corrientes. y partiendo de estas condiciones. se tiene: Además.22) y las caídas de tensión. se expresan como sigue: (1. puede establecerse el siguiente sistema de ecuaciones: .23) Extendiendo al caso trifásico lo visto en la sección anterior. 1.2.25) donde las impedancias definidas en (1.10). se tiene la expresión siguiente: (1. de acuerdo a la ecuación (1.24).1 Impedancia Serie de una Línea Trifásica con Hilos de Guarda .24) y en forma más compacta. pueden calcularse tal como se muestra a continuación. para las impedancias serie mutuas entre fases.(1.27) En ambos casos.26) Además. Para las impedancias serie propias de cada fase: (1.4. la ecuación anterior puede escribirse como: (1. las unidades estarán dadas en Ω /ul. .Por lo general. las impedancias resultado de los efectos mutuos entre todos los conductores no se muestran. en líneas que operan a voltajes mayores de 23 kV. Para este circuito. Por simplicidad. La Figura 1. el conjunto de ecuaciones que resulta es el siguiente: (1. Línea trifásica con dos hilos de guarda.28) Figura 1.5 representa una línea de estas características conteniendo dos hilos de guarda.5. con la finalidad de proteger a la línea contra descargas atmosféricas. se colocan conductores arriba de los correspondientes a cada una de las fases y aterrizados en cada subestacion. 28) y compactando cada bloque submatricial. c.Nótese que en las ecuaciones (1.30) Resolviendo el segundo renglón para : (1.28) ya se ha realizado el proceso de reducir el efecto de retorno por tierra y donde cada elemento de las mismas se determina ya sea con la ecuación (1.26) o la (1. a partir de (1. tenga incluidos los efectos de los conductores de guarda. b. Si se realiza la operación indicada en (1. se obtiene: (1. y que. se obtenga un modelo matricial equivalente trifásico.5. Considerando la partición matricial mostrada en (1.29).31) .29). Esto significa que se debe obtenerse un conjunto de ecuaciones que incluya únicamente a las fases a.29) El objetivo es que. se aplica el procedimiento que se describe a continuación.27). Para esto. De la Figura 1. se obtiene: (1. se observará que los voltajes de los conductores de guarda son iguales a cero. además. 32) La ecuación (1.31) en la primera expresión de (1.Substituyendo (1.32) también puede escribirse en forma simplificada como: de donde: (1.30): Factorizando a : (1. El efecto de los conductores de guarda está representado por el término negativo de (1.32). se ha reducido de cinco renglones a tres.33) Podrá observarse que el conjunto de ecuaciones (1. Este procedimiento es aplicable también a cualquier número de circuitos con cualquier número de .28). Por otro lado.7 muestra el circuito representativo. en este caso. La única condición es que los voltajes de la parte inferior del vector correspondiente a los voltajes sea igual a cero.2. sería impráctico. La Figura 1. reduciendo el problema del efecto corona y las pérdidas por transmisión. En caso de que se utilizara un conductor único en cada fase. . éste tendría que ser de un calibre que. Figura 1. se mostrará como el método de eliminación Gaussiana aplicado parcialmente a la matriz de impedancias en (1. estarán acoplados entre sí.6.28) es equivalente. la Figura 1. Posteriormente. además.6 ilustra la secuencia para resolver el problema de modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados en cada fase.hilos de guarda.4. 1. Es de suponerse que para las demás fases los circuitos serán semejantes y. para la fase a de la línea. Gráfica de la secuencia para modelar la línea trifásica con dos conductores agrupados por fase. desde un punto vista de esfuerzos mecánicos.2 Impedancia Serie de Líneas Trifásicas con Conductores Agrupados en Cada Fase Los conductores agrupados en cada fase permiten el transporte de altas cantidades de energía. Utilizando las ecuaciones (1. Conductores agrupados para la fase a.26) y (1. puede calcularse la matriz de coeficientes para el siguiente conjunto de ecuaciones: (1.7.34) De la Figura 1.Figura 1. puede observarse las siguientes relaciones de corriente: .7.27). resultará en el siguiente: (1.34) se modificará y. el conjunto de ecuaciones (1.36) (1.así como también las siguientes relaciones de voltaje: Entonces.37) .35) donde: (1. efectuando las restas indicadas. en forma compacta. Se considerará que los conductores de fase están integrados por un conductor principal y varios conductores agrupados. Entonces. se calcula mediante la 1. una matriz de impedancias puede formarse tal como se muestra en la Figura 1. la matriz de impedancias serie general debe construirse bajo el siguiente orden: .39) donde cada elemento de la submatriz anterior se determina mediante las expresiones: (1.(1.40) Finalmente.33).38) (1.5 Filosofía General del Cálculo de Parámetros de Líneas de Transmisión Para cada línea de transmisión con un solo circuito.2.8. la matriz equivalente trifásica ecuación (1. 3. Conductores principales.8. 6. entonces el orden anterior se modificará. 3. esto es.1. Supóngase que se tienen dos circuitos A y B soportados en una misma torre de transmisión. Figura 1. En este caso. 2. 5. 4. o que se tengan varias torres sobre un mismo derecho de vía. que la torre de transmisión soporte más de un circuito. Forma general de la matriz de impedancias serie. Conductores agrupados. Conductores principales de A Conductores principales de B Conductores agrupados de A Conductores agrupados de B Hilos de guarda de A Hilos de guarda de B . Conductores de guarda. Cuando la línea de transmisión sea del tipo multicircuitos. 2. el orden para la formación de la matriz general de impedancias serie será como sigue: 1. 1.2. A continuación. marcando las especificaciones generales que cualquier programa de computadora digital de este tipo debe contener. Figura 1. Después de que se ha formado la matriz general.9.9.6 Aspectos Computacionales El diagrama de bloques para calcular las impedancias serie de líneas de transmisión mediante un programa de computadora digital. se muestra en la Figura 1.El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N. donde N es el número de circuitos soportados en un mismo derecho de vía. se describe en detalle cada bloque. se harán las operaciones necesarias para reducirla. Diagrama de bloques de un programa de computadora digital para el cálculo de impedancias serie de líneas de transmisión. . 1.2.2 Formación de la Matriz de Distancias Entre Conductores Los elementos de la matriz de distancias pueden calcularse mediante la siguiente ecuación: (1.2.1 Lectura de Datos Los datos que deben alimentar al programa son los siguientes: • • • • • • • • Número total de conductores Numero de hilos de guarda Resistencia en Ω /ul de cada conductor Radio medio geométrico de cada conductor Coordenadas geométricas de cada conductor Frecuencia Resistividad del terreno Unidad de longitud deseada 1.6.6.41) donde: . 33) se obtiene el equivalente trifásico de la impedancia serie de la línea de transmisión.39).6. se tiene la matriz de impedancias por bloques de la ecuación (1. se reducirá los conductores agrupados en las fases.38)-(1. el orden de la matriz será igual al número total de conductores que formen la línea de transmisión. coordenadas verticales de los conductores i y j.xi. xj = respectivamente. Adicionalmente. yi. puede obtenerse este equivalente mediante una eliminación Gaussiana parcial. 1. posteriormente de aplicar las ecuaciones (1. primeramente se reduce los hilos de guarda y.3 Cálculo de la Matriz General de Impedancias Serie Como ya se mencionó anteriormente. 1. Primeramente. coordenadas horizontales de los conductores i y j.4 Fases Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados en las Aplicando la ecuación (1.35): .26) y los no diagonales mediante la ecuación (1. Podrá observarse que Dij = Dji. yj = respectivamente. de modo que es suficiente formar una matriz de distancias entre conductores triangular superior o inferior. Para esto.2.6.27). sin incluir la diagonal. Los elementos de la diagonal se determinan con la ecuación (1.2. Este último paso puede representarse esquemáticamente como sigue. esta matriz por bloques se modifica a la siguiente: (1.44) 1.3. Sin embargo. aplicando el proceso de eliminación Gaussiana parcial.1 Conductancia de Líneas de Transmisión .(1.42) Entonces. 1.3 ADMITANCIA EN PARALELO DE LINEAS DE TRANSMISION La admitancia en paralelo de líneas de transmisión está formada básicamente por dos parámetros: conductancia y capacitancia. el primero de ellos se desprecia por las razones que se describen a continuación.43) donde el equivalente trifásico de las impedancias serie de la línea estará dado por: (1. es común despreciar este el efecto de estas corrientes de fuga. De acuerdo a la Figura 1. entre otros factores.2 Capacitancia Monofásica A partir de la ecuación de teoría de campo eléctrico: (1. . debido a que representan un porcentaje muy pequeño con respecto a las corrientes nominales de la línea. humedad atmosférica.45) donde = 8. Por esta razón. para este parámetro todavía no existe un modelo matemático preciso y con la simplicidad apropiada para poderlo manejar. Principalmente. q es la carga en Coulombs.854x10-12 F/m. estas corrientes fluyen a través del aislador hacia la torre. Por otro lado. la cual varía significativamente con el calor.46) donde es la permitividad del medio circundante. Este parámetro resulta de la observación de las “corrientes de fuga” describiendo una trayectoria de las fases a tierra. obtener un modelo matemático representativo de este fenómeno.Concretamente. 1.3. siendo función de la eficiencia del aislador. resulta una tarea compleja.10. la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 está dada por: (1. contaminación y salinidad del ambiente. la cual se representa por la Figura 1. A partir de la ecuación (1. la ecuación anterior se simplifica como sigue: F/m (1. puede encontrarse la expresión para una línea monofásica.47) y sabiendo que .11.11 Línea monofásica para el análisis de capacitancias La diferencia de potencial entre los dos conductores es la siguiente: (1.Figura 1.46).10 Esquema para analizar la caída de potencial entre dos puntos.48) . Figura 1. la capacitancia es: F/ul (1.48) en (1.51) donde: . Con este método. incluyendo hilos de guarda y considerando el efecto de tierra. y considerando que = r.12 muestra el esquema de cargas-imágenes. los voltajes involucrados se determinan mediante la ecuación siguiente: (1. F/m (1.3. se presentará el método general para determinar capacitancias para una línea con cualquier número de conductores. para considerar el efecto de tierra en el cálculo de capacitancias.Por definición.50) 1. La Figura 1.3 Capacitancia para Líneas de Transmisión En esta sección.49).49) substituyendo (1. qj = carga del conductor j. Si i = j.12 Conductores con sus respectivas imágenes.52) . Dii es el radio exterior del conductor i. representados por cargas. Figura 1. Hii es la distancia del conductor i a su propia imagen. Dij = distancia entre los conductores i y j. Si i = j. La ecuación (1.Hij = distancia entre el conductor i y la imagen del conductor j.51) puede compactarse para obtener: (1. 53) donde ri es el radio exterior del conductor i. Si la ecuación anterior se escribe en la forma siguiente: coul/m (1. para la densidad de carga Q y el voltaje V. La matriz de coeficientes de potencial se define como: F-1 m (1.56) multiplicando ambos miembros por jω : . la ecuación (1.54) se podrá definir: F/ul (1. P es una matriz de coeficientes de potencial y q es el vector que contiene a las cargas.54) se escribe como: (1.donde V es el vector de voltajes.55) En términos fasoriales. 13. desde que se forma hasta que se obtiene su equivalente trifásico.57) y sabiendo que I = YV.55) y multiplicar por jω para obtener la matriz de admitancias equivalente. Se debe notar que la matriz P. 1. para fines computacionales. Los detalles de cada bloque se describen a continuación.58) donde Y. 1.3. será considerada como real.3. es la admitancia en paralelo de la línea de transmisión. se requiere de la inversión matricial (1. Esto puede observarse en la Figura 1.4.4 Aspectos Computacionales La matriz de coeficientes de potencial P se maneja en la misma forma que la matriz de impedancias serie. A diferencia de la matriz de impedancias.(1. en este caso.1 Lectura de Datos . entonces (1. 3. la fórmula para encontrar tales distancias es: .2 Formación de la Matriz de Distancias Las distancias se calculan en base a las coordenadas geométricas de los conductores. 1. entonces. Figura 1. Considerando como referencia a la tierra para el eje vertical.Bajo la suposición de que en un mismo programa de computadora se calculan todos los parámetros de la línea de transmisión. el único dato adicional.13 Diagrama de bloques para el cálculo de la matriz de admitancias en derivación Yabc. es el radio exterior de los conductores. con respecto a los definidos para la impedancia serie. para líneas de transmisión trifásicas.4. 842 8.053 12.880 (1/3) k’ km mi 18.525 Logaritmo Base 10 24.53) pueden rescribirse de la manera siguiente: F -1 m (1.3. Constantes para capacitancias en nF/ul Constant e k’ Unidad de Longitud km mi Logaritmo Natural 55.2. El orden de la matriz será igual al número total de conductores de la línea.960 f = 50 Hz .630 89.59) 1.3 Construcción de la Matriz de Coeficientes de Potencial Para un programa de computadora.(1. las ecuaciones (1.159 38.2.60) donde k’ puede tener los valores mostrados en la Tabla 1.4. Tabla 1.543 29. 57 2309.32 nota: n = nano =10-9. El orden de la matriz por invertir es de 3. únicamente. La matriz de admitancias en derivación trifásica.42 f = 60 Hz f k’ km mi 3337.3.90 12214.5 Cálculo de la Matriz Yabc. se obtiene al invertir la matriz de coeficientes de potencial reducida.24 1207.97 1943.49 4476.4.3.07 9107.89 33750.57 28125.78 5317.99 ω k’ km mi 17476.55) y (1.33 ω k’ km mi 20971.04 7589.88 14657. La forma general de la matriz de admitancias en derivación será la siguiente: . tal como lo muestran las ecuaciones (1.58).4. 1. 1.49 1449. y multiplicándola por el término jω .f k’ km mi 2781.4 Reducción de Hilos de Guarda y Conductores Agrupados Este proceso se ejecuta en forma similar al descrito en la sección correspondiente a los parámetros serie. 61) se deben a que todos los elementos de la matriz de coeficientes de potencial P son positivos. a fin de observar el efecto de las transposiciones sobre los mismos. Las más usuales son dadas en micromhos/milla y micromhos/kilometro. A manera de ilustración.4 TRANSPOSICION DE CONDUCTORES EN LINEAS DE TRANSMISION Hasta este momento. por unidad de longitud.(1. se ha calculado los parámetros de la línea de transmisión en base a sus unidades correspondientes. 1. debido a que su efecto sobre la admitancia en derivación es similar.61) y las unidades pueden ser mhos (Ω -1) o submúltiplos de mhos/ul. El equivalente trifásico de la impedancia serie relacionando voltajes y corrientes es el siguiente: (1. En esta sección. Los signos de los elementos en (1. únicamente se observa el efecto de la transposición sobre la impedancia serie. se obtendrá los parámetros considerando la longitud de la línea.62) . estas caídas de tensión pueden ser diferentes entre sí. 1. este tipo de arreglo es pocas veces utilizado en la realidad. . donde se presenta la transposición completa de la línea consistente en dos rotaciones. Además.14. es clara la existencia de acoplamientos mutuos. de modo que las corrientes de cualquier conductor producirán caídas de tensión en los conductores adyacentes.4.Aquí. Otra manera para balancear las impedancias mutuas consiste en la realización de transposiciones a lo largo de la línea. Una transposición es una rotación física de los conductores que puede ejecutarse a intervalos regulares o irregulares de la distancia total de la línea. aun para corrientes balanceadas. que Dab = Dbc = Dca. debido a cuestiones del diseño mecánico de la línea. es decir.1 Método General de Transposiciones Este método permite obtener parámetros de la línea con cualquier número de transposiciones y a cualquier distancia que se desee para cada transposición. Únicamente se tendrá un efecto balanceado de los acoplamientos mutuos cuando la línea tenga un espaciamiento triangular equilátero. tal como muestra la Figura 1. Sin embargo. debido a que las impedancias mutuas dependen del arreglo físico de los conductores de la línea. Figura 1. Matemáticamente.63) y su inversa: (1.64) pudiéndose comprobar que Rφ -1 = Rφ t. para lograr las rotaciones se utiliza las dos matrices de rotación siguientes: (1. .14 Esquema de la transposición completa de una línea de transmisión. Si se desea analizar el efecto de la transposición.65) que es llamada “Transformación Rφ ”.66) la cual es conocida como “Transformación Rφ -1”. Rφ -1 Vabc = (Rφ -1 Zabc Rφ )Rφ -1 Iabc (1.68) . Además. entonces se define lo siguiente para un ciclo completo: (1. sin tomar en cuenta la longitud S de la línea.Un ciclo completo de transposición está dado por las transformaciones lineales definidas como: Rφ Vabc = (Rφ Zabc Rφ -1 )Rφ Iabc (1.67) donde: (1. se tendrá la impedancia serie total de la línea de transmisión: Zabc = (1.14.Partiendo de la Figura 1.70) = (Rφ -1 Zabc Rφ ) (s2) Ω Tercera sección: Z(3) (1. para cada una de las secciones es como sigue: Primera sección: Z(1) (1.72) Z(1) + Z(2) + Z(3) Ω .71) = (Rφ Zabc Rφ -1 ) (s3) Ω Por último. el cálculo de parámetros con transposiciones.69) = (Zabc) (s1) Ω Segunda sección: Z(2) (1. De acuerdo a lo anterior.73) s2 = s3 = 0 (1.4.2 Línea No Transpuesta La Figura 1.15 Línea No Transpuesta s1 = S (1. considerando su longitud. cuya impedancia serie de la línea. se determina como sigue: Figura 1.74) . El modelo matricial permite observar que el mayor grado de desbalance que puede existir entre los acoplamientos mutuos se presenta en este caso. puede observarse que con este método puede calcularse transposiciones en cantidades y longitudes que se desee.15 muestra una línea no transpuesta. 1. En este caso. S = s1 + s2 (1. Figura 1.3 Línea Con Transposiciones Parciales Una transposición parcial es la que resulta de dividir a la línea en solo dos secciones de longitud y haciendo una rotación.16 Línea de transmisión con transposición parcial.Zabc = Z(1) (1. tal como lo muestra la Figura 1.76) .4.75) 1.16. pero con una rotación en sentido opuesto. Si se aplica la ecuación (1.77) Zabc = Z(1) + Z(2) (1. respectivamente. Sin embargo. los resultados de las dos secciones anteriores serán los siguientes: (1.s3 = 0 (1. El grado de desbalance para el caso de líneas con transposiciones parciales será menor que en el caso de tener una línea no transpuesta. debido a que una rotación ayuda considerablemente al balanceo de los efectos mutuos. ya sea parcial o total. para calcular Z(1) y Z(2) .71) en lugar de la (1. En general. la rotación se logra aplicando las ecuaciones (1. cualquier tipo de transposición. se logrará el mismo efecto. económicamente resultará costosa.80) Las transposiciones completas de línea son las que permiten balancear perfectamente los efectos propios y mutuos. .79) donde: (1.70).70).69) y (1.78) donde. cuando se tiene el caso de dos líneas de transmisión sobre un mismo derecho de vía o dos o más líneas físicamente cercanas entre sí.82) donde: . se tendrá el siguiente modelo trifásico de la línea de transmisión: (1. 1. aun cuando los modelos matemáticos consideren balanceados los efectos mutuos.5 LÍNEA DE TRANSMISIÓN CON CIRCUITOS MULTIPLES Cuando una línea de transmisión contiene dos o más circuitos en paralelo.además de que los desbalances en los acoplamientos mutuos son relativamente pequeños. se obtiene un modelo trifásico de los efectos serie y derivación de la línea de transmisión.81) Para todos los casos anteriores. Sin embargo. las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la manera siguiente: (1. Ante una transposición ideal. por lo que normalmente las líneas no se transponen. el modelo que se obtiene será de orden mayor tal como se describe en la siguiente sección. entonces se habla de un sistema de transmisión de circuitos múltiples. Para este tipo de sistemas. Como se explicó anteriormente. . 5. Después de que se ha formado la matriz general. el modelo matricial será de orden 6. (1. ante la presencia de circuitos múltiples se tiene que construir el modelo matricial de la siguiente manera: 1. 6. Conductores principales de A Conductores principales de B Conductores agrupados de A Conductores agrupados de B Hilos de guarda de A Hilos de guarda de B El orden de la matriz será igual al número total de conductores y siempre será cuadrada y simétrica. 2. 4.. 3. . Por ejemplo.82) será de 3 veces el número de circuitos múltiples. para una línea con dos circuitos múltiples.83) El orden del conjunto de ecuaciones (1. Por ejemplo. donde N es el número de circuitos soportados en un mismo derecho de vía.84) Una transformación lineal permite trasladar un conjunto de ecuaciones definido en un marco de referencia a otro. definida desde un punto de vista práctico. por C. cuya matriz de coeficientes es la siguiente: (1. 1.6.1 Cambio del Marco de Referencia Referencia de Secuencias de Fases al Marco de Considerando que se tiene un sistema trifásico balanceado perfectamente.6 TRANSFORMACIÓN LINEAL DE COMPONENTES SIMÉTRICAS Esta transformación. puede justificarse matemáticamente. el modelo matricial que relaciona voltajes y corrientes es: . hasta obtener una matriz equivalente de orden 3N. aplicando la teoría de transformaciones lineales. Fortescue en 1918. 1. en función de fasores.L.se harán las operaciones necesarias para reducirla. en el “marco de referencia de circuitos trifásicos”. (1.85) El cual puede trasladarse al “marco de referencia de las componentes simétricas”. se obtiene que: (1.86) donde: . aplicando la transformación lineal siguiente: o también. Premultiplicando ambos miembros por : y de aquí. se conoce que los valores propios o eigenvalores de ambas matrices serán los mismos. 1. el problema para pasar de un marco de referencia a otro consiste en encontrar la matriz de transformación. por ejemplo. ya sea en cuestión de conceptos o de simplificación de la resolución de problemas de redes eléctricas.87) Entonces.88) o viceversa. de modo que se obtenga alguna ventaja con respecto al marco de referencia original.2 Obtención de la Matriz de Transformación de Componentes Simétricas Se conoce que dos matrices. están relacionadas por medio de la transformación lineal siguiente: (1.6. A y B. se dice que A y B son semejantes y que (1. es de la forma diagonal: .(1. y también. Si la matriz A.88) se conoce como transformación de similaridad o semejanza. Por esta razón. . que al resolverlo se obtendrán sus respectivas raíces llamadas también valores propios. el determinante característico se calcula de acuerdo al teorema de Cayley-Hamilton como: = p(λ) = 0 el cual al desarrollarlo.Entonces. se tiene: Puede concluirse que los valores propios de una matriz completamente diagonal son precisamente sus correspondientes elementos diagonales. resulta en: donde U es la matriz identidad o unitaria. si entonces. Si se iguala a cero este determinante característico. se obtiene el polinomio característico del arreglo matricial. Es decir. Ahora bien. entonces Zabc se simplifica a la matriz: El correspondiente determinante característico de este modelo matricial será el siguiente: . un circuito matricialmente en la forma siguiente: trifásico puede representarse donde los elementos no diagonales representan los acoplamientos mutuos entre fases y los diagonales son las impedancias propias de cada una de las fases. Esto obliga a pensar en obtener una matriz de transformación T de modo que la matriz semejante a Zabc. En términos generales. Si se supone que el circuito trifásico esta perfectamente balanceado. entonces. sea completamente diagonal. a partir de una matriz original Zabc. si se requiere substituir una red trifásica por un sistema equivalente de redes desacopladas.88). llamada matriz de componentes simétricas. se deberá obtener una matriz completamente diagonal. utilizando la transformación lineal (1. denotada como Z012. se obtiene el polinomio característico correspondiente y cuyas soluciones son: (1.89) Para determinar la matriz de transformación lineal. de modo que se resolverán tres sistemas de ecuaciones de este tipo. los cuales representarán cada columna de la misma. Para cuando se aplica homogéneo siguiente: λ 1 = Z + 2M. se tienen tres valores propios. Cada vector propio es la solución de un sistema de ecuaciones homogéneo [λ iU . En este caso. Ts. se tiene el sistema de ecuaciones Dividiendo el conjunto de ecuaciones entre M: . debe calcularse los eigenvectores o vectores propios.Al desarrollar este determinante e igualarlo a cero.Zabc]=0. Al aplicar operaciones elementales de renglón. donde cada una cumple que x11 = x21 = x31. incluyendo la trivial. se obtiene el conjunto de . se reducirá este conjunto de ecuaciones a un triangular superior: el cual tiene un número infinito de soluciones. de donde se obtiene que este vector propio será: y se podrá observar que un caso particular es el siguiente: Repitiendo el mismo proceso para λ ecuaciones homogéneo: 2 = Z-M. debido a que se tiene dos grados de libertad para seleccionar valores. . etc. donde cada una de ellas estará definida por una combinación que cumpla con la igualdad . λ 2 = λ 3. este vector propio podría ser: . de modo que los vectores propios que la conforman deben ser linealmente independientes.Dividiendo entre -M y aplicando operaciones elementales de renglón. Normalmente. Debe mencionarse que una característica que debe tener la matriz de transformación es que es invertible. en este caso en particular. para que esto ocurra. Por ejemplo. no será posible obtener una matriz semejante diagonal. En caso contrario. los valores propios deben ser distintos entre sí. Sin embargo. es posible definir dos vectores propios. aunque. el conjunto de ecuaciones anterior se reduce a: el cual tiene un número infinito de soluciones. Para ello.90) donde . En este caso. se define la matriz de transformación lineal: (1. puede formalmente plantearse el problema de pasar de un sistema de coordenadas de fase (abc) al sistema de coordenadas de secuencia (012). se mencionó que el objetivo era encontrar una matriz diagonal representativa del sistema trifásico original mediante tres circuitos monofásicos independientes o desacoplados entre sí. La inversa de Ts .Para el modelo trifásico perfectamente balanceado. usando como matriz de transformación a la matriz de componentes simétricas Ts: . se parte de la relación lineal: a la cual se le aplica la regla de transformación lineal. será: (1.91) Anteriormente. 10) representará tres circuitos monofásicos desacoplados electromagnéticamente entre sí.17. donde se muestra un circuito trifásico y sus respectivas redes de secuencia monofásicas y desacopladas.92) Es fácilmente demostrable que realizando el producto matricial anterior.Premultiplicando ambos lados de la expresión anterior por : y en términos de las coordenadas de secuencia: donde: (1. Este concepto se ilustra en la Figura 1. se obtiene una matriz diagonal de la forma: (1. La matriz (5. .92) donde se nota que los elementos diagonales son exactamente los valores propios de Zabc. Para este tipo de sistemas las ecuaciones de voltaje pueden escribirse de la manera siguiente: donde: . entonces se habla de un sistema trifásico de circuitos múltiples.17 Red trifásica y redes monofásicas de secuencia desacopladas.3 Múltiples Transformación de un Sistema Trifásico de Circuitos Cuando una red eléctrica contiene dos o más circuitos trifásicos acoplados magnéticamente.Figura 1.6. 1. Mediante una transformación lineal. puede establecerse que: donde: (1.93) Los vectores de voltaje y corriente de secuencia serán los siguientes: . una situación típica se presenta al aplicar la transformación al modelo de una línea con circuitos múltiples.(1. Sin embargo. caracterizado por acoplamientos mutuos entre fases. se tiene la expresión relacionando voltajes y corrientes de secuencia: donde: (1. De hecho. el desacoplamiento de los circuitos de secuencia no será total. el cual se convierte en varios circuitos desacoplados entre sí.94) De manera similar al caso del circuito trifásico único. Esto implica que para modelos que no cumplan con esta condición. se tiene un modelo matemático en el marco de referencia de fase. . debe recordarse que la transformación de componentes simétricas se obtiene partiendo de un modelo de circuito trifásico perfectamente balanceado. donde se observa un fuerte acoplamiento entre las componentes de secuencia cero. al pasar al marco de referencia de secuencias.95) En este caso. es decir. es semejante a la aplicación de la transformación de componentes simétricas. cuyo número dependerá de los circuitos múltiples involucrados. las transformaciones lineales se aplican en forma de bloques diagonales. .El tratamiento de las transposiciones para líneas de transmisión con múltiples circuitos. 3 Structure of the transmission line for example 2.8.Figure 2. . Where: . Where: . Zs=Tp-1ZpTp A similar approach may be used for the Clarke-component transformation. . Figure2. .1 Configuration of transmission line for example 4.13. . . . . . CAPITULO 2 MODELADO DE TRANSFORMADORES MONOFASICOS Antes de aplicar el modelado de transformadores al análisis de sistemas eléctricos, debe explicarse la manera en que sus parámetros son obtenidos. Mucho se ha escrito acerca del modelado de transformadores monofásicos de dos devanados. Sin embargo, es conveniente partir de una breve revisión de este tema, de modo que estos conceptos sean extendidos mediante teoría fundamental de circuitos hacia el análisis de circuitos trifásicos balanceados o desbalanceados. 2.1 TRANSFORMADOR MONOFÁSICO CON RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN NOMINAL Considere el circuito de la Figura 2.1, representando un transformador monofásico ideal, donde cada devanado tiene su propia impedancia y además existe un acoplamiento mutuo entre ambos. Figura 2.1 Dos circuitos acoplados magnéticamente, representando un transformador monofásico. Las relaciones de corriente y voltaje son las siguientes: En forma matricial: (2.1) de donde se obtiene: (2.2) En la realidad, los coeficientes de acoplamiento son tan altos en transformadores de uso común, que la inversa de la matriz de impedancias es numéricamente inestable, es decir, en valores por unidad, y son apenas mayores que . Entonces, las pruebas de parámetros de circuito abierto y de corto circuito serán útiles para modelar adecuadamente un transformador. Por tanto, un conjunto híbrido de mediciones se realiza, incluyendo las mediciones de circuito abierto y de corto circuito. Para el desarrollo de un modelo de transformador, es necesario tener una buena aproximación de los parámetros en por unidad. Estos se obtienen insertando la impedancia de corto circuito, , y la de circuito abierto, , en un circuito π representando al circuito de la Figura 2.1. El circuito resultante es el mostrado en la Figura 2.2. Figura 2.2 Circuito π equivalente en por unidad del circuito de la Figura 2.1. Ahora, se establece una relación de voltajes y corrientes nodales, representada por la siguiente ecuación matricial: (2.3) donde: La asignación de cada parámetro es arbitraria. En este caso, representa a la admitancia de magnetización, la cual usualmente, en el sistema por unidad, puede despreciarse, de modo que el modelo del transformador monofásico se reduce a un circuito π incluyendo a la admitancia únicamente. Sin embargo, aun en este caso, en el sistema en por unidad los errores en los que se puede incurrir son despreciables. El uso de una red como la de la Figura 2.3 está restringido a la representación monofásica y considerando una relación de transformación nominal. A continuación, se desarrolla el circuito equivalente del transformador con relación no nominal. 2.2 TRANSFORMADOR MONOFÁSICO CON CAMBIADOR DE DERIVACIÓN NO NOMINAL La Figura 2.3 muestra el circuito representando un transformador con relación de voltaje no nominal. En este caso, solamente se considera la impedancia de encadenamiento de flujos entre los devanados primario y secundario. Figura 2.3 Circuito de un transformador monofásico con relación de transformación no nominal y compleja. De la figura de arriba, . Además, por definición, y la expresión (2.7) entonces. con respecto a su voltaje.5) donde el signo menos aparece debido al sentido de la corriente en el devanado del secundario del transformador.6) Definiendo en el sistema en por unidad: (2. (2.4) puede escribirse en términos de valores por unidad: .(2. Por otra parte.4) En función de potencias: (2. 11) En el marco de referencia nodal: .(2.8) o también. pu (2. pu (2.10) Similarmente.9) donde: pu (2. de modo que por la ecuación (2.14) (2. .9). Por tanto.15) . Substituyendo en la expresión anterior. .donde. (2. . se puede observar que: .13) (2. . . a partir de la Figura 2.3. Cada uno de los términos de la matriz de admitancias nodal puede calcularse mediante “mediciones” en la forma siguiente: (2.12) Además. Figura 2. tal como se observa de las expresiones anteriores.4 desaparecen y queda únicamente la admitancia serie conectando a los nodos terminales del transformador.3.Nótese que la matriz de admitancias nodal no es simétrica. los elementos en derivación de la Figura 2. Para cuando . el circuito π equivalente será el mostrado en la Figura 2. Nótese que en caso de que . puesto que . En este caso. . entonces la matriz de admitancias nodal será simétrica.4 Circuito π equivalente del circuito acoplado magnéticamente de la Figura 7.4. se considera el modelo de la Figura 2. Para esto. Figura 2. Para esta figura.3 MODELO DEL TRANSFORMADOR MONOFÁSICO CON CAMBIADOR DE DERIVACIÓN NO NOMINAL EN CADA DEVANADO Los modelos de transformadores descritos hasta este momento. donde el transformador se modela como un transformador de tres devanados.2.5 Circuito de un transformador con cambiador de derivación no nominal en cada devanado. como en el caso de los transformadores trifásicos o bancos monofásicos conectados en estrella-delta o delta-estrella.5. Para estos casos. pero que permite modelar adecuadamente transformadores que operan bajo estas condiciones. es conveniente aplicar un método de modelado un poco más complejo. la corriente en el nodo p es la siguiente: . no consideran el hecho de que en un momento dado puede existir una relación de transformación adicional. 17) Por otra parte.16): o también.16) Además. . entonces. (2. .(2. Substituyendo en (2. es necesario que la relación de transformación sea compleja. De la Figura 2.4 TRANSFORMADORES DESFASADORES Para cumplir con el objetivo de controlar el desfasamiento entre los nodos primario y secundario de un transformador. será necesario observar la invariancia del producto transformador.(2.18) En forma matricial: (2.5 se tiene: a través del (2. Además.20) Suponiendo que la relación compleja es y utilizando además la relación: de donde: .19) 2. 21) Entonces. (2.5: (2.22) Resolviendo ahora el circuito para corrientes en terminales: . o también. y de aquí.Substituyendo en (2.20). resulta claro que existen dos relaciones de transformación para el circuito de la Figura 2. o también.Efectuando operaciones.23) Además. las relaciones anteriores se escriben de la manera siguiente: (2. resulta lo siguiente: (2.24) Matricialmente.25) . (2. a fin de incluir el efecto del desfasamiento. considerando una de las relaciones de transformación como compleja. CAPITULO 3 .5.donde la matriz de coeficientes es la matriz de admitancias nodal del transformador de la Figura 2. de modo que se requerirá de cuidados adicionales para su manejo. Debe notarse que en este caso la matriz de admitancias nodal es asimétrica. Entre las varias alternativas para describir sistemas de transmisión de modo que se cumpla con las Leyes de Kirchhoff.  El número de ecuaciones y variables es usualmente menor que con el método de análisis de mallas para sistemas eléctricos de potencia. siendo de uso generalizado en tareas de simulación en estas máquinas.FORMULACION NODAL PARA MODELAR SISTEMAS ELECTRICOS 3.  Fácil preparación de datos. capacitancia y resistencia. El análisis nodal ha resultado más adecuado para trabajo en la computadora digital. . dos métodos. Cada componente constituye una red eléctrica por si misma y su interconexión con otras componentes constituye un sistema de transmisión. debido a que presenta las siguientes ventajas:  La numeración de nodos. ejecutada directamente a partir de un diagrama del sistema es muy simple. el de análisis nodal o el de análisis por mallas son normalmente usados.  Las ramas en paralelo no incrementan el numero de ecuaciones.1 INTRODUCCIÓN Los componentes de un sistema eléctrico de potencia son modelados en términos de inductancia. resulta útil la aplicación del concepto de transformación lineal. . es posible definir un procedimiento sistemático para obtener tal conjunto de ecuaciones de manera muy sencilla. considérese la red de la Figura 3. Para propósitos de ilustración. 3.1. Los voltajes nodales son obtenidos directamente de la solución y las corrientes de rama se calculan fácilmente. Una vez analizado el resultado obtenido.2 TÉCNICAS DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Las técnicas de transformación lineal son usadas para poder obtener en forma sistemática la matriz de admitancias nodal a través de la cual se relacionarán voltajes y corrientes nodales. Para obtener un conjunto de ecuaciones relacionando voltajes y corrientes dentro de un marco de referencia nodal. se muestra en la Figura 3. Esta matriz relaciona las corrientes nodales inyectadas con los voltajes nodales de la red primitiva. 3. tal que se tengan los voltajes a través de cada rama de la red original. Numerar los nodos de la red original. 2. La red primitiva de la Figura 3. Cinco pasos son necesarios para formar la matriz de admitancias nodal mediante transformación lineal: 1.1. Formar la matriz de admitancias primitiva por inspección. . la cual consiste de las ramas desconectadas de la red original con una corriente igual a la corriente de rama original inyectada en el nodo correspondiente de la red primitiva. Numerar en cualquier orden las admitancias de rama.Figura 3.1 Sistema eléctrico conectado.2. La relación de corrientes y voltajes de la red de la Figura 3. denotada por .1) donde la matriz de coeficientes diagonal representa a la matriz de admitancias primitiva. la cual podrá tener términos fuera de la diagonal cuando existan acoplamientos mutuos entre las admitancias de la red original. .Figura 3.2 Red primitiva o desconectada del circuito de la Figura 3.1. puede representarse por la ecuación matricial siguiente: (3.2. 3) 5. la cual relaciona corrientes nodales con voltajes nodales mediante la ecuación: (3. Formar la matriz de conectividad [C]. de Por inspección: (3. la red conectada con los voltajes de rama de la red primitiva. la cual relaciona los voltajes nodales. La matriz de admitancias nodal (de la red conectada).4) .2) En forma matricial: (3.4. . puede obtenerse de: (3.5) Substituyendo: (3.6) 3.3 MÉTODO POR INSPECCIÓN . de acuerdo a la ecuación (3. donde las tres fases en un nodo siempre están asociadas en conjunto con sus interconexiones. el cual se basa en el uso de cantidades matriciales para representar las admitancias de red. Las leyes y ecuaciones .1 puede observarse que los componentes que inciden al nodo 1 son los que tienen como valores de admitancia elemento diagonal y .8) será .4 CONCEPTO DE ADMITANCIAS COMPUESTAS Cuando se analiza redes trifásicas. esto es: . será calculado como sigue: . se calculan como el negativo de la admitancia del componente de circuito primitivo que interconecta a los nodos i y m: (3.7) 2. Los elementos no diagonales. a este método de construcción de la matriz de admitancias nodal se le conoce como método de inspección y consiste en lo siguiente: 1. . Por esta razón. Es decir. 3. se suman todos los componentes (3. la matriz de admitancias nodal puede construirse en base a observar la topología del circuito eléctrico.6) al aplicar la transformación lineal. Para determinar los elementos diagonales incidentes al nodo i.Del resultado anterior. siendo estos resultados idénticos a los obtenidos en (3.7). mientras que el elemento no diagonal correspondiente al renglón 1 y la columna 2. aplicando la expresión (3.8) Por ejemplo. puede notarse que los elementos diagonales corresponden exactamente a la suma de todos los componentes que inciden al nodo correspondiente. la representación gráfica de la red se simplifica usando el concepto de “admitancias compuestas”. de modo que el . de la Figura 3. mientras que los elementos fuera de la diagonal son el negativo de la admitancia del componente que interconecta a ambos nodos. 3.3 Red primitiva de 6 admitancias acopladas (los acoplamientos no se muestran). cuya red primitiva se muestra en la Figura 3.9) Particionando en bloques matriciales de orden 3: . Considérese que se tiene 6 admitancias acopladas magnéticamente. Figura 3.de redes ordinarias son todas válidas para redes compuestas. La matriz de admitancias primitivas relaciona las corrientes inyectadas en cada rama con los voltajes de rama: (3. reemplazando simplemente cantidades escalares por matrices apropiadas. Esto se ilustra en la Figura 3.4. cada una integrada de tres admitancias individuales.(3. .10) donde: Gráficamente. esta partición se representa como el agrupamiento de las 6 admitancias en dos admitancias compuestas A y B. Figura 3. La ecuación (3. . para i = 1.4 Red primitiva de dos admitancias compuestas acopladas. Como un ejemplo. 2. considere la red mostrada en la Figura 3. Esto es.5.11) La red primitiva para cualquier número de admitancias compuestas es formada exactamente en la misma forma que en el caso de admitancias simples. si y sólo si los acoplamientos mutuos son bilaterales. el uso de las admitancias compuestas es ventajoso. representando una sección de línea de transmisión. 3 y k = 4.10) puede escribirse como: (3. si y sólo si . 5. Si la matriz de conectividad de cualquier red puede descomponerse en elementos identidad de dimensiones mayores a 1. La matriz de admitancias nodal se obtendrá usando admitancias simples y compuestas. Resulta claro que . 6. teniendo presente que todas las cantidades involucradas son matrices del mismo orden que las admitancias compuestas. 5 Sección de línea de transmisión representada por admitancias simples acopladas. La matriz de admitancias primitivas es la siguiente: y las relaciones de voltaje son: .Figura 3. Entonces. la matriz de conectividad es la siguiente: a b c a’ b’ c’ Aplicando la definición de transformaciones singulares. se obtiene la matriz de admitancias nodal: a b c a’ b’ c’ . . La red desconectada o primitiva del circuito de la Figura 3.12) Para determinar a partir de las admitancias compuestas.5 se transforma en el circuito de la Figura 3.7. Figura 3.(3.6 Sección de línea de transmisión representada por admitancias compuestas.6 es mostrada en la Figura 3.6. la Figura 3. Figura 3.7 Red primitiva del circuito de la Figura 3.6. Del circuito de la Figura 3.6. se tiene la relación de voltajes: En forma matricial: La matriz de admitancias primitiva correspondiente a las admitancias compuestas es: . la matriz de admitancias nodal (3. debido a que se trata de una línea de transmisión.14) .Entonces la matriz de admitancias nodal será: con el resultado siguiente: (3. debe recordarse que. se obtendrá el resultado de la ecuación (3.13) puede escribirse en la forma siguiente: (3.12).13) Si se desarrolla la matriz anterior. considerando los elementos que tiene cada submatriz. Por otro lado. 5 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN SOBRE UN MISMO DERECHO DE VÍA La Figura 3.8 muestra dos líneas de transmisión monofásicas acopladas magnéticamente. resultan los acoplamientos mutuos entre los circuitos de secuencia cero. 3. mientras que representa al efecto en derivación en el mismo marco de referencia. los nodos de envío pueden ser distintos. . Esta situación resulta de tener dos líneas de transmisión que comparten un mismo derecho de vía y que. En términos generales. al aplicar la transformación de componentes simétricas. ocurriendo lo mismo con los nodos de recepción.donde representa al efecto serie de la línea en el dominio de fase. a un circuito puramente eléctrico. es decir sin acoplamientos magnéticos. se muestra en la Figura 3.9. Para esto. Tal procedimiento se conoce como transformación en coordenadas de fase o transformación singular. la matriz de admitancias nodal de la red de secuencia cero debe incluir estos acoplamientos mutuos.Figura 3. Como puede observarse. La red desconectada o primitiva de la Figura 3.8.8 Dos líneas de transmisión monofásicas acopladas magnéticamente Entonces. . se aplica un procedimiento que consiste en pasar de un circuito eléctrico con acoplamientos magnéticos. se establece una relación voltaje/corriente para cada rama del circuito. Figura 3. La relación entre voltajes y corrientes para la red primitiva de la Figura es: (3.8.15) Las relaciones de voltajes nodales y de rama se definen como: .9 Red desconectada de la Figura 3. tal como se muestra a continuación: (3.19) . la relación de corrientes y voltajes nodales está dada por: (3.16) En forma matricial: (3. la cual es función de la matriz de admitancias primitiva.17) Por otro lado.18) donde es la matriz de admitancias nodal.(3. agregando los elementos que representan a los acoplamientos mutuos.21) Entonces.20) Realizando operaciones: (3. se establece la matriz de admitancias nodal para el caso en que se tiene una torre de transmisión con dos circuitos. A continuación.Substituyendo: (3. Debe recordarse que el caso analizado corresponde a dos líneas de transmisión acopladas magnéticamente. a partir de esta matriz. 3. se modifica la matriz de admitancias nodal de la red de secuencia cero. los cuales están en paralelo.6 LÍNEA DE TRANSMISIÓN CON DOS CIRCUITOS EN PARALELO . en este caso. pero sobre un mismo derecho de vía.10 Línea de transmisión con dos circuitos paralelos. el nodo de envío es el mismo para ambos circuitos. las relaciones corriente/voltaje de rama pueden expresarse matricialmente como: (3.10 muestra una línea de transmisión con dos circuitos en paralelo. Figura 3.22) . ocurriendo lo mismo para el nodo receptor. Nótese que. Ahora. los cuales pueden ir montados sobre una misma torre o en torres distintas.La Figura 3. De modo que las relaciones de voltajes de rama y nodales serán: (3.24) Entonces.23) Matricialmente: (3. la matriz de admitancias nodal será: . 26) (3.(3.27) .25) Realizando operaciones: (3. Capitulo 4 Modelación de transformadores trifásicos . se obtiene de la red desconectada y utilizando el procedimiento de transformación lineal descrito anteriormente.1 MATRIZ DE ADMITANCIAS PRIMITIVA DEL TRANSFORMADOR TRIFÁSICO La matriz de admitancias primitiva. lo cual en la mayoría de situaciones prácticas se justifica. . se calcula la matriz de admitancias nodal. 4. permitiendo el uso de modelos matemáticos en función de sus componentes de secuencia desacopladas entre sí. aunque todavía se recurre a justificaciones físicas para obtener modelos relativamente simples y precisos. En general.1. Sin embargo. normalmente se ha supuesto que el transformador trifásico opera bajo condiciones de balance.CAPITULO 4 MODELADO DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS Con el objeto de simplificar los modelos de estos dispositivos. la cual no requiere de suposiciones matemáticas. tal como lo muestra la Figura 4. un transformador trifásico de dos devanados consistirá de 6 admitancias acopladas magnéticamente entre sí. usada como base para el modelo del transformador en coordenadas de fase. más recientemente. se ha desarrollado métodos para que todas las conexiones de los transformadores sean modeladas exactamente mediante el uso de la técnica de coordenadas de fase. 1 Transformador trifásico de dos devanados. El conjunto de ecuaciones realcionando voltajes y corrientes de rama es el siguiente: (4.1) donde los elementos de la matriz de admitancias primitiva pueden medirse directamente. se requeriría 21 mediciones para obtener la matriz de admitancias primitiva. mediante la expresión siguiente: (4. Por ejemplo. mediante la energización del devanado i y cortocircuitando todos los demás devanados.2) Considerando que los acoplamientos mutuos son recíprocos. se determina la i-ésima columna de la matriz.Figura 4. Además. suponiendo que . las admitancias . Para tres unidades monofásicas separadas.4) En unidades de transformación trifásicas. Si los valores en (4. representando acoplamientos entre fases distintas no pueden despreciarse. y .las trayectorias de flujo también están simétricamente distribuidas. = admitancia mutua entre los devanados primario.3) son . la ecuación matricial (4.1) se simplifica a la siguiente: (4. = admitancia mutua entre devanados del secundario.y secundario y fases distintas.3) donde: = admitancia mutua entre devanados del primario.3) se simplifica a: (4. todas las admitancias anteriores tienen una magnitud relativamente pequeñas. de modo que (4. entonces esta interpretación de la red primitiva debe usarse.3.2 Red primitiva de un transformador trifásico despreciando los acoplamiento mutuos entre fases distintas.conocidos. el acoplamiento entre devanados primarios y secundarios de la misma fase puede modelarse usando (4.2 de la forma siguiente: . Si el acoplamiento entre fases distintas puede despreciarse. se puede generalizar el caso de la Figura 4. Figura 4. De acuerdo a lo descrito en la sección 2. cuya red desconectada se muestra en la Figura 4. donde los transformadores tienen una relación de transformación por devanado.2.4). 6) 4. La nueva ecuación matricial relacionando corrientes y voltajes de rama es: (4.2 MODELOS DE TRANSFORMADORES CON CONEXIONES COMUNES La matriz de admitancias nodal para cualquier transformador trifásico de dos devanados puede formarse usando la transformación lineal de coordenadas de fase. .3.2. 4. 2.5) y j = 4.1 Transformador Estrella-Aterrizada/Estrella-Aterrrizada Este tipo de transformador puede representarse por el circuito de la Figura 4. 3 (4. 5.para i = 1. 6. 3) o (4. 4. se obtendrá que la matriz de admitancias nodal será igual a las matrices (4. .4. dependiendo si se trata de un transformador trifásico o un banco de tres transformadores monofásicos.Figura 4.6) Aplicando la transformación lineal . y debido a que C es diagonal. de modo que se tiene: (4. Observando este circuito.2.2 Transformador Trifásico Estrella-Aterrizada/Delta El circuito de un transformador de este tipo se muestra en la Figura 4.3 Circuito de un transformador estrella-aterrizada/estrella-aterrizada.4). se nota que los voltajes nodales son iguales a los de rama. La relación de voltajes y corrientes de rama es la siguiente: (4.3) para definir a la matriz de admitancias primitivas. se obtiene: .4 Transformador estrella-aterrizada/delta.Figura 4.7) Utilizando la expresión (4. y substituyendo en . (4.8) En el sistema por unidad, la relación de voltajes de rama y voltajes nodales está dada por la ecuación matricial siguiente: (4.9) Entonces, la matriz de admitancias nodal será la siguiente: De aquí, la matriz de admitancias nodal del transformador estrella-aterrizada/delta resulta en como sigue: (4.10) En el caso particular de un banco formado por tres unidades monofásicas, todos los términos , y desaparecen, resultando el siguiente conjunto de ecuaciones nodales: (4.11) donde es la admitancia de encadenamiento del transformador, expresada en p.u. Para este modelo de admitancias, es posible obtener el circuito libre de acoplamientos mutuos mostrado en la Figura 4.5. CAPITULO 5 MODELADO DE LA MAQUINA SINCRONA 5.1 ECUACIONES EN EL MARCO DE REFERENCIA DE FASES Para estudios en estado estacionario, la máquina síncrona puede modelarse considerándola ideal, esto es, suponiendo que la corriente de campo es constante. La Figura 5.1 muestra un circuito equivalente donde el devanado de campo está girando a la velocidad síncrona o de sincronismo, , del sistema eléctrico de potencia. Figura 5.1 Circuito equivalente de la máquina síncrona. Definiendo: = Resistencia en la fase i de armadura. = Inductancia propia de la fase i de armadura. = Resistencia del devanado de campo. = Inductancia propia del devanado de campo. = Inductancia mutua entre la fase i y el devanado de campo. = Inductancia máxima mutua entre la fase i y el devanado de campo. = Inductancia mutua entre las fases i y j de armadura. i, j = a, b, c. El voltaje instantáneo generado en cada una de las fases es: (5.1) Desarrollando los encadenamientos de flujo magnético de la ecuación (5.1): (5.2) Además, (5.3) Suponiendo que la máquina síncrona es de rotor cilíndrico, las inductancias de la ecuación (5.2) son las siguientes: (5.4) Substituyendo estas relaciones y expresando en cantidades fasoriales las ecuaciones anteriores, se obtiene: (5.5) 8) 5.5) en forma matricial: (5.9) .6) donde: (5.Expresando las ecuaciones (5.6): (5.7) (5.2 MODELOS DE SECUENCIA DE LA MAQUINA SINCRONA Aplicando la transformación de componentes simétricas a las ecuaciones (5. donde: (5.10) (5.13) Los circuitos equivalentes de las ecuaciones anteriores son mostrados en la Figura 5. el cual no está presente en las redes de secuencia positiva y negativa.2. .11) (5. donde puede observarse el efecto de la impedancia de neutro a tierra en la red de secuencia cero.12) (5. (a) . (b) . de la máquina síncrona.(c) Figura 5. . positiva (b) y negativa (c).2 Circuitos de secuencia cero (a). se tiene dos maneras generales en que puede conectarse. Para propósitos de este curso. iniciando por el modelado trifásico de cargas y la obtención de sus equivalentes en el marco de referencia de componentes de secuencia. se muestra el desarrollo de modelos de carga más comunes. Para evitar esta situación.CAPITULO 6 MODELADO DE CARGAS 6.1 Carga Conectada en Estrella . además de considerar su naturaleza aleatoria para conectarse y desconectarse del sistema y que pueden ser monofásicas o trifásicas. Por ejemplo. Esto sin duda. entonces debe emplearse modelos de carga dependientes del voltaje. Adicionalmente. haría más difícil el análisis de los sistemas eléctricos. 6.2. 6. entonces un modelo de carga dependiente de la frecuencia es adecuado o si el estudio es acerca de la inestabilidad de voltaje. por medio de la impedancia que presenta. las cargas están dispersas a través de los sistemas de distribución. se ha optado por modelar las cargas suponiendo que se concentran en el nodo ya sea de alta o de baja tensión en la subestación del sistema de distribución. si se pretende realizar estudios del comportamiento dinámico del sistema. ya sea en estrella o en delta. de modo que un modelado estricto de estos componentes requiere de modelar la red de distribución.1 INTRODUCCION Comúnmente. para sistemas eléctricos de potencia pueden modelarse de acuerdo al tipo de estudio que se desea analizar.2 REPRESENTACIÓN DE CARGAS EN COMPONENTES DE FASE Y SECUENCIA Si se representa una carga pasivamente. La Figura 6. Del circuito de la figura anterior: de donde: .1 muestra el circuito equivalente de una carga conectada en estrella aterrizada a través de una impedancia. Figura 6.1 Carga conectada en delta y aterrizada a través de una impedancia. 1) La matriz de impedancias representa a un circuito trifásico perfectamente balanceado.2) muestra que se tiene un conjunto de tres circuitos monofásicos de secuencia. desacoplados entre sí. .2) La ecuación (6. Escribiendo las ecuaciones anteriores en forma matricial: (6. de modo que la aplicación de la transformación de componentes simétricas resulta como sigue: (6. lo cual se ilustra en la Figura 6.2.De la misma manera. 3) donde: . En el marco de referencia de fases.2 Circuitos de secuencia de una carga trifásica conectada en estrella aterrizada a través de una impedancia.Figura 6. las ecuaciones de voltaje pueden expresarse matricialmente como: (6. .4) y en el marco de referencia de secuencias se tiene: (6.5) siendo Además. a través de una impedancia.3. y. en función de corrientes. está dado como: (6. el circuito de secuencia cero es el mostrado en la Figura 6.(6.6) Podrá observarse que el efecto de conectar a tierra el neutro de la estrella. tiene únicamente efecto sobre la red de secuencia cero. Para este caso. la carga está en función de admitancias. teniendo 6. Una conexión sólida a tierra se representa con el mismo circuito.1.Figura 6.2.4.2 Carga Conectada en Delta En el marco de referencia de fases. donde. por facilidad de análisis. . una carga conectada en delta está representada por el circuito de la Figura 6. pero con un valor igual a cero.3 Circuito de secuencia cero para la carga de la Figura 6. en función del voltaje en el neutro. 5. la relación de voltajes y corrientes está dada por la ecuación matricial siguiente: (6.4 Carga conectada en delta. .8) y los circuitos de secuencia que representan esta situación. esto resulta en: (6. Ahora. se muestran en la Figura 6.7) En el marco de referencia de secuencias.Figura 6. El resultado anterior permite observar nuevamente que.Figura 6. ante la ausencia de conexiones a tierra.5 Circuitos de secuencia para una carga conectada en delta.3 MODELOS TÍPICOS DE CARGAS De acuerdo a las características físicas propias de cada carga. la red de secuencia cero será un circuito abierto. estas pueden modelarse como sigue: • Impedancia constante • Potencia constante • Corriente constante • Una combinación de las anteriores . 6. es decir. pero bajo una nueva condición operativa 1.11) Esta ecuación significa que la potencia de la carga varía cuadráticamente con el voltaje.Para modelar una carga como impedancia constante.9) Definiendo a como la potencia aparente demandada originalmente por una carga. y a como la potencia aparente de la misma carga. se tiene: (6. Entonces.10) Haciendo iguales las impedancias de ambas condiciones. y (6. . cuando se considera que la impedancia de la carga no varía. se considera que la potencia aparente está dada por la expresión: (6. permanece constante. Por otra parte. se obtiene lo siguiente: (6.13) Lo anterior implica que ante una condición de corriente constante.14) En estudios de flujos de potencia.Del mismo modo. se obtiene: (6. .12) o en función de magnitud de potencias y voltajes: (6. la carga varía linealmente con respecto al voltaje. cualquiera de los tres modelos de carga puede utilizarse. siendo el más común el modelo de carga de potencia constante. resulta más común la aplicación del modelo de impedancia constante. Si se considera que la potencia no cambia. si se considera constante a la corriente suministrada a la carga. para estudios de fallas. Por otra parte.CAPITULO 7 MODELADO DE ELEMENTOS DE COMPENSACIÓN 7. Estos pueden clasificarse de diversas maneras. de acuerdo a su principio de funcionamiento. la instalación de bancos de capacitores es una práctica común en sistemas eléctricos de distribución. o bien conectados en derivación o en serie. Normalmente. a fin de disminuir el efecto Ferranti en condiciones de demanda mínima. 7. respectivamente. De cualquier manera.1 INTRODUCCION Los elementos de compensación son necesarios para la adecuada operación de sistemas eléctricos de potencia. Es común encontrar bancos de reactores en redes de alta tensión cuyas líneas de transmisión son de una longitud considerable. propósito y la forma en que se conectan al sistema.2 COMPENSADORES EN DERIVACIÓN Los compensadores en derivación tienen como función el control del voltaje y la potencia reactiva. pudiendo ser ajustables o fijos. el modelado de compensadores está ligado directamente a la manera en que se conectan en el sistema. para controlar voltaje y potencia reactiva o potencia activa. están relacionados con la operación de sistemas eléctricos con redes de transmisión muy limitadas en cuanto a regulación de voltaje y transferencias de potencia activa. con . a fin de obtener mejores resultados sobre los perfiles de voltaje a través de todo el sistema eléctrico. . El modelado monofásico se requerirá normalmente para sistemas eléctricos de potencia mientras que el modelado trifásico será necesario para reflejar desbalances. En ambos casos.el propósito de incrementar los niveles de tensión y mejorar el factor de potencia. se describe los modelos de compensadores en derivación en el marco de referencia de fases y de secuencias. Considérese el circuito de la Figura 7. A continuación.1. donde se muestra un banco de compensación en derivación conectado al nodo k del sistema eléctrico. sobre todo en sistemas de distribución. la compensación puede ser fija y/o conmutable. Esto es. sin acoplamientos mutuos. La matriz de admitancias nodal para compensadores en derivación es usualmente diagonal.1 (a) Banco trifásico de compensación en derivación conectado al nodo k. (b) Representación trifásica del banco.1) Debido a que la matriz de admitancias nodal es diagonal.(a) (b) Figura 7. (7. ya que normalmente no hay acoplamientos mutuos entre las admitancias propias de cada fase. las componentes de secuencia serán iguales entre sí.2. tal como se muestra en la Figura 7. . 2 Circuitos de secuencia de un banco de compensación en derivación. Nótese que en este caso. 7.Figura 7. en este caso el nodo k.3 COMPENSADORES SERIE . la matriz de admitancias nodal de estos elementos en derivación. se reduce a agregar en el bloque diagonal el valor del elemento correspondiente al nodo donde se conecta. De acuerdo a esto. el capacitor serie puede verse como se muestra en la Figura 7. Uno de ellos es el capacitor serie. la matriz de admitancias nodal será como sigue: (7. Figura 7.3 Representación de un capacitor serie en el marco de referencia de fases.Cualquier elemento de compensación conectado entre dos nodos es un elemento serie. obteniéndose una matriz de admitancias primitiva diagonal.3. el cual normalmente no presenta acoplamientos mutuos entre fases.2) . Debido a que la matriz de admitancias primitiva es diagonal. 3) Puesto que esta matriz es diagonal.donde: (7. . lo cual se muestra en la Figura 7.4. las componentes de secuencia serán iguales entre sí. . Debido a que un compensador serie afecta únicamente a la impedancia serie de la línea de transmisión.Figura 7. la cual tiene la ventaja de no utilizar un nodo adicional. y que físicamente puede conectarse en alguno de los extremos o en el punto medio de la misma. positiva y negativa de un compensador serie.5. su inclusión puede verse como se muestra en la Figura 7.4 Circuitos de secuencias cero. una alternativa más utilizada. sobre todo para realizar estudios de flujos de potencia.Figura 7. Sin embargo. donde se agrega el nodo k. para incluir el compensador serie en el sistema eléctrico.6.5 Incorporación de un compensador serie a una línea de transmisión. es la mostrada en la Figura 7. . La razón de utilizar nomenclatura en por unidad y/o por ciento es que simplifica especificaciones de equipo y tiempo de cómputo gastado en efectuar análisis de sistemas eléctricos de potencia o de distribución en estado estacionario. potencia reactiva (Q). Entonces. potencia activa (P). kilovars. resistencia (R). El valor por ciento es 100 veces el valor por unidad. ohms. las cantidades tales como voltaje (V).CAPITULO 8 SISTEMA POR UNIDAD 8. cuantificados normalmente en kilovolts (kV).1 INTRODUCCIÓN Los sistemas eléctricos transmiten grandes cantidades de potencia expresada en kilovolt-amperes (kVA) y/o megavolt-amperes (MVA) operando a diferentes valores de tensión. volt-amperes (VA). especialmente en sistemas que operan a diferentes niveles de voltaje. corriente (I). amperes. pueden ser expresadas en por unidad de la siguiente manera: .2 DEFINICIONES DE POR UNIDAD Y POR CIENTO El valor por unidad de cualquier cantidad se define como la razón de la cantidad a su valor base. Estas cantidades. junto con kilowatts. 8. son usualmente expresadas en por unidad o por ciento de un valor de referencia o base. entre otras. impedancia (Z). La cantidad actual es un valor escalar o complejo de la cantidad expresada en sus propias unidades. La cantidad base es un valor arbitrariamente seleccionado de la misma cantidad escogida. = Cantidad actual. = Cantidad en por ciento. los voltajes de 92. son 0. Entonces. para una base de 115 kV. 1.(8.80. 115 y 161 kV. 8. que pueden ser escalares y/o complejos. = Cantidad base. Como un ejemplo. 100% y 140%.1) donde: = Cantidad en por unidad (pu).0 y 1.40 pu o 80%. los valores en por unidad y/o por ciento son cantidades adimensionales. respectivamente. siendo designada como base.3 VENTAJAS DE UTILIZAR VALORES EN POR UNIDAD O POR CIENTO . • La impedancia equivalente en por unidad de un transformador trifásico es la misma. estrella-delta. independientemente del tipo de conexión de sus devanados (estrella-estrella. tal como se muestra en la Figura 8.Algunas ventajas de usar valores en por unidad o en por ciento son: • El manejo de datos es relativamente sencillo. 8.4 RELACIONES GENERALES ENTRE CANTIDADES DEL SISTEMA Para analizar las relaciones generales entre las variables de un sistema trifásico. se considera las conexiones estrella y delta. • La impedancia equivalente en por unidad de un transformador es la misma cuando se refiere al lado primario o al lado secundario. delta-estrella). . • El método por unidad es independiente de los cambios de voltaje y el defasamiento en el transformador.1. Entonces. • Los fabricantes usualmente especifican la impedancia del equipo en por unidad o por ciento en base a los valores de potencia y voltaje de placa (nominales). el valor de impedancia puede usarse directamente si las bases escogidas son las mismas que los valores de placa del equipo. donde los voltajes base en los devanados son proporcionales al número de vueltas en los devanados. permitiéndose una comparación directa entre cantidades similares de un sistema. (a) (b) Figura 8.1 Impedancias en circuitos trifásicos conectados en (a) estrella y (b) en delta. . 3) Las corrientes e impedancias en la conexión delta. se tiene: (8.2) Con estas tres ecuaciones. En la conexión estrella.Las relaciones generales entre potencia. el valor de las impedancias y la corriente en las conexiones estrella y delta pueden obtenerse. son las siguientes: . voltaje y corriente son: (8. 5 CANTIDADES BASE El voltaje. Con base a cantidades por fase. de tal manera que cualesquiera dos de ellas determinan los valores de las dos restantes.4) o también. V. corriente. matemáticamente se tiene: (8. potencia e impedancia están relacionados entre sí.(8. 8.6) . I y z están relacionadas entre sí.5) Las ecuaciones anteriores muestran que las cantidades S. (8. tal que la selección de los valores base para cualquiera de dos de ellos determina los valores base de los dos restantes. 8) (8.12) En estas ecuaciones.11) (8.10) (8. y LN denotan cantidades por fase y de línea a Con base a las cantidades de línea. los subíndices línea.(8. se tiene lo siguiente: (8. respectivamente. respectivamente.9) En estas ecuaciones. los subíndices neutro.7) (8. y LL denotan cantidades trifásicas y de línea a . el valor en por unidad del voltaje de línea a neutro.14) (8. Entonces. Aunque el voltaje de línea a línea sea especificado como base. es igual al valor por unidad del voltaje de línea a línea. el voltaje en el circuito monofásico requerido para la solución es aún el voltaje a neutro. de igual manera. obtenido con el voltaje base de línea a neutro en cierta porción del sistema.15) . los kVA trifásicos base son tres veces los kVA base por fase. Entonces.8. los kVA en por unidad obtenidos por los kVA trifásicos base o por los kVA monofásicos base son exactamente los mismos. las expresiones matemáticas para obtener los valores en por unidad (pu). son las siguientes: Sistema Monofásico (8. Similarmente. teniendo como datos base el voltaje y la potencia del sistema eléctrico.6 CANTIDADES EN POR UNIDAD En sistemas eléctricos los datos son usualmente dados en kVA trifásicos totales y kV de línea a línea. El voltaje base de línea a neutro es el voltaje base de línea a línea dividido por .13) (8. (8.16) donde el subíndice a denota valor actual.18) (8.7 IMPEDANCIAS EN POR UNIDAD DE TRANSFORMADORES .19) (8.17) (8. Sistemas Trifásicos (8.20) 8. 21) o también. mientras que la impedancia conectada al devanado con el número de vueltas impedancias es: .3.22) Las impedancias base en cada lado del transformador son las siguientes: . la impedancia devanado con el número de vueltas estará conectada al estará . la impedancia también está relacionada por el cuadrado de la relación de voltajes. Considere que uno de los lados de la fase del transformador está denotado por x.Como se indicó en la sección 8. Lo anterior. puede ilustrarse con el siguiente análisis. La relación que hay entre ambas (8. (8. considerando que los voltajes base en las diferentes terminales del transformador son proporcionales a las vueltas en los correspondientes devanados. Puesto que los voltajes en ambos lados de la fase son proporcionales al número de vueltas de cada devanado. Entonces. la mayor ventaja del sistema por unidad es su independencia de la variación del voltaje y ángulo de fase provocado por los transformadores que conforman el sistema eléctrico. mientras que el otros se denota como y. La impedancia de un lado de una fase del transformador medida desde el otro lado de la fase es proporcional al cuadrado de la relación de vueltas entre ambos devanados que conforman la fase. 24) Entonces.(8.26) .23) (8.25) (8. la relación entre las impedancias del transformador es: (8. y .8 CAMBIO DE BASE Normalmente. . efectivamente.28) Dividiendo ambas ecuaciones y resolviendo para un valor en por unidad. la impedancia por unidad de un equipo eléctrico está especificada en base a sus valores de placa. los cuales usualmente son diferentes a los valores base del sistema eléctrico. 8. la impedancia en pu de un transformador es la misma vista desde sus dos devanados. Puesto que todas las impedancias del sistema deben expresarse sobre una misma base para efectuar los cálculos en por unidad o por ciento. es necesario convertir todos los valores a una base común seleccionada. muestra que.El resultado obtenido aquí.27) (8. Esta conversión puede derivarse al expresar en por unidad una misma impedancia. Considerando como bases . pero con dos bases diferentes. se obtiene: . se tiene: (8. .(8.29) Esta expresión es la ecuación general para el cambio de una base a otra base. Estas simulaciones se conjuntan en lo que se ha dado a conocer bajo el nombre de análisis generalizado de fallas. es posible realizar simulaciones sobre una variedad de sistemas y fallas y bajo un menor número de suposiciones. . • Doble línea a tierra. • Entre líneas. con lo que se permite obtener resultados más precisos para la coordinación de protecciones en redes eléctricas.CAPITULO 9 METODOLOGÍA GENERAL PARA EL ANÁLISIS DE FALLAS 9.1 INTRODUCCIÓN El análisis de fallas en sistemas eléctricos ha evolucionado a la par que las herramientas de cálculo numérico. Esta metodología permite el análisis sistemático de fallas balanceadas o desbalanceadas en un sistema eléctrico de potencia o distribución. Los primeros estudios recibieron el nombre genérico de cortocircuito y a la fecha todavía se le aplica este nombre. Estas fallas. • Trifásica a tierra. asignado al análisis de fallas trifásicas en sistemas eléctricos. Actualmente. bajo ciertas suposiciones que simplificaban el análisis. normalmente se clasifican en: Fallas en Derivación: • Línea a tierra. Fallas Serie: • Una fase abierta • Dos fases abiertas Los requerimientos de información de esta metodología son los siguientes: • Redes de secuencia positiva. debido a que se considera condiciones de prefalla balanceadas. negativa y cero del sistema eléctrico (matrices de admitancias nodales de secuencias). 9.2 SIMULACIÓN DE FALLAS EN DERIVACIÓN . • Condiciones de prefalla del sistema (voltajes complejos nodales).• Trifásica sin aterrizar. las cuales solo existen en la red de secuencia positiva. La red de secuencia cero dependerá de la red de alimentación (acoplamientos mutuos) y del tipo de generadores y transformadores incluidos en el sistema eléctrico. las cuales se obtienen mediante un estudio de flujos. se considera que las redes de secuencias positiva y negativa son idénticas. Generalmente. sin considerar las fuentes de voltaje. se presenta una falla en derivación en el nodo q.En un sistema eléctrico de n nodos. . Una situación general se muestra en la Figura 9.1. 2) .1 se expresan matricialmente como: (9.Figura 9.1) y además: Compactando la ecuación (9.1 Situación general de una falla en derivación ocurriendo en el nodo q del sistema eléctrico. Las relaciones voltaje-corriente de la Figura 9.1): (9. donde: (9.5) Pasando al marco de referencia de las componentes simétricas: Premultiplicando por : .4) donde: (9.2) se convierte en la siguiente: (9. la ecuación (9.3) En términos de admitancias. 8) y su inversa: (9.9) donde: .7) donde T es la matriz de transformación de componentes simétricas. .La expresión anterior puede rescribirse como: (9. definida como: (9.6) donde: (9. .12) Del circuito de la Figura 9.11) Se puede demostrar (después de mucha álgebra) que la matriz de admitancias de falla.En términos de admitancias: (9. se puede obtener las expresiones para las distintas fallas en derivación. desde el punto de vista de secuencias es la siguiente: (9.1. incluyendo la opción de su conexión a tierra (sólidamente o a través de la impedancia ).10) donde: (9. entonces . es conveniente (y necesario) calcular la matriz de admitancias de falla. Entonces.13) Si la falla de línea a tierra está sólidamente aterrizada.12) se simplifica a la siguiente: y de aquí. Debido a que las fallas desbalanceadas son más sencillas de manejar desde el punto de vista de componentes simétricas. (9. y que las admitancias de falla no introducen indeterminaciones. Por lo tanto.1 Falla de Línea a Tierra En este caso. . de modo que la matriz (9. se supone a la fase a como la fase donde ocurre la falla.2.9. 16) . la matriz de falla será: (9.14) En caso de que la fase b sea la fallada. la matriz de admitancias de falla resulta en la siguiente: (9.15) En caso de que la fase c sea la fallada.Haciendo . la matriz de falla será: (9. entonces. substituyendo estos valores y factorizando el término admitancias de falla (9.9.12) se simplifica a la siguiente: .2 Falla de Doble Línea a Tierra Para simular este tipo de falla. la matriz de Si se supone que . de modo que: .2. se obtiene: . Entonces. se supondrá que en las fases a y b ocurre la falla. entonces que la matriz de falla será la siguiente: .17) Esta matriz mostrará cambios si se considera que el par de fases falladas es otro. de modo Dividiendo arriba y abajo entre y aplicando .Dividiendo arriba y abajo entre y aplicando : o también. si ahora se tiene falladas a las fases b y c. se obtiene: . (9. Por ejemplo. de modo que .3 Falla Entre Líneas Para simular este tipo de falla.(9.20) 9. se supondrá que las fases donde ocurre la falla son las fases b y c. entonces. el resultado sería el siguiente: (9.2.18) Si se supone que .19) En el caso de que las fases falladas fueran a y c. entonces: (9. . siendo equivalente a que Entonces. la matriz de admitancias de falla es: . 23) Debe notarse que. no hay admitancias de falla para la secuencia cero. entonces: (9.21) Cuando las fases a y b son las falladas. Esto se corrobora cuando se . la matriz de admitancias de falla resulta en la siguiente: (9.Si .22) mientras que cuando las fases a y c son las que resultan afectadas: (9. debido a que no hay una conexión física a tierra para este tipo de falla. 24) Si se supone que . se tiene .2.obtiene los modelos de transformadores trifásicos en el marco de referencia de secuencias. entonces: Lo cual resulta en: (9. para conexiones que no tienen conexión al neutro. la matriz de admitancias de falla es la siguiente: . (9. 9.4 Falla Trifásica sin Aterrizar Para simular este tipo de falla.25) . siendo equivalente a que Entonces. 1. 9.2. debido a que no existe una conexión física a tierra entre las fases y tierra.5 Falla Trifásica Aterrizada Este caso corresponde exactamente al circuito de la Figura 9. entonces la matriz de falla es: . de modo que la matriz de admitancias de falla en componentes de secuencia está dada en (9.26) Si se supone que .Nótese que nuevamente se cumple que no hay admitancia para la secuencia cero.12): (9. de modo que: y de aquí.observándose que todos los elementos no diagonales son cero. (9.27) . 29) donde los tres primeros valores corresponden a los voltajes de secuencias cero. positiva y negativa del nodo 1. entonces . se está en condiciones de calcular corrientes y voltajes de falla. se obtiene lo siguiente: (9. los voltajes de secuencia en todos los n nodos del sistema eléctrico son: (9. y las condiciones de prefalla se conocen. Para condiciones de prefalla balanceadas. . El superíndice 0 indica valor de prefalla.3 CÁLCULO DE CORRIENTES Y VOLTAJES DE FALLA Una vez que se tiene definida la matriz de admitancias de falla. para el tipo de falla en derivación deseada. y así sucesivamente. si se supone que la falla está sólidamente aterrizada. .Ahora. y dividiendo arriba y abajo entre esta admitancia a la matriz anterior.28) 9. 2(b).Los voltajes después de la falla. aplicando el Teorema de Thevenin.2(a) y 9.30) donde es la matriz de impedancias nodal del sistema. respectivamente. se calculan en la forma: (9. la cual se calcula eliminando todas las fuentes de voltaje. tal como se muestra en las figuras 9. . substituyéndolas por inyecciones de corriente. Debido a que únicamente se inyecta al sistema la corriente de falla en el nodo q.30). con un total de puede escribirse como: . mediante un estudio de flujos de potencia. = Voltaje complejo medido en el nodo i. Las inyecciones de corriente mostradas en la Figura 9. = Voltaje síncrono interno del generador M. = Admitancia síncrona interna del generador M. es el vector de corrientes cuyas componentes son las corrientes de falla inyectadas en los nodos del sistema. (b) circuito resultante de cortocircuitar la fuente de voltaje.2 se determinan bajo condiciones de prefalla. (a) red original.2. .(a) (b) Figura 9. Las variables mostradas en la figura anterior se definen como sigue: = Corriente producida por el generador i. Aplicación del Teorema de Thevenin para el cálculo de la matriz de impedancias nodal. En la ecuación (9. = Corriente neta inyectada al nodo i por el generador M. negativa (2) y cero (0) en el nodo q. en realidad representa un valor de cero para las tres secuencias. Cada cero en (9.31).31) donde contiene la corriente de falla de las secuencias positiva (1). Substituyendo (9.(9.30): Desarrollando la expresión anterior resulta: .31) en (9. Rescribiendo la expresión: en la siguiente forma: donde: . únicamente se usa la columna q de la matriz de impedancias nodal de secuencias.Como se observa. Esto permite aplicar un método para invertir la matriz de admitancias nodal por columnas. Una vez conocida la corriente de falla.32) donde: = Matriz de impedancias de falla. estará dada por: (9. = Voltaje complejo de prefalla de secuencias en el nodo q. puede calcularse los voltajes de falla en los demás nodos del sistema: (9.q) de la matriz de impedancias nodal de secuencias del sistema.y de aquí.33) . = Elemento (q. y la corriente de falla. en términos de la matriz de impedancias de falla. 35) donde es la matriz unitaria o identidad. . . algunos elementos toman el valor de ).34) Sin embargo.(9. se obtiene: (9. de modo que es necesario utilizar la matriz de admitancias de falla. se substituye por la siguiente ecuación: Despejando al voltaje de prefalla en el nodo q: y haciendo un poco de álgebra. existirán casos en que no esté definida (esto es. Entonces. 35) y (9.36) Los voltajes en los demás nodos del sistema podrán ser calculados de la manera siguiente: y substituyendo (9. como ya se mencionó .36) en la ecuación anterior: (9. las ecuaciones (9. así como de las matrices de falla y de impedancias nodal.La corriente de falla en términos de la matriz de admitancias de falla es: Substituyendo (9. independientemente que se tenga algunas indefiniciones en la matriz de impedancias de falla.35) en la ecuación anterior: (9.37) Como puede observarse.37) son aplicables para cualquier tipo de falla. Además. Los voltajes de falla en todos los nodos estarán en función de los voltajes de prefalla. y siguiendo la metodología para fallas en derivación. ahora se inyecta una corriente de falla en los dos nodos del sistema. a fin de determinar los voltajes. Figura 9. 9.3. Entonces. únicamente se requiere calcular una columna de la matriz de impedancias nodal de secuencias.anteriormente. tal como se muestra en la Figura 9. .3. Falla serie entre los nodos r y q de un sistema eléctrico.4 SIMULACIÓN DE FALLAS SERIE Este tipo de fallas involucran dos nodos del sistema. el equivalente de Thevenin se obtiene entre los nodos r y q. En términos generales. en lugar de la matriz de impedancias de falla. puede representarse por la Figura 9. una falla serie entre los nodos r y q del sistema eléctrico. .Al igual que en las fallas en derivación. las matrices de admitancias de falla también se definen con base a las diferencias de voltaje entre nodos y las corrientes que circulan por las fases correspondientes. Aquí. es conveniente usar la matriz de admitancias de falla.4. la matriz de falla estará dada por: . = Voltaje complejo en el nodo q. = Voltaje complejo en el nodo r. fase a.Figura 9.4. = Voltaje complejo en el nodo q. fase a. fase c. fase c. = Voltaje complejo en el nodo r. Además. = Voltaje complejo en el nodo q.4. en términos de admitancias. se define a los siguientes voltajes: = Voltaje complejo en el nodo r. fase b. fase b. Voltajes y red de falla serie en función de impedancias entre los nodos r y q. De la Figura 9. (9.38) Si . . a través del producto matricial: (9.38) en (9. y representa el caso general de una falla trifásica serie.40) y desarrollando el producto matricial. entonces la matriz de (9.39) Si se pasa al marco de referencia de secuencias.38) se simplifica a: (9.40) donde es la matriz de admitancias de falla en componentes de secuencia (012). se obtiene: . . Substituyendo (9. 41).1 Una Fase Abierta Si se supone que la fase a es la fallada.41) A partir de la matriz (9. tal como se describe a continuación.… (9.4. entonces y la matriz de falla en (9. si se supone que no existen acoplamientos mutuos entre las fases b y c. 9. la matriz anterior se simplifica a: (9. de modo que la Suponiendo que y .42) Ahora bien.41) se reduce a la siguiente: . entonces matriz (9.42) se modifica a la siguiente: . se puede derivar a los elementos para cada falla serie en particular. 44) y para cuando la fase c está abierta: (9. se tiene el siguiente resultado: (9.43) Para el caso en que la fase b sea la fallada.lo cual resulta en: (9.45) . entonces la matriz de admitancias de falla será: . entonces: (9.2 Dos Fases Abiertas Para esto. de modo que la matriz de admitancias de falla (9.47) Si las fases abiertas son a y c.9. se supone abiertas a las fases b y c.4.46) En caso de que las fases abiertas sean a y b. entonces: (9. por lo que .41) se simplifica a la siguiente: En caso de que . 48) Al igual que con las fallas en derivación. La Figura 9. Figura 9.5 muestra las condiciones entre los nodos r y q del sistema eléctrico. una vez conocida la matriz de falla. .(9. Corrientes de falla inyectadas en los nodos r y q del sistema eléctrico.5. es posible calcular voltajes y corrientes para una falla serie en particular. 49) también. Los voltajes de falla son los siguientes: Notándose que en voltaje en el nodo r es: se tiene dos posiciones distintas de cero.El vector de corrientes de falla será ahora como sigue: o (9.50) y en el nodo q: . En particular. el (9. 51) La diferencia de voltaje entre ambos nodos es: y de aquí. Por otro lado.(9.53) De esta última ecuación se nota que únicamente se requiere de dos columnas de la matriz de impedancias nodal de secuencias. la ecuación anterior se reduce a la siguiente: (9.52) Si . (9. . 53): Despejando a la diferencia de voltajes de prefalla: Debido a que y haciendo: la ecuación de voltaje de prefalla resulta en la siguiente: . de modo que: (9.54) en (9.54) Substituyendo (9.donde el voltaje de falla es precisamente la diferencia de voltajes entre los nodos r y q. Desarrollando: Premultiplicando ambos lados por : Despejando a la corriente de falla de la expresión anterior: Substituyendo el valor de la impedancia equivalente: (9. se substituyen en la ecuación: .55) Una vez conocidas las corrientes de falla de secuencias. Arnold. John Wiley & Sons. B.Desarrollando: Generalizando: (9.56) REFERENCIAS [1] Olle I. of Electrical . Harker. Arrillaga. P. [2] J. Second Edition. 1982. “Computer Modelling Power Systems”. J. 1983. “Electric Energy Systems Theory: An Introduction”. McGrawHill. Elgerd. C. 1 muestra los tipos de solución posibles de obtener para diferentes estudios. o para evaluar las condiciones iniciales en estudios de fallas. donde se requiere de resolver situaciones ante contingencias.1 INTRODUCCIÓN La solución del problema de flujos de potencia es básica para la mayoría de los análisis que se realizan en sistemas eléctricos de potencia. donde los flujos de potencia se resuelven para diferentes casos. localización de capacitores en las mismas. Tabla 10. o como auxiliar en estudios de reconfiguración de redes de distribución. en la evaluación de la seguridad.2 muestra algunas propiedades de los métodos de solución y su aplicación en diversos estudios y situaciones.1 Tipos de solución de estudios de flujos de potencia EXACTA SIN AJUSTES FUERA DE LÍNEA SOLUCIÓN DE CASO ÚNICO APROXIMADA CON AJUSTES EN LÍNEA SOLUCIÓN DE CASOS MULTIPLES Tabla 10. los cuales se aplican en una variedad de problemas en grandes redes. entre otros.2 Propiedades de un método de solución para el problema de flujos de potencia. La Tabla 10. por ejemplo. operación y control de sistemas eléctricos de potencia y distribución. mientras que la Tabla 10. Esto ha tenido como consecuencia que el esfuerzo que se ha dedicado al desarrollo de métodos de solución sea notable. .CAPITULO 10 PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA: FORMULACIÓN Y MÉTODOS DE SOLUCIÓN 10. los cuales están asociados a la planeación. requiere de una buena combinación de tipos de solución y propiedades de los métodos. Manejo de varios modelos matemáticos de componentes en redes eléctricas (modelos monofásicos y trifásicos). análisis de contingencias. casos múltiples e interactivos. aunque presentan problemas de convergencia lenta y. Facilidad para codificación. tratándose de obtener un buen compromiso entre estos factores. Problemas mal condicionados. utilizable como rutina en estudios más complejos. Al desarrollarse las computadoras digitales. ajustes. aplicaciones en tiempo real. Confiabilidad Versatilidad Simplicidad Cada estudio en particular. a fin de obtener resultados adecuados a las necesidades propias del problema y en tiempos de solución que permitan analizarlos. ya que le espacio de memoria de computadora requerida es mínima. Antes de la aparición de todas las herramientas anteriores. los métodos iterativos de Gauss y Gauss-Seidel usando la matriz de admitancias nodal resultaron adecuados. en varios casos. los métodos se han desarrollado paralelamente con el progreso en la tecnología de computadoras digitales. Análisis de grandes redes. reconfiguración de redes de distribución. divergencia. computadoras con memoria restringida y minimización de número de operaciones aritméticas. mantenimiento y actualización del algoritmo y su programa de computadora. herramientas de programación y técnicas de dispersidad y descomposición.PROPIEDAD Alta Velocidad (Eficiencia Computacional) Economía en Memoria de Computadora (Técnicas de Dispersidad) APLICACIÓN/SITUACIÓN En tiempo real en grandes redes. el problema se resolvía en analizadores de redes con muchas limitaciones. Una manera de reducir este problema fue usando los métodos iterativos anteriores partiendo de una formulación con la matriz de impedancias . De acuerdo a lo anterior. hasta evolucionar en la obtención del método desacoplado rápido. pero tiene la desventaja de usar mucha más memoria de computadora. así como aproximaciones de soluciones no convergentes y causas que originan este problema. en este mismo sentido. en base a obtener soluciones múltiples de casos de sistemas eléctricos sobrecargados. unos años después. entre las cuales puede mencionarse a los métodos de segundo orden. Durante esta época (fin de los años cincuenta y principios de los sesenta). Intentando hacer más eficiente su proceso iterativo. se muestra que las propiedades de convergencia del método de NewtonRaphson son superiores que las de los métodos iterativos de Gauss. los que calculan factores de aceleración óptimos para dirigir la convergencia y. el método de Newton-Raphson se convierte en un método de uso general. obteniéndose las llamadas versiones “deshonestas” y “desacopladas”. se estudia las propiedades numéricas del Jacobiano. . Al mismo tiempo. Sin embargo. al desarrollarse las técnicas de manejo eficiente de matrices dispersas. propiedades de las matrices de coeficientes. Con respecto al modelado. se inició la realización de trabajos sobre los métodos de Newton-Raphson y de Gauss para la resolución de estudios de flujos de potencia en sistemas eléctricos trifásicos desbalanceados. conocidas como técnicas de dispersidad. debido a que estos métodos numéricos no son infalibles. los métodos de continuación con aplicaciones en la solución del problema de inestabilidad de voltaje. considerando modelos de componentes en el marco de referencia de fases. tratando de lograr algoritmos eficientes y confiables. para resolver el problema de flujos de potencia convencional. al final de los años sesenta y principio de los setenta. Sin embargo. pero con el inconveniente de requerimientos excesivos de memoria de computadora.nodal. se ha continuado con la búsqueda de alternativas. se desarrolló varias metodologías para determinar índices de colapso de voltaje. se ha analizado el proceso de convergencia de los métodos derivados del NewtonRaphson. durante la época de los años setenta. así como los tipos de soluciones que se obtienen en estudios de flujos convencionales. Durante la década de los 1980s. desfasadores y controladores unificados de flujos de potencia.Por otra parte.2 FORMULACIÓN CORRIENTE NODAL DE ECUACIONES DE VOLTAJE Y Uno de los criterios para establecer el concepto de estado estacionario. durante los 1980s y los 1990s. compensadores serie variables.1) . donde la generación debe ser igual a la carga en el sistema más las pérdidas y que matemáticamente puede definirse como: (10. de modo que esto implica que existe un balance global de potencia. usando para ello la formulación nodal de ecuaciones de red. conocidos como sistemas flexibles de transmisión en corriente alterna (FACTS por sus siglas en inglés) tales como compensadores estáticos de potencia reactiva. se describe los métodos considerados como más comunes en la literatura. Este modelado de sistemas trifásicos se extendió de manera natural al análisis de flujos de potencia en sistemas eléctricos de distribución. entre otros. Para su solución. es que el sistema está operando a frecuencia nominal y constante. Algunos ejemplos son incluidos. En este capítulo. así como la existencia y unicidad de la solución al problema de flujos de potencia son discutidos. Los aspectos relacionados con el manejo de límites de potencia reactiva de generación. el cual incluye los modelos de elementos más comunes en sistemas eléctricos de potencia. se ha desarrollado el modelado de dispositivos de electrónica de alta potencia. 10. se presenta la formulación del problema de flujos de potencia considerando un modelo de secuencia positiva del sistema eléctrico. Adicionalmente. . n número de nodos y el número de elementos de transmisión de potencia en el sistema eléctrico. Para esto. ya sea entrando o saliendo del nodo i. D carga. es necesario establecer un balance de potencia nodal. donde se muestra al nodo i del sistema eléctrico conectado a otros nodos del sistema eléctrico a través de circuitos π . considere la Figura 10.donde G indica generación. L pérdidas.1. si se utiliza una formulación nodal para analizar el problema de flujos de potencia. Se ha establecido arbitrariamente el sentido de la corriente a través de cada circuito π . . 3) o también.4) De acuerdo a la misma Figura 10. Ante la ausencia de corrientes inyectadas de generación y/o de carga. mientras que las corrientes representando a las cargas están saliendo. se establece que las corrientes creadas por los generadores entran hacia el nodo.1 Generalización de la situación de inyecciones de corriente en los nodos de un sistema eléctrico. resulta claro que: (10.Figura 10. definen a la corriente neta inyectada en el nodo i: . (10.1. puede notarse que las corrientes a través de los circuitos π de los elementos de transmisión. Esto permite establecer el balance nodal de las corrientes en el nodo i cuando se considera las inyecciones de corriente debidas a carga y/o generación: (10.2) Adicionalmente. 6) Y esta ecuación puede expresarse.(10. en términos de la matriz de admitancias nodal como: (10.5) Reagrupando términos: (10.9) .7) donde: (10.8) (10. entre otras. el balance en cualquier nodo i del sistema eléctrico es: (10.10) . posteriormente. el problema consiste en resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales y diferenciables. En términos de potencia.3 DEFINICIÓN CONVENCIONAL DEL PROBLEMA Básicamente. así como flujos en elementos. para valores conocidos de generación y carga nodales en MW y MVAr. en un instante de tiempo específico. 10.4 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Matemáticamente. cuyo orden depende de la formulación utilizada. 10.donde estas dos últimas expresiones definen al método por inspección para calcular la matriz de admitancias nodal. el de flujos de potencia a través de cada elemento de la red de transmisión. tales como límites de generación de potencia activa y reactiva. magnitud de voltajes complejos nodales. La solución del problema puede o no estar sujeta a restricciones de red. el problema de flujos de potencia convencional puede definirse como el cálculo de voltajes nodales y. = Flujo de potencia compleja del nodo i al nodo m. Conjunto de nodos adyacentes (interconectados directamente) al = Número de nodos en el sistema eléctrico.donde: = Potencia compleja de generación en el nodo i.1) queda como: (10. (10. La suma algebraica de todos ellos se conoce como potencia compleja neta inyectada en el nodo i. = Potencia compleja de carga en el nodo i. = nodo i.12) . Por definición.11) Entonces. la ecuación (10. resulta el siguiente par de ecuaciones por cada nodo del sistema: i = 1. i = 1. en términos de corrientes y voltajes. ….13) o también.14) donde: i = 1. …. n (10. n (10. n (10.Descomponiendo en partes reales e imaginarias y separando.15) La potencia neta inyectada en cada nodo. …. será igual a: . = Corriente neta. complejo y conjugado. siendo igual a la suma algebraica de las corrientes incidiendo a dicho nodo. se obtiene: i (10. …. .17) = 1. Por otro lado. compleja. y substituyendo en la ecuación (10. n donde: = Voltaje complejo nodal en el nodo i. Por lo tanto.17) se nota que es no lineal. inyectada en el nodo i. I = YV. .i (10. n donde es el elemento perteneciente al renglón i y a la columna m. Al observar la ecuación (10. …. de la matriz de admitancias nodal. debido a que se tiene un producto de voltajes. será necesario el uso de algún método numérico para resolverla.16).16) = 1. usando la formulación nodal en función de la matriz de admitancias nodal. conjugada. Sin embargo. donde cada uno de ellos se representa por su modelo π equivalente de secuencia positiva.5 CÁLCULO DE FLUJOS DE POTENCIA Después de obtener una solución para los voltajes. es conveniente descomponerlas en dos ecuaciones reales: i = 1. ….17) son complejas. con propósitos de simplicidad.18) donde las expresiones finales para las potencias netas inyectadas y . . por lo que. 10. ya sea polares o rectangulares. las variables y constantes involucradas en (10. tal como se muestra en la Figura 10. dependerán del tipo de coordenadas usadas en la formulación del problema.2. se podrá calcular los flujos de potencia en todos los elementos de la red eléctrica.Cualquier algoritmo basado en los métodos de Gauss-Seidel y de Newton(Raphson). n (10. puede usarse para obtener una solución del problema de flujos. Modelo π de un elemento de transmisión para calcular los flujos de potencia a través de él. se cumple que y que Por otra parte. y en el que existen pérdidas. se tiene las relaciones de corriente siguientes: . de modo que.Figura 10.2. Debe recordarse que las admitancias del circuito π son parámetros físicos del elemento. términos generales. 22) Determinando los conjugados de las corrientes.19) y la potencia que se envía del nodo i al nodo m: (10. y substituyendo en la ecuación (10.20): obteniéndose: (10.21) (10.(10.23) De igual manera.20) Además. se tiene lo siguiente: (10. el flujo de potencia compleja del nodo m al nodo i será: . Substituyendo en (10. es el número de nodos de generación en el Expresando en coordenadas polares las cantidades involucradas en la ecuación (10. y se desconoce magnitudes de voltaje y (n-1) ángulos de fase (variables de estado o dependientes). donde sistema eléctrico.(10. en donde se conoce (n-1) potencias activas de generación.6 FORMULACIÓN DE ESTUDIOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES En este tipo de coordenadas.24) 10. potencias reactivas de generación y (n) potencias activas y reactivas de carga (siendo estas las variables de control o independientes).17): . será del orden de . el conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales y diferenciables.17): . i = 1. …. n (10.26) . n (10. ….Aplicando la identidad de Euler para separar partes reales e imaginarias: y de aquí.25) Substituyendo en las ecuaciones de balance de potencia nodal se tiene: i = 1. Entonces. En este caso. así como su potencia reactiva de carga. desde un punto de vista eléctrico. son las magnitudes y ángulos de fase de los voltajes complejos nodales. en este tipo de nodos se puede incluir a todos aquellos que tienen instalados dispositivos capaces de mantener fijo el voltaje. únicamente se contempla a aquellos nodos que tienen la capacidad de controlar la magnitud de voltaje en sus terminales. . las variables de control son la magnitud de voltaje. Sin embargo. A estos Nodos de voltaje controlado. . así como compensadores estáticos de VAr. las potencias activas de carga y generación. establecer la existencia y unicidad de solución. y su ángulo de fase. . mediante la generación/absorción de potencia reactiva. de acuerdo a lo que se puede definir como variables de control (especificadas) y variables dependientes (incógnitas). debido a que el problema es no lineal. Esto ha conducido a establecer una clasificación básica de nodos. Los nodos de este tipo tienen como variables de control a las potencias de carga y generación. Generalmente.donde las ecuaciones(10. Debe hacerse notar que se introduce dos ecuaciones por cada nodo del sistema eléctrico. V. De acuerdo a la definición del problema. no es posible. V. Sin embargo. La potencia reactiva de . nodos se les da el nombre de nodos PQ. tanto la generación como la carga se especifican en cada nodo del sistema. Adicionalmente. normalmente. y . debido a que se suponen conocidas o especificadas (controlables).26) son las que representan el problema de flujos de potencia en coordenadas polares. de modo que las incógnitas del problema son las magnitudes de voltaje y sus ángulos de fase. mientras que las variables dependientes son su magnitud de voltaje. como generadores y condensadores síncronos. a través de un proceso iterativo. físicamente no es posible establecer como una regla general que en todos los nodos existe una especificación de potencias de carga y generación y que lo que se debe calcular. Esta clasificación básica consiste en lo siguientes tipos de nodos: Nodos de carga. desde un punto de vista analítico. en total se tendría un conjunto de 2n ecuaciones con 2n incógnitas. tendrá un valor de cero grados. las cuales no pueden conocerse antes de resolver el problema. Tabla 10. . de modo que no es posible controlar ambas variables al mismo tiempo. se nota que el planteamiento se basado en el balance nodal. las variables dependientes serán la potencia reactiva de generación y el ángulo de fase del voltaje complejo nodal. Si a esto se le agrega que son nodos PV. lo cual hace necesario especificar una referencia angular que. de acuerdo a la anterior clasificación de nodos. para los nodos de voltaje controlado (nodos PV).generación.3 Clasificación de nodos y sus variables de control e independientes. un generador en el sistema que absorba estas pérdidas. La Tabla 10. precisamente. . está íntimamente relacionada con la magnitud de voltaje. las potencias activa y reactiva de carga.3 muestra un resumen de variables de control y especificadas. Al igual que en los dos tipos de nodos anteriores. Además. cuando menos. si la parte resistiva de los elementos de transmisión es incluida. . Por otra parte.26) a la formulación del problema de flujos. Observando las ecuaciones del problema de flujos en coordenadas polares. y . es asignada al nodo compensador y. las cuales. por lo tanto. sino más bien su magnitud de voltaje. el nodo compensador no introduce ecuaciones del tipo (10. y reactiva. Por otra parte. hay la posibilidad de que haya más nodos de este tipo en el sistema eléctrico. entonces habrá pérdidas en el sistema eléctrico. son especificadas. debe existir. Sin embargo. Nodo compensador. No es estrictamente necesario que únicamente de especifique un nodo compensador en el sistema. como se apuntó en la Sección 4. la ecuación de balance correspondiente a la potencia reactiva es eliminada del conjunto de ecuaciones. Entonces. de modo que para el generador o generadores que absorban estas pérdidas no podrá especificarse su potencia activa de generación y. de manera explícita no están incluidas en la formulación. no se especificará las potencias de generación activa. siendo las variables dependientes las potencias de generación. los voltajes complejos nodales pueden representarse por fasores cuyos ángulos de fase guardan una relación entre sí. debido a que no es posible especificar a priori a la potencia reactiva generada. . V. Debido a esto. A este tipo de nodo también se le conoce como nodo tipo Vθ . no es posible establecer una ecuación de potencia activa. por lo general. entonces. . . . 10. .7 CÁLCULO DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES Recordando que la ecuación de flujo de potencia compleja en cualquier elemento conectando a los nodos i y m es: (10. PQ PV Vθ .27) y expresando en términos exponenciales las cantidades complejas de esta ecuación: Sabiendo que: Separando partes reales e imaginarias: . . . .Tipo de Nodo Variables de Control (especificadas) Variables Dependientes (incógnitas) . . . . 31) En la misma forma.33) . las expresiones anteriores se simplifican a las siguientes: (10.28) (10.32) (10.30) (10. los flujos de potencia del nodo m al nodo i están dados por: (10.(10.29) Si se considera que las admitancias en derivación del circuito π son puramente reactivas. Otros cálculos que se realizan después de haber obtenido una solución del problema. son la potencia generada en el nodo compensador y las pérdidas por transmisión en toda la red eléctrica.37) .30)(10.33).35) (10. las pérdidas totales por transmisión en el sistema eléctrico están dadas por: (10. es decir. la suma algebraica del flujo del nodo i al nodo m y del flujo del nodo m al nodo i: (10.36) Entonces.34) Las pérdidas de transmisión en cada elemento de la red eléctrica son la suma algebraica de los flujos de potencia dados por las ecuaciones (10. La generación en el nodo compensador se calcula mediante las expresiones siguientes: s = nodo compensador (10. 38) y también pueden escribirse en la forma siguiente: (10. mientras que se desconoce (n-1) partes reales y (n-1) partes imaginarias de los voltajes complejos nodales. 10. siendo estas las variables dependientes en el problema. el conjunto de ecuaciones que representa al problema de flujos de potencia es de orden (2n-2). en coordenadas rectangulares. Los voltajes complejos nodales y los elementos de la matriz de admitancias nodal. se expresan de la siguiente manera: .37)-(10.39) Debe notarse que las ecuaciones (10. (n-1) potencias reactivas de generación y n potencias activas y reactivas de carga.(10.8 FORMULACIÓN DE ESTUDIOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS RECTANGULARES En este tipo de coordenadas.39) son independientes del tipo de coordenadas en que el problema de flujos de potencia es formulado. donde se conoce (n-1) potencias activas de generación. n o también.17): Desarrollando los productos indicados: Separando partes reales e imaginarias: i = 1. . ….Substituyendo en (10. ….40) en (10. n (10. ….41) (10.i = 1. n (10.42) Substituyendo (10. Al igual que en coordenadas polares.43) Las ecuaciones (10. además de clasificar los nodos y especificar otras variables de la manera siguiente: .40) donde: (10.13): i = 1.40) representan el problema de flujos de potencia formulado en coordenadas rectangulares. para todos los nodos se especifica las potencias activa y reactiva de carga. en la formulación rectangular. Como se apuntó anteriormente. debido a que esta magnitud debe permanecer constante ante las variaciones de sus partes real e imaginaria. mientras que las no especificadas serán y .43). de modo que para los nodos PV.44) vendrá a substituir a la expresión del balance de potencia reactiva en la ecuación (10. en este tipo de coordenadas. Las variables por especificar son ahora la parte real e y la parte imaginaria f del voltaje complejo nodal especificado. y la magnitud del voltaje en terminales del nodo donde se controla el voltaje. la ecuación (10. Las variables especificadas son denotada como . Nodos de voltaje controlado. el orden del conjunto de ecuaciones será de (2n-2). a través del proceso iterativo. Ahora. también se introduce un par de ecuaciones. las variables dependientes son las partes reales e imaginarias de los voltajes complejos nodales. En este tipo de nodos. Además. y .Nodos de carga. es necesario que la solución obtenida cumpla con la igualdad siguiente: (10.45) Entonces. Nodo compensador. las variables especificadas son las potencias de generación.44) donde: (10. e y f. . 2. resultan las expresiones de flujos de potencia activa y reactiva siguientes: (10.47) (10. y expresando en coordenadas rectangulares sus parámetros y voltajes involucrados: Substituyendo en la ecuación (10.9 CÁLCULO DE FLUJOS EN COORDENADAS RECTANGULARES Partiendo del mismo modelo π de los elementos de transmisión conectando a los nodos i y m.10.27).48) . realizando operaciones algebraicas y separando en partes reales e imaginarias.46) (10. de la Figura 10. (10.39). se ha formulado el problema de flujos de potencia y descrito algunos de los cálculos que pueden efectuarse. .37) y (10.53) Finalmente.50) (10. después de haber obtenido una solución.51) donde: (10. las pérdidas por transmisión se calculan ecuaciones (10.49) Las potencias activa y reactiva de generación en el nodo compensador se determinan mediante las ecuaciones siguientes: (10.52) (10.38) o la ecuación (10. la cual debe obtenerse aplicando algún método numérico para resolver conjuntos de ecuaciones algebraicas no lineales. mediante las Hasta este momento. 54) donde. 10.10 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA POR EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL Partiendo de la definición de balance nodal de potencia compleja: (10. se describe los métodos que han sido más utilizados para resolver el problema de flujos de potencia convencional.A continuación. la potencia compleja neta inyectada puede escribirse en términos de voltaje y corriente: Rescribiendo la ecuación de balance de potencia nodal como: Despejando a la corriente compleja: (10.55) . Por otra parte. la corriente neta inyectada en cualquier nodo i del sistema eléctrico es: De esta última ecuación. involucra términos de voltajes complejos nodales (variables dependientes). inyecciones de potencia nodales (variables de control o especificadas) y elementos de la matriz de admitancias nodal (parámetros constantes y especificados de la red eléctrica). Despejando al voltaje complejo del nodo i: Substituyendo (10.55) en la ecuación anterior: (10. Como puede observarse. es conveniente . Sin embargo. está expresada de una manera tal que es posible aplicar ya sea el Método de Gauss o el Método de Gauss-Seidel.56) Esta ecuación. Expresando las partes constantes en coordenadas rectangulares: de modo que: (10.modificar esta expresión.57) (10. a fin de hacerla computacionalmente más eficiente.58) Definiendo: . 62) .59) (10.61) (10.60) Del mismo modo: para obtener: (10.se obtiene: (10. 56): (10.63): (10.63) Expresando los voltajes complejos nodales en coordenadas rectangulares: y substituyendo en (10.64) Desarrollando la primera parte de (10.Substituyendo estas expresiones en (10.64): (10.65) . 65) y (10.64): (10.64): Separando partes reales e imaginarias: (10.Ahora.67) .66) Substituyendo (10. desarrollando la segunda parte de (10.66) en (10. en la iteración k. n (10.(10. . ….71) k cuando i m De acuerdo al planteamiento del método de Gauss-Seidel. el proceso iterativo debe continuar hasta que no haya cambios significativos en los voltajes.68) Finalmente.70) k + 1 cuando m i j = (10. el Método de Gauss-Seidel se aplica en la forma siguiente: i = 1. es decir.69) donde: j = (10. a fin de obtener algoritmos más eficientes. Adicionalmente. n (10. para problemas de tamaño relativamente grandes. Por las razones anteriores. de modo que su proceso iterativo tiende a ser demasiado lento para problemas involucrando varios centenares de ecuaciones. esta medida no garantiza que el balance de potencia nodal se cumpla con aproximaciones aceptables. que. Por otro lado.11 EXPANSIÓN EN SERIES DE TAYLOR . 10. En las siguientes secciones se aplica el Método de Newton(-Raphson). la aplicación de otros métodos de solución ha sido investigada. para resolver el problema de flujos de potencia tanto en coordenadas polares como rectangulares. presenta el inconveniente de que su convergencia es dependiente del número de ecuaciones. normalmente representa la aplicación de tolerancias de convergencia demasiado estrechas (del orden de 10-6). …. puede causar problemas de convergencia si el programa de computadora desarrollado maneja variables reales de precisión sencilla.i = 1.72) Esto. aun cuando el método es económico en trabajo computacional por iteración. donde no es una solución de Una manera de acercarse hacia una solución es mediante pequeños desplazamientos . Una solución.73) donde: = matriz de primeras derivadas de n. a partir de . donde . donde la expansión en Series de en el punto vecino . Entonces. de orden . satisface la para evaluada en . . Taylor permite evaluar la función resultando la expresión siguiente: (10. con respecto a x.Supóngase un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales. evaluadas en . para un valor . representado por ecuación: . denotada por . con respecto a x.74) y que el siguiente valor: entonces. se tiene la relación siguiente: Si se supone una serie de valores de incrementos de x.= matriz de segundas derivadas de orden n. puede escribirse en la forma siguiente: (10. de tal manera que la ecuación anterior. que sumados a los valores de x anteriores definen nuevos vectores que se aproximan a . de = vector transpuesto de incrementos de x. Por otro lado.74) puede escribirse de la manera siguiente: . evaluadas en . la ecuación (10. 76) para obtener la nueva aproximación a la solución en la forma: (10.75) puede rescribirse en la forma: (10. A continuación. entonces los términos de segundo orden y mayores pueden eliminarse. 10. de modo que la ecuación (10.12 MÉTODO DE NEWTON EN COORDENADAS POLARES .77) donde estas dos últimas ecuaciones representan al método de Newton. se plantea la aplicación de este método para resolver el problema de flujos de potencia.75) pero el incremento de la función es igual a: y suponiendo que los incrementos de x son lo suficientemente pequeños.(10. se tiene el siguiente par de ecuaciones algebraicas no lineales: (10. despreciando los términos con derivadas mayores a la primera derivada y suponiendo que todas las variables involucradas pertenecen a una solución. siendo estas. Entonces. n (10. en general. las expresiones anteriores se simplifican a las siguientes: . se obtiene las expresiones: De acuerdo a la definición del problema.78) i = 1. así como los elementos de la matriz de admitancias nodal. para cada nodo del sistema eléctrico de potencia. las potencias de generación y carga.En el caso del problema de flujos. …. en principio. hay variables que son constantes.79) Aplicando la expansión en Series de Taylor. n donde los conjuntos de ángulos de fase y magnitudes de voltaje representan una solución del problema de flujos. Para valores distintos de alguna solución. n Estas expresiones pueden escribirse en forma compacta como: i = 1. para la iteración k del método de Newton. la ecuación (10. …. aplicado al problema de flujos de potencia en coordenadas polares.80) . …. se tiene la relación: i = 1. ….76) se transforma en la siguiente: (10.i = 1. n Entonces. sus derivadas parciales son cero. se obtiene el sistema de ecuaciones a resolver en cada iteración del método de Newton en coordenadas polares: .80) se convierte en la siguiente: y eliminando los signos negativos. Entonces.Desarrollando las derivadas parciales de y se notará que pueden expresarse en función de las derivadas parciales de las potencias netas inyectadas: Este resultado es debido a que las potencias de generación y de carga son constantes y. por tanto. la ecuación (10. (10.81) Si los términos de (10. Estas expresiones pueden rescribirse como: de modo que la ecuación (10.81) se modifica a la siguiente: (10. es decir.82) .81) involucrando derivadas parciales con respecto a la magnitud de los voltajes son multiplicados y divididos por estas variables. 4) (10.2) (10. resultando en las siguientes: (10.3) (10.83.5) (10.6) .83.1) (10.83.83.83.Esto permitirá que las expresiones para determinar cada elemento de la matriz de derivadas parciales o Jacobiano se simplifiquen.83. en forma relativamente sencilla.8) Al observar estas ecuaciones. …. Lo anterior permite. n (10. • Debido a que .83.83. desde un punto de vista numérico.i). pero de valor diferente. existirá otro que también será distinto de cero en la posición (m.82). el Jacobiano no resulta simétrico. es decir.7) (10.82) debe calcularse de la siguiente manera: i = 1. El vector independiente de la ecuación (10.84) . evitando tanto el uso excesivo de memoria de computadora como de la ejecución de operaciones aritméticas innecesarias. puede notarse lo siguiente: • Hay elementos de la matriz de admitancias nodal en todas las ecuaciones. por cada elemento (i. aunque es simétrico en estructura. de modo que el Jacobiano tendrá las mismas características de dispersidad.(10. la aplicación de técnicas de dispersidad para resolver la ecuación (10.m) distinto de cero. …. n (10. será necesario multiplicar cada incremento de voltaje por su magnitud. esto es. El error entre los valores que se calculan para .86) y estar en condiciones de actualizar ángulos de fase y magnitudes de voltaje mediante las expresiones: i = 1.84) son las ecuaciones de balance de potencia nodal evaluadas en cada iteración.donde: i = 1. n (10.85) Una vez que se resuelve (10.87) Nótese que (10.82). …. …. i = 1. n (10. Esto permite establecer un criterio de convergencia para el método de Newton en coordenadas polares. terminando así el proceso iterativo. Esta condición inicial consiste en especificar todas las magnitudes de voltaje en los nodos PQ iguales a 1. mientras que los ángulos de fase en nodos PQ y PV serán iguales a 0. y . expresado en la siguiente forma: i = 1. n (10.88) Cuando se cumpla con este criterio. es de esperar que. revisándose la convergencia en las iteraciones subsecuentes.y en cada paso del proceso iterativo y los de solución causa. se ha logrado la convergencia hacia una solución. En resumen. será necesario especificar valores de magnitud y ángulo de fase para cada voltaje nodal del sistema eléctrico. Condiciones iniciales. la desviación en el balance de potencia nodal. si no se conoce otra condición inicial mejor (un estudio de flujos de potencia previo). Entonces. se continúa con el proceso. se proporciona o inicializa la información necesaria para arrancar el proceso iterativo. en consecuencia. se ha comprobado que el perfil plano de voltaje es el más adecuado. En la práctica. el método de Newton en coordenadas polares consta de los siguientes pasos: 1. tiendan a cero. …. En este paso.0 grados.0 pu. En caso contrario. lo cual incluye: . las desviaciones de potencia nodal. conforme se tiende hacia una solución. Para iniciar el proceso iterativo. (a) Parámetros de líneas, transformadores, compensación fija en derivación y cargas. (b) Para nodos PV, se especifica los límites máximo y mínimo de potencia reactiva de generación. (c) Número máximo de iteraciones, potencia base y algunos otros parámetros que se consideren necesarios para controlar el proceso iterativo. (d) Cálculo de la matriz de admitancias nodal, potencias especificadas mediante la ecuación (10.15), especificación de magnitudes y ángulos de fase iniciales. 2. Proceso iterativo. Con los valores actuales de y , calcular las potencias netas inyectadas real y reactiva usando (10.85), determinar las desviaciones de potencia nodal, y , con las expresiones (10.84), así como sus máximos y aplicar el criterio de convergencia dado por (10.88). En caso de cumplir con las tolerancias especificadas, ir al paso 4; de otra manera, hacer el siguiente. 3. Solución del conjunto de ecuaciones lineales y actualización de variables. Con los valores actuales de y , determinar los elementos del Jacobiano mediante las expresiones (10.83.1)-(10.83.8), substituir en (10.82) y resolver para y . Corregir el vector de incrementos de y mediante (10.87). Por último, voltaje con (10.86) y actualizar regresar al paso 2. 4. Cálculos finales. Cuando ya se tiene conocido el estado del sistema (voltajes complejos nodales), puede calcularse, entre otras cosas, lo siguiente: (a) Potencias de generación en el nodo compensador, usando las ecuaciones (10.34). (b) Flujos de potencia en elementos de red con las ecuaciones (10.32) y (10.33). (c) Pérdidas por transmisión, usando (10.35) y (10.36). La Figura 10.3 muestra el diagrama de flujo del método de Newton en coordenadas polares. Los cuatro pasos anteriores representan un método de Newton sin ajustes o modelos de dispositivos especiales. Al incluir algún tipo de estos, se debe agregar los pasos necesarios y coordinarlos adecuadamente con los anteriores. Un ajuste imprescindible de agregar es el manejo de límites de potencia reactiva de generación, cuya aplicación se describe en secciones posteriores. Figura 10.3 Diagrama de flujo del método de Newton en coordenadas polares. Ejemplo ilustrativo de aplicación. Sea el sistema eléctrico de potencia de la Figura 10.4. Establecer: (a) el conjunto de ecuaciones que representa el problema de flujos de potencia del sistema en coordenadas polares, (b) el conjunto de ecuaciones algebraicas lineales que se resuelve en cada iteración al aplicar el método de Newton. Figura 10.4. Sistema eléctrico de potencia de 5 nodos. De acuerdo a las expresiones (10.78) y (10.79), las ecuaciones que definen el problema de flujos de potencia en coordenadas polares son: de modo que del conjunto de ecuaciones anterior. Tabla 10.4. Nod Tip o o 1 2 V P V . se elimina a las dos ecuaciones del nodo 1 y la ecuación de potencia reactiva del nodo 2. Tipo de nodos del sistema de la Figura 10.La Tabla 10.4.4 especifica el tipo de cada nodo del sistema. 3 4 5 PQ PQ PQ El conjunto de ecuaciones resultante será: Por otra parte. el conjunto de ecuaciones resultante de aplicar el método de Newton es: . A continuación.5 Sistema eléctrico de potencia de 2 nodos. la matriz de admitancia nodal será: . se presenta un ejemplo numérico. Ejemplo Numérico. En este caso. que permitirá observar algunas propiedades importantes del método de Newton. Sea el sistema eléctrico mostrado en la Figura 10. Figura 10.5. por tanto. introduce las dos ecuaciones: o también: Sabiendo que: se tiene: .5. mientras que el nodo 2 es del tipo PQ y. por lo que no introduce ecuaciones en la formulación del problema. el nodo 1 es tipo Vθ .De acuerdo a la Figura 10. se obtiene: Substituyendo valores de la matriz de admitancias nodal: se llega a las expresiones: P2=10 V2 Sen θ 2 .0.Substituyendo: donde: Especificando V1 = 1.0 y θ 1 = 0. 0 .0. θ (0) = 0.Substituyendo en las ecuaciones de balance de potencia nodal: Ahora. los elementos del Jacobiano serán: donde: Suponiendo: V(0) = 1. 03 Corrigiendo: Actualizando: .2 = .0. = .0.Entonces. Se convierte en: Y de aquí. el siguiente sistema de ecuaciones a resolver es: .Para la siguiente iteración: y las derivadas parciales: Entonces. .Obteniéndose: Actualizando: = .0.0.024345 De aquí.012603 = . ante la ocurrencia de cambios bruscos en alguna variable o parámetro del sistema eléctrico. obteniéndose un ahorro considerable del mismo. Esta característica puede aprovecharse para hacer que el Jacobiano permanezca invariante y ya factorizado. Estas modificaciones al método de Newton son conocidas como métodos de Newton deshonestos. permanece casi constante. . Sin embargo. el Jacobiano cambia de iteración a iteración. Entonces. El cambio es mayor en las primeras dos o tres iteraciones.13 MÉTODO DE NEWTON DESHONESTO En el método de Newton. 10. después de la segunda o tercera iteración. será necesario actualizar el Jacobiano y ejecutar una iteración normal del método de Newton. es decir.Para la tercera iteración: Y así se continúa hasta obtener la solución. el trabajo computacional para resolver el conjunto de ecuaciones lineales en cada iteración se reduce a efectuar una substitución hacia delante y otra hacia atrás. debido a que es función de las variables de estado o . mientras que en las subsecuentes los cambios en el Jacobiano son mínimos. Este principio de desacoplamiento implica que las ecuaciones que se resuelven en cada iteración del método de Newton: puede aproximarse al siguiente: (10. presentan una característica en estado estacionario de tener una fuerte interdependencia las potencias activas con los ángulos de fase (acoplamiento ).10. así como de Q con respecto a son relativamente despreciables. ). mientras que los acoplamientos y son Esto. ocurriendo lo mismo entre potencias reactivas y magnitudes de voltaje (acoplamiento débiles. A esta característica se le conoce como principio de desacoplamiento.89) . tiene un impacto en el Jacobiano. mientras que los elementos correspondientes a las derivadas de P con respecto a V. en alta tensión. donde los elementos correspondientes a las derivadas de P con respecto a y de Q con respecto a V dominan numéricamente la matriz.14 MÉTODO DE NEWTON DESACOPLADO EN COORDENADAS POLARES Los sistemas eléctricos de corriente alterna. 90) es de orden (n-1).91) es de orden (n . . mientras que (10.91) donde (10.ng -1) y las submatrices H. J y L agrupan a cada tipo de derivadas que existen en el Jacobiano: Sin embargo. este método desacoplado resulta más eficiente si se resuelve ambos conjuntos de ecuaciones de manera alternada. siempre usando los últimos valores de magnitudes y ángulos de fase de los voltajes complejos nodales. N.90) (10.de donde puede obtenerse dos conjuntos de ecuaciones independientes o desacoplados: (10. cada iteración del desacoplado se realiza más rápidamente. resultando: (10.6. Nótese que ahora se está observando la convergencia cada vez que se resuelve cada subproblema.90) y (10. .91) entre los valores actuales de magnitudes de voltaje. Sin embargo.Generalmente.93) donde las matrices A y C tienen las mismas características del Jacobiano y se tienen que calcular en cada iteración. El diagrama de flujo de este algoritmo se muestra en la Figura 10. Una modificación que hace relativamente más eficiente a este método es dividir (10. el método de Newton completo tomará menos iteraciones que el desacoplado para alcanzar la convergencia.92) (10. . . 6 Diagrama de flujo del método de Newton desacoplado. Aunque el método de Newton desacoplado presenta características de eficiencia computacional mayores que el Newton completo. presenta más atractivo desde un punto de vista de eficiencia computacional y robustez. el cual se describe a continuación.15 MÉTODO DESACOPLADO RÁPIDO De acuerdo al principio de desacoplamiento. 10.Figura 10. el método desacoplado rápido. se establece que: . bajo condiciones normales de operación. 2. En general.94. los sistemas eléctricos de alta tensión. presentan las características siguientes: 1. La diferencia angular entre nodos vecinos es pequeña. 3.1) (10. se cumple con la relación .94. La relación x/r para elementos de transmisión de alta tensión es relativamente mayor que 1.Además de esto.2) . donde x es la reactancia y r la resistencia serie de tales elementos. Rescribiendo las derivadas parciales de P con respecto a respecto a V de la manera siguiente: y de Q con (10. 94.3) .95.4) La característica 2 permite suponer que: Bajo las suposiciones anteriores. las ecuaciones (10.1) (10.94.94) se simplifican a las siguientes: (10.95.3) (10.95.(10.2) (10. 97) puede simplificarse de la manera siguiente: (10.95.96) (10. y son elementos de la parte imaginaria de la matriz de admitancias nodal.91) pueden escribirse como: (10. La ecuación (10.4) Entonces. las ecuaciones (10.100) .98) Pasando al lado izquierdo las matrices diagonales de voltaje: (10.90) y (10.(10.99) (10.97) donde es una matriz diagonal de magnitudes de voltaje. tales como los compensadores en derivación (capacitores y reactores) y transformadores con ajuste automático del cambiador de derivación. el conjunto de ecuaciones resultante es: (10.102) El conjunto de ecuaciones (10. como los desfasadores. Los elementos de se calculan mediante las expresiones: . y además.99). Estos dos últimos conjuntos de ecuaciones representan al Método Desacoplado Rápido.101) es de orden (n-1). el conjunto de ecuaciones resultante es: (10.Si del conjunto de ecuaciones (10.102) es de orden (n-ng-1). por otra parte. siendo B’ y B’’ matrices constantes.101) Por otro lado. mientras que el conjunto (10. se considera que las magnitudes de voltaje tienen valores alrededor de 1 pu y. se desprecia la resistencia en elementos de transmisión. si del conjunto de ecuaciones (10. se omite la representación de elementos de red que afectan predominantemente a la potencia reactiva. con los valores actuales calculados de magnitudes y ángulos de los voltajes complejos nodales.100) se omite la representación de elementos que afectan predominantemente a la potencia activa. y se recomienda resolverlos en forma alternada. Esto demuestra la alta eficiencia computacional por iteración del método. puede manejarse únicamente la parte triangular superior o inferior. permitiendo un considerable ahorro de memoria y tiempo de cómputo por iteración (aproximadamente un 50% y un 25% del método de Newton. Nótese que en la parte de condiciones iniciales. además. La Figura 10.7 muestra el diagrama de flujo del método desacoplado rápido.104) donde y son elementos de la parte imaginaria de la matriz de admitancias nodal. las matrices y son constantes y. Como se mencionó anteriormente. . las matrices y son construidas y factorizadas.103) y los elementos de mediante las siguientes: (10.(10. por lo que no es necesario construirlas ni factorizarlas en cada iteración y. respectivamente). generalmente simétricas. . . 16 MÉTODO DE NEWTON EN COORDENADAS RECTANGULARES De acuerdo a lo descrito anteriormente.7. las variables de estado en esta clase de coordenadas son las partes real e imaginaria del voltaje. 10. Diagrama de flujo del método desacoplado rápido.Figura 10. . .107) ... n (10.106) El vector independiente se calculará usando las expresiones (10.. el sistema de ecuaciones a resolver en cada iteración será: (10.84). sólo que las expresiones de la potencia neta inyectada toman ahora la forma siguiente: i=1.105) donde: (10.Entonces. 2) .109.donde: (10.1) (10.109.108) Los elementos del Jacobiano se determinan usando las siguientes ecuaciones: (10. (10.7) (10.109.4) (10.5) (10.3) (10.109.6) (10.8) Al observar las ecuaciones anteriores.109.109.109. puede notarse que: .109. . esto se ilustra mediante un ejemplo. Proceso iterativo. En seguida. aunque lo puede ser en estructura. Posteriormente. los pasos que siguen para resolver el problema de flujos de potencia mediante el método de Newton en coordenadas rectangulares son los siguientes: 1. siempre y cuando no existan nodos de voltaje controlado involucrados en el problema. se calculan las .. las variables de estado se actualizan mediante: i=1. En este paso se determinan potencias netas inyectadas en los nodos PQ y PV. donde la correspondiente a la potencia reactiva se sustituye por otra ecuación cuyo renglón no será simétrico en estructura con respecto a la columna que le corresponde. 2. Condiciones iniciales.. Una vez resuelto (10.110) Entonces. debido a que en la formulación rectangular los nodos PV introducen dos ecuaciones. el Jacobiano tiene la misma característica de dispersidad que la matriz de admitancias nodal. (b) Desde un punto de vista numérico el Jacobiano no es simétrico..105). n (10.(a) También en esta formulación. Estas son las mismas descritas para el método en coordenadas polares. (b) Flujos de potencia en todos los elementos de la red de transmisión mediante las expresiones (10. Nótese que es un algoritmo similar al método de Newton polar.50)-(10. de acuerdo a (10.46)-(10. ir al paso 4. utilizando las ecuaciones (10.109.109.88). Se construye el Jacobiano de acuerdo a las ecuaciones (10.37) y (10. lo cual da una idea de que puede ser aprovechada gran parte de uno de estos algoritmos para generar otro. puede determinarse lo siguiente: (a) Potencias real y reactiva en el nodo compensador. 3. Pérdidas por transmisión usando (10. Después.38). hacer el paso 3.desviaciones de potencia así como sus máximos.105).8) y se factoriza. (c) La Figura 10.8 muestra el diagrama de flujo del método de Newton en coordenadas rectangulares. se resuelve el sistema de ecuaciones (10.49). 4. En caso de cumplir con las tolerancias. Cálculos finales. .1)-(10. Solución del sistema de ecuaciones lineales y actualización de variables. Aquí.53). De otra manera. . . Figura 10. 10.17 INCLUSIÓN DE LÍMITES DE POTENCIA REACTIVA EN GENERADORES .8 Diagrama de flujo del método de Newton en coordenadas rectangulares. las acciones a tomar son las siguientes: (a) Violación del límite máximo. se muestra cómo se aplica en las formulaciones completas del método de Newton. se apuntó que en esté tipo de nodos no introducen ecuación para la potencia reactiva. QD y V dejando a Q y θ como variables de estado. Aquí. se especifican PG. las máquinas síncronas y compensadores estáticos de VAr tienen está capacidad. En este caso se tiene. en nodos PV. Sin embargo. en iteraciones posteriores se observará el comportamiento de V. PD. ésta no es ilimitada. lo cual puede escribirse como en la forma: QGMIN ≥ QG ≤ QGMAX Una forma de considerar estos ajustes es la siguiente: durante el proceso iterativo. La estrategia para incluir esto en cada método de solución varía. En caso de que exista violación de algún límite. Suponiendo que en la iteración (k-1) uno de los límites del generador i es violado.1 Inclusión De límites De Generación De Potencia Reactiva en el Newton Polar Como antes se mencionó. 10. debe observarse el comportamiento de QG. Por otro lado. para ver si es posible regresar el nodo de PQ a PV. Por otro lado.Los nodos donde existe la capacidad de mantener fijo el voltaje ya sea generando o absorbiendo potencia reactiva. por lo que al estar resolviendo el problema de flujos es necesario estar observando sus límites mínimo y máximo de potencia reactiva generada. tal como se definió originalmente. . se clasifican como nodos de voltaje controlado. en la siguiente iteración el nodo deja de ser de voltaje controlado (PV) para ser de carga (PQ) fijando a QG en el límite violado y liberando V como variable de estado. Entonces.17. por lo que QG será dependiente de la solución y estará sujeta a observar sus límites máximo y mínimo. Esta condición se puede representar mediante la expresión: . así como las desviaciones correspondientes.Por lo que el nodo i cambiará de ser PV a PQ en la iteración k con las siguientes consideraciones: Y con estos valores se calculan . Al final de la iteración k y para efecto de iteraciones posteriores (de la k+1 en adelante) se verificará lo siguiente: (i) Si el nodo continuará siendo tipo PQ. (ii) Si el nodo regresa a PV con (b) Violación del límite mínimo. este residuo de voltaje es tratado como la diferencia entre los cuadrados de las magnitudes de los voltajes especificado y calculado en la iteración k: . debido a que los valores de QG obtenidos en iteraciones precedentes pueden violar límites estando aún lejos de la solución. (ii) Si el nodo regresa a PV con Si después de una o más iteraciones de haber cambiado el nodo i de tipo PV a PQ. además de la siguiente: Con los valores anteriores. Para evitar estas oscilaciones. se determinan y las desviaciones correspondientes. el nodo tipo PV será PQ en la iteración k considerando las modificaciones dadas en el inciso (a). se recomienda que la verificación de límites se realice después de la segunda o tercera iteración. una manera de mantener constante el voltaje especificado Vesp en nodos PV es corregir el error de voltaje que se introduce en cada iteración. repitiéndose el proceso descrito en caso de existir una nueva violación de límites.En este caso.17. Al final de la iteración k se revisarán los siguientes puntos cuyo efecto se deberá notar en las iteraciones posteriores: (i) Si el nodo continuará siendo tipo PQ. regresa a PV. Por simplicidad. se tiene que seguir verificando que la potencia reactiva de generación esté dentro de límites para las iteraciones subsecuentes.2 Manejo de Límites de Generación de Potencia Reactiva en el Newton Rectangular En estas coordenadas. 10. 113.109.5)-(10.(10.111) sustituye al término: en la ecuación de balance de potencia reactiva dada por (10.107).111) donde: (10.9) utilizadas en el cálculo del Jacobiano se sustituyen respectivamente por las siguientes: (10.112) Entonces. la ecuación (10.1) . Por otro lado. las ecuaciones (10.109. mientras que en los renglones m con columna i los elementos correspondientes son distintos de cero (debido a que tanto la parte real como la parte imaginaria del voltaje varían).113. una forma de manejar el caso de violación de algún límite de generación de potencia reactiva es similar a la establecida para la formulación en coordenadas polares. .4).18 EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIÓN El problema de flujos de potencia es un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales. Esto es. Para el sistema eléctrico mostrado en la Figura 10. tomándose la medida pertinente en cuanto al tipo de nodo a considerar.(10.3) (10.113. Al observar las ecuaciones (10. lo que provoca la asimetría estructural en el Jacobiano. Además.113.9. en iteraciones posteriores se deberá verificar el comportamiento de la magnitud de voltaje para ese nodo. por lo que no es sencillo establecer si tiene solución y si esta es única. se tiene dos soluciones para el caso de demanda mínima.4) Ahora bien. se nota que el renglón i contiene elementos distintos de cero en la columna i y en las columnas m son cero.2) (10.113.113. 10. la potencia reactiva de generación se fija al límite violado y el nodo cambia del tipo PV a PQ.1)-(10. . Con este sistema. (b) Solución obtenida con voltajes unitarios y ángulos de 90 grados. donde se muestra el comportamiento del voltaje en el nodo 3 para condiciones de demanda máxima y mínima.Figura 10.9 Sistema de tres nodos ante condiciones de demanda mínima.10. (a) Solución obtenida con perfil plano de voltaje. se ha generado la gráfica de la Figura 10. se muestra el caso de un sistema de tres nodos longitudinal.11(a) y con ángulos iniciales de 90 grados. Figura 10. A continuación. el nivel de demanda influye en el número de soluciones que se obtiene para el problema de flujos de potencia y que cada una de estas depende de las condiciones iniciales que se especifique.10 Comportamiento de f(V3) para el sistema de las figuras 10.9. .(a) Condiciones de demanda mínima. (b) Condiciones de demanda máxima. Figura 10. donde las dos soluciones presentadas se obtuvieron con condiciones iniciales de perfil plano. Como puede observarse.11(b). Figura 10.8 y 10. . ambas soluciones tienden a ser semejantes entre sí. hasta llegar a un punto donde el nivel de carga permita que el conjunto de ecuaciones tenga una solución única (punto de máxima cargabilidad en el sistema).Como puede observarse. las soluciones tienden a ser muy cercanas. debido a que conforme se tiene un mayor nivel de carga en el sistema. Figura 10. De acuerdo a los análisis anteriores. es recomendable iniciar el proceso iterativo con el perfil plano de voltaje.11 Sistema de prueba de 3 nodos representando condiciones de demanda máxima y con soluciones distintas. 10.19 EFECTO DE LA TOLERANCIA DE CONVERGENCIA . lo cual resulta en soluciones alrededor de las condiciones normales de operación de los sistemas eléctricos de potencia de alta tensión (magnitudes de voltaje alrededor de 1.0 pu y diferencias angulares entre nodos adyacentes relativamente pequeñas). 0203 1.72 -10.0571 1.0100 1.16 -16.22 -13.0600 1.0186 1.0513 1.0563 1. eliminándose prácticamente el problema que en métodos numéricos se conoce con el nombre de sobreconvergencia. Esto permite establecer que las tolerancias para el proceso de solución del problema de flujos de potencia no deben ser demasiado estrechas para evitar ejecutar iteraciones innecesarias y que la tolerancia de 0. Para esto.0505 1.08 -15.0619 1.5 Efecto de la tolerancia de error en la solución. aun cuando las tolerancias de convergencia son muy distintas entres sí.04 Tolerancia = Magnitud Ángulo 1.37 -14.37 -14.10 -14.72 -10.0203 1.0513 1. habiéndose obtenido convergencia en 3 iteraciones para la tolerancia de convergencia de y en 6 para la tolerancia de .78 -14.22 -13.37 -13.00 .A continuación.78 -14. se presenta un análisis de la convergencia para el sistema de prueba de 14 nodos del IEEE. Tabla 10.04 Nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 De la tabla anterior.95 -15.79 -15.08 -15.98 -12.79 -15.0505 1.0522 1.0563 1.001 para la mayoría de casos reales (sistemas de alta tensión) resulta suficiente.37 -13. Tolerancia = Magnitud Ángulo 1.4.0100 1.0450 1.0619 1.0358 0.5.0600 1.0186 1.0900 1.8.32 .10 -14.0700 1. mostrando las soluciones correspondientes a la aplicación de dos criterios de convergencia.8.4. .95 -15.0450 1.00 .0900 1.0358 0.0571 1.16 -16. puede observarse que las soluciones son las mismas.0700 1. se construyó la Tabla 10.32 .98 -12.0522 1.