1.Introducción a la modelación de sistemas 1.1Conceptos preliminares. 1.1.1 Sistemas 1.1.2 Señales 1.1.3 Modelos 1.1.4 Construcción de los modelos matemáticos 1.1.5 Clasificación de los modelos matemáticos 1.1.6 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo Introducción a la modelación de sistemas El concepto de sistemas, es el primer paso crítico en la construcción de un modelo físico. Un sistema puede definirse a través de sus componentes e interconexiones, el modelo físico puede construirse representando de manera gráfica a los componentes que conforman el sistema y sus interacciones, una vez que se deducen del comportamiento global – observadas del sistema, ya sea el real o el deseado. La dinámica de sistemas trata del modelado matemático y el análisis de la respuesta de los sistemas dinámicos. 1.1 Conceptos preliminares El concepto de sistema puede ser definido de varias maneras. En primera aproximación se puede decir que un sistema es un objeto o colección de objetos cuyas propiedades se desean estudiar. El concepto de sistemas implica el proceso de aislamiento conceptual de una parte del universo que sea de interés, al que llamaremos el sistema, y a las especificaciones de las interacciones entre este sistema y el resto del mundo, lo llamaremos, el entorno. Un modelo físico se construye aislando una parte del universo como el sistema de interés y luego se divide conceptualmente su comportamiento en componentes conocidos. 1.1.1 Sistemas Un Sistema es una disposición delimitada de entidades interactuantes. Proceso (físico ó no) que transforma entradas (causas) en salidas (efectos). MIMO (del inglés Multiple Input Multiple Output). elementos. Definiciones de sistema (malla abierta y cerrada. Sistema-> Subsistemas-> componentes Un sistema es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para alcanzar un objetivo específico. Delimitación: las acciones del resto del universo sobre el sistema se reemplazan por entradas. Un componente es una cantidad particular en su función en un sistema. Múltiples entradas múltiples salidas. subsistemas. Disposición: define la Estructura del Sistema. Sistema realimentado o de malla cerrada. SISO (del inglés Single Input Single Output). Sistema en malla abierta o sistemas programados. Entidades interactuante: son los componentes del sistema: procesos. una o varias entradas y salidas) y señal. una salida. etc. Una entrada. . Para obtener estas ecuaciones diferenciales nos tenemos que basar en las leyes fundamentales ya conocidas. es decir. es un sistema en el cual hay almacenamiento de energía. La dinámica de un sistema de control cualquiera. Un Sistema Dinámico. etc. Es una función que representa el comportamiento de un sistema. Un modelo es una representación simplificada de un Sistema que permite responder interrogantes sobre este ´ultimo sin recurrir a la experimentación sobre dicho sistema. 1.2 Señales.1. materia o información. se representa generalmente por medio de ecuaciones diferenciales. un sistema dinámico es un sistema con Memoria. Un modelo matemático es un conjunto de expresiones matemáticas que describen las relaciones existentes entre las magnitudes caracterizantes del sistema.1. 1. Sistema estático: Un sistema se llama estático si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso. En estos casos se recurre a la experimentación sobre Modelos del sistema. sea éste de tipo eléctrico. Sistema dinámico: Un sistema se llama dinámico si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado. es la salida de un sistema cuya excitación no se conoce.4 Construcción de los modelos matemáticos. por ejemplo en la . en muchas ocasiones no se puede experimentar sobre los sistemas reales. Por cuestiones de costo. riesgo o imposibilidad (si el sistema todavía no existe por ejemplo).1. en un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo cuando no está en su estado de equilibrio. electrónico. mecánico. 1.3 Modelos. en un sistema estático la salida permanece constante si la entrada no cambia y cambia solo cuando la entrada cambia. Especificación de Acoplamiento: El modelo explicita además submodelos y su interconexión.5 Clasificación de los modelos matemáticos. Otra forma de clasificar modelos es acorde al nivel de detalle de la especificación. El modelo matemático equivale a una ecuación matemática o un conjunto de ellas en base a las cuales podemos conocer el comportamiento del sistema.ley de Ohm o leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos. Tiempo Continuo: Las variables evolucionan continuamente en el tiempo. Tiempo Discreto: Las variables sólo pueden cambiar en determinados instantes de tiempo. o en las leyes de Newton para sistemas mecánicos. debido a lo cual se pueden lograr representaciones diferentes del mismo proceso. pero sólo puede haber números finitos de cambios en intervalos de tiempo finitos. Eventos Discretos: Las variables pueden cambiar en cualquier momento. Es necesario comentar que el modelo matemático que se desarrolla a partir de un sistema no es único. Para un mismo sistema. Generalmente se representan mediante ecuaciones diferenciales. Una forma de clasificar modelos es en función de la manera en que las variables evolucionan en el tiempo. Especificación de Estados: El modelo tiene en cuenta además la evolución de los estados internos. según los objetivos. Especificación Entrada-Salida: El modelo sólo expresa la relación entre las secuencias o funciones de entrada y las secuencias o funciones de salida. Se suelen representar mediante ecuaciones en diferencias. Para efectuar el análisis de un sistema. es necesario obtener un modelo matemático que lo represente.1. 1. pueden plantearse modelos en los tres niveles de especificación. . Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes. Se aclara que en una ecuación diferencial siempre el tiempo es la variable independiente y la variable dependiente puede ser x. . tratando una sola entrada a la vez y sumando los resultados parciales. El principio de la superposición establece que cuando tengamos un sistema de control con varias señales de entrada (función excitación) actuando simultáneamente. El concepto de sistema lineal es muy utilizado en el lenguaje de las matemáticas. La proporcionalidad cumple un sistema de control lineal una relación de causaefecto con las entradas y las salidas. considerando una sola entrada a la vez. y. una función de la variable independiente (t) o de la variable dependiente (x) a la primera potencia. podemos calcular la salida (función respuesta). Esto nos permite calcular la respuesta a diversas entradas. Como la mayoría de los modelos matemáticos de sistemas de control se expresan con ecuaciones diferenciales. trabajando con una entrada a la vez y sumando las salidas parciales obtenidas con cada entrada para calcular la salida total. la salida debe de aumentar en la misma proporción.1. Es importante que un sistema sea lineal porque solamente a los sistemas lineales se les pueden aplicar los siguientes dos principios: a) El principio de superposición. generalmente. b) El principio de la proporcionalidad. En pocas palabras este principio nos permite analizar sistemas complicados con muchas entradas. Los sistemas lineales se pueden definir como aquellos en los que las ecuaciones de su modelo matemático son lineales. lo cual nos simplifica el problema. Lo anterior significa que si la entrada aumenta. El principio de la proporcionalidad establece que en cualquier sistema de control lineal la señal de salida (función respuesta) es proporcional a la señal de entrada (función excitación). la salida lógicamente debe de disminuir en la misma proporción.6 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo.1. es muy importante definir que es una ecuación diferencial lineal. z. Si la entrada disminuye. Los sistemas dinámicos que son lineales y están constituidos por componentes concentrados en invariables en el tiempo. pueden ser representados por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. es posible linealizarlo aunque sea en un rango restringido de operación. Los sistemas de control generalmente se representan matemáticamente por medio de ecuaciones lineales. En algunos sistemas lineales también dicha linealidad es restringida a un determinado rango de operación. el segundo término cambia constantemente con el tiempo. También se puede perder la linealidad por hacer una franja o zona muerta y por último también se puede perder la linealidad por algunos componentes cuya operación sea proporcional a relaciones cuadráticas o de orden superior. d2x dx 5 10x 8 dt2 dt Los sistemas representados por ecuaciones diferenciales. cuando el nivel de señal de entrada o salida es muy elevado. por ejemplo por saturación. La solución de sistemas no lineales es más complicada que los sistemas lineales. Se representa en seguida una ecuación diferencial variable en el tiempo. En seguida se representa una ecuación diferencial de un sistema lineal invariante en el tiempo. Esto quiere decir que la ecuación diferencial en este caso cambia con el tiempo constantemente. por lo que se desea siempre trabajar con sistemas lineales. d2x dx 6t 4x 12 dt2 dt Como se puede ver en la ecuación anterior. La linealidad se puede perder en un sistema de control. . pero la verdad es que en la vida real la mayor parte de los sistemas son no lineales. La mayoría de las veces aunque el sistema sea no lineal. cuyos coeficientes son funciones del tiempo reciben el nombre de sistemas lineales variantes en el tiempo. Estos sistemas reciben el nombre de lineales invariantes en el tiempo (o lineales con coeficientes constantes).