Aplicação dos Métodos de Identificação deSistemas Método dos Mínimos Quadrados aplicados a um Conversor Buck Aluno: Vinícius Quintanilha Sano RA: 19377 1. Método dos Mínimos Quadrados aplicados a um Conversor Buck 1.1. O Método O método dos Mínimos Quadrados é um dos mais populares na Identificação de Sistemas e tem grande aplicação em áreas da engenharia, principalmente na área de controle. O método, no caso da identificação de um sistema, tem por objetivo estimar os parâmetros (coeficientes) da equação que caracteriza a dinâmica do sistema, ou seja, que modela o sistema. Esta equação é formada por um vetor de regressores (variável independente), o vetor de parâmetros e um vetor de erros, como mostra a Eq. 1. ^ (1) y=x T θ+ξ O vetor de erros ξ inicialmente é tratado como erros cometidos T^ ao tentar se se explicar y como x θ , e o método, portanto, busca encontrar valores de θ que minimizem o vetor de erros. Tomando N aplicações os vetores passam a se tornar matrizes. Procurando tornar a resposta mais precisa define-se o somatório do quadrado dos erros ^ na Eq. 2, que é o índice que qualifica o ajuste de X θ . N J MQ =∑ ξ (i ) =ξ ξ (2) 2 T i=1 Da Eq. 1 tem-se que ξ= y− X θ^ e assim a Eq. 2 fica T ^ T ( y−X θ)(3) ^ J MQ =ξ ξ=( y− X θ) Abrindo J MQ T T ^ θ^ T X T y + θ^ T X T X θ(4 ^ ) J MQ = y y− y X θ− Conversor Estático CC do tipo Buck O conversor Buck é empregado para converter tensões CC de valores elevados para valores mais baixos. 5 tem-se que ^ X T X ]−1 X T y(6) θ=[ Portanto Eq. 1.Para minimizar a função custo J MQ em relação à θ^ é necessário resolver a Eq.2.e. É chamado de abaixador de tensão. o PWM foi ajustado para uma tensão de 0 a 5 [V] formando uma onda quadrada pseudoaleatória presenta na figura 1. sendo a solução apresentada pelo Método dos Mínimos quadrados. 1. . Aplicação dos Mínimos Quadrados no Conversor Buck Primeiramente é necessário coletar dados de entrada e saída no conversor.3. 6 é o estimador que apresenta o valor dos ^ parâmetros θ que minimiza a função de custo. e foram coletados os dados de saída em tensão apresentados na figura 2. quando não se tem conhecimento físico do sistema. ∂ J MQ =0 (5) ∂ θ^ Resolvendo Eq. Este tipo de conversor apresenta um chaveamento em PWM que define como será a tensão de saída. reiterando que o método utilizado é caixa-preta. No conversor foi inserida uma tensão de entrada de 20 [V]. 5. i.. Entrada PWM. . Figura 2 .Saída coletada no Buck.Figura 1 . 7.Após recolhidos os dados de entrada e saída do conversor foi possível iniciar os passos do Método dos Mínimos Quadrados utilizando o software Matlab. Na estimação um modelo ARX os Mínimos Quadrados se apresentam de maneira caraterística onde o modelo dinâmico se apresenta como na Eq. do livro Introdução a Identificação de Sistemas (AGUIRRE. 66). y ( k )=θ 1 y ( k−1 ) −θ2 y ( k −2 ) +θ3 u ( k−3 )−θ4 u ( k −1 ) +θ5 u ( k−2 ) +ξ ( k ) (7) Assim. antes é preciso obter representação matemática a ser usada e a estrutura do modelo. para o Conversor Buck. em um modelo dinâmico ARX é .2. Porém. pag. chega-se a parte de estimação de parâmetros onde entram os Mínimos Quadrados. 8 e as variáveis regressoras são representadas pela Eq. 9. Estes fatores foram encontrados no exemplo 1. A representação matemática do modelo do Buck é ARX e a estrutura encontrada está presente na Eq. ^ ( k ) (8) y ( k )=ψ T ( k −1 ) θ+ξ ψ ( k−1 )=[ψ 1 ψ 2 …ψ n ]T (9) θ As variáveis regressoras para o modelo do conversor Buck são ψ ( k−1 )= [ y ( k −1 ) y ( k −2 ) u ( k−3 ) u ( k −1 ) u ( k −2 ) ] (10) As restrições geradas representada pela Eq. 11.12. no caso.