REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIREMINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DE M’SILA FACULTE DES SCIENCES ET SCIENCES DE L’INGENIEUR DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE MEMOIRE DE FIN D’ETUDES EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME D’INGENIEUR D’ETAT EN GENIE ELECTROTECHNIQUE OPTION : COMMANDE ELECTRIQUE THEME Commande d’une Machine à Induction Par la Méthode H ∞ M lle BENDERRADJI . H Proposé et dirigé par : Présenté par : HAFFAF Adil CHEBABHI Moqrane Année Universitaire : 2006/2007 REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DE M’SILA FACULTE DES SCIENCES ET SCIENCES DE L’INGENIEUR DEPARTEMENT D’ELECTROTECHNIQUE MEMOIRE DE FIN D’ETUDES EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME D’INGENIEUR D’ETAT EN GENIE ELECTROTECHNIQUE OPTION : COMMANDE ELECTRIQUE THEME Commande d’une Machine à Induction Par la Méthode H ∞ M lle BENDERRADJI . H Proposé et dirigé par : Présenté par : HAFFAF Adil CHEBABHI Moqrane Année Universitaire : 2006/2007 Remerciement En premier lieu nous tenons à remercier le bon Dieu tout-puissant et miséricordieux de la bonne santé; de la volonté et de la patience qu’il nous a accordé tout le long de notre étude. Nous tenons à exprimer toute reconnaissance et nos profonds remerciements à notre promotrice Melle : H. BENDERRADJI qui nous a aidé et dirigé par ses connaissances et ses conseils. Nos remerciements vont aussi à tout les enseignants qui ont participé à notre formation et tous qui nous ont aidé pour la réalisation de ce travail Notre profonde gratitude à tous les enseignants du département d’électrotechnique qui nous ont assuré une formation aussi meilleure que possible. Et enfin un remerciement spécial à nos collègues les étudiants d’électrotechnique. Sommaire Sommaire Electrotechnique 2007 V Sommaire ...................................................................................................................................I Notation ................................................................................................................................ VII Liste des figures ...................................................................................................................... X Introduction Générale ............................................................................................................01 Chapitre I : Modélisation et Simulation de la Machine Asynchrone I.1 INTRODUCTION ............................................................................................................03 I.2 Description de la Machine Asynchrone triphasée ............................................................03 I.3 Modélisation de la mas triphasée .....................................................................................05 I.3.1 Hypothèses simplificatrices de la Machine Asynchrone .........................................05 I.3.2 Equations générales de la Machine Asynchrone triphasée .....................................06 I.3.2.1 Equations électriques ..................................................................................06 I.3.2.2 Equations magnétiques ...............................................................................07 I.3.2.3 Equations mécaniques ................................................................................08 I.4 Transformation de Park ....................................................................................................08 I.5 Modèle de la Machine Asynchrone dans le système triphasé ...........................................11 I.5.1 Equation de la Machine Asynchrone dans le repère uv ..........................................11 I.5.1.1 Equations électriques ..................................................................................11 I.5.1.2 Equations magnétiques ...............................................................................11 I.5.1.3 Equation mécanique ....................................................................................11 I.5.2 Choix du repère de référence ..................................................................................12 I.5.3 Equations de la Machine Asynchrone dans le repère (d, q) ...................................13 I.5.3.1 Equations électriques ..................................................................................13 I.5.3.2 Equations magnétiques ...............................................................................13 I.5.4 Equations de la Machine Asynchrone dans le repère (,) ...................................13 I.6 Modèle de la Machine Asynchrone sous forme d’état ....................................................15 I.7. Simulation de la machine asynchrone ............................................................................17 I.7.1. Bloc de simulation de la machine asynchrone .......................................................17 I.7.2. Résultats de simulation ...........................................................................................18 I.8. Modélisation de l’onduleur de tension à MLI .................................................................19 I.8.1 Principe de base ......................................................................................................21 Sommaire Electrotechnique 2007 VI I.9. Résultat de Simulation de l’association Onduleur Machine ............................................23 I.8. CONCLUSION ...............................................................................................................24 CHAPITRE II : Commande Vectorielle de la MAS par Orientation du Flux Rotorique II.1. INTRODUCTION .........................................................................................................25 II.2. Principe de la commande vectorielle ..............................................................................25 II.3. Méthodes d’orientation du flux ......................................................................................26 II.4. Commande vectorielle par orientation du flux rotorique (CV_OFR) ............................26 II.4.1 Commande vectorielle indirecte ............................................................................26 II.4.2. Commande vectorielle directe ..............................................................................27 II.4.3. Equations de la machine asynchrone en régime dynamique (dq) .........................27 II.4.4. Principe de la commande vectorielle (CV_OFR) .................................................28 II.4.5. Bloc de défluxage .................................................................................................31 II.4.6. Estimation de flux rotorique ..................................................................................32 II.5. Régulation du système ...................................................................................................33 II.5.1 Calcul des Régulateurs ...........................................................................................33 II.5.1.1 Régulateurs des Courants .........................................................................34 II.5.1.2 Régulateur de flux ....................................................................................35 II.5.1.3 Régulateur de vitesse ................................................................................36 II.6 Simulation de l’ensemble Commande-Machine .............................................................38 II.6.1 Essai en charge nominale après un démarrage à vide ...........................................39 II.6.1.1 Simulation sans onduleur .........................................................................39 II.6.1.1 Simulation avec onduleur ........................................................................40 II.6.2 Tests de performance et de robustesse ..................................................................41 II.6.2.1 Test avec variation de la charge ................................................................41 II.6.2.2 Test avec variation de la vitesse ...............................................................42 II.6.2.3 Test avec inversion du sens de rotation .....................................................43 II.6.2.4 Test avec variation de la résistance rotorique ............................................43 II.7 CONCLUSION ...............................................................................................................45 Sommaire Electrotechnique 2007 VII CHAPITER III : Méthodes de Synthèse Fréquentielle H ∞ III.1 INTRODUCTION .........................................................................................................46 III.2 Notions mathématiques ..................................................................................................46 III.2.1 Décomposition en valeur singulière .....................................................................46 III.2.2 Norme de Hankel .................................................................................................48 III.2.3 Norme H ∞ .............................................................................................................48 III.2.3.1 Propriétés de la norme H ∞ ..................................................................................49 III.3 Incertitudes dans un système ..........................................................................................49 III.3.1 Incertitude non structurée ....................................................................................50 III.3.2 Incertitude structurée ............................................................................................50 III.4 Equation du système contrôlé ..........................................................................................50 III.4.1 Stabilité ................................................................................................................52 III.4.1.1 Stabilité Classique ....................................................................................52 III.4.1.2 Stabilité interne ........................................................................................53 III.5 Approche H∞ standard ...................................................................................................53 III.5.1 Problème H ∞ .........................................................................................................54 III.5.1.1 Problème H ∞ optimal ...............................................................................54 III.5.1.2 Problème H ∞ sous optimal .......................................................................55 III.5.2 Méthodes de résolution .........................................................................................55 III.5.2.1 Méthode de résolution du problème H ∞ fondée sur les LMI ...................55 III.5.2.2 Résolution du problème H ∞ fondée sur les équations de Riccati .............55 III.6 Synthèse h ∞ par facteurs premiers ..................................................................................57 III.6.1 Factorisation première .........................................................................................58 III.6.1.1 Définitions ...............................................................................................58 III.6.1.2 Factorisation première à gauche normalisée ............................................59 III.6.2 Stabilisation robuste face a une perturbation sur les facteurs premiers du modèle .....................................................................................................................60 III.6.3 Modelage de la boucle ouverte (loopshaping) ......................................................61 III.6.3.1 Chois des fonctions de pondération ........................................................62 III.6.3.2 Conception de loop-shaping ....................................................................62 III.7 CONCLUSION ..............................................................................................................63 Sommaire Electrotechnique 2007 VIII CHAPITER IV : Régulation H ∞ de Courant d’une Commande Vectorielle IV.1 INTRODUCTION .........................................................................................................64 IV.2 Synthèse des correcteurs ................................................................................................64 II.3 Simulation de l’ensemble Commande_Machine ............................................................68 IV.3.1 Essai en charge nominale après un démarrage à vide ..........................................69 IV.3.1.1 Simulation sans onduleur ........................................................................69 IV.3.1.2 Simulation avec onduleur ........................................................................70 IV.3.2 Teste de performance et de robustesse .................................................................71 IV.3.2.1 Teste avec variation de la charge ..............................................................71 IV.3.2.3 Teste avec l’inversion de sens de rotation ...............................................71 IV.3.2.2 Teste avec variation de la résistance rotorique .........................................72 IV.4 CONCLUSION .............................................................................................................73 Conclusion Générale ...............................................................................................................74 Annexe Bibliographie NOTATIONS ET ACRONYMES Notations et Acronymes Electrotechnique 2007 VII NOTATIONS sc sb sa V V V , , Tensions d’alimentation des phases statoriques. rc rb ra V V V , , Tensions d’alimentation des phases rotoriques. sc sb sa i i i , , Courants statoriques. rc rb ra i i i , , Courants rotoriques. sc sb sa o o o , , Flux statoriques. rc rb ra o o o , , Flux rotoriques. | | s L Matrice d’inductances statoriques. | | r L Matrice d’inductances rotoriques. | | sr M Matrice des inductances mutuelles du couplage entre stator-rotor. s s l R , Résistance et inductance propre d’une phase statorique. r r l R , Résistance et inductance propre d’une phase rotorique. sr M Inductance mutuelle entre une phase de stator et une phase de rotor. s m L’inductance mutuelle entre phases statoriques. r m L’inductance mutuelle entre phases rotoriques. u Angle électrique. ( ) | o, Axes fixés au stator. ( ) y x, Axes fixés au rotor. ( ) v u, Axes fixés par rapport au champ tournant. r s , u u Déphasage du l’axe direct par rapport au stator, rotor. | | p Matrice de transformation de PARK. s e Pulsation statorique. r e Pulsation rotorique. Notations et Acronymes Electrotechnique 2007 VIII e Pulsation mécanique du rotor. p Nombre de paires de pôles. r C Couple résistant. O Vitesse angulaire de rotation. f Coefficient de frottement. J Moment d’inertie de la partie tournante de la machine. em C Couple électromagnétique. o Coefficient de dispersion. s r T T , Constantes de temps rotorique et statorique. s V Valeur efficace de tension. s w Pulsation d’alimentation. S abc Grandeurs booléennes de commande des bras de l’onduleur. s Opérateur dérivée de LAPLACE dt d . p K Facteur de proportionnalité. i K Facteur intégral. H i o Les valeurs singulières de Hankel. PQ Correspondent aux solutions définies positives de lyapunov N M, Facteurs premiers. N M ~ , ~ Facteurs premiers normalisée. I Matrice identité. T A Transposée de la matrice A. - A Transposée conjuguée de la matrice A - Produit étoile de Redheffer Notations et Acronymes Electrotechnique 2007 IX ) ( A ì Valeur propre de la matrice A ) (A o Valeur singulière maximale de la matrice A ) (A o Valeur singulière minimale de la matrice A · ) (s G Norme H ∞ de la fonction de transfert ) (s G . H La norme de Hankel d’un système. c Marge de stabilité. ) ( A p Rayon spectral de A. RH∞ Ensemble des matrices de fonctions de transfert rationnelles à coefficients réels strictement propres et stables. D C B A Matrice système associé à la matrice de transfert ( ) D B A sI C + ÷ ÷1 . ACRONYMES PI Régulateur proportionnel-intégral. IP Régulateur intégral-proportionnel. MAS Machine Asynchrone LTI Linear Time Invariant (système linéaire stationnaire). LFT Linear Fractional Transformation (transformation fractionnelle linéaire). LMI Linear Matrix Inequality (Inégalités linéaires matricielles). SISO Single-Input Single-Output (système à une entrée et une sortie). MIMO Multi-Input Multi-Output (système à plusieurs entrées et plusieurs sorties). SVD Singular Values Decomposition (Décomposition en valeurs singulières). Listes des Figures Liste des Figures Electrotechnique 2007 X CHAPITRE I Fig. (I.1) : Modèle d’une machine asynchrone triphasée .................................................04 Fig. (I.2) : Axes des repères UV …...................................................................................09 Fig. (I.3) : Définition des axes réels du moteur asynchrone triphasé par rapport aux différents référentiels .....................................................................................12 Fig. (I.4) : Schéma de simulation de la MAS ..................................................................17 Fig. (I.5) : Evolution du modèle en tension de la M AS Avec (Cr =25N.m à t =1 s) ......18 Fig. (I.6) Schéma d’un onduleur de tension triphasé .......................................................19 Fig. (I.7) : Schéma synoptique .........................................................................................22 Fig. (I.8) : Simulation de l’onduleur de tension à MLI ....................................................22 Fig. (I.9) : Résultat de simulation de l’association onduleur machine avec application d’une charge (C r =25N.m à t =1 s) ……….....................................................23 CHAPITRE II Fig. (II.1) : Principe du contrôle vectoriel (OFR) …........................................................29 Fig. (II.2) : Reconstitution des tension V sd et V sq ............................................................31 Fig. (II-3) : Fonctionnement à toutes vitesses ..................................................................32 Fig. (II.4) : Schéma de l'estimateur de flux en boucle ouverte .........................................32 Fig. (II.5) : Relations de transfert .....................................................................................33 Fig. (II.6) : Régulation du courant ....................................................................................34 Fig. (II.7) : Régulation du flux .........................................................................................35 Fig. (II.8.a) : Régulation du vitesse ..................................................................................36 Fig. (II.8.b) : Régulation du vitesse ..................................................................................37 Fig. (II.9) : Schéma fonctionnel de la commande vectorielle ..........................................38 Fig. (II.10) : Essai à vide et en charge (sans onduleur) ....................................................39 Fig. (II.11) : Essai à vide et en charge (avec onduleur) ...................................................40 Fig. (II.12) : Essai avec variation de la charge .................................................................41 Fig. (II.13) : Essai avec variation de la vitesse ................................................................42 Fig. (II.14) : Essai avec inversion du sens de rotation .....................................................43 Fig. (II.15) : Essai avec variation de la résistance rotorique ............................................44 Liste des Figures Electrotechnique 2007 XI CHAPITRE III Fig. (III.1) : Incertitudes non structurée ...........................................................................50 Fig. (III.2) : Système en boucle fermée ............................................................................51 Fig. (III.3) : Problème sous forme standard .....................................................................53 Fig. (III.4) : Paramétrisation de la solution du problème sous-optimal ............................57 Fig. (III.5) : Perturbation sur les facteurs premiers a gauche ...........................................60 Fig. (III.6) : Schéma du système augmenté ......................................................................61 CHAPITRE IV Fig (IV.1) : Représentation Fréquentiel de G(s) ...............................................................64 Fig. (IV.2) : Représentation Fréquentiel de G a (s) et W 1 (s) ..............................................65 Fig. (IV.3) : Système augmenté en boucle fermée ...........................................................66 Fig. (IV.4) : Réponse fréquentielle de G a (s), et K f (s) G(s) ...............................................68 Fig. (IV.5) : Schéma fonctionnel du système de commande ............................................68 Fig. (IV.6) : Essai à vide et en charge (sans onduleur) .....................................................69 Fig. (IV.7) : Essai à vide et en charge (avec onduleur) ....................................................70 Fig. (IV.8) : Essai avec variation de la charge .................................................................71 Fig. (IV.9) : Essai avec inversion du sens de rotation ......................................................72 Fig. (IV.10) : Essai avec variation de la résistance rotorique ..........................................73 Introduction générale Introduction générale Electrotechnique 2007 1 e développement des systèmes utilisant les machines asynchrones fonctionnant à fréquence variable a été possible grâce, d’une part, à la facilité d’implantation des algorithmes complexes à temps réel dans les actuels systèmes d’informatique industriels, et d’autre part, aux semi-conducteurs de puissance de hautes performances qui constituent les convertisseurs statiques associés aux systèmes de commande. Le degré d’amélioration atteint pour ces systèmes permet d’augmenter leurs applications jour après jour, en remplaçant divers entraînements à courant continu, dans une grande plage de puissance [1]. Le moteur asynchrone ou moteur à induction est actuellement le moteur électrique dont l’usage est le plus répondu dans l’industrie. Son principal avantage réside dans l’absence de contacts électriques glissants, ce qui conduit à une structure simple et robuste facile à construire. Son domaine de puissance va de quelques watts à plusieurs mégawatts. Relié directement au réseau industriel à tension et fréquence constantes, le moteur asynchrone tourne à vitesse peu différente de la vitesse synchrone, c’est lui qui est utilisé pour la réalisation de la quasi-totalité des entraînements à vitesse constante. Le moteur asynchrone permet aussi la réalisation d’entraînements à vitesse variable et la place qu’il prend dans ce domaine ne cesse de croître [2]. Malgré tous les avantages cités précédemment, la commande des machines asynchrones pose des problèmes du fait que son modèle de base est non linéaire et fortement couplé, qui est à l’opposé de la simplicité de sa structure. Aussi ce qui complique ce modèle, est que les paramètres du moteur asynchrone sont connus approximativement et peuvent varier avec le temps (température), ainsi que la présence des incertitudes de modélisation les bruits de mesures. Dans les années 70, la commande vectorielle à été réalisée par Blaschke, dite commande vectorielle à flux orienté, Son principe consiste à éliminer le couplage entre l’inducteur et l’induit de la machine asynchrone, donc elle permet d’obtenir un fonctionnement comparable à celui de la machine à courant continu. Cependant, l’expérience a montré les faiblesses de cette méthode face aux incertitudes des paramètres, qu’ils soient mesurés, ou qu’ils varient au cours de fonctionnement, comme les résistances de rotor et du stator [3]. L’objectif de ce travail est de présenter le principe de la méthode de synthèse de correcteurs des systèmes linéaires apparus au cours des années 80. On peut l’appeler de néo classique car contrairement aux méthodes dites modernes, elles étendent de façon importante L Introduction générale Electrotechnique 2007 2 les outils classiques de l’Automatique Fréquentielle. Dans une grande mesure, cette méthode de synthèse permet de pallier les limitations des outils classiques [4]. Dans les nouvelles approches de l’Automatique Fréquentielle, le premier point intéressant est qu’elles sont basées sur une traduction assez directe du cahier de charge en un critère mathématique à vérifier (problème de minimisation ou d’optimisation). La formulation mathématique utilise la norme H ∞ , d’ou le nom de cette méthode de synthèse. Une fois le critère mathématique est défini, la recherche du correcteur se fait par un algorithme qui résolu le problème d’optimisation. L’intérêt de cette technique par rapport aux techniques d’Automatique Fréquentielle classique est de permettre la mise au point rapide de correcteurs. De plus, contrairement aux outils fréquentiels classiques, la méthode de synthèse H ∞ permettent de traiter simplement la commande des systèmes à plusieurs entrées et plusieurs sorties (systèmes MIMO). En plus des spécifications de performance, elle prend en compte de façon explicite et complète un certain nombre de spécifications de robustesse. La problématique de la robustesse consiste à essayer de prendre le maximum de garanties a priori pour que le correcteur synthétisé sur un modèle fonctionne effectivement sur le système physique en tenant compte explicitement du fait qu’il est impossible de représenter parfaitement un système physique par un modèle mathématique [4]. Ce mémoire est organisé de la façon suivante : Dans le premier chapitre nous présenterons la modélisation de la machine en utilisent la transformation de PARK avec l’association machine - onduleur de tension à MLI. Le deuxième chapitre sera consacré à la synthèse de la commande vectorielle de la machine à induction par orientation du flux rotorique et l’implantation des régulateurs classiques pour sa commande. Dans le troisième chapitre, on présentera tout d’abord la méthodologie théorique de la synthèse H ∞ , et on décrit la méthode utilisée pour la synthèse des correcteurs H ∞ . Enfin, le quatrième chapitre sera consacré à l’application de la méthode de synthèse H ∞ pour le calcul des correcteurs des courants. Des commentaires et une conclusion générale seront faits afin de justifier aussi bien la recherche dans le domaine de la commande H ∞. Chapitre : I Modélisation de la machine asynchrone CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 3 I.1 Introduction Un modèle est une représentation mathématique qui permet de décrire et de prédire le comportement d'un procédé réel, lorsque ce dernier est soumis à des influences externes. L'élaboration d'un modèle (modélisation) consiste à utiliser une loi physique, une règle de calcul empirique ou un système d'équations différentielles afin de construire un modèle relativement satisfaisant compte tenu des objectifs poursuivis et des moyens disponibles. Quelque soit le but de la modélisation, le modèle obtenu est souvent une représentation imparfaite du procédé réel, soit par manque de connaissance de certains phénomènes, soit du fait d'une simplification délibérée répondant à des contraintes pratiques [5]. La modélisation permet de guider les développements par une quantification des phénomènes. En outre, elle est d’un apport précieux en permettant d’une part de restituer une image de ce que l’on peut observer expérimentalement et d’autre part de prévoir des comportements de la machine plus variés que ceux de l’observation expérimentale [6]. La connaissance et l’étude des comportements statiques et dynamiques d’un moteur asynchrone sont basées sur une modélisation mathématique appropriée à son comportement réel. Dans cette modélisation le moteur asynchrone triphasé réel est remplacé par une machine biphasée fictive, mais magnétiquement équivalente. Grâce à la transformation de Park [1]. Ce chapitre comportera deux parties, dans la première on donnera un modèle mathématique de la machine asynchrone dans le plan triphasé puis biphasé selon la transformation de Park. La deuxième partie sera consacrer sur la validation par simulation numérique du modèle de la machine. I.2 Description de la machine asynchrone triphasée La machine asynchrone comporte une partie fixe constituée d’une carcasse à l’intérieure de laquelle sont logés le circuit magnétique et le bobinage du stator d’une part, et une partie mobile appelée rotor d’autre part voir figure (I.1). La carcasse nervurée à ailettes longitudinales est un monobloc en fonte ou en acier [7]. Le stator d’une machine asynchrone est constitué de trois enroulements couplés en étoile ou en triangle. L’alimentation de ces enroulements par un système de tensions équilibrées permet la création d’un champ magnétique tournant dans l’entrefer de la machine. La vitesse de rotation de ce champ par rapport au stator est p s s = O CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 4 Où S désigne la pulsation du réseau d’alimentation triphasé statorique et de chaque bobinage. P désigne également le nombre de paires de pôles du champ (une paire étant constituée d’un pôle Nord et d’un pôle Sud). Le rotor de la machine supporte un bobinage semblable à celui du stator, bobinage triphasé à même nombre de pôles que celui du stator. Ces trois bobinages sont couplés en étoile et court-circuités sur eux-mêmes. Ce type de rotor est dit bobiner mais on peut envisager un rotor plus sommaire constitué de barres conductrices court-circuitées par un anneau conducteur à chaque extrémité. Ce rotor à cage d’écureuil se comporte comme un rotor bobiné. Le rotor tourne à une vitesse angulaire Oinférieure à S O . Le principe de fonctionnement du moteur asynchrone est basé sur l’induction des courants dans le bobinage du rotor par un champ tournant dans l’entrefer. Ce champ tournant va créer un couple moteur qui s’exerce sur les conducteurs des courants induits, Il provoque ainsi le démarrage et la rotation du rotor dans le même sens que le champ tournant [7]. On appelle glissement la grandeur g .s’exprime en % : Partie fixe : Stator. Partie mobile : Rotor. Entrefer constant. Fig (I.1) : Modèle d’une machine asynchrone triphasée. S b V sa i sa S a S c i ra V sc i sc R c R a R b V sb i sb θ V ra V rb V rc o ◦ ◦ ◦ ◦ • • • • • • i rb i rc 2π/3 CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 5 s Ω Ω s Ω s ω ω s ω s ω r ω g ÷ = ÷ = = r : Pulsation rotorique s : Pulsation statorique : Pulsation mécanique du rotor. Dans une machine asynchrone, la condition de fréquence, + = r s est constamment satisfaite. Quand la pulsation mécanique est égale à la pulsation du champ tournant S , le phénomène d’induction électromagnétique disparaît. I.3 Modélisation de la Machine Asynchrone Triphasée Le modèle de la machine à induction triphasé est illustré par le schéma de la figure(I.1) avec les armatures statoriques et rotoriques sont munies chacune d’un enroulement triphasé, sont : Sa, Sb, Sc : trois enroulements du stator. Ra, Rb, Rc : trois enroulements rotoriques. θ : l’angle fait par une phase rotorique par rapport à la phase statorique correspondante. I.3.1 Hypothèse simplificatrices La modélisation de la machine asynchrone s’appuie sur un certain nombre d'hypothèses simplificatrices, qui sont [8]: L’entrefer est d’épaisseur uniforme. L’effet d’encochage est négligeable. Distribution spatiale des forces magnétomotrices dans l’entrefer est sinusoïdale. Circuit magnétique non saturé et à perméabilité constante. Pertes ferromagnétiques négligeables. Les résistances des enroulements ne varient pas en fonction de la température de fonctionnement et on néglige également l’effet de peau. Ainsi, parmi les conséquences importantes de ces hypothèses, on peut citer : L’additivité du flux. La constance des inductances propres. CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 6 La loi de variation sinusoïdale des inductances mutuelles entre les enroulements statoriques et rotoriques. I.3.2 Equations générales de la machine asynchrone triphasée La structure principale de la machine asynchrone dans le repère (ABC) est présentée par la figure (І.1). Les trois axes statoriques sont décalés entres eux d’un angle 2π /3, ainsi les axes rotoriques. Un angle θ repère le déphasage entre les axes rotoriques par rapport aux axes statoriques. Dans le cadre des hypothèses simplificatrices et pour une machine équilibrée, les équations de la machine s’écrivent comme suit: I.3.2.1 Equations électriques La loi de Faraday permet d’écrire les équations électriques de tension des trois phases statoriques et rotoriques: dt d i R V dt d i R V dt d i R V sc sc s sc sb sb s sb sa sa s sa + = + = + = (I.1) dt d i R V dt d i R V dt d i R V rc rc r rc rb rb r rb ra ra r ra + = + = + = (I.2) En désignant par : sc sb sa V V V , , : Les tensions statoriques. sc sb sa i i i , , : Les courants statoriques. sc sb sa , , : Les flux totaux à travers ses enroulements. s R : Résistance d'une phase statorique. r R : Résistance d'une phase rotorique. CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 7 Les équations (I.1) et (I.2) se présentent naturellement sous forme matricielle: Pour le stator : + = sc sb sa sc sb sa s s s sc sb sa dt d i i i R R R V V V 0 0 0 0 0 0 (I.3) Où : | | | | | | | | ) ( ) ( ) ( abc s abc s s abc s dt d i R V + = (I.4) Pour le rotor : + = rc rb ra rc rb ra r r r rc rb ra dt d i i i R R R V V V 0 0 0 0 0 0 (I.5) Où : | | | | | | | | ) ( ) ( ) ( abc r abc r r abc r dt d i R V + = (I.6) I.3.2.2 Equations magnétiques Les relations entre les flux et les courants du stator et du rotor s’écrivent comme suit : Pour le stator : | | | | | | | | | | ) ( ) ( ) ( abc r sr abc s s abc s i M i L + = (I.7) Pour le rotor : | | | | | | | | | | ) ( ) ( ) ( abc s T sr abc r r abc r i M i L + = (I.8) Où : | | s L : Matrice d’inductances statoriques. | | r L : Matrice d’inductances rotoriques. | | sr M : Matrice des inductances mutuelles du couplage entre stator-rotor. Avec : | | s L = s s s s s s s s s l M M M l M M M l | | r L = r r r r r r r r r l M M M l M M M l (I.9) | | sr M =| | rs M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ÷ + + ÷ ÷ + Cos Cos Cos Cos Cos Cos Cos Cos Cos M 3 / 2 3 / 2 3 / 2 3 / 2 3 / 2 3 / 2 0 (I.10) CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 8 Où : s l : Inductance propre d’une phase statorique. r l : Inductance propre d’une phase rotorique. s M : Inductance mutuelle entre phases statoriques. r M : Inductance mutuelle entre phases rotoriques. 0 M : Maximum de l’inductance mutuelle entre phase du stator et la phase correspondante du rotor. I.3.2.3 Equations mécaniques L'équation mécanique est donnée par l'expression : O + O = ÷ . f dt d j C C r e (I.11) Avec : j : Moment d’inertie du rotor et des parties tournantes de la machine. f : Coefficient du frottement visqueux. C e : Couple électromagnétique. C r : Couple de charge. Ω : Vitesse rotorique. Les équations précédentes permettent la modélisation de la machine dans le plan (ABC). Elles peuvent être implantées dans un calculateur, par contre, vu la complexité de ces équations non linéaires et multi variables, il est très difficile d’en tirer des stratégies de commande. I.4 Transformation de Park La connaissance et l’étude des comportements statiques et dynamiques d’un moteur asynchrone sont basées sur une modélisation mathématique appropriée à son comportement réel. Dans cette modélisation le moteur asynchrone triphasé réel est remplacé par une machine biphasée fictive, mais magnétiquement équivalente, grâce à la transformation de Park. La transformation de Park est ancienne (1929), si elle redevient à l’ordre du jour, c’est tout simplement parceque les progrès de la technologie des composants permettent maintenant de la réaliser en temps réel [9]. CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 9 La transformation de Park (figure I.2) permet de faire le passage d’un système triphasé (A, B, C) vers un système (u, v, h) constitué des grandeurs biphasées équivalentes (u, v) et d’une composante homopolaire (h), qui n’est pas prise en compte dans le modèle usuel de la machine. Tel que : obs : Représente l’angle instantané entre la phase de l’axe A s et l’axe u. dt d ObS ObS = : Vitesse angulaire de rotation du système d’axes biphasés par rapport aux systèmes d’axes triphasés. Selon la figure (I.2), la projection du vecteur ( ) sc sb sa V V V , , sur l’axe biphasé nous donne | . | \ | ÷ + | . | \ | ÷ + = | . | \ | ÷ + | . | \ | ÷ + = 3 4 sin 3 2 sin sin 3 2 3 4 cos 3 2 cos cos 3 2 ObS sc ObS sb ObS sa sv ObS sc ObS sb ObS sa su V V V V V V V V (I.12) V su : est appelée composante directe de PARK. V sv: est appelée composante en quadrature (transversale). On ajoute l’expression homopolaire sh V au système (I.12) pour l’équilibrer. Fig (I.2) : Axes de repères uv A s B s C s u v obs A r B r C r CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 10 ( ) sc sb sa sh V V V V + + = 3 1 (I.13) La composante homopolaire sh V est nulle pour les systèmes triphasés équilibrés. D’après les équations (I.12) et (I.13) on trouve : ( ) ( ) | . | \ | ÷ ÷ | . | \ | ÷ ÷ ÷ | . | \ | ÷ | . | \ | ÷ = sc sb sa ObS ObS ObS ObS ObS ObS sh sv su V V V V V V 2 1 2 1 2 1 3 4 sin 3 2 sin sin 3 4 cos 3 2 cos cos 3 2 (I.14) Le passage du système triphasé au système biphasé s’obtient à partir de la matrice ( ) ObS p . ( ) | | ( ) ( ) | . | \ | ÷ | . | \ | ÷ | . | \ | ÷ | . | \ | ÷ = 2 1 2 1 2 1 3 4 sin 3 2 sin sin 3 4 cos 3 2 cos cos 3 2 ObS ObS ObS ObS ObS ObS ObS p (I.15) Cette transformation est valable pour les courants, les tensions et les flux. Le système (u, v) tourne à la vitesse ( ) ÷ ObS par rapport au rotor. Lorsque la valeur zéro est attribuée à l’angle ObS , la transformation de Park est dite transformation de Clarck et la matrice de passage s’écrit comme suit : | | ÷ ÷ ÷ = 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 0 2 1 2 1 1 3 2 C (I.16) Il est facile de remarquer que les trois vecteurs constituant la matrice de Park ( ) ObS p ne sont pas normés .En divisant chacun de ces vecteurs par sa norme on obtient la matrice de transformation modifiée au orthonormée permettant l’invariance de la puissance. CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 11 I.5 Modèle de la machine asynchrone dans le système biphasé La transformation de Park consiste à appliquer aux courants, tensions et flux, un changement de variable faisant intervenir l’angle entre l’axe des enroulements et l'axe( ) v u, . L’application de la transformation de Park sur les équations (I.4), (I.6), (I.7), (I.8). Nous donnons le système d’équations suivant : I.5.1 Equation de la machine asynchrone dans le repère (uv) I.5.1.1 Equations électriques ÷ + + = sv su ObS ObS sv su sv su s s sv su dt d i i R R V V 0 0 0 0 (I.17) ( ) ( ) ÷ ÷ ÷ + + = rv ru ObS ObS rv ru rv ru r r rv ru dt d i i R R V V 0 0 0 0 (I.18) Avec : O = = . p dt d ObS ObS dt d = I.5.1.2 Equations magnétiques sv rv r rv su ru r ru rv sv s sv ru su s su Mi i L Mi i L Mi i L Mi i L + = + = + = + = (I.19) Avec : r r r M l L ÷ = : Inductance cyclique propre du rotor. s s s M l L ÷ = : Inductance cyclique propre du stator. sr M M 3 2 = : Inductance cyclique mutuelle entre l’armature du stator et l’armature du rotor. I.5.1.3 Équations mécaniques : ) . ( 1 . O ÷ ÷ = O ¬ O + O = ÷ f C C j f dt d j C C r e r e (I.20) CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 12 I.5.2 Choix du repère de référence Pour effectuer une étude par simulation du moteur asynchrone, il est recommandé de choisir un système d’axes de référence qui permet d’aboutir au système différentiel le plus simple possible. A partir du système d’axe ( ) v u, on peut avoir d’autres d’axes qui sont des cas particuliers, dans la suite, les composantes homopolaires sont supposées nulles. Le choix du repère de référence dépend de l’objectif de l’application : Repère d’axes (α, β) fixe lié au stator θ obs =0. Les grandeurs électriques évoluent en régime permanent électrique à la pulsation statorique S . Repère d’axes (x, y) lié au rotor θ obs =θ. Les grandeurs évoluent en régime permanent électrique à la pulsation des courants rotoriques R Elles sont de faible fréquence. La position du repère est déterminée généralement par intégration de la vitesse du moteur. Repère d’axes (d, q) lié à l’un des flux de la machine. ( ) s obs = Le modèle est simplifié par l’utilisation des équations plus simples. En régime permanent électrique, les grandeurs du modèle sont continues, puisque la pulsation du champ tournant est égale à la pulsation des tensions statoriques S . Cette méthode est souvent utilisée dans l’étude de la commande [1]. Fig (I.3) : Définition des axes réels du moteur asynchrone triphasé par rapport aux différents référentiels s A s B r A r B s C r C d x y q s obs = r obs = 0 = obs CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 13 I.5.3 Equation de la MAS dans le repère (d, q) Pour un référentiel lié au champ tournant, on a : | | . | \ | ÷ ÷ · = q v d u s ObS I.5.3.1 Equations électriques ÷ + + = sq sd s s sq sd sq sd s s sq sd dt d i i R R V V 0 0 0 0 (I.21) ( ) ( ) ÷ ÷ ÷ + + = rq rd s s rq rd rq rd r r rq rd dt d i i R R V V 0 0 0 0 (I.22) Cette dernière représentation qui fait correspondre des grandeurs continues aux grandeurs sinusoïdales en régime permanent, la conception du contrôle vectoriel par orientation du flux nécessite ce choix et les modèles d’action dépendent de la position du référentiel par rapport aux divers axes de flux. En générale, le référentiel lié au champ tournant est utilisé pour réalise, le contrôle vectoriel [10]. I.5.3.2 Equations magnétiques sq rq r rq sd rd r rd rq sq s sq rd sd s sd Mi i L Mi i L Mi i L Mi i L + = + = + = + = (I.23) I.5.4 Equation de la machine asynchrone dans le repère (α, β) | | . | \ | ÷ ÷ · = v u s ObS Les équations électriques prennent la forme : + = s s s s s s s s dt d i i R R V V 0 0 (I.24) CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 14 ÷ + + = r r r r r r r r r r dt d i i R R V V 0 0 0 0 (I.25) Ce référentiel sera choisi en vue d’étudier les variations des grandeurs rotoriques. Les expressions des flux sont données par : r s s s r s s s Mi i L Mi i L + = + = (I.26) s r r r s r r r Mi i L Mi i L + = + = (I.27) A partir de l’expression (I.27) on déduit les expressions des courants rotorique : s r r r r s r r r r i L M L i i L M L i ÷ = ÷ = 1 1 (I.28) En introduisant (I.28) dans (I.26) : r r s s s r r r s s s r r s s s r r r s s s L M i L i L M L M i L L M i L i L M L M i L + = ÷ + = + = ÷ + = 2 2 (I.29) Avec : s r L L M 2 1÷ = Coefficient de dispersion. En fin, en remplaçant dans (I.24) et (I.25) les composantes du flux statorique et celle du courant rotorique on obtient le modèle mathématique de la machine asynchrone : dt d L M dt di L i R V dt d L M dt di L i R V r r s s s s s r r s s s s s . . . . . . + + = + + = (I.30) CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 15 r r r r S r r r r r r S r r dt d T i T M V dt d T i T M V ÷ + + ÷ = = + + + ÷ = = 1 . 0 . 1 0 (I.31) Avec : r r r R L T = Constante de temps rotorique A partir d’expression (I.31) on peut tirer les termes dt d r et dt d r : r r r s r r r r r s r r T i T M dt d T i T M dt d + ÷ = ÷ ÷ = 1 . . 1 (I.32) L’expression (I.32) représente un estimateur de flux rotorique. I.6 Modèle de la Machine asynchrone sous forme d’état La présentation du modèle d'état nécessite, dans un premier temps, la définition du vecteur d'état x, du vecteur d'entrée u et du vecteur de sortie y. Les variables d’état décrivant les modes électriques, choisies parmi les composantes d’axes (α, β) peuvent être des flux et des courants statoriques ou rotoriques. On cherche à obtenir un système d’équations écrit sous forme d’équation d’état. Le modèle sera de la forme : U B X A dt dX . . + = (I.33) Avec : | | | | T r r s s i i X = : Vecteur d’état | | | | s s V V U = : Vecteur de commande | | X : Matrice d’évolution d’état du système. | | B : Matrice du système de commande. En remplaçant l’expression (I.32) dans les équations (I.31),et après quelques simplifications on obtient le système suivant : CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 16 r r r s r r r R r s r r s s r r r s r s s s s r r r s r s s T i T M dt d T i T M dt d V L T M M i T T dt di V L M T M i T T dt di . 1 . . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . . 1 . . 1 . 1 . . 1 . . . 1 . . . 1 . . 1 . 1 ÷ + = ÷ ÷ = + ÷ + ÷ ÷ | | . | \ | ÷ ÷ ÷ = + ÷ + ÷ + | | . | \ | ÷ ÷ ÷ = (I.34) Avec : s s s R L T = Constante de temps statorique. | | ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ | | . | \ | ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ | | . | \ | ÷ ÷ ÷ = r r r r r r s r r s T T M T T M T M M T T M T M T T A 1 0 1 0 . . 1 . . 1 . 1 . 1 0 . . 1 . . 1 0 . 1 . 1 (I.35) | | = 0 0 0 0 . 1 0 0 . 1 s s L L B Le couple électromécanique développé par la machine asynchrone donné par la relation suivante : ) ( 2 3 s r s r r e i i L pM C ÷ = (I.36) Dans notre étude, nous avons choisi le repère lié au stator, c’est le référentiel le mieux adapté pour travailler avec les grandeurs instantanées. Il possède des tensions et des courants réelles et peut être utilisé pour étudier les régimes de démarrage et de freinage des machines à courant alternatif. CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 17 I.7 Simulation de la machine à induction L’objectif de l’étude réalisée dans ce chapitre est d’établir un schéma fonctionnel à partir du quel les tensions simples d’alimentation nous permettent de déterminer les grandeurs électrique, électromagnétique et mécanique en fonction du temps, pour un fonctionnement en moteur. I.7.1 Bloc de simulation de la machine asynchrone Pour réaliser cette simulation nous traduisons le modèle représenté par les équations (I.33), (I.34) et (I.35). La structure en schéma bloc de cette simulation est présentée par la figure (I.4). Le moteur asynchrone présente comme entrées les composantes de Park de la tension d’alimentation s V s V ainsi que le couple résistant r C et comme sortie la vitesse O, le couple électromagnétique e C , les courants statorique et les flux rotoriques. Fig (I.4): Schéma de simulation de la MAS Transformation PARCK + Time Alimentation Statorique Rr × + + + P u K - × Ce Isα Is β urα urβ Vsa Vso Vsb Vsc Vs| Vsa Vsb Vsc 1/s f (u) Cr f js 1 + P + + + ÷ u K - u K - u K - CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 18 I.7.2 Résultats de simulation Le moteur est alimenté par le réseau 220/380 V, 50HZ, à t =1s nous appliquons une charge (Cr=25 Nm). Les résultats de simulation sont représentés par la figure (I.5). Le courant statorique présente des oscillations successives autour de zéro avec une amplitude maximale de jusqu’a 0.20s, après ce temps l’amplitude de ces oscillations est diminuée, et il ne reste qu’un courant correspondant au comportement inductif de la machine. A l’instant t= 1 s nous avons appliqué un couple résistant (Cr=25N.m), nous constatons que le courant statorique évolue suivant la charge appliquée à l’arbre du moteur. Au premier instant le flux rotorique présente des dépassements excessifs de faible d’amplitude mais ils disparaissent au bout de quelques alternances et obtient une forme sinusoïdale d’amplitude constante (1wb). La courbe du couple électromagnétique présente au premier instant de démarrage une pulsation très importante ; après 0.20s le couple tend vers Zéro. A l’instant t = 1s le couple électromagnétique rejoint, après un régime transitoire, la valeur qui compense le couple résistant (Cr=25 N.m) appliqué. La courbe de la vitesse présente des oscillations dans le premier instant de démarrage avec un accroissement presque linéaire, après un temps d’environ 0.2s la vitesse rotorique Temps(s) V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) C o u p l e C e ( N . m ) Temps(s) C o u r a n t I s a l p h a ( A ) Temps(s) F l u x F a l p h a ( w b ) Fig. (I.5) : Evolution du modèle en tension de la M AS Avec (Cr =25N.m à t =1 s) CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 19 s’établit à une valeur proche de la vitesse de synchronisme. Suite à l’application d’un couple résistant on constate la diminution de la valeur de la vitesse, chute qui revient au glissement supplémentaire apporté par le Cr. I.8 Modélisation de l’onduleur à MLI L’onduleur de tension est un convertisseur qui permet d’obtenir une tension alternative de fréquence et valeur efficace fixe ou réglable à partir d’une source de tension continue et il est constitué de cellule de commutation généralement à transistor ou thyristor pour les grandes puissances. Pour sa commande, on a utilisé la commande par modulation de Largeur d’impulsions (MLI). La structure à trois bras est présentée sur la Figure (I.6) Pour assurer la continuité des courants alternatifs i sa , i sb , i sc les interrupteurs (T 1 et T 4 ), (T 2 et T 5 ) et (T 3 et T 6 ) doivent être contrôlés de manière complémentaire. Les tensions de sortie de l’onduleur V ao , V bo et V co sont, par commodité, référencées par rapport à un point milieu d’un pont diviseur fictif d’entrée o. Pour qu’elles soient identiques à 1/3 période près, il faut commander chaque interrupteur d’un demi-pont avec un retard de 1/3 période sur le précédent [9]. L’onduleur est alimenté par une source de tension continue constante d’amplitude E, on déduit aisément les expressions des tensions composées. ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ = ÷ = ao co ca co bo bc bo ao ab V V U V V U V V U (I.37) E/2 O n I a V ao V bo V co V bn T 1 Fig (I.6) : Schéma d’un onduleur de tension triphasé T 4 T 2 T 5 T 3 T 6 I b I c V an V cn E/2 CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 20 Les tensions simples des phases de la charge issues des tensions composées ont une somme nulle : ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ · = ÷ · = ÷ · = ] U [U (1/3) V ] U [U (1/3) V ] U [U (1/3) V bc ca cn ab bc bn ca ab an (I.38) La matrice de connexion [T] de l’onduleur s’écrit : | | = 6 3 5 2 4 1 T T T T T T T Les tensions imposées de chaque bras de l’onduleur sont définies par · = 0 2 6 3 5 2 4 1 E T T T T T T V V V co bo ao (I.39) On a aussi : ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ + = + = + = no cn co no bn bo no an ao V V V V V V V V V (I.40) Dont on peut déduire ] [ ) 3 / 1 ( co bo ao no V V V V + + · = (I.41) Pour un système de tensions triphasées équilibrées on peut déduire le système d’équations suivant : ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ + · ÷ · = + · ÷ · = + · ÷ · = ) ( 3 1 3 2 ) ( 3 1 3 2 ) ( 3 1 3 2 bo ao co an co ao bo bn co bo ao an V V V V V V V V V V V V (I.42) CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 21 Ce système d’équation peut prendre la forme matricielle suivante : . 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 · ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = co bo ao cn bn an V V V V V V (I.43) Le schéma synoptique correspondant à la génération des impulsions par MLI est donné par la figure qui consiste à comparer un signale triangulaire (porteuse) avec un signale sinusoïdale (modulatrice). I.8.1 Principe de base La modulation de largeur d’impulsion sinus triangle est réalisée par comparaison d’une onde modulante basse fréquence (tension de référence) à une onde porteuse haute fréquence de forme triangulaire. Les instants de commutation sont déterminés par les points d’intersection entre la porteuse et la modulante, la fréquence de commutation des interrupteurs est fixée par la porteuse [7]. En triphasé, trois références sinusoïdale déphasées de 2π/3 à la même fréquence f s .Comme la sortie de l’onduleur de tension n’est pas purement sinusoïdale, l’intensité de courant ne l’est pas aussi, donc elle comporte des harmoniques, seuls responsables des parasites (pulsation de couple électromagnétique) ce qui engendre des pertes supplémentaires. Cette -MLI- sert à remédier ces problèmes et elle à comme avantages : Variation de la fréquence de la tension de sortie. Elle repousse les harmoniques vers des fréquences plus élevées. Conséquences : - Minimisation de la distorsion du courant. - Faible coût du filtre de sortie. Le principe de cette stratégie peut être résumé par l’algorithme suivant : Ur ≤ Up S (t) =1 sinon S (t) = -1 Avec : Ur : la tension référence. Up : la tension porteuse. S (t) : le signal MLI résultant. CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 22 - L’indice de modulation ’m’ qui est l’image du rapport de fréquences de la porteuse f p sur la référence f ref : 20 > = = p ref ref p T T f f m . - Le taux de la modulation (le coefficient de réglage en tension) « r »qui est l’image du rapport des amplitudes de tension de la référence V m ref sur la porteuse : V m p . 1 s = mp ref m V V r . Fig (I.7) : Schéma synoptique Référence Porteuse Comparateur MLI U r U p S(t) 10 -3 Onde Porteuse Signal de Référence Fig. (I.8) : Simulation de l’onduleur de tansion à MLI Tension de sortie de onduleur CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 23 I.9 Résultat de Simulation de l’association Onduleur-Machine Le Résultat de simulation de l’association onduleur machine sont représentés par la figure (I.9) La figure présente le démarrage de la machine asynchrone alimentée par onduleur de tension lorsque le démarrage permanent est atteint, on applique une perturbation de charge (C r =25Nm). La comparaison des ces résultats avec ceux obtenus dans le cas d’une alimentation directe sous pleine tension, montre que l’alimentation par onduleur, le couple électromagnétique est plus amorti lors du régime transitoire .mais présente des ondulations liées aux harmoniques de courant injectées par l’onduleur. F l u x F a l p h a ( w b ) Temps(s) Temps(s) V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) C o u r a n t I s a l p h a ( A ) Temps(s) C o u p l e C e ( N . m ) Fig. (I.9) Résultat de simulation de l’association onduleur machine Avec application d’une charge (Cr =25N.m à t =1.5 s) CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Electrotechnique 2007 24 I.8. Conclusion Dans ce chapitre on a présenté la modélisation du moteur asynchrone triphasé alimenté par un onduleur de tension à MLI naturelle et établi sous des hypothèses simplificatrices. Nous avons utilisé la transformation de Park pour éviter la complexité des équations différentielles, cette transformation permet le changement du système triphasé réel au système biphasé linéaire équivalent de cette machine ce qui signifie une facilité de résolution et de simulation. Afin d’avoir de hautes performances dans le régime dynamique, une technique de commande est introduite dont le nom est la commande vectorielle, un exposé sur la théorie de cette méthode avec une simulation sous Matlab sera l’objet du deuxième chapitre. Chapitre : II Commande vectorielle par orientation de flux rotorique CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 25 II.1 Introduction La commande de moteur asynchrone reste la partie la plus délicate, étant donné que ses principales grandeurs, le flux rotorique et le couple électromagnétique sont naturellement couplés. Or ses grandeurs n’étant pas mesurables, l’estimation de l’état électromagnétique de la machine s’impose. Les grandeurs mesurables indispensables dans le système sont les tensions et les courants de ligne [1]. De nombreuses applications industrielles nécessitent un contrôle de vitesse ou de position. La relation fondamentale de la dynamique (I.11) montre que le contrôle de celle ci passe par le contrôle du couple. La machine à courant continu à excitation séparée est bien adaptée à un contrôle du couple car il suffit de contrôler son courant induit. Le but est de faire la même chose avec la machine asynchrone. C’est justement en cela que réside la commande vectorielle. La commande vectorielle est apparue avec les travaux de Blashke, Elle n’a cependant pas en tout de suit un grand essor car la régulation, à l’époque reposaient sur des composants analogiques, l’implantation de la commande a était alors difficile. Avec l’avènement des micro-controleurs et des dispositifs permettant le traitement du signal, il est devenu possible de réaliser une telle commande à un coût raisonnable cela conduit à une explosion des recherches à la commande vectorielle [10]. Dans ce chapitre, on va étudier la commande vectorielle par orientation du flux rotorique d’une machine asynchrone alimentée en tension et de présenter les résultats de simulation de cette commande avec des régulateurs classiques. II.2 Principe de la commande vectorielle Le principe du contrôle du couple électromagnétique par la méthode du flux orienté est basé sur la connaissance du modèle dynamique (modèle de Park) de la machine. Le contrôle vectoriel de flux permet d'imposer à la machine asynchrone un mode de fonctionnement analogue à une machine à courant continu pour laquelle le couple électromagnétique est proportionnel à deux grandeurs indépendantes (le flux inducteur et le courant d'induit). CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 26 II.3 Méthodes d’orientation du flux Le choix des axes d’orientation peut être fait selon l'une des directions des flux de la machine, à savoir le flux rotorique, le flux statorique ou le flux magnétisant. Le degré de découplage est déterminé selon ce choix. Les deux méthodes d'orientation de flux, les plus générales, sont l'orientation du flux rotorique et l'orientation du flux statorique [11]. Nous allons parler principalement de l'orientation du flux rotorique. II.4 Commande vectorielle par orientation du flux rotorique (CV_OFR) La commande vectorielle à orientation du flux rotorique est la plus utilisée car elle élimine l’influence des réactance de fuite rotorique et statorique et donnent de meilleur résultat que les méthodes basées sur l’orientation du flux statorique ou d’entrefer [10]. La connaissance de la position du flux ou de la position du rotor est importante pour réaliser une commande vectorielle afin de contrôler le couple et la vitesse d'une machine asynchrone. Alors, deux méthodes sont envisageables. II.4.1 Commande vectorielle indirecte Cette méthode n’utilise pas l’amplitude du flux de rotor mais seulement sa position. Elle n’exige pas l’utilisation d’un capteur de flux rotorique mais nécessite l’utilisation d’un capteur ou un estimateur de position (vitesse) du rotor. Cette dernière peut être développée par deux groupes principaux : Le vecteur du flux rotorique est obtenu indirectement à partir des courants et des tensions statoriques mesurées. Dans le deuxième groupe, le vecteur de flux rotorique est estimé à partir de la mesure des courants statoriques et de la vitesse du rotor, en se basant sur les équations du circuit rotorique du moteur asynchrone dans un système de référence (d, q). L’inconvénient majeur de cette méthode est la sensibilité de l’estimation envers la variation des paramètres de la machine due à la saturation magnétique et la variation de température, surtout la constante de temps rotorique Tr .En plus, c'est qu’elle utilise un circuit de commande considérablement compliqué [12]. CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 27 II.4.2 Commande vectorielle directe Cette méthode nécessite une bonne connaissance du module du flux et de sa position et celui-ci, doit être vérifiée quelque soit le régime transitoire effectué .Il faut donc procéder à une série de mesure aux bornes du système. La mesure directe permet de connaître exactement la position du flux .Ce mode de contrôle garantit un découplage correct entre le flux et le couple, quelque soit le point de fonctionnement .Toute fois il nécessite l’utilisation d’un capteur de flux, ce qui augmente considérablement le coût de sa fabrication et rend plus fragile son utilisation [12]. Dans ce qui suit, on va employer la méthode directe de l’orientation du flux rotorique associé au modèle de la machine asynchrone alimentée en tension (sans convertisseur). II.4.3 Equations de la machine asynchrone en régime dynamique (d, q) En utilisant la notation complexe : Equations des tensions : s s s s s s j dt d i R V o e o + + = (II.1.a) ( ) r s r r r j dt d i R o e e o ÷ + + = 0 (II.1.b) Equations des flux : r s s s i M i L + = o (II.2.a) s r r r i M i L + = o (II.2.b) L’expression (II.2.b) permet d’identifier r i : s r r r r i L M L i ÷ = o 1 (II.3) En reportant r i dans l’expression de (II.2.a). r r s s s L M i L o o o + = (II.4) CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 28 En reportant (II.4) dans (II.1.a). Et (II.3) dans (II.1.b) On obtient donc : r r s s s s r r s s s s s L M j i L j dt d L M dt i d L i R V o e o e o o + + + + = (II.5.a) r r r s r r r j dt d i T M T o e o o + + ÷ = 1 0 (II.5.b) Le terme dt d r o peut être identifié à partir de l’expression (II.5.b) : r r s r r r r j i T M T dt d o e o o ÷ + ÷ = 1 (II.6) En reportant (II.6) dans (II.5.a) : r r s s s r r r s s s st s L M j i L j T L M dt i d L i R V o e o e o o + + ÷ + = (II.7) Avec : R R S St T L M R R 2 + = On écrira alors : rq r sq s s rd r r sd s sd st sd L M i L T L M dt di L i R V eo o e o o ÷ ÷ ÷ + = (II.8.a) rd r sd s s rq r r sq s sq st sq L M i L T L M dt di L i R V eo o e o o + + ÷ + = (II.8.b) rq r rd sd r rd r dt d i T M T o e o o ÷ + ÷ = 1 0 (II.8.c) rd r rq sq r rq r dt d i T M T o e o o + + ÷ = 1 0 (II.8.d) II.4.4 Principe de la commande vectorielle (CV_OFR) L’expression du couple de la machine asynchrone, est donnée par : ( ) sd rq sq rd r i i L PM Ce o o + = (II.9) CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 29 On constate que le couple électromagnétique résulte de l’interaction d’un terme de flux et d’un terme de courant. L’objectif d’orienter le flux signifie qu’on souhaite qu’il n’ait qu’une composante sur l’axe d. On aura donc Ф rq =0, et Ф rd = Ф r Le couple se réduira alors à : sq rd r i L PM Ce o = (II.10) La stratégie consistera à contrôler de façon indépendante le terme de flux et le terme de courant pour imposer un couple. Pour une MAS alimentée en tension, V sd et V sq représentent les variables de commande. L’orientation du flux rotorique appliquée au système (II.8) permet d’écrire: rd r sq r rd sd r rd r rd r sd s s sq s sq st sq sq s s rd r r sd s sd st sd i T M dt d i T M T L M i L dt di L i R V i L T L M dt di L i R V o e o o eo o e o o e o o + ÷ = + ÷ = + + + = ÷ ÷ + = 0 1 0 (II.11) Fig. (II.1): Principe du contrôle vectoriel (OFR) Axe stator réel Axe d réel Axe q réel Фr S u Isq Isd Is CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 30 Ce modèle est ensuite complété par l’expression du couple électromagnétique (II.10) et par l’équation décrivant le mode mécanique. ( ) O f jS C C r e + = ÷ (II.12) Les expressions données en (II.11) sont non linéaires puisqu’elles dépendent de la vitesse du repère et de la vitesse électrique et elles sont aussi couplées, car elles comportent des termes croisés. Les termes qui ne dépendent pas du courant isd dans la première équation et du courant isq dans la deuxième expression sont appelés les “termes de couplage”. Afin d’éviter ce problème on utilise une loi de commande de découplage par termes de compensation. En utilisant la notation de Laplace (S=d/dt). Le système d’équations (II.11) peut être réécrit de la façon suivante : ( ) | | . | \ | ÷ ÷ + + = sq s s rd r r sd s st sd i L T L M i S L R V o e o o (II.13.a) ( ) | | . | \ | + + + = rd r sd s s sq s st sq L M i L i S L R V eo o e o (II.13.b) ( ) rd r sd S T Mi o + = 1 (II.13.c) rd sq r r i T M o e = (II.13.d) En introduisons de nouvelles variables de commande U sd et U sq Avec E d et E q pour définir les termes de couplage qui sont considérés comme des perturbations. ( ) ( ) sq s st sq sd s st sd i S L R U i S L R U o o + = + = (II.14) ( ) sq r r rd sd s s rd r s R sd s s q sq s s rd r r d i T M L M i L L M i L E i L T L M E ÷ | | . | \ | + = ÷ + = ÷ ÷ = o o e o e e o e o e o (II.15) CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 31 Avec : q sq sq d sd sd E V U E V U + = + = II.4.5 Bloc de défluxage Le régime de défluxage permet de dépasser la vitesse nominale de la machine. On appelle aussi régime de survitesse [10]. Le bloc de défluxage permet l’exploitation optimale des capacités magnétiques de la machine, permet un fonctionnement à couple constant si la vitesse est inférieure à la vitesse nominale. Ce bloc permet, d’affaiblir le flux inversement proportionnel à la vitesse, pour le fonctionnement à puissance constante lorsque la vitesse excède la vitesse nominale. Il est défini par la fonction non linéaire suivante - sous vitesse : rnom r o o = Pour : nom O s O - sur vitesse : rnom nom r o o * O O = Pour : nom O > O Avec : nom O : Vitesse de rotation nominale. rnom u : Flux rotorique nominale. Fig. (II.2) : Reconstitution des tension Vsd et Vsq. + Ф E d E q M.AS U Sq U Sd V Sd Ce + + + V Sq CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 32 II.4.6 Estimation de flux rotorique Seules les grandeurs statoriques sont accessibles, les grandeurs rotoriques, elles, ne le sont pas, il faut donc pouvoir les estimer à partir des grandeurs statoriques. De façon générale, les estimateurs du flux rotorique se présentent sous quatre formes : estimateur basé sur un modèle en courant, estimateur basé sur une méthode d'élimination, estimateur basé sur un modèle en tension et estimateur d'ordre complet. Tous ces estimateurs sont issus des équations modélisant la machine asynchrone [11]. Du système d’équations (I.32), nous déduisons que les flux rotoriques | o o o r r , , peut être estimé à partir des courants statoriques et de la vitesse du rotor. Cet estimateur en boucle ouverte, qui est présenté sur la figure (II-4), est basé sur un modèle dit en courant. Le module du flux est donné par : 2 r 2 r | c o o + et o | o o u r r s arctg = u r u r nom O + O nom – O nom Fig. (II-3) : fonctionnement à toutes vitesses. 0 Fig. (II.4) : Schéma de l'estimateur de flux en boucle ouverte o o r ˆ _ r e | s I + s / 1 + r r L R / o s I ( ) r r L R M / s / 1 + _ _ r r L R / ( ) r r L R M / | o r ˆ CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 33 II.5 Régulation du système Dans le contrôle vectoriel l’idée sur la régulation consiste à contrôler les deux grandeurs importantes de la machine asynchrone (le flux et le couple). En utilisant les expressions (II.10), (II.11), (II.12) et (II.14), on peut établir les fonctions de transfert de la machine asynchrone. Elles sont nécessaires pour la synthèse des correcteurs. La figure (II.3) montre ces fonctions de transfert. La conception du réglage en cascade du flux et du courant permet de créer une grandeur intermédiaire I sd qui est accessible à la commande. Ce type de régulation est tout à fait valable, puisque dans le cas d’une machine asynchrone, il existe une différence temporelle entre les deux constantes de temps des fonctions de transfert du flux rotorique (τФ_BO=Tr) est du courant ( τi_BO = σL s /R s ). De manière générale, il existe un rapport de l’ordre de 10 ou 20 entre les deux constantes de temps [1]. La dynamique de réglage des courants doit être très rapide par rapport au réglage du flux. Pour le cas des machines de grande puissance les modes mécaniques sont beaucoup plus lents que les modes électriques. [1]. II.5.1 Calcul des Régulateurs On choisit d’utiliser des régulateurs de type proportionnel–intégral (PI), étant donné qu’ils sont simples à mettre en oeuvre. Ce type de régulateur assure une erreur statique nulle grâce à l’action d’intégration, tandis que la rapidité de réponse est établie par l’action proportionnelle. Ce Ф rd U sd U sq I sd S L R s st o + 1 S L R s st o + 1 S T M r + 1 jS f + 1 rd r L PM o Fig. (II.5) : Relations de transfert Ω I sq CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 34 En appliquant dans la synthèse des régulateurs la technique de compensation du pôle de la fonction de transfert associée en boucle ouverte (BO), les relations résultantes du système en boucle fermé (BF), sont du premier ordre. II.5.1.1 Régulateurs des Courants L’expression associée aux régulateurs est : ( ) | | | | . | \ | | . | \ | + = S S Kii Kpi Kii S Ri 1 (II.16) ( ) S S Gi | . | \ | + = St S St R L σ 1 R 1 Le schéma fonctionnel du contrôle de courant est donné par la figure. (II.4). La fonction de transfert en boucle ouverte s’écrit: ( ) ( ) ( ) | | | | . | \ | | . | \ | + | . | \ | + | | | . | \ | = = S S Kii Kpi S Kii S Gi S Ri S Fi BO St S St R L σ 1 1 * R * (II.17) St S _ R L σ = BO i t Constante de temps des courants en boucle ouverte. Par compensation du pôle on aura: ( ) S Kii S Fi BO St R = - + Gi(S) Ri(S) U S I S I Sréf Fig. (II.6) : Régulation du courant CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 35 Avec : St S _ R L σ = = Kii Kpi BO i t (II.18) La fonction de transfert du système en boucle fermée est donnée par : ( ) S Kii S Fi BF | . | \ | + = St R 1 1 (II.19) Avec : Kii BF i St _ R = t : Constante de temps des courants en boucle fermée. Pour un temps de réponse (t i ) imposé, nous obtenons la condition suivante: BF i i t _ 3t = II.5.1.2 Régulateur de flux Le schéma fonctionnel du contrôle de flux est donné par la figure. (II.5). ( ) | | | | . | \ | | . | \ | + = S S K K K S R i P i o o o o 1 ( ) S M S G r T 1+ = o (II.20) La fonction de transfert en boucle ouvert avec compensation du pôle est: ( ) S M K S F i BO o o = r i P BO T K K = = o o o t _ (II.21) - + GФ(S) RФ(S) I Sd Ф Ф ref Fig. (II.7) : Régulation du flux CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 36 La fonction de transfert du système en boucle fermée est : ( ) S M K S F i BF | . | \ | + = o o 1 1 1 M K i BF o o t 1 _ = (II.22) Pour un temps de réponse (t Ф ), nous obtenons la condition suivante: BF t _ 3 o o t = II.5.1.3 Régulateur de vitesse Nous avons pris une structure IP du régulateur. Le schéma de cette boucle de régulation est illustré sur la figure suivant. Le schéma de régulation en cascade retenu nécessite pour un bon fonctionnement, que la boucle interne soit plus rapide que la boucle externe. Il est clair que le réglage de couple se fera par action sur le courant isq plutôt qu’une action sur le flux. Par conséquent, la sortie du régulateur de la boucle externe (vitesse) constitue la référence (l’entrée) de la boucle interne (courant isq). ( ) | | | | . | \ | | . | \ | + = S S Kiv Kpv Kiv S Rv 1 ( ) JS S Gv 1 = (II.23) rd r L PM Ke u | | . | \ | = 2 3 : Constante de couple électromagnétique. Les fonctions de transfert (FTBO et FTBF) de la boucle interne avec (Cr=0) sont : ( ) ( ) ( )S KvKe J S F JS KvKe S F BF V BO V + = = 1 1 1 1 (II.24) - + Ω Ωref Gv(S) Rv(S) Ke Kv - - + + I Sdref Fig. (II.8.a) : Régulation du vitesse Ce Cr CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 37 KvKe J BF V = _ 1 t : Constante de temps en boucle fermée de la boucle interne. En impose (t1v) avec la condition BF V V t _ 1 1 3t = Les fonctions de transfert (FTBO et FTBF) de la boucle externe : ( ) ( ) | | | | . | \ | + | . | \ | + = S KvKe J S Kiv Kpv S Kiv S F BO V 1 1 2 (II.25) Par compensation des pôles la fonction devient : ( ) S Kiv S F BO V = 2 Avec : KvKe J Kiv Kpv = (II.26) La fonction de transfert en boucle fermé : ( ) S Kiv S F BF V ) 1 ( 1 1 2 + = (II.27) Kiv BF V 1 _ 2 = t : Constante de temps en boucle fermée de la boucle externe. Pour un temps de réponse (t2V) BF V V t _ 2 2 3t = Le régulateur de vitesse permet de déterminer le couple de référence, afin de maintenir la vitesse correspondante. La dynamique de la vitesse est donnée par l’équation mécanique. Ω ref F1V(S)BF RV(S) Ω + - Fig. (II.8.b) : Régulation du vitesse CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 38 Les expressions des différents gains s’écrivent : Régulateurs des courants : impose t i = => i st t R Kii 3 = st s R L Kii Kpi o = (II.28) Régulateur de flux : i t N t * 1 = o => o o Mt K i 3 = r i P T K K o o = (II.29) Régulateur de la vitesse : i V t N t * 2 1 = => Ke t Kv V 1 3 = i V t N t * 3 2 = => V t Kiv 2 3 = KvKe KivJ Kpv = (II.30) Avec : N 1.2.3 : Nombres réelle. II.6 Simulation de l’ensemble Commande_Machine Les résultats de simulation de l’ensemble Commande_Machine sont définis par l’imposition des variables de référence suivantes : Φ ref =1Wb, Ω ref =157(rad/s). ref O ref o O est r o sq i sd i PI IP D é c o u p l a g e sd i sq i s e Fig. (II.9) : Schéma fonctionnel de la commande vectorielle. PI PI O sq i sd i est r o s e Estimateur De s r et e o O n d u l e u r d q / a b c M A S CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 39 II.6.1 Essai en charge nominale après un démarrage à vide La figure (II.10) montre l’évolution de la vitesse de rotation Ω (rad/s), du couple électromagnétique Ce, des flux Ф rd Ф rq , et de courants isα. Lors d'un fonctionnement à vide de la machine, suivi d'une perturbation de charge à t = 1s. II.6.1.1 Simulation sans onduleur On remarque que le courant isα présente des dépassements en régime transitoire qui disparaissent rapidement en régime permanent pour donner lieu à une forme sinusoïdale d’amplitude constante. Les flux rotoriques Фr suivent sa référence. Le couple électromagnétique subit un pic au premier moment de démarrage, puis converge ver zéro. A prés l’application de la charge à t =1s on remarque : L’allure de la vitesse présente une chute rejetée rapidement puis se stabilise à sa valeur de référence. F l u x ( w b ) Fig. (II.10) : Essai à vide et en charge (sans onduleur). Temps(s) C o u r a n t i s α ( A ) ref O * O V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) R C Ce C o u p l e C e ( N * m ) Temps(s) Rq o * o Rd o F l u x ( w b ) Temps(s) CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 40 Le transitoire du courant et maîtrisé, avec une forme sinusoïdale eu régime permanent. le découplage entre le couple et le flux est maintenu ce qui nous permet de contrôler indépendamment l’un de l’autre. Le couple électromagnétique rejoint, après un régime transitoire, la valeur qui compense le couple résistant appliqué (25 N.m). II.6.1.2 Simulation avec onduleur On remarque la présence des ondulations sur la réponse du couple électromagnétique ; elles sont liées aux harmoniques de courant. Fig. (II.11) : Essai à vide et en charge (avec onduleur). Temps(s) C o u r a n t i s α ( A ) ref O * O V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) F l u x ( w b ) Temps(s) R C Ce Temps(s) C o u p l e C e ( N . m ) CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 41 II.6.2 Tests de performance et de robustesse Les tests de robustesse de la commande sont également effectués en charge. II.6.2.1 Test avec variation de la charge On présente les résultats de simulation de l’influence de la variation de la charge. En faisant une diminution du couple résistant de 10 N.m à t =1.5s puis une augmentation de même valeur à t =2.5s Les résultats de simulation obtenus pour la variation de la charge de figure (II-12) montrent que les grandeurs telles que la vitesse, le couple, et les courants sont influés légerment puis suivent leurs références. On remarque la convergence du Ф rd vers le flux de référence ainsi que Ф rq tans vers zéro se que montre le découplage entre le couple et le flux. Rq o * o Rd o Temps(s) F l u x ( w b ) O * O V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) Fig. (II.12): Essai avec variation de la charge Temps(s) C o u r a n t i s α ( A ) R C Ce C o u p l e C e ( N * m ) Temps(s) CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 42 II.6.2.2 Test avec variation de la vitesse En faisant une diminution de la vitesse de 36% à un instant choisi de t =1.5 s, puis une augmentation par rapport à cette dernière de même pourcentage à un instant choisi de t =2.5 s. La figure qui suit montre les résultats de cet essai. La figure (II.13) montre que cette variation entraîne une variation de la fréquence statorique ce qui influx sur les courants. On remarque que le système répond positivement à ce test. La vitesse suit sa nouvelle référence, ce qu’indique que la régulation est robuste, Le couple électromagnétique subit un pic puis suit la cosigne sans erreur statique. R C Ce C o u p l e C e ( N * m ) O * O V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) Temps(s) C o u r a n t i s α ( A ) Fig. (II.13): Essai avec variation de la vitesse Temps(s) F l u x ( w b ) Rq o * o Rd o Temps(s) CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 43 II.6.2.3 Test avec inversion du sens de rotation La figure montre que le transitoire lors de ce test est relativement important en particulier au niveau du courant. Le couple subit un pic de transaction lors du passage d’un mode à l’autre, puis tient sa valeur sans erreur. Le découplage existe toujours, donc la régulation est robuste du point de vue contrôle de vitesse. II.6.2.4 Test avec variation de la résistance rotorique Une mauvaise identification des paramètres, ainsi que l’effet dû à l’échauffement pendant le fonctionnement d’une machine produisent des perturbations électriques internes. La variation de la résistance rotorique est vraiment gênante puisque la valeur de la résistance intervient directement dans les algorithmes du contrôle. Comme Rr du moteur devient plus grande, la résistance résultante R st devient plus importante, alors que la constante de temps Tr diminue. Temps(s) C o u r a n t i s α ( A ) Fig. (II.14): Essai avec inversion du sens de rotation Temps(s) F l u x ( w b ) Rq o * o Rd o O * O V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) Temps(s) R C Ce C o u p l e C e ( N * m ) CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 44 En simulation, une approche de ces perturbations a été introduite de la façon suivante : la valeur nominale de la résistance rotorique du moteur est appliquée pendant une durée de 1.5s. Ensuite, elle est augmentée de 50% par rapport à sa valeur nominale pendant 1s. Puis, cette résistance est augmentée dans le même rapport et pendant la même durée de temps. Les résultats montrent qu’avant l’instant (t =1.5s) c’est-à-dire à l’instant de variation de résistance rotorique (R r = 1.8 Ω) aucunes variation sur les courbes de vitesse, de couple, de courants et de flux. A t =1.5s, la résistance devient 1.5R r . On constate d’après ce test que la variation de la résistance rotorique influe sur le découplage (Φ rq ≠ 0) et ceci due aux régulateurs classiques qui sont dimensionnés avec la résistance initiale (R r = 1.8 Ω) R C * O R C Ce C o u p l e C e ( N * m ) C o u r a n t i s α ( A ) Rd o * o Rq o F l u x ( w b ) Fig. (II.15): Essai avec variation de la résistance rotorique. Temps(s) Temps(s) V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) Temps(s) CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Electrotechnique 2007 45 II.7 Conclusion Dans ce chapitre, la modélisation et la simulation d’une commande vectorielle de la machine (moteur) asynchrone sont présentées. Les résultats obtenus par la commande proposée montrent sa robustesse vis-à-vis des variations de la vitesse et de la charge. Cette technique de commande possède un inconvénient majeur, car le comportement de la machine et de sa commande vectorielle est fortement dégradé par la variation des paramètres liés à la température (résistance rotorique). Ceci du aux régulateurs classiques qui sont dimensionné par les paramètres initiaux de la machine. Dans le chapitre suivant, on va voir une nouvelle technique de commande, c’est la méthode de synthèse des correcteurs H ∞ pour commander la machine asynchrone. Chapitre : III Méthodes de synthèse fréquentielle H ∞ CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 46 III.1 INTRODUCTION Vers le début des années 1980, une nouvelle approche de la commande a vu le jour. Cette approche d'abord orientée vers le rejet de perturbation, consiste à poser le problème de la commande comme un problème de minimisation de la norme d'une matrice de transfert. La norme utilisée est la norme H ∞ qui a pour avantage de généraliser la notion de gain aux systèmes multivariables. L'approche de synthèse H ∞ , consiste à spécifier certains objectifs sur les fonctions de transfert en boucle fermée. Ces objectifs sont spécifiés à travers un certain nombre de fonctions de transfert introduites pour pondérer les différents signaux du système ainsi que les incertitudes de modélisation. Le problème optimal consiste alors à trouver le correcteur qui minimise la norme de la matrice de transfert du modèle augmenté. Dans le cas d'un problème de robustesse en stabilité, cette norme correspond à l'inverse de la norme maximale de l'incertitude de modèle [13]. En 1989, Doyle a proposé un algorithme de résolution du problème H ∞ sous optimal. Cet algorithme nécessite la résolution de deux équations de Ricatti et conduit à un correcteur d'ordre égal à celui du procédé augmenté par les fonctions de pondération. Une autre approche de synthèse H ∞ est basée sur une représentation des incertitudes sous forme de perturbations additives sur les facteurs premiers de la matrice de transfert du système. Cette représentation conduit à un problème H ∞ particulier. Un des avantages de cette solution par rapport à celle du problème H ∞ standard est qu'elle permet de connaître a priori la valeur maximale de la perturbation de modèle pour laquelle la boucle fermée demeure stable et ceci pour le correcteur optimal [13]. III.2 Notions mathématiques III.2.1 Décomposition en valeur singulière La décomposition en valeur singulière (SVD) est l’un des outils les plus important dans algèbre numérique linéaire moderne et l'analyse numérique. En raison de la nature l'algébrique linéaire de beaucoup de problèmes de commande et l'importance de la stabilité robuste, la décomposition en valeur singulière a réussi à pénétrer dans la théorie de la commande des systèmes. CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 47 Toute, matrice complexe A de dimensions ( ) m l × peut être factorisée en décomposition en valeurs singuliers (SVD). Elle est définie par trois matrices dont le produit est [14] : * V U A ¯ = (III.1) Ou les matrice U et V de dimensions respective ( ) l l × et ( ) m m× sont unitaire ( I UU T = et I VV T = ), et la matrice ¯ de dimension( ) m l × , contient une matrice diagonale 1 ¯ dont les éléments réels, et non négatifs sont les valeur singulières i , classée dans un ordre décroissant. Ce ne sont rien d'autre que les racines carrées des valeurs propres i de la matrice A A * : ( ) T i jw A jw A jw A ) ( ). ( ) ( ÷ = (III.2) ¯ = ¯ 0 1 ; m l > Ou : | | 0 1 ¯ = ¯ ; m l s Avec : { } k diag .., ,......... , 2 1 1 = ¯ ; { } m l k , min = Et 0 ...... 2 1 > ÷ > > > ÷ k La plus grande valeur singulière 1 définit une norme H ∞ sur la matrice A. Le nombre de valeurs singulières de A non nulles indique le rang de la matrice A. Notons ) ( A et ) (A la plus grande et la plus petite valeur singulière d’une matrice A. Propriétés : si ( ) A est une valeur propre de A, alors : ) ( ) ( ) ( A A A s s si 1 ÷ A existe, alors : ) ( 1 ) ( 1 ÷ = A A CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 48 pour tout réel : ) ( ) ( ), ( ) ( A A A A = = La décomposition en valeurs singulière est très utilisée car numériquement elle est robuste. III.2.2 Norme de Hankel Un système peut être décrit par la matrice de transfert entrée/sortie G(s) dans le domaine de Laplace par : B ) A sI ( C D ) s ( G 1 ÷ ÷ + = (III.3) Sous l’hypothèse d’une matrice de transfert ) (s G stable. On définit la norme de Hankel comme suit [15] : ) ( )) ( max( PQ G G H i H = = (III.4) | | 2 / 1 ) ( ) ( PQ G i H i = H i : Les valeurs singulières de Hankel. PQ : Correspondent aux solutions définies positives de lyapunov [15] 0 0 = + + = + + C C QA Q A BB PA AP T T T T III.2.3 Norme H ∞ La norme H ∞ d’une fonction de transfert G(s) est définie par : ( ) j G G R e · = max (III.5) Dans le cas d'un système multivariables, la norme H ∞ est définie d'une manière analogue. Pour une matrice de transfert ) (s G on définit : ( ) j G G R e · = sup (III.6) La norme matricielle ) (s G est égale à la valeur singulière maximale )) ( ( s G de la matrice ) (s G .D'où : )) ( ( sup ) ( jw G s G R w e · = (III.7) La norme H ∞ représente la valeur maximale du rapport entre l’énergie du signal de sortie et l’énergie du signal d’entrée. La minimisation de cette norme est nécessaire pour optimiser le rejet de perturbations et le suivi de consignes [15]. CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 49 III.2.3.1 Propriétés de la norme H ∞ Considérons le cas d'un système : ) ( ) ( ) ( s U s G s Y = Où U, Y sont respectivement l'entrée et la sortie du système et G(s) est sa matrice de transfert. La norme H ∞ possède deux propriétés : La norme H ∞ de la mise en série de deux systèmes, représentés respectivement par les matrices de transfert G(s) et H(s) , c'est-à-dire la norme H ∞ du produit des deux matrices de transfert, est inférieure ou égale au produit de leurs deux normesH ∞ · · · s ) ( ) ( ) ( ) ( s H s G s H s G (III.8) La norme H ∞ de la matrice de transfert de la mise en parallèle de deux systèmes G(s) et H(s) avec soit une entrée commune, soit une sortie commune, est supérieure ou égale à la plus grande des normes H ∞ de ces deux systèmes : ( ) · · · > \ | | | . | ) ( , ) ( sup ) ( ) ( s H s G s H s G (III.9) ( ) ( ) · · · > ) ( , ) ( sup ) ( ) ( s H s G s H s G (III.10) 9 e ¬ < · < · w jw H jw G s H s G ; ) ( ) ( ) ( ) ( (III.11) La propriété (III.11) est fondamentale dans le cadre de la synthèse H ∞ car elle permet d’imposer un gabarit fréquentiel au système en boucle fermée [16]. III.3 Incertitudes dans un système Soit ) (s G réel la fonction de transfert décrivant exactement le système et ) (s G son modèle, qui sera forcément entaché d’incertitudes. Une façon d’évaluer la différence entre le système réel et son modèle est d’introduire un transfert stable ) (s G A . La quantité d’incertitude peut être évaluée par un paramètre réel 0 > tel que pour toute pulsation w, s A ) ( jw G . Cette dernière condition peut se réécrire s A · G . Deux types d'incertitudes sont définis dans la commande robuste sont les incertitudes structurées et non structurées [17]. CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 50 III.3.1 Incertitude non structurée [15] Représente habituellement les éléments liés à la fréquence comme des modes structuraux non modelés dans la haute gamme de fréquence, ou perturbations de modèle dans la gamme de basse fréquence. Leurs relations au modèle nominal peuvent être l'un ou l’autre Additif : ) ( ) ( ) ( s s G s G G réel A + = (III.12) Ou multiplicatif : ) ( ) ( ) ( s G I s G G réel A + = (III.13) La figure (III.1), montre L'incertitude non structurée additive et multiplicative. III.3.2 Incertitude structurée Représente des variations paramétriques de modèle dynamique, comme incertitude dans certaines entrées des matrices de l’espace l'état (A, B, C, D). incertitudes dans les pôles et/ou les zéros de la fonction de transfert. incertitudes dans les gains/phases de boucle. III.4 Equation du système contrôlé Les spécifications du cahier des charges se formalisent naturellement par des contraintes portant sur les modules des fonctions de transfert du système en boucle fermée. Comme ces fonctions dépendent non linéairement du correcteur ) (s K , alors la recherche de ) (s K , de façon à satisfaire ces contraintes peut être très complexe, même dans le cas d’une structure simple pour le correcteur ) (s K . L’idée fondamentale des méthodes de synthèse de lois de commande en automatique fréquentielle classique consiste à transformer ces contraintes portant sur des fonctions de transfert du système en boucle fermée en contraintes portant sur la fonction de Δ G (s) G(s) + + Additive Δ G (s) G(s) + + Multiplicative Fig. (III.1): Incertitudes non structurée. CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 51 transfert du système en boucle ouverte ) ( ) ( ) ( s K s G s L = . L’intérêt est que ) (s L est une fonction linéaire de ) (s K . La synthèse H ∞ est née de la recherche d’un outil qui, à partir des contraintes sur les modules des fonctions de transfert en boucle fermée, recherche directement s’il existe un correcteur ) (s K tel que les fonctions de transfert en boucle fermée satisfassent les contraintes sur leur module et, si oui, fournit un tel correcteur [18]. On considère le schéma classique d’un système ) (s G bouclé par un correcteur ) (s K Figure (III.2). Les signaux d’entrée sont : La consigne ) (t r . La perturbation en entrée du système ) (t b . Le bruit de mesure ) (t w . Ainsi que les signaux de sortie : L’erreur de suivi de référence ) (t e . La commande ) (t u délivrée par le correcteur ) (s K . La sortie de système ) (t y Les objectifs de performance traduisent par le fait que pour des signaux d’entrée ) (t r , ) (t b et ) (t w appartenant à des ensembles bien définis, un correcteur est recherché tel que les signaux de sortie ) (t y et ) (t u appartiennent à des ensembles correspondant aux spécifications du cahier des charges. Le cahier des charges peut contenir quatre classes de spécifications : Suivi de trajectoires de référence : il s’agit d’étudier l’influence du signal de référence sur le signal d’erreur. w y e u K G b r u _ + + + + + _ _ Fig. (III.2) : Système en boucle fermée CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 52 Rejet/atténuation du perturbation : il s’agit d’étudier l’influence du signal de perturbation sur le signal d’erreur. Atténuation des bruits de mesure : il s’agit d’étudier l’influence des signaux de bruit sur le signal de commande et sur le signal de sortie. Commande modérée : il s’agit d’étudier l’influence des signaux de référence et du signal de perturbation sur le signal de commande. En notant y x T ÷ la fonction de transfert du signal d’entrée x vers le signal de sortie y , on a les relations suivantes entre les sorties et les entrées du système : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s w s T s b s T s r s T s U s w s T s b s T s r s T s e u w u b u r e w e b e r ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + = + + = (III.14) Ou : ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( s K s G s S s T e r + = = ÷ : Appelée fonction de sensibilité ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( s K s G s K s G s T s T y r + = = ÷ : Appelée fonction de transmission. Elle est aussi nommée fonction de sensibilité complémentaire car on a la relation 1 ) ( ) ( = + s T s S ) ( ) ( ) ( s S s G s T e b = ÷ . ) ( ) ( ) ( s S s K s T u r = ÷ . ) ( ) ( ) ( s S s K s T u w ÷ = ÷ . ) ( ) ( s T s T e w = ÷ III.4.1 Stabilité La stabilité est la propriété qui permet à un système perturbe le retour à son état d’équilibre en temps fini lorsque l’effet de la perturbation a cesse. Cette propriété est essentielle pour garantir le fonctionnement d’un système [19]. III.4.1.1 Stabilité Classique Dans le cas des systèmes linéaires invariants. La propriété de stabilité peut être testée en vérifiant la localisation des pôles de la matrice de transfert ) (s G ou de façon équivalente, des CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 53 valeurs propres de la matrice A dans une certaine région du plan complexe. Pour les systèmes continus cette région est le demi-plan complexe gauche ouvert [18]. III.4.1.2 Stabilité interne Une notion très importante est celle de stabilité interne. Une boucle fermée est dite stable de façon interne si toutes les fonctions de transfert du système en boucle fermée produisent des sorties bornées )) ( ) ( ( t u et t e à partir d’entrées des amplitudes bornées )) ( ) ( ), ( ( t w et t b t r . Ainsi, pour qu’il y ait stabilité interne, il faut que les fonctions de transfert ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( s S s K et s S s G s T s S soient simultanément stables. Il est d’autre part possible de démontrer qu’il y a stabilité interne si et seulement si la fonction de transfert ) (s S est stable et s’il n’y a pas de compensations pôles-zéros instables entre le système ) (s G et le correcteur ) (s K [4]. III.5 Approche H ∞ standard Afin d’apporter une facilité méthodologique à la résolution des problèmes de type H ∞ , une représentation connue sous la dénomination « forme standard » a été introduite, qui apporte une certaine clarté de formulation puisqu’elle contient à la fois le système à commander et le correcteur associé. La représentation est donnée à la Figure (III.3). Où : le vecteur des sorties commandées z(t). le vecteur des entrées de critère w(t). le vecteur des sorties mesurées y(t). le vecteur des entrées de commande u(t). Le système P admet pour équations d’état : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 22 21 2 12 11 1 2 1 t u D t w D t x C t y t u D t w D t x C t z t u B t w B t Ax t x + + = + + = + + = (III.15) P(s) K(s) w y z u Fig. (III.3) : Problème sous forme standard CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 54 Dans cette figure, P(s) représente le « modèle augmenté », et K(s) le correcteur. Le système. P(s) est formé des quatre transferts multivariables existant entre les entrées u (commande du système) et w (consignes, perturbations, …) et les sorties y (mesures) et z (sorties régulées) : Dans le domaine de Laplace, les équations du système se réécrivent : | | 2 1 1 2 1 22 21 12 11 22 23 12 11 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B B A sI C C D D D D s P s P s P s P s P ÷ ÷ + = = (III.16) = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s u s w s P s y s z Et ) ( ) ( ) ( s y s K s u = Soit : ) ( )) ( )) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ( ) ( * ) , ( 21 1 22 12 11 s w s P s K s P I s K s P s P s z K P K P F l = ÷ ÷ + = (III.17) ) , ( K P F l : est appelée Transformation Fractionnaire Linéaire inférieure (LFT). La représentation d’état du système augmenté Figure (III.3) est donnée classiquement sous la forme suivante [14]. = u w x D D C D D C B B A y z x 22 21 2 12 11 1 2 1 (III.18) III.5.1 Problème H ∞ De manière générale, le calcul d’un correcteur H ∞ de la forme standard Figure (III.3) peut se ramener d’une part à un problème de stabilisation du système bouclé et de rejet de perturbations, d’autre part à un problème de minimisation. III.5.1.1 Problème H ∞ optimal Minimiser la norme · ) , ( K P F l entre les entrées et les sorties régulées sur l’ensemble des correcteurs ) (s K qui stabilisent le système de manière interne. Le minimum est noté opt est appelé gain «H ∞ –optimal» [16]. CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 55 III.5.1.2 Problème H ∞ sous optimal Consiste, pour un réel positif donné, trouver un correcteur ) (s K telle que : Le système bouclé ) , ( K P F l soit stable (tous les pôles du système en boucle fermée sont à partie réelle négative). < · ) , ( K P F l . Ce problème peut être résolu par deux méthodes possibles. Elles sont en général mise en oeuvre numériquement sur un calculateur [16]. III.5.2 Méthodes de résolution Deux méthodes de résolution sont plus particulièrement utilisées. Toutes les deux utilisent une représentation d'état de la matrice P(s). La première est basée sur la résolution de deux équations de Riccati. La seconde conduit à un problème de faisabilité sous des contraintes exprimées par des Inégalités Matricielles Linéaires (LMI). Ces deux méthodes conduisent à des correcteurs d'ordre égal à celui de la matrice P(s), qui comprend le modèle du système à réguler augmenté soit par les filtres exprimant les objectifs de synthèse (l'approche standard) soit par les réseaux correcteurs effectuant le modelage de la boucle ouverte (l'approche par loop-shaping) [14]. III.5.2.1 Méthode de résolution du problème H ∞ fondée sur les LMI Cette méthode fondée sur un outil d’analyse plus que sur un outil de synthèse, le lemme borné réel. La résolution effectuées en deux étapes. En premier lieu, la faisabilité du correcteur H ∞ est testée par le BRL. En deuxième lieu, le correcteur est calculé. Cette méthode de calcul du correcteur offre plus de flexibilité, mais demande un temps de calcul considérable, spécialement pour les systèmes de grandes dimensions. Dans ce cas, des méthodes algébriques dérivées seraient plus appropriées. III.5.2.2 Résolution du problème H ∞ fondée sur les équations de Riccati Par cette approche, le problème admet une solution si les quatre hypothèses suivantes sont vérifiées [14]. ( ) 1 , B A et ( ) 2 , B A sont stabilisables. ( ) A C , 1 et ( ) A C , 2 sont détectables. | | | | I D C D T 0 12 1 12 = . CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 56 . 0 21 21 1 = I D D B T 0 22 11 = = D D Sous les hypothèses précédemment énoncées. Il existe un correcteur ) (s K solution du problème H ∞ standard si et seulement si : [4] 1. La matrice hamiltonienne ÷ ÷ ÷ ÷ T T T T A C C B B B B A 1 1 2 2 1 1 2 n’a pas de valeurs propres sur l’axe imaginaire et il existe une matrice symétrique 0 > X telle que : ( ) 1 1 2 2 1 1 2 C C X B B B B X X A XA T T T T + ÷ + + ÷ 2. La matrice hamiltonienne ÷ ÷ ÷ ÷ A C C C C B B A T T T T 2 2 1 1 2 1 1 n’a pas de valeurs propres sur l’axe imaginaire et il existe une matrice symétrique 0 > Y telle que : ( ) 0 1 1 2 2 1 1 2 = + ÷ + + ÷ T T T T B B Y C C C C Y AY YA 3. 2 ) ( < XY ou (:) : correspond au module de la plus grande valeur propre (rayon spectral). La recherche du optimal est effectuée par dichotomie en testant, à chaque itération, l’existence d’une solution ) (s K pour le défini. Les algorithmes couramment implantés fournissent une solution appelée « correcteur central ». Cependant, il existe une infinité de solutions au problème sous optimal [4]. La valeur opt peut être approchée on suit le processus suivant : a. Choix d’un niveau de tolérance e sur le calcul de la valeur opt et de deux valeurs inf et sup telles que, pour sup = , le problème H ∞ standard admette une solution et que, pour inf = , le problème H ∞ standard n’admette pas de solution. b. On teste si pour ( ) 2 inf sup + = , le problème H ∞ standard admet une solution. Si oui alors = sup sinon = inf . c. Si ( ) e > ÷ inf sup alors retourner en (b) sinon continuer. d. Calcul de la représentation d’état du correcteur permettant d’obtenir une norme H ∞ proche de opt . CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 57 Un correcteur ) (s K · solution du problème H ∞ sous-optimal en est donné par : ( ) ) ( ), ( ) ( 1 s s K F s K a u = (III.19) Ou ) (s K a est déterminé par : = 0 ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( 21 2 12 1 2 1 D C D C B B A s K a (III.20) Et : ( ) YX I Z YC L X B F I D I D C C F C ZB B ZL B ZLC F B X B B A A T T T 2 2 2 21 12 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 , , ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ ÷ ÷ ÷ = ÷ = ÷ = = = ÷ = = = ÷ = + + + = (III.21) ) (s u Désigne un paramètre libre satisfaisant < u 9 e u · · et H s) ( . Dans le cas où ) ( , 0 ) ( s K s = u est appelé correcteur central. Le schéma de principe du problème sous-optimal est donné à la Figure (III.4). III.6 Synthèse H ∞ par « facteurs premiers » La factorisation première est largement répondue dans la théorie de la commande H ∞ . Toute fonction de transfert ) (s G réelle rationnelle et propre peut être représentée comme division de deux facteurs stables [20]. K(s) Fig (III.4) : Paramétrisation de la solution du problème sous-optimal P(s) K a (s) w y z u Ф(s) CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 58 ) s ( M ) s ( N ) s ( G = Le but de la commande H ∞ par facteurs premiers est de maximiser la robustesse face à des dynamiques négligés intervenant sur les facteurs premiers du système en boucle ouverte. ce problème peut se ramener à un problème H ∞ standard. A noter cependant que dans le cas de la commande H ∞ standard la minimisation de la norme H ∞ se fait par dichotomie (itérations), et que la résolution est assez complexe. Alors que cette résolution est beaucoup plus simple dans le cas de la commande H ∞ par facteurs premiers. Il existe une solution analytique au problème d’optimisation, ce qui nous permet en particulier de calculer directement la valeur minimale atteignable de la norme H ∞ , sans dichotomie. III.6.1 Factorisation première Tout d’abord, définissons les notions de factorisation première à droite, à gauche et double pour des fonctions de transfert matricielles. On note RH∞ l’ensemble des fonctions de transfert matricielles stable, autrement dit, de norme H ∞ finie [21]. III.6.1.1 Définitions Deux fonctions de transfert matricielles ) (s M et ) (s N de RH∞ sont dites facteurs premières à droite sur RH∞, si elles ont le même nombre de colonnes et s’il existe deux fonctions de transfert matricielles ) (s X r et ) (s Y r telles que : | | I s N s M s Y s X r r = ) ( ) ( ) ( ) ( (III.22) Deux fonctions de transfert matricielles ) ( ~ s M et ) ( ~ s N de RH∞ sont dites facteurs premières à gauche sur RH∞, si elles ont le même nombre de lignes et s’il existe deux fonctions de transfert matricielles ) (s X l et ) (s Y l telles que : | | I s Y s X s N s M l l = ) ( ) ( ) ( ~ ) ( ~ (III.23) Soit ) (s G une fonction de transfert matricielle, une factorisation première à droite de ) (s G est donnée par la factorisation : ) ( ) ( ) ( 1 s M s N s G ÷ = (III.24) CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 59 Où ) (s M et ) (s N sont les facteurs premiers à droite sur RH∞. De même, une factorisation première à gauche de ) (s G est donnée par : ) ( ~ ) ( ~ ) ( 1 s N s M s G ÷ = (III.25) Où ) ( ~ s M et ) ( ~ s N sont les facteurs premiers à gauche sur RH∞ [21]. Une fonction de transfert matricielle ) (s G de RH∞ admet une double factorisation première s’il existe une factorisation première à droite ) ( ) ( ) ( 1 s M s N s G ÷ = , et une factorisation première à gauche : ) ( ~ ) ( ~ ) ( 1 s N s M s G ÷ = et ) ( ) ( ), ( ) ( s Y s X s Y s X l l r r de RH∞ telles que : I s X s N s Y s M s M s N s Y s X l l r r = ÷ ÷ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ~ ) ( ~ ) ( ) ( (III.26) III.6.1.2 Factorisation première à gauche normalisée Si ) (s M de RH∞ est une matrice carrée avec 0 )) ( det( = s M , et ( ) ) ( ), ( s M s N facteurs premières à gauche sur RH∞. Une factorisation première à gauche particulière, appelée factorisation première gauche normalisée, dans laquelle : I s M s M s N s N = + ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ * * (III.27) Avec : ) ( ~ ) ( ~ * s N s N T ÷ = Et ) ( ) ( * s M s M T ÷ = Des représentations d'état de | | . | \ | ) ( ) ( s M s N et ( ) ) ( ~ ) ( ~ S M s N s'obtiennent par la résolution de deux équations de Riccati : 0 0 = + ÷ + = + ÷ + T T T T T T BB CY YC YA AY C C X XBB XA X A (III.28) Une représentation d’état pour M N ~ , ~ est : ÷ = 0 ~ C B X BB A N T ÷ ÷ = I C YC C YC A M T T ~ CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 60 III.6.2 Stabilisation robuste face a une perturbation sur les facteurs premiers du modèle Pour une factorisation première à gauche normalisée donnée, nous définissons l'ensemble de modèle. ( ) ( ) ( ) | | ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < A A 9 e A A A + A + = = · · ÷ A ) ( ) ( H ) ( ), ( ) ( ) ( ~ ) ( ) ( ~ ) ( ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ s s et s s s s N s s M s G G M N N M N M (III.29) Où : est une borne d'incertitude, appelée marge de stabilité. ) ( ~ s M et ) ( ~ s N : représentent les facteurs premières à gauche normalisé de ) (s G . Les erreurs de modélisation peuvent être alors représentées sous forme de perturbation additive sur les facteurs premiers On cherche le correcteur stabilisant ) (s K qui maximise la robustesse face aux perturbations de modèle N M A A , . On constate que le problème peut être ramené à un problème H ∞ standard, dans lequel, on cherche à maximiser la marge de stabilité max . | | 1 1 ) ( )) ( ) ( ( ) ( ÷ ÷ = s ÷ s G I s K s G I s K I (III.30) · ÷ ÷ · ÷ ÷ = = 1 1 ) ( 1 ) ( 1 max ~ )) ( ) ( ( ) ( inf ) , ( inf M s K s G I s K I K P F s K s K Il est bien évidemment possible d’appliquer la méthode H ∞ standard ( itérations) pour calculer max et un correcteur sous optimal associé. Cependant, dans le cas particulier de perturbations sur les facteurs premiers normalisés du processus, on peut résoudre le problème de façon directe de sorte que max peut être directement obtenu comme : | | ( ) ( ) XY N M H + = ÷ = = ÷ 1 1 ~ ~ 1 2 2 min 2 max (III.31) N(s) M -1 (s) + + Δ M (s) Δ N (s) + - Fig. (III.5) : Perturbation sur les facteurs premiers a gauche CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 61 De ou : H : La norme de Hankel d’un système. Y X, : Solutions des équations de Riccati (III.28) On calcule un correcteur sous optimal correspondant à une marge de stabilité max < . Une représentation d’état du correcteur central est donnée ci après : + ÷ = ÷ ÷ 0 ) ( 2 2 X B ZYC C ZYC X BB A s K T T T T (III.32) Où : ( ) max 1 2 / 1 1 < = ÷ + = ÷ ÷ et YX Z III.6.3 Modelage de la boucle ouverte (loopshaping) Cette technique exige seulement une forme désirée de boucle ouverte dans le domaine fréquentielle. Deux fonctions, ) ( 1 s W (pré-compensateur) et ) ( 2 s W (post-compensator), sont indiquées pour former le modèle augmenté ) (s G a de sorte que la forme désirée de boucle ouverte soit réalisée. Le modèle formé est formulé comme facteur premier normalisé qui sépare le modèle ) (s G a dans le nominateur normaliser ) (s N a et le facteur dénominateur ) (s M a . Dans tout modèle ) (s G , le modèle ) (s G a formé est formulée comme : => = D C B A GW W G a 1 2 (III.33) ( )( ) 1 ÷ A + A + = a a M a N a a M N G Avec : s A A · a a M N , W 1 (s) G(s) W 2 (s) G a (s) Fig. (III.6) : Schéma du système augmenté CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 62 III.6.3.1 Chois de fonctions de pondération Le choix de la fonction pondération est très important dans la conception. Nous choisissons 1 W et 2 W tels que le modèle formée de la boucle ouverte présente les propriétés suivantes : réalisant les bonnes performances et le bon rejet de perturbation en exigent un grand gain en boucle ouverte à une gamme de basse fréquence. réalisent le bon rejet de bruit et bonne stabilité robuste en exigent un petit gain en boucle ouverte à une gamme de haute fréquence. Le choix de la fréquence de coupure, c.-à-d., la fréquence ou le gain de la boucle ouverte du modèle formée intersecté la ligne 0dB. Nous choisissons la fréquence de coupure pour réaliser la largeur de bande désirée de notre correcteur [20]. III.6.3.2 Conception de loop-shaping On présente les étapes suivantes : 1. Modelage de la fonction de transfert en boucle ouverte en employant pré compensateur 1 W et/ou post-compensateur 2 W pour obtenir la forme désirée de la boucle. 1 W est employé pour obtenir les performances désirées et atténué les perturbations et 2 W pour atténuer le bruit. Nous choisissons 1 W comme fonction de pondération d'action intégrale, ce qui fait une erreur zéro d'état d'équilibre. 2 W peut être choisi comme matrice d'identité. 2. Minimisation de · la norme de la matrice de transfert w z T ÷ au-dessus de tous contrôleurs stabilisants K pour obtenir opt comme : ( ) · ÷ ÷ ÷ + = = 1 1 1 inf a a opt opt M K G I K I (III.34) Le résultat opt est une mesure de robustesse de la boucle formée désirée. Elle indique également la compatibilité de la fonction de pondération avec la commande robuste de modèle. ( ) 2 / 1 max 1 ) ( 1 XY opt opt + = = ÷ (III.35) CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Electrotechnique 2007 63 3. Choisir ( ) opt < puis synthétise le contrôleur K ∞ satisfait. ( ) | | 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ÷ · ÷ · · · ÷ ÷ · · · ÷ s ÷ = ÷ = s G I s K s G I s K I M s K s G I s K I T a a a a w z (III.36) 4. Le correcteur final ) (s K f prend la forme suivante : ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 s W s K s W s K f · = (III.37) III.7 Conclusion Le problème H ∞ peut être résolu par deux méthodes possibles. La première méthode repose sur la résolution d’une série d’équations de Riccati. C’est la solution la plus simple et la plus fiable numériquement. Cependant, elle nécessite la vérification d’un certain nombre d’hypothèses qui peuvent être non vérifiées. Une deuxième solution au problème H ∞ permet de faire l’économie de ces hypothèses, au prix d’une complexité algorithmique augmentée. Une telle méthode est basée sur la résolution d’un problème d’optimisation convexe sous contraintes d’inégalités matricielles linéaires (LMI). De ces deux solutions, seule la première est exposée car elle reste la plus intéressante au niveau rapport qualité du résultat sur quantité de calculs à effectuer. Cette dernière sera appliquée et utilisée dans la régulation de la machine asynchrone en boucle fermée dans le chapitre suivant. Chapitre : IV Régulation H ∞ de courant d’une commande vectorielle CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 64 IV.1 Introduction La synthèse H ∞ des correcteurs est une approche récemment appliquée aux commandes des ensembles convertisseur-machine prenant en compte les bruits injectés sur le processus et les variations des paramètres intervenant dans les modèles. Les correcteurs obtenus ont des coefficients constants et sont donc adaptés aux fréquences d’échantillonnages élevées nécessitées par ce type de processus. Cette synthèse recherche un compromis robustesse/performance. Ce chapitre traite l’application de la synthèse H ∞ par factorisation première pour calculer les correcteurs H ∞ assurent la régulation de courant d’une commande vectorielle découplée implantée sur une machine asynchrone alimentée en tension. IV.2 Synthèse des correcteurs H ∞ La fonction de transfert qui liée les tensions de commande U sd , U sq et les courant i sd , i sq est : sq sd sq sd sq sd U s k U s G i , , , 1 ) ( + = = (IV.1) Avec | . | \ | + = r r s T L M R k 2 1 , | . | \ | + = r r s s T L M R L 2 La représentation d’état associer à la fonction de transfert ) (s G est : ÷ ÷ 0 9976 . 83 1 1632 . 239 D C B A (IV.2) Fig (IV.1) : Représentation Fréquentiel de G(s) Fréquence (rad/s) A m p l i t u d e ( d B ) CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 65 La mise en œuvre de la méthode s’effectue en deux étapes. Le comportement fréquentiel du modèle nominal ) (s G à commander est tout d’abord modifié par l’introduction de pré-et post compensateurs ) ( 1 s W et ) ( 2 s W : 4500) + (s s 31.39) + (s 318.6) + (s 24500 ) ( 2 1 = s W (IV.3) 1 ) ( 2 = s W (IV.4) Le modèle nominal est alors remplacé par le modèle augmenté : ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 s W s G s W s G a = 239.2) + (s 4500) + (s s 31.39) + (s 318.6) + (s 17 2057941.20 ) ( 2 = s G a (IV.5) Les fonctions de pré- et post compensations ) ( 1 s W et ) ( 2 s W sont choisies de façon que la fonction de transfert du système augmenté ) (s G a présente un gain suffisamment élevé en basse fréquence pour réduire l’effet des perturbations et assurer de bonnes performances et présente un gain faible en haute fréquence, pour réduire l’effet du bruit de mesure assurant la robustesse. La boucle fermée du système augmenté est représente par la figure (IV.3). On considère comme vecteur d’entrée du critère, le vecteur | | T d b w = et comme vecteur de sortie du Fig. (IV.2) : Représentation Fréquentiel de G a (s) et W 1 (s) A m p l i t u d e ( d B ) Fréquence (rad/s) CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 66 critère | | T u Y z = . Le signal mesuré relié par ) (s K est d Y y + = et le signal de commandeu . La représentation d’état de ) (s G a est donnée par : ÷ ÷ ÷ 0 10 . 0579 , 2 10 . 2 , 7 10 . 2 0 0 0 0000 , 0 0 0 0 0 0 0000 , 0 0 0 0 0 0 0000 , 0 1 0 0 10 . 762 , 10 10 . 7 , 4 10 8 6 5 3 a a a a D C B A (IV.6) Tel que : | | | | ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ + = ÷ + + = ÷ + = · ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ + ÷ + = = ÷ + = ÷ + = u D w D x C y u D w D x C z u B w B x A x d u D b D x C y u Y z u D b D x C Y u B b B x A x a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 0 0 0 0 0 (IV.7) Avec : | | | | a a a a a a a a a D D D D D D D D C C C C B B B B A A ÷ = = ÷ = = = = ÷ = = = 22 21 12 11 2 1 2 1 , 1 , 1 , 0 0 0 , 0 , 0 Vérification des hypothèses pour la résolution du problème H ∞ . Les paires ( ) 1 , B A et ( ) 2 , B A sont commandables, donc stabilisables. Les paires ( ) A C , 1 et ( ) A C , 2 sont observables, donc détectables. | | | | 1 0 0 0 0 12 1 12 = D C D T . Y y d u b K(s) G a (s _ + + + Fig. (IV.3) : Système augmenté en boucle fermée CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 67 | | T T D D B 1 0 0 0 0 21 21 1 = 0 , 0 0 0 0 22 11 = = D D . Sous MATLAB, la recherche d’un correcteur K(s) tel que le problème H ∞ admet une solution pour le plus petit possible tel que la norme H ∞ suivante sera : ( ) | | < + · ÷ I ) s ( G ) s ( K ) s ( G I ) s ( K I a 1 a (IV.8) Le correcteur H ∞ est synthétisé à partir du modèle augmenté ) (s G a , est d’ordre 3. Avec : 0.3889 max = , 5713 . 2 1 max min = = 2.065) + (s 239.2) + (s 4500) + (s 0.3679) + (s 239.2) + (s 4500) + (s 2.3689 ) ( = s K (IV.9) La structure de commande est obtenue en associant en série ) ( ), ( ), ( 1 2 s W s K s W ) s ( W ) s ( K ) s ( W ) s ( K 2 1 f = 2.065) + (s 239.2) + (s 4500) + (s s 0.3679) + (s 31.39) + (s 239.2) + (s 318.6) + (s 4500) + (s 58037.1659 ) ( 2 2 = s K f (IV.10) Le fait que les méthodes de synthèse automatique donnent un correcteur d’ordre au moins égal à l’ordre du système est une condition qui permet d’obtenir un algorithme de synthèse efficace. Mathématiquement, si lors de la synthèse, on cherche à obtenir un correcteur d’ordre plus faible, la formulation du problème ne permet pas d’obtenir un algorithme efficace. La méthode H ∞ construit un correcteur d’ordre égal à l’ordre du système augmenté ) (s G a . De plus, les correcteurs obtenus peuvent présenter certains pôles et zéros très proches ou égales. Il est alors impératif de les simplifier proprement car ils ne contribuent pas de façon significative à la politique de commande. D’un point de vue qualitatif, dans le cas de la recherche d’un correcteur d’ordre réduit, celui-ci doit assurer les mêmes performances que le correcteur complet. 2.065) + (s 4500) + (s s 0.3679) + (s 31.39) + (s 318.6) + (s 58037.1659 ) ( 2 = s K r (IV.11) CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 68 La figure (IV.4) montres les réponses fréquentielles de la fonction de transfert augmentée ) (s G a et celle de la boucle ouverte finale ) ( ) ( s G s K f . On remarque que la forme de ) (s G a respecte le modelage effectué lors du loop-shaping. On remarque aussi que dans les zones où la réponse de la boucle ouverte présente, soit un gain élevé, soit un gain faible, l’écart entre les valeurs singulières obtenues à l’issue du loop-shaping et celles de la boucle ouverte finale, est très petit. IV.3 Simulation de l’ensemble Commande_Machine Dans cette partie, nous allons remplacer le régulateur classique de courant du schéma de commande vectorielle par le correcteur H ∞ synthétisée. Fig. (IV.4) : Réponse fréquentielle de G a (s), et K f (s) G(s) A m p l i t u d e ( d B ) Fréquence (rad/s) ( ) ) ( ) ( s G s K f ( ) ) (s G a 1 2 ÷ ÷ 1 2 ÷ ÷ ref O ref O est r sq i sd i PI IP Fig. (II.5) : schéma fonctionnel du système de commande. Corr H ∞ D é c o u p l a g e sd i sq i s O sq i sd i est r s Estimateur De s r et O n d u l e u r d q / a b c M A S Corr H ∞ CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 69 IV.3.1 Essai en charge nominale après un démarrage à vide La figure (IV.6) montre l’évolution de la vitesse de rotation Ω (rad/s), du couple électromagnétique Ce, des flux Ф r et de courants isα. Lors d'un fonctionnement à vide de la machine, suivi d'une perturbation de charge à t = 1.5s. IV.3.1.1 Simulation sans onduleur On remarque dans la figure (IV.6) que le courant isα présente des dépassements en régime transitoire qui disparaissent rapidement en régime permanent pour donner lieu à une forme sinusoïdale d’amplitude constante. Le flux rotorique Фr suive sa référence. Le couple électromagnétique subit un pic au premier moment de démarrage, puis converge ver zéro. A prés l’application de la charge à t =1.5 s on remarque : L’allure de la vitesse présente une chute rejetée rapidement puis se stabilise à sa valeur de référence. Fig. (IV.6) : Essai à vide et en charge (sans onduleur) Temps(s) C o u r a n t i s α ( A ) ref O * O V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) F l u x ( w b ) Temps(s) R C Ce Temps(s) C o u p l e C e ( N * m ) CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 70 Le transitoire du courant et maîtrisé, avec une forme sinusoïdale eu régime permanent. le découplage entre le couple et le flux est maintenu ce qui nous permet de contrôler indépendamment l’un de l’autre. Le couple électromagnétique rejoint, après un régime transitoire, la valeur qui compense le couple résistant appliqué (25 N.m). IV.3.1.2 Simulation avec onduleur On remarque dans la figure (IV.7) la présence des ondulations sur la réponse du couple électromagnétique elles sont liées aux harmoniques de courant. Fig. (IV.7) : Essai à vide et en charge (avec onduleur) Temps(s) C o u r a n t i s α ( A ) ref O * O V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) F l u x ( w b ) Temps(s) R C Ce Temps(s) C o u p l e C e ( N * m ) CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 71 IV.3.2 Teste de Performance et de robustesse IV.3.2 1 Teste avec variation de la charge 8 La figure (IV.8) représente la vitesse, le couple, le flux et le courant statorique ) ( s i de la machine asynchrone dans le cas d’un démarrage à vide, pour une référence de vitesse 157rad/s. A l’instant t =1s on applique un couple C r =10N.m, puis rejoint la valeur C r =25N.m à t=2s, on constate que le couple répond instantanément et la vitesse garde toujours sa forme sans dépassement, ainsi que le flux ne présentes aucune déformation. IV.3.1.2 Teste avec l’inversion de sens de rotation La figure (IV.9) représente les résultats obtenus avec les régulateurs H ∞ . L’essai représente une inversion de vitesse de 157 à - 157 sous une charge de 25 Nm. Fig. (IV.8) : Essai avec variation de la charge. V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) C o u p l e C e ( N . m ) Temps(s) Temps(s) C o u r a n t i s α ( A ) F l u x ( W b ) Temps(s) CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 72 On remarque que la vitesse suit sa référence sans dépassements. Les allures des grandeurs, couple électromagnétique et courant statorique présentent des pics lors de l’inversion de la vitesse avant de se stabiliser à leurs valeurs désirées, aussi on constate que le flux rotorique suit parfaitement la référence sans erreur statique. IV.3.2.3 Teste avec variation de la résistance rotorique En simulation, une fois le régime permanent du système établi, la valeur de la résistance rotorique R r de la machine asynchrone, est augmentée de 100% par rapport à sa valeur nominale à partir de t = 2s. Les résultats de simulation obtenus pour la variation de la résistance rotorique sont présentés sur la figure (IV.10) .la vitesse et le couple dans les deux courbes suivent leurs références. Les courbes de courant de flux et de couple présentent des petites déformations au moment de la variation de la résistance rotorique. ref O O V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) C o u p l e C e ( N . m ) R C Ce C o u r a n t i s α ( A ) Temps(s) F l u x ( w b ) Fig. (IV.9) : Essai avec inversion du sens de rotation Temps(s) Temps(s) CHAPITER IV Régulation H∞ de courant d’une commande vectorielle Electrotechnique 2007 73 IV.4 Conclusion Dans ce chapitre nous avons présenté une autre méthode de commande basée sur la commande vectorielle, c’est la méthode de synthèse des correcteurs H ∞ . Cette méthode est employé pour concevoir des correcteurs de courants robustes par rapport aux variations paramétriques et aux bruits de mesure et garantir la stabilité de système. Les résultats de simulation confirment en grande partie la praticabilité et l’efficacité de la méthode proposée. V i t e s s e ( r a d / s ) Temps(s) C o u p l e C e ( N . m ) Temps(s) Temps(s) Temps(s) F l u x ( w b ) C o u r a n t i s α ( A ) Fig. (IV.10) : Essai avec variation de la résistance rotorique Conclusion générale Conclusion générale Electrotechnique 2007 74 e travail présenté est consacré à la commande de la machine asynchrone alimentée par un onduleur de tension. Le modèle mathématique de système étudié a été présenté. On a commencé par la modélisation de la machine asynchrone dans un référentiel lié au stator. Nous avons ensuite, modélisé l’alimentation de la machine, puis on a discuté le principe du contrôle vectoriel à flux rotorique orienté. La synthèse des régulateurs classiques est ensuite abordée. Différents tests de simulation montrant les performances de la commande sont présentés. Ces tests nous permettent de mieux comprendre le comportement de la machine asynchrone en présence des perturbations de différentes natures (électrique ou mécanique). Les résultats de simulation montrent que les régulateurs classiques sont insuffisants pour satisfaire les performances exigées. Ils sont sujets à une détérioration des performances en présence des variations paramétriques. L'utilisation d'une commande moderne est plus que nécessaire. La synthèse H ∞ est bien adaptée pour résoudre ce type de problèmes et maintenir les performances exigées. Dans le cadre de la synthèse H ∞ standard, nous avons vu en effet qu’il était possible de traduire de façon assez systématique les objectifs de performance et de robustesse en terme de modelage des matrices de transfert de la boucle fermée. Dans le cadre de la commande H ∞ par facteurs premiers, on peut également modeler de façon relativement systématique les valeurs singulières de la boucle ouverte. Nous avons préféré d’utiliser la commande H ∞ par facteurs premiers, parce que cette méthode nous a semblé plus simple d’emploi que la commande H ∞ standard. Notre travail consiste à étudier la synthèse H ∞ par facteurs premiers et son application dans le but de commander la machine asynchrone. Nous avons essayé de la présenter d’une manière simple et claire pour permettre la compréhension de son fonctionnement. Nous avons remarqué par ailleurs sur notre application que les correcteurs H ∞ pouvaient présenter de bonnes propriétés de robustesse face à des dynamiques négligées. Cependant, des améliorations à notre travail peuvent être apportées dans le future. On suggère pour cela, l’utilisation d’autres techniques tels que la synthèse des correcteurs H ∞ par la méthode sensibilité mixte ou par la µ synthèse pour mieux traiter les variations paramétriques et donc avoir une commande robuste du système. L Annexe Annexe Electrotechnique 2007 A.1 Paramètres de la machine Caractéristiques Paramètres Puissance 4 kW Rs 1.2 Ω Fréquence 50 Hz Rr 1.8 Ω Tension 220/380 V Ls 0.1554 H Courant 15/8.6 A Lr 0.1564 H Vitesse 1440 tr/m J 0.0700 kg.m² Paire de pôle 2 f 0 A.2 Transformation linéaire fractionnaire [22]. La LFT (Linear Fractional Transformation) est un formalisme qui permet de boucler deux systèmes linéaires entre eux. Il est notamment utilisé dans des problèmes d’analyse et de synthèse. Ce formalisme résulte directement du produit étoile introduite par Redheffer en 1960. A.2.1 Produit étoile de Redheffer Le produit de Redheffer ou produit étoile de la matrice de fonctions de transfert H(s) partitionnée en 4 éléments : = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 22 21 12 11 s H s H s H s H s H (A.1) Par la matrice de fonctions de transfert G(s) partitionnée en 4 éléments : = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 22 21 12 11 s G s G s G s G s G (A.2) 22 21 12 11 H H H H 22 21 12 11 G G G G y 1 y 2 u 1 u 2 Fig. (A.1) : Définition du produit de Redheffer Annexe Electrotechnique 2007 Noté ) ( ) ( s G s H - est défini par la matrice de fonctions de transfert suivante : ÷ + ÷ ÷ ÷ + = - ÷ ÷ ÷ ÷ 12 1 22 11 22 21 22 21 1 11 22 21 12 1 22 11 12 21 1 11 22 11 12 11 ) ( ) ( ) ( ) ( G H G I H G G H G H I G G H G I H H G H I G H H G H (A.3) Ce qui correspond à la figure (A.1) Ce type de transfert est souvent désigné comme une transformation fractionnelle linéaire inférieure. En fait, ce qui fait le gros intérêt du produit de Redheffer, c’est qu’il permet de faire correspondre à n’importe quelle fonction de transfert définie par un schéma bloc une expression algébrique compacte et élégante. A.2.2 LFT basse Soient les transferts matriciels P et K dont les réalisations d’état sont : ( ) ( ) | | . | \ | + ÷ | | . | \ | = = ÷ 22 21 12 11 2 1 1 1 2 1 22 21 2 12 11 1 2 1 1 D D D D B B A sI C C D D C D D C B B A P (A.4) ( ) 3 3 1 3 3 3 3 3 3 D B A sI C D C B A K + ÷ = = ÷ (A.5) La représentation d’une LFT basse est : La représentation d’état du système équivalent notée G l = F l (P, K) ou G l = (P*K) est alors : + + + + + = 21 3 12 11 3 12 2 3 12 1 21 3 3 22 3 3 2 3 21 3 2 1 3 2 2 3 2 1 D FD D D FC D C FD D C ED B C ED B A EC B D FD B B FC B C FD B A G l (A.6) Ou : ( ) ( ) 1 22 3 1 3 22 ÷ ÷ ÷ = ÷ = D D I F D D I E (A.7) P K Fig (A. 2) : Schéma bloc d’une LFT basse. y 2 y 1 u 1 u 2 Annexe Electrotechnique 2007 En partitionnant = 22 21 12 11 P P P P P de la sorte, le transfert matriciel équivalent est : ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = + = 2 2 2 22 1 21 2 2 12 1 11 1 Ky u u P u P y u P u P y (A.8) A.2.3 LFT haute La représentation d’une LFT haute est : La représentation d’état du système équivalent notée G u = F u (P,Δ) ou G u = (P*Δ) est alors : + + + + + = 12 4 21 22 4 21 1 4 21 2 12 4 4 11 4 4 1 4 12 4 1 2 4 1 1 4 1 1 D FD D D FC D C FD D C ED B C ED B A EC B D FD B B FC B C FD B A G u (A.9) Ou : ( ) ( ) 1 11 4 1 4 11 ÷ ÷ ÷ = ÷ = D D I F D D I E (A.10) A.3 Commandabilité et Observabilité L’état d’un modèle est l’ensemble des informations indépendantes nécessaire à connaître à l’instant initial pour pouvoir prédire le comportement du modèle en réponse à une entrée donnée. Construire une équation d’état d’un modèle consiste donc à proposer un modèle ne faisant intervenir que des équations différentielles d’ordre 1. Dans le cas d’un système linéaire à coefficients constants, ce sera une équation de la forme : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t Du t Cx t y t Bu t Ax t x + = + = (A.11) P Δ Fig. (A.3) : Schéma bloc d’une LFT haute y 2 y 1 u 1 u 2 Annexe Electrotechnique 2007 Où A, B, C et D sont des matrices constantes de dimensions respectives ), ( ), ( m n n n × × ) ( n m× et ) ( m m× . L’introduction de ces variables suscite deux questions relativement à chacune des relations de (A.11). La première concerne l’influence de la commande ) (t u sur l’évolution de l’état ) (t x : est-ce que, pour tout couple ) ( 0 0 t x x = et ) ( 1 1 t x x = , il existe un vecteur de commande ) (t u défini sur l’intervalle | | 1 0 , t t qui permette de passer de 0 x à 1 x ? Il s’agit du problème de la commandabilité. Le système (A.11) est commandable (on dit aussi la paire (A, B) est commandable) si et seulement si : | | ( ) . 1 2 n B A B A AB B rang n = ÷ (A.12) La deuxième question concerne la détermination de l’évolution de l’état ) (t x à partir de la connaissance des sorties ) (t y : est-ce que la connaissance de ) (t y sur l’intervalle | | 1 0 , t t permet d’obtenir la valeur de l’état à l’instant 0 t ? Il s’agit du problème de l’observabilité. Le système (A.11) est observable (on dit aussi la paire (C, A) est observable) si et seulement si : . 1 2 n CA CA CA C rang n = | | | | | | . | \ | ÷ (A.13) Stabilisabilité : Un système (A.11) est dit stabilisable s’il existe un retour d’état v t Kx t u + = ) ( ) ( tel que le système contrôlé. ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t Dv t x DK C y t Bv t x BK A t x + + = + + = Soit stable. D’après cette définition la commandabilité entraîne la stabilisabilité (la réciproque étant fausse). Détectabilité : Un système (A.11) est dit détectable s’il existe une matrice m n G × 9 e telle ( ) GC A+ soit stable. D’après cette définition l’observabilité entraîne la détectabilité (la réciproque étant fausse). Bibliographie Bibliographie Electrotechnique 2007 [1] R. P. Eguiluz, « Commande algorithmique d’un système mono-onduleur bi- machine asynchrone destiné à la traction ferroviaire », Thèse de doctorat, INPT, TOULOUSE .2002. [2] L. Mutrel, « Le moteur asynchrone «Régime statique et dynamique», Ellipses édition. 1999. [3] D. W. Novotny, T. A. Lipo, «Vector control and dynamics of AC drives», Clarendon press, OXFORD. 1999. [4] G. Scorletti, « méthodes de synthèse fréquentielle H ∞ », Cours AU32 du Master recherche ESCI 2A UFR de Sciences Université de Caen. 2007. [5] B. Nahid Mobarakeh, « Commande vectorielle sans capteur mécanique des MSAP », Thèse de doctorat, INPL, LORRAINE. 2001. [6] K. Fadhli, « Modélisation et identification de la Machine Asynchrone », P.F.E, UFAS. 2000. 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La méthode est exploitée pour la détermination des correcteurs de courants statoriques. Une simulation numérique est utilisée pour illustrer la performance et la robustesse du système par rapport aux perturbations externes et internes tels que la variation du couple de charge et de la vitesse et les variations paramétriques du moteur. Mots clés : Machine à induction, Commande vectorielle par orientation du flux, Commande robuste, Contrôle H ∞ , Marge de stabilité, Loop-shaping. REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTER D LE S I N ME TS P RE RE D L R C E C E E E ’N EG E N U E IU T E A E H R H SCIENTIFIQUE U I E ST D M’IA N V R IE E SL F C L ED SS IN E E S IN E D LI G N E R A U T E CE C S T CE C S E ’ E IU N D P R E N DE E T O E H IU E A T ME T ’L C R T C N Q E ME IED FND E U E E V ED LO T N I ND D P O MO R E I ’T D S N U E ’ B E TO U IL ME D I G N E RD E A E G N EE E T O E H I U ’ E IU ’T T N E I L C R T C N Q E N OPTION : COMMANDE ELECTRIQUE THEME C mma d du e o n e ’n Machine à Induction Par la Méthode H∞ Proposé et dirigé par : Mlle BENDERRADJI . H Présenté par : CHEBABHI Moqrane HAFFAF Adil Année Universitaire : 2006/2007 Remerciement En premier lieu nous tenons à remercier le bon Dieu tout-puissant et msr od u d lbne at d l vl ted lptne uinu a i i ri x ea on sn ; ea o n tea a ec q’ os éc e é oé i l accordé tout le long de notre étude. Nous tenons à exprimer toute reconnaissance et nos profonds remerciements à notre promotrice Melle : H. BENDERRADJI qui nous a aidé et dirigé par ses connaissances et ses conseils. Nos remerciements vont aussi à tout les enseignants qui ont participé à notre formation et tous qui nous ont aidé pour la réalisation de ce travail Notre profonde gratitude à tous les enseignants du département dé c o ’ et technique qui nous ont assuré une formation aussi meilleure que l r possible. Et enfin un remerciement spécial à nos collègues les étudiants dé c o ’ et technique. l r Sommaire . ..........................................21 Electrotechnique 2007 V ................2 Equations magnétiques ................................07 I......................3......3..............1..............5....3 Equations mécaniques .......................................................................15 osom dé t t I.........1 Equations électriques ........................5.............................................................I Notation ...............11 I.......13 I............2......1 Equations électriques ..................................06 I...2..........................17 I........................................1......................08 I...........................5...................13 I.................................... VII Liste des figures .........................................................2..............................................................11 I...7.........................................12 I........... Bloc de simulation de la machine asynchrone ..............13 I...........1...2..11 I..................................3..................................3 Equation mécanique .........................................1 Equation de la Machine Asynchrone dans le repère uv ......8..................................... I........... Simulation de la machine asynchrone .....5 Modèle de la Machine Asynchrone dans le système triphasé ..................................3.17 I...................................................................................2 Description de la Machine Asynchrone triphasée .2 Equations générales de la Machine Asynchrone triphasée .....................................7........3 Modélisation de la mas triphasée .....5..........................................................................Sommaire Sommaire .....3.....................1 Principe de base ............................05 I...........5.............................................13 ......................................................................................2 Choix du repère de référence ..........................1 INTRODUCTION .....................................03 I..................................................................................5..................... Moést n e’nu u de tension à MLI ...........5..5..........01 Chapitre I : Modélisation et Simulation de la Machine Asynchrone I.........................08 I........................8...........19 dlao d l dl r ii o e I................18 I.03 I...............................................11 I....................................................................................3...................................2 Equations magnétiques .4 Equations de la Machine Asynchrone dans le repère ( ) .................06 I.........................................................................6 Modèle de la Machine Asynchrone su fr e ’ a ..............................11 I....................................................................5................4 Transformation de Park ..............05 I... X Introduction Générale ..............................................................................7..1 Equations électriques ..1...3...........................................2 Equations magnétiques ................... Résultats de simulation ............................ q) ..........................................................................3 Equations de la Machine Asynchrone dans le repère (d...............1 Hypothèses simplificatrices de la Machine Asynchrone ....... ...................................................................................................... Résultat de Simulation de l s c t n ’ s ii Onduleur Machine ............................................6 Si u t n e’ sm lCommande-Machine ..................... Bloc de défluxage ......................2............................................................................9................36 II..................................... Principe de la commande vectorielle ...2 Test avec variation de la vitesse .................5.....3 Régulateur de vitesse ...........5.....1......................24 CHAPITRE II : Commande Vectorielle de la MAS par Orientation du Flux Rotorique II.. Estimation de flux rotorique ..1 Simulation avec onduleur .............................34 II............................................35 II...........................25 II........6.......33 II...................................4...................................41 II..................2 Régulateur de flux .........3........39 II..................................38 m li d l ne b ao e e II..........1..............31 II..................................28 II................................................ Mé oe doi ti d f x............Sommaire I......6..............4........................................... Commande vectorielle directe ..........................26 II.............................. Régulation du système ...........................1 Test avec variation de la charge ...........2........6............................................1.4..........................................43 II..................... INTRODUCTION ...............................................................................1..............6.................................45 Electrotechnique 2007 VI ................. Equations de la machine asynchrone en régime dynamique (dq) ......................6.........1 Simulation sans onduleur ....................................................42 II................4 Test avec variation de la résistance rotorique ..32 II............ CONCLUSION .............................4...............2..41 II..........................1 Essai en charge nominale après un démarrage à vide ..........................1 Régulateurs des Courants .......4........ Principe de la commande vectorielle (CV_OFR) .........1.................27 II..................7 CONCLUSION ............................................6.............................2....................43 II...2..25 II..................................6.................... Commande vectorielle par orientation du flux rotorique (CV_OFR) .................26 t ds ’r n t n u l h e ao u II.......26 II.....40 II....................................33 II..........8....................2 Tests de performance et de robustesse ....................3......4.5.6.....................23 a o ao I..............2.....................................4.............3 Test avec inversion du sens de rotation ...............1 Calcul des Régulateurs .1....................5....5..................................39 II...4.........5.....................27 II....................................................6.....1 Commande vectorielle indirecte .................................... ..................................................57 III.................6..............50 III.3.49 III......................1 Définitions .................................................................................................................1..4..................46 III..................................53 III..............2 Résolution du problème H∞ fondée sur les équations de Riccati ...............1.....1...............46 III...................6......4.................................5.......................................5.....................................................................2...............................6.................................................................................................................7 CONCLUSION ...........2 Incertitude structurée ..3................5.................................................................6...........48 III......................52 III......................................................................1 Chois des fonctions de pondération .................55 III..................................................2 Norme de Hankel ....................53 III..........................................................1 INTRODUCTION ..............................46 III...........6..........................2.........59 III.................................2 Problème H∞ sous optimal ..1 Méthode de résolution du problème H∞ fondée sur les LMI ..........2..............3........................................................................1 Décomposition en valeur singulière ...1 Factorisation première .62 III.54 III..48 III..........1 Stabilité .1 Stabilité Classique ..........52 III................2 Méthodes de résolution ......................................................3 Norme H∞ .............................2 Notions mathématiques .............2 Stabilisation robuste face a une perturbation sur les facteurs premiers du modèle ................................55 III......................1.....5.........................55 III....................................................................3..........................................................................4 Equation du système contrôlé .......................................2 Factorisation première à gauche normalisée ........5..................................................3 Modelage de la boucle ouverte (loopshaping) .................................58 III..............................................2.........1 Propriétés de la norme H∞ ....6 Synthèse h∞ par facteurs premiers .......................1 Incertitude non structurée .............................58 III...................5...54 III.......................................................................................1..........................................................................6...............................62 III................2 Conception de loop-shaping ......3 Incertitudes dans un système ...................................2.............61 III.............................55 III.....50 III..........................................................................................................2.....1...1 Problème H∞ ..........2 Stabilité interne .Sommaire CHAPITER III : Méthodes de Synthèse Fréquentielle H∞ III..................................................................60 III........5 Approche H∞ standard .................49 III......1 Problème H∞ optimal ...................................................4....3......................................50 III.....................63 Electrotechnique 2007 VII ..........6.. .................................................................................1 Teste avec variation de la charge ............72 IV.......3...............................3.71 e i sn ao IV..........69 IV........64 II........................................1..........3 Sm li d l ne b C m ad_ ci i u t n e’ sm l o m neMah e............1............................................................................................................................3...1 Simulation sans onduleur ....2 Teste avec variation de la résistance rotorique ....................1 INTRODUCTION ..............1 Essai en charge nominale après un démarrage à vide ...........2 Simulation avec onduleur ............................................3.................................3....2 Teste de performance et de robustesse ...................................4 CONCLUSION ...68 ao e e n IV................2.............71 IV.....2.....................64 IV..............2 Synthèse des correcteurs ...............3 T s ae lne i d sn d rti et vc’ vro e es e o t n....................74 Annexe Bibliographie Electrotechnique 2007 VIII .............................................70 IV...................73 Conclusion Générale .......3...............................................69 IV...............71 IV....................................................................................2.....................................3................Sommaire CHAPITER IV : Régulation H∞ de Cu nd nCm adV or t’ e om ne ectorielle a u IV......................... NOTATIONS ET ACRONYMES . Axes fixés par rapport au champ tournant. o l ao oq Courants statoriques. Courants rotoriques. tc ’ dc ne s t q s re n a a ru Ma i di ut cso r us tc ’ dc ne rt i e. Axes fixés au rotor. Pulsation rotorique. l s Rr . ra rb rc s L r L sr M Rs . Vrb . i sc ira . R s t c ei ut c pordue hs s t i e éia e tn c ne rpe ’n pae to q . Flux statoriques. i rb . Axes fixés au stator. Flux rotoriques. . sn d a oq Inductance mutuelle entre une phase de stator et une phase de rotor. Ma i di ut cs toi e. T ni s ’ i eti ds hsso r us es n dam n t n e pae rt i e.Vsb . . irc .Notations et Acronymes NOTATIONS Vsa . sa sb sc . i sa . y x. Vrc Tensions dam n t n e pae s ’ i eti ds hss t l ao atoriques. sn d a a ru R s t c ei ut c pordue hs rt i e éia e tn c ne rpe ’n paeo r u.Vsc Vra . re n a oq Matrice des inductances mutuelles du couplage entre stator-rotor. ’ dc ne u ee n e hsso r us n a ul r oq Angle électrique. i sb . Pulsation statorique. s r p s r Electrotechnique 2007 VII . v u. D paae u ’ direct par rapport au stator. éhsg d l xe a Matrice de transformation de PARK. rotor. l r M sr ms mr . . Li ut c m t l et paes statoriques. ’ dc ne u ee n e hs n a ul r Li ut c m t l et pae rt i e. N I AT A Electrotechnique 2007 VIII . Facteur intégral. Valeur efficace de tension. Couple résistant. Transposée conjuguée de la matrice A Produit étoile de Redheffer d .Notations et Acronymes p Pulsation mécanique du rotor. Ts Vs ws Sabc s Kp Ki H i PQ M. Matrice identité. Nombre de paires de pôles. P l t n ’ i eti . Mo et ’ e id lp m ndi re ea artie tournante de la machine. Constantes de temps rotorique et statorique. dt Cr f J C em Tr . Vitesse angulaire de rotation. Les valeurs singulières de Hankel. nt Couple électromagnétique. r erbo ens e o m ne e ba e’ dl r n é s o e Opérateur dérivée de LAPLACE Facteur de proportionnalité. Facteurs premiers normalisée.N ~ ~ M. Transposée de la matrice A. u ao dam n t n si l ao G adus ol ne d cm ad ds r d l nu u. Coefficient de frottement. Coefficient de dispersion. Correspondent aux solutions définies positives de lyapunov Facteurs premiers. L nr e e akl ’n a om d H nedu système. Single-Input Single-Output (système à une entrée et une sortie). Linear Fractional Transformation (transformation fractionnelle linéaire). Marge de stabilité. Régulateur intégral-proportionnel. Electrotechnique 2007 IX . SVD Singular Values Decomposition (Décomposition en valeurs singulières). LMI SISO MIMO Linear Matrix Inequality (Inégalités linéaires matricielles). Multi-Input Multi-Output (système à plusieurs entrées et plusieurs sorties). Ensemble des matrices de fonctions de transfert rationnelles à coefficients réels strictement propres et stables. sI 1 ACRONYMES PI IP MAS LTI LFT Régulateur proportionnel-intégral.Notations et Acronymes A) ( Valeur propre de la matrice A Valeur singulière maximale de la matrice A Valeur singulière minimale de la matrice A ) (A ) (A G (s ) Norme H∞ de la fonction de transfert G (s ) . Machine Asynchrone Linear Time Invariant (système linéaire stationnaire). H A) ( RH∞ A B D C Matrice système associé à la matrice de transfert C A B D . Rayon spectral de A. Listes des Figures . ...... (I...........04 n Fig.............. (II...............................................................................31 Fig.......12 Fig. (I.................................................................................... .34 Fig..........6) Shm du odl r ees n r hs . (I..........1) : Modèle due ah e snhoe ’n m ci aycrn triphasée .18 Fig..................................................................................38 Fig........ (II........... (II......39 Fig........... (II...36 Fig.................6) : Régulation du courant ................................................................................................................................ (II......11) : Essai à vide et en charge (avec onduleur) ...2) : Reconstitution des tension Vsd et Vsq ..1) : Principe du contrôle vectoriel (OFR) …. (I..........13) : Essai avec variation de la vitesse ..........................15) : Essai avec variation de la résistance rotorique ................................................................................................... (II...........................................3) : Définition des axes réels du moteur asynchrone triphasé par rapport aux différents référentiels .Liste des Figures CHAPITRE I Fig.............10) : Essai à vide et en charge (sans onduleur) ...40 Fig...................8) : Simulation d l nu u de tension à MLI .. ..........29 Fig..........................32 Fig.................................................................a) : Régulation du vitesse ...........23 ’n ca (r g ..........................22 Fig.............................. (I....2) : Axes des repères UV …........................................14) : Essai avec inversion du sens de rotation ........ (II............7) : Régulation du flux ..............35 Fig......7) : Schéma synoptique ....................... (II....... (II............ (II....8............. (II....42 Fig..........................................44 Electrotechnique 2007 X .......... (II.. ................12) : Essai avec variation de la charge ......................5) : Relations de transfert ................b) : Régulation du vitesse .................. CHAPITRE II Fig...... (I..............4) : Schéma de simulation de la MAS ..........m à t =1 s) ……….9) : Résultat de simulation e’ sc t n nu u m ci avec application d l s ii odl r ah e a o ao e n due hreC =25N..........17 Fig..................41 Fig.................. (I............................ (II....................9) : Schéma fonctionnel de la commande vectorielle .. (I........................... (II...........33 Fig...........37 Fig............................... (I........m à t =1 s) ...............5) : Evolution du modèle en tension de la M AS Avec (Cr =25N.................................43 Fig.......................................19 cé a ’n nu u d t i tpaé e no i Fig.......4) : Schéma de l'estimateur de flux en boucle ouverte ......................................................09 Fig...............8.......... ............................. (II-3) : Fonctionnement à toutes vitesses .....22 e’ dl r o e Fig..... (II..................32 Fig... ......6) : Schéma du système augmenté .............1) : Représentation Fréquentiel de G(s) .................................................5) : Schéma fonctionnel du système de commande ........53 Fig.....70 Fig........6) : Essai à vide et en charge (sans onduleur) ..................................... (III................................................ (IV...............61 CHAPITRE IV Fig (IV...............................73 Electrotechnique 2007 XI ...7) : Essai à vide et en charge (avec onduleur) ....... (IV....2) : Représentation Fréquentiel de Ga(s) et W1(s) ........ (III.......10) : Essai avec variation de la résistance rotorique ........ et Kf(s) G(s) .......Liste des Figures CHAPITRE III Fig................... (IV..............9) : Essai avec inversion du sens de rotation ........... (IV.............................. (IV................................................................. (III...............57 Fig.68 Fig... (III.............3) : Problème sous forme standard ..................65 Fig......50 Fig............................. (III..............................72 Fig.....................51 Fig.........................2) : Système en boucle fermée ....8) : Essai avec variation de la charge ......... (IV............3) : Système augmenté en boucle fermée ...5) : Perturbation sur les facteurs premiers a gauche .... (III. (IV................................66 Fig............................................. (IV..71 Fig.............................. (IV..........69 Fig...................................................................................64 Fig.........1) : Incertitudes non structurée ...............4) : Paramétrisation de la solution du problème sous-optimal ..........4) : Réponse fréquentielle de Ga(s)..................................60 Fig......................68 Fig.............................. Introduction générale . uq’s a et cours de fonctionnement. Malgré tous les avantages cités précédemment. et m s ’ fr aqe n sis n i d rl dat pr aux semi-conducteurs de puissance de hautes performances qui constituent les ’ r a. Son domaine de puissance va de quelques watts à plusieurs mégawatts. qui et l poé e a i p cé e a t c r A s c qio p qe e odèle. np a se a contacts électriques glissants. la commande des machines asynchrones pose des problèmes du fait que son modèle de base est non linéaire et fortement couplé. On peut l’ appeler de néo classique car contrairement aux méthodes dites modernes. dite commande vectorielle à flux orienté. Le moteur asynchrone ou moteur à induction est actuellement le moteur électrique dont l sg ete l r onudn lnuteS npi i l vn g r i dn l bec d ’ ae sl p s é d as’ dsi o r c a aat e é d as’ sne e u u p i r. c s l qiet ti pu l ’ t u u s u lé or a e i is réalisation de la quasi-totalité des entraînements à vitesse constante. est que les sà’ ps d l s li d s sut e us e u cm l u c m o m it r u. dans une grande plage de puissance [1]. comme les résistances de rotor et du eué o ui vr n au s l i stator [3]. Son principe consiste à éliminer le couplage entre lnut r e lnu d l m ci aycrn. eedn ’ pr ne i ae u n n i . i i paramètres du moteur asynchrone sont connus approximativement et peuvent varier avec le temps (température).e i am n él f b s s ect m t d f eaxi e i ds e pr è e. Dans les années 70. ue t cne i ers t us s c s u ss m s e o m neL dgé ’ éoao ae t ovrs us ti e as i ax yt e d cm ad. Le moteur asynchrone pr e as l r lao det î m n à is vr b e l p c q’ peddn c e t us a é i t n ’ r n et v es a al ta l e ui r m i as i na e s t e i e a l n as e domaine ne cesse de croître [2]. lf itdi p n t ndes ’n pr àa a lé ’ l ti t ci m a ao Electrotechnique 2007 1 . ce qui conduit à une structure simple et robuste facile à construire. le moteur asynchrone tourne à vitesse peu différente de la vitesse synchrone. dn ee pr e dot i u ’ dc u t ’ di e a ah e snhoe oc l e t ’b n n i e i t n l m er fnt ne eto pr là e i ea ah e cuatot u C pnatl xé ec oconm n cm a b cl d lm ci à or cn n. elles étendent de façon importante L e développement des systèmes utilisant les machines asynchrones fonctionnant à fréquence variable a été possible grâce. ui si t ot e a l s d ee é oe a u n rt e ds a m t sq’s o n r s ie e t h c c tu a r l e m sr . Loj t d c ’b cf e etravail est de présenter le principe de la méthode de synthèse de ei correcteurs des systèmes linéaires apparus au cours des années 80. e er da l r i ti ts aq oé è m i t n tn pu cs yt e pr edag et l rap ct n j r pè j en remplaçant divers or e ss m s e t’ m n re s plaoso ar o è m u e u i i u s ur. la commande vectorielle à été réalisée par Blaschke. Relié directement au réseau industriel à tension et fréquence constantes. ainsi que la présence des incertitudes de modélisation les bruits de mesures. due a .Introduction générale algorithmes complexes à temps réel dans les actuels systè e di om t u i ute . entraînements à courant continu. la méthode de synthèse H∞ permettent de traiter simplement la commande des systèmes à plusieurs entrées et plusieurs sorties (systèmes MIMO). Ce mémoire est organisé de la façon suivante : Dans le premier chapitre nous présenterons la modélisation de la machine en utilisent la transformation de PARK avec l s c t n ’ s ii machine . Des commentaires et une conclusion générale seront faits afin de justifier aussi bien la recherche dans le domaine de la commande H∞. ’ul nm d ctte méthode de synthèse. De plus. formulation e e i m s i o dot i i )La i ao i ao mathématique utilise la norme H∞. a o ao Le deuxième chapitre sera consacré à la synthèse de la commande vectorielle de la machine à induction par orientation du flux rotorique e lm l ti des régulateurs t’ p n t i a aon classiques pour sa commande. le quatr m caie e cnar à’ p ct n ea é oe e yt s H i e hp r sr osc l plao d lm t d d sn èe ∞ è t a é a i i h h pour le calcul des correcteurs des courants.Introduction générale l ots l s us e’ e u lc s qe d l s i ai Automatique Fréquentielle. la recherche du correcteur se fait par un algorithme qui résolu le problèm dot i t n e ’p m s i . et on décrit la méthode utilisée pour la synthèse des correcteurs H∞. onpéet a ot ’ odla méthodologie théorique de la r n r t da r s e u b synthèse H∞. Une fois le do e o e e critère mathématique est défini. En plus des spécifications de performance. Dans les nouvelles approce d l u m t u Féquentielle. le premier point hs e ’ t aqe r A o i intér sn et uee sont basées sur une traduction assez directe du cahier de charge en un e atsq’ l s ls critère mathématique à vérifier (problèm d m n i t n u ’p m st n. Electrotechnique 2007 2 . contrairement aux outils fréquentiels classiques. Enfin. La problématique de la robustesse consiste à essayer de prendre le maximum de garanties a priori pour que le correcteur synthétisé sur un modèle fonctionne effectivement sur le système physique en tenant compte explicitement du f t ui etm os l d r r a q’ s i ps b e e ésenter parfaitement un système physique par un modèle i l ie p mathématique [4].onduleur de tension à MLI. Dans une grande mesure. elle prend en compte de façon explicite et complète un certain nombre de spécifications de robustesse. Dans le troisième chapitre. i ao Li érêt de cette technique par rapport aux techniques dA t aqeFéquentielle ’t n ’u m tu r o i classique est de permettre la mise au point rapide de correcteurs. cette méthode de synthèse permet de pallier les limitations des outils classiques [4]. Chapitre : I Modélisation de la machine asynchrone . Grâce à la transformation de Park [1].l et ’n pot r e n e tn due a e e i e ue r l cu m t t st i aed c qel n pu osre epr ete ete dat pr d péo ds m g e e u ’ et be r xé m n l n t ’ r a e r i e o v i am ue t vr comportements de la machine plus variés que cu d l be ao epr ete . une règle de calcul empirique ou un système d'équations différentielles afin de construire un modèle relativement satisfaisant compte tenu des objectifs poursuivis et des moyens disponibles. La carcasse nervurée à ailettes oi pe e o r ’ r a o l é o ue t r longitudinales est un monobloc en fonte ou en acier [7]. L'élaboration d'un modèle (modélisation) consiste à utiliser une loi physique. ex e’ sr t n xé m n l[6] o vi i a L cna snee l t edscm ot et s t use dnm qe du m t r a oni ac t’ u e o pr m n ti e t ya i s ’n o u s éd e s aq u e asynchrone sont basées sur une modélisation mathématique appropriée à son comportement réel. Quelque soit le but de la modélisation. n u eee sdu aprpéi xe pr eat ’n prd r tur n hnm nsE ot . mais magnétiquement équivalente. lorsque ce dernier est soumis à des influences externes. le modèle obtenu est souvent une représentation imparfaite du procédé réel.2 Description de la machine asynchrone triphasée La machine asynchrone comporte une part f e ost e ’n cr s à’ t i r i i cntu due a as ln r ue ex ié c e iée d l ul sn l é l c cim géqe te oi g d s t due a .1). Le stator duem ci aycrn et ost d t i eru m n cul e ’n ah e snhoe s cntu e r s nol et op s n n ié o e s é é i o e tag . I. Dans cette modélisation le moteur asynchrone triphasé réel est remplacé par une machine biphasée fictive.Lam n t n d cseru m n pru ss m d t s n t l u n r nl ’ i eti e e nol et a n yt e e e i s oe i e l ao e s è no éu i és e elc ao du ca p ant u tournant dn l n e r ea ah e qib e pr ta r t n ’n hm m géqe lr m éi i as’ t f d lm ci . soit du fait d'une simplification délibérée répondant à des contraintes pratiques [5]. La deuxième partie sera consacrer sur la validation par simulation numérique du modèle de la machine. e re n La vitesse de rotation de ce champ par rapport au stator est s s p Electrotechnique 2007 3 .1 Introduction Un modèle est une représentation mathématique qui permet de décrire et de prédire le comportement d'un procédé réel. La modélisation permet de guider les développements par une quantification des péo èe.t n pre e a ee oto se i u ant u e l bb ae u to ’n pr e ue a i q l g r t i n ar t t m b e apl rt dat pr vi figure (I. Ce chapitre comportera deux parties. soit par manque de connaissance de certains phénomènes.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone I. dans la première on donnera un modèle mathématique de la machine asynchrone dans le plan triphasé puis biphasé selon la transformation de Park. bobinage triphasé à même nombre de pôles que celui du stator. Fig (I. P désigne également le nombre de paires de pôles du champ (une paire étant cntue ’n ô N r edu plS d. On appelle glissement lgadu gs xr e n a r er . Ce ro r cg déueis cm ot cm eu t à ae ’ r l e o pr o m n o c u e rotor bobiné.CHAPITRE I Sb isb • Vsb ◦ Modélisation de la Machine Asynchrone Ra Rb • irb Vrb 2π /3 ira Vra ◦ ◦ • θ • isa Vsa Vrc ◦ irc • Rc o Sa Vsc isc Sc Partie fixe : Stator. due Où ds n l pl t nd r eudam n t ntpaés t i ee d cau i s i u é a ’ i eti r hs to q t e hqe s l ao i a ru S é ge a u ao bobinage.l rvqe é e e e c s e n dt ainsi le démarrage et la rotation du rotor dans le même sens que le champ tournant [7].epi e %: n ’ m Electrotechnique 2007 4 . Ce type de rotor est dit bobiner mais on peut envisager un rotor plus sommaire constitué de barres conductrices court-circuitées par un anneau conducteur à chaque extrémité.1) : Modèle ’n machine asynchrone triphasée. Entrefer constant. Le principe d fnt ne et um t raycrn etbs srlnut nds e oconm n d o u snhoe s aé u ’ dco e i e i i courants dans le boi g d rt pr n hm t rat as’ t f . • Partie mobile : Rotor. e hm t rat b ae u o r a u ca p o nn dn l n e rC ca p o nn n o u e re u v c e u cul m t r u s xr sre cnut r ds or ti u sIpoou a r r n op o u qi’ e e u l odc us e cua sn i. ost du pl od t ’n ô u) ié e e Le rotor de la machine supporte un bobinage semblable à celui du stator. Ces trois bobinages sont couplés en étoile et court-circuités sur eux-mêmes. Le rotor tourne à une vitesse angulaire inférieure à S . Les résistances des enroulements ne varient pas en fonction de la température de fnt ne ettn él e gl et’ f d pa. d ti u La constance des inductances propres. on peut citer : Lad i td f x ’ iv é u l . r est s constamment satisfaite. ft n i e Dsi t n ptldsocs ant o i s as’ t f eti sï l ir u o saa e fr m gé m tc dn l n e r ss uo a . θ l nlfait par une phase rotorique par rapport à la phase statorique :’ g a e correspondante. Dans une machine asynchrone. lpéo èe ’ dco é c o ant u d pr t e hnm n di ut n l t m géqe i a î n i er i s a. Pertes ferromagnétiques négligeables. parmi les conséquences importantes de ces hypothèses. I. 5 Electrotechnique 2007 . Ra.3.3 Modélisation de la Machine Asynchrone Triphasée Le modèle de la machine à induction triphasé est illustré par le schéma de la figure(I.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone ω Ω Ω ω ω g r s s ω ω Ω s s s : Pulsation rotorique r : Pulsation statorique s : Pulsation mécanique du rotor. la condition de fréquence. Rb.1 Hypothèse simplificatrices L m dlao d lm ci aycrn s pu sr n e a nm r d yo èe a oést n ea ah e snhoe ’ pi u u cr i o be ' pt ss ii n a e tn h h simplificatrices. Quand la pulsation mécanique est égale à la pulsation du champ tournant . tb i ie e o re e re n de Circuit magnétique non saturé et à perméabilité constante. S I. oconm n eo ng g éa m n l f t e eu i i e ee Ainsi. Rc : trois enroulements rotoriques. Sb. qui sont [8]: Let f et’ a su ui r e ’ r e sdé i er n om . s m u s a ru oq e e i sont : Sa. ne r ps f Le edeccae sng gal ’ f ’ ohg et él eb .1) ae l a a r s t i e e rt i e sn m n s hcn du eru m n tpaé vc e r t e to q s to r us ot ui caue ’n nol etr hs. Sc : trois enroulements du stator. 3. Rr : Résistance d'une phase rotorique. i sc : Les courants statoriques.2) En désignant par : Vsa . Electrotechnique 2007 6 . Vsb . .1). : Les flux totaux à travers ses enroulements.2 Equations générales de la machine asynchrone triphasée La structure principale de la machine asynchrone dans le repère (ABC) est présentée par la figue( L s ri ae s t i e sn dcl et s u du ag 2π/ ainsi les r І . sa sb sc Rs : Résistance d'une phase statorique. Dans le cadre des hypothèses simplificatrices et pour une machine équilibrée.1 Equations électriques La loi de Faraday pr edéree éut n é c i e d t s n e t ipae e t ’ i l qaos l tq s ee i dsr s hss m cr s i e ru no o statoriques et rotoriques: d Vsa Rs i sa sa dt d Vsb Rs i sb sb dt d Vsc Rs i sc sc dt d Vra Rr ira ra dt d Vrb Rr irb rb dt d Vrc Rr irc rc dt (I. i sa .CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone La loi de variation sinusoïdale des inductances mutuelles entre les enroulements statoriques et rotoriques. Un angle θ repère le déphasage entre les axes rotoriques par rapport aux axes statoriques. e t s xs to q s ot éa s n e ex ’n nl o a ru é r e 3. i sb .2. .1) (I. les éut n d lm ci s c vn cm e u : qaos ea ah e ’ r eto m si i n éi t I. I. axes rotoriques. Vsc : Les tensions statoriques.3. 8) Où : s L : Ma i di ut cs toi e.5) Où : d i dt V R r ( abc ) r r ( abc ) r ( abc ) (I.3. tc ’ dc ne s t q s re n a a ru r Ma i didc ne rtr us L : tc ’ ut cso i e.9) Cos / 3 Cos / 3 2 2 Cos / 3 sr rs M 0 2 M =M = Cos Cos Cos / 3 2 / 3 Cos / 3 Cos 2 2 Cos Electrotechnique 2007 (I.2 Equations magnétiques L se t n et l f x te cuatd s t ed rt s c vn cm e u : e r aos n ee l el or s u to t u o r’ r eto m si li r su s n ar o éi t Pour le stator : ( abc ) s is ( abc ) sr ir ( abc ) L M s T Pour le rotor : ( abc ) r ir ( abc ) sr ( abc ) L M is r (I.2) se présentent naturellement sous forme matricielle: Pour le stator : V R sa s V 0 sb sc 0 V 0 Rs 0 i sa 0 sa d 0 i sb sb dt sc Rs i sc (I.6) I.10) 7 .2.1) et (I.3) Où : d i dt V R s ( abc ) s s ( abc ) s ( abc ) (I.7) (I.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Les équations (I.4) Pour le rotor : V R ra r V 0 rb rc 0 V 0 Rr 0 i ra 0 ra d 0 i rb dt rb rc Rr i rc (I. re n a oq sr Matrice des inductances mutuelles du couplage entre stator-rotor. M : Avec : l s s s L = M s M Ms ls Ms Ms Ms ls l r r r L = M r M Mr lr Mr Mr Mr lr (I. Electrotechnique 2007 8 . grâce à la transformation de Park. Cr : Couple de charge. par contre. La transformation de Park etni n (99. Ce : Couple électromagnétique.CHAPITRE I Où : ls : Modélisation de la Machine Asynchrone Idc ne rpe ’n pae toi e nut c pordue hs s t q .’ t e l d e o u e tout simplement parceque les progrès de la technologie des composants permettent maintenant de la réaliser en temps réel [9]. Dans cette modélisation le moteur asynchrone triphasé réel est remplacé par une machine biphasée fictive. Les équations précédentes permettent la modélisation de la machine dans le plan (ABC). mais magnétiquement équivalente. M r : Inductance mutuelle entre phases rotoriques. Ω:Vitesse rotorique. il est très d f i de te dssa g sd iil ’ i r e t t i e fce n r ré e commande.i l r ei t l rr d j rc s sac ne 12)see e v n à ’ de u o . vu la complexité de ces équations non linéaires et multi variables.3 Equations mécaniques L'équation mécanique est donnée par l'expression : C e r j C d f . M 0 : x u d lnut c m t l et pae u to elpae Mai m e’ dc ne u ee n e hs d s t ta hs m i a ul r ar correspondante du rotor.4 Transformation de Park L cna snee l t edscm ot et s t use dnm qe du m t r a oni ac t’ u e o pr m n ti e t ya i s ’n o u s éd e s aq u e asynchrone sont basées sur une modélisation mathématique appropriée à son comportement réel. Elles peuvent être implantées dans un calculateur. a a ru Idc ne rpe ’n paeo r u. nut c pordue hs rt i e a oq lr : M s : Inductance mutuelle entre phases statoriques. I.2. m ndi re u o rt e pre o nn s ea ah e nt o ts u e n f: Coefficient du frottement visqueux. I.11) Avec : j : Mo et’ e id rt eds a i t rat d lm ci . dt (I.3. 2) : Axes de repères uv Tel que : : R péetl nli t t é n ea hs d l x As el x u.2) pr e d f r l ps g du ss m tpaé e t e a e e as e ’n yt e r hs m i a è i (A. v. Vsc u l x b hs nu dne V sr’ e i aé os on a p 2 2 4 Vsu sa cos sb cosObS Vsc cosObS V V ObS 3 3 3 2 2 4 Vsv sa sin sb sin ObS Vsc sin ObS V V ObS 3 3 3 (I.12) Vsu : est appelée composante directe de PARK. O a u l xr s n o oo i Vsh au système (I. B.12) pour l n j t ’ pe i hm plr o e e so ae ’ équilibrer.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone La transformation de Park (figure I. Electrotechnique 2007 9 . Vsv: est appelée composante en quadrature (transversale). v) et due o psn hm plr (h). er n ’ g n a a et lpae e’ e t’ e s e a e sn n r a a obs d ObS : is aglrd rti d ss m dae b hss a Vt s nu i eo t n u yt e ’ s i aé pr ee ae ao è x p ObS dt r prax yt e dae tpaé. C) vers un système (u. u net a pi e cm t dn l m dl uul e a ’n cm oat o oo i e a e qi ’ ps re n o p ase oè sed l s s e e machine. Br Bs u Ar obs v As Cs Cr Fig (I. Vsb . h) constitué des grandeurs biphasées équivalentes (u. la projection du vecteur sa .2). a otu ss m s ’ sr hss p è x i Selon la figure (I. En divisant chacun de ces vecteurs par sa norme on obtient la matrice de t nfr ao m d i a ot nr é pr eat’ vr ne ea u sne r s m t n oié u r oom e e tn lna ac d lpi ac. par L r u l vl r é et ti é àl nl ObS . ’ r snl pu l yt e tpaé éu i sD a è l s è i lr ps les équations (I.14) L ps g d ss m tpaé a ss m b hs s b età prr d l e as e u yt e r hs u yt e i aé ’ tn a è i è p oi ai e a t matrice pObS .13) on trouve : 2 4 cos cosObS ObS cosObS 3 3 V su Vsa 2 sin 2 4 V sin ObS sin ObS Vsb ObS sv 3 3 3 sh V V 1 sc 1 1 2 2 2 (I. les tensions et les flux.15) Cette transformation est valable pour les courants.12) et (I. v) tourne à la vitesse ObS rapport au rotor. 2 4 cos ObS cosObS 3 cosObS 3 ObS 2 3 ObS sinObS 2 sinObS 4 p sin 3 3 1 1 1 2 2 2 (I. la transformation de Park est dite os e a a u zr sar ue ’ g q e o tb a e trans r ao d Ca k ta a i d ps g s c to m si: f m t n e l c elm tc e as e ’ r cm e u o i r re a éi t 1 2 3 C 0 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 (I.13) La composante homopolaire Vsh et u e ore ss m sr hss qibé. Le système (u.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone 1 Vsh sa sb sc V V V 3 (I.16) Il est facile de remarquer que les trois vecteurs constituant la matrice de Park p ObS ne sont pas normés . a o i fe h m t i i s Electrotechnique 2007 10 . l M M 2 M sr : Idc ne ccqe m t l et l r a r d s t e nut c yl u u ee n e ’ m t e u to t a i ul r a u ar 3 l r a rd rt .5 Modèle de la machine asynchrone dans le système biphasé La transformation de Park consiste à appliquer aux courants.4).1. (C e r f . l M Ls s s : Inductance cyclique propre du stator. tensions et flux.1 Equation de la machine asynchrone dans le repère (uv) I.17) V R ru r V 0 rv Avec : ObS ru 0 d ru 0 iru 0 Rr dt rv ObS i rv rv d ObS ObS dt (I. Nous ’ lao d lt nf m t n e pi i a o i donnons lss m déut n si n : e yt e ’ aosu at è q i v I. C ) dt j (I. . (I.20) Electrotechnique 2007 11 .1.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone I.8).5. i e i tv r a e r a e s a Lap ct n ear s r ao d Park sur les équations (I.5. ’m te uo r a u o I.18) d p.19) Lr r r : Inductance cyclique propre du rotor.5.6). dt I.1. (I.1 Equations électriques V R su s V 0 sv 0 d su 0 i su dt Rs i sv sv ObS ObS su 0 sv (I. un cagm nd vr b f sn i e eil nlet l x ds nol etelx v hne et e a al a atn r n ’ g n e’ e e eru m n t' eu.2 Equations magnétiques su sv ru rv Avec : Ls i su ru Mi Ls i sv rv Mi Lr iru su Mi Lr i rv sv Mi (I.7).3 Équations mécaniques : C e r j C d 1 f . (I.5. il est recommandé de co iu ss m dae d r é neqi e e daot a ss m d f etlep s hir n yt e ’ s e é r c u pr t ’ u r u yt e ié n e l l s è x fe m b i è fr i u simple possible.2 Choix du repère de référence Modélisation de la Machine Asynchrone Pour effectuer une étude par simulation du moteur asynchrone.5. é oe ssuet ti e as’ u d lcm ad [1] h is éd Bs y s obs d Ar Br q x r obs As 0 obs Cs Cr Fig (I.β fixe lié au stator θ =0. les composantes homopolaires sont supposées nulles. puisque la pulsation du champ tournant est égale à la pulsation des tensions statoriques . obs s modèle eè ’ s e x i l e f x e a ah e é u u n Le eti p f pr’ti t nd équations plus simples. En régime permanent ss li a l is i es m ié u lao électrique. q) l à ’nds l d l m ci .CHAPITRE I I. Cette S m t d etovn u lé dn l t e ea o m ne . La position du repère est déterminée généralement par intégration de la vitesse du moteur. y) lié au rotor θ = . Les grandeurs électriques eè ’ s α ) e x obs évoluent en régime permanent électrique à la pulsation statorique . Les grandeurs évoluent en régime eè ’ s e x obs θ permanent électrique à la pulsation des courants rotoriques Elles sont de R faible fréquence. A prrd ss m dae v o pu ao dat sdae qisn dscs a i u yt e ’ t è x u. S R pr dae (x. Le choix du r è d r é ne éed e’b cf e’ p ct n e r e é r c dpn d l j t d l plao : pe fe o ei a i i R pr dae (. les grandeurs du modèle sont continues. n et vi ’ r ’ s u ot e a r ue x particuliers.3) : Définition des axes réels du moteur asynchrone triphasé par rapport aux différents référentiels Electrotechnique 2007 12 . dans la suite. R pr dae (d. 24) 13 .3 Equation de la MAS dans le repère (d.21) s 0 ird d rd 0 rd i dt Rr rq 0 rq rq s (I.3.3.5.5. En générale. q) Pour un référentiel lié au champ tournant.4 Equation de la machine asynchrone dans le repère (α β .5.1 Equations électriques V R sd s V 0 sq V R rd r V 0 rq 0 i sd d sd 0 i dt Rs sq sq s s sd 0 sq (I. le contrôle vectoriel [10].23) I. ) u s ObS v Les équations électriques prennent la forme : V R s s V 0 s Electrotechnique 2007 0 i s d s i dt Rs s s (I.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone I. la conception du contrôle vectoriel par orientation du flux ncs t c co el m dl dat ndpnet e a oio d r é n e prapr éese e hi te oè s ’ i éedn d l psi u é r tl a r ot i x s e co tn fe i p aux divers axes de flux.2 Equations magnétiques sd sq rd rq Ls i sd rd Mi Ls i sq rq Mi Lr ird sd Mi Lr i rq sq Mi (I. I. on a : u d s ObS q v I.5.22) Cette dernière représentation qui fait correspondre des grandeurs continues aux grandeurs sinusoïdales en régime permanent. le référentiel lié au champ tournant est utilisé pour réalise. 28) dans (I.29) M d r Vs Rs .25) les composantes du flux statorique et celle du courant rotorique on obtient le modèle mathématique de la machine asynchrone : Vs Rs .CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone V R r r V 0 r 0 i r d r 0 r i dt 0 Rr r r r (I.30) Electrotechnique 2007 14 . en remplaçant dans (I.i s Ls . di s M d .24) et (I.27) (I.25) Ce référetle co in u dé d re vr t n ds r duso r us n esr hi e ve ’ ui l a aos e ga errt i e.28) (I. dt Lr dt (I.26) (I. . Lr Ls En fin.26) : M M2 M Ls i s i s Ls i s s r r Lr Lr Lr M M2 M Ls i s i s Ls i s s r r Lr Lr Lr M2 Avec : 1 Coefficient de dispersion. i a s t e s ii n oq Les expressions des flux sont données par : Ls i s r Mi s Ls i s r Mi s Lr ir s Mi r Lr ir s Mi r Aprr e’ pes n a id l xr i (I. r dt Lr dt di s (I.i s Ls .27) on déduit les expressions des courants rotorique : t e so 1 M i r i s r Lr Lr 1 M i r i s r Lr Lr En introduisant (I. du vecteur d'entrée u et du vecteur de sortie y. tc ’ l i dé t u yt e re v uo t è Matrice du système de commande.32) dans les équations (I.31) L Avec : Tr r Constante de temps rotorique Rr Aprr ’ pes n a ide r i (I. L svr b sdé t ér ate m dsé c i e.31) on peut tirer les termes t x so d M 1 r i s .) ’ sαβ peuvent être des flux et des courants statoriques ou rotoriques. X B. ps e i e u oq I Mo è d lMahn ay crn su fr dé t .33) Avec : X i s i s T r r : Vetu déa c r’ t e t s U V V s : Vecteur de commande X : B : Ma i déo t n ’ ad ss m . r r dt Tr Tr d r M 1 .U dt (I.et après quelques e so simplifications on obtient le système suivant : Electrotechnique 2007 15 . dl ea cie snho e o some ’ a 6 e t La présentation du modèle d'état nécessite. x On cherche à b n u ss m déut n ér su fr e ’ ut n ’ a ot i n yt e ’ aos c tosom dé ao dé t er è q i i q i t. ’ r i (3)e é n n sm t r el rt i e x so . hie pr ie cm oat e a al ’ a dc vn l oe l tq s co i a l o psn s i e t i s e ru ss m s e dae (. la définition du vecteur d'état x. dans un premier temps.31). En remplaçant l xr s n ’ pe i (I.i S 0 r r Tr Tr dt (I. Le modèle sera de la forme : dX A.32) Lepes n I 2 r r etu et a u d f x o r u.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone d M 1 Vr i S . r 0 r r Tr Tr dt d M 1 r Vr .i s r r dt Tr Tr d d r r et : dt dt (I. T . 0 0 (I. r 1 1 1 1 0 .L .T T . T .i s . . r r s A M 1 0 Tr Tr M 1 0 Tr Tr 1 .i s . Il possède des tensions et des courants réelles et peut être utilisé pour étudier les régimes de démarrage et de freinage des machines à courant alternatif. Ts M . dt Ts M .36) Dans notre étude. Ls . M . r . M . Electrotechnique 2007 16 .i . r r . T .Vs dt T s r r s di s 1 1 1 1 1 s . M .Tr . .s M . Rs 1 1 1 1 0 . r r dt Tr Tr (I.i .CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone 1 di s 1 1 1 1 . M . r R dt Tr Tr d r M 1 ..L s 0 B 0 0 0 1 Ls . c’ te é r tle i x e l r é n elm e s fe i u adapté pour travailler avec les grandeurs instantanées.Tr . M . r d M 1 r .. .T .34) L Avec : Ts s Constante de temps statorique. . T .Vs r . . nous avons choisi le repère lié au stator. .35) Le couple électromécanique développé par la machine asynchrone donné par la relation suivante : 3 pM Ce ( i s ri s) r 2 Lr (I. . I.1 Bloc de simulation de la machine asynchrone Pour réaliser cette simulation nous traduisons le modèle représenté par les équations (I. le couple ’ i eti l ao électromagnétique C e .35).4).33).4): Schéma de simulation de la MAS Electrotechnique 2007 17 . les courants statorique et les flux rotoriques. électromagnétique et mécanique en fonction du temps.7 Simulation de la machine à induction Loj t d l t er lé d c caieet ’ al u shm fnt ne à ’b cf e ’ u é i e ans e hp r s dé b r n cé a oconl ei é d as t t i i prr u ule t s n s p s ’ i eti nu pr eet e é r i re gadus a id qel e i s i l dam n t n os e tn d dt m n l r er t s no m e l ao m t e e s n électrique. pour un fonctionnement en moteur. (I. I s α Vsa Vsb Vsc Vsa Vs Vsb Vsc Vs Iβ s K u 1/s α r f (u) β r Alimentation Statorique Transformation PARCK P K u Ce Rr K u Cr K u Time 1 js f P Fig (I.34) et (I.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone I. Le moteur asynchrone présente comme entrées les composantes de Park de la tension dam n t nVs Vs ainsi que le couple résistant C r et comme sortie la vitesse .7. La structure en schéma bloc de cette simulation est présentée par la figure (I. 5). pè n é m r so e l i a e er i jn s g a tr valeur qui compense le couple résistant (Cr=25 N. l is o r u os s n r s m nr 2 t e oq Electrotechnique 2007 18 Temps(s) Flux F alpha (wb) . os os t i a i e st an que le courant statorique évolu si n lca e pl ue l rr d m t r e u ata hr ap qé à’ be u o u. i n eein r e uu cua cr sodna cm ot etn cf ea ah e m u s n e e d i n Alnt t=1 nu aos pl u u culr iatC= 5 . A lnt t =1 l cul é c o ant u r o tar u r i et ni i .a ’ s n t s e op l t m géqe e i .20s le couple tend vers Zéro. (I. 50HZ. Les résultats de simulation sont représentés par la figure (I. Couple Ce (N. à t =1s nous appliquons une charge (Cr=25 Nm). pè c t p l m lued csocli set m lu i d ai l e u ua .tl eetq’n or tor pnatu o pr m n i ut d lm ci . v g i a e Au premier instant le flux rotorique présente des dépassements excessifs de faible da p t em i i d pr s n a bu d qe usae acse otn uefr e ’ lu m i d a l i a i et u ot e ul e lr ne t b et n om s s s as q tn i s uo a da p t e os n (1wb).m) Vitesse (rad/s) Temps(s) Courant Is alpha (A) Temps(s) Temps(s) Fig.)nu cntos ’ s n t s os vn ap qé n op é s n (r2Nm .m) appliqué.7. La courbe de la vitesse présente des oscillations dans le premier instant de démarrage ae u ac i e et r qel éi .2 Résultats de simulation Modélisation de la Machine Asynchrone Le moteur est alimenté par le réseau 220/380 V. après 0.5) : Evolution du modèle en tension de la M AS Avec (Cr =25N. i sï l ’ lu cnt t n d e m id ae La courbe du couple électromagnétique présente au premier instant de démarrage une pulsation très importante .CHAPITRE I I. s ar e e s ’ p t m e s 2 s m a i d e e siao s lt n d i é. pè u t p dev o 0 s av es rt i e vc n cr s m n pe u i a e ar n e s ’ i n .m à t =1 s) Le courant statorique présente des oscillations successives autour de zéro avec une a p t em x a d j q’ 0 0. I. isc les interrupteurs (T1 et T4). U ab V ao V bo U bc V bo V co ca V co V ao U Electrotechnique 2007 (I. r u o s s é u . (T2 et T5) et (T3 et T6) doivent être contrôlés de manière complémentaire. on a utilisé la commande par modulation de Largeur di plosML)L sut e t iba et r et sra i r (6) ’ u i ( I a t c ràr s r spé n e u lFg eI m sn .8 Mo ést n e’n uer ML dlai d l d l à I i o o u Lodl r ees net ncne i er u pr e dot iue es nae av ’nu u d t i su ovrs u qi e t ’b n n t i lr t e e no ts m er n o tn i d f qec evl r fcc f e ur l là a idue or d t s n ot u ei e r une t a u e i e i o é a e prr ’n suc ee i cn ne tl é e fa x gb t e no i est constitué de cellule de commutation généralement à transistor ou thyristor pour les grandes puissances. u e l plao ’n op é bt e t e s t a i i e résistant on constate la diminution de la valeur de la vitesse. Pour assurer la continuité des courants alternatifs isa. Vbo et Vco sont.6) : cé a ’n nu u d t s nr hs Shm du odl r ee i tpaé e no i Lodl r sam n pr n suc d t s n ot u cnt tda p t e . E/2 O T1 T2 T3 Ia Ib Ic Vbn Van n Vcn Vao E/2 T4 T5 Vbo T6 Vco Fig (I. L ses n d sre e’nu u Vao.lato m ne cau i e ut r ’n e i / é oe r if cm adr hqen r p u du dm -pont avec un retard de 1/3 3 i s u tr e période sur le précédent [9]. référencées par e t i s e ot d l dl r no i o e r prà n o t ie du pn d i u f t det e . or uee si t identiques à a ot u pi m lu ’n ot i s rii ’ r oP u q’ l o n p n i v e cf n é ls e 1 pr d pè. isb. n ’nu u etl et a ue or ee i cn ne os n ’ lu E o e i é e no i a e m id déduit aisément les expressions des tensions composées.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone s t l à n vl r rce e a is d snhoi eS i à ’ p ct ndu cul ’ a i ue a u poh d l v es e ycrn m .37) 19 . Pour sa commande. par commodité. chute qui revient au glissement supplémentaire apporté par le Cr. CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Les tensions simples des phases de la charge issues des tensions composées ont une somme nulle : V (1/3) ab ca ] [U U an V (1/3) bc ab ] [U U bn cn V (1/3) ca bc ] [U U L m tc d cnei [] e’nu u s c t a a i e onx n T d l dl r’ r : re o o e éi (I.42) 20 .39) V V ao V an no V V bo V bn no co V cn no V V Dont on peut déduire (I.40) Vno 1 / 3) ao bo co ] ( [V V V (I.38) T 1 2 T T 3 T T4 T5 T6 L ses n i pse d cau ba d l nu u sn df i pr e t i sm oés e hqe r e’ dl rot é n s a no s o e ie V T ao 1 bo 2 V T co 3 V T On a aussi : T4 E T5 2 0 T6 (I.41) Pour un système de tensions triphasées équilibrées on peut déduire le système déut n si n: ’ aosu at q i v 2 1 Van ao bo co ) V (V V 3 3 2 1 V V (V V bn bo ao co ) 3 3 1 an 2 co ao bo ) V V (V V 3 3 Electrotechnique 2007 (I. Les instants de commutation sont déterminés par les points di e et n et l pr ue e l m dl t l f qec de commutation des ’ t sco n e a ot s t a ou n . 2 co V (I. 21 Electrotechnique 2007 . Cette -MLI. En triphasé. Up : la tension porteuse.43) Le schéma synoptique correspondant à la génération des impulsions par MLI est donné par la figure qui consiste à comparer un signale triangulaire (porteuse) avec un signale sinusoïdale (modulatrice).CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone C ss m déut n etr deaom m tc l si n : e yt e ’ ao pupe r lfr e a iee u at è q i n r il v e V 2 an 1 bn 1 V 3 cn 1 V 1 2 1 ao 1 V bo 1 V . Elle repousse les harmoniques vers des fréquences plus élevées. a r une nr i r e ae é interrupteurs est fixée par la porteuse [7].sert à remédier ces problèmes et elle à comme avantages : Variation de la fréquence de la tension de sortie. donc elle comporte des harmoniques.1 Principe de base L m dli d l gu di plo s u tag etélé pr o pr sn ’n a ou t n ea er ’ u i i sr nl sr i e a cm a i due ao r m sn n i e as ao onde modulante basse fréquence (tension de référence) à une onde porteuse haute fréquence de forme triangulaire.’ t sé e i o e no s m n d e ie t cuat el s ps aussi.o m l sred l nu u d t s nnet a pr et i sï l ln ni d C m e a ot e ’ dl r e e i ’ ps ue n s uo a . Conséquences : Minimisation de la distorsion du courant. S (t) : le signal MLI résultant. I. L pi i d ct sa g puê eéu é a l l rh e u at e r c e e ee t t i ett r m pr’ g i m si n: np t ré e r s a ot v Ur ≤U S (t) =1 sinon S (t) = -1 p Avec : Ur : la tension référence. Faible coût du filtre de sortie. seuls responsables des or n ’ t a n e parasites (pulsation de couple électromagnétique) ce qui engendre des pertes supplémentaires.8. trois références sinusoïdale déphasées de 2π à la même fréquence fs / 3 . Tp . (I. 1 Vmp Signal de Référence Onde Porteuse 10-3 Tension de sortie de onduleur Fig. r .CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone Porteuse Ur Référence Up S(t) MLI Comparateur Fig (I.Li i d m dli ’ ’ uet’ ae u aprd f qecs ea ot s fp sur la ’ d e e ou t n m qislm g d r ot er une d lpr ue nc ao i p é e référence fref : m fp f ref Tref 20 .Le taux de la modulation (le coefficient de réglage en tension) « r »u et’ ae u qislm g d i Vm ref rapport des amplitudes de tension de la référence Vm ref sur la porteuse : Vm p.7) : Schéma synoptique .8) : Simulation d l nu u de tansion à MLI e’ dl r o e Electrotechnique 2007 22 . le couple ’i n tn a am ao électromagnétique est plus amorti lors du régime transitoire .9) Couple Ce (N. La cm a i nds e r u a ae cu ot u dn l cs ’n am n t n o pr s e cs é lt vc ex b ns as e a due l eti ao s ts e i ao directe sous pleine tension. i s u hr n us e or i et s al dl r é m q n j é o e Electrotechnique 2007 23 .m) Vitesse (rad/s) Temps(s) Temps(s) Temps(s) Courant Is alpha (A) Flux F alpha (wb) Temps(s) Fig. montre que l l eti pr onduleur.mais présente des ondulations le ax a oi e d cuatn c e pr’nu u.9) Réu ad s u t n e’s c t n nu u m ci sl te i l i d l s i i odl r ah e t m ao a o ao e n A e ap ct n ’n cag (r 2Nmà = .9 Résultat de Simulation de l’s c t nOnduleur-Machine as i i o ao Le Résultat de simulation de l s c t n nu u ’ s ii odl rmachine sont représentés par la a o ao e figure (I.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone I. (I.5 s) vc pla o due hreC = 5 . t 1 i i La figure présente le démarrage de la machine asynchrone alimentée par onduleur de tension lorsque le démarrage permanent est atteint. on applique une perturbation de charge (Cr=25Nm). Electrotechnique 2007 24 . cette transformation permet le changement du système triphasé réel au système biphasé linéaire équivalent de cette machine ce qui signifie une facilité de résolution et de simulation. Conclusion Dans ce chapitre on a présenté la modélisation du moteur asynchrone triphasé alimenté par un onduleur de tension à MLI naturelle et établi sous des hypothèses simplificatrices. A i dao d hu spr r acsdn l régime dynamique.8. un exposé sur la théorie de cette méthode avec une simulation sous Matlab srl b t u ex m caie e ’ j d dui e hp r aoe è t. une technique de f ’ i e at e om ne as e n vr e f commande est introduite dont le nom est la commande vectorielle. Nous avons utilisé la transformation de Park pour éviter la complexité des équations différentielles.CHAPITRE I Modélisation de la Machine Asynchrone I. Chapitre : II Commande vectorielle par orientation de flux rotorique . on va étudier la commande vectorielle par orientation du flux rt i eduem ci aycrn am n ee t s ne d péet les résultats de o r u ’n ah e snhoe l et n e i t e r n r oq n i é no s e simulation de cette commande avec des régulateurs classiques. II. Electrotechnique 2007 25 .11) montre que le contrôle de celle ci passe par le contrôle du couple. A e l vnm n ds lm l ti e a o m ne i a ao vc ’ èe et e a micro-controleurs et des dispositifs permettant le traitement du signal. La relation fondamentale de la dynamique (I. e r er eua e n s nal as e yt e ot e n i n b s dp e è s tensions et les courants de ligne [1].CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) II. ah e snhoeCe j e ne cl u r d a o m ne et il n s sm a se o ee La commande vectorielle est apparue avec les travaux de Blashke. le flux rotorique et le couple électromagnétique sont naturellement cul .2 Principe de la commande vectorielle Le principe du contrôle du couple électromagnétique par la méthode du flux orienté est basé sur la connaissance du modèle dynamique (modèle de Park) de la machine.1 Introduction La commande de moteur asynchrone reste la partie la plus délicate.’ p n t nd l cm ad a était alors difficile. ’ tut etn e qe éi lcm ad vc r l. De nombreuses applications industrielles nécessitent un contrôle de vitesse ou de position. El na eedn l ’ cpnat e pas en tout de suit un grand essor car la régulation. étant donné que ses principales grandeurs. à l pqe eoa n sr e cm oat ’ ou r si tu ds o psn é p e s analogiques.’ t ao d l t é c o ant u d op sO ss r er né n ps eua e l sm t n e’ a l t m géqe e é n t b s ei i ét er i l m ci sm oe L sgadusm sr l i i esb sdn l ss m sn l a ah e ’ ps. Dans ce chapitre. re gadus ’ at a m sr l . Le contrôle vectoriel de flux permet d'imposer à la machine asynchrone un mode de fonctionnement analogue à une machine à courant continu pour laquelle le couple électromagnétique est proportionnel à deux grandeurs indépendantes (le flux inducteur et le courant d'induit). Le but est de faire la même chose avec la m ci aycrn. il est devenu possible de réaliser une telle commande à un coût raisonnable cela conduit à une explosion des recherches à la commande vectorielle [10]. La machine à courant continu à excitation séparée est bien adaptée à un contrôle du couple car il suffit de contrôler son courant induit. à savoir le flux rotorique. Electrotechnique 2007 26 .4.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) I3 to e doi tt nd f x I Mé ds ’r nai u l . deux méthodes sont envisageables. Nous allons parler principalement de l'orientation du flux rotorique. II. Li ovn n m j rd ct m t d et asni léd l sm t nevr l ’ cnéi t a u e ee é oe s l es it e ’ t ao ne a n e e t h bi ei i s variation des paramètres de la machine due à la saturation magnétique et la variation de température. Le degré de découplage est déterminé selon ce choix. Dans le deuxième groupe. h e o u L co ds xs ’r n t npu ê ef t e nln ds i cos e f xd l e hi e ae doi ti et t a sl ' e e d et n ds l e a x e ao r i o u r i u machine. q).n l . II. le vecteur de flux rotorique est estimé à partir de la mesure des courants statoriques et de la vitesse du rotor. l ee é oe ’ti ps’ p t d f x eo r a el eta oio El t h is a id u o s e tn e nei psl ti t n du cp u d f x rt i em i ncs t l ti t n du ’ g a ’ is i ’n at r e l o r u a éese ’ is i ’n xe u lao e u oq s i u lao capteur ou un estimateur de position (vitesse) du rotor.'t uee E p sc sq’ lutilise un circuit u e l de commande considérablement compliqué [12]. Les deux méthodes d'orientation de flux. Cette dernière peut être développée par deux groupes principaux : Le vecteur du flux rotorique est obtenu indirectement à partir des courants et des tensions statoriques mesurées. sont l'orientation du flux rotorique et l'orientation du flux statorique [11]. sltu l é oe bse sr’ i ti d f x to q o de r e t s h o e ao u a ru ne r La connaissance de la position du flux ou de la position du rotor est importante pour réaliser une commande vectorielle afin de contrôler le couple et la vitesse d'une machine asynchrone. Alors.4 Commande vectorielle par orientation du flux rotorique (CV_OFR) La commande vectorielle à orientation du flux rotorique est la plus utilisée car elle ém n lnl nedsr c ned fi rt i ee s t i ee dnet em ier l i ’ f ec e é t c e u e o r u t to q t onn d el i e iu aa t oq a ru lu réu aqee m t ds aésu l r n t n u l s t i e u ’ t f [10]. le flux statorique ou le flux magnétisant. en se basant sur les équations du circuit rotorique du moteur asynchrone dans un système de référence (d. les plus générales.1 Commande vectorielle indirecte C t m t d nu le a l m lue u l d rt m isu m n s psi . surtout la constante de temps rotorique Tr . ot o l éese ’ is i e s i u lao du cp u d f x c qium n cni r l ete ot e a ar ao er plus ’n at r e l .Ce mode de contrôle garantit un découplage correct entre le flux et le couple.4.a) (II.1.4.Il faut donc procéder à une série de mesure aux bornes du système. q) En utilisant la notation complexe : Equations des tensions : d Vs Rs i s s j s s dt d 0 Rr ir r j s r dt Equations des flux : (II.b) pr edi n f rr : x so e t’ eti i m d ie 1 M ir i s r Lr Lr (II.2. La mesure directe permet de connaître exactement la position du flux .3 Equations de la machine asynchrone en régime dynamique (d. nv e p yra é oe i c d l r n t nd f xrt i as e u si o a m l e l m t d d et e ’ i ti u l o r t o h r e o e ao u o que associé au modèle de la machine asynchrone alimentée en tension (sans convertisseur). doit être vérifiée quelque soit le régime transitoire effectué .2. D n c qiu .2.4) Electrotechnique 2007 27 . e so M Ls i s s r Lr (II.2. quelque soit le point de fonctione etT u fiincs tl ti t n nm n .a) (II.b) Ls i s ir M s Lr ir i s M r Lepes n ’ r i (II.b) (II.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) II.e u ag et os é b m n lcû d s f i t n te e u e dae bci nd fragile son utilisation [12].2 Commande vectorielle directe Cette méthode nécessite une bonne connaissance du module du flux et de sa position et celui-ci.3) En reportant ir dn l xr s n e as’ pe i d (II. II.1.a). b) : r e ié t e so dt (II.8.5.7) Avec : M2 RSt RS LRTR On écrira alors : Vsd Rst i sd Ls Vsq Rst i sq Ls di sd M M s s i sq rq L rd dt Lr Tr Lr di sq M M s s i sd rd L rq dt Lr Tr Lr (II.6) Vs Rst i s Ls di s M M j s i s j r r s L dt Lr Tr Lr (II.3) dans (II.b) Le terme d 1 M r i s j r r r dt Tr Tr En reportant (II.a) : (II.1.4 Principe de la commande vectorielle (CV_OFR) Lepes n u op d lm ci aycrn.b) On obtient donc : Vs Rs i s Ls di s M d M r j s i s j s L s r dt Lr dt Lr (II.4) dans (II.a) d 1 M 0 i s r j r r r Tr Tr dt d r puê edn f à a id l xr s n ett i ti prr e’ pe i (II.sdné pr ’ r i d cul ea ah e snhoeetone a : x so e n PM rd isq isd Ce rq Lr (II.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) En reportant (II.a) (II.6) dans (II.5.a).8.5.1.9) Electrotechnique 2007 28 .8.8.d) (II.c) (II.4. Et (II.b) d 1 M 0 i sd rd r rq rd Tr Tr dt d 1 M rq 0 i sq r rd rq Tr Tr dt II.5. Loi ti d f x o r u ap qé a ss m (II. t ’n Loj t doi t l f xs n i q’nsuaeq’ na q’n cm oat sr ’b cf ’r n re l i ie uo ohi ui ’ t uue o psn u ei ee u gf t l i e l x d.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) On constate que le couple électromagnétique résulte de ln r t n ’nt m d f x ’ t a i du e e e l i e co r u edu terme de courant. On aura donc Ф =0.11) Vsq Rst i sq Ls d 1 M 0 i sd rd rd Tr Tr dt M 0 i sq r rd Tr Electrotechnique 2007 29 .8) pr edére ’r n t n u l rt i e pl ue u yt e e ao u oq i è e t’ i : m cr Vsd Rst i sd Ls di sd M s s i sq L rd dt Lr Tr di sq M s s i sd rd L dt Lr (II.1): Principe du contrôle vectoriel (OFR) Le couple se réduira alors à : PM Ce i sq rd Lr (II. Pour une MAS alimentée en tension. Vsd et Vsq représentent les variables de commande.10) La stratégie consistera à contrôler de façon indépendante le terme de flux et le terme de courant pour imposer un couple. et Фrd=Фr ’e a rq Axe q réel Isq Is Isd Фr Axe d réel Axe stator réel S Fig. (II. En utilisant la notation de Laplace (S=d/dt). é i i q Ce r f C jS (II.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Ce modèle est esi cm lé a l xr s n uculé c o ant u (II.a) (II.d) M i sq r Tr rd En introduisons de nouvelles variables de commande Usd et Usq Avec Ed et Eq pour définir les termes de couplage qui sont considérés comme des perturbations.b) (II.11) peut être L yt e ’ aos è q i réécrit de la façon suivante : isd M s s i sq Vsd R st Ls S L T rd L r r M isq s L Vsq Rst Ls S s i sd rd Lr Mi sd 1 r S T rd (II. Les termes qui ne dépendent pas du courant isd dans la première équation et du courant isq dn ldui e xr s n otpe se “ r e d cul e.11) sn nnl éi spi uee dpnet el ot o i a e u q’ l éedn d a n r s ls vitesse du repère et de la vitesse électrique et elles sont aussi couplées.13.12) Les expressions données en (II.13.13. asa ex m epe i snapl l t m s e op g” è so é se a A i déir e rb m o u le n l d cm ad d dcul e a t m s e f ’ t c pol e n ti ueo e o m ne e éop g pre e d n ve è is i a r compensation. isd U sd Rst Ls S U sq Rst Ls S isq (II.c) (II.15) 30 .14) M E d s s i sq L rd Lr Tr M M E q s s i sd s r s Ls i sd rd L rd LR Lr Electrotechnique 2007 M T i sq r (II. car elles comportent des termes croisés.13.10) et nu e o p tpr’ pe i d op l t m géqe t é e so e er i pr’ ut n ér ate oe éai e al qao dc vn lm d m cn u. ess m déut n (II. On appelle aussi régime de survitesse [10].5 Bloc de défluxage Le régime de défluxage permet de dépasser la vitesse nominale de la machine. f ii u vs i fonctionnement à puissance constante lorsque la vitesse excède la vitesse nominale.sous vitesse : rnom r . 31 .CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Avec : U sd sd E d V U sq sq q V E Ed USd USq + + Eq Fig. : Flux rotorique nominale. pour le o m .sur vitesse : Pour : nom nom nom * r rnom Avec : Pour : nom rnom Electrotechnique 2007 : Vitesse de rotation nominale. Il est défini par la fonction non linéaire suivante . Ce l pr e da a l l f xi e e et rpro b c e t ’ f b re l n r m n poot nnel à la vitesse.AS VSq Ce Ф II. L b cd df xg pr e l xl ti ot a ds aais ant us de la e l e é uae e t’ p it n p m l e cpcé m géqe o l m e o ao i e t i machine.2) : Reconstitution des tension Vsd et Vsq. permet un fonctionnement à couple constant si la vitesse est inférieure à la vitesse nominale. (II.4. + + VSd M. 32). elles. estimateur basé sur un modèle en tension et estimateur d'ordre complet. estimateur basé sur une méthode d'élimination. est basé sur un modèle dit en courant. Du système déquations (I. les grandeurs rotoriques. nous déduisons que les flux rotoriques . il faut donc pouvoir les estimer à partir des grandeurs statoriques. ne le sont pas.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) r nom r – nom 0 + nom Fig. peut être ’ r r estimé à partir des courants statoriques et de la vitesse du rotor.6 Estimation de flux rotorique Seules les grandeurs statoriques sont accessibles. les estimateurs du flux rotorique se présentent sous quatre formes : estimateur basé sur un modèle en courant. Cet estimateur en boucle ouverte.. I s M r / Lr R _ + _ R r / Lr 1/ s ˆ r r I s M r / Lr R ++ _ 1/ s ˆ r R r / Lr Fig.4) : Schéma de l'estimateur de flux en boucle ouverte r r 2 Le module du flux est donné par : r2 et arctg r s Electrotechnique 2007 32 . qui est présenté sur la figure (II-4). De façon générale.4. (II-3) : fonctionnement à toutes vitesses. II. (II. Tous ces estimateurs sont issus des équations modélisant la machine asynchrone [11]. Pour le cas des machines de grande puissance les modes mécaniques sont beaucoup plus lents que les modes électriques. La dynamique de réglage des courants doit être très rapide par rapport au réglage du flux. D m n r gnr eieie nr prd l rr d 1 o 2 i_BO L e ai e éé l lx tu a ot e’ de e 0 u 0 è a. Ce type de régulation est tout à fait vl l pi u dn l cs ’n m ci aycrn. Elles sont nécessaires pour la synthèse des correcteurs.l x une différence temporelle a b . (II.5) : Relations de transfert La conception du réglage en cascade du flux et du courant permet de créer une grandeur intermédiaire Isd qui est accessible à la commande. La figure (II. (II.5 Régulation du système D n lcn ô vc r l’ é sra éu t n os tà ot l l du gadus ase ot l et i lde u lr li cnie cn ô re ex r er re oe i g ao s re s n importantes de la machine asynchrone (le flux et le couple).14). s p o entre les deux constantes de temps [1]. [1].3) montre ces fonctions de transfert.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) II. Usd 1 Rst Ls S Isd M 1 rS T Фrd Usq 1 Rst Ls S Isq PM rd Lr Ce 1 f jS Ω Fig. on peut établir les fonctions de transfert de la machine asynchrone. p g au u r aq l gâeàl co di ér i . étant donné hit ’ti r e é le s e y rpronl s is g au p i – q’s oti p s m te nour C t e e éu t r s r ue r u s t u nl ui sn s l à er e eve e y d r le as e n e er ti e u e l m e t . ad qel r i t d r os eté b eprl co r c ’ t n ’ t ao t i u a a d é e é ne s t l a ’ t n ai n g tn n s pi p ai ai proportionnelle. u qe as e a due ah e snhoe ieiste ae s n entre les deux constantes de temps des fonctions de transfert du flux rotorique (τB =Tr) est Ф_ O du courant ( τ = σ s/Rs ). En utilisant les expressions (II.10).1 Calcul des Régulateurs On co idu le dsr u t r d t epoot ne intégral (PI).12) et (II. Electrotechnique 2007 33 . (II.11).5. II. les relations résultantes du système en boucle fermé (BF). (II.1 Régulateurs des Courants Lepes n s c e u r u t ret ’ r i as i ax é le s s: x so o é g au Kpi 1 S Kii Ri Kii S S R St Gi S σ LS 1 S R St 1 (II.5.4). (II.1. II.17) σ _ BO L S i R St Constante de temps des courants en boucle ouverte.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) En appliquant dans la synthèse des régulateurs la technique de compensation du pôle de la fonction de transfert associée en boucle ouverte (BO).6) : Régulation du courant L fnt n er s re bulovr s c t a oco d t nf tn oc ue e ’ r: i a e e t éi Kii R St Ri Gi S * S S Kpi 1 S Kii * L σ S 1 S R St Fi S BO (II. ISréf +US IS Ri(S) Gi(S) Fig. Par compensation du pôle on aura: Kii R St S Fi S BO Electrotechnique 2007 34 .16) Le schéma fonctionnel du contrôle de courant est donné par la figure. sont du premier ordre. CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Avec : _ BO Kpi i Kii σ L S R St (II.20) La fonction de transfert en boucle ouvert avec compensation du pôle est: K iM F S BO S K _ BO P K r T i (II. Pour un temps de réponse (ti) imposé.5.19) Avec : _ BF R St i Kii : Constante de temps des courants en boucle fermée.21) Electrotechnique 2007 35 .5).2 Régulateur de flux Le schéma fonctionnel du contrôle de flux est donné par la figure. (II.7) : Régulation du flux P K 1 S K i R K i S S M G S 1 rS T (II. (II.18) La fonction de transfert du système en boucle fermée est donnée par : 1 Fi S BF R 1 St S Kii (II.1. Фref +- RФ(S) ISd GФ(S) Ф Fig. nous obtenons la condition suivante: t i _ BF 3 i II. 8.22) Pour un temps de réponse (tФ).CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) La fonction de transfert du système en boucle fermée est : 1 F S BF 1 1 S K M i _ BF 1 K M i (II. l n é) ’ r Kpv 1 S Kiv Rv Kiv S S 1 Gv S JS (II.3 Régulateur de vitesse Nous avons pris une structure IP du régulateur.23) PM 3 Ke L rd : Constante de couple électromagnétique.1.24) Electrotechnique 2007 36 . la sortie du régulateur de la boucle externe (vitesse) constitue la référence (et ede la boucle interne (courant isq). Le schéma de cette boucle de régulation est illustré sur la figure suivant.a) : Régulation du vitesse Le schéma de régulation en cascade retenu nécessite pour un bon fonctionnement. Cr Ω ref + - Rv(S) +- Kv ISdref Ke Ce + - Gv(S) Ω Fig. que la boucle interne soit plus rapide que la boucle externe. 2 r Les fonctions de transfert (FTBO et FTBF) de la boucle interne avec (Cr=0) sont : KvKe F1V S BO JS F1V S BF 1 J KvKe S 1 (II. (II.5. nous obtenons la condition suivante: t _ BF 3 II. Il est clair que le réglage de couple se fera par action sur le courant isq p t q’n l ô uue ut action sur le flux. Par conséquent. Pour un temps de réponse (t2V) t 2V V _ BF 3 2 Le régulateur de vitesse permet de déterminer le couple de référence. a ya i e ea is et one al qao m cn u. (II. a is or pnat L dnm q d lv es sdné pr’ ut n éai e t e e e u t e é i q Electrotechnique 2007 37 .26) La fonction de transfert en boucle fermé : 1 F2V S BF 1 1 )S ( Kiv (II. afin de maintenir lv es cr sodn .8.27) V _ BF 1 2 Kiv : Constante de temps en boucle fermée de la boucle externe. En impose (t1v) avec la condition t1V _ BF 3 1V Les fonctions de transfert (FTBO et FTBF) de la boucle externe : Ω ref + - RV(S) F1V(S)BF Ω Fig.b) : Régulation du vitesse F2V S BO Kpv 1 S Kiv Kiv S 1 J S KvKe (II.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) _ BF J 1V KvKe : Constante de temps en boucle fermée de la boucle interne.25) Par compensation des pôles la fonction devient : Kiv F2V S BO S Avec : Kpv Kiv J KvKe (II. 28) 3 t N 1 * t i => K i Mt Régulateur de la vitesse : 3 t1V N 2 * t i => Kv t1V Ke 3 t 2V N 3 * t i => Kiv t 2V K P K i r T (II.6 Smuai d l ne lC mma d_ cie i l o e’ smbe o tn e n eMahn L s r u a d s u t n d l ne b Commande_Machine sont définis par e é lt e i li e ’ sm le s ts m ao e lm oio ds a al d r é ne u at : ref =1Wb. ’ psi e vr b s eé r c si n s Φ i tn i e fe v e ref est r ref ref i sd PI PI i sd i sq s Découplage Onduleur dq/abc IP i sq PI i sd est r s Estimateur De et r s Fig. Electrotechnique 2007 MAS i sq 38 . (II.9) : Schéma fonctionnel de la commande vectorielle.29) KivJ Kpv KvKe (II. II. Ω =157(rad/s).CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) L s xr s n ds ié n gi s c vn: e epe i s e d f et a s ’ r et so fr s n é i Régulateurs des courants : 3R ti impose => Kii st ti Régulateur de flux : Kpi Kii s L Rst (II.2.3 : Nombres réelle.30) Avec : N1. et de courants is. Les flux rotoriques Ф suivent sa référence. des flux Ф Фrq. (II.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) II. Apé l plao d lca e t =1s on remarque : r ’ p ct n ea hr à sa i i g Laue e a is péet ue ht r e e ai m n pis s b i à ’ l d l v es r n n cu e t r d et u e t is lr t e s e e jé p e s a le sa valeur de référence.6. On remarque que le courant is présente des dépassements en régime transitoire qui α disparaissent rapidement en régime permanent pour donner lieu à une forme sinusoïdale da p t e constante. Electrotechnique 2007 39 .6. II. as électromagnétique Ce. suivi d'une perturbation de charge à t = 1s.1.10) : Essai à vide et en charge (sans onduleur). )m n el vl i d l v es d rti Ω ( d ) du couple a i r I1 g I 0 ot ’ o t n e a is e o t n r é uo t e ao r /.1 Simulation sans onduleur Couple Ce (N*m) Vitesse (rad/s) * Ce ref CR Temps(s) Flux (wb) Flux (wb) Temps(s) Courant is (A) α * Rd Rq Temps(s) Temps(s) Fig. Le couple ’ lu m id r électromagnétique subit un pic au premier moment de démarrage. puis converge ver zéro.1 Essai en charge nominale après un démarrage à vide L f ue(. Lors d'un fonctionnement à vide de α rd la machine. avec une forme sinusoïdale eu régime permanent. On remarque la présence des ondulations sur la réponse du couple électromagnétique .m) Vitesse (rad/s) ref Ce * CR Temps(s) Temps(s) Courant is (A) α Temps(s) Flux (wb) Temps(s) Fig. le découplage entre le couple et le flux est maintenu ce qui nous permet de cn ô rnéedm et’n e’ t . (II.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) Le transitoire du courant et maîtrisé. elles sont liées aux harmoniques de courant.1. Electrotechnique 2007 40 .6. la valeur qui compense le couple résistant appliqué (25 N.m). II.2 Simulation avec onduleur Couple Ce (N.11) : Essai à vide et en charge (avec onduleur). après un régime transitoire. ot l i pna m nl d l u e re d u ar Le couple électromagnétique rejoint. 6. n s e s s ts m ao i u ii g faisant une diminution du couple résistant de 10 N.1 Test avec variation de la charge O péet l r u a d s u t nd lnl ned l vr t nd l ca e E n r n e é lt e i li e ’ f ec e a a ao e a hr .6.2 Tests de performance et de robustesse Les tests de robustesse de la commande sont également effectués en charge. et les courants sont influés légerment puis suivent leurs références. II. Electrotechnique 2007 41 .5s puis une augmentation de même valeur à t =2.m à t =1. On remarque la convergence du Ф vers le flux de référence ainsi que Ф tans vers zéro rd rq se que montre le découplage entre le couple et le flux. le couple.2.12): Essai avec variation de la charge Les résultats de simulation obtenus pour la variation de la charge de figure (II-12) montrent que les grandeurs telles que la vitesse.5s Couple Ce (N*m) Vitesse (rad/s) * Ce CR Temps(s) Temps(s) Courant is (A) α Flux (wb) * Rd Rq Temps(s) Temps(s) Fig. (II.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) II. CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) II. La vitesse suit sa nouvelle référence. Le couple électromagnétique subit un ui i e nq pic puis suit la cosigne sans erreur statique.13) montre que cette variation entraîne une variation de la fréquence statorique ce qui influx sur les courants.2 Test avec variation de la vitesse En faisant une diminution de la vitesse de 36% à un instant choisi de t =1.5 s. puis une augmentation par rapport à cette dernière de même pourcentage à un instant choisi de t =2. On remarque que le système répond positivement à ce test. Electrotechnique 2007 42 . (II.13): Essai avec variation de la vitesse La figure (II. Couple Ce (N*m) Vitesse (rad/s) * Ce CR Temps(s) Temps(s) Courant is (A) α Flux (wb) * Rd Rq Temps(s) Temps(s) Fig.5 s.6. La figure qui suit montre les résultats de cet essai. ce q’ d u que la régulation est robuste.2. Electrotechnique 2007 43 . ainiqel f td àl caf m n s u ’ f û ’ huf et ee é e pnateoconm ndue ah e rdi n ds e ubt n é c i e i e e. e éop g x t o o s oc a ar s e e r a s uu. II.2. régulation est robuste du point de vue contrôle de vitesse. edn lfnt ne et’n m ci pou et e pr raos l tq sn r s i n s t i e r u tn La variation de la résistance rotorique est vraiment gênante puisque la valeur de la résistance intervient directement dans les algorithmes du contrôle. Comme Rr du moteur devient plus grande.4 Test avec variation de la résistance rotorique Une mauvaise identification des paramètres. e op ui n i e r sco o d as e ’ tu e v n e t c a i r a m d àl u e pi tn s vl rsn e er L dcul eeiet j r dn l oe ’ t .2. alors que la constante de temps Tr diminue.14): Essai avec inversion du sens de rotation La figure montre que le transitoire lors de ce test est relativement important en prclr un eud cuatL cul sb u p d t nat nl s ups g dun a i i a i a u or .3 Test avec inversion du sens de rotation CR Vitesse (rad/s) * Couple Ce (N*m) Ce Temps(s) Temps(s) Courant is (A) α Flux (wb) * Rd Rq Temps(s) Temps(s) Fig.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) II. u i t a a u as r u. (II. la résistance résultante Rst devient plus importante.6.6. 5s) c s i à’ s n d vr t n e e r lt ot n q’ n lnt t s ts r v i a ’ t r lnt t e a ao d e -à-d e i a ii résistance rotorique (Rr = 1. Ensuite. ) 8 Electrotechnique 2007 44 . la résistance devient 1. cette résistance est augmentée dans le même rapport et pendant la même durée de temps.5s. de couple. A t =1.5Rr. Couple Ce (N*m) Vitesse (rad/s) * CR Ce CR Temps(s) Temps(s) Courant is (A) α Flux (wb) * Rd Rq Temps(s) Temps(s) Fig. de ) courants et de flux. (II.5s.8 Ω aucunes variation sur les courbes de vitesse. O cntedar c t t u l vr t nd l r iac rt i ei l sr e n os t ’ è e e qe a a ao e a é s ne o r u n u u l a ps s ii st oq fe découplage ( rq ≠0 et ceci due aux régulateurs classiques qui sont dimensionnés avec la Φ ) résistance initiale (Rr =1 Ω . L séu a m n et uaat’ s n (t =1.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) En simulation.15): Essai avec variation de la résistance rotorique. une approche de ces perturbations a été introduite de la façon suivante : la valeur nominale de la résistance rotorique du moteur est appliquée pendant une durée de 1. Puis. elle est augmentée de 50% par rapport à sa valeur nominale pendant 1s. Cette technique de commande possède un inconvénient majeur.7 Conclusion D n c caie l m dlao e l s u t nduecm ad vc r l d l as e hp r a oést n ta i li ’n o m ne et il e a t. ’ t c s la e méthode de synthèse des correcteurs H∞ pour commander la machine asynchrone. Ceci du aux régulateurs classiques qui sont dimensionné par les paramètres initiaux de la machine. Les résultats obtenus par la commande proposée montrent sa robustesse vis-à-vis des variations de la vitesse et de la charge. Dans le chapitre suivant. car le comportement de la machine et de sa commande vectorielle est fortement dégradé par la variation des paramètres liés à la température (résistance rotorique). Electrotechnique 2007 45 . ii m ao o ee machine (moteur) asynchrone sont présentées. on va voir une nouvelle technique de commande.CHAPITRE II Commande Vectorielle de la MAS (CV _OFR) II. Chapitre : III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ . 1 Décomposition en valeur singulière La déco psi e vl ri u è (V ) sl n e otse p sm ot t as m oio n a u s glr S D et’ ds u ll l i pr n dn tn e n ie u i s u a algèbre numérique linéaire moderne et l'analyse numérique. La norme utilisée est la norme H∞ qui a pour avantage de généraliser la notion de gain aux systèmes multivariables. Ces objectifs sont spécifiés à travers un certain nombre de fonctions de transfert introduites pour pondérer les différents signaux du système ainsi que les incertitudes de modélisation.1 INTRODUCTION Vers le début des années 1980. En 1989. En raison de la nature l'algébrique linéaire de beaucoup de problèmes de commande et l'importance de la stabilité robuste. la décomposition en valeur singulière a réussi à pénétrer dans la théorie de la commande des systèmes. Un des avantages de cette solution par rapport à celle du problème H∞ standard est qu'elle permet de connaître a priori la valeur maximale de la perturbation de modèle pour laquelle la boucle fermée demeure stable et ceci pour le correcteur optimal [13]. Dans le cas d'un problème de robustesse en stabilité. L'approche de synthèse H∞.2 Notions mathématiques III. Cette approche d'abord orientée vers le rejet de perturbation. III.CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ III. Doyle a proposé un algorithme de résolution du problème H∞ sous optimal. Electrotechnique 2007 46 . cette norme correspond à l'inverse de la norme maximale de l'incertitude de modèle [13]. une nouvelle approche de la commande a vu le jour. consiste à spécifier certains objectifs sur les fonctions de transfert en boucle fermée. Cet algorithme nécessite la résolution de deux équations de Ricatti et conduit à un correcteur d'ordre égal à celui du procédé augmenté par les fonctions de pondération. Le problème optimal consiste alors à trouver le correcteur qui minimise la norme de la matrice de transfert du modèle augmenté. Une autre approche de synthèse H∞ est basée sur une représentation des incertitudes sous forme de perturbations additives sur les facteurs premiers de la matrice de transfert du système. Cette représentation conduit à un problème H∞ particulier. consiste à poser le problème de la commande comme un problème de minimisation de la norme d'une matrice de transfert.2. Elle est définie par trois matrices dont le produit est [14] : A * U V Ou les matrice U et V de dimensions respective l et l (III........ matrice complexe A de dimensions m l peut être factorisée en décomposition en valeurs singuliers (SVD). dont les éléments réels. La plus grande valeur singulière définit une norme H∞ sur la matrice A .. alors : 1 A) ( 1 ( A ) Electrotechnique 2007 47 .. Propriétés : si A est une valeur propre de A . 0 Ou : l m (III. k min m 2 . et non négatifs sont les valeur singulières . classée dans un 1 i ordre décroissant.. Notons ( A) et ) la plus grande et la plus petitevl rs glr due (A a u i u è ’n e n ie matrice A ... A( ) T jw i A 1 . Le nombre 1 de valeurs singulières de A non nulles indique le rang de la matrice A . alors : A) A) ( A) ( ( 1 si A existe. l m diag 1 ..2) 1 Avec : 0 . et la matrice de dimension m contient une matrice diagonale l ..CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Toute. 1 k Et 1 2 k 0 .. Ce ne sont rien d'autre que les racines carrées des valeurs propres de la i matrice A* A : ( jw) A( jw).1) sont m m unitaire ( UU T I et VV T I ). ... l. i PQ : Correspondent aux solutions définies positives de lyapunov [15] AP T T PA BB 0 AT Q T C QA C 0 III.7) La norme H∞ r r et l vl r ai a d r pr et l nri d s nl e e é n a a u m x l u a ot n e ’ e e u i a d ps e e m e p r é g g sree l nri d s nl ’ t e L m n i t nd ct nr eet éesi pu ot t’ e e u i a de r .2.3 Norme H∞ La norme H∞due fonction de transfert G(s) est définie par : ’n G max G j R (III. On définit la norme de Hankel ’n comme suit [15] : G H max(H (G )) PQ) ( i 1/ 2 (III. la norme H∞ est définie d'une manière analogue.D'où : G (s) (G ( jw)) sup w R (III.2.3) Su l os’ hypothèse due matrice de transfert G (s ) stable.4) H (G ) ( PQ) i i H : Les valeurs singulières de Hankel.5) Dans le cas d'un système multivariables. Electrotechnique 2007 48 . a i m s i e ee om s ncs r or i é g g né i ao t ae optimiser le rejet de perturbations et le suivi de consignes [15]. III. Pour une matrice de transfert G (s ) on définit : G G sup j R (III.2 Norme de Hankel Un système peut être décrit par la matrice de transfert entrée/sortie G(s) dans le domaine de Laplace par : 1 G( s ) D ( sI A ) B C (III.CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ pour tout réel : ( ) ( A). ) A) A ( A ( La décomposition en valeurs singulière est très utilisée car numériquement elle est robuste.6) La norme matricielle G (s ) est égale à la valeur singulière maximale (G ( s )) de la matrice G (s ) . représentés respectivement par les matrices de transfert G(s) et H(s) . Electrotechnique 2007 49 .CHAPITER III III.8) La norme H∞ de la matrice de transfert de la mise en parallèle de deux systèmes G(s) et H(s) avec soit une entrée commune. ( jw) .1 Propriétés de la norme H∞ Considérons le cas d'un système : Y ( s ) ( s )U ( s ) G Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Où U. n f n ’ l ra ié ne n ee yt e é a n tu ç vu fr r è r lto m dlet ’ t di u t nf tt l (s ) . c'est-à-dire la norme H∞ du produit des deux matrices de transfert.3. H ( s ) (III. est supérieure ou égale à la plus grande des normes H∞ de ces deux systèmes : (s) G sup G ( s ) .10) (III. soit une sortie commune. qui sera for m n et h di e i dsU e ao déa e l d f ec et lss m c etn cé ’ crt e. La norme H∞ possède deux propriétés : La norme H∞ de la mise en série de deux systèmes.2.11) est fondamentale dans le cadre de la synthèse H∞ car elle permet di psr n aa tr un ea ss m e bulf m e . w H ( jw) La propriété (III. H ( s ) ( s) H (III. Y sont respectivement l'entrée et la sortie du système et G(s) est sa matrice de transfert.9) (s) G H (s) sup G ( s ) . est inférieure ou égale au produit de leurs deux normesH∞ G (s) H ( s) G(s) H (s) (III. Cette dernière condition peut se réécrire G G . Deux types d'incertitudes sont définis dans la commande robuste sont les incertitudes structurées et non structurées [17].11) G (s) H ( s) G ( jw) .3 Incertitudes dans un système Soit Gréel (s ) la fonction de transfert décrivant exactement le système et G (s ) son modèle. ’ oeu gbr f qetlu yt e n oc e é [16] m i é i è e r III. é esn oè sdi r u e nr s rs b G e e no r a e ae L qatédi e i d pu ê eéa é pr npr è er l 0 tel que pour a un t ’ crt e et t vl e a u a m t é i n tu r u a r e toute pulsation w . CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ III.3.1 Incertitude non structurée [15] Représente habituellement les éléments liés à la fréquence comme des modes structuraux non modelés dans la haute gamme de fréquence, ou perturbations de modèle dans la gamme de basse fréquence. Leurs relati s u oè nm nl evn ê e' o l u e o a m dl o i puett ln u ’ t n e a r u ar Additif : Gréel ( s ) ( s ) G ( s ) G Ou multiplicatif : Gréel ( s ) ( I G )G ( s ) La figure (III.1), montre L'incertitude non structurée additive et multiplicative. (III.13) (III.12) Δ (s) G + + Δ (s) G + + G(s) Additive G(s) Multiplicative Fig. (III.1): Incertitudes non structurée. III.3.2 Incertitude structurée Représente des variations paramétriques de modèle dynamique, comme incert e as e a e et e ds a i s e’ pc lt (A, B, C, D). tu dn cr i s n és e m tc d l sae'a id tn r re e ét incertitudes dans les pôles et/ou les zéros de la fonction de transfert. incertitudes dans les gains/phases de boucle. III.4 Equation du système contrôlé Les spécifications du cahier des charges se formalisent naturellement par des contraintes portant sur les modules des fonctions de transfert du système en boucle fermée. Comme ces fonctions dépendent non linéairement du correcteur K (s ) , alors la recherche de K (s ) , de façon à as i cs ot i e pu ê e r cm l em m dn l cs ’n sut e i p stf r e cn a t et t t s o p x, ê e ase a due t c r s l ia e rn s r è e r u m e pour le correcteur K (s ) . ’ é fna ete e m t ds e yt s d l s e o m ne Li e odm n lds é oe d sn èe eo d cm ad d a h h i en automatique fréquentielle classique consiste à transformer ces contraintes portant sur des fonctions de transfert du système en boucle fermée en contraintes portant sur la fonction de Electrotechnique 2007 50 CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ transfert du système en boucle ouverte L( s ) ( s ) K ( s ) . Li é tetqe L(s ) est une G ’ tê s u nr fonction linéaire de K (s ) . La synthèse H∞ et é d l r hr edu ot qiàprr e cn a t sre s ne e a e e h ’n u l u c c i , a ids ot i e u l t rn s s m dl dsfnt n d t nf t nbul f m e r hr ed et et ’ eieu ou s e ocos e r s r e oc e é, e e h i c m n sl x t n e i a e e r c c r e i s correcteur K (s ) tel que les fonctions de transfert en boucle fermée satisfassent les contraintes sur leur module et, si oui, fournit un tel correcteur [18]. O cni r l shm c s qedu ss m G (s ) bouclé par un correcteur K (s ) n os è e cé a l s u ’n yt e de ai è Figure (III.2). L si ax ’ t e ot e s nu de r sn : g né La consigne r (t ) . La perturbation en entrée du système b(t ) . Le bruit de mesure w(t ) . Ainsi que les signaux de sortie : Le er e u i e é r c e(t ) . ’ r d si d r é ne ru v fe La commande u (t ) délivrée par le correcteur K (s ) . La sortie de système y (t ) u r + _ u + + e _ y G + + Fig. (III.2) : Système en boucle fermée w b _ K L s b cf d pr r ac t di n pre a qe or e s nu det e (t ) , e oj ts e e om ne r u et a l f t u pu ds i ax ’ r r ei f a s i g né b(t ) et w(t ) appartenant à des ensembles bien définis, un correcteur est recherché tel que les signaux de sortie y (t ) et u (t ) appartiennent à des ensembles correspondant aux spécifications du cahier des charges. Le cahier des charges peut contenir quatre classes de spécifications : Suivi de trajectoires de référence :l ’ idé d r’ f ec d s nl e is g ’ ui lnl ne u i a d at t e i u g r é ne u ls nl ’ r r é r c sre i ade e . fe g ru Electrotechnique 2007 51 CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Rejet/atténuation du perturbation :l ’ idé d r’ f ec d s nal de is g ’ ui lnl ne u i at t e i u g pr rao sre i ade er e ubt n u ls nl ’ r . t i g ru Atténuation des bruits de mesure :l’ idé d r’ f ec ds i ax e is g ’ ui lnl ne e s nu d at t e i u g bruit sur le signal de commande et sur le signal de sortie. Commande modérée :l’ idé d r’ f ec ds i axd r érence is g ’ ui lnl ne e s nu e é at t e i u g f et du signal de perturbation sur le signal de commande. En notant Tx y l fnt nd t nf t us nl ’ t ex vers le signal de sortie y , a oco e r s rd i a de r i a e g né on a les relations suivantes entre les sorties et les entrées du système : e( s ) r e ( s )r ( s ) be ( s )b( s ) we ( s ) w( s ) T T T (III.14) U ( s ) r u ( s )r ( s ) bu ( s )b( s ) wu ( s ) w( s ) T T T Ou : 1 Tr e ( s ) S ( s ) : Appelée fonction de sensibilité 1 ( s) K (s ) G G (s) K (s) Tr y ( s ) ( s ) T : Appelée fonction de transmission. Elle est 1 (s) K (s) G aussi nommée fonction de sensibilité complémentaire car on a la relation S ( s) (s ) T 1 Tbe ( s ) ( s ) S ( s ) . G Tr u ( s ) K ( s ) S ( s ) . Twu ( s ) ( s ) S ( s ) . K Twe ( s ) ( s ) T III.4.1 Stabilité La stabilité est la propriété qui permet à un système perturbe le retour à son état déu i ee t p f il su l f td l pr rao acs .C t por t et ’ ib n e s i o qe ’ f e a e ubt n es ee rpié s q lr m n r ee t i e t é esn ee or a n reoconm n du ss m [19]. s tl pu gr t lfnt ne et ’n yt e e il ai i è III.4.1.1 Stabilité Classique Dans le cas des systèmes linéaires invariants. La propriété de stabilité peut être testée en vérifiant la localisation des pôles de la matrice de transfert G (s ) ou de façon équivalente, des Electrotechnique 2007 52 5 Approche H∞ standard A i dapr r n f it m t dl i e l r o t nds rb m s e ye ∞. La représentation est donnée à la Figure (III. T ( s ). Où : le vecteur des sorties commandées z(t).1. f ’ ot ue a lé é oo g u à a é l i e pol e d t H n p e ci h oq s uo è p une représentation connue sous la dénomination « forme standard » a été introduite. le vecteur des entrées de commande u(t).4. (III.15) P(s) K(s) Fig. III.3) : Problème sous forme standard Electrotechnique 2007 53 .3). Une boucle fermée est dite stable de façon interne si toutes les fonctions de transfert du système en boucle fermée produisent des sorties bornées (e(t ) et u (t )) à prr det e d amplitudes a i ’ r s es t né bornées (r (t ). G ( s ) S ( s ) et K ( s ) S ( s ) soient simultanément stables. Iet ’ t prps b d dm n e q’ y s b i i e e i tel etia l sda r a os l e é ot r ui a t it n r se su m n sl u e t ie r l a lé t n e fonction de transfert S (s ) ett l e sl ’ a a d cm est n pl -zéros instables ss b t’ ny ps e o pnaos ô s ae i i e entre le système G (s ) et le correcteur K (s ) [4]. le vecteur des sorties mesurées y(t). Pour les systèmes continus cette région est le demi-plan complexe gauche ouvert [18]. III.la qee ocos e s l t a lé t n u s i transfert S ( s ).CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ valeurs propres de la matrice A dans une certaine région du plan complexe.or ui a t it n r . i ipu q’ y is b i i e eif t u l fnt n d An . qui apr uecr i c r d fr u t n pi ueecn etàl fi l ss m à pot n e a e l t e om li u q’ l otn e tn a é ao s l i a o e yt e s è commander et le correcteur associé.2 Stabilité interne Une notion très importante est celle de stabilité interne. Le système P admet pour équations détat : ’ x(t ) Ax(t ) 1w(t ) B2u (t ) B z (t ) 1 x(t ) D11w(t ) D12u (t ) C y (t ) 2 x(t ) D21w(t ) 22u (t ) C D w u z y (III. le vecteur des entrées de critère w(t). b(t ) et w(t )) . CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Dans cette figure, P(s) représente le « modèle augmenté », et K(s) le correcteur. Le système. P(s) est formé des quatre transferts multivariables existant entre les entrées u (commande du système) et w ( ni e, e ubt n, e l sre y (mesures) et z c s ns pr raos …) te ots o g t i s i (sorties régulées) : Dans le domaine de Laplace, les équations du système se réécrivent : P D ( s ) P12 ( s ) 11 P ( s ) 11 P D 23 ( s ) P22 ( s ) 21 D12 1 C 1 B ( sI A) 1 D22 2 C B2 (III.16) z ( s ) ( s ) P ( s ) y Soit : w ( s ) ( s ) Et u ( s ) K ( s ) y ( s ) u 1 z ( s ) P11 ( s ) 12 ( s ) K ( s )( I 22 ( s ) K ( s )) P21 ( s )) w( s ) ( P P Fl ( P , K ) *K P (III.17) Fl ( P, K ) : est appelée Transformation Fractionnaire Linéaire inférieure (LFT). L r r eti dé t uss m ag et Fgr (III.3) est donnée classiquement a e é n t n ’ a d yt e um n i e p s ao t è é u sous la forme suivante [14]. x A z C 1 2 y C III.5.1 Problème H∞ D m n r gnr e l cl l ’ncr c u H de la forme standard Figure (III.3) e ai e éé l e a u du or t r ∞ è a, c ee peut se ramener duepràu pol ed s b i t nd ss m bul de rejet de ’n a t n rb m e t is i u yt e oc è a lao è éet perturbations, dat prà n ’ r a u problème de minimisation. ue t III.5.1.1 Problème H∞ optimal Minimiser la norme Fl ( P, K ) entre les entrées et les sorties régulées sr’ sm l u l ne b e e B1 D11 D21 B2 x D12 w D22 u (III.18) des correcteurs K (s ) qui stabilisent le système de manière interne. Le minimum est noté est appelé gain «H∞– optimal» [16]. opt Electrotechnique 2007 54 CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ III.5.1.2 Problème H∞ sous optimal Consiste, pour un réel positif donné, trouver un correcteur K (s ) telle que : Le système bouclé Fl ( P, K ) soit stable (tous les pôles du système en boucle fermée sont à partie réelle négative). Fl ( P, K ) . Ce problème peut être résolu par deux méthodes possibles. Elles sont en général mise en oeuvre numériquement sur un calculateur [16]. III.5.2 Méthodes de résolution Deux méthodes de résolution sont plus particulièrement utilisées. Toutes les deux utilisent une représentation d'état de la matrice P(s). La première est basée sur la résolution de deux équations de Riccati. La seconde conduit à un problème de faisabilité sous des contraintes exprimées par des Inégalités Matricielles Linéaires (LMI). Ces deux méthodes conduisent à des correcteurs d'ordre égal à celui de la matrice P(s), qui comprend le modèle du système à réguler augmenté soit par les filtres exprimant les objectifs de synthèse (l'approche standard) soit par les réseaux correcteurs effectuant le modelage de la boucle ouverte (l'approche par loop-shaping) [14]. III.5.2.1 Méthode de résolution du problème H∞ fondée sur les LMI Cette méthode fné sr n u l ’ a s p s u sr n u l e yt s,ee m ode u u ot da l e l qe u u ot d sn èell e i ny u i h m borné réel. La résolution effectuées en deux étapes. En premier lieu, la faisabilité du correcteur H∞ est testée par le BRL. En deuxième lieu, le correcteur est calculé. Cette méthode de calcul du correcteur offre plus de flexibilité, mais demande un temps de calcul considérable, spécialement pour les systèmes de grandes dimensions. Dans ce cas, des méthodes algébriques dérivées seraient plus appropriées. III.5.2.2 Résolution du problème H∞ fondée sur les équations de Riccati Par cette approche, le problème admet une solution si les quatre hypothèses suivantes sont vérifiées [14]. , B1 , B2 stabilisables. A et A sont D12 I 0 . 55 1 , A 2 , A C et C sont détectables. T D12 1 C Electrotechnique 2007 CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ B 0 T 1 21 D . D I 21 D11 D22 0 Sous les hypothèses précédemment énoncées. Il existe un correcteur K (s ) solution du problème H∞ standard si et seulement si : [4] A 2 B1 B1T 2 B2 B T 1. La matrice hamiltonienne T na a e a us rpe e s ’ psd vl r por 1 C1 C AT sr’ e u l x imaginaire et il existe une matrice symétrique X 0 telle que : a XA AT X X 2 B1 B1T 2 B2 X 1T C1 B T C AT 2 C1T C 1 2 C 2 CT 2. La matrice hamiltonienne ’ ad a eurs naps evl propres T A B1 B1 sr’ em g a e tlx tue a i sm tqe 0 telle que : u l x i ai i eieie n m tc y é i Y a nr s re ru YAT AY 2 C1T C1 2 C 2 Y B1 B1T Y CT 0 3. XY ) 2 ou : correspond au module de la plus grande valeur propre (rayon ( (:) spectral). La recherche du optimal est effectuée par dichotomie en testant, à chaque itération, l x t c duesl i K (s ) pour le défini. Les algorithmes couramment implantés ’ ie e ’n o t n e sn uo fournissent une solution appelée « correcteur central ». Cependant, il existe une infinité de solutions au problème sous optimal [4]. La valeur peut être approchée on suit le processus suivant : opt a. C o dun niveau de tolérance e sur le calcul de la valeur et de deux hi ’ x opt valeurs et telles que, pour sup , le problème H∞ standard admette inf sup une solution et que, pour inf , le problème H∞ s na nadmette pas de t dr ’ a d solution. b. On teste si pour sup inf , le problème H∞ standard admet une solution. 2 Si oui alors sinon . sup inf c. Si sup inf e alors retourner en (b) sinon continuer. d. Calcul de la représentation détat du cr c u pr eat ’b n ue om ’ or t r e tn dot i n nr e ee m t er H∞ proche de . opt Electrotechnique 2007 56 4). w u z y P(s) Ka(s) Фs ( ) K(s) Fig (III.21) F X . Z I YX B YC T 2 . C 2 2 ˆ ˆ D I . L 2 . ( 0 Le schéma de principe du problème sous-optimal est donné à la Figure (III. Electrotechnique 2007 57 . D I 12 21 T 2 (III.19) (III. Toute fonction de transfert G (s ) réelle rationnelle et propre peut être représentée comme division de deux facteurs stables [20].CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Un correcteur K (s ) solution du problème H∞ sous-optimal en t on pr e dné a: s K ( s ) F1 a ( s ).4) : Paramétrisation de la solution du problème sous-optimal III. ) Désigne un paramètre libre satisfaisant s) et (s ( H Dans le cas où s ) .20) ˆ ˆ C C1 F . K ( s ) est appelé correcteur central. B ZB 2 2 (III. s ) K ( Ou K a (s ) est déterminé par : ˆ ˆ ˆ B1 B2 A ˆ 0 D ˆ K a ( s ) 1 C 12 ˆ D ˆ C 0 21 2 Et : ˆ A A B1 B1T X B2 F 2 ZLC 2 ˆ ZL ˆ B .6 Synthèse H∞ par « facteurs premiers » La factorisation première est largement répondue dans la théorie de la commande H∞. CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ N( s ) G( s ) M( s ) Le but de la commande H∞ par facteurs premiers est de maximiser la robustesse face à des dynamiques négligés intervenant sur les facteurs premiers du système en boucle ouverte.e u nu pr tn m r s uo yq è i ao m particulier de calculer directement la valeur minimale atteignable de la norme H∞. définissons les notions de factorisation première à droite. ce problème peut se ramener à un problème H∞ standard.ils n lm m nm r d l ns t’ eie ex see ote ê e o be ei e eslx tdu l g i s fonctions de transfert matricielles X l (s ) et Yl (s ) telles que : ~ ( s) M X ( s ) ~ N (s) l I Y l (s) (III. et que la résolution est assez complexe.24) 58 Electrotechnique 2007 .22) ~ ~ Deux fonctions de transfert matricielles M ( s ) et N ( s ) de RH∞ sont dites facteurs premières à gauche sur RH∞.lx tue o t n nl i e u rb m dot i i . Alors que cette résolution est beaucoup plus simple dans le cas de la commande H∞ par facteurs pe i sIeie n sl i aa t u a pol e ’p m st n c qi os e ee r e . une factorisation première à droite de G (s ) est donnée par la factorisation : 1 G ( s ) N ( s ) M ( s ) (III.6. III. à gauche et ot ’ r b double pour des fonctions de transfert matricielles.1 Factorisation première T u daod. de norme H∞ finie [21]. On note RH∞ l ne b dsocos e ’ sm l e fnt n d e e i transfert matricielles stable.23) Soit G (s ) une fonction de transfert matricielle.i ls n l m m nm r d cl ns t ’ eie s ee ote ê e o be e o ne e sl x t l o i s deux fonctions de transfert matricielles X r (s ) et Yr (s ) telles que : r ( s) X M ( s) Yr ( s ) ( s) I N (III.6.1 Définitions Deux fonctions de transfert matricielles M (s ) et N (s ) de RH∞ sont dites facteurs premières à droite sur RH∞. III. A noter cependant que dans le cas de la commande H∞ standard la minimisation de la norme H∞ se fait par dichotomie (itérations). autrement dit.1. sans dichotomie. Une factorisation première à gauche particulière. appelée factorisation première gauche normalisée.1. et une ’ x t n a osi i s c rao ~ 1 ~ factorisation première à gauche : G ( s ) M ( s ) N ( s ) et X r ( s ) Yr ( s ).27) Avec : ~ ~ N * ( s ) N T () Et M * ( s ) M T () s s N ( s) ~ ~ Des représentations d'état de ( s ) et N ( s ) M ( S ) s'obtiennent par la résolution de M deux équations de Riccati : AT X XA XBB T X T C C 0 AY T T CY T YA YC BB 0 ~ ~ U eer eti dé t or . X l ( s ) Yl ( s ) de RH∞ telles que : M Y X r ( s ) Yr ( s ) ( s ) l ( s ) ~ ~ N ( s ) M ( s ) ( s ) X ( s ) I N l (III. et ( s ). M ( s ) facteurs 0 N premières à gauche sur RH∞.28) A BB T X ~ N C Electrotechnique 2007 B 0 A YC T ~ C M C T YC I 59 .6. une factorisation première à gauche de G (s ) est donnée par : ~ 1 ~ G ( s ) M ( s ) N ( s ) ~ ~ Où M ( s ) et N ( s ) sont les facteurs premiers à gauche sur RH∞[21].25) Une fonction de transfert matricielle G (s ) de RH∞ admet une double factorisation 1 première sl eie ue f t i t n première à droite G ( s ) N ( s ) M ( s ) .26) III. De même.CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ Où M (s ) et N (s ) sont les facteurs premiers à droite sur RH∞. dans laquelle : ~ ~ ~ ~ N ( s ) N * ( s ) ( s ) M * ( s ) I M (III. M est : n r é n t n ’ apu N p s ao t (III.2 Factorisation première à gauche normalisée Si M (s ) de RH∞ est une matrice carrée avec det( M ( s )) . (III. Les erreurs de modélisation peuvent être alors représentées sous forme de perturbation additive sur les facteurs premiers Δ (s) N + + N(s) + M-1(s) Δ (s) M Fig. dans le cas particulier de max perturbations sur les facteurs premiers normalisés du processus.6.5) : Perturbation sur les facteurs premiers a gauche On cherche le correcteur stabilisant K (s ) qui maximise la robustesse face aux perturbations de modèle .2 Stabilisation robuste face a une perturbation sur les facteurs premiers du modèle Pour une factorisation première à gauche normalisée donnée. (III.31) Electrotechnique 2007 60 . Cependant. K ) inf K (s) I ~ 1 1 ( G ( s )I ( s ) K ( s )) M K Iet i éi m et os ldap qe lm t d H standard ( itérations) pour lsb n v e m n ps b ’ l ura é oe ∞ e d ie p i h calculer et un correcteur sous optimal associé. dans lequel. On constate que le problème peut être ramené à un M N problème H∞ standard.CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ III. nous définissons l'ensemble de modèle.29) Où : est une borne d'incertitude. appelée marge de stabilité. . ~ ( s ) H et N ( s ) ~ ( s ) N M (III. max I 1 G I 1 ( s )( I ( s ) K ( s )) G ( s ) K 1 inf max (III. on peut résoudre le problème de façon directe de sorte que peut être directement obtenu comme : max ~ 2 min M 2 1 max ~ N 1 XY 1 2 H (III. 1 ~ ~ ( s) M (s) ~ (s) N (s) ~ (s) G M N G ~ ~ M ( s ). ~ ~ M ( s ) et N ( s ) : représentent les facteurs premières à gauche normalisé de G (s ) .30) K (s) F1 ( P. on cherche à maximiser la marge de stabilité . 28) On calcule un correcteur sous optimal correspondant à une marge de stabilité max . Le modèle formé est formulé comme facteur premier normalisé qui sépare le modèle Ga (s ) dans le nominateur normaliser N a (s ) et le facteur dénominateur M a (s ) . W1 ( s ) (pré-compensateur) et W2 ( s ) (post-compensator). Deux fonctions. a N M Electrotechnique 2007 61 . è X .6) : Schéma du système augmenté Ga N a N a M a M a Avec : 1 a .CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ De ou : H : La nr e e akl ’n yt e om d H nedu ss m . Dans tout modèle G (s ) .3 Modelage de la boucle ouverte (loopshaping) Cette technique exige seulement une forme désirée de boucle ouverte dans le domaine fréquentielle. (III. sont indiquées pour former le modèle augmenté Ga (s ) de sorte que la forme désirée de boucle ouverte soit réalisée. Y : Solutions des équations de Riccati (III.6.33) Fig. le modèle Ga (s ) formé est formulée comme : A B Ga 2 GW1 W C D Ga(s) W1(s) G(s) W2(s) (III.32) Où : Z 1 YX 2 1 et / max 1 III. U eer eti dé t u or t r et lsdné car : n r é n t n ’ ad cr c u cn aet one ipè p s ao t ee r s T X ZYC T C 2 ZYC T A BB 2 K ( s ) BT X 0 (III. 2 Conception de loop-shaping On présente les étapes suivantes : 1. W2 peut être choisi comme matrice d'identité.3.1 Chois de fonctions de pondération Le choix de la fonction pondération est très important dans la conception.. W1 est employé pour obtenir les performances désirées et atténué les perturbations et W2 pour atténuer le bruit. Nous choisissons W1 et W2 tels que le modèle formée de la boucle ouverte présente les propriétés suivantes : réalisant les bonnes performances et le bon rejet de perturbation en exigent un grand gain en boucle ouverte à une gamme de basse fréquence. 2. III. c. Le choix de la fréquence de coupure.CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ III. Nous choisissons W1 comme fonction de pondération d'action intégrale.6. ce qui fait une erreur zéro d'état d'équilibre. opt 1 max ( XY ) 1 opt 1/ 2 (III. Modelage de la fonction de transfert en boucle ouverte en employant pré compensateur W1 et/ou post-compensateur W2 pour obtenir la forme désirée de la boucle.-à-d.6.3. la fréquence ou le gain de la boucle ouverte du modèle formée intersecté la ligne 0dB. Nous choisissons la fréquence de coupure pour réaliser la largeur de bande désirée de notre correcteur [20]. Minimisation de la norme de la matrice de transfert Tz w au-dessus de tous contrôleurs stabilisants K pour obtenir comme : opt I 1 opt 1 inf a K M a 1 I G opt K (III. réalisent le bon rejet de bruit et bonne stabilité robuste en exigent un petit gain en boucle ouverte à une gamme de haute fréquence.35) 62 Electrotechnique 2007 .34) Le résultat est une mesure de robustesse de la boucle formée désirée. Elle indique opt également la compatibilité de la fonction de pondération avec la commande robuste de modèle. upi duecm l i a oi m qeag et .CHAPITER III Méthodes de synthèse fréquentielle H∞ 3. De ces deux solutions. La première méthode r oe u l r o t ndue é e ’ ut n d Rca. e a e ’ oo i e e hpt ssa r ’n o p x é l rh i i é h x e t g t u um n e é Une telle méthode et aé sr ar o t ndu pol edot i t ncnees s bse u l é l i ’n rb m ’p m s i ovx ous s uo è i ao cn a t di glé m tc lsi a e (MI ot i e ’ éat a iee l éi sL ) r n s n is r il n r . ’ ta o t nlp s i p e e s sra é l i ’n sr dé aos e i t Ce lsl i a l s l t p s uo i q i ci s uo u m e l p s i l nm r um n C pnateencs t l vri t ndu cr i nm r a l f b u é qe et eedn l éese a é f ao ’n e a o be u ae i . seule la première est exposée car elle reste la plus intéressante au niveau rapport qualité du résultat sur quantité de calculs à effectuer. I 1 1 a (s) K ( s) M a I G K ( s ) Tz w I 1 G I 1 ( I a ( s ) K ( s ) Ga ( s ) K ( s ) (III. Cette dernière sera appliquée et utilisée dans la régulation de la machine asynchrone en boucle fermée dans le chapitre suivant. Choisir opt puis synthétise le contrôleur K∞satisfait. Electrotechnique 2007 63 .7 Conclusion Le problème H∞ peut être résolu par deux méthodes possibles. Le correcteur final K f (s ) prend la forme suivante : K f ( s ) 1 ( s ) K ( s )W2 ( s ) W (III.36) 4. .37) III.l i ic i tn dhpthèses qui peuvent être non vérifiées. Une deuxième solution au problème H∞ permet ’yo d f r l cnm ed cs yo èe. Chapitre : IV Régulation H∞ de courant du e o ’n cmma d vc r l n e et il o ee . isq est : k isd .sq s 1 Avec (IV.1 Introduction La synthèse H∞ des correcteurs est une approche récemment appliquée aux commandes des ensembles convertisseur-machine prenant en compte les bruits injectés sur le processus et les variations des paramètres intervenant dans les modèles. 2 2 Rs M Rs M LT LT r r r r L r r eti dé ts c r la fonction de transfert G (s ) est : a e é n t n ’ aas i à p s ao t oe A B 239. IV.1) : Représentation Fréquentiel de G(s) Electrotechnique 2007 64 . Cette synthèse recherche un compromis robustesse/performance. Ce chapitre traite l plao d la synthèse H∞ par factorisation première pour ’ p ct n e a i i calculer les correcteurs H∞ asr tar u t nd cuat ’n cm ad vc r l s e l é li e or due o m ne et il un g ao n o ee découplée implantée sur une machine asynchrone alimentée en tension.1) s L 1 k . Usq et les courant isd.sq ( s )U sd .1632 1 D 83.2 Synthèse des correcteurs H∞ La fonction de transfert qui liée les tensions de commande Usd.2) Amplitude (dB) Fréquence (rad/s) Fig (IV.CHAPITER IV Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl IV.9976 C 0 (IV. Les correcteurs obtenus ont des ce iet cnt t e sn dn aat ax f qecs déhn l nae é ve ofc n os n t ot oc dp s u r une ’ atl ngs l és fi s as é é c io e nécessitées par ce type de processus.sq G U sd . et post compensations W1 ( s ) et W2 ( s ) sont choisies de façon que la fonction de transfert du système augmenté Ga (s ) présente un gain suffisamment élevé en bs f qec pu r u el f t e pr raos t s r d bne pr r acs t as r une or é i ’ f ds e ubt n e as e e ons e om ne e e é d r ee t i ur f péetu gi f b e hu f qec.2) (IV.39) Ga ( s) s 2 (s + 4500) (s + 239.e et r e né ir e T Electrotechnique 2007 65 . (IV.2) : Représentation Fréquentiel de Ga(s) et W1(s) La boucle fermée du système augmenté est représente par la figure (IV. On considère cm evc u det ed c t e l vc u w b d et comme vecteur de sortie du o m et r ’ r u rè .4) W2 ( s ) 1 Le modèle nominal est alors remplacé par le modèle augmenté : Ga ( s ) 2 ( s )G ( s )W1 ( s ) W 2057941. oréu e’ f d bu d m sr asr ta r n n a a l n at r unepu r i l f t u ri e eue s a l s e n ie eé d r ee t un robustesse.6) (s + 31.6) (s + 31.3).39) W1 ( s ) s 2 (s + 4500) (IV. Amplitude (dB) Fréquence (rad/s) Fig.5) Les fonctions de pré.CHAPITER IV Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl L m s e œ ve de la méthode s f c e e du é ps L cm ot et a i n ur e ’ f t n ex t e. e o pr m n ee u a e fréquentiel du modèle nominal G (s ) à o m ne etot ’ od oié a ln out n cm adr st da r m d ipr’ t dco u b f ir i de pré-et post compensateurs W1 ( s ) et W2 ( s ) : 24500 (s + 318.2017 (s + 318.3) (IV. 10 3 0. 66 Electrotechnique 2007 . Les paires .0579. B C C1 a C 2 a . u K(s) Fig.7. .0000 7. donc stabilisables.0000 Ba 0 Da 0 0 .6) Tel que : x B Aa x Ba b a u x w B Aa x Ba 0 a u Y a x Da b a u C D C D 0 Da a a z x w u Y 1 z 0 0 0 u x D 1 u y a w Da Ca a x Da b a u y C D d (IV.10 8 0 0 0 0 2.0000 0 2.10 6 0 0 0 0. donc détectables. A C et C sont observables. (IV. B1 . C 0 D 0 Da D11 a . T D12 1 C D12 0 0 0 1 0 . B2 A et A sont commandables. A 2 .10 5 10 0 0. D D12 1 D21 Da 1 D22 a 0 0 Vérification des hypothèses pour la résolution du problème H∞.762. .7) Avec : B1 Ba A Aa 0 B2 a .2.1010 1 0 0 0 0 A a C a (IV. Les paires 1 . Le signal mesuré relié T Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl par K (s ) est y et le signal de Y d d b + _ Ga(s Y ++ y commande u .CHAPITER IV critère z Y u .3) : Système augmenté en boucle fermée L r r eti dé t eGa (s ) est donnée par : a e é n t n ’ ad p s ao t 4. 2) (s + 0.8) Le correcteur H∞ est synthétisé à partir du modèle augmenté Ga (s ) . Il est alors impératif de les simplifier proprement car ils ne contribuent pas de façon significative à la politique de commande.065) La structure de commande est obtenue en associant en série W2 ( s ).6) (s + 239.39) (s + 0.3889 . 0 0 S u MA L B l r hr edu cr c u K(s) tel que le problème H∞ admet une os T A .1659 (s + 318. 0 D11 D22 .6) (s + 31. et ’rr3.065) (IV. les correcteurs obtenus peuvent présenter certains pôles et zéros très proches ou égales.39) (s + 0.3679) K r (s) s 2 (s + 4500) (s + 2.10) Le fait que les m t dsd sn èeat aqednet ncr c u dodea é oe e yt s u m t u onn u or t r ’rr u h h o i ee m i éa àl rr d ss m et n cnio qi e e dot i u a oi m d o s gl ’ de u yt e s ue od i u pr t ’b n n l rh e e n o è tn m er g t synthèse efficace. La méthode H∞ cnt i u cr c u dode éa à l rr d ss m osu n or t r ’rr gl rt ee ’ de u yt e o è augmenté Ga (s ) . W1 ( s ) K f ( s ) 1 ( s )K ( s )W 2 ( s ) W (IV.3679) K ( s) (s + 4500) (s + 239.065) (IV.l fr u t n d pol en pr e psdot i u or t r ’rr l a l a om li u rb m e e t a ’b n n ee u ie ao è m er algorithme efficace. D u pi d ve ulafdn lcs e ’n o t e u qati ase a d n it.CHAPITER IV Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl B 1 T T D 21 0 0 0 0 1 D 21 0 0 .a e e h ’n or t r c c ee solution pour le plus petit possible tel que la norme H∞suivante sera : I 1 I G G ( s ) a ( s )K ( s ) a ( s ) I K (IV.5713 max min max 2.11) Electrotechnique 2007 67 .1659 (s + 4500) (s + 318.2) (s + 31. on cherche à obtenir un cr c u dodep sf b . K ( s ). celui-ci doit assurer les mêmes performances que a e e h du or t r ’ c c ee le correcteur complet. 58037.9) 58037.2) (s + 2.2) (s + 2. sdode Avec : 1 0. Mathématiquement.3689 (s + 4500) (s + 239. De plus. 2. si lors de la synthèse.3679) K f (s) s 2 (s + 4500) 2 (s + 239. lr hr e ’ncr c u dordre réduit. MAS i sq Electrotechnique 2007 68 .4) montres les réponses fréquentielles de la fonction de transfert augmentée Ga (s ) et celle de la boucle ouverte finale K f ( s )G ( s ) . nous allons remplacer le régulateur classique de courant du schéma de commande vectorielle par le correcteur H∞ synthétisée.3 Smuai d l ne lC mma d_ cie i l o e’ smbe o tn e n eMahn Dans cette partie.CHAPITER IV Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl La figure (IV. On remarque aussi que dans les zones où la réponse de la boucle ouverte présente. Amplitude (dB) 2 1 K f ( s )G ( s ) G a (s ) 2 1 Fréquence (rad/s) Fig. est très petit. On remarque que la forme de Ga (s ) respecte le modelage effectué lors du loop-shaping. et Kf(s) G(s) IV. l cret l vl r s glr ot us ls e ul p ’ a n e e a us i u è s b ne à ’s d o -shaping et celles de la boucle é t r s e n ie e iu o ouverte finale. soit un gain faible.4) : Réponse fréquentielle de Ga(s). est r ref ref i sd PI Corr H∞ i sd i sq s Découplage Onduleur dq/abc IP i sq Corr H∞ i sd est r s Estimateur De et r s Fig. (II. soit un gain élevé.5) : schéma fonctionnel du système de commande. (IV. 1 Simulation sans onduleur Couple Ce (N*m) Vitesse (rad/s) Ce ref * CR Temps(s) Temps(s) Courant is (A) α Temps(s) Flux (wb) Temps(s) Fig.3. Lors d'un fonctionnement à vide de la α r machine.3. Le couple om s uo a ’ lu cnt t L f x o r u Ф n d e m id ae u oq électromagnétique subit un pic au premier moment de démarrage. e l rt i e r suive sa référence.1.CHAPITER IV Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl IV. IV.5 s on remarque : r ’ p ct n ea hr à sa i i g Laue e a is péet ue ht r e e ai m n pis s b i à ’ l d l v es r n n cu e t r d et u e t is lr t e s e e jé p e s a le sa valeur de référence.1 Essai en charge nominale après un démarrage à vide L f ue( .6) : Essai à vide et en charge (sans onduleur) On remarque dans la figure (IV.6) que le courant is présente des dépassements en α régime transitoire qui disparaissent rapidement en régime permanent pour donner lieu à une fr e i sï l da p t e os n . (IV. puis converge ver zéro. m n el vl i d l v es d rti Ω ( d ) du couple a i r I 6 ot ’ o t n e a is e o t n g V ) r é uo t e ao r /. Electrotechnique 2007 69 . suivi d'une perturbation de charge à t = 1.5s. Apé l plao d lca e t =1. as électromagnétique Ce. des flux Ф et de courants is. 1.7) la présence des ondulations sur la réponse du couple électromagnétique elles sont liées aux harmoniques de courant.m).2 Simulation avec onduleur Couple Ce (N*m) Vitesse (rad/s) Ce ref * CR Temps(s) Temps(s) Courant is (A) α Temps(s) Flux (wb) Temps(s) Fig. IV. le découplage entre le couple et le flux est maintenu ce qui nous permet de cn ô rnéedm et’n e’ t . avec une forme sinusoïdale eu régime permanent.7) : Essai à vide et en charge (avec onduleur) On remarque dans la figure (IV.CHAPITER IV Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl Le transitoire du courant et maîtrisé. ot l i pna m nl d l u e re d u ar Le couple électromagnétique rejoint. la valeur qui compense le couple résistant appliqué (25 N.3. (IV. Electrotechnique 2007 70 . après un régime transitoire. 2 1 Teste avec variation de la charge 8 La figure (IV. ainsi que le flux ne présentes aucune déformation.m) Temps(s) Temps(s) Courant is (A) α Temps(s) Flux (Wb) Temps(s) Fig.m à ’snt i a t=2s.9) représente les résultats obtenus avec les régulateurs H∞.2 Teste de Performance et de robustesse IV.157 sous une charge de 25 Nm. Electrotechnique 2007 71 . on constate que le couple répond instantanément et la vitesse garde toujours sa forme sans dépassement. Vitesse (rad/s) Couple Ce (N. pour une référence de vitesse n 157rad/s. le flux et le courant statorique (i s) de la m ci aycrn dn l csdu ah e snhoe as e a ’ndémarrage à vide. puis rejoint la valeur Cr=25N.Lesi ’ a s représente une inversion de vitesse de 157 à . (IV.3. IV. A lnt t =1s on applique un couple Cr =10N.3.8) : Essai avec variation de la charge.2 T s ae ln es nd sn d rtt n et vc’ vri e es e oai e i o o La figure (IV.3.CHAPITER IV Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl IV. le couple.8) représente la vitesse.1.m. la valeur de la résistance rotorique Rr de la machine asynchrone.3 Teste avec variation de la résistance rotorique En simulation. Les courbes de courant de flux et de couple présentent des petites déformations au moment de la variation de la résistance rotorique. ref Couple Ce (N. Les allures des grandeurs.3.2.la vitesse et le couple dans les deux courbes suivent leurs références.10) .9) : Essai avec inversion du sens de rotation IV. couple électromagnétique et courant statorique présentent des pics lors de lne i d lv es aat e e t isr l rvl rdsésas o cnte u l ’ vro ea is vn d s s b i àe s a us éi e. (IV. Les résultats de simulation obtenus pour la variation de la résistance rotorique sont présentés sur la figure (IV. Electrotechnique 2007 72 . est augmentée de 100% par rapport à sa valeur nominale à partir de t = 2s.m) CR Vitesse (rad/s) Ce Temps(s) Temps(s) Courant is (A) α Temps(s) Flux (wb) Temps(s) Fig.us n os tqee i sn t e a le u e r i a flux rotorique suit parfaitement la référence sans erreur statique.CHAPITER IV Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl On remarque que la vitesse suit sa référence sans dépassements. une fois le régime permanent du système établi. m) Temps(s) Courant is (A) α Temps(s) Flux (wb) Temps(s) Fig. Cette méthode est o m ne et il c s l é oe e yt s e cr c us ∞ o ee e h h ee employé pour concevoir des correcteurs de courants robustes par rapport aux variations paramétriques et aux bruits de mesure et garantir la stabilité de système.10) : Essai avec variation de la résistance rotorique IV. ’ tam t d d sn èeds or t r H .4 Conclusion Dans ce chapitre nous avons présenté une autre méthode de commande basée sur la cm ad vc r l. Les résultats de simulation confirment en grande partie la praticabilité el fccé ea é oe rpse t’ f ai d lm t d pooé. (IV. ei t h Electrotechnique 2007 73 .CHAPITER IV Régulation H∞ dc r t’ eom neeoee eo a d nc adv til un u m c rl Vitesse (rad/s) Temps(s) Couple Ce (N. Conclusion générale . Dans le cadre de la commande H∞ par facteurs premiers. On a commencé par la modélisation de la machine asynchrone dans un référentiel lié au stator. La synthèse H∞ est bien adaptée pour résoudre ce type de problèmes et maintenir les performances exigées. Nous avons essayé de la péet due r n r ’n s e manière simple et claire pour permettre la compréhension de son fonctionnement. é oe os sm l l s l ’ l qea o m ne ∞ h é u m e m o Notre travail consiste à étudier la synthèse H∞ par facteurs premiers et son application dans le but de commander la machine asynchrone. Cependant. Dans le cadre de la synthèse H∞ s na . on peut également modeler de façon relativement systématique les valeurs singulières de la boucle ouverte. modélis l l eti d l m ci . L'utilisation d'une commande moderne est plus que nécessaire. Les résultats de simulation montrent que les régulateurs classiques sont insuffisants pour satisfaire les performances exigées. Le modèle mathématique de système étudié a été présenté. Ils sont sujets à une détérioration des performances en présence des variations paramétriques. é ’ i n t n e a ah e puis on a discuté le principe du contrôle vectoriel à am ao n flux rotorique orienté. Nous avons préféré dutiliser la commande H∞ par facteurs premiers. des améliorations à notre travail peuvent être apportées dans le future. Nous avons ensuite. Ces tests nous permettent de mieux comprendre le comportement de la machine asynchrone en présence des perturbations de différentes natures (électrique ou mécanique). parce que cette ’ m t d nu a e b p s i p de p iu lcm ad H standard. Nous avons remarqué par ailleurs sur notre application que les correcteurs H∞ pouvaient présenter de bonnes propriétés de robustesse face à des dynamiques négligées.Conclusion générale L e travail présenté est consacré à la commande de la machine asynchrone alimentée par un onduleur de tension.’ is i da r e a u lao ue la méthode sensibilité mixte ou par la µ synthèse pour mieux traiter les variations paramétriques et donc avoir une commande robuste du système. Electrotechnique 2007 74 . os vn v e e eq’ é ips b d t dr nu aos u n f t ui tt os l e a d f la ie traduire de façon assez systématique les objectifs de performance et de robustesse en terme de modelage des matrices de transfert de la boucle fermée. La synthèse des régulateurs classiques est ensuite abordée. On sgè pu cl l ti t n ’ t s techniques tels que la synthèse des correcteurs H∞par ugr or e . Différents tests de simulation montrant les performances de la commande sont présentés. Annexe . 1554 H 15/8.1 Produit étoile de Redheffer y1 H 11 H 21 H 12 H 22 u1 y2 G11 G21 G12 G22 u2 Fig.2.6 A 1440 tr/m Lr J f 0. Ce formalisme résulte directement du produit étoile introduite par Redheffer en 1960. (A.Annexe A.lsnt m n u lé as e pol e da l e t e è n r r a is è ny synthèse. A. 2 Rr 1.1) : Définition du produit de Redheffer Le produit de Redheffer ou produit étoile de la matrice de fonctions de transfert H(s) partitionnée en 4 éléments : H ( s ) H 12 ( s ) H ( s ) 11 H 21 ( s ) H 22 ( s ) Par la matrice de fonctions de transfert G(s) partitionnée en 4 éléments : (A.2 Transformation linéaire fractionnaire [22].m² 0 Paire de pôle 2 A.1 Paramètres de la machine Caractéristiques Puissance Fréquence Tension Courant Vitesse 4 kW 50 Hz Paramètres Rs 1 Ω .1) G ( s ) G12 ( s ) G ( s ) 11 G 21 ( s ) G22 ( s ) (A.1564 H 0.0700 kg. La LFT (Linear Fractional Transformation) est un formalisme qui permet de boucler du ss m si a e et ex Iet o m et ti dn ds rb m s ’ a s ed ex yt e l éi s n e u.2) Electrotechnique 2007 .8 Ω 220/380 V Ls 0. 3) 1 G22 21 H 22 ( I 11 H 22 ) G12 G G Ce qui correspond à la figure (A.5) L r r eti due F bs et a e é n t n ’n L T as s: p s ao e u1 u2 P y2 y1 K Fig (A.Annexe Noté H ( s ) ( s ) est défini par la matrice de fonctions de transfert suivante : G 1 12 G11 ( I 22 G11 ) H 21 H H H H 11 G 1 H G21 ( I 22 G11 ) H 21 1 H 12 ( I 11 H 22 ) G12 G (A.6) F I 3 D22 D 1 (A. En fait. K) ou Gl = (P*K) est e é n t n ’ a d yt e qi l t o e p s ao t è ve é alors : A 1 B2 FD3C 2 B EC Gl 3 2 1 12 FD3C 2 C D Ou : E 22 D3 I D 1 B2 FC 3 A3 3 ED22 C 3 B D12 FC 3 B1 B2 FD3 D21 B3 ED21 D11 12 FD3 D21 D (A.2.4) A K 3 C 3 B3 1 sI D C 3 A3 B3 3 D3 (A.2 LFT basse Soient les transferts matriciels P et K dnl r laos ’ asn: ote é i t n dé tot s as i t A 1 P 1 C 2 C B1 D11 D21 B2 C 1 D12 1 A1 1 B sI C 2 D22 D B2 11 D 21 D12 D22 (A. ce qui fait le gros intérêt du produit de R de e c sq’ pr ed f rcr sode ni pr qeeoco d t nf t ehf r ’ t ui e tea e or pnr à ’ ot ul fnt n er s r f.1) Ce type de transfert est souvent désigné comme une transformation fractionnelle linéaire inférieure. e l m i e m e l i a e définie par un schéma bloc une expression algébrique compacte et élégante. hm b c ’n L T as o e La r r eti dé t uss m éu a n nt Gl = Fl(P. A. 2) : Scé a l due F bs .7) Electrotechnique 2007 . 10) A. esera une équation de la è n r fi s as forme : x(t ) Ax(t ) Bu (t ) y (t ) (t ) (t ) Cx Du (A. i f r il D n l cs ’nss m l éi àce iet cnt t c as e a du yt e i a e ofc n os n .9) F 4 D11 I D 1 (A.3 Commandabilité et Observabilité Lé tdu m dl etl ne b ds i om t n i éedn s ncs i à ’ a ’n oè s ’ sm l e n r aos n pnat ées r t e e e f i d e ae cnar à’ s n initial pour pouvoir prédire le comportement du modèle en réponse à une onîe lnt t t i a entrée donnée. (A.11) Electrotechnique 2007 .Annexe P En partitionnant P 11 P 21 y1 P11u1 12 u 2 P P y 2 P21u1 22 u 2 u 2 Ky 2 A.Δ ou Gu = (P*Δ est a e é n t n ’ a d yt e qi l t o e p s ao t è ve é ) ) alors : A B 1 1 FD4 C1 B EC Gu 4 1 2 D21 FD4 C1 C Ou : E 11 D4 I D 1 B1 FC 4 A4 4 ED11C 4 B D21 FC 4 B2 1 FD4 D12 B B4 ED12 D22 D21 FD4 D12 (A. le transfert matriciel équivalent est : P22 (A.2. Construire ueéut ndé t ’nm dl cniedn àpooe u m dl n n qao ’ a du oè os t oc rpsr n oè e i t e s e faisant intervenir que des éut n d f etls ’rr1 qaos ié n ee dode .3 LFT haute P12 de la sorte.8) L r r eti due F hu et a e é n t n ’n L T at s: p s ao e Δ u2 u1 y2 P y1 Fig.3) : Scé a l due F hu hm b c ’n L T at o e L r r eti dé t uss m éu a n nt Gu = Fu(P. Annexe Où A. m Détectabilité : Un système (A. B. C et D sont des matrices constantes de dimensions respectives (n ). Li rdco d csvr b sssi du qet n r avm n à n m ’ t ut n e e a al uce ex usos e t e et no i i e t i li chacune des relations de (A.13) x(t ) (t ) Bv(t ) A BK x DK x y C (t ) (t ) Dv Soit stable. t1 u ln rae t 0 ie l pr edot ilvl r e’ aà’ s n t 0 ?l’ id pol e e’be ait e t’b n a a u d l t lnt t Is g u rb m d l sr b i. L pe i ecne elnl ned l cm ad u (t ) sr’ o t nd l t x(t ) : a r è ocr ’ f ec e a o m ne m r n iu u l vl i e ’ a é uo ét est-ce que. t1 permette de passer de x0 à x1 ? Is g d pol e e é n sr’ t vl t0 i ie l qui l’ i u rb m d at è la commandabilité.11). v (A.12) La deuxième qet n ocrea é r i t nd l vl i d l t x(t ) à partir de uso cne ldt m n i e’ o t n e’ a i n e ao é uo ét la connaissance des sorties y (t ) : est-ce que la connaissance de y (t ) sr’ t vl . m er e ét i a at è o v lé Le système (A. Electrotechnique 2007 .11)sd s b i b slx tu r or ’ a et i t is l ’ eie n e u dé t t a la e i s t t u (t ) Kx(t ) tel que le système contrôlé. Le système (A. D aprs ee éiio l A GC soit ’ è ct df t n ’ t n i observabilité entraîne la détectabilité (la réciproque étant fausse). n m (m ) et (m ) . il existe un vecteur de commande u (t ) df iu ln rae. (A. pour tout couple x0 x(t 0 ) et x1 x(t1 ) .11)sd dt t lslx tue et i é c b ’ eie n matrice G n telle t ea e i s stable. D ar ’ è ps cette définition la commandabilité entraîne la stabilisabilité (la réciproque étant fausse).11) est commandable (on dit aussi la paire (A. rang n 1 CA Stabilisabilité : Un système (A.11) est observable (on dit aussi la paire (C. (n ). A) est observable) si et seulement si : C CA CA 2 n. B) est commandable) si et seulement si : rang B AB 1 A 2 B A n B n. Bibliographie . TOULOUSE. P. 1999. « Modélisation et identification de la Machine Asynchrone ». [11] I. [14] A. 1999. [3] D. Paris. C. e’ i rt e a a u v sé n [9] C. 2001. Clarendon press. « Modélisation des machines électriques ». « méthodes de synthèse fréquentielle H∞ ». [12] G. [7] J. P. NANCY-1. « Le moteur asynchrone «Régime statique et dynamique». Cumer. «Vector control and dynamics of AC drives». A. LORRAINE. D. Scorletti. TOULOUSE . « Robustesse et commande adaptative ». M. Eguiluz. 1999. Lipo. [5] B.Bibliographie [1] R. Ellipses édition. Hautier. Alazard. 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La méthode est exploitée pour la détermination des correcteurs de courants statoriques. H Etudié par: . on propose la synthèse H∞ duecm ad rbs pu l ’n o m ne out or a e machine asynchrone alimentée par un onduleur de tension avec orientation du flux rotorique et modélisée dans un repère lié au champ tournant. Une simulation numérique est utilisée pour illustrer la performance et la robustesse du système par rapport aux perturbations externes et internes tels que la variation du couple de charge et de la vitesse et les variations paramétriques du moteur.HAFFAF Adil .CHEBABHI Moqrane Thème: Cm add nMachine à Induction Par la Méthode H∞ om ne’ e u Résumé: Dans ce mémoire. Contrôle H∞.ME I ED FND E U E E V ED LO T N I NDU DIPLOME MO R E I ’T D S N U E ’ B E T O D’ G N E RD E AT EN GENIE ELECTROTECHNIQUE I E I U ’T N OPTION : COMMANDE ELECTRIQUE Proposé et dirigé par : . Commande vectorielle par orientation du flux. Marge de stabilité. Mots clés : Machine à induction.Mlle BENDERRADJI. Loop-shaping. .