Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-BaselgaMICROGEODESIA Y REDES LOCALES Valencia 2002 José Luis Berné valero Ana Anquela Julián Sergio Baselga Moreno 1 Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga MICROGEODESÍA Y REDES El cálculo, análisis, planificación y diseño de redes topográficas y no topográficas o de control con fuertes requisitos de precisión y fiabilidad no es una tarea sencilla, influyendo en la toma de decisiones varios factores desde el punto de vista del ingeniero proyectista, como finalidad de la red, instrumentación a utilizar, orografía del terreno y factores económicos . El conjunto de teorías y técnicas empleadas ha desarrollado ya un cuerpo de doctrina que habitualmente se denomina “ Redes Locales “ o “Microgeodesia” Los avances tecnológicos de los últimos años permiten que los cálculos se realizan con paquetes de programas muy elaborados, gestionando gran cantidad de datos y basados en teorías elevadas, que permiten conjugar la precisión, la versatilidad y la economía, pero esto puede suponer que el profesional de la topografía pueda convertirse en una prolongación de los equipos de observación-transferidor de datos y ordenador, desconociendo el porque de los cálculos o no participando en la toma de decisiones. Los sistemas expertos que se están imponiendo, no son en sí malos, pero no podemos estar al margen del porqué de las decisiones. En el campo de la Geodesia y topografía, cada vez son más los paquetes informáticos, que podrían sustituir parcialmente esta asignatura, pero son muy pocos los usuarios que conocen el cómo y el porqué operan estos programas. El establecimiento de los modelos deterministas y estocásticos debe hacerse de acuerdo con las necesidades de cada problema o misión particular, y solo un conocimiento de sus fundamentos permiten tomar estas decisiones. El análisis y diseño de redes es un problema que ya viene interesando a los especialistas en geodesia y control de deformaciones desde el inicio de los años 70, y relanzado en los últimos años con la adaptación del método de los mínimos cuadrados al binomio matrices-ordenador. Hemos llegado a un punto que la compensación de una red geodésica o topográfica de una manera rápida, económica, y con análisis de precisión y fiabilidad debe estar al alcance de cualquier ingeniero o usuario. Tan es así, que hoy cualquier proyecto de cierta envergadura solo se contempla desde este punto de vista, y en la mayoría de los redes locales y catastrales se exige no sólo el cálculo por compensación rigurosa, sino las elipses de resultados , precisiones y parámetros de fiabilidad, así como las cotas de error de las observaciones respecto B-test de Baarda de detección de errores groseros La gran precisión y fiabilidad de la instrumentación actual han hecho de la Microgeodesia y redes locales una técnica imprescindible para el control de deformaciones de estructuras de ingeniería y de la corteza terrestre. Desde un punto de vista conceptual el control de deformaciones se basa siempre en la comparación de medidas efectuadas en épocas distintas, y en la deducción a partir de estas medidas de resultados concretos con cierta garantía de éxito, que dependerá de las metodología de observación, instrumentación, modelos de cálculo. Estas y otras razones hacen de la asignatura de Microgeodesia y redes locales materia obligatoria en la formación del Ingeniero en Geodesia y cartografía Pionero en el diseño de redes fue Grafarend, que ya en 1972 estableció una clasificación que mas adelante se indicara. En 1977 se celebró en Sopron (Hungría) un Simposium de Mejora de Diseño, Cálculo y Control de Redes Geodésicas, más tarde sería en 2 Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Munich 1981, y a partir de este momento en todo Congreso de Geodesia se dedica una parte a ponencias en este tema ANÁLISIS HISTORICO DEL PROBLEMA La existencia de observaciones redundantes en un sistema trae como consecuencia desde un punto de vista matemático que no exista ninguna solución que cumpla exactamente las relaciones establecidas por dichas redundancias, y de esta forma se obtienen diversas soluciones, si se procesan solo algunas de las observaciones .Ello nos obliga a buscar la mejor solución que considere todas las situaciones .Pero cuál es la mejor solución ; en 1805 Legendre ( 1752-1833) declaraba que “ de todos los principios propuestos, pienso que no hay ninguno más general , más exacto y de más fácil aplicación que aquel que consiste en producir que la suma de los cuadrados de los errores se mínima A lo largo de la materia nos vemos obligado a convivir el método matemático y el método estocástico. En la historia de la ciencia , quizás fue Aristóteles el primer hombre que se aproximó al concepto de aleatoriedad . en su metafísica considera el azar como algo que a partir de pequeñas causas produce distintos efectos. El primer intento de aplicar los principia mas elementales usados en el método de mínimos cuadrados , fue realizado por Tycho Brahe en 1582 , el cual hizo una serie de observaciones para tratar de determinar la ascensión recta de la estrella Arietis. . Algunos principios similares a los empleados por Tycho Brahe , se aplicaron en la expedición a Laponia en 1736 para determinar las dimensiones de la tierra y especialmente su achatamiento. Clarke en su libro Geodesy ( 1880) informó que cada observador hizo sus propias observaciones de los ángulos para después tomar el valor medio de estas ó que cada observador hizo sus propias observaciones de los ángulos para después tomar el valor medio de estas variaciones para el ángulo. El siguiente paso en el desarrollo del método de los mínimos cuadrados , llego en 1748 , cuando Euler en un artículo sobre las diferencias en los movimientos de Saturno y Júpiter , que intentaba determinar una serie de incógnitas a partir de un cierto número de observaciones , mayor que el mínimo necesario , para obtener una solución única. En 1765 Lambert y Boscovich en 1770 intentaron de desarrollar un método para conseguir los mejores valores de una cantidad desconocida de un exceso de observaciones. La estadística en el siglo XVIII se planteaba el tratamiento de errores de medición. Aunque este problema se había planteado en la Astronomía desde la antigüedad, la necesidad de comparar con exactitud los datos observados con al teoría requería un tratamiento rigurosos, que dio lugar a la teoría de errores. D. Bernouilli (1700-1782) proporciona la primera solución al problema de estimar una cantidad desconocida a partir de un conjunto de mediciones de su valor que, por el error experimental, presentan variabilidad .Pierre Simon , Marqués de Laplace ( 1749-1827) introdujo 3 y. Posteriormente siglo XX sus significativos ( K. se vienen aplicando en fotogrametria. proponiendo métodos matemáticos adecuados al estudio de redes libres. diversos trabajos de Huber . El método quedo establecido bajo el teorema de Gauss-Markov . publicados por la Netherlands Geodetic Comision .Aitkan ) En los primeros años de la década de los 70 .) y la Escuela de matemática rusa ( Chebyschev. Snedecor. Cabe destacar los trabajos realizados por W. Quetelec etc . Las características de las variables funcionales que se establecen entre estas variables determinan el modelo de ajuste que debe emplearse en la resolución . Gosset. . Uno de los avances mas importantes en el desarrollo de los mínimos cuadrados se debe a la introducción de las matrices en sus cálculos. La contribución más significativa de este periodo es debida a Legendre y Gauss que resuelven de manera general el problema de estimación de modelos estocásticos. en lo establecido anteriormente se parte de relaciones lineales o fácilmente linealizables. R. Pearson . en el siglo XX . En 1823 Gauss estableció las bases del método en la obra “ Theoria Combinationis” probando el carácter óptimo de la estimación mínimo cuadrática sin realizar hipótesis alguna sobre las distribuciones de las variables aleatorias. pero hasta 1934 no fueron aplicadas en esta teoría ( A. En general el método se formula estableciendo una serie de relaciones funcionales en las que intervienen variables cuyo modelo estocastico es conocido a priori en forma de una matriz varianza-covarianza que son denominadas observaciones y de parámetros que son variables generalmente desconocidas en el ajuste. . sobre todo Statical Concepts in 4 . Fisher. W.( Poisson . En 1805 Legendre desarrolló el método de los mínimos cuadrados y en 1805 Gauss lo justifico como procedimiento estadístico. Este último hecho pasó desapercibido hasta que fue puesto de manifiesto por Markow en 1912. G. sobre procedimientos estadísticos robustos . Markov) . Baarda en la Universidad de Delft . geodestas como Grafarend : Akskenazi etc. Estas se conocían desde 1857 . J. En el siglo XIX sufrió un gran impulso la estadística . empleando desarrollos en serie de Taylor. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga definición explícita de probabilidad y desarrollo la ley normal y en 1799 empleó el principio de minimización de errores absolutos con la condición adicional de que la suma de los errores fuera cero este principio se basaba en dos proporciones : La suma de todos los errores cometidos ha de ser igual a cero La suma de los valores absolutos de los errores cometidos es mínima La teoría de este método se publicó en Traite de mecanique celeste. dieron las primeras soluciones al problema de control de calidad de una red geodésica . Von Neumann ) Desde 1964 .C. . donde se trata fundamentalmente la teoría de errores. Sunkel ( análisis de fourir de redes geodésicas ) E. Un año después el mismo autor publica A testing procedure for use in Geodeteic Networks . basado en el estándar Windows. luego Apple.A esto hay que añadir todos los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. publica S-transformations and criterion matrices En el año 1984 se realizó en Erice . Ésta puede hacerse bajo diferentes premisas. lineales con matrices dispersas . Artículos de los profesores Sevilla . como para ser capaces de realizar gran cantidad de cálculos a velocidad elevada. donde se expone entre otras cosas . se antoja más que necesario. Italia . Schimit ( diseño de orden cuatro ) . koch ( el problema de diseño de orden dos ) .R. pero por situarnos en los últimos años. Sin duda alguna en los últimos años el binomio ordenador. H. Grafarend ( matrices de criterio en redes de control de deformaciones ) F. el curso de Optimización y diseño de redes geodésicas . y en primer lugar vamos a considerar las siguientes: 5 . Sansó ( análisis de series de tiempo con aplicaciones en geodesia ) En España son significativos trabajos realizados por Julio Morencos Tébar ( programa geotop ) . en el año 1973 . tanto para asegurar la precisión en las operaciones a realizar. Se define una red como un conjunto de puntos perfectamente definidos en el terreno. la fiabilidad interna y externa de una red geodésica y test de detección de errores groseros antes de una compensación llamado data snooping. Teunissen ( problema de diseño de orden cero ) . Posteriormente en 1975 apareció la primera microcomputadora de Altair . y en el destacaron los trabajos presentados por P.I BM etc. de sistemas de ecuaciones no lineales CONSIDERACIONES INICIALES En el cálculo de redes topográficas es imprescindible contar con un soporte informático que ofrezca las adecuadas prestaciones. G. Establecer una clasificación clarifica la metodología de trabajo y sus valoraciones. Nuñez García del Pozo y G. se puede decir que la primera generación de los computadoras se inicio en 1951 cuando el Departamento de Censo de los EEUU compro una computadora UNIVAC I. prácticamente esta en todos los despachos . se han producido significativos avance . Además. Bada ( geored ) . para obtener coordenadas. En la actualidad un computadora Pentium IV .. K. respecto a un sistema de referencia establecido. un entorno visual agradable. y publicaciones del profesor Chueca Pazos. luego se desarrollo el programa BASIC . entre los que se han efectuado observaciones de tipo geodésico o topográfico. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Geodesy . que ha permitido el desarrollo de estas herramientas matemáticas para el procesado y análisis de todos estos problema. Desde la primera calculadora diseñada por Gottfried Leibtniz a final del siglo XVII hasta la actualidad .calculo matricial ha producido un efecto sinérgico sin parangón . publicado en el año 1967 . como: . sino que además cuantificará su precisión y la fiabilidad de estos resultados. t) sobre el elipsoide ( . descartando con tests estadísticos observables que puedan considerarse groseros. . y) altimétricas z En cuanto a coordenadas: tridimensionales (x. cumpliendo como prescripciones técnicas a priori: . . y. en las que.. no sólo dará valores a las coordenadas de los vértices. Configuración de vértices y metodología de observación. optimizando el trabajo en cualquiera de sus fases. utilizando modelos matemáticos y estadísticos. Redes de control de proyectos de ingeniería. Redes para el control de deformaciones. Para ello. . Redes de control de cartografía catastral. no es necesario establecer correcciones geodésicas a las distancias o ángulos. y auxiliado por la informática. z) tetradimensionales (x. z. 6 . Coste en tiempo y dinero. Son utilizadas en proyectos de carácter local. Redes de alta precisión. al ser tan cortos. Recursos humanos y técnicos. y. . para el que RedTop supone una eficaz herramienta. ) Se entiende por redes locales aquéllas cuyos lados son menores de 2 o 3 km. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga geodésicas En cuanto a su extensión: topográficas y locales planimétricas (x. el diseño y análisis de redes. es una exigencia que se establece siempre al geodesta. Por otra parte. Así se le exige que establezca un cuadro de decisiones lógicas. . Es preciso tener en cuenta las siguientes consideraciones: En una red topográfica existen condiciones reales ( no hipótesis) entre las medidas. Es decir. A un punto le corresponde una posición única . Se podrán establecer unas condiciones sobre los puntos de la red. Tres puntos definen un ángulo único. que deben cumplirse: . Qxx A PD2 A. X PD1 P. que asociamos a las matrices de diseño A y B. Qxx) que son los que van a condicionar las metodologías de cálculo y diseño de redes. definida por la matriz varianza-covarianza Qxx. El ajuste opera modificando cada medida particular . a veces no claramente delimitados: PROBLEMA PARÁMETRO FIJO PARÁMETRO LIBRE PD0 A. se establecen cuatro órdenes en el diseño de redes. incógnita en muchas ocasiones. a la que a su vez se le ligará una precisión en sus coordenadas. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga En una red topográfica se van a realizar una serie de medidas directas de una cantidad física u observable. detección de errores y fiabilidad de resultados completa los objetivos de microgeodesia y redes locales En las redes topográficas se realizan una serie de medidas directas de una cantidad física ( observación) y se establece n unas hipótesis consecuentes y en función de ellas se modifican los resultados de las medidas de acuerdo con la teoría de los mínimos cuadrados. en función de todas las restantes capaces de afectarla 7 . existen cuatro términos (A. X. Y o Z. Siguiendo la clasificación dada por Grafarend en 1972. Etc. P CONDICION GENERAL DE MÍNIMO En el emblema de la Real Academia de Ciencias hay una divisa que dice”: Observación y Cálculo” si a estas dos palabras le añadimos el análisis estadístico de residuales. P Qxx. Qxx P PD3 Qxx A. Por otra parte. La distancia entre dos puntos es única . Y a cada punto o vértice hay que asociarle una coordenada X. . P. la instrumentación y el método de operar con ella nos establece una precisión de observación. . asociada a la matriz de pesos P. otros ( Harvey) le llama método paramétrico y en el libro de Leick. aparece en la literatura bajo diversas denominaciones. Por otra parte el comportamiento estadístico de las variables o mediciones topográficas que intervienen establecen el modelo estocástico. Ambos modelos se unen constituyendo el modelo matemático. M. 8 . conducen a correcciones de las medidas particulares del mismo orden de magnitud o inferior que los errores accidentales a priori en cada observación En topografia todo elemento a medir ( ángulo . Sevilla y Harvey le llaman Método Combinado La particularizaron de éste. aparece como Modelo “Mixto de Ajuste” y. de forma que podríamos obtener varias soluciones . pero de todas ella habrá una que cumpla con la mejor solución matemática . distancia …) debe ser pensado como una población o colectivo . Copper y Wolf. cuando aparece una relación directa entre observaciones y parámetros. esto establece el modelo funcional. de acuerdo a las propiedades geométricas del problema. se le asocia una variable continua . Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Los resultados del ajuste . aparece como modelo de ecuaciones de observación. así es denominado “Método General” por los autores Chueca Pazos. Las redes locales y geodésicas tienen por objeto la estimación de parámetros que describen la geometría de una superficie terrestre. esa se obtendrá aplicando el método de los mínimos cuadrados. Al observable que es un valor discreto . que bajo la hipótesis de no presencia de errores sistemáticos y groseros en las observaciones sigue una distribución m-dimensional normal de media cero y matriz de covarianzas definida por la precisión a priori de las propias observaciones. de la red. a partir de observaciones distanciométricas angulares o diferencias geométricas de nivel. que sigue una distribución normal En definitiva en nuestras redes tendremos datos superabundantes . constituida por una serie finita de valores discretos. El método general de mínimos cuadrados. Mikhhail. el profesor Chueca le llama Método de Observaciones indirectas. y toda medida topográfica como una muestra de esa población . En el libro de Leick. Esto plantea dos cuestiones. por una parte es necesario establecer las relaciones matemáticas entre los parámetros y las observaciones. El concepto estocástico se introduce a través de la ley de distribución de errores de Gauss para las observaciones con la incorporación de un vector de correcciones o residuos. a partir de valores observados de ciertas magnitudes susceptibles de ser medidas por métodos directos o indirectos. OT + R) = 0. La hipótesis de partida es la siguiente : *El observable es una variable aleatoria que debe seguir una distribución normal ( se podría comprobar por medio de un test de adherencia . SI no hay errores sistemáticos . se aceptará que los observables siguen una distribución normal. donde: X = vector de variables. 9 . y por lo tanto están sujetos únicamente a errores aleatorios. vector de términos independientes. O ~ N(OT. con media cero De alguna manera se conoce la matriz de pesos . 0). C ) F ( X aprox .C) = 0. En nuestro caso. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga INTRODUCCIÓN. . obtendremos la siguiente expresión.los residuos siguen también una distribución normal . Linealizando por Taylor la función anterior. expresará siempre una aproximación simplificada a la realidad física. El modelo matemático planteado para la resolución de la Red Topográfica propuesta. es diagonal incorrelada Los observables son variables independientes Aceptando como verdadera la hipótesis de que los observables tienen carácter de variable aleatoria. que el modelo matemático a plantear será el siguiente: F(Xaprox + x. este modelo matemático estará formado por condicionantes geométricos a partir de observables distanciométricos y angulares. particularizada para los valores de Xaprox y OT: F F F ( X . OT ) = K. C = OT + R. Por otro lado sabemos que: X = Xaprox + x. Las ecuaciones anteriores determinan. en nuestro caso coordenadas. OT ) dX dC 0 X C donde: F ( X aprox . C = vector de observables compensados. prueba de chi-cuadrado) . F(X. que no debe haberlo. señalización. 3. s 2Q. s2Q) Es decir. 2. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga F = A. pues definen la geometría de la red. El resto de estimadores y matrices se denominarán de criterio. X) = 0. condiciones de observación. El modelo no es lineal. s2Q) se denomina de Gauss-Markov y parte de tres premisas para su resolución: 1. matriz de diseño de los observables. método de observación. donde: RTPR = mínimo. sigue una distribución normal de media cero y matriz de covarianzas s 2Q. En definitiva nos encontramos con : De forma que se plantea un sistema de ecuaciones del siguiente tipo Residuos de observables R Observables O Ay B matrices de diseño Términos indtes K Variables o parámetros x A·x +B R – K = 0. pero es fácilmente linealizable. habilidad del operador. No existen errores groseros ni sistematismos. o el Ax + BR – K = 0. destacaremos que en estas se define la geometría de la red y el condicionado establecido para variables y observables. se postula la precisión a priori de las observaciones. matriz de diseño de las variables. Es importante que el valor tomado de peso a priori de las observaciones sea lógico con la realidad física. X F = B. como ya se dijo. etc. de manera que puede depender de varios factores: precisión de los instrumentos. C Con respecto a las matrices de diseño A y B. 10 . con la hipótesis: E(R) = 0 R N(0. El vector de residuos verifica: E(R) = 0 R N(0. La solución a este modelo se aborda por la aplicación del algoritmo de los mínimos cuadrados. Las matrices A y B se llaman de diseño. pues cifran a priori o a posteriori los resultados esperables o alcanzados respectivamente. El modelo F(C. En la matriz de covarianzas del vector R. En dicha ecuación el problema es calcular x. aplicando el algoritmo de los mínimos cuadrados. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga La solución de x . Las soluciones a este problema se aborda con técnicas habituales de álgebra lineal. En definitiva la solución óptima de un problema de ajuste o compensación es aquella que además de satisfacer exactamente las ecuaciones del modelo en su forma lineal de lugar a unos errores residuales que satisfagan el principio de los mínimos cuadrados. obtenemos el método de observaciones indirectas o de variación de coordenadas: A·x – R – K = 0. ni de la matriz varianza-covarianza. aplicándola al sistema de ecuaciones normales que se nos presentará en el proceso. pero no de la varianza de la unidad de peso . la red se llama Red Libre . aunque estas son imprescindibles para el estudio del comportamiento estadístico de los resultados del ajuste El problema que se nos va a presentar es el siguiente . También es necesario el modelo estocástico para estimar las medidas de precisión de los resultados de la compensación y para efectuar un análisis estadístico de los mismos. y nos tendremos que auxiliar de otras herramientas algebraicas ( pseudoinversa .La solución se obtendrá trabajando con matriz inversa clásica .. Método de Ecuaciones de Condición: F(C) = 0. y estudiar algunas propiedades estadísticas de las diferentes soluciones. . bajo la condición de mínimos cuadrados sólo requiere el conocimiento a priori de la matriz de pesos . que nos permite realizar el estudio correspondiente de los resultados obtenidos tras el ajuste 11 .) para obtener la solución RED LIGADA Caso determinista: en toda red se dispone de datos que permiten recurrir a los métodos de compensación o ajuste que tienen por objeto dar la mejor de las soluciones posibles.I. etc. Método de Observaciones Indirectas o Variación de Coordenadas: F(X) – C = 0.) el sistema se llama sistema determinista o ligado. o las coordenadas de un punto y el acimut de un eje. El modelo matemático va acompañado de un modelo estadístico o estocástico. lo que implica suponer que la matriz de diseño B = . El sistema de ecuaciones general. descomposición . que se linearizará en la siguiente forma: B·R – K = 0. si conocemos el datum de la red ( es decir las coordenadas de dos puntos . permite dos tipos de particularizaciones: . linealizando esta función. Pero cuando desconozcamos el datum . Por último destacaremos que el objetivo buscado con la compensación de una red. no es solo la determinación de coordenadas compensadas para los diferentes vértices que constituyen la red. En definitiva. La principal característica de una red ligada es que entre los datos iniciales. presenta como resultado final. . Este modelo estadístico esta fundamentado en el Modelo Gauss- Markov que establece: . E(R)=0. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga mínimo cuadrático. se incluye el sistema de referencia en el cuál se pretende incluir nuestra Red. las siguientes ecuaciones: Ecuación de ángulo: 12 . considerando fijos dos vértices de la red. OBTENCIÓN DE LAS FORMAS LINEALES DEL AJUSTE. determina que nuestros observables no presentan sistematismos. Los residuos siguen una distribución normal. Las relaciones matemáticas que se establecen son las siguientes: X i i X i X Xi calculado arctg arctg i 1 Yi 1 Yi Yi 1 Yi Dcalculada ( X j X i ) 2 (Y j Yi ) 2 La linealización correspondiente de estas expresiones. R~N(0. . sino que además deberemos obtener los diferentes parámetros estadísticos que nos definan la fiabilidad y precisión de las coordenadas compensadas y del conjunto de la red. La consideración de que la esperanza matemática de los residuos es igual a cero (0). La inclusión del sistema de referencia implica el conocimiento de las coordenadas de al menos dos (2) vértices de la red. que nos definirán una orientación y un factor de escala – Datum de la red -. La esperanza de los residuos. estamos introduciendo cuatro (4) constreñimientos. La matriz de pesos es diagonal e incorrelada.1). y su valor se obtiene a partir de los errores medios cuadráticos de cada observable. i 1 i .y P . de tal forma que sus elementos se consideran incorrelados.n ) x( n . Este modelo matemático es función de las matrices A – matriz de diseño . que se trata de una matriz cuadrada y diagonal. X i 1 Dii 1 2 X i D i 1 Dii 1 X i 1 2 Dii 1 i cal X X i 1 cal X X X i X i 1 cal X X i . somos capaces de compensar nuestros observables de tal forma que podemos obtener las coordenadas compensadas de los vértices libres de la red.matriz de pesos – y del vector K – vector columna de términos independientes -. j sin i j cal Di Di MÉTODO DE COMPENSACIÓN. donde las dimensiones son las siguientes: A( m . i 1 2 i . A·x – K = R.1) K ( m .1) donde: m se corresponde con el número de ecuaciones – observaciones que se han realizado en el trabajo de campo -. Yi 1 Yi Yi 1 2 2 2 Dii 1 Di i 1 Di i 1 Dii 1 Ecuación de distancia (Y j Yi ) (Y j Yi ) (X j Xi ) (X j Xi ) dl cal dY j dYi dX j dX i . así como del correspondiente modelo estadístico Gauss-Markov. Di j Di j Di j Di j (Y j Yi ) (X j Xi ) j cos i j cal .1) R( m . ( Observaciones indirectas) A partir del modelo matemático propuesto. estimados a priori 13 . i 1 2 i i i 1 . Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga cal cal cal cal cal cal d cal dX i 1 dX i dX i 1 dYi 1 dYi dYi 1 X i 1 X i X i 1 Yi 1 Yi Yi 1 cal Yi Yi 1 cal Y Y Y Y Y Y . n se corresponde con el número de incógnita a determinar en la compensación – correcciones a las coordenadas aproximadas-. cal i 1 2 i . La matriz de pesos cabe destacar. OBTENCIÓN DE LOS RESIDUOS. . la obtención de residuos se obtendra a partir de A·x – K = R. El modelo matemático de variación de coordenadas. .. La obtención de este vector de residuos es fundamental para la determinación de los diferentes parámetros estadísticos – figuras de error. Cholesky. 14 ...n ) x ( n . que se podrá resolver por diferentes métodos – factorización LU. donde: R es el vector de residuos. que exige trabajar con un sistema de ecuaciones normales..1) K ( m . Cabe destacar que si esta matriz no es de rango completo – por columnas o filas – no será invertible y por lo tanto el sistema no tendrá solución única - caso de las redes libres -.pero dado que nuestro objetivo es minimizar el sumatorio de la traza de la matriz de residuos.. estimadores. Como podemos observar. y por lo tanto constituye la base de todo el estudio analítico de la solución obtenida.1) 0 Para la compensación de la red emplearemos el método de mínimos cuadrados. Por lo tanto el sistema de ecuaciones a resolver. por el algoritmo de mínimos cuadrados será: A( m . la esperanza matemática de los residuos debe ser igual a cero (0).. utilizaremos mínimos cuadrados para resolver el sistema. CORRECCIÓN DE LAS COORDENADAS APROXIMADAS INICIALES. parámetros de fiabilidad. por lo tanto para poder trabajar con este método se aplicará la siguiente expresión: ( AT A) x AT K Esta expresión nos define un sistema de ecuaciones normales. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga A partir de las consideraciones establecidas por el modelo estadístico de Gauss-Markov.. Conocido ya x . establece la siguiente formulación para la obtención del vector de correcciones a las coordenadas aproximadas: x ( AT P A) 1 AT P K . la existencia de una solución depende de la invertibilidad de la matriz AT P A . la matriz cofactor de las variables compensadas – Q xx – vendrá dada por la expresión: Q xx ( AT P A) 1 S 1 Conocida la matriz cofactor de las correcciones a posteriori. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ VARIANZA-COVARIANZA DE LAS VARIABLES CORREGIDAS. seremos capaces de contrastar si los resultados obtenidos son acordes con la hipótesis inicial. N(. A partir del estimador de la varianza del observable de peso unidad podemos conocer cual es el comportamiento estadístico de la red. ya que se obtiene multiplicando la matriz 15 . aplicando la Ley de Propagación de Cofactores. De esta forma valores a posteriori próximos a uno. Atendiendo al valor de este estimador a posteriori. mn donde m-n representan los grados de libertad del sistema de ecuaciones que se pretende resolver. El vector de términos independientes a posteriori no es constante.de media y desviación típica s2·Q . el estimador de la varianza y desviación típica del observable de peso unidad a priori será uno (1).s2·Q) . que siguen una distribución normal. por lo tanto. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga CÁLCULO DEL ESTIMADOR DE LA VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DEL OBSERVABLE DE PESO UNIDAD. El vector de correcciones a las coordenadas aproximadas se obtiene a partir de la siguiente expresión: x ( AT P A) 1 AT P K Este vector es dependiente de la matriz de diseño – A -.1). ya que depende de una variable aleatoria –O T -. el vector K también será una variable aleatoria. De este modo. Así. N(0. para la determinación del estimador de la varianza y desviación típica del observable de peso unidad a posteriori. la matriz de pesos – P – y el vector de términos independientes – K -. nos indicarán que los resultados obtenidos son acordes con los condicionantes establecidos y la precisión establecida a priori para nuestros observables. y el vector K es una variable aleatoria. de los cuales las matrices A y P son constantes.y partimos de la hipótesis de que la esperanza matemática de los residuos es cero y que siguen una distribución normal. Los observables han sido considerados como variables aleatorias. la expresión empleada es la siguiente: RT P R 2 . la determinación de la matriz varianza-covarianza es directa. se obtiene a partir de la siguiente expresión: R A x K .. la determinación de la matriz varianza-covarianza de los residuos. se obtiene por la Ley de Propagación de Varianzas-Covarianzas. que como se ha comentado con anterioridad ambos siguen una distribución normal. no sigue un procedimiento análogo al de los casos anteriores. el vector columna de residuos. solo depende de la variable aleatoria K. Esto es debido a que los observables compensados dependen de dos variables aleatorias. la determinación de la matriz varianza-covarianza de las coordenadas corregidas. se corresponde con el vector de correcciones a las coordenadas aproximadas. viene dada por la expresión siguiente: RR 0 QRR CÁLCULO DE LA MATRIZ VARIANZA-COVARIANZA A POSTERIORI DE LOS OBSERVABLES. constituyendo la base para todo el modelo matemático y estadístico planteado. el vector de observables iniciales y el vector de residuos. atendiendo al modelo matemático establecido. resultado que: XX xx CÁLCULO DE LA MATRIZ VARIANZA-COVARIANZA A POSTERIORI DE LOS RESIDUOS. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga cofactor obtenida por el estimador de la varianza del observable de peso unidad a posteriori. El proceso a seguir para la determinación de la matriz varianza-covarianza de los observables compensados. y dado que el vector de coordenadas compensadas: X X aprox x depende de una parte fija .y una variable aleatoria – x .X aprox . C OT R 16 . como podemos observar en la siguiente expresión: xx 0 Q xx Llegados a este punto. además como x ( AT P A) 1 AT P K . Sin embargo. cabe destacar que la matriz varianza-covarianza obtenida. De forma análoga al caso de la matriz varianza-covarianza de las variables compensadas. de lo que se deduce que el vector de residuos. y por lo tanto podemos llegar a la siguiente expresión para la matriz cofactor de los residuos: QRR Q A ( AT P A) 1 AT Una vez disponemos de la matriz cofactor de los residuos. entonces: R A ( AT P A) 1 AT P K K . es decir. orientación y escala. tenga fijos su origen. obtenida con el 02 xx = 02Qxx Nos centraremos ahora en los algoritmos existentes para el cálculo de las inversas matriciales. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Esta dependencia de los observables compensados de dos variables aleatorias. De este modo se adoptará el método más estable para poder mantener el rigor en la solución. puesto que en grandes redes el algoritmo empleado puede ser un factor clave en cuanto a la pérdida de mayor o menor precisión. es análoga a la de los casos anteriores: CC 0 QCC COMPENSACIÓN DE UNA RED LIGADA Sea el sistema de ecuaciones normales definido en : (ATPA)x = ATPk o Sx = b En el caso en que la matriz A (o la S) es de rango completo. la determinación de su correspondiente matriz varianza-covarianza. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 17 . Realizando las operaciones y consideraciones necesarias. imposibilita la aplicación de la Ley de Propagación de Varianzas-Covarianzas. por lo que resulta algo más complejo la determinación de su correspondiente matriz varianza- covarianza. el sistema de ecuaciones normales es compatible determinado y se puede obtener: x = S-1b lo cual resuelve el ajuste. lo que se produce siempre que el sistema de coordenadas esté definido. a partir de la siguiente expresión: QCC Q QRR A ( AT P A) 1 AT A S 1 AT Una vez obtenida la matriz cofactor de los observables a posteriori. se obtiene la matriz cofactor de las observables compensadas. en el método de las observaciones indirectas o variación de coordenadas. La matriz cofactor de las incógnitas es: Qxx = S-1 y la de varianzas y covarianzas. a 1n (1) x n b1 (1) (1) (1) (1) (1) E 2 : a 21 x 1 a 22 x 2 . los de relajación... etc. con |A(1)| 0. a 2 n x n b 2 . mediante un número finito de operaciones elementales.. la descomposición QR. parten de un vector solución inicial x 0 y generan una sucesión de vectores xk que se van aproximando a la solución exacta del sistema. En no tienen término en x1. la descomposición triangular LU. o en su representación explícita: E 1 : a 11 (1) x 1 a 12 (1) x 2 . Los métodos directos son aquéllos que permiten obtener la solución exacta. n) la a 11 E1*mi1. si. el de Gauss-Seidel.... el método de Crout. Método de Gauss Sea el sistema A(1)x = b(1). obtenemos un sistema A(2)x = b(2) donde las nuevas ecuaciones E2. asociados a un menú que nos permita elegir en cualquier momento el método a utilizar. Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en dos grandes grupos: directos e iterativos. Algunos de ellos – según será expuesto en el apartado correspondiente – están programados en nuestra aplicación. etc.. . tomando como pivote a11 . a (1) x b (1) n n1 1 n 2 2 nn n n El método de Gauss se basa en tres operaciones que no alteran la solución del sistema: 1) Multiplicación de toda una ecuación por un factor: Ei Ei ( 0) 2) Adición a una ecuación de otra multiplicada por un factor: E i Ei + Ej ( 0) 3) Intercambio de filas: Ei Ej y Ej Ei (1) (1) a i1 Así. E : a (1) x a (1) x .. 18 . Son iterativos el método de Jacobi. que se usarán en nuestro caso para resolver el anterior sistema de ecuaciones normales.. restando a Ei (i = 2.. la descomposición ortogonal de Cholesky. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Analizaremos a continuación los métodos más utilizados en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. definimos mi1 = (1) .... Los métodos iterativos. salvo errores de redondeo. por contra. .. Son métodos directos el de Gauss. .. a 2 n x n b 2 . Se programa su algoritmo en RedTop. . al ser L triangular. Si a22(2) fuera 0 intercambiaría filas.. e incluso permite el cálculo a mano.. n) bi(2) = bi(1) – mi1b1(1) (i = 2. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga E 1 : a 11 (1) x 1 a 12 (1) x 2 . y por tanto se preferirá. e inmediatamente después de: Ux = y... j = 2. es decir: A = LU El sistema queda ahora: LUx = b Haciendo Ux = y se puede escribir: Ly = b. a ( 2 ) x b ( 2) n n2 2 nn n n Los nuevos elementos son: aij(2) = aij(1) – mi1a1j(1) (i. Este método es más estable que el anterior de Gauss. . en donde es inmediato obtener ‘y’.. Al final se consigue un sistema triangular superior que se resuelve con un proceso de remonte. n) Tomando a22(2) como nuevo pivote se continúa el proceso. pero sus resultados para grandes sistemas no son demasiado buenos... Si A es de rango completo es posible descomponerla en el producto de una matriz triangular inferior y una triangular superior ambas de su mismo rango. E : 0 a ( 2) x .. sobre todo en el caso de grandes sistemas.. Descomposición ortogonal LLT de Cholesky 19 . por lo que se preferirán otros métodos. Descomposición triangular LU Sea el sistema de ecuaciones lineales Ax = b. a 1n (1) x n b1 (1) ( 2) ( 2) ( 2) E 2 : 0 a 22 x 2 . Este método es de gran sencillez.... obtener la solución buscada ‘x’. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Este método es utilizable sólo cuando la matriz A. con Q matriz que tiene las columnas ortonormales y R triangular superior con todos los elementos de su diagonal positivos. invertible. y que la descomposición de Cholesky no es única. como sucede con la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones normales. Métodos iterativos 20 . ésta se puede expresar de forma única como A = QR. simétricas o no. en general. del sistema Ax = b. y resultan. No se programa en RedTop por el mismo motivo. También se programa su algoritmo en RedTop. Se basa en el siguiente teorema: Si A es una matriz simétrica y definida positiva entonces existe otra matriz triangular inferior L. de manera análoga al caso de la LU: LLTx = b Ly = b se obtiene ‘y’ LTx = y se obtiene ‘x’ Las fórmulas para la obtención de los lij se pueden obtener igualando elementos en A = LLT. es simétrica y definida positiva. tal que LLT = A. Se basa en el teorema que afirma que dada A de rango completo. De este modo se puede hacer. En matrices simétricas. QR es equivalente al método de Cholesky que ya hemos visto. Como aclaración se puede decir que esa L no es. dando una fórmula general [Baselga 2000]: j1 a ij l jk l ik lij = k 1 para i>j l jj i 1 a ii l ik 2 lii = k 1 El esquema de cálculo del método de Cholesky es bastante ventajoso debido a que utiliza un relativamente bajo número de operaciones. como es el caso de los sistemas de ecuaciones normales. Factorización QR Se utiliza en matrices A. por lo que no se entrarán en más detalles teóricos sobre el caso general de matriz A simétrica o no. la de la descomposición LU. a no ser que se imponga la condición sobre L de que tenga diagonal positiva. de rango completo. pero. En cuanto a los métodos directos. teóricamente 0. y se activó la casilla que hace que se calcule S. ni más ni menos. Sin embargo.. que sirve de comprobación sobre la precisión en el proceso de cálculo de la inversa. y por ello debería ser calificado como “no deseable”. lo cual en el caso de resolución de redes topográficas es un grave problema. la bibliografía señala como más inestable el método de Gauss. 21 .S -1 – I que fueron muy parecidos y todos en torno al orden 10 -16. como hemos dicho. resultado de indudable relevancia para nuestros fines. Los resultados fueron muy similares en los tres métodos. se procedió a compensar una red local de 11 observaciones y 7 incógnitas con la aplicación objeto de la publicación y utilizando los tres métodos programados: el de Gauss. de magnitud completamente despreciable.. el LU y el de Cholesky. . la verdad es que parece que no hay diferencias significativas. Por ello. por otra parte. Se utilizan para sistemas de gran tamaño con resultados muy buenos. se mantiene la recomendación de utilizar los métodos de LU o Cholesky y no Gauss en redes geodésicas muy grandes (para las que. No obstante. los sistemas en redes locales suelen ser pequeños. se obtienen sucesivamente soluciones x1. pues esa matriz es. los métodos iterativos son los que mejores resultados ofrecen para grandes sistemas de muchas ecuaciones con muchas incógnitas – este no es el caso. excepto en elementos de la matriz S. debido a que. que es el de redes locales con pocas observaciones y muchas menos incógnitas. Así. no está pensado el programa).. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Dada una solución x0 del sistema Ax = b. x2.S -1 – I. pues ahí sí podrían producirse variaciones. usualmente. especialmente para grandes sistemas. es decir. Análisis comparativo de los diversos métodos Según la abundante bibliografía que existe al respecto. RED LIBRE. con resultados indistinguibles en las cifras decimales que da el programa. en nuestra aplicación quedan descartados los métodos iterativos. en nuestro caso. al no permitir obtener la inversa A-1 no serán utilizados para nuestros propósitos. tales que lim k xk = x Suponen la transformación del sistema a resolver Ax = b en otro equivalente x = Kx + c. de las redes locales a las que va dirigido el programa – pero no pueden dar como resultado la matriz inversa de la de coeficientes. la cofactor de las incógnitas. que minimiza la norma y tiene mínimo sesgo. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Hasta ahora se ha estudiado la red de forma determinista .S = S Dada una matriz S deficiente de rango.S = S Condición de inversa generalizada 2) S+. donde se conoce un datum. pero de todas hay una que se llama PSEUDOINVERSA que cumple la condición de mínimo exigida .S)T El tratamiento es completamente análogo al caso de red ligada. escala y orientación).S+ = (S. y normalmente se preferirá aquélla que dé una solución x de mínima norma. pero cuando se plantea obtener la inversa de S ( AT P A) 1 S 1 NO EXISTE esta inversa en su sentido clásico Existen en este caso otras inversas . con la salvedad de que en vez de utilizar S-1 se usa S+. el sistema ha de resolverse mediante una inversa generalizada: x = S-b La inversa generalizada S-. existen infinitas inversas generalizadas S -. o inversa generalizada de Moore-Penrose. Ésta es la llamada pseudoinversa. por definición. y hemos encontrado una única solución dentro del modelo de Gauss-Markov. las inversas generalizadas y hay infinitas soluciones al sistema AT P A x AT P K .S = (S+.S. Si la matriz S no tiene inversa clásica. por ser deficiente de rango (lo que se deriva de la no determinación de la figura geométrica en cuanto a la fijación del origen de coordenadas.S+ = S+ Condición de inversa generalizada recíproca 3) S. ( o no interesa admitir que existan puntos fijos ) lo que obliga a plantear modelos con defecto de rango El modelo linealizado sigue siendo igual .S-.S+)T 4) S+. Otra alternativa al tratamiento puramente matemático para la obtención de la matriz pseudoinversa se da con la matriz de constreñimientos. es aquella matriz que verifica: S.S+. En este caso la matriz de diseño S es de rango completo y se conoce la inversa en sentido clásico ( AT P A) 1 S 1 existe esta inversa y la solución era x ( AT P A) 1 AT P K . Es aquélla matriz S + que verifica las cuatro condiciones siguientes: 1) S. 22 . Pero en cierta redes no es posible especificar el sistema de referencia . y n x n Contreñimiento de orientación 1 x y1 x2 y2 .. La solución es la misma que en el caso de la pseudoinversa. y/o escala.b La matriz utilizada es análoga a la pseudoinversa numérica que describiremos a continuación pero obtenida por métodos geométricos. puede tener la siguiente estructura genérica: 1 0 1 0 . La cuestión no es baladí... Pasemos a analizar por separado cada una de ellas. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga La utilización de la matriz de constreñimientos supone de alguna manera la adición de rango al sistema mediante una matriz que define los constreñimientos que le faltan (origen en X y/o en Y. por una parte tan intuitiva. En general esta solución. Solución mediante matriz de constreñimientos Dejando de lado todo el desarrollo teórico diremos.. se desaconseja al implicar un proceso de cálculo bastante inestable.. de forma que elegir un método poco estable podría suponer una pérdida considerable de exactitud y rigor en la solución. de la que se han de tomar sólo las filas correspondientes a los constreñimientos que se han de añadir. pues el cálculo de la matriz de Moore-Penrose lleva consigo la necesidad de un número muy alto de operaciones. Solución mediante matriz pseudoinversa La solución al sistema.. 23 . y/o orientación). a modo de resumen.. 0 1 Contreñimiento de origen en Y E= y x1 y2 x2 .. que la matriz de constreñimientos. puede escribirse como: x = S+b Ahora el problema está en elegir el método con el que se obtendrá la pseudoinversa. 1 0 Contreñimiento de origen en X 0 1 0 1 . x n y n Contreñimiento de escala 1 El sistema se resuelve según: x = [ (ATPA + ETE)-1 – ET(EET)-2E ] . descompuesta la matriz Amxn. Las matrices U y V tienen por columnas los vectores propios izquierdos y derechos respectivamente.. de orden nxn. los condicionantes geométricos que relacionan las variables con nuestros observables. OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES ANGULARES Y DE DISTANCIA.. en el caso de Red Libre siguen el mismo desarrollo. correspondientes a los valores singulares anteriores. y V. Al igual que en el método anterior. Así. tales que: A=UV con rxr 0 = mxn = 0 0 y rxr = diag (1. Descomposición en valores singulares Sea la matriz A. 24 .. basado en transformaciones de Householder. . Existen matrices ortogonales U. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga La bibliografía existente coincide en señalar la descomposición en valores singulares como el método más preciso para su cálculo. se puede obtener su pseudoinversa A+nxm. de orden mxn y rango r... 2. r) 1 2 . r 0 valores propios. como: rxr 1 0 T A = V + U 0 0 El programa calcula la pseudoinversa mediante este método. de orden mxm. Para la descomposición en los valores singulares se utiliza el algoritmo de Golub-Reinsch [1970]. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga X i i X i X Xi calculado arctg arctg i 1 Yi 1 Yi Yi 1 Yi Dcalculada ( X j X i ) 2 (Y j Yi ) 2 La linealización correspondiente de estas expresiones. i 1 2 i . las siguientes ecuaciones: Ecuación de ángulo cal cal cal cal cal cal d cal dX i 1 dX i dX i 1 dYi 1 dYi dYi 1 X i 1 X i X i 1 Yi 1 Yi Yi 1 cal Yi Yi 1 cal Y Y Y Y Y Y . Yi 1 Yi Yi 1 2 2 Dii 1 Di i 1 Dii 1 Dii 1 Ecuación de distancia (Y j Yi ) (Y j Yi ) (X j Xi ) (X j Xi ) dl cal j dY j j dYi j dX j dX i . Di Di Di Di j (Y j Yi ) (X j Xi ) j cos i j cal . presenta como resultado final. j sin i j cal Di Di Con estas ecuaciones. X i 1 Dii 1 2 X i D i 1 Dii 1 X i 1 2 Dii 1 i cal X X i 1 cal X X X X i 1 cal X X i . i 1 2 i i . i 1 2 i i i 1 . CÁLCULO DE LOS RESIDUOS. Al igual que para la determinación de las correcciones a las coordenadas aproximadas. A. cal i 1 2 i . partiremos de la ecuación que determina el modelo matemático propuesto: 25 . somos capaces de determinar los diferentes parámetros de la matriz de diseño de las variables. la expresión que nos permite obtener el estimador de la varianza del observable de peso unidad. puesto que la solución del sistema es indeterminista. en la expresión que nos permite obtener el residuo: R A ( S AT P K ) K . estimadores. Al igual que en el caso de Red Ligada.. R A ( AT P A E T E ) 1 E T ( E E T ) 1 E AT P K K La obtención de este vector de residuos es fundamental para la determinación de los diferentes parámetros estadísticos – figuras de error. y por lo tanto constituye la base de todo el estudio analítico de la solución obtenida. es la siguiente: RT P R 2 . en el caso de Red Libre el rango de A no es completo. . Si sustituimos el valor de las correcciones a las coordenadas aproximadas. Para la determinación del rango de la matriz de diseño A.. utilizaremos la siguiente expresión: OBTENCIÓN DE LA MATRIZ VARIANZA-COVARIANZA DE LAS VARIABLES CORREGIDAS. parámetros de fiabilidad. CÁLCULO DEL ESTIMADOR DE LA VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DEL OBSERVABLE DE PESO UNIDAD. El vector de correcciones a las coordenadas aproximadas se obtiene a partir de la siguiente expresión: 26 . Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga A·x – K = R. m Rg ( A) Sin embargo... donde: R es el vector de residuos. de los cuales las matrices A . ya que se obtiene multiplicando la matriz cofactor obtenida por el estimador de la varianza del observable de peso unidad a posteriori. la matriz de constreñimientos E y el vector de términos independientes – K -.E y P son constantes. la matriz de pesos – P –. el vector columna de residuos. la determinación de su correspondiente matriz varianza-covarianza. ya que nos permite determinar las diferentes figuras de error de cada uno de los vértices de la red. se obtiene a partir de la siguiente expresión: 27 . Aplicando la Ley de Propagación de Cofactores. Para la obtención de la matriz cofactor de los observables a posteriori. CÁLCULO DE LA MATRIZ VARIANZA-COVARIANZA A POSTERIORI DE LOS OBSERVABLES. dado que es fundamental en todo el proceso de análisis de la solución obtenida. la determinación de la matriz varianza-covarianza es directa. atendiendo al modelo matemático establecido. como podemos observar en la siguiente expresión: xx 0 Q xx Esta matriz. es análoga a la de los casos anteriores: CC 0 QCC CÁLCULO DE LA MATRIZ VARIANZA-COVARIANZA A POSTERIORI DE LOS RESIDUOS. y el vector K es una variable aleatoria. De forma análoga al caso de la matriz varianza-covarianza de las variables compensadas. es de gran relevancia. la matriz cofactor de las variables compensadas – Qxx – vendrá dada por la expresión: Qxx S ( AT P A E T E ) 1 E T ( E E T ) 1 E Una vez disponemos de la matriz cofactor de las correcciones a posteriori. utilizaremos la siguiente expresión: QCC A S AT Una vez obtenida la matriz cofactor de los observables a posteriori. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga x S AT P K Este vector de correcciones es dependiente de la matriz de diseño – A -. al igual que en el caso de Red Ligada. Se plantean dos cuestiones de fundamental importancia en redes ¿Cuál es el mínimo error detectable por el test de detección de errores groseros? ¿Qué perturbación produce 28 . R A ( AT P A E T E ) 1 E T ( E E T ) 1 E AT P K K . y por lo tanto podemos llegar a la siguiente expresión para la matriz cofactor de los residuos: Q RR Q QCC Una vez disponemos de la matriz cofactor de los residuos. viene dada por la expresión siguiente: RR 0 QRR ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE HIPÓTESIS Y RESULTADOS Una vez realizado el ajuste riguroso de la red en cuestión. solo depende de la variable aleatoria K. cifrando el poder de afirmación de su aceptación o rechazo. la determinación de la matriz varianza-covarianza de los residuos. de lo que se deduce que el vector de residuos. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga R A ( S AT P K ) K . es necesario ratificar si las hipótesis previas establecidas son coherentes o no con los resultados calculados. 1 29 . La asidua y cuidadosa práctica de los controles referenciados asegura hasta donde es suficiente. 3. El test empleado para analizar el valor esperado de la varianza a posteriori del observable de peso unidad comparándolo con el valor estimado a priori. test de Pope. incluso para exigencias de precisión DESARROLLO TEÓRICO DEL TEST 2. test de compatibilidad de varianza y medias. Será preciso establecer criterios sobre: 1. F-Test de grupos de observables .. test de compatibilidad de varianzas de peso unidad. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga el error máximo no detectable en una observación en los resultados del ajuste de una red? Se ha admitido y demostrado que el modelo de ajuste rigurosos empleado Gauss- Markov requiere la formulación de un modelo matemático y de un modelo estadístico. Los pesos a priori asignados a los observables y su adecuación a la realidad de la observación efectuada. T-Test de sistematismos. valoración y eliminación de posibles errores groseros de observación Para aclarar estas y otras preguntas . 4.. criterios de fiabilidad externa e interna. La detección. orientaciones.. etc) 1. a continuación trataremos de realizar una breve descripción del mismo. test de normalidad y adherencia de Pearsons. es el test de 2. 5. Para una mejor comprensión del test. bases medidas) y su influencia en la posible introducción de errores de la red. Los valores a priori y a posteriori de los estimadores de las varianzas de los observables de peso unidad y su inferencia estadística 2. Las figuras recintos y geometría general de errores de la red y en cada punto de ella su valoración e interpretación rigurosa. por tanto será preciso verificar si la adecuación a cada caso concreto mediante el establecimiento de criterios suficientes para mantener el debido rigor en la exposición de la teoría y algoritmos que se han desarrollado hasta aquí. Los constreñimientos previos establecidos (puntos fijos. es fundamental el conocimiento de una batería de test que permita afinar los valores a priori y depurar el siempre posible deslizamiento de errores comparativamente groseros (entre ellos Test de Baarda. Otra forma de tratar de analizar el valor obtenido para el estimador de la varianza del observable de peso unidad a posteriori. Por lo tanto podemos establecer: 2 RT P R 0 2 u Rg ( A) ~ u2 Rg ( A) . Si no se cumple la condición establecida. 30 . La expresión anterior nos permitirá verificar la compatibilidad estadística de los estimadores a priori y a posteriori de la varianza del observable de peso unidad. establece que el estimador de la varianza del observable de peso unidad a posteriori es igual a: 2 RT P R 2 E ( R T P R) 0 E ( 0 ) . Dependiendo del tipo de sistema que estemos resolviendo – caso determinista o indeterminista – el rango de la matriz A. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Partimos de un valor de estimador a priori de la varianza del observable de peso unidad. donde: 02 0 u-Rg(A) = redundancias o grados de libertad. El modelo estadístico asociado al modelo matemático utilizado para la compensación y ajuste de la Red. La distribución 2 establece: 2 n x 1 i x ~ n21 .3. u Rg ( A) u Rg ( A) puesto que suponemos que el estimador de la varianza del observable de peso unidad a priori es igual a uno (1).. Se demuestra que es una distribución 2 con (n-1) grados de libertad. que como es obvio siempre será un valor distinto del calculado a posteriori. Posteriormente se analizará la distribución F-Snedecor que nos permitirá comparar dos muestras bajo la misma hipótesis.. s2. realizaremos una Hipótesis Estadística. será completo o presentará un defecto de rango.. .2. Si se cumple la condición que establecemos la solución obtenido verifica los condicionantes establecidos: HIPÓTESIS NULA. x = media de la muestra de n valores de xi. El sistema que se emplea para la verificación estadística que permita cifrar el grado de cumplimiento de dicho condicionado es el test 2. la solución obtenida no verifica los condicionantes establecidos. igual a uno (1). por lo tanto la solución no es aceptable: HIPÓTESIS ALTERNATIVA. donde: 2 = varianza de la distribución de la variable x.n.. con i 1. Esta Hipótesis Estadística puede ser abordada de dos formas distintas: . con el valor estimado a priori podemos plantearlo a partir de la Hipótesis Nula: Error de Primer Orden. u . x) . Mientras que el Test de Error de Segundo Orden con un nivel de significación dado. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga La hipótesis que consideraremos para su análisis será la primera. es la probabilidad de aceptación de la Hipótesis Nula. entonces: 2 n xi x n 1 1 1 i 2 ~ N (0. Partimos de la expresión de la distribución 2. sino que debemos además estudiar lo siguiente: 31 . o ambos. con ki parámetros. 0 . Rg ( A) . qué ocurre con R T P R : n n Ri2 R T P R Pi Ri2 2 1 . siempre y cuando conozcamos los valores de 02 . presentan algún defecto que es preciso aislar y corregir. i ) i i ~ N (0. siendo esta errónea. Si tipificamos la variable aleatoria normal x – x~N(x.. con grados de libertad: n F (x 1 i i x ) 2 . trabajaremos con la Hipótesis Nula. se tiene que: i 1 1 Pi 2 n Ri2 n Ri2 n R 0 R 1 2 0 1 2 0 1 i R ~ N (0. entrañan que algo no es correcto en el ajuste. es decir.1) ki Llegados a este punto nos preguntamos. 2 Sin embargo. La Hipótesis Nula establece que los estimadores de la varianza del observable de peso unidad a priori y a posteriori deben ser iguales. El rechazo de la Hipótesis Nula y la aceptación de la Hipótesis Alternativa. dado que Pi 02 . Cabe destacar que el análisis de la probabilidad de rechazar la Hipótesis Nula siendo cierta. de esta forma se supone que el modelo estadístico o el matemático. se le denomina Test de Error de Primer Orden con un nivel de significación dado.1) 2 2 i i i 0 0 2 A la vista de las expresiones anteriores y continuando con el desarrollo: R T P R 02 2 En nuestro caso los grados de libertad se obtienen a partir de la expresión: u – Rg(A) R P R 0 u Rg ( A) T 2 2 2 02 u2 Rg ( A) 0 Podemos escribirlo de otra forma: u Rg ( A) 2 0 (u Rg ( A)) u2 Rg ( A) Podemos estudiar la Red como si se tratase de una 02 2 distribución u Rg ( A) . esto no es suficiente. . 2 .... El test analizado con anterioridad. siendo 1 ...v2 . determinaremos un nivel de significación que nos permitirá aceptar o rechazar el resultado de la compensación – admitiendo el nivel de significación establecido -....... 1 2 - Muestra 2 . del mismo modo: 2 2 22. Por otro lado. 2 2 Si hemos aceptado la hipótesis nula como el elemento determinante de la aceptación o rechazo de la compensación... 2 . El estudio estadístico debe completarse estableciendo un Test que compare dos muestras bajo la misma Hipótesis Nula.. por lo tanto. Como es obvio. Llegados a este 2 (u Rg ( A)) n Rg ( A ) 2 0 02 punto. compara el estimador de la varianza del 2 observable de peso unidad de una muestra con toda la población. vamos a analizar lo que ocurre con la red estudiada. Este Test enuncia lo siguiente: Dadas dos muestras de una misma población normal que dan lugar a dos estadísticos de distribuciones: Muestra 1 . P 2 0... los grados de 2 - libertad.(1 ) Rg ( A ). lo mejor que puede suceder es que n Rg ( A) u Rg ( A) .. 1 . La experiencia ha 2 determinado que. la probabilidad.. a partir de la Hipótesis Nula: 2 0 .. para grados de libertad superiores a cinco o seis. 0 2 0 si dividimos ambas expresiones obtenemos: 32 . P 2 0. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga 2 0 . La expresión que nos permite determinar la aceptación o rechazo de una red es la siguiente: 2 2 Rg ( A) 2 Rg ( A ).. nuestros observables no podrán verificar con una rigurosidad matemática lo establecido. determinando un punto de equilibrio estadístico. 2 ..v1 . lo que implica que la 2 empieza a aproximarse a una distribución normal. Para realizar esta comparación utilizaremos el Test F de Fisher- Snedecor... dependiendo de la muestra realizada.. Siendo 02 la varianza de la población y aplicando: 2 2 1 2 1 12.5 ... TEST DE F DE FISHER O SNEDECOR PARA COMPARAR AMBAS REDES.5 .... 2 2 deberá analizar para el nivel de significación . 2 . que se 2 1 2. que se corresponde con la distribución F-Snedecor. 02 2 0 -. el Test de Baarda y los parámetros de homogeneidad interna. 2 . Para el estudio de la fiabilidad interna de la red utilizaremos los siguientes parámetros: 33 . 2 . junto con la detección y particularización de eventuales errores groseros.1 2 1 2 ~ F ~ F 1 . Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga 2 2 1. establecido con anterioridad. (1 ) 1 . Para cifrarla se utilizan: los números de redundancia de observables. si: F 1 F F 1 1 . La fiabilidad interna de una red indica su capacidad de control general y específico de la calidad de los observables. Se aceptará la Hipótesis Nula . 2 2 ESTUDIO DE LA FIABILIDAD INTERNA DE LA RED. con un nivel de significación . Redundancia de cada observable. En nuestro caso se ha establecido un nivel de significación del 99. c. Mínimo error detectable. c. b. = 0. Redundancia de cada observable. Cabe destacar que el valor de la redundancia de un observable se encuentra en el intervalo cero (0) – uno (1) – [0. y una potencia de test para la detección de errores groseros del 80% . De este modo un observable será rechazado cuando el valor del parámetro de Baarda sea superior al punto porcentual establecido para el nivel de significación. Parámetro de Baarda. Mínimo error detectable. que se corresponde con el desplazamiento producido en la campana de Gauss por el error “grosero”. La expresión que nos permite calcular el número de redundancias de un observable es: ri pi q1 donde. ri redundancia de un observable. Este parámetro depende del nivel de significación y de la potencia de test establecido para la red.001 -. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga a. d.9 % . pi peso de un observable. 34 . a. Parámetro de Baarda. qi cofactor del los residuos a posteriori del observable. b. Además este parámetro permite controlar los errores groseros introducidos en la red. junto al mínimo error detectable.1] -. y que el sumatorio de las redundancias de todos los observables debe ser igual al número de redundancias del sistema planteado. y nos muestran lo bien o mal que esta controlado dicho observable. El mínimo error detectable para un observable se obtiene a partir de la siguiente expresión: i 0i ri Como podemos observar este parámetro. se determina en función del parámetro de traslación. = 0. La redundancia de un observable es un parámetro adimensional. Parámetro de homogeneidad.2 -. El parámetro de Baarda se obtiene a partir de la siguiente expresión: Ri wi Ri El parámetro de Baarda es. unos de los coeficientes que se emplean para rechazar o eliminar un observable. lo que implica que un 20% de los mismos podrán introducirse en el ajuste. La fiabilidad externa de la red quedará definida por los siguientes elementos: . La fiabilidad externa de una red da la sensibilidad de la red ante un nivel de error cualquiera. cual es el mínimo error detectable para cada uno de los observables. Se estudia principalmente la influencia de un error igual al mínimo error detectable en cada observable sobre cada incógnita. en nuestro caso. Los resultados obtenidos tras el ajuste para un nivel de significación del 99. que se corresponde con el parámetro de homogeneidad de la ri fiabilidad externa.9 % . Con esto se pretende que no se deteriore la calidad exigible en la precisión de estos últimos por el impacto causado por los errores despreciados o no detectados en los primeros. Son los llamados vectores de fiabilidad externa. que permite determinar cada uno de los elementos del vector de variables o parámetros en presencia de un error grosero. Los vectores: xo . ESTUDIO DE LA FIABILIDAD EXTERNA DE LA RED LIBRE. 1 ri EXi 2 0 . establecer la influencia de los errores deslizados en los observables sobre los valores ajustados de parámetros o variables. del 99. con una probabilidad. El objetivo principal de la determinación de la fiabilidad externa de la red es.2905 .9 %. El modelo planteado establece que no se rechazará un observable correcto.y una potencia de test del 80% son los siguientes y para cada uno de los casos propuestos. i . FIGURAS DE ERROR 35 .que establece un punto porcentual del 3. El debido rigor en el trabajo requiere completar su estudio con el de la descripción de la fiabilidad externa. Una aceptable fiabilidad interna puede no ser suficiente para garantizar la calidad del ajuste. y aquellos posibles errores groseros serán detectados con una potencia de test del 80%. Los parámetros: EX i Las expresiones que nos permiten obtener estos parámetros son las siguientes: xoi ( AT P A) 1 AT P ei 0i . Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga En definitiva estos parámetros nos determinan para un nivel de significación y para una potencia de test dados. 4.2. la interpretación separada de las figuras a posteriori y especialmente su relación con las figuras a priori adolece en la metodología usual de cierta falta de rigor y resulta 36 . compuestas en su conjunto por las varianzas xi2 i 1.. a izquierda y derecha de ella. las figuras de error a posteriori definidas hasta el momento por el que podemos llamar clásico conjunto de elipses absolutas y relativas en vértices y ejes. no se tienen en cuenta. no tienen en cuenta más que la banda central de la matriz simétrica xx formada por la diagonal principal y las dos subdiagonales inmediatas.n n = nº de coordenadas de la red y las covarianzas x ij (i.j) subíndices genéricos de las coordenadas de un vértice cualquiera El resto de las covarianzas... Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga Y finalmente.3. b= semieje menor de la elipse. = orientación del semieje mayor de la elipse Así. Las expresiones que nos permiten determinar estas elipses de error absolutas son las siguientes: 1 a ( 2 x 2 Y ) ( 2 x 2 Y ) 2 4 2 XY 2 1 b ( 2 x 2 Y ) ( 2 x 2 Y ) 2 4 2 XY 2 2 x 2 Y ( 2 x 2 Y ) 2 4 2 XY arctg 2 2 XY donde: a= semieje mayor de la elipse. La matriz de diseño A y la de pesos a priori P permite obtener de inmediato S = ATPA y formular la expresión mas general de la figura conjunta de error en la red. establezcamos que la aceptación de la hipótesis nula Gauss-Marcov Ho: E(R) = 0 implica también la aceptación de Ho: E(x . En definitiva x xE T S x xE 1 01 2 R S FR S ..xE) = 0 en cualquier red exenta de errores groseros y con tanto mayor poder de afirmación cuanto más preciso sea el vector de observables OT.m R ( S ).m R S . según la expresión D( R T PR) 02 2 R(S ) ( x xE )T S ( x xE ) FR ( S ). por un hiperelipsoide de n ejes en el espacio R n con centro en el origen de coordenadas. 01 2 R1T P1 R11 R ( S ) 01 2 m R( S ) En principio podrán explicarse los resultados poco convincentes obtenidos por defecto de muestreo. La interpretación general de la figura de error de una red. probabilidad de cumplimentación igual a (1-). hasta llegar a unas cifras de aceptación desaconsejable e incluso ilícita si 202 y 202 pudieran describirse más acertadamente como pertenecientes a dos poblaciones distintas. como herramienta para visualizar figuras de error. bajo la hipótesis nula Ho. presenta la posibilidad de ser ampliada de modo que sea lo más rigurosa posible. Analicemos pues los hiperelipsoides y sus secciones y proyecciones. que define el recinto de error a posteriori limitado. nivel de significación . mediante las elipses clásicas de error. tal y como fueron definidos según [Chueca. 1999] Recordemos conceptos teóricos En primer lugar. de muy alta precisión. rango completo. y la segunda de precisión media o baja. Berné. que requiere la anulación 37 . dificultando la predicción satisfactoria de resultados a partir de hipótesis de partida adecuadas. y equivalente a un F-Test de Snedecor de una sola punta con valor óptimo F = 0. la primera de observables casi exactos. si R(S) = n. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga incompleta y en ocasiones de discutible fiabilidad. Aparecen así los hiperelipsoides como figura única definitoria del error de toda la red. xE). x xE T S x xE 1 02 R S FR S . análoga a la establecida para las elipses standard clásicas 1 1 FR s .m R S .3. pues ambas condiciones se implican entre si e implican así mismo el cumplimiento riguroso de la hipótesis nula H0.´.2. 38 . i 1. donde puede ser lícito tomar s2 = 20 = 1 según es práctica usual. R S n con lo que la probabilidad de que el vector X exacto se encuentre dentro de HS valdrá : z i2 P HS P 2 1 1 HSi siendo los semiejes de HS HSi o i1 La condición expuesta implica que simultaneamente todas las coordenadas de todos los vértices de la red estén dentro del recinto de error HS con probabilidad 1 . Se define como Hiperelipsoide Standard (HS) (o HS´) al que cumple la condición.n con 0 autovalores de S siendo S no singular.. R(S) = n. indiferentemente expresada como (15) o (16) . El recinto a priori será evidentemente y con las mismas consideraciones anteriores..m R S . La rotación z = T(x-xE) donde = vector ortogonal de autovectores columna normalizados de S refiere a la forma canónica z i2 i 1 02 R S FR S . definida positiva y de rango completo. Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga de los vectores R o (x. m R S . Microgeodesia y Redes Berné-Anquela-Baselga 39 .