JOSEFINA HERNÁNDEZ LÓPES Matrícula: ES1410902923Comprobamos que se cumple para Luego se cumple Demostraremos ahora que si se cumple para Entonces la expresión para ( ) se cumple para es ( ) Luego sacamos fuera todo lo que sobre en los exponentes para que quede la expresión para Ahora descomponemos los términos que se puedan en sumas de dos que forma que una sea un múltiplo de 11 que luego puede quitarse a efectos de comprobar la divisibilidad por 11 Quitamos el término que es múltiplo de 11 y queda ( ) Y lo puesto entre paréntesis es la expresión para que es múltiplo de 11 por hipótesis de inducción, luego la expresión para es múltiplo de 11 y queda demostrado el enunciado. La demostración por inducción consiste en: i) Probarlo para ( ) Luego es múltiplo de 7 ii) Demostrar que si se cumple para La expresión para es ( ) se cumple para Sacamos fuera algo y queda Para comprobar si eso es múltiplo de 7 podemos quitar el primer sumando. Luego la expresión para demostración. es de la foma que no es múltiplo de 3 . que es múltiplo de 7 por es divisible por 7 y con esto queda terminada la Considerando los tres casos i) Si tendríamos ( ) ( ) Eso es un múltiplo de 3 menos 2. ya que es un múltiplo de 7 Y lo que tenemos dentro del corchete es la expresión para hipótesis de inducción. habría contradicción en las . ya que no puede ser 0.ii) SI ( y este tiene la forma iii) Si ( Tiene la forma ) que tampoco es múltiplo de 3 posibles y en ningún caso ( ) ) que tampoco es múltiplo de 3 ( ) Y con estos 3 casos hemos estudiado todos los números resulta que sea múltiplo de 3. Desarrollamos el binomio de la primera y le restamos la segunda ( ) ( ) Sustituimos esto en la segunda ( ) Multiplicamos todo por ecuaciones si lo fuese. se resuelve como una cuadrática con incógnita √ √ √ ( ) Entonces b es la raíz cuadrada de lo hallado y tenemos estas cuatro soluciones Y los respectivos valores de a se calculan a partir de Poniéndolo de otra forma queda Los enteros y muchos más no se pueden poner como ni como .Es una ecuación bicuadrada. Las funciones r sub b se define como que son equivalentes a el menor número no negativo congruente con n módulo b Para a) ( ) ( ) Por propiedades de las congruencias ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Si tomamos el menor congruente no negativo la congruencia se hace igualdad ( b) ( ) ( ) Por propiedades de las congruencias ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )) ( ) Y entonces el menor residuo no negativo es igual ( ( ) ( )) ( ) . La primera ecuación es Y la segunda se deduce del algoritmo dela división Sustituimos este valor en la primera Luego La Solución es finalmente Comprobamos que es cierto . hay una cada . Consideremos a los módulos: . tercera y cuarta ( ( ( ( La tercera implica la primera luego sobra la primera ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) Y estamos en las condiciones del teorema chino de los residuos donde se pide que los módulos sean primos entre si. El teorema dice que la solución es única módulo .Las condiciones son ( ( ( ( ) ) ) ) Las podemos poner de otra forma sumando 2 en las congruencias segunda. es decir. cada uno de ellos es el producto de los otros Calculamos unos módulos Ahora se resuelven las ecuaciones en congruencias ( Que son las siguientes 1) ( Restando ( Sumándola a si misma ( Restando ( ) ) ) ) ) 2) ( Multiplicando por 3 ( Restando ( ) ) ) .Llamaremos a las soluciones de las ecuaciones para cada ecuación. es decir Comprobando ( ( ( ( ) ) ) ) Entonces está bien .3) ( Multiplicando por 3 ( Restando ( ) ) ) Y la Solución es la sumatoria de los productos Para obtener la menor respuesta no negativa se calcula el residuo módulo120 ( ) Luego las soluciones son todos los números congruentes con 2 módulo 120. Poniéndolo como producto Es que el 100 es uno y entonces y el lo calculamos Y el producto El lo escribo directamente Luego ( ) . si un primo al cuadrado es mayor que el número Entonces Queda Luego ( ) Un número natural que es cuadrado perfecto tiene exponentes pares en sus descomposiciones en números primos. Usando las reglas de divisibilidad por 2. es decir. 5. Luego todo múltiplo de 945 tendrá sus factores primos que son . 3.Considerando que con los exponentes son cada el doble de los exponentes del número. Y si un número es múltiplo de otro tiene los factores primos de este entre los suyos. y 11 Y que dado un número debemos probar factores primos hasta la raíz cuadrada o menos del número. Debemos encontrar la congruencia módulo 10 de esa expresión Por las propiedades de las congruencias podemos sustituir los sumandos por sumandos congruentes módulo 10 y los factores también. Luego el menor número por el que hay que multiplicar es La congruencia módulo 10 de un número es la última cifra. Todos ellos son impares. ( ) Lo siguiente no son igualdades pero es la forma en que de calcula . luego cuanto menos hay que multiplicar por Con ello el producto será que es un cuadrado perfecto. Luego nos podemos quedar con la última cifra de los sumandos y factores ( ( ) ) ( ( ) ) También hay otra propiedad ( ( ) ) Luego nos podemos quedar con la última cifra de una base elevada a un exponente.Y para a partir de estos factores conseguir un cuadrado perfecto tenemos que multiplicar por los factores primos que tienen exponente impar. ( ) mentalmente Y para se pueden simplificar los cálculos usando ( ) que es congruente. Ya sabemos que Luego ( Luego ) ( ) Entonces la congruencia es ( Luego la última cifra es 2 ) ( ) 13 será divisible por si esta cantidad es congruente con 0 módulo 13 El pequeño teorema de Fermat dice que si p es un número primo. entonces cada número a coprimo con p verifica ( ) ( ) Luego Entonces ( ) ( ) ( ( ) ) Ahora vamos a calcular ( ) ( ( ( ( ) ) ) ) . ( ) Y ahora vamos con Por el teorema de Fermat sale algo similar a lo de antes ( y con la misma deducción anterior ( Luego la congruencia de módulo 13 será la de ( ( )( ) ( ( Luego ( ) )( ) ( ) ( ) ) módulo 13 ) ) ) Y ahora vamos ya con la suma ( ) Luego 13 divide a Un número natural que es cuadrado perfecto tiene exponentes pares en sus descomposiciones en números primos. Y si un número es múltiplo de otro tiene los factores primos de este entre los suyos. . Todos ellos son impares. luego cuanto menos hay que multiplicar por Con ello el producto será que es un cuadrado perfecto. Luego el menor número por el que hay que multiplicar es 105 .Luego todo múltiplo de 945 tendrá sus factores primos que son y para a partir de estos factores conseguir un cuadrado perfecto tenemos que multiplicar por los factores primos que tienen exponente impar.