ACTIVIDAD 3Al finalizar esta actividad podrás plantear y resolver problemas y ejercicios sobre relaciones y funciones, resuelve lo siguiente: 1) Una pareja ordenada a=c y (a , b) cumple la siguiente propiedad (a , b)=(c , d) si y sólo si b=d , definimos el producto cartesiano de dos conjuntos A y B como A × B={(a , b)/a ∈ A y b ∈ B } . Resuelve lo siguiente: a) Si A={a , b , d , e , f }, B={1,2,3,4,5}, C={3,7,9 }, D={a , e , i} calcula A × B , B × A , A ×∅ , A × A , B × B , ( A ∪ D ) × B , A ×(B ∪ C) A×B={a,b,c,d,e,f}X{1,2,3,4,5}={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(d,1),(d,2),(d,3), (d,4),(d,5),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5), (f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5)} B×A={1,2,3,4,5}X{a,b,d,e,f}={(1,a),(1,b),(1,d),(1,e),(1,f),(2,a),(2,b),(2,d),(2,e),(2,f),(3,a),(3,b),(3,d), (3,e),(3,f),(4,a),(4,b),(4,d),(4,e),(4,f),(5,a),(5,b),(5,d),(5,e),(5,f)} A×∅={a,b,d,e,f}X∅=∅ A×A={a,b,d,e,f}X{a,b,d,e,f}={(a,a),(a,b),(a,d),(a,e),(a,f),(b,a),(b,b),(b,d),(b,e),(b,f),(d,a),(d,b),(d,d), (d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e,d),(e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,d),(f,e),(f,f)} B×B={1,2,3,4,5}X{1,2,3,4,5}={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)} (A∪D)×B=({a,b,d,e,f}∪{a,e,i})X{1,2,3,4,5}={a,b,d,e,f,i}X{1,2,3,4,5}={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1), (b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(d,1),(d,2),(d,3),(d,4),(d,5),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5),(f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5), (i,1),(i,2),(i,3),(i,4),(i,5)} A×(B∪C)={a,b,d,e,f}X({1,2,3,4,5}∪{3,7,9})={a,b,d,e,f}X{1,2,3,4,5,7,9}={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5), (a,7),(a,9),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(b,7),(b,9),(d,1),(d,2),(d,3),(d,4),(d,5),(d,7),(d,9),(e,1),(e,2), (e,3),(e,4),(e,5),(e,7),(e,9),(f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5),(f,7),(f,9)} 8.7).8).(8.(2. tal que (a .2.(4.3).8).12).10).(6.9} Imagen={3.(4.4.4.9). y)∈ R } y al conjunto B se le llama el contradominio de la relación.6.2) Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto de A × B .9} .2.6)} Dominio={1.12} b) Definimos R sobre el conjunto de números enteros como el mismo residuo cuando se dividen entre ( a .7. b ) ∈ R .8).7.8.5).(5.(5.(2. Escribe explícitamente los miembros de D. Si A=B.(3. así como el dominio.5.4.(3. el dominio de R se define como el subconjunto {x ∈ A/∃ y ∈ B .9).6.3). b ) ∈ R si a y b dejan 3 .3.2).10.8.5.9).7).6. contradominio e imagen de D.5.(2.4).2). D={(2.8.(1.6).(5.2).(9.3.(4.(3. b)∈ R } Como notación se suele escribir ( a .(2.12).(7. a R b . (6.6} Contradominio={4.3.(8.6).7). la imagen de una relación se define como el subconjunto de B que satisface: {b ∈ B /∃ a ∈ A .8.9.6.9.8. b ) ∈ D si a divide a b .(9.(4. (6.(3. tal que( x . decimos que R es una relación sobre A.3).9} Contradominio={1.6.4.(3.10.6.(2.1).7. (4.(2.6).6).(7.5).7.5).4). Resuelve los siguientes ejercicios: a) Sea D la relación definida sobre el conjunto N= {2.(8.(1.12)} Dominio={2.(2.4).(2.(6.5.10.8).10).(3.(3.(4.8).1).12).11. R={(1.12 } como ( a .(5.3.3). Describe el dominio.4).5.1).4.5). contradominio e imagen de esta relación.12} Imagen={4. c ) ∈ R ⟹ ( a . b) Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser reflexiva.3) Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si a R a ∀ a ∈ A . Contesta lo siguiente: a) Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas. simétrica y transitiva. b ) ∈ R ⟹(b . simétricas o transitivas. . b ) y ( b . da tres ejemplos de relaciones de equivalencia. se dice que es transitiva si ( a . c ) ∈ R . se dice que es simétrica si ( a . a)∈ R . . cs.http://www.pdf .mx/~mtovar/doc/EstDisc/Funciones%20y%20Relaciones1.buap. 4).3.5} C(f_2)= {a.c.(5.2.d} f_3={(1.4.c).5} C(f_3)= {a.1).b.b).x2+y2=2} No es una función pues para una x el valor de y no es único pues y=±√(2-x2 ) Porque ambos puntos (0.2.a).3.(5.(-3.d} f_2={(1.b.(3. Las cuatro funciones son las siguientes f_1={(1.(4.y)/x.5} y B={a.(2. ( a .4).(2.4) Una función f de A en B. es una relación de A en B que cumple lo siguiente: si ( a .(2.d} f_4={(1. b ) .(3.c.d)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_1) = {1.(-1.b).9).4.(4.y∈Q.√2). Si A={1.y)/x.d).4.x2=Y} Es una función a razón de que x2=y↔y=x2 y de tal forma que la podemos escribir mediante elipsis f={….2.3.y)/x. lista cuatro funciones de A en B. También se usa la notación: f : A → B y se denota como .(4.(-2. {((x.c.c.d).3.(0.y∈N.y∈Z. el dominio. Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen: {((x.(3. {(x.c).(1. c ) ∈ f entonces b=c f ( a )=b .1).(5.b.c.a).(5.b).(2.d}.c).5} C(f_4)= {a.(3.b.d} . el contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación.4.a)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_3) = {1.b).b.5} C(f_1)= {a.2.2.9)…} y entonces decimos que la imagen de f es el conjunto de los cuadrados perfectos.4.d)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_2) = {1.3.(4.b).a).y=3x} Si es una función a razón de que cada valor de x le corresponde un solo valor de y en los números naturales y su imagen por lo tanto es todo número natural.(0.d).b)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_4) = {1.-√2) están en la relación.(3.(2.0).c).d). suprayectividad y biyectividad entre funciones.5) Investiga las definiciones de inyectividad. n ∈ Z → f ( m )=f ( n ) →m 2=n2 → m=n 2) No es suprayectiva Por ejemplo 7 no es imagen de ningunelemento de Z 2 Pues si f ( m )=7 ↔ m =7 ↔ m=± √7 ∉ Z Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y además debe ser un único número entero iii) f :Q →Q . ii) f : Z → Z . f ( z )=3 z . f ( z )=z 2 . a) Determina si las siguientes funciones son biyectivas i) f : Z → Z . No es biyectiva a razón de que 1) SI es biyectiva Si m. Evidentemente es biyectiva a razón de que Y además también A razón de que si 3 q−2∈ Q si q ∈Q r+ 2 ∈Q ∀ r ∈ Q es imagen de q= 3 f ( q )=r → r=3 q−2 →3 q=r +2 → q= r +2 3 . f ( q )=3 q−1 . No es biyectiva a razón de que 1) Si es biyectiva Si m. n ∈ Z → f ( m )=f ( n ) →3 m=3 n → m=n 2) No es suprayectiva Por ejemplo 7 no es imagen de ningunelemento de Z 7 Pues si f ( m )=7 ↔ 3 m=7 ↔ m= ∉ Z 3 Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y de hecho ningún entero impar es imagen bajo f de algún elemento. … . da tres ejemplos de funciones biyectivas y escribe sus inversas.2. como g ( b )=a . .3. Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto. b ∈ R → f ( a ) =f ( b ) →3 a+1=3 b+1 →3 a=3 b → a=b Es suprayectiva y=f ( x ) → y =3 x+1 →∴ 3 x= y−1 → x = b) Si existe una función biyectiva definir la función inversa y −1 ∈R 3 f : A → B . f ( x )=3 x +1 . Es biyectiva a razón de que Es inyectiva Si a . Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito.iv) f : R → R . n } . tal que f ( a )=b . 1¿ f :R → R f ( x )=2 x−3 Es una función biyectiva y tiene inversa que es: y +3 2 −¿( y )→ ∴ f ¿ −¿( y)= y=2 x−3 →2 x= y +3 → x= y +3 → x=f ¿ 2 2 ¿ f : R→ R f ( x )=x 3 +5 Es una función biyectiva y tiene inversa que es: −¿ ( y)=√3 y−5 −¿ ( y)→∴ f ¿ y=x 3 +5 → x 3= y −5→ x=√3 y−5 → x=f ¿ 3 ¿ f : R → R f ( x )=2 x +1 Es una función biyectiva y tiene inversa que es: y−1 2 −¿( y )→ ∴ f ¿ −¿( y )= y=2 x+ 1→ 2 x= y−1→ x= y−1 → x=f ¿ 2 c) Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita A y el conjunto i) n si existe una función biyectiva entre {1. de un conjunto A en un conjunto B podemos g :B → A . g son inyectivas → g ∘ f CASO 2 Si f . definida como {(a .) ii) Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita iii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita. c)/existe b ∈ B tal que f ( a )=b y g ( b )=c } . d) Se define la composición de dos funciones f : A→B y g :B → C . se denota como i) g∘ f : A→C y ( g∘ f )( a )=g(f ( a ) )=c . g son sobreyectivas → g ∘ f ES BIYECTIVA es inyectiva como se demostró en i) es sobreyectiva como se demostró en ii) . f : A → B → b=f (a) y si Si Por demostrar g :B → C → c=g (b) c=( g ∘ f ) ( a ) entonces por medio de la definiciones mencionadas queda c=g ( b ) Por b=f ( a) realizando operaciones correspondientes c=g ( f ( a ) ) →c= ( g ∘ f ) ( a ) Por lo tanto y finalmente g∘f es sobreyectiva iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo. iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita. ¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo. f : A → B → f ( a ) =f ( b ) → a=b Si Por demostrar g∘f y si g :B → C → g ( b )=g ( c ) → b=c es inyectiva entonces ( g∘ f )( a )=( g ∘ f )( b ) → g ( f ( a ) )=g ( f ( b ) ) → f ( a )=f ( b ) → a=b Por lo tanto g y f inyectivas ii) ¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo. Sean f y g biyectivas entonces se dividen en dos casos: CASO 1 SI f . como la función h : A →C .El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al Card ( ϕ )=0 único conjunto vacío: (La cardinalidad del conjunto vacío es cero.