MIAS_U1_A3_JOHL

Introducción al álgebra superior Unidad 1.Conjuntos, relaciones y funciones JOSEFINA HERNÁNDEZ LÓPES Matrícula: ES1410902923 Actividad 3. Relaciones y funciones Al finalizar esta actividad podrás plantear y resolver problemas y ejercicios sobre relaciones y funciones, resuelve lo siguiente: 1) Una pareja ordenada cumple la siguiente propiedad definimos el producto cartesiano de dos conjuntos y como Resuelve lo siguiente: a) Si si y sólo si ⁄ calcula y . , A×B={a,b,c,d,e,f}X{1,2,3,4,5}={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5), (d,1),(d,2),(d,3),(d,4),(d,5),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5), (f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5)} B×A={1,2,3,4,5}X{a,b,d,e,f}={(1,a),(1,b),(1,d),(1,e),(1,f),(2,a),(2,b),(2,d),(2,e),(2,f), (3,a),(3,b),(3,d),(3,e),(3,f),(4,a),(4,b),(4,d),(4,e),(4,f),(5,a), (5,b),(5,d),(5,e),(5,f)} A× ={a,b,d,e,f}X = A×A ={a,b,d,e,f}X{a,b,d,e,f}={(a,a),(a,b),(a,d),(a,e),(a,f), (b,a),(b,b),(b,d),(b,e),(b,f),(d,a),(d,b),(d,d),(d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e,d), (e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,d),(f,e),(f,f)} B×B={1,2,3,4,5}X{1,2,3,4,5}={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)} (A D)×B=({a,b,d,e,f} {a,e,i})X{1,2,3,4,5}={a,b,d,e,f,i}X{1,2,3,4,5} ={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(d,1),(d,2),(d,3), (d,4),(d,5),(e,1),(e,2),(e,3),(e,4),(e,5),(f,1),(f,2),(f,3),(f,4),(f,5),(i,1), (i,2),(i,3),(i,4),(i,5)} A×(B C)={a,b,d,e,f}X({1,2,3,4,5} {3,7,9})={a,b,d,e,f}X{1,2,3,4,5,7,9}= Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 1 (6.(b.(6.3.(d.9} Imagen={3.9). (d. Describe el dominio.5).9).(b.5.(a.(5. (e. A) D={(2.5).7).7).12).8).4).10.12)} Dominio={2. Si A=B.(4.(f.(3.4).1).(a.6).3).(b.10).8).2).5.(6.3).(f.2).4. Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 2 .5).6.7).(e.3). Resuelve los siguientes ejercicios: a) Sea D la relación definida sobre el conjunto como si divide a . (6. Conjuntos.1).(d.2).8). contradominio e imagen de D.2).10.12} B) R={(1.2.4.(5.4.(d.4).(e.(2.(8.(3.(3.5).9).(1.6)} Dominio={1.(a. ⁄ el dominio de R se define como el subconjunto y al conjunto B se le llama el contradominio de la relación.12).2).(4.(a.3).(f.(f.(e.9).4).(d.6.5.(2.9). b) Definimos R sobre el conjunto de números enteros como si y dejan el mismo residuo cuando se dividen entre .1).5). así como el dominio.10).4.(2.(8.(3.3).7.(2.2).(7. decimos que R es una relación sobre A.(a.(3.5).9)} 2) Sean A y B conjuntos de una relación R de A en B que se define como cualquier subconjunto de .1). Escribe explícitamente los miembros de D.5).8).12).1).6).(2.1).(e.9).(b.(b.4).(4.(7.2. (5.1).2).7).2).4).7).9} 3) Una relación R sobre A se dice que es reflexiva si .3).(3.4).(1.6.6} Contradominio={4.5).7.(f. la imagen de una relación se define como el subconjunto de B ⁄ que satisface: Como notación se suele escribir .5.7).1).7.3.(5.(4.9).5).6.(3.(b.12} Imagen={4.8).8.8.4).(b.7).(2.(d.(e.(4.3.4).3).(2.(e.7). se dice que es simétrica si Ciencias Exactas.(2.6).(f.(8. contradominio e imagen de esta relación.(4.8. relaciones y funciones ={(a.(f.3).8.6.(9.(a.9} Contradominio={1.Introducción al álgebra superior Unidad 1.(9.6).(d.8.3).9. simétrica y transitiva. simétricas o transitivas. relaciones y funciones . Transitiva: Ciencias Exactas. Reflexiva Simetrica: . da tres ejemplos de relaciones de equivalencia. Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 3 . Conjuntos. b) Una relación sobre un conjunto A se dice que es de equivalencia si cumple con ser reflexiva. Contesta lo siguiente: a) Califica a las relaciones definidas en 4) como reflexivas. se dice que es transitiva si .Introducción al álgebra superior Unidad 1. Introducción al álgebra superior Unidad 1. Conjuntos.(3.y))⁄x. el dominio.√2).(-1.y=3x} Si es una función a razón de que cada valor de x le corresponde un solo valor de y en los números naturales Ciencias Exactas.(2.x^2+y^2=2} No es una función pues para una x el valor de y no es único pues y=±√(2-x^2 ) Porque ambos puntos (0. es una relación de A en B que cumple lo siguiente: y se denota como .y Z.1). Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen: {((x.(0.y))⁄x.9)…} y entonces decimos que la imagen de f es el conjunto de los cuadrados perfectos {(x.y N.( 3.(1.y Q.y)⁄x. el contradominio y la imagen de f se definen igual que para una relación.(-2. También se usa la notación: . Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 4 .4). relaciones y funciones 4) Una función f de A en B.x^2=y} Es una función a razón de que x^2=y↔y=x^2 y de tal forma que la podemos escribir mediante elipsis f={….-√2) están en la relación {((x.0).9).1).4).(0. d} a) Determina si las siguientes relaciones son funciones y determina su imagen: ⁄ i) ⁄ ii) ⁄ iii) b) Si y .c.b.(3.4.(5.d). suprayectividad y biyectividad entre funciones.c.d).2.c).b).b.a)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_3) = {1.c).(5.b. Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 5 .4. Las cuatro funciones son las siguientes f_1={(1.4.(3.3.(3.c.3.a).c).(4.2. lista cuatro funciones de en .d).2.d)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_1) = {1.5} y B={a.(2.4.c.Introducción al álgebra superior Unidad 1.2.(2. Ciencias Exactas. lista cuatro funciones de A en B.3.d} f_3={(1.3.b. iii) .(2.4.b).2.c.3.(4.(2.a).(4. a) Determina si las siguientes funciones son biyectivas i) . 5) Investiga las definiciones de inyectividad.a).5} C(f_1)= {a. relaciones y funciones y su imagen por lo tanto es todo número natural.b).5} C(f_2)= {a.5} C(f_3)= {a.c).b).d} f_4={(1.(5. Conjuntos.(3.d} f_2={(1.(4.d).d)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_2) = {1.5} C(f_4)= {a.b). Si A={1. ii) .d}.b.b)} Donde el dominio y el contradominio de la función son los siguientes: D(f_4) = {1.(5. Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito. Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 6 . No es biyectiva a razón de que 1) Si es biyectiva 2) No es suprayectiva f) Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y de hecho ningún entero impar es imagen bajo f de algún elemento. iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita. c) Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita si existe una función biyectiva entre A y el conjunto . de un conjunto A en un conjunto B podemos definir la . relaciones y funciones iv) . iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo. Conjuntos.doc con el nombre MIAS_U1_A3_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente. ii) Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita iii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita. e) Cuando concluyas los ejercicios guárdalos en un archivo . ii) ¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo. da tres ejemplos de funciones b) Si existe una función biyectiva función inversa como biyectivas y escribe sus inversas. Determina si las siguientes funciones son biyectivas i) . tal que . se denota como y . d) Se define la composición de dos funciones y como la función ⁄ definida como .Introducción al álgebra superior Unidad 1. i) Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto. Ciencias Exactas. i) ¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo. Ciencias Exactas.Introducción al álgebra superior Unidad 1. da tres ejemplos de funciones Es una función biyectiva y tiene inversa que es: Es una función biyectiva y tiene inversa que es: √ Es una función biyectiva y tiene inversa que es: √ i) Se dice que un conjunto A tiene cardinalidad finita si existe una función biyectiva entre A y el conjunto . de un conjunto A en un conjunto B podemos definir la . No es biyectiva a razón de que 1) SI es biyectiva 2) No es suprayectiva √ Es decir debe ser un entero lo cual no es cierto y además debe ser un único número entero iii) . Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 7 . Evidentemente es biyectiva a razón de que Y además también es imagen de A razón de que si iv) Es biyectiva a razón de que a) Es inyectiva g) Es suprayectiva . Si un conjunto no tiene cardinalidad finita se dice que es infinito. h) Si existe una función biyectiva función inversa como biyectivas y escribe sus inversas. relaciones y funciones ii) . tal que . Conjuntos. 6.5.Introducción al álgebra superior Unidad 1.3. se denota como y .4. i) ¿Es inyectiva la composición de dos funciones inyectivas? Prueba o da contraejemplo. . | | j) i) J K L N M Q Se define la composición de dos funciones y como la función ⁄ definida como .11.10. .8. Si y si Por demostrar es inyectiva entonces ( ) ( ) Por lo tanto g y f inyectivas ii) ¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo. x| x es la cantidad de puntos en una línea iv) Da dos ejemplos de funciones entre conjuntos de cardinalidad finita e infinita. Conjuntos. Sean biyectivas entonces se dividen en dos casos: Caso 1 SI son inyectivas es inyectiva como se demostró en i) Caso 2 Si son sobreyectivas es sobreyectiva como se demostró en ii) Por lo tanto es biyectiva Ciencias Exactas. Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 8 . Si y si Por demostrar entonces por medio de la deifiniciones mencionadas queda Por realizando operaciones correspondientes ( ) Por lo tanto y finalmente es sobreyectiva iii) ¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo.9. El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío: (La cardinalidad del conjunto vacío es cero.12. relaciones y funciones Da una definición de cardinalidad 0 para un conjunto.) ii) Da tres ejemplos de conjuntos de cardinalidad finita x| x es el número de un día del mes de junio x| x| x es la cantidad de autos en la ciudad de México iii) Da tres ejemplos de cardinalidad infinita.7. Ingenierías y Tecnología | Matemáticas 9 .Introducción al álgebra superior Unidad 1. relaciones y funciones Ciencias Exactas. Conjuntos. 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