GEOMETRÍA ANALÍ TICA UNIDA D 2. LA ACTIVI RECT DAD A 2. TARE AS ALUM NO: ROBERTO ORTEGA ESCAMILLA 1. A partir del triángulo con vértices A (−2, 1 ) , B ( 4,7 ) , C (6,−3) : a. Hallar las ecuaciones de los lados x (¿ ¿ 1, y 1) ¿ x (¿ ¿ 2, y 2) ¿ Primero el lado A (−2, 1 ) , B ( 4,7 ) Para hallar las ecuaciones utilizare la siguiente formula: Primero el lado y= ( y 2− y 1 ( x −x1 ) + y 1 x 2−x1 ) Sustituyendo valores y= 7−1 ( 4−(−2) ) ( x−(−2))+(1) Realizando operaciones y= ( 66 ) ( x+2) +(1) y=x +3 , Ecuación del lado A,B x (¿ ¿ 1, y 1) ¿ Segundo el lado x (¿ ¿ 2, y 2) ¿ B ( 4,7 ) , C ( 6,−3 ) , Sustituyendo valores y realizando operaciones y= ( x−4 ) +7 ( −3−7 6−4 ) , y= ( −102 ) ( x−4) +7 y=−5 x+20+ 7 y=−5 x+27 Ecuación del lado B,C , x (¿ ¿ 1, y 1) ¿ Tercer el lado y= C ( 6,−3 ) , A (−2,1 ) , ( x −6 ) +3 ( 1−(−3) −2−6 ) y=−0.5 ( x−6 ) +3 y=−0.5 x x (¿ ¿ 2, y 2) ¿ , , y= ( −84 )( x−6 ) +(−3) y=−0.5 x+ 3 -3 Ecuación del lado C, A 1 ) . B ( 4.C x (¿ ¿ 1. C (6. y 1) ¿ A (−2.7 ) .−3) : Encontrar el a pendiente de la recta de que pasa por los vértices B. C (6. 1 ) y− y 1=m(x −x1 ) Sustituyendo valores y−1=−5( x−(−2 ) ) y−1=−5( x+2) . Determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice es paralela al lado opuesto Triángulo con vértices A y BC A (−2.−3) FORMULA x 2−¿ x y 2−¿ y ¿ m=¿ 1 1 Sustituyendo valores tenemos que: m= −3−7 −10 = 6−4 2 = -5 Utilizando la siguiente formula halláramos la ecuación que se nos pide en este caso que pasa por el vértice A x (¿ ¿ 1. y 1) ¿ x (¿ ¿ 2. y 2) ¿ B ( 4.b.7 ) . y=−5 x−10+1 y=−5 x−9 . B(4.7).−0. y 1) ¿ x (¿ ¿ 2. C(6.33 ) B y trisecan .1).C x (¿ ¿ 1. 7).¿ 3 ( ¿¿ 3 ) ( 32 .67.-3) Para esto utilizare la siguiente expresión algebraica D= ( 2 x 3+ x . 3 3 ) Sustituyendo tenemos que: 1+2(−3)= ¿ 1−6= ¿ 3 3 −2+2(6) −2+12 . C(6.-3): Primero debo encontrar los puntos que trisecan la recta A. −53 ) Ahora hallaremos las ecuaciones de las rectas x (¿ ¿ 1 . Encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice el lado opuesto AC Triángulo con vértices A(-2. y 1 ) ¿ B(4. x (¿ ¿ 2 . y 2) ¿ A(-2 . y2 ) ¿ D ( 0. 2 y 3+ y ) 1 2 1 2 Sustituyendo tengo que 2(−2)+6 ¿ ¿ 1+(−3) = ¿ 2(¿ 3¿) D=¿ D= E= 2−3 −4+6 . −13 ) ( x1 +2 x 2 y 1 +2 y 2 .¿ 3 3 ¿ E=¿ E= ( 103 .c.¿ = .1). 20 x−1. y 1 ) ¿ B(4.8 = 7).76+7 .94 x−51.y 2− y 1 ( x −x1 ) + y 1 x 2−x1 y= ( ) y= ( x−4 ) +7 ( −0.76 = 12.94 ( x−4 )+7 y=12.33 −3.94 x−44.67 ) y=12. D x (¿ ¿ 1 .33−4 ) y= ( x−4 )+7 ( −8.33. ( x−4 ) +7 ( −7.67 −0.−1.33 ) x (¿ ¿ 2 . = 2.33−7 0. y2 ) ¿ E ( 3.20 ( x−4 ) +7 La ecuación de la primer recta que pasa por los vértices B.67 ) y 2− y 1 ( x −x1 ) + y 1 x 2−x1 y= ( ) y= ( x−4 ) +7 ( −1.67−7 3.67−4 ) y=2. B y es paralela al lado opuesto C.7 ) . B(4. 1 ) . 1) m= 1−(−3) −2−6 = 4 −8 =-0.−3 ) y− y 1=m(x −x1 ) y−(−3)=1( x−6) .C Triángulo con vértices A(-2. C (6.7) m= 7−1 4−(−2) = 6 6 =1 B ( 4. A(−2.−3) m= −3−7 −10 = 6−4 2 = -5 C ( 6. B(4.1).B C ( 6.d.A . C(6.7).B.5 La recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado opuesto A .-3): A (−2.−3 ) . B(4. 1 C(6.7).7). y +3=x −6−3 0=x− y−9 la recta que pasa por el vértice B(4. Hallar los vértices del triángulo formado por las rectas que pasan por los vértices A .1). y son paralelas a los lados opuestos.-3): x 2−¿ x y 2−¿ y ¿ m=¿ 1 Encontrando las pendientes con la formula Triángulo con vértices A(-2. 5(x−4) y=−0.C .y− y 1=m(x −x1 ) y−7=−0.1) y−1=−5( x−(−2)) y−1=−5( x+2) y=−5 x−10+1 0=−5 x− y −9 .5 x+ 9 .5 x+2 .5 x+ 2+ 7 y−7=−0.5 x− y + 9 La recta que pasa por el vértice . y=−0. 0=−0. A y es paralela al lado opuesto B . A(-2. 5 x− y =−9 y=3 x−3=+ 9 x=+9+3 x=12 Segundo los vértices que une las rectas de Las ecuaciones: −0.5 x− y=−9 x− y=+ 9 Resumiendo nos queda (−5 ) 0.5 x + y=+9 ( 1 ) 5 x + y=−9 y=11 0.5 x+11=+9 0.5 x− y=−9 Resumiendo nos queda (−0. Primero el vértice que une las rectas de Las ecuaciones: x− y=+ 9 −0.5) x− y =+ 9 ( 1 )−0.5 x=+9−11 x=−4 Tercero los vértices que une las rectas de Las ecuaciones: 5 x+ y =−9 .Teniendo ya las ecuaciones de las rectas procederé a encontrar los vértices utilizando sistema de ecuaciones simultáneas. −x + y=−9 Resumiendo nos queda (−1 ) 5 x+ y=−9 ( 5 )−x + y=−9 y=−9 x−(−9)=+ 9 x=+9−9 x=0 . Determinar las coordenadas del baricentro. B(4.2) 2 2 2 ( ) −3−7 −10 = =−5 6−4 2 Como su mediatriz es perpendicular al lado BC entonces su pendiente será m= 1 5 . Fórmula para encontrar el baricentro x= x 1 + x 2+ x3 3 x= −2+ 4+6 8 = 3 3 y= y= C(6. ) 3 3 Circuncentro Mediatriz P AB= A+B 2 8 = .1).e.4) 2 2 2 ( ) Pendiente del lado AB m= y 2− y 1 7−1 6 = = =1 x 2−x 1 4−(−2) 6 Como su mediatriz es perpendicular al lado AB entonces su pendiente m=−1 será Ecuación de la mediatriz y− y 1=m ( x−x 1 ) y−4=−1 ( x−1 ) y=−x+ 5 Mediatriz PBC = m= B+C 10 4 = . y )=( .-3): y 1+ y 2+ y 3 3 1+7−3 5 = 3 3 8 5 Baricentro G( x . circuncentro. =( 5. y ortocentro Triángulo con vértices A(-2.7). =(1. 67 ¿ . utilizando ecuaciones simultaneas 1 x+1=¿ 5 −x +5 1 x+ x =¿ 5 5−1 x=¿ 3.33.67 Las coordenadas del circucentro son ( 3.1.33 y=−3.1 y−2= ( x−5 ) 5 1 y= x +1 5 Como ya tengo dos ecuaciones ya puedo encontrar las coordenadas del circuncentro.33+5 y=1. 3) y será perpendicular con el lado AB Primero hallare la pendiente de lado AB Pendiente del lado AB m= y 2− y 1 7−1 6 = = =1 x 2−x 1 4−(−2) 6 Por lo tanto la pendiente de la recta perpendicular será de -1 Ahora la ecuación de esta recta que representara la altura y− y 1=m ( x−x 1 ) y−(−3)=−1 ( x−6 ) y=−x+ 3 Pendiente del lado BC m= −3−7 −10 = =−5 6−4 2 Por lo tanto la pendiente de la recta perpendicular será de Ahora la ecuación de esta recta que representara la altura 1 y−1= ( x +2 ) 5 1 7 y= x + 5 5 Por ultimo para sacar las coordenadas de le ortocentro Utilizare ecuaciones simultáneas y=−x+ 3 1 7 y= x + 5 5 1 7 x+ =−x +3 5 5 1 7 x+ x =3− 5 5 1 5 .Coordenadas del ortocentro Triángulo con vértices A(-2. C(6.7).-3): Para encontrar estas coordenadas lo primero C(6.1). B(4. A partir del triángulo con vértices 1 A= 2 x1 x2 y1 y2 x3 x1 y3 y2 A (−2.67) 2.33.7) C=(6.7 ) . C (6.33 ) +3=1.67 Entonces tenemos que los vértices del ortocentro son Ortocentro =(1. 1 ) .1.−3) : A= (-2.x=1.1) B=(4.-3) -2 4 6 -2 -2 4 6 -2 1 7 3 1 1 7 3 1 A= A= [ (−2 )(−3 ) +( 6 )( 7 ) + ( 4 ) ( 1 ) ] −[ (−2 )( 7 )+ ( 4 )(−3 ) + ( 6 ) ( 1 ) ] 2 52+20 72 = =36 2 2 A=36 . B ( 4.33 y=−( 1. Hallar el valor de paralela a la recta k para que la recta kx + ( k −1 ) y −18=0 sea 4 x +3 y +7=0 Para que estas dos rectas sean paralelas deben tener la misma pendiente por lo que tenemos que igualarlas.3. Consideremos entonces que: Ax + By+C=0 y la formula m= Dónde: A = 4 B = 3 C = 7 Y A = k B = (h-1) C = -18 A continuación igualare las pendientes de cada ecuación −k −4 = (k −1) 3 k 4 = (h−1) 3 3 k=4 (h−1) 3 k=4 k −4 −A B . 4 x −3 y+12=0 es .3 3) Llamemos al punto desconocido (x.5.33 (0. Determinar el valor de perpendicular a la recta k para que la recta k 2 x+ ( k +1 ) y+3=0 sea 3 x−2 y−11=0 2 −k −3 = (k +1) 2 k2 3 = (k +1) 2 2 −2 k =3(k + 1) 0=3 k +3+2 k 2 k =? 5.y) X .67 (1.y) +4 3 =y -1 2.67) 0 1 4 5.2.4) (1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta siempre igual al doble de su distancia del eje 4 x +12 =y 3 4x + 4= y 3 x 4( x) (x.k =4 4. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de la recta a su distancia del punto P(x.y−4 ¿2 x−0 ¿2 +¿ 2¿ d=2 √¿ d=4 ( x 2 ) + y 2−8 y −16 d=4 x 2+ y 2−8 y +16 6.y) (2.0) y −0 ¿2 x−2 ¿2 +¿ ¿ d =√ ¿ y −0 ¿2 x−2 ¿2 +¿ d=¿ d=x 2−4 x +4 + y 2 0=x2−4 x +4 + y 2 (2. y +2=0 es siempre igual . 0) . Antes de comenzar con el procedimiento.7.0 ) .0)=centro de lacircunferencia r=4 Analizando la situación podemos implementar el punto genérico tomando como base uno de los valores del eje de las x y que en este caso tomaríamos el valor 3. k) es el centro de la circunferencia r=radiode la circunferencia D ( x . y ) un punto generico De los datos que nos dan en el planteamiento del ejercicio podemos deducir que C( 0. √ 7) Por lo tanto ahora ya podemos obtener la pendiente de la recta que pasara por estos dos puntos m= y 1− y x 1−x 7−0 m= √ 3−0 . especificando en cada caso el valor del parámetro. recordemos que la Ecuación ordinaria de la circunferencia es: x−h ¿2 + ( y−k )=r 2 ¿ Dónde: C( h . y) Por lo que podemos asumir que: y−0 ¿ 2=4 2 2 3−0 ¿ +¿ ¿ 2 2 2 3 + y =4 9+ y 2=16 y 2=16−9 y 2=7 y=√ 7 Ahora puedo decir que ya tenemos dos puntos con sus coordenadas. Grafique tres elementos de la familia. Escribir la ecuación de la familia de rectas tangentes a un círculo cuyo centro está en el origen y cuyo radio es 4. y nos quedaría de la siguiente manera: C ( 0.0 ) . D(3. C ( 0. D(3. D(−3. D Ahora tenemos que y−√ 7= −√ 7 (x−3) 3 Esta sería la primera ecuación de la recta tangente a la circunferencia C ( 0.−√ 7) y + √ 7= −√7 (x +3) 3 .7 m= √ 3 Siguiendo encontrare ahora la ecuación de la recta: x m(¿¿ 1−x ) y 1− y =¿ x √7 (¿¿ 1−0) 3 y 1−0=¿ 7 y= √ x 3 Esta es la recta que pasara por los puntos C .0 ) . C ( 0.64 3 . D(−3. √ 7) m= y 1− y x 1−x 7−0 m= √ −3−0 7 m= √ 3 7 y−√ 7= √ x+2.0 ) . 75 2 . Calcule su área.C(−2.25 ¿ = 1.25) A= (3.−4) . Formula dr = Ax+ By+ C √ A 2 +B 2 1 ¿2 ¿ 1 ¿2 +¿ 6 =4.41 √¿ −2−4+12 dr = ¿ el radio es igual a 4.1416)(4.1416)(18.0625) A= 56.25 La fórmula de la circunferencia es A= π r 2 A= (3. Un círculo tiene su centro en el punto sabiendo que es tangente a la recta x+ y+ 12=0 . 8. incorpórelo a su trabajo con la debida demostración. o bien .143 α2=80.6217 α1=48.09 Comentario .Instrucciones (2) Demuestre formalmente las siguientes proposiciones. Utilizando la fórmula: tan ∅= m2−m1 1+m1∗m2 Los datos que tenemos son: ∅= 31. argumentando con la profundidad necesaria cada paso. En caso de requerir un teorema previo (por ejemplo de geometría. Teorema. entonces L1 y m2 es la pendiente L2 . trigonometría o álgebra superior). 9.m m ≠−1 1+m1 m2 1 2 es la pendiente del lado inicial que forma el lado terminal L1 .81° = tanα1 = 1.68° = tan α2 = 6. Para demostrar este teorema utilice la siguiente figura: Observemos que: ∅+α 1=α 2 .∅=α 2 −α 1 . considerando que el ángulo ϕ se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. tan ϕ= Donde m1 m2−m1 . Cite sus fuentes de acuerdo con la norma APA. de manera clara. L2 .87° = tan∅ = 0. del lado inicial al lado final. Si ϕ es un ángulo entre dos rectas. precisa y coherente. demuestre que todo punto que está sobre la recta sobre la recta Ax + By+C=0 también estará kAx +kBy +kC=0 .94 tan ∅=0.09−1.14 1+1. y m2 = tan α2 Entonces tenemos que: tan ∅= 6.14∗6. Deduzca con ello la condición necesaria y suficiente para la coincidencia de rectas Las condiciones para que las coincidencias de rectas son Que sean paralelas.95 7. B=Bk .m1 = tan α1. Si k es una constante cualquiera diferente de cero. A= Ak . Ck=C K≠ 0 Demostrándolo tenemos que A + B+C=0 k ( A+ B+C=0) kA + K B+ K C=K 0 KA+ K B+ K C=0 KA+ K B+ K C= A+ B+C .62 10.09 tan ∅= 4. C) Definición. y L_9 que pasa por (-1. L_6 que pasa por (0. L_5 que pasa por (0. a2) Donde: .2). Sea el punto I la intersección de las bisectrices e y f Si I pertenece e.-1).2) y es paralela a (1.3).1/2). Determine la ecuación de las nueve rectas según la definición anterior (x . pág. y 0 ) +t (a 1.10. L_2 que pasa por (0. L_8 que pasa por (0.1). y 0 )∈ R 2 y un vector no nulo (el espacio vectorial bidimensional) tales que L={ P0 +t a|t ∈R } . Considere las siguientes rectas: L_1 que pasa por (0. L_3 que pasa por (1.1).B) y (A.0) y es paralela a (1.C).2) y es paralela a (0. entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). y )=P0 ( x 0 .3) y es paralela a (1.2) y (2. Como I pertenece a f.0).1). Entonces queda demostrado que la bisectriz que parte del vértice B pasa por el punto I y termina en la recta (A.0) y (0. L_4 que pasa por (0. L_7 que pasa por (-1. L 90). es equidistante de las rectas (A. De acuerdo con Haaser (2005.0) y es paralela a (-1.1).1) y (2. un conjunto puntos de recta si R 2 hay a=( a1 . Demuestre que en un triángulo cualquiera las bisectrices de los ángulos interiores se cortan en un punto que equidista de los tres lados (incentro).3) y es paralela a (2. a2 ) ∈V 2 de se llama un punto P0=(x 0 . a2 )−−−−Coordenadas de un vertice Director Encuentre cuatro puntos sobre cada una de las nueve rectas y muestre sus resultados gráficamente L1 que pasa por (0.1) =(0.0)+11 (−1.−7) (x . P0 ( x0 .10)= (10. y )=(0.0 )+7 (1.−7)=(−7.7) (x .0 )+5 (1.1) =(0.0)+(3.−1)=(0.−11)=(−11. (x .( x .3)= (3. y )=(0. y )=( 0.0)+(5. y )=(0. y )=( 0.1).3) (x .0)+7 (−1.0)+5 (−1.7)= (7. y )−−−−−es cualquier infinidad de puntos de la recta a en contrar .0 )+3 (1.0)+(−5.5) (x .−1)=( 0.0 )+10 (1.0) y es paralela a (1. y )=( 0.−5)=(−5.−2) (x . y )=(0.0)+(−7.−1)=(0.5)= (5.−1)=(0. y )=( 0.1) =(0.0)+(7.0)+ 2(−1.−11) .-1) (x .−2)=(−2.10) L2 que pasa por (0.1) =(0. y 0 )−−−Coordenadas del punto conocido t−−−−−−−Parametro (cualquier valor que pertenesca alos numero reales ) ( a1.0)+(10.0) y es paralela a (-1.0)+(−2.0)+(−11.−5) (x . 1)+( 4.0) y (0.2)=(2.1 )−P0 ( 1.0)+5 (−1.0)+8 (−1.1)+1(2.2) (x . y 0 ) +t (a 1.1)+2(2. y )=(1.1 ) ¿ ( 2.2)=(0. y )=(1. y )=(1.3).1)=(1.4)=(4.5) . y )=P0 ( x 0 .0 ) =t (−1. y )=P0 ( x 0 .3) (x .0)+(−5.L3 que pasa por (1. (x .2) (x .1) (x .0)+(−2.10)=(−9. y )=(0.1 )−( 1.1) y (2.1)=(1. (x . a2) ¿t (a 1. y )=(0.8) (x .0)+(−8.2)=(−1. y )=(1.0 )=t (a 1.3 ¿ P 0 ( 0.8)=(−7.5) ( x .1 )−¿ t(2. a2) ( 0.1)=(1.0)+10(−1.1)=(1.2)=(0.0)+2(−1.1)+(2.1). a2) ( 0.0)+(−10. y 0 ) +t (a 1.10) L4 que pasa por (0.5)=(−4.3 )−( 0. a2) 2. 1/2)=(0.8)=(8.1/2)=(0.1)+6 (2.7) (x .3)+ 8(1.5) (x .3)+ 4 (2.3)+(6.3)+(16.1)+(8.2)=(0.3)+ 2(1.1/ 2)=(0.3) y es paralela a (2. y )=(0.3)+ 8(2.4)=(8.2)=(0. y )=(0.1/2)=(0. y )=(0. y )=(0. y )=(0.3)+(6. y )=(0. y )=(0. (x .12)=(12. (x .1)=( 0.8)=(16.1)+(12.11) L6 que pasa por (0.6) (x .1)=(0.4)=(8.9) (x .1).9) (x .6) (x .1)=(2.3)+(8.7) .1)+ 4(2.1)=( 0.1)=(0.3)+ 6(1.3)=(6.3)+(8.4) (x .2)=( 4.(x .3)+ 4 (1.6)=(12.3)+(2.3)+( 4.13) L5 que pasa por (0.1/2).3)=( 6. y )=(0.3)+3 (2.3) y es paralela a (1.3)+ 6(2.3)+(12. y )=(0. y )=(0. 0)=(6.0)=(−1.2) ( x . y 0 )−(2. a2 ) ( 2.2)+(10.2) y es paralela a (1.2) (x .2) (x . y )=(0.2)+ 4(2.2)+( 6. (x . y )=(0.0)=(4. y )=(0.2).0)=(−1.0)=(6.2)=t (a1.2)+3(1.2) y (2.L7 que pasa por (-1.2)+(3.0)=(0.0)=(−1.0)=(8.2)+5(2.2)+3 (2.2)+1(2. y )=(−1.0)=(0. y )=(0.2 )−( 0.0).2) L8 que pasa por (0.0)=(2.0)=(0.2)+9(1.2)+7(1.0)=(8.2 ) =t (2.0) (x .2) (x . y )=(−1.2)+( 7.2) ( x .2)+5(1.2) (x .2) .2)+(5.0)=(−1.0)=(10.2)+(2. y )=(−1.0)=(0.0)=(2.2)+(9.2)+(8. y )=(−1. P0 ( x0 . (x .10) Demuestre que: a.L9 que pasa por (-1.2)+(0. L 8 ≠ L9 d. 12 )} a.1)=(−1. y )=(−1.-1) m= −1−0 =1 −1−0 Si la pendiente de L1.2)+(0. = 1 y la pendiente L2=1 Entonces b.3) y (6. y )=(−1.6)=(−1.2)+8(0. Si L1 pasa por (0. L1=L2 Si L5 y L6 pasan por los mismos puntos (0.6). L1=L2 b.2)+6(0.1)=(−1.1).1)=(−1. L1 ∩ L3=∅ e.2)+4 (0.8) (x . entonces es la misma recta y tienen ambas la pendiente .1).4 )=(−1.0) y es paralela a (-1. y )=(−1. L5=L6 c.2)+( 0.0) y es paralela a (1. L1 ∩ L3= ({ 12 . Tiene pendiente m= 1−0 =1 1−0 L2 pasa por (0.2) y es paralela a (0.2)+2(0.1)=(−1.4 ) (x . y )=(−1.6) ( x .2)+(0.2)=(−1.8)=(−1. L4 ≠ L 7 f. a2) ( 0. y 0 ) +t (a 1. y )=( 0.1 )−( 1.m= 6−3 3 1 = = 6−0 6 2 m= 1 2 Pendiente de la recta L1 y L2 Entonces: c.1). a2) ( 0.1).1) =(0. tiene pendiente 0 Entonces: L8 ≠ L9 Si L1 que pasa por (0. )= ( . 2 2 2 2 2 ) L3 que pasa por (1.0 ) =t (−1.2) y (2.1 )−P0 ( 1.0)+( . entonces: 1 1 1 1 1 ( x .0) y es paralela a (1. (x .2).0 )=t (a 1.1) y (2.2) y pasa por un punto m L 4= 3−1 2 = =1 2−0 2 m L 4= 2−2 0 = =0 4−(−1) 5 (4.1) .3).0) y (0. Si L4 que pasa por (0. y la pendiente de L9 es indefinida entonces Entonces: L8 ≠ L9 L 4 ≠ L7 d.4) tiene pendiente indefinida m l 8= 2−2 0 = =¿ 0 2−0 2 m L 9= 4−2 2 = =¿ Pendiente indefinida −1+1 0 Si la pendiente de L8 es 0.0 )+ (1. L5=L6 Si la pendiente L8 que pasa por (0.2) . y )=P0 ( x 0 . y tiene pendiente 1 y L 7 que pasa por (-1.2) y pasa (−1. entonces tiene pendiente 0 y L9 que pasa por (-1. )=( .0) y es paralela a (3.youtube.07 . 2 2 Si L1 que pasa por (0. [Roberto].0)+( .1 −1 1 1 1 (x . ( 2011.0)+ (−1. Referencias: Julio R. 1 m2 implica que `1 ⊥ `2. entonces.3).com/watch?v=Jz8_omNLKTw . y )=(1. entonces: L3 que pasa por (1. ) 2 2 2 2 2 Entonces: L1 ∩ L3= {( )} 1 1 .0) y (0.27). Ecuación general de una recta dados dos puntos [video].1).1)=(1. Recuperado de https://www. m L 1= 3−0 3 = =1 3−0 3 m L 3= 1−0 1 = =−1 0−1 −1 tan ∅= 1+1 2 = −1 −2 −1+(−1) tan ∅=−1=45 ° L1 ∩ L3=∅ Si m1 y m2 son las pendientes de las rectas L 1 y L3. youtube. incentro y ortocentro con Geogebra[Video] Recuperado de https://www. circuncentro.. (2005). N. LaSalle. B. H.31) Ecuación vectorial de Recuperado https://www.05.(2003. C.(2013.30) Baricentro. Geometría Analítica. I). Lehmann. ..youtube. México: Limusa. Análisis matemático (Vol. (2001).com/watch?v=H0odgI4T0R8 Cibermatex-[Roberto]. A. P. Haaser.[Roberto]. México: Trillas.com/watch?v=l5p4XlssFFo la recta.Ruben R. J. & Sullivan.[Video].04. J.