metrologia

1METROLOGÍA La metrología está conformada por una serie de operaciones de mediciones destinadas a obtener las dimensiones y realizar el trazado para la elaboración de piezas o elementos empleando el trabajo manual o mecánico y efectuar la verificación y control de sus medidas según exigencias del proyecto. Para ello se utiliza una serie de instrumentos o herramientas de medición y una metodología adecuada a las necesidades. Medición: consiste en obtener la cantidad de veces que una cierta magnitud unidad se encuentra contenida entre límites fijados. Estos límites no siempre son visibles o perfectamente determinados, como ser en el caso de medición de diámetros, profundidades, espesores, etc. en los cuales se deben tomar distancia entre dos planos paralelos o entre superficies cilíndricas o esféricas. Exactitud de las medidas obtenidas: las medidas obtenidas nunca son exactas, es decir, no se obtienen los valores reales, ya que la medida obtenida dependerá de la apreciación del instrumento o herramienta empleada (menor división del instrumento: m, dm, cm, mm, µ, etc.), de su precisión (desgaste, divisiones inexactas o irregulares), de las condiciones ambientales (influencia de la temperatura, etc.) y de la habilidad del operador que la efectúa (error de paralaje). La menor división del instrumento empleado dará el grado de apreciación de la medición efectuada cuando se mide directamente. Por ejemplo, con una cinta graduada con divisiones de 1 milímetro se obtendrán lecturas directas milimétricas. La precisión de la medida obtenida dependerá tanto de la calidad del instrumento, de la menor división del mismo, como de la habilidad del operador. Este último podrá apreciar a “ojo” si el tamaño de la menor división lo permitiera, cual es la medida más aproximada a la real. Por ejemplo, en el caso de que la menor división fuera el milímetro, podrá apreciar con las décimas de milímetros (Fig.1.1). Error de medición (e): cuando se mide se introducen errores en la medición, siendo este error (e) igual a la diferencia entre el verdadero valor (m) y la medida realizada (mi) : e = m – mi (1.1) Existen dos tipos de errores, errores sistemáticos y errores accidentales. Los errores sistemáticos son causados por defecto del instrumento, del método empleado o por fallas del observador. Son difíciles de detectar, y por más mediciones que se hagan siempre estarán todas ellas afectadas del mismo error. Son difíciles de eliminar. Los errores accidentales son producidos por causas fortuitas y accidentales. Varían al azar, pudiendo producirse en un sentido o en otro (en más o en menos) y no tienen siempre el mismo valor absoluto. Son muy frecuentes y se presentan por ejemplo debido a la coincidencia entre índice y escala, a descuidos por parte del observador, etc. Por producirse al azar es posible disminuirlos, según la teoría de errores de Gauss, mediante la aplicación de la teoría de las probabilidades. Para ello se hacen n mediciones, m1, m2, m3, ...mn resultando el valor más probable: m= siendo: ∑m n i (1.2) (1.3) xi = m - mi donde es xi el error cometido de la medición efectuada respecto del valor más probable, que es igual en ambas direcciones, es decir +xi o -xi. Por lo tanto, por ser los errores cometidos en ambas direcciones de igual valor absoluto pero de signos diferentes, se anularan mutuamente, resultando: ∑x x =1 n i =0 (1.4) Para evitar esta situación se toma la sumatoria de los cuadrados de los xi, se los divide por el número de mediciones n y se le extrae la raíz cuadrada, obteniéndose el error medio cuadrático: ∆mc = ∑x n 2 i (1.5) Gauss da una función ϕ(x) llamada función error de Gauss que da la probabilidad de obtener un cierto error xi dentro de un cierto intervalo cuando se hace un número grande de medidas independientes; la gráfica de esta función (Fig.1.2), es la llamada campana de Gauss. La probabilidad de cometer errores pequeños es grande en tanto que la de cometer errores grandes es pequeña. Si la verdadera medida es m, el error verdadero de la media estará dado por la expresión: ∆m = m - m El cual, en función del error medio cuadrático se puede demostrar que es: (1.6) ∆m = ∆mc2 = n −1 n(n − 1) ∑x 2 i (1.7) Por lo tanto, para obtener la magnitud m, luego de efectuar n mediciones, de la (1.6) se obtiene, teniendo en cuenta el doble signo de la raíz cuadrada: m = m ± ∆m O sea: (1.8) (1.9) m - ∆m ≤ m ≤ m + ∆m Es decir que el valor verdadero de la medición estará comprendido entre ambos extremos del intervalo, siendo este último menor, cuanto más mediciones se realicen. Para aplicar la teoría de Gauss es necesario que sea ∑xi = 0, lo que se cumple en la práctica cuando es ∑xi << ∑⎟ xi ⎜. Unidades: las unidades empleadas son las adoptadas actualmente por el S.I. en todo el mundo y en la Argentina por el SIMELA. La unidad de longitud es el metro (m); en mecánica se emplea el milímetro (mm) a fin de abarcar pequeñas y grandes medidas, utilizándose una única unidad. Los submúltiplos del milímetro son: décimas de milímetro (0,1mm), centésimas de milímetro (0,01mm) y milésimas de milímetro (0,001mm). Aún se utiliza por su gran difusión, la pulgada como unidad de medida (1"), siendo: 1"= 25,4mm. Los submúltiplos de la pulgada se toman como fracciones de la misma: 1/2" 1/4", 1/8", 1/16", 1/32", 1/64", etc. También se usa un sistema mixto dividiendo la pulgada en decimos, centésimos, milésimos y diezmilésimos de pulgada: 2".215 (dos pulgadas doscientos quince milésimas); .32" (treinta y dos centésimas de pulgada). Cuando se necesita máxima precisión y exactitud se utiliza el micrón (µ) como unidad, siendo el micrón la millonésima parte del metro: 1µ = 10-6m = 10-3mm. Para las medidas angulares se utiliza el grado sexagesimal y como submúltiplos de éste el minuto (´) y el segundo (´´). Otra unidad empleada en medidas angulares es el radián atendiendo a que el ángulo central del circulo en un giro completo mide 2π radianes. Influencia de la temperatura en la medición: debido a la dilatación que sufren los metales con la temperatura, cuando se necesita obtener medidas de gran precisión, hay que tener en cuenta la variación que sufren tanto los elementos a medir como los propios instrumentos de medición. Por tal motivo se corrigen los valores obtenidos a una temperatura base, utilizándose la conocida fórmula: l = l0 ± l0δ ∆t = l0 ( 1 ± δ ∆t ) (1.10) En la (1.10) se utiliza el signo más (+) para las temperaturas mayores a la tomada como base y el signo menos (-) para las menores a ella. En la fórmula anterior es l0 la medida registrada a la temperatura base, l es la medida obtenida a la temperatura ambiente y ∆ t la diferencia entre la temperatura ambiente y la de base, siendo δ el coeficiente de dilatación del material (1/°C). En nuestro país se toma 20°C como temperatura base, en Francia 0°C, en Estados Unidos de Norteamérica 62°F (16,67°C). La influencia de la temperatura es importante cuando se mide con precisiones del centésimo de milímetro. 1 Si el coeficiente de dilatación del acero es δ = 0,000011. º C , y si la medición a 20°C de una varilla de este metal es de 1.000 mm y la temperatura ambiente es de 35°C, la longitud real a esta última temperatura será: 1 l = 1000mm [ 1+0,000011 º C (35-20)] = 1000,165mm y afecta a la medida a 20°C en 165 milésimas de milímetro. Elementos de medición : son instrumentos, aparatos o herramientas que se utilizan para conocer las medidas de las piezas. La medición se puede efectuar en dos formas: 1) por lectura directa y 2) por comparación. 1) Por lectura directa: se obtiene mediante un instrumento o aparato calibrado la medida de la pieza, leyéndose en la escala el valor de ésta. Algunos de los aparatos más utilizados son las reglas milimetradas, calibres, micrómetros, goniómetros, regla de senos, etc. 2) Por comparación: se obtiene comparando la dimensión de una pieza con otra que se toma como patrón. Se utiliza para ello compases, comparadores, sondas, peines para roscas, etc. Se describirán a continuación los aparatos mencionados. Regla milimetrada: son barras de acero de sección rectangular, por lo general chaflanadas en una de sus caras sobre la cual se han grabado las divisiones en milímetros y en 0,5 milímetros o también en pulgadas subdivididas en 16, 32 o 64 partes. Son de longitud variable llegando en algunos casos hasta más de 1,5 m de longitud. Permite efectuar mediciones directas con grado de precisión del medio milímetro. También se utilizan para el trazado de rectas, en cuyo caso no están graduadas, o si lo están, ésta es de menor precisión, debiendo cumplir con la condición de ser perfectamente rectas. Se presentan también como metro articulado, cinta métrica y curvímetro. Calibre o Pié de Rey: este instrumento utiliza el método ideado por Vernier y Nonius, el cual consiste en utilizar (Fig.1.3) una regla fija, graduada por ejemplo en centímetros y en milímetros, y una regla móvil que puede deslizarse sobre la fija y que está dividida en un número de divisiones, por ejemplo diez (10), iguales, correspondiendo a estas 10 divisiones nueve (9) divisiones de la fija; por lo tanto, la apreciación del instrumento estará dada por la diferencia entre la menor división de la regla fija y la menor división de la regla móvil. Para obtener el orden de este grado de apreciación del instrumento se hacen las siguientes deducciones: si llamamos “n” al número de divisiones iguales en la regla fija y la móvil, “ l ” a la longitud de la menor división de la regla fija y “ l´ ” a la longitud de la menor división de la regla móvil, igualando longitudes de la regla fija y móvil, se tendrá: n.l´ = (n – 1).l Efectuando operaciones matemáticas en la (1.11): n.l´= n.l - l ⇒ l = n.l – n.l´ = n(l – l´) (1.11) y por último: l − l′ = l n (1.12) O sea que la apreciación de un instrumento que utiliza un “vernier” o “nonio” se obtiene dividiendo la menor división de la regla fija por el número de divisiones del vernier. La lectura L resulta de sumar la lectura a que precede al cero del nonio sobre la regla fija, la lectura b, división del nonio que coincide con una cualquiera de las divisiones de la regla fija: (1.13) Por ejemplo si la menor división de la regla fija es 1mm y el nonio o vernier está dividido en 20 divisiones, la apreciación será: 1mm/20 = 0,05mm; si estuviera dividido en 25 divisiones ésta será: 1mm/25 = 0,04mm; si fueran 50 divisiones: 1mm/50 = 0,02mm. Si las divisiones de la regla fija estuvieran en pulgadas siendo la menor 1/16´´ y el número de divisiones del vernier fuera 8, la apreciación será: (1/16´´)/8 = 1/128´´; Si la pulgada es dividida en diez (10) partes y a su vez a cada una de las partes se la subdivide en 4, tendremos que la pulgada se ha dividido en cuarenta (40) divisiones, correspondiendo cada una a 1/40´´= 0,025´´ (veinticinco milésimas de pulgada). Ejemplo de medición con calibre: el instrumento consta de dos mandíbulas, una solidaria a la regla fija y la otra solidaria al vernier. Se coloca el elemento a medir entre las mandíbulas (si fuera una medida exterior) presionando suavemente, y se procede a efectuar la lectura (Fig.1.4). l L=a+bn l 1mm × = a = 0 mm; b n = 3’ 10 0,3mm ⇒ L =0mm + 0,3mm = 0,3mm. Diferentes clases de calibres: existen distintos tipos de calibres que se utilizan para mediciones exteriores, para mediciones interiores y para mediciones de profundidad o altura. Estos tres tipos de calibres generalmente están incluidos en un solo instrumento como el que muestra la figura (Fig.1.5); con las mandíbulas A1 y A2 se obtiene la medida exterior (ejes, caras externas, etc.) y con las puntas a1 y a2 se obtiene la medida interior ( agujero, caras internas, etc.) de un objeto o pieza, siendo para el caso de la figura esta medida d; con la punta L se obtiene la medida de profundidad, altura, etc., la cual, según indica el calibre, es h. Las tres medidas indicadas por el instrumento son iguales, ya que la mandíbula A2, la punta a2 y el vástago están unidos a la regla móvil que se desplaza y es la que indica el valor de la medida para los tres casos. Se puede observar además que las unidades en las cuales se puede leer la medida son milímetros y pulgadas, según se utilice la escala inferior o superior de la regla fija y de la móvil o nonio, respectivamente. La figura (Fig.1.6) muestra distintas mediciones que se pueden realizar con el calibre. En (a) se efectúa la medición externa del espesor e de una pieza mediante las mandíbulas A1 y A2; en (b) se tiene la medición interior d de un agujero; en (c) con el vástago o cola del calibre se mide una profundidad h y en (d) se mide la distancia a entre los bordes de dos agujeros. Actualmente existen calibres donde la lectura se lee directamente en una pantalla que trae incorporado el aparato y que muestra la medida que se realiza. Tornillo micrométrico: es un tornillo que se desplaza axialmente longitudes pequeñas al girar el mismo dentro de una tuerca. Dichos desplazamientos pueden ser de ½ mm y de 1mm para giros completos en los milimétricos y por lo general de 0,025” en los de pulgadas. Se aplican en instrumentos de mediciones de gran precisión como son los micrómetros o pálmer, que se utilizan para medir longitudes y los esferómetros que se utilizan para medir radios de curvaturas y espesores. Micrómetro o pálmer: es un instrumento que consta, según se muestra en la figura (Fig.1.7), de un montante o cuerpo en forma de U o herradura, presentando en uno de sus extremos una pieza cilíndrica roscada interiormente, siendo el paso de esta rosca de ½ mm o de 1mm. Esta pieza presenta además en su superficie externa una graduación longitudinal sobre una de sus generatrices de ½ en ½ milímetro. Dentro de esta pieza enrosca un tornillo, que al girar una vuelta completa, introduce uno de sus extremos dentro del espacio vacío de la herradura, avanzando por vuelta ½ mm o 1mm de acuerdo al paso que posee. Solidario al tornillo por el otro extremo se encuentra un tambor que por cada giro cubre a la pieza cilíndrica graduada una longitud igual al paso. El extremo del tambor indica en su avance la longitud que se introduce el tornillo dentro de la herradura. Esta última tiene en su extremo opuesto un tope fijo, regulable, que cuando hace contacto con la punta del tornillo indica longitud cero. El tambor tiene 50 o 100 divisiones según su paso sea de ½ mm o de 1 mm respectivamente sobre su perímetro circunferencial en el extremo que avanza sobre el cilindro graduado. Por tal motivo, cada división corresponderá a 0,01mm de avance o retroceso, lo que da la apreciación del instrumento, según la (1.12): Para un paso de ½ mm y 50 divisiones en el tambor: 1 vuelta------------- 0,5mm 1 0,5mm 1mm x1 = = = 0,01mm 50 vuelta---------- x1 ⇒ 50 100 Para un paso de 1mm y 100 divisiones en el tambor: 1 vuelta------------1mm 1 1mm x = = 0,01mm vuelta------------- x2 ⇒ 2 100 100 293mm. Para apreciaciones de 0.29mm + 0. 2º.019” + 0.0001”. Ejemplo: en la figura (Fig.001mm. apoyada sobre el tope fijo y se arrima la punta del tornillo mediante el manguito moleteado hasta hacer tope con la pieza. por lo tanto la medida resulta de sumar las tres lecturas: L = 4mm + 0. leyéndose en el a: 1º. 3º.0002”.025”/25) = 0.8) se observan los cilindros y tambores de dos micrómetros.003mm = 4. comenzando desde 0 a 25 milímetros y luego continuando de 25 mm en 25 mm hasta llegar a tamaños con capacidad de hasta 675 mm y aún más.09mm. Los micrómetros mayores de 25mm o 1” se suministran generalmente con topes intercambiables de longitudes que varían en 25mm a fin de poder utilizarlos para efectuar mediciones de elementos de menores dimensiones. es decir que la apreciación será de 0.3942”.1”. estando el a en milímetros y el b en pulgadas. la cual se divide en 40 (cuarenta) partes generalmente correspondiendo cada una a 0.Sobre el vernier en el cilindro con exactitud de hasta el milésimo de milímetro. Los micrómetros vienen de distintos tamaños.2×(0. y que abarcan una longitud de 0. 2º.003mm.375”. 3º.en el vernier del cilindro 3×0. se ajusta con el embrague a fin de obtener la presión correcta y se lee de la siguiente manera: 1º.0002” = 0.19×(0. En el sistema inglés vienen de pulgada en pulgada. pudiendo de esta forma retirarlo para efectuar la lectura. según sea la capacidad máxima requerida.01mm/10 = 0.001”. Ejemplo de medición: se coloca la pieza a medir dentro del espacio de la herradura. En el b: 1º. Es decir.025”.001mm. en el sistema métrico.01mm/10 = 0.29mm. cuenta con otro vernier sobre el cilindro.019”.01mm = 0. Cada 4 (cuatro) divisiones se numera a partir de cero la graduación longitudinal.025”/25 = 0. Los micrómetros poseen además una tuerca de bloqueo o de fijación (moleteada) que inmoviliza el tornillo micrométrico en la posición de la medición efectuada. El tambor tiene 25 divisiones.15×0. correspondiendo cada numeración a 0. .375” + 0. También de esta forma se puede utilizarlo como calibre comparador fijo.en el cilindro graduado 4mm.1. que consiste en 10 (diez) divisiones según generatrices de éste.Este tambor es el nonio o vernier del instrumento. 3º.001”/10) = 0.001”/10 = 0.En el nonio del tambor con exactitud de hasta centésima de milímetro.en el nonio del tambor 29×0. la medida resulta por lo tanto L = 0.025” = 0. son varillas patrones. Además tienen juegos de varillas calibradas de longitudes que también varían en 25mm unas de otras que se utilizan para colocar en cero el instrumento. 2º. Para los micrómetros de sistema inglés el cilindro se halla graduado en pulgada. siendo la apreciación 0.Sobre el cilindro graduado con exactitud de hasta ½ milímetro. También presenta un vernier sobre el cilindro que le da una apreciación de 0. rosca de tornillos.10 y Fig.12) consta de un manguito graduado en forma inversa al micrómetro común. elementos planos de material blando. etc. El tornillo micrométrico tiene una longitud de 25mm pudiendo llegar con las varillas calibradas hasta 800mm y aún más. papel. 75mm.5d. 100mm y 125mm se procede de la siguiente manera: se coloca el tope de 75mm.45d siendo L la lectura del aparato y d el diámetro del alambre. (Fig. Los micrómetros para roscas tienen palpadores en forma de V (con ángulos de 55º y 60º) para los tipos Whitworth y Métricas. hacia ambos costados (hasta lograr la mayor medida) y hacia abajo y arriba (hasta lograr la menor medida) a fin de estar en el diámetro de la pieza. superficies cóncavas y convexas. con lo cual se pone en cero el instrumento. Distintos tipos de micrómetros: Micrómetro de profundidad: (Fig. para medir espesores de cartón.1. se leerá en el limbo del nonio el valor 5mm y como la abertura mínima entre el tope móvil y el fijo es de 25mm el valor se obtiene sumando a estos 25mm el valor leído en el nonio.13) consta de un manguito al cual se le pueden agregar varillas calibradas para medir distintas medidas interiores.Por ejemplo. poseen topes con palpadores de mayor diámetro de aproximadamente de 15mm.. Tiene un apoyo en forma de T y además posee varillas calibradas que se pueden cambiar para medir mayores profundidades que la permitida por el nonio. para mayor exactitud.1. si se desea efectuar la medición de una pieza que tiene más de 25mm y menos de 50mm y se cuenta con un calibre para medición máxima de 125mm (Fig. Diámetro medio = L – 1. se mide la varilla calibrada para 50mm sumándose al tope. Los topes fijos como móviles pueden presentar distintas formas e inclusive aditamentos para medir diámetros de alambres. Por ejemplo. Micrómetro para interiores: (Fig.9).1. roscas Whitworth Diámetro medio = L – 1. resultando la medida de L = 25mm + 5mm = 30mm. según el caso.11) que utiliza un sistema de constantes para obtener las medidas de las roscas. etc. Además existe el sistema de palpadores con tres alambres. estando las constantes a usar determinadas para cada aparato: roscas métricas (Internacional). En pulgadas inglesas varía desde 1” hasta 32”. se quita ésta última y se coloca la pieza a medir. Existen micrómetros que tienen agregado un mecanismo contador en el nonio que indica en un cuadrante el valor de la medición con mayor precisión. manteniendo el tope del otro extremo del tambor en contacto con uno de los puntos límites de la medición. Para medición de superficies cóncavas y convexas se utilizan topes con forma esférica y/o plana. Si ésta fuera de 30mm. . que tiene juego de topes intercambiables de 25mm y 75mm y cuatro varillas calibradas de 50mm.1.1. haciendo contacto con el micrómetro en los topes fijo y móvil se procede a efectuar la medición. resultando la longitud total de 125mm. Calibre con nonio micrométrico: se consigue mayor exactitud al adaptar a un micrómetro para interiores dos mandíbulas que permiten efectuar mediciones exteriores e interiores. ya que a medida que se introduce el tope móvil el nonio marca mayor profundidad. chapas. Para efectuar la medición se hace oscilar la punta de la varilla calibrada. al medir interiores. el disco se desplaza una división de 1mm de la regla. Este aparato fue creado por el Óptico Cauchoix para medir la curvatura que debían tener las lentes. Consta (Fig.01mm número de divisiones del disco 100 Ejemplos de utilización: .15) de un trípode.14). Esferómetro Utiliza un tornillo micrométrico y se emplea para medir espesores de láminas y chapas y principalmente para medir radios esféricos. con cero en el centro de una escala doble. siendo la apreciación del aparato de: A= menor división de la regla 1mm = = 0. a la lectura realizada sobre el tornillo y el nonio (Fig. o sea 10mm entre ambas. cantidad que debe agregarse. Existen equipos especiales para medidas de alta precisión como los bancos micrométricos que utilizan dispositivos especiales y microscopios que permiten efectuar medidas con precisiones de 0. cuyas patas se encuentran a la misma distancia unas de otras formando entre sí los vértices un triángulo equilátero y en cuyo centro se halla un orificio roscado de paso 1mm en el cual se introduce un tornillo el cual tiene solidario un disco metálico con 100 divisiones. Cuando el tornillo da una vuelta completa. Cuando las tres patas fijas y la móvil (central del tornillo) se hallan en el mismo plano. Se debe tener cuidado de agregar a la medida interior realizada el espesor de las puntas. En el trípode se encuentra montada fija una regla milimetrada en forma vertical que hace contacto tangencial con el disco. Las puntas tienen un espesor de 5mm cada una.1.1. el cero de la regla y del disco coinciden.fabricándose aparatos de estas características.001mm. aplicando la propiedad distributiva se tendrá: R= a2 h + 8h 2 (1. la división que coincide con la regla. en el disco. Una vez logrado ello se leen los milímetros en la regla y. Primeramente se coloca en cero el instrumento igual que para medir espesores.1.14) o también.5 = = 0. Se desenrosca el tornillo. siendo para este aparato la apreciación de: A= menor división de la regla 0.1. 2) Medición del radio de una esfera: Se conoce la distancia “a” entre las patas del trípode que es iguales entre las tres y la distancia d de éstas al tornillo central. Se apoya el esferómetro sobre la esfera cuidando que hagan contacto las tres patas del trípode. corrigiendo según haya diferencia en más o en menos. da los centésimos de milímetros.16). procediendo luego a enroscarlo hasta que haga contacto con la esfera. Se lee en la regla y disco la medida h y se aplica la fórmula: R= a2 + 4h2 8h (1.15) Existen eferómetros de mayor precisión con paso del tornillo de 1/2mm y disco graduado dividido en 500 partes.001mm número de divisiones del disco 500 Falsas escuadras Las medidas angulares se efectúan utilizando falsas escuadras (universal) formadas por barras de acero inoxidable con formas que las hacen adecuadas para colocarlas en posición conveniente y así poder medir o controlar ángulos y además para transportar medidas a una pieza cualquiera. coincidiendo por lo tanto los ceros de la regla y del disco.1) Medición del espesor de una pieza : se verifica el cero del aparato colocando el esferómetro sobre una superficie perfectamente plana (mármol) hasta que las puntas estén en el mismo plano. Existen distintos tipos. siendo algunos los indicados en las figuras (Fig.1. se coloca la pieza cuyo espesor se desea medir sobre el mármol debajo del tornillo y se vuelve a enroscar éste hasta que la punta haga contacto con la pieza. desenroscando previamente el tornillo (Fig. hasta que permita apoyar el trípode. .17) y (Fig.18). Se utiliza este instrumento para la construcción de útiles. Consta de una regla milimetrada en la cual puede insertarse un disco con un limbo graduado en grados que tiene incorporado un vernier. herramientas. escuadra sombrero: es una escuadra a 90º con una regla del mismo espesor en forma perpendicular a la rama corta (Fig.21) compuesto.19a). Ésta última y el círculo cuentan con niveles para la nivelación del instrumento al efectuar las mediciones. escuadra a 120º: sirve para controlar piezas hexagonales Fig. para efectuar ajustes. cuenta con otra escuadra angular que con la regla permite obtener ángulos de 45º y 90º . se utiliza la regla o barra de senos que permite medir un ángulo cualquiera utilizando resoluciones trigonométricas con error menor a 5 minutos.20a). comprobaciones y otras operaciones que requieran gran exactitud en la medición u obtención de piezas angulares.20-d).20c).1. El limbo está graduado en ambas direcciones y pueden medirse ángulos según convenga a la derecha o izquierda. una de ellas provista de un limbo graduado y la otra de un vernier circular y de un anillo dentro del cual puede girar el limbo o disco graduado de la primera regla. escuadra "L" con regla corrediza: también es una escuadra a 90º que permite desplazarse uno de los lados que forman el ángulo (Fig. transportar y obtener ángulos. existen distintos tipos según su aplicación: escuadra de 90º: se utiliza para comprobar piezas de formas paralelepípedas (Fig. que sirve para marcar. Están construidas en acero inoxidable.e).19b). Escuadras Son elementos de trazado y comprobación de ángulos. en trazados. teniendo la regla que posee el vernier una longitud de 200mm a 300mm generalmente. El vernier presenta generalmente 12 divisiones a la izquierda y 12 divisiones a la derecha.1.20b). Uno de los más sencillos está constituido por un semicírculo graduado (transportador) y un brazo móvil que tiene un índice señalador de ángulo (Fig. El brazo móvil puede girar teniendo como eje el centro del semicírculo.20-f).1. siendo por lo tanto la apreciación: A= menor división del limbo 1º 60′ = 5′ = = número de divisiones del vernier 12 12 Por lo que cada división del vernier representa 5 minutos.1-a). 0º a 90º y de 90º a 0º. Recibe también el nombre de "Starret". Poseen un tornillo de fijación que permite inmovilizar las reglas en una posición determinada.20.1. por último.1. Regla de senos A fin de facilitar la medición de ángulos. escuadra "L": es una escuadra a 90º (Fig. Están construidos de acero inoxidable. Transportador Universal Es un instrumento (Fig. El vernier tiene 12 divisiones que abarcan 23 grados del limbo.1.1. posee además una escuadra angular que con la regla permite la obtención de los centros de piezas cilíndricas.22. La regla de senos (Fig. El goniómetro universal está formado por dos reglas (Fig1. 90º a 0º. está constituida por una barra de acero (F) . formando un goniómetro que permite en conjunto con la regla efectuar las mediciones de ángulos.Goniómetros Funcionan como una falsa escuadra pero poseen un "transportador" en el cual se puede leer directamente el ángulo. escuadra en "T": es una escuadra con dos ángulos de 90º a cada lado de una de las reglas (Fig. de gran precisión y adaptabilidad. El limbo está graduado en 360º con lecturas de 0º a 90º.1. centros de piezas cilíndricas y alturas o profundidades. lo que se hace dificultoso en la técnica en algunos casos realizarlos con transportador o goniómetro. se tendrá: sen α = H ⇒ H = C. que van desde 1/10000mm para los de 10mm hasta 1/1000mm para una galga de 100mm. de gran robustez. Para efectuar la medición. Por lo tanto la regla posee dos de estos cilindros los cuales tienen igual diámetro y longitud y hacen contacto con las superficies de rebajes por dos de sus generatrices a 90º. con agujeros (o) en su cuerpo para hacerla más liviana. por medio de la parte inferior de los cilindros siendo la precisión del paralelismo de las superficies de la regla y de la base de apoyo de ±0. siendo su precisión de fabricación función de sus dimensiones.de alta resistencia al desgaste.00075mm por cada 25. denominados blocs. teniendo en cuenta que la distancia entre los centros de los cilindros es una constante C. Sus dos extremos están rebajados y en cada uno de ellos se encuentra dispuesto.16) siendo C la constante del aparato. galgas. Los centros de los cilindros se encuentran sobre una línea (A-B) exactamente paralela al eje de la barra y a sus superficies superior e inferior.1. estando atornillados. calzas o escantillones.22-b): se apoya sobre la base (mármol E) uno de los cilindros de la regla y debajo del otro se agregan las galgas de control. hasta una altura H para lograr el ángulo α deseado. .4mm de diámetro (en pulgadas:0. que puede ser de C = 100mm y C = 200mm o C = 5" y C = 10".001mm.00003" por cada pulgada de diámetro). pudiendo mantenérselas suspendidas como una barra sin que ellas se separen. sen α C (1. un cilindro (d) de acero especial templado. La excentricidad de los cilindros no debe exceder de 0. La medición de un ángulo con la regla de senos se efectúa de la manera siguiente (Fig. que se encuentran construidos de material especial de óptima calidad (INVAR). con dos caras opuestas paralelas y planas. la regla viene provista de un sistema de bloques calibrados patrones. perfectamente rectificados. La regla apoya sobre una mesa (m) de máquina herramienta o mármol de ajuste. si es H la altura de los bloques y α el ángulo que forman las superficies de la regla con la base. templado. rasqueteados y lapidadas sus superficies. cuidadosamente rectificada. Es tal el grado de perfección y calidad de estas galgas que presentan las características distintivas de adherirse unas a otras cuando se unen por sus caras y no separándose sin un esfuerzo considerable. cementado y rectificado. haciendo contacto con las superficies de los rebajes de la barra. 254956mm Es decir que con las galgas se debe lograr una altura de 44. Para ángulos muy pequeños. Por este motivo vienen con un signo (+) y uno (-) para indicar para que lado se mueve la aguja. también denominados diferenciales.25b). lográndose la disposición que se indica en la figura (Fig.01mm. La aguja del reloj puede desplazarse para ambos lados. piezas que tienen una cierta medida. que ya sea por desgaste u otras causas pudieron haber variado.254956mm.25mm hasta 100mm. es decir que permiten pasar.26a). colocar en cero la posición de la aguja.17) Para lograr ángulos de mucha precisión se utilizan mesas de senos que permiten dar a la pieza la inclinación correcta. Además tienen un contador de revoluciones que indica cuantas vueltas dio la aguja.1. lo que permite.24). El comparador se usa para el control de piezas con una mesa y soportes adecuados y con una barra o cremallera que permite el desplazamiento del comparador.Ejemplo: se desea obtener un ángulo de 26º16'.1. Estas mesas pueden ser simples apoyos de la regla de senos (platos) o tratarse de dispositivos especiales como mesas de senos circulares articuladas o mesas inclinables hemisféricas. correspondiendo cada división a 0. el valor de H es tan reducido que no se pueden efectuar las combinaciones necesarias. Calibres para espesores de superficies planas: para controlar superficies planas de igual forma que en los casos anteriores (Fig.sen α = 100mm × sen α 26º16' = 44. luego de obtenida una medida.H2 ⇒ b) H = C. y el otro no debe poder penetrar el mismo (Fig. Algunos de estos calibres son los que a continuación se detallan: Calibres para pernos o ejes: el eje debe pasar en una de las mandíbulas y no pasar en la otra (Fig. el cual puede observarse en un cuadrante de reloj que se encuentra dividido en varias partes. Comparadores Como su nombre lo indica se utilizan para comparar medidas. según la medida sea menor o mayor que la que se considera nominal o correcta. pudiendo estar en centímetros. dentro de las tolerancias permitidas. En este caso se pueden colocar los bloques debajo de cada cilindro.sen α siendo α = arcsen α (1. o que no pasen. cualquiera sea la posición angular de ésta. para el control de piezas que se fabrican en serie y que deben guardar una cierta medida dentro de las tolerancias permitidas.1. Calibres de tolerancia También existen comparadores fijos llamados calibres de tolerancias o fijos. Estos calibres son del tipo de "pasa" y "no pasa". para C = 100mm: H = C.23): a) H = H1. es decir que deben ser intercambiables en un 100%. pulgadas o múltiplos y submúltiplos de éstos. por lo tanto se debe obtener con las galgas. que consisten en un aparato de relojería que transforma el movimiento rectilíneo de los contactos o "palpadores" en un movimiento circular. .1. Calibres para agujeros cilíndricos: el calibre debe poder penetrar con uno de sus pernos calibrados en el agujero. siendo los más comunes los que se encuentran divididos en 100 partes.25a). que deben encontrarse dentro de cierto intervalo y. Las galgas o escantillones se fabrican desde 0. Estas piezas son construidas para ensamblar con otras o para reemplazar a las que se hallan gastadas. Tienen el disco graduado giratorio. milímetros.1. H ∴ c) sen α = C Los más comunes son los de reloj o dial (Fig. Cada hoja trae impreso el espesor que posee.26b). Están construidos de diferentes radios. con sus partes. y por otro lado deben fabricarse los bujes o . se tiene el conocimiento del tamaño de la misma. que tienen la forma de las distintas roscas. tanto para superficies circulares internas (Fig. nada más que vienen con roscas pasa y no pasa. Calibres para roscas: son similares a los calibres para ejes y para agujeros cilíndricos. Son de acero laminado duro. Estos calibres son construidos de material indeformable y con resistencia al desgaste. En cada plantilla está impreso el valor del paso que corresponde. tanto para interiores como para exteriores. para cada tipo de rosca y para roscas interiores (Fig.1.26b).1. Sondas o calibres de espesores: consisten en delgadas hojas de acero (Fig. Ajustes y tolerancias Cuando se desea fabricar una pieza cualquiera. o en pulgadas desde 0. Cuando se fabrican piezas en forma aisladas para un conjunto.1. Peines o calibres para roscas: consiste en un juego de plantillas (Fig.1.025”. como son los aceros especiales. Pero cuando se fabrican piezas en serie.29a) como externas (Fig. pero si cumple su finalidad y guarda ciertas características que la hacen aceptable.1. denominadas también cuenta hilos.1. expuestas al rozamiento con las piezas a medir.. se trata de darle a éstas las medidas convenientes a fin de que el conjunto pueda funcionar.1. Se construyen para roscas Métricas (Internacional 60º). inoxidable y satinado contra óxidos.1.002” a 0. Calibres para radios: son calibres para verificar perfiles.A. Whithworth (55º) y S.31). Es decir que se tolera que dicha pieza no guarde medidas exactas a las previstas. Esta podrá ser un poco más grande o más chica. donde por ejemplo se deben fabricar una gran cantidad de ejes de una vez por razones de economía y rapidez. está resuelto el problema.E.26-a) o tronco cónicos (Fig. cementadas a efectos de evitar su pronto desgaste.30) que varían de espesor y sirven para medir ranuras estrechas. Tienen gran rigidez y las zonas de contacto son trabajadas y pulidas con gran precisión.28b).Calibres para interiores de superficies planas: controlan el interior o espacio entre dos superficies planas (Fig.28a) y para roscas exteriores (Fig. Forman un paquete que se despliega según la sonda que se desea utilizar. entalladuras o espacios entre superficies que no están en contacto pero sí muy cercanas.29b). Calibres para agujeros cónicos y tronco cónicos: controlan interiores o agujeros cónicos (Fig.1. Están construidas generalmente de espesores de 5 a 50 centésimas de milímetros. N (1. En Argentina. En Alemania. es decir. (1.N (1. es decir. centésimas de milímetros y milésimas de milímetros o micrones. en la cual se indican las distintas medidas en las que se pueden observar los distintos conceptos enunciados anteriormente: Diferencia superior (DS): es la diferencia entre la medida máxima (Max) y la nominal (N): DS = Max . como es imposible prácticamente lograr la medida “nominal” especificada o deseada prevista de antemano.32). Actualmente se indican la nominal con los límites admisibles. Medida nominal (N) : es la medida básica o de partida en la ejecución de una pieza. a fin de poder asignar en cada caso la que corresponde según las condiciones de funcionamiento o la finalidad del trabajo. IRAM estableció sobre la base de estas normas las que se utilizan actualmente en el país.S. Medida mínima (Min): es la medida límite menor que la nominal. y un perno o eje. Medidas límites: son las medidas mayor y menor que la nominal toleradas o permitidas. debiendo ser: Min ≤ MR ≤ Max (1.33) pueden observarse las distintas formas de acotar las medidas de agujeros y ejes. los cuales se muestran en la figura (Fig. anteponiéndose los signos más (+) o menos (-) . Medida máxima (Max): es la medida límite mayor que la nominal. indistintamente del eje y buje que encajen. se admiten pequeñas diferencias. los países han establecido tablas de tolerancias. preparándose Sistemas de Límites y Ajustes. Por lo tanto podemos establecer algunos conceptos para la fabricación de piezas en serie. que exista intercambiabilidad. Para que ello ocurra. Supongamos un buje o cojinete al que llamamos agujero.18) La técnica mecánica de precisión está basada justamente en la tolerancia.19) Diferencia inferior (DI): es la diferencia entre la medida mínima (Min) y la nominal (N): DI = Min .cojinetes para esos ejes. Es decir la cota o línea de cero del dibujo. las normas se denominan DIN. estableciendo límites.1.1.20) Dimensión o medida real (MR): es la medida que tiene la pieza una vez terminada. clasificándolas para cada clase de trabajo. debiendo la pieza construida encontrarse comprendida entre estos valores. Distintas formas de acotar medidas En la figura (Fig. En los países de habla inglesa se utiliza aún la pulgada y la milésima de pulgada. en tanto que las tolerancias se expresan en fracciones de milímetros. dentro de los cuales se toleran dimensiones mayores o menores que las nominales.21) A fin de facilitar la intercambiabilidad de piezas. Antiguamente se colocaba únicamente la medida nominal. la que se desearía obtener. o sea en décimas de milímetros. Tolerancia (T): es la diferencia entre la medida máxima y la medida mínima: T = Max-Min. se adoptan medidas máximas y mínimas a éstas. (International Standard Association) dictó normas que fueron aceptadas paulatinamente en todo el mundo. Estos requisitos se refieren muy especialmente a las medidas que deben tener o guardar cada pieza a fin de que cualquier eje pueda funcionar con cualquier buje indistintamente. tanto éstos como los bujes deberán cumplir ciertos requisitos a fin de que al asentar o ajustar unos con otros. utilizada en los países que adoptaron el Sistema Internacional (SI). La unidad de medida utilizada para construir las piezas es el milímetro.A. puedan funcionar y prestar el servicio requerido. cuya aplicación se hizo internacional a partir de 1926 cuando I. Si estas piezas. prensado) 3º. Juego máximo (Jmax): es la diferencia entre la medida máxima del diámetro del agujero y la mínima del diámetro del eje.Calidad basta o gruesa: se adopta para mecanismos de funcionamiento más rudos y con el objeto de lograr intercambiabilidad.). vástagos de llaves. También se colocan las dimensiones máxima y mínima o también utilizando la notación de los sistemas de ajustes.Aprieto. Juego mínimo (Jmin): es la diferencia entre la medida mínima del diámetro del agujero y la máxima del diámetro del eje. Aprieto máximo (Amax): es la diferencia entre la medida máxima del diámetro del eje y la mínima del diámetro del agujero. se dice que presentan juego o aprieto respectivamente.Libre u holgado (con juego.Calidad precisa o fina: es la más frecuentemente usada en la construcción de máquinas-herramientas. etc. libre. 2º. .Calidad ordinaria. juego libre. de laboratorio o para piezas que necesitan un elevado grado de precisión. motores de combustión interna. como pasadores. o entran en forma apretada. Ajustes: cuando se deben ejecutar un par de piezas que actuarán en relación de dependencia entre ambas. a presión. bloqueado. árboles de transmisión.Calidad extra precisa: de alta precisión. Estos sistemas nacen del hecho de considerar cual de los dos elementos del par de piezas a fabricar puede . etc. se resuelve el problema con arreglo a dos sistemas de ajustes. Precisión: es el grado de exactitud. La unión puede por lo tanto ser realizada de dos modos fundamentales: holgados (con juego) o apretado (sin juego). respecto de una medida. Tolerancias fundamentales o calidades: en el sistema ISA se denomina calidad al grado de precisión con que se desea trabajar una pieza.1. Existe aprieto cuando el diámetro del eje es mayor que el del agujero. entran fácilmente. con la cual se fabrica u obtiene una pieza o elemento. ISA distingue cuatro calidades de ajustes. y no al conjunto de piezas que deben encastrar entre sí. palancas de bombas manuales. 4º. etc. . los cuales deben girar con mayor o menor facilidad. juego ligero. Existe una posición intermedia que se la denomina Deslizamiento que es cuando no posee interferencia ni juego (teóricamente) o posee juego mínimo. bombas. Aprieto (A): es la diferencia entre los diámetros del eje y agujero.) 2º.Juego fuerte.según corresponda. Se pueden. 3º. clasificar los ajustes en tres grupos principales: 1º. entrada suave: adherencia. de giro. según el grado de precisión con que debe ejecutarse el mismo. que dependen del valor relativo de las tolerancias con respecto a las cotas reales de la pieza (márgenes de ajuste).34) se observan los distintos tipos de ajustes mencionados.Deslizamiento: sin juego o con juego. o bien permanecer fijos respondiendo a un mayor o menor aprieto. forzado. Aprieto mínimo (Amin): es la diferencia entre la medida mínima del diámetro del eje y la máxima del diámetro del agujero. Deslizamiento (Dz): cuando prácticamente no existe diferencia entre los diámetros del agujero y del eje. etc. siendo éstos los siguientes: . juego justo. mediana o corriente: se adopta para mecanismos accionados a mano. Además existen grados intermedios de ajustes. compresores. algunas piezas de máquinas agrícolas. arrastre. está destinada a la fabricación de instrumentos de medición. De la forma en que encajan las piezas unas con otras surgen las distintas formas de ajustes que reciben las siguientes denominaciones: Juego (J): es la diferencia entre los diámetros de agujero y eje. Sistemas de ajustes Cuando se trata de la fabricación de ejes y agujeros. Existe juego cuando el diámetro del agujero es mayor que el diámetro del eje.De sujeción o apretado (calado. ya sea tengan movimiento una respecto de otra o estén fijas. existiendo una posición intermedia llamada deslizamiento. por lo tanto. que ajustan entre sí. se dice que se deben ajustar entre sí. Grado de precisión: es la divergencia permitida entre la medida nominal y la medida real obtenida. anillo de seguros. sin interferencia entre ambas. Generalmente el ajuste se realiza entre una pieza que debe penetrar en otra (macho) y una pieza que debe ser penetrada por la primera (hembra). Grados de ajustes: han sido normalizados por ISA distintos grados de ajustes. En estos casos siempre existe un pequeño juego. Estas piezas reciben el nombre de eje (macho) y de agujero (hembra). En la figura (Fig. con interferencia. La calidad se refiere a la tolerancia de las dimensiones de cada pieza en sí. de centrado.De deslizamiento (entrada suave. forzado. etc. siendo éstos los siguientes: 1º. Estos sistemas se denominan de AGUJERO ÚNICO y de EJE ÚNICO. siendo la línea de cero. que para el sistema de agujero único. deslizante y con aprieto. la tolerancia del mismo se toma con signo positivo. Sistema de agujero único (agujero base) Toma como elemento base el agujero. deslizante y con aprieto.1. Se estudiarán ambos sistemas y sus características. con juego.24) En las normas ISA la línea de cero corresponde a la letra h para el sistema de eje único.36) se puede observar en este sistema las tolerancias que se toman para las distintas calidades. que coincide con la nominal (N) o sea que la diferencia inferior es 0: DI = Min .N = 0 ⇒ Min = N (1. pero nunca menor: + MR = N 0 (1.22) En las normas ISA la línea de cero corresponde a la letra H para agujero único. y cual de ellos deber permanecer como elemento variable o no normal. o sea que la diferencia superior es 0: DS = Max . y tienen la característica de que el que se tome como base se construye de una medida uniforme (medida nominal contemplando la tolerancia correspondiente).1.N = 0 ⇒ Max = N (1. es decir que puede la medida real ser mayor que la nominal N. es decir que la medida real puede ser menor que la nominal pero nunca mayor: . Se puede notar por lo tanto. En la figura (Fig. ISA hace corresponder una letra para cada zona de ajuste. El punto de origen o línea de cero en este sistema es la medida mínima del agujero. siendo común para todos los asientos o ajustes de igual calidad. En ambos sistemas la medida nominal "N" es el punto de origen para las diferencias (tolerancias). que coincide con la nominal. siendo común para todos los ejes que se fabriquen.asumir la característica de normal o básico.35) se puede observar en este sistema las tolerancias que se toman para las distintas calidades.23) Sistema de eje único (eje base) Toma como elemento base el eje siendo común para todos los agujeros de los bujes o cojinetes que se fabriquen. con juego. En la figura (Fig. Se puede notar que para el eje único las tolerancias del mismo se toman con signo negativo. En tanto el otro se construye con dimensiones mayores o menores permitiendo la variación de la tolerancia de ajuste de modo de obtener el juego "J" o aprieto "A" correcto. El punto de origen o línea de cero en este sistema es la medida máxima del eje. acoplamiento forzado duro. eje h con agujero J. agujero H con ejes m. de acuerdo a la expresión: i = 0.26) estando i en micrones (µ) y N en milímetros. Además en el sistema ISA. y cuando ella es repartida hacia uno y otro lado de la línea de cero. v. la tolerancia de la pieza se ha determinado en el sentido de poder quitarle material. Actualmente en los planos. Suponiendo que se acoplen todos los ejes con el agujero básico H. F. eje h con agujeros M. t . obteniéndose los ajustes: eje h con agujeros A. b. acoplamiento forzado ligero. acoplamientos prensados con interferencia creciente según el orden alfabético. admitiendo una misma calidad en ambas piezas. que es mayúscula para los agujeros y minúscula para los ejes.38) se puede observar ambos sistemas graficados. Y. B. fusión y estampado. acoplamiento forzado ligero. de agujero único y de eje único.001N se introduce por la influencia térmica. S. f. comprendidos desde los más precisos a los más bastos. eje h con agujeros P. T. acoplamiento forzado medio.MR = N − 0 (1. D. agujero H con árbol h. La letra h minúscula corresponde a los casos de "ejes únicos". utilizándose los números 1 a 4 para ajustes extraprecisos (aparatos de medición).001N (1. Para establecer los límites (tolerancias) que corresponden a cada calidad. la medida de una pieza de máquina o elemento. acoplamiento móvil o giratorio. Por lo tanto con H se indica la zona de tolerancia de agujeros cuyas medidas mínimas son iguales a la nominal (DI = 0). N. son intercambiables entre sí. En la figura (Fig. queda definida por una letra. eje h con agujero K. las zonas de ajustes dadas por las letras correspondientes a los ejes darán los siguientes tipos de asiento: agujero H con ejes a. Se dice que cuando la zona de tolerancia referida a la nominal es en una sola dirección de la línea de cero.37).45 3 N + 0. El término 0. aprieto o deslizamiento. X. V. e. agujero H con eje j. la amplitud del campo de tolerancia es definida por un número que determina la calidad de elaboración. laminado. z. es bilateral.1. de 12 a 16 contemplan piezas que no son acoplables directamente luego de elaboradas mediante fresado. agujero H con eje k acoplamiento forzado medio. y con h se indica la zona de tolerancia de ejes cuyas medidas máximas son iguales a la medida nominal (DS = 0). acoplamiento deslizante. 5 a 11 para ajustes precisos. con tolerancia de cero a más (N 0 ). c. acoplamientos prensados con interferencia creciente según el orden alfabético. g. acoplamiento móvil o giratorio con juego decreciente según el orden alfabético. lo que permite visualizar los tipos de ajustes que se pueden realizar. Se ha visto que el sistema de agujero único tiene una sola tolerancia en el agujero y el sistema de eje único tiene una sola tolerancia en el eje. r. En el sistema de ajustes ISA. Las piezas construidas por cualquier fabricante cumpliendo con las condiciones exigidas en los sistemas de ajustes. acoplamiento deslizante. eje h con agujero H. tanto de . suele indicarse por sus cotas límites (Fig. G.25) En ambos sistemas. U. + 0 Lo mismo se tiene al acoplar el eje básico h con todos los agujeros. acoplamiento forzado duro. con juego decreciente según el orden alfabético. existe un procedimiento dado por las normas ISA. cubriendo los casos normales de acoplamientos mecánicos. u. con tolerancia de cero a menos (N − ). d. Con esta unidad de precisión se pueden obtener las tolerancias fundamentales. tomando la temperatura base igual a 20ºC. R. la posición de la zona de ajuste respecto a la línea de cero. basado en el valor de la unidad de precisión i. x.n. C. La letra H mayúscula corresponde a los casos de "agujeros únicos". s. Este número está comprendido entre 1 y 16. que da la característica del ajuste con relación al juego. agujero H con ejes p. la tolerancia está distribuida en forma unilateral. y. Z.1. 150 H6-m5. IT9: 40i. IT15: 630i. quedando así perfectamente definido el tipo de ajuste. obteniéndose las tolerancias sucesivas de la serie de números normales de razón 5 10 . IT10: 64i. ISA establece en una tabla de calidades y diámetros nominales las tolerancias fundamentales para cada medida (Fig. Este ajuste puede indicarse combinando las notaciones de ambas tablas. Así las tolerancias fundamentales a partir de la calidad IT5 son las siguientes: IT5: 7i. Por ejemplo.39) de agujero único y eje único. 40∅m6. IT7: 16i. IT13: 250i. para designar un asiento se escribe primero el valor nominal seguido de la expresión que da el H6 agujero y luego el eje: 150 m5 . IT8: 25i. la letra que da la clase de asiento o ajuste y el número que indica la calidad: 50∅H7. ISA ha establecido además tablas de ajustes ISA. Ordinaria y Basta. IT11: 100i. El valor de i es el dado por la expresión (1. Precisa. (ver Anexo I y Anexo II) separadas en dos grupos: agujero único y eje único. IT6:10i. IT12: 160i. subdivididas a su vez en ajustes de calidades intermedias. 225 M6-h5. corresponde a un acoplamiento forzado duro en el sistema de eje único siendo las cotas para el eje 225 − 20 y agujero 225 −37 . Por lo tanto el sistema ISA establece para cada ajuste la zona de tolerancia mediante el diámetro nominal. Si fuera 225 h5 . 150 H6/m5 que es un acoplamiento forzado duro en el sistema de M6 +25 +33 agujero único con diámetro nominal 150mm con las cotas siguientes: agujero: 150 0 . corresponde un tipo de calidad ya sea del agujero o del eje respectivamente. IT14: 400i. Cuando se adopta un sistema. N n (1. ya sea agujero único o eje único.25). Para determinar las tolerancias correspondientes a las calidades dadas por la numeración 1 a 16. Esta ley se expresa mediante: D = Constante. ISA fija el valor 10i como tolerancia fundamental de la calidad 6 (IT6). determinando el tipo o clase de ajuste o asiento que se obtiene entre el agujero y el eje. 225 M6/h5.1.27) . donde figuran medidas nominales de 1mm hasta 315mm en los grupos de calidades Perfecta (alta precisión). eje 150 +15 . 0 −8 Cuando no se dispone de tablas de tolerancias se puede llegar a determinar las mismas mediante la ley a que obedecen las diferencias más cercanas a la línea de cero de agujeros y ejes.agujero único como de eje único. IT16: 1000i. 28) (1.44 (1. A.5 Para eje b: DS = 40 N0. E. se obtiene la diferencia superior DS de acuerdo a las expresiones siguientes para asientos móviles (Fig.45) Para eje m (agujero M): DI (DS) = 2.1.44 (1.41 Para eje g: DS = 2. de las calidades 5.Máquinas. Casillas Máquinas . Cálculos de Taller A.44) (1.48 Para eje c: DS = 25 N0.30) (1.32) (1.34 (1. Dubbel Labor .Metrología C.43).Tecnología Mecánica P.34 Para eje p (agujero P): DI (DS) = 5.41) Para los casos de asientos fijos (Fig.33) (1. Para ejes únicos se calcula la diferencia inferior de los asientos móviles de la misma manera y con las mismas relaciones.38) Para agujero E: DI = 11 N0.39) (1.35) (1.Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha . y para eje único se determina la diferencia superior DS.5 N0.() -----------Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía TÍTULO AUTOR EDITORIAL .5 N0. Thomas Nigar .34 (1.42) (1.40 Para agujero D: DI = 16 N0. según la figura (Fig.41 Para eje f : DS = 5.41): Para agujero A: DI = 64 N0.48 Para agujero C: DI = 25 N0.37) (1.34) En estas expresiones N está en milímetros.42) y (Fig.40 Para eje d: DS = 16 N0. tomando la línea de cero ahora sobre el eje y calculando DI. 6 y 7 se determinan.Manual del Ingeniero Hütte Gustavo Gili . L.29) (1.1. Freyre Alsina .Tecnología de los Metales H.40) (1.5 N0. Zeleny Mc Graw Hill . para el sistema agujero único la diferencia inferior DI.36) (1.8 3 N Para eje n (agujero N): DI (DS) = 5 N0.6 N0.Para agujero único.Manual del Constructor de Máquinas H.31) Para eje e: DS = 11 N0.Mecánica de Taller E.41 Para agujero G: DI = 2.5 Para agujero B: DI = 40 N0.Tecnología Mecánica C.6 3 N (1. Solsona Alsina . Pezzano Alsina . Para eje k (agujero K): DI (DS) = 0.1.1. González-R. resultando DS en micrones.41 Para agujero F: DI = 5.43) (1.40): Para eje a: DS = 64 N0. Appold y otros Reverté .Aplicaciones de Tecnología Mecánica Felipe F.41 ----------.5 N0. comparados con otros cuyos desplazamientos se realizarían en condiciones ideales. de donde se deduce su existencia. Cuando es de utilidad se trata de aumentarlo. Si se aplica paulatinamente una fuerza sobre el cuerpo. etc. la aceleración a igual a la de la gravedad g y el espacio e igual a la altura h. además.3) a = g senα (2. de su aceleración y del espacio recorrido está dado por: 2 v 2 = v 0 + 2ae (2. como es el caso de cojinetes y ejes.2. este mismo sólido se lo deja caer en caída libre (Fig. como es el caso de los frenos. sólido-gas.2) sobre un plano horizontal. sólido-líquido. como ser superficies especiales. rompiéndose en ese instante el estado .4) v = 2 gh En el plano inclinado es v0 = 0 y la aceleración a: y el espacio e: e= por lo que la (2. y este trabajo pasa al medio exterior bajo la forma de una cantidad de calor equivalente. se observa que cuando alcanza la intensidad F recién comienza el mismo a moverse.2. líquidolíquido.1) siendo. engranajes. etc. o también: (2. líquido-gas. lubricación.1-1). Esta fuerza debida al rozamiento.2) (2.7) Es decir que tendrían que ser ambas velocidades iguales.1) resulta: h sen α h = 2 gh sen α (2. según muestra la figura (Fig. en la caída libre. pero se comprueba en la práctica que es vr < v y ello es debido a la fuerza de rozamiento que se opone al libre desplazamiento del cuerpo sobre el plano inclinado. sólido-sólido. sin rozamiento. para ello se utilizan diferentes medios. Rozamiento de primera especie o de deslizamiento Se produce por deslizarse una superficie sobre otra. además la velocidad inicial es v0 = 0 por lo que resulta la (2. Cuando no es de utilidad. Según se produzca deslizamiento entre los cuerpos o uno ruede sobre el otro.5) v r2 = 2 g sen α . es el trabajo realizado contra la fuerza de rozamiento. o sea v = vr..1): v2 = 2gh o también: (2. etc. transformar parte de la energía utilizada en mover el cuerpo en un trabajo que se emplea en vencer la resistencia al deslizamiento. correas. gas-gas. se distinguen dos tipos de rozamiento: rozamiento de deslizamiento o de primera especie y rozamiento de rodadura o de segunda especie. El rozamiento se produce entre cuerpos cualquiera sea su estado. y sobre el mismo un sólido que cae.2 ROZAMIENTO El roce o rozamiento es la resistencia o fuerza que oponen los cuerpos en contacto a deslizarse o rodar unos sobre otros. Es necesario. cuya altura máxima es h.1-2) desde la misma altura h que tiene el plano inclinado.La velocidad final v de un solido en función de su velocidad inicial. es contraria al sentido del movimiento y produce como consecuencia una disminución de la velocidad de los móviles. Se puede comprobar la existencia del rozamiento experimentalmente: se considera un plano inclinado.6) vr = 2 gh (2. se trata de eliminarlo o por lo menos de disminuirlo.2. Otra forma de deducir su existencia es suponer un cuerpo en reposo (Fig. El rozamiento puede ser beneficioso o perjudicial. 8) siendo µ0 un coeficiente denominado coeficiente de rozamiento estático.9) siendo en este caso µ0 la fuerza a aplicar horizontalmente para mover la unidad de peso o de fuerza normal ejercida sobre la horizontal por el sólido. a la que es proporcional la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del cuerpo.9): µ0 = F P b) Considerando un cuerpo que se desliza por un plano inclinado. Si es P la fuerza normal que el cuerpo ejerce sobre la superficie horizontal. y R la fuerza de rozamiento que la superficie ejerce sobre el cuerpo oponiéndose al avance del mismo.8) puede además escribirse como: µ0 = F P (2.2.de equilibrio.3-b) se observa una figura en la cual se disminuye su superficie de contacto retirándose dos porciones de los extremos que se colocan en su parte superior.13) µ0 = sen ϕ 0 = tg ϕ 0 cos ϕ 0 (2. siendo: µ < µ0 (2.3-a) se observa la suma de la fuerza F ejercida sobre el cuerpo más el peso propio P.2. La condición de equilibrio en el momento de iniciarse el movimiento es: T=R (2.5). (Fig. en reposo o de partida. denominándoselo en este caso como coeficiente de rozamiento dinámico.14) (2. obteniéndose µ0 según la (2. por lo que el peso del mismo permanece igual. Coulomb y Morin formularon leyes que rigen el rozamiento de deslizamiento. Determinación experimental del coeficiente de rozamiento Para la determinación del coeficiente de rozamiento estático se puede proceder de las siguientes formas: a) Hacer deslizar un cuerpo (Fig. pero no de su extensión. Tercera ley: una vez comenzado el movimiento. no variando la fuerza de rozamiento. medir la fuerza F en el instante límite que comienza el movimiento y se hace el cociente entre F y P.11) siendo: T = P senϕ0 (2.15) . Segunda ley: el coeficiente rozamiento por deslizamiento depende de la naturaleza de las superficies en contacto. La (2. siendo estas las siguientes: Primera ley: la resistencia producida por el roce por deslizamiento es proporcional a la fuerza normal que el cuerpo ejerce sobre la superficie. se observa que ambas fuerzas están relacionadas por la siguiente expresión: F = µ0 P = R (2.2.2. el coeficiente de rozamiento es menor que el correspondiente al reposo y disminuye continuamente con el aumento de velocidad.12) R = µ0 N = µ0 P cosϕ0 Por lo que la (2.10) Esto es válido para superficies secas y no para superficies lubricadas ya que en este último caso aparece un rozamiento de viscosidad del fluido. En la figura (Fig.4) de peso conocido P.11) resulta: P senϕ0 = µ0 P cosϕ0 haciendo pasajes de términos y simplificando se obtiene: (2. lo que da la fuerza N normal a la superficie. En la figura (Fig. el ángulo ϕ de inclinación del plano se puede variar de cero hasta un valor ϕ0 para el cual el sólido comienza a descender. 19) Siendo R la fuerza de rozamiento que se opone al avance del cuerpo. haciendo que éste comience a moverse. actuando sobre el mismo.22). es decir. si forma un ángulo menor que ϕ0.a. tanto R' como E se acercan hacia la horizontal. será: v = v0 + gt (sen α -µ cos α ) y (2.2. imaginarse un cono llamado de rozamiento.7).21) por lo tanto tiene una aceleración a.16) (2. y.18) y (2.18) (2.µ mg cosα = m.a ⇒ mg(sen α -µ cos α ) = m. que R' es la fuerza resultante de F y N. Es posible por lo tanto. se tendrá: mg senα . existiendo una fuerza resultante que hace que el cuerpo se deslice hacia abajo: T . despejando a: a = g (senα − µ cosα ) Si para un tiempo t0 =0 es v = v0 y e = e0.6) ejerce normalmente sobre la superficie en que se apoya y F la fuerza que rompe el equilibrio del cuerpo.19) respectivamente en la (2. Si se considera a E la equilibrante del sistema de fuerzas F y N. cuyas generatrices forman un ángulo ϕ0 con la vertical. que el plano inclinado forma con la horizontal en el momento de iniciarse el movimiento es igual al coeficiente de rozamiento estático o en reposo. µ el coeficiente de rozamiento dinámico (del cuerpo en movimiento) menor que el rozamiento estático: µ < µ0 El cuerpo cae debido a que es: T>R (2. no es posible producir el desplazamiento del sólido. si la componente F es mayor que la necesaria para mover el cuerpo.20) (2. ésta forma con la vertical un ánguloϕ0 que es el ángulo de rozamiento y cumple la condición: tg ϕ 0 = siendo F = µ0 N (2. por cuanto la componente F no vence el frotamiento proporcional a la fuerza normal N. debidas al peso propio P = mg del cuerpo. Si la equilibrante está orientada dentro del cono. las fuerzas: T = P senα = mg senα la que produce su desplazamiento hacia abajo. Angulo y cono de rozamiento Suponiendo la fuerza N que el cuerpo a (Fig.23) (2. R = µ N = µ P cosα = µ mg cosα (2.R = m. para un tiempo t cualquiera.24) .La (2. se observa que para producir el movimiento del sólido es necesario que E forme con la vertical el ángulo ϕ0.17) ϕ0 = arctg µ0 O sea que la tangente del ángulo ϕ0 equivale al coeficiente de roce estático.15) indica que la tangente trigonométrica del ángulo ϕ0. Ecuaciones del movimiento en el plano inclinado con rozamiento Suponiendo que un cuerpo c cae por un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal (Fig.22) Reemplazando T y R por sus valores dados por la (2.2.a (2. v1 y v2 respectivamente y haciendo pasaje de términos: 2 F(x2 – x1 ) = ½ (m v2. se puede realizar un análisis de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Estos cojinetes reciben el nombre de cojinetes de deslizamiento o de fricción.R = m.34) Siendo el primer miembro la energía total en el punto 2 y el segundo miembro la energía total en el punto 1 menos la energía empleada en el trabajo para vencer la fuerza de rozamiento R.senϕ dx – Rdx = m vdv (2.9).32) Integrando entre x1 y x2 correspondiendo en cada punto para v.25) Si el cuerpo asciende por el plano inclinado debido a la velocidad v0 que posee (Fig.29) (2.v dx (2.2. que es considerado de primera especie.m v1 )+ mg( x2 senϕ – x1 senϕ ) – R (x2 – x1 ) (2.28) gt 2 (sen α − µ cos α ) (2. debido al contacto de ambas superficies laterales circulares.mg.( mg senα + µ mg cosα )= m. los cuales pueden ser frontales o intermedios (Fig. En los de bolas o rodillos se produce un rozamiento de segunda especie o de rodadura.27): a = -g(senα + µ mg cosα ) Para t0 = 0 es v = v0 y e = e0 y se tendrá: v = v0 .10). Entre el gorrón y el cojinete sin lubricación se produce un rozamiento.33) Si fuera F = 0.25) -mg senα . que se opone al movimiento del mismo.µ mg cosα = m. el peso propio del cuerpo y la fuerza de rozamiento y el trabajo necesario para vencer esta última. denominándoselo de .2 gt2 ( senα + µ cosα ) Trabajo contra la fuerza de rozamiento (2. .30) Considerando el plano inclinado de la figura (Fig.8). considerando las fuerzas exteriores. se tendrá.26) De donde es.a (2.2.gt( senα + µ cosα ) y (2.1 e = e0 + v0t + 2 (2.a Despejando a de la (2. se tendrá: 2 2 ½ m v 2 + m g h2 = ( ½ m v1 + mg h1 ) – R ( x2 – x1 ) (2.2.a para lograr su ascenso.T . se tiene: . o más comúnmente por medio de gorrones. Suponiendo que sobre el cuerpo de peso P = mg se ejerce una fuerza F = m.27) 1 e = e0 + v0 t . según la sumatoria de las fuerzas que intervienen: dv F-mg senϕ -R = m. Trabajo de rozamiento en gorrones Los árboles y ejes descansan sobre cojinetes directamente.a (2.a = m.31) Fdx . r.r. la presión se distribuye en forma uniforme debido a la adaptación perfecta existente entre ambas piezas. pero no así la componente vertical. p.36) y siendo dN la fuerza normal a la superficie dS se tiene: dN = p.d ϕ .39).l (2.35) Siendo d y r el diámetro y radio respectivamente del gorrón que apoya en una longitud l sobre el cojinete.dϕ (2.l. La carga P ejercida sobre el gorrón produce una fuerza de resistencia por rozamiento R entre las superficies del eje y cojinete en contacto cuando el eje gira con una velocidad angular ω dentro del cojinete. la presión específica p que se produce. y teniendo en cuenta que la carga se transmite en forma radial al gorrón.dϕ (2. resultando por lo tanto la (2.39) M = ∫ ydR = ∫ µ . la cual tiene una componente horizontal que se anula con la simétrica.37) La fuerza de rozamiento que se opone al giro del eje es: dR = µ.40) Si el gorrón es nuevo es y = r = constante y la presión p en toda la superficie del mismo se mantiene constante.l 2. Analizando la figura (Fig. siendo esta presión media específica la relación entre la carga P y la sección diametral del gorrón: p= P P = d .12). Si el gorrón es usado (gastado) el radio r se transforma en el radio y variable para cada punto del mismo (por desgaste desparejo). el coeficiente de rozamiento µ y considerando que la superficie diferencial dS es: dS = r. con una distribución radial de presiones. suponiendo µ constante: (2.p.antifricción.40): . siendo M el momento debido a esta fuerza.38) resultando el momento de rozamiento dM: dM = y.dϕ (2.l.dR Integrando la (2.dN = µ.r. y (2. La distribución de la presión entre ambas superficies dependerá de la elasticidad de ambos metales y del huelgo o diferencia entre los diámetros del gorrón y del cojinete.11).2.dS = p.l.. que produce una presión media específica. Cuando los cojinetes son nuevos. Analizando en la figura (2. que está sometido a una carga vertical P que es transmitida al cojinete de longitud l.r.l. para un gorrón desgastado de radio y. 47) La fuerza dP que se ejercerá sobre ella debido a la presión superficial específica p es: dP = p.48) y el coeficiente de rozamiento µ.2π y dy (2.π − 2 π (2. busados.pueden ser nuevos.r El coeficiente µ1 se lo denomina coeficiente de rozamiento del gorrón. r en metro la potencia resulta en kgm/s y multiplicando por 75 kgm / s se la obtiene en CV.P = µ . El radio y en el caso de pivotes usados.48) Integrando la (2.l. c.50) . Trabajo de rozamiento en pivotes o quicios Cuando un eje recibe una carga axial P y la transmite a un apoyo.r 30 (2. ω en rad/s.r 2 . Se presentan distintos tipos y estados de pivotes: a.46) 1 CV Para P en kg fuerza.44) La potencia NR consumida en el trabajo de rozamiento para la velocidad angular ω.dy 0 r1 P r2 (2. Si P está en Newton (N).con agujero central. considerando la superficie diferencial de la corona de radio y y espesor dy según muestra la figura (Fig.P 2. . radios r1 y r2. el cual se conserva constante. su extremidad recibe el nombre de pivote o quicio.π . se tendrá: dR = µ.42) resulta: M = µ1. Para el caso a). único radio r y d.48) para P variando entre 0 y P y el radio y según lo ya establecidos precedentemente se tiene: P = ∫ dP = ∫ 2π .r.13-a) es: dS = 2π y dy (2.r.43) Por lo que la (2. sin desgaste.l ∫ 2π dϕ = µ .M = µ p.l 2 µ1 = µ π 2 (2.dP = µ p.2. podrá variar de 0 a r para pivotes macizos y de r1 a r2 para pivotes con agujero central.49) La fuerza de rozamiento dR considerando la (2.P. (2.r.57µ. py.45) πn NR = Mω = µ1P. ω en radianes/s.l.41) y como es por la (2.rω = µ1P.42) (2. con desgaste.35) p= P 2.macizos.l resulta para el momento M: M =µ Se puede hacer: π r 2 .r. r en metro la potencia está dada en J/s = vatios. p. siendo: ω= es: 2π n ⎛ rad ⎞ ⎜ ⎟ 60 ⎝ s ⎠ (2.r 2 .2π y dy (2. radio y variable. radio r constante.P = 1. 49) y la (2.56): M R = 2π .y = constante. c y d ya mencionados.ω.dR o integrando la (2.54) pero como es v = ω. Experimentalmente se obtiene que muy aproximadamente el producto p. b. p. la presión p varía con el radio y.57) p según la (2.y = constante. Aplicando este análisis a los casos a. 1-Caso ac) Pivote nuevo macizo: para este caso y varía desde 0 a r . como es ω = constante debe ser también p.52) para R variando entre 0 y R: (2.61) Para la (2. Integrando la (2. p = constante.π r 2 0 r (2.53) M R = 2π pyµ ∫ ydy = π pyµ r 2 y reemplazando en la (2.51) y el momento dMR debido a la fuerza de rozamiento dR es: dMR = y.57) MR = 2 µ Pr 3 (2. además según lo visto anteriormente es p. es decir desde 0 a r.55) se llega finalmente a: p= P π r2 r (2.53) para las condiciones mencionadas se obtiene: Para la (2.49) P = 2π py ∫ dy = 2π pyr 0 r (2.53): y reemplazando en la (2.53) para las condiciones mencionadas se obtiene: Para la (2.58) 2-Caso bc) Pivote usado macizo: para este caso y varía desde 0 hasta r. podemos obtener las expresiones de la presión p y del momento MR debido a la fuerza de rozamiento dR. Además.v se mantiene constante.55) Despejando la presión p de la (2.62) .o integrando la (2.53) Si el pivote es nuevo la presión p se mantiene constante a lo largo del radio. pero se ha podido comprobar que el desgaste en la superficie de apoyo del pivote es uniforme para cada longitud del radio considerado.y será p. Si el pivote es usado. debiendo conocerse la función de variación.60): MR = 1 µ Pr 2 (2.49) P = 2π p ∫ y dy = p.59) Despejando la presión p de la (2.61) el valor de p dado por la (2.49) y (2. es decir: p.52) MR = ∫ R 0 ydR = ∫ µ p 2π ydy r1 r2 (2.y = constante.50): R = ∫ µ dP = ∫ µ p 2π ydy 0 r1 P r2 (2. este desgaste es proporcional a la presión p y a la velocidad tangencial v. Integrando la (2.59) se obtiene para p la expresión: p= 1 P 2 π yr r 0 (2.v = constante (2.µ ∫ y 2 dy = 0 2π µ pr 3 3 (2.56) para la (2.60) (2. las presiones que se producen son muy grandes.49) P = 2π p ∫ y dy = pπ (r22 − r12 ) r1 r2 (2.53): P 2π (r2 − r1 ) (2.60) se podrá notar que la presión en el pivote.63) en función de P: p= P π (r − r12 ) 2 2 (2. lo que puede notarse en el diagrama de presiones de la figura (Fig.65) el valor de p dado por la (2.69) el valor de p dado por la (2. si se observan las expresiones (2. además se tienen los valores de los radios interno r1 y externo r2 del agujero central. si bien esta última situación no se da ya que las consideraciones hechas son aproximadas. Integrando la (2.67) Despejando de la (2.64) se obtiene: MR = r3 − r3 2 µ P 22 12 3 r2 − r1 (2. motivo por el cual se construyen los pivotes con un agujero central (fig.49) y (2. a efectos de eliminar las presiones en el centro.53) para las condiciones mencionadas: Para (2.49) P = 2π p y ∫ dy = 2π p y (r2 − r1 ) r1 r2 (2.68) se obtiene: (2. 3-Caso ad) Pivote nuevo con agujero central: para este caso es p constante atendiendo que r no varía al no haber desgaste.y = constante variando y desde r1.70) La potencia para estos casos vistos se la obtiene multiplicando el momento contra la fuerza de rozamiento por la velocidad angular con que gira el pivote: MR = 1 P µ (r2 + r1 ) 2 N R = M Rω = M R πn 30 (2.67) el valor de p se obtiene: p= Para (2. crece hasta valores muy grandes.66) 4-Caso bd) Pivote usado con agujero central: para este caso es p. radio externo del mismo. a medida que r se acerca a cero. y para cero se haría infinito.49) y (2.64) Para (2.2.Para estos caso de pivote macizo.69) Reemplazando en la (2. radio interno del agujero central del pivote a r2 .65) Reemplazando en la (2.68) M R = ∫ ydR = 2π µ py ∫ ydy = π µ py (r22 − r12 ) r1 r1 r2 r2 (2.14).2.53) r2 2 M R = 2π µ p ∫ y 2 dy = π µ p (r23 − r13 ) r1 3 (2. como se verá a continuación.71) .63) Despejando p de la (2.53) para estas condiciones: Para la (2. Integrando la (2.56) y (2.13-b). resulta: R .73) M R = R. Si estuviera P dado en kg fuerza. y tomando momentos con respecto al centro O.75) estando NR en Watts para P en Newton. etc.l .2.76) .72) R= y el momento de rozamiento MR es: P. Los dos primeros son del tipo de absorción de la potencia del motor para realizar un trabajo que venza al realizado por la fuerza de rozamiento en tanto que el de Froude se utiliza la potencia del motor para realizar un trabajo. Las dos zapatas están unidas por dos pernos roscados que cuentan con tuercas para ajustarlas al eje y regular la presión que ejercen sobre el mismo.P.l 60 (2. de vapor. por lo cual es necesario colocar el peso P para dejarlo en equilibrio entre los topes C y D.l r (2.l 75.r = P.2. el brazo E tiende a tocar el tope C.15) que abrazan al eje cuya potencia se quiere medir. la expresión (2.l = 0 De donde se puede obtener R: (2. πn 30 = 2π nP. l en metros y n en rpm. eléctricos.l r (2. Freno de Prony: consta de dos zapatas a y a' (Fig.75) dividida por 75 CV/kgm resulta en CV: NR = 2π n.15) con una velocidad angular ω. de material especial para realizar la fuerza necesaria en la fricción y para resistir las altas temperaturas y esfuerzos mecánicos a que son sometidas. l en metros y n en rpm. En estas condiciones el trabajo del motor se consume por el rozamiento en el freno.60 (2.74) La potencia efectiva NR para la velocidad angular ω es: N R = M R .ω = R.P. Llamando R a la fuerza de rozamiento que se produce sobre la zapata al girar el eje y arrastrarla. recubiertas. y debido al equilibrio puede determinarse la fuerza de roce con ayuda del peso P.r. Cuando el eje gira según el sentido que indica la figura (Fig.r = P.Medición de potencias mediante frenos dinamométricos Se utilizan para medir la potencia efectiva existente en los ejes de los motores de combustión interna. el de Navier y el de Froude o de Thorneycroft. Los más usuales son el de Prony. en la zona de contacto. Por lo tanto.r (2. Como resultado de los esfuerzos en la correa se produce una resultante 2S1 aplicada en O2 y una resultante 2S2 en O4. colocándose en el otro extremo un peso tensor Q. En el dinamómetro se lee la fuerza de tracción P que se ejerce en un extremo del cable.P. En un extremo de la cinta se coloca un dinamómetro el cual está sujeto al piso. resultando por lo tanto con menor tensión el tramo de la izquierda. Debido a ello se producen los esfuerzos S1 y S2 en la rama superior e inferior de la correa respectivamente. el tramo de mayor tensión es el de la derecha.78) y el momento de rozamiento será: MR = R.82) 2S1 .a .a (2.17).a . El bastidor tiende a girar alrededor de “O” pero es equilibrado por un momento M que se produce por el peso P de un sistema de pesas que se encuentra en el extremo de la palanca E. debido al sentido de las fuerzas de rozamiento en cada uno de ellos.83) En la polea I.16). gira a n rpm arrastrando mediante una correa al mecanismo formado por un sistema de poleas II. pues además de soportar el esfuerzo Q de frenado.ω = (Q -P)r 60 en Watts para MR en Joule. debido al peso Q y fuerza de rozamiento R ejercida por el eje sobre la cinta. tomando momento respecto al centro O del eje: Q. estando los dos últimos sobre un bastidor. tomando momentos respecto de O se tiene: (2. una fuerza que se opone al giro del eje (Fig.r = R. que envuelve a la polea IV. III y IV que giran sobre ejes O2. la diferencia de los esfuerzos en la cinta valdrá. siendo: S1 > S2 (2.81) ya que el tramo superior. Para el sentido de rotación de la figura. Q y P en Newton y n en rpm.r = (Q .82) S1 − S 2 = P.P). debido al rozamiento.l = 0 Operando en la (2.l 2.79) y la potencia será: 2π n (2. que envuelve a la polea II se encuentra traccionado y el tramo inferior.2.r + P.2. está comprimido. Freno de Froude o Thorneycroft: La polea I. Si la distancia entre los centros II y III y III y IV es la misma e igual a a.r (2. O3 y O4 respectivamente.Freno de Navier: el eje del motor está rodeado por una cinta que ejerce.77) Simplificando r y haciendo pasajes de términos se obtiene: Q=R+P⇒ R=Q-P (2. recibe también la fuerza que hace el tambor para arrastrar la cinta en su rotación.2S2.80) NR = MR. tomando momento respecto a O1 se tiene: . que está sobre el eje motor O1 y del cual se desea medir la potencia. según muestra la figura (Fig. transmitiéndole un movimiento de rotación en el sentido antihorario. 83) y (2.l r 2.84) (2.r + S2.l.2.87) P.92) (2.S2 ). es: R = µ.89) La fuerza tangencial T.18).P Siendo además el momento M respecto de O: M = T. contra la superficie del tambor del freno. debido a la fuerza normal P. Conociendo la potencia N se conoce el momento de rotación M : N = M.r π n r N = MR.86) MR = y la potencia efectiva para las n rpm es: p.86) se obtiene: (2.r resultando: (2.S1.ω = 2.85) (2. Para determinar la fuerza K que se debe realizar sobre la palanca .r = R. el momento de rotación debido a la fuerza de rozamiento R valdrá: MR = ( S1 .91) M R = µ.S2 Por lo tanto. mediante el momento generado por la acción de una palanca.r (2.r y de la (2.93) (2.90) la fuerza de rozamiento R sobre el tambor.a 60 = a 60 Frenos de zapata (2.a (2.P = T = r Se pueden presentar los siguientes casos: Primer caso: El punto A de apoyo de la palanca está por debajo de la recta de acción de la fuerza de rozamiento T sobre la zapata (Fig.r = R.r de la cual se obtiene: R = S1 . sobre la zapata valdrá: T= N M r = ω . La articulación de la palanca de accionamiento se encuentra unida a una parte fija o bancada de la máquina. que se comprimen.l 2π n P. el cual está girando a una velocidad angularω.ω ⇒ M = N ω (2. debido al rozamiento. produciendo la acción de frenado por el rozamiento existente entre las superficies del tambor y de la zapata.88) Están constituidos por una o más zapatas o mordazas de material especial para la fricción. l = P. se toman los momentos de las fuerzas actuantes respecto de A: K.98) Si se invierte el sentido de rotación se obtiene: K= N b⎛ 1 a⎞ ⎜ + ⎟ ω .b.b.ω ⎜ µ b ⎟ ⎝ ⎠ (2. Tomando momentos respecto de A de las fuerzas actuantes se obtiene: K.para producir el frenado.b . por lo tanto.101) se puede escribir: K= Invirtiendo obtiene: N ⎛ 1 a⎞ ⎜ + ⎟ r. el momento de la fuerza T es nulo.99) Segundo caso: El punto A de apoyo de la palanca está por encima de la recta de acción de la fuerza de rozamiento T sobre la zapata (Fig.b .20).µ ⎛ 1 a ⎞ ⎜ + ⎟ l ⎜µ b⎟ ⎝ ⎠ (2.ω ⎜ µ b ⎟ ⎝ ⎠ el (2.93) en la (2.l = P.b + T.a ⇒ ⎝ ⎠ Y despejando K de la (2.µ ⎛ 1 a ⎞ ⎜ − ⎟ l ⎜µ b⎟ ⎝ ⎠ N b⎛ 1 a⎞ ⎜ − ⎟ ω .a (2.100) y operando se obtiene: (2.T.90) y la (2.96) K= Por la (2.96): (2.101) y por la (2.P según la (2. en la (2.P.94) (2.P. Para este caso es a = 0.95) se obtiene: ⎛ 1 a⎞ K .92) la (2. los momentos de K y P deben .100) K= P.97) se puede escribir: P.r l ⎜ µ b ⎟ ⎝ ⎠ (2.2.95) Reemplazando T por µ.a = 0 K.µ.P.97) K= (2.r l ⎜ µ b ⎟ ⎝ ⎠ (2.a = 0 Reemplazando la fuerza T por su igual R = µ.92) la (2.103) Tercer caso: el punto A de apoyo de la palanca está en la recta de acción de la fuerza de rozamiento sobre la zapata T (Fig.19).102) sentido de rotación se K= N ⎛ 1 a⎞ ⎜ − ⎟ r.P.2.T.b .l .µ ⎜ − ⎟ ⎜µ b⎟ K. por lo tanto.l = P.90) y (2.l .b. 104) la fuerza K se obtiene: K= P.110) f F = R’.f – F.92) se puede escribir: K= (2.106) Este valor de K es para cualquier sentido de rotación del tambor. Para determinar F consideraremos el equilibrio de momentos con respecto al centro O del cuerpo cilíndrico: R’.l . Esta resistencia se llama rozamiento de segunda especie o de rodadura.l Cuando rueda un cuerpo cilíndrico sin deslizamiento sobre una superficie plana horizontal (Fig.r = R’. o sea.b T b = l µ l (2.r = R' P '+ F (2. Rozamiento de segunda especie N b r.r F . a la (2. resultando: K.103): F.105) y por la (2.109) (2.2.105) f: (2.f Despejando de la (2.108) f = o también: F .f = (P + F ).b = 0 (2.107) La cual está aplicada a la distancia f de la recta de acción del peso P y en el centro de la superficie deformada.ω µ .P.equilibrarse mutuamente. Debido a la deformación entre las superficies en contacto las dos fuerzas paralelas P y F producen una reacción que vale: R’ = P + F (2.90) y (2. Sus leyes se establecen de acuerdo con las experiencias realizadas por Coulomb.104) Despejando de la (2. surge una resistencia debido a la compresibilidad de las superficies de contacto y a la deformación entre el cuerpo y el apoyo.111) .21). r El rozamiento de rodadura está regido por las siguientes leyes: Primera ley: la fuerza F con que se vence la resistencia de rozamiento es proporcional a la reacción R’.r = 0 Reemplazando el valor de R’ dado por la (2. f a (2. ésta es mayor que la del rozamiento de primera especie.120) Generalmente es f << µ. o mejor dicho. Se debe establecer además una condición adicional para que se produzca rodadura y no deslizamiento. si se tiene en cuenta el rozamiento de primera especie. la cual. Para que ruede sin deslizar deberá ser : F < µ.f. Por lo tanto.110) cumple también con las leyes enunciadas. la fuerza resistente debida a éste.118) F= de donde se obtienen las siguientes relaciones: P. forma un par motor.119) f a) a < µ f b) f < µ. el esfuerzo a ejercer al sustituir un rozamiento de primera especie por otro . Si se considera el movimiento del cilindro por la acción de una fuerza F horizontal (Fig.carga soportada por la superficie: F ∝ R’ (2.2.P (2. obtenidos de acuerdo con la experiencia se encuentran tabulados.113) llamada adherencia o rozamiento de primera especie. el cual equilibra el par resistente P. utilizados cuando se quiere disminuir el rozamiento.f – F. Transporte sobre rodillos Para el desplazamiento de cuerpos pesados.118) es: (2. conjuntamente con F. f a < µ.22). la fuerza debida a éste es: R=µP (2.116) Si al ejercer la fuerza F. caso de los rodamientos de bolas o rodillos. La magnitud f se denomina coeficiente de rozamiento de segunda especie o de rodadura.115) y la (2.P el cilindro deslizará sin rodar.115) La (2.114) se obtiene: (2. el cual depende de la deformación producida. o sea de la naturaleza de las superficies. el mismo se produce debido a la reacción: R = -F (2.114) F= P .112) Segunda ley: la fuerza F varía con el valor de f.117) (2. En efecto.P puesto que por la (2.a c) µ < a (2. es decir: F > µ. la ecuación de equilibrio de los momentos de las fuerzas P y F con respecto al punto m es: P.a = 0 De la (2. El valor de f está en centímetros y es un brazo de palanca. Sus valores. r.124) es P P ⎛P ⎞ ⎛P ⎞ ⎛P ⎞ f ′ + f ′ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎜ + G ⎟ f + ⎜ + G ⎟ f + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎜ + G ⎟ f − F .128) P. para N = Mx .f + R''.de segunda especie. siendo f ' el coeficiente de rozamiento por rodadura entre la viga y el rodillo y f el existente entre el rodillo y el piso. si cada uno de los rodillos pesa G.a = 0 z z ⎝z ⎠ ⎝z ⎠ ⎝z ⎠ De la (2.130) . de acuerdo a la (2.127) (2. tendremos sobre cada uno de ellos un peso P/z.130) se obtiene: (2.121) los valores de R' y R'' dados por las (2.2.127) La potencia necesaria para producir el rodamiento. f ≈ f ' y a = 2r la (2. es mucho menor.129) Si se utilizaran más de un rodillo (Fig. además. f πn 30 El momento debido al rozamiento de segunda especie.a = ( P + G ). f ′ (2. si son z rodillos. f a + P.124) F= (P + G ).a = R'.ω siendo N = F.121) Mx = F. f P.126) Mx = F.f ' Despejando F de la (2.125) es G << P .125) Si en la (2. la fuerza que ejerce cada rodillo sobre el piso es P/z + G.24).122) Remplazando en la (2. la sumatoria de los momentos.f ' Siendo: R' = P + G Y R'' = P (2.125) se convierte en: F= Siendo el momento Mx para este caso: 2 P.r (2.123) (2.2.23).123) respectivamente se tendrá: F. f = 2r r (2.128) resulta: MR = P.ω = ω= 2π n 60 y n(rpm) es: (2. Si se considera una viga de peso P que se quiere transportar sobre un rodillo de peso G (Fig.124): (2. y se considera que el peso P de la viga se distribuye de igual forma sobre cada uno de ellos. si la fuerza F se aplica sobre la viga a la distancia a. según la (2.f (2.f + P.122) y (2. tomando momentos de las fuerzas actuantes respecto al punto x se tendrá: (2. cosα (2.005 a 0.25): dW = R. Sea por ejemplo un cable que se enrolla en una polea fija (Fig.131) Algunos de los valores medios de f son: . Por otra parte.2.2. será : R cosα = µ P (2.133) Siendo R. serán respectivamente MR = P. teniendo en cuenta que es R la fuerza resistente.128) πn siendo ω la velocidad angular con que rueda el cuerpo.v.F= P.129) y (2.001 cm.133): NR = µ P v (2. se produce una deformación en el elemento de tracción.134) y por lo tanto la (2. . acero sobre acero: f ≈ 0. Si se designa con P el esfuerzo motor y P1 el . que se conoce con el nombre de rigidez de la cuerda.f y NR = MR ω = MR 30 2π n para ω = 60 .05 cm. según la (2.dS. f a (2. dS el camino recorrido por el cuerpo y α el ángulo queda la dirección de R (Fig.136) El momento resistente para el rozamiento de segunda especie y la potencia consumida.26).Bolas o rodillos de acero templado sobre anillos de acero del mismo material (cojinetes de rodamientos): f ≈ 0.134) resulta: dWR = µ P dS y la (2. Trabajo absorbido por el rozamiento Debido a la fuerza resistente producida por el rozamiento de primera especie se produce un trabajo dado por la siguiente expresión. la potencia NR empleada en un tiempo dt es: NR = dWR dS =R cosα = R. lo cual motiva una resistencia. Esfuerzos en órganos flexibles con rozamiento Al enrollar un órgano flexible (cable. cos α dt dt (2. si es P la resultante de las fuerzas normales al plano de deslizamiento. f ′ + ( P + zG ).132) por la (2.Fundición.135) (2. cadena. cuerda o cinta) en una polea o tambor.cosα la proyección de la fuerza resistente en la dirección del desplazamiento y v la velocidad instantánea del móvil.132) Si además el movimiento tiene lugar con una velocidad v. 2. en la cual el ángulo que forman lo dos extremos de la cuerda es γ = 180º.140) γ Por ser 1. deformándose de tal manera que la misma influye en los esfuerzos para vencer el peso a levantar. se comprueba que el cable sufre una deformación debida al rozamiento entre los elementos o fibras del cable que producen una resistencia a la curvatura. se observa: a) Rozamiento entre eje y cojinete: la fuerza R debida al rozamiento es igual a Pr . µ1.144) b) Deformación (ξ) de la cuerda: debido al rozamiento interno de los elementos que componen la cuerda. r' = 2 P12 sen γ 2 µ 1 r' (2. Analizando la figura (Fig. Analizando los esfuerzos que se producen.137) De la figura (Fig.26).139) Pr = 2 P12 (1 − cos γ ) (2.138) Si se considera P1 ≈ P la (2.2.27). o sea aquel que se mueve hacia la polea.142) Mroz = Pr. ésta presenta resistencia a amoldarse o cambiar su situación.138) puede escribirse: Pr = 2 P12 − 2 P12 cos γ Operando en la (2. por el coeficiente de rozamiento µ1: R = µ1.143) 180 =1 y por lo tanto es: Si es γ = 180º será sen 2 Mroz = 2P1µ1r' (2.145) .139) se obtiene: (2.141) se obtiene: γ Pr = 2P1 sen 2 Por lo que el momento de rozamiento Mroz entre eje y cojinete será: (2.141) Extrayendo la raíz cuadrada de la (2. resultante de P y P1. las fuerzas que actúan y sus momentos con respecto al eje O.P1 cosγ (2.esfuerzo en el tramo que soporta la carga. para γ ≠ 180º por el teorema del coseno se tiene: Pr = P 2 + P12 − 2 P.ξ ) = P1 ( r + ξ ) + 2P1µ1r' Despejando en la (2.2 sen 2 γ 2 = 4 P12 sen 2 γ 2 (2.Pr (2.cosγ = 2 sen2 2 la (2. Se supone que la amplitud de la deformación es igual a ξ y además que existe un rozamiento entre el eje y cojinete de la polea. tomando la sumatoria de estos últimos se tiene: P ( r.145) P : (2.140) se transforma en: Pr = 2 P12 . . y también por el rozamiento existe una fuerza que la conducida ejerce sobre la correa empujándola hacia la conductora. como indica la figura (Fig.dN en la dirección tangencial.P = P1 La expresión : r + ξ + 2 µ1 r ′ r −ξ (2. y el inferior o conducido. cinta o correa) perfectamente flexible abraza una polea o un tambor o cilindro en movimiento. La fuerza de tracción que ejerce la polea conductora I sobre la correa debido al rozamiento existente entre ambos. Considerando una correa que envuelve una polea de radio r con un cierto ángulo α . las cuatro fuerzas mencionadas se encontrarán en equilibrio. tiende a frenar el movimiento y traccionar hacia atrás la correa. menor que la unidad: εf = ηf = 1 εf <1 (2. Si el tramo conductor es el de la derecha. se constata una diferencia entre los esfuerzos S1 en el ramal conductor y S2 en el conducido debido a que se produce una resistencia al deslizamiento por el rozamiento entre el órgano de tracción (correa) y las poleas. los esfuerzos en los extremos de la longitud del diferencial de correa r.147) se la denomina coeficiente de pérdida de la polea y se la designa como εf siendo mayor que la unidad. estando el ramal superior (conductor) extendido y tirante. En un momento determinado. considerando que la correa no desliza sobre la polea y la velocidad de rotación n se mantiene constante. Para los cables y cadenas se adoptan valores de εf = 1.dα y sobre la cual actúa una fuerza normal dN produciendo una fuerza de rozamiento µ. llamado ángulo de contacto.96 a 0. y un diferencial de ángulo dα al cual corresponde una longitud diferencial de arco de correa r.146) r + ξ + 2 µ1 r ′ r −ξ (2. normales a dα las secciones de la misma y que forman un ángulo 2 con la tangente a la polea.149) Los valores de εf se han establecido experimentalmente existiendo fórmulas empíricas para los distintos órganos de tracción. La polea motora tracciona la correa y ésta a su vez hace girar la polea conducida.04 a 1.29).dα serán S y S + dS. El rozamiento que se produce entre la polea conducida II y la correa. hace que esta última tienda a alargarse.94. motivo por el cual existe una fuerza que empuja la correa desde la conductora I a la conducida II. Por esto el tramo superior está extendido y el inferior tiende a comprimirse debido al rozamiento. verificándose que S1 > S2. Teorema de Prony Cuando un órgano de tracción (cable. Resistencia al deslizamiento de una lámina sobre un tambor.06. resultando rendimientos ηf =0. o sea: r + ξ + 2 µ1 r ' r −ξ >1 (2.2.148) y su recíproco es el rendimiento ηf de la polea. al arrastrar ésta a la primera. dN + S.sen 2 = dN (2.cos 2 = µ. Reemplazando sen 2 por 2 y haciendo dS.sen 2 ≅ 0.158) se tiene la expresión: S1 = eµα S2 o también: (2.152) y (2.dα y haciendo la sumatoria de las proyecciones de las fuerzas actuantes sobre este sistema de ejes.150) se obtiene: (2.153) se obtiene: (2. de la (2.dN (2.153) dα dα 2S. además.157) ∫ S1 S2 S α dS ln 1 = µ.159) .dα (2.156) obtenemos: = S .cos 2 Operando.152) dα dα ∑V≡ (S + dS). de la (2. se obtiene: dα dα ∑H ≡ (S + dS).156) dS = µ . cos 2 = µ.155) resulta: S. el seno del ángulo se puede suponer igual al ángulo en radianes: sen 2 ≅ 2 .dα = dN (2.α = ∫ µ . Luego la (2.150) dα dS.157) entre S1 y S2 el primer miembro y el segundo entre α y 0: (2.155) dS µ Operando en la (2.sen 2 igual a cero en la (2.sen 2 = dN Operando. dα dα dα dα por ser diferencial de segundo orden es dS.sen 2 + S.151) se puede escribir: dN = dS µ (2.sen 2 + dS.154) se obtiene: De la (2.151) dα dα Si se considera que es 2 ≅ 0 ⇒ cos 2 ≅ 1 .dα S2 0 ⇒ S (2.Considerando un sistema de ejes formado por la tangente (H) a la polea y la perpendicular (V) a la misma que pasa por el centro del arco r.158) Aplicando el antilogaritmo a la (2.dα S Integrando la (2.154) dα dα dα Por ser muy pequeño 2 . Por lo tanto la fuerza tangencial T a transmitir por la correa debe ser: T = S1 .161) S1 y S2 por sus valores obtenidos de la (2. En el caso II sucede a la inversa. en tanto que el S2 se descarga por este arrastre.160) La (2.162) T = S2e µα − S2 = S2 e µα − 1 ( ) (2. a) Freno simple (pivote en la recta de acción de S1 o S2) En este tipo.160) son las expresiones del Teorema de Prony. De acuerdo al sentido de rotación se obtendrá a la derecha o a la izquierda el tramo de mayor tracción S1. Esta conclusión se obtiene del hecho de que el radio del tambor no interviene en las ecuaciones de equilibrio. Se pueden distinguir tres tipos de frenos de cinta: simple. estando sujeta en ambos lados a una palanca la cual al ser accionada aplicando una fuerza en su extremo. Para el caso I es el de la derecha ya que se suma el esfuerzo de frenado más el arrastre del tambor.231).e µ α T S2 = µα µα e − 1 y b) e −1 (164) Si se enrolla un número n de vueltas una cuerda en un tambor.161) Reemplazando en la (2. Cuando la velocidad de giro se hace grande.S2 (2.S2 para impedir que la correa resbale sobre la polea. a) S1 = T . se pueden obtener S1 y S2 despejándolos de la (2. la cual envuelve al tambor en movimiento. válido también para una sección de la correa no circular en la que el ángulo total de contacto sea α y el coeficiente de rozamiento entre correa y polea sea µ. la correa tiende a separarse de la llanta. El tambor se comporta en forma análoga a la polea motriz del punto anterior.163) Conociendo T a partir de la potencia del motor. en función de S2: (2. La fuerza K necesaria para el frenado se determina en la forma siguiente: se toman momentos respecto de A: .163) respectivamente. S1 > S2 pues e µ α ≥ 1 pues es µ > 0 y α > 0. La fuerza tangencial que debe transmitirse por rozamiento no debe ser mayor que la diferencia de esfuerzos S1 . por lo que la ecuación de Prony lleva consigo un cierto error para velocidades muy altas. un extremo e la cinta está sujeto al punto fijo de giro "A" de la palanca (Fig. comprime la cinta contra el tambor frenándolo.162) y de la (2. Frenos de cintas Se produce el frenado de un tambor o polea que está girando mediante una cinta de alta resistencia construida de un material especial para obtener un alto coeficiente de roce.159) en función de µ y de α : S1 eµα −1 T = S 1 − µ α = S1 µ α e e o también.S1 = S 2 e µ α (2. como los valores de µ y de α están tabulados en manuales especializados. el ángulo α resulta ser 2π n radianes. diferencial y totalizador.159) y (2. (casos I y II).172) -K.164b) y la (2.165) Caso II: K. en función de T. b) Freno diferencial (con pivote entre S1 y S2) La distribución y el sentido de los momentos (Fig.168) La (2.166) S2 y S1 por los valores dados por la (2.b = S2.a l (2.a ⇒ K= (2.172): T b − a.l= S1.l + S2.b − S1 .170) Y reemplazando en la (2.l = S2.a l S1 .a Despejando de la (2.a .a l K= Caso II : Despejando K de la (2. µ y α se obtiene: K= S 2 .167) y la (2.b = S1.165) y en la (2. µα l e −1 (2.164a) y la (2. tomando momentos respecto al punto A se obtiene: (2.169) K: (2. ángulo α al centro de enrollamiento y coeficiente de rozamiento µ.164a) respectivamente se obtienen: K= y 1 T .168) nos dan la fuerza de frenado en función del esfuerzo tangencial.169) Caso I : -K.e µ α l eµα −1 (2.a e µ α l eµα −1 (2.2.164b) respectivamente.a .171) (2. Para ambos sentidos de rotación.a ⇒ K= S 2 .170) S1 y S2 por sus valores dados por la (2.167) K= T .32) hace que la fuerza de frenado sea menor que la correspondiente al simple.l + S1.Caso I: K.166) Reemplazando en la (2. 178) (2. µ y α se obtiene: (2.180) T.e µ α − a l eµα −1 < l eµα −1 c)Freno totalizador (pivotes fuera de S1 y S2) (2. en función de .e µ α + b l eµα −1 (2.a = 0 K= S1 .175) Para este caso el momento aplicado es mayor.b l K= Caso II : Despejando K de la (2.l + S2. µ y α se obtiene: Y reemplazando en la (2.b − S 2 .173) Y reemplazando en la (2.173) S1 y S2 por sus valores dados por la (2. Para ambos sentidos de rotación.b + S2.a l (2. tomando momentos respecto al punto A se obtiene: Caso I : Despejando K de la (2.179) -K.b + S1.164b) respectivamente.176) T.177) S1 y S2 por sus valores dados por la (2.a = 0 (2. por lo que la fuerza de frenado es mayor que en los otros casos.l + S1.a + S 2 .164a) y (2. siendo por lo tanto: T b − a.T.174) Por ser por construcción a < b las fuerzas de frenado para ambos casos es diferente. en función de K= S1 . en función de K= S1 .164b) respectivamente.177) Y reemplazando en la (2.176) se obtiene : -K. µ y α se obtiene: (2.e µ α − a l eµα −1 (2.164a) y (2.180) S1 y S2 por sus valores dados por la (2.b + S 2 .179) se obtiene: T a.e µ α T b.164a) y (2.a l K= T b.164b) respectivamente. (casos I y II). K= T b..181) Plano inclinado considerando el rozamiento Analizando la figura 2.F1β senβ (2.189) los valores de R y F1βH dados por las (2.12). y considerando un plano inclinado un ánguloα sobre la horizontal y sobre éste un sólido sobre el que actúa solo su peso P. siendo µ = tg ϕ el coeficiente de rozamiento y ϕ el ángulo de rozamiento.34).186) resulta: R =µ Pcosα -µ F1β senβ Además. De la (2.184) Suponemos ahora aplicada una fuerza F sobre el centro de gravedad G formando un ángulo β con la paralela al plano inclinado.P.senα = 0 De la (2.5 vista anteriormente.N Además es: N=Pcosα .Fuerza F1β necesaria para impedir que el cuerpo caiga (Fig.188) respectivamente.191) µ = tgϕ = (2.187) y (2.186) siendo F1β senβ la componente vertical de F1β.183) (2.188) (2. la componente horizontal de la F1β es: F1βH = F1β cosβ (2.187) Si el cuerpo está en equilibrio debe ser: ΣH= R + F1βH =0 (2.189) Reemplazando en la (2.13). dada por la expresión (2. En el equilibrio es: tgα = tgϕ (2.185) y (2.190) F1β = P El coeficiente de rozamiento es: sen α − µ cosα cos β − µ sen β senϕ cosϕ (2.192) . el mismo es solicitado hacia abajo por la fuerza componente paralela al plano inclinado T = P senα . dada por la expresión (2.e µ α + a l eµα −1 (2.185) (2. se tendrá: F1β cosβ +(µ Pcosα -µ F1β senβ) . La resistencia que opone la fuerza de rozamiento R está orientada hacia arriba y su valor es: R = µ.2. la fuerza de rozamiento que se opone a la caída del mismo es R = µ N = µ P cosα .190) se puede despejar F1β: (2.182) Si es α >ϕ es: y el cuerpo caerá hacia abajo pues es: tgα > tgϕ T>R (2. Se pueden presentar los siguientes casos según sea el valor del ángulo β: 1. será: β + ϕ = 0 ⇒ β = -ϕ. (2.Fuerza F2β necesaria para efectuar el deslizamiento del cuerpo hacia arriba.191) el valor de µ en función del seno y coseno dada por la (2.194) b) Si es β = 0.198) R = µ(Pcosα .199) Despejando F2β de la (2.sen(α−ϕ) 2. luego de reemplazar en ella β por -α: F1β = P sen(α −ϕ ) sen(α −ϕ ) =P = P tg(α −ϕ ) cos( −α +ϕ ) cos(α −ϕ ) (2.192). Por lo tanto.senβ -P senα = 0 Sacando factor común F2β de la (2. como α -ϕ ≠ 0.195) c) La fuerza mínima para impedir la caída del cuerpo se obtienen de derivar la (2.193) a) Si es β = -α.cosβ -µ.197) La fuerza R de rozamiento estará orientada hacia abajo. resultando por lo tanto la (2. paralela a la base del plano inclinado. resultando por lo tanto: dF1β ⎛ sen(α −ϕ ) ⎞ = d⎜ P ⎜ cos( β + ϕ ) ⎟ = ⎟ dβ ⎝ ⎠ F1β min=P. la fuerza es paralela al plano inclinado.198) se obtiene: F2β (cosβ + µ senβ ) .P cosα + µ. resultando: F1β = P sen(α −ϕ ) cosϕ (2. siendo su valor: (2. ya que trata de oponerse al avance del cuerpo.F2β sen β) En el equilibrio se tendrá: ΣH ≡ F2β .Reemplazando en la (2.193).F2β .196) ⎣ ⎦ para ello debe ser nulo el numerador de la función derivada.200): .200) (2. la fuerza es horizontal.P(senα + µ cosα ) = 0 (2.193) respecto del ángulo β e igualando a cero ésta derivada: ⎡ − sen( β +ϕ ). y operando se obtiene: F1β = P Se pueden presentar distintos casos particulares: sen(α −ϕ ) cos( β −ϕ ) (2. sen(α −ϕ ) ⎤ P⎢ ⎥=0 [cos( β +ϕ ]2 (2. sen(α + ϕ) (2.201) Reemplazando µ por su expresión en función del ángulo de rozamiento tg ϕ = sen ϕ cos ϕ en la (2.207) 3. se tiene: R=µN=µ(P.cosα . paralela a la base del plano inclinado.203) b) Si es β =0. por lo que la (2.205) Para que sea cero la expresión debe ser cero el numerador: sen(β .36) y se opone al descenso del mismo.Si ahora se considera que el cuerpo no desciende por su propio peso.202) β por ϕ se obtiene: F2β = P.2.202) resulta: F2 β = P sen(α + ϕ ) = P tg(α + ϕ ) cos( −α − ϕ ) (2.202) F2 β = P sen(α + ϕ ) cos( β − ϕ ) Según sea el valor que adopte β se pueden presentar los siguientes casos particulares: a) Si es β = -α es F2β horizontal.ϕ = 0 ⇒ β = ϕ.F3β.206) Como es α + ϕ ≠ 0 debe ser β .senβ) (2.F2 β = P sen α + µ cos α cos β + µ sen β (2.202): F2 β = P sen(α + ϕ ) cos ϕ (2.sen(α + ϕ) = 0 (2. o sea que resulta para este caso que es α < ϕ.202): dF d = dβ dβ ⎡ sen(α + ϕ ) ⎤ sen( β − ϕ ) sen(α + ϕ ) =0 ⎢P ⎥=P [cos( β − ϕ )]2 ⎣ cos( β − ϕ ) ⎦ (2.201) resulta: (2. resultando la (2.208) .ϕ). es F2β paralela al plano inclinado. y por lo tanto es R > T (Fig. reemplazando en la (2.204) c) La fuerza F2β mínima para elevar el cuerpo hacia arriba se la obtiene igualando a cero la derivada respecto de β de la (2. 214) Tornillo de movimiento Es un mecanismo utilizado en muchos aparatos elevadores y transportadores (Fig.210) se obtiene: F3 β = P sen(ϕ − α ) cos ϕ (2.En el equilibrio se tendrá: sen ϕ Despejando de la (2.cosα .rm.rm de la fuerza Fh con un brazo de palanca rm: Mm = P. Se puede distinguir el paso h. la fuerza F3β será paralela a la base del plano inclinado. tg(ϕ − α ) cos(α − ϕ ) (2.senβ ) = 0 (2. con una fuerza Fh para que ascienda por el plano (Fig2.212) c) La fuerza necesaria F3β mínima para hacer descender el cuerpo se la obtiene de igualar a cero la derivada con respecto a β la (2. el ánguloα de inclinación de la hélice y el radio medio rm de la misma. debe ser β . Suponiendo que sea Q a la carga que se encuentra aplicada en la dirección del eje del tornillo y sobre el extremo del mismo y la cual se desea elevar.a que se realiza con la fuerza P y la palanca a sobre el eje del tornillo debe ser igual al momento Mm = Fh. sen(ϕ − α ) cos(ϕ − ϕ ) (2.ϕ = 0.209) µ cos α − sen α sen(ϕ − α ) =P cos β + µ sen β cos( β − ϕ ) (2. y P el esfuerzo que se ejerce en el extremo de una palanca a una distancia a del eje del tornillo para hacerlo girar y elevar la carga. el momento Mm = P.211) b) Si es F3β paralela al plano inclinado es β =0.37a). por lo que resulta la (2. si es rm el radio medio de la hélice (semisuma de los radios del filete r1 y del cuerpo del vástago roscado r2).37b).senα +F3β cosβ .F3β .rm (2.209) F3β y reemplazando µ por tgϕ = cos ϕ se obtiene: F3 β = P ΣH≡ P. según sea el valor de β: a) Si es β =α . Se puede considerar que los filetes del tornillo corresponden a un plano inclinado un ángulo α sobre el cual se empuja la carga Q. respecto del eje del tornillo se ejercerá un momento Fh.215) .210): F3 β = P sen(ϕ − α ) = P. que se encuentra a una distancia rm del eje del tornillo.213) sea cero debe ser cero el numerador. Suponiendo el collar del asiento en el extremo del tornillo sin rozamiento.2.a = Fh. constituido por un perno roscado que gira dentro de una tuerca y eleva o hace descender una carga utilizando el principio del plano inclinado.210): dF3 β dβ = sen( β − ϕ ) sen(ϕ − α ) d ⎡ sen(ϕ − α ) ⎤ =0 ⎢P ⎥=P dβ ⎣ cos( β − ϕ ) ⎦ [cos( β − ϕ )]2 (2. Además. como es ϕ . resultando de la (2.213) Para que la expresión (2. o sea. β = ϕ .µ.(P.210) Se pueden presentar los siguientes casos particulares.α ≠ 0.210): F3 β = P sen(ϕ − α ) = P. por lo tanto de la (2. correspondiendo al caso particular 2a de plano inclinado visto anteriormente. 217): η= Por ser.215) resulta.216): Mm = Fh.217): M0 = Q. reemplazando el valor de Fh por su valor dada por la (2. según desarrollo trigonométrico: M0 tg α = M m tg(α + ϕ ) (2.216) Por lo tanto. resultando la (2.tg(α + ϕ) (2.tg(α + ϕ) (2.rm.rm = Q. la (2.tgα (2.rm.tg(ϕ − α) Si no existiera el rozamiento sería ϕ = 0.rm.219) (2.220) .217) Que es el momento necesario para ascender la carga.218) Por lo tanto el rendimiento considerando el rozamiento se lo puede obtener del cociente entre la (2.El valor de Fh en función de la carga Q. Para bajar la carga. el momento necesario está dado por la (2.219) y la (2.203). es: Fh = Q.211) del caso 3a del plano inclinado: Mm = Q. según la (2. 221) Reemplazando en la (2.226) La (2.224) y la (2.222) estas dos expresiones de tgα y tgϕ . será: h +µ h + µ 2π rm 2 π rm Fh = Q =Q h 2 π rm − h µ µ 1− 2 π rm La expresión (2.224) En la ecuación (2.223) Como además.222) tg α = h 2 π rm (2.tg(α + ϕ ) = tg α + tg ϕ 1 − tg α . se obtiene: Fh = Q Pero de la figura (Fig. que da la fuerza Fh necesaria para bajar la carga Q.15) es tgϕ = µ. reemplazando además tgα dada por la (2.37b) resulta: tg α + tg ϕ 1 − tg α .225) Por lo que se obtiene finalmente. la siguiente expresión: h 2π rm 2π rm µ − h tg ϕ − tg α Fh = Q =Q =Q h 1 + tg α .227) se obtiene: h + µ 2π rm rm 2π rm − h µ (2. tg ϕ (2. tg ϕ (2.223) y µ dada por la (2.228) .221).218).α) puede reemplazarse por la expresión trigonométrica: tg(ϕ − α ) = tg ϕ − tg α 1 + tg α . tg ϕ 2π rm + h µ µ 1+ 2π rm µ− (2. tg ϕ (2.217) la expresión tg(α + ϕ) dada por la (2. (2. reemplazando en la (2. por la (2. El esfuerzo P a ejercer con la palanca a para subir la carga Q se obtiene de la (2.224) da la fuerza necesaria para elevar la carga Q. el factor tg(ϕ .2.227) P=Q rm h + µ 2π rm a 2π rm − h µ (2.224): M m = P.a = Q Despejando P de la (2. reemplazando Fh por el valor dado por la (2.215).226) relacionan los esfuerzos horizontales Fh con la carga Q que se debe elevar y las dimensiones rm del tornillo.15). utilizando en la (2.a = Q Despejando P de la (2.229) es Mm ≤ 0 la carga desciende por sí sola. es el caso donde es α > ϕ. Meriam Reverté. L. Si es Mm > 0 el tornillo se dice que es autoasegurante o autoblocante.Para bajar la carga. Dubbel Labor Mecánica J.215) el valor de Fh dado por la (2. S.229) se obtiene: µ 2πrrm − h rm 2π rm + h µ (2. se obtiene: M m = P. Diseño de elementos de Máquinas Shigley Mc Graw Hill .226).230): a) µ 2π rm ≥ h ⇒ h = tg α b) µ ≥ 2π rm ∴c) ϕ > α ---------------()--------------- (2.230) Si en la (2. ya que la carga Q no baja por si misma. Facorro Ruiz Ediciones Melior Mecánica Técnica Timoshenko-Young Hachette Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance . siendo tornillos de pasos h grandes o de material de muy bajo coeficiente de fricción.A.231) Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía TÍTULO AUTOR EDITORIAL Mecánica Técnica y Mecanismos Lorenzo A.Doughtie Alsina Manual del Constructor de Máquinas H.229) P=Q rm µ 2π rm − h a 2π rm − h µ (2. siendo α > ϕ pues es en la (2. 3. y la estampada se la realiza luego de introducido éste último en el agujero correspondiente practicado previamente en las piezas a unir. etc. planchuelas. cobre. sujetar o guiar los anteriores (roblones.) se tienen (a) roblones cabeza redonda.1): el cuerpo o vástago de longitud l y diámetro d el cual se expande hasta un diámetro d1 luego del roblonado y que es el que se utiliza para el cálculo de la resistencia del roblón. etc. La forma y tamaño del roblón dependen de las características de la unión. las fijas o inamovibles. y la cabeza estampada o de cierre. Por tal motivo están expuestos a solicitaciones de distinta índole. recibiendo distintas denominaciones según el tipo de cabeza propia que posea. La cabeza propia está hecha de antemano en uno de los extremos del vástago. En los roblones denominados de cabeza perdida y gota de sebo la cabeza corresponde a un tronco de cono de ángulo α. etc. engranajes. a excepción de los engranajes que por su importancia. que cumplen distintas funciones en éste último. chavetas.) En este capítulo analizaremos distintos elementos. Pueden agruparse los mismos como elementos “activos”. de soporte de órganos en movimiento. etc. torres. según el tipo de material a unir y la resistencia deseada. por lo que deben cumplir con distintos requisitos técnicos a los efectos de soportar estas exigencias y lograr el comportamiento lo más eficiente del mecanismo. (b) roblones cabeza perdida y . El material utilizado en la construcción de los roblones y remaches es generalmente hierro dulce. y 2) soldaduras. merecen un estudio aparte. que son aquellos que transmiten movimiento (poleas. Así.) y “pasivos” los que tienen como misión soportar. aluminio. principalmente mecánicas. Órganos de unión Se deben distinguir dos tipos de uniones. perfiles. rozamientos. y las movibles. En el roblón pueden distinguirse las siguientes partes (Fig. resortes. Uniones fijas o inamovibles Se tienen dos tipos de uniones fijas: 1) roblones y remaches. de transmisión del movimiento. generada con un radio R en los de cabeza esférica.32 ELEMENTOS DE MÁQUINAS Los elementos de máquinas tales como roblones. etc. ruedas dentadas. presentando en la unión con el vástago un radio r para evitar la concentración de tensiones en las aristas agudas. ya sea de unión entre las piezas. acero.. choques. etc. etc. tornillos. que para ser retiradas deben ser destruidas. constituyéndose así la unión. etc. edificios. como esfuerzos. deformaciones. poleas. que pueden ser retiradas sin deterioro y usadas nuevamente. son partes constitutivas de distintos mecanismos. no pudiéndose usarlas nuevamente. Los mismos deben tener suficiente resistencia y duración funcionando con el menor desgaste y reparación posibles y cumplir su finalidad con el costo mínimo de fabricación y mantenimiento. Roblones y remaches Se los utilizan generalmente para unir chapas. Deben por lo tanto ser calculados de acuerdo a principios teóricos y experimentales de la mecánica. la cabeza propia de diámetro D y altura K. en las construcciones metálicas (puentes. cuñas. 3.(c) roblones cabeza gota de cebo (Fig. Resistencia del roblón al corte simple Si actúa la fuerza P según indica la figura. Para la ejecución del roblonado se practican previamente los agujeros ya sea a punzón o taladro y luego.3. se tienen (a) roblones cabeza redonda.5c) cubrejuntas. Esta resistencia al deslizamiento según Bach oscila entre 1100 y 1800 kg/cm2. en ese punto del roblón. El largo del vástago depende del espesor a remachar. 3) Roblonado para construcciones metálicas y mecánicas: deben resistir la acción de grandes cargas o momentos de fuerzas considerables. (c) roblones cabeza troncocónica y (d) roblones cabeza chata (Fig. el cual se debe a la contracción del vástago al enfriarse por lo que no rellena el agujero de las chapas totalmente. Las dimensiones de los roblones están dadas en milímetros o pulgadas. El área A de la sección que soporta este esfuerzo de corte está dada por la expresión: .3. etc. en las cuales el tamaño de los roblones por lo general no sobrepasan los 13 mm de diámetro d del vástago.5d1.5a) y cuando se utilizan chapas o planchuelas adicionales se denomina roblonado a cubrejuntas. ya que. 2) Roblonados para recipientes herméticos y sometidos a grandes presiones: deben asegurar su cierre hermético y la resistencia mecánica del mismo. El Roblonado cuando se practica entre dos perfiles o chapas solapadas se denomina roblonado por recubrimiento o solape (Fig. Además se verifican las resistencias que presentan las superficies laterales del roblón y de la pieza al aplastamiento y al desgarramiento cuando están solicitadas por los mismos esfuerzos. principalmente en el roblonado para calderas.). pudiendo ser a simple (Fig. Cálculo de los roblones El cálculo se hace considerando la resistencia al corte simple que presenta la sección solicitada por el esfuerzo de cizalladura que realizan las piezas que se pretende unir al ser solicitadas por esfuerzos externos. la sección del roblón entre las dos chapas está sometida al corte.3.5b) o doble (Fig.4). (b) roblones cabeza perdida. antes de que el vástago del roblón quede expuesto al esfuerzo de cortadura debe producirse primero el deslizamiento. sobre cada plancha de espesores S y S1 (pudiendo ser S = S1) cada una de ellas. Además es muy importante la resistencia al deslizamiento que presentan las chapas entre sí. calentando previamente el roblón se lo introduce a presión remachándose con una remachadora o estampadora el extremo del vástago. estando normalizado el mismo de acuerdo al tipo de cabeza.3). Según el destino del roblonado o remachado se lo puede clasificar en: 1) Roblonado para calderas de vapor: debe resistir elevadas presiones y temperaturas y ofrecer al mismo tiempo hermeticidad.2) y en las construcciones mecánicas (calderas.3. estampando de esa forma la cabeza de cierre (Fig. máquinas.3. Generalmente este largo es igual al espesor de las chapas más 1. 5) Si fueran z roblones. .3. causada por el agujereado que se le practicó para el roblonado.4) El esfuerzo unitario al corte τ que podrá soportar el roblón deberá ser menor que el admisible a fin de asegurar su resistencia: τ < τadm (3.7) Además se debe tener en cuenta la sección de debilitamiento de la chapa a fin de calcular el ancho mínimo necesario de la misma.τadm y por la (3.6) d1 = 4P zπ τ adm (3. según muestra la Fig. es decir. la fuerza que deberá soportar cada uno de ellos será: P=z y despejando d1 de la (3. Si es τadm el esfuerzo unitario admisible al corte del material del roblón.3) Por lo tanto. conociendo el esfuerzo unitario admisible al corte del material del roblón y el esfuerzo máximo al que puede ser sometido.1) siendo d1 el diámetro del roblón remachado.6): π d12 4 τ adm (3.1). conocer el diámetro que debe tener el mismo para soportar la carga a la que estará expuesto. la (3.7.3) d1 se tiene: d1 = 4P π τ adm (3. se lo pude dimensionar.2) resulta: (3. Despejando de la (3. el esfuerzo P que el roblón puede soportar es: P = A.2) P= π d12 4 τ adm (3.A= π d12 4 (3. ya que se descuenta del ancho total b el diámetro d1 del agujero.8) Siendo A’ la sección debilitada de la pieza. Si es σadm la resistencia unitaria admisible a la tracción de la pieza. algunas de las cuales se indican en la figura (Fig.13) Cuanto mayor es v el roblonado resulta de mejor calidad.El área de la superficie de la pieza que ofrece resistencia a la rotura de la misma. indicándoselo con la notación v : v= sec ción debilitada A′ (t − d1 ). denominado coeficiente de debilitamiento o módulo de resistencia. teniendo en cuenta su espesor S o S1. la (3.S t (3. la cantidad z de roblones que se consideran por paso t. La sección total A para el paso t está dada por la expresión: A = t. como son las distancias del agujero a los bordes. para la fuerza P actuando sobre cada plancha. para una tensión admisible σadm. si se denomina paso a la distancia entre centros de los agujeros en la pieza indicándoselo por t. lo que debilita la pieza. se deberá cumplir la siguiente condición para que presenten la resistencia necesaria al mismo: P ≤ σ adm (b − d 1 ) S Para un número z de roblones.S y la sección debilitada A’ dada por la expresión: A’ = (t – d1).10) Cuando se tiene más de un roblón de diámetro d1.11) Efectuando el cociente entre el área de la sección debilitada A’ y el total A se obtiene el rendimiento de la unión. y su ancho (b – d1).12) (3. indicada como P1.9) se transforma en: (3.8): . si es S el espesor de la misma.d1 ) S (3. se pueden distinguir dos secciones en las chapas a roblonar.3. siendo el valor de la fuerza transversal admisible por centímetro de ancho de la plancha.S (3. y la otra es la sección debilitada A’ que surge de restar al paso t el diámetro d1.. tomándose el menor espesor por ser la condición más desfavorable.S t − d1 = = sec ción total A t. es: A’ = ( b – d1)S (3. una es la sección total A entre centros de agujeros para un ancho igual al paso t. el dado por la expresión: P1 = t − d1 Sσ adm t ⎛ kg ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ cm ⎠ (3.14) En el roblonado se deben respetar ciertas dimensiones mínimas a los efectos de lograr la resistencia y comportamiento adecuado de las chapas y roblones.9) P ≤ σ adm (b − z. l (3.15) Si fueran z roblones los que soportan el esfuerzo P : P = zσ.S (3.9) la que está dada por la expresión: A = d1.d1 .3.18) En este caso el roblón produce el desgarramiento de las chapas a lo largo de las superficies laterales A’ paralelas a las generatrices de los extremos del diámetro d1 del mismo(Fig. Si es σ la tensión unitaria de compresión a la que está sometido el roblón y la chapa. la fuerza P será: P = 2. que dan los valores de P1 en función de v.16) (3.21) τc ≤ τadm (3. Cálculo de verificación al aplastamiento El vástago del roblón presiona contra las paredes de las chapas deformándose o causando la deformación de éstas.A los efectos de facilitar los cálculos existen tablas.l.10): A’ = S.τc Debiendo verificarse que sea: (3.S.S (3.17) Si la tensión unitaria de compresión admisible fuera σadm debe cumplirse: σ= Cálculo de verificación al desgarramiento P ≤ σ adm z. Dubbel.l A = A’ = 2.d1.S (3.3. ovalándose los agujeros hasta que se raja la pared y se destruye la unión. la fuerza P que soportan está dada por la expresión: P = σ.20) Si es τc el esfuerzo unitario al corte al cual está sometida la chapa. Se distingue especialmente el roblonado para calderas atendiendo a la variación que presentan las dimensiones del vástago de los roblones al estar sometidos a solicitaciones por variaciones térmicas además de las mecánicas.S.19) (3.22) . del diámetro d1 y según la disposición del roblonado y el tipo de esfuerzos y condiciones a los cuales estará expuesta la pieza.S Donde es A la sección de aplastamiento. La presión se supone se ejerce en forma uniforme sobre la sección del plano diametral de la chapa (Fig. como las que presenta el Manual del Constructor de Máquinas de H.d1. al ser solicitada las chapas por la fuerza P.3. Suponemos un recipiente hermético de diámetro D y longitud l sometido a una presión interior p. al igual que las cubrejuntas (Fig. La Fig.13). ofrece resistencia a la solicitación a la que se somete a las chapas.Si las chapas estuvieran unidas por z roblones.3. El diámetro de los roblones se determina en función del espesor de la chapa. soportando cada una la fuerza P/2.z (3. el esfuerzo de corte sería: τc = P ≤ τ adm 2.11): Debido a las condiciones favorables de solicitación de la chapa en la primera fila de roblones se utilizan cubrejuntas desiguales. presenta dos secciones que resisten el corte. lo que además expone a la misma a menor peligro de rotura en los borde calafateados con respecto a la doble cubrejuntas iguales. Fórmulas de cálculo de roblones El cálculo de roblones se realiza por lo general con fórmulas semiempíricas que tienen en cuenta la gran experiencia existente al respecto y que han sido recopiladas en tablas o manuales lo que facilita la selección del roblonado a ejecutar y asegura su resultado.l.12 indica el calafateado o retacado del borde de la chapa superior. El esfuerzo al que se someterán los roblones se contrarresta en parte por la resistencia al deslizamiento que existe entre las chapas por efecto . A continuación se transcribe las expresiones utilizadas para un caso de los mencionados anteriormente (Fig. Se debe tener en cuenta que el roblón en la doble cubrejuntas.3. lo que como ya se mencionara. lo que aumenta el rozamiento entre ambas.23) Para el caso de más de una fila de roblones se debe considerar la sección debilitada de la chapa. Roblonado a cubrejuntas La metodología de cálculo es similar a lo visto para roblonado por solape.S . El calafateado también se puede realizar en la cabeza de los roblones. por lo general de igual material.27) (3. Las expresiones y valores utilizadas para este caso son: La fuerza P que solicita a la chapa.31) La soldadura constituye una unión fija entre dos o más piezas metálicas. se funden y se combinan resultando una unión por cohesión en las denominadas soldaduras fuertes y por adhesión en las denominadas soldaduras blandas. Para ello se utiliza un soplete soldador (Fig. y casi siempre a un material adicional de aporte. En este curso se estudiarán solo las denominadas soldaduras fuertes.8S e = 1.3. d1 = 5S -0. y las segundas las que además de la fusión necesitan que se ejerza presión entre ellas para que se realice la unión.24) τc = 950 kg/cm2 esfuerzo unitario de corte para doble sección de corte y considerando el rozamiento. Por lo tanto se tienen soldaduras con aporte y sin aporte de material.30) σr = Uniones soldadas 4 = P =p S (t − d1 ) D.9e (3.l (3. el diámetro D y la longitud l del recipiente es igual a: P = p.5t e2 = 0. en función de la presión interna p.15). Soldadura oxiacetilénica Esta soldadura se realiza utilizando el calor producido por la llama que se produce al entrar en combustión el acetileno (C2H2) cuando reacciona con el oxígeno que se le proporciona específicamente con esta finalidad.25) (3. o del material de aporte.D.5 cm S1 = 0. donde el material aportado es de menor resistencia y dureza que los que se unen.26) (3.29) (3.5 d1 e1 = 0.6 cm t = 3. las cuales por medio de calor entregado a las mismas. La reacción que se produce en el soplete es la siguiente: C2 H2 + O2 → 2 OC + H2 + calor (3.del rozamiento. soldadura aluminotérmica y por resistencia eléctrica y presión.l nτ πd2 (3. existiendo válvulas en el soldador para dejar fluir ambos gases hacia una boquilla y tubo mezclador donde se combinan los mismos.5d1 + 1. Actualmente existen soldaduras plásticas que cada día son de mayor utilización tanto en la industria como en aplicaciones hogareñas. al cual llegan acetileno y oxígeno por distintos conductos. Las soldaduras fuertes se realizan mediante soldadura oxiacetilénica (soldadura autógena). siendo las primeras las que se unen por simple fusión de cada uno de los materiales.28) (3.33) . soldadura eléctrica por arco voltaico. Las soldaduras blandas son las estañadas.32) 2OC + H2 + 3/2 O2 → 2CO2 + H2O + calor (3. En la figura (Fig. en los cuales.3.15) se observa la boquilla inyectora del soplete. el oxigeno sale a gran velocidad de la boquilla a presión. generándose el calor necesario para eleva lar temperatura hasta unos 3.200°C aproximadamente.3. por la otra entrada penetra el oxígeno a una presión de trabajo no mayor a los 4 kg/cm2. correspondiendo el de la figura al de caída de agua sobre el carburo pudiendo además ser de caída de carburo sobre el agua y de contacto en balde volcador. luego de haber pasado previamente por un purificador químico. aspirando al acetileno debido a la depresión que se produce.3.3 y 0. fundiendo los metales a soldar y el de aporte según la reacción: C2H2 + O2 → 2OC + H2 + calor 2OC + H2 + 3/2 O2 → 2CO2 + H2O + calor (3. Existen distintos tipos de generadores de acetileno.34) (3. donde se le quita la humedad. En la figura (Fig. dilatándose y reduciendo su presión.35) El acetileno se produce por lo general en los llamados generadores de acetileno (Fig.36) El gas se produce en forma automática a medida que se consume en el soplete adonde es conducido por una manguera.6 kg/cm2 la cual no debe sobrepasar de 1.14) se puede observar el soplete soldador el cual presenta dos entradas. . a una de las cuales llega el acetileno (C2H2) a una presión normal de trabajo entre 0.16 a). el carburo de cálcico (CaC2) se combina químicamente con el agua (H2O) produciendo acetileno (C2H2) según la siguiente reacción: CaC2 + 2H2O → C2H2 + Ca(OH)2 + calor (3. Ambos gases continúan combinándose en el tubo mezclador y a la salida de la boquilla del soplete se produce la combustión.5 kg/cm2. La llama neutra. con exceso de acetileno el núcleo se agranda. se deben utilizar reductores de presión. A la salida de los tubos. pudiéndose notar las siguientes: a) Zona fría de gases no quemados. utilizándose varillas de hierro dulce para soldar acero y de bronce para soldar fundición.3. Según la regulación que se realice en las válvulas del soplete se obtendrá una combustión neutra sin exceso en la llama de combustible o comburente. ya que la presión dentro de éstos es muy superior a la de trabajo. la boquilla debe suministrar un determinado caudal de acetileno en la unidad de tiempo. Zonas de temperaturas en la llama del soplete La llama que se produce en la boquilla (e) del soplete (Fig. la que se encuentra empapando una masa porosa formada por amianto. para lo que se utilizan diferentes tamaños de . tierra de diatomeas y carbón vegetal que se encuentra dentro de éstos.17) se puede observar un regulador instalado en un tubo de oxígeno además de un corte del mismo mostrando como está compuesto para lograr la reducción de la presión. Para soldar aleaciones de CuZn se utiliza generalmente un exceso de oxígeno y para soldar fundición gris se utiliza un exceso de acetileno.3. d) Llama dispersa por acceso de oxígeno del aire.17) a una presión que varía aproximadamente entre 125 kg/cm2 y 200 kg/cm2 pudiendo contener a ésta última presión unos 10000 litros de oxígeno. a los efectos de que no se descomponga el acetileno y evitar posibles explosiones que con una sobrepresión de 2 kg/cm2 podrían producirse. El material de aporte utilizado depende del tipo de material a soldar.16 b) diluido en acetona. se utiliza para soldar acero.3. El oxígeno se encuentra almacenado en tubos (Fig. una llama con exceso de oxígeno o una llama con exceso de acetileno.1.18) presenta diferentes zonas según la temperatura que toman los gases quemados de acuerdo a la cantidad de oxígeno que se combina con el acetileno. El acetileno se comprime dentro de los tubos a una presión que varía entre 15 a 20 kg/cm2. tanto del acetileno como del oxígeno. c) Zona de soldadura. Según el espesor de las piezas a soldar y de acuerdo a la temperatura que se quiere alcanzar. presentándose el caso que con exceso de oxígeno el núcleo se hace más pequeño y quema el material en tanto que. A la presión atmosférica un litro de acetona diluye aproximadamente 24 litros de acetileno. denominados por lo general reguladores.3. conteniendo aproximadamente 6000 litros a una presión absoluta de 19 kg/cm2 disueltos en 13 litros de acetona. el material se carbura y se producen sopladuras. donde la proporción de combinación del oxígeno con el acetileno es de 1:1.El acetileno también puede almacenarse en tubos de acero (Fig. siendo la soldadura defectuosa. En la figura (Fig. b) Cono luminoso de la llama. 19): a) Soldadura en planta horizontal: es una de las formas más sencilla de soldar puesto que el material de aporte se deposita. presiones y tiempos de soldadura del oxígeno y acetileno: Espesor de piezas a soldar Presión de oxígeno (atmósferas) 1 1 1 1.3. por gravedad.2 1. En la siguiente tabla (Tabla I) se puede observar la relación existente entre los espesores a soldar. para espesores de más de 3 mm.000 2.boquillas.100 2. la cual calienta la zona de fusión.000 1.3. cuando la varilla del material de aporte se desplaza por delante de la llama.400 2. d) Soldadura sobre cabeza: es la que presenta mayor dificultad debido a que el metal fundido tiende a desprenderse por su propio peso. donde la varilla del material de aporte se desplaza siguiendo a la llama.4 1. las que por lo general son intercambiables en el soldador a los efectos de permitir con un mismo equipo realizar distintos tipos de soldaduras. facilitándose su combinación con el material de las piezas a soldar. presentado los inconvenientes de pérdida de calor. los consumos.000 Tiempos de soldadura en minutos por mm 5 8 11 16 24 42 60 72 105 165 Tabla I Métodos de soldaduras: Existen diferentes métodos de soldadura según los casos que se presenten por la disposición de las piezas a soldar con respecto al soldador (Fig.20). reteniendo el material fundido por efecto de soplado (Fig.2 3 Consumo de acetileno por hora en litros 80 140 220 290 430 570 950 1.7 1. luego de fundido. También se distingue 1) la soldadura a izquierda. c) Soldadura vertical: presenta un grado de dificultad similar al anterior. enfriamiento rápido y textura con defectos y 2) la soldadura a derecha. utilizada para soldar materiales de hasta 3 mm de espesor. la que por efecto de soplado empuja el material fundido hacia adelante. ambas en forma de zigzag.700 1 2 3 3a5 5a7 7a9 9 a 10 10 a 12 12 a 15 15 a 25 Consumo de acetileno en litros por mm de soldadura 10 25 40 70 150 220 300 400 600 2.500 2. b) Soldadura horizontal sobre pared: adquiere un grado de dificultad ya que debido a que el material fundido tiende a escurrirse hacia abajo. ambas en forma circular.8 2 2.400 Consumo horario de oxígeno en litros 90 175 270 360 500 700 1. . La corriente eléctrica se produce.21). a través del aire. tanto del alma como del revestimiento. las que dan sus dimensiones y características (Fig.Para efectuar la soldadura se comienza primero por abrir la válvula del tubo de acetileno y luego la del tubo de oxígeno. en la soldadura manual por arco eléctrico.3. elevándose la temperatura hasta aproximadamente 3600°C. su longitud total l y su longitud l’ correspondiente a la zona donde es sujetada por la pinza y la cual no tiene revestimiento para permitir el contacto directo y con ello la circulación de la corriente eléctrica. el carbonato cálcico (revestimiento básico) o la celulosa (revestimiento orgánico). como ser el diámetro de las varillas. en ambos casos muy lentamente.100 . que causarían. inclusiones de óxidos. el revestimiento se funde y forma una envoltura gaseosa que impide la penetración del nitrógeno y del oxígeno del aire. Al producirse la elevación de la temperatura. todos ellos confeccionados especialmente para esta operación. etc. Además el soldador debe utilizar los elementos de protección. como pueden ser el óxido de titanio (revestimiento de rutilo). Por lo general se utiliza corriente continua. Los electrodos están normalizados según Normas IRAM. el ferromanganeso (revestimiento ácido). circulando corrientes entre 50 a 500 amperes. Espesor en mm de Diámetro en mm Intensidad de la Energía en kwh la Chapa del electrodo corriente en A absorbida 2 2 40 – 60 0. Se debe tener especial cuidado de no engrasar ni aceitar las roscas u otras partes del equipo ya que éstos arden muy fácilmente con el oxígeno.8 Consumo en kg de electrodos 0. ya sea en un transformadorrectificador conectado a la red eléctrica industrial o en un generador de corriente continua movido por un motor eléctrico o motor de combustión interna (Fig. como por ejemplo el manganeso y el carbono. Para simplificar se denomina electrodo a la pinza con la varilla de aporte de material y pieza al material a soldar. Las piezas a soldar deben estar limpias y previamente calentadas. al ionizar el aire. constituidos por la pieza a soldar que actúa de ánodo y la pinza con la varilla del material de aporte que es el cátodo. las que actualmente vienen todas revestidas o recubiertas con un material especial. está constituido por una varilla de acero o aleación. Además el revestimiento contiene elementos que suplen las materias eliminadas por la combustión. el primero la fragilidad del material y. disminuyendo la velocidad de enfriamiento con lo que se reducen las tensiones en el material además de absorber las impurezas del baño de fusión. con tensiones entre 50 V y 70 V para encender el arco siendo necesario para mantenerlo durante el trabajo tensiones de 20 V y 30 V. En la tabla II se dan distintos espesores de chapas con sus correspondientes diámetros de electrodos con revestimiento y las intensidades de corrientes. Soldadura eléctrica por arco voltaico Se realiza por la fusión de las piezas a soldar y el material de aporte utilizando el calor que desarrolla el arco voltaico que se produce al circular una corriente eléctrica. guantes de cuero y delantal. A continuación en el soplete se abre levemente la válvula que corresponde al oxígeno y a continuación la del acetileno iniciando la combustión con un mechero o chispero. También. Forma escorias que cubren el cordón de soldadura.22). como ser antiparras.3. el segundo. DIN. con una tensión y una intensidad de corriente adecuadas a los efectos de generar el calor necesario y suficiente que permitan la correcta fusión del electrodo y de la pieza. estabiliza el arco eléctrico.. SAE. El electrodo. que debilitan la soldadura. Al finalizar la soldadura se cierra en el soplete primero la válvula del acetileno y luego la del oxígeno. Se utilizan distintos diámetros de electrodos para cada espesor de pieza a soldar. entre los electrodos positivo y negativo. acero colado que por su mayor densidad va a la parte inferior del crisol cayendo dentro del molde a través del conducto o bebedero y funde las piezas que se desean soldar produciendo la unión de éstas. Para que se produzca una correcta soldadura el metal del electrodo y de la pieza deben mezclarse íntimamente.4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 30 3a4 3a5 3a5 4a6 4a6 4a6 4a6 4a6 4a6 4a6 4a6 4a8 4a8 80 – 120 130 – 180 130 – 200 140 –210 150 – 220 160 – 230 170 – 240 175 – 250 175 – 260 180 – 260 185 – 260 190 – 260 200n – 260 1. Es necesario que el arco esté continuamente en contacto a lo largo de la línea de soldadura desplazándose en forma regular y en forma no muy rápida a los efectos de evitar partes porosas y de poca penetración.600 0. con gases protectores y c) por escoria electrolítica.400 2. Soldadura Aluminotérmica Consiste en la fusión del metal de aporte el cual por su alta temperatura. respetándose las reglas de seguridad existentes al respecto.700 3. como metal de aporte. al fundirse el metal por la elevada temperatura.37) . La reacción que se produce al combinarse el óxido de hierro con el aluminio es la siguiente: Fe2O3 + 2Al = Al2O3 + 2Fe + 188 kcal ( 787 kJ) (3. Se colocan las piezas a soldar. una unión por cohesión.800 2. dentro del molde de arena (Fig. La penetración depende del tipo de electrodo y de la intensidad de la corriente empleada. Es de fundamental importancia la penetración. llamada cráter. Al mismo tiempo.300 Tabla II Proceso de soldadura En el proceso de soldadura. La soldadura eléctrica por arco voltaico para casos que exigen mucha pureza también se puede realizar en: a) atmósfera protectora de gases inertes.3. por ejemplo un riel que se quiere unir. ya que cuanto mayor sea ésta.800 1.400 1. el arco eléctrico produce en la pieza una pequeña depresión. como ya se dijera anteriormente. o sea la profundidad o espesor del metal base que se funde por la acción del arco. mejor resultado se obtiene en la unión soldada.200 0. al caer sobre las piezas del mismo metal las funde soldándolas. depositándose el metal en el cráter e incorporándose al metal base de la pieza.400 0. a los efectos de protegerlo de la intensa luz y de los rayos ultravioletas que se producen y pueden afectar el organismo. donde se utiliza un polvo especial para soldar.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 0. fundiéndose la misma llegando aproximadamente a 3000°C. la extremidad del electrodo se funde por el calor del arco eléctrico y se desprende en forma de gotas. Se agrega carbono en forma de polvo. donde la escoria se calienta por resistencia elevando su temperatura por encima del punto de fusión del acero fundiendo éste.000 1. el carbono se combina con el hierro del óxido de hierro al cual el aluminio le sustrajo el oxígeno obteniéndose. b) bajo capa protectora de polvo. se utiliza para soldar piezas de grandes secciones como por ejemplo planchas de hasta 450 mm. debiendo existir.100 2.200 1. Es importante que el operario utilice los elementos de protección para la vista como para el resto del cuerpo. y se enciende la mezcla con un fósforo especial llevándose la misma a unos 1000ºC iniciándose una reacción exotérmica.600 1.24) y dentro del crisol de magnesita una mezcla finamente pulverizada de oxido de hierro y aluminio. (gases nobles como el helio y el argón) y dióxido de carbono especial. t R Q = I2. si se tiene en cuenta que según la ley de Ohm es E = I.24.R. Esto hace que las partes en contacto se fundan. Luego. se quita mediante el uso de una “trancha” o cortafrío. 1 cal = 0. Según sea el tipo de unión que se desee realizar.39) y (3. soldándose al enfriarse y solidificarse nuevamente.t (J) (3. lineal o con características especiales.25).38) resulta: Q= E2 .40) Para obtenerla en calorías se debe tener en cuenta los siguientes factores de conversión: 9.I. experimenta una elevación de temperatura debido al calor generado por el paso de la corriente. soldadura con resaltos y soldadura con arco de chisporroteo o centelleo.24 cal. . la (3.t Y la (3. Las piezas a soldar se calientan previamente en el molde hasta unos 900°C. la zona de contacto entre ambas. de donde resulta 1 J = 0.I.R o I = E/R la (3. soldadura al tope.38) Además.R.I2.t = E. Por lo tanto.42) y (3. Una vez que se produce la soldadura de los rieles.43) La soldadura se realiza utilizando dos electrodos con los cuales se aplica una tensión eléctrica a las piezas haciendo circular una corriente la que produce el calentamiento de las partes en contacto y su fusión.t (J) (3. el contacto donde se produce la soldadura de las piezas puede ser puntual.8 J = 1 kgm. E2 .24. La cantidad de calor Q en joules (J) generado por la potencia eléctrica P en vatios (W) aplicada al establecer una diferencia de potencial E en voltios (V) que hace circular una corriente eléctrica en amperes (A) está dada por la expresión: Q = P.t (cal) (3. y al presionarlas una contra otra se unan. soldadura de costura.39) o (J) (3. con los mismos electrodos.40) se pueden escribir: Q = 0.41) Q = 0.La escoria líquida de Al2O3 que se forma al combinarse el oxígeno del óxido de hierro con el aluminio sobrenada por encima del acero en el crisol.24.38) se puede escribir: Q = 0. se aplica una presión a ambas piezas con lo cual se logra que se suelden en las partes en contacto.3. al presentar mayor resistencia óhmica que el resto de las mismas. Soldadura por resistencia eléctrica y presión Al hacer circular una corriente eléctrica a través de dos piezas.E. utilizándose distintos tipos de electrodos para lograrlo y según como sea la soldadura que se realiza por este método se la clasifica como soldadura por puntos.t (cal) R (cal) (3.427 kgm. según se indica en la figura (Fig. el metal sobrante o “hongo” que sobresale de los rieles. Soldadura por puntos : consiste en la aplicación de una tensión a las piezas a soldar mediante dos electrodos (Fig.3.26-a), que por lo general son cilíndricos y enfriados interiormente por agua, con un diámetro D en el cuerpo del electrodo y un diámetro d en la punta de contacto del electrodo con las piezas (Fig.3.26-b), siendo éste, para acero dulce: Para materiales delgados: Y para materiales gruesos: d = 0,25 + 2t (3.44) (3.45) d = 2,54.t Para la ejecución de la soldadura de dos piezas, las mismas se solapan una longitud L (Fig.3.26-c), dada por la expresión: L = d +2e (3.46) Siendo e la distancia desde el extremo del diámetro del punto de soldadura hasta los extremos de la pieza, dándose el e máximo para: emax = d (3.47) Se utilizan tensiones del orden de los 2V a los 10V e intensidades de 3.000 A a 50.000 A, con la aplicación de fuerzas desde los 90 daN a los 900 daN. Soldadura por costura: está compuesta por una serie de soldaduras por puntos realizadas en forma continua por un electrodo circular que rueda sobre las piezas a unir al mismo tiempo que se aplica una tensión eléctrica y una fuerza mecánica (Fig.3.27). Las dimensiones que se deben aplicar para el solape y la distancia a los extremos de las piezas desde el extremo de la soldadura, son las mismas que para la soldadura por puntos. Los electrodos están constituidos por dos ruedas o rodillos de cobre de diámetros que varían, según el espesor del material a soldar, de 5 cm a 60 cm y aún más. Soldadura con resaltos: cuando se deben soldar una cantidad de piezas fabricadas en serie, a los efectos de facilitar y hacer más veloz la ejecución del trabajo, se utilizan matrices con formas especiales, las que constituyen los electrodos, tomando formas especiales con resaltos, según sea la forma de las piezas a soldar. Una de estas formas se puede observar en la figura (Fig.3.28). Soldadura al tope: se denomina así a la soldadura por resistencia de dos barras que se unen enfrentadas por sus extremos (Fig.3.29), las cuales son sujetadas por los electrodos, los que son al mismo tiempo mordazas, y por las cuales circula una corriente debido a la diferencia de potencial V, calentándose por la mayor resistencia de las dos superficies en contacto, fundiéndose éstas y luego, desconectando la corriente, con una presión mecánica se unen ambas. Se usa en aceros con bajo contenido de carbono, para metales no ferrosos como el cobre, aluminio y aleaciones de cobre y zinc. Soldadura por arco de chisporroteo: es similar a la soldadura al tope, con la diferencia que en este caso se colocan las piezas en contacto ligero y se hace circular la corriente (Fig.3.30); luego se separan levemente una pequeña distancia para producir el chisporroteo del arco eléctrico que forma la corriente al seguir circulando a través del espacio entre ambas superficies con lo que aumenta la temperatura fundiéndose el metal de las superficies en contacto. Luego de obtenido el estado casi líquido del metal, se desconecta la corriente, se aplica una presión con lo que se obliga a despedir el mismo y se realiza la soldadura en el metal en estado pastoso que está detrás del fundido. Con esto se logra que la soldadura quede libre de impurezas, siendo apropiado para aceros con alto contenido de carbono. Cálculo de soldadura por fusión Según sean las formas en que deban unirse dos o más piezas, los cordones de soldadura a realizar con el material aportado presentan distintos tipos. Se pueden observar en la figura (Fig.3.31) algunas de las formas adoptadas. Cuando se realiza una soldadura, se debe conocer previamente si la misma cumplirá con el fin propuesto, esto es que tenga la resistencia adecuada, pudiendo ser menor, igual o mayor que la resistencia propia del material de las piezas que se están uniendo. Por este motivo, es necesario realizar el cálculo de la sección del cordón de soldadura que se deberá ejecutar a los efectos de su dimensionamiento adecuado, teniendo en cuenta las características del metal a unir, las del electrodo a utilizar y las condiciones de trabajo a la que estará sometida la pieza. Además es necesario en otras ocasiones, conocer la resistencia de cordones de soldaduras ya existentes en elementos que serán sometidos a diferentes esfuerzos, motivo por el cual se debe verificar si soportarán los mismos. Supongamos las piezas de espesores t y t1 según muestra la figura (Fig.3.32) las cuales se encuentran unidas por cordones angulares de soldaduras de espesores a y longitudes l1 como se indica. La longitud efectiva de la costura es l ya que por los efectos de borde se introducen por lo general defectos que debilitan la soldadura, motivo por el cual se descuentan los extremos en una longitud aproximadamente igual al espesor de la soldadura y no se los considera para el cálculo de la resistencia de la misma, guardando las siguientes proporciones: a) 1 t1 = 0,7t1 amin = 3mm; b) amax = 2 ; c) l = l1 – 2a (3.48) Donde es t1 el espesor de la pieza más delgada. Para el caso de unión de dos piezas a tope en V (Fig.3.33 a), el cálculo de la resistencia de la soldadura se hace considerando la sección de la mis- ma correspondiente a la pieza de menor espesor y la lon- gitud efectiva l del cordón soldadura se obtiene descontan- do a la longitud total l1 los extremos a iguales al espesor de la pieza más delgada. Para el caso que se coloque un refuerzo debajo de ambas piezas de mayor ancho que las mismas (Fig.3.33b), la longitud del cordón l1 se realiza de la misma longitud que éste ancho, motivo por el cual la longitud efectiva l del cordón es igual al ancho de las piezas. La resistencia de un cordón de soldadura a las solicitaciones a los cuales estará sometido dependerá de la resistencia unitaria admisible del material de aporte y de la sección que el cordón presente a estas solicitaciones. En todos los casos deberá verificarse que la resistencia unitaria a la cual esté sometido el cordón de la soldadura deberá ser menor que la resistencia unitaria admisible del material que constituya éste, es decir: (3.49) a) σsold ≤ σsold.admisible y b) τsold ≤ τsold.admissible Para el caso de varios cordones de soldaduras expuestos a una fuerza F, la sección resultante que soportará esta fuerza, será la sumatoria de las secciones que estén en posición de resistir la misma. Para el caso de la figura (Fig.3.34), el cordón de soldadura sometido a la fuerza F es A = a.l resultando por lo tanto las tensiones unitarias de resistencia a la tracción o compresión y al corte respectivamente, las siguientes: σ sold = y F ≤ σ sold .admisible a.l F ≤ τ sold .admisible a.l (3.50) τ sold = Para el caso de más de una sección se tendrá: (3.51) σ sold = y F ≤ σ sold .admisible (3.52) ∑ (a.l ) τ sold = F ≤ τ sold .admisible ∑ (a.l ) (3.53) Si la unión soldada estuviera sometida a esfuerzos de flexión según indica la figura (Fig.3.35) se tiene que el momento flector que deberá resistir el cordón de soldadura es: M = F.e (3.54) Pero considerando el esfuerzo unitario a la flexión σsold a una distancia c del eje neutro, el momento de inercia Isold de la sección de la soldadura que resiste el esfuerzo se tiene: σ sold = M c ≤ σ sold .adm.a la flexion I sold (3.55) Del cociente entre el momento de inercia Isold y la fibra ν más alejada del eje neutro, se obtiene el momento resistente o módulo resistente de la sección W: W= I sold ν (3.56) Resultando por lo tanto para el esfuerzo unitario a la flexión de la soldadura la expresión: σ sold = M M M .ν = = ≤ σ sold .admisible I sold W I sold ν (3.57) Para la sección rectangular, por ser: 1 a) ν = 2 a el módulo resistente resulta: y b) Isold l.a 3 = 12 (3.58) Wsold = l.a 2 6 (3.59) En las uniones soldadas se deben considerar para el cálculo solo aquellos cordones o costuras que estén en posición de resistir el esfuerzo al que están sometidos. Un caso muy especial es el de los perfiles que presentan distintas posiciones de los cordones de soldadura. Se debe tener especial cuidado en las determinación de los momentos de inercia de las secciones de los cordones de soldadura a fin de obtener la sección resistente total. Supongamos un perfil I soldado a una plancha de acero de espesor “s” según muestra la figura (Fig.3.36). Sobre el mismo actúa una fuerza F a una distancia x, sometiendo a la pieza a un momento de flexión M siendo éste dado por la expresión: M = F.x (3.60) Correspondiendo a este momento un esfuerzo cortante Q. La figura (Fig.3.37) representa la pieza soldada de la Fig.3.36 trasladada al plano en la cual se pueden observar para los valores simultáneos del momento flector M y el esfuerzo cortante Q para un determinado estado de carga.62) La ecuación (3. I.l ) (3.63) O para un momento flector M correspondiente al máximo esfuerzo transversal Qmáx: σ sold ⎡ ⎛ M 1⎢ M = + ⎜ ⎜W 2 ⎢Wsold ⎝ sold ⎢ ⎣ ⎛ Q ⎞ ⎞ ⎟ + 4⎜ máx ⎟ ⎟ ⎜ ∑ (a. se supone que el esfuerzo de corte Q solo lo soportan las costuras que están en posición de resistir .admisible ⎥ ⎥ ⎦ (3.l ) ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 ⎤ ⎥ ≤σ sold . Por lo general se toma el espesor a del cordón de soldadura en función de las dimensiones del perfil: (3. L u otros similares.admisible ∑ (a. ya sean [. la expresión: (3.65) En este tipo de uniones con perfiles.7 t y b) a1max = 0.62) debe verificarse ya sea para un esfuerzo cortante Q correspondiente a un momento flector máximo Mmáx : σ sold = 1 σ + σ 2 + 4τ 2 2 ( ) σ sold ⎡ ⎛M 1 ⎢ M máx = + ⎜ máx ⎜W 2 ⎢ Wsold ⎝ sold ⎢ ⎣ ⎛ Q ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ + 4⎜ ⎟ ⎜ ∑ (a.61) a) amax = 0.64) Además debe cumplirse que sea: τ sold = Qmáx ≤ τ sold .admisible ⎥ ⎥ ⎦ (3.las dimensiones de los cordones de soldadura que resistirán los esfuerzos a los cuales éstos estarán sometidos.7 d De acuerdo con la teoría de la resistencia de materiales del esfuerzo normal máximo. El momento resistente Wsold de los cordones de soldadura está referido al plano de unión considerando el espesor a de cada cordón abatido sobre este plano.l ) ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 ⎤ ⎥ ≤σ sold . se deberá verificar para el máximo esfuerzo principal σsold. 38).3. designándose a h como el paso de la hélice. siendo este el . siendo para este caso.admisible Wsold ∑ (a. y de acuerdo a la figura anterior su longitud es: h = 2 π r tgα (3.68) La hélice puede ser derecha o izquierda según sea el sentido en el cual se enrolla el plano del ángulo alrededor del eje xx’. se manifestarán tensiones dadas por la expresión σN = N ≤ σ sold . Según las Normas DIN por defectos de ejecución y concentración de tensiones se deben disminuir las tensiones admisibles según se indica en el siguiente cuadro: Tipos de Tensiones Tracción Compresión Flexión Corte Defectos de ejecución 15% 15% 15% 15% Concentración de tensiones 10% 5% 5% Total 25% 15% 20% 20% Cuando se tratan de soldaduras delicadas y que exigen un alto grado de perfección se comprueban las calidades de las mismas mediante ensayos especiales. Se trata de un perno o cilindro con resaltos en forma helicoidal que forma la rosca del tornillo.37). y se definió como el paso. la tuerca.66) Y se deberá verificar también: σ sold = M máx N + ≤ σ sold . Suponemos en la figura (Fig. En el mismo plano el eje xx’ distante una distancia r del vértice O del ángulo. que le permite penetrar sujetando dos o más piezas. el lado OB engendra una circunferencia de radio r normal a xx’ y el lado OA engendra una hélice con una inclinación α respecto de la horizontal.67) Todas aquellas costuras que debido a su difícil accesibilidad no puedan soldarse en forma correcta. siendo los más comunes las radiografías.l ) (3. solo las costuras h1 del alma. o con otro elemento adicional. Si se enrolla el plano del ángulo alrededor del eje xx’ manteniendo constante la distancia r. Uniones Movibles (tornillos de fijación) El tornillo es el elemento más empleado en estas clases de unión. AB es la altura h del triángulo AOB. deberán omitirse en el cálculo de la resistencia. ultrasonido y tintas penetrantes. y que es la distancia vertical entre dos puntos homólogos consecutivos de la hélice. Si las costuras angulares de la soldadura se vieran además sometidas a esfuerzos longitudinales o normales N además del momento flector M (Fig.esfuerzos cortantes. la que también tiene una rosca interna de la misma característica que la del tornillo y en la cual se enrosca este último. Para este caso es de izquierda.l ) (3.3.admisible ∑ (a.3. según muestra la figura (Fig.39) el ángulo AOB = α y la longitud horizontal OB = 2π r de uno de sus lados. estando unidos entre sí estos puntos mediante rectas. . Con el movimiento de rotación de tres o cuatro puntos dispuestos sobre dos cilindros concéntricos. Del grupo a) las más comúnmente utilizadas son las roscas Whitworth.t: altura del triángulo generador.d1: diámetro interior del tornillo.avance completo que experimenta un punto de la hélice al dar una vuelta completa. se obtiene el tornillo. . En la rosca sin juego en los vértices teóricamente no existe huelgo. Tipos de roscas Según el perfil generado las roscas se clasifican en dos grandes grupos: a) Roscas para tornillos de fijación. .t1: profundidad del filete. prensas.d: diámetro exterior del tornillo. Se redondea el vértice del triángulo generador en la base a los efectos de eliminar la concentración de tensiones en los cantos vivos. cuyas dimensiones están en milímetros. siendo en estas últimas el paso menor que en las regulares. generalizando el procedimiento. sus diámetros interiores d1. cuyas dimensiones están en pulgadas. Se observan además los ejes xx’ de los tornillos. Rosca Whitworth Su perfil básico es un triángulo isósceles de ángulo en el vértice α = 55º (Fig. por lo que siempre se tiene en este tipo de roscas un pequeño huelgo.z: número de filetes por pulgada inglesa. b) Roscas para tornillos de transmisión de movimiento. formando las aristas que generan los puntos unidos entre sí en la traslación. los que generalmente están en función del paso h. . correspondiendo la elevación h para una vuelta completa. correspondientes a sus núcleos y los diámetros exteriores d correspondientes a los filetes de las roscas. el paso h será igual a: . . es decir para unir o sujetar una o más piezas. . etc. También puede considerarse la hélice como la trayectoria de un punto animado de un movimiento compuesto de traslación y rotación. . . Se identifican en las roscas sus parámetros constructivos.a: juego o huelgo existente entre el extremo del filete y el fondo de la rosca en la rosca Whitworth fina (no se muestra en la figura).3. En la figura (Fig.d2: diámetro medio de la rosca.40) se observan una rosca (a) triangular y una (b) rectangular.3. siendo las principales las siguientes: .h: paso de la rosca en pulgadas. rectangular o de un perfil cualquiera. como pueden ser elevadores. Si se toma el número de filetes z por pulgada.r: radio de redondeo del fondo de la rosca en el vértice del triángulo generador. Las dos más comunes son : roscas regulares o sin juego en los vértices y roscas finas con juego en los vértices. pero debido a problemas constructivos existe una tolerancia.41). la rosca cuyo perfil será triangular. y la Internacional. 96049h t1 = 0. en tanto que las de movimiento pueden se de uno o varios filetes.C. . .71) (3.28h = d – 2t1 (3. en diente de sierra. El roscado. Sus parámetros característicos. Se redondea el vértice del triángulo generador en la base a los efectos de eliminar la concentración de tensiones en los cantos vivos.80) (3. También en éstas se distinguen las de roscas corrientes de las de roscas finas. están en función del paso h. por lo general.r: radio de redondeo del fondo de la rosca en el vértice del triángulo generador.866h d 2 = d – t1 d1= d – 2t1 t1= 0. En este caso el número está dado por la longitud de la rosca.13733h a= 0. UNIM. Existen tablas con las distintas medidas de las roscas.73) (3. IRAM.058h (3.77) (3.t1: profundidad del filete. Löwenherz.). estando la mayoría normalizadas según normas DIN. como las roscas trapeciales. al igual que en la rosca Whitworth.70) (3.z: número de filetes..78) (3.074h d1 = d – 1.79) (3.3. triples o de mayor número. etc. En función del paso h las medidas son: t = 0.M. con sus características principales y diferencias con las de otros tipos. . . . etc..d1: diámetro interior del tornillo o del núcleo. el cual está en milímetros.d: diámetro exterior del tornillo. siendo los principales los siguientes: . SAE. redondas. A.75) d + d1 t =d− 1 d2 = 2 2 Rosca Internacional El perfil básico es un triángulo equilátero de ángulo en el vértice α = 60º (Fig. . Las roscas pueden además ser de filetes dobles. por ejemplo en las roscas de filetes doble el avance es el doble del paso de las de un solo filete. es a la derecha. cuadradas y para construcciones especiales (Sellers.74) (3.72) (3.69) Luego se tendrá en función de h los medidas de los otros parámetros: t = 0. En estos casos el avance es múltiplo del paso entre filetes consecutivos.64033h r = 0.h: paso de la rosca en milímetros.d2: diámetro medio de la rosca. .6945h r = 0.E.h= 1' ' z (3.81) Existen otros tipos de roscas además de las citadas.42). Buttres.t: altura del triángulo generador. Las roscas de sujeción son siempre de un solo filete. . -α : ángulo del vértice del triángulo generador. según los países. 43): aPrisionero de cabeza fresada.47 a) para uniformar la presión sobre la pieza que se ajusta el tornillo. (d) de espiga para pasador. consta de un vástago roscado. (b) cuadrada.45): (a) tuerca hexagonal. (b) bombeado. (c) redonda. Su cálculo se efectúa de manera similar a las de fijación. consta de un perno roscado. Roscas del grupo b: son las que se utilizan para la transmisión del movimiento. (Fig. d. que se atornilla directamente sobre una de las piezas a unir presionando una contra la otra. (g) gota de sebo. pudiendo llevar tuercas en ambas puntas o ir. En la figura (Fig. una de ellas roscada en la pieza y la otra con tuerca.3. algunas de las cuales se muestran en la figura (Fig. La cabeza de los tornillos pueden tener diferentes formas. b. (e) de espiga esférica. También el extremo de los tornillos de unión presentan distintas formas.3.Bulón. y con arandelas de presión (Fig. c.44): (a) hexagonal. Pueden por lo general ser de filetes rectangulares o cuadrados.Espárrago. dientes de sierra.46) con la designación de cada una de ellas: (a) chaflanado.Prisionero de cabeza hexagonal. (d) cilíndrica. las que pueden ser planas (Fig. como es el caso de la figura. (d) tuerca redonda con agujeros cruzados para llave de gancho. siendo sus dimensiones principales las que a continuación se detallan: a) Rosca cuadrada .47b) para evitar que la tuerca se afloje por causa de los movimientos o vibraciones que puedan tener las piezas ajustadas. también las tuercas pueden ser de diferentes formas. (f) de espiga troncocónica y (g) de espiga cilíndrica plana. (e) cilíndrica con hexágono interior.3. cilíndrico. (c) tuerca redonda con dos chaflanes para llave.3. (h) alomada. (c) de espiga. según se puede observar en la figura (Fig. (e) tuerca redonda con ranuras fresadas para llave. (b) tuerca cuadrada.3. (i) moleteada.48) se pueden observar las roscas mencionadas. adquiriendo importancia especial el paso y el número de filetes para el avance del tornillo. algunas de las cuales se indican en la figura (Fig. cabeza y tuerca de apriete hexagonal y arandela. Del mismo modo.3.Tipos de tornillos: Existen distintos tipos de tornillos de unión. se utilizan con arandelas. donde la longitud roscada del tornillo es menor que la longitud roscada de la pieza inferior. trapeciales y de filetes redondos.47). como se puede apreciar en la figura (Fig. Generalmente los tornillo. que es un perno roscado en ambos extremos.3. (f) cónica. salvo los prisioneros de cabeza fresada. (f) tuerca de caperuza para cierre estanco de botellas.3. 5 c) a = 0.02mm (según el número de filetes por pulgada) ⎬ 5) a = 0. estaba dado por: (3. sobre el mismo brazo de palanca a.11777h f) r = 0.05h d) r = 0. Suponiendo el caso de un tornillo que sujeta dos piezas con una tuerca.49).220).84) h: paso a) t = 1.5h ⎫ (3. según la expresión ya vista (2.5h + a c) t2 = 0.05h ⎭ b)Rosca diente de sierra h: paso a) t = 1. resulta: M0 = P0.5h + a – b ⎫ e) a y b = varían según el paso ⎬ ⎭ (3.83) c) Rosca trapecial h: paso a) t = 1.866h d) e = 0.87) .a y el rendimiento según la (2. equivalente a elevar una carga igual por el plano inclinado de la hélice.3.254 mm 3) e = 0.86603h b) t1 = 0.73205h d) e = 0. el giro del tornillo con una carga P que soporta la rosca.25597h (3.a P0 = = M m P1 .86) η= M 0 P0 .12427h ⎫ ⎬ ⎭ (3.36603h d) Rosca redonda b) t1 = 0.82) 4) e1 = e + 0. la cual es apretada por una llave a la cual se le aplica una fuerza P1 con un brazo de palanca a (Fig.a P1 < 1 (3. Se parte de la hipótesis de que el esfuerzo máximo que experimenta el tornillo tanto en su núcleo como en sus filetes se deben a esfuerzos de tracción.a Este momento hace que se ejerza una fuerza de cierre P de tracción sobre el tornillo.h: paso 1) t = 0.75h c) t1 = t2 + b e) b = 0.215) el momento ejercido considerando la existencia del rozamiento es: Mm = P1.55h 2) t1 = t + 0. Si se denomina M0 al momento ejercido por una fuerza P0 sin considerar el rozamiento.26384h b) t2 = 0.85) Cálculo de la resistencia de un tornillo El cálculo de la resistencia de un tornillo permite su dimensionado a los efectos de que ofrezca la resistencia necesaria a los esfuerzos al cual estará sometido. Una forma sencilla y rápida de realizarlo consiste en considerar.08 a 0. (Fig. será: P= P1 .228).89) Donde es rm el radio medio del tornillo.96) Si además el tornillo está sometido a torsión.65 = σ t d 2 ≅ 0.88) se obtiene: P = η P1 2π a h (3.50) del tornillo.98) . según la expresión (2. dn y dm los diámetros del filete .86) se obtiene: P0 = ηP1 (3. Si es σt la resistencia o esfuerzo unitario a la tracción.3. el valor de la resistencia unitaria σt’ para este caso se toma: σt’= ¾σt (3. h es el paso y µ el coeficiente de roce entre los filetes de la rosca del tornillo y de la tuerca. Sean df.93) Para obtener el diámetro del filete df . teniendo en cuenta que es aproximadamente: 2 dn ≅ 0.65 d2 f dn = 4P (3. Si no existiera rozamiento. del núcleo y medio del filete respectivamente.De la (3. la fuerza de cierre P en función de P0.51σ t d 2 f f 2 4 df (3.94) 2 y aplicando en la (3.89) µ = 0 resulta: P = P0 a2π h (3.375 d 2σ t f f P = 0.97) Por lo que el valor de P resulta: 3 σ t d 2 = 0. 4 (3.91) Conocida la fuerza P se puede dimensionar el tornillo.92) π σt de donde es: (3.95) df = 2P σt (3.5.a 2π rm − h µ rm h + µ 2π rm (3. se tiene que la fuerza que puede resistir el núcleo del tornillo está dada por la expresión: P= π d n2 4 σt (3.91) el artificio de multiplicar y dividir por d f se obtiene: P= De donde resulta: π d n2 4 σt d2 f d2 f = π d2 f 4 σt 2 d n π 0. haciendo en la (3.88) La fuerza de cierre.90) y reemplazando P1 por su valor dado por la (3. W es.95): P = 0. si se aplica para valores conocidos de σt según estado de carga II según Bach. torsión y esfuerzos dinámicos es: (3. la cual se muestran las medidas de los filetes de la tuerca. considerando al filete de la tuerca como una ménsula.28σ t d 2 f (3. se tiene que según la hipótesis de carga.103) Y para df < 40 mm.51.480.600. para roscas hechas al torno.105) El Módulo Resistente del filete de la rosca. la fuerza P que actúa a una distancia l. d f (3.57 P σt (3. por ejemplo para acero dulce y cargas variables y el valor de la tensión σt= 600 a 800 kg/cm2 . provocará un momento flector M. Según la teoría de la Resistencia de Materiales.52): . d f = 240. según la (3.100) Por lo tanto. d f = 270. adoptándose el valor: σ t′′ = σ t′ De donde resulta: 3 4 (3. la fuerza P está aplicada a una distancia l del diámetro del filete del tornillo igual a: l= 7 t 16 (3.101) Tiene mucha importancia el sistema constructivo de la rosca.540.104) Cálculo de la altura de la tuerca Se supone que el mayor esfuerzo que soportan los filetes de la tuerca es el de flexión. el cual será soportado por la sección resistente W.5. d f = 300.3.Si además debe el tornillo resistir esfuerzos dinámicos. o para hierro forjado y cargas variables y σt = 600 kg/cm2 es. σt = 540 kg/cm2.3. d f (3. como por ejemplo vibraciones. es: 2 2 P = 0. Si se analiza la figura (Fig.99) P = 0.51) para rosca internacional. será la resistencia unitaria σt” aún menor. para df > 40 mm. por ejemplo.5. según la figura (Fig. σt = 480 kg/cm2: 2 2 P = 0. para el tornillo sometido a esfuerzo de tracción.102) Para roscas hechas con tarraja se toma. d f 2 2 df = 3. 94) resulta: dn = 0.σf (3.h = H altura de la tuerca.113) Cálculo de la altura de la cabeza del tornillo .π .π.107) los valores de l y de W dados por las (3.l = W.110). reemplazando el valor de P dada por ésta última en la (3.110) H= P 0.π .d f t σf 0. el Momento Flector será: M = P. haciendo z.d f ⎛ 7 ⎞ 2 ⎜ h⎟ 6 ⎝8 ⎠ (3.8df De donde se obtiene: H ≅ dn (3.109) se obtiene: z.111) permite dimensionar la altura de la tuerca.114) (3.8df Pero de la (3.111) La (3.d 2 f σ (3.92). en la (3.π .106) respectivamente se obtiene: z.735df ≅ 0.109) t = h.107) Reemplazando en la (3. z.34π d f σ f π .d f ⎛ 7 ⎞ 2 7 P t= ⎜ h⎟ σ f 16 6 ⎝8 ⎠ Pero de la figura (Fig.0. Por lo tanto.3. se obtiene: (3.735.df : base del rectángulo de la sección que resiste el esfuerzo P.106) Siendo.cos 2 = h.d f ⎛ 7 ⎞ 2 7 .866 Reemplazando en la (3.108) α (3.0.115) (3.W = z. Como al mismo tiempo el tornillo soporta esfuerzos de tracción dado por la expresión (3.P = ⎜ h⎟ σ f 16 6 ⎝8 ⎠ Operando la (3.cos30º = h.105) y (3.866.h.51) es: (3.34π d f σ f (3.112) se transforma en: H = 0.106): z: número de pasos del filete que comprenden la altura de la tuerca.108) el valor de t dado por la (3. 7 h 8 : altura del rectángulo de la sección que resiste el esfuerzo P.111) se obtiene: H= t σ 4 = 0.112) Para un estado de carga variable (Bach II) y para σt =σf = 350 kg/cm2 (hierro dulce) la (3. 7df (3. flexión. siendo la superficie de corte igual a: P = π.Se considera que por la tracción del tornillo se produce un esfuerzo de corte en la superficie cilíndrica de diámetro dn y altura h1 (Fig. se transforma total o parcialmente en trabajo de deformación y de rozamiento. del giro (Fig.3.h1. obtenemos: (3. tracción o compresión respectivamente del muelle. la energía de la carga que soporta el mismo.3. Existen diferentes tipos de muelles.τ c (3.3. con lo que se evita total o parcialmente la fuerza de choque sobre los apoyos o se logra almacenar en él energía potencial.τc Despejando en la (3.54a). Pueden ser de sección rectangular. produciendo su destrucción. en el campo de las deformaciones elásticas (ley de Hooke) es una recta o una curva. Almacenaje de energía por los resortes Si se designa. La cabeza se separaría del vástago según las generatrices ab y cd.118) h1 = 300 df π .53).dn. por f la desviación. siempre que estas cargas no los expongan a solicitaciones superiores a los límites de elasticidad del material con el cual están construidos. Si por el . etc. la característica de un muelle sin rozamiento. para suspensión de diferentes partes de vehículos para absorción de impactos.df. helicoidales o de barras de torsión. Se utilizan como uniones de máquinas a sus bases para disminuir sus trepidaciones.120) Muelles o resortes Son elementos de máquinas que sometidos a carga varían su forma entre límites más o menos amplios. para almacenar energía para el accionamiento de dispositivos. torsión.54b).116) h1 = P π . reemplazando en la (3. circular o de formas especiales. según se muestra en la figura (Fig. compresión.τ c (3. o del alargamiento o acortamiento (Fig.119) Si es τc = 135 kg/cm2. bajo la acción de una fuerza F.3.117) el valor de P dado por la (3. o solo en energía de deformación del resorte. se obtiene para la altura de la cabeza del tornillo: h1 = 0. torsión. d f = π. o por su forma de trabajo: tracción.d n . Según el tipo de muelle. como por ejemplo en los muelles espirales y de ballesta sin rozamiento.117) Para el caso anterior ya visto para roscas torneadas.. cuadrada..τc Operando en la (3. etc. estando clasificados por su forma geométrica: muelles de hojas elásticas. Es una recta si f crece proporcionalmente con F.h1.54).3.116) h1.102) y operando se obtiene: 300. de plato. o sea una medida de la traslación (Fig.118) obtenemos: 2 (3.54c) por flexión. del módulo de elasticidad y de la longitud del resorte: f = Si es: σ . de características rectilíneas o no.55) es: T= F. f 2 T= = 2 2 ε= σ E = ∆l f = l l (3. medidos en cm2 y en cm respectivamente.122) El valor de tgα1 representa la dureza del muelle y se designa con la letra c midiéndose en kg/cm o en N/cm. operando se obtiene la deformación en función de la tensión. o sea que se va curvando (amortiguación progresiva).55) es: tgα 2 = dF df (3. éste se hace más rígido.121) Siendo la tangente del ángulo α1 que forman las direcciones de la fuerza F y la deformación f una constante: tgα 1 = F =c f (3.3. Si es σ la tensión de tracción o compresión y E el modulo de elasticidad del material (para el acero es E = 2.1. Para un muelle en general.124) Estando T en kgcm oNm. (curva 2 de la figura Fig. Si se designa con ±∆l = f el alargamiento o acortamiento del resorte debido a la carga F que actúa en la dirección del eje del muelle (Fig. a medida que aumenta la deformación del muelle.3.8 Gpa) . en el campo de las deformaciones elásticas se verifica que el alargamiento o acortamiento unitario es: F .126) . ambos en kg/cm2 o N/m2.125) De la (3.l E (3. correspondiente al área rayada del triángulo de la figura (Fig.3.123) Para el muelle de características elásticas se puede escribir: (3.125). En este caso.contrario.55 c).3. f c.106 kg/cm2 = 205. El valor del trabajo absorbido por el muelle de características rectilínea (recta 1 de la figura Fig.55). la pendiente de la tangente a la línea característica es una medida de la fuerza unitaria del muelle (Fig. f 2 (3. Cálculo de muelles Muelles de tracción y compresión Considerando un resorte de sección constante A y de longitud l. entonces la línea característica se va inclinando cada vez más al ir aumentando la carga.3.55). 134) El volumen del resorte es: (3. (3. o sea el trabajo elástico. entre las superficies en contacto rozamiento.129) a) σmax ≤ σ tracción admisible b) σmax ≤ σcompresión admisible T= σ2 2E A.131) Muelles de anillos elásticos: es un ejemplo de muelle que trabaja a la tracción y compresión (Fig.132).132) σi = π Ai tg (β + ϕ ) (3.133) La deformación de los anillos es: f = ⎛ re ri ⎞ P z ⎜ ⎜A + A ⎟E ⎟ π tgβ tg (β + ϕ ) ⎝ e i ⎠ V = 2π (ne re Ae + ni ri Ai) (3. Los internos trabajan a la compresión y los externos a la tracción.130) Se tendrá que para los muelles trabajando a tracción y compresión.l (3. la energía absorbida en el proceso total de deformación.124) en la que se reemplazan los valores de F y f dados por las expresiones (3. existiendo además. superpuestos unos sobre otros.133) y (3.134) Ae y Ai las áreas de las secciones de cada anillo externo e interno .F = σ.128) Para su cálculo debe tenerse en cuenta que la máxima tensión de tracción o compresión que en los muelles tenga lugar no debe sobrepasar las tensiones admisibles.126) respectivamente será: (3.126) y (3.l Además si el volumen del muelle es: V = A. valdrá: T= 2 1 σ max V 2 E (3.127) Luego el trabajo total de deformación dado por la expresión (3.3.A (3. con los de diámetro menor introducidos dentro de los de diámetro mayor.135) Siendo en la (3. es decir que debe verificarse: (3.56). Las tensiones a las que están sometidos los anillos están dadas por las siguientes expresiones: a) Para los anillos externos σe = b) Para los anillos internos π Ae tg (β + ϕ ) P P (3. Consiste en una serie de anillos concéntricos de secciones cónicas unas interiores y otras exteriores. para anillos de acero. las ecuaciones para el cálculo a la flexión de una placa anular. son arandelas de forma cónica. µ = tgϕ el coeficiente de rozamiento. β el ángulo que forma el eje del resorte con la cara cónica de un anillo.138) D s s Si es D < 0.03 ≤ factores obtenidos experimentalmente en función de la relación ε= d D . siendo las mismas las siguientes: (3. siendo esta última la que comprime el plato hasta dejarlo horizontal (plano). Los valores de la tensión admisible σ0 y de la deformación f del muelle están dados por expresiones que contienen 0. también llamados Belleville. Por lo general . que cuando se cargan axialmente trabajan a la flexión (Fig. respectivamente. Se pueden utilizar.5º (3. es µ ≈ 0. re y ri los radios desde el centro de gravedad de cada uno de los anillos externo e interno ne el número de anillos externos y ni el número de anillos internos.58). con mucha aproximación.respectivamente.137) s ≤ 0.136) siendo el valor óptimo: αopt = 6. debiendo verificarse β > ϕ. para los valores prácticos siguientes: 4º ≤ α ≤ 7º (3.03 existe el peligro de doblado y para D > 0. z el número de superficies Muelles de plato (de flexión) Los muelles de plato.139) σ0 = y para P k1 s2 R= D 2 . Se utilizan cuando hay que absorber grandes cargas y ser pequeño el espacio disponible para el recorrido del resorte.3. es: .06 (3. La tensión admisible que pueden soportar es un 75% de la tensión de bloque. Varios de estos discos pueden superponerse simplemente formando paquetes o combinarse para formar columnas (Fig.57).06 no se puede aplicar el cálculo como placa anular.3. cónicas en contacto.16. f = k1 .k 2 P.R 2 s3 (3.140) El trabajo de deformación T absorbido por el resorte, para la tensión σ de trabajo a la cual está sometido el plato, está dado por la expresión: T = 0,5k 3 R 2 sσ 2 (3.141) La máxima deformación experimentada por el plato al ser sometido a una carga que produce la tensión de σbloque es la altura h0 y está dada por la expresión siguiente: h0 = σ bloque .k1 .R 2 s (3.142) Los factores k1, k2 y k3 están diagramados para longitudes dadas en milímetros, según se muestra en la figura (Fig.3.59). Muelles de flexión de ballesta rectos Son utilizados por los general en vehículos, denominados comúnmente elásticos, formando paquetes de hojas o ballesta, superpuestas unas encimas de las otras. Pueden ser de forma rectangular, trapecial o triangular. El triangular constituye un sólido de igual resistencia a la flexión de altura h constante, siendo el momento de inercia y su sección resistente el de la sección empotrada. Se logra la flexión constante obteniendo de esta forma el máximo aprovechamiento del material. La línea elástica en este caso corresponde aproximadamente a un arco de círculo. Analizando la figura (Fig.3.60), si actúa la fuerza F en el extremo del muelle, a la distancia l, y siendo el momento de inercia de la sección empotrada el dado por la expresión: J= y su sección resistente: b.h 3 12 (3.143) W= b.h 2 6 M b = F .l = 1 2 b.h .σ b 6 (3.144) El momento flector producido será: (3.145) Siendo la fuerza F : F= Y la deformación: b.h 2 σb 6l F .l 3 2 E. J (3.146) (3.147) Reemplazando en la (3.147) el valor de J dado por la (3.143) y el de F dado por la (3.146) resulta para f el valor: f = f = l2 σb E.h (3.148) Haciendo σb = σbmax ≤ σbadm el trabajo que puede absorber el muelle triangular es: 2 1 1 σ b max ⎛ 1 ⎞ T = F. f = ⎜ bhl ⎟ 2 6 E ⎝2 ⎠ (3.149) Por ser el volumen del muelle: V = la (3.149) resulta: 1 b.h.l 2 (3.150) 2 1 σ b max T= V 6 E (3.151) Los muelles triangulares de una sola hoja resultarían muy anchos para su aplicación práctica, por lo que generalmente se lo divide en varias fajas longitudinales (Fig.3.61) las que superpuestas de a pares una sobre otras dan un muelle de ballesta triangular compuesto, obteniéndose así un sólido de igual resistencia a la flexión, el cual tiene igual resistencia y capacidad que el muelle triangular sencillo de ancho B = n.b, siendo n el número de hojas. Se supone que no hay rozamiento entre las hojas, condición que nunca se cumple en la práctica, por más lubricadas que estén las superficies. Son de aplicación las mismas expresiones, siendo el ancho de cálculo en este caso n.b. Muelles de torsión Los resorte que trabajan a la torsión pueden ser resortes de barra recta y resortes helicoidales de secciones cuadradas, rectangulares o cilíndricas. a) Resorte a torsión de barra cilíndrica recta.: consiste en una barra que es sometida a un par de fuerzas perpendiculares a su eje que producen un momento torsor igual a: Mt = F.r (3.152) Por la acción de este par las dos secciones paralelas perpendiculares al eje separadas una distancia l giran, desplazándose un ángulo ω en el radio r. Además la línea espiral originada por el giro de la periferia forma con la generatriz primitiva del cilindro el ángulo de deslizamiento γ. Si se analiza la figura (Fig.3.62) se puede observar que la deformación f que experimenta la sección en la periferia, es decir, a la distancia r, está dada por el desplazamiento desde el punto A hasta el punto B, siendo: f = arco A.B Por otra parte es: f = r.ω = r.ω ≅ l.γ de donde: (3.154) (3.153) γ = r.ω l (3.155) Designando con G el módulo de elasticidad a la torsión, cuyo valor para el acero es 8.105 kg/cm2, el deslizamiento será: γ = τ G (3.156) Reemplazando en la (3.154) el valor de γ dado por la (3.155), la deformación es: f = γ .l = τ .l G (3.157) La expresión del momento torsor en función de la sección resistente y el esfuerzo unitario de corte es: Mt = W.τ Estando la sección resistente polar para la sección circular dada por: (3.159) Igualando los segundos miembros de las expresiones (3.152) y (3.158) que dan el momento torsor, reemplazando además en la (3.158) el valor de la sección resistente polar dada por la (3.159), se obtiene: (3.158) Wp = π .d 3 16 F .r = De la (3.160) se obtiene: π .d 3 16 τ (3.160) F= El trabajo de deformación, según la (3.124) es: π .d 3τ 16.r (3.161) T= Como el volumen del cilindro es: π .d 2 .l τ 2 4 4G (3.162) V = El trabajo absorbido por la barra, con τ = τmax d 2π .l 4 ≤ τadm según la (3.162) es: 1 τ max 2 V 4 G (3.163) T= (3.164) b) Muelles helicoidales de sección circular: el resorte helicoidal está formado por el arrollamiento de un alambre o varilla de sección uniforme, alrededor de un cilindro. El eje del alambre forma una hélice, manteniendo una distancia constante entre las espiras sucesivas. Si la distancia entre espiras es pequeña, se dice que es un resorte de espiras cerradas, y considerando la tensión a la que está expuesto el material del mismo, puede aplicarse la teoría de la torsión. Por lo tanto, considerando al resorte una sucesión de muelles de torsión unidos en el espacio (Fig.3.63a), de diámetro del alambre d, diámetro de una espira D y radio de la misma R y sometido a una fuerza F, para que exista equilibrio debe ser igualada esta fuerza externa por las fuerzas internas del material. Por ser la pendiente del muelle pequeña, se puede suponer sin cometer mucho error, que la fuerza F actúa perpendicular a la línea helicoidal (Fig.3.63b), y calculando por torsión con un radio R de la espira, siendo W la sección resistente polar dada por la (3.159), se tiene: Mt = F.R = W. τ Despejando τ de la (3.165) y reemplazando W según la (3.159) se tiene: (3.165) τ= 16 FR 8 F .D = π .d 3 π .d 3 (3.166) Para obtener la desviación f se recurre a la figura (Fig.3.64) en la que se considera un elemento diferencial dL del muelle, el cual es igual a: dL = R.dα (3.167) Siendo: R = OS (3.168) el radio de la espira del resorte. Bajo la acción del momento Mt el radio OA de la sección transversal de la barra girará el ángulo dθ hasta ocupar la posición OB describiendo el arco CD dado por la expresión: (3.169) Arco CD = OC. dθ El punto de aplicación de la fuerza F descenderá la distancia CE. Por tratarse de un elemento diferencial se puede suponer que el arco CD se confunde con la secante CD, resultando: arco OC.dθ = secante CD De la (3.170) se obtiene: ____ (3.170) R CE = OC.dθ .cosβ = OC. .dθ OC Operando en la (3.171) resulta: CE = R. .dθ (3.171) (3.172) Siendo CE la deformación del elemento diferencial dL del resorte y dθ el ángulo de torsión que corresponde al giro de la sección del elemento dL por efecto de la fuerza F. A los efectos de obtener el valor de dθ en función del momento torsor Mt, de la longitud dL del elemento de resorte considerado, del diámetro d del alambre y del módulo G de elasticidad a la torsión del material, se observa en la figura (Fig.3.65) que es: dγ .dL = De donde resulta: d dθ 2 (3.173) dγ = (3.174) d dθ 2 dL Siendo dγ la deformación que sufre a lo largo de su generatriz el elemento dL, que en función de el esfuerzo unitario de corte τ y el módulo G de elasticidad a la torsión es igual a: dγ = τ G (3.175) Igualando los segundos miembros de la (3.174) y de la (3.175) por tener iguales los primeros miembro, se obtiene: τ G Despejando τ de la (3.176) es: = d dθ 2 dL (3.176) τ =G Por otra parte es: d dθ 2 dL (3.177) (3.178) Siendo W la sección resistente polar, de donde reemplazando su valor dado por la (3.159) en la (3.178), resulta: τ= Mt W τ = Mt 16 πd3 (3.179) Reemplazando en la (3.179) el valor de τ dado por la (3.177) obtenemos: G Despejando de la (3.180) dθ se obtiene: 16 d dθ = Mt 2 dL πd3 (3.180) dθ = M t dL πd4 G 32 (3.181) Pero en la (3.181) es: Ip = π d4 32 (3.182) Donde es Ip el momento de inercia polar de la sección del alambre. Reemplazando en la (3.181) π.d4/32 por Ip se obtiene: dθ = M t .dL G.I p (3.183) n del resorte.R 3 . La deformación f para el largo total 2π.190) (3.dα G.188) resulta: 2 1 τ max T= V 4 G (3.183) el valor de Mt y de dL dados por las (3.I p (3. I p (3. se observa que los de tracción y compresión tienen la .189) Además.185) Integrando la (3.d 2 4 2π .FR 3 n G . para la deformación total f del resorte: f = 64 FR 3 n Gd 4 (3. f π . obtenemos: CE = M t . se obtiene integrando CE para α variando desde 0 hasta 2π.d 2 τ2 2π R n = 2 4 4G (3. Deben tenerse en cuenta la tensión cortante en los puntos de la sección más próxima al eje del muelle.Reemplazando en la (3.191) permite calcular el trabajo de deformación.I p ∫ 2πn 0 dα (3.3.187) El trabajo de deformación absorbido por el resorte será: T= Como el volumen V del resorte es: F . siendo n el número de espiras del resorte.I p G .192) El factor k’ depende de la relación D/d y puede obtenerse de diagramas similares al de la figura (Fig.n (3.188) V = π . como debe ser para la mayor solicitación a la que está expuesto el resorte: τ = τmax ≤ τadm La (3. los cuales se construyen con datos obtenidos experimentalmente.186) Y reemplazando Ip por su valor según la (3. la cual está dada por la expresión: τ max = k ′ 8 DF πd3 (3.184) Como se dijo.165) y (3.66).167) respectivamente y en la (3.n: f =∫ 2πn 0 CE = ∫ 2πn 0 FR 3 FR 3 dα = G . CE es la deformación para la longitud dL del resorte.F . Si se comparan los trabajos de deformación T de los distintos muelles.R.185) se obtiene: f = 2π .172) el valor de dθ dado por la (3.183).191) La (3. no influyendo la curvatura de la barra.182) se obtiene finalmente. Verificación de Elementos de Máquinas . Ing.Elementos de Máquinas .Diseño de Elementos de Máquinas AUTOR EDITORIAL H.2 1 σ max T= V facultad de absorber el mayor con .Elementos de Máquinas .Manual del Ingeniero Mecánico de Marks . Shigley. O.A. F.Ch.Diseño de Máquinas .() -----------------Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía TÍTULO .Resistencia de Materiales . Fratschner Gustavo Gili M. Spotts Reverté Academia Hütte Gustavo Gili Vallance-Doughtie Alsina Hall-Holowenco-Lau McGraw-Hill Baumeister y Marks Uteha Aguirre Esponda Trillas Alvin Sloane Uteha J.Manual del Constructor de Máquinas . -------------------.Montaje.Elementos de Máquinas . Ajuste.M.Manual del Ingeniero Hütte II A .Cálculo de Elementos de Máquinas . . Mischke McGraw-Hill Pezzano-Klein El Ateneo Dobrovolski y otros MIR Schröck V. lo que 2 E permite un mayor aprovechamiento del material del muelle. Faires Reverté Montaner y Simón S.Proyecto de Elementos de Máquinas .Diseño en Ingeniería Mecánica .Diseño de Elementos de Máquinas . Dubbel Labor Dr. Caso de las bicicletas. cuando engranan entre ambas. como es el caso de los engranajes a cadena que se muestra en la figura (Fig.sus ejes son paralelos. En la figura (Fig. resistencia y características se debe conocer previamente: a) distancia entre los ejes de las ruedas dentadas. directamente una con otra. b) Engranajes de acción indirecta: cuando accionan uno sobre otro a través de un vínculo intermedio o auxiliar.sus ejes se cruzan. favoreciendo la transmisión del movimiento a elevada velocidad. donde z1 es la rueda conductora o motora. el engrane está continuamente lubricado.4. Clasificación de los engranajes Según como los engranajes interactúen entre sí. Para el cálculo de las dimensiones. c) relación de transmisión y d) fuerza tangencial que se debe transmitir. etc. éstas están expuestas al desgaste. motivo por el cual son endurecidas mediante tratamientos térmicos de endurecimiento superficial como es el caso del cementado de los aceros. materiales sintéticos. conformando ruedas dentadas. denominada conducida. Los engranajes son construidos mediante el fresado o tallado. acero.engranajes de rueda y tornillo sinfín. siendo el primero estriado. la cual se encuentra montada sobre un eje motor y transmite el movimiento a la rueda conducida z2 a través de la cadena.2). Debido al constante rozamiento entre las superficies en contacto.4. Los engranajes cilíndricos pueden ser de dientes rectos.42 ENGRANAJES Generalidades: Los engranajes son. según sean las posiciones de sus ejes. o de dientes helicoidales. lo que permite al engranaje z1 deslizarse a lo largo del mismo. Distintos materiales se utilizan para la construcción de los engranajes pudiendo ser éstos fundición de hierro. A los efectos de evitar el desgaste. cuando giran. 4. Esta transmisión se realiza mediante la presión que ejercen los dientes de una de las ruedas.4. aluminio. pueden presentar los siguientes casos: 1. como el teflón. de acuerdo a normas específicas. 3. b) número de vueltas por minuto de la rueda motora. donde la rueda de menor diámetro se denomina generalmente piñón. z1 y z2 estando montados sobre los ejes I y II. como es el caso de la figura (Fig. lo que además lo refrigera. por ejemplo.sus ejes se cortan. cuando son parte de una hélice que envuelve a dicho eje. los engranajes de acción directa. A su vez.1) se pueden observar dos engranajes cilíndricos rectos que engranan entre sí. cilindros con resaltos denominados dientes. denominada motora sobre los dientes de la otra rueda. transmitir el movimiento de rotación entre sus árboles o ejes colocados a una distancia relativamente reducida entre sí. ocupando otra posición.1). estando durante el movimiento en contacto varios dientes sin choques ni interferencias que lo impidan o entorpezcan. cuando éstos son paralelos al eje de giro del cilindro. en general. las que permiten. se los puede clasificar como: a) Engranajes de acción directa: formados por dos o más ruedas que engranan entre sí. 2. . bronce. pudiendo tener dientes rectos.4. Para una velocidad angular n1 le corresponderá para la cremallera una velocidad v de desplazamiento. por lo tanto el número de dientes que tendrá es infinito. . los que están construidos de tal modo que si sus ejes se prolongaran. en tanto que la exterior cuenta con dientes interiores. helicoidales y en V respectivamente. de acuerdo al recorrido o desplazamiento que se quiera obtener. la de menor diámetro que se encuentra dentro de la de mayor diámetro. En la (Fig. ellos se encontrarán en un punto o vértice común. Sus dientes pueden ser rectos. La distancia L entre los ejes es igual a la diferencia de sus radios primitivos.Ruedas cuyos ejes se cortan: este caso se presenta en los engranajes cónicos. 2.4.4.4.4. en arco o en espiral. una de las cuales.7) y (Fig.9) se observa un engranaje cónico de dientes rectos y en la figura (Fig.5) se observan dos ruedas de engrane interior.4. por lo que se utiliza una porción de la misma.4. tiene dentado exterior. según se muestran a continuación: En la (Fig.1.8) se puede observar engranajes de ejes paralelos.4. En la figura (Fig.4) se presentan dos engranajes montados sobre los ejes paralelos dispuestos a una distancia L siendo ésta de igual medida a la suma de sus radios primitivos. Los ejes sobre los cuales están montados ambos son paralelos. respondiendo en cada caso a determinadas condiciones de trabajo y trazado.6).10) un engranaje cónico de dientes en espiral.3) se tiene una rueda o piñón z1 que engrana con una cremallera z2. de dientes rectos. (Fig. de engrane exterior. pudiendo presentarse distintos casos.Ruedas de ejes paralelos : se presenta para ruedas cilíndricas que están montadas sobre ejes paralelos. En la figuras (Fig. En la (Fig. siendo esta última una rueda dentada de radio infinito. helicoidales o en V. En la figura (Fig.13). según sea el perfil de los dientes y filete que presenta la rueda y el tornillo sinfín respectivamente.4. Los distintos parámetros de un engranaje y el cálculo de los mismos están referidos a su circunferencia primitiva.15) se indican las circunferencias primitivas del piñón y de la rueda. se indica con n1 el número de vueltas por minuto con que gira .14a) se tiene ambos de perfiles cilíndricos. los diámetros primitivos Dp de la rueda y dp del piñón y sus radios primitivos Rp y rp respectivamente. el contacto que hacen los dientes de ambos se realiza en la línea que marca el perímetro de la superficie de dos cilindros lisos ideales. denominados cilindros primitivos.4.4. Elementos de los engranajes cilíndricos de dientes rectos. figura (Fig. la circunferencia primitiva de los engranajes. La (Fig.4. En ella se observan además.11a) α = 90º.4. cuyos ejes O1 y O2 están separados la distancia L.Ruedas cuyos ejes se cruzan en el espacio: son engranajes cilíndricos de dientes helicoidales cuyos ejes se cruzan en el espacio.4.4. con lo que se obtiene un cambio en la transmisión del movimiento de rotación perpendicular al original.14c) tanto la rueda como el tornillo sinfín presentan perfiles globoides. 3.11b) α < 90º el cambio se produce en ángulo agudo y figura (Fig.4. mostrándose en las figuras que siguen los mismos.Engranajes de rueda y tornillo sinfín: se pueden presentar tres casos. que se transmiten por fricción el movimiento de rotación de sus ejes sin deslizar uno sobre otro.El ángulo α que forman los ejes I y II de los engranajes z1 y z2 respectivamente. los cuales se indican esquemáticamente en la figura: en la (Fig. donde es α igual a 90º. lo que permite lograr el cambio de dirección de la transmisión del movimiento. 4.14b) muestra la rueda de perfil globoide y el tornillo sinfín cilíndrico.12).14d) muestra como engranan una rueda de perfil globoide y un tornillo sinfín cilíndrico. y en la (Fig.4. Por lo general se denomina al engranaje de mayor diámetro rueda y al de menor diámetro piñón. la (Fig. formando un ángulo α menor a 90º o en forma perpendicular (Fig.4. al cortarse puede ser: figura (Fig. Notación Cuando dos engranajes engranan entre sí. pertenecientes a cada uno de ellos. Estos engranajes son de dientes helicoidales.11c) α > 90º la dirección cambia en un ángulo obtuso. Los ejes pueden cruzarse en forma oblicua (Fig. constituyendo la circunferencia de cada superficie. A continuación se ilustra la terminología básica más usada de los distintos elementos que componen un engranaje. denominándose en este caso.Módulo o Paso Diametral M: siendo pc un número irracional por contener su determinación el número irracional π. el cual se toma como base de cálculo de los engranajes. ruedas homólogas. resultando: M = pc π = Dp z1 = dp z2 (4.16) se muestran dos dientes de la rueda.Paso Diametral en pulgadas (Diametral Pitch) pd : es el número de dientes que tiene un engranaje por cada pulgada del diámetro primitivo: pd = z1 z = 2 Dp d p (4.4) Es decir que para que dos engranajes puedan engranar entre sí.1) pasando Dp y dp al denominador se obtiene: pc = π z1 Dp = π z2 dp = π pd (4. siendo igual para la rueda y para el piñón. .4. v es la velocidad tangencial del punto de contacto de los dientes. en la que se notan: .3) .1) por π.2) En la (4.1) El paso circunferencial pc se lo obtiene dividiendo. . siendo por lo tanto: pc = π Dp z1 = πdp z2 (4.la rueda y con n2 con la que gira el piñón. En la figura (Fig. la circunferencia primitiva. siendo z1 y z2 el número de dientes de cada uno de ellos respectivamente. sus módulos deben ser iguales. en tantas partes como dientes tenga la rueda o piñón. por lo que para resolver este inconveniente se divide ambos miembros de la (4. medido sobre la circunferencia primitiva. obteniéndose el módulo M.Paso Circunferencial pc: es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos. lo serán también todas las dimensiones del engranaje que son función del paso circunferencial. 4.17): h=a+ d (4.5) .Altura del diente: es la suma h de la altura de cabeza y la del pié del diente (Fig. medida entre la circunferencia primitiva y la circunferencia de cabeza o exterior. y el segundo entre los perfiles de los dientes como ya se dijera en el punto anterior y además para permitir la deflexión de los mismos.16).4. a los efectos de evitar el calentamiento por rozamiento y a las inexactitudes.7) . permitir la lubricación y la dilatación térmica.3): e= π 2 pd (4. siendo este juego restado del espesor y sumado al vacío del diente.17). para un engranaje cualquiera. y su radio es Ri (Fig. cuando están engranando entre sí (Fig.4.9) Por ser v1 = v2 = v y además. con número de dientes z = 10 y Dp = 60 mm. es mayor ya que presenta un juego tangencial o lateral.4. pero en la ejecución práctica de un engranaje.4. Relaciones fundamentales de ruedas cilíndricas de dientes rectos Analizando la figura ya vista (Fig.8) La relación de transmisión del movimiento.Circunferencia de cabeza o exterior.4.4.4. . medida entre la circunferencia primitiva y la circunferencia de raíz.17) y corresponde al cilindro en el cual se encuentra arraigado el diente.6) O reemplazando en la (4.En la figura (Fig. Se lo toma generalmente como la mitad del paso circunferencial. de la misma resulta que las velocidades angulares ω1 y ω2 en radianes sobre segundo. tanto en la construcción como en el montaje. en el cual penetra el diente de la otra rueda que engrana con ésta.17). se define como el cociente entre las velocidades angulares ω1 de la rueda motora y ω2 de la rueda conducida: i= ω1 2π n1 n1 = = ω 2 2π n2 n2 (4.4. Teóricamente es igual al espesor. por ser v = R.n2 (4.4.17) se observa. medido sobre la circunferencia primitiva. es el módulo M = 6 mm.15). es la circunferencia descripta por la cabeza de los dientes. están dadas por las expresiones: a) ω1 = 2π. por la (4.n1 y b) ω2 = 2π.Altura de cabeza del diente o adendo: es la altura radial a del diente (Fig. e= pc 2 (4. . que siempre se tiene en forma no deseable pero inevitable.Circunferencia de fondo (interior) o de raíz.Juego radial o de fondo y Juego lateral o tangencial del diente: también llamados holguras del diente.17).Espesor del diente: es el grueso e de un diente (Fig. en función de n1 y n2.17). .ω. es la circunferencia de contacto de los cilindros primitivos. el primero entre la cabeza del diente de una de las ruedas y la circunferencia de raíz de la otra a efectos de evitar la presión que pueda producir el contacto entre ambos.18). i. de diámetro De (Fig. . es la circunferencia cuyo diámetro es Di (Fig.Circunferencia primitiva.8) se tiene: .6) el valor de pc dado por la (4. .Vacío o hueco del diente: es el hueco V entre dos dientes consecutivos. .4.Altura del pié del diente o dedendo: es la altura radial d del diente (Fig. son los espacios Jr y Jl respectivamente que quedan.16) y radio Re (Fig. . haciendo pasajes de términos: R p = rp Por lo tanto. resulta: rp n1 d p = = n2 D p R p De la (4.13) se obtiene una expresión generalizada para la relación de transmisión: z2 z1 i= rp ω 1 n1 d p z = = = = 2 ω 2 n2 D p R p z1 (4.11) De la (4.16) Además.a) v1 = es: π D p n1 60 y b) v 2 = π d p n2 60 (4. por ejemplo a) n1 = n2 dp Dp = n2 rp Rp = n2 z2 z1 o b) z1 = z 2 Dp Rp n2 = z2 = z2 n1 dp rp (4. de la (4. haciendo pasajes de términos se obtiene: (4. de las expresiones (4. haciendo pasajes de términos.14) se pueden obtener los valores de cada parámetro en función del resto de los otros haciendo pasajes de términos.14) De la (4.13) Por lo tanto.15) La distancia L entre ejes de los engranajes es: L= Dp + d p 2 = R p + rp (4.20) . y por ser Dp = 2Rp y dp = 2rp.16) se puede escribir como: z1 z2 (4.14) se obtiene. la (4.11).18) se despeja rp: ⎛z ⎞ z1 + rp = rp ⎜ 1 + 1⎟ ⎜z ⎟ z2 ⎝ 2 ⎠ dp = 2 o b) (4.18) rp = a) O también: L L = z n 1+ 1 1+ 2 z2 n1 L L = z n 1+ 2 1+ 1 z1 n2 L L =2 z n 1+ 1 1+ 2 z2 n1 L L =2 z n 1+ 2 1+ 1 z1 n2 (4. (4.17) L = rp Si de la (4.9).13) o (4. así se obtienen.19) Rp = a) Dp = 2 o b) (4.4).10) π D p n1 60 = π d p n2 60 (4.12) y (4.12) dp Dp = rp Rp = (4. 4Pericicloide: curva engendrada por el punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre un círculo fijo interior a ella. A partir de un punto inicial o sobre este arco se efectúan divisiones con los puntos a. b. como son las Curvas Cíclicas. apoyado interiormente sobre una circunferencia que está fija. de la cual se toma un determinado arco. desgaste y choques de los dientes. por lo general el perfil de los dientes es de forma prismática cilíndrica. variando únicamente los diámetros de raíz. Engranajes homólogos Dos o más ruedas dentadas son homólogas cuando ellas pueden engranar entre sí. ya que de ello dependerá que no existan choques o contactos bruscos entre los engranajes. ambos en un mismo plano. Perfil del diente El trazado del perfil del diente es de suma importancia. primitivos y de cabeza y por lo tanto el número de dientes. el perfil obtenido es más simple y fácil de ejecutar. se han establecido curvas sencillas de ejecutar técnicamente. Para el trazado práctico de la evolvente de círculo (Fig. Si bien con las curvas cicloidales se obtienen perfiles más exactos. no exigiendo además mantener la distancia entre ejes invariable para que el engrane se realice en buenas condiciones. c y d. siendo las dimensiones de los dientes iguales. de menores rozamientos.4. c y d a partir de los cuales se trazan los radios Oo.19). se trazan los arcos oA.4. tomado sobre la circunferencia primitiva de la rueda. ya que podrían existir un número muy grande de formas.Forma de los dientes Para engranajes cilíndricos. 2.4. A los efectos de evitar la arbitrariedad en la construcción del perfil del diente. estas ventajas pueden existir únicamente cuando la distancia entre los centros de los engranajes se mantienen rigurosamente. son simétricas respecto del radio que pasa por el punto medio del arco comprendido entre las curvas del diente ad y bc en la cara anterior y a’d’ y b’c’ en la cara posterior.Hipocicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que gira sin resbalar. AB. Haciendo centro sucesivamente en a. que es una curva engendrada por el punto de una recta que gira sin resbalar sobre una circunferencia que está fija. Con esta curva se está en condiciones de trazar el perfil del diente a evolvente de círculo.20) se procede de la siguiente forma: se traza con radio cualquiera R y centro en O la circunferencia base. igual módulo M. ya que son obtenidos mediante fresado o tallado.15) ambos engranajes son homólogos. La forma de las caras anterior abcd y posterior a’b’c’d’(Fig. Trazado práctico del perfil del diente de evolvente de círculo Para . que a su vez pueden ser: 1. resultando con aproximación suficiente la curva oABCD la evolvente del círculo. las que generan perfiles de dientes: a) Cicloidales. bA. cB y dC respectivamente. En la figura (Fig. cC y dD. Ob. Para ello deben tener igual paso circunferencial pc y por consiguiente.Cicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que rueda sin resbalar sobre una recta fija. bB. Oc y Od. lo cual resultaría antieconómico y muy poco práctico. Oa. Se trazan las rectas perpendiculares a estos radios: aA. con radios ao.Epicicloide: curva engendrada por un punto de un círculo que rueda sin resbalar. apoyado exteriormente sobre una circunferencia de mayor diámetro quen está fija. b) Evolvente de círculo. b. 3. Con la evolvente de círculo. Actualmente el trazado del perfil de los dientes no es tan importante como antes. BC y CD. Para construir todos los dientes se divide la circunferencia primitiva en el doble de partes como dientes tiene. solamente evitable si se rebaja el flanco del diente del piñón. el otro se traza en forma simétrica. y a medida que el diámetro del piñón se hace más chico. por el engrane de las ruedas que engranarían con la del trazado. Para que dos engranajes engranen sin interferencia. se procede de la siguiente manera (Fig. Por este punto se traza una recta tangente en el punto G a la circunferencia de radio OG. Haciendo centro en G. Con centro en G’ y radio G’C’ se traza el arco A’C’B’ con lo que se construye el otro flanco del diente.23) se observa que para actuar sin interferencia.21): tomando el engranaje cuya circunferencia primitiva tiene radio Rp = OC y centro el punto O. el cual no exige una gran exactitud. el mismo resulta casi coincidente con la evolvente de círculo que correspondería al punto A que está sobre dicha circunferencia. se conocen las alturas a y d de la cabeza y del pié del diente respectivamente. Esta interferencia limita la altura de la cabeza del diente.4. motivo por el cual se puede terminar redondeándolo a voluntad en el entalle para evitar la concentración de tensiones en el ángulo vivo. el primer contacto entre los perfiles de los dientes se hace en e y el último punto de contacto en g. estando todos los centros de los arcos de evolvente (G. de igual forma que el del lado opuesto. Se traza la recta Oy y la recta m-n perpendicular a la primera. lo que permite trazar las circunferencias de cabeza de radio Re y la de raíz de radio Ri. del engranaje conducido A (rueda) está dado por la expresión: . el cual dependerá del número de dientes del engranaje. ya que se conoce el espesor e del diente sobre la circunferencia primitiva dado por la (4. ya que si fuera mayor. Determinando el punto C’. que es la circunferencia base o de construcción para el perfil a evolvente de círculo. reforzando al mismo tiempo la base del diente.) sobre la circunferencia de base.4. según la experiencia. con la parte radial de la rueda (de mayor diámetro).efectuar el dibujo de un engranaje. de la cabeza del diente o adendo.23).22). Se puede además trazar el eje de simetría del diente que pasa por el punto medio del arco CC’. El perfil por debajo del punto A no es afectado. la longitud permitida de la cabeza del diente de la rueda se hace más pequeña.4.6). Si el piñón gira en el sentido contrario a las agujas del reloj según se indica en la figura (Fig. donde la línea de presión es tangente a las circunferencias bases. que pertenece al diámetro límite de la circunferencia de adendo del engrane. La línea de engrane es coincidente con la prolongación de la recta GC para los dientes de perfil a evolvente de círculo y además con la recta de acción de la dirección del empuje o presión que le ejerce el diente del otro engranaje que engrana con ella. Analizada geométricamente la figura (Fig. el contacto se realizaría fuera de los límites g-e ya mencionados introduciéndose dentro de la circunferencia base.4. G’. con radio GC y centro en C’ se corta la circunferencia de construcción en el punto G’. la cual recibe el nombre de recta de presiones y que forma un ángulo comprendido entre 15º y 25º con la m-n. la que es tangente a la circunferencia primitiva en el punto C. En la figura (Fig. según se observa en la figura. Una vez que se obtuvo el perfil de uno de los flancos del diente. Este arco ACB es parte del perfil del diente. Si el perfil del diente del piñón se extiende más allá de un arco de circunferencia trazado por g interferirá en i. etc. si se traza el arco ACB con radio GC limitado por la circunferencia de cabeza y la de base. Interferencia en los engranajes de evolvente La evolvente no puede introducirse dentro de la circunferencia base de la cual es generada. el contacto entre sus dientes debe realizarse dentro de los límites g-e de la línea de presión. o sea 2z partes. el diámetro máximo exterior Ae. el punto más alejado del engranaje conducido A (rueda) debe pasar por el punto e. el cual se completa trazando el radio OA. Duración del engrane o relación de contacto La duración del engrane es la relación existente entre el largo de la línea de engrane y el largo del arco del paso circunferencial. siendo ésta la formada por los arcos de curvas MON pertenecientes a los círculos generadores de radio r. es m = 1.8. el cual depende de las proporciones elegidas entre las dimensiones del diente y el paso diametral.Ae = R + a = ( Ag )2 + (ge )2 zR 2 pd = R 2 cos 2 ϕ + (R + r ) sen 2ϕ 2 (4. Para el mismo piñón de zr dientes. además de distintos parámetros de los engranajes. Para que exista siempre un diente engranando con otro.24) se observa.25) se puede obtener el número mínimo de dientes zr del piñón que puede engranar con una rueda de zR dientes. del paso diametral y del paso circular.21) se reemplazan R. esta relación debe ser mayor que 1. el valor del adendo a. resulta: a= m pd (4. solo podrán engranar con él ruedas de menor número de dientes que zR. sin interferencia entre ambos. la línea de engrane de un engranaje con dientes de perfil cicloidal. zr = 2m sen 2ϕ Línea de engrane La línea de engrane es el lugar geométrico formado por todos los puntos de contacto de dos dientes durante el giro de las ruedas que engranan entre sí.2). ya que para ruedas de mayor cantidad de dientes habrá interferencia.22) y (4.22) Si además se pone en función del paso diametral y de un coeficiente m.4.23) El coeficiente m depende de la norma con que se dimensione el diente.23) y operando se obtiene: z r2 + 2 z r z R = 4 m( z R + m ) sen 2ϕ (4. siendo pd el paso diametral dado por la (4. y limitada por las circunferencias de cabeza. Si en la expresión (4. la longitud de la línea de engrane debe ser mayor que la longitud del arco correspondiente al paso circunferencial. r y a por sus valores dados por la (4. En la figura (Fig. para dientes chatos es m = 0. Por lo . se obtiene: R= a) y b) (4.24) Para un piñón de zr dientes y una cremallera zR = ∞ la (4. con las expresiones (4. Existen tablas que dan las proporciones de los dientes en función del ángulo de presión. Para engranes de profundidad completa en la norma americana.25) Para una relación conocida de m y conociendo el ángulo de presión α.24) y (4.24) se reduce a: (4. La línea de engrane se encuentra limitada por las circunferencias exteriores.21) Si se denomina zR y zr al número de dientes de la rueda y del piñón respectivamente. Para que el contacto entre los dientes sea continuo y no existan choques. para piñones de 15 dientes y cremalleras se adopta de 1. Los valores de este ángulo están en función del número de dientes y se los ha obtenido de grado en grado.50 Longitud del paso circunferencial Se procura hacer esta relación lo más elevada posible para repartir la carga que se transmitirá sobre el mayor número de dientes. según el número de dientes son los siguientes: Nº de dientes Ángulo Nº de dientes Ángulo 8 25º 20 17º 30’ 10 22º 30’ 25 15º 15 20º 30 14º 30’ . se debe tratar de lograr una mayor duración del engrane.25) se puede observar la línea de engrane formada por el segmento MON para dos engranajes limitado por las circunferencias de cabezas. Por ejemplo.general debe ser: Longitud de la línea de engrane = 1. se denomina ángulo de presión. Ángulo de presión El ángulo α (Fig.25 a 1.4. estando tabulados. limitada por las circunferencias de cabeza. Cuanto menor sea el número de dientes de una rueda.64 a 2.12. según lo ya visto precedentemente. y que resulta tangente a las circunferencias de construcción de ambos engranajes. En la figura (Fig. con los puntos tangentes a la circunferencia de construcción.4. Algunos de los valores del ángulo de presión.26) que forma la recta de presiones con la horizontal tangente a las circunferencias primitivas. Línea de engrane de dientes de perfiles a evolvente de círculo La línea de engrane de perfiles a evolvente de círculo es una línea recta que coincide con la recta de presiones. para este caso especial. coincidiendo estos límites. siendo la última de ellas nula en los engranajes rectos.55 N tgα Rn (4. La misma puede descomponerse por lo general en tres componentes. que es la fuerza que produce el movimiento rotativo. reemplazando en la (4.26). R en centímetros y v en m/s resultan Ft.55 N R n cos α y b) Fr = 9.30) Por otra parte resulta.26) r2 = R2 cosα (4. Del sistema de fuerzas indicados en la figura (Fig. R. v en m/s y R en metros resultan Ft. si bien están en contacto por lo general dos o tres dientes. según la (4.28).27) Siendo r1 y r2 los radios de la circunferencias bases. Fr y Fn en kg y M en . La potencia transmitida tangencialmente al movimiento de giro por la rueda motora a la conducida es N. se considera que la fuerza ejercida por la rueda motora sobre la conducida se realiza a través de un solo diente. R1 y R2 los radios de las circunferencias primitivas y α el ángulo de presión.4.32) El momento de rotación será: M = Ft.8) y la (4. estando sus valores dados por las expresiones anteriores. y α es la siguiente: r1 = R1 cosα (4.30) se obtiene: a) Fn = 9.4.27). una fuerza tangencial Ft.v = 60 De la (4. soportadas ambas por los órganos de sujeción del engranaje. o engranaje y cremallera (Fig.4.R = 60 (4.33) Para N en vatios. Para N en CV. formando el ángulo α con la tangente a las circunferencias primitivas y está aplicada en el punto O de contacto de ambos dientes. siendo n la velocidad de rotación en vueltas por minuto (rpm).55 v 2π R n Rn (4.27).10) resulta: 2π R n v = ω.La relación que liga los distintos parámetros indicados en la figura (Fig. Fuerzas sobre el diente En el engrane de dos engranajes cilíndricos (Fig. aplicado en el punto O. Fr y Fn en Newton y M en Newton-metro.27): a) Fn = Ft cosα y b) Fr = Ft tg α (4. es decir a r.28) La potencia N en la dirección tangencial del movimiento es: Ft 2π R n N = Ft .29) se obtiene: (4.R (4. la velocidad tangencial v del punto O de contacto de los dientes sobre el radio primitivo. siendo normal a la tangente que pasa por el punto O de contacto de los dos dientes y tiene además la dirección de la recta de presión. una fuerza radial Fr y una fuerza axial Fa.31) Por lo tanto.4. Fn es la resultante solo de Ft y Fr para dientes rectos. según la figura (F. como es el caso que se analiza.4.29) Ft = 60 N N N = = 9.31) el valor de Ft dado por la (4. Esta fuerza Fn tiene la dirección de la recta de presión. Para el radio primitivo R. M.36) Ft = 71620 N R n b) Fn = 71620 N 1 R n cosα c) (4. Comité de Normalización Francés (C. y a los efectos de permitir la intercambiabilidad.Sharpe Por lo general este sistema está asociado al uso del sistema métrico decimal.35) M = P.N.34) Reemplazando el valor de v dado por la (4.34a) en la (4. dándose para cada caso particular del sistema que se mencione.Kgcm. otros sistemas desarrollados por diferentes firmas que presentan características especiales. el valor de cada uno de ellos.). estando tabulados hasta el módulo 20 al que le corresponde una altura del diente de 43. etc. la Comisión de Normalización Alemana (DIN). estableciendo la proporcionalidad del engranaje en función del módulo. se normalizaron los mismos en base a un número limitado de dientes. En los distintos países se han establecido sistemas normales para diferentes tipos de engranes.R. Sin embargo existen. ya sea para darle mayor resistencia al diente o lograr engranes en condiciones especiales. Estos sistemas establecen las relaciones entre la altura de la cabeza del diente.29) en forma genérica. Sistema Brown .35) .R = 71620 Siendo: a) (4.100 y b) N= P.4. los cuales se indican en la figura (Fig.n 71620 N n Fr = 71620 N tgα R n (4. especificaciones etc. según corresponda. y las expresiones anteriores se escriben: a) v= 2π R n 60. el ángulo de presión. Sus parámetros principales son: Ángulo de presión: Espesor del diente: α =15º e = ½ pc= 1.32 mm. la altura del pié del diente.57 M = V (vacío entre dientes) (4.38) (4. aunque no varíen fundamentalmente el cálculo. como por ejemplo la norma de la Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes (AGMA) y Asociación Americana de Normas (ASA) en los Estados Unidos.v 75 (4. Debido a la gran cantidad de proporciones de dientes. el espesor del diente.34b) resulta: N= Y el momento de rotación: P.37) Sistemas normalizados utilizados para la fabricación de engranajes (con perfiles a evolvente de círculo) Todas las expresiones vistas son para dientes normales y de uso más generalizado. A continuación se verán los parámetros característicos de los principales sistemas. 54) (4.25M h – J = 2M (4..No presenta juego lateral en el engrane por no admitirse el mismo en todos los dientes normalizados.56) Ángulo de presión: Espesor del diente: Altura de la cabeza del diente: 1/ α = 1. solo se utiliza para determinar la altura de los dientes. pero variando la altura del diente.46) Altura de la cabeza del diente: a = M Altura del pié del diente: (4.57Me a = Mh (4.38) Diámetro primitivo: Dp = z.49) y de la (4.166M Altura del pié del diente: d= 6 (4.37) y de la (4. por traspaso de términos: Módulo: Juego radial: Además de la (4. que fue utilizado por primera vez por la firma Fellows Shaper Co.49) Diámetro primitivo: Dp = z.332) (4.51) Diámetro interior: Di = Dp – 2d = Dp -2×1.57Me Altura del pié del diente: d = 1.25M = z.39) Diámetro exterior: De = Dp +2a = z.5) (4.52) El módulo M se lo puede obtener de la (4. y se aplica para darle menor altura al diente que uno normal. el mayor. el espesor y número de dientes y con el segundo. uno mayor Me y otro menor inmediatamente inferior Mh.40) por traspaso de términos: Módulo: M = De z+2 (4.M + 2M = M(z + 2) (4.20Mh (4. según las fórmulas vistas anteriormente.25M Este sistema también presenta la altura del pié del diente mayor que la altura de la cabeza para que exista juego entre esta última y el fondo del engranaje.25M (4. con el primero. Ángulo de presión: α = 14º30’ (4.M + 2M = M(z + 2) (4. se construyen el paso.166M (4. de la (4. en la construcción del engranaje. .332M = M(z – 2. el menor.M (4.58) (4.M (4.43) Además.44) Sistema Fellows normalizado Este sistema utiliza el mismo valor del ángulo de presión que el usado para el cálculo normal de engranajes. resultando un módulo compuesto.57) (4.59) 2 pc = 1.54) resulta ser: M = De z+2 J = 0.57 M = V (vacío entre dientes) (4.47) (4.45) Espesor del diente: e = ½ pc= 1. Altura total del diente: h = a + d =2. Utiliza dos módulos.36) 7/ M = 1.48) d = 5/4M = 1.40) Diámetro interior: Di = Dp – 2d = Dp -2×1.50) Diámetro exterior: De = Dp +2a = z.55) Sistema Stub de dientes acortados (sin puntas) Este sistema. con lo que se logra su mayor robustez.43) resulta que es: h – J = 2M (4.166M (4.42) Juego radial: J = 0.60) La altura del pié del diente mayor que la de cabeza permite el juego radial necesario para evitar el contacto del diente con el fondo del otro engranaje.51) en función del diámetro exterior y el número de dientes.M – 2. Módulos: Me/Mh (4. Altura total del diente: h = a + d = 2.5M = M(z – 2.1666M = Dp – 2.37) Esta altura es mayor que la de la cabeza para que exista juego entre esta última y el fondo del engranaje.41) El módulo se lo puede obtener en función del diámetro exterior y del número de dientes de la (4. Altura de la cabeza del diente: a=M (4. los diámetros. fortaleciéndolo mayormente en su raíz.53) (4. 72) (4. Debido a que la rueda menor o piñón se encuentra dentro de la mayor de engrane interno. Debe tenerse cuidado con el largo del diente a los efectos de evitar la interferencia.4. En la figura (Fig.68) (4.30b) se indican los distintos parámetros de un engranaje interno. Para el mismo número de dientes de la rueda y el piñón.166) J = 0.Me De = Dp + 2a = z. por lo que se elimina el engranaje loco utilizado en los externos para lograrlo.65) se tiene: h = a + d = 2.4Mh J = 0.20Mh Dp = z.66) Ruedas dentadas interiormente Los engranajes internos tienen los dientes tallados con la cabeza orientada hacia el interior de la rueda. En la figura (Fig. o sea con engranajes externos de menor diámetro.30a) se observa un engrane interno con su piñón y la descripción de las diferentes partes.62) (4.61) y la (4.63) (4.74) dp y zp el diámetro primitivo y número de dientes del piñón con dientes exteriores.31) es un engranaje de radio infinito.69) (4. La forma de los dientes es igual a la forma del vacío de un engranaje externo y la altura de la cabeza se mide hacia el centro de la circunferencia primitiva.Altura total del diente : Diámetro primitivo: Diámetro exterior: Diámetro interior: Juego radial: Por la (4. La holgura de corte es utilizada para que pueda entrar y salir la herramienta y la rebaba en el maquinado del engranaje.4.4. Los demás elementos de los engranajes interiores se determinan como en los engranajes dentados exteriormente.64) (4.61) (4. cuyas expresiones analíticas se muestran a continuación: Altura de cabeza del diente: Altura de pié del diente: Altura total del diente: Diámetro primitivo: Diámetro exterior: Diámetro interior: Juego radial: Distancia entre ejes: a=M d = 1.20Mh h – J = 2Mh (4. Cremallera La cremallera.166M h = 2. la longitud de la línea de engrane es mayor que para un engrane externo. está limitada la relación de transmisión.71) (4.30).2×1.70) (4.74) L= Dp − d p 2 = M (z r − z p ) 2 Siendo en la (4.166M (4. existiendo además un mayor número de dientes en contacto.73) (4.20Mh = zMe – 2.65) (4. El vacío del diente es igual al perfil de un diente externo. Con un engrane interno se obtiene el mismo sentido de rotación para ambas ruedas. como puede observarse en la figura (Fig. Los engranajes internos engranan solo con piñones.67) (4. debiendo en casos particulares proyectarse los dientes del engranaje con un trazado especial.4.2×1. por lo que .166M Dp = zM De = Dp –2a = zM – 2M = M(z – 2) Di = Dp – 2d = zM .Me + 2Mh Di = Dp – 2d = Dp .166M = M(z – 2. motivo por el cual el número de dientes del piñón está limitado a una cantidad inferior a la del engranaje interno. según se puede observar en la figura (Fig. Al respecto se aplican distintas hipótesis de cálculo.81) Por lo general la fuerza que actúa sobre un engranaje es resistida por dos y hasta tres dientes. cuando el radio se hace infinito.teóricamente tiene un número infinito de dientes. y el segundo para el largo del diente. desgaste del diente. que la misma es resistida por un solo diente y está aplicada en la circunferencia exterior sobre la cabeza del diente. En realidad la fuerza Fn que actúa sobre el diente tiene la dirección de la recta de presión.166M (4. En principio la resistencia del engranaje se calcula suponiendo al diente como si fuera una viga en voladizo.80) Cálculo de la resistencia del diente (dimensionamiento) Es importante dimensionar correctamente el diente a los efectos de lograr la resistencia adecuada del mismo. siendo alguna de ellas las siguientes: Primera hipótesis: considera que la fuerza a la cual está sometido el diente es tangencial. la variación de la carga en magnitud y dirección durante el tiempo en que están en contacto. como es el caso de la cremallera.h (4.4.78) Espesor del diente: Juego radial: pc e= 2 Jr = 0. en el límite.31a): De la (4.79) (4.166M (4. utilizándose además para el sistema Fellows dos módulos.31a) se obtiene: Ft = Fn cosα (4. La fuerza Ft. Mientras el engranaje cilíndrico gira sobre su eje. Es decir que el diente experimenta esfuerzos dinámicos y cargas de desgaste. basado en la resistencia a la rotura del material sometido al esfuerzo que genera la potencia transmitida. Como a medida que crece el número de dientes de un engranaje. siendo el primero para obtener el diámetro primitivo y el espesor del diente.4. Para una cremallera normal que engrana con un piñón de z dientes se tiene: Diámetro primitivo: Dp = zM (4. denominado generalmente piñón. la geometría propia del diente. pudiendo los dientes ser del sistema normal o cortos. A los efectos de calcular los esfuerzos a que están sometidos los dientes que están interactuando en un engrane. La cremallera y el engranaje cilíndrico que engrana entre sí deben tener el mismo módulo. el trazado del perfil del diente a evolvente de círculo se vuelve más rectilíneo. estando la fuerza tangencial Ft dada por la expresión (4. lo que compensa la utilización de la fuerza tangencial Ft menor que la Fn. figura (Fig. resultando recto el tramo que engrana con un engranaje común de radio finito.82) Ft cos α La sección resistente W en la base del diente (Fig.77) Paso circunferencial: pc = πM (4.31a) Fn = (4. la cremallera tiene un movimiento de traslación rectilíneo. El flanco del diente está inclinado un ángulo α respecto al eje de simetría del mismo.32b) es: .76) Altura del pié del diente: d = 1. etc.5º o 20º. a las cargas de choques de los dientes por imperfecciones constructivas.75) Altura de cabeza del diente: a = M (4. este perfil se hace recto. se deben tener en cuenta diversos factores como son principalmente la cantidad de dientes en contacto simultáneos. El ángulo de presión α puede tener una inclinación de 14. concentración de esfuerzos en la base del diente.32a) produce un momento flector dado por la expresión: Mf = Ft. 0.2 De la (4.88b). la (4.92) por la (4. S = 2 a 3 para ruedas de transmisión común. σf De las expresiones (4.84) se obtiene: (4.e′ 2 6 (4.pc (4.85) se obtiene: Ft . p c .52pc de donde es b) e′2 = 0. La altura h del diente se toma: h = 2.82).2.2 pc π = 1 S .4) M = pc π .7 Ft R FR ≈ 100 t zSσ f zSσ f (4.94) puede escribirse: .87) (4.89) y (4.91b) operando y despejando pc3 . por la (4.e′ 2 σf 6 (4.27 p c2σ f 6 (4.89) se toma S =2 para dientes en bruto. b y h dados por las (4.27 p c (4.93) se tiene: pc = 3 100 Ft R = 4.1) se tiene: a) pc π pc z 2π (4.86) (4.W = b.93) Despejando pc de la (4.52 se tendrá: 2 a) e′ = 0.83) El momento flector Mf en función de la resistencia unitaria a la flexión σf del material y de la sección resistente W es: Mf = W.94) Como es el módulo. considerando la expresión (4.83) y (4. S hasta 5 para transmitir fuerzas considerables.6) y que en la práctica es e< e′ se tendrá: pc =e < e′ 2 Por lo que la (4.88) Así también el espesor b del diente puede escribirse: b = S. b y h se pueden poner en función del paso circunferencial.84) Ft . (4. (4.90) pc = 2π R z ⇒ b) R= (4.91) Si se sustituyen los valores de e′2.64 zSσ f 3 Ft R zSσ f (4.89) En la (4.92) Multiplicando ambos miembro de la (4.pc Si se adopta c = 0.90) respectivamente en la expresión (4.85) Los valores de e′.h = b.86) puede escribirse de la siguiente forma: e′ = c. resulta: 3 p c = 97. que es la que resiste la fuerza aplicada.4.97) Multiplicando ambos miembros de la (4. y operando.37) se tiene: e′ 2 b Ft d = σf 6 (4. la fuerza Fn aplicada en el extremo superior B de la viga de igual . (4.89) y (4.91b) y reemplazando en la misma los valores de e′. la cual está aplicada en una arista del diente sobre la generatriz exterior del engranaje siguiendo la línea de presión.98) Extrayendo la raíz cúbica de la (4. según la (4.96) De acuerdo a las proporciones del diente. cuya base tiene el mismo ancho que la base del diente. Usando el mismo razonamiento anterior se tiene que el momento aplicado a la distancia d en función de la sección resistente y la resistencia unitaria a la flexión del material del diente es: (4. se obtiene: 3 p c = 51. de las dimensiones de este último y de la resistencia del material con que está construido: p c = 3 51.100) Fórmula de Lewis La expresión propuesta por Wilfred Lewis en 1892 supone que un solo par de dientes resiste la fuerza a transmitir. En este caso la carga se considera aplicada en la generatriz primitiva.96) por la expresión (4. b y d dadas por las expresiones (4.85 En función del módulo M. y dentro del diente se aplica sobre el eje de simetría de éste en el extremo superior del contorno de la viga en voladizo de igual resistencia de forma parabólica.88b). según muestra la figura (Fig.47 3 Ft R zSσ f (4. denominado y o Y que tiene en cuenta la geometría y proporciones del diente. Introduce un factor de forma.98) se obtiene el paso circunferencial en función de la fuerza que actúa tangencialmente sobre el diente sobre la generatriz primitiva.99) resulta: Ft R FR = 3.723 t S zσ f S zσ f (4.M = 1.97) respectivamente. la (4.99) M = 1.19 3 Ft R S zσ f (4.95) Segunda hipótesis: para este caso también se supone que la relación de contacto es mayor que la unidad y por lo menos dos dientes participan de la transmisión de la fuerza o potencia.34). Se considera.85 d= 7 pc 6 π Ft R S zσ f (4. 102) 1 e′ 2 Ft = bσ f p c 6 pc h El factor de forma y de Lewis es: (4.108 50 0.088 20º Altura normal 0.092 20º Diente corto 0. la (4.103) y= Por lo tanto la (4.108 20º Altura normal 0.108 20º Diente corto 0. como la que se muestra a continuación.097 20º Altura normal 0.115 0.100 0.092 0.4) = ybσ f p c π pc (4.107) Y = yπ Reemplazando en la (4.090 21 0.136 Nº de 14.5º dientes Altura normal 150 0. la fuerza Ft produce un momento flector Mf.099 Nº de 14.130 0.106) M = Y haciendo: π (4.111 Nº de 14.5º dientes Altura normal 43 0.092 23 25 0.078 Nº de 14.83) que nos da la sección resistente W.064 0.104 0.5º dientes Altura normal 27 0.105) por π y se obtiene el factor de forma Y: Ft π Recordando que es.111 20º Diente corto 0. siendo esta última tangente en V y E a la base del diente.067 13 14 0.138 0. según la (4.4) (4.142 20º Altura normal 0.072 0.056 11 0.106 0.110 60 0.083 0. La (4. el cual estará dado por la expresión: Mf = Ft h = Wσf Teniendo en cuenta la (4.126 0.088 20 0.resistencia de forma parabólica.119 .146 Nº de 14.083 0.061 12 0.101) e′ 2 b Ft h = σf 6 Si se multiplica m. La fuerza Fn se puede descomponer en una fuerza radial Fr de compresión.075 20º Altura normal 0.099 0. a m.101) se escribe: (4.105) Ft = ybσf pc Para obtener en función del módulo M se dividen ambos miembros de la (4.4) y la (4.125 0.108) Existen tablas.103 0.104) (4.123 0.071 0.102) por el paso circunferencial pc y se despeja Ft se obtiene: (4.078 0.113 75 100 0. según la (4.117 20º Altura normal 0.127 0. Nº de 14. designándose en este caso con dicha letra a la altura de la viga de igual resistencia.5º dientes Altura normal 10 0. que dan el valor del factor de forma o de Lewis “y” para distintos valores del ángulo de presión y del tipo de diente.133 20º Diente corto 0.106) estos valores.102 0.094 0. que para este caso no es tenida en cuenta y en una fuerza tangencial Ft aplicada sobre el diente a la distancia h.5º dientes Altura normal 19 0.5º dientes Altura normal 15 0.103) quedará: e′ 2 6 h pc (4.134 0.107) se obtiene: Ft = Y b σ f M (4. máximo en los puntos V o E.130 0. 086 0. del error permisible de tallado y de la forma del diente y su material de construcción. por las siguientes expresiones: .106 0.101 0. realizando estudios sobre la influencia de los distintos factores a los que estaban expuestos.109) .120 30 34 38 0.110) Fd = 43 + V Ft 43 (4.104 0. existen fuerzas dinámicas que actúan sobre los dientes.142 0.Para tallado de precisión y V < 1220 m/min: (4.124 0. y si bien las mismas. y debido a las fuerzas inerciales de las masas que se encuentran en movimiento.118 0.150 0.16 17 18 0.122 0. según la velocidad de trabajo y la calidad de ejecución. Ft es la fuerza tangencial necesaria para transmitir la potencia. resultando Fd = Ft. adiciona a la fuerza constante Ft resultante de la potencia transmitida por el engranaje. Fi es la fuerza adicional variable que tiene en cuenta las fuerzas dinámicas y C es un coeficiente dinámico que se obtiene en función del módulo.113V + Cb + Ft (4. .094 0.111) Fórmula de Buckingham Buckingham también consideró las cargas dinámicas a las que estaban expuestos los engranajes.115 0.084 0.Para tallado comercial y V≤ 610 m/min: Fd = 183 + V Ft 183 366 + V Ft 366 (4.Para tallado cuidadoso y 305m/min < V < 1220 m/min: Fd = .122 0. Barth considera estos esfuerzos dinámicos debido los impactos por aceleraciones bruscas.f(V).154 Fórmula de Lewis-Barth Por las imperfecciones constructivas y de montajes de los engranajes.139 0.113V (Cb + Ft ) 0. siempre tienen influencia. por lo que se obtiene la expresión de la fuerza máxima total instantánea Fd que se ejerce sobre el diente: Fd = Ft + Fi = Ft + 0.145 300 Crem.112) En la (4. deformaciones y separaciones de los engranajes y afecta la fórmula de Lewis por un factor que varía en función de la velocidad.117 0. 0.098 0.096 0. Para tener en cuenta estos factores. por lo que la fuerza actuante estará dada. Fd es la fuerza total aplicada sobre el diente. error de tallado. deformación de los dientes bajo carga. a medida que aumenta la calidad constructiva y de montaje de los engranajes van perdiendo importancia. un término adicional Fi.112).081 0. las que originan fuerzas inerciales y de impacto sobre los dientes con efectos similares a los de una carga variable superpuesta a una carga constante.114 0. el cual se encuentra tabulado. según el tipo de servicio. ..2 0.. ..006096 12.9 571.2 392.2 142...8 148.4 296.9 614.7 Fundición de hierro y 20º corto fundición de hierro.3 444. se obtiene el valor de C...00127 0.00254 0.00508 0..5 285...00254 0.00762 diente Fundición de hierro y 141/ º 71.7 592..002794 4.4 141/2º 98...005588 0.7 0.. 20º..00762 diente Acero y acero..002540 0.2 0...7 785.00508 0. Conociendo el error de tallado del diente....4 142..... en cm.003048 0.... Fundición de hierro y acero.001778 0...5 296..9 307.4 768.4 460........Clase 2....001524 0..8 1143..2 20º...35)..004064 6.8 428...00127 0....0 592. en engranajes Módulo Clase 1 Clase 2 Mm industrial exacto 25.0 1428..1 196..9 982....005080 8.Clase 3.01270 714..01016 1185.008128 0.25 0.....0 1053..... total altura 148....4 843. engranajes industriales tallados con fresas de formas.. engranajes tallados y rectificados muy exactamente.Existen tablas que dan los máximos errores permitidos en el tallado de engranajes en función de sus pasos diametrales o módulo y según la clase de tallado del mismo de acuerdo a la velocidad de trabajo.... y 141/ 2º 0.8 105. .005080 0.8 632.0 0. también de tablas...... uno de los cuales puede observarse en la figura (Fig.. .010160 0.5 153.........4.5 0.9 74.8 741.. engranajes tallados con gran cuidado.35 0... Acero y acero.. el cual se obtiene de tablas.006604 0.08 0..01016 571.9 285..001270 Valores del factor dinámico C (kg/cm2) Materiales de los engranjes Forma Errores en los engranjes (cm) del 0.5 589.Clase 1.003302 5..6 2 fundición de hierro.2 421..2 76. como las que se transcriben a continuación: Paso diametral 1 2 3 4 5 6 y más finos Máximo error permitido.6 210..002032 0..... Fundición de hierro y 20º corto acero.002540 Clase 3 preciso 0.. Para conocer el error permitido en función de la velocidad tangencial de la circunferencia primitiva se han construido gráficos... Fundición de hierro fundición de hierro..5 0...012192 0..0127 1482.5 889...4 857. las que se clasifican como: . altura total Valores del factor dinámico C (kg/cm2) (Continuación) Materiales de los engranjes Forma Errores en los engranjes (cm) del 0... . y σc = Fr e′b (4.4.55 0... de tal forma que el esfuerzo unitario de trabajo a la flexión σd resulte menor que el esfuerzo unitario a la fatiga alternativa σa: ....0 En función del tiempo de trabajo. aparecerán en los puntos V y E tensiones debido tanto al momento flector que produce la fuerza Ft como a la compresión que produce la fuerza Fr.80 0...36). de acuerdo a la experiencia se encuentra en tablas como la siguiente: Tipo de carga Estable..2 614...37)... en el entalle de la unión de la raíz del diente con la llanta. que dependen del material del engranaje.. 20º corto 153..h..4.114) la tensión unitaria a la compresión debida a la fuerza Fr...6 1228. de la posición de la fuerza sobre el diente..... Choque severo.25 1. Choque mediano..65 0. existe concentración de tensiones.Acero y acero..65 0. en las fuerzas Ft y Fr tangencial y radial respectivamente.. la fuerza tangencial Ft será afectada de un factor de servicio...6 307.80 0.50 Intermitente 3 hs por día 1.8 1536. del espesor del diente en la raíz.80 0... según se indica en la figura (Fig. dependiendo el valor de estas tensiones del momento de inercia I de la sección e’b en la raíz del diente... se incrementa la fuerza Fd dada por la (4... con un coeficiente θ.55 0. Choque pequeño. Para contrarrestar los efectos de éstas tensiones. Si se considera que la fuerza Fn que soporta el diente se descompone. hace que la tensión real a la cual está sometido el material sea mayor que la que resulta de considerar las fuerzas estáticas y dinámicas...... de la compresión Fr/e’b y del momento flector Mf.65 Concentración de tensiones Debido a que..4 921... Factores de servicio Tipo de servicio 8 a 10 horas por día 24 horas por día 1. correspondiendo σf = Mf I (4. las cuales tendrán una forma similar a las que se muestran en la figura (Fig.112)..00 0.00 0. del radio de entalle o acordamiento y del ángulo de presión..113) para la tensión unitaria a la flexión debida al momento flector Ft. el cual.. .. En la tabla siguiente se dan valores de fatiga para algunos materiales de engranajes.118) superficial... zr número de dientes de la rueda................... Se producen cavidades por el escoriado del material por falla por fatiga y la acumulación de material debido al material blando arrastrado...117) Cálculo por desgaste de un engranaje El desgaste en un engranaje depende del material del mismo.... el más duro de ellos producirá un endurecimiento mecánico en el más blando..... Semiacero.15 0.... Ep módulo de elasticidad del material del piñón y Er módulo de elasticidad del material de la rueda. Por lo tanto el esfuerzo límite por desgaste está determinado por el límite de fatiga del material......... y para disminuir la posibilidad de engranamiento.. del acabado superficial....... para permitir el mayor desgaste abrasivo en el piñón.... zp número de dientes del piñón.. Y para Brinell mayores .... que para los aceros parece aumentar en proporción directa con la dureza Brinell........⎜ ⎟ ⎝h⎠ 0 ....... 45 para α = 20º (4...................22 + ⎜ ⎛ e′ ⎞ ⎛ e′ ⎞ ⎟ ......................................... σfa = 17......................................................................... 4 para α = 14º30’ (4. El piñón debe ser siempre más duro... 2 0 ............18 + ⎜ ⎛ e′ ⎞ ⎟ ⎝r⎠ ⎛ e′ ⎞ . de la lubricación y de la mayor o menor fuerza de roce entre las superficies de los dientes.... Para número 400 .............. Buckingham expresa el esfuerzo límite al desgaste por la ecuación: Fw = d p b σ fs senϕ ⎛ 2 z r ⎜ ⎜z +z 1....... para permitir el endurecimiento mecánico de la rueda.....4 r ⎝ p ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ + ⎟⎜ E Er ⎟ ⎠⎝ p ⎠ (4...........115) El coeficiente θ de concentración de tensiones está dado por las siguientes expresiones: θ = 0.......⎜ ⎟ ⎝r ⎠ ⎝h⎠ 0.. Materiales Límites de fatiga para materiales de engranajes Número de Límite de fatiga dureza Brinell alternativa σfa (kg/cm2) 160 200 100 150 200 240 250 280 300 320 350 360 400 840 1260 1680 2520 3500 4200 4340 4900 5250 5600 5950 6300 7000 Límite de fatiga superficial σfs (kg/cm2) 6300 6300 6300 3500 4900 6020 6300 7140 7700 8260 9100 9380 10500 Fundición gris de hierro……………………......................................σd = θ Fd b y pc ≤σa (4... Acero.............................................. por la forma del perfil del diente y por la dureza relativa de las superficies en contacto........ Bronce fosforoso.......... de la forma del perfil del diente.... Cuando dos ruedas que engranan son de materiales diferentes. Para acero: .5 × Número Brinell .................. incrementando su límite de fatiga. para preservar el perfil de evolvente.......116) θ = 0. ....... logrando una profundidad de penetración adecuado con lo que se obtiene una superficie de elevada resistencia al desgaste sin variar las otras propiedades del material...... sufriendo un desgaste más rápido en el flanco de los dientes. alrededor del eje de giro.......... para la transmisión de grandes potencias..... Para ruedas que trabajan a gran velocidad es α = 45º.4........ ⎯ 700 ... El valor del ángulo α de inclinación de los dientes respecto del plano frontal de las ruedas toma valores desde 10º variando el mismo según el uso del engranaje.......... sin disminuir su elasticidad y tenacidad........ según se mostrara en la figura (Fig.......... σfa =7000 ........4.. . Para evitar el pronto desgaste del material del engranaje... Este inconveniente se subsana adoptando doble fila de dientes y aún tres filas con hélices inclinadas el mismo ángulo.... Este hecho reduce el ruido y las cargas dinámicas... pero dispuestas en sentido contrario.............. haciéndolo con los otros a medida que gira.. ya que de este modo la presión transmitida resulta aplicada de manera continua y progresiva........ el contacto de los dientes es gradual.4............8) y se muestran nuevamente en las figuras (Fig........... por lo tanto se produce mayores pérdidas por rozamiento en los cojinetes.usar:. Además se utilizan estos tipos de engranajes cuando se necesita un funcionamiento silencioso.. Características generales Las ruedas cilíndricas con dientes helicoidales... En el engrane helicoidal.... En la figura (Fig.... las que se muestran en la figura (Fig..39a)...... pues el contacto y resbalamiento es más prolongado..... lo que representa una mejora en el trabajo de engrane....... hasta cubrir una diagonal sobre todo el ancho del diente............. una normal y otra axial..4..... Engranajes helicoidales.. Los engranajes helicoidales se utilizan para altas velocidades...4... Además es posible obtener piñones de menor número de dientes que en las ruedas de dientes rectos.. ya sea mediante el cementado u otro método. considerándose como tales cuando la velocidad tangencial supera los 25 m/s o el piñón gira a más de 3600 rpm. Tienen el inconveniente de que la fuerza tangencial que transmiten se descompone en dos direcciones. efectuándose en primer lugar en un punto.. siendo el perfil de los mismos originados por una curva evolvente helicoidal. constituyendo los engranajes doble helicoidal o chevron....... De esta manera los empujes axiales se anulan entre sí.....................39b) y (Fig.. permitiendo la transmisión de mayores potencias puesto que aumentan la fuerza y la velocidad transmitidas. tienen los dientes formando una hélice inclinada un ánguloα más o menos pronunciado...38) se observa la profundidad pp de penetración del cementado...... lográndose una relación de transmisión más elevada....... a los efectos de que no presenten fragilidad cuando trabajan y no sufran desgastes prematuros.... se realiza un tratamiento de endurecimiento superficial de los mismos.. 450 500 550 600 11900 13300 14700 16100 σfs = 28 × Número Brinell.................39c) respectivamente ...... siendo su línea de acción la línea de presión normal al diente inclinada el ángulo normal φn. La proyección de F sobre el plano ACC’A’ tangente al cilindro primitivo está inclinada el ángulo α y es la componente Fn de dicha fuerza sobre el mismo.121) respectivamente se obtiene: tgφn = tgφ cosα (4.122) La fuerza F.40b) y a ejes perpendiculares (Fig. los cuales se detallan nuevamente en la figura (Fig. Del análisis de la figura (Fig. y solo se utilizan para la transmisión de pequeños esfuerzos.123) Las componentes de la fuerza F son las fuerzas Ft tangencial. La relación que existe entre φn y φ se la puede obtener del análisis de la figura de la siguiente forma: tgφ n = Pero es: Y CD AB = CA′ CA′ (4. Fr radial y Fa axial. Empuje axial Estos son los engranajes helicoidales más comunes.40).40a).AA’ C A′ = (4.13). Engranajes cilíndricos helicoidales a ejes paralelos.119) (4.4. existen tres clases de engranajes cilíndricos helicoidales. engranajes a ejes paralelos (Fig.4. cuyo valor está dado por la expresión: FRoz = Fµ1 (4.12) y (Fig. en el funcionamiento produce una fuerza de rozamiento sobre el diente.124) (4.4.4.7). La proyección de F sobre el plano de rotación ABB’A’ da el ángulo de presión φ transversal.126) AA′ cosα .40c).41).8).4.4. Los dos últimos se denominan a ejes cruzados.41) se observa la fuerza F que actúa sobre el plano de la circunferencia primitiva en el centro de la cara del diente. (Fig. En la figura (Fig.120) AB = tgφ.4. los valores de estas tres últimas fuerzas en función de la fuerza F resultan: Ft = Fcosφn cosα Fr = Fsenφn Fa = Fcosφn senα (4.119) los valores de AB y CA’ dadas por las (4.4.121) Reemplazando en la (4.120) y (4.4.125) (4. a ejes oblicuos (Fig.4. (Fig.Clasificación Como ya se indicara en las figuras (Fig. 127) Ft = Resultando. R en m y n en rpm: Ft 2π R n N = Ft . de la figura (Fig.134) Fn = Fa = 71620 N 1 Rn cos α 71620 N tgα Rn (4.n 71620 71620 N Rn (4.4. en el plano tangencial ACC’A’ tangente al cilindro primitivo y sobre el plano de rotación de la circunferencia primitiva siendo Fn la fuerza normal. en kg.55 cos α Rn Fn = O también.42) se observan las fuerzas que actúan sobre el diente. ′ pc = π D (4.v 75 2πRn 60 (4. Fa la fuerza axial que es resistida por los órganos de sujeción del engranaje.127) se obtiene: (4.En los engranajes helicoidales es importante conocer el valor del empuje axial para calcular o seleccionar el cojinete axial. Como lo que generalmente se conoce es el valor de la fuerza tangencial Ft a transmitir deducida de la potencia necesaria demandada.55 cos α Rn cos α Ft N tgα Fa = Fn senα = senα = Ft tgα = 9.129) Y además: (4.4. según lo visto.135) (4. de las dimensiones del engranaje y de la velocidad angular.4. para N en vatios.55 v 2π R n Rn (4.132) N= Resultando la fuerza tangencial Ft: Ft .v = 60 De la (4.130) N= Por ser: Ft .131) v= La (4. para N en CV. y Ft la fuerza tangencial que es la que le imprime el movimiento de rotación.133) Ft = Y las fuerzas normal Fn y axial Fa: (4.43): a) Paso circular de la hélice: es el desarrollo normal de la circunferencia primitiva.42): 60 N N N = = 9.137) . En la figura (Fig. por lo tanto si el diámetro primitivo es D el paso circunferencial es.128) Ft N 1 = 9. siendo sus expresiones en Newton (N) en función de la potencia.131) resulta: (4. el empuje axial se obtiene a partir del valor de la fuerza periférica tangencial Ft. R en cm y n en rpm: (4.R.136) Pasos de la hélice y del diente Si se desarrolla la superficie cilíndrica primitiva de una rueda dentada helicoidal se tiene. según se indica en la figura (Fig. el cual en función del paso circunferencial pc. el correspondiente al paso circunferencial pc y al paso normal pn. de acuerdo a la figura (Fig.4. tomada sobre el eje de la rueda constituye el paso axial pa del diente.44).139) d) Paso circunferencial del diente: si se considera una rueda formada por z dientes y diámetro primitivo D. estará separada de la anterior una distancia pn denominada paso normal del diente. según se indica en la figura (Fig.4.4.140) e) Paso normal del diente: si se desarrolla la superficie cilíndrica primitiva y sobre ella se trazan tantas divisiones como número de dientes tiene la rueda. cada generatriz helicoidal correspondiente al eje de un diente. el paso circunferencial pc del diente estará medido.44) a: π D cosα pa = pc ctg α = z senα (4.b) Paso axial de la hélice: es la altura que alcanza la hélice paralelamente al eje de la rueda: ′ ′ ′ p a = p c tgβ = p c ctgα = ′ pc tgα (4. Para este tipo de engranajes existen dos módulos. designados de igual . es igual.138) c) Paso normal de la hélice: es la altura del triángulo formado por el desarrollo de la hélice y de la circunferencia primitiva. sobre el diámetro primitivo y valdrá: pc = πD z (4.44). normal a la hélice: ′ ′ p n = pc cos α (4.142) Módulos En las ruedas helicoidales.141) f) Paso axial del diente: la distancia entre dos dientes consecutivos. es conveniente operar con el módulo. según se puede observar en la figura (Fig. al igual que en las de dientes rectos. estando dado en función del paso circunferencial pc. por la expresión: πD pn = pc cos α = z cosα (4. resultando: D 2 cos 2 α zv = De la (4. vale: r= (4.4.forma que éstos: a) Módulo circunferencial Mc = b) Módulo normal pc π = πD D = πz z D cosα z (4.4. si no el número virtual o formativo zv.146) .143) Mn = pn π = pc π cosα = M c cosα = (4. Si se considera un plano A-A normal al eje del diente que corta a la rueda. cuyo diámetro menor es D según muestra la figura (Fig.133) se tiene que es: 2π r πD = pn p n cos 2 α (4.144) Dimensiones del diente y de la rueda Para dimensionar los dientes de un engranaje helicoidal se debe conocer la resistencia que el mismo debe tener para soportar las solicitaciones a las cuales estará expuesto. pero teniendo en cuenta que el número de dientes que se debe tomar no es el del número real que tendrá el engranaje helicoidal. que del análisis de la figura (Fig.45) resulta: El diámetro primitivo del engranaje helicoidal es D.45) en el corte A-A. el cual se define como el número de dientes que tendría un cilindro que tuviera un radio primitivo igual al radio de curvatura en un punto localizado en el extremo del eje menor de la elipse que se obtiene al tomar una sección del engranaje en el plano normal. la sección que se obtiene es una elipse. El cálculo de esta resistencia se hace empleando las fórmulas para engranajes cilíndricos de dientes rectos ya vistas.145) La forma del diente situado en B será la de un diente engendrado por una superficie de un cilindro primitivo de radio r y el número de dientes de esta superficie se define como el número virtual o formativo de dientes zv. indicado por el punto B. De la geometría analítica se conoce que el radio de curvatura r en el extremo del semieje menor de la elipse. 46).151) De la (4.153) se obtiene: pn M n = pc M c (4. es decir perpendicular a su dirección.147) Reemplazando este valor dado por la (4. Ancho del diente: es igual a la diagonal A’B’ que cruza el ancho b del engranaje según muestra la figura (Fig.πD pn = z cosα (4. formando el ángulo α con el eje de giro de la rueda.149) Diámetro primitivo D: en la figura (Fig. estando ambos relacionados por la expresión: A′ B ′ = lado A′C ′ b = cosα cosα (4. Si la altura de la cabeza del diente se toma igual a Mn.143) estará dado por la expresión: D= pc z π = zM c = z Mn cosα (150) Diámetro exterior De: es igual al diámetro primitivo más dos veces la altura de la cabeza del diente. se realizan de acuerdo con el módulo normal Mn.144).151) se puede deducir que el módulo normal Mn vale: Mn = De z +2 cosα (4.147) en la (4.47) se indica el diámetro primitivo D.4. será: De = D + 2 M n = zM c + 2 M n = z ⎛ z ⎞ Mn + 2M n = ⎜ ⎜ cosα + 2 ⎟ M n ⎟ cosα ⎝ ⎠ (4.141) y la (4. de donde resulta: cosα = De la (4. que de acuerdo a la (4. se utiliza el factor y para el número virtual zv de dientes.153) .4. como se acaba de ver. como por ejemplo la (4.148) Para el cálculo la resistencia mecánica de los dientes de un engranaje helicoidal.146) se tiene finalmente: zv = z cos 3 α (4. La altura de los dientes es igual a la de los engranajes cilíndricos de dientes rectos.152) Ángulo α de la hélice sobre el cilindro primitivo que da la inclinación del diente: el valor de este ángulo se puede obtener a partir de las expresiones ya vistas. Las dimensiones del diente. 161) y teniendo en cuenta además las (4.157) M cD = D zD Mcd = McD = Mc (4.161) a) pc = pn cosα y b) Mc = Mn cosα (4.4. 45º.144) se obtiene: L= d+D 2 = r+R d = zd pc b) D = zD pc π = zD Mc (4.162) Por lo tanto la (4.140). (4. 26º34’. Distancia entre centros de ejes: la distancia L entre los centros de los ejes paralelos de dos ruedas helicoidales engranadas entre si.155) y por lo tanto su módulo: M cd = (4.159) Para ruedas con igual número de dientes (zd = zD). tanto para la rueda menor como la mayor: a) π = zd Mc y Y de las expresiones (4. 40º.160) puede escribirse. 50º y 63º26’. Par de ruedas cilíndricas helicoidales de ejes paralelos La figura (Fig.141) y (4.143) y (4. son iguales. presentando sus dientes igual ángulo α de inclinación pero en sentido inverso. y por lo tanto los módulos. El paso circunferencial del diente de la rueda menor es: p cd = πd zd d zd (4.159) se obtiene. en tanto que para ruedas con distintos números de dientes (zd ≠ zD) los pasos de las hélices son distintos.160) De las expresiones (4.α = arc cos pn M = arc cos n pc Mc (4. 30º.154) Para el ángulo α se toman por lo general los valores 10º. siendo sus diámetros primitivos d y D para el engranaje menor y mayor respectivamente.158) Ambos pasos circunferenciales. 15º. es decir: a) pcd = pcD = pc b) (4.48) está dado por la siguiente expresión: (4. engranando entre si ambos engranajes.162): . reemplazando en ella los valores de d y D dados por la (4. según muestra la figura (Fig.48) muestra dos ruedas cilíndricas helicoidales de ejes paralelos. 25º. 20º.156) Para la rueda mayor el paso circunferencial del diente es: p cD = y su módulo: πD zD (4.4. el paso de la hélice en el cilindro primitivo es igual para ambos engranajes. 4. ángulo exterior βP o de torno de la rueda menor.50) se muestran dos engranajes cónicos que están engranando entre sí. menor o igual a 90º. los cuales se muestran en la figura (Fig. indicándose sus distintas partes. teniéndose en cuenta la influencia de los ángulos que determinan las dimensiones del diente. Se analizarán únicamente lo engranajes cónicos de dientes rectos. pudiendo hacerlo. longitud L de la generatriz tomada desde el cono primitivo. presentan otros con las siguientes denominaciones: ángulo primitivo γR de la rueda mayor.10). El módulo y el paso circunferencial se determinan por el número de dientes en relación con el diámetro primitivo. ángulo complementario ψP de la rueda menor. en este último caso en arco o en espiral. éstos debido a la conicidad que tienen y a la serie de ángulos que aparecen por este motivo. La parte del diente que se halla fuera del cono primitivo se denomina cabeza y la que está en su interior raíz del mismo. Para obtener los distintos parámetros de los engranajes cónicos se utilizan similares expresiones a las ya vistas para los engranajes cilíndricos. Al engranaje de menor diámetro también se lo denomina piñón.4.9) y (4. ángulo ε de raíz del diente. Así para un módulo M se tendrá: ángulo exterior βR o de torno de la rueda mayor. utilizada para comprobación. ángulo δ de cabeza del diente. ángulo de fondo φR Para lo engranajes cónicos de dientes rectos. según ya se mostrara en la figura (Fig.163) La relación de transmisión se obtiene de igual forma que para los engranajes rectos. con un ángulo α mayor. Además de las denominaciones conocidas de los parámetros de los engranajes rectos y que también se emplean en los cónicos. hacia el centro donde convergen los ejes y las líneas de los flancos del diente prolongadas. presentan la particularidad de que la prolongación de sus ejes se cortan entre sí.4. ángulo primitivo γP de la rueda menor.11). Los dientes de estos engranajes pueden ser rectos o helicoidales. siendo sus diámetros primitivos DR y DP . las cuales se describen a continuación. debiendo el estudiante recurrir a bibliografía específica en caso de que sea de interés su conocimiento. . sobre los cuales se realiza el contacto entre dos engranajes cónicos que engranan entre sí. Las circunferencias primitivas son las circunferencias mayores de los conos primitivos. los cuales se han mostrado en las figuras (4. de la rueda mayor. sus dientes se disponen siguiendo las generatrices de los conos primitivos. distancia HR y HP desde la circunferencia mayor de cabeza al punto de convergencia de los ejes de la rueda mayor y menor respectivamente. Los dientes disminuyen progresivamente desde su parte exterior. constituyendo estos últimos los conos primitivos de los engranajes cónicos.49). Estos engranajes reemplazan a los conos de fricción que transmiten el movimiento de rotación alrededor de sus ejes a otros conos por fricción.L= pc (z d + z D ) = p n (z d + z D ) = M c (z d + z D ) = M n (z d + z D ) 2π 2π cosα 2 2 cosα (4. lugar donde tienen su origen todas las medidas referidas al diente y a los diámetros principales. Engranajes cónicos con dientes rectos y ejes a 90º Los engranajes cónicos. Las generatrices de los conos primitivos y las de cabezas y raíces de los dientes convergen al mismo punto O. En la figura (Fig. longitud b del diente. ángulo de fondo φP de la rueda menor. ángulo complementario ψR de la rueda mayor. 176) (4.169) M = .180) DEP = (2 sen γR + zP )M = DP + 2M cos γP (4.. etc.175) (4.Ángulo de cabeza del diente: .Módulo O también.182) .171) .16 M = 1.174) (4.Espesor del diente e = 1.Longitud de la generatriz del cono primitivo: (4.Altura de cabeza a =M (4.181) M = .Ángulo primitivo: También por diferencia se obtiene: DR z R = zP tg γR = DP γR = 90º. números de dientes.165) .173) . como son módulo. que relacionan los parámetros de los engranajes unos en función de los otros. sea cualquiera la relación en que estén al engranar.Ángulo de raíz: .184) .Ángulo complementario: . teniendo en cuenta la (4. tanto para la rueda como para el piñón.Altura del diente h = 2.γR L= DR zR M = 2 senγ R 2 senγ R DP − M senγ R 2 (4.168) La longitud L de la generatriz del cono primitivo es la misma tanto para la rueda mayor como para la menor (piñón) ya que sus diámetros primitivos.Diámetro exterior: (4.181): DP zP (4.164) . Se pueden escribir las distintas expresiones. se encuentran a la misma distancia del centro donde convergen las prolongaciones de los ejes y los flancos de los dientes.183) (4.Módulo O también.178) βR = γR + δ φR = γR + ε tg ε = 1.16 tg δ L ψR = 90º .Altura de raíz d = 1.166) .172) (4.Ángulo de fondo: .57M (4.16M (4. diámetros primitivos.Diámetro exterior: DER = (2 sen γP + zR )M = DR + 2M cos γR (4.Ángulo primitivo: También por diferencia se obtiene: DP z P = zR tg γP = DR γP = 90º.170) M = DER 2(senγ P ) + z R (4.177) (4.169): DR zR (4.179) .182) M = DEP 2(senγ R ) + z P (4.167) .γR (4.Distancia de la circunferencia primitiva al vértice del cono primitivo: HR = Engranaje menor o piñón . Engranaje mayor .Paso circunferencial p = Mπ (4.16M (4. teniendo en cuenta la (4.Ángulo exterior: .γP tg δ = M 2 senγ R = L zR (4. 190) γ el ángulo del cono primitivo. Dimensiones del diente En todos los cálculos de resistencia de los engranajes cónicos se utiliza el número virtual de dientes zv.189) que 1/ de 6M a 10M.191) El momento torsor respecto del eje del engranaje es: dF. La figura (Fig.γP φP = γP .Distancia de la circunferencia primitiva al vértice del cono primitivo: HP = La longitud b del diente debe ser igual o menor (4.Longitud de la generatriz del cono primitivo: βP = γP + δ ψP = 90º . sobre el cual se considera que actúa la fuerza dF de intensidad constante. Para dimensionar el diente se debe conocer la resistencia que debe presentar cuando es solicitado por la fuerza actuante Ft sobre él.Ángulo complementario: .51) representa la parte superior del diente y un elemento de longitud diferencial dl del mismo a la distancia l del vértice O del cono primitivo.Ángulo de fondo: . el paso circunferencial y el radio r en cualquier punto.192) la expresión de r y de pl dadas por la (4.ε (4.185) (4.Ángulo exterior: .50). siendo éste el número de dientes que tendría un engranaje cilíndrico de dientes rectos cuyo radio primitivo es igual al radio r del cono complementario.194) respectivamente se obtiene: (4. se puede escribir: dF = σt pl y dl (4. son proporcionales a la distancia desde el vértice del cono primitivo.194) Reemplazando en la (4.186) (4.187) L= DP zP M = 2 senγ P 2 senγ P DR − M senγ P 2 3L o (4.190) Siendo en la (4.193) y (4.195) se puede integrar para r variando de 0 a R y l variando entre L y L – b. obteniéndose: dF = p l Rl ⎛l⎞ σ t c y dl = Rσ t p c y⎜ ⎟ dl L L ⎝L⎠ 2 .105) dada por Lewis. el cual se indica en la figura (Fig. Si bien se puede utilizar la expresión (4. siendo pl el paso circunferencial del engranaje a esta distancia. se la debe modificar para engranajes cónicos. debido a que el tamaño del diente al igual que la fuerza que actúa sobre el flanco varían a lo largo del diente.192) El espesor del diente..195) La expresión (4.r = σt pl y dl r (4. La relación que liga al número real de dientes z del engranaje cónico con el número virtual de dientes zv del engranaje cilíndrico está dada por la expresión: zv = z cosγ (4. para una tensión σt de trabajo.193) pl p = c l L ⇒ pl = pc l L (4.188) . es decir: r R = l L y ⇒ r= Rl L (4.4. La expresión de Lewis para este elemento del diente de longitud dl sobre el cual actúa la fuerza dF y cuyo paso circunferencial es pl.4. ϕs σadm (4.R = ⎛ b b2 ⎞ Rσ t p c y L 2 l dl =Rσ t p c b y⎜1 − + 2 ⎟ ⎜ L 3L ⎟ L2 ∫L −b ⎠ ⎝ ⎛ b b2 Ft = σ r b p c y⎜1 − + 2 ⎜ L 3L ⎝ 1/ (4.L: longitud del tornillo sinfín. El caso más común es cuando los ejes se cruzan en ángulo recto.197) se puede escribir: ⎛ L−b⎞ ⎛ L−b⎞ Ft = σ t b p c y⎜ ⎟ ⎟ = σ t bY ⎜ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ (4.M t = Ft .109). siendo éste el de uso más generalizado y c) tornillo sinfín y rueda helicoidal ambos de perfil globoide. vale: 2 2 L = RR + RP (4.pt: paso axial entre filetes del tornillo.199) La tensión de trabajo σt se utiliza teniendo en cuenta la tensión admisible σadm afectada de los factores de velocidad ϕv y de servicio ϕs: σt = ϕv. según sea el tipo del perfil de los dientes.196) la fuerza Ft se obtiene: ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ b2/3L2 (4. b) tornillo sinfín de perfil cilíndrico y rueda helicoidal perfil globoide (axoide). siendo éstos.14) se han mostrado los distintos casos que se pueden presentar.110) y (4.52) se pueden observar los distintos elementos que conforman el par tornillo sinfín – rueda helicoidal. M el módulo en a extremidad mayor.111) y el factor de servicio ϕs se lo obtiene de la tabla también ya vista en engranajes cilíndricos de dientes rectos. Tornillo sinfin y rueda helicoidal Características: Este mecanismo sirve para transmitir el movimiento entre ejes que forman en el espacio un ángulo cualquiera. La velocidad que se utiliza para los cálculos y dimensionamiento es la velocidad de la extremidad mayor y los factores de forma y e Y se los obtiene de tablas de bibliografía especializada. los siguientes: . los que podían ser: a) tornillo sinfín y rueda helicoidal ambos de perfil cilíndrico. según se indica en la figura. . Es utilizado cuando se exige una gran reducción de velocidad en un espacio limitado y una marcha silenciosa. (4.196) Despejando de la (4. según se utilice para el cálculo pc o M respectivamente y Ft la fuerza tangencial equivalente en la extremidad mayor La generatriz L del cono primitivo. y la fuerza Ft como el esfuerzo tangencial equivalente a esta velocidad.4. . En la figura (4.200) El factor de velocidad ϕv es el dado por los factores que afectan las fuerzas del segundo miembro de las expresiones ya vistas (4.198) Siendo pc el paso circunferencial en la extremidad mayor. tanto de la rueda como el del tornillo sinfín. En la figura (Fig. el término se hace igual a 1/27 que se puede despreciar sin introducir un error apreciable. por lo que la (4. siendo RR el radio primitivo de la rueda mayor y RP el radio primitivo de la rueda menor (piñón). Las cargas dinámicas y de desgaste se las obtienen con las mismas expresiones usadas para los engranajes cilíndricos pero tomando el número virtual zv de dientes y la velocidad de la circunferencia primitiva de la extremidad mayor. y e Y factor de forma correspondiente al número virtual zv de dientes.197) Como el valor de b como máximo alcanzan la longitud de 3L. un punto apoyado sobre el filete habrá avanzado paralelamente al eje del tornillo una distancia igual al paso axial Ph de la hélice. el paso axial de la hélice. .pcr: paso circunferencial de la rueda.di: diámetro interior o de raíz del tornillo.4. Relación de transmisión . . la rueda avanzará tres dientes y así sucesivamente.b : ancho axial de la rueda.4. o avance del tornillo será: .Dt: diámetro de garganta de la rueda.α: ángulo de avance del tornillo.de: diámetro exterior del tornillo. El paso axial pt del tornillo sin fin es igual al paso circunferencial pcR de la rueda que engrana con el tornillo.dp: diámetro primitivo del tornillo. la rueda se habrá desplazado un ángulo central correspondiente a un diente. la que se muestra en la figura (Fig. cuando éste da una vuelta completa. si tuviera tres filetes. .53a).h: altura total del filete. . tomada en forma paralela al eje del tornillo. . Para este caso. .β : ángulo de la cara de la rueda. que se muestra en la figura (Fig. .53a) siendo este último la distancia que existe entre dos puntos consecutivos que ocupan igual posición en el filete.Dp: diámetro primitivo de la rueda. Es decir que para zt filetes por paso de filete.Di: diámetro interior de la rueda. .De: diámetro exterior de la rueda. . al dar una vuelta completa hará avanzar dos dientes a la rueda. cuando el tornillo da una vuelta completa. Para un tornillo de un filete.d: altura de raíz (dedendo) del filete. Si el tornillo fuera de dos filetes. . ..53b) y que resulta igual al paso axial pt del filete. . lo que se pude observar en la figura (Fig.a: altura de cabeza (adendo) del filete.4. 55) se representa un tornillo sinfín de cuatro filetes o.pn (4. cuyo radio primitivo es R en m.4.204) vR = vt La relación de transmisión i está dada por la expresión: i= (4. para el paso axial pt y el número de filetes zt.dp sen α .207) Pn = Ph cos α = π.210) En la figura (Fig. que gira a nR vueltas por minuto.Módulo axial: .202) Esta rueda engrana con un tornillo sinfín de zt filetes. la (4. el desarrollo de la hélice y el paso de la hélice.208) AB = .54) se representa un tornillo sinfín de dos filetes. su velocidad tangencial vR en m/s será: vR = 2π R n R 60 (4.203) (4. se obtiene un triángulo rectángulo formado por el desarrollo del diámetro primitivo. Como se vió. resultando que el paso normal es: Pn = zt. cuyo paso axial es pt en m.211) (4. donde el paso axial de la hélice es igual a dos veces el paso axial entre filetes: zt = 2 Ph = 2 z t (4.206) (4.4.205) Si se desarrolla el cilindro primitivo del tornillo según se muestra en la figura (Fig.Paso normal: z (número de filetes del sin fín) nR = t nt z R (número de dientes de la rueda) Ma = Ph π (4.209) Un tornillo sinfín puede tener más de un filete.53c).4.Longitud de la hélice: πdp P = h cosα sen α (4.212) En la figura (Fig.Ph = zt.pt = π dp tgα (4. Además la normal CD a AB es el paso normal Pn de la hélice del tornillo que se mide perpendicular al desarrollo de la hélice.201) Si se tiene una rueda de zR dientes. .Módulo normal: Mn = Pn π = d p senα (4. Del análisis de la figura se obtiene: . como también se lo denomina comúnmente. que gira a nt vueltas por minuto con una velocidad tangencial vt en m/s igual a: vt = Resultando: z t p t nt 60 (4.201) daba el paso axial de la hélice. como además éstos deben guardar ciertas relaciones entre ambos.Módulo circunferencial de la rueda: (4.222) .214) . siendo: Ph = 4pt (4. haciendo referencia a la figura (Fig. y considerando el coeficiente de rozamiento µ entre las superficies en contacto toma la forma siguiente en función de sus componentes axiales y normales: .de cuatro entradas .Mc (4.Diámetro de garganta de la rueda: Dt = Dp + 2Mn (4.Paso de la hélice de la rueda: PhR = π .218) .Diámetro primitivo de la rueda: Dp = zR.215) .D p tgα (4. Pero como existe una línea de contacto entre los flancos de los filetes del tornillo sinfín y de los dientes de la rueda. por lo que las expresiones de la fuerza normal F que actúa.41) ya vista.Diámetro exterior de la rueda: cos β ⎞ ⎛ De = 2⎜ r − r ⎟ + Dt 2 ⎠ ⎝ L= 1 (D p + d p ) 2 (4.Distancia entre ejes de rueda y tornillo sinfín: . sus parámetros y detalles constructivos deben poseer para cada uno determinadas características.217) .Diámetro primitivo del tornillo sinfín: (4. En el se observa el paso axial Ph de la hélice y el paso axial entre filetes.216) .Fuerza de salida Fs que actúa sobre la rueda dentada es: (4.213) Fórmulas de cálculos de los elementos del tornillo sinfín y rueda Para posibilitar el correcto engrane entre el tornillo sinfín y la rueda.Paso circunferencial pcR de la rueda: p cR = π Dp zR = pt (4. hay una mayor fuerza de rozamiento que se debe vencer.219) (4.221) Resistencia de los dientes: Debido a que los dientes de la rueda son más débiles por construcción que los filetes del tornillo sinfín.4. .Fuerza de entrada en el tornillo sinfín: Mc = Dp = Mn cosα Ne Fe = F(cos ϕn senα + µ cos α) = vtc Donde es Ne la potencia de entrada y vtc la velocidad circunferencial del tornillo sinfín. adecuándose la expresión de Lewis en forma similar a la vista anteriormente para engranajes helicoidales. la resistencia del conjunto se basa en el cálculo de los dientes de la rueda. las cuales se indican a continuación: .220) dp = de – 2Mn zR . 227) Y que además es el paso circunferencial pcR de la rueda igual al paso axial pt del tornillo sinfín: pcR = pt Resultando por lo tanto.204): vR = π D p nR 60 = z t .5 5.6 7.229) resulta finalmente: (4.bR. p t nt 60 (4.230) Operando y sustituyendo por sus funciones trigonométricas homónimas la (4. pt senα = = h = tgα = vtc π .8 Rendimiento El rendimiento η del mecanismo tornillo sinfín-rueda dentada se lo obtiene considerando la potencia de entrada y la potencia de salida: η= N s v R (cosϕ n cosα − µ senα )v R = N e vtc (cosϕ n senα + µ cosα )vtc (4. por la (4.231) . Carga de desgaste Fw La carga de desgaste se puede obtener por la expresión propuesta por Buckingham: Fw = Dp.225) el valor de vR/vtc dado por el último miembro de la (4. y K’ una constante.224) Donde bR y Dp son el ancho de la cara y el diámetro primitivo de la rueda respectivamente. como la que se muestra a continuación.228) y la (4.228) Del cociente entre la (4.Ns Fs = F(cos ϕn cos α .K’ (4. DR y bR en cm y tornillo sinfín de acero endurecido: Material de la rueda Hierro fundido o semiacero Bronce al manganeso Bronce al fósforo Baquelita u otro material similar K’ 3.225) Teniendo en cuenta que la velocidad circunferencial vtc del tornillo sinfín está dada por la expresión: vtc = π d p nt 60 (4.223) (4.226) (4.0 8.229).µ sen α) = v R Siendo Ns la potencia de salida y vR la velocidad circunferencial de la rueda dentada.d p π d p cosα (4. esta constante se encuentra tabulada para distintos tipos de materiales. y que depende del tipo de material utilizado en la rueda y del ángulo de avance del tornillo sinfín. la expresión que da el rendimiento es: η= (cosϕ (cosϕ n senα + µ cosα ) cosα η= cosϕ n − µ tgα cosϕ n + µ ctgα n cosα − µ senα )senα (4. para Fw en kg.229) Reemplazando en la (4.226) se obtiene: P v R z t . C.Diseño de Elementos de Máquinas Aguirre Esponda Trillas .Elementos de Máquinas Pezzano-Klein El Ateneo .Diseño de Elementos de Máquinas V.Manual del Constructor de Máquinas H.Elementos de Máquinas Dobrovolski y otros MIR . Montaner y Simón . F.Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance-Doughtie Alsina .E. Dudley C. Faires S.C. Ing.Diseño en Ingeniería Mecánica J.S. Fratschner Gustavo Gili .Diseño de Máquinas Hall-Holowenco-Lau McGraw-Hill .Elementos de Máquinas Dr.Manual del Ingeniero Mecánico de Marks Baumeister y Marks Uteha .Manual de Engranajes Darle W.232) Existen tablas que dan el valor del coeficiente de rozamiento µ en función de la velocidad de deslizamiento.El coeficiente de rozamiento µ depende de la velocidad de deslizamiento vs entre el tornillo sinfín y la rueda. Shigley McGraw-Hill .M.E. . O.Manual de Engranajes Darle W.S.A.Dudley. la cual se obtiene mediante la siguiente expresión: vs = vtc cosα (4. Spotts Reverté .Proyecto de Elementos de Máquinas M. Solsona Alsina .Mecánica de Taller E.A. ------------()-------------Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía TÍTULO AUTOR EDITORIAL . . Dubbel Labor .C.A.Manual del Ingeniero Hütte II A Academia Hütte Gustavo Gili . arrancando trozos del mismo en formas de hojas. con los que se introducen en el material a cortar.. aumentando al aumentar Q y disminuyendo con la disminución del ángulo de incidencia ε. enfriamiento. pero las fuerzas actúan sobre el plano oblicuo de corte. Según la cantidad de filos cortantes que posean. el cual sumado al ángulo de filo α. Son varios los factores de los cuales depende el comportamiento de las herramientas de corte. Entre la cara anterior Oa y la perpendicular yy a la línea de corte xx se forma el ángulo de despojo ε. Es realizado en la dirección de la trayectoria del movimiento. oblicuo de corte y tiene dos componentes. etc. La fuerza Ry es normal al plano una vertical R ′′ las que son contrarrestadas por los órganos de y sujeción de la máquina. ángulo de corte. velocidad de movimiento de la pieza o de la herramienta. cepilladoras. granillo. estando por el otro extremo firmemente sujeta para permitir el trabajo. mortajadoras y otras de formas de trabajo similares. Al incidir la cuña formada por el filo de la herramienta. las herramientas pueden clasificarse como: a) Herramientas de corte de un solo ángulo de filo. el material de la pieza trabajada es cortado. Para el caso de herramientas de filos de corte lateral. las máquinas herramientas realizan el trabajo específico de modificación de la forma de los cuerpos o piezas sobre las cuales actúan. el cual utiliza la mayor parte de la potencia de la máquina herramienta. 3. Utilizan elementos especiales de gran resistencia llamados herramientas de corte. según se muestra en la figura (Fig. la herramienta incide como una cuña sobre el material de la pieza sobre la cual trabaja. etc. que actúa en forma perpendicular a la cara anterior Oa de la herramienta. rizo. b) Herramientas de corte con ángulos de filos múltiples.Esfuerzo de roce o resbalamiento S. dependiendo de la elasticidad del material a arrancar. Pero en forma fundamental depende del material del que está construida la herramienta de corte. que se produce por el rozamiento de la viruta sobre la cara anterior Oa de la herramienta . siendo directamente proporcional a la longitud del filo cortante y al espesor de la viruta e inversamente proporcional al ángulo ε de despojo. la cual a su vez puede descomponerse en la fuerza vertical Ry y en la fuerza horizontal Rx. La herramienta consta de una cara anterior Oa y una cara posterior Ob. donde el desplazamiento de la herramienta se realiza en forma rectilínea y paralelamente al plano de la pieza a trabajar. La herramienta posee en el extremo activo una uña o borde cortante frontal. aguja. o viceversa. el movimiento principal de corte es también de traslación rectilínea.5 MÁQUINAS HERRAMIENTAS GENERALIDADES: Mediante la aplicación de potencias considerables. La herramienta incide sobre el material formando con su cara posterior Ob y la línea de corte xx de la pieza el ángulo de incidencia β. siendo directamente proporcional a la resistencia a la rotura del material de la pieza que se trabaja.5.5. 2. a la longitud de la arista de corte y al espesor de la viruta arrancada. una horizontal R ′ y y . una viruta de espesor e. las cuales poseen filos cortantes en algunos de sus extremos. Fuerzas de corte en el mecanizado de metales Herramientas de corte frontal: este tipo de herramientas es el utilizado por las máquinas limadoras.Esfuerzo de corte T. las cuales determinan el ángulo de filo α de la cuña de corte. Q y S son componentes de fuerza R.1).Esfuerzo de deformación Q. Si se observa la figura (Fig. La fuerza principal de corte también está dada por la expresión (5. de tal forma que en el arranque de la viruta se producen sobre la herramienta los siguientes esfuerzos: 1. arrancando durante el desplazamiento en la carrera activa. el cual recibe el nombre de viruta. mediante el corte o arranque del material de las mismas. perpendicular y paralela respectivamente a la trayectoria de corte. arrancando parte de él en forma de viruta.1) La fuerza Ry es resistida por la mordaza de la máquina que sujeta a la herramienta.1). forman el ángulo de corte γ.2). como ser el tipo de filo de corte. La fuerza principal de corte estará dada por la suma de las fuerzas: P = T + Rx (5. como en el fresado.3) Para L en metros (m) y t en minutos (min).4) Si está dm en mm resulta v en mm/min. o de la herramienta. por lo que la (5. siendo Ry el esfuerzo resultante en el plano de corte. El momento que debe vencer el mecanismo principal de corte resulta: M = P.a (5.e P = 200. se tiene en cuenta el número n de vueltas por minuto que da la pieza o herramienta y el diámetro medio dm de la pieza o herramienta considerada. ésta pasa sobre la cara anterior de la misma con una velocidad de corte o tangencial v según se observa en la figura (Fig. la velocidad v de corte se calcula teniendo en cuenta la longitud L recorrida y el tiempo t empleado. caso de la limadora. cepillado.a3/4. Para obtener esta velocidad en m/min se divide por 1000 m/mm: v= π dmn 1000 m min (5. limado y torneado encontró que la fuerza principal de corte P.5.3) P = 138. resulta q en milímetro cuadrado (mm2). Ry debe ser anulada por los órganos de la máquina que sujetan la herramienta. la distribución de esfuerzos es similar a las halladas anteriormente. Ry’ la resistencia a la penetración y Ry’’ la resistencia al avance de la herramienta.4) y (5.3). la velocidad de corte coincide con la velocidad de traslación de la herramienta. o de la pieza en el caso de la cepilladora.e14/15 kg para fundición blanda (5. Cálculo de la velocidad de corte Para el movimiento rectilíneo. para los casos de mortajado. varían para distintos materiales según las siguientes expresiones: P = 88.5) Siendo a y e en la (5. como en el torneado. d 2 (5.6) Velocidad de corte Es la velocidad del movimiento que provoca el desprendimiento de la viruta. o sea que la velocidad tangencial v estará dada por la expresión: v = π dm n (5. siendo: v= L t (5.e14/15 kg para fundición dura (5. (5.a kg para acero semiduro (5.3).4).Avance de la herramienta y profundidad de penetración Al ser arrancada la viruta metálica por la herramienta. es tangencial a la circunferencia media de la superficie torneada y normal al plano de corte. según muestra la figura (Fig. llamadas avance de la herramienta y profundidad de corte o grueso de pasada respectivamente. Para el caso del torneado. la velocidad de corte coincide con la velocidad periférica de la pieza.5) se puede escribir: .5) En la práctica se considera el diámetro medio coincidente con el diámetro exterior d. Expresiones de la fuerza principal de corte para distintos materiales De acuerdo a sus experiencias Taylor. Para calcular la velocidad de corte v en el movimiento giratorio. Si el movimiento es giratorio.a3/4.5) el avance de la herramienta y la profundidad de corte en el material.2) Si a y e están en milímetro (mm).5. Si la herramienta avanza una cantidad a con una profundidad de penetración e.1). Si el movimiento es rectilíneo.4) 14/15. La fuerza principal de corte P. la sección q de viruta arrancada será: q = e. v resulta en m/min. estando la fuerza principal de corte dada también por la expresión (5. respectivamente. 8) Estando P en N si están ks en N/m2 y q en m2. Para obtenerla en CV se aplica: N= CEPILLADO. que según Taylor. ya que al refrigerarla se disminuye el desgaste. dependiendo de la duración de su filo por el desgaste que experimenta el mismo. debido a los distintos factores que intervienen en el corte del material. la velocidad de corte es mínima siendo máxima la sección de la viruta.ks (5.v (5.v = e. la velocidad es máxima. está dada por la expresión: N = P.v = 75. 5. para la fuerza P y la velocidad v. cuando aumenta ésta. disminuye la velocidad de corte debido a la mayor resistencia que opone. o P en kg si están ks en kg/mm2 y q en mm2.10) . 2. Por lo general se encuentra tabulado o graficado según datos prácticos.ks = e.7) Donde k es un coeficiente de vida hallado experimentalmente. la relación: v. o en kgm/min si v está en m/min. LIMADO y MORTAJADO e.tk = constante (5. pudiendo aumentar la velocidad de corte.6) La velocidad de corte para los distintos materiales varía según distintos factores.Duración de la herramienta. siendo para los aceros corrientes al carbono k = 1/8 y para fundición gris corriente k = 1/12.ks.a. 3. Cuanto menos desgaste presentan. Para trabajos de desbaste.ks.Enfriamiento de la herramienta. siendo mínima la sección de la viruta.Calidad del material de la herramienta. Por ejemplo. ya que al aumentar la velocidad de corte disminuye la duración del filo. el cual es el factor predominante.v = q. mayor puede ser la velocidad de corte. Potencia necesaria para el corte Si la resistencia específica de corte o presión específica de corte del material es ks.v P. Se debe lograr la velocidad de máximo rendimiento teniendo en cuenta la cantidad de afiladas de la herramienta con la producción del trabajo que realiza.Sección de la viruta. obtuvo experimentalmente para la velocidad de corte y la duración del filo de la herramienta. para trabajos de acabado.Dureza del material que hay que trabajar. Según Taylor.v= π dn m 1000 min (5.a. los más importantes serían: 1. 4. La presión específica ks se toma por lo general de 3 a 5 veces mayor que la resistencia unitaria a la rotura por tracción kz del material que se trabaja.9) Estando N en W si v está en m/s.60 4500 (5.k s .a. la fuerza necesaria para realizar el corte de la viruta de sección q es: P = q. para metal duro es v = 1 m/min y para metal blando v = 100 m/min. La potencia N necesaria para el corte. sobre ésta última se encuentra la placa del soporte de la herramienta G. denominada generalmente una pasada.Estas operaciones son destinadas principalmente a la obtención de superficies planas. de tal forma que en el retroceso no ejerce presión sobre la pieza. Las figuras que se muestran representan a las máquinas herramientas mencionadas. La figura (Fig. consta de un bastidor compuesto de una bancada A y un montante B. con el cual se regula la profundidad de corte en una carrera activa. sobre la que desliza el carro o cabezal B sobre guías con movimiento rectilíneo de avance y retroceso. quedando fija la pieza a trabajar. que se muestra en la figura (Fig. La mortajadora. un avance útil o activo. en el mortajado. y uno de retroceso o retorno pasivo sin arranque de material. El movimiento que tiene el cabezal puede regularse. pudiendo ser de un montante para el cepillado de piezas muy grandes que no pueden entrar entre dos montantes.5. muestra una cepilladora de dos montantes. si bien la pieza está fija. pudiendo este carro inclinarse y subir o bajar por medio de un tornillo sin fin. cuyas partes principales son: un cuerpo principal A o bancada con base de apoyo de fundición.7). Las herramientas o piezas en estos casos están animados de movimiento rectilíneo alternativo. en el cual se encuentra el porta herramienta C que sujeta la herramienta de corte. un tope de carrera L y un punto de conexión eléctrica M. que levantan la herramienta de la pieza durante la carrera de retroceso . los cuales están unidos por un Travesaño E. La figura (Fig.5) corresponde a una limadora accionada mecánicamente. la herramienta se desplaza en sentido rectilíneo de avance y retroceso vertical. los que permiten dar la profundidad y ancho total al trabajo de limado. la cual tiene un movimiento de avance . el carro contiene además una corredera de la herramienta F giratoria que le confiere el movimiento vertical a la herramienta bajándola para profundizar la pasada o elevándola para alejarla de la pieza. un carro portaherramienta C. La herramienta utilizada tiene un solo ángulo de filo la que en el movimiento de un avance y retroceso. en tanto que en el cepillado la pieza se desplaza en avance y retroceso rectilíneo. según la longitud a limar. Constan principalmente de una bancada A de fundición. una caja de cambio de movimiento I. quedando fija la herramienta. Estas máquinas herramientas pueden ser accionadas mecánicamente o en forma hidráulica. el cabezal porta herramienta es basculante.5. En el limado. arranca una viruta de sección q. sobre la que desliza sobre guías la mesa porta pieza B que se desplaza en forma rectilínea de avance y retroceso. La mesa portapiezas D puede desplazarse hacia arriba o hacia abajo y transversalmente mediante dispositivos de tornillos sin fin E y F. un mecanismo de velocidades del avance J. sobre la primera se encuentra la mesa portapieza C giratoria. en el cual se arranca el marial en forma de viruta.5. la herramienta se mueve con traslación rectilínea de avance y retroceso. el cual puede regular su altura desplazándose verticalmente hacia arriba y hacia abajo sobre las guías de los dos montantes D. Además cuenta con un eje de mando de avance H. una caja de cambio de velocidades K.6). y las fuerzas de rozamiento que se producen y que se deben vencer. En la figura (Fig.1 a 10 0. como los desplazamientos de las masas de las distintas partes de la máquina que soportan la herramienta o la pieza. siendo en esos puntos la velocidad de desplazamiento nula y variable en los puntos intermedios. indicándose la forma de sujeción de la herramienta de la limadora al cabezal. C traba de ajuste. etc.2 a 12 Para elegir el motor adecuado que accionará la máquina herramienta.8b) se muestra un limado vertical. en los extremos de la carrera el cabezal porta herramienta o la mesa porta pieza se detiene cambiando de sentido el movimiento. Por este motivo deberá ser considerada una potencia N1 necesaria para realizar el trabajo de corte del material y una potencia N2 necesaria para vencer el trabajo que oponen las fuerzas de rozamiento. de la herramienta utilizada. donde K y L son movimientos de traslación rectilínea y vertical respectivamente. D suplemento.2 a 12 0. sobre el segundo se encuentra el carro porta herramienta F. se debe calcular la potencia necesaria. estando la placa sujeta herramienta F desplazada angularmente. Metales ligeros Avance en mm 0. A continuación se transcribe una tabla con velocidades de corte y de avances en el cepillado: Velocidades de corte y avance en el cepillado Material de herramienta Velocidad de corte m/min 6 a 12 Acero al carbono 10 a 30 Acero rápido 5 a 10 Acero al carbono 10 a 25 Acero rápido 5 a 10 Acero al carbono 10 a 20 Acero rápido 10 a 20 Acero al carbono 20 a 30 Acero rápido 10 a 25 Acero al carbono 25 a 50 Acero rápido Material a trabajar Acero de construcción Acero moldeado Fundición de hierro Bronce.compuesto. un husillo de avance I. Se toma un valor medio de la velocidad de trabajo. teniendo en cuenta las resistencias que oponen en la carrera activa tanto el material a ser cortado. E tornillo de desplazamiento angular. a modo de ilustración. siendo la potencia total N dada por la siguiente expresión: N = N1 + N2 (5.1 a 8 0. dado por el carro longitudinal D que se mueve sobre las guías de la bancada. el cual tiene el soporte de la herramienta G. latón. Cálculo de la potencia necesaria o absorbida Debido al movimiento de avance y retroceso rectilíneo para efectuar el corte.11) . que lo realiza el cabezal porta herramienta. G herramienta.2 a 12 0. un mecanismo divisor J y la caja de velocidades del avance K.5.1 a 8 0. I desplazamiento del cabezal porta herramienta y H desplazamiento lateral de la pieza. B manivela de desplazamiento vertical.2 a 12 0.8a) se muestra.2 a 12 0.1 a 8 0. dependiendo el mismo del tipo de material a trabajar. de su enfriamiento y de los esfuerzos que se generan debido a las masas desplazadas en el movimiento.5. También cuenta con un mecanismo de variación de la posición de la carrera H. En la figura (Fig. H pieza trabajada. y por el carro transversal E que se mueve sobre guías en el carro longitudinal. siendo en la misma A el tornillo de apriete. el arranque de viruta de una pieza en un limado horizontal.1 a 10 0. F placa sujeta herramienta. 4500 (5.17) en CV: N1 η = k s .µ.µ.µ . la potencia del motor de accionamiento. según se muestra en la figura (Fig.v = 75. como así también de la carrera longitudinal s.µ .12) que la potencia N2 se calcula considerándola fuerza de rozamiento. q en m2 y v en m/s. dependerá.9).12) estará en vatios (W) si Q está en Newton (N) y v en metro sobre segundo (m/s).q.15) Para un rendimiento mecánico η del mecanismo de transmisión.v η (5.v Q.60 4500 (5.4500 (5. resultando la (5.14) N= k s . y la velocidad media de trabajo v. del espesor e de la pasada.18) Nm = k s .µ. la velocidad media de trabajo v.q + µ .µ) Estando N en vatios (W) si están P y Q en Newton (N).16) en vatios: Nm = Y la (5.v η .v (5.q + µ .q + Q.v = ks. resultando: N2 = Q. De la (5.9) o (5.10) y de la (5. la potencia N2 resulta muy pequeña frente a N1.9) y la (5. en tanto porta herramienta o de la mesa y pieza que soporta y el coeficiente de rozamiento µ. el espesor q de viruta cortada por pasada y la resistencia específica al corte ks del material de la pieza trabajada.12) resulta en kilográmetros (kgm). Si Q está en kilogramos (Kg).v v(k s .13) Por lo tanto. Para este último caso y para v en m/min.La potencia N1 estará dada por la expresión (5.15) se obtiene. la (5. del carro La (5. para obtener N2 en Caballo Vapor se utiliza la expresión: N2 = Q.Q ) η .q.10) para la fuerza de corte P.v + Q.q. en vatios: Nm = Y de la (5.Q ) + = 4500 4500 4500 (5. cepillado o mortajado. por lo que es factible desestimarla. .µ .19) Cálculo del tiempo de máquina El tiempo de máquina empleado en el limado.q + η .q.14) será.5.17) Como en las limadoras y mortajadoras las fuerzas de rozamiento no son significativas.Q ) η v(k s . del ancho b de la pieza y de la cantidad de pasadas m necesarias para completar la profundidad total h de corte. en CV: N η = v(k s .13) resulta N en CV: (5.16) Nm = N η = (5.12): N = P.v = v(ks. del avance transversal a por pasada y de la velocidad media de corte vm.v Q. la potencia total N es. de la (5.v + Q. según la (5. . dada por desplazamiento del peso Q. ks en N/m2. 23) se obtiene: n' n (minutos) (5.t = (5.20) n' = b a (5.21). por lo tanto. llamando n al número de carreras longitudinales dobles realizadas por minuto y n’ el número de carreras dobles de la mesa o carro porta herramienta para completar una pasada en el ancho b de la pieza.( L + 2c).b a.n’ De la (5.25) Por lo que resultará que el tiempo total T que se empleará en las m pasadas será: T = m.s.20) se obtiene: (5.27) 2.26) Si se llama c a la distancia que se desplaza la herramienta fuera de la pieza.28) La velocidad media vm se obtiene a partir de los tiempos utilizados ta y tr en recorrer las carreras activa y pasiva respectivamente considerando la velocidad de corte v y la velocidad de retorno vr.27) se obtiene: (5.29) en la (5.29) Como la velocidad media vm es igual a: 2. el número n de carreras longitudinales por minuto será : n= vm 2s (5. si es vm la velocidad media de trabajo.b.h a.s ta + tr (5.23) t= (5.5.26) el valor de s dado por la (5.v m a. para cubrir el ancho b de la pieza. se empleará un tiempo t igual a: t= De la (5.Si es L la longitud total de la superficie de la pieza a trabajar. reemplazando en la (5. la carrera longitudinal s en función del largo L de la pieza y de estas distancias c.30): .9).30) Se tendrá. de la (5.v m (minutos) T= 2. se tendrá: b = a. reemplazando los valores de ta y tr dadas por la (5.h = a.v m (minutos) m= h e (5. se puede escribir: S = L + 2c Por lo tanto.s.v m (minutos) (5.s.e.22) Para dar las n’ pasadas completas.e. tanto al comienzo como a la salida de la pieza según se muestra en la figura (Fig.21) Por otra parte.24) La profundidad total es h.b. la cantidad total m de pasadas completas n’ que se tienen que dar para completar el trabajo es: 2.22) y de la (5. o pasada completa.m 2.b. obteniéndose las siguientes expresiones: a) ta = s v vm = b) tr = s vr (5. 4Se traslada y1 + y2 sobre el eje de ordenadas a la izquierda en el diagrama superior y se lee P sobre el mismo. Se puede observar también en la figura las palancas de . este tipo de máquinas.5. principalmente.s v + v r v. ya que el mismo sirve para realizar una gran cantidad de trabajo con herramientas por lo general de forma sencilla. 2. siendo además.11). en el diagrama inferior. en el diagrama superior. estando sobre este último el carro de desplazamiento transversal D. que resuelven las expresiones (5. el cual contiene en su interior el tren de engranajes y comandos para la variación de velocidades y tiene además el husillo principal o de trabajo que es un eje con un extremo roscado en voladizo.11). (5. es una de las operaciones más útiles en el trabajo de materiales con máquinas herramientas.10). el cual se muestra en la figura (Fig.5. realizado con el torno. En el otro extremo opuesto al cabezal fijo se encuentra el cabezal móvil L que contiene en su interior la contrapunta O desplazable. con el cual se le da el desplazamiento transversal a la herramienta y con ello la profundidad de pasada e.Se obtiene la ordenada y2 según el avance a y el tipo de material. 3. el cual gira imprimiéndole al plato de mordaza M y a la pieza sujeta por el mismo. y se puede mover axialmente en la guía U. En uno de los extremos se encuentra el cabezal fijo B. como el de la figura (Fig. resultando: y1 + y2.v.3). que desplaza a la herramienta en forma longitudinal.Se adiciona a la ordenada y2 del diagrama superior la ordenada y1 obtenida en el diagrama inferior. TORNEADO El torneado. El torno está conformado. el movimiento de rotación principal de corte.31) Determinación del esfuerzo de corte mediante gráficos Existen gráficos. que se utiliza para sujetar por uno de sus extremos las piezas largas que se trabajan o para sujetar una herramienta de taladrar o escariar. por las siguientes partes: la bancada A que posee las patas de apoyo Z. éste a su vez soporta el carro superior porta herramienta E en el cual se encuentra el porta herramienta F propiamente dicho.4) y (5. según se indica en la figura (Fig. obteniéndose el avance a.v r (5. soporta las otras partes del torno y tiene la guía U por la cual desliza el carro principal de bancada C.vm = 2s s s + v vr = 2.Con el espesor de la pasada o de viruta e y el tipo de material se obtiene la ordenada y1.v r 2s = v r .s + v.5) de Taylor ya vistas anteriormente. P está dado en kg para e y a en milímetros. una de las más empleadas en talleres tanto industriales como de mantenimientos.5. según el siguiente procedimiento: 1. Generalidades Los tornos más utilizados son los de bancada horizontal.5. d) obtención de superficies cónicas. según normas ISO.12a) se puede observar la operación de torneado cilíndrico. en los cuales se imprime a la pieza. mediante la operación denominada frenteado. (b) y (c) herramientas de forma. utilizados para desbastar. donde se muestra la herramienta y la viruta que el corte de ésta produce. sujeta por la mordaza del plato en un extremo y por el otro por la contrapunta del cabezal móvil. carburos metálicos. estando normalizadas. con una velocidad tangencial v. Los tipos y formas de herramientas varían de acuerdo al material a trabajar y al tipo de trabajo. la caja de movimiento transversal G del carro principal de bancada C. efectúa un movimiento longitudinal y transversal. afinar. diamante. aleado con los metales ya mencionados más Molibdeno (Mo) y Cobalto (Co). En el torno se pueden ejecutar una gran variedad de trabajos. pero como las primeras tienen menor poder de absorción de calor. un movimiento de rotación según su eje horizontal. en la cual la herramienta únicamente penetra en forma normal al eje de la pieza sin avanzar longitudinalmente. la herramienta de corte. b) obtención de superficies planas. las herramientas de acero al carbono y de acero rápido tienen los ángulos de filos de corte casi de un mismo valor ya que son de materiales similares. pierden el filo de corte con mayor rapidez. constituyendo éste el movimiento principal de corte. taladrar.13) se muestran algunas de las formas de las herramientas ya mencionadas. por lo general un sólido de revolución. Según sea el tipo de material de la herramienta será su ángulo de filo de corte.. virutas de espesores que dependerán del tipo de material a trabajar. e) obtención de superficies de sólidos de revolución de perfiles variables. nueve formas distintas. la cual gira. tronzar. d) obtención de roscas de paso variables. En general se exige en las herramientas un mínimo empleo de fuerza y una máxima velocidad de corte. sujetada por el carro porta herramienta. Herramientas de corte Los materiales más usados en la construcción de herramientas de corte son el acero al carbono. como las denominadas estelitas. conocidos con su nombre comercial Widia. a la barra de cilindrar J y al tornillo de roscar o patrón I los movimientos de giro que hacen desplazar axialmente el carro principal de bancada C para realizar el avance. En la figura (Fig. siendo los principales los siguientes: a) obtención de superficies cilíndricas. dar forma. En la figura (Fig. . como más importantes. que es una aleación con Wolframio (W). (d) herramienta de roscar. las que en su convergencia forman el filo i de la herramienta. como ya se viera.comando del movimiento de rotación N con los que se varía la velocidad de rotación de la pieza que se trabaja o se la detiene. En la figura (Fig. aleaciones no ferrosas. tanto exteriores como interiores. c) obtención de superficies esféricas. etc.12b) se muestra la cuña de superficie h formada por las superficies f y g. acero rápido. que permite a éste desplazarse transversalmente.5. existiendo herramientas de corte con distintos ángulos de filos frontales y laterales. aleaciones duras. que constituyen el avance a y la penetración e respectivamente. el mecanismo de avance H. desprendiéndose.5. al penetrar con una profundidad o espesor de corte e y un avance a en la pieza que se trabaja. lo cual se admite en trabajos que carezcan de vibraciones. Cromo (Cr) y Vanadio (V). La herramienta efectúa el corte de la viruta V cuya sección está dada por la penetración o espesor e y el avance a. el cual le imprime a la barra de avance K. de la herramienta utilizada y de la velocidad de corte requerida. acero extrarápido o metales duros. El arranque de material puede ser realizado tanto exteriormente a la pieza como interiormente. correspondiendo: (a) herramienta de tronzar. tallar engranajes. Al mismo tiempo. cerámicos. metales que le confieren mayor resistencia al calentamiento y al desgaste. el cilindrado o el roscado respectivamente. . o aún producir la rotura de la herramienta. La herramienta en la posición A se utiliza para pasadas finas o de acabado.5. resintiéndose el filo.que la herramienta esté por encima de la posición normal media (Fig. según muestra la figura (Fig. cuando más grande. en tanto que los de posición dependen del tipo de trabajo a realizar.que la herramienta esté más baja que la correspondiente a la posición normal media. más se ve favorecida la herramienta y su filo.5c). Los ángulos de la herramienta dependen por lo general del material de la misma y del tipo de material a trabajar. para evitar que la herramienta roce la pieza. ya que un ángulo mayor de lo necesario. estando limitado por el ángulo de filo. para la cual existe un aumento del ángulo de incidencia β y una disminución del ángulo de despojo ε. 2. en la herramienta el ángulo de filo α. el ángulo de despojo o de atque ε. disminuye la fuerza de corte. tanto interno como externo. Cuanto menor es el ángulo de colocación lateral δ.5. por lo que es aconsejable hacer ε tanto más pequeño cuanto más duro sea el material a trabajar. Pueden presentarse tres casos. La posición de la herramienta es importante. mayor para materiales duros que para los blandos y el ángulo de punta θ. cuanto mayor es más fácil es el arranque de viruta.15b).5d) puede producir lo que se denomina clavada o interferencia. y en el posicionamiento de la herramienta respecto de la pieza trabajada se tiene el ángulo de incidencia β. y el ángulo de posicionamiento o colocación lateral δ el cual da el ancho de la viruta.5. ya que para virutas de secciones grandes se produciría la flexión de la herramienta que podría a su vez anular el ángulo o hacerlo negativo. sino que además se deben tener en cuenta los ángulos de posición de la herramienta respecto de la pieza a trabajar.15.15a). el ángulo de corte γ que es la suma de los ángulos de incidencia y de filo. La elevación exagerada de la herramienta sobre la posición normal media (Fig. Así se pueden observar en la figura (Fig.5. 3. puede producir vibraciones.Los ángulos que se deben considerar en el torneado no solo corresponden al filo y forma de la herramienta en sí. menor es el ancho de esta última.que el plano que pasa por el punto medio de la arista de corte pase también por el eje geométrico de la pieza y que además sea paralelo al plano de base sobre el cual apoya la herramienta (Fig. Al aumentar el ángulo de ataque ε. como se indica en la figura (Fig. El ángulo de filo α dependerá de los ángulos de ataque ε y de incidencia β. con lo cual solo se produciría el raspado de la pieza en lugar del corte. si es pequeño la herramienta se desafila rápidamente.14). También el ángulo de incidencia β debe ser pequeño. 1.15. además de debilitar el filo.15). ya que ello influye en el trabajo de cilindrado. F mango y G hombro.5 hasta 1. Las herramientas.16) tienen. según se puede observar en la figura (Fig. en (a) plaquitas de metal duro A.0 hasta 1. del material de la herramienta utilizada y del tipo de acabado de la superficie a tornear.5 0.0 Fundiciones en coquilla 6 8 12 8 15 20 4 8 0.0 . Velocidad de corte La velocidad de corte v. Una de estas tablas se muestra a continuación Valores medios de las velocidades de corte y avance en el torneado HerraTRABAJO MATERIAL A TORNEAR mienta de ACERO Resistencia kg/mm2 v= 2π n r m 1000 min 40 DESBASTE ACABADO ROSCADO AVANCES C R M C R M C R M C R M 12 25 200 20 30 300 10 14 - 60 10 20 150 15 25 180 8 12 - 80 8 15 100 12 20 130 6 10 - Acero moldeado 10 15 90 15 20 120 8 12 0. algunos de los más utilizados se muestran en la figura (Fig.Las herramientas de corte. como ya se mencionara. de acuerdo a la sección q (mm2) de viruta. C filo de corte principal. con corte a la izquierda (a) y (c). empleándose el (a) para cortes de poca fuerza.1 a 0. sujetas en soportes especiales. del material a tornear. utilizándose diversos tipos de portaherramientas. en (b) plaquitas de material cerámico B.5 a Fundición de hierro 8 18 65 15 20 95 8 12 5. se utiliza para fijar la herramienta en caso de grandes esfuerzos de cortes y el (c) es un portaherramienta cuádruple. Pueden ser de un solo material. E base. según sea el tipo de trabajo al que estén sometidas en el torno. depende del tipo de material a tornear y de la herramienta de corte. según datos obtenidos de la experiencia.3 hasta 8 Fundición maleable 12 20 70 18 25 85 10 15 - Acero de herramienta 8 13 40 15 18 60 4 6 - LATON SemiDuro 24 40 450 90 50 600 20 30 Duro 20 30 300 32 40 400 15 24 BRONCE Blando 18 25 400 30 35 450 12 22 Duro 12 18 200 20 25 300 8 15 - hasta 1. ya que sujeta simultáneamente cuatro herramientas permitiendo cambiar rápidamente la herramienta con la cual se trabaja. soldadas al mango.32) Las velocidades de corte v se encuentran tabuladas por lo general. o con corte a la derecha (b) y (d). o como en (c) la parte cortante C de acero rápido. rotando el portaherramienta. Si le número de vueltas por minuto es n y el radio de la pieza está en milímetros.5. es: (5. siendo A filo de corte secundario. pudiendo observarse en (e) las partes principales de la misma.17) para abaratar costos. son sujetadas firmemente para evitar que se muevan o flexionen en el trabajo del corte del material. el (b). denominado puente de sujeción o también garra de sujeción.2 a 3. por lo general la forma prismática recta (a) y (b) o curva (c) y (d).5. B punta. tener como se muestra en la figura (Fig. o cuando el mismo es muy caro.5.18). D superficie de incidencia principal. 41) Cálculo del tiempo de máquina .36) será: N = ks. en kg/mm2. la potencia N resultará en vatios (W) y estará dada por la expresión: N = P. Si. si en la (5.60 270000 2 π n r k s .38) De igual forma.2) ya vista: q = a. se obtendrá: N= k s .60 4500 (CV) (5.v (W) (5.k s . el valor de P dado por la (3.a.e = 4500. a.38) se puede escribir de la siguiente forma: N= De igual manera.a.e (5. Potencia absorbida en el trabajo de torneado Según lo visto anteriormente.35) estuviera ks en pascales (Pa).35) Si estuviera P en newton (N).a.Las velocidades de corte y avance están en m/min. la fuerza necesaria para realizarlo será: P = ks. por lo que reemplazándolo en la (5.e (5. v en m/s.40) N= (W) (5.v = 75. como se muestra en la figura (Fig.a. las expresiones (5.60 4500 (5.34) Resultando P en kg. ambos en milímetros (mm) lo que hace que se arranque en el giro de la pieza una viruta de sección q en mm2 dada por la expresión (5.39) En función del número de vueltas n.e.35).e. y una velocidad tangencial v en m/min.e 2 π n r k s .37) Si se reemplaza en las (3. resultaría P en newton (N). correspondiendo C: acero al carbono. q en m2. la potencia empleada en CV para efectuar el corte es : N= P.19).q = ks.v P.34).v k s .a.v = 75.v (5. teniendo en cuenta el rendimiento mecánico η de la máquina será: Nm = N η (5. la herramienta en el torno realiza un movimiento de penetración e y un movimiento de avance a.33) Si la resistencia específica de corte del material es ks. R: acero rápido y M: metales duros.e 60 (CV) (5.a.36) La potencia del motor de accionamiento. la (5.5.39) resulta: 2 π n r.e. la pieza gira con una velocidad de rotación n en vueltas por minuto (rpm). para lograr la profundidad total h. las que actúan secuencialmente según el trabajo que deben realizar en la pieza . para dar las m pasadas se emplearán: (5. para piezas cortas y gran diámetro. realizándose con tornos de tamaño y robustez adecuadas. tornos semi-aunomáticos y automáticos que trabajan la pieza sin necesidad del operario para cada operación. y la profundidad total h en milímetros de material que se debe retirar en el torneado. siendo alguno de ellos los que continuación se describen.Se debe considerar para el cálculo la velocidad de corte v en m/min con que se efectúa el trabajo.Mediante el desplazamiento de la contrapunta . tornos copiadores. la cantidad de pasadas totales es: (5.42) El tiempo que tarda para dar esta cantidad vueltas. el espesor de pasada e y el avance a por vuelta.n (minutos) (5. 1. operados por un servomecanismo.44) Por lo tanto.T = h L h. 2. la longitud L de la pieza trabajada también en milímetros.43) Por otra parte. m al número total de pasadas para tornear la profundidad total h. tornos revólver o de múltiples herramientas. Torneado cónico m= h e Tt = m. T al tiempo empleado en minutos para completar una pasada en la longitud L y Tt al tiempo total en minutos para realizar las m pasadas. será: T= L a. Es un caso particular de la aplicación más amplia de la obtención de piezas de diversas formas con herramientas de este tipo.Con herramientas de forma Permite ejecutar torneado cónico de piezas en serie que no son de gran tamaño y que no exigen gran precisión. reproduciendo en la pieza los cortes que copian de una plantilla mediante un palpador o con control numérico de mecanizado computarizado. se puede realizar el siguiente razonamiento: Si avanza a mm por cada vuelta. por lo general de eje horizontal. la cantidad de vueltas para realizar una pasada en los L milímetros del largo de la pieza será: n′ = L a (vueltas) (5. ambos en milímetros. según se muestra en la figura (Fig.L = e a. si da n vueltas por minuto. Si se llama n’ el número de vueltas que debe girar la pieza para realizar una pasada en la longitud L.45) Existen tornos verticales con eje de rotación vertical.20).n (minutos) Para lograr obtener piezas cónicas mediante el torneado pueden utilizarse diferentes procedimientos.5. tornos de plato.n q. si para dar una pasada en el largo L con una profundidad e se emplean T minutos. el número de vueltas por minuto n con que debe girar la pieza para obtener la velocidad de corte o tangencial v. 5. se obtiene: (5. Suponiendo un cono de diámetro mayor D y diámetro menor d.22). y en su parte central un cono de longitud l y diámetro mayor D y menor d.47) z% = D−d .50). para obtener el cono se debe desbastar la parte ABC como se indica en la figura mencionada precedentemente.49) Siendo la excentricidad e.53) Reemplazando en la (5. según se indica en la figura (Fig.48) b) Que el torneado cónico afecte solamente una parte de la longitud de la pieza. es el apoyo móvil que puede deslizar sobre la bancada del torno.51) Además de la figura es: GE = L y AB = l (5. (5. Si de un cilindro de diámetro D y longitud L se desea obtener una pieza compuesta por dos cilindros de diámetros d’ y d’’ y longitudes l’ y l’’ respectivamente en sus extremos.51). En primer lugar se tornea la pieza para obtener las partes cilíndricas y.50) GF BC = GE AB BC = D−d 2 (5. Para realizarlo se debe descentrar el eje de la contrapunta en una cantidad igual a: e = BC = La conicidad en este caso es: D−d 2 D−d 2L (5. (5.49) los valores de GF. GE y AB dados por la (5.54) Pero es: . los cuales resultan semejantes por tener sus lados paralelos. se debe desbastar en la pieza el material indicado con ABC sobre toda la superficie de la misma.La contrapunta.100 2L (5. BC. de acuerdo a la pieza que se esté por trabajar.53) respectivamente.5.23).46) z = tgα = La conicidad en porcentaje es: (5. como ya se indicó precedentemente. según se muestra en la figura (Fig. por lo que se puede escribir la relación de proporcionalidad entre sus lados: (5. Para ello se procede de la siguiente manera: se traza a partir del punto E la recta EF paralela a la generatriz AC del cono.52) D−d e D−d = 2 = L l 2l (5. Se presentan dos casos: a) Que el torneado cónico se efectúe sobre toda la longitud de la pieza. Es aplicable cuando se trata de obtener pequeñas conicidades. o distancia que se debe desplazar la contrapunta móvil del torno: e = GF Por otra parte es: (5. una vez obtenidas éstas.52) y (5. con lo que se obtienen lo triángulos EGF y ABC. pudiendo además desplazarse lateralmente una determinada distancia. 55) resulta: (5.56) (5. Esta tarea se ve facilitada si el limbo se encuentra graduado angularmente. anterior al torneado cónico. ya que en esta última operación varía la longitud debido a la inclinación que sufre la pieza para ser trabajada.CB D − d = tgα = AB 2l Por lo tanto.5.58) .57) Las dimensiones de la pieza deben ser obtenidas en la operación de cilindrado. donde resulta: BC tgα = = AB TALADRADO o AGUJEREADO D−d 2 = D−d l 2l (5. El cálculo de la inclinación a dar al carro se efectúa obteniendo la tangente del ángulo según se muestra en la figura. En la figura (Fig. reemplazando en la (5.24) se muestra el trabajo de torneado con la inclinación del carrito portaherramienta. despejando de la (5.tgα (5. se inclina el carrito portaherramienta la mitad del valor de éste ángulo y se tiene así la dirección de trabajo necesario.55) e = tgα L O sea. 3.54) el valor del tercer miembro dado por la (5.56): e = L. el valor de e es.Inclinación del carrito portaherramienta Conociendo el valor del ángulo en el vértice del cono que se desea mecanizar. a la cual se le imprime. siendo sus partes principales: la base o pedestal A. D diámetro de la broca. y el movimiento de avance vertical por el mecanismo de palanca y cremallera E. Hay distintos tipos de brocas. g acanaladura para salida de la viruta. e borde cortante. a medida que se va desprendiendo. ánguloβ de filo. La operación la realiza una máquina herramienta denominada taladradora o agujereadora. 3 cara posterior de despojo. como ya se mencionara.5. ánguloδ de incidencia.5.5. Existen distintos tipos de agujereadoras como las portátiles. en la figura (Fig. 1 superficie de despojo lateral. α ángulo de la hélice de salida de viruta. c cuerpo.27d) muestra un .5. quien recibe el movimiento de giro y la potencia para el corte del material del motor G a través del mecanismo de transmisión C. donde el núcleo es la recta de intersección de los conos que forman la punta de la mecha.26) siendo (a) mecha lengua de aspid. la que está sujeta por el husillo o porta mecha D. son las que se adecuan a trabajos por lo general en lugares fijos. de accionamiento mecánico o hidráulico. en la que se coloca la pieza a taladrar. La mecha o broca es una herramienta que consta de dos filos cortantes. λ ángulo de inclinación del núcleo.El taladrado consiste en la ejecución de un agujero o cavidad cilíndrica en el material a trabajar.27c) se indican: ángulo α de inclinación de la hélice.27b) la posición de la mecha muestra la disposición del borde cortante e de la punta de la herramienta. un movimiento de rotación que constituye el movimiento principal de corte y un movimiento rectilíneo de avance en la dirección longitudinal del agujereado. la figura (Fig. f guía helicoidal cilíndrica. ϕ ángulo de punta. el cual sirve de apoyo o sustentación de la máquina. k espesor del núcleo y borde cortante e. en la figura (Fig. ángulo ϕ de la punta. (c) mecha de aplanar y (d) mecha helicoidal. que utilizan la fuerza del operario sobre una palanca y que siente la resistencia opuesta por el material de la pieza al realizar el trabajo.5. 2 cara anterior de despojo. que soporta el mecanismo de transmisión del movimiento y sujeción de la herramienta y dentro del cual se encuentra la cremallera H. escurriéndose hacia el exterior a través de dos canales helicoidales cortados en la propia herramienta. algunas de la cuales se muestran en la figura (Fig. las sensitivas o de palanca.27) se muestran los principales detalles constructivos de una broca o mecha helicoidal.5. b cola.27a) a tenón. la que emplea una herramienta llamada broca o mecha. lo cual se realiza mediante el movimiento de rotación y avance de la mecha o broca I. en el proceso del corte. En la figura (Fig. (b) mecha de forma. La última de las brocas mencionadas es justamente una de las herramientas más comúnmente utilizadas en el trabajo de agujereado. adquiere la forma de una espiral cilíndrica. d punta. cuando no son piezas transportables.5. vástago o mango. En la figura (Fig. con la que se logra el desplazamiento vertical de la mesa soporte de pieza F. siendo en la figura (Fig. El material. de mando o control numérico de maquinado computarizado.25) puede observarse una taladradora sensitiva llamada de columna o pedestal. bastidor o columna B. Inclusive.28) la herramienta presenta dos bordes cortantes.d = 22 4 (5. cada uno de los bordes cortantes cortará una viruta de sección. en la figura (Fig. brochado.29). etc. o fuerza de corte P/2 es la componente vertical de R.62). la cual tiene un diámetro d. Si se analiza la vista superior de la figura (Fig.27e) se ve un vástago de sujeción cilíndrico con tenón y la figura (Fig.5. el cual evita que la broca resbale al ser presionada. la fuerza resistente R que se produce será: R = q. se obtiene: .59) Si es k2 la componente vertical de la resistencia específica de corte del material trabajado. la broca B para arrancar las virutas V del material T necesita dos movimientos simultáneos. Por lo general.28). taladradoras con suficiente velocidad y precisión pueden realizar roscado y alesado como operación final. que es el que corresponde al movimiento principal de corte.27f) muestra un vástago de sujeción cilíndrico común.5. además de ser una operación final o de terminación es además un trabajo previo a otras operaciones de mecanizado.k2 (5.k 2 sen = k 2 sen 2 2 22 2 (5.vástago de sujeción cónico. Fuerza principal de corte Según se muestra en la figura (Fig.sen 2 2 (5. dada por la expresión: q= a d a. El trabajo de taladrado. como por ejemplo de roscado.5. uno el movimiento de avance o penetración a y el otro el movimiento de rotación b.62) Y operando matemáticamente en la (5.61) De la (5. siendo P la fuerza de penetración y Mr el momento de rotación. torneado interior. y en la misma es a el avance por vuelta de la herramienta. alesado o escariado. siendo su valor: P ϕ = R.60) La fuerza axial de penetración. como en el caso de la figura (Fig.61) se obtiene: P ϕ ad ϕ = q.5.5.60) y (5. 30a). se observa que.67) Para k1 en N/m2 y a y d en metros. se pueden . si es F la fuerza horizontal de corte. d d =F 4 2 (5. la que se supone aplicada en el centro de cada uno de los filos a una distancia del centro de rotación igual a d/4.30b). el cual da dicho valor en función del avance a y del tipo de material a trabajar.k 2 . la fuerza F para efectuar el corte del material es: F = k1 . conociendo el valor del diámetro d de la herramienta. como el de Coudrón que se muestra en la figura (Fig. estará dada por la siguiente expresión: M r = 2F.63) se puede escribir: P = 0.q = k1 ad d = ak1 22 4 (5. la (5. Luego. el que se muestra en la figura (Fig.29). El producto ak1 se lo puede obtener de gráficos.5. Si están a y d en milímetros y k2 en kg/mm2.5. la fuerza P se puede obtener. Mr resulta en Nm o Joule.66) Resultando por lo tanto.433 ak2. para k1 en kg/mm2 y a y d en milímetros. aplicando la expresión dada por la (5. el siguiente: M r = 2ak1 dd d2 = ak1 44 8 (5. según las (5.5.65) Para la sección q de viruta considerada dada por la (5.d 1 ϕ sen 2 2 (5.k2 se puede utilizar el gráfico de Coudrón. el momento de rotación para el corte.65) y (5. conociendo el valor de ak1.59).63) Si se adopta para el ángulo de punta ϕ el valor de 120º.64) En la (5. resulta ϕ/2 = 60º. Luego. Mr resulta en kgmm. Si se analiza la vista inferior de la figura (Fig. Para la determinación del valor a.66). P estará en N (Newton).64).P = a. Momento de rotación El movimiento principal de corte lo tiene la mecha o broca en su rotación alrededor de su eje. y como es sen60º = 0.d (5.866.64). el cual da dicho valor en función del avance a y del tipo de material a trabajar. siendo k1 la componente horizontal de la resistencia específica de corte de éste último. el momento de rotación Mr que debe ejercer el mecanismo principal para vencer la resistencia horizontal al corte presentada por el material. para a y d en metros y k2 en N/m2. el cual lo obtiene del mecanismo principal correspondiente de la taladradora. P estará en kg fuerza. obtener la fuerza F y el momento Mr para un valor determinado d del diámetro de la herramienta, aplicando las expresiones dadas por las (5.66) y (5.67) respectivamente. Velocidad tangencial de corte La velocidad v de corte es tangencial al movimiento de rotación de la broca. Varía desde cero en el centro o punta de la herramienta, hasta un máximo en la periferia del filo. Esta velocidad depende del tipo de material de la mecha y del material a trabajar, estando tabulada para distintos casos según valores obtenidos de la experiencia, en tablas como la que se da como ejemplo a continuación: Valores medios de la velocidad de corte para mechas de acero rápido Material trabajado v a Kz mm/vuelta m/min 2 kg/mm Fundición....................................... Fundición de cilindros................... Acero dulce.................................... Acero duro..................................... Acero muy duro............................. Bronce, latón y cobre..................... Aluminio, electrón, duraluminio.... 12 a 22 22 a 28 35 a 65 65 a 90 90 a 120 23 a 50 14 a 26 35 a 25 22 a 15 38 a 25 25 a 14 18 a 14 60 a 25 250 a 80 d/50 15d/1000 d/100 d/100 d/100 d/100 15d/1000 Una vez determinada la velocidad v de corte en m/min, se determina la velocidad angular ω (radianes/s) o n (rpm), que la taladradora debe suministrar a la herramienta de diámetro d en milímetros para efectuar el corte, resultando las expresiones: v= 60.ω .d 2 π d n π d n = = 1000.2 1000.2 1000 (5.68) De la (5.68) se obtiene, despejando n: n= 1000v πd (5.69) Potencia desarrollada en el corte La potencia N que se debe suministrar a la herramienta para efectuar el corte del material, teniendo en cuenta el momento de rotación Mr y la velocidad angular ω o la velocidad de rotación n, es: N = M r .ω = M r 2π n 60 (5.70) Teniendo en cuenta la (5.67), si Mr está en Nm, la (5.70) estará en vatios (W); si en cambio Mr estuviera en kgmm, la (5.70) estará en kgmm/s. Si se deseara tener la (5.70) en CV, se la deberá dividir por 75.1000, obteniéndose la expresión siguiente: N= M r .2.π .n M r .n = 60.75.1000 716200 (5.71) La potencia N dada por la (5.70) y por la (5.71) corresponde solo a la necesaria para vencer la resistencia del material al efectuar el corte del mismo, por lo que para dimensionar la potencia Nm del motor que accionará la máquina herramienta se debe además tener en cuenta el rendimiento mecánico η de la maquinaria que interviene en la transmisión del movimiento y de la potencia, obteniéndose por lo tanto la expresión: Nm = Cálculo del tiempo de máquina N η (5.72) A los efectos del cálculo es necesario conocer previamente la profundidad L del agujereado, o carrera de la mecha, la que se da generalmente en milímetros, el avance a en milímetros de la herramienta por cada vuelta que ella gira y el número de vueltas n por minuto que da la herramienta; en función de estos parámetros se puede calcular el tiempo de máquina T empleado para realizar el agujereado en la longitud L. De acuerdo a lo mencionado precedentemente, la herramienta habrá penetrado en un minuto la profundidad dada por la expresión: Penetración en un minuto = a.n (5.73) Por lo tanto, en un tiempo de T minutos penetrará una profundidad total L, por lo que se puede escribir: L = a.n.T De la (5.74) se puede despejar T, por lo que resulta (5.74) T= L a.n (5.75) Escariado o alesado: Como los agujeros realizados en el trabajo de taladrado, y especialmente cuando se utiliza una broca helicoidal con solo dos filos de corte, no resultan perfectamente cilíndricos ni uniformes, y presentan además una superficie que no del todo lisa, es necesario, cuando el mismo requiere una terminación dentro de ciertos valores y grado de precisión, completar la operación mediante el trabajo de escariado o el de alesado, para lo cual se pueden utilizar la propia taladradora o también tornos, además de las propias máquinas herramientas específicas para dicho trabajo, denominadas alesadoras o mandriladoras. Ambas operaciones, de escariado y el alesado, son similares, consistiendo la diferencia en que en el alesado se quita menor cantidad de material que en el escariado, siendo un verdadero torneado interior. Generalmente el trabajo de alesado se realiza además para lograr un agujero de mayor diámetro de gran precisión. El escariado se realiza con una herramienta llamada escariador, la cual presenta distintas formas según sea el trabajo para el cual se lo utilice, mostrándose en la figura (Fig.5.32) a modo de ejemplo, dos tipos diferentes de ellos; los escariadores son herramientas de filos múltiples de cortes y que están construidas dentro de tolerancias exigidas según el grado de precisión requerido, en tanto que para el alesado se pueden utilizar distintos tipos de herramientas, como por ejemplo herramientas de torno, que cumplan con el objetivo buscado. FRESADO El fresado es una de las operaciones más utilizadas en los talleres e industrias debido a la multiplicidad de trabajos que con él se pueden realizar, y además a la precisión que se logra en éstos. Entre otras, se pueden obtener piezas de superficies planas y curvas, ranuradas, dentadas, estriadas, roscadas, etc., algunas de la cuales se muestran en la figura (Fig.5.33). Según la posición del husillo, las máquinas fresadoras pueden ser horizontales o verticales, existiendo las denominadas universales que permiten la inclinación del carro porta pieza hasta 45º; también existen fresadoras especiales, que son utilizadas cuando se construyen piezas en serie, las que pueden realizar, entre otras operaciones, el tallado de engranajes, hélices, tornillos, fresas, escariadores, etc. En la figura (Fig.5.34) se muestra una fresadora horizontal, siendo sus partes principales, el cuerpo o bastidor a, en el cual se aloja el mecanismo de accionamiento del árbol porta fresa d, el cual es accionado por el volante k y las palancas m, la base b, donde se apoya toda la máquina y se la fija al suelo, el brazo superior c, que soporta al árbol porta fresa, la mesa de consola móvil e, la cual se eleva o desciende por medio de un tornillo sinfín accionado por la manivela h, soportando al carro tranversal f el cual se desplaza en la dirección del eje del árbol porta fresa, en ambos sentidos, con el accionamiento del volante i y la palanca n, la mesa de fresar g, la cual puede desplazarse en forma perpendicular al eje del árbol porta fresa mediante el accionamiento del volante j y la palanca p, sobre la cual se encuentra la pieza a fresar. Generalidades La fresa es una herramienta de ángulos de filos múltiples, dispuestos simétricamente alrededor de un eje. Es de corte intermitente ya que el corte del material se efectúa cuando actúa un diente sobre la pieza, la cual disminuye cuando mayor cantidad de dientes tiene la fresa, pero nunca puede eliminarse. Existen distintos tipos de fresas, algunas de las cuales se muestran en la figura (Fig.5.35), correspondiendo (a) a una fresa cilíndrica con filo en su periferia, utilizada para desbaste y afinado en las máquinas fresadoras horizontales, (b) es una sierra circular utilizada para efectuar ranuras estrechas y cortar piezas, (c) corresponde a una fresa de disco de dientes rectos, se usan para fresar ranuras planas, (d) es una fresa frontal angular utilizada para el mecanizado de guías en ángulo, (e) y (f) son fresas de vástago frontales de pequeños diámetros utilizadas para frentear agujeros, cantos y pequeñas superficies, y (g) fresa frontal cilíndrica con dientes con filos cortantes en la periferia y en una de las caras frontales, utilizadas para trabajar superficies planas y rebajes en ángulo recto. Las fresas están construidas de acero al carbono, acero rápido, acero extra rápido, carburos metálicos, materiales cerámicos, aleaciones no ferrosas y materiales especiales, siendo su comportamiento similar a las herramientas del torno. En el trabajo de fresado, el movimiento principal de corte está a cargo de la herramienta. Consiste en la rotación con movimiento uniforme de la fresa, de tal modo que sus filos cortantes adquieren una velocidad tangencial periférica adecuada para el corte del material de la pieza que se trabaja y el de la herramienta empleada para efectuar el corte. El desplazamiento de alimentación de la mesa de fresar, y por lo tanto el de la pieza, depende del movimiento principal. Cada uno de los dientes de la herramienta corta, por lo general, una viruta en forma de cuña, según se muestra en la figura (Fig.5.36). Por lo tanto, el espesor de la viruta pasa de un valor mínimo de cero en O a un valor máximo en AB, que dependerá del movimiento de alimentación a, del diámetro D de la fresa utilizada y de la profundidad e de corte. Esta característica del trabajo de fresado la distingue en forma absoluta de la forma de corte de las otras máquinas herramientas ya vistas, donde la sección de viruta era constante. Por esta forma de trabajo, cada uno de los dientes o ángulos de filos de la fresa, está sometido a esfuerzos variables que van desde un mínimo a un máximo, descendiendo hasta cero cuando el diente de la herramienta deja de actuar sobre el material de la pieza que se está mecanizando. Por sus características particulares, las máquinas fresadoras se adaptan especialmente para los trabajos de precisión aunque también se emplean para realizar operaciones de desbastado. Tipos de fresas y dimensiones principales El avance del carro porta pieza (movimiento longitudinal) puede ser, según se muestra en la figura (Fig.5.37a) de distinto sentido o según la figura (Fig.5.37b) de igual sentido al del movimiento principal de corte n (movimiento de rotación de la fresa), los que se denominan respectivamente: fresado corriente en contra dirección o contra avance y fresado paralelo o a favor del avance. En el fresado llamado refrentado se utilizan fresas circulares con dientes con filos periféricos u y filos frontales i, según muestra la figura (Fig.5.38), dispuestos en la periferia y en la cara frontal respectivamente; el eje de giro X de la fresa es en este caso normal a la superficie de la pieza trabajada. En este caso, los filos periféricos de los dientes cortan el material, en tanto que los dispuestos frontalmente trabajan alisando la superficie horizontal que se forma. La viruta, en este caso, no es en forma de cuña, sino que presenta una sección transversal en forma de paralelogramo de espesor e y ancho b, siendo el avance por diente a el dado por la expresión (5.77), resultando la carga sobre los dientes uniforme. Todas las fresas presentan elementos comunes, siendo algunos de los principales, mostrados en la figura ( Fig.5.39a), el diámetro exterior D de la fresa, el diámetro interior d, donde encaja el árbol porta fresa, el ancho b de la fresa; en la figura (Fig.5.39b) el ángulo de filo α, el ángulo de incidencia β, el ángulo de ataque δ. La figura (Fig.5c) muestra una fresa circular de filos helicoidales, la cual presenta los mismos elementos que la fresa circular de dientes rectos. Resistencia al corte y momento torsor El trabajo de corte en el fresado, según lo indicado en la figura (Fig.5.37), es realizado por una fuerza periférica P tangencial a la fresa, la cual debe vencer la resistencia ofrecida por el material sobre el diente. Además aparece una fuerza S radial, soportada por el árbol porta fresa. Como resultante de P y de S actúa la fuerza R sobre el árbol porta fresa, provocando un esfuerzo de flexión compuesta. Si la fresa de la figura realiza el corte del material, siendo d el diámetro de la fresa, a el avance por diente de la fresa, b el ancho del corte, e espesor o profundidad de corte, tomadas todas en milímetros, y además es va la velocidad de avance en mm/min de la mesa porta pieza, lo que se puede toma como un movimiento relativo de la fresa, v la velocidad de corte de la fresa en m/min, n el número de vueltas por minuto de la fresa (rpm) y z el número de dientes de la fresa, se obtiene que el volumen Vol en mm3/min de metal cortado por un diente estará dado por la expresión: Vol = e.b.va (5.76) La velocidad de avance va, en algunos casos se toma como el avance z.a en mm/vuelta, por lo que resultará, en función del número de vueltas n: ⎛ mm ⎞ ⎛ vueltas ⎞ ⎛ mm ⎞ z.a.⎜ ⎟.n⎜ ⎟ = va ⎜ ⎟ ⎝ vuelta ⎠ ⎝ min ⎠ ⎝ min ⎠ (5.77) Si la resistencia específica de corte del material trabajado es ks, la fuerza F necesaria para efectuar el corte del material es: F = ks.q = ks.e.b (5.78) Por lo tanto, teniendo en cuenta la velocidad de avance va, el trabajo de corte por unidad de tiempo Tr, o potencia de corte, requerido resulta: Tr = F.va = ks.e.b.va (5.79) Como el trabajo de corte lo realiza la fuerza P, que actúa con la velocidad tangencial v, desarrollando una potencia N dada por la expresión: N = P.v Por lo tanto, como la (5.80) debe ser igual a la (5.79): N = Tr Por lo tanto, por la (5.79) y la (5.80) la (5.81) se puede escribir: P.v = ks.e.b.va Operando matemáticamente en la (5.82) se obtiene: (5.82) (5.81) (5.80) P= k s .e.b.v a v (5.83) por otra parte, el momento torsor al cual se somete la fresa de radio r = d/2 es: M r = P.r = P O por la (5.83): d 2 (5.84) Mr = Potencia absorbida k s .e.b.d .v a 2.v (5.85) La potencia necesaria para efectuar el trabajo de corte está dada por la (5.80) y por la (5.82). Teniendo en cuenta la velocidad de rotación n en vuelta/min y el avance va en mm/vuelta, según la (5.77), la (5.82) se puede escribir como: N = P.v = ks.e.b.va = ks.e.b .z.a.n (5.86) k s 4500000 Nm = Velocidad de rotación de la fresa N ηT (5. motivo por el cual se las debe afectar del rendimiento total de la máquina ηT para calcular la potencia del motor que la accionará.r 2 2π n 60 (5.10 −3 ⎜ .z.77) y (5.87). debiéndose tener en cuenta los rendimientos propios de la transmisión por los rozamientos existentes en la misma.e.z.95) Existen distintas tablas que dan los valores de ks. para lo cual la fresadora tiene dispuesto un sistema de transmisión que varía la velocidad de acuerdo a la necesidad de cada caso.89).a.a⎜ ⎟.86).n⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎜ kg ⎟ ⎝ vuelta ⎠ ⎝ min ⎠ (5.n.88) ⎛ mm ⎞ ⎛ vuelta ⎞ ⎛ kg ⎞ e(mm ).80) respectivamente.8⎜ ⎟.n (W) Y para obtenerla en CV. y según las dimensiones ya mencionados de los otros factores. v y va.92) y (5. estará dada en kgmm/min.93) se puede escribir: (5. Las velocidades de rotación y de corte ya fueron introducidas en la (5.94) (5.93) v= Operando la (5.90) dan la potencia para cortar el material únicamente.a.k s ⎜ ⎟.88) y (5.z.94).Las dimensiones de las expresiones anteriores corresponderán al sistema utilizado. se puede escribir: 2π n r π n d = 60 60 n= 60 v πd (5. se obtiene: N = 1. Como la expresión (5.90) Las expresiones (5. resultando finalmente la expresión: N= e.91) La velocidad de rotación n de la fresa debe ser la correspondiente a la velocidad de corte v del material trabajado y al material de la fresa. según el material a trabajar y del tipo de material con el cual . resultando la siguiente expresión: ⎛N⎞ ⎛ mm ⎞ 1 ⎛ min ⎞ ⎛ kg ⎞ ⎛ mm ⎞ ⎛ vuelta ⎞ N = 9. correspondiendo la primera a la velocidad angular ω en rad/s de la fresa y la segunda a la velocidad tangencial en m/s de la misma. estando relacionadas por las siguientes expresiones: v = ω. se deben introducir los factores de transformación. obtenemos: (5. debiendo poner especial cuidado en utilizar los factores de conversión correctos para pasar de un sistema a otro.63.a⎜ ⎟ ⎜ ⎟.92) ω= De la (5.89) (CV) (5. para obtenerla en vatios (W).10-4.e(mm ). la expresión resultante es la siguiente: (5.87) ⎝ m ⎠ 60 ⎝ s ⎠ ⎝ mm ⎠ ⎝ ⎠ Operando matemáticamente la (5.b.k s ⎜ ⎟. para ks en kg/mm2.n⎜ 2 ⎟ ⎝ vuelta ⎠ ⎝ min ⎠ ⎝ mm ⎠ N= ⎛ mm ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ kgm 1 ⎞ 60⎜ ⎟ ⎟.b.75⎜ ⎝ m ⎠ ⎝ min ⎠ ⎝ s CV ⎠ Operando matemáticamente la (5.b(mm ). y d = ω .b(mm ).1000⎜ ⎟.z.ks. El amolado o esmerilado se emplea para el afilado de herramientas que se utilizan en el corte de metales. para rectificación de piezas templadas...n (min) (5....Kz= 100 kg/mm2 Fundición común... el espesor por pasada e y el avance por diente a... constituido por material abrasivo que gira sobre un eje a una velocidad adecuadas.......... se tiene: Profundidad total de pasada: m= h e (5.....98) AMOLADO El amolado consiste en quitar el material de una pieza mediante una herramienta de filos múltiples denominada piedra o disco. quitándoles la re baba o el material en exceso..............a.... para desgrosar. ya sea por tratamientos térmicos o recalentamientos.........a. una de las cuales se da a continuación a modo de ejemplo.......Kz = Acero muy duro... pudiendo tener además la pieza un movimiento lineal o de rotación.Kz = 40-50kg/mm2 Acero... obteniendo un mejor acabado de la misma..97) Tt = m.....96) T= Tiempo empleado en una pasada: Tiempo total empleado en hacer las m pasadas: L L = v a z...Kz = 80 kg/mm2 Acero muy duro............................ Bronce endurecido.. Avances y velocidades de corte de fresas comunes de acero rápido MATERIAL VELOCIDAD DE CORTE (m/min) Desgrosado v Acabado v 60 – 80 80 – 100 25 – 28 35 – 40 20 – 25 30 – 35 16 – 20 25 – 30 15 – 18 22 – 25 12 – 16 18 – 22 10 –15 16 – 18 9 – 13 14 – 16 8 – 12 13 – 15 12 – 15 18 –20 17 ...... Fundición dura....Kz = Acero mediano.. para rectificar distintas superficies obtenidas con otras máquinas herramientas...... logrando dimensiones más precisas. cuando se realiza la operación de fresado... h y e en milímetros.......... como por ejemplo las amoladoras comunes... las que según sea el trabajo que realizan reciben diferentes denominaciones... desbarbar y pulir distintas piezas obtenidas por moldeo u otro método.. que pueden ser . cuando las mismas sufrieron deformaciones por haber sido expuestas a altas temperaturas. Acero dulce.... n en vueltas por minuto (rpm)............. El amolado se realiza con máquinas herramientas....... Si están L.. va en mm/vuelta.. o combinados... Bronce común..Kz= 60 kg/mm2 70 kg/mm2 90 kg/mm2 Acero duro... el espesor total h que se debe rebajar la pieza y la cantidad total de pasadas m para lograr la misma.....está construida la fresa....20 12 -15 VELOCIDAD DE AVANCE Va (mm/min) 80 – 120 80 45 60 40 30 25 22 20 45 18 Cobre y aluminio.. Cálculo del tiempo de máquina Para determinar el tiempo de mecanizado..... su velocidad de rotación n y su velocidad tangencial v que constituye el movimiento principal de corte como también el movimiento de avance o alimentación va del carro portapieza......... se debe conocer el número z de dientes de la fresa.... Por otra parte también será necesario contar con los datos de la longitud L a fresar de la pieza..T = m L L =m va z.....n (min) (5.... desplazable angularmente en la dirección 5. que gira según 2 con una velocidad de rotación np.portátiles o fijas. constituidas por materiales artificiales como carborundum o carburo de silicio (CSi). que desplaza hacia la pieza el carro porta disco y disco de rectificar. existiendo además casos en que ambas se desplazan. mesa superior G. una herramienta de filos de corte múltiples. areniscas. para dar la inclinación a la pieza para el fresado cónico. denominada pulimentado a polea. lo más común actualmente. para ajustar la posición y carrera de la mesa. con substancias minerales naturales como el esmeril. externa o interna. cilíndrica o cónica. que le confiere el giro y desplaza a la piedra en la dirección 3 según el radio de la pieza. y en otros casos. engranajes. bastidor L. (f) rectificado plano de una pieza rectangular. Las ruedas de amolar son sólidos de revolución conformadas por innumerables granos de material abrasivo unidos por un aglomerante o aglutinante especial y apropiado para cada tipo de trabajo. que pueden ser para rectificación plana. Esta rueda se monta directamente sobre en el extremo del eje de los motores. cabezal del eje de sujeción y de giro de la pieza D. Las herramientas más comunes tienen forma de disco. la que utiliza una rueda constituida por discos de género.41) se muestra una rectificadora cilíndrica. para el movimiento de la pieza. etc. soporte de la pieza desplazable hidráulicamente en forma lineal según la dirección 4. cuyo poder de retención de dichos granos constituyen la dureza de la muela. (c) desbarbado de una palanca. (d) rectificado cilíndrico de un árbol o eje. cuarzo. sobre guías. en otros la muela gira en la misma posición y se desplaza la pieza. en algunos casos. se puede con ella efectuar pulidos gruesos y finos. contrapunta de sujeción de la pieza E. (b) afilado de una fresa. según ya se mencionara precedentemente. utilizadas por lo general en todos los talleres para afilado y desgrosado. son las indicadas en la figura (Fig. manivela de desplazamiento radial J. las cortadoras a disco sensitivas. siendo su forma de trabajo muy similar al de las fresas. (e) rectificado interior de una pieza cilíndrica. carro con motor C. Por lo tanto. con el accionamiento hidráulico de la mesa. solo que en este caso los mismos están constituidos por pequeños granos muy agudos. sino que su cantidad es muy grande y se hallan distribuidos sobre la superficie de la muela. secándose en hornos. etc.. con motor y caja de velocidades que hace girar la pieza a la velocidad np. Haciendo variar la proporción y composición de estos aglomerantes se obtienen las durezas de las ruedas de amolar las que se clasifican en grados. Características del amolado En algunos casos las muelas. que sujeta la pieza para mantenerla firme en su posición de trabajo. con una velocidad de rotación n. y las rectificadoras. y diamantes de baja calidad. sino del aglomerante utilizado para unir los granos del abrasivo. la cual tiene el movimiento de giro 1. constituyendo una polea que gira a alta velocidad. la dureza de una rueda de amolar no depende del tipo de abrasivo que la constituye. Generalidades El amolado se caracteriza por el arranque de virutas muy pequeñas mediante herramientas constituidas. de roscas. por lo que a causa de la fuerza centrífuga los discos se ponen rígidos y como la polea se cementa o encola con polvos abrasivos o pasta especial para pulir. sinfines. se desplazan con respecto a la superficie trabajada la cual permanece fija. además de girar. indicándose sus partes principales siendo éstas: piedra o disco de rectificar A. caja de control I.5. Alundum (Al2O3). tope de la mesa H. según ya se mencionara. que se utilizan para cortar metales o el desbarbado de piezas. correspondiendo (a) afilado de una herramienta o útil de torno. manivela de comprobación de desplazamiento y ajuste de la mesa K. Grados de dureza: se ha normalizado universalmente la designación por letras mayúsculas.5. según se indica en la tabla que está a continuación: Designación de la dureza de las muelas de rectificar Muy blandas: EFG Semi-duras: PQRS Blandas: HIJK Duras: TUVW Medias: LMNO Muy duras: XYZ . los distintos grados de dureza de las muelas. diamante negro o carburo de boro (CB4). En la figura (Fig. que no se tallan especialmente como en el caso de los dientes de la fresa en número relativamente pequeño. pieza que se rectifica B. mesa inferior F. Existe una operación.42). siendo como ésta. siendo los extremos de cuero para facilitar su formación. corindón. Las operaciones más comunes realizadas con estas herramientas. de tal forma que con un granulado grueso se obtiene un gran rendimiento pero superficies ásperas y con un granulado fino el rendimiento es pequeño pero las superficies son lisas. solo son apropiadas para esmerilado en seco. la cual corresponde a una malla de 32 orificios por pulgada. siendo su tamaño en pulgadas y milímetros 1/32 = 0. por lo que se deben utilizar por lo general muelas blandas para materiales duros y muelas duras para materiales blandos.5. al calentarse se vuelven pegajosos. existen distintos tipos de abrasivos. Cuanto más cerrada es la malla. E: goma laca (productos elásticos). R: goma (goma vulcanizada). comúnmente llamados poros. soportan bien la temperatura. tales como aceros y sus aleaciones. El óxido de aluminio. S: silicato (silicato de sodio). más pequeño es el tamaño de grano que puede pasar por ella.El material aglomerante puede ser V: vitrificado (cerámico o vidrio). cobre. Otro tipo de abrasivo de gran resistencia es el diamante. La estructura podrá ser cerrada o compacta. de iguales características que el anterior. debiendo soltarse del aglomerante y dejar lugar a nuevos afilados. Estructura de las muelas: está dada por la distribución de los granos abrasivos y el aglomerante que los retiene y el tamaño de los espacios abiertos. Se tiene así que en una estructura cerrada o compacta los poros son menos abiertos que .03125’’ = 0. La tabla precedente indica la clasificación del tamaño del grano según el número N de orificios de la malla por pulgada y su uso para los distintos tipos de trabajos que se pueden realizar con la muela. mediana y abierta o porosa.79375 mm. comportamiento similar a la goma. bronce. Se ha estandarizado el tamaño según el número de orificios o aberturas que tiene la malla por pulgada. El tamaño de los granos se clasifica empleando tamices que presentan distintas medidas de mallas. B: resina (resina sintética o bakelita). carburo de tungsteno.43). El tamaño del grano influye en el rendimiento del trabajo de rectificado y sobre la calidad superficial de la pieza trabajada. Tamaño del grano: la cantidad de material arrancado depende del tamaño del grano del abrasivo que conforma la muela. hierro maleable. resiste bien la alta temperatura. según muestra la figura (Fig. Cada uno de ellos se emplean para el amolado de distintos tipos de materiales y trabajos. etc. correspondiendo a un grano 32. por lo tanto. a través de las cuales se hacen pasar los granos. para amolado de materiales duros. es sensible a la humedad. son resistentes al agua y pueden realizarse trabajos húmedos. Carburo de Silicio. etc. entre éstos. obtenido de la bauxita. recomendado para el corte de materiales de baja resistencia a la tracción como hierro fundido. confiriendo a las muelas con aglomerante metálico la propiedad de no calentarse durante el afilado de herramientas de metal duro como el carburo metálico. se utiliza para trabajar materiales de alta resistencia a la tracción. El grado de dureza se elige de acuerdo al desgaste de los granos. aluminio. O: oxicloruro (magnesita). materiales no metálicos. Empleo de los abrasivos: como se dijo. el tamaño del grano de las muelas de desbaste deberá ser mayor que en las de acabado. . En la figura (Fig..5. la forma de como efectúa el corte el grano de la muela al girar ésta y la pieza que se trabaja a n y n1 vueltas por minuto respectivamente... Con el rectificado también se da a las piezas su acabado definitivo. También se pueden corregir deformaciones causadas por el desgaste. el cual consiste en un amolado fino con avances perfectamente uniformes.45).. las cuales debido al calentamiento han sufrido deformaciones... según se puede observar en la figura (Fig.. por ejemplo. una de las cuales para el rectificado cilíndrico. El rectificado puede ser realizado en el exterior o interior de piezas cilíndricas o cónicas...... según se indica a continuación: Cerrada o compacta Media Abierta o porosa I.. El rectificado es aplicable a distintos tipos de materiales. el caso de las tapas de cilindros de los motores de explosión y de combustión interna.. mediante un rectificado cilíndrico interior. pudiendo desplazarse longitudinalmente tanto una como la otra... como el acero y el vidrio. y en la figura (Fig. dependiendo éstas del material a rectificar y del aglomerante utilizado.60 Aglomerante vitrificado y al silicato Tipo de muela Blanda 25 23 Dureza Media 30 25 Dura 33 28 - De disco.. en (a) y (c) cilíndrico externo. se transcribe a continuación: Velocidades periféricas de las muelas en m/s v= π dn 1000... (b) cónico externo y (d) cilíndrico interno..... el cual se realiza con máquinas rectificadoras. En función del diámetro d en mm de la muela y de su número de vueltas n por minuto. Con la variación de la estructura se logra que las partículas o virutas arrancadas no queden adheridas a la muela. De anillos.... bicónicas. que es una operación de acabado superficial con un elevado grado de precisión. siendo m la partícula o viruta arrancada por el grano abrasivo g.46) distintos tipos de rectificados..... como por ejemplo en la rectificación de los cilindros de automóviles.... Es muy importante la velocidad v relativa entre la muela y la pieza....... girando tanto la muela como la pieza trabajada. de los granos abrasivos y de los poros. De disco especial para tronzado.... en las cuales se realiza un rectificado plano... III IV. II....... así como también del tipo y tamaño del abrasivo. logrando medidas homogéneas en las piezas que se trabajan... o en superficies planas... cónicas...44) se muestra. V.... para tronzado.. tanto metálicos como no metálicos.... a modo de ejemplo una estructura con la distribución del aglomerante.... VI VII.... VIII. Con la operación de rectificado se pueden corregir imperfecciones de piezas sometidas a tratamientos térmicos.... llevándolas a sus medidas correspondientes entre los límites establecidos.... la estructura cerrada se utiliza para trabajar materiales muy duros.5.... Aglomerante de resina sintética y goma Dureza Blanda Media Dura 33 40 60 25 30 50 40 60 60 a 80 En el rectificado cilíndrico se utilizan muelas cilíndricas. la mediana para materiales tenaces o cuando la muela debe abarcar superficies amplias y por último. a el aglomerante que lo retiene y p la abertura o poro que permite se desprenda la viruta arrancada y que define el tipo de estructura de la muela. Por lo general.5... teniendo un mejor acabado superficial. la velocidad tangencial o de corte v de la muela en m/s es: (5..99) Existen tablas que dan la velocidad de las muelas en función de su dureza y tipo...... IX Rectificado Una de las principales operaciones que se efectúa con el amolado es el rectificado. que el refrigerante pueda ingresar a la zona de contacto entre la rueda y la pieza trabajada e inclusive variar la profundidad de corte.. como es por ejemplo.... Rectificación plana .en las estructuras mediana y en éstos que en las abiertas. Cuando mayor son los poros el grosor de la viruta que es arrancada puede ser mayor ya que no se tapa o atora la rueda..... la abierta para trabajar materiales blandos o plásticos. de taza. De disco.... La estructura de las muelas se designan con números romanos. según lo ya visto anteriormente.. X espesor del abrasivo. el mecanismo hidráulico produce el avance b de la mesa porta pieza y por lo tanto de la pieza. En la figura (Fig. evitando la convexidad (abombamiento) que puede producirse con el esmerilado en cruz.5.5. trasladándose la pieza con movimiento rectilíneo.49b). El rectificado plano. al mismo tiempo. para cubrir su ancho.5. La muela gira alrededor de su eje.48a) y (Fig. Al girar la muela se produce el movimiento de corte a. o también de la pieza. pero el eje de la muela tiene una leve inclinación respecto de la perpendicular al plano de la pieza trabajada. algunas de las cuales se muestran en la figura (Fig. Con esta forma de trabajar. 2. según muestra la figura (Fig. La superficie de la muela que trabaja es pequeña. En la figura (Fig. es el rectificado de superficies planas que han sufrido deformaciones. la muela trabaja con un solo canto. A continuación se transcribe una de las tablas mencionadas. lo que se indica en la figura (Fig. las cuales vienen especificadas por los fabricantes y según un código que las identifica. puede ser tangencial o frontal. Velocidad periférica de la pieza que se trabaja Es de fundamental importancia esta velocidad en relación con la velocidad periférica de la muela para la correcta ejecución del trabajo. La expresión que da la velocidad periférica vp en m/min de la pieza. lo que se muestra en la figura (Fig. según se observa en la figura (Fig. Estas velocidades son diferentes para cada tipo de operación donde la pieza tiene movimiento. Se utiliza para el esmerilado de listones. dando lugar al esmerilado radial.En este caso también se trata de un rectificado frontal. cuando se trata de desgrosado o desbastado. por lo que la producción es reducida. se aconseja emplear bajas velocidades periféricas de la pieza. T alto total de la muela.5.49) se indican ambos tipos de rectificado plano. La muela gira sobre su eje a una determinada velocidad mientras la pieza se desplaza con movimiento rectilíneo. la producción es grande. 3. dando lugar al esmerilado en cruz . Como hay una gran superficie de contacto de la muela con la pieza. en función de su diámetro dp dado en mm y de su número de vueltas np por minuto está dado por la expresión: (5. Las velocidades periféricas de las piezas trabajadas se expresan en metros sobre minuto.47) es D el diámetro exterior de la muela. W ancho de la superficie abrasiva. como se comentara anteriormente.En el rectificado tangencial el eje de la muela es paralelo a la superficie de la pieza que se trabaja. normalizadas.5. α ángulo de inclinación de la superficie abrasiva de la muela.47) denominadas (a) rueda de copa recta.48c).49a). utilizándose para ello tanto muelas cilíndricas como de formas especiales.5. en cambio se deben utilizar grandes avances laterales y profundidades de corte. siendo c la penetración o avance en profundidad en tanto que d corresponde al movimiento transversal de la muela.En el rectificado frontal el eje de la muela es perpendicular a la superficie trabajada.5.48b) respectivamente. Las muelas tienen dimensiones características . en la cual se han np = v p 1000 π dp .100) Se encuentran tabulados valores de estas velocidades para los distintos materiales y tipos de trabajos a los que están sujetos y a las distinta muelas utilizadas. siendo los movimientos similares al del punto 2. E grueso de la piedra. dependiendo del tipo de muela utilizada. Por lo general.5. los cuales se realizan de la forma siguiente: 1. según la posición que tome la muela con respecto a la pieza que se trabaja. (b) de copa cónica y (c) rueda de platillo. Las velocidades utilizadas también en este caso dependen del tipo de material a rectificar y el tipo de muela. H encastre para el montaje de la muela en el eje.Una de las operaciones más utilizadas y por lo tanto importante. se toman valores radiales.02 a 0.colocado en las distintas columnas el tipo de material de la pieza que se trabaja. Esta potencia es igual a la necesaria para imprimir a la pieza trabajada una velocidad periférica vp en m/min.102) en vatios se tiene: P.103) se obtiene: . se tendrá: Desgrosado------------------------ a= 1 4 b b a 5 2 1 1 b b 10 a 4 Acabados-------------------------- a= Existen tablas que dan para los distintos materiales.05 0. la cual corresponde a una fracción de su ancho b.02 Fundición 0.03 0.005 a 0.02 a 0. según se indica en la figura.8 P.02 a 0.101) Para obtenerla en CV se la divide por 75 kgm/CV.v De la (5.v 75 (5. que también se encuentran tabulados. resultando: N= Para obtener la (5. velocidad y dureza y tamaño del grano para el esmerilado exterior como interior: Material Acero blando Acero templado Fundición gris Latón Aluminio VELOCIDAD PERIFÉRICA DE LA PIEZA EN m/min Esmerilado cilíndrico exterior Esmerilado cilíndrico interior Mecanizado Vel.ks (5.08 a 0. resultando por lo tanto: N = P. EN FRACCIONES DEL ANCHO b DE LA MUELA Material Esmerilado cilíndrico exterior Esmerilado cilíndrico interior Desbastado Afinado Desbastado Afinado 2 1 Acero ½a¾ ¼ a 1/ 3 / a¾ / a¼ 3 5 Fundición gris ¾ a 5/6 1 /3 a ½ 2 /3 a ¾ ¼ a 1/3 Para el espesor o profundidad e de pasada. en tablas como la siguiente: MATERIAL DESGROSADO (mm) ACABADO (mm) Acero templado 0.e.16 0.25 0. del espesor o profundidad de corte e en mm y de la presión específica de corte ks en kg/mm2. tipos de muelas y trabajos a realizar el avance a en función del ancho b de la muela.v = 60. Una de estas tablas es la que a continuación se transcribe: AVANCE LATERAL POR REVOLUCIÓN DE LA PIEZA.103) N = 9.1 Latón y Aluminio Potencia necesaria:La potencia N necesaria en kgm/s para el corte estará en función de la fuerza tangencial o de corte P en kg.125 a 0. según el tipo de material que se trabajará. que realiza la muela y de su velocidad periférica de corte v en m/s. vp.102) y (5.005 a 0.06 0.03 a 0. periférica Grano/Dureza Vel.102) (5.01 Acero normalizado 0.a. tipo de mecanizado a realizar. donde el material ofrece una fuerza resistente F en función de la sección del material arrancado que estará dado por el avance a en mm/vuelta de la muela. periférica Grano/Dureza Desbastado 12 a 15 46 L a M 16 a 21 45 a 50 J a O Afinado 9 a 12 “ Desbastado 14 a 16 46 K Afinado 9 a 12 “ 18 a 23 46 K a 60 H Desbastado 12 a 15 46 K Afinado 9 a 12 “ 18 a 23 40 a 46 K a M Desbastado 18 a 20 36 K a 46 J Afinado 14 a 16 “ 25 a 30 36 K a 46 J Desbastado 40 a 50 30 K a 40 J Afinado 28 a 35 “ 32 a 35 30 H Avance longitudinal por giro de la pieza y espesor o profundidad de corte Si por cada giro de la pieza la muela se desplaza longitudinalmente una distancia a. 104) La presión específica ks se la obtiene de gráficos como los de la figura (Fig.51). empleado para realizar estas m pasadas es: T = m. o la mesa que la soporta o la muela. la que se . se tendrá: 2s = np. El avance lateral de la pieza por cada giro que realiza es a.51a) para rectificar piezas de acero y la figura (Fig.e (5.e (5. con una velocidad de rotación np vueltas por minuto. El rectificado cilíndrico utiliza una muela cilíndrica que gira a n vueltas por minuto.5. siendo el espesor de una pasada e. los que deberán tenerse en cuenta en cada caso según las características de las piezas a trabajar. por lo que.t El número de pasadas m para llegar a la profundidad h.a. entre dos puntas. Si es t en minutos.51b) para rectificar piezas de fundición: Tiempo de rectificado cilíndrico Analizando la figura (Fig. estando todas estas medidas en milímetros. siendo además s la longitud que se debe esmerilar de la pieza. Tiempo de rectificado plano Según lo visto en rectificado plano.5.105) m= h e (5. siendo la figura (Fig. el mismo puede ser tangencial o frontal.5. en un movimiento alternativo de ida y vuelta. agregándose al tiempo obtenido anteriormente. La muela gira con la velocidad de rotación n en vueltas por minuto y puede acercarse a la pieza en forma micrométrica. el tiempo empleado en realizar una pasada doble.106) El tiempo T en minutos.a.107) Si el esmerilado se realizara en la carrera de ida únicamente.5. llegando con m pasadas a una profundidad total h.h n p . es: (5.50).108) No se consideran los tiempos pasivos. el tiempo T para realizar el trabajo será: T= s.1CV = 735 W (5.h n p .s.a. es decir de ida y vuelta. en función del espesor o profundidad de corte e y de las velocidades tangenciales o de corte v.t = 2. se tiene en este caso que la pieza gira. se desplaza longitudinalmente la longitud total 2s en milímetros. realizando el trabajo de esmerilado en cada pasada simple. estando vm en m/min. Tanto s. la que se llama brocha.52). el tiempo t empleado será: t = m′.s. se puede escribir: vp = 2. Si el tiempo empleado en un doble recorrido 2s es t’ minutos. debiendo posteriormente desimantarse las piezas de acero y de fundición de hierro sujetadas por este último medio. que conforman el perfil que se desea obtener en el maquinado. a los efectos de evitar todo movimiento que introduzcan defectos en el rectificado. no siendo necesario un movimiento lateral perpendicular al movimiento de corte principal de la muela. la profundidad total h en milímetros.a (5. está dada por la expresión: m= h e (5. la cual gira a n vueltas por minuto. b y e están dados en milímetros. motivo por el cual la pieza solo cuenta con un movimiento de avance longitudinal de velocidad vp. el interno y el externo.b.114) Para el caso que no se necesite desplazamiento lateral. En el rectificado plano tangencial.5. se emplea un tiempo total T en minutos. al final de la cual se ha logrado una profundidad de penetración o espesor de pasada e. La brocha.112) Las m pasadas para lograr la profundidad h. para realizar las m pasadas que permitan obtener en el ancho total b de la pieza.t = (5. las que pueden ser a su vez horizontales o verticales.53) se muestra un rectificado plano frontal. . y el tiempo total que se empleará es: 2.h v p . Se utilizan montajes especiales para sujetar las piezas. y en las que tienen un trabajo previo se pueden emplear platos magnéticos.t ′ = 2.e T = m.e 2.s.b v p . sea horizontal o vertical respectivamente. Para cubrir el ancho total b de la pieza se necesitan m’ pasadas.113) Y para terminar el trabajo con las m pasadas. el cual tiene una velocidad vm y de un movimiento lateral al final de cada doble pasada.s t′ (5. cubre totalmente la pieza. por lo que se pueden presentar dos tipos de brochado.115) La sujeción de las piezas a la mesa portapiezas debe realizarse con cuidado.a. En la figura (Fig.s vp b a (5. la muela o la pieza debe estar animada con un movimiento transversal de avance y retroceso perpendicular al movimiento de corte principal de la muela. se tendrá: T = m.h v p .110) m′ = (5.109) se obtiene: t′ = Por otra parte se tiene que es: 2.5. está constituida por una espiga o barra que consta de una cantidad de filos distribuidos a lo largo de la misma. La máquina utilizada en el brochado se denomina brochadora. en el cual la muela. según que la posición de la herramienta. BROCHADO Generalidades El brochado es una operación que permite modificar el perfil interno o externo de una pieza. Para cubrir el largo s y el ancho b a esmerilar. será m’= 1. y para realizar las m’ pasadas es t.muestra en la figura (Fig.111) Para realizar las m’ pasadas.109) Despejando t’ de la (5.s.t ′ = (5. el corte del material con la forma que posee la herramienta. y g a brochado exterior. Las brochadoras. acanalados.5. y con los filos cortantes de la espiga realiza el corte del material obteniéndose la forma deseada. Los trabajos de brochado son varios. etc. Además.54).La figura (Fig.57) se muestra el proceso de brochado exterior. estriados. La operación se realiza haciendo pasar la herramienta en forma forzada a través de un agujero previamente practicado en la pieza. f. dándose actualmente preferencia a la última forma. dispuestos en orden geométrico ascendente a lo largo del eje longitudinal de la barra. el conjunto en forma horizontal. La medida diametral de estos anillos o dientes cortantes. los cuales se consiguen porque en la serie de dientes que poseen las herramientas. efectuando en la pieza b. la cual se halla soportada por la mesa m. son utilizadas por lo general. circulares.54) muestra el esquema de una brochadora horizontal para brochado interno. como se indicó en la figura (Fig. en recorridos cortos se prefiere la acción por compresión y la máquina con disposición vertical. constituyendo el brochado helicoidal. En razón de las características señaladas de la herramienta. obtener agujeros cuadrados.56). que es el caso más corriente.55) el siguiente: dientes de desbastar. b. según se indica en la figura (Fig.5. ésta puede generar en le corte. hexagonales.5. El brochado se presta a la ejecución de trabajos de acabados muy finos. Para el caso del brochado interno. donde la brocha a se mueve en la guía c. algunos de los cuales se muestra en la figura (Fig. se logra retirar gradualmente el material de la pared del agujero. Cuando se exige el empleo de herramientas de gran longitud.5. Características del corte y de las herramientas cortantes . y según sea la forma o perfil de la brocha. En la figura (Fig. c y d a brochado interior y los e. incrementando radialmente la altura de los dientes. solicitada ésta ya sea por tracción o compresión. por sus altos costos. hélices de paso constante. de acabado y de calibrado o alesado. se obtiene en base a una progresión aritmética.5. en la cual se indican sus partes principales. se utiliza el brochado por tracción. en forma de dientes cortantes. la herramienta consiste en una barra o espiga que posee resaltos o anillos con filos. elípticos. estando por lo general. El carro de arrastre tracciona hidráulicamente a la brocha haciéndola pasar por el agujero previamente hecho en la pieza. presionada hacia abajo por la fuerza F. correspondiendo el a. el cual ha sido practicado previamente en la pieza. dando junto con la tracción axial un movimiento de rotación a la herramienta. para la fabricación en serie de piezas. no siendo una máquina de uso común en los talleres de mantenimiento. El accionamiento de la herramienta puede ser mecánico o hidráulico. el orden ocupado por éstos es generalmente. h+ ( z – 1)e (5.. Los dientes de la brochadora trabajan radialmente cortando la viruta a lo largo de la superficie a trabajar... siguiendo la serie aritmética. Fundición dura. siendo. 11/2 21/2 31/2 41/2 51 / 2 61/2 71/2 81/2 91/2 El valor del incremento radial e de corte depende del tipo de material a trabajar y del tipo de material que constituye la herramienta. cortará solo una viruta de espesor e. debido al agujero previo realizado... es decir de idéntico espesor...... Se encuentran tabulados distintos valores obtenidos de la experiencia..........118) También es importante el número de dientes n que trabajan en la longitud L de la pieza a mecanizar.5..... en tablas como la que se transcribe a continuación: Material a trabajar Acero de Kz = 110 kg/mm2....05 0... Bronce duro.5.5..063 0..125 0..080 0...040 0...116) Siendo z en la (5...... Una exigencia del trabajo de brochado es que los dientes o anillos cortantes de la herramienta se verifique un aumento diametral progresivo....100 “ “ “ 0.. Acero de Kz = 55 kg/mm2..... Acero muy dulce.. 9 18 32 50 75 105 145 190 250 9 18 32 50 75 105 145 190 z..........040 0....180 0... se obtiene: z= l +1 p (5. h+ e........ es decir.100 0....59)..... l en mm max. h+ 2e....... el número de dientes o anillos cortantes de la brocha. según se indica en la figura (Fig. cuya diferencia la constituye el incremento radial e.. la cual se indica en la figura (Fig.........100 0....... y así sucesivamente.. el segundo cortará una viruta de espesor h + e.... Valor máximo de e en mm según el tipo de brocha Redonda Estriada acanalada Para chaveteros 0............080 0.. Latón.........032 0............125 0.... Fundición blanda.116)..117) Despejando z de la (5... Si.58) se muestra una brochadora para interior......119) El número de dientes en función de l está tabulado.....050 0.063 0... El primer diente o anillo cortante de altura h.125 “ “ “ 0.p (5...160 “ “ “ 0.......063 0........ Bronce dulce.... Acero de Kz = 80 kg/mm2...080 0.117). h+ 3e. el número z de dientes de la brocha se determina de la siguiente relación: l = (z – 1).... en tablas como la que se muestra a continuación: Número de dientes de la brocha en situación de trabajo min...................................................59) se llama paso p a la distancia entre dos dientes consecutivos de la brocha y l a la longitud activa de la misma..En la figura (Fig. De acuerdo a esto...200 . las diversas alturas de los dientes cortantes se ordenan en la siguiente forma: h.. la que trabaja realmente..... en este caso n= L +1 p (5..........050 0.. ... de tal modo que es: kz = Kz κ π d 02 kz 4 (5......................... será: Pmax = (5......... Acero ..Aluminio (aleaciones duras)..... Cálculo del esfuerzo exigido por el corte La máquina brochadora deberá proveer una potencia N para poder ejercer la fuerza axial P con que se debe traccionar o comprimir la brocha para realizar el corte.. para la altura h de los dientes de la brocha: d0 = d – 2h (5.............Fundición dura kg/mm 12..5 16 El núcleo de la brocha solicitado a la tracción.......124) se puede obtener el diámetro del núcleo: (5.... Bronce duro................ se obtiene de la experiencia......................... el cual es llamado esfuerzo periférico sobre el diente K y que está dado en kg/mm.............. de la sección q de viruta arrancada y del número de dientes n que actúan en el corte...............................q = ks...a...... Por lo expuesto se puede escribir: q = e.....n Resultando por lo tanto: P = ks............ que a su vez dependerá de la resistencia específica de corte ks del material que se trabaja..5 16 20 25 Fundición – bronce – latón kg/mm 10 16 12.... Fundición semidura..5 20 Aleación de aluminio kg/mm 8 10 12. que dependerá del material que se trabaja................. por lo que el largo l0 d0 = 4P π kz . se ejerce un esfuerzo periférico sobre el diente de la brocha. Solicitaciones de la brocha por tracción.......................... La sección de viruta dependerá de la longitud a del perímetro de filo y del espesor o incremento radial e...123) La fuerza Pmax que soportará el núcleo de la brocha. Plana. Acero 70-90 kg/mm2.........e.....n (5..... Latón – Cobre..............121) (5... estando tabulados: Valores del esfuerzo periférico sobre el diente K Brocha Redonda................. Acero 50 kg/mm2. Fundición dulce – Bronce........ ks kg/mm2 500 400 315 250 200 Material a trabajar Fundición dura...... Aluminio duro... resultando. al producirse el corte.. ks kg/mm2 160 125 125 100 80 63 Además..........122) Si el coeficiente de trabajo es kz.................................... Acero 50-70 kg/mm2............. debiendo al mismo tiempo dimensionarse el núcleo de la brocha para que resista esta fuerza sin romperse........ Su diámetro d0 está determinado por el diámetro inicial d del agujero en la pieza..... se verifica considerando el coeficiente de trabajo a la tracción............. Estriada.. volcándose los valores en tablas como la que se muestra a continuación: Resistencia específica en el brochado Material a trabajar Acero 90-115 kg/mm2..... el núcleo de la espiga de la brocha debe verificar al pandeo....120) La resistencia específica de corte ks..... Acanalada.124) De la (5... cuyos valores depende del material que se trabaja y de la forma de la brocha..... resultando éste de considerar aplicado a la resistencia unitaria de corte del material Kz un coeficiente de seguridad κ............. Acero extra dulce .......a....125) Si la brocha actúa a la compresión...... 5 2. Acero dulce..v = q.Alrededor de las Máquinas Herramientas ......2 2 4 3 – 3..del tramo sometido a la compresión........ Dubbel Pascual Pezzano Heinrich Gerling Academia Hütte EDITORIAL Alsina Labor Alsina Reverté Gustavo Gili . Fundición maleable.. el tiempo t será: t= c L+l = v v (5...... q en mm2 y ks en kg/mm2..... Bronce.............. siendo la longitud c del recorrido de la brocha igual a la longitud L de la pieza más la longitud l de la parte dentada de la brocha....126) Brocha circular: l0 = 18....... estando P en kg.. en función del diámetro d0 o del lado b para el núcleo rectangular....Manual del Constructor de Máquinas ...........5 3 La velocidad en la carrera de retorno o pasiva es muy superior a la velocidad de corte en la carrera activa..132) Por lo tanto.. se tiene la expresión: N= P. Acero duro........Tecnología Mecánica I y II . ambas en metros..163.q.......5 b (5....v = 0. ya que el tiempo empleado en el trabajo es corto......... v en m/min.....50 Velocidad v de corte 1.... En la tabla siguiente se indican velocidades empleadas para distintos materiales: Material a trabajar Fundición...k s ... Acero muy duro. se obtiene de las siguientes relaciones: c=L+l (5......127) Potencia desarrollada en el brochado La brocha se desplaza con una velocidad de corte v en m/min.. empleado para realizar el corte en la carrera activa.... cobre.. latón. la potencia N en vatios (W) será: N= P. la que no debe ser elevada a fin de no exponer a la herramienta a esfuerzos excesivos......... F....... Freyre H.....k s .. Resistencia a la rotura Kz kg/mm2 12 – 22 22 – 28 35 – 65 65 – 90 90 – 120 28 .......v Para P en Newton.Manual del Ingeniero Hütte II A AUTOR Felipe..128) N = P.v = 2............v 60.............131) Tiempo de máquina El tiempo t en minutos. La potencia N necesaria para efectuar la fuerza P con que se tracciona la brocha a una velocidad de corte v está dada por la expresión siguiente: (5.. es: (5...ks..........10 − 4 q..129) Para obtener N en CV..22.133) ------------()-------------Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía TÍTULO ......v 60 (5...5 d0 Brocha rectangular: l0 = 21..130) Si se tiene en cuenta el rendimiento η del mecanismo que mueve la brocha...Aplicaciones de Tecnología Mecánica ..75 (5.. la potencia Nm del motor de accionamiento de toda la máquina herramienta será: Nm = N η (5..... la cual tiene una velocidad v en m/min..... Máquinas. L. Uteha Alsina Científico Médica Máquinas Reverté . Solsona Mario Rossi A.Tecnología de los Metales C.Mecánica de Taller .Tecnología Mecánica I y II . Thomas Baumeister y Marks E.Máquinas Herramientas Modernas I y II . E.R. Casillas Happold-Feiler-Schmidt Nigar S.L..Manual del Ingeniero Mecánico de Marks . Cálculos de Taller . La correa trapezoidal. Los vínculos intermedios puede ser correas planas o trapezoidales.2) y la (6. La polea que transmite el movimiento se denomina motora o conductora. los que pueden acoplar o desacoplar durante el giro los diferentes órganos de máquinas en movimiento. la potencia desarrollada tangencialmente por la polea es: N = P. como el punto de aplicación de la fuerza P se mueve con una velocidad tangencial periférica v. presentándose este caso en los mecanismos hidráulicos. para un número n de vueltas por minuto: . el movimiento no se detiene. una polea que se encuentra solidaria. permitiendo realizar los cambios necesarios. y en el segundo caso puede ser líquido. el cual según sea la relación de transmisión. Eje motor y eje receptor en la transmisión del movimiento por poleas y correas Cuando el eje de una máquina motriz gira a una velocidad de rotación n. gira a una velocidad angular ω y sobre la periferia de la misma actúa constantemente una fuerza tangencial P que produce un momento motor M que torsiona el eje Este momento motor está dado por la expresión: Mm = P. Por ser. la correa plana fue desplazada por la correa trapezoidal y por los engranajes. ya que si una de ellas se corta.6 TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO GENERALIDADES: La transmisión del movimiento desde un mecanismo o elemento de máquina a otro se puede realizar en forma directa.1).1) La potencia que desarrolla el motor que acciona la polea motora es: N = M m. su movimiento a otra polea que esté montada sobre el eje de otro mecanismo receptor del movimiento. en tanto que la que recibe el movimiento recibe el nombre de conducida. Actualmente. Para mayor información sobre embragues el estudiante tendrá que consultar bibliografía especializada ya que no es objeto de estudio de este curso. atornillada o soldada. Esta polea puede transmitir.3) son expresiones que permiten conocer. en los cuales no es conveniente ni práctico detener el funcionamiento del motor para cambiar el movimiento del mecanismo o elemento. enchavetada. o de la fuerza P y de la velocidad tangencial v. aceites. para la transmisión del movimiento ha cobrado auge la utilización de engranajes y tornillo sin fin con rueda helicoidal. y como ya se sabe. Posteriormente. por fricción o a través de una correa. según ya se viera en capítulos anteriores.2) Además. cadenas. confiere mayor seguridad y continuidad al movimiento. suave y silenciosa. que debe realizar la polea motora. o viceversa. al mismo. etc. al poder existir varias correas en una misma polea. la potencia N en el eje que debe entregarle el motor. bielas. en el primer caso podrá ser rígido. En un principio.6. como la biela de un mecanismo.v (6. tornillo sin fin y rueda helicoidal. además de presentar la ventaja de la transmisión elástica. como por ejemplo el caso de un engranaje montado sobre el eje de un motor y que engrana con otro engranaje al que le transmite el movimiento de rotación del eje. podrá adquirir menor.3) La (6. engranajes. igual o mayor velocidad de rotación que el primero. En muchos casos. la velocidad tangencial v en la periferia de la polea dependerá del radio de la misma. a partir del momento motor Mm y de la velocidad angular ω. la polea motora tiene un radio R . o a través de vínculos intermedios que transmiten el movimiento que tiene el elemento motor al elementos conducido.R (6. o flexible como una correa plana o trapezoidal. casi en su totalidad. manivelas. la transmisión del movimiento se realizó utilizando poleas y correas planas. Este vínculo intermedio puede ser sólido o fluido.ω (6. ya sea para accionamiento individual o a partir de un eje principal para un grupo de poleas. Según muestra la figura (Fig. se utilizan embragues. también gira a la misma velocidad de rotación n. según muestra la figura (Fig.π .11) Para el accionamiento de poleas con correas.75. en la (6. R está en cm.R’ = 60 ' r (6.14) y la (6.ω’.R (6.6. para que pudieran engranar dos engranajes entre sí.4): 2.π . ω.3) es: i= Pero se tiene que es: ω 2 velocidad angular polea conducida = ω 1 velocidad angular polea conductora (6.R ' N’ = P’. Si P está en kg.55 (6.2).7) El eje receptor. diámetros primitivos y número de dientes: i= ω 2 n2 D1 z1 = = = ω1 n1 D2 z 2 (6.v = ω.100 71620 P = 71620 N n.6) (6. Determinación de la relación de transmisión Según lo ya visto.6. en la (6.R.8) Siendo por lo tanto la potencia N’ transmitida.R. a través del vínculo utilizado.13) (6. debían tener igual módulo.13).R = P. para una velocidad angular ω’ en rad/s y n’ vueltas por minuto. de la (6. la relación de transmisión i.5) Si P está en Newton. estará sometido a un momento rotor: M r' = P'.n'.10) Para tornillo sin fin y rueda helicoidal. ω en rad/s y v en m/s.v’ = M .π .n.R' (6.12) ω 1= y 2 π n1 60 2 π n2 60 (6. de acuerdo a la figura (Fig. sobre el cual se ejercerá la fuerza P. de donde se obtenía para la relación de transmisión i las expresiones siguientes. la relación de transmisión para zs filetes del tornillo y zR dientes de la rueda era: i= z s número de filetes del tornillo sin fin = zR número de dientes de la rueda (6.P.5).r.n P. N resulta en Vatios (W). se obtiene: ω 2= .R = Resulta. se aplica la siguiente expresión: N= O también: 2. en rad/s y v en m/s. 60 = 9.R P.14) Efectuando el cociente entre la (6.3) y de la (6. R está en m.v = P.n = 60. en función de sus velocidades angulares.R 60 (6.5). para obtener N en CV.9) Existiendo las mismas consideraciones para las dimensiones de cada parámetro que interviene en dicha expresión. y una velocidad tangencial periférica v’ en m/s: 2.π .4) 2.n.ω.n N = P. como la velocidad tangencial v y angula ω. como es la correa. la (6.17) Como las dos poleas están unidas por un mismo vínculo indeformable.21).22) De la (6.19) se obtiene: = π D2 n 2 60 (6.16) y la (6.3).d1 = n2. por ejemplo un compresor.16) (6.12).15) Las velocidades tangenciales periféricas en cada polea están dadas por las siguientes expresiones: v1 = π D1n1 (6.ω 2 n2 = ω 1 n1 (6. en los casos que la polea motora que se encuentra enchavetada en el eje del motor. eléctrico o térmico.6.15) y la (6.22) se obtiene la velocidad de rotación que adquiere la polea motora. de la cual resulta la expresión: n1. en función de la velocidad de rotación n1 y de los diámetros d1 de la polea motora y d2 de la polea conducida: (6.6.18) Por lo tanto se pueden igualar la (6. la siguiente expresión: n2 D1 = n1 D2 i= ω 2 n2 D1 = = ω 1 n1 D2 (6.4). sus velocidades periféricas deben ser iguales: v1 = v2 (6.23) Una vez obtenida esta velocidad de rotación se pueden obtener los otros parámetros.d2 (6.17): 60 π D2 n 2 v2 = 60 π D1n1 60 Operando en la (6. se obtiene para la relación de transmisión de las poleas I y II de la figura (Fig.19) (6. la relación de transmisión se puede obtener de la expresión (6.20).20) Teniendo en cuenta la (6. como el que se muestra en la figura (Fig.21) Accionamientos individuales y por grupos mediante correas Los accionamientos individuales se realizan por lo general mediante correas planas o trapezoidales. transmite a otra máquina. para cuyo caso. Si el movimiento de rotación del motor eléctrico o térmico se transmite a un juego de poleas de una transmisión n2 = n1 d1 d2 . 5). el valor de n3 resulta: n3 = n 2 d3 d4 (6.26) .28) . el valor de n2 resulta: (6. el valor de n4 resulta: n 4 = n3 d5 d7 (6.Polea motora de diámetro d3 y velocidad de rotación n2 y polea conducida de diámetro d4 y velocidad de rotación n3: n2. se podrán obtener.25) (6.d3 = n3.24) n2 = n1 d2 d2 (6.6.27) (6.d5 = n4. teniendo en cuenta la velocidad de rotación n1 y el diámetro d1 de la polea solidaria al motor eléctrico que mueve los trenes y los diámetros y las relaciones de transmisión de las restantes.d4 Operando en la (6.principal y estas a su vez lo transmiten a través de correas a otros ejes secundarios con poleas que accionan máquinas individuales y en series.21) las velocidades de rotación de cada polea para cada tren cinemático.d2 Operando en la (6.24). por aplicación de la (6.Polea motora de diámetro d5 y velocidad de rotación n3 y polea conducida de diámetro d7 y velocidad de rotación n4: n3. se obtendrán trenes cinemáticos de poleas según muestra la figura (Fig.d1 = n2.29) . realizando las siguientes operaciones: . en el cual. considerando las que son poleas motoras y poleas conducidas.d7 Operando en la (6.28).26).Polea motora de diámetro d1 y velocidad de rotación n1 y polea conducida de diámetro d2 y velocidad de rotación n2: n1. formando un ángulo β menor que 60º. la de la marcha directa y la de la contramarcha.d 4 .d 6 d 2 . indicadas con T en la figura (Fig.6.6.5a) muestra el tren de poleas en vista frontal y la figura (Fig.31) La (6.28) (6. que se indican en la figura.d 5 d 2 .30) n5 = n1 d1 . por lo que transmiten la rotación en sentido contrario al del eje.d 3 .d 7 (6. se encuentra otra polea que hace de conductora para una nueva polea que se encuentra en otro eje. de tal forma que actúan varias correas a la vez para la transmisión. Se puede observar que sobre el mismo eje en el que se encuentra solidaria una polea conducida que recibe el movimiento de rotación de una polea conductora. de tal forma que las correas pueden introducirse dentro de las mismas produciéndose un efecto de cuña.5b) lo muestra en vista lateral. de tal forma que no transmiten movimiento. una a la polea loca y la otra a la polea motriz. por lo que son designadas con este nombre o también llamadas correas en V.6.d6 = n5.d 3 . lo que hace que aparezcan fuerzas simétricas laterales perpendiculares a las caras laterales de la correa.28) y la (6.Mediante el reemplazo sucesivo de los valores de n2 y n3 dados por la (6. Su sección es trapezoidal.5). . los cuales concurren a un punto. Accionamiento mediante correas trapezoidales Estas correas se utilizan generalmente cuando las distancias entre los ejes de las poleas es reducida. el valor de n5 resulta: n 5 = n3 Reemplazando en la (6.30) el valor de n3 se obtiene: d6 d8 (6. es decir de lados simétricos.d8 Operando en la (6. mediante el producto entre la velocidad de rotación inicial de la primera polea motora y el cociente que tiene por numerador el producto de las poleas motoras y por denominador el producto de las conducidas. se utilizan para lograr cambiar el sentido de rotación del eje. El ángulo β entre las caras varía por lo general entre 32º y 40º. Este sistema de varios ejes y poleas se suele emplear también cuando se desea obtener una reducción de velocidad grande.29). pudiendo entre ambos apreciarse las posiciones de la poleas motoras y conducidas y las correas. se encuentran realizando un bucle. Las poleas tienen gargantas de forma trapezoidal. Para ello se utilizan las denominadas poleas locas. Las correas cruzadas. tanto las de transmisión directa como las de las contramarchas.29) .6.d 4 . es decir poleas que al girar no arrastran el eje sino que giran sobre él.25) y la (6.6. La figura (Fig.29) se obtiene el valor de n4: n4 = n1 d1 . El trapecio es isósceles. denominándose por tal motivo correas de la contramarcha. lo que le da mayor adherencia.27) respectivamente en la (6.5). Fuerzas actuantes sobre la correa (plana y trapezoidal) Poleas planas: La figura (Fig.d 8 (6. según sea el caso del movimiento que se desee obtener. por lo que para el cambio de marcha se pasa cada correa.Polea motora de diámetro d6 y velocidad de rotación n3 y polea conducida de diámetro d8 y velocidad de rotación n5: n3. indicadas con L en la figura (Fig. pudiendo transmitirse grandes potencias sin resbalamientos.31) dan las velocidades de rotación n4 y n5 de las poleas d7 y d8 que están al final de los trenes cinemáticos. En caso de transmisión de grandes potencias se utilizan poleas de varias gargantas.7) representa una polea de radio r que gira con una velocidad angular ω de rad/s. (F+dF) sen 2 = 0 dϕ dϕ ∑X ≡ (F+dF)cos 2 . .a) Siendo en la (6.6. o según la figura (Fig.b2 ancho inferior de la correa en cm.Fuerzas de tracción F sobre el ramal flojo y F+dF sobre el ramal tenso.dϕ g (6.r. según la figura (Fig. para una correa trapezoidal de ancho medio igual a: b= b1 + b2 2 (6.35) a la aceleración centrífuga.g aceleración de la gravedad en cm/s2. se pueden observar las siguientes fuerzas que actúan sobre el mismo: . arrastrando una correa trapezoidal con una velocidad tangencial v en m/s. .8b).siendo n su velocidad de rotación en rpm. .35) dC = d(M. dada por la expresión: (6.dϕ La masa del elemento es: (6. De las dimensiones de la correa se tiene.r.r radio de la polea en cm.b1 ancho superior de la correa en cm.32) el volumen del elemento dl es: dV = b.b.t.t.µdP = 0 De la ecuación (6.38) se obtiene para dP: (6. .γ peso específico del material de la correa es en g/cm3. .Fuerza de reacción dP de la polea sobre la correa.37) (6. Si se analizan las solicitaciones a las que está siendo sometido un elemento dl de la correa.36) Planteando las ecuaciones para un estado de equilibrio de la polea y correa en movimiento se obtiene: a= v2 r dϕ dϕ ∑Y ≡ dP + dC – Fsen 2 . Las características de la correa y de la polea son: .6.t espesor de la correa en cm.t.33) M = La fuerza centrífuga es: γ .Fuerza de rozamiento µdP sobre los flancos de la correa. .8a).dl = b. la que experimenta en sus extremos las fuerzas de tracción F1 en el ramal tenso y F2 en el ramal flojo.Fcos 2 .Fuerza centrífuga dC debido a la velocidad tangencial de la correa. . . para una correa plana de ancho b.38) .34) (6. Fc.40).dϕ = 0 (6.dϕ v 2 g r (6.44) Si en la expresión (6.47) Y por otra parte. se obtiene: dF . se desprecia reducida a: dF dϕ 2 por tratarse de un diferencial de segundo orden.49) Integrando la expresión (6. por lo tanto.43) Donde es Fc la fuerza centrífuga para un elemento de correa correspondiente al ángulo unitario.b. y además se multiplican ambos miembros de la misma por µ.48) se obtiene: dF = µ .dM Pero es: (6. de la (6.49).40) a= v2 r (6. la (6.dP = cos dϕ .46) se considera que es: (6.48) De la (6. estando dado por la expresión: Fc = dC γ .t. cos dϕ dϕ − µ (2 F + dF ) sen + µ Fc dϕ = 0 2 2 dϕ dϕ − µ 2 F − µdFsen + µ Fc .r.42) dC = Fc .r.µ.43) respectivamente.t.39) y el segundo miembro de la (6. (6.b.41) Por otra parte.dF 2 µ (6.50) .dϕ + µ. la masa diferencial dM en función del volumen del elemento diferencial dl y de su peso específico γ es: dM = Por lo tanto.F. el primer miembro entre los límites F1 y F2 y el segundo miembro entre los límites 0 y ∫ F1 F2 ϕ dF = µ ∫ dϕ 0 F − Fc (6.41) y (6.r v 2 = dϕ g r (6.37) se reemplazan dP y dC por sus valores dados por la (6.46) dϕ ≅0 a) 2 ⇒ dϕ =1 2 y b) sen dϕ dϕ ≅ 2 2 (6.dϕ = 0 2 2 cos (6.45) se obtiene: dF cos Si en la (6.dϕ F − Fc ϕ: (6.dϕ g (6.46) queda dF .42) es: γ .dϕ = γ .b.39) La fuerza centrífuga dC que actúa sobre la masa dM del elemento diferencial de longitud dl es: dC = a.45) Operando matemáticamente la (6.t. Fc dϕ = 0 (6.dϕ .37) y (6.54) Las expresiones (6.3) ya vista anteriormente.E (6.38) y haciendo las mismas consideraciones por las cuales se obtenían las expresiones (6. la fuerza T transmitida por la correa es: T = F1 – F2 Según como ya se viera en la expresión (2.6. el primer miembro entre F1 y F2 y el segundo entre 0 y ϕ .51) e µϕ − 1 F1 − F2 = (F1 − Fc ) µ ϕ e (6.51b) también se puede escribir como: F1 − Fc = µϕ F2 − Fc ⇒ F1 − Fc = e µϕ b) F2 − Fc (6.58) e µϕ senβ / 2 Tanto en la expresión (6.60) . Potencia transmitida por las correas La potencia que transmita la correa estará en función de la fuerza T que realice la misma y de su velocidad tangencial v de desplazamiento.v = (F1 − F2 ).54) contienen el ánguloβ y la resultante de las fuerzas dP/2.9).55) µ dϕ dF = β F − Fc sen 2 (6. es decir el ángulo formado por las caras laterales de la correa que forman entre sí el ángulo β y de las fuerzas dP/2 que actúan sobre las mismas.Fcos 2 2 .55) se obtiene: sen β 2 .47).56) Integrando la (6.54) las mismas operaciones que las efectuadas en las (6.57) F1 − F2 = ( F1 − Fc ) e −1 (6. Realizando en las expresiones (6. Poleas trapezoidales: Para correas trapezoidales se debe tener en cuenta el efecto cuña.59) N = T .53) y (6.161) al estudiar el teorema de Prony. será: (6.v. se obtendrá: dF F.53) (6.Fsen 2 .52) es F1 la fuerza sobre la correa en el ramal tenso y F2 la fuerza sobre el ramal flojo. es decir dPsenβ/2.58).v = (F1 − Fc ). por lo tanto.Operando se obtiene: ln a) La (6. respondiendo a la expresión (6.53) y (6.52) como en la (6. según se muestra en la figura (Fig. se obtiene: F1 − Fc = e senβ / 2 F2 − Fc Y finalmente: µϕ senβ / 2 µϕ (6.52) En la (6.56).2 =0 β (6.(F+dF)sen 2 = 0 dP dP dϕ dϕ µ µ ∑X ≡ (F+dF)cos 2 . siendo las condiciones de equilibrio las siguientes: dϕ dϕ ∑Y ≡ dPsen 2 + dC .µ De la (6. b.64) se saca fuera del paréntesis. según muestra la figura (Fig. se reemplaza la fuerza centrífuga Fc dada por el tercer miembro de la expresión (6.10a) o la (Fig.62) Por lo tanto.11). la polea sobre la cual está montada la primera. se obtiene: σt (6. es igual a: A = b.6.t.6. se obtiene: ⎛ γ bt v2 N = ⎜ F1 − ⎜ g ⎝ ⎞ ⎟v. Si se considera que la sección de la correa. si en la expresión (6. en forma normal a los flancos de la correa. originan sobre ésta una fuerza resultante P debido a las fuerzas de reacción P/2 que ejerce. se lo pasa al primer miembro. según se muestra en la figura (Fig. Área de la sección transversal de la correa (dimensionamiento) senβ / 2 A los efectos de dimensionar la sección de la correa para que resista los esfuerzos a los que estará sometida.E ⎟ ⎠ b.t = F1 (6. con la expresión resultante dentro del mismo. del ángulo con el cual la correa abraza a la polea y de la relación t/d.60) que da la potencia N transmitida por la correa. de la fuerza centrífuga que actúa sobre ella.61) σt = F1 b.t = 1 ⎛ γ v2 ⎞ E ⎜σ t − ⎟ ⎜ g ⎟ ⎝ ⎠ N (6.t b.65) Fuerza normal sobre los flancos de las correas trapezoidales Las fuerzas F1 y F2 que actúan sobre la correa.64) Si en la (6. se debe considerar la resistencia unitaria a la tracción σt de la misma. ya sea plana o trapezoidal. según se observa en la figura (Fig.60) para correas planas y e e senβ / 2 para correas trapezoidales. y el paréntesis. resultando por lo tanto: . siendo t el espesor de la correa y d el diámetro de la polea. como factor común.6.t Si la fuerza máxima a la cual está solicitada es la F1. la sección de la correa será: (6.7). la que depende del material del cual está construida la correa.µϕ e −1 E= eµϕ −1 µϕ E = µϕ Siendo en la (6.44).6.63) Por otra parte. se tendrá: (6.10b). Si los diámetros de ambas poleas son iguales.12). siendo δ el ángulo que forma el radio de cada polea que pasa por el último o primer punto de contacto que tiene la correa al dejar o entrar a la polea respectivamente.P Ángulo abrazado por la correa y largo de la misma (6. se tiene que el ángulo α1 con el cual la correa abraza a la polea menor es igual a 180º-δ y el ánguloα2 con el cual abraza a la polea mayor es 180º-δ . siendo el ángulo α1 menor a 180º en la polea menor y el ángulo α2 mayor a 180º en la polea mayor.72) . según se muestra en la figura (Fig. la expresión (6.68) Se denomina por lo general rozamiento equivalente µe a la expresión: µe = µ sen β 2 (6.2δ (6. los ángulos abrazados por la correa son diferentes.6.71) α2 = 180º + 2δ (6.6.13).66) Pn = P 2 sen β 2 (6. para el coeficiente de rozamiento µ.69) Por lo tanto. el ángulo con que abraza la correa a cada polea es 180º.P = F1 + F 2 La fuerza normal sobre los flancos de la correa es: (6.67) Por lo tanto.13). con el eje vertical de la polea. según se muestra en la figura (Fig.6. Si se analiza la figura (Fig.67) vale: FR = 2 µ Pn = 2 µ P 2 sen β 2 =P µ sen β 2 6. considerando la (6. el esfuerzo de tracción por rozamiento FR sobre los flancos de la correa. resultando por lo tanto: α1 = 180º . Si los diámetros no son iguales.68) se puede escribir de la forma siguiente: FR = µe.70) El ángulo con que abraza la correa a las poleas dependerá de los diámetros de estas últimas y de la distancia a la que se encuentran entre sí sus centros. 6.07 1. la fuerza tangencial corregida Tc será: Tc = C1.77) Lmin = d1 + d 2 + 50mm 2 Fuerza tangencial corregida en correas trapezoidales Partiendo de las condiciones de diseño. Por tal motivo. obtenida la fuerza T según la expresión (6. se obtiene: z= Tc S .13) se tiene que es: d 2 − d1 d − d1 2 senδ = = 2 2L L El largo total l de la correa es: (6. siendo recomendables las siguientes: Lmax = 2 (d1 + d 2 ) (6.00 0.88 0.76) (6.10 1.84 2.60).T (6.15 kg/mm2 para v< 25 m/s.63) y el segundo en función del tipo de servicio. El número z de correas trapezoidales que se utilizan en esta transmisión.σt (6.00 Contacto α 110º 100º 90º 80º 70º 60º 0.73) l = π d1 α1 360º + π d2 α2 360º + 2 L cos δ (6.50 0.15 kg/mm2 ≤ σt ≤ 0.Por otra parte. según se muestra más adelante.94 0.00 Contacto α 180º 170º 160º 150º 140º 130º 120º 1.79) Conocida la fuerza Tc.80) Los valores de σt se toman de la siguiente manera: 0. de la sección S de cada correa y del esfuerzo unitario de tracción σt .C2.17 1.74 0. debiendo ser afectada la fuerza calculada por un Factor de corrección por ángulo de contacto C1 y por un Factor de corrección por tipo de servicio C2.81 2L 1.49 0. una vez obtenida la fuerza que debe transmitir la correa.67 1.33 0. Factor ángulo de contacto C1 Ángulo de Ángulo de Factor C1 Factor C1 d 2 − d1 d 2 − d1 2L 0.78) Donde C1 y C2 se encuentran tabulados.S.03 0.84 1. la (6. el primero en función de la (6.16 0. resultando: Tc = z.74) Si las poleas son de igual diámetro.13 kg/mm2≤ σt ≤ 0.99 0. estará justamente en función de la fuerza de transmisión Tc. 0. se debe tener en cuenta la influencia del ángulo de contacto o de adherencia y de la clase de servicio a la que estará sometida la correa.74) se convierte en: l=πd+2L (6.34 1.31 .20 kg/mm2 para v< 10 m/s.50 1.40 0. de la figura (Fig.58 0.67 0.σ t (6.75) La distancia L entre centros de poleas se adopta según las necesidades.66 0. ...3 14.... balancines (cargas variables).... por lo que se recomienda para el diseño de las mismas usar velocidades comprendidas entre 10 m/s< v< 25 m/s para correas planas y velocidades entre 7.. Correas trapezoidales: están construidas por lo general de caucho y fibras de algodón o sintéticas.. laminadoras. caucho reforzado con cuerdas de algodón y material sintético como el hule o el nylon... Por lo general se construyen de cuero.2 Sección (mm2) 45 82 124 248 435 676 Fuerza tangencial de cada correa en kg v<10m/s v<25m/s 9. en tablas como la que se transcribe a continuación: Tipo t 10 12........ aunque todavía se usan debido a su gran flexibilidad en poleas de pequeño diámetro y cuando se necesitan altas velocidades con potencias no muy elevadas.625 1..5 Motor a combustión 1. etc. por lo general de acuerdo al fabricante de las mismas.3 6.. Tipo de correas Correas planas: estas correas.. Pero la velocidad está limitada por la fuerza centrífuga que tiende a separar la correa de la polea.2 1. presentando mayor tendencia a resbalar que la correas en V.....81) 60 La velocidad v dependerá del tipo de correa. los cuales . según sus dimensiones.... durabilidad.3 16.. lona de algodón. Son capaces de transmitir hasta 3 kW por mm de ancho operando a velocidades de hasta 200m/s. los fabricantes de correas trapezoidales editan manuales de uso y selección de correas. Máq...5 14 29 20 48 33 90 66 131 87 X A B C D E Los valores de t y b de la tabla son los correspondientes a las dimensiones indicadas en la figura (Fig..7 22. de carpintería.9 10. de la tensión que se les dé con la separación entre sí de las poleas.5 m/s < v< 35 m/s. de la clase de trabajo que realiza la máquina impulsada.. guinches..1 Dimensiones b 6 7..... resultando: v= 1... cepilladoras.. de acuerdo a su resistencia y velocidad tangencial de funcionamiento.5 1...875 π d . (cargas constantes). Textiles. resistente a las condiciones ambientales de trabajo y de bajo costo. las primeras en existir desde la revolución industrial.3 1.. transmisiones.. dependiendo la fuerza de tracción que transmiten. correspondiendo a mayor velocidad mayor potencia. aunque en algunos equipos especiales. Compresores.. han sido reemplazadas en muchas aplicaciones por la correas trapezoidales.. rompedoras (cargas muy variables)... máq. El material de construcción de una correa debe reunir algunos requisitos.... como por ejemplo en vehículos para la nieve y otros recreativos cuentan con correas diseñadas para operar a más de 75 m/s..... Velocidad de la correa La velocidad tangencial v en m/s de la correa está en función del número n de vueltas por minuto con que gira la polea. encontrándose tabuladas.. gran flexibilidad y alto coeficiente de fricción... Por lo general. como alta resistencia.n (6.Factor tipo de servicio C2 Máquinas impulsadas Tipo de accionamiento Factor C2 Motor eléctrico Ventiladores.... se clasifican según la sección... del material del cual está compuesto............ agitadoras.10) vista anteriormente..6..7 15.8 38...7 20.2 31.....9 22. acero. los cuales se muestran nuevamente en la figura (Fig.86) . Accionamiento mediante ruedas de fricción A) Accionamiento por ruedas cilíndricas de ejes paralelos y contacto periférico: según lo visto para el contacto de dos cilindros lisos. dada por la siguiente expresión: A= (z – 1) h + 2g (6. es a la convexidad dada a la polea y p las pestañas laterales colocadas en la misma. madera. o colocando pestañas laterales.16). para obtener la mayor superficie de contacto posible.84) v 2 = ω 2 . Ello se logra. de placas de acero o aluminio estampado. con un perfil convexo de la superficie periférica de las poleas.6.85) y operando. etc. lo que favorece el efecto cuña y el rozamiento. sin llegar a tocar el fondo de la garganta ya que esto anula el efecto de cuña que se ejerce sobre la correa. En la figura (Fig. que conformaban los cilindros primitivos de los engranajes.6. según se muestra en la figura (Fig6.84) y (6. y de materiales plásticos o sintéticos. Por este motivo las paredes de la garganta o acanaladura de la polea están inclinadas formando un ángulo β igual a los de la correa. siendo estas últimas para mandos cruzados u otros casos donde las correas entran en la garganta con un determinado ángulo respecto del plano normal al eje de la polea. En la figura mencionada. donde es Dp el diámetro primitivo o efectivo y De el diámetro exterior.r1 = y 2 π n1 r1 60 2 π n2 r2 60 (6. siendo las primeras las más usadas. deben asegurar que las correas no salgan de las mismas. se tendrá: (6.82) El ancho o espesor A de la llanta de la polea depende del número de correas z. tamaño. Se construyen de fundición de hierro.15) se muestran las dimensiones características. debe ser tal que permita que esta última encastre perfectamente. Las poleas para correas trapezoidales se construyen por lo general de fundición de hierro. potencia que transmiten. El ancho máximo a de la garganta está limitado justamente para lograr que la correa que se inserta en la acanaladura trabaje apoyando totalmente sus flancos contra los flancos de la garganta de la polea. se obtuvieron las siguientes expresiones: Por ser: v1 = ω1 . Se distinguen poleas de ranuras normales y poleas de ranuras profundas.r2 = Como es: (6. Poleas para correas planas y trapezoidales Si bien las poleas para correas planas son de geometría sencilla.83) La profundidad de la acanaladura o garganta de la llanta de la polea donde se alojará la correa.contienen indicaciones prácticas de la elección del tipo.14). siendo: De = Dp + 2d (6. largo y cantidad de correas a utilizar para un determinado servicio.85) v1 = v2 Por lo tanto. igualando la (6. 88) se obtiene: n 2 = n1 Variando x se varía n2. r1 x (6. D) Accionamiento por ruedas de fricción cónicas En este caso.93) se obtiene: n 2 = n1 r1 x (6.89) (6.96) Operando en la (6. resultando por lo tanto: v= 2π n1 2π n2 r1 = x 60 60 (6. según se indica en la figura (Fig.91). resultando: v1 = v2 Por lo que es: (6.18).95) 2 π n1 2 π n2 r1 = r2 60 60 (6.90) (6.17): v1 = 2 π n1 r1 60 v2 = (6.6.87) B) Accionamiento por ruedas cilíndricas con ejes cruzados a 90º (rueda y plato de fricción) De igual forma que el caso anterior.93) Operando en la (6. según la (6.6.89) e igualando con la (6. se tiene según la figura (Fig.88) 2 π n2 r2 60 (6.19). según muestra la figura (Fig.91) Por ser: v1 = v2 Pero como es: r2 = x Reemplazando el valor de r2 por x. la velocidad se toma sobre la circunferencia media de ambos conos. en la (6. tomándose la velocidad tangencial v en la circunferencia de contacto.6.94) Donde x es la distancia desde el borde de la circunferencia conductora al centro de la circunferencia conducida.n2 = n1 r1 r2 (6.96) se obtiene: n2 = n1 r1 r2 (6.92) C) Accionamiento mediante ruedas de fricción con contacto frontal En este caso los ejes son paralelos.97) Transmisión del movimiento mediante cono de fricción y rueda cilíndrica . z1 = n2. Accionamiento mediante ruedas dentadas Según lo visto anteriormente al estudiar los engranajes.98) y (6. depende del sentido de giro de la rueda 3.senβ (6. resultando por lo tanto.20). estando determinada la velocidad para cada caso por la expresión (6.6. de la figura (Fig. de radios de contactos r1 y r2 respectivamente. según la relación de los radios de la rueda y del cono.6. estos presentan ciertas características.20): r1 = x. Si es r1 el radio del cono en el punto de contacto del radio r2 de la rueda cilíndrica.6.102) De donde se obtiene: n 2 = n1 z1 z2 (6. lo que estará además en función de la distancia x de la circunferencia media de la rueda al vértice del cono. la que se puede desplazar en dirección del eje xx pudiendo hacer contacto con la rueda 1 o con la rueda 2.z2 (6.Con este sistema se tiene la posibilidad de variar la velocidad de la rueda cilíndrica trasladándola a lo largo de la generatriz del cono.21): a) n1 = n3 r3 r1 b) n 2 = n3 r3 r2 (6.101) Para r1 = r2 es n1 = n2 pero de distintos sentidos de giro. por lo que el eje xx tendrá distinto sentido de giro según con cual de las ruedas esté en contacto durante el giro. por lo que la relación que da el número de vueltas n1 de uno de ellos en función del número de vueltas n2 de la del otro depende de sus números de dientes z1 y z2 respectivamente.100) Variando la distancia x se obtienen distintas velocidades. según las cuales solo pueden engranar entre sí los que tengan igual módulo.103) . de la (6. se tendrá de acuerdo a la relación de transmisión: n 2 r1 = n1 r2 Se tiene además. de radio r3. ya que para cada posición de éste se tendrá una relación de transmisión distinta. según la figura (Fig. por lo que resulta: n1.92).98) (6. Cambio de marcha con rueda de fricción El sentido de giro de las ruedas cilíndricas 1 y 2.sen β = n1 r2 r2 (6.99) Por lo tanto.99) se obtiene: n2 = n1 r1 x. n1 la velocidad de rotación del cono y n2 la velocidad de rotación de la rueda cilíndrica. como se muestra en la figura (Fig. z 3 z 2 .Si se tuviera un tren de engranajes. se obtiene: n4 = n1 z1 . según indica la figura (Fig.z2 ⇒ n 2 = n1 z1 z2 (6. se tiene: n1. obteniéndose: n3 .107).108) Es decir que para la obtención de la velocidad de rotación nn del último engranaje del tren.6.z 6 (6. teniendo por lo tanto la misma velocidad de rotación n2 y se comporta como conductora al engranar con la rueda z4 que es la conducida. se cumple la siguiente relación: nn = n1 producto z i conductoras producto z i conducidas (6. según se indica a continuación: Del engrane de las ruedas z1 (conductora) y z2 (conducida).z1 = n2.z6 ⇒ n 4 = n3 z5 z6 (6.105) el valor de n2 dado por la (6. se puede obtener una expresión de la velocidad de rotación n4 de la última de ellas en función del la velocidad de rotación n1 de la primera y de la relación del número de dientes de las mismas.109) Accionamiento mediante tornillo sinfín y rueda helicoidal .z 3 .106) De la misma manera ocurre entre la rueda conductora z5 y la rueda conducida z6.105) Reemplazando en la (6.104) se obtiene: n3 = n1 z1 .z 4 (6.106) en la (6.z 5 z 2 .z4 ⇒ n3 = n 2 z3 z4 (6.z3 = n3.104) La rueda z3 se halla montada sobre el mismo eje de la rueda z2. por lo que se establece la relación siguiente entre ellas: n2 .z 4 .23). conociendo la velocidad de rotación n1 del primer engranaje conductor y del número de dientes zi de cada engranaje del tren.107) Reemplazando el valor de n3 dado por la (6.z5 = n4. 25 a).nt = zr. d2. respectivamente del tornillo sin fin. n2.z 3 z 2 .z 4 (6. n7 = n3. que se encuentran solidarias a un mismo eje j conjuntamente con el engranaje z1.J (6. se obtiene la relación de transmisión siguiente: J= z1 .6. engranajes o ruedas dentadas.nr De la (6. Los mecánicos son los más generalizados. considerando las velocidades iniciales n1. combinados.25b).24) y según la expresión (4. n8 = n4.J . n3 y n4 y la relación de transmisión J. estando constituidos por poleas y correas. pudiendo estar éstos a su vez.110) n r = nt zt zr (6. etc.J . n2.205) ya vista al estudiar el tema de engranajes. estará dada por las siguientes expresiones: n5 = n1..6. d3 y d4 y un juego de engranajes con una cantidad de dientes de z1. por lo que se pueden producir reducciones de velocidades importantes con solo dos elementos en contacto y en un pequeño espacio. De acuerdo a la figura (Fig. acoplamientos por uñas. las velocidades de rotación que se obtienen en el eje e. La figura (Fig. hidráulicos o neumáticos. Las poleas de la figura (Fig. se puede obtener la siguiente relación: zt. según se indica en la misma figura.La relación de transmisión que se obtiene mediante el uso del engrane de un tornillo sin fin y un engranaje helicoidal es elevada. según muestra la figura (Fig.113) . el cual lo transmite a la pieza o a la herramienta. con el que están solidarias solo por la chaveta p. y lo transmiten al engranaje z4. que según sea la polea que reciba el movimiento desde d. z3 y z4 cada uno.110) se obtiene: (6. Mediante poleas y ruedas dentadas Según sea la combinación de acoplamiento de un sistema de poleas y engranajes se pueden obtener velocidades distintas en el husillo o eje de la máquina herramienta. n1.112) Por lo tanto.6.J . n3 y n4.6. de los cuales se analizarán los principales. Si se retira la chaveta p y se hacen engranar las ruedas dentadas z1 y z4 con las z2 y z3 respectivamente.25) muestra un sistema de poleas de diámetros d1. siendo respectivamente nr y zr la velocidad de rotación y el número de dientes de la rueda helicoidal y nt y zt la velocidad de rotación y número de filetes. podrá tomar los valores. z2. n6 = n2.111) Variación de la velocidad en la máquinas herramientas La variación de la velocidad en las máquinas herramientas puede lograrse utilizando distintos dispositivos mecánicos. ruedas de fricción. de tal forma que en el eje e de este último engranaje se obtiene la velocidad de rotación nx. reciben el movimiento a través de una correa C desde la polea d que gira a una velocidad n y se encuentra solidaria al motor eléctrico M. n8 = n4.115) Obteniéndose en el eje e. El acoplamiento o desacoplamiento de los ejes en los cuales se encuentran girando los engranajes se realizan en los puntos a. la relación de transmisión es la siguiente: . las ruedas dentadas que engranan entre sí son las z1z2. J2 Caja de velocidades a acoplamiento En este sistema. n10 = n2.6.26). dadas por las expresiones: J1 = y z1 . J1 n9 = n1. la relación de transmisión es: J3 = z1 z2 (6.z 6 (6.z 3 . dada por la expresión: n1 = n. según muestra la figura (Fig. J2 .z 5 z 2 .118) Para la velocidad de rotación de entrada n en el eje k se obtiene.27). n3 y n4 y las relaciones de transmisión J1 y J2. J2 (6.121) y la velocidad de rotación n2 es: n2 = n. n7 = n3. el cual se muestra en la figura (Fig.6.123) y la velocidad de rotación n3 es: n3 = n.z 4 .122) (6. Según sea el acoplamiento que se realiza se obtienen las distintas relaciones de transmisión. z3z4 y z5z6. J2 . la relación de transmisión es: Cuando el acoplamiento se realiza en los puntos a y d y el desacople .z 6 z 3 . las relaciones de transmisión J1 y J2 respectivamente.J1 (6. según sea la posición de las palancas p y s. realizándose la transmisión del movimiento de las mismas a través de los ejes que se hallen acoplados entre sí.J1. n2.z 6 (6. n11 = n3. n6 = n2. en el eje de salida e la velocidad de rotación n1. J1 .z 5 z 2 .Si al sistema anterior se le agregan dos engranajes más. a partir de las velocidades de rotación iniciales n1.J2 Si el acoplamiento tiene lugar en los puntos c y d y el desacople en los puntos a y b. b.J3 en los puntos b y c.120) (6.z 5 z 4 .114) J2 = (6. c y d.116) (6. En la figura mencionada se puede observar que cuando se acoplan los ejes en los puntos c y b y se desacoplan en los puntos a y d. según engranen z1 y z2 o z3 y z4.119) Si los acoples se realizan entre los puntos a y b y se desacoplan en los puntos c y d. la relación de transmisión es: J2 = z5 z6 (6. las velocidades de rotación: n5 = n1. se obtendrán.117) J1 = z1 . J1. n12 = n4. ................... las velocidades de rotación de los distintos engranajes del tren se obtienen aplicando una metodología determinada.. que dependerá de la relación de transmisión ii existente en el conjunto Z-Zi.. según muestra la figura (Fig.. una velocidad de rotación ni..Zi.126) i2 = n2 z z = ⇒ n2 = n z n −1 n z n −1 n3 z z = ⇒ n3 = n z n−2 n z n−2 ni z z = ⇒ ni = n zi n zi nn z z = ⇒ nn = n z1 n z1 (6...... en un tren de engranajes Z1.J4 = y la velocidad de rotación n4 es: z3 z4 (6. según sea la rueda dentada que engrana.. Por lo tanto se pueden escribir las relaciones siguientes: i1 = n1 z z = ⇒ n1 = n zn n zn (6..129) .. Z2.125) n4 = n... ii = (6...128) . el cual recibe el movimiento de rotación a través de un engranaje desplazable Z a lo largo de un eje paralelo al anterior..... Z3.. el cual engrana con el tren a través una rueda dentada intermedia ZI ............ a los efectos de que entre ellas exista una relación que permita obtener una a partir de otra.124) (6..6.......... El movimiento lo produce la polea motora M la que gira con una velocidad de rotación n.... obteniéndose en el eje conducido...J4 Caja Norton Consiste. una forma de relacionarlas es mediante una serie geométrica de razón ϕ..... la cual se desplaza en forma conjunta con Z y es posicionado en las distintas Zi del tren con la palanca P....130) Por lo general. la cual se obtiene de hacer: ........28)..... Por ejemplo.... montados sobre un eje..............Zn...127) i3 = (6...... in = (6. en un eje auxiliar colocado más abajo. que al girar una vuelta completa. y por lo tanto a la herramienta H sujetada por el mismo. que tiene un roscado o fileteado de paso c y. pudiendo ser más de uno si es necesario. que pertenece a la cadena cinemática de rotación del tornillo patrón T de paso c. en el extremo opuesto al mandril M. en la cual se ejecutará la rosca de paso p. ya sea de sujeción o de movimiento. se muestra un esquema de la disposición de los mecanismos con los que se logra dar un movimiento de rotación a la pieza F y el movimiento de traslación rectilíneo al carro porta herramienta L. y engranajes zi y z’i. El avance de la herramienta está en relación con el giro de la pieza. según sea el paso de la rosca o filete que se desee obtener. colocado en el eje inversor I. que dan el movimiento de rotación al eje principal E del torno donde se encuentra el mandril o morza M que sujeta la pieza F. ya que el número de dientes de éstos no puede ser fraccionario. que se encuentra montado en el eje principal E. debe obtenerse entre los elementos que producen ambos movimientos la relación de transmisión correcta. que están montados sobre una pieza llamada lira.nn n = ϕ n −1 ⇒ ϕ = n −1 n n1 n1 Por lo tanto.Tren de poleas o husillo d1. d2. tiene el mismo número de dientes que z0. 2.131) (6.El engranaje de transmisión z0. En la figura (Fig. zx y z2.El tornillo patrón T. 3. El engranaje z2 montado sobre el eje del tornillo patrón T a quién le comunica el movimiento de rotación. El engranaje z’0. a la que le transmite el movimiento de rotación del eje principal. Para lograr que esta relación sea la adecuada.132) La serie geométrica obtenida para el número de dientes de los engranajes no es perfecta. d3 y d4. y por lo tanto girará su misma velocidad.133) Fileteado o roscado en el torno El fileteado o roscado para un tornillo. guitarra o cabeza de caballo. Por lo general se aconseja: zn = ϕ n −1 z1 ⇒ ϕ = n −1 zn z1 z1 1 ≤ z 3 (6.Los engranajes z1. pudiendo además formar hasta tres planos paralelos. o en su defecto. El engranaje zx es de acoplamiento entre z1 y z2. hace desplazar longitudinalmente el carro porta herramienta L una distancia p. 5. estando z1 montado sobre el eje inversor I. . y del movimiento de avance rectilíneo de la herramienta que realiza el trabajo. debiendo tener z1 para este último caso igual número de dientes que la z’0 para conservar la misma velocidad de rotación que el husillo. la cantidad de dientes de las ruedas será: (6.29). Este conjunto permite que el eje inversor gire en igual o distinto sentido que el eje principal. El número de dientes de los engranajes de la lira son variables a los efectos de obtener la relación de transmisión necesaria que exige el paso p a construir en la pieza.Conjunto de engranajes za. arrancando la herramienta H en este desplazamiento. 4. zb y z’0 para la inversión de la marcha.6. se lo obtiene mediante el movimiento de rotación de la pieza en la cual se efectúa el roscado. los cuales son: 1. y un engranaje de z2 dientes en el eje del tornillo patrón. en tres planos paralelos. conformando la rosca.30b) muestra los mismos engranajes z1 y z2 engranando a través de otro intermedio zx. La (6. por estar en su mismo eje. igual a la del husillo y de la pieza. Si el paso del tornillo patrón es c. y además . constituyendo el paso de la rosca. A continuación se indican cada una de las disposiciones mencionadas. arrancando una viruta en forma de hélice de paso p. En las de paso inglés. Si la pieza gira una vuelta completa. y al girar una vuelta completa la pieza también gira una vuelta completa. cuadrada.c z2 (6. Las roscas del sistema SI se caracterizan por el valor en milímetros dado al paso. Cálculo de los engranajes para roscar El engranaje z’0 tiene el mismo número de vueltas que el z0.134) resultando p en la misma unidad de c. si en cambio engranan z0-zb-za-z’0 tienen distinto sentido de rotación. b) cuatro engranajes. en dos planos paralelos y c) seis engranajes. etc.c. Por lo tanto se tiene: p= z1 . y por lo tanto que el husillo o eje principal E. La relación de transmisión necesaria para el roscado se la puede obtener combinando en la lira: a) dos engranajes. constituyendo la relación de transmisión entre el husillo y el tornillo patrón. redonda.6. éste se expresa por lo general con el número de filetes o pasos comprendidos en una pulgada de longitud o en número de filetes por pulgada. Los engranajes z0 y z’0 tienen igual sentido de rotación si engranan z0-za-z’0. el tornillo patrón gira solo z1/z2 y. Si sobre el tornillo patrón se coloca un engranaje z2 el que se vincula al z1 con el zx. trapecial. que gira a una velocidad de n2 vueltas por minuto.134) se puede escribir de la forma siguiente: p z1 = c z2 La (6. Por lo tanto se tendrá. lo que determinará los tipos de engranajes a utilizar en la cadena cinemática. Además el perfil del filete se obtiene con el perfil dado a la herramienta de corte y puede ser triangular. a) Caso de dos engranajes en un solo plano: se cuenta con un engranaje de z1 dientes en el eje inversor que gira a n1 vueltas por minuto.136) La figura (Fig.6.una viruta en forma de hélice de paso p de la pieza trabajada F.30a). de acuerdo a la relación de transmisión: p n2 z1 = = c n1 z 2 (6. se tiene que por cada vuelta del z1 el z2 dará z1/z2 vueltas. por lo tanto. ya que su distancia entre ejes es invariable. según se muestra en la figura (Fig. el carro porta herramienta solo se desplazará (z1/z2). en un plano.135) paso de la rosca a construir número de dientes de la rueda conductora en el eje inversor = paso del tornillo patrón número de dientes de la rueda conducida en el tornillo patrón El sistema de medida empleado para obtener el paso del filete o rosca puede ser el SI o el inglés. por lo que el tornillo patrón girará z1/z2. Transmite al engranaje z1. este mismo número de vueltas.135) se puede escribir como: (6. pero debido a la relación de transmisión. por lo que la herramienta se desplazará igual distancia. la herramienta avanzará el mismo paso c del tornillo patrón. el que es utilizado para hacer posible el contacto entre los dos primeros. ya que el mismo no modifica la relación de transmisión. . Los engranajes se disponen como se indica en la figura (Fig.138) Tampoco se ha mostrado el engranaje intermedio zx. a los efectos de poder obtener la reducción necesaria. c) Caso de roscado a seis ruedas dispuestas en tres planos paralelos: este es un caso poco común.z 6 (6.31).139) interviene siempre un engranaje de 127 dientes. se disponen de cuatro engranajes.z 2 . el cual es uno de los engranajes principales del juego.6. el cual no se muestra en la figura.4 x 5 = 127 (6.32). y teniendo el tornillo patrón el paso c en el otro sistema.para permitir el giro en sentido inverso.z 3 = = c n1 z 2 . cuya relación de transmisión está dado por la expresión siguiente: p n2 z1 . ya que es: 25.z 3 = = c n1 z 2 . En este caso. La relación de transmisión está dada por la expresión siguiente: p n2 z1 . b) Caso de roscado a cuatro ruedas dispuestas en dos planos paralelos: se utiliza esta disposición cuando no se puede obtener el paso deseado de la rosca con un solo par de ruedas. el cual puede ser utilizado. pero el mismo no modifica la relación de transmisión.z 4 . Las disposiciones que se mostraron permite obtener los pasos de roscas tanto en el sistema SI como en el sistema inglés. montados sobre dos planos paralelos. por ser 127 el primer múltiplo entero de la pulgada en unidades métricas. según sea el paso c del tornillo patrón. mostrado en la figura (Fig.z 4 (6.137) En esta disposición también se utiliza el engranaje zx.6. y es utilizado también cuando no es posible obtener los pasos de roscas deseados con los otros dos casos anteriores. Para el caso en el que se tenga que construir una rosca en un sistema determinado. estos dispositivos deben contar como mínimo con los siguientes elementos: una bomba para impulsar el fluido hidráulico. En la figura (Fig. siendo por lo general un aceite vegetal o mineral. debiendo el estudiante interesado en los otros casos. de paletas. según la constitución pueden ser de engranajes. El Principio de Pascal en el cual se basa el funcionamiento de los sistemas hidráulicos. 143) A través del tubo de sección a el caudal es el mismo Q. etc.141) y A2 = π D22 4 (6. siendo el caudal: Q = A2 v3 = De las expresiones anteriores se obtiene: π D22 4 v3 (6.146 ) v 2 = v1 y A1 a (6. Se efectuará el estudio sobre un circuito con una bomba a engranajes gemelos de caudal constante.Dispositivos hidráulicos para la transmisión del movimiento Para la transmisión del movimiento utilizando dispositivos hidráulicos se necesita contar con el fluido hidráulico el cual debe poseer las propiedades adecuadas. válvulas de inversión para lograr un movimiento alternativo. con el caudal y presión necesarios a través del circuito. por la cual circula el fluido. válvulas de regulación y de seguridad y otros órganos auxiliares. Sobre la superficie externa del émbolo de área A1 se ejerce una fuerza P1. centrífugas. remitirse a la bibliografía especializada sobre el tema. de tornillos. pudiendo ser de caudal constante o de caudal variable según el flujo de fluido que impulsen.v2 = 4 π d2 v2 (6. dice: la presión aplicada a un fluido encerrado en un recipiente se transmite sin disminución a cada punto del fluido y de las paredes del recipiente ejerciéndose en forma perpendicular a la superficie sobre la que actúa. que es el órgano que recibe la energía del fluido y la transforma en movimiento rectilíneo o circular uniforme. Bombas: existen distintos tipos de bombas. ambos de diferentes diámetros y áreas (A1 y A2) y conectados entre sí por una cañería de sección a. generándose una presión p.147) .142) Por otra parte. y está dado por la expresión: Q = A1v1 = π D12 4 v1 (6. obteniéndose una velocidad v2. la cual al actuar sobre la superficie interna del émbolo de área A2 produce la fuerza P2 cumpliéndose la siguiente relación: p= P1 P2 A = ⇒ P2 = P1 2 A1 A2 A1 (6. el caudal Q que circula por el cilindro de área A1 depende de ésta y de la velocidad v1 con que se desplaza el émbolo y por lo tanto el fluido. con sus respectivos émbolos. 140) Siendo: A1 = π D12 4 (6.33) se observa un dispositivo compuesto por dos cilindros que contienen fluido hidráulico. estando el caudal dado por la expresión: Q = a. 145) En el émbolo de sección A2. debiendo aumentar la velocidad para compensar la disminución de la sección. el motor.6. de émbolos. el fluido tiene una velocidad v3. estando este último constituido por las tuberías a través de las cuales circula el fluido. 152) (6. ingresando a la cámara L o H del cilindro.151) Q= Es: π d2 4 . de la válvula de regulación VR y del distribuidor B. y lo impulsa a través del tubo A. aspira el aceite (fluido hidráulico) del depósito pasando previamente por el filtro F.8 se tiene la potencia efectiva del motor que impulsará la bomba: Nef = ηt.v3 = v1 De la (6. moviendo el émbolo E hacia la derecha.153) N = Q. y por lo tanto al vástago K solidario al mismo.75 y 0.v1 (6.v1 Por la (6. ingresa a la cámara L del cilindro. que al ser la presión p y el caudal Q igual en las tres secciones la potencia se transmitiría a través del fluido con igual intensidad. respectivamente. pero se debe considerar la disminución de ésta por la resistencia que opone el rozamiento del propio fluido y de los órganos en movimiento. El caudal principal del fluido.p Si se tiene en cuenta el rendimiento total de la bomba. 149) N = P1.154) Se pude observar. Según sea la posición de la válvula del distribuidor B. por lo que la presión p1 de la bomba se mantiene constante. la que tiene el objeto de provocar una caída de presión ∆p en el distribuidor B y en el tubo C. ηt el cual varía entre 0.143) se obtiene: A1 A2 (6. (6.150) se puede escribir: (6. lo que puede imprimir al émbolo E.34) se observa un circuito hidráulico el cual funciona de la siguiente manera: la bomba de engranajes PI de caudal constante.142) y (6. Para el caso de la figura. desplazando al fluido de la cámara H del cilindro por el tubo D. Por tal motivo se debe tener en cuenta esta disminución al calcular la potencia de la bomba. a la presión p2. venciendo la resistencia R. En la figura (Fig.v1 (6. un movimiento hacia la derecha o hacia la izquierda.148 ) P1 = La potencia N está dada por la expresión: π D12 4 p (6. a través .p (6.149) la (6. con lo que deja pasar parte del aceite al depósito a través de la tubería J. el fluido aspirado por la bomba PI que lo impulsa a través del tubo A con una presión p1 constante.Q.150) N= Por ser el caudal: π D12 4 p.140). el aceite podrá circular por el tubo C o por el tubo D. pasándose de la presión p1 de la bomba a la presión p2 en el cilindro. El émbolo de la válvula de descarga VS es obligado por la vena fluida a vencer la resistencia tarada del resorte a una presión ∆p. presionando la válvula de regulación VR.6. m 2 .155) Siendo en las expresiones anteriores: Dp: diámetro primitivo en m.n.163) Siendo a3 el área útil de la cara del émbolo. en m.160): p1 = La presión p2 es: 30 Nef π .159) 2π z. b: ancho de los dientes de los engranajes en m.b.75 a 0.π.160) (W) La presión p1 de la bomba del circuito de la figura (6. conociendo la potencia Nef del motor eléctrico de accionamiento. p1 . la potencia para la bomba de engranajes.z.b.n. m3/min (6.m.155 ).158 ) Por lo tanto.v1 (m3/s) El caudal que circula con una velocidad v2 por el tubo B.b.del distribuidor B. siendo v1 la velocidad del mismo es: Q1 = a1.156): 2π D p . siendo Dp=z. Dp. de sección a2 es: (6.b.n. Se tiene que tener en cuenta el rendimiento volumétrico ηv de la bomba.34).η t = Nef = 60 30 (6.m. el que varía entre 0.v (W) (6. El caudal de una bomba de engranajes está dada por la expresión: Q = 2.156) m3/min (6. cuya sección es a1. resultando por lo tanto: Qef = ηv.n. n: vueltas por minuto de los engranajes.η t 60 π D p .η t (Pa) (6. para la fuerza en Newton y la velocidad en m/s está dada por la expresión: N = P.b. p1 .157) La potencia de una bomba de engranajes. en función de la resistencia R que se opone al avance del vástago es: p3 = p 2 − R a3 (Pa) (6.b. m: módulo de los engranajes. se puede escribir como: Nef = O por la (6.m 2 .m2.m Q = 2.n. z. El caudal Q1 que circula por el tubo A.n o también.z.162) y la presión p3.∆ p (Pa) (6. la cual se obtiene restando al área total del émbolo la del vástago.b. p1 .90.η t π .164) .154) y la (6. y de la válvula de contrapresión VC que determina la presión p3 con la cual el fluido regresa a través del tubo G hacia el depósito de aceite. z: número de dientes de cada engranaje.π. p1 .m 2 .n.η t 30 = (W) (6.m.Q m3/min (6. el caudal Q necesario de fluido que debe circular y las dimensiones de la bomba se puede obtener de la (6.161) p2 = p1 . considerando la (6. 165) Qd = Q1 -Q2 = a1. F. Uteha Científico Médica Máquinas C. Casillas GOOD YEAR J. Melior . Faisandier L.v1 .C.v2 ------------()-------------Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía TÍTULO .Q2 = a2.166) EDITORIAL Alsina Labor Alsina Gustavo Gili Nigar S.a2.Tecnología Mecánica I y II .R.Máquinas Herramientas Modernas I y II .Mecánica Técnica y Mecanismos AUTOR Felipe. L. E.Manual del Ingeniero Hütte II A .Manual del Constructor de Máquinas .Manual del Ingeniero Mecánico de Marks . Dubbel Pascual Pezzano Academia Hütte C.Aplicaciones de Tecnología Mecánica .A.v2 El caudal Qd que circulará por el tubo G de descarga será: (m3/s) (6.Tecnología Mecánica I y II . Cálculos de Taller . Freyre H.A.Mecanismos Hidráulicos . Facorro Ruiz (6.L.Manual de correas múltiples en V .E.S.Máquinas. Thomas Baumeister y Marks Mario Rossi A. los puntos A. como el obtenido por los engranajes. etc. juntas. balancines. según la necesidad del caso. Al girar.. describiendo el punto C una circunferencia de radio igual a la de los puntos A y B. poleas. balancines. siendo alguno de éstos los conjuntos de biela-manivela. según muestra la figura (Fig. Clasificación La clasificación de los mecanismo puede realizarse teniendo en cuenta las funciones que cumplen. B y C describen trayectorias circulares. etc.2) en los apoyos fijos O1 y O2. como se obtiene con los mecanismos hidráulicos y neumáticos. excéntricas. como el que se obtiene con las levas. etc. teniendo además una velocidad angular ωC. Balancines Son mecanismos articulados cuya manivela o manubrio une una biela con un punto fijo de la máquina. alrededor de los ωA = ωB = ωC Las velocidades tangenciales de los puntos A. ruedas de fricción. como es el caso de los aparejos. las cuales están a su vez articuladas cuales rotan con velocidades angulares ωA y ωB iguales. ruedas de fricción. transformarlo. Con ellos se pueden transformar movimientos rectilíneos en otros circulares.Cambio de un movimiento rectilíneo alternativo en un movimiento circular. excéntricas.Transformación de un movimiento rectilíneo en otro rectilíneo con modificación de la dirección o velocidad. BC y CA. aparejos. etc. c) Mediante contacto indirecto a través de un medio rígido. o viceversa. d) Mediante un medio fluido. por el triángulo rígido. etc. : 1. También se los puede clasificar teniendo en cuenta la forma en que pueden transmitir el movimiento: a) Por contacto directo. ya sea para transmitir un movimiento.1). b) Mediante contacto indirecto. de tal forma que les permiten efectuar una determinada acción. a través de un medio flexible vinculante. siendo las posiciones de la biela siempre paralelas a O1O2 y la inclinación de los lados del triángulo siempre las misma. 4.Cambio de un movimiento circular en otro también circular pero de distintas características.Transformación de un movimiento circular en un movimiento rectilíneo alternativo. cuerdas. En esta unidad se estudiarán únicamente algunos de los clasificados en el punto c. conformado por las barras AB. aplicar una fuerza. palancas.7.1) (7. 2. tornillos. como en el caso de los engranajes. chavetas. como por ejemplo.7 MECANISMOS Generalidades Los mecanismos están constituidos por un conjunto de órganos mecánicos vinculados entre sí en forma directa o a través de un fluido. levas. etc. El radio de giro por lo tanto es: r = O1A = O2B Siendo por otra parte: (7. que se encuentra articulado mediante la biela AB en los puntos A y B con las dos manivelas paralelas O1A y O2B. Balancín de movimiento circular Este mecanismo está compuesto. igual a la de éstos. A continuación se describirán alguno de ellos. etc. etc. 3. lo que se da en las poleas y correas. como es el caso de la biela-manivela. B y C estarán dadas por las expresiones: . r c) vC = ωC..112 c) h (7. de tal forma que por el extremo de uno de ellos. el cual se muestra en la figura (Fig.584 a) h Paralelogramo articulado a = 0.6) (7. siendo la biela AB siempre paralela a O1O2. recorriendo una figura con el punto M. se lo fija en el punto O. girando las manivelas O1A y O2B alrededor de los puntos O1 y O2 de los apoyos. El punto C del triángulo describe un movimiento rectilíneo dentro de ciertos límites y proporciones que deben guardar la altura b del mismo.2).r (7. se encuentra articulado en todos los vértices.3). según se muestra en la figura (Fig.r d) vA = ωB. las cuales describen un movimiento circular alrededor de los puntos O1 y O2 respectivamente.7) tiene dos de sus lados prolongados. en este caso en el lado DAO.3) (7. Por lo tanto. y de acuerdo a las dimensiones del paralelogramo. siendo las velocidades angulares ωA y ωB y las velocidades tangenciales vA y vB iguales para ambas ruedas. respectivamente.593 b) h b = 1. Las proporciones adoptadas son: r = 0.r (7.7. el cual b) vA = vB c) vA = ωA. según se muestra en la figura (Fig.7.5) El paralelogramo ABO1O2.4). Siendo además: b) vB = ωB . y colocando un lápiz en el punto N se puede .4) vA = vB = vC Balancín de movimiento rectilíneo (triángulo de Roberts) Es un triángulo rígido ABC. su base a.7. alrededor del cual puede rotar. el cual se articula a las manivelas O1A y O2B. Con este mecanismo se puede transmitir el movimiento circular de una rueda a otra. se puede escribir. la distancia h entre los apoyos y la longitud r de las manivelas AO1 y BO2. siendo el radio de giro r: r = O1A = O2B a) ωA = ωB Pantógrafo El pantógrafo.a) vA = ωA.r. Por el tipo de movimiento que presenta. también se trata de un paralelogramo articulado ABCD. como en compresores. transforma un movimiento rectilíneo alternativo en un movimiento circular.6).7.11) Mecanismo de biela manivela en máquinas de émbolos El mecanismo biela manivela es ampliamente utilizado. de longitud r.senϕ Donde el radio de giro es: r = O1A = O2B (7.7.9) Siendo O1A y O2B las manivelas. Transforma un movimiento rectilíneo en un movimiento circular. como engranajes. Según muestra la figura (Fig. los arcos AA’ y BB’ respectivamente. principalmente en las máquinas de émbolos. aproximadamente: s ≅ 2r. ampliada dicha figura.reproducir. lo cual permite considerar el tramo RS de la misma como una recta. el cual se muestra en la figura (Fig. pudiendo el estudiante recurrir a la bibliografía especializada para ver los otros casos. refiriéndonos a la figura (Fig. Este mecanismo. poleas. Uniendo el punto M al émbolo de un cilindro que tiene movimiento rectilíneo alternativo. OA.7. se convierte dicho movimiento en uno circular. el punto M describe una curva denominada lemniscata. Este mecanismo. OD OA es constante por pertenecer a un mismo lado del paralelogramo. actúa de la siguiente manera: la manivela OA. El punto K describe una trayectoria rectilínea en tanto que el punto A describe una . etc. de explosión y de combustión interna. mientras que el punto M realiza un movimiento rectilíneo alternativo.10) (7. gira alrededor del centro O impulsada por la biela KA. AB la biela y ϕ el ángulo de oscilación de las manivelas. será. tanto en motores de vapor (poco utilizados hoy en día). Los puntos A y B efectúan una trayectoria circular. como se muestra a continuación.6).5). Existen distintos tipos de mecanismos de biela manivela. pero nos remitiremos únicamente al denominado mecanismo de biela manivela centrado común.8) También denominado balancín de lemniscata. que se caracteriza por tener una larga inflexión. Si se llama s a la carrera del émbolo en el recorrido rectilíneo RS. ON OD = = OM OA constante OD Siendo OA la relación de ampliación. cuya longitud es l. Balancín de Watt (7. por la semejanza existente entre los triángulos OAM y ODN. Para aprovechar la parte recta de la lemniscata se aconseja tomar la siguiente proporción: a) r≥ 3s 2 b) AB ≥ 4 s 7 c) ϕ ≤ 19º30’ (7. y según la relación de los segmentos OD. el cual es utilizado para mover otros mecanismos. y que fuera empleado por James Watt en su máquina a vapor. OM y ON. de tal modo que una fuerza que se ejerce en un extremo de la biela es transmitida a la manivela. la que a su vez la entrega a un eje imprimiéndole un movimiento de rotación. cosα ) ± l ⎝ ⎠ (7.20) Para el recorrido rectilíneo de retroceso del botón K de la cruceta. como son.13) NA’= l – l cosβ = l ( 1 . el espacio x recorrido por el botón K de la cruceta. se lo obtiene de la siguiente manera: x = BA’= BN + NA’ Pero es: ( 1. la biela l y la manivela r y las fuerzas de inercia que actúan en la masa total del movimiento alternativo.16) De la (7. finalmente se obtiene: 2 ⎛ ⎞ ⎜1 − 1 − r sen 2α ⎟ 2 ⎜ ⎟ l x = r ( 1.14) (7.20) y la (7.trayectoria circular. su velocidad u y su aceleración c. la velocidad tangencial v del botón A de la manivela. se tiene: x = r ( 1. luego de un análisis similar. y al punto K botón de la cruceta.18) r2 β = 1 − 2 sen 2α cos l Reemplazando el valor de cosβ dado por la (7. principalmente.cosα ) . en función de los ángulos α yβ. Interesa conocer en este mecanismo distintos parámetros.17) cos2β = 1-sen2β Resultando de la (7.15) Con el fin de unificar la dependencia angular del recorrido x en función del ánguloα como única variable.14) respectivamente.cosα ) Por otra parte es: (7. en función de los segmentos determinados por la posición que el mismo ocupa en su traslación rectilínea de avance a lo largo del eje horizontal B1OB’ y de la proyección y traslado de la biela KA sobre este mismo eje.12) los valores de BN y NA’ dados por las expresiones (7. se obtiene la expresión: 2 ⎛ ⎞ ⎜1 − 1 − r sen 2α ⎟ 2 ⎜ ⎟ l x = r ( 1. vale: AN = r senα = l senβ (7.12) BN = r – r cosα = r Reemplazando en la (7.18): (7.cosα ) + l ( 1-cosβ ) (7.19) en la (7.22) .15). Al punto A se lo denomina botón de la manivela.19) (7.l ⎝ ⎠ (7.21).21) Unificando al (7.16) se obtiene: senβ = Pero se tiene por trigonometría: r senα l (7. Espacio recorrido por el botón de la cruceta El recorrido x que realiza el botón K de la cruceta. se obtiene: 2 ⎛ ⎞ ⎜1 − 1 − r sen 2α ⎟ ⎜ ⎟ l2 x = r ( 1.13) y (7. se considera el lado común AN de los triángulos KAN y AON.cosα ) + l ⎝ ⎠ (7. el cual.cosβ ) (7. las relaciones de las fuerzas que obran sobre la cruceta K. Si la expresión luego los términos a partir del tercero por no ser significativos por resultar muy pequeños, ya que para una relación 2 ⎡ ⎛r r ⎞ ⎤2 1 − 2 sen 2α = ⎢1 − ⎜ senα ⎟ ⎥ l ⎠ ⎥ se la desarrolla aplicando el binomio de Newton, despreciando ⎢ ⎝l ⎣ ⎦ 2 1 r 1 1 = ≈ 0,0002 , se obtiene: l 5 y senα =1 resulta una fracción menor a 5000 2 2 ⎡ ⎛r 1⎛r ⎞ ⎤2 ⎞ ⎢1 − ⎜ senα ⎟ ⎥ ≅ 1 − ⎜ senα ⎟ 2⎝ l ⎠ ⎥ ⎠ ⎢ ⎝l ⎣ ⎦ 1 (7.23) Reemplazando el valor hallado de la (7.23) en la (7.22), esta última queda como: (7.24) La (7.24) es la expresión reducida del desplazamiento del botón K de la cruceta. Generalmente el valor de la relación que existe entre las longitudes r de la manivela y l de la biela se la designa como: r2 r sen 2α sen 2α x = r ( 1- cosα ) ± 2 l = r ( 1- cosα ± 2 l ) λ= r l (7.25) Por lo que la expresión (7.24), teniendo en cuanta la (7.25), se la puede escribir como: 1 λ sen 2α 2 x = r ( 1- cosα ± ) Velocidad del émbolo o del botón K de la cruceta (7.26) Si se deriva la expresión (7.24), que da el desplazamiento x en su forma reducida, con respecto al tiempo se obtiene la velocidad u del botón K de la cruceta: dx dα r 2 dα = u = r senα ± sen2α dt dt 2 l dt Por ser la velocidad angular ω: (7.27) ω= dα dt (7.28) Reemplazando la derivada por su valor ω dado por la (7.28) en la (7.27), y sacando factor común resulta: r sen 2α u = rω ( senα ± 2 l ) Pero como la velocidad tangencial del botón de la manivela es: r.ω = v Se obtiene, reemplazando la (7.30) en la (7.29): (7.29) (7.30) r sen 2α u = v ( senα ± 2 l ) Valores máximos y mínimos de la velocidad u (7.31) Los valores mínimos de la velocidad u de la cruceta se los tiene en los puntos muertos superior e inferior donde la misma se hace cero, es decir para α = 0º y α = 180º, es: u=0 (7.32) En ambos puntos la velocidad y el desplazamiento cambian de sentido. Para obtener los valores máximos de la velocidad u se deriva la expresión (7.31) respecto del ángulo α: du r = cos α ± cos 2α dα l (7.33) Se obtiene la segunda derivada a los efectos de verificar si se trata de un máximo. Igualando a cero la (7.33) para conocer el punto que da el valor máximo, se obtiene: r cosα ± l cos2α = 0 (7.34) A los efectos de facilitar la resolución de la expresión (7.34) se efectúan transformaciones trigonométrica, resultando: cos2α l 1 ± 2 r cosα - 2 = 0 (7.35) Resolviendo la anterior, se tiene: Para el desplazamiento desde el PMS al PMI, es decir considerando el signo más en la (7.35): cosα 0 = − 1 l l2 + + 2 4r 2 16 r (7.36) Y para el retroceso, es decir del PMI al PMS, considerando el signo menos en la (7.35): l l2 1 − + 2 2 16 r cosα 0 = 4 r (7.37) Las expresiones (7.36) y (7.37) solo aceptan el valor con el signo más para la raíz ya que se debe cumplir: cosα 0 ≤ 1 (7.38) r Según sean los valores de r y l resultará el valor de α 0. Para el valor l para el avance y retroceso del botón K de la cruceta: Para el avance, según la (7.36) Para el retroceso, según la (7.37) cosα 0 = 0,1861 ⇒ α 0 = 79º16’ = 1 5 se obtienen los siguientes valores de α 0 (7.39) (7.40) cosα 0 = -0,1861 ⇒ α 0 = 100º44’ Velocidad tangencial v del botón de la manivela La manivela r rota alrededor del eje O con una velocidad angular ω por acción de la biela l, que le transmite el movimiento del botón K de la cruceta que se desplaza a la velocidad u. El botón A de la manivela, según se muestra en la figura (Fig.7.7), tiene una velocidad tangencial v, la cual dependerá de la longitud r de la manivela y de su velocidad angular ω. Por lo tanto resulta: Siendo ω, para n vueltas por minuto: v = ω.r (7.41) 2π n r ω = 60 Por lo que la (7.41), reemplazando el valor de ω dado por la (7.42), queda: 2 π nr v = 60 La velocidad u dada por la (7.31), resultará por lo tanto: (7.42) (7.43) u= 2 π nr 1r ( senα ± 2 l sen2α ) 60 (7.44) Aceleración c del botón K de la cruceta o del émbolo Siendo variable la velocidad u del botón de la cruceta o del émbolo, se puede obtener su aceleración derivando la velocidad u, dada por la expresión (7.29), respecto del tiempo, según se indica a continuación: du dα r dα dt = c = r.ω ( cosα. dt ± l cos2α dt ) dα (7.45) Como es: ω = dt Se puede sacar como factor común de la (7.45), obteniéndose: (7.46) r c = r.ω ( cosα ± l cos2α ) 2 (7.47) (7.48) Pero es: La (7.47), teniendo en cuenta la (7.48), se puede escribir: ω2 = v2 r2 v2 r c = r ( cosα ± l cos2α ) Valores máximos y mínimos de la aceleración c (7.49) La aceleración es máxima cuando el movimiento cambia de sentido, es decir en los PMS y PMI, donde la velocidad u del botón K de la cruceta se hace cero, es decir, para u = 0, α =0º y α = 180º la aceleración c es máxima. La aceleración c se hace mínima, es decir, igual a cero, para u máxima, ya que a partir de ahí c cambia de sentido r 1 = oponiéndose al movimiento, comenzando u a disminuir. Para la relación ya considerada anteriormente l 5 , el valor mínimo de la aceleración se da para α = 79º16’ y α = 100º44’. Para una relación distinta a 1/5 entre r y l, c se hace cero para valores de α distintos a los indicados. Relaciones de las fuerzas que obran sobre el vástago, cruceta, biela y manivela En la figura (Fig.7.8) se muestran las fuerzas que actúan sobre el botón de la cruceta K y que se transmiten, a través de la biela l, al botón A de la manivela, y de ésta al eje O. La fuerza P, la que se supone constante y aplicada en el botón K de la cruceta, se descompone en dos fuerzas, una fuerza N en la dirección normal a la superficie de apoyo, y la otra fuerza S en la dirección del eje de la biela. La primera N, perpendicular a la trayectoria de deslizamiento, tiene por valor, en función de P: N = P. tgβ La segunda S, a lo largo de la biela, también en función de P, vale: (7.50) S= P cos β (7.51) La fuerza S se transmite al botón A de la manivela donde se descompone en una fuerza T tangente a la trayectoria, y otra fuerza R de dirección radial hacia el centro O, siendo sus valores, según se indica en la figura: T = S.sen ( α + β ) (7.52) Reemplazando S por su valor, según la expresión (7.51) en la (7.52), se obtiene: P T = cos β sen( α + β ) De igual forma se tiene para R: R = S.cos ( α + β ) Reemplazando en la (7.54) el valor de S dado por la (7.51), se tiene: (7.53) (7.54) P R = cos β cos( α + β ) Se presentan algunos casos particulares en el comportamiento de las fuerzas. 1- Para α + β = 90º, en la (7.53) y en la (7.55) se tiene el máximo valor de T y el menor de R: (7.55) P a) T = S = cos β 2- Para α = 90º, es: y b) R = 0 (7.56) r a) senβ = l = λ Además resulta: y b) cosβ = 1− r2 l 2 = 1 − λ2 (7.57) P.λ y b) N = P.tgβ = P P a) S = cos β = 1 − λ2 1− λ 2 = P 1 λ2 −1 (7.58) Siendo ambos valores de S y N máximos pues es β máximo y por lo tanto cosβ mínimo. Por otra parte, reemplazando en la (7.53) y en la (7.55) los valores de senβ y cosβ dados por la (7.57), se obtiene: a) T = S.cosβ =P y b) R = S.senβ = P.tgβ (7.59) Fuerza de inercia que actúa en la masa total del movimiento rectilíneo alternativo Si la masa del émbolo con sus aros, vástago, cruceta y una parte de la biela se la supone concentrada en la cruceta, siendo esta masa igual a: G M= g (7.60) Y si la aceleración c de esta masa considerada, está dada por la expresión (7.49) vista anteriormente, la fuerza de inercia que actúa será: G G v2 r F = g .c = g r ( cosα ± l cos2α ) (7.61) Esta fuerza actúa oponiéndose en el período de la aceleración a la fuerza que produce el vapor o combustible, y sumándose en el período de deceleración de la misma. Teniendo en cuenta F y la diferencia de presiones entre ambas caras del émbolo puede calcularse P. Guía de Evans Con este mecanismo se logra transformar un movimiento rectilíneo en otro movimiento rectilíneo de dirección perpendicular al primero. El mecanismo consta, según se muestra en la figura (Fig.7.9), de una manivela OC que puede girar alrededor del punto O, y de una biela AB, articulada a la manivela OC en su punto medio C. Para el movimiento de traslación del punto A le corresponde otro en la dirección perpendicular para el punto B. Como las velocidades de A y B tienen la dirección de los ejes que recorren, trazando las normales a estos ejes para cada posición, se obtiene en la intersección de ambos el centro instantáneo de rotación, según se indica en la figura (Fig.7.9) para las dos posiciones, en los puntos I e I’. Si es ω la velocidad angular instantánea con que gira la manivela OC, se tiene, para las velocidades lineales de los puntos A y B: vA = ω . AI y vB = ω . BI (7.62) (7.63) Si se divide miembro a miembro la (7.62) por la (7.63), se tendrá: v A ω . AI AI = = v B ω . BI BI Pero como es: a) AI = OB y b) BI = OA (7.64) (7.65) Reemplazando los valores de AI y BI dados por la (7.65) en la expresión (7.64), se obtiene: (7.66) Es decir que las velocidades de los puntos A y B se hallan en relación inversa de su distancia al centro O. Juntas Se denominan juntas a los mecanismos destinados a transmitir el movimiento entre dos ejes próximos, teniendo la propiedad de permitir que el conjunto mecánico funcione correctamente aunque no exista una alineación perfecta entre ambos ejes. Según el tipo de desalineación existente existen distintos tipos de juntas, limitándonos a describir dos de las más comunes, como son la junta de Oldham y la junta de Cardan. Para conocer otros tipos de juntas el estudiante deberá remitirse a la bibliografía especializada, indicándose algunos títulos al final de la unidad. Junta de Oldham v A OB = v B OA Este tipo de junta, la cual se muestra en la figura (Fig.7.10), permite el acople de árboles cuyos ejes están desalineados transversalmente, cuando esta desalineación es pequeña. Es decir que ambos ejes son paralelos entre sí, existiendo una excentricidad entre ambos ejes. En la figura (Fig.7.10a), se pueden observar los dos discos extremos A y B, en los cuales se han practicado las ranuras diametrales a y b respectivamente, dentro de las cuales se introducen los resaltos o nervaduras diametrales a’ y b’ del disco intermedio C, lo cual permite que los ejes se acomoden según su real posición y se acoplen, lográndose la transmisión del giro. La figura (Fig.7.10b)muestra la excentricidad e entre los ejes x y x’, permitiendo la junta la transmisión del movimiento de giro de un eje al otro, resultando las velocidades angulares respectivas ω y ω’ del eje motor y del eje receptor iguales por ser rígidos los discos y los ángulos de giro descriptos por los mismos iguales, si bien el centro O’ de este último describe un movimiento circular de radio e alrededor del centro O del primero. Por lo 7. la que se muestra en la figura (Fig.7. alrededor de los ejes aa’ y bb’ formados por los brazos de la cruz.11).71). se logra transmitir el giro de un árbol motor a otro árbol receptor aunque exista una desviación angular entre sus ejes.72) dϕ = dϕ 1 cos2ϕ ( 1 + tg2ϕ 1)cosα (7. lo que se puede demostrar haciendo el siguiente análisis: Si el eje x describe en su movimiento de rotación un ángulo ϕ y el eje x’ un ángulo ϕ 1. teniendo en cuenta la (7. como indica la figura (Fig.70) se obtiene: (7. se obtiene: (7.70) dϕ cos 2 ϕ = cos α dϕ 1 cos 2 ϕ 1 Pero además se tiene que es: (7.69) Si se deriva la (7.73).68) respecto de ϕ y ϕ 1 se obtiene: dϕ 1 dϕ cos α = 2 cos ϕ cos 2 ϕ 1 Haciendo pasaje de términos en la expresión (7. En la figura (Fig.7. analizando la figura (7. según la trigonometría esférica se tiene: tgϕ = tgϕ 1 cosα Las velocidades angulares ω yω1 son proporcionales respectivamente a los ángulos ϕ y ϕ 1 x y x’.69) y efectuando operaciones matemáticas y . en el árbol receptor la velocidad angular ω’ varía periódicamente entre un máximo y un mínimo.. formando entre ellos el ángulo α.74) Reemplazando este valor en la expresión (7. por lo que se puede escribir: ω dϕ = dϕ 1 ω 1 (7.11b) se muestra el ángulo δ y su suplemento. en función del ángulo α. debiendo ser este último menor o igual a 45º.71) 1 = 1 + tg 2ϕ 1 2 cos ϕ 1 Reemplazando los valores dados por la expresión (7.72) en la (7. Si bien el número de vueltas es el mismo para cada eje. las cuales se vinculan con una cruz rígida C mediante cojinetes que permiten la rotación de las horquillas A y B respectivamente.68) (Fig. por dos horquillas A y B que se fijan a los extremos de cada uno de los ejes que están formando entre sí un ángulo δ mayor a 135º.11b).67) Con la junta de Cardan. Esta formada.11a).73) Por otra parte es: tg 2ϕ tgϕ a) tgϕ 1 = cos α ⇒ b) tg2ϕ 1 = cos 2 α (7.tanto se puede escribir: ω = ω’ Junta de Cardan (7.7. mientras en el árbol motor la velocidad angular ω se mantiene constante. el ángulo α. rotando con una velocidad angular ωb mueve la pieza empujada Eb a una velocidad vb en forma paralela a su eje.13).7. para distintos valores del ángulo ϕ: Si es ϕ = 0º ⇒ cosϕ = 1.78) ω= dθ dt (7. Según sea el perfil de la leva se obtienen distintos tipos de movimientos.80) (7.76) ω 1mín = ω. A continuación se describirán las características constructivas de los perfiles de algunas levas. siendo: ω ω 1max = cos α Si es ϕ = 0º y ϕ = 270º ⇒ cos2ϕ = 0. al rodar sobre la superficie de trabajo de la leva.7.t a) dθ = ω. aplicando Pitágoras: 2 2 r02 = y 0 + z 0 (7.13) se obtiene. será: θ = ω. En la figura (Fig.dt ⇒ b) (7. cosα Levas (7.81) o también: 2 2 z 0 = r02 − y 0 .12b).79) De la figura (Fig. resulta: Si es ω constante. Si la rotación θ se produce durante el tiempo t. y si es ω la velocidad angular de la leva. se obtiene: ω1 cos α = ω 1 − cos 2 ϕ sen 2α (7.75).7.reemplazos correspondientes.75) La expresión (7. la rueda de contacto o pieza empujada se eleva con un movimiento determinado por el perfil de la leva. se obtiene el valor mínimo para la relación (7. Leva de disco y rueda de contacto A medida que gira la leva. en tanto que la leva circular Lb de la figura (Fig. El eje de simetría de la pieza empujada o rueda de contacto está desplazado respecto del eje de la leva la distancia z0.75) nos permite analizar las relaciones entre las velocidades angulares de ambos ejes. El círculo base primitivo tiene por radio a r0.12a) se muestra una leva de placa La . la cual al girar con una velocidad angular ωa mueve la pieza empujada Ea a una velocidad va en forma perpendicular a su eje.7. Las superficies de las levas reciben un tratamiento térmico especial. se obtiene el máximo valor para la relación (7.77) Las levas son mecanismos utilizados para transformar un movimiento giratorio en un movimiento rectilíneo alternativo. A los efectos de realizar el análisis del movimiento se estudia la superficie primitiva que describe el centro de la rueda de contacto. según muestra la figura (Fig. Cuando la leva rota el ángulo θ 0.75): (7. La elevación x se produce durante una rotación θ medida desde el radio al comienzo de la elevación al radio r del centro de la rueda de contacto. se produce la elevación L. cementándolas especialmente para endurecerlas y evitar su desgaste prematuro. según las ecuaciones que dan la elevación x de la pieza empujada.5 x = L ⎢1 − 2⎜1 − θ ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ ⎢ 0 ⎠ ⎥ ⎝ θ0 Para : ⎣ ⎦ θ dx 4 Lω ⎛ ⎜1 − = ⎜ θ θ0 ⎝ dt 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ d 2x 4 Lω 2 =− dt 2 θ 02 Leva armónica cosenoidal Desplazamiento Velocidad Aceleración x= πθ L⎛ ⎜1 − cos ⎜ 2⎝ θ0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ πθ dx π Lω = sen dt 2θ 0 θ0 Velocidad πθ d x π 2 Lω 2 = cos 2 2 θ0 dt 2θ 0 2 Leva cicloidal Desplazamiento Aceleración x= 2π θ L ⎛π θ 1 ⎜ ⎜ θ − 2 sen θ π⎝ 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2π θ dx L ω ⎛ ⎜1 − cos = ⎜ dt θ 0 ⎝ θ0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2π θ d 2 x 2π L ω 2 = sen 2 2 θ0 θ0 dt En la figura (Fig.r = ( y0 + x ) + z 2 2 Además: 2 0 (7. velocidad y aceleración con los tipos de perfiles de levas mencionados. se observa que con las levas de perfiles . cicloidal y armónica.81): r 2 = r02 + 2 y 0 x + x 2 (7. parabólica. Analizando la gráfica de las aceleraciones. (b) velocidad y (c) aceleración. en función de θ y θ0 para los tres tipos de levas. se dan a continuación: Leva parabólica o de aceleración constante Desplazamiento x Velocidad Aceleración θ ≤ 0. si se tiene la expresión adecuada de x. La ecuación (7. da la superficie primitiva de la leva. Como las fuerzas de inercia inducidas en las masas movidas por la leva son proporcionales a la aceleración de la pieza empujada.7.82) 2 La (7.83) De acuerdo al perfil de las levas.14) se muestran las curvas representativas del (a) desplazamiento. desarrollando el cuadrado del binomio y reemplazando el valor de z 0 por su valor dado por la (7.82).82) se puede escribir. armónica o cicloidal. Las ecuaciones que dan el desplazamiento. se debe utilizar aquella leva que produzca la menor aceleración máxima compatible con un movimiento con cambios graduables de aceleración.5 Para θ 0 : x = 2L θ θ 02 2 dx 4 Lωθ = dt θ 02 d 2 x 4 Lω 2 = dt 2 θ 02 2 ⎡ ⎛ θ ⎞ ⎤ θ ≥ 0. ésta puede ser parabólica. si bien los valores de aceleración obtenidos son mayores que con las otras. toma distintas posiciones angulares alrededor de un centro de rotación O a través de la rueda de contacto.15b). Por este motivo se recomienda que ϕ no supere los 30º. menos bruscos. como los radios A1K2 y rf son constantes. Levas de placa de arco circular con rueda de contacto El perfil de este tipo de levas se construye utilizando arcos de circunferencias. De todos modos. al del mecanismo de biela manivela de la figura (7. Cuando la rueda de contacto se posiciona en algún punto del arco K0K2. y el arco K2K4 tiene centro en A2 y radio rn. salvo al principio y al final de la elevación. Presenta gran dificultad la construcción de una leva maestra con dimensiones exactas. Debido a la existencia de este ángulo existe una fuerza lateral ejercida por la pieza empujada sobre sus guías.7.15b). siendo además el radio r. y no en la dirección del movimiento de la pieza empujada. es igual a: .7. dándose valores grado por grado a la distancia r desde el centro de la leva al centro de la rueda de con tacto de la pieza empujada. también constante. cuando las posiciones angulares de la biela l y de la manivela r con respecto a OB2 son ϕ y θ respectivamente.15) se muestra el esquema de una de estas levas y la obtención de su perfil. con el acabado a mano de la leva. siendo el desplazamiento del centro B2 de la rueda igual al del botón B2 de la cruceta. Durante el contacto de la rueda con el arco CK0 no hay elevación de la pieza empujada. Está compuesto por tres arcos de circunferencias: el arco CK0 tiene un radio r0 y el centro en O. ya que pertenece a la circunferencia de radio r0 y por lo tanto. pero presentan cambios muy bruscos de valores al principio. mitad y final de la elevación. los mismos son de cambios graduables.parabólicos se obtienen los menores valores máximos de aceleración. distancia entre O y A1. el centro B2 de la rueda se halla en su posición más baja. se puede asimilar el movimiento. con distintos centros y radios. Con las levas de perfiles cicloidales. Cuando la leva gira un ángulo β se produce el desplazamiento máximo L de la pieza empujada. suponiendo el centro de coordenada O. El ángulo formado por estas dos direcciones se lo conoce como ángulo de presión ϕ. El estudio se realiza considerando la leva fija mientras que la pieza empujada. En la figura (Fig. Cuando la leva gira y empuja a la rueda de contacto. la distancia l entre los centros A1 y B2 se mantiene constante. el desplazamiento x’ que experimenta el botón B2 de la cruceta desde el extremo superior del avance hacia el centro O. el que se realiza por lo general mediante el fresado con una herramienta de igual diámetro que la rueda de contacto. Con las de perfiles armónicos se obtienen cambios graduables en el valor de la aceleración. según se indica en la misma. en cualquier punto del arco K0K2. En la figura (Fig. el arco K0K2 tiene su centro en A1 y radio r + r0. La fuerza ejercida por la leva está dirigida generalmente en forma normal a su superficie. su valor admisible está dado por la velocidad necesaria de funcionamiento y el peso de las partes en movimiento. r cos(180º-θ ) + l cosϕ ] Por ser cos( 180º-θ ) = . la (7. si a dϕ /dt se lo multiplica y divide por dθ.cosθ.87) Si se deriva la función de x dada por la (7.86) (7.93) en la (7.93) Si se sustituye el valor de dϕ /dt dado por la (7. se puede escribir: dϕ dθ dϕ = = dt dt dθ ω cos θ r l cos ϕ = r ω cos θ l cos ϕ (7.88) La velocidad angular de la manivela es: ω= (7.85).87) respecto del tiempo. se obtiene: x = r cosθ + l cosϕ . la suma r0 + rf de sus radios. Por lo tanto se tendrá: x = r + l – x’ – ( r0 + rf ) Reemplazando el valor de x’ dado por la (7. y reemplazando dθ /dt por su valor ω dado por la (7. que es la altura de la pieza empujada en su posición más baja.84) (7.92) Por otra parte.89).90) ϕ = arc sen⎜ senθ ⎟ Derivando ϕ respecto de θ se obtiene: ⎛r ⎝l (7. se obtiene restando a la distancia total OB2 entre centros de la leva y rueda de contacto. se obtiene finalmente.x’ = l + r – [.94) .84) se puede escribir: x’ = l + r – r cosθ .15) se deduce que es: a) l senϕ = r senθ De la (7.( r0 + rf ) (7.90) se obtiene: ⇒ b) senϕ = ⎞ ⎠ r senθ l (7.89) Además de la figura (Fig.91) dϕ = dθ r cosθ r cosθ l = l cos ϕ r2 1 − 2 sen 2θ l (7.l cosϕ Elevación x de la pieza empujada (7. para el valor de u: u= dx = rω (senθ + cos θ tgϕ ) dt (7.88) y sacando factor común rω. se obtiene la velocidad con que se desplaza el botón B2 de la cruceta: dx u = dt = r senθ dθ dϕ + l senϕ dt dt dθ dt (7.7.85) La elevación x del centro B2 de la pieza empujada para cualquier posición angular θ . el ángulo de presión. coincide con la manivela y la distancia l coincide con la biela.94) respecto del tiempo. que realiza la leva sobre la pieza empujada. como por ejemplo: A1 A2 = (r + r0 − rn ) = r 2 + r12 − 2 r r1 cos β ′ 2 2 (7. teniendo la fuerza motriz.85). distancia entre O y A2.15c).90º ) (7.97) Donde es r1 la altura vertical OA2 y el ángulo β’ es el ángulo OA1A2.94) y (7. el radio r1. (7.98) ϕ=γ-ε y b) θ = ε + β’ b) g = r cos( β .95) Reemplazando en la (7.100) a) k = r sen( β -90º ) Para la posición c) es: (7. según se muestra en la figura (Fig. conteniendo r1. el arco K0K2 con centro en A1 y el arco K2K4 con centro en A2.99) (7. l y r/l.7. de la figura (Fig. obteniéndose: c= dv d 2 x dϕ ⎛ ⎞ = 2 = rω ⎜ ω cosθ + cosθ sec 2 ϕ − ω senθ tgϕ ⎟ dt dt dt ⎝ ⎠ (7. se obtiene: ⎛ ⎞ r cos 2 θ ⎜ cosθ + c = rω ⎜ − senθ tgϕ ⎟ ⎟ l cos 3 ϕ ⎝ ⎠ 2 (7.15) también se pueden obtener las siguientes relaciones: a) r1 + rn = L + r0 c) a = ( rf + rn ) senγ d) b = r1 + ( rf + rn ) senγ Para la posición (b) de la leva y rueda de contacto.93) y sacando factor común rω. siendo éstos. .7.Para obtener la aceleración c del botón B2 de la cruceta se deriva la función de u dada por la (7. La pieza empujada opone una fuerza resistente en dirección de OB2.101) Para las posiciones en las cuales la rueda hace contacto con el arco K2K4. Leva de arco circular con pieza empujada en forma de placa (seta) θ=ε El perfil de esta leva se construye también con arcos de círculos.16).7.95) el valor de dϕ /dt dado por la (7. la dirección A1B2 siendo en este caso el ángulo ϕ que forma OB2A1 .96) Se pueden obtener otras relaciones útiles aplicando el teorema del coseno al triángulo OA1A2. Todas las ecuaciones para esta posición son similares a las dadas por las expresiones (7. del mecanismo biela manivela de la figura (Fig.95). Por otra parte. se presenta la relación de ángulos: a) Y además: g b) tgγ = r1 − k (7. l1 y r1/l1 en lugar de r. el desplazamiento x1 de la misma desde su posición más elevada.104) Para hallar la aceleración c de la pieza empujada se deriva u dada por la expresión (7. y teniendo en cuenta la (7.cosψ ) (7. dada por la expresión: x = r – r cosψ = r (1 .103). derivando u dada por la (7. se llega a la expresión: dψ 1 d 2x = r1ω cosψ 1 = r1ω 2 cosψ 1 2 c = dt dt Leva de lados rectos con pieza empujada con rueda de contacto (7.103) Resulta.105) En la posición indicada en la figura (Fig. para un recorrido angular ψ1 de la leva.7.106) respecto del tiempo.16a) muestra el contacto en el punto K1 para una posición angular ψ y una elevación x de la pieza empujada desde la posición más baja.cosψ1 ) (7. y teniendo en cuenta la (7.103). y teniendo en cuenta además la (7.7.102) Pero como es: ω= dψ dt (7.103).107) respecto del tiempo. será: x1 = r1 – r cosψ1 = r1(1 .La figura (Fig.103) en la (7. se obtiene para la velocidad u: dψ 1 dx = r1 senψ 1 = r1ω senψ 1 u = dt dt (7.101) respecto del tiempo: dx dψ = − r (− senψ ) u = dt dt (7.101) Para obtener la velocidad u de la pieza empujada.102) y operando.108) .104) con respecto al tiempo.106) Derivando x1 dada por la (7. cuando la pieza empujada en el descenso hace contacto en K3. se deriva x dada por la (7. se obtiene: c= d 2x dψ = rω cosψ = rω 2 cosψ 2 dt dt (7. reemplazando dψ /dt por ω según la (7.16b).107) Para la aceleración c. de la misma manera. se obtiene: u= dx = rω senψ dt (7. para hallar la velocidad u. respecto del tiempo y de considerar la (7. El arco K2K4 es un círculo con centro en A2. el movimiento es igual al ya analizado en leva de arco circular con rueda de contacto. o sea: α1 = 0 Cuando finaliza el contacto en la zona recta de la leva. y teniendo en cuenta que es: ω= Se obtiene: dα1 dt (7.110) con respecto al tiempo. aplicándose a la elevación.112) que da la velocidad. se obtiene: 2 d 2 x ω (r0 + r f ) (1 + 2tg 2α1 ) c= 2 = cosα 1 dt c= d 2x = ω 2 (r0 + r f ) sec 3 α 1 + tg 2α 1 sec α 1 dt 2 ( ) (7. ------------()-------------Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía . surge de derivar la expresión (7. en el punto K0 el ángulo es cero. Derivando x dada por (7.109): x = ( r0 + rf )( secα1 –1) (7.112) La aceleración c. la elevación x está dada por la expresión: x = r0 secα1 – r0+rf secα1 – rf (7. velocidad y aceleración producidos en el desplazamiento de la pieza empujada en los puntos en contacto en esta zona de la leva. Para el tramo K0K2.114) De la figura se obtienen además las siguientes relaciones: a) r0 + L = r1 + rn .cosβ ) (7. el ángulo es: (7. c) L = r ( 1.113) Reemplazando las funciones trigonométricas por otras funciones que dan los mismos valores.110) Donde es α1 la posición angular de la leva respecto del radio OK0 al comienzo de la elevación. de una leva cuyos lados K0K2 y K6K8 son rectos.116) tgα 1 = r1 senβ r f + r0 (7.111) u= dx ω (r0 + r f )tgα 1 = dt cos α 1 (7.117) Desde el punto K2 hasta el punto K6.115) En el comienzo de la elevación. según se muestra en la figura (Fig.7.Se trata. en el punto K2. y se rige por las relaciones vistas en dicho caso.17). según los triángulos OK0M y O1K1M.111): (7. las expresiones vistas anteriormente. b) r0 = rn + r1 cosβ .109) Sacando factor común en la (7. Phelan El Ateneo C.Manual del Ingeniero Mecánico .Manual del Ingeniero Hütte II A .Elementos de Máquinas .E.A. O. Facorro Ruiz M.S.S. Stiles Beggs Alvin Sloane J.N.Mecánica Técnica y Mecanismos .Fundamentals of Mechanical Design Pezzano-Klein Doughtie Jones L. Dubbel Dr.TÍTULO .A. McGraw-Hill Kozehvnikov Gustavo Gili .Resistencia de Materiales .A. Melior - Mecanismos S.elementos de Mecanismos . Fratschner M. Uteha McGraw-Hill .Proyecto de Elementos de Máquinas .A.Diseño en Ingeniería Mecánica AUTOR H.C.Manual del Constructor de Máquinas . Ing. Shigley EDITORIAL Labor Gustavo Gili Reverté Gustavo Gili Uteha H.Mecanismos . Spotts Academia Hütte Baumeister y Marks J. F.Elementos de Máquinas . cuyo esquema se indica en la figura (Fig. nos referiremos únicamente a los que trabajan según el principio de las masas rotantes y mantienen uniforme el número de revoluciones del motor cuando varía su potencia. trabaja respondiendo a la variación del trabajo resistente. El regulador. en virtud de su masa e inercia. y si bien se puede lograr con mayor cantidad de cilindros una mayor uniformidad.8 VOLANTES Y REGULADORES Generalidades Son máquinas o dispositivos que se utilizan para mantener una determinada relación entre el movimiento de rotación del eje de una máquina con la potencia que la misma entrega. pudiendo representarse estas oscilaciones en un diagrama de ejes coordenados como se muestra en la figura (Fig. es producido por un . Los volantes tienen por finalidad. las velocidades en los ejes de las máquinas motrices expuestas a variaciones debido al trabajo motor variable que le es entregado y al momento resistente de la carga. Si bien existen distintos principios de trabajo para los reguladores.r (8.1). Este trabajo es posible conocerlo a través del diagrama que realiza un aparato llamado indicador. el cual se confecciona con los esfuerzos sobre el émbolo y el recorrido del mismo.2) también oscilará.4) Si se supone que el trabajo resistente Wr. La superficie comprendida entre la curva de los esfuerzos tangenciales OABCDEO. motivo por el cual también se lo denomina trabajo indicado. corresponde al trabajo transmitido o motor Wm realizado por la manivela en una revolución alrededor del eje O. estaba dada por la expresión: P T = cos β sen( α + β ) (8. provista de un mecanismo de biela manivela.8.3) esfuerzo resistente medio Tr.8. Por tal motivo. y estos se modifican continuamente. uniformar dentro de ciertos límites. se lo podrá representar como una superficie rectangular OEFGO de base 2π r sobre el eje de abscisas e. y la línea de abscisas e. la fuerza tangencial T que le imprimía el movimiento de rotación a la manivela. Así por ejemplo. aumentando su suministro cuando el trabajo resistente aumenta y. por lo que se puede escribir: Wr = Tr. en una máquina de émbolo alternativa el par motor es variable. según lo estudiado anteriormente. T modifica su intensidad a medida que el botón A de la manivela realiza una vuelta completa. Volantes Energía almacenada por el volante: Si se considera una máquina a vapor o de combustión interna monocilíndrica. su momento de rotación. dado por la expresión: Mm = T.2). el cual se opone al trabajo Wm desarrollado por el motor.de = área OABCDEO (8. en cambio. y altura Tr sobre el eje de ordenadas. si bien con funciones distintas y diferenciadas entre sí. diminuyéndolo si éste disminuye. pudiendo escribirse: Wm = ∫ 2π r 0 T .2π r = area OEFGO (8.1) Como T depende de los ángulos α y β. lo mismo sigue siendo irregular y presenta la velocidad del eje oscilaciones que el volante tiene la misión de limitar hasta un grado determinado. actuando sobre los órganos de distribución o admisión del vapor o combustible. con los esfuerzos tangenciales en el eje de ordenadas y en el eje de abscisas del desarrollo de la circunferencia descripta por el botón A de la manivela. 10) resulta: ∆W = Iω (ω max − ω min ) La expresión (8. El almacenamiento de la energía que entrega el motor lo realiza. Se producen por este motivo. y que fijamente unido al eje de la manivela de la máquina. 5. 3. Es decir que la máquina acelera en 2 y 4 y desacelera en 1. por lo que se puede escribir: Área OABCDEO = Área OEFGO (8.9) Desarrollando la diferencia de cuadrados. ya que el trabajo que debe entregar el motor debe ser el necesario para vencer el resistente: Wm = Wr (8. lo que produce una variación de la energía cinética del mismo. el excedente de energía lo almacena el volante que se encuentra enclavado en el eje.2). en el recorrido e = 2π r del botón de la manivela. que es: 1. el volante entrega la energía almacenada. dos velocidades extremas. o cuando no se realiza trabajo.7) zona GO11’ es Wr > Wm . ambas superficies también deberán ser iguales.4) con el primer miembro de la (8. la (8.8.Para la zona Obtenido el valor de Tr se lo traza sobre los mismos ejes coordenados del diagrama del trabajo indicado.5) Por lo tanto. en función de las velocidades máximas y mínima.Para la 3’3C44’ es Wm > Wr.Para la zona 2’2B3’3 es Wr > Wm. 2. Cuando ingresa el vapor o se produce la combustión o explosión.9).Para 4’4DEF es Wr > Wm. será igual al aumento o disminución de la energía de la masa del volante.8) se puede escribir: ∆W = 1 (ω max + ω min )(ω max − ω min ) 2 (8. es decir cuando el motor entrega potencia.Para la zona 1’122’ es Wm > Wr. la velocidad del eje aumenta.6) Es decir que se puede obtener el valor de Tr igualando el segundo miembro de la (8. Durante el recorrido en el cual es Wm > Wr. Si es I el momento de inercia del volante.11) . y lo entrega cuando es Wr > Wm.Estos trabajos deben ser iguales.10) Teniendo en cuenta la (8. Se tendrá por lo tanto que el máximo trabajo transmitido o resistente. una ωmax máxima y una ωmin mínima. la (8. como se observa en la figura (Fig.11) da la energía almacenada por el volante.6) y haciendo pasajes de términos. lo que produce una reducción de la velocidad del eje de la máquina. Durante la carrera resistente. Analizando las distintas zonas de los diagramas. gira a la misma velocidad n que éste. será: ∆W = Si la velocidad angular media es: 1 2 2 I ω max − ω min 2 ( ) (8. 3 y 5. con lo que se tiene el área del trabajo resistente en la misma escala.8. según se mencionara. 4. (8. la variación de la energía ∆W que experimenta el volante.3) en la cual se muestra esquemáticamente un motor monocilíndrico con su volante. que dan los trabajos Wm y Wr se observa en la figura (Fig.8) ω= ω max + ω min 2 (8. debido a la inercia que posee la gran masa rotante del volante. resultando: Tr = área OABCDEO 2π r (8. .14) La expresión (8............1 : 300 De la expresión (8..........13) en la (8.8......... siendo éste de suma importancia para el dimensionamiento del volante... su momento de inercia es: I = m. Este momento de inercia I dependerá de su forma constructiva.......... siendo por lo tanto: δ= ω max − ω min ω (8................16) Por lo tanto.. Cuanto mayor es este coeficiente... obteniéndose un funcionamiento más uniforme............. menor es el grado de irregularidad δ.........13) (8...............ωmin Reemplazando el valor deωmax . más irregular es el funcionamiento de la máquina......... Dimensionamiento del volante Una vez fijado el grado de irregularidad δ según el tipo de máquina para el cual se dimensionará el volante...................1 : 25 Mecanismos de transmisión de talleres.. se adopta un coeficiente de fluctuación..1 : 100 a 1 : 120 Generadores de corriente alterna para conexión en paralelo en redes de turbinas..... bombas.1 : 100 Generadores de corriente continua para alumbrado................. la (8....15) En la (8.....4)......Grado de irregularidad o coeficiente de fluctuación δ El grado de irregularidad δ se lo obtiene dividiendo la diferencia entre la velocidad angular máxima y la velocidad angular mínima por la velocidad angular media..1 : 50 Máquinas de hilar para números de hilos bajos. Para todos los casos se debe tener en cuenta el diámetro o radio de inercia o de giro...............1 : 40 Molinos de moliendas......12) se obtiene: δ ............. es decir si será un cilindro macizo o con llanta.......ωmin se hace pequeño.. según la (8......1 : 60 Máquinas de hilar para números de hilos altos............. Para cada tipo de máquina. se tiene la expresión: ∆W = I ω2 δ (8....... según su prestación.... es decir aquel en el cual se considera concentrada la masa......ωmin dado por la (8.....1 : 35 Telares.. Según Dubbel......................ω = ωmax ... ya que ωmax .......12) El grado de irregularidad δ da valores que indican la amplitud con que varía la velocidad angular respecto a la velocidad angular media............. se debe calcular el momento de inercia I del mismo. Considerando un volante cuya masa se halla concentrada en la llanta............ para una variación determinada del trabajo ∆W... radios y cubo..1 : 20 Máquinas de corte........ la que en función de su peso es: (8..........R 2 (8.................15)..14) se utiliza para el cálculo del volante...... se tienen los siguientes valores: Hélices de buques (por medio de motores).. figura (Fig........16) se puede escribir: m= G g ..... máquinas de fábricas papeleras. pudiéndose observar en la misma que cuanto mayor es el momento de inercia I..............11)....15) es R el radio medio de la llanta del volante y m la masa del volante....... 27) en la (8.e (8. por lo tanto se pueden igualar sus segundo y tercer miembros respectivamente: 60 N e G 2 v δ =k n a) g ⇒ b) G=k 60.n. el cual se puede obtener en función de la potencia N del motor y del número n de vueltas por minuto de su eje. se obtiene: G 2 R g (8.18) (8.r = ω 2 =2π n 2 = π.e (8.D Reemplazando el valor de v dado por la (8.23) Las expresiones dadas por la (8.π.R 2 .21) y (8. en forma aproximada.24b). en función de la velocidad tangencial v.R = v Por lo que la (8.18). Para su dimensionamiento.e o también b) γ = V = π .26).25) El factor k depende de las características del motor. resulta: ∆W = De la (8. se puede considerar a ∆W como una fracción k del trabajo motor Wm efectuado en una vuelta. El procedimiento es el siguiente: a) Ne = Wm .I= Si se reemplaza en la expresión (8. del número de cilindros.17).δ (8.R2.22) Por lo que resulta para el peso G: G a) G = γ.27) .19). según las condiciones de fabricación de la máquina. sin recurrir al diagrama de los esfuerzos tangenciales. Las expresiones (8.20) G= ∆W . el cual está dado por la expresión: V = π. como éste es igual a su peso específico γ por su volumen V.n 60 ⇒ b) Wm = 60 N e n (8.19) ω.17) ∆W = Por ser la velocidad tangencial: G 2 2 Rω δ g (8. se puede escribir: ∆W = k. y teniendo en cuenta la (8.26) La velocidad tangencial v en función de n se puede escribir como: D D v = ω.V = γ.25) tienen iguales sus primeros miembros. de acuerdo a la (8.21) Una vez obtenido el peso G del volante. grados de admisión.24) Como es ∆W una fracción k de Wm.R2.Wm = k 60 N e n (8. g v 2 .20) y (8.20) se obtiene el peso del volante: G 2 v δ g (8.g N e δ nv 2 (8. adoptando ya sea R o e.23) permiten dimensionar el volante conociendo ∆W a partir del diagrama de los esfuerzos tangenciales.14) el valor de I dado por la (8. etc. se obtiene: (8. 32) Siendo en la (8. de 6 cilindros K =1. se distinguen los reguladores de manguito o pendulares cónicos.31) en la cual es D el diámetro de inercia. para mayores velocidades aconseja volantes de acero. y los reguladores axiales o reguladores planos.23) permite dimensionar el volante. número de cilindros. el cual posee un eje vertical OO’ que recibe el movimiento de rotación desde el eje del motor a través de un sistema de engranajes.12 a 1. tiempos. . Obtenido K. Dubbel da la expresión: GD 2 = GD2 K Ne δ s n 3 kgm2 (8. n y δ s se obtiene GD2. motores ciclo Diesel cuatro tiempos.106.6.106.60. Por lo general.72. de igual longitud entre sí. En la figura (8. de 6 cilindros K =0. Según el tipo constructivo. en cuyos extremos se encuentran las masas esféricas metálicas m. ciclos. en su movimiento arrastran al manguito E. Los brazos OA y OA’. recibe el nombre de factor de inercia. Para la corona.30) La expresión (8. cuando el trabajo resistente que debe vencer el mismo aumenta o disminuye. estando este último unido a la palanca articulada NPD. están articulados en O al eje OO’ por lo que giran con su misma velocidad angular. que tiene su punto de apoyo en P. según la fuerza centrífuga que actúa sobre las masas aumente o disminuya.5. El valor de K se halla tabulado en función del tipo de motor. con lo cual la máquina se detiene. Algunos de los valores medios de K dados por Dubbel son los siguientes: máquina a vapor de una sola manivela K =2. estando el 10% restante distribuidos entre los rayos y cubo. Ne.106.76. simple efecto.g δ Ne π n3 D 2 2 (8. disminuye o amplia en la válvula V. el 90% de GD2 se encuentra en la llanta o corona del volante. respectivamente.106.7. de 4 cilindros K =1. Reguladores de velocidad.32) Re el radio exterior de la corona y r su radio interior. etc. el paso del vapor a la máquina. disminuye su número de vueltas o la aumenta. 4 cilindros K =2. haciendo variar el suministro de vapor o combustible de tal modo que la velocidad de rotación de la máquina permanezca constante dentro de los límites impuestos. Estas barras.29) G= (8. Los brazos mencionados se hallan unidos al manguito E por medio de las barras BR y B’R’ mediante articulaciones que le permiten elevarse o descender.28) k .60. Regulador pendular cónico o regulador de Watt Como ya se mencionara. teniendo por lo tanto la misma velocidad que éste o proporcional a la misma.g K= La (8.30) juntamente con la (8. Dubbel aconseja para volantes de fundición velocidades tangenciales v ≤ 30 a 35 m/s.106. el regulador de velocidad es un mecanismo que actúa sobre los dispositivos de distribución o de admisión del motor. motores ciclo Otto cuatro tiempos.28) se puede escribir como: π2 K Ne δ n3 D 2 (8. Dubbel da el siguiente valor del factor de inercia: GD2 = 2 G ( Re 2 + r 2 ) (8. la cual al ser arrastrada por el manguito transmite el movimiento al vástago DJ que cierra.5) se muestra el esquema de un regulador pendular cónico o regulador de Watt.G= Haciendo: k . que para pequeños cambios de n se obtienen variaciones apreciables de h para bajas velocidades.04 200 0.39) De la expresión (8.39): n h 20 2.005 Vueltas por minuto metros Regulador de Watt sobrecargado .01 400 0. Se puede.8. al variar dicha velocidad variará también la altura h del manguito.r o por la (8.35) ⇒ b) g Operando matemáticamente en la (8. o sea que disminuye la sensibilidad al aumentar el número de vueltas por minuto.34).r.37) resulta: h= 894.37) ω= πn 30 ⇒ω2 = π 2n2 900 . dependiendo únicamente de la velocidad angular ω o de rotación n.24 50 0. reemplazando en la (8.Cálculo del desplazamiento vertical h del manguito Si se analizan las fuerzas que actúan sobre las masas cuando giran con una velocidad angular ω según se indica en el diagrama de la figura (Fig. Además se observa de la misma.h = G. dada por la expresión: Fc = m. b) g = 9.09 150 0.34) (8.022 300 0. obtenidos de aplicar la (8. e igualando los mismos por estar en equilibrio dinámico el sistema: Fc = G 2 ω . existe un equilibrio dinámico de las fuerzas que actúan.r g G 2 ω .ω2. a modo de ejemplo.36 100 0.38) Por la (8.39) se puede notar que h es independiente del peso de las esferas.35) Tomando los momentos de estas fuerzas respecto del centro O. se obtiene: (8.33) el valor de m dado por la (8.33) Pero es: Por lo tanto. confeccionar un cuadro para distintos valores de n y los correspondientes de h.h = G.6).2 n2 (8. en tanto que para altas velocidades un gran cambio de éstas se traduce solo en pequeñas variaciones de h. siendo éstas el peso propio G de las masas esféricas m y la fuerza centrífuga Fc.r (8.38) la (8.r a) Fc. Una vez hallada la posición de equilibrio para una determinada velocidad.806 m/s2 (8. se obtiene: m= G g (8.36).36) h= Pero es: a) g ω2 (8. según se muestra en la figura (Fig. las fuerzas Fc.cosα (8. Las masas esféricas. debido al movimiento de las masas.8b) se construyó el diagrama del cuerpo libre. Por lo tanto. . las que equilibran al peso P de la sobrecarga.41) es del mismo. las que giran con una velocidad angular ω. en el equilibrio dinámico.senα y b) h = l.2 ⎜ ⎟ G ω 2 ⎝ 2G ⎠ n 2 (8. el siguiente análisis: En la figura (Fig. Regulador de Porter 1+ P 2G > 1.41) Como en la (8. con una masa central de peso P de sobrecarga. pudiendo realizarse para el estado de equilibrio dinámico del sistema.Con este regulador se logra una mayor sensibilidad.8a).8.ω .8.r = r. aumentando la sensibilidad Es una modificación del regulador de Watt. con este regulador se logra un mayor incremento de h. según se indica en la figura (Fig. Se introduce un peso adicional que es soportado por las esferas. tiene la misma forma que la expresión (8. el cual es soportado por partes iguales por cada una de las esferas.h 2⎠ g ⎝ (8.42) Por otra parte. interviene el peso adicional P. la suma de los momentos respecto al punto O de las fuerzas actuantes. además de la fuerza centrífuga Fc y del peso G de las masas. según se muestra en la figura (Fig. Por lo tanto. de peso G cada una. resultan: P⎞ G ⎛ 2 ⎜ G + ⎟.8. en la dirección OC. es decir.8.8c). la expresión que relaciona el radio r y la altura h con la longitud l del brazo superior es: a) r = l.40) Despejando h de la (8.43) P 2 cos α En el equilibrio. Las fuerzas actuantes generan momentos respecto al centro de rotación O. F y G aplicadas en C dan una resultante R.35). se obtiene: h= G+ P 2 g = ⎛1 + P ⎞ 894.7) .38). se encuentran en las articulaciones A y C. cada una soporta P/2. siendo F la fuerza actuante sobre cada uno de los brazos articulados del regulador. La fuerza centrífuga Fc. y teniendo en cuenta la (8.40). resultando ser: F= (8. resulta: G 2 ω h = P+G a) g ⇒ b) h= P+G g G ω2 (8.8.52) La expresión (8.ω 2 . teniendo en cuenta los valores de Fc y l dados por la (8.51).47) La (8.48) a) Como de la (8.α ) .g G. sacando factor común G y teniendo en cuenta los valores de ω y g dados por la (8.senα = 0 2 cos α Haciendo en la (8.38). se obtiene: ω2 = Fc . dividiendo por senα ambos miembros y haciendo pasajes de términos en la (8.33) y la (8.49) n= 30 π ω (8. se obtiene: P sen 2α + G. según muestra la figura (Fig.44) Reemplazando en la (8. F y G sobre la misma y efectuando las sumatorias de las fuerzas proyectadas.43a) respectivamente: G 2 ω l. quedando finalmente: n ≅ 30 Fc 1 r G (8.51) Como es g ≈ π .2 ⎛ h = ⎜1 + ⎟ 2 ⎝ G⎠ n P⎞ ⎛ P ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟ G ⎠ > ⎝ 2G ⎠ > 1 se obtiene una mayor sensibilidad para este regulador.cos( 90º .43b) respectivamente.r ⇒ b) ω= Fc g r G (8.cosα dados por la (8. proyectando Fc.h.44) los valores de F y de l.42) y (8.35) se puede obtener el valor de ω : (8. Por ser ⎝ De la expresión (8. .8d).cos(90º .45) sen 2α = 2 senα cosα : (8. siendo cos(90º 2 α ) = sen 2α. senα F.Trazando una recta normal n-n a OC.2α ) + G.50).52) da el valor que debe tener la velocidad de rotación para un determinado peso de las masas que rotan y de la fuerza centrífuga.50) Reemplazando ω por su valor dado por la (8.g cosα = 0 (8. se pueden simplificar en la (8.49b) en la (8.47).38a) ya vista. resulta finalmente: P ⎞ 894.46).46) Simplificando.45) P G sen 2α + G senα − ω 2 h senα = 0 2 cos α g (8. esta última resulta: n= 30 Fc g 30 g = π r G π Fc 1 r G (8. y equilibra a las fuerzas centrífugas. por lo que teniendo en cuenta la (8.9a). también en el regulador de velocidad el grado de irregularidad δ da la relación con la velocidad angular media ω que tiene la amplitud.ds b) A = ∫ s 0 E. se puede representar gráficamente la capacidad de trabajo A. el tiempo en alcanzar la posición de equilibrio es muy elevado.56) se puede escribir como: Sr = Sumatoria de todos los pesos centrífugos × el cuadrado de sus recorridos Capacidad de trabajo Sr ∑ P.9b) y (8. Se tiene. Si es δ muy grande. Si δ es muy pequeño.ds es el trabajo elemental que realiza la fuerza E. dentro de la cual oscila la velocidad del mismo. según se muestra en la figura (Fig.52): a) ω max − ω min nmax − nmin = ω n n= (8.56) Donde es P la suma de todos los pesos centrífugos.T 2 (8.53) ω= ω max + ω min 2 y b) nmax + nmin 2 (8.8.58) se puede escribir: .e = A ⇒ 2 (8.8.55): Sr es la carrera reducida del manguito. como se indica en las figuras (Fig. De acuerdo a Tolle. siendo igual a: Sr g.54) El grado de irregularidad es factor preponderante en el buen funcionamiento de un regulador.58) E.9c).ds (8. s es el recorrido del manguito. Por lo tanto. a veces sin llegar a la posición de equilibrio. existen oscilaciones muy prolongadas con la variación de la carga. los trabajos elementales en un deslizamiento ds del manguito y una variación dr de la posición de las masas deben ser iguales. En los casos que se equilibran E y Fc. es decir que se encuentran rotando. e al recorrido de los mismos y A a la capacidad de trabajo. la capacidad de trabajo A está dada por la expresión: a) dA = E. La fuerza E varía con cada posición del manguito y es denominada energía del regulador a pesar de ser una fuerza. El grado de irregularidad δ caracteriza a cada regulador de velocidad. establecida por las velocidades angulares máxima ωmax como límite superior. y está aplicada. y mínima ωmin como límite inferior. la (8. Conociendo las variaciones de E y de Fc con las posiciones s y r del manguito y de las masas en rotación respectivamente. el grado de irregularidad óptimo puede conocerse mediante la fórmula: δ =23 Analizando los valores de Sr y T en la (8. por lo tanto: δ = Siendo en la (8. en forma axial y hacia abajo.57) Así también.55) (8.Grado de irregularidad δ Al igual que en el Volante. el manguito permanecerá en reposo. hasta no llegar a la misma.61) L = 75N Reemplazando en la (8. Es decir.60) el valor de L dada por la (8.ds = Fc. En la figura (Fig.55). ya sea que aumente o disminuya la velocidad de rotación del eje respectivamente. para adquirir.a) dA = E.dr ⇒ b) A = E.s2/m y v en m/s. Si se tiene la potencia N en CV. el manguito del regulador permanece en reposo si la variación de la velocidad instantánea de rotación del eje a un nuevo valor n es tal. partiendo del reposo. Por lo tanto. la masa M del volante y la velocidad circunferencial v del baricentro de la corona del volante.64) A la fuerza centrífuga Fc’’ le corresponde una velocidad de rotación n’’ y a Fc’ le corresponde la velocidad n’. será: ∫ ∫ 1 1 M . que en tanto no se alcancen las velocidades n’’ y n’ el manguito no se desplazará de su posición anterior.M .v 2 L (8.ds = Fc .dr (8.v 2 = L.61). no es suficiente para vencerlas.62) Reemplazando los valores de Sr y de T en la (8.8. y se lo obtiene considerando la potencia N del motor. la masa M en kg.59) T es el tiempo en segundos.10) se observa que aumentando Fc en ∆Fc se obtiene: Fc’’ = Fc + ∆Fc Disminuyendo a Fc un ∆Fc.T a) 2 2 Por ser: ⇒ b) T= M .v 2 75 N (8.65) (8. existe un intervalo ∆n en la variación de la velocidad de rotación del eje. se obtiene: δ = 23 75 N ∑ P. en Kgm/s. o en su defecto.e 2 g. deberá ejercerse una fuerza centrífuga superior o inferior a Fc en un ∆Fc. siendo ½ L la potencia media utilizada para la puesta en marcha del motor.dr r1 r2 (8. la velocidad de régimen normal.63) Grado de insensibilidad ε Debido a las resistencias que oponen el rozamiento propio y el mecanismo de maniobra del regulador. que tarda la máquina marchando en vacío con admisión máxima. se obtiene: Fc’ = Fc -∆Fc (8.60) (8. que la fuerza centrífuga Fc correspondiente a la misma.v 2 ∫ Fc . se obtiene: T= M . Es decir que para que el manguito se mueva. dentro del cual el regulador no . en los reguladores de acción directa.72).73) W es la fuerza útil para mover los mecanismos del regulador. por lo que se puede escribir: a) Fc'' − Fc' ∆Fc = Fc Fc E ∆E = Fc ∆Fc ∆E E ⇒ ∆Fc ∆E = E b) Fc (8. el que se describirá más adelante. según se deduce de la (8.69) se deduce: a) ε= ⇒ b) ∆E = ε. a la suma del grado de irregularidad δ y al grado de insensibilidad ε : . teniendo en cuenta la expresión (8.n’ (8.70b). W también es pequeña.E (8.cambia de posición. pero el grado de sensibilidad ε debe ser tan pequeño como sea posible. no produciéndose el deslizamiento del manguito. de la (8. la (8. por lo que las fuerzas R de rozamiento deben ser lo más pequeñas posibles. se puede escribir: n ′′ − n ′ ∆n ∆ω = = ω n n (8. Energía E del regulador La si bien E es una fuerza . resulta: (8.68b).70b) resulta: ∆E = ∆ω ω E (8. pudiendo obtenérsela por peso del manguito o por cálculo. y también lo serán los incrementos ∆E y ∆Fc de ambas. siendo: ∆E = W + R Teniendo en cuenta la (8.67) ε= (8. por lo que se puede escribir: ε= Por ser Fc = f(n2). las que se indican en la figura (Fig. y la velocidad instantánea n a la cual tendría que producirse el movimiento del manguito. por lo que deberá ser lo más grande que sea posible. siendo la equilibrante de las fuerzas centrífugas Fc que se producen a la velocidad de rotación de las masas del regulador.70a). Está ocasionada en su mayor parte por la carga elástica de los resortes del manguito. Por lo tanto E es proporcional a Fc. se denomina grado de insensibilidad ε del regulador.72) ε= W +R E (8.68) El grado de insensibilidad es el grado de respuesta del regulador a una variación de su velocidad para una posición dada. ∆E se emplea para vencer las resistencias W de los órganos que comandan el manguito y las fuerzas R de rozamiento del regulador. reemplazando el valor de ∆E dado por la (8. motivo por el cual se intercala un servomotor cuando esta última no alcanza para accionar los mecanismos del regulador. Una vez determinado el grado de insensibilidad ε. se define como grado de irregularidad total δT del regulador. resultando un regulador de acción indirecta.8. por lo que deberá ser E grande.66) El cociente entre el intervalo ∆n durante el cual el regulador permanece insensible a las variaciones de velocidades.70) Como por la (8. utilizándose los elementos que ofrezcan menores coeficientes de rozamiento entre las partes que deben deslizar entre sí.71) ∆E es la fuerza que mueve el manguito o hace deslizar el manguito. es denominada energía del regulador. siendo el mismo: ∆n = n’’.67) se tiene el valor de ε igual al cociente de ∆ω y ω. Pero se tiene que cuando ε es pequeña.11).69) Pero. 8. La figura (8. la que resulta de la sumatoria de las curvas parciales Cp.ω 2 b) tgϕ = r r (8. a las que les corresponden las fuerzas centrífugas F1c. En la figura (Fig. denominadas curvas características del regulador o curvas C. lo que permite construir la curva C que pasa por los puntos de intersección de ambas coordenadas. respectivamente sobre el eje de ordenadas. Por lo tanto. por la (8. son r1. cuyas distancia de sus centros al eje de rotación. Para cada posición de las masas esféricas y el manguito. del peso P del manguito y al rozamiento R de los órganos deslizantes.33) y la (8. P y R.74) Estabilidad y estaticidad (8.52).12) se observan estas curvas. sobre el eje de abscisas.13b) muestra la curva C obtenida para el regulador entre las dos posiciones extremas de mínima y máxima velocidad de rotación de las masas cilíndricas m.δT = δ + ε (8. se tiene que la fuerza centrífuga que equilibra dinámicamente las fuerzas centrípetas resultantes de la de la acción de las fuerzas G.75). Fce = fuerza centrífuga que equilibra R. F2c y F3c.74) Equilibrio de Fuerzas en el regulador: En el estudio de un regulador debe tenerse en cuenta el comportamiento del mismo cuando aumenta o disminuye n. y forma con el eje de abscisas Or el ángulo ϕ. es la curva característica de la fuerza centrífuga total Fc. y por lo tanto se tendrá: Fcg = fuerza centrífuga que equilibra G. y de las fuerzas actuantes debido al peso G de las mismas. r2 y r3. uniendo los puntos de intersección de las normales a Ox con las normales a Oy. es la suma de las fuerzas centrífugas parciales que equilibran cada una de las fuerzas mencionadas. se tiene de la figura: tgϕ = C1 C 2 C = = r1 r2 r (8. P y R. Fcp y Fce sobre el eje Oy y a cada valor de ri sobre el eje Ox.r. Fcp y Fce . Cg y Ce.8. correspondientes a cada uno de los valores de Fcg.12). Cg y Ce. se puede escribir: a) C = Fc = m. resulta: . las distintas posiciones de las masas esféricas m.76) Por lo tanto.8.ω 2 ⇒ C Fc = = m. Observando en la figura (Fig. Por el origen O se ha trazado un radio vector que corta a la curva C en los puntos Q1 y Q2. Curvas C: Para estudiar la influencia de las fuerzas centrípetas originadas por G. en la expresión (8.13a) se muestran tres posiciones de las masas esféricas. constituyendo una familia de curvas.75) Por ser C la representación gráfica de Fc. se toman ejes coordenados coincidentes la ordenada y con el eje del regulador y la abscisa x normal al mismo. Cp. es posible trazar una curva para cada una de las fuerzas centrífugas Fcg. y por lo tanto Fc. Fcp = fuerza centrífuga que equilibra P. reemplazando Fc/r por su valor tgϕ. sobre el funcionamiento del regulador. En la figura (Fig. La curva C que se observa en la misma figura. es preciso que a cada posición del manguito le corresponda una velocidad de rotación n distinta. por lo que el equilibrio solo se logra para un valor determinado de ésta. existiendo una regulación gradual que disminuye la alimentación del motor cuando su velocidad aumenta y aumentando la alimentación cuando la velocidad disminuye. de una recta que pasa por O. El funcionamiento del regulador es estable en cualquier posición del manguito. para este caso. será también constante cualquiera sea la carga o par resistente.80) b) ϕ2 > ϕ1. ya que al experimentar la velocidad de rotación del eje del motor un pequeño aumento. Es decir.n ≈ 30 1 30 tgϕ = tgϕ G G (8. siendo la regulación astática.14). y por lo tanto su tangente. descendiendo hasta su posición más baja cuando disminuye la misma.77) se hace: 30 =K G Por lo que la (8. por lo que no se logra en ningún caso. reemplazando 30/G por su valor K. Es decir que para cualquier posición del manguito la velocidad angular es la misma. la curva C tiene la forma.77).8.77) Como el peso G es una constante. ya que no se obtiene una regulación gradual de la velocidad. De la figura (Fig. resulta finalmente: (8. También el ángulo ϕ aumenta progresivamente. (8.8. o el número n de vueltas por minuto. según se indica en la figura (Fig. siendo la regulación estática.78) n = K tgϕ = K (tgϕ ) 2 1 (8. en la (8. a medida que se separan las masas centrífugas m.Para que un regulador pueda cumplir su cometido y obtener una regulación gradual.79) Es decir que la velocidad angular de un regulador de velocidad depende del ángulo ϕ que forma el radio vector trazado desde O a un punto de la curva C y el eje Or. se observa que la condición de estabilidad del regulador se cumple para la siguientes relaciones: a) r2 > r1. se observa: 1. 2. según se indica en la figura (Fig. o también isócrona o isodrómica.15). la velocidad angular ω.15). Analizando las distintas posibilidades que presentan estas curvas. Para otros valores. Este tipo de regulador es inservible para máquinas motrices.8. siendo el regulador del sistema todo o nada. la regulación es inestable. aumenta el radio r de rotación de su baricentro. el manguito se eleva hasta la posición más alta.Si el ángulo ϕ permanece constante para cualquier punto de la curva C. c) tgϕ2 > tgϕ1 . la posición de equilibrio. aumentando a su vez la fuerza centrífuga Fc. 82) 5. c) tgϕ1< tgϕ2 (8. y por lo tanto disminuye su tangente.8. Para la condición de inestabilidad. b) ϕ 1 > ϕ2. siendo: a) r2 > r1.83) a) r2 > r1.16). b) ϕ 1 < ϕ2. se observa: a) r2 > r1. seguirá siendo estable luego de dicho punto. se muestra una curva C convexa. en forma inestable. y si es inestable. en las dos posiciones infinitamente próximas correspondientes a este punto. que cuando aumenta el radio r por efecto de la velocidad de rotación del motor. b) ϕ 1 > ϕ2.84) Después del punto Qa es inestable. c) tgϕ 1 > tgϕ2 (8. lo que corresponde a un regulador inestable. inservible para una regulación gradual. El punto Qa. Por lo tanto. c) tgϕ1< tgϕ2 (8.82) Después del punto Qa.En la figura (Fig. como muestra la figura (Fig. antes del punto Qa.17) las curvas C corresponden a un regulador.8.8. seguirá siendo inestable. b) ϕ 1 < ϕ2. b) ϕ 1 > ϕ2.83) En la curva inferior. es un punto astático. siendo: a) r2 > r1. es para cualquier posición del manguito: a) r2 > r1. c) tgϕ 1 > tgϕ2 (8. la velocidad de rotación n aumenta y r disminuye. Antes de Qa en la curva superior. punto de tangencia. se comporta en forma estable para una porción de la curva. a medida que el manguito se desplaza a su posición más baja. es estable. la velocidad angular ω es constante cualquiera sea el par resistente. siendo: a) r2 > r1. De la figura (Fig.8. el regulador. en la curva superior.Si la curva C presenta un punto de inflexión en Qa.81) 4. b) ϕ 1 > ϕ2. el regulador es estable. en la que se puede observar. el ángulo ϕ disminuye. el regulador es inestable. para la condición de estabilidad.En la figura (Fig. y para otra.16). b) ϕ 1 < ϕ2. en cualquier posición del manguito es: c) tgϕ 1 > tgϕ2 (8. En la curva inferior.84) . que para una cierta posición del manguito.3. c) tgϕ 1 > tgϕ2 (8. si es estable. c) tgϕ1< tgϕ2 (8.18). siendo: a) r2 > r1. y luego de unas pocas oscilaciones amortiguadoras. siendo este último el que actúa sobre el mecanismo de admisión. se han desarrollado reguladores denominados de acción indirecta.19). Se puede notar que el esfuerzo de apertura de la válvula de ingreso de vapor lo hace la bomba b de aceite. En estas condiciones el aceite que ingresa por n a la válvula i. se volvería a abrir la válvula l. palancas. la posición asignada. Además el grado de insensibilidad debe ser pequeño para lograr una rápida respuesta ante cualquier variación de la velocidad. el cual es un fenómeno que aparece cuando la válvula de admisión sobrepasa en ambos sentidos. se indica como está constituido y como funciona un regulador de acción indirecta. Estabilidad del regulador: Con el fin de lograr estabilidad en este regulador.En los reguladores de acción directa estudiados. pero como el punto f2 ha descendido. se afecta la precisión del regulador. absorbiendo las pequeñas perturbaciones eventuales que puedan producirse. Si la velocidad de rotación disminuye por el aumento de la cupla resistente. A continuación. el número de revoluciones que aumentaba desciende nuevamente a su valor normal. no llegando al equilibrio. sin que intervenga el mecanismo de admisión de vapor. y por lo tanto en el desplazamiento del émbolo. pero como el manguito d del regulador de velocidad también desciende. la nueva posición del manguito d se ha ajustado a la nueva situación. actúan sobre un elemento intermedio.20). queda el sistema en una nueva posición de equilibrio. el pistón p de la válvula i de distribución del aceite que envía a presión la bomba b penetrando por el conducto n y puede retornar por el conducto m al depósito de aceite t. por lo que si la magnitud del trabajo resistente varía apreciablemente. las fuerzas que se deben realizar son grandes. por lo que se tiene un regulador voluminoso. con el obturador o. el proceso se repite pero en sentido contrario. el cual opone resistencia al movimiento de un émbolo que se desplaza dentro del mismo. válvulas y resortes que actúan. la válvula de regulación del vapor l disminuyendo el caudal de la cañería de llegada de vapor j-u. se utiliza un amortiguador. Regulador de acción indirecta: A los efectos de evitar el inconveniente que se presentaban con los reguladores de acción directa. El regulador centrífugo a varía la posición del manguito d levantándolo si aumenta la velocidad de rotación del motor (disminución de la carga). Pero por la gran inercia de este regulador.8. El aceite que se encuentra en la parte inferior c del cilindro s retorna por h2 y sale por m' al depósito t de la bomba. Se puede variar la posición de f1 mediante un tornillo g fijando una nueva velocidad de la máquina. La resistencia del aceite al desplazamiento del pistón crece en relación directa con la velocidad de este último. los cuales a los efectos de amplificar la acción del regulador. existe el peligro de penduleo. pasará por el conducto h1 al cilindro s del servomotor.8. ya sea manualmente o desde . por lo general un servomotor hidráulico. Y si para contrarrestar esta situación se le aumenta el grado de insensibilidad. Como se suministra menos vapor. La válvula V regula la abertura del orificio que deja escurrir el aceite fuera del cilindro. el que se indica en la figura (Fig. estando compuesto por un cilindro que contiene aceite u otro fluido de viscosidad elevada. en el esquema de la figura (Fig. Mientras el punto de apoyo f1 de la palanca e1 esté fijo. la potencia disminuye adecuándose a la carga. debido a las masas. resultando por lo tanto que un regulador de acción directa y pequeño grado de insensibilidad es inestable. con lo que se logra una mayor o menor velocidad de escurrimiento. oscilando alrededor de ella entre dos posiciones extremas. el amortiguador hace que el manguito se mueva lentamente. cuando percibe la variación de la velocidad de rotación que indica el regulador. como ya se mencionara precedentemente. f3 descenderá y el pistón p obturará nuevamente el conducto h1. el cual desplaza el vástago z cerrando parcialmente. actuando sobre la cara superior del pistón k. el punto f3 se levantará y con él. cuyo esquema simplificado se muestra en la figura (Fig. venciendo la tensión S del resorte R. el cual rota.r.8. también aumentará la fuerza centrífuga Fc.Elementos de Máquinas . ------------()-------------Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía TÍTULO .8. según se indica en la figura (Fig.Diseño en Ingeniería Mecánica AUTOR H.Cálculo de Elementos de Máquinas . disminuyendo al mismo tiempo la fuerza centrífuga Fc hasta que su momento respecto a O es equilibrado por el correspondiente a la tensión S del resorte R según la expresión: Fc = M . se desplaza actuando sobre el mecanismo L. el que a su vez actúa sobre los órganos de admisión. disminuyendo la potencia del motor. El vástago Z. que se encuentra en el extremo de la varilla C.Mecánica Técnica y Mecanismos .85) Esta fuerza hace desplazar a la masa M.Fundamentals of Mechanical Design . A la varilla C se encuentra fijado un vástago Z perpendicular a la misma.Elementos de Máquinas .A.b g (8.8. Shigley EDITORIAL Labor Gustavo Gili Reverté Gustavo Gili Alsina McGraw-Hill Uteha McGraw-Hill . Spotts Academia Hütte Vallance-Doughtie Hall-Holowenco-Lau Baumeister y Marks J.21). Phelan Ramírez Vázquez Mario Ninci El Ateneo Melior McGraw-Hill CEAC Teuco . se encuentra anclado en N y sujeta por el otro extremo a la varilla C. constituido por un plato giratorio. Regulador axial de fuerza centrífuga El regulador axial de fuerza centrífuga.Diseño de Máquinas .ω 2 . el cual es paralelo al eje principal O’ de rotación. una masa esférica M. Fratschner M. cuya tensión se puede regular. el cual se puede desplazar por la ranura J cuando se desplaza la varilla C.21b).Máquinas Motrices Generadores de Energía Electrica . con lo cual vuelve a disminuir la velocidad angular ω. Facorro Ruiz M. el que se indica en la figura (Fig.ω 2 = G r.Proyecto de Elementos de Máquinas . Dubbel Dr. sobre la cual ejerce la tracción S. la que está dada por la expresión: (8.Manual del Ingeniero Hütte II A .ω 2 g G r. Si la velocidad angular ω aumenta.Manual del Constructor de Máquinas .a = S . Ing. F. O.21a).Manual del Ingeniero Mecánico de Marks .Teoría de los Motores Térmicos Pezzano-Klein L. un resorte R. pudiendo rotar alrededor de este eje. a la velocidad angular ω alrededor del eje O’. en equilibrio dinámico. es un regulador plano.el tablero incorporando un motor eléctrico al tornillo g.86) con lo que se logra la regulación automática. la cual está articulada en O. etc. avería. Como lubricantes sólidos se tiene la grasa (pastoso). etc.9 LUBRICACIÓN Y COJINETES Generalidades Cuando un elemento de máquina está soportado por un segundo elemento. según el tipo de rozamiento que experimentan y por el tipo de carga que soportan.Cojinetes de guías. existirá elevación de temperatura y un desgaste rápido y pronunciado de éstas. y hay un movimiento relativo entre ellos. En la figura (Fig. colizas. Tipos de lubricantes Lubricante es toda substancia que forma una película entre las superficies rozantes de sólidos. Entre los primeros se cuentan los cojinetes de casquillo completo o buje y los de casquillo partido. zapatas. siendo por lo general líquido o pastoso. En estas condiciones.2) se muestran los distintos tipos mencionados Lubricación de cojinetes Desde el momento que existe un movimiento relativo entre las superficies de contacto. Esta substancia recibe el nombre de lubricante. y si las superficies se tocan entre sí. un collar de empuje.9. . etc. Según la carga que soportan. que soportan cargas axiales transmitidas por ejes verticales rotantes o pivotes. con peligro de deformación. arrastre de material. Para mayor ilustración. se tiene: 1. Los lubricantes gaseosos como el aire.9. Entre los segundos los de bolas o rodillos. 3. de tal forma que las superficies en contacto deslizan una sobre la otra. De esta manera se reemplaza el rozamiento entre sólido-sólido por otro entre sólido-líquido o pastoso.Cojinetes radiales.Cojinetes axiales o de empuje. que soportan cargas radiales transmitidas por ejes horizontales rotantes o gorrones. disminuir el desgaste y evitar averías. impidiendo en cierto grado el contacto directo de éstas entre sí. el cual puede ser un gorrón. Los lubricantes pueden ser líquidos. Entre los líquidos se cuenta el agua. trabajan a presión y en muchos casos en compartimentos estancos. etc.1) se muestran estos dos tipos de cojinetes. guiando los elementos móviles con trayectoria rectilínea. que soportan cargas de distintos tipos. los aceites lubricantes. disulfuro de molibdeno. Según el tipo de rozamiento se distinguen los cojinetes de fricción o de deslizamiento. el grafito. Pero comúnmente se ha dado en llamar cojinete al elemento que soporta o sobre el cual se mueve el otro elemento. A fin de reducir el rozamiento. y que al mismo tiempo tenga muy bajo índice de rozamiento. se coloca entre ambas superficies una substancia formando un colchón o película que las mantenga separadas. se dice que los cojinetes trabajan lubricados. como son los patines de deslizamiento. una cierta cantidad de energía será utilizado en vencer la fuerza debido al rozamiento. en la figura (Fig. 2. y los cojinetes de antifricción o de rodadura. el conjunto constituye un cojinete. Tipos de cojinetes Los cojinetes se clasifican por lo general. sólidos y gaseosos. etc. haciéndose ω constante.2) Donde es h la altura del cilindro y R1 su radio.R1 (9. cuyo radio es R1.4). Se la define como el frotamiento interno entre las moléculas del fluido cuando deslizan una sobre otras. es una medida del frotamiento interno del fluido o de su resistencia al cizallamiento. 2. igual al del cilindro interior. su velocidad tangencial v es: v = ω. v =0. Determinación de la viscosidad. o para obligar a una superficie a deslizar sobre otra cuando hay una o capa líquida entre ambas.El líquido en contacto con la pared fija está en reposo. Si por efecto de la fuerza F.3).El líquido en contacto con la pared del cilindro móvil tiene igual velocidad tangencial v que ésta. por ser ω constante. según se indica.1) (9.Viscosidad Es una de las propiedades más importantes de un fluido. siendo la resistencia que presenta el mismo a fluir.9. según muestra la figura (Fig. Analizando un pequeño arco entre los dos cilindros. según muestra la figura (Fig. luego se equilibran los momentos originados por la fuerza F y la fuerza resistente del lubricante.3). La fuerza necesaria para deslizar una superficie o capa líquida sobre otra. tanto mayor es la resistencia interna que ofrece el lubricante. cuyos radios R1 y R2 tenían una diferencia L muy pequeña entre sí. aparecerá un momento.9. de tal forma que se puede considerar como recto el tramo de arco considerado. es decir.3) Además. es decir: L = R2 – R1 Siendo L el espesor de la película lubricante. Por causa de la viscosidad es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa líquida. R1 (9. Viscosidad dinámica o absoluta Isaac Newton estudió el comportamiento de un fluido lubricante contenido entre dos cilindros concéntricos.4) Al comienzo el movimiento es acelerado.h (9. Un fluido de baja viscosidad. correspondiente al peso de la pesa indicada en la figura (Fig.π. El área A de la superficie del cilindro interior es: A = 2. 3. el cilindro interior gira a una velocidad angular ω. en un movimiento laminar. Cuanto mayor es este movimiento relativo. manteniéndose inmóvil el cilindro exterior y el interior con un movimiento uniforme. fluirá más fácilmente que otro de mayor viscosidad. a deslizar sobre otra.R1. se observa lo siguiente: 1. dado por la expresión: M = F. en la mismas condiciones de presión y temperatura. como la fuerza es aplicada tangencialmente al tambor.9.En las capas intermedias el líquido aumenta su velocidad . se tiene: F v =µ A L F = µ. La aguja I indica en una escala graduada un valor proporcional a la viscosidad del líquido. El mismo consta de dos cilindros.7) Si se considera la variación diferencial de la velocidad entre dos capas de fluido separadas un dy.11) se reemplaza L.cm dina. M = µ. o sea: τ= F A F v ∝ A L (9.12) . 4. F en dina y L en cm.8) por R1.R1 R2 − R1 R1 (9.A v L F F .6) La proporcionalidad dada por la (9. A y ω por sus valores dados por la (9. e inversamente proporcional al espesor L de la película fluida.01R1.uniformemente. uno interior y otro exterior.R1 .4). introduciéndose en el espacio existente entre ambos el líquido cuya viscosidad se desea obtener.7c) está dado A en cm2.1). un instante posterior ocupará la posición abc’d’. v en cm/s. El cilindro interno de radio R1 se encuentra frenado por un muelle o resorte M calibrado.9) A la expresión dada por la (9.10) Viscosímetro de Mac Michel: La viscosidad absoluta o dinámica µ se la puede obtener con el viscosímetro de MacMichel. una porción del fluido ocupa la posición abcd indicada en la figura (9.5). la dimensión de µ resulta: µ = dina. a la que se denominó coeficiente de viscosidad dinámica o absoluta.2π .s a) 1 poise = cm 2 y b) 1 centipoise (cp) = 10-2 poise (9.h ω . el cual se basa en los cilindros concéntricos utilizados por Newton.4) que da el momento M se obtiene: F .9) se la denomina poise. es decir que la deformación unitaria por cizalladura del líquido aumenta constantemente. A v R1 L (9. o sea: a) ⇒ b) (9.Si es A el área de la placa móvil y es F la fuerza que actúa sobre la misma.11) es válida solo para L<< R1. Newton determinó que el esfuerzo cortante τf es directamente proporcional a la derivada respecto al tiempo de la deformación unitaria por cizalladura. en tanto que el cilindro externo de radio R2 gira.8) Siendo dy perpendicular al flujo.L µ= A = v v.11) La expresión Si en la (9.R1 = M = µ .6) se transforma en igualdad introduciendo una constante de proporcionalidad µ. la cual se obtiene de la manera siguiente: Si se multiplican ambos miembros de la expresión (9. Por lo tanto se tiene que es: dina. lo que ocurre cuando es L ≤ 0. se obtiene: (9.cm s (9. (9.9. A (9. y teniendo en cuenta la (9. cuyo esquema se representa en la figura (Fig. el esfuerzo de corte unitario entre las partículas del fluido es: (9.s = cm cm 2 2 . Si en la expresión (9. siendo por lo tanto el flujo laminar.3) respectivamente.5) En un instante dado. y así sucesivamente. También se puede obtener mediante una expresión. A ⇒ c) L dv dy F = µ.2) y (9. o directamente viscosidad. o sea a la velocidad v de la placa. r 3 . Si se introduce una esfera dentro del fluido.13) La expresión (9.13) se utiliza en el viscosímetro de MacMichel para obtener la viscosidad absoluta o dinámica.6). Ya que obtener las condiciones exigidas con este instrumento para lograr medidas precisas de la viscosidad.r 3 .19) 4 me = π . es muy dificultoso.R13 (9. se tiene: Peso de la esfera: 4 P = me .12).g 3 (9.14) constituye la ley de Stokes. la que resulta de restar a la (9. Ley de Stokes Cuando un fluido viscoso se mueve alrededor de una cuerpo con movimiento estacionario. Además sobre la esfera actúan la fuerza del peso propio P hacia abajo.17): 4 FR = P − E = π . la cual se indica en la figura (Fig. etc.µ.17) La resultante de estas dos fuerzas opuestas es FR.18) por la (9.v (9. una fuerza resistente Fs.16) la (9.20) . Para analizar las fuerzas que actúan y facilitar el cálculo se adopta un cuerpo de forma esférica.r 3 ρ f . Si es ρe la densidad del material de la esfera y ρf la densidad del fluido. por variación de la velocidad. o cuando ésta se desplaza en el interior de un fluido viscoso en reposo.18) Del segundo principio de Newton se obtiene la aceleración ae de la esfera: a) FR = me . según la (9.r 3 ρ e . se ejerce sobre el cuerpo debido a la viscosidad.ω .g 3 4 E = π .19b): (9.Despejando µ de la (9.ρ e 3 Dividiendo la (9.(R2 − R1 ) 2π . vibraciones. de abajo hacia arriba. y debido a la necesidad de contar con los valores de la viscosidad de los fluidos con rapidez y precisión.16) Empuje: (9.14) La expresión (9.h.ae Como la masa de la esfera es: ⇒ b) ae = (9.. y se la deja caer partiendo del reposo. y el empuje E que recibe la esfera. para lograr construir instrumentos que permitan en algunos casos. igual al peso del volumen desalojado.g (ρ e − ρ f 3 ) FR me (9.9. obtenerla. pero los resultados son aplicables a un cuerpo de cualquier forma. se han estudiado la aplicación de las leyes de la mecánica de los fluidos. Stokes encontró que esta fuerza resistente Fs está dada por la expresión: Fs = 6π. es decir con velocidad inicial nula: v=0 (9. finalmente se obtiene: µ= M . y dentro de ciertos límites.g = π .20) se obtiene.15) La resistencia debida a la fuerza de la viscosidad es nula al principio. se puede determinar la viscosidad absoluta en centipoises. ρ f. dada por la (9.g 9 l µ = k ( ρe . con lo que se introducirían errores apreciables. ya que para valores menores el tiempo de caída es muy corto.25) se toma como constante k a: 2 r 2 . obteniéndose la constante total K del aparato.g (ρ e − ρ f 9 ve ) ve = l t (9.7).27) solo es aplicable a un fluido contenido en un tubo de dimensiones infinitas.26): k= 2 r 2 . que la fuerza FR dirigida hacia abajo. por lo que se alcanzará al cabo de un tiempo una velocidad tal. l y g. se calibra el instrumento mediante un fluido de viscosidad conocida.t (9. consistente en un tubo que contiene el líquido cuya viscosidad se quiere medir.22b) se cumple siempre que la velocidad no sea tan grande que se origine un régimen turbulento en el fluido. A medida que aumenta la velocidad de la esfera. y la resistencia Fs. reemplazando k dado por la (9.21) Como resultado de esta aceleración.ρ f ).23) La velocidad v de la esfera se la puede obtener dividiendo el camino l recorrido por la esfera por el tiempo empleado en hacerlo.t µ= b) 9 l (9.r 3 . ρe. el valor de µ: 4 π .ve b) 3 µ= (9.25) resulta.26) Por lo tanto.22) La relación (9. Solo se recomienda el uso de este instrumento para viscosidades iguales o mayores a 1000 centipoises.g (ρ e − ρ f ) = 6π .ae = ρe − ρ f g ρe (9.g (ρ e − ρ f ). existiendo una resistencia Fs del fluido sobre la esfera que se opone a su caída. De la expresión (9. serán iguales. Si esto ocurre. llamada velocidad límite.27) Viscosímetro de caída de bola: La expresión (9. dejando caer la esfera o bola dentro del líquido incognita y midiendo el tiempo t de caída. se puede escribir: a) FR = Fs ⇒ (9. resultando: µ = K ( ρe . Pero la (9. por pasajes de términos. es decir: 2 r 2 .g (ρ e − ρ f 9 l t ) ⇒ En la (9. reemplazando el valor de ve dado por la (9.25) (9. Por lo tanto. donde conociendo r.ρ f ).t (9.24) en la (9.22b) se obtiene.28) Se utiliza una esfera de pequeño diámetro en relación al diámetro del tubo de caída.µ .18).27) es la utilizada en el viscosímetro de caída de bola. el cual se muestra en la figura (Fig.9.14).23) se obtiene: µ= a) 2 r 2 . de tal forma que la bola al caer no esté expuesta a las condiciones de borde causadas por las paredes del tubo.r. moviéndose la esfera a partir de ese instante con velocidad constante. la (9. dada por la (9. Para evitar este inconveniente y obtener un instrumento de utilidad práctica. aumenta también la resistencia en proporción directa. que introducen errores apreciables. . inmerso en baño maría de temperatura constante. la esfera adquiere una velocidad ve dirigida hacia abajo. la resistencia que opone el fluido es mucho mayor que la dada por la ley de Stokes.24) Por lo tanto. de radio r. no existiendo ninguna aceleración. la velocidad de desplazamiento del líquido es constante. Además. resultando por lo tanto el gradiente negativo: dv dr < 0 (9. es: dv Grad = dr (9. y permite medir en forma sencilla la viscosidad absoluta y acceder al concepto de la viscosidad cinemática.33) Por otra parte.Poiseuille En el estudio de la lubricación.32) La fuerza Fe resultante de las presiones que se ejercen sobre el área dada por la (9.34) . Tomando un tubo capilar de longitud l y radio R.32) es: Fe = ∆p. siendo l mucho mayor que R. de tal manera que no influye sobre las fuerzas de cizallamiento que se oponen al movimiento.30) En el centro del tubo.l (9.8b). es importante conocer como se comporta el flujo de un líquido viscoso a través de un tubo capilar. por lo que se pueden despreciar las pérdidas provocadas por el líquido a la entrada y a la salida del tubo. El gradiente de velocidad entre dos capas de lubricante que se encuentran a la distancia dr una de otra. la velocidad del líquido viscoso es máxima.r2 (9.29) Para la capa de líquido.9).r2 (9. Además el peso del líquido dentro del capilar es muy pequeño.π. que se encuentra a la distancia r. sobre el cual actúan las presiones p1 y p2 está dado por la expresión: An = π. que a medida que aumenta r disminuye v. La ley de Hagen .9. siendo nula en la pared debido a la resistencia por rozamiento que opone la rugosidad de la misma.9.r. según se muestra en la figura (Fig. el área Ac de la superficie cilíndrica de longitud l y radio r. Es decir que el movimiento del líquido solo lo produce la diferencia de presión entre los dos extremos del tubo. la velocidad es v.An = ( p1 – p2 ).9.31) El área An de la superficie normal al eje del elemento cilíndrico de fluido. según se observa en la figura (Fig. del elemento de fluido es: Ac = 2π.8). Es decir.Ley de Hagen . Si se considera un elemento cilíndrico de lubricante de radio r que se mueve debido a la diferencia de presiones: ∆ p = p1 – p2 (9.Poiseulle es el resultado del estudio realizado sobre el flujo de un líquido viscoso a través de un tubo capilar. el cual se muestra en la figura (Fig. También permite calcular la pérdida de presión en los conductos hidráulicos y de alimentación para una velocidad determinada. 40) C es la constante de integración.l .36) Por no existir aceleración.36). obteniendo: Fµ = − µ .dA (9. el gradiente será .43) El caudal Q de líquido que circula se lo puede obtener sabiendo que el mismo es igual a la velocidad del fluido por el área de la sección que atraviesa.40b): a) 0= p1 − p 2 2 .r. se pueden igualar el tercer miembro de la (9.l.41) Reemplazando en la (9. que por ser negativo.42) La expresión (9.dv/dr. es decir: dQ = v.l (9.l (9.R 4 µ .l ( p1 − p 2 ).l ( ) (9.dr 2 µ .l ⇒ b) C=− p1 − p 2 2 .l 2 µ .33) con el segundo miembro de la expresión (9.40) el valor de C dado por la (9. aplicando esta condición: (9.R + C 4 µ .38) − dv = Integrando la (9. el sistema de fuerzas que actúan. estará dada por la expresión (9.2π . A dv dr dv dr (9.35) (9. A.dr 2 µ . está en equilibrio.30).38). la cual es posible conocer aplicando las condiciones conocidas del flujo. Para r = 0 es v = máximo.l p1 − p 2 2 .41b).r.l ∫ ⇒ b) −v = (9. se obtiene: −v = a) p1 − p 2 2 ⎛ p1 − p1 2 ⎞ . Por lo tanto se tendrá: ⎛ dv ⎞ Fµ = µ . aplicándolo en la (9. luego. es decir: Fe = F µ (9.42b). ya que se sabe que para r = R es v = 0.R 4 µ .r + ⎜ − .π .r + C 4 µ .⎜ − ⎟ a) ⎝ dr ⎠ Por la (9.dr = 1 r.35b) resulta: ⇒ b) Fµ = − µ .La fuerza que ejerce la viscosidad sobre el área de la superficie cilíndrica dada por la (9. pero teniendo en cuenta.R ⎟ ⎜ ⎟ 4 µ .42b) es una función parabólica.8). la (9.37) Por lo tanto. según la (9.34). dv dr Despejando dv de la (9.39) para obtener v: p1 − p 2 r.l 4 µ .2π .34).l ⎝ ⎠ ⇒ b) v= p1 − p 2 2 R − r2 4 µ .44) v max = p1 − p 2 2 . se obtiene: (9.r 2 = − µ.39) a) ∫ − dv = ∫ p1 − p 2 p − p2 r. debidas a las presiones y a la viscosidad del líquido. resultando la (9. un tubo capilar permite obtener la viscosidad absoluta de un líquido.g. por lo que se puede escribir: ∆p = p1 – p2 = ρ. es decir su centésima parte. el primer miembro entre Q y 0. y el segundo miembro entre 0 y R: dQ = p1 − p 2 2 R − r 2 .h (9.dr = ∫0 R − r r. la altura del líquido para obtener la fuerza necesaria para que se produzca su movimiento.l 4 µ .l π .48) el coeficiente de viscosidad µ.50). Debido a que es difícil obtener un aparato que realmente cumpla con todos los requisitos mecánicos.r. se obtiene: (9.50) Reemplazando en la (9. Además.49).Q.l (9. con los que se pueden obtener la viscosidad absoluta en forma indirecta. Viscosidad cinemática µ= Según lo visto anteriormente. a) por resultar la primera una unidad muy grande.46) Integrando al (9. se obtiene: Q= π .l ( ) ( ) (9. por el cual circula un fluido con velocidad moderada.49) La expresión (9.R 4 ( p1 − p 2 ) 8. Por tal motivo.l (9. La diferencia de presiones ∆p = p1 – p2 puede ser sustituida por la altura media efectiva h de caída del líquido.R 4 ( p1 − p 2 ) 8µ.l ( ) ∫ Q 0 dQ = ∫ R 0 p1 − p 2 2 2π ( p1 − p 2 ) R 2 2 R − r 2 .10). Por lo tanto.Q.44) el valor de v dado por la (9. se puede escribir: 8. se obtiene las condiciones de la diferencia de presiones constantes a la entrada y salida del mismo. utilizándose generalmente el centistokes. el cual se muestra en la figura (Fig. midiendo el tiempo que emplea una cierta cantidad de fluido en atravesar por un conducto cilíndrico calibrado.Q.52) La viscosidad cinemática ν se mide en stokes.45).dr 4 µ .g. siendo por lo tanto. De la expresión (9. y permite conocer la viscosidad absoluta o dinámica cuando se conoce la diferencia constante de presiones a la entrada y salida del tubo.h ν= µ ρ .g.R 4 . siendo de aplicación al mismo la expresión (9.45) Reemplazando en la (9.dr (9. y por el hecho de poder obtener un flujo laminar dentro de un tubo capilar.dr 4 µ .ρ (9.h 8.52b) se puede obtener como está compuesta esta ν= π . despejando de la (9. conociendo su densidad ρ y la aceleración g de la gravedad. para lograr que un fluido adquiera velocidad y desplazamiento uniforme.h = ρ 8.46).51) El segundo miembro de la (9. Utilizando la caída libre de un líquido a través de un tubo capilar. y se la designa con el símbolo ν.47).49) el valor de ∆p dado por la (9.l ⇒ b) ⇒ c) µ = ν .π.R 4 .9. se obtiene: a) µ= π . depende de su densidad.42b) y el valor de dA dado por la (9.r.49) es la ley de Hagen – Poiseuille para el flujo de un líquido viscoso en un tubo capilar.R 4 . la viscosidad cinemática de un fluido igual a su viscosidad absoluta µ dividida su densidad ρ.El diferencial de área dA.r. la obtención de medidas con precisión de la viscosidad absoluta en forma directa es dificultosa.48) O también.ρ .2π .Q. su radio y longitud y el caudal que circula.51b) se denomina viscosidad cinemática. ha hecho posible el diseño de instrumentos más baratos y más fácil de operar. está dado por la expresión: dA = 2.g. su valor será: (9.l ⇒ b) µ π .47) Resolviendo la (9.2π . reemplazando en la misma las unidades de la viscosidad µ absoluta y de la densidad ρ por las unidades básicas que las componen.1016 mm. para obtener la viscosidad de un líquido.9. El equipo se completa con la resitencia de calentamiento.11). Las viscosidades Saybolt en segundos. hasta que el líquido llegue al enrase. La longitud l del tubo de salida con el orificio calibrado es de 12. cuyo esquema se muestra en la figura (Fig. que por lo general está entre 100 ºF (37. introduciendo este último en el recipiente del líquido. existiendo distintos aparatos que dan su medida. según el aparato con la cual se la obtiene. SU) y la Furol (seg.8ºC) y 210ºF (98. a través de un orificio calibrado. por debajo de los 200 segundos comienza a presentar una gran diferencia con la viscosidad cinemática. 60 cm3 del mismo.SF). previa colocación del tapón de corcho para impedir que caiga el líquido. Se calienta el baño a la temperatura de medición y retirando el tapón. la Universal (seg.2682 mm ± 0. Viscosidad Redwood . Los equipos utilizados para ambos casos. siendo para Saybolt Universal ∅1. los termómetros y el agitador. tomándose el tiempo con un cronómetro.53) cm 2 a) 1 stokes=1 s y b) 1 centistokes = 10-2 stokes (9. El ensayo se realiza. donde los tiempos de caída sean superiores a 250 segundos Saybolt Universal. es uno de los aparatos más utilizados. Viscosidad Saybolt El viscosímetro Saybolt.9ºC). principalmente en los Estados Unidos de Norteamérica. no debiéndose utilizar el aparato para obtener las viscosidades cinemáticas cuando el tiempo en segundos Saybolt es igual o menor a 40 segundos. denominándose generalmente la viscosidad.01524 mm y para Saybolt Furol ∅3.15mm ± 0. El tiempo así obtenido es la viscosidad en segundos Saybolt del líquido ensayado. y la segunda para líquidos pesados.cm s 2 µ s 2 cm 2 = cm = ν = gr ρ s 3 cm Se tiene entonces que es: (9.unidad. la cual se obtiene midiendo el tiempo en segundos que tarda en escurrir.54) La viscosidad cinemática es la más utilizada.765mm ± 0. se lo deja caer en el matraz aforado. por lo que se obtiene: gr. Existen dos tipos de viscosidades Saybolt. difieren únicamente en los diámetros de los orificios calibrados de escurrimiento. utilizándose la primera para líquidos livianos. hasta que rebose el mismo.02719 mm.a una temperatura determinada. En Inglaterra se utiliza la viscosidad Redwood. a 20 ºC de temperatura. entre los que se vierte el aceite o el agua que constituirá el baño de calentamiento. y consiste en el cociente entre el tiempo en segundos que tarda en derramarse 200 cm3 del líquido cuya viscosidad se desea conocer. el cual es de 50 cm3. La ecuación dada por la (9.4 mm y a la salida de ∅ 2. Las constantes A y B para las viscosidades Saybolt.55) Donde A y B son constantes obtenidas experimentalmente y t el tiempo en segundos. obteniéndose un número que da la viscosidad en grados Engler (ºE). el viscosímetro que utiliza el principio del tubo capilar. funcionando de la siguiente forma: Se carga el líquido por el tubo 1. más empleado para obtener la viscosidad cinemática. Viscosímetro Ostwald modificado En la actualidad. con orificio de salida de ∅ 1.12). Conversión a los distintos sistemas Herschel ha demostrado que la viscosidad cinemática puede representarse por la ecuación: (9.55) es lo bastante precisa para trabajos en la práctica.62 mm y Redwood Nº2. consta. En la figura (Fig. Una vez obtenidas las condiciones de ensayo. el cual se denomina viscosímetro Engler. un matraz aforado para 200 cm3. difiriendo en el volumen que escurre. de dos recipientes. con orificio de salida de ∅ 3.t − B t . por lo general. según el diámetro del orificio de escurrimiento. y en el recipiente interior el líquido cuya viscosidad se desea medir.147 B 180 171 374 ν = A.8 mm. Redwood y Engler. Una vez obtenida la viscosidad cinemática. Viscosidad Engler La viscosidad Engler se utiliza en el continente europeo.26 0. todo. conociendo la densidad del líquido se puede conocer la viscosidad absoluta aplicando la (9. se aspira el líquido cargado hasta el tubo 2 hasta que el .9. por su gran exactitud. pudiendo en los caso de líquidos muy viscosos utilizar temperaturas de 50 ºC y hasta 100 ºC. el Redwood Nº1. obteniéndose la viscosidad en segundos Redwood. y un tapón de madera para impedir la caída del líquido hasta que no se obtengan las condiciones del ensayo.22 0. un tubo de salida de longitud l de 20 mm con orificios calibrados a la entrada de ∅ 2. dividiéndose por el tiempo de caída del agua. es el viscosímetro de Ostwald modificado. se retira el tapón y se toma con un cronómetro el tiempo de caída del líquido.80 mm.9. que se obtiene de la misma manera que la Saybolt. se lleva a la temperatura constante el aparato mediante un baño líquido. El equipo se completa con los termómetros. según muestra la figura (Fig. empleado universalmente como patrón de medida. cuyo valor constituye la constante del aparato.13) se muestra en forma esquemática este viscosímetro. El aparato. variando entre 51 y 52 segundos a 20 ºC. y el tiempo en segundos que tarda en derramarse 200 cm3 de agua. agitador y sistema de calentamiento.52). diferenciándose también dos tipos. se dan en la siguiente tabla: Viscosidad Saybolt Universal Redwood Engler A 0. el estudiante puede consultar la bibliografía especializada que se menciona al final del capítulo. desarrolló un método empírico para obtener la variación de la viscosidad de los aceites lubricantes hidrocarbonados con la temperatura.6 9. ideado por Ubelohde y modificado por Fitz Simons. superior e inferior. siendo el valor de la viscosidad el tiempo empleado en segundos por el menisco para descender entre las dos líneas grabadas de referencia en ambos extremos. como la que se muestra a continuación: log10 log ( ν + 0.3 12. ya que si la misma disminuye demasiado se pueden producir desgastes prematuros y excesivos.3 12. del bulbo B. adoptó un sistema mediante el cual los aceites se clasificaban de acuerdo a sus viscosidades. Por tal motivo es importante conocer la variación de la viscosidad con la temperatura. como por ejemplo los lubricantes elaborados a partir de los hidrocarburos. pesados y muy pesados.5 16.6 5. en ligeros. en un principio se clasificaron según el uso. Clasificación de los aceites lubricantes Debido a la importancia de obtener una buena lubricación. construidos con una ecuación logarítmica. en caso de ser de interés. transcribiéndose a continuación una tabla que muestra algunos valores de viscosidades. presentan un brusca disminución de la viscosidad al aumentar la temperatura.56) .5 16.bulbo B se encuentre totalmente lleno y se lo deja caer. Esta clasificación fue adoptada mundialmente. incluso el deterioro de la pieza lubricada.0 3250 21700 14. relacionándolas mediante gráficos o cartas. Otro viscosímetro que utiliza el principio de tubo capilar es el de nivel suspendido. el cual. La Sociedad Norteamericana de Ensayos de Materiales (ASTM). Por tal motivo.1 5. los aceites lubricantes. la Asociación de Ingenieros de Automotores de los Estados Unidos. Lubricante Número SAE Viscosidad cinemática a 18ºC Viscosidad cinemática a 100ºC Min cSt Aceite para motor 5 W (winter) 10 W 20 W 20 30 40 50 Aceites para transmisión 75 80 90 140 250 3250 --------1300 2600 Max cSt 1300 1600 10500 Min cSt 3.24 25 43 25 43 ----- Influencia de la temperatura en la viscosidad La viscosidad de un fluido disminuye con el aumento de la temperatura.8 4. siendo actualizada continuamente. Pero esta clasificación causaba confusión. El aparato debe ser previamente calibrado con un fluido normalizado. lo que traía aparejado la inadecuada lubricación del equipo o motor. asignándoles un número SAE. medios.3 22. principalmente en los automotores.3 Max cSt 9.8 ) = n log10T + C (9. Es importante que el lubricante conserve su viscosidad dentro de ciertos límites. 9. Este índice de viscosidad VI está dado por la expresión: VI % = En la (9. utilizándose los que presenten resistencia adecuadas a estos factores. da la aptitud de un lubricante para mantener su fluidez o viscosidad dentro de un intervalo de temperatura. Índice de viscosidad: Una manera muy usada para conocer la variación de la viscosidad con la temperatura de un aceite lubricante. y ambas de la misma viscosidad a 210 ºF.Esta ecuación da una línea recta y concuerda muy bien con los resultados de ensayos. Para la elección de un lubricante. Se debe tratar de utilizar sistemas sencillos y efectivos de lubricación. es necesario conocer. donde la línea superior representa un aceite de VI = 0. con el agregado de aditivos a los aceites lubricantes hidrocarbonados. los que aparecen en la Tablas de índices de viscosidad ASTM (D567). Dean y Davis encontraron dos series de aceites. o totalmente fluida. si la película es lo suficientemente gruesa para mantener . una de las cartas de la ASTM para la viscosidad en segundos Saybolt Universal. se obtienen VI superiores a 100. El mismo surgió de haber asignado a un lubricante que tenía muy poca disminución de su viscosidad con el aumento de la temperatura el índice cien. Se debe. establecido por Dean y Davis. Es decir. es decir VI = 100. a que velocidades y presiones estará expuesto. y a otro lubricante que presentaba una gran disminución de su viscosidad con el aumento de la temperatura. El aceite cuyo VI se desea conocer está representado por la línea de trazos. en tanto que la figura (Fig. T la temperatura absoluta en grados Rankine. sobre todo. teniendo en cuenta que la película lubricante formada por el movimiento de las superficies puede ser.14b) correspondería a un gráfico de la misma relación viscosidadtemperatura con los mismos datos. pero en coordenadas cartesianas. o sea VI = 0.57) está representada gráficamente en la figura (Fig.57) U : viscosidad de la muestra de lubricante a 40 ºC L viscosidad a 40 ºC de un aceite con VI = 0. es utilizando el Índice de Viscosidad VI. En al figura (Fig.57) se tiene que es: - L −U × 100 L−H (9.14a) se puede conocer como varía la viscosidad para distintas temperaturas.9. el índice cero. que el índice de viscosidad da una medida de la aproximación del aceite incógnita al de índice de viscosidad 100. una de índice de viscosidad 100 y la otra de índice de viscosidad 0. En la (9. además de la temperatura. y de la misma viscosidad que la muestra a 100 ºC H es la viscosidad a 40 ºC de un aceite con VI = 100 y de la misma viscosidad que la muestra a 100 ºC. consultando los casos especiales cuando sea necesario.56) es ν la viscosidad cinemática en centistokes. y la inferior un aceite de VI = 100. Determinación del coeficiente de rozamiento en cojinetes de deslizamiento lubricados Se analizará la lubricación hidrodinámica de los cojinetes. n y C constantes para el aceite en cuestión. El índice de viscosidad VI. seguir los consejos del fabricante. permitiendo conocer la viscosidad de un aceite a cualquier temperatura si se conoce sus viscosidades a dos temperaturas determinadas. y con la aparición de los lubricantes sintéticos.14a) se muestra. La ecuación (9.9.15).9. solo en forma ilustrativa. Actualmente. Con las cartas de la ASTM indicada en la figura (Fig. 9.d.p. Para el caso de película fluida. siendo dv la diferencia de velocidad entre ellas. de la (9.p p π ⇒ c) de (9. obteniéndose en este caso siempre una película gruesa. debido al rozamiento existente entre capa y capa de fluido al deslizar unas sobre otras.16).8) se considera que la distancia de separación entre dos capas es de. la (9.S µπ dv S f .d ⇒ b) P = p.62b). cuando ésta última no tiene el espesor suficiente para mantener completamente separadas las superficies en movimiento.59) Si se analiza el cojinete de fricción de la figura (Fig. o semifluida o de película delgada.60) y de la (9.63) se puede escribir: = d .9b).P (9.l (9. existiendo en este caso. Cuando el lubricante es introducido a presión entre las superficies. En cambio.l S (9.66) . para una superficie S.64) R = f .65) La fuerza R obtenida a partir del rozamiento es la misma que la obtenida a partir de la viscosidad. es: a) = l. debido a su viscosidad existe un rozamiento interno entre las capas del mismo. en el flujo de un fluido. la superficie S’ sobre la que actúa la fuerza P es: S’ (9. produce la fuerza de rozamiento R.62) Por lo tanto.59) se obtiene: (9. en el de película delgada. Siendo la superficie S igual a: dv de (9. la fuerza normal P que soporta la película de lubricante. resulta: R = f. puede emplearse cualquier lubricante ya que el mismo solo se utiliza para separar las superficies.l. la expresión que da R.d De la (9.totalmente separadas las superficies en movimiento. la lubricación se denomina hidrostática. se puede escribir: F = µ .de = dv = f . es: R = f.66c): µ .d (9. por lo que se tiene: a) F = R ⇒ b) Integrando al (9.58) S = π. Según lo visto anteriormente.63) S π Por la (9.60) De la figura (Fig.64). Si se denomina f al coeficiente de rozamiento.l.S . el lubricante debe tener la propiedad de reducir el desgaste y la fricción del metal de las superficies en contacto y cuando se encuentran en movimiento.61) La presión p producida en la superficie S’ por P. siendo F la fuerza necesaria para provocar su desplazamiento.d p= P P = S ′ l. Si en la expresión (9. p. algún contacto entre las superficies. π (9. d = 60 60 (9.73) en la (9. 2π 2 µ n d 2π 2 1 µ n = 60 p c 60 c p d .71) En la (9.69) π 2 . se tiene: f = (9.a) Como es: f ∫ de = 0 e µπ p ∫ v 0 dv ⇒ b) f .68).73) Reemplazando el valor de e dado por la (9.π 1 p v e (9.74) Siendo en la (9.n. se tiene: f = Haciendo en la (9.π π .67c) el valor de v dado por la (9.74) p la presión media sobre el área proyectada l.9. n.d µ n 60 e p (9. la película de aceite de la lubricación es: e= c 2 (9.r = 2π .70) Se obtiene: f = K1 µn p (9. dado en cm por cm del diámetro.69).69): µ.68) Reemplazando en la (9. por estar centrado el gorrón.d 1 p 60 e K1 = = π 2 . y c/d la luz o juego relativo del cojinete. Si ahora se considera un gorrón.71) es f el coeficiente de rozamiento en cojinetes lubricados y K1 una constante característica de cada cojinete.67) v = ω . siendo D el diámetro interno del cojinete y d el diámetro del gorrón. figura (Fig.r π .n.d. girando centrado dentro de un cojinete de deslizamiento.e = µπ p v ⇒ c) f = µ.17).d 60 e (9. el juego existente entre ambos es: c=D–d (9.72) Si además. 19). trasladando el punto de .20).9. donde el juego entre ambos está exagerado para mejor interpretación. como se indica en la figura (Fig. según se indica en la figura (Fig. Si el gorrón está detenido. que fueron construidos experimentalmente. máxima en el centro y mínima en los extremos. Suponiendo un gorrón y su cojinete como el que se muestra en la figura (Fig.9. como el de la figura (Fig. existiendo una carga vertical P que aprieta el gorrón contra el cojinete. es decir. se asienta abajo y hace contacto con el cojinete en a. determinaron que el coeficiente de rozamiento puede hallarse mediante la ecuación empírica: f = 332.20a). Cuando comienza a girar.9.18). Se mantiene todo el espacio entre gorrón y cojinete lleno de aceite. Debido a la carga P que soporta el gorrón.75) Siendo K2 una constante o factor de corrección que está dado en función del cociente del largo l del gorrón sobre el diámetro d del gorrón: ⎛l⎞ K2 = φ ⎜ ⎟ ⎝d ⎠ (9. la presión p que se ejerce sobre la película del aceite lubricante hace que éste escape por los borde del cojinete. Formación de la película lubricante con el movimiento Se debe tratar de mantener entre gorrón y cojinete una película de separación completa de aceite.Ensayos realizados en pequeños gorrones.9.76) El valor de K2 puede ser obtenido de gráficos.9.19b).5 µ n d + K2 1011 p c (9. rueda hacia la parte izquierda del cojinete. obteniéndose un diagrama de presiones como el indicado en la figura (Fig. o sea el diámetro por su longitud. El aumento de la carga hará que el gorrón se asiente más sobre el cojinete. existe entonces. separando las superficies en contacto. El estudiante. se logra la posición de mínimo juego de funcionamiento en el punto c indicado en la figura (Fig.79) ⎛d ⎞ µn k3 = ⎜ ⎟ ⎝c⎠ p (9. alcanzando un mínimo en la zona m. El gorrón se desliza y comienza a girar.9. Curva del coeficiente de rozamiento en función del módulo El factor µn/p aparece ya en el análisis del coeficiente de rozamiento f de cojinetes lubricados. La representación gráfica de f en función de µn/p. módulo del cojinete. Si el gorrón gira a n vueltas por minuto. dependiendo su posición exacta del juego real c. deja de formarse la cuña de aceite debajo del gorrón y la película de aceite se rompe.9.9. hasta que se alcanza la posición de equilibrio. deberá recurrir a la bibliografía especializada que se indica al final del capitulo. genera una presión que alcanza un máximo en x.20b). Se partirá de la ecuación que da esta presión en función de la velocidad tangencial v del gorrón. permite obtener las . aumentando el grosor de la película que lo levanta aún más. En esta situación. a cierta distancia a la izquierda del punto del mínimo juego c. que comienza a formarse al girar el eje que eleva al gorrón y tiende a autocentrarlo.79): 6µ π d 2 n p= k′ 2c2 ⇒ 2 1 ⎛µn⎞ d2 ⎟ 3π 2 =⎜ ⎜ ⎟ c b) k ′ ⎝ p ⎠ (9. de la viscosidad µ del aceite y de la carga P sobre el gorrón. se puede sustituir v por su valor en función de n: v = π. una delgada película de aceite en forma de cuña.77) En la (9.9. arrastrando más aceite entre las superficies.21).n. si fuera de su interés conocer el desarrollo para la deducción de la misma. y luego decrece a lo largo de la parte derecha del cojinete. En esta situación se producen contactos entre las superficies del gorrón y del cojinete.77) el valor de v dado por la (9. Una disminución de la velocidad o viscosidad produce el mismo efecto. denominándose a µ. desarrollada por Reynolds a partir de los resultados obtenidos por Tower en sus experiencias de lubricación de cojinetes.80) La (9.d Reemplazando en la (9. Después que el gorrón alcanzó la posición de equilibrio. del diámetro d del cojinete y del juego c entre gorrón y cojinete. en el punto de rotura. el aceite que se mueve en la parte izquierda. pudiendo obtenerse la misma por aplicación de la teoría hidrodinámica de la lubricación. de la velocidad de rotación ω. siendo el gorrón y el cojinete lubricados por una película parcial. en un modo general. cuyo empleo resulta conveniente como medida aproximada de las condiciones de lubricación que existen en el cojinete. lo que puede ocasionar la avería de las piezas. Si el suministro de aceite no alcanza el valor mínimo necesario.80) es el Número de Sommerfeld. el lubricante es transportado hacia la parte superior por adherencia.78) resulta: (9. A medida que la velocidad de rotación aumenta.77) k’ es un factor que depende de la característica constructiva del cojinete y de la relación entre el largo y el diámetro del gorrón. Módulo del cojinete La presión máxima en un cojinete de carga radial alcanza un valor doble al de la presión media sobre el área proyectada del cojinete. indicada en la figura (Fig. produciéndose el estado indicado en la figura (Fig.contacto y estableciendo un juego mínimo en b con el aceite que es arrastrado e introducido entre el gorrón y el cojinete.22). con la elevación de la temperatura y desgastes.74). Cuando el suministro de aceite es insuficiente para llenar el juego entre el gorrón y el cojinete totalmente. donde se observa la dependencia. con lo cual no es posible que tenga una lubricación fluida.n/p. interviniendo en la expresión (9. sustituyendo el rozamiento fluido al de metal con metal. según muestra la figura (Fig. de la viscosidad µ del lubricante.78) 6µ v d k′ 2c2 a) Siendo en la (9. del coeficiente f del factor µn/p. el aceite arrastrado bajo el gorrón genera una presión que lo fuerza hacia arriba y a la derecha. p= (9.20c). siendo el punto C donde comienza la lubricación total o fluida. Esta condición también se da en el arranque de los motores que no cuentan con presión de lubricación previa al mismo.23) indica las condiciones de funcionamiento de un cojinete de diámetro D con centro en O. pueden ser necesarios valores de hasta 15C. fuerza soportada por el eje. de la velocidad de rotación n y del ángulo β formado entre el eje de la carga y el comienzo de la cuña de aceite. lo que trae implicado aumento en los coeficientes de rozamiento fluidos. pudiendo ocurrir el rozamiento seco en zonas localizadas donde no alcanza la acción de la película. y en aquellos casos que la carga está sujeta a grandes fluctuaciones y fuertes impactos.9.125 mm Obtención de la película mínima de aceite a gorrón cargado La figura (Fig. De C a D la película lubricante es gruesa y el rozamiento es totalmente fluido. el espesor mínimo de la película de aceite es suficiente para que no se produzca el contacto entre las crestas de las superficies del gorrón y del cojinete. . existiendo una capa protectora de pocas moléculas que si bien pueden evitar que las superficies se averíen. bronces. más gruesa debe ser la película. como por ejemplo cuando la carga que debe soportar es elevada. y gorrón de diámetro d con centro en G. de los que depende el espesor mínimo de la película lubricante. ya que ello determina el espesor de la película de aceite. Existen diferentes factores en un cojinete. dependiendo el coeficiente de rozamiento de las condiciones de las superficies y de las características del lubricante utilizado. Para estos cojinetes. tanto del gorrón como del cojinete. llamados de antifricción. si no existiera ninguna ranura de lubricación antes. pérdidas de potencia y calentamientos más elevados. acabado fino Metal rosado (Babbitt) Cojinetes usados en Motores de baja revoluciones Aviones y automóviles Turbogeneradores Espesor de la película lubricante ≥ 0. velocidad de rotación del eje. que son endurecidos superficialmente para que no sufran un rápido desgaste. puede tomarse igual a 60º a partir del eje de carga. Cuanto más rugosa es la superficie. estando además solicitado por una fuerza radial P. ya que en puntos cercanos al C. La lubricación mixta se produce en los casos que las condiciones de trabajo causan la rotura parcial de la película de aceite. Desde A hasta C la película aún es delgada. Como el gorrón no se encuentra perfectamente centrado con el cojinete. debe trabajarse con valores de µn/p de por lo menos tres veces el valor de C. habiendo partido este último de la posición de reposo con centro en G’. Espesor mínimo de la película de aceite Si la lubricación es fluida. trabajando los cojinetes casi con rozamiento seco. teniéndose una lubricación mixta o semifluida. cuando la velocidad de rotación es baja. indicando este punto el espesor mínimo de película para obtener un rozamiento fluido. metal rosado. como son el diámetro del gorrón y cojinete. Es muy importante el acabado de la superficie. el que a su vez depende de la presión p sobre la superficie proyectada del gorrón. El ángulo β. rugosidad de las superficies en contacto. Para evitar peligros de averías. la excentricidad entre ambos ejes es e. pueden producirse rozamientos secos con calentamientos y desgastes perjudiciales. en la que se observa en la zona hasta A se tiene una película muy delgada. de la viscosidad µ del aceite lubricante. A fin de evitar o disminuir en la medida de lo posible calentamientos o deterioros de las superficies de los gorrones. denominados metal blanco. y de acuerdo a la experiencia. cuando el cojinete es de 360º.019 mm ≥ 0. por disminución en la velocidad de rotación o por incremento de la carga.0025 mm De 0. las superficies de los cojinetes son construyen de material especial. la viscosidad es muy baja o cuando hay insuficiencia en el suministro de lubricante. que gira a n vueltas por minuto. A partir del punto B la película de aceite se hace más gruesa. y otras denominaciones acordes con la composición de la aleación utilizada.075 mm a 0. El espesor mínimo h de la película de aceite dependerá de la posición del centro G del eje. puede indicarse los siguientes espesores para la película de aceite: Metal antifricción Metal blanco Bronce. de la relación del juego radial o luz c/2 entre gorrón y cojinete. no evitan su pronunciado y prematuro desgaste.condiciones de rozamiento en las cuales trabaja un cojinete lubricado. el cual corresponde a la posición donde la presión de aceite es máxima. 81) Por otra parte.83) Reemplazando en la (9.23). La relación existente entre la excentricidad e del eje del gorrón y el juego radial c/2 entre el gorrón y el cojinete se denomina relación de excentricidad y se la designa Ce. que dan este valor. los que están en función de parámetros que tienen en cuenta las fugas laterales de aceite que reducen la presión media entre las superficies del cojinete y del gorrón.82) Pero como es: (9. el cual se obtiene en función de l/d de diagramas confeccionadas experimentalmente.84) ángulo β como el se muestra en la figura (9. se debe recurrir a datos experimentales que den los valores de Ce.81b).84a) que da el espesor h de la película de aceite. se obtiene: a) D−d c = 2 2 h= c c − e = (1 − C e ) 2 2 ⇒ b) Ce = 1 − 2h c (9.C e c e= ⇒ b) 2 2 h= D d D−d − −e = −e 2 2 2 (9. o sea: Ce = a) (9.83). del número de Sommerfeld (µn/p)(d/c)2. el centro del eje se mueve siguiendo un arco semicircular de diámetro c/2.9. para distintos valores del Deformación del gorrón y juego . el espesor h de la película lubricante. Existen diagramas obtenidos de experiencias. es: e = cos ϕ c.24a). según la figura (Fig.De acuerdo a la teoría hidrodinámica de la lubricación pelicular.82) el valor de c/2 dado por la (9. y de factores como el coeficiente de carga de fugas laterales CL. Para resolver la expresión (9. y teniendo en cuenta la (9. la relación l/d entre la longitud del cojinete y el diámetro del gorrón. 88) por el área proyectada A.a C m = 2.L ⎛ L ⎞ p. La presión crítica dependerá en cada caso de los materiales usados en los cojinetes.L2 ⎟ + 6.d .86) Cojinete 2: C 2m p .87) Cm está en centímetros para p y E en kg/cm2 y los demás parámetros en centímetros. del efecto del desgaste sobre el buen funcionamiento de la máquina y del costo de las reparaciones.87) En las expresiones (9.55 ⎜ ⎟ + 3.D ⎠ 3 3 (9.L2 = 2. teniendo en cuenta la deformación del eje y del gorrón. y otro apoyo intermedio. estando la fuerza F aplicada en la parte en voladizo. pueden rozar con la superficie del cojinete. a una distancia b del cojinete 2.10 6 h.10 7 ⎛d ⎞ 2 L ⎜ ⎟ ⎝c⎠ L+d . Tatarinoff da.55 2 2 E ⎛ c 2 .4 1 1 4 1 c 2 E ⎜ d1 ⎟ E .n = A 45. valor que puede disminuirse a la mitad para cojinetes antifricción de metales blandos y aumentarse al doble para bronces.25a) se indica con Cm el juego necesario para evitar este rozamiento.L2 (2c − a ). éste flexiona de tal forma que los extremos del gorrón. resultando: (9.D ⎝ ⎠ ⎛ L2 ⎜ ⎜d ⎝ 2 ⎞ p d . como regla práctica para determinar Cm se puede tomar.86) y (9.L ⎛ L ⎞ p . c la distancia entre los apoyos y L longitud del cojinete. y la presión sobre el área proyectada es p. con diámetro d1 del gorrón y longitud L1 del cojinete.85) En el segundo miembro de la (9.d 4 (L d ) 2 1805. debido a la deformación. En la figura (Fig. Para evitar esto se debe dejar el juego necesario entre gorrón y cojinete.D 4 3 (9. 2 4 2 ⎟ E . como indica la figura (Fig. No se cuenta con ninguna expresión que de valores confiables para la presión crítica. la expresión empírica: F= µ.9. Presión crítica de funcionamiento Se denomina presión crítica de funcionamiento a aquella a la cual rompe la película de aceite. presentándose entonces una lubricación imperfecta y rozando entonces la superficies metálicas del gorrón y cojinete. con un módulo de elasticidad E del material del mismo. de diámetro D.25c).d . la presión permisible se la puede obtener dividiendo la carga F dada por la (9.d. por cada milímetro del diámetro del gorrón.b ⎞ ⎜ ⎜c+b⎟ ⎟ ⎝ ⎠ (9. con diámetro d2 del gorrón y longitud L2 del cojinete.25b) se muestra un eje apoyado como una viga simple.9.89) La presión unitaria permitida con lubricación imperfecta depende de la intensidad del uso. p= F µ . 0.88) Si el espesor h de la película es c/4 y el área A proyectada del cojinete es L. Si ahora el eje presenta dos apoyos.001 mm como valor de deformación.9.4 E ⎝d ⎠ E .L = 2.c ⎛ L ⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ d⎠ (9.2. se utiliza la expresión semiempírica: p. para la carga de funcionamiento seguro. el primer término corresponde a la deformación del gorrón en tanto que el segundo término corresponde a la deformación del eje. para el cálculo del juego necesario Cm.55 1 1 ⎜ 1 ⎟ + 3.8 2. cojinete 2. En la figura (Fig. se tendrá que el juego necesario es posible calcularlo con la expresión: Cojinete 1: C1m p . uno en el extremo. Para los cálculos que resultan engorrosos.Cuando el eje de una máquina recibe una carga.n. Para la lubricación pelicular. Si sobre el eje actúa una fuerza F a una distancia a de uno de sus apoyos. siendo d el diámetro de su gorrón. cojinete 1. y sobre todo del grado de pulimento de las superficies en contacto.85). 93) Como v se puede conocer midiendo la velocidad de rotación n. Por lo tanto.Calor de rozamiento en los cojinetes Debido al rozamiento existe una potencia necesaria para vencer las fuerzas resistentes que aparecen por esta causa. se obtiene: a) H = f.P (9.l.v (9.92) Por lo tanto. el cual haría disminuir la viscosidad del aceite lubricante. Las temperaturas de trabajo por lo general no deben superar lo 80 ºC. se vería afectado además.91).d 60 (9. estando esta última dada por la (9.68). aumentando su fluidez y por lo tanto su escurrimiento del cojinete.l. si bien la temperatura del cojinete es menor que la del aceite.. Por otra parte. por lo que reemplazando en la (9. por lo que disminuirían los efectos de la lubricación con los peligros de la avería de las superficies en movimiento. Analizando la figura (Fig. el calor H generado en la unidad de tiempo por la fuerza resistente R de rozamiento para una velocidad tangencial v del gorrón. R resulta: R = f. debido a la mejora de las propiedades lubricantes y de los materiales. reemplazando en la (9.v ⇒ b) H = f. el cual debe ser disipado a los efectos de evitar el calentamiento excesivo del cojinete.94) H resulta en vatios para P en Newton y v en m/s. el calor excesivo debe ser eliminado de los cojinetes.P. es: P = p.d (9.91) Como P es igual a la presión media p que actúa sobre el área proyectada l. el valor de P dada por la (9. ya que por su bajo punto de fusión. para su diseño y dimensionamiento debe conocerse la temperatura que tomará el mismo.P π n. se llegan a mayores temperaturas.26).v (9.p. aunque actualmente. .93a) el valor de v en función de n: H = f . será: H = R.90) el valor de R dado por la (9. el material del cojinete. para lo cual. y en el valor que resulte.90) Para el coeficiente de rozamiento f del cojinete y la carga P que actúa sobre el gorrón.d.d del gorrón. Esta potencia se transforma en calor. se ablandaría y deformaría.92).9. para el gorrón girando a n vueltas por minuto. cuyos resultados fueron graficados. moviéndose dentro de un compartimiento formado por dos cilindros o pistas. i) los cojinetes de fricción tienen mayor capacidad para soportar sobrecargas e impactos. bronce o de latones especiales.000332 kgm/cm2 ºC. cada uno atendiendo a las exigencias y condiciones específicas de cada servicio para los que son requeridos. los cuales son únicamente indicativos. por unidad de área y por ºC de diferencia de temperatura. si tienen separadores. óxido de zirconio. de agujas. en lugar del acero para las bolas. O. k) los rodamientos debido a la fatiga tienen vida limitada. rodillos y anillos. son cojinetes que utilizan bolas o rodillos que giran. debiéndose usar uno para cada caso.29) se muestran una serie de rodamientos. o 0. de doble hilera. obteniendo curvas similares a la de la figura (Fig.A. en tanto que los cojinetes de fricción solo pueden soportar cargas radiales o axiales. de tal forma que se sustituye el rozamiento de fricción entre dos superficies planas.( tc – ta ) (9. Se puede hacer un análisis comparativo entre ventajas y desventajas entre los cojinetes de fricción y los rodamientos.6 Joule/m2 ºK. e) se detecta por el ruido el comienzo de una la falla en un rodamiento. puede obtenerse de la expresión: H = C.0001184 kgm/cm2 ºC. f) un rodamiento puede usarse en cualquier posición en el espacio y se intercambian más fácilmente que uno de fricción. Existen gráficas. si están bien lubricados pueden durar indefinidamente.5m/s. los de doble hilera de . El coeficiente C. por el rozamiento de rodadura entre una superficie plana y una cilíndrica o esférica. se debe evacuar el exceso de calor perjudicial para el funcionamiento del cojinete. mejorado con aleaciones que le dan características particulares. d) los rodamientos pueden soportar cargas radiales y axiales combinadas. tc temperatura del cojinete y ta temperatura del aire circundante.9.s. en tanto que los cojinetes de fricción. según la firma fabricante. pudiéndose mencionar las siguientes: a) un rodamiento presenta escasa resistencia al arranque o comienzo del movimiento. como la de la figura (Fig. se utilizan materiales cerámicos como la alúmina. Los anillos y bolas o rodillos de los rodamientos se construyen de acero al cromo endurecido hasta el grado Rockwell C58-65. etc.27). Rodamientos o cojinetes antifricción Los rodamientos o cojinetes antifricción. tapas y sellos se fabrican de acero. pero ocupan mayor espacio radial que un cojinete de fricción. A en m2 tc y ta en ºK. según ensayos realizados por G. Para altas temperaturas. en tanto que un cojinete de fricción falla repentinamente y sin aviso previo. por ejemplo 800 ºC.B.s para cojinetes situados en aire calmo.95) Siendo en la (9.s. con grasa en los cojinetes sellados o sistemas simples de lubricación. en tanto que en los de fricción el par de arranque es mucho mayor que el de operación. para un determinado diámetro del eje. de la forma de la superficie de disipación. si son rodamientos autoalineantes. Los separadores. C el coeficiente de la capacidad de disipación de calor en la unidad de tiempo. no aumentando significativamente en su estado de funcionamiento. A es el área de la superficie disipante o de la caja del cojinete incluido su pedestal y parte del tanque de aceite. de rodillos cónicos.Como se dijo. que dan la temperatura de la película lubricante en función de la temperatura del cojinete. C vale 32. no así los cojinetes de fricción. La capacidad de evacuación del calor del cojinete depende de la diferencia de temperaturas. Para el área A proyectada del gorrón. h) las partículas extrañas perjudican menos a un cojinete de fricción que a un rodamiento. por la cantidad de hileras de bolas o rodillos: de simple hilera. entre la que alcanza el cojinete. a rótula u oscilantes. tc y la que alcanza el medio circundante ta. l) los rodamientos son de costo inicial más alto que los cojinetes de fricción. En la figura (Fig. por el tipo de elementos rodantes utilizados: rodamientos de bolas.28). de triple hilera. vale 11. las que relacionan la elevación de la temperatura en la superficie del cojinete con el calor disipado en kgm por segundo y por cm2 de área proyectada. Según la teoría de transferencia de calor. de rodillos cilíndricos.s. de la masa de los elementos adyacentes y del flujo de aire alrededor del cojinete.( tc – ta ). por lo que su diseño deberá contemplar esta situación. Lasche realizó ensayos de elevación de la temperatura con el factor C. ya que no se agota la clases de cojinetes antifricción que existen en el mercado. c) los rodamientos ocupan menor espacio axial. blindados. g) un rodamiento es mucho más ruidoso que un cojinete de fricción. H resulta en Watts para C en Joule/m2s.9.5 Joule/m2 ºK.95). etc. Clasificación Según el tipo de carga que soportan se tienen rodamientos radiales y rodamientos axiales. o 0. para cojinetes con velocidad de aire de 2.ºK. carburo de titanio. Además.9. j) los rodamientos son afectados muy poco por las pequeñas desviaciones transversales del eje. el calor H disipado en la unidad de tiemp. Karelitz en cojinetes aceitados por anillos. b) los rodamientos son fáciles de lubricar. Los cojinetes de bolas pueden soportar cargas combinadas y pequeñas desalineaciones del eje . los de bola axial o de empuje solo soportan cargas axiales pero en combinación con otros pueden soportar grandes cargas radiales y axiales. según el diseño y elemento giratorio del mecanismo.96) Pero es: f = r. cuando se tenía una esfera o rodillo sobre un plano. Los cojinetes de rodillos cónicos combinan la ventaja de los cojinetes de bolas y de rodillos rectos. Si para el momento inminente del movimiento. Los cojinetes de rodillos cilíndricos o rectos pueden soportar mayor carga radial que los de bola del mismo tamaño. girando el conjunto de anillo interior y eje sobre las bolas o esferas.96) el valor de r. las que a su vez lo hacen sobre la pista del anillo exterior. se tenia sobre el sistema las reacciones F de la fuerza horizontal y P reacción de la fuerza vertical.senθ (9. los cuales se encontraban sometidos a una carga P y a una fuerza F. no pudiendo soportar cargas axiales.97).30). Los separadores se utilizan para impedir el contacto de las bolas y absorción de sacudidas producidas por los cambios de velocidades de las mismas. En el agujero (diámetro interior) del anillo interior se introduce a presión el eje del mecanismo. permaneciendo fijo el anillo interior.9. pudiéndose utilizar dos de una hilera con el mismo efecto.98) P es la carga que soporta el rodillo o bola de radio r.97) Reemplazando en la (9. se tiene: F. se toman momentos respecto del centro O. Rozamiento de rodadura Recordando lo visto en el capítulo 2. y f es el coeficiente de rozamiento de rodadura.r. pudiendo soportar cargas radiales y axiales combinadas.cosθ = P. debido a su mayor superficie de contacto.senθ dado por la (9. según se muestra en la figura (Fig. es decir para el equilibrio. se obtiene: f = F cos θ P (9.98) En la (9. En la figura (Fig.r.9. se puede observar un rodamiento a bolas con la designación de sus partes componentes. Esfuerzo debido al contacto entre bolas o rodillos y pistas . y haciendo pasajes de términos. También puede girar el anillo exterior sobre las bolas.bolas soportan mayor carga axial o radial.senθ (9.31). estando este último fijado a presión en la caja de alojamiento o encastre del cojinete. 9. l el largo del rodillo y k la resistencia unitaria admisible a la compresión del material del elemento rodante. para conocer la carga máxima Fc max que soporta cada bola o rodillo.32b): Fc = k.32a): Fc = k. y k = 200 kg/cm2 para rodamientos de trabajo continuo.z. figura (Fig. y las superficies de los cuerpos son perfectamente lisas. para k en kg/cm2 y un número z de bolas o rodillos del rodamiento.100) (9. según muestra la figura (9.9.d 5 (9.l. como el de la figura (Fig.9. produciéndose grietas desde los 550 a 700 kg/cm2.d 2 Para rodillo y plano.d (9. Se darán algunas de estas expresiones como ejemplo de lo mencionado.37 ≅ 5.102) P= k .33).De acuerdo a la teoría de contacto de sólidos elásticos.101) Tomando en la (9. pueden tomarse de las siguientes expresiones: Para bola y plano. teniendo en cuenta la distribución de las cargas tanto en cojinetes radiales como axiales. el esfuerzo Fc sobre la bola o rodillo más cargado.99) Siendo Fc la resistencia de la bola o rodillo. según indica la figura (Fig. se adopta k = 100 kg/cm2 para rodamientos de trabajo intermitente.d 2 5 (9. d diámetro de la bola o rodillo.34): Si es: Fa = P.z 4.103) Para bolas de acero al cromo con carga de rotura de 3500 a 3700 . o combinados. se puede escribir: Para bolas.101b) 4.33). Si es P la carga radial en kg sobre el rodamiento.37 ⇒ b) z (9.z. a) Para rodamientos de bolas o rodillos con contacto radial y carga radial P actuando sobre el rodamiento.9. se han establecido una serie de fórmulas prácticas que consideran distintas solicitaciones de los rodamientos.99): P= Para rodillos. es: a) Fc = F . según datos de ensayos estáticos realizados por Stribeck.tgα (9.l.105) . figura (Fig.37 P= c P 4. se puede aplicar la fórmula práctica dada por Stribeck: Fc max = 5 P z (9. la fuerza normal entre bolas y planos y rodillos y planos. Distribución de la carga en rodamientos radiales Debido a la amplitud de utilización de los cojinetes de antifricción o rodamientos. según la (9. según la (9.100): k . donde se supone que no se exceda el límite de proporcionalidad de elasticidad del material.104) b) Rodamientos con contactos formando un ángulo α y cargado con una fuerza F inclinada un ángulo β respecto del plano vertical. 110) Para e = 0.106) (9.senα (9.108) Si β aumenta hasta 90º. como el que se muestra en la figura (Fig. la carga del elemento rodante más comprometido es: Fc max = 4.25P. y para β = 90º.36).rm la carga máxima Fc max la soporta una sola bola: Fc max = 2.111) Fc max = 3.z.6 Si es e = rm una sola bola soporta toda la carga. cos α (9.6.senα (9.37 P z.108) Cuando un rodamiento axial de bolas.9.107) Fa = 1.9.tgα La bola o rodillo más expuesto debe resistir una carga: Fc = 4. es para cada bola o rodillo: Fc = Fa z.113) . pero α = 90º: Fa z (9.rm es: Fa z Fa z (9. está soportando una carga Fa. cos α (9.Se carga un solo elemento con la fuerza máxima Fc max: Fc max = Cuando es: P cos α (9. la carga se reparte cada vez más uniformemente entre todos los elementos rodantes.36 Para e = 0.109) c) Si el rodamiento es de doble hilera como se indica en la figura (Fig.37 Distribución de la carga en rodamientos axiales P 2.35).8.112) (9. es: Fc = b) Para carga descentrada.109) Si fuera además α = 90º. se tiene: a) Para carga centrada: Fc = Fa z. siendo: F c = Fa (9. α : ángulo de contacto comprendido entre la línea de acción de la carga sobre la bola y un plano perpendicular al eje del cojinete.116).114) En la otra hilera. Si es e = 2rm.6 Fa z (9. hacen que se generen fallas por fatiga superficial de los elementos en contacto. f0: factor que depende del cojinete. temperaturas. Esta carga. z. de su resistencia a la deformación.9. rozamientos. su velocidad. como la capacidad de carga estática.6rm. z. se han definido. C0: la capacidad de carga estática. l cosα (9. duración y resistencia dentro de los límites impuestos por la tecnología aplicada. soportando cargas combinadas en forma cíclica. la mitad de las bolas en cada hilera están cargadas con la fuerza máxima: Fc max = 4.118) Siendo en la (9. en una hilera carga el 80% de las bolas con una carga máxima: Fc1 max = 4. d: diámetro de las bolas o rodillos. si bien pequeña en muchos casos. basados sobre todo en resultados experimentales. el cual se muestra en la figura (Fig. impactos. para establecer la resistencia del mismo se han definido los conceptos de cargas soportadas por el rodamiento. la capacidad de carga dinámica y la carga equivalente. i. El factor f0 se encuentra en tablas como la que se muestra a continuación: . M el momento estático y z e número de bolas en una hilera.117) (9.37 M 1 rm 2 z (9.117) y (9. etc. i: número de hileras de bolas o rodillos. a los efectos de establecer parámetros que permitan conocer el comportamiento que tendrá un rodamiento. en N/m2 o kg/mm2. l: longitud del rodillo. d 2 cosα C 0 = f0 .c) Rodamiento de doble efecto: para este tipo de rodamiento.118). el rodamiento soporta solo un momento puro en un plano axial. Capacidad de carga y vida de un rodamiento Los esfuerzos a los que se ven sometidos los rodamientos al funcionar a altas velocidades. se tiene que para e > 0. el 20% de las bolas soporta: Fc 2 max = 0.115) Si fuera e = ∞.8 Fa z (9.116) Siendo. distintos conceptos estadísticos que hay que tener en cuenta cuando se elija un cojinete de este tipo. en la (9. z: número de bolas o rodillos por hilera. d. Está dada por la expresión: Para cojinetes de bolas: Para cojinetes de rodillos: C 0 = f0.. Así. puede traducirse en deformaciones permanentes de sus elementos. Por tal motivo. que puede estar dada en N o kg. se carga la hilera de bolas opuestas. Capacidad de carga estática La capacidad de carga estática es la carga radial que soporta el rodamiento cuando está en reposo.i.37). en tanto que para determinar su duración se define el concepto de vida del rodamiento. estando en N/m2 o en kg/mm2.082.120) Se toma como carga estática equivalente P0 la que resulta mayor de aplicar la (9.84 1 0.76 1 0.cosα )0.5 0. mm 0.5 1 0.123) (9. antes de que aparezcan los primeros indicios de fatiga.2 para la rotación del anillo exterior.33 Cojinete de dos hileras X0 Y0 0. la carga estática equivalente P0 está dada por la expresión: P0 = X0Fr + Y0Fa (9. estando también tabulados. i el número de hileras de bolas y z el número de bolas.4.6 0. tiene en cuenta cuando el cojinete está sometido a cargas radial Fr y axial Fa combinadas. Cojinete de bolas de contacto radial Cojinete de bolas de contacto angular “ “ Capacidad de carga dinámica 20º 25º 30º La capacidad de carga dinámica C es la carga radial. pues se reparte uniformemente en todos los elementos ( bolas o rodillos) al estar el rodamiento girando. el exponente de d es 1.000 (un millón) de vueltas o revoluciones. y un factor V de rotación de pista.5 0.4 mm de diámetro. considerando los factores de carga radial X y axial Y. pulgada 484 1780 Carga estática equivalente Para cojinetes sometidos a cargas estáticas radiales Fr y axiales Fa combinadas. d el diámetro en mm de las bolas. Carga dinámica equivalente La carga dinámica equivalente Pd.119) y (9.7z2/3d1. según se indica a continuación en un extracto de una tabla: Tipo de cojinete α Cojinete de una hileras X0 Y0 0.34 f0 Libra.38 0. Para bolas que no superen los 25. siendo el interior estacionario con relación a la carga.Tipo de cojinete Cojinete de bolas autoalineantes Cojinetes de bolas con surcos de contacto radial y angular 1. para cojinetes de bolas de contacto radial y angular. e igual a 1. resultando C en N o kg. o axial.42 0.121) En la (9. Por lo tanto Pd resulta el mayor valor de las siguientes expresiones: Pd = XVFr + YFa Y Pd = VFr (9.122) .66 X0 e Y0 son factores de cargas radial y axial respectivamente.120).fc ( i. está dado por la expresión: C = 0. Para rodamientos autoalineantes es V=1 para ambos casos.5 0. los cuales dependen del ángulo α.8 (9. Para bolas de diámetros mayores a 25 mm. igual a 1 para la rotación del anillo interior y el exterior fijo con relación a la carga. durante 1.121) fc es un factor que depende principalmente del material empleado. constante que puede soportar un cojinete radial.119) Y P0 = Fr (9.25 Kg. En estos casos la carga estática no tiene mayor influencia.6 0.000. dependiendo sus valores del ángulo α. La capacidad de carga dinámica C para cojinetes de bolas para un millón de vueltas. o axial o de empuje.5 0. dándose a continuación.126) se la puede escribir: L × 10 6 ⎛ C ⎞ 10 6 Lh = =⎜ ⎟ ⎜ P ⎟ 60.63 Y2 1. ángulo grande Cojinetes de doble hilera y duplex α X1 1 <15º >15º 1 1 1 Y1 0 1. por lo que la (9.126) Donde Ln está en millones de vueltas (Mr). por lo que la (9.3 1. designado con L.n ⎝ d⎠ Factor de vida Si en la expresión (9. a modo de ejemplo.75 X2 0.L1 = F2 .7 2 Se llama vida de un rodamiento.5 0. Se mide en número de vueltas o por el número de horas de servicio.L3 = constante 2 (9.5 2 2.122) y (9. la carga dinámica C que soportaba y la carga dinámica equivalente Pd: ⎛C Ln = ⎜ ⎜P ⎝ d ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ b (9. Y y Ks están tabulados. Según los resultados obtenidos de la experiencia.123) resultan: a) Pd = Ks (XVFr + YFa ) y b) Pd = KsVFr (9.128) . L es inversamente proporcional a la carga F que soporta el rodamiento.45 0.4 1.25 Tipos de servicio Carga estática y uniforme Carga con choques ligeros Carga con choques moderados Carga con choques fuertes Carga con choques muy fuertes Vida de un rodamiento Factores de servicio Ks Rodamiento de bolas 1 1. limitado por la fatiga. un extracto de las mismas: Tipo de cojinete Cojinetes de bolas de contacto radial Cojinetes de bolas de contacto angular. ángulo pequeño Cojinetes de bolas de contacto angular.L3 = F . al periodo de servicio del cojinete.75 1.4 0. y b = 10/3 para rodamientos radiales y axiales a rodillos.n 60.126) se hace b = 3 se tiene: b (9.25 0.5 3 Rodamiento de rodillos 1 1 1.2 0.124) Los valores de X.A los efectos de tener en cuenta los choques y fuerzas de impacto a los que estará sometido el rodamiento se tiene en cuenta un factor de servicio Ks.75 0. siendo: F1 L = F2 L a) 1 3 2 1 3 1 1 1 1 3 ⇒ b) F1 . Es común expresar la vida de un rodamiento en horas Lh. siendo b = 3 para rodamiento a bolas radiales y axiales.127) ⎛C Ln = ⎜ ⎜P a) ⎝ d ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 3 ⇒ C 3 = Ln b) Pd ⇒ 3 c) C = Pd Ln (9.125) Estos resultados permitieron establecer experimentalmente la siguiente relación entre la vida Ln del rodamiento. Teoría y Práctica de la Lubricación . O.Cálculo de Elementos de Máquinas . Pueden emplearse aceites y grasas para lubricar.C.Manual del Ingeniero Hütte II A . siendo C0 la capacidad de carga estática. usándose estas últimas para temperaturas inferiores a 90 ºC y velocidades bajas. cuando no son conocidas las condiciones de carga o de trabajo del rodamiento. proteger el elemento de la corrosión. resultando: f h = 3 Lh Estos valores se encuentran tabulados.Elementos de Máquinas . se utiliza un factor de seguridad a fin de cubrir los imponderables.Diseño de elementos de Máquinas .Manual de Mantenimiento Industrial Dudley D. el factor de vida fn se puede tomar en horas de trabajo. la fricción de estos elementos con el lubricante durante el movimiento y la deformación de los elementos en contacto.131) f P f P C C = n d S0 = n d 0 S 0 P0 ⇒ b) P0 C a) C 0 ⇒ c) f n = S0 C P0 C 0 Pd (9.129) La (9. Fuller Aguirre Esponda Morrow .Catalogo técnico de Rodamientos SNR . pistas y separadores.Al factor 3 Ln de la expresión (9. Fratschner M. Un lubricante apropiado debe formar una película entre las superficies en contacto. P0 la carga estática equivalente se puede escribir: C0 = S0. Para velocidades constantes. estableciéndose series para los diámetros exteriores y el ancho. ------------()-------------Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía TÍTULO . La construcción de los rodamientos se han estandarizado a los efectos de facilitar la intercambiabilidad de los mismos. Spotts Academia Hütte Vallance-Doughtie Hall-Holowenco-Lau Baumeister y Marks J.Fundamentals of Mechanical Design AUTOR H.Diseño de Máquinas .S.Manual del Constructor de Máquinas . obteniéndose: (9. es decir: n f n = 3 Ln (9. Es importante la lubricación de los rodamientos. F.128c) se denomina factor de vida f . evacuar el calor generado y proteger la entrada de elementos extraños.Proyecto de Elementos de Máquinas . Si se denomina S0 al factor de seguridad. dejando a criterio del fabricante los parámetros restantes.P0 La capacidad de carga estática y dinámica pueden combinarse. . dependiendo del fabricante.A. caso contrario se debe usar un aceite acorde a las exigencias del trabajo. Factor de seguridad (9.130) Generalmente.132) Estos valores están tabulados y se adoptan de acuerdo a la experiencia.129) es aplicable en rodamientos con velocidades variables.Diseño en Ingeniería Mecánica .Manual del Ingeniero Mecánico de Marks . Ing. Shigley M. Dubbel Dr.E. Phelan EDITORIAL Labor Gustavo Gili Reverté Gustavo Gili Alsina McGraw-Hill Uteha McGraw-Hill McGraw-Hill Interciencias Trillas C.Manual de Rodamientos SKF . ya que existe rozamiento entre los elementos rodantes. almacenamiento de gases. En la figura (Fig. Espesor de la Pared de un cilindro: Los recipientes pueden ser además de paredes delgadas o de paredes gruesas. presentan distintas características. como a los efectos del elemento contenido o transportado sobre el material constitutivo de las paredes. como por ejemplo tanques de vacío. verticales u horizontales. c) Paralelepípedos rectangulares. como ser diámetros adecuados. sus paredes soportarán esfuerzos los cuales pueden ser reducidos a un sistema de tres tensiones normales t ≤ 0. cereales.100 RECIPIENTES Y TUBOS Generalidades La importancia que tienen los recipientes como contenedores de distintos productos de las más variadas características. Los cilíndricos cerrados en ambos extremos. las presiones. como ser corrosión. resistencia a la presión. ya sean pequeños o de grandes dimensiones y los tubos o cañerías utilizadas para su transporte. fibras. según la ASME.10 di . líquidos volátiles o tóxicos. etc. cuando el cociente entre el espesor t de la pared y el diámetro interior di del recipiente es igual o menor a 0. etc. vidrio. d) Formas especiales. como la de bajar el centro de gravedad. en el diseño de un recipiente o una tubería debe tenerse en cuenta. A continuación se analizarán y desarrollarán algunos de los métodos utilizados para este fin. al ataque del elemento que contienen. cobre. rugosidad de las paredes. utilizándose el material más conveniente. digestores. tanto verticales como horizontales. diámetros interno di y externo d0 y espesor t de la pared. resistencia o estéticas. tanto los esfuerzos mecánicos a los que es solicitado. Factores de diseño de un cilindro: Tanto los recipientes como los tubos pueden estar expuestos además de las temperaturas y presiones internas y externas. verticales u horizontales. según sea la utilización que se les dará. se utilizan para almacenar materiales sólidos en polvo o granillosos. pudiendo ser de mampostería. Los cilindros abiertos en un extremo. debiendo reunir determinados requisitos. abiertos o cerrados. valores menores o iguales a 0. considerándose de pared delgada. material sintético.2a) se observa un recipiente cilíndrico de longitud L. Tipos de recipientes Existen distintos tipos de recipientes. Los tubos o cañerías son utilizados generalmente para la conducción de fluidos.10. Los recipientes de formas especiales son utilizados según lo exigen las necesidades de espacio. Por lo tanto.1) se muestran esquemáticamente las formas mencionadas. etc. Otros autores adoptan para este cociente y ser considerados de pared delgada. b) Esféricos. se utilizan para depósitos o para transporte de fluidos. temperaturas y ataques a los que son expuestos. la diversidad de materiales utilizados en su construcción. incrustaciones. Por lo tanto se puede escribir: Recipiente de pared delgada: (10. chapas de hierro o acero. aluminio. calderas de vapor. concentrar las cargas. líquidos no volátiles y no tóxicos. Los esféricos son utilizados para almacenamiento de gas o cuando se necesita gran resistencia a la presión.07. etc. etc. además para distintas operaciones en la industria. pudiendo ser clasificados según sus formas geométricas como: a) Cilíndricos. han conducido a diversos métodos de cálculos para el diseño de los mismos. abrasión. Si este recipiente está sometido a una presión interna pi y externa p0. acero inoxidable.1) Tensiones en las paredes de un recipiente: En la figura (10. los cuales. cuando se desea obtener alguna propiedad particular..05 o 0.10. de L/d0. Por este motivo. La expresión que da Southwell para la longitud crítica Lc es: ⎛ d0 ⎞ ⎟ Lc = 1.6. a los cilindros sometidos a presión externa.entre sí. los cilindros de paredes delgadas y los cilindros de paredes gruesas. llamada también tensión circunferencial o de sunchado y la tensión radial σr. Si la longitud de la pared entre extremos o refuerzos es mayor que la crítica. siendo importante la relación que deben guardar entre sí estos parámetros para determinar la resistencia del recipiente. la presión a la cual colapsa el recipiente. están expuestos a abolladuras.4) Determinación de la tensión normal de tracción sobre la pared de un cilindro de pared delgada con presión interior Como se mencionara precedentemente. sobre dos tipos principales. se los refuerza mediante anillos interiores o exteriores uniformemente espaciados. la tensión tangencial σt y la tensión axial σa. Von Mises. Para cilindros de paredes delgadas se considera que actúan solo dos de ellas. subdividiendo la longitud total. como por ejemplo cilindros en los cuales se ha realizado el vacío.d 0 d0 t (10.2). que es la longitud mínima del recipiente para la cual la resistencia de las paredes a la presión externa es independiente de la longitud del cilindro o tubo.11.3 es: Lc = 1.3a). pc resulta en kg/cm2 si está d0. Sea el cilindro de la figura (Fig. Recipientes sometidos a presión exterior: Los recipientes que se consideran sometidos a presión exterior p0 únicamente.10.E ⎜ ⎜d ⎝ 0 ⎞2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞2 ⎟ ⎟ ⎠ 1 5 ⎛ t L − 0. . y el módulo elástico del material E en kg/cm2. la tensión tangencialσt. El estudio de los recipientes se realiza por lo tanto. se denomina presión crítica pc. de la relación L/d0 entre su longitud L y su diámetro d0 y del módulo de elasticidad E del material. con lo que se logra darle mayor rigidez y resistencia. ya que la tensión radial σr se considera despreciable. siendo una de ellas como la que da la siguiente expresión: pc = ⎛ t 2. se supone para estos cilindros la tensión radial σr despreciable.14 4 1 − µ 2 ⎜ d 0 ⎜ t ⎟ ⎝ ⎠ ( ) (10. donde se ha magnificado un elemento A de la pared del cilindro.2b). además de t/d0 y E. En un cilindro sometido a presión exterior. o ambas a la vez. L y t en cm. y otros. La presión crítica pc a la cual ocurre la abolladura es función de t/d0 y del módulo de elasticidad E del material del cilindro para la longitud crítica Lc. Los recipientes sometidos a presión externa.3) Para µ = 0. es decir a la cual se abolla. dependiendo su grado de estabilidad de la relación t/d0 entre el espesor t de la pared y el diámetro externo d0 del cilindro.45⎜ ⎜d d0 ⎝ 0 (10. siendo mucho más resistente los recipientes cortos que los largos. ya que los fondos o extremos tienden a darle rigidez. según muestra la figura (Fig. siendo L la distancia entre refuerzos. la presión crítica de colapso es función. están expuestos a fallar a menores presiones que los sometidos a presiones internas únicamente.10. pudiendo éstos estar sometidos tanto a presiones internas pi o externas p0. Southwell.2) En la (10. siendo éstas la tensión axial σa . las que fueron obtenidas por Lorentz. Para cilindros de paredes gruesas se consideran actuando las tres tensiones. y para su cálculo se utilizan fórmulas experimentales. con un diámetro interno di y espesor t. L.10.d i 2t ⇒ p= b) 2tσ t di (10. con un diámetro interno di y espesor t. reemplazando en la (10.10. por lo que la (10.10.L.3d).L. axialmente sobre el fondo del recipiente y radialmente sobre toda su pared cilíndrica.7) Por lo tantos.dA.dA.di = 2t. las cuales son constantes en todo su espesor.6) (10. se obtiene: F = ∫ dF = ∫ 2π p. que actúa sobre el medio cilindro y tiende a romperlo a lo largo de dicho plano: F = ∫ dF = ∫ p.10. se obtiene: a) σt = p.5) (10.L (10. cos θ . Si el cilindro está sometido a la presión interna p. la misma se distribuye.10) Si es σt la resistencia unitaria normal de tracción del material.3a) es: dA = L. según la figura (Fig.12).13) Cuando en el cilindro existe una costura o junta.Lσt En el equilibrio.10.ri = p.cosθ (10. cos θ Pero.L.de la figura (Fig.3f).dθ (10. es: Fr = 2t. actúa sobre la superficie cilíndrica de área dA. Para la pared cilíndrica.4) se obtiene la fuerza F perpendicular al plano diametral AB.3e) respectivamente.dθ (10.ri.7) se obtiene: dA = L. generando la fuerza dF sobre la misma.dθ = 2 p. según se indica en las figuras (Fig. de acuerdo al principio de Pascal. que se indica en la figura (Fig.6) el valor de dS dado por la (10.5).Lσt (10.1).3b) y (Fig.12) Haciendo pasajes de términos en la (10.8) Reemplazando el valor de dA dado por la (10. Debido a la presión p el material de la pared soporta tensiones. la componente horizontal de la presión pcosθ. el área resistente A1 es: A1 = 2t.8) en la (10. y θ variando entre -π /2 y π /2.13a) resultará: . cumpliéndose para estos parámetros la expresión (10.3a). debe tenerse en cuenta la eficiencia e de la soldadura o roblonado. integrando para F variando entre 0 y F. debe ser: a) Fr = F ⇒ b) p.10. de la figura (Fig.3e).d i 0 − 2 F π (10. perpendicular al plano diametral AB indicado en la figura (10.ri .11) (10.4) Integrando la (10. resultando: dF = p.9) Por otra parte.dS Pero es: dS = ri. la fuerza resistente Fr total de las paredes del cilindro. 20) Considerando la eficiencia e de la soldadura.t (10.e.3b). es: a) F’ = Fa ⇒ b) (10. en forma normal a la superficie de la pared del extremo o tapa del recipiente.15) La fuerza F’ que actúa sobre esta pared es entonces: F'= p π . según se indica en la figura (Fig. si es σa la resistencia unitaria del material de la tapa.d i 4.d i 4t p= o b) 4t.22) . Si se considera la presión p actuando sobre el área diferencial dA: dA = 2π.16) El área de la superficie de la tapa del recipiente que resiste la fuerza F’ es A1’. σa En el equilibrio.10.10.t (10.17) Por lo tanto. cuyo área A’ es: A' = π .e.t (10.t.σ a di (10.dr (10.di.di. la fuerza Fa que resiste a F’ es: Fa = π.21) En este caso solo actuará la tensión tangencial σt al estar sometida la esfera a la presión interior p.d i2 4 (10.r. y vale: A1’ = π.10.18) p π .4) se representa la esfera de pared delgada de espesor t y radio interno di.d i 2.3c).20a) es: σa = Esfera de pared delgada con presión interior p.d i2 4 = π .σt = p.19) Simplificando y haciendo pasaje de términos en la (10. la cual se indica en la figura (Fig.19b).d i2 4 (10. la (10.14) La presión p actúa. resulta: a) σa = p. En la figura (Fig.σ a (10.d i .t. se obtiene: F = ∫ dF = ∫ 0 F ri 0 ri 2 pπ .28) Si se considera la eficiencia e de la soldadura.d i 4.29) Se puede observar que la tensión tangencial σt producida por la presión p en la pared del recipiente esférico es la mitad de la que produce la misma presión en las paredes de un recipiente cilíndrico. en dos mitades. y por los planos transversales mnm’n’ y kll’k’.d i2 = π .t (10.5b) se muestra un cilindro de pared gruesa y en él un elemento limitado por los planos axiales mm’l’l y nn’k’k. En la figura (Fig.28) resulta: σt = p. para presiones internas mayores que las externas. resulta del producto de la tensión unitaria σt de la resistencia del material de la esfera por el área A’ dada por la (10.10. para F que varía entre 0 y F.dA = p. = pπ ri = 4 2 A’ = π.t.dr (10. sino que dependen de su distancia al eje del cilindro.di.2π. y en ellos ya no se considera que las tensiones son constantes a través del espesor de la misma. se obtiene: (10. según se indica en la figura (Fig.σ t a) F = Fr ⇒ b) 4 Simplificando y haciendo pasajes de términos en la (10.24) El área A’ de la sección de la pared de la esfera que resiste esta fuerza es: (10. por lo tanto es: Fr = π.d i 4.di. motivo por el cual.23). los recipientes esféricos se utilizan cuando se deben soportar grandes presiones.d i .10 Para d i se trata como cilindro de pared gruesa.r.t.2π .25). a lo largo del plano diametral.10.5a). siendo máximas en el radio interior y mínimas en el exterior. Cilindros de paredes gruesas t ≥ 0.e (10.dr = p.Se genera la fuerza dF que tiende a romper la esfera.r. Son utilizadas en la técnica de las altas presiones. el cual .25) La fuerza resistente Fr que se opone a F.d i2 2 p.2π . siendo: dF = p. por las superficies cilíndricas mmkl y m’n’k’l’.t (10.26) pπ . y r entre 0 y ri.27b).t.23) Integrando la (10.27) σt = p. la (10.σt En el equilibrio es: (10. para las fuerzas Fi y Fe.se ha ampliado en la figura (Fig. se pueden obtener las relaciones que dan el valor de las tensiones en función de los parámetros mencionados. las más empleadas. Si en dicha sección se supone un anillo de radio r y espesor dr. Este elemento se mantiene en .d 02 4 (10.Fe es: a) A = Ae – Ai ⇒ b) A= π .30) Las áreas Ai y Ae sobre las que actúan pi y p0 respectivamente.5c). de espesor de pared t y de longitud L. se obtiene para σa: π .6). radiales y tangenciales en cilindros de paredes gruesas sometidos a presión interna y externa Si en el esquema del cilindro de la figura (Fig. Dicho elemento está sometido a tensiones normales a las superficies.d i2 4 (10.d i2 σa = 4 4 2 π . El valor de la tensión axial. según se indica en la figura (Fig. y además se producen las tensiones radial σr y tangencial σt.6).31) Fi = π .33) Reemplazando en la (10. se considera una sección del cilindro normal a su eje.10. que se generan debido a las presiones pi y p0 internas y externas respectivamente. es: σa = Fi − Fe A (10. son: a) Resultando las fuerzas: a) Ai = π . de diámetro interno di y diámetro externo d0.d i2 4 pi y b) Ae = π . sobre el que actúa la presión interna pi y la presión externa p0.d 02 d 02 − d i2 (10.d 02 4 p0 (10. y E el módulo de elasticidad por tracción.32). siendo µ la relación o módulo de Poisson de deformación transversal. Para el estudio de la distribución de tensiones se han desarrollado diversas teorías. de longitud axial unitaria. alejada de los extremos a lo efectos de eliminar las condiciones de borde. no existiendo tensiones cortantes.34) Para determinar σ t y σ r se considera una pequeña porción del material de la pared.d 0 π .d i2 − 4 4 pi − π . y el valor de A dado por la (10. según se indica en la figura (Fig.dθ.33b).10. Determinación de las tensiones axiales.10.d 02 4 − π .d i2 4 y b) Fe = π .10.d 02 p0 = pi . se analizarán a continuación. de las cuales. Ecuaciones de Lamé.30) los valores de Fi y de Fe dados por la (10.32) El área A sobre el que actúa Fi .7). y con la hipótesis de que la tensión axial σa que soporta el material es uniforme a través del espesor de la pared. de espesor radial dr y de ancho circunferencial r.d i2 − p 0 . realizando pasajes de términos: σ r −σt = La (10. espesor dr y largo L.35) se ∆a = (σ a + µ.36) también se puede escribir: a) E.36) σt −σ r = σ a − E.42) resulta: -σ r dr .dr. De la expresión (10.σ r .L y σ r + dσ r como presión externa sobre la Reemplazando en la (10.σ r F2 = 2 (r + dr).L. se puede escribir: F1 = 2.38) (10. una deformación total ∆a en la dirección axial (alargamiento).( σ r + dσ r) = 2.dr.L.σ t ) E obtiene. tensionado dentro del límite elástico.6) se considera como un cilindro de pared delgada. F2 y F3 se obtiene: 2.L.L. siendo la resistencia del material de las paredes σ t que actúa sobre la superficie 2dr.L.8) y (10.σ r dr (10.dσ r = dr.42) σ t = −σ r − r.43) (10. las cantidades ∆a. µ y E se mantienen constantes. σa.41) los valores de F1. debido a las mismas.σ t Sacando paréntesis.40) Si en la figura (10. al cilindro formado de radio r. σ t Realizando la sumatoria de las fuerzas se tiene: F1 – F2 = F3 (10. que de acuerdo a la teoría de deformaciones está dada por la expresión siguiente: (10.σ r = c (10.37) superficie 2(r + dr).equilibrio bajo la acción de las tensiones σa.r. actuando σ r como presión interna sobre la superficie 2r.L.L.39) (10.∆a − σ a µ =c (constante) (10. σ t y σ r.σ r − µ. simplificando y agrupando en la (10. experimentando.10.( σ r + dσ r) F3 = 2. por lo que según las expresiones (10. y de acuerdo a la figura (Fig.8). sometido a una determinada presión.L.rdσ r – dr.dσ r y haciendo pasajes de términos: (10.35) Para un material dado.σ t Despreciando los diferenciales de segundo orden dr.r.∆a =c µ ⇒ b) σ t .9).41) (10.2 (r + dr).44) . se consideran los valores que adopta la tensión radial σ r sobre los límites de las paredes del cilindro: Si es: a) r= di 2 es b) σ r = pi.50) se obtiene: pi = a) b ⎛ di ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 −a y b) p0 = b ⎛ d0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 −a (10.53) Si se resta miembro a miembro la (10.50) y (10.51) Para hallar las constantes a y b de la (10.dr = c r σr + 2 (10.52) en la (10. Haciendo: b = antilog.49) Reemplazando el valor de c/2 dado por la (10.47) a) Si en la (10. resulta: (10.46) es C1 la constante de integración.48) c =a a) 2 ⇒ b) c = 2a (10. se obtiene: −σ r − r. Si es: c) r= d0 2 es d) σ r = p0 (10.36b) el valor de σ t dado por la (10. teniendo en cuenta la (10. C1 Aplicando antilogaritmo a la expresión (10.49) en la (10.50) Reemplazando en la (10.53b) se obtiene: .45) c⎞ ⎛ ln⎜ σ r + ⎟ = − ln r 2 + C1 2⎠ ⎝ En la (10.45b).46) (10.53a) y la (10. siendo por la (10.52) Reemplazando los valores de r y de σ r dados por la (10.44): a) Integrando la expresión (10.dσ r −σ r = c ⇒ b) dr − dσ r 2.47).Reemplazando en la (10.48) se hace: σr + c b = 2 r2 ⇒ b) σr = b c − r2 2 (10. se obtiene el valor de σt: σt = a + b r2 (10.50).48b) se obtiene: σ r = −a + b r2 (10.46).49a) c = 2a.51).37b) el valor de σr dado por la (10. d 02 + d 02 − d i2 d 02 − d i2 .d 2 ( ) (10.d 02 4 d 02 − d i2 ( ) (10.d i2 − 2 = = 4b 0 2 2i d i2 d 0 d i2 .d i2 − p 0 .61) Para σt representada por la curva de la figura (Fig.d 0 (10.54) b= ( pi − p0 ).d i2 . Representación gráfica de σr y σt En la figura (Fig.d i2 .58). finalmente: σr = − y pi .d 02 ( pi − p 0 ).10.d 02 a =σa = d 02 − d i2 (10.d i2 − p 0 .57) σt = pi .60) Siendo además: σr = 0 para r= b a (10.a (10.56) Si ahora se reemplazan los valores de b y a dados por la (10.50) y (10. en las expresiones (10. se observa: Para Para r = 0 ⇒ σr → ∞ r→∞ ⇒ (10.51) y se efectúan las operaciones matemáticas correspondientes. representada por la curva de la figura (Fig.59) σr → .55) en la (10.10.d 2 ( ) (10.d 02 − 4b.62) .9a).9b) se observa: Para r=0 ⇒ σt → ∞ (10. se obtiene. a los efectos de poder analizar el comportamiento de las mismas con la variación de r. aplicables dentro de la zona de comportamiento elástico del material.d i2 − p 0 .57) y (10.d 02 ( pi − p 0 ).9) se representan gráficamente las tensiones σr y σt dadas por las expresiones (10. (10.58) son las ecuaciones de Lamé.d 02 d i .57) y (10.d i2 .56) respectivamente.10.58) Las expresiones (10. Para σr.54) se despeja b: d2 −d2 4b 4b 4b.55) y (10. el valor de a resulta: pi .55) Si se reemplaza el valor de b dado por la (10.53b) y se efectúan las operaciones matemáticas correspondientes.34).d 02 + d 02 − d i2 d 02 − d i2 .pi − p0 = Si en la (10. d i2 pi .57) y (10. resultaría r2 < 0.66) d0 por el valor dado por la (10.10.d 2 4.r ( ) (10.d 2 + 2 i i 2 0 2 = i 2i d 02 − d i2 d 0 − d i .d i2 p . siendo indeterminado. siendo por lo tanto p0 = 0.63) Además se puede observar que σt no se anula para ningún valor de r. según la figura (Fig.r 2 + d 02 ⎞ ⎜ ⎜ d2 −d2 ⎟ ⎟ i ⎝ 0 ⎠ ⎛ 4. si se reemplaza este valor en las ecuaciones anteriores. basada en la teoría de la máxima tensión normal en las paredes. donde es r = di/2. ya que si se hiciera en la (10.65) Analizando las expresiones (10. También se puede deducir de la expresión (10.64) σt = pi . Haciendo.d i2 + 2 = σr = − 2 d 0 − d i2 d 0 − d i2 .r 2 + d 02 ⎞ ⎜ 2 ⎜ d −d2 ⎟ ⎟ i ⎠ ⎝ 0 (10.51) σt = 0. el problema consiste en determinar el espesor t de la pared.64) y (10.10): d0 = di + 2t (10.d 2 p .68) da el valor del espesor de la pared del cilindro.68) La (10. se obtienen: a) σ r = pi y b) σ t= pi d 02 + d i2 d 02 − d i2 (10. Por lo tanto las máximas tensiones están en la superficie interior de la pared del cilindro. o sea que no existe presión exterior.d i2 .37b): d r= i . por lo que las expresiones (10.Para r= d0 2 es σ r = p0 resultando para este caso σt = c + p0 Ecuaciones de Lamé para presión interna Uno de los casos más comunes es el de un cilindro sometido a presión interna únicamente.67) y operando matemáticamente. se obtiene: t= di 2 ⎞ ⎛ σ t + pi ⎟ ⎜ ⎜ σ − p − 1⎟ t i ⎠ ⎝ (10.d 2 .65) se observa que ambas tensiones aumentan a medida que disminuye el radio. .58) se reducen a: pi . aplicable a materiales elásticos.d 02 pi .Para r→∞ ⇒ σt → a (10.d 4.66) Cuando se conocen las presiones internas y las tensiones admisibles de trabajo del material del cilindro.67) Sustituyendo en la (10.Para 2 es σ r = pi resultando por lo tanto σt = c + pi .r 2 ( ) ⎛ − 4. 72) Por lo tanto. se halla sustituyendo los valores de σ t y de σ r dados por la expresión (10.56) respectivamente.a + µ ⎜ − a + ⎟ 2 ⎜ r2 ⎟ ⇒ b) σ t′ = (1 − 2 µ )a − r 2 r ⎝ ⎠ (10.66). radiales y tangenciales equivalentes. es: σ t max 2 pi . y reemplazando en las mismas los valores de σa.76) Si el elemento de la pared del cilindro.73) La ecuación (10. indicado en las figuras (10.a + µ . de acuerdo a la teoría de la máxima deformación: ′ σ a = σ a + µ .σ r − µ .σ a + µ .σ t ′ σ r = σ r + µ .71) Además. (10.⎜ a + 2 ⎟ ′ σ r = (1 − 2 µ )a − 2 r r ⎠ ⇒ b) ⎝ r2 (10.74).69). sometido ahora a estas tensiones equivalentes dadas por las expresiones (10.σ r ′ σ a = a + µ . teniendo en cuenta la (10.7).d 02 = 2 d 0 − d i2 (10. (10. σr y σt dados por las expresiones (10. es decir: σ r = . correspondientes a cada una de las tensiones en el mismo.σ a + µ. como la teoría de la máxima tensión tangencial postula que la tensión tangencial en el límite.55) y (10. obteniéndose las tensiones axiales.76). Ecuaciones de Clavarino para cilindros cerrados Si se tiene en cuenta los efectos de las deformaciones transversales del material de la pared del recipiente.⎜ − a + ⎛ ⎝ b r2 b ⎞ ⎞ ⎛ ⎟ − µ⎜ a + 2 ⎟ ′ r ⎠ ⇒ b) σ a = a(1 − 2 µ ) ⎠ ⎝ (10.70) La máxima tensión tangencia principal en la pared del cilindro.σ t (10.75) (10. el espesor t de la pared del cilindro resulta: t= di 2 ⎞ ⎛ 2 pi ⎟ ⎜ ⎜ σ − 2 p − 1⎟ t i ⎠ ⎝ (10. éstas influirán unas sobre otras afectando la capacidad de carga del material.78) a) σ t′ = a + ⎛ b b⎞ (1 + µ )b − µ.La teoría de la resistencia de materiales da.pi (10. para la máxima tensión tangencial principal.70): σ max = pi .74) (10.75) y (10.69) Considerandoσ r negativo por ser de compresión. es decir en el momento de la falla. la expresión: σ max = σt −σ r 2 (10. se obtiene: a) σ t′ = σ t − µ . en la ecuación (10.77) a) ′ σ r = −a + b b ⎞ ⎛ (1 + µ )b + µ .79) Siendo µ el módulo de Poisson y a y b los mismos parámetros ya obtenidos anteriormente según las expresiones .73) es aplicable a materiales dúctiles.34). se le aplica un análisis similar al de las ecuaciones de Lame visto anteriormente.d 02 d 02 − d i2 (10. vale la mitad de la tensión máxima de tracción equivalente en la pared del cilindro. pero que no tiene en cuenta el efecto de deformación transversal.6) y (10. según se indicara en la figura (Fig. haciendo: di = d0 –2t (10.t − t 2 ( ( ) ) (10. efectuando los reemplazos deσr y σt por sus valores dados por las expresiones (10. aplicando la teoría de la máxima deformación.t 2 4 d 0 .86) el valor de di dado por la (10. Estas ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones de Clavarino para cilindros cerrados.85) es t el espesor de la pared.(10.a (10. pi ⎦ (10.57) y (10. es decir para d = di: σ t max = pi d 02 + d i2 d 02 − d i2 (10.84) es solo aplicable a cilindros en los cuales no existen tensiones axiales directas. El espesor t de la pared se obtiene reemplazando d0 por di + 2t.84) La expresión (10.Ecuaciones de Birnie para cilindros abiertos En este caso no es posible la existencia de tensiones axiales directas. (10. es decir que es: . (10.⎜ − a + ⎛ ⎝ b b ⎞ −a− 2 ⎟ 2 r r ⎠ = -2µ.58) en las expresiones (10. considerando σa = 0.d 0 + 4.87) Si el espesor t de la pared es pequeño comparado con el radio interno di del cilindro.74).76).σr ⇒ b) ′ σ a = µ . se obtiene: σ t max = p i 2d 02 − 4t. y elevando al cuadrado.86) Reemplazando en la (10.75) y (10. conduce a las siguientes ecuaciones para las tensiones equivalentes: a) σ’a = µ.10.µ. y son aplicables a cilindros con extremos o fondos que hacen aparecer tensiones axiales en la pared.55) y (10.85).⎜ a + 2 ⎟ = − a (1 − µ ) + 2 (1 + µ ) 2 r r ⎠ r ⎝ σ t′ = a + b b ⎞ b ⎛ + µ .σt ⇒ b) a) σ’t =σt + µ.83) ′ σ r = −a + b b ⎞ b ⎛ + µ .81) (10.34).85) En la expresión (10.82) (10. p i − 1⎥ ⎢ 2 ⎣ σ t′ − (1 + µ ).σt ⇒ b) a) σ’r = σ r + µ.σr .10).80) es σ’t la tensión de trabajo admisible a la tracción. Ecuación de Barlow Barlow analiza las tensiones que soporta un cilindro sometido a presión interior únicamente.56). resultando: t= ⎤ d i ⎡ σ t′ + (1 − 2 µ ). p i ⎦ (10. pi − 1⎥ ⎢ 2 ⎣ σ t′ − (1 + µ ).⎜ − a + 2 ⎟ = a (1 − µ ) + 2 (1 + µ ) 2 r r ⎠ r ⎝ El espesor t de la pared del cilindro resulta de reemplazar d0 por di + 2t. y un análisis similar al utilizado en las ecuaciones de Clavarino.58) para el máximo valor. obteniéndose: t= ⎤ d i ⎡ σ t′ + (1 − µ ).80) En la (10. Aplica la ecuación de Lamé dada en la (10. 92) Utilizando el valor de la tensión tangencial equivalente dada por la ecuación de Birnie según la expresión (10. La expresión de Barlow se utiliza generalmente en en el cálculo de cañerías de conducción de gas y de petróleo. a una distancia r del centro. según la teoría de la deformación. en la que el diámetro externo d0 reemplaza al diámetro interno di.d − = i 0 − pi 4d 0 .83). existen casos tales como en los ajustes forzados de presión o contracción donde deben conocerse. por lo que se da el valor máximo de σt y la máxima deformación ∆d para r = di /2.d 0 . existiendo tablas que dan las tensiones en función de las temperaturas a la que están expuestos los cilindros. Los materiales también se ven afectados por las altas temperaturas.89) Si además la presión interna pi a la que está expuesto el cilindro.93) Si el cilindro está sometido a una presión externa p0 únicamente.d 02 4t. Cambio de diámetro en los cilindros debido a la presión Debido a la presión interna existente en un cilindro.89).10.d 02 ⎤ pi . esta variación. por su importancia. un elemento que soporta una tensión tangencial unitaria σt.11) se muestra esquemáticamente un cilindro de diámetro interno di y diámetro externo d0.t 2t (10. con la cual se obtiene con la misma valores mayores para σ’t que con las ecuaciones de Lamé y Clavarino.91) La (10. pi . resultando por lo tanto: .88). un cilindro de diámetro d. similar a la expresión (10. y considerando que es p0 = 0. se puede despreciar t en la expresión (10. la cual se podrá escribir: σ t = pi d0 2t (10. es pequeña y mucho menor que σt.91) es la ecuación de Barlow.t << di (10. está dada por la expresión: ∆d = σt E d (10. pi . por lo que se tiene un cilindro de delgada sobredimensionado. En la figura (Fig.92) se puede escribir: ∆ di = d i ⎡ (1 − µ ).t 4d 0 . la cual se puede escribir: σ t max = pi 2.13a) para cilindros de pared delgada. que será máxima para el diámetro exterior d0. expuesto a una presión interna pi y en él.d i2 (1 + µ ).87).d i2 .88) Si se cumple la (10. es decir: pi << σt (10.d i + ⎢ ⎥= E ⎣ d 02 − d i2 E d i2 d 02 − d i2 ⎦ ( ) ⎛ d 02 + d i2 ⎞ ⎜ 2 ⎜ d −d2 + µ⎟ ⎟ i ⎝ 0 ⎠ (10. la (10. siendo E el módulo de elasticidad del material. La deformación unitaria ∆d que experimenta. éste varía su diámetro y aún cuando los cambios son relativamente pequeños.90) Se puede despreciar pi en la (10. pi p . se tendrá una disminución del diámetro del cilindro. resultando el diámetro de contacto dc una vez uniformada la temperatura. Se puede considerar que el cilindro interior de la figura (Fig.55) y (10. la tensión resultante en la pared del recipiente es mucho menor que la que se hubiera producido en un único cilindro. donde el cilindro interno tiene diámetro interno di y diámetro externo ds.10. según se indica en la figura (Fig. El cilindro externo resulta traccionado por la expansión del cilindro interno. será: σ t′ = (1 − µ ) pi .56). p0 = pc y d0 = dc.d i2 p . y el cilindro exterior está sometido a una presión interior causada por la dilatación del cilindro interior.d 2 + (1 + µ ) 2 i 2i 0 2 d 02 − d i2 4r d 0 − d i ( ) (10. uno dentro del otro.12).10. se tendrán las tensiones siguientes: a) Tensión circunferencial σti en la superficie interior del cilindro interno.83). ya indicado en la figura (Fig.10.d i2 − p 0 .10. siendo r= di /2: . por lo que al ser aplicada esta última. la mayor tensión que actúa es la tensión tangencial o circunferencial.d 2 pi .∆ d0 = Cilindros zunchados o compuestos p0 .95) pi = 0.96) Si el cilindro está sometido a presión interior únicamente. El valor de esta tensión circunferencial para cualquier valor de r.d 02 + (1 + µ ) i 2 0 i 2 0 d 02 − d i2 4r d 02 − d i ( ) (10. Si se analiza el cilindro interior.95) Para el montaje se ha expandido por calentamiento el cilindro exterior y el interior se ha enfriado para contraerlo. y haciendo en la ecuación (10.d 2 . con los exteriores montados por contracción sobre los interiores. Considerando el cilindro abierto en los extremos. y el cilindro externo tiene diámetro interno dh y diámetro externo d0. de manera que no se generen tensiones axiales.13). y solo se manifiestan las tensiones debidas a la contracción y expansión de los cilindro. según se muestra en el esquema de la figura (Fig.12). insertando luego los mismos. resulta: σ t′ = (1 − µ ) ( p − p ). siendo: dh < ds (10. que es la que se debe tener en cuenta en el proyecto. de acuerdo con la ecuación de Birnie dada por la expresión (10.d 2 . Esto comprime al cilindro interior antes de aplicarse la presión interna. es conveniente construir el mismo de dos o más cilindros superpuestos coaxiales.97) Suponiendo que no existe ninguna presión interior ni exterior.12) está sometido a presión exterior causada por la contracción del cilindro exterior.d 0 E ⎛ d 02 + d i2 ⎞ ⎜ 2 − µ⎟ 2 ⎜d −d ⎟ i ⎝ 0 ⎠ (10.94) Cuando deben resistirse grandes presiones internas en un recipiente cilíndrico. reemplazando en la misma los valores de a y b dadas por las expresiones(10. y se llama pc a la presión entre cilindros. La suma de ambas tensiones dan la tensión tangencial o circunferencial que deberá soportar el material de las paredes del cilindro. se deberá calcular la tensión que produce la misma aplicando la expresión (10.10.101) Las tensiones obtenidas según las expresiones (10.101). siendo r = dc /2: ⎛ d c2 + d i2 ⎞ − µ⎟ σ tc = − pc ⎜ 2 ⎜d −d2 ⎟ i ⎝ c ⎠ (10. según se indica en la figura (Fig. para los valores correspondientes de pi y r. depende del módulo de elasticidad de los materiales y de la diferencia entre el diámetro exterior dh del cilindro interno y del diámetro interior di del cilindro externo antes del zunchado por contracción. las tensiones serán las siguientes: c) Tensión circunferencial σtc en la superficie interior del cilindro externo. cambia de sentido en dc. según se indica en la figura (Fig. Si se aplica una presión interior. las deformaciones de los diámetros de los dos cilindros.13).d c2 d 02 − d c2 (10.99). siendo r = d0 /2: ⎛ d 02 + d c2 ⎞ σ tc = pc ⎜ 2 ⎜ d −d2 + µ⎟ ⎟ c ⎝ 0 ⎠ σ t0 = 2 p c .14).98) b) Tensión circunferencial σtc en la superficie exterior del cilindro interno. Si se grafican las variaciones de las tensiones tangenciales producidas por el zunchado se obtiene la curva A. pi = pc y di = dc.10. debidas a la presión sobre su superficie de contacto. (10.99) Si ahora se analiza el cilindro exterior.100) y (10. siendo p0 = 0. siendo r = dc /2: 0. Se puede observar en la misma que si bien σtc tiene igual valor absoluto. Graficando las tensiones producidas por la presión interna se obtiene la curva B. estará dada por la expresión: .σti = − 2 p c .10. son producidas únicamente por el zunchado. según se indica en la figura (Fig. Según la figura (10.12).98).100) d) Tensión circunferencial en la superficie exterior del cilindro externo.96). (10.14).d c2 d c2 − d i2 (10. Presión radial entre cilindros La presión radial entre cilindros en su superficie de contacto. correspondiendo la curva C a la suma de las dos anteriores. plenamente verificadas por hechos experimentales. debiendo realizarse el análisis de tensiones que aparecen tanto en el cilindro como en el extremo y que resultan elevadas y complicadas.105) La (10.94) cuando actúa como cilindro externo. K. se puede reemplazar sin error apreciable ds y dh por dc en la (10. conociendo el juego de zunchado B.a) ∆ ds = ds – dc y b) ∆ dh = dc – dh (10. por lo que es Eh = Es y µh = µ s.102) Si se suman miembro a miembro la (10. Las fórmulas generalmente usadas se basan en trabajos de Bach y Grashof. Generalmente ambos cilindros son del mismo material. por lo tanto se puede escribir para B: p . σf: tensión de tracción y K: coeficiente que depende del tipo de construcción.93) cuando actúa como presión interna del cilindro externo y la expresión (10. Los extremos pueden ser en general. obteniendo: ⎡ d2 +d2 d 02 + d c2 µ µ ⎤ B = pc ⎢ c 2 i 2 + − s + h⎥ 2 2 dc Es Eh ⎦ Eh d 0 − d c ⎣ Es d c − d i ( ) ( ) (10. el cual adopta los siguientes valores: .105).103) es B el juego de contracción.103) En la (10. d: diámetro exterior del recipiente. Los valores de ∆ ds y ∆ dh en función de la presión pc pueden ser obtenidos aplicando la expresión (10.dh = B (10.107) es t: espesor de la tapa.d B= c s Es ⎛ d s2 + d i2 ⎞ p . no siendo muchas de las ecuaciones desarrolladas. planos o cóncavos. p σf (10.105) permite. se obtiene: ∆ ds + ∆ dh = ds .107) En la (10. o viceversa. p: presión interior.102b).d ⎜ 2 − µs ⎟ + c h ⎜d −d2 ⎟ Eh i ⎝ s ⎠ 2 ⎛ d 02 + d h ⎞ ⎜ 2 + µh ⎟ ⎜d −d2 ⎟ i ⎝ 0 ⎠ (10.104) Como la contracción debida al zunchado es solo de centésimas de milímetros. es complejo.104). reemplazando en la misma Eh y Es por E y µh y µ s por µ .102a) y la (10. La norma para calderas de la ASME. calcular la presión pc. contempla la construcción de fondos con tapas planas mediante la fórmula: t = d. se obtiene finalmente: B= Extremos de recipientes pc 2d c3 d 02 − d i2 E d c2 − d i2 d 02 − d c2 ( ( )( ) ) (10. por la abrupta discontinuidad de la forma. por lo que la expresión (10.106) El estudio de los extremos de recipientes. Por lo general existen recomendaciones sobre fórmulas de cálculos para fondos de recipientes. 04 W hg H .113) Extremos circulares y elípticos planos Grashof. Bach y Timoshenko presentan ecuaciones para fondos planos. por recubrimiento.16): K = 0.162 (10. como por ejemplo soldadura a tope de simple o doble cordón.05: K = 0.10. según se indica en la figura (Fig.19).10.108) b) Para placas o fondos colados integralmente.: K = 0.111) = f) Para fondos dentro del cilindro soldados por fusión. y para rmin < 3t: K = 0. según muestra la figura (Fig. .10. siendo tf el espesor de la tapa paralela al eje del cilindro: K 0. etc.112) g-h) Para tapas abulonadas que tienden a bombearse. cuando el diámetro d es menor de 60 cm y la t relación d < 0. circulare y elípticos. y para rmin = 3tf. según muestra la figura (Fig.162 (10.110) d-e) Para fondos soldados a tope a caños o cilindros o forjados integralmente. figura (Fig. para una fuerza total W en los bulones y H la fuerza total debida a la presión del fluido sobre la superficie de contacto. respondiendo a las exigencias del tipo de soldadura.: K = 0.10.17).10.50 (10.30 + 1.10. según muestra la figura (Fig.109) c) Para fondos unidos al cilindro por juntas de recubrimiento.30 (10.25 (10.20).21).a) Para placas o tapas remachadas o abulonadas rígidamente a las bridas.d (10. como los de la figura (Fig.18). 10. R el radio interior del recipiente y σu la tensión de rotura del material.115) En la (10. p. K es un factor que depende del tipo de soporte por soldadura. 3 p (3 + µ ) 8 σ adm (10. dando para los circulares. en la que se introdujo un factor de seguridad que tiene en cuenta la concentración de tensiones en la curva de unión de la brida y el casquete esférico.33 para acero y K = 1. pueden soportan mayores presiones que los planos.117) t el espesor de la pared del fondo.22).25 para fundición.114) Bach: t h = R.113) es C = 0.2 para fundición.23). Fondos bombeados Los fondos bombeados o cóncavos. las siguientes expresiones: Grashof: t h = R. según las normas para calderas de la ASME con la expresión: t= 8.33. La (10. 5 p 6 σ adm C.R 2.116) Si es µ = 0.24).107). se puede utilizar la expresión: th = ( K . K = 2 para acero y K =2. p la presión interna.28) empleada en el cálculo de paredes de esferas. siendo para simple cordón exterior.119) Donde es en la (10. 1. Para extremos planos elípticos. la ASME propone la expresión: .similares a la dada por la (10.σ u (10. Timoshenko: t h = R.119) es la misma ecuación (10. indicado en la figura (Fig.118) Siendo en la (10. en las que aparecen los radios r en lugar de los diámetros d y el factor K toma valores según el tipo de material. Su cálculo se efectúa.b 2 .117) Con las fórmulas de Timoshenko se obtienen valores de los espesores mayores que con los anteriores.75 para acero dulce y C = 1. para fondos semiesféricos.25 p σ adm (10.3 es: t h = R.5 para fundición.a 2 . p a 2 + b 2 σ adm ) (10. de algunos de los cuales sus esquemas se muestran en la figura (10.118): 2a el diámetro sobre eje mayor y 2b el diámetro sobre el eje menor. según se muestra en la figura (Fig. y para soporte de doble cordón en todo el perímetro K = 1. basadas en la teoría del máximo alargamiento. σ adm (10. Para los fondos elípticos y torisféricos.10. p (10. Mischke McGraw-Hill . p la presión resultante interna.σ t h ≈ 0.Cálculo de Recipientes (apuntes) M. donde es h la profundidad o altura del fondo hasta el extremo de la cubierta cilíndrica.25 de forma m = 2 a 2. Para el fondo del recipiente sometido a presión exterior.120) es t es espesor mínimo del fondo. Faires Montaner y Simón S.D m 4.Proyecto y Construcción de recipientes a presión C. . ------------()-------------Apuntes de clases extractados de la siguiente bibliografía TÍTULO AUTOR EDITORIAL . de Ing.34 para D . es decir que los espesores de los fondos para estos casos de be ser 12/3 de los correspondientes para presión interna. Química (UNL) . S.H. Dubbel Labor .t= (10. .A.M. el radio de curvatura del fondo bombeado no debes ser mayor que el diámetro del cuerpo cilíndrico. Ruiz Rubio Urmo.Cálculo de Elementos de Máquinas Vallance-Doughtie Alsina . Shigley-Ch. El radio de transición r entre el cuerpo cilíndrico y el fondo debe ser como mínimo igual a 3t.Manual del Constructor de Máquinas H. Perry UTHEA . M.120) En la (10. la presión de trabajo que resiste es el 60 % de la que resiste para presión exterior. D diámetro del cilindro y m un factor p.A. Sales Fac.Manual del Ingeniero Químico J.Diseño de Elementos de Máquinas V. Además.Diseño en Ingeniería Mecánica J.