Métodos Quantitativos em Economia I Rodrigo Rodrigues Garcia.pdf

Universidade Federal de Mato Grosso - UFMTInstituto de Ciências Exatas e Naturais – ICEN Departamento de Matemática Ciências Econômicas Métodos Quantitativos em Economia I Rodrigo Rodrigues Garcia Conteúdos da apostila 1. Limites 1.1. Limites de funções 1.2. Formas indeterminadas 1.3. Limites infinitos 1.4. Limites nos extremos do domínio 1.5. Continuidade de uma função 1.6. Limite exponencial fundamental 2. Derivadas 2.1. Introdução 2.2. Conceito de derivada 2.3. Interpretação geométrica da derivada 2.4. Derivada das principais funções elementares 2.5. Propriedades operatórias 2.6. Função Composta – Regra da Cadeia 2.7. Funções Marginais 2.8. Diferencial de uma função 2.9. Elasticidades 3. Funções de duas variáveis 3.1. Introdução 3.2. Gráfico de funções de duas variáveis 3.3. Limite e continuidade 3.4. Derivadas Parciais 3.5. Interpretação geométrica das derivadas parciais 3.6. Função composta – Regra da Cadeia Apostila desenvolvida para o primeiro período de Ciências Econômicas baseado no livro Cálculo: Funções de uma e várias variáveis, de Pedro A. Moretin, Samuel Hazzan e Wilton de O. Bussab. 1 1. Limites Exemplos: 1.1. Limites de funções 1) Considere a função dada por O conceito de limite de funções tem utilidade na determinação do comportamento de funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no comportamento de funções quando aumenta muito (tende para infinito) ou diminui muito (tende para menos infinito). Definição: dada uma função f(x) e um ponto b do domínio, dizemos que o limite da função é L quando x tende a b pela direita ( ) se, à medida que x se aproxima de b pela direita (isto é, por valores superiores a b), os valores de f(x) se aproximam de L. Escrevemos: ( ) Analogamente, dizemos que o limite da função é M quando x tende a b pela esquerda ( ) se , à medida que x se aproxima de b pela esquerda (isto é, por valores inferiores a b), os valores de f(x) se aproximam de M. Escrevemos: ( ) ( ) { . Calcular os limites laterais quando x tende a 3 pela direita e pela esquerda. Limite pela esquerda 2,9 2,99 2,999 ... Limite pela direita ( ) 4,9 4,99 4,999 ... 3,1 3,01 3,001 ... ( ) ( ) 6,2 6,02 6,002 ... ( ) Como os limites laterais existem, mas são diferentes, dizemos que não existe o limite global de f(x) quando x tende a 3. 2) Considere a função ( ) { . Calcular os limites laterais quando x tende a 3. ( ) As figuras a seguir ilustram a ideia intuitiva: ( ) Como os limites laterais são iguais, podemos escrever: ( ) Observe neste exemplo que no cálculo do limite de f(x), quando x tende a 3, não importa o valor da imagem para x=3, mas importa o que ocorre com as imagens quando x está próximo de 3, mas mantendo-se diferente de 3. Caso L=M, ou seja, os limites laterais são iguais, dizemos que existe o limite de ( ) f(x) quando x tende a b e escrevemos . 2 3) Seja ( ) . Determinar os limites laterais quando x tende a 3. Limite pela esquerda 2,9 2,99 2,999 ... Relembrando fatorações algébricas: Limite pela direita ( ) 8,41 8,9401 8,9940 ... 3,1 3,01 3,001 ... ( )  (  ( ) ( )  ( ) ( )( )  ( ) ( )( ) ( ) . assim uma fração impossível de ser calculada . / que é chamada de forma c) indeterminada. Observe que a expressão f(x) pode ser simplificada ao fatorarmos o denominador, ou seja: ( ) ( ) ( )( ) ( ) têm comportamento idêntico , pois a primeira não é definida). Como não importa o que , (pois quando x tende a 2 é diferente de 2), temos: ) ), em que e são raízes da equação Exemplos: b) ( )( . a 2, separando o numerador e o denominador da fração. Tanto pela direita ( ) ( ) quanto pela esquerda, e . Teríamos (exceto para acontece quando (  a) e ) ) e vejamos qual o limite quando x tende ( ) )(  ( 1.2. Formas Indeterminadas Assim, as funções ( ( ) 9,61 9,0601 9,0060 ... Como os limites laterais são iguais, podemos escrever Considere a função ( ) ) ( ) ( ) ( )( ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) ) Exercícios 1. Para cada função f(x) abaixo e para cada a, obtenha (quando existir): ( ), ( )e ( ). a) ( ) , b) ( ) , c) ( ) { d) ( ) { , e) ( ) { f) ( ) √ g) ( ) , ; ( ), , 3 g) 0.01 -0.1 0.01 3. Limites nos Extremos do Domínio d) i) e) j) Ex1: Considere a função ( ) e tomemos uma sequência que divirja para infinito.1 3. j) 27 10 100 1000 10000 ( ) 0.5 ..0001 Intuitivamente. percebemos que as imagens f(x) convergem para 0.8.8 . Calcule os limites: De um modo geral.0. tomemos uma sequência que divirja para menos infinito.3. d) 0.0001 Intuitivamente.001 3. f) -1 g) 0 . Dizemos então que o limite de f(x) é 0 quando x tende a menos infinito. por exemplo (10. a) f) b) g) c) h) 1.999 2. por exemplo (10.7 .001 -0.. i)1 .0 .).9999 ( ) -50 -500 -5000 -50000 -10 -100 -1000 -10000 ( ) -0. d) -2 . definida para todos os reais diferentes de 3. Calculemos os limites laterais de f(x) quando x tende a 3: Limite pela esquerda Limite pela direita ( ) 3. 2. Respostas 1) a) 8.9 2.2.0. c) . 100. superando qualquer valor fixado.99 2. dizemos que o limite de uma função é menos infinito quando os valores de f(x) vão ficando cada vez menores. . Assim. o limite de uma função é infinito quando os valores de f(x) vão ficando cada vez maiores. de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado. Limites Infinitos Considere a função ( ) . f) 5. .001 0. dizemos que o limite de f(x) quando x tende para o infinito é 0 e escrevemos: ( ) 1. 10000. e) 1 . e escrevemos: ( ) 4 . h) .5.. -100. da mesma forma. e) 7. percebemos que as imagens f(x) também convergem para 0.0001 50 500 5000 50000 Analogamente.1 -0.).4. 1000.7.01 0. -10000. para determinarmos o limite de f(x) quando x tende para menos infinito. -1000. b) .4.. b) 14 . não existe . c) 7.0 2) a) 6 . 000 .5..000.000. Ex: . / ( ) ( ) .  O limite nos extremos de uma função polinomial é igual ao limite de seu termo de maior expoente. ( ) -10 -100 -100 . g) ∞ .000.. / Observações:  Os limites nos extremos (x tendendo a mais ou menos infinito) podem ser um número real.000. m) 2 . c) ∞ . conforme os exemplos anteriores. k) ∞ . h) 0 .000 1. quando tivermos o limite nos extremos de um quociente de dois polinômios. pois colocando-se esse termo em evidência. Se houver algum ponto em que ocorre a interrupção. Ex: ( ) ( )  Como consequência da observação anterior.. e) ∞ . d) ∞ . / / Respostas: a) 0 . Continuidade de uma função A ideia de função contínua decorre da análise de seu gráfico. j) ∞ . 1. i) ∞ . f) -∞ . Quando o gráfico de uma função não apresenta interrupções. ou ainda podem ser mais ou menos infinito.000 . todos os outros termos tendem a 0. dizemos que esse é um ponto de descontinuidade.. n) 26/15 1. / g) n) ..000 -1.000 -1. dizemos que ela é contínua. b) 0 .. -1. l) -∞ . /= ..Ex2: Considere a função ( ) e as mesmas sucessões divergentes para mais e menos infinito dadas no exemplo anterior: ( ) 10 100 1000 .000. f) m) .000 1. Considere os gráficos a seguir: 5 . ele será igual ao limite do quociente dos termos do maior expoente do numerador e denominador.000. Exercícios Calcule os seguintes limites: a) h) b) i) c) j) d) k) e) l) .. uma função f(x) é contínua num ponto b do domínio. o limite existe para x tendendo a 0. veremos Pela análise dos gráficos vemos que. temos: ( ) ( ) ( ) Ou seja. o limite existe para x tendendo a 2. desse limite ser igual a imagem de b. para qualquer valor real de b. No caso da função ( ).  Para a função que: ( ). além disso. o limite existe para x tendendo a b. se calcularmos o limite para x tendendo a zero. se calcularmos o limite para x tendendo a zero.  Para a função ( ). não existe o limite da função para x tendendo a 0. veremos ( ) ( ) e Ou seja. Temos as seguintes considerações a fazer:  Para a função ( ). Assim. mas a função não está definida para x=2. todas as outras funções apresentam interrupções em algum ponto. não existe o limite da função para x=0. cujo o gráfico é uma parábola. com exceção de ( ). teremos: ( ) ( ) e Ou seja.  Para a função que: ( ). teremos: ( ) ( ) Ou seja.( ) ( ) Ou seja. pois 0 está fora do domínio. se calcularmos o limite para x tendendo a zero. mas ele não é igual ao valor da função para x=0. o que caracteriza ausência de interrupções é o fato de o limite existir em qualquer ponto b do domínio e. ele é igual ao valor da função em b.  Para a função ( ). e . se calcularmos o limite para x igual a 2. além disso. se ( ) ( ) ( ) 6 . e o montante será: ( / . À medida que x cresce. Cada vez que diminui o prazo de capitalização. a taxa diária será de ao dia.00 aplicado a juros compostos à taxa de 12% ao ano pelo prazo e 2 anos:  Se os juros forem capitalizados anualmente.1. e o montante será: (  ) Se os juros forem capitalizados diariamente a uma taxa diária proporcional a 12% ao ano. O matemático suíço Leonard Euler (1707-1783) foi um dos primeiros a perceber a importância dessa função. / que comparece em curvas de crescimento em geral. tendendo a infinito. a taxa mensal será de ao mês. tal fração somada a 1 e o resultado x não tem um valor evidente. Ex: Juros capitalizados continuamente. a taxa semestral será de ao semestre.  ) Se os juros forem capitalizados mensalmente a uma taxa mensal proporcional a 12% ao ano. por minuto. a fração tende a zero. porém. Limite exponencial fundamental Considere a função ( ) . e o montante será: ( Pode-se provar ainda que o limite dessa função também dá o número e quando x tende a menos infinito. Consideremos um capital de R$ 1. Uma forma equivalente de se escrever o número e é por limite: ( ) ) Poderíamos pensar em capitalização por hora. Consequentemente o montante é dado por: 7 . Usando uma calculadora é possível ter uma ideia da convergência da função ( ) .000. simbolizado por (número de Euler).6. o número de capitalizações (k) em um ano aumenta de modo que a taxa proporcional a 12% ao ano nesse período de capitalização é igual a e o prazo de aplicação de 2 anos expresso de acordo com o prazo de capitalização vale 2k. por segundo e assim por diante. o montante será: (  ) Se os juros forem capitalizados semestralmente a uma taxa semestral proporcional a 12% ao ano. Ele demonstrou que o limite dessa função para x tendendo ao infinito era um número irracional compreendido entre 2 e 3. destacando neste estudo. sejam ( ) e ( ) as correspondentes imagens.. 3. quando o montante M é dado por: ( igual de e consequentemente x será . sim . ao Tal taxa mede o ritmo de variação da imagem em relação à variação de x. o montante é dado por: Exercícios 1. b) . como Economia. x também tende de modo que o limite acima pode ser expresso por: ( ( ( ) ) [ ( . Verifique se a função ( ) é contínua para ? ? Chamamos de taxa média de variação de f. / c) . não . pelo prazo de n anos. Administração. Quando k tende a infinito. Introdução ) Para calcularmos o limite. Derivadas 2. a) ( ) ) ] ) O conceito de derivada foi introduzido em meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de problemas de Física ligados ao estudo dos movimentos. para x variando de quociente: ( ) ( ) . c) 2. As ideias introduzidas na Física foram aos poucos sendo incorporadas em outras áreas.1. não . De um modo geral.. / até . 4. o inglês Isaac Newton (1642-1727) e o alemão Gottfried Leibniz (1646-1716). Calcule os seguintes limites: a) . / b) . se um capital C é capitalizado continuamente a uma taxa proporcional a uma taxa i anual. 8 . 4. Consideremos uma função ( ) e sejam e dois pontos de seu domínio. A função ( ) { é contínua para 3. 2.. A função ( ) { é contínua no ponto 2.( ) Respostas: Dizemos que o capital é capitalizado continuamente. podemos chamar 1. A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto em cada intervalo de tempo considerado. No 1° intervalo. nos 5 primeiros segundos.. ( ) ( ) .Usando o símbolo para indicar uma variação. pois . podemos indicar a taxa média de variação de f pela relação: ( ) ( ) Ex1: Seja a função ( ) . a variação de f será 4 Temos:  ( ) e ( ) . .. Assim. o ponto inicial de abscissa e a variação (isto é. Isso mostra que. Se quiséssemos saber a velocidade desse objeto em cada instante (velocidade instantânea). se quisermos a taxa média de variação a partir do ponto x=5 e com uma variação . para uma mesma variação de t (5 segundos). ( ) . teríamos que considerar amplitudes de variação de tempo cada vez . o objeto caiu 250 m. ( ) ( ) pois . t segundos após ele ser abandonado. A taxa média de variação de f para esses valores é: ( ) ( ) Isto significa que.  Já nos 5 segundos seguintes. o objeto caiu 750 m. . o resultado será 2 . a velocidade média é No 2° intervalo. teremos: menores. se x variar 2 unidades (a partir de vezes maior. a velocidade média é Ex2: Consideremos novamente a função ( ) e calculemos a taxa média de variação a partir de um ponto genérico de abscissa e um acréscimo também genérico . quando t varia de 5 a 10. Logo. ( ) ( ) ( ) ( ) Assim. enquanto . a variação de altura é diferente. Ex3: Suponhamos que um objeto seja abandonado a 2000 m de altura e que a função ( ) indique a altura do objeto em relação ao solo. pois . para o intervalo . 5 + 3 = 13. ). x varia de 1 a 3). 9 . . ( ) ou por ( ) ou ainda por ( ) Calculemos a velocidade média para valores de cada vez menores: Ex1: Qual a derivada de ( ) Intervalo . acarretará um correspondente acréscimo que é aproximadamente 4 vezes maior que o acréscimo . ) ( ) Perceba que a velocidade média está se aproximando de 100 m/s. que é aproximadamente 6 vezes ) ? ( ) ) ( ) ( ) ) ? ( ) ( ( ) Ex2: Qual a derivada de ( ) ( ( ( ) ) Esse limite da taxa média de variação quando da função f(t) no ponto t=5.01 ( ) -150 -130 -110 -105 -101 -100. a partir de . a velocidade instantânea no ponto t=5 é: ( no ponto ( ( ) ) Isso significa que um pequeno acréscimo dado a x. . - 5 3 1 0. ( ) ( ) ( ( no ponto ( ( ) ) dado a x. a partir de . A velocidade instantânea é.2.1. se existir e for finito.1 0.1 tende a 0 é chamado de derivada 2. 10 . Derivada de uma função num ponto Seja f(x) uma função e um ponto de seu domínio. em valor absoluto.2. o limite dado por: ) ) ( ) ( Isso significa que um pequeno acréscimo acarretará um correspondente acréscimo maior que o acréscimo . Chamamos de derivada de f no ponto .( ) Indica-se a derivada de f(x) no ponto .5 0. assim o limite para o qual tende a velocidade média quando o intervalo de tempo tende a 0. . Isto é. . Conceito de derivada 2. . determine a derivada a) ( ) . Função Derivada Ex: Qual a função derivada de ( ) ( ) ( ) À medida que se aproxima de zero.3. o ponto p tem coordenadas P(2. basta calcularmos ( ) no ponto Ex: Obtenha a reta tangente ao gráfico da função ( ) no ponto P de abscissa 2. Exercícios Para cada função f(x). d) -1/4 e) 9 2. se quisermos a derivada no ponto igual a 10. . Também. para . a reta tangente t tem coeficiente angular igual a 4. Temos que. a reta secante vai mudando seu coeficiente angular. d) ( ) e) ( ) ( ) ( ) Essa reta é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto P (desde que f seja derivável em ) ( ) ( ) ) ( ) que é . Logo. Logo.4). b) ( ) . Assim. indicado: . 11 . sua equação é: ( ). ( ) .2. Resp: a) 2 .2. ( ) e portanto. b) -3 . ou seja. ( ) . Consideremos a reta que passa por P cujo coeficiente angular é dado por: ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Assim. c) ( ) . . Interpretação geométrica da derivada Consideremos a função f e os pontos ( ( )) e ( ( A reta que passa por PQ é secante ao gráfico e seu coeficiente angular é )). c) 1 .2. Ex: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ). então Demonstração As propriedades operatórias permitem achar as derivadas de somas.4.3. então ( ) ( ) ( ) ( ) P4) Se ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 2. Derivada da função potência Se ( ) .1. produtos e quocientes de funções elementares.2.4. então ( ) ( ) ( ) ( ) Ex: ( ( ) Ex: a) ( ) b) ( ) ) ( ) . então ( ) . Derivada das principais funções elementares 2. Propriedades Operatórias 2.4. P1) Se ( ) ( ). para todo x.4. então ( ) Ex: ( ) 2.2. Derivada da função logarítmica Se ( ) P2) Se ( ) Ex: ( ) ( ) . Derivada da função constante Se ( ) (função constante). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) Exercícios Obtenha a derivada de cada função a seguir: a) ( ) b) ( ) c) ( ) g) ( ) h) ( ) i) ( ) d) ( ) j) ( ) e) ( ) f) ( ) k) ( ) l) ( ) 12 . então ( ) ( ) ( ) ( ) P3) Se ( ) Ex: ( ) ( ) ( ). para . então P5) Se ( ) Ex: ( ) ( ) √ √ . diferenças.5. j) . no exemplo dado. g) 2 . k) . No entanto. usamos o seguinte raciocínio: Ex2: ( ) √ ( ) ( ( ) . n) ( . m) . teremos ( )? ( ). para calcularmos uma imagem dessa função. ( ) ( ( )) Para o cálculo da derivada. uma 2ª função calcula a imagem . c) √ . poderíamos fazer e a função ficaria sob a forma . h) . teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ex1: Qual a derivada de ( ) Fazendo . Assim. q) ( )( ) A fórmula acima é conhecida como regra da cadeia. desenvolvendo a expressão cubo de uma diferença.  para o valor de u. Assim. assim encontrado.isto é. o mesmo ocorre com ( ) ( ) . i) ) . d) . uma 1ª função calcula a imagem . l) . Poderíamos achar a derivada de f(x). Função Composta – Regra da Cadeia Considere a função ( ) ( ) . quando forma que: tende a zero. e) . ( ) m) ( ) n) ( ) o) ( ) p) ( ) q) ( ) √ Respostas: a) 0 . procedemos em duas etapas:  para um dado valor de x. / Assim: ( ) ( ) Sob condições gerais. Dizemos que a função f(x) é uma composição dessas duas funções.6. p) . f) . b) . o) . Assim: ( ) 2. de ) ( ) √ ( ) 13 . Derivada da função exponencial Se ( ) Ex: a) ( ) .7. / . 14 . costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x. dada uma função f(x). ). a função custo marginal é a derivada da função custo. a função receita marginal é a derivada da função receita e. Chama-se função marginal de f(x) à função derivada de f(x). ( ( /. ( ) g) ( ) i) ( ) n) ( ) p) ( ) ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) 2. ( ) k) ( ) ( ). Assim. assim por diante. ( ) . . então . e) f) g) h) i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j) ( ) ) ) / ( ) ( ( ) ) ( c) m) o) ( ) √ p) ( ) √ q) ( ) ( r) ( ) √ ) √ ) . Funções Marginais Em Economia e Administração. l) ( ) Respostas: a) ( ) ( b) ( ) aplicando a regra da cadeia. ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) h) ( ) j) ( ) k) ( ) Exercícios Obtenha a derivada das seguintes funções: a) ( ) ( ) m) ( ) l) ( ) n) ( ) o) ( ) q) ( ) r) ( ) ( ) b) ( ) ( c) ( ) ( d) ( ) . b) ( ) ) ( ) . para todo x real (com e ( ) ). temos: ( ) ( ) ( ) ( d) ( ) . esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma. Receita Marginal Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades de um produto. 0. a partir de x unidades.000 para 10. teremos: Do mesmo modo que o anterior. o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora).1. O custo marginal é dado por ( ) ( ) Se quisermos o custo marginal para . teremos: ( ) ( ) ou seja. Produtividade Marginal Consideremos uma função de produção P que dependa da quantidade x de um fator variável. representa aproximadamente ( ) ( ).3.7. ou seja.000. Custo Marginal Seja C(x) a função custo de produção de x unidades de um produto.7. a receita marginal é aproximadamente igual á variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional. Chamamos de custo marginal à derivada de C(x). em que P é a quantidade (em toneladas) produzida por mês de um produto. representa aproximadamente C(11)-C(10). Chamamos de receita marginal a derivada de R(x) em relação a x. Ex: Considere a função de produção ( ) . Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.7. Indicamos a receita marginal por ( ). ou seja.25 tonelada. o custo de produção da 11ª unidade. o aumento da receita decorrente da venda da 51ª unidade. Chama-se produtividade marginal do fator à derivada de P em relação a x. ( ) No exemplo dado.2. A receita marginal é: ( ) Se quisermos a receita marginal no ponto ( ) . pois o custo marginal pode ser interpretado por: ( ) Frequentemente esse ( ) pequeno é suposto igual a 1. se o número de homens-hora passar de 10. vem: ( ) ( ) ( ) Portanto.2. sendo ( ) tem-se que ( ) Supondo ( ) . 15 . 2. o aumento na produção mensal será. Ex: Considere a função custo ( ) . Assim: ( ) ( ) Ex: Dada a função receita ( ) . Indicamos o custo marginal por ( ). e x. aproximadamente. então ( ) ( ) Assim. A produtividade marginal do trabalho é ( ) Se x=10.001. Respostas: 1. é: .50 . . Dada a função custo interprete o resultado. Dada a função de produção hora empregados por mês e P. b) ( ) e a interpretação do resultado. Dada a função receita ( ) a) a receita marginal . 20-4x 3. a) . a) 100 . Repita o exercício anterior para a seguinte função de custo: ( ) 6. b) $17. c) ( ) e a interpretação do resultado. b) ( ) e a interpretação do resultado. segundo a relação . Diferencial de uma função Consideremos uma função f derivável em passa do ponto ao ponto . a) -8x+500 . temos: para x=8100 e a interpretação do 16 .8. a) 0. A produção anual de algodão (em toneladas) de um agricultor é em função da quantidade x de fertilizante empregada (em toneladas). pede-se: a) a produtividade marginal do trabalho resultado. b) a produtividade marginal do trabalho resultado. obtenha: 2. Repita o exercício anterior com a seguinte função de demanda: 7. ( 4. tangente ao gráfico de f no ponto ( cujo coeficiente angular é ( ). 6. . c) $340.00 .00 . $50.00 4. b) 25/9 8. Dada a função custo ( ) a) o custo marginal . b) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x=75. c) ( ) e a interpretação do resultado. 3.2x+5 .00 .Exercícios 1. em que x é o número de homensde litros produzidos de um produto para x=6400 e a interpretação do ( . o número mensalmente. b) 50 . quando se ) ( ) Consideremos ainda a reta PR.00 5. 2. ) 7. ( )) e No triângulo PRS da figura a seguir. ( ) . obtenha: 8. obtenha o custo marginal e 2.00 . c) $7. b) $420. a) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x=50. b) $6. obtenha a receita marginal. c) $60. a) 25/8 . A variação sofrida por f. 5. Se a função de demanda for . Resp: $400 17 . Resp: 1666. ( ): ( ) ̅̅̅̅ ou ̅̅̅̅ ( ) Ao valor ̅̅̅̅ (que depende de ) denominados diferencial de f no ponto de abscissa e o indicamos por . aproximadamente. em que x é a quantidade de trabalho envolvida (medida em homens-hora). Atualmente são utilizados 900 homens-hora por mês. Calcule. qual o acréscimo na quantidade produzida quando se passa a utilizar 950 homens-hora. A variação de f entre os pontos dados é ( ) ( ) ( ) A diferencial de f no ponto de abscissa 1. A função receita de uma empresa é ( ) .01. em que x é o número de unidades produzidas. aproximadamente. Assim.Ex: Considere a função ( ) e os pontos de abscissa 1 e 1.50. Usando diferencial de função. Dessa forma. ̅̅̅̅ 2. mais próximo estará . Atualmente o nível de produção é de 25 unidades. O custo de fabricação de x unidades de um produto é ( ) . para pequenos valores de Resp: -$24 3.67 4. Calcule. Uma empresa produz mensalmente uma quantidade de um produto dada pela função de produção ( ) . Assim. Assim.6 unidade. dê aproximadamente a variação correspondente da receita. ( ) Observe que depende de e quanto menor for de . usando o diferencial de função. e a empresa pretende reduzir a produção em 0. para é: ( ) ( ) ( ) ( ) Como . e temos . O custo de fabricação de x unidades de um produto é ( ) . Exercícios ̅̅̅̅ e como 1. quanto varia o custo se forem produzidas 25. Resp: $52. a diferencial de uma função pode ser usada para calcular aproximadamente variações de f. podemos dizer que para pequenos valores de .5 unidades. Atualmente o nível de produção é de 40 unidades. usando diferencial de função. Calcule. qual o custo aproximado da 21ª unidade. usando diferencial de função. ainda. a partir de . O módulo é introduzido na definição para que a elasticidade resulte num número positivo. Suponhamos. Elasticidades A função de demanda relaciona o preço unitário p com a quantidade demandada x.00 por kg de abóbora fizesse o consumidor aumentar em 1 kg por mês o consumo desse produto. a relação consumo/preço seria 1 se o consumo fosse medido em quilogramas e 1000 se o consumo fosse medido em gramas. Um indicador da sensibilidade de variação da demanda em relação ao preço poderia ser a derivada de x em relação a p. Todavia. Ex1: Se a equação de demanda for dada por . (como é usual). (pois e têm sinais contrários) .9. a quantidade demandada sofra uma variação . uma vez quem em geral. se . como consequência. | . 18 . essa derivada depende das unidades de medida utilizadas. Consideremos:  A variação porcentual no preço:  A variação porcentual na quantidade: | em que a derivada é calculada no ponto ( ). que o preço sofra uma variação a partir de e. para Admitindo O limite dentro do módulo é | . Chamamos de elasticidade da demanda no ponto ( | | pequeno. Tal indicador é chamado elasticidade. costuma-se definir um indicador de sensibilidade que independa das unidades de medida utilizadas. Em razão disso. então e ) o número | Isso significa que. Ex: Se a queda de R$1. Obs: a elasticidade é uma característica do ponto da curva de demanda e não da curva em si.2. Assim. | |. Definição: Suponha que a um preço a quantidade demandada seja . teremos: (derivada da quantidade em relação ao preço). teremos: Portanto: Assim. Para 7. Desse modo. então . 1. 3% Assim. Considere a função de demanda dada por . sabendo que a equação da oferta é . Se a equação de demanda for dada por demanda para . Resp: 5. Resp: 4.2% c) sobe 5%. se admitíssemos um aumento porcentual no preço de 2% (a partir de 40). Considere a função de demanda que valores de x a demanda é: √ a) elástica. Nesse caso.72%. Resp: b) inelástica Resp: (em que ).e . 0. então . Resp: 3. 19 . Exercícios 1.: Se a equação de oferta for Se quisermos a elasticidade para no ponto em que . Resp: 2 da equação de oferta. . . Interprete o resultado. De modo análogo. a queda porcentual na demanda seria de aproximadamente 8%.6% b) sobe 2%. se o preço for 40 e sofrer um aumento porcentual de 1%. Resolva o exercício anterior para a demanda tem elasticidade unitária no ponto considerado. Se Se Se . Qual a diminuição porcentual na quantidade demandada quando o preço: a) sobe 1%. o acréscimo porcentual na quantidade ofertada (a partir de 100) será de aproximadamente 0. Obtenha a √ elasticidade da demanda para e interprete o resultado.6. 6. obtenha a elasticidade da . a demanda é dita elástica no ponto considerado. Resolva o exercício anterior para em que é calculada no ponto e Ex2. A elasticidade da demanda em relação ao preço de um produto é 0. define-se elasticidade de oferta em relação ao preço de modo análogo: . o módulo foi omitido. a demanda é dita inelástica. Resp: 1 2. e interprete o resultado. para um acréscimo porcentual de 1% no preço (a partir de 6). pois . a queda porcentual na demanda será de aproximadamente 4%. Para função oferta.Em outras palavras. Obtenha a elasticidade da oferta para dada por . Uma das formas de expressar tal relacionamento é descrevendo como uma delas se expressa em função das outras.1.8. a cada par de números reais. isto é. Considere a função dada por ( ) Resp: 3 b) ( ( ( ) ) ) . a) Qual a expressão da receita de vendas? Resp: y: o preço por kg de margarina 20 . É importante tentar descrever quantitativamente a forma pela qual elas se relacionam. a) ( ) Ex1: Seja e ( . Neste capítulo estudaremos funções de duas variáveis. Assim.00 a unidade e o segundo a $600. quer na prática. 3. Qual será um valor aproximado da demanda se o preço sofrer uma redução de 1%? Resp: 2048 3. Introdução ( ) Em muitas situações. quer no plano teórico. c) ( ( ) ) ( ) Ex2: Sejam q: quantidade semanal demandada de manteiga num supermercado (em kg) x: o preço por kg de manteiga Exercícios 1. a quantidade semanal demandada de manteiga será de 88 kg. tal conceito é chamado de função de várias variáveis. Uma loja vende apenas dois produtos. se o preço por kg de manteiga for $10. Tal função associa.00 a unidade. o primeiro a $500. O conjunto D é chamado domínio da função e ( )é chamado imagem de ( ) ou valor de f em ( ). a soma de seus quadrados. Def: Seja D um subconjunto do . por exemplo.4 no ponto em que a quantidade é igual a 2000 unidades. Sejam x e y as quantidades vendidas dos dois produtos.00 e o da margarina for $8. Chama-se função de D em toda relação que associa a cada par ordenado ( ) pertencente a D um único número real indicado por ( ). A elasticidade da demanda em relação ao preço de um bem é 2. Para que valores de x e y tem-se 3. há necessidade de considerar diversas variáveis. Temos assim uma função de duas variáveis em que ( ) e o domínio da *( ) + pois não é função é possível termos preços e quantidades negativas. Considere a função ( ) ? Resp: ( ) ( ) . Funções de duas variáveis Suponhamos que .00. Calcule: d) ( ) ( ) Resp: 4 ) Resp: -1 e) ( ) ( ) Resp: Resp: f) ( ) ( ) Resp: 2. ele consuma 4 unidades de I e 6 unidades de II. a) Se o consumidor diminuir o consumo do produto I para 3 unidades. Calcule m sabendo-se que. Gráficos de funções de duas variáveis Vimos. Resp: ). a representação gráfica era feita no plano cartesiano: L é o número de homens-hora empregados. Suponhamos que um consumidor tenha a seguinte função utilidade: ( ) 6. que seu gráfico era o conjunto *( ) ( ) + Consequentemente. no estudo de funções de uma variável. Suponha que.000 a) Qual a quantidade produzida por dia se forem empregadas 16 máquinas e 256 homens-hora? Resp: 64 c) Represente graficamente os pontos ( 300. a quantidade consumida do bem II. no início.b) Qual o valor da receita se forem vendidas 10 unidades do primeiro produto e 15 do segundo? Resp: 14. 21 . em que x e y são as quantidades produzidas em cada fábrica. em que: P é a quantidade produzida por dia (em unidades) K é o número de máquinas empregadas ( ) em (I) ( ) em (II). quando são usadas as quantidades x=32 e y=256 dos insumos. qual deve ser o consumo de II para manter o mesmo nível de satisfação? Resp: 2 5. Uma empresa produz um produto em duas fábricas.000. Em Economia. I e II.00. sabendo-se que o preço de venda do produto é 3. qual deve ser o consumo de II para manter o mesmo nível de satisfação? Resp: 8 b) Se o consumidor aumentar o consumo do produto I para 12 unidades. Resp: 7. Obtenha a função lucro ( $12.00. b) Qual a produção se ) para os quais a receita é $ 4. As funções custo em cada fábrica são: ) em que: é a quantidade consumida do bem I e ? Resp: 0 . Seja ( uma função de produção.2. Uma firma opera segundo a função de produção de Cobb-Douglas: ( ) . são produzidas 100 unidades do produto. chama-se utilidade de um consumidor ao grau de satisfação que o mesmo adquire ao consumir um ou mais bens ou serviços. de tal forma que a cada par ( ) do domínio corresponda uma cota ( ): Ex2: Considere a função de produção trabalho envolvido e . Em virtude disso.Ex1: Seja a função ( são: De modo análogo. (Fazendo ( . em que representa o são: De modo geral. costumase utilizar uma forma alternativa de representação chamada método das curvas de ) nível. o capital. definimos gráfico de uma função ( como o conjunto *( ) ( ) ( ) ) . onde c é uma constante. e ) de duas variáveis + Portanto. As curvas de nível (circunferência de centro ( ) e raio 1) (circunferência de centro ( ) e raio √ ) (circunferência de centro ( ) e raio 2) . chamada de cota) 22 . o gráfico de ( ) será representado no espaço tridimensional. As curvas de nível e . a obtenção do gráfico de uma função de duas variáveis só é um problema simples em algumas situações particulares. essas curvas de nível são denominadas curvas de isoproduto ou isoquantas de produção.3. 23 .3. tal curva recebe o nome de iso-receita). e y é a quantidade consumida de um produto B. por qualquer caminho. dizemos que f é contínua em ( contrário. Como ( ) ) ( . Limite e Continuidade As noções de limite e continuidade para funções de duas variáveis são análogas às que foram vistas para função de uma variável. f é dita descontínua em ( ).00 (Em Economia. Represente os pares ( ) ( ( ) ) Caso L seja igual a ( ). Esboce o gráfico dos pontos ( ) para os quais a receita vale $120. o limite de ( ) quando ( ) tende ao ponto ( ) é o número L (se existir) do qual se aproxima ( )quando ( ) se aproxima de ( ). Seja quais uma função de produção. Cada curva de nível fornece os pares (K. Indicamos essa ideia da seguinte forma: ( Exercícios ) 1. Em Economia. sem no entanto ficar igual a ( ). sendo a primeira com produção igual a 1 e a segunda igual a 2. caso ) se aproxima do ) ). Intuitivamente falando. O limite de ( ponto ( ) é o número 5 e escrevemos: ) para os ( . Tais curvas recebem o nome de curvas de indiferença.L) para os quais a produção é constante. em que x é a quantidade consumida de um produto A. 2. 3. f é contínua em ( ) ( ) quando ( ). Seja a receita de vendas de dois produtos de quantidades x e y. ) Ex1: Seja ( . Esboce as curvas de nível para e e explique seu significado econômico. Considere a função utilidade de um consumidor ( . Resp: Não é contínua. obtenha ) e verifique se ela é contínua no ponto ( ).4. Derivadas Parciais ( ) 3. 4. Resp: 18. Resp: Não é contínua.4. Dada a função ) contínua em ( ( ) { ( ( ) ( ) Ex: 3. ) 3. ) 24 . então serão também ( ) ( ( ) ( ) ) Consideremos uma função ( ) de duas variáveis. Introdução Obs2: Se ( ) e ( ) são contínuas em ( contínuas em ( ) as funções: a) ( ) b) ( c) ( ) ( ( )( ) d) ( ) e) ) f) ( ( ) ) ) ( ). Resp: Não é contínua. Uma primeira abordagem que podemos fazer desse problema consiste em manter fixa uma das variáveis e calcular o ritmo de variação de ( ) em relação à outra variável. Obs1: São contínuas em todos os pontos de seu domínio as funções: a) polinomiais nas variáveis x e y: ( ) ) { ( ( ) ) ( ( ) ) verifique se ela é contínua ). O limite de ( ) quando ( ) se aproxima de ( ( Como ( ) ) ( ) ( é descontínua em ( . É Dada ( ) ( ) ( contínua. ) é 5. Dada a função ( b) racionais nas variáveis x e y: ) ( ). isto é: ( ) a função . Dada a função contínua em ( em ( ( Ex: ( ) ) verifique se ela é ( ) ( { ( ) ( ) .Ex2: Seja a função ( ) ( { ( ) ) ( ( ) Exercícios ) 1. É um problema importante sabermos qual o ritmo de variação de ( ) correspondente a pequenas variações de x e y. verifique se ela é ( ) ) ). ) 2. A ideia que norteia esse estudo chama-se derivada parcial.1. quando ) em relação a x. Seja ( O símbolo A razão Seja chamamos de taxa média de variação de f em relação a x. ( ) ( ) ( ) chamamos de taxa média de variação de f em relação a y. Ao limite (se existir e for um número real) de Ao limite (se existir e for um número real) de denominados derivada parcial de f no ponto ( derivada parcial por um dos símbolos: ( ) . Indicamos tal ) ( ) Assim: ( ) .Definição: Considere um ponto ( ). f dependerá apenas da variável y. 1736 – 1813). depende do ponto de partida ( b) depende da variação ). se mantivermos x constante no valor de e variarmos y no valor de para o valor . denominados derivada parcial de f no ponto ( derivada parcial por um dos símbolos: ( ( ) ( tende a zero. ) em relação a y. se mantivermos y constante no valor de e variarmos x no valor de para o valor de . quando tende a zero. del x ) foi introduzido por Lagrange (Joseph Louis Lagrange. . Indicamos tal Assim: ( ) A razão Observemos que: a) ( ) ( ) ) 25 . a função ( ) dependerá apenas da variável x. ) ( ) ( ) ( ) ( lê-se del f. Analogamente. desde que: a) no cálculo de consideremos y como constante.2. A função ( ) é chamada função parcial de f em relação a y (ou simplesmente derivada parcial de f em relação a y). a função ( ) é chamada função parcial de f em relação a x (ou simplesmente derivada parcial de f em relação a x). basta substituirmos x por 3 e y por 4 nas derivadas. As derivadas parciais no ponto ( y por 1: ) . ( ( ) ( ) ( ) . As derivadas parciais são: ) . podemos aplicar as regras de derivação estudadas em funções de uma variável. por exemplo.Ex: Seja ( ) ( . b) no cálculo de consideremos x como constante. Ex1: Se ( Analogamente. Função Derivada Parcial Ex2: Suponhamos que ( ) Se calcularmos e num ponto genérico ( ) . Calcular )e ( ).4. isto é: ( ) ( 3. Então: ) ) ( Se quisermos calcular )e ( ). obteremos duas funções de x e y. As derivadas parciais também podem ser indicadas por Temos: ( ( ) ( ) ( ) ) Para o cálculo de e . são obtidas substituindo x e 26 . se admitirmos .( ( ) ( ) ) Ex3: Seja ( ( ). ou seja. teremos ( e. calcule e para as seguintes funções: a) ( ) k) ( ) b) ( ) l) ( ) c) ( ) m) ( ) d) ( ) n) ( ) e) ( ) o) ( ) f) ( ) p) ( ) g) ( ) q) ( ) . Fazendo . Exercícios 1. Assim. a um aumento unitário no preço do kg do arroz (de 4 para5) corresponde a um aumento na demanda de batata em aproximadamente 15 kg (mantido o preço do kg da batata em 3). portanto: ( ) ) ( representa aproximadamente ) para pequenos valores de . teremos . Para o cálculo das derivadas parciais. Calculemos ( )e ( ). i) ( ) s) ( ) j) ( ) t) ( ) Ex4: Suponhamos que a quantidade de batata demandada por semana (em kg) num supermercado seja função do seu preço unitário x (por kg) e do preço ( ) unitário y (por kg) de arroz. ou seja. Assim. ) utilizaremos a regra da cadeia. se admitirmos h) ( ) r) ( ) . ( ) ( ) Podemos interpretar o resultado da seguinte forma: aproximadamente ( ) para pequenos valores de ( ) representa √ √ ( ( ) ) √ 27 . teremos . de acordo com a relação . Usando as técnicas de derivação. a um aumento unitário do preço do kg da batata (de 3 para 4) corresponde a uma diminuição de aproximadamente 12 kg na demanda da batata (mantido o preço do kg do arroz em 4). Resp: a diminuição de uma unidade no ) .5. ) e compare com o resultado obtido em (a). x é o número de homens-hora empregados (em milhares) e y é o número de hectares plantados. a) a produtividade marginal do trabalho Resp: b) a produtividade marginal da terra c) ( )e ( .2. Resp: 300 a) Calcule as demandas marginais parciais 3. 5. x seu preço unitário e y o preço unitário de um produto II. Seja a equação de demanda semanal de manteiga num supermercado (em kg). ) e compare com o resultado obtido em (c). e b) O que aumenta mais a demanda de I: diminuir em uma unidade seu preço unitário (mantendo o preço de II) ou aumentar em uma unidade o preço de II (mantendo o do produto I)? Resp: diminuir em uma unidade o preço de I (mantendo o preço de II). Seja a equação de um produto I. o que aumenta mais a demanda da manteiga: o aumento em uma unidade de preço do kg da margarina (mantido o da manteiga) ou a diminuição em uma unidade de preço do kg da manteiga (mantido o da margarina)? Use os resultados do item (a). Resp: 10 e 2. 28 . Considere a função de produção ( b) Se e . explicando seu significado. K e L. Calcule: 7. / ). Resp: 900 b) Calcule ( ) ( . Considere a seguinte função de produção ( . Considere a função ( ) a) Calcule ( ). Resp: 945. Resp: 2 e 1/2. as quantidades ( dos insumos capital e trabalho. x o preço por kg da manteiga e y o preço por kg da margarina. em que P é a quantidade colhida de um produto (em toneladas). Interprete o resultado. explicando seu significado. Resp: 300 d) Calcule ( ) ( ) uma função de produção. Mostre que ( ) e . a) Calcule as demandas marginais parciais e . ) 4. Resp: . c) Calcule ( 6. Seja ( ). / . Resp: . Calcule ) e ( ). Resp: e preço da manteiga (mantido o da margarina). b) d) .5. conforme vimos em funções de uma variável. cujo gráfico é a intersecção do gráfico de f com o plano da equação . Ora. c) . r) ( Eixo horizontal no plano y = y ( ) . o que fizemos foi manter y fixo no valor de e calcular a derivada de f que. ) o . . h) . p) . n) ( A curva 𝑧 𝑓 (𝑥 𝑦 ) no plano 𝑦 𝑦 Reta tangente ) . j) . isso nada mais é do que achar a derivada da função (de x) no ponto . ) . no ponto de abscissa . Interpretação geométrica das derivadas parciais No cálculo de ( ). k) . f) .Eixo vertical no plano y = y Respostas do exercício 1: a) o . Portanto. ( ) representa o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano de equação . ( ) representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto de abscissa . Eixo vertical no plano 𝑥 𝑥 Reta tangente A curva z = f (x. e) g) . Analogamente. no caso. i) . só dependia de x. l) m) o) ) ( q) s) ( . y ) 0 no plano x = x o Eixo horizontal no plano x = x 29 o . t) 3. existe uma fórmula alternativa de cálculo da derivada da função composta. de acordo com a relação . y ) ( ) 0 no plano y = y o Isto é. y ) 0 Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x . e P. teremos: ( ) ( ) ( ) ) Ex1: Sejam ( . y ) no plano 𝑥 𝑥 0 À função de t. De um modo geral. Se quisermos expressar a produção em função do tempo.Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x . composta de f com x e y é dada por: ( ) a) Cálculo direto de b) Cálculo de . conhecida como regra da cadeia. . Função composta – Regra da Cadeia ) Consideremos uma função de produção ( em que x e y são as quantidades de dois insumos. como vimos no exemplo. chamamos de função composta de P com A derivada da função composta dada por ( ) em relação a t é : 0 A curva z = f (x. capital e trabalho. Suponhamos que o capital x cresça com o tempo t. a quantidade produzida de um produto. A função ) : pela regra da cadeia . Procedendo dessa forma. temos que substituir e na relação ( ) . e o trabalho cresça de acordo com a relação . y ) 0 0 A curva z = f (x. Entretanto. dada por ( ) x e y. a derivada da função composta pode ser obtida por substituição e derivação da função de uma variável. ( ) ( ) ( e ( ) . .6. a taxa de crescimento do produto em relação ao tempo é 0. 30 .72. 3. b) Cálculo de pela regra da cadeia . e o trabalho cresça com o tempo de acordo com . d) . c) ( ) . Respostas: . em que x indica o capital e y. Obtenha diretamente e pela regra da cadeia. b) A taxa de crescimento da produção em relação ao tempo. com x e y nos seguintes casos: a) ( ) ( ) ( ) 31 . Seja uma função de produção. o trabalho. a) portanto. ( ) ( ) 2. b) .Ex2: Sejam ( ) composta de f com x e y é dada por: . 1. Obtenha: ( ) a) Cálculo direto de b) ( : a) A produção em função do tempo. Suponha que o capital cresça com o tempo t de acordo com a relação . b) Exercícios 1. sendo F a função composta de f. A função ) c) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. . ( ) e ( ) . a) .