MétodosProbabilísticos HIDROLOGIA GENERAL Autor: Valleumbroso Villa Freddy 2015 - Métodos Probabilísticos 2 …… 11 3 . 4 Distribución de Probabilidad para Variables Continuas………………..- Métodos Probabilísticos Metodos Probabilisticos PROFESOR: Ing..……………… 3 Parámetros Estadísticos………………………………………………………………. 6 Ajuste de Distribuciones ………………………………………... Dante Salazar Sánchez CURSO: Hidrología General UNIVERSIDAD SAN PEDRO Métodos Probabilísticos Contenido Distribución de Probabilidades en Hidrología …………………………….. b). se dice que conocemos la Distribución de Probabilidades de la variable x. Si conocemos la probabilidad P(a ≤ x ≤ b) para todos los valores de a y b.- Métodos Probabilísticos DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGÍA El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad. Si x es un número dado y consideramos la probabilidad P(X ≤ x): F(x)= P(X x): y llamamos F(x) la función de distribución acumulada. Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a. 4 . similarmente P(a ≤ x ≤ b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el intervalo (a. La variable se designa por mayúscula y un valor específico de ella por minúscula. 5 .1 Media : Es el valor esperado de la variable misma.2. momento respecto al El valor estimado de la media a partir de la muestra es: 1. en promedio. Los principales estadísticos son los momentos de primer.2. Las unidades de la varianza son la media al cuadrado. indicando las características de la población. segundo y tercer orden correspondiente a la media. Primer origen. a ser mayor o menor que el valor verdadero. y asimetría respectivamente. la desviación estándar s es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones que la media y simplemente es la raíz cuadrada de la varianza. Muestra la tendencia central de la distribución. varianza.- Métodos Probabilísticos PARAMETROS ESTADISTICOS Los estadísticos extraen información de una muestra. se estima por s. 1.2 Varianza ²: Mide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media El valor estimado de la varianza a partir de la muestra es En el cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar que la estadística que no tenga una tendencia. - Métodos Probabilísticos Efectos de la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación estándar Coeficiente de variación es una medida adimensional de la variabilidad su estimado es 1. dividiéndolo por el cubo de la desviación estándar para que sea adimensional.2. Para determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribución de probabilidades no es una función fácilmente invertibles se requiere conocer la variación de la variable respecto a la media. predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de interés. tercer momento respecto a la media Un estimativo del coeficiente de asimetría está dado por: ANALISIS DE FRECUENCIA El análisis de frecuencia es una herramienta utilizada para. Es un método basado en procedimientos estadísticos que permite calcular la magnitud del caudal asociado a un período de retorno. Chow en 1951 propusó determinar esta variación a partir de un factor de frecuencia KT que puede ser expresado: y se puede estimar a partir de los datos Para una distribución dada. puede determinarse una relación entre K y el período de retorno Tr.3 Coeficiente de asimetría la distribución de los valores de una distribución alrededor de la media se mide por la asimetría. Esta relación puede expresarse en términos matemáticos o por medio del uso de una tabla. Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie histórica. 6 . además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. a partir de la información histórica de caudales. Se obtiene a partir del tercer momento alrededor de la media. Aunque muchas veces no se ajusta a los datos hidrológicos tiene amplia aplicación por ejemplo a los datos transformados que siguen la distribución normal.1. Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como este factor es el mismo de la variable normal estándar 3.1.1 DISTRIBUCION NORMAL La distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana.4 Limites de confianza: donde a es el nivel de probabilidad es el cuantil de la distribución normal estandarizada para una probabilidad acumulada de 1-a y Se es el error estándar 7 .- Métodos Probabilísticos DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS 3. 3. 3.1.1.3 Factor de frecuencia: 1. también conocida como Campana de Gauss.1 Función de densidad: La función de densidad está dada por Los dos parámetros de la distribución son la media m y desviación estándar s para los cuales (media) y s (desviación estándar) son derivados de los datos.2 Estimación de parámetros: 3. 4 Limites de confianza: en donde.2. K T variable normal estandarizada. Pmínima (excelentes resultados en Antioquia). 3. Esta distribución es muy usada para el calculo de valores extremos por ejemplo Qmax. x media de los datos originales y s desviación estándar de los datos originales. estimado sy. Se error estándar.2.2 Métodos Probabilísticos DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL DE DOS PARÁMETROS Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen normalmente se dice que X se distribuye normalmente. my : media de logaritmos de la población (parámetro escalar). Pmax. y requiere que los logaritmos de las variables estén centrados en la media 3. Limitaciones: tiene solamente dos parámetros. Tiene la ventaja que X>0 y que la transformación Log tiende a reducir la asimetría positiva ya que al sacar logaritmos se reducen en mayor proporción los datos mayores que los menores. Qmínimos.3.1 Función de densidad: y = ln x donde. sy : Desviación estándar de los logaritmos de la población.2 Estimación de parámetros: 3.2. es el coeficiente de variación. 3.3 Factor de frecuencia: K es la variable normal estandarizada para el Tr dado. n número de datos. 8 .2. 4 Limites de confianza KT es el factor de frecuencia y t (1-a) es la variable normal estandarizada para una probabilidad de no excedencia de 1-a.3. 3.33 años es igual a la media de los caudales máximos. Para la distribución Gumbel se tiene que el caudal para un período de retorno de 2. la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos).3. 9 .1 Función de densidad: En donde a y b son los parámetros de la distribución. Factor de frecuencia: Donde Tr es el periodo de retorno.3.2 donde 3.3.3 Métodos Probabilísticos DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I Una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es la distribución general de valores extremos.3. 3.3 Estimación de parámetros son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra. 3. Volúmenes de flujo anuales y estacionales. respectivamente .4 Intervalos de confianza: Donde S es la desviación estándar de la muestra.3.4. x0 < x < a para a > 0 a < x < x0 para a < 0 a y b son los parámetros de escala y forma. 10 .4.4 Métodos Probabilísticos DISTRIBUCION GAMMA DE TRES PARÁMETROS O PEARSON TIPO 3 Esta distribución ha sido una de las mas utilizadas en hidrología. n es el número de datos y d se encuentra tabulado en función de Cs y Tr.1 Función de densidad: donde.4.2 Estimación de parámetros: 3. 3. 3. Caudales mínimos.3 Factor de frecuencia: Este valor de K se encuentra tabulado de acuerdo al valor de Cs calculado con la muestra. 3.4. Como la mayoría de las variables hidrológicas son sesgadas. La función de distribución Gamma tiene dos o tres parámetros. valores de precipitaciones extremas y volúmenes de lluvia de corta duración. la función Gamma se utiliza para ajustar la distribución de frecuencia de variables tales como crecientes máximas anuales. y x0 es el parámetro de localización. n es el número de datos y d se encuentra tabulado en función de Cs y Tr. respectivamente .3 Factor de frecuencia: donde z es la variable normal estandarizada Este valor de K se encuentra tabulado de acuerdo al valor de Cs calculado con la muestra.4 Intervalos de confianza: Xt ± t(1-a) Se Donde Sy es la desviación estándar de los logaritmos de la muestra. y y 0 es el parámetro de localización 3.5.1 Función de densidad: a y b son los parámetros de escala y forma. 11 .3.5.5. son la media y la desviación estándar de los logaritmos de la muestra respectivamente 3. 3.2 Estimación de parámetros: Cs es el coeficiente de asimetría.5. 3. Esta se trabaja igual que para la Pearson Tipo III pero con Xy y Sy como la media y desviación estándar de los logaritmos de la variable original X. se dice que la variable aleatoria X se ajusta a una distribución Log Pearson Tipo III.5 Métodos Probabilísticos DISTRIBUCIÓN LOG GAMMA O LOGPEARSON DE 3 PARÁMETROS Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se ajustan a una distribución Pearson tipo III. Esta distribución es ampliamente usada en el mundo para el análisis de frecuencia de Caudales máximos. Para seleccionar la distribución de probabilidades de la serie histórica se deben tener en cuenta algunas consideraciones.1 Plotting Position Trabaja con la probabilidad de excedencia asignada a cada valor de la muestra. ya que la estimación depende solamente de los caudales máximos anuales que han ocurrido en la cuenca y no da cuenta de los procesos de transformación de la precipitación en escorrentía. no se puede ignorar el significado físico de los ajustes. las distribuciones Log . esta luego se puede ajustar a una de las distribuciones teóricas presentadas anteriormente. 4. este es diseñado para que los datos se ajusten a una línea recta y se puedan comparar los datos muestrales con la distribución teórica (línea recta). Estos son análisis estadísticos y como tal se deben entender. Cuando la información es adecuada el análisis de frecuencia es la metodología más recomendable para la evaluación de eventos extremos.2 Pruebas de Ajuste Para determinar que tan adecuado es el ajuste de los datos a una distribución de probabilidades se han propuesto una serie de pruebas estadísticas que determinan si es adecuado el ajuste. Obviamente tiene algunas limitaciones relacionadas con el comportamiento de la serie histórica y con el tamaño y calidad de los datos de la muestra. Con las anteriores expresiones se halla lo que se conoce como la distribución empírica de una muestra. es decir. Gumbel y Log-Gumbel principalmente. 4.- Métodos Probabilísticos AJUSTE DE DISTRIBUCIONES Para la modelación de caudales máximos se utilizan.Normal. entre otras. Los resultados pueden ser dibujados en el papel de probabilidad. 12 . Se han propuesto numerosos métodos empíricos. Si n es el total de valores y m es el rango de un valor en una lista ordenada de mayor a menor (m=1 para el valor máximo) la probabilidad de excedencia se puede obtener por medio de las siguientes expresiones: California Weibull Hazen La expresión más utilizada es la Weibull. Aunque no existe una definición generalmente aceptada. Si el valor calculado Dn es mayor que el Da.2.1 Métodos Probabilísticos Prueba Smirnov . valores de 0. 1994).01 son los más usuales. si ocurre lo contrario entonces se acepta. muy superiores a los demás registrados (Ashkar.Kolmogorov El estadístico Smirnov Kolmogorov D considera la desviación de la función de distribución de probabilidades de la muestra P(x) de la función de probabilidades teórica. et al. donde k es el número de intervalos y n es el número de los parámetros de la distribución teórica. El valor crítico Da de la prueba debe ser obtenido de tablas en función de a y n. Supongase que una hipótesis Ho es aceptar que una distribución empírica se ajusta a una distribución Normal. escogida Po(x) tal que La prueba requiere que el valor Dn calculado con la expresión anterior sea menor que el valor tabulado Dn para un nivel de probabilidad requerido. Prueba Chi Cuadrado Una medida de las discrepancias entre las frecuencias observadas (fo) y las frecuencias calculadas (fc) por medio de una distribución teórica esta dada por el estadístico χ² en donde Si el estadístico χ²=0 significa que las distribuciones teórica y empírica ajustan exactamente. Esta prueba es fácil de realizar y comprende las siguientes etapas: 4. La distribución del estadístico χ² se puede asimilar a una distribución Chi-cuadrado con (k-n-1) grados de libertad.01 (el nivel de confianza es 1-a) se puede decir que las frecuencias observadas difieren significativamente de las frecuencias esperadas (o calculadas) y entonces la hipótesis Ho se rechaza.2. 13 . La función χ² se encuentra tabulada. mientras que si el estadístico χ²>0. ellas difieren. Se fija el nivel de probabilidad a. Si el valor calculado de χ² por la ecuación anterior es mayor que algún valor crítico de χ².2 El estadístico Dn es la máxima diferencia entre la función de distribución acumulada de la muestra y la función de distribución acumulada teórica escogida.05 y 0. con niveles de significancia a de 0. se puede entender como valores extremos. la distribución escogida se debe rechazar.4.05 y 0. ESTADISTICA DE DATOS HIDROMETRICOS ANALISIS DE DATOS HIODROMETRICOS EN RIO JEQUETEPQUE 14 .- Métodos Probabilísticos 1. APLICANDOSE EN ESTE CASO LAS DISTRIBUCIONES: NORMAL. ELIGIENDOSE LA MAS REPRESENTATIVA A LA SERIE DE DATOS ANALIZADOS. GUMBEL. LOGGUMBEL. CONSIDERANDO LA DISPONIBILIDAD DE ESTOS REGISTROS EN LAS ESTACIONES DE AFORO. LOGNORMAL. LOGPEARSON.PERIODO DE RETORNO SE REALIZO MEDIANTE EL ANALISIS ESTADISTICO DE AJUSTE DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD. DEL ANALISIS RESULTA QUE LA DISTRIBUCION DE GUMBEL ES LA QUE MAS SE APEGA A LA SERIE DE DATOS DE LA ESTACION HIDROMETRICA DE YONAN. LA DETERMINACION DE LA CURVA DE CALIBRACION .- Métodos Probabilísticos CALCULO DE PROBABILIDAD DE DATOS HIDROMETRICOS EN RIO JEQUETEPQUE ANALISIS DATOS HIDROMETRICOS PARA LA REALIZACIÓN DEL ESTUDIO HIDROLÓGICO DE LA CUENCA HIDROGRÁFICA SE DISPONE DE MEDICIÓNES DE CAUDALES. PEARSON. 15 . - Métodos Probabilísticos 16 . - Métodos Probabilísticos 17 . - Métodos Probabilísticos 18 . - Métodos Probabilísticos 19 . - Métodos Probabilísticos 20 . - Métodos Probabilísticos 21 . - Métodos Probabilísticos 22 . 20.- Métodos Probabilísticos AJUSTES DE PROBABILIDAD AL 10. 50. 40. 70. 60.90 Y 99% 23 . 30. 80. - Métodos Probabilísticos 24 . - Métodos Probabilísticos METODO SMIRNOV – KOLMOGOROV 25 . - Métodos Probabilísticos 26 . - Métodos Probabilísticos 27 . - Métodos Probabilísticos 28 . ffd https://Bibliotecasvirtual/hidrometria-met#hotspot/12099 29 .net/metodos-probabilisticos-ref.- Métodos Probabilísticos BIBLIOGRAFIA Y WEBGRAFIA - Autoridad Nacional del Agua – Sd Rio Jequetepeque – Balance Hidrico Anual www.sxp/lg#.udicop.