Unidad 5 interpolaciónInterpolación. En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (x k,yk), obtener una función f que verifique. a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos x k se les llama nodos. En análisis numérico. Este método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para interpolar. Además. Aunque sólo existe un único polinomio que interpola una serie de puntos. ya que a medida que crece el número de puntos. que. y0). dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos. imponemos sea de la forma: P1(x) = P0(x) + a1(x − x0) que por construcción pasa por el primer punto. Tomemos una vez más los n+ 1 puntos dados {(x0. Metodología. pero una vez hecha esta. 5. Es decir. la interpolación polinomial es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. la única posibilidad es : P0(x) = y0 Consideremos ahora un polinomio de grado uno que pase por los dos primeros puntos de la lista de datos. el error se estima con facilidad. Definición de interpolación polinómica. . Definición de interpolación polinómica de Newton.(x1. también lo hace el grado del polinomio. lógicamente. Si P1(x1) = y1.1 Polinomio de interpolación de Newton. Es un método de interpolación polinómica. . Requiere la elaboración de una tabla de diferencias. entonces necesariamente: . además. existen diferentes formas de calcularlo. . yn)}. y1). y0). Consideremos un polinomio de grado cero que pase por (x0. se obtienen con facilidad polinomios de interpolación de distintos grados para grupos de datos consecutivos.(xn. . . calculados por el Método de Newton.. veamos por ello. para un conjunto dado de puntos. que agiliza el proceso. Imponer P2(x2) = y2 nos conduce a: así sucesivamente. llamaremos diferencias divididas de orden uno a las expresiones siguientes: . Dada una tabla de datos como la que estamos manejando: {(x0. Diferencias divididas.De igual forma.y1).. P2(x).. construimos: )... . cómo se construye la tabla de diferencias. no es la manera más rápida ni útil de obtenerlo.y0).. (xn. obtendremos: con Polinomios P1(x). en la sección siguiente. sin embargo.(x1.yn)}. Tenemos por tanto descrito cómo se obtiene el polinomio de interpolación por el Método de Newton. ..n(x − xn−1))))) Por tanto. ...i+3 yi.(x − xn−1) a0 = y0.i+5 yi.. para siete datos) i xi yi yii+1 yii+1i+2 yi. + y012. Con las diferencias de orden uno podemos construir las diferencias de orden 2: es decir: . an = y012. y asumiendo además que las diferencias divididas de orden 0 no son más que los propios yi. es fácil comprobar que los coeficientes del polinomio de interpolación calculado por el método de Newton no son más que las diferencias divididas de los sucesivos órdenes.. a2 = y012.n(x − x0)... las diferencias de orden k serán: Con todas estas definiciones..(x − xn−1) Pn(x) = y0 + (x − x0)(y01 + (x − x1)(y012 + ((x − x2)(.Es decir: .i+4 yi. etc....i+6 0 x0 y0 y01 y012 y0123 y01234 y012345 y0123456 1 x1 y1 y12 y123 y1234 y12345 y123456 2 x2 y2 y23 y234 y2345 y23456 3 x3 y3 y34 y345 y3456 4 x4 y4 y45 y456 5 x5 y5 y56 6 x6 y6 . en definitiva: Pn(x) = y0 + y01(x − x0) + .. a1 = y01. y así sucesivamente.. si calculamos una tabla de diferencias divididas de la forma (por ejemplo. + y012..... + an(x − x0). Pn(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)(x − x1) + .n y..... De manera general...... Teniendo en cuenta la definición de y01. tendremos Si continuamos el razonamiento se obtiene con facilidad que la derivada (n+a)- encima en un punto intermedio se puede aproximar por la expresión: y en definitiva podemos escribir la siguiente expresión aproximada para el error de interpolación: .dispondremos de todos los coeficientes de los diferentes polinomios de Newton calculables con dichos datos. Para la derivada segunda en un punto medio . f′(¯x2) ≈ y23 ..x1]: Y de manera análoga: f′(¯x2) ≈ y12 . Finalmente. es razonable considerar dicho valor como una buena aproximación para la derivada primera de la función en el punto medio del intervalo [x0. es posible obtener una estimación en general razonable para el error cometido en la interpolación usando las diferencias divididas.. el polinomio de Lagrange. En análisis numérico. La fórmula general para el polinomio de interpolación de Lagrange es Donde usamos polinomios básicos de Lagrange: Expandiendo el producto para verlo mejor: .yk) donde todos los xj se asumen distintos. y0). y1). (x2. y2). Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan diferentes coordenadas x): (x0. Un polinomio que pase por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación. Dado un conjunto de k + 1 puntos: (xo. (x1.yo). 5. yn). es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado.2 Polinomio de interpolación de Lagrange. Nuestro objetivo es encontrar una función polinómica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Formula. Definición. (xk. Objetivo.(xn. ….…. llamado así en honor a Joseph- Louis de Lagrange.. Primera forma de determinar el polinomio interpolador de Lagrange: resolviendo un sistema de (n+1) ecuaciones llegamos a la matriz de Van der Monde (si los puntos del soporte son distintos es no singular. sería otro polinomio de grado k a lo sumo. solución única del sistema) 2. Por lo tanto. L(x) es el único polinomio interpolador. La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k. el aspecto de las funciones de base de Lagrange (polinomios de Lagrange) depende del nº de puntos de soporte Dados dos puntos (x0. y0) y (x1. Segunda forma de determinar el polinomio interpolador de Lagrange: fórmula de Lagrange. pues la diferencia entre dos tales soluciones. La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones: 1. y1) hay exactamente una recta que pasa por esos dos puntos: . con k+1 ceros. El problema de interpolación puede tener tan solo una solución. es un polinomio de interpolación). Metodología.Estos polinomios básicos de Lagrange se construyen con una propiedad: Entonces es muy fácil comprobar que estos polinomios pasan por todos los n+1 puntos dados (es decir. y0). y2). con coordenadas x diferentes. . o bien los tres puntos están en una recta o hay un polinomio de segundo grado (una parábola) que pasa por esos tres puntos. (x1. En cualquier caso. hay un polinomio de grado como mucho 2 que pasa por esos tres puntos. y1) y (x2.Dados tres puntos (x 0. 5. .3 Interpolación segmentada o splines. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones. En los problemas de interpolación. indeseables en la mayoría de las aplicaciones. un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Para el ajuste de curvas. se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado. encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Definición El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos. particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. evitando así las oscilaciones. los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática. o un suavizado de curvas. En el subcampo matemático del análisis numérico. Tipos Interpolación con splines de grado 1 .Spline cúbica Spline Lineal Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma f(x)=ax+b) que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta. Así. se tiene que para este caso: .Spline lineal Interpolación con splines de grado 2 . Dados los n+1 puntos: Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta.Spline cuadrática Interpolación con splines de grado 3 . como se ilustra en las siguientes figuras: Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. ¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones. Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). Esto quiere decir. Spline Cuadratica Los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x). ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio. En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla. Es decir. Esto sin embargo no es suficiente. que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c Como en la interpolación segmentaria lineal. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. ¿Por qué?. La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua. Spline Cubica . Se necesita una sexta ecuación. al que se fuerza uno de los P(x). pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo). que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar. sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos. vamos a determinar cómo condiciones: Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. vamos a tener seis incógnitas en total. y necesitamos una condición más. ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos.n]. y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos.n] tiene grado 3.c. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines. Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m. en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m. Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines. esto son. los puntos m y n en el intervalo [m. sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.b. esto son. determina el carácter de los splines cúbicos.d). que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar.n]. La forma de solucionar esto. Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual". Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos. Así. que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a. Es decir. podemos usar: Splines cúbicos naturales: La forma más típica.Cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m. Definición .n]. Esto quiere decir. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. respecto a la derivada segunda: Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.n]. los puntos m y n en el intervalo [m.