Una de las dificultades máñ í úna los és. Ante esta limitante la coordinació é de Mé ómicas, Administrativas y Contables de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras, en un esfuerzo conjunto, elaboraron un texto apegado a esta asignatura. á el vací ía en esa asignatura y constituirá la base te á á ón é á ñ á prácticas para darle seguimiento a la materia. Visítenos en: íí www.pearsoneducacion.net A r y a • L a r d n e r • L o b o S c h e t t i n o • V i l l a l o b o s • I b a r r a P E A R S O N P R E N T I C E H A L L ® ® y g MÉTODOS CUANTITATIVOS I Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner Departament of Mathematics, Simon Fraser University Víctor Hugo Ibarra Universidad Anáhuac José Luis Villalobos Pérez Universidad Autónoma de Guadalajara Macario Schettino Yáñez Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México Max. A. Sobel Montclair State College Norbert Lerner State University of New York at Cortland Allen R. Angel Monroe Community College México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela ® Elena de Oteyza de Oteyza Emma Lam Osnaya Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México Carlos Hernández Garciadiego Angel Manuel Carrillo Hoyo Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México Con la colaboración de Justa Lobo de Corea Facultad de Ciencias Económicas, Administrativas y Contables Universidad Nacional Autónoma de Honduras y g Authorized translation from the English language edition, entitled: Mathematical Analysis for Business, Economics and the Life and Social Sciences, 4 th ed., by Jagdish C. Arya and Robin W. Lardner ©1993, ISBN 0-13-564287-6 College Algebra 2 nd ed., by Max A. Sobel and Norbert Lerner ©1987, ISBN 0-13-141839-4 Intermediate Algebra for College Students 4 th ed., by Allen R. Angel ©1996, ISBN 0-13-183518-1 Elementary Algebra for College Students 4 th ed., by Allen R. Angel ©1996, ISBN 0-13-324781-3 College Algebra 4 th ed., by Max A. Sobel and Norbert Lerner ©1995 ISBN 0-13-311614-X published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC. All rights reserved. Este libro es una compilación de las siguientes obras. Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía 4/e de Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner ©1993, ISBN 968-444-437-0 Álgebra 2/e, de Max. A. Sobel y Norbert Lerner ©1987, ISBN 968-880-168-2 Álgebra intermedia 4/e de Allen R. Angel ©1996, ISBN 968-880-841-5 Álgebra elemental 4/e de Allen R. Angel ©1996, ISBN 970-17-0119-4 Álgebra 4/e de Max A. Sobel y Norbert Lerner ©1995, ISBN 968-880-680-3 Temas selectos de matemáticas, Elena de Oteyza de Oteyza, Emma Lam Osnaya, Carlos Hernández Garciadiego y Angel Manuel Carrillo Hoyo ISBN 970-17-0214-X Álgebra 2/e © 2004, Elena de Oteyza de Oteyza, Emma Lam Osnaya, Carlos Hernández Garciadiego y Angel Manuel Carrillo Hoyo ISBN 970-26-0430-3 publicadas por Pearson Education, Inc., publicadas como PRENTICE HALL INC. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español: Editor: Guillermo Trujano Mendoza e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez Hernández Supervisor de Producción: José D. Hernández Garduño PRIMERA EDICIÓN, 2005 D.R. © 2005 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No. 500 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail:
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Métodos Cuantitativos I Matemáticas ® y g Una de las dificultades más frecuentes con las que se enfrentan los docentes en las diversas disciplinas de la enseñanza es la falta de bibliografía que reúna los requerimientos de un de- terminado silabus y que sea capaz de aglutinar una temática de interés. Ante esa limitante, la coordinación de la clase de Métodos Cuantitativos I, el departamento de Métodos Cuantitati- vos de la Facultad de Ciencias Económicas Administrativas y Contables de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras, en un esfuerzo conjunto, asumimos el reto de elaborar un texto para esta asignatura. En tal sentido, iniciamos un proceso de investigación y recopila- ción de información, en varias fuentes bibliográficas, de todos los temas que conforman el contenido de la clase. La experiencia ha sido enriquecedora y los resultados satisfactorios. Hemos elaborado un texto base que llenará un vacío y que constituirá la fundamentación teórico-práctico de la asignatura, con lo que estaremos coadyuvando significativamente no sólo con el proceso, si- no con los resultados académicos de los estudiantes, quienes podrán seguir paso a paso las enseñanzas de sus maestros, contar con una amplia gama de ejercicios para realizar prácticas y darle seguimiento a la materia. Agradezco la colaboración de todos los catedráticos que imparten la asignatura, ya que con sus oportunas sugerencias hicieron posible la realización de esta obra. Los invito para que lo usen y hagan de él una de sus mejores herramientas de trabajo. Justa Lobo de Corea Coordinadora de la Cátedra de Métodos Cuantitativos I iii Presentación y g y g En esta edición, nos hemos esforzado por presentar el álgebra en forma tal que resulte de má- ximo provecho a estudiantes cuyos campos de especialización no sean las matemáticas ni las ciencias físicas. El libro está orientado principalmente hacia aplicaciones en la administra- ción y la economía, aunque en esta edición se incluye una significativa cantidad de ejercicios y aplicaciones concernientes a diversas áreas de las ciencias sociales y biológicas, lo cual am- plía la utilidad del texto. En esta edición se ha realizado una gran cantidad de revisiones. Se ha revisado el tra- tamiento de desigualdades cuadráticas en el capítulo 3. Y las aplicaciones en el capítulo 2 se han dividido y colocado más próximas al álgebra que las relaciona. Además de estas revisio- nes y adiciones importantes, se ha hecho una gran cantidad de otras a lo largo de todo el li- bro, las cuales consisten de ejemplos adicionales desarrollados o aplicaciones del análisis. La mayor parte de los conjuntos de ejercicios se ha modificado y se han agregado otros nuevos. Varias herramientas pedagógicas son nuevas en esta edición. Al inicio de cada capítu- lo se incluye una aplicación o problema interesante y al final se agrega un repaso del capítulo o un caso de estudio. Se hace un uso amplio de cuadros para enfatizar las fórmulas y resulta- dos principales. Quizá lo más útil de todo para el estudiante es la inclusión de “cuadros de re- paso”, al margen del texto, que contienen preguntas sencillas que ligan de forma directa al análisis adyacente. Los asteriscos (*) preceden a los ejercicios que constituyen un reto. El libro está orientado a la enseñanza de las aplicaciones y a la utilización de las ma- temáticas más que a las matemáticas puras. No se hace hincapié en las demostraciones de los teoremas ni se da a éstas un lugar prominente en el desarrollo del texto. Por lo regular, des- pués de enunciar un teorema procedemos a ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos, y luego se ofrece la demostración. Este relativo desinterés por los pormenores matemáticos da a los estudiantes —cuya principal motivación es la aplicación de las matemáticas— el tiempo necesario para mejorar sus habilidades en el uso de diversas técnicas. Según nuestra experiencia, los estudiantes que aprenden a dominar las técnicas por lo común desarrollan una intuición razonablemente cla- ra del proceso, y la carencia de un completo rigor matemático no constituye una grave de- ficiencia. v Prefacio y g El contenido de este libro se ha seleccionado de tal manera que incluya aquellas partes de las matemáticas básicas que son de mayor interés tanto para los estudiantes que se espe- cializan en administración y economía, como para los de ciencias sociales y biológicas. Las aplicaciones referidas a estas áreas se han integrado por completo en el desarrollo de la obra: a veces una aplicación particular se utiliza para motivar ciertos conceptos matemáticos; en otros casos, determinado resultado matemático se aplica, ya sea de inmediato o en una sec- ción subsecuente, a un problema concreto, digamos de análisis empresarial. Por lo general, las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercanía con el tratamiento del concepto matemático específico en cuestión. No obstante, cabe aclarar que las matemáticas de esta obra se presen- tan en un estilo “limpio”; es decir, fuera del contexto de cualquier aplicación particular. Sólo después de establecer cada resultado en un nivel puramente algebraico, se aplica éste a un problema práctico. Deseamos expresar nuestros agradecimientos a las siguientes personas, quienes revisa- ron el manuscrito y proporcionaron valiosos comentarios y sugerencias: Michael J. Bradley, Merrimack College; Richard Weimer, Frotsburg State University; Karen Mathiason, West Te- xas State University; Ronald Edwards, Westfield State University; Yoe Itokawa, University of Alabama, Birmingham y Greg Taylor, Wake Forest University. Agradecemos también al M. en C. Víctor Hugo Ibarra, Universidad Anáhuac e Instituto Politécnico Nacional; al Maestro José Luis Villalobos, Universidad Autónoma de Guadalajara, y al Doctor Macario Schettino, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey campus ciudad de México, las secciones con que inicia cada capítulo y los casos de estudio al final de los mismos. J.C.A. R.W.L. vi PREFACIO y g PRESENTACIÓN iii PREFACIO v 1 REPASO DE ÁLGEBRA 1 1-1 Los números reales 2 1-2 Fracciones 10 1-3 Exponentes 18 1-4 Exponentes fraccionarios 23 1-5 Operaciones algebraicas 29 1-6 Factorización 38 1-7 Fracciones algebraicas 46 Repaso del capítulo 1 55 Ejercicios de repaso del capítulo 1 56 ♦ CASO DE ESTUDIO 58 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 59 2-1 Ecuaciones lineales 60 2-2 Aplicaciones de ecuaciones lineales 68 2-3 Ecuaciones cuadráticas 73 2-4 Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas 81 Repaso del capítulo 2 88 Ejercicios de repaso del capítulo 2 88 ♦ CASO DE ESTUDIO 91 vii Contenido y g 3 DESIGUALDADES 92 3-1 Conjuntos e intervalos 93 3-2 Desigualdades lineales de una variable 99 3-3 Desigualdades cuadráticas de una variable 106 3-4 Valores absolutos 112 Repaso del capítulo 3 118 Ejercicios de repaso del capítulo 3 119 ♦ CASO DE ESTUDIO 122 4 LÓGICA MATEMÁTICA 127 4-1 Conjuntos 128 4-2 Unión de conjuntos 134 4-3 Intersección de conjuntos 136 4-4 Producto cartesiano 140 4-5 Lógica matemática 142 Repaso del capítulo 4 157 5 TEMAS SELECTOS 159 5-1 Radicales y exponentes fraccionarios 160 5-2 División sintética 166 5-3 Ecuaciones fraccionarias o racionales 173 5-4 Ecuaciones con radicales 181 5-5 Ecuaciones con valor absoluto 192 5-6 Factorización de productos notables 195 5-7 Despeje de fórmulas 199 5-8 Porcentajes 201 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS 207 6-1 Sucesiones 208 6-2 Sumas de sucesiones finitas 213 6-3 Progresiones aritméticas 217 6-4 Progresiones geométricas 225 6-5 Series geométricas infinitas 232 6-6 Inducción matemática 242 Ejercicios de repaso del capítulo 6 248 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 251 viii CONTENIDO y g 1 CAPÍ TULO 1 Repaso de álgebra 1-1 LOS NÚMEROS REALES 1-2 FRACCIONES 1-3 EXPONENTES 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 1-6 FACTORIZACIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS REPASO DEL CAPÍTULO T E M A R I O Una compañera nos sorprendió cuando en una clase necesi- tábamos calcular el área de un cuadrado de 75 cm por lado y ella de inmediato respondió que el área era de 5625 cm 2 . El profesor intrigado le preguntó cómo había hecho la ope- ración tan rápido, a lo que ella contestó que al siete le su- mo uno, cuyo resultado es ocho, multiplicó éste (el ocho) por siete y obtuvo 56, y colocó el 56 adelante del número 25, con lo que llegó a la respuesta. Nuestra compañera agre- gó que este método sólo servía para números que termi- naran en cinco. El profesor se quedó pensativo probando con varios números, y después de un rato nos explicó lo siguiente: Para representar un número que termine en cinco, podemos indicar con d al número de decenas y así formar el número: 10d ϩ 5 Al elevar este número al cuadrado —recuerden la forma de elevar un binomio al cuadrado— obtenemos: (10d ϩ 5) 2 ϭ 100d 2 ϩ 100d ϩ 25 Si factorizamos los primeros dos términos del lado derecho, cuyo factor común es 100d, tenemos: (10d ϩ 5) 2 ϭ 100d(d ϩ 1) ϩ 25 Con esto podemos entender la “regla” para elevar rápidamente al cuadrado un número que termine en cinco. Hagámoslo con un ejemplo: Elevemos (65) 2 . a) Nos fijamos en el número de decenas: seis. b) Éste lo multiplicamos por el dígito que es uno mayor que él, siete. c) Formamos el número que inicia con el resultado anterior, 42, y termina con 25, es decir, 4225. Con esta regla, realicemos las operaciones siguientes: i) 25 2 ii) 55 2 iii) 95 2 iv) 115 2 v) 7.5 2 vi) 105 2 g Empezaremos con un breve esbozo de la estructura de los números reales. Los nú- meros 1, 2, 3, etc., se denominan números naturales. Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 ϩ 5 ϭ 13 y 8 ϫ 5 ϭ 40; la suma 13 y el producto 40 son números na- turales. En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 Ϫ 5 ϭ 3 y 8 Ϭ 2 ϭ 4 son números naturales, pero 5 Ϫ 8 y 2 Ϭ 7 no son números naturales. Así, dentro del sistema de números naturales, siempre podemos sumar y multiplicar pero no siempre podemos restar o dividir. Con objeto de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sistema de los números naturales al sistema de los números enteros. Los enteros incluyen los números naturales, los negativos de cada número natural y el número cero (0). De este modo podemos representar al sistema de los enteros mediante . . . , Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, . . . Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos o restamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero. Por ejemplo, Ϫ3 ϩ 8 ϭ 5, (Ϫ3)(5) ϭϪ15 y 3 Ϫ 8 ϭϪ5 son enteros. Pero aún no podemos dividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemos que: 8 Ϭ (Ϫ2) ϭ Ϫ4 es un entero, pero Ϫ8 Ϭ 3 no lo es. Por tanto, dentro del sis- tema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos dividir. Para superar la limitación de la división extendemos el sistema de los enteros al sistema de los números racionales. Este sistema consiste en todas las fracciones a/b, donde a y b son enteros con b 0. Un número es racional si podemos expresarlo como la razón de dos enteros con denominador distinto de cero. Así ᎏ 8 3 ᎏ, Ϫᎏ 5 7 ᎏ, ᎏ 0 3 ᎏ y 6 ϭᎏ 6 1 ᎏ, son ejemplos de números racio- nales. Podemos sumar, multiplicar, restar y dividir dos números racionales cuales- quiera (excepto dividir entre cero)* y el resultado siempre es un número racional. De esta manera las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética: adición, multi- plicación, sustracción y división son posibles dentro del sistema de los números ra- cionales. Cuando un número racional se expresa como un decimal, los decimales termi- nan o presentan un patrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo, ᎏ 1 4 ᎏ ϭ 0.25 y ᎏ 9 8 3 0 ᎏ ϭ 1.1625 corresponden a decimales que terminan, mientras que ᎏ 1 6 ᎏ ϭ 0.1666. . . y ᎏ 4 7 ᎏ ϭ0.5714285714285. . . corresponden a decimales con patrones que se repiten. También existen algunos números de uso común que no son racionales (es de cir, que no pueden expresarse como la razón de dos enteros). Por ejemplo, ͙2ෆ, ͙3ෆ y no son números racionales. Tales números se denominan números irraciona- les. La diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales se advier- te en sus expresiones decimales. Cuando un número irracional se presenta por me- 2 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA 1-1 LOS NÚMEROS REALES *Revise el parágrafo final de esta sección. g dio de decimales, éstos continúan indefinidamente sin presentar ningún patrón repe- titivo. Por ejemplo, con diez cifras decimales ͙2ෆ ϭ 1.4142135623. . . y ϭ 3.1415926535. . . No importa con cuántos decimales expresemos estos números, nunca presentarán un patrón repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren en el caso de los números racionales. El término número real se utiliza para indicar un número que es racional o irracional. El sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones decimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los núme- ros racionales, mientras que los restantes corresponden a los números irracionales. ☛ 1 Geométricamente, los números reales se pueden representar con puntos sobre una línea recta denominada recta numérica. Con el fin de hacer esto, seleccio- nemos un punto arbitrario O sobre la línea que represente al número cero. Los números positivos se representan entonces con los puntos a la derecha de O y los negativos con los puntos a la izquierda de O. Si A 1 es un punto a la derecha de O tal que OA 1 tiene longitud unitaria, entonces A 1 representa al número 1. Los enteros 2, 3, . . . , n, . . . están representados por los puntos A 2 , A 3 , . . . , A n , . . . , están a la de- recha de O y son tales que OA 2 ϭ 2OA 1 , OA 3 ϭ 3OA 1 , . . . , OA n ϭ nOA 1 , . . . De manera similar, si B 1 , B 2 , . . . , B n , . . . , son los puntos a la izquierda de O tales que las distancias OB 1 , OB 2 , OB 3 , . . . , son iguales a las distancias OA 1 , OA 2 , . . . , OA n , . . . , respectivamente, entonces los puntos B 1 , B 2 , B 3 , . . . , B n , . . . , representan a los números negativos Ϫ1, Ϫ2, Ϫ3, . . . , Ϫn, . . . En esta forma, todos los enteros pueden representarse mediante puntos sobre la recta numérica. (Figura 1). SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 3 Los números racionales pueden representarse con puntos sobre la recta numé- rica que están situados a un número apropiado de unidades fraccionarias a partir de O. Por ejemplo, el número ᎏ 9 2 ᎏ está representado por el punto situado cuatro unidades y media a la derecha de O y Ϫᎏ 7 3 ᎏ está representado por el punto que está situado dos unidades y un tercio a la izquierda de O. De manera similar, todo número racional puede representarse con un punto sobre la línea. Se deduce que todo número irracional también puede representarse con un punto sobre la recta numérica. En consecuencia, todos los números reales, tantos los racionales como los irracionales, pueden representarse con tales puntos. Más aún, cada punto sobre la recta numérica corresponde a uno y sólo un número real. Debi- do a esto, es bastante común el uso de la palabra punto con el significado de núme- ro real. B n B 3 B 2 A 1 A 2 A 3 A n B 1 O 1 2 3 O Ϫn n Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 FIGURA 1 ☛ 1. ¿Qué tipo de número es cada uno de los siguientes?: (a) ᎏ Ϫ 2 3 ᎏ (b) (Ϫ͙2ෆ) 2 (c) ᎏ 2 ᎏ Respuesta (a) racional, real (b) natural, entero, real (c) irracional, real g Propiedades de los números reales Cuando dos números reales se suman, el resultado siempre es un número real; de manera similar, cuando dos números reales se multiplican, también el resultado es un número real. Estas dos operaciones de adición y multiplicación son fundamenta- les en el sistema de los números reales y poseen ciertas propiedades que en breve enunciaremos. Estas propiedades por sí mismas parecen ser más bien elementales, quizás obvias, pero son vitales para entender las diversas manipulaciones algebrai- cas que efectuaremos después. PROPIEDADES CONMUTATIVAS Si a y b son dos números reales cualesquie- ra, entonces a ϩ b ϭ b ϩ a y ab ϭ ba Por ejemplo, 3 ϩ 7 ϭ 7 ϩ 3, 3 ϩ (Ϫ7) ϭ (Ϫ7) ϩ 3, 3 ؒ 7 ϭ 7 ؒ 3 y (3)(Ϫ7) ϭ (Ϫ7)(3). Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos núme- ros son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier or- den que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adición y de la multiplicación, respectivamente. PROPIEDADES ASOCIATIVAS Si a, b y c son tres números reales cualesquiera, entonces (a ϩ b) ϩ c ϭ a ϩ (b ϩ c) y (ab)c ϭ a(bc) Por ejemplo, (2 ϩ 3) ϩ 7 ϭ 2 ϩ (3 ϩ 7) ϭ 12 y (2 ؒ 3) ؒ 7 ϭ 2 ؒ (3 ؒ 7) ϭ 42. Estas propiedades se conocen como propiedades asociativas de la adición y de la mul- tiplicación, respectivamente. Establecen que, si tres números se suman (o se multiplican) a la vez, no importa cuáles dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en primer término. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos. En virtud de estas propiedades, es innecesario escribir los paréntesis en las ex- presiones anteriores. Podemos escribir a ϩ b ϩ c para indicar la suma de a, b y c, y abc para su producto sin ninguna ambigüedad. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS Si a, b y c son números reales cualesquiera, entonces a(b ϩ c) ϭ ab ϩ ac y (b ϩ c)a ϭ ba ϩ ca Por ejemplo, 2(3 ϩ 7) ϭ 2(3) ϩ 2(7) ϭ 6 ϩ 14 ϭ 20. Esto es sin duda cierto por- que 2(3 ϩ 7) ϭ 2 ؒ 10 ϭ 20. Por otra parte, (Ϫ2)[3 ϩ (Ϫ7)] ϭ (Ϫ2)(3) ϩ (Ϫ2)(Ϫ7) ϭϪ6 ϩ14 ϭ8. Podemos evaluar la expresión dada directamente y obtenemos la misma respuesta: (Ϫ2)[3 ϩ (Ϫ7)] ϭ (Ϫ2)(Ϫ4) ϭ 8. 4 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA g La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad se sigue de la primera dado que, por la propiedad conmutativa (b ϩ c)a ϭ a(b ϩ c) y también ba ϩ ca ϭ ab ϩ ac Puesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera pro- piedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales. Las propiedades distributivas son particularmente importantes en los cálculos al- gebraicos. Como veremos, éstas sustentan muchas operaciones incluidas en la simplifi- cación de expresiones y, si se leen “hacia atrás”, esto es, de derecha a izquierda, forman la base para los métodos de factorización. ☛ 2 Los siguientes ejemplos ilustran algunos usos elementales de las propiedades de los números reales al simplificar las expresiones algebraicas. EJEMPLO 1 (a) x(y ϩ 2) ϭ xy ϩ x(2) (propiedad distributiva) ϭ xy ϩ 2x (propiedad conmutativa) (b) 2x ϩ 3x ϭ (2 ϩ 3)x (propiedad distributiva) ϭ 5x (c) 2(3x) ϭ (2 ؒ 3)x (propiedad asociativa) ϭ 6x (d) (2x)(3x) ϭ [(2x) ؒ 3]x (propiedad asociativa) ϭ [3 ؒ (2x)]x (propiedad conmutativa) ϭ [(3 ؒ 2)x]x (propiedad asociativa) ϭ (6x)x ϭ 6(x ؒ x) (propiedad asociativa) ϭ 6x 2 donde x 2 denota x ؒ x. Esta respuesta final pudo obtenerse agrupando los términos semejantes en el producto original: los números 2 y 3 multiplicados dan 6 y las dos x multiplicadas dan x 2 . La siguiente parte ilustra este procedimiento. (e) [5(3ab)] (2a) ϭ (5 ؒ 3 ؒ 2)(a ؒ a)b ϭ 30a 2 b Esta respuesta puede justificarse mediante una sucesión de pasos que emplean las leyes asociativa y conmutativa, como en la parte (d). (f) 2x ϩ (3y ϩ x) ϭ 2x ϩ (x ϩ 3y) (propiedad conmutativa) ϭ (2x ϩ x) ϩ 3y (propiedad asociativa) ϭ (2x ϩ 1x) ϩ 3y ϭ (2 ϩ 1)x ϩ 3y (propiedad distributiva) ϭ 3x ϩ 3y SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 5 ☛ 2. ¿Cuáles propiedades de los números reales son utilizadas en cada una de las siguientes igualdades? (a) 2 ϩ 3 ؒ 4 ϭ 2 ϩ 4 ؒ 3 (b) 2 ϩ 3 ؒ 4 ϭ 3 ؒ 4 ϩ 2 (c) 2 ϩ (3 ϩ 4) ϭ (3 ϩ 4) ϩ 2 (d) 2 ϩ (3 ϩ 4) ϭ 4 ϩ (2 ϩ 3) (e) 3x ϩ 3x ϭ (3 ϩ 3)x (f) 3x ϩ xy ϭ x(3 ϩ y) Respuesta (a) conmutativa (b) conmutativa (c) conmutativa (d) ambas, conmutativa y asociativa (e) distributiva (f) ambas, distributiva y conmutativa g (g) 2x(4y ϩ 3x) ϭ (2x)(4y) ϩ (2x)(3x) (propiedad distributiva) ϭ (2 ؒ 4)(x ؒ y) ϩ (2 ؒ 3)(x ؒ x) [propiedades asociativa y conmutativa como en la parte (a)] ϭ 8xy ϩ 6x 2 La propiedad distributiva puede usarse en el caso de que más de dos cantida- des se sumen dentro de los paréntesis. Esto es, a(b ϩ c ϩ d) ϭ ab ϩ ac ϩ ad etcétera. EJEMPLO 2 4(x ϩ 3y ϩ 4z) ϭ 4x ϩ 4(3y) ϩ 4(4z) (propiedad distributiva) ϭ 4x ϩ (4 ؒ 3)y ϩ (4 ؒ 4)z (propiedad asociativa) ϭ 4x ϩ 12y ϩ 16z ELEMENTOS IDENTIDAD Si a es un número real cualquiera, entonces a ϩ 0 ϭ a y a ؒ 1 ϭ a Es decir, si 0 se suma a a, el resultado aún es a y si a se multiplica por 1, el resul- tado de nuevo es a. Por esta razón, los números 0 y 1 a menudo se conocen como elementos identidad para la adición y la multiplicación, respectivamente, porque no alteran número alguno bajo sus respectivas operaciones. INVERSOS Si a es un número real arbitrario, entonces existe un único número real denominado el negativo de a (denotado por Ϫa) tal que a ϩ (Ϫa) ϭ 0 Si a no es cero, entonces también existe un único número real denominado el recí- proco de a (denotado por a Ϫ1 ) tal que a ؒ a Ϫ1 ϭ 1 Observe la similitud entre las dos definiciones: cuando Ϫa se suma a a, el resulta- do es el elemento identidad para la adición y cuando a Ϫ1 se multiplica por a, el re- sultado es el elemento identidad para la multiplicación. A menudo nos referiremos a Ϫa como el inverso aditivo de a y a a Ϫ1 como el inverso multiplicativo de a. (Algunas veces a Ϫ1 se denomina simplemente inverso de a). 6 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA g EJEMPLO 3 (a) El inverso aditivo de 3 es Ϫ3, dado que 3 ϩ (Ϫ3) ϭ 0. El inverso aditivo de Ϫ3 es 3, puesto que (Ϫ3) ϩ 3 ϭ 0. Como el inverso aditivo de Ϫ3 se denota por Ϫ(Ϫ3), se sigue que Ϫ(Ϫ3) ϭ 3. En realidad, un resultado correspondiente vale pa- ra cualquier número real a: Ϫ(Ϫa) ϭ a (b) El inverso multiplicativo de 3 es 3 Ϫ1 dado que 3 ؒ 3 Ϫ1 ϭ 1. El inverso mul- tiplicativo de 3 Ϫ1 sería denotado por (3 Ϫ1 ) Ϫ1 y estaría definido por el requerimiento de que 3 Ϫ1 ؒ (3 Ϫ1 ) Ϫ1 ϭ 1. Pero dado que 3 Ϫ1 ؒ 3 ϭ 1, se sigue que 3( Ϫ1 ) Ϫ1 es igual a 3. De nuevo este resultado puede generalizarse para cualquier número real a dis- tinto de cero: (a Ϫ1 ) Ϫ1 ϭ a (El inverso del inverso de a es igual a a). Una vez que hemos definido los inversos aditivo y multiplicativo de a, po- demos definir lo que entenderemos por las operaciones de sustracción y división. Definimos a Ϫ b como el número a ϩ (Ϫb), es decir, a más el negativo de b. De manera similar, definimos a Ϭ b como el número ab Ϫ1 , es decir, a multiplicado por el recíproco de b. La expresión a Ϭ b está definida sólo cuando b 0. También se indica por la fracción a/b y tenemos que Definición de ᎏ a b ᎏ: ᎏ a b ᎏ ϭ ab Ϫ1 (1) Si a ϭ 1 en la ecuación (1), resulta que ᎏ 1 b ᎏ ϭ 1 ؒ b Ϫ1 ϭ b Ϫ1 De aquí, la fracción 1/b significa lo mismo que el inverso multiplicativo b Ϫ1 . Por ejemplo, 3 Ϫ1 ϭᎏ 1 3 ᎏ. Por tanto, se sigue de la ecuación (1) que ᎏ a b ᎏ ϭ a ᎏ 1 b ᎏ dado que b Ϫ1 ϭ 1/b. ☛ 3 SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 7 ☛ 3. ¿Cuáles propiedades de los números reales se utilizan en cada una de las siguientes igualdades? (a) x ϩ 3x ϭ 1x ϩ 3x ϭ (1 ϩ 3) x ϭ 4x (b) (2 ϩ 1) ϩ (Ϫ1) ϭ 2 ϩ [1 ϩ (Ϫ1)] ϭ 2 ϩ 0 ϭ 2 (c) 3 ؒ ᎏ 1 3 ᎏ ϭ 1 Respuesta (a) propiedad del elemento idéntico multiplicativo y propiedad distributiva (b) propiedad asociativa, inverso aditivo y neutro aditivo (c) idéntico multiplicativo y definición de ᎏ 1 a ᎏ g EJEMPLO 4 (a) ϭ 7 ᎏ 1 3 ᎏ Ϫ1 (Ecuación (1), con a ϭ 7 y b ϭᎏ 1 3 ᎏ) ϭ 7(3 Ϫ1 ) Ϫ1 ϭ 7(3) ϭ 21 Este resultado se extiende a cualesquiera pares de números reales a y b (b 0): ᎏ 1 a /b ᎏϭ ab (b) Para cualquier número real, (Ϫ1)b ϭϪb. Esto se debe a que b ϩ (Ϫ1)b ϭ 1 ؒ b ϩ (Ϫ1)b ϭ [1 ϩ (Ϫ1)]b (propiedad distributiva) ϭ 0 ؒ b ϭ 0 Por tanto, (Ϫ1)b debe ser el inverso aditivo de b, es decir Ϫb. (c) a(Ϫb) ϭ a[(Ϫ1)b] (por el inciso (b) anterior) ϭ (Ϫ1)(ab) (usando las propiedades asociativa y conmutativa) ϭϪ(ab) Por ejemplo, 3(Ϫ7) ϭϪ(3 ؒ 7) ϭϪ21. (d) 3(x Ϫ 2y) ϭ 3[x ϩ (Ϫ2y)] (definición de sustracción) ϭ 3x ϩ 3(Ϫ2y) (propiedad distributiva) ϭ 3x Ϫ [3(2y)] (de la parte (c)) ϭ 3x Ϫ [(3 ؒ 2)y] (propiedad asociativa) ϭ 3x Ϫ 6y En general, la propiedad distributiva se extiende a expresiones con signos negativos. Por ejemplo, a(b Ϫ c) ϭ ab Ϫ ac De esa manera podemos resolver este ejemplo en forma directa. 3(x Ϫ 2y) ϭ 3x Ϫ 3(2y) ϭ 3x Ϫ 6y Observe que cuando una expresión dentro de paréntesis debe multiplicarse por una cantidad negativa, todo término dentro del paréntesis cambia de signo. Ϫ(a ϩ b) ϭ (Ϫ1)(a ϩ b) ϭ (Ϫ1)a ϩ (Ϫ1)b ϭϪa Ϫ b EJEMPLO 5 Ϫ2(x Ϫ 3y) ϭ (Ϫ2)x Ϫ (Ϫ2)(3y) ϭϪ2x ϩ 6y Observe que tanto x como Ϫ3y, que están dentro de los paréntesis, cambian de sig- no, y quedan como Ϫ2x y ϩ6y, respectivamente. 7 ᎏ (ᎏ 1 3 ᎏ) 8 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA g 1. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una que sea co- rrecta. a. 3x ϩ 4x ϭ 7x b. (3x)(4x) ϭ 7x c. 2(5 Ϫ 4y) ϭ 10 Ϫ 4y d. Ϫ(x ϩ y) ϭ Ϫx ϩ y e. 5x Ϫ (2 Ϫ 3x) ϭ 2x Ϫ 2 f. 5 Ϫ 2x ϭ 3x g. Ϫ3(x Ϫ 2y) ϭ Ϫ3x Ϫ 6y h. (Ϫa)(Ϫb)(Ϫc) Ϭ (Ϫd) ϭϪ(abc Ϭ d) i. a Ϭ (b Ϭ c) ϭ (ac) Ϭ b j. a Ϫ (b Ϫ c) ϭ (a ϩ c) Ϫ b k. (Ϫx)(Ϫy) ϭ Ϫxy l. ᎏ Ϫ Ϫ a b ᎏ ϭ ᎏ a b ᎏ m. ᎏ 0 x ᎏ ϭ 0, para todos los números reales x (2-60) Simplifique las siguientes expresiones. 2. 5 Ϫ (Ϫ3) 3. Ϫ7 Ϫ (Ϫ3) 4. 5(Ϫ3) 5. (Ϫ3)(Ϫ7) 6. 8 Ϭ (Ϫ2) 7. (Ϫ9) Ϭ (Ϫ3) 8. Ϫ(2 Ϫ 6) 9. Ϫ(Ϫ4 Ϫ 3) 10. (3)(Ϫ2)(Ϫ4) 11. (Ϫ5)(Ϫ3)(Ϫ2) 12. 3(1 Ϫ 4) 13. 2(Ϫ2 Ϫ 3) 14. Ϫ2(Ϫ4 Ϫ 2) 15. Ϫ4(3 Ϫ 6) 16. Ϫ6 Ϫ 2(Ϫ3 Ϫ 2) 17. 3(x ϩ 2y) 18. 4(2x ϩ z) 19. 2(2x Ϫ y) 20. 3(4z Ϫ 2x) 21. Ϫ(x Ϫ 6) 22. Ϫ(Ϫx Ϫ 3) 23. 3(x Ϫ 4) 24. 2(Ϫx Ϫ 3) 25. Ϫ2(Ϫx Ϫ 2) 26. Ϫ4(x Ϫ 6) 27. Ϫx(y Ϫ 6) 28. Ϫx(Ϫy Ϫ 6) 29. 2(x Ϫ y) ϩ 4x 30. 3y ϩ 4(x ϩ 2y) 31. Ϫ2z Ϫ 3(x Ϫ 2z) 32. Ϫ4x Ϫ 2(3z Ϫ 2x) 33. (x ϩ y) ϩ 4(x Ϫ y) 34. 3(y Ϫ 2x) Ϫ 2(2x Ϫ 2y) 35. 5(7x Ϫ 2y) Ϫ 4(3y Ϫ 2x) 36. 4(8z Ϫ 2t) Ϫ 3(Ϫt Ϫ 4z) 37. x(Ϫy)(Ϫz) 38. (Ϫx)(Ϫy)(Ϫz) 39. (Ϫ2)(Ϫx)(x ϩ 3) 40. (Ϫx)(Ϫy)(2 Ϫ 3z) 41. 2(Ϫa)(3 Ϫ a) 42. (Ϫ37 p)(2q)(q Ϫ p) 43. x(Ϫ2)(Ϫx Ϫ 4) 44. (Ϫ2x)(Ϫ3)(Ϫy Ϫ 4) 45. Ϫx(x Ϫ 2) ϩ 2(x Ϫ 1) 46. Ϫ2(Ϫ3x)(Ϫ2y ϩ 1) Ϫ (Ϫy)(4 Ϫ 5x) 47. 2x ϩ 5 Ϫ 2(x ϩ 2) 48. 3x Ϫ tϪ 2(x Ϫ t) 49. 2(x Ϫ y) Ϫ x 50. 4x(x ϩ y) Ϫ x 2 51. 4[2(x ϩ 1) Ϫ 3] 52. x[3(x Ϫ 2) Ϫ 2x ϩ 1] 53. x[Ϫ3(Ϫ4 ϩ 5) ϩ 3] 54. 4[x(2 Ϫ 5) Ϫ 2(1 Ϫ 2x)] 55. x Ϫ1 (x ϩ 2) 56. x Ϫ1 (2x Ϫ 1) 57. (Ϫ2x) Ϫ1 (3x Ϫ 1) 58. (Ϫ3x) Ϫ1 (6 ϩ 2x) 59. (xy) Ϫ1 (x ϩ y) 60. (Ϫxy) Ϫ1 (2x Ϫ 3y) SECCIÓN 1-1 LOS NÚMEROS REALES 9 Observación sobre la división entre cero. La afirmación a/b ϭ c es cierta si y sólo si la proposición inversa a ϭb ؒ c es válida. Consideremos una fracción en la cual el denominador b es cero, tal como ᎏ 3 0 ᎏ. Ésta no puede ser igual a ningún nú- mero real c porque la afirmación inversa 3 ϭ 0 ؒ c no puede ser válida para ningún real c. Por tanto, ᎏ 3 0 ᎏ no está bien definido. Asimismo, ᎏ 0 0 ᎏ no es un número real bien de- finido porque la proposición inversa 0 ϭ 0 ؒ c es válida para cada número real c. Así, concluimos que cualquier fracción con denominador cero no es un número real bien definido o, en forma equivalente, que la división entre cero es una operación que carece de sentido. Por ejemplo, x/x ϭ 1 es cierto sólo si x 0. ☛ 4 ☛ 4. ¿Están definidas las siguientes expresiones? (a) ᎏ b ϩ (3 a b Ϫ 4b) ᎏ (b) ᎏ b ϩ (3b a Ϫ 4b) ᎏ Respuesta (a) no (b) sí, siempre y cuando a 0 EJERCICIOS 1-1 g En la sección 1-1, vimos que la fracción a/b está definida como el producto de a y el inverso de b: ᎏ a b ᎏ ϭ ab Ϫ1 (b 0) En particular, ᎏ 1 b ᎏ ϭ b Ϫ1 Con base en la definición anterior es posible deducir todas las propiedades que se usan al manejar fracciones. En esta sección nos detendremos un poco a examinar es- te tipo de operaciones.* Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer término los dos numeradores y luego los dos denominadores. ᎏ a b ᎏ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ b a d c ᎏ EJEMPLO 1 (a) ᎏ 2 3 ᎏ ᎏ 5 9 ᎏ ϭ ᎏ 2 3 ؒ ؒ 5 9 ᎏϭ ᎏ 1 2 0 7 ᎏ (b) ᎏ 2 3 x ᎏ ᎏ 4 y ᎏ ϭ ᎏ ( 3 2x ؒ ) y 4 ᎏϭ ᎏ 8 3 x y ᎏ (c) 3x ᎏ 5 4 y ᎏ ϭ ᎏ 3 1 x ᎏ ᎏ 5 4 y ᎏ ϭ ϭ ᎏ 1 5 2 y x ᎏ ☛ 5 División de fracciones Con el propósito de dividir una fracción entre otra, la segunda fracción se invierte y después se multiplica por la primera. En otras palabras, ᎏ a b ᎏ Ϭ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ a b ᎏ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ a b d c ᎏ (3x) ؒ 4 ᎏ 1 ؒ (5y) 10 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA 1-2 FRACCIONES ☛ 5. Evalúe (a) ᎏ 2 3 ᎏ ؒ ᎏ 7 3 ᎏ (b) ᎏ 2 x ᎏ ؒ ᎏ 7 5 ᎏ Respuesta (a) ᎏ 1 9 4 ᎏ (b) ᎏ 1 7 0 x ᎏ *Las demostraciones de las propiedades que aparecen en recuadros se dan como una serie de teoremas al final de esta sección. g EJEMPLO 2 (a) ᎏ 3 5 ᎏ Ϭ ᎏ 7 9 ᎏ ϭ ᎏ 3 5 ᎏ ᎏ 9 7 ᎏ ϭ ᎏ 2 3 7 5 ᎏ (b) ᎏ 3 2 x ᎏ Ϭ ᎏ 4 y ᎏ ϭ ᎏ 3 2 x ᎏ ᎏ 4 y ᎏ ϭ ᎏ 3 8 xy ᎏ (c) 5y Ϭ ᎏ 5 6 x ᎏ ϭ ᎏ 5 1 y ᎏ ᎏ 5 6 x ᎏ ϭ ᎏ 25 6 xy ᎏ (d) ᎏ 2 3 x ᎏ Ϭ (2y) ϭ ᎏ 2 3 x ᎏ Ϭ ᎏ 2 1 y ᎏ ϭ ᎏ 2 3 x ᎏ ᎏ 2 1 y ᎏ ϭ ᎏ 4 3 xy ᎏ (e) ᎏ a b ᎏ Ϫ1 ϭ 1 Ϭ ᎏ a b ᎏ ϭ 1 ؒ ᎏ b a ᎏ ϭ ᎏ b a ᎏ (Es decir, el recíproco de cualquier fracción se obtiene intercambiando el numera- dor y el denominador de la fracción). ☛ 6. En vista de este último resultado, podemos reescribir la regla anterior para la división: para dividir entre una fracción, debe multiplicar por su recíproco. Cancelación de factores comunes El numerador y el denominador de cualquier fracción pueden multiplicarse o divi- dirse por un número real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la frac- ción. ᎏ a b ᎏ ϭ ᎏ a b c c ᎏ (c 0) EJEMPLO 3 (a) ᎏ a b ᎏ ϭ ᎏ 2 2 a b ᎏ (b) ᎏ 3 5 ᎏ ϭ ᎏ 1 6 0 ᎏ ϭ ᎏ 1 9 5 ᎏ ϭ ᎏ Ϫ Ϫ 1 2 2 0 ᎏϭ ؒ ؒ ؒ (c) ᎏ 5 6 x ᎏ ϭ ᎏ 1 1 0 2 x x 2 ᎏ (con tal que x 0) Esta propiedad de las fracciones puede usarse con el fin de reducir una frac- ción a su mínima expresión, lo que significa dividir al numerador y al denomina- dor por todos los factores comunes. (Esto se llama también simplificación de la fracción). SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 11 ☛ 6. Evalúe (a) ᎏ 2 3 ᎏ Ϭᎏ 3 2 ᎏ (b) ᎏ 2 x ᎏ Ϭ ᎏ 7 5 ᎏ Respuesta (a) ᎏ 4 9 ᎏ (b) ᎏ 1 5 4 x ᎏ g EJEMPLO 4 (a) ᎏ 7 8 0 4 ᎏ ϭ ᎏ 2 2 ؒ 2 ؒ 5 ؒ 3 ؒ 7 ؒ 7 ᎏϭ ϭ ϭ Observe que tanto el numerador como el denominador se escriben primero en tér- minos de sus factores primos y luego el numerador y el denominador se dividen por aquellos factores que son comunes a ambos números, como el 2 y el 7. (Este proce- so algunas veces se denomina cancelación). (b) ᎏ 6 8 x x 2 y y 2 ᎏϭ ϭ ϭ ᎏ 3 4 x y ᎏ (xy 0) En este ejemplo, el numerador y el denominador fueron divididos entre 2xy en la simplificación. (c) ᎏ 2 4 x y ( ( x x ϩ ϩ 1 1 ) ) ᎏϭ ᎏ 2 x y ᎏ (x ϩ 1 0) Aquí el factor común 2(x ϩ 1) fue cancelado del numerador y del denominador. ☛ 7 Adición y sustracción de fracciones Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarse simplemen- te sumando sus numeradores. ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b c ᎏ ϭ ᎏ a ϩ c b ᎏ Una regla similar se aplica a la sustracción: ᎏ a c ᎏ Ϫ ᎏ b c ᎏ ϭ ᎏ a Ϫ c b ᎏ EJEMPLO 5 (a) ᎏ 1 5 2 ᎏ ϩ ᎏ 1 1 1 2 ᎏ ϭ ᎏ 5 ϩ 12 11 ᎏϭ ᎏ 1 1 6 2 ᎏ ϭ ᎏ 4 3 ᎏ (b) ᎏ 2 3 x ᎏ Ϫ ᎏ 2 5 x ᎏ ϭ ᎏ 3 2 Ϫ x 5 ᎏϭ ᎏ Ϫ 2x 2 ᎏ ϭ Ϫᎏ 1 x ᎏ (Observe la cancelación de factores comunes al llegar a las respuestas finales). Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restar- se, las fracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador. 2 ؒ 3 ؒ x ؒ x ؒ y ᎏᎏ 2 ؒ 2 ؒ 2 ؒ x ؒ y ؒ y 2 ؒ 3 ؒ x ؒ x ؒ y ᎏᎏ 2 ؒ 2 ؒ 2 ؒ x ؒ y ؒ y 5 ᎏ 6 5 ᎏ 2 ؒ 3 2 ؒ 5 ؒ 7 ᎏᎏ 2 ؒ 2 ؒ 3 ؒ 7 12 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 7. Evalúe (a) ᎏ 2 3 ᎏ ؒ ᎏ 1 4 5 ᎏ (b) ᎏ 2 x ᎏ Ϭᎏ 3 8 x y ᎏ Respuesta (a) ᎏ 5 2 ᎏ (b) ᎏ 4 3 y ᎏ g EJEMPLO 6 Simplique: (a) ᎏ 5 6 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ (b) ᎏ 5 6 ᎏ Ϫ ᎏ 3 4 ᎏ Solución (a) Podemos escribir ᎏ 1 2 ᎏ ϭ ϭ ᎏ 3 6 ᎏ. Entonces, ambas fracciones tienen el mismo denominador, de modo que podemos sumarlas. ᎏ 5 6 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ϭ ᎏ 5 6 ᎏ ϩ ᎏ 3 6 ᎏ ϭ ᎏ 5 ϩ 6 3 ᎏϭ ᎏ 8 6 ᎏ ϭ ᎏ 4 3 ᎏ (b) En la parte (a), multiplicamos el numerador y el denominador de ᎏ 1 2 ᎏ por 3 para obtener un denominador igual al de la otra fracción. En esta parte, ambas frac- ciones deben modificarse para que tengan un factor común. Escribimos ᎏ 5 6 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 0 2 ᎏ y ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 9 2 ᎏ Por tanto, ᎏ 5 6 ᎏ Ϫ ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 0 2 ᎏ Ϫ ᎏ 1 9 2 ᎏ ϭ ᎏ 10 1 Ϫ 2 9 ᎏϭ ᎏ 1 1 2 ᎏ En general, cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores dife- rentes, primero reemplazamos cada fracción por una equivalente que tenga un de- nominador común. Con el propósito de mantener los números tan pequeños como sea posible, elegimos el más pequeño de tales denominadores comunes, denomina- do el mínimo común denominador (m.c.d.). Aún obtendríamos la respuesta correcta utilizando un denominador común más grande, pero es preferible usar el mínimo denominador posible. Por ejemplo, en la parte (b) del ejemplo 6, pudimos emplear 24 como un denominador común: ᎏ 5 6 ᎏ Ϫ ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 2 2 0 4 ᎏ Ϫ ᎏ 1 2 8 4 ᎏ ϭ ᎏ 20 2 Ϫ 4 18 ᎏϭ ᎏ 2 2 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 2 ᎏ La respuesta final es la misma, pero habríamos tenido que trabajar con números más grandes. Para calcular el m.c.d. de dos o más fracciones, los denominadores deben es- cribirse en términos de sus factores primos. Entonces el m.c.d. se forma tomando to- dos los factores primos que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cada uno de tales denominadores debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquiera de los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de ᎏ 5 6 ᎏ y ᎏ 3 4 ᎏ, se encuentra escribiendo los denominadores en la forma 6 ϭ 2 ؒ y 4 ϭ 2 ؒ 2. Los factores primos que ocurren son 2 y 3, pero 2 aparece dos veces en un denominador. De modo que el m.c.d. es 2 ؒ 2 ؒ 3 ϭ 12. Como un segundo ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/12x y 7/10x 2 y. Es- cribimos 12x ϭ 2 ؒ 2 ؒ 3 ؒ x y 10x 2 y ϭ 2 ؒ 5 ؒ x ؒ x ؒ y Tomando cada factor el mayor número de veces que aparezca, tenemos que m.c.d. ϭ 2 ؒ 2 ؒ 3 ؒ 5 ؒ x ؒ x ؒ y ϭ 60x 2 y ☛ 8 1 ؒ 3 ᎏ 2 ؒ 3 SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 13 ☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mínimo común denominador? (a) ᎏ 2 3 ᎏ y ᎏ 5 6 ᎏ (b) ᎏ 2 1 xy ᎏ y ᎏ 8 x y ᎏ Respuesta (a) 6 (b) 8xy g EJEMPLO 7 Simplifique: (a) ᎏ 6 x ᎏ ϩ ᎏ 3 4 y ᎏ (b) ᎏ 9 1 x ᎏ Ϫ ᎏ 1 6 ᎏ (c) ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b d ᎏ (d) (e) 3x Ϭ ᎏ 3 1 x 2 ᎏ Ϫᎏ 4 3 xy ᎏ Solución (a) El m.c.d. es 12. ᎏ 6 x ᎏ ϭ ᎏ 1 2 2 x ᎏ y ᎏ 3 4 y ᎏ ϭ ᎏ 3( 1 3 2 y) ᎏϭ ᎏ 1 9 2 y ᎏ Por tanto, ᎏ 6 x ᎏ ϩ ᎏ 3 4 y ᎏ ϭ ᎏ 1 2 2 x ᎏ ϩ ᎏ 1 9 2 y ᎏ ϭ ᎏ 2x 1 ϩ 2 9y ᎏ (b) El m.c.d. en este caso es 18x, de modo que ᎏ 9 1 x ᎏ ϭ ᎏ 1 2 8x ᎏ y ᎏ 1 6 ᎏ ϭ ᎏ 1 3 8 x x ᎏ Entonces, ᎏ 9 1 x ᎏ Ϫ ᎏ 1 6 ᎏ ϭ ᎏ 1 2 8x ᎏ Ϫ ᎏ 1 3 8 x x ᎏ ϭ ᎏ 2 1 Ϫ 8x 3x ᎏ (c) El m.c.d. es cd. ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b d ᎏ ϭ ᎏ a cd d ᎏ ϩ ᎏ b cd c ᎏ ϭ ᎏ ad c ϩ d bc ᎏ ☛ 9 (d) Aquí tenemos una fracción cuyo denominador, a su vez, incluye una frac- ción. Primero simplificamos el denominador: 5b Ϫᎏ b 3 ᎏ ϭᎏ 15b 3 Ϫ b ᎏϭᎏ 14 3 b ᎏ Entonces, la expresión dada es ᎏ 14 4 b a ͞3 ᎏϭ 4a ᎏ 14 3 b ᎏ Ϫ1 ϭ 4a ᎏ 1 3 4b ᎏ ϭᎏ 6 7 a b ᎏ (e) Primero simplificamos la expresión que se encuentra entre paréntesis. El mínimo común denominador es 12x 2 y. ᎏ 3 1 x 2 ᎏ Ϫᎏ 4 3 xy ᎏ ϭᎏ 12 4 x y 2 y ᎏϪᎏ 12 9 x x 2 y ᎏϭᎏ 4y 12 Ϫ x 2 y 9x ᎏ 4a ᎏ 5b Ϫᎏ b 3 ᎏ 14 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 9. Evalúe y simplifique (a) ᎏ 2 3 ᎏ ϩᎏ 5 4 ᎏ (b) ᎏ 2 x y ᎏ Ϫᎏ 8 7 y x ᎏ Respuesta (a) ᎏ 2 1 3 2 ᎏ (b) Ϫ ᎏ 3 8 x y ᎏ g Por tanto la expresión dada es igual a 3x Ϭ ᎏ 4y 12 Ϫ x 2 y 9x ᎏ ϭᎏ 3 1 x ᎏ ؒ ᎏ 4y 12 Ϫ x 2 y 9x ᎏϭᎏ 4y 36 Ϫ x 3 y 9x ᎏ (en donde x 3 ϭ x ؒ x 2 ϭ x ؒ x ؒ x). Demostraciones de los teoremas Concluimos esta sección demostrando las propiedades básicas de las fracciones que hemos utilizado en los ejemplos anteriores. TEOREMA 1 ᎏ 1 b ᎏ ᎏ 1 d ᎏ ϭ ᎏ b 1 d ᎏ DEMOSTRACIÓN Por definición, ᎏ 1 b ᎏ ϭ b Ϫ1 y ᎏ 1 d ᎏ ϭ d Ϫ1 , de modo que ᎏ 1 b ᎏ ᎏ 1 d ᎏ ϭ b Ϫ1 d Ϫ1 Como, (b Ϫ1 d Ϫ1 ) (bd) ϭ (b Ϫ1 b) ؒ (d Ϫ1 d) (usando las propiedades asociativa y conmutativa) ϭ 1 ؒ 1 ϭ 1 Por tanto b Ϫ1 d Ϫ1 debe ser el inverso multiplicativo de db, es decir, b Ϫ1 d Ϫ1 ϭ ᎏ b 1 d ᎏ como se requería. Observación Este resultado puede reescribirse en la forma (bd) Ϫ1 ϭb Ϫ1 d Ϫ1 . TEOREMA 2 ᎏ a b ᎏ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ b a d c ᎏ DEMOSTRACIÓN ᎏ a b ᎏ ϭ ab Ϫ1 ϭ a ᎏ 1 b ᎏ y también ᎏ d c ᎏ ϭ c ᎏ 1 d ᎏ SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 15 g Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir ᎏ a b ᎏ ᎏ d c ᎏ ϭ a ᎏ 1 b ᎏ ؒ c ᎏ 1 d ᎏ ϭ ac ؒ ᎏ 1 b ᎏ ؒ ᎏ 1 d ᎏ ϭ ac ᎏ b 1 d ᎏ (por el teorema 1) ϭ ᎏ b a d c ᎏ como se pedía. TEOREMA 3 ᎏ a b ᎏ Ϫ1 ϭ ᎏ b a ᎏ DEMOSTRACIÓN Por definición, a/b ϭ ab Ϫ1 . Por tanto, por el teorema 1, ᎏ a b ᎏ Ϫ1 ϭ (ab Ϫ1 ) Ϫ1 ϭ a Ϫ1 (b Ϫ1 ) Ϫ1 Pero (b Ϫ1 ) Ϫ1 ϭ b, de modo que ᎏ a b ᎏ Ϫ1 ϭ a Ϫ1 b ϭ ba Ϫ1 ϭ ᎏ b a ᎏ como se requería. TEOREMA 4 ᎏ a b ᎏ Ϭ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ a b ᎏ ؒ ᎏ d c ᎏ DEMOSTRACIÓN Por definición, x Ϭ y ϭ xy Ϫ1 . Por tanto, tenemos las igualda- des: ᎏ a b ᎏ Ϭ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ a b ᎏ ؒ ᎏ d c ᎏ Ϫ1 ϭ ᎏ a b ᎏ ؒ ᎏ d c ᎏ (por el teorema 3) TEOREMA 5 ᎏ a b ᎏ ϭ ᎏ a b c c ᎏ (c 0) DEMOSTRACIÓN Para cualquier c 0, la fracción c/c ϭ1, puesto que, por de- finición c/c ϭ cc Ϫ1 . Por tanto, por el teorema 2, ᎏ a b c c ᎏ ϭ ᎏ a b ᎏ ؒ ᎏ c c ᎏ ϭ ᎏ a b ᎏ ؒ 1 ϭ ᎏ a b ᎏ como se pedía. 16 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA g 1. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una verdadera. a. ᎏ 3 x ᎏ ϩ ᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ 7 x ᎏ b. ᎏ 3 x ᎏ ϩ ᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ 7 x ᎏ c. ᎏ a b ᎏ ϩ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ b a ϩ ϩ d c ᎏ d. ᎏ a b ᎏ ؒ ᎏ d c ᎏ ؒ ᎏ e f ᎏ ϭ ᎏ a b c d e f ᎏ e. ᎏ a b ᎏ Ϭ ᎏ d c ᎏ Ϭ ᎏ e f ᎏ ϭ ᎏ b a c d e f ᎏ f. ᎏ a b ᎏ Ϭ ᎏ d c ᎏ Ϭ ᎏ e f ᎏ ϭ ᎏ b a c d e f ᎏ g. ᎏ 1 a ᎏ ϩ ᎏ 1 b ᎏ ϭ ᎏ a ϩ 1 b ᎏ h. ϭ ᎏ 1 ϩ 1 y ᎏ i. ᎏ 6 7 ᎏ ؒ ᎏ 8 9 ᎏ ϭ j. ϭ ᎏ 1 2 ᎏ 1 ϩ 2 ϩ 3 ϩ 4 ϩ 5 ᎏᎏᎏ 2 ϩ 4 ϩ 6 ϩ 8 ϩ 10 6 ؒ 9 ϩ 7 ؒ 8 ᎏᎏ 7 ؒ 9 x ᎏ x ϩ y (2-58) Evalúe cada una de las expresiones siguientes. Escriba las respuestas en los términos más simples. 2. ᎏ 2 9 ᎏ ؒ ᎏ 6 5 ᎏ 3. ᎏ 8 3 ᎏ ᎏ 1 4 5 ᎏ 4. ᎏ 3 4 ᎏ ؒ ᎏ 8 5 ᎏ ؒ ᎏ 4 9 ᎏ 5. ᎏ 2 5 ᎏ ؒ ᎏ 3 6 ᎏ ؒ ᎏ 1 7 0 ᎏ 6. ᎏ 2 3 5 x ᎏ ᎏ 2 9 5 x ᎏ 7. ᎏ 1 1 4 5 x y ᎏ ᎏ 2 2 5 4 y ᎏ 8. 7x 2 ᎏ 2 6 1 y x ᎏ 9. Ϫᎏ 2 3 x y ᎏ (Ϫ5xy) 10. ᎏ 1 1 8 1 ᎏ Ϭ ᎏ 3 8 3 ᎏ 11. ᎏ 1 3 4 ᎏ Ϭ ᎏ 1 6 5 ᎏ 12. ᎏ 4 9 ᎏ Ϭ ᎏ 2 3 ᎏ ؒ 8 13. ᎏ 1 2 2 5 ᎏ ؒ ᎏ 1 7 5 ᎏ Ϭ ᎏ 2 7 0 ᎏ 14. ᎏ 1 7 0 x ᎏ Ϭ ᎏ 2 5 1x ᎏ 15. (2x) Ϭ ᎏ 3 5 xy ᎏ 16. 4 Ϭ ᎏ 9 8 x ᎏ 17. ᎏ 8 3 x ᎏ Ϭ ᎏ 1 4 5 x ᎏ 18. ᎏ 3 2 x 0 2 ᎏ ؒ 4y Ϭ ᎏ 6 2 x 5 y ᎏ 19. ᎏ 5 2 x ᎏ ؒ ᎏ 3 4 y ᎏ Ϭ ᎏ x 1 2 2 y ᎏ 20. 8xy Ϭ ᎏ 2 3 x ᎏ ؒ ᎏ 2 5 x y ᎏ 21. 6x 2 Ϭ ᎏ 4 y x ᎏ ؒ ᎏ 3 2 y 2 ᎏ SECCIÓN 1-2 FRACCIONES 17 TEOREMA 6 ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b c ᎏ ϭ ᎏ a ϩ c b ᎏ (c 0) DEMOSTRACIÓN Por definición, ᎏ a c ᎏ ϭ ac Ϫ1 y ᎏ b c ᎏ ϭ bc Ϫ1 Por tanto, ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b c ᎏ ϭ ac Ϫ1 ϩ bc Ϫ1 ϭ (a ϩ b)c Ϫ1 (por la propiedad distributiva) ϭ ᎏ a ϩ c b ᎏ como se requería. EJERCICIOS 1-2 g 22. ᎏ 9 8 t ᎏ Ϭ ᎏ 3 1 st ᎏ ؒ ᎏ 4 s ᎏ 23. ᎏ 4 3 xy ᎏ Ϭ ᎏ x y ᎏ ؒ ᎏ 2 9 xy ᎏ 24. ᎏ 2 x ᎏ Ϭ ᎏ 2 z ᎏ Ϭ ᎏ 4 z ᎏ 25. ᎏ 2 3 xt ᎏ Ϭ ᎏ 4 x t ᎏ Ϭ ᎏ 2 3 t ᎏ 26. ᎏ 2 z ᎏ Ϭ ᎏ 2 z ᎏ Ϭ ᎏ 4 z ᎏ 27. ᎏ 2 3 xt ᎏ Ϭ ᎏ 4 x t ᎏ Ϭ ᎏ 2 3 t ᎏ 28. ᎏ 1 6 ᎏ Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ 29. ᎏ 1 1 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 1 5 ᎏ 30. ᎏ 4 5 x ᎏ Ϫ ᎏ 1 x 0 ᎏ 31. ᎏ 1 x ᎏ ϩ ᎏ 2 1 x ᎏ 32. ᎏ 2 x ᎏ ϩ ᎏ 3 x ᎏ 33. ᎏ 2 y x ᎏ ϩ ᎏ 3 1 x ᎏ 34. ᎏ 6 a b ᎏ Ϫ ᎏ 2 a b ᎏ 35. ᎏ 6 a b ᎏ ϩ ᎏ 2 9 a b ᎏ 36. ᎏ 6 7 x ᎏ ϩ ᎏ 4 3 x 2 ᎏ 37. ᎏ 1 3 0 y x 2 ᎏϪ ᎏ 6 1 x ᎏ 38. ᎏ p x 2 ᎏ ϩ ᎏ p y q ᎏ 39. ᎏ x y ᎏ ϩ ᎏ y z ᎏ ϩ ᎏ x z ᎏ 40. ᎏ x y ᎏ Ϫ ᎏ y x ᎏ 41. ᎏ 3 x y 2 ᎏ ϩ4y 42. ᎏ 1 6 ᎏ ϩ ᎏ 2 x ᎏ ϩ ᎏ 2 x ᎏ 43. ᎏ 1 6 ᎏ Ϫ ᎏ 2 x ᎏ Ϫ ᎏ 2 x ᎏ 44. ᎏ 3 a b ᎏ Ϫ 2 ᎏ a b ᎏ Ϫ ᎏ 2 b a ᎏ 45. ᎏ 2 x ᎏ ϩ ᎏ 2 x ᎏ Ϭ ᎏ 6 x ᎏ 46. ᎏ 9 x y ᎏ ϩ ᎏ 6 1 xy ᎏ Ϭ ᎏ 3 1 xy ᎏ 47. ᎏ 1 4 ᎏ Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ Ϭ ᎏ 1 2 ᎏ Ϫ ᎏ 1 5 ᎏ 48. ᎏ 2 3 ᎏ ϩ ᎏ 1 1 2 ᎏ ؒ ᎏ 1 7 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. ᎏ a b ᎏ ϩ ᎏ 2 3 a b ᎏ Ϭ ΄ ᎏ 3 8 x ᎏ Ϭ ᎏ 9 x ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ ΅ 58. ᎏ x 6 y ᎏ Ϭ ΄ ᎏ 2 3 ᎏ Ϭ ᎏ 6 x ᎏ Ϫ ᎏ 3 4 x ᎏ ΅ ᎏ 5 2 p q ᎏ ᎏ p 3 ᎏ ϩ ᎏ 8 p q 2 ᎏ ᎏᎏ 4p ϩ ᎏ 1 p 2 ᎏ ᎏ 2 3 a b ᎏ ᎏ 4 5 b ᎏ ϩ a ᎏᎏ 2b ϩ ᎏ 1 b 5 ᎏ ᎏ 2 1 x ᎏ Ϫ ᎏ 3 1 x ᎏ ᎏ ᎏ 4 1 y ᎏ Ϫ ᎏ 5 1 y ᎏ 7x Ϫ ᎏ 2 3 x ᎏ ᎏ 15y Ϫ ᎏ 3 y ᎏ 2Ϫ ᎏ 3 4 ᎏ ᎏ 3 ϩ ᎏ 1 8 ᎏ ᎏ 1 3 ᎏ Ϫ ᎏ 1 4 ᎏ ᎏ ᎏ 1 5 ᎏ Ϫ ᎏ 1 6 ᎏ ᎏ 8 5 ᎏ ϩ ᎏ 2 3 ᎏ ᎏ 2 ϩ ᎏ 4 7 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ ᎏ ᎏ 1 4 ᎏ ϩ ᎏ 1 5 ᎏ 18 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA Si m es un entero positivo, entonces a m (léase a a la potencia m o la m-ésima po- tencia de a) se define como el producto de m factores a multiplicados a la vez. Por lo que a m ϭ a ؒ a ؒ a ؒ ؒ ؒ ؒ ؒ a En este producto, el factor a aparece m veces. Por ejemplo, 2 4 ϭ 2 ؒ 2 ؒ 2 ؒ 2 ϭ 16 (cuatro factores de 2) 3 5 ϭ 3 ؒ 3 ؒ 3 ؒ 3 ؒ 3 ϭ 243 (cinco factores de 3) En la expresión a m , m se llama la potencia o exponente y a la base. Así en 2 4 (la cuarta potencia de 2), 2 es la base y 4 es la potencia o exponente; en 3 5 , 3 es la ba- se y 5 el exponente. Esta definición de a m cuando el exponente es un entero positi- vo es válida para todos los valores reales de a. Observe el patrón en la tabla 1, en la cual se dan varias potencias de 5 en orden decreciente. Tratemos de completar la tabla. Observe que cada vez que el exponente disminuye en 1, el número de la derecha se divide entre 5. 1-3 EXPONENTES g Esto sugiere que la tabla se completaría continuando la división entre 5 con cada re- ducción del exponente. De esta manera llegamos a las igualdades siguientes: TABLA 1 5 1 ϭ 5 5 0 ϭ 1 5 Ϫ1 ϭ ᎏ 1 5 ᎏ ϭ ᎏ 5 1 1 ᎏ 5 Ϫ2 ϭ ᎏ 2 1 5 ᎏ ϭ ᎏ 5 1 2 ᎏ 5 Ϫ3 ϭ ᎏ 1 1 25 ᎏ ϭ ᎏ 5 1 3 ᎏ 5 Ϫ4 ϭ ᎏ 6 1 25 ᎏ ϭᎏ 5 1 4 ᎏ Este patrón en forma natural nos conduce a la definición siguiente de a m , en el caso de que el exponente m sea cero o un número negativo. DEFINICIÓN Si a 0, entonces a 0 ϭ 1 y si m es un entero positivo cualquiera (de modo que Ϫm es un entero negativo), a Ϫm ϭ ᎏ a 1 m ᎏ Por ejemplo, 4 0 ϭ1, ᎏ 3 7 ᎏ 0 ϭ 1, (Ϫ5) 0 ϭ 1, etc. Asimismo, 3 Ϫ4 ϭ ᎏ 3 1 4 ᎏ ϭ ᎏ 8 1 1 ᎏ y (2) Ϫ5 ϭ ᎏ (Ϫ 1 2) 5 ᎏϭ ᎏ Ϫ 1 32 ᎏϭϪᎏ 3 1 2 ᎏ ☛ 10 De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denomi- nadas las leyes de los exponentes, las cuales se enuncian a continuación. Propiedad 1 a m ؒ a n ϭ a mϩn Esto es, cuando dos potencias de una base común se multiplican, el resulta- do es igual a la base elevada a la suma de los dos exponentes. Este resultado vale para cualquier número real a, excepto en el caso de que m o n sea negativo, reque- rimos que a 0. EJEMPLO 1 (a) 5 2 ؒ 5 3 ϭ 5 2ϩ3 ϭ 5 5 Podemos verificar que esto es correcto desarrollando las dos potencias del producto. 5 2 ؒ 5 3 ϭ (5 ؒ 5) ؒ (5 ؒ 5 ؒ 5) ϭ 5 ؒ 5 ؒ 5 ؒ 5 ؒ 5 ϭ 5 5 SECCIÓN 1-3 EXPONENTES 19 ☛ 10. Evalúe (a) (Ϫᎏ 1 5 ᎏ) 0 (b) (Ϫᎏ 1 2 ᎏ) Ϫ3 Respuesta (a) 1 (b) –2 3 ϭ Ϫ8 5 4 625 5 3 125 5 2 25 5 1 5 5 0 ? 5 Ϫ1 ? 5 Ϫ2 ? 5 Ϫ3 ? 5 Ϫ4 ? g (b) x 5 ؒ x Ϫ3 ϭ x 5ϩ(Ϫ3) ϭ x 2 De nuevo, podemos verificar este resultado desarrollando las dos potencias. x 5 ؒ x Ϫ3 ϭ (x ؒ x ؒ x ؒ x ؒ x) ᎏ x ؒ 1 x ؒ x ᎏ ϭ x ؒ x ϭ x 2 ☛ 11 Propiedad 2 ᎏ a a m n ᎏ ϭ a mϪn (a 0) Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la misma base, el resultado es igual a la base elevada a un exponente que es la diferencia del exponente que es- tá en el numerador y el exponente del denominador. EJEMPLO 2 (a) ᎏ 5 5 7 3 ᎏ ϭ 5 7Ϫ3 ϭ 5 4 (b) ᎏ 4 4 Ϫ 3 2 ᎏ ϭ 4 3Ϫ(Ϫ2) ϭ 4 3ϩ2 ϭ 4 5 (c) ᎏ 3 3 Ϫ2 ᎏ ϭ ᎏ 3 3 Ϫ 1 2 ᎏ ϭ 3 Ϫ2Ϫ1 ϭ 3 Ϫ3 (d) ᎏ x 2 x ؒ Ϫ x 3 Ϫ4 ᎏϭ ᎏ x x 2 Ϫ Ϫ 3 4 ᎏ ϭ x 2Ϫ4Ϫ(Ϫ3) ϭ x 1 ϭ x ☛ 12 Propiedad 3 (a m ) n ϭ a mn (a 0, si m o n es negativo o cero) Es decir, una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al produc- to de los dos exponentes. EJEMPLO 3 (a) (3 3 ) 2 ϭ 3 3 и 2 ϭ 3 6 Podemos comprobar que esto es correcto, dado que (3 3 ) 2 ϭ 3 3 ؒ 3 3 ϭ 3 3ϩ3 ϭ 3 6 (b) (4 Ϫ2 ) Ϫ4 ϭ 4 (Ϫ2)(Ϫ4) ϭ 4 8 (c) x 5 (x Ϫ2 ) Ϫ1 ϭ x 5 ؒ x (Ϫ2)(Ϫ1) ϭ x 5 ؒ x 2 ϭ x 5ϩ2 ϭ x 7 (d) ᎏ ( ( x x Ϫ 2 2 ) ) Ϫ Ϫ 2 2 ᎏϭᎏ x x (Ϫ (2 2 )( ) Ϫ (Ϫ 2 2 ) ) ᎏϭᎏ x x Ϫ 4 4 ᎏ ϭ x Ϫ4Ϫ4 ϭ x Ϫ8 (e) ᎏ x 1 Ϫp ᎏ ϭ (x Ϫp ) Ϫ1 ϭ x (Ϫp)(Ϫ1) ϭ x p ☛ 13 20 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 11. Simplifique (a) 4 3 · 4 Ϫ5 (b) x 4 · x Ϫ6 · x 2 Respuesta (a) ᎏ 1 1 6 ᎏ (b) 1 ☛ 12. Simplifique (a) 3 3 Ϭ 3 Ϫ2 (b) x 4 Ϭ (x Ϫ6 и x 2 ) Respuesta (a) 3 5 ϭ 243 (b) x 8 ☛ 13. Simplifique (a) 3 3 и (3 2 ) Ϫ2 (b) (x 4 ) 4 Ϭ (x Ϫ3 ) Ϫ3 Respuesta (a) 3 Ϫ1 ϭᎏ 1 3 ᎏ (b) x 7 g En una expresión, tal como 3c 5 , la base es c, no 3c. Si necesitamos que la base sea 3c, debemos encerrarla entre paréntesis y escribir (3c) 5 . Por ejemplo 3 ؒ 2 3 ϭ 3 ؒ 8 ϭ 24, no es lo mismo que (3 ؒ 2) 3 ϭ 6 3 ϭ 216. En caso de que la base es un producto, tenemos la propiedad siguiente. Propiedad 4 (ab) m ϭ a m b m (ab 0 si m Յ 0) Esto es, el producto de dos números elevados a la m-ésima potencia es igual al pro- ducto de las m-ésimas potencias de los dos números. ☛ 14 EJEMPLO 4 (a) 6 4 ϭ (2 ؒ 3) 4 ϭ 2 4 ؒ 3 4 (b) (x 2 y) 4 ϭ (x 2 ) 4 y 4 ϭ x 8 y 4 (c) (3a 2 b Ϫ3 ) 2 ϭ 3 2 (a 2 ) 2 (b Ϫ3 ) 2 ϭ 9a 4 b Ϫ6 (d) ϭ ϭᎏ x x Ϫ Ϫ 2 8 y y Ϫ Ϫ 6 4 ᎏϭ ؒ ϭ x Ϫ2Ϫ(Ϫ8) y Ϫ6Ϫ(4) ϭ x 6 y Ϫ2 Propiedad 5 ᎏ a b ᎏ m ϭ ᎏ a b m m ᎏ (b 0 y a 0 si m Յ 0) Es decir, el cociente de dos números elevados a la m-ésima potencia es igual al co- ciente de las m-ésimas potencias de tales números. EJEMPLO 5 (a) ᎏ 3 2 ᎏ 4 ϭ ᎏ 3 2 4 4 ᎏ (b) ᎏ x y ᎏ 5 ϭ ᎏ x y 5 5 ᎏ ϭ x 5 y Ϫ5 (c) x 3 ᎏ x y 2 ᎏ Ϫ2 ϭ x 3 ᎏ (x y 2 Ϫ ) Ϫ 2 2 ᎏϭ x 3 ᎏ y x Ϫ Ϫ 2 4 ᎏ ϭ x 3Ϫ(Ϫ4) y Ϫ2 ϭ x 7 y Ϫ2 . ☛ 15 EJEMPLO 6 Simplifique las siguientes expresiones, eliminando paréntesis y ex- ponentes negativos. (a) ᎏ ( x a Ϫ x) 7 5 ᎏ (b) ᎏ ( ( x x 2 Ϫ z 2 3 ) ) 2 3 ᎏ (c) x 4 (2x Ϫ 3x Ϫ2 ) (d) (x Ϫ1 ϩ y Ϫ1 ) Ϫ1 (e) ᎏ x Ϫ ( 1 xy ϩ ) Ϫ y 1 Ϫ1 ᎏ Solución (a) ᎏ ( x a Ϫ x) 7 5 ᎏϭ ᎏ a x 5 Ϫ x 7 5 ᎏϭ a 5 x 5Ϫ(Ϫ7) ϭ a 5 x 12 y Ϫ6 ᎏ y Ϫ4 x Ϫ2 ᎏ x Ϫ8 x Ϫ2 (y 3 ) Ϫ2 ᎏ (x 2 ) Ϫ4 y Ϫ4 (xy 3 ) Ϫ2 ᎏ (x 2 y) Ϫ4 SECCIÓN 1-3 EXPONENTES 21 ☛ 14. Evalúe (a) 2 и 2 3 y (2 и 2) 3 (b) 3 и 2 Ϫ2 y (3 и 2) Ϫ2 Respuesta (a) 16 y 64 (b) ᎏ 3 4 ᎏ y ᎏ 3 1 6 ᎏ ☛ 15. Simplifique (a) 3 3 и (3x) Ϫ2 (b) ᎏ x 2 4 ᎏ 2 Ϭ (4x Ϫ2 ) Ϫ2 Respuesta (a) ᎏ x 3 2 ᎏ (b) 4x 4 g 22 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA (b) ϭ ϭ ϭ Observe que si deseamos evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarse en el denominador. (c) x 4 (2x Ϫ 3x Ϫ2 ) ϭ x 4 (2x) Ϫ x 4 (3x Ϫ2 ) ϭ 2x 4ϩ1 Ϫ 3x 4Ϫ2 ϭ 2x 5 Ϫ 3x 2 (d) Primero debemos simplificar la expresión dentro de los paréntesis. El denominador común es xy. x Ϫ1 ϩ y Ϫ1 ϭ ϩ ϭ ϩ ϭ Ahora, recuerde que el recíproco de una fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador, de modo que (x Ϫ1 ϩ y Ϫ1 ) Ϫ1 ϭ Ϫ1 ϭ (e) ϭ ϭ ϩ ϭ ϩ ϭy ϩ x Solución alterna ϭ (x Ϫ1 ϩ y Ϫ1 ) ؒ xy ϭ x Ϫ1 ؒ xy ϩ y Ϫ1 ؒ xy (propiedad distributiva) ϭ 1 ؒ y ϩ 1 ؒ x ϭ y ϩ x ☛ 16 x Ϫ1 ϩ y Ϫ1 ᎏᎏ (xy) Ϫ1 1 ᎏ x Ϫ1 1 ᎏ y Ϫ1 y Ϫ1 ᎏ x Ϫ1 y Ϫ1 x Ϫ1 ᎏ x Ϫ1 y Ϫ1 x Ϫ1 ϩ y Ϫ1 ᎏᎏ x Ϫ1 y Ϫ1 x Ϫ1 ϩ y Ϫ1 ᎏᎏ (xy) Ϫ1 xy ᎏ y ϩ x y ϩ x ᎏ xy y ϩ x ᎏ xy x ᎏ xy y ᎏ xy 1 ᎏ y 1 ᎏ x 1 ᎏ x 10 z 9 x Ϫ4 ᎏ x 6 z 9 x (Ϫ2)(2) ᎏ (x 2 ) 3 (z 3 ) 3 (x Ϫ2 ) 2 ᎏ (x 2 z 3 ) 3 ☛ 16. En el ejemplo 6(d) sería incorrecto por completo escribir (x Ϫ1 ϩ y Ϫ1 ) Ϫ1 ϭ (x Ϫ1 ) Ϫ1 ϩ (y Ϫ1 ) Ϫ1 ϭ x ϩ y. ¿Puede ver por qué esto es incorrecto? Intente con dos valores para x y y, tales como 2 y 4. (1-61) Simplifique las siguientes expresiones. No use paréntesis o exponentes negativos en la respuesta final. 1. (2 5 ) 2 2. (3 4 ) 3 3. (a 3 ) 7 4. (x 4 ) 5 5. (Ϫx 2 ) 5 6. (Ϫx 5 ) 2 7. y 2 ؒ y 5 8. x 7 ؒ x 4 9. a 3 ؒ a Ϫ5 10. b Ϫ2 ؒ b 6 11. (3x) 2 x Ϫ7 12. (4x) Ϫ2 x 4 13. (2x) 2 (2x Ϫ1 ) 3 14. ᎏ x 2 3 ᎏ (4x Ϫ1 ) 2 15. (x 2 yz) 3 (xy) 4 16. (3yz 2 ) 2 (y 3 z) 3 17. (x Ϫ2 y) Ϫ2 18. (ab Ϫ3 ) Ϫ1 19. (xy 2 z 3 ) Ϫ1 (xyz) 3 20. (x 2 pq 2 ) 2 (xp 2 ) Ϫ1 21. ᎏ (2 4 4 2 ) 2 ᎏ 22. ᎏ (3 3 3 5 ) 2 ᎏ 23. ᎏ 1 3 ᎏ Ϫ2 Ϭ 3 Ϫ4 24. ᎏ 1 5 ᎏ 3 Ϭ 5 Ϫ2 25. ᎏ x x Ϫ 5 2 ᎏ 26. ᎏ y y Ϫ Ϫ 3 7 ᎏ 27. ᎏ (x x 2 4 ) 3 ᎏ 28. ᎏ ( z z Ϫ 2 ) 8 4 ᎏ 29. ᎏ ( ( a a Ϫ 4 ) 2 Ϫ ) 6 3 ᎏ 30. ᎏ ( ( b b Ϫ 3 7 ) ) 3 2 ᎏ 31. ᎏ ( ( Ϫ Ϫ x x ) 3 Ϫ ) 2 3 ᎏ 32. ᎏ ( ( Ϫ Ϫ y y Ϫ 2 1 ) ) Ϫ Ϫ 2 3 ᎏ EJERCICIOS 1-3 g 33. ᎏ (x (x 2 y y ) ) Ϫ 2 3 ᎏ 34. ᎏ (a a b Ϫ Ϫ 2 b 2 ) Ϫ Ϫ 1 1 ᎏ 35. ᎏ (Ϫ x 2 3 x y y) 3 ᎏ 36. 37. ᎏ (Ϫ Ϫ 3 3 x x ) 2 2 ᎏ 38. ᎏ ( ( Ϫ 2x 2 2 x y 2 ) y Ϫ 3 ) 1 2 ᎏ 39. ᎏ (2 ( a a Ϫ 3 b 1 b ) 3 2 ) 2 ᎏ 40. ᎏ (Ϫ (x 3 Ϫ x 3 2 y y 4 Ϫ ) 3 2 ) 2 ᎏ 41. x 2 (x 4 Ϫ 2x) 42. x 3 (x Ϫ1 Ϫ x) 43. 2x(x 5 ϩ3x Ϫ1 ) 44. 3x 2 (x 4 ϩ 2x Ϫ3 ) 45. x 4 (2x 2 Ϫ x Ϫ 3x Ϫ2 ) 46. 2x Ϫ3 (x 5 Ϫ 3x 4 ϩ x) 47. (2 Ϫ1 ϩ x Ϫ1 ) Ϫ1 48. [(2x) Ϫ1 ϩ (2y) Ϫ1 ] Ϫ1 49. (xy) Ϫ1 (x Ϫ1 ϩ y Ϫ1 ) Ϫ1 50. (a Ϫ2 ϩ b Ϫ2 ) Ϫ1 51. ᎏ 7 x ᎏ ᎏ 1 3 4x ᎏ ϩ ᎏ 2 3 x ᎏ 2 52. x Ϫ3 ᎏ 5 6 x ᎏ Ϫ1 Ϫ Ϫᎏ 2 1 x ᎏ 2 53. ᎏ 1 3 0 y x 3 ᎏϩ ᎏ 15 2 xy ᎏ 54. ᎏ 12 5 x Ϫ3 ᎏϪ ᎏ 15 2 x Ϫ2 ᎏ 55. ᎏ 2x 1 Ϫ2 ᎏϩ ᎏ 3x 1 Ϫ2 ᎏ 56. ᎏ 4y 1 Ϫ4 ᎏϪ ᎏ 3y 1 Ϫ4 ᎏ 57. ᎏ x 4 3 y ᎏ Ϭ ᎏ 4 x ᎏ Ϭ ᎏ y 6 3 ᎏ 58. ᎏ x 4 Ϫ x 3 ᎏ Ϫ ᎏ 6 x x 5 ᎏ 59. y Ϫ5 2xy Ϭ ᎏ 3 x y 2 ᎏ 60. ᎏ 2 x ᎏ ϩ x Ϫ1 Ϭ ᎏ x 2 2 ᎏ ϩ ᎏ 5x 1 Ϫ2 ᎏ 61. x Ϫ1 Ϭ (x ϩ x Ϫ1 ) Ϫ1 (Ϫab 2 c) Ϫ1 ᎏᎏ a Ϫ2 bc Ϫ1 SECCIÓN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 23 Hemos definido a m cuando m es cualquier entero, ahora extenderemos la definición al caso en que m es un número racional arbitrario. Nos gustaría hacer esta extensión en tal forma que las propiedades 1 a 5 de la sección 1-3 continúen siendo válidas aun en el caso de que m y n no sean enteros. En primer término consideraremos la definición de a 1/ n cuando n es un ente- ro distinto de cero. Para que la propiedad 3 continúe vigente cuando m ϭ 1/n, debe ser válido que (a 1/ n ) n ϭ a (1/ n)n ϭ a 1 ϭ a De este modo, si hacemos b ϭ a 1/n , es necesario que b n ϭ a. EJEMPLO 1 (a) 8 1/3 ϭ 2 ya que 2 3 ϭ 8 (b) (Ϫ243) 1/5 ϭ Ϫ3 ya que (Ϫ3) 5 ϭ Ϫ243 En el caso de que n sea un entero par, surgen dos dificultades con esta defini- ción de a 1/n . Por ejemplo, sea n ϭ2 y a ϭ4. Entonces, b ϭ4 1/ 2 si b 2 ϭ4. Pero hay dos números cuyo cuadrado es igual a 4, es decir, b ϭ 2 y b ϭ Ϫ2. De modo que necesitamos decidir qué entenderemos cuando escribamos b ϭ4 1/ 2 . En realidad, de- finiremos 4 1/ 2 como ϩ2. En segundo lugar, suponga que a es negativo. En tal caso, b ϭ a 1/ 2 si b 2 ϭ a. Sin embargo, el cuadrado de cualquier número negativo (positivo, negativo o cero) nunca es negativo. Por ejemplo, 4 2 ϭ 16 y (Ϫ3) 2 ϭ 9 son positivos. En consecuen- cia b 2 nunca es negativo para cualquier número real b, de modo que cuando a Ͻ 0, a 1/ 2 no existe en los números reales. Así, (Ϫ1) 1/ 2 o (Ϫᎏ 4 3 ᎏ) 1/ 2 carecen de sentido como números reales. Adoptaremos la siguiente definición. 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS g DEFINICIÓN Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un núme- ro real no negativo, entonces se dice que b es la n-ésima raíz principal de a, si b n ϭ a y b Ն 0. Así, la n-ésima raíz de a es el número no negativo el cual, al elevarse a la n-ésima potencia, da el número a. Denotamos la n-ésima raíz principal por b ϭ a 1/n . Si n es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un número real cualquiera, entonces b es la n-ésima raíz de a si b n ϭ a, expresada una vez más co- mo a 1/n . Es decir b ϭ a 1/n si b n ϭ a; b Ն 0 si n es par. Las raíces impares están definidas para todos los números reales a, pero las raíces pares sólo están definidas cuando a no es negativo. EJEMPLO 2 (a) 32 1/5 ϭ 2 porque 2 5 ϭ 32 (b) (Ϫ216) 1/3 ϭ Ϫ6 ya que (Ϫ6) 3 ϭ Ϫ216 (c) 16 1/4 ϭ 2 porque 2 4 ϭ 16 y 2 Ͼ 0 (d) (729) 1/6 ϭ 3 ya que 3 6 ϭ 729 y 3 > 0 (e) 1 1/n ϭ 1 para todo entero positivo n, porque 1 n ϭ 1 (f) (Ϫ1) 1/n ϭϪ1 para todo entero positivo impar n, debido a que (Ϫ1) n ϭϪ1 cuando n es impar. (g) (Ϫ81) 1/4 no existe, porque los números negativos sólo tienen raíces n-ési- mas cuando n es impar. El símbolo ͙ n aෆ también se utiliza en lugar de a 1/n . El símbolo ͙ළ se deno- mina signo radical y ͙ n aෆ a menudo se llama radical. Cuando n ϭ 2, a 1/2 se denota simplemente por ͙aෆ más que por ͙ 2 a ෆ : y se le llama la raíz cuadrada de a. Tam- bién, ͙ 3 a ෆ ϭa 1/3 es la tercera raíz de a, y por lo regular se le llama raíz cúbica, ͙ 4 a ෆ ϭ a 1/4 es la raíz cuarta de a, etc. Los resultados en el ejemplo 2 pueden volverse a formular utilizando esta notación: (a) ͙ 5 3ෆ2ෆ ϭ 2 (b) ͙ 3 Ϫෆ2ෆ1ෆ6ෆ ϭϪ6 (c) ͙ 4 1ෆ6ෆ ϭ 2 (d) ͙ 6 7ෆ2ෆ9ෆ ϭ 3 (e) ͙ n 1ෆ ϭ 1 para n un entero positivo (f) ͙ n Ϫෆ1ෆ ϭϪ1 para n un entero positivo impar (g) ͙ 4 Ϫෆ8ෆ1ෆ no existe ☛ 17 Ahora estamos en posición de definir a m/n para un exponente racional m/n. 24 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 17. Evalúe lo siguiente, si existen: (a) (Ϫ27) 1/3 (b) (64) 1/6 (c) ͙ 5 Ϫෆ3ෆ2ෆ (d) (Ϫᎏ 1 1 6 ᎏ) 1/4 (e) ͙ 6 Ϫෆ7ෆ2ෆ9ෆ (f) ͙ 101 Ϫෆ1ෆ Respuesta (a) –3; (b) 2; (c) –2; (d) y (e) no existen; (f) –1. g DEFINICIÓN Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un núme- ro real. Entonces. a m/n ϭ (a 1/n ) m Es decir, la (m/n)-ésima potencia de a es la m-ésima potencia de la raíz n-ésima de a. Observación Si n es par, a no debe ser negativo. Si m es negativo, a no de- be ser cero. EJEMPLO 3 (a) 9 3/2 ϭ (9 1/2 ) 3 ϭ 3 3 ϭ 27 (b) 4 Ϫ1/2 ϭ (4 1/2 ) Ϫ1 ϭ 2 Ϫ1 ϭ ᎏ 1 2 ᎏ (c) 16 Ϫ3/4 ϭ (16 1/4 ) Ϫ3 ϭ 2 Ϫ3 ϭ ᎏ 1 8 ᎏ De la parte (b) del ejemplo 3, podemos generalizar el resultado siguiente: a Ϫ1/n ϭ Esto se sigue dado que a Ϫ1/n ϭ (a 1/n ) Ϫ1 ϭ ᎏ a 1 1/n ᎏ TEOREMA Si a m/n existe, entonces a m/n ϭ (a m ) 1/n Es decir, la (m/n)-ésima potencia de a es igual a la raíz n-ésima de la m-ésima po- tencia de a. Este teorema, el cual no demostraremos, ofrece un método alternativo para calcular cualquier potencia fraccionaria. EJEMPLO 4 (a) 16 3/4 ϭ (16 1/4 ) 3 ϭ 2 3 ϭ 8, o 16 3/4 ϭ (16 3 ) 1/4 ϭ (4096) 1/4 ϭ 8 (b) 36 3/2 ϭ (36 1/2 ) 3 ϭ 6 3 ϭ 216, o 36 3/2 ϭ (36 3 ) 1/2 ϭ (46,656) 1/2 ϭ 216 Observación Si m/n no está en su mínima expresión, entonces (a m ) 1/n puede existir mientras que a m/n no. Por ejemplo, sea m ϭ 2, n ϭ 4 y a ϭ Ϫ9. Entonces, (a m ) 1/n ϭ [(Ϫ9) 2 ] 1/4 ϭ 81 1/4 ϭ 3 pero a m/n ϭ (Ϫ9) 2/4 ϭ [(Ϫ9) 1/4 ] 2 no existe. Según los ejemplos 3 y 4, es claro que cuando evaluamos a m/n , es más fácil pri- mero extraer la raíz n-ésima y después elevar a la m-ésima potencia; de esa manera 1 ᎏ ͙ n aෆ SECCIÓN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 25 g trabajamos con números más pequeños. En otras palabras, en la práctica calculamos a m/n usando la definición (a 1/n ) en lugar de (a m ) 1/n . Con estas definiciones, es posible demostrar que las leyes de los exponentes, que se establecieron en la sección 1-3, también son válidas para exponentes fraccio- narios. Las volvemos a escribir y las ilustramos con algunos ejemplos. Reenuncie- mos estas leyes, ya que son muy importantes. Leyes de los exponentes: 1. a m ؒ a n ϭ a mϩn 2. ᎏ a a m n ᎏ ϭ a mϪn 3. (a m ) n ϭ a mn 4. (ab) m ϭ a m b m 5. ᎏ a b ᎏ m ϭ ᎏ a b m m ᎏ Al utilizar estas leyes, debemos recordar que tienen algunas restricciones: en cual- quier potencia, si el exponente es negativo, la base no debe ser cero; y si el expo- nente contiene una raíz par, la base no debe ser negativa. EJEMPLO 5 (a) 5 3 ؒ 5 7/2 ϭ 5 3ϩ7/2 ϭ 5 13/2 (b) 4 Ϫ2 ؒ 4 7/3 ϭ 4 Ϫ2ϩ7/3 ϭ 4 1/3 (c) ᎏ ( 4 4 7 ) / 3 2 /2 ᎏϭ 4 7/2Ϫ3/2 ϭ 4 2 ϭ 16 (d) ᎏ 9 9 1 Ϫ / 2 2 ᎏ ϭ 9 1/2Ϫ(Ϫ2) ϭ 9 5/2 ϭ (9 1/2 ) 5 ϭ 3 5 ϭ 243 (e) ᎏ x x 9 4 /4 ᎏ ϭ x 9/4Ϫ4 ϭ x Ϫ7/4 (f) (5 3 ) 7/6 ϭ 5 3(7/6) ϭ 5 7/2 (g) (3 Ϫ4/3 ) Ϫ6/5 ϭ 3 (Ϫ4/3)(Ϫ6/5) ϭ 3 8/5 (h) a Ϫm ϭ (a m ) Ϫ1 ϭ ᎏ a 1 m ᎏ para cualquier número racional m (i) (36) 1/2 ϭ (4 ؒ 9) 1/2 ϭ 4 1/2 ؒ 9 1/2 ϭ 2 ؒ 3 ϭ 6 (j) (x 2 y) 1/2 ϭ (x 2 ) 1/2 y 1/2 ϭ x 2(1/2) y 1/2 ϭ xy 1/2 (k) (3a 2/5 b Ϫ4 ) Ϫ1/2 ϭ 3 Ϫ1/2 (a 2/5 ) Ϫ1/2 (b Ϫ4 ) Ϫ1/2 ϭ 3 Ϫ1/2 a Ϫ1/5 b 2 (l) ͙ 4 aෆbෆ ϭ (ab) 1/4 ϭ a 1/4 b 1/4 ϭ ͙ 4 aෆ ͙ 4 bෆ (m) ͙x/ ෆyෆ ϭ ᎏ x y ᎏ 1/2 ϭ ᎏ x y 1 1 / / 2 2 ᎏ ϭ ᎏ 1 4 ᎏ (n) ᎏ 2 8 7 ᎏ Ϫ2/3 ϭ ᎏ 2 8 7 Ϫ Ϫ 2 2 / / 3 3 ᎏϭ ᎏ ( ( 2 8 7 1 1 / / 3 3 ) ) Ϫ Ϫ 2 2 ᎏϭ ᎏ 2 3 Ϫ Ϫ 2 2 ᎏ ϭ ᎐᎐ ϭ ᎏ 1 4 ᎏ ᎏ 9 1 ᎏ ϭ ᎏ 9 4 ᎏ ☛ 18 ᎏ 1 9 ᎏ ͙xෆ ᎏ ͙yෆ 26 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 18. Simplifique (a) 3 1/3 и 3 2/3 (b) 3 1/3 и (3 2/3 ) Ϫ2 (c) (x 1/2 ) 3 и ͙xෆ (d) (x 1/3 ) 1/2 Ϭ x 7/6 (e) (8x) 2/5 и ᎏ 4 x ᎏ 3/5 Respuesta (a) 3 (b) 3 Ϫ1 (c) x 2 (d) x Ϫ1 (e) x g EJEMPLO 6 Encuentre m tal que ϭ 3 m . Solución Expresamos ambos lados como potencia de 3. ϭ ᎏ 9 3 1 3 /3 ᎏ ϭ ᎏ (3 3 2 ) 3 1/3 ᎏϭ ᎏ 3 3 2 3 /3 ᎏ ϭ 3 (2/3)Ϫ3 ϭ 3 Ϫ7/3 Por tanto, m ϭ Ϫ ᎏ 7 3 ᎏ. EJEMPLO 7 Evalúe: (a) 1 ᎏ 2 6 2 4 5 ᎏ 1/2 (b) ᎏ 64 7 x 3 ᎏ Ϫ2/3 Solución (a) 1 ᎏ 2 6 2 4 5 ᎏ 1/2 ϭ ᎏ 2 2 8 2 9 5 ᎏ 1/2 ϭ ᎏ 1 1 7 5 2 2 ᎏ 1/2 ϭ ΄ ᎏ 1 1 7 5 ᎏ 2 ΅ 1/2 (por la ley 5) ϭ ᎏ 1 1 7 5 ᎏ 2 и (1/2) (por la ley 3) ϭ ᎏ 1 1 7 5 ᎏ 1 ϭ 1 ᎏ 1 2 5 ᎏ (b) ᎏ 6 2 4 7 x 3 ᎏ Ϫ2/3 ϭ ᎏ 4 3 3 x 3 3 ᎏ Ϫ2/3 ϭ ΄ ᎏ 4 3 x ᎏ 3 ΅ Ϫ2/3 (por la ley 5) ϭ ᎏ 4 3 x ᎏ Ϫ2 ϭ ᎏ (4x 1 /3) 2 ᎏ (por la ley 3) ϭ ᎏ 16x 1 2 /9 ᎏϭ ᎏ 16 9 x 2 ᎏ EJEMPLO 8 Simplifique la siguiente expresión Solución En expresiones tales como ésta, por lo general, conviene escribir todas las bases en términos de sus factores primos. ϭ ϭ (por las leyes 3 y 5) ϭ (combinando términos con bases iguales) ϭ ϭ 1 2 4p и 3 3p и 5 3p ᎏᎏ 2 4p и 3 3p и 5 3p (2 2p и 2 2p )(3 p и 3 2p ) и 5 3p ᎏᎏᎏ (2 p и 2 3p )(3 3p ) и 5 3p 2 2p и 3 3p/3 и 5 3p и 2 2p и 3 2p ᎏᎏᎏ 2 3и(p/3) и 3 2и(3p/2) и 2 3p и 5 3p (2 2 ) p и (3 3 ) p/3 и (5 3 ) p и (2и 3) 2p ᎏᎏᎏ (2 3 ) p/3 и (3 2 ) 3p/2 и (2 и 5) 3p 4 p и 27 p/3 и 125 p и 6 2p ᎏᎏᎏ 8 p/3 и 9 3p/2 и 10 3p 4 p и 27 p/3 и 125 p и 6 2p ᎏᎏᎏ 8 p/3 и 9 3p/2 и 10 3p ͙ 3 9ෆ ᎏ 27 ͙ 3 9ෆ ᎏ 27 SECCIÓN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 27 g (1-6) Encuentre m tal que las siguientes proposiciones sean ver- daderas. 1. 8͙ 3 2ෆ ϭ 2 m 2. ᎏ ͙ 3 8 2ෆ ᎏ ϭ 2 m 3. Ί 3 ᎏ 2 8 ᎏ ϭ 2 m 4. 3͙3ෆ ؒ ͙ 3 3ෆ ϭ 3 m 5. ͙͙ෆ2ෆෆ ϭ 4 m 6. ͙ 4 ͙ 3 ෆ͙ෆෆ2ෆෆෆ ϭ 2 m (7-26) Evalúe las siguientes expresiones. 7. ͙8ෆ1ෆ 8. ͙ 3 2ෆ7ෆ 9. Ί 1 ᎏ 1 9 6 ᎏ 10. Ί 3 3 ᎏ 3 8 ᎏ 11. ͙ 5 Ϫෆ3ෆ2ෆ 12. ͙ 3 Ϫෆ0ෆ.1 ෆ2ෆ5ෆ 13. ͙(Ϫ ෆ3ෆ) 2 ෆ 14. Ί (Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ ) 2 15. (81) Ϫ3/4 16. (ᎏ 2 8 7 ᎏ) Ϫ4/3 17. (0.16) Ϫ1/2 18. (Ϫ0.16) 3/4 19. 0.125 Ϫ2/3 20. 0.0016 3/4 21. (9 Ϫ3 ؒ 16 3/2 ) 1/6 22. 9 3/4 ؒ 3 Ϫ1/2 23. 16 4/5 ؒ 8 Ϫ2/5 24. 25 1/3 (ᎏ 1 5 ᎏ) Ϫ4/3 25. (27) Ϫ2/3 Ϭ (16) 1/4 26. Ϫ(ᎏ 3 1 6 ᎏ) 1/8 Ϭ (6) Ϫ5/4 (27-56) Simplifique las siguientes expresiones. 27. (16x 4 ) 3/4 28. ᎏ 2 6 7 4 x 3 ᎏ 2/3 29. (32x 5 y Ϫ10 ) 1/5 30. Ί 3 ᎏ 2 8 7 a b 3 3 ᎏ 31. ͙ 4 x 3 ෆ /2 ෆ ؒ ෆ 1 ෆ6ෆx 1 ෆ /2 ෆ 32. (x 1/3 ؒ x Ϫ2/5 ) 3 33. (x 1/2 ؒ x Ϫ1/3 ) 2 34. (16x Ϫ4 ) Ϫ1/2 Ϭ (8x 6 ) 1/3 28 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA EJEMPLO 9 Simplifique (͙2ෆ7ෆ ϩ ͙7ෆ5ෆ)/2 ͙1ෆ2ෆ. Solución Observe que los tres radicales en esta expresión pueden simplificarse factorizando un cuadrado perfecto en cada uno de los números. ͙2ෆ7ෆ ϭ ͙9 ෆ ؒ ෆ 3 ෆ ϭ ͙9ෆ ؒ ͙3ෆ ϭ 3͙3ෆ ͙7ෆ5ෆ ϭ ͙2 ෆ5ෆ ؒ ෆ 3 ෆ ϭ ͙2ෆ5ෆ ؒ ͙3ෆ ϭ 5͙3ෆ ͙1ෆ2ෆ ϭ ͙4 ෆ ؒ ෆ 3 ෆ ϭ ͙4ෆ ؒ ͙3ෆ ϭ 2͙3ෆ Por tanto, ϭ ϭ ϭ ᎏ 8 4 ᎏ ϭ 2 EJEMPLO 10 Simplifique: (a) ͙xෆ(͙x 3 ෆ ϩ ͙ 3 x 2 ෆ) (b) ᎏ ͙xෆ ͙ 3 ϩ xෆ 2x ᎏ Solución Exprese los radicales en términos de exponentes fraccionarios y luego utilice las propiedades distributivas y las leyes de los exponentes. (a) ͙xෆ(͙x 3 ෆ ϩ ͙ 3 x 2 ෆ) ϭ x 1/2 (x 3/2 ϩ x 2/3 ) ϭ x 1/2 ؒ x 3/2 ϩ x 1/2 ؒ x 2/3 ϭ x 2 ϩ x 7/6 (b) ᎏ ͙xෆ ͙ 3 ϩ xෆ 2x ᎏϭ ᎏ x 1/2 x 1 ϩ /3 2x ᎏ ϭ (x 1/2 ϩ 2x)x Ϫ1/3 ϭ x 1/2 ؒ x Ϫ1/3 ϩ 2x 1 ؒ x Ϫ1/3 ϭ x 1/6 ϩ 2x 2/3 ☛ 19 8͙3ෆ ᎏ 4͙3ෆ 3͙3ෆ ϩ 5͙3ෆ ᎏᎏ 2(2͙3ෆ) ͙2ෆ7ෆ ϩ ͙7ෆ5ෆ ᎏᎏ 2͙1ෆ2ෆ ☛ 19. Simplifique (a) ͙ 3 4ෆ и ͙ 3 1ෆ6ෆ (b) ͙ 3 3ෆ Ϭ (͙ 3 9ෆ) 2 (c) ͙ 4 x 3 ෆ и ͙͙ෆxෆෆ (d) ͙xෆ(͙x 3 ෆ ϩ 3͙xෆ) Respuesta (a) 4 (b) 3 Ϫ1 (c) x (d) x 2 ϩ 3x EJERCICIOS 1-4 g 35. ᎏ x x Ϫ 3 1 /7 /7 y y 2 1 / / 5 5 ᎏ 36. ᎏ a a 4 2 / / 9 9 b b Ϫ Ϫ 3 1 / / 4 2 ᎏ 37. ᎏ p p Ϫ Ϫ 3 1 / / 5 5 q q Ϫ 2 2 / / 5 5 ᎏ 10 38. 39. ᎏ 2 y x 3 5 / / 4 2 ᎏϬ ᎏ 3 x y 2 2 / / 3 5 ᎏ 40. (Ϫ2x 2 y) 1/5 (4 Ϫ1 xy Ϫ2 ) Ϫ2/5 41. 3͙4ෆ5ෆ ϩ͙2ෆ0ෆ 42. 2͙2ෆ4ෆ Ϫ͙5ෆ4ෆ 43. 2͙1ෆ8ෆ Ϫ͙3ෆ2ෆ 44. 45. ͙6ෆ3ෆ Ϫ͙1ෆ7ෆ5ෆ ϩ 4͙1ෆ1ෆ2ෆ 46. ͙1ෆ1ෆ2ෆ Ϫ͙6ෆ3ෆ ϩ 47. Ϫ 2͙2ෆ0ෆ ϩ 48. 2͙ 3 Ϫෆ1ෆ6ෆ Ϫ͙ 3 Ϫෆ5ෆ4ෆ 49. a 2/3 ؒ a Ϫ3/4 ؒ (a 2 ) Ϫ1/6 ؒ ᎏ (a 1 1 /12 ) 5 ᎏ 50 ᎏ ͙1ෆ2ෆ5ෆ 20 ᎏ ͙5ෆ 224 ᎏ ͙2ෆ8ෆ 8͙2ෆ Ϫ 4͙8ෆ ᎏᎏ ͙3ෆ2ෆ (x 2 y) Ϫ1/3 (xy) 1/4 ᎏᎏ (xy Ϫ2 ) 1/12 50. a 2/3 ؒ b Ϫ5/7 ؒ ᎏ a b ᎏ 7/8 ؒ ᎏ a b 1 2 1 3 / / 2 5 4 6 ᎏ 51. 52. 53. ᎏ x x a b ᎏ c ؒ a ؒ ᎏ x x c a ᎏ b 54. ᎏ x x a 2 ϩ b b ᎏ ᎏ x x b 2 ϩ c c ᎏ 55. 56. 57. Establezca si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. a. ͙5ෆ ϭ ͙2ෆ ϩ ͙3ෆ b. ͙8ෆ ϭ ͙2ෆ ϩ ͙2ෆ c. ͙2ෆ1ෆ ϭ ͙7ෆ ؒ ͙3ෆ d. ͙(Ϫ ෆ3ෆ) 2 ෆ ϭ 3 e. ͙Ϫෆ9ෆ ϭ Ϫ3 f. ͙aෆ 2 ෆ ϭ a para todo real a g. ͙aෆ 2 ෆϩෆ b ෆ 2 ෆ ϭ a ϩ b si a Ͼ 0 y b Ͼ 0 h. a m ؒ a n ϭ a mn i. ᎏ a a m n ᎏ ϭ a m/n j. ͙ 3 ෆ ͙ 3 aෆ ෆ ϭ a 1/6 k. ͙aෆ 2 ෆ ϭ a si a Ͼ 0 28 m и 35 m и 10 3m ᎏᎏ 8 5m/3 и 49 m и 25 2m (27) 2n/3 и (8) Ϫn/6 ᎏᎏ (18) Ϫn/2 x cϩa ᎏ x 2a x b ᎏ x c (x aϩb ) 2 (y aϩb ) 2 ᎏᎏ (xy) 2aϪb 2 3m и 3 2m и 5 m и 6 m ᎏᎏ 8 m и 9 3m/2 и 10 m SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 29 Cantidades del tipo 2x 2 Ϫ 3x ϩ 7, 5y 3 Ϫ y 2 ϩ 6y ϩ 2 y 2x Ϫ 3/y ϩ 4 se denomi- nan expresiones algebraicas. Los bloques de construcción de una expresión alge- braica se llaman términos. Por ejemplo, la expresión 2x 2 Ϫ3x ϩ7 tiene tres térmi- nos, 2x 2 , Ϫ3x y 7. La expresión x 2 y/3 Ϫ y/x tiene dos términos, x 2 y/3 y y/x. En el término 2x 2 , el factor 2 se denomina el coeficiente numérico (o simple- mente el coeficiente). El factor x 2 se denomina la parte literal del término. En el término Ϫ3x, el coeficiente es Ϫ3 y la parte literal x. En el término x 2 y/3, el coefi- ciente es ᎏ 1 3 ᎏ y la parte literal es x 2 y. El término 7 no tiene parte literal y se llama tér- mino constante. El coeficiente es 7. Una expresión algebraica que contiene un solo término se denomina mono- mio. Una expresión que contiene exactamente dos términos se llama binomio y la que contiene precisamente tres términos se denomina trinomio. Los siguientes son unos cuantos ejemplos de expresiones de estos tipos. Monomios: 2x 3 , Ϫ5y 2 , 7/t, 3, 2xy/z Binomios: 2x ϩ 3, 3x 2 Ϫ 5/y, 6x 2 y Ϫ 5zt Trinomios: 5x 2 ϩ 7x Ϫ 1, 2x 3 ϩ 4x Ϫ 3/x, 6y 2 Ϫ 5x ϩ t En general, una expresión que contiene más de un término se denomina multinomio. 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS g Adición y sustracción de expresiones Cuando 4 manzanas se suman a 3 manzanas obtenemos 7 manzanas. En la misma forma, 4x ϩ 3x ϭ 7x. Esto es una simple consecuencia de la propiedad distributiva, dado que 4x ϩ 3x ϭ (4 ϩ 3)x ϭ 7x Si compara lo anterior con la sección 1-1 verá que aquí utilizamos la ley distributi- va “hacia atrás”, esto es, de derecha a izquierda. De una manera similar, podemos sumar cualesquiera dos expresiones cuyas partes literales sean iguales. Simplemen- te sumamos los dos coeficientes numéricos. EJEMPLO 1 (a) 2x ϩ 9x ϭ (2 ϩ 9)x ϩ 11x (b) 4ab ϩ 3ab ϭ (4 ϩ 3)ab ϭ 7ab (c) ᎏ 2 y x ᎏ ϩ ᎏ 2 x y ᎏ ϭ 2 ؒ ᎏ x y ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ؒ ᎏ x y ᎏ ϭ 2 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ᎏ x y ᎏ ϭ ᎏ 5 2 ᎏ ؒ ᎏ x y ᎏ ϭ ᎏ 5 2 x y ᎏ Dos o más términos de una expresión algebraica se dice que son semejantes si tienen las mismas partes literales. Por ejemplo, 2x 2 y y 5yx 2 son semejantes dado que sus partes literales, x 2 y y yx 2 , son iguales. De manera similar, los tres términos 3x 2 yz 3 , Ϫ7x 2 z 3 y y z 3 x 2 /2 son términos semejantes. En general, dos términos seme- jantes sólo pueden diferir en sus coeficientes numéricos o en el orden en que apare- cen las variables. Dos o más términos semejantes pueden sumarse o restarse usando la propie- dad distributiva, como se ilustró en el ejemplo 1. A continuación se presentan ejem- plos adicionales. EJEMPLO 2 (a) 2x 3 Ϫ 7x 3 ϭ (2 Ϫ 7)x 3 ϭ Ϫ5x 3 (b) 5x 2 y Ϫ 3x 2 y ϩ 2yx 2 ϭ (5 Ϫ3 ϩ 2)x 2 y ϭ 4x 2 y Los términos que no son semejantes no pueden combinarse de la manera que acaba de verse. Así, los términos en la expresión 2x 2 ϩ5xy no pueden combinarse para dar un término individual. Cuando sumamos dos o más expresiones algebraicas, reagrupamos los térmi- nos de tal manera que dos expresiones que sean semejantes aparezcan juntas. ☛ 20 EJEMPLO 3 Sume 5x 2 y 3 Ϫ 7xy 2 ϩ 3x Ϫ 1 y 6 Ϫ2x ϩ 4xy 2 ϩ 3y 3 x 2 . Solución La suma requerida es 5x 2 y 3 Ϫ 7xy 2 ϩ 3x Ϫ 1 ϩ (6 Ϫ 2x ϩ 4xy 2 ϩ 3y 3 x 2 ) ϭ 5x 2 y 3 Ϫ 7xy 2 ϩ 3x Ϫ 1 ϩ 6 Ϫ 2x ϩ 4xy 2 ϩ 3x 2 y 3 30 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 20. Simplifique las siguientes expresiones: (a) 2ab 2 Ϫ 4ab 2 a (b) x 3 ϩ 2x Ϫ (2x 3 Ϫ 2x) Respuesta (a) Ϫ2ab 2 (b) –x 3 ϩ 4x g Reagrupando los términos, de tal manera que los términos semejantes estén agrupa- dos juntos, obtenemos la suma en la forma siguiente: 5x 2 y 3 ϩ 3x 2 y 3 Ϫ 7xy 2 ϩ 4xy 2 ϩ 3x Ϫ 2x Ϫ 1 ϩ 6 ϭ (5 ϩ 3)x 2 y 3 ϩ (Ϫ7 ϩ 4)xy 2 ϩ (3 Ϫ 2)x ϩ (Ϫ1 ϩ 6) ϭ 8x 2 y 3 ϩ (Ϫ3)xy 2 ϩ 1x ϩ 5 ϭ 8x 2 y 3 1Ϫ 3xy 2 ϩ x ϩ 5 EJEMPLO 4 Reste 3x 2 Ϫ 5xy ϩ7y 2 a 7x 2 Ϫ 2xy ϩ 4y 2 ϩ 6 Solución En este caso, buscamos 7x 2 Ϫ 2xy ϩ 4y 2 ϩ 6 Ϫ (3x 2 Ϫ 5xy ϩ 7y 2 ) Después de suprimir los paréntesis, cada término dentro de los paréntesis cambia de signo. En consecuencia, la expresión anterior es equivalente a la siguiente: 7x 2 Ϫ 2xy ϩ 4y 2 ϩ 6 Ϫ 3x 2 ϩ 5xy Ϫ 7y 2 dddd ϭ 7x 2 Ϫ 3x 2 Ϫ 2xy ϩ 5xy ϩ 4y 2 Ϫ 7y 2 ϩ 6 ϭ (7 Ϫ 3)x 2 ϩ (Ϫ2 ϩ 5)xy ϩ (4 Ϫ 7)y 2 ϩ 6 ϭ 4x 2 ϩ 3xy ϩ (Ϫ3)y 2 ϩ 6 ϭ 4x 2 ϩ 3xy Ϫ 3y 2 ϩ 6 Multiplicación de expresiones La expresión a(x ϩ y) denota el producto de a y x ϩ y. Para simplificar esta expre- sión suprimimos los paréntesis y multiplicamos cada término dentro del paréntesis por el número que está afuera; en este caso a: a(x ϩ y) ϭ ax ϩ ay Esto es simplemente por la propiedad distributiva. De manera similar, este método funciona siempre que una expresión algebraica se multiplique por cualquier mono- mio. EJEMPLO 5 (a) Ϫ2(x Ϫ 3y ϩ 7t 2 ) ϭ (Ϫ2)x Ϫ (Ϫ2)(3y) ϩ (Ϫ2)(7t 2 ) ϭ Ϫ2x ϩ 6y Ϫ 14t 2 (b) x 2 y(x 2 ϩ 3x Ϫ 5y 3 ) ϭ x 2 y ؒ x 2 ϩ x 2 y ؒ 3x Ϫ x 2 y ؒ 5y 3 ϭ x 4 y ϩ 3x 3 y Ϫ 5x 2 y 4 ☛ 21 Cuando multiplicamos dos expresiones algebraicas a la vez, la propiedad dis- tributiva puede usarse más de una vez con el fin de suprimir los paréntesis. Consi- deremos el producto (x ϩ2)(y ϩ3). Podemos emplear la propiedad distributiva pa- ra quitar los primeros paréntesis. (x ϩ 2)(y ϩ 3) ϭ x(y ϩ 3) ϩ 2(y ϩ 3) SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 31 ☛ 21. Simplifique las expresio- nes siguientes eliminando los pa- réntesis: (a) 3(x – 2) ϩ x(x – 3) (b) x 3 – 2x – 2x(x 2 – 1) Respuesta (a) x 2 – 6 (b) –x 3 g Para ver esto, sólo haga que y ϩ 3 ϭ b. Entonces (x ϩ 2)(y ϩ 3) ϭ (x ϩ 2)b ϭ x ؒ b ϩ 2 ؒ b ϭ x(y ϩ 3) ϩ 2(y ϩ 3) En general, las propiedades distributivas de la sección 1-1 funcionan con a, b, c reemplazadas por cualesquiera expresiones (como se hace con las otras propiedades de los números reales). Ahora usamos de nuevo esta propiedad para suprimir los pa- réntesis restantes. x(y ϩ 3) ϭ xy ϩ x ؒ 3 ϭ xy ϩ 3x asimismo 2(y ϩ 3) ϭ 2y ϩ 2 ؒ 3 ϭ 2y ϩ 6 Por tanto (x ϩ 2)(y ϩ 3) ϭ xy ϩ 3x ϩ 2y ϩ 6. En la figura 2 los cuatro términos (productos) de la derecha pueden obtener- se multiplicando cada uno de los términos de los primeros paréntesis sucesivamente por cada uno de los términos de los segundos paréntesis. Cada término de los pri- meros paréntesis está unido por un arco a cada término de los segundos paréntesis, y el producto correspondiente también aparece. Los cuatro productos dan entonces el desarrollo completo de la expresión. ☛ 22 32 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 22. Utilice la propiedad distri- butiva (o método de los arcos) para eliminar los paréntesis: (a) (x ϩ 2)(x ϩ 3) (b) (x 2 ϩ 2)(x 2 – 2) Respuesta (a) x 2 ϩ 5x ϩ 6 (b) x 4 – 4 También pudimos haber hecho lo anterior con el método PIES de multiplica- ción de dos expresiones binomiales. (PIES se establece por “Primeros, Internos, Ex- ternos, Segundos”). Eso es equivalente al método de los arcos descrito aquí. Sin em- bargo, el método de arcos es mucho mejor, ya que puede utilizarlo para multiplicar cualesquiera dos multinomios. EJEMPLO 6 Desarrolle el producto (3x Ϫ 4)(6x 2 Ϫ 5x ϩ 2). (Esto significa su- primir los paréntesis). Solución Usamos la propiedad distributiva: (3x Ϫ 4)(6x 2 Ϫ 5x ϩ 2) ϭ 3x(6x 2 Ϫ 5x ϩ 2) Ϫ 4(6x 2 Ϫ 5x ϩ 2) ϭ (3x)(6x 2 ) Ϫ (3x)(5x) ϩ (3x)(2) ϩ (Ϫ4)(6x 2 ) Ϫ (Ϫ4)(5x) ϩ (Ϫ4)(2) ϭ 18x 3 Ϫ 15x 2 ϩ 6x Ϫ 24x 2 ϩ 20x Ϫ 8 ϭ 18x 3 Ϫ 15x 2 Ϫ 24x 2 ϩ 6x ϩ 20x Ϫ 8 (agrupando términos semejantes) ϭ 18x 3 Ϫ (15 ϩ 24)x 2 ϩ (6 ϩ 20)x Ϫ 8 ϭ 18x 3 Ϫ 39x 2 ϩ 26x Ϫ 8 FIGURA 2 g De forma alterna, podemos obtener la respuesta dibujando arcos que conecten cada término en el primer paréntesis con cada término dentro del segundo. En este caso, existen seis de tales arcos, lo que da lugar a seis productos en la expansión en el la- do derecho. (Figura 3). EJEMPLO 7 Simplifique 3{5x[2 Ϫ 3x] ϩ 7[3 Ϫ 2(x Ϫ 4)]}. Solución Con objeto de simplificar una expresión en la cual intervienen más de un conjunto de paréntesis, siempre empezamos con los paréntesis que están más adentro. 3{5x[2 Ϫ 3x] ϩ 7[3 Ϫ 2(x Ϫ 4)]} ϭ 3{5x[2 Ϫ 3x] ϩ 7[3 Ϫ 2x ϩ 8]} ϭ 3{10x Ϫ 15x 2 ϩ 21 Ϫ 14x ϩ 56} ϭ 3{Ϫ15x 2 ϩ 10x Ϫ 14x ϩ 21 ϩ 56} ϭ 3{Ϫ15x 2 Ϫ 4x ϩ 77} ϭ Ϫ45x 2 Ϫ 12x ϩ 231 Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta frecuen- cia que pueden manejarse como fórmulas estándar. Inicialmente, consideremos el producto (x ϩ a)(a ϩ b). (x ϩ a)(x ϩ b) ϭ x(x ϩ b) ϩ a(x ϩ b) ϭ x 2 ϩ bx ϩ ax ϩ ab ϭ x 2 ϩ (b ϩ a)x ϩ ab Por tanto, (x ϩ a)(x ϩ b) ϭ x 2 ϩ (a ϩ b)x ϩ ab (1) EJEMPLO 8 (a) Tomando a ϭ 2 y b ϭ 7 en la ecuación (1), tenemos que (x ϩ 2)(x ϩ 7) ϭ x 2 ϩ (2 ϩ 7)x ϩ 2 ؒ 7 ϭ x 2 ϩ 9x ϩ 14 (b) (x ϩ 3)(x Ϫ 2) ϭ (x ϩ 3)(x ϩ (Ϫ2)) ϭ x 2 ϩ [3 ϩ (Ϫ2)]x ϩ 3(Ϫ2) ϭ x 2 ϩ x Ϫ 6 SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 33 FIGURA 3 g En la ecuación (1), si reemplazamos b por a, obtenemos (x ϩ a)(x ϩ a) ϭ x 2 ϩ (a ϩ a)x ϩ a ؒ a o bien (x ϩ a ) 2 ϭ x 2 ϩ 2ax ϩ a 2 (2) Este resultado da el desarrollo del cuadrado de un binomio. El cuadrado de la suma de dos términos es igual a la suma de los cuadrados de los dos términos más el do- ble de su producto. EJEMPLO 9 (a) (2x ϩ 7) 2 ϭ (2x) 2 ϩ 2(2x)(7) ϩ 7 2 ϭ 4x 2 ϩ 28x ϩ 49 (b) 3x ϩ ᎏ 4 y ᎏ 2 ϭ (3x) 2 ϩ 2(3x) ᎏ 4 y ᎏ ϩ ᎏ 4 y ᎏ 2 ϭ 9x 2 ϩ ᎏ 24 y x ᎏ ϩ ᎏ 1 y 6 2 ᎏ Si reemplazamos a por Ϫa en la fórmula (2), obtenemos otra fórmula. (x Ϫ a) 2 ϭ x 2 Ϫ 2ax ϩ a 2 (3) Esto expresa el cuadrado de la diferencia de dos términos como la suma de los cua- drados de los dos términos menos el doble de su producto. Por último, si reemplazamos b por Ϫa en la ecuación (1), obtenemos (x ϩ a)(x Ϫ a) ϭ x 2 ϩ (a Ϫ a)x ϩ a(Ϫ a) ϭ x 2 ϩ 0x Ϫ a 2 En consecuencia, tenemos que (x ϩ a)(x Ϫ a) ϭ x 2 Ϫ a 2 (4) Este resultado establece que el producto de la suma y la diferencia de dos términos es la diferencia de los cuadrados de los dos términos. EJEMPLO 10 (a) (2x ϩ 3)(2x Ϫ 3) ϭ (2x) 2 Ϫ 3 2 ϭ 4x 2 Ϫ 9 (b) (͙3ෆ ϩ ͙2ෆ)(͙3ෆ Ϫ ͙2ෆ) ϭ (͙3ෆ) 2 Ϫ (͙2ෆ) 2 ϭ 3 Ϫ 2 ϭ 1 (c) (3x Ϫ 4y)(3x ϩ 4y) ϭ (3x) 2 Ϫ (4y) 2 ϭ 9x 2 Ϫ 16y 2 ☛ 23 División de expresiones En el teorema 6 de la sección 1-2 vimos que la ley distributiva se extiende a la divi- sión y tenemos las expresiones generales siguientes. ᎏ a ϩ c b ᎏϭ ᎏ a c ᎏ ϩ ᎏ b c ᎏ 34 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 23. Utilice las fórmulas estándar (1)-(4) para eliminar los paréntesis: (a) (x ϩ 2)(x Ϫ 3) (b) (x 2 ϩ y)(x 2 Ϫ y) (c) (x ϩ x Ϫ1 ) 2 Respuesta (a) x 2 Ϫ x Ϫ 6 (b) x 4 Ϫ y 2 (c) x 2 ϩ 2 ϩ x Ϫ2 g Esta propiedad es útil cuando dividimos una expresión algebraica entre un mono- mio, dado que nos permite dividir cada término por separado entre el monomio. EJEMPLO 11 (a) ᎏ 2x 2 2 ϩ x 4x ᎏϭ ᎏ 2 2 x x 2 ᎏ ϩ ᎏ 4 2 x x ᎏ ϭ x ϩ 2 Observe que dividimos cada término entre el factor común 2x. (b) ϭ ᎏ 2 x x 2 3 ᎏ Ϫ ᎏ 5 x x 2 2 y ᎏϩᎏ 7 x x 2 ᎏ ϩ ᎏ x 3 2 ᎏ ϭ 2x Ϫ 5y ϩ ᎏ 7 x ᎏ ϩ ᎏ x 3 2 ᎏ (c) ϭ ᎏ 2 3 5 t t 3 ᎏϩ ϩ Ϫ ϭ ᎏ 25 3 t 2 ᎏϩ 4t ϩ 5 Ϫ ᎏ 2 t ᎏ En una fracción, el número o expresión algebraica del numerador a menudo se denomina el dividendo (lo cual significa que es la cantidad que está siendo divi- dida) y el número o expresión por la que es dividido se llama divisor. En la parte (b) del ejemplo 11, 2x 3 Ϫ 5x 2 y ϩ 7x ϩ 3 es el dividendo y x 2 es el divisor, mientras que en la parte (c), 25t 3 ϩ 12t 2 ϩ 15t Ϫ 6 es el dividendo y 3t el divisor. Cuando queremos dividir una expresión algebraica entre un divisor que con- tiene más de un término, con frecuencia usamos un procedimiento denominado di- visión larga. Describiremos este procedimiento para expresiones que sólo contie- nen potencias enteras no negativas de una sola variable. (Tales expresiones se cono- cen por polinomios). EJEMPLO 12 Divida 23 Ϫ 11x 2 ϩ 2x 3 entre 2x Ϫ 3. Solución Aquí 23 Ϫ 11x 2 ϩ 2x 3 es el dividendo y 2x Ϫ 3 es el divisor. Antes de que empecemos la división, los términos en el dividendo y en el divisor deben arre- glarse en orden decreciente de las potencias de x y llenar con coeficientes cero las potencias faltantes. En consecuencia, el dividendo debe escribirse como 2x 3 Ϫ 11x 2 ϩ 0x ϩ 23. x 2 Ϫ 4x Ϫ 6 ← Cociente Divisor → 2x Ϫ 3ͤ2ෆx 3 ෆ Ϫ ෆ1 ෆ1ෆx 2 ෆ ϩ ෆ0 ෆx ෆϩෆ 2 ෆ3ෆ ← Dividendo ← Residuo 2x 3 Ϫ 3x 2 ᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐ Ϫ 8x 2 ϩ 0x ϩ 23 Ϫ 8x 2 ϩ 12x ᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐ Ϫ 12x ϩ 23 Ϫ 12x ϩ 18 ᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐᎐ 5 6 ᎏ 3t 15t ᎏ 3t 12t 2 ᎏ 3t 25t 3 ϩ 12t 2 ϩ 15t Ϫ 6 ᎏᎏᎏ 3t 2x 3 Ϫ 5x 2 y ϩ 7x ϩ 3 ᎏᎏᎏ x 2 SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 35 g Los detalles de la división larga se acaban de mostrar y se explican de la manera si- guiente: en primer lugar, dividimos 2x 3 (el primer término en el dividendo) entre 2x (el primer término en el divisor), obteniendo 2x 3 /2x ϭ x 2 . Esto da el primer término del cociente. Multiplicamos el divisor, 2x Ϫ 3, por el primer término del cociente, x 2 , para obtener 2x 3 Ϫ 3x 2 . Restamos esto al dividendo, obtenemos la diferencia Ϫ8x 2 ϩ 0x ϩ 23. Para obtener el siguiente término del cociente, dividimos el pri- mer término de esta diferencia, Ϫ8x 2 , entre 2x, el primer término del divisor. Esto da Ϫ8x 2 /2x ϭ Ϫ4x, el cual se convierte en el segundo término del cociente. Multi- plicamos otra vez el divisor por este segundo término, Ϫ4x, con lo que obtenemos Ϫ8x 2 ϩ 12x; restamos esto a Ϫ8x 2 ϩ 0x ϩ 23, los cuales nos dan la siguiente dife- rencia, Ϫ12x ϩ 23. Continuamos este procedimiento hasta que obtengamos una diferencia cuya máxima potencia sea menor que la correspondiente al divisor. Llamamos a esta última diferencia el residuo. La respuesta puede escribirse en la forma ᎏ 2x 3 Ϫ 2x 11 Ϫ x 2 3 ϩ 23 ᎏϭ x 2 Ϫ 4x Ϫ 6 ϩ ᎏ 2x 5 Ϫ 3 ᎏ ☛ 24 En general, tenemos ϭ Cociente ϩ Observación Esta forma de escribir el resultado de la división larga es la misma que usamos en aritmética. Por ejemplo, consideremos la fracción 627/23, en la cual el dividendo es 627 y el divisor es 23. Por división larga ordinaria encontra- mos que el cociente es 27 y el residuo es 6. Divisor → ← Dividendo ← Residuo Por tanto, escribimos ᎏ 6 2 2 3 7 ᎏ ϭ 27 ϩ ᎏ 2 6 3 ᎏ Ahora, en lugar de dividir 627 entre 23, intente dividir 6x 2 ϩ 2x ϩ 7 entre 2x ϩ 3. Cuando x ϭ 10 estas cantidades son lo mismo. Debe encontrar un cociente de 2x ϩ7 y un residuo de 6. La división algebraica larga es un reflejo de la división aritmética. Si multiplicamos ambos lados de este cálculo por 23, obtenemos el resultado 627 ϭ (27 ⋅ 23) ϩ 6 161 ᎏ 6 46 ᎏ 167 27 ᎏ 23ͤ6ෆ2ෆ7ෆ Residuo ᎏᎏ Divisor Dividendo ᎏᎏ Divisor 36 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 24. Por medio de la división larga, simplifique (3x 2 ϩ 11x ϩ 4) Ϭ (x ϩ 3). Respuesta Cociente ϭ 3x ϩ 2 Residuo ϭ Ϫ2 ← Cociente Ϫ Ϫ g (1-56) En los ejercicios siguientes, efectúe la operación indica- da y simplifique. 1. (5a ϩ 7b Ϫ 3) ϩ (3b Ϫ 2a ϩ 9) 2. (3x 2 Ϫ 5x ϩ 7) ϩ (Ϫ 2 ϩ 6x Ϫ 7x 2 ϩ x 3 ) 3. (2͙aෆ ϩ 5͙bෆ) ϩ (3͙aෆ Ϫ 2͙bෆ) 4. (4xy ϩ 5x 2 y Ϫ 6x 3 ) ϩ (3y 3 Ϫ 6xy 2 ϩ 7xy ϩ x 3 Ϫ 2x 2 y) 5. (7t 2 ϩ 6t Ϫ 1) Ϫ (3t Ϫ 5t 2 ϩ 4 Ϫ t 3 ) 6. (x 2 ϩ 3xy ϩ 4y 2 ) Ϫ (2x 2 Ϫ xy ϩ 3y 2 Ϫ 5) 7. (2͙xෆ ϩ͙2ෆyෆ) Ϫ (͙xෆ Ϫ 2͙2ෆyෆ) 8. (5͙xy ෆϪ 3) Ϫ (2 Ϫ 4͙xy ෆ) 9. 4(2x ϩ 3y) ϩ 2(5y ϩ 3x) 10. 2(x Ϫ 4y) ϩ 3(2x ϩ 3y) 11. Ϫ(x Ϫ 7y) Ϫ 2(2y Ϫ 5x) 12. 3(x 2 Ϫ 2xy ϩ y 2 ) Ϫ (2xy Ϫ x 2 ϩ 2y 2 ) 13. x(2x 2 ϩ 3xy ϩ y 2 ) Ϫ y(5x 2 Ϫ2xy ϩ y 2 ) 14. a 2 b(a 3 ϩ 5ab Ϫ b 3 ) ϩ 2ab(a 4 Ϫ 2a 2 b ϩ b 3 a) 15. (x Ϫ 3)(y ϩ 2) 16. (x ϩ 4)(y Ϫ 5) 17. (2x ϩ 1)(3y Ϫ 4) 18. (5x Ϫ 2)(2y Ϫ 5) 19. (a ϩ 2)(3a Ϫ 4) 20. (x ϩ 3y)(2x ϩ y) 21. (x ϩ 3)(2x 2 Ϫ 5x ϩ 7) 22. (a Ϫ 2b)(a 2 Ϫ 2ab ϩ b 2 ) 23. (x ϩ 4)(x Ϫ 4) 24. (y 2 Ϫ 2)(y 2 ϩ 2) 25. (2t ϩ 5x)(2t Ϫ 5x) 26. (͙aෆ Ϫ͙bෆ)(͙aෆ ϩ͙bෆ) 27. (͙xෆ ϩ 3͙yෆ)(͙xෆ Ϫ 3͙yෆ) 28. (5͙xෆ ϩ 2y)(5͙xෆ Ϫ 2y) 29. (x ϩ y Ϫ z)(x ϩ y ϩ z) 30. (x Ϫ 2y ϩ z)(x ϩ 2y ϩ z) 31. (x 2 Ϫ 1)(x 3 ϩ 2) 32. (y 2 ϩ 2y)(y 3 Ϫ 2y 2 ϩ 1) 33. x 2 Ϫᎏ 1 x ᎏ (x 3 ϩ 2x) 34. 2xy Ϫᎏ x y ᎏ xy 2 ϩᎏ 2 x y ᎏ 35. (y ϩ 6) 2 36. (x Ϫ 5) 2 37. (2x ϩ 3y) 2 38. (4x Ϫ 5y) 2 39. (͙2ෆx Ϫ͙3ෆy) 2 40. (͙xෆ ϩ 2͙yෆ) 2 41. (2x ϩ 3y) 2 ϩ (2x Ϫ 3y) 2 42. 3[(x ϩ y) 2 Ϫ (x Ϫ y) 2 ] SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 37 Éste es un ejemplo del resultado general Dividendo ϭ (Cociente)(Divisor) ϩ Residuo Éste es un resultado útil, porque nos permite verificar la respuesta de cual- quier división larga. Podemos utilizar este resultado para comprobar el ejemplo 12. 2x 3 Ϫ 11x 2 ϩ 23 ϭ (x 2 Ϫ 4x Ϫ 6)(2x Ϫ 3) ϩ 5 Dividendo ϭ (Cociente)(Divisor) ϩ Residuo ☛ 25 ☛ 25. Verifique si es correcta la siguiente división larga: ᎏ 3x 2 Ϫ x Ϫ 3x 2 Ϫ 10 ᎏϭ 3x ϩ 3 ϩᎏ x Ϫ 4 2 ᎏ Respuesta Debe verificar que 3x 2 – 3x – 10 ϭ (3x ϩ 3)(x – 2) ϩ 4. Esto no es correcto. (El residuo debe ser –4). EJERCICIOS 1-5 g 43. xy[(x ϩ y) 2 ϩ (x Ϫ y) 2 ] 44. (3a Ϫ b) 2 ϩ 3(a ϩ b) 2 45. 3{x 2 Ϫ 5[x ϩ 2(3 Ϫ 5x)]} 46. 2{a 2 Ϫ 2a[3a Ϫ 5(a 2 Ϫ 2)]} ϩ 7a 2 Ϫ3a ϩ 6 47. 2a{(a ϩ 2)(3a Ϫ 1) Ϫ [a ϩ 2(a Ϫ 1)(a ϩ 3)]} 48. (a ϩ 3b)(a 2 Ϫ 3ab ϩ b 2 ) Ϫ (a ϩ b) 2 (a ϩ 2b) 49. ᎏ 4x 3 2 Ϫ x 3x 2 ᎏ 50. ᎏ 15x 5 5 Ϫ x 2 25x 3 ᎏ 51. ᎏ x 3 ϩ 7x 2 x Ϫ 2 5x ϩ 4 ᎏ 52. 53. t 2 Ϫ 2t ϩ 7 ᎏᎏ ͙tෆ y 4 ϩ 6y 3 Ϫ 7y 2 ϩ 9y Ϫ 3 ᎏᎏᎏ 3y 2 54. 55. ᎏ 6x 2 y 2 Ϫ xy 8xy 2 ᎏϩᎏ x 3 y 2 x ϩ 2 y 2 2 x 2 y 3 ᎏ 56. ᎏ 3x 4 3 Ϫ x 3 9 y x 2 y 2 ᎏϪᎏ 4x 3 2 Ϫ x 2 y 8xy 2 ᎏ (57-64) Simplifique por medio de la división larga: 57. (x 2 Ϫ 5x ϩ 6) Ϭ (x Ϫ 2) 58. (6x 2 ϩ x Ϫ 1) Ϭ (3x Ϫ 1) 59. (t 2 ϩ 1) Ϭ (t Ϫ 1) 60. (6x 2 Ϫ 5x ϩ 1) Ϭ (2x Ϫ 3) 61. (x 3 ϩ 2x 2 ϩ x ϩ 5) Ϭ (x ϩ 2) 62. x 3 Ϭ (x ϩ 1) 63. (2x 3 Ϫ 3x 2 ϩ 4x ϩ 6) Ϭ (2x ϩ 1) 64. (6x 3 ϩ 11x 2 Ϫ 19x ϩ 5) Ϭ (3x Ϫ 2) t 3 ϩ 2t 2 Ϫ 3t ϩ 1 ᎏᎏ t͙tෆ 38 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA 1-6 FACTORIZACIÓN Si el producto de dos enteros a y b es c, es decir, c ϭ a и b, entonces a y b se lla- man factores de c. En otras palabras, un entero a es un factor de otro entero c si a divide exactamente a c. Por ejemplo, 2 y 3 son factores de 6; 2, 3, 4 y 6 son facto- res de 12; etcétera. Esta terminología también se emplea para expresiones algebraicas. Si dos (o más) expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dice que son factores de la expresión que se obtuvo como producto. Por ejemplo, la expre- sión 2xy se obtuvo multiplicando 2, x y y, de modo que 2, x y y son los factores de 2xy. Más aún, por ejemplo, 2y es un factor de 2xy ya que 2xy puede obtenerse mul- tiplicando 2y por x. De manera similar, x es un factor de la expresión 2x 2 ϩ 3x puesto que pode- mos escribir 2x 2 ϩ 3x ϭ x(2x ϩ 3) y x 2 es un factor de 6x 2 ϩ 9x 3 ya que podemos escribir 6x 2 ϩ 9x 3 ϭ x 2 (6 ϩ 9x). El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores se llama factorización de la expresión. En esta sección, examinaremos ciertos méto- dos mediante los cuales podemos factorizar expresiones algebraicas. La primera etapa en la factorización de una expresión algebraica es extraer to- dos los monomios que sean comunes a todos los términos. El siguiente ejemplo ilus- tra esto. EJEMPLO 1 Factorice todos los monomios comunes de las siguientes expresio- nes. (a) x 2 ϩ 2xy 2 (b) 2x 2 y ϩ 6xy 2 (c) 6ab 2 c 3 ϩ 6a 2 b 2 c 2 ϩ 18a 3 bc 2 g Solución (a) Escribamos cada término en la expresión dada en términos de sus facto- res básicos. x 2 ϭ x ؒ x 2xy 2 ϭ 2 ؒ x ؒ y ؒ y Si observamos las dos listas de factores básicos, advertimos que x es el único factor común a ambos términos. De modo que escribimos x 2 ϩ 2xy 2 ϭ x ؒ x ϩ x ؒ 2y 2 ϭ x(x ϩ 2y 2 ) Notemos cómo la propiedad distributiva se utiliza para extraer el factor común, x. (b) Expresando cada término en términos de sus factores básicos, tenemos 2x 2 y ϭ 2 ؒ x ؒ x ؒ y y 6xy 2 ϭ 2 ؒ 3 ؒ x ؒ y ؒ y Los factores 2, x y y, aparecen en ambas listas, por lo que el factor común es 2xy. Esto da 2x 2 y ϩ 6xy 2 ϭ 2xy ؒ x ϩ 2xy ؒ 3y ϭ 2xy(x ϩ 3y) de nuevo, por medio de la propiedad distributiva. (c) Primero factorizamos los términos: 6ab 2 c 3 ϭ 2 ؒ 3 ؒ a ؒ b ؒ b ؒ c ؒ c ؒ c 6a 2 b 2 c 2 ϭ 2 ؒ 3 ؒ a ؒ a ؒ b ؒ b ؒ c ؒ c 18a 3 bc 2 ϭ 2 ؒ 3 ؒ 3 ؒ a ؒ a ؒ a ؒ b ؒ c ؒ c El factor común de estos tres términos es 2 ؒ 3 ؒ a ؒ b ؒ c ؒ c ϭ 6abc 2 . 6ab 2 c 3 ϩ 6a 2 b 2 c 2 ϩ 18a 3 bc 2 ϭ 6abc 2 ؒ bc ϩ 6abc 2 ؒ ab ϩ 6abc 2 ؒ 3a 2 ϭ 6abc 2 (bc ϩ ab ϩ 3a 2 ) ☛ 26 Ahora abordaremos el problema de extraer factores que son expresiones bino- miales de expresiones algebraicas de diversos tipos. Algunas de las fórmulas esta- blecidas en la sección 1-5 son útiles en la factorización, en particular la fórmula si- guiente. a 2 Ϫ b 2 ϭ (a Ϫ b) (a ϩ b) (1) Esta fórmula puede usarse para factorizar cualquier expresión que sea reducible a la diferencia de dos cuadrados. EJEMPLO 2 Factorice completamente: (a) x 2 y 4 Ϫ 9 (b) 5x 4 Ϫ 80y 4 Solución (a) La expresión dada puede escribirse como (xy 2 ) 2 Ϫ 3 2 SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN 39 ☛ 26. Saque todos lo factores comunes de (a) 12ab – 8a 2 b (b) 4xyz – 6x 2 z ϩ 12xy 2 (c) x(3x – 1) 2 –y(3x – 1) 2 Respuesta (a) 4ab(3 – 2a) (b) 2x(2yz Ϫ 3xz ϩ 6y 2 ) (c) (3x – 1) 2 (x – y) g que es una diferencia de dos cuadrados. Usando la fórmula (1) con a ϭxy 2 y b ϭ3, tenemos x 2 y 4 Ϫ 9 ϭ (xy 2 ) 2 Ϫ 3 2 ϭ (xy 2 Ϫ 3) (xy 2 ϩ 3) Ninguna de las expresiones entre paréntesis en el lado derecho puede factorizarse aún más. (b) Antes que todo, verifiquemos si podemos factorizar algún monomio de 5x 4 Ϫ 80y 4 . En este caso, dado que el término es divisible entre 5, sacamos el factor común 5. 5x 4 Ϫ 80y 4 ϭ 5(x 4 Ϫ16y 4 ) La expresión x 4 Ϫ 16y 4 es una diferencia de cuadrados. 5x 4 Ϫ 80y 4 ϭ 5[(x 2 ) 2 Ϫ (4y 2 ) 2 ] ϭ 5[(x 2 Ϫ 4y 2 )(x 2 ϩ 4y 2 )] ϭ 5[(x 2 Ϫ 4y 2 )(x 2 ϩ 4y 2 ) La factorización no está completa, porque x 2 Ϫ 4y 2 ϭ x 2 Ϫ (2y) 2 puede factorizarse como (x Ϫ 2y)(x ϩ 2y). En consecuencia, nos falta un paso. 5x 4 Ϫ 80y 4 ϭ 5(x 2 Ϫ 4y 2 )(x 2 ϩ 4y 2 ) ϭ 5(x Ϫ 2y)(x ϩ 2y) (x 2 ϩ 4y 2 ) ☛ 27 Observaciones 1. La fórmula (1) nos permite factorizar cualquier expresión que tenga la forma de una diferencia de cuadrados. No existe una fórmula corres- pondiente para expresar la suma a 2 ϩ b 2 como el producto de dos o más factores. Una expresión que contiene la suma de dos cuadrados, tal como a 2 ϩ b 2 o 4x 2 ϩ 9y 2 , no puede factorizarse. Sin embargo, expresiones tales como a 3 ϩ b 3 , a 4 ϩ b 4 , etc., que contienen la suma de dos potencias más altas pueden factorizarse. Esto se examinará después. 2. Podemos escribir x 2 Ϫ 2 ϭ x 2 Ϫ (͙2ෆ) 2 ϭ (x Ϫ͙2ෆ)(x ϩ ͙2ෆ) Por lo regular es aceptable incluir números irracionales (como ͙2ෆ) en los factores. Sin embargo, preferimos no usar expresiones que incluyan a ͙xෆ como factores. Por ejemplo, como regla no escribiremos x Ϫ 4 ϭ (x) 2 Ϫ 2 2 ϭ(͙xෆ Ϫ 2) (͙xෆ ϩ 2) Una técnica útil al factorizar expresiones algebraicas que contienen un núme- ro par de términos es el método de agrupamiento. En este método, los términos se agrupan en parejas y los monomios comunes se extraen de cada par de términos. Es- to a menudo revela un factor binomial común a todas las parejas. Este método es en particular útil para expresiones que contienen cuatro términos. 40 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 27. Utilice la fórmula de la diferencia de cuadrados, para factorizar 2x 2 – 4. Respuesta (͙2ෆx Ϫ 2)(͙2ෆx ϩ 2) o 2(x Ϫ͙2ෆ)(x ϩ ͙2ෆ) g EJEMPLO 3 Factorice ax 2 ϩ by 2 ϩ bx 2 ϩ ay 2 . Solución Podemos agrupar los términos de la expresión dada en aquellos que tie- nen a x 2 como factor y en aquellos que tienen a y 2 como factor: (ax 2 ϩ bx 2 ) ϩ (ay 2 ϩ by 2 ) Cada término dentro de los primeros paréntesis es divisible entre x 2 , y cada término en los segundos paréntesis es divisible entre y 2 ; por tanto, podemos escribir esta ex- presión como x 2 (a ϩ b) ϩ y 2 (a ϩ b) Notemos que (a ϩ b) es común a ambos términos. Así, tenemos que x 2 (a ϩ b) ϩ y 2 (a ϩ b) ϭ (a ϩ b)(x 2 ϩ y 2 ) De aquí que la expresión dada tenga los factores (a ϩ b) y (x 2 ϩ y 2 ). EJEMPLO 4 Factorice la expresión 2x 3 y Ϫ 4x 2 y 2 ϩ 8xy Ϫ 16y 2 . Solución Observemos en primer lugar que los términos de esta expresión tienen un monomio como factor común 2y, y podemos escribir 2x 3 y Ϫ 4x 2 y 2 ϩ 8xy Ϫ 16y 2 ϭ 2y(x 3 Ϫ 2x 2 y ϩ 4x Ϫ 8y) Dentro de los paréntesis, agrupamos juntos los primeros dos términos y extraemos el factor común x 2 ; también agrupamos los dos últimos términos y sacamos el fac- tor común 4. x 3 Ϫ 2x 2 y ϩ 4x Ϫ 8y ϭ x 2 (x Ϫ 2y) ϩ 4(x Ϫ 2y) 14243 14243 x 2 es común 4 es común ϭ (x Ϫ 2y) (x 2 ϩ 4) Observe que este mismo resultado pudo obtenerse agrupando el primer y el tercer término y el segundo con el cuarto. x 3 ϩ 4x Ϫ 2x 2 y Ϫ 8y ϭ x(x 2 ϩ 4) Ϫ 2y(x 2 ϩ 4) 14243 14243 x es común Ϫ2y es común ϭ (x 2 ϩ 4) (x Ϫ 2y) Regresando a la expresión original tenemos 2x 3 y Ϫ 4x 2 y 2 ϩ 8xy Ϫ16y 2 ϭ 2y(x Ϫ 2y)(x 2 ϩ 4) No es posible factorizar aún más las expresiones de la derecha, de modo que aquí termina la factorización. ☛ 28 Un tipo importante de factorización que aparece con frecuencia requiere ha- llar los factores de expresiones del tipo x 2 ϩ px ϩ q SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN 41 ☛ 28. Por agrupación, factorice la expresión x 3 ϩ 2x 2 – 9x – 18. Respuesta (x ϩ 2)(x 2 – 9) ϭ (x ϩ 2)(x – 3)(x ϩ 3) g donde p y q son constantes. A menudo, tales expresiones pueden escribirse como el producto de dos factores (x ϩa) y (x ϩb), donde a y b son dos números reales. Por ejemplo, puede comprobarse de inmediato que x 2 ϩ 3x ϩ 2 (en la cual p ϭ 3 y q ϭ 2) es igual al producto de x ϩ 1 y x ϩ 2: x 2 ϩ 3x ϩ 2 ϭ (x ϩ 1)(x ϩ 2) En este caso, a ϭ 1 y b ϭ 2. En general, si p y q están dados, deseamos encontrar a y b tales que x 2 ϩ px ϩ q ϭ (x ϩ a )(x ϩ b). Pero vimos en la sección 1-5 que (x ϩ a)(x ϩ b) ϭ x 2 ϩ (a ϩ b)x ϩ ab y, por tanto, x 2 ϩ px ϩ q ϭ x 2 ϩ(a ϩ b)x ϩ ab Estas dos expresiones son iguales con tal que a ϩ b ϭ p y ab ϭ q. De modo que, con el propósito de determinar a y b, debemos encontrar dos números cuya suma sea igual a p y su producto igual a q. En términos de la expresión original x 2 ϩpx ϩ q, la suma a ϩ b es igual al coeficiente de x y el producto ab es igual al término constante. El procedimiento para encontrar a y b consiste en examinar todos los posibles pares de enteros cuyo producto sea igual a q. Seleccionamos entonces el par (si es que existe) cuya suma sea el coeficiente de x. EJEMPLO 5 Factorice x 2 ϩ 7x ϩ 12. Solución Aquí p ϭ 7 y q ϭ 12. Debemos encontrar dos números a y b tales que el producto de a y b sea 12 y cuya suma sea 7. Consideremos todas las posibles pa- rejas que factorizan a 12. a ϭ 1 b ϭ 12 a ϩ b ϭ 13 a ϭ Ϫ1 b ϭ Ϫ12 a ϩb ϭ Ϫ13 a ϭ 2 b ϭ 6 a ϩ b ϭ 8 a ϭ Ϫ2 b ϭ Ϫ6 a ϩ b ϭ Ϫ8 a ϭ 3 b ϭ 4 a ϩ b ϭ 7 a ϭ Ϫ3 b ϭ Ϫ4 a ϩ b ϭ Ϫ7 De la lista anterior, advertimos que la elección adecuada es a ϭ3 y b ϭ4. Por tanto x 2 ϩ 7x ϩ 12 ϭ (x ϩ 3)(x ϩ 4) Observación La elección a ϭ 4 y b ϭ 3 da exactamente la misma pareja de factores. EJEMPLO 6 Factorice (a) x 2 Ϫ 5x ϩ 6 (b) 3x 2 Ϫ 3x Ϫ 6 42 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA g Solución (a) La factorización de x 2 Ϫ 5x ϩ 6 se logra si encontramos dos factores de ϩ6 (el término constante) cuya suma sea Ϫ5 (el coeficiente de x). Los factores po- sibles de 6 son (1)(6), (Ϫ1)(Ϫ6), (2)(3) y (Ϫ2)(Ϫ3). Los dos factores de 6 cuya su- ma es Ϫ5 son Ϫ2 y Ϫ3. De esta manera, hacemos a ϭ Ϫ2 y b ϭ Ϫ3. x 2 Ϫ 5x ϩ 6 ϭ (x ϩ a) (x ϩ b) ϭ [x ϩ (Ϫ2)][x ϩ (Ϫ3)] ϭ (x Ϫ 2)(x Ϫ 3) (b) Observemos en primer lugar que un factor común es 3: 3x 2 Ϫ 3x Ϫ 6 ϭ 3(x 2 Ϫ x Ϫ 2) Para factorizar x 2 Ϫ x Ϫ 2, debemos encontrar dos factores de Ϫ2 (el término constante) cuya suma sea Ϫ1 (el coeficiente de x). Los factores posibles de Ϫ2 son 1( Ϫ2) y (Ϫ1)(2). Sólo los factores 1 y Ϫ2 suman Ϫ1, esto es, 1 ϩ (Ϫ2) ϭ Ϫ 1. En consecuencia, x 2 Ϫx Ϫ 2 ϭ (x ϩ 1)[x ϩ (Ϫ2)] ϭ (x ϩ 1)(x Ϫ 2) Por tanto, nuestra expresión original puede factorizarse de la siguiente manera 3x 2 Ϫ 3x Ϫ 6 ϭ 3(x 2 Ϫ x Ϫ 2) ϭ 3(x ϩ 1)(x Ϫ 2) EJEMPLO 7 Factorice x 2 ϩ 6x ϩ 9. Solución Tenemos que p ϭ6 y q ϭ9. Es claro que los dos factores de 9 cuya su- ma es 6 son 3 y 3. Así, la expresión dada tiene factores x ϩ 3 y x ϩ 3, por tanto, x 2 ϩ 6x ϩ 9 ϭ (x ϩ 3)(x ϩ 3) ϭ (x ϩ 3) 2 ☛ 29 Consideremos ahora el problema de factorizar una expresión de la forma mx 2 ϩ px ϩ q en donde m, p y q son constantes distintas de cero y m 1 o Ϫ1. En este caso, el primer paso consiste en encontrar dos factores del producto mq que tengan una su- ma igual a p, el coeficiente de x. Después expresamos a p como la suma de esos dos factores. Esto transforma la expresión dada en la suma de cuatro términos. Éstos pueden considerarse de dos en dos y factorizarse por el método de agrupamiento. Este método se ilustra en los ejemplos 8 y 9. EJEMPLO 8 Factorice 3x 2 ϩ 11x ϩ 6. Solución En esta expresión, los coeficientes son m ϭ 3, p ϭ 11 y q ϭ 6. El pro- ducto del coeficiente de x 2 y el término constante es mq ϭ 3(6) ϭ 18. Debemos en- contrar dos factores de este producto 18 que tengan una suma igual a 11, el coefi- ciente de x. Es claro que, los dos factores adecuados son 9 y 2. En consecuencia, en la expresión dada, expresamos el coeficiente de x, 11, en la forma 9 ϩ 2 y escribi- mos, 3x 2 ϩ 11x ϩ 6 ϭ 3x 2 ϩ (9 ϩ 2)x ϩ 6 ϭ 3x 2 ϩ 9x ϩ 2x ϩ 6 SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN 43 ☛ 29. Factorice (a) 4x 2 – 16x ϩ 16 (b) x 2 ϩ x – 12 Respuesta (a) 4(x – 2) 2 (b) (x – 3)(x ϩ 4) g Podemos sacar a 3x como factor común de los dos primeros términos y 2 como fac- tor común de los términos restantes. 3x 2 ϩ11x ϩ 6 ϭ 3x(x ϩ 3) ϩ 2(x ϩ 3) ϭ (x ϩ 3)(3x ϩ 2) Observe que, en el último paso, se extrajo x ϩ 3 como factor común de los dos tér- minos. EJEMPLO 9 Factorice 6x 2 Ϫ 5x Ϫ 4. Solución El producto del coeficiente de x 2 y del término constante es 6(Ϫ4) ϭϪ24. Debemos encontrar dos factores de Ϫ24 que sumados den Ϫ5, el coeficien- te de x. Sin duda, los dos factores de Ϫ24 cuya suma es Ϫ5 son 3 y Ϫ8. Por tanto, escribimos Ϫ5 como Ϫ8 ϩ 3 en la expresión dada. Esto da la factorización si- guiente: 6x 2 Ϫ 5x Ϫ 4 ϭ 6x 2 ϩ (Ϫ8 ϩ 3)x Ϫ 4 ϭ 6x 2 Ϫ 8x ϩ 3x Ϫ 4 ϭ 2x(3x Ϫ 4) ϩ 1(3x Ϫ 4) ϭ (3x Ϫ 4)(2x ϩ 1) ☛ 30 EJEMPLO 10 Factorice 2(x ϩ y) 2 Ϫ 5(x ϩ y) ϩ 3. Solución Sea z ϭ x ϩ y. Entonces la expresión dada se transforma en 2z 2 – 5z ϩ 3 El producto de los coeficientes externos es 2 ؒ 3 ϭ 6. Dos números cuyo producto es 6 y su suma es –5 son –2 y –3. De modo que escribimos 2z 2 ϩ 5z ϩ 3 ϭ 2z 2 Ϫ 2z Ϫ 3z ϩ 3 ϭ 2z(z Ϫ 1) Ϫ 3(z Ϫ 1) ϭ (2z Ϫ 3)(z Ϫ 1) ϭ (2x ϩ 2y Ϫ 3)(x ϩ y Ϫ 1) después de reemplazar z con x ϩ y en el último paso. Las dos fórmulas siguientes son útiles al factorizar una expresión, la cual pue- de expresarse como una suma o como una diferencia de dos cubos. a 3 ϩ b 3 ϭ (a ϩ b)(a 2 Ϫ ab ϩ b 2 ) (2) a 3 Ϫ b 3 ϭ (a Ϫ b)(a 2 ϩ ab ϩ b 2 ) (3) Estas fórmulas pueden comprobarse multiplicando las dos expresiones de la dere- cha. De forma alterna pueden determinarse por medio de la división larga de (a 3 Ϯ b 3 ) Ϭ (a Ϯ b). (Revise los ejercicios del 57 al 64 en la sección 1-5). EJEMPLO 11 Factorice 8x 3 ϩ 27y 3 . Solución Usamos la fórmula (2). 8x 2 ϩ 27y 3 ϭ (2x) 3 ϩ (3y) 3 ϭ (2x ϩ 3y)[(2x) 2 Ϫ (2x)(3y) ϩ (3y) 2 ] ϭ (2x ϩ 3y)(4x 2 Ϫ 6xy ϩ 9y 2 ) 44 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 30. Factorice (a) 4x 2 – 9x ϩ 2 (b) 6x 2 – x – 12 Respuesta (a) (x – 2)(4x – 1) (b) (2x – 3)(3x ϩ 4) g Observe que la expresión 4x 2 Ϫ 6xy ϩ 9y 2 no puede factorizarse aún más porque el producto del coeficiente de x 2 y el término constante es 4(9y 2 ) ϭ 36y 2 , el cual no puede expresarse como el producto de dos factores cuya suma sea Ϫ6y, el coeficien- te de x. ☛ 31 EJEMPLO 12 Factorice la expresión (m ϩ n) 4 (m Ϫ n) Ϫ (m Ϫ n) 4 (m ϩ n) Solución Primero haz que x ϭm ϩn y y ϭm – n. Entonces, la expresión dada es x 4 y Ϫ y 4 x ϭ xy(x 3 Ϫ y 3 ) ϭ xy(x Ϫ y)(x 2 ϩ xy ϩ y 2 ) Ahora, x – y ϭ m ϩ n – (m – n) ϭ 2n y x 2 ϩ xy ϩ y 2 ϭ (m ϩ n) 2 ϩ (m ϩ n)(m Ϫ n) ϩ (m Ϫ n) 2 ϭ (m 2 ϩ 2mn ϩ n 2 ) ϩ (m 2 Ϫ n 2 ) ϩ (m 2 Ϫ 2mn ϩ n 2 ) ϭ 3m 2 ϩ n 2 Por tanto, la expresión dada se factoriza como xy(x Ϫ y)(x 2 ϩ xy ϩ y 2 ) ϭ 2n(m ϩ n)(m Ϫ n)(3m 2 ϩ n 2 ) ☛ 32 Observación De acuerdo con las fórmulas (2) y (3), la suma y la diferencia de dos cubos siempre puede factorizarse. De hecho, toda expresión del tipo a n ϩ b n o a n Ϫ b n puede factorizarse para todos los enteros n Ն 2 con la única excepción de la suma de dos cuadrados, a 2 ϩ b 2 . Por ejemplo, a 4 Ϫ b 4 ϭ (a 2 Ϫ b 2 )(a 2 ϩ b 2 ) ϭ (a Ϫ b)(a ϩ b)(a 2 ϩ b 2 ) a 5 ϩ b 5 ϭ (a ϩ b)(a 4 Ϫ a 3 b ϩ a 2 b 2 Ϫ ab 3 ϩ b 4 ) a 4 ϩ b 4 ϭ (a 2 ϩ ͙2ෆab ϩ b 2 )(a 2 Ϫ ͙2ෆab ϩ b 2 ) etcétera. Resumen de factorización: 1. El primer paso al factorizar una expresión algebraica es extraer todos los monomios comunes. 2. Si observa entonces un factor que es la diferencia de dos cuadrados, la diferencia de dos cubos o la suma de dos cubos, utilice las fórmulas (1), (2) o (3) con el propósito de factorizar aún más. 3. Para factorizar una expresión con cuatro términos, deberá usar el método de agrupamiento. 4. Un trinomio del tipo mx 2 ϩpx ϩq a menudo puede factorizarse como el producto de dos factores del tipo (ax ϩ b)(cx ϩ d), como ya se esbozó. SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN 45 ☛ 31. Factorice 24x 4 ϩ 3x Respuesta 3x(2x ϩ 1)(4x 2 – 2x ϩ1) ☛ 32. Factorice 6(x ϩ 2y) 7/3 (3x Ϫ y) 5/4 Ϫ 2(x ϩ 2y) 4/3 (3x Ϫ y) 9/4 Respuesta 14y(x ϩ 2y) 4/3 (3x Ϫ y) 5/4 g (1-79) Factorice por completo las siguientes expresiones. 1. 3a ϩ 6b 2. 2x 2 ϩ 10xy ϩ 4x 3 3. 4xy Ϫ 6yz 4. 5x 2 y ϩ 10xy 2 5. 2u ϩ a Ϫ 2 Ϫ au 6. px Ϫ qy ϩ py Ϫ qx 7. xy ϩ 4x Ϫ 2y Ϫ 8 8. pq Ϫ 6q Ϫ 3p ϩ 18 9. 3x Ϫ py Ϫ 3y ϩ px 10. 2px Ϫ 3y ϩ py Ϫ 6x 11. 6xz Ϫ 16y Ϫ 24x ϩ 4yz 12. 15ac Ϫ 9ad Ϫ 30bc ϩ 18bd 13. x 2 Ϫ 16 14. 4y 2 Ϫ 25 15. 3t 2 Ϫ 108a 2 16. 5x 2 Ϫ 20y 2 17. x 3 y Ϫ 25xy 3 18. x 5 Ϫ 4x 3 y 2 19. x 2 ϩ 3x ϩ 2 20. x 2 ϩ 5x ϩ 6 21. x 2 ϩ x Ϫ 2 22. x 2 Ϫ 7x ϩ 12 23. x 2 Ϫ x Ϫ 2 24. x 2 Ϫ 8x ϩ 12 25. x 2 Ϫ 15x ϩ 54 26. x 2 Ϫ 14x ϩ 48 27. x 2 Ϫ 12x ϩ 11 28. x 2 Ϫ 9x ϩ 20 29. 2x 2 ϩ 2x Ϫ 12 30. 3x 2 Ϫ 6x ϩ 3 31. 5y 4 ϩ 25y 3 Ϫ 70y 2 32. 12x Ϫ 7x 2 ϩ x 3 33. 2x 2 ϩ 5x ϩ 3 34. 6x 2 ϩ 10x Ϫ 4 35. 9 ϩ 12x ϩ 4x 2 36. 9t 2 Ϫ 12t ϩ 4 37. 5x 2 Ϫ 17x ϩ 6 38. 2t 2 Ϫ 3t Ϫ 14 39. 10x 2 Ϫ 11x Ϫ 6 40. 2t 2 Ϫ 7t ϩ 6 41. 3q 2 ϩ 20q ϩ 32 42. 10p 2 ϩ 3p Ϫ 18 43. 6x 3 y ϩ 4x 2 y Ϫ 10xy 44. (x 3 Ϫ 9x) ϩ (45 Ϫ 5x 2 ) 45. x 2 ϩ 6xy ϩ 5y 2 46. x 2 Ϫ 4xy Ϫ 5y 2 47. p 2 Ϫ pq Ϫ 20q 2 48. s 2 ϩ 7st Ϫ 30t 2 49. 2t 2 ϩ tu Ϫ 6u 2 50. 2x2 Ϫ 9xy ϩ 10y 2 51. 6a 2 ϩ ab Ϫ 15b 2 52. 18u 2 ϩ 15uv Ϫ 12v 2 53. x 3 Ϫ 27 54. 8t 3 ϩ 125 55. 27u 3 ϩ 8 3 56. 128x 3 Ϫ 54 57. 64x 4 y 2 Ϫ 27xy 5 58. x 2 y 2 Ϫ a 2 y 2 Ϫ b 2 x 2 ϩ a 2 b 2 59. x 2 y 2 Ϫ 9y 2 Ϫ 4x 2 ϩ 36 60. 5u 2 2 Ϫ 20 2 ϩ15u 2 Ϫ 60 61. x 2 z 2 Ϫ 4z 2 ϩ x 4 Ϫ 4x 2 62. ax 3 ϩ by 3 ϩ bx 3 ϩ ay 3 63. x 3 ϩ y 3 ϩ x 2 y ϩ xy 2 64. x 3 y Ϫ 8 ϩ 8y Ϫ x 3 65. (x ϩ y) 3 (3x Ϫ 2y) 4 ϩ 2(x ϩ y) 4 (3x Ϫ 2y) 3 66. 2(a Ϫ b) 2 (a ϩ b) 3 Ϫ 5(a ϩ b) 2 (a Ϫ b) 3 67. (x ϩ y) 2 ϩ 3(x ϩ y) ϩ 2 68. 2(x ϩ y) 2 ϩ 5(x ϩ y) ϩ 2 69. 3(a Ϫ b ) 2 ϩ 5(a Ϫ b) ϩ 2 70. 2(p Ϫ q) 2 Ϫ (p Ϫ q) Ϫ 1 71. 3x 2n ϩ 7x n ϩ 2 72. x 6 ϩ y 6 73. x 6 Ϫ 8y 6 74. x 4 Ϫ 16y 4 75. (2x ϩ 1) 2 Ϫ (x ϩ 3)(x ϩ 1) 76. 5 ϩ (2x ϩ 3) 2 Ϫ (3x ϩ 2)(x ϩ 1) *77. x 4 ϩ 4y 4 *78. 16a 4 ϩ b 4 *79. x 5 ϩ y 5 46 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 1-6 Por lo general, el término fracción algebraica se emplea para indicar la razón de dos expresiones que contienen una o más variables, tales como las siguientes: ᎏ x 2 Ϫ 2x 7 ϩ x ϩ 3 5 ᎏ y ᎏ x 2 y x ϩ Ϫ x y y 2 ᎏ g Con objeto de que una expresión algebraica tenga sentido, se dará por hecho que las variables no tomarán valores que hagan que el denominador de la fracción sea cero. Así, en la fracción de la izquierda, x Ϫᎏ 3 2 ᎏ, pues si x ϭ Ϫᎏ 3 2 ᎏ, 2x ϩ 3 ϭ 2(Ϫᎏ 3 2 ᎏ) ϩ 3 ϭ Ϫ3 ϩ 3 ϭ 0, y el denominador sería cero. De manera similar, en la fracción de la derecha, y x. En esta sección, estudiaremos métodos para simplificar fracciones algebraicas y examinaremos la adición, sustracción, multiplicación y división de dos o más de tales fracciones. La factorización desempeña un papel importante en tales operacio- nes, como se aclarará en los siguientes ejemplos. Los principios básicos involucra- dos son los mismos que se describieron cuando se simplificaron fracciones en la sección 1-2. Simplificación de fracciones EJEMPLO 1 Simplifique ᎏ 4 6 x 2 ϩ Ϫ 10 2 x 0x Ϫ ϩ 4x 2 2 4 ᎏ. Solución En primer lugar, factorizamos por completo las expresiones que apare- cen en el numerador y en el denominador. En este caso, tenemos 4x 2 Ϫ 20x ϩ 24 ϭ 4(x 2 Ϫ 5x ϩ 6) ϭ 2 ؒ 2(x Ϫ 2)(x Ϫ 3) asimismo 6 ϩ 10x Ϫ 4x 2 ϭ Ϫ2(2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3) ϭ Ϫ2(2x ϩ 1)(x Ϫ 3) Observe que al factorizar el denominador, primero hicimos que el coeficiente de x 2 fuese positivo, de modo que los términos en x sean positivos tanto en el numerador como en el denominador. Por tanto, ᎏ 4 6 x 2 ϩ Ϫ 10 2 x 0x Ϫ ϩ 4x 2 2 4 ᎏϭ ϭ ϭ Observe que hemos dividido el numerador y el denominador entre los factores 2 y x Ϫ3, los cuales aparecen tanto en el numerador como en el denominador. Esta can- celación de factores se justificó en la sección 1-2 (revise la página 10 y el teorema 5). Puede hacerse para factores binomiales como (x Ϫ 3) en este ejemplo así como para factores que son monomios. (Tales factores siempre deben ser diferentes de ce- ro; de otra forma la fracción original no estaría bien definida). ☛ 33 Algunas veces encontraremos fracciones que contienen radicales en el deno- minador, tales como ᎏ 3 Ϫ 2 ͙2ෆ ᎏ y ᎏ ͙x ෆϩෆ 2 ෆ x Ϫ ͙2ෆ ᎏ En la primera fracción sólo intervienen números, mientras que la segunda es alge- braica. En tales casos, dado que el denominador sólo tiene dos términos, podemos simplificar la fracción por medio de una operación llamada racionalización del Ϫ2(x Ϫ 2) ᎏᎏ 2x ϩ 1 2(x Ϫ 2) ᎏᎏ Ϫ(2x ϩ 1) 2 и 2(x Ϫ 2)(x Ϫ 3) ᎏᎏᎏ Ϫ2(2x ϩ 1)(x Ϫ 3) SECCIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 47 ☛ 33. Simplifique ᎏ 2 x x 2 2 Ϫ Ϫ 4 4 x x ϩ ϩ 3 2 ᎏ. Indique cualesquiera valores de x en los que la fracción dada no sea igual a su respuesta. Respuesta ᎏ 2( x x Ϫ Ϫ 3 1) ᎏ, x 1 g denominador. Consideremos la primera de las dos fracciones anteriores como un ejemplo. Multipliquemos el numerador y el denominador por 3 ϩ ͙2ෆ, lo que tiene el efecto de pasar el radical al numerador: ᎏ 3 Ϫ 2 ͙2ෆ ᎏϭ ᎏ (3 Ϫ 2 ͙ (3 2ෆ ϩ )(3 ͙ ϩ 2 ෆ) ͙2ෆ) ᎏ Esto funciona dado que el denominador de esta nueva fracción puede simplificarse por medio de la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, (a Ϫ b)(a ϩ b) ϭ a 2 Ϫ b 2 Tomando a ϭ 3 y b ϭ ͙2ෆ, tenemos (3 Ϫ ͙2ෆ) (3 ϩ ͙2ෆ) ϭ 3 2 Ϫ (͙2ෆ) 2 ϭ 9 Ϫ 2 ϭ 7 Por tanto, ᎏ 3 Ϫ 2 ͙2ෆ ᎏϭ ᎏ 2(3 ϩ 7 ͙2ෆ) ᎏ En general, para racionalizar una fracción que involucra una expresión de la forma A ϩ ͙Bෆ en el denominador, multiplicamos numerador y denominador por A Ϫ͙Bෆ. Si A Ϫ͙Bෆ aparece, multiplicamos numerador y denominador por A ϩ͙Bෆ. En general, si un factor del tipo P͙Aෆ Ϯ Q ͙Bෆ aparece en el denominador de una fracción, multiplicamos numerador y denominador por (P͙Aෆ ϯ Q͙Bෆ). (Observe el cambio de signo en el segundo término). EJEMPLO 2 Racionalice los denominadores de las expresiones siguientes: (a) ᎏ 2͙5ෆ ϩ 1 3͙3ෆ ᎏ (b) ᎏ ͙xෆ x ϩෆ Ϫ 2 ෆ 3 Ϫ͙5ෆ ᎏ Solución (a) El factor 2͙5ෆ ϩ 3͙3ෆ aparece en el denominador por lo que multiplica- mos por 2͙5ෆ Ϫ 3͙3ෆ: ϭ ϭ ϭ ϭ ϭϪᎏ 1 7 ᎏ (2͙5ෆ Ϫ 3͙3ෆ) 2͙5ෆ Ϫ 3͙3ෆ ᎏᎏ 20 Ϫ 27 2͙5ෆ Ϫ 3͙3ෆ ᎏᎏ 4 и 5 Ϫ 9 и 3 2͙5ෆ Ϫ 3͙3ෆ ᎏᎏ (2͙5ෆ) 2 Ϫ (3͙3ෆ) 2 1 и (2͙5ෆ Ϫ 3͙3ෆ) ᎏᎏᎏᎏ (2͙5ෆ ϩ 3͙3ෆ)(2͙5ෆ Ϫ 3͙3ෆ) 1 ᎏᎏ 2͙5ෆ ϩ 3͙3ෆ 48 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA g (b) Multiplicamos por ͙xෆϩෆ2 ෆ ϩ͙5ෆ: ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ ͙xෆϩෆ2 ෆ ϩ͙5ෆ en donde en el último paso cancelamos el factor común (x – 3). ☛ 34 Adición y sustracción de fracciones Dos o más fracciones que tienen un común denominador pueden sumarse o restar- se simplemente al sumar o restar sus numeradores y manteniendo sin cambio el de- nominador. EJEMPLO 3 (a) ᎏ 2 x x ϩ ϩ 1 3 ᎏϩᎏ x x Ϫ ϩ 1 1 ᎏϭ ϭ ϭ (b) Ϫ ϭ ϭ ϭ ϭ 2 Cuando las fracciones que se suman o restan no tienen el mismo denomina- dor, encontramos primero su mínimo común denominador (m.c.d.) y reemplazamos cada una de las fracciones dadas por una equivalente que tenga este m.c.d. como de- nominador. Este método, en principio, no difiere del que se describió en la sec- ción 1-2. El cálculo del m.c.d. de dos o más fracciones requiere factorizar cada denomi- nador por completo. Después, el m.c.d. se obtiene multiplicando todos los factores distintos que aparecen en los denominadores y elevando cada factor a la máxima po- tencia con que aparece en los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de ᎏ 2 x x Ϫ ϩ 3 1 ᎏ y ᎏ 3 2 x x Ϫ ϩ 1 7 ᎏ es (x Ϫ 3)(2x ϩ 7) El m.c.d. de ᎏ (x x Ϫ ϩ 1 1 ) 2 ᎏ, ᎏ (x Ϫ 1) 5 (x ϩ 2) ᎏ y ᎏ (x ϩ 2) 7 3 (x ϩ 3) ᎏ es (x Ϫ 1) 2 (x ϩ 2) 3 (x ϩ 3) 2(x Ϫ 1) ᎏ x Ϫ 1 2x Ϫ 2 ᎏ x Ϫ 1 (2x ϩ 5) Ϫ 7 ᎏᎏ x Ϫ 1 7 ᎏ x Ϫ 1 2x ϩ 5 ᎏ x Ϫ 1 3x ϩ 2 ᎏ x ϩ 1 2x ϩ 3 ϩ x Ϫ 1 ᎏᎏ x ϩ 1 (2x ϩ 3) ϩ (x Ϫ 1) ᎏᎏᎏ x ϩ 1 (x Ϫ 3)(͙xෆϩෆ2 ෆ ϩ͙5ෆ) ᎏᎏᎏ x Ϫ 3 (x Ϫ 3)(͙xෆϩෆ2 ෆ ϩ͙5ෆ) ᎏᎏᎏ x ϩ 2 Ϫ 5 (x Ϫ 3)(͙xෆϩෆ2 ෆ ϩ͙5ෆ) ᎏᎏᎏ (͙xෆϩෆ2 ෆ) 2 Ϫ (͙5ෆ) 2 (x Ϫ 3)(͙xෆϩෆ2 ෆ ϩ͙5ෆ) ᎏᎏᎏᎏ (͙xෆϩෆ2 ෆ Ϫ͙5ෆ)(͙xෆϩෆ2 ෆ ϩ͙5ෆ) x Ϫ 3 ᎏᎏ ͙xෆϩෆ2 ෆ Ϫ͙5ෆ SECCIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 49 ☛ 34. Racionalice el denomina- dor de 5 ϩ͙2ෆ ᎏ 5 Ϫ͙2ෆ Respuesta ᎏ 2 1 3 ᎏ (27 ϩ 10͙2ෆ) g EJEMPLO 4 Simplifique ᎏ 2 x x ϩ ϩ 2 1 ᎏϩ ᎏ 3 x x Ϫ Ϫ 1 2 ᎏ. Solución Aquí, los denominadores ya están factorizados por completo. El m.c.d. en este caso es (x ϩ 2)(3x Ϫ 2). La sustitución de la primera fracción (2x ϩ 1)/(x ϩ 2) por una equivalente que tenga el m.c.d. (x ϩ 2)(3x Ϫ 2) como denominador, se logra multiplicando el numerador y el denominador por la fracción 3x Ϫ 2. En consecuencia, ᎏ 2 x x ϩ ϩ 2 1 ᎏϭ ᎏ ( ( 2 x x ϩ ϩ 2 1 ) ) ( ( 3 3 x x Ϫ Ϫ 2 2 ) ) ᎏ De manera análoga, ᎏ 3 x x Ϫ Ϫ 1 2 ᎏϭ ᎏ ( ( x x ϩ Ϫ 2 1 ) ) ( ( 3 x x ϩ Ϫ 2 2 ) ) ᎏ Por tanto, tenemos la siguiente suma: ᎏ 2 x x ϩ ϩ 2 1 ᎏϩ ᎏ 3 x x Ϫ Ϫ 1 2 ᎏϭ ᎏ ( ( 2 x x ϩ ϩ 2 1 ) ) ( ( 3 3 x x Ϫ Ϫ 2 2 ) ) ᎏϩ ᎏ ( ( x x ϩ Ϫ 2 1 ) ) ( ( 3 x x ϩ Ϫ 2 2 ) ) ᎏ ϭ ϭ ϭ ☛ 35 EJEMPLO 5 Simplifique ᎏ x 2 Ϫ 3 5 x ϩ 2 ᎏϪ ᎏ x ϩ 1 2 ᎏϩ ᎏ x 2 Ϫ 4 3 x ϩ 4 ᎏ. Solución La expresión dada, después de factorizar los denominadores, es ᎏ (x Ϫ 1) 5 (x Ϫ 2) ᎏϪ ᎏ x ϩ 1 2 ᎏϩ ᎏ (x Ϫ 3 2) 2 ᎏ Aquí el m.c.d. es (x Ϫ 1)(x Ϫ 2) 2 (x ϩ 2). ᎏ (x Ϫ 1) 5 (x Ϫ 2) ᎏϪ ᎏ x ϩ 1 2 ᎏϩ ᎏ (x Ϫ 3 2) 2 ᎏ ϭ Ϫ ϭ ϩ ϭ 5(x Ϫ 2)(x ϩ 2) Ϫ (x Ϫ 1)(x Ϫ 2) 2 ϩ 3(x Ϫ 1)(x ϩ 2) ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ (x Ϫ 1)(x ϩ 2)(x Ϫ 2) 2 3(x Ϫ 1)(x ϩ 2) ᎏᎏᎏ (x Ϫ 2) 2 (x Ϫ 1)(x ϩ 2) (x Ϫ 1)(x Ϫ 2) 2 ᎏᎏᎏ (x ϩ 2)(x Ϫ 1)(x Ϫ 2) 2 5(x Ϫ 2)(x ϩ 2) ᎏᎏᎏ (x Ϫ 1)(x Ϫ 2) 2 (x ϩ 2) 7x 2 Ϫ 4 ᎏᎏ (x ϩ 2)(3x Ϫ 2) (6x 2 Ϫ x Ϫ 2) ϩ (x 2 ϩ x Ϫ 2) ᎏᎏᎏᎏ (x ϩ 2)(3x Ϫ 2) (2x ϩ 1)(3x Ϫ 2) ϩ (x Ϫ 1)(x ϩ 2) ᎏᎏᎏᎏ (x ϩ 2)(3x Ϫ 2) 50 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 35. Simplifique ᎏ 4 x x 2 Ϫ ϩ 1 2 ᎏϪᎏ x Ϫ 3 1 ᎏ Respuesta ᎏ x ϩ 1 1 ᎏ, x 1 g ϭ ϭ ϭ EJEMPLO 6 Simplifique ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ ϩ . Solución En este caso, escribimos ambos términos como fracciones con un m.c.d. de ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ. ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ ϭ ϭ Así, tenemos la siguiente suma: ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ ϩ ϭ ϩ ϭ ϭ Multiplicación de fracciones Dos o más fracciones pueden multiplicarse a la vez, simplemente multiplicando sus numeradores y denominadores de la manera que se ilustra en el ejemplo 7. EJEMPLO 7 (a) ᎏ 2 x x Ϫ ϩ 2 1 ᎏؒ ᎏ 3 x ϩ Ϫ 1 x ᎏϭ ᎏ ( ( 2 x x Ϫ ϩ 2 1 ) ) ( ( x 3 ϩ Ϫ 1 x ) ) ᎏ (b) ؒ ᎏ 2x 4 2 x Ϫ 2 Ϫ 5x 1 Ϫ 6 3 ᎏϭ Este producto puede simplificarse factorizando tanto el numerador como el denomi- nador y dividiéndolos entre sus factores comunes: ϭ ϭ 2(x Ϫ 2) 2 ᎏᎏ 3(x ϩ 1)(2x ϩ 1) 2(x Ϫ 2)(x Ϫ 2) ᎏᎏ 3(x ϩ 1)(2x ϩ 1) (x Ϫ 2)(x Ϫ 3h) и 2s и 2(x Ϫ 2)(x ϩ 2h) ᎏᎏᎏᎏ 2s и 3(x ϩ 1)(x ϩ 2h)(x Ϫ 3h)(2x ϩ 1) (x 2 Ϫ 5x ϩ 6)(4x 2 Ϫ 16) ᎏᎏᎏᎏ (6x 2 ϩ 18x ϩ 12)(2x 2 Ϫ 5x Ϫ 3) x 2 Ϫ 5x ϩ 6 ᎏᎏ 6x 2 ϩ 18x ϩ 12 2 ᎏ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ 1 Ϫ x 2 ϩ 1 ϩ x 2 ᎏᎏ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ 1 ϩ x 2 ᎏ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ 1 Ϫ x 2 ᎏ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ 1 ϩ x 2 ᎏ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ 1 Ϫ x 2 ᎏ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ ᎏᎏ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ 1ϩ x 2 ᎏ ͙1ෆ Ϫ ෆx ෆ 2 ෆ Ϫx 3 ϩ 13x 2 Ϫ 5x Ϫ 22 ᎏᎏᎏ (x Ϫ 1)(x ϩ 2)(x Ϫ 2) 2 5x 2 Ϫ 20 Ϫ (x 3 Ϫ 5x 2 ϩ 8x Ϫ 4) ϩ 3x 2 ϩ 3x Ϫ 6 ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ (x Ϫ 1)(x ϩ 2)(x Ϫ 2) 2 5(x 2 Ϫ 4) Ϫ (x Ϫ 1)(x 2 Ϫ 4x ϩ 4) ϩ 3(x 2 ϩ x Ϫ 2) ᎏᎏᎏᎏᎏᎏ (x Ϫ 1)(x ϩ 2)(x Ϫ 2) 2 SECCIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 51 g División de fracciones Para dividir una fracción a/b entre otra fracción c/d, invertimos c/d y la multiplica- mos por la primera. (Revise la página 10 y el teorema 4 de la sección 1-2). ᎏ a b ᎏ Ϭ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ a c/ / d b ᎏ ϭ ᎏ a b ᎏ ؒ ᎏ d c ᎏ Este método se ilustra para fracciones algebraicas en el ejemplo 8. EJEMPLO 8 (a) ᎏ 2 x x Ϫ ϩ 1 3 ᎏϬ ᎏ 2 x x 2 ϩ Ϫ 3 2 ᎏϭ ᎏ 2 x x Ϫ ϩ 1 3 ᎏؒ ᎏ 2 x x 2 ϩ Ϫ 3 2 ᎏ ϭ ϭ ᎏ 2(x ϩ (x 1 ϩ )(2 3 x ) ϩ 3) ᎏ (b) ϭ ϭ ᎏ 3 x x Ϫ Ϫ 2 1 ᎏؒ ᎏ x ϩ 1 1 ᎏϭ ᎏ (x Ϫ 3x 2) Ϫ (x 1 ϩ 1) ᎏ ☛ 36 EJEMPLO 9 Simplifique . Solución En primer término, simplificamos el numerador. x ϩ 2 Ϫ ᎏ x Ϫ 4 1 ᎏϭ ᎏ x ϩ 1 2 ᎏϪ ᎏ x Ϫ 4 1 ᎏϭ Ϫ ᎏ x Ϫ 4 1 ᎏ ϭ ϭ Con este valor del denominador, completamos la división. ϭ ᎏ x 2 ϩ x Ϫ x Ϫ 1 6 ᎏؒ ᎏ x 2 Ϫ x 2 5 Ϫ x 1 ϩ 6 ᎏ ϭ ϭ ϭ ☛ 37 (x ϩ 3)(x ϩ 1) ᎏᎏ (x Ϫ 3) (x Ϫ 2h)(x ϩ 3)(x Ϫ 1h)(x ϩ 1) ᎏᎏᎏᎏ (x Ϫ 1h)(x Ϫ 2h)(x Ϫ 3) (x 2 ϩ x Ϫ 6) (x 2 Ϫ 1) ᎏᎏᎏ (x Ϫ 1)(x 2 Ϫ 5x ϩ 6) ᎏ x 2 ϩ x Ϫ x Ϫ 1 6 ᎏ ᎏᎏ ᎏ x 2 Ϫ x 2 5 Ϫ x 1 ϩ 6 ᎏ x 2 ϩ x Ϫ 6 ᎏᎏ x Ϫ 1 (x ϩ 2)(x Ϫ 1) Ϫ 4 ᎏᎏᎏ x Ϫ 1 (x ϩ 2)(x Ϫ 1) ᎏᎏ x Ϫ 1 x ϩ 2 Ϫ ᎏ x Ϫ 4 1 ᎏ ᎏᎏ ᎏ x 2 Ϫ x 2 5 Ϫ x 1 ϩ 6 ᎏ ᎏ 3 x x Ϫ Ϫ 2 1 ᎏ ᎏ ᎏ x ϩ 1 1 ᎏ ᎏ 3 x x Ϫ Ϫ 2 1 ᎏ ᎏ x ϩ 1 (2x ϩ 3) и 2(x Ϫ 1)(xϩ1) ᎏᎏᎏ (x Ϫ 1)(x ϩ 3) 52 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA ☛ 36. Simplifique ᎏ 4 x x 2 Ϫ ϩ 1 2 ᎏи ᎏ 3x 2 2 ϩ x ϩ 4x 1 ϩ 1 ᎏϬ ᎏ x Ϫ 3 1 ᎏ Respuesta ᎏ 2(3x 3 ϩ 1) ᎏ, x 1, Ϫ1 o Ϫᎏ 1 2 ᎏ ☛ 37. Simplifique Respuesta ᎏ (2x Ϫ x 1 ϩ )(2 1 x ϩ 1) ᎏ, x 1 o Ϫᎏ 1 2 ᎏ 2x 2 Ϫ 3x ϩ 1 ᎏᎏᎏ ((x 2 Ϫ 1)/(2x ϩ 1)) g SECCIÓN 1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 53 (1-40) En las siguientes expresiones, efectúe las operaciones in- dicadas y simplifique. 1. ᎏ 2x 4 ϩ x 3 ᎏϩ ᎏ 2x 6 ϩ 3 ᎏ 2. ᎏ x 2 Ϫ x 2 ᎏϪ ᎏ x Ϫ 4 2 ᎏ 3. ᎏ x Ϫ x 2 3 ᎏϪ ᎏ 5 x x Ϫ Ϫ 3 6 ᎏ 4. ᎏ 2 x Ϫ Ϫ 3 1 x ᎏϩ ᎏ x Ϫ x 2 1 ᎏ 5. ᎏ 2 x x ϩ ϩ 2 1 ᎏϩ 3 6. ᎏ 3 x x ϩ Ϫ 1 2 ᎏϪ 2 7. ᎏ x ϩ x 2 ᎏϩ ᎏ 2x 3 Ϫ 1 ᎏ 8. ᎏ 2x x Ϫ 6 ᎏϩ ᎏ x x Ϫ ϩ 2 1 ᎏ 9. ᎏ x Ϫ 2 1 ᎏϪᎏ 3 x x ϩ ϩ 1 1 ᎏ 10. ᎏ 2x x ϩ 3 ᎏϪᎏ 2 4 x x Ϫ ϩ 3 1 ᎏ 11. ᎏ 2x 2 Ϫ x 1 ᎏϪᎏ x x ϩ ϩ 2 1 ᎏ 12. ᎏ 5x 2 Ϫ 6 ᎏϪᎏ 10x 4 Ϫ 2 ᎏ 13. ᎏ x 2 Ϫ 5 1 x ϩ 6 ᎏϪ ᎏ x 2 Ϫ 3 1 x ϩ 2 ᎏ 14. ᎏ x 2 ϩ 2 x x Ϫ 3 ᎏϩ ᎏ x 2 ϩ 1 x Ϫ 2 ᎏ 15. ᎏ x 2 ϩ 2 x x Ϫ 3 ᎏϩ ᎏ 1 Ϫ 2 1 x ϩ x 2 ᎏ 16. ᎏ 9x 2 Ϫ 2 6x ϩ 1 ᎏϪ ᎏ x ϩ 3 1 ᎏϩ ᎏ 3x 2 ϩ 1 2x Ϫ 1 ᎏ 17. ᎏ x 2 ϩ 4 1 x ϩ 3 ᎏϩ ᎏ x 2 Ϫ 3 1 ᎏϪ ᎏ x ϩ 2 3 ᎏ 18. ᎏ 2x 2 Ϫ x x Ϫ 1 ᎏϪ ᎏ 1 Ϫ 2 3 x ϩ x 2 ᎏϩ 2 19. ᎏ x 2 Ϫ x 1 ᎏ ᎏ x x 2 ϩ ϩ 2 1 x ᎏ 20. ᎏ x 2 2 x ϩ ϩ 4 6 x ᎏ ᎏ 2 x x ϩ ϩ 4 4 ᎏ 21. ᎏ 2 1 x Ϫ ϩ x 4 ᎏؒ ᎏ 3 x x 2 Ϫ ϩ 1 6 ᎏ 22. ᎏ x 2 x 2 Ϫ Ϫ 7x x ϩ Ϫ 1 2 2 ᎏؒ ᎏ 2 x x 2 2 ϩ Ϫ 4 5 x x ϩ Ϫ 3 3 ᎏ 23. ᎏ x x 2 2 ϩ Ϫ 5 6 x x ϩ ϩ 6 8 ᎏ 24. ᎏ 2x 2 2 x Ϫ 4 Ϫ 5x 2 Ϫ x 3 ᎏ ᎏ 2 x x 3 2 ϩ Ϫ x 3 2 x ϩ Ϫ x 2 ᎏ 25. 3 ϩ ᎏ x Ϫ 1 1 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 3x 1 Ϫ 2 ᎏ 26. x Ϫ ᎏ x Ϫ 3 2 ᎏ ᎏ x 2 Ϫ 9 9 ᎏϪ 1 27. ᎏ 2 x x 2 ϩ ϩ x 1 ᎏ Ϭ ᎏ 4 x x 3 Ϫ ϩ x 2 ᎏ 28. ᎏ 2x 2 3 ϩ x Ϫ 4x 6 ϩ 2 ᎏ Ϭ ᎏ x 2 ϩ x 2 3 Ϫ x 4 ϩ 2 ᎏ 29. ᎏ 3 x x 2 2 Ϫ Ϫ x x Ϫ Ϫ 2 2 ᎏϬ ᎏ 2 3 x x 2 2 Ϫ ϩ5 5 x x ϩ ϩ 2 2 ᎏ 30. ᎏ 2x 2 2 x ϩ 2 ϩ 10 x x Ϫ ϩ 1 12 ᎏϬ ᎏ 4x 2 1 ϩ Ϫ 8x 4x Ϫ 2 12 ᎏ 2x 2 ϩ 9x ϩ 4 ᎏᎏ 2x 2 ϩ 7x ϩ 3 EJERCICIOS 1-7 g 31. 32. ᎏ t ϩ 1 Ϫ 1 Ϫ 1/t 2 2 /t ᎏ 33. 34. 35. ᎏ x (x Ϫ1 ϩ ϩ y y ) Ϫ Ϫ 1 1 ᎏ 36. ᎏ (x Ϫ (x 2 Ϫ Ϫ y y ) Ϫ Ϫ 2 ) 1 Ϫ1 ᎏ 37. ᎏ x x Ϫ Ϫ 2 2 ϩ Ϫ y y Ϫ Ϫ 2 2 ᎏؒ ᎏ x x Ϫ ϩ y y ᎏ 38. ᎏ x y y Ϫ Ϫ 2 1 Ϫ Ϫ x y Ϫ x Ϫ 2 1 ᎏ 39. ᎏ 1 h ᎏ ᎏ x ϩ 1 h ᎏϪᎏ 1 x ᎏ 40. ᎏ 1 h ᎏ ΄ ᎏ (x ϩ 1 h) 2 ᎏϪᎏ x 1 2 ᎏ ΅ (41-52) Racionalice los denominadores de las siguientes expre- siones. 41. ᎏ 3 ϩ 1 ͙7ෆ ᎏ 42. 3 ϩ ͙2ෆ ᎏ 2 Ϫ ͙3ෆ p Ϫ ᎏ p ϩ 2 1 ᎏ ᎏᎏᎏ 1 Ϫ ᎏ p 2 ϩ 4p 4 ϩ p ϩ 7 3 ᎏ x ϩ 2 ϩ ᎏ x Ϫ 3 2 ᎏ ᎏᎏ x Ϫ 6 ϩ ᎏ x ϩ 7 2 ᎏ ᎏ x 2 2 ϩ x ϩ x Ϫ 3 2 ᎏ ᎏᎏ ᎏ 2x 2 x ϩ 2 Ϫ 5x 4 ϩ 3 ᎏ 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. (53-56) Racionalice los numeradores de las siguientes expre- siones. 53. 54. 55. 56. ͙xෆϪෆ 2 ෆ ϩ ෆh ෆ Ϫ͙xෆϪෆ 2 ෆ ᎏᎏᎏ h ͙xෆϩෆ h ෆ Ϫ͙xෆ ᎏᎏ h ͙xෆϩෆ 4 ෆ Ϫ͙xෆ ᎏᎏ 2 5 Ϫ ͙3ෆ ᎏ 2 4 Ϫ x ᎏᎏ ͙2ෆxෆϩෆ 5 ෆ Ϫ 3͙xෆ 2x Ϫ 2 ᎏᎏ ͙xෆϩෆ 3 ෆ Ϫ 2͙xෆ x ᎏᎏᎏ ͙xෆϩෆ 1 ෆ Ϫ͙xෆϪෆ 1 ෆ x ᎏᎏ ͙xෆϩෆ 2 ෆ Ϫ͙2ෆ ͙xෆ Ϫ͙yෆ ᎏᎏ ͙xෆ ϩ͙yෆ 1 ᎏᎏ ͙xෆ Ϫ͙yෆ 1 ᎏᎏ 2͙3ෆ Ϫ ͙6ෆ 3 ᎏ 3 ϩ ͙3ෆ 6͙2ෆ ᎏᎏ ͙3ෆ ϩ ͙6ෆ 1 ϩ ͙2ෆ ᎏᎏ ͙5ෆ ϩ ͙3ෆ 54 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA g Términos, símbolos y conceptos importantes 1.1 Número natural, número entero, número racional, número irracional, número real. La recta de los números reales. Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Elementos identidad, inverso aditivo de a (el negativo de a, Ϫa), inverso multiplicativo de a (el recíproco de a, a Ϫ1 ). Diferencia: a – b ϵ a ϩ (Ϫb). División: a Ϭ b ϵ a ؒ b Ϫ1 . 1.2 Fracción. Definición: ᎏ 1 b ᎏ ϵ b Ϫ1 ; ᎏ a b ᎏ ϵ a ؒ b Ϫ1 Reglas para multiplicar y dividir fracciones. Cancelación de factores comunes. Mínimo común denominador (m.c.d.). Suma y resta de frac- ciones. 1.3 Potencia (exponente), base ؒ a n (a elevada al exponente n). Propiedades de los exponentes. 1.4 Raíz n-ésima principal de a: b ϭ a 1/n si b n ϭ a. Radical, raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz n-ésima. ͙aෆ, ͙ 3 aෆ, ͙ n aෆ. Exponentes fraccionarios: a m/n ϭ (a 1/n ) m . Extensión de las cinco propiedades de los exponentes a ex- ponentes fraccionarios y radicales. 1.5 Expresión algebraica, expresiones monomiales, binomiales, multinomiales. Término, parte literal, coeficiente (numérico); término cons- tante. Términos semejantes, suma y resta de términos semejantes. Multiplicación de expresiones por medio de la propiedad distributiva; método de los arcos. Fórmulas para el cuadrado de un binomio. Fórmula de la di- ferencia de cuadrados. División entre monomio. División larga de expresiones polinomiales. Divisor, dividendo, cociente, residuo. 1.6 Factores. Factores monomiales. Método por agrupación. Factorización por medio de fórmulas para la diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos. Factorización de expresiones del tipo x 2 ϩ px ϩ q y mx 2 ϩ px ϩ q con m 1, Ϫ1. 1.7 Racionalización del denominador. Técnicas para la suma, resta, multiplicación, división y sim- plificación de fracciones algebraicas. Fórmulas Propiedades de los exponentes a m ؒ a n ϭ a mϩn , ᎏ a a m n ᎏ ϭ a mϪn , (a m ) n ϭ a mn , (ab) m ϭ a m b m , ᎏ a b ᎏ m ϭᎏ a b m m ᎏ. Fórmulas para el cuadrado de un binomio: (x Ϯ a) 2 ϭ x 2 Ϯ 2ax ϩ a 2 . Fórmula de la diferencia de cuadrados: (x ϩ a)(x – a) ϭ x 2 – a 2 . Fórmulas para la suma y la diferencia de cubos: x 3 Ϯ a 3 ϭ (x Ϯ a)(x 2 ϯ ax ϩ a 2 ). REPASO DEL CAPÍTULO 1 55 REPASO DEL CAPÍTULO 1 g 1. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las propo- siciones siguientes. Reemplace cada proposición falsa por una que sea cierta. a. a m ؒ b n ϭ (ab) mn b. a m ϩ b m ϭ (a ϩ b) m c. (2 0 ) m ϭ 1 d. (a Ϫ b) 2 ϭ a 2 Ϫ b 2 e. Ϫ2(a ϩ b) ϭ Ϫ2a ϩ b f. (x ϩ y) 2 ϭ x 2 ϩ y 2 g. ͙aෆ Ϫ ෆb ෆ ϭ ͙aෆ Ϫ ͙bෆ h. ϭ 2b i. ͙ 3 aෆ 2 ෆ ϭ ͙ 6 aෆ 4 ෆ j. ᎏ 1 a ᎏ Ϫ ᎏ 1 b ᎏ ϭ ᎏ a Ϫ 1 b ᎏ k. ᎏ a c /b ᎏ ϭ ᎏ a b ᎏ ؒ ᎏ 1 c ᎏ l. (2a) 5 ϭ 2a 5 m. ᎏ a b ᎏ Ϭ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ b a Ϭ Ϭ d c ᎏ n. ᎏ a b ᎏ ؒ ᎏ d c ᎏ ϭ ᎏ b a ؒ ؒ d c ᎏ o. (Ϫ1) n ϭ Ϫ1 si n es un entero impar. p. ᎏ 2 3 ᎏ ᎏ 3 4 ᎏ ᎏ 4 5 ᎏ ᎏ 5 6 ᎏ ᎏ 6 7 ᎏ ϭ ᎏ 2 7 ᎏ q. Todo número decimal que termina representa un número racional. r. Todo número racional puede expresarse como un decimal que termina. (2-24) En las siguientes expresiones, efectúe las operaciones in- dicadas y simplifique los resultados. 2. (125) 2/3 Ϭ (81)Ϫ3/4 3. (32)Ϫ 2 ؒ (243) 1/5 as ϩ 2b ᎏ as 4. (2x 5 ) 2 Ϭ (2x 3 ) 3 5. ᎏ ( ( 3 6 a a 2 Ϫ b 1 Ϫ b 1 ) ) 3 4 ᎏ 6. 7. 8. 2 Ί Ϫ 9. (2x 3 ) Ϫ1/2 (2x) 1/2 10. (r Ϫ2/5 ) 2 (r 3/10 ) 3 (r Ϫ2/15 ) 11. ÷ 12. a ϩ b ᎏ x x b c ᎏ b ϩ c c ϩ a 13. ᎏ x x a b ᎏ c ᎏ x x b c ᎏ a ᎏ x x a c ᎏ b 14. ᎏ x ϩ 1 2 ᎏϩ ᎏ x Ϫ 2 3 ᎏ 15. ᎏ x 2 ϩ 1 1 ᎏϩ 2 16. ᎏ x Ϫ 1 1 ᎏϩ ᎏ x 2 Ϫ 3 1 x ϩ 2 ᎏϪ ᎏ x 2 Ϫ 2 1 x ϩ 1 ᎏ 17. ᎏ x 2 ϩ 2 2 x ϩ 1 ᎏϪ ᎏ x 2 ϩ 4 1 x ϩ 3 ᎏϩ ᎏ x 2 Ϫ 3 x Ϫ 2 ᎏ 18. ᎏ p x 2 ϩ Ϫ y q 2 ᎏϬ ᎏ x p 2 Ϫ ϩ y q 2 ᎏ 19. ᎏ x 2 ϩ y 2 4 Ϫ x 9 ϩ 4 ᎏϬ ᎏ x y 2 2 ϩ Ϫ 5 y x Ϫ ϩ 6 6 ᎏ 20. ᎏ a 2 2 a Ϫ ϩ b 4 2 ᎏϬ ᎏ a 2 Ϫ a 3 2 a Ϫ b ϩ 4 2b 2 ᎏ 21. ᎏ a x 2 2 ϩ ϩ 2 5 a x b ϩ ϩ 6 b 2 ᎏؒ ᎏ x 2 a Ϫ 2 Ϫ x Ϫ b 2 6 ᎏ x c ᎏ x a x a ᎏ x b x 2/3 ᎏ 3y 2/5 2x 5/2 ᎏ y 3/4 p 2 ᎏ ͙3ෆqෆ 3p 4 ᎏ q (Ϫ6x Ϫ1 y Ϫ2 ) 3 ᎏᎏ (Ϫ2x Ϫ4 y Ϫ3 ) 4 (Ϫ5p Ϫ2 q Ϫ3 ) Ϫ2 ᎏᎏ (Ϫ10p 2 q) Ϫ3 56 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 1 g EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 1 57 *El símbolo Ϸ significa “aproximadamente igual a”. Debe usarse siempre que se redondea un número. 22. x Ϫ ᎏ x ϩ 2 1 ᎏ x ϩ ᎏ x ϩ 1 2 ᎏ 23. a ϩ ᎏ a ϩ 2 3 ᎏ a Ϫ ᎏ 9 a ᎏ 24. ᎏ x x ϩ Ϫ 1 2 ᎏϩ ᎏ 3x x 2 ϩ Ϫ 3 27 ᎏϪ ᎏ 2 2 x x ϩ Ϫ 1 1 ᎏ (25-42) Factorice las siguientes expresiones por completo. 25. 3x 2 Ϫ 75y 2 26. x 2 ϩ 7x ϩ 10 27. 6x 2 Ϫ x Ϫ 15 28. 2p 2 ϩ p Ϫ 28 29. x 2 ϩ x Ϫ 12 30. u 2 Ϫ 2u Ϫ 3 31. k 2 ϩ k Ϫ 20 32. 10t 2 ϩ 3tu Ϫ u 2 33. 8x 2 Ϫ 18x ϩ 9 34. 12x 2 ϩ 20x Ϫ 25 35. y 2 Ϫ 3y Ϫ 10 36. 12x 2 ϩ 7xy Ϫ 12y 2 37. (a ϩ 4)(a Ϫ 3) ϩ (2a ϩ 3)(a ϩ 1) 38. (x ϩ 2)(x 2 ϩ x Ϫ 1) ϩ (2x Ϫ 1)(x 2 Ϫ3x Ϫ 2) 39. 4(x ϩ 1) 2 Ϫ (2x ϩ 5) 2 40. (p ϩ q) 2 ϩ 3(p ϩ q) Ϫ 4 41. x 3 ϩ ᎏ x 8 3 ᎏ 42. (x Ϫ 1)(x 2 ϩ 1) ϩ (x ϩ 1)(x 2 Ϫ 1) 43. Demuestre que ϩ ϭ ͙2ෆ ϩ ͙3ෆ 44. Dado ͙2ෆ Ϸ 1.414 y ͙3ෆ Ϸ 1.732, evalúe sin usar calculadora, tablas o división larga.* 1 ᎏᎏ ͙3ෆ Ϫ ͙2ෆ 2 ᎏ ͙3ෆ ϩ ෆ1 ෆ 1 ᎏ ͙2ෆ Ϫ ෆ1 ෆ g 58 CAPÍTULO 1 REPASO DE ÁLGEBRA La base de muchos de los “trucos” y “juegos matemáti- cos” es el álgebra, si uno escribe en lenguaje simbólico las expresiones verbales y realiza algunas sencillas operacio- nes algebraicas, por lo regular descubrirá el misterio de es- tos juegos. Un juego para “adivinar” el mes de nacimiento y la edad de una persona es el siguiente. Pida a la persona que realice las operaciones siguien- tes, sin verlas. a) Determine el número del mes en que nació (ene- ro, 1; febrero, 2; marzo, 3; etcétera). b) Multiplique el número del mes en que nació por dos. c) Al resultado anterior sume cinco. d) Multiplique por 50 el resultado que obtuvo en el paso anterior. e) A esto, añada el número de años que tiene. f) Y, por último reste 250 al resultado. Pida que le diga el resultado. Los dos dígitos de más a la derecha de este resultado proporcionarán la edad de la CASO DE ESTUDI O CÓMO ELEVAR AL CUADRADO CON RAPIDEZ persona, mientras que el primero o dos primeros dígitos de la izquierda revelarán el mes en que nació. Hagamos esto con un ejemplo. Supongamos que una persona nació en noviembre y actualmente tiene 44 años, entonces los pasos que seguiría serían: a) Mes en que nació, 11 b) 11 ϫ 2 ϭ 22 c) 22 ϩ 5 ϭ 27 d) 27 ϫ 50 ϭ 1350 e) 1350 ϩ 44 ϭ 1394 f) 1394 Ϫ 250 = 1144 Todo lo anterior no se ve, lo único que conoce- ríamos al final sería el resultado: 1144. Con lo cual po- dríamos “adivinar” que la persona tiene 44 años y que na- ció en noviembre. i) Determine por qué este “truco” sirve para el pro- pósito de adivinar la edad y el mes de nacimiento. ii) ¿Siempre funciona? ¿Existirá algún o algunos casos en que no se lea la edad y mes de naci- miento directamente del resultado? g 59 CAPÍ TULO 2 Ecuaciones de una variable 2-1 ECUACIONES LINEALES 2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 2-4 REPASO DEL CAPÍTULO T E M A R I O Un excelente matemático griego fue Diofanto de Alejan- dría; él hizo contribuciones en varias áreas de las matemá- ticas, tal vez su trabajo más importante lo hizo en lo que ahora se conoce como teoría de números. Se sabe poco de él, pero algunos detalles de su vida se conocen a través del epitafio que, como un homenaje, se inscribió en su tumba. Una traducción libre del original es la siguiente: “Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; des- pués de la decimosegunda parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida an- tes de casarse y, cinco años después, tuvo un precioso ni- ño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su pa- dre, pereció. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad”. Utilizando la información en el epitafio de Diofan- to podríamos responder las siguientes preguntas: i) ¿A qué edad falleció Diofanto? ii) ¿Cuántos años vivió antes de casarse? iii) ¿Cuántos años vivió su hijo? iv) ¿Qué edad tenía Diofanto cuando nació su hijo? g Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones alge- braicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad, ϭ. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones. 2x Ϫ 3 ϭ 9 Ϫ x (1) y 2 Ϫ 5y ϭ 6 Ϫ 4y (2) 2x ϩ y ϭ 7 (3) ᎏ 1 Ϫ a r ᎏϭ s (4) En la ecuación (1), la variable es la letra x, mientras que en la ecuación (2), es y. En la ecuación (3) tenemos dos variables, x y y. No permitiremos que las varia- bles de cualquier ecuación tomen valores que hagan que una expresión que ocurra en la ecuación quede indefinida. Por ejemplo, en la ecuación (4), r no puede ser 1, pues esto produciría una división entre cero. Las expresiones separadas por el símbolo de igualdad se denominan lados (miembros) de la ecuación; por separado se llaman el lado izquierdo (primer miem- bro) y el lado derecho (segundo miembro). Las ecuaciones que sólo contienen constantes y no tienen variables pueden ser proposiciones verdaderas o falsas. Por ejemplo, 3 ϩ 2 ϭ 5 y ᎏ 1 3 5 ᎏ ϭᎏ 2 4 0 ᎏ son afirmaciones verdaderas, mientras que 2 ϩ 5 ϭ 6 y ᎏ 3 2 ᎏ ϭᎏ 2 3 ᎏ son proposiciones falsas. Una ecuación que se refiere a una variable, por lo regular es una proposición válida para algunos valores de la variable, mientras que es falsa para otros valores de la variable. Por ejemplo, consideremos la ecuación 2x Ϫ 3 ϭ x ϩ2 Si x toma el valor 5, esta ecuación se reduce a 2(5) Ϫ 3 ϭ 5 ϩ 2 o bien 10 Ϫ 3 ϭ 5 ϩ 2 que es una proposición verdadera. Por otra parte, si x toma el valor 4, obtenemos 2(4) Ϫ 3 ϭ 4 ϩ 2 o bien 5 ϭ 6 que es una proposición falsa. Un valor de la variable que haga que la ecuación sea una proposición cierta se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. 60 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 2-1 ECUACIONES LINEALES g Así, por ejemplo, 5 es una raíz de la ecuación 2x Ϫ 3 ϭ x ϩ 2. De manera si- milar, Ϫ2 es solución de la ecuación y 2 ϩ 3y ϭ 6 ϩ 4y porque cuando Ϫ2 sustitu- ye a y en la ecuación obtenemos (Ϫ2) 2 ϩ 3(Ϫ2) ϭ 6 ϩ 4(Ϫ2) o bien 4 Ϫ 6 ϭ 6 Ϫ 8 que es una proposición verdadera. En forma análoga, 5 no es una raíz de la ecuación t 2 ϩ 2t ϭ 6 ϩ 3t, pues cuando 5 reemplaza a t, se obtiene (5) 2 ϩ 2(5) ϭ 6 ϩ 3(5) o bien 25 ϩ 10 ϭ 6 ϩ 15 que no es una proposición verdadera. ☛ 1 A menudo estaremos interesados en encontrar las raíces de alguna ecuación dada (es decir, en determinar todos los valores de la variable que transforman la ecuación en una proposición verdadera). El proceso de encontrar las raíces se deno- mina resolver la ecuación. Al llevar a cabo este proceso, por lo general efectuamos ciertas operaciones en la ecuación que la transforman en una nueva ecuación más fácil de resolver. Tales simplificaciones deben realizarse en forma tal que la nueva ecuación tenga las mismas raíces que la ecuación original. Las dos operaciones si- guientes producen nuevas ecuaciones, al mismo tiempo que cumplen con el reque- rimiento de no alterar las raíces de la ecuación. 1. (PRINCIPIO DE ADICIÓN) Podemos sumar o restar cualquier constante o cualquier expresión algebraica que incluya a la variable a ambos lados de la ecuación. 2. (PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN) Podemos multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por cualquier constante distinta de cero o cualquier expre- sión no cero que incluya a la variable. (Observación): La multiplicación por una expresión puede producir una ecua- ción cuyas raíces difieran de la ecuación original si la expresión se hace cero para ciertos valores de la variable, como se ilustrará después. Observe que de acuerdo con estos principios debemos hacer la misma operación en ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, consideremos la ecuación x Ϫ 3 ϭ 2 (5) Sumemos 3 a ambos lados de la ecuación. Por el principio de adición, esta opera- ción no cambia las raíces de la ecuación. x Ϫ 3 ϩ 3 ϭ 2 ϩ 3 Después de simplificar, resulta x ϭ 5. Por tanto, concluimos que si x satisface la ecuación (5) entonces x ϭ 5 : 5 es la úni- ca raíz de la ecuación (5). SECCIÓN 2-1 ECUACIONES LINEALES 61 ☛ 1. ¿Cuál de los números siguientes es solución de la ecuación x 3 Ϫ 3x 2 ϩ 4 ϭ 0: Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2? Respuesta Ϫ1 y 2 g Como un segundo ejemplo, consideremos la ecuación 5x ϭ 15 (6) Dividimos ambos lados de la ecuación entre 5. Por el principio de multiplicación, esta operación no cambiará las raíces de la ecuación dado que el número por el que estamos dividiendo no es cero. Obtenemos ᎏ 5 5 x ᎏ ϭᎏ 1 5 5 ᎏ o bien x ϭ 3 Así, la única solución de la ecuación (6) es x ϭ 3. Dos ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones se dice que son equivalentes. Por tanto, las operaciones 1 y 2 transforman la ecuación dada en una nueva ecuación que es equivalente a la ecuación original. Al resolver una ecuación específica, a veces tenemos que emplear estas operaciones varias veces. EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación 5x Ϫ 3 ϭ 2x ϩ 9 (7) Solución En primer lugar, restamos 2x a ambos lados de la ecuación y simplifi- camos. 5x Ϫ 3 Ϫ 2x ϭ 2x ϩ 9 Ϫ 2x 5x Ϫ 2x Ϫ 3 ϭ 2x Ϫ 2x ϩ 9 3x Ϫ 3 ϭ 9 (8) Ahora sumemos 3 a ambos miembros de la ecuación y de nuevo simplificamos. 3x Ϫ 3 ϩ 3 ϭ 9 ϩ 3 3x ϭ 12 (9) Por último, dividimos ambos lados entre 3 (el cual no es cero). ᎏ 3 3 x ᎏ ϭᎏ 1 3 2 ᎏ x ϭ 4 Por tanto, la solución de la ecuación (7) es x ϭ 4. ☛ 2 Observemos que la ecuación (8) pudo obtenerse de la ecuación (7) simplemente pa- sando el término 2x del lado derecho al izquierdo y cambiando su signo. Obtendría- mos. 5x Ϫ 3 Ϫ 2x ϭ 9 o bien 3x Ϫ 3 ϭ 9 62 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE ☛ 2. ¿Son equivalentes las siguientes parejas de ecuaciones? (a) 1 – 2x ϭ y y 1 – y ϭ 2x (b) 2(x – 1) ϭ 0 y x ϭ 1 (c) (x ϩ 1)(x – 1) ϭ 0 y x – 1 ϭ 0 (d) x ϭ 1 y x ϩ ᎏ x Ϫ 1 1 ᎏ ϭ 1 Ϫ ᎏ 1 Ϫ 1 x ᎏ Respuesta (a) Sí (b) Sí (c) No (x ϭϪ1 es una solución de la primera ecuación pero no de la segunda) (d) No (x ϭ 1 es una solución de la primera ecuación pero no de la segunda) g lo cual concuerda con la ecuación (8). Otra vez, obtenemos la ecuación (9) de la ecuación (8), pasando el término Ϫ3 del primer miembro al segundo y cambiándo- le el signo. Obtendríamos 3x ϭ 9 ϩ3 o bien 3x ϭ 12 De esta manera, podemos advertir que el principio de adición antes establecido es equivalente al siguiente: Podemos pasar cualquier término de un lado de una ecua- ción al otro cambiando su signo sin alterar las raíces de la ecuación. De acuerdo con este principio, la ecuación 5x ϩ 3 ϭ 2x es equivalente a 5x Ϫ 2x ϩ 3 ϭ 0 o 3 ϭ 2x Ϫ 5x. Según el principio de multiplicación, cualquier expresión por la cual se mul- tiplique o divida debe ser distinta de cero; debemos tener cuidado de no multiplicar o dividir la ecuación por una expresión que pueda hacerse igual a cero. Por ejem- plo, consideremos la ecuación x 2 ϭ 5x Es claro que, x ϭ 0 es una raíz de la ecuación. Si dividimos ambos lados entre x, ob- tenemos x ϭ 5 Observemos que x ϭ 0 no es una raíz de la ecuación resultante, aunque sí era raíz de la ecuación original. El problema estriba en que dividimos ambos miembros entre x, que puede ser cero, y esto viola el principio de multiplicación. Al dividir en- tre x perdemos una raíz de la ecuación. Con el objeto de evitar estas trampas, debemos proceder con cautela y no multiplicar o dividir entre una expresión que contenga a la variable, a menos que estemos seguros que esta expresión no pueda hacerse cero. Una clase importante de ecuaciones consta de aquellas denominadas ecuacio- nes polinomiales. En una ecuación polinomial, los dos lados pueden constar de uno o varios términos sumados algebraicamente, cada término incluye una potencia en- tera no negativa* de la variable multiplicada por un coeficiente constante. El grado de la ecuación polinomial es la máxima potencia de la variable que aparece en la ecuación. EJEMPLO 2 (a) ᎏ 2 3 ᎏx 2 Ϫ 1 ϭ 3x ϩ 2 es una ecuación polinomial de 2º grado. (b) x 4 Ϫᎏ 3 2 ᎏx 2 Ϫ 5x ϭ 4 es una ecuación polinomial de 4º grado. (c) (x 2 ϩ1)/(x ϩ1) ϭ2x no es una ecuación polinomial, debido a que la frac- ción incluye a x en el denominador. SECCIÓN 2-1 ECUACIONES LINEALES 63 *En otras palabras, cada exponente es un número entero. g Una ecuación polinomial de grado 1 se denomina ecuación lineal, mientras que una ecuación polinomial de grado 2 se llama ecuación cuadrática. Las ecua- ciones lineales y cuadráticas serán estudiadas en ésta y en las próximas dos seccio- nes del libro. Damos la definición siguiente. DEFINICIÓN La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es ax ϩ b ϭ 0 (a 0) donde a y b son constantes. EJEMPLO 3 (a) x Ϫ 4 ϭ 0 es una ecuación lineal. Pasando 4 al lado derecho y cambian- do su signo, obtenemos que x ϭ 4. (Observación Esto es equivalente a sumar 4 a ambos lados). Así, el número 4 es la única solución de la ecuación. (b) 2x ϩ 3 ϭ 0 es una ecuación lineal. Pasando el 3 al lado derecho, obtene- mos 2x ϭϪ3; dividiendo entre 2, encontramos que x ϭ Ϫᎏ 3 2 ᎏ. En consecuencia, Ϫᎏ 3 2 ᎏ es la única solución de la ecuación dada. (c) En el caso general, ax ϩ b ϭ 0 podemos pasar la constante b al lado derecho, lo que da ax ϭ Ϫb Ahora dividimos entre a, obtenemos x ϭϪb/a. Así, la ecuación lineal ax ϩ b ϭ 0 tiene una y sólo una solución, es decir x ϭϪb/a. Observe que al resolver estas ecuaciones, dejamos los términos que incluyen a x en el lado izquierdo de la ecuación y pasamos los términos constantes al segun- do miembro. Ésta es una estrategia general al resolver ecuaciones lineales. (La usa- mos al resolver el ejemplo 1 que consideramos antes). A menudo surgen ecuaciones que a primera vista no parecen lineales, pero que pueden reducirse a ecuaciones lineales mediante simplificaciones apropiadas. Al efectuar tales reducciones, el procedimiento siguiente por pasos con frecuencia es útil. Paso 1 Elimine las fracciones que aparezcan en la ecuación multiplican- do ambos miembros por el denominador común de las fracciones involucradas. Paso 2 Pase todos los términos que contengan a la variable al lado iz- quierdo y todos los demás al lado derecho; simplifique entonces, si es posible, reduciendo términos semejantes. Paso 3 Pase todos los términos que contengan a la variable al lado iz- quierdo y todos los demás al lado derecho; simplifique entonces, si es posible, reduciendo términos semejantes. Este procedimiento se aplica en los siguientes ejemplos. 64 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE g EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 3x Ϫ 4(6 Ϫ x) ϭ 15 Ϫ 6x. Solución Paso 1 Dado que no hay fracciones en la ecuación, no necesitamos el paso 1. Paso 2 Al efectuar las operaciones indicadas por los paréntesis obtenemos 3x Ϫ 24 ϩ 4x ϭ 15 Ϫ 6x Paso 3 Pasamos todos los términos que contienen la variable al lado iz- quierdo y los constantes al derecho, sin olvidar cambiar sus signos, y obtenemos 3x ϩ 4x ϩ 6x ϭ 15 ϩ 24 o bien 13x ϭ 39 Ahora obtenemos una solución dividiendo ambos lados entre 13, el coeficiente de x. x ϭᎏ 3 1 9 3 ᎏ ϭ 3 EJEMPLO 5 Resuelva la siguiente ecuación: ᎏ 5 3 x ᎏ Ϫᎏ x Ϫ 4 2 ᎏϭᎏ 9 3 ᎏ Ϫᎏ 1 2 ᎏ x Ϫᎏ 2x 3 Ϫ 1 ᎏ Solución Después de eliminar los paréntesis, podemos escribir la ecuación dada como ᎏ 5 3 x ᎏ Ϫᎏ x Ϫ 4 2 ᎏϭᎏ 9 4 ᎏ Ϫᎏ 2 x ᎏ ϩᎏ 2x 6 Ϫ 1 ᎏ Con el objeto de eliminar las fracciones, multiplicamos ambos miembros por 12, el denominador común, y simplificamos. 12 ᎏ 5 3 x ᎏ Ϫ 12 ᎏ x Ϫ 4 2 ᎏ ϭ 12 ᎏ 9 4 ᎏ Ϫ 12 ᎏ 2 x ᎏ ϩ 12 ᎏ 2x 6 Ϫ 1 ᎏ 4(5x) Ϫ 3(x Ϫ 2) Ͼϭ 3(9) Ϫ 6x ϩ 2(2x Ϫ 1) 20x Ϫ 3x ϩ 6 Ͼϭ 27 Ϫ 6x ϩ 4x Ϫ 2 Si pasamos los términos con x al lado izquierdo y los constantes al derecho, tenemos que 20x Ϫ 3x ϩ 6x Ϫ 4x ϭ 27 Ϫ 2 Ϫ 6 19x ϭ 19 Por último, dividimos ambos lados entre 19, para obtener x ϭ 1, la solución reque- rida. ☛ 3 EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación ᎏ x Ϫ a 2t ᎏϭᎏ 3(x z Ϫ y) ᎏ (a) Para x; (b) para t. SECCIÓN 2-1 ECUACIONES LINEALES 65 ☛ 3. Resuelva las siguientes ecuaciones: (a) 3 – 2x ϭ 7 (b) 4 – x ϭ 3x – 4 (c) 3(x ϩ 2) ϭ 2(8 – x) (d) ᎏ 2 3 ᎏ(1 Ϫ 2x) ϭ 4 Ϫᎏ 1 2 ᎏ(3x ϩ 4) Respuesta (a) –2 (b) 2 (c) 2 (d) 8 g Solución Aquí el común denominador es az. Multiplicando ambos lados por az para deshacernos de las fracciones, obtenemos z(x Ϫ 2t) ϭ 3a(x Ϫ y) xz Ϫ 2zt ϭ 3ax Ϫ 3ay (10) (Observe que ni a ni z puden ser cero, pues de otra forma la ecuación dada tendría una fracción con denominador cero. En consecuencia, está permitido multiplicar por az). (a) Dado que estamos resolviendo para x, todas las demás letras involucradas en la ecuación son manejadas como constantes. Pasando todos los términos que con- tienen a la variable x al lado izquierdo y todos los términos sin x al derecho, obte- nemos xz Ϫ 3ax ϭ Ϫ3ay ϩ 2zt x(z Ϫ 3a) ϭ 2zt Ϫ 3ay Dividamos ambos miembros de la ecuación entre z Ϫ 3a, suponiendo que este fac- tor no es cero. x ϭ (b) Puesto que vamos a despejar t, sólo mantendremos aquellos términos que contengan a la variable t del lado izquierdo y pasaremos los demás términos al de- recho. En consecuencia, de la ecuación (10), obtenemos Ϫ2zt ϭ 3ax Ϫ 3ay Ϫ xz Dividiendo ambos lados entre Ϫ2z, el coeficiente de t, el cual, como notamos antes, no puede ser cero, obtenemos t ϭ ϭ (Ϫ3ax ϩ 3ay ϩ xz) que es la solución requerida para la variable t. ☛ 4 EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación (2x ϩ 1) 2 ϭ 4(x 2 Ϫ 1) ϩ x Ϫ 1. Solución A primera vista, esta ecuación no tiene la apariencia de una lineal de- bido a la presencia de los términos x 2 . Sin embargo, veremos que se reduce a una ecuación lineal. Eliminemos los paréntesis y pasemos todos los términos que con- tengan x al lado izquierdo de la ecuación. Obtenemos 4x 2 ϩ 4x ϩ 1 ϭ 4x 2 Ϫ 4 ϩ x Ϫ 1 4x 2 ϩ 4x Ϫ 4x 2 Ϫ x ϭ 4 Ϫ 1 Ϫ 1 Observemos que los términos 4x 2 se cancelan entre sí (es decir, 4x 2 ϩ 4x Ϫ 4x 2 Ϫ x ϭ (4 Ϫ 4)x 2 ϩ (4 Ϫ 1)x ϭ 0x 2 ϩ 3x) y nos quedamos con 3x ϭϪ6 De aquí, la solución es x ϭϪ2. ☛ 5 1 ᎏ 2z 3ax Ϫ 3ay Ϫ xz ᎏᎏ Ϫ2z 2zt Ϫ 3ay ᎏᎏ z Ϫ 3a 66 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE ☛ 4. Despeje r: S ϭᎏ 1 Ϫ a r ᎏ Respuesta r ϭ 1 – a/S ☛ 5. ¿Cuál es el error en lo siguiente? Pedimos resolver la ecuación ᎏ x Ϫ 1 2 ᎏϭ 2 ϩᎏ x 2 Ϫ Ϫ 3 x ᎏ Primero multiplicamos ambos miembros por (x – 2): 1 ϭ 2(x – 2) – (x – 3) Esto es, 1 ϭ 2x – 4 – x ϩ 3 ϭ x – 1 Por tanto, x ϭ 2 es una solución Respuesta Cuando x ϭ 2 la ecuación original tiene términos no definidos. No hay solución g (1-10) Compruebe si el (los) número (s) dado (s) es (son) so- lución (es) de las ecuaciones correspondientes. 1. 3x ϩ 7 ϭ 12 Ϫ 2x; 1 2. 5t Ϫ 3 ϭ 18 ϩ 3(1 Ϫ t); 3 3. ᎏ 3 u u ϩ Ϫ 2 1 ᎏϩ 1 ϭᎏ 6 u Ϫ ϩ u 1 ᎏ; 2 4. ᎏ 1 3 Ϫ Ϫ 2 y y ᎏϩ y ϭᎏ y ϩ 1 2 ᎏ; Ϫ2 5. x 2 ϭ 5x Ϫ 6; 2, 5 6. y 2 ϩ 12 ϭ 7y; 4, Ϫ3 7. ᎏ 5 x ᎏ Ϫᎏ 2 3 x ᎏ ϭᎏ 2 x ᎏ; 3 8. ᎏ x ϩ 7 1 ᎏϩᎏ 3x 1 Ϫ 5 1 ᎏϭ 8; Ϫᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 1 3 ᎏ 9. ᎏ x Ϫ 3 1 ᎏϪᎏ x 5 ϩ x 2 ᎏϭᎏ 1 4 ᎏ; 1 10. 4x ϩᎏ 7 x ᎏ ϭ 3; 0 (11-14) Reduzca las siguientes ecuaciones a ecuaciones poli- nomiales y declare el grado resultante. 11. x 3 Ϫ 7x 2 ϩ 5 ϭ x(x 2 Ϫ 1) ϩ 3x 2 Ϫ 2 12. (y Ϫ 2)(y ϩ 5) ϭ (2y Ϫ 1)(y ϩ 1) ϩ 7 13. y 2 ϩ 7 ϭ (y Ϫ 1) 2 ϩ 3y 14. (u Ϫ 1) 2 ϭ (u ϩ 1)(u ϩ 3) ϩ 5 (15-32) Resuelva las siguientes ecuaciones. 15. 1 ϩ x ϭ 3 Ϫ x 16. 3x ϩ 7 ϭ 3 ϩ 5x 17. 2x Ϫ 5 ϭϪ15 Ϫ 3x 18. 2 Ϫ 7x ϭ 3x Ϫ 2 19. 4(x Ϫ 3) ϭ 8 Ϫ x 20. 2x Ϫ 5(1 Ϫ 3x) ϭ 1 Ϫ 3(1 Ϫ 2x) 21. 3 Ϫ 2(1 Ϫ x) ϭ 5 ϩ 7(x Ϫ 3) 22. 6y Ϫ 5(1 ϩ 2y) ϭ 3 ϩ 2(1 Ϫ y) 23. 3z Ϫ 2 ϩ 4(1 Ϫ z) ϭ 5(1 Ϫ 2z) Ϫ 12 24. 5[1 Ϫ 2(2z Ϫ 1)] ϭϪ3(3z Ϫ 1) ϩ 1 25. 1 Ϫ 2[4 Ϫ 3(x ϩ 1)] ϭ 4(x Ϫ 5) Ϫ 1 26. 3[2x ϩ 1 Ϫ 2(2x Ϫ 1)] ϩ 4 ϭ 2[1 ϩ 2(3 Ϫ x)] 27. ᎏ 3x 2 ϩ 7 ᎏϩᎏ 1 ϩ 3 x ᎏ 28. ᎏ 2x 3 Ϫ 7 ᎏϭ 5 Ϫᎏ 3x 4 Ϫ 2 ᎏ 29. 1 Ϫᎏ 2u 4 Ϫ 3 ᎏϭᎏ 2 Ϫ 3 5u ᎏϪ 3u 30. ᎏ 5y 2 Ϫ 6 ᎏϭ y Ϫᎏ 2 Ϫ 3 y ᎏ 31. ᎏ 1 3 ᎏ(2y ϩ 1) ϩᎏ 1 2 ᎏ y ϭᎏ 2 5 ᎏ (1 Ϫ 2y) Ϫ 4 32. ᎏ 1 2 ᎏ ΄ 1 ϩᎏ 1 4 ᎏ(3z Ϫ 1) ΅ ϭᎏ 2 3 z ᎏ Ϫᎏ 1 2 ᎏ (33-40) Reduzca las siguientes ecuaciones a ecuaciones li- neales y resuélvalas. 33. (x Ϫ 4) 2 ϭ (x Ϫ 2) 2 34. (x Ϫ 1)(x ϩ 3) ϭ (x ϩ 2)(x Ϫ 3) ϩ 1 35. x 2 ϩ (x ϩ 1) 2 ϭ (2x Ϫ 1)(x ϩ 3) 36. (3x Ϫ 1)(x ϩ 2) ϩ 5x ϭ (2x ϩ 1)(x Ϫ 3) ϩ x 2 37. (2x ϩ 1)(x Ϫ 1) ϩ x 2 ϭ 3(x Ϫ 1)(x ϩ 2) Ϫ 3 38. (3x ϩ 1)(2x Ϫ 1) Ϫ 2x 2 ϭ (2x Ϫ 3) 2 ϩ 6x ϩ 5 39. x(x ϩ 2)(x ϩ 4) ϩ x 3 ϭ 2(x ϩ 1) 3 40. (x ϩ 1) 3 ϩ (x Ϫ 1) 3 ϭ 2x 3 (41-44) Resuelva las siguientes ecuaciones para las variables que se indican. 41. ax ϩ by ϭ cz: (a) para x; (b) para b. 42. S ϭᎏ a 1 Ϫ Ϫ r r l ᎏ: (a) para r; (b) para l. 43. ᎏ 1 x ᎏ ϩᎏ 1 y ᎏ ϭᎏ 1 t ᎏ: (a) para x; (b) para t. 44. ᎏ 2 x ᎏ ϩᎏ x 3 y ᎏ ϭ 1: (a) para x; (b) para y. SECCIÓN 2-1 ECUACIONES LINEALES 67 EJERCICIOS 2-1 g Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; an- tes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguien- te procedimiento por pasos con frecuencia es útil en la aplicación de este proceso. Paso 1 Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que de- be determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos proble- mas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos denotamos sólo una de ellas con x. Paso 2 Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x. Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparecen en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x. En este contexto, palabras ta- les como es o era se traducen al símbolo algebraico ϭ. Paso 4 Resuelva la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos. Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal. En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. Los siguientes ejemplos ilustran cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos. EJEMPLO 1 (a) Si Juan tiene x pesos y Jaime 5 más que Juan, entonces Jaime tiene (x ϩ5) pesos. Si Samuel tiene 3 menos que Juan entonces Samuel tiene (x Ϫ 3) pesos. (b) Si Luis tiene una edad de x años y su padre tiene 4 años más que el doble de la edad de Luis, entonces su padre tiene (2x ϩ 4) años. (c) Si cierto almacén vende x refrigeradores al mes y un segundo almacén vende 5 menos que una tercera parte del anterior, entonces el segundo almacén ven- de (ᎏ 1 3 ᎏx Ϫ 5) refrigeradores. ☛ 6 Empezaremos con algunos ejemplos elementales que ilustran de la manera más sencilla posible la traducción entre las formas verbales y algebraicas. EJEMPLO 2 Determine dos enteros consecutivos cuya suma sea 19. Solución Paso 1 Dado que debemos encontrar dos enteros, debemos decidir a cuál de ellos llamar x. Denotemos con x al entero más pequeño. 68 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES ☛ 6. En el ejemplo 1(a), Amanda tiene tantos pesos como Juan, Jaime y Samuel juntos. ¿Cuántos tiene? En el ejemplo 1(c). Si la primera tienda tiene una ganancia de $30 en cada refrigerador y la segunda tienda obtiene una ganancia de $75. ¿En cuánto exceden las ganancias mensuales de la primera tienda a las de la segunda? Respuesta (a) 3x ϩ 2 pesos (b) 5x ϩ 375 pesos g Paso 2 Luego, el segundo entero es x ϩ 1, pues son consecutivos. Paso 3 La expresión suma de dos enteros se cambia a la expresión algebrai- ca x ϩ (x ϩ 1). La afirmación de que esta suma es 19, equivale a la ecuación x ϩ (x ϩ 1) ϭ 19 Paso 4 Despejamos x. 2x ϩ 1 ϭ 19 2x ϭ 19 Ϫ 1 ϭ 18 x ϭᎏ 1 2 8 ᎏ ϭ 9 Paso 5 Por tanto, el entero más pequeño es 9. El mayor, x ϩ 1, es 10. ☛ 7 EJEMPLO 3 Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene él? Solución Denotemos con x la edad actual del hombre. Dado que su esposa es 7 años más joven que él, la edad actual de ella debe ser (x Ϫ 7) años. Hace 10 años, la edad del hombre era 10 años menos de lo que es ahora, de modo que su edad era entonces x Ϫ 10. (Por ejemplo, si su edad actual es x ϭ 38, hace 10 años tenía x Ϫ 10 ϭ 38 Ϫ 10 ϭ 28 años). De manera similar, hace 10 años la edad de su esposa era de 10 años menos de la que es ahora, por lo que (x Ϫ 7) Ϫ 10 o x Ϫ 17. Nos dicen que al mismo tiempo la edad del hombre, x Ϫ 10, era el do- ble de la edad de su esposa, x Ϫ 17. Así, escribimos x Ϫ 10 ϭ 2(x Ϫ 17) Simplificamos y despejamos x. x Ϫ 10 ϭ 2x Ϫ 34 x Ϫ 2x ϭϪ23 ϩ 10 Ϫx ϭϪ24 x ϭ 24 La edad actual del hombre es de 24 años. Su esposa tiene 17. Hace 10 años tenían 14 y 7, respectivamente. EJEMPLO 4 (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma 1ᎏ 1 2 ᎏ horas realizar ventas por un valor de $100. ¿Cuántas horas de- berá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $2000? Solución Suponga que trabaja x horas por mes. Cada ᎏ 3 2 ᎏ horas, efectúa ventas por $100, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto, es decir, $(200/3) en ventas. Su comisión es del 10% de esto, de modo que su comisión pro- medio por hora es ᎏ 2 3 0 ᎏ. Por tanto, en x horas ganará una comisión de ᎏ 2 3 0 ᎏx dólares. SECCIÓN 2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES 69 ☛ 7. Un triángulo tiene dos lados iguales y el tercero es 8 unidades más largo. Si el perímetro excede al doble de la longitud del lado más corto en 20 unidades, ¿cuáles son las longitudes de los tres lados? Respuesta 12, 12 y 20. g Si agregamos su salario base, obtenemos un ingreso mensual total de 600 ϩᎏ 2 3 0 ᎏx. Esto debe ser igual a 2000, de modo que obtenemos la ecuación 600 ϩᎏ 2 3 0 ᎏx ϭ 2000 Al resolverla obtenemos las siguientes ecuaciones: ᎏ 2 3 0 ᎏx ϭ 2000 Ϫ 600 ϭ 1400 x ϭᎏ 2 3 0 ᎏ(1400) ϭ 210 La vendedora deberá trabajar 210 horas por mes, en promedio, si desea alcanzar el nivel de ingresos deseado. EJEMPLO 5 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 1000 reses a $150 cada una. Vendió 400 de ellas con una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá ven- der las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%? Solución Su ganancia por cada una de las 400 reses ya vendidas es del 25% del precio de costo, que es el 25% de $150, o bien $37.50. En 400 reses, su ganancia fue de $37.50 ϫ 400 ϭ $15,000. Sea x dólares el precio de venta de las restantes 600 reses. Entonces su utilidad por res es x Ϫ150 y su ganancia por las restantes 600 es 600(x Ϫ 150) dólares. Por tanto, su ganancia total por la venta completa es 15,000 ϩ 600(x Ϫ 150) dólares Esta ganancia deberá ser el 30% del precio que él pagó por las 1000 reses, es decir, el 30% de $150,000. Esto es igual a $[ᎏ 1 3 0 ᎏ(150,000)], o bien $45,000. Así, obtenemos la ecuación 15,000 ϩ 600(x Ϫ 150) ϭ 45,000 Ahora resolvemos: 15,000 ϩ 600x Ϫ 90,000 ϭ 45,000 600x ϭ 45,000 Ϫ 15,000 ϩ 90,000 ϭ 120,000 x ϭᎏ 12 6 0 0 ,0 0 00 ᎏϭ 200 El comerciantes debe vender las restantes reses a $200 cada una para lograr una ga- nancia del 30%. Si una cantidad de dinero de P dólares se invierte a un año a una tasa de inte- rés anual de R por ciento, la cantidad de interés anual está dada por I ϭ P ᎏ 1 R 00 ᎏ dólares Por ejemplo, una suma de $5000 invertida al 6% anual producirá una cantidad de interés cada año dada por I ϭ $5000 ᎏ 1 6 00 ᎏ ϭ $300 70 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE g Si este interés es retirado cada año, entonces tanto el capital P como el interés I permanecen sin cambio de año a año. ☛ 8 EJEMPLO 6 (Inversiones) La señora Cordero va a invertir $70,000. Ella quiere recibir un ingreso anual de $5000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% de los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $5000? Solución Sea x pesos la cantidad invertida en bonos del gobierno. Entonces, la cantidad invertida en bonos hipotecarios es (70,000 Ϫ x) pesos. El ingreso recibido por los bonos gubernamentales al 6% es de ᎏ 1 6 00 ᎏx pesos. El ingreso percibido por los bonos hipotecarios al 8.5% es ᎏ 1 8 0 .5 0 ᎏ(70,000 Ϫ x) pesos ϭᎏ 1 8 0 5 00 ᎏ(70,000 Ϫ x) pesos Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de $5000, ᎏ 1 6 00 ᎏ x ϩᎏ 1 8 0 5 00 ᎏ(70,000 Ϫ x) ϭ 5000 Multiplicamos ambos lados por 1000 y despejamos x. 60x ϩ 85(70,000 Ϫ x) Ͼϭ 5,000,000 60x ϩ 5,950,000 Ϫ 85x Ͼϭ 5,000,000 Ϫ25x Ͼϭ 5,000,000 Ϫ 5,950,000 ϾϭϪ950,000 x Ͼϭᎏ Ϫ9 Ϫ 50 2 , 5 000 ᎏϭ 38,000 En consecuencia, la señora Cordero debería invertir $38,000 en bonos del gobierno y los restantes $32,000 en bonos hipotecarios. Ella podría aumentar su ingreso in- virtiendo una proporción más grande de su capital en bonos hipotecarios, pero incre- mentaría su riesgo. EJEMPLO 7 (Problema de mezclas) Una compañía vitivinícola requiere pro- ducir 10,000 litros de jerez encabezando vino blanco, el cual tiene un contenido de alcohol del 10%, con brandy, el cual tiene un contenido de alcohol del 35% por vo- lumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15%. Determine las cantida- des de vino blanco y de brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado. Solución Sean x litros de brandy usados en la producción de 10,000 litros de je- rez. Luego, el volumen de vino blanco usado deberá ser de (10,000 Ϫ x) litros. Puesto que el brandy contiene 35% de alcohol, la cantidad de alcohol en x litros de brandy es ᎏ 1 3 0 5 0 ᎏ x. De manera similar, el vino contiene 10% de alcohol, de modo que (10,000 Ϫ x) litros de vino contienen ᎏ 1 1 0 ᎏ (10,000 Ϫ x) litros de alcohol. Por tanto, la cantidad total de alcohol en la mezcla será de ᎏ 1 3 0 5 0 ᎏx ϩ ᎏ 1 1 0 ᎏ (10,000 Ϫ x) litros SECCIÓN 2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES 71 ☛ 8. ¿Cuál es el interés anual sobre (a) $4000 a 9% (b) $20,000 a 11%? Respuesta (a) $360 (b) $2200 g (1-3) Si Juan tiene x dólares, ¿cuántos dólares tendrá Julia en cada caso? 1. Ella tiene $4 más que Juan. 2. Ella tiene $3 menos del doble de lo que tiene Juan. 3. Ella tiene $2 más que la mitad de lo que tiene Juan. (4-7) Si José tiene x años y Julia es 4 años más joven, ¿qué edad tiene Alfredo en cada caso? 4. Alfredo tiene 3 años más que Julia. 5. Alfredo es 1 año mayor que la edad promedio de José y Julia. 6. Alfredo es 10 años menor que la suma de las edades de Jo- sé y de Julia. 7. Alfredo es 2 años menor que cinco veces la diferencia de las edades de José y de Julia. 8. Bruno y Jaime juntos tienen $75. Si Jaime tiene $5 más que Bruno, ¿cuánto dinero tiene Jaime? 9. En una clase de matemáticas para la administración hay 52 estudiantes. Si el número de chicos es 7 más que el doble de chicas, determine el número de chicas en la clase. 10. Un padre es tres veces mayor que su hijo. En 12 años, él tendrá el doble de la edad de su vástago. ¿Qué edades tie- nen el padre y el hijo ahora? 11. Hace cinco años, María tenía el doble de la edad de su her- mano. Encuentre, la edad actual de María, si la suma de sus edades hoy es de 40 años. 12. Susana tiene 3 monedas más de cinco centavos que de diez centavos, y 5 monedas más de diez centavos que monedas de veinticinco centavos. En total tiene $2.10. ¿Cuántas mo- nedas de cada una tiene? 13. Yo tengo el doble de monedas de diez centavos en mi bol- sillo que de monedas de veinticinco centavos. Si tuviera 4 monedas menos de diez centavos y 3 monedas más de veinticinco centavos, tendría $2.60. ¿Cuántas monedas de diez centavos y de veinticinco centavos tengo? 14. (Inversiones) Un hombre invierte al 8% el doble de la can- tidad que destina al 5%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 15. (Inversiones) Un colegio destina $60,000 a un fondo, a fin de obtener ingresos anuales de $5000 para becas. Parte de esto se destinará a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos de largo plazo a un 10.5%. ¿Cuán- to deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido? 16. (Inversiones) Los miembros de una fundación desean in- vertir $18,000 en dos tipos de seguros que pagan dividen- dos anuales del 9 y 6%, respectivamente. ¿Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% la inversión total? 72 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE La mezcla debe contener 15% de alcohol, por lo que los 10,000 litros deberían con- tener ᎏ 1 1 0 5 0 ᎏ (10,000) ϭ 1500 litros de alcohol. Por tanto, tenemos la ecuación ᎏ 1 3 0 5 0 ᎏx ϩ ᎏ 1 1 0 ᎏ(10,000 Ϫ x) ϭ 1500 Al resolver obtenemos las igualdades siguientes: ᎏ 1 3 0 5 0 ᎏ x ϩ 1000 Ϫᎏ 1 1 0 ᎏx .ϭ 1500 ᎏ 1 3 0 5 0 ᎏx Ϫᎏ 1 1 0 ᎏx .ϭ 1500 Ϫ 1000 ϭ 500 35x Ϫ 10x .ϭ 50,000 25x .ϭ 50,000 x .ϭᎏ 50 2 ,0 5 00 ᎏϭ 2000 En consecuencia, deben mezclarse 2000 litros de brandy y 8000 litros de vino. ☛ 9 ☛ 9. En el ejemplo 7, si 400 litros de brandy se combinan con 600 litros de jerez, ¿cuál será el porcentaje de alcohol en la mezcla? Respuesta 23% EJERCICIOS 2-2 g 17. (Inversión) Una persona invirtió $2000 más al 8% que al 10% y recibió un ingreso total por intereses de $700 por un año. ¿Cuánto invirtió a cada tasa? 18. (Inversión) Una compañía invierte $15,000 al 8% y $22,000 al 9%. ¿A qué tasa debe invertir $12,000 restantes de modo que el ingreso por los intereses anuales de las tres inversiones sea de $4500? 19. (Precio de venta) Durante una venta de liquidación, un ar- tículo tiene marcada una rebaja de 20%. Si su precio de li- quidación es $2, ¿cuál era su precio original? 20. (Precio de mayoreo) Un artículo se vende por $12. Si la ganancia es de 50% del precio de mayoreo, ¿cuál es el pre- cio de mayoreo? 21. (Porcentaje de descuento) Un comerciante ofrece 30% de descuento sobre el precio marcado de un artículo, y aún así obtiene una ganancia del 10%. Si al comerciante le cuesta $35 el artículo, ¿cuál debe ser el precio marcado? 22. (Mezclas) Diez libras de cacahuates tienen un precio de 75¢ por libra y 12 libras de nueces valen 80¢ por libra; se mezclan con pacana; la cual tiene un valor de $1.10 por li- bra, para producir una mezcla que vale 90¢ por libra. ¿Cuántas libras de pacana deben utilizarse? 23. (Mezclas) ¿Qué cantidad de una solución de ácido al 10% debe mezclarse con 10 onzas de una solución de ácido al 15% para obtener un solución de ácido al 12%? 24. (Mezclas) ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 15 on- zas de una solución de ácido al 20% para obtener un solu- ción de ácido al 12%? 25. (Mezclas) Una muestra de agua de mar tiene un contenido de 20% de sal. Se agrega agua pura para obtener 75 on- zas de una solución salina al 8%. ¿Cuánta agua de mar es- taba en la muestra? 26. (Mezclas) ¿Cuánta agua debe evaporarse de 300 onzas de una solución salina al 12% para obtener una solución sali- na al 15%? 27. (Mezclas) La sustancia A contiene 5 miligramos de nia- cina por onza, y la sustancia B contiene 2 miligramos de niacina por onza. ¿En qué proporciones deben mezclarse A y B de modo que la mezcla resultante contenga 4 mili- gramos de niacina por onza? 28. (Agricultura) Una cosecha de papas da un promedio de 16 toneladas métricas de proteína por kilómetro cuadrado de área plantada, mientras que el maíz produce 24 tonela- das métricas por kilómetro cuadrado. ¿En qué proporcio- nes deben plantarse las papas y el maíz para obtener 21 to- neladas de proteína por kilómetro cuadrado de la cosecha combinada? 29. (Utilidades de fabricantes) A un fabricante le cuesta $2000 comprar las herramientas para la manufactura de cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de 60¢ por artículo producido, y si el fabricante puede vender cada artículo en 90¢, encuentre cuántos ar- tículos debe producir y vender para obtener una ganancia de $1000. 30. (Ganancia en revistas) El costo de publicar cada copia de una revista semanal es de 28¢. El ingreso de las ventas al distribuidor es 24¢ por copia y de los anuncios es de 20% del ingreso obtenido de las ventas en exceso de 3000 co- pias. ¿Cuántas copias deben publicarse y venderse cada se- mana para generar una utilidad semanal de $1000? 31. (Venta de automóviles) Un vendedor de autos usados com- pró dos automóviles por $2900. Vendió uno con una ga- nancia de 10% y otro con una pérdida de 5% y aún obtuvo una ganancia de $185 en la transacción completa. Encuen- tre el costo de cada automóvil. 32. (Salario) Un empresario está estableciendo un pequeño negocio. Sus costos fijos son $720 semanales, y planea em- plear 48 horas de mano de obra semanales. Él desea asegu- rar que su ganancia sea igual al costo de la mano de obra y que su producto se venda a sólo 40% sobre el costo total. ¿Qué salario por hora debe pagar? Si fabrica 70 artículos por semana, ¿a qué precio debe venderlos? SECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS 73 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación del tipo ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 (a 0) (1) donde a, b y c son constantes, se denomina una ecuación cuadrática en la variable x. Existen tres métodos para resolver una ecuación de ese tipo: factorizando, usando la fórmula cuadrática y completando el cuadrado. Cualquiera que sea el mé- g todo que se utilice, la primera etapa para resolverla es disponer la ecuación en la forma estándar de la ecuación (1). En esta forma, el lado derecho de la ecuación es cero y en el lado izquierdo se encuentran los términos en x 2 , en x y las constantes. Por tanto, el procedimiento para llegar a esta forma estándar es, en primer término, eliminar todas las fracciones que aparezcan, multiplicando toda la ecuación por su denominador común, luego eliminar los paréntesis, enseguida pasar todos los térmi- nos al lado izquierdo de la ecuación y, por último, simplificar los términos semejan- tes. Los siguientes ejemplos ilustran este procedimiento, junto con el método de factorización. EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación 3(x 2 ϩ 1) ϭ 5(1 Ϫ x). Solución No hay fracciones en esta ecuación. Al eliminar los paréntesis, encon- tramos que 3x 2 ϩ 3 ϭ 5 Ϫ 5x Después de que todos los términos de la derecha se pasan al primer miembro, la ecuación se transforma en 3x 2 ϩ 3 Ϫ 5 ϩ 5x ϭ 0 o bien 3x 2 ϩ 5x Ϫ 2 ϭ 0 Así, tenemos una ecuación cuadrática con coeficientes a ϭ 3, b ϭ 5 y c ϭϪ2. Al utilizar el método de factorización, factorizamos la expresión de la izquierda. En es- te ejemplo, tenemos 3x 2 ϩ 5x Ϫ 2 ϭ (3x Ϫ 1)(x ϩ 2) y así, la última ecuación toma la forma (3x Ϫ 1)(x ϩ 2) ϭ 0 El producto de los dos factores (3x Ϫ 1) y (x ϩ 2) es cero. Ahora utilizamos la siguiente propiedad de los números reales: Propiedad del factor cero: Si A y B son números reales y AB ϭ 0, entonces A ϭ 0 o B ϭ 0, o ambos son iguales a cero.* En consecuencia, 3x Ϫ 1 ϭ 0 o x ϩ 2 ϭ 0. En el primer caso, 3x ϭ 1, de donde x ϭ ᎏ 1 3 ᎏ. En el segundo, x ϩ 2 ϭ 0 implica que x ϭϪ2. Así, x ϭᎏ 1 3 ᎏ o x ϭϪ2. Estos nú- meros nos dan las dos raíces de la ecuación dada. ☛ 10 74 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE * El producto de dos factores no puede ser cero a menos que uno de los dos factores sea cero. ☛ 10. Resuelva cada ecuación: (a) (x – 2)(x ϩ 4) ϭ 0 (b) (y ϩ 2)(2y – 5) ϭ 0 Respuesta (a) x ϭ 2 o –4 (b) y ϭϪ2 o ᎏ 5 2 ᎏ g Observemos que el punto crucial del método de factorización consiste en es- cribir la expresión cuadrática ax 2 ϩ bx ϩ c, que es la forma estándar de la ecuación, como el producto de dos factores lineales. Dado que este producto está igualado a cero, se sigue que alguno de los factores debe ser cero. EJEMPLO 2 Resuelva (2x ϩ 3)(3x Ϫ 1) ϭϪ4. Solución Escribimos la ecuación dada con su lado derecho igual a cero y simpli- ficamos. (2x ϩ 3)(3x Ϫ 1) ϩ 4 ϭ 0 (6x 2 ϩ 7x Ϫ 3) ϩ 4 ϭ 0 6x 2 ϩ 7x ϩ 1 ϭ 0 Factorizando, obtenemos (6x ϩ 1)(x ϩ 1) ϭ 0 Por tanto, tenemos las siguientes igualdades: 6x ϩ 1 ϭ 0 o bien x ϩ 1 ϭ0 6x ϭϪ1 x ϭϪ1 x ϭϪᎏ 1 6 ᎏ Las raíces buscadas son Ϫᎏ 1 6 ᎏ y Ϫ1. ☛ 11 Fórmula cuadrática Recordemos que las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 (a 0) están dadas por la fórmula cuadrática x ϭ Esta fórmula es utilizada ampliamente y debe memorizarse. (Asimismo se probará al final de esta sección). Para resolver una ecuación cuadrática, podemos usar esta fórmula de la si- guiente manera. En primer lugar, reducimos la ecuación a la forma estándar. Luego, identificamos a, b y c, los tres coeficientes que aparecen en la forma estándar, y simplemente sustituimos estos coeficientes en la fórmula cuadrática. EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación (2x ϩ 3)(3x Ϫ 1) ϭϪ4. Solución Esta ecuación se resolvió por el método de factorización en el ejemplo 2; ahora la resolveremos usando la fórmula cuadrática. Ϫb Ϯ ͙b ෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆcෆ ᎏᎏ 2a SECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS 75 ☛ 11. Resuelva por factorización: 2x 2 ϩ x – 21 ϭ 0 Respuesta x ϭ 3 o –ᎏ 7 2 ᎏ g La ecuación considerada, al expresarse en la forma estándar (revise el ejem- plo 2) es 6x 2 ϩ 7x ϩ 1 ϭ 0 Si comparamos ésta con la ecuación general ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, tenemos que a ϭ 6, b ϭ 7 y c ϭ 1. La fórmula cuadrática da las siguientes igualdades: x ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ o bien ϭᎏ Ϫ 12 2 ᎏ o bien ϭ o bien Ϫ1 De aquí, las raíces son Ϫᎏ 1 6 ᎏ y Ϫ1, las cuales se encontraron en el ejemplo 2. Observación El método de factorización con frecuencia es un método más rápido para solucionar una ecuación cuadrática que el método de la fórmula, pero en algunas ocasiones es difícil reconocer los factores. Más aún, muchas expresiones cuadráticas no tienen factores racionales; en tales casos es imposible factorizar por inspección. EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 2x 2 Ϫ x Ϫ 2 ϭ 0. Solución Si comparamos la ecuación dada con la forma estándar ax 2 ϩbx ϩc ϭ0, advertimos que los coeficientes son a ϭ 2, b ϭϪ1 y c ϭϪ2. De este modo tene- mos las siguientes igualdades: x ϭ ϭ ϭ ϭ 1 Ϯ ͙1 ෆ7ෆ ᎏᎏ 4 1 Ϯ ͙1ෆ ϩ ෆ1 ෆ6ෆ ᎏᎏ 4 Ϫ(Ϫ1) Ϯ ͙(Ϫ ෆ1ෆ) 2 ෆ Ϫ ෆ4 ෆ(2 ෆ)( ෆϪෆ2ෆ)ෆ ᎏᎏᎏᎏ 2 и 2 Ϫb Ϯ ͙b ෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆc ෆ ᎏᎏ 2a Ϫ1 ᎏ 6 Ϫ12 ᎏ 12 Ϫ7 Ϫ5 ᎏ 12 Ϫ7 ϩ 5 ᎏ 12 Ϫ7 Ϯ 5 ᎏ 12 Ϫ7 Ϯ ͙2 ෆ5ෆ ᎏᎏ 12 Ϫ7 Ϯ ͙4 ෆ9ෆ Ϫ ෆ4 ෆ(6 ෆ)( ෆ1ෆ)ෆ ᎏᎏᎏ 2(6) Ϫb Ϯ ͙b ෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆcෆ ᎏᎏ 2a 76 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE g En consecuencia, las raíces son ᎏ 1 4 ᎏ(1 ϩ ͙1 ෆ7ෆ) Ϸ 1.281 y ᎏ 1 4 ᎏ(1 Ϫ ͙1 ෆ7ෆ) Ϸ Ϫ0.781.* ☛ 12 EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación x 4 – 3x 2 – 7 ϭ 0. Solución Como aparece, esta ecuación no es una ecuación cuadrática. Sin embar- go, si hacemos x 2 ϭ z, obtenemos z 2 – 3z – 7 ϭ 0 que es una ecuación cuadrática para z. De la fórmula cuadrática obtenemos las so- luciones z ϭ ϭ Éstas son z Ϸ 4.54 y z Ϸ Ϫ1.54. Pero, como z ϭ x 2 , entonces z no puede ser nega- tiva, de modo que sólo aplica la primera de estas raíces. Tomando su raíz cuadrada entonces obtenemos x ϭϮ Ί ( 3 ϩ ͙ 3ෆ 7ෆ ) Ϸ Ϯ ͙4ෆ.5 ෆ4ෆ Ϸ Ϯ2.13 ☛ 13 Completar el cuadrado El tercer método para resolver ecuaciones cuadráticas se denomina completar el cuadrado. La propiedad subyacente de los números reales es la siguiente: Propiedad de la raíz cuadrada: Si X 2 ϭ A, donde A Ն 0, entonces X ϭϮ͙Aෆ. Por ejemplo, si X 2 ϭ 3, entonces X ϭϩ͙3ෆ Ϸ 1.73 o X ϭϪ͙3ෆ Ϸ Ϫ1.73. El objetivo de este método es escribir la ecuación cuadrática en la forma X 2 ϭ A, donde A es algún número y X es una expresión lineal que incluye a la variable x. Expli- caremos este método por medio de la siguiente ecuación cuadrática particular x 2 ϩ 6x Ϫ 7 ϭ 0 (2) Escribamos esta ecuación en la forma equivalente: x 2 ϩ 6x ϭ 7 (3) De la identidad del cuadrado de un binomio tenemos (x ϩ 3) 2 ϭ x 2 ϩ 2 и x и 3 ϩ 3 2 ϭ x 2 ϩ 6x ϩ 9 (4) Comparando el lado derecho de la ecuación (4) con el izquierdo de la ecuación (3), notamos que sólo difieren por la constante 9. De esta manera, si sumamos 9 a ambos miembros de la ecuación (3), obtenemos x 2 ϩ 6x ϩ 9 ϭ 7 ϩ 9 ϭ 16 1 ᎏ 2 3 Ϯ ͙3 ෆ7ෆ ᎏᎏ 2 Ϫ(Ϫ3) Ϯ ͙(Ϫ ෆ3ෆ) 2 ෆ Ϫ ෆ4 ෆ(1 ෆ)( ෆϪෆ7ෆ)ෆ ᎏᎏᎏᎏ 2 и 1 SECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS 77 * Revise la nota al pie de la página 57. ☛ 12. Resuelva la ecuación: x 2 – 3x ϩ 1 ϭ 0 Respuesta x ϭᎏ 1 2 ᎏ (3 Ϯ ͙5ෆ) ☛ 13. Resuelva las ecuaciones: (a) x 6 – 7x 3 – 8 ϭ 0 (b) x 4 – 7x 2 – 8 ϭ 0 Respuesta (a) x ϭ 2 o –1 (b) x ϭϮ ͙8ෆ g o, en otras palabras, (x ϩ 3) 2 ϭ 16 Ahora esta ecuación se resuelve fácilmente tomando la raíz cuadrada en ambos lados. x ϩ 3 ϭ 4 o bien x ϩ 3 ϭϪ4 En consecuencia, x ϭ 4 Ϫ 3 ϭ 1 o x ϭϪ4 Ϫ 3 ϭϪ7. Las dos soluciones son x ϭ 1 y x ϭϪ7. ☛ 14 Ahora queda la siguiente pregunta, ¿por qué decidimos, a partir de la ecuación (3), considerar la cantidad (x ϩ 3) 2 ? En realidad, ¿por qué no consideramos (x Ϫ 3) 2 o (x ϩ 57) 2 ? La razón es que, después de desarrollar el cuadrado del binomio, que- rríamos que el resultado coincidiera con el primer miembro de la ecuación (3), por lo que a los términos en x 2 y en x se refiere. Por ejemplo, si hubiésemos elegido (x Ϫ 3) 2 , tendríamos (x Ϫ 3) 2 ϭ x 2 Ϫ 6x ϩ 9; si bien el término en x 2 es el mismo que el del lado izquierdo de la ecuación (3), el término en x es diferente. Con el pro- pósito de obtener el mismo coeficiente en x que en la ecuación (3), debemos consi- derar (x ϩ k) 2 , donde k es la mitad del coeficiente de x que aparece en la ecuación (3) (es decir, k es igual a la mitad del coeficiente de 6, o sea 3). El procedimiento de resolución de una ecuación cuadrática completando el cuadrado se esboza en los siguientes pasos: Paso 1 Divida toda la ecuación entre el coeficiente de x 2 . Paso 2 Pase el término constante al segundo miembro. Paso 3 Sume k 2 a ambos lados de la ecuación, en donde k es la mitad del coeficiente de x que aparece en el primer miembro. Paso 4 Ahora, el lado izquierdo de la ecuación es el cuadrado perfecto (x ϩ k) 2 , de modo que la solución se obtiene extrayendo la raíz cuadrada a am- bos lados. EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación 2x 2 Ϫ x Ϫ 2 ϭ 0, completando el cuadrado. Solución Paso 1 Al dividir toda la ecuación entre 2, obtenemos x 2 Ϫᎏ 1 2 ᎏx Ϫ 1 ϭ 0. Paso 2 x 2 Ϫᎏ 1 2 ᎏx ϭ 1. Paso 3 El coeficiente de x es Ϫᎏ 1 2 ᎏ. Debemos tomar k como la mitad de esto, es decir, Ϫᎏ 1 4 ᎏ. Así, debemos sumar k 2 ϭ (Ϫᎏ 1 4 ᎏ) 2 ϭᎏ 1 1 6 ᎏ a ambos lados. x 2 Ϫᎏ 1 2 ᎏx ϩᎏ 1 1 6 ᎏ ϭ 1 ϩᎏ 1 1 6 ᎏ ϭᎏ 1 1 7 6 ᎏ Paso 4 El primer miembro de esta ecuación ahora es (x ϩ k) 2 , es decir [x ϩ (Ϫᎏ 1 4 ᎏ)] 2 . De modo que (x Ϫᎏ 1 4 ᎏ) 2 ϭᎏ 1 1 7 6 ᎏ Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados, encontramos que x Ϫᎏ 1 4 ᎏ ϭϮ Ί ϭϮ y por tanto, x ϭᎏ 1 4 ᎏ Ϯ͙1ෆ7ෆ/4. (Esto concuerda con las raíces encontradas en el ejem- plo 4). ☛ 15 ͙1ෆ7ෆ ᎏ 4 17 ᎏ 16 78 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE ☛ 14. Resuelva las ecuaciones: (a) x 2 – 9 ϭ 0 (b) (x ϩ 1) 2 ϭ 4 (c) (x ϩ 1) 2 ϭϪ4 Respuesta (a) x ϭ ±3 (b) x ϭ 1, Ϫ3 (c) No hay solución ☛ 15. Complete el cuadrado en cada caso: (a) x 2 – 4x ϭ 1 (b) 3x 2 ϩ 2x ϭ 1 (c) 2y 2 ϩ 5y ϩ 2 ϭ 0 Respuesta (a) (x – 2) 2 ϭ 5 (b) (x ϩᎏ 1 3 ᎏ) 2 ϭᎏ 4 9 ᎏ (c) (y ϩᎏ 5 4 ᎏ) 2 ϭᎏ 1 9 6 ᎏ g Concluimos esta sección deduciendo la fórmula cuadrática para la ecuación cuadrática ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, con a 0. La demostración sigue el método de com- pletar el cuadrado. Empezamos pasando el término constante a la derecha: ax 2 ϩ bx ϭϪc Dividiendo ambos lados entre a (esto es posible dado que a 0), obtenemos x 2 ϩ x ϭ Ϫ (5) De acuerdo con el método de completar cuadrados, debemos dividir el coefi- ciente de x (que es b/a) entre 2, (con b/2a) y el cuadrado del resultado sumarlo a am- bos lados. Así, tenemos las siguientes igualdades: x 2 ϩ x ϩ 2 ϭϪ ϩ 2 ϭ Pero el primer miembro es (x ϩ b/2a) 2 , como puede comprobar por la fórmula del cuadrado de un binomio. Por tanto, obtenemos x ϩ 2 ϭ Después de extraer raíz cuadrada a ambos lados, encontramos que x ϩ ϭϮ Ί ϭϮ Por tanto, x ϭ como se requería. Una observación final: la cantidad D ϭ b 2 Ϫ 4ac se denomina el discrimi- nante. Si D ϭ 0, el término dentro de la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática se hace cero. En este caso, las raíces de la ecuación coinciden, de modo que no hay raí- ces distintas. Por ejemplo, una ecuación de este tipo es la ecuación cuadrática x 2 Ϫ 10x ϭ 25 ϭ 0, la que sólo tiene la raíz x ϭ 5. Si D < 0, la cantidad dentro de la raíz cuadrada es negativa. En este caso, la ecuación cuadrática ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 no tiene raíces que sean números reales. Por ejemplo, consideremos la ecuación x 2 Ϫ 2x ϩ 2 ϭ 0 (en la cual a ϭ 1, b ϭϪ2 y c ϭ 2). De la fórmula cuadrática, tenemos que x ϭ ϭ ϭ 2 Ϯ ͙Ϫ ෆ4ෆ ᎏᎏ 2 Ϫ(Ϫ2) Ϯ ͙(Ϫ ෆ2ෆ) 2 ෆ Ϫ ෆ4 ෆ(1 ෆ)( ෆ2ෆ)ෆ ᎏᎏᎏ 2(1) Ϫb Ϯ ͙b ෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆc ෆ ᎏᎏ 2a Ϫb Ϯ ͙b ෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆc ෆ ᎏᎏ 2a ͙bෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆc ෆ ᎏᎏ 2a b 2 Ϫ 4ac ᎏᎏ 4a 2 b ᎏ 2a b 2 Ϫ 4ac ᎏᎏ 4a 2 b ᎏ 2a Ϫ4ac ϩ b 2 ᎏᎏ 4a 2 b ᎏ 2a c ᎏ a b ᎏ 2a b ᎏ a c ᎏ a b ᎏ a SECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS 79 g (1-22) Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización. 1. x 2 ϩ 5x ϩ 6 ϭ 0 2. x 2 ϩ 3x ϩ 2 ϭ 0 3. x 2 ϩ 9x ϩ 14 ϭ 0 4. x 2 Ϫ 5x ϩ 6 ϭ 0 5. x 2 ϩ 4x ϩ 4 ϭ 0 6. x 2 Ϫ 6x ϩ 9 ϭ 0 7. x 2 Ϫ 7x ϩ 12 ϭ 0 8. x 2 ϩ 2x Ϫ 3 ϭ 0 9. x 2 Ϫ 1 ϭ 0 10. x 2 Ϫ 25 ϭ 0 11. x 2 Ϫ 8x ϭ 0 12. 4x 2 Ϫ 5x ϭ 0 13. 6x 2 ϩᎏ 5 2 ᎏx ϩᎏ 1 4 ᎏ ϭ 0 14. ᎏ x 2 2 ᎏ ϩᎏ 1 3 0 ᎏ x ϩ 2 ϭ 0 15. 2x 2 ϩ 5x ϩ 3 ϭ 0 16. 3x 2 Ϫ 11x ϩ 10 ϭ 0 17. 6x 2 ϩ x Ϫ 2 ϭ 0 18. 4x 2 Ϫ 4x Ϫ 15 ϭ 0 19. (x ϩ 3)(x Ϫ 3) ϭ x Ϫ 9 20. 6x 2 Ϫᎏ 1 2 ᎏx Ϫᎏ 1 4 ᎏ ϭ 0 21. x 4 Ϫ 5x 2 ϩ 4 ϭ 0 22. x 4 Ϫ 3x 2 ϩ 2 ϭ 0 (23-34) Resuelva las siguientes ecuaciones por la fórmula cuadrática. 23. x 2 ϩ 3x ϩ 1 ϭ 0 24. x 2 Ϫ 4x ϩ 2 ϭ 0 25. 2x 2 ϩ 3x Ϫ 4 ϭ 0 26. 3x 2 ϩ 6x Ϫ 2 ϭ 0 27. x 2 ϩ x Ϫ 3 ϭ 0 28. 4x 2 Ϫ 12x ϩ 9 ϭ 0 29. 4x 2 ϩ 20x ϩ 25 ϭ 0 30. 2x 2 ϩ 5x Ϫ 3 ϭ 0 31. 5x (x ϩ 2) ϩ 6 ϭ 3 32. (4x Ϫ 1)(2x ϩ 3) ϭ 18x Ϫ 4 33. (x ϩ 1) 2 ϭ 2(x Ϫ 1) 2 34. (2x ϩ 1) 2 ϭ 3(x ϩ 1) 2 (35-44) Resuelva las siguientes ecuaciones, completando el cuadrado. 35. x 2 ϩ 6x Ϫ 1 ϭ 0 36. x 2 ϩ 2x Ϫ 4 ϭ 0 37. x 2 Ϫ 3x Ϫ 1 ϭ 0 38. x 2 ϩ 5x ϩ 5 ϭ 0 39. 4x 2 Ϫ 8x Ϫ 3 ϭ 0 40. 2x 2 Ϫ 14x ϩ 1 ϭ 0 80 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE Pero la expresión ͙Ϫෆ4ෆ no tiene sentido como número real, por tanto, con- cluimos que la ecuación dada no tiene raíces reales.* EJERCICIOS 2-3 * Las cantidades que son raíces cuadradas de números negativos se denominan números imaginarios. En particular, ͙Ϫ ෆ1ෆ se llama unidad imaginaria y se denota mediante i. Por ejemplo, de esta manera pode- mos escribir ͙Ϫ ෆ4ෆ ϭ ͙(4 ෆ)( ෆϪෆ1ෆ)ෆ ϭ 2͙Ϫ ෆ1ෆ ϭ 2i. En forma parecida, todo número imaginario puede es- cribirse en la forma iB, donde B es algún número real. La solución del último ejemplo puede escribirse en la forma x ϭᎏ 1 2 ᎏ (2 Ϯ ͙Ϫ ෆ4ෆ ϭᎏ 1 2 ᎏ(2 Ϯ 2i) ϭ 1 Ϯ i Observemos que estas soluciones constan de dos partes, una parte real, la cual es 1, y una parte imagi- naria, que es i o Ϫi, que depende de la raíz que tomemos. Cualquier número que puede escribirse como la suma de un número real y un número imaginario se denomina número complejo. En general, un nú- mero complejo tiene la forma A ϩ iB, donde A y B son números reales. Así, cuando b 2 Ϫ 4ac Ͼ0, las soluciones de una ecuación cuadrática constan de dos números rea- les distintos. Si b 2 Ϫ 4ac ϭ 0, existe una única solución y es un número real. Y cuando b 2 Ϫ 4ac Ͻ 0, existen dos soluciones distintas que son números complejos. Todas las operaciones ordinarias se pueden realizar con números complejos. Sólo debemos recor- dar que i 2 ϭϪ1. g SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 81 41. 7x ϩ 3(x 2 Ϫ 5) ϭ x Ϫ 3 42. 2x(4x Ϫ 1) ϭ 4 ϩ 2x 43. x(x ϩ 1)(x ϩ 3) ϭ (x ϩ 2) 3 44. (x ϩ 1) 3 Ϫ (x Ϫ 1) 3 ϭ 8x (45-68) Resuelva las siguientes ecuaciones por el método apro- piado. 45. 6x 2 ϭ 11 46. 5x 2 ϩ 7 ϭ 0 47. 6x 2 ϭ 11x 48. 2(x 2 ϩ 1) ϭ 5x 49. 15x 2 ϭ 40(x ϩ 2) 50. (3x ϩ 5)(2x Ϫ 3) ϭϪ8 51. 3x(2x Ϫ 5) ϭϪ4x Ϫ 3 52. (x ϩ 1) 2 ϭ 2x 2 53. x 2 ϭ 2(x Ϫ 1)(x ϩ 2) 54. 2x(x ϩ 1) ϭ x 2 Ϫ 1 55. ᎏ 2 3 ᎏx 2 Ϫᎏ 5 3 ᎏx ϭ x Ϫ 1 56. ᎏ x 3 2 ᎏ ϩ 2x ϭ 1 ϩ x 57. ᎏ x 3 2 ᎏ ϭᎏ 1 6 1 ᎏx ϩ 1 58. 5x 2 Ϫᎏ 7 2 ᎏx ϭᎏ 1 2 ᎏx ϩ 1 59. 2x 2 Ϫ 3x Ϫ 1 ϭ 0 60. x 2 ϩ 3x Ϫ 2 ϭ 0 61. 3x 2 ϭ 5x Ϫ 3 62. 2x 2 ϭ 5x Ϫ 2 63. (2x ϩ 3)(x ϩ 1) ϭ (x ϩ 2)(x Ϫ 1) ϩ 2 64. (3x Ϫ 1)(x ϩ 2) ϭ (2x Ϫ 1)(x ϩ 3) ϩ 5 65. x 4 Ϫ 3x 2 Ϫ 4 ϭ 0 66. 2x 4 Ϫ x 2 Ϫ 1 ϭ 0 67. 2x 2/3 ϩ x 1/3 Ϫ 1 ϭ 0 68. x 2/5 Ϫ 3x 1/5 ϩ 2 ϭ 0 69. Resuelva s ϭ ut ϩᎏ 1 2 ᎏ gt 2 para t. 70. Resuelva s ϭᎏ 1 ϩ 2a a 2 ᎏpara a. 71. Resuelva A ϭ 2R(R ϩ H) para R. 72. Resuelva A = 2x 2 ϩ 4xy para x. 73. Si 2 es una raíz de x 2 – kx ϩ 2 ϭ 0, encuentre la otra raíz. 74. Si –1 es una raíz de 2x 2 ϩ 5x ϩ k ϭ 0, encuentre la otra raíz. 75. Utilice la fórmula cuadrática para resolver la ecuación x 2 – 2xy ϩ 1 – 3y 2 ϭ 0 a. Para x en términos de y b. Para y en términos de x 76. Utilice la fórmula cuadrática para resolver la ecuación 3x 2 – 2y 2 ϭ xy ϩ 1 a. Para x en términos de y b. Para y en términos de x EJEMPLO 1 Sue es 7 años mayor que Bobby. Si el producto de sus edades es 60, ¿cuál es la edad de Bobby? Solución Asigna a x la edad de Bobby. Entonces Sue tiene x ϩ 7 años. Esto significa que el producto (Edad de Bobby) и (Edad de Sue) ϭ x(x ϩ 7) ϭ 60 Esto es, x 2 ϩ 7x – 60 ϭ 0 Esto se factoriza como (x – 5)(x ϩ 12) ϭ 0, de modo que x ϭ 5 o x ϭ Ϫ12. Pero, x no puede ser negativa, por lo que la edad de Bobby es 5. EJEMPLO 2 Una caja sin tapa se fabricará a partir de una hoja rectangular de ho- ja de lata, cortando cuadrados de 4 pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3 pulgadas menos que el largo y la caja con- tiene 280 pulgadas cúbicas, encuentre las dimensiones de la hoja de lata. 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS g Solución Si denotamos con x pulgadas el ancho de la caja, entonces su largo es (x ϩ 3) pulgadas y su altura 4 pulgadas. (Figura 1). El volumen de la caja está da- do por (Largo)(Ancho)(Altura) ϭ (x ϩ 3)(x)(4) ϭ 4x(x ϩ 3). 82 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE FIGURA 1 Pero la caja contiene 280 pulgadas cúbicas, de modo que 4x(x ϩ 3) ϭ 280 Dividiendo ambos lados entre 4, tenemos x(x ϩ 3) ϭ 70 x 2 ϩ 3x – 70 ϭ 0 (i) Comparando esto con la fórmula cuadrática ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 tenemos a ϭ 1, b ϭ 3, c ϭ Ϫ70. Entonces, por la fórmula cuadrática las raíces de (i) están dadas por x ϭ ϭ ϭ ϭ ϭ o ϭ 7 o Ϫ10 Pero x ϭ Ϫ10 no es aceptable, ya que x representa el ancho de la caja, y el ancho no puede ser un número negativo. Así x ϭ 7. Las dimensiones de la hoja de lata antes de que le cortemos las esquinas son x ϩ 8 y (x ϩ 3) ϩ 8. Ya que x ϭ 7, las dimensiones son 15 y 18 pulgadas. ☛ 16 EJEMPLO 3 (Renta de departamento) Steve es propietario de un edificio que tie- ne 60 departamentos. Él puede rentar todos los departamentos si cobra una renta de Ϫ3 Ϫ 17 ᎏ 2 Ϫ3 ϩ 17 ᎏ 2 Ϫ3 Ϯ 17 ᎏ 2 Ϫ3 Ϯ ͙9ෆ ϩ ෆ2 ෆ8ෆ0ෆ ᎏᎏ 2 Ϫ3 Ϯ ͙9ෆ Ϫ ෆ4 ෆ(1 ෆ)( ෆϪෆ7ෆ0ෆ)ෆ ᎏᎏᎏ 2(1) Ϫb Ϯ ͙bෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆcෆ ᎏᎏ 2a ☛ 16. Resuelva el ejemplo 2 si el ancho es 4 pulgadas menor que el largo y el volumen es de 240 pulgadas cúbicas. Respuesta 14 ϫ 18 pulgadas. g $180 mensuales. Con una renta mayor, algunos de los departamentos permanecerán vacíos; en promedio, por cada incremento de $5 en la renta, 1 departamento queda- rá vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre la renta que debe cobrar por cada departamento para obtener un ingreso total de $11,475. Solución Asigne a n el número de incrementos de 5 dólares. Entonces el aumento en la renta por departamento es 5n dólares, lo cual significa que la renta por depar- tamento es (180 ϩ 5n) dólares. Entonces el número de unidades no rentadas será n, de modo que el número de rentados será 60 – n. La renta total que él recibirá está dada por Ingreso por la renta ϭ (Renta por depto.) ϫ (Número de deptos. rentados) Por tanto, 11,475 ϭ (180 ϩ 5n)(60 – n) o bien, 11,475 ϭ 5(36 ϩ n)(60 – n) Dividiendo ambos miembros entre 5, obtenemos 2295 ϭ (36 ϩ n)(60 – n) ϭ 2160 ϩ 24n – n 2 Por tanto, n 2 – 24n ϩ 135 ϭ 0 (n – 9)(n – 15) ϭ 0 Por lo que n ϭ 9 o 15. Por consiguiente, la renta debe ser 180 ϩ 5n, que es 180 ϩ 45 ϭ $225 o 180 ϩ 75 ϭ $255. En el primer caso, 9 de los departamentos queda- rán vacantes y los 51 departamentos rentados producirán un ingreso de $225 cada uno. En el segundo caso, cuando la renta es $255, 15 departamentos quedarán va- cantes y sólo 45 rentados, pero el ingreso total será el mismo. ☛ 17 El ingreso de un negocio para un periodo de operación dado es el nombre da- do al total de lo que recibe durante ese periodo. La utilidad es igual a este ingreso menos el costo de operación para el periodo en cuestión. Escribimos esto Utilidad ϭ Ingreso – Costos Cuando los ingresos provienen de la venta de un bien particular, también tenemos la ecuación general Ingreso ϭ (Precio de venta por unidad) ϫ (Número de unidades vendidas) ☛ 18 EJEMPLO 4 (Decisión de precio) La cámara de comercio del huevo de Columbia Británica sabe por experiencias pasadas que si cobra p dólares por docena de hue- vos, el número vendido por semana será x millones de docenas, donde p ϭ 2 – x. Entonces su ingreso semanal total sería R ϭ xp ϭ x(2 – x) millones de dólares. El SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 83 ☛ 17. En el ejemplo 3, ¿cuál es el ingreso total por rentas, cuando la renta es de $200 mensuales? Respuesta $200 ϫ 56. ☛ 18. Una compañía vende su producto a $9 por unidad. Producir x unidades por semana cuesta $(4x ϩ 3000) ¿Cuáles son los ingresos y ganancias de la compañía, si x unidades se producen y venden por semana? Respuesta Ingreso ϭ 9x, utilidad ϭ 5x – 3000. g costo para la industria de producir x millones de docenas de huevos por semana es- tá dado por C ϭ 0.25 ϩ 0.5x millones de dólares. ¿A qué precio se deben vender los huevos para asegurar una utilidad de $0.25 millones? Solución La utilidad está dada por la siguiente ecuación: P ϭ R – C ϭ x(2 – x) – (0.25 ϩ 0.5x) ϭ Ϫx 2 ϩ 1.5x – 0.25 Haciendo ésta igual a 0.25, obtenemos la ecuación: Ϫx 2 ϩ 1.5x – 0.25 ϭ 0.25 o x 2 – 1.5x ϩ 0.5 ϭ 0 Utilizando la fórmula cuadrática, encontramos las raíces para x. x ϭ ϭ ϭ ϭᎏ 1 2 ᎏ (1.5 Ϯ 0.5) ϭ 1 o 0.5 Ahora p ϭ 2 – x. De modo que cuando x ϭ 1, tenemos p ϭ 1, y cuando x ϭ 0.5, p ϭ 1.5. Así, la cámara de comercio tiene una elección entre dos políticas. Puede cobrar $1 por docena, en cuyo caso las ventas serán de 1 millón de docenas, o pue- de cobrar $1.50 por docena, con lo que las ventas serán de 0.5 millones de docenas por semana. En cualquier caso las utilidades para la industria serán de $0.25 millo- nes por semana. En el ejemplo 6 de la sección 2-2 vimos que una suma P invertida a una tasa de interés de R% devenga una cantidad de interés de P(R/10) en un año. Al final del año, el valor total de la inversión es Capital inicial ϩ Interés ϭ P ϩ P ᎏ 1 R 00 ᎏ ϭ P 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ ☛ 19 EJEMPLO 5 (Inversión) Una suma de $400 se invirtió a una tasa de interés R% anual. Al final del año, el capital y el interés se dejan para que generen interés du- rante el segundo año. Determine R si el valor total de la inversión al final del segun- do año es $484. 1.5 Ϯ ͙2ෆ.2 ෆ5ෆ Ϫ ෆ2 ෆ ᎏᎏ 2 Ϫ(Ϫ1.5) Ϯ ͙(Ϫ ෆ1ෆ.5 ෆ) 2 ෆ Ϫ ෆ4 ෆ(1 ෆ)( ෆ0ෆ.5 ෆ)ෆ ᎏᎏᎏᎏ (2)(1) Ϫb Ϯ ͙bෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆcෆ ᎏᎏ 2a 84 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE ☛ 19. Una suma de $200 se invirtió durante 2 años a una tasa de interés de 6% anual. El interés del primer año no se retira y genera interés durante el segundo año. ¿Cuál es el valor final total de la inversión? Respuesta $200(1.06) 2 o $224.72 g Solución Al final del primer año, el valor total, como se analizó anteriormente, es P 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ ϭ 400 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ ϵ P 1 Este nuevo capital total genera interés durante el segundo año, de modo que el va- lor de la inversión al final del segundo año es P 1 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ ϭ 400 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ 2 Así, tenemos la ecuación cuadrática 400 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ 2 ϭ 484 que se resolverá para R. No la escribimos en la forma estándar, sólo tomamos las raíces cuadradas de ambos lados: 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ 2 ϭᎏ 4 4 8 0 4 0 ᎏϭ 1.21 de modo que 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏϭϮ1.1 R no puede ser negativa, de modo que la solución con sentido es 1 ϩR/100 ϭϩ1.1 o R ϭ 10. La tasa de interés es 10%. EJEMPLO 6 (Inversión) Una compañía desea reservar una suma de $1 millón pa- ra invertirlo a una tasa de interés y utilizarlo en una fecha posterior para liquidar dos emisiones de bonos que deberá pagar. Un año después de que la suma se invirtió por primera vez, se requerirán $250,000 para la primera emisión; un año después, se ne- cesitarán $900,000 más para la segunda emisión. Determine la tasa de interés nece- saria para que la inversión sea suficiente para cubrir ambos pagos. Solución Sea R% al año, la tasa de interés. Cuando se invierte a esta tasa, el valor de la inversión después de 1 año es P 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ ϭ (1 millón) 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ ϭ 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ millones de dólares En ese instante, se retiran 0.25 millones; por tanto, al inicio del segundo año, el monto aún invertido es (en millones), PЈ ϭ 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ Ϫ 0.25 ϭ 0.75 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ Después de un segundo año de interés, el valor de la inversión es PЈ 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ ϭ 0.75 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ Éste debe ser el monto (0.9 millones) necesario para pagar la emisión del segundo bono. Por tanto, llegamos a la ecuación 0.75 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ ϭ 0.9 SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 85 g 1. Determine dos números cuya suma sea 15, y la suma de sus cuadrados sea 137. 2. Determine dos enteros impares consecutivos cuyo produc- to sea 143. 3. Encuentre dos enteros consecutivos cuyo producto sea 132. 4. Encuentre dos enteros pares consecutivos, tal que la suma de sus cuadrados sea 100. 5. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 13 centímetros. Determine los otros dos lados del triángu- lo, si su suma es 17 centímetros. 6. El diámetro de un círculo es 8 centímetros. ¿En cuánto de- be aumentar el radio para que el área aumente 33 centí- metros cuadrados? 7. El perímetro de un rectángulo es de 20 pulgadas y su área de 24 pulgadas cuadradas. Determine las longitudes de sus lados. 8. El perímetro de un rectángulo es 24 centímetros y su área es 32 centímetros cuadrados. Encuentre las longitudes de sus lados. 9. Se quitan cuadrados iguales de cada esquina de una hoja metálica rectangular cuyas dimensiones son 20 por 16 pul- gadas. Después los lados se doblan hacia arriba para for- mar una caja rectangular. Si la base de la caja tiene un área de 140 pulgadas cuadradas, determine el lado del cuadrado que se quitó de cada esquina. 10. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye a par- tir de una pieza cuadrada de metal, cortando cuadrados de 2 pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arri- ba. Encuentre las dimensiones de la hoja metálica, si el vo- lumen de la caja debe ser de 50 pulgadas cúbicas. 11. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h (en pies), recorrida en t segundos, está dada por la fórmula h ϭ 80t – 16t 2 a. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanzará una altura de 64 pies? b. ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en regresar al piso? 86 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE Así, 0.75 ϩ 1.75 ᎏ 1 R 00 ᎏ ϩ ᎏ 1 R 00 ᎏ 2 ϭ 0.9 Multiplicando ambos miembros por 100 2 para eliminar las fracciones, llegamos a la ecuación 7500 ϩ 175R ϩ R 2 ϭ 9000 o R 2 ϩ 175R – 1500 ϭ 0 De la fórmula cuadrática (con a ϭ 1, b ϭ 175 y c ϭ Ϫ1500), encontramos el valor siguiente para R. R ϭ ϭ ᎏ 1 2 ᎏ [Ϫ175 Ϯ ͙3 ෆ0ෆ,6 ෆ2ෆ5ෆ ϩ ෆ6 ෆ0ෆ0ෆ0ෆ]ෆ ϭᎏ 1 2 ᎏ [Ϫ175 Ϯ ͙3ෆ6ෆ,6 ෆ2ෆ5ෆ] ϭ Ϸᎏ 1 2 ᎏ [Ϫ175 Ϯ 191.4] ϭ 8.2 o bien Ϫ183.2 Es claro que la segunda solución no tiene sentido práctico, una tasa de interés difí- cilmente sería negativa. La solución que tiene sentido es R ϭ 8.2. De modo que la inversión debe devengar 8.2% anual, a fin de proporcionar suficientes fondos para pagar la emisión de bonos. Ϫ175 Ϯ ͙1ෆ7ෆ5ෆ 2 ෆϪෆ4 ෆ(1 ෆ)( ෆϪෆ1ෆ5ෆ0ෆ0ෆ)ෆ ᎏᎏᎏᎏ 2(1) EJERCICIOS 2-4 g c. Determine la altura máxima que la pelota alcanza. (Su- gerencia: El tiempo de recorrido hacia arriba es igual a la mitad del tiempo en que regresa al piso). 12. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial de 128 pies por segundo. El proyectil está a una altura h después de t segundos del lan- zamiento, en donde h ϭ 128t – 16t 2 . a. ¿Después de cuánto tiempo el proyectil estará a una al- tura de 192 pies por encima del suelo? b. ¿En qué momento el proyectil regresará al suelo? De- termine la altura máxima que alcanza el proyectil. 13. (Problema de costo) Un vendedor vendió un reloj en $75. Su porcentaje de ganancia fue igual al precio de costo en dólares. Determine el precio de costo del reloj. 14. (Interés compuesto) Por cada $100 invertidos en présta- mos comerciales con garantía, un banco recibe $116.64 des- pués de 2 años. Esta cantidad representa el capital y el inte- rés compuesto anualmente. ¿Cuál es la tasa de interés anual? 15. (Interés compuesto) Dentro de dos años, la compañía XYZ requerirá $1,102,500 para retirar algunos de sus bo- nos. ¿A qué tasa de interés compuesto anualmente deben invertirse $1,000,000 durante el periodo de dos años para recibir la cantidad requerida para retirar los bonos? 16. (Renta de apartamentos) Royal Realty ha construido una unidad nueva de 60 apartamentos. Del pasado se sabe que si ellos cobran una renta mensual de $150 por apartamento, todas las viviendas se ocuparán, pero por cada incremento de $3 en la renta, es muy probable que un apartamento per- manezca vacante. ¿Cuál debe ser la renta que se debe co- brar para generar los mismos $9000 de ingreso total que se obtendrían con una renta de $150, y al mismo tiempo de- jar algunos apartamentos vacantes? 17. (Renta de apartamentos) En el ejercicio 16, el manteni- miento, los servicios y otros costos del edificio ascienden a $5000 por mes más $50 por cada apartamento ocupado y $20 por cada apartamento vacante. ¿Qué renta debe co- brarse, si la ganancia será de $1225 mensual? (La utilidad es el ingreso por las rentas menos todos los costos). 18. (Decisión de precio) Si un editor pone un precio de $20 a un libro, se venderán 20,000 copias. Por cada dólar que au- mente al precio se dejarán de vender 500 libros. ¿Cuál de- be ser el costo de cada libro para generar un ingreso total por la ventas de $425,000? 19. (Decisión de precio) En el ejercicio 18, el costo por pro- ducir cada copia es $16. ¿Qué precio debe cobrar el editor para tener una utilidad de $200,000? 20. (Decisión de precio) En el ejercicio 19, suponga que ade- más del costo de $16 por copia, el editor debe pagar rega- lías al autor del libro igual al 10% del precio de venta. ¿Ahora qué precio debe cobrar por copia para obtener una utilidad de $200,000? 21. (Inversión) Una suma de $100 se invirtió a un interés du- rante un año; después, junto con los intereses generados, se invierte durante un segundo año al doble de la primera tasa de interés. Si la suma total lograda es $112.32, ¿cuá- les son las dos tasas de interés? 22. (Inversión) En el ejercicio 21, se retiran $25 después del primer año y el resto se invierte al doble de la tasa de inte- rés. Si el valor de la inversión al final del segundo año es $88, ¿cuáles son las dos tasas de interés? 23. (Decisión de producción y de precio) Cada semana, una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de p dólares cada uno, en donde p ϭ 600 – 5x. A la compañía le cuesta (8000 ϩ 75x) dólares producir x uni- dades. a. ¿Cuántas unidades debe vender la compañía cada sema- na para generar un ingreso de $17,500? b. ¿Qué precio por unidad debe cobrar la compañía para obtener un ingreso semanal de $18,000? c. ¿Cuántas unidades debe producir y vender cada semana para obtener una utilidad semanal de $5500? d. ¿A qué precio por unidad la compañía generará un uti- lidad semanal de $5750? 24. (Decisión de producción y de precio) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana a un precio de p dólares por unidad, donde p ϭ200 – x. Producir x uni- dades cuesta (2800 ϩ 45x) dólares. a. ¿Cuántas unidades deben venderse cada semana para generar un ingreso de $9600? b. ¿A qué precio por unidad se generará un ingreso sema- nal de $9900? c. ¿Cuántas unidades debe producir y vender el fabricante cada semana para obtener una utilidad de $3200? d. ¿A qué precio por unidad obtendrá una utilidad sema- nal de $3150? 25. (Política de precios) Una Cámara Estatal del Vino compra whisky a $2 una botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas por semana) está dado por x ϭ 24 – 2p, cuando el precio es p. ¿Qué valor de p da un ingreso total de $7 millones por se- mana? ¿Qué valor de p da, a la Cámara del Vino, una utili- dad de $4.8 millones semanales? SECCIÓN 2-4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 87 g Términos, símbolos y conceptos importantes 2.1 Ecuación, solución o raíz de una ecuación. Ecuaciones equivalentes. Los principios de suma y multiplicación para ecuaciones. Ecuación polinomial, grado, ecuación lineal, ecuación cua- drática. Procedimiento paso a paso para resolver una ecuación li- neal. 2.2 Procedimiento paso a paso para manipular problemas plan- teados en palabras. Fórmula de interés anual. 2.3 Forma estándar de una ecuación cuadrática. Propiedad del factor cero: solución de una ecuación cua- drática por medio de factorización. Fórmula cuadrática. Propiedad de la raíz cuadrada: com- pletar el cuadrado. 2.4 Ingreso, costos, utilidad. Fórmulas Fórmula del interés anual: I ϭ P ᎏ 1 R 00 ᎏ Valor después de un año ϭ P 1 ϩᎏ 1 R 00 ᎏ Fórmula cuadrática: Si ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, entonces x ϭ Utilidad ϭ Ingreso – Costos Ingreso ϭ (Precio de venta por unidad) ϫ (Número de unida- des vendidas) Ϫb Ϯ ͙bෆ 2 ෆϪෆ 4 ෆaෆcෆ ᎏᎏ 2a 88 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE REPASO DEL CAPÍTULO 2 EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 2 1. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las pro- posiciones siguientes. Reemplace cada proposición falsa con una proposición verdadera. a Si ambos lados de una ecuación se multiplican por una constante, las raíces de la ecuación no se alteran. b. Cualquier expresión puede sumarse a ambos lados de una ecuación y las raíces seguirán siendo las mismas. c. Las raíces de una ecuación no se alteran cuando ambos lados se multiplican por una expresión que contiene la variable. d. Es posible elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación sin alterar sus raíces. e. Si px ϭ q, se sigue que x ϭ q Ϫ p. f. Una ecuación cuadrática es de la forma ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, en donde a, b y c son constantes cualesquiera. g. La solución de la ecuación x 2 ϭ 4 está dada por x ϭ 2. h. Las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, a 0, están dadas por x ϭϪᎏ 2 b a ᎏ Ϯ ͙b ෆ 2 ෆϪෆ 4 ෆaෆcෆ i. Una ecuación lineal siempre tiene exactamente una raíz. j. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces distintas. k. Es posible que una ecuación lineal no tenga raíces. l. Es factible que una ecuación cuadrática no tenga raíces. (2-29) Resuelva las siguientes ecuaciones para x. 2. 3(2 Ϫ x) ϩ x ϭ 5(2x Ϫ 1) ϩ 2 3. 2(1 Ϫ 4x) Ϫ 1 ϭ x Ϫ 2(2 Ϫ 3x) 4. 4(3x Ϫ 1) Ϫ 3(2x ϩ 1) ϭ 1 Ϫ 7x 5. 3(2x Ϫ 3) Ϫ 2(x ϩ 7) ϭ 4(x ϩ 1) Ϫ 3 6. 5x Ϫ 2(3x Ϫ 1) ϭ x Ϫ 2(1 Ϫ 5x) 7. (3x ϩ 1) 2 Ϫ (3x Ϫ 1) 2 ϭ 12x ϩ 7 8. x 2 ϩ 13x ϩ 40 ϭ 0 g 9. 3x 2 Ϫ 11x ϩ 10 ϭ 0 10. ᎏ 1 x ᎏ ϩᎏ 1 a ᎏ ϭᎏ b c ᎏ 11. ᎏ b x c ᎏ ϩᎏ c x a ᎏ ϩᎏ a x b ᎏ ϭ a ϩ b ϩ c 12. (3x Ϫ 2) 2 ϭ (3x ϩ 1) 2 13. (2x Ϫ 1) 2 ϭ 3x 2 ϩ (x Ϫ 1)(x Ϫ 2) 14. (2x ϩ 1)(x Ϫ 3) ϭ (2x ϩ 5)(x Ϫ 1) 15. (x ϩ 2)(x Ϫ 3) ϭ 2 ϩ (x Ϫ 1)(x Ϫ 2) 16. (x ϩ 1)(2x Ϫ 5) ϭ (x ϩ 2)(x Ϫ 3) 17. 1 ϩ (3x ϩ 4)(x Ϫ 2) ϭ (2x ϩ 1)(x Ϫ 3) 18. (x ϩ 2)(2x Ϫ 1) ϭ 1 ϩ (x ϩ 3)(x ϩ 1) 19. (x ϩ 1)(2x Ϫ 5) ϭ 2(x ϩ 2)(x ϩ 3) 20. 5x 2 ϭ 13x ϩ 6 21. ᎏ p x ᎏ ϩᎏ q x ᎏ ϩᎏ x r ᎏ ϭ pq ϩ qr ϩ rp 22. ᎏ x ϩ 1 2 ᎏϪᎏ 1 3 ᎏ ϭᎏ 1 5 ᎏ 23. 28 ϩ (x Ϫ 5)(x ϩ 7) ϭ (3x Ϫ 1)(x Ϫ 2) 24. ͙2 ෆxෆϩෆ 5 ෆ ϭ x ϩ 1 25. ͙x ෆϩෆ 5 ෆ ϭ x Ϫ 1 26. x ϩ 3 ϭ ͙5 ෆxෆϩෆ 1 ෆ1ෆ 27. ͙x ෆϪෆ 2 ෆ ϭ 2 Ϫ x 28. 2 x 2 ϭᎏ 4 8 x ᎏ 29. 4 x ϭ 8 3Ϫx (30-32) Resuelva las siguientes ecuaciones para las variables indicadas. 30. ᎏ 1 x ᎏ ϩᎏ 1 y ᎏ ϭᎏ 1 z ᎏ a. para y b. para z 31. S ϭᎏ a 1 Ϫ Ϫ r r l ᎏ a. para r b. para l 32. P ϭ P 0 (1 ϩ R/100) 2 a. para P 0 b. para R 33. (Inversiones) El ganador de la Lotería Nacional quiere invertir su premio de $100,000 en dos inversiones al 8 y 10%. ¿Cuánto debería invertir en cada una de ellas si desea obtener ingresos anuales por $8500? 34. (Embarque de muebles) El Mercado de Muebles de Occidente recibió 55 artículos, entre buroes y mesas para café. La factura fue por $645. Si cada buró cuesta $9 y cada mesa para café tiene un precio de $15, ¿cuántos artículos de cada tipo se recibieron? 35. (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto produc- to puede vender todo lo que produce al precio de $20 cada uno. Le cuesta $12.50 producir cada artículo por los mate- riales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $7000 al mes con el fin de operar la planta. Encuentre el número de unidades que debe producir y vender para obte- ner una utilidad de $5000 al mes. 36. (Decisiones sobre fabricación) Un fabricante de televiso- res decide producir sus propios cinescopios, ya que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $5.70 cada uno. La fabricación de los cinescopios acarreará costos adicionales de $960 al mes y el costo de mano de obra y materiales será de $4.20 por cada cinescopio. ¿Cuántos cinescopios debería usar al mes con el fin de justificar la decisión de fabricarlos? 37. (Utilidades del productor) El número de unidades de un producto que un fabricante puede vender a la semana depende del precio que les fije. Suponiendo que al precio de p dólares, pueden venderse x artículos a la semana, en donde x ϭ 300(6 Ϫ p). Cada unidad tiene costo de fabrica- ción de $3. La utilidad por artículo es, por lo tanto, (p Ϫ 3) dólares y la utilidad semanal es (p Ϫ 3)x dólares. Determi- ne el valor de p que producirá una utilidad semanal de $600. EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 2 89 g 38. (Decisiones sobre producción) Un fabricante puede ven- der x unidades de un producto a la semana a un precio de p dólares por unidad, en donde x ϭ 160(10 Ϫ p). Producir x unidades a la semana cuesta (4x ϩ400) dólares. ¿Cuántas unidades debería producir y vender para obtener una utili- dad semanal de $1000? 39. (Utilidades de una empresa) Una tintorería ofrece servicio 8 horas diarias de lunes a viernes y cierra el fin de semana. El establecimiento maneja 15 transacciones (operaciones) por hora, y el promedio de ingresos por transacción es de $6. El costo de mano de obra es de $16 por hora y el alqui- ler del local y el equipo de $560 semanales. El único cos- to adicional para el operador es en materias primas: C dó- lares por transacción. a. Exprese la utilidad semanal U en términos de C. b. Supongamos que la tintorería obtiene actualmente utili- dades de $600 a la semana. El costo de materias primas, esto es C, aumentará 20% el próximo mes. Los precios al público, se incrementarán 10%. Suponiendo que ningún otro factor varía y que, en particular, el negocio no decae, ¿cuál será la nueva utilidad por semana? 90 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE g CASO DE ESTUDIO 91 Con base en el texto de su epitafio, que aparece al inicio de este capítulo, podemos representar en lenguaje alge- braico lo expresado en él. Si denotamos con e la edad en años de Diofanto al morir, entonces la traducción de su epitafio en términos de la variable e es: Años de la niñez de Diofanto: e/6 años. Edad a la que su cara se cubrió de barba: e/6 ϩ e/12 años. Edad a la que contrajo matrimonio: e/6 ϩ e/12 ϩ e/7. Edad de Diofanto cuando se convirtió en papá: e/6 ϩ e/12 ϩ e/7 ϩ 5. CASO DE ESTUDI O LA EDAD DE DIOFANTO Edad de Diofanto cuando falleció su hijo: e/6 ϩ e/12 ϩ e/7 ϩ 5 ϩ e/2. Edad de Diofanto cuando murió: e/6 ϩ e/12 ϩ e/7 ϩ 5 ϩ e/2 ϩ 4. Por tanto, podemos plantear la siguiente ecuación: e/6 ϩ e/12 ϩ e/7 ϩ 5 ϩ e/2 ϩ 4 ϭ e en donde el miembro del lado izquierdo representa cada una de las partes de la vida de Diofanto descritas en el epitafio, y el miembro derecho (e) es la edad de Diofan- to. A partir de esta ecuación es fácil determinar su edad. Resuelva esta ecuación y responda las preguntas realizadas al inicio del capítulo. g 92 CAPÍ TULO 3 Desigualdades 3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE 3-3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE 3-4 VALORES ABSOLUTOS REPASO DEL CAPÍTULO T E M A R I O Como vimos en el capítulo anterior, para modelar situa- ciones de la vida real es necesario plantear ecuaciones, pero quizá con mayor frecuencia de lo que uno cree, se necesita expresar con un modelo matemático situaciones que incluyen restricciones debidas a la materia prima, a un mínimo de producción, a un nivel mínimo de ganancia o a un máximo poder adquisitivo, etcétera. Por ejemplo: una compañía debe proporcionar a sus representantes de ventas un automóvil para uso oficial. Con el fin de simplificar el problema suponga que sólo se tiene un representante de ventas. Entonces la compañía debe decidir entre comprar, o bien, rentar un automóvil. Después de analizar diferentes propuestas de empresas automotrices, tiene las dos opciones siguientes. a) Comprar un automóvil con un desembolso ini- cial de $60,600, más 24 mensualidades fijas de $4700, incluye el pago de un seguro para auto- móvil. Al término de los 24 meses, el automóvil se puede vender en $70,000, lo que se conoce como valor de rescate. b) Rentar un automóvil, por $3000 mensuales, más $0.60 por kilómetro recorrido y un pago único de $5000 por concepto de seguro para automó- vil con vigencia de dos años. La empresa considera que en promedio su representante viaja 2000 kilómetros al mes, y esto no cambiará en los próximos dos años. Aquí lo único que debe hacer la empresa es calcu- lar el costo en ambos planes. Al final de los dos años, 24 meses, el plan A impli- ca un gasto de $103,400, mientras que en el plan B el gas- to asciende a $105,800. Por lo que se debería elegir el plan A. Pero, si el precio por kilómetro aún se puede nego- ciar, ¿a partir de qué precio por kilómetro es mejor el plan B que el plan A? En este capítulo se estudiarán métodos para la resolución de problemas como éste. Y la solución aparece al final del capítulo. g Definimos a Նb (a es mayor o igual que b) para indicar que a Ͼb o que a ϭ b. De manera similar, a Յ b (a es menor o igual que b) se usa para señalar que a Ͻ b o a ϭ b. Por ejemplo, 5 Յ 7 es cierto y 5 Ն 5 porque 5 ϭ 5 se cumple. Proposiciones tales como a Ͻ b, a Ͼ b, a Ն b o a Յ b se llaman desigualda- des. En particular, a Ͼb y a Ͻb son desigualdades estrictas. La desigualdad a Ͼb puede escribirse en forma equivalente en la dirección opuesta como b Ͻ a. Así, 5 Ͼ 3 es lo mismo que 3 Ͻ 5. Cuando un número b está entre dos números a y c con a Ͻc, escribimos a Ͻb Ͻ c. La doble desigualdad se utiliza para indicar que a Ͻ b y que b Ͻ c. ☛ 1 Conjuntos El conocimiento de los conjuntos y de las operaciones entre conjuntos es básico en todas las matemáticas modernas. Una gran cantidad de largas proposiciones mate- máticas pueden escribirse clara y concisamente en términos de conjuntos y de ope- raciones entre ellos. DEFINICIÓN Toda colección de objetos bien definida se llama conjunto. Los objetos de que consta un conjunto se denominan miembros o elementos de un con- junto. SECCIÓN 3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS 93 Empecemos recordando las definiciones de los símbolos Ͻ, Յ, Ͼ y Ն, denomina- dos símbolos de desigualdad. Los números reales distintos de cero se dividen en dos clases, los números positivos y los números negativos. Escribimos a Ͼ 0 (a es mayor que cero) para in- dicar que a es positivo y a Ͻ 0 (a es menor que cero) para señalar que a es negati- vo. La suma a ϩ b y el producto a и b de dos números reales positivos son ambos positivos. Si a es positivo, entonces Ϫa es negativo. Si a y b son dos números reales distintos, escribimos a Ͼ b si la diferencia a Ϫ b es positiva y a Ͻ b si a Ϫ b es negativa. Por ejemplo, 5 Ͼ 2 porque 5 Ϫ 2 es positivo y 2 Ͻ 8 dado que 2 Ϫ 8 ϭϪ6 es negativo. Geométricamente, a Ͼ b signi- fica que el punto sobre la recta numérica que representa a a está a la derecha del punto que representa al número b, y a Ͻ b significa que el punto que representa a a está a la izquierda del punto que representa a b. (Figura 1). 3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS FIGURA 1 ☛ 1. ¿Las siguientes proposicio- nes son falsas o verdaderas? (a) Ϫ5 ՅϪ7 (b) 3 ϾϪ4 (c) Si x Ͼ Ϫ5 entonces Ϫ5 Յ x (d) Existe x tal que Ϫ3 Յ x Յ Ϫ4 Respuesta (a) Falsa (b) Verdadera (c) Verdadera (d) Falsa g Por una colección bien definida, entendemos que dado cualquier objeto, po- demos decidir sin ambigüedad alguna si pertenece o no a la colección. Un conjunto puede especificarse en dos formas, haciendo una lista de todos sus elementos o estableciendo una regla que caracterice a los elementos del conjun- to. Examinemos estos dos métodos, uno por uno. MÉTODO DEL LISTADO Si es posible especificar todos los elementos de un conjunto, éste puede describirse listando todos los elementos y encerrando la lista entre llaves. Por ejemplo, {1, 2, 5} denota al conjunto que consta de los tres números 1, 2 y 5 y {p, q} simboliza el conjunto cuyos únicos elementos son las letras p y q. En casos en que el conjunto contiene un gran número de elementos, es posi- ble emplear a menudo lo que llamaremos una lista parcial. Por ejemplo, {2, 4, 6, . . . , 100} denota al conjunto de todos los enteros pares desde 2 hasta 100. Tres puntos suspensivos, . . . , se usan para señalar que la sucesión de elementos continúa de manera tal que es clara con base en los primeros elementos listados. La sucesión termina en 100. Por medio de los puntos suspensivos, el método de la lista puede emplearse en casos en los cuales el conjunto en cuestión contiene un número infini- to de elementos. Por ejemplo, {1, 3, 5, . . . } denota al conjunto de todos los núme- ros naturales impares. La ausencia de números después de los puntos suspensivos indica que la sucesión no termina, sino que continúa indefinidamente. MÉTODO DE LA REGLA Existen muchos ejemplos en los que no es posible o que no sería conveniente listar todos los elementos de un conjunto determinado. En tales casos el conjunto puede especificarse estableciendo una regla de pertenencia. Por ejemplo, consideremos el conjunto de todas las personas que viven en México en este momento. Especificar este conjunto listando todos sus elementos por nombres sería una tarea prodigiosa. En lugar de ello lo podemos denotar de la siguiente manera. {x x es una persona que actualmente vive en México} El símbolo significa tal que, de modo que esta expresión se lee: el conjunto de to- das las x tales que x es una persona que actualmente vive en México. La afirmación que sigue a la barra vertical dentro de las llaves es la regla que especifica la perte- nencia al conjunto. Como un segundo ejemplo, consideremos el conjunto. {x x es un punto de esta página} el cual denota el conjunto de todos los puntos de esta página. Éste es un ejemplo de un conjunto que no puede especificarse mediante el método del listado, aun si de- seáramos hacerlo así. Una gran cantidad de conjuntos puede especificarse por el listado o estable- ciendo una regla, y podemos elegir el método que más nos agrade. Daremos varios ejemplos de conjuntos, algunos de los cuales pueden especificarse usando ambos métodos. 94 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES g EJEMPLO 1 (a) Si N denota el conjunto de todos los números naturales, entonces pode- mos escribir N ϭ {1, 2, 3, . . . } ϭ {k k es un número natural} (b) Si P denota el conjunto de los enteros de Ϫ2 a ϩ3, entonces P ϭ {Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3} ϭ {x x es un entero Ϫ2 Յ x Յ 3} Observe que la regla de pertenencia consta de dos condiciones separadas por una coma. Cualquier elemento del conjunto debe satisfacer ambas condiciones. (c) Q ϭ {1, 4, 7, . . . , 37} ϭ {x x ϭ 3k ϩ 1, k es un entero, 0 Յ k Յ 12} (d) El conjunto de todos los estudiantes actualmente inscritos en la Facultad de Contaduría y Administración puede escribirse formalmente como S ϭ {x x es un estudiante inscrito actualmente en la Facultad de Contaduría y Administración} Este conjunto podría especificarse también listando los nombres de todos los estu- diantes involucrados. (e) El conjunto de todos los números reales mayores que 1 y menores que 2 puede especificarse mediante el método de la regla como T ϭ {x x es un número real, 1 Ͻ x Ͻ 2} ☛ 2 Se dice que un conjunto es finito si su número de elementos es finito; es de- cir, si pueden contarse. Si el número de elementos de un conjunto no es finito, se di- ce que es un conjunto infinito. En el ejemplo 1, todos los conjuntos de las partes (b), (c) y (d) son finitos, pero los correspondientes a las partes (a) y (e) son infinitos. Se acostumbra usar letras mayúsculas para denotar los conjuntos y letras mi- núsculas para sus elementos. Observe que seguimos esta convención en el ejemplo 1. Si A es un conjunto arbitrario y x cualquier objeto, la notación x ʦ A se utiliza para indicar el hecho de que x es un elemento de A. La afirmación x ʦ A se lee x pertenece a A o x es un elemento de A. La afirmación negativa x no es un elemen- to de A se indica escribiendo x ∉ A. En la parte (b) del ejemplo 1, 2 ∈ P pero 6 ∉ P. En el caso del conjunto de la parte (e), ͙2 ෆ ∈ T y ᎏ 3 2 ᎏ ∈ T, pero 2 ∉ T y ∉ T. DEFINICIÓN Un conjunto que no contiene elementos se denomina un conjunto vacío. También se utiliza el término conjunto nulo. Con el símbolo лse denota un conjunto que es vacío y la proposición A ϭл significa que el conjunto A no contiene elementos. Entre los ejemplos de conjuntos vacíos están los siguientes: {x x es un entero y 3x ϭ 2} SECCIÓN 3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS 95 ☛ 2. Liste los elementos que pertenecen a los conjuntos: (a) {xx es un número natural, Ϫ1 Յ x Յ 5} (b) {xx ϭ (k ϩ 4) Ϫ1 , k es un ente- ro, Ϫ2 Յ k Յ 2} Respuesta (a) {1, 2, 3, 4} (b) { ᎏ 1 2 ᎏ , ᎏ 1 3 ᎏ , ᎏ 1 4 ᎏ , ᎏ 1 5 ᎏ , ᎏ 1 6 ᎏ } g {x x es un número real y x 2 ϩ 1 ϭ 0}. El conjunto de todos los dragones vivientes. El conjunto de todos los imanes que sólo tienen un polo. ☛ 3 DEFINICIÓN Se dice que un conjunto A es un subconjunto de otro conjunto B si cada elemento de A también es un elemento de B. En tal caso, escribimos A ʕ B. Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B si todo elemento de A está en B pero existe al menos un elemento de B que no está en A. En este caso escribimos A ʚ B. EJEMPLO 2 (a) Sea A ϭ {2, 4, 6} y B ϭ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Entonces A ʚ B. (b) Si N es el conjunto de todos los números naturales, I es el conjunto de to- dos los enteros, Q es el conjunto de todos los números racionales y R es el conjun- to de todos los números reales, entonces N ʚ I ʚ Q ʚ R (c) El conjunto de todas las estudiantes de la Universidad Nacional Autóno- ma es un subconjunto del conjunto de todos los estudiantes de esa universidad. (d) Todo conjunto es un subconjunto de sí mismo; es decir, A ʕ A para cualquier conjunto A Sin embargo, la afirmación A ʚ A no es verdadera. (e) Un conjunto vacío л es un subconjunto de cualquier conjunto A: л ʕ 〈 para cualquier conjunto A Con el propósito de explicar esta última afirmación con más detalle, reformu- lemos la definición de subconjunto: B es un subconjunto de A si y sólo si no hay elementos en B que no pertenezcan a A. Es claro que no existen elementos que per- tenezcan a л y no pertenezcan a A por la simple razón de que л no tiene elemen- tos. En consecuencia, л ʕ A. ☛ 4 Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. En forma más precisa, tenemos la siguiente definición. DEFINICIÓN Se dice que dos conjuntos, A y B, son iguales si A ʕ B y B ʕ A. En tal caso, escribimos A ϭ B. 96 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES ☛ 3. ¿Las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas? (a) 2 ∈ {x0 < x 2 Յ 2} (b) ᎏ 2 3 ᎏ ∉ {xx ϭ 1 Ϫ k Ϫ1 , k es un número natural} (c) 0 ∈ л Respuesta (a) Falsa (b) Falsa (c) Falsa ☛ 4. Liste todos los subconjuntos de {1, 2, 3} Respuesta {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅ g En consecuencia A ϭ B si no existen objetos que pertenezcan a A y que no pertenezcan a B, o que pertenezcan a B y no pertenezcan a A. EJEMPLO 3 (a) Si A ϭ {x x 2 ϭ 1} y B ϭ {Ϫ1, ϩ1}, entonces A ϭ B. (b) Si A ϭ {y y 2 Ϫ 3y ϩ 2 ϭ 0} y B ϭ {1, 2}, entonces A ϭ B. ☛ 5 Intervalos DEFINICIÓN Sean a y b dos números reales tales que a Ͻ b. Entonces el inter- valo abierto de a a b, denotado por (a, b), es el conjunto de todos los números rea- les x situados entre a y b. Así, (a, b) ϭ {x x es un número real y a Ͻ x Ͻ b} De manera similar, el intervalo cerrado de a a b, denotado por [a, b] es el conjun- to de todos los números reales situados entre a y b pero que también incluye a és- tos. Por tanto, [a, b] ϭ {x x es un número real y a Յ x Յ b} Los intervalos semicerrados, o semiabiertos, se definen de la siguiente manera: (a, b] ϭ {x a Ͻ x Յ b} [a, b) ϭ {x a Յ x Ͻ b} Observación La afirmación de que x es un número real se ha omitido de las reglas que definen estos conjuntos. Esto por lo regular se hace para evitar repeticio- nes cuando se trabaja con conjuntos de números reales. ☛ 6 Para todos estos intervalos, (a, b), [a, b], [a, b) y (a, b], a y b se denominan los extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos, mien- tras que un intervalo cerrado contiene a ambos extremos. Un intervalo semicerrado contiene sólo uno de sus extremos. Los métodos de representar tales intervalos se muestran en la figura 2. SECCIÓN 3-1 CONJUNTOS E INTERVALOS 97 FIGURA 2 ☛ 5. ¿Las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas? (a) {xϪ 1 Յ x Յ 1} ʚ {xx 2 Ͻ 4} (b) {0, 1, 3, 4} ʕ {xx 2 4} (c) {0, 3} ϭ {xx 2 ϭ 3x} Respuesta (a) Verdadera (b) Verdadera (c) Verdadera ☛6. ¿Las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas? (a) 2 ʦ [Ϫ2, 2) (b) 2 ʦ (Ϫ2, 2] (c) Ϫ2 ʦ (Ϫ4, q) Respuesta (a) Falsa (b) Verdadera (c) Verdadera g (1-8) Utilice del método de listado para describir los siguien- tes conjuntos. 1. El conjunto de todos los enteros menores que 5 y mayores que Ϫ2. 2. El conjunto de todos los naturales menores que 50. 3. El conjunto de todos los enteros menores que 5. 4. El conjunto de todos los números pares mayores que 4. 5. El conjunto de todos los primos menores que 20. 6. Ά y Έ y ϭ ᎏ h ϩ 1 2 ᎏ, h es un número natural · 7. {x x es un factor primo de 36} 8. Ά p Έ p ϭ ᎏ n Ϫ 1 1 ᎏ, n es un número primo menor que 20 · (9-16) Utilice el método de la regla para describir los siguien- tes conjuntos. 9. El conjunto de todos los números pares menores que 100. 10. El conjunto de todos los números primos menores que 30. 11. {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 19} 12. { . . . , Ϫ4, Ϫ2, 0, 2, 4, 6, . . . } 13. {3, 6, 9, . . . } 14. {1, ᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 1 3 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏ, . . . } 15. El intervalo [Ϫ1, 1]. 16. El intervalo (1, q). (17-20) Escriba los siguientes conjuntos de números en forma de intervalos. 17. 3 Յ x Յ 8 18. Ϫ2 Ͻ y Յ 7 19. Ϫ3 Ͼ t ϾϪ7 20. t ՆϪ5 (21-24) Escriba los siguientes intervalos como desigualdades. 21. [2, 5) 22. (Ϫ3, 7) 23. (Ϫq, 3) 24. (Ϫ2, q) 25. Establezca si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son falsas, explique por qué. a. 2 ʦ {1, 2, 3} b. 3 ʕ {1, 2, 3, 4} c. 4 ʦ {1, 2, 5, 7} d. {a, b} ʕ {a, b, c} e. л ϭ 0 f. {0} ϭл g. 0 ʦ л h. л ʦ {0} i. л ʕ {0} j. {1, 2, 3, 4} ϭ {4, 2, 1, 3} k. Ά x Έ ᎏ (x x Ϫ Ϫ 2 2 ) 2 ᎏϭ 0 · ϭ {x x Ϫ 2 ϭ 0} l. Si A ʕ B y B ʕ C, entonces A ʕ C 98 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES Para describir intervalos no acotados usamos los símbolos q(infinito) y Ϫq (menos infinito). (Revise la figura 3). Observe que qy Ϫqno son números reales. FIGURA 3 (a) (a, q) ϭ{xx Ͼa} (b) (a, q) ϭ{xx Նa} (c) (Ϫq, a) ϭ{xx Ͻa} (d) (Ϫq, a) ϭ{xx Յa} EJERCICIOS 3-1 g m. Si A ʕ B y B ʕ A, entonces A ϭ B. n. El conjunto de todos los rectángulos del plano es un subconjunto del conjunto de todos los cuadrados del plano. o. El conjunto de todos los triángulos equiláteros es un subconjunto del conjunto de todos los triángulos. p. El intervalo abierto (a, b) es un subconjunto del inter- valo cerrado [a, b]. q. {x 2 Յ x Յ 3} ʦ {y 1 Յ y Յ 5} r. {x 1 Յ x Յ 2} ϭ {y 1 Յ y Յ 2} 26. Si A es el conjunto de todos los cuadrados del plano, B el conjunto de todos los rectángulos del plano y C es el con- junto de todos los cuadriláteros del plano, entonces, ¿cuál de estos conjuntos es un subconjunto de otro (o de qué otros)? 27. Demuestre que el conjunto {x x 2 Ϫ x Ϫ 2 ϭ 0} no es un subconjunto del intervalo [0, q). 28. El conjunto {x x (x 2 Ϫ 1) ϭ 0} ¿es un subconjunto del intervalo (0, q)? 29. El conjunto {x x 2 Ϫ x Ϫ 6 ϭ 0} ¿es un subconjunto de los números naturales? 30. El conjunto {x 2x 2 Ϫ 3x ϩ 1ϭ 0} ¿es un subconjunto de los enteros? ¿De los números racionales? SECCIÓN 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE 99 En esta sección, consideraremos desigualdades que requieren una sola variable. El ejem- plo siguiente se refiere a un sencillo problema de negocios que conduce a una de tales de- sigualdades. El costo total (en dólares) de producción de x unidades de cierto artículo está dado por C ϭ 3100 ϩ 25x y cada unidad se vende a $37. El fabricante quiere saber cuántas uni- dades deberá producir y vender para obtener una utilidad de al menos $2000. Supongamos que se producen y venden x unidades. El ingreso I obtenido por ven- der x unidades en $37 cada una es I ϭ 37x dólares. La utilidad U (en dólares) obtenida por producir y vender x unidades está dada entonces por las siguientes ecuaciones: Utilidad ϭ Ingresos Ϫ Costos U ϭ 37x Ϫ (3100 ϩ 25x) ϭ 12x Ϫ 3100 Dado que la utilidad requerida debe ser al menos de $2000, es decir, debería ser de $2000 o más, debemos hacer que P Ն 2000 o bien 12x Ϫ 3100 Ն 2000 (1) Ésta es una desigualdad en la variable x. Observemos que los términos que apare- cen son de dos tipos: términos constantes o términos que son múltiplos constantes de la variable x. Cualquier desigualdad que sólo tiene estos dos tipos de términos se denomina desigualdad lineal. Si el símbolo de desigualdades es Ͼ o Ͻ la desigualdad es estricta; si el símbolo es Ն o Յ, se dice que es débil. 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE g EJEMPLO 1 (a) 3 Ϫ x Յ 2x ϩ 4 es una desigualdad lineal débil en la variable x. (b) ᎏ 1 4 ᎏ z ϩ 3 Ͼ 5 Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ z es una desigualdad lineal estricta en la variable z. Cualquier desigualdad puede escribirse en una forma equivalente, intercam- biando los dos lados e invirtiendo el sentido del signo de la desigualdad. Por ejem- plo, x Ͼ 3 es equivalente a 3 Ͻ x; el ejemplo 1(a) es equivalente a 2x ϩ 4 Ն 3 Ϫ x. DEFINICIÓN La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de to- dos los valores de la variable para los cuales la desigualdad es una proposición ver- dadera. Por ejemplo, la solución de la desigualdad (1) es el conjunto de todos los va- lores x (el número de unidades vendidas) que producen una utilidad de al menos $2000. A semejanza de las ecuaciones, la solución de una desigualdad se encuentra efectuando ciertas operaciones sobre la desigualdad, con el propósito de transfor- marla en alguna forma estándar. Hay dos operaciones básicas que se utilizan en el manejo de las desigualdades; ahora estableceremos las reglas que gobiernan estas operaciones. 100 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES Respuesta (a) x ՆϪ10 (b) x Ϫ 10 Ͻ Ϫ3 Regla 1 Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigual- dad, el sentido de la desigualdad no se altera. En símbolos, si a Ͼ b y c es cualquier número real, entonces a ϩ c Ͼ b ϩ c y a Ϫ c Ͼ b Ϫ c EJEMPLO 2 (a) Es claro que 8 Ͼ 5 es una proposición verdadera. Si sumamos 4 a ambos lados, obtenemos 8 ϩ 4 Ͼ 5 ϩ 4 o 12 Ͼ 9, que sigue siendo cierta. Si restamos 7 a ambos lados obtenemos 8 Ϫ 7 Ͼ 5 Ϫ 7 o 1 ϾϪ2, que de nuevo es válida. (b) Sea x Ϫ 1 Ͼ 3. Sumando 1 a ambos lados, obtenemos x Ϫ 1 ϩ 1 Ͼ 3 ϩ 1 o bien x Ͼ 4 El conjunto de valores de x para los cuales x Ϫ 1 Ͼ 3 es el mismo conjunto para el cual x Ͼ 4. ☛ 7 En el ejemplo 2 observamos que la igualdad x Ͼ 4 puede obtenerse de la de- sigualdad original x Ϫ 1 Ͼ 3, pasando el término Ϫ1 del lado izquierdo al derecho y cambiando su signo. En general, la regla anterior nos permite efectuar este tipo de operación: cualquier término puede pasarse de un lado al otro de una desigualdad ☛ 7. Sume Ϫ5 a ambos miembros de las siguientes desigualdades: (a) x ϩ 5 ՆϪ5 (b) x Ϫ 5 Ͻ 2 g después de cambiar su signo sin alterar el sentido de la desigualdad. En símbolos, si a Ͼ b ϩ c, entonces a Ϫ b Ͼ c y a Ϫ c Ͼ b. EJEMPLO 3 (a) Si 8 Ͼ 5 ϩ 2, entonces 8 Ϫ 2 Ͼ 5. (b) De 2x Ϫ 1 Ͻx ϩ 4 se sigue que 2x Ϫ x Ͻ4 ϩ 1. Tanto x como Ϫ1 se pa- saron de un lado a otro. Entonces, al simplificar obtenemos x Ͻ 5. SECCIÓN 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE 101 ☛8. Multiplique ambos miembros de las siguientes desigualdades por Ϫ2: (a) 2x ϾϪ3 (b) Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ x Յ 3 Ϫ x Respuesta (a) Ϫ4x Ͻ 6 (b) x ՆϪ6 ϩ 2x Regla 2 El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o divi- den) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo. En símbolos, si a Ͼ b y c es cualquier número positivo, entonces ac Ͼ bc y ᎏ a c ᎏ Ͼ ᎏ b c ᎏ mientras que si c es un número negativo arbitrario, entonces ac Ͻ bc y ᎏ a c ᎏ Ͻ ᎏ b c ᎏ EJEMPLO 4 (a) Sabemos que 4 ϾϪ1 es una proposición verdadera. Multiplicando ambos lados por 2, obtenemos 8 ϾϪ2 que aún es válida. Pero si la multiplicamos por (Ϫ2), debemos invertir el sentido de la desigualdad. Obtenemos (Ϫ2)(4) Ͻ (Ϫ2)(Ϫ1) o bien Ϫ8 Ͻ 2 que otra vez es válida. (b) Si 2x Յ 4, entonces podemos dividir ambos lados entre 2 y obtener la de- sigualdad equivalente 2x/2 Յ 4/2 o x Յ 2. (c) Si Ϫ3x Ͻ12, podemos dividir entre Ϫ3, que es negativo, de modo que de- bemos invertir el sentido de la desigualdad: ᎏ Ϫ Ϫ 3 3 x ᎏϾ ᎏ Ϫ 12 3 ᎏ o bien x ϾϪ4 ☛ 8 Antes de considerar más ejemplos, deduciremos estas dos reglas básicas. DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA 1 Supongamos que a Ͼ b, y sea c cualquier nú- mero real. Si a Ͼ b, entonces por definición a Ϫ b Ͼ 0. Consideremos ahora la diferencia entre (a ϩ c) y (b ϩ c): (a ϩ c) Ϫ (b ϩ c) ϭ a ϩ c Ϫ b Ϫ c ϭ a Ϫ b Ͼ 0 g Pero, dado que (a ϩ c) Ϫ (b ϩ c) es positivo, esto significa que a ϩ c Ͼ b ϩ c que es lo que deseamos encontrar. DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA 2 De nuevo, supongamos que a Ͼ b, y sea c cualquier número real positivo. Entonces, como antes, a Ϫ b Ͼ0. Así a Ϫ b y c son números positivos, de modo que su producto también es positivo: (a Ϫ b) c Ͼ 0 Es decir, ac Ϫ bc Ͼ 0 Se sigue, por tanto, que ac Ͼ bc, como se requería. Si, por otro lado, c fuera nega- tivo, el producto (a Ϫ b)c sería negativo, puesto que un factor sería positivo y el otro negativo. Se sigue que ac Ϫ bc Ͻ 0 y de aquí, ac Ͻ bc, como se requería. EJEMPLO 5 Encuentre todos los números reales que satisfacen la desigualdad 3x ϩ 7 Ͼ 5x Ϫ 1 Solución Pasamos todos los términos en x a un lado de la desigualdad y todos los términos constantes al otro. Al pasar 5x al lado izquierdo y 7 al lado derecho, cam- biando sus signos y simplificando obtenemos las siguientes desigualdades: 3x Ϫ 5x ϾϪ1 Ϫ 7 (Regla 1) Ϫ 2x ϾϪ8 Enseguida, dividimos ambos lados entre Ϫ2 y cambiamos el sentido de la de- sigualdad (puesto que Ϫ2 es negativo). ᎏ Ϫ Ϫ 2 2 x ᎏϽᎏ Ϫ Ϫ 8 2 ᎏ (Regla 2) x Ͻ 4 Por tanto, la solución consta del conjunto de números reales en el intervalo (Ϫq, 4). Esto se ilustra en la figura 4. 102 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES FIGURA 4 EJEMPLO 6 Resuelva la desigualdad y ϩᎏ 3 4 ᎏ Յ ᎏ 5y 3 Ϫ 2 ᎏϩ 1 g Solución Antes que nada, debemos eliminar las fracciones de la desigualdad. Aquí, el denominador común es 12, de modo que multiplicamos ambos lados por 12. 12 y ϩᎏ 3 4 ᎏ Յ 12 ᎏ 5y 3 Ϫ 2 ᎏϩ 1 12y ϩ 9 Յ 4(5y Ϫ 2) ϩ 12 12y ϩ 9 Յ 20y Ϫ 8 ϩ 12 12y ϩ 9 Յ 20y ϩ 4 Pasando los términos en y a la izquierda y los términos constantes a la derecha, ob- tenemos 12y Ϫ 20y Յ 4 Ϫ 9 Ϫ8y ՅϪ5 Enseguida, dividimos ambos lados entre Ϫ8 e invertimos el sentido de la desigual- dad (porque Ϫ8 es negativo). y Նᎏ Ϫ Ϫ 5 8 ᎏ o bien y Ն ᎏ 5 8 ᎏ De aquí, la solución consta del conjunto de números reales mayores o iguales que ᎏ 5 8 ᎏ , es decir, de los números reales incluidos en el intervalo [ ᎏ 5 8 ᎏ , q). Este conjunto se ilustra en la figura 5. ☛ 9 SECCIÓN 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE 103 FIGURA 5 EJEMPLO 7 Resuelva la doble desigualdad en x. 8 Ϫ 3x Յ 2x Ϫ 7 Ͻ x Ϫ 13 Solución De la sección 3-1, recuerde que la doble desigualdad a Յb Ͻc significa que a Յ b y al mismo tiempo b Ͻ c. La doble desigualdad considerada es equiva- lente a las dos desigualdades siguientes: 8 Ϫ 3x Յ 2x Ϫ 7 y 2x Ϫ 7 Ͻ x Ϫ 13 Resolvemos estas dos desigualdades por separado por los métodos antes descritos. Y tenemos x Ն 3 y x ϽϪ6 Ambas desigualdades deben ser satisfechas por x. Pero es imposible que tanto x Ն3 como x ϽϪ6 puedan satisfacer a la vez. Por lo que no hay solución; ningún núme- ro real satisface la doble desigualdad. ☛ 10 EJEMPLO 8 Determine la solución de la doble desigualdad 7 Ͼ 5 Ϫ 2x Ն 3 ☛9. Determine las soluciones en la notación de intervalos: (a) 1 Ϫ x Ͻ 3 Ϫ 2x (b) x ϩ 4 Ն 4x Ϫ 2 Respuesta (a) (Ϫq, 2) (b) (Ϫq, 2] ☛ 10. Determine la solución y dibújela en la recta numérica: 3x Ϫ 2 Յ 2 Ϫ x Ͻ x ϩ 6 Respuesta Ϫ2 Ͻ x Յ 1 ( g Solución En este caso, como x aparece sólo en la expresión de en medio, podemos manipular juntas las tres partes de la desigualdad. Primero restamos 5 de las tres partes: 7 Ϫ 5 Ͼ 5 Ϫ 2x Ϫ5 Ն 3 Ϫ 5 o 2 Ͼ Ϫ2x Ն Ϫ2 Ahora, dividimos todo entre Ϫ2, invirtiendo ambos signos de desigualdad: Ϫ1 Ͻ x Յ 1 La solución consiste en el intervalo semicerrado (Ϫ1, 1]. EJEMPLO 9 (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto artículo puede ven- der todo lo que produce al precio de 60 dólares cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1000 a la semana. Solución Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. En- tonces el costo total de producir x unidades es de $3000 más $40 por artículo, lo cual es (40x ϩ 3000) dólares El ingreso obtenido por vender x unidades a $60 cada una será de 60x dólares. Por tanto, Utilidad ϭ Ingresos Ϫ Costos ϭ 60x Ϫ (40x ϩ 3000) ϭ 20x Ϫ 3000 Puesto que deseamos obtener una ganancia de al menos $1000 al mes, tenemos las siguientes desigualdades: Utilidad Ն 1000 20x Ϫ 3000 Ն 1000 20x Ն 4000 x Ն 200 En consecuencia, el fabricante deberá producir y vender al menos 200 unidades ca- da semana. ☛ 11 EJEMPLO 10 (Decisiones de fabricación) El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adqui- riendo de proveedores externos a $1.10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $800 al mes y el costo de ma- terial y de mano de obra será de 60¢ por cada empaque. ¿Cuántos empaques debe- rá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empa- ques? 104 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES ☛ 11. Un rectángulo tiene perímetro de 24 unidades. Si la diferencia entre los dos lados es menor que 6 unidades, determine el intervalo de valores para la longitud del lado más largo. Respuesta [6, 9). g Solución Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Enton- ces, el costo de adquirir x empaques a $1.10 cada uno es de 1.10x dólares. El costo de fabricar x empaques es de $0.60 por empaque más costos generales de $800 al mes, de modo que el costo total es (0.60x ϩ 800) dólares Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente: Costo de adquisición Ͼ Costo de fabricación 1.10x Ͼ 0.60x ϩ 800 1.10x Ϫ 0.60x Ͼ 800 0.50 x Ͼ 800 x Ͼ 1600 En consecuencia, la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justi- ficar el fabricarlos. SECCIÓN 3-2 DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE 105 (1-20) Resuelva las siguientes desigualdades. 1. 5 ϩ 3x Ͻ 11 2. 3 Ϫ 2y Ն 7 3. 2u Ϫ 11 Յ 5u ϩ 6 4. 5x ϩ 7 Ͼ 31 Ϫ 3x 5. 3(2x Ϫ 1) Ͼ 4 ϩ 5(x Ϫ 1) 6. x ϩᎏ 4 3 ᎏ Ͼ ᎏ 2x 4 Ϫ 3 ᎏϩ 1 7. ᎏ 1 4 ᎏ (2x Ϫ 1) Ϫ x Ͻ ᎏ 6 x ᎏ Ϫᎏ 1 3 ᎏ 8. ᎏ 3 2 ᎏ(x ϩ 4) Ն 2 Ϫᎏ 1 5 ᎏ(1 Ϫ 4x) 9. ᎏ y ϩ 4 1 ᎏϪᎏ 3 y ᎏ Ͼ 1 ϩᎏ 2y 6 Ϫ1 ᎏ 10. 5 Ϫ 0.3t Ͻ 2.1 ϩ 0.5(t ϩ 1) 11. 1.2(2t Ϫ 3) Յ 2.3(t Ϫ 1) 12. 2(1.5x Ϫ 2.1) ϩ 1.7 Ն 2(2.4x Ϫ 3.5) 13. 5 Ͻ 2x ϩ 7 Ͻ 13 14. 4 Ն ᎏ 1 Ϫ 4 3x ᎏՆ 1 15. (x ϩ 3) 2 Ͼ (x Ϫ 2) 2 16. (2x ϩ 3)(3x Ϫ 1) Յ (6x ϩ 1)(x Ϫ 2) 17. (3x Ϫ 1)(2x ϩ 3) Ͼ (2x ϩ 1)(3x ϩ 2) 18. (3x ϩ 1)(x Ϫ 2) Ͼ (x Ϫ 3)(3x ϩ 4) 19. 2x ϩ 1 Ͻ 3 Ϫ x Ͻ 2x ϩ 5 20. 4 Ϫ 2x Ͻ x Ϫ 2 Ͻ 2x Ϫ 4 21. 3x ϩ 7 Ͼ 5 Ϫ 2x Ն 13 Ϫ 6x 22. 2x Ϫ 3 Ͻ 1 ϩ x Ͻ 3x Ϫ 1 23. 3x Ϫ 5 Ͻ 1 ϩ x Ͻ 2x Ϫ 3 24. 5x Ϫ 7 Ն 3x ϩ 1 Ն 6x Ϫ 11 25. (Inversión) Un hombre tiene $7000 para invertir. Quiere invertir una parte al 8% y el resto al 10%. ¿Cuál es el mon- to máximo que debe invertir al 8% si desea un ingreso anual por interés de al menos $600 anuales? 26. (Inversión) La señora K tiene $5000 que quiere invertir, una parte a 6% y el resto a 8%. Si ella desea un ingreso anual por intereses de al menos $370, ¿cuál es la cantidad mínima que debe invertir al 8%? 27. (Decisión de producción) Un fabricante puede vender to- das las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de $12,000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe produ- cir y vender al mes la compañía para obtener utilidades? 28. (Utilidades del fabricante) Un fabricante de aparatos de alta fidelidad puede vender todas las unidades producidas al precio de $150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $15,000 y costos por unidad de $100 en materiales y EJERCICIOS 3-2 g Una desigualdad cuadrática de una variable, tal como x, es una desigualdad que tiene términos proporcionales a x y a x 2 y términos constantes. Las formas están- dares de una desigualdad cuadrática son ax 2 ϩ bx ϩ c Ͼ 0 (o bien Ͻ 0), o bien ax 2 ϩ bx ϩ c Ն 0 (o bien Յ 0) en donde a, b y c son constantes determinadas (a 0). ☛ 12 Otra vez estamos interesados en resolver una desigualdad dada, esto es, en de- terminar el conjunto de x para el cual la desigualdad se cumple. Podemos hacer es- to reemplazando la desigualdad con un signo ϭ y buscando las soluciones de la ecuación cuadrática resultante. Estas soluciones dividen a la recta numérica en in- tervalos. En cada intervalo seleccionamos un punto y probamos si la desigualdad es cierta o falsa en ese punto. Si es verdadera en ese punto, entonces será verdadera en todos los puntos del intervalo, y recíprocamente, si es falsa en un punto en el inter- valo, entonces será falsa en todos los puntos de ese intervalo. EJEMPLO 1 Resuelva la desigualdad x 2 ϩ 3x Ͻ 4. Solución Primero reescribimos la desigualdad en la forma estándar restando 4 de ambos miembros: x 2 ϩ 3x Ϫ 4 Ͻ 0 Al reemplazar el signo Ͻpor ϭ, obtenemos la ecuación cuadrática x 2 ϩ3x Ϫ4 ϭ0. Ésta puede resolverse por medio de factorización. Se convierte en (x Ϫ1)(x ϩ4) ϭ0, de modo que las raíces son x ϭ 1 y x ϭϪ4. Al graficar estos puntos en la recta numérica, obtenemos la figura 6. Los dos puntos dividen la recta numérica en tres 106 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES mano de obra. Determine el número de aparatos de alta fi- delidad que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito de obtener utilidades semanales de al menos $1000. 29. (Decisiones de fabricación) Una empresa automotriz de- sea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores ex- ternos a $2.50 cada unidad. La fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $1500 al mes, pero sólo le costará $1.70 fabricar cada correa. ¿Cuán- tas correas debe utilizar la empresa cada mes para justifi- car la fabricación de sus propias correas? 30. (Decisiones sobre contratación de maquiladores) Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a un costo de $2.75. Por otra parte, la empresa puede empacar sus productos instalando una máquina empacadora. Su instalación incrementará los costos fijos de la empresa en $2000 al mes y el costo de empaquetamiento sería de $1.50 por unidad. ¿Cuántas uni- dades tendría que producir al mes para que la instalación de la máquina empacadora fuera rentable? 31. (Publicación de revistas) El costo de publicación de ca- da ejemplar de la revista semanal Compre y venda es de 35¢. Los ingresos por ventas de distribución son de 30¢ por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 2000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $1000? 32. (Publicación de revistas) El editor de una revista men- sual tiene costos de edición de 60.5¢ por ejemplar. El in- greso por ventas de distribución es de 70¢ por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 15% sobre los ingresos ob- tenidos por ventas más allá de los 20,000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender al mes para asegurar utilidades que sobrepasen los $4000? 3-3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE ☛ 12. Exprese en la forma estándar: (x ϩ 2)(2x Ϫ 1) Յ (3x Ϫ 2) 2 ϩ 1 Respuesta 7x 2 Ϫ 15x ϩ 7 Ն 0 g intervalos, x Ͻ Ϫ4, Ϫ4 Ͻ x Ͻ 1 y x Ͼ 1. En cada uno de estos intervalos la expre- sión siempre conserva el mismo signo, ya que sólo cambia de signo cuando pasa por el cero, y esto sucede sólo cuando x = Ϫ4 o 1. SECCIÓN 3-3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE 107 ☛ 13. Resuelva las desigualdades: (a) (x Ϫ 1)(x Ϫ 3) Ͻ 0 (b) (x ϩ 1)(x ϩ 4) Ն 0 (c) (x Ϫ 3) 2 ϩ 2 Յ 0 Respuesta (a) 1 Ͻ x Ͻ 3 (b) x Յ Ϫ4 o x Ն Ϫ1 (c) No hay solución FIGURA 6 FIGURA 7 Tomemos cualquier punto en el primer intervalo x ϽϪ4: seleccionamos x ϭϪ5. Entonces x 2 ϩ 3x Ϫ 4 ϭ (Ϫ5) 2 ϩ 3(Ϫ5) Ϫ 4 ϭ 6 Ͼ 0. La desigualdad es falsa, de modo que es falsa para todos los puntos en el intervalo x Ͻ Ϫ4. En Ϫ4 Ͻ x Ͻ 1 seleccionamos el punto x ϭ 0. Entonces x 2 ϩ 3x Ϫ 4 ϭ (0) 2 ϩ 3(0) Ϫ 4 ϭϪ4 Ͻ 0. La desigualdad es verdadera, por lo que es cierta para todas las x que satisfagan Ϫ4 Ͻ x Ͻ 1. En x Ͼ 1 seleccionamos x ϭ 2. Entonces x 2 ϩ 3x Ϫ 4 ϭ (2) 2 ϩ 3(2) Ϫ 4 ϭ 6 Ͼ 0. La desigualdad es falsa, de modo que es falsa para toda x Ͼ 1. Por tanto el conjunto solución es el intervalo (Ϫ4, 1). Esto se ilustra en la fi- gura 7. ☛ 13 EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad 5x Յ 2(x 2 Ϫ 6). Solución Pasando todos los términos a la izquierda, la desigualdad dada se trans- forma en 5x Ϫ 2x 2 ϩ 12 Յ 0 Siempre conviene tener el término cuadrático con signo positivo, porque entonces, la factorización es más fácil. Así, multiplicamos ambos lados de esta desigualdad por Ϫ1 y cambiamos el sentido de la desigualdad. Ϫ5x ϩ 2x 2 Ϫ 12 Ն 0 2x 2 Ϫ 5x Ϫ 12 Ն 0 Al reemplazar el signo Ն por el signo ϭ obtenemos la ecuación cuadrática 2x 2 Ϫ 5x Ϫ 12 ϭ 0, y por medio de la factorización obtenemos (2x ϩ 3)(x Ϫ 4) ϭ 0 Las raíces son x ϭ Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ y x ϭ 4, que dividen la recta numérica en los tres interva- los (Ϫq, Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ ), (Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ , 4) y (4, q) como muestra la figura 8. Seleccionar cualquier g punto en cada intervalo y probar la desigualdad. En (Ϫq, Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ ) elegimos x ϭϪ2, en (Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ , 4) seleccionamos x ϭ 0; y en (4, q) escogemos x ϭ 5. Es conveniente colo- car los cálculos como muestra la tabla 1. Por tanto, la desigualdad dada es verdade- ra en los intervalos (Ϫq, Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ ) y (4, q) y es falsa en el intervalo (Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ , 4). 108 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES Ϫ3/2 0 4 FIGURA 8 Ϫ3/2 0 4 FIGURA 9 Intervalo (Ϫq, Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ ) (Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ , 4) (4, q) Puntos de prueba Ϫ2 0 5 2x 2 Ϫ 5x Ϫ 12 2(Ϫ2) 2 Ϫ5(Ϫ2) Ϫ 12 ϭ 6 Ͼ 0 2(0) 2 Ϫ 5(0) Ϫ 12 ϭϪ12 Ͻ 0 2(5) 2 Ϫ 5(5) Ϫ12 ϭ 13 Ͼ 0 Signo Positivo Negativo Positivo TABLA 1 En este caso tenemos una desigualdad no estricta, de modo que también se sa- tisface en donde la expresión cuadrática sea cero, es decir en x ϭ Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ y x ϭ 4. Esta vez, los puntos extremos del intervalo se incluyen en el conjunto solución. La solu- ción consiste en los dos intervalos semiinfinitos (Ϫq, Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ ] y [4, q). Este conjunto solución se ilustra en la siguiente figura. Resumen del método de solución de las desigualdades cuadráticas: 1. Escribir la desigualdad en la forma estándar. 2. Reemplazar el signo de desigualdad por un signo ϭy resolver la ecuación cua- drática resultante. Las raíces dividen la recta numérica en intervalos. 3. En cada intervalo elegir un punto y probar la desigualdad dada en ese punto. Si es verdadera (falsa) en ese punto, entonces es verdadera (falsa) en todos los puntos de ese intervalo. 4. Para una desigualdad estricta, en el conjunto solución no se incluyen los pun- tos extremos de los intervalos. Para una desigualdad no estricta, sí se incluyen esos puntos extremos. Algunas veces no podremos factorizar la expresión cuadrática y podría ser necesa- rio utilizar la fórmula cuadrática para determinar los puntos de división de los inter- valos. EJEMPLO 3 Resuelva la desigualdad x 2 Ϫ 6x ϩ 6 Յ 0. Solución La desigualdad ya está en forma estándar. La ecuación cuadrática corres- pondiente es x 2 Ϫ6x ϩ6 ϭ0, que no tiene raíces racionales. Con base en la fórmu- g la cuadrática, tenemos las raíces x ϭ ϭ ϭ ᎏ 1 2 ᎏ (6 Ϯ͙1ෆ2ෆ) ϭ 3 Ϯ͙3ෆ Son aproximadamente 1.27 y 4.73 y, como es usual, dividen la recta de los números reales en tres intervalos. Seleccionamos un punto de prueba en cada uno. (Revise la tabla 2 para los detalles). La conclusión es que la desigualdad es falsa en (Ϫq, 3 Ϫ ͙3ෆ) y (3 ϩ ͙3ෆ, q) y es verdadera en (3 Ϫ ͙3ෆ, 3 ϩ͙3ෆ). Ϫ(Ϫ6) Ϯ͙(Ϫ ෆ6ෆ) 2 ෆ Ϫ ෆ4 ෆ(1 ෆ)( ෆ6ෆ)ෆ ᎏᎏᎏ 2 ؒ 1 Ϫb Ϯ͙bෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆcෆ ᎏᎏ 2a SECCIÓN 3-3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE 109 Intervalo (Ϫq, 3 Ϫ ͙3ෆ) (3 Ϫ͙3ෆ, ϩ 3 ϩ͙3ෆ) (3 ϩ͙3ෆ, q) Punto de prueba 0 3 5 f (x) ϭ x 2 Ϫ 6x ϩ6 0 2 Ϫ 6 ؒ 0 ϩ 6 ϭ 6 Ͼ 0 3 2 Ϫ 6 ؒ 3 ϩ 6 ϭϪ3 Ͻ 0 5 2 Ϫ 6 ؒ 5 ϩ 6 ϭ 1 Ͼ 0 Signo Positivo Negativo Positivo TABLA 2 Como tenemos una desigualdad no estricta incluimos los puntos extremos, de modo que el conjunto solución es el intervalo cerrado [3 Ϫ͙3ෆ, 3 ϩ͙3ෆ], o aproximadamente [1.27, 4.73]. Esto se ilustra en la figura 10. ☛ 14 FIGURA 10 EJEMPLO 4 Resuelva la desigualdad x 2 ϩ 2 Ͼ 2x. Solución En la forma estándar tenemos x 2 Ϫ 2x ϩ 2 Ͼ 0. La ecuación cuadrática correspondiente es x 2 Ϫ 2x ϩ 2 ϭ 0, y de la fórmula cuadrática, las raíces son x ϭ ϭᎏ 1 2 ᎏ(2 Ϯ͙Ϫෆ4ෆ) De modo que, en este caso no existen raíces reales. Esto significa que la expresión x 2 Ϫ 2x ϩ 2 es positiva para toda x o bien negativa para toda x, ya que si cambiase de signo tendría que ser cero en algún punto. Entonces todo lo que tenemos que ha- cer es seleccionar cualquier punto como punto de prueba. El más sencillo es x ϭ 0, y tenemos 0 2 Ϫ 2 · 0 ϩ 2 ϭ 2 Ͼ 0. La desigualdad dada se satisface; por tanto se satisface para toda x. EJEMPLO 5 (Producción y utilidades) Las ventas mensuales x de cierto artículo, cuando su precio es p dólares, están dadas por p ϭ200 Ϫ3x. El costo de producir x unidades al mes del artículo es C ϭ (650 ϩ 5x) dólares. ¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2200 dólares? Ϫ(Ϫ2) Ϯ͙(Ϫ ෆ2ෆ) 2 ෆ Ϫ ෆ4 ෆ(1 ෆ)( ෆ2ෆ)ෆ ᎏᎏᎏ 2 ؒ 1 ☛ 14. Resuelva las desigualdades: (a) x 2 Ϫ 2x Ϫ 2 Յ 0 (b) x 2 Ϫ 2x ϩ 2 Ͼ 0 (c) x 2 ϩ 2x ϩ 1 Յ 0 Respuesta (a) 1 Ϫ ͙3ෆ Յ x Յ 1 ϩ͙3ෆ (b) Ϫq Ͻ x Ͻ q (c) x ϭϪ1 g Solución El ingreso I (en dólares) obtenido por vender x unidades al precio de p dólares por unidad es I ϭ (Unidades vendidas) ϫ (Precio por unidad) ϭ xp ϭ x(200 Ϫ 3x) ϭ 200x Ϫ 3x 2 El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es C ϭ (650 ϩ 5x). La utilidad U (mensual) obtenida por producir y vender x unidades está dada por U ϭ I Ϫ C ϭ (200x Ϫ 3x 2 ) Ϫ (650 ϩ 5x) ϭ 195x Ϫ 3x 2 Ϫ 650 Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que U Ն2200. En con- secuencia, 195x Ϫ 3x 2 Ϫ 650 Ն 2200 Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre Ϫ3 (observe que el signo de la desigualdad se invierte), obtenemos la desigualdad x 2 Ϫ 65x ϩ 950 Յ 0 Las raíces deben determinarse por medio de la fórmula cuadrática: x ϭ ϭ ϭ ᎏ 1 2 ᎏ (65 Ϯ ͙4ෆ2ෆ5ෆ) o aproximadamente 22.2 y 42.8. En los tres intervalos x Ͻ 22.2, 22.2 Ͻ x Ͻ 42.8 y x Ͼ 42.8 seleccionamos los tres puntos x ϭ 0, 40 y 100, respectivamente. Encon- tramos que x 2 Ϫ 65x ϩ 950 Ͼ 0 cuando x ϭ 0 y 100, pero x 2 Ϫ 65x ϩ 950 Ͻ 0 cuando x ϭ 40. Por lo tanto se sigue que x 2 Ϫ 65x ϩ 950 Ͻ 0 para toda x en el in- tervalo 22.2 Ͻ x Ͻ 42.8. Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo cerrado [22.2, 42.8]. ☛ 15 De modo que, para alcanzar la meta requerida, el número de unidades produ- cidas y vendidas por mes debe estar entre 22.2 y 42.8, inclusive. EJEMPLO 6 (Decisión de precios) Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75¢ en el precio, el peluquero perderá 10 clientes. ¿Cuál es el precio máximo que pue- de cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales? Solución Sea x el número de incrementos de 75¢ por encima de $8. Entonces el precio por corte de cabello es (8 ϩ 0.75x) dólares, y el número de clientes será de Ϫ(Ϫ65) Ϯ ͙(Ϫ ෆ6ෆ5ෆ) 2 ෆ Ϫ ෆ4 ෆ(1 ෆ)( ෆ9ෆ5ෆ0ෆ)ෆ ᎏᎏᎏᎏ 2 ؒ 1 Ϫb Ϯ͙bෆ 2 ෆϪෆ4 ෆaෆcෆ ᎏᎏ 2a 110 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES ☛15. En el ejemplo 5, ¿para qué intervalo de x la ganancia mensual excede a $2500? Respuesta 30 Ͻ x Ͻ 35 g cado, con p ϭ 600 Ϫ 5x. ¿Cuántas unidades deberán ven- derse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo me- nos de $18,000? 28. (Ingresos del fabricante) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dóla- res por unidad, en donde p ϭ 200 Ϫ x. ¿Qué número de unidades deberá venderse a la semana para obtener ingre- sos mínimos por $9900? 29. (Decisiones de producción) En el ejercicio 27, si producir x unidades cuesta (800 ϩ 75x) dólares, ¿cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes con objeto de ob- tener una utilidad de al menos $5500? 30. (Decisiones sobre fijación de precios) En el ejercicio 28, si producir x unidades cuesta (2800 ϩ 45x) dólares, ¿a qué precio p deberá venderse cada unidad para generar una uti- lidad semanal de por lo menos $3200? 31. (Utilidades) Un fabricante puede vender todas las unida- des de un producto a $25 cada una. El costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por C ϭ 3000 ϩ 20x Ϫ 0.1x 2 . ¿Cuántas unidades deberán producir- se y venderse a la semana para obtener alguna utilidad? 32. (Ingresos del editor) Un editor puede vender 12,000 ejem- plares de un libro al precio de $25 cada uno. Por cada dó- SECCIÓN 3-3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE 111 (120 Ϫ 10x) por semana. Entonces, Ingresos totales semanales ϭ Número de clientes ϫ Precio por corte ϭ (120 Ϫ 10x) ϫ (8 ϩ 0.75x) Los ingresos por los 120 clientes actuales son 120 ϫ $8 ϭ$960. Por tanto, los nue- vos ingresos deben ser al menos $960: (120 Ϫ 10x)(8 ϩ 0.75x) Ն 960 Simplificamos: 960 ϩ 10x Ϫ 7.5x 2 Ն 960 10x Ϫ 0.75x 2 Ն 0 La ecuación correspondiente es 10x Ϫ 7.5x 2 ϭ 0, cuyas soluciones son x ϭ 0 y ᎏ 4 3 ᎏ . En los tres intervalos x Ͻ 0, 0 Ͻ x Ͻ ᎏ 4 3 ᎏ y x Ͼ ᎏ 4 3 ᎏ seleccionamos los puntos de prue- ba Ϫ1, 1 y 2, respectivamente. Encontramos que 10x Ϫ 7.5x 2 Ͻ 0 cuando x ϭ Ϫ1 o 2, pero 10x Ϫ 7.5x 2 Ͼ 0 cuando x ϭ 1. Por tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo 0 Յ x Յ ᎏ 4 3 ᎏ . Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $(8 ϩ 0.75 ϫ ᎏ 4 3 ᎏ ) ϭ $9.00. El precio máximo que puede cobrarse es $9.00. EJERCICIOS 3-3 (1-22) Resuelva las siguientes desigualdades. 1. (x Ϫ 2)(x Ϫ 5) Ͻ 0 2. (x ϩ 1)(x Ϫ 3) Յ 0 3. (2x Ϫ 5)(x ϩ 3) Ն 0 4. (3x Ϫ 1)(x ϩ 2) Ͼ 0 5. x 2 Ϫ 7x ϩ 12 Յ 0 6. 9x Ͼ x 2 ϩ 14 7. x(x ϩ 1) Ͻ 2 8. x(x Ϫ 2) Ն 3 9. y(2y ϩ 1) Ͼ 6 10. 3y 2 Ն 4 Ϫ 11y 11. (x ϩ 2)(x Ϫ 3) Ͼ 2 Ϫ x 12. (2x ϩ 1)(x Ϫ 3) Ͻ 9 ϩ (x ϩ 1)(x Ϫ 4) 13. x 2 Ն 4 14. 9x 2 Ͻ 16 15. x 2 ϩ 3 Ͼ 0 16. x 2 ϩ 1 Յ 0 17. x 2 Ϫ 6x ϩ 9 Յ 0 18. x 2 ϩ 4 Յ 4x 19. x 2 ϩ 2x ϩ 1 Ͼ 0 20. x 2 ϩ 9 Ն 6x 21. x 2 ϩ 13 Ͻ 6x 22. x 2 ϩ 7 Ͼ 4x 23. (x Ϫ 2) 2 ϩ 5 Ն 0 24. x 2 ϩ 2x ϩ 4 Ͻ 0 25. (2x ϩ 3)(x Ϫ 3) Ͼ (x Ϫ 1)(3x ϩ 2) 26. (1 Ϫ 3x)(x ϩ 2) Ͼ (3 Ϫ 2x)(x ϩ 3) 27. (Ingresos del fabricante) Al precio de p por unidad, x uni- dades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mer- g Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por x, se de- fine por x ϭ Ά Por ejemplo, 5 ϭ 5, Ϫ3 ϭϪ(Ϫ3) ϭ 3 y 0 ϭ 0. ☛ 16 De la definición, es claro que el valor absoluto de un número siempre es un número real no negativo; es decir, x Ն 0 El valor absoluto de x es una medida del “tamaño” de x sin tener en cuenta que x sea negativo o positivo. EJEMPLO 1 Resuelva para x. 2x Ϫ 3 ϭ 5 x si x Ն 0 Ϫx si x Ͻ 0 112 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES lar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con objeto de lograr ingresos por lo menos de $300,000? 33. (Agricultura) Un granjero desea delimitar un terreno rec- tangular y tiene 200 yardas de cerca disponible. Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos 2100 yardas cuadradas. 34. Un lado de un campo rectangular está limitado por un río. Un granjero tiene 100 yardas de cerca y quiere cubrir los otros tres lados del campo. Si quiere encerrar un área de al menos 800 yardas cuadradas, ¿cuáles son los posibles valores para la longitud del campo a lo largo del río? 35. Una caja abierta se fabrica de una hoja rectangular metáli- ca de 16 por 14 pies, cortando cuadrados iguales de cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Si el área de la base de la caja es al menos de 80 pies cuadrados, ¿cuál es la máxima altura posible de la caja? 36. Una hoja rectangular de cartón es de 16 por 10 pulgadas. Se cortan cuadrados iguales de cada esquina y los lados se doblan hacia arriba para formar una caja abierta. ¿Cuál es la altura máxima de esta caja si la base tiene un área de al menos 72 pulgadas cuadradas? 37. (Conservación) En cierto estanque se crían peces. Si se in- troducen n de ellos allí, se sabe que la ganancia por peso promedio de cada pez es de (600 Ϫ 3n) gramos. Determi- ne las restricciones de n si la ganancia total en peso de to- dos los peces debe ser mayor que 28,800 gramos. 38. (Inversiones) Un accionista invierte $100 a un interés anual del R% y otros $100 al 2R% anual. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $224.80 después de 2 años, ¿qué restricciones deben establecerse sobre R? 39. (Política de fijación de precios) Un supermercado se en- cuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p centavos por libra, venderá x libras, con x ϭ 1000 Ϫ 20p. ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos por lo menos de $120? 40. (Decisiones sobre fijación de precios) Un peluquero atien- de en promedio a 120 clientes a la semana cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento de 50¢ en el precio, el pe- luquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520? 3-4 VALORES ABSOLUTOS ☛ 16. Evalúe (a) ϪϪ5 (b) 2 Ϫ 3 Ϫ 4 (c) 2 ϩ Ϫ3 Ϫ 4 Respuesta (a) Ϫ5 (b) 5 (c) 1 g Solución De acuerdo con la definición de valor absoluto, la ecuación dada es sa- tisfecha si 2x Ϫ 3 ϭ 5 o bien 2x Ϫ 3 ϭϪ5 porque en cualquier caso el valor absoluto de 2x Ϫ 3 es 5. Si 2x Ϫ 3 ϭ 5, entonces 2x ϭ 3 ϩ 5 ϭ 8 y así, x ϭ 4. De manera similar, si 2x Ϫ 3 ϭϪ5, entonces x ϭϪ1. En consecuencia, hay dos valores de x, x ϭ 4 y x ϭϪ1, que satisfacen la ecuación dada. EJEMPLO 2 Resuelva para x. 3x Ϫ 2 ϭ 2x ϩ 7 Solución La ecuación se satisface si 3x Ϫ 2 ϭ 2x ϩ 7 o bien 3x Ϫ 2 ϭϪ(2x ϩ 7) Resolviendo estas dos ecuaciones por separado, obtenemos x ϭ9 y x ϭ Ϫ1. ☛17 De los ejemplos 1 y 2, es claro que tenemos las siguientes reglas generales para re- solver ecuaciones en que aparecen valores absolutos. Si a ϭ b, donde b Ն 0, entonces a ϭ b o bien a ϭϪb Si a ϭ b , entonces a ϭ b o bien a ϭϪb Observación El símbolo ͙a ෆ denota la raíz cuadrada no negativa del núme- ro real a (a Ն 0). Por ejemplo, ͙9ෆ ϭ 3. La raíz cuadrada negativa de 9 se denota mediante Ϫ͙9 ෆ. Usando el símbolo de radical, podemos dar la siguiente definición alternativa de valor absoluto. x ϭ ͙x 2 ෆ Por ejemplo, ͙3ෆ 2 ෆ ϭ ͙9 ෆ ϭ 3, ͙(Ϫ ෆ5ෆ) 2 ෆ ϭ ͙2 ෆ5ෆ ϭ 5 ϭ Ϫ5 y ͙(x ෆ Ϫ ෆ3 ෆ) 2 ෆ ϭ x Ϫ 3. Podemos interpretar x geométricamente. (Revise la figura 11). Los núme- ros 3 y 8 sobre la recta numérica están separados 5 unidades. También 8 Ϫ 3 ϭ 5 ϭ 5 y 3 Ϫ 8 ϭ Ϫ5 ϭ 5. En consecuencia, 8 Ϫ 3 ϭ 3 Ϫ 8 da la dis- tancia entre los puntos 3 y 8 de la recta numérica. En general, podemos interpretar x Ϫ c ϭ c Ϫ x como la distancia entre los puntos x y c situados sobre la rec- ta numérica, sin prestar atención a la dirección. Por ejemplo, la ecuación x Ϫ 2 SECCIÓN 3-4 VALORES ABSOLUTOS 113 ☛ 17. Resuelva para x: (a) x ϩ 1 ϭ 2 (b) x Ϫ 1 ϭ 3 Ϫ 2x (c) x Ϫ 1 ϭ (3 Ϫ 2x) FIGURA 11 Respuesta (a) Ϫ3 o 1 (b) ᎏ 4 3 ᎏ o 2 (c) ᎏ 4 3 ᎏ (si x ϭ 2, el lado derecho es negativo) g ϭ 5 establece que la distancia entre x y 2 sobre la recta numérica es 5 unidades, sin importar la dirección. Por tanto, x puede ser 2 ϩ 5 ϭ 7 o 2 Ϫ 5 ϭϪ3, como se aprecia en la figura 12. 114 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES FIGURA 12 Dado que x ϭ x Ϫ 0, x representa la distancia del punto x sobre el eje real al origen O, sin importar la dirección. (Figura 12). También, dado que la distan- cia entre O y x es igual a la distancia entre O y Ϫx, se sigue que x ϭ Ϫx Por ejemplo, 7 ϭ Ϫ7 ϭ 7 FIGURA 13 En el ejemplo 3 varios enunciados se reexpresan en términos de valores abso- lutos. EJEMPLO 3 (a) x está a una distancia de 3 unidades del 5: x Ϫ 5 ϭ 3 (b) x está a menos de 7 unidades del 4: x Ϫ 4 Ͻ 7 (c) x está al menos a 7 unidades del Ϫ3: x Ϫ (Ϫ3) Ն 7 o x ϩ 3 Ն 7 (d) x se encuentra estrictamente dentro de un radio de 3 unidades del 7: x Ϫ 7 Ͻ 3 (e) x está dentro de c unidades de a: x Ϫ a Յ c ☛ 18 Consideremos ahora algunas desigualdades que incluyen valores absolutos. La desigualdad x Ͻ 5 implica que la distancia entre x y el origen es menor que 5 unidades. Dado que x puede estar a la derecha o a la izquierda del origen, x está entre Ϫ5 y 5 o Ϫ5 Ͻ x Ͻ 5. (Revise la figura 13). De manera similar, x Ͼ 5 implica que x está a más de 5 unidades del origen (a la derecha o a la izquierda); es decir, x Ͻ 5 o x Ͼ 5. (Figura 14). Este resultado se generaliza en el siguiente teorema: ☛ 18. Exprese lo siguiente, utili- zando valores absolutos: (a) x está a lo más a 4 unidades del 3. (b) 5 Ϫ x está 4 unidades alejado de x. Respuesta (a) x Ϫ 3 Յ 4 (b) 5 Ϫ 2x ϭ 4 g TEOREMA 1 Si a Ͼ 0, entonces x Ͻ a si y sólo si Ϫa Ͻ x Ͻ a (1) x Ͼ a si y sólo si x Ͼ a o bien x Ͻ Ϫa (2) Las figuras 15 y 16 se refieren al teorema 1. SECCIÓN 3-4 VALORES ABSOLUTOS 115 FIGURA 14 FIGURA 15 FIGURA 16 FIGURA 17 EJEMPLO 4 Resuelva 2x Ϫ 3 Ͻ 5 para x y exprese el resultado en términos de intervalos. Solución Usando la proposición (1) del teorema 1, la desigualdad dada implica que Ϫ5 Ͻ 2x Ϫ 3 Ͻ 5 Sumando 3 a cada lado de la doble desigualdad y simplificando, obtenemos Ϫ5 ϩ 3 Ͻ 2x Ϫ 3 ϩ 3 Ͻ 5 ϩ 3 Ϫ2 Ͻ 2x Ͻ 8 Enseguida dividimos todo entre 2. Ϫ1 Ͻ x Ͻ 4 En consecuencia, la solución consta de todos los números reales x situados en el in- tervalo abierto (Ϫ1, 4). (Revise la figura 18). FIGURA 18 EJEMPLO 5 Resuelva 2 Ϫ 3x Ͼ 7 para x y exprese el resultado en notación de intervalos. g Solución Utilizando la proposición (2) del teorema 1, la desigualdad dada implica que 2 Ϫ 3x Ͼ 7 o bien 2 Ϫ 3x ϽϪ7 Considerando la primera desigualdad, tenemos que 2 Ϫ 3x Ͼ 7 Restando 2 a ambos lados y dividiendo entre Ϫ3 (y cambiando el sentido de la de- sigualdad) obtenemos x ϽϪᎏ 5 3 ᎏ De manera similar, resolviendo la segunda desigualdad, x Ͼ 3 Así, 2 Ϫ 3x Ͼ 7 es equivalente a x ϽϪᎏ 5 3 ᎏ o bien x Ͼ 3 Por tanto, la solución consta de todos los números reales que no están en el interva- lo cerrado [Ϫᎏ 5 3 ᎏ, 3]. (Figura 19). 116 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES FIGURA 19 EJEMPLO 6 Resuelva 2x Ϫ 3 ϩ 5 Յ 0 para x. Solución La desigualdad dada se puede reescribir como 2x Ϫ 3 Յ Ϫ5 Pero 2x Ϫ 3 nunca puede ser negativo, de modo que no existen valores de x pa- ra los cuales sea verdadera la desigualdad dada. Así, no existe solución. ☛ 19 EJEMPLO 7 Resuelva la desigualdad 3x Ϫ 5 Յ x ϩ 1. Solución Si (x ϩ 1) Ͻ 0, allí claramente no habría solución, ya que el valor abso- luto del lado izquierdo no puede ser menor que un número negativo. Así, el conjun- to solución está restringido de inmediato a x Ն Ϫ1. Si x ϩ 1 Ն 0, podemos utilizar el teorema 1 para expresar la desigualdad da- da en la forma Ϫ(x ϩ 1) Յ 3x Ϫ 5 Յ (x ϩ 1) La mitad izquierda de esta desigualdad doble, Ϫ(x ϩ1) Յ3x Ϫ5, conduce a x Ն1. La mitad derecha, 3x Ϫ 5 Յ x ϩ 1, lleva a x Յ 3. Deben satisfacerse las tres condi- ciones, x Ն 1, x Յ 3 y x Ն Ϫ1. Así, el conjunto solución es 1 Յ x Յ 3 o el intervalo cerrado [1, 3]. Concluimos esta sección estableciendo dos propiedades básicas del valor ab- soluto: si a y b son dos números reales, entonces ☛ 19. Resuelva las desigualdades: (a) 1 Ϫ x Ͻ 4 (b) 7 Ϫ 4x Ն 3 (c) x Ϫ 1 ϩ x ϩ 1 Ͻ 0 Respuesta (a) Ϫ3 Ͻ x Ͻ 5 (b) x Յ 1 o x Ն ᎏ 5 2 ᎏ (c) No hay solución g (1-4) Evalúe. 1. ͙2ෆϪ2 ϩ 5Ϫ͙2ෆ 2. ͙3ෆϪ2ϩ͙3ෆ Ϫ 1 3. Ϫ 5 Ϫ Ϫ2 4. 3 Ϫ͙5ෆϪ͙5ෆ Ϫ 2 (5-18) Resuelva las siguientes ecuaciones para x. 5. 3 Ϫ 7x ϭ 4 6. 2x ϩ 5 ϭ 7 7. x ϩ 2 ϭ 3 Ϫ x 8. Έ Έ ϭ 3x Ϫ 7 9. 3x Ϫ 2 ϭ 4 Ϫ x 10. x ϩ 3 ϭ 5 Ϫ x 11. x ϩ 3 ϭ x Ϫ 5 12. 3x Ϫ 2 ϭ x Ϫ 4 13. x Ϫ 3 ϩ 7 ϭ 0 14. 2x ϩ1 ϩ3x Ϫ2 ϭ0 15. Έ Έ ϭ 6 16. Έ Έ ϭ 5 17. Έ ᎏ 1 x ᎏ Ϫ 3 Έ ϭ 4 18. Έ 3 Ϫ Έ ϭ 7 1 ᎏ x Ϫ 2 Ϫ5x Ϫ 2 ᎏᎏ x ϩ 3 x Ϫ 3 ᎏ 3x Ϫ 5 2x ϩ 1 ᎏ 3 (19-36) Resuelva las siguientes desigualdades y exprese si es posible la solución en forma de intervalos. 19. 3x ϩ 7 Ͻ 4 20. 2x Ϫ 6 Յ 3 21. 2 Ϫ 5x Ն 3 22. 3 Ϫ 4x Ͻ ᎏ 1 2 ᎏ 23. 5 ϩ 23 Ϫ 2x Ͻ 7 24. 5 Ϫ 23 Ϫ 2x Յ 1 25. 7 ϩ 3x Ϫ 5 Յ 5 26. 3x Ϫ 13 ϩ 6 Ն 0 27. x ϩ 2 ϩ2x Ϫ 1 Ն 0 28. 3x Ϫ 2 ϩ2x Ϫ 7 Ͻ 0 29. Έ Έ ϩ 4 Յ 2 30. Έ Έ Ն 3 31. 5 Ϫ 2x ϩ 5 Ն 0 32. 2xϪ3ϩ7ϩ3xϽ 0 *33. 2x Ϫ 3 Ͻ x Ϫ 4 *34. x Ϫ 2 Ͻ 3 Ϫ x *35. x Ϫ 3 Ͻ x Ϫ 2 *36. 3x Ϫ 2 Ͼ 2x Ϫ 3 2 Ϫ 5x ᎏ 4 5 Ϫ x ᎏ 3 SECCIÓN 3-4 VALORES ABSOLUTOS 117 ab ϭ a ؒ b (3) Έ ᎏ a b ᎏ Έ ϭ (b 0) (4) EJEMPLO 8 (a) (Ϫ3)(5) ϭ Ϫ35 ϭ (3)(5) ϭ 15 (b) Έ Έ ϭ Έ Έ (x Ϫ1) (c) Έ ᎏ x Ϫ Ϫ 3 7 ᎏ Έ ϭᎏ x Ϫ Ϫ 3 7 ᎏϭᎏ x Ϫ 3 7 ᎏ Las ecuaciones (3) y (4) se deducen con facilidad del hecho que para cualquier nú- mero real x, x ϭ ͙x 2 ෆ. Por ejemplo, la ecuación (3) se deduce como sigue: ab ϭ͙(a ෆbෆ) 2 ෆ ϭ͙aෆ 2 b ෆ 2 ෆ ϭ͙aෆ 2 ෆ ؒ ͙bෆ 2 ෆ (usando una propiedad de los radicales) ϭ a ؒ b x Ϫ2 ᎏ 1 ϩ x x Ϫ 2 ᎏ 1 ϩ x a ᎏ b EJERCICIOS 3-4 g (37-38) Exprese las siguientes afirmaciones en términos de la notación de intervalos. 37. a. x está a menos de 5 unidades de 3. b. y está a lo más a 4 unidades de 7. c. t está a una distancia de 3 unidades de 5. d. z está estrictamente a menos de (sigma) unidades de (mu). e. x difiere de 4 en más de 3 unidades. f. x ෆ difiere de por más de 3 unidades. 38. a. x está al menos a 4 unidades de Ϫ5. b. y está a lo más a 7 unidades de 3. c. x está a menos de 3 unidades de 9. d. x es menor que 4 y mayor que Ϫ4. e. x es mayor que 3 o menor que Ϫ3. f. x ෆ excede a en más de 2 unidades. g. y es menor que 7 por más de 3 unidades. h. x difiere de y por más de 5 unidades. 39. (Acciones) De acuerdo con una predicción de una revista financiera, el precio p de las acciones de la Bell Co., no cambiará su precio actual, $22, por más de $5. Utilice la notación de valor absoluto para expresar esta predicción como una desigualdad. 40. (Mercado de viviendas) De acuerdo con una encuesta de bienes raíces, el precio (en dólares) de una casa promedio en Vancouver el próximo año estará dado por x Ϫ 210,000 Ͻ 30,000 Determine el precio más alto y el más bajo de la casa para el año próximo. 118 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES REPASO DEL CAPÍTULO 3 Términos, símbolos y conceptos importantes 3.1 Los símbolos de desigualdad Ͻ, Ͼ, Յ, Ն. Desigualdad es- tricta. Desigualdad doble. Conjunto, miembro o elemento de un conjunto. Conjunto finito, conjunto infinito. Conjunto vacío. Método de enumeración, enumeración parcial. Método por comprensión o método de la regla; la notación {xx satisface la regla}. Subconjunto, subconjunto propio. Igualdad de dos con- juntos. Intervalos, puntos extremos. Intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos. Intervalos infinitos y semiinfinitos. Notaciones equivalentes, tales como: {xa Ͻ x Յ b}, (a, b], o bien sobre la recta numérica, 3.2 Desigualdad lineal, conjunto solución de una desigualdad. Las reglas de suma y multiplicación para la manipulación de desigualdades. Procedimiento para la resolución de una desigualdad lineal o una desigualdad lineal doble. 3.3 Desigualdad cuadrática. Procedimiento paso a paso para la resolución de una desi- gualdad cuadrática. 3.4 Valor absoluto de un número real y su interpretación geo- métrica. Fórmulas Si a ϭb y b Ͼ0, entonces a ϭb o a ϭϪb. Si a ϭb, entonces a ϭ b o a ϭ Ϫb. Si a Ͻ b y b Ͼ 0, entonces Ϫb Ͻ a Ͻ b. Si a Ͼ b, en- tonces a Ͻ Ϫb o bien a Ͼ b. a ϭ ͙aෆ 2 ෆ; ab ϭ aиb; Έ ᎏ a b ᎏ Έ ϭᎏ a b ᎏ, (b 0). g 1. Establezca la veracidad o falsedad de las siguientes propo- siciones. Reemplace cada proposición falsa por una proposi- ción correspondiente que sea verdadera. a. Una desigualdad lineal en una variable tiene un núme- ro infinito de soluciones. b. Cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante diferente de cero, se preserva el sen- tido de la desigualdad. c. Una desigualdad cuadrática tiene dos soluciones, una solución o no tiene soluciones. d. Si un número negativo se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad debe alterarse. e. Si x ϭ a, entonces x ϭ a o x ϭϪa, para todos los valores de la constante a. f. x ϭ y implica que x ϭ y o que x ϭϪy. g. La ecuación x Ϫ 2 ϩ x Ϫ 3 ϭ 0 no tiene solu- ción. h. x ϩ y = x + y si y sólo si x y y tienen el mis- mo signo. i. Si x es cualquier número real, entonces x Նx y x ՆϪx. j. x Ͼ y implica que x Ͼ y. k. Si x 2 Ͼ y 2 entonces x Ͼ y. l. x Ͻ y si y sólo si x 2 Ͻ y 2 . (2-39) Resuelva las siguientes desigualdades. 2. 3(2 Ϫ x) ϩ 5 Ͼ x Ϫ 2(x Ϫ 2) 3. 4x Ϫ 2 Յ 3x Ϫ 2(2 Ϫ 3x) 4. (2x ϩ 1)(x ϩ 2) Ͼ 2(2 Ϫ 3x) 5. x 2 ϩ 3(x Ϫ 2) Ͻ (x ϩ 3)(x ϩ 2) 6. Ϫ Ͼ 7. Ϫ Ͼ 1 Ϫ 3x ᎏ 2 2x ϩ1 ᎏ 6 x ϩ 1 ᎏ 3 x ϩ 3 ᎏ 2 1 Ϫ 2x ᎏ 3 2x Ϫ 5 ᎏ 4 8. (3x Ϫ ᎏ 1 4 ᎏ ) 2 Ͻ 9(x ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ) 2 9. 2(x ϩ ᎏ 1 3 ᎏ ) 2 Ͼ 4(x Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ) 2 10. (3x Ϫ 1)(x ϩ 2) Ͼ (3x ϩ 2)(x ϩ 1) 11. (x ϩ 5)(x ϩ 7) Ͻ (x ϩ 9)(x ϩ 3) 12. x 2 Ϫ 7x ϩ 6 Յ 0 13. 2x 2 Ͻ 3x ϩ 5 14. 5x Ͻ 2(x 2 ϩ 1) 15. 3x 2 Ͼ 7x Ϫ 2 16. 3(x 2 ϩ 1) Յ 10x 17. 9x ϩ 5 Յ 2x 2 18. 3 Ϫ x Ͼ 2x 2 19. 15 Ϫ 2x 2 Ͼ x 20. x 2 ϩ 9 Ͼ 4x 21. x 2 ϩ 12 Ն 6x 22. (2x ϩ 1)(xϪ2) Ͻ (x ϩ 2)(x Ϫ 3) 23. (3x ϩ 2)(x Ϫ 1) Յ (2x Ϫ 3)(x ϩ 2) *24. x 3 ϩ 12x Ͼ 7x 2 *25. x 3 Յ 2x 2 ϩ 15x 26. 2x ϩ 1 Յ 5 Ϫ x Յ x Ϫ 7 27. 3x Ϫ 1 Ͼ x ϩ 3 Ͼ 2x Ϫ 3 28. 3x(2 Ϫ x) ϽϪ9 29. (x ϩ 1)(2x Ϫ 5) ՆϪ3 30. 3 Ϫ 4x Ͻ 2 EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3 119 EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3 g 31. Έ Έ Ն 1 32. 2x Ϫ 3 Յ 7 33. 4x Ϫ 7 Ն 3 34. 2 Ϫ 3x Ͼ 7 35. 7 Ϫ x Ϫ 3 Ͻ 0 36. 5 ϩ 2x Ϫ 5 Ն 0 37. 9 ϩ 2x Ϫ 7 Յ 0 38. 2x Ϫ 3 ϩ 7 ϩ 3x Ͻ 0 39. 3x Ϫ 5 ϩ x Ϫ 2 Ն 0 (40-45) Resuelva las siguientes ecuaciones: 40. 2x Ϫ 3 ϩ 7 ϭ 4 41. 5 Ϫ 3x ϭ x ϩ 2 42. 2x Ϫ 1 ϩ 3x Ϫ 2 ϭ 0 43. 3x ϩ 4 Ϫ 2x ϩ 2 ϭ 0 *44. x 2 Ϫ 5x ϭ 4 *45. x 2 ϩ 2 ϭ 3x 46. (Producción y utilidades) Un fabricante puede vender to- do lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y mano de obra por unidad son de $8 y, ade- más, existen costos fijos de $4000 por semana. ¿Cuántas unidades deberá producir si desea obtener utilidades sema- nales de al menos $3000? 47. (Utilidades del editor) La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25¢. El editor recibe 20¢ por ejemplar por concepto de ventas y, si ade- más, recibe ingresos por publicidad equivalentes al 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20,000 copias. ¿Cuántos ejemplares deberá vender el editor si: a. ¿Al menos no desea tener pérdidas? b. ¿Desea por lo menos una ganancia de $1000 por edi- ción del periódico? 2x Ϫ 3 ᎏ 7 48. (Determinación del precio de alquiler de apartamentos) El propietario de un edificio de apartamentos puede al- quilar las 50 habitaciones si el alquiler es de $150 al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensua- lidad del alquiler, un apartamento quedará vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. ¿Qué alquiler máximo deberá fijarse para obtener un ingreso mensual de al me- nos $8000? 49. (Política de fijación de precios) Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en cientos de miles de bo- tellas a la semana) está dado por x ϭ 24 Ϫ 2p cuando el precio es p. ¿Qué valor de p arroja un ingreso total de $7 millones por semana? ¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por se- mana? 50. (Recaudación fiscal proveniente de los impuestos a las ventas) Cierto artículo de lujo se vende a $1000; a través de todo un estado, la cantidad de ventas es de 20,000 ar- tículos al año. El gobierno del estado está considerando imponer un impuesto a las ventas de tales artículos. Si el nivel del impuesto se fija en un R%, las ventas caerán en 500R artículos al año. ¿Qué valor de R dará un ingreso to- tal al gobierno de $1.68 millones al año por concepto de este impuesto? ¿Qué valores de R darán al gobierno un in- greso de al menos $1.92 millones al año? 51. (Decisiones sobre inversiones) La señora Ruiz quiere in- vertir $60,000. Ella puede escoger los bonos emitidos por el gobierno que ofrecen un interés del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios con un 10% de interés. ¿Qué cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecarios de modo que reciba un ingreso anual de al menos $5500? 52. (Alquiler de automóviles) Una empresa alquila automóvi- les a sus clientes de acuerdo con dos planes. En el primero puede alquilar un auto en $160 a la semana con kilometra- je ilimitado, mientras que en el segundo plan renta el mismo vehículo por $100 a la semana más 25¢ por cada ki- lómetro recorrido. Encuentre los valores de kilometraje se- manal para los cuales es más barato alquilar un automóvil con el segundo plan. 53. Si x unidades pueden venderse diariamente al precio de $p cada una, donde p ϭ 60 Ϫ x, ¿cuántas unidades deben venderse para obtener un ingreso diario de al menos $800? 54. Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una, en donde 2p ϩ 3x ϭ 200, ¿qué precio por unidad debe fijarse con el propósito de obtener un ingreso de al menos $1600? 120 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES g 55. En el ejercicio 53, tiene un costo de (260 ϩ 12x) dólares producir x unidades. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse diariamente para obtener una utilidad de al me- nos $300? 56. En el ejercicio 54, el producir x unidades tiene un costo de (800 ϩ 7x) dólares. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse con el fin de obtener una utilidad de al menos $640? 57. (Fijación de precios y utilidades) En el ejercicio 53, tiene un costo de (260 ϩ 8x) dólares producir x unidades. ¿Qué precio p (en dólares) por unidad debe fijarse para obtener una utilidad de al menos 400 dólares? 58. (Fijación de precios y utilidades) En el ejercicio 54, si cuesta (750 ϩ 10x) dólares producir x unidades, ¿qué pre- cio (en dólares) debe fijarse por unidad a fin de obtener una ganancia de al menos $450? EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 3 121 g 122 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES Retomemos el problema que aparece al inicio del capítu- lo, en el que tenemos que determinar el precio por kiló- metro que la empresa estaría dispuesta a pagar para adoptar el plan B (renta de un automóvil), en lugar del plan A (compra de un automóvil). Denotemos con p al precio por kilómetro recorrido. Entonces cada mes el costo de rentar el automóvil sería de: 3000 ϩ 2000p Puesto que son 24 meses, el costo total de rentar el automóvil sería (Costo del seguro) ϩ (Costo de renta y uso del automóvil durante 24 meses) es decir, 5000 ϩ 24 ϫ (3000 ϩ 2000p) El costo en el plan A era: (Pago inicial) + (24 mensualidades de $4700 cada una) – (Valor de rescate) por lo que el costo del plan A sería de: 60,600 ϩ (24 ϫ 4700) – 70,000 ϭ $103,400 Lo que necesitamos es determinar el precio p para el cual el costo del plan B sea menor o igual al costo con el plan A, es decir, 5000 ϩ 24 ϫ (3000 ϩ 2000p) Յ 103,400 Con los métodos estudiados en este capítulo es fácil de- terminar que la solución es p Յ 0.55. Quiere decir que un precio de $0.55 por kilómetro hace que los dos planes tengan el mismo costo, pero con un precio por kilómetro inferior a $0.55, el plan B es superior al plan A. Responda a las siguientes preguntas, tome como base el planteamiento original y sólo cambie lo que se indica en cada caso: i) ¿Cuál es el número de kilómetros promedio mensuales que debe viajar a lo más el represen- tante de ventas para que sea mejor el plan B que el plan A? ii) Si el pago mensual para la compra del automó- vil se reduce a $4500 mensuales cada mes, ¿a lo más cuántos kilómetros debe recorrer el re- presentante de ventas para que sea mejor el plan B que el plan A? CASO DE ESTUDI O ¿COMPRAR O RENTAR? ANEXO CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD CUADRÁTICA Otro método para encontrar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática es el de la tabla de variaciones. Si queremos encontrar el conjunto solución de: (x ϩ a) (x Ϫ b) Ͻ 0 a Ͼ 0 y b Ͼ 0 1. Se dibuja un cuadrado 4 ϫ 4, es decir de cuatro columnas y cuatro filas, de la siguiente manera: g 2. En la primera y segunda filas de la primera columna se colocan los factores de la desigualdad; en la tercera fila se escribe la multiplicación de los factores, así: ANEXO 123 3. Los números que hacen cero a los factores (Ϫa y b) se colocan sobre la línea que divide la segunda y la tercera columnas, y la tercera columna con la cuarta columna. La línea superior de la cuadrícula hará las veces de recta numérica; los números positivos están colocados del lado derecho y los números negati- vos del lado izquierdo. x ϩ a x Ϫ a ϫ x ϩ a x Ϫ b ϫ Ϫa b 4. De acuerdo con el factor se coloca cero, en este caso no incluido ya que la desigualdad es mayor que. Si hubiera sido mayor o igual que, se rellena el ce- ro. Anotamos el número 0 en el cruce de la línea y la fila que corresponden al coeficiente que hace 0 al factor correspondiente. Como es una desigualdad “mayor que” el 0 hará las veces de punto, por lo que dejamos el 0 sin rellenar. Lo mismo para una desigualdad “menor que”. El cero se rellena si la desigual- dad incluye el “igual”. x ϩ a x Ϫ b ϫ Ϫa b Si x ϭ Ϫa entonces x ϩ a ϭ Ϫa ϩ a ϭ 0 Si x ϭ b entonces x Ϫ b ϭ b Ϫ b ϭ 0 como a Ͼ 0 y b Ͼ 0 Ϫa Ͻ 0 y Ϫa Ͻ b g 5. Si el factor se hace positivo o negativo según nos movamos sobre la recta supe- rior en el intervalo escribimos el signo Ϫ o el signo ϩ; en las filas. Anotamos signo menos en los cuadrados que queden a la izquierda de los ceros y el signo más en los cuadrados que queden a la derecha, entre los ceros. 124 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES x ϩ a x Ϫ b ϫ Ϫa b ϩ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ 6. Utilizando la regla de los signos multiplicamos de manera vertical los signos anotando el signo correspondiente en la parte inferior. x ϩ a x Ϫ b ϫ Ϫa b ϩ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ 7. Si la desigualdad es mayor (Ͼ), mayor o igual (Ն) que cero, el conjunto solu- ción está donde tenemos el signo ϩ, y si es menor (Ͻ), menor o igual (Յ) que cero, el conjunto solución está donde tenemos el signo (Ϫ). Se sombrea el área de la solución. x ϩ a x Ϫ b ϫ Ϫa b ϩ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ 8. Ahora se escribe la solución de la siguiente manera en notación de conjuntos: Intervalos: ] Ϫϱ, Ϫa [ U ] b, ϩϱ [ Se ponen para adentro los corchetes si es Ն Gráfica: Se llenan los círculos si es Ն Conjunto: {x/x ϽϪa o x Ͼ b} Se coloca en el conjunto el signo de igualdad si es Ն Si la solución hubiera sido de una desigualdad menor que, entonces, en notación de: Intervalos: ] Ϫa, b [ Se ponen hacia adentro los corchetes si es Յ Gráfica: Ϫa b Ϫa b g Se llenan los círculos si es Յ Conjunto: {Ϫa Ͻ x Ͻ b} Se coloca el signo de igualdad si es Յ EJEMPLOS En los siguientes ejemplos, encuentre el conjunto solución de lo que se pide: 1. (x ϩ 1) (x ϩ 2) Ͻ 0 CASO DE ESTUDIO 125 Conjunto solución ؍ ] Ϫϱ, Ϫ2 [ U ] 1, ϩϱ [ x Ϫ 1 x ϩ 2 ϫ Ϫ2 1 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ 2. 1 Ϫ x 2 Ն 0 Recomendación: Si el coeficiente principal es negativo, hágalo positivo multipli- cando por Ϫ1 en ambos lados de la desigualdad y esto cambia en el sentido. x 2 Ϫ 1 Յ 0 (x Ϫ 1) (x ϩ 1) Յ 0 En este caso rellenamos los “ceros” porque utilizamos el signo Յ Conjunto solución ؍ [Ϫ1.1] La solución se encuentra aba- jo del signo menos porque la de- sigualdad es menor que o igual a cero x Ϫ 1 x ϩ 1 ϫ Ϫ1 1 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ 3. 6x 2 Ϫ x Ͼ 1 6x 2 Ϫ x Ϫ 1 Ͼ 0 (2x Ϫ 1) (3x ϩ 1) Ͼ 0 Conjunto solución ؍ ] Ϫϱ, Ϫ1/3 [ U ] ᎏ 1 2 ᎏ ϩϱ [ 2xϪ1 3xϩ1 ϫ Ϫᎏ 1 3 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ g 4. Ϫx 2 ϩ 2x ϩ 3 Յ 0 x 2 Ϫ 2x Ϫ 3 Ն 0 En ambos lados se multiplica por Ϫ1. (x Ϫ 3) (x ϩ 1) Ն 0 126 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES Conjunto solución ؍ ] Ϫϱ, Ϫ1 ] U [ 3, ϩ ϱ[ 5. (2 ϩ 5x) (2 Ϫ x) Ͼ 0 x Ϫ 3 x ϩ 1 ϫ Ϫ1 3 Ϫ Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ ϩ Conjunto solución ؍ ] Ϫ 2/5, 2 [ 2 ϩ 5x 2 ϩ x ϫ Ϫᎏ 2 5 ᎏ 2 ϩ Ϫ ϩ ϩ ϩ Ϫ Ϫ ϩ Ϫ EJERCICIOS DEL ANEXO 1. Ϫ28 Ͻ Ϫ2x 2 ϩ 10x 2. (1 Ϫ 2x) (3 ϩ 4x) Ͼ 0 3. (2x Ϫ 1) 2 Ͼ 0 4. 5x Ϫ 2 Ͻ Ϫ 3x 2 5. (4 ϩ x) (3 ϩ 2x) 6. Ϫ9x 2 Ͼ 12x Ϫ 5 7. 4x 2 Յ 9 8. 0 Յ x 2 ϩ 5x ϩ 6 9. (3 Ϫ 2x) (4 ϩ x) Ͼ 0 10. x 2 Ͻ 8x Ϫ 16 g 127 CAPÍ TULO 4 Lógica matemática 4-1 CONJUNTOS 4-2 UNIÓN DE CONJUNTOS 4-3 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 4-4 PRODUCTO CARTESIANO 4-5 LÓGICA MATEMÁTICA REPASO DEL CAPÍTULO T E M A R I O La Teoría de los Conjuntos fue rigurosamente desarrollada en los siglos XIX y XX, con el objeto de dar a la matemáti- ca una mejor fundamentación y tener una mayor precisión en el lenguaje en ella utilizado. En este capítulo se dan los rudimentos de tal teoría. Se introducen las nociones de conjunto, pertenencia a un conjunto y subconjunto. Además, se dan distintas formas de operar con los conjuntos para obtener otros. En particular, estudiaremos las operaciones de unión, intersección y complemento de un conjunto respecto a otro (también llamada diferencia de conjuntos). Son dadas las propiedades fundamentales de estas operaciones, entre las que destacan las llamadas leyes de De Morgan, que estable- cen fórmulas en las que esas tres operaciones quedan rela- cionadas. Presentaremos los diagramas de Venn que son grá- ficos concretos que sirven de apoyo en el estudio de algu- nas de las propiedades generales de los conjuntos. También se introduce el producto cartesiano de con- juntos que sirve, por ejemplo, para tener modelos numéri- cos del plano y el espacio. En la segunda parte del capítulo haremos una breve presentación de la lógica matemática elemental. Se intro- duce la noción de proposición o enunciado y son presen- tados los llamados conectivos lógicos que permiten for- mar proposiciones complejas a partir de otras que pasan a ser llamadas sus proposiciones componentes. Son tam- bién consideradas las proposiciones llamadas condiciona- les, que tienen un interés especial para el estudio de las matemáticas, pues muchos de los resultados que en ella se encuentran son enunciados de este tipo. Las proposiciones tienen asociado un valor de ver- dad. Mediante las llamadas tablas de verdad se determina el valor de verdad de proposiciones complejas de acuerdo con los valores que tienen sus componentes. El capítulo se cierra dando algunas de las formas de demostración de condicionales. g Encuentre todos los divisores positivos de 28. Solución Los divisores de 28 son: {1, 2, 4, 7, 14, 28} En general, un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman elementos. Un conjunto debe ser descrito de tal manera que dado un objeto sea posible decidir si es o no elemento del conjunto. Si x es un elemento y A un con- junto, escribimos x ʦ A para decir que x pertenece a A. Para señalar que un objeto x no es elemento del conjunto A, escribimos x ∉ A. En ocasiones, como en el ejemplo anterior, para especificar a un conjunto par- ticular, se hace una lista de todos los elementos y se escriben entre llaves. Otra ma- nera es escribir, también entre llaves, una regla que caracteriza plenamente a los elementos; en el ejemplo anterior escribimos {n ʦގ n divide a 28}, que se lee “el conjunto de los números naturales n tales que n divide 28”. (Recuerde que un divi- sor positivo de un número es un natural que divide a dicho número.) Usamos letras mayúsculas para denotar a los conjuntos y minúsculas para de- notar a sus elementos. Cuando escribimos la lista de los elementos de un conjunto, no repetimos los elementos, por ejemplo, escribimos {a, b} en lugar de {a, b, a}. El orden en que escribimos los elementos de un conjunto no es importante, así, {a, b, c} y {b, a, c} representan al mismo conjunto. EJEMPLO 1 Indique si el número Ϫ5 pertenece o no al conjunto { ᎏ p q ᎏ Έ p, q ʦ ޚ y q 0}. Solución Observamos que Ϫ5 puede escribirse como: Ϫ5 ϭ el cual es un elemento del conjunto, entonces: Ϫ5 ʦ Ά ᎏ p q ᎏ Έ p, q ʦ ޚ y q 0 · El conjunto Ά ᎏ p q ᎏ p, q ʦ ޚ y q 0} se conoce como el conjunto de los números ra- cionales y se denota por ޑ. EJEMPLO 2 Describa al conjunto de los números pares entre Ϫ7 y 9. Solución El conjunto es: {Ϫ6, Ϫ4, Ϫ2, 0, 2, 4, 6, 8} Ϫ5 ᎏ 1 128 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA 4-1 CONJUNTOS g EJEMPLO 3 Pruebe que el cero no pertenece al conjunto cuyos elementos son los números rea- les cuyo cuadrado es mayor que cero. Solución Puesto que 0 2 ϭ 0, tenemos que 0 ∉ {x ʦ ޒ x 2 Ͼ 0}. EJEMPLO 4 Diga si 3 pertenece al conjunto B ϭ {x ʦ ޒ x es mayor que y menor que 7}. Solución Los elementos de B son aquellos reales x tales que: Ͻ x Ͻ 7 y como 3 Ͻ entonces 3 ∉ B. La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Si el nú- mero de elementos del conjunto es un entero positivo, se dice que el conjunto es fi- nito. Cuando un conjunto no es finito, se dice que es infinito. Cuando dos conjuntos finitos A y B tienen la misma cardinalidad, decimos que los conjuntos son equivalentes y escribimos A ϳ B. En este caso también decimos que entre los dos conjuntos existe una correspondencia biunívoca, en ocasiones lla- mada también uno a uno. Es decir, puesto que los conjuntos tienen el mismo núme- ro de elementos, entre ellos se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B, agotando los elementos de B. EJEMPLO 5 Encuentre la cardinalidad del conjunto que consta de los números enteros mayores que Ϫ2 y menores que 11. Solución El conjunto es: {Ϫ1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. La cardinalidad del conjunto es 12. EJEMPLO 6 Diga si los conjuntos A ϭ {Ϫ5, 3, 2, Ϫ7} y B ϭ {x, c, d, y, z} son equivalentes. Solución La cardinalidad de A es cuatro y la de B es cinco, entonces los conjuntos no son equivalentes. SECCIÓN 4.1 CONJUNTOS 129 g EJEMPLO 7 Encuentre una correspondencia uno a uno entre los conjuntos A ϭ {x, y, z} y B ϭ {w, 1, Ϫ5} Solución Escribimos x → w para denotar que al elemento x del conjunto A le aso- ciamos el elemento w del conjunto B. Entonces establecemos la relación: x → w y → Ϫ5 z → 1, puesto que hemos agotado todos los elementos de B y a cada elemento de A le aso- ciamos un único elemento de B, la correspondencia es uno a uno. Observación {1, 2} ϳ {a, b} pero {1, 2} {a, b} Subconjuntos Si A ϭ {xx ʦ ޚ, 0 Յ x Յ 20 y x es un número primo} y B ϭ {xx ʦ ޚ y 0 Յ x Յ 20}, es decir, B es el conjunto de números enteros entre cero y 20, debemos analizar qué relación hay entre A y B. Solución Observamos que: A ϭ {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} y B ϭ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}, Notamos que cada elemento de A es elemento de B, entonces decimos que A es un subconjunto de B, y escribimos A ʚ B. En general, para dos conjuntos A y B, escribimos A ʚ B si todo elemento del con- junto A es elemento del conjunto B y decimos que A es subconjunto de B. Cuando no se cumple que A ʚ B, es decir, cuando al menos un elemento de A no pertenece a B, escribimos A ʚ B. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y escribimos A ϭ B. Decimos que A es un subconjunto propio de B o que está propiamente en B si A ʚ B y hay por lo menos un elemento de B que no está en A. En este caso escribi- mos A B. 130 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA g Observaciones • Si A ʚ B y A B entonces A B. • Si A ʚ B y B ʚ A entonces A ϭ B. • Si A ϭ B entonces A ʚ B y B ʚ A. EJEMPLO 1 Si A ϭ {Ϫ3, 4.5, 15, ᎏ 7 8 ᎏ } y B ϭ Ϫ3, 15, 4.5}. Demuestre que B ʚ A. Solución Los elementos de B son Ϫ3, 15, 4.5 y todos ellos son también elemen- tos de A. EJEMPLO 2 Si A ϭ {11, 5, 0, Ϫ7} y B ϭ {11, 5, 0, Ϫ7, 1}. Pruebe que B A. Solución 1 es elemento de B, pero no es elemento de A, entonces B A. EJEMPLO 3 Determine si los conjuntos A ϭ {2, 5, 8} y B ϭ {8, 2, 5} son iguales. Solución Como cada elemento de A es elemento de B entonces A ʚB. De la mis- ma manera, cada elemento de B es elemento de A; entonces B ʚ A. Por lo tanto, A ϭ B. EJEMPLO 4 Si A ϭ {x ʦ ޒ Ϫ2 Ͻ x Ͻ Ϫ ᎏ 9 2 ᎏ } y B ϭ {x ʦ ޒ Ϫ ᎏ 5 2 ᎏ Ͻ x Ͻ 8}. Demuestre que A ʚ B. Solución Si x ʦ A entonces: Ϫ2 Ͻ x Ͻ ᎏ 9 2 ᎏ. De donde Ϫ ᎏ 1 5 2 ᎏ Ͻ Ϫ2 Ͻ x Ͻ ᎏ 9 2 ᎏ Ͻ 8, es decir, x ʦ B. Por lo tanto, A ʚ B. Complemento En un internado se encuentran 98 niños de los cuales 27 son recogidos a las cinco de la tarde por sus padres, los restantes únicamente van a casa el fin de semana. ¿Cuántos niños duermen en el internado? Solución Llamamos A al conjunto de niños que salen diariamente y B al conjunto de todos los niños que se encuentran en el internado. Debemos saber cuántos ele- SECCIÓN 4.1 CONJUNTOS 131 g mentos tiene el conjunto de niños que están en el internado pero no salen diariamen- te, es decir, el conjunto de elementos que pertenecen a B pero no están en A; deno- tamos a dicho conjunto por B\A, entonces: B\A ϭ {x ʦ Bx ∉ A}ϭ {niños que duermen en el internado}, entonces B\A tiene 98 Ϫ 27 ϭ 71 elementos. Hay 71 niños que duermen en el internado. En general podemos hablar de los elementos que pertenecen a un conjunto B pero no a A, en ese caso escribimos: B\A ϭ {x ʦ Bx ∉ A} y decimos que B\A es el complemento del conjunto A con respecto al conjunto B, o simplemente el complemento de A con respecto a B. Otro nombre con el que se conoce a B\A es diferencia de B y A. Para tener una representación gráfica de los conjuntos utilizamos los diagra- mas de Venn. 132 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA En cada caso es conveniente tener claro en qué contexto estamos trabajando, de esta manera, es posible simplificar incluso la notación. En cada caso debemos determinar el conjunto que tomaremos como referencia durante la explicación, es decir, uno que contendrá a todos los subconjuntos que intervengan en dicha explicación, a ese conjun- to se le llama conjunto universal. Así, por ejemplo, si tomamos a ޚ como el conjunto universal y llamamos P al conjunto de los números pares, denotamos por P c al com- plemento de P con respecto a ޚ, en lugar de escribir ޚ\P. Claramente, el conjunto universal cambia, dependiendo de la situación de que se trate. FIGURA 1 FIGURA 2 g EJEMPLO 1 Si tomamos como conjunto universal al conjunto de los números reales, encuentre A c si A es el conjunto de números tales que su cuadrado es mayor que cero. Solución Puesto que para cualquier número real tenemos que su cuadrado es po- sitivo o cero, tenemos que los números tales que su cuadrado es mayor que cero son los que satisfacen: x Ͼ 0 o x Ͻ 0, es decir: A ϭ {x ʦ ޒ x 0}, de donde: A c ϭ ޒ\A ϭ {0}. EJEMPLO 2 Si A ϭ {1, ᎏ 1 2 ᎏ , ᎏ 1 3 ᎏ , ᎏ 3 2 ᎏ } y B ϭ { ᎏ 2 3 ᎏ , ᎏ 3 2 ᎏ , 1, ᎏ 1 4 ᎏ , ᎏ 1 2 ᎏ , ᎏ 5 2 ᎏ , Ϫ1}. Encuentre B\A. Solución Los elementos que están en B y no están en A son: B\A ϭ Ά ᎏ 2 3 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏ, ᎏ 5 2 ᎏ, Ϫ1 · SECCIÓN 4.1 CONJUNTOS 133 EJERCICIOS 4-1 (1-10) En cada caso escriba el conjunto exhibiendo todos sus elementos. 1. {números enteros pares entre Ϫ5 y 11} 2. {números enteros cuyo cuadrado sea menor que 47} 3. {números primos entre 34 y 60} 4. {números enteros negativos mayores que Ϫ8} 5. {números naturales impares menores que 16} 6. { ᎏ 1 n ᎏ n es un número natural entre 1 y 13} 7. {2n Ϫ 5 n es un número entero entre Ϫ3 y 6} 8. {nn es un número entero mayor que Ϫ5 y menor que 7} 9. {x ʦ ޚx 2 Ϫ 2 Ͻ 0} 10. {x ʦ ޒx 2 Ϫ 1 ϭ 0} (11-15) En cada caso describa el conjunto que se indica. 11. El conjunto de los números enteros que satisfacen (x ϩ2) 2 Ͼ 0. 12. El conjunto de números reales que satisfacen Ϫ3 Ͻ x ϩ 5 Ͻ 2. 13. El conjunto de números reales que satisfacen la ecuación x 2 Ϫ 15 ϭ Ϫ2x. 14. El conjunto de números reales que satisfacen la ecuación x 3 Ϫ 2x 2 ϭ 24x. 15. El conjunto de números racionales que satisfacen la ecua- ción 2x 2 ϩ 11x Ϫ 21 ϭ 0. (16-21) Coloque ʦ o ∉en cada espacio en blanco de manera que la proposición sea cierta. 16. Ϫ6___{Ϫ10, Ϫ9, Ϫ6, Ϫ3, 0, 5} 17. Ϫ___{2, 2 , Ϫ2, , 6} 18. 9.4___{1.2, 3.75, 9.3, 12, 13.7, 20} 19. 0___{6, 22, 3, 0, 8, 1} 20. ᎏ 3 5 ᎏ ___{ ᎏ 2 3 ᎏ , ᎏ 3 4 ᎏ , ᎏ 5 3 ᎏ , ᎏ 6 5 ᎏ , ᎏ 7 4 ᎏ } g 21. ᎏ 3 1 2 ᎏ ______ {Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ , ᎏ 1 4 ᎏ , Ϫ ᎏ 1 8 ᎏ , Ϫ ᎏ 1 1 6 ᎏ , ᎏ 3 1 2 ᎏ } (22-29) Coloque ʚ o en cada espacio en blanco de manera que la proposición sea cierta. 22. {5, 10, 12} ______ {5, 10, 15, 20, 25} 23. {Ϫ3, 0} ______ {0, Ϫ1, Ϫ3, 1, 3} 24. {2, 4, 6, 8} ______ {2, 4, 6, 8, 10, 12} 25. {7, Ϫ11, 16} ______ {1, Ϫ7, 11, Ϫ14, 16} 26. ޚ ______ {Ϫ1, Ϫ2, Ϫ3, Ϫ4} 27. {Ϫ4, 4} ______ ޚ 28. 8 ______ ޚ 29. {Ϫ5, Ϫ21, 93} ______ {números enteros impares} (30-35) En cada caso encuentre A\B. Si A ϭ {Ϫ5, Ϫ4, Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} y 30. B ϭ {0, 1, 2, 3, 4, 5} 31. B ϭ {Ϫ3, 1, 5} 32. B ϭ {0, 4} 33. B ϭ {Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3} 34. B ϭ {Ϫ5, Ϫ4, Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1} 35. B ϭ {Ϫ2} 36. Si A es el conjunto formado por todos los triángulos, B es el conjunto de los triángulos rectángulos y C el de los trián- gulos escalenos. Diga si cada uno de los conjuntos anterio- res es subconjunto de alguno de los otros o no. Analice todas las posibilidades. (37-41) Si el conjunto universal es el conjunto {Ϫ11, Ϫ1, ᎏ 2 3 ᎏ , ᎏ 3 4 ᎏ , ᎏ 4 5 ᎏ , ᎏ 5 6 ᎏ , ᎏ 7 8 ᎏ , ᎏ 1 9 0 ᎏ , 2, , 0, ᎏ 8 7 ᎏ , ᎏ 8 9 ᎏ , ᎏ 6 5 ᎏ , ⌰, a, b, 8}. Encuentre A c si: 37. A ϭ {Ϫ1, ᎏ 2 3 ᎏ , ᎏ 3 4 ᎏ , ᎏ 4 5 ᎏ , ᎏ 8 9 ᎏ , , 0, ᎏ 6 5 ᎏ , ⌰, b, 8} 38. A ϭ {Ϫ11, Ϫ1, ᎏ 3 4 ᎏ , ᎏ 4 5 ᎏ , ᎏ 5 6 ᎏ , ᎏ 7 8 ᎏ , ᎏ 1 9 0 ᎏ , , 0, ᎏ 8 7 ᎏ , ᎏ 6 5 ᎏ , ⌰, a, 8} 39. A ϭ {Ϫ11, Ϫ1, ᎏ 2 3 ᎏ , ᎏ 3 4 ᎏ , ᎏ 4 5 ᎏ , ᎏ 7 8 ᎏ , ᎏ 8 9 ᎏ , ᎏ 1 9 0 ᎏ , 2, , 0, ᎏ 8 7 ᎏ , ᎏ 6 5 ᎏ , ⌰, a, 8} 40. A ϭ {Ϫ1, Ϫ11, ᎏ 4 6 ᎏ , ᎏ 3 4 ᎏ , ᎏ 4 5 ᎏ , ᎏ 7 8 ᎏ , ᎏ 1 9 0 ᎏ , 2, , ᎏ 8 7 ᎏ , ᎏ 6 5 ᎏ , ⌰, a, 8} 41. Luis ha comprado tres platos para servir el alimento a sus perros, un plato es azul, otro rojo y el tercero blanco. Los nombres de sus perros son: Boby, Tiny y Romy. Establezca una correspondencia uno a uno entre los platos y los perros. 134 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA 4-2 UNIÓN DE CONJUNTOS Juan, José, Luis, Mario, Alfredo, Rubén, Roberto, Bruno, Adrián, Fernando, Daniel y Andrés estudian en el mismo grupo. De ellos, Juan, Luis, Mario, Rubén y Rober- to practican la natación. José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno y Andrés juegan fút- bol. ¿Cuáles niños hacen deporte? Solución Llamamos A al conjunto de niños que nadan, es decir: A ϭ {Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto} y B al de los niños que juegan fútbol: B ϭ {José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno, Andrés} Ahora formamos la colección de los niños que practican algún deporte: {Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto, José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno, Andrés} Sin embargo, notamos que hay niños que pertenecen tanto a A como a B, es decir, Mario y Roberto practican ambos deportes, por tal motivo aparecen dos veces en la lista, los borramos una vez de acuerdo con lo dicho al inicio del capítulo y obtene- mos el conjunto: A ʜ B ϭ {Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto, José, Alfredo, Bruno, Andrés}. Los elementos de este conjunto son los niños que practican algún deporte. g Cuando deseamos, como en el problema anterior, reunir los elementos de dos con- juntos A y B, escribimos: C ϭ A ʜ B en este caso decimos que C es la unión de los conjuntos A y B, y para describir sus elementos: A ʜ B ϭ {xx ʦ A o x ʦ B} y se lee A unión B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a alguno de los dos conjuntos, es decir, x pertenece a A, o x pertenece a B. Observe que en la unión se encuentran todos los elementos de A y todos los elementos de B. Es decir: A ʚ A ʜ B y B ʚ A ʜ B. SECCIÓN 4.2 UNIÓN DE CONJUNTOS 135 FIGURA 3 Observaciones Si A ʚ B entonces A ʜ B ϭ B. Si A ϭ B entonces A ʜ B ϭ A ϭ B. Si x ʦ A ʜ B entonces x pertenece a A, x pertenece a B o x pertenece a ambos. EJEMPLO 1 Si A ϭ {1, Ϫ͙2ෆ , ᎏ 1 3 ᎏ , 3.75} y B ϭ {0,Ϫ ᎏ 3 8 ᎏ , 123, ᎏ 1 3 ᎏ }, encuentre A ʜ B. Solución A ʜ B ϭ {1, Ϫ͙2ෆ, ᎏ 1 3 ᎏ , 3.75, 0, Ϫ ᎏ 3 8 ᎏ , 123} EJEMPLO 2 Si A ϭ {3, 4, 5, 6} y B ϭ {3, 6} encuentre A ʜ B. Solución A ʜ B ϭ {3, 4, 5, 6} EJEMPLO 3 Si A ϭ {x ʦ ޒ Ϫ Յ x Յ 7} y B ϭ {x ʦ ޒ Ϫ3 Ͻ x Ͻ ᎏ 2 3 2 ᎏ } encuentre A ʜ B. Solución Puesto que: Ϫ Ͻ Ϫ3 y 7 Ͻ ᎏ 2 3 2 ᎏ, g entonces: A ʜ B ϭ Ά x ʦ ޒ Ϫ Յ x Ͻ ᎏ 2 3 2 ᎏ · . EJEMPLO 4 Si A ϭ {x ʦ ޒ Ϫ4 Ͻ x Ͻ 4}, B ϭ {Ϫ4, 0, 2} y C ϭ {x ʦ ޒ 3 Ͻ x Ͻ 5}. En- cuentre (A ʜ B) ʜ C. Solución Observemos primero que 0 ʦ A y 2 ʦ A. Entonces, como Ϫ4 ʦ B, te- nemos: A ʜ B ϭ {x ʦ ޒ Ϫ4 Յ x Ͻ 4}, tomando ahora la unión de este conjunto con C, como Ϫ4 Ͻ 3 y 4 Ͻ 5, tenemos: (A ʜ B) ʜ C ϭ {x ʦ ޒ Ϫ4 Յ x Ͻ 5}. 136 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA EJERCICIOS 4-2 Si A ϭ {x, y, z}, B ϭ {y, z} y C ϭ {z}. Encuentre: 1. A ʜ B 2. A ʜ C 3. B ʜ C 4. (A ʜ B) ʜ C 5. A ʜ (B ʜ C) 6. (A\B) ʜ C 7. (A\C) ʜ B 8. (A ʜ B) \C 9. (A ʜ C) \B 10. A ʜ (B\C) 11. A\ (B ʜ C) 12. (A\B) ʜ (A\C) 13. Si A ϭ {x ʦ ޒ Ϫ25 Յ x Ͻ 9}, B ϭ {x ʦ ޒ Ϫ8 Յ x Յ Ϫ2} y C ϭ {x ʦ ޒ Ϫ1 Ͻ x Յ 8}. Encuentre (A\B) ʜ (A\C). 14. Si A ϭ{x ʦޒ Ϫ2.5 Ͻx Ͻ ᎏ 8 3 ᎏ }, B ϭ{x ʦޒ2 Ͻx Ͻ8} y C ϭ {x ʦ ޒ 3 Ͻ x Ͻ ᎏ 2 6 7 ᎏ }. Verifique A ʜ (B ʜ C) ϭ (A ʜ B) ʜ C. 15. Si A es un conjunto de 7 elementos y B es un conjunto de 5 elementos, ¿cuántos elementos tiene A\B? Observe que los conjuntos A y B pueden o no, tener elementos en común. 16. Julieta y Ramón contrajeron matrimonio. Julio y Salvador, hijos del primer matrimonio de Julieta, llegaron a vivir con la pareja. Asimismo, Jaime y Anita, hijos de Ramón, se in- corporaron a la familia. a) Escriba el conjunto que consta de los miembros de la nueva familia. b) Exprese el conjunto anterior como la unión de los dos conjuntos que formaba cada pareja de hijos con su res- pectivo papá, antes de la boda. 17. Si A ϭ{a} y B es un conjunto tal que A ʜB ϭ{a}, ¿quién es B? 4-3 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Los miembros del Consejo de Seguridad de la ONU durante 1997 fueron Japón, Kenia, Polonia, Portugal, República de Corea, Federación Rusa, Suecia, Reino Uni- do, Estados Unidos de Norteamérica, Chile, China, Costa Rica, Egipto, Francia y Guinea-Bissau. De ellos, Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Nor- g teamérica, China y Francia son miembros permanentes. Por otra parte, Portugal, Chile, Costa Rica, Francia y Guinea-Bissau tienen por idioma oficial una lengua ro- mance. ¿Qué países son miembros permanentes y tienen una lengua romance por idioma? Solución Llamamos A al conjunto de miembros permanentes del Consejo de Se- guridad de la ONU, es decir: A ϭ{Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, China, Francia} y B al conjunto de países cuyo idioma es una lengua romance, o sea: B ϭ {Portugal, Chile, Costa Rica, Francia, Guinea-Bissau} Los países que son miembros permanentes y cuyo idioma es una lengua romance son los que están en ambos conjuntos, llamemos C a dicho conjunto, entonces: C ϭ {Francia} El único país que es miembro permanente y tiene como idioma una lengua romance es Francia; es decir: C ϭ A ʝ B. En general, cuando deseamos considerar los elementos que pertenecen tanto al con- junto A como al conjunto B, escribimos: C ϭ A ʝ B, en este caso decimos que C es la intersección de los conjuntos A y B, o sea: A ʝ B ϭ {xx ʦ A y x ʦ B} y se lee A intersección B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a A y x pertenece a B. De acuerdo con la definición, cualquier elemento de A ʝ B es un elemento de A y también de B, es decir: A ʝ B ʚ A y A ʝ B ʚ B. SECCIÓN 4.3 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 137 FIGURA 4 Cuando no hay elementos que pertenezcan a ambos conjuntos A y B, decimos que la intersección es vacía o que el conjunto obtenido es el conjunto vacío, el cual de- notamos por л. En este caso decimos que los conjuntos son ajenos. Convenimos que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto A, es decir, л ʚ A. g EJEMPLO 1 En una granja saldrán a la venta los pollitos que serán destinados a la engorda, para ello son seleccionados colocando en un lado las pollas y en otro a los pollos. Al inicio había 2104 animales, de los cuales ᎏ 3 8 ᎏ resultaron ser pollos y el resto pollas. Determine las cardinalidades de los conjuntos que resultaron después de hacer la selección. Solución Para saber cuántos pollos hubo en total, efectuamos la operación: 2104 Θᎏ 3 8 ᎏΙ ϭ 789, como: 2104 Ϫ 789 ϭ 1315 Entonces, hay un conjunto, llamémoslo A, que contiene a los 789 pollos: A ϭ {pollos} otro, al que llamaremos B, que contiene a las 1315 pollas: B ϭ {pollas} Notamos que A ʝ B ϭ л. EJEMPLO 2 Si A ϭ {x ʦ ޒϪ3 Յ x Յ 4} y B ϭ {x ʦ ޒ ᎏ 7 2 ᎏ < x < 6}, encuentre A ʝ B. Solución Observamos que los números reales que satisfacen Ϫ3 Յ x Ͻ ᎏ 7 2 ᎏ son ele- mentos del conjunto A, pero no del conjunto B. De la misma manera, los que cumplen 4 Ͻ x Ͻ 6 son elementos del conjunto B pero no están en A. Así: A ʝ B ϭ Ά x ʦ ޒ ᎏ 7 2 ᎏ Ͻ x Ͻ 4 · . Observaciones • Si A ʚ B entonces A ʝ B ϭ A. • Si A ϭ B entonces A ʝ B ϭ A ϭ B. Leyes de De Morgan Las igualdades (A ʜ B) c ϭ A c ʝ B c y (A ʝ B) c ϭ A c ʜ B c se conocen como las leyes de De Morgan y son válidas para cualesquiera de los dos conjuntos A y B. EJEMPLO 1 Si A ϭ {x ʦ ޒϪ3 Յ x Յ Ϫ2}, B ϭ {x ʦ ޒϪ1 Յ x Յ 0} y ޒ es el conjunto universal, verifique que (A ʜ B) c ϭ A c ʝ B c . 138 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA g Solución (A ʜ B) c ϭ ({x ʦ ޒϪ3 Յ x Յ Ϫ2} ʜ {x ʦ ޒ Ϫ1 Յ x Յ 0}) c ϭ ޒ\({x ʦ ޒ Ϫ3 Յ x Յ Ϫ2} ʜ {x ʦ ޒ Ϫ1 Յ x Յ 0}) ϭ {x ʦ ޒx Ͻ Ϫ3} ʜ {x ʦ ޒ Ϫ2 Ͻ x Ͻ Ϫ1} ʜ {x ʦ ޒ x Ͼ 0} Por otra parte, A c ʝ B c ϭ {x ʦ ޒ Ϫ3 Յ x Յ Ϫ2} c ʝ {x ʦ ޒ Ϫ1 Յ x Յ 0} c ϭ (ޒ\{x ʦ ޒϪ3 Յ x Յ Ϫ2}) ʝ (ޒ\{x ʦ ޒ Ϫ1 Յ x Յ 0}) ϭ ({x ʦ ޒx Ͻ Ϫ3} ʜ {x ʦ ޒ Ϫ2 Ͻ x}) ʝ ({x ʦ ޒx Ͻ Ϫ1} ʜ {x ʦ ޒ0 Ͻ x}) ϭ {x ʦ ޒx Ͻ Ϫ3} ʜ {x ʦ ޒ Ϫ2 Ͻ x Ͻ Ϫ1} ʜ {x ʦ ޒ x Ͼ 0} Entonces (A ʜ B) c ϭ A c ʝ B c . EJEMPLO 2 Si A ϭ {x ʦ ޒ0 Յ x Յ 3}, B ϭ {x ʦ ޒ2 Յ x Յ 6} y ޒ es el conjunto univer- sal, verifique que (A ʝ B) c ϭ A c ʜ B c . Solución (A ʝ B) c ϭ ({x ʦ ޒ0 Յ x Յ 3} ʝ {x ʦ ޒ2 Յ x Յ 6} c ϭ ޒ\({x ʦ ޒ0 Յ x Յ 3} ʝ {x ʦ ޒ 2 Յ x Յ 6}) ϭ ޒ\{x ʦ ޒ2 Յ x Յ 3} ϭ {x ʦ ޒx Ͻ 2} ʜ {x ʦ ޒx Ͼ 3} Por otra parte, A c ʜ B c ϭ {x ʦ ޒ0 Յ x Յ 3} c ʜ {x ʦ ޒ2 Յ x Յ 6} c ϭ (ޒ\({x ʦ ޒ0 Յ x Յ 3}) ʜ (ޒ\{x ʦ ޒ2 Յ x Յ 6}) ϭ ({x ʦ ޒx Ͻ 0} ʜ {x ʦ ޒ3 Ͻ x}) ʜ ({x ʦ ޒx Ͻ 2} ʜ {x ʦ ޒ 6 Ͻ x}) ϭ {x ʦ ޒx Ͻ 2} ʜ {x ʦ ޒx Ͼ 3} Entonces, (A ʝ B) c ϭ A c ഫ B c . SECCIÓN 4.3 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 139 EJERCICIOS 4-3 (1-6) En cada caso, conteste cierto o falso: 1. b ʚ {b} 2. 0 ʦ л 3. л ʚ {0} 4. Si A ϭ B y x ʦ B, entonces x ʦ A 5. л ʚ л 6. Si A ʜB ʚA ʝB entonces A ϭB (7-10) Si A ϭ{Ϫ, 0, }, B ϭ{0, ᎏ 2 ᎏ , } y C ϭ{Ϫ, 0, ᎏ 3 2 ᎏ }, encuentre: 7. A ʝ B 8. B ʝ C 9. A ʝ C 10. (A ʝ B) ʝ C g En una lonchería, el menú del día consta de sopa, a elegir entre las siguientes opcio- nes: lentejas o fideos. Un guisado, a elegir entre: pollo a la naranja, ternera con ensalada o milanesa con papas. Cualquier opción está acompañada con frijoles y postre. ¿Cuáles son los menús posibles que se pueden formar? Solución Llamamos A al conjunto de sopas y B al de los guisados, es decir: A ϭ {lentejas, fideos} B ϭ {pollo a la naranja, ternera con ensalada, milanesa con papas}. Para formar todos los menúes posibles tomamos una sopa y combinamos con todos los guisados, posteriormente hacemos lo mismo con la otra sopa. Todas las posibilidades de elegir una sopa y un guisado son: 140 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA (11-24) Si A ϭ {1, 5, 9}, B ϭ {a, b, c, 5} y C ϭ {Ϫ2, 3, a, 9}, encuentre: 11. A ഫ B 12. B ʝ C 13. A ʝ B 14. A ഫ C 15. A ʝ C 16. B ഫ C 17. A ഫ B ഫ C 18. (A ഫ B) ʝ C 19. (A ʝ B) ഫ C 20. A ʝ B ʝ C 21. (A ʝ C) ഫ B 22. (B ʝ C) ഫ A 23. (A ʝ B) ഫ (A ʝ C) 24. (A ഫ B) ʝ (A ഫ C) 25. Si A ϭ {x ʦ ޒϪ1 Յ x Ͻ 2}, B ϭ {x ʦ ޒ ᎏ 1 2 ᎏ Յ x Յ 4} y C ϭ {x ʦ ޒϪ ᎏ 1 2 ᎏ Յ x Յ 3}. Verifique que: (A ഫ B) ʝ C ϭ (A ʝ C) ഫ (B ʝ C) 26. Si A ϭ {x ʦ ޒϪ1 Յ x Ͻ 2}, B ϭ {x ʦ ޒ0 Յ x Յ ᎏ 3 2 ᎏ } y C ϭ {x ʦ ޒϪ ᎏ 1 2 ᎏ Յ x Յ ᎏ 5 5 ᎏ }. Verifique que: (A പ B) ഫ C ϭ (A ഫ C) പ (B ഫ C) 27. Ilustre (A ഫ B) ʝ C utilizando diagramas de Venn, en el caso en que A ʝ B ϭ л ϭ A ʝ C, pero B ʝ C л 28. Por medio de diagramas de Venn, verifique que (A ʝB) ഫ C ϭ (A ഫ C) ʝ (B ഫ C), suponiendo que A പ B л, A പ C л y B പ C ϭ л. 4-4 PRODUCTO CARTESIANO lentejas y pollo a la naranja lentejas y ternera con ensalada lentejas y milanesa con papas fideos y pollo a la naranja fideos y ternera con ensalada fideos y milanesa con papas Puesto que estamos tomando parejas, conviene escribir: {(lentejas, pollo a la naranja), (lentejas, ternera con ensalada), (lentejas, milanesa con papas), (fideos, pollo a la naranja), (fideos, ternera con ensalada), (fideos, milanesa con papas)}. Este conjunto lo denotamos como A ϫ B. Observe que escribimos las parejas de forma ordenada, es decir siempre primero la sopa y después el guisado. g En general, cuando a partir de dos conjuntos A y B deseamos formar parejas de ele- mentos de manera que en cada una haya un miembro de cada uno de los conjuntos dados, formamos el conjunto que llamamos el producto cartesiano de A y B, que denotamos A ϫ B. Es decir: A ϫ B ϭ {(a, b) a ʦ A y b ʦ B} y se lee el conjunto de parejas a coma b tales que a está en A y b está en B. Es impor- tante notar que las parejas son parejas ordenadas, es decir, (a, b) ϭ(c, d) sólo en el caso en el que a ϭ c y b ϭ d, así, en general (a, b) (b, a). Las parejas ordenadas, en ocasiones también se llaman pares ordenados. Observación л ϫ A ϭ л. EJEMPLO 1 Si A ϭ{3, 6, Ϫ2} y B ϭ{4, 2}, dibuje en el plano cartesiano los elementos del pro- ducto A ϫ B. Solución A ϫ B ϭ {(3, 4), (3, 2), (6, 4), (6, 2), (Ϫ2, 4), (Ϫ2, 2)}. SECCIÓN 4.4 PRODUCTO CARTESIANO 141 FIGURA 5 FIGURA 6 EJEMPLO 2 Si A ϭ{3, 6, Ϫ2} y B ϭ{4, 2}, dibuje en el plano cartesiano los elementos del pro- ducto B ϫ A. Solución B ϫ A ϭ {(4, 3), (4, 6), (4, Ϫ2), (2, 3), (2, 6), (2, Ϫ2)}. g EJEMPLO 3 Si A ϭ {n ʦ ޚ2 Ͻ n Ͻ 5} y B ϭ {x, y, z}, encuentre A ϫ B. Solución Observamos primero que A ϭ {3, 4}, entonces: A ϫ B ϭ {(3, x), (3, y), (3, z), (4, x), (4, y), (4, z)}. EJEMPLO 4 Si A ϭ {x, y, z} y B ϭ {x, y}, encuentre (A ϫ B) ʝ (B ϫ A). Solución A ϫ B ϭ {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y), (z, x), (z, y)} B ϫ A ϭ {(x, x), (x, y), (x, z), (y, x), (y, y), (y, z)} Entonces: (A ϫ B) ʝ (B ϫ A) ϭ {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)} Observación A ϫ B B ϫ A 142 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA EJERCICIOS 4-4 (1-4) Si A ϭ {Ϫ1, 1, 0} y B ϭ {1, 2, 3}, encuentre: 1. A ϫ B 2. B ϫ A 3. (A ϫ B) പ (B ϫ A) 4. (A ϫ B) ʜ (B ϫ A) (5-12) Si A ϭ {a, b} y B ϭ {a, b, c} y C ϭ {a, c} encuentre: 5. A ϫ B 6. A ϫ C 7. B ϫ A 8. C ϫ A 9. A ϫ (B\C) 10. (A ϫ B)\(A ϫ C) 11. A ϫ (B ʜ C) 12. B ϫ (C ʜ A) 13. Si A ϭ {Ϫ2, a, z}, B ϭ {a, b} y C ϭ {3, b} verifique que: A ϫ (B ʜ C) ϭ (A ϫ B) ʜ (A ϫ C), (14-17) Si A ϭ {Ϫ1, Ϫ2, Ϫ3} y B ϭ {1, 2, 3}, dibuje en el plano los elementos de los conjuntos: 14. A ϫ B 15. B ϫ A 16. A ϫ A 17. B ϫ B 18. Si A ϭ{a, b, c, d, e , f, g, h, i} y B ϭ{Ϫ1, Ϫ2, Ϫ3}. ¿Cuál es la cardinalidad de A ϫ B? 19. Considere los conjuntos A ϭ {a}, B ϭ {b}, C ϭ {c}, D ϭ {a, b}, E ϭ {a, c}, F ϭ {b, c}, G ϭ {a, b, c}. Encuentre: (G ϫ G)\((A ϫ F) ʜ (B ϫ E) ʜ (C ϫ D)). 20. Si A л, B л y A ϫ B ϭ B ϫ A, ¿qué se puede decir de los conjuntos A y B? Proposiciones Si digo “Hoy por la noche voy a leer un libro”, ¿qué podré decir mañana por la mañana? Solución Si dije la verdad, entonces mañana podré decir que leí un libro De otra manera, diré que mentí. 4-5 LÓGICA MATEMÁTICA g Una proposición o enunciado es una expresión que afirma o niega algo. En ocasiones, en una proposición se distinguen a su vez dos o más proposi- ciones, las cuales se estudian para analizar la original. Aristóteles, filósofo griego (384 – 322 a.C.) con el objeto de analizar los esquemas de razonamiento, inició el estudio de la lógica, escribiendo a lo largo de su vida cinco libros sobre el tema, a los que llamó Organon. EJEMPLO 1 Me comí todo el pastel. EJEMPLO 2 Todos los enteros positivos son primos. EJEMPLO 3 Con mi sueldo puedo comprar lo que se me antoje. EJEMPLO 4 El agua es indispensable para los seres humanos. EJEMPLO 5 Haré tres pasteles y los venderé todos. Observación Una proposición puede ser verdadera o falsa. Más adelante nos ocuparemos de este tema. Negación Lucrecia llegó a la oficina de telégrafos con la intención de enviar un mensaje a su hijo Andrés y le dictó a la empleada: El jueves no estaré en casa. La empleada no entendió y transmitió a Andrés la negación de lo que Lucrecia le dijo. ¿Cuál fue el mensaje que Andrés recibió? Solución El telegrama que Andrés recibió decía: El jueves estaré en casa. En general, negar alguna proposición es algo común en el lenguaje cotidiano, una muestra es el ejemplo anterior. De la misma manera, en matemáticas, escribimos usualmente negaciones de proposiciones, por ello, es necesario tener una notación sencilla y cómoda para indicarlo. Así, si P denota cierta proposición, escribimos ϳP para señalar que estamos considerando la negación de P. Al símbolo ϳ lo llamamos negación y decimos que es un conectivo lógico. Más adelante hablaremos de otros conectivos lógicos. SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 143 g EJEMPLO 1 Escriba le negación de la proposición “Todos los mamíferos son vivíparos”. Solución La negación es: “No todos los mamíferos son vivíparos”; es decir: “Algún mamífero no es vivíparo”. EJEMPLO 2 Escriba la negación de la proposición “Hay mamíferos que son vivíparos”. Solución La negación es: “Ningún mamífero es vivíparo”. EJEMPLO 3 Escriba la negación de la proposición “Algunos mamíferos no son vivíparos”. Solución La negación es: “Todos los mamíferos son vivíparos”. EJEMPLO 4 Escriba la negación de la proposición “Ningún mamífero es vivíparo”. Solución La negación es: “Algún mamífero es vivíparo”. EJEMPLO 5 Escriba la negación de la proposición “Todos los lunes sirven mole poblano en el comedor de la Universidad” Solución La negación es: No todos los lunes sirven mole poblano en el comedor de la Universidad, es decir: Algunos lunes no sirven mole poblano en el comedor de la Universidad. Observaciones Al negar una proposición, es frecuente que se haga alguna de las siguientes “traducciones”. • Si una proposición establece: “Todos…, entonces la negación dirá: “Alguno no… • Si una proposición establece: “Algún…, entonces la negación dirá: “Ningún… • Si una proposición establece: “Alguno no…, entonces la negación dirá: “Todos sí… • Si una proposición establece: “Ningún…, entonces la negación dirá: “Algún… Conjunción y disyunción Juan recibió una nota que decía: Busca a tu prima durante el recreo y ven a mi casa al salir del colegio. Atte. tu tía Lupe 144 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA g Solución En la nota que Juan recibió, distinguimos dos proposiciones más senci- llas: Busca a tu prima durante el recreo Ven a mi casa al salir del colegio Observamos que se plantea a Juan la posibilidad de hacer alguna de las dos cosas, sin embargo no queda excluida la posibilidad de realizar las dos acciones. Si en el problema anterior llamamos P a la proposición “Busca a tu prima durante el recreo” y Q a la proposición “ven a la casa al salir del colegio”, entonces la nota que Juan recibió, se lee como P o Q. En general, para escribir lo anterior, usamos un conectivo lógico que lla- mamos disyunción, que denotamos por ∨ y tiene el significado del planteamiento anterior, por ello P ∨ Q se lee “P o Q”. Si una proposición es de la forma P y Q, usamos otro conectivo, llamado con- junción, al cual denotamos por ∧. Así P ∧ Q se lee “P y Q” EJEMPLO 1 Juan recibió una nota que decía: Busca a tu prima durante el recreo y ven a mi casa al salir del colegio. Atte. tu tía Lupe ¿Qué debe entender Juan? Solución Juan debe buscar a su prima durante el recreo y además dirigirse al salir, a casa de su tía. EJEMPLO 2 Escriba, usando conectivos, la proposición “Había tres mandarinas o desayunamos manzanas”. Solución Si llamamos: P a la proposición “había tres mandarinas” Q a la proposición “desayunamos manzanas” entonces escribimos P ∨ Q. EJEMPLO 3 Escriba, usando los conectivos ϳ, ∨ e ∧, la proposición “Tiró los boletos o los perdió y no asistió al concierto”. Solución Si llamamos: P a la proposición “tiró los boletos” Q a la proposición “los perdió” R a la proposición “asistió al concierto” SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 145 g entonces la proposición se escribe como: (P ∨ Q) ∧ (ϳR). EJEMPLO 4 Si P es la proposición “Olvidé la tarea en casa” y Q es la proposición “El maestro la revisó”, escriba usando conectivos, la proposición “Olvidé la tarea en casa y el maestro no la revisó” Solución Puesto que ϳQ significa “El maestro no la revisó”. Entonces la propo- sición “Olvidé la tarea en casa y el maestro no la revisó” se escribe como: P ∧ ϳQ. Condicionales y bicondicionales El domingo por la mañana, el dueño de un establecimiento le dice a su empleado. “Si no hay clientes por la tarde, entonces cerraremos a las seis”. Al llegar la tarde, a pesar de haber clientes, el dueño decidió cerrar a las seis, ¿contradice este hecho la afirmación que hizo por la mañana? Solución El dueño del establecimiento expresó lo que haría en caso de no haber clientes, pero no en caso contrario, por consiguiente no hay contradicción. La proposición del problema anterior, puede escribirse de la forma: Si P entonces Q, esta forma se llama condicional. En este caso llamamos a P la hipótesis y a Q la tesis o conclusión. Otras formas de expresar condicionales de este tipo son: P implica Q Q si P P es suficiente para Q P sólo si Q Q es necesario para P Q cuando P P 1Q. Las condicionales P 1Q y Q 1P son una el recíproco de la otra. Cuando decimos que “P implica Q” y también “Q implica P”, es decir, P 1Q y Q 1P. entonces establecemos una bicondicional y podemos decir en forma resumida: P si y sólo si Q. Otras formas de expresar una bicondicional son: P es equivalente a Q Para Q es necesario y suficiente que P Si P entonces Q y recíprocamente P 3Q 146 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA g EJEMPLO 1 Escriba la proposición “si estudias, podrás efectuar el viaje, y solamente en ese caso”, usando condicionales. Solución La primera parte de la afirmación, es decir, “si estudias, podrás efectuar el viaje”, es una condicional. En realidad dice: “si estudias, entonces podrás efectuar el viaje”. La segunda parte: “y solamente en ese caso” es también una condicional, pues dice “sólo si estudias podrás efectuar el viaje”, lo cual se escribe como: “si puedes efectuar el viaje entonces estudiaste”. Así, la proposición “si estudias, podrás efectuar el viaje, y solamente en ese caso” es una bicondicional que podemos escribir como: “podrás efectuar el viaje si y sólo si estudias”. SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 147 EJERCICIOS 4-5-1 (1-9) En cada caso, escriba la negación de la proposición co- rrespondiente. 1. El gato rasguñó al perro. 2. Todo el grupo reprobó el examen. 3. Todos los alacranes se alimentan de ratones. 4. Todos los números enteros son primos. 5. Algunos números elevados al cuadrado no son enteros. 6. Compramos un coche o armamos un rompecabezas. 7. Ningún sueño se convierte en realidad. 8. Todos los días hay nuevas oportunidades. 9. El jueves pasado, pusieron en la puerta del colegio un le- trero que decía: “El próximo lunes no habrá clases y la ce- remonia será el martes”. Pero un chistoso que estudiaba lógica agregó antes un símbolo de negación y el letrero quedó: ϳ(“El próximo lunes no habrá clases y la ceremo- nia será el martes”). ¿Qué debe entenderse entonces? (10-13) Si P, Q y R representan las proposiciones: P: Me acosté temprano Q: Leí 60 páginas del libro R: Cené demasiado. Escriba, en términos de su significado, cada una de las siguien- tes proposiciones. 10. P ∧ R ∧ (ϳQ) 11. ϳ (P ∨ Q) 12. (ϳ R) ∧ P 13. ϳ(P ∨ (ϳQ)) 14. Si P es la proposición “Yo no me comí el pastel”, ¿qué es ϳ(ϳP)? (15-16) Si P, Q y R representan las proposiciones: P: Te quiero Q: Te lo digo R : No entiendes Escriba, usando conectivos, cada una de las proposiciones si- guientes: 15. Te quiero y no te lo digo, o te lo digo y no entiendes. 16. Ni te quiero, ni te lo digo, ni entiendes. g TABLAS DE VERDAD Escriba la negación de la proposición “Hoy es domingo” e indique si la proposición es verdadera o falsa. Solución La negación de la proposición es: “Hoy no es domingo”. En cuanto a la veracidad o falsedad de la afirmación, observamos que depende del día en el que se lea la proposición. Si se lee en domingo, diremos que es verdadera, en caso contrario diremos que es falsa. Para representar esta situación, utilizamos el siguiente esquema: 148 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA en el que observamos que cuando la proposición es verdadera, la negación es falsa y viceversa. En general, puede ocurrir que una proposición ni siquiera tenga sentido en el len- guaje cotidiano o no podamos decir si es cierta o falsa. Sin embargo, cuando una proposición está escrita en el lenguaje cotidiano, es común cuestionarnos acerca de la veracidad. Cuando en una proposición aparecen varios conectivos, esta cuestión puede no tener una respuesta tan sencilla, por ello y para auxiliarnos introducimos las llamadas tablas de verdad. La tabla de verdad correspondiente a una proposición P y su negación es: P (ϳP) V F F V Notamos que cuando P es verdadera (ϳP) es falsa y viceversa. La tabla de verdad de la disyunción es: P Q P ∨ Q V V V V F V F V V F F F Observamos que para que P ∨ Q sea verdadera, basta con que al menos una, P o Q, sea verdadera. Es decir, si P es verdadera, si Q es verdadera o si ambas lo son. Hoy es domingo Hoy no es domingo Estamos leyendo en domingo: V F No estamos leyendo en domingo: F V g La tabla de verdad de la conjunción es: P Q P ∧ Q V V V V F F F V F F F F Para que P ∧ Q sea verdadera, tanto P como Q deben ser verdaderas. Cuando en una tabla de verdad en todos los renglones aparece V, decimos que la proposición es una tautología, si por el contrario, aparece F en cada uno de los renglones, decimos que la proposición es una contradicción. Observación En la tabla correspondiente a la negación, la proposición ϳP, es verdadera o falsa dependiendo sólo de si P lo es, razón por la cual la tabla tiene sólo dos renglones. En el de la conjunción y la disyunción aparecen dos proposicio- nes, P y Q, cada una de ellas puede ser verdadera o falsa, por tanto, para la veraci- dad de la conjunción o disyunción, debemos considerar todas las combinaciones posibles; por ello hay cuatro renglones en la tabla correspondiente. EJEMPLO 1 Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa: “El mango es una fruta” o “El aguacate es una verdura”. Solución La proposición es de la forma P ∨ Q. Donde P es “El mango es una fru- ta”, que es verdadera, y Q es “El aguacate es una verdura”, que es falsa. Entonces por el segundo renglón de la tabla de verdad de la disyunción, tenemos que P ∨ Q es verdadera. EJEMPLO 2 Si P es verdadera y Q es falsa, ¿qué se puede decir de (P ∧ ϳ Q) ∨ R? Solución Utilizando las tablas de verdad de la negación, la conjunción y la disyun- ción, tenemos: Q es falsa entonces ϳQ es verdadera · entonces P ∧ ϳQ es verdadera. P es verdadera Entonces: (P ∧ ϳQ) ∨ R es verdadera. EJEMPLO 3 Escriba la tabla de verdad (ෂ P) ∨ Q. Solución SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 149 P Q ෂ P (ෂP) ∨ Q V V F V V F F F F V V V F F V V g EJEMPLO 4 Escriba la tabla de verdad de P ∧ (Q ∨ R). Solución Como tenemos 3 proposiciones P, Q, R, hay exactamente 2 3 ϭ 8 ternas distintas de valores de verdad. 150 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA P Q R Q ∨ R P ∧ (Q ∨ R) V V V V V V V F V V V F V V V V F F F F F V V V F F V F V F F F V V F F F F F F Veracidad de las condicionales y bicondicionales Pili le dice a Martha: “Si Julián me invita al baile, entonces voy”. El día del baile, Martha encuentra a Pili en el baile pero a Julián no. ¿Puede decirse que Pili mintió? Solución Pili no mintió pues dijo que iría al baile en caso de ser invitada por Julián, pero no afirmó que ésa era su única posibilidad para ir al baile. La proposición que aparece en el ejemplo anterior es de la forma P 1Q. En general, una proposición de este tipo es verdadera si en el caso en que P es verdadera, puede concluirse que Q es verdadera. Al igual que en el caso de las proposiciones compuestas en las que aparecen los conectivos ∨, ∧ o ෂ, cuando nos preguntamos acerca de la validez de una condicional, también debemos considerar todas las posibilidades en cuanto a la veracidad de P y Q. Hagamos la tabla de verdad para P 1Q P Q P 1 Q V V V V F F F V V F F V Observamos que la implicación es falsa únicamente en el caso en el que, siendo verdadera la hipótesis, la conclusión es falsa. Asimismo, notamos que en general, para que P 1Q sea verdadera, basta con que Q sea verdadera siempre que P lo sea. En el ejemplo, la conclusión es verdadera y la hipótesis es falsa, por ello la condicional resulta verdadera. g EJEMPLO 1 Indique si la condicional: “Si 0 Յ a Յ 1 entonces a ʦ ޒ” es verdadera o falsa. Solución La implicación es verdadera, puesto que: {a | 0 Յ a Յ 1} ʚ ޒ. EJEMPLO 2 Indique si la condicional: “Si hace frío entonces es invierno” es verdadera o falsa. Solución La implicación es falsa, pues no únicamente durante el invierno hace frío; es decir, es posible que haga frío y sin embargo no sea invierno. EJEMPLO 3 Escriba la tabla de verdad de una proposición bicondicional. Solución Una proposición bicondicional es de la forma P 3Q; es decir, P 1Q y Q 1P, entonces: SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 151 P Q P 1 Q Q 1 P P ⇔ Q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Observamos que P ⇔ Q es verdadera si P 1 Q y Q 1 P son verdaderas, y solamente en ese caso; es decir, cuando P y Q tienen el mismo valor de verdad. EJEMPLO 4 Demuestre por medio de tablas de verdad que P y X son proposiciones, entonces la condicional P 1X ∧ ෂX es verdadera en el caso en que P es falsa y solamente en ese caso. Solución La tabla de verdad de P 1X ∧ ෂ X es: P X ෂ X X ∧ ෂX P 1 X ∧ ෂ X V V F F F V F V F F F V F F V F F V F V Observamos que X ∧ ෂ X es siempre falso, pues nunca algo y su negación pueden ser verdaderas simultáneamente. Asimismo, los renglones en los que P 1X ∧ ෂ X es verdadero son aquellos en los que P es falso. g Decimos que dos proposiciones P y Q son equivalentes si la bicondicional P 3 Q es verdadera. en cuyo caso escribimos: P ϵ Q. Observación Recordamos que un bicondicional es verdadera cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es el mismo, y únicamente en ese caso. Para verificar que dos proposiciones son equivalentes, suelen utilizarse tablas de verdad, como puede ver en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 1 Demuestre que ෂ (P 1Q) ϵ P ∧ ෂ Q. Solución Escribimos las tablas de verdad de ෂ (P 1Q) y P ∧ ෂ Q: 152 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA P Q ෂ Q P 1 Q ෂ (P 1 Q) P ∧ ෂ Q V V F V F F V F V F V V F V F V F F F F V V F F Puesto que los valores de verdad de ෂ (P 1Q) y P ∧ ෂ Q son idénticos, en todos los casos posibles, entonces la bicondicional y ෂ (P 1 Q) ⇔ (P ∧ ෂ Q) es verdadera. Conectivos lógicos y conjuntos Escriba la negación de la proposición: “El elemento a pertenece al conjunto B”. Solución La negación de la proposición es: “El elemento a no pertenece al conjunto B”. En el lenguaje de conjuntos lo anterior es equivalente a decir: a B. La situación anterior sugiere establecer la relación entre el conectivo lógico ෂ y el complemento en el sentido de los conjuntos. De la misma manera, si recordamos que un objeto es elemento de la unión de dos conjuntos si pertenece a alguno de los dos o a ambos, entonces el conectivo ∨ se relaciona con el símbolo ഫ. Igualmente ∧ se relaciona con പ. Todo lo anterior lo resumimos en la siguiente tabla. ෂ ( ) c ∨ ഫ ∧ പ g Una vez establecida la analogía observamos que: ෂ (P ∧ Q) ϵ ෂ P ∨ ෂ Q que en la teoría de conjuntos equivale a: (A പ B) c ϭ A c ഫ B c y ෂ (P ∨ Q) ϵ ෂ P ∧ ෂ Q que en la teoría de conjuntos equivale a: (A ഫ B) c ϭ A c പ B c Éstas son las leyes de De Morgan que conocíamos. Por esta razón, cuando se escriben en términos de conectivos, se les llama de la misma manera. EJEMPLO 1 Escriba en términos de proposiciones y conectivos, el análogo a la igualdad de conjuntos A പ A ϭ A Solución En términos de conectivos, escribimos: P ∧ P ϵ P EJEMPLO 2 Escriba, en términos de proposiciones y conectivos, el análogo a la igualdad de conjuntos (A പ B) ഫ C ϭ (A ഫ C) പ (B ഫ C) Solución En términos de conectivos, escribimos: (P ∧ Q) ∨ R ϵ (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R) SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 153 EJERCICIOS 4-5-2 1. Demuestre que la proposición P ∨(ෂ P) es una tautología. 2. Demuestre que P ∧ ෂ P es una contradición. 3. Usando tablas de verdad, muestre que si P 1 Q y Q 1R son verdaderas, entonces P 1 R es verdadera. 4. Muestre que las tablas de verdad de P⇔Q y (P 1 Q) ∧ (Q 1 P) son iguales. 5. Muestre que las tablas de verdad de (ෂ P ∨ Q) y P 1 Q son iguales. 6. Muestre que las tablas de verdad de ෂ (P ∧ Q) y (ෂ P) ∨ (ෂ Q) son iguales. 7. Demueste que la proposición (ෂ (P ∨ Q)) 1 ((ෂ P) ∧ (ෂ Q)) es una tautología. 8. Demuestre usando tablas de verdad, que la proposición (ෂ P ∨ Q) 1 (P 1 Q) es verdadera. 9. Si P es la proposición “n es un número entero mayor que 6”, y Q es la proposición “n 2 no es un número primo”. Escriba, usando estas proposiciones, una condicional verdadera. 10. Escriba la negación de la proposición “Si comes dulces entonces se te picarán los dientes”. (11-14) Si P, Q, R y S representan las proposiciones: P: Todo cuadrado es un rectángulo. Q: Todo réctangulo es un paralelogramo. R: Todo cuadrilátero es un cuadrado. S: Todo paralelogramo es un cuadrilátero. Diga, en cada caso, si la condicional es verdadera o falsa: 11. P 1 Q 12. Q 1 R 13. R 1 S 14. P 1 S 15. En una fiesta de disfraces, Pepe dice a su acompañante: “Si aquel hombre de antifaz rojo es Julián, entonces el que está vestido de arlequín es Paco”. Pero el hombre de antifaz rojo era Roberto. ¿Es verdadera o falsa la condicional planteada por Pepe? g 16. Rubén, Luis y Jorge afiman que son muy listos pues se van turnando las tareas. ¿Quién hizo la tarea de hoy? si: Rubén dijo: La tarea no la hizo Luis. Luis dijo: Yo no hice la tarea. Jorge dijo: Yo hice la tarea. y se sabe que al menos uno dijo la verdad y al menos uno miente? (17-20) En cada caso, escriba en términos de proposiciones y conectivos, el análogo a la igualdad de conjuntos. 17. A പ A ϭ A 18. (A c ) c ϭ A 19. A ഫ (B ഫ C) ϭ (A ഫ B) ഫ C 20. (A ഫ B) പ C ϭ (A പ C) ഫ (B പ C) 154 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA FORMAS DE DEMOSTRACIÓN Luisa se compromete con su hija diciéndole: “Si me pagan las horas extras que me deben, te compraré la máquina de escribir que necesitas”. Sin embargo, aun cuando Luisa siempre cumple su palabra, el tiempo pasó y no compró la máquina de escri- bir, ¿qué fue lo que sucedió? Solución Puesto que si a Luisa le hubieran pagado, ésta hubiese comprado la máquina de escribir, entonces podemos concluir que no le pagaron. Observamos que la proposición expresada por Luisa es una implicación de la forma: P 1Q y como Luisa siempre cumple su palabra, dicha proposición es verdadera, entonces al asegurar que Q no se cumplió, dedujimos que entonces P tampoco se cumple, es decir, afirmamos: ϳQ 1ϳP. En el ejemplo anterior mostramos que si P 1 Q, entonces podemos deducir que ϳQ 1ϳP. Elaboremos ahora las tablas de verdad de P 1Q y de ϳQ 1ϳP: P Q ϳP ϳQ P 1Q ϳQ 1ϳP V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Observamos que en las tablas de verdad, las columnas correspondientes a P 1Q y ϳQ 1ϳP son iguales, es decir (P 1Q) ϵ (ϳQ 1ϳP). En matemáticas, muchos de los resultados que se quieren demostrar tienen la forma P 1 Q. Utilizando la equivalencia anterior, encontramos una manera alter- nativa; basta con probar ϳQ 1 ϳP. Esta forma de demostración se llama contra- puesta. g EJEMPLO 1 Demuestre que si n 2 es par entonces n es par. Solución Recordemos primero que los números pares son aquellos que se pueden escribir de la forma 2mpara algún entero m, y los impares son los que se pueden escribir de la forma 2m ϩ 1 para algún número entero m. La proposición es de la forma P 1Q, entonces utilizaremos la contrapuesta y probaremos ϳQ 1ϳP, es decir, probaremos que: Si n no es par, entonces n 2 no es par. Supongamos que n no es par, entonces n es impar. Por lo que n ϭ 2m ϩ 1 para algún entero m n 2 ϭ (2m ϩ 1) 2 n 2 ϭ 4m 2 ϩ 4m ϩ 1 n 2 ϭ 2 (2m 2 ϩ 2m) ϩ 1 De donde n 2 es impar, es decir, n 2 no es par. Hemos probado entonces que: si n 2 es par, entonces n es par. Reducción al absurdo Demuestre que si a Ͼ 0, entonces ᎏ 1 a ᎏ Ͼ 0. Solución Supongamos que a Ͼ 0 y que ᎏ 1 a ᎏ Ͻ 0. Recordemos que cuando se multiplican ambos lados de una igualdad por un número positivo, la desigualdad no se altera. Entonces, multiplicando ambos lados de la desigualdad ᎏ 1 a ᎏ Ͻ 0 por a, obtene- mos: ᎏ 1 a ᎏ (a) Ͻ 0 (a) 1 Ͻ 0. Lo cual no es posible, pues sabemos que 1 Ͼ0. Concluimos que nuestra suposición ᎏ 1 a ᎏ Ͻ 0 es falsa, de donde: Si a Ͼ 0, entonces ᎏ 1 a ᎏ Ͼ 0. Otra manera de demostrar una condicional P 1Q es la llamada reducción al absur- do, que consiste en suponer P ∧ ϳQ y deducir a partir de ello que las condicionales P ∧ ϳQ 1X P ∧ ϳQ 1ϳX son verdaderas. Es decir, P ∧ ϳQ 1X ∧ ϳX es verdadera. SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 155 g Ahora bien, en la sección “Veracidad de las condicionales y bicondicionales” (ejemplo 4), vimos que una implicación como la que tenemos, es verdadera cuando la hipótesis es falsa y sólo en ese caso. Así, P ∧ ϳQ es falsa, por lo que si P es ver- dadera Q es verdadera; es decir, P 1Q. EJEMPLO 1 Demuestre que ͙2ෆ no es un número racional. Solución Haremos la demostración por reducción al absurdo. Supongamos que ͙2ෆ es un número racional. Entonces, ͙2ෆ ϭ ᎏ p q ᎏ p, q ʦ ޚ q 0. Donde ᎏ p q ᎏ es su mínima expresión, o sea p y q no tienen factores en común. Entonces, ͙2ෆ ϭ ᎏ p q ᎏ (3.1) q͙2ෆ ϭ p, elevando al cuadrado tenemos: 2q 2 ϭ p 2 , lo cual indica que p 2 es par, donde p es par (ejemplo 1 de la sección “Formas de demostración”). Así, p debe ser de la forma: p ϭ 2n para algún entero n. Sustituyendo este valor en la segunda igualdad de (3.1) tenemos: 2q 2 ϭ (2n) 2 2q 2 ϭ 4n 2 q 2 ϭ 2n 2 . De aquí tenemos que también q es par, es decir, tanto p como q son pares o sea, tie- nen el 2 como factor común. Pero sabíamos que p y q no tienen factores en común. Por lo tanto, hemos deducido una proposición y su negación, entonces la hipótesis es falsa. Como la hipótesis fue ͙2ෆ es un número racional, concluimos ͙2ෆ no es un número racional. 156 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA g EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 21. Suponiendo que B ʚ A, C ʚ A y B ʝ C л, utilice dia- gramas de Venn para ilustrar la igualdad A\(B ʝ C) ϭ (A\B) ʜ (A\C). 22. ¿Qué diferencia hay entre л y {л}? 23. Trate de justificar que (A\B) \A ϭ л. Sugerencia: Empiece suponiendo que hay un elemento en (A\B)\A y observe cuáles son las condiciones que debe cumplir, puesto que ello no es posible, concluya que (A\B)\A no tiene elemen- tos, entonces el conjunto debe ser igual al conjunto vacío. 24. Demuestre que ϳ(ϳP) 1P es una tautología. 25. Demuestre que (P ∨ ϳP) 1 (P ∧ ϳP) es una contradic- ción. 26. A la salida de una universidad una señorita y un joven co- mentan: El joven dice: “Yo ya no vivo con mis papás”. La señorita afirma: “Yo sí, me siento más segura”. Sabiendo que al me- nos uno miente y que sólo uno de ellos continúa viviendo en casa de sus padres: a) ¿Cuál de los dos vive con sus papás? b) ¿Quién dijo la verdad? 27. Si P y Q son falsas y R es verdadera, ¿cuál es el valor de verdad de la proposición (ϳP 1Q) 1(R 1ϳQ)? 28. Si P y Q son falsas, ¿cuál es el valor de verdad de la pro- posición ϳ (R ∨ (ϳ Q ∧ ϳP)) 1S? 29. ¿Cuántos renglones deberá tener la tabla de verdad corres- pondiente a la proposición (P 1 ϳQ) 1 ((ϳR ∧ S) ∨ ϳP)? 30. Escriba la contrapuesta de la condicional (P ∧ ϳQ) 1 (ϳP ∨Q), y simplifíquela de manera que no aparezcan do- bles negaciones. (31-34) En cada caso, escriba la tabla de verdad de la proposi- ción indicada. 31. R 1(Q ∨ P) 32. ϳP 1(Q ∧ ϳR) 33. ((ϳP ∨ Q) ∧ R) 1P 34. (ϳ(ϳP) 1ϳQ) 1(Q 1ϳP) 35. Demuestre, usando reducción al absurdo, que si a Ͻ 0 en- tonces ᎏ 1 a ᎏ Ͻ 0. (36-39) En cada caso, diga si la bicondicional es verdadera o falsa 36. 8 ϩ 5 ϭ 11 si y sólo si 3 ϫ 6 ϭ 9 37. 4 ϩ 3 ϭ 7 si y sólo si 9 Ϫ 5 ϭ 4 1. ¿De cuántas maneras se puede establecer una correspon- dencia uno a uno entre los conjuntos A ϭ {∗, , } y B ϭ {x, y, z}? Escríbalas todas. (2-9) En cada caso, escriba el conjunto exhibiendo todos los elementos. 2. El conjunto de los estados de la república mexicana que empieza con la letra S. 3. El conjunto de números enteros entre 0 y 300 que tienen exactamente dos unos. 4. Si A ϭ {x ʦ ޒ 0 Յ x Յ 1}, B ϭ {x ʦ ޒ 2 Յ x Յ 5} y ޒ es el conjunto universal, verifique que (A ʜ B) c ϭ A c ʝ B c . 5. Si A es un conjunto de 4 elementos y B es un conjunto de 3 elementos, ¿cuál es la cardinalidad de A ʜ B? Observe que algunos elementos pueden pertenecer a ambos con- juntos. 6. Si la cardinalidad de A ʜ B es igual a la cardinalidad de A más la cardinalidad de B, ¿qué se puede decir de los con- juntos A y B? 7. Si la cardinalidad de A es m y la de B es n, ¿cuál es la car- dinalidad del producto A ϫ B? 8. ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de números naturales mayores que 2 y menores que 999,999,999? 9. Si A ʚ B y C ʚ D, demuestre que A ʜ C ʚ B ʜ D. (10-15) Si A ϭ {{Ϫ1}, Ϫ1} y B ϭ {Ϫ1}. En cada caso, indi- que si la afirmación es falsa o verdadera. 10. B ʚ A 11. Ϫ1 ʦ A 12. Ϫ1 ʦ B 13. {Ϫ1} ʦ A 14. B ʦ A 15. B A (16-18) Si A ϭ {x ʦ ޒ Ϫ5 Ͻ x Յ 2} y B ϭ {x ʦ ޒ ᎏ 3 2 ᎏ Ͻ x Յ 7}. Verifique cada una de las siguientes igualdades: 16. A ʜ (A ʝ B) ϭ A 17. A ʝ (A ʜ B) ϭ A 18. Si A ʚ B y C ʚ D, demuestre que A ʝ C ʚ B ʝ D. 19. Utilice diagramas de Venn para ilustrar la igualdad B\A ϭ B ʝ A c , en el caso en que B no sea subconjunto de A pero A ʝ B л. 20. Utilice diagramas de Venn para ilustrar la igualdad (A ʝ B) c ϭ A c ʜ B c . EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 157 g 38. 2 ϫ 7 ϭ 9 si y sólo si 6 ϩ 8 ϭ 14 39. 9 Ϫ 6 ϭ 3 si y sólo si 7 ϫ 5 ϭ 12 40. Usando tablas de verdad, diga si la proposición (((P 1 Q) ∧ (Q 1 P)) ∧ P) 1 (P ∧ Q) es verdadera o falsa. 41. Por la mañana, papá buscó las llaves que había dejado so- bre la mesa del comedor la noche anterior. En casa estaban Juan, Rosa, Paco y María. Cuando papá preguntó: “¿Quién tomó mis llaves?”, Juan dijo: “Las tomó Paco”. Rosa di- jo: “Yo no las tomé”. Paco dijo: “Rosa miente”. María dijo: “Paco no dijo la verdad”. Si sólo uno dijo la verdad: a) ¿Quién tomó las llaves? b) ¿Quién dijo la verdad? 158 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA g 159 CAPÍ TULO 5 Temas selectos 5-1 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS 5-2 DIVISIÓN SINTÉTICA 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 5-5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES 5-7 DESPEJE DE FÓRMULAS 5-8 PORCENTAJES T E M A R I O Antes de que se usaran signos para describir conceptos matemáticos, ya se empleaban las palabras raíz, o lado, para referirse a la raíz cuadrada de un número. Como los matemáticos árabes pensaban que el cuadrado de un nú- mero provenía de una raíz, las traducciones del árabe uti- lizaban la palabra radix (raíz). En trabajos posteriores, los escritores medievales representaban radix con el signo R x que se utilizó durante casi un siglo. En 1484 apareció el signo R x 2 para raíz cuadrada. El signo ͙ෆෆ se presentó por primera vez, impreso, en 1525 y en el siglo XVII ya era ampliamente aceptado. En la sección 5-4 estudiaremos aplicaciones de las ecuaciones con radicales. g Tal vez se acuerde de haber usado radicales en el pasado, cuando trabajó con raíces cuadradas. Por ejemplo, la expresión ͙2 ෆ5 ෆ se llama radical y denota al número positivo cuyo cuadrado es 25. Ahora bien, esto se cumple con 5 2 ϭ25 y con (Ϫ5) 2 ϭ25, pero el signo del radical ͙ෆ implica al número positivo, que es la raíz cuadrada principal de un número. Por eso decimos: ͙2ෆ5ෆ ϭ 5. Designamos la raíz cuadrada negativa así: Ϫ ͙2ෆ5ෆ ϭ Ϫ5. En general, la raíz n-ésima principal de un número real a se denota por medio de ͙ n aෆ, como en estos ejemplos: ͙ 3 6ෆ4ෆ ϭ 4 porque 4 3 ϭ 64 ͙ 3 Ϫෆ8ෆx 6 ෆ ϭ Ϫ2x 2 porque (Ϫ2x 2 ) 3 ϭ Ϫ8x 6 ͙ 5 3ෆ2ෆ ϭ 2 porque 2 5 ϭ 32 La expresión ͙ n aෆ no siempre tiene significado. Por ejemplo, tratemos de evaluar ͙ 4 Ϫෆ1ෆ6ෆ: 2 4 ϭ 16 (Ϫ2) 4 ϭ 16 Según vemos, no existe ningún número real x tal que x 4 ϭ Ϫ16. En general, no exis- te ningún número real que sea la raíz par de un número negativo. Sin embargo, una propiedad fundamental de los números reales consiste en que cada número real po- sitivo a tiene precisamente una raíz n-ésima positiva. Además, cada número real negativo tiene una raíz n-ésima positiva, siempre que n sea un número non. DEFINICIÓN DE ͙ n aෆ; La n-ésima RAÍZ PRINCIPAL de a Sea a un número real y n un entero positivo, n Ն 2. (i) Si a Ͼ 0, ͙ n aෆ es el número positivo x tal que x n ϭ a. (ii) ͙ n 0ෆ ϭ 0. (iii) Si a Ͻ 0 y n es un número non, ͙ n aෆ es el número negativo x tal que x n ϭ a. (iv) Si a Ͻ 0 y n es par, ͙ n aෆ no es un número real. Se dice que el símbolo ͙ n a ෆ es un radical; ͙ෆ es el signo radical, n es el índice o raíz, y a recibe el nombre de radicando. Observe que, cuando ͙ n aෆ ϭ x, tenemos x n ϭ a que también se puede escribir como: ( ͙ n aෆ) n ϭ a EJEMPLO 1 Evalúe los radicales que son números reales y verifíquelo. Si una ex- presión no constituye un número real, explique el motivo. (a) ͙ 3 Ϫෆ1ෆ2ෆ5ෆ (b) ͙Ϫ ෆ9ෆ (c) Ί 4 ᎏ 1 8 6 1 ᎏ (d) ͙x 4 ෆ (e) Ί 5 (f) (͙ 3 7ෆaෆ) 3 160 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS 5-1 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS Ϫᎏ x 3 1 2 0 ᎏ g Solución a) ͙ 3 Ϫෆ1ෆ2ෆ5ෆ ϭ Ϫ5 Comprobación: (Ϫ5) 3 ϭ Ϫ125 b) ͙Ϫෆ9ෆ no es un número real por ser la raíz de un número negativo. c) Ί 4 ᎏ 1 8 6 1 ᎏ ϭ ᎏ 2 3 ᎏ Comprobación: ᎏ 2 3 ᎏ 4 ϭ ᎏ 2 3 4 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 8 6 1 ᎏ d) ͙x 4 ෆ ϭ x 2 Comprobación: (x 2 ) 2 ϭ x 4 y x 2 Ն 0 e) Ί 5 ϭ Ϫ ᎏ x 2 2 ᎏ Comprobación: Ϫᎏ x 2 2 ᎏ 5 ϭ Ϫᎏ x 3 1 2 0 ᎏ f) (͙ 3 7ෆaෆ) 3 ϭ 7a Comprobación: Sea ͙ 3 7ෆaෆ ϭ x. Entonces: x 3 ϭ 7a, o (͙ 3 7ෆaෆ) 3 ϭ 7a. Para multiplicar o dividir radicales, el índice debe ser el mismo. He aquí algunos ejemplos que dan lugar a las reglas 1 y 2, que aparecen abajo. ͙ 3 8ෆ • ͙ 3 Ϫෆ2ෆ7ෆ ϭ (2)(Ϫ3) ϭ Ϫ6 · ͙ 3 (8 ෆ)( ෆϪෆ2ෆ7ෆ)ෆ ϭ ͙ 3 Ϫෆ2ෆ1ෆ6ෆ ϭϪ6 ϭ ᎏ 6 2 ᎏ ϭ 3 · Ί ᎏ 3 4 6 ᎏ ϭ ͙9 ෆ ϭ 3 En las siguientes reglas se supone que todos los radicales existen de acuerdo con la definición ͙ n aෆ y, como siempre, ninguno de los denominadores es cero. REGLAS DE LOS RADICALES Si todos los radicales indicados son números reales, 1. ͙ n aෆ • ͙ n bෆ ϭ ͙ n ab ෆ (Multiplicación de radicales) 2. Ί n ᎏ a a ᎏ (División de radicales; b 0) 3. ͙ m ͙ n ෆaෆෆ ϭ ͙ mn aෆ EJEMPLO 2 Simplifique. Suponga que todas las variables representan números positivos. a) ͙6 ෆxෆ • ͙7ෆyෆ b) Ϫ3͙5 ෆ0ෆ • c) d) ͙ 2 ͙ 3 ෆ6ෆෆ4ෆෆ e) ͙ 5 1ෆ6ෆxෆ • ͙ 5 Ϫෆ2ෆx 4 ෆ ͙ 3 8ෆ1ෆx 7 ෆ ͙ 3 Ϫෆ3ෆxෆ 2 ͙ෆᎏ 1 2 ᎏ ͙ n aෆ ͙ n bෆ ͙3ෆ6ෆ ͙4ෆ ͙ 3 8ෆ • ͙ 3 Ϫෆ2ෆ7ෆ ϭ ͙ 3 (8 ෆ)( ෆϪෆ2ෆ7ෆ)ෆ SECCIÓN 5-1 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS 161 Ϫᎏ x 3 1 2 0 ᎏ ϭ Ί ᎏ 3 4 6 ᎏ ͙3ෆ6ෆ ͙4ෆ g Solución Identifique la regla de los radicales que se está aplicando en cada caso. a) ͙6ෆxෆ • ͙7ෆyෆ ϭ ͙6 ෆxෆ• 7 ෆyෆ ϭ ͙4 ෆ2ෆxy ෆ b) Ϫ3͙5 ෆ0ෆ • ϭ Ϫ3 • 2 • ͙5ෆ0ෆ • Ί ᎏ 1 2 ᎏ ϭ Ϫ6 Ί 5 0 • ᎏ 1 2 ᎏ ϭ Ϫ6͙2ෆ5ෆ ϭ Ϫ6 • 5 ϭ Ϫ30 c) ϭ ϭ ͙ 3 Ϫෆ2ෆ7ෆx 6 ෆ ϭ Ϫ3x 2 (Nota: (Ϫ3x 2 ) 3 ϭ Ϫ27x 6 ) d) ͙ 2 ͙ 3 ෆ6ෆෆ4ෆෆ ϭ ͙ 6 6ෆ4ෆ ϭ 2 (Nota: 2 6 ϭ 64.) e) ͙ 5 1ෆ6ෆxෆ • ͙ 5 Ϫෆ2ෆx 4 ෆ ϭ ͙ 5 (1 ෆ6ෆx) ෆ(Ϫ ෆ2ෆx 4 ෆ)ෆ ϭ ͙ 5 Ϫෆ3ෆ2ෆx 5 ෆ ϭ Ϫ2x (Nota: (Ϫ2x) 5 ϭ Ϫ32x 5 ) EJEMPLO 3 Evalúe el producto ͙5ෆ • ͙1ෆ4ෆ hasta tres cifras decimales. Solución Por la regla de los radicales: ͙5 ෆ • ͙1ෆ4ෆ ϭ ͙7ෆ0ෆ. Utilizando una calculadora debe encontrar que, aproximada hasta millonésimos (6 cifras decimales), ͙7ෆ0ෆ ϭ 8.366600; si redondeamos este número a tres cifras decimales, nos da la raíz cuadrada igual a 8.367. Al aplicar las reglas de los radicales, debe tener el cuidado de evitar el tipo de error que resulta de la falsa suposición de la existencia de una raíz n-ésima. Por ejemplo ͙ 2 Ϫෆ4ෆ no es un número real; pero, si no hace hincapié en esto, obtendrá resultados falsos, como el siguiente: 4 ϭ ͙1 ෆ6ෆ ϭ ͙(Ϫ ෆ4ෆ)( ෆϪෆ4ෆ)ෆ ϭ ͙Ϫ ෆ4ෆ • ͙Ϫෆ4ෆ ϭ (͙Ϫ ෆ4ෆ) 2 ϭ Ϫ4 VERIFIQUE SU COMPRENSIÓN Simplifique. Suponga que todas las variables representan números positivos. 1. ͙1 ෆ2ෆ1ෆ 2. ͙ 3 Ϫෆ6ෆ4ෆ 3. ͙ 5 3ෆ2ෆx 5 ෆ 4. ͙͙ෆ8ෆෆ1ෆෆ 5. 2͙2ෆ • 5͙3ෆ2ෆ 6. Ί 3 ᎏ 1 2 2 7 5 ᎏ 7. (͙ 4 2ෆxෆ) 4 8. ͙ 3 (Ϫ ෆ1ෆ0ෆ0ෆ0ෆ)( ෆ3ෆ4ෆ3ෆ)ෆ 9. Ί 4 ᎏ 2 8 5 1 6 ᎏ 10. ͙(9 ෆ)( ෆ1ෆ4ෆ4ෆ)( ෆ2ෆ2ෆ5ෆ)ෆ 11. Ί 3 12. Ί ᎏ 1 4 4 9 4 ᎏ • Ί ᎏ 1 3 9 6 6 ᎏ 13. ͙ 3 Ϫෆ8ෆxෆ • ͙ 3 Ϫෆ2ෆ7ෆx 2 ෆ 14. 15. Ί 3 ᎏ 2 1 4 ᎏ • ͙ 3 Ϫෆ8ෆ1ෆx 6 ෆ Ya estamos listos para llevar a cabo la extensión del concepto exponencial para in- cluir exponentes fraccionarios. Nuevamente, nuestra guía será preservar las reglas dadas anteriomente para los exponentes enteros. Primero, tomemos en consideración exponentes de la forma ᎏ 1 n ᎏ , donde n es un entero positivo. (Supongamos que n Ն 2, dado que es trivial el caso n ϭ 1). Se trata ͙ 5 Ϫෆ4ෆx 3 ෆ ͙ 5 1ෆ2ෆ8ෆx 8 ෆ ͙ 3 8ෆ1ෆx 7 ෆ ͙ 3 Ϫෆ3ෆxෆ 2 ͙ෆᎏ 1 2 ᎏ 162 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS Advertencia: He aquí un error común que debe evitar. Explique por qué no es posible este paso: ͙(Ϫ ෆ4ෆ)( ෆϪෆ4ෆ)ෆ ϭ ͙Ϫ ෆ4ෆ͙Ϫෆ4ෆ ᎏ (Ϫ8 2 )( 7 125) ᎏ 81x 7 Ϫ3x Ί 3 g de darle significado a la expresión b 1/n . Si debe cumplirse la regla 3 de los exponen- tes, tenemos: (b 1/n ) n ϭ b (1/n)(n) ϭ b Por lo tanto, b 1/n es la n-ésima raíz de b (siempre y cuando exista esa raíz). Esto nos conduce a la siguiente definición de b 1/n . DEFINICIÓN DE b 1/n Para un número real b y un entero positivo n (n Ն 2), b 1/n ϭ ͙ n bෆ siempre y cuando ͙ n bෆ exista. EJEMPLOS ͙1ෆ5ෆ ϭ 15 1/2 ͙ 3 Ϫෆ6ෆ ϭ (Ϫ6) 1/3 9 Ϫ1/2 ϭ ᎏ 9 1 1/2 ᎏ ϭ ϭ ᎏ 1 3 ᎏ (Ϫ27) 1/3 ϭ ͙ 3 Ϫෆ2ෆ7ෆ ϭ Ϫ3 (Ϫ16) 1/4 no se define, ya que ͙ 4 Ϫෆ1ෆ6ෆ no es un número real. Ahora que se ha definido b 1/n , tenemos la posibilidad de definir b m/n , donde ᎏ m n ᎏ es cualquier número racional. Una vez más, queremos que se apliquen las reglas de los exponentes. Observe, por ejemplo, las dos maneras de evaluar 8 2/3 , con base en la suposición de que se aplica la regla 3. 8 2/3 ϭ 8 (1/3) • 2 ϭ (8 1/3 ) 2 ϭ (͙ 3 8ෆ) 2 ϭ 2 2 ϭ 4 c Regla 3 T 8 2/3 ϭ 8 2 • (1/3) ϭ (8 2 ) 1/3 ϭ ͙ 3 8ෆ 2 ෆ ϭ ͙ 3 6ෆ4ෆ ϭ 4 Estas observaciones nos conducen a una definición: DEFINICIÓN DE b m/n Sea ᎏ m n ᎏ un número racional con n Ն 2. Si b es un número real tal que ͙ n bෆ está definida, entonces b m/n ϭ (͙ n bෆ) m ϭ ͙ n bෆ m ෆ Usando nada más exponentes fraccionarios, también podemos escribir: b m/n ϭ (b 1/n ) m ϭ (b m ) 1/m EJEMPLO 4 Evalúe: (Ϫ64) 2/3 Solución Usando b m/n ϭ (͙ n bෆ) m (Ϫ64) 2/3 ϭ (͙ 3 Ϫෆ6ෆ4ෆ) 2 ϭ (Ϫ4) 2 ϭ 16 1 ͙9ෆ SECCIÓN 5-1 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS 163 Como ͙Ϫ ෆ1ෆ no es un número real, (Ϫ1) 1/2 no se define. En general, b 1/n no se define dentro del conjunto de los números reales, cuando b Ͻ 0 y n es par. Observe que siempre es posible expresar un número racional con el denominador positivo; por ejemplo, ᎏ Ϫ 2 3 ᎏ ϭ ᎏ Ϫ 3 2 ᎏ g Usando b m/n ϭ ͙ n bෆ m ෆ (Ϫ64) 2/3 ϭ ͙ 3 (Ϫ ෆ6ෆ4ෆ) 2 ෆ ϭ ͙ 3 4ෆ0ෆ9ෆ6ෆ ϭ 16 Obviamente, el primer planteamiento representa menos trabajo. Para la mayoría de estos problemas resulta más fácil extraer primero la n-ésima raíz y luego elevar a la n-ésima potencia, que ejecutar estas operaciones en el orden contrario. Observe que la definición b Ϫn ϭ ᎏ b 1 n ᎏ se amplía para el caso b Ϫ(m/n) , en la si- guiente forma b Ϫ(m/n) ϭ b Ϫm/n ϭ (b 1/n ) Ϫm ϭ ᎏ (b 1 1 /n ) m ᎏϭ ᎏ b m 1 /n ᎏ EJEMPLO 5 Evalúe: 8 Ϫ2/3 ϩ (Ϫ32) Ϫ2/5 Solución Primero, volvemos a escribir cada parte empleando exponentes positi- vos. Luego aplicamos la definición y sumamos, como se muestra en la página si- guiente. 8 Ϫ2/3 ϩ (Ϫ32) Ϫ2/5 ϭ ᎏ 8 1 2/3 ᎏ ϩ ᎏ (Ϫ3 1 2) 2/5 ᎏ ϭ ϩ ϭ ᎏ (2 1 ) 2 ᎏ ϩ ᎏ (Ϫ 1 2) 2 ᎏ ϭ ᎏ 1 4 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 2 ᎏ VERIFIQUE SU COMPRENSIÓN Escriba como radical cada una de las siguien- tes expresiones. 1. 5 1/2 2. (Ϫ9) 1/3 3. 10 1/4 4. 5 2/3 5. 2 3/4 Escriba cada una de las siguientes expresiones usando exponentes fraccionarios. 6. ͙7ෆ 7. ͙ 3 Ϫෆ1ෆ0ෆ 8. ͙ 4 7ෆ 9. ͙ 3 7ෆ 2 ෆ 10. (͙ 4 5ෆ) 3 Evalúe: 11. 25 1/2 12. 64 1/3 13. ( ᎏ 3 1 6 ᎏ ) 1/2 14. 49 Ϫ1/2 15. (Ϫ ᎏ 2 1 7 ᎏ ) Ϫ1/3 16. 4 3/2 17. 4 Ϫ3/2 18. ( ᎏ 8 1 1 6 ᎏ ) 3/4 19. (Ϫ8) 2/3 20. (Ϫ8) Ϫ2/3 Como la definición de los exponentes racionales se elaboró con el fin de pre- servar las reglas fundamentales de los exponentes enteros, es posible demostrar que estas reglas se aplican también a los exponentes racionales. Los ejemplos que vie- nen a continuación demuestran el uso de estas reglas cuando se aplican a los expo- nentes racionales. 1 (͙ 5 Ϫෆ3ෆ2ෆ) 2 1 (͙ 3 8ෆ) 2 164 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g EJEMPLO 6 Simplifique y después exprese el resultado exclusivamente con exponentes positivos. ᎏ x x 1/ 2 2 / y 3 y 1/ Ϫ 2 z 2 z Ϫ 2 1 ᎏ Solución ᎏ x x 1/ 2 2 / y 3 y 1/ Ϫ 2 z 2 z Ϫ 2 1 ᎏϭ x 2/3Ϫ1/2 y Ϫ2Ϫ1/2 z 2Ϫ(Ϫ1) ϭ x 1/6 y Ϫ5/2 z 3 ϭ ᎏ x y 1/ 5 6 /2 z 3 ᎏ EJEMPLO 7 Simplifique: a) ᎏ ( ( s s Ϫ 4 t 3 Ϫ t 2 4 ) ) Ϫ Ϫ 1 1 / / 6 2 ᎏ b) ᎏ Ϫ b 8 Ϫ a 6 3 ᎏ 2/3 Solución a) ᎏ ( ( s s Ϫ 4 t 3 Ϫ t 2 4 ) ) Ϫ Ϫ 1 1 / / 6 2 ᎏϭ ᎏ ( ( s s Ϫ 4 ) 3 Ϫ ) Ϫ 1/2 1 ( /6 t ( Ϫ t 2 4 ) ) Ϫ Ϫ 1 1 / / 6 2 ᎏ (Regla 4) ϭ ᎏ s 1 s /2 Ϫ t 2 Ϫ t 1 2 /3 ᎏ (Regla 3) ϭ ᎏ s t ( 2 1 Ϫ /2 ( ) Ϫ Ϫ 1 (Ϫ /3) 2) ᎏ ϭ ᎏ s t 7 5 / / 3 2 ᎏ b) 2/3 ϭ ᎏ (Ϫ (b 8 Ϫ a 6 ) 3 2 ) / 2 3 /3 ᎏ (Regla 5) ϭ ᎏ (Ϫ ( 8 b ) Ϫ 2/3 6 ( ) a 2/ 3 3 ) 2/3 ᎏ (Regla 4) ϭ ᎏ ͙ 3 (Ϫ ෆ b Ϫ 8ෆ 4 ) 2 ෆa 2 ᎏ ϭ 4a 2 b 4 (͙ 3 (Ϫ ෆ8ෆ) 2 ෆ ϭ ͙ 3 6ෆ4ෆ ϭ 4) PRECAUCIÓN: APRENDA A EVITAR ERRORES COMO ÉSTOS MAL BIEN ͙2 ෆ5ෆ ϭ Ϯ5 ͙2ෆ5ෆ ϭ 5 (Mal uso de la definición de ͙a ෆ) 16 3/4 ϭ (͙ 3 1ෆ6ෆ) 4 16 3/4 ϭ (͙ 4 1ෆ6ෆ) 3 o ͙ 4 1ෆ6ෆ 3 ෆ (Mal uso de la definición de b m/n ) (Ϫ2) Ϫ1/3 ϭ 2 1/3 (Ϫ2) Ϫ1/3 ϭ ᎏ (Ϫ 1 2) 1/3 ᎏϭ a Ϫ1/2 ϩ b Ϫ1/2 ϭ a Ϫ1/2 ϩ b Ϫ1/2 ϭ ϩ 1 ͙bෆ 1 ͙aෆ 1 ͙a ෆ ϩ ෆ b ෆ 1 ͙ 3 Ϫෆ2ෆ Ϫ8a 3 b Ϫ6 SECCIÓN 5-1 RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS 165 En el ejemplo 6, es posible que resulte más fácil primero escribir de otra manera el problema original, usando nada más exponentes positivos. g (1-8) Ecriba con exponente fraccionario. 1. ͙1ෆ1ෆ 2. ͙ 3 2ෆ1ෆ 3. ͙ 4 9ෆ 4. ͙ 3 Ϫෆ1ෆ0ෆ 5. ͙ 3 6ෆ 2 ෆ 6. (͙ 3 Ϫෆ7ෆ) 2 7. Ί 5 Ϫ ᎏ 1 5 ᎏ 3 8. (9-16) Escriba en forma de radical. 9. 3 1/2 10. 7 1/3 11. (Ϫ19) 1/3 12. 6 2/3 13. 2 Ϫ1/2 14. 7 Ϫ3/2 15. ᎏ 3 4 ᎏ Ϫ1/4 16. Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ Ϫ2/3 (17-26) Clasifique cada aseveración como falsa o verdadera. Si es falsa, corrija el lado derecho de la igualdad para obtener la aseveración verdadera. 17. ͙ 3 Ϫෆ2ෆ7ෆ ϭ Ϫ3 18. 4 1/2 ϭ Ϫ2 19. (Ϫ8) 2/3 ϭ 4 20. 64 3/4 ϭ (͙ 3 6ෆ4ෆ) 4 21. Ϫ ᎏ 1 8 ᎏ Ϫ1/3 ϭ 2 22. (͙1 ෆ0ෆ0ෆ) Ϫ1 ϭ Ϫ10 23. ͙1ෆ.4 ෆ4ෆ ϭ 0.12 24. (0.25) 3/2 ϭ ᎏ 8 1 ᎏ 25. ϭ Ϫ ᎏ 7 3 ᎏ 26. ϭ Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ (27-58) Evalúe. 27. 125 1/3 28. 121 1/2 29. 81 Ϫ1/2 30. ͙ 3 Ϫෆ6ෆ4ෆ 31. (64) Ϫ2/3 32. (Ϫ64) 1/3 33. (Ϫ125) 2/3 34. (Ϫ125) Ϫ2/3 35. ͙ 3 9ෆ и ͙ 3 Ϫෆ3ෆ 36. ͙5 ෆ и ͙2 ෆ0ෆ 37. 38. 39. ᎏ 2 ͙ 7 Ϫ 9ෆ 1/3 ᎏ 40. 9 1/2 ͙ 3 2ෆ7ෆ ͙7ෆ5ෆ ͙3ෆ ͙ 3 Ϫෆ3ෆ ͙ 3 Ϫෆ2ෆ4ෆ Ί Ϫᎏ 2 4 5 ᎏ Ϫ Ί ᎏ 4 9 9 ᎏ 1 ͙ 3 4ෆ 2 ෆ 166 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS EJERCICIOS 5-1 41. ͙ 3 (Ϫ ෆ1ෆ2ෆ5ෆ)( ෆϪෆ1ෆ0ෆ0ෆ0ෆ)ෆ 42. 43. ᎏ 1 4 ᎏ 3/2 и Ϫᎏ 1 8 ᎏ 2/3 44. ͙(4 ෆ)( ෆ9ෆ)( ෆ4ෆ9ෆ)( ෆ1ෆ0ෆ0ෆ)ෆ 45. Ί ᎏ 2 3 ᎏ и Ί ᎏ 9 75 8 ᎏ 46. ͙͙ෆ6ෆෆ2ෆෆ5ෆෆ 47. ͙ 3 ͙ 3 ෆϪෆෆ5ෆෆ1ෆෆ2ෆෆ 48. ͙͙ 3 ෆ7ෆෆ2ෆෆ9ෆෆ 49. ͙1 ෆ4ෆ4ෆ ϩ ෆ2 ෆ5ෆ 50. ͙ 5 (Ϫ ෆ2ෆ4ෆ3ෆ) 2 ෆ и (49) Ϫ1/2 51. ᎏ 1 8 ᎏ ϩ ᎏ 2 1 7 ᎏ 1/3 52. ͙1 ෆ4ෆ4ෆ ϩ ͙2 ෆ5ෆ 53. ᎏ 1 8 6 1 ᎏ 3/4 ϩ ᎏ 2 6 5 2 6 5 ᎏ 1/4 54. ᎏ 1 8 ᎏ 1/3 ϩ ᎏ 2 1 7 ᎏ Ϫ1/3 55. Ϫᎏ 12 8 5 ᎏ 1/3 Ϫ ᎏ 6 1 4 ᎏ 1/3 56. ᎏ 2 8 7 ᎏ Ϫ2/3 ϩ Ϫᎏ 2 3 4 2 3 ᎏ 2/5 57. ᎏ 3 4 8 9 ᎏ Ϫ ᎏ 1 7 ᎏ 1/2 58. Ϫᎏ 12 8 5 ᎏ Ϫ ᎏ 6 1 4 ᎏ 1/3 (59-72) Simplifique y después exprese todas las respuestas con exponentes positivos. (Suponga que todas las letras representan números positivos). 59. (8a 3 b Ϫ9 ) 2/3 60. (27a Ϫ3 b 9 ) Ϫ2/3 61. (a Ϫ4 b Ϫ8 ) 3/4 62. (a 2/3 b 1/2 )(a 1/3 b Ϫ1/2 ) 63. (a Ϫ1/2 b 1/3 )(a 1/2 b Ϫ1/3 64. ᎏ a a Ϫ 2 b 3 b Ϫ 0 1 c /2 Ϫ c 1 1 / / 3 3 ᎏ 65. ᎏ 6 b 4 Ϫ a 9 6 ᎏ 2/3 66. ᎏ ( ( 4 8 9 1 a b Ϫ 6 4 ) ) Ϫ Ϫ 1 1 /2 /2 ᎏ 67. ᎏ a a Ϫ 4 b 2 Ϫ b 3 3 ᎏ Ϫ1/2 ᎏ a 4 a b b Ϫ5 ᎏ Ϫ1/3 68. ᎏ 2 3 ᎏ (3x Ϫ 1) Ϫ1/3 и 3 69. ᎏ 1 2 ᎏ (3x 2 ϩ 2) Ϫ1/2 и 6x 70. ᎏ 1 3 ᎏ (x 3 ϩ 2) Ϫ2/3 и 3x 2 71. ᎏ 1 2 ᎏ (x 2 ϩ 4x) Ϫ1/2 (2x ϩ 4) 72. ᎏ 2 3 ᎏ (x 3 Ϫ 6x 2 ) Ϫ1/3 (3x 2 Ϫ 12x) Ί 4 ᎏ 1 8 6 1 ᎏ División de polinomios Cuando se divide un polinomio entre un binomio de la forma x Ϫ a, el proceso de la división puede abreviarse bastante mediante un proceso llamado división sintéti- ca. Considere los siguientes ejemplos. En el ejemplo de la derecha, utilizamos sólo los coeficientes numéricos. 5-2 DIVISIÓN SINTÉTICA g 2x 2 ϩ 5x Ϫ 4 2 ϩ 5 Ϫ 4 x Ϫ 3ͤ2 ෆx 3 ෆ Ϫ ෆ2 ෆx 2 ෆ Ϫ ෆ1 ෆ9ෆx ෆϩෆ 1 ෆ5ෆ 1 Ϫ 3 ͤ2 ෆෆෆϪෆ 1 ෆෆෆϪෆ 1 ෆ9ෆෆෆ1ෆ5ෆ 2x 3 Ϫ 6x 2 2 Ϫ6 5x 2 Ϫ 19x 5 Ϫ19 5x 2 Ϫ 15x 5 Ϫ15 Ϫ4x ϩ 15 Ϫ4 15 Ϫ4x ϩ 12 Ϫ4 12 3 3 Observe que las variables no juegan un papel importante para determinar los coeficientes numéricos del cociente. Este problema de división puede realizarse con mayor rapidez y facilidad utilizando la división sintética. A continuación explicare- mos la forma de utilizar la división sintética. Considere la división ᎏ 2x 3 Ϫx 2 x Ϫ Ϫ 1 3 9xϩ15 ᎏ 1. Escriba el dividendo en potencias descendentes de x. Después liste los coefi- cientes numéricos de cada término del dividendo. Si no existe algún término de cier- to grado, coloque 0 en la posición adecuada para rellenar el hueco. En el problema anterior, los coeficientes numéricos del dividendo son 2 Ϫ1 Ϫ19 15 2. Al dividir entre un binomio de la forma x Ϫ a, coloque a a la izquierda de la fila de números de la parte 1. En este problema estamos dividiendo entre x Ϫ 3, de modo que, a ϭ 3. Escribimos 3 2 Ϫ1 Ϫ19 15 3. Baje el primer coeficiente de la izquierda como sigue: 3 2 Ϫ1 Ϫ19 15 2 4. Multiplique el 3 por el número que bajó, el 2, para obtener 6. Coloque el 6 bajo el siguiente coeficiente, el Ϫ1. Después sume Ϫ1 ϩ 6 para obtener 5. 3 2 Ϫ1 Ϫ19 15 6 2 5 5. Multiplique el 3 por la suma 5, para obtener 15. Coloque el 15 bajo Ϫ19. Des- pués sume para obtener Ϫ4. Repita este procedimiento como se ilustra. 3 2 Ϫ1 Ϫ19 15 6 15 Ϫ12 2 5 Ϫ4 3 En el último renglón, los primeros tres números son los coeficientes numéricos del cociente, como en la división larga. El último número, 3, es el residuo obtenido en la división larga. El cociente debe ser un grado menor que el dividendo, ya que SECCIÓN 5-2 DIVISIÓN SINTÉTICA 167 g estamos dividiendo entre x Ϫ 3. El dividendo original era un polinomio de tercer grado. Por lo tanto, el cociente debe ser un polinomio de segundo grado. Utilice los primeros tres números del último renglón como los coeficientes de un polinomio de segundo grado en x. Esto produce 2x 2 ϩ 5x Ϫ 4, que es el cociente. El último número, el ϩ3, es el residuo. Por lo tanto, ϭ 2x 2 ϩ 5x Ϫ 4 ϩ ᎏ x Ϫ 3 3 ᎏ EJEMPLO 1 Divida utilizando la división sintética. (6 Ϫ x 2 ϩ x 3 ) Ϭ (x ϩ 2) Solución Primero enumere los términos del dividendo en orden descendente de x. (x 3 Ϫ x 2 ϩ 6) Ϭ (x ϩ 2) Como no existe término de primer grado, cuando liste los coeficientes numéricos inserte un 0 para llenar el hueco. Como x ϩ 2 ϭ x Ϫ (Ϫ2), a ϭ Ϫ2 Ϫ2 1 Ϫ1 0 6 Ϫ2 6 Ϫ12 1 Ϫ3 6 Ϫ6 d residuo Como el dividendo es una ecuación de tercer grado, el cociente debe ser de segun- do grado. La respuesta es x 2 Ϫ 3x ϩ 6 Ϫ ᎏ x ϩ 6 2 ᎏ EJEMPLO 2 Utilice la división sintética para dividir. (3x 4 ϩ 11x 3 Ϫ 20x 2 ϩ 7x ϩ 35) Ϭ (x ϩ 5) Solución Ϫ5 3 11 Ϫ20 7 35 Ϫ15 20 0 Ϫ35 3 Ϫ4 0 7 0 d residuo Como el dividendo es de cuarto grado, el cociente debe ser de tercer grado. El cocien- te es 3x 3 Ϫ4x 2 ϩ0x ϩ7 sin residuo. Esto puede simplificarse como 3x 3 Ϫ4x 2 ϩ7. EJEMPLO 3 Utilice la división sintética para dividir. (3x 3 Ϫ 6x 2 ϩ 4x ϩ 5) Ϭ x Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ Solución ᎏ 1 2 ᎏ 3 Ϫ6 4 5 ᎏ 3 2 ᎏ Ϫᎏ 9 4 ᎏ ᎏ 7 8 ᎏ 3 Ϫᎏ 9 2 ᎏ ᎏ 7 4 ᎏ ᎏ 4 8 7 ᎏ d residuo 2x 3 Ϫ x 2 Ϫ 19x ϩ 15 ᎏᎏᎏ x Ϫ 3 168 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g La respuesta es 3x 2 Ϫ ᎏ 9 2 ᎏx ϩ ᎏ 7 4 ᎏ ϩ o 3x 2 Ϫ 4.5x ϩ 1.75 ϩ Teorema del residuo En el ejemplo 1, al dividir x 3 Ϫ x 2 ϩ 6 entre x ϩ 2, determinamos que el residuo era Ϫ6. Si escribimos x ϩ 2 como x Ϫ (Ϫ2) y evaluamos la función polinomial ∗ P(x) ϭ x 3 Ϫ x 2 ϩ 6 en Ϫ2, obtenemos P(x) ϭ x 3 Ϫ x 2 ϩ 6 P(Ϫ2) ϭ (Ϫ2) 3 Ϫ (Ϫ2) 2 ϩ 6 ϭ Ϫ8 Ϫ 4 ϩ 6 ϭ Ϫ6 Como P(Ϫ2) ϭϪ6, el valor de la función en x ϭϪ2 es Ϫ6. Cuando dividimos x 3 ϩ x 2 ϩ 6 entre x ϩ 2, el residuo también fue Ϫ6. ¿Esto es sólo una coincidencia? Intentemos una vez más. En el ejemplo 3, cuando dividimos 3x 3 Ϫ6x 2 ϩ4x ϩ5 entre x Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ , obtuvimos un residuo de ᎏ 4 8 7 ᎏ . Evaluemos P(x) ϭ 3x 3 Ϫ 6x 2 ϩ 4x ϩ 5 en x ϭ ᎏ 1 2 ᎏ . P(x) ϭ 3x 3 Ϫ 6x 2 ϩ 4x ϩ 5 Pᎏ 1 2 ᎏ ϭ 3ᎏ 1 2 ᎏ 3 Ϫ 6ᎏ 1 2 ᎏ 2 ϩ 4ᎏ 1 2 ᎏ ϩ 5 ϭ 3ᎏ 1 8 ᎏ Ϫ 6ᎏ 1 4 ᎏ ϩ 2 ϩ 5 ϭ ᎏ 3 8 ᎏ Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ ϩ 7 ϭ ᎏ 3 8 ᎏ Ϫ ᎏ 1 8 2 ᎏ ϩ ᎏ 5 8 6 ᎏ ϭ ᎏ 4 8 7 ᎏ El valor de P( ᎏ 1 2 ᎏ ) es ᎏ 4 8 7 ᎏ , el mismo residuo obtenido por división sintética. Para obtener el residuo cuando un polinomio P(x) se divide entre un binomio de la forma x Ϫ a, podemos utilizar el teorema del residuo. TEOREMA DEL RESIDUO Si el polinomio P(x) se divide entre x Ϫa, el residuo es igual a P(a). EJEMPLO 4 Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo, cuando 3x 4 ϩ 6x 3 Ϫ 2x ϩ 4 se divide entre x ϩ 4. Solución Primero escribimos el divisor x ϩ 4 en la forma x Ϫ a. Como x ϩ 4 ϭ x Ϫ (Ϫ4) evaluamos P(Ϫ4). P(x) ϭ 3x 4 ϩ 6x 3 Ϫ 2x ϩ 4 P(Ϫ4) ϭ 3(Ϫ4) 4 ϩ 6(Ϫ4) 3 Ϫ 2(Ϫ4) ϩ 4 ϭ 3(256) ϩ 6(Ϫ64) ϩ 8 ϩ 4 ϭ 768 Ϫ 384 ϩ 8 ϩ 4 ϭ 396 5.875 x Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ 47 8(x Ϫ ᎏ 2 1 ᎏ ) SECCIÓN 5-2 DIVISIÓN SINTÉTICA 169 *Podría haberse utilizado f(x) en lugar de P(x). Sin embargo, al analizar las funciones polinomiales, por lo general se utiliza P(x). g Así, al dividir 3x 4 ϩ 6x 3 Ϫ 2x ϩ 4 entre x ϩ 4, el residuo es 396. Utilizaremos la división sintética para demostrar que el residuo del ejemplo 4 es efectivamente 396. Ϫ4 3 6 0 Ϫ2 4 Ϫ12 24 Ϫ96 392 3 Ϫ6 24 Ϫ98 396 d residuo En el ejemplo 2, al dividir 3x 4 ϩ11x 3 Ϫ20x 2 ϩ7x ϩ35 entre x ϩ5, determinamos que el cociente era 3x 3 Ϫ 4x 2 ϩ 7 y el residuo era 0. En un problema de división, si el residuo es 0, el divisor y el cociente son factores del dividendo. En el ejemplo 2 podemos escribir ϭ 3x 3 Ϫ 4x 2 ϩ 7 o (x ϩ 5)(3x 3 Ϫ 4x 2 ϩ 7) ϭ 3x 4 ϩ 11x 3 Ϫ 20x 2 ϩ 7x ϩ 35 Podemos utilizar el teorema del residuo para determinar si un binomio de la forma x Ϫ a es un factor del polinomio P(x). Para esto, evaluamos P(a). Si P(a) ϭ 0, entonces x Ϫ a divide al polinomio sin residuo y x Ϫ a es un factor del polinomio. EJEMPLO 5 a) Demuestre, utilizando el teorema del residuo, que x ϩ2 es un factor de x 3 ϩ6x 2 ϩ 11x ϩ 6 b) Determine el otro factor. Solución a) x ϩ 2 ϭ x Ϫ (Ϫ2). Si P(Ϫ2) ϭ 0, entonces x ϩ 2 es un factor del polinomio P(x) ϭ x 3 ϩ 6x 2 ϩ 11x ϩ 6 P(Ϫ2) ϭ (Ϫ2) 3 ϩ 6(Ϫ2) 2 ϩ 11(Ϫ2) ϩ 6 ϭ Ϫ8 ϩ 24 Ϫ 22 ϩ 6 ϭ 0 Como P(Ϫ2) ϭ 0, x ϩ 2 es factor de x 3 ϩ 6x 2 ϩ 11x ϩ 6 b) Podemos determinar el otro factor utilizando la división sintética. Ϫ2 1 6 11 6 Ϫ2 Ϫ8 Ϫ6 1 4 3 0 El otro factor es x 2 ϩ 4x Ϫ 3. Así, x 3 ϩ 6x 2 ϩ 11x ϩ 6 ϭ (x ϩ 2)(x 2 ϩ 4x Ϫ 3) En el ejemplo 5, en x ϭ Ϫ2, el valor del polinomio x 3 ϩ 6x 2 ϩ 11x ϩ 6 es 0. Por lo tanto, Ϫ2 es una solución de la ecuación polinomial x 3 ϩ 6x 2 ϩ 11x ϩ 6 ϭ 0. 3x 4 ϩ 11x 3 Ϫ 20x 2 ϩ 7x ϩ 35 ᎏᎏᎏᎏ x ϩ 5 170 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g (1-22) Divida utilizando la división sintética. 1. (x 2 ϩ x Ϫ 6) Ϭ (x Ϫ 2) 2. (x 2 Ϫ 4x Ϫ 32) Ϭ (x ϩ 4) 3. (x 2 ϩ 5x Ϫ 6) Ϭ (x ϩ 6) 4. (x 2 ϩ 12x ϩ 32) Ϭ (x ϩ 4) 5. (x 2 ϩ 5x Ϫ 12) Ϭ (x Ϫ 3) 6. (2x 2 Ϫ 9x ϩ 15) Ϭ (x Ϫ 6) 7. (3x 2 Ϫ 7x Ϫ 10) Ϭ (x Ϫ 4) 8. (x 3 ϩ 6x 2 ϩ 4x Ϫ 7) Ϭ (x ϩ 5) 9. (4x 3 Ϫ 3x 2 ϩ 2x) Ϭ (x Ϫ 1) 10. (x 3 Ϫ 7x 2 Ϫ 13x ϩ 5) Ϭ (x Ϫ 2) 11. (3x 3 ϩ 7x 2 Ϫ 4x ϩ 12) Ϭ (x ϩ 3) 12. (3x 4 Ϫ 25x 2 Ϫ 20) Ϭ (x Ϫ 3) 13. (5x 3 Ϫ 6x 2 ϩ 3x Ϫ 6) Ϭ (x ϩ 1) 14. (y 4 Ϫ 1) Ϭ (y Ϫ 1) 15. (x 4 ϩ 16) Ϭ (x ϩ 4) 16. (2x 4 Ϫ x 2 ϩ 5x Ϫ 12) Ϭ (x Ϫ 3) 17. (y 5 ϩ y 4 Ϫ 10) Ϭ (y ϩ 1) 18. (z 5 ϩ 4z 4 Ϫ 10) Ϭ (z ϩ 1) 19. (3x 3 ϩ 2x 2 Ϫ 4x ϩ 1) Ϭ x Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ 20. (8x 3 Ϫ 6x 2 Ϫ 5x ϩ 3) Ϭ x ϩ ᎏ 3 4 ᎏ 21. (2x 4 Ϫ x 3 ϩ 2x 2 Ϫ 3x ϩ 1) Ϭ x Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ 22. (9y 3 ϩ 9y 2 Ϫ y ϩ 2) Ϭ y ϩ ᎏ 2 3 ᎏ (23-32) Determine el residuo de las siguientes divisiones, uti- lizando el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indíquelo. 23. (4x 2 Ϫ 5x ϩ 4) Ϭ (x Ϫ 2) 24. (Ϫ2x 2 ϩ 3x Ϫ 2) Ϭ (x ϩ 3) 25. (x 3 Ϫ 5x 2 ϩ 2) Ϭ (x ϩ 4) 26. (x 3 Ϫ 6x ϩ 4) Ϭ (x Ϫ 1) 27. (x 3 Ϫ 2x 2 ϩ 4x Ϫ 8) Ϭ (x Ϫ 2) 28. (Ϫ3x 3 ϩ 4x Ϫ 12) Ϭ (x ϩ 4) 29. (Ϫ2x 3 Ϫ 6x 2 ϩ 2x Ϫ 4) Ϭ x Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ 30. (Ϫ5x 3 Ϫ 6) Ϭ x Ϫ ᎏ 1 5 ᎏ 31. (x 4 Ϫ 6x 3 ϩ 3x 2 Ϫ 2x Ϫ 276) Ϭ (x ϩ 3) 32. (x 4 Ϫ 5x 3 Ϫ 6x ϩ 30) Ϭ (x Ϫ 5) SECCIÓN 5-2 DIVISIÓN SINTÉTICA 171 EJERCICIOS 5-2 (33-42) Dado un polinomio P(x) y un valor x tal que P(x) ϭ0, determine los factores de P(x) (revise el ejemplo 5). 33. P(x) ϭ 6x 2 Ϫ x Ϫ 5, P(1) ϭ 0 34. P(x) ϭ 5x 2 ϩ 19x ϩ 12, P(Ϫ3) ϭ 0 35. P(x) ϭ x 3 ϩ x 2 Ϫ x Ϫ 10, P(2) ϭ 0 36. P(x) ϭ x 3 ϩ 3x 2 ϩ x ϩ 20, P(Ϫ4) ϭ 0 37. P(x) ϭ 2x 3 ϩ 6x 2 Ϫ 18x ϩ 10, P(Ϫ5) ϭ 0 38. P(x) ϭ 3x 3 Ϫ 14x 2 ϩ 8x, P(4) ϭ 0 39. P(x) ϭ x 3 Ϫ 3x 2 Ϫ 22x Ϫ 12, P(Ϫ3) ϭ 0 40. P(x) ϭ 6x 3 Ϫ 12x 2 ϩ x ϩ 5, P(1) ϭ 0 41. P(x) ϭ x 3 ϩ ᎏ 3 2 ᎏx 2 Ϫ 5x ϩ 2, Pᎏ 1 2 ᎏ ϭ 0 42. P(x) ϭ 3x 3 Ϫ 4x 2 ϩ x ϩ ᎏ 1 3 0 ᎏ, PϪᎏ 2 3 ᎏ ϭ 0 43. (a) Describa con su propias palabras como dividir un po- linomio entre (x Ϫ a), utilizando la división sintética. (b) Divida x 2 ϩ 3x Ϫ 4 entre x Ϫ 5, utilizando el procedi- miento de la parte (a). 44. (a) Enuncie el teorema del residuo con sus propias pala- bras. (b) Determine el residuo obtenido al dividir x 2 Ϫ 6x Ϫ 4 entre x Ϫ 1, utilizando el procedimiento enunciado en la parte (a). 45. Explique cómo puede determinar, mediante división sinté- tica, si una expresión de la forma x Ϫ a es un factor de un polinomio x. 46. Explique cómo puede determinar, mediante el teorema del residuo, si una expresión de la forma x Ϫ a es un factor de un polinomio en x. 47. Dado P(x) ϭ ax 2 ϩ bx ϩ c y un valor d tal que P(d) ϭ 0, explique por qué x ϭ d es una solución a la ecuación ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0. 48. Considere el trinomio 40x 2 Ϫ 313x Ϫ 56 y los binomios x ϩ8, x Ϫ8, x ϩ7. Utilice el teorema del residuo para de- terminar cuál de los binomios es un factor del trinomio. Explique cómo determinó su respuesta. 49. Si un factor de P(x) es x 2 Ϫ 5x Ϫ 12 y si P(Ϫ3) ϭ 0, de- termine P(x). Explique cómo determinó su respuesta. 50. Escriba un polinomio de tercer grado de cuatro términos que tenga un factor de x ϩ4. Explique cómo obtuvo su res- puesta. Existen muchas respuestas posibles. g Actividad en grupo y problemas para pensar En los ejercicios de 1 a 3, explique su respuesta. 1. ¿x Ϫ 1 es un factor de x 100 ϩ x 99 ϩ . . . ϩ x 1 ϩ 1? 2. ¿x ϩ 1 es un factor de x 100 ϩ x 99 ϩ . . . ϩ x 1 ϩ 1? 3. ¿x ϩ 1 es un factor de x 99 ϩ x 98 ϩ . . . ϩ x 1 ϩ 1? 4. Divida (0.2x 3 Ϫ 4x 2 ϩ 0.32x Ϫ 0.64) por (x Ϫ 0.4). 5. La división sintética puede utilizarse para dividir polinomios entre binomios de la forma ax Ϫ b, a 1. Para calcular esta división divida ax Ϫ b entre a para obtener x Ϫ ᎏ b a ᎏ. Después, coloque bր a a la izquierda de los coeficientes numéricos del poli- nomio. Resuelva el problema como hemos explicado. Después de sumar los valores numéricos bajo la línea, divida todos, excepto el residuo, entre a. Después escriba el cociente del problema, utilizando estos números. (a) Utilice este procedimiento para dividir (9x 3 ϩ 9x 2 ϩ 5x ϩ 12) por (3x ϩ 5). (b) Explique por qué no dividimos el residuo entre a. 172 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS 5-2-1 DIVISIÓN SINTÉTICA (repaso) En la división sintética, o división corta, cuando el coeficiente principal del divisor es diferente de 1 se resuelve de la misma manera que cuando el coeficiente del divisor es igual a 1; lo que cambia es que el cociente se tiene que dividir entre el coeficiente principal del divisor. EJEMPLO 1 Encuentre el coeficiente y el residuo al dividir Ϫ3x ϩ12x 3 ϩ4 Ϫ4x 2 entre 2x Ϫ 1 Solución 12 Ϫ4 Ϫ3 4 ᎏ 1 2 ᎏ 6 1 Ϫ1 12 2 Ϫ2 3 C(x) ϭ ᎏ 12 2 x 2 ᎏϩ ᎏ 2 2 x ᎏ Ϫ ᎏ 2 2 ᎏ ϭ 6x 2 ϩ x Ϫ 1 R(x) ϭ 3 EJEMPLO 2 Encuentre el cociente y el residuo al dividir Ϫ3x 2 Ϫ 6x 3 ϩ 9x entre 1 Ϫ x. Solución Ϫ6 Ϫ3 9 0 1 Ϫ6 Ϫ9 0 Ϫ6 Ϫ9 0 0 C(x) ϭ Ϫᎏ Ϫ 6x 1 2 ᎏ Ϫ ᎏ Ϫ 9x 1 ᎏ ϩ ᎏ Ϫ 0 1 ᎏ ϭ 6x 2 ϩ 9x R(x) ϭ 0 g EJEMPLO 3 Encuentre el cociente y el residuo al dividir Ϫ11x 3 ϩ 11x ϩ 6x 4 Ϫ 3x 2 ϩ 5 entre 3x Ϫ 1. Solución 6 Ϫ11 Ϫ3 11 5 ᎏ 1 3 ᎏ 2 Ϫ3 Ϫ2 3 6 Ϫ9 Ϫ6 9 8 C(x) ϭ ᎏ 6 3 x 3 ᎏ Ϫ ᎏ 9 3 x 2 ᎏ Ϫ ᎏ 6 3 x ᎏ ϩ ᎏ 9 3 ᎏ ϭ 2x 3 Ϫ 3x 2 Ϫ 2x ϩ 3 R(x) ϭ 8 EJEMPLO 4 Encuentre el cociente y el residuo al dividir 3x 2 Ϫ 5 Ϭ 1 Ϫ ᎏ 1 4 ᎏx. Solución 3 0 Ϫ5 4 12 48 3 12 43 C(x) ϭ ϩ ϭ Ϫ12x Ϫ 48 R(x) ϭ 43 12 Ϫᎏ 1 4 ᎏ 3x Ϫᎏ 1 4 ᎏ SECCIÓN 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 173 EJERCICIOS 5-2-1 (1-8) En cada caso encuentre el cociente y el residuo. 1. 4x 3 Ϫ 4x Ϫ 7x 2 ϩ 7 Ϭ 4x Ϫ 7 2. Ϫ2x Ϫ 3x 3 ϩ 6x 4 ϩ 4x 2 Ϭ 2x Ϫ 1 3. 5 ϩ 6x Ϫ 9x 2 Ϭ 1 Ϫ 3x 4. 3x 4 ϩ 4 Ϫ 5x ϩ 5x 5 Ϭ 5x ϩ 3 5. 5 ϩ ᎏ 1 2 ᎏx 3 Ϫ 17x Ϭ ᎏ 1 2 ᎏx Ϫ 3 6. 2x 3 Ϫ 4x 4 ϩ 7 Ϫ 12x Ϭ 1 Ϫ 2x 7. 2x 4 Ϫ 1 Ϭ 1 Ϫ x 8. Ϫ5x 2 ϩ 4x 3 ϩ 7 ϩ 6x Ϭ 4x ϩ 3 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES Ecuaciones fraccionarias En esta sección resolveremos ecuaciones fraccionarias, que son aquellas que con- tienen una o más expresiones racionales. g Para resolver ecuaciones fraccionarias 1. Determine el m.c.d. de todas las fracciones en la ecuación. 2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d. Esto hará que todos los términos de la ecuación queden multiplicados por el m.c.d. 3. Elimine los paréntesis y agrupe los términos semejantes de cada lado de la ecua- ción. 4. Resuelva la ecuación utilizando las propiedades estudiadas en los capítulos an- teriores. 5. Verifique su solución en la ecuación original. El propósito de multiplicar ambos lados de la ecuación por el m.c.d. (paso 2) es eli- minar todas las fracciones de la ecuación. Después de haber multiplicado ambos lados de la ecuación por el m.c.d., la ecuación resultante no debe contener fraccio- nes. Omitiremos algunas de las verificaciones para ahorrar espacio. EJEMPLO 1 Resuelva ᎏ 3 x ᎏ ϩ 2x ϭ 7 Solución 3ᎏ 3 x ᎏ ϩ 2x ϭ 7 и 3 Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., 3 3ᎏ 3 x ᎏ ϩ 3 и 2x ϭ 7 и 3 Propiedad distributiva x ϩ 6x ϭ 21 7x ϭ 21 x ϭ 3 Verificación ᎏ 3 x ᎏ ϩ 2x ϭ 7 ᎏ 3 3 ᎏ ϩ 2(3) ϭ 7 1 ϩ 6 ϭ 7 7 ϭ 7 verdadera EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación ᎏ 3 4 ᎏ ϩ ᎏ 5 9 x ᎏ ϭ ᎏ 6 x ᎏ. Solución Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., 36. 36 ᎏ 3 4 ᎏ ϩ ᎏ 5 9 x ᎏ ϭ ᎏ 6 x ᎏ и 36 36ᎏ 3 4 ᎏ ϩ 36ᎏ 5 9 x ᎏ ϭ ᎏ 6 x ᎏ и 36 27 ϩ 20x ϭ 6x 27 ϭ Ϫ14x ᎏ Ϫ 1 2 4 7 ᎏϭ x La verificación mostrará que ᎏ Ϫ 1 2 4 7 ᎏes la solución. 174 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS 9 4 6 g EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación ᎏ 4 x ᎏ ϩ 3 ϭ 2(x Ϫ 2). Solución Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., 4. ᎏ 4 x ᎏ ϩ 3 ϭ 2(x Ϫ 2) 4ᎏ 4 x ᎏ ϩ 3 ϭ 4[2(x Ϫ 2)] 4ᎏ 4 x ᎏ ϩ 4(3) ϭ 4[2(x Ϫ 2)] 4ᎏ 4 x ᎏ ϩ 4(3) ϭ 8(x Ϫ 2) x ϩ 12 ϭ 8(x Ϫ 2) x ϩ 12 ϭ 8x Ϫ 16 12 ϭ 7x Ϫ 16 28 ϭ 7x 4 ϭ x EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 3 Ϫ ᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ 5 2 ᎏ. Solución Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., 2x. 2x3 Ϫ ᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ 5 2 ᎏ и 2x 2x(3) Ϫ 2xᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ 5 2 ᎏ и 2x 6x Ϫ 8 ϭ 5x x Ϫ 8 ϭ 0 x ϭ 8 Verificación 3 Ϫ ᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ 5 2 ᎏ 3 Ϫ ᎏ 4 8 ᎏ ϭ ᎏ 5 2 ᎏ 3 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ϭ ᎏ 5 2 ᎏ ᎏ 5 2 ᎏ ϭ ᎏ 5 2 ᎏ verdadera Como 8 da una proposición verdadera, ésta es la solución de la ecuación. SECCIÓN 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 175 Advertencia: Si aparece una variable en cualquier denominador de una ecuación fraccionaria, es necesario verificar su respuesta en la ecuación original. Si la respuesta anula al denominador, no es solución de la ecuación. Estos resultados se llaman raíces o soluciones extrañas. g EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación ᎏ x x Ϫ ϩ 7 2 ᎏϭ ᎏ 1 4 ᎏ. Solución El m.c.d. es 4(x ϩ2). Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d. 4(x ϩ 2) и ᎏ ( ( x x Ϫ ϩ 7 2 ) ) ᎏϭ ᎏ 1 4 ᎏ и 4(x ϩ 2) 4(x Ϫ 7) ϭ 1(x ϩ 2) 4x Ϫ 28 ϭ x ϩ 2 3x Ϫ 28 ϭ 2 3x ϭ 30 x ϭ 10 La verificación mostrará que 10 es la solución. Como ya sabrá, las proporciones de la forma ᎏ a b ᎏ ϭ ᎏ d c ᎏ pueden multiplicarse en cruz para obtener a и d ϭ b и c. El ejemplo 5 es una pro- porción y también puede resolverse multiplicando en cruz, como en el ejemplo 6. EJEMPLO 6 Utilice la multiplicación en cruz para resolver la ecuación ᎏ x ϩ 3 4 ᎏϭ ᎏ x Ϫ 4 1 ᎏ. Solución ᎏ x ϩ 3 4 ᎏϭ ᎏ x Ϫ 4 1 ᎏ 3(x Ϫ 1) ϭ 4 (x ϩ 4) 3x Ϫ 3 ϭ 4x ϩ 16 Ϫx Ϫ 3 ϭ 16 Ϫx ϭ 19 x ϭ Ϫ19 La verificación mostrará que Ϫ19 es la solución a la ecuación. Ahora examinaremos algunos ejemplos con ecuaciones cuadráticas. Recuerde que las ecuaciones cuadráticas tienen la forma ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0, y que a 0. EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación x ϩ ᎏ 1 x 2 ᎏ ϭ Ϫ7 Solución x и x ϩ ᎏ 1 x 2 ᎏ ϭ Ϫ7 и x Multiplique ambos lados de la ecuación por x 176 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g x(x) ϩ x(ᎏ 1 x 2 ᎏ) ϭ Ϫ7x x 2 ϩ 12 ϭ Ϫ7x x 2 ϩ 7x ϩ 12 ϭ 0 (x ϩ 3) (x ϩ 4) ϭ 0 x ϩ 3 ϭ 0 o x ϩ 4 ϭ 0 x ϭ Ϫ3 x ϭ Ϫ4 Verificación x ϭ Ϫ3 x ϭ Ϫ4 x ϩ ᎏ 1 x 2 ᎏ ϭ Ϫ7 x ϩ ᎏ 1 x 2 ᎏ ϭ Ϫ7 Ϫ3 ϩ ᎏ Ϫ 12 3 ᎏ ϭ Ϫ7 Ϫ4 ϩ ᎏ Ϫ 12 4 ᎏ ϭ Ϫ7 Ϫ3 ϩ (Ϫ4) ϭ Ϫ7 Ϫ4 ϩ (Ϫ3) ϭ Ϫ7 Ϫ7 ϭ Ϫ7 verdadera Ϫ7 ϭ Ϫ7 verdadera Las soluciones son Ϫ3 y Ϫ4 EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación ᎏ 2 x x Ϫ Ϫ 6 5 ᎏϭ ᎏ x Ϫ 7 6 ᎏ. Solución Aplique la multiplicación en cruz para obtener ᎏ 2 x x Ϫ Ϫ 6 5 ᎏϭ ᎏ x Ϫ 7 6 ᎏ (2x Ϫ 5)(x Ϫ 6) ϭ 7(x Ϫ 6) 2x 2 Ϫ 17x ϩ 30 ϭ 7x Ϫ 42 2x 2 Ϫ 24x ϩ 72 ϭ 0 2(x 2 Ϫ 12x ϩ 36) ϭ 0 2(x Ϫ 6)(x Ϫ 6) ϭ 0 x Ϫ 6 ϭ 0 o x Ϫ 6 ϭ 0 x ϭ 6 x ϭ 6 Verificación x ϭ 6 ᎏ 2 x x Ϫ Ϫ 6 5 ᎏϭ ᎏ x Ϫ 7 6 ᎏ ᎏ 2( 6 6) Ϫ Ϫ 6 5 ᎏϭ ᎏ 6 Ϫ 7 6 ᎏ ᎏ 7 0 ᎏ ϭ ᎏ 7 0 ᎏ , ᎏ 7 0 ᎏ no es un número real Como 7/0 no es un número real, 6 es una solución extraña. De este modo, esa ecua- ción no tiene solución. SECCIÓN 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 177 g EJEMPLO 9 Resuelva la ecuación ᎏ x x Ϫ 2 4 ᎏϭ ᎏ x 1 Ϫ 6 4 ᎏ. Solución Si intentamos resolver esta proporción mediante una multiplicación en cruz, obtenemos x 2 (x Ϫ4) ϭ16(x Ϫ4), que se simplifica como x 3 Ϫ4x 2 ϭ16x Ϫ64. Éste es un ejemplo de ecuación cúbica, ya que el exponente mayor de la variable x es 3. Como la solución de ecuaciones cúbicas va más allá del objetivo de este libro, debemos buscar otro procedimiento para resolver la ecuación original. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación original por el mínimo común denominador, x Ϫ4, resol- vemos como sigue: (x Ϫ 4) и ᎏ (x x Ϫ 2 4) ᎏϭ ᎏ (x 1 Ϫ 6 4) ᎏи (x Ϫ 4) x 2 ϭ 16 x 2 Ϫ 16 ϭ 0 Ésta es una diferencia de cuadrados (x ϩ 4)(x Ϫ 4) ϭ 0 x ϩ 4 ϭ 0 o x Ϫ 4 ϭ 0 x ϭ Ϫ4 x ϭ 4 Verificación x ϭ Ϫ4 x ϭ 4 ᎏ x x Ϫ 2 4 ᎏϭ ᎏ x 1 Ϫ 6 4 ᎏ ᎏ x x Ϫ 2 4 ᎏϭ ᎏ x 1 Ϫ 6 4 ᎏ ᎏ Ϫ (Ϫ 4 4 Ϫ ) 2 4 ᎏϭ ᎏ Ϫ4 16 Ϫ 4 ᎏ ᎏ 4 (4 Ϫ ) 2 4 ᎏϭ ᎏ 4 1 Ϫ 6 4 ᎏ ᎏ Ϫ 16 8 ᎏ ϭ ᎏ Ϫ 16 8 ᎏ ᎏ 1 0 6 ᎏ ϭ ᎏ 1 0 6 ᎏ no es solución Ϫ2 ϭ Ϫ2 verdadera Como 4 anula al denominador, x ϭ 4 no es solución de la ecuación, sino una raíz extraña. La única solución de la ecuación es x ϭ Ϫ4. EJEMPLO 10 Resuelva la ecuación Solución Primero factorice x 2 Ϫ 4 ᎏ (x ϩ 2 2 )( x x Ϫ 2) ᎏϩ ᎏ x Ϫ 1 2 ᎏϭ ᎏ x ϩ 2 2 ᎏ Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., (x ϩ 2)(x Ϫ 2). (x ϩ2)(x Ϫ2) и [ᎏ (x ϩ2 2 )( x x Ϫ2) ᎏϩᎏ x Ϫ 1 2 ᎏ] ϭᎏ x ϩ 2 2 ᎏи (x ϩ2)(x ϩ2) (x ϩ2)(x Ϫ2) и ᎏ (x ϩ2 2 )( x x Ϫ2) ᎏϩ(x ϩ2)(x Ϫ2) и ᎏ (x Ϫ 1 2) ᎏϭᎏ (x ϩ 2 2) ᎏи (x ϩ2)(x Ϫ2) (x ϩ2)(x Ϫ2) и ᎏ (x ϩ2 2 )( x x Ϫ2) ᎏϩ(x ϩ2)(x Ϫ2) и ᎏ (x Ϫ 1 2) ᎏϭᎏ (x ϩ 2 2) ᎏи (x ϩ2)(x Ϫ2) ᎏ x 2 2 Ϫ x 4 ᎏϩ ᎏ x Ϫ 1 2 ᎏϭ ᎏ x ϩ 2 2 ᎏ. 178 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g 2x ϩ (x ϩ 2) ϭ 2(x Ϫ 2) 2x ϩ x ϩ 2 ϭ 2x Ϫ 4 3x ϩ 2 ϭ 2x Ϫ 4 x ϩ 2 ϭ Ϫ4 x ϭ Ϫ6 La verificación mostrará que Ϫ6 es la solución a la ecuación. SUGERENCIA Algunos estudiantes confunden la suma y la resta de expresiones fraccionarias con la solución de ecuaciones fraccionarias. Al sumar o restar expre- siones fraccionarias debemos escribir cada expresión con un denominador común. Al resolver una ecuación fraccionaria, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el m.c.d. para eliminar las fracciones de la ecuación. Considere los dos proble- mas siguientes: observe que el de la derecha muestra una ecuación, ya que contiene un signo de igualdad. Resolveremos ambos problemas. El m.c.d. de ambos es x(x ϩ4). Suma de expresiones racionales Solución de ecuaciones racionales ᎏ x x ϩ ϩ 2 4 ᎏϩ ᎏ 3 x ᎏ ᎏ x x ϩ ϩ 2 4 ᎏϭ ᎏ 3 x ᎏ Escribimos cada fracción Eliminamos las fracciones con el m.c.d. x(x ϩ 4). multiplicando ambos lados de la ecuación por el m.c.d. x(x ϩ 4). ϭ ᎏ x x ᎏ и ᎏ x x ϩ ϩ 2 4 ᎏϩ ᎏ 3 x ᎏ и ᎏ x x ϩ ϩ 4 4 ᎏ (x)(x ϩ 4) ᎏ x x ϩ ϩ 2 4 ᎏ ϭ ᎏ 3 x ᎏ(x)(x ϩ 4) ϭ ᎏ x x ( ( x x ϩ ϩ 2 4 ) ) ᎏϩ ᎏ 3 x( ( x x ϩ ϩ 4 4 ) ) ᎏ x(x ϩ 2) ϭ 3(x ϩ 4) x 2 ϩ 2x ϭ 3x ϩ 12 ϭ ᎏ x x ( 2 x ϩ ϩ 2 4 x ) ᎏϩ ᎏ x 3 ( x x ϩ ϩ 1 4 2 ) ᎏ x 2 Ϫ x Ϫ 12 ϭ 0 (x Ϫ 4)(x ϩ 3) ϭ 0 ϭ ᎏ x 2 ϩ x 2 ( x x ϩ ϩ 3 4 x ) ϩ12 ᎏ x Ϫ 4 ϭ 0 o x ϩ 3 ϭ 0 ϭ ᎏ x 2 x ϩ (x 5 ϩ x ϩ 4) 12 ᎏ x ϭ 4 o x ϭ Ϫ3 Los números 4 y Ϫ3 de la derecha hacen verdadera la proposición y son las solu- ciones de la ecuación. Observe que al sumar o restar expresiones fraccionarias, por lo general ter- minamos con una expresión algebraica. Al resolver ecuaciones fraccionarias, la solución será un valor o valores numéricos. La ecuación de la derecha también se resuelve multiplicando en cruz. SECCIÓN 5-3 ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 179 g (1-48) Resuelva cada ecuación y verifique su solución. 1. ᎏ 3 5 ᎏ ϭ ᎏ 1 x 0 ᎏ 2. ᎏ 3 k ᎏ ϭ ᎏ 9 6 ᎏ 3. ᎏ 1 5 2 ᎏ ϭ ᎏ 2 x 0 ᎏ 4. ᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ Ϫ 8 10 ᎏ 5. ᎏ 2 a 5 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 2 0 ᎏ 6. ᎏ 1 9 0 c ᎏ ϭ ᎏ 9 5 ᎏ 7. ᎏ 3 9 b ᎏ ϭ ᎏ Ϫ 2 6 ᎏ 8. ᎏ 5 8 ᎏ ϭ ᎏ 2 8 b 0 ᎏ 9. ᎏ x ϩ 9 4 ᎏϭ ᎏ 5 9 ᎏ 10. ᎏ 1 4 ᎏ ϭ ᎏ z ϩ 8 1 ᎏ 11. ᎏ 4x 6 ϩ 5 ᎏϭ ᎏ 7 2 ᎏ 12. ᎏ a 5 ᎏ ϭ ᎏ a Ϫ 2 3 ᎏ 13. ᎏ 6x 1 ϩ 0 7 ᎏϭ ᎏ 2x 6 ϩ 9 ᎏ 14. 1 n 0 ᎏ ϭ 9 Ϫ ᎏ n 5 ᎏ 15. ᎏ 3 x ᎏ Ϫ ᎏ 3 4 x ᎏ ϭ ᎏ 1 1 2 ᎏ 16. ᎏ 2 8 ᎏ ϩ ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ w 5 ᎏ 17. ᎏ 3 4 ᎏ Ϫ x ϭ 2x 18. ᎏ 2 y ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ϭ ᎏ 2 5 y ᎏ 19. ᎏ 3 5 x ᎏ ϩ ᎏ 3 x ᎏ ϭ 1 20. ᎏ 4 x ᎏ Ϫ ᎏ 6 x ᎏ ϭ ᎏ 1 4 ᎏ 21. ᎏ x x Ϫ Ϫ 1 5 ᎏϭ ᎏ x Ϫ 4 5 ᎏ 22. ᎏ 2 x x ϩ ϩ 1 3 ᎏϭ ᎏ 3 2 ᎏ 23. ᎏ 5y 7 Ϫ 3 ᎏϭ ᎏ 15y 28 Ϫ 2 ᎏ 24. ᎏ x ϩ 2 1 ᎏϭ ᎏ x Ϫ 1 2 ᎏ 25. ᎏ Ϫx 5 Ϫ 6 ᎏϭ ᎏ 2 x ᎏ 26. ᎏ y Ϫ 4 3 ᎏϭ ᎏ y ϩ 6 3 ᎏ 27. ᎏ 2 x x Ϫ Ϫ 4 3 ᎏϭ ᎏ x Ϫ 5 4 ᎏ 28. ᎏ 3 x ᎏ ϩ 4 ϭ ᎏ 3 x ᎏ 29. ᎏ x x Ϫ ϩ 2 4 ᎏϭ ᎏ x x ϩ ϩ 1 1 0 ᎏ 30. ᎏ x x Ϫ ϩ 3 1 ᎏϭ ᎏ x x Ϫ ϩ 6 5 ᎏ 31. ᎏ 2x 3 Ϫ 1 ᎏϪ ᎏ 3 4 x ᎏ ϭ ᎏ 5 6 ᎏ 32. x ϩ ᎏ 3 x ᎏ ϭ ᎏ 1 x 2 ᎏ 33. x ϩ ᎏ 6 x ᎏ ϭ Ϫ5 34. ᎏ 1 x 5 ᎏ ϩ ᎏ 9 x x ϩ Ϫ 2 7 ᎏϭ 9 35. ᎏ 3 y y ϩ Ϫ 1 2 ᎏϭ 4 Ϫ ᎏ y y ϩ Ϫ 2 1 ᎏ 36. ᎏ b 2 ϩ b 1 ᎏϭ 2 Ϫ ᎏ 2 5 b ᎏ 180 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS EJERCICIOS 5-3 37. ᎏ x ϩ 1 3 ᎏ ϩ ᎏ x Ϫ 1 3 ᎏϭ ᎏ x 2 Ϫ Ϫ 5 9 ᎏ 38. c Ϫ ᎏ 3 c ᎏ ϩ ᎏ 5 c ᎏ ϭ 26 39. ᎏ a Ϫ a 3 ᎏϩ ᎏ 3 2 ᎏ ϭ ᎏ a Ϫ 3 3 ᎏ 40. ᎏ x 2 3 Ϫ x 9 ᎏϩ ᎏ x Ϫ 1 3 ᎏϭ ᎏ x ϩ 3 3 ᎏ 41. ᎏ x Ϫ 2 3 ᎏϪ ᎏ x ϩ 4 3 ᎏϭ ᎏ x 2 8 Ϫ 9 ᎏ 42. ᎏ x x ϩ ϩ 1 3 ᎏϩ ᎏ x x Ϫ Ϫ 3 2 ᎏϭ ᎏ x 2 2 x ϩ 2 Ϫ x Ϫ 15 6 ᎏ 43. ᎏ 2y y ϩ 2 ᎏϩ ᎏ 2 4 y y Ϫ ϩ 1 4 6 ᎏϭ ᎏ y y Ϫ ϩ 3 1 ᎏ 44. ᎏ x ϩ 3 3 ᎏϩ ᎏ x ϩ 5 4 ᎏϭ ᎏ x 2 1 ϩ 2x 7 ϩ x ϩ 19 12 ᎏ 45. ᎏ 1 2 ᎏ ϩ ᎏ x Ϫ 1 1 ᎏϭ ᎏ x 2 2 Ϫ 1 ᎏ 46. ᎏ y 2 ϩ y 2 ᎏϭ ᎏ y ϩ y 3 ᎏϪ ᎏ y 2 ϩ 3 5y ϩ 6 ᎏ 47. ᎏ x x 2 ϩ Ϫ 2 x ᎏϭ ᎏ x 2 6 Ϫ 1 ᎏ 48. ᎏ x Ϫ 2 2 ᎏϪ ᎏ x ϩ 1 1 ᎏϭ ᎏ x 2 Ϫ 5 x Ϫ 2 ᎏ 49. a) Explique con sus propias palabras los pasos a seguir para resolver ecuaciones fraccionarias. b) Con el procedimiento de la parte (a), resuelva la ecuación ᎏ x Ϫ 1 1 ᎏϪ ᎏ x ϩ 1 1 ᎏϭ ᎏ x 2 3 Ϫ x 1 ᎏ. 50. Considere la ecuación ᎏ x x ϩ 2 3 ᎏϭ ᎏ x 2 ϩ 5 3 ᎏ. a) Explique por qué puede ser difícil resolverla multipli- cando en cruz. b) Determine la solución de la ecuación. 51. Considere los siguientes problemas: Simplifique: Resuelva: ᎏ 3 x ᎏ Ϫ ᎏ 4 x ᎏ ϩ ᎏ x Ϫ 1 1 ᎏ, ᎏ 3 x ᎏ Ϫ ᎏ 4 x ᎏ ϭ ᎏ x Ϫ 1 1 ᎏ a) Explique la diferencia entre uno y otro. b) Explique cómo resolvería cada problema para obtener la respuesta correcta. c) Determine la respuesta correcta de cada problema. g Resolución de ecuaciones radicales que contienen un radical Una ecuación radical es una ecuación que contiene una variable en un radicando. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones radicales: ͙x ෆ ϭ 4, ͙ 3 y ෆϩෆ 4 ෆ ϭ 9, ͙x ෆϪෆ 2 ෆ ϭ 4 ϩ ͙x ෆϩෆ 8 ෆ Para resolver ecuaciones radicales 1. Reescriba la ecuación de modo que el radical que contiene la variable quede so- lo en un lado de la ecuación. 2. Eleve cada lado de la ecuación a una potencia igual al índice del radical. 3. Agrupe y sume los términos semejantes. 4. Si la ecuación aún contiene un término con una variable en un radicando, repi- ta los pasos 1 a 3. 5. Despeje la variable en la ecuación resultante. 6. Verifique todas las soluciones en las ecuaciones originales, para evitar la pre- sencia de soluciones extrañas. Recuerde que una solución extraña es un número obtenido al resolver una ecuación, pero que no es solución de la ecuación original. Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento para resolver ecuaciones radicales. EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación ͙xෆ ϭ 6. Solución La raíz cuadrada que contiene a la variable se encuentra sola en un lado de la ecuación. Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. ͙xෆ ϭ 6 Verificación ͙x ෆ ϭ 6 (͙x ෆ) 2 ϭ (6) 2 ͙3ෆ6ෆ ϭ 6 x ϭ 36 6 ϭ 6 verdadero EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación ͙xෆϩෆ 4 ෆ Ϫ 6 ϭ 0. Solución ͙x ෆϩෆ 4 ෆ Ϫ 6 ϭ 0 ͙x ෆϩෆ 4 ෆ ϭ 6 Aísle el radical que contiene la variable. (͙x ෆϩෆ 4 ෆ) 2 ෆϭ 6 2 Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. x ϩ 4 ϭ 36 Ahora despeje la variable. x ϭ 32 Una verificación mostrará que 32 es la solución. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 181 5-4 ECUACIONES CON RADICALES g EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación ͙ 3 xෆ ϩ 4 ϭ 6. Solución Como 4 está fuera del radical, primero reste 4 a ambos lados de la ecuación para aislar al radical. ͙ 3 xෆ ϩ 4 ϭ 6 ͙ 3 xෆ ϭ 2 Ahora eleve al cubo ambos lados de la ecuación. (͙ 3 xෆ) 3 ϭ 2 3 x ϭ 8 Una verificación mostrará que 8 es la solución. EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación ͙2ෆxෆϪෆ 3 ෆ ϭ x Ϫ 3. Solución Como el radical ya está aislado, eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. (͙2 ෆx ෆϪෆ 3 ෆ) 2 ෆϭ (x Ϫ 3) 2 2x Ϫ 3 ϭ (x Ϫ 3)(x Ϫ 3) 2x Ϫ 3 ϭ x 2 Ϫ 6x ϩ 9 0 ϭ x 2 Ϫ 8x ϩ 12 Ahora factorice x 2 Ϫ 8x ϩ 12 ϭ 0 (x Ϫ 6)(x Ϫ 2) ϭ 0 x Ϫ 6 ϭ 0 o x Ϫ 2 ϭ 0 x ϭ 6 x ϭ 2 Verificación x ϭ 6 x ϭ 2 ͙2 ෆx ෆϪෆ 3 ෆ ϭ x Ϫ 3 ͙2 ෆxෆϪෆ 3 ෆ ϭ x Ϫ 3 ͙2 ෆ(6 ෆ)ෆϪෆ 3 ෆ ϭ 6 Ϫ 3 ͙2 ෆ(2 ෆ) ෆϪෆ 3 ෆ ϭ 2 Ϫ 3 ͙9 ෆ ϭ 3 ͙1ෆ ϭ Ϫ1 3 ϭ 3 verdadero 1 ϭ Ϫ1 falso Así, 6 es una solución, pero no es una solución de la ecuación. El 2 es una raíz extraña, pues 2 satisface la ecuación (͙2ෆxෆϪෆ 3 ෆ) 2 ϭ (x Ϫ 3) 2 , pero no la ecuación original, ͙2ෆx ෆϪෆ 3 ෆ ϭ x Ϫ 3. SUGERENCIAS ÚTILES No olvide verificar sus soluciones en la ecuación origi- nal. Recuerde que cuando usted eleva ambos lados de una ecuación a una potencia, puede introducir soluciones extrañas. Considere la ecuación x ϭ 2. Observe lo que ocurre cuando eleva al cuadra- do ambos lados de la ecuación. x ϭ 2 x 2 ϭ 2 2 x 2 ϭ 4 182 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g Observe que la ecuación x 2 ϭ 4 tiene dos soluciones, ϩ2 y Ϫ2. Como la ecuación original x ϭ2 sólo tiene una solución, 2, hemos introducido la solución extraña, Ϫ2. EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación 2x Ϫ 5͙x ෆ Ϫ 3 ϭ 0. Solución En primer lugar, escriba la ecuación con la raíz cuadrada que contiene a la variable, aislada, de un lado de la ecuación. 2x Ϫ 5͙x ෆ Ϫ 3 ϭ 0 Ϫ5͙x ෆ ϭ Ϫ2x ϩ 3 o 5͙xෆ ϭ 2x Ϫ 3 Ahora eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación: (5͙x ෆ) 2 ϭ (2x Ϫ 3) 2 25x ϭ (2x Ϫ 3)(2x Ϫ 3) 25x ϭ 4x 2 Ϫ 12x ϩ 9 0 ϭ 4x 2 Ϫ 37x ϩ 9 0 ϭ (4x Ϫ 1)(x Ϫ 9) 4x Ϫ 1 ϭ 0 o x Ϫ 9 ϭ 0 4x ϭ 1 x ϭ 9 x ϭ ᎏ 1 4 ᎏ Verificación x ϭ ᎏ 1 4 ᎏ x ϭ 9 2x Ϫ 5͙x ෆ Ϫ 3 ϭ 0 2x Ϫ 5͙x ෆ Ϫ 3 ϭ 0 2 ᎏ 1 4 ᎏ Ϫ 5 Ί ᎏ 1 4 ᎏ Ϫ 3 ϭ 0 2(9) Ϫ 5͙9 ෆ Ϫ 3 ϭ 0 ᎏ 1 2 ᎏ Ϫ 5 ᎏ 1 2 ᎏ Ϫ 3 ϭ 0 18 Ϫ 5(3) Ϫ 3 ϭ 0 Ϫ5 ϭ 0 falso 18 Ϫ 15 Ϫ 3 ϭ 0 0 ϭ 0 verdadero La solución es 9. El valor ᎏ 1 4 ᎏ es una solución extraña. Resolución de ecuaciones que contienen dos expresiones radicales Ahora analizaremos algunas ecuaciones que contienen dos expresiones radicales. EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación ͙4ෆx 2 ෆϩ ෆ1 ෆ6ෆ ϭ 2͙x 2 ෆϩ ෆ3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ. Solución Como los dos radicales aparecen en lados diferentes de la ecuación, eleve al cuadrado ambos lados de la misma. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 183 g (͙4 ෆx 2 ෆϩ ෆ1 ෆ6ෆ) 2 ϭ (2͙x 2 ෆϩ ෆ3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ) 2 4x 2 ϩ 16 ϭ 4(x 2 ϩ 3x Ϫ 2) 4x 2 ϩ 16 ϭ 4x 2 ϩ 12x Ϫ 8 16 ϭ 12x Ϫ 8 24 ϭ 12x 2 ϭ x Una verificación mostrará que 2 es la solución. EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación 3 ͙ 3 xෆϪෆ 2 ෆ ϭ ͙ 3 1ෆ7ෆx ෆϪෆ 1 ෆ4ෆ. Solución 3͙ 3 x ෆϪෆ 2 ෆ ϭ ͙ 3 1ෆ7ෆxෆϪෆ 1 ෆ4ෆ (3͙ 3 x ෆϪෆ 2 ෆ) 3 ϭ (͙ 3 1ෆ7ෆx ෆϪෆ 1 ෆ4ෆ) 3 Eleve al cubo ambos lados de la ecuación 27(x Ϫ 2) ϭ 17x Ϫ 14 27x Ϫ 54 ϭ 17x Ϫ 14 10x Ϫ 54 ϭ Ϫ14 10x ϭ 40 x ϭ 4 Una verificación mostrará que la solución es 4. Como las expresiones radicales se pueden representar mediante exponentes fraccio- narios, las ecuaciones radicales también se pueden dar con exponentes fracciona- rios. Por ejemplo, podemos escribir el ejemplo 7 como 3(x Ϫ 2) 1/3 ϭ (17x Ϫ 14) 1/3 . Para resolver esta ecuación, elevamos al cubo ambos lados de la ecuación, como lo hicimos en el ejemplo 7. [3(x Ϫ 2) 1/ 3 ] 3 ϭ [(17x Ϫ 14x) 1/ 3 ] 3 3 3 (x Ϫ 2) 1 ϭ (17x Ϫ 14) 1 27(x Ϫ 2) ϭ 17x Ϫ 14 Éste es el tercer paso de la resolución en el ejemplo 7. Si usted continúa resolvien- do el ejemplo, verá que x ϭ 4. Cuando una ecuación radical contiene dos términos radicales y un tercer tér- mino no radical, a veces necesitará elevar ambos lados de la ecuación a una deter- minada potencia dos veces para obtener la solución. En primer lugar, aísle un término radical. Después eleve ambos lados de la ecuación a una potencia dada. Esto eliminará uno de los radicales. A continuación, aísle el radical restante en un lado de la ecuación. Después, eleve ambos lados de la ecuación a la potencia dada una segunda vez. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 8. EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación ͙5 ෆxෆϪෆ 1 ෆ Ϫ ͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ ϭ 1. Solución Debe aislar un término radical en un lado de la ecuación. Comience sumando ͙3 ෆx ෆϪ ෆ2 ෆa ambos lados de la ecuación para aislar ͙5 ෆx ෆϪ ෆ1 ෆ. Después eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación y sume los términos semejantes. 184 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g ͙5ෆxෆϪෆ 1 ෆ ϭ 1 ϩ ͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ (͙5 ෆx ෆϪෆ 1 ෆ) 2 ϭ (1 ϩ ͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ) 2 5x Ϫ 1 ϭ (1 ϩ ͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ)(1 ϩ ͙3ෆxෆϪෆ 2 ෆ) 5x Ϫ 1 ϭ 1 ϩ ͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ ϩ ͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ) ϩ (͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ) 2 5x Ϫ 1 ϭ 1 ϩ 2͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ ϩ 3x Ϫ 2 5x Ϫ 1 ϭ 3x Ϫ 1 ϩ 2͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ Ahora aísle el término radical restante. Después de esto eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación y despeje x. 2x ϭ 2͙3 ෆxෆϪෆ 2 ෆ (2x) 2 ϭ (2͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ) 2 4x 2 ϭ 4(3x Ϫ 2) 4x 2 ϭ 12x Ϫ 8 4x 2 Ϫ 12x ϩ 8 ϭ 0 4(x 2 Ϫ 3x ϩ 2) ϭ 0 4(x Ϫ 2)(x Ϫ 1) ϭ 0 x Ϫ 2 ϭ 0 o x Ϫ 1 ϭ 0 x ϭ 2 x ϭ 1 Una verificación mostrará que 2 y 1 son soluciones de la ecuación. Interpretación gráfica de la solución de una ecuación radical En esta sección utilizaremos las gráficas de las funciones con raíz cuadrada como apoyo para explicar la resolución de una ecuación radical con una variable. Consideremos la ecuación ͙2 ෆxෆϪෆ 3 ෆ ϭ x Ϫ 3, resuelta en el ejemplo 4. La solución fue 6. Suponga que graficamos cada lado de la ecuación por separado. Para esto, escribimos las dos funciones y ϭ ͙2ෆxෆϪෆ3 ෆ y y ϭ x Ϫ 3. Ahora tenemos un sistema de ecuaciones. Graficamos ambas ecuaciones en los mismos ejes y determinamos el punto de inter- sección. Grafiquemos primero y ϭ ͙2ෆx ෆϪෆ 3 ෆ. Podemos determinar el dominio, calcu- lando dónde 2x Ϫ 3 Ն 0 (recuerde que el radicando de una raíz cuadrada debe ser mayor o igual que 0 para que la expresión represente un número real). 2x Ϫ 3 Ն 0 2x Ն 3 x Ն ᎏ 3 2 ᎏ Por lo tanto, el dominio de y ϭ͙2 ෆx ෆϪෆ3 ෆes {x ͉ x Ն ᎏ 3 2 ᎏ }. Adelante tenemos algunos valores para x y calculamos los valores correspondientes para y. La gráfica de y ϭ ͙2ෆx ෆϪෆ3 ෆaparece en la parte superior de la figura 1. La gráfica de y ϭx Ϫ3 es una línea recta. El dominio de la función es el conjunto de números reales. Enseguida seleccionamos algunos valores para x y determinamos los valores correspondientes para y. La gráfica de y ϭ x Ϫ 3 aparece en la parte inferior de la figura 1. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 185 g Observe que las gráficas se intersectan en (6, 3). La abscisa del par ordenado, 6, es la solución de la ecuación original. Esto concuerda con la solución obtenida en el ejemplo 4. Uso de la calculadora graficadora EJERCICIOS Utilice su calculadora para resolver las ecuaciones. Redondee las soluciones a décimas. 1. ͙xෆϩෆ 8 ෆ ϭ ͙3 ෆx ෆϩෆ 5 ෆ 2. ͙1ෆ0ෆxෆϪෆ 1 ෆ6ෆ Ϫ 15 ϭ 0 3. ͙ 3 5ෆx 2 ෆ Ϫ ෆ6 ෆ Ϫ 4 ϭ 0 4. ͙ 3 5ෆx 2 ෆ Ϫ ෆ1 ෆ0ෆ ϭ ͙ 3 4ෆx ෆϩෆ 9 ෆ5ෆ Aplicaciones de las ecuaciones radicales Ahora analizaremos algunas de las muchas aplicaciones de los radicales. EJEMPLO 9 Un poste telefónico forma un ángulo recto, o 90Њ, con el suelo (figura 2). La longitud, l, de un cable desde la altura a sobre el poste hasta un punto a una distancia b desde la base del poste se puede determinar mediante la fórmula l ϭ ͙a ෆ 2 ෆ ϩ ෆ b ෆ 2 ෆ. 186 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS FIGURA 1 FIGURA 2 y ϭ ͙2 ෆxෆϪෆ 3 ෆ y ϭ x Ϫ 3 x y ᎏ 3 2 ᎏ 0 2 1 ᎏ 7 2 ᎏ 2 6 3 x y 0 Ϫ3 2 Ϫ1 6 3 y ϭ ͙2 ෆx ෆϪෆ3ෆ l a b g Determine la longitud del cable que se conecta al poste a 40 pies sobre el sue- lo y está unido al suelo a 20 pies de la base del poste. Solución Si sustituye 40 en vez de a y 20 en vez de b en la fórmula, obtendrá l ϭ ͙aෆ 2 ෆ ϩ ෆ b ෆ 2 ෆ ϭ ͙(4 ෆ0ෆ) 2 ෆ ϩ ෆ( ෆ2ෆ0ෆ) 2 ෆ ϭ ͙1 ෆ6ෆ0ෆ0ෆ ϩ ෆ4 ෆ0ෆ0ෆ ϭ ͙2 ෆ0ෆ0ෆ0ෆ Ϸ 44.7 Así, el cable mide aproximadamente 44.7 pies. La fórmula utilizada en el ejemplo 9 es un caso particular del teorema de Pi- tágoras. La fórmula anterior se puede adaptar a muchas situaciones que implican triángulos rectángulos. EJEMPLO 10 El intervalo de tiempo que tarda un péndulo en realizar una oscila- ción completa es el periodo del péndulo. El periodo de un péndulo, T, en segundos, se puede determinar mediante la fórmula T ϭ 2 Ί ᎏ 3 L 2 ᎏ , donde L es la longitud del péndulo en pies. Determine el periodo de un péndulo si su longitud es de 4 pies. Solución Sustituya 4 en vez de L y 3.14 en vez de en la fórmula. Si tiene una calculadora que tenga la tecla utilícela para introducir el valor de . T ϭ 2 Ί ᎏ 3 L 2 ᎏ ϭ 2(3.14) Ί ᎏ 3 4 2 ᎏ ϭ 2(3.14)͙0 ෆ.1 ෆ2ෆ5ෆ Ϸ 2.22 Así, el periodo es aproximadamente 2.22 segundos. Si tiene un enorme reloj del abuelo con un péndulo de 4 pies, éste tardará aproximadamente 2.22 segundos en dar una oscilación completa. EJEMPLO 11 El área de un triángulo es A ϭ ᎏ 1 b ᎏ bh. Si no conoce la altura, pero cono- ce la longitud de los tres lados, puede utilizar la fórmula de Herón para determinar el área. A ϭ ͙Sෆ(S ෆ)ෆϪෆ a ෆ)( ෆSෆ Ϫ ෆ b ෆ)( ෆSෆ Ϫ ෆ c ෆ)ෆ donde a, b y c son las longitudes de los lados y S ϭ ᎏ a ϩ 2 b ϩ c ᎏ Utilice la fórmula de Herón para determinar el área de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 pulgadas. Solución El triángulo aparece en la figura 3. Sean a ϭ 3, b ϭ 4 y c ϭ 5. Primero determine el valor de S. S ϭ ᎏ 3 ϩ 4 2 ϩ 5 ᎏϭ ᎏ 1 2 2 ᎏ ϭ 6 SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 187 FIGURA 3 3 5 4 g Ahora determine el área. A ϭ ͙S ෆ(S ෆෆϪෆ a ෆ)( ෆSෆ Ϫ ෆ b ෆ)( ෆSෆ Ϫ ෆ c ෆ)ෆ ϭ ͙6 ෆ(6 ෆ Ϫ ෆ3 ෆ)( ෆ6ෆ Ϫ ෆ4 ෆ)( ෆ6ෆ Ϫ ෆ5 ෆ)ෆ ϭ ͙6 ෆ(3 ෆ)( ෆ2ෆ)( ෆ1ෆ)ෆ ϭ ͙3 ෆ6ෆ ϭ 6 El área del triángulo es de 6 pulgadas cuadradas. Despeje de una variable Si usted recibe una fórmula y se le pide despejar una variable en un radicando, siga el mismo procedimiento general utilizado para resolver una ecuación radical. Co- mience aislando la expresión radical. Después, eleve ambos lados de la ecuación a la misma potencia dada por el índice del radical. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 12(b). EJEMPLO 12 Una fórmula utilizada en estadística para determinar el error máximo de una estimación es E ϭ Z . a) Determine E si Z ϭ 1.28, ϭ 5, y n ϭ 36 b) Despeje n en esta ecuación. Solución a) E ϭ Z ϭ 1.28 ϭ 1.28 ᎏ 5 6 ᎏ Ϸ 1.07 b) Primero multiplique ambos lados de la ecuación por ͙nෆ para eliminar las frac- ciones. Después aísle ͙nෆ. Por último despeje n elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. E ϭ Z ͙n ෆ(E) ϭ Θ Z ͙nෆ ͙nෆ(E) ϭ Z ͙nෆ ϭ ᎏ Z E ᎏ (͙n ෆ) 2 ϭ ᎏ Z E ᎏ n ϭ Θ ᎏ Z E ᎏ 2 o n ϭ Z 2 E 2 ͙nෆ ͙nෆ 5 ͙3ෆ6ෆ ͙nෆ ͙nෆ 188 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS EJERCICIOS 5-4 (1-40) Resuelva y verifique su solución o soluciones. Si la ecuación no tiene soluciones reales, indíquelo. 1. ͙xෆ ϭ 5 2. ͙x ෆ ϭ 9 3. ͙x ෆ ϭ 2 4. ͙ 3 xෆ ϭ 4 5. ͙ 4 xෆϭ 3 6. ͙x ෆϪෆ 3 ෆ ϩ 5 ϭ 6 7. Ϫ͙2 ෆx ෆϩෆ 4 ෆ ϭ Ϫ6 8. ͙x ෆ ϩ 3 ϭ 5 9. ͙ 3 2ෆx ෆϩෆ 1 ෆ1ෆϭ 3 10. ͙ 3 6ෆx ෆϪෆ 3 ෆ ϭ 3 g 11. ͙ 3 3ෆxෆ ϩ 4 ϭ 7 12. 2͙4 ෆxෆϪෆ 3 ෆ ϭ 10 13. ͙2 ෆxෆϪෆ 3 ෆ ϭ 2͙3 ෆx ෆϪෆ 2 ෆ 14. ͙8 ෆxෆϪෆ 4 ෆ ϭ ͙7 ෆx ෆϩෆ 2 ෆ 15. ͙5 ෆxෆϩෆ 1 ෆ0ෆ ϭ Ϫ ͙3 ෆxෆϩෆ 8 ෆ 16. ͙ 4 xෆϩෆ 8 ෆ ϭ ͙ 4 2ෆxෆ 17. ͙ 3 6ෆx ෆϩෆ 1 ෆϭ ͙ 3 2ෆx ෆϩෆ 5 ෆ 18. ͙ 4 3ෆx ෆϩෆ 1 ෆ ϭ 2 19. ͙x 2 ෆ ϩ ෆ9 ෆxෆϩෆ 3 ෆϭ Ϫx 20. ͙x 2 ෆ ϩ ෆ3 ෆx ෆϩෆ 9 ෆ ϭ x 21. ͙m ෆ 2 ෆϩෆ 4 ෆmෆ Ϫ ෆ2 ෆ0ෆ ϭ m 22. ͙5ෆaෆ ϩ ෆ1 ෆ Ϫ 11 ϭ 0 23. ͙x 2 ෆ Ϫ ෆ2 ෆ ϭ x ϩ 4 24. ͙x 2 ෆ ϩ ෆ3 ෆ ϭ x ϩ 1 25. Ϫ͙x ෆ ϭ 2x Ϫ 1 26. ͙3 ෆxෆϩෆ 4 ෆ ϭ x Ϫ 2 27. ͙x ෆϩෆ 7 ෆ ϭ 2x Ϫ 1 28. ͙ 3 3ෆx ෆϪෆ 1 ෆ ϩ 4 ϭ 0 29. ͙ 3 x ෆϪෆ 1 ෆ2ෆ ϭ ͙ 3 5ෆx ෆϩෆ 1 ෆ6ෆ 30. ͙6ෆxෆϪෆ 1 ෆ ϭ 3x 31. ͙8 ෆbෆ Ϫ ෆ1 ෆ5ෆ ϩ b ϭ 10 32. ͙ 3 4ෆx ෆϪෆ 3 ෆ Ϫ 3 ϭ 0 33. (x ϩ 15) 1/2 Ϫ x ϩ 5 ϭ 0 34. (2x 2 ϩ 4x ϩ 6) 1/2 ϭ ͙2 ෆx 2 ෆ ϩ ෆ6 ෆ 35. (r ϩ 2) 1/3 ϭ (3r ϩ 8) 1/3 36. ͙x ෆϩෆ 5 ෆ ϭ Ϫ 3 37. (5x ϩ 18) 1/4 ϭ (9x ϩ 2) 1/4 38. (3x ϩ 6) 1/3 ϩ 3 ϭ 0 39. (x 2 ϩ 4x ϩ 4) 1/2 Ϫ x Ϫ 3 ϭ 0 40. (5a ϩ 2) 1/4 ϭ (2a ϩ 16) 1/4 (41-52) Resuelva. Tendrá que elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación dos veces para eliminar todos los ra- dicales (revise el ejemplo 8). 41. ͙2 ෆaෆ Ϫ ෆ3 ෆ ϭ ͙2 ෆaෆ Ϫ 1 42. ͙x ෆ ϩ 2 ϭ ͙x ෆϩෆ 1 ෆ6ෆ 43. ͙x ෆϩෆ 1 ෆ ϭ 2 Ϫ ͙x ෆ 44. ͙xෆϩෆ 3 ෆ ϭ ͙x ෆ Ϫ 3 45. ͙x ෆϩෆ 7 ෆ ϭ 5 Ϫ ͙x ෆϪෆ 8 46. ͙y ෆϩෆ 2 ෆϭ 1 ϩ ͙y ෆϪෆ 3 ෆ 47. ͙b ෆ Ϫ ෆ3 ෆ ϭ 4 Ϫ ͙b ෆ ϩ ෆ5 ෆ 48. ͙4 ෆxෆϪෆ 3 ෆ ϭ 2 ϩ ͙2ෆx ෆϪෆ 5 ෆ 49. ͙r ෆϩෆ 1 ෆ0ෆ ϩ 3 ϩ ͙r ෆϪෆ 5 ෆ ϭ 0 50. ͙y ෆϩෆ 1 ෆ ϭ ͙y ෆϩෆ 2 ෆ Ϫ 1 51. ͙2 ෆxෆϩෆ 4 ෆ Ϫ ͙x ෆϩෆ 3 ෆ Ϫ 1ϭ 0 52. 2 ϩ ͙x ෆϩෆ 8 ෆ ϭ ͙3 ෆx ෆϩෆ 1 ෆ2ෆ (53-60) Despeje la variable indicada en cada fórmula. 53. p ϭ ͙2 ෆvෆ, despeje v 54. l ϭ ͙4ෆrෆ, ϭ despeje r 55. v ϭ ͙2 ෆgෆhෆ, despeje g 56. v ϭ Ί ᎏ 2 m E ᎏ , despeje E 57. v ϭ Ί ᎏ F m R ᎏ , despeje F 58. ϭ Ί ᎏ a x 0 0 ᎏ , despeje x 0 59. x ϭ Ί ᎏ m k ᎏ V 0’ despeje m 60. T ϭ 2 Ί ᎏ 3 L 2 ᎏ , despeje L SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 189 (61-62) Utilice la fórmula dada en el ejemplo 9 para de- terminar la longitud del lado x. 61. 62. 12 pulg x x 5 pulg 2 pies 9 pies (63-65) Utilice la fórmula dada en el ejemplo 9 para res- ponder. 63. ¿Cuál es la longitud de cable que necesita un trabajador de la compañía telefónica para alcanzar la parte superior de un poste telefónico de 4 metros de altura, desde un punto que se encuentra a 1.5 metros de la base del poste? 64. La señora Song Tran coloca una escalera al lado de su ca- sa. La base de la escalera está a 2 metros de la casa y la es- calera reposa sobre la casa, a 6 metros sobre el suelo. ¿Cuál es la longitud de la escalera? 65. Un diamante oficial de béisbol es un cuadrado con 90 pies entre las bases. ¿A qué distancia está la segunda base del plato de home? 66. Si usted conoce el área de un cuadrado, la longitud de un lado se puede determinar mediante la fórmula s ϭ ͙A ෆ. Determine el lado de un cuadrado que tiene un área de 64 pulgadas cuadradas. 67. Determine el lado de un cuadrado que tiene un área de 60 metros cuadrados. 68. Si conoce el área de un círculo, puede determinar su radio mediante la fórmula r ϭ ͙A ෆ/ ෆ. Determine el radio de círculo que tiene un área de 20 pulgadas cuadradas. 69. Sobre la Tierra, la velocidad de un objeto, en pies por segun- do, después de caer libremente h pies se puede determinar mediante la fórmula V ϭ͙6 ෆ4 ෆh ෆ. Determine la velocidad de un zapato después de que éste ha caído 80 pies. g 70. Determine la velocidad de un objeto después de que éste ha caído 50 pies. 71. Determine el periodo del péndulo si su longitud es de 8 pies. Utilice T ϭ 2 ͙Lෆ / ෆ 3 ෆ2ෆ. Consulte el ejemplo 10. 72. Determine el periodo de un péndulo de 40 pies. 73. Determine el área de un triángulo si sus tres lados miden 6, 8 y 10 pulgadas, respectivamente. Utilice A ϭ ͙S ෆ(S ෆ Ϫ ෆa ෆ)( ෆSෆ Ϫ ෆb ෆ)( ෆSෆ Ϫ ෆc ෆ)ෆ. Consulte el ejemplo 11. 74. Determine el área de un triángulo si sus tres lados miden 4, 10 y 12 pulgadas. 75. Para cualquier planeta, su “año” es el tiempo que tarda el pla- neta en dar una vuelta alrededor del Sol. El número de días terrestres en el año de un planeta dado, N, se calcula median- te la fórmula N ϭ 0.2(͙R ෆ) 3 , donde R es la distancia media del planeta al Sol en milllones de kilómetros. Determine el número de días terrestres en el año del planeta Tierra, cuya distancia media al Sol es de 149.4 millones de kilómetros. 76. Determine el número de días terrestres en el año del plane- ta Mercurio, cuya distancia media al Sol es de 58 millones de kilómetros. 77. Cuando dos fuerzas, F 1 y F 2 , jalan formando un ángulo rec- to entre sí, como muestra la siguiente figura, podemos de- terminar la resultante o fuerza efectiva R, mediante la fórmula R ϭ ͙F ෆ 2 1 ෆϩෆ F ෆ 2 2 ෆ. Dos autos intentan sacar otro au- to del lodo, como se muestra a continuación. Si el auto A ejerce una fuerza de 600 libras y el auto B ejerce una fuerza de 800 libras, determine la fuerza resultante sobre el auto atascado en el lodo. 190 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS 79. Una fórmula utilizada en el estudio del movimiento ondu- latorio en aguas profundas es c ϭ ͙g ෆHෆ, donde c es la ve- locidad de onda, H es la profundidad del agua y g es la acelaración debida a la gravedad. Determine la velocidad de la onda si la profundidad del agua es de 10 pies. (Utili- ce g ϭ 32 pies/seg 2 ). 78. La velocidad de escape, o la velocidad necesaria para que una nave espacial escape del campo gravitacional de un planeta, se determina mediante la fórmula v e ϭ ͙2 ෆgෆRෆ, donde g es la fuerza de gravedad de planeta y R es el radio del planeta. Determine la velocidad de escape de la Tierra, en metros por segundo, donde g ϭ 9.75 metros por segundo al cuadrado y R ϭ 6,370,000 metros 80. La longitud de la diagonal de un sólido rectangular está dada por d ϭ ͙a ෆ 2 ෆϩෆ b ෆ 2 ෆϩෆ c ෆ 2 ෆ. Determine la longitud de la diagonal de una maleta 37 pulgadas de longitud, 15 pulgadas de ancho 9 pulgadas de profundidad. 81. Una fórmula que hemos mencionado y que será analizada con mayor detalle en breve es la fórmula cuadrática. x ϭ ᎏ Ϫb ± ͙ 2 b ෆ a 2 ෆϪෆ 4 ෆaෆcෆ ᎏ a) Determine x cuando a ϭ 1, b ϭ 0, c ϭ Ϫ4. b) Determine x cuando a ϭ 1, b ϭ 1, c ϭ Ϫ12. c) Determine x cuando a ϭ 2, b ϭ 5, c ϭ Ϫ12. d) Determine x cuando a ϭ Ϫ1, b ϭ 4, c ϭ 5. 82. Considere la ecuación ͙x ෆϩෆ 3 ෆ ϭ Ϫ ͙2 ෆx ෆϪෆ 1 ෆ. Analice la ecuación y diga si puede determinar sus solución. 83. Considere la ecuacion Ϫ͙x 2 ෆ ϭ ͙(Ϫ ෆx) ෆ 2 ෆ. Analice la ecuación y diga si puede determinar su solución. Explique su respuesta. 84. Considere la ecuación ͙ 3 x 2 ෆϭ Ϫ͙ 3 x 2 ෆ. Analice la ecuación y diga si puede determinar su solución. Explique. 85. Explique sin resolver la ecuación cómo puede determinar que ͙x ෆϪෆ 3 ෆ ϩ 3 ϭ 0 no tiene solución. 86. ¿Por qué es necesario verificar las soluciones de las ecua- ciones radicales? 87. a) Resuelva la ecuación ͙2ෆxෆϩෆ 1 ෆ2ෆ ϭ 4. b) Grafique y ϭ͙2 ෆx ෆϩෆ 1 ෆ2ෆ y y ϭ4 y determine la abscisa del punto de intersección. c) ¿Coincide la abscisa de la intersección con su respues- ta de la parte (a)? a c b d g 88. a) Resuelva la ecuación ͙2ෆxෆϪෆ 3 ෆ ϭ x Ϫ 3 b) Grafique y ϭ ͙2 ෆxෆϪෆ 3 ෆ y y ϭ x Ϫ 3 y determine la abscisa de la intersección. c) ¿Coincide la abscisa de la intersección con su respues- ta de la parte (a)? 89. a) Considere la ecuación ͙4 ෆx ෆϪ ෆ1 ෆ2 ෆ ϭx Ϫ3. Si igualamos cada lado de la ecuación a y, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. y ϭ ͙4ෆx ෆϪෆ 1 ෆ2ෆ y ϭ x Ϫ 3 A continuación mostramos las gráficas de las ecuaciones del sistema. A partir de la gráfica, determine los valores que parecen ser las soluciones de la ecuación ͙4 ෆx ෆϪෆ1 ෆ2ෆ ϭ x Ϫ 3. Explique cómo determinó su respuesta. b) Sustituya los valores determinados en la parte (a) en la ecuación original y determine si son soluciones a la ecuación. c) Resuelva la ecuación ͙4 ෆx ෆϪෆ1 ෆ2ෆ ϭx Ϫ3 en forma alge- braica y vea si su solución concuerda con los valores obtenidos en la parte (a). SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 191 90. A continuación se muestra la gráfica de la ecuación y ϭ ͙x ෆϪෆ 3 ෆ ϩ 2. a) ¿Cuál es el dominio de la función? b) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ͙xෆϪ ෆ 3 ෆ ϩ 2 ϭ 0? Enumere todas las soluciones reales. Explique cómo determinó su respuesta. 6 4 2 Ϫ2 Ϫ2 2 4 6 y x 91) Considere la ecuación resuelta en el ejemplo 5, 2x Ϫ5 ͙xෆ Ϫ 3 ϭ 0 a) Revise el ejemplo y determine cuántas soluciones rea- les y cuántas soluciones extrañas tiene la ecuación. b) Si graficamos y ϭ 2x Ϫ 5 ͙x ෆ Ϫ 3, ¿cuántas intersec- ciones con el eje x tiene la gráfica? ¿Dónde se presen- tan? Explique su respuesta. c) ¿Cuál es el dominio de la función? d) Gratifique y ϭ 2x Ϫ 5 ͙x ෆ Ϫ 3, trazando los puntos o utilizando una graficadora, y determine si es correcta su respuesta a la parte (b). 4 2 2 4 6 x y Actividad en grupo y problemas para pensar (1-7) Resuelva: 1. (x 2 ϩ 4x ϩ 4) 1/2 Ϫ x Ϫ 2 ϭ 0 2. ͙x 2 ෆ Ϫ ෆ4 ෆ ϭ (x 2 Ϫ 4) 1/2 3. ͙4ෆx ෆϩෆ 1 ෆ Ϫ ͙3 ෆxෆϪෆ 2 ෆ ϭ ͙x ෆϪෆ 5 ෆ 4. ϭ 3 5. ͙͙ෆx ෆෆϩෆෆ 2 ෆෆ5ෆෆ Ϫ ෆ͙ ෆxෆෆ ϭ 5 6. ͙͙ෆx ෆෆϩෆෆ 9 ෆෆ ϩ ෆ͙ ෆxෆෆ ϭ 3 7. (3p Ϫ 1) 2/3 ϭ (5p 2 Ϫ p) 1/3 8. a) Resuelva la ecuación ͙xෆϪෆ 4 ෆ ϭ ͙2 ෆx ෆϪෆ 3 ෆ. b) Muestre, mediante una gráfica, que la ecuación no tiene soluciones reales. x ϩ ͙x ෆϩෆ 3 ෆ x Ϫ ͙x ෆϩෆ 3 ෆ g (9-11) Despeje n en cada una de las siguientes ecuaciones. 9. z ϭ 10. z ϭ 11. Una fórmula utilizada para determinar la frecuencia de un resorte vibrante es f ϭ ᎏ 2 1 p ᎏ Ί ᎏ m k ᎏ ’ adonde f es la frecuencia de oscilación en ciclos por segundo (también llamados hertz), k es la constante de rigidez del resorte y m es la ma- sa del resorte. Determine la frecuencia resultante de un resorte con una cons- tante de rigidez de 105 dinas/cm y una masa de 1000 gramos. ᎏ x Ϫ ᎏ ͙n ෆ 192 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS 5-5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ecuaciones de la forma x ϭ a, a Ͼ 0 Cuando resolvemos una ecuación de la forma x ϭ a, a Ն 0, estamos encontran- do los valores que están exactamente a a unidades del 0 en la recta numérica. Para resolver este tipo de problemas podemos utilizar el siguiente procedimiento: Resolución de ecuaciones de la forma x ϭ a Si x ϭ a y a Ͼ 0, entonces x ϭ a o x ϭ Ϫa. EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación x ϭ 4. Solución Utilizando el procedimiento, se obtiene x ϭ 4 o x ϭ Ϫ4. El conjunto solución es {Ϫ 4, 4}. EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación x ϭ 0. Solución El único número real cuo valor absoluto es igual a 0 es 0. Así, el conjunto solución para x ϭ 0 es {0}. EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación x ϭ Ϫ2. Solución El valor absoluto de un número nunca es negativo, así que no existen soluciones a esta ecuación. El conjunto solución es л. EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 2w Ϫ 1 ϭ 5. Solución A primera vista no parece ser de la forma x ϭ a. Sin embargo, hagamos 2w Ϫ 1 ϭ x y 5 ϭ a, entonces verá la ecuación de esta forma. Buscamos los valores de w tales que 2w Ϫ 1 esté exactamente a 5 unidades del 0 en la recta numérica. Así, 2w Ϫ 1 debe ser igual a 5 o Ϫ5. 2w Ϫ 1 ϭ 5 o 2w Ϫ 1 ϭ Ϫ5 2w ϭ 6 2w ϭ Ϫ4 w ϭ 3 w ϭ Ϫ2 pЈ Ϫ p pq n Ί g Verificación w ϭ 3 2w Ϫ 1ϭ 5 w ϭ Ϫ2 2w Ϫ 1ϭ 5 2(3) Ϫ 1ϭ 5 2(Ϫ2) Ϫ 1ϭ 5 6 Ϫ 1ϭ 5 Ϫ4 Ϫ 1ϭ 5 5ϭ 5 Ϫ 5ϭ 5 5ϭ 5 verdadero 5 ϭ 5 verdadero Cada una de las solicitudes 3 y Ϫ2 hacen que 2w Ϫ 1 esté a 5 unidades del 0 en la recta numérica. El conjunto solución es {Ϫ2, 3}. EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación ᎏ 2 3 ᎏz Ϫ 6 ϩ 4 ϭ 6 Solución Comience restando 4 de ambos lados de la ecuación para dejar sólo el valor absoluto en un lado de la ecuación. Έ ᎏ 2 3 ᎏz Ϫ 6 Έ ϩ 4 ϭ 6 Έ ᎏ 2 3 ᎏz Ϫ 6 Έ ϭ 2 Ahora proceda como antes. Escriba los dos casos. 2 3 ᎏz Ϫ 6 ϭ 2 o ᎏ 2 3 ᎏz Ϫ 6 ϭ Ϫ2 ᎏ 2 3 ᎏz ϭ 8 ᎏ 2 3 ᎏz ϭ 4 2z ϭ 24 2z ϭ 12 z ϭ 12 z ϭ 6 El conjunto solución es {6,12}. Ecuaciones de la forma x ϭ y Ahora analicemos ecuaciones con valor absoluto en las que hay un valor absoluto en ambos lados de la ecuación. Para resolver ecuaciones de la forma, utilice el si- guiente procedimiento. Resolución de ecuación de la forma x ϭ y Si x ϭ y, entonces x ϭ y o x ϭ Ϫ y. Cuando resuelva una ecuación que contenga una expresión con valor absoluto en cada lado del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones deben ser iguales entre sí, o ser opuestas entre sí. EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación z ϩ 3 ϭ 2z Ϫ 7. Solución Si dejan que z ϩ3 sea x y 2z Ϫ7 sea y, esta ecuación es de la forma x ϭ y Utilizando el procedimiento dado anteriormente, obtendrá las dos ecuaciones. z ϩ 3 ϭ 2z Ϫ 7 o z ϩ 3 ϭ Ϫ (2z Ϫ 7) SECCIÓN 5-5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 193 g Ahora resuelva cada ecuación. z ϩ 3 ϭ 2z Ϫ 7 o z ϩ 3 ϭ Ϫ (2z Ϫ 7) 3 ϭ z Ϫ 7 z ϩ 3 ϭ Ϫ (2z Ϫ 7) 10 ϭ z 3z ϩ 3 ϭ 7 3z ϭ 4 z ϭ ᎏ 4 3 ᎏ Verificación z ϭ 10 z ϭ ᎏ 4 3 ᎏ z ϩ 3 ϭ 2z Ϫ 7 z ϩ 3 ϭ 2z Ϫ 7 10 ϩ 3 ϭ 20(10) Ϫ 7 Έ ᎏ 4 3 ᎏ ϩ 3 Έ ϭ Έ 2 ᎏ 4 3 ᎏ Ϫ 7 Έ 13 ϭ 20 Ϫ 7 Έ ᎏ 1 3 3 ᎏ Έ ϭ Έ ᎏ 8 3 ᎏ Ϫ ᎏ 2 3 1 ᎏ Έ 13 ϭ 13 Έ ᎏ 1 3 3 ᎏ Έ ϭ Έ Ϫᎏ 1 3 3 ᎏ Έ 13 ϭ 13 verdadero ᎏ 1 3 3 ᎏ ϭ ᎏ 1 3 3 ᎏ verdadero El conjunto solución es Ά 10, ᎏ 3 4 ᎏ · . EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación 4x Ϫ 7 ϭ 6 Ϫ 4x. Solución 4x Ϫ 7 ϭ 6 Ϫ 4x o 4x Ϫ 7 ϭ Ϫ(6 Ϫ 4x) 8x Ϫ 7 ϭ 6 4x Ϫ 7 ϭ Ϫ(6 ϩ 4x) 8x ϭ 13 Ϫ 7 ϭ Ϫ6 falso x ϭ ᎏ 1 8 3 ᎏ Como la ecuación 4x Ϫ 7 ϭ Ϫ(6 Ϫ 4x) es una proposición falsa, la ecuación con valor absoluto tiene una única solución. Una verificación mostrará que el conjunto solución es ͕ ᎏ 1 8 3 ᎏ ͖. Resumen de los procedimientos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto Para a Ͼ 0. Si x ϭ a, entonces x ϭ a o x ϭ Ϫ a. Si x Ͻ a, entonces Ϫ a Ͻ x Ͻ a. Si x Ͼ a, entonces x Ͻ Ϫ a o x Ͼ a. Si x ϭ y, entonces x ϭ y o x ϭ Ϫ y. 194 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g Encuentre el conjunto solución para cada ecuación. 1. x ϭ 5 2. y ϭ 7 3. x ϭ 12 4. x ϭ 0 5. x ϭ Ϫ 2 6. x ϩ 1 ϭ 5 7. x ϩ 5 ϭ 7 8. 3 ϩ y ϭ ᎏ 3 5 ᎏ 9. 2.4 ϩ 0.4x ϭ 4 10. 3x Ϫ 4 ϭ 0 11. 5 Ϫ 3x ϭ ᎏ 1 2 ᎏ 12. 3(y ϩ 4) ϭ 12 13. 4(x Ϫ 2) ϭ 18 14. Έ ᎏ x Ϫ 4 3 ᎏ Έ ϭ 5 15. Έ ᎏ 3z 6 ϩ 5 ᎏ Έ Ϫ 3 ϭ 6 16. Έ ᎏ x Ϫ 4 3 ᎏ Έ ϩ 4 ϭ 4 17. Έ ᎏ 5x 2 Ϫ 3 ᎏ Έ ϩ 2 ϭ 6 18. Έ ᎏ 2x 2 ϩ 3 ᎏ Έ ϩ 1 ϭ 4 SECCIÓN 5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES 195 EJERCICIOS 5-5 Encuentre el conjunto solución para cada ecuación. 19. 2x ϩ 1 ϭ 4x Ϫ 9 20. x Ϫ 1 ϭ 2x Ϫ 4 21. 6x ϭ 3x Ϫ 9 22. 4x Ϫ 2 ϭ 4x Ϫ 2 23. Έ ᎏ 3 4 ᎏx Ϫ 2 Έ ϭ Έ ᎏ 1 2 ᎏx ϩ 5 Έ 24. 3x Ϫ 5 ϭ 3x ϩ 5 25. Έ ᎏ 1 2 ᎏx ϩ ᎏ 3 5 ᎏ Έ ϭ Έ ᎏ 1 2 ᎏx Ϫ 1 Έ 26. Έ ᎏ 3 2 ᎏr ϩ 2 Έ ϭ Έ ᎏ 1 2 ᎏr Ϫ 3 Έ Determine para qué valores de x la ecuación será verdadera. Explique su respuesta. 27. x Ϫ 3 ϭ 3 Ϫ x 28. x Ϫ 3 ϭ Ϫ x Ϫ 3 29. x ϭ x 30. x ϩ 2 ϭ x ϩ 2 31. a) Explique cómo encontrar la solución de la ecuación ax ϩ b ϭ c. (Suponga que c Ͼ 0 y a 0). b) Despeje x en esta ecuación. Actividad en grupo y problemas para pensar 1. Determine todos los valores de x y y tales que x Ϫ y ϭ y Ϫ x. (2-4) Resuelva. Explique cómo determinó su respuesta. 2. x ϩ 1 ϭ 2x Ϫ 1 3. 3x ϩ 1 ϭ x Ϫ 3 4. x Ϫ 2 ϭ Ϫ(x Ϫ 2) (5-8) Resuelva, considerando los signos posibles para x. 5.x ϩ x ϭ 6 6. x ϩ Ϫx ϭ 6 7.x Ϫ x ϭ 6 8. x Ϫ x ϭ 6 5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES Dos cubos de distintos tamaños cumplen que la diferencia de sus volúmenes es igual a 13 veces la diferencia de sus lados. ¿Cuáles serán las dimensiones de los cubos si se sabe que las longitudes de sus lados son números enteros impares consecutivos? Solución Llamamos C 1 y C 2 a los dos cubos. Llamamos ᐉ 1 a la longitud del lado de C 1 y ᐉ 2 a la de C 2 . Entonces el volumen de C 1 es ᐉ 3 1 y el de C 2 es ᐉ 3 2 . Planteamos la ecuación: ᐉ 3 1 Ϫ ᐉ 3 2 ϭ 13 (ᐉ 1 Ϫ ᐉ 2 ) (1) Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación anterior: (ᐉ 1 Ϫ ᐉ 2 ) (ᐉ 2 1 ϩ ᐉ 1 ᐉ 2 ϩ ᐉ 2 2 ) ϭ 13 (ᐉ 1 Ϫ ᐉ 2 ) g Como los cubos son de distintos tamaños, entonces ᐉ 1 Ϫ ᐉ 2 0 y podemos dividir entre esta cantidad, con lo que obtenemos: (ᐉ 2 1 ϩ ᐉ 1 ᐉ 2 ϩ ᐉ 2 2 ) ϭ 13 (2) Ahora utilizaremos la hipótesis que nos falta por usar, es decir, que ᐉ 1 y ᐉ 2 son en- teros impares consecutivos: ᐉ 1 ϭ 2n ϩ 1 y ᐉ 2 ϭ 2n ϩ 3 sustituimos estos valores en (2) y simplificamos: (2n ϩ 1) 2 ϩ (2n ϩ 1) (2n ϩ 3) ϩ (2n ϩ 3) 2 ϭ 13 4n 2 ϩ 4n ϩ 1 ϩ 4n 2 ϩ 8n ϩ 3 ϩ 4n 2 ϩ 12n ϩ 9 ϭ 13 12n 2 ϩ 24n ϩ 13 ϭ 13 12n 2 ϩ 24n ϭ 0 n 2 ϩ 2n ϭ 0 n (n ϩ 2) ϭ 0 El último producto es igual a cero si: n ϭ 0 o n ϭ Ϫ 2 Si n ϭ 0, entonces ᐉ 1 ϭ 1 y ᐉ 2 ϭ 3 Si n ϭ Ϫ2, entonces ᐉ 1 y ᐉ 2 son negativos. Como son los lados de los cubos, no se puede dar este caso. Verificación: Sustituimos ᐉ 1 ϭ 1 y ᐉ 2 ϭ 3 en la ecuación (1): Lado izquierdo: ᐉ 3 1 Ϫ ᐉ 3 2 ϭ 1 3 Ϫ 3 3 ϭ Ϫ26 Lado derecho: 13 (ᐉ 1 Ϫ ᐉ 2 ) ϭ 13 (1 Ϫ 3) ϭ Ϫ26 Para poder realizar la factorización de polinomios donde aparecen términos eleva- dos al cubo, conviene recordar algunos productos: (a ϩ b) 3 ϭ a 3 ϩ 3a 2 b ϩ 3ab 2 ϩ b 3 (a Ϫ b) 3 ϭ a 3 Ϫ 3a 2 b ϩ 3ab 2 Ϫ b 3 (3) a 3 ϩ b 3 ϭ (a ϩ b) (a 2 Ϫ ab ϩ b 2 ) a 3 Ϫ b 3 ϭ (a Ϫ b) (a 2 ϩ ab ϩ b 2 ) EJEMPLO 1 FACTORICE 8x 3 ϩ 60x 2 ϩ 150x ϩ 125. Solución Para factorizar este polinomio, observe el grado. Como es de tercer grado, vea si se trata del cubo de un binomio: 8x 3 ϩ 60x 2 ϩ 150x ϩ 125 ϭ (2x) 3 ϩ 3 (20) x 2 ϩ 3 (50) x ϩ 125 ϭ (2x) 3 ϩ 3 (2x) 2 5 ϩ 3 (2x) 25 ϩ 125 ϭ (2x ϩ 5) 3 196 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g Verificación Desarrolle (2x ϩ 5) 3 : (2x ϩ 5) 3 ϭ (2x) 3 ϩ 3 (2x) 2 5 ϩ 3 (2x) (5) 2 ϩ 125 ϭ 8x 3 ϩ 60x 2 ϩ 150x ϩ 125 EJEMPLO 2 FACTORICE 36x 2 ϩ 16y 2 ϩ 48xy ϩ 12x ϩ 8y ϩ 1. Solución Como el polinomio es de segundo grado en ambas variables y además hay término en xy, en x y en y, veamos si se trata del cuadrado de un trinomio: 36x 2 ϩ 16y 2 ϩ 48xy ϩ 12x ϩ 8y ϩ 1 ϭ (6x) 2 ϩ (4y) 2 ϩ 2 (6x) (4y) ϩ 2 (6x) ϩ 2 (4y) ϩ 1 ϭ (6x ϩ 4y ϩ 1) 2 Verificación Desarrolle (6x ϩ 4y ϩ 1) 2 : (6x ϩ 4y ϩ 1) 2 ϭ (6x) 2 ϩ (4y) 2 ϩ (1) 2 ϩ 2 (6x) (4y) ϩ 2 (6x) (1) ϩ 2 (4y) (1) ϭ 36x 2 ϩ 16y 2 ϩ 1 ϩ 48xy ϩ 12x ϩ 8y ϭ 36x 2 ϩ 16y 2 ϩ 48xy ϩ 12x ϩ 8y ϩ 1 EJEMPLO 3 FACTORICE x 6 ϩ y 6 . Solución Observe que podemos identificar este polinomio como una suma de cubos: x 6 ϩ y 6 ϭ (x 2 ) 3 ϩ (y 2 ) 3 Ahora factorice esta suma de cubos: (x 2 ) 3 ϩ (y 2 ) 3 ϭ (x 2 ϩ y 2 ) ((x 2 ) 2 Ϫ x 2 y 2 ϩ (y 2 ) 2 ) ϭ (x 2 ϩ y 2 ) (x 4 Ϫ x 2 y 2 ϩ y 4 ) Verificación Efectúe el producto (x 2 ϩ y 2 ) (x 4 Ϫ x 2 y 2 ϩ y 4 ): (x 2 ϩ y 2 ) (x 4 Ϫ x 2 y 2 ϩ y 4 ) ϭ x 6 Ϫ x 4 y 2 ϩ x 2 y 4 ϩ x 4 y 2 Ϫ x 2 y 4 ϩ y 6 ϭ x 6 ϩ y 6 En el caso de polinomios de grado mayor o igual que 3 puede ser difícil encontrar una factorización; sin embargo, en ocasiones puede lograrse utilizando los produc- tos notables. Además de (3), los que se usan con más frecuencia son: a 4 Ϫ b 4 ϭ (a Ϫ b) (a 3 ϩ a 2 b ϩ ab 2 ϩ b 3 ) a 4 Ϫ b 4 ϭ (a ϩ b) (a 3 Ϫ a 2 b ϩ ab 2 Ϫ b 3 ) a 5 ϩ b 5 ϭ (a ϩ b) (a 4 Ϫ a 3 b ϩ a 2 b 2 Ϫ ab 3 ϩ b 4 ) a 5 Ϫ b 5 ϭ (a Ϫ b) (a 4 ϩ a 3 b ϩ a 2 b 2 ϩ ab 3 ϩ b 4 ) SECCIÓN 5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES 197 g EJEMPLO 1 FACTORICE z 4 ϩ 64. Solución Para poder factorizar este polinomio sume y reste el término 16x 2 , para obtener un trinomio cuadrado perfecto menos otro polinomio, así: z 4 ϩ 64 ϭ z 4 ϩ 64 ϩ 16z 2 Ϫ 16z 2 ϭ z 4 ϩ 16z 2 ϩ 64 Ϫ 16z 2 ϭ (z 2 ϩ 8) 2 Ϫ 16z 2 ϭ ((z 2 ϩ 8) Ϫ 4z) ((z 2 ϩ 8) ϩ 4z) ϭ (z 2 Ϫ 4z ϩ 8) (z 2 ϩ 4z ϩ 8) Verificación Efectuamos el producto (z 2 Ϫ 4z ϩ 8) (z 2 ϩ 4z ϩ 8): (z 2 Ϫ 4z ϩ 8) (z 2 ϩ 4z ϩ 8) ϭ z 4 ϩ 4z 3 ϩ 8z 2 Ϫ 4z 3 Ϫ 16z 2 Ϫ 32z ϩ 8z 2 ϩ 32z ϩ 64 ϭ z 4 ϩ 64 EJEMPLO 2 FACTORICE x 8 Ϫ y 8 . Solución Observe que es posible identificar este polinomio como una diferencia de cuadrados: x 8 Ϫ y 8 ϭ (x 4 ) 2 Ϫ (y 4 ) 2 Ahora factorice como el producto de la suma por la diferencia y observe que el procedimiento puede repetirse como uno de los factores. Así: (x 4 ) 2 Ϫ (y 4 ) 2 ϭ (x 4 Ϫ y 4 ) (x 4 ϩ y 4 ) ϭ ((x 2 Ϫ y 2 ) (x 2 ϩ y 2 )) (x 4 ϩ y 4 ) ϭ ((x Ϫ y) (x ϩ y)) (x 2 ϩ y 2 ) (x 4 ϩ y 4 ) Por tanto, x 8 Ϫ y 8 ϭ (x Ϫ y) (x ϩ y) (x 2 ϩ y 2 ) (x 4 ϩ y 4 ) Verificación Efectúe los productos obtenidos: ((x Ϫ y) (x ϩ y)) (x 2 ϩ y 2 ) (x 4 ϩ y 4 ) ϭ (x 2 Ϫ y 2 ) (x 2 ϩ y 2 ) (x 4 ϩ y 4 ) ϭ (x 4 Ϫ y 4 ) (x 4 ϩ y 4 ) ϭ x 8 Ϫ y 8 198 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g (1-32) Factorice las expresiones. 1. x 6 Ϫ y 6 2. z 4 ϩ z 2 ϩ 25 3. w 4 ϩ 4 4. a 10 Ϫ b 10 5. 6y 5 Ϫ 48y 2 6. y 3 Ϫ 27 7. z 9 ϩ 1 8. x 4 Ϫ 69x 2 ϩ 36 9. x 5 Ϫ 243 10. ((w Ϫ 2) 2 Ϫ 4) 3 11. y 8 Ϫ 256 12. w 6 Ϫ 64 13. x 3 Ϫ 6x 2 ϩ 12x Ϫ 8 14. 27x 3 ϩ 225x ϩ 135x 2 ϩ 125 15. z 4 ϩ 9z 3 ϩ 27z 2 ϩ 27z 16. 27a 3 Ϫ 216a 2 ϩ 576a Ϫ 512 17. 64w 3 ϩ 432w 2 ϩ 972w ϩ 729 18. 125r 3 Ϫ 64s 3 19. x 2 ϩ 49y 2 ϩ 14xy ϩ 6x ϩ 42y ϩ 9 20. 25x 2 ϩ 9y 2 ϩ 30xy ϩ 70x ϩ 42y ϩ 49 21. 8x 3 Ϫ 12x 2 y 2 ϩ 6xy 4 ϩ y 6 22. 36a 2 ϩ 81b 2 Ϫ 108ab ϩ 60a Ϫ 90b ϩ 25 23. a 4 ϩ 24a 3 ϩ 216a 2 ϩ 864a ϩ 1296 24. 9x 2 y 2 z 2 ϩ 54x 2 y 2 z ϩ 81x 2 y 2 25. x 2 ϩ y 2 ϩ 2xy Ϫ 1 26. x 3 y 3 ϩ 3x 3 y 2 ϩ 3x 3 y ϩ x 3 27. 125y 3 Ϫ 300y 2 ϩ 240y Ϫ 64 28. x 4 ϩ 4x 3 y ϩ 6x 2 y 2 ϩ 4xy 3 ϩ y 4 29. 16z 4 Ϫ 8z 3 ϩ 24z 2 Ϫ 8z ϩ 1 30. w 5 ϩ 10w 4 ϩ 40w 3 ϩ 80w 2 ϩ 80w ϩ 64 SECCIÓN 5-7 DESPEJE DE FÓRMULAS 199 EJERCICIOS 5-6 31. r 3 ϩ 3r 2 s ϩ 3r 2 t ϩ 6rst ϩ 3rs 2 ϩ 3rt 2 ϩ s 3 ϩ 3st 2 ϩ 3s 2 t ϩ t 3 32. x 2 Ϫ 2xy ϩ 2xz Ϫ 2xw ϩ y 2 Ϫ 2yz ϩ 2yw ϩ z 2 Ϫ 2zw ϩ w 2 33. El lado de un cubo mide 2 cm. El volumen de ese cubo más el volumen de otro cubo es igual a 12 por la suma del lado del primer cubo más el lado del segundo. Encuentre cuántos centímetros mide el lado del segundo cubo. 34. Dos cubos son tales que el lado de uno de ellos es 6 uni- dades mayor que el otro. Si la diferencia de las áreas de una de las caras de cada cubo es igual a 432, ¿cuál es la diferencia de los volúmenes de los cubos? 35. El volumen comprendido entre dos esferas concéntricas es igual a ᎏ 22 3 4 ᎏ cm 3 . ¿Cuál es el volumen de la esfera pe- queña, si se sabe que su radio es 2 cm menor que el radio de la grande? 36. Dos números enteros consecutivos satisfacen que la dife- rencia del cubo del mayor menos el cubo del menor es igual a 7. Encuentre dichos números. 37. Dos números enteros consecutivos satisfacen que la suma de sus cubos es igual a 1 más el doble del menor. Encuen- tre dichos números. 38. Dos números enteros consecutivos pares satisfacen que la diferencia del mayor elevado a la cuarta, menos el menor elevado también a la cuarta es igual a 80 veces la suma de 1 más el producto de la mitad del mayor por el menor. En- cuentre dichos números. 39. ¿Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del número 99 en dicho sistema sea 1020? 40. ¿Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del número 64 en dicho sistema sea 1,000,000? 5-7 DESPEJE DE FÓRMULAS Objetivo: Que el estudiante pueda aislar una variable. EJEMPLOS a) 2 B ϭ Ϫ 4a ϩ 6C Despejar a R/ a ϭ (2B Ϫ 6C)/(Ϫ4) o a ϭ (ϪB ϩ 3C)/2 b) ᎏ 3 ϩ C B ᎏϭ Ϫ 1 ϩ ᎏ 4 a ᎏ Despejar B R/ B ϭ C (Ϫ1 ϩ 4/a) Ϫ3 c) ᎏ 1 c ᎏ ϩ ᎏ b a ᎏ Ϫ 4 ϭ m Despejar b R/ b ϭ ᎏ m ϩ 4 a Ϫ 1/c ᎏ g d) p ϩ ᎏ q c ᎏ ϭ m ϩ n Despejar q R/ q ϭ c (m Ϫ n Ϫ p) e) (a ϩ b) C ϭ dm Ϫ C Despejar C R/ C ϭ ᎏ a ϩ d b m ϩ 1 ᎏ f) xy Ϫ 5 ϭ ay ϩ x Despejar y R/ y ϭ ᎏ x x ϩ Ϫ 5 a ᎏ g) ᎏ p p Ϫ ϩ m q ᎏϭ a Despejar p R/ p ϭ ᎏ a 1 q Ϫ ϩ a m ᎏ h) ᎏ k Ϫ 5 c m ϩ p ᎏϭ y ϩ x Despejar m R/ m ϭ ᎏ c (y ϩ x Ϫ ) 5 Ϫ k Ϫ p ᎏ o m ϭ i) 4 (3A ϩ a) Ϫ ᎏ 1 b ᎏ ϭ B Despejar a R/ a ϭ ᎏ 1 4 ᎏB Ϫ 3A ϩ ᎏ 4 1 b ᎏ j) 4 (3A ϩ a) Ϫ ᎏ 1 b ᎏ ϭ B Despejar b R/ b ϭ ᎏ ϪB ϩ 1 1 2A ϩ 4a ᎏ k) B ϩ ᎏ d c ᎏ (a Ϫ b) ϭ 2d Ϫ 1 Despejar b R/ b ϭ ᎏ Ϫ2 c d 2 ᎏϩ ᎏ d c ᎏ ϩ ᎏ B c d ᎏ ϩ a l) ᎏ K ϩ p n Ϫ m ᎏϭ 3m Despejar m R/ m ϭ ᎏ 3 K n ϩ ϩ p 1 ᎏ m) m n ᎏ Ϫ ᎏ d b ᎏ ϩ a ϭ Ϫᎏ d b ᎏ Despejar m R/ m ϭ Ϫ an n) ᎏ m n ᎏ Ϫ ᎏ d b ᎏ ϩ a ϭ Ϫᎏ d b ᎏ Despejar n R/ n ϭ Ϫᎏ m a ᎏ ñ) (A ϩ b) p Ϫ (B ϩ b) / c ϭ D Despejar p R/ p ϭ ᎏ D ϩ A (B ϩ ϩ B b)/c ᎏ o) (A ϩ b) p Ϫ (B ϩ b) / c ϭ D Despejar b R/ b ϭ ᎏ cD Ϫ pc A Ϫ cp 1 ϩ 〉 ᎏ p) (A ϩ b) p Ϫ (B ϩ b) / c ϭ D Despejar A R/ A ϭ q) (A ϩ b) p Ϫ (B ϩ b) / c ϭ D Despejar c R/ c ϭ ᎏ cD Ϫ cp A Ϫ cp 1 ϩ b ᎏ r) ᎏ (a ϩ m b) ᎏϩ ᎏ (A Ϫ n 〉) ᎏϭ ᎏ m 1 n ᎏ Despejar A R/ A ϭ ᎏ m 1 ᎏ Ϫ ᎏ n (a m ϩb) ᎏϪ B D ϩ (B ϩ b)/c Ϫ bp ᎏᎏᎏ p Ϫc (y ϩ x) ϩ k ϩ p ᎏᎏᎏ 5 200 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g En las elecciones para la sociedad de alumnos, Juan obtuvo 34% de los votos. Si vo- taron 850 alumnos, ¿cuántos votaron por él? Solución Llame x a los alumnos que votaron por Juan. 34% significa 34 de cada 100, así que igualamos las razones, ᎏ 1 3 0 4 0 ᎏ ϭ ᎏ 85 x 0 ᎏ Resuelva la ecuación: ᎏ 1 3 0 4 0 ᎏ ϭ ᎏ 85 x 0 ᎏ 850 ϫ 0.34 ϭ x 289 ϭ x Juan recibió 289 votos. El signo % significa por cada cien o centésimos. Un porcentaje puede expresarse como fracción o como decimal. Así, por ejemplo, 34% ϭ ᎏ 1 3 0 4 0 ᎏ ϭ 0.34 Observe, en el ejemplo anterior, que para encontrar el 34% de 850, multiplicamos 850 por 0.34; ésta es la manera más común de obtener la cantidad correspondiente a un porcentaje. EJEMPLO 1 Escriba ᎏ 3 4 ᎏ como un porcentaje. Solución Llame x al porcentaje buscado. Iguale las razones: ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 10 x 0 ᎏ Resuelva la ecuación: ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 10 x 0 ᎏ ᎏ 30 4 0 ᎏ ϭ x 75 ϭ x Entonces: ᎏ 3 4 ᎏ ϭ ᎏ 1 7 0 5 0 ᎏ ϭ 75% ←alumnos que votaron por él ᎏᎏᎏᎏ ←total de alumnos SECCIÓN 5-8 PORCENTAJES 201 5-8 PORCENTAJES g EJEMPLO 2 Encuentre el 27% de 79.65. Solución 79.65 ϫ 0.27 ϭ 21.5055 EJEMPLO 3 Encuentre el 140% de 63. Solución 63 ϫ 1.40 ϭ 88.2 EJEMPLO 4 Una ración de sardinas contiene 19 gramos de proteína y correspon- de al 40% de los requerimientos diarios de proteína de un adulto. ¿Cuáles son los requerimientos diarios de proteína de un adulto? Solución Llame x a la cantidad total de proteína requerida. Iguale las razones: ᎏ 1 4 0 0 0 ᎏ ϭ ᎏ 1 x 9 ᎏ Resuelva la ecuación ᎏ 1 4 0 0 0 ᎏ ϭ ᎏ 1 x 9 ᎏ 40x ϭ 19 ϫ 100 x ϭ ᎏ 19 4 0 0 0 ᎏ x ϭ 47.5 Los requerimientos diarios de proteína son de 47.5 gramos. Comprobación Si x ϭ 47.5, entonces: Lado izquierdo: ᎏ 1 4 0 0 0 ᎏ ϭ 0.40; lado derecho: ᎏ 1 x 9 ᎏ ϭ ᎏ 4 1 7 9 .5 ᎏϭ 0.40 EJEMPLO 5 ¿Qué porcentaje de 350 representa 14? Solución Llame x al porcentaje buscado. Iguale las razones: ᎏ 10 x 0 ᎏ ϭ ᎏ 3 1 5 4 0 ᎏ Resuelva la ecuación: ᎏ 10 x 0 ᎏ ϭ ᎏ 3 1 5 4 0 ᎏ x ϭ ᎏ 14 3 ϫ 50 100 ᎏ x ϭ 4 14 es el 4% de 350. Verificación 350 ϫ 0.04 ϭ 14 ← proteína de la sardina ᎏᎏᎏ ← total de proteína 202 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS g EJEMPLO 6 ¿De qué número es 78 el 65%? Solución Llame x al número que representa al 100%. Iguale las razones: ᎏ 1 6 0 5 0 ᎏ ϭ ᎏ 7 x 8 ᎏ Resuelva la ecuación: ᎏ 1 6 0 5 0 ᎏ ϭ ᎏ 7 x 8 ᎏ 65x ϭ 78(100) x ϭ ᎏ 78 6 0 5 0 ᎏ x ϭ 120 78 es el 65% de 120. Verificación 120 ϫ 0.65 ϭ 78 EJEMPLO 7 El precio del café aumentó de $100 a $120 el kilo. ¿Qué porcentaje aumentó? Solución Reste las dos cantidades para saber la cantidad que aumentó, es decir, $20. Llame x al porcentaje buscado y compare la cantidad que aumentó el precio con el precio original. ᎏ 1 2 0 0 0 ᎏ ϭ ᎏ 10 x 0 ᎏ ᎏ 2 1 0 0 0 0 0 ᎏϭ x 20 ϭ x Entonces, el porcentaje incrementado es 20%. EJEMPLO 8 ¿Cuántos litros de una solución ácida al 65% hay que añadir a 21 litros de una solución ácida al 35% para hacer una solución ácida al 40%? Solución Recuerde que si una solución de L litros tiene una concentración de P% de ácido, entonces hay: L ϫ ᎏ 1 P 00 ᎏ litros de ácido puro en la solución. Plantee dos ecuaciones, una para la cantidad de solución y otra para la canti- dad de ácido. Llame w a la cantidad de solución añadida. SECCIÓN 5-8 PORCENTAJES 203 g Como desea que la solución final tenga una concentración de 40%, tenemos: (21 ϩ w) (0.40) ϭ 21 (0.35) ϩ w (0.65) Resuelva la ecuación: (21 ϩ w) (0.40) ϭ 21 (0.35) ϩ w (0.65) 8.4 ϩ 0.4w ϭ 7.35 ϩ 0.65w 8.4 Ϫ 7.35 ϭ 0.65w Ϫ 0.4w 1.05 ϭ 0.25w ᎏ 1 0 . . 0 2 5 5 ᎏϭ w 4.2 ϭ w Entonces, hay que añadir 4.2 litros de solución ácida. Verificación Si w ϭ 4.2, entonces: Lado izquierdo: (21 ϩ w) (0.40) ϭ (21 ϩ 4.2) (0.40) ϭ 10.08 Lado derecho: 21 (0.35) ϩ w (0.65) ϭ 7.35 ϩ (4.2) (0.65) ϭ 7.35 ϩ 2.73 ϭ 10.08 204 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS Cantidad original Cantidad añadida Cantidad final Solución: 21 w 21 ϩ w Ácido: 21 (0.35) w (0.65) 21 (0.35) ϩ w (0.65) EJERCICIOS 5-8 (1-10) Escriba las siguientes fracciones como porcentajes. 1. ᎏ 1 2 ᎏ 2. ᎏ 3 5 ᎏ 3. 5.8 4. ᎏ 1 4 ᎏ 5. 0.07 6. ᎏ 2 3 0 ᎏ 7. ᎏ 5 4 ᎏ 8. ᎏ 1 5 ᎏ 9. ᎏ 7 8 ᎏ 10. ᎏ 2 1 1 2 ᎏ (11-34) Resuelva los siguientes ejercicios. 11. Encuentre el 15% de 134. 12. ¿Qué porcentaje de 225 representa 45? 13. ¿De qué número es 21 el 30%? 14. Encuentre el 42 ᎏ 1 2 ᎏ % de 2450. 15. ¿Qué porcentaje de 70 representa 28? 16. ¿De qué número es 55 el 110%? 17. Encuentre el 20% de 1658. 18. ¿Qué porcentaje de 15 representa 0.9? 19. ¿De qué número es 78 el 150%? 20. Encuentre el 173% de 325. 21. ¿Qué porcentaje de 32 representa 26? 22. ¿Qué porcentaje de 8 representa 12? 23. Encuentre el 12.5% de 63. 24. ¿Qué porcentaje de 150 representa 30? 25. ¿Qué porcentaje de 21 representa 63? 26. Encuentre el 2% de 52. 27. Encuentre el 204% de 4009. 28. ¿De qué número es 47 el 25%? 29. ¿Qué porcentaje de 43 representa 34.83? 30. Encuentre el 40% de 578. g 31. ¿De qué número es 14 el 4%? 32. ¿De qué número es 12 el 5%? 33. ¿Qué porcentaje de 75 representa 77.25? 34. ¿De qué número es 86 el 32%? 35. Si se diluyen 250 gramos de azúcar en 5 litros de agua, ¿cuántos litros de agua hay que añadir para que la mezcla contenga 8 gramos de azúcar por litro? 36. Una tienda departamental anuncia que aportará para la construcción de escuelas $3 por cada $150 que venda de cierto artículo. Si la aportación durante el primer mes fue de $1,000, ¿qué cantidad recibió por la venta del artículo mencionado? 37. La sociedad de ex alumnos de una escuela organizó el año pasado una posada a la que asistieron 420 personas. A la posada de este año aistieron 567. ¿En qué porcentaje au- mentó la asistencia? 38. ¿Cuántos litros de una solución ácida al 10% hay que aña- dir a 14 litros de una solución ácida al 40% para hacer una solución ácida al 30%? 39. En 400 ml de leche materna, 52 ml son proteína, grasa y azúcar, y el resto es agua. ¿Qué porcentaje es agua? 40. En 670 m 3 de aire hay 140.7 m 3 de oxígeno. ¿Qué por- centaje del aire es oxígeno? 41. Un capital de $5000 se invirtió al 12% de interés anual du- rante un año, y se reinvirtió, junto con los réditos obteni- dos, otro año al 14% de interés anual. ¿Cuál es el valor de la inversión al terminar el segundo año? 42. Dos recipientes contienen agua salada, uno al 30% y el otro al 3%. ¿Qué cantidad habrá que tomar de cada uno para obtener 60 ml de agua salada al 12%? 43. Un paquete de galletas muestra en el empaque la lista de ingredientes en la que dice que 7.63% es huevo. Si el pa- SECCIÓN 5-8 PORCENTAJES 205 quete pesa 225 gramos, ¿qué cantidad de huevo contiene? Si contiene 13.5 gramos de leche descremada, ¿qué por- centaje de leche contiene? 44. El peso del vapor de agua es el 62.5% del peso del aire. Si 1 litro de vapor de agua pesa 0.80625 gramos. ¿Cuánto pesa un litro de aire? 45. El hidrógeno pesa el 6.9% del peso del aire. ¿Qué canti- dad de hidrógeno hay en un globo de 150 m 3 de capaci- dad, si el decímetro cúbico de aire pesa 1.3 gramos? 46. Una tela de 90 cm de ancho encoge 10% de largo y ancho al lavarla. ¿Cuánto debe comprarse para que una vez lava- da el área sea de 21.87m 2 ? 47. Si el 7% del agua de mar es sal, ¿cuántos gramos de agua hay que evaporar para obtener un kilo de sal? 48. Una inversión inicial de $7400 se convirtió en $9000 al cabo de un año. ¿Cuál era la tasa de interés a la que estu- vo invertida? 49. Si se combinan una onza troy de plata y una onza de pla- ta libertad, ¿qué ley tendrá la mezcla, si se sabe que la on- za troy tiene ley 0.925 y la onza libertad tiene ley 0.999? La ley indica el porcentaje de plata pura que contiene la moneda. Por ejemplo, en una onza troy el 92.5% es plata pura. 50. Al llegar a la tienda, Lucía observa que su perfume favo- rito tiene una etiqueta que dice: precio $165,10% de des- cuento más IVA. a) ¿Cuánto debe pagar por el perfume? b) Si el precio normal es $165 más IVA, ¿cuánto ahorra- rá si decide comprarlo? 51. Un terreno de 160,000 m 2 está sembrado de trigo, avena y sorgo. El 60% está sembrado de trigo, el 25% de avena y el resto de sorgo. ¿Cuántos metros cuadrados están sem- brados de cada cereal? g g 207 CAPÍ TULO 6 Progresiones geométricas y aritméticas 6-1 SUCESIONES 6-2 SUMAS DE SUCESIONES FINITAS 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS 6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA T E M A R I O Sucesiones y series ¿Puede decir cuál número sigue en esta sucesión? 1, 4, 7, 10, . . . Si suponemos que continúa el comportamiento que se emplea para obtener un término nuevo a partir del an- terior, es claro que el siguiente término es 13; cada térmi- no, después del primero, se obtiene sumando 3 al término anterior. Éste es un ejemplo de una sucesión aritmética. Veamos una sucesión interesante, cuyos términos se determinan como sigue. Se toma un círculo y se ubican 2 puntos en su periferia, después 3, después 4 y se continúa de este modo, cada vez con un punto más que antes. Se unen los puntos con rectas, de todas las maneras posibles, y se cuenta la cantidad de regiones no traslapadas forma- das dentro del círculo. El número de las regiones que así se forman son los términos de una sucesión, y los cuatro primeros términos son 2, 4, 8 y 16, como se muestra en la figura anterior. Después del primer término, 2, cada uno de los si- guientes se puede obtener multiplicando por 2 el anterior. ¿Continúa este comportamiento? ¿Es 2(16) ϭ 32 el si- guiente término? Trace un círculo con 6 puntos y únalos de todas las maneras posibles. Cuente la cantidad de re- giones no traslapadas. ¿Fueron 32? Si no es así, ¿cuál es su reacción? 2 puntos 3 puntos 2 regiones 4 regiones 4 puntos 5 puntos 8 regiones 16 regiones g Se puede emplear la misma ecuación para definir una variedad de funciones, cam- biando el dominio. Por ejemplo, a continuación vemos las gráficas de tres funcio- nes, y todos los valores de sus rangos están expresados por la ecuación y ϭ x 2 , para los dominios indicados. 208 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS 6-1 SUCESIONES El tipo de función que estudiaremos en este capítulo tiene como ejemplo la gráfica anterior, la de la derecha, en la cual el dominio está formado por los enteros consecutivos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. A este tipo de función se le llama sucesión. DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Una sucesión es una función, cuyo dominio es un conjunto de enteros positivos consecutivos. En lugar de usar la variable x, lo normal es emplear letras como n, k o i para la variable del dominio de una sucesión. Con frecuencia representaremos a las su- cesiones (funciones) mediante letras minúsculas, como a, y los valores del rango me- diante a n , que también se llaman términos de la sucesión. Muchas veces, las sucesiones se especifican enunciando su término general o enésimo término. Así, el término general de la sucesión, que antes era y ϭ x 2 , se vuelve a n ϭ n 2 . EJEMPLO 1 Determine los valores del rango de la sucesión definida por a n ϭ ᎏ 1 n ᎏ para el dominio {1, 2, 3, 4, 5} y grafíquelos. Solución Los valores en el rango y la gráfica son los siguientes: a 1 ϭ ᎏ 1 1 ᎏ ϭ 1 a 2 ϭ ᎏ 1 2 ᎏ a 3 ϭᎏ 1 3 ᎏ a 4 ϭᎏ 1 4 ᎏ a 5 ϭᎏ 1 5 ᎏ a n se lee “a sub ene”, “a subíndice ene” o “a ene”, y tiene el mismo significado que la notación funcional a(n), que es “a de ene”. Éste es un ejemplo de una sucesión finita, porque el dominio es finito. Esto es, el dominio es un conjunto de enteros positivos que tiene un último elemento. g EJEMPLO 2 Haga una lista de los seis primeros términos de la sucesión represen- tada por b k ϭ ᎏ (Ϫ k 2 1) k ᎏ. Solución Emplee el enésimo término dado y sea k ϭ 1, 2, 3, 4, 5 y 6, respectiva- mente. b 1 ϭ ᎏ (Ϫ 1 1 2 ) 1 ᎏϭ Ϫ1 b 4 ϭ ᎏ (Ϫ 4 2 1) 4 ᎏϭ ᎏ 1 1 6 ᎏ b 2 ϭ ᎏ (Ϫ 2 2 1) 2 ᎏϭ ᎏ 1 4 ᎏ b 5 ϭ ᎏ (Ϫ 5 1 2 ) 5 ᎏϭ Ϫᎏ 2 1 5 ᎏ b 3 ϭ ᎏ (Ϫ 3 1 2 ) 3 ᎏϭ Ϫᎏ 1 9 ᎏ b 6 ϭ ᎏ (Ϫ 6 1 2 ) 6 ᎏϭ ᎏ 3 1 6 ᎏ PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada. 1. a n ϭ 2n ϩ 1 2. a n ϭ Ϫ2n 3. a n ϭ Ϫ2n ϩ 2 4. b k ϭ ᎏ (Ϫ k 1) k ᎏ 5. b k ϭ ᎏ k 1 2 ᎏ 6. b k ϭ ᎏ k(k Ϫ ϩ 3 1) ᎏ 7. c n ϭ ᎏ n(2n 3 Ϫ 1) ᎏ 8. c n ϭ ᎏ 1 3 ᎏ n 9. c n ϭ 1 Ϫ(Ϫ1) n A veces una sucesión se determina mediante descripción verbal. Si por ejemplo, se pide la sucesión creciente de enteros impares que comienza con Ϫ3, lo anterior implica la sucesión infinita cuyos primeros términos son Ϫ3, Ϫ1, 1, . . . También se puede definir una sucesión presentando una lista de los primeros términos, en la que quizá se incluya el término general. La sucesión anterior se pue- de representar por Ϫ3, Ϫ1, 1, . . . , 2n Ϫ5, . . . EJEMPLO 3 Determine el décimo término de la sucesión Ϫ3, 4, ᎏ 5 3 ᎏ, . . . , , ᎏ 2 n n ϩ Ϫ 2 3 ᎏ, . . . Solución Ya que el primer término, Ϫ3, se obtiene haciendo n ϭ 1 en el término general ᎏ 2 n n ϩ Ϫ 2 3 ᎏ, el décimo término es a 10 ϭ ᎏ 2( 1 1 0 0) ϩ Ϫ 2 3 ᎏϭ ᎏ 1 1 2 7 ᎏ EJEMPLO 4 Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión representada por a n ϭ 1 ϩ ᎏ 1 n ᎏ n . Cuando sea necesario, redondee a dos decimales. SECCIÓN 6-1 SUCESIONES 209 Éste es un ejemplo de una sucesión infinita, porque el dominio es infinito. Esto es, el dominio está formado por todos los enteros positivos. g Solución a 1 ϭ 1 ϩ ᎏ 1 1 ᎏ 1 ϭ 2 a 2 ϭ 1 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ 2 ϭ ᎏ 3 2 ᎏ 2 ϭ ᎏ 9 4 ᎏ ϭ 2.25 a 3 ϭ 1 ϩ ᎏ 1 3 ᎏ 3 ϭ ᎏ 4 3 ᎏ 3 ϭ ᎏ 6 2 4 7 ᎏ ϭ 2.37 a 4 ϭ 1 ϩ ᎏ 1 4 ᎏ 4 ϭ ᎏ 5 4 ᎏ 4 ϭ ᎏ 6 2 2 5 5 6 ᎏ ϭ 2.44 Los términos de la sucesión del ejemplo 4 se hacen más y más grandes, pero el au- mento de uno a otro se hace más y más pequeño. Esto es, las diferencias entre los términos sucesivos son decrecientes: a 2 Ϫ a 1 ϭ 0.25 a 3 Ϫ a 2 ϭ 0.12 a 4 Ϫ a 3 ϭ 0.07 Si se calcularan más términos de a n ϭ 1 ϩᎏ 1 n ᎏ n , vería que aunque siguen creciendo los términos, la cantidad de incremento para cada nuevo término sigue disminu- yendo. Sucede que, independientemente de lo grande que sea n, el valor de 1 ϩ ᎏ 1 n ᎏ n nunca es mayor que 2.72. De hecho, mientras mayor sea n, 1 ϩ ᎏ 1 n ᎏ n se acerca más y más al valor irracional e ϭ 2.71828. Las sucesiones también se pueden definir recursivamente, lo cual significa que se da (como dato) el primer término, y el enésimo término, a n , se define en fun- ción del anterior, a nϪ1 . Veremos esto en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5 Sea a n el enésimo término de una sucesión definida recursivamente mediante a 1 ϭ 6 a n ϭ 3a nϪ1 Ϫ 7 para n Ͼ 1 Determine los cinco primeros términos de esta sucesión. Solución a 1 ϭ 6 a 2 ϭ 3a 1 Ϫ 7 ϭ 3 · 6 Ϫ 7 ϭ 11 a 3 ϭ 3a 2 Ϫ 7 ϭ 3 · 11 Ϫ 7 ϭ 26 a 4 ϭ 3a 3 Ϫ 7 ϭ 3 · 26 Ϫ 7 ϭ 71 a 5 ϭ 3a 4 Ϫ 7 ϭ 3 · 71 Ϫ 7 ϭ 206 210 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS Con una calculadora compruebe los valores de la siguiente tabla, con una precisión de cuatro decimales. Observe que cada término en una sucesión recursiva, excepto el primero, se obtiene a partir del término anterior de acuerdo con una regla especificada. Así, a menos que se indique otra cosa, una sucesión recursiva es una sucesión infinita. n 10 50 100 500 1000 5000 10,000 a n ϭ 1 ϩ ᎏ 1 n ᎏ n 2.5937 2.6916 2.7048 2.7156 2.7169 2.7180 2.7181 g El dominio de la sucesión de cada ejercicio está formado por los enteros 1, 2, 3, 4 y 5. Escriba los valores correspondientes del rango. 1. a n ϭ 2n Ϫ 1 2. a n ϭ 10 Ϫ n 2 3. a k ϭ (Ϫ 1) k 4. b k ϭ Ϫᎏ 6 k ᎏ 5. b i ϭ 8Ϫ i 6. b i ϭ ᎏ 1 2 ᎏ i Ϫ 3 Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión definida por la fórmula en cada ejercicio. 7. c k ϭ (Ϫ 1) k k 2 8. c j ϭ 3 ᎏ 1 1 0 ᎏ j Ϫ 1 9. c j ϭ 3 ᎏ 1 1 0 ᎏ j 10. a j ϭ 3 ᎏ 1 1 0 ᎏ j ϩ 1 11. a j ϭ 3 ᎏ 1 1 0 ᎏ 2j 12. a n ϭ ᎏ (Ϫ n 1 ϩ ) n 3 ϩ 1 ᎏ 13. c n ϭ ᎏ 1 n ᎏ Ϫ ᎏ n ϩ 1 1 ᎏ 14. a n ϭ ᎏ n n 2 ϩ Ϫ 2 4 ᎏ 15. a k ϭ (2k Ϫ 10) 2 16. a k ϭ 1 ϩ (Ϫ1) k 17. a n ϭϪ2 ϩ(n Ϫ1) (3) 18. a n ϭ a 1 ϩ (n Ϫ 1) (d) 19. b i ϭ ᎏ i i Ϫ ϩ 1 1 ᎏ 20. b i ϭ 64 1/i 21. b n ϭ 1 ϩ ᎏ 1 n ᎏ n Ϫ 1 22. u n ϭ ᎏ 2 1 n ᎏ 23. u n ϭ Ϫ2 ᎏ 3 4 ᎏ n Ϫ 1 24. u k ϭ a 1 r k Ϫ 1 25. x k ϭ ᎏ 2 k k ᎏ 26. x n ϭ ᎏ (Ϫ n 1) n ᎏϩ n 27. x k ϭ ᎏ k ϩ k 1 ᎏϪ ᎏ k ϩ k 1 ᎏ 28. y n ϭ 1 ϩ ᎏ n ϩ 1 1 ᎏ n 29. y n ϭ 4 30. y n ϭ ᎏ (n ϩ 1) n (n ϩ 2) ᎏ 31. Calcule el sexto término de 1, 2, 5, . . . , ᎏ 1 2 ᎏ (1 ϩ3 n Ϫ1 ), . . . 32. Calcule el noveno y décimo términos de 0, 4, 0, . . . , ᎏ 2 n ϩ n (Ϫ2) n ᎏ, . . . 33. Calcule el séptimo término de a k ϭ 3(0.1) k Ϫ 1 34. Calcule el vigésimo término de a n ϭ (Ϫ1) n Ϫ 1 35. Calcule el duodécimo término de a i ϭ i 36. Calcule el duodécimo término de a i ϭ (i Ϫ 1) 2 37. Calcule el duodécimo término de a i ϭ (1 Ϫ i) 3 38. Calcule el centésimo término de a n ϭ ᎏ n 2 ϩ n ϩ 5n 1 ϩ 4 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ SECCIÓN 6-1 SUCESIONES 211 EJERCICIOS 6-1 39. Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión cre- ciente de enteros pares que comienza con 4. 40. Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión decre- ciente de enteros impares que comienza con 3. 41. Escriba los cinco primeros múltiplos de 5 y deduzca la fórmula del enésimo término. 42. Escriba las cinco primeras potencias de 5 y deduzca la fórmula del enésimo término. 43. Escriba las cinco primeras potencias de Ϫ5 y deduzca la fórmula del enésimo término. 44. Escriba los cinco primeros términos de la sucesión de re- cíprocos de los enteros negativos y deduzca la fórmula del enésimo término. 45. A los números 1, 3, 6 y 10 se les llama números triangu- lares, porque corresponden a la cantidad de puntos en los arreglos triangulares que vemos abajo. Determine los si- guientes tres números triangulares. 46. Cuando una inversión devenga interés simple, quiere decir que sólo gana interés el capital original. Por ejemplo, si se invierten P dólares en un banco que paga interés simple a la tasa anual de r por ciento, entonces el interés en el primer año es Pr, y el depósito en el banco al final del primer año es P ϩ Pr. Para el segundo año, el interés es nuevamente Pr; el depósito ahora sería (P ϩ Pr) ϩ Pr ϭ P ϩ 2Pr. a) ¿Cuál es la cantidad disponible después de n años? b) ¿Cuál es la cantidad en el banco si una inversión de $750 ha estado ganando interés simple durante 5 años a la tasa anual de 12%? c) Si la cantidad en el banco es $5395 después de 12 años, ¿cuál fue la inversión original, P, si ha estado ganando interés simple a la tasa anual de 12 ᎏ 1 2 ᎏ %? 47. Determine los ocho primeros términos de la sucesión definida recursivamente por a 1 ϭ 12 y a n ϭ Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ a n Ϫ 1 ϩ 2 para n Ͼ 1. 48. Determine los seis primeros términos de la sucesión defi- nida recursivamente mediante a 1 ϭ 6 y a n ϭ ᎏ a n 3 Ϫ 1 ᎏ para n Ͼ 1. 49. Escriba los ocho primeros términos de a n ϭᎏ 1 ϩ 2 ( i Ϫ n Ϫ 1 1 ) n ϩ1 ᎏ. g Deduzca una fórmula para el enésimo número triangular. (Sugerencia: Revise el ejercicio 45 de la sección 6-1 y la cantidad adicional de puntos en cada figura nueva). Cite el concepto de función y explique lo que quiere decir sumar dos sucesiones y multiplicar dos sucesiones. Cuando se especifica una sucesión mediante una función de la forma a n ϭ f(n), po- demos estudiar el comportamiento de ella graficando la función. Las variables RANGE se deben ajustar de tal modo que los n enteros correspondan a píxeles de la pantalla, y el MODE se debe poner en DOT o en DISC. Con ello se tendrán to- davía más puntos que los que corresponden a los enteros, naturalmente, y en espe- cial si usted no desea una n muy grande. Sin embargo, si su calculadora permite el empleo de operadores relacionales (consulte su manual), al graficar la función y ϭ f(x)*(x-IPart x ϭ 0) tan sólo se graficarán los puntos en los que x es entero. (Nota: IPart ϭ “parte entera de”). Con esta técnica, si su calculadora la permite, calcule los primeros 10 térmi- nos de las sucesiones de los ejercicios 1 al 5. En su gráfica haga la diferencia de los puntos de la sucesión y los demás puntos graficados, si es que los hay. 1. a n ϭ 2n Ϫ 1 2. a n ϭ n 2 Ϫ n ϩ 2 3. a n ϭ (2n Ϫ 1) ͞ (n ϩ 1) 4. a n ϭ (Ϫ 1) n n 2 5. a n ϭ (1 ϩ 1/n) n 6. La sucesión de los números de Fibonacci se puede definir recursivamente mediante a n ϭ a n Ϫ 1 ϩ a n Ϫ 2 , a 1 ϭ a 2 ϭ 1. Por consiguiente, los 5 primeros términos son 1, 1, 2, 3 y 5. a. Determine los primeros 20 números de Fibonacci. b. Los términos de la sucesión también se pueden definir como a n ϭ (1͙͞5 ෆ) ((1 ϩ ͙5ෆ)͞2) n Ϫ (1͙͞5 ෆ) ((1 Ϫ ͙5ෆ)͞2 n Compruebe lo anterior para n ϭ 18, 19 y 20. c. Determine la sucesión de cocientes q n ϭ a n ϩ 1 /a n de los números de Fibona- cci hasta n ϭ10, redondeando a cuatro decimales cuando sea necesario. Los cocientes q n se acercan más y más a un número llamado razón dorada. ¿Cuál es ese número, con precisión de un milésimo? 212 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS 50. a. Escriba los siete primeros términos de a n ϭ n!, donde n!, se lee “ene factorial” y está definido por n! ϭ n(n Ϫ 1) (n Ϫ 2) · · · 3 · 2 · 1 b. Si a n ϭ ᎏ ( ( 2 n n !) ) 2 ! ᎏ, demuestre que ϭ 2ᎏ 2 n n ϩ ϩ 1 1 ᎏ. a n ϩ 1 a n 51. Escriba los primeros cuatro términos de a n ϭ 3 · 5 · · · (2n Ϫ 1) (2n ϩ 1) ᎏᎏᎏ 2 · 4 · · · (2n Ϫ 2) (2n) RETO REDACCIÓN EJERCICIOS PARA CALCULADORA GRAFICADORA g ¿Cuánto tardaría el lector en sumar los enteros del 1 al 1000? He aquí un método rá- pido. Haga una lista de la sucesión que contenga los primeros y los últimos térmi- nos: 1, 2, 3, . . ., 998, 999, 1000 Sumemos por pares, el primero más el último, el segundo más el penúltimo, y así sucesivamente. SECCIÓN 6-2 SUMAS DE SUCESIONES FINITAS 213 6-2 SUMAS DE SUCESIONES FINITAS Se dice que Karl Friedrich Gauss (1777-1855) descubrió cómo calcular estas sumas cuando tenía 10 años. Como hay 500 pares de esos que se suman, el total es 500 (1001) ϭ 500,500 En cualquier sucesión finita podemos sumar todos sus términos y decir que se calcu- la la suma de la sucesión. Esta suma de una sucesión se llama serie. Por ejemplo, la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 11 se puede asociar con la serie 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ 7 ϩ 9 ϩ 11 La suma de los términos de esta serie, se puede calcular con facilidad y el resulta- do es 36. Otro ejemplo: la sucesión a n ϭ ᎏ 1 n ᎏ, donde n ϭ 1, 2, 3, 4 y 5, tiene la suma 1 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ ϩ ᎏ 1 5 ᎏ ϭ ϭ ᎏ 1 6 3 0 7 ᎏ EJEMPLO 1 Calcule la suma de los siete primeros términos de a n ϭ 2n. Solución a 1 ϩ a 2 ϩ a 3 ϩ a 4 ϩ a 5 ϩ a 6 ϩ a 7 ϭ 2 ϩ 4 ϩ 6 ϩ 8 ϩ 10 ϩ 12 ϩ 14 ϭ 56 Existe un símbolo muy útil para expresar la suma de una sucesión, la sigma mayúscu- la, ͚. Por ejemplo, podemos representar la suma de los siete primeros términos de la sucesión cuyo término general es a k como a k ; esto es, a k ϭ a 1 ϩ a 2 ϩ a 3 ϩ a 4 ϩ a 5 ϩ a 6 ϩ a 7 7 ͚ k ϭ 1 7 ͚ k ϭ 1 60 ϩ 30 ϩ 20 ϩ 15 ϩ 12 ᎏᎏᎏ 60 Sólo piense que sigma es el comando para sumar. g Los términos a k se suman usando valores consecutivos de k, desde k ϭ 1 hasta e in- cluyendo k ϭ 7. Con este simbolismo, se puede formular entonces la pregunta del ejemplo 1 pidiendo el valor de 2k. NOTACIÓN DE SUMATORIA Para una sucesión cuyo término general es a k , la suma de los n primeros términos se puede representar como sigue a k ϭ a 1 ϩ a 2 ϩ a 3 ϩ . . . ϩ a n El índice de la suma es k; la suma comienza con k ϭ 1 y termina con k ϭ n. EJEMPLO 2 Calcule para b n para b n ϭ ᎏ n ϩ n 1 ᎏ. Solución b n ϭ b 1 ϩ b 2 ϩ b 3 ϩ b 4 ϩ b 5 Ahora reemplazamos cada b n por su valor numérico: b n ϭ ᎏ 1 2 ᎏ ϩ ᎏ 2 3 ᎏ ϩ ᎏ 3 4 ᎏ ϩ ᎏ 4 5 ᎏ ϩ ᎏ 5 6 ᎏ ϭ ϭ ᎏ 2 6 1 0 3 ᎏ ϭ ᎏ 7 2 1 0 ᎏ EJEMPLO 3 Calcule (2k ϩ 1). Solución En este caso se sobreentiende que debemos determinar la suma de los cuatro primeros términos de la sucesión, cuyo término general es a k ϭ 2k ϩ 1. (2k ϩ 1) ϭ (2 · 1 ϩ 1) ϩ (2 · 2 ϩ 1) ϩ (2 · 3 ϩ 1) ϩ (2 · 4 ϩ 1) ϭ 3 ϩ 5 ϩ 7 ϩ 9 ϭ 24 En el ejemplo 3, la sigma representa la suma de los números impares, de 3 a 9. ¿Cómo se puede modificar la sigma para que exprese los cinco primeros números impares? 4 ͚ k ϭ 1 4 ͚ k ϭ 1 30 ϩ 40 ϩ 45 ϩ 48 ϩ 50 ᎏᎏᎏ 60 5 ͚ n ϭ 1 5 ͚ n ϭ 1 5 ͚ n ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 7 ͚ k ϭ 1 214 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS Observe que la variable del dominio, k, de la sucesión dada se transforma en el índice de la sumatoria en esta notación. g EJEMPLO 4 Calcule x i , en la cual x i ϭ (Ϫ1) i (i ϩ 1). Solución x i ϭ x 1 ϩ x 2 ϩ x 3 ϩ x 4 ϩ x 5 ϭ (Ϫ1) 1 (1 ϩ 1) ϩ (Ϫ1) 2 (2 ϩ 1) ϩ (Ϫ1) 3 (3 ϩ 1) ϩ (Ϫ1) 4 (4 ϩ 1) ϩ (Ϫ1) 5 (5 ϩ 1) ϭ Ϫ2 ϩ 3 Ϫ 4 ϩ 5 Ϫ 6 ϭ Ϫ4 PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Evalúe cada suma. 1. (4k) 2. (2k Ϫ 1) 3. (k 2 Ϫ k) 4. (Ϫ 1) n 5. (2n 2 Ϫ n) 6. 2(Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ) n ϩ 1 Cuando se puede determinar el término general de una serie dada, esa serie se pue- de reformular con la notación de sumatoria. Por ejemplo, como la serie 3 ϩ 6 ϩ 9 ϩ 12 ϩ 15 ϩ 18 ϩ 21 es la suma de los primeros siete múltiplos de 3, se puede escribir como 3n. 7 ͚ n ϭ 1 4 ͚ n ϭ 1 4 ͚ n ϭ 1 6 ͚ n ϭ 1 5 ͚ k ϭ 1 5 ͚ k ϭ 1 5 ͚ k ϭ 1 5 ͚ i ϭ 1 5 ͚ i ϭ 1 SECCIÓN 6-2 SUMAS DE SUCESIONES FINITAS 215 Nota: En algunos de los siguientes ejercicios, la suma se inicia con valores de i, n o k distintos de 1. Vea, por ejemplo, los ejercicios 8, 22, 24, 25 y 30. EJERCICIOS 6-2 Calcule la suma de los cinco primeros términos de la sucesión representada por la fórmula de cada ejercicio. 1. a n ϭ 3n 2. a k ϭ (Ϫ1) k ᎏ 1 k ᎏ 3. a i ϭ i 2 4. b i ϭ i 3 5. b k ϭ ᎏ 1 3 0 k ᎏ 6. b n ϭ Ϫ6 ϩ 2 (n Ϫ 1) 7. Calcule t n siendo t n ϭ 2 n 8. Calcule x n siendo x n ϭ ᎏ 2 1 n ᎏ 8 ͚ n ϭ 0 8 ͚ n ϭ 1 9. Calcule y k siendo y k ϭ 3 Calcule las siguientes sumas, para n ϭ 7. 10. 2 ϩ 4 ϩ . . . ϩ 2n 11. 2 ϩ 4 ϩ . . . ϩ 2 n 12. Ϫ7 ϩ 2 ϩ . . . ϩ (9n Ϫ 16) 13. 3 ϩ ᎏ 3 2 ᎏ ϩ . . . ϩ 3 ᎏ 1 2 ᎏ n Ϫ 1 Evalúe cada suma. 14. (5k) 15. 5 k 6 ͚ k ϭ 1 6 ͚ k ϭ 1 20 ͚ k ϭ 1 g 16. (n 2 ϩ n) 17. n 2 ϩ n 18. (i Ϫ 2i 2 ) 19. ᎏ 2 k k ᎏ 20. (Ϫ1) k 21. (Ϫ1) k 22. (2k Ϫ 5) 23. [Ϫ3 ϩ (j Ϫ 1)5] 24. 10 k 25. ᎏ 1 1 0 k ᎏ 26. 4 Ϫ k Ϫ 1 27. (Ϫ1) i 3 i 28. ᎏ n ϩ n 1 ᎏϪᎏ n ϩ n 1 ᎏ 29. ᎏ n ϩ n 1 ᎏϪ ᎏ n ϩ n 1 ᎏ 30. ᎏ 1 ϩ 2 (Ϫ1) k ᎏ 31. (0.1) 2 k Reformule cada serie con la notación de sumatoria. 32. 4 ϩ 8 ϩ 12 ϩ 16 ϩ 20 ϩ 24 33. 5 ϩ 10 ϩ 15 ϩ 20 ϩ . . . ϩ 50 34. Ϫ4 Ϫ 2 ϩ 0 ϩ 2 ϩ 4 ϩ 6 ϩ 8 35. Ϫ9 Ϫ 6 Ϫ 3 ϩ 0 ϩ 3 ϩ . . . ϩ 24 36. Lea lo expuesto al principio de esta sección, cuando calcu- lamos la suma de los primeros 1000 enteros positivos, y deduzca una fórmula para la suma de los n primeros ente- ros positivos, cuando n es par. 37. a) Calcule (2k Ϫ 1) para cada uno de los siguientes valores de n: 2, 3, 4, 5 y 6. b) Basado en los resultados de la parte (a), deduzca una fórmula de la suma cuando n son los primeros enteros impares positivos. 38. La sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . se llama sucesión de Fibonacci. Sus dos primeros términos son uno, y en ade- lante cada término se calcula sumando los dos primeros. a) Escriba los siete términos siguientes de esa sucesión. b) Sea u 1 , u 2 , u 3 , . . . , u n , . . . la sucesión de Fibonacci. Calcule S n ϭ u k con los siguientes valores de n: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. n ͚ k ϭ 1 3 ͚ k ϭ 1 3 ͚ k ϭ 1 8 ͚ k ϭ 0 3 ͚ n ϭ 1 3 ͚ n ϭ 1 3 ͚ n ϭ 1 4 ͚ i ϭ 1 ᎏ 1 2 ᎏ 5 ͚ k ϭ 1 3 ͚ k ϭ Ϫ3 3 ͚ k ϭ Ϫ3 6 ͚ j ϭ 1 7 ͚ k ϭ 3 8 ͚ k ϭ 1 7 ͚ k ϭ 1 4 ͚ k ϭ 1 8 ͚ t ϭ 1 4 ͚ n ϭ 1 4 ͚ n ϭ 1 4 ͚ n ϭ 1 216 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS c) Note que u 1 ϭ u 3 Ϫ u 2 , u 2 ϭ u 4 Ϫ u 3 , u 3 ϭ u 5 Ϫ u 4 , y así sucesivamente. Use esta forma para los primeros n enteros y deduzca una fórmula para la suma de los pri- meros n números de Fibonacci. 39. Sea a n una sucesión con a 1 ϭ 2, y a m ϩ a n ϭ a m ϩ n , donde m y n son enteros positivos cualesquiera. Demuestre que a n ϭ 2n para toda n. 40. Demuestre que log 10 ᎏ k ϩ k 1 ᎏϭ1 (Sugerencia: log 10 ᎏ a b ᎏ ϭ log 10 a Ϫ log 10 b) 41. Demuestre que s k ϩ t k ϭ (s k ϩ t k ) 42. Demuestre que cs k ϭc s k , donde c es una constante. 43. Demuestre que (s k ϩc) ϭ s k ϩnc, donde c es una constante. 44. a) Evalúe ᎏ k(k 1 ϩ1) ᎏ, empleando el resultado ᎏ k(k 1 ϩ1) ᎏϭ ᎏ 1 k ᎏ Ϫ ᎏ k ϩ 1 1 ᎏ. b) Con la identidad citada en la parte (a), demuestre que ᎏ 1 1 ·2 ᎏ ϩ ᎏ 2 1 · 3 ᎏϩ ᎏ 3 1 · 4 ᎏϩ ... ϩ ᎏ 98 1 · 99 ᎏϩ ᎏ 99 · 1 100 ᎏϭ ᎏ 1 9 0 9 0 ᎏ c) Escriba ᎏ 1 k ᎏ Ϫᎏ k ϩ 1 1 ᎏ sin la notación de sumatoria y muestre, cuando menos, los tres primeros y los tres últimos términos. Con ello podrá simplificar la suma- toria. (Nota: a esa suma se le llama suma telescópica. ¿Puede comprender por qué se llama así?) 45. a) Use la identidad ᎏ k (k 2 ϩ2) ᎏϭᎏ 1 k ᎏ Ϫᎏ k ϩ 1 2 ᎏ, para demos- trar que ᎏ k (k 2 ϩ 2) ᎏϭ ᎏ 1 1 7 3 5 2 ᎏ b) Escriba ᎏ 1 k ᎏ Ϫ ᎏ k ϩ 1 2 ᎏ sin la notación sumatoria y muestre, cuando menos, los cuatro primeros y los cua- tro últimos términos. A continuación, simplifique la su- matoria. n ͚ k ϭ 1 10 ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 10 ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 9 ͚ k ϭ 1 g Se tiene la sucesión a k ϭ c para toda k; evalúe c, y explique cómo llegó a su respuesta. n ͚ k ϭ 1 SECCIÓN 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS 217 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Veamos los cinco primeros términos de la sucesión a n ϭ 7n Ϫ 2: 5, 12, 19, 26, 33 ¿Observa algún comportamiento especial? No tarda uno mucho en darse cuenta que cada término después del primero es el término precedente aumentado en 7. Esta su- cesión es un ejemplo de una progresión (sucesión) aritmética. DEFINICIÓN DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA Se dice que una progresión es aritmética si cada término, después del primero, se obtiene del término prece- dente sumándole un valor común. Veamos los cuatro primeros términos de dos progresiones aritméticas distintas: 2, 4, 6, 8, . . . Ϫ , Ϫ1, Ϫ , Ϫ2, . . . Para la primera progresión, el valor común (o diferencia) que se suma a cada térmi- no para obtener el siguiente es 2. Es fácil ver que 10, 12 y 14 serán los tres términos siguientes. El lector puede suponer que el enésimo término es a n ϭ 2n. La segunda progresión tiene la diferencia común Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ . Esa diferencia se puede determinar restando el primer término del segundo, o el segundo del tercero, etc. El enésimo término es a n ϭ Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ n. A diferencia de las sucesiones anteriores, no siempre es fácil ver cuál es el enésimo término de la progresión aritmética específica. Por consiguiente, ahora de- sarrollaremos una fórmula general que haga posible conocerlo. Sea a n el enésimo término de una progresión aritmética, y sea d la diferencia común. Entonces, los cuatro primeros términos son: a 1 a 2 ϭ a 1 ϩ d a 3 ϭ a 2 ϩ d ϭ (a 1 ϩ d) ϩ d ϭ a 1 ϩ 2d a 4 ϭ a 3 ϩ d ϭ (a 1 ϩ 2d) ϩ d ϭ a 1 ϩ 3d La pauta es clara. Sin más cálculos podemos ver que a 5 ϭ a 1 ϩ 4d, y que a 6 ϭ a 1 ϩ 5d Como el coeficiente de d siempre es igual al número del término menos uno, el ené- simo término es el siguiente. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA El enésimo término de una progresión aritmética es a n ϭ a 1 ϩ (n Ϫ 1)d donde a 1 es el primer término y d la diferencia común. ᎏ 3 2 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ Una progresión aritmética también se llama sucesión aritmética. ¿Puede usted determinar el enésimo término de la progresión aritmética 11, 2, Ϫ7, Ϫ16, . . . ? Esta fórmula nos dice que el enésimo término de una progresión aritmética queda determinado totalmente por su primer término, a 1 , y por su diferencia común, d. También, observe que a n ϭa n Ϫ1 ϩd y que d ϭ a n Ϫ a n Ϫ 1 . REDACCIÓN g El lector puede comprobar que esta fórmula da como resultado los términos anterio- res, desde a 1 hasta a 6 , sustituyendo los valores de n ϭ 1, 2, 3, 4, 5 y 6. EJEMPLO 1 Determine el enésimo término de la progresión aritmética 11, 2, Ϫ7, . . . Solución Emplee la fórmula anterior con a 1 ϭ 11 y d ϭ a 2 Ϫ a 1 ϭ 2 Ϫ 11 ϭ Ϫ 9. Así, a n ϭ a 1 ϩ (n Ϫ 1)d ϭ 11 ϩ (n Ϫ 1) (Ϫ9) ϭ Ϫ9n ϩ 20 PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Los siguientes son los primeros términos de progresiones aritméticas. Determine el enésimo término en cada caso. 1. 5, 10, 15, . . . 2. 6, 2, Ϫ2, . . . 3. ᎏ 1 1 0 ᎏ , ᎏ 1 5 ᎏ , ᎏ 1 3 0 ᎏ 4. Ϫ5, Ϫ13, Ϫ21, . . . 5. 1, 2, 3, . . . 6. Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, . . . Determine el enésimo término, a n , de la progresión aritmética con los valores del primer término y de la diferencia común que se dan en cada caso. 7. a 1 ϭ ᎏ 2 3 ᎏ ; d ϭ ᎏ 2 3 ᎏ 8. a 1 ϭ 53; d ϭ Ϫ12 9. a 1 ϭ 0; d ϭ ᎏ 1 5 ᎏ 10. a 1 ϭ 2; d ϭ 1 EJEMPLO 2 El primer término de una progresión aritmética es Ϫ15 y el quinto es 13. Calcule el cuadragésimo término. Solución Como a 5 ϭ 13, hacemos que n ϭ 5 en la fórmula a n ϭ a 1 ϩ (n Ϫ 1)d, para despejar d. a 5 ϭ a 1 ϩ (5 Ϫ 1)d 13 ϭ Ϫ15 ϩ 4d 28 Ϫ 4d 7 Ϫ d Entonces, a 40 ϭ Ϫ15 ϩ (39)7 ϩ 258. Es posible que sumar los términos de una sucesión finita, no implique mucha dificultad cuando la cantidad de términos que se suman es pequeña. Sin embargo, cuando se han de sumar muchos términos, el tiempo y el esfuerzo necesarios son abrumadores. Por ejemplo, para sumar los 10,000 primeros términos de la sucesión aritmética que comienza con 246, 261, 276, . . . se necesitaría un esfuerzo enorme, a menos que se pudiera encontrar algún atajo. Por fortuna, contamos con un método fácil para calcular esas sumas. Este método (disfrazado) ya lo empleamos en la pregunta al principio de las sección 6-2. Veamos el panorama general. Sea S n la suma de los n primeros términos de la progresión arit- mética representada por a k ϭ a 1 ϩ (k Ϫ 1)d: 218 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS g S n ϭ [a 1 ϩ (k Ϫ 1)d] ϭ a 1 ϩ [a 1 ϩ d] ϩ [a 1 ϩ 2d] ϩ . . . ϩ [a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] Si escribimos esta suma en orden inverso y escribimos juntas las dos igualdades obtendremos: S n ϭ a 1 ϩ [a 1 ϩ d] ϩ . . . ϩ [a 1 ϩ (n Ϫ2)d] ϩ [a 1 ϩ (n Ϫ1)d] D D D D S n ϭ [a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] ϩ [a 1 ϩ (n Ϫ 2)d] ϩ . . . ϩ [a 1 ϩ d] ϩ a 1 Ahora sumamos para obtener 2S n ϭ [2a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] ϩ [2a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] ϩ . . . ϩ [2a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] ϩ [2a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] En el lado derecho de esta ecuación hay n términos, y cada uno tiene la forma 2a 1 ϩ (n ϩ 1)d. Por consiguiente, 2S n ϭ n [2a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] Para despejar S n dividimos entre 2: S n ϭ ᎏ n 2 ᎏ [2a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] Regresamos a la notación de sumatoria para poder resumir nuestro resultado como sigue: SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA S n ϭ [a 1 ϩ (k Ϫ 1)d] ϭ ᎏ n 2 ᎏ [2a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] EJEMPLO 3 Calcule S 20 de la progresión aritmética cuyo primer término es a 1 ϭ 3 y cuya diferencia común es d ϭ 5. Solución Sustituya a 1 ϭ 3, d ϭ 5 y n ϭ 20 en la fórmula de S n y obtendrá S 20 ϭ ᎏ 2 2 0 ᎏ [2(3) ϩ (20 Ϫ 1)5] ϭ 10(6 ϩ 95) ϭ 1010 EJEMPLO 4 Calcule la suma de los 10,000 primeros términos de la progresión aritmética que comienza con 246, 261, 276, . . . Solución Como a 1 ϭ 246 y d ϭ 15, S 10,000 ϭ ᎏ 10, 2 000 ᎏ[2(246) ϩ (10,000 Ϫ 1)15] ϭ 5000(150,477) ϭ 752,385,000 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 SECCIÓN 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS 219 La suma de una progresión aritmética también se llama serie aritmética. g EJEMPLO 5 Calcule la suma de los n primeros enteros positivos. Solución Primero nos percatamos de que el problema pide la suma de la progresión a k ϭ k con k ϭ 1, 2, . . . , n. Es una progresión aritmética en la que a 1 ϭ 1 y d ϭ 1. Por consiguiente, k ϭ ᎏ n 2 ᎏ [2(1) ϩ (n Ϫ 1)1] ϭ ᎏ n(n 2 ϩ 1) ᎏ Con el resultado del ejemplo 5 podemos comprobar la respuesta donde se pedía la suma de los primeros 1000 enteros positivos, al principio de la sección 6-2 como sigue: k ϭ ᎏ 1000( 2 1001) ᎏϭ 500,500 La forma a k ϭ a 1 ϩ (k Ϫ 1)d del término general de una progresión aritmética se transforma con facilidad en a k ϭdk ϩ (a 1 Ϫd). Esta última es la forma que más se usa cuando se da el término general de una progresión aritmética específica. Por ejem- plo, normalmente comenzaríamos con la forma a k ϭ 3k ϩ 5 en lugar de a k ϭ 8 ϩ (k Ϫ 1)3. Lo importante que debemos notar en la forma a k ϭ dk ϩ (a 1 Ϫ d) es que la diferencia común es el coeficiente de k. EJEMPLO 6 Evalúe (Ϫ6k ϩ 10) Solución Primero observe que a k ϭ Ϫ6k ϩ 10 es una progresión aritmética con d ϭ Ϫ6 y a 1 ϭ 4. (Ϫ6k ϩ 10) ϭ [2(4) ϩ (50 Ϫ 1) (Ϫ6)] ϭ Ϫ7150 La fórmula para una serie aritmética se puede convertir en otra, muy útil, cuando a 1 ϩ (n Ϫ 1)d se reemplaza por a n . Así, S n ϭ ᎏ n 2 ᎏ [2a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] ϭ ᎏ n 2 ᎏ [a 1 ϩ a 1 ϩ (n Ϫ 1)d] ϭ ᎏ n 2 ᎏ (a 1 ϩ a n ) SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA (Forma alterna) S n ϭ ᎏ n 2 ᎏ (a 1 ϩ a n ) Aplique este resultado al ejemplo 6, con a 1 ϭ 4, a 50 ϭ Ϫ290 y S 50 ϭ (4 ϩ (Ϫ290)) ϭ Ϫ7150. ᎏ 5 2 0 ᎏ ᎏ 5 2 0 ᎏ 50 ͚ k ϭ 1 50 ͚ k ϭ 1 1000 ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 220 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS Cuando se rearregla esta forma como S n ϭ n ᎏ a 1 ϩ 2 a n ᎏ se puede considerar que la suma es n veces el promedio del primero y el último términos. g EJEMPLO 7 Calcule la suma de todos los múltiplos de 3, desde 4 hasta 262. Solución El primer múltiplo de 3 después de 4 es 6 ϭa 1 , y el que antecede a 262 es 261 ϭ a n . Calcule n. a n ϭ a 1 ϩ (n Ϫ 1)d 261 ϭ 6 ϩ (n Ϫ 1)3 86 ϭ n Entonces S 86 ϭ ᎏ 8 2 6 ᎏ [a 1 ϭ a 86 ] ϭ ᎏ 8 2 6 ᎏ [6 ϩ 261] ϭ 11,481 Cuando se introduce el promedio de dos números, (a ϩ b)/2 entre ellos, se obtiene la progresión aritmética a, ᎏ a ϩ 2 b ᎏ, b. El promedio (a ϩ b)/2 se llama media arit- mética de los dos números a y b. Este concepto se puede ampliar, esto es, cuando se tienen dos números puede haber más de una media aritmética si vemos lo siguien- te: si k es un entero positivo y a, m 1 , m 2 , . . ., m k , b es una progresión aritmética, entonces los números m 1 , m 2 , . . ., m k son k medias arit- méticas entre a y b. Por ejemplo, como 2, 6, 10, 14 y 18 es una progresión aritmé- tica, entonces 6, 10 y 14 son tres medias aritméticas entre 2 y 18. EJEMPLO 8 Introduzca cuatro medias aritméticas entre 5 y 20. Solución Necesita los números m 1 , m 2 , m 3 y m 4 para que 5, m 1 , m 2 , m 3 , m 4 y 20 sea una progresión aritmética. Para calcular la diferencia común d, se usa la fórmula a n ϭ a 1 ϩ (n Ϫ 1)d, en la que a 1 ϭ 5, n ϭ 6, y a n ϭ a 6 ϭ 20. Entonces 20 ϭ 5 ϩ (6 Ϫ 1)d 5d ϭ 15 d ϭ 3 Ahora comenzamos en 5 y sumamos 3 cada vez, para obtener las medias aritméti- cas 8, 11, 14 y 17, de manera que la progresión es 5, 8, 11, 14, 17, 20 Nuestro ejemplo final será una aplicación de las progresiones aritméticas a un caso financiero. EJEMPLO 9 Suponga que contrata un préstamo por $6000 a corto plazo y que lo debe pagar en 12 exhibiciones mensuales iguales, más el 3% mensual por saldos in- solutos. El pago de cada mes se hace durante la primera semana del mes siguiente. a) Escriba el término general de la sucesión que expresa el saldo mensual. SECCIÓN 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS 221 Para decidir cuándo un entero positivo, N, es divisible entre 3, se usa el hecho que N es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es divisible entre 3. Así, 261 es divisible entre 3, porque 2 ϩ 6 ϩ 1 ϭ 9 es divisible entre 3. Compruebe que la diferencia común es d ϭ ᎏ b Ϫ 2 a ᎏ. g b) ¿Cuál es el interés de cada uno de los primeros 3 meses? Exprese el término ge- neral de la progresión que indica la cantidad del interés mensual. c) ¿Cuál es el pago total por intereses en el año y qué porcentaje es del préstamo de $6000? Solución a) Los pagos mensuales iguales del préstamo son 6000 Ϭ 112 ϭ 500 pesos. Como esos pagos se hacen durante la primera semana del mes siguiente, el balance mensual es a k ϭ 6000 Ϫ 500(k ϭ 1) donde k ϭ 1, 2, . . . , 12. b) El interés del primer mes es 3% sobre $6000, o 6000(0.03) ϭ 180 pesos. Tam- bién se pagan $500, de modo que el interés del segundo mes es 5500(0.03) ϭ 165 pesos. Igualmente, el interés para el tercer mes es 5000(.03) ϭ 150 pesos. En general, el pago mensual por interés es saldo tasa mensual mensual [6000 Ϫ 500(k ϭ 1)] (.03) ϭ 180 Ϫ 15 (k Ϫ 1) ϭ 195 Ϫ 15k c) El interés total es la suma de los 12 pagos de intereses. Así (195 Ϫ 15k) ϭ ᎏ 1 2 2 ᎏ (2 · 180 ϩ 11( Ϫ15)) ϭ 6(195) ϭ 1170 La tasa anual es ᎏ 1 6 1 0 7 0 0 0 ᎏϭ 0.195 ϭ 19.5% 12 ͚ k ϭ 1 222 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS Al final del primer mes, su saldo es 6000 Ϫ 500(0) ϭ 6000, y cuando k ϭ 12 es 6000 Ϫ 500(11) ϭ 500, que es el último pago en la primera semana del decimotercer mes. Es una progresión arimética con a 1 ϭ 180 y d ϭ Ϫ15. En cada caso aparecen los dos primeros términos de una pro- gresión aritmética. Escriba los tres términos siguientes; deter- mine el enésimo término y calcule la suma de los 20 primeros términos. 1. 1, 3, . . . 2. 2, 4, . . . 3. 2, Ϫ4, . . . 4. 1, Ϫ3, . . . 5. ᎏ 1 2 5 ᎏ , 8, . . . 6. Ϫᎏ 4 3 ᎏ , Ϫᎏ 1 3 1 ᎏ , . . . 7. ᎏ 2 5 ᎏ , Ϫᎏ 1 5 ᎏ , . . . 8. Ϫᎏ 1 2 ᎏ , ᎏ 1 4 ᎏ , . . . 9. 50, 100, . . . 10. Ϫ27, Ϫ2, . . . 11. Ϫ10, 10, . . . 12. 225, 163, . . . Calcule el total que se pide, sumando normalmente; también calcule el total con la fórmula de la suma de una progresión aritmética. 13. 5 ϩ 10 ϩ15 ϩ 20 ϩ 25 ϩ 30 ϩ 35 ϩ 40 ϩ 45 ϩ 50 ϩ 55 ϩ 60 ϩ 65 14. Ϫ 33 Ϫ 25 Ϫ 17 Ϫ 9 Ϫ 1 ϩ 7 ϩ 15 ϩ 23 ϩ 31 ϩ 39 15. ᎏ 3 4 ᎏ ϩ 1 ϩ ᎏ 5 4 ᎏ ϩ ᎏ 3 2 ᎏ ϩ ᎏ 7 4 ᎏ ϩ 2 ϩ ᎏ 9 4 ᎏ ϩ ᎏ 5 2 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 1 ᎏ EJERCICIOS 6-3 g 16. 128 ϩ 71 ϩ 14 Ϫ 43 Ϫ 100 Ϫ 157 17. Calcule a 30 para la progresión aritmética que tiene a 1 ϭ Ϫ30 y a 10 ϭ 69. 18. Calcule a 51 para la progresión aritmética en la que a 1 ϭ 9 y a 8 ϭ Ϫ19. Calcule S 100 para la progresión aritmética con los valores dados de a 1 y d. 19. a 1 ϭ 3; d ϭ 3 20. a 1 ϭ 1; d ϭ 8 21. a 1 ϭ Ϫ91; d ϭ 21 22. a 1 ϭ Ϫ7; d ϭ Ϫ10 23. a 1 ϭ ᎏ 1 7 ᎏ ; d ϭ 5 24. a 1 ϭ ᎏ 2 5 ᎏ ; d ϭ Ϫ4 25. a 1 ϭ 725; d ϭ 100 26. a 1 ϭ 0.1; d ϭ 10 27. Calcule S 28 de la progresión Ϫ8, 8, . . . , 16n Ϫ 24, . . . . 28. Calcule S 25 de la progresión 96, 100, . . . , 4n ϩ 92, . . . . 29. Calcule la suma de los primeros 50 múltiplos positivos de 12. 30. a) Calcule la suma de los 100 primeros números pares. b) Calcule la suma de los n primeros números pares po- sitivos. 31. a) Calcule la suma de los 100 primeros números impares. b) Calcule la suma de los n primeros números impares positivos. Evalúe lo siguiente. 32. [3 ϩ (k Ϫ 1)9] 33. [Ϫ6 ϩ (k Ϫ 1) ᎏ 1 2 ᎏ ] 34. (4k Ϫ 15) 35. (10k Ϫ 1) 36. (Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ k ϩ 2) 37. ( ᎏ 3 4 ᎏ k Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ) 38. 5k 39. 5k 40. Determine u tal que 7, u, 19 sea una progresión aritmética. 41. Determine u tal que Ϫ7, u, ᎏ 5 2 ᎏ sea una progresión aritmética. 42. Calcule el vigésimo tercer término de la progresión arit- mética 6, Ϫ4, . . . . 43. Calcule el trigésimo quinto término de la progresión arit- mética Ϫ ᎏ 2 3 ᎏ , Ϫ ᎏ 1 5 ᎏ , . . . . 44. Introduzca tres medias aritméticas entre 8 y 44. 45. Introduzca cuatro medias aritméticas entre 3 y 38. 46. Introduzca cinco medias aritméticas entre 6 y 10. n ͚ k ϭ 1 20 ͚ k ϭ 1 49 ͚ k ϭ 1 40 ͚ k ϭ 1 30 ͚ k ϭ 1 20 ͚ k ϭ 1 9 ͚ k ϭ 1 12 ͚ k ϭ 1 SECCIÓN 6-3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS 223 47. Introduzca seis medias aritméticas entre Ϫ8 y 48. 48. Introduzca siete medias aritméticas entre Ϫ36 y 4. 49. Introduzca seis medias aritméticas entre Ϫ ᎏ 1 5 ᎏ y Ϫ3. 50. Se deja caer un objeto desde un aeroplano, y durante el primer segundo cae 32 pies. Durante cada uno de los segundos siguientes cae 48 pies más que en el segundo an- terior. ¿Cuántos pies cae durante los primeros 10 segun- dos? ¿Cuánto cae durante el décimo segundo? 51. Suponga que ahorra $10 una semana y que de ahí en ade- lante ahorra 50 centavos más que en la semana anterior. ¿Cuánto habrá ahorrado al finalizar un año? 52. Suponga que un saco de 100 libras de grano tiene un peque- ño agujero en el fondo, que cada vez que se hace más gran- de. El primer minuto sale ᎏ 1 3 ᎏ de onza, y de ahí en adelante, en cada minuto siguiente se sale ᎏ 1 3 ᎏ de onza más que durante el minuto anterior. ¿Cuántas libras de grano quedan en el sa- co después de una hora? Una libra tiene 16 onzas. 53. Un préstamo de $12,000 se paga en 12 abonos mensuales iguales, durante la primera semana del mes siguiente. La tasa de interés es 2%mensual sobre saldos insolutos. (Los saldos insolutos representan la cantidad que queda al final de un mes antes de pagar los 100 pesos correspondientes a ese mes). a) Calcule el pago mensual de interés en cada uno de los primeros 3 meses. b) Deduzca el término general de las progresiones que expresan el saldo mensual y el interés mensual. c) Calcule el interés total pagado en el año y la tasa anual de interés. 54. Una pirámide de bloques tiene 26 bloques en la hilera inferior y 2 bloques menos en cada hilera en adelante. ¿Cuántos bloques hay en la pirámide? 55. Evalúe (5n Ϫ 3). Use la fórmula S n ϭ ᎏ n 2 ᎏ (a 1 ϩ a n ) para calcular S 80 de las pro- gresiones en los ejercicios 56 y 57. 56. a k ϭ ᎏ 1 2 ᎏ k ϩ 10 57. a k ϭ 3k Ϫ 8 20 ͚ n ϭ 6 g 58. Calcule la suma de todos los números pares que hay entre 33 y 427. 59. Calcule la suma de todos los números impares que hay entre 33 y 427. 60. Calcule la suma de todos los múltiplos de 4 que hay entre Ϫ100 y 56. 61. Si [a 1 ϩ(k Ϫ1)d] ϭϪ5865 y [a 1 ϩ(k Ϫ1)d] ϭ Ϫ2610, calcule a 1 y d. 62. Si se hace una lista de los primeros términos de una pro- gresión, como 2, 4, 6, . . . sin enunciar su término gene- ral ni describir de qué tipo de sucesión se trata, es imposible 30 ͚ k ϭ 1 30 ͚ k ϭ 1 224 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS predecir el término siguiente. Demuestre que las dos pro- gresiones, t n ϭ 2n y u n ϭ 2n ϩ (n Ϫ 1)(n Ϫ 2) (n Ϫ 3) producen estos tres primeros términos, pero son distintos sus cuartos términos. 63. Determine u y v tales que 3, u, v, 10 sea una progresión aritmética. 64. ¿Cuál es la relación entre las progresiones aritmética y las funciones lineales? 65. La función f, definida por f(x) ϭ 3x ϩ 7 es una función lineal. Calcule f k , en donde f k ϭ f(k) es la progresión aritmética asociada con f. 16 ͚ k ϭ 1 Sea f(x) ϭx 2 Ϫ8x ϩ12 para todos los números reales x, y sea a n ϭa 1 ϩ(n Ϫ1)d cualquier progresión aritmética. ¿Cuál es la cantidad máxima de puntos, (x, y), en la gráfica de y ϭf(x) que coinciden con los puntos de la progresión (n, a n )? Expli- que su respuesta. (Nota: a n ϭ dn ϩ b, en donde b es igual a la constante a 1 Ϫ d). 1. Las sucesiones infinitas pueden tener o no una cantidad infinita de términos dis- tintos. Cite ejemplos de términos generales de sucesiones infinitas que tengan la siguiente cantidad de términos distintos: (a) uno, (b) dos y (c) tres. 2. Si el sumando 2k Ϫ 1 de (2k Ϫ 1) se cambia a 2k ϩ 1, el valor de la su- ma será igual, siempre que se haya hecho el cambio adecuado en el índice de la sumatoria. Haga ese ajuste completando la ecuación (2k Ϫ1) ϭ͚ (2k ϩ1). A continuación complete la igualdad (k ϩ 1) 2 ϭ . . . , en la cual se ha modificado el índice de la sumatoria ajustando el sumando. 3. El procedimiento que empleamos en los ejercicios 44 y 45 de la sección 6-2 evita cálculos tediosos para evaluar ciertas sumas. Convierta a k ϭ ᎏ (kϩ1) 4 (kϩ3) ᎏen la diferencia de dos fracciones y evalúe a k . 4. En los ejercicios 30(b) y 31(b) de esta sección se pidió la suma de los n prime- ros enteros impares, y la suma de los n primeros enteros pares. Cuando se suman las dos respuestas, ¿la suma de cuales enteros consecutivos que comien- zan con 1, representa este resultado? Use la fórmula de la suma de una progre- sión aritmética para comprobar su resultado. 10 ͚ k ϭ 1 n Ϫ 1 ͚ k ϭ 1 n ϩ 1 ͚ k ϭ 3 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 REDACCIÓN RAZONAMIENTO CRÍTICO g Suponga que se deja caer una pelota desde una altura de 4 pies, y que rebota direc- to hacia arriba y hacia abajo, y que en cada rebote sube exactamente la mitad de lo que acaba de bajar. ¿Qué distancia habrá recorrido la pelota si usted la atrapa al lle- gar a la cúspide del quinto rebote? La siguiente figura le ayudará a contestar esta pregunta. Para mayor claridad hemos separado los rebotes. SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 225 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS También se llama progresión geométrica a una sucesión geométrica {{{{{ Baja Primer rebote Segundo rebote Tercer rebote Cuarto rebote Quinto rebote Baja Baja Baja Baja Sube Sube Sube Sube Sube 4' 2' 1' 1' 2 1' 2 1' 2 1' 4 1' 4 1' 8 Con este diagrama podemos determinar lo que ha recorrido la pelota en cada rebote. En el primero baja 4 pies y sube 2, en total 6 pies; en el segundo rebote, la distancia total es 2 ϩ1 ϭ3 pies, y así sucesivamente. Estas distancias forman la su- cesión que vemos, de cinco términos uno por cada rebote. 6, 3, ᎏ 3 2 ᎏ, ᎏ 3 4 ᎏ, ᎏ 3 8 ᎏ Esta sucesión tiene la propiedad especial que, después del primer término, cada tér- mino sucesivo se puede obtener multiplicando el anterior por ᎏ 1 2 ᎏ; esto es, el segundo término, 3, es la mitad del primero, y así sucesivamente. Este es un ejemplo de una progresión geométrica. Más adelante deduciremos una fórmula para calcular la su- ma de esta progresión; mientras tanto, podemos calcular la distancia total que ha recorrido la pelota durante los cinco rebotes sumando los cinco primeros términos como sigue: 6, ϩ 3 ϩ ᎏ 3 2 ᎏ ϩ ᎏ 3 4 ᎏ ϩ ᎏ 3 8 ᎏ ϭ ϭ 11 ᎏ 5 8 ᎏ DEFINICIÓN DE SUCESIÓN GEOMÉTRICA Se dice que una sucesión es geométrica si cada término, después del primero, se obtiene multiplicando el tér- mino anterior por un valor común. He aquí los cuatro primeros términos de una progresión geométrica: 2, Ϫ4, 8, Ϫ16, … 48 ϩ 24 ϩ 12 ϩ 6 ϩ 3 ᎏᎏᎏ 8 g Por inspección se puede determinar que el multiplicador común de esta progresión es Ϫ2. Para calcular el enésimo término deduciremos primero una fórmula que sir- va para cualquier progresión geométrica. Sea a n el enésimo término de una progresión geométrica, y sea a 1 su primer término. El multiplicador común, que también se llama razón común, o simplemen- te razón, se representa por r. Los cuatro primeros términos de la progresión son a 1 a 2 ϭ a 1 r a 3 ϭ a 2 r ϭ (a 1 r) ϭ a 1 r 2 a 4 ϭ a 3 r ϭ (a 1 r 2 ) r ϭ a 1 r 3 Observe que el exponente de r es el número de orden del término menos 1. Esta ob- servación nos permite definir como sigue el enésimo término. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA El enésimo término de una progresión geométrica es a n ϭ a 1 r nϪ1 en donde a 1 es el primer término y r es la razón común. Con este resultado, los cuatro primeros términos y el enésimo término de la progre- sión geométrica que vimos antes son los siguientes. 2, Ϫ4,8, Ϫ16, . . . , 2(Ϫ2) nϪ1 (rϭϪ2) Veamos dos ejemplos más: 1, ᎏ 1 3 ᎏ, ᎏ 1 9 ᎏ, ᎏ 2 1 7 ᎏ, . . . , 1 ᎏ 1 3 ᎏ nϪ1 (r ϭ ᎏ 1 3 ᎏ) 5, Ϫ5, 5, Ϫ5, . . . , 5(Ϫ1) nϪ1 (r ϭ Ϫ1) El lector puede sustituir los valores n ϭ 1, 2, 3 y 4 en las formas de los enésimos términos y ver que se obtienen en cada caso los cuatro primeros términos. EJEMPLO 1 Determine el centésimo término de la progresión geométrica con r ϭ ᎏ 1 2 ᎏ y a 1 ϭ ᎏ 1 2 ᎏ. Solución El enésimo término de esta progresión es a n ϭ ᎏ 1 2 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ nϪ1 ϭ ᎏ 1 2 ᎏ ᎏ 2 n 1 Ϫ1 ᎏ ϭ ᎏ 2 1 n ᎏ Entonces, a 100 ϭ ᎏ 2 1 100 ᎏ. La causa de que a r se le llame razón común de una progresión geométrica es que para toda n, la razón del (n ϩ1)enésimo término al enésimo término es igual a r. Así, ᎏ a n a ϩ n 1 ᎏϭ ᎏ a a 1 r 1 n r Ϫ n 1 ᎏϭ r 226 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS Está fórmula dice que enésimo término de una progresión geométrica queda totalmente determinado por el primer término, a 1 , y la razón común. g EJEMPLO 2 Determine el enésimo término de la progresión geométrica 6, 9, ᎏ 2 2 7 ᎏ , … y calcule el séptimo término. Solución Primero determine a r. r ϭ ᎏ a a 2 1 ᎏϭ ᎏ 9 6 ᎏ ϭ ᎏ 3 2 ᎏ Entonces el enésimo término será a n ϭ 6 ᎏ 3 2 ᎏ nϪ1 Sean n ϭ 7: a 7 ϭ 6 ᎏ 3 2 ᎏ 7Ϫ1 ϭ 6 ᎏ 3 2 ᎏ 6 ϭ (3 и 2) и ᎏ 3 2 6 6 ᎏ ϭ ᎏ 3 2 7 5 ᎏ ϭ ᎏ 2 3 1 2 87 ᎏ EJEMPLO 3 Escriba el késimo término de la progresión geométrica a k ϭ (ᎏ 1 2 ᎏ) 2k en la forma a 1 r kϪ1 y determine el valor de a 1 y r Solución a k ϭ ᎏ 1 2 ᎏ 2k ϭ ΄ ᎏ 1 2 ᎏ 2 ΅ k ϭ ᎏ 4 1 ᎏ k ϭ ᎏ 1 4 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ kϪ1 ← Esto ya está en la forma a 1 r nϪ1 . Entonces, a 1 ϭ ᎏ 1 4 ᎏ y r ϭ ᎏ 1 4 ᎏ. PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Escriba los cinco primeros términos de las progresiones geométricas cuyo térmi- no general aparece. También escriba el enésimo término en la forma a 1 r nϪ1 y de- termine r. 1. a n (ᎏ 1 2 ᎏ) nϪ1 2. a n ϭ(ᎏ 1 2 ᎏ) nϩ1 3. a n ϭ (Ϫᎏ 1 2 ᎏ) n 4. a n ϭ(Ϫᎏ 1 3 ᎏ) 3n Calcule r y determine el enésimo término de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos se mencionan. 5. ᎏ 1 5 ᎏ, 2. 6. 27, Ϫ12. EJEMPLO 4 Una progresión geométrica formada por números positivos tiene a 1 ϭ 18 y a 5 ϭ ᎏ 3 9 2 ᎏ. Determine r. Solución Usamos n ϭ 5 en a n ϭ a 1 r nϪ1 . ᎏ 3 9 2 ᎏ ϭ 18r 4 r 4 ϭ ᎏ 9 3 и 2 18 ᎏϭ ᎏ 1 8 6 1 ᎏ r ϭ ± Ί 4 ᎏ 1 8 6 1 ᎏ ϭ ± ᎏ 2 3 ᎏ Como los términos son positivos, r ϭ ᎏ 2 3 ᎏ. SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 227 Observe que también se puede calcular r usando a 2 y a 3 . ϭ ϭ ᎏ 2 2 и 7 9 ᎏϭ ᎏ 3 2 ᎏ ᎏ 2 2 7 ᎏ 9 a 3 a 2 El primer término, a 1 , también se puede determinar sustituyendo 1 en la fórmula que dimos para a k ; a continuación se determina. a 2 y se calcula r ϭ ᎏ a a 1 2 ᎏ. Compruebe este resultado, escribiendo a 1 ϭ 18 y calculando a 2 , a 3 , a 4 y a 5 mediante a n ϭ a nϪ1 r . g Regresemos al problema original de esta sección. Vimos que la distancia total que recorrió la pelota es 11 ᎏ 5 8 ᎏ pies. Ésta es la suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica cuyo enésimo término es 6(ᎏ 1 2 ᎏ) nϪ1 . Fue fácil sumar estos cinco términos. Pero ¿qué hay de sumar los primeros 100 términos? Disponemos de una fómula para calcular la suma de una progresión geométrica, que nos permitirá responder con facilidad este tipo de preguntas. La suma de una progresión geométrica se llama serie geométrica. Igual que con las series aritméticas, disponemos de una fórmula para calcular las sumas. Para deducirla, sea a k ϭ a 1 r kϪ1 una progresión geométrica, y sea S n ϭ a 1 r kϪ1 . Entonces S n ϭ a 1 ϩ a 1 r ϩ a 1 r 2 ϩ … ϩ a 1 r nϪ2 ϩ a 1 r nϪ1 Multiplicando por r esta ecuación obtenemos rS n ϭ a 1 r ϩ a 1 r 2 ϩ … ϩ a 1 r nϪ1 ϩ a 1 r n Ahora veamos las dos ecuaciones siguientes S n ϭ a 1 ϩ a 1 r ϩ a 1 r 2 ϩ … ϩ a 1 r nϪ2 ϩ a 1 r nϪ1 D D D D rS n ϭ a 1 r ϩ a 1 r 2 ϩ … ϩ a 1 r nϪ2 ϩ a 1 r nϪ1 ϩ a 1 r n Restamos y factorizamos: S n Ϫ rS n ϭ a 1 Ϫ a 1 r n (1 Ϫ r)S n ϭ a 1 (1 Ϫ r n ) Para despejar S n dividimos entre 1 Ϫ r: S n ϭ Regresamos a la notación de sumatoria para resumir nuestros resultados como sigue: SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA S n ϭ a 1 r kϪ1 (r ϶ 1) Con esta fórmula podemos comprobar nuestro resultado anterior del rebote de la pelota: 6 ᎏ 1 2 ᎏ kϪ1 ϭ ϭ ϭ ᎏ 9 8 3 ᎏ ϭ 11ᎏ 5 8 ᎏ 6 1 Ϫ ᎏ 3 1 2 ᎏ ᎏ 2 1 ᎏ 6[1 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ 5 ] 1 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ 5 ͚ k ϭ 1 a 1 (1 Ϫ r n ) 1 Ϫ r n ͚ k ϭ 1 a 1 (1 Ϫ r n ) 1 Ϫ r n ͚ k ϭ 1 228 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS En este caso, r ϶ 1. Sin embargo, cuando r ϭ 1, a k ϭ a 1 r kϪ1 ϭ a 1 , que también es una progresión aritmética con d ϭ 0. g EJEMPLO 5 Calcule la suma de los 100 primeros términos de la progresión geométrica definida por a k ϭ 6(ᎏ 1 2 ᎏ) kϪ1 y demuestre que el resultado es muy cercano a 12. Solución S 100 ϭ ϭ 12 1 Ϫ ᎏ 2 1 100 ᎏ A continuación vemos que la fracción ᎏ 2 1 100 ᎏes tan pequeña que 1 Ϫᎏ 2 1 100 ᎏes casi igual a 1, y por consiguiente S 100 es casi igual a 12. EJEMPLO 6 Calcule: 3 ᎏ 1 1 0 ᎏ kϩ1 Solución 3 ᎏ 1 1 0 ᎏ kϩ1 ϭ ᎏ 1 3 00 ᎏ ᎏ 1 1 0 ᎏ kϩ1 Entonces, a 1 ϭ 0.03, r ϭ 0.1 y S 8 ϭ ᎏ 0.03 1 [1 Ϫ Ϫ 0 ( . 0 1 .1) 8 ] ᎏ ϭ ϭ 0.033333333 EJEMPLO 7 Suponga que usted ahorró $128 en enero, y que de ahí en adelante sólo ha podido ahorrar la mitad de lo que ahorró el mes anterior. ¿Cuánto ha aho- rrado en el décimo mes y cuánto es su ahorro total entonces? Solución Lo que ahorra cada mes forma una progresión geométrica en la que a 1 ϭ 128 y r ϭ ᎏ 1 2 ᎏ. Entonces, a n ϭ 128ᎏ 1 2 ᎏ nϪ1 y a 10 ϭ 128 ᎏ 1 2 ᎏ 9 ϭ ᎏ 2 2 7 9 ᎏ ϭ ᎏ 1 4 ᎏ ϭ 0.25 Esto quiere decir que usted ahorró 25 centavos en el décimo mes. Sus ahorros totales son: S 10 ϭ ϭ 256 1 Ϫᎏ 2 1 10 ᎏ ϭ 256 Ϫ ᎏ 2 2 5 1 6 0 ᎏ ϭ 256 Ϫ ᎏ 2 2 1 8 0 ᎏ ϭ 255.75 Los ahorros totales son $255.75. 128 1 Ϫ ᎏ 2 1 10 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ 0.03[1 Ϫ 0.00000001 ᎏᎏᎏ 0.9 8 ͚ k ϭ 1 6 1 Ϫ ᎏ 2 1 100 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 229 Otro modo de determinar a a 1 y a r es escribir los primeros términos como sigue: ᎏ 1 3 00 ᎏ ϩ ᎏ 10 3 00 ᎏϩ ᎏ 10, 3 000 ᎏϩ … ϭ ᎏ 1 3 00 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 00 ᎏ ᎏ 1 1 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 00 ᎏ ᎏ 1 1 0 ᎏ 2 ϩ … Entonces a 1 ϭ 0.03 y r ϭ 0.1. Los progresiones geométricas tienen muchas aplicaciones, como vemos en los ejemplos 7 y 8. El lector se encontrará con otras en los ejercicios al final de esta sección. g EJEMPLO 8 Un rollo contiene 625 pies de alambre. Si se corta una y otra vez la quinta parte del alambre, ¿cuál es el término general de la progresión que expresa la longitud del alambre que queda? Con un calculadora y ese término general deter- mine la longitud del alambre en el rollo después de cortarlo 7 veces. Solución como se corta ᎏ 1 5 ᎏ quedan ᎏ 4 5 ᎏ ϭ 0.8. Así, 625(0.8) ϭ 500 son los pies que quedan después de un corte, 625(0.8)(0.8) ϭ 500(0.8) ϭ 400 pies después de dos cortes, y después de n cortes, la longitud del alambre que queda es 625(0.8) n pies. Con una calculadora obtenemos 625 (0.8) 7 ϭ 131.072 230 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS Por consiguiente al redondear a la décima de pie, quedan 131.1 pies de alambre después de cortarlo 7 veces. Una media geométrica de dos números reales, a y b es un número, g, tal que a, g, b es un progresión geométrica, si r es la razón común, entonces ar ϭ g y gr ϭ b. Despejando r e igualando los resultados se llega a ᎏ g a ᎏ ϭ ᎏ b 8 ᎏ o g 2 ϭ ab Entonces g ϭ ± ͙a ෆbෆ, siempre que ͙aෆbෆ sea número real. Por ejemplo, las medias geométricas entre 18 y 32 son ± ͙1 ෆ8ෆ и ෆ 3 ෆ2ෆ ϭ ± ͙5 ෆ7ෆ6ෆ ϭ ± 24. Tal como hicimos en las medias artiméticas, el concepto de las medias geométricas también se puede ampliar como sigue. Para números reales a y b, y un entero positivo k, si hay k números g 1 , g 2 , …, g k tales que a, g 1 , g 2 , …, g k , b es una progresión geométrica, entonces las g i son k medias geométricas entre a y b. EJEMPLO 9 Intercale tres medias geométricas tres entre 7 y 567. Solución Se piden tres números, g 1 , g 2 , y g 3 , tales que 7, g 1 , g 2 , g 3 , 567 sea una progresión geométrica. Para determinar la razón común se usa la fórmula a n ϭ a 1 r nϪ1 , en donde a a 1 ϭ 7, a 5 ϭ 567 y a ϭ 5: 567 ϭ 7r 4 81 ϭ r 4 ±3 ϭ r Hay dos soluciones: Para r ϭ ϩ 3, la progresión 7, 21, 63, 189, 567. Para r ϭ Ϫ 3, la progresión 7, Ϫ21, 63, Ϫ189, 567. ᎏ 1 5 ᎏ (625) Primer corte Observe que Ϫ18 y Ϫ32 tienen las mismas medias geométricas, mientras que Ϫ18 y 32 no tienen, porque ͙Ϫ ෆ1ෆ8ෆ • ෆ 3 ෆ2ෆ no es un número real. g Se dan los tres primero términos de una progresión geométri- ca. escriba los tres términos siguientes y también la fórmula del enésimo término. 1. 2, 4, 8, … 2. 2, Ϫ4, 8, … 3. 1, 3, 9, … 4. 2, Ϫ2, 2, … 5. Ϫ3, 1, Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ , … 6. 100, 10, 1, … 7. Ϫ1, Ϫ5, Ϫ25,… 8. 12, Ϫ6, 3, … 9. Ϫ6, Ϫ4, Ϫ ᎏ 8 3 ᎏ , … 10. Ϫ64, 16, Ϫ4, … 11. ᎏ 10 1 00 ᎏ, ᎏ 1 1 0 ᎏ, 10, … 12. ᎏ 2 8 7 ᎏ , ᎏ 3 2 ᎏ , ᎏ 2 3 ᎏ , … Calcule el total de los seis primeros términos de la progresión indicada, empleando suma ordinaria y también con la fórmula de la suma de una progresión geométrica. 13. La progresión del ejercicio 1. 14. La progresión del ejercicio 5. 15. La progresión del ejercicio 9. 16. Calcule el décimo término de la progresión geométrica 2, 4, 8,… 17. Calcule el decimocuarto término de la progresión geomé- trica ᎏ 1 8 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏ, ᎏ 1 2 ᎏ, … 18. Calcule el decimoquinto término de la progresión geomé- trica ᎏ 100 1 ,000 ᎏ, ᎏ 10, 1 000 ᎏ, ᎏ 10 1 00 ᎏ, . . . 19. ¿Cuál es el centésimo primer término de la progresión geo- métrica que tiene a 1 ϭ 3 y r ϭ Ϫ1? 20. En la progresión geométrica con a 1 ϭ100 y r ϭ ᎏ 1 1 0 ᎏ, deter- mine cuál término es igual a ᎏ 10 1 10 ᎏ, con la fórmula a n ϭ a 1 r nϪ1 . 21. Calcule r de la progresión geométrica con a 1 ϭ 20 y a 6 ϭ Ϫᎏ 5 8 ᎏ. 22. Calcule r de la progresión geométrica con a 1 ϭ Ϫ25 y a 5 ϭ Ϫ3.24 Evalue lo siguiente: 23. 2 k Ϫ 1 24. 2 jϩ2 25. 2 k Ϫ 1 26. 3ᎏ 1 1 0 ᎏ kϪ1 8 ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 10 ͚ j ϭ 1 10 ͚ k ϭ 1 SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 231 EJERCICIOS 6-4 27. 3 k Ϫ 4 28. (Ϫ3) k Ϫ 2 29. ᎏ 2 3 ᎏ j Ϫ 2 30. 16ᎏ 1 2 ᎏ k ϩ 2 31. 16Ϫᎏ 1 2 ᎏ k ϩ 2 32. Calcule u Ͼ0 tal que 2, u, 98 sea una progresión geométrica. 33. Determine u Ͻ0 tal que ᎏ 1 7 ᎏ, u, ᎏ 2 6 5 3 ᎏ sea una progresión geomé- trica. 34. Forme una progresión cuyo primer término sea 5, que sea geométrica y aritmética a la vez. ¿Cuáles son r y d? 35. Calcule las medias geométricas de 8 y 12. 36. Intercale tres medias geométricas entre 2 y 162. 37. Intercale tres medias geométricas entre 6 y 1536. 38. Intercale cuatro medias geométricas entre 128 y 4. 39. Suponga que alguien le ofrece un trabajo por el que va a ganar 1 centavo el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero, etcétera; cada día gana el doble de lo que ganó el día an- terior. ¿Cuánto ganará en 30 días en ese trabajo? 40. Suponga que lo que usted ahorra en determinado mes es el doble de lo que ahorró en el mes anterior. ¿Cuánto ha- brá ahorrado al final de un año, si en enero ahorró $1? ¿Cuánto si en enero ahorró 25 centavos? 41. Cierto cultivo bacteriano crece duplicando su cantidad cada día. Al finalizar el primer día hay 1000 bacterias; ¿cuántas habrá después de 10 días? ¿Cuántas después de n días? 42. Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que al final de cada mes sólo hay la tercera parte de lo que había al principio. Si había 75 gramos de la sustancia al princi- pio de año, ¿cuánto queda a mitad del año? 43. Suponga que un automóvil se deprecia el 10% cada año, durante los primeros 5 años. ¿Cuánto vale después de 5 años si su precio original fue $14,280? 44. En la fórmula del interés compuesto, A t ϭ P(1 ϩ r) t , P es el capital inicial, r es la tasa de interés anual y t es la can- tidad de años durante los cuales se ha compuesto el inte- rés anualmente para obtener el valor total A t . Explique cómo se puede considerar que esta fórmula es la de térmi- no general de una progresión geométrica. 45. Se invierten $800 al 11% de interés compuesto anualmente. 8 ͚ k ϭ 1 8 ͚ k ϭ 1 5 ͚ j ϭ 1 6 ͚ k ϭ 1 5 ͚ k ϭ 1 g a) ¿Cuánto se tiene despues de n años? b) ¿Cuánto se tiene después de 5 años? 46. ¿Qué cantidad se debe invertir a 12% de interés compu- esto anualmente para que después de 3 años se tengan $1000? 47. Calcule la cantidad que gana una inversión de $1500 con interés de 8% compuesto anualmente durante 5 años. 48. a) Si se cortan repetidamente ᎏ 3 5 ᎏ del alambre del ejemplo 8, ¿cuál es la forma general de la progresión de la longi- tud del alambre restante? b) ¿Qué longitud queda después de hacer seis cortes? Ex- prese la respuesta con precisión de décima de pie. c) ¿Cuál es la forma general de la longitud total de alam- bre restante después de haberlo cortado n veces? 49. a) Se tiene un conjunto de recipientes cuyo tamaño decre- ce de tal modo que el segundo tiene ᎏ 1 2 ᎏ del volumen del 232 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS primero, el tercero ᎏ 1 2 ᎏ del volumen del segundo, etcéte- ra. Si el recipiente está vacío y los demás están llenos de agua, ¿pueden vaciarse todos ellos en el primero sin que se derrame el agua? Explique la respuesta. b) Conteste la pregunta en parte (a) suponiendo que cada recipiente, después del primero, tiene ᎏ 2 3 ᎏ del volumen del que le precede. 50. Determine el primer término y la razón común de una progresión cuyo cuarto término es ᎏ 2 9 ᎏ y el sexto es ᎏ 8 8 1 ᎏ. (Hay dos respuestas posibles). Suponga que chasquea sus dedos, espera 1 minuto y los vuelve a chasquear. Des- pués los chasquea pasados 2 minutos, después a los 4 minutos, de nuevo a los 8 mi- nutos, etc., cada vez esperando el doble de tiempo que para el chasquido anterior. Primero adivine cuántas veces chasquearía sus dedos si continuara con ese proceso durante un año. Calcule cuánto tiempo pasaría para chasquearlos (a) 10 veces, (b) 15 veces, y (c) 20 veces. 1. Con ejemplos específicos, explique la diferencia entre una progresión arit- mética y una progresión geométrica. 2. En la fórmula de la suma de una progresión geométrica, r ϶1. Explique por qué el caso con r ϭ 1 queda comprendido en otras partes de nuestro estudio de las sucesiones. Zenón, filóso griego de la Antigüedad (aprox. 450 a. de C.), propuso cuatro parado- jas que confundieron a los filósofos de su tiempo. Por ejemplo, en una de ellas de- cía que nunca se puede cruzar un recinto, porque para hacerlo se debe alcanzar el punto medio entre las paredes. Después se debe recorrer la mitad de la distancia res- tante, y quedaba por recorrer la cuarta parte de la distancia… y así sucesivamente. Representando con w el ancho del recinto, se podría indicar la distancia recorrida con la siguiente suma de una cantidad infinita de términos: ᎏ 1 2 ᎏ w ϩ ᎏ 1 4 ᎏ w ϩ ᎏ 1 8 ᎏ w ϩ ᎏ 1 1 6 ᎏ w ϩ … Por ello, independientemente de la cercanía a la otra pared del recinto, siem- pre se debe recorrer la mitad de la distancia restante antes de llegar. Por consiguien- te, decía Zenón, ¡nunca se puede llegar al otro lado! 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS RETO REDACCIÓN g Más adelante, en esta sección, se presentará una solución matemática de pa- radoja, pero primero vamos a describir la suma de una cantidad infinita de térmi- nos. Para ello será de utilidad la familiaridad del lector con las formas decimales. La fracción ᎏ 3 4 ᎏ es 0.75 en forma decimal, lo que significa ᎏ 1 7 0 5 0 ᎏ. Esto también se puede escribir en la forma ᎏ 1 7 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 5 00 ᎏ. ¿Y qué hay con ᎏ 1 3 ᎏ? En forma decimal se escribe ᎏ 1 3 ᎏ ϭ 0.333. . . en la que los puntos quieren decir que el 3 se repite de manera infinita. Este decimal se puede expresar como una suma de fracciones cuyos denominadores son poten- cias de 10: ᎏ 1 3 ᎏ ϭ ᎏ 1 3 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 00 ᎏ ϩ ᎏ 10 3 00 ᎏϩ . . . Los números que estamos sumando son los términos de la progresión geométrica infinita, cuyo primer término es a 1 ϭ ᎏ 1 3 0 ᎏ y razón es r ϭ ᎏ 1 1 0 ᎏ. entonces, el enésimo tér- mino es a 1 r nϪ1 ϭ ᎏ 1 3 0 ᎏ ᎏ 1 1 0 ᎏ nϪ1 ϭ 3 ᎏ 1 1 0 ᎏ ᎏ 1 1 0 ᎏ nϪ1 ϭ 3 ᎏ 1 1 0 ᎏ n ϭ ᎏ 1 3 0 n ᎏ La suma de los n primeros términos, S n , se llama enésima suma parcial y se determina con la fórmula S n ϭ a 1 r kϪ1 ϭ ᎏ a 1 ( 1 1 Ϫ Ϫ r r n ) ᎏ Examinemos algunos casos: S 1 ϭ ϭ ᎏ 1 3 ᎏ1 Ϫ ᎏ 1 1 0 ᎏ ϭ 0.3 S 2 ϭ ϭ ᎏ 1 3 ᎏ1 Ϫ ᎏ 1 1 0 2 ᎏ ϭ 0.33 S 10 ϭ ϭ ᎏ 1 3 ᎏ1 Ϫ ᎏ 10 1 10 ᎏ ϭ 0.3333333333 S n ϭ ϭ ᎏ 1 3 ᎏ1 Ϫ ᎏ 1 1 0 n ᎏ ϭ 0.333 . . . 3 ᎏ 1 3 0 ᎏ1 Ϫ ᎏ 1 1 0 n ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 1 0 ᎏ ᎏ 1 3 0 ᎏ1 Ϫ ᎏ 10 1 10 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 1 0 ᎏ ᎏ 1 3 0 ᎏ1 Ϫ ᎏ 1 1 0 2 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 1 0 ᎏ ᎏ 1 3 0 ᎏ1 Ϫ ᎏ 1 1 0 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 1 0 ᎏ n ͚ k ϭ 1 SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS 233 La suma de una sucesión infinita es una serie infinita. 10 lugares Ά n lugares Ά g Como puede ver, conforme se agregan más y más términos, el resultado se acerca más y más a ᎏ 1 3 ᎏ . Esto lo podemos apreciar si estudiamos la forma de la suma de los primeros n términos: S n ϭ ᎏ 1 3 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 1 0 n ᎏ Es claro que mientras más grande es n, se acerca más a cero y 1 Ϫ se acer- Cuando n ¡∞, ᎏ 1 1 0 n ᎏ ¡0 y 1 Ϫ ᎏ 1 1 0 n ᎏ ¡1 Así cuando n ¡∞, S n ¡ ᎏ 1 3 ᎏ Aunque es cierto que S n nunca es exactamente igual a ᎏ 1 3 ᎏ , cuando n es muy grande, la diferencia entre S n y ᎏ 1 3 ᎏ es muy pequeña. Expresándolo en otra forma: Si hacemos que n sea suficientemente grande, podemos hacer que las sumas parciales S n sean tan cercanas a ᎏ 1 3 ᎏ tanto como queramos. Lo que deseamos expresar cuando decimos que la suma de todos los términos es ᎏ 1 3 ᎏ es: ᎏ 1 3 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 0 2 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 0 3 ᎏ ϩ . . . ϩ ᎏ 1 3 0n ᎏ ϩ . . . ϭ ᎏ 1 3 ᎏ También podemos emplear aquí el símbolo de sumatoria, ͚, haciendo ajustes en la notación. Tradicionalmente se ha empleado el símbolo ∞ para indicar una cantidad infinita de objetos. Por ello lo usaremos y pasaremos de la suma de una cantidad fi- nita de términos S n ϭ ᎏ 1 3 0 k ᎏ ϭ ᎏ 1 3 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 0 2 ᎏ ϩ . . . ϩ ᎏ 1 3 0 n ᎏ ϭ ᎏ 1 3 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 1 0 n ᎏ a la suma de una cantidad infinita de términos: S ∞ ϭ ᎏ 1 3 0 k ᎏ ϭ ᎏ 1 3 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 0 2 ᎏ ϩ . . . ϩ ᎏ 1 3 0 n ᎏ ϩ . . . ϭ ᎏ 1 3 ᎏ No todas las progresiones geométricas generan series geométricas cuya suma es fi- nita. Por ejemplo, la progresión 2, 4, 8, . . . , 2 n , . . . es geométrica, pero la serie geométrica correspondiente 2 ϩ 4 ϩ 8 ϩ . . . ϩ 2 n ϩ . . . no puede tener una suma finita. Las sumas parciales se hacen más y más grandes, sin límite. Ya para estas alturas usted puede sospechar que la razón común, r, determina si se puede sumar una progresión geométrica infinita. Sucede que así es. Para ver por qué examinaremos el caso general a continuación. ∞ ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 1 10 n 1 10 n 234 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS En cálculo infinitesimal se sustituye el símbolo S ∞ por lím S n ϭ ᎏ 1 3 ᎏ , que se lee “el límite de S n cuando n se hace arbitrariamente grande es ᎏ 1 3 ᎏ ” . ca más a 1 y, por último, S n se acerca más a ᎏ 1 3 ᎏ . En símbolos, podemos expresarlo como sigue: g Sea a 1 , a 1 r, a 1 r 2 , . . . , a 1 r n Ϫ 1 , . . . una progresión infinita. Entonces, la suma de los n primeros términos, que es la enésima suma parcial, es S n ϭ ᎏ a 1 ( 1 1 Ϫ Ϫ r r n ) ᎏ La rearreglamos en esta forma: S n ϭ ᎏ 1 a Ϫ 1 r ᎏ (1 Ϫ r n ) En este punto se aclara la importancia de r n . Si, cuando n se hace grande, r n se hace muy grande, la serie geométrica infinita no tiene suma finita. Pero si r n se acerca arbitrariamente a cero cuando n se hace grande, entonces 1 Ϫ r n se acercaa 1 y S n se acerca más y más a ᎏ 1 a Ϫ 1 r ᎏ. Los valores de r para los cuales r n se acerca arbitrariamente a cero son pre- cisamente aquellos comprendidos entre Ϫ1 y 1; esto es, Έ r Έ Ͻ 1. Por ejemplo, ᎏ 3 5 ᎏ, Ϫᎏ 1 1 0 ᎏ, y 0.09 son valores de r para los cuales r n se acerca a cero, y 1.01, Ϫ2 y ᎏ 3 2 ᎏ son valores para los cuales la serie no tiene suma finita. Resumiendo, tenemos el siguiente resultado: SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA Si Έ r Έ Ͻ 1, entonces S ∞ ϭ a 1 r kϪ1 ϭ ᎏ 1 a Ϫ 1 r ᎏ. Para otros valores de r, la serie no tiene suma finita. EJEMPLO 1 Calcule la suma de la serie geométrica infinita: 27 ϩ 3 ϩ ᎏ 1 3 ᎏ ϩ . . . Solución Como r ϭ ᎏ 2 3 7 ᎏ ϭ ᎏ 1 9 ᎏ y a 1 ϭ 27, la fórmula anterior da como resultado S ∞ ϭ 27 ϩ 3 ϩ ᎏ 1 3 ᎏ ϩ . . . ϭ ϭ ϭ ᎏ 24 8 3 ᎏ EJEMPLO 2 ¿Por qué la serie geométrica infinita 5 ᎏ 4 3 ᎏ kϪ1 no tiene suma finita? Solución La serie no tiene suma finita porque la razón común r ϭᎏ 4 3 ᎏ no está entre Ϫ1 y 1. ∞ ͚ k ϭ 1 27 ᎏ 8 9 ᎏ 27 1 Ϫ ᎏ 1 9 ᎏ ∞ ͚ k ϭ 1 SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS 235 Con una calculadora revise las potencias de r ϭ 0.9 y r ϭ 1.1, con los decimales indicados. (0.9) 1 ϭ 0.9 (0.9) 10 ϭ 0.35 (0.9) 20 ϭ 0.12 (0.9) 40 ϭ 0.015 (0.9) 80 ϭ 0.0002 (0.9) 100 ϭ 0.00003 T se aproxima a 0 (1.1) 1 ϭ 1.1 (1.1) 5 ϭ 1.6 (1.1) 10 ϭ 2.6 (1.1) 20 ϭ 6.7 (1.1) 50 ϭ 117.4 (1.1) 100 ϭ 13780.6 T se hace muy grande g EJEMPLO 3 Calcule ᎏ 10 k 7 ϩ1 ᎏ Solución Ya que ᎏ 10 k 7 ϩ1 ᎏϭ 7ᎏ 10 k 1 ϩ 1 ᎏ ϭ 7ᎏ 1 1 0 2 ᎏ ᎏ 10 k 1 Ϫ 1 ᎏϭ ᎏ 1 7 00 ᎏᎏ 1 1 0 ᎏ k Ϫ 1 , entonces a 1 ϭ ᎏ 1 7 00 ᎏ y r ϭ ᎏ 1 1 0 ᎏ . Por consiguiente, de acuerdo con la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita, se obtiene S ∞ ϭ ᎏᎏ 10 k 7 ϩ 1 ᎏϭ ϭ ᎏ 100 7 Ϫ 10 ᎏϭ ᎏ 9 7 0 ᎏ PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Determine la razón común, r, y a continuación calcule la suma, si existe, de la se- rie geométrica infinita dada. 1. 10 ϩ 1 ϩ ᎏ 1 1 0 ᎏ ϩ . . . 2. ᎏ 6 1 4 ᎏ ϩ ᎏ 1 1 6 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ ϩ . . . 3. 36 Ϫ 6 ϩ 1 Ϫ . . . 4. Ϫ16 Ϫ 4 Ϫ 1 Ϫ . . . 5. ᎏ 4 3 ᎏ kϪ1 6. 3(0.01) k 7. (Ϫ1) i 3 i 8. 100Ϫ ᎏ 1 9 0 ᎏ nϩ1 9. 101 Ϫ 102.01 ϩ 103.0301 Ϫ . . . Vimos antes cómo el decimal repetitivo infinito, 0.333 . . . se puede considerar co- mo una serie geométrica infinita. El ejemplo que sigue muestra cómo se pueden es cribir esas fracciones decimales en la forma racional ᎏ a b ᎏ (el cociente de dos enteros) empleando la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita. EJEMPLO 4 Exprese el decimal repetitivo 0.242424 . . . en forma racional. Solución Primero escriba 0.242424 . . . ϭ ᎏ 1 2 0 4 0 ᎏ ϩ ᎏ 10 2 ,0 4 00 ᎏϩ ᎏ 1,00 2 0 4 ,000 ᎏϩ . . . ϭ ᎏ 1 2 0 4 2 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 0 4 4 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 0 4 6 ᎏ ϩ . . . ϩ ᎏ 1 2 0 4 2k ᎏϩ . . . ϭ ᎏ 1 2 0 4 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 0 4 0 ᎏ ᎏ 1 1 00 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 0 4 0 ᎏ ᎏ 1 1 00 ᎏ 2 ϩ . . . ϩ ᎏ 1 2 0 4 0 ᎏ ᎏ 1 1 00 ᎏ kϪ1 ϩ . . . ∞ ͚ n ϭ 1 ∞ ͚ i ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ᎏ 1 7 00 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 1 0 ᎏ ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 236 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS Otro modo de determinar a 1 es hacer k ϭ 1 en ᎏ 10 k 7 ϩ1 ᎏ: a 1 ϭ ᎏ 1 7 0 2 ᎏ ϭ ᎏ 1 7 00 ᎏ También, se puede determinar r formando el cociente del segundo término entre el primer término. r ϭ ϭ ᎏ 1 1 0 ᎏ ᎏ 1 7 0 3 ᎏ ᎏ 1 7 0 2 ᎏ Observe que ᎏ 1 2 0 4 2k ᎏϭ 24ᎏ 10 1 2k ᎏ ϭ 24ᎏ 1 1 0 2 ᎏ k ϭ 24ᎏ 1 1 00 ᎏ k ϭ ᎏ 1 2 0 4 0 ᎏ ᎏ 1 1 00 ᎏ kϪ1 g Entonces, a 1 ϭ ᎏ 1 2 0 4 0 ᎏ , r ϭ ᎏ 1 1 00 ᎏ y 0.242424 . . . ϭ ᎏ 1 2 0 4 0 ᎏᎏ 1 1 00 ᎏ kϪ1 ϭ ϭ ᎏ 2 9 4 9 ᎏ ϭ ᎏ 3 8 3 ᎏ Compruebe este resultado dividiendo 33 entre 8. EJEMPLO 5 Un caballo de carreras corre a la velocidad constante de 30 millas por hora, y termina en 2 minutos la carrera de una milla. Ahora suponga que la carrera se divide en las partes siguientes: antes de que el caballo pueda terminar esta carrera debe alcanzar la marca intermedia; una vez alcanzada, debe alcanzar la marca si- guiente de cuarto de milla; después la siguiente de un octavo de milla, y así sucesi- vamente. Esto es, siempre debe recorrer la mitad de la distancia que queda antes de poder recorrer toda la distancia. Demuestre que la suma de la cantidad infinita de intervalos de tiempo también es 2 minutos. ᎏ 1 2 0 4 0 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 1 00 ᎏ ∞ ͚ k ϭ 1 SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS 237 Parece como si el caballo no pudiera terminar la carrera de este modo. Pero siga leyendo para ver que en realidad no hay contradicción con esta interpretación. T ϭ ᎏ D R ᎏ tiempo ϭ ᎏ v d e i l s o ta c n id c a ia d ᎏ . Observe que la velocidad de 30 millas por hora se convierte en ᎏ 1 2 ᎏ milla por minuto. Solución Durante la primera ᎏ 1 2 ᎏ milla, el tiempo será ϭ 1 minuto; para el si- guiente ᎏ 1 4 ᎏ de milla, el tiempo será ϭᎏ 1 2 ᎏ minuto; en el siguiente ᎏ 1 8 ᎏ de milla el tiempo será ϭ ᎏ 1 4 ᎏ de minuto, y en la enésima distancia, que es millas el tiempo será ϭ ᎏ 2 n 1 Ϫ1 ᎏ minuto. Entonces, aquí el tiempo total está expresado por la serie siguiente: ᎏ 2 k 1 Ϫ1 ᎏϭ 1 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ ϩ . . . ϩ ᎏ 2 n 1 Ϫ1 ᎏϩ . . . ∞ ͚ k ϭ 1 ᎏ 2 1 n ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ 1 2 n ᎏ 1 8 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ ᎏ 1 4 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ ᎏ 1 2 ᎏ Meta g Es una serie geométrica infinita que tiene a 1 ϭ 1 y r ϭ ᎏ 1 2 ᎏ. Por consiguiente 1ᎏ 1 2 ᎏ kϪ1 ϭ ϭ 2 minutos que es el mismo resultado que el anterior. Probablemente usted reconozca en el problema del ejemplo 5 una variación de la paradoja de Zenón, que se describió al inicio de esta sección. En aquel caso manejamos lo que ahora sabemos que es la serie geométrica infinita ᎏ 1 2 ᎏ w ϩ ᎏ 1 4 ᎏ w ϩ ᎏ 1 8 ᎏ w ϩ ᎏ 1 1 6 ᎏ w ϩ . . . en la que a 1 ϭ ᎏ 1 2 ᎏ w y r ϭ ᎏ 1 2 ᎏ, la suma de esa serie es S ∞ ϭ ᎏ 1 a Ϫ 1 r ᎏϭ ϭ w. Con ello hemos hallado una solución matemática de la paradoja. EJEMPLO 6 Las dimensiones del rectángulo ABCD son 1 por 2. El rectángulo si- guiente, PQRS, tiene dimensiones ᎏ 1 2 ᎏ por 1. De igual modo, cada rectángulo interior tiene ne la mitad de las dimensiones que el rectángulo precedente. Si esta sucesión de rec- tángulos continúa al infinito, ¿cuál es la suma de las áreas de todos los rectángulos? ᎏ 1 2 ᎏ w 1 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ 1 1Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ∞ ͚ k ϭ 1 238 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS B Q R A P S D C 2 1 2 1 1 Solución El área del rectángulo ABCD es 1 и 2; la del rectángulo PQRS es ᎏ 1 2 ᎏ и 1, la siguiente área es ᎏ 1 4 ᎏ и ᎏ 1 2 ᎏ, y así sucesivamente. La suma de todas las áreas es la si- guiente serie geométrica infinita: 1 и 2 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ и 1 ϩ ᎏ 1 4 ᎏ и ᎏ 1 2 ᎏ ϩ ᎏ 8 1 ᎏ и ᎏ 1 4 ᎏ ϩ . . . ϭ 2 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ϩ ᎏ 8 1 ᎏ ϩ ᎏ 3 1 2 ᎏ ϩ . . . ϭ 2 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ 3 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ 5 ϩ . . . Como a 1 ϭ 2 y r ϭ ᎏ 1 4 ᎏ, la suma es igual a ᎏ 1 a Ϫ 1 r ᎏϭ ϭ ᎏ 8 3 ᎏ ϭ 2ᎏ 2 3 ᎏ 2 1 Ϫ ᎏ 1 4 ᎏ g PRECAUCIÓN: Aprenda a evitar estos errores INCORRECTO CORRECTO ᎏ 1 3 ᎏ n ϩ 1 ϭ ᎏ 1 3 ᎏ nϩ1 ϭ ᎏ 1 9 ᎏ ᎏ 1 3 ᎏ nϪ1 ϭ Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ nϪ1 ϭ Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ nϪ1 ϭ 2(1.03) nϪ1 ϭ ᎏ 1 Ϫ 2 1.03 ᎏ 2(1.03) nϪ1 no es una suma finita, porque r ϭ 1.03 Ͼ 1. ∞ ͚ n ϭ 1 ∞ ͚ n ϭ 1 1 1 Ϫ Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ∞ ͚ n ϭ 1 1 1 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ∞ ͚ n ϭ 1 ᎏ 1 9 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ ∞ ͚ n ϭ 1 ∞ ͚ n ϭ 1 1 1 Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ ∞ ͚ k ϭ 1 SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS 239 EJERCICIOS 6-5 Calcule la suma, si existe, de cada serie geométrica infinita. 1. 2 ϩ 1 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ϩ . . . 2. 8 ϩ 4 ϩ 2 ϩ . . . 3. 25 ϩ 5 ϩ 1 ϩ . . . 4. 1 ϩ ᎏ 4 3 ᎏ ϩ ᎏ 1 9 6 ᎏ ϩ . . . 5. 1 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ Ϫ . . . 6. 100 Ϫ 1 ϩ ᎏ 1 1 00 ᎏ Ϫ . . . 7. 1 ϩ 0.1 ϩ 0.01 ϩ . . . 8. 52 ϩ 0.52 ϩ 0.0052 ϩ . . . 9. Ϫ2 Ϫ ᎏ 1 4 ᎏ Ϫ ᎏ 3 1 2 ᎏ Ϫ . . . 10. Ϫ 729 ϩ 81 Ϫ 9 ϩ . . . Explique cuál es el error en cada una de las ecuaciones. 11. ᎏ 1 2 ᎏ n ϩ 1 ϭ 12. (Ϫ 1) n Ϫ 1 ϭ ᎏ 1 Ϫ 1 (Ϫ 1) ᎏϭ ᎏ 1 2 ᎏ 13. Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ n Ϫ 1 ϭ 14. 3(1.02) n Ϫ 1 ϭ ᎏ 1 Ϫ 3 1.02 ᎏ ∞ ͚ n ϭ 1 1 1 Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ ∞ ͚ n ϭ 1 ∞ ͚ n ϭ 1 1 1 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ∞ ͚ n ϭ 1 Decida si la serie geométrica infinita tiene suma o no. Si la tiene, calcúlela con la fórmula S ∞ ϭ ᎏ 1 a Ϫ 1 r ᎏ. 15. ᎏ 1 3 ᎏ k Ϫ 1 16. ᎏ 1 3 ᎏ k 17. ᎏ 1 3 ᎏ k ϩ 1 18. ᎏ 2 n 1 ϩ 1 ᎏ 19. ᎏ 2 n Ϫ 1 2 ᎏ 20. ᎏ 1 1 0 ᎏ k Ϫ 1 21. 2(0.1) k Ϫ 1 22. Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ k Ϫ 1 23. ᎏ 3 2 ᎏ n Ϫ 1 24. Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ n ϩ 2 25. (0.7) k Ϫ 1 26. 5(0.7) k ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ n ϭ 1 ∞ ͚ n ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ n ϭ 1 ∞ ͚ n ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 g 27. 5(1.01)k 28. ᎏ 1 1 0 ᎏ k Ϫ 4 29. 10 ᎏ 2 3 ᎏ k Ϫ 1 30. (Ϫ 1) k 31. (0.45) k Ϫ 1 32. (Ϫ 0.9) k ϩ 1 33. 7Ϫ ᎏ 3 4 ᎏ n Ϫ 1 34. (0.1) 2k 35. Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ 2k Determine una forma racional de cada uno de los siguientes decimales repetitivos, de modo semejante al del ejemplo 4 de esta sección. Compruebe sus respuestas. 36. 0.444 . . . 37. 0.777 . . . 38. 7.777 . . . 39. 0.131313 . . . 40. 13.131313 . . . 41. 0.0131313 . . . 42. 0.050505 . . . 43. 0.999 . . . 44. 0.125125125 . . . 45. Suponga que un pura sangre debe correr una milla, que se divide en una cantidad infinita de partes; esas partes siem- pre se obtienen definiendo el intervalo como ᎏ 2 3 ᎏ de la dis- tancia por recorrer. Entonces, las longitudes de esas partes forman la sucesión ᎏ 2 3 ᎏ, ᎏ 2 9 ᎏ, ᎏ 2 2 7 ᎏ, . . . , ᎏ 3 2 n ᎏ, . . . a) Determine la progresión de tiempo que corrresponde a esas distancias. Suponga que el caballo corre a ᎏ 1 2 ᎏ milla por minuto. b) Demuestre que la suma de los tiempos en la parte (a) es 2 minutos. 46. Una pelota siempre rebota ᎏ 1 3 ᎏ de la altura desde la que cae. Si se deja caer desde una altura de 9 pies, ¿qué distancia recorre hasta que se para? (Revise, al principio de la sec- ción 6-4, un caso semejante). 47. Una sustancia que pesa, inicialmente, 64 gramos, se des- integra con una rapidez tal que después de 4 horas sólo quedan 32 gramos. En otras 2 horas sólo quedan 16 gra- mos; 1 hora después sólo quedan 8 gramos, y así sucesi- vamente; los intervalos de tiempo y las cantidades que quedan forman progresiones geométricas. ¿Cuánto tiem- po pasa en total hasta que no queda nada de la sustancia? ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ n ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 240 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS 48. Después de ponerse en movimiento, cada oscilación de un péndulo, en cualquier dirección, es 40% de lo que recorre en la oscilación anterior. ¿Cuál es la distancia total que el extremo del péndulo recorre hasta que se detiene, si la pri- mera oscilación mide 30 pulgadas? 49. Suponga que un caballo de carreras tarda 1 minuto en re- correr la primera ᎏ 1 2 ᎏ milla de una carrera de 1 milla. Des- pués de ello, la velocidad del caballo varía: en el siguiente ᎏ 1 4 ᎏ de milla tarda ᎏ 2 5 ᎏ de minuto, en el siguiente ᎏ 1 8 ᎏ de milla tarda ᎏ 4 9 ᎏ de minuto, en el siguiente ᎏ 1 1 6 ᎏ de milla tarda ᎏ 4 8 0 1 ᎏ minutos, y así sucesivamente, de tal modo que los interva- los de tiempo forman una progresión geométrica. ¿Por qué el caballo no podrá terminar la carrera? 50. a) ABCD es un cuadrado cuyos lados miden 8 unidades. PQRS es un cuadrado cuyos lados tienen la mitad de la longitud de los del cuadrado ABCD. El cuadrado si- guiente tiene sus lados con la mitad de la longitud de los del cuadrado PQRS. De igual forma, cada cuadra- do interior tiene sus lados igual a la mitad de la longitud de los del cuadrado anterior. Si se continúa sin límite esta sucesión de cuadrados, ¿cuál es la suma de las áreas de los cuadrados de la progresión? b) ¿Cuál es la suma de todos los perímetros? 51. ABC es un triángulo rectángulo isósceles con su ángulo recto en C. P 1 es el punto medio de la hipotenusa AB, y por ello CP 1 divide al triángulo ABC en dos triángulos congruentes. P 2 es el punto medio de BC, y por consi- guiente P 1 P 2 divide al triángulo CBP 1 en dos triángulos congruentes. Este proceso continúa sin fin. a) Si AC ϭCB ϭ4, ¿cuál espera que sea la suma del área de los triángulos identificados con 1, 2, 3. . . ? b) Compruebe el resultado de la parte (a) con una serie geométrica infinita. c) Calcule la suma del área de los triángulos identificados con números impares, y también la de los triángulos identificados con números pares. ¿Cuál es la suma de esas dos sumas? B Q P A D S R C 8 8 g 52. El círculo mayor tiene radio A 1 B ϭ 1. El siguiente círculo tiene radio A 2 B ϭ ᎏ 1 2 ᎏ A 1 B; el siguiente, A 3 B ϭ ᎏ 1 2 ᎏ AB, y así sucesivamente. Si los círculos continúan de este modo, sin fin, ¿cuál es la suma de todas sus áreas? SECCIÓN 6-1 LOS NÚMEROS REALES 241 54. Una pelota se suelta en un carril semicircular donde recorre 8 pies e invierte su dirección. Recorre 6 pies y se regresa. Estos movimientos con regresos continúan indefinidamen- te de tal modo que las distancias recorridas forman una progresión geométrica infinita. Calcule la distancia total re- corrida hasta llegar al reposo. B B C A C A P 1 P 1 P 3 P 5 P 4 P 2 1 2 3 4 5 6 A 1 A 2 A 3 B 53. El triángulo AB 1 C 1 tiene un ángulo recto en C 1 . AC 1 ϭ 9, y B 1 C 1 ϭ3. Los puntos C 2 , C 3 , C 4 , . . . se ubican de tal mo- do que AC 2 ϭ ᎏ 2 3 ᎏ AC 1 , AC 3 ϭ ᎏ 2 3 ᎏ AC 2 , y así sucesivamente. Calcule la suma de las áreas de todos los triángulos rec- tángulos identificados con AB k C k , para k ϭ 1, 2, 3, . . . B 1 C 1 C 2 B 2 C 3 B 3 C 4 B 4 C 5 B 5 A 55. a) Suponga que tiene $2000 en una cuenta de ahorros y gasta 60% en diversos productos. A continuación, su- ponga que los dueños de los almacenes donde compró esos productos gastan también el 60%de lo que les pa- gó, en sus propias compras. Si este proceso continúa al infinito, la cantidad total gastada forma una serie geo- métrica infinita cuyo primer término es 1200. Calcule el gasto total por concepto de compras. b) Suponga que en cada etapa de la parte (a) la cantidad sin gastar se deposita en cuentas de ahorro. Por medio de una serie geométrica infinita, cuyo primer término es 800, calcule los ahorros totales. 56. En cálculo infinitesimal se demuestra que el nímero e ϭ 2.718281 . . . está expresado por la serie infinita e ϭ 1 ϩ 1 ϩ ᎏ 2 1 ! ᎏ ϩ ᎏ 3 1 ! ᎏ ϩ . . . ϩ ᎏ k 1 ! ᎏ ϩ . . . en donde k! ϭ k(k Ϫ 1) (k Ϫ2) . . . 3 и 2 и 1. Calcule e, aproximadamente, suman- do los seis primeros términos de la serie y compare su re- sultado con la forma decimal de e. Con la identidad ᎏ k(k 1 ϩ1) ᎏϭ ᎏ 1 k ᎏ Ϫ ᎏ (kϩ 1 1) ᎏ, calcule la suma ᎏ k(k 1 ϩ 1) ᎏ. Sugerencia: Revise la suma parcial S n ϭ ᎏ k(k 1 ϩ1) ᎏcuando n crece arbitraria- mente). 1. La suma de una progresión geométrica infinita cuyo primer término es igual a 1 y su razón común igual a x se puede escribir 1 ϩ x ϩ x 2 ϩ x 3 ϩ . . . ϭ 1/(1 Ϫ x) n ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 RETO EJERCICIOS PARA CALCULADORA GRAFICADORA g siempre que Έ x Έ Ͻ1. (A esto se le llama representación de 1/(1 Ϫx) como serie de potencias). Grafique las funciones f(x) ϭ 1/(1 Ϫ x), 1 ϩ x, 1 ϩ x ϩ x 2 y 1 ϩx ϩx 2 ϩx 3 en el mismo conjunto de ejes coordenados en Ϫ1 Յx Յ2. ¿Qué nota cuando se agregan más términos a la serie? 2. Agregue tres términos más a la serie del ejercicio 1. Al agregar cada término nuevo, ¿se confirma su observación de ese ejercicio? 3. Repita los ejercicios 1 y 2 con la serie 1 Ϫ x ϩ x 2 Ϫ x 3 ϩ . . . y con la función f(x) ϭ 1/(1 ϩ x) en Ϫ2 Յ x Յ 1. 4. Determine una aproximación de cuatro términos de serie de potencias, de la función 1/(1 ϩ 2x), y confirme su estimado graficándola. ¿Para qué valores de x cree el lector que es válida la representación correspondiente en series de po- tencias, de 1/(1 ϩ 2x)? 1. ¿Qué es mayor, la suma de las n primeras potencias de 2, comenzando con 2 0 , o el único término 2n? Justifique su respuesta. 2. Observe que [2 k Ϫ 1 ϩ (Ϫ2) k Ϫ 1 ] ϭ 2 k Ϫ 1 ϩ (Ϫ2) k Ϫ 1 . Por con- siguiente, la serie de la izquierda se puede evaluar calculando cada una de las de la derecha y sumando los resultados. Haga estos cálculos y con lo obtenido demuestre que la serie de la izquierda se puede escribir en la forma a 1 r k Ϫ1 . 3. Para toda x tal que Έ x Έ Ͻ 1, x k Ϫ 1 es una serie geométrica infinita cuya suma es finita. Por consiguiente, podemos definir la función f mediante f(x) ϭ x k Ϫ 1 para Έ x Έ Ͻ 1. Trace la gráfica de esa función. 4. Diga si la serie ᎏ 3 5 k k ϩ Ϫ 1 1 ᎏes geométrica con razón r, siendo Ϫ1 Ͻr Ͻ1. Si lo es, calcule la suma. Si no lo es, dé una explicación de por qué no lo es. 5. ¿Para qué valores de x la serie geométrica (3x Ϫ 4) k Ϫ 1 tiene suma finita? Calcule la suma para esas x. ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 2n ͚ k ϭ 1 2n ͚ k ϭ 1 2n ͚ k ϭ 1 242 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS 6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Observe estas igualdades y determine un comportamiento 1 ϭ 1 2 1 ϩ 3 ϭ 2 2 1 ϩ 3 ϩ 5 ϭ 3 2 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ 7 ϭ 4 2 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ 7 ϩ 9 ϭ 5 2 RAZONAMIENTO CRÍTICO g ¿Nota usted el comportamiento? La última igualdad muestra que la suma de los pri- meros cinco enteros impares positivos es 5 2 . ¿Qué hay acerca de la suma de los seis primeros enteros impares? La pauta es la misma: 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ 7 ϩ 9 ϩ 11 ϭ 6 2 Parece razonable aventurar que la suma de los n primeros enteros positivos es n 2 ; es- to es, 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ и и и ϩ (2n Ϫ 1) ϭ n 2 Pero una apreciación no es una demostración. En esta sección nuestro objetivo es aprender cómo demostrar una afirmación que implica a una cantidad infinita de ca- sos. Llamemos S n a la enésima igualdad de las anteriores. Así, S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 y S 6 son los seis primeros casos de S n de los que conocemos se cumple el comportamiento. ¿Permiten los seis primeros casos llegar a la conclusión que S n es válida para todos los enteros positivos n? ¡No! No podemos suponer que unos pocos casos espe- ciales garanticen lo que sucede en una cantidad infinita de casos. Si permitiéramos “demostrar mediante un número finito de casos”, podríamos decir que lo que sigue es una “demostración” de que los enteros positivos pares son menores que 100. El primer entero positivo par es 2, y sabemos que 2 Ͻ 100. El segundo es 4, y sabemos que 4 Ͻ 100. El tercero es 6, y 6 Ͻ 100. Por consiguiente, como 2n Ͻ 100 para un número finito de casos, podríamos llegar a la conclusión que 2n Ͻ 100 para toda n. Este resultado erróneo nos debe convencer de que al tratar de demostrar un conjunto de afirmaciones, S n , para todos los enteros positivos n ϭ 1, 2, 3, . . . nece- sitamos hacer más que tan sólo comprobarlas con una cantidad finita de casos. Ne- cesitamos recurrir a un tipo de demostración que se conoce como inducción matemática. Supongamos que hay una fila larga (infinita) de fichas de dominó, cada una de 5 cm de longitud, paradas y formadas de tal modo que la distancia entre dos de ellas sea 4 cm. ¿Cómo se podría hacer caer a todas ellas con el menor esfuerzo? SECCIÓN 6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 243 La respuesta es sencilla. Empuje la primera ficha para que caiga sobre la segunda. Como la primera cae y el espacio entre dos de ellas cualesquiera es menor que la longitud de una ficha, todas ellas finalmente, caerán. La primera hace caer a la se- gunda, la segunda a la tercera y, en general, la késima ficha hace caer a la (k ϩ1)ési- ma. En esta “reacción en cadena” tenemos dos cosas aseguradas: 1. La primera ficha caerá. 2. Si cae cualquier ficha, también caerá la siguiente. g Estas dos condiciones son los lineamientos que se emplean en el principio de in- ducción matemática. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA Sea S k una afirmación para to- do entero positivo n. Supongamos que se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. S k es cierta. 2. Si S k es cierta, entonces S k ϩ 1 es cierta siendo k cualquier entero positivo. Entonces, S k es afirmación cierta, o válida para todo entero positivo n. Observe que no estamos demostrando este principio; es un principio básico que aceptaremos y usaremos para elaborar demostraciones. Es muy importante darse cuenta que en la condición 2 no estamos demostrando que S k sea cierta; más bien debemos demostrar esta proposición: Si S k es cierta, entonces S k ϩ 1 es cierta. En consecuencia, una demostración mediante inducción matemática incluye una de- mostración de que la proposición que S k implica a S k ϩ 1 ; es una demostración dentro de otra demostración. Dentro de esa demostración interna podemos suponer S k y usarla. EJEMPLO 1 Demuestre, mediante inducción matemática, que S n es cierta para to- dos los enteros positivos n, estando S n definida por 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ и и и ϩ (2n Ϫ 1) ϭ n 2 DEMOSTRACIÓN Deben quedar satisfechas las condiciones 1 y 2 del principio de inducción matemática. Comenzaremos con la primera. 1. S 1 es cierta, porque 1 ϭ 1 2 . 2. Supongamos que S k es cierta, siendo k un entero positivo. Esto es, suponemos que 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ и и и ϩ (2k Ϫ 1) ϭ k 2 Deseamos demostrar que S k ϩ 1 , es consecuencia de esta ecuación. Para hacerlo, ve- mos que el siguiente número impar después de 2k Ϫ 1 es 2(k ϩ 1) Ϫ 1 ϭ 2k ϩ 1, que sumamos a la ecuación anterior: 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ и и и ϩ (2k Ϫ 1) ϭ k 2 2k ϩ 1 ϭ 2k ϩ 1 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ и и и ϩ (2k Ϫ 1) ϩ (2k ϩ 1) ϭ k 2 ϩ 2k ϩ 1 Ahora factoricemos k 2 ϩ 2k ϩ 1: 1 ϩ 3 ϩ 5 ϩ и и и ϩ (2k Ϫ 1) ϩ (2k ϩ 1) ϭ (k ϩ 1) 2 Esta es la afirmación S k ϩ 1 . Por consiguiente hemos demostrado que si se conoce S k , entonces S k ϩ1 será consecuencia de S k . Esto, junto con el hecho que S 1 es cierta, nos 244 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS La condición 1 inicia la “reacción en cadena” y la condición 2 la mantiene activa. Al iniciar esta sección aventuramos la fórmula de la suma de los n primeros enteros impares. Ahora demostraremos esa fórmula con inducción matemática, en el ejemplo 1. La cadena comienza al demostrar S k . Ha caído la primera ficha. Suponemos que S k es cierta para ver que efecto tiene sobre el siguiente caso S k ϩ 1 . Podemos comparar lo anterior cuando vemos lo que sucede cuando cae la késima ficha de dominó. g permite decir que S n es cierta para toda n, de acuerdo con el principio de inducción matemática. EJEMPLO 2 Demuestre que la suma de los cuadrados de los n primeros enteros po- sitivos es ᎏ n(n ϩ 1) 6 (2n ϩ 1) ᎏ. DEMOSTRACIÓN Sea S n la afirmación 1 2 ϩ 2 2 ϩ 3 2 ϩ и и и ϩ n 2 ϭ ᎏ n(n ϩ 1) 6 (2n ϩ 1) ᎏ (suma de los n primeros cuadrados) para todo entero positivo n, 1. S 1 es cierta porque 1 2 ϭ ᎏ 1(1ϩ1) 6 (2и1ϩ1) ᎏ 2. Supongamos que S k es cierta para k. Esto es, suponemos que 1 2 ϩ 2 2 ϩ 3 2 ϩ и и и ϩ k 2 ϭ ᎏ k(kϩ1) 6 (2kϩ1) ᎏ Debemos demostrar que S k ϩ 1 es consecuencia de esto. Para hacerlo, sumamos el siguiente cuadrado, (k ϩ 1) 2 , a los dos lados. (A) 1 2 ϩ 2 2 ϩ 3 2 ϩ и и и ϩ k 2 ϩ (k ϩ 1) 2 ϭ ᎏ k(kϩ1) 6 (2kϩ1) ᎏϩ (k ϩ 1) 2 Combinamos el lado derecho. ᎏ k(kϩ1) 6 (2kϩ1) ᎏϩ (k ϩ 1) 2 ϭ ϭ ϭ ᎏ (kϩ1)(2k 6 2 ϩ7kϩ6) ᎏ ϭ ᎏ (kϩ1)(kϩ 6 2)(kϩ3) ᎏ Sustituimos en la ecuación (A). 1 2 ϩ 2 2 ϩ 3 2 ϩ и и и ϩ (k ϩ 1) 2 ϭ Para ver que esto es igual a S k ϩ 1 , reformulamos el lado derecho: 1 2 ϩ 2 2 ϩ 3 2 ϩ и и и ϩ (k ϩ 1) 2 ϭ Se han satisfecho las dos condiciones del principio de inducción matemática, y en consecuencia 1 2 ϩ 2 2 ϩ 3 2 ϩ и и и ϩ n 2 ϭ ᎏ n(nϩ1) 6 (2nϩ1) ᎏ es cierta para todos los enteros n Ն 1. (kϩ1)[(kϩ1)ϩ1][2(kϩ1)ϩ1] ᎏᎏᎏ 6 (kϩ1)(kϩ2)(2kϩ3) ᎏᎏᎏ 6 (kϩ1)[k(2kϩ1)ϩ6(kϩ1)] ᎏᎏᎏ 6 k(kϩ1)(2kϩ1)ϩ6(kϩ1) 2 ᎏᎏᎏ 6 SECCIÓN 6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 245 Observe que los primeros k ϩ 1 cuadrados a la izquierda se suman, y en la derecha tenemos la forma requerida en términos de k ϩ 1. Ά g En los ejemplos 1 y 2 vimos ecuaciones que se confirmaron mediante la inducción matemática. Sin embargo, este principio también se emplea en otros casos matemáti- cos. En el ejemplo que sigue demostraremos su aplicación cuando interviene una desigualdad. Observe también que en el ejemplo 3 la demostración comienza confir- mando S 2 , y no S 1 . Esto es un uso aceptable del principio de inducción, siempre que también confirmemos la parte (2). De hecho, si reemplazamos S 1 en una demostra- ción por inducción por S a , en donde a es cualquier entero positivo fijo, y la parte (2) demuestra que S k implica a S k ϩ 1 para toda k Ն a, entonces S n es válida para toda n Ն a. EJEMPLO 3 Sea t Ͼ0; demuestre, con inducción matemática, que (1 ϩt) n Ͼ1 ϩnt para todo entero positivo n Ն 2. DEMOSTRACIÓN Sea S n la afirmación (1 ϩ t) n Ͼ 1 ϩ nt, donde t Ͼ 0 y n cualquier entero tal que n Ն 2. 1. Cuando n ϭ 2, (1 ϩ t) 2 ϭ 1 ϩ 2t ϩ t 2 . Como t 2 Ͼ 0, obtenemos 1 ϩ 2t ϩ t 2 Ͼ 1 ϩ 2t porque (1 ϩ 2t ϩ t 2 ) Ϫ (1 ϩ 2t) ϭ t 2 Ͼ 0. a Ͼ b quiere decir que a Ϫ b Ͼ 0. 2. Suponga que para k Ն 2 se cumple (1 ϩ t) k Ͼ 1 ϩ kt. Multiplicamos ambos lados por el número positivo (1 ϩ t) (1 ϩ t) k (1 ϩ t) Ͼ (1 ϩ kt)(1 ϩ t) Entonces (1 ϩ t) k ϩ 1 Ͼ 1 ϩ (k ϩ 1)t ϩ kt 2 Pero 1 ϩ (k ϩ 1)t ϩ kt 2 Ͼ 1 ϩ (k ϩ 1)t. Por consiguiente, por la transitividad de la desigualdad Ͼ, (1 ϩ t) k ϩ 1 Ͼ 1 ϩ (k ϩ 1)t De acuerdo con (1) y (2) anteriores, el principio de inducción matemática implica que (1 ϩ t) n Ͼ 1 ϩ nt para todos los enteros n Ն 2. 246 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS Compruebe algunos casos específicos. Con una calculadora verifique los siguientes: (1.02) 2 Ͼ 1 ϩ 2(0.02) (1.001) 2 Ͼ 1 ϩ 2(0.001) (1.00054) 2 Ͼ 1 ϩ 2(0.00054) En este caso nuestro objetivo es demostrar que (1 ϩ t) k ϩ 1 Ͼ 1 ϩ (k ϩ 1)t. EJERCICIOS 6-6 Demuestre, mediante inducción matemática, las siguientes ecua- ciones para todo entero positivo n. 1. 1 ϩ2 ϩ3 ϩ и и и ϩ n ϭᎏ n(n 2 ϩ1) ᎏ 2. 2 ϩ4 ϩ6 ϩи и и ϩ2n ϭn(n ϩ1) 3. 3t ϭᎏ 3n(n 2 ϩ1) ᎏ 4. 1 ϩ4 ϩ7 ϩи и и ϩ(3n Ϫ2) ϭᎏ n(3n 2 Ϫ1) ᎏ 5. ᎏ 5 3 ᎏ ϩᎏ 4 3 ᎏ ϩ1 ϩи и и ϩϪᎏ 1 3 ᎏ n ϩ2 ϭᎏ n(11 6 Ϫn) ᎏ n ͚ k ϭ 1 6. 1 и 2 ϩ2 и 3 ϩ3 и 4 ϩи и и ϩn(n ϩ1) ϭ ᎏ n(n ϩ 1 3 )(n ϩ 2) ᎏ 7. ᎏ 1 1 и 2 ᎏϩᎏ 2 1 и 3 ᎏϩᎏ 3 1 и 4 ᎏϩи и и ϩᎏ n(n 1 ϩ1) ᎏϭᎏ n ϩ n 1 ᎏ 8. 3 ϩ3 2 ϩ3 3 ϩи и и ϩ3 n ϭᎏ 3 n ϩ 2 1 Ϫ3 ᎏ 9. Ϫ2 Ϫ4 Ϫ6 Ϫи и и Ϫ2n ϭϪn Ϫn 2 10. 1 ϩᎏ 1 2 ᎏ ϩᎏ 2 1 n ᎏ ϩи и и ϩᎏ 2 n 1 ϩ1 ᎏϭ21 Ϫᎏ 2 1 n ᎏ 11. 1 ϩ ᎏ 2 5 ᎏ ϩ ᎏ 2 4 5 ᎏ ϩ и и и ϩ ᎏ 2 5 ᎏ n Ϫ 1 ϭ ᎏ 5 3 ᎏ ΄1 Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ n ΅ g 12. 1 Ϫᎏ 1 3 ᎏ ϩ ᎏ 1 9 ᎏ ϩи и и ϩϪᎏ 1 3 ᎏ n Ϫ 1 ϭᎏ 3 4 ᎏ ΄1 ϪϪᎏ 1 3 ᎏ n ΅ 13. 1 3 ϩ2 3 ϩ3 3 ϩи и и ϩn 3 ϭᎏ n 2 (n 4 ϩ1) 2 ᎏ 14. ¿Cuáles de los ejercicios anteriores (1 al 13) se pueden demostrar también con la fórmula de la suma de una pro- gresión aritmética? ¿Cuáles se pueden demostrar con la fórmula de la suma de una progresión geométrica? Haga uso de la inducción matemática para demostrar la ecuación, para todos los enteros positivos n Ն 1. 15. a r Ϫ 1 ϭᎏ a(1 1 Ϫ Ϫ r r n ) ᎏ, r 1 16. [a ϩ(i Ϫ1)d] ϭᎏ n 2 ᎏ [2a ϩ(n Ϫ1)d] 17. Demuestre, con inducción matemática, que 2 n Ͼ 4n para n Ն5. 18. Demuestre, con inducción matemática, que ᎏ 3 4 ᎏ n Ͻ ᎏ 3 4 ᎏ para n Ն2. 19. Emplee inducción matemática para demostrar que a n Ͻ1, donde 0 Ͻa Ͻ1, para n Ն1. 20. Sea 0 Ͻ a Ͻ 1. Demuestre, con inducción matemática, que a n Ͻa para todos los enteros n Ն2. 21. Sean a y b números reales. Emplee inducción matemática para demostrar que (ab) n ϭ a n b n para todos los enteros positivos n. 22. Demuestre, con inducción matemática, que la propiedad distributiva generalizada a(b 0 ϩb 1 ϩи и и ϩb n ) ϭab 0 ϩ ab 1 ϩи и и ϩab n para todos los enteros positivos n, don- de a 1 y b 1 son números reales. (Suponga que los parénte- sis se pueden intercalar o sacar de una suma indicada de números reales). 23. Presente una demostración inductiva de a 0 ϩ a 1 ϩ и и и ϩa n Յa 0 ϩa 1 ϩи и и ϩa n para todos los enteros positivos n, en donde a 1 son números reales. 24. Emplee inducción para demostrar que si a 0 a 1 . . . a n ϭ0, cuando menos uno de los factores es cero, para todos los enteros positivos n. Suponga que se pueden intercalar o sacar paréntesis en o de un producto indicado de números reales. 25. a) Demuestre, por inducción, que ᎏ a a n Ϫ Ϫ b b n ᎏϭ a n Ϫ1 ϩa n Ϫ2 b ϩ . . . ϩab n Ϫ2 ϩb n Ϫ1 para todos los enteros n Ն2. Sugerencia: Considere ᎏ a n ϩ 1 a Ϫ Ϫ b b n ϩ 1 ᎏϭᎏ a n a a Ϫ Ϫ b b n b ᎏϭ a n a Ϫb n a ϩb n a Ϫb n b ᎏᎏᎏ a Ϫb n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 SECCIÓN 6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 247 b) ¿Cómo expresa el resultado la factorización de la dife- rencia de dos enésimas potencias? 26. Sea u n la sucesión tal que u 1 ϭ1, u 2 ϭ1 y u n ϩ1 ϭu n Ϫ1 ϩ u n para n Ն2. (Es la sucesión de Fibonacci, vea el ejercicio 38, página 216.) Con inducción matemática demuestre que para todo entero positivo u, u 1 ϭu n ϩ2 Ϫ1. 27. a) Complete las igualdades 1 ϭ 1 ϩ2 ϩ1 ϭ 1 ϩ2 ϩ3 ϩ2 ϩ1 ϭ 1 ϩ2 ϩ3 ϩ4 ϩ3 ϩ2 ϩ1 ϭ 1 ϩ2 ϩ3 ϩ4 ϩ5 ϩ4 ϩ3 ϩ2 ϩ1 ϭ b) Use los resultados de la parte (a) para adivinar la suma en el caso general. 1 ϩ2 ϩ3 ϩи и и ϩ(n Ϫ1) ϩn ϩ(n Ϫ1) ϩи и и ϩ 3 ϩ2 ϩ1 ϭ c) Demuestre la parte (b) por inducción matemática. 28. a) La columna de la izquierda contiene varios puntos en el plano, sin que haya tres de ellos que sean colineales. La columna de la derecha contiene la cantidad de líneas dis- tintas que quedan determinadas por los puntos. Comple- te esa información para los tres últimos casos. n ͚ i ϭ 1 Cantidad de puntos Cantidad de líneas 2 1 3 3 4 5 6 b) Observe que cuando hay 4 puntos, hay 6 ϭᎏ 4( 2 3) ᎏlíneas. Escriba ecuaciones semejantes cuando hay 2, 3, 5 o 6 puntos. c) Adivine cuántas líneas hay para n puntos, sin que haya tres de ellos colineales. Demuestre la conjetura median- te inducción matemática. 29. Demuestre mediante inducción matemática, que 7 n Ϫ1 es divisible entre 6, cuando n Ն1. (Sugerencia: Un número di- visible entre 6 se puede escribir como 6b, si es entero). 30. Demuestre mediante inducción matemática, que 7 n Ϫ 4 es divisible entre 3, cuando n Ն1. (Sugerencia: Un número di- visible entre 3 se puede escribir como 3b, si es entero). g En el ejercicio 29 se le pidió demostrar que 7 n Ϫ1 es divisible entre 6 cuando n Ն1. Demuestre este resultado sin recurrir a la inducción matemática. En sus propias palabras, explique por qué son esenciales las dos partes del prin- cipio de inducción matemática. EJERCICIOS DE REPASO Sección 6-1 Sucesiones 1. Enuncie la definición de una sucesión. ¿Qué quiere decir que una sucesión sea infinita? 2. El dominio de una sucesión consiste en los enteros 1, 2, 3, 4 y 5. Escriba los valores correspondientes del rango cuando a n ϭ3n Ϫ2. 3. Escriba los siete primeros términos de la sucesión expre- sada por 1 Ϫᎏ 1 n ᎏ a . Redondee a tres decimales cuando sea necesario y calcule las diferencias a n Ϫa n Ϫ 1 cuando n ϭ 2, 3, . . . , 7. Escriba los cinco primeros términos de cada sucesión. 4. a n ϭ3n Ϫ(Ϫ1) n 5. b k ϭᎏ k(k ϩ 2 2) ᎏ 6. a n ϭϪᎏ 1 2 ᎏ n Ϫ 2 7. a n ϭᎏ n( ( n Ϫ ϩ 2) n 1) ᎏ 8. Calcule el décimo término de la sucesión 2, 1, ᎏ 4 5 ᎏ, . . . , ᎏ 2 n n ϩ Ϫ 1 1 ᎏ, . . . 9. Sea a n el enésimo término de una sucesión, definida por a 1 ϭ 5 y a n ϭ 2a n Ϫ 1 para n Ͼ 1. Calcule los cinco primeros términos de esta sucesión. 10. Escriba las cinco primeras potencias de Ϫ3 y deduzca la fórmula para el enésimo término. Sección 6-2 Sumas de sucesiones finitas 11. Explique el significado del símbolo a i . Calcule la suma de los seis primeros términos: 12. a n ϭ5n 13. a k ϭ(Ϫ1) k (k ϩ1) 14. Calcule b n donde b n ϭᎏ 2n n Ϫ1 ᎏ 5 ͚ n ϭ 1 n ͚ i ϭ 1 Evalúe: 15. (3k Ϫ1) 16. (n 2 ϩn) 17. Exprese la serie 4 ϩ 8 ϩ 12 ϩ 16 ϩ 20 ϩ 24 con notación de sumatoria. Sección 6-3 Progresiones aritméticas 18. Enuncie la definición de una progresión aritmética. 19. ¿Cuál es el enésimo término de una progresión aritmética cuyo primer término es a 1 y cuya diferencia común es d? 20. Determine el enésimo término de la progresión aritmética 10, 3, Ϫ4, . . . 21. El primer término de una progresión aritmética es 12, y el quinto es Ϫ8. Calcule el vigésimo término. 22. Enuncie la fórmula de la suma de una progresión aritméti- ca cuyo primer término es a 1 y cuya razón común es d. 23. Calcule S 30 de la progresión aritmética cuyo primer térmi- no es a 1 ϭ5 y cuya diferencia común es d ϭϪ3. 24. Calcule la suma de los 1000 primeros términos de la pro- gresión aritmética que comienza con 257, 269, 281, . . . 25. Evalúe: a) (Ϫ3k ϩ5) b) Ϫᎏ 1 3 ᎏ k ϩ5 26. Calcule la suma de todos los múltiplos de 5 entre 9 y 297. 27. ¿Qué quiere decir la media aritmética de dos números a 1 y a 2 ? 28. Intercale cuatro medias aritméticas entre 8 y 43. Sección 6-4 Progresiones geométricas 29. ¿Qué quiere decir una progresión geométrica? 30. ¿Cuál es el enésimo término de una progresión geométri- ca cuyo primer término es a 1 y cuya razón común es r? 31. ¿Cuál es el centésimo término de la progresión geométrica que tiene r ϭᎏ 1 3 ᎏ y a 1 ϭᎏ 1 3 ᎏ? 40 ͚ k ϭ 1 40 ͚ k ϭ 1 5 ͚ n ϭ 1 4 ͚ k ϭ 1 248 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS RETO REDACCIÓN g Evalúe, de ser posible. 46. ᎏ 10 k 5 ϩ 1 ᎏ 47. (Ϫ1) i 5 i 48. Exprese en forma a/b al decimal repetitivo 0.727272 . . . . donde ᎏ a b ᎏ son números enteros. 49. Al ponerlo en movimiento, cada oscilación en cualquier dirección de un péndulo tiene el 60% del recorrido de la oscilación previa. ¿Cuál es la distancia total que el extre- mo del péndulo recorre hasta llegar al reposo, si la prime- ra oscilación tiene una trayectoria de 40 pulgadas? Sección 6-6 Inducción matemática 50. Para demostrar una aseveración S n es cierta para todo entero positivo n, ¿que condiciones debe satisfacer, de acuerdo con el principio de la inducción matemática? Demuestre, con inducción matemática, que la ecuación es cier- ta para todo entero positivo n. 51. 3 ϩ6 ϩ9 ϩи и и ϩ3n ϭᎏ 3 2 ᎏ n(n ϩ1) 52. 3 ϩ6 ϩ12 ϩи и и ϩ3 и 2 n Ϫ 1 ϭ3(2 n Ϫ1) 53. ᎏ 1 1 и 3 ᎏϩᎏ 3 1 и 5 ᎏϩᎏ 5 1 и 7 ᎏϩи и и ϩᎏ (2n Ϫ1) 1 (2n ϩ1) ᎏϭ ᎏ 2n n ϩ1 ᎏ 54. 1 ϩᎏ 1 3 ᎏ ϩᎏ 3 1 2 ᎏ ϩи и и ϩᎏ 3 n 1 Ϫ 1 ᎏϭᎏ 3 2 ᎏ 1Ϫᎏ 3 1 n ᎏ 55. Emplee inducción matemática para demostrar que 3 n Ͼ 27n para todo entero n Ն5. 56. Emplee inducción matemática para demostrar que n 2 ϩ 3n es entero par, si n es cualquier entero positivo. (Recuer- de que un entero positivo, b, es par, si b ϭ 2k para algún entero k). ∞ ͚ i ϭ 1 ∞ ͚ k ϭ 1 Se tiene la progresión geométrica 12, Ϫ8, ᎏ 1 3 6 ᎏ, . . . 32. Determine el enésimo término. 33. Calcule el octavo término. 34. Escriba el késimo término de la progresión geométrica a k ϭᎏ 1 3 ᎏ 3k en la forma a 1 r k Ϫ 1 y calcule el valor de a 1 y r. 35. Una progresión geométrica tiene a 1 ϭ36 y a 5 ϭᎏ 9 4 ᎏ. Calcu- le r. 36. Escriba una fórmula para a 1 r k Ϫ 1 . 37. Evalúe: a) 2 1 1 0 ᎏ k ϩ 1 b) 2Ϫᎏ 1 1 0 ᎏ k ϩ 1 38. Un rollo con 800 pies de alambre se corta repetidamente, y cada vez se le quita la cuarta parte de la longitud que le queda. ¿Cuál es el término general de la sucesión que expresa la longitud de alambre que queda? Calcule la lon- gitud que queda después de 8 cortes. 39. ¿Cuáles son las medias geométricas entre dos números a y b? 40. Intercale tres medias geométricas entre 6 y 96. Sección 6-5 Series geométricas infinitas 41. ¿Cuál es la enésima suma parcial de una progresión geo- métrica infinita? Cite un ejemplo específico. 42. Escriba la fórmula para calcular la suma de una progre- sión geométrica infinita y cite las condiciones de la razón común r. Calcule la suma de las series geométricas infinitas: 43. 36 ϩ24 ϩ16 ϩ. . . 44. 48 Ϫ12 ϩ3 Ϫ. . . 45. Explique por qué la serie geométrica infinita 2ᎏ 5 3 ᎏ k Ϫ 1 no tiene suma finita. ∞ ͚ k ϭ 1 7 ͚ k ϭ 1 7 ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 EJERCICIOS DE REPASO 249 g g Respuestas a los ejercicios 251 CAPÍTULO 1 Ejercicios 1-1 1. a Cierto b. Falso; (3x)(4y) ϭ 12x 2 c. Falso; 2(5 Ϫ 4y) ϭ 10 Ϫ 8y d. Falso; Ϫ(x ϩ y) ϭϪx Ϫ y e. Falso; 5x Ϫ (2 Ϫ 3x) ϭ 5x Ϫ 2 ϩ 3x ϭ 8x Ϫ 2 f. Falso; 5 Ϫ 2x 3x, 5 Ϫ 2x no puede simplificarse. g. Falso, Ϫ3(x Ϫ 2y) ϭϪ3x ϩ 6y h. Falso; (Ϫa)(Ϫb)(Ϫc) Ϭ (Ϫd) ϭ abc Ϭ d i. Cierto j. Cierto k. Falso, (Ϫx)(Ϫy) ϭ xy l. Cierto m. Falso; únicamente verdadero si x 0. 3. Ϫ4 5. 21 7. 3 9. 7 11. Ϫ30 13. Ϫ10 15. 12 17. 3x ϩ 6y 19. 4x Ϫ 2y 21. Ϫx ϩ 6 23. 3x Ϫ 12 25. 2x ϩ 4 27. Ϫxy ϩ 6x 29. 6x Ϫ 2y 31. Ϫ3x ϩ 4z 33. 5x Ϫ 3y 35. 43 Ϫ 22y 37. xyz 39. 2x 2 ϩ 6x 41. Ϫ6a ϩ 2a 2 43. 2x 2 ϩ 8x 45. Ϫx 2 ϩ 4x Ϫ 2 47. 1 49. x Ϫ 2y 51. 8x Ϫ 4 53. 0 55. 1 ϩ 2/x 57. Ϫ3/2 ϩ 1/2x 59. 1/y ϩ 1/x Ejercicios 1-2 1. a. Cierto b. Falso; x/3 ϩ x/4 ϭ 7x/12 c. Falso; a/b ϩ c/d ϭ (ad ϩ bc)/bd d. Cierto e. Cierto f. Falso; (a/b) Ϭ [(c/d) Ϭ (e/f )] ϭ ade/bcf g. Falso; 1/a ϩ 1/b ϭ (b ϩ a)/ab h. Falso; x/(x ϩ y) ϭ 1/(1 ϩ yx Ϫ1 ) i. Falso; (ᎏ 6 7 ᎏ)(ᎏ 8 9 ᎏ) ϭ (6 ؒ 8)/(7 ؒ 9) ϭᎏ 4 6 8 3 ᎏ j. Cierto 3. 10 5. ᎏ 2 7 ᎏ 7. 35x/36 9. 10x 2 /3 11. ᎏ 3 3 5 ᎏ 13. ᎏ 2 9 5 ᎏ 15. 10/3y 17. 45/32x 2 19. 45/2x 21. x/y 23. y/6x 25. 4t 27. 16t 3 /9 29. 1/6 31. 3/2x 33. (3y ϩ 2)/6x 35. 7a/18b 37. (9y Ϫ 5x)/30x 2 39. (x 2 z ϩ xy 2 ϩ yz 2 )/xyz 41. (x 2 ϩ 12y 2 )/3y 43. (x 2 ϩ x Ϫ 4)/6x 45. (x 2 ϩ 4)/12 47. Ϫ1/2 49. 10/27 51. 5/2 53. 19x/44y 55. 23a/31b 57. 40a/87b Ejercicios 1-3 1. 2 10 ϭ 1024 3. a 21 5. Ϫx 10 7. y 7 9. 1/a 2 11. 9/x 5 13. 32/x 15. x 10 y 7 z 3 17. x 4 /y 2 19. x 2 y 21. 16 23. 3 6 ϭ 729 25. x 7 27. x 2 29. 1 31. Ϫx 9 33. 1/x 8 y 5 35. Ϫ8y 2 37. Ϫ3 39. 4b/a 11 41. x 6 Ϫ 2x 3 43. 2x 6 ϩ 6 45. 2x 6 Ϫ x 5 Ϫ 3x 2 47. 2x/(x ϩ 2) 49. 1/(x ϩ y) 51. 15/4x 2 53. (9y 2 ϩ 4x 2 )/30x 3 y 55. 5x 2 /6 57. 3x 4 /8y 2 59. 6/y 2 61. (x 2 ϩ 1)/x 2 Ejercicios 1-4 1. 10/3 3. Ϫ2/3 5. 1/8 7. 9 9. 5/4 11. Ϫ2 13. 3 15. 1/27 17. 2.5 19. 4 21. 2/3 23. 4 25. 1/18 27. 8x 3 29. 2x/y 2 31. 2͙xෆ 33. ͙ 3 xෆ 35. x 4/7 y 1/5 37. p 4 q 8 39. 6x 11/6 /y 7/20 41. 11͙5ෆ 43. 2͙2ෆ 45. 14͙7ෆ 47. 2͙5ෆ 49. a Ϫ5/6 51. 1 53. 1 55. 3 3n 57. a. Falso b. Cierto c. Cierto d. Cierto e. Falso f. Falso g. Falso h. Falso i. Falso j. Falso k. Cierto p g Ejercicios 1-5 1. 3a ϩ 10b ϩ 6 3. 5͙aෆ ϩ 3͙bෆ 5. t 3 ϩ 12t 2 ϩ 3t Ϫ 5 7. ͙xෆ ϩ 3͙2ෆy 9. 14x ϩ 22y 11. 9x ϩ 3y 13. 2x 3 Ϫ 2x 2 y ϩ 3xy 2 Ϫ y 3 15. xy ϩ 2x Ϫ 3y Ϫ 6 17. 6xy Ϫ 8x ϩ 3y Ϫ 4 19. 3a 2 ϩ 2a Ϫ 8 21. 2x 3 ϩ x 2 Ϫ 8x ϩ 21 23. x 2 Ϫ 16 25. 4t 2 Ϫ 25x 2 27. x Ϫ 9y 29. x 2 ϩ y 2 ϩ 2xy Ϫ z 2 31. x 5 Ϫ x 3 ϩ 2x 2 Ϫ 2 33. x 5 ϩ 2x 3 Ϫ x 2 Ϫ 2 35. y 2 ϩ 12y ϩ 36 37. 4x 2 ϩ 12xy ϩ 9y 2 39. 2x 2 Ϫ 2x͙6ෆyෆ ϩ 3y 41. 8x 2 ϩ 18y 2 43. 2x 3 y ϩ 2xy 3 45. 3x 2 ϩ 135x Ϫ 90 47. 2a 3 ϩ 8a 49. 2x 2 Ϫ 3x/2 51. x ϩ 7 Ϫ ϩ 53. t 3/2 Ϫ 2͙tෆ ϩ 7/͙tෆ 55. 4x Ϫ 2y 57. x Ϫ 3 59. t ϩ 1 ϩ 61. x 2 ϩ 1 ϩ 63. x 2 Ϫ 2x ϩ 3 ϩ Ejercicios 1-6 1. 3(a ϩ 2b) 3. 2y(2x Ϫ 3z) 5. (2 Ϫ a)(u Ϫ) 7. (x Ϫ 2)(y ϩ 4) 9. (3 ϩ p)(x Ϫ y) 11. 2(3x Ϫ 2y)(z Ϫ 4) 13. (x Ϫ 4)(x ϩ 4) 15. 3(t Ϫ 6a)(t ϩ 6a) 17. xy(x Ϫ 5y)(x ϩ 5y) 19. (x ϩ 1)(x ϩ 2) 21. (x ϩ 2)(x Ϫ 1) 23. (x Ϫ 2)(x ϩ 1) 25. (x Ϫ 6)(x Ϫ 9) 27. (x Ϫ 11)(x Ϫ 1) 29. 2(x Ϫ 2)(x ϩ 3) 31. 5y 2 (y ϩ 7)(y Ϫ 2) 33. (2x ϩ 3)(x ϩ 1) 35. (2x ϩ 3) 2 37. (x Ϫ 3)(5x Ϫ 2) 39. (5x ϩ 2)(2x Ϫ 3) 41. (q ϩ 4)(3q ϩ 8) 43. 2xy(x Ϫ 1)(3x ϩ 5) 45. (x ϩ y)(x ϩ 5y) 47. (p Ϫ 5q)(p ϩ 4q) 49. (2t Ϫ 3u)(t ϩ 2u) 51. (2a Ϫ 3b)(3a ϩ 5b) 53. (x Ϫ 3)(x 2 ϩ 3x ϩ 9) 55. (3u ϩ 2)(9u 2 Ϫ 6u ϩ 4 2 ) 57. xy 2 (4x Ϫ 3y)(16x 2 ϩ 12xy ϩ 9y 2 ) 59. (x Ϫ 3)(x ϩ 3)(y Ϫ 2)(y ϩ 2) 61. (x Ϫ 2)(x ϩ 2)(x 2 ϩ z 2 ) 63. (x ϩ y)(x 2 ϩ y 2 ) 65. 5x(x ϩ y) 3 (3x Ϫ 2y) 3 3 ᎏ 2x ϩ 1 3 ᎏ x ϩ 2 2 ᎏ t Ϫ 1 4 ᎏ x 2 5 ᎏ x 67. (x ϩ y ϩ 1)(x ϩ y ϩ 2) (Sugerencia: Haga x ϩ y ϭ u). 69. (3a Ϫ 3b ϩ 2)(a Ϫ b ϩ 1) 71. (x n ϩ 2)(3x n ϩ 1) (Sugerencia: Haga x n ϭ u). 73. (x Ϫ͙2ෆy)(x ϩ͙2ෆy)(x 2 ϩ 2y 2 Ϫ͙2ෆxy)(x 2 ϩ2y 2 ϩ͙2ෆxy) 75. (͙3ෆx Ϫ͙2ෆ)(͙3ෆx ϩ͙2ෆ) 77. (x 2 ϩ 2y 2 Ϫ 2xy)(x 2 ϩ 2y 2 ϩ 2xy) 79. (x ϩ y)(x 4 Ϫ x 3 y ϩ x 2 y 2 Ϫ xy 3 ϩ y 4 ) Ejercicios 1-7 1. 2 3. x Ϫ 2 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. l9. (x Ϫ 1)(x ϩ 2) 21. 23. 25. 3 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. ᎏ 1 2 ᎏ (͙5ෆ ϩ͙1ෆ0ෆ Ϫ͙3ෆ Ϫ͙6ෆ) 45. 47. 49. ͙xෆϩෆ 2 ෆ ϩ͙2ෆ 51. (Ϫ2/3)(͙xෆϩෆ 3 ෆ ϩ 2͙xෆ) 53. 11/(5 ϩ͙3ෆ) 55. 1/(͙xෆϩෆ h ෆ ϩ͙xෆ) Ejercicios de repaso del capítulo 1 1. a. Falso; a m b n no puede simplificarse por leyes de exponentes. b. Falso; a m ϩ b m (a ϩ b) m . Por ejemplo, (a ϩ b) 2 ϭ a 2 ϩ 2ab ϩ b 2 y no a 2 ϩ b 2 . c. Verdadero d. Falso; (a Ϫ b) 2 ϭ a 2 Ϫ 2ab ϩ b 2 e. Falso; Ϫ2(a ϩ b) ϭ Ϫ2a Ϫ 2b f. Falso; g. Falso; ͙aෆ Ϫ ෆb ෆ ͙aෆ Ϫ͙bෆ. Por ejemplo, si a ϭ 25, b ϭ 9, entonces ͙aෆ Ϫ ෆb ෆ ϭ͙2ෆ5ෆ Ϫ ෆ9 ෆ ϭ 4 y ͙aෆ Ϫ͙bෆ ϭ 5 Ϫ 3 ϭ 2; es claro que 4 2. h. Falso; (a ϩ 2b)/a ϭ 1 ϩ 2b/a i. Verdadero j. Falso; (1/a) Ϫ (1/b) ϭ (b Ϫ a)/ab ͙xෆ ϩ͙yෆ ᎏᎏ x Ϫ y 3 Ϫ͙3ෆ ᎏ 2 3 Ϫ͙7ෆ ᎏ 2 Ϫ1 ᎏ x(x ϩ h) Ϫ(x 2 ϩ y 2 ) ᎏᎏ (x ϩ y) 2 (x ϩ y) 2 ᎏ xy (x Ϫ 1)(x ϩ 2) ᎏᎏ (x Ϫ 2)(x Ϫ 5) x 2 Ϫ 1 ᎏ x Ϫ 2 (x Ϫ 1)(2x Ϫ 1) ᎏᎏ (x ϩ 1) 2 2 ᎏ x Ϫ 1 (x ϩ 2)(2x Ϫ 1) ᎏᎏ (x Ϫ 2)(2x ϩ 1) Ϫ2 ᎏ 3(x ϩ 1) 10 ϩ 4x Ϫ 2x 2 ᎏᎏᎏ (x ϩ 3)(x ϩ 1)(x Ϫ 1) x 2 ϩ 3 ᎏᎏ (x Ϫ 1) 2 (x ϩ 3) 2 ᎏᎏᎏ (x Ϫ 1)(x Ϫ 2)(x Ϫ 3) 2 Ϫ x ᎏᎏ (2x Ϫ 1)(x ϩ 1) 3 ϩ 4x Ϫ 3x 2 ᎏᎏ x 2 Ϫ 1 2(x 2 ϩ x ϩ 3) ᎏᎏ (x ϩ 2)(2x Ϫ 1) (5x ϩ 7) ᎏ (x ϩ 2) 252 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS p g k. Falso; ϭ ᎏ a b ᎏ ؒ ᎏ 1 c ᎏ l. Falso; (2a) 5 ϭ 2 5 a 5 ϭ 32a 5 m. Verdadero n. Verdadero o. Verdadero p. Verdadero q. Verdadero r. Falso; un número racional puede expresarse como un decimal que se trunca o que se repite. 3. 3/2 10 5. 7. (Ϫ27/2)x 13 y 6 9. 1/x 11. 6x 11/16 /y 7/20 13. x 2abϪ2bc 15. 17. 19. 21. 23. 25. 3(x Ϫ 5y)(x ϩ 5y) 27. (3x Ϫ 5)(2x ϩ 3) 29. (x Ϫ 1)(x ϩ 2) 31. (k ϩ 5)(k Ϫ 4) 33. (4x Ϫ 3)(2x Ϫ 3) 35. (y ϩ 5)(y Ϫ 2) 37. 3(a ϩ 3)(a Ϫ 1) 39. Ϫ3(4x ϩ 7) 41. x ϩᎏ 2 x ᎏ x 2 Ϫ 2 ϩᎏ x 4 2 ᎏ CAPÍTULO 2 Ejercicios 2-1 1. Sí 3. No 5. 2 es solución y 5 no 7. No 9. No 11. 10x 2 Ϫ x Ϫ 7 ϭ 0; grado 2 13. y Ϫ 6 ϭ 0; grado 1 15. 1 17. Ϫ2 19. 4 21. ᎏ 1 3 7 ᎏ 23. Ϫ1 25. Ϫ10 27. Ϫᎏ 1 7 9 ᎏ 29. Ϫᎏ 1 5 3 0 ᎏ 31. Ϫ2 33. 3 35. ᎏ 4 3 ᎏ 37. 2 39. 1 41. a. x ϭ (cz Ϫ by)/a b. b ϭ (cz Ϫ ax)/y 43. a. x ϭ ty/(y Ϫ t) b. t ϭ xy/(x ϩ y) Ejercicios 2-2 1. x ϩ 4 3. 2 ϩ x/2 5. x Ϫ 1 7. 18 9. 15 11. 25 años 13. 10 dieces y 5 de 25¢ 15. $52,000 a 8% y $8000 a 10.5% 17. $3000 a 10% y $5000 a 8% 19. $2.50 21. $55.00 23. 15 onzas 25. 30 onzas 27. 2:1 29. 10,000 31. $2200 y $700 (a ϩ 2)(a ϩ 1)(a Ϫ 3) ᎏᎏᎏ a (a ϩ b)(x Ϫ 3) ᎏᎏ (a Ϫ b)(x ϩ 3) (x ϩ 2)(y ϩ 2) ᎏᎏ (x ϩ 3)(y ϩ 3) 4x 2 ϩ 15x Ϫ 1 ᎏᎏᎏ (x ϩ 1) 2 (x ϩ 3)(x Ϫ 2) 3 ϩ 2x 2 ᎏ x 2 ϩ 1 3a 11 ᎏ 8b 7 a/b ᎏ c Ejercicios 2-3 1. Ϫ2, Ϫ3 3. Ϫ2, Ϫ7 5. Ϫ2 7. 3, 4 9. 1, Ϫ1 11. 0, 8 13. Ϫᎏ 1 6 ᎏ, Ϫᎏ 1 4 ᎏ 15. Ϫᎏ 2 3 ᎏ, Ϫ1 17. ᎏ 1 2 ᎏ, Ϫᎏ 2 3 ᎏ 19. 0, 1 21. 1, Ϫ1, 2, Ϫ2 23. 25. 27. 29. Ϫᎏ 5 2 ᎏ 31. 33. 35. Ϫ3 Ϯ͙1ෆ0ෆ 37. 39. 41. Ϫ1 Ϯ͙5ෆ 43. 45. Ϯ Ί ᎏ 1 6 1 ᎏ 47. 0, ᎏ 1 6 1 ᎏ 49. 4, Ϫᎏ 4 3 ᎏ 51. ᎏ 1 3 ᎏ, ᎏ 3 2 ᎏ 53. Ϫ1 Ϯ͙5ෆ 55. 57. 5, Ϫᎏ 1 2 ᎏ 59. 61. (no es una solución real) 63. Ϫ3, Ϫ1 65. 2, Ϫ2 67. Ϫ1, 1/8 (Haga x 1/3 ϭ u). 69. t ϭ 71. R ϭ 73. ᎏ 1 2 ᎏ 75. a. x ϭ y Ϯ͙4ෆy 2 ෆ Ϫ ෆ1 ෆ b. y ϭ Ejercicios 2-4 1. 4, 11 3. Ϫ12 y Ϫ11 o bien 11 y 12 5. 5 y 12 cm 7. 4 y 6 pulg 9. 3 pulg 11. a. 4, 1 segundo b. 5 segundos c. 100 pies 13. $50 15. 5% 17. $195 19. (38 Ϯ 2͙2ෆ1ෆ) dólares 21. 4% y 8% 23. a. 50 o 70 unidades b. $300 c. 46 o 60 unidades d. $325 25. $5 o $7; $8 o $6 Ejercicios de repaso del capítulo 2 1. a. Verdadero; con tal de que la constante sea distinta de cero. b. Cierto, a condición de que la expresión esté bien definida para todos los valores de x. c. Falso; multiplicando ambos lados de la ecuación por una expresión que contenga la variable puede dar como resultado nuevas raíces y no las raíces de la ecuación original. Ϫx Ϯ͙4ෆx 2 ෆ ϩ ෆ3 ෆ ᎏᎏ 3 H Ϯ͙ෆ 2 H ෆ 2 ෆϩෆ 2 ෆෆAෆ ᎏᎏᎏ 2 Ϫu Ϯ͙uෆ 2 ෆϩෆ 2 ෆgෆsෆ ᎏᎏ g 5 Ϯ ͙Ϫෆ1ෆ1ෆ ᎏᎏ 6 3 Ϯ͙1ෆ7ෆ ᎏᎏ 4 4 Ϯ ͙1ෆ0ෆ ᎏᎏ 2 Ϫ9 Ϯ͙1ෆ7ෆ ᎏᎏ 4 1 Ϯ͙7ෆ ᎏ 2 3 Ϯ͙1ෆ3ෆ ᎏᎏ 2 3 Ϯ 2͙2ෆ ᎏᎏ 2 Ϫ5 Ϯ͙1ෆ0ෆ ᎏᎏ 5 Ϫ1 Ϯ͙1ෆ3ෆ ᎏᎏ 2 Ϫ3 Ϯ ͙4ෆ1ෆ ᎏᎏ 4 Ϫ3 Ϯ ͙5ෆ ᎏᎏ 2 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 253 p g d. Falso; por ejemplo, si elevamos al cuadrado x ϭ 2, obtenemos x 2 ϭ 4 cuyas raíces son 2 y Ϫ2 que no son exactamente iguales a las raíces de x ϭ 2. e. Falso; si px ϭ q, entonces x ϭ q/p. f. Falso; ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 es una ecuación cuadrática, con tal de que a 0. g. Falso; la solución de x 2 ϭ 4 está dada por x ϭ 2 o x ϭ Ϫ2. h. Falso, las raíces de ax 2 ϩ bx ϩ c ϭ 0 (a 0) están dadas por x ϭ (Ϫb ϩ͙bෆ 2 ෆϪෆ 4 ෆaෆcෆ)/2a. i. Verdadero j. Falso; una ecuación cuadrática puede tener dos raíces iguales o bien no tener raíces reales. k. Falso; una ecuación lineal siempre tendrá una sola raíz. l. Cierto 3. 1/3 5. No hay solución 7. No hay solución 9. 2, 5/3 11. abc, con tal que a ϩ b ϩ c 0 13. Ϫ1 15. 5 17. 1, Ϫ4 19. 7 21. pqr, siempre y cuando pq ϩ qr ϩ pr 0 23. 3, 3/2 25. 4 27. 2 29. 9/5 31. a. r ϭ (a Ϫ S)/(l Ϫ S) b. l ϭ (a ϩ rS Ϫ S)/r 33. $75,000 en 8% y $25,000 en 10% 35. 1600 37. $4 o $5 39. a. P ϭ $(2400 Ϫ 600C) b. $600 CAPÍTULO 3 Ejercicios 3-1 1. {Ϫ1, 0, 1, 2, 3, 4} 3. {4, 3, 2, 1, 0, Ϫ1, Ϫ2, . . . } 5. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 7. {2, 3} 9. {xx es un número par, 0 Ͻ x Ͻ 100} o {xx ϭ 2n, n es un número natural; 1 Ͻ n Ͻ 49} 11. {xx es un número impar 0 Ͻ x Ͻ 20} o {xx ϭ 2n ϩ 1, n es un entero y 0 < n Յ 9} 13. {xx es un número natural divisible entre 3} o {xx ϭ 3n, n es un número natural} 15. {xx es un número real: Ϫ1 Յ x Յ 1} 17. [3, 8] 19. (Ϫ7, Ϫ3) 21. 2 Յ x Ͻ 5 23. x Ͻ 3 25. a. Cierto b. Falso; 3 ∈ {1, 2, 3, 4} c. Falso; 4 ∉ {1, 2, 5, 7} d. Cierto e. Falso; л es un conjunto, mientras que 0 es un número. Un conjunto no puede ser igual a un número. f. Falso; л es un conjunto vacío sin elementos, mientras que el conjunto {0} contiene al elemento 0. g. Falso; л no contiene ningún elemento, de modo que 0 no puede estar en л. h. Falso; el conjunto vacío л no es un elemento de {0}. i. Cierto j. Cierto k. Falso; 2 ∉ {x(x Ϫ 2) 2 /(x Ϫ 2) ϭ 0}, mientras que 2 ∈ {xx Ϫ 2 ϭ 0}. l. Cierto m. Cierto n. Falso; el conjunto de todos los cuadrados del plano es un subconjunto de todos los rectángulos del plano. o. Cierto p. Cierto q. Falso; {x2 Յ x Յ 3} ʚ {y1 Յ y Յ 5}. r. Cierto 29. No, contiene Ϫ2. Ejercicios 3-2 1. x Ͻ 2 3. u ՆϪᎏ 1 3 7 ᎏ 5. x Ͼ 2 7. x Ͼ 1/8 9. y ϽϪᎏ 7 5 ᎏ 11. t Յ 13 13. Ϫ1 Ͻ x Ͻ 3 15. x ϾϪ2 17. No hay solución 19. Ϫᎏ 2 3 ᎏ Ͻ x Ͻ ᎏ 2 3 ᎏ 21. x Ն 2 23. No hay solución 25. $5000 27. 1501 o más 29. Al menos 1875 31. Más de 1600 Ejercicios 3-3 1. 2 Ͻ x Ͻ 5 3. x ՅϪ3 5. 3 Յ x Յ 4 7. Ϫ2 Ͻ x Ͻ 1 9. y ϽϪ2 o y Ͼ ᎏ 3 2 ᎏ 11. x ϽϪ2͙2ෆ o x Ͼ 2͙2ෆ 13. x ՅϪ2 o x Ն 2 15. Toda x 17. 3 19. Toda x Ϫ1 21. No hay solución 23. Toda x 25. No hay solución 27. 60 unidades 29. 45 Յ x Յ 60 31. x Ͼ 150 33. Si x yardas es la longitud de un lado del terreno, entonces 30 Յ x Յ 70. 35. A lo más 3 pies 37. 80 Ͻ n < 120. 39. 20¢ Յ p Յ 30¢ Ejercicios 3-4 1. 7͙2ෆ 3. Ϫ 3 5. 1, Ϫᎏ 1 7 ᎏ 7. 1/2 9. Ϫ1, ᎏ 3 2 ᎏ 11. No hay solución 254 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS p g 13. No hay solución 15. No hay solución 17. Ϫ1, ᎏ 1 7 ᎏ 19. Ϫᎏ 1 3 1 ᎏ Ͻ x ϽϪ1 o (Ϫᎏ 1 3 1 ᎏ, Ϫ1) 21. x ՅϪᎏ 1 5 ᎏ o x Ն 1; (Ϫq, Ϫᎏ 1 5 ᎏ] o [1, q) 23. 1 Ͻ x Ͻ 2; (1, 2) 25. No hay solución 27. Todo número real o (Ϫq, q) 29. No hay solución 31. Todo número real 33. No hay solución 35. x Ͼ ᎏ 5 2 ᎏ, es decir, (ᎏ 5 2 ᎏ, q) 37. a. x Ϫ 3 Ͻ 5; x ∈ (Ϫ2, 8) b. y Ϫ 7 Յ 4; y ∈ [3, 11] c. t Ϫ 5 ϭ 3; t ∈ {2, 8} d. z Ϫ Ͻ ; z ∈ ( Ϫ, ϩ) e. x Ϫ 4 Ͼ 3; x ∈ (Ϫq, 1) o x ∈ (7, q) f. x ෆ Ϫ Ͻ 5; x ∈ ( Ϫ 5, ϩ 5) 39. p Ϫ 22 Յ 5. Ejercicios de repaso del capítulo 3 1. a. Cierto b. Falso; cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante positiva, el sentido de la desigualdad se conserva. c. Falso; una desigualdad cuadrática no tiene soluciones o una solución o un número infinito de soluciones. d. Falso; si un número negativo se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad se preserva. e. Falso; la proposición sólo es cierta si a Ն 0. f. Cierto g. Cierto h. Cierto i. Cierto j. Falso; por ejemplo si x ϭ 2 y y ϭϪ7, entonces x Ͼ y, mientras que x Ͻ y ya que 2 Ͻ 7. k. Verdadero l. Verdadero 3. x Ն ᎏ 2 5 ᎏ 5. x ϾϪ6 7. x Ͻ 0 9. x Ͼᎏ 1 6 ᎏ 11. Sin solución 13. Ϫ1 Ͻ x Ͻᎏ 5 2 ᎏ 15. x Ͻᎏ 2 3 ᎏ o x Ͼ 1 17. x ՅϪᎏ 1 2 ᎏ o x Ն 5 19. Ϫ3 Ͻ x Ͻᎏ 5 2 ᎏ 21. Para toda x 23. Sin solución 25. x ՅϪ3 o 0 Յ x Յ 5 27. 2 Ͻ x Ͻ 6 29. x ՅϪᎏ 1 2 ᎏ o x Ն 2 31. x ՅϪ2 o x Ն 5 33. x Յ 1 o x Ն ᎏ 5 2 ᎏ 35. x ϽϪ4 o x Ͼ 10 37. Sin solución 39. Para toda x 41. ᎏ 7 2 ᎏ, ᎏ 3 4 ᎏ 43. 0, Ϫᎏ 8 5 ᎏ 45. 1, 2 47. a. Al menos 120,000 b. Al menos 120,000 49. $6 Յ p Յ $8 51. $35,000 53. 20 Յ x Յ 40 55. 20 Յ x Յ 28 57. $30 Յ p Յ $38 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 255 Respuestas del anexo 1. ] Ϫ2, 7 [ 2. ] Ϫϱ, Ϫ3/4[ U ] 1/2, ϩϱ [ 3. R Ϫ{0} 4. ] Ϫ2, 1/3 [ 5. ] Ϫϱ, Ϫ4[ U ] Ϫ3/2, ϩϱ [ 6. ] Ϫ5/3, 1/3 [ 7. [ Ϫ3/2, 3/2] 8. ] Ϫϱ, Ϫ3] U [ Ϫ3, ϩϱ [ 9. ] Ϫϱ, Ϫ4[ U ] 3/2, ϩϱ [ 10. No tiene solución. CAPÍTULO 4 Ejercicios 4-1 1. {Ϫ4, Ϫ2, 0, 2, 4, 6, 8, 10} 3. {37, 41, 43, 47, 53, 59} 5. {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} 7. {Ϫ9, Ϫ7, Ϫ5, Ϫ3, Ϫ1, 1, 3, 5,} 9. {Ϫ 1, 0, 1} 11. {x ʦ ޚx Ϫ 2} 13. {Ϫ5, 3} 15. ΆϪ7, ᎏ 2 3 ᎏ· 17. Ϫ {2, 2 , Ϫ2, , 6} 19. 0 ʦ{ 6, 22, 3, 0, 8, 1} 21. ᎏ 3 1 2 ᎏ ʦ ΆϪᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏ, Ϫᎏ 1 8 ᎏ, Ϫᎏ 1 1 6 ᎏ, ᎏ 3 1 2 ᎏ· 23. {Ϫ3, 0} ʚ {0 Ϫ1, Ϫ3, 1, 3} 25. {7, Ϫ11, 16} {1, Ϫ7, 11, Ϫ14, 16} 27. {Ϫ4, 4} ʚ ޚ 29. {Ϫ5, Ϫ21, 93} ʚ {números enteros impares} 31. A\B ϭ {Ϫ5, Ϫ4, Ϫ2, Ϫ1, 0, 2, 3, 4} 33. A\B ϭ {Ϫ5, Ϫ4, 4, 5} 35. A\B ϭ {Ϫ5, Ϫ4, Ϫ3, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 37. A c ϭ {Ϫ11, ᎏ 5 6 ᎏ, ᎏ 7 8 ᎏ, ᎏ 1 9 0 ᎏ, 2, ᎏ 8 7 ᎏ, a} 39. A c ϭ {ᎏ 5 6 ᎏ, b} 41. Boby → azul; Tiny → rojo; Romy → blanco Boby → azul; Tiny → blanco; Romy → rojo Boby → rojo; Tiny → azul; Romy → blanco Boby → rojo; Tiny → blanco; Romy → azul Boby → blanco; Tiny → rojo; Romy → azul Boby → blanco; Tiny → azul; Romy → rojo Ejercicios 4-2 1. A ഫ B ϭ {x, y, z} 3. B ഫ C ϭ {y, z} p g 5. A ഫ(B ഫ C) ϭ {x, y, z} 7. (A\C) ഫB ϭ {x, y, z} 9. (A ഫ C) \B ϭ {x} 11. A\ (B ഫ C) ϭ {x} 13. (A\B) ഫ (A\C) ϭ {x ʦ ޒϪ25 Յ x Ͻ 9} 15. La cardinalidad de A\B es 7 Ϫ n 17. B ϭ л o B ϭ {a} Ejercicios 4-3 1. Falso 3. Cierto 5. Cierto 7. A പ B ϭ {0, } 9. (A പ C) ϭ {Ϫ, 0} 11. A ഫ B ϭ {1, 5, 9, a, b, c} 13. A പ B ϭ {5} 15. A പ C ϭ {9} 17. A ഫ B ഫC ϭ {a, b, c, 1, Ϫ2, 3, 5, 9} 19. (A പ B) ഫ C ϭ {Ϫ2, 3, 5, a, 9} 21. (A പ C) ഫ B ϭ {a, b, c, 5, 9} 23. (A പ B) ഫ(A പ C) ϭ {5, 9} 27. Ejercicios 4-4 1. A ϫ B ϭ { (Ϫ1, 1), (Ϫ1, 2), (Ϫ1, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (0, 1), (0, 2), (0, 3)} 3. (A ϫ B) പ (B ϫ A) ϭ {(1, 1)} 5. A ϫ B ϭ {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c)} 7. B ϫ A ϭ {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, a), (c, b)} 9. A ϫ (B\C) ϭ {(a, b), (b, b)} 11. A ϫ (B ഫ C) ϭ {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c)} A B C 256 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 17. B ϫ B ϭ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} 15. B ϫ A ϭ {(1, Ϫ1), (1, Ϫ2), (1, Ϫ3), (2, Ϫ1), (2, Ϫ2), (2, Ϫ3), (3, Ϫ1), (3, Ϫ2), (3, Ϫ3)} 19. (G ϫ G) \ ((A ϫ F) ഫ (B ϫ E) ഫ (C ϫ D) ϭ {(a, a), (b, b), (c, c)} Ejercicios 4-5-1 1. El gato no arañó al perro. 3. Cualesquiera de las respuestas siguientes es correcta: “No todos los alacranes se alimentan de ratones” o “Algún alacrán no se alimenta de ratones”. 5. Todos los números elevados al cuadrado son enteros. 7. Algún sueño se convierte en realidad. 9. “El próximo lunes habrá clases o la ceremonia no sea el martes”. 11. “No me acosté temprano y no leí 60 páginas del libro”. 13. “No me acosté temprano y leí 60 páginas de libro” 15. (P ٙෂ Q) ٚ (Q ٙ R) Ejercicios 4-5-2 3. P Q R P 1 Q Q 1R P 1 R V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F F V V V p g en los renglones primero, quinto, séptimo y octavo P 1 Q y Q 1 R son ambas verdaderas, y en esos mismos renglones, P 1R es también verdadera. 5. 27. Verdadero 29. 16 renglones 31. 33. 35. 37. Verdadera 39. Falsa 41. a. Las tomó Rosa b. Paco dijo la verdad CAPÍTULO 5 Verifique su comprensión, página 162 1. 11 2. Ϫ4 3. 2x 4. 3 5. 80 6. ᎏ 5 3 ᎏ 7. 2x 8. Ϫ70 9. ᎏ 3 4 ᎏ 10. 540 11. Ϫᎏ 1 3 0 ᎏ 12. 4 13. 6x 14. Ϫᎏ 2 1 x ᎏ 15. Ϫᎏ 3 2 ᎏx 2 Verifique su comprensión, página 164 1. ͙5ෆ 2. ͙ 3 Ϫෆ9ෆ RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 257 9. P 1 Q 11. Verdadera 13. Verdadera 15. Verdadera 17. P ٙ P ϵ P 19. P ٚ (Q ٚ R) ϵ (P ٚ Q) ٚ R Ejercicios de repaso del capítulo 4 1. P Q ෂ P ෂ P ٚ Q P 1 Q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V 3. {11, 101, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 211} 5. La cardinalidad de A ഫB es 7 Ϫ n 7. La cardinalidad de A ϫ B ϭ m ϫ n 11. Verdadera 13. Verdadera 15. Verdadera 19. 21. * → x; ◊ → y; → z * → x; ◊ → z; → y * → y; ◊ → x; → z * → y; ◊ → z; → x * → z; ◊ → y; → x * → z; ◊ → x; → y B A B C A P Q R Q ٚ P R 1(Q ٚ P) V V V V V V V F V V V F V V V V F F V V F V V V V F V F V V F F V F F F F F F V P Q R ෂP ෂP ٚ Q ((ෂP ٚ Q) ٙ R) ((ෂP ٚ Q) ٙ R) 1 P V V V F V V V V V F F V F V V F V F F F V V F F F F F V F V V V V V F F V F V V F V F F V V V V F F F F V V F V p g 3. ͙ 4 1ෆ0ෆ 4. ͙ 3 2ෆ5ෆ 5. ͙ 4 8ෆ 6. 7 1͞2 7. (Ϫ10) 1͞3 8. 7 1͞4 9. 7 2\3 10. 5 3͞4 11. 5 12. 4 13. ᎏ 6 1 ᎏ 14. ᎏ 7 1 ᎏ 15. Ϫ3 16. 8 17. ᎏ 8 1 ᎏ 18. ᎏ 2 8 7 ᎏ 19. 4 20. ᎏ 1 4 ᎏ Ejercicios 5-1 1. 11 1͞2 3. 9 1/4 5. 6 2͞3 7. Ϫᎏ 1 5 ᎏ 3͞5 9. ͙3ෆ 11. ͙ 3 Ϫෆ1ෆ9ෆ 13. 15. 17. Verdadera 19. Verdadera 21. Falsa; Ϫ2 23. Falsa; 1.2 25. Verdadera 27. 5 29. ᎏ 1 9 ᎏ 31. ᎏ 1 1 6 ᎏ 33. ᎏ 2 1 5 ᎏ 35. Ϫ3 37. ᎏ 1 2 ᎏ 39. 9 41. 50 43. ᎏ 3 1 2 ᎏ 45. ᎏ 2 7 ᎏ 47. Ϫ2 49. 13 51. 53. ᎏ 1 1 4 3 8 5 ᎏ 55. Ϫᎏ 1 4 1 ᎏ 57. ᎏ ͙ 7 3ෆ1ෆ ᎏ 59. ᎏ 4 b a 6 2 ᎏ 61. ᎏ a 3 1 b 6 ᎏ 63. 1 65. 16a 4 b 6 67. ᎏ a b 2 ᎏ 69. ᎏ (3x 2 ϩ 3 2 x ) 1/2 ᎏ 71. ᎏ (x 3 x ϩ ϩ 4x 2 ) 1/2 ᎏ Ejercicios 5-2 1. x ϩ 3 3. x Ϫ 1 5. x ϩ 8 ϩ ᎏ x 1 Ϫ 2 3 ᎏ 7. 3x ϩ 5 ϩ ᎏ x 1 Ϫ 0 4 ᎏ 9. 4x 2 ϩ x ϩ 3 ϩ ᎏ x Ϫ 3 1 ᎏ 11. 3x 2 Ϫ 2x ϩ 2 ϩ ᎏ x ϩ 6 3 ᎏ ͙ 3 3ෆ5ෆ 6 1 Ί 4 ᎏ 3 4 ᎏ 1 ͙2ෆ 13. 5x 2 ϩ 11x ϩ 14 Ϫ ᎏ x 2 ϩ 0 1 ᎏ 15. x 3 ϩ 4x 2 ϩ 16x Ϫ 64 ϩ ᎏ x 2 ϩ 72 4 ᎏ 17. y 4 Ϫ ᎏ y 1 ϩ 0 1 ᎏ 19. 3x 2 ϩ 3x Ϫ 3 21. 2x 3 ϩ 2x Ϫ 2 23. 10 25. Ϫ142 27. 0, factor 29. Ϫᎏ 1 4 9 ᎏ o Ϫ4.75 31. 0, factor 33. (x Ϫ 1)(6x ϩ 5) 35. (x Ϫ 2)(x 2 ϩ 3x ϩ 5) 37. (x ϩ 5) ϩ (2x 2 Ϫ 4x ϩ 2) 39. (x ϩ 3)(x 2 Ϫ 6x Ϫ 4) 41. x 2 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ (x ϩ 2x Ϫ 4) 43. (b) x ϩ 8 ϩ ᎏ x 3 Ϫ 6 5 ᎏ 45. Si el residuo es 0 entonces el divisor x Ϫ a es un factor. 47. Cuando x ϭ d, ax 2 ϩ bx ϩ c es igual a 0. Por lo tanto, d debe ser una solución. 49. x 3 Ϫ 2x 2 Ϫ 27x Ϫ 36; multiplique (x ϩ 3) (x 2 Ϫ 5x Ϫ 12) Ejercicios 5-2-1 1. C(x) ϭ x 2 Ϫ 1 2. C(x) ϭ 3x 3 ϩ 2x R(x) ϭ 0 R(x) ϭ 0 3. C(x) ϭ 3x Ϫ 1 4. C(x) ϭ x 4 Ϫ 1 R(x) ϭ 6 R(x) ϭ 7 5. C(x) ϭ x 2 ϩ 6x ϩ 2 6. C(x) ϭ 2x 3 ϩ 6 R(x) ϭ 11 R(x) ϭ 1 7. C(x) ϭ Ϫ2(x 3 ϩ x 2 ϩ x ϩ 1) R(x) ϭ 1 8. C(x) ϭ x 2 Ϫ 2x ϩ 3 R(x) ϭ Ϫ2 Ejercicios 5-3 1. 6 3. 48 5. 30 7. Ϫ1 9. 1 11. 4 13. 3 15. Ϫᎏ 5 1 ᎏ 17. ᎏ 1 4 ᎏ 19. ᎏ 1 3 4 ᎏ 21. Sin solución 23. 2 25. Ϫᎏ 1 7 2 ᎏ 27. Sin solución 29. 8 31. Ϫ14 33. Ϫ2, Ϫ3 35. 4 37. Ϫᎏ 5 2 ᎏ 39. Sin solución 41. 5 43. Sin solución 45. Ϫ3 47. 2 49. b. ᎏ 3 2 ᎏ 258 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS p g 51. a. El problema de la derecha es una ecuación y el de la iz- quierda no lo es. (b) y después, agrupe los numerado- res. Problema de la derecha: multiplique ambos lados de la ecuación por el mcd 12(x Ϫ 1) para eliminar las fracciones y después, resuelva la ecuación resultante. c. Problema de la izquierda: ᎏ x 1 2 2 Ϫ (x 2 x Ϫ ϩ 1 1 ) 2 ᎏ; Problema de la derecha: 4, Ϫ3 Ejercicios 5-4 1. 25 3. 4 5. 81 7. 16 9. 8 11. 9 13. Sin solución 15. Sin solución 17. 1 19. Ϫᎏ 3 1 ᎏ 21. 5 23. Ϫᎏ 4 9 ᎏ 25. ᎏ 1 4 ᎏ 27. 2 29. Ϫ7 31. 5 33. 10 35. Ϫ3 37. 4 39. Ϫᎏ 5 2 ᎏ 41. 2 43. ᎏ 1 9 6 ᎏ 45. 9 47. 4 49. Sin solución 51. 6 53. v ϭ ᎏ p 2 2 ᎏ 55. g ϭ ᎏ 2 v h 2 ᎏ 57. F ϭ ᎏ v R 2 m ᎏ 59. m ϭ ᎏ x v 2 2 k 0 ᎏ 61. 13 pulg 63. ͙1 ෆ8ෆ.2 ෆ5ෆ ഠ 4.27 m 65. ͙1 ෆ6ෆ,2 ෆ0ෆ0ෆ ഠ 127.28 pies 67. ͙6 ෆ0ෆ ഠ 7.75 m 69. ͙5 ෆ1ෆ2ෆ0ෆ ഠ 71.55 pies/seg 71. 3.14 seg 73. ͙57 ෆ6ෆϭ24 pulgadas cuadradas 75. 0.2(͙14 ෆ9. ෆ4ෆ) 3 ഠ 365.2 días 77. ͙1ෆ,0 ෆ0ෆ0ෆ,0 ෆ0ෆ0ෆ ϭ 1000 Ib 79. ͙3 ෆ2ෆ0ෆ ഠ 17.89 pies/segundos 81. a. 2, Ϫ2 b. 3, Ϫ4 c. Ϫ4, ᎏ 3 2 ᎏ d. 5, Ϫ1 83. 0, para todos los valores, el lado izquierdo de la ecuación es negativo y el lado derecho es positivo. 85. ͙xෆϪෆ 3 ෆ no puede ser igual a un número negativo y debe ser igual a Ϫ3. 87. a. 2 b. c. sí 89. a. 3, 7 b. sí c. 3,7 91. a. Una real, 9; una extraña b. Una, en x ϭ 9 c. {xx Ն0 d. Sí Uso de la calculadora graficadora, pág. 186 1. 1.5 3. Ϫ3.7, 3.7 Ejercicios 5-5 1. {Ϫ1, 5} 3. {Ϫ12, 12} 5. л 7. {Ϫ12, 2} 9. {Ϫ16, 4} 11. Ά ᎏ 3 2 ᎏ, ᎏ 1 6 1 ᎏ · 13. Ά Ϫᎏ 5 2 ᎏ, ᎏ 1 2 3 ᎏ · 15. Ά Ϫᎏ 5 3 9 ᎏ, ᎏ 4 3 9 ᎏ · 17. Ά Ϫ1, ᎏ 1 5 1 ᎏ · 19. Ά 5, ᎏ 4 3 ᎏ · 21. {Ϫ3, 1} 23. Ά 28, Ϫᎏ 1 5 2 ᎏ · 25. Ά ᎏ 2 5 ᎏ · 27. ޒ 29. {xx Ն0} 31. a. Escriba ax ϩ b ϭ c o ax ϩ b ϭ Ϫc, después despeje x en cada ecuación. b. Ά xx ϭ ᎏ c Ϫ a d ᎏo x ϭ ᎏ Ϫc a Ϫ b ᎏ Actividad en grupo y problemas para pensar 3. л 5. {3} 7. {Ϫ3} Ejercicios 5-6 1. (x Ϫ y) (x ϩ y) (x 2 ϩ xy ϩ y 2 ) (x 2 Ϫ xy ϩ y 2 ) 2. (z 2 Ϫ 3z ϩ 5) (z 2 ϩ 3z ϩ 5) 3. (w 2 Ϫ 2w ϩ 2) (w 2 ϩ 2w ϩ 2) 4. (a Ϫ b) (a ϩ b) (a 4 ϩ a 3 b ϩ a 2 b 2 ϩ ab 3 ϩ b 4 ) (a 4 Ϫ a 3 b ϩ a 2 b 2 Ϫ ab 3 ϩ b 4 ) 5. 6y 2 (y Ϫ 2) (y 2 ϩ 2y ϩ 4) 6. (y Ϫ 3) (y 2 ϩ 2y ϩ 9) 7. (z Ϫ 1) (1 Ϫ z ϩ z 2 ) (1 Ϫ z 3 ϩ z 6 ) 8. (x 2 Ϫ 9x ϩ 6) (x 2 ϩ9x ϩ 6) 9. (x Ϫ 3) (x 4 Ϫ 3x 3 ϩ 9x 2 ϩ 27x ϩ 81) 10. w 3 (w Ϫ 4) 3 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 259 p g 11. (y Ϫ 2) (y ϩ 2) (y 2 Ϫ 4) (y 4 ϩ 16) 12. (w Ϫ 2) (w ϩ 2) (w 2 ϩ 2w ϩ 4) (w 2 ϩ 2w ϩ 4) 13. (x Ϫ 2) 3 14. (3x ϩ 5) 3 15. z(z ϩ 3) 3 16. (3a Ϫ 8) 3 17. (4w ϩ 9) 3 18. (5r Ϫ 4s) (25r 2 ϩ 20rs ϩ 16s 2 ) 19. (x ϩ 7y ϩ 3) 2 20. (5x ϩ 3y ϩ 7) 2 21. 8x 3 Ϫ12x 2 y 2 ϩ 6xy 4 ϩ y 6 22. (6a Ϫ 9b ϩ 5) 2 23. (a ϩ 6) 4 24. 9x 2 y 2 (z ϩ 3) 2 25. (x ϩ y ϩ 1) (x ϩ y Ϫ 1) 26. x 3 (y ϩ 1) 3 27. (5y Ϫ 4) 3 28. (x ϩ y) 4 29. 16z 4 Ϫ8z 3 ϩ24z 2 Ϫ8z ϩ1 30. (w ϩ 4) (w 4 ϩ 6w 3 ϩ 16w 2 ϩ 16w ϩ 16) 31. (r ϩ t ϩ s) 3 32. (x Ϫ y ϩ zϪ w) 2 33. El lado del segundo mide 4 cm. 34. La diferencia de los volúmenes de los cubos es 23,382 uni- dades cúbicas. 35. El volumen de la esfera pequeña es ᎏ 3 3 2 ᎏ cm 3 . 36. Los números son 1 y 2, o Ϫ2 y Ϫ1. 37. Los números son 0 y 1, o Ϫ1 y 0. 38. Los números son 4 y 6. 39. La base del sistema es 3. 40. La base del sistema es 2. Ejercicios 5-8 1. 50% 2. 60% 3. 580% 4. 25% 5. 7% 6. 15% 7. 125% 8. 20% 9. 87.5% 10. 175% 11. 20.1% 12. 225 13. 70 14. 1041.3 15. 40% 16. 50 17. 331.6 18. 6% 19. 52 20. 562.25 21. 81.25%. 22. 150% 23. 7.875 24. 20% 25. 300% 26. 1.04 27. 8178.36 28. 188 29. 81% 30. 231.2 31. 350 32. 240 33. 103% 34. 268.75 35. Hay que agregar 26.25 litros de agua. 36. La venta de la tienda ascendió a $50,000 durante el primer mes. 37. La asistencia aumentó en 35%. 38. Hay que añadir 7 litros de la solución ácida al 10%. 39. En 400 ml de leche materna 13% es proteína, grasa y azú- car y 87% es agua. 40. El 21% es oxígeno. 41. El valor de la inversión es $6384. 42. Hay que tomar 20 ml de agua salada al 30% y 40 ml de agua salada al 3%. 43. El paquete contiene 17.16 gramos de huevo. El paquete contiene 6% de leche. 44. Un litro de aire pesa 1.29 gramos. 45. En 150 m 3 de aire hay 13,455 gramos de hidrógeno. 46. Hay que comprar 30 metros de tela. 47. Hay que evaporar 14,285.7 gramos. 48. La tasa de interés era de 21.62%. 49. La mezcla tendrá ley 0.962. 50. a. Deberá pagar $163.35; b. Lucía ahorrará $18.15. 51. Están sembrados 96,000 m 2 de trigo, 40,000 m 2 de avena y 24,000 m 2 de sorgo. CAPÍTULO 6 Ejercicios 6-1 1. 1, 3, 5, 7, 9 3. Ϫ1, 1, Ϫ1, 1, Ϫ1 5. Ϫ4, 2, Ϫ1, ᎏ 1 2 ᎏ, Ϫᎏ 4 1 ᎏ 7. Ϫ1, 4, Ϫ9, 16 9. ᎏ 1 3 0 ᎏ, ᎏ 1 3 00 ᎏ, ᎏ 10 3 00 ᎏ, ᎏ 10, 3 000 ᎏ 11. ᎏ 1 3 00 ᎏ, ᎏ 10, 3 000 ᎏ, ᎏ 1,00 3 0,000 ᎏ, ᎏ 100,00 3 0,000 ᎏ 13. ᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 1 6 ᎏ, ᎏ 1 1 2 ᎏ, ᎏ 2 1 0 ᎏ 15. 64, 36, 16, 4 17. Ϫ2, 1, 4, 7 19. 0, ᎏ 1 3 ᎏ, ᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 5 3 ᎏ 21. 1, ᎏ 3 2 ᎏ, ᎏ 1 9 6 ᎏ, ᎏ 1 6 2 4 5 ᎏ 23. Ϫ2, Ϫᎏ 3 2 ᎏ, Ϫᎏ 9 8 ᎏ, Ϫᎏ 2 3 7 2 ᎏ 25. ᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 3 8 ᎏ, ᎏ 4 1 ᎏ 27. Ϫᎏ 3 2 ᎏ, Ϫᎏ 5 6 ᎏ, Ϫᎏ 1 7 2 ᎏ, Ϫᎏ 2 9 0 ᎏ 29. 4, 4, 4, 4 31. 122 33. 0.000003 35. 12 37. Ϫ1331 39. 4, 6, 8, 10 260 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS p g 41. 5, 10, 15, 20, 25; s n ϭ 5n 43. Ϫ5, 25, Ϫ125, 625, Ϫ3125; s n ϭ (Ϫ5) n 45. 15, 21, 28 47. 12, Ϫ4, 4, 0, 2, 1, ᎏ 3 2 ᎏ, ᎏ 4 5 ᎏ 49. 1, 0, Ϫ1, 0, 1, 0, Ϫ1, 0 51. ᎏ 3 2 ᎏ, ᎏ 1 8 5 ᎏ, ᎏ 3 1 5 6 ᎏ, ᎏ 3 1 1 2 5 8 ᎏ Ejercicios 6-2 1. 45 3. 55 5. 0.33333 7. 510 9. 60 11. 254 13. ᎏ 3 6 8 4 1 ᎏ 15. 105 17. 40 19. ᎏ 1 8 3 ᎏ 21. 0 23. 57 25. 1111.111 27. 60 29. ᎏ 3 1 5 2 ᎏ 31. 0.010101 33. 5k 35. 3k 37. a. 4, 9, 16, 25, 36; b. n 2 39. a n ϭ a 1 ϩ a n Ϫ 1 ϭ a 1 ϩ (a 1 ϩ a n Ϫ 2 ) ϭ . . . ϭ a 1 ϩ a 1 ϩ a 1 ϩ . . . ϩ a 1 ϭ 2 ϩ 2 ϩ 2 ϩ . . . ϩ 2 ϭ 2n 41. s k ϩ t k ϭ(s 1 ϩs 2 ϩ . . . ϩs n ) ϩ(t 1 ϩt 2 ϩ . . . ϩt n ) ϭ (s 1 ϩ t 1 ) ϩ (s 2 ϩ t 2 ) ϩ . . . ϩ (s n ϩ t n ) ϭ (s k ϩ t k ) 43. (s k ϩ c) ϭ (s 1 ϩ c) ϩ (s 2 ϩ c) ϩ . . . ϩ (s n ϩ c) ϭ (s 1 ϩs 2 ϩ . . . ϩs n ) ϩ(c ϩc ϩ . . . ϩc) ϭ s k ϩnc 45. a. ᎏ k(k 2 ϩ 2) ᎏϭ ᎏ 1 k ᎏ Ϫ ᎏ k ϩ 1 2 ᎏ ϭ 1 Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ Ϫᎏ 1 4 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 ᎏ Ϫᎏ 1 5 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ Ϫᎏ 1 6 ᎏ ϩ ᎏ 1 5 ᎏ Ϫᎏ 1 7 ᎏ ϩ ᎏ 1 6 ᎏ Ϫᎏ 1 8 ᎏ ϩ ᎏ 1 7 ᎏ Ϫ ᎏ 1 9 ᎏ ϩ ᎏ 1 8 ᎏ Ϫ ᎏ 1 1 0 ᎏ ϩ ᎏ 1 9 ᎏ Ϫ ᎏ 1 1 1 ᎏ ϩ ᎏ 1 1 0 ᎏ Ϫ ᎏ 1 1 2 ᎏ ϭ 1 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ Ϫ ᎏ 1 1 1 ᎏ Ϫ ᎏ 1 1 2 ᎏ ϭ ᎏ 1 1 7 3 5 2 ᎏ 10 ͚ k ϭ 1 10 ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 n ͚ k ϭ 1 8 ͚ k ϭ Ϫ3 10 ͚ k ϭ 1 b. 1 Ϫᎏ 1 3 ᎏ ϩ ᎏ 1 2 ᎏ Ϫᎏ 1 4 ᎏ ϩ ᎏ 1 3 ᎏ Ϫᎏ 1 5 ᎏ ϩ ᎏ 1 4 ᎏ Ϫᎏ 1 6 ᎏ ϩ . . . ϩ ᎏ n Ϫ 1 3 ᎏϪᎏ n Ϫ 1 1 ᎏ ϩ ᎏ n Ϫ 1 2 ᎏϪᎏ 1 n ᎏ ϩ ᎏ n Ϫ 1 1 ᎏϪᎏ n ϩ 1 1 ᎏ ϩ ᎏ 1 n ᎏ Ϫᎏ n ϩ 1 2 ᎏ ϭ1 ϩᎏ 1 2 ᎏ Ϫᎏ n ϩ 1 1 ᎏϪᎏ n ϩ 1 2 ᎏϭ ᎏ 2(n n ϩ (3n 1) ϩ (n 5 ϩ ) 2) ᎏ Ejercicios 6-3 1. 5, 7, 9; 2n Ϫ 1; 400 3. Ϫ10, Ϫ16, Ϫ22; Ϫ6n ϩ 8; Ϫ1100 5. ᎏ 1 2 7 ᎏ, 9, ᎏ 1 2 9 ᎏ; ᎏ 1 2 ᎏn ϩ 7; 245 7. Ϫᎏ 4 5 ᎏ, Ϫᎏ 7 5 ᎏ, Ϫ2; Ϫᎏ 3 5 ᎏn ϩ 1; Ϫ106 9. 150, 200, 250; 50n; 10,500 11. 30, 50, 70; 20n Ϫ 30; 3600 13. 455 15. ᎏ 6 4 3 ᎏ 17. 289 19. 15,150 21. 94,850 23. ᎏ 173 7 ,350 ᎏ 25. 567,500 27. 5824 29. 15,300 31. a. 10,000; b. n 2 33. Ϫ36 35. 4620 37. ᎏ 35 4 77 ᎏ 39. ᎏ 5 2 ᎏn (n ϩ 1) 41. Ϫᎏ 9 4 ᎏ 43. ᎏ 2 1 2 5 8 ᎏ ϭ ᎏ 7 5 6 ᎏ 45. 3, 10, 17, 24, 31, 38 47. Ϫ8, 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48 49. Ϫᎏ 1 5 ᎏ, Ϫᎏ 3 5 ᎏ, Ϫ1, Ϫᎏ 7 5 ᎏ, Ϫᎏ 9 5 ᎏ, Ϫᎏ 1 5 1 ᎏ, Ϫᎏ 1 5 3 ᎏ, Ϫ3 51. $1183 53. a. $240, $220, $200; b. saldo mensual del préstamo ϭ 12,000 Ϫ 1000(k Ϫ 1), interés mensual ϭ [12,000 Ϫ 1000(k Ϫ 1)] (0.02) ϭ 260 Ϫ 20k; c. $1560, 13% 55. 930 57. 9080 59. 45,540 61. a 1 ϭ Ϫ7; d ϭ Ϫ13 63. u ϭ ᎏ 1 3 6 ᎏ; v ϭ ᎏ 2 3 3 ᎏ 65. 520 Ejercicios 6-4 1. 16, 32, 64; 2 n 3. 27, 81, 243; 3 n Ϫ 1 5. ᎏ 1 9 ᎏ, Ϫᎏ 2 1 7 ᎏ, ᎏ 8 1 1 ᎏ; Ϫ3Ϫᎏ 1 3 ᎏ n Ϫ 1 7. Ϫ125, Ϫ625, Ϫ3125; Ϫ5 n Ϫ 1 9. Ϫᎏ 1 9 6 ᎏ, Ϫᎏ 3 2 2 7 ᎏ, Ϫᎏ 6 8 4 1 ᎏ; Ϫ6 ᎏ 2 3 ᎏ n Ϫ 1 11. 1000; 100,000; 10,000,000; ᎏ 10 1 00 ᎏ (100) n Ϫ 1 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 261 n términos Ά p g 13. 126 15. Ϫᎏ 13 8 3 1 0 ᎏ 17. 1024 19. 3 21. Ϫᎏ 1 2 ᎏ 23. 1023 25. 2 n Ϫ 1 27. ᎏ 1 2 2 7 1 ᎏ 29. ᎏ 2 5 1 4 1 ᎏ 31. Ϫᎏ 8 6 5 4 ᎏ 33. Ϫᎏ 2 5 1 ᎏ 35. Ϯ4͙6 ෆ 37. 6, 24, 96, 384, 1536 o bien 6, Ϫ24, 96, Ϫ384, 1536 39. $10,737,418 41. 512,000; 1000(2 n Ϫ 1 ) 43. $8432.20 45. a. $800(1.11) n ; b. $1348.05 47. $703.99 49. a. Si V es el volumen del primer recipiente, entonces ᎏ 1 2 ᎏV ϩ ᎏ 1 2 ᎏ 2 V ϩ ᎏ 1 2 ᎏ 3 V ϩ ᎏ 1 2 ᎏ 4 V ϩ ᎏ 1 2 ᎏ 5 V ϭᎏ 3 3 1 2 ᎏV es la suma de los volúmenes de los otros cinco; como ᎏ 3 3 1 2 ᎏV < V, la respuesta es sí. b. ᎏᎏ 2 3 ᎏ k V ϭ ᎏ 4 2 2 4 2 3 ᎏV Ͼ V; por consiguiente, no. Ejercicios 6-5 1. 4 3. ᎏ 12 4 5 ᎏ 5. ᎏ 2 3 ᎏ 7. ᎏ 1 9 0 ᎏ 9. Ϫᎏ 1 7 6 ᎏ 11. El numerador de la derecha debería ser a 1 ϭ ᎏ 1 4 ᎏ, y no 1. 13. El denominador de la derecha debería ser 1 Ϫ Ϫᎏ 1 3 ᎏ porque r ϭ Ϫᎏ 1 3 ᎏ, y no ᎏ 1 3 ᎏ 15. ᎏ 3 2 ᎏ 17. ᎏ 1 6 ᎏ 19. 4 21. ᎏ 2 9 0 ᎏ 23. La suma no es finita 25. ᎏ 1 3 0 ᎏ 27. La suma no es finita 29. 30 31. ᎏ 2 1 0 1 ᎏ 33. 4 35. ᎏ 2 4 1 ᎏ 37. ᎏ 9 7 ᎏ 39. ᎏ 1 9 3 9 ᎏ 41. ᎏ 9 1 9 3 0 ᎏ 43. 1 45. a. ᎏ 4 3 ᎏ, ᎏ 4 9 ᎏ, ᎏ 2 4 7 ᎏ, . . . , ᎏ 3 4 n ᎏ, . . . ; b. ᎏ 3 4 n ᎏ ϭ ϭ 2 47. 8 horas 49. El tiempo de la última ᎏ 1 2 ᎏ milla debe ser ᎏ 2 5 ᎏᎏ 1 9 0 ᎏ n Ϫ1 , que no es suma finita, porque ᎏ 1 9 0 ᎏ Ͼ 1. 51. a. ᎏ 1 2 ᎏ (AC)(CB) ϭ ᎏ 1 2 ᎏ(4)(4) ϭ 8 b. 4 ϩ 2 ϩ 1 ϩ ᎏ 1 2 ᎏ ϩ . . . ϭ ϭ 8 c. Para los triángulos con número impar: 4 ϩ 1 ϩ ᎏ 4 1 ᎏ ϩ . . . ϭ ϭ ᎏ 1 3 6 ᎏ 4 1 Ϫ ᎏ 1 4 ᎏ 4 1 Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ∞ ͚ n ϭ 1 ᎏ 3 4 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ ∞ ͚ n ϭ 1 5 ͚ k ϭ 1 Para los triángulos con número par: 2 ϩᎏ 1 2 ᎏ ϩᎏ 1 8 ᎏ ϩ . . . ϭ ϭ ᎏ 8 3 ᎏ; ᎏ 1 3 6 ᎏ ϩ ᎏ 8 3 ᎏ ϭ 8 53. ᎏ 1 2 ᎏ(9)(3) ϩᎏ 1 2 ᎏ(6)(2) ϩᎏ 1 2 ᎏ(4)ᎏ 4 3 ᎏ ϩ . . . ϭᎏ 2 2 7 ᎏ ϩ6 ϩᎏ 8 3 ᎏ ϩ. . . ϭ ϭ ᎏ 2 1 4 0 3 ᎏ 55. a. $3000; b. $2000 Ejercicios 6-6 En estos ejercicios, S n representa la afirmación dada, en la que n es un entero Ն1 (n Ն2 cuando sea el caso). La segunda parte de cada demostración comienza con la hipótesis S k , donde k es un entero positivo arbitrario. 1. Como 1 ϭ ᎏ 1(1 2 ϩ 1) ᎏ, es verdadero, S 1 es cierta. Suponga S k y sume k ϩ 1 para obtener 1 ϩ 2 ϩ 3 ϩ . . . ϩ k ϩ (k ϩ 1) ϭ ᎏ k(k 2 ϩ 1) ᎏϩ (k ϩ 1) ϭ ϭ ᎏ (k ϩ1) 2 (k ϩ2) ᎏϭ . Por consiguiente, S k ϩ 1 es cierta. Como S 1 es cierta y S k implica S k ϩ1 , el principio de inducción matemática hace que S n sea cierta para todos los enteros n Ն 1. Nota: La oración final es una construcción adecuada para las demostraciones restantes. Sin embargo, no la repetiremos para abreviar. 3. Como 3i ϭ 3 ϭ ᎏ 3(1 2 ϩ 1) ᎏ, S 1 es cierta. Suponga S k y sume 3(k ϩ 1) para obtener lo siguiente: 3i ϭ 3i ϩ 3(k ϩ 1) ϭ ᎏ 3k(k 2 ϩ 1) ᎏϩ 3(k ϩ 1); 3i ϭ ᎏ 3(k 2 ϩ 2 3k ϩ 2) ᎏϭ ᎏ 3(k ϩ 1 2 )(k ϩ 2) ᎏϭ . Por lo tanto, S k ϩ 1 es válida. 5. Como ᎏ 5 3 ᎏ ϭ ᎏ 1(11 6 Ϫ 1) ᎏ, S 1 es cierta. Suponga S k y sume Ϫᎏ 1 3 ᎏ (k ϩ1) ϩ2 para obtener ᎏ 5 3 ᎏ ϩᎏ 4 3 ᎏ ϩ1 ϩ . . . ϩ Ϫᎏ 1 3 ᎏk ϩ 2 ϩ ΄Ϫᎏ 1 3 ᎏ (k ϩ 1) ϩ 2΅ ϭ ᎏ k(11 6 Ϫ k) ᎏϩ [Ϫᎏ 1 3 ᎏ(k ϩ 1) ϩ 2] ϭ ᎏ 10 ϩ 9 6 k Ϫ k 2 ᎏϭ ᎏ (k ϩ 1)( 6 10 Ϫ k) ᎏϭ . Por consiguiente S k ϩ 1 es válida. (k ϩ 1)[11 Ϫ (k ϩ 1)] ᎏᎏᎏ 6 3(k ϩ 1)[(k ϩ 1) ϩ 1] ᎏᎏᎏ 2 k ϩ 1 ͚ i ϭ 1 k ͚ i ϭ 1 k ϩ 1 ͚ i ϭ 1 1 ͚ i ϭ 1 (k ϩ 1)[(k ϩ 1) ϩ 1] ᎏᎏᎏ 2 k 2 ϩ 3k ϩ 2 ᎏ 2 2 7 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 4 9 ᎏ 2 1 Ϫ ᎏ 1 4 ᎏ 262 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS p g 7. Como ᎏ 1 1 • 2 ᎏ ϭ ᎏ 1 ϩ 1 1 ᎏ, S 1 es cierta. Suponga S k y sume para obtener ᎏ 1 1 • 2 ᎏϩ ᎏ 2 1 • 3 ᎏϩ . . . ϩ ᎏ k(k 1 ϩ 1) ᎏϩ ᎏ (k ϩ 1) 1 (k ϩ 2) ᎏϭ ᎏ k ϩ k 1 ᎏϩ ᎏ (k ϩ1 1 )(k ϩ2) ᎏϭ ᎏ (k k 2 ϩ ϩ 1 2 )( k k ϩ ϩ 1 2) ᎏϭ ᎏ (k ϩ (k 1 ϩ )(k 1) ϩ 2 2) ᎏϭ ᎏ k k ϩ ϩ 1 2 ᎏϭ ᎏ (k ϩ k ϩ 1) 1 ϩ 1 ᎏ. Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 9. S 1 es cierta por Ϫ2 ϭ Ϫ1 Ϫ (1 2 ). Suponga S k y sume Ϫ2 (k ϩ 1) para obtener Ϫ2 Ϫ4 Ϫ6 Ϫ . . . Ϫ2k Ϫ 2(k ϩ 1) ϭ Ϫk Ϫk 2 Ϫ2(k ϩ1) ϭϪ(k ϩ1) Ϫ(k 2 ϩ2k ϩ1) ϭϪ(k ϩ 1) Ϫ (k ϩ 1) 2 . Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 11. S 1 es cierta, porque 1 ϭ ᎏ 5 3 ᎏ ΄ 1 Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ 1 ΅ . Suponga S k y sume ᎏ 2 5 ᎏ k para obtener 1 ϩ ᎏ 2 5 ᎏ ϩ ᎏ 2 4 5 ᎏ ϩ . . . ϩ ᎏ 2 5 ᎏ k Ϫ 1 ϩ ᎏ 2 5 ᎏ k ϭ ᎏ 5 3 ᎏ[1 Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ k ΅ ϩ ᎏ 2 5 ᎏ k ϭᎏ 5 3 ᎏ ΄ 1 Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ k ϩᎏ 3 5 ᎏ ᎏ 2 5 ᎏ k ΅ ϭᎏ 5 3 ᎏ ΄ 1 Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ k (1 Ϫᎏ 3 5 ᎏ) ΅ ϭ ᎏ 5 3 ᎏ ΄ 1 Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ k ᎏ 2 5 ᎏ ΅ ϭ ᎏ 5 3 ᎏ ΄ 1 Ϫ ᎏ 2 5 ᎏ k ϩ 1 ΅ . Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 13. S 1 es cierta, porque 1 3 ϭ 1 ϭ ᎏ 1 2 (1 4 ϩ 1) 2 ᎏ. Suponga S k y sume (k ϩ 1) 3 para obtener 1 3 ϩ 2 3 ϩ 3 3 ϩ . . . ϩ k 3 ϩ (k ϩ1) 3 ϭᎏ k 2 (k 4 ϩ1) 2 ᎏϩ (k ϩ1) 3 ϭ ϭ ϭᎏ (k ϩ 1) 4 2 [k ϩ2] 2 ᎏϭ . Por consiguiente, S k ϩ1 es válida. 15. S 1 es cierta, porque ar i Ϫ1 ϭa ϭᎏ a( 1 1 Ϫ Ϫ r r 1 ) ᎏ. Suponga S k y sume ar (k ϩ 1)Ϫ1 para obtener ar i Ϫ 1 ϩ ar k ϭ ᎏ a( 1 1 Ϫ Ϫ r r k ) ᎏϩar k . Entonces ar i Ϫ1 ϭᎏ a( 1 1 Ϫ Ϫ r r k ) ᎏϩar k ϭ ϭ ᎏ a Ϫ 1 Ϫ ar k r ϩ 1 ᎏϭ ᎏ a(1 1 Ϫ Ϫ r k r ϩ 1 ) ᎏ. Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 17. 2 5 ϭ 32 Ͼ 20 ϭ 4 • 5. Por consiguiente S 5 es cierta. Suponga 2 k Ͼ 4k. A continuación multiplique por 2 para obtener 2 k ϩ1 Ͼ8k ϭ4k ϩ4k Ն4k ϩ20 Ͼ4k ϩ4 ϭ4(k ϩ1). Por consiguiente, 2 k ϩ1 Ͼ4(k ϩ1) y S k ϩ1 es válida. 19. Para n ϭ 1, a 1 ϭ a Ͻ 1, porque 0 Ͻ a Ͻ 1 (dato). Entonces S 1 es cierta. Suponga a k Ͻ 1. Entonces, como a Ͼ 0, a k ϩ 1 Ͻ a. Pero a Ͻ 1. Por consiguiente, a k ϩ 1 Ͻ 1 y S k ϩ 1 es válida. a(1 Ϫ r k ) ϩ ar k Ϫ ar k ϩ 1 ᎏᎏᎏ 1 Ϫ r k ϩ 1 ͚ i ϭ 1 k ͚ i ϭ 1 1 ͚ i ϭ 1 (k ϩ 1) 2 [(k ϩ 1) ϩ 1] 2 ᎏᎏᎏ 4 (k ϩ1) 2 [k 2 ϩ4k ϩ4] ᎏᎏᎏ 4 k 2 (k ϩ 1) 2 ϩ 4(k ϩ 1) 3 ᎏᎏᎏ 4 1 ᎏᎏᎏ (k ϩ1)[k ϩ 1) ϩ 1] 21. S 1 es cierta por (ab) 1 ϭ a 1 b 1 . Suponga que (ab) k ϭ a k b k y multiplique por ab para obtener (ab) k (ab) ϭ (a k b k )ab; (ab) k ϩ 1 ϭ (a k a)(b k b); (ab) k ϩ 1 ϭ a k ϩ 1 b k ϩ 1 . Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 23. S 1 es cierta porque ͉ a 0 ϩ a 1 ͉ Յ ͉ a 0 ͉ ϩ ͉ a 1 ͉ . Suponga S k . Entonces ͉ a 0 ϩ a 1 ϩ . . . ϩ a k ϩ a k ϩ1 ͉ ϭ͉ a 0 ϩ a 1 ϩ . . . ϩ a k ) ϩ a k ϩ 1 ͉ Յ ͉ a 0 ϩ a 1 ϩ . . . ϩ a k ͉ ϩ͉ a k ϩ 1 ͉ (de acuerdo con S 1 ) Յ(͉ a 0 ͉ ϩ͉ a 1 ͉ ϩ. . . ϩ͉ a k ͉ ) ϩ͉ a k ϩ1 ͉ (de acuerdo con S k ) ϭ ͉ a 0 ͉ ϩ ͉ a 1 ͉ ϩ . . . ϩ ͉ a k ϩ 1 ͉ Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 25. a. Como ᎏ a a 2 Ϫ Ϫ b b 2 ᎏϭ a ϩ b ϭ a 2 Ϫ 1 ϩ b 2 Ϫ 1 , S 2 es cierta. Suponga S k . Entonces ᎏ a k ϩ a 1 Ϫ Ϫ b b k ϩ 1 ᎏϭ ᎏ a k a a Ϫ Ϫ b b k b ᎏ ϭ ϭ ϭ ᎏ a(a a k Ϫ Ϫ b b k ) ᎏϩ b k ϭ a[a k Ϫ 1 ϩ a k Ϫ 2 b ϩ . . . ϩ ab k Ϫ 2 ϩ b k Ϫ 1 ] ϩ b k (de acuerdo con S k ) ϭ a k ϩ a k Ϫ 1 b ϩ . . . ϩ a 2 b k Ϫ 1 ϩ ab k Ϫ 1 ϩ b k Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. b. Como ᎏ a a n Ϫ Ϫ b b n ᎏϭa n Ϫ1 ϩa n Ϫ2 b ϩ . . . ϩab n Ϫ2 ϩb n Ϫ1 , multiplicando por a Ϫ b se obtiene a n Ϫ b n ϭ (a Ϫ b) (a n Ϫ 1 ϩ a n Ϫ 2 b ϩ . . . ϩ ab n Ϫ 2 ϩ b n Ϫ 1 ). 27. a. 1; 4; 9; 16; 25; b. n 2 c. S 1 es cierta porque 1 ϭ 1 2 . Suponga S k y sume k ϩ (k ϩ 1) para obtener 1 ϩ 2 ϩ 3 ϩ . . . ϩ (k Ϫ 1) ϩ k ϩ (k ϩ 1) ϩ k ϩ (k Ϫ 1) ϩ . . . ϩ3 ϩ2 ϩ1 ϭk 2 ϩk ϩ(k ϩ1) ϭk 2 ϩ2k ϩ1 ϭ (k ϩ 1) 2 . Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 29. Cuando n ϭ 1, 7 1 Ϫ 1 ϭ 6, que es divisible entre 6, de modo que S 1 es cierta. Suponga S k . Entonces, 7 k Ϫ1 ϭ6b y 7 k ϭ6b ϩ1. Multiplique por 7 para obtener 7 k ϩ1 ϭ42b ϩ7, y 7 k ϩ1 Ϫ1 ϭ42b ϩ6 ϭ6(7b ϩ1), que es divisible entre 6. Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. Ejercicios de repaso del capítulo 6 1. Véanse páginas 208, 209 2. 1, 4, 7, 10, 13 3. 0, 0.250, 0.296, 0.316, 0.328, 0.335, 0.340; diferencias: 0.250, 0.046, 0.020, 0.012, 0.007, 0.005 4. 4, 5, 10, 11, 16 5. ᎏ 2 3 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏ, ᎏ 1 2 5 ᎏ, ᎏ 1 1 2 ᎏ, ᎏ 3 2 5 ᎏ 6. Ϫ2, 1, Ϫᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏ, Ϫᎏ 1 8 ᎏ 7. Ϫ1, ᎏ 2 3 ᎏ, Ϫᎏ 2 3 ᎏ, ᎏ 4 5 ᎏ, Ϫᎏ 1 1 6 5 ᎏ 8. ᎏ 1 1 1 9 ᎏ 9. 5, 10, 20, 40, 80 a(a k Ϫ b k ) ϩ b k (a Ϫ b) ᎏᎏᎏ a Ϫ b a k a Ϫ b k a ϩ b k a Ϫ b k b ᎏᎏᎏ a Ϫ b RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 263 p g 10. Ϫ3, 9, Ϫ27, 81, Ϫ243; (Ϫ3) n 11. Véase página 214 12. 105 13. 3 14. ᎏ 3 9 2 4 0 5 7 ᎏ 15. 26 16. 70 17. 4k 18. Véase página 217 19. Véase página 217 20. Ϫ7n ϩ 17 21. Ϫ83 22. Véase página 509 23. Ϫ1155 24. 6,251,000 25. a. Ϫ2260; b. Ϫᎏ 22 3 0 ᎏ 26. 8845 27. Véase página 221 28. 8, 15, 22, 29, 36, 43 29. Véase página 225 30. Véase página 516 31. ᎏ 3 1 1 00 ᎏ 32. 12Ϫᎏ 2 3 ᎏ n Ϫ 1 33. Ϫᎏ 5 7 1 2 2 9 ᎏ 34. ᎏ 2 1 7 ᎏᎏ 2 1 7 ᎏ k Ϫ 1 ; a 1 ϭ ᎏ 2 1 7 ᎏ, r ϭ ᎏ 2 1 7 ᎏ 35. ᎏ 1 2 ᎏ 36. Véase página 228 37. a. 0.02222222; b. 0.01818182 38. 800(0.75) n ; 80.1 pies 39. Véase página 230 40. 6, 12, 24, 48, 96 o 6, Ϫ12, 24, Ϫ48, 96 41. Véase página 532 42. Véase página 235 43. 108 44. ᎏ 19 5 2 ᎏ 45. ͉r͉ ϭ ᎏ 5 3 ᎏ Ͼ 1 46. ᎏ 1 1 8 ᎏ 47. La suma no es finita; ͉r͉ Ͼ 1 48. ᎏ 1 8 1 ᎏ 49. 100 pulgadas 50. Véase página 244 51. S 1 es cierta porque 3 ϭ ᎏ 3 2 ᎏ(1)(1 ϩ 1). Suponga S k y sume 3(k ϩ 1): 3 ϩ 6 ϩ 9 ϩ . . . ϩ 3k ϩ 3(k ϩ 1) ϭ ᎏ 3 2 ᎏk(k ϩ 1) ϩ 3(k ϩ 1) ϭ 3(k ϩ 1) ᎏ 1 2 ᎏk ϩ 1 ϭ ᎏ 3 2 ᎏ(k ϩ 1)(k ϩ 2). Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 52. S 1 es cierta, porque 3 ϭ 3(2 1 Ϫ 1). Suponga S k y sume 3(2 k ϩ 1 Ϫ 1 ): 3 ϩ 6 ϩ 12 ϩ . . . ϩ 3 • 2 k Ϫ1 ϩ 3 • 2 k ϭ 3 (2 k Ϫ1) ϩ 3 • 2 k ϭ 3 • 2 k Ϫ 3 ϩ 3 • 2 k ϭ 2 • 3 • 2 k Ϫ 3 ϭ 3(2 k ϩ 1 Ϫ 1). Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 53. S 1 es cierta porque ᎏ 1 1 • 3 ᎏϭ ᎏ 2 • 1 1 ϩ 1 ᎏ. Suponga S k y sume ϭ ᎏ (2k ϩ 1) 1 (2k ϩ 3) ᎏ: ᎏ 1 1 • 3 ᎏϩ ᎏ 3 1 • 5 ᎏϩ ᎏ 5 1 • 7 ᎏϩ . . . ϩ ᎏ (2k Ϫ 1) 1 (2k ϩ 1) ᎏϩ ᎏ (2k ϩ 1) 1 (2k ϩ 3) ᎏϭ ᎏ 2k k ϩ 1 ᎏϩ ᎏ (2k ϩ 1) 1 (2k ϩ 3) ᎏϭ ᎏ (2 k k (2 ϩ k ϩ 1)( 3 2 ) k ϩ ϩ 1 3) ᎏϭᎏ (2 2 k k ϩ 2 ϩ 1) 3 (2 k k ϩ ϩ 1 3) ᎏϭᎏ (2 (2 k k ϩ ϩ 1 1 )( ) 2 (k k ϩ ϩ 1 3 ) ) ᎏϭ ᎏ 2(k ϩ k ϩ 1) 1 ϩ 1 ᎏ. Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 1 [2(k ϩ 1) Ϫ 1][2(k ϩ 1) ϩ 1] 6 ͚ k ϭ 1 54. S 1 es cierta, porque ᎏ 3 2 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 3 1 1 ᎏ ϭ ᎏ 3 2 ᎏ Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ ϭ 1. Suponga S k y sume ᎏ 3 1 k ᎏ: 1 ϩ ᎏ 1 3 ᎏ ϩ ᎏ 3 1 2 ᎏ ϩ . . . ϩ ᎏ 3 k 1 Ϫ1 ᎏ ϩ ᎏ 3 1 k ᎏ ϭ ᎏ 3 2 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 3 1 k ᎏ ϩ ᎏ 3 1 k ᎏ ϭ ᎏ 3 2 ᎏ(1) Ϫ ᎏ 3 2 ᎏ ᎏ 3 1 k ᎏ ϩ ᎏ 3 2 ᎏ ᎏ 2 3 ᎏ ᎏ 3 1 k ᎏ ϭ ᎏ 3 2 ᎏ ΄1 Ϫ ᎏ 3 1 k ᎏ Ϫ ᎏ 3 • 2 3 k ᎏ ΅ ϭ ᎏ 3 2 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 3 3 • Ϫ 3 2 k ᎏ ϭ ᎏ 3 2 ᎏ 1 Ϫ ᎏ 3 k 1 ϩ 1 ᎏ) Por consiguiente, S k ϩ 1 es válida. 55. S 5 es cierta, porque 3 5 Ͼ 27(5). Suponga que 3 k Ͼ 27k. Multiplique por 3 para obtener 3 k ϩ1 Ͼ81k ϭ27k ϩ54k Ͼ 27k ϩ27 ϭ27(k ϩ1). Por consiguiente, S k ϩ1 es válida. 56. S 1 es válida, porque 1 2 ϩ 3(1) ϭ 4, que es entero par. Suponga que k 2 ϩ 3k es par. Entonces, (k ϩ 1) 2 ϩ 3(k ϩ 1) ϭ k 2 ϩ 2k ϩ 1 ϩ 3k ϩ 3 ϭ (k 2 ϩ 3k) ϩ (2k ϩ 4), que es la suma de dos enteros pares, y por consiguiente es par. Por lo anterior, S k ϩ 1 es válida. Pruebe su compresión Página 209 1. 3, 5, 7, 9, 11 2. Ϫ2, Ϫ4, Ϫ6, Ϫ8, Ϫ10 3. 0, Ϫ2, Ϫ4, Ϫ6, Ϫ8 4. Ϫ1, ᎏ 1 2 ᎏ, Ϫ ᎏ 1 3 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏ, Ϫ ᎏ 5 1 ᎏ 5. 1, ᎏ 1 4 ᎏ, ᎏ 1 9 ᎏ, ᎏ 1 1 6 ᎏ, ᎏ 2 1 5 ᎏ 6. Ϫᎏ 3 2 ᎏ, Ϫᎏ 1 2 ᎏ, Ϫᎏ 1 4 ᎏ, Ϫᎏ 2 3 0 ᎏ, Ϫᎏ 1 1 0 ᎏ 7. 3, ᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 5 1 ᎏ, ᎏ 2 3 8 ᎏ, ᎏ 1 1 5 ᎏ 8. ᎏ 1 3 ᎏ, ᎏ 1 9 ᎏ, ᎏ 2 1 7 ᎏ, ᎏ 8 1 1 ᎏ, ᎏ 24 1 3 ᎏ 9. 2, 0, 2, 0, 2 Página 215 1. 60 2. 25 3. 40 4. 0 5. 50 6. ᎏ 1 5 6 ᎏ Página 218 1. 5n 2. Ϫ4n ϩ 10 3. ᎏ 1 1 0 ᎏn 4. Ϫ8n ϩ 3 5. n 6. n Ϫ 4 7. ᎏ 2 3 ᎏn 8. Ϫ12n ϩ 65 9. ᎏ 1 5 ᎏn Ϫ ᎏ 1 5 ᎏ 10. n ϩ 1 Página 227 1. 1, ᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏ, ᎏ 1 8 ᎏ, ᎏ 1 1 6 ᎏ, 1ᎏ 1 2 ᎏ n Ϫ 1 ; r ϭ ᎏ 2 1 ᎏ 2. ᎏ 1 4 ᎏ, ᎏ 1 8 ᎏ, ᎏ 1 1 6 ᎏ, ᎏ 3 1 2 ᎏ, ᎏ 6 1 4 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏᎏ 1 2 ᎏ n Ϫ 1 ; r ϭ ᎏ 2 1 ᎏ 3. Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ, ᎏ 1 4 ᎏ, Ϫ ᎏ 1 8 ᎏ, ᎏ 1 1 6 ᎏ, Ϫ ᎏ 3 1 2 ᎏ; Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ Ϫ ᎏ 1 2 ᎏ n Ϫ 1 ; r ϭ Ϫ ᎏ 2 1 ᎏ 4. Ϫᎏ 2 1 7 ᎏ, ᎏ 2 1 7 2 ᎏ, Ϫᎏ 2 1 7 3 ᎏ, ᎏ 2 1 7 4 ᎏ, Ϫᎏ 2 1 7 5 ᎏ, Ϫᎏ 2 1 7 ᎏ Ϫᎏ 2 1 7 ᎏ n Ϫ 1 ; r ϭ Ϫᎏ 2 1 7 ᎏ 5. r ϭ 10; ᎏ 1 5 ᎏ(10) n Ϫ 1 6. r ϭ Ϫᎏ 4 9 ᎏ; 27Ϫᎏ 4 9 ᎏ n Ϫ 1 Página 236 1. r ϭ ᎏ 1 1 0 ᎏ; S ∞ ϭ 11ᎏ 1 9 ᎏ 2. r ϭ 4; la suma no es finita 3. r ϭ Ϫᎏ 1 6 ᎏ; S ∞ ϭ ᎏ 6 7 ᎏ 4. r ϭ ᎏ 1 4 ᎏ; S ∞ ϭ Ϫ21ᎏ 1 3 ᎏ 5. r ϭ ᎏ 4 3 ᎏ; la suma no es finita 6. r ϭ 0.01; S ∞ ϭ ᎏ 3 1 3 ᎏ 7. r ϭ Ϫ3; la suma no es finita 8. r ϭ Ϫᎏ 1 9 0 ᎏ; S ∞ ϭ ᎏ 8 1 1 9 0 ᎏ 9. r ϭ Ϫ1.01; la suma no es finita. 264 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS p g