Investigación de Operaciones – Método DualMétodo Dual Caracas, Enero de 2011 0 Investigación de Operaciones – Método Dual Índice Introducción Método Dual Teoría de la Dualidad Método Dual-Simplex Ejercicios Prácticos Conclusión ……………………………………….............. ……………………………………….............. ……………………………………….............. ……………………………………….............. ……………………………………….............. ……………………………………….............. 2 3 7 8 13 19 1 Pero más importante aún es la relación que existe entre la dualidad y el análisis de sensibilidad. Además. conocido como su problema Dual. hasta el punto de que el modelo de uno puede obtenerse a partir del modelo del otro y la solución óptima del modelo del primero proporciona información completa acerca de la solución óptima del segundo. Ambos están relacionados estrechamente. los valores óptimos de las variables del modelo dual suministran información económica muy importante acerca del valor implícito de los recursos que se utilizan en el problema que se esta resolviendo. tema del próximo capitulo. el cual estudia el efecto que las variaciones en los parámetros de un modelo tienen en la solución óptima de este.Investigación de Operaciones – Método Dual Introducción Todo problema de Programación Lineal tiene asociado un segundo problema. Una de las ventajas de la existencia del problema dual es la posibilidad de reducir el esfuerzo computacional al resolver ciertos modelos de Programación Lineal. 2 . sobre todo en lo que respecta a los signos de las variables. Más importante aún es que el uso de esas definiciones múltiples puede conducir a interpretaciones inconsistentes de los datos en la tabla símplex. Los problemas dual y primal están relacionados a tal grado. La dualidad y el análisis de sensibilidad son potencialidades de éste método. La experiencia nos indica que en ocasiones. El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que los análisis marginales están siempre involucrados implícitamente al buscar la solución óptima a un problema de PL. que la solución símplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro. por ejemplo: más restricciones que variables. los principiantes se confunden con los detalles de esas definiciones. el dual se define para varias formas del primal.Investigación de Operaciones – Método Dual MÉTODO DUAL El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. de los signos de las variables y del sentido de la optimización. El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal. dependiendo de los tipos de restricciones. presenta varias utilidades: Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresión de la PL. es decir el problema original llamado primal. 3 . En la mayoría de los procedimientos de PL. El método simplex además de resolver un problema de PL llegando a una solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones. llamado precisamente dual. La relación entre el problema dual y su asociado. El análisis de dualidad es una herramienta útil en la solución de problemas de PL. 3X2 Sujeto a: 1X1 + 2X2 4X1 .2X2 12 3 6X1 .Investigación de Operaciones – Método Dual La forma estándar general del primal se defina como.1X2 = 10 X1. para maximizar o minimizar: sujeto a.2 4 . FORMA DE PRESENTAR EL PROBLEMA DUAL MIN = 2X1 . multiplicando la función objetivo por –1: MAX -2X1 + 3X2 2. Para las restricciones de igualdad. obtener 2 restricciones de desigualdad. ambos lados: -4x1 + 2x2 -3 –1 3. Llevar el problema a su equivalente de maximización.Investigación de Operaciones – Método Dual 1. una de form 6X1 – 6X1 – 6X1 – 1X2 -6X1 + 1X2 10 -10 Así el problema primal se ha replanteado en la forma equivalente: MAX Z= -2X1 + 3X2 Sujeto a: 1X1 + 2X2 -4X1 + 2X2 6X1 – 1X2 -6X1 + 1X2 12 -3 10 -10 5 . Investigación de Operaciones – Método Dual 4. 2Y1 + 2Y2 – 1Y3’ + 1Y3’’ 6 . es fácil llevarlo al problema dual: MIN Sujeto a: 12Y1 – 3Y2 + 10Y3 Y1–4Y2 + 6Y3’– -2 3 Y’3 y Y’’3 ambas se refieren a la tercera restricción del problema primal. Teniendo el problema primal convertido a la forma canónica de un problema de maximización. de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro. este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma: Maximizar Sujeto a: 7 . Uno se denomina primal y el otro dual. Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de computo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad. DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL. Para poder elaborar el problema dual a partir del primal. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas.Investigación de Operaciones – Método Dual TEORIA DE LA DUALIDAD Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. o para ahorro en cálculos evitando los métodos simplex penal y dos fases. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro. que y el problema de minimización 5. Método Dual . Un problema busca maximizar y el otro minimizar. como ocurre en cambios de los recursos del problema. El problema de maximización tiene restricciones tiene restricciones que. Ahora observe y compare la aplicación ( ) de criterios del simplex en coeficientes del modelo de PL resumido.Simplex. a los problemas primal y dual.Investigación de Operaciones – Método Dual El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera: 1. Las variables en ambos casos son no negativas. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro. 4. pero el renglón Z se presenta óptimo. Aprovechando las propiedades de los problemas asociados primal y dual. 3. también para resolver problemas de objetivo mínimo y al menos una restricción de tipo >=. Se aplica cuando el problema cambia a no factible. 8 . se desarrolló el método dual-simplex que se aplica: en algunos casos de análisis de sensibilidad. 2. eligiendo para salir la que corresponda al valor más negativo en la columna de solución. a los problemas primal y dual. entre las variables básicas.Investigación de Operaciones – Método Dual Criterios del simplex en coeficientes del modelo de PL resumido. Comparación funcional del simplex y el dual simplex. Esto es válido tanto para el objetivo mínimo como para el máximo. entre las variables no básicas. Criterios del método dual-simplex para el cambio de base. Enseguida se presenta una comparación funcional del simplex y el dual simplex. una VS que salga de la base. 9 . una VE que entre a la base con el siguiente procedimiento: Criterio de Optimalidad en el método dual-simplex. Criterio de optimalidad Se aplica en el dual-simplex para determinar. En el algoritmo dual-simplex aplican los siguientes criterios para cambio de base: Criterio de factibilidad Se aplica en el dual-simplex para determinar. E.Investigación de Operaciones – Método Dual Elemento Pivote Se ubica como pivote al coeficiente que corresponde al cruce del renglón y columna elegidos con los criterios del cambio de base. para hacer positivo el coeficiente de la variable de exceso. comienza en una solución básica óptima. 10 . Algoritmo Dual-Simplex para un modelo de maximización Primero se debe expresar el modelo en formato estándar. y formar así un vector unitario que nos permita tomar esta variable de exceso como una variable básica inicial. pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. A continuación se presenta su estructura y un ejemplo para ilustrar su aplicación. El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo. Con este procedimiento se llega igualmente a la solución óptima. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex. mientras busca la optimalidad. genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran. EL MÉTODO DUAL SIMPLEX Como sabemos. en las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes de restricciones de tipo >). que como contraparte del simplex. Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad. Enseguida. el método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima. sin necesidad de agregar una variable artificial en esa restricción. se debe multiplicar por (-1) en ambos lados . a aquella con el valor mas negativo. 11 . Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB)s todos los coeficientes de reemplazo con las variables no básicas son no negativos. Los empates se pueden romper arbitrariamente. El algoritmo para resolver un modelo de maximización es el siguiente: Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso como variables básicas iniciales. Si hay al menos una variable básica negativa. seleccionar como variable de salida. Si todas las variables básicas son no negatívas. se efectúan los cocientes entre el efecto neto de cada variable no básicas y su correspondiente el coeficiente de intercambio negativo. Obtendremos que los términos del lado derecho de las ecuaciones multiplicadas por (-1) quedan con signo negativo. Es importante destacar que este proceso es muy útil ya que en muchos modelos evita la inclusión de variables artificiales en el momento de transformar un modelo a formato estándar. Paso 2: Prueba de factibilidad a.Investigación de Operaciones – Método Dual Al hacer lo anterior se logra que debajo de las variables básicas aparezca una matriz identidad. lo cual hace que la solución inicial sea infactible. b. que es la que el simplex siempre toma como base inicial. ( llamémosla (XB)s ). hay al menos un coeficiente de intercambio negativo . Si en el renglón de la variable básica de salida (XB)s. Se termina el proceso. la solución del modelo es óptima ¡limitada. la actual solución es la óptima. Paso 3: Prueba de inmejorabilidad a. Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla. X3 > 0 Expresemos el modelo en formato estándar Maximizar Sujeto a : | Z= | -2X1 | -2X2 | -3X3 | | |= | | 10 | 12 | | | | 2X1 | +4X2 | +2X3 | -IE1 | | 3X1 | -3X2 | +9X3 | | -IE2 | = multipliquemos por (-1) en ambos lados de las ecuaciones. siendo (XB)s la variable de salida se calculan todos los cocientes Se toma como variable de entrada (llamémosla Xe ) a aquella que corresponda al mínimo de los cocientes del anterior conjunto.Investigación de Operaciones – Método Dual Es decir. Maximizar | Z= | -2X1 | -2X2 | -3X3 | | | | 12 . para formar los vectores unitarios. b. Si la variable de entrada es Xe el elemento pivote será el elemento (Se)s El empate se puede romper arbitrariamente. requeridos para contar con una base inicial unitaria. en la cual aparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s c. X2. Ejemplo de aplicación del Método Dual Simplex Sea el siguiente modelo: Maximizar Sujeto a : | Z= | -2X1 | -2X2 | -3X3 | | 10 | 12 | | | | | 2X1 | +4X2 | +2X3 | > | 3X1 | -3X2 | +9X3 | = | con | X1. Repetir el algoritmo a partir del paso 2. 2X1 .3X2 + X3 2X1 + 3X2 2X1 + 3X2 .2X1 + 3X2 .2X2 + X3 Sujeto a : 2X1 2X1 .Investigación de Operaciones – Método Dual Sujeto a : | -2X1 | -4X2 | -2X3 | +IE1 | | -3X1 | +3X2 | -9X3 | |= | -10 | -12 | | | +IE2 | = Ejercicios Prácticos Ejemplo 1: Primo Min Z = 3X1 .3X2 + X4 -8 -1 Dual Max Z = W1 .X4 x´s 0 .W2 + 8W3 .X 8 .8W4 Sujeto a : 13 . W2 . . -W1 + W2 ≤ 3 2W1 + 3W2 ≤ -1 W 1��� 0.3W4 W1 .W3 1 3 -2 Ejemplo 2: Primo: Max Z = 3X1 .X2 Sujeto a. -X1 + 2X2 ≥ 5 X1 + 3X2 ≤ -2 X´s³0 Dual: Max Z= 5W1 .2W4 -3W1 + 3W2 + 3W3 .W2 ³ 0 ��� 14 .20W2 Sujeto a.Investigación de Operaciones – Método Dual 2W1 .3W2 + 2W3 . X1 . X6 No restringidas Dual: Max Z=16W1 .2X5 + 3X6 ≥ .W3 = 5 W1 no restringida. W3 ≤ 0 15 . W1 + W2 + ≤ -2 -W1 + + 5W3 ≤ 13 + + W3 ≤ 3 4W1 + 7W2 .X2 + 4X4 – X5+ X6 = 16 X1 + 7X4 .W3 ³ ≥ -2 W1 -2W2 +2W3 = 1 5W1 + 3W2 .Investigación de Operaciones – Método Dual Ejemplo 3: Primo : Min Z = -2X1 +13X2 +3X3 .2X4+ X5 + 5X6 Sujeto a. para 1=1.X6 ≤ 5 Xi ³ 0.W2+ 5W3 Sujeto a.W2 ³≥ 0.X4+ 2X5 .1 5X2 + X3 .3 X4 ���0 X5. .2. Las limitaciones de capacidad por departamento par el próximo periodo de planeación son: 6000 H. 4. La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos tal que se maximice la ganancia. cada escritorio es primero construido en el taller de carpintería y entonces es enviado al departamento de acabados. se proporciona a continuación la siguiente información: 1.H (Horas-Hombre) en el taller de carpintería y 4000 H.Investigación de Operaciones – Método Dual Ejemplo 4: Una compañía fabrica 4 modelos de escritorios. Los insumos (materia prima y accesorios) están disponibles en cantidades suficientes y todos los escritorios pueden ser vendidos.H) Ganancias (en miles de pesos) 4 1 2 9 1 3 7 3 18 4 10 40 40 12 20 16 .H) Depto.H en el de acabados. donde este es barnizado. encerado y pulido. de acabados (H. 2. Las horas hombre requeridas por tipo de escritorio y sus ganancias se dan a continuación ESCRITORIO 1 Taller de carpintería (H. 3. Investigación de Operaciones – Método Dual Primo Dual Max Z=12+X120+X218X3+40X4 Sujeto a: 4X1+9X2+7X3+ 10X4 ≤ 6000 X1+ X2+ 3X3+ 40X4 ≤ 4000 X´s ≥ 0 Tabla Inicial: XB Zj-Cj X5 X6 X1 -12 4 1 X2 -20 9 1 X3 -18 7 3 X4 -40 10 40 X5 0 1 0 X6 0 0 1 LD 0 6000 4000 Tabla Final XB Zj-Cj X1 X4 X1 0 1 0 X2 20/3 7/3 -1/30 X3 10/3 5/3 1/30 X4 0 0 1 X5 44/15 4/15 -1/150 X6 4/15 -1/15 4/150 LD 56000/3 4000/3 200/3 17 . Investigación de Operaciones – Método Dual Las variables del dual o precios sombra se encuentran en la fila Zj–Cj bajo las columnas que aportaron en la tabla inicial las variables de holgura. ( 1ª. es decir que no se han usado todos los artículos de este recurso. El precio sombra o W. es decir no se usan todos los recursos de esta restricción. Interpretando en este ejemplo: De la tabla: Por cada Hora-Hombre extra que se tenga en el departamento de acabados la ganancia se incrementará en 4/15 pesos. b) Sí W=0. Para que adquirir más artículos ce cierto recurso si su precio sombra W es igual a cero. la función objetivo Z mejorara en W unidades. estará relacionada con W1 . es decir se usan todos los recursos de esta restricción. 18 . estará relacionada con W2 y así sucesivamente. Restricción que aporto la 1ª columna de la matriz identidad. Indicar: a) si W��� 0 en su ecuación correspondiente la variable de holgura es igual a cero. en su ecuación correspondiente la variable de holgura es diferente de cero. Por cada Hora-Hombre extra que se tenga en el taller de carpintería la ganancia se reducirá en 44/15 pesos. 2ª restricción que aportó la 2ª columna de la matriz identidad. indicará que por cada unidad que se incremente la disponibilidad del recurso i. Investigación de Operaciones – Método Dual Conclusión 19 .