MÉTODO DE PENDIENTE DEFLEXION - ANALISIS ESTRUCTURAL I

METODO MATRICIALPENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS Análisis estructural I DOCENTE: Ing. Marco Antonio Vásquez INTEGRANTES      Anticona Pinco Jordy Rojas Gonzales Lurdes Salazar Diaz Adelmith Villanueva Enriquez Cristhian Villanueva Enriquez Pedro METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS Introducción El método de pendiente-deflexión es un procedimiento para analizar vigas indeterminadas y marcos. Se conoce como método de los desplazamientos, ya que las ecuaciones de equilibrio empleadas en el análisis se expresan en función de los desplazamientos desconocidos de los nudos. El método de pendiente-deflexión es importante porque introduce al estudiante al análisis del método de rigideces. Este método es la base de muchos programas generales de cómputo que analizan todo tipo de estructuras: vigas, armaduras, cascarones, etc. Por otra parte, la distribución de momentos -un método manual usado por lo general para analizar rápidamente vigas y marcos- también se basa en la formulación de rigidez. En el método de pendiente-deflexión, la ecuación de pendientedeflexión se utiliza para relacionar el momento en cada extremo de un miembro con los desplazamientos de sus extremos y con las cargas aplicadas al miembro entre los mismos. Los desplazamientos de los extremos de un miembro incluyen tanto rotación como traslación perpendicular con respecto al eje longitudinal del miembro. 1 METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS ANÁLISIS DE VIGAS INDETERMINADAS Y MARCOS POR EL MÉTODO DE PENDIENTEDEFLEXIÓN 1. Ilustración del método de pendiente-deflexión Para introducir las principales características del método de pendientedeflexión, se describe brevemente el procedimiento con el que se analiza una viga continua de dos claros. Como se muestra en la figura, la estructura consiste en un miembro único soportado por apoyos simples en los puntos A y B, y por un apoyo articulado en C. Los segmentos de viga AB y BC, así como los nudos A, B y C, se separan de la estructura mediante planos que atraviesan la viga a una distancia infinitesimal antes y después de cada apoyo Como los nudos son esencialmente puntos en el espacio, la longitud de cada miembro es igual a la distancia entre los nudos. En este problema, las incógnitas son las rotaciones de los nudos ѲA ѲB y ѲC (que también son las rotaciones de los extremos de los miembros), y se muestran a una escala exagerada mediante la línea discontinua de la figura. Puesto que los apoyos no se mueven verticalmente, los desplazamientos laterales de los nudos son nulos; así que en este ejemplo no existen incógnitas acerca de traslaciones en los nudos. 2 Este paso se representa mediante el siguiente conjunto de ecuaciones: } M AB =f ( θ A .θ B . es decir. la suma de los momentos aplicados a cada nudo por los extremos de las vigas que se conectan a dicho nudo es 3 . se escriben las ecuaciones de equilibrio que expresan la condición de que los nudos están en equilibrio con respecto a los momentos aplicados. P1 ) 1 M Bc =f ( θ B .θ B .METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS Para comenzar el análisis de la viga por el método de pendiente-deflexión. P 1) M BA =f ( θ A . θC . P2 ) M CB =f ( θ B . se utiliza la ecuación de pendiente-de flexión (que se deducirá posteriormente) para expresar los momentos en los extremos de cada miembro en función de los desplazamientos desconocidos en los nudos y de las cargas aplicadas. P2 ) En seguida.θ C . se aplican las ecuaciones de la estática a los cuerpos libres de las vigas para calcular los cortantes en los extremos. La viga. utilizando el método de área-momento. Puesto que los momentos aplicados sobre los extremos de los miembros representan la acción del nudo sobre el miembro. se generan tres ecuaciones que son función de las tres rotaciones desconocidas (así como de las cargas aplicadas y las propiedades de los miembros. 2. que relaciona los momentos en los extremos de los miembros con los desplazamientos en sus extremos y las cargas aplicadas. Como paso final. Cuando se aplica una carga distribuida w(x). EI es constante a lo largo del eje longitudinal. sumando fuerzas en la dirección vertical). que puede variar arbitrariamente a lo largo del eje de la viga. se analiza el claro AB de la viga continua mostrada en la figura anterior. Como los asentamientos diferenciales de los apoyos de los miembros continuos también generan momentos en los extremos. Las tres ecuaciones de equilibrio de los nudos son: } Enel nudo A : M AB=0 Enel nudo B : M BA + M BC =0 2 En el nudo C : M CB =0 Sustituyendo las ecuaciones 1 en las ecuaciones 2. En la sección 3. Deducción de la ecuación de pendiente-deflexión Para desarrollar la ecuación de pendiente-deflexión. Estas tres ecuaciones simultáneas se resuelven para obtener los valores de las incógnitas rotacionales en los nudos. Como convención de signos. que son datos conocidos). Después de obtener estas rotaciones. tiene una sección transversal constante.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS igual a cero. se supone que todos los momentos desconocidos son positivos y actúan en el sentido de las manecillas del reloj sobre los extremos de los miembros. Una vez encontrados el sentido y la magnitud de los momentos extremos. los apoyos A y B se asientan 4 . inicialmente recta. deben ser iguales y de sentido opuesto a los que actúan sobre los nudos. se incluye este efecto en la deducción. es decir. se calculan las reacciones en los apoyos considerando el equilibrio de los nudos (esto es. se calculan los momentos en los extremos de los miembros sustituyendo los valores de dichas rotaciones en las ecuaciones 1. se deduce la ecuación de pendiente-deflexión para un miembro a flexión típico de sección transversal constante. Ms es igual a la ordenada del diagrama de momentos como viga simple.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS una cantidad ∆A y ∆B.2c. Aunque se supone que no actúa carga axial. En otras palabras. Sin embargo. se considera que los momentos que actúan sobre los extremos de los miembros en el sentido de las manecillas del reloj son positivos. la presencia de valores pequeños o moderados de esta carga (digamos. respectivamente. Asimismo. d) deformaciones del miembro AB dibujadas a una escala vertical exagerada. El diagrama de momentos asociado a la carga distribuida se llama diagrama de momentos como viga simple.2: a) Viga continua cuyos apoyos se asientan bajo la acción de la carga. Los momentos MAB y MBA y los cortantes VA y VB representan las fuerzas internas que ejercen los nudos sobre los extremos de la viga. la 5 . el efecto P-∆. las rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj de los extremos de los miembros se consideran positivas. La figura 12. Los diagramas de momento producidos por la carga distribuida w(x) y por los momentos en los extremos M AB y MBA se dibujan por partes en la figura 12. Figura 12. generando deflexiones adicionales producidas por los momentos secundarios debidos a la excentricidad de la carga axial. b) diagrama de cuerpo libre del miembro AB. Como convención de signos. hasta llegar a los puntos A' y B'. c) diagrama de momentos graficado por partes.2b muestra un cuerpo libre del claro AB con todas las cargas aplicadas. de 10 a 15 por ciento de la carga de pandeo del miembro) no invalidaría la deducción. una fuerza de compresión importante reduciría la rigidez flexionante del miembro. se denota por ψAB. Para deducir la ecuación de pendiente-deflexión. todos han experimentado rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj desde la posición horizontal original del eje. ѲA y ѲB representan las rotaciones en los extremos del miembro. es decir.ψAB.3b se expresan como 6 . se dibuja una línea horizontal a través de cualquiera de los extremos de la viga. la distancia vertical) desde las tangentes hasta la curva elástica. las ecuaciones 12. se utiliza a continuación el segundo teorema de área-momento para establecer la relación entre los momentos de los extremos del miembro M AB y MBA y las deformaciones rotacionales de la curva elástica. De la figura 12. Si la línea horizontal debe hacerse rotar en el sentido de las manecillas del reloj a través de un ángulo agudo para hacerla coincidir con la cuerda.3 a) L De modo semejante. mostrada en la figura 12. 3) la carga w(x) aplicada entre los extremos de la viga.3b) L Puesto que ϒA = ѲA . el ángulo ϒB entre la cuerda y la tangente a la curva elástica en B es igual a γ B= t AB (12.2d se observa que ψAB es positivo.2c muestra la superposición de los diagramas de momento generado por tres cargas: 1) el momento M AB en un extremo. que conecta los extremos del miembro en los puntos A' y B' de su posición deformada. por cierto.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS figura 12. t AB y tBA son las desviaciones tangenciales (esto es. Como las deformaciones son pequeñas. Todos los ángulos y las rotaciones se muestran en el sentido positivo. El diagrama de momentos para cada fuerza se dibuja en el lado de la viga que se encuentra en compresión debido a esa fuerza particular.ψAB y ϒB = ѲB . En cada extremo del claro AB. 2) el momento MBA en el otro extremo. se dibujan tangentes a la curva elástica. Si se requiere de una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj. el ángulo ϒA entre la cuerda y la tangente a la curva elástica en el punto A se expresa como γ A= t BA (12. la pendiente es negativa. el ángulo de la pendiente es positivo. independientemente del extremo de la viga que se evalúe. La pendiente de la cuerda.2d a una escala exagerada. Para determinar si el ángulo de una cuerda es positivo o negativo. La figura 12.3a y 12.2d muestra la configuración deformada del claro AB en una escala exagerada. y negativa si disminuye. se supone que la contribución de cada diagrama de momentos a la desviación tangencial es positiva si ésta se incrementa.4 a ) L θB −ψ AB= t AB ( 12. y con respecto al extremo B para obtener tBA: t AB = M BA L 2 L M AB L L ( A M ´x ) A − − (12.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS θ A −ψ AB= t BA ( 12. aplicando el segundo principio de áreamomento.4 c) L Para expresar tAB y tBA en función de los momentos aplicados.6 -- representa el primer momento del área bajo el diagrama de momentos como viga simple con respecto a los extremos de la viga (el subíndice indica el extremo de la viga alrededor del cual se toman los momentos). y (A M x´ )B en la ecuación 12.6) EI 2 3 EI 2 3 EI Los términos primero y segundo de las ecuaciones 12. El último término -. se dividen las ordenadas de los diagramas de momento de la figura 12.4 b ) L donde ψ A= ΔB + ΔA (12.(AM x´ )A en la ecuación 12.5 y 12. se suman los primeros momentos del área bajo las curvas M/EI con respecto al extremo A del miembro AB para obtener tAB.6 representan los primeros momentos de las áreas triangulares asociadas a los momentos MAB y MBA en los extremos.5.5) EI 2 3 EI 2 3 EI t BA= M AB L 2 L M BA L L ( A M ´x )B − + (12. 7 . Como convención de signos.2c entre EI para generar los diagramas M/EI y. 8) L EI 2 3 EI 2 3 EI θB −ψ AB= 1 M AB L 2 L M BA L L ( A M ´x )B − − (12.4b.3: Diagrama de momentos como viga simple generado por una carga uniforme A fin de ilustrar el cálculo de (A M x´ )A para una viga que soporta una carga uniformemente distribuida w (véase figura 12. Si a continuación se sustituyen los valores de tAB y tBA dados por las ecuaciones 12.8 y 12.10) ( L L2 L2 8 . se dibuja el diagrama parabólico de momentos como viga simple.9) L EI 2 3 EI 2 3 EI Para establecer las ecuaciones de pendiente-deflexión. y se calcula el producto del área bajo la curva por la distancia ´x entre el punto A y el centroide del área: ( A M x´ ) A =area ∙ x´ = 2 L wL2 L wL 2 = (12.4a y 12. se escribe [ ] [ ] θ A −ψ AB= 1 M BA L 2 L M AB L L ( A M ´x ) A − − (12.5 y 12.3). se resuelven las ecuaciones simultáneas 12. (AM x´ )B es igual a (AM ´x )A .6 en las ecuaciones 12.9 para obtener M AB y MBA M AB= 2 ( A M ´x ) A 4 ( A M ´x )B 2 EI 2 θ A +θ B−3 ψ AB ) + − (12.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS Figura 12.7) 3 8 2 24 () Como el diagrama de momentos es simétrico. Se les puede dar un significado físico a estos términos si se utilizan las ecuaciones 12.2a (véase figura 12. pueden designarse como ME AB y MEBA. Debido a que los extremos de la viga de la figura 12. se escribe ME AB =M AB= ME BA=M BA= 2 ( A M ´x ) A L 2 4 ( A M ´x ) A L2 − − 4 ( A M ´x ) B L 2 2 ( A M ´x )B L2 (12. los últimos dos términos.11. los momentos en los extremos del miembro M AB y MBA también denominados momentos de empotramiento. son función únicamente de las cargas aplicadas entre los extremos del miembro.4).4 están empotrados.10 y 12. se entiende que θ A =0 θB =0 ψ AB=0 Sustituyendo estos valores en las ecuaciones 12.11 para calcular los momentos en una viga doblemente empotrada con las mismas dimensiones (sección transversal y longitud del claro) que soporte la misma carga que el miembro AB de la figura 12. Como los extremos de la viga en la figura 12.12) (12.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS M BA = 4 ( A M ´x ) A 2 ( A M ´x )B 2 EI 2θ B +θ A −3 ψ AB ) + − (12.13) 9 .10 y 12.11 para calcular los momentos en los extremos (o momentos de empotramiento) de la viga de la figura 12.4. que contienen las cantidades (AM x´ )A y (AM x´ )B .10 y 12.11) ( 2 2 L L L En las ecuaciones 12.4 están empotrados contra rotación y no ocurren asentamientos en los apoyos. 16. El ejemplo 12.1 ilustra el uso de estas ecuaciones para determinar los momentos de empotramiento generados por una carga concentrada aislada en el centro del claro de una viga doblemente empotrada (véase figura 12. Los valores de los momentos de empotramiento para otros tipos de carga y para desplazamientos de los apoyos se proporcionan en la página siguiente a la segunda de forros. se denota con el símbolo K.5).13.10 y 12. llamada rigidez flexionante relativa del miembro CL.16 o 12. Con este ajuste.15) L Como las ecuaciones 12.17 en la 12. las dimensiones del miembro aparecen en la relación I/L. 10 .12 y 12.16a se calcula para cualquier tipo de carga por medio de las ecuaciones 12.15 tienen la misma forma.13. las ecuaciones 12.16.17) L Sustituyendo la ecuación 12.16 a) El valor del momento de empotramiento (ME CL) en las ecuaciones 12. la ecuación de pendientedeflexión se escribe como M CL=2 EK ( 2 θC +θ L−3 ψ CL ) + ME CL( 12.16) L En la ecuación 12. I Rigidez flexionante relativa K = (12.11 se simplifican reemplazando los últimos dos términos por MEAB y MEBA para obtener M AB= 2 EI ( 2 θ A +θ B−3 ψ AB ) + ME AB (12.14) L M BA = 2 EI ( 2θ B +θ A −3 ψ AB ) + ME BA (12.14 y 12. Esta relación.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS Utilizando los resultados de las ecuaciones 12. la ecuación de pendientedeflexión se escribe como M CL= 2 EI ( 2θ C + θL −3 ψ CL ) + MECL (12. se reemplazan con una ecuación única en la cual se señala el extremo donde se está calculando el momento como el extremo cercano (C) y el extremo opuesto como el extremo lejano (L).12 y 12. conectado al empotramiento en A. en este texto la explicación del método se limita. sin embargo. Para este tipo de estructuras. se supone que el nudo B está restringido contra el desplazamiento horizontal por el miembro BC. en primer lugar. La configuración deformada aproximada de las 11 . y contra el desplazamiento vertical por el miembro AB.7a. Las figuras 12. el ángulo de rotación de la cuerda ψCL en la ecuación 12. a vigas indeterminadas cuyos apoyos no se asientan y a marcos arriostrados cuyos nudos son libres de rotar pero no de desplazarse.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS 3. el cual se conecta a un apoyo fijo en C. esta restricción la proporcionan riostras (figura 3. el nudo A está restringido contra el desplazamiento por el empotramiento.16 es igual a cero.23g) o apoyos. que pudieran generarse por la flexión y las deformaciones axiales. Ignorando cambios de segundo orden en la longitud de los miembros.7a y b muestran ejemplos de varias estructuras cuyos nudos no se desplazan lateralmente pero sí pueden rotar. En la figura 12. Análisis de estructuras por el método de pendiente-deflexión El método de pendiente-deflexión se emplea para analizar cualquier tipo de viga indeterminada o de marco. y el nudo C por el apoyo articulado. 7c y d muestran ejemplos de marcos que contienen nudos libres de desplazarse lateralmente y de rotar bajo las cargas aplicadas.7b muestra una estructura cuya configuración y carga son simétricas con respecto al eje vertical que pasa por el centro del miembro BC. los nudos tienen libertad de rotar pero no trasladarse: las rotaciones de cuerda son iguales a cero.7 se muestra con líneas discontinuas en la misma figura. b) debido a la simetría de la estructura y de la carga.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS estructuras cargadas de la figura 12. La figura 12.7: a)Todos los nudos están restringidos contra desplazamiento: todas las rotaciones de cuerda ψ son igual a cero. Figura 12.7c se desplazan hacia la 12 . Como una estructura simétrica bajo una carga simétrica debe deformarse simétricamente. c) y d) marcos no arriostrados con rotaciones de cuerda. no ocurren desplazamientos laterales de los nudos superiores. Las figuras 12. Bajo la carga lateral H. los nudos B y C de la figura 12. 13 . 5) Los valores de los desplazamientos del paso 4 se sustituyen en la expresión para los momentos en los extremos de los miembros del paso 2 con el fin de obtener el valor de dichos momentos.5 se considera el análisis de estructuras que contienen uno o más miembros con rotaciones de cuerda. no proporcionan información útil. los nudos B y C se desplazan lateralmente una distancia ∆ hacia la derecha. y se resuelven para obtener los desplazamientos desconocidos. la cual establece que la suma de momentos (aplicados por los miembros que se unen en el nudo) es igual a cero. 2) Se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión (ecuación 12. el trazo de los diagramas de cortante y de momento o bien el cálculo de las reacciones. Este desplazamiento genera rotaciones de la cuerda ψ = ∆/h en los miembros AB y CD. se escribe la ecuación de equilibrio de momentos. los momentos en el sentido de las manecillas del reloj en los extremos de un miembro se consideran positivos. Si el momento en el extremo de un miembro es desconocido. En la sección 12. Los pasos básicos del método de pendiente-deflexión.se completa mediante la estática. Las ecuaciones de equilibrio en empotramientos. explicados en la sección 12.16) para expresar todos los momentos en los extremos de los miembros en función de las rotaciones de los nudos y de las cargas aplicadas.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS derecha. la rotación de la cuerda de la trabe ψBC es igual a cero.2. excepto en los empotramientos. debido a las deformaciones por flexión de los miembros AB y BC. Como convención de signos. se sintetizan en seguida: Resumen 1) Se identifican todos los desplazamientos (rotaciones) desconocidos en los nudos para establecer el número de incógnitas. Si la magnitud y el sentido del momento sobre el extremo de en miembro son conocidos. Si bien el marco de la figura 12.ignorando deformaciones axiales y flexión de segundo orden de las columnas-. el resto del análisis -por ejemplo. que se reducen a la identidad 0 = 0. El momento aplicado por un miembro sobre un nudo es siempre igual y opuesto en sentido al momento que actúa sobre el extremo del miembro.7d soporta una carga vertical. Como no suceden desplazamientos verticales de los nudos B y C -. El número de ecuaciones de equilibrio tiene que ser igual al número de desplazamientos desconocidos. Una vez conocidos éstos. 3) En cada nudo. debe mostrarse en el sentido de las manecillas del reloj sobre dicho extremo. 4) Las expresiones para los momentos en función de los desplazamientos (véase paso 2) se sustituyen en las ecuaciones de equilibrio del paso 3. se muestran en el sentido real. 2 y 12.3 ilustran el procedimiento descrito 4. 14 .METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS Los ejemplos anteriormente. En esta sección. el método se amplía a marcos cuyos nudos también son libres de desplazarse lateralmente. se ha utilizado el método de pendiente-deflexión para analizar vigas indeterminadas y marcos cuyos nudos son libres de rotar pero que están restringidos contra el desplazamiento. 12. :Análisis de estructuras con libertad para desplazarse lateralmente Hasta el momento. METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS Figura 12. igual a 15 . las cuerda de las columnas rotan un ángulo ψ en el sentido de las manecillas del reloj. Este desplazamiento genera en ambas columnas del marco una rotación ψ de sus cuerdas. en la figura 12. configuración deformada mostrada a una escala exagerada con líneas discontinuas. en el sentido de las manecillas del reloj.14a la carga horizontal provoca que la trabe BC se desplace lateralmente una distancia ∆. Como la deformación axial de la trabe es insignificante. Por ejemplo. los momento desconocidos se muestran en sentido positivo (en el sentido de las manecillas del reloj) sobre los extremos de los miembros (las cargas axiales en las comunas y los cortantes en el trabe se omiten para claridad. b) diagramas de cuerpo libre de las columnas y las trabes.14: a) Marco no arriostrado. se considera que el desplazamiento horizontal de la parte superior de ambas columnas es igual a ∆. se requiere de tres ecuaciones de equilibrio para su solución. los momentos desconocidos que actúan sobre los extremos de la columna deben mostrarse siempre en sentido positivo.19) h De manera semejante. +¿ ∑ M D =0 ↻¿ M CD + M DC −V 2 h=0 16 CD se calcula . en seguida se explica solamente el segundo tipo de ecuación de equilibrio. la cual se plantea sumando en la dirección horizontal las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre de la trabe. actuando en el sentido de las manecillas del reloj sobre el extremo de los miembros. la rotación de los nudos B y C (ѲB y ѲC) y la rotación ψ de la cuerda]. Por ejemplo. Puesto que ya se han planteado ecuaciones de este tipo en la solución de ejemplos anteriores. para la trabe ele la figura 12. el cortante V 1 en la columna AB y el cortante V 2 en la columna CD se calculan sumando los momentos de las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre de la columna con respecto a la parte inferior de la misma. Sumando momentos alrededor del punto A de la columna AB. Como se planteó anteriormente. se calcula V1: +¿ ∑ M A=0 ¿ ↻ M AB+ M BA−V 1 h=0 V 1= M AB + M BA (12. Debido a que se desarrollan tres desplazamientos independientes en el marco [esto es.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS ψ= Δ h donde h es la longitud de la columna. el cortante en la columna sumando momentos con respecto al punto D. esto es.14b se escribe ❑+ ∑ F x =0 → V 1+ V 2+ Q=0(12.18) En la ecuación 12. la ecuación de cortante.18. Dos ecuaciones de equilibrio se obtienen considerando el equilibrio de los momentos que actúan sobre los nudos B y C. son las incógnitas.9 ilustran el uso del método de pendiente-deflexión para analizar marcos que transmiten cargas laterales y que son libres de desplazarse lateralmente.18a es cinemáticamente indeterminada en primer grado.19 y 12.21) h h Los ejemplos 12. Los marcos que toman únicamente carga vertical también desarrollan pequeñas cantidades de desplazamiento lateral. Si no se especifica lo contrario.8 y 12. la tercera ecuación de equilibrio se escribe como M AB + M BA M CD + M DC + +Q=0(12. En el método de pendiente-deflexión. en este análisis se ignoran las deformaciones axiales. 17 . el desplazamiento axial en B se tomaría como una incógnita adicional. sólo se consideraría la rotación del nudo B como incógnita. Por ejemplo.20) h Sustituyendo los valores de V1 y V2 de las ecuaciones 12. los desplazamientos -tanto las rotaciones corno las traslaciones de los nudos. Para conocer la indeterminación cinemática. El número de desplazamientos independientes de los nudos se denomina grado de indeterminación cinemática. 5. simplemente se cuenta el número ele desplazamientos independientes que pueden desarrollarse en los nudos. El grado de indeterminación estática indica el número de ecuaciones de compatibilidad que se deben escribir para poder calcular las redundantes. tienen que plantearse tantas ecuaciones de equilibrio como sea el número de desplazamientos independientes de los nudos. Si se tuviera que analizar esta viga por pendiente-deflexión.20 en la ecuación 12. excepto cuando la estructura y el patrón de cargas son simétricos.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS V 2= M cd + M DC (12.18. Indeterminación cinemática Para analizar una estructura por el método de flexibilidades. que son las incógnitas en las ecuaciones de compatibilidad. si se ignoran las deformaciones axiales. Si también se deseara considerar la rigidez axial en un análisis más general de rigideces. en primer lugar se establece el grado de indeterminación de la estructura. Como paso básico en este método. El ejemplo 12. y la estructura se clasificaría como cinemáticamente indeterminada en segundo grado.10 ilustra este caso. la viga de la figura 12. Si bien este método elimina la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas. C y H impiden la traslación de todos los nudos. Un método para determinar el número de desplazamientos independientes de los nudos consiste en añadirles apoyos simples ficticios para restringirlos. en la de 1920 se desarrolló el método de distribución de momentos para analizar vigas indeterminadas y marcos por medio de la distribución del desbalance de momentos en los nudos de una estructura artificialmente restringida. Resumen  El método de pendiente-deflexión es uno ele los procedimientos clásicos más antiguos para analizar vigas indeterminadas y marcos rígidos. B y C son libres de rotar y la trabe puede trasladarse lateralmente. Cada apoyo simple ficticio (identificado con los números 1 y 2) introducido en un nivel impide a todos los nudos de ese nivel desplazarse lateralmente. Identificar el número de rotaciones posibles de los nudos es sencillo. presenta ocho rotaciones y tres traslaciones independientes de nudo). Sin embargo.18c es cinemáticamente indeterminada en octavo grado. la distribución de momentos es una herramienta útil como método aproximado de análisis tanto para verificar los resultados de un análisis de 18 . sin embargo. En este método. el marco se clasifica como cinemáticamente indeterminado en cuarto grado puesto que los nudos A. puesto que se pueden desarrollar seis rotaciones de nudo y dos desplazamientos de nudo.2 y 3 que se añaden a los nudos B. La armadura Vierendeel de la figura 12.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS En la figura 12.  Como alternativa al método de pendiente-deflexión. Aunque el uso del método de pendientedeflexión para analizar estructuras es impráctico dada la disponibilidad de programas de computadora. Los apoyos simples ficticios marcados como 1.18b. los desplazamientos de los nudos son las incógnitas. Por ejemplo. el número de desplazamientos independientes de los nudos no es tan fácil de establecer.  Para estructuras altamente con un gran número de indeterminadas requiere que el ingeniero resuelva tantas ecuaciones simultaneas como número de desplazamientos desconocidos haya -una operación tardada-. es todavía relativamente largo. la familiaridad con el método proporciona a los estudiantes un entendimiento valioso del comportamiento estructural. en cierto tipo de problemas. 18d se clasifica como cinemáticamente indeterminada en un décimo grado (esto es. El número de apoyos simples necesarios para impedir la traslación de los nudos de la estructura es igual al número de desplazamientos independientes en los nudos. la estructura de la figura 12. especialmente si se deben considerar un gran número de condiciones de carga.  Una variación del procedimiento de pendiente-deflexión. Este método utiliza coeficientes de rigidez. fuerzas generadas por desplazamientos unitarios de los nudos. 19 . utilizado para elaborar los programas generales de análisis por computadora. En el capítulo 13 se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión para desarrollar el método de distribución de momentos. se presenta en el capítulo 16. el método general de rigideces. es decir.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS computadora como para realizar estudios preliminares. se añaden apoyos simples imaginarios en los puntos 1 y 2. d) indeterminada en undécimo grado. ignorando las deformaciones axiales. c) indeterminada en octavo grado. b) indeterminada en cuarto grado.18: Evaluación del grado de indeterminación cinemática: a) indeterminada en primer grado. 20 . se añaden apoyos simples imaginarios en los puntos 1.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS Figura 12. 2 y 3. METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS EJERCICIOS RESUELTOS 21 . y dibuje los diagramas de cortante y de momento para toda la viga. Solución Con las fórmulas de momento por tramos calculamos los momentos de empotramiento en cada uno de los apoyos y empotramientos para luego reemplazarlos en las ecuaciones de pendiente-deflexión. determine los momentos en los extremos de los miembros y apoyos de la viga mostrada en la siguiente figura.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS EJEMPLO 12. Así mismo. calcule las reacciones en los apoyos. TRAMO AB ME AB = −wL 2 12 ME AB =−270 ME AB = wL2 12 ME AB =270 TRAMO BC 22 .1 Utilizando el método de pendiente-deflexión. METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS ME BC = −PL 8 ME BC =−225 MECB = PL 8 MECB =225 TRAMO CD −wL2 MECD = 12 MECD =−180 wL 2 ME DC = 12 ME DC =180 M AB=2 EK ( 2 θ A +θ B −3ψ AB ) + ME AB M AB=2 EK ( θ B ) −270 (1) M BA =2 EK ( θ A + 2θ B−3 ψ BA ) + ME BA M BA =4 EK ( θ B ) +270 (2) M BC =2 EK ( 2θ B +θC −3 ψ BC ) + ME BC θB ¿ θC M BC =4 EK ¿ (3) M CB=2 EK ( θB + 2θC −3 ψ CB ) + ME CB 23 . METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS θB ¿ θC M CB=2 EK ¿ (4) M CD =2 EK ( 2 θc + θD −3 ψ CD )+ MECD M CD =4 EK ( θc ) −180 (5) M DC =2 EK ( θc +2θ D −3 ψ DC ) + ME DC M DC =2 EK ( θc ) +180 (6) Sumamos las ecuaciones 2 + 3 y 4 + 5 luego con las dos ecuaciones resultantes hallamos los valores de las incógnitas para obtener los momentos. M BA + M BC =0 θB ¿ θC 4 EK ( θ B ) +270+ 4 EK ¿ θB ¿ θC 8 EK ¿ (7) M CB + M CD =0 θB ¿ θC 2 EK ¿ 24 . METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS θB ¿ θC 2 EK ¿ (8) θB ¿ θC 8 EK ¿ θB ¿ θC −8 EK ¿ −30 EK ( θC ) =135 EK ( θ C )=−4.5 M AB=2 EK ( θ B ) −270 M AB=−290 klb∗pie Respuesta M BA =4 EK ( θ B ) +270 M BA =252 klb∗pie Respuesta θB ¿ θC M BC =4 EK ¿ 25 .5 θB ¿ −9 8 EK ¿ EK ( θ B ) =−4. 1 klb TRAMO BC + ∑ M C =0 252−198−B ( 30 ) + ( 60∗15 )=0 B=31.9 klb +↑ ∑ F Y =0 54.9−( 3.6∗30 ) ( 302 )=0 A=54.6∗30 ) + B=0 B=53.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS M BC =−252 klb∗pie Respuesta θB ¿ θC M CB=2 EK ¿ M CB=198 klb∗pie Respuesta M CD =4 EK ( θc ) −180 M CD =−198 klb∗pie Respuesta M DC =2 EK ( θc ) +180 M DC =171 klb∗pie Respuesta TRAMO AB + ∑ M B =0 279+252− A ( 30 ) + ( 3.8 klb +↑ ∑ F Y =0 26 . 2 klb TRAMO CD + ∑ M B =0 198−171−C ( 30 ) + ( 2.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS 31. 27 .4∗30 )+ D =0 D=35.9−( 2.1 klb Con los valores de las reacciones.8−60+ C=0 C=28.4∗30 ) ( 302 )=0 C=36. fuerzas distribuidas y fuerza puntual procedemos a graficar los diagramas de cortante y momento.9 klb +↑ ∑ F Y =0 36. calcule las reacciones en los apoyos. Así mismo. Solución Con las fórmulas de momento por tramos calculamos los momentos de empotramiento en el apoyo y empotramientos para luego reemplazarlos en las ecuaciones de pendiente-deflexión. determine los momentos en los extremos de los miembros y apoyos de la viga mostrada en la siguiente figura. 28 .2 Utilizando el método de pendiente-deflexión. y dibuje los diagramas de cortante y de momento para toda la viga.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS EJEMPLO 12. 5 (2) M BC =2 EK ( 2θ B +θC −3 ψ BC ) + ME BC M BC =4 EK ( θ B ) −48 (3) 29 .5 PL 8 ME AB =62.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS TRAMO AB ME AB = −PL 8 ME AB = ME AB =−62.5 (1) M BA =2 EK ( θ A + 2θ B−3 ψ BA ) + ME BA M BA =4 EK ( θ B ) +62.5 TRAMO BC 2 ME BC = −Pb a 2 L ME BC =−48 2 MECB = Pa b 2 L MECB =72 M AB=2 EK ( 2 θ A +θ B −3ψ AB ) + ME AB M AB=2 EK ( θ B ) −62. fuerzas distribuidas y fuerza puntual procedemos a graficar los diagramas de cortante y momento.5+ 4 EK ( θ B ) −48=0 EK ( θ B ) =−1.375 Respuesta Con los valores de las reacciones.182 M AB=2 EK ( θ B ) −62.25 Respuesta M BC =4 EK ( θ B ) −48 M BC =−55.5 M AB=−66.5 M BA =55. M BA + M BC =0 4 EK ( θ B ) +62.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS M CB=2 EK ( θB + 2θC −3 ψ CB ) + ME CB M CB=2 EK ( θB ) +72 (4) Sumamos las ecuaciones 2 + 3 luego hallamos el valor de la incógnita para obtener los momentos. 30 .125 Respuesta M BA =4 EK ( θ B ) +62.25 Respuesta M CB=2 EK ( θB ) +72 M CB=−68. 565 k TRAMO BC + ∑ M C =0 55.125 ( 25 ) +20 ( 12.525 k 31 .435 k +↑ ∑ F Y =0 10.475 k +↑ ∑ F Y =0 7.5 )− A ( 25 )−55.25−68.25=0 A=10.435−20+ B=0 B=9.475−20+C=0 C=12.METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS TRAMO AB + ∑ M B =0 66.375+20 ( 10 ) −B (25)=0 B=7. METODO MATRICIAL PENDIENTE – DEFLEXION APLICADO A PORTICOS 32 .