Método de GaussJordánEl método consiste en convertir el sistema expresado como matriz ampliada y trabajar para trasformarlo en un la matriz identidad quedando en el vector de términos independientes el resultado del sistema Métodos numéricos • Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. encontrar matrices e inversas. Convierte la matriz aumentada en una matriz reducida por renglones y a partir de ésta interpretar directamente la solución del sistema. . Procedimiento Es similar al proceso de la eliminación gaussiana con la diferencia que no solo elimina los términos debajo de la diagonal principal sino también los que están sobre de ella. . Es importante mencionar que este método es muy adecuado para obtener la matriz inversa de una matriz. amn bm Donde la primera matriz aumentada representa el sistema de ecuaciones lineales original.. . …. a2n b2 ….. a1n b1 a21 a22 …. a11 a12 …. am1 am2 ….El método permite resolver los sistemas de ecuaciones lineales utilizando solamente los coeficientes del sistema. c1n d1 c22 …. llamada matriz triangular superior. mas simple. cmn dm .La segunda matriz representa un sistema equivalente.. c11 0 …. c2n d2 0 …. 0 c12 ….. en la cual se conoce el valor de la ultima de las incógnitas. …. representando el sistema equivalente. X1 + 0x2 + 0x3 + … + 0xn = e1 0x1 + x2 + 0x3 + … + xn = e2 …. …. … … … … … 0x1 + x2 + 0x3 + … + xn = em . la matriz de coeficientes se transforma en la matriz identidad.Finalmente en la última matriz. 2. únicamente utilizando los coeficientes numéricos.. 1...Multiplicación de un renglón por una cte k ≠ 0. que no es mas que el método de suma y resta.Intercambio de renglones teniendo 0 en cualquier renglón 3.Suma algebraica de 2 renglones cualesquiera.ALGORITMO DE GAUSS-JORDAN La forma de lograr estas transformaciones se hace por medio de las operaciones elementales por renglón. . SIGUIENDO EL ALGORITMO Se divide el 1er renglón para hacer igual a 1 el coeficiente de x1 en la 1ra ecuación. Se eliminan los términos de x1 de la 2da y 3ra ecuación. Se repite la operación de división para hacer igual a 1 el coeficiente de x2. . usándose como pivote para eliminar x2 de la 2da y 3ra ecuación. .Se divide para hacer igual a 1 el coeficiente de x3 usándose para eliminar x3 de la 1ra y 2da ecuación. sin embargo se extiende fácilmente para sistemas de orden superior. El método se explica para un sistema de 3x3. SISTEMAS DE ECUACIONES.EJEMPLO: RESOLVER LOS SIG. EJEMPLO 3x3 2x + 3y + z =1 3x – 2x -4z =-3 5x – y – z = 4 . 5 .2 3 5 3 −2 −1 1 1 4 ⋮ −3 −1 4 1 0 0 𝑅1/2 1 1.5 1.5 0.8462 ⋮ 0.6923 −8.5 0.5 1 0.5 −3.5 0.5 0.5 0.5 .5 1.3𝑅1:𝑅2 𝑅3<.5 −6.5 4 ⋮ −3 −1 4 𝑅2<.5𝑅1:𝑅3 1.5 −8.5 −3.5 ⋮ −4.5 1 0 0 1.5 −5.5 3 −2 5 −1 0.𝑅2/6. 6927 7.0.5𝑅2:𝑅1 𝑅3<8.3846 0 1 0 −0.8462𝑅3:𝑅2 .7693 −0.5𝑅2:𝑅3 1 0 0 1 0 0 0 −0.𝑅1<.5385 1 0.7693 −0.8462 ⋮ 0.7693𝑅3:𝑅1 𝑅2<.1.6927 𝑅1<0.5385 0.6923 0 3.8462 ⋮ 0.6923 1 2 1 0 0 0 0 1 1 0 ⋮ −1 0 1 2 𝑅3/3. • La última matriz escalonada indica que la solución del sistema es: • X=1 • Y=-1 • Z=2 . • EJEMPLO 4x4 • 16B – 6D + 4E + F = -36 • B – 8D + E + F = -64 • 16B + 2D – 4E + F = -4 • 9B + 8D – 3E + F = .64 . 16 1 16 9 −6 4 1 −36 −8 1 1 ⋮ −64 2 −4 1 −4 8 −3 1 −64 1 0 0 0 −8 −8 130 80 𝑅1 𝑅2 1 16 16 9 1 0 0 0 −8 −6 2 8 −8 1 130 80 1 4 −4 −3 1 −64 1 ⋮ −36 1 −4 1 −64 𝑅2<.8 1 1 −64 0 ⋮ 4 −1 −20 −15 1020 −12 −8 512 .𝑅3:𝑅2 𝑅3<.16𝑅1:𝑅3 𝑅4<.9𝑅1:𝑅4 1 1 −64 0 ⋮ −32 8 −20 −15 1020 −12 −8 512 𝑅2/. 22𝑅4 1 0 0 0 0 −7 1 −32 1 −1 0 ⋮ 4 0 22 −3 100 0 0 −7 644 𝑅4/.80𝑅2:𝑅4 1 0 0 0 1 −32 0 −7 0 ⋮ 4 1 −1 0 110 −15 500 0 68 −8 192 𝑅3/5 𝑅4/4 1 0 0 0 0 −7 1 −32 1 −1 0 ⋮ 4 0 22 −3 100 0 17 −2 48 𝑅4<17𝑅3.7 1 0 0 0 0 −7 1 −32 1 −1 0 ⋮ 4 0 22 −3 100 0 0 1 −92 .130𝑅2:𝑅3 𝑅4<.𝑅1<8𝑅2:𝑅1 𝑅3<. 𝑅1<.𝑅4:𝑅1 𝑅3<3𝑅4:𝑅3 1 0 0 0 0 1 0 0 −7 −1 22 0 0 60 0⋮ 4 0 −176 1 −92 𝑅3/22 1 0 0 0 0 −7 0 60 1 −1 0 ⋮ 4 0 1 0 −8 0 0 1 −92 𝑅1<7𝑅3:𝑅1 𝑅2<𝑅3:𝑅2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 0 0 ⋮ −4 0 −8 1 −92 • La última matriz escalonada indica que la solución del sistema es: • • • • B=4 D=-4 E=-8 F=-92 . Ejercicios a Realizar • • • • • • • • • • • EN: 3X3 X -2Y -Z=-2 2X -3Y -2Z =2 4X -Y +2Z =4 EN: 4x4 A + 2B .2B + 2C .5D =1 2A + 4B .5C + 7B =-2 -4A -3B + 6C +8B =3 .3C + 2D =-1 -A . • ELABORADO POR: • BLASQUEZ DE LOS ANGELES ESTEFANIA DESIRE • JIMENEZ HERNANDEZ JOCELYN LIZANET .