Tarea de Programación No LinealJosé Alberto Silva Palacios 201105722 Método de Fibonacci Éste método determina el valor mínimo de una función en un intervalo cerrado [c1,c2]. En la práctica se encuentran funciones con un dominio amplio, sin embargo para éste método el intervalo de búsqueda debe ser especificado. La propiedad que se asume que debe tener una función para este método es que debe ser “unimodal” esto es: Para desarrollar apropiadamente el método de Fibonacci, debemos encontrar sucesivamente los puntos N de manera que sin conocer explícitamente a la función “f” podamos determinar la región de incertidumbre donde el mínimo está. Nuestra región de incertidumbre la encontramos por los N puntos y también con los supuestos de que f es unimodal. Por tanto estos puntos son: Donde nuestra región de incertidumbre está en el intervalo [x k-1,xk+1] y xk es nuestro punto mínimo entre N, y ahora definimos x0=c1 y xN+1=c2, el mínimo de f debe estar en esta región de la figura 8.1. Éste proceso se debe repetir muchas veces para poder obtener nuestra región de incertidumbre; denotando nuestras variables como las siguientes: Siendo d1 el ancho inicial de incertidumbre dk= El ancho después de k mediciones Despues de k mediciones tenemos la siguiente formula: Donde los enteros Fk dan como resultado miembros de la sucesión de Fibonacci, generada por la siguiente relación: cada punto de medición sucesiva se coloca en el intervalo actual de incertidumbre simétricamente con el punto que ya existía en ese intervalo. Búsqueda por la sección dorada. 8.1. 13… Básicamente el procedimiento para reducir el ancho de incertidumbre es el siguiente: En general. Vemos que la solución a la ecuación de Fibonacci la podemos ver como Donde y son entradas de la ecuación característica tales que Y ambas tienen valor respectivamente Para un N muy grande el lado derecho de la ecuación de Fibonacci domina respecto al segundo y por lo tanto tenemos que evaluando el límite cuando N tiende a infinito.Tarea de Programación No Lineal José Alberto Silva Palacios 201105722 La secuencia ya nos es familiar y es 1. Este método produce una secuencia de intervalos de incertidumbre cuyos anchos tienden a cero más rápido que el que se obtendría por otros métodos. 2. Si hacemos las N mediciones permitidas en el método de Fibonacci con un enfoque infinito. 3. vamos a dar pauta al método de la sección dorada. 5. . el termino que contiene (x. Entonces podemos calcular una estimación x k+1 del punto mínimo de f para encontrar el punto donde la derivada de “q” se desvanece. además de que |x.x 0|sea pequeña. Entonces despejando a x de esto. El método de Newton se obtiene suponiendo que.x 0)2 es mucho menor y que aproximadamente se acercara a cero. vemos que aproximadamente nuestra x es x0. al mínimo general de la función f con radio de convergencia 0.x 0| es tan pequeño. Consideremos el primer polinomio de Taylor para f(x) y expandido alrededor de x0. respecto al ancho de intervalo de incertidumbre el método de la sección dorada converge linealmente. Sea también x k en ése mismo intervalo.Tarea de Programación No Lineal José Alberto Silva Palacios 201105722 Se tiene que el intervalo de incertidumbre en cualquier punto en el proceso tiene un ancho Lo cual da consecuencia esto: Como una conclusión breve.618. como |x. . Sea f una función que está en las funciones que tienen segunda derivada en un intervalo cerrado a. b. Si vemos gráficamente lo que hace éste método. Y así encontramos. una aproximación de x tal que la primera derivada evaluada en x0 sea distinto de cero. Método de Newton Ésta técnica permite lograr una convergencia más rápida que la que ofrecen otros tipos de iteración funcional. que se ilustra en la fig. 8. se requiere menos información en cada uno de ellos.6. ya que este método no depende de los valores de f directamente. El método de Newton para la minimización se basa en el ajuste de un polinomio sobre la base de la información en un solo punto. en la ecuación del método de Donde una estimación de xk+1 puede ser encontrada mediante Comparando con el método anterior vemos que la función f(x k) no entra en este polinomio.Tarea de Programación No Lineal José Alberto Silva Palacios 201105722 Si sustituimos ahora tendríamos la expresión siguiente Método de la Regula Falsa. puede ser considerado como un método para resolver f’(x) ≡ g(x) = 0. Visto de esta manera el método. mediante el uso de más puntos. Por tanto sustituyendo newton tenemos el polinomio q. toma la forma . Una vez más. Dados los puntos xk y xk-1 junto con los valores f(x k). ahora construimos el paso de segundo grado a través de estos puntos. Cubic Fit. f(xk-1). x2 y x3 con sus correspondiente valores f(x1). Éste método es el más usado y el que no necesita derivadas para su proceso. f’(xk-1) es posible construir una ecuación cubica. Sean esos puntos x 1. f’(xk). f(x3). f(x2). El punto x k+1 puede ser determinado como el punto mínimo relativo y se define así: Donde: Quadratic Fit.Tarea de Programación No Lineal José Alberto Silva Palacios 201105722 Concluyendo que el orden de convergencia del Método de la regula Falsa es . se necesitan tan solo 3 puntos. . . Donde . entonces para un k grande Haciendo tenemos que Con la ecuación característica La raíz más grande de esta ecuación es que de este modo determina la tasa de crecimiento de yk y es el orden de convergencia del método de ajuste cuadrático. Si decimos que ek tiende a cero. Además definamos los errores como que: para un e4 tenemos Donde M depende de los valores de la segunda y tercer derivada de f en x*.Tarea de Programación No Lineal José Alberto Silva Palacios 201105722 Y definimos un nuevo punto q4 que es donde la derivada de q se desvanece.
Report "Método de Fibonacci y Búsqueda de La Sección Dorada"