UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN Media geométrica y media armónica TARDE TEMA: MEDIA GEOMÉTRICA Y MEDIA ARMÓNICA . A.UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN “Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación” UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS E. P. ADMINISTRACIÓN CURSO: ESTADÍSTICA PROFESOR: EDGAR VICENTE ARMAS AULA – TURNO: 206 . ROCIO 201 14090242 .EJERCICIOS APELLIDOS Y NOMBRE: CAHUASCANCO CASTAÑEDA. ........................................2...................................3................................... Desventajas........... Capítulo I: Marco Teórico................................................... Media Geométrica.............................................1................... 3 1.................................................3 1..........................................2....... 1 1.............. 2 1..........4.............................................................. 4 ...................... 2 1.......1.....1...1............ Datos no agrupados....................................................2......1...................................................................1...................1...............3 1..... 4 1.................2............. Datos agrupados.................2 1............................... Ventajas.......UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN Dedico esta investigación a mis padres por confiar en mí y siempre apoyarme cumpliendo a cabalidad su rol de padres para lograr mis metas propuestas dentro del campo y a los docentes de esta facultad por guiarnos y enseñarnos sus conocimientos en esta formación profesional Índice Introducción..... Propiedades.. Ventajas...............2.............................. 4 1.......... Media Armónica.................................................... ........3...................................................... Media geométrica (M..........2.......................)............................................UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN 2......... 6 2.........G.....................................................12 .....4...........................5....................................5 1......................... Datos no agrupados...................................................................................................1......... Media armónica (H).................. Desventajas......... Datos agrupados........5 Capítulo II: Ejercicios....... 11 Capítulo IV: Recomendaciones..................................... 1. 8 Capítulo III: Conclusiones............... 5 1.....2...........................................2...........2....6 2...................................... En el presente trabajo.) y la media armónica (H).UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN Introducción Usualmente al escuchar hablar de media. las fórmulas necesarias para hallarlas. nos viene a la mente la media aritmética. así como ejercicios de aplicación para hallarlos. y aunque su uso no se encuentra tan difundido. tratare de presentarles y explicarles no solo una breve definición sobre la media geométrica (M. así también para las distinta variables: discreta y continua y al final del trabajo desarrollare las respectivas conclusiones y recomendaciones. tanto para datos agrupados y no agrupados. 1 . existen ciertos casos en que usar la media aritmética no resulta conveniente. sino también sus posibles usos.G. sin embargo. también es importante. G. debido a que con frecuencia se está interesado en establecer el cambio porcentual en las ventas en el producto interno bruto o en cualquier serie económica. a través del tiempo. tiene una amplia aplicación en los negocios y en la economía. Existen dos usos principales de la media geométrica: - Para promediar porcentajes. Ventajas 2 Considera todos los valores de la distribución Es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos . Cuando los datos son bastantes o cantidades grandes.1. para lo cual se puede utilizar los logaritmos de base 10. Es una medida de tendencia central que puede utilizarse para mostrar los cambios porcentuales en una serie de números positivos. Si los valores contienen un número impar de números negativos estaríamos intentando aplicar una raíz a un número negativo. Como tal. índices y cifras relativas. para facilitar el cálculo se lo debe simplificar pero sin alterar su naturaleza. Se utiliza con más frecuencia para calcular la tasa de crecimiento porcentual promedio de series de datos. Para determinar el incremento personal promedio en ventas.1. 1.1. La media geométrica de una cantidad de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números. Media Geométrica Se encuentra representada por el símbolo M. Capítulo I: Marco Teórico 1. y en el cual el usar la media aritmética resultaría incorrecto. producción u otras actividades o series económicas de un período a otro. no pudiendo encontrar solución entre los números reales.UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN 1. Cabe destacar que la media geométrica necesita que no haya números negativos o que estos sean un número par. Desventajas 1) Es de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética 2) Su cálculo es más difícil 3) En ocasiones no queda determinada.3.1. Datos no agrupados Para hallar la media geométrica en datos nos agrupados. se usa la siguiente fórmula: 3 .1.2. por ejemplo.4.UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN 1. si un valor entonces la media geométrica se anula y tampoco puede ser usada con valores negativos impares. Datos agrupados o Variable discreta Para hallar la media geométrica en datos agrupados con variable discreta. la fórmula es la siguiente: O también se la siguiente forma. aplicando logaritmos: 1.1. se utiliza la siguiente fórmula: o Variable continua Para hallar la media geométrica en datos agrupados con variable continua. 1. La media armónica es siempre la media más baja.3. 1. entendiéndose como recíproco al número que multiplicado por este nos da la unidad. Cuando la unidad constante o unidad de evaluación es igual a la unidad del numerador de una razón.2. de la media aritmética de los recíprocos de dichos números. fi n Media Armónica Se le representa por el símbolo H. se usa el promedio armónico. Esta media es poco sensible a los valores grandes. Ventajas - Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos. La media armónica no está definida en el caso de la existencia en - el conjunto de valores nulos.2.2.2.UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN log G= 1. La media armónica de una serie de números es el recíproco. 1. 1. Propiedades - Es un promedio que se utiliza para el cálculo del costo promedio y - todo tipo de variables expresadas en tasas o porcentajes. rendimientos. y si es igual a la unidad del denominador se usa el promedio aritmético.2. Desventajas - La influencia de los valores pequeños y el hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a 4 . es más representativa que la media aritmética.1. ya que los recíprocos 1/X i son muy altos. o inverso. pero muy sensible a los valores próximos a cero. Los elementos del conjunto deben ser necesariamente no nulos. Existen usos principales para la media armónica: - Calcular la media de velocidades Calcular la media de tiempos. ∑ log yi . etc. . ……. Datos no agrupados Para hallar la media geométrica en datos no agrupados.2. mediante las siguientes ecuaciones: o Variable continua La fórmula para hallar la media armónica con variable continua.5.2. Xn. por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños. Datos agrupados o Variable discreta Existen 2 formas de hallar la media armónica en la variable discreta. se aplica la siguiente fórmula: Sean los números X1. 1. X2. La media armónica O con la siguiente ecuación: 1.4. es la siguiente: 5 .UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN cero. 19∗1.19. pero Daniel perdió los registros del sexto año después de haber calculado la media geométrica. X 4 .23.19. 1. Los factores de crecimiento individuales de los últimos cinco años fueron 1.35.24 (√5 3.057∗X 6 ) 5 5 = 1.30. X 3 . utilizando una media geométrica. queda de la siguiente manera: G= √n X 1 .059 b.19∗. ¿Cuál era ese factor de crecimiento? - Como ya vimos.23.1.G.057 * X 6 = 2. X 5 . la fórmula para hallar la media geométrica en datos no agrupados. Daniel Prado desea calcular el factor de crecimiento promedio de su tienda de aparatos de sonido en los últimos seis años. 1.35. Media geométrica (M. 1. llega a un resultado de 1. es el siguiente: Reemplazando. Se tienen las siguiente calificaciones de 40 estudiantes de 5 de secundaria: 6 .UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN Donde: Xmi = marca de clase 2. X 6 5 G = √ 1.959 Por lo tanto. 1.932 X6 = 0.19.30∗X 6 = 1. Capítulo II: Ejercicios 2.24.30. 1. 1. X 2 . como es el caso del ejercicio.35∗1. 1. el factor de crecimiento del sexto año es 9.19 y 1. con los datos de los últimos 5 años: 1.24 3.23∗1. 1.) a. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN 8 16 18 12 20 12 18 8 20 18 8 12 12 18 12 12 18 16 16 18 16 18 16 16 16 16 18 18 20 12 20 8 20 16 20 18 20 12 20 Calcular la media geométrica - Primero creamos la tabla de frecuencias Xi 8 12 16 18 20 - fi 5 8 9 10 8 Para hallar la media geométrica en una variable discreta.91 Por lo tanto la media geométrica es 14.20 1.26 1.4 46.08 1. queda de la siguiente manera: log G = 46. se haces uso de la siguiente fórmula: Nos faltan los datos: log X i * fi.90 1.6 10.94 40 = 1.91 7 .1735 antilog 1. Xi 8 12 16 18 20 Total fi 5 8 9 10 8 40 log Xi 0. la cual procedemos a hallar completando la siguiente tabla.64 10.30 log Xi * fi 4.5 8.94 Reemplazando los datos hallados en la tabla.1735 = G G = 14.8 12. 76 2) En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en minutos que se demoran en realizar una obra.Como hemos señalado en el marco teórico. Calcular el tiempo promedio que se demora en resolver la obra un obrero promedio. Media armónica (H) 1) Un tren realiza un trayecto de 500km. La vía se encuentra en tan mal estado que no permitía correr adecuadamente. un determinado número de estudiantes. los cuartos a 130km/h y los últimos 100 kilómetros a 60 km/h.UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN 2. 8 Tiempo Obreros [40-50) 2 [50-60) 8 [60-70) 10 [70-80) 9 [80-90] 13 . . el promedio de las velocidades es de 53. Para calcular el promedio de velocidades.093 = 53.2. la fórmula es la siguiente: - Reemplazando queda de la siguiente manera: 5 5 1 1 1 1 1 H= = + + + + 0. los terceros a 100km/h. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h. Como recordamos. los siguientes 100km la vía está en mal estado y va a 20km/h.76 120 20 100 130 60 Por lo tanto. para hallar el - promedio de velocidades se debe hacer uso de la media amónica. 57 segundos 9 . la fórmula para hallar la media armónica es la siguiente: Donde Xmi = marca de clase - Nos faltan los datos: fi x .15 Total 42 0.15 [70-80) 9 75 0. la cual procederemos a hallar en la siguiente tabla.12 [80-90] 13 85 0.UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN - Como ya sabemos.04 [50-60) 8 55 0.61 = 65.61 Los datos obtenidos en la tabla lo reemplazamos en la ecuación: H= 40 0. mi .15 [60-70) 10 65 0. - Tiempo fi Xmi fi x . el tiempo promedio que se demora un obrero en realizar su obra es de 65. mi [40-50) 2 45 0.57 Por lo tanto. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN Capítulo III: Conclusiones 1. 10 . así como los usos que realmente se dan en la vida real y la aplicación misma de la Estadística. Luego de realizar el presente trabajo. se muestra la importancia que tiene la Estadística. por lo tanto. la media armonía y geométrica son muy importantes. A pesar de que no son usadas muy frecuentemente. 11 . 3. en parte por ello su uso no es tan conocido por las personas. Como ya hemos apreciado anteriormente. la media geométrica y armónica solo debe ser usada en ciertos casos. La media geométrica y la media armónica deben ser usados solo en algunos casos en particular. la recomendación sería que nos demos cuenta y sepamos los casos específicos en los que debemos usarlos. para que así no caigamos en la equivocación o en el error.UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN 2. Capítulo IV: Recomendaciones 1. porque no los conocemos. por lo tanto.UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS EAP ADMINISTRACIÓN 2. 12 . La media geométrica y la media armónica no son usados muy frecuentemente. en parte. debemos enterarnos de ellos y aprender a aplicarlos en los distintos ejercicios.