MECÂNICA DOS SÓLIDOS (BC1104) AULA 01 30 SETEMBRO 2014 1. Sobre o curso 2. Breve Introdução à Mecânica dos Sólidos 3. Equilíbrio de um Corpo Deformável (Equações de Equilíbrio) 4. A Diferença entre Barra e Viga 5. Esforços Internos Prof. Dr. André Fenili Bloco B – Sala 936 [email protected] 01 de 27 1. Sobre o curso Ementa: - Geometria do deslocamento de um corpo deformável. - Campo de deformações. - Tensor de deformações relativas. - Conservação de massa. - Força e tensão. - Campo de tensões. - Tensor de tensões. - Equações de equilíbrio. - Equações constitutivas. - Corpos elásticos. - Lei de Hooke. - Energia elástica. - Conservação de energia. - Análise de tensões em estruturas simples. - Hastes e vigas: esforço normal, flexão, torção. - Estados planos de tensões e deformações. 02 de 27 Popov 4 “Mecânica dos Sólidos” Vol. Timoshenko & James M. Shames 2 “Mecânica dos Materiais” R. Gere 5 “Resistência dos Materiais” Ferdinand P. Hibbeler 3 “Introdução à Mecânica dos Sólidos” Egor P. P. C. Beer & E. 1 e 2 S. Gere 03 de 27 . Russell Johnston 6 “Mecânica dos Materiais” James M.Bibliografia: 1 “Introduction to Solid Mechanics” Irving H. Data das Avaliações e Critério de Avaliação: Avaliações: Primeira Avaliação (P1): 04/11 Segunda Avaliação (P2): 11/12 Avaliação Substitutiva: 16/12 Exame (E): 18/12 Média Final: MF Aprovação: P1 P2 2 MF 5.0 Aprovado Exame MF 5.0 MF E 5 2 Aprovado MF E 5 2 Reprovado 04 de 27 . 75 : C 7.00 a 8.00 a 6.SOBRE OS CONCEITOS (PARA MÉDIAS FINAIS) 0.00 a 10.00 a 4.75 : F 5.75 : B 9.00 : A 05 de 27 . Breve Introdução à Mecânica dos Sólidos A mecânica dos sólidos é um ramo da mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas a este corpo resultantes da aplicação desta carga. Seguem alguns exemplos de sistemas reais que colapsaram devido a falhas estruturais (ou falhas em componentes). Esse ramo abrange também o cálculo da deformação do corpo e o estudo da estabilidade deste corpo sob a ação dessas forças externas.2. 06 de 27 . 07 de 27 . 08 de 27 . 09 de 27 . força de superfície (existe contato entre os corpos) ou .3. Estas cargas podem ser classificadas como: . 10 de 27 .força de corpo (não existe contato direto entre os corpos). Equilíbrio de um Corpo Deformável (Problemas de Estática / Equações de Equilíbrio) Um corpo pode ser submetido a diversos tipos de cargas externas. os apoios mais encontrados são mostrados abaixo. 11 de 27 .Reações nos apoios. Nos problemas bidimensionais. As forças que se desenvolvem nos apoios ou pontos de contato entre os corpos são chamadas reações (ou reações nos apoios). Da mesma forma. por exemplo). Equações de Equilíbrio O equilíbrio de um corpo requer: (a) o equilíbrio de forças – para evitar que o corpo sofra translação ou tenha movimento acelerado ao longo de uma trajetória retilínea ou curvilínea (b) o equilíbrio de momentos – para evitar a rotação do corpo Essas condições podem ser expressas matematicamente por duas equações vetoriais: F 0 MO 0 12 de 27 . então desenvolve-se uma força naquela direção. se a rotação for impedida em torno de um determinado ponto (análise no plano.Se o apoio impede a translação em dada direção. então desenvolvese um momento (ou conjugado) sobre o elemento naquele ponto. y e z. com origem no ponto O. determinadas.Essas duas equações podem ser escritas em forma escalar ao longo de eixos de coordenadas em um determinado sistema de coordenadas x. Apresenta-se a seguir um exemplo ilustrativo. A melhor maneira de aplicar as equações de equilíbrio é desenhando o diagrama de corpo livre. da seguinte forma: F M x 0 x 0 F M y 0 y 0 F 0 M 0 z z Para aplicar as equações de equilíbrio é necessário que se conheça todas as forças e momentos externos atuando sobre o corpo. 13 de 27 . As reações (desconhecidas) atuando nos apoios serão. assim. Um exemplo ilustrativo: determinar as reações nos apoios ( P1 . a e L são conhecidos) L L a a P1 A P1 B B A por que não é representada a força horizontal ? R2 R1 Diagrama de corpo livre 14 de 27 . mantido em equilíbrio sob a ação de quatro forças externas (em (a)). são apresentados a força e o momento resultantes (internos ao corpo). 15 de 27 .Uma das aplicações mais importantes da estática na análise dos problemas de resistência dos materiais é a determinação da força resultante e do momento resultante que atuam no interior do corpo e necessários para manter o corpo unido quando submetido a cargas externas. considere o corpo mostrado na figura a seguir. Por exemplo. Em (c). o diagrama de corpo livre de uma das partes do corpo é desenhado. Em (b). são apresentados os componentes da força e do momento resultantes que atuam normal e perpendicularmente à área secionada (denominada também seção transversal). 16 de 27 .Em (d). de força de cisalhamento (V) e de momento fletor (MO).Cargas Coplanares Se o corpo estiver submetido a um sistema de forças coplanares. F3 F2 F2 y V MO F1 seção resultantes dos esforços internos N x F1 F4 Neste caso. tem-se as seguintes equações de equilíbrio: F x 0 F y 0 M O 0 17 de 27 . então existirão na seção apenas os componentes de força normal (N). A diferença entre barra e viga As forças atuam apenas nos nós e na direção da linha que passa ao longo do elemento (linha tracejada na figura abaixo).4. viga Treliça: nome dado à estrutura composta apenas por barras. 18 de 27 . Em uma mesma estrutura pode-se ter barras e vigas. barra As forças atuam em qualquer ponto do elemento ou mesmo distribuídas ao longo do mesmo. forças de cisalhamento (V) e momento fletor (M) nos diversos pontos de seu interior. aplicam-se carregamentos externos aparecem esforços internos nesta. 19 de 27 . sobre uma viga. A escolha da convenção de sinal é arbitrária mas geralmente se usa na prática da engenharia a seguinte: As forças normais são representadas sempre apontando para fora (não mostradas na figura).5. Esforços internos: convenções de sinal Quando. Esses esforços internos são constituídos por forças normais (N). tem-se (Figura 2): b a P1 P2 P3 P1 P4 P2 Utilizando a convenção V M A B R2 R1 Por que não é representada a força normal ? A C D Figura 1 B C D R1 Figura 2 20 de 27 .Por exemplo: Como determinar os esforços internos na seção transversal D ? x Cortando a viga em D e considerando-se o segmento da esquerda. deve-se substituir a parte retirada por uma força e por um momento equivalente à parte subtraída (conforme Figura 2. P1 P2 V M A força V e o momento M conservam em equilíbrio o trecho AD (juntamente com as cargas R1. A B C D R1 Figura 2 21 de 27 .Para que o equilíbrio que havia antes do corte se mantenha. P1 e P2. reproduzida aqui). Cálculo do momento fletor no corte O momento M na Figura 3 representa o momento fletor na secção D . b P2 P1 Pode ser obtido pela equação da estática que estabelece que a soma dos momentos em relação a um ponto qualquer é nula. em relação ao ponto D (no corte!): – R1x + P1(x – a) + P2(x – b) + M = 0 logo: R1 x Figura 3 M = R1x – P1(x – a) – P2(x – b) 22 de 27 .1.5. V M a A B C D Por exemplo. 2. na direção y) é nula. Cálculo da força cortante no corte A força V na Figura 4 representa a força cortante ou a força de cisalhamento na secção D. Assim: R1 – P1 – P2 – V = 0 y P1 x P2 V M A B C D R1 Figura 4 ou: V = R1 – P1 – P2 23 de 27 . Pode ser obtida pela equação da estática que estabelece que a soma das forças em uma determinada direção (por exemplo.5. Relações entre o carregamento w(x). o carregamento w pode ser considerado uniforme ao longo deste elemento. w = f(x) dx 24 de 27 .3.5. conforme mostra esta mesma figura. Um elemento de comprimento dx é extraído desta viga e o diagrama de corpo livre do mesmo é indicado na figura abaixo à direita. a força cortante V(x) e o momento fletor M(x) A viga apresentada na figura abaixo encontra-se sob a ação de um carregamento distribuído que varia de maneira arbitrária. Uma vez que dx é muito pequeno. portanto. tem-se: dV V wdx V dx 0 dx A ou: w dV dx Fazendo a somatória dos momentos em relação ao ponto A igual a zero para este elemento.Fazendo a somatória das forças na direção vertical igual a zero para este elemento. tem-se: M (wdx) dx dM dV M dx V dx dx 0 2 dx dx ou: V dM dV dx 2 Considerando dx << 1 e. dV << 1. pode-se fazer V dV 0 2 e: dM dx 25 de 27 . 1 viu-se que: M = R1x – P1(x – a) – P2(x – b) Portanto: V dM d R1x – P1(x – a) – P2(x – b) dx dx ou: V R1 – P1 – P2 Conforme visto em 5.Em 5.2. 26 de 27 . …) artista e ilustrador de ficção científica britânico 27 de 27 .crédito da figura de fundo Chris Foss (1946 .