mecanicah021213_vectores2

Mecánica2º BCN Hoja 2 1. Dados los vectores: a = 1/7 (2i + 3j + 6k) ; b = 1/7 (3i - 6j + 2k) ; c = 1/7 (6i + 2j - 3k ), demuéstrese: 1) Que sus respectivos módulos valen la unidad. 2) Que son perpendiculares entre sí. 3) Que c es el producto vectorial de a por b. SOL: 2. Dados dos vectores, a (2,1,-3) y b (1,0,-2), hállese un vector unitario que sea perpendicular a ambos. SOL: -2/√6 i + 1/√6 j - 1/√6 k 3. Si el producto vectorial de dos vectores a x b = 3i - 6j + 2k y sus módulos son 4 y √7 respectivamente, calcular su producto escalar. SOL: 4. Dados los vectores: a (2, -1, 0), b {3, -2, 1). Calcular: 1) (a - b) x c ; 2) (a x b ). c (producto mixto) = abc ; 3) (a x b) x c (doble producto vectorial). 5. Dados los vectores a (1,0,-1); b (1,3,0); c (2,-1,1) y d (0,-2,-1), calcular: 1) (a.b) (c.d); 2)( a x b).(c x d) ; 3) (a . b)(c x d) y 4) (a x b) x (c x d) SOL: 1 ; -5; (3,2,-4); (-2,21,9) 6. Dados los vectores a (1,3,-2) y b (1,-1,0), calcula: a)su producto vectorial; b)el área del paralelogramos que tiene ambos vectores como lados; c) un vector c, de módulo 6, perpendicular al plano en que se encuentran a y b. SOL: 7. Un vector a= -3i+2j-k tiene su origen en P(1,1,-2). Halla: (a) rxa, siendo r el vector de posición del punto P respecto al punto O(-2,-1,1); (b) El área del triángulo cuyos vértices son P,O y el extremo del vector a; (c) el ángulo formado por ambos vectores (r y a). SOL: (a) (4 ,12 ,12); (b)8,72 m2 (c) 83,5º 8. Halla el volumen del paralelogramo cuyos lados son paralelos a los vectores a (2,1,0); b (1,0,-2) y c(1,2,-1). SOL: 7 unidades 9. El vector deslizante a tiene de módulo 700 y su dirección es una recta que pasa por los puntos A(6,0,4) y B(0,12,8). Comprueba que su momento respecto al origen (0,0,0) tiene el mismo valor cuando está situado en A y cuando su punto de aplicación es B. Halla la distancia entre el origen y la dirección de a. SOL: Mo=(-2400,-2400,3600); 7,06 m 10. Sea el vector deslizante a (2,1,-2) que pasa por el punto P(3,1,-2). Calcula el momento del vector respecto al punto A(1,0,1) y respecto al eje que pasa por los puntos A(1,0,1) y B(1,2,1) SOL: (1, -2,0); -2 11. Calcula el momento del vector a(2,-1,4), aplicado en el punto A(3,1,1) respecto a un eje que pasa por el punto P(1,-1,2) y cuyos cosenos directores son 0'5 , -0'707, 0'5, respectivamente SOL: 7,57 12. Un vector de módulo 10, y cuyos cosenos directores son proporcionales a 4, 4 y 2, está aplicado en el punto P(1,0,2). Halla; a)las componentes del vector; b)su momento respecto al origen de coordenadas; c) su momento respecto al punto Q(-1,0,-2). SOL: (20/3, 20/3,10/3); (-40/3, 10, 20/3) 13. Dados los vectores v1 (-2, 3, 1) y v2 (-1, 3, 2) ambos aplicados en el punto P (2, 3, 2). Calcular el momento del sistema respecto del punto A (-2, 0, 2) y compruébese que la suma de los dos momentos es igual al momento de la resultante respecto de A aplicada en P. (teorema de Varignon) 14. Dado el sistema de vectores deslizantes a (1,1,1,); b(1,2,3) y c(3,2,-1) que pasan respectivamente por los puntos A(2,1,-2); B(-1,2,2); C(-2,2,1), determina: a) momento resultante del sistema respecto al origen de coordenadas; b) momento mínimo; c) ecuación del eje central; d) torsor del sistema. SOL: (1,2,-13); (-120/59; -120/59;-72/59); 3x+3y-10z+1=0 25x-34y+15z+68=0; R=(5,5,3) m=(-120/59; -120/59;-72/59) 15. Dado el sistema de vectores deslizantes: a = i + 2j + 3k aplicado en A(1,2,3); b = i - j + k aplicado en B(-1,0,1); c = -i + 2j - 2k aplicado en C(2,0,-1), hallar: a) su resultante; b) su momento resultante respecto al origen de coordenadas; c) el módulo y componentes del momento mínimo del sistema; d) la ecuación del eje central; e) el torsor del sistema. SOL: √14 ; (3,7,5); 17.√14 / 7 ; 3z−2y3 = 2x−z 7 = y−3x5 (17/7 , 51/7; 34/7); ; {(1,3,2); (17/7 , 51/7; 34/7)} 1 3 2 16. En los puntos A, B y C de la pirámide de la figura hay aplicados tres vectores, a, b y c, que cumplen las siguientes condiciones: OA . a = 0 , OA x a = -20k ; OB . b = 0 , OB x b = -15j , BC . c = 145. Hallar: a) su resultante; b) su momento resultante respecto al origen de coordenadas; c) el módulo y componentes del momento mínimo del sistema; d) la ecuación del eje central; e) el torsor del sistema. SOL: (3,2,-3); (-60,45,20); 30/√22 , (-90/22, -60/22 , 90/22) ; 9x+6y+13z-255=0 , 2x-6y-2z+80=0; {(3,2,-3) . (-90/22, -60/22 , 90/22)} b B (0,0,15) a A (10,0,0) c C (10,20,0) 17 a) Determinar el centro de un sistema de vectores deslizantes paralelos, formado por los vectores de módulos 2, 4 y 5, respectivamente, todos con el mismo sentido y aplicados en los puntos (1,1,0), (2,3,1) y (2,1,3). b) Determinar la resultante del sistema y el momento resultante con respecto al origen de coordenadas. SOL: 18. Se tiene un sistema de tres vectores paralelos: v1 (2,1,-1); v2 (8,4,-4); v3 (-4,-2,2), aplicados en los puntos (0,1,2), (1,-1,0) y (2,2,0), respectivamente. Halla su centro y la ecuación del eje central. x 3y7 3z−2 SOL: (0, -7/3 , 2/3); 2 = 3 = 3 19. En el eje X+, a 2, 8 y 12 m del origen, hay 3 vectores paralelos: v1 (0,0,-3); v2 (0,0,5); v3 (0,0,2). Halla su centro y la ecuación del eje central. SOL: (14'5, 0, 0); {x=14'5 y=0} 20. . Dado el sistema de vectores: v1 (3, -6, 2) de origen P1 (2, 3, -2), v2 (2, 4, -6) de origen P2 {3, -2, 2), v3 (1, -1, 1) de origen P3 (1, 3, 0), encontrar la ecuación del eje central y el momento mínimo. 21. El origen de un vector es el punto A {3, -1, 2) y su extremo B (1, 2, 1); calcular su momento respecto a C (1, 1, 2). SOL: (2,2,2) 22. Demostrar que el sistema de vectores: F1= 2i, F2 = -i y F3 = -i, aplicados en los puntos (0,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente, se puede reducir a un par y determinar dicho par. SOL: Mpar,O= (0,-1,1): equivale, por ejemplo, a unpar formado por los vectores i, en el origen de coordenadas, y el -i situado en el punto (0,-1,1). 23 . Un vector, en el plano, viene dado por r =15 sen 10t , 15 cos 10t  unidades S.I.; ángulo en radianes. Halla su derivada y las componentes intrínsecas del vector derivada. SOL: a) v =150 cos 10t , −150sen 10t m/ s 24. Halla, para t=2 s, el vector derivada y las componentes intrínsecas de la derivada de los siguientes vectores: a) r = (t2,t)m ; b) r=(1,t)m . SOL: Documents Similar To mecanicah021213_vectores2Skip carouselcarousel previouscarousel nextAlgebra Vectorialparte2semana05-vectoresAplicaci´on del control H infinito al PPCarFísica y Química 1ºBach. 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