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Nome do AlunoMecâni ca Or gani zador es Maur íci o Pi etr ocol a Nobuko Ueta El abor ador es Ani bal Fi guei r edo Gl auco S. F. da Si l va Vi vi ane S. M. Pi assi Física 3 módul o GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO Governador: Geraldo Alckmin Secretaria de Estado da Educação de São Paulo Secretário: Gabriel Benedito Issac Chalita Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Coordenadora: Sonia Maria Silva UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Reitor: Adolpho José Melfi Pró-Reitora de Graduação Sonia Teresinha de Sousa Penin Pró-Reitor de Cultura e Extensão Universitária Adilson Avansi Abreu FUNDAÇÃO DE APOIO À FACULDADE DE EDUCAÇÃO – FAFE Presidente do Conselho Curador: Selma Garrido Pimenta Diretoria Administrativa: Anna Maria Pessoa de Carvalho Diretoria Financeira: Sílvia Luzia Frateschi Trivelato PROGRAMA PRÓ-UNIVERSITÁRIO Coordenadora Geral: Eleny Mitrulis Vice-coordenadora Geral: Sonia Maria Vanzella Castellar Coordenadora Pedagógica: Helena Coharik Chamlian Coordenadores de Área Biologia: Paulo Takeo Sano – Lyria Mori Física: Maurício Pietrocola – Nobuko Ueta Geografia: Sonia Maria Vanzella Castellar – Elvio Rodrigues Martins História: Kátia Maria Abud – Raquel Glezer Língua Inglesa: Anna Maria Carmagnani – Walkyria Monte Mór Língua Portuguesa: Maria Lúcia Victório de Oliveira Andrade – Neide Luzia de Rezende – Valdir Heitor Barzotto Matemática: Antônio Carlos Brolezzi – Elvia Mureb Sallum – Martha S. Monteiro Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes – Marcelo Giordan Produção Editorial Dreampix Comunicação Revisão, diagramação, capa e pr ojeto gráfico: André Jun Nishizawa, Eduardo Higa Sokei, José Muniz Jr. Mariana Pimenta Coan, Mario Guimarães Mucida e Wagner Shimabukuro Cartas ao Aluno Car ta da Pró-Reitoria de Graduação Caro aluno, Com muita alegria, a Universidade de São Paulo, por meio de seus estudantes e de seus professores, participa dessa parceria com a Secretaria de Estado da Educação, oferecendo a você o que temos de melhor: conhecimento. Conhecimento é a chave para o desenvolvimento das pessoas e das nações e freqüentar o ensino superior é a maneira mais efetiva de ampliar conhecimentos de forma sistemática e de se preparar para uma profissão. Ingressar numa universidade de reconhecida qualidade e gratuita é o desejo de tantos jovens como você. Por isso, a USP, assim como outras universidades públicas, possui um vestibular tão concorrido. Para enfrentar tal concorrência, muitos alunos do ensino médio, inclusive os que estudam em escolas particulares de reconhecida qualidade, fazem cursinhos preparatórios, em geral de alto custo e inacessíveis à maioria dos alunos da escola pública. O presente programa oferece a você a possibilidade de se preparar para enfrentar com melhores condições um vestibular, retomando aspectos fundamentais da programação do ensino médio. Espera-se, também, que essa revisão, orientada por objetivos educacionais, o auxilie a perceber com clareza o desenvolvimento pessoal que adquiriu ao longo da educação básica. Tomar posse da própria formação certamente lhe dará a segurança necessária para enfrentar qualquer situação de vida e de trabalho. Enfrente com garra esse programa. Os próximos meses, até os exames em novembro, exigirão de sua parte muita disciplina e estudo diário. Os monitores e os professores da USP, em parceria com os professores de sua escola, estão se dedicando muito para ajudá-lo nessa travessia. Em nome da comunidade USP, desejo-lhe, meu caro aluno, disposição e vigor para o presente desafio. Sonia Teresinha de Sousa Penin. Pró-Reitora de Graduação. Car ta da Secretaria de Estado da Educação Caro aluno, Com a efetiva expansão e a crescente melhoria do ensino médio estadual, os desafios vivenciados por todos os jovens matriculados nas escolas da rede estadual de ensino, no momento de ingressar nas universidades públicas, vêm se inserindo, ao longo dos anos, num contexto aparentemente contraditório. Se de um lado nota-se um gradual aumento no percentual dos jovens aprovados nos exames vestibulares da Fuvest — o que, indubitavelmente, comprova a qualidade dos estudos públicos oferecidos —, de outro mostra quão desiguais têm sido as condições apresentadas pelos alunos ao concluírem a última etapa da educação básica. Diante dessa realidade, e com o objetivo de assegurar a esses alunos o patamar de formação básica necessário ao restabelecimento da igualdade de direitos demandados pela continuidade de estudos em nível superior, a Secretaria de Estado da Educação assumiu, em 2004, o compromisso de abrir, no programa denominado Pró-Universitário, 5.000 vagas para alunos matriculados na terceira série do curso regular do ensino médio. É uma proposta de trabalho que busca ampliar e diversificar as oportunidades de aprendizagem de novos conhecimentos e conteúdos de modo a instrumentalizar o aluno para uma efetiva inserção no mundo acadêmico. Tal proposta pedagógica buscará contemplar as diferentes disciplinas do currículo do ensino médio mediante material didático especialmente construído para esse fim. O Programa não só quer encorajar você, aluno da escola pública, a participar do exame seletivo de ingresso no ensino público superior, como espera se constituir em um efetivo canal interativo entre a escola de ensino médio e a universidade. Num processo de contribuições mútuas, rico e diversificado em subsídios, essa parceria poderá, no caso da estadual paulista, contribuir para o aperfeiçoamento de seu currículo, organização e formação de docentes. Prof. Sonia Maria Silva Coordenadora da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas Apresentação da área A Física é tida pelos estudantes como uma área de conhecimento de difícil entendimento. Por exigir nível de raciocínio elevado e grande poder de abs- tração para entender seus conceitos, acaba-se acreditando que o conhecimen- to físico está distante do cotidiano das pessoas. No entanto, se olharmos para o mundo que nos cerca com um pouco de cuidado, é possível perceber que a Física está muito perto: a imagem no tubo de televisão só existe porque a tecnologia moderna é capaz de lidar com elétrons e ondas eletromagnéticas. Nossos veículos automotores são máquinas térmicas que funcionam em ciclos, os quais conhecemos e a partir deles produzimos energia mecânica ne- cessária para nos locomovermos. O Sol é na verdade uma grande fonte de emissão de radiação eletromagnética de diferentes freqüências, algumas visí- veis e outras não, sendo que muitas delas podem fazer mal à nossa saúde. Assim, o que pretendemos neste curso de Física é despertar em vocês a sensibilidade para re-visitar o mundo com um “olhar” físico, de forma a ser capaz entendê-lo através de suas teorias. Serão seis módulos, cada qual tratando de um tema pertencente às seguintes áreas da Física: Luz e Som; Calor; Eletromagnetismo, Mecânica, Energia e Física Moderna. Esses módulos abordarão os conteúdos físicos, tratando aspectos teóricos, experimentais, históricos e suas relações com a tecnologia e sociedade. A Física pode ser interessante e prazerosa quando se consegue utilizar seus conceitos para estabelecer uma nova relação com a realidade. Bom estudo para todos! A coordenação Apresentação do módulo Neste texto você encontrará alguns dos temas mais importantes da mecâ- nica. Iniciando pelo estudo do movimento dos corpos celestes e estudando a razão desses movimentos, você entrará em contato com uma nova forma de olhar para o mundo. O estudo das leis de Newton permitirá a sistematização desse novo olhar. Por fim, você será capaz de identificar situações em que existe ou não a aplicação de forças e se isso levará a algum tipo de movimen- to. Leia com atenção o texto e as seções Para você pensar!: isso será fundamental para sua aprendizagem. Procure sempre discutir estas seções com o professor e colegas. Mas para que você possa realmente compreender a mecânica clássica, você precisará se aprofundar ainda mais nesse assunto, lendo outros livros presentes na bibliografia selecionada no final deste texto. Nesses livros você também encontrará um grande número de exercícios resolvidos e outros propostos para você melhorar seus conhecimentos. Bons estudos! Uni dade 1 Gravitação: conceitos e efeitos Or gani zador es Maur íci o Pi etr ocol a Nobuko Ueta El abor ador es Ani bal Fi guei r edo Gl auco S. F. da Si l va Vi vi ane S. M. Pi assi PROCESSO HISTÓRICO Como sabemos, a ciência não é feita de um dia para o outro, é fruto de um processo de construção que acontece ao longo da História. No caso da Gravi- tação, não foi diferente. Os fenômenos celestes sempre chamaram a atenção do homem, e de certa forma sempre marcaram o ritmo de sua vida. Havia uma relação das épocas de plantio e colheitas com as posições dos astros celestes. O processo de construção da Astronomia e da Gravitação teve grande impulso durante o século IV a.C. com os gregos. No modelo de mundo que eles criaram, a Terra estaria situada no centro do Universo (geocentrismo). Dentro dessa concepção do Universo, os planetas, o Sol, a Lua e as estrelas estariam situados em cascas esféricas que giravam em torno da Terra. Isso mostra a idéia que os gregos tinham de tentar explicar o Universo em termos de figuras “perfeitas” como círculos e esferas. Porém, com o grande número de esferas, este modelo tornou-se incompatível com alguns movimentos que eram observados. Em uma tentativa de melhorar e simplificar o modelo dos gregos, o astrô- nomo Cláudio Ptolomeu de Alexandria (século II d.C.) supunha que os planetas se moviam em círculos que tinham a Terra como centro. Esta suposição de Ptolomeu se encaixava ainda dentro da idéia dos gregos de usar somente figuras “perfeitas”, no caso os círculos. Este modelo perdurou praticamente por 15 séculos, pois permitiu reproduzir com uma boa aproximação os aspectos mais complicados do movimento planetário. Esta obra de Ptolomeu representa o apogeu da Astronomia antiga. O conjunto de seus escritos é conhecido entre os árabes como o Almagesto, que significa “o maior dos livros”. Figura 1.1- Esquema do modelo geocênt rico de Pt olomeu. Ia vísic\ Mesmo apresentando uma boa precisão, o sistema de Ptolomeu ainda era muito complicado. Para tentar simplificar este modelo, Nicolau Copérnico, polonês que viveu entre 1473 e 1543, propôs um modelo em que Sol estaria em repouso e os planetas, incluindo a Terra, estariam girando em torno dele. Este é o chamado modelo heliocêntrico. A precisão do modelo copernicano era tão boa quanto ao de Ptolomeu, porém simplificou o modelo de Universo, permitindo deduzir pela primeira vez a escala relativa das distâncias dentro do sistema solar e calcular o tempo que os planetas levam para girar em torno do Sol. Copérnico escreveu sua teoria no tratado Revolutionibus Orbitum Celestium (Sobre as Revoluções das Esferas Celestes) que foi publicada em 1543, ano de sua morte. AS LEIS DE KEPLER A obra de Copérnico foi baseada em dados obtidos na antigüidade. So- mente no final do século XVI o dinamarquês Tycho Brahe (1546- 1601) teve uma idéia diferente: em vez de retirar dados baseados em argumentos filosó- ficos, resolveu fazer medidas precisas das posições dos corpos celestes. Tycho Brahe estudou a posição dos planetas durante muitos anos em seu observató- rio na Ilha de Hven, perto de Copenhague. Ele montou tabelas volumosas e percebeu que o modelo de Copérnico não se adaptava de forma tão satisfatória a esses dados. Essas tabelas e dados que Tycho Brahe obteve constituíram a base do trabalho de seu assistente no observatório, o alemão Johannes Kepler (1571-1630). Kepler acreditava que era possível fazer alguns ajustes ao modelo de Tycho Brahe. Com sua grande habilidade matemática, Kepler conseguiu chegar a três leis do movimento planetário, trabalho que lhe tomou cerca de 17 anos. A correção ao sistema de Copérnico é expressa na primeira lei que Kepler escreveu onde ele afirma que as órbitas dos planetas são elípticas. Com o enunciado da primeira lei, Kepler rompe com a idéia que universo é configurado por figuras perfeitas, conforme os filósofos da Grécia antiga o idealizavam. 1 a Lei de Kepl er “As órbitas descritas pelos planetas ao redor do Sol são elípticas, com o Sol em um dos seus focos.” Seguindo em seu trabalho, Kepler verificou que os planetas não giravam ao redor do Sol com a mesma velocidade. Os planetas se movem mais rápido quando estão mais próximos do Sol e mais devagar quando estão mais longe. Conforme mostra a Figura 1.3, o planeta tem uma velocidade maior entre os pontos A e B do que em C e D. Porém a reta que une o planeta ao Sol, chamada de raio vetor, percorre a área A 1 com a mesma velocidade que área A 2 em um mesmo intervalo de tempo. Figura 1.2: Órbit a de um planet a em t orno do Sol com o format o elípt ico. O Sol est á em um dos focos. I- xóuuio iii - xvc\xic\ 2 a Lei de Kepl er “O raio vetor que liga um planeta ao Sol percorre áreas iguais em tempos iguais.” Em sua última lei Kepler apresentou uma relação diferente das outras duas, pois não lida com um planeta de forma individual, mas relaciona um com outro. Kepler estabeleceu relações entre os períodos de revolução dos planetas e os raios de suas órbitas. Para chegar a isso, ele fez uma aproximação, considerando as órbitas dos planetas circulares (isto é possível, pois o “achatamento” das órbitas é pequeno). 3 a l ei de Kepl er “Os quadrados dos períodos de revolução são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.” Matematicamente essa lei pode ser escrita como: Sendo T o período de revolução do planeta, r o raio da órbita de um planeta (raio-vetor) e k uma constante de proporcionalidade. ELIPSE, O QUE É ISSO? “Uma elipse não é apenas uma oval, mas uma curva que pode ser obt ida usando-se duas t achi- nhas, uma em cada foco, um pedaço de barban- t e e um lápis. Mat emat icament e, uma elipse é o lugar geomét rico de t odos os pont os cuja soma das dist âncias de dois pont os fixos (os focos) é uma const ant e. Ou de maneira mais diret a, é um circulo achat ado.” (Feynman, R., Física em seis lições Ediouro, Rio,2001) Figura 1.3: Desenho de uma elipse most rando os semi eixo maior a e o semi eixo menor b. Figura 1.4: r é o raio vet or que une o planet a ao Sol. Ent re A e B, área A 1 e ent re D e C, área A 2 . Nessas áreas a velocidade do raio vet or é sempre a mesma. T 2 = kr 3 Io vísic\ PARA VOCÊ PENSAR! Vamos supor que a t rajet ória de Júpit er em t orno do Sol seja represent ada pela elipse da Figura 1.5. As áreas sombreadas são t odas iguais. Responda: a) Se Júpit er leva 1 ano para percorrer o arco AB, quant o t empo levaria para percorrer os out ros arcos? Lembre-se de j ust ificar sua resp ost a. b) Quant o à vel ocidade do planet a, onde seria maior, onde seria menor? Faça uma pequena list a das vel ocidades em or dem decrescent e. Figura 1.5: Represent ação da t raj et ória de um planet a. GRAVITAÇÃO UNIVERSAL Foi o grande cientista Isaac Newton quem, em seus estudos, chegou à causa do movimento dos planetas em torno do Sol. Para Newton, se uma maçã cai da árvore em direção ao solo, é porque deve existir uma força atrativa entre a maçã e a Terra. Da mesma forma, a Lua não “foge” porque existe uma força de atração entre a Terra e a Lua. O mesmo raciocínio vale ainda para o Sol e os planetas. Começava, desse modo, a construção da Gravitação Universal, que diz que dois corpos quaisquer se atraem com uma força de intensidade F, chamada força gravitacional, cujo valor é proporcional ao produto das massas desses corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Matematicamente temos: onde m 1 e m 2 são as massas dos corpos envolvidos, r é a distância entre os centros de massa desses corpos e G é a constante da gravitação universal cujo valor é G = 6,67.10 -11 Nm 2 /kg 2 Vamos fazer uma aplicação da lei de Gravitação para o caso da Terra e da Lua. Para calcularmos o valor da força de atração entre elas, mostrada na Figura 6, precisamos saber a massa da Terra (M), a massa da Lua (m) e a distância entre elas (r), além do valor de G. Figura 1.6: A força - que a Lua faz sobre a Terra possui o mesmo valor e direção que a força que a Terra faz sobre a Lua. I, xóuuio iii - xvc\xic\ Sendo M = 6,0 x 10 24 kg, m = 7,4 x 10 22 kg e r = 3,8 x 10 8 m, vamos apenas substituir todos o dados: ⇒ F = 6,67 x 10 -11 ⇒ F = 2,05.10 18 N O valor da Força F pode ser escrito como F = 2050000000000000000 N. Vamos considerar o exemplo da maçã de Newton que caiu, supostamente, da árvore. Como já sabemos, ela cai porque existe uma força atrativa entre a Terra e a maçã, de tal modo que a Terra exerce uma força sobre a maçã puxando-a para o seu centro e da mesma forma a maçã atrai a Terra com a mesma intensidade com que é atraída. E por que a Terra não se “mexe” em direção a maçã? Tente calcular a força atrativa entre a Terra e a maçã! CAMPO GRAVITACIONAL Acabamos de ver que os objetos são atraídos uns pelos os outros. No caso de objetos de massas pequenas este efeito não é perceptível. Porém, no caso dos corpos celestes o efeito gravitacional é fortemente percebido. Entre a Ter- ra e a Lua, há uma força atrativa, isto é, a Terra exerce uma força sobre a Lua puxando para si, e a Lua exerce da mesma forma uma força de mesma intensidade e direção (com o sentido oposto). Esta situação é muito semelhante à que ocorre quando você empurra uma cadeira com uma força F; a cadeira também exerce sobre você uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto. Porém há uma diferença essencial entre os dois casos: a Terra e a Lua não estão em contato, como estava a sua mão e a cadeira. Como explicar o fato de que uma exerce força sobre a outra? Em uma região onde um objeto (desde a maçã até a Lua, por exemplo) é atraído pela força gravitacional dizemos que existe um campo gravitacional. Desta maneira, a força de atração entre a Terra e a Lua, conforme vimos no exemplo da Figura 5, é o resultado da interação entre o campo gravitacional gerado pela Terra e pela Lua. Simultaneamente a Lua sente a força que a Terra exerce sobre ela e vice-versa. Quanto vale o campo gravitacional de um planeta? Vamos retomar a expressão da força gravitacional , sendo m 1 a massa da Terra e m 2 é a massa de um outro corpo. O valor de r será o raio da Terra, uma vez que qualquer distância entre um objeto e a superfície da Terra é desprezível se comparada ao raio da Terra. Se quisermos calcular a força de atração entre a Terra e um urubu, apenas o valor de m é que muda na expressão anterior. Em ambos os casos, a força F é o que chamamos de peso do objeto (da maçã no primeiro caso e do urubu no segundo). Para facilitar nossos cálculos agruparemos os valores que não variam na expressão acima e chamaremos o agrupamento de g. , assim teremos F = m.g I8 vísic\ A relação que chamamos de g mede a intensidade do campo gravitacional do planeta. Perceba que g é tanto maior quanto maior a massa do planeta e quanto menor seu raio. Se formos avaliar o valor do campo gravitacional terrestre próximo à Lua, em lugar de r usaremos a distância entre a Lua e o centro da Terra. Queremos dizer com isso que quando estamos falando de grandes distâncias, o valor de g é tanto menor quanto mais longe do planeta estiver o ponto em questão. É importante você perceber que a intensidade do campo gravitacional g num determinado ponto do espaço é dado pela relação entre a força gravitacional que atua neste ponto sobre o objeto e sua massa.. Se quisermos saber com que força uma maçã colocada naquele ponto é atraída pelo planeta em questão, devemos apenas multiplicar o valor de g naquele ponto pela massa da maçã. Para tentar exemplificar, vamos imaginar duas pessoas de 100 kg cada uma e separadas por uma distância de 100 m. Então temos: ⇒ F = 6,67x10 -11 N O valor da força F pode ser escrito como F= 0,000000000667 N Este resultado mostra que a intensidade da força gravitacional entre dois corpos é desprezível quando os valores das massas são muito pequenos – comparados à massa da Terra. Agora você é capaz de explicar o problema dos dois carros acima? O campo gravitacional pode ser representado como na Figura 7: Quando falamos de atração gravitacional, podemos também falar de aceleração da gravidade. Estes são conceitos equivalentes. Pensando na Terra, quando soltamos um objeto de massa m de uma certa altura, este objeto vai ser atraído pelo campo da Terra. Esta atração provoca nele uma aceleração durante a queda. Esta é aceleração da gravidade (vamos discutir este assunto com mais detalhes mais adiante). PARA VOCÊ PENSAR AINDA! Exercíci o 1.1 (Fuvest 1995) A melhor explicação para o fato de a Lua não cair sobre a Terra é que: a) a gravidade da Terra não chega até a Lua. b) A Lua gira em torno da Terra. c) A Terra gira em torno de seu eixo. d) A Lua também é atraída pelo Sol. e) A gravidade da Lua é menor que a da Terra. PARA VOCÊ PENSAR! Se a Lei da Gravit ação diz que t odos os corpos são at raídos uns pelos out ros, por que, por exemplo, dois carros parados, um de frent e para o out ro, não colidem? Est ime valores para a massa de cada carro e para a dist ância ent re eles e calcule a at ração ent re eles. Iu xóuuio iii - xvc\xic\ Na superfície da Terra o valor de g muda dependendo do local. Como a Terra não é uma esfera perfeita (ela é levemente achatada nos pólos), o valor de seu raio é ligeiramente menor nos pólos do que no equador. Como g é proporcional a 1/r 2 , isto nos leva a dizer que para r menor g, será maior. r(equador) > r(nos pólos) ⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ g(equador) < g(nos pólos) Por exemplo, o valor de g no equador é 9,780 N/Kg enquanto nos pólos é 9,832 N/Kg, ambos os valores ao nível do mar. Porém, vamos considerar um valor médio de 9,8N/Kg. A definição da unidade de g no Sistema Internacio- nal (S.I.) é dada pela unidade de força, dividida pela unidade de massa Kg. Esta unidade é equivalente a unidade de aceleração, m/s 2 . O valor de g também muda quando varia a altitude. A uma altura de 1000 Km, por exemplo, g =7,33 N/Kg. E a uma altura de 10000 Km, g =1,49 N/Kg. Em outros lugares também é possível calcular o valor de g. No caso de uma massa maior que a massa da Terra o valor do campo neste local será maior. E no caso de uma massa menor que a da Terra, o campo será menor. Júpiter possui uma massa 300 vezes maior que a da Terra e g é aproximadamente 3 vezes maior que o g do nosso planeta. A Lua possui uma massa 81 vezes menor que a massa da Terra, e por isso, o seu campo é em torno de 1/6 do campo da Terra. Exercíci o 1.2 (Fuvest) No sistema solar, o planeta Saturno tem massa cerca de 100 vezes maior que a Terra e descreve uma órbita, em torno do Sol, a uma distância média 10 vezes maior do que a distância média da Terra ao Sol (valores aproximados). Qual é a razão (F sat / F T ) entre a força gravitacional com que o Sol atrai a Terra. RESUMO Nesta unidade você estudou um pouco sobre a gravitação universal. Apren- deu sobre a passagem do modelo de mundo geocêntrico para o heliocêntrico e sobre as Leis de Kepler que descrevem os movimentos dos planetas. Na seqüência, aprendeu também sobre a força e o campo gravitacional e como ele influi no peso dos objetos. Fi gura 1.7: As set as represent am a di reção e o sent i do do campo gravit acional e t ambém da força sobre os obj et os naquelas posições. PARA VOCÊ PENSAR! Imagine aquela maçã de Newt on. No campo gravit acional da Ter ra ela é at raída com 10 N/ Kg, que é t ambém o valor aproximado de aceleração da gravidade. Vamos supor que da árvore de onde ela se desprendeu at é o chão ela levou um t empo de t (em segundos) qualquer. Se a mesma maçã caísse da mesma alt ura em Júpiter e na Lua, o t empo de queda seria maior, menor ou igual em cada um deles, comparado com o tempo de queda na Ter ra? Explique o porquê de sua respost a. Na i n t er n et h á mu i t o s sit es int eressant es sobre a ast ronomia, visit e o sit e da Universidade Federal d o Ri o Gr an d e d o Su l ht t p:/ / ast ro.i f .uf rgs.br Uni dade 2 Leis de Newton e aplicações Or gani zador es Maur íci o Pi etr ocol a Nobuko Ueta El abor ador es Ani bal Fi guei r edo Gl auco S. F. da Si l va Vi vi ane S. M. Pi assi LEIS DE NEWTON Galileu já dizia que os movimentos podem se manter sem a ação de forças, mas foi Isaac Newton quem refinou e divulgou esse conceito, com a tão conhecida Lei da Inércia. Nessa lei, também chamada de Primeira Lei de Newton, ele afirma que um objeto permanece parado ou em movimento uniforme, e sem fazer curvas, a não ser que uma força altere esse estado. Mas o que é essa tal de força? Um empurrão ou um puxão, simplesmente. Podem vir de esforço muscular ou do sistema de freios de um automóvel, por exemplo. Mas podem ter outras origens, como a gravidade que origina a força entre os planetas ou que nos mantém presos aqui na Terra, conforme já vimos anteriormente. Podem ser elétricas ou magnéticas, como as forças que provocam o movimento nos motores. Muitas vezes existe mais de uma força agindo em um objeto ao mesmo tempo. Quando empurramos uma caixa, por exemplo, a força que precisamos fazer para movimentá-la depende do tipo de piso sobre o qual ela está. Se for um assoalho lisinho, com uma pequena força podemos movimentar a caixa facilmente, mas se ela estiver sobre um cimentado rústico, teremos maior dificuldade. Isso acontece porque, além da força que fazemos para empurrar a caixa, há também uma força sobre ela, que depende da superfície, tentando segurá- la. Quanto mais áspero o chão, mais força é feita sobre a caixa. Então ela vai continuar em seu estado de repouso, parada, até que a combinação entre a força do empurrão e a outra força consiga mudar esse estado de repouso. A essa combinação de forças daremos o nome de resultante. Figura 2.1 Empurrando caixas. :I xóuuio iii - xvc\xic\ Assim, para alterar o estado de repouso ou de movimento de um corpo, não basta que existam forças agindo nele, e sim que a combinação delas seja a favor dessa alteração. Vejamos o exemplo de você sentado(a) em sua cadeira. Existe a força gravitacional agindo em você, a força peso – aquilo que te segura preso à Terra. Se só ela estivesse agindo em você o que aconteceria? Provavelmente você estaria caindo e não aí, sentadinho(a) lendo tranqüilamente. Você está em repouso, o que quer dizer que existe outra força que, combinada com a força peso, não permite a alteração em seu estado de repouso. Assim, a resultante das forças é zero! Qual será essa força? Se a força peso o faria cair, então a outra força deve ser para cima, certo? Sim, é algo que está te segurando. Com certeza uma força exercida pela cadeira em você. Chamamos essa força de força normal: aquela que a cadeira ou o próprio chão faz em você para que você não caia. Na verdade, essa força aparece toda vez que um corpo se apóia em algo. Um tijolo apoiado no carrinho de mão do pedreiro tem agindo sobre ele a força normal que o carrinho exerce sobre ele para segurá-lo. Quando nos encostamos em uma parede para descansar um pouco, a força normal também aparece. Só que nesse caso a força normal não está para cima. A força normal é sempre perpendicular à superfície de apoio de um corpo. Uma outra lei enunciada pelo Isaac Newton foi a Lei da Ação e Reação, ou Terceira Lei de Newton. Essa lei explica que a reação que um corpo produz em reposta a uma força exercida sobre ele tem a mesma intensidade e está na mesma direção dessa força, mas em sentido contrário. Se você resolver bater em uma parede com a mão, estará exercendo sobre a parede uma certa força. Em reação, a parede exerce uma força em você, com mesma intensidade, com mesma direção e em sentido oposto, provavelmente fazendo sua mão doer um pouco. Toda vez que dois objetos interagem entre si, podemos perceber a validade dessa lei. Por exemplo, se um cavalo puxa uma carroça para frente, tam- bém a carroça puxa o cavalo para trás. com a mesma intensidade. Como então o cavalo consegue puxar a carroça? Vamos então imaginar um pneu pendurado em uma árvore por uma corda, como um balanço. Porque o pneu não cai? Ele não cai porque a corda o está segurando, certo? O pneu exerce uma força sobre a corda, puxando-a para baixo, mas a corda reage, exercendo sobre o pneu uma força para cima, que o segura. A essa força que a corda exerce sobre o pneu damos o nome de força de tração (T). Mas até agora só tratamos de situações onde os corpos permanecem parados. E as situações onde as forças não se compensam e a resultante não é nula? Para estudar esses casos, temos que entender qual o efeito que uma força pode provocar em um objeto. PARA VOCÊ PENSAR! Vamos imaginar uma sit uação em que um caminhão colide com um fusca. Durant e a colisão, quem exerce uma força maior sobre o out ro, o caminhão ou o fusca? :: vísic\ PRA VOCÊ PENSAR O cavalo consegue puxar a carroça? Não podemos esquecer que, além de puxar a carroça, o cavalo t ambém empurra o chão para t rás e, port ant o, t em sobre ele a reação do chão que o empurra para frent e. Com isso, a result ant e sobre o cavalo é a combinação ent re essas forças: a que o chão faz sobre ele e a que a carroça faz sobre ele. Você saberia desenhar qual a result ant e sobre o cavalo? E sobre a carroça? 2.2 – Font e: apost ila do GREF de mecânica Se colocarmos um objeto para deslizar sobre uma superfície, o que acontece com ele? Se a resultante das forças fosse nula ele continuaria deslizando, como nos diz a lei da Inércia. Mas quem já viu isso acontecer? Não acontece porque no mundo em que vivemos existe algo que é fundamental para nossas vidas: o atrito. O atrito oferece uma resistência a esse objeto que está deslizando, fazendo-o parar. Mas ele não pára instantaneamente, mas gradativamente. O efeito da força de atrito nesse objeto que desliza é uma aceleração, ou melhor, uma desaceleração, que vai reduzindo sua velocidade ao longo do tempo. Medin- do o valor da aceleração, é possível descobrir o valor da força de atrito. A força normal é igual ao valor do peso quando o objeto se encontra em uma superfície plana, sem nenhuma inclinação. Isto não significa que a força peso e a força normal sejam pares ação e reação. Mas se o objeto é empurrado com uma força maior que a força de atrito, então a resultante será diferente de zero, e ela estará a favor do movimento. Acontece então um aumento da velocidade do objeto, devido a uma aceleração. Estamos falando de uma outra lei tão famosa Segunda Lei de Newton. Essa lei nos diz que a resultante que age sobre um corpo provoca nele uma aceleração de acordo com a massa que esse corpo tem, ou matematicamente: No S.I., a unidade de força é o Newton (N), a unidade de massa é o kg e a aceleração é dada em m/s 2 . Veja que se a força tem direção, sentido e intensidade, também a acelera- ção precisa ter direção, sentido e intensidade. É importante saber se ela se dá contra ou a favor do movimento e, é claro, se está na mesma direção. :, xóuuio iii - xvc\xic\ Só exist e força de at rit o com o corpo em moviment o? Se uma pessoa empurra um piano e este não sai do lugar, é porque a força de at rit o equilibra a força que est á sendo feit a pela pessoa; sendo assim, a força de at rit o é igual à força exercida pela pessoa. Você poderia pensar que o piano não sai do lugar p orque a força de at rit o é maior do que a força que a pessoa faz empurrando; ent ret ant o, se ist o fosse verdade, a result ant e das forças t eria o sent ido da força de at rit o, devendo assim o piano empurrar a pessoa! Se por vent ura uma segunda pessoa resolve aj udar a primeira empurrando o piano, e est e permanece parado, ist o quer dizer que a força de at rit o agora é igual à soma das forças exercidas pelas duas pessoas. Mas e se de repent e o piano é arrast ado, ist o é, ent ra em moviment o? Se o moviment o se dá com velocidade const ant e, ist o indica que o moviment o não possui aceleração, ent ret ant o, nest a sit uação, a força de at rit o assume seu valor máximo. Nest es casos a força de at rit o pode ser calculada pela expressão F atrito = µ.N , onde µ é o coeficient e de at rit o, caract eríst ico das super fícies em quest ão, e N é a força normal, N é igual ao valor peso do mesmo. Atenção: nos exercícios sobre leis de Newton, antes de iniciar a sua resolu- ção, tente escrever para cada objeto do problema os pares ação e reação! Exercíci o 2.1 (Vunesp-2004) Um bloco de massa 2,0 kg repousa sobre outro de massa 3,0 kg, que pode deslizar sem atrito sobre uma superfície plana e horizontal. Quando uma força de intensidade 2,0 N, agindo na direção horizontal, é aplicada ao bloco inferior, como mostra a figura, o conjunto passa a se movimentar sem que o bloco superior escorregue sobre o inferior. Nessas condições, determine (a) a aceleração do conjunto e (b) a intensidade da força de atrito entre os dois blocos. Lei s de Newton 1 a Lei Todo corpo permanece em seu est ado de rep ouso ou de moviment o uniforme numa linha ret a, a menos que sej a obrigado a mudar aquele est ado por forças imprimidas sobre ele. 2 ª Lei A ação de uma força (result ant e) em um corpo provoca nele uma mudança em seu est ado de moviment o. Mat emat icament e F = m.a. 3 ª Lei Se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, o corpo B exerce sobre o corpo A uma força de mesma int ensidade e direção, mas em sent ido cont rario. :a vísic\ QUEDA LIVRE Lembrando da maçã de Newton, durante a sua queda a resultante das forças que agem sobre ela tem direção vertical e sentido para baixo. As forças envolvidas são a força peso e a força de resistência exercida pelo ar, que surge sempre na direção oposta ao movimento, como o atrito. Entretanto, para as situações que abordaremos aqui podemos considerá-la des- prezível. Chamamos de queda livre um caso especial de corpo em queda onde desprezamos a força de resistência do ar, analisando a queda como se ela acontecesse no vácuo, ou em uma região onde não existe ar. Assim, a única força que age sobre o objeto em queda é a força peso. A aceleração de um corpo em queda livre é chamada de aceleração da gravidade (g). Quando um objeto está nas proximidades da superfície da Terra a força gravitacional é praticamente constante .Então, neste caso especial chamamos de força peso. A aceleração da gravidade (ou o campo gravitacional) e expresso por: ⇒ P = m.g Como a força peso tem direção vertical e sentido para baixo, também a aceleração da gravidade tem essa mesma direção e esse mesmo sentido. Mas vamos tratar um pouco dela analisando apenas sua intensidade. Para simplificar nossas contas iremos utilizar sempre o valor aproximado de 10 m/s 2 . Vamos imaginar que você suba no telhado de um prédio ,desprezando a resistência do ar, e lá de cima solte uma bola de gude. O movimento da bola começa então com uma velocidade inicial (v 0 ) que depende de como você soltou a bola. A velocidade da bola vai, então, aumentando em função do tempo de acordo com a função horária da velocidade: v = v 0 – g.t O sinal de menos aparece aí porque consideramos a direção para cima positiva. Lembre-se que a aceleração da gravidade tem direção para baixo. A altura da bola (h) vai diminuindo em função do tempo de acordo com outra função horária da posição: h = h 0 + v 0 .t – (1/2).g.t 2 Nessa relação a altura de onde você solta a bola está representada por h 0 . Exercíci o 2.2 Suponha que um corpo é abandonado (parte do repouso) do alto de um penhasco e gasta 3,0 s para tocar o chão, desprezando a resistência do ar e considerando g=10m/s 2 . diga qual é altura do penhasco e com que velocidade o corpo chega ao solo. PARA VOCÊ PENSAR! Como varia a velocidade de um objet o quando ele est á caindo em queda livre? E o que acont ece quando ele é lançado para cima? :- xóuuio iii - xvc\xic\ LANÇAMENTOS Podemos ter diversas situações de lançamentos. Se em lugar de largar a bola de gude do alto do telhado, você atirá-la para baixo, na direção vertical, teremos aí um caso de lançamento vertical. Na verdade o que caracteriza o lançamento é o fato do objeto possuir uma certa velocidade inicial. Existe uma outra categoria de lançamentos; aqueles em que os corpos lançados têm velocidade inicial em uma direção outra que não a vertical. En- tre estes destacamos dois: Os lançamentos horizontais e os oblíquos. Vejamos. Se você ao invés de soltar a bola do alto do prédio na vertical a jogasse para frente, então poderemos tratar esse movimento como um lançamento. A direção da velocidade nesse movimento vai mudando em função do tempo fazendo com que a trajetória do objeto (no caso a bola) seja parabólica. Para estudar esse movimento, no entanto, é mais fácil separa-lo em dois. A bola terá um movimento de queda, na vertical, e terá um movimento horizontal a medida em que ela se afasta do prédio. O movimento vertical pode ser tratado da mesma forma que tratamos a queda livre. Lembrando agora que a velocidade inicial a ser considerada é apenas a componente vertical que chamaremos de v y0 . Apenas a componente vertical da velocidade será alterada de acordo com a queda livre. Mas na horizontal o movimento é ainda mais simples. Depois que você empurrou a bola, e já que desprezamos a força de resistência do ar, não existe nenhuma força agindo sobre ela na direção horizontal. Lembrando novamente de Newton, a lei da inércia nos diz que nesses casos o movimento do objeto não muda, ou seja é uniforme. Sendo assim a componente horizontal da velocidade não muda e a bola se afasta segundo a função horária x = x 0 + v x .t A velocidade total do objeto em um lançamento é dada pela combinação das duas componentes de velocidade da seguinte forma: Exercíci o Resol vi do (Unicamp 2002) Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao ímpetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante. Quando o ímpetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de ímpetus era equivocada. Consideremos que um canhão 2.3: Uma bala de canhão possui t ant o moviment o na vert ical como na horizont al. :o vísic\ dispara projéteis com uma velocidade inicial de 100 m/s, fazendo um ângulo de 30° com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projé- til: um deles, Simplício, utilizou a noção de ímpetus, o outro, Salviati, as idéi- as de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil. Considere ≅ 1,8. Despreze o atrito com o ar. a) Qual o alcance do projétil? b) Qual a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Salviati? c) Qual a altura máxima calculada por Simplício? Resolução a) A componente da velocidade inicial importante para sabermos o alcance do projétil é a vertical dada por: V 0y = V 0 sen θ = 100.sen (30 o ) = 100 = 50 m/s Para encontrarmos o tempo de subida utilizamos a relação horária da velocidade lembrando que o pro- jétil sobe diminuindo sua velocidade até que ela seja zero e está sujeito a aceleração da gravidade. É claro que ele leva para cair o mesmo tempo que leva para subir. V y = V 0y + g.t ⇒ 0 = 50 – 10 t s ⇒ t s = 5 s A velocidade horizontal do projétil é dado por: V 0x = V 0 cos θ = 100. ≅ 90 m/s O tempo de vôo é dado por: T = t s + t q = 2t s = 10 s e o alcance é dado pela relação horária D = V 0x . T que nos dá D = 900 m. b) A altura máxima, segundo Salviati pode ser encontrada pela relação a seguir, também conhecida como equação de Torricelli. V y 2 = V 0y 2 – 2gH Então 0 = (50) 2 – 2.10.H ⇒ 20H = 2500 ⇒ H = 125 m. c) De acordo com Simplício, o projétil sobe em linha reta e, em seguida, cai verticalmente, porém com o mesmo alcance de Salviati. Da figura tg 30° = H’ = D . tg 30° = 900 . ⇒ H’ = 540 m :, xóuuio iii - xvc\xic\ Exercíci os 2.3 (Fuvest 1999) Um sistema mecânico é formado por duas polias ideais que suportam três grupos A, B e C de mesma massa m, suspensos por fios ideais como representado na figura O corpo B está suspenso simultaneamente por dois fios, um ligado a A e outro a C. Podemos afirmar que a aceleração do corpo B será: a) zero; b) g/3 para baixo; c) g/3 para cima; d) 2g/3 para baixo; e) 2g/3 para cima. 2.4 (Vunesp 2004) A figura mostra um bloco de massa m subindo uma rampa sem atrito, inclinada de um ângulo θ depois de ter sido lançado com uma certa velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar, a) faça um diagrama vetorial das forças que atuam no bloco e especifique a natureza de cada uma delas. b) determine o módulo da força resultante no bloco, em termos da massa m, da aceleração g da gravidade e do ângulo θ. Dê a direção e o sentido dessa força. 2.5 (Fuvest 2002) Em decorrência de fortes chuvas, uma cidade do interior paulista ficou isolada. Um avião sobrevoou a cidade, com velocidade horizontal constante, largando 4 pacotes de alimentos, em intervalos de tempos iguais. No caso ideal, em que a resistência do ar pode ser desprezada a figura que melhor poderia representar as posições aproximadas do avião e dos pacotes, em um mesmo instante, é 2.6 (Fuvest 2004) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima. Com auxílio de uma câmera digital, foi possível reconstituir a trajetória da bola, desde o ponto em que ela atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão representadas na figura. Após o choque, que é elástico, a bola retorna ao chão e o jogo prossegue. a) Estime o intervalo de tempo t 1 , em segundos, que a bola levou para ir do ponto A ao ponto B. b) Estime o intervalo de tempo t 2 , em segundos, durante o qual a bola permaneceu no ar, do instante do chute até atingir o chão após o choque. :8 vísic\ c) Represente, no sistema de eixos da folha de resposta, em função do tempo, as velocidades horizontal V X e vertical V Y da bola em sua trajetória, do instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão, identificando por V X e V Y , respectivamente, cada uma das curvas. RESUMO Nesta unidade você estudou as leis de Newton e algumas aplicações. Apren- deu sobre a força normal e sobre a força de atrito. E ainda estudou os movimentos de queda livre e de lançamentos. CORPOS RÍGIDOS Você já deve ter ouvido o termo equilíbrio em muitas situações. Com certeza, todas elas se referem a situações em que a soma das forças se dá de forma que a resultante seja nula e, assim, o objeto não altera seu estado de repouso. Vamos analisar um pouco melhor essas situações. Vejamos um balanço, por exemplo. Quais são as forças que agem sobre o balanço parado? Temos aí a força peso e as forças de tração exercidas pelas correntes que prendem o balanço ao teto ou à trave. As forças de tração compensam a força peso, fazendo com que o balanço não caia. Quando uma pessoa senta no balanço, a força peso da pessoa também empurra o balanço para baixo. Para que o equilíbrio permaneça, as forças de tração também precisam dar conta desse peso extra. Se as correntes que prendem o balanço são idênticas, então as duas exercem uma força de tração com a mesma intensidade, dividindo igualmente a tarefa de compensar as forças que agem no sentido contrário. Mas atenção: só há equilíbrio entre as forças que estão na mesma direção. Se alguém empurrar o balanço na direção perpendicular a essas forças, está desfeita a situação de equilíbrio; teremos, então, uma resultante na direção desta última força, o que se percebe pela oscilação adquirida pelo balanço. Vamos imaginar que a criança sentada no balanço e o próprio balanço têm 300 N de peso. Considerando que as correntes são verticais, elas dividem essa carga igualmente, ou seja, cada corrente exerce uma força de tração de 150 N. Mas o que acontece se as correntes estiverem inclinadas? Ainda assim elas dividem a tarefa igualmente, mas 150 N passa a ser apenas a componente vertical da força de tração. Uni dade 3 Equilíbrio e fluidos Or gani zador es Maur íci o Pi etr ocol a Nobuko Ueta El abor ador es Ani bal Fi guei r edo Gl auco S. F. da Si l va Vi vi ane S. M. Pi assi Figura 3.1 ,o vísic\ PARA VOCÊ PENSAR! Imagine uma placa de massa 14 kg sust ent ada por dois cabos vert icais. Sendo g = 10 m/ s 2 (a) desenhe a placa e as forças que agem sobre ela; (b) det ermine o valor dessas forças e (c) encont re o valor da result ant e. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO Normalmente pensamos que, se duas forças de mesma intensidade e sentidos contrários atuam sobre um determinado corpo, ele ficará em equilíbrio e imóvel. Entretanto, isto não é sempre verdade. Imagine a situação em que você e um amigo empurram uma mesa, sendo que você faz a força no canto direito da mesa e seu amigo no canto esquerdo e em sentido contrário. Supon- do que as forças sejam de mesma intensidade, o que você acha que acontece- rá com a mesa. Ela ficará parada? Submetida a esta situação, a mesa certamente irá girar. Ou seja, o conjunto de forças opostas de mesma intensidade e direção, atuando em sentidos con- trários, não é condição suficiente para manter um corpo em equilíbrio. De- pendendo do ponto de aplicação das forças, elas podem provocar um torque no corpo. Para entendermos melhor o que é torque, vamos a uma situação mais simples: tente abrir a porta empurrando-a por um ponto próximo da dobradiça. Será que você consegue? Tente abrir agora empurrando-a o mais distante pos- sível da dobradiça; será que agora fica mais fácil? Você saberia responder porque a maçaneta de uma porta é colocada distante da dobradiça? É porque quanto mais distante do eixo de rotação (no caso representado pelas dobradi- ças) se aplica a força, mais facilmente se consegue uma rotação. Vamos melhorar isso? A distância entre o ponto de aplicação da força e o eixo de rotação é chamado braço da força (usaremos para representá-lo a letra b). O produto entre o braço de uma força e a própria força (perpendicular ao braço) é chamado de momento de uma força ou torque (T). Torque = F.b Esse torque também tem direção e sentido. Para saber qual é, você vai precisar de sua mão direita. Estique o polegar e mova os outros dedos acompanhando a força aplicada (em torno do eixo de rotação). Seu polegar está apontando na direção e no sentido do torque. Objetos como estes de que tratamos até aqui são chamados também de corpos rígidos. Isso porque eles mantém sua forma e volume, ou seja, não se deformam. Para que um corpo rígido esteja realmente em equilíbrio estático, Figura 3.2 ,I xóuuio iii - xvc\xic\ além da resultante das forças ser zero, também precisa ser zero a resultante dos torques. A última condição que um corpo rígido tem que satisfazer para ficar em equilíbrio estático diz respeito ao centro de massa do corpo. Para entendermos o que é o centro de massa de um corpo, faremos a seguinte experiência: tente deixar uma raquete equilibrada na ponta do dedo. Será mais fácil conseguir isto apoiando-a por um ponto mais próximo ao cabo ou mais próximo à parte circular? Centro de massa de um corpo é o ponto em torno do qual a massa do corpo fica igualmente distribuída. Uma das condições de equilíbrio de um corpo é que o centro de massa do corpo fique abaixo do ponto de apoio desse corpo. Exercíci o 3.1 Determine o módulo dos torques para cada uma das forças aplicadas na ferramenta ilustrada na figura, em relação ao eixo que passa pelo ponto O. Todas as forças têm módulo igual a 20 N. FLUI DOS Chamamos de fluido todo material que possui a capacidade de escoar; são eles líquidos, como a água ou o óleo, ou gases, como o próprio ar. Uma das propriedades dos fluidos que mais usaremos é sua densidade. Você já reparou que quando colocamos óleo numa panela com água o óleo fica flutuando na água? Isto acontece porque a densidade do óleo é inferior à densidade da água. A densidade de um corpo é a concentração de massa em um determinado volume. Por exemplo; um litro de água tem 1,0 kg de massa. Já um litro de óleo tem em média 0,8 kg de massa. A densidade é definida matematicamente como: ⇒ EXPERIMENTE! Para você ent ender melhor est a condição, faça a seguint e experiência: const rua um t riângulo de cart olina e faça t rês orifícios, conforme most ra a figura a seguir. Experiment e deixar o t riângulo equilibrado apoiado por um alfinet e. Ao ficar equilibrado, em qualquer que seja o orifício usado, a part e maior do t riângulo fica abaixo do pont o de apoio. ,: vísic\ Embora estejamos definindo densidade para o caso de fluidos, ela é uma importante característica de todos os materiais existentes. Outra característica muito importante é que, quando exercemos uma força sobre um fluido contido em uma garrafa, por exemplo, essa força se distribui por toda a superfície de contato, ou seja, a superfície interior da garrafa. Para tratar dessa interação, introduzimos o conceito de pressão: ⇒ Quando você mergulha em uma piscina, pode sentir a pressão da água em seus ouvidos. Quanto mais fundo você mergulhar, maior será a pressão a que ficará submetido(a). A origem dessa pressão é o peso do fluido que está acima de você, ou seja, a água mais o ar. É claro que o efeito do ar age sobre você mesmo fora da água, então a pressão que você sente apenas relativa à coluna de água. A pressão também depende, é claro, de qual é o fluido. Qual seria a diferença se a piscina estivesse cheia de óleo, ao invés de água? Para calcular a pressão em um líquido, podemos utilizar a relação a seguir, conhecida como equação fundamental da hidrostática. p = h.d.g onde h representa a profundidade (ou altura da coluna de fluido) e g a gravidade. Note que a pressão no líquido não depende da quantidade, apenas da altura da coluna de líquido! EMPUXO Todos nós sabemos pela experiência do dia-a-dia que, quando mergulhamos um objeto na água, seu peso parece diminuir. Isso acontece porque parte do peso do corpo é equilibrada pela força que a água exerce sobre ele. Esta força é igual ao peso de líquido deslocado, e recebe o nome de empuxo. Definimos então o Princípio de Arquimedes: todo corpo imerso em um fluido sofre a ação de uma força de empuxo que é numericamente igual ao peso do fluido deslocado. Isto pode ser traduzido matematicamente como: E = d fluido . V deslocado .g Material Água Ól eo Ferro Cort i ça Densidade (kg/ l) 1,00 0,80 7,85 0,22 Figura 3.3. Vasos comunicant es ,, xóuuio iii - xvc\xic\ Figura 3.4 Para você pensar! Se vo cê mer g u l h a n a ág u a u m o b j et o co m densi dade menor que a ág u a, el e vai af u n d ar ? Por q uê? Dê exemp l os d e mat er i ai s q ue você sabe que não af undam n a ág u a. Qu ai s af u n - dam? PRINCÍPIO DE PASCAL Um outro fato muito importante sobre os fluidos foi enunciado por Pascal já no século XVII: uma variação de pressão em qualquer ponto de um fluido em repouso em um vasilhame se transmite integralmente a todos os pontos do fluido. Imagine que a tubulação de água de sua casa de repente receba um aumento de pressão, por algum erro na distribuição de água da cidade. Se a pressão de entrada da tubulação aumentar em cinco vezes, também a pressão em todos os pontos da tubulação, incluindo chuveiro, torneiras etc., aumenta- rá em cinco vezes. Esse princípio é que permite a utilização de prensas hidráulicas. Imagine um tubo em U com as duas extremidades iguais. Se você aplicar uma pressão no lado direito do tubo, uma pressão igual poderá ser sentida do lado esquerdo do tubo. O cálculo da pressão pode ser feito através da expressão: onde F é a intensidade da força exercida e A a área sobre a qual atua a força. Exercíci os 3.2 (Fuvest 2003) Considere dois objetos cilíndricos maciços A e B, de mesma altura e mesma massa e com seções transversais de áreas, respectivamente, SA e SB = 2.SA. Os blocos, suspensos verticalmente por fios que passam por uma polia sem atrito, es- tão em equilíbrio acima do nível da água de uma piscina, conforme mostra a figura ao lado. A seguir, o nível da água da piscina sobe até que os cilindros, cujas densidades têm valor superior à da água, f iquem em nova posição de equilíbrio, parcialmente imersos. A figura que melhor representa esta nova posi- ção de equilíbrio é PARA VOCÊ PENSAR! Imagine agora que escolhamos um t ubo onde a área t ransversal do lado direit o é o dobro da área t ransversal do lado esquerdo. Se aplicarmos uma força de 100 N do lado esquerdo, qual será a força sent ida do lado direit o? Lembre-se de que a pressão será a mesma. Figura 3.5: Princípio da prensa hidráulica ,a vísic\ 3.3(Fuvest 2000) Um objeto menos denso que a água está preso por um fio fino, fixado no fundo de um aquário cheio de água, conforme a figura. Sobre esse objeto atuam as forças peso, empuxo e tensão no fio. Imagine que tal aquário seja transportado para a superfície de Marte, onde a aceleração gravitacional é de aproximadamente g/3, sendo g a aceleração da gravidade na Terra. Em relação aos valores das forças observadas na Terra, pode-se concluir que, em Marte, a) o empuxo é igual e a tensão é igual b) o empuxo é igual e a tensão aumenta c) o empuxo diminui e a tensão é igual d) o empuxo diminui e a tensão diminui e) o empuxo diminui e a tensão aumenta. RESUMO Nesta unidade você aprendeu duas partes muito importantes da Mecânica relacionadas com equilíbrio. Para entender o equilíbrio de corpos rígidos, você estudou sobre o centro de massa e o torque (ou momento) de uma força. Para aprender sobre o equilíbrio em fluidos, você entrou em contato com o concei- to de pressão e conheceu a força de empuxo. Uni dade 4 Movimento circular Or gani zador es Maur íci o Pi etr ocol a Nobuko Ueta El abor ador es Ani bal Fi guei r edo Gl auco S. F. da Si l va Vi vi ane S. M. Pi assi CINEMÁTICA ANGULAR O estudo do movimento na Física é de importância fundamental, pois é difícil imaginar um mundo em que nada se mova. Os tipos de movimentos estudados são variados: vão desde movimentos de partículas microscópicas até movimentos planetários, conforme já estudamos. A partir de agora, vamos iniciar o estudo de objetos que têm uma trajetória circular. Chamamos de movimento circular uniforme (MCU) um tipo de movimen- to em que a trajetória de um objeto é um circulo e o módulo (valor) de sua velocidade é constante. Deste modo, o objeto descreve arcos de círculo iguais em intervalos de tempo iguais. Na figura anterior, o ponto A indica a posição inicial da partícula. Após um intervalo de tempo ∆t, ela se encontra no ponto descrevendo um comprimento de arco s. Vamos chamar de deslocamento angular a variação do ângulo entre o local em que a partícula se encontrava inicialmente e o local em que se encontra após um intervalo de tempo ∆t. Isto pode ser escrito como ∆θ = θ – θ 0 , onde θ é a posição angular final e θ 0 é a posição angular inicial. Na figura, θ 0 = 0 representa a partícula em A e θ a representa a partícula em B. Podemos obter uma relação entre o comprimento de arco s e a variação angular ∆s = r∆θ, onde, s é o comprimento de arco e r é raio da circunferência. Fi gura 4.1; Traj et ória circul ar de uma par t ícul a, onde R é o rai o da circunferência, s é o comprimen to de arco, ∆θ variação angular. Figura 4.2: Arco de circunferência. ,o vísic\ A Figura 4.2 mostra uma partícula que descreve um ângulo ∆θ em um intervalo de tempo ∆t. A relação entre o ângulo descrito pela partícula e o intervalo de tempo é chamada de velocidade angular. Esta relação é expressa matematicamente por: ω = onde ω é a velocidade angular. A velocidade angular nos dá informações da rapidez com que um corpo está girando. Isto significa que quanto maior for o ângulo que a partícula descreve por unidade de tempo, mais rapidamente estará girando. A unidade de ω no Sistema Internacional é expressa em rad/s, onde rad radiano é a unidade angular e s (segundo) é a unidade de tempo. Se quisermos contar o número de vezes que o objeto em trajetória circular passa por um ponto em uma determinado ∆t, temos que calcular a sua fre- qüência. Assim, a freqüência f deste objeto é definida como: f = Por exemplo, um objeto efetua em seu movimento circular 30 voltas em 10 segundos. Sua freqüência f será: f = = 3 voltas/s A unidade de f é 1 volta/s ⇒ 1Hz (Hertz). Assim, no exemplo anterior, a freqüência do objeto é de 3Hz. É o mesmo que dizer que ele efetua três voltas a cada 1 s. O tempo que um objeto gasta para efetuar uma volta completa é chamado de período, e é representado por T. Há uma relação entre o período e a fre- qüência da seguinte forma: f = Quando um objeto percorre uma trajetória circular, além da velocidade angular ω, ele possui uma velocidade linear, que durante o MCU tem módulo constante; sua direção muda a cada instante. O seu modulo é dado por v = ωr ∆θ ∆t Figura 4.3 - A cada inst ant e a direção de muda, mas seu módulo permanece const ant e (MCU). ,, xóuuio iii - xvc\xic\ ACELERAÇÃO CENTRÍPETA Quando o módulo da velocidade linear muda a cada instante, o movimen- to deixa de ser uniforme (MCU). Surge devido a esta variação uma acelera- ção linear. No entanto, em todo movimento circular, sempre há uma variação da direção da velocidade linear. Devido a esta variação, surge a aceleração centrípeta a c . Esta aceleração tem uma direção que é perpendicular à direção da velocidade . O módulo da aceleração centrípeta é dado por: a c = = ωr 2 FORÇAS NO MOVIMENTO CIRCULAR No movimento circular, vimos que há dois tipos de aceleração: a linear (quando a velocidade linear não é constante) e centrípeta (devido à mudança de direção de ). Vamos estudar as forças no segundo caso, quando temos o MCU. Aplicando a segunda Lei de Newton, temos: F r = m.a. No caso do nosso estudo, a aceleração que temos é a aceleração centrípeta. Então, neste caso, dizemos que um objeto que realiza um MCU sente uma força centrípeta, F c , que é expressa da seguinte forma: F c = m.a c ⇒ F c = m. Concluindo: Sempre que um objeto descreve um MCU, atua sobre ele uma força centrípeta F c fazendo com que a direção da velocidade seja alterada. MOVIMENTO DE SATÉLITES Existem cerca de 750 satélites artificiais em operação em torno da Terra. Como é que estes satélites orbitam em torno da Terra? Um satélite é levado até uma certa altura h que costuma ser cerca de 150 km da superfície da Terra, onde a atmosfera é muito rarefeita e a resistência do PARA VOCÊ PENSAR! Vamos usar como exemplo algo a que est amos acost umados no cot idiano. Tent e calcular a velocidade angular dos pont eiros (das horas, dos minut os e dos segundos) de um relógio. Lembre-se de que você precisa saber o período de cada um deles. Figura 4.4 (a) No caso do MCU, a aceleração linear é nula e o obj et o t em a aceleração cent rípet a. (b) Quando a velocidade linear não é const ant e no t empo, surge t ambém a aceleração linear. ,8 vísic\ ar não atrapalha o movimento do satélite. Devido à ação do campo gravitacional da Terra, o satélite sente uma força atrativa . Esta força gravitacional é res- ponsável pela mudança na direção da velocidade linear do satélite. Uma vez colocado no espaço, ele permanece girando em torno da Terra indefinidamente, não havendo nenhuma perturbação. Exemplo: satélite de massa m em uma órbita circular. R é o raio da Terra, r=R+h, r é a distância do satélite ao centro da Terra. Como estamos considerando este movimento de satélite um MCU, a única força que atua sobre ele é a força gravitacional. Assim, podemos escrever: F c = F ⇒ F c = G ⇒ = G = GM ⇒ v = A velocidade v é a velocidade linear do satélite para que ele permaneça em órbita. É possível calcularmos o período de um satélite, lembrando que o comprimento de um circulo é 2πr, temos que : v = ⇒ T = Exercíci os 4.1 (Fuvest 2002) Satélites utilizados para telecomunicações são colocados em órbitas geoestacionárias ao redor da Terra, ou seja, de tal forma que per- maneçam sempre acima de um mesmo ponto da superfície da Terra. Conside- re algumas condições que poderiam corresponder a esses satélites: I – ter o mesmo período, de cerca de 24 horas II – ter aproximadamente a mesma massa III – estar aproximadamente à mesma altitude IV – manter-se num plano que contenha o circulo do equador terrestre. O conjunto de todas as condições que satélites em órbitas geoestacionárias devem necessariamente obedecer corresponde a: a) I e III b) I, II, III c) I, III, IV d) II e III e)II e IV 4.2 (Fuvest 2002) Em uma estrada, dois carros, A e B, entram simultaneamente em curvas paralelas, com raios R A e R B . Os velocímetros de ambos os carros indicam, ao longo de todo o trecho curvo, valores constantes V A e V B . Se os carros saem das curvas ao mesmo tempo, a relação entre V A e V B é: 2πr v 2πr T Você pode encont rar in- f ormações i nt eresant es sobre sat élit es no sit e da Agênci a Esp aci al Br asi - leira www.aeb.gov.br. ,u xóuuio iii - xvc\xic\ a) VA = VB b) VA/VB = RA/RB c) VA/VB = (RA/RB) 2 d) VA/VB = RB/RA e) VA/VB = (RB/RA) 2 Resumo Nesta última unidade, você estudou os movimentos circulares. Tomou contato com o conceito de frequência e aprendeu a diferenciar velocidade angular e tangencial no movimento circular. Também estudou as forças nos movimentos circulares e a presença da aceleração centrípeta. Por fim, conheceu um pouco sobre os movimentos dos satélites. Uni dade 5 Seção de exercícios Or gani zador es Maur íci o Pi etr ocol a Nobuko Ueta El abor ador es Ani bal Fi guei r edo Gl auco S. F. da Si l va Vi vi ane S. M. Pi assi 5.1. (Mackenzie 2004) Um paralelepípedo homogêneo, de massa 4,00 kg, tem volume igual a 5,00 litros. Quando colocado num tanque com água de massa específica igual a 10 g/cm 3 , esse paralelepípedo: a) afunda. b) flutua, ficando totalmente imerso. c) flutua, e a massa da parte imersa é de 3,20 kg. d) flutua, e a massa da parte imersa é de 3,00 kg. e) flutua, e a massa da parte imersa é de 1,00 kg. 5.2. (Vunesp 2003) O volume de líquido deslocado pela porção submersa de um bloco que nele está flutuando é V 0 . A seguir, ata-se ao bloco uma esfera mais densa que o líquido, por meio de um fio muito fino, como mostra a figura. Verifica-se que o bloco continua flutuando, mas o volume total de líquido deslocado passa a ser V 0 + 2V. Sabendo-se que a massa específica do líquido é r L , que o volume da esfera é V, e representando a aceleração da gravidade por g, encontre, em função dos dados apresentados, a) a massa específica r da esfera; b) a tensão T no fio. 5.3. (Mackenzie 2004) Por uma superfície horizontal, um menino empurra um caixote de massa 15 kg, aplicando-lhe uma força constante e paralela à superfí- cie de apoio; dessa forma, o caixote adquire uma velocidade constante. Se o coeficiente de atrito dinâmico entre o caixote e a superfície de apoio é igual a 0,4, a força aplicada pelo menino tem intensidade de: (Adote: g = 10 m/s 2 ) a) 45 N b) 50 N c) 58 N d) 60 N e) 3 N aI xóuuio iii - xvc\xic\ 5.4. (Mackenzie 2004) No conjunto da figura, os fios e as polias são considerados ideais e o bloco B encontra-se apoiado sobre uma mesa plana e horizontal. Adotando-se g = 10 m/s 2 , a força de reação normal, imposta pela mesa ao bloco B, tem intensidade: a) nula b) 2,50 N c) 5,00 N d) 25,0 N e) 50,0 N 5.5. (Mackenzie 2004) Um menino prende, na extremidade A de uma barra rígida AB, um corpo de massa 4 kg e, na extremidade B, outro corpo, de massa 6 kg. A barra AB tem peso desprezível e comprimento de 1,2 m. O ponto da barra pelo qual nós a levantamos, mantendo o seu equilíbrio horizontal, está distante da extremidade A: a) 64 cm b) 66 cm c) 68 cm d) 70 cm e) 72 cm 5.6. (Unicamp 2004) Uma das modalidades de ginástica olímpica é a das argolas. Nessa modalidade, os músculos mais solicitados são os dos braços, que suportam as cargas horizontais, e os da região dorsal, que suportam os esforços verticais. Considerando um atleta cuja massa é de 60 kg e sendo os comprimentos indicados na figura H = 3,0 m; L = 1,5 m e d = 0,5 m, responda: a) Qual a tensão em cada corda quando o atleta se encontra pendurado no início do exercí- cio com os braços na vertical? (b) Quando o atleta abre os braços na horizontal, qual a componente horizontal da ten- são em cada corda? 5.7. (Vunesp 2003) Considere dois blocos A e B, com massas mA e mB respectivamente, em um plano inclinado, como apresentado na figura. Despre- zando forças de atrito, representando a aceleração da gravidade por g e utilizando dados da tabela a) determine a razão m A /m B para que os blocos A e B permaneçam em equilí- brio estático. b) determine a razão m A /m B para que o bloco A desça o plano com aceleração g/4. a: vísic\ 5.8. (Vunesp 2004) Em um levantador de carros, utilizado em postos de gasolina, o ar comprimido exerce uma força sobre um pequeno pistão cilíndrico circular de raio 5 cm. Essa pressão é transmitida a um segundo pistão de mesmo formato, mas de raio 15 cm, que levanta o carro. Dado π = 3,14, calcule: a) a pressão de ar capaz de produzir a força mínima suficiente para elevar um carro com peso de 1300 N; b) a intensidade mínima da força aplicada no primeiro pistão para elevar o carro citado no item (a). 5.9. (Vunesp 2004) Grande parte dos satélites de comunicação estão localizados em órbitas circulares que estão no mesmo plano do equador terrestre. Geralmente esses satélites são geoestacionários, isto é, possuem período orbital igual ao período de rotação da Terra, 24 horas. Considerando-se que a órbita de um satélite geoestacionário possui raio orbital de 42 000 km, um satélite em órbita circular no plano do equador terrestre, com raio orbital de 10 500 km, tem período orbital de a) 3 horas b) 4 horas c) 5 horas d) 6 horas e) 8 horas 5.10. (Unicamp 2004) Uma bola de tênis rebatida numa das extremidades da quadra descreve a trajetória representada na figura abaixo, atingindo o chão na outra extremidade da quadra. O comprimento da quadra é de 24 m. a) Calcule o tempo de vôo da bola, antes de atingir o chão. Desconsidere a resistência do ar nesse caso. b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima? c) Quando a bola é rebatida com efeito, aparece uma força, FE, vertical, de cima para baixo e igual a 3 vezes o peso da bola. Qual será a velocidade horizontal da bola, rebatida com efeito para uma trajetória idêntica à da figura? θ 30º 60º cos θ sen θ a, xóuuio iii - xvc\xic\ 5.11. (UFMG 1998) Um guindaste é composto de um braço, apoiado em uma base vertical, e um contrapeso pendurado em uma de suas extremidades. A figura mostra esse guindaste ao sustentar um bloco na extremidade oposta. O braço do guindaste é homogêneo, tem uma massa M br = 400 kg e comprimento L = 15,0 m. O contrapeso tem massa de M cp = 2,0.10 3 kg e está pendurado a uma distância D = 5,0 m da base. Nessas condições, o sistema se encontra em equilíbrio. Considere g = 10 m/s 2 . 1. Calcule a massa M bl do bloco. 2. Calcule a força exercida pela base sobre o braço do guindaste. 5.12. (UFMG 1997) Uma bola desliza inicialmente sobre um plano inclinado (trecho 1), depois, sobre um plano horizontal (trecho 2) e, finalmente, cai livremente (trecho 3) como mostra a figura. Desconsidere as forças de atrito durante todo o movimento. Considere os módulos das acelerações da bola nos trechos 1, 2 e 3 como sendo a1, a2 e a3 respectivamente. Sobre os módulos dessas acelerações nos três trechos do movimento da bola, pode-se afirmar que a) a1 < a2 < a3. b) a1 < a3 e a2 = 0. c) a1 = a2 e a3 = 0. d) a1 = a3 e a2 = 0 5.13. (UFMG 1997) A figura mostra três vasos V1, V2 e V3 cujas bases têm a mesma área. Os vasos estão cheios de líquidos l1, l2 e I3 até uma mesma altura. As pressões no fundo dos vasos são P1, P2 e P3, respectivamente. Com relação a essa situação, é correto afirmar que aa vísic\ a) P1 = P2 = P3 somente se os líquidos l1, l2 e l3 forem idênticos. b) P1 = P2 = P3 quaisquer que sejam os líquidos l1, l2 e l3. c) P1 > P2 > P3 somente se os líquidos l1, l2 e l3 forem idênticos. d) P1 > P2 > P3 quaisquer que sejam os líquidos l1, l2 e l3. 5.14. (UFMG-2000) A figura I mostra uma vasilha, cheia de água até a borda, sobre uma balança. Nessa situação, a balança registra um peso P1. Um objeto de peso P2 é colocado nessa vasilha e flutua, ficando parcialmente submerso, como mostra a figura II. Um volume de água igual o volume da parte submersa do objeto cai para fora da vasilha. Com base nessas informações, é COR- RETO afirmar que, na figura II, a leitura da balança é a) igual a P1. b) igual a P1 + P2. c) maior que P1 e menor que P1 + P2. d) menor que P1. 5.15. (Vunesp 2003) Um motociclista deseja saltar um fosso de largura d = 4,0 m, que separa duas plataformas horizontais. As plataformas estão em ní- veis diferentes, sendo que a primeira encontra-se a uma altura h = 1,25 m acima do nível da segunda, como mostra a figura. O motociclista salta o vão com certa velocidade u0 e alcança a plataforma inferior, tocando-a com as duas rodas da motocicleta ao mesmo tempo. Sabendo-se que a distância entre os eixos das rodas é 1,0 m e admitindo g = 10 m/s 2 , determine: a) o tempo gasto entre os instantes em que ele deixa a plataforma superior e atinge a inferior. b) qual é a menor velocidade com que o motociclista deve deixar a plataforma superior, para que não caia no fosso. 5.16. (UFMG 2001) Durante uma apresen- tação da Esquadrilha da Fumaça, um dos aviões descreve a trajetória circular representada nesta figura. Ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória, a força que o assento do avião exerce sobre o piloto é a) igual ao peso do piloto. b) maior que o peso do piloto. c) menor que o peso do piloto. d) nula. a- xóuuio iii - xvc\xic\ 5.17. (UFSCar 2004) Uma pessoa larga uma bola de tênis da sacada de um prédio. Compare as cinco figuras verticais seguintes, de 1 a 5. A figura que melhor reproduz as posições sucessivas da bola em intervalos de tempo sucessivos iguais, antes de atingir o solo, é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1.1) alternativa b 1.2) 1 2.1) (a) 0,40m/s 2 , direção horizontal, sentido para direita. (b) 0,80 N 2.2) alternativa c. 2.3) (b) R=mgsen θ 2.4) alternativa b 2.5) (a) t1= 0,40 s (b) t2 = 2,0 s 3.1) devido a F 1 , Torque = 0; devido a F 2 , Torque = 2 N.m; devido a F 3 , Torque = 4 N.m 3.2) alternativa b 3.3) alternativa d 4.1) alternativa c 4.2) alternativa b 5.1) alternativa c 5.2) (a) r = r L , (b) T = 2 r L Vg 5.3) alternativa d 5.4) alternativa d 5.5) alternativa e 5.6) (a) Em cada corda T = 300 N para cima, (b) em cada corda T hor = 50 N. 5.7) (a) m A /m B = 2 (b) m A /m B = 5. 5.8) (a) p = 188252 N/m 2 , (b) F = 1478 N 5.9) alternativa a 5.10) (a) t = 0,75 s, (b) v x = 32 m/s, (c) v’ x = 64 m/s ao vísic\ 5.11) (a) 900 kg, (b) 3,3.10 4 N para cima. 5.12) alternativa B. 5.13) alternativa A. 5.14) alternativa D. 5.15) (a) t = 0,50 s, (b) v = 10 m/s 5.16) alternativa B 5.17) alternativa A Bibliografia Alvarenga, B., Máximo A., Curso de Física, Volume 1, Editora Scipione, 4 a edição, São Paulo, 1997. Blackwood, O. H., Herron, W. B., Kelly, W. C., Física na escola secundária, INEP, São Paulo, 2 ª edição, 1962. Disponível em http:// www4.prossiga.br/Lopes/index2.html , ver “produção científica” – “tradução”. Feynmam, R. P, Física em seis lições,p139-167, Ediouro, Rio de Janeiro, 6 a edição 2001. Gaspar, A., Física volume 1 Mecânica, Editora Ática, São Paulo, 2001. Gonçalves Filho, A., Toscano, C. Física e Realidade volume 1: Mecânica, Editora Scipione, São Paulo, 1997. GREF, Física 1 mecânica, Edusp, São Paulo, 1990. Hewitt, Paul G., Física Conceitual, Editora Bookman, Porto Alegre, 2002. Nussenzveig, H. M., Curso de Física Básica 1-Mecânica, Ed. Edgard Blücher ltda, 3 a edição, São Paulo,1996 www.fuvest.br e www.unicamp.br – Nesses sites você encontra as provas de anos anteriores, além das informações sobre o vestibular. www.scite.pro.br – Nesse site você vai encontrar dicas de outros sites, textos, atividades práticas e exercícios para se aprofundar no conteúdo de Mecânica e também em outras partes da Física. Sobre os aut ores Ani bal Fi guei redo Licenciado em Física e mestre em Ensino de Ciências pela USP. É professor de Ciências e Física desde 1982. Participou de vários projetos de formação de professores, de exposições científicas e de assessoria na área de educação científica. Autor de livros didáticos e paradidáticos de Ciências e Física; é diretor do Atelier de Brinquedos Científicos e do Espaço Ciência Prima. Gl auco S. F. da Si l va Bacharel e licenciado em Física pela UFJF, participa de projetos de pesquisa em ensino de Física desde a graduação. É professor da rede estadual de Minas Gerais desde 2002. É aluno de mestrado em Ensino de Ciências na USP e a, xóuuio iii - xvc\xic\ desenvolve atividades didáticas junto a disciplinas de Mecânica do primeiro ano do curso de licenciatura em Física nessa universidade. Vi vi ane S. M. Pi assi Licenciada em Física pela USP. Foi professora da rede estadual de São Paulo de 1994 a 2000. Trabalhou junto ao projeto de formação continuada de professores (PEC) da rede pública de São Paulo. No Instituto de Física da USP vem desenvolvendo atividades didáticas junto a disciplinas práticas e teóricas do curso de licenciatura em Física. Mestre em Ciências pela USP, faz atualmente Doutorado em Física na mesma universidade. Anot ações GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO Governador: Geraldo Alckmin Secretaria de Estado da Educação de São Paulo Secretário: Gabriel Benedito Issac Chalita Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Coordenadora: Sonia Maria Silva UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Reitor: Adolpho José Melfi Pró-Reitora de Graduação Sonia Teresinha de Sousa Penin Pró-Reitor de Cultura e Extensão Universitária Adilson Avansi Abreu FUNDAÇÃO DE APOIO À FACULDADE DE EDUCAÇÃO – FAFE Presidente do Conselho Curador: Selma Garrido Pimenta Diretoria Administrativa: Anna Maria Pessoa de Carvalho Diretoria Financeira: Sílvia Luzia Frateschi Trivelato PROGRAMA PRÓ-UNIVERSITÁRIO Coordenadora Geral: Eleny Mitrulis Vice-coordenadora Geral: Sonia Maria Vanzella Castellar Coordenadora Pedagógica: Helena Coharik Chamlian Coordenadores de Área Biologia: Paulo Takeo Sano – Lyria Mori Física: Maurício Pietrocola – Nobuko Ueta Geografia: Sonia Maria Vanzella Castellar – Elvio Rodrigues Martins História: Kátia Maria Abud – Raquel Glezer Língua Inglesa: Anna Maria Carmagnani – Walkyria Monte Mór Língua Portuguesa: Maria Lúcia Victório de Oliveira Andrade – Neide Luzia de Rezende – Valdir Heitor Barzotto Matemática: Antônio Carlos Brolezzi – Elvia Mureb Sallum – Martha S. Monteiro Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes – Marcelo Giordan Produção Editorial Dreampix Comunicação Revisão, diagramação, capa e projeto gráfico: André Jun Nishizawa, Eduardo Higa Sokei, José Muniz Jr. Mariana Pimenta Coan, Mario Guimarães Mucida e Wagner Shimabukuro Cartas ao Aluno possui um vestibular tão concorrido. Espera-se. em parceria com os professores de sua escola. Os próximos meses. em geral de alto custo e inacessíveis à maioria dos alunos da escola pública. inclusive os que estudam em escolas particulares de reconhecida qualidade. Pró-Reitora de Graduação. estão se dedicando muito para ajudá-lo nessa travessia. Sonia Teresinha de Sousa Penin. que essa revisão. Enfrente com garra esse programa. até os exames em novembro. meu caro aluno. muitos alunos do ensino médio. Tomar posse da própria formação certamente lhe dará a segurança necessária para enfrentar qualquer situação de vida e de trabalho. a Universidade de São Paulo. retomando aspectos fundamentais da programação do ensino médio. orientada por objetivos educacionais. Por isso. oferecendo a você o que temos de melhor: conhecimento. Conhecimento é a chave para o desenvolvimento das pessoas e das nações e freqüentar o ensino superior é a maneira mais efetiva de ampliar conhecimentos de forma sistemática e de se preparar para uma profissão. . Ingressar numa universidade de reconhecida qualidade e gratuita é o desejo de tantos jovens como você. o auxilie a perceber com clareza o desenvolvimento pessoal que adquiriu ao longo da educação básica.Carta da Pró-Reitoria de Graduação Caro aluno. disposição e vigor para o presente desafio. assim como outras universidades públicas. desejo-lhe. exigirão de sua parte muita disciplina e estudo diário. O presente programa oferece a você a possibilidade de se preparar para enfrentar com melhores condições um vestibular. por meio de seus estudantes e de seus professores. Com muita alegria. Os monitores e os professores da USP. participa dessa parceria com a Secretaria de Estado da Educação. Em nome da comunidade USP. a USP. também. fazem cursinhos preparatórios. Para enfrentar tal concorrência. . comprova a qualidade dos estudos públicos oferecidos —. no programa denominado Pró-Universitário. Tal proposta pedagógica buscará contemplar as diferentes disciplinas do currículo do ensino médio mediante material didático especialmente construído para esse fim. Prof. no momento de ingressar nas universidades públicas. Com a efetiva expansão e a crescente melhoria do ensino médio estadual. contribuir para o aperfeiçoamento de seu currículo. e com o objetivo de assegurar a esses alunos o patamar de formação básica necessário ao restabelecimento da igualdade de direitos demandados pela continuidade de estudos em nível superior. os desafios vivenciados por todos os jovens matriculados nas escolas da rede estadual de ensino. O Programa não só quer encorajar você. a participar do exame seletivo de ingresso no ensino público superior. Se de um lado nota-se um gradual aumento no percentual dos jovens aprovados nos exames vestibulares da Fuvest — o que. vêm se inserindo. aluno da escola pública. Num processo de contribuições mútuas. a Secretaria de Estado da Educação assumiu. É uma proposta de trabalho que busca ampliar e diversificar as oportunidades de aprendizagem de novos conhecimentos e conteúdos de modo a instrumentalizar o aluno para uma efetiva inserção no mundo acadêmico. o compromisso de abrir. no caso da estadual paulista. de outro mostra quão desiguais têm sido as condições apresentadas pelos alunos ao concluírem a última etapa da educação básica. ao longo dos anos. como espera se constituir em um efetivo canal interativo entre a escola de ensino médio e a universidade.000 vagas para alunos matriculados na terceira série do curso regular do ensino médio. indubitavelmente. 5. Sonia Maria Silva Coordenadora da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas . Diante dessa realidade. rico e diversificado em subsídios. essa parceria poderá. num contexto aparentemente contraditório. organização e formação de docentes.Carta da Secretaria de Estado da Educação Caro aluno. em 2004. . No entanto. de forma a ser capaz entendê-lo através de suas teorias. A Física pode ser interessante e prazerosa quando se consegue utilizar seus conceitos para estabelecer uma nova relação com a realidade. os quais conhecemos e a partir deles produzimos energia mecânica necessária para nos locomovermos. Calor.Apresentação da área A Física é tida pelos estudantes como uma área de conhecimento de difícil entendimento. Esses módulos abordarão os conteúdos físicos. Assim. cada qual tratando de um tema pertencente às seguintes áreas da Física: Luz e Som. Nossos veículos automotores são máquinas térmicas que funcionam em ciclos. Serão seis módulos. sendo que muitas delas podem fazer mal à nossa saúde. Mecânica. se olharmos para o mundo que nos cerca com um pouco de cuidado. históricos e suas relações com a tecnologia e sociedade. acaba-se acreditando que o conhecimento físico está distante do cotidiano das pessoas. Por exigir nível de raciocínio elevado e grande poder de abstração para entender seus conceitos. O Sol é na verdade uma grande fonte de emissão de radiação eletromagnética de diferentes freqüências. algumas visíveis e outras não. tratando aspectos teóricos. Eletromagnetismo. Energia e Física Moderna. Bom estudo para todos! A coordenação . o que pretendemos neste curso de Física é despertar em vocês a sensibilidade para re-visitar o mundo com um “olhar” físico. é possível perceber que a Física está muito perto: a imagem no tubo de televisão só existe porque a tecnologia moderna é capaz de lidar com elétrons e ondas eletromagnéticas. experimentais. . O estudo das leis de Newton permitirá a sistematização desse novo olhar. Nesses livros você também encontrará um grande número de exercícios resolvidos e outros propostos para você melhorar seus conhecimentos. Mas para que você possa realmente compreender a mecânica clássica. Por fim.Apresentação do módulo Neste texto você encontrará alguns dos temas mais importantes da mecânica. Bons estudos! . Iniciando pelo estudo do movimento dos corpos celestes e estudando a razão desses movimentos. Leia com atenção o texto e as seções Para você pensar!: isso será fundamental para sua aprendizagem. você será capaz de identificar situações em que existe ou não a aplicação de forças e se isso levará a algum tipo de movimento. você entrará em contato com uma nova forma de olhar para o mundo. lendo outros livros presentes na bibliografia selecionada no final deste texto. Procure sempre discutir estas seções com o professor e colegas. você precisará se aprofundar ainda mais nesse assunto. . é fruto de um processo de construção que acontece ao longo da História. Este modelo perdurou praticamente por 15 séculos.C.1. No modelo de mundo que eles criaram.) supunha que os planetas se moviam em círculos que tinham a Terra como centro. o astrônomo Cláudio Ptolomeu de Alexandria (século II d. este modelo tornou-se incompatível com alguns movimentos que eram observados. O conjunto de seus escritos é conhecido entre os árabes como o Almagesto. O processo de construção da Astronomia e da Gravitação teve grande impulso durante o século IV a. que significa “o maior dos livros”. Esta suposição de Ptolomeu se encaixava ainda dentro da idéia dos gregos de usar somente figuras “perfeitas”. . o Sol. com o grande número de esferas. Em uma tentativa de melhorar e simplificar o modelo dos gregos. Isso mostra a idéia que os gregos tinham de tentar explicar o Universo em termos de figuras “perfeitas” como círculos e esferas. M. pois permitiu reproduzir com uma boa aproximação os aspectos mais complicados do movimento planetário. Figura 1. Dentro dessa concepção do Universo. no caso os círculos. No caso da Gravitação. Os fenômenos celestes sempre chamaram a atenção do homem. Piassi Como sabemos.Unidade 1 Gravitação: conceitos e efeitos Organizadores Maurício Pietrocola PROCESSO HISTÓRICO Nobuko Ueta Elaboradores Anibal Figueiredo Glauco S. a Lua e as estrelas estariam situados em cascas esféricas que giravam em torno da Terra. Esta obra de Ptolomeu representa o apogeu da Astronomia antiga. a Terra estaria situada no centro do Universo (geocentrismo). da Silva Viviane S. Porém. F.Esquema do modelo geocêntrico de Ptolomeu.C. os planetas. a ciência não é feita de um dia para o outro. não foi diferente. Havia uma relação das épocas de plantio e colheitas com as posições dos astros celestes. e de certa forma sempre marcaram o ritmo de sua vida. com os gregos. Este é o chamado modelo heliocêntrico. Copérnico escreveu sua teoria no tratado Revolutionibus Orbitum Celestium (Sobre as Revoluções das Esferas Celestes) que foi publicada em 1543. Essas tabelas e dados que Tycho Brahe obteve constituíram a base do trabalho de seu assistente no observatório. Para tentar simplificar este modelo. chamada de raio vetor. A correção ao sistema de Copérnico é expressa na primeira lei que Kepler escreveu onde ele afirma que as órbitas dos planetas são elípticas. Ele montou tabelas volumosas e percebeu que o modelo de Copérnico não se adaptava de forma tão satisfatória a esses dados.” Figura 1. Com sua grande habilidade matemática. o planeta tem uma velocidade maior entre os pontos A e B do que em C e D. Tycho Brahe estudou a posição dos planetas durante muitos anos em seu observatório na Ilha de Hven. conforme os filósofos da Grécia antiga o idealizavam. 1a Lei de Kepler “As órbitas descritas pelos planetas ao redor do Sol são elípticas.3. percorre a área A1 com a mesma velocidade que área A2 em um mesmo intervalo de tempo.  . permitindo deduzir pela primeira vez a escala relativa das distâncias dentro do sistema solar e calcular o tempo que os planetas levam para girar em torno do Sol. porém simplificou o modelo de Universo. Seguindo em seu trabalho. Os planetas se movem mais rápido quando estão mais próximos do Sol e mais devagar quando estão mais longe. ano de sua morte. Kepler conseguiu chegar a três leis do movimento planetário. Kepler verificou que os planetas não giravam ao redor do Sol com a mesma velocidade. propôs um modelo em que Sol estaria em repouso e os planetas. Kepler acreditava que era possível fazer alguns ajustes ao modelo de Tycho Brahe. AS LEIS DE KEPLER A obra de Copérnico foi baseada em dados obtidos na antigüidade. Kepler rompe com a idéia que universo é configurado por figuras perfeitas. Porém a reta que une o planeta ao Sol. A precisão do modelo copernicano era tão boa quanto ao de Ptolomeu. incluindo a Terra. Somente no final do século XVI o dinamarquês Tycho Brahe (1546. polonês que viveu entre 1473 e 1543. Mesmo apresentando uma boa precisão.2: Órbita de um planeta em torno do Sol com o formato elíptico. Nicolau Copérnico. O Sol está em um dos focos. Conforme mostra a Figura 1. Com o enunciado da primeira lei. estariam girando em torno dele.1601) teve uma idéia diferente: em vez de retirar dados baseados em argumentos filosóficos. com o Sol em um dos seus focos. o sistema de Ptolomeu ainda era muito complicado. resolveu fazer medidas precisas das posições dos corpos celestes. perto de Copenhague. trabalho que lhe tomou cerca de 17 anos. o alemão Johannes Kepler (1571-1630). r o raio da órbita de um planeta (raio-vetor) e k uma constante de proporcionalidade.” Figura 1. área A 1 e entre D e C. uma em cada foco. um pedaço de barbante e um lápis. Rio. Em sua última lei Kepler apresentou uma relação diferente das outras duas. Matematicamente. pois o “achatamento” das órbitas é pequeno). Para chegar a isso. pois não lida com um planeta de forma individual.. mas relaciona um com outro.4: r é o raio vetor que une o planeta ao Sol. Entre A e B.3: Desenho de uma elipse mostrando os semi eixo maior a e o semi eixo menor b.” (Feynman. área A2 . considerando as órbitas dos planetas circulares (isto é possível.  .2001) Figura 1. 3a lei de Kepler “Os quadrados dos períodos de revolução são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas. ele fez uma aproximação. mas uma curva que pode ser obtida usando-se duas tachinhas. Kepler estabeleceu relações entre os períodos de revolução dos planetas e os raios de suas órbitas. Nessas áreas a velocidade do raio vetor é sempre a mesma. 2a Lei de Kepler “O raio vetor que liga um planeta ao Sol percorre áreas iguais em tempos iguais.” Matematicamente essa lei pode ser escrita como: T 2 = kr3 Sendo T o período de revolução do planeta. ELIPSE .  . R. uma elipse é o lugar geométrico de todos os pontos cuja soma das distâncias de dois pontos fixos (os focos) é uma constante. é um circulo achatado. Física em seis lições Ediouro. Ou de maneira mais direta. O QUE É ISSO? “Uma elipse não é apenas uma oval. 6: A força . O mesmo raciocínio vale ainda para o Sol e os planetas. em seus estudos. que diz que dois corpos quaisquer se atraem com uma força de intensidade F. Da mesma forma. desse modo. Vamos fazer uma aplicação da lei de Gravitação para o caso da Terra e da Lua. Responda: a) Se Júpiter leva 1 ano para percorrer o arco AB. b) Quanto à velocidade do planeta. PARA VOCÊ PENSAR! Vamos supor que a trajetória de Júpiter em torno do Sol seja representada pela elipse da Figura 1. cujo valor é proporcional ao produto das massas desses corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. onde seria menor? Faça uma pequena lista das velocidades em ordem decrescente.10 -11Nm2/kg 2 Figura 1. Matematicamente temos: onde m1 e m 2 são as massas dos corpos envolvidos. Para calcularmos o valor da força de atração entre elas.5: Representação da trajetória de um planeta.67.que a Lua faz sobre a Terra possui o mesmo valor e direção que a força que a Terra faz sobre a Lua. As áreas sombreadas são todas iguais. precisamos saber a massa da Terra (M). Para Newton. se uma maçã cai da árvore em direção ao solo. GRAVITAÇÃO UNIVERSAL Foi o grande cientista Isaac Newton quem. mostrada na Figura 6. chegou à causa do movimento dos planetas em torno do Sol. onde seria maior. a massa da Lua (m) e a distância entre elas (r).5. é porque deve existir uma força atrativa entre a maçã e a Terra. quanto tempo levaria para percorrer os outros arcos? Lembre-se de justificar sua resposta. r é a distância entre os centros de massa desses corpos e G é a constante da gravitação universal cujo valor é G = 6. além do valor de G. a construção da Gravitação Universal. Começava. chamada força gravitacional. Figura 1.  . a Lua não “foge” porque existe uma força de atração entre a Terra e a Lua. No caso de objetos de massas pequenas este efeito não é perceptível. por exemplo) é atraído pela força gravitacional dizemos que existe um campo gravitacional. isto é. . E por que a Terra não se “mexe” em direção a maçã? Tente calcular a força atrativa entre a Terra e a maçã! CAMPO GRAVITACIONAL Acabamos de ver que os objetos são atraídos uns pelos os outros.g  . vamos apenas substituir todos o dados: ⇒ ⇒ F = 6. Simultaneamente a Lua sente a força que a Terra exerce sobre ela e vice-versa.0 x 1024kg. Porém há uma diferença essencial entre os dois casos: a Terra e a Lua não estão em contato. Quanto vale o campo gravitacional de um planeta? Vamos retomar a expressão da força gravitacional . a Terra exerce uma força sobre a Lua puxando para si. Vamos considerar o exemplo da maçã de Newton que caiu.1018N O valor da Força F pode ser escrito como F = 2050000000000000000 N. apenas o valor de m é que muda na expressão anterior.8 x 108m. a cadeira também exerce sobre você uma força de mesma intensidade. Sendo M = 6. da árvore. Como já sabemos. uma vez que qualquer distância entre um objeto e a superfície da Terra é desprezível se comparada ao raio da Terra. supostamente. Como explicar o fato de que uma exerce força sobre a outra? Em uma região onde um objeto (desde a maçã até a Lua. Desta maneira.67 x 10-11 F = 2. sendo m1 a massa da Terra e m2 é a massa de um outro corpo. ela cai porque existe uma força atrativa entre a Terra e a maçã. Esta situação é muito semelhante à que ocorre quando você empurra uma cadeira com uma força F.4 x 10 22kg e r = 3. Em ambos os casos. no caso dos corpos celestes o efeito gravitacional é fortemente percebido. é o resultado da interação entre o campo gravitacional gerado pela Terra e pela Lua. a força F é o que chamamos de peso do objeto (da maçã no primeiro caso e do urubu no segundo).05. conforme vimos no exemplo da Figura 5. assim teremos F = m. como estava a sua mão e a cadeira. Porém. m = 7. Para facilitar nossos cálculos agruparemos os valores que não variam na expressão acima e chamaremos o agrupamento de g. mesma direção e sentido oposto. Se quisermos calcular a força de atração entre a Terra e um urubu. de tal modo que a Terra exerce uma força sobre a maçã puxando-a para o seu centro e da mesma forma a maçã atrai a Terra com a mesma intensidade com que é atraída. Entre a Terra e a Lua. há uma força atrativa. e a Lua exerce da mesma forma uma força de mesma intensidade e direção (com o sentido oposto).  . O valor de r será o raio da Terra. a força de atração entre a Terra e a Lua. A Terra gira em torno de seu eixo. podemos também falar de aceleração da gravidade.67x10-11N O valor da força F pode ser escrito como F= 0. vamos imaginar duas pessoas de 100 kg cada uma e separadas por uma distância de 100 m.. Esta é aceleração da gravidade (vamos discutir este assunto com mais detalhes mais adiante). por que. Estes são conceitos equivalentes. o valor de g é tanto menor quanto mais longe do planeta estiver o ponto em questão. dois carros parados.  . A gravidade da Lua é menor que a da Terra. A Lua gira em torno da Terra. Então temos: ⇒ F = 6. Se formos avaliar o valor do campo gravitacional terrestre próximo à Lua. Se quisermos saber com que força uma maçã colocada naquele ponto é atraída pelo planeta em questão. este objeto vai ser atraído pelo campo da Terra. PARA VOCÊ PENSAR! Se a Lei da Gravitação diz que todos os corpos são atraídos uns pelos outros. um de frente para o outro. Pensando na Terra.1 (Fuvest 1995) A melhor explicação para o fato de a Lua não cair sobre a Terra é que: a) b) c) d) e) a gravidade da Terra não chega até a Lua.000000000667 N Este resultado mostra que a intensidade da força gravitacional entre dois corpos é desprezível quando os valores das massas são muito pequenos – comparados à massa da Terra. Para tentar exemplificar. devemos apenas multiplicar o valor de g naquele ponto pela massa da maçã. A Lua também é atraída pelo Sol. Agora você é capaz de explicar o problema dos dois carros acima? O campo gravitacional pode ser representado como na Figura 7: Quando falamos de atração gravitacional. por exemplo. Perceba que g é tanto maior quanto maior a massa do planeta e quanto menor seu raio. em lugar de r usaremos a distância entre a Lua e o centro da Terra. PARA VOCÊ PENSAR AINDA! Exercício 1. É importante você perceber que a intensidade do campo gravitacional g num determinado ponto do espaço é dado pela relação entre a força gravitacional que atua neste ponto sobre o objeto e sua massa. não colidem? Estime valores para a massa de cada carro e para a distância entre eles e calcule a atração entre eles. Queremos dizer com isso que quando estamos falando de grandes distâncias. quando soltamos um objeto de massa m de uma certa altura. Esta atração provoca nele uma aceleração durante a queda. A relação que chamamos de g mede a intensidade do campo gravitacional do planeta. comparado com o tempo de queda na Terra? Explique o porquê de sua resposta. o valor de seu raio é ligeiramente menor nos pólos do que no equador. E no caso de uma massa menor que a da Terra. Na seqüência. Como a Terra não é uma esfera perfeita (ela é levemente achatada nos pólos). que é também o valor aproximado de aceleração da gravidade. Júpiter possui uma massa 300 vezes maior que a da Terra e g é aproximadamente 3 vezes maior que o g do nosso planeta.832 N/Kg. isto nos leva a dizer que para r menor g.) é dada pela unidade de força.7: As setas representam a direção e o sentido do campo gravitacional e também da força sobre os objetos naquelas posições. PARA VOCÊ PENSAR! Imagine aquela maçã de Newton. Na superfície da Terra o valor de g muda dependendo do local. o tempo de queda seria maior. m/s2.  . R ESUMO Nesta unidade você estudou um pouco sobre a gravitação universal. o seu campo é em torno de 1/6 do campo da Terra. Aprendeu sobre a passagem do modelo de mundo geocêntrico para o heliocêntrico e sobre as Leis de Kepler que descrevem os movimentos dos planetas.2 (Fuvest) No sistema solar. ambos os valores ao nível do mar. Vamos supor que da árvore de onde ela se desprendeu até o chão ela levou um tempo de t (em segundos) qualquer. menor ou igual em cada um deles.if. por exemplo. Em outros lugares também é possível calcular o valor de g.780 N/Kg enquanto nos pólos é 9. o planeta Saturno tem massa cerca de 100 vezes maior que a Terra e descreve uma órbita.br Exercício 1. No caso de uma massa maior que a massa da Terra o valor do campo neste local será maior. Figura 1.ufrgs. A uma altura de 1000 Km. O valor de g também muda quando varia a altitude. dividida pela unidade de massa Kg. E a uma altura de 10000 Km. em torno do Sol. vamos considerar um valor médio de 9.I.49 N/Kg. r(equador) > r(nos pólos) ⇒ g(equador) < g(nos pólos) Por exemplo.33 N/Kg. A definição da unidade de g no Sistema Internacional (S. A Lua possui uma massa 81 vezes menor que a massa da Terra.  . Como g é proporcional a 1/r2. e por isso. g =7. Se a mesma maçã caísse da mesma altura em Júpiter e na Lua.8N/Kg. será maior. Esta unidade é equivalente a unidade de aceleração. g =1. o campo será menor. o valor de g no equador é 9. No campo gravitacional da Terra ela é atraída com 10 N/Kg. a uma distância média 10 vezes maior do que a distância média da Terra ao Sol (valores aproximados). Na internet há muitos sites interessantes sobre a astronomia. visite o site da Universidade Federal do Rio Grande do Sul http://astro. Qual é a razão (Fsat / FT) entre a força gravitacional com que o Sol atrai a Terra. Porém. aprendeu também sobre a força e o campo gravitacional e como ele influi no peso dos objetos. mais força é feita sobre a caixa. Muitas vezes existe mais de uma força agindo em um objeto ao mesmo tempo. Nessa lei. Mas o que é essa tal de força? Um empurrão ou um puxão. Isso acontece porque. F. como a gravidade que origina a força entre os planetas ou que nos mantém presos aqui na Terra. Podem ser elétricas ou magnéticas. Quando empurramos uma caixa. simplesmente. teremos maior dificuldade. a não ser que uma força altere esse estado. até que a combinação entre a força do empurrão e a outra força consiga mudar esse estado de repouso. mas se ela estiver sobre um cimentado rústico. da Silva Viviane S. parada. Piassi LEIS DE NEWTON Galileu já dizia que os movimentos podem se manter sem a ação de forças. com a tão conhecida Lei da Inércia. Figura 2. Mas podem ter outras origens. tentando segurála. com uma pequena força podemos movimentar a caixa facilmente. mas foi Isaac Newton quem refinou e divulgou esse conceito. Então ela vai continuar em seu estado de repouso. além da força que fazemos para empurrar a caixa.1 Empurrando caixas. Quanto mais áspero o chão. M. A essa combinação de forças daremos o nome de resultante. a força que precisamos fazer para movimentá-la depende do tipo de piso sobre o qual ela está.Unidade 2 Leis de Newton e aplicações Organizadores Maurício Pietrocola Nobuko Ueta Elaboradores Anibal Figueiredo Glauco S. também chamada de Primeira Lei de Newton. Podem vir de esforço muscular ou do sistema de freios de um automóvel. que depende da superfície. ele afirma que um objeto permanece parado ou em movimento uniforme. como as forças que provocam o movimento nos motores. há também uma força sobre ela. conforme já vimos anteriormente. por exemplo. Se for um assoalho lisinho. e sem fazer curvas. . por exemplo. então a outra força deve ser para cima. Porque o pneu não cai? Ele não cai porque a corda o está segurando.  . estará exercendo sobre a parede uma certa força. com mesma intensidade. como um balanço. puxando-a para baixo. Durante a colisão. mas a corda reage. Assim. quem exerce uma força maior sobre o outro. Com certeza uma força exercida pela cadeira em você. podemos perceber a validade dessa lei. a resultante das forças é zero! Qual será essa força? Se a força peso o faria cair. Uma outra lei enunciada pelo Isaac Newton foi a Lei da Ação e Reação. A força normal é sempre perpendicular à superfície de apoio de um corpo. é algo que está te segurando. Se só ela estivesse agindo em você o que aconteceria? Provavelmente você estaria caindo e não aí.  . ou Terceira Lei de Newton. Existe a força gravitacional agindo em você. Essa lei explica que a reação que um corpo produz em reposta a uma força exercida sobre ele tem a mesma intensidade e está na mesma direção dessa força. a parede exerce uma força em você. e sim que a combinação delas seja a favor dessa alteração. Na verdade. Um tijolo apoiado no carrinho de mão do pedreiro tem agindo sobre ele a força normal que o carrinho exerce sobre ele para segurá-lo. certo? O pneu exerce uma força sobre a corda. com a mesma intensidade. sentadinho(a) lendo tranqüilamente. para alterar o estado de repouso ou de movimento de um corpo. PARA VOCÊ PENSAR! Vamos imaginar uma situação em que um caminhão colide com um fusca. o que quer dizer que existe outra força que. Toda vez que dois objetos interagem entre si. provavelmente fazendo sua mão doer um pouco. também a carroça puxa o cavalo para trás. a força peso – aquilo que te segura preso à Terra. que o segura. Mas até agora só tratamos de situações onde os corpos permanecem parados. Você está em repouso. certo? Sim. Em reação. combinada com a força peso. Chamamos essa força de força normal: aquela que a cadeira ou o próprio chão faz em você para que você não caia. o caminhão ou o fusca? Se você resolver bater em uma parede com a mão. Quando nos encostamos em uma parede para descansar um pouco. Por exemplo. mas em sentido contrário. Assim. não basta que existam forças agindo nele. Como então o cavalo consegue puxar a carroça? Vamos então imaginar um pneu pendurado em uma árvore por uma corda. não permite a alteração em seu estado de repouso. com mesma direção e em sentido oposto. exercendo sobre o pneu uma força para cima. essa força aparece toda vez que um corpo se apóia em algo. E as situações onde as forças não se compensam e a resultante não é nula? Para estudar esses casos. Vejamos o exemplo de você sentado(a) em sua cadeira. Só que nesse caso a força normal não está para cima. temos que entender qual o efeito que uma força pode provocar em um objeto. a força normal também aparece. se um cavalo puxa uma carroça para frente. A essa força que a corda exerce sobre o pneu damos o nome de força de tração (T). Você saberia desenhar qual a resultante sobre o cavalo? E sobre a carroça? Se colocarmos um objeto para deslizar sobre uma superfície. A força normal é igual ao valor do peso quando o objeto se encontra em uma superfície plana. Mas quem já viu isso acontecer? Não acontece porque no mundo em que vivemos existe algo que é fundamental para nossas vidas: o atrito. e ela estará a favor do movimento. sem nenhuma inclinação. também a aceleração precisa ter direção. tem sobre ele a reação do chão que o empurra para frente. Com isso. portanto. Essa lei nos diz que a resultante que age sobre um corpo provoca nele uma aceleração de acordo com a massa que esse corpo tem. PRA VOCÊ PENSAR O cavalo consegue puxar a carroça? 2. então a resultante será diferente de zero. Veja que se a força tem direção. O atrito oferece uma resistência a esse objeto que está deslizando. Estamos falando de uma outra lei tão famosa Segunda Lei de Newton.2 – Fonte: apostila do GREF de mecânica Não podemos esquecer que. fazendo-o parar. Mas se o objeto é empurrado com uma força maior que a força de atrito. que vai reduzindo sua velocidade ao longo do tempo. a resultante sobre o cavalo é a combinação entre essas forças: a que o chão faz sobre ele e a que a carroça faz sobre ele. O efeito da força de atrito nesse objeto que desliza é uma aceleração. uma desaceleração.. a unidade de massa é o kg e a aceleração é dada em m/s 2. como nos diz a lei da Inércia. o que acontece com ele? Se a resultante das forças fosse nula ele continuaria deslizando.I. mas gradativamente. sentido e intensidade. devido a uma aceleração. Isto não significa que a força peso e a força normal sejam pares ação e reação. a unidade de força é o Newton (N).  . além de puxar a carroça. ou matematicamente: No S. Acontece então um aumento da velocidade do objeto. se está na mesma direção. é possível descobrir o valor da força de atrito. Medindo o valor da aceleração. É importante saber se ela se dá contra ou a favor do movimento e. é claro. ou melhor. sentido e intensidade. Mas ele não pára instantaneamente. o cavalo também empurra o chão para trás e. e N é a força normal. antes de iniciar a sua resolução. devendo assim o piano empurrar a pessoa! Se por ventura uma segunda pessoa resolve ajudar a primeira empurrando o piano.0 kg. isto indica que o movimento não possui aceleração. mas em sentido contrario. sendo assim. onde µ é o coeficiente de atrito. Quando uma força de intensidade 2. entretanto. a força de atrito assume seu valor máximo. 2ª Lei A ação de uma força (resultante) em um corpo provoca nele uma mudança em seu estado de movimento. se isto fosse verdade.a. Só existe força de atrito com o corpo em movimento? Se uma pessoa empurra um piano e este não sai do lugar. Nestes casos a força de atrito pode ser calculada pela expressão Fatrito = µ. entretanto. nesta situação. isto é. Nessas condições.  . e este permanece parado. entra em movimento? Se o movimento se dá com velocidade constante. isto quer dizer que a força de atrito agora é igual à soma das forças exercidas pelas duas pessoas.Você poderia pensar que o piano não sai do lugar porque a força de atrito é maior do que a força que a pessoa faz empurrando. a resultante das forças teria o sentido da força de atrito. agindo na direção horizontal.  . o corpo B exerce sobre o corpo A uma força de mesma intensidade e direção.0 N. Atenção: nos exercícios sobre leis de Newton. Mas e se de repente o piano é arrastado.0 kg repousa sobre outro de massa 3. Exercício 2. como mostra a figura. característico das superfícies em questão. o conjunto passa a se movimentar sem que o bloco superior escorregue sobre o inferior. N é igual ao valor peso do mesmo. tente escrever para cada objeto do problema os pares ação e reação! Leis de Newton 1a Lei Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme numa linha reta. que pode deslizar sem atrito sobre uma superfície plana e horizontal. é aplicada ao bloco inferior. a força de atrito é igual à força exercida pela pessoa.1 (Vunesp-2004) Um bloco de massa 2.N . é porque a força de atrito equilibra a força que está sendo feita pela pessoa. 3ª Lei Se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B. Matematicamente F = m. a menos que seja obrigado a mudar aquele estado por forças imprimidas sobre ele. determine (a) a aceleração do conjunto e (b) a intensidade da força de atrito entre os dois blocos. durante a sua queda a resultante das forças que agem sobre ela tem direção vertical e sentido para baixo. Para simplificar nossas contas iremos utilizar sempre o valor aproximado de 10 m/s2. Quando um objeto está nas proximidades da superfície da Terra a força gravitacional é praticamente constante .  . Chamamos de queda livre um caso especial de corpo em queda onde desprezamos a força de resistência do ar.desprezando a resistência do ar. O movimento da bola começa então com uma velocidade inicial (v0) que depende de como você soltou a bola.t O sinal de menos aparece aí porque consideramos a direção para cima positiva. também a aceleração da gravidade tem essa mesma direção e esse mesmo sentido. diga qual é altura do penhasco e com que velocidade o corpo chega ao solo.t – (1/2). Vamos imaginar que você suba no telhado de um prédio . A velocidade da bola vai. então. analisando a queda como se ela acontecesse no vácuo. como o atrito. para as situações que abordaremos aqui podemos considerá-la desprezível.2 Suponha que um corpo é abandonado (parte do repouso) do alto de um penhasco e gasta 3.t2 Nessa relação a altura de onde você solta a bola está representada por h 0.g. PARA VOCÊ PENSAR! Como varia a velocidade de um objeto quando ele está caindo em queda livre? E o que acontece quando ele é lançado para cima? Exercício 2. Lembre-se que a aceleração da gravidade tem direção para baixo. A aceleração da gravidade (ou o campo gravitacional) e expresso por: ⇒ P = m. Assim. As forças envolvidas são a força peso e a força de resistência exercida pelo ar.0 s para tocar o chão. desprezando a resistência do ar e considerando g=10m/s2. que surge sempre na direção oposta ao movimento. ou em uma região onde não existe ar.Então. a única força que age sobre o objeto em queda é a força peso. QUEDA LIVRE Lembrando da maçã de Newton. Entretanto. Mas vamos tratar um pouco dela analisando apenas sua intensidade. e lá de cima solte uma bola de gude. aumentando em função do tempo de acordo com a função horária da velocidade: v = v0 – g. neste caso especial chamamos de força peso. A aceleração de um corpo em queda livre é chamada de aceleração da gravidade (g).g Como a força peso tem direção vertical e sentido para baixo. A altura da bola (h) vai diminuindo em função do tempo de acordo com outra função horária da posição: h = h0 + v0. o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Depois que você empurrou a bola. Entre estes destacamos dois: Os lançamentos horizontais e os oblíquos.t A velocidade total do objeto em um lançamento é dada pela combinação das duas componentes de velocidade da seguinte forma: 2. pensava-se que quando um projétil era arremessado.3: Uma bala de canhão possui tanto movimento na vertical como na horizontal. LANÇAMENTOS Podemos ter diversas situações de lançamentos. Mas na horizontal o movimento é ainda mais simples. O movimento vertical pode ser tratado da mesma forma que tratamos a queda livre. Vejamos. na direção vertical. Se em lugar de largar a bola de gude do alto do telhado. Existe uma outra categoria de lançamentos. então poderemos tratar esse movimento como um lançamento. Consideremos que um canhão  . teremos aí um caso de lançamento vertical. no entanto. você atirá-la para baixo. Na verdade o que caracteriza o lançamento é o fato do objeto possuir uma certa velocidade inicial. Exercício Resolvido (Unicamp 2002) Até os experimentos de Galileu Galilei. e já que desprezamos a força de resistência do ar. Quando o ímpetus acabasse. A bola terá um movimento de queda. o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante. Galileu demonstrou que a noção de ímpetus era equivocada. ou seja é uniforme. Se você ao invés de soltar a bola do alto do prédio na vertical a jogasse para frente. e terá um movimento horizontal a medida em que ela se afasta do prédio. Para estudar esse movimento. Apenas a componente vertical da velocidade será alterada de acordo com a queda livre. na vertical. aqueles em que os corpos lançados têm velocidade inicial em uma direção outra que não a vertical. Lembrando novamente de Newton. A direção da velocidade nesse movimento vai mudando em função do tempo fazendo com que a trajetória do objeto (no caso a bola) seja parabólica. o seu movimento devia-se ao ímpetus. Lembrando agora que a velocidade inicial a ser considerada é apenas a componente vertical que chamaremos de vy0.  . não existe nenhuma força agindo sobre ela na direção horizontal. a lei da inércia nos diz que nesses casos o movimento do objeto não muda. é mais fácil separa-lo em dois. Sendo assim a componente horizontal da velocidade não muda e a bola se afasta segundo a função horária x = x0 + vx. Vy = V0y + g. Simplício. utilizou a noção de ímpetus. Vy2 = V0y2 – 2gH Então 0 = (50)2 – 2.H ⇒ 20H = 2500 ⇒ H = 125 m. o projétil sobe em linha reta e. segundo os cálculos de Salviati? c) Qual a altura máxima calculada por Simplício? Resolução a) A componente da velocidade inicial importante para sabermos o alcance do projétil é a vertical dada por: V0y = V0 sen θ = 100. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.10. b) A altura máxima. T que nos dá D = 900 m. as idéias de Galileu. fazendo um ângulo de 30° com a horizontal. também conhecida como equação de Torricelli. Salviati.sen (30o) = 100 Para encontrarmos o tempo de subida utilizamos a relação horária da velocidade lembrando que o projétil sobe diminuindo sua velocidade até que ela seja zero e está sujeito a aceleração da gravidade. em seguida. Da figura tg 30° = H’ = D . É claro que ele leva para cair o mesmo tempo que leva para subir. c) De acordo com Simplício. Despreze o atrito com o ar. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles. porém com o mesmo alcance de Salviati.t ⇒ 0 = 50 – 10 ts ⇒ ts = 5 s A velocidade horizontal do projétil é dado por: V0x = V0 cos θ = 100. cai verticalmente.8. segundo Salviati pode ser encontrada pela relação a seguir. ≅ 90 m/s = 50 m/s O tempo de vôo é dado por: T = ts + tq = 2ts = 10 s e o alcance é dado pela relação horária D = V0x . o outro. tg 30° = 900 . ⇒ H’ = 540 m  . Considere ≅ 1. dispara projéteis com uma velocidade inicial de 100 m/s. a) Qual o alcance do projétil? b) Qual a altura máxima alcançada pelo projétil. 2g/3 para baixo. da aceleração g da gravidade e do ângulo θ. desde o ponto em que ela atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que bateu na parede (ponto B). em um mesmo instante.  . Com auxílio de uma câmera digital.3 (Fuvest 1999) Um sistema mecânico é formado por duas polias ideais que suportam três grupos A. um ligado a A e outro a C. 2. g/3 para baixo. que é elástico. No caso ideal. uma cidade do interior paulista ficou isolada. 2. em segundos. um chute forte. durante o qual a bola permaneceu no ar.  . a partir do chão. a) Estime o intervalo de tempo t 1. As posições de A e B estão representadas na figura.4 (Vunesp 2004) A figura mostra um bloco de massa m subindo uma rampa sem atrito. Podemos afirmar que a aceleração do corpo B será: a) b) c) d) e) zero. é 2. que a bola levou para ir do ponto A ao ponto B. inclinada de um ângulo θ depois de ter sido lançado com uma certa velocidade inicial. a bola retorna ao chão e o jogo prossegue. b) determine o módulo da força resultante no bloco. foi possível reconstituir a trajetória da bola.6 (Fuvest 2004) Durante um jogo de futebol. a) faça um diagrama vetorial das forças que atuam no bloco e especifique a natureza de cada uma delas. Após o choque. Exercícios 2. largando 4 pacotes de alimentos. em segundos. lança a bola contra uma parede próxima. com velocidade horizontal constante. em que a resistência do ar pode ser desprezada a figura que melhor poderia representar as posições aproximadas do avião e dos pacotes. em intervalos de tempos iguais. Um avião sobrevoou a cidade.5 (Fuvest 2002) Em decorrência de fortes chuvas. b) Estime o intervalo de tempo t 2. 2g/3 para cima. Desprezando a resistência do ar. em termos da massa m. Dê a direção e o sentido dessa força. suspensos por fios ideais como representado na figura O corpo B está suspenso simultaneamente por dois fios. do instante do chute até atingir o chão após o choque. g/3 para cima. B e C de mesma massa m. em função do tempo. respectivamente. Aprendeu sobre a força normal e sobre a força de atrito. identificando por VX e VY. as velocidades horizontal VX e vertical VY da bola em sua trajetória. no sistema de eixos da folha de resposta. c) Represente. cada uma das curvas. do instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão. RESUMO Nesta unidade você estudou as leis de Newton e algumas aplicações.  . E ainda estudou os movimentos de queda livre e de lançamentos. assim. está desfeita a situação de equilíbrio. ou seja. As forças de tração compensam a força peso. M.1 Se as correntes que prendem o balanço são idênticas. uma resultante na direção desta última força. por exemplo. F. teremos. a força peso da pessoa também empurra o balanço para baixo.Unidade 3 Equilíbrio e fluidos Organizadores Maurício Pietrocola CORPOS RÍGIDOS Você já deve ter ouvido o termo equilíbrio em muitas situações. Vamos imaginar que a criança sentada no balanço e o próprio balanço têm 300 N de peso. . as forças de tração também precisam dar conta desse peso extra. Nobuko Ueta Elaboradores Anibal Figueiredo Glauco S. Mas atenção: só há equilíbrio entre as forças que estão na mesma direção. cada corrente exerce uma força de tração de 150 N. da Silva Viviane S. o objeto não altera seu estado de repouso. Piassi Figura 3. mas 150 N passa a ser apenas a componente vertical da força de tração. então as duas exercem uma força de tração com a mesma intensidade. elas dividem essa carga igualmente. Com certeza. dividindo igualmente a tarefa de compensar as forças que agem no sentido contrário. Considerando que as correntes são verticais. o que se percebe pela oscilação adquirida pelo balanço. Vamos analisar um pouco melhor essas situações. Mas o que acontece se as correntes estiverem inclinadas? Ainda assim elas dividem a tarefa igualmente. Se alguém empurrar o balanço na direção perpendicular a essas forças. Para que o equilíbrio permaneça. Quais são as forças que agem sobre o balanço parado? Temos aí a força peso e as forças de tração exercidas pelas correntes que prendem o balanço ao teto ou à trave. Quando uma pessoa senta no balanço. então. todas elas se referem a situações em que a soma das forças se dá de forma que a resultante seja nula e. fazendo com que o balanço não caia. Vejamos um balanço. você vai precisar de sua mão direita. se duas forças de mesma intensidade e sentidos contrários atuam sobre um determinado corpo. Isso porque eles mantém sua forma e volume. Imagine a situação em que você e um amigo empurram uma mesa. Figura 3. será que agora fica mais fácil? Você saberia responder porque a maçaneta de uma porta é colocada distante da dobradiça? É porque quanto mais distante do eixo de rotação (no caso representado pelas dobradiças) se aplica a força.b Esse torque também tem direção e sentido.2 Objetos como estes de que tratamos até aqui são chamados também de corpos rígidos. Para que um corpo rígido esteja realmente em equilíbrio estático. Entretanto. vamos a uma situação mais simples: tente abrir a porta empurrando-a por um ponto próximo da dobradiça. Ela ficará parada? Submetida a esta situação. Supondo que as forças sejam de mesma intensidade. sendo que você faz a força no canto direito da mesa e seu amigo no canto esquerdo e em sentido contrário. Vamos melhorar isso? A distância entre o ponto de aplicação da força e o eixo de rotação é chamado braço da força (usaremos para representá-lo a letra b). PARA VOCÊ PENSAR! Imagine uma placa de massa 14 kg sustentada por dois cabos verticais. Ou seja. Estique o polegar e mova os outros dedos acompanhando a força aplicada (em torno do eixo de rotação). Seu polegar está apontando na direção e no sentido do torque. ou seja. não é condição suficiente para manter um corpo em equilíbrio. isto não é sempre verdade. Será que você consegue? Tente abrir agora empurrando-a o mais distante possível da dobradiça. o conjunto de forças opostas de mesma intensidade e direção. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO Normalmente pensamos que.  . atuando em sentidos contrários. (b) determine o valor dessas forças e (c) encontre o valor da resultante. O produto entre o braço de uma força e a própria força (perpendicular ao braço) é chamado de momento de uma força ou torque (T). elas podem provocar um torque no corpo. Para saber qual é. o que você acha que acontecerá com a mesa. a mesa certamente irá girar. Para entendermos melhor o que é torque. Dependendo do ponto de aplicação das forças. Torque = F. não se deformam. ele ficará em equilíbrio e imóvel. mais facilmente se consegue uma rotação. Sendo g = 10 m/ s2 (a) desenhe a placa e as forças que agem sobre ela. são eles líquidos.8 kg de massa. Já um litro de óleo tem em média 0. Uma das propriedades dos fluidos que mais usaremos é sua densidade. como o próprio ar. em qualquer que seja o orifício usado. Por exemplo. também precisa ser zero a resultante dos torques. Você já reparou que quando colocamos óleo numa panela com água o óleo fica flutuando na água? Isto acontece porque a densidade do óleo é inferior à densidade da água. faremos a seguinte experiência: tente deixar uma raquete equilibrada na ponta do dedo. Será mais fácil conseguir isto apoiando-a por um ponto mais próximo ao cabo ou mais próximo à parte circular? Centro de massa de um corpo é o ponto em torno do qual a massa do corpo fica igualmente distribuída. Uma das condições de equilíbrio de um corpo é que o centro de massa do corpo fique abaixo do ponto de apoio desse corpo. ou gases. faça a seguinte experiência: construa um triângulo de cartolina e faça três orifícios. Todas as forças têm módulo igual a 20 N. A densidade de um corpo é a concentração de massa em um determinado volume. Experimente deixar o triângulo equilibrado apoiado por um alfinete. EXPERIMENTE! Para você entender melhor esta condição. Para entendermos o que é o centro de massa de um corpo.0 kg de massa. FLUIDOS Chamamos de fluido todo material que possui a capacidade de escoar. A densidade é definida matematicamente como: ⇒  . como a água ou o óleo. um litro de água tem 1.  . além da resultante das forças ser zero.1 Determine o módulo dos torques para cada uma das forças aplicadas na ferramenta ilustrada na figura. A última condição que um corpo rígido tem que satisfazer para ficar em equilíbrio estático diz respeito ao centro de massa do corpo. Exercício 3. a parte maior do triângulo fica abaixo do ponto de apoio. Ao ficar equilibrado. conforme mostra a figura a seguir. em relação ao eixo que passa pelo ponto O. ao invés de água? Material Água Óleo Ferro Cortiça Densidade (kg/l) 1.22 Para calcular a pressão em um líquido. Isto pode ser traduzido matematicamente como: E = d fluido . é claro.80 7.g onde h representa a profundidade (ou altura da coluna de fluido) e g a gravidade. a água mais o ar. a superfície interior da garrafa.85 0. seu peso parece diminuir. por exemplo. e recebe o nome de empuxo. É claro que o efeito do ar age sobre você mesmo fora da água. introduzimos o conceito de pressão: ⇒ Quando você mergulha em uma piscina.3. Outra característica muito importante é que.00 0. maior será a pressão a que ficará submetido(a). Para tratar dessa interação. pode sentir a pressão da água em seus ouvidos. A origem dessa pressão é o peso do fluido que está acima de você.d. Qual seria a diferença se a piscina estivesse cheia de óleo. Esta força é igual ao peso de líquido deslocado. ou seja. de qual é o fluido. apenas da altura da coluna de líquido! EMPUXO Figura 3. Vasos comunicantes Todos nós sabemos pela experiência do dia-a-dia que. A pressão também depende. Note que a pressão no líquido não depende da quantidade. p = h. Vdeslocado. Isso acontece porque parte do peso do corpo é equilibrada pela força que a água exerce sobre ele. ou seja. ela é uma importante característica de todos os materiais existentes. então a pressão que você sente apenas relativa à coluna de água. essa força se distribui por toda a superfície de contato. conhecida como equação fundamental da hidrostática. podemos utilizar a relação a seguir. quando exercemos uma força sobre um fluido contido em uma garrafa. quando mergulhamos um objeto na água. Definimos então o Princípio de Arquimedes: todo corpo imerso em um fluido sofre a ação de uma força de empuxo que é numericamente igual ao peso do fluido deslocado. Quanto mais fundo você mergulhar. Embora estejamos definindo densidade para o caso de fluidos.g  . ele vai afundar? Por quê? Dê exemplos de materiais que você sabe que não afundam na água. incluindo chuveiro. cujas densidades têm valor superior à da água.. conforme mostra a figura ao lado. por algum erro na distribuição de água da cidade. Se você aplicar uma pressão no lado direito do tubo.5: Princípio da prensa hidráulica Exercícios 3. Imagine um tubo em U com as duas extremidades iguais.4 PRINCÍPIO DE PASCAL Um outro fato muito importante sobre os fluidos foi enunciado por Pascal já no século XVII: uma variação de pressão em qualquer ponto de um fluido em repouso em um vasilhame se transmite integralmente a todos os pontos do fluido. Imagine que a tubulação de água de sua casa de repente receba um aumento de pressão. estão em equilíbrio acima do nível da água de uma piscina. A figura que melhor representa esta nova posição de equilíbrio é  . torneiras etc. O cálculo da pressão pode ser feito através da expressão: onde F é a intensidade da força exercida e A a área sobre a qual atua a força. de mesma altura e mesma massa e com seções transversais de áreas. o nível da água da piscina sobe até que os cilindros.2 (Fuvest 2003) Considere dois objetos cilíndricos maciços A e B. respectivamente. Quais afundam? Figura 3.  . Os blocos. SA e SB = 2. A seguir. f iquem em nova posição de equilíbrio.SA. Se aplicarmos uma força de 100 N do lado esquerdo. qual será a força sentida do lado direito? Lembre-se de que a pressão será a mesma. também a pressão em todos os pontos da tubulação. Esse princípio é que permite a utilização de prensas hidráulicas. parcialmente imersos. aumentará em cinco vezes. PARA VOCÊ PENSAR! Imagine agora que escolhamos um tubo onde a área transversal do lado direito é o dobro da área transversal do lado esquerdo. suspensos verticalmente por fios que passam por uma polia sem atrito. Para você pensar! Se você mergulha na água um objeto com densidade menor que a água. Se a pressão de entrada da tubulação aumentar em cinco vezes. Figura 3. uma pressão igual poderá ser sentida do lado esquerdo do tubo. onde a aceleração gravitacional é de aproximadamente g/3. sendo g a aceleração da gravidade na Terra. empuxo e tensão no fio. Imagine que tal aquário seja transportado para a superfície de Marte. em Marte. Sobre esse objeto atuam as forças peso. 3. pode-se concluir que. a) o empuxo é igual e a tensão é igual b) o empuxo é igual e a tensão aumenta c) o empuxo diminui e a tensão é igual d) o empuxo diminui e a tensão diminui e) o empuxo diminui e a tensão aumenta. Para aprender sobre o equilíbrio em fluidos. você entrou em contato com o conceito de pressão e conheceu a força de empuxo. Em relação aos valores das forças observadas na Terra. você estudou sobre o centro de massa e o torque (ou momento) de uma força. fixado no fundo de um aquário cheio de água. conforme a figura. Para entender o equilíbrio de corpos rígidos. RESUMO Nesta unidade você aprendeu duas partes muito importantes da Mecânica relacionadas com equilíbrio.3(Fuvest 2000) Um objeto menos denso que a água está preso por um fio fino.  . Podemos obter uma relação entre o comprimento de arco s e a variação angular ∆s = r∆θ. conforme já estudamos. pois é difícil imaginar um mundo em que nada se mova. Vamos chamar de deslocamento angular a variação do ângulo entre o local em que a partícula se encontrava inicialmente e o local em que se encontra após um intervalo de tempo ∆t. Chamamos de movimento circular uniforme (MCU) um tipo de movimento em que a trajetória de um objeto é um circulo e o módulo (valor) de sua velocidade é constante. da Silva Viviane S. onde. o ponto A indica a posição inicial da partícula. F. Deste modo. s é o comprimento de arco e r é raio da circunferência. Isto pode ser escrito como ∆θ = θ – θ0. ela se encontra no ponto descrevendo um comprimento de arco s. θ0 = 0 representa a partícula em A e θ a representa a partícula em B. onde θ é a posição angular final e θ0 é a posição angular inicial.1. M. s é o comprimento de arco. A partir de agora. Na figura anterior. onde R é o raio da circunferência. Após um intervalo de tempo ∆t.Unidade 4 Movimento circular CINEMÁTICA ANGULAR O estudo do movimento na Física é de importância fundamental. vamos iniciar o estudo de objetos que têm uma trajetória circular. o objeto descreve arcos de círculo iguais em intervalos de tempo iguais. Trajetória circular de uma partícula. Piassi Figura 4. Na figura. . Figura 4.2: Arco de circunferência. ∆θ variação angular. Os tipos de movimentos estudados são variados: vão desde movimentos de partículas microscópicas até movimentos planetários. Organizadores Maurício Pietrocola Nobuko Ueta Elaboradores Anibal Figueiredo Glauco S. sua direção muda a cada instante. mas seu módulo permanece constante (MCU). ele possui uma velocidade linear. A velocidade angular nos dá informações da rapidez com que um corpo está girando. ∆θ ∆t Assim.3 . mais rapidamente estará girando. É o mesmo que dizer que ele efetua três voltas a cada 1 s. além da velocidade angular ω. A unidade de ω no Sistema Internacional é expressa em rad/s. onde rad radiano é a unidade angular e s (segundo) é a unidade de tempo.  .A cada instante a direção de muda.2 mostra uma partícula que descreve um ângulo ∆θ em um intervalo de tempo ∆t. no exemplo anterior. Há uma relação entre o período e a freqüência da seguinte forma: f= Quando um objeto percorre uma trajetória circular. temos que calcular a sua freqüência. Sua freqüência f será: f= A unidade de f é 1 volta/s = 3 voltas/s ⇒ 1Hz (Hertz). Isto significa que quanto maior for o ângulo que a partícula descreve por unidade de tempo. A relação entre o ângulo descrito pela partícula e o intervalo de tempo é chamada de velocidade angular. que durante o MCU tem módulo constante. a freqüência f deste objeto é definida como: f= Por exemplo. e é representado por T. O seu modulo é dado por v = ωr Figura 4. Esta relação é expressa matematicamente por: ω= onde ω é a velocidade angular. A Figura 4. um objeto efetua em seu movimento circular 30 voltas em 10 segundos. a freqüência do objeto é de 3Hz. Se quisermos contar o número de vezes que o objeto em trajetória circular passa por um ponto em uma determinado ∆t. Assim. O tempo que um objeto gasta para efetuar uma volta completa é chamado de período. Então. Devido a esta variação. PARA VOCÊ PENSAR! Vamos usar como exemplo algo a que estamos acostumados no cotidiano. Figura 4. Vamos estudar as forças no segundo caso. (b) Quando a velocidade linear não é constante no tempo. MOVIMENTO DE SATÉLITES Existem cerca de 750 satélites artificiais em operação em torno da Terra. O módulo da aceleração centrípeta é dado por: ac = = ωr2 FORÇAS NO MOVIMENTO CIRCULAR No movimento circular. temos: Fr = m.  . onde a atmosfera é muito rarefeita e a resistência do  . surge também a aceleração linear. o movimento deixa de ser uniforme (MCU). Fc. neste caso. a aceleração linear é nula e o objeto tem a aceleração centrípeta.a. Lembre-se de que você precisa saber o período de cada um deles. dizemos que um objeto que realiza um MCU sente uma força centrípeta. Aplicando a segunda Lei de Newton. Tente calcular a velocidade angular dos ponteiros (das horas. quando temos o MCU. Esta aceleração tem uma direção que é perpendicular à direção da velocidade . que é expressa da seguinte forma: Fc = m. No entanto. Como é que estes satélites orbitam em torno da Terra? Um satélite é levado até uma certa altura h que costuma ser cerca de 150 km da superfície da Terra. Surge devido a esta variação uma aceleração linear. Concluindo: Sempre que um objeto descreve um MCU.a c ⇒ Fc = m. em todo movimento circular. ACELERAÇÃO CENTRÍPETA Quando o módulo da velocidade linear muda a cada instante.4 (a) No caso do MCU. surge a aceleração centrípeta ac. atua sobre ele uma força centrípeta Fc fazendo com que a direção da velocidade seja alterada. vimos que há dois tipos de aceleração: a linear (quando a velocidade linear não é constante) e centrípeta (devido à mudança de direção de ). sempre há uma variação da direção da velocidade linear. No caso do nosso estudo. a aceleração que temos é a aceleração centrípeta. dos minutos e dos segundos) de um relógio.  Você pode encontrar informações interesantes sobre satélites no site da Agência Espacial Brasileira www. de tal forma que permaneçam sempre acima de um mesmo ponto da superfície da Terra. entram simultaneamente em curvas paralelas. ao longo de todo o trecho curvo.aeb. Esta força gravitacional é responsável pela mudança na direção da velocidade linear do satélite. Devido à ação do campo gravitacional da Terra. não havendo nenhuma perturbação. r=R+h. R é o raio da Terra. O conjunto de todas as condições que satélites em órbitas geoestacionárias devem necessariamente obedecer corresponde a: a) I e III b) I.1 (Fuvest 2002) Satélites utilizados para telecomunicações são colocados em órbitas geoestacionárias ao redor da Terra. dois carros. temos que : v= 2π r T ⇒ T= 2 πr v Exercícios 4. a relação entre VA e VB é:  . lembrando que o comprimento de um circulo é 2πr. Os velocímetros de ambos os carros indicam. Exemplo: satélite de massa m em uma órbita circular. Como estamos considerando este movimento de satélite um MCU. Assim. Uma vez colocado no espaço. ele permanece girando em torno da Terra indefinidamente. II. A e B. IV d) II e III e)II e IV 4. a única força que atua sobre ele é a força gravitacional. valores constantes VA e VB. podemos escrever: Fc = F ⇒ Fc = G ⇒ =G = GM ⇒ v = A velocidade v é a velocidade linear do satélite para que ele permaneça em órbita. Se os carros saem das curvas ao mesmo tempo. de cerca de 24 horas ter aproximadamente a mesma massa estar aproximadamente à mesma altitude manter-se num plano que contenha o circulo do equador terrestre. III c) I. Considere algumas condições que poderiam corresponder a esses satélites: I II III IV – – – – ter o mesmo período. É possível calcularmos o período de um satélite.gov.br.2 (Fuvest 2002) Em uma estrada. ou seja. ar não atrapalha o movimento do satélite. r é a distância do satélite ao centro da Terra. III. com raios RA e RB. o satélite sente uma força atrativa .   . Por fim. Também estudou as forças nos movimentos circulares e a presença da aceleração centrípeta. você estudou os movimentos circulares. Tomou contato com o conceito de frequência e aprendeu a diferenciar velocidade angular e tangencial no movimento circular. a) VA = VB b) VA/VB = RA/RB c) VA/VB = (RA/RB) 2 d) VA/VB = RB/RA e) VA/VB = (RB/RA) 2 Resumo Nesta última unidade.  . conheceu um pouco sobre os movimentos dos satélites. a) a massa específica r da esfera. que o volume da esfera é V. (Mackenzie 2004) Por uma superfície horizontal. F. c) flutua.00 kg. em função dos dados apresentados. e) flutua. b) a tensão T no fio.20 kg.00 kg. e a massa da parte imersa é de 1. ficando totalmente imerso. tem volume igual a 5. por meio de um fio muito fino. 5. Se o coeficiente de atrito dinâmico entre o caixote e a superfície de apoio é igual a 0.2. como mostra a figura. um menino empurra um caixote de massa 15 kg. e representando a aceleração da gravidade por g. encontre. de massa 4. aplicando-lhe uma força constante e paralela à superfície de apoio. (Vunesp 2003) O volume de líquido deslocado pela porção submersa de um bloco que nele está flutuando é V0.1. Elaboradores Anibal Figueiredo Glauco S. A seguir. Piassi 5. Verifica-se que o bloco continua flutuando. mas o volume total de líquido deslocado passa a ser V0 + 2V. (Mackenzie 2004) Um paralelepípedo homogêneo. Quando colocado num tanque com água de massa específica igual a 10 g/cm3.3. ata-se ao bloco uma esfera mais densa que o líquido. M. o caixote adquire uma velocidade constante. e a massa da parte imersa é de 3. Sabendo-se que a massa específica do líquido é r L.00 litros. d) flutua. da Silva Viviane S.4. dessa forma.Unidade 5 Seção de exercícios Organizadores Maurício Pietrocola Nobuko Ueta 5. e a massa da parte imersa é de 3. b) flutua.00 kg. a força aplicada pelo menino tem intensidade de: (Adote: g = 10 m/s2) a) 45 N b) 50 N c) 58 N d) 60 N e) 3 N . esse paralelepípedo: a) afunda. de massa 6 kg. mantendo o seu equilíbrio horizontal. (Vunesp 2003) Considere dois blocos A e B. L = 1. 5. imposta pela mesa ao bloco B.2 m. outro corpo.  . a força de reação normal.0 N e) 50.7.5.00 N d) 25. um corpo de massa 4 kg e. tem intensidade: a) nula b) 2. Desprezando forças de atrito.50 N c) 5. os músculos mais solicitados são os dos braços.0 m. e os da região dorsal. qual a componente horizontal da tensão em cada corda? 5. os fios e as polias são considerados ideais e o bloco B encontra-se apoiado sobre uma mesa plana e horizontal. com massas mA e mB respectivamente. Considerando um atleta cuja massa é de 60 kg e sendo os comprimentos indicados na figura H = 3.  . está distante da extremidade A: a) 64 cm b) 66 cm c) 68 cm d) 70 cm e) 72 cm 5. na extremidade B. representando a aceleração da gravidade por g e utilizando dados da tabela a) determine a razão mA/mB para que os blocos A e B permaneçam em equilíbrio estático. (Unicamp 2004) Uma das modalidades de ginástica olímpica é a das argolas. responda: a) Qual a tensão em cada corda quando o atleta se encontra pendurado no início do exercício com os braços na vertical? (b) Quando o atleta abre os braços na horizontal. (Mackenzie 2004) Um menino prende. Adotando-se g = 10 m/s 2.4. A barra AB tem peso desprezível e comprimento de 1. O ponto da barra pelo qual nós a levantamos.0 N 5. na extremidade A de uma barra rígida AB.5 m. que suportam as cargas horizontais. como apresentado na figura.5 m e d = 0. em um plano inclinado.6. (Mackenzie 2004) No conjunto da figura. b) determine a razão mA/m B para que o bloco A desça o plano com aceleração g/4. Nessa modalidade. que suportam os esforços verticais. O comprimento da quadra é de 24 m. FE. aparece uma força. vertical. 24 horas. atingindo o chão na outra extremidade da quadra. antes de atingir o chão. (Vunesp 2004) Grande parte dos satélites de comunicação estão localizados em órbitas circulares que estão no mesmo plano do equador terrestre.14. que levanta o carro. Desconsidere a resistência do ar nesse caso. um satélite em órbita circular no plano do equador terrestre. calcule: a) a pressão de ar capaz de produzir a força mínima suficiente para elevar um carro com peso de 1300 N. b) a intensidade mínima da força aplicada no primeiro pistão para elevar o carro citado no item (a). b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima? c) Quando a bola é rebatida com efeito. utilizado em postos de gasolina.8. Considerando-se que a órbita de um satélite geoestacionário possui raio orbital de 42 000 km. o ar comprimido exerce uma força sobre um pequeno pistão cilíndrico circular de raio 5 cm. 5. Dado π = 3. de cima para baixo e igual a 3 vezes o peso da bola. isto é. Qual será a velocidade horizontal da bola. (Unicamp 2004) Uma bola de tênis rebatida numa das extremidades da quadra descreve a trajetória representada na figura abaixo. (Vunesp 2004) Em um levantador de carros. Geralmente esses satélites são geoestacionários. Essa pressão é transmitida a um segundo pistão de mesmo formato. possuem período orbital igual ao período de rotação da Terra. mas de raio 15 cm. rebatida com efeito para uma trajetória idêntica à da figura?  . a) Calcule o tempo de vôo da bola. com raio orbital de 10 500 km.10.9. tem período orbital de a) b) c) d) e) 3 4 5 6 8 horas horas horas horas horas 5. θ 30º 60º cos θ sen θ 5. 12. Considere os módulos das acelerações da bola nos trechos 1. 2 e 3 como sendo a1.11. l2 e I3 até uma mesma altura. Nessas condições. o sistema se encontra em equilíbrio.13.103 kg e está pendurado a uma distância D = 5. pode-se afirmar que a) a1 < a2 < a3.0. apoiado em uma base vertical. (UFMG 1997) A figura mostra três vasos V1. e um contrapeso pendurado em uma de suas extremidades. depois. 5. As pressões no fundo dos vasos são P1. cai livremente (trecho 3) como mostra a figura. O braço do guindaste é homogêneo. a2 e a3 respectivamente. c) a1 = a2 e a3 = 0. finalmente. respectivamente. A figura mostra esse guindaste ao sustentar um bloco na extremidade oposta. V2 e V3 cujas bases têm a mesma área. O contrapeso tem massa de Mcp = 2.0 m da base. Os vasos estão cheios de líquidos l1. é correto afirmar que  . 1. Calcule a força exercida pela base sobre o braço do guindaste. (UFMG 1997) Uma bola desliza inicialmente sobre um plano inclinado (trecho 1). Sobre os módulos dessas acelerações nos três trechos do movimento da bola. d) a1 = a3 e a2 = 0 5. 5. b) a1 < a3 e a2 = 0. (UFMG 1998) Um guindaste é composto de um braço. sobre um plano horizontal (trecho 2) e. tem uma massa M br = 400 kg e comprimento L = 15. Com relação a essa situação.0 m. Desconsidere as forças de atrito durante todo o movimento. Considere g = 10 m/s2. P2 e P3. Calcule a massa Mbl do bloco. 2.  . l2 e l3 forem sejam os líquidos l1.16. l2 e l3 forem sejam os líquidos l1. ficando parcialmente submerso.  . l3. para que não caia no fosso. Ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória. c) maior que P1 e menor que P1 + P2. como mostra a figura II. b) maior que o peso do piloto. sendo que a primeira encontra-se a uma altura h = 1. Um volume de água igual o volume da parte submersa do objeto cai para fora da vasilha. 5. um dos aviões descreve a trajetória circular representada nesta figura. a balança registra um peso P1. d) menor que P1. (Vunesp 2003) Um motociclista deseja saltar um fosso de largura d = 4. na figura II. que separa duas plataformas horizontais. d) nula. l2 e líquidos l1. Sabendo-se que a distância entre os eixos das rodas é 1. sobre uma balança.0 m. Nessa situação. tocando-a com as duas rodas da motocicleta ao mesmo tempo. como mostra a figura.0 m e admitindo g = 10 m/s2. a leitura da balança é a) igual a P1. (UFMG 2001) Durante uma apresentação da Esquadrilha da Fumaça. cheia de água até a borda. b) qual é a menor velocidade com que o motociclista deve deixar a plataforma superior. determine: a) o tempo gasto entre os instantes em que ele deixa a plataforma superior e atinge a inferior. 5. l2 e idênticos. c) menor que o peso do piloto. b) igual a P1 + P2.15. O motociclista salta o vão com certa velocidade u0 e alcança a plataforma inferior.25 m acima do nível da segunda. Um objeto de peso P2 é colocado nessa vasilha e flutua. é CORRETO afirmar que. Com base nessas informações. As plataformas estão em níveis diferentes. 5. (UFMG-2000) A figura I mostra uma vasilha. a força que o assento do avião exerce sobre o piloto é a) igual ao peso do piloto.14. l3. idênticos. a) P1 = P2 = P3 b) P1 = P2 = P3 c) P1 > P2 > P3 d) P1 > P2 > P3 somente se os quaisquer que somente se os quaisquer que líquidos l1. Compare as cinco figuras verticais seguintes. d) 4.7) (a) mA /mB = 2 (b) mA/mB = 5. (b) 0. antes de atingir o solo. e) 5.17.5) (a) t1= 0.4) alternativa b 2.m 3. 5. sentido para direita.1) alternativa c 5.2) 1 DOS EXERCÍCIOS 2. 5. RESPOSTAS 1.2) alternativa c. (c) v’x = 64 m/s  .3) alternativa d 4.1) alternativa c 4.4) alternativa d 5. 5.75 s.40m/s2.0 s 3. (b) vx = 32 m/s.2) (a) r = rL .5) alternativa e 5. c) 3. é: a) 1. (b) F = 1478 N 5. (UFSCar 2004) Uma pessoa larga uma bola de tênis da sacada de um prédio.1) alternativa b 1.1) (a) 0.3) alternativa d 5. de 1 a 5. (b) T = 2 rLVg 5. Torque = 4 N. (b) em cada corda Thor = 50 N.9) alternativa a 5.6) (a) Em cada corda T = 300 N para cima.1) devido a F1. devido a F3.8) (a) p = 188252 N/m 2.10) (a) t = 0. direção horizontal.2) alternativa b 5. b) 2.2) alternativa b 3. devido a F2. A figura que melhor reproduz as posições sucessivas da bola em intervalos de tempo sucessivos iguais. Torque = 2 N.40 s (b) t2 = 2. 2.80 N 2.  .m.3) (b) R=mgsen θ 2. Torque = 0. São Paulo. 5. 1962. Curso de Física Básica 1-Mecânica. Editora Ática.. H. B. É professor de Ciências e Física desde 1982..16) alternativa B 5..scite.. H. A. Hewitt.br – Nesses sites você encontra as provas de anos anteriores. Gonçalves Filho. Máximo A. Física e Realidade volume 1: Mecânica. São Paulo. B. Edgard Blücher ltda. textos. Sobre os autores Anibal Figueiredo Licenciado em Física e mestre em Ensino de Ciências pela USP. Curso de Física.pro.. (b) 3. São Paulo.11) (a) 900 kg. Herron. é diretor do Atelier de Brinquedos Científicos e do Espaço Ciência Prima.unicamp. F.15) (a) t = 0.1996 www.12) alternativa B. São Paulo. M. de exposições científicas e de assessoria na área de educação científica. Volume 1. Porto Alegre. R.br/Lopes/index2.br – Nesse site você vai encontrar dicas de outros sites.prossiga. participa de projetos de pesquisa em ensino de Física desde a graduação.3.. Editora Bookman. Física 1 mecânica. Rio de Janeiro. 3a edição. Feynmam.. GREF. P. 5. São Paulo.. Glauco S. 1997. Editora Scipione. ver “produção científica” – “tradução”. Física Conceitual. Toscano.50 s. Ed.p139-167. atividades práticas e exercícios para se aprofundar no conteúdo de Mecânica e também em outras partes da Física. Ediouro. além das informações sobre o vestibular. Nussenzveig. www. Disponível em http:// www4. Física na escola secundária.14) alternativa D. Física em seis lições. 2001. INEP. Paul G. Participou de vários projetos de formação de professores.. W. 4a edição. da Silva Bacharel e licenciado em Física pela UFJF.fuvest. 2 ª edição. O. 6 a edição 2001.104 N para cima.13) alternativa A. 2002.17) alternativa A Bibliografia Alvarenga. (b) v = 10 m/s 5. Gaspar. 5. 5. C. É aluno de mestrado em Ensino de Ciências na USP e  . 1997. C. Edusp. Física volume 1 Mecânica. 5. A.br e www. Editora Scipione. Autor de livros didáticos e paradidáticos de Ciências e Física. W. São Paulo.html . 1990. Blackwood. Kelly. É professor da rede estadual de Minas Gerais desde 2002. Viviane S. Foi professora da rede estadual de São Paulo de 1994 a 2000. desenvolve atividades didáticas junto a disciplinas de Mecânica do primeiro ano do curso de licenciatura em Física nessa universidade. Piassi Licenciada em Física pela USP. Trabalhou junto ao projeto de formação continuada de professores (PEC) da rede pública de São Paulo. faz atualmente Doutorado em Física na mesma universidade.  .  . Mestre em Ciências pela USP. No Instituto de Física da USP vem desenvolvendo atividades didáticas junto a disciplinas práticas e teóricas do curso de licenciatura em Física. M. Anotações .

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