Mecanica Dos Fluidos - Cap1

FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 11 1 Ementa Fluidos – Definição  Tensão de cisalhamento.  Viscosidade dinâmica e cinemática.  Densidade.  Pressão Hidrostática. Teorema de Stevin.  Pressão atmosférica.  Manômetros e Bombas de vácuo. Medidores de pressão: Manômetros diferenciais e de Bourdon.  Princípio de Arquimedes. Empuxo.  Equação da continuidade.  Equação de Bernoulli.  Tubo de Venturi e placas de orifício.  Regimes de escoamento. Escoamento laminar e turbulento. Número de Reynolds.  Teorema de Stokes.  Lei de Poiseulli.  Tubo de Pitot e de Prandtl.  Equação de Bernoulli na presença de uma máquina: Bombas e Turbinas. Rendimento.  Equação de Bernoulli admitindo perda de carga.  Fórmula fundamental para perda de carga. Diagrama de Perdas de carga localizadas e perda de carga total.  Diagrama de Moody-Rouse. Bibliografia. 1. Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. Física. 2 a . ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, V. 1-2, 2000 2. Halliday, D.; Resnick, R. Fundamentos da Física, Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, v.1-2, 1991. 3. Tipler, P. A. Física, 2 a , Ed. Guanabara dois, V1, 1985. 4. Franco e Brunetti, Mecânica dos Fluidos, Ed. Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2005. 5. Notas de aula: www.claudio.sartori.nom.br. 6. Ranald V Giles; Evett J.; Liu C., Mecânica de Fluidos e Hidráulica, 1994. Fluido Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão. Tanto os gases quanto os líquidos são classificados como fluidos. Um fluido complexo é um fluido cujas propriedades de transporte só podem ser determinadas a partir do conhecimento detalhado da sua estrutura microscópica. Um fluido newtoniano é um fluido em que cada componente da velocidade é proporcional ao gradiente de velocidade na direcção normal a essa componente. A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica q. u y t q c = c Tensão de Cisalhamento Uma força de cisalhamento é a componente tangencial de uma dada força que age sobre a superfiície e, dividida pela área da superfície, dá origem à tensão de cisalhamento média sobre a área quando a área tende a um ponto. Figura 1 – Escoamento de um fluido viscoso. A área da placa é A e a taxa de variação da velocidade com a distância vertical é dv dy Viscosidade absoluta ou dinâmica. Definimos como viscosidade absoluta ou dinâmica q a razão entre a tensçao de cisalhamento t e a taxa de variação da velocidade com a distância vertical medida entre as duas placas indicadas na figura 1. dv dy t q = v dv F A dy q = · ·  Unidade: Poise: 1 1 2 2 1 1 10 1 10 g kg cm s m s din N Po s cm s m ÷ ÷ · · = = = = · · Viscosidade cinemática Definimos como viscosidade cinemática v como sendo a razão entre a viscosidade dinâmica e a densidade do corpo µ. q v µ = FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 2 2  Unidades: 2 m s (SI) Stoke: 2 1 1 cm st s = Massa específica e densidade Princípio de Arquimedes – De acordo com a lenda, isto (eureca!) foi o que Arquimedes gritou quando ele descobriu um fato importante sobre a força de empuxo. Tão importante que o chama de princípio de Arquimedes (e tão importante que, diz a lenda, Arquimedes pulou da banheira e correu pelas ruas após a descoberta). Observando as figuras abaixo: Figura 2 – (a) Diferença entre as pressões na parte superior 1 do corpo a uma profundidade h 1 e na parte inferior 2 do corpo a uma profundidade h 2 . (b) As diferenças entre as pressões laterais se cancelam. As pressões laterais se cancelam (b) e a diferença entre as pressões entre os pontos 1 e 2 no copo, ficará: ( ) 2 1 0 2 0 1 p p p p gh p gh µ µ A = ÷ = + ÷ + ( ) 2 1 p g h h µ A = ÷ E p g h A µ A = = A E g hA µ = A E Vg µ = A f E m g = - Princípio de Arquimedes : Um objeto que está parcialmente, ou completamente, submerso em um fluido, sofrerá uma força de empuxo igual ao peso do fluido que objeto desloca. F E = W fluido = µ fluido . V deslocado . g O valor do empuxo, que atua em um corpo mergulhado em um líquido, é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo. A força de empuxo, F E , aplicada pelo fluido sobre um objeto é dirigida para cima. A força deve-se à diferença de pressão exercida na parte de baixo e na parte de cima do objeto. Para um objeto flutuante, a parte que fica acima da superfície está sob a pressão atmosférica, enquanto que a parte que está abaixo da superfície está sob uma pressão maior porque ela está em contato com uma certa profundidade do fluido, e a pressão aumenta com a profundidade. Para um objeto completamente submerso, a parte de cima do objeto não está sob a pressão atmosférica, mas a parte de baixo ainda está sob uma pressão maior porque está mais fundo no fluido. Em ambos os casos a diferença na pressão resulta em uma força resultante para cima (força de empuxo) sobre o objeto. Esta força tem que ser igual ao peso da massa de água ( fluido . V deslocado ) deslocada, já que se o objeto não ocupasse aquele espaço esta seria a força aplicada ao fluido dentro daquele volume (V deslocado ) a fim de que o fluido estivesse em estado de equilíbrio. Nas figuras abaixo indicamos como calcular a massa real de um corpo (m r ) e a massa aparente do corpo (m a ), usando uma balança. E -N P r N P m g = = Quando o corpo de massa m r estiver totalmente imerso: r f P E T m g m g T = + ¬ = + 2 2 r H O C r H O C m g gV T T m g gV µ µ = + ¬ = ÷ Mas: r r C C C C m m V V µ µ = ¬ = . Substituindo na equação acima teremos: 2 2 H O r r H O r r C C m T T m g g m m g µ µ µ µ = ÷ ¬ = ÷ Chamando a massa aparente m 2 =T/g, teremos: 2 2 H O H O a r r r r a C C m m m m m m m µ µ µ µ = ÷ ¬ = ÷ = A FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 3 3 2 2 H O r r C H O C m m m m µ µ µ µ = A ¬ = · A 2 r C H O m m µ µ = · A r a m m m A = ÷  APLICAÇÕES: Cálculo da massa específica do corpo µ C para diferentes materiais.  Tabela 1 - Densidade de algumas substâncias: Material Densidade (g/cm 3 ) Líquidos Água at 4 0 C 1.0000 Água a 20 0 C 0.998 Gasolina 0.70 Mercúrio 13.6 Leite 1.03 Material Densidade (gm/cm 3 ) Sólidos Magnésio 1.7 Alumínio 2.7 Cobre 8.3-9.0 Ouro 19.3 Ferro 7.8 Lead 11.3 Platina 21.4 Urânio 18.7 Ósmio 22.5 Gelo at 0 0 C 0.92 Material Densidade (gm/cm 3 ) Gases a STP Ar 0.001293 Dióxido de Carbono .001977 Monóxido de Carbono 0.00125 Hydrogênio 0.00009 Hélio 0.000178 Nitrogênio 0.001251 Densímetro: É um instrumento usado para medir a densidade de um líquido segundo o princípio do empuxo. Quando colocado em água pura, a gravidade específica é marcada para indicar 1. Figura 3 - Um Densímetro. (A) Flutuando na água êle marca 1, a densidade da água pura. (B) O densímetro sobe mais na solução de ácido da bateria inteiramente carregada. O densímetro desloca um menor volume de líquido e flutua mais alto. À medida que a bateria vai-se descarregando, a quantidade de ácido no líquido vai diminuindo e, portanto, também sua densidade. Densímetros especiais usados para medir densidade de álcool e de leite são chamados alcoômetros e lactômetros. Sendo W o peso do hidrômetro e V 0 o volume submerso abaixo da linha 1: W E = 0 a W V ¸ = · Em um líquido desconhecido, de peso específico ¸ x , o balanço das forças seria: ( ) 0 x W V A h ¸ = · ÷ A Aqui, A é a seção transversal da haste. Podemos então: ( ) 0 0 a x V V A h ¸ ¸ · = · ÷ A 0 0 0 x a V V A h ¸ ¸ = ÷ A FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 4 4 Pressão atmosférica: Embora o ar seja extremamente leve, não é desprovido de peso. O peso que exerce sobre nós a totalidade da atmosfera denomina-se pressão atmosférica. Cada pessoa suporta em média sobre os ombros o peso de cerca de 1 tonelada de ar, que, porém não sente, já que o ar é um gás e a força da pressão exerce-se em todas as direções. O peso normal do ar ao nível do mar é de 1Kg/cm 2 . Porém, a pressão atmosférica desce com a altitude. A 3000 m, é de cerca de 0,7 kg/cm 2 . A 8848 m, a altitude do monte Everest, a pressão é de apenas 0,3 Kg/cm 2 . O barômetro é o instrumento usado para medir a pressão atmosférica. Quando o ar quente se eleva cria, por baixo dele, uma zona de baixa pressão. Baixas pressões normalmente significam tempo ruim. Figura 4 - Baixas Pressões À medida que o ar, ao subir, arrefece, o seu vapor de água transforma-se em nuvens, que podem produzir chuva, neve ou tempestades. Simultaneamente, ao nível do solo, há ar que se desloca para substituir o ar quente em elevação, o que dá origem a ventos. As massas de ar deslocam-se sempre de um centro de alta pressão para um de baixa pressão, gerando o vento. Mas neste caminho são desviadas (para a direita no hemisfério Norte) por causa da rotação terrestre. Se nos pusermos de costas para o vento (no hemisfério Norte), o centro de baixa pressão encontra-se sempre à nossa esquerda. Esta regra foi descoberta pelo físico Buys-Ballot, em 1800. Figura 5 - Altas Pressões Quando o ar é relativamente frio, desce lentamente e comprime o ar que está por baixo, causando uma maior pressão. Embora esta seja causada pelo ar frio, provoca um tempo quente e soalheiro. Isto acontece porque o ar, ao descer, impede a formação de nuvens, originando um céu limpo. Variação da pressão atmosférica com a altitude: A pressão atmosférica, ao ser acrescida de um valor dz, é diminuída de: dp gdz µ = ÷ Onde µ é a densidade do ar. Segundo o modelo do gás ideal, podemos considerar: pV nRT p RT µ = · = p RT µ =  Na troposfera: 0 ( ) T z T z o = ÷ Onde: o = 0,0065K/m T 0 = 288 K Assim: ( ) 0 p dp gdz R T z o = ÷ ÷ ( ) 0 dp g dz p R T z o = ÷ ÷ 0 0 atm p z p dp g dz p R T z o = ÷ ÷ } } pode ser dada por: 0 0 ln ln atm T z p g p R T o o ÷ = FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 5 5 0 0 ( ) g R atm T z p z p T o o | | ÷ = | \ .  Na estratosfera: Na estratosfera, entre 11 e 20 km, a temperatura é constante e aproximadamente -56,5°C. R = 287 J/(kgK) T s : Temperatura na interface troposfera- estratosfera. 0 s p z s p dp g dz p RT = ÷ } } ( ) ( ) s s g z z RT s p z p e ÷ ÷ = Resumindo, podemos escrever: ( ) ( ) 0 0 ; se 10 ; se 10 s s g R atm g z z RT s T z p z km T p z p e z km o o ÷ ÷ ¦ | | ÷ ¦ < | ¦ \ . = ´ ¦ ¦ > ¹ A tabela a seguir ilustra alguns valores da pressão, densidade e temperatura do ar em algumas altitudes. Tabela I – Valores das grandezas físicas do ar com a altitude z. z(m) T(K) P(kPa) µ(kg/m 3 ) v(m/s ) 0 288,2 101,3 1,225 340 500 284,8 95,43 1,167 338 1000 281,7 89,85 1,112 336 2000 275,2 79,48 1,007 333 4000 262,2 61,64 0,8194 325 6000 249,2 47,21 0,6602 316 8000 236,2 35,65 0,5258 308 1000 0 T s =223, 3 26,49 0,4136 300 1200 0 216,7 19,40 0,3119 295 1400 0 216,7 14,17 0,2278 295 1600 0 216,7 10,35 0,1665 295 1800 0 216,7 7,563 0,1213 295 2000 0 216,7 5,528 0,0889 295 3000 0 226,5 1,196 0,0184 302 4000 250,4 0,287 4,00.10 - 3 317 5000 270,7 0,0798 1,03.10 - 330 3 6000 0 255,8 0,0225 3,06.10 - 4 321 7000 0 219,7 0,0055 1 8,75.10 - 5 297 8000 0 180,7 0,0010 3 2,00.10 - 5 269 Figura 6 - Variação da temperatura nas diversas camadas atmosféricas. z(km) Ionosfera 80 60 40 Estratosfera 20 Troposfera -67 -56.5 15 T(ºC) Medidores de pressão.  Manômetro de Bourdon: Consiste num tubo de latão achatado, fechado numa extremidade e dobrado em forma circular. A extremidade fechada é ligada por engrenagem e pinhão a um ponteiro que se desloca sobre uma escala. A aberta é ligada a um aparelho cuja pressão externa quer se medir. Quando se exerce uma pressão no interior do tubo achatado, ele se desenrola ligeiramente, como o faria uma mangueira de borracha enrolada, quando se abre a torneira d‗água. O movimento resultante da extremidade fechada do tubo é transmitido ao ponteiro. Figura 7 - FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 6 6  Dados Técnicos: Series 61000 gages feature an extra sensitive bronze diaphragm for ASME Grade A accuracy in ranges to 100 inches w.c. The Series 62000 employs a bronze Bourdon tube for ranges to 300 psig with Grade B accuracy. Both measure pressures of air, natural gas and other compatible gases and liquids. PHYSICAL DATA Dial/Pointer: Aluminum Housing: Steel with black baked enamel finish Diaphragm/Bourdon Tube: Phosphor bronze Connection: ¼" NPT(M) bottom-std. ¼" NPT(M) back 61000U, 62000U Operating Mechanism: Polycarbonate and brass Accuracy: 61000, ASME Grade A - 1% middle half of scale, 2% remainder 61015 only - 1% middle half of scale, 3% remainder 62000, ASMD Grade B - 2% middle half of scale, 3% remainder Temperature Range: -40 to 160°F (-40 to 71°C)  Manômetros diferenciais Um manômetro é um instrumento utilizado para medir pressão. Um tipo de manómetro já com séculos de existência é o de coluna líquida. Este manómetro pode ser simplesmente um tubo em forma de U, no qual se coloca uma dada quantidade de líquido (não convém estar muito cheio para não transbordar facilmente). Neste método a pressão a medir é aplicada a uma das aberturas do U, enquanto que uma pressão de referência é aplicada à segunda abertura. A diferença entre as pressões é proporcional à diferença do nível do líquido, em que a constante de proporcionalidade é o peso volúmico do fluído. Os manômetros de coluna líquida podem ser em forma de U, ou alternativamente podem ter uma única coluna. Para se forçar o líquido a percorrer uma maior distância utilizam-se colunas com inclinação (uma vez que a pressão obriga a subir, o que exige um maior deslocamento no caso de a coluna estar inclinada), sendo necessário conhecer o ângulo relativamente à horizontal com precisão. Um outro tipo de manômetro recorre à deformação de uma membrana flexível. Estas membranas, por terem deformação proporcional à pressão a que estão sujeitas, são utilizadas com vários outros métodos no sentido de transformar a deformação numa grandeza que possa ser processada. Utilizam-se extensômetros (resistências variáveis com a deformação) para possibilitar a conversão para grandezas eléctricas. Contudo, um dos métodos mais utilizados corresponde a ligar electricamente a membrana de tal forma que seja uma armadura móvel de dois condensadores, assim a deformação a que a membrana se sujeita gera uma variação da capacidade, recorrendo a alguma electrónica o consegue-se obter uma tensão eléctrica directamente proporcional à pressão aplicada à membrana. Imensos outros métodos podem ser utilizados para efectuar a medição de pressão, tais como: LVDT, manómetros de Bourdon, manómetro de cilindro, cristais piezoeléctricos, etc... Adaptado de: "http://pt.wikipedia.org/wiki/Man%C3%B4metr o" Pode-se encontrar a diferença de pressão, medindo a altura dos desníveis quando acoplado esse manômetro a dois diferentes pontos da tubulação.  Teoria Utilização do manômetro pode ser vista na experiência de Torricelli: Figura 8 - Experimento de Torricelli. FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 7 7 Veja que: p A = p B .  Equações A pressão é dada por: A F p = Nos fluidos: gh p f µ = A pressão efetiva ou manométrica tem como referência a pressão atmosférica, e pode ser: negativa, nula ou positiva. A pressão absoluta tem como referência o vácuo perfeito, e pode ser: nula ou positiva. Instrumentos de medição: manômetros, vacuômetros , barômetros , altímetros , etc. ( ) h g p O H Hg A ÷ = A 2 µ µ  Sistemas de Unidades: M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m 2 ] onde : 1 [ N ] = [ 1 Kg * m / s 2 ] C. G. S. : 1 [ ba ] = 1 [ din / cm 2 ] M.Kgf.S. : 1 [ Kgf / m 2 ] Outras unidades : 1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg = 1,033 Kgf / cm 2 = 1 atmosfera física. 1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg = 1,0 Kgf / cm 2 = 0,968 atN = 10 m.c.a. 1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa 1 ‖ = 2,54 cm 1 ‘ = 1 pé = 12 ‖ 1 jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ‘ 1 jd = 91,44 cm 1 pé = 30,48 cm 1 libra = 1 lb = 0,45359 Kg  Medidores de pressão no corpo humano:  Pressão intraocular: Os fluidos do globo ocular, os humores aquoso e vítreo que transmitem a luz à retina (parte fotossensível do olho), estão sob pressão e mantêm o globo numa forma e dimensão aproximadamente fixas. As dimensões do olho são críticas para se ter uma boa visão. Uma variação de 0,1 mm o seu diâmetro pode produzir um efeito significativo no desempenho da visão. A pressão em olhos normais varia de 13 a 28 mmHg, sendo a média de 15 mmHg. Figura 9 - O olho humano. O humor aquoso, fluido contido na parte frontal do olho, é essencialmente água. O olho reduz continuamente o humor aquoso, cerca de 5 ml por dia, e existe um sistema de drenagem que permite a saída do excesso. No entanto, se ocorresse um bloqueio nesse sistema de drenagem, a pressão ocular aumentaria comprimindo a artéria retiniana e isso poderia restringir a circulação sangüínea na retina, provocando a visão tunelada ou até mesmo a cegueira. A essa situação se dá o nome de glaucoma, e a pressão intra-ocular pode aumentar até 70 mmHg, embora em circunstâncias normais se eleve até 30 ou 45 mmHg. A pressão intra-ocular era estimada pelos médicos pressionando o olho com os dedos e sentindo a reação produzida pelo mesmo. Hoje em dia isso é feito pelo tonômetro, que mede pressão ocular determinando a deflexão da córnea sob a açâo de uma força conhecida.  Pressão sanguínea: A pressão sanguínea é medida com o esfigmomanômetro, que consiste de uma coluna de mercúrio com uma das extremidades ligada a uma bolsa, que pode ser inflada através de uma pequena bomba de borracha, como indica a Figura 32 (A). A bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível aproximadamente igual ao do coração, a fim de assegurar que as pressões medidas mais próximas às da aorta. A pressão do ar contido na bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue através das artérias do braço seja bloqueado. FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 8 8 A seguir, o ar é gradualmente eliminado da bolsa ao mesmo tempo em que se usa um estetoscópio para detectar a volta das pulsações ao braço. O primeiro som ocorre quando a pressão do ar contido na bolsa se igualar à pressão sistólica, isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o sangue que está à pressão sistólica consegue fluir pela (os sons ouvidos através do estetoscópio são produzidos pelo fluxo sanguíneo na artéria e são chamados sons Korotkoff). Assim, a altura da coluna de mercúrio lida corresponde à pressão manométrica sistólica. À medida que o ar é eliminado, a intensidade do som ouvido através do esteie aumenta. A pressão correspondente ao último som audível é a pressão diastólica, isto é, a pressão sanguínea, quando o sangue a baixa pressão consegue fluir pela artéria não oclusa. (A) Figura 10 – Procedimento para medir a pressão em um paciente usando o esfigmomanômetro (A). Tipos de aparelhos (B) e variação da pressão ao longo do corpo humano (C). (B) (C)  ALGUNS EFEITOS FISIOLÓGICOS DA VARIAÇÃO DA PRESSÃO DE FLUIDOS  Efeito da postura na pressão sanguínea O coração é uma "bomba" muscular que, no homem, pode exercer uma pressão manométrica máxima de cerca de 120 mmHg no sangue durante a contração (sístole), e de cerca de 80 mmHg durante a relaxação (diástole). Devido à contração do músculo cardíaco, o sangue sai do ventrículo esquerdo, passa pela aorta e pelas artérias, seguindo em direção aos capilares. Dos capilares venosos o sangue segue para as veias e chega ao átrio direito com uma pressão quase nula. Em média, a diferença máxima entre as pressões arterial e venosa é da ordem de 100 mmHg. Como a densidade do sangue (1,04 g/cm 3 ) é quase igual à da água, a diferença de pressão hidrostática entre a cabeça e os pés numa pessoa de 1,80 m de altura é 180cm de H 2 0. A Figura anterior mostra as pressões arterial e venosa médias (em cm de água), para uma pessoa de 1,80 m de altura, em vários níveis em relação ao coração. Uma pessoa deitada possui pressão hidrostática praticamente constante em todos os pontos e igual à do coração. Se um manômetro aberto contendo mercúrio fosse utilizado para medir as pressões arteriais em vários pontos de um indivíduo deitado, a altura da coluna de mercúrio seria de aproximadamente 100 mm, ou seja, 136 cm de H 2 O. As pressões arteriais em todas as partes do corpo de uma pessoa deitada são aproximadamente iguais à pressão arterial do coração. Assim, quando uma pessoa deitada se levantar rapidamente, a queda de pressão arterial da cabeça será de ρgh, o que implicará uma diminuição do fluxo sanguíneo no cérebro. Como o fluxo deve ser contínuo e como o ajuste do fluxo pela expansão das artérias não é instantâneo, a pessoa pode sentir-se tonta. Em casos de variações de pressão muito rápidas, a diminuição da circulação pode ser tal que provoque desmaio. Um animal que possui propriedades fisiológicas extraordinárias é a girafa. Sua altura varia de 4,0 m a 5,5 m. Seu coração está, aproximadamente, eqüidistante da cabeça e das FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 9 9 patas, ou seja, a uns 2 m abaixo da cabeça Isso significa que a pressão arterial da girafa precisa ser muito maior que a do homem, ou de outro animal mais baixo, para que a cabeça possa ser atingida pelo fluxo sanguíneo. J. V. Warren e sua equipe mediram as pressões nas artérias de algumas girafas de uma reserva. Em uma posição determinada, quando a girafa está deitada, sua cabeça e seu coração estão no mesmo nível, e a pressão arterial da carótida varia entre os valores de 180 e 240 mmHg e o ritmo cardíaco é 96/min. Quando o animal levanta a cabeça a pressão se mantém aproximadamente igual, mas a freqüência cardíaca diminui. Na posição ereta e em movimento normal, aumenta a freqüência cardíaca a cerca de 150/min, enquanto que a pressão arterial cai para 90 a 150 mmHg. O galope eleva a freqüência cardíaca ao valor de 170/min e produz uma variação da pressão arterial entre 80 e 200 mmHg. A pressão sistólica ao nível do coração da girafa varia entre 200 e 300 mmHg, enquanto que a diastólica varia entre 100 e 170 mmHg. O valor médio da razão pressão sistólica/pressão diastólica é de 260/160. Esse valor, comparado com o valor médio de uma pessoa - 120/80 classificaria a girafa como hipertensa. Entretanto, essa hipertensão não se deve a problemas vasculares, mas é uma condição necessária para suprir o cérebro do animal com sangue quando ele está ereto. - Mergulho subaquático O corpo humano é composto principalmente por estruturas sólidas e líquidas, que são quase incompressíveis. Por esse motivo, mudanças de pressão externa têm pequeno efeito sobre essas estruturas. No entanto, existem cavidades contendo gás no corpo que, sob mudanças bruscas de pressão, podem produzir fortes efeitos no indivíduo. O ouvido médio é uma cavidade de ar atrás do tímpano, dentro da cabeça. Se a pressão nessa cavidade não for igual à pressão no lado externo do tímpano, a pessoa pode sentir mal-estar. Ela pode evitar isso equalizando as pressões através do bocejo, da mastigação ou da deglutição. Quando uma pessoa mergulha na água, a equalização das pressões nos dois lados do tímpano pode não ocorrer, e uma diferença de pressão de 120 mmHg pode ocasionar sua ruptura. Uma maneira de equalizar essas pressões é aumentar a pressão da boca, mantendo boca e nariz fechados e forçando um pouco do ar dos pulmões para as trompas de Eustáquio. A pressão nos pulmões a qualquer profundidade atingida num mergulho é maior que a pressão ao nível do mar. Isso significa que as pressões parciais dos componentes do ar são também mais elevadas. O aumento da pressão parcial do oxigênio faz que maior número de moléculas desse gás seja transferido para o sangue. Dependendo desse acréscimo, pode ocorrer envenenamento por oxigênio. Um possível efeito do envenenamento por oxigênio é a oxidação de enzimas dos pulmões, que pode provocar convulsões. Em bebês prematuros, colocados em tendas de oxigênio puro, há grandes riscos de se desenvolver cegueira devida ao bloqueio do desenvolvimento dos vasos sanguíneos dos olhos. Se for usado o ar nos tanques de mergulho, a altas pressões o nitrogênio se dissolve no sangue. Se o mergulhador voltar rapidamente à superfície, o nitrogênio dentro do sangue pode "ferver" formando bolhas. Isso pode provocar lesões graves nos ossos, levando até â necrose do tecido ósseo. A razão dessa necrose são os infartos no tecido, causados pelo bloqueio da circulação do sangue pelas bolhas. Por isso, a subida de um mergulhador deve ser feita lentamente. Caso ocorra a formação de bolhas, um dos efeitos sobre o mergulhador é a produção de cãibras. Nesse caso, o acidentado deve ser recolocado num ambiente à pressão alta e ser lentamente descompressado.  Efeitos da altitude Ao subir uma montanha, uma pessoa pode sentir uma série de distúrbios, que se tornam mais acentuados a partir dos 3 000 m. Os sintomas mais comuns são dificuldade de respirar, taquicardias com freqüências cardíacas superiores a 100/min, mal-estar generalizado, dores de cabeça, náusea, vômito, insônia etc. Esses efeitos se devem essencialmente à diminuição da pressão atmosférica, o que é conseqüência da diminuição da densidade do ar. Aos 5 000 m de altitude a pressão parcial de O 2 é aproximadamente a metade da pressão parcial ao nível do mar. Ou seja, só existe metade da quantidade de O 2 com relação ao nível do mar. Esse efeito é chamado hipoxia, isto é, baixo fornecimento de O 2 , e é também observado em balões dirigíveis em ascensão. Qualitativamente, podem-se resumir as mudanças funcionais com a altitude, para um indivíduo saudável normal e não treinado, da seguinte maneira: - Abaixo de 3 000 m: não existem efeitos detectáveis no desempenho da respiração, e o nível cardíaco, em geral, não se altera. - Entre 3000 e 4600 m: região de "hipoxia compensada" em que aparece um pequeno aumento dos ritmos cardíaco e respiratório, e uma pequena perda de eficiência na execução de tarefas complexas. - Entre 4 600 e 6 100 m: mudanças dramáticas começam a ocorrer. As freqüências respiratórias cardíaca aumentam drasticamente; pode aparecer a perda de julgamento crítico e controle muscular, e também entorpecimento dos sentidos. Estados emocionais podem variar desde a letargia até grandes excitações com FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 10 10 euforia ou mesmo com alucinações. Esse é o estado de "hipoxia manifesta". - Entre 6 100 e 7 600 m: essa é a região de "hipoxia crítica". Os sintomas são perda rápida controle neuromuscular, da consciência seguida de parada respiratória, e finalmente morte. Esses vários sintomas foram verificados na ascensão do balão "Zenith", a 15 de abril de 1875 a França, que chegou a atingir 8 600 m, causando a morte de dois dos três membros da expedição. Apesar de reservatórios de gás contendo 70% de oxigênio haver sido incluído no equipamento a hipoxia provocou a redução do juízo crítico e do controle muscular de seus tripulantes, Permitindo o uso do oxigênio quando isso se fez necessário.  O QUE SIGNIFICAM OS NÚMEROS DE UMA MEDIDA DE PRESSÃO ARTERIAL? Significam uma medida de pressão calibrada em milímetros de mercúrio (mmHg). O primeiro número, ou o de maior valor, é chamado de sistólico, e corresponde à pressão da artéria no momento em que o sangue foi bombeado pelo coração. O segundo número, ou o de menor valor é chamado de diastólico, e corresponde à pressão na mesma artéria, no momento em que o coração está relaxado após uma contração. Não existe uma combinação precisa de medidas para se dizer qual é a pressão normal, mas em termos gerais, diz-se que o valor de 120/80 mmHg é o valor considerado ideal. Contudo, medidas até 140 mmHg para a pressão sistólica, e 90 mmHg para a diastólica, podem ser aceitas como normais. O local mais comum de verificação da pressão arterial é no braço, usando como ponto de ausculta a artéria braquial. O equipamento usado é o esfigmomanômetro ou tensiômetro, vulgarmente chamado de manguito, e para auscultar os batimentos, usa-se o estetoscópio. TABELA DE VALORES MÉDIOS NORMAIS DE PRESSÃO ARTERIAL IDADE EM ANOS PRESSÃO ARTERIAL EM mmhg 4 85/60 6 95/62 10 100/65 12 108/67 16 118/75 Adulto 120/80 Idoso 140-160/90-100  Medidores de baixa pressão:  Bombas de Vácuo – As bombas de vácuo são utilizadas quando queremos exaurir o ar de um sistema a ser exaurido. A seguir ilustramos as denominações das regiões de diferentes pressões e o tipo de bomba utilizado para atingi-las. As bombas de vácuo podem ser classificadas como: 1. Bombas com deslocamento de gás - retiram os gases do sistema expelindo-os para a atmosfera 2. Bombas que trabalham a partir da pressão atmosférica (bombas rotativas) 3. Bombas que trabalham à pressões subatmosférica - requerem a ligação a uma bomba de vácuo primária para remover os gases para a atmosfera (bombas rotativas e bombas de vapor) 4. Bombas de fixação - retêm os gases dentro da própria bomba. Para se atingir baixas pressões associam-se duas ou mais bombas de vácuo, constituindo, assim, sistemas ou grupos de bombeamento. Nas bombas mecânicas há passagem de gás da entrada para a saída provocada pela transferência de momento linear (energia) entre um meio motor e o gás. Ex: bombas rotatórias (vácuo primário), as "roots" e bombas moleculares (alto vácuo). Nas bombas de vapor o vapor de água, mercúrio ou óleo de baixa tensão de vapor é que arrasta as moléculas de gás da entrada para a saída da bomba. Esses tipos de bombas FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 11 11 necessitam sempre de bombas de pré-vácuo associadas, de modo que o vapor seja orientado no sentido mais conveniente à extração dos gases. Classificação de bombas à vapor: a. Ejetores de vapor - 1013 a 4.10 -2 mbar b. Difusoras - < 10 -3 mbar c. "Booster"- 10 -2 a 10 -4 mbar A razão de compressão de uma bomba de vácuo é definida como o quociente entre as pressões à saída da bomba e à entrada, prestando-se como um parâmetro de caracterização de bombas mecânicas e de vapor. Ao contrário, nas bombas de fixação o gás é retirado do volume a bombear fixando-se em paredes que tem a propriedade de "bombear" gases, não havendo compressão do gás e este também não é expulso à atmosfera. As bombas de fixação atingirão uma saturação ao final de um período de trabalho mais ou menos longo, podendo ser regenerada. Os processos de fixação dependem das ligações que se estabelecem entre as moléculas da parede e do gás a bombear, o que faz com que o bombeamento seja seletivo. Processos para que ocorra a fixação, podem ser classificados em: a. Absorção - quando as moléculas penetram no interior da parede e ficam inclusas no material. Ex.: zeolita, alumina, carvão ativado. Este processo geralmente é reversível b. Adsorção - uma camada de gás se deposita numa superfície estabelecendo ligações entre suas moléculas e a superfície. As ligações podem ser químicas (forte) ou físicas (fracas). c. Ionização - quando ocorre a ionização das moléculas seguida de penetração dos íons com grande energia nos materiais da parede. d. Condensação - ocorre a condensação das moléculas numa superfície arrefecida. As bombas de fixação mais utilizadas são: bombas de absorção; bombas de adsorção; bombas iônicas e de adsorção; bombas criogênicas. - Bombas Rotatórias com Vedação a Óleo Bombas rotatórias são aquelas que asseguram o vácuo primário. As bombas rotatórias consistem de um corpo cilíndrico (estator) e o rotor montado no centro do estator. Fundamentalmente são compressores que extraem os gases do sistema lançando-os na atmosfera. A vedação é feita com óleo que também serve como lubrificante dos componentes móveis. Os óleos usados tem tensão de vapor bastante baixa. As bombas rotatórias dividem- se em: 1. Bombas de pistão rotatório 2. Bombas de palhetas 2.1. duas palhetas 2.2. palheta simples Podem ainda ser de um ou dois estágios. É comum exprimir a velocidade de bombeamento das bombas rotatórias em L/min, podendo ter valores entre 10 a 90.000 L/min. Bombas de um estágio atingem pressão limite de 10-2 mbar e de dois estágios de 10 -4 mbar. Para melhorar o bombeamento quando existem vapores, as bombas estão geralmente equipadas com um balastro ("gas ballast"), ou seja, uma pequena válvula de entrada de ar, regulável, situada numa posição que corresponde quase ao fim do ciclo, portanto, à fase de compressão. Figura 11 – Esquema de uma bomba mecânica rotativa. R H A F G E D C B FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 12 12 Óleo - Características: - Pressão: 10 -2 Pa  Componentes: C: Cilindro excêntrico. F: Mola. H: Abertura da parte superior. G: Válvula. A: Tubo que liga o recipiente a ser exaurido R à bomba de vácuo. B: Espaço onde passa o ar. D: Palheta deslizante. Aplicações: Lâmpadas elétricas, tubos de imagem de TV, tubos de osciloscópios, células fotoelétricas, tubos de raios X, etc. - Bomba Difusora e Bombas Moleculares: Uma bomba difusora é constituída por um invólucro cilíndrico dentro do qual existem uns vaporizadores para o líquido da bomba e sobre este uma chaminé que conduz o vapor aos vários andares de ejetores. As moléculas do vapor do fluido ao saírem dos ejetores arrastam as moléculas do gás existente dentro da bomba para baixo e de encontro às paredes da bomba. Como estas são arrefecidas, por circulação de água ou ar, dá-se a condensação do fluido que volta ao vaporizador. O gás arrastado é comprimido na parte inferior de onde é retirado pela bomba rotatória associada à bomba de difusão. O vácuo atingido por estas bombas é determinado pela tensão de vapor do fluido da bomba. Os fluidos utilizados em bombas de difusão são: mercúrio (Hg) ou óleos especiais de muito baixa tensão de vapor. Quando se usa o mercúrio é necessário colocar uma armadilha criogênica ("trap") de nitrogênio líquido entre a bomba e o volume a bombear para condensar o vapor de Hg, visto que a tensão de vapor de mercúrio à temperatura ambiente (20 o C) é de aproximadamente 10 -3 mbar. Na associação: bomba de pré-vácuo (rotatória) e bomba de difusão, esta última nunca deve ser ligada sem que se estabeleça antes um vácuo primário de 10-1 mbar, caso contrário, o óleo ou mercúrio oxidam-se devido ao aquecimento na presença do ar. As bombas moleculares baseiam-se na transferência de energia de um rotor a grande velocidade para as moléculas de gás situadas entre o rotor e o estator. Às moléculas é dada energia de modo que saiam do sistema a evacuar. As bombas moleculares dividem-se em: bombas de arrastamento molecular e bombas turbomolecular.  Desenho esquemático: FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 13 13 - Bombas criogênicas O funcionamento destas bombas baseia-se na introdução de uma superfície arrefecida a temperatura muito baixa no volume a bombear. Os gases existentes nesse volume são condensados até atingirem pressões da ordem das suas tensões de vapor à temperatura da superfície. Utilizando nitrogênio líquido (77K) para arrefecer a superfície, consegue-se um aumento muito grande da velocidade de bombeamento, pois uma parte dos gases residuais são condensáveis a essa temperatura. Consegue-se um bombeamento eficaz do vapor d‘água, mas a velocidade de bombeamento é muito baixa para o oxigênio e nula para o nitrogênio, hidrogênio e outros gases. Pode-se ainda usar o hélio líquido (4,2K). Medidores de vácuo  Pirani Este tipo de medidor é formado por um tubo metálico ou de vidro, e um filamento aquecido instalado no centro tubo. Mede-se a variação da resistência deste filamento que está a temperatura de 120 o C. A remoção do calor do filamento faz-se por meio dos átomos e moléculas que colidem com o filamento. estes recebem energia térmica do filamento e perdem-na em choques com a parede de tubo que está a temperatura mais baixa. A perda de calor pelo filamento é função do número de moléculas presentes, e portanto, da pressão. Em geral, o filamento faz parte de uma ponte de resistência e avariação da resistência é medida pelo desequilíbrio da ponte. Medidores Pirani medem pressões até 10 -3 a 10 -4 mbar. FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 14 14 Otto von Guericke (Magdeburgo, 1602 — Hamburgo, 1686) foi um físico alemão que se notabilizou pelo estudo do vácuo e da electrostática. Por volta de 1650, construiu uma máquina que provava os princípios da pneumática, realizou experiências com a pressão pneumática e com o vácuo. Concebeu experiências sobre a propagação do som e a extinção das chamas no vácuo. Em 1654 realizou uma série de experimentos chamados de experiência dos hemisférios de Magdeburg, onde estudou os efeitos da pressão atmosférica. Otto von Guericke projetou e construiu a primeira máquina geradora de eletrostática, constituída essencialmente de um globo de enxofre de onde saltavam centelhas,que o levaram a teorizar a natureza elétrica dos meteoros luminosos, em especial dos relâmpagos. Tensão Superficial Alguns insetos podem flutuar sob o topo da superfície da água, embora sua densidade seja diversas vezes superior a da água, seus pés cortam ligeiramente a superfície da água, mas não penetram na água. Essa situação exemplifica o fenômeno da tensão superficial, a superfície comporta como uma membrana submetida a uma tensão. As moléculas de um líquido exercem força de atração mútua; a força resultante sobre qualquer molécula no interior do volume do líquido é igual a zero, porém uma molécula na superfície é puxada para dentro do volume. Portanto, o líquido tende a minimizar a área da superfície como no caso de uma membrana. As gotas de chuva em queda livre são esféricas (e não em forma de gotas de lágrima) porque a esfera é a forma que possui a menor área superficial para um dado volume. A figura A abaixo mostra esse exemplo. Figura A – Impacto produzido por uma gota de água que cai sobre um líquido. A figura B mostra como podemos fazer medidas quantitativas da tensão superficial. Um arame é encurvado em forma de U e um segundo fio retilíneo desliza sobre os ramos do U. Quando esse dispositivo é mergulhado em uma solução de água e sabão e em seguida retirado, criando uma película, a força da tensão superficial puxa rapidamente o fio de arame no sentido do topo do U invertido (se o peso w do fio deslizante não for muito grande). Quando puxamos o fio para baixo, fazendo aumentar a área da película, as moléculas se movem no interior do líquido (cuja espessura corresponde a muitas camadas moleculares) para as camadas superficiais. Estas camadas não se contraem simplesmente como no caso de uma membrana de borracha. Ao contrário, cria-se uma membrana mais extensa pela aglutinação de moléculas provenientes do interior do líquido. FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 15 15 Para manter o fio deslizante em equilíbrio, é necessário uma força resultante F w T = + orientada de cima para baixo. No equilíbrio, a força F também é igual à força de tensão superficial exercida pela película sobre o fio. Seja l o comprimento do fio deslizante. A película possui uma face superior e uma inferior, de modo que a força F atua sobre um comprimento total igual a 2l. A tensão superficial da película é definida como a razão da força da tensão superficial e o comprimento d ao longo do qual a força atua. 2 F F d l t = = Figura B – Medida da tensão superficial de uma película de água de sabão (região sombreada). O fio horizontal deslizante está em equilíbrio sob a ação da força da tensão superficial 2tl de baixo para cima e da força w+T orientada para baixo. A tensão superficial é uma força por unidade de comprimento e sua unidade SI é o Newton por metro.  Unidade: SI: N/m CGS: dina/cm 3 1 10 din N cm m ÷ = A tabela A mostra alguns valores de tensão superficial. Tabela A – Valores de tensão superficial para algumas substâncias. Líquido em contato com o ar u C ( 0 C) tensão superficial dyn/cm Benzeno 20 28,9 Tetracloreto de carbono 20 26,8 Álcool etílico 20 22,3 Glicerina 20 63,1 Mercúrio 20 465,0 Óleo de oliva 20 32,0 Solução de sabão 20 25,0 Água 0 75,6 Água 20 72,8 Água 60 66,2 Água 100 58,9 Oxigênio -193 15,7 Neônio -247 5,15 Hélio -269 0,12 A tensão superficial de um líquido geralmente diminui com o aumento da temperatura. Quando a temperatura aumenta, as moléculas do líquido movem-se mais rapidamente, a interação entre as moléculas diminui e a tensão superficial diminui. Para lavar melhor a roupa, deve-se ter uma menor tensão superficial possível, para que a água consiga entrar pelas fibras mais facilmente. (Solução de sabão). Capilaridade Quando uma interface gás-líquido encontra uma superfície sólida, como a parede de um recipiente, a interface geralmente se encurva para cima ou para baixo nas vizinhanças da superfície sólida. O ângulo de contato u entre a interface e a superfície sólida é denominado de ângulo de contato. Quando as moléculas de um líquido são atraídas mutuamente, dizemos que o líquido ―molha‖ ou adere à superfície do sólido. A interface gás-líquido se encurva para cima e u é menor que 90 0 . O líquido não molha a superfície sólida quando a atração mútua entre as moléculas do líquido supera a atração entre elas e o sólido, como no caso do mercúrio com o vidro, a interface gás-líquido se encurva para baixo e u é maior do que 90 0 . A tensão superficial faz um líquido descer ou subir em um tubo capilar. Esse efeito denomina-se capilaridade. A superfície curva do líquido denomina-se menisco. FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 16 16 Quando: u < 90 0 · Força de tensão superficial:  atua de baixo para cima e o líquido sobe até atingir uma altura de equilíbrio na qual o peso da coluna do líquido é igual à força de tensão superficial. u > 90 0 · Força de tensão superficial:  O menisco se encurva para baixo e a superfície do líquido sofre uma depressão, puxada para baixo pelas forças de tensão superficial. A capilaridade é responsável pela absorção de água no papel toalha, pela ascensão da parafina fundida no pavio de uma vela e por muitos outros efeitos observados, como quando o sangue é bombeado pelas artérias e veias do nosso corpo, a capilaridade é responsável pelo escoamento através dos vasos sangüíneos muito finos que são chamados de vasos capilares. Figura C - Vazão - INTRODUÇÃO: A medição de vazão de fluidos sempre esteve presente na era da modernidade. Não precisamos ir muito longe. O hidrômetro de uma residência, o marcador de uma bomba de combustível são exemplos comuns no dia-a-dia das pessoas. Em muitos processos industriais, ela é uma necessidade imperiosa, sem a qual dificilmente poderiam ser controlados ou operados de forma segura e eficiente. A vazão é obtida através da variação de velocidade média em duas secções de áreas conhecidas com aplicação do Teorema de Bernoulli. Existem os coeficientes adimensionais C q característicos para cada diafragma e cada venturi. TEORIA A pressão no manômetro diferencial é dada por: ( ) h g p O H Hg A ÷ = A 2 µ µ ( ) ( ) 2 1 2 h h g p O H Hg ÷ ÷ = A µ µ {1} - Equação da continuidade: 1 2 1 1 2 2 m m V V µ µ = · A = A Para fluidos incompressíveis: 1 1 2 2 v A v A = {2} - Equação de Bernoulli: 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 v v p gy p gy µ µ µ µ + + = + + {3} Substituindo {2} em {3}, a velocidade é dada por: 2 2 2 q H O p v c µ A = Com: 2 4 1 1 2 2 4 4 1 2 1 2 q A d c A A d d = = ÷ ÷ A vazão será: 1 1 2 2 Q A v A v = · = Medidores de vazão Na História, grandes nomes marcaram suas contribuições. Provavelmente a primeira foi dada por Leonardo da Vinci que, em 1502, observou que a quantidade de água por unidade de tempo que escoava em um rio era a mesma em qualquer parte, independente da largura, FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 17 17 profundidade, inclinação e outros. Mas o desenvolvimento de dispositivos práticos só foi possível com o surgimento da era industrial e o trabalho de pesquisadores como Bernoulli, Pitot e outros. Existe uma variedade de tipos de medidores de vazão, simples e sofisticados, para as mais diversas aplicações. O tipo a usar sempre irá depender do fluido, do seu estado físico (líquido ou gás), das características de precisão e confiabilidade desejadas e outros fatores. - Placa de Orifício ou Diafragma É um dos meios mais usados para medição de fluxos. Dados de entidades da área de instrumentação mostram que, nos Estados Unidos, cerca de 50% dos medidores de vazão usados pelas indústrias são deste tipo. Certamente as razões para tal participação devem ser as vantagens que apresenta: simplicidade custa relativamente baixa, ausência de partes móveis, pouca manutenção, aplicação para muitos tipos de fluido, instrumentação externa, etc. Desvantagens também existem: provoca considerável perda de carga no fluxo, a faixa de medição é restrita, desgaste da placa, etc. Um arranjo comum é dado na Figura 1. A placa (indicada em vermelho) provoca uma redução da seção do fluxo e é montada entre dois anéis que contêm furos para tomada de pressão em cada lado. O conjunto é fixado entre flanges, o que torna fácil sua instalação e manutenção. A medição da diferença de pressão p 1 -p 2 pode ser feita por algo simples como um manômetro U e uma tabela ou uma fórmula pode ser usada para calcular a vazão. Ou pode ser coisa mais sofisticada como transdutores elétricos e o sinal processado por circuitos analógicos ou digitais para indicação dos valores de vazão. Figura 1 – Placa de Orifício. - Tubo de Venturi O chamado tubo de Venturi, em homenagem ao seu inventor (G B Venturi, 1797). Figura 2 – O tubo de Venturi Figura 3 – Arranjos de alguns medidores. O arranjo 2 é chamado bocal. Pode ser considerado uma placa de orifício com entrada suavizada. Em 3 um cone é o elemento redutor de seção. No tipo joelho (4) a diferença de pressão se deve à diferença de velocidade entre as veias interna e externa. Há menor perda de carga no fluxo, mas o diferencial de pressão é também menor. - Medidores de área variável (Rotâmetro) Embora possa ser visto como um medidor de pressão diferencial, o rotâmetro é um caso à parte por sua construção especial. A Figura 4 dá um arranjo típico. Um tubo cônico vertical de material transparente (vidro ou plástico) contém um flutuador que pode se mover na vertical. Para FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 18 18 evitar inclinação, o flutuador tem um furo central pelo qual passa uma haste fixa. A posição vertical y do flutuador é lida numa escala graduada (na figura, está afastada por uma questão de clareza. Em geral, é marcada no próprio vidro). Figura 4 – Arranjos de um medidor de área variável. Se não há fluxo, o flutuador está na posição inferior 0. Na existência de fluxo, o flutuador sobe até uma posição tal que a força para cima resultante da pressão do fluxo se torna igual ao peso do mesmo. Notar que, no equilíbrio, a pressão vertical que atua no flutuador é constante, pois o seu peso não varia. O que muda é a área da seção do fluxo, ou seja, quanto maior a vazão, maior a área necessária para resultar na mesma pressão. Desde que a vazão pode ser lida diretamente na escala, não há necessidade de instrumentos auxiliares como os manômetros dos tipos anteriores. - Medidores de deslocamento positivo Os medidores de deslocamento positivo operam de forma contrária a bombas de mesmo nome: enquanto nessas um movimento rotativo ou oscilante produz um fluxo, neles o fluxo produz um movimento. A Figura 5 dá exemplo de um tipo de lóbulos elípticos que são girados pelo fluxo. Existem vários outros tipos aqui não desenhados: disco oscilante, rotor com palhetas, pistão rotativo, engrenagem, etc. O movimento rotativo ou oscilante pode acionar um mecanismo simples de engrenagens e ponteiros ou dispositivos eletrônicos nos mais sofisticados. Em geral, não se destinam a medir a vazão instantânea, mas sim o volume acumulado durante um determinado período. São mais adequados para fluidos viscosos como óleos (exemplo: na alimentação de caldeiras para controlar o consumo de óleo combustível). Algumas vantagens são: - adequados para fluidos viscosos, ao contrário da maioria. - baixo a médio custo de aquisição. Algumas desvantagens: - não apropriados para pequenas vazões. - alta perda de carga devido à transformação do fluxo em movimento. - custo de manutenção relativamente alto. - não toleram partículas em suspensão e bolhas de gás afetam muito a precisão. Figura 5 – Medidores de deslocamento positivo. - Medidores do tipo turbina O fluxo movimenta uma turbina cuja pás são de material magnético. Um sensor capta os pulsos, cuja freqüência é proporcional à velocidade e, portanto, à vazão do fluido. Os pulsos podem ser contados e totalizados por um circuito e o resultado dado diretamente em unidades de vazão. Desde que não há relação quadrática como nos de pressão diferencial, a faixa de operação é mais ampla. A precisão é boa. Em geral, o tipo é apropriado para líquidos de baixa viscosidade. Existem outras construções como, por exemplo, os hidrômetros que as companhias de água instalam nos seus consumidores: a turbina aciona um mecanismo tipo relógio e ponteiros ou dígitos indicam o valor acumulado. Figura 6 – Medidores do tipo turbina. - Medidores Eletromagnéticos FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 19 19 Os medidores eletromagnéticos têm a vantagem da virtual ausência de perda de pressão, mas só podem ser usados com líquidos condutores de eletricidade. O princípio se baseia na na lei de Faraday, isto é, uma corrente elétrica é induzida num condutor se ele se move em um campo magnético ou vice-versa. Na figura 7, um tubo de material não magnético contém duas bobinas que geram um campo magnético B no seu interior. Dois eletrodos são colocados em lados opostos do tubo e em direção perpendicular ao campo. O fluido faz o papel do condutor e a tensão V gerada tem relação com a velocidade do fluxo e, portanto, com a sua vazão. Figura 7 – Medidores Eletromagnéticos - Medidores de Efeito Döppler Esses medidores estão na categoria dos ultra-sônicos pois usam ondas nesta faixa de freqüências. Só devem ser usados com fluidos que tenham partículas em suspensão. Um elemento transmissor emite ultra-som de freqüência conhecida. As partículas em suspensão no fluido refletem parte das ondas emitidas. Desde que estão em movimento, o efeito Döppler faz com que as ondas sejam captadas pelo elemento receptor em freqüência diferente da transmitida e a diferença será tanto maior quanto maior a velocidade, ou seja, há relação com a vazão do fluxo. Figura 8 – Medidores de Efeito Döppler - Medidores de Coriolis No arranjo da figura 9, o fluido passa por um tubo em forma de U dotado de uma certa flexibilidade. Um dispositivo magnético na extremidade e não mostrado na figura faz o tubo vibrar com pequena amplitude na sua freqüência natural e na direção indicada. O nome é dado devido ao efeito da aceleração de Coriolis. Na época da elaboração desta página, este fenômeno ainda não estava inserido neste website e, por isso, não cabem mais detalhes. Mas o resultado é indicado na figura. A aceleração de Coriolis provoca esforços em sentidos contrários nas laterais do U, devido à oposição dos sentidos do fluxo. E, visto de frente, o tubo é deformado e isso pode ser captado por sensores magnéticos. A grande vantagem deste tipo é ser um medidor de fluxo de massa e não de volume. Assim, não há necessidade de compensações para mudanças de condições de temperatura e pressão. Pode ser usado com uma ampla variedade de fluidos. Desde tintas, adesivos até líquidos criogênicos. Figura 9 – Medidores de Coriolis Tipo Utilização Faixa Perda de pressão Precisão aprox % Comprim prévio diam Sensib à viscosid Custo relativo Bocal Líquidos comuns. 4:1 Média ±1/±2 da escala 10 a 30 Alta Médio Coriolis Líquidos comuns, viscosos, alguma suspensão. 10:1 Baixa ±0,4 da proporção Não há Não há Alto FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 2 2 Deslocamento positivo Líquidos viscosos sem suspensões. 10:1 Alta ±0,5 da proporção Não há Baixa Médio Eletromagnético Líquidos condutivos com suspensões 40:1 Não há ±0,5 da proporção 5 Não há Alto Joelho Líquidos comuns. Alguma suspensão. 3:1 Baixa ±5/±10 da escala 30 Baixa Baixo Placa de orifício Líquidos comuns. Alguma suspensão. 4:1 Média ±2/±4 da escala 10 a 30 Alta Baixo Rotâmetro Líquidos comuns. 10:1 Média ±1/±10 da escala Nenhum Média Baixo Tubo de Pitot Líquidos sem impurezas. 3:1 Muito baixa ±3/±5 da escala 20 a 30 Baixa Baixo Tubo de Venturi Líquidos comuns. Alguma suspensão. 4:1 Baixa ±1 da escala 5 a 20 Alta Médio Turbina Líquidos comuns. Pouca suspensão. 20:1 Alta ±0,25 da proporção 5 a 10 Alta Alto Ultra-sônico (Doppler) Líquidos viscosos com suspensões. 10:1 Não há ±5 da escala 5 a 30 Não há Alto Mecânica dos Fluidos 1 - Manômetros de coluna Os Manômetros de coluna de líquido são aparelhos básicos destinados a medir pressão ou vácuo e servem também como padrões primários, isto é, são utilizados como padrão para calibração de outros aparelhos. De construção simples, conseqüentemente apresentam baixo custo, além de apresentar vantagens tais como: não requer manutenção, calibragem especial e permite medições com grande precisão. Atualmente tais instrumentos podem ser encontrados em diferentes tipos de aplicação industrial que passamos a descrever: 1 - Verificação de Vazamento: As Colunas Manométricas servem para a verificação e controle de vazamentos através de queda de pressão em testes de câmaras de pressão em peças, teste de purificador de ar etc. 2 - Determinação de Velocidade de Fluxo de Ar: As Colunas Manométricas servem para determinar o fluxo de ar em tubulações através da medição da pressão diferencial em testes de aparelhos de movimentação de ar, testes de carburadores, testes de coletores de poeira e também servem para medir o nível de interface de líquidos, quando estes estão armazenados sob um outro líquido por questão de segurança ou outras razões quaisquer. 3 - Medição de Nível de Líquidos Armazenados: As Colunas Manométricas também podem ser utilizadas para medir nível de líquidos armazenados em tanques através do registro da pressão exercida sobre uma coluna de líquido baseando-se no princípio do balanceamento hidrostático. DEFINIÇÕES E PRINCÍPIOS PARA FAZER MEDIÇÕES COM COLUNAS MANOMÉTRICAS No mundo contemporâneo, torna-se cada vez mais necessária a medição e controle de determinados parâmetros dos processos, com a finalidade de atender aos mais variados tipos de especificações técnicas, por este motivo a PRESSÃO pode ser considerada como uma das mais importantes grandezas físicas que atua nestes referidos processos. Por definição, Pressão é igual à relação entre a Força uniformemente distribuída sobre a unidade de área e atuando sobre ela; e um dos métodos mais preciosos para medi-la consiste em equilibrar a coluna de líquido, cujo peso específico é conhecido, com a pressão aplicada. Para instrumentos com Coluna de Líquido, o princípio da medição consiste no fato de que ao se aplicar a lei D p= D h.. .g, a pressão "p" para ser medida deve ser comparada com a altura "h" da coluna de líquido. Figura 10 – Variação da altura. Os Instrumentos que empregam tal princípio são denominados "Manômetros de Coluna" e a precisão da medição, com auxílio de tais instrumentos, pode chegar até 0,3%. Para se fazer medições com maior precisão é necessário que sejam considerados vários fatores, tais como: a - Temperatura: realizar cálculos de correção se a temperatura de medição diferir da temperatura de referência, pois a variação de temperatura provoca mudanças na densidade do líquido manométrico. b - Aceleração da gravidade deve ser considerada no local da medição com o seu valor de referência. c - Impurezas contidas no líquido manométrico também provocam mudanças na densidade, conseqüentemente causando erros de leitura. d - A influência da Tensão Superficial e sua mudança causada por efeitos externos, assim como a compressibilidade do líquido manométrico deve ser considerada. A tensão superficial dos líquidos é apresentada pela forma que apresentam nas paredes do recipiente. Em tubos de diâmetro pequeno a forma da superfície total do líquido será curvada, sendo que, para os líquidos que tiverem baixa tensão superficial, a superfície terá a forma convexa em relação ao ar. Com a finalidade de minimizar qualquer efeito de distorção no aumento da capilaridade em tubos de diâmetros pequenos estes devem possuir diâmetros constantes. Mecânica dos Fluidos 2 As unidades de pressão mais usadas na prática são: a - Milímetros ou polegadas de mercúrio ( mmHg ou "Hg ) b - Milímetros ou polegadas de coluna d'água ( mmH2O ou "H2O ) c - Bar ou milibar ( bar ou mbar ) d - Libra (força) por polegada quadrada (PSI ) A IOPE fornece escalas com as unidades de pressão acima citadas e em diversos tamanhos para atender a vários campos de leitura. Tais escalas podem ser construídas de materiais tais como: alumínio, aço inox, etc.., de acordo com a aplicação do instrumento. Flanges Figura 10 – Flanges e tubos. Mecânica dos Fluidos 3 Viscosidade  INTRODUÇÃO: Ao promover o movimento de uma esfera em um fluido ideal de viscosidade q em regime estacionário, as linhas de corrente formam um desenho perfeitamente simétrico em torno da mesma. Haverá uma força de arrastamento viscoso. Jean Louis Poiseuille (1799 – 1869) foi um físico francês que realizou experimentos relacionados à viscosidade de fluidos. Em homenagem a seus trabalhos, denomina-se a unidade de viscosidade como Poise. A Lei de George Stokes da viscosidade estabeleceu a ciência de hidrodinâmica. Realizou trabalho sobre esferas e várias relações de fluxo que variam de mecânicas de onda a resistência viscosa. Estudou o movimento de fluidos incompressíveis, a fricção de fluidos em movimento, e o equilíbrio e movimento de sólidos elásticos. Seus trabalhos na transmissão de ondas acústicas por materiais viscosos é de interesse na Física. Investigando a teoria de onda de luz, nomeou e explicou o fenômeno de fluorescência, e teorizou uma explicação de linhas de Fraunhofer no espectro solar. Ele sugeriu que estes fossem causados através de átomos nas capas exteriores do Sol que absorve certos comprimentos de onda. Porém quando Kirchhoff publicou depois esta explicação aboliram-se quaisquer descobertas anteriores. A seguir analisaremos a força dada pela Lei de Stokes em fluidos viscosos.  TEORIA A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto é, das forças de coesão entre moléculas relativamente juntas. Desta maneira, enquanto que a viscosidade dos gases cresce com o aumento da temperatura, nos líquidos ocorre o oposto. Com o aumento da temperatura, aumenta a energia cinética média das moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo que as moléculas passam umas junto das outras, menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e menor a viscosidade. Para entender a natureza da viscosidade nos líquidos, suponhamos duas placas sólidas planas, uma sobre a outra, com um fluído contínuo entre elas. Aplicando uma força constante a uma das placas, a experiência mostra que ela é acelerada até atingir uma velocidade constante (chamada velocidade terminal). Se a intensidade da força aplicada for duplicada, por exemplo, a velocidade terminal também duplica. A velocidade terminal é proporcional à força aplicada. Pensando que o líquido entre as placas se separa em lâminas paralelas, o efeito da força aplicada é o de produzir diferenças de velocidade entre lâminas adjacentes. A lâmina adjacente à placa móvel se move junto com ela e a lâmina adjacente à placa imóvel permanece também imóvel. O atrito entre lâminas adjacentes causa dissipação de energia mecânica e é o que causa a viscosidade no líquido. É um fato experimental que o módulo F da força aplicada, necessária para manter o movimento da placa com velocidade de módulo v constante, é diretamente proporcional à área A da placa e ao módulo da velocidade e inversamente proporcional à distância L entre as placas. Assim, podemos escrever: v dv F A dL q = definindo o chamado coeficiente de viscosidade q do fluido, que depende do fluido e da temperatura. No SI, a unidade correspondente é pascal x s e no sistema cgs, o poise, de modo que 1 Pa x s = 10 poise. A tabela abaixo mostra alguns coeficientes de viscosidade. Coeficientes de Viscosidade Líquidos (poise) Gases (10 -4 poise) Glicerina (20 o C) 8,3 Ar (0 o C) 1,71 Água (0 o C) 0,0179 Ar (20 o C) 1,81 Água (100 o C) 0,0028 Ar (100 o C) 2,18 Éter (20 o C) 0,0124 Água (100 o C) 1,32 Mercúrio (20 o C) 0,0154 CO 2 (15 o C) 1,45 Os coeficientes de viscosidade dos óleos lubrificantes automotivos são normalmente expressos em SAE. Um óleo cuja viscosidade SAE é 10 a 55 o C, por exemplo, possui viscosidade entre 1,6 e 2,2 poise. Ao definirmos o coeficiente de viscosidade escolhemos o caso em que o fluido, por efeito do movimento de uma das placas, separava-se em camadas muito estreitas, com a camada em contato com cada placa tendo a velocidade desta placa e as camadas intermediárias tendo velocidades que variam linearmente de uma placa para a outra. Tal escoamento é chamado laminar ou lamelar. Mecânica dos Fluidos 4 O cociente t = F/A é chamado tensão de cisalhamento. De modo geral: dv A dL t = mostrando a variação da velocidade das camadas de fluido com a distância à placa parada. Esta expressão representa a chamada lei de Newton para a viscosidade e o fluido para o qual ela é verdadeira é chamado fluido newtoniano. Entretanto, existem fluidos como os que são suspensões de partículas que não seguem esta lei. Por exemplo, o sangue, uma suspensão de partículas com formas características, como discos, no caso das células vermelhas. As partículas têm orientações aleatórias em pequenas velocidades, mas tendem a se orientar a velocidades mais altas, aumentando o fluxo, com a velocidade crescendo mais rapidamente do que a força.  Equação de Poiseuille A equação que governa o movimento de um fluido dentro de um tubo é conhecida como equação de Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade, embora ela realmente só é válida para escoamento não-turbulento (escoamento laminar). O sangue fluindo através dos canais sangüíneo não é exatamente um escoamento laminar. Mas aplicando a equação de Poiseuille para essa situação é uma aproximação razoável em primeira ordem, e leva a implicações interessantes. A equação de Pouiseuille para a taxa de escoamento (volume por unidade de área), Q, é dada por: 4 8 R p Q L t A = onde P 1 -P 2 é a diferença de pressão entre os extremos do tubo, L é o comprimento do tubo, r é o raio do tubo, e h é o coeficiente de viscosidade. Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca de 4 x 10 -3 Pa s. A coisa mais importante a ser observada é que a taxa de escoamento é fortemente dependente no raio do tubo: r 4 . Logo, um decréscimo relativamente pequeno no raio do tubo significa uma drástica diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio por um fator 2, diminui o escoamento por um fator 16! Isto é uma boa razão para nos preocuparmos com os níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução das artérias. Uma pequena mudança no raio das artérias pode significar um enorme esforço para o coração conseguir bombear a mesma quantidade de sangue pelo corpo. Sob todas as circunstâncias em que se pode checar experimentalmente, a velocidade de um fluido real diminui para zero próximo da superfície de um objeto sólido. Uma pequena camada de fluido próximo às paredes de um tubo possui velocidade zero. A velocidade do fluido aumenta com a distância às paredes do tubo. Se a viscosidade de um fluido for pequena, ou o tubo possuir um grande diâmetro, uma grande região central irá fluir com velocidade uniforme. Para um fluido de alta viscosidade a transição acontece ao longo de uma grande distância e em um tubo de pequeno diâmetro a velocidade pode variar através do tubo.  Cálculo da Viscosidade em uma esfera: A esfera caindo com velocidade constante, termos a = 0. A segunda Lei de Newton fica: v F ma P E F = = ÷ ÷ E F v P A força viscosa é dada por: rv F tq 6 = mg rv g m f = + tq 6 e e e e V m V m µ µ = ¬ = f f f f f f V m V m µ µ = ¬ = 3 3 4 R V e t = Substituindo na equação (1) teremos: g R rv g R e f 3 3 3 4 6 3 4 t µ tq t µ = + g R rv g R e f 3 3 3 2 3 3 2 t µ tq t µ = + ( ) 0 9 2 3 = + ÷ rv g R e f tq t µ µ ( ) 0 9 2 3 = + ÷ Rv g R e f q µ µ ( ) v g R f e 2 9 2 µ µ q ÷ = Mecânica dos Fluidos 5 R: Raio da esfera. v: Velocidade terminal. Sistemas de Unidades: M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m 2 ] onde : 1 [ N ] = [ 1 Kg * m / s 2 ] C. G. S.: 1 [ ba ] = 1 [ din / cm 2 ] M.Kgf.S.: 1 [ Kgf / m 2 ] Outras unidades: 1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg = 1,033 Kgf / cm 2 = 1 atmosfera física. 1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg = 1,0 Kgf / cm 2 = 0,968 atN = 10 m.c.a. 1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa 1 ‖ = 2,54 cm 1 ‘ = 1 pé = 12 ‖ 1 jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ‘ 1 jd = 91,44 cm 1 pé = 30,48 cm 1 libra = 1 lb = 0,45359 Kg 1 litro = 1l = 10 -3 m 3 C. G. S. : 1 [ poise ] = [ g / cm * s ] Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 6 6 Exemplos de Viscosidade - these may help you get a feel for the cP Hydrogen @20°C 0.008 6 cP Benzyl ether @ 20°C 5.33 cP Ammonia @ 20°C 0.009 82 cP Glycol @ 20°C 19.9 cP Water vapor @100°C 0.125 5 Soya bean oil @ 20°C 69.3 cP Air @ 18°C 0.018 2 cP Olive oil @ 20°C 84.0 cP Argon @ 20°C 0.022 17 cP Light machine oil @ 20°C 102 cP Air @ 229°C 0.026 38 cP Heavy machine oil @ 20°C 233 cP Neon @ 20°C 0.031 11 cP Caster oil @ 20°C 986 cP Liquid air @ -192.3°C 0.173 cP Glycerin @ 20°C 1,490 cP Ether @ 20°C 0.233 cP Pancake syrup @ 20°C 2,500 cP Water @ 99°C 0.2848 cP Honey @ 20°C 10,000 cP Chloroform@ 20°C 0.58 cP Chocolate syrup @ 20°C 25,000 cP Methyl alcohol@ 20°C 0.597 cP Ketchup @ 20°C 50,000 cP Benzene @ 20°C 0.652 cP Peanut butter @ 20°C 250,000 cP Water @ 20°C 1.002 cP Tar or pitch @ 20°C 30,000,000,0 00 cP Ethyl alcohol @ 20°C 1.2 cP Soda Glass @ 575°C 1,000,000,00 0,000,000 cP Mercury @ 20°C 1.554 cP Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 7 7 Perfil de velocidades Tubo de Pitot e Medidor de Prandtl Perfil de velocidades – Medidor de Prandtl  Introdução e Teoria: Ludwig Prandtl (1875-1953) As contribuições de Ludwig Prandtl à mecânica dos fluidos incluem seu desenvolvimento da teoria para descrever o fenômeno de turbulência, e de seus estudos experimentais e teóricos da dinâmica de gases. Prandtl estudou mecânica e contribuiu à mecânica de meios contínuos durante toda a maioria de sua carreira. Entretanto, sua descoberta da camada do limite é considerada como uma das descobertas mais importantes da mecânica dos fluidos e atribuiu a Prandtl o título do pai da mecânica dos fluidos moderna. O tubo de Pitot-Prandtl é utilizado para medir a velocidade do fluido em um escoamento. Em particular, pode ser utilizado para medir a velocidade de um avião em relação ao ar. Outro fenômeno interessante é a condensação causada pela singularidade de Prandtl- Glauert que pode ser vista no vôo nivelado constante geralmente em baixas alturas, estando o ar em condições de umidade. Quando um avião se submete a certo tipo de manobra, pode causar pressões muito baixas na superfície superior das asas. As temperaturas correspondentes serão baixas, de forma que o vapor de água se condensa no lado superior da asa. Uma característica da condensação é que haverá muito mais condensação no lado superior da asa do que no lado mais baixo, e que está associado geralmente com voltas de elevadas acelerações g. Pode-se escrever, na transformação adiabática: PV k PV nRT ¸ = · = nRT nRT V P k P P ¸ | | = · = | \ . 1 T cP ¸ ¸ ÷ = Para o ar, ¸ = 1.4, assim: 1 0, 28 ¸ ¸ ÷ ~ . Assim, a temperatura do ar aumentará e diminuirá conforme a pressão aumenta e diminui. As regiões da alta pressão corresponderão necessariamente às regiões da alta temperatura e as regiões da pressão baixa corresponderão às regiões da temperatura baixa. O fenômeno causa uma aparência como vista na figura 1: Figura 1 - Foto de uma nuvem da condensação de Prandtl-Glauert em um avião com velocidade próxima à do som no ar. A equação de Bernoulli: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 gy v p gy v p µ µ µ µ + + = + + Chamando de 2 2 1 2 1 v p p p µ = ÷ = A f f p h g v µ A = A = 2 2 A figura mostra a seção reta de um duto cilindro, com a posição dos pontos nos quais se deve medir a velocidade, conforme a norma americana PIC 11-1946. Figura 2 – Seção reta do duto do laboratório conforme a norma americana PIC 11-1946. 37.5 mm 32.6 mm 27.6 mm 21.4 mm 12.3 mm 0 Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 8 8 Figura 3 –Estrutura interna do tubo de Pitot instalado no laboratório: Gaveta de Amianto Metal: Latão Pitot: Inox Gaveta de Amianto: Alumínio C oring: 1/8 Parafusos: Ø 3/8 Porca: 2,5" A pressão na abertura 1 é estática, p, e em 2 é: 2 2 1 v p µ + A altura manométrica h 3 é proporcional à diferença entre elas, ou seja: à pressão dinâmica 2 2 1 v µ . Assim:  Lei de Poiseuille Natureza da distribuição de tensão de cisalhamento (pg. 150 livro R. V. Guiles). p 1 A p 2 A v r o r v c r 0 r dr L Uma vez que o fluxo é constante, a soma das forças sobre o corpo livre é zero: ( ) L r p p rL r p r p 2 0 2 2 1 2 2 2 1 ÷ = ¬ = ÷ ÷ t t t t ( ) L r p p dr dv 2 2 1 ÷ = ÷ = q t ( ) 1 2 2 c v R v r p p r dv dv dr dr Lq ÷ = ÷ ¬ } } ( ) ( ) 1 2 2 2 4 c p p v v R r Lq ÷ ÷ = ÷ ( ) ( ) 2 2 2 1 4 r R L p p v v c ÷ ÷ + = q Ou f f p h g v µ A = A = 2 2  Taxa: Seja o volume de fluido dV que atravessa seus extremos no tempo dt dado por: ( ) ( ) rdrdt r R L p p dV t q 2 4 2 2 2 1 · ÷ ÷ = dA r v Q dA r v dt dV } = ¬ · = ¬ ) ( ) ( 4 8 pR Q L t q A = Perfil de velocidades Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 9 9 Vazão em Vertedores Introdução A forma básica mais comum de medida de descarga em um canal aberto é a utilização de um vertedor. Basicamente, um vertedor é um dispositivo colocado num canal que força o escoamento através de uma abertura projetada para medir a descarga. É uma obstrução em um canal aberto sobre o qual escoa um líquido. A descarga sobre o vertedor é função da geometria e da carga sobre o vertedor. Vertedores especializados têm sido projetados para fins específicos; dois tipos são considerados fundamentais: o de crista larga e o de crista delgada. Um vertedor projetado de forma apropriada exibirá um escoamento subcrítico na corrente a montante da estrutura e o escamento convergirá e acelerará até uma condição crítica próxima ao topo ou à crista do vertedor. Como resultado, poderá ser feita uma correlação entre a descarga e uma corrente de profundidade a montante do vertedor. O transbordo da corrente a jusante é denominado lâmina, a qual normalmente é descarregada livremente na atmosfera. Há uma série de fatores que afetam o desempenho de um vertedor; os mais significativos entre eles são os padrões do escoamento tridimensional, os efeitos da turbulência a resistência do atrito, a tensão superficial e a quantidade de ventilação abaixo da lâmina. As derivações simplificadas apresentadas nesse relatório se baseiam na equação de Bernoulli; outros efeitos podem ser levados em conta por meio da modificação da descarga ideal com um coeficiente de descarga C q ; a descarga real é a descarga ideal multiplicada pelo coeficiente de descarga. Teoria:  Vertedor de crista larga Um vertedor de crista larga é mostrado na figura 1. Figura 1 - Vertedor com crista larga. 2 2 c v g LE Y y e h (1) (2) Ele tem elevação suficiente acima do fundo para bloquear o escoamento e é suficientemente longo para que as linhas de corrente no transbordo se tornem paralelas, resultando em uma distribuição hidrostática de pressões. Pode-se aplicar a equação de Bernoulli: 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 v v p gh p gh µ µ µ µ + + = + + Ou 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 p v p v h h g g ¸ ¸ + + = + + Com ¸ = µg para os pontos (1) e (2) da figura. Assim: ( ) 2 2 2 c c c c v h Y h y v g Y y g + = + + · = ÷ Para um vertedor cuja largura normal ao escoamento é b, a descarga ideal é: ( ) 2 c c c c Q by v by g Y y = = ÷  Vertedor de crista delgada Um vertedor de crista delgada é uma placa vertical colocada na direção normal ao escoamento contendo uma crista de borda delgada, de forma que a lâmina vertente se comporte como um jato livre. Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 10 10 A figura 2 mostra um vertedor retangular com uma crista horizontal que se estende por toda a largura do canal. Figura 2 - Vertedor de crista delgada. q Y= H Lâmina crista v 2 (2) v 1 h (1) (1) (2) (a) Escoamento ideal (b) Escoamento real As contrações laterais não estão presentes por causa da existência de paredes laterais. Pode-se definir uma situação idealizada (Figura 2 – (a)), na qual o escoamento no plano vertical não se contrai a medida que passa sobre a crista, de forma que as linhas de corrente sejam paralelas e a pressão atmosférica esteja presente na linha vertente e exista um escoamento uniforme no ponto (1), com energia cinética desprezível (v 1 ~0). A equação de Bernoulli é aplicada ao longo de uma linha de corrente representativa e resolvida para a velocidade v 2 , a velocidade local na lâmina vertente será: 2 2 v gq = Se b é a largura da crista normal ao escoamento a descarga ideal é dada por: 2 0 0 2 Y Y Q b v d b g d q q q = = } } 3 2 2 2 3 b Q gY = Os experimentos têm mostrado que a magnitude do expoente é aproximadamente correta; porém deve ser aplicado um coeficiente de descarga C q para que seja previsto com acurácia para o escoamento real, mostrado na figura 2 (b): 3 2 2 2 3 q Q C gbY = A carga H=Y sobre o vertedor é definida como a distância vertical entre a crista do vertedor e a superfície do líquido a sua montante de tal forma que se evite a curvatura da superfície livre do líquido. A equação básica para a descarga do vertedor é definida como a integração de: Vldh VdA = Aqui V é a velocidade a uma altura h (vertical) da superfície livre e L=b é a largura do vertedor. - Vertedor Retangular: 2 3 2 LH g C Q r = L - Vertedor Triangular u 2 5 2 2 15 8 H tg g C Q t u = - Vertedor de Parede espessa 3 2 3 2 gH L C Q e = Sistema de Unidades: M.Kg.S. = [ Pa ] = [ 1 N * m - 2 ] Q = [ L * s - 1 ] = [ dm 3 * s - 1 ] Viscosidade: [kg][m] - 1[s] -1 (MKS) [poise] (CGS) - Equações de Navier Stokes As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão. A equação é uma equação diferencial parcial não-linear da segunda ordem,como segue: ( ) 2 t v v v p v g µ µ + · V = ÷V + V +        Onde: Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 11 11 v  : é um vetor que representa a velocidade de um elemento infinitesimal da massa em um ponto no espaço 3-D; p é a pressão escalar no mesmo ponto; µ: é a densidade maciça no ponto e é constante suposta durante todo o meio; µ: é a viscosidade do meio; g  : é a aceleração da gravidade A equação de N-S refere-se ao movimento de uma única partícula minúscula do campo fluido, não o movimento total do líquido. Entretanto, pode ser usada para calcular o fluxo de gases e de líquidos incompressíveis de objetos da forma arbitrária. É usada na dinâmica dos fluidos e na engenharia como um modelo padrão para o estudo da turbulência, o comportamento da camada do limite, a formação de ondas de choque, e o transporte maciço. Entre outras coisas, é usado para calcular o teste padrão do fluxo de ar nas asas de um avião. Foi estudada e aplicada por muitas décadas. . Um problema sobre as equações de Navier-Stokes, que nunca foi solucionado desde 1900, faz parte da lista dos Prêmios Clay e a sua resolução vale US$1000000. - Hidráulica Aplicada à tubulações http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido Entende-se por conduto forçado àquele no qual o fluido escoa à plena seção e sob pressão. Muitas vezes os condutos de seção circular são chamados de tubos ou tubulações. Um conduto é dito uniforme quando a sua seção transversal não varia com o seu comprimento. Se a velocidade do fluido em qualquer seção do conduto não variar com o tempo, o regime de escoamento é dito permanente. A densidade dos líquidos, ao contrário do que se passa com os gases, varia muito pouco quando se varia a sua pressão ou temperatura. A título de exemplo, considerando que a água tem compressibilidade igual a 5.10 -5 cm 2 / Kgf, isto significa que em condições normais seria necessário um incremento de pressão de 20 Kgf /cm 2 para que um litro de água se reduza de 1 cm 3 , ou seja, para que sua densidade aumente um milésimo. Por isto, do ponto de vista prático, a densidade da água e de qualquer líquido é independente da temperatura e da pressão. Diante dessa reduzidíssima variação da densidade, nos escoamentos de líquidos em regime permanente considera-se que os mesmos se comportam como incompressíveis. Neste contexto se incluem querosene, gasolina, álcool, óleo diesel, água, vinho, vinhoto, leite, e muitos outros, aos quais se aplicam os conceitos aqui comentados. É conveniente ressaltar que um escoamento se classifica também como turbulento ou laminar. No escoamento laminar há um caminhamento disciplinado das partículas fluidas, seguindo trajetórias regulares, sendo que as trajetórias de duas partículas vizinhas não se cruzam. Já no escoamento turbulento a velocidade num dado ponto varia constantemente em grandeza e direção, com trajetórias irregulares, e podendo uma mesma partícula ora localizar-se próxima do eixo do tubo, ora próxima da parede do tubo. O critério para determinar se o escoamento é turbulento ou laminar, é a utilização do número de Reynolds: 4 e Q R D t u = onde: R e = Número de Reynolds (admensional) Q = vazão (m 3 / s) π = 3,1416... D = diâmetro (m) ν = viscosidade cinemática do líquido (m 2 / s) Nas condições normais de escoamento o número de Reynolds é interpretado conforme segue: R e > 4000, então o escoamento é turbulento. R e < 2000, então o escoamento é laminar. Entre estes dois valores há a zona de transição, onde não se pode determinar com precisão os elementos do dimensionamento. Em geral, o regime de escoamento na condução de líquidos no interior de tubulações é turbulento, exceto em situações especiais, tais como escoamento a baixíssimas vazões, como ocorre em gotejadores de irrigação, onde o escoamento é laminar. Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 12 12 Sempre que um líquido escoa no interior de um tubo de um ponto para outro, haverá uma certa perda de energia, denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de energia é devido ao atrito com as paredes do tubo e devido à viscosidade do líquido em escoamento. Quanto maior for a rugosidade da parede da tubulação, isto é, a altura das asperezas, maior será a turbulência do escoamento e, logo, maior será a perda de carga. Já há cerca de dois séculos estudos e pesquisas vem sendo realizados, procurando estabelecer leis que possam reger as perdas de carga em condutos. Várias fórmulas empíricas foram estabelecidas no passado e algumas empregadas até com alguma confiança em diversas aplicações de engenharia, como as fórmulas de Hazen-Williams, de Manning e de Flamant. Mas, trabalhos de diversos investigadores tem mostrado que, em sua totalidade, são mais ou menos incorretas. A incorreção dessas fórmulas é tanto maior quanto mais amplo é o domínio de aplicação pretendido por seus autores. Atualmente a expressão mais precisa e usada universalmente para análise de escoamento em tubos, que foi proposta em 1845, é a conhecida equação de Darcy-Weisbach: 2 2 5 8 f fLQ h gD t = onde: h f = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (mca) f = fator de atrito (adimensional) L = comprimento do tubo (m) Q = vazão (m 3 / s) D = diâmetro interno do tubo (m) g = aceleração da gravidade local (m / s 2 ) π = 3,1416... Mas somente em 1939, quase 100 anos depois, é que se estabeleceu definitivamente o fator de atrito f, através da equação de Colebrook-White: 10 1 2, 51 2 0, 27 log e k D f R f | | = ÷ + | | \ . onde: f = fator de atrito (adimensional) k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) D = diâmetro interno do tubo (m) R e = número de Reynolds (adimensional) Obviamente, trata-se de uma equação implícita, isto é, a variável f aparece nos dois membros da equação, de forma não ser possível explicitá-la. Mas isto não sugere que seja impossível resolver equações implícitas. Os métodos numéricos, embora aproximativos, são capazes de resolver equações implícitas com a precisão que se desejar. São métodos basicamente computacionais pois incorrem em operações matemáticas repetidas. Encontram, contudo, muita utilidade em hidráulica. É o caso dos métodos iterativos, nos quais ordena-se adequadamente a equação, e arbitra-se um valor inicial qualquer para a variável procurada que está no seu segundo membro. Com o valor inicial já arbitrado, calcula-se um novo valor para esta mesma variável procurada, mas para a que está no primeiro membro. Se a diferença entre o valor inicial e o novo valor calculado estiver fora da precisão desejada, repete-se esta operação, porém colocando como valor inicial o novo valor calculado. Se a diferença aumentar diz-se que os valores estão divergindo, e se diminuir diz-se que os valores estão convergindo para a solução. O número de repetições, isto é, o número de iterações poderá ser pequeno ou não, dependendo do método a ser utilizado, e se sucederá até que a diferença seja suficientemente pequena ou compatível com a precisão desejada. Um esquema básico de cálculo, passo-a-passo, seria algo do tipo: 1- Arbitra-se um valor inicial qualquer para a variável do segundo membro. 2- Calcula-se novo valor para a mesma variável que está no primeiro membro. 3- Compara-se a diferença entre o valor calculado e o valor inicial com a tolerância estabelecida. 4- Se maior, o novo valor passa a ser o valor inicial, e volta-se para o passso (2). Se menor passa-se para o passo (5). 5- O corrente valor da variável é o valor procurado. Métodos iterativos como o de Newton são muito potentes e convergem muito rapidamente, podendo alcançar resultados altamente precisos com três ou quatro iterações. Na prática, em termos específicos, a análise do escoamento em tubos basicamente envolve três gradezas a se calcular: - o diâmetro - a vazão (ou velocidade) - a perda de carga Estas são em síntese, as três variáveis principais envolvidas no cálculo hidráulico, pois as demais (material do tubo, tipo de líquido, temperatura, etc), são básicas. Por qualquer método que viermos a empregar, para se determinar qualquer uma dessas três variáveis, as duas demais deverão ser conhecidas. Em que pese a técnica iterativa associada à precisão das equações dar um pouco de velocidade ao cálculo, contudo permanece o mesmo sendo realizado manualmente, o que não deixa de ser cansativo, enfadonho e sujeito a erros. Com o uso de programas para computadores digitais, tal como o HidroTec Calculador, a resolução torna-se simples, fácil, automática, rápida e sem erros. Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 13 13 - Equações explícitas para o fator de atrito de Darcy-Weisbach Quando um líquido escoa de um ponto para outro no interior de um tubo, gerará sempre uma perda de energia, denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de energia é devido ao atrito com as paredes do tubo e devida à viscosidade do líquido em escoamento. Portanto quanto maior for a rugosidade da parede da tubulação e mais viscoso for o líquido, maior será a perda de carga. Com o intuito de estabelecer leis que possam reger as perdas de carga em condutos, já há cerca de dois séculos estudos e pesquisas vem sendo realizados. Atualmente a expressão mais precisa e utilizada universalmente para análise de escoamento em tubos, e que foi proposta em 1845, é a conhecida equação de Darcy-Weisbach: 2 2 f L V h f D g = · · onde: h f = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (mca) f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional) L = comprimento do tubo (m) V = velocidade do líquido no interior do tubo (m / s) D = diâmetro interno do tubo (m) g = aceleração da gravidade local (m / s 2 ) Mas não se encontrou logo uma maneira segura para determinação do fator de atrito. Somente em 1939, quase 100 anos depois, é que se estabeleceu definitivamente uma lei para fator de atrito f, através da equação de Colebrook-White: 10 1 2, 51 2 3, 7 log e k D f R f | | = ÷ + | | \ . em que: k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) R e = número de Reynolds (adimensional) A equação de Colebrook-White tem sido considerada como a mais precisa lei de resistência ao escoamento e vem sendo utilizada como padrão referencial. Mas, apesar disto, e de todo o fundamentalismo e embasamento teórico agregado à mesma, tem uma particularidade a alguns pouco conveniente: é implícita em relação ao fator de atrito, ou seja, a grandeza f está presente nos dois membros da equação, sem possibilidade de ser explicitada em relação às demais grandezas. Sua resolução requer um processo iterativo. Isto resultou em motivos para que muitos pesquisadores, de quase toda parte do mundo, se empenhassem em encontrar equações explícitas, que pudessem ser utilizadas como alternativas à equação de Colebrook-White. Algumas mais compactas e simples, mais fáceis de serem memorizadas, contudo com grandes desvios; outras, menos compactas e complexas, mais difíceis de serem memorizadas, porém com desvios menores; outras tantas combinando simplicidade e precisão, com erros até bem reduzidos, em relação ao fator de atrito calculado com a equação de Colebrook-White. No presente trabalho seleciona e apresenta a seguir um pequeno conjunto destas equações explícitas, considerando apenas aquelas que pesquisadores, conforme bibliografia consultada, avaliaram e concluíram terem os menores erros em relação à equação de Colebrook-White: 1- Sousa-Cunha-Marques, 1999 (erro = 0,123%): 0,87 10 10 1 5,16 5, 09 2 3, 7 3, 7 log log e e k k D R D R f | | | | = ÷ ÷ ÷ | | | \ . \ . 2- Haaland, 1983 (erro = 0,220%): 1,11 10 1 6, 9 1,8 3, 7 log e k D R f | | | | = ÷ + | | | \ . \ . 3- Barr, 1972 (erro = 0,375%): 0,892 10 1 5,15 2 3, 7 log e k D R f | | = ÷ ÷ | \ . 4- Swamee-Jain, 1976 (erro = 0,386%): 0,9 10 1 5, 74 2 3, 7 log e k D R f | | = ÷ ÷ | \ . 5- Churchill, 1973 (erro = 0,393%): 0,9 10 1 7 2 3, 7 log e k D R f | | | | | = ÷ ÷ | | \ . \ . Um exame superficial mostra que, por mais simples ou compactas que possam ser estas equações explícitas, as mesmas requerem também algum esforço computacional com operações matemáticas de potenciação, radiciação, logaritmicas, etc. Contudo, tendo em vista as elevadas velocidades dos processadores dos computadores atuais, praticamente será imperceptível a diferença no esforço computacional do cálculo feito com uma equação implícita e com uma equação explícita. Então, se o esforço é o mesmo, a conclusão óbvia é que parece ser mais Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 14 14 razoável e lógico usar-se logo a equação de Colebrook-White, dado à sua precisão. - Hipertensão Arterial A HAS (Hipertensão Arterial Sistêmica) é uma das doenças com maior prevalência no mundo moderno e é caracterizada pelo aumento da pressão arterial, medida com esfigmomanômetro ("aparelho de pressão"), tendo como causas a hereditariedade, a obesidade, o sedentarismo, o etilismo, o stress e outras (veja causas de Hipertensão, mais abaixo). : A pressão sanguínea é medida com o esfigmomanômetro, que consiste de uma coluna de mercúrio com uma das extremidades ligada a uma bolsa, que pode ser inflada através de uma pequena bomba de borracha, como indica a Figura 32 (A). A bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível aproximadamente igual ao do coração, a fim de assegurar que as pressões medidas mais próximas às da aorta. A pressão do ar contido na bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue através das artérias do braço seja bloqueado. A seguir, o ar é gradualmente eliminado da bolsa ao mesmo tempo em que se usa um estetoscópio para detectar a volta das pulsações ao braço. O primeiro som ocorre quando a pressão do ar contido na bolsa se igualar à pressão sistólica, isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o sangue que está à pressão sistólica consegue fluir pela (os sons ouvidos através do estetoscópio são produzidos pelo fluxo sanguíneo na artéria e são chamados sons Korotkoff). Assim, a altura da coluna de mercúrio lida corresponde à pressão manométrica sistólica. À medida que o ar é eliminado, a intensidade do som ouvido através do esteie aumenta. A pressão correspondente ao último som audível é a pressão diastólica, isto é, a pressão sanguínea, quando o sangue a baixa pressão consegue fluir pela artéria não oclusa. Hipertensão Arterial é uma situação na qual a pressão arterial está elevada. A pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue contra a superfície interna das artérias. A força original vem do batimento cardíaco. A pressão arterial varia a cada instante, seguindo um comportamento cíclico. São vários os ciclos que se superpõe, mas o mais evidente é o determinado pelos batimentos cardíacos. Chama-se ciclo cardíaco o conjunto de acontecimentos desde uma batimento cardíaco até o próximo batimento. No momento em que o coração ejeta seu conteúdo na Aorta a energia é a máxima, gerando força máxima e consequentemente pressão máxima. Esta fase no ciclo cardíaco chama-se Sístole, sendo que a pressão neste instante é chamada de Pressão Arterial Sistólica. Imediatamente antes do próximo batimento cardíaco a energia é mínima, com a menor força exercida sobre as artérias em todo o ciclo, gerando portanto a menor pressão arterial do ciclo cardíaco. Esta fase é chamada de Diástole, sendo que a pressão neste instante é chamada de Pressão Arterial Diastólica. Quando se fala em dois valores de pressão arterial (140 por 90, por exemplo), estamos dizendo que neste momento os ciclos cardíacos estão gerando uma pressão arterial que oscila entre 140 e 90 unidades de medida, 140 no pico da Sístole e 90 no final da Diástole. Esta situação aumenta o risco de problemas cardiovasculares futuros, como Infarto agudo do miocárdio e Derrame Cerebral, por exemplo. A pressão normal seria aquela onde o risco destes problemas seria o mínimo. Na verdade não existe um nível "seguro". A possibilidade de problemas é log- linear, ou seja cresce de maneira contínua em uma escala logarítmica. O valor normal é um tanto arbitrário, definido pelos especialistas no assunto, para fins práticos e operacionais. É semelhante a definição de maioridade, onde para fins práticos se considera 18 anos de idade e não 18 anos e um mês ou 17 anos e 11 meses, por exemplo, embora o amadurecimento seja possivelmente o mesmo. Para a maior parte das pessoas o valor de 140/90 mmHg é relacionado a baixo risco de problemas futuros, sendo considerado o "normal". Como é verificada a Pressão Arterial Para verificar a pressão arterial, o profissional envolve um dos braços do paciente com o esfigmomanômetro, que nada mais é do que uma cinta larga com um pneumático interno acoplado a uma bomba de insuflação manual e um medidor desta pressão. Ao insuflar a bomba, o pneumático se enche de ar e causa uma pressão no braço do paciente, pressão esta monitorada no medidor. Um estetoscópio é colocado sobre a artéria braquial (que passa na face interna medial do cotovelo). Estando o Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 15 15 manguito bem insuflado, a artéria estará colabada pela pressão exercida e não passará sangue na artéria braquial. Não haverá ruído algum ao estetoscópio. Libera-se, então, a saida do ar pela bomba, bem devagar e observando-se a queda da pressão no medidor. Quando a artéria deixa de estar totalmente colabada um pequeno fluxo de sangue inicia sua passagem pela artéria provocando em ruído de esguicho (fluxo turbilionar). Neste momento anota-se a pressão máxima (sistólica). O ruído persistirá até que o sangue passe livremente pela artéria, sem nenhum tipo de garroteamento (fluxo laminar). Verifica-se no medidor este momento e teremos a pressão mínima (pressão diastólica). Em geral, medimos a pressão em milímetros de mercúrio (mmHg), sendo normal uma pressão diastólica (mínima) entre 60 e 80 mmHg (6 a 8 cmHg) e pressão sistólica entre 110 e 140 mmHg (11 a 14 cmHg) (cmHg = centímetros de mercúrio). - Sintomatologia A "pressão alta" é considerada uma doença silenciosa, pois pode não produzir nenhum sintoma no paciente. Alguns podem queixar-se de dor ou pressão na nuca e cefaléia, mas não é necessário nenhum sintoma. Esta falta de sintomas pode fazer com que o paciente esqueça de tomar seu remédio ou até mesmo questione sua necessidade. Isto faz com que as complicações ocorram em grande número. - Complicações da HAS O aumento contínuo da pressão arterial faz com que ocorram danos as artérias de diversas partes do organismo vivo. A Hipertensão Arterial é um fator de risco para Aterosclerose. Como conseqüência desta, podem acontecer tanto o Acidente Vascular Cerebral - AVC, como o Infarto agudo do miocárdio - IAM). Como qualquer artéria do corpo pode ser obstruída pela aterosclerose, virtualmente todos os orgão podem sofrer alterações decorrentes da hipertensão. - Causas de Hipertensão Arterial Na grande maioria dos casos a Hipertensão Arterial é considerada essencial, isto é, ela é uma doença por si mesma. No entanto, devem ser descartadas outras doenças que causam a hipertensão arterial apenas como um sinal, pois pode então ser tratada a causa básica melhorando naturalmente a hipertensão. Dentre estas causas existe a hipertensão nefrogênica, onde um rim com algum problema em sua irrigação sanguínea produz substâncias visando aumentar a pressão e receber mais sangue. Nestes casos tratando este rim a pressão normaliza. Outro caso é o do feocromocitoma, um tumor que produz substâncias vasoconstrictoras que aumentam a pressão arterial, produzem taquicardia, cefaléia e sudorese. A retirada deste tumor melhora a pressão.. - Tratamento Casos iniciais e leves respondem bem à dieta pobre em sal de cozinha (NaCl) emagrecimento e prática de esportes. Outros casos necessitarão de medicamentos. São várias as classes de medicamentos possíveis de ser usadas, isoladas ou associadas. Entre outras temos os diuréticos, os bloqueadores adrenérgicos, os bloqueadores de canais de cálcio, os inibidores de enzima conversora de angiotensina II e os bloqueadore do receptor da angiotensina II. Diuréticos são medicamentos que estimulam a produção de urina como as tiazidas. Casos mais graves necessitam de medicamentos inibidores da ECA (IECA)), como o captopril e enalapril. É interessante notar que o captopril é uma substância que foi isolada primariamente do veneno da cobra jararaca  Bibliografia:  (Mecânica dos Fluidos, Potter M. C., Wiggert D. C., Cap. 2, pp. 36-37, Editora Thomson). - Equação da energia para fluido real Nesse item será retirada a hipótese de fluido ideal; logo, serão considerados os atritos internos no escoamento do fluido. São mantidas as hipóteses de regime permanente, fluido incompressível, propriedades uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta última significa que não existe uma troca de calor provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar os atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda de calor do fluido para o ambiente causada pêlos próprios atritos. Como será visto a seguir, a construção da equação da energia pode ser realizada sem se falar, explicitamente, dessa perda de calor. Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido fosse perfeito. H 1 = H 2 (Figura 4.8). Se, no entanto, houver atritos no transporte do fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação da energia, de forma que H 1 > H 2 . Querendo restabelecer a igualdade, será necessário somar no segundo membro a energia dissipada no transporte. 12 1 2 p H H H = + 12 p H : energia perdida entre (l) e (2) por unidade de peso do fluido. Como 12 1 2 p H H H = ÷ e como H 1 E H 2 são chamados cargas totais, 12 p H é denominado 'perda de carga'. Se for considerada também a presença de uma máquina entre (l) e (2), a equação da energia ficará: Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 16 16 12 1 2 M p H H H H + = + 12 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 M p v p v p z H z H g g + + + = + + + ¸ ¸ Da Equação deve-se notar que, no escoamento de um fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a energia é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga total a montante é sempre maior que a de jusante, desde que não haja máquina entre as duas. A potência dissipada pêlos atritos é facilmente calculável raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da potência do fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito poderá ser calculada por: 12 diss p N QH = ¸ - Exemplos: l) Na instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção dos tubos é l0 cm 2 e a perda de carga entre as seções (l) e (4) é 2 m. Não é dado o sentido do escoamento, 2 4 3 10 H O N m ¸ = ; g = 10 m/s 2 . Solução Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o nível do reservatório inferior sem incluir a parte interna do tubo, já que nesta não se conhece a pressão. Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido das cargas decrescentes, num trecho onde não existe máquina. Para verificar o sentido, serão calculadas as cargas nas seções (l) e (2). 2 1 1 1 1 0 0 24 24 2 v p H z m g = + + = + + = ¸ 2 2 2 2 2 2 v p H z g = + + ¸ 3 2 4 10 10 10 10 10 Q v m s A ÷ ÷ · = = = · Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 17 17 2 2 2 2 2 2 v p H z g = + + ¸ 2 6 2 4 10 0,16 10 4 25 2 10 10 H m · = + + = · Como H 2 > H 1 , conclui-se que o escoamento terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo a máquina, portanto, uma bomba. Aplicando-se a equação da energia entre as seções (4) e (1), que compreendem a bomba. Lembrar que a equação deve ser escrita no sentido do escoamento. 14 4 1 B p H H H H + = + 2 4 4 4 4 2 v p H z g = + + ¸ 1 24 H m = 4 0 H = 14 2 p H · = 14 1 4 24 0 2 26 B p H H H H = ÷ + = ÷ + = 4 3 10 10 10 26 3470 3, 47 0, 75 B B ot B QH P W kW ÷ ¸ · · · = = = = q Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 18 18 Exercícios - Franco Brunetti – Capítulo I 1. A viscosidade cinemática de um óleo é de 0.028 m 2 /s e o seu peso específico relativo é de 0.85. Encontrar a viscosidade dinâmica em unidades do sistemas MKS, CGS e SI (g=10 m/s 2 ). 2. A viscosidade dinâmica de um óleo é de 5 . 10 -4 kgf.s/m 2 e seu peso específico relativo é 0.82. Encontre a viscosidade cinemática nos sistemas MKS, SI e CGS (g=10m/s 2 e ¸ a = 1000kgf/m 3 . 3. O peso de 3 dm 3 de certa substância é 23.5 N. A viscosidade cinemática é 10 -5 m 2 /s. Se g = 10 m/s 2 , qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MKS e SI? 4. São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for preenchido com óleo (v = 0.1 St; µ = 830 kg/m 3 ), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo? v = 4m/s 2 mm Resposta: t = 16,6 N/m 2 . 5. Uma placa quadrada de 1.0 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30°, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de 2m/s constante. Qual a velocidade dinâmica do óleo se a espessura da película é de 2mm? 2 mm 2m/s 20 N 30° Resposta: q = 10 -2 N.s/m 2 . 6. O pistão da figura tem uma massa de 0.5 kg. O cilindro de comprimento ilimitado é puxado para cima com velocidade constante. O diâmetro do cilindro é 10 cm e do pistão é 9 cm e entre os dois existe óleo com v = 10 -4 m 2 /s e ¸ = 8000 N/m 3 . Com que velocidade deve subir o cilindro para qie o pistão permaneça em repouso? (Supor diagrama linear e g = 10 m/s 2 ). L = 5 cm fluido D 1 D 2 Resposta: v = 22,1 m/s 7. Num tear, o fio é esticado passando por uma fieira e é enrolado num tambor com velocidade constante. Na fieira, o fio é lubrificado e tingido por uma substância. A máxima força que pode ser aplicada no fio é 1N, pois, ultrapassando-a, ela se rompe. Sendo o diâmetro do fio 0,5mm e o diâmetro da fieira 0,6mm, e sendo a rotação do tambor 30 rpm, qual é a máxima viscosidade do lubrificante e qual é o momento necessário no eixo do tambor? R.: M = 0,1N.m 2 ; q = 0,1 N.s/m 2 Resposta: M=0,1 N.m; q = 0,1 N.s/m 2 . 8. Ao girar, o eixo provoca a rotação do tambor. Este enrola a corda, que levanta um peso de 10N com uma velocidade constante de 0,5 m/s. O fluido existente entre o eixo e o tambor tem q = 0,1 N.s/m 2 e apresenta um diagrama linear de velocidades. Pede-se: (a) a rotação do eixo; (b) o momento provocado pelo fluido contra a rotação do eixo. Dados: R1 = 10 cm; R2 = 10,1 cm; R3 = 20 cm. lubrificante 0,6mm 0,5mm fieira fio n = cte L = 10cm Tambor D=0.2m Peso Resposta: (a) n=125 rpm; (b) M eixo =2,47 N.m. 9. O turbocompressor de um motor de combustão interna tem uma rotação de 120000rpm. Os mancais do eixo são flutuantes e giram com uma certa rotação. São dados: q = 8.10 -3 N.s/m 2 ; D 1 =12mm, D 2 =12.05mm; L=20mm. Nas condições de equilíbrio dinâmico da rotação dada, pede-se: Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 19 19 (a) a rotação do mancal flutuante. (b) o momento resistente à rotação que age no eixo do turbocompressor relativo aos mancais. Mancais flutuantes A CP TB A L CP: Compressor TB: Turbina óleo mancal flutuante eixo D 1 D 2 D 3 D 4 Corte A-A sem escala Resposta: (a) 40,533 rpm; (b) 0,14 N.m 10. Dois discos são dispostos coaxialmente face a face, separados por um filme de óleo lubrificante de espessura c pequena. Aplicando um momento no disco (1), ele inicia um movimento em torno de seu eixo, através de um fluido viscoso, estabelece-se o regime, de tal forma que as velocidades angulares e 1 e e 2 ficam constantes. Admitindo o regime estabelecido, determinar em função a e 1 e e 2 . c D e 2 q q e 1 c Resposta: 1 2 4 32 t M D c e ÷e = t q 11. A placa da figura tem 4 m 2 de área e espessura desprezível. Entre a placa e o solo existe um fluido que escoa, formando um diagrama de velocidades dado por: ( ) max 20 1 5 v yv y = ÷ A viscosidade dinâmica do fluido é 10 -2 N.s/m 2 e a velocidade máxima do escoamento é 4m/s. Pede-se: (a) o gradiente de velocidades junto ao solo. (b) a força necessária para manter a placa em equilíbrio. Resposta: (a) -80 m/s; (b) 3,2 N Placa F v max 20 cm Solo Sears –Zemansky – Young – VII Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 20 20 SEÇÃO 14.2 DENSIDADE 14.1 Fazendo um biscate, você foi solicitado a transportar uma barra de ferro de 85.8 cm de comprimento e 2,85 cm de diâmetro de um depósito até um mecânico. Você precisará usar um carrinho de mão? (Para responder, calcule o peso da barra.) 14.2 A Lua possui massa de 7,35 . 10 22 kg e raio igual a 1740 km. Qual é sua densidade média? 14.3 Você compra uma peça retangular de metal com massa de 0,0158 kg e com dimensões 5,0 x 15,0 x 30.0 mm. O vendedor diz que o metal é ouro. Para verificar se é verdade você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor obtido? Você foi enganado? 14.4 Um seqüestrador exige como resgate um cubo de platina com 40.0 kg. Qual é o comprimento da aresta? SEÇÁO 14.3 PRESSÃD EM UM FLUIDO 14.5 Um barril contém uma camada de óleo de 0.120 m flutuando sobre água com uma profundidade igual a 0,250 m. A densidade do óleo é igual a 600 kg/m' a) Qual é a pressão manométrica na interface entre o óleo e a água? b) Qual é a pressão manométrica no fundo do barril? 14.6 Um veículo esportivo vazio pesa 16.5 kN. Cada pneu possui uma pressão manométrica igual a 205 kPa. (a) Qual é a área total de contato dos quatro pneus com o pavimento? (Suponha que as paredes dos pneus sejam flexíveis de modo que a pressão exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do existente no interior do pneu.) (b) Qual é a área total, considerando a mesma pressão manométrica do pneu, quando o peso total dos passageiros e da carga for igual a 9,1 kN? 14.7 Você está projetando um sino de mergulho para agüentar a pressão da água do mar até uma profundidade de 250 m. (a) Qual é a pressão manométrica nesta profundidade? (Despreze as variações de densidade da água com a profundidade.) (b) Sabendo que, para esta profundidade, a pressão dentro do sino é igual à pressão fora do sino, qual é a força resultante exercida pela água fora do sino e pelo ar dentro do sino sobre uma janela de vidro circular com diâmetro de 30,0 cm? (Despreze a pequena variação de pressão sobre a superfície da janela.) 14.8 Qual deve ser a pressão manométrica desenvolvida por uma bomba para bombear água do fundo do Grand Canyon (a uma altura de 730 m) até o Indian Gardens (a 1370 m)? Expresse a resposta em pascais e em atmosferas. 14.9 O líquido no manômetro de tubo aberto indicado na Figura é o mercúrio, y 1 = 3,00 cm e y 2 = 7,00 cm. A pressão atmosférica é igual a 980 milibares. (a) Qual é a pressão absoluta no fundo do tubo em forma de U? (b) Qual é a pressão absoluta no tubo aberto a uma profundidade de 4.0 cm abaixo da superfície livre? (c) Qual é a pressão absoluta do gás no tanque? (d) Qual é a pressão manométrica do gás em pascais? 14.10 Existe uma profundidade máxima na qual uma mergulhadora (Figura 14.33) pode respirar através de um tubo snorkel (respirador), porque à medida que a profundidade aumenta, a diferença de pressão também aumenta, tendendo n produzir um colapso dos pulmões da mergulhadora. Como o snorkel liga o ar dos pulmões com a atmosfera sobre a superfície livre, a pressão no interior dos pulmões é igual a uma atm. Qual é a diferença de pressão entre o exterior e o interior dos pulmões da mergulhadora a uma profundidade igual a 6.1 m? Suponha que a mergulhadora esteja mergulhada em água doce. (Um mergulhador usando uma snorkel (tanque com ar comprimido) respirando o ar comprimido deste dispositivo pode atingir profundidades muito maiores do que um mergulhador usando o snorkel. uma vez que a pressão do ar comprimido no interior da snorkel compensa o aumento da pressão da água no exterior dos pulmões.) 14.11 Um curto-circuito elétrico impede o fornecimento da potência necessária para um submarino Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 21 21 que está a uma profundidade de 30 m abaixo da superfície do oceano. A tripulação deve empurrar uma escotilha com área de 0.75 m 2 e peso igual a 300 N para poder escapar do fundo do submarino. Se a pressão interna for igual a l,0 atm, qual é a força para baixo que eles devem exercer para abrir a escotilha? 14.12 Você foi convidado a projetar um tanque de água cilíndrico pressurizado para uma futura colônia em Marte, onde a aceleração da gravidade é igual a 3,71 m/s. A pressão na superfície da água deve ser igual a 130 kPa e a profundidade deve ser igual a 14,2 m. A pressão do ar no edifício fora do tanque deve ser igual a 93 kPa. Calcule a força resultante para baixo sobre a base do tanque de área igual a 2,00 m 2 exercida pelo ar e pela água no interior do tanque e pelo ar no exterior do tanque. 14.13 Em um foguete um tanque com tampa pressurizada contém 0,250 m 3 de querosene de massa igual a 205 kg. A pressão na superfície superior do querosene é igual a 2,01.10 5 Pa. O querosene exerce uma força igual a 16,4 kN sobre o fundo do tanque, cuja área é igual a 0,0700 m . Calcule a profundidade do querosene. 14.14 O pistão de um elevador hidráulico de carros possui diâmetro igual a 0,30 m. Qual é a pressão manométrica em pascais, necessária para elevar um carro com massa igual a 1200 kg? Expresse esta pressão também em atmosferas. SEÇÃO 14.4 EMPUXO 14.15 Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água doce. Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma mulher de 45,0 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem que ela molhe seus pés? 14.16 Uma amostra de minério pesa 17,50 N no ar. Quando a amostra é suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água, a tensão na corda é igual a 11,20 N. Calcule o volume total e a densidade da amostra. 14.17 Um objeto com densidade média µ flutua na superfície livre de um fluido com densidade µ fluido . (a) Qual é a relação entre estas duas densidades? (b) Levando em conta a resposta do item (a), como um navio de aço flutua na água? (c) Em termos de µ e de µ fluido qual é a fração do objeto que fica submersa e qual é a fração do objeto que fica acima da superfície do fluido? Verifique se suas respostas fornecem os limites correios quando µ ÷µ fluido e µ ÷ 0. (d) Quando você está a bordo do seu iate, seu primo Tobias corta de um salva-vidas uma peça retangular (dimensões de 5,0 x 4,0 x 3,0 cm) e a joga no mar. A peça possui massa igual a 42 g. Quando ela flutua no oceano, que fração fica acima da superfície? 14.18 Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada em uma corda presa no fundo do lago. O volume da esfera é igual a 0,650 m e a tensão na corda é igual a 900 N. (a) Calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a esfera, (b) Qual é a massa da esfera? (c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do volume da esfera que fica submersa? 14.19 Um bloco de madeira cúbico com aresta de 10,0 cm flutua sobre uma interface entre uma camada de água e uma camada de óleo, com sua base situada a l,50 cm abaixo da superfície livre do óleo (Figura 14.34). A densidade do óleo é igual a 790 kg/m 3 . (a) Qual é a pressão manométrica na face superior do bloco? (b) Qual é a,pressão manométrica na face inferior do bloco? (c) Qual é a massa e a densidade do bloco? 14.20 Um lingote de alumínio sólido pesa 89 N no ar. (a) Qual é g o seu volume? (b) O lingote é suspenso por uma corda leve e totalmente imersa na água. Qual é a tensão na corda (o peso aparente do lingote na água)? Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 22 22 SEÇÃO 14.5 TENSÃO SUPERFICIAL 14.21 Ache a pressão manométrica em pascais em uma bolha de s sabão com diâmetro igual a 3,00 cm. A tensão superficial é igual a 25,0.10 -3 N/m. 14.22 Calcule o excesso de pressão a 20°C (a) no interior de uma gota de chuva grande com raio igual a l ,00 mm; (b) no interior de uma gota de água com raio igual a 0,0100 mm (típica de uma gotícula no nevoeiro). 14.23 Como ficar em pé sobre a água. Estime a força da tensão superficial para cima que deveria ser exercida sobre seus pés para que você pudesse ficar em pé sobre a água. (Você precisa j medir a área dos seus pés.) Qual deveria ser o peso máximo de um corpo que poderia ser sustentado pela água desta maneira? 14.24 Por que as árvores não fazem sucção do ar? Verificou-se que as pressões negativas que ocorrem nos tubos que transportam a seiva de uma árvore alta podem atingir cerca de - 20 atm. Estes tubos encontram-se abertos no topo em contato com o ar e a água pode evaporar das folhas. Porém se as pressões são negativas, por que o ar não é sugado para as folhas? Para responder a esta pergunta estime a diferença de pressão necessária para forçar o ar através dos interstícios das paredes das células no interior das folhas (diâmetros da ordem de 10~ 8 m) e explique por que o ar exterior não pode penetrar nas folhas. (Considere a tensão J superficial da seiva igual à da água a 20°C. Esta situação é diferente daquela indicada na Figura 14.15: neste caso é o arque desloca a seiva nos interstícios.) 14.25 Uma película de água de sabão possui 22cm de largura e está a 20 0 C. O fio que desliza possui massa igual a 0,700g. Qual é o módulo necessário T da força que puxa para baixo para manter o fio em equilíbrio? SEÇÃO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO 14.26 A água escoa em um tubo cuja seção reta possui área variável e em todos os pontos a água enche completamente o tubo. No ponto 1 a seção reta possui área igual a 0,07m 2 e o módulo da velocidade do fluido é igual a3,50 m/s. (a) Qual é a velocidade do fluido nos pontos para os quais a seção reta possui área igual a (i) 0,105m 2 ? (ii) 0,047m 2 ? (b) Calcule o volume de água descarregada pela extremidade aberta do tubo em 1 hora. 14.27 A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável e em todos os pontos a água enche completamente o tubo. (a) Em um ponto onde o raio do tubo é igual a 0,150m. Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão volumétrica no tubo é igual a 1,20 m 3 /s? (b) Em um segundo ponto a velocidade da água é igual a 3,80 m/s. Qual é o raio do tubo nesse ponto? 14.28 Deduza a equação da continuidade. Quando a densidade cresce 1.50% de um ponto 1 até um ponto 2, o que ocorre com a vazão volumétrica? SEÇÃO 14.7 EQUAÇÃO E BERNOULLI 14.29 Um tanque selado que contém água do mar até uma altura igual a 11,0m também contém ar acima da água a uma pressão manométrica igual a 3,00 atm. A água flui para fora através de um pequeno orifício na base do tanque. Calcule a velocidade de efluxo da água. 14.30 Um pequeno orifício circular com diâmetro igual a 6,00 mm é cortado na superfície lateral de um grande tanque de água, a profundidade de 14m abaixo da superfície livre da água. O topo do tanque está aberto para a atmosfera. Ache: (a) a velocidade de efluxo; (b) o volume de água descarregada por unidade de tempo. 14.31 Qual é a pressão manométrica necessária no tubo principal da rua para que uma mangueira de apagar incêndio ligada a ele seja capaz de lançar água até uma altura de 15m? (Suponha que o diâmetro do tubo principal seja muito maior do que o diâmetro da mangueira de apagar incêndio. 14.32 Em um ponto de um encanamento a velocidade da água é 3,00 /s e a pressão manométrica é igual a 5,00.10 4 Pa. Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento, 11,0m abaixo do primeiro, sabendo o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro. 14.33 Sustentação sobre um avião. As linhas de corrente horizontais em torno das pequenas asas de um avião são tais que a velocidade sobre a superfície superior é igual a 70,0 m/s e sobre a superfície inferior é igual a 60,0 m/s. Se o avião possui massa igual a 1340 kg e a área da asa é igual a 162 m 2 , qual é a força resultante vertical (incluindo o efeito da gravidade) sobre o avião? A densidade do até 1.20 kg/m 3 . 14.34 Uma bebida leve (essencialmente água) flui em um tubo de uma fábrica de cerveja com uma vazão volumétrica tal que deva encher 220 latas de 0.355L por minuto. Em um ponto 2 do tubo, situado a 1.35m acima do ponto 2, a área da seção reta é igual a 2.00 cm 2 . Obtenha: (a) a vazão mássica; (b) a vazão volumétrica; (c) as velocidades do escoamento nos pontos 1 e 2; (d) a pressão manométrica no ponto 1. 14.35 A água é descarregada de um tubo cilíndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm 3 /s. Em um ponto do tubo onde o raio é 2.05 cm a pressão absoluta é igual a 5 1.60 10 Pa · . Qual é o raio do tubo em uma constrição onde a pressão se reduz para 5 1.20 10 Pa · ? Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 23 23 14.36 Em dado ponto de um escoamento cilíndrico horizontal a velocidade da água é igual a 2.50 m/s e a pressão manométrica é igual a 4 1.80 10 Pa · . Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro. SEÇÃO 14.9 VISCOSIDADE *14.37 Água a 20°C se escoa em tubo de raio igual a 10,0 cm. A viscosidade da água a 20°C é igual a l ,005 centipoise. (Se a velocidade da água no centro do tubo é igual a 2,50 m/s, qual é a velocidade da água (a) a 5,0 cm a partir do centro do tubo (na metade do caminho entre o centro e a parede)? (b) sobre as paredes do tubo? * 14.38 Água a 20°C se escoa em tubo de raio igual a 8.50 mm. A viscosidade da água a 20°C é igual a l,005 centipoise. Se a velocidade da água no centro do tubo é igual a 0,200 m/s e o escoamento é laminar, calcule a queda de pressão devida à viscosidade ao longo de 3,00 m de comprimento do tubo. * 14.39 Água a 20°C se escoa em tubo horizontal com 15,0 m de comprimento; o escoamento é laminar e a água enche completamente o tubo. Uma bomba mantém uma pressão manométrica igual a 1200 Pa em um tanque grande conectado a uma extremidade do tubo. A outra extremidade do tubo está aberta para o ar. A viscosidade da água a 20 0 C é igual a l,005 centipoise. (a) Se o tubo possui diâmetro igual a 9,00 cm, qual é a vazão volumétrica? (b) Que pressão manométrica deve a bomba fornecer para produzir a mesma vazão volumétrica de um tubo com diâmetro igual a 3,00 cm? (c) Para o tubo da parte (a) e mantendo-se a mesma pressão manométrica da bomba, qual é a nova vazão volumétrica quando a água está a uma temperatura de 60 0 C? (A viscosidade da água a 60 0 C é igual a 0,469 centipoise.) * 14.40 O inseto Rhodinus pmlixus da América do Sul suga o sangue de mamíferos. Seu ferrão é semelhante a uma agulha hipodérmica muito fina (que permite sugar o sangue de sua vítima sem causar dor, portanto, sem que seja notado). A parte mais estreita da "agulha" possui diâmetro igual a 10 /um e comprimento igual a 0,20 mm. a) Qual deve ser a pressão manométrica na cavidade da boca do inseto se ele sugar 0,25 cm de sangue em 15 minutos? Expresse sua resposta em Pa e em atm. (A viscosidade do sangue em tal tubo fino é igual a l,0 centipoise. Para obter uma resposta aproximada aplique a equação de Poiseuille ao sangue, embora ele seja um fluido não-newtoniano.) b) Por que não é uma boa aproximação desprezar as dimensões das outras partes do ferrão do inseto? * 14.41 Qual deve ser a velocidade de uma esfera de alumínio com raio igual a 2,00 mm se deslocando em óleo de rícino a 20°C para que a força de arraste devido à viscosidade seja igual a um quarto do peso da esfera? (A viscosidade do óleo de rícino para esta temperatura é igual a 9,86 poise.) * 14.42 Medida da viscosidade. Uma esfera de latão com massa igual a 0,35 g cai com velocidade terminal igual a 5,0 cm/s em um líquido desconhecido. Sabendo que a densidade do líquido é igual a 2900 kg/m\ qual é a sua viscosidade? *14.43 Mantendo todas as demais grandezas constantes, o que ocorre com a vazão volumétrica de um escoamento laminar quando dobramos: (a) o diâmetro do tubo? (b) a viscosidade? (c) a diferença de pressão? (d) o gradiente de pressão? (e) o comprimento do tubo? 14.44 Para os arremessos normais de uma bola de basquete (exceto para os arremessos desesperados) a força de resistência do ar é desprezível. Para demonstrar isso, considere a razão da força da Lei de Stokes e o peso de uma bola de basquete de 0,6000 kg. A bola de basquete possui um raio igual a 0,124m e se move com velocidade de 5m/s no ar com densidade igual a 1,2 kg/m 3 . 14.45 Um feixe de laser muito estreito com elevada intensidade perfura um orifício cilíndrico no casco de uma espaçonave de ficção científica; o orifício possui comprimento de 0.180m e um raio de apenas 50.0 µm. O interior da espaçonave possui pressão de 1 atm e ar a 20 0 C com viscosidade igual a 181 µPo começa a escapar com escoamento laminar para o vácuo no exterior da espaçonave. (a) Qual é a velocidade do ar ao longo do eixo do cilindro na extremidade externa e na metade da distância entre este ponto e o ponto externo? (b) Quantos dias serão necessários para que ocorra uma perda de 1m 3 de ar através desse orifício? (Suponha que a pressão interna permaneça igual a 1 atm. (c) Qual seria o fator de multiplicação das respostas dos itens (a) e (b) se o raio do orifício dobrasse de valor e o escoamento permanecesse laminar? Problemas 14.46 Em uma aula experimental, uma professora separa facilmente dois hemisférios ocos de aço (diâmetro D) usando as duas mãos. A seguir ela os encaixa novamente, bombeia o ar para fora da esfera até atingir a pressão absoluta p e coloca as faces opostas do hemisfério em um bodybuilder (um aparelho de ginástica usado para fazer exercícios de tração) para tentar separá-los. (a) Designando por p 0 a pressão atmosférica, qual é a força que o bodybuilder deve exercer sobre cada hemisfério? (b) Avalie a resposta para o caso p = 0.025atm e D = 10.0cm. Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 24 24 14.47 O ponto com maior profundidade de todos os oceanos na Terra é a fossa das Marianas com uma profundidade de 10.92 km. (a) Supondo que a água seja incompressível, qual é a pressão para essa profundidade? (b) A pressão real nesse ponto é igual a 8 1.160 10 Pa · ; o valor que você calculou deve ser menor que este porque na realidade a densidade da água aumenta com a profundidade. Usando o valor da compressibilidade da água e o valor real da pressão, ache a densidade no fundo da fossa Marianas. Qual é a variação percentual da densidade da água? 14.48 Uma piscina mede 5.0 m de comprimento, 4.0 m de largura e possui 3.0 m de profundidade. Determine a força exercida pela água sobre: (a) o fundo da piscina; (b) sobre cada parte lateral da piscina (Sugestão: Calcule a força infinitesimal que atua sobre uma faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a parede lateral.) Despreze a força produzida pela pressão do ar. 14.49 A aresta superior de uma comporta de uma represa está em contato com a superfície da água. A comporta possui altura de 2.00 m, largura de 4.00 m e possui uma articulação passando pelo seu centro. Calcule o torque produzido pela força da água em relação ao eixo da articulação. (Sugestão: Use o procedimento análogo ao adotado no problema 19.48; calcule o torque infinitesimal produzido por uma faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a comporta). 14.50 Força e Torque sobre uma represa. Uma represa possui a forma de um sólido retangular. A face de frente para o lago possui área A e altura H. A superfície de água doce do lago atrás da represa está no mesmo nível do topo da represa. (a) Mostre que a força resultante horizontal exercida pela água sobre a represa é dada por 1 2 gHA µ , ou seja, o produto da pressão manométrica através da face da represa pela área da represa. (b) Mostre que o torque produzido pela força da água em relação ao eixo passando no fundo da represa é dado por 2 1 6 gH A µ . (c) Como a força e o torque dependem do tamanho da represa? 14.51 Um astronauta está em pé no pólo norte de um novo planeta descoberto com simetria esférica de raio R. Ele sustenta em suas mãos um recipiente que contém um líquido de massa m volume V. Na superfície do líquido a pressão é p 0 ; a uma profundidade d abaixo da superfície, a pressão possui um valor maior que p. A partir dessas informações, determine a massa do planeta. 14.52 Para calcular a densidade em um dado ponto no interior de um material, considere um pequeno volume dV em torno desseponto. Se a massa no interior do volume for igual a dm, a densidade no referido ponto será dada por dm dV µ = . Considere uma barra cilíndrica com massa M, raio R e comprimento L, cuja densidade varia com o quadrado da distância a uma de suas extremidades, 2 C x µ = · . (a) Mostre que 2 3 3M C R L t = . (b) Mostre que a densidade média, dada pela Equação m V µ = é igual a um terço da densidade na extremidade x = L. 14.53 A Terra não possui uma densidade constante; ela é mais densa em seu centro e menos densa na sua superfície. Uma expressão aproximada para sua densidade é dada por ( ) r A Br µ = ÷ , onde A =12.700 kg/m 3 e B = 1,50. 10 3 kg/m 4 . Considere a Terra como uma esfera com raio R = 6,37. 10 6 m. (a) Evidências geológicas indicam que as densidades são de 13.100 kg/m 3 no centro e de 2400 kg/m 3 na superfície. Quais os valores previstos pela aproximação linear da densidade para estes pontos? (b) Imagine a Terra dividida em camadas esféricas concêntricas. Cada camada possuí raio r, espessura dr, volume 2 4 dV r dr t = e massa ( ) dm r dr µ = . Integrando desde r = 0 até r = R, mostre que a massa da Terra com este modelo é dada por: 3 4 3 3 4 M R A BR t | | = ÷ | \ . (c) Mostre que os valores dados de A e B fornecem a massa da Terra com precisão de 0.4%. (d) Vimos na que uma camada esférica não fornece nenhuma contribuição de g no interior da camada. Mostre que esse modelo fornece: ( ) 4 3 3 4 g r Gr A Br t | | = ÷ | \ . (e) Mostre que a expressão obtida no item (d) fornece g = 0 no centro da Terra e g = 9,85 m/s 2 na superfície da Terra, (f) Mostre que com este modelo g não diminui uniformemente com a profundidade e, ao contrário, atinge um valor máximo igual a 2 4 9 GA B t =10,01 m/s no ponto r = 2A/3 B = 5640 km. Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 25 25 14.54 No Exemplo 12.9 (Seção 12.7) vimos que no interior de um planeta com densidade constante (uma hipótese irreal para a Terra) a aceleração da gravidade cresce uniformemente com a distância ao centro do planeta. Ou seja, ( ) ˆ r g r g R = , onde g é a aceleração da gravidade na superfície, r é a distância ao centro do planeta e R é o raio do planeta. O interior do planeta pode ser considerado aproximadamente como um fluido incompressível com densidade µ. (a) Substitua a altura h na Equação (14.4) pela coordenada radial r e integre para achar a pressão no interior de um planeta com densidade constante em função de r. Considere a pressão na superfície igual a zero- (Isso significa desprezar a pressão da atmosfera do planeta.) (b) Usando este modelo, calcule a pressão no centro do Terra. (Use o valor da densidade média da Terra, calculando-a mediante os valores da massa e do raio indicados no Apêndice F.) (c) Os geólogos estimam um valor aproximadamente igual a 4.10 11 Pa para a pressão no centro da Terra- Este valor concorda com o que você calculou para r = 0? O que poderia contribuir para uma eventual diferença? 14.55 Um tubo em forma de ü está aberto em ambas as extremidades e contém uma porção de mercúrio. Uma quantidade de água é cuidadosamente derramada na extremidade esquerda do tubo em forma de U até que a altura da coluna de água seja igual a 15.0 cm (Figura 14.36). (a) Qual é a pressão manométrica na interface água- mercürio? (b) Calcule a distância vertical h entre o topo da superfície do mercúrio do lado direito e o topo da superfície da água do lado esquerdo. 14.56 A Grande inundação de melaço. Na tarde do dia 15 de janeiro de 1919, em um dia não usualmente quente em Boston, correu a ruptura de um tanque cilíndrico metálico com diâmetro de 27,4 m e altura de 27,4 m que continha melaço. O melaço inundou uma rua formando uma corrente com profundidade igual 9 m, matando pedestres e cavalos e destruindo edifícios. A densidade do melaço era igual a 1600 kg/m 3 . Supondo que o tanque estava completamente cheio antes do acidente, qual era a força total exercida para fora pelo melaço sobre a superfície lateral do tanque? (Sugestão: Considere a força para fora exercida sobre um anel circular da parede do tanque com largura dy situado a uma profundidade y abaixo da superfície superior. Integre para achar a força total para fora. Suponha que antes do tanque se romper, a pressão sobre a superfície do melaço era igual à pressão atmosférica fora do tanque.) 14.57 Uma barca aberta possui as dimensões indicadas na Figura (4.37. Sabendo-se que todas as partes da barca são feitas com placas de aço de espessura igual a 4,0 cm, qual é a massa de carvão que a barca pode suportar em água doce sem afundar? Existe espaço suficiente na parte interna da barca para manter esta quantidade de carvão? (A densidade do carvão é aproximadamente iguala 1500 kg/m 3 .) 14.58 Um balão com ar quente possui volume igual a 2200 m 3 . O tecido (envoltório) do balão pesa 900 N. A cesta com os equipamentos e o tanque cheio de propano pesa 1700 N. Se o balão pode suportar no limite um peso máximo igual a 3200 N, incluindo passageiros, alimentos e bebidas, sabendo-se que a densidade do ar externo é de l ,23 kg/m', qual é a densidade média dos gases quentes no interior do balão? 14.59 A propaganda de um certo carro afirma que ele flutua na água. (a) Sabendo-se que a massa do carro é igual 900 kg e seu volume interno é de 3,0 m', qual é a fração do carro que fica submersa quando ele flutua? Despreze o volume do aço e de outros materiais, (b) Através de uma passagem, a água penetra gradualmente deslocando o ar do interior do carro. Qual será a fração do carro que fica cheia quando ele afunda? 14.60 Um cubo de gelo de massa igual a 9,70 g flutua em um copo de 420 cm completamente cheio de água. A tensão superficial da água e a variação da densidade com a temperatura são desprezíveis (quando ela permanece líquida), (a) Qual é o volume de água deslocado pelo cubo de gelo? (b) Depois que o gelo se fundiu complelamente, a água transborda? Em caso afirmativo, calcule o volume da água que transbordou. Em caso negativo, explique por que isto ocorre, (c) Suponha que a água do copo seja água salgada com densidade igual a 1050 kg/m 3 , qual seria o volume da água salgada deslocado pelo cubo de gelo de 9,70 g? (d) Refaça o item (b) para o caso de um cubo de gelo de água doce flutuando em água salgada. Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 26 26 14.61 Um bloco de madeira possui comprimento de 0,600 m, largura de 0,250 m, espessura de 0,080 m e densidade de 600 kg/m 3 . Qual deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado embaixo do bloco de madeira para que ele possa flutuar em água calma de modo que o seu topo esteja alinhado com a superfície da água? Qual é a massa deste volume de chumbo? 14.62 Um densímetro é constituído por um bulbo esférico e uma haste cilíndrica cuja seção reta possuí área igual a 0,400 cm (Figura 14.9a). O volume total do bulbo com a haste é igual a 13,2 cm'. Quando imerso em água, o densímetro flutua mantendo a haste a uma altura de 8,00 cm acima da superfície da água. Quando imerso em um fluido orgânico, a haste fica a uma altura de 3,20 cm acima da superfície. Ache a densidade do fluido orgânico. (Observação: Este problema ilustra a precisão deste tipo de densímetro. Uma diferença de densidade relativamente pequena produz uma diferença grande na leitura da escala do densímetro). CAPITULO 14 - MECÂNICA DOS FLUIDOS 14.63 As densidades do ar, do hélio e do hidrogênio (para p = l,0atm e T= 293 K) são 1,20 kg/m 3 ,0,166 kg/m 3 e 0,0899 kg/m , respectivamente, (a) Qual é o volume em metros cúbicos deslocado por um aeróstato cheio de hidrogênio sobre o qual atua uma força de "sustentação" total igual a 120 kN? (A "sustentação" é a diferença entre a força de empuxo e o peso do gás que enche o aeróstato.) (b) Qual seria a "sustentação" se o hélio fosse usado no lugar do hidrogênio? Tendo em vista sua resposta, explique por que o hélio é usado nos modernos dirigíveis usados em propagandas. 14.64 MHS de um objeto flutuando. Um objeto com altura h, massa M e área da seção reta A flutua verticalmente em um líquido com densidadeµ. (a) Calcule a distância vertical entre a superfície do líquido e a parte inferior do objeto na posição de equilíbrio, (b) Uma força de módulo F é aplicada de cima para baixo sobre o topo do objeto. Em sua posição de equilíbrio, qual é a diferença entre a nova distância vertical entre a superfície do líquido e a parte inferior do objeto e a distância calculada no item (a)? (Suponha que uma pequena parte do objeto permaneça sobre a superfície do líquido.) (c) Sua resposta da parte (b) mostra que se a força for repentinamente removida- o objeto deverá oscilar para cima e para baixo executando um MHS. Obtenha o período deste movimento em função da densidade p do líquido, da massa M e da área da seção reta A do objeto. Despreze o amortecimento provocado pelo atrito do líquido (Seção 13.8). 14.65 Uma baliza cilíndrica de 950 kg flutua verticalmente na água do mar. O diâmetro da baliza é igual a 0,900 m. (a) Calcule a distância vertical adicional que a baliza deverá afundar quando um homem de 70,0 kg ficar em pé sobre ela. (Use a expressão deduzida na parte (b) do Problema 14.64.) (b) Calcule o período do MHS resultante quando o homem pular para fora da baliza.(Use a expressão deduzida na parTe (c) do Problema 14.64 e, como nesse problema, despreze o amortecimento provocado pelo atrito do líquido.) 14.66 Na água do mar um salva-vidas com volume igual a 0,0400 m 3 pode suportar o peso de uma pessoa com massa igual a 75,0 kg (com densidade média igual a 980 kg/m 3 ) mantendo 20% do volume da pessoa acima da água quando o salva-vidas está completamente submerso. Qual é a densidade média do material que compõe o salva-vidas? 14.67 Um bloco de madeira leve está sobre um dos pratos de uma balança de braços iguais sendo exatamente equilibrado pela massa de 0,0950 kg de um bloco de latão no outro prato da balança. Calcule a massa do bloco de madeira leve se a sua densidade for igual a 150 kg/m 3 . Explique por que podemos desprezar o empuxo sobre o bloco de latão, mas não o empuxo do ar sobre o bloco de madeira leve. 14.68 O bloco A da Figura 14.38 está suspenso por uma corda a uma balança de mola D e está submerso em um líquido C contido em um recipiente cilíndrico B. A massa do recipiente é igual a l ,00 kg; a massa do líquido é l ,80 kg. A leitura da balança D indica 3,50 kg e a balança E indica 7,50 kg. O volume do bloco A é igual a 3,80.10 -3 m 3 . (a) Qual é a densidade do líquido? (b) Qual será a leitura de cada balança quando o bloco A for retirado do líquido? 14.69 Uma barra de alumínio é completamente recoberta por uma camada de ouro formando um lingote com peso igual a 45,0 N. Quando você suspende o lingote em uma balança de mola e a seguir o mergulha na água, a leitura da balança indica 39,0 N. Qual é o peso do ouro na camada? Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 27 27 14.70 Uma bola solta cheia de hélio flutuando no interior de um carro com janelas e ventoinhas fechadas se move no sentido da aceleração do carro, porem uma bola frouxa com pouco ar em seu interior se move em sentido contrário ao da aceleração do carro. Para explicar a razão deste efeito, considere somente as forças horizontais que atuam sobre a bola. Seja a o módulo da aceleração do carro. Considere um tubo de ar horizontal cuja seção reta possui área A com origem no pára-brisa, onde x = 0 e p = p 0 e se orienta para trás. Agora considere um elemento de volume de espessura dx ao longo deste tubo. A pressão em sua parte frontal é p e a pressão em sua parte traseira é p + dp. Suponha que o ar possua uma densidade constante p. (a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento de volume e mostre que dp = pa dx. (b) Integre o resultado da parte (a) para achar a pressão na superfície frontal em termos de a e de x. (c) Para mostrar que considerar p constante é razoável, calcule a diferença de pressão em atm para uma grande distância de 2,5 m e para uma elevada aceleração de 5,0 m/s 2 , (d) Mostre que a força horizontal resultante sobre um balão de volume Vê igual µVa. (e) Para forças de atrito desprezíveis, mostre que a aceleração da bola (densidade média ) é dada por ( )a, de modo que a aceleração relativa é dada por: = − 1 (f) Use a expressão da a obtida na parte (e) para explicar o sentido do movimento das bolas. 14.71 O peso da coroa de um rei é w. Quando suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água, a tensão na corda (o peso aparente da coroa) é igual fw. (a) Mostre que a densidade relativa da coroa é dada por 1 1 − . Discuta o significado dos limites quando f = 0 e f = l. (b) Se a coroa for um sólido de ouro e pesar 12,9 N no ar, qual será o seu peso aparente quando estiver totalmente imersa na água? (c) Repita a parte (b) se a coroa for um sólido de chumbo com uma camada muito fina de ouro, porém com peso ainda igual a 12,9 N no ar. 14.72 Uma peça de aço possui peso w, um peso aparente (ver o Problema 14.71) w quando está totalmente imersa na água e um peso aparente w fluido quando está totalmente imersa em um fluido desconhecido, (a) Mostre que a densidade relativa do fluido é dada por − − á (b) Este resultado é razoável para os três casos w fluido maior, menor ou igual a w água ? (c) O peso aparente da peça de aço em água com densidade 1000 kg/m 3 é 87,2% do seu peso. Qual é a porcentagem do seu peso para o peso aparente do corpo mergulhado em ácido fórmico (densidade 1220 kg/m 3 )? 14.73 Você funde e molda uma certa quantidade de metal com densidade em uma forma, porém deve tomar cuidado para que não se formem cavidades no interior do material fundido. Você mede um peso w para o material fundido e uma força de empuxo igual a B. (a) Mostre que 0 = á − é o volume total das eventuais cavidades formadas no interior do material fundido. (b) Se o metal for o cobre, o peso w do material fundido for igual a 156 N e a força de empuxo for igual a 20 N, qual é o volume total das cavidades formadas no interior do material fundido? A que fração do volume do material este volume corresponde? 14.74 Um bloco cúbico de madeira com aresta de 0,100 m de densidade igual a 550 kg/m 3 flutua em um recipiente com água. Óleo com densidade igual a 750 kg/m 3 é derramado sobre água até que a camada de óleo fique 0,035 m abaixo do topo do bloco. (a) Qual é a profundidade da camada de óleo? (b) Qual é a pressão manométrica na face inferior do bloco? 14.75 Lançando uma âncora. Uma âncora de ferro com massa igual a 35,0 kg e densidade igual a 7860 kg/m 3 está sobre o convés de uma barca pequena que possui lados verticais e está flutuando sobre um rio de água doce. A área da parte inferior da barca é igual a 8,00 m 3 . A âncora é lançada pela parte lateral da barca e afunda sem tocar o fundo do rio sendo sustentada por uma corda de massa desprezível. Quando a âncora fica suspensa lateralmente e depois de a barca parar de oscilar, a barca afundou ou subiu na água? Qual o valor da distância vertical que ela afundou ou subiu? 14.76 Suponha que o petróleo de um superpetroleiro possua densidade igual a 750 kg/m 3 . O navio fica encalhado em um banco de areia. Para fazer o navio flutuar novamente sua carga é bombeada para fora e armazenada em barris, cada um deles com massa igual a 15,0 kg quando vazio e com capacidade para armazenar 0,120 m de petróleo. Despreze o volume ocupado pelo aço do barril, (a) Se um trabalhador que está transportando os barris acidentalmente deixa um barril cheio e selado cair pelo lado do navio, o barril flutuará ou afundará na água do mar? (b) Se o barril flutua, qual é a fração de seu volume que fica acima da superfície da água? Se ele afunda, qual deveria ser a tensão mínima na corda necessária para rebocar o barril para cima a partir do fundo do mar? (c) Repita as partes (a) e (b) supondo que o petróleo possua densidade igual a 910 kg/m 3 e que a massa de cada barril vazio seja igual a 32,0 kg. 14.77 Um bloco cúbico com densidade e uma aresta com comprimento L flutua sobre um líquido de densidade maior . (a) Que fração do volume do bloco fica acima da superfície do líquido? (b) O líquido é mais denso do que a água (densidade igual a ) e não se mistura com ela. Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 28 28 Derramando-se água sobre a superfície do líquido, qual deve ser a camada da água para que a superfície livre da água coincida com a superfície superior do bloco? Expresse a resposta em termos de L, , e . (c) Calcule a profundidade da camada de água da parte (b) se o liquido for mercúrio e o bloco for de aço com aresta de 10,0 cm. 14-78 Uma barca está em uma eclusa retangular de um rio de água doce. A eclusa possui comprimento igual a 60,0 m e largura igual a 20,0 m e as comportas de aço das duas extremidades estão fechadas. Quando a barca está flutuando na eclusa, uma carga de 2.5.10 6 N de sucata de metal é colocada na barca. O metal possui densidade igual a 9000 kg/m 3 , (a) Depois que a carga de sucata de metal, que estava inicialmente nas margens da eclusa, é colocada na barca, de quanto se eleva verticalmente o nível da água da eclusa? (b) A sucata de metal é agora despejada na água da eclusa pela parte lateral da barca. O nível da água da eclusa sobe, desce ou permanece inalterado? Caso ele suba ou desça, de quanto varia verticalmente o nível da água da eclusa? 14.79 Um tubo em forma de U que contém um líquido possui uma seção horizontal de comprimento igual a l (Figura 14.39). Calcule a diferença de altura entre as duas colunas de líquido nos ramos verticais quando (a) o tubo se desloca com uma aceleração a para a direita: (b) o tubo gira em torno de um dos ramos verticais com uma velocidade angular . (c) Explique por que a diferença de altura não depende da densidade do líquido nem da área da seção reta do tubo. A resposta seria a mesma se os tubos verticais tivessem áreas das seções retas diferentes? A resposta seria a mesma se a parte horizontal do tubo fosse afunilada diminuindo sua seção reta de uma extremidade até a outra? Explique. 14.80 Um recipiente cilíndrico que contém um liquido incompressível gira com velocidade angular constante em tomo de seu eixo de simetria, o qual vamos considerar como o eixo Ou (Figura 14.40). (a) Mostre que a pressão a uma dada altura no interior do líquido cresce com a distância radial r (para fora do eixo de rotação) de acordo com = 2 (b) Integre esta equação diferencial parcial para achar a pressão em função da distância ao eixo de rotação ao longo de uma linha horizontal para y = 0. (c) Combine a resposta da parte (b) com a Equação (14.5) para mostrar que a superfície do líquido que gira possui uma forma parabólica, ou seja, a altura do liquido é dada por = 2 2 2 (Esta técnica é usada para fabricar espelhos parabólicos para telescópios; o vidro líquido gira e depois é solidificado enquanto está girando.) 14.81 Um fluido incompressível com densidade p está em um tubo de teste horizontal com área da seção reta interna A. O tubo de teste gira com velocidade angular em uma ultracentrífugadora. As forças gravÍtacionais são desprezíveis. Considere um elemento de volume do fluido de área A e espessura dr' situado a uma distância r' do eixo de rotação. A pressão na superfície interna é p e a pressão na superfície externa é p + dp. (a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento de volume para mostrar que = 2 ´ ´ (b) Se a superfície do fluido está em um raio r 0 onde a pressão é p 0 , mostre que a pressão p a uma distância ≥ 0 é dada por: = 0 + 2 2 − 0 2 2 (c) Um objeto de volume V e densidade possui o centro de massa a uma distância do eixo. Mostre que a força resultante horizontal sobre o objeto é dada por 2 , onde R cm é a distância entre o eixo e o centro de massa do fluido deslocado, (d) Explique por que o objeto se move para o centro quando > para fora do centro quando < . (e) Para pequenos objetos com densidade uniforme, = . O que ocorre para uma mistura de pequenos objetos deste tipo com densidades diferentes em uma ultracentrifugadora? 14.82 Qual é o raio de uma gota d'água para que a diferença entre a pressão interna e a pressão externa da gota seja igual a 0.0250 atm? Considere T= 293 K, Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 29 29 14.83 Um bloco cúbico de madeira com aresta de 0.30 m é fabricado de modo que seu centro de gravidade fique na posição indicada na Figura 14.41a. flutuando na água com a metade de seu volume submerso. Se o bloco for "tombado" de um ângulo de 45 0 como indicado na Figura 14.41. Calcule o torque resultante em torno de um eixo horizontal perpendicular ao bloco e passando pelo centro geométrico do bloco. 14.84 A água de um grande tanque aberto com paredes verticais possui uma profundidade H (Figura 14.42). Um orifício é feito na parede vertical a uma profundidade h abaixo da superfície da água. (a) Qual é a distância R entre a base do tanque e o ponto onde a corrente atinge o solo? (b) A que distância acima da base do tanque devemos fazer um segundo furo para que a corrente que emerge dele tenha um alcance igual ao do primeiro furo? 14.85 Um balde cilíndrico, aberto na parte superior, possui diâmetro de 10.0 cm e altura igual a 25.0 cm. Um orifício circular com área da seção reta igual a l.50 cm 2 é feito no centro da base do balde. A partir de um tubo sobre a parte superior, a água flui para dentro do balde com uma taxa igual a 2.40.10 -4 m 3 /s. Até que altura a água subirá no tubo? 14.86 A água flui continuamente de um tanque aberto, como indicado na Figura 14.43. A altura do ponto l é igual a 10.0 m e os pontos 2 e 3 estão a uma altura igual a 2.00 m. A área da seção reta no ponto 2 é igual a 0.0480 m 2 ; no ponto 3 ela é igual a 0.0160 m 2 . A área do tanque é muito maior do que a área da seção reta do tubo. Supondo que a equação de Bemoulii seja válida, calcule: (a) a vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo: (b) a pressão manométrica no ponto 2. 14.87 O projeto de um avião moderno exige uma sustentação oriunda do ar que se move sobre as asas aproximadamente igual a 200N por metro quadrado. 14.88 O furacão Emily ocorrido em 1993 possuía um raio aproximadamente igual a 350 km. A velocidade do vento nas vizinhanças do centro (o "olho") do furacão, com raio de 30 km atingiu 200 km/h. À medida que o ar forma redemoinhos em direção ao olho. o momento angular permanece praticamente constante, (a) Estime a velocidade do vento na periferia do furacão. (b) Estime a diferença de pressão na superfície terrestre entre o olho e a periferia do furacão. (Sugestão: Ver a Tabela 14.1). Onde a pressão é maior? (c) Se a energia cinética do ar que forma redemoinhos no olho pudesse ser convertida completamente em energia potencial gravitacional, até que altura o ar se elevaria? (d) Na realidade o ar se eleva até altitudes de diversos quilômetros. Como você concilia este fato com sua resposta do item (c)? 14.89 Dois tanques abertos muito grandes A e F (Figura 14.44) contêm o mesmo líquido. Um tubo horizontal BCD, possuindo uma constrição C e aberto ao ar no ponto D leva o líquido para fora na base do tanque A, e um tubo vertical E se liga com a constrição C e goteja o líquido para o tanque F. Suponha um escoamento com linhas de corrente e despreze a viscosidade. Sabendo que a área da seção reta da constrição C é a metade da área em D e que D está a uma distância h 1 abaixo do nível do líquido no tanque A. até que altura h 2 o líquido subirá no tubo E? Expresse sua resposta em termos de h 1 . Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 30 30 14.90 O tubo horizontal indicado na Figura 14.45 possui seção reta com área igual a 40,0 cm 2 em sua parte mais larga e 10.0 cm 2 em sua constrição. A água flui no tubo e a vazão volumétrica é igual a 6.00.10 -3 m 3 /s (6.00 L/s). Calcule (a) a velocidade do escoamento na parte mais larga e na constrição; (b) a diferença de pressão entre estas duas partes: (c) a diferença de altura entre os dois níveis do mercúrio existente no tubo em U. 14.91 A Figura 14.27a mostra um líquido se escoando de um tubo vertical. Note que a corrente de líquido vertical possui uma forma definida depois que ela sai do tubo. Para obter a equação para esta forma, suponha que o líquido esteja em queda livre quando ele sai do tubo. No exato momento em que ele sai do tubo, o líquido possui velocidade v 0 e o raio da corrente é r 0 . (a) Obtenha uma expressão para a velocidade do líquido em função da distância y que ele caiu. Combinando esta relação com a equação da continuidade, ache uma expressão para o raio da corrente em função de y. (b) Se a água escoa de um tubo vertical com velocidade de l.20 m/s, a que distância da saída do tubo o raio será igual à metade do seu valor na corrente original? 14.92 (a) Com que velocidade uma esfera de latão com raio de 2.50 mm cai em um tanque de glicerina no instante em que sua aceleração é a metade da aceleração de um corpo em queda livre? A viscosidade da glicerina é igual a 8.30 poises, (b) Qual é a velocidade terminal da esfera? 14.93 Velocidade de uma bolha em um líquido, (a) Com que velocidade terminal uma bolha de ar com diâmetro de 2.00 mm sobe em um líquido cuja viscosidade é igual a l.50 poise e densidade igual a 900 kg/m 3 ? (Suponha que a densidade do ar seja igual a l.20 kg/m 3 e que o diâmetro da bolha permanece constante.) (b) Qual é a velocidade terminal da mesma bolha, na água a 20 0 C que possui uma viscosidade igual a l.005 centipoise? 14.94 Um óleo com viscosidade igual a 3,00 poises e densidade igual a 860 kg/m 3 deve ser bombeado de um grande tanque aberto para outro através de um tubo liso de aço horizontal de comprimento igual a l,50 km e diâmetro de 0.110 m. A descarga do fubo ocorre no ar. a) Qual é a pressão manométrica exercida pela bomba, em pascais e atmosferas, para manter uma vazão volumétrica igual a 0,0600 m7s? h) Explique por que o consumo de potência da bomba é igual ao produto da vazão volumétrica pela pressão manométrica exercida pela bomba. Qual é o valor numérico da potência? 14.95 O tanque do lado esquerdo da Figura 14.46a está aberto para a atmosfera e a seção reta possui área muito elevada. A profundidade é y = 0.600 m. As áreas das seções retas dos tubos horizontais que saem do tanque são l.00 cm 2 , 0.40 cm 2 e 0.20 cm 2 , respectivamente. O líquido é ideal, logo sua viscosidade é igual a zero. (a) Qual é a vazão volumétrica para fora do tanque? (b) Qual é a velocidade em cada seção do tubo horizontal? (c) Qual é a altura atingida pelo líquido em cada um dos cinco tubos verticais do lado direito? (d) Suponha que o líquido da Figura 14.46b possua viscosidade igual a 0.0600 poise, densidade igual a 800 kg/m 3 e que a profundidade do líquido no tanque grande seja tal que a vazão volumétrica do escoamento seja a mesma que a obtida na parte (a). A distância entre os tubos laterais entre c e d e a distância entre e e f são iguais a 0.200 m. As áreas das respectivas seções retas dos dois diagramas são iguais. Qual é a diferença de altura entre os níveis dos topos das colunas de líquido nos tubos verticais em c e d? (e) E para os tubos em e e f? (f) Qual é a velocidade do escoamento ao longo das diversas partes do tubo horizontal? Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 1 1 - PROBLEMAS DESAFI ADORES 14.96 Uma pedra com massa m = 3,00 kg é suspensa do teto de um elevador por meio de uma corda leve. A pedra está totalmente imersa na água de um balde apoiado no piso do elevador, porém a pedra não toca nem o fundo nem as paredes do balde, (a) Quando o elevador está em repouso, a tensão na corda é igual a 21,0 N. Calcule o volume da pedra, (b) Deduza uma expressão para a tensão na corda quando o elevador está subindo com uma aceleração constante a. Calcule a tensão na corda quando a = 2.50 m/s 2 de baixo para cima. (c) Deduza uma expressão para a tensão na corda quando o elevador está descendo com uma aceleração constante a. Calcule a tensão na corda quando a = 2,50 m/s 2 de cima para baixo, (d) Qual é a tensão na corda quando o elevador está em queda livre com uma aceleração de cima para baixo igual a g? 14.97 Suponha que um bloco de isopor, com µ = 180 kg/m 3 , seja mantido totalmente imerso na água (Figura 14.47). (a) Qual é a tensão na corda? Faça o cálculo usando o princípio de Arquimedes. (b) Use a fórmula p = p 0 + µgh para calcular diretamente a força exercida pela água sobre as duas faces e sobre a base do isopor; a seguir mostre que a soma vetorial destas forças é a força de empuxo. 14.98 Um tanque grande de diâmetro D está aberto para a atmosfera e contém água até uma altura H. Um pequeno orifício com diâmetro d (d << D) é praticado na base do tanque. Desprezando qualquer efeito de viscosidade, encontre o tempo necessário para drenar completamente o tanque. 14.99 Um sifão, indicado na figura, é um dispositivo conveniente para remover o líquido de um recipiente. Para realizar o escoamento, devemos encher completamente o tubo com o líquido. Suponha que o líquido possua densidade µ e que a pressão atmosférica seja p a . Suponha que a seção reta do tubo seja a mesma em todas as suas partes. (a) Se a extremidade inferior do sifão está a uma distância h abaixo da superfície do líquido no recipiente, qual é a velocidade do líquido quando ele flui para fora da extremidade do sifão? (Suponha que o recipiente possua um diâmetro muito grande e despreze qualquer efeito da viscosidade. (b) Uma característica curiosa de um sifão é o que o liquido inicialmente flui para cima. Qual é a altura máxima H que pode ser atingida pelo líquido no ponto mais elevado do tubo para que o escoamento ainda ocorra? 14.100 – O trecho a seguir foi citado em uma carta: É uma prática dos carpinteiros da região, para nivelar as fundações de edifícios relativamente longos, usar uma mangueira de jardim cheia de água tendo em suas extremidades dois tubos de vidro com comprimentos da ordem de 25 a 30 cm. A teoria é que a água, procurando manter o mesmo nível, atinge a mesma altura nos dois tubos servindo de referência para o nivelamento. Agora surge a dúvida para o que ocorre quando existe uma bolha no interior da mangueira. Nossos velhos profissionais afirmam que o ar não afeta a leitura da altura de uma extremidade para outra. Outros alegam que a bolha pode causar importantes imprecisões. Você é capaz de dar uma resposta relativamente simples para esta pergunta, Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 2 2 juntamente com uma explicação? A figura 14.49 mostra um esquema para ilustrar a situação que causou a controvérsia. Solução: * 14.38 - No centro, r = 0 na Eq. (14-25), e explicitando p 1 – p 2 = Ap, obtemos max 2 4 Lv p R q A = 3 2 2 2 4(1.005 10 / )(3.00 )(0.200 / ) (0.85 10 ) x N s m m m s p x m ÷ ÷ · A = 33.4 . p Pa A = 14-40: a) Explicitando na Eq. (14-26) a pressão manométrica Ap = p 1 - p 2 , 4 8 ( / ) L dV dt p R q A = t 3 2 3 6 3 6 4 8(1.0 10 / )(0.20 10 )(0.25 10 ) /(15 60 ) (5 10 ) x N s m x m x m x s p x m ÷ ÷ ÷ ÷ · A = t 5 2.3 10 2.2 . p x Pa atm A = = b) Esta é a diferença de pressão abaixo da atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a pressão manométrica é negativa. A diferença de pressão é proporcional ao inverso da quarta potência do diâmetro, portanto a maior contribuição para esta diferença de pressão é devida à menor seção reta da boca do inseto. 14-42: Da equação da velocidade terminal, Eq. (14-27), obtemos , 1 6 2 1 | | . | \ | ÷ = ÷ = µ µ tq mg B mg rv t onde µ 1 é a densidade do líquido e µ 2 é a densidade do latão. Explicitando a viscosidade obtemos rv mg t µ µ q 6 . 1 2 1 | | . | \ | ÷ = O raio é obtido de V = , 3 4 3 r m c t µ = donde obtemos r = 2.134 x 10 -3 m. Substituindo os valores numéricos na relação precedente q = 1.13 N·s/m 2 , aproximadamente igual a 11 com dois algarismos significativos. 14.44 Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes, obtemos 6t(181 x 10 -7 N·s/m 2 )(0.124 m/s) = = 2.12 x 10 -4 N logo o peso é igual a 5.88 N; a razão é igual a 3.60 x 10 -5 . - Gabarito 14-1: 41,8N, não. 14-2: . / 10 33 . 3 ) 10 74 . 1 ( 3 4 ) 10 35 . 7 ( 3 4 3 3 3 6 22 3 m kg x m x kg x r m V m = = = = t t µ 14-3:7,03.10 3 kg/m 3 ; sim. 14-4: O comprimento L de uma aresta do cubo é . 3 . 12 / 10 4 . 21 40 3 1 3 3 3 1 3 1 cm m kg x kg m V L = | | . | \ | = | | . | \ | = = µ 14-5: (a) 706 Pa (b) 3160 Pa. 14-6: (a) Peso em cada pneu: 16.5 4 porpneu P kN = Pressão absoluta em cada pneu: 205 101, 3 306, 3 abs m atm p p p kPa = + = + = Área em cada pneu: porpneu porpneu P p A = Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 3 3 2 16.5 4 0, 01348 306, 3 porpneu abs P A m p = = = Área total: 2 2 2 4 4 0, 01348 0, 05386 538, 6 t A A m m cm = = · = = (b) Com o peso extra, a repetição do cálculo anterior fornece 836 cm 2 . 14-7: (a) 2,52.10 6 Pa (b) 1,78.10 5 Pa 14-8: µ = µgh = (1.00 x 10 3 kg/m 3 )(9.80 m/s 2 )(640 m) = 6.27 x 10 6 Pa = 61.9 atm. 14-9: (a) 1,07.10 5 Pa (b) 1,03.10 5 Pa (c) 1,03.10 5 Pa (d) 5,33.10 3 Pa 14-10: µgh = (1.00 x 10 3 kg/m 3 )(9.80 m/s 2 )(6.1 m) = = 6.0 x 10 4 Pa. 14-11: 2,3.10 5 Pa 14-12: 130 x 10 3 Pa + (1.00 x 10 3 kg/m 3 )(3.71 m/s 2 )(14.2 m) – 93 x 10 3 Pa (2.00 m 2 ) = 1.79 x 10 5 N. 14-13: 4,14m 14-14: 2 2 2 (1200 )(9.80 / ) ( / 2) (0.15 ) F mg kg m s A d m µ t t = = = 5 1.66 10 1.64 . x Pa atm µ = = 14-15: 0,562m 2 14-16: A força de empuxo é: B = 17.50 N - 11.20 N = 6.30 N, logo . 10 43 . 6 ) / 80 . 9 )( / 10 00 . 1 ( ) 30 . 6 ( 3 4 2 3 3 m x s m m kg x N g B V água ÷ = = = µ A densidade é dada por / / água água m g V B g B e e µ µ µ = = = 3 3 3 3 17.50 (1.00 10 / ) 2.78 10 / . 6.30 x kg m x kg m µ | | = = | \ . 14-17: (a) µ < µ fluido (c) submerso µ / µ fluido :acima (µ fluido - µ)/µ fluido (d) 32% 14-18: (a) B = µ água gV = (1.00 x 10 3 kg/m 3 )(9.80 m/s 2 )(0.650 m 3 ) = 6370 N. (b) . 558 / 80 . 9 900 6370 2 kg s m N N g T B g m = ÷ = ÷ = = e (c) (Ver o Exercício 14-17.) Se o volume submerso é V', ´ = á ⟹ ´ = ´ = = 5470 6370 = 0.859 = 85.9% 14-19: (a) 116 Pa (b) 921 Pa (c) 0,822 kg , 822 kg/m 3 14-20: (a) Desprezando a densidade do ar, / m g V g e e µ µ µ = = = 3 3 2 3 3 (89 ) 3.3610 (9.80 / )(2.7 10 / ) N V m m s x kg m ÷ = = ou seja 3.4.10 -3 m 3 com dois algarismos significativos. (b) T = e - B = e - gµ água V = e . 0 . 56 7 . 2 00 . 1 1 ) 89 ( 1 N N alumínio água = | . | \ | ÷ = | | | . | \ | ÷ µ µ 14-21: 6,67Pa 14-22: Usando a Eq. (14-13), obtemos m N x e R g / 10 8 . 72 , 2 3 ÷ = = ¸ ¸ µ (a) 146 Pa, (b) 1.46 x 10 4 Pa (note que este resultado é 100 vezes maior do que a resposta do item (a)). 14-23: 0.1 N; 0.01 kg 14-24: A análise que conduziu à Eq. (14-13) é válida para os poros; . 10 9 . 2 4 2 7 Pa x D R = = ¸ ¸ 14-25: 4.4 ∙ 10 −3 N 14-26: 1 2 1 2 A v v A = 2 3 2 2 2 (3.50 / )(0.0700 ) 0.245 / m s m m s v A A = = Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 4 4 (a) (i) A 2 = 0.1050 m 2 , v 2 = 2.33 m/s. (ii) A 2 = 0.047 m 2 , v 2 = 5.21 m/s. (b) v 1 A 1 t = v 2 A 2 t = (0.245 m 3 /s)(3600 s) = 882. 14-27: (a) 17.0 m/s (b) 0.317m. 14-28: (a) Pela equação que precede a Eq. (14-14), dividido pelo intervalo de tempo dt obtemos a Eq. (14-16). (b) A vazão volumétrica diminui de 1.50%. 14-29: 28.4 m/s 14-30: (a) Pela Eq. (14-22), . / 6 . 16 ) 0 . 14 ( 2 s m m gh v = = = (b) vA = (16.57 m/s)(t(0.30 x 10 -2 m) 2 ) = 4.69 x 10 -4 m 3 /s. Note que mais um algarismo significativo foi mantido nos cálculos intermediários. 14-31: . × 14-32: Usando v 2 = 1 4 1 v na Eq. (14-21), ( ) 2 2 2 1 1 2 1 2 1 ( ) 2 p p v v g y y µ µ = + ÷ + ÷ 2 2 1 1 1 2 15 ( ) 32 p p v g y y µ ( | | = + + ÷ | ( \ . ¸ ¸ 4 3 2 15 5.00 10 (1.00 10 ) (3.00) (9.80)(11.0) 32 p x Pa x | | = + + | \ . 1.62 p Pa = 14-33: 500 N de cima para baixo 14-34: (a) . / 30 . 1 0 . 60 ) 355 . 0 )( 220 ( s kg s kg = (b)A densidade do líquido é 3 3 3 0.355 1000 / 0.355 10 kg kg m x m ÷ = e portanto a vazão volumétrica é . / 30 . 1 / 10 30 . 1 / 1000 / 30 . 1 3 3 3 s L s m x m kg s kg = = ÷ Este resultado também pode ser obtido do seguinte modo . / 30 . 1 0 . 60 ) 355 . 0 )( 220 ( s L s L = (b) 3 3 1 4 2 1.30 10 / 2.00 10 x m s v x m ÷ ÷ = 1 2 1 6.50 / , / 4 1.63 / . v m s v v m s = = = (d) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) 2 p p v v g y y µ µ = + ÷ + ÷ 152 (1/ 2)(1000)(9.80)( 1.35) 119 . kPa kPa = + ÷ = 14-35: 0.41cm 14-36: Pela Eq. (14-21), para y 1 = y 2 , ( ) 2 2 2 1 1 2 1 2 p p v v µ = + ÷ 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 3 2 4 8 v p p v p v µ µ | | = + ÷ = + | \ . = 1.80 x 10 4 Pa + 8 3 (1.00 x 10 3 kg/m 3 )(2.50 m/s) 2 = = 2.03 x 10 4 Pa, onde usamos a equação da continuidade 2 1 2 v v = . 14-37: (a) 1.88 m/s (b) 0 14-38: No centro, r = 0 na Eq. (14-25), e explicitando p 1 – p 2 = Ap, obtemos Ap = max 2 4 Lv R q 3 2 2 2 4(1.005 10 / )(3.00 )(0.200 / ) (0.85 10 ) x N s m m m s x m ÷ ÷ · = 33.4 p Pa = 14-39: (a) 0.128 m 3 /s (b) 9.72.10 4 Pa (c) 0.275 m 3 /s 14-40: (a) Explicitando na Eq. (14-26) a pressão manométrica Ap = p 1 - p 2 , 4 8 ( / ) L dV dt p R q t A = Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 5 5 3 3 6 6 4 8(1.0 10 )(0.20 10 )(0.25 10 ) / (15 60) (5 10 ) x x x x x t ÷ ÷ ÷ ÷ 5 2.3 10 2.2 . p x Pa atm A = = Esta é a diferença de pressão abaixo da atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a pressão manométrica é negativa. A diferença de pressão é proporcional ao inverso da quarta potência do diâmetro, portanto a maior contribuição para esta diferença de pressão é devida à menor seção reta da boca do inseto. 14-41: 5.96 mm/s 14-42: Da equação da velocidade terminal, Eq. (14-27), obtemos 1 2 6 1 t rv mg B mg µ tq µ | | = ÷ = ÷ | \ . onde µ 1 é a densidade do líquido e µ 2 é a densidade do latão. Explicitando a viscosidade obtemos rv mg t µ µ q 6 . 1 2 1 | | . | \ | ÷ = O raio é obtido de V = , 3 4 3 r m c t µ = donde obtemos r = 2.134 x 10 -3 m. Substituindo os valores numéricos na relação precedente q = 1.13 N·s/m 2 , aproximadamente igual a 11 com dois algarismos significativos. 14-43: (a) 16x maior (b) ½ do valor inicial. (c) dobra seu valor. (d) dobra seu valor. (e) se reduz a ½ de seu valor inicial. 14-44: Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes, obtemos: 6t(181 x 10 -7 N·s/m 2 )(0.124 m/s) = 2.12.10 -4 N logo o peso é igual a 5.88 N; a razão é igual a: 3.60.10 -5 . 14-45: (a) 19.4 m/s, 0, 14.6 m/s. (b)152d (c) in (a), 4; in (b), 1/16. 14-46: (a) A área da seção reta da esfera é , 4 2 D t portanto . 4 ) ( 2 0 D p p F t ÷ = (b) A força em cada hemisfério produzida pela pressão da atmosfera é t(5.00 x 10 -2 m) 2 (1.013) x 10 5 Pa)(0.975) = 776 N. 14-47: (a) 1.1.10 8 Pa (b) 1080 kg/m 3 , 5%. 14-48: (a) O peso da água é µgV = (1.00 x 10 3 kg/m 3 )(9.80 m/s 2 )((5.00 m)(4.0 m)(3.0 m))=5.88x10 5 N, ou seja, 5.9 x 10 5 N com dois algarismos significativos. (b) A integração fornece o resultado esperado: se a pressão fosse uniforme, a força seria igual ao produto da pressão no ponto médio pela área, ou seja, 2 d F gA µ = 3 (1.00 10 )(9.80)((4.0)(3.0))(1.50) F x = 5 1.76 10 F N = · ou 1.8 x 10 5 N com dois algarismos significativos. 14-49: 2.61.10 4 N.m 14-50: (a) Ver o Problema 14-49; a força total é dada pela integral ∫dF desde h = 0 até h = H, obtemos F = µge H 2 /2 = µgAH/2, onde A = eH. (b) O torque sobre um faixa vertical de largura dh em relação à base é dr = dF(H – h) = µgeh(H – h)dh, e integrando desde h = 0 até h = H, obtemos t = µgAH 2 /6. (c) A força depende da largura e do quadrado da profundidade e o torque em relação à base depende da largura e do cubo da profundidade; a área da superfície do lago não influi em nenhum dos dois resultados (considerando a mesma largura). 14-51: − Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 6 6 14-52: A barra cilíndrica possui massa M, raio R, e comprimento L com uma densidade proporcional à distância até uma das extremidades, ou seja, µ = Cx 2 . (a) M = } µdV = } Cx 2 dV. O elemento de volume é dado por dV = tR 2 dx. Logo a integral é dada por M = } L 0 Cx 2 t R 2 dx. A Integração fornece M = Ct R 2 } L 0 x 2 dx = CtR 2 . 3 3 L Explicitando C, obtemos C = 3M/t R 2 L 3 . (b) A densidade para a extremidade x = L é dada por: µ = Cx 2 = . 3 ) ( 3 2 2 3 2 | . | \ | = | . | \ | L R M L L R M t t O denominador é precisamente igual ao volume total V, logo µ = 3M/V, ou três vezes a densidade média, M/V. Logo a densidade média é igual a um terço da densidade na extremidade x= L. 14-53: (a) 12.7 kg/m 3 (b) 3140 kg/m 3 14-54: (a) A Equação (14-4), com o raio r em vez da altura y, pode ser escrita na forma dp = -µg dr = -µg s (r/R) dr. Esta forma mostra que a pressão diminui com o aumento do raio. Integrando, com: p = 0 em r = R, obtemos ). ( 2 2 2 4 r R R g dr r R g p s R s ÷ = ÷ = } µ µ (b) Usando a relação anterior com r = 0 e 3 3 4 M M V R µ t = = Obtemos: 24 2 6 2 3(5.97 10 )(9.80 / ) (0) 8 (6.38 10 ) x kg m s P x m t = 11 (0) 1.71 10 . P Pa = · (c) Embora a ordem de grandeza seja a mesma, o resultado não concorda bem com o valor estimado. Em modelos com densidades mais realistas (ver o Problema 14-53 ou o Problema 9- 85), a concentração da massa para raios menores conduz a uma pressão mais elevada. 14-55: (a) 1470 kg/m 3 (b) 13.9 cm 14-56: Seguindo a sugestão: , ) 2 )( ( 2 0 Rh g dy R gy F h t µ t µ = = } onde R é o raio e h é a altura do tanque (o fato que 2R = h é mais ou menos acidental).Substituindo os valores numéricos obtemos F = 5.07 x 10 8 N. 14-57: 9.8.10 6 kg, sim. 14-58: A diferença entre as densidades deve fornecer o "empuxo" de 5800 N (ver o Problema 14-63). A densidade média dos gases no balão é dada por (5800) 1.23 (9.80)(2200) ave µ = ÷ 3 0.96 / ave kg m µ = 14-59: (a) 30% (b) 70% 14-60: (a) O volume deslocado deve ser aquele que possui o mesmo peso e massa do gelo, 3 3 70 . 9 / 00 . 1 70 . 9 cm cm g g = . (b) Não; quando fundido, a água resultante terá o mesmo volume que o volume deslocado por 9.70 g do gelo fundido, e o nível da água permanecerá o mesmo. (c) 3 3 9.70 9.24 1.05 / gm cm gm cm = (d) A água resultante do cubo de gelo derretido ocupará um volume maior do que o da água salgada deslocada e portanto um volume de 0.46 cm 3 deve transbordar. 14-61: 4.66.10 -4 m 3 , 5.27 kg. 14-62: A fração f do volume que flutua acima do líquido é dada por f = 1 - , fluid µ µ onde µ é a densidade média do densímetro (ver o Problema 14-17 ou o Problema 14-59), que pode ser escrita na forma . 1 1 f fluid ÷ =µ µ Logo, para dois fluidos que possuem frações de flutuação f 1 e f 2 , temos . 1 1 2 1 1 2 f f ÷ ÷ =µ µ Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 7 7 Nesta forma é claro que um valor de f 2 maior corresponde a uma densidade maior; uma parte maior do flutuador fica acima do fluido. Usando f 1 = . / 839 ) 839 . 0 ( 097 . 0 ) 2 . 13 ( ) 400 . 0 )( 20 . 3 ( , 242 . 0 ) 2 . 13 ( ) 400 . 0 )( 00 . 8 ( 3 3 2 2 3 2 m kg obtemos cm cm cm f cm cm cm água alcool = = = = = µ µ 14-64: a) O princípio de Arquimedes afirma que µgLA = Mg, logo . A M L µ = b) A força de empuxo é dada por µgA(L + x) = Mg + F; usando o resultado da parte (a) e explicitando x obtemos . gA F x µ = c) A ―constante da mola,‖ ou seja, a proporcionalidade entre o deslocamento x e a força aplicada F, é k = µgA, e o período da of oscilação é . 2 2 gA M k M T µ t t = = 14-66: Para economizar cálculos intermediários, considere a densidade, a massa e o volume do salva- vidas como µ 0 , m e v, e as mesmas grandezas referentes à pessoa como µ 1 , M e V. A seguir, igualando a força de empuxo com o peso, e cancelando o fator comum g, obtemos µ água ((0.80)V + v) = µ 0 v + µ 1 V, Eliminando V e m, achamos, . ) 80 . 0 ( 1 0 | | . | \ | + = + v M M v água µ µ µ Explicitando µ 0 , obtemos . / 732 / 980 / 10 03 . 1 ) 80 . 8 ( 1 0400 . 0 0 . 75 / 10 03 . 1 ) 80 . 0 ( 1 ) 80 . 0 ( 1 1 3 3 3 3 3 3 3 1 água água 1 água 0 m kg m kg m kg x m kg m kg x v M M v M v = | | . | \ | ÷ ÷ = | | . | \ | ÷ ÷ = | | . | \ | ÷ | | . | \ | + ÷ = µ µ µ µ µ µ 14-68: A força de empuxo sobre a massa A, dividida por g, deve ser igual a 7.50 kg – 1.00 kg – 1.80 kg = 4.70 kg (ver o Exemplo 14-6), logo a massa do bloco é 4.70 kg + 3.50 kg = 8.20 kg. a) A massa do líquido deslocado pelo bloco é 4.70 kg, logo a densidade do líquido é . / 10 24 . 1 10 80 . 3 70 . 4 3 3 3 3 m kg x m x kg = ÷ b) A balança D fará a leitura da massa do bloco, 8.20 kg, como calculamos acima. A balança E fará a leitura da massa do recipiente mais a massa do líquido, 2.80 kg. 14-70: (Note que aumentar x corresponde a um deslocamento para a traseira do carro.) a) A massa de um elemento de volume é µ dV = µ A dx, e a força resultante sobre este elemento é dirigida para a frente e seu módulo é dado por (p + dp)A – pA = A dp. Pela segunda lei de Newton, A dp = (µ A dx)a, ou seja, dp = µ a dx. b) Como µ é constante, e para p = p 0 em x = 0, obtemos p = p 0 + µ ax. Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 8 8 c) Usando µ = 1.2 kg/m 3 no resultado da parte (b) obtemos (1.2 kg/m 3 )(5.0 m/s 2 )(2.5 m) = 15.0 Pa ~ 15 x 10 -5 p atm , portanto a variação percentual da pressão é desprezível . d) Seguindo o método da Seção 14-4, a força sobre a bola deve ser igual à mesma força exercida sobre o mesmo volume de ar; esta força é igual ao produto da massa µ V multiplicada pela aceleração, ou µ Va. e) A aceleração da bola é a força encontrada na parte (d) dividida pela massa µ bola V, ou (µ /µ bola )a. A aceleração em relação ao carro é dada pela diferença entre esta aceleração e a aceleração do carro, logo a rel = [(µ /µ bola ) – a]a. f) Para uma bola cheia de ar, (µ /µ bola ) < 1 (uma bola cheia de ar tende a afundar no ar calmo), e portanto a grandeza entre colchetes na resposta do item (e) é negativa; a bola se desloca para a traseira do carro. No caso de uma bola cheia de hélio, a grandeza entre colchetes é positiva e a bola se desloca para a frente do carro. 14-72: a) Ver o Problema 14-71. Substituindo f por, respectivamente, w água /w e w fluid /w, obtemos µ aço µ fluid = e e ÷e fluid , µ aço µ água = e e ÷e água , e dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos µ fluid µ água = e ÷e fluid e ÷e água . b) Quando e fluid é maior do que e água , o termo do lado direito da expressão anterior é menor do que um, indicando que o fluido é menos denso do que a água. Quando a densidade do fluido é igual à densidade da água, obtemos e fluid = e água , como era esperado. Analogamente, quando e fluid é menor do que e água , o termo do lado direito da expressão anterior é maior do que um, indicando que o fluido é mais denso do que a água. c) Escrevendo o resultado do item (a) na forma µ fluid µ água = 1 ÷ f fluid 1÷ f água E explicitando f fluid , obtemos f fluid = 1÷ µ fluid µ água (1 ÷ f água ) =1÷ (1.220)(0.128) = 0.844 = 84.4%. 14-74: a) Seja d a profundidade da camada de óleo, h a profundidade na qual o cubo está submerso na água e L a aresta do cubo. Então, igualando a força de empuxo com o peso, cancelando os fatores comuns g e a área da seção reta e omitindo as unidades, obtemos (1000)h + (750)d = (550)L, onde d, h e L são relacionados por d + h + (0.35)L = L, logo h = (0.65)L – d. Substituindo a relação anterior na primeira equação, obtemos . 040 . 0 00 . 5 2 ) 750 ( ) 1000 ( ) 550 ( ) 1000 )( 65 . 0 ( m L L d = = ÷ ÷ = b) A pressão manométrica na face inferior deve ser suficiente para suportar o bloco, logo p = µ madeira gL = (550 kg/m 3 )(9.80 m/s 2 )(0.100 m) = 539 Pa. Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 9 9 Para conferir, a pressão manométrica, calculada pela densidade e profundidade dos fluidos é ((0.040 m)(750 kg/m 3 ) + (0.025 m)(1000 kg/m 3 ))(9.80 m/s 2 ) = 39 Pa. 14-76: a) A densidade média de um barril cheio é µ óleo + m v = 750kg/ m 3 + 15.0kg 0.120m 3 =875kg/ m 3 , que é menor do que a densidade da água do mar. b) A fração que flutua (ver o Problema 14-17) é 1 ÷ µ méd µ água = 1÷ 875kg/ m 3 1030kg/ m 3 =0.150 =15.0%. c) A densidade média é igual a 910 3 3 3 1172 120 . 0 32 m kg m kg m kg = + donde se conclui que o barril afunda. A fim de elevá-lo é necessário uma tensão T = N s m m m kg s m m m kg 173 ) 80 . 9 )( 120 . 0 )( 1030 ( ) 80 . 9 )( 120 . 0 )( 1177 ( 2 3 3 2 3 3 = ÷ 14-78: a) A variação da altura Ay é relacionada com o volume deslocado AV por Ay = , A V A onde A é a área da superfície da água na eclusa, AV é o volume da água que possui o mesmo peso do metal, portanto Ay = AV A = e / µ água g A = e µ água gA = (2.50 x10 6 N) (1.00 x10 3 kg/ m 3 )(9.80m/ s 2 )((60.0 m)(20.0 m)) = 0.213m. b) Neste caso, AV é o volume do metal; na relação anterior, µ água deve ser substituído por µ metal = 9.00µ água , que fornece Ay' = Ay 9 , e Ay ÷ A ' y = 8 9 Ay = 0.189m; este resultado indica quanto abaixa o nível da água na eclusa. 14-80: a) A variação da pressão em relação à distância vertical fornece a força necessária para manter um elemento de fluido flutuando em equilíbrio na vertical (que se opõe ao peso). Para um fluido girando, a variação da pressão em relação ao raio fornece a força necessária para manter um elemento de fluido se acelerando radialmente. Especificamente, obtemos , padr dr r p dp = c c = e usando a relação a = e 2 r obtemos cp cr = µe 2 r. b) Chame a pressão em y = 0, r = 0 de p a (pressão atmosférica); integrando a expressão para r p c c indicada na parte (a) obtemos . ) 0 , ( 2 2 2 r p y r p a µe + = = = c) Na Eq. (14-5), p 2 = p a ,, p 1 = p(r, y = 0) como achamos na parte (b), y 1 = 0 e y 2 = h(r), a altura do líquido acima do plano y = 0. Usando o resultado da parte (b) obtemos h(r) = e 2 r 2 /2g. 14-82: Explicitando R na Eq. (14-13) obtemos . 10 75 . 5 ) 10 013 . 1 )( 250 . 0 ( ) / 10 8 . 72 ( 2 2 5 5 2 3 m x Pa x atm m s N x p R ÷ ÷ = · = A = ¸ Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 10 10 14-84: a) Como no Exemplo 14-9, a velocidade de saída da água é igual a . 2gh Depois de sair do tanque a água está em queda livre e o tempo que qualquer porção da água leva para atingir o solo é dado por , ) ( 2 g h H t ÷ = e neste intervalo de tempo a água se deslocou uma distância horizontal dada por . ) ( 2 h H h vt R ÷ = = b) Note que se h' = H – h, h'(H – h') = (H – h)h, e portanto h' = H – h fornece o mesmo alcance. 14-86: a) . / 200 . 0 ) 0160 . 0 ( ) 00 . 8 )( / 80 . 9 ) 2 ) ( 2 3 2 2 3 3 1 3 3 s m m m s m A y y g A v = = ÷ = b) Como p 3 é a pressão atmosférica, a pressão manométrica no ponto 2 é ( ) ), ( 9 8 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 y y g A A v v v p ÷ = \ \ . ÷ \ \ . ÷ ÷ = ÷ = µ µ µ Usando a relação anterior encontrada para v 3 e substituindo os valores numéricos obtemos p 2 = 6.97 x 10 4 Pa. 14-88: a) Usando a constância do momento angular, notamos que o produto do radio vezes a velocidade é constante, logo a velocidade é aproximadamente igual a (200 km/h) . / 17 350 30 h km = | . | \ | b) A pressão é menor no "olho", de um valor dado por ( ) . 10 8 . 1 / 6 . 3 / 1 ) / 17 ( ) / 200 ( ) / 2 . 1 ( 2 1 3 2 2 2 3 Pa x h km s m h km h km m kg p = | | . | \ | ÷ = A c) g v 2 2 = 160 m com dois algarismos significativos. d) A pressão em altitudes mais elevadas é menor ainda. 14-90: a) , / A dt dV v = logo as velocidades são . / 50 . 1 10 0 . 40 / 10 00 . 6 / 00 . 6 10 0 . 10 / 10 00 . 6 2 4 3 3 2 4 3 3 s m m x s m x e s m m x s m x = = ÷ ÷ ÷ ÷ b) , 10 688 . 1 ) ( 2 1 4 2 2 2 1 Pa x v v p = ÷ = A µ ou 1.69 x 10 4 Pa com três algarismos significativos. c) . 7 . 12 ) / 80 . 9 )( / 10 6 . 13 ( ) 10 688 . 1 ( 2 3 3 4 cm s m m kg x Pa x g H p h g = = A = A µ 14-92: a) A força resultante sobre a esfera é a soma vetorial da força gravitacional, da força de empuxo e da força viscosa, logo da relação F = ma, obtemos mg – B – F d = . 2 logo , 2 B mg F mg d ÷ = Substituindo F d da Eq. (14-27) e explicitando v t em termos das densidades obtemos a expressão para v t conforme visto no Exemplo 14-13, porém com µ no lugar de ; 2 µ especificamente, obtemos Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 11 11 . / 10 99 . 4 ) / 10 26 . 1 / 10 3 . 4 ( ) / 830 . 0 ( ) / 80 . 9 ( ) 10 50 . 2 ( 9 2 2 9 2 2 3 3 3 3 2 2 2 3 2 s m x m kg x m kg x m s N s m m x g r v t ÷ ÷ = ÷ · = | . | \ | ' ÷ = µ µ q b) Repetindo o cálculo sem o fator 2 1 e multiplicando por µ obtemos v t = 0.120 m/s. 14-94: a) Explicitando p 1 – p 2 = Ap na Eq. (14-29) e fazendo a variação da altura igual a 0, obtemos . 2 . 74 10 51 . 7 ) 055 . 0 ( ) 10 50 . 1 ( / 300 . 0 ( 8 ) / 0600 . 0 ( 8 6 4 3 2 3 4 atm Pa x m m x m s N s m R L dt dV gh p = = | | . | \ | · = + = A t t q µ b) = A = dt dV p P (7.51 x 10 6 Pa)(0.0600 m 3 /s) = 4.51 x 10 5 W. O trabalho realizado é ApdV. 14-96: a) O volume V da pedra é . 10 57 . 8 ) / 80 . 9 ( / 10 00 . 1 ( ) 0 . 21 ) / 80 . 9 )( 00 . 3 (( 3 4 2 3 3 2 m x s m m kg x N s m kg g T g B V água água ÷ = ÷ = ÷ = = µ e µ Nos referenciais acelerados, todas as grandezas que dependem de g (pesos, forças de empuxo, pressões manométricas e tensões) podem ser substituídas pelo valor eficaz g' = g + a, com sentido positivo orientado de baixo para cima. Logo, a tensão é T = mg' - B' = (m - µV)g' = T 0 , g g' onde T 0 = 21.0 N. b) g' = g + a; para a = 2.50 m/s 2 , T = (21.0 N) . 4 . 26 80 . 9 50 . 2 80 . 9 N = + c) Para a = -2.50 m/s 2 , T = (21.0 N) . 6 . 15 80 . 9 50 . 2 80 . 9 N = ÷ d) Quando a = -g, g' = 0 e obtemos T = 0. 14-98: Quando o nível da água é a altura y da abertura, a velocidade de saída da água é dada por , 2gy e . 2 ) 2 / ( 2 gy d dt dV t = À medida que o tanque é drenado, a altura diminui, logo . 2 ) 2 / ( 2 ) 2 / ( 2 2 2 gy D d D gy d z dt dy | . | \ | ÷ = ÷ = t t Esta equação diferencial permite a separação das variáveis e o tempo T necessário para drenar o tanque é obtido pela integração da relação , 2 2 dt g D d y dy | . | \ | ÷ = cuja integração conduz ao resultado , 2 ] 2 [ 2 0 T g D d y H | . | \ | ÷ = Donde se conclui que . 2 2 2 2 2 g H d D g H d D T | . | \ | = | . | \ | = 14-100: O surgimento de qualquer bolha pode trazer imprecisões nas medidas. Ao longo da bolha, a pressão nas superfícies da água podem ser iguais porém, como o ar pode ser comprimido dentro da bolha, os dois níveis da água indicados na Figura 14.49 não são necessariamente iguais (geralmente são diferentes quando existem bolhas na mangueira). O Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 12 12 mesmo fenômeno ocorre no freio hidráulico. Quando você pisa no freio, a pressão só é transmitida integralmente quando não existem bolhas nos tubos; quando existem bolhas, o freio não funciona. O uso de uma mangueira para nivelar uma superfície horizontal pode funcionar perfeitamente bem, desde que não hajam bolhas ao longo da mangueira. No caso específico do Problema 14-100 como existe uma bolha, os níveis não são iguais Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 13 13