MEC3510 A2013 Bloc02 Courbes

March 25, 2018 | Author: mehdi810 | Category: Curve, Tangent, Curvature, Scalar (Mathematics), Geometry
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Bloc 2 - Modélisation de courbes &conditions de continuité MEC3510 – Éléments de CFAO Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier 1 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier 2 Plan    A. Introduction B. Notions théoriques sur les courbes C. Notions appliquées Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier 3 1 Pourquoi étudier les courbes & surfaces? A.E. Périé-Curnier 4 . F. É.3 Objectifs du cours Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Plan  A. Introduction    A. Aubin.Salako. Wagnac. D.2 Exemple dans l’industrie… A. Salako. Périé-Curnier 5 . Wagnac.A. Tiré de: www. surfaces de classe ‘A’ en automobile) .E. F.design-engine.1 Pourquoi étudier courbes & surfaces?   Connaissance des fondements mathématiques des courbes & surfaces permet à l’ingénieur de reconnaître les capacités et les limites des outils de conception mis à sa disposition . Spécifications de design nécessitent souvent un contrôle précis des conditions de continuité entre les éléments géométriques définissant le produit (ex. Aubin. D.com Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. É. Salako. Wagnac. F. Aubin. D.A.2 Exemple dans l’industrie… CONCEPTION D’UNE AUTOMOBILE «du design vers l’ingénierie» Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Périé-Curnier 6 . É. Wagnac. D.A.E. É. Aubin. F. Périé-Curnier Connaissance & compréhension permettent de faire un choix + éclairé Informations 7 . en vue d’une exploitation efficace .Salako. Comprendre les informations données par les logiciels de CFAO.3 Objectifs du cours   Connaître les notions mathématiques supportant les outils de modélisation de courbes et surfaces disponibles sur les logiciels de CFAO. Besoin  choix d’un outil de modélisation Utilisateur Outils de modélisation de courbes/surfaces Courbes/surfaces avec caractéristiques intrinsèques Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Périé-Curnier 8 . Notions appliquées Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. D.Salako. É. Aubin. F. Introduction B.E.Plan    A. Notions théoriques sur les courbes C. Wagnac. Wagnac.6 Courbes synthétiques : descriptions mathématiques et caractéristiques B.4 Notions de continuité B. F. B-spline. Quintique. Aubin. NURBS Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. É.Salako. D. seconde et propriétés géométriques d’une courbe B.2 Types de courbes paramétriques B.3 Dérivées première. Bézier.E.Plan  B.5 Contrôle local et contrôle global B.1 Représentations mathématiques B. Périé-Curnier 9 . Notions théoriques sur les courbes        B.7 Synthèse des courbes synthétiques : Hermite. D. inversion Interpolation.Salako. Périé-Curnier 10 . Aubin. Wagnac.E. multiplication par un vecteur.Rappels      Vecteurs: produit scalaire. É. F. Ajustement Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. produit vectoriel Transformation rigide Matrices: addition. multiplication par une matrice Matrices: transposée. É. F. z) = 0 (éq. z donné . D. Wagnac.droite verticale: pente infinie .multi-valeur: même valeur pour un x. Aubin.E.1 Représentations mathématiques  Forme explicite: y = f(x) Ex: y = mx + b (éq. droite) Pas adéquat pour CAO: .B. Périé-Curnier 11 . droite)  Forme implicite: Ex: ax + by + c = 0 f (x. y. y.Salako.nécessité d’évaluer une courbe à intervalles réguliers Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. v)  z  z (u. à « n » dimensions jeu de « k » paramètres (k≤n)  x  x(u. z exprimés en terme de variables indépendantes (paramètres)  Expression générale:  Entité de dimension géométrique “k” dans un espace à “n” dimensions: P  P(u ) P  ( p1 .. y. Wagnac.Salako.E. géom. pn ) : u  (u1 .. 2) dans un espace 3D (n=3): P(u .... uk ) : vecteur de coord. u2 . v)    Ex: surface (dim. D. v)    Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C...1 Représentations mathématiques  Forme paramétrique et vectorielle  x.. Périé-Curnier 12 . p2 . v)   y  y (u .B. Aubin. É. F. v.Salako.v.w) y(u.1 Représentations mathématiques  Forme paramétrique et vectorielle     Courbes: P(u) = [x(u) y(u) z(u)]T Surfaces: P(u.v) = [x(u. É. F.v)]T Solides: P(u. D.v. Aubin.B. Wagnac. les formes implicites sont plus efficaces 13 .v. dans certaines applications.facile à évaluer à différents intervalles (réguliers ou non) .w) z(u.w) = [x(u.à une valeur du paramètre correspond un point sur la courbe Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.facile à représenter en petits segments .v) y(u. Périé-Curnier Cependant.v) z(u.w)]T Généralement employée en CAO .E. F.Salako. Aubin.E.B.1 Représentations mathématiques  Forme paramétrique et vectorielle umax umin P’(u) P(u) COURBE S(u. Wagnac.v) SOLIDE SURFACE x(u) umin S(u. É. Périé-Curnier 14 .v. D.w) u y(u) u umax z(u) u Composantes dans l’espace paramétrique Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Périé-Curnier 15 .Salako. F.  hyperboles .  ellipses et arcs d’ellipses .2):  lignes .E. D. Aubin.  Autres : spirales.B.  Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.  paraboles .2 Types de courbes paramétriques  Analytique Coniques (6.  cercles et arcs de cercles .  Peuvent représenter plusieurs pièces mécaniques . Wagnac. etc. É. Mais ne suffisent pas à rencontrer toutes les spécifications géométriques de design. Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. hélices. bouteilles.B. Aubin. Bézier.2 Types de courbes paramétriques  Synthétique  Utilisation de fonctions polynomiales : P(u) = [x(u) y(u) z(u)]T = a0 + a1u + a2u2 + a3u3 + … + anun  Afin de trouver les ai . Wagnac.E. ailes et fuselage d’avions. B-spline et NURBS Permettent la modélisation de produits à géométrie complexe: voitures. Périé-Curnier 16 . D. Etc. Dérivées premières . etc. quintique. É. coque des navires. Exemples : courbes d’Hermite. Dérivées secondes . le modèle est construit à partir de données:      (0  u  1) Points de contrôles .Salako. F. É. Aubin.3 Dérivées première. et d’évaluer la continuité à la jonction entre deux courbes » Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E.Salako.B. Wagnac. Périé-Curnier 17 . seconde et propriétés géométriques d’une courbe « Les dérivées première et seconde sont des notions primordiales dans le calcul des courbes : elles permettent de calculer les propriétés géométriques d’une courbe. D. F. 3 Dérivées première. Notions théoriques sur les courbes  B.3.2 Dérivée seconde et courbure d’une courbe paramétrique B.3. seconde et propriétés géométriques d’une courbe    B. Aubin. É.1 Dérivée première et tangente d’une courbe paramétrique B.3. Périé-Curnier 18 . F.Plan  B. Wagnac.Salako.3 Dérivées d’une courbe .Exemple Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. D.E. F.1 Dérivée première et tangente d’une courbe paramétrique  Dérivée première d’une courbe en un point…       ( x(u )) P' (u )  P(u ) / u    u ( y (u )) u T   ( z (u ))   P' (u ) t (u )  u   P' (u ) est la norme de la dérivée (longueur)  t est le vecteur tangent unitaire (orientation) Analogue à la vitesse d’une particule en un point de sa trajectoire ∂P(u)/∂u |u=0.3.3 ∂P(u)/∂u |u=1 ∂P(u)/∂u |u=0 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Aubin.E.Salako. D.B. Wagnac. É. Périé-Curnier 19 . E. Périé-Curnier 20 .2 Dérivée seconde et courbure d’une courbe paramétrique  Dérivée seconde d’une courbe en un point…     2 ( x(u )) 2 2 P' ' (u )   P(u ) / u   2  u  2 ( y (u )) u 2  2 ( z (u ))   u 2  T Décomposition en une composante normale et tangentielle: P’’(u) = (||P’(u)|| t) = u (||P’(u)||)t + ||P’(u)||2 k(u)n(u) u (||P’(u)||)t u  2   P' (u) k(u) n(u) K(u)  k(u) n(u) est le vecteur de courbure géom.B.3. Aubin. Wagnac. P’’(u) n(u) est le vecteur normal unitaire k(u) est la courbure (scalaire) ρ=1/k(u) est le rayon de courbure Courbure nulle  dérivées premières et secondes sont alignés (produit vectoriel nul) P’’(u) est analogue à l’accélération d’une particule en un point de sa trajectoire Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. F. D.Salako. É. É.E. Wagnac.y) à u=2  x(u )   u 3  2u 2  12u  3  p(u )    3  .3 Dérivées d’une courbe Exemple Soit la courbe P(u) suivante définie par x(u) et y(u).3 2  y (u )  u  4u  2u  5 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Salako. u  0. Périé-Curnier 21 . D. F. Aubin.3.  Calculez les dérivées première et seconde  Calculez la tangente en u=1  Calculez la pente de cette courbe dans le plan (x.B. 4 Notions de continuité Conditions de continuité géométrique (G0.C1. G1. Wagnac. Périé-Curnier 22 . É. F.B.E. G2) et paramétrique (C0.Salako.C2) entre deux segments de courbe Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. D. Aubin. 4 B.4.4.4 Notions de continuité      B. É.Exemple Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Aubin.4.E. Wagnac. D.3 B.4. Périé-Curnier 23 .2 B. Notions théoriques sur les courbes  B.Salako. F.5 Continuité d’ordre 0 Continuité d’ordre 1 Continuité d’ordre 2 Exemples d’application : continuité de courbes Notions de continuité .4.1 B.Plan  B. E. Aubin. É.B.1    Continuité d’ordre 0 Continuité paramétrique (C) OU géométrique (G) d’ordre 0 si les courbes partagent un point commun à leur jonction Pas de discontinuité entre les courbes G0 = C0 → P1(u)|u=1 = P2(u) |u=0 u u P1(u) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Salako.4. D. Périé-Curnier P2(u) point de jonction 24 . F. Wagnac. B.4.2   Continuité d’ordre 1 Continuité paramétrique C1  Continuité des dérivées premières  P1’(1) = P2’ (0)  Norme des dérivées premières ET vecteurs tangents unitaires sont égaux Continuité géométrique G1  P1’(1) = k P2’ (0) .E. É. F.k>0  Seuls les vecteurs tangents unitaires sont égaux  Les dérivées premières sont égales à un facteur k prés  Une continuité G1 paraît aussi lisse qu’une continuité C1 P2(u) P1(u) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Wagnac. Aubin.Salako. D. Périé-Curnier 25 . 3  Continuité d’ordre 2 Continuité paramétrique C2     Continuité des dérivées secondes P1’’(1) = P2’’ (0) Norme et Direction des dérivées secondes sont égales Continuité géométrique G2   Continuité du vecteur de courbure k1(1)n(1) = k2 (0)n(0)  P’’1(1) = (a1/a2)2   P’’2(0) avec a1 = norme de P’1 et a2 = norme de P’2 Forme P’’1(1) = (a1/a2)2 P’’2(0) + P’2(0) généralisée avec  arbitraire Seuls les vecteurs de courbures sont égaux Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Salako. Aubin.4.B. Périé-Curnier 26 . F.E. É. Wagnac. D. E. D.4 Exemples d’application : continuité de courbes LABORATOIRE SUR – Modélisation de courbes et surfaces Tiré de www.Salako.com Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Périé-Curnier 27 . F.B.think3.4. Wagnac. Aubin. É. 6.3 2 u  4u  5 1. u   0.Salako. 4 3 2 8v  52v  102v  68 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. v  3. É. D. Wagnac. 4.Quel ordre de continuité paramétrique a-t-on entre les 2 courbes paramétriques suivantes ?  u 3  2u 2  3  p(u )   3  . 3. 2. Périé-Curnier 0% C0 C1 C2 28 . Aubin.E. C0 G0 C1 G1 C2 G2  8v3  28v 2  30v  6  q (v )    . 5. F. C0 G0 C1 G1 C2 G2  8v3  28v 2  30v  6  q (v )    . Aubin. F.Quel ordre de continuité paramétrique a-t-on entre les 2 courbes paramétriques suivantes ?  u 3  2u 2  3  p(u )   3  . 4 3 2 8v  52v  102v  68 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Salako. É.3 2 u  4u  5 1. u   0. 2. v  3. Périé-Curnier 0% C0 C1 C2 29 . Wagnac. 4. D. 5. 6.E. 3. D.Salako.Contrôle local et contrôle global  Contrôle local : la modification d’une donnée d’entrée entraîne la modification d’une portion de la courbe seulement  Contrôle global : la modification d’une donnée d’entrée entraîne la modification de toute la courbe Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Aubin.E. É. Wagnac. F. Périé-Curnier 30 . 7 Évolution des courbes synthétiques Courbes polynomiales Courbes d’Hermite Courbes quintiques Courbes de Bézier Courbes B-splines Courbe NURBS Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. F. Wagnac.3 B.5 B.6. Notions théoriques sur les courbes  B.6.6 Courbes synthétiques : descriptions mathématiques et caractéristiques        B. Aubin.6.6 B.1 B. Périé-Curnier 31 .Salako.6. D.6.Plan  B.4 B. É.E.6.2 B.6. 1 Évolution des courbes synthétiques (années 60-70) COURBES POLYNOMIALES Courbes non-rationnelles (définies par un seul polynôme) COURBES CUBIQUES-QUINTIQUES Note : ces courbes sont des cas particuliers de courbes NURBS COURBES DE BÉZIER B-SPLINES Courbes rationnelles (définies par le ratio de deux NURBS polynômes) Non-uniform Rational B-Splines Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E.6.Salako.B. Wagnac. Périé-Curnier 32 . É. Aubin. D. F. Aubin.2 Courbes polynomiales Convention : notation en gras = vecteur! P(u) = a0 + a1u + a2u2 + a3u3 + … + anun Les ai sont des vecteurs de coefficients algébriques  (0  u  1) Résoudre les n +1 coefficients (ai │i=0 à n) requiert donc n+1 conditions initiales La majorité des équations en CFAO sont de degré 3  Continuité de courbure assurée  Présence d’oscillations à des degrés supérieurs Déterminer les ai  4 conditions initiales Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.6. F. É. Wagnac. Périé-Curnier 33 .Salako. D.B.E. 10) En solutionnant 6. 6. Principles of CAD/CAM/CAE Systems. on a une courbe d’Hermite  P(0) = P0 P(u) = a0 + a1u + a2u2 + a3u3  P(1) = P1 En remplaçant les conditions initiales dans 6. F.11 pour les ai. Wagnac.11) Référence : KUNWOO LEE. É.6.3 Courbes d’Hermite HERMITE.E. Aubin. Périé-Curnier P0 P1 3u2-2u3 u-2u2+u3 -u2+u3 ] P’0 P’1 Fonctions d’influence (éq.Salako. on obtient l’expression générale P1 P(u) = [ 1-3u2+2u3 P 1’ Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.10.B. Charles (1822-1901) Mathématicien Français Expression générale  Si les 4 conditions initiales sont les points et dérivées premières aux extrémités de la courbe.13) 34 . on obtient  P’(0) = P0’ P0=P(0) = a0 P’(1) = P1’ P1=P(1) = a0+ a1+ a2+ a3 P’0=P’(0) = a1  P0 (éq 6. 6. 1999 P’1=P’(1) = a1+ 2a2+ 3a3 Coefficients géométriques (+ intuitif) P 0’ (0  u  1) (éq. D. 6. Aubin.E. D. Périé-Curnier 35 .3 Courbes d’Hermite Expression générale P0 P1 = [ 1 u u 2 u3 ] P’0 P’1 P(u) = [ H1(u) H2(u) H3(u) H4(u) ] 1 0 0 0 0 0 1 0 -3 3 -2 -1 2 -2 1 1 P0 P1 P’0 P’1 forme matricielle ∑ Hi(u) = 1 pour 0 ≤ u ≤ 1 et i = 1 à 4 H1(u) H2(u) H3(u) H4(u) = = = = 1 – 3u2 + 2u3 3u2 .B. Wagnac.Salako. É.2u3 u – 2u2 + u3 -u2 + u3 Éq.14 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.6. F. 5 et 1 si les conditions initiales sont : y u (4. Périé-Curnier 36 .6.E. 0.Salako. Wagnac.B. É.4) 60° Note : les vecteurs de tangence sont unitaires (1.2) x Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Aubin. F.3 Courbes d’Hermite Exemple de calcul  Évaluer la courbe d’Hermite pour u = 0. D. Salako.6. D. É. Aubin. Wagnac.E.B. Périé-Curnier 37 . F.3 Courbes d’Hermite Effet des dérivées premières Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. D.6.Courbes d’Hermite B. Aubin. É.E.Salako. Wagnac.3 Propriétés/Inconvénients    Courbes de degré 3 Courbes définies par les points et dérivées premières aux extrémités Modification d’une condition initiale entraîne la modification de toute la courbe  contrôle GLOBAL Modification d’un point Modification d’une dérivée première PRINCIPAL INCONVÉNIENT : difficile de prédire la forme de la courbe à partir des dérivées premières Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Périé-Curnier 38 . F. D. F.5 -15 -15 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.4 Courbes quintiques Expression générale  Courbes de degré 5 dont les 6 conditions initiales sont les points. Aubin. É.5 -1 6 -3 -3 -0. Wagnac. les dérivées premières et les dérivées secondes aux extrémités P0 P1 P’0 P’1 P’’0 P’’1 P(u) = [ F1(u) F2(u) F3(u) F4(u) F5(u) F6(u) ] = [ 1 u u2 u3 u4 u5] 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.E. Périé-Curnier -6 8 7 1.6.5 0 -10 10 -6 -4 -1.5 P0 P1 P’0 P’1 P’’0 P’’1 39 .5 0.B.Salako. F.Salako. Aubin. difficile de prédire la forme de la courbe à partir des dérivées premières ET des dérivées secondes COURBES DE BÉZIER Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.4 Courbes quintiques Caractéristiques/Inconvénients    Courbes de degré 5 Courbes définies par les points.B.6. Périé-Curnier 40 . les dérivées premières aux extrémités et les dérivées secondes aux extrémités Modification d’une condition initiale entraîne la modification de toute la courbe  contrôle GLOBAL PRINCIPAL INCONVÉNIENT : comme l’Hermite. D. É. Wagnac.E. Wagnac. cie Renault  Choix de nouvelles conditions initiales (P0. É.6. D.E.B.n (u )  u i (1  u ) n i i ! (n  i ) ! • Nombre de points de contrôle = n + 1 • Degré de la courbe = n • Ordre de la courbe = n + 1 Degré de la courbe = nombre de points de contrôle -1 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Pn) et de nouvelles fonctions d’influence tel que n P(u )   Bi .Salako. F. P1. Pierre (1910-1999) Ingénieur Français. Aubin.n (u ) Pi (0  u  1) i 0 Polynôme de Bernstein Points de contrôle Polygone de contrôle n! Bi .5 Courbes de Bézier Expression générale BÉZIER. …. P2. Périé-Curnier 41 . Aubin.6.5 Courbes de Bézier Exemples Quel est le degré de chacune des courbes? Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. F.B. É. Wagnac. D.Salako. Périé-Curnier Tiré de ZEID. 1991 42 .E. CAD/CAM theory and practice. P2 et P3) ? Tiré de ZEID. É. P1.6. Aubin. F. Périé-Curnier 43 .B. CAD/CAM theory and practice. 1991 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.5 Courbes de Bézier Exemple de calcul  Calculer le polynôme d’une courbe de Bézier composée de 4 points de contrôle (P0.Salako. Wagnac. D.E. B.4 B3. Wagnac.5 B0.5 B3. Aubin.n(u) = 1 B2.4 B1.5 B1.3 B0. É.5 ∑ Bi. F.4 B4.Salako.3 B0.2 B3.6.5 Courbes de Bézier Fonctions d’influence B0.5 pour 0 ≤ u ≤ 1 44 . Périé-Curnier B5.5 B4.2 B2.E.4 B2.3 B1.3 B1.2 B2.4 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. D. Salako.5 Courbes de Bézier Propriétés     Les conditions initiales sont les points de contrôle La courbe passe par P0 et Pn : premier et dernier point de contrôle La courbe s’inscrit dans un polygone de contrôle La première tangente a la même direction que le premier segment du polygone P1-P0. É. Périé-Curnier P’(1) = n(Pn – Pn-1) = 3(P3 – P2) 45 . Idem pour le dernier segment Pn-Pn-1 P’(0) = n(P1-P0) et P’(1) = n(Pn-Pn-1) Points de contrôle Courbe inscrite dans le polygone de contrôle P’(0) = n(P1 – P0) = 3(P1 – P0) Courbe passe par P0 et Pn Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.6. D. Wagnac. F. Aubin.B.E. E. Périé-Curnier 46 .6.5 Propriétés (suite)     Le degré n le plus élevé est déterminé par les n+1 points de contrôle La courbe est symétrique par rapport à u et (1-u)  Bi. É.Salako. F.n(1-u) La séquence des points de contrôles peut être inversé sans changer la forme de la courbe Modification d’une condition initiale entraîne la modification de toute la courbe  contrôle GLOBAL Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. D. Wagnac. Aubin.Courbes de Bézier B.n(u)=Bn-i. Aubin.Salako. D. Wagnac.6.(P’1 Hermite/3) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. F.P2) 47 .E. Périé-Curnier car P’0=3(P1.5 Courbes de Bézier Équivalence avec la courbe d’Hermite  Une courbe de Bézier est équivalente à une courbe d’Hermite si :      DegréBézier = 3 (4 points de contrôle) P0 Bézier = P0 Hermite P3 Bézier = P1 Hermite P1 Bézier = (P’0 Hermite/3) + P0 Hermite P2 Bézier = P1 Hermite . É.P0) car P’3=3(P3.B. H 2 (u ). D.Salako.5 Courbes de Bézier Exemple: Donnez l’équation complète de la courbe PB(u) permettant de raccorder les courbes PA(u) et PC(u) avec une continuité paramétrique d’ordre 1 (C1) si on utilise une courbe de Bézier de degré 3  Calculer les coordonnées du point P2 pour assurer une  2 . d’Hermite A et la courbe de Bézier B. B3. B2.4 (u ). P A (1)  continuité paramétrique d’ordre 1 (C1) entre la courbe 10 PA (u )   H1 (u ). B1. Périé-Curnier  28 PC (0) PC (u ) 1 0 4 0   0 0 2 0  48 1 0  . P A (0) 6  6 PA (1) PA (0) 2 7 6 3 0 0   0 0  PC (1) PA (u ) PC (3) PC (4) y x 18 PC (2)  21  PC (u )   B0. H 4 (u )   .E. Aubin. Wagnac. É.4 (u ). H 3 (u ).B.4 (u ).4 (u )  22  25  Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.4 (u ).6. B4. F. P7. Aubin. F.B. D.6. Wagnac. P9 . Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. P3.E. P8. P4.  Écrivez les deux équations PB1(u1) et PB2(u2)  Écrivez l’équation de la courbe d’Hermite PH(u3) qui permettra de joindre PB1 et PB2 (entre P5 et P6) avec une continuité paramétrique d’ordre C1. É. P5 et PB2(u2): P6.Salako. P2. Périé-Curnier 49 .5 Courbes de Bézier Exemple: Soient 2 courbes de Bézier PB1(u1) et PB2(u2) à construire à partir des séries de points de contrôle suivants: PB1(u1): P1. 6. Aubin.5 Courbes de Bézier Inconvénients    La courbe ne passe pas par les points de contrôle Le contrôle de la courbe est globale Le degré de la courbe est fonction du nombre de points de contrôles : n+1 Besoin de nouvelles fonctions d’influence qui…   ne doivent pas intégrer n dans leur définition doivent être non-nulles sur une portion de la courbe seulement pour obtenir un contrôle local B-Splines Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. F. É. Wagnac. D.E.Salako.B. Périé-Curnier 50 . Principles of CAD/CAM/CAE Systems. É. Périé-Curnier Tiré de KUNWOO LEE. Aubin. D. 1999 51 . Wagnac. 1972) (0  u  t max) i 0 Vecteur de noeuds Périodique : < Non-périodique : Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.B.6.k (u ) Pi (Cox et de Boor.E.6 Courbes B-splines Expression générale  Choix de nouvelles fonctions d’influence n P(u )   N i .Salako. F. 1 est 0.1 est multiplié par u et le degré de Ni.B. Et ainsi de suite… degré = k -1 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Ni.Salako. Wagnac. Aubin. F. D. Si k = 2.2 est 1. É. Périé-Curnier Le premier et le dernier nœud se répète k fois 52 .6 Courbes B-splines Expression générale : explications n+1 points de contrôle n P(u )   Ni .6.E. le degré de Ni.k (u ) Pi i 0 (0  u  t max) ordre k Calcul récursif des fonctions d’influence Vecteur de noeuds Périodique : < Non-périodique : Pour k =1. E. 1999 53 . F.6. Périé-Curnier Tiré de KUNWOO LEE.B. D.6 Courbes B-splines Exemple : vecteur de noeuds  Calculer le vecteur de nœuds non-périodiques d’une B-Spline d’ordre 4 composée de 7 points de contrôle Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. É. Wagnac. Principles of CAD/CAM/CAE Systems.Salako. Aubin. Wagnac.6 Exemple : fonctions d’influence  Quelles sont les fonctions d’influence nécessaires au calcul d’une B-Spline d’ordre 3 passant par 2 points de contrôle? Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. É.Salako.Courbes B-splines B. Périé-Curnier Tiré de KUNWOO LEE. Aubin.E. Principles of CAD/CAM/CAE Systems. D. F.6. 1999 54 . Salako. Aubin. 4. 2. D. F. 3. 2 3 4 5 0% Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Quel est l’ordre de cette B-Spline ? 1. Wagnac. Périé-Curnier 2 3 4 5 55 . É.E. 3. É. 4. 2. D.Salako. Périé-Curnier 6 7 8 9 56 . 6 7 8 9 0% Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Aubin. Wagnac.E. F.Quel est le nombre de points de contrôle composant cette B-Spline? 1. D.6.3 N0. Périé-Curnier Calculez le vecteur de nœuds non périodique de cette B-Spline 57 .B.3 N2.E.3 N1.Salako. F. Wagnac.6 Courbes B-splines Exemple : fonctions d’influence et nœuds non-périodiques N3. É.3 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Aubin. Aubin. É.E.B.6. D. Périé-Curnier 58 .6 Courbes B-splines Exemple de calcul  Calculer le polynôme d’une B-spline uniforme non-périodique d’ordre 3 passant par 4 points de contrôle Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Wagnac.Salako. F. E. l’intervalle de la courbe est 0 ≤ u ≤ 2 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Salako. Périé-Curnier 59 .3P0 + N1. D.6. Calcul du vecteur de nœuds Vecteur de nœuds non-périodique  courbe passe par premier et dernier point de contrôle) Nombre de nœuds = n + k +1 = 3 + 3 + 1 = 7 tmax = umax = n – k + 2 = 2 t = [0 0 0 1 2 2 2] donc. Aubin.B. Forme de l’équation P(u) = N0. Wagnac.3P3 0 ≤ u ≤ umax 2. É.3P2 + N3.6 Courbes B-splines Exemple de calcul  Solution : 1. F.3P1 + N2. Salako.2 N4.3 N3.3 N 2.2 N 3.1 60 . F. Aubin. Périé-Curnier N 0.1 N5.1 N3. Wagnac.E.3 N1.1 N 1. 2 N 2.B.1 N2. 2 N1. É.6 Courbes B-splines Exemple de calcul  Solution (suite): 3.1 N4. Quelles sont les fonctions d’influence nécessaires Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.3 N 0.6. D. 2 N 0. Calcul des fonctions d’influence d’ordre 1 N0.1 = 1 0 2≤u≤2 =0 ailleurs 1 seule fonction d’influence d’ordre 1 peut être non-nulle aux valeurs limites de l’intervalle.Salako.1 = 1 0 0≤u≤0 ailleurs =0 N2. C’est pourquoi les fonctions N0.1 = 1 0 0≤u≤0 ailleurs =0 N1.6 Courbes B-splines Exemple de calcul  Solution (suite): 4. É.1 sont posées nulles.1. Aubin. =0 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.1 = 1 0 1≤u≤2 ailleurs N4.6. N1. F.1 = 1 0 2≤u≤2 ailleurs N5.1 et N5. N4. D.1. Wagnac. Périé-Curnier 61 .B.1 = 1 0 0≤u≤1 ailleurs N3. Le choix de la fonction d’influence non-nulle ne modifie pas le résultat final.E. 1 = (0 – 0) (1 – 0) 1-u 0 0≤u≤1 ailleurs N2.2 = (u – 0) N1.1 = (1 – 0) (2 – 1) u 2-u 0≤u≤1 1≤u≤2 0 N3.6 Courbes B-splines Exemple de calcul  Solution (suite): 5.2 = (u – 0) N0.E. É. Périé-Curnier 62 .1 + (2 – u) N3.B.1 = 0 (2 – 2) (2 – 2) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.1 + (2 – u) N5. Calcul des fonctions d’influence d’ordre 2 0 0 N0.2 = (u – 1) N3. D.2 = (u – 0) N2.2 = (u – 2) N4.6. Aubin. F.1 = (2 – 1) (2 – 2) 0 Note : 0/0 = 0 dans le calcul d’une courbe B-Spline u-1 0≤u≤1 0 ailleurs 0 N4.Salako. Wagnac.1 + (2 – u) N4.1 + (1 – u) N2.1 = 0 (0 – 0) (0 – 0) 0 N1.1 + (0 – u) N1. 2 = (1 – 0) (2 – 0) u(1-u) + u(2-u)/2 (2-u)2/2 0≤u≤1 1≤u≤2 N2.3 = (u – 0) N1.2 = (2 – 1) (2 – 2) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.2 + (2 – u) N3.B.6.2 + (2 – u) N4.E.Salako. F. Wagnac.1 = (1-u)2 0 = 0 0≤u≤1 ailleurs N1.2 = (0 – 0) (1 – 0) 0 N3.2 + (1 – u) N1. Périé-Curnier (u-1)2 /2 1 ≤ u ≤ 2 0 ailleurs Note : 0/0 = 0 dans le calcul d’une courbe B-Spline 63 .3 = (u – 0) N0.2 = (2 – 0) (2 – 1) u2/2 u(2-u)/2 + (2-u)(u-1) 0≤u≤1 1≤u≤2 N0.6 Courbes B-splines Exemple de calcul  Solution (suite): 6.3 = (u – 1) N3. Calcul des fonctions d’influence d’ordre 3 0 (1-u)(1-u)N2.2 + (2 – u) N2. É. Aubin.3 = (u – 0) N2. D. une B-Spline est dérivable k-2 fois (dans l’exemple.3 N2. D.3 N3.B.Salako.1P0 + [[(u(1-u)+u(2-u)/2]N2.chaque point affecte au maximum k segments. on obtient 2 segments de courbes dont les équations sont : P1(u) = (1-u)2 P0 +[(u(1-u)+u(2-u)/2]P1 + (u2/2) P2 0≤u≤1 P2(u) = (2-u)2/2 P1 + [u(2-u)/2 + (2-u)(u-1)]P2 + (u-1)2 P3 1≤u≤2 P3 P0 P1(u) P2(u) u=2 u=1 P P2 1 De cet exemple.3 En réécrivant l’équation pour chaque intervalle de u. on observe les propriétés suivantes des courbes B-Splines : .1 + [u(2-u)/2 + (2-u)(u-1)]N3. la dérivée 1ière est continue sur toute la courbe) .3 N1. (Dans l’exemple. Périé-Curnier 64 . Aubin. Équation finale P(u) = (1-u)2N2.1]P2 + (u-1)2N3. É. Wagnac.E.1+ ((2-u)2/2)N3.6.une B-Spline est une courbe composée de n-k+2 segments de courbes .1]P1 + [(u2/2)N2.1P3 N0. le point 3 affecte seulement le segment 2  contrôle local) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. F.6 Courbes B-splines Exemple de calcul  Solution (suite et fin): 7.chaque segment de courbe est affecté par k points . Salako. Idem pour le dernier segment Pn-Pn-1 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E.6 Propriétés       Degré maximal sur le polynôme : k-1 n+1 points de contrôles Ordre k n-k+2 : nombre de segments Chaque segment de courbe est affecté par k points de contrôles La première tangente a la même direction que le premier segment du polygone P1-P0. Aubin.6. Périé-Curnier 65 . D. Wagnac. F. É.Courbes B-splines B. lorsque le nombre de points (n+1) est égal à l’ordre. É. D. Wagnac.E.Salako.6. la première valeur et la dernière valeur sont dupliqués k fois Avec un vecteur de nœuds non-périodiques. la courbe passe par le premier et le dernier point de contrôle Pour une valeur de paramètre donnée. Aubin.B.6 Courbes B-splines Propriétés (suite)      Dans le vecteur de nœuds. F. la somme des fonctions d’influences est toujours égale à 1 Pour une B-spline. Périé-Curnier 66 . alors c’est équivalent à une Bézier Le contrôle est LOCAL sur la courbe : chaque point affecte au maximum k segments de courbes Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Salako. D. É.B.6 Courbes B-splines Propriété : contrôle local Le déplacement du point P6 n’affecte que 2 segments de la courbe Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. F. P3 et P4). Wagnac.6.E. Périé-Curnier Le déplacement d’un point affecte au maximum k segments (ex. Aubin. 67 . 6 Courbes B-splines Propriété : effet de la répétition d’un point Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E.Salako. D. Aubin. Périé-Curnier 68 . É.6. Wagnac.B. F. plus la courbe s’approche d’une Bézier Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Périé-Curnier 69 .6.E. plus la courbe colle aux points de contrôle Plus k est grand. Wagnac. F.B.Salako. D. Aubin. É.6 Courbes B-splines Propriété : effet de l’ordre sur la courbe   Plus k est petit. plus le contrôle local est fort Plus k est grand.E. É. Périé-Curnier 70 .6. F. Aubin.Salako.B. D.6 Courbes B-splines Propriété : effet de l’ordre sur le contrôle   Plus k est petit. Wagnac. plus le contrôle local est faible Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. 6 Courbes B-splines Propriété : continuité sur une courbe Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Salako. Wagnac. F. Périé-Curnier 71 .B. Aubin. É.6. D.E. Salako. la parabole et l’hyperbole. É.6. l’ellipse. Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Périé-Curnier 72 . Wagnac. D.6 Inconvénient  Ne peuvent qu’approximer les coniques telles que le cercle. F.Courbes B-splines B. Aubin.E. Salako. Aubin.  Quelles fonctions d’influence devrez-vous calculer afin d’obtenir l’expression de la fonction d’influence N3.6. D.B. Périé-Curnier 73 .  Quel est le degré de la courbe P(u) ?  Calculez le vecteur de noeuds non périodiques associé à cette courbe P(u).E. Wagnac.6 Courbes B-spline Exemple: Soit la courbe B-Spline P(u) d’ordre 4 passant par 8 points de contrôle (non définis).4(u)? Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. É. F. Wagnac.E. F. Périé-Curnier 74 . est-il possible d’avoir une continuité C2 au point de jonction ? Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. D.B.Salako. Aubin.  Combien de points de contrôle définissent cette B-Spline ?  Déterminez l’ordre K de cette B-Spline  Si cette B-Spline est assemblée avec une courbe d’Hermite. É.6.6 Courbes B-spline Exemple: Soit la courbe B-Spline P(u) dont les fonctions d’influence sont illustrées ci-dessus. É. 2. 3. Wagnac. D.E. 4. Aubin. Périé-Curnier 0% 2 3 4 5 75 .Avec les mêmes points de contrôle.Salako. 2 3 4 5 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. quel ordre de la B-Spline la rapprocherait le plus des points de contrôle sans donner le polygone de contrôle ? 1. F. 2. quel ordre de la B-Spline donnerait la courbe la plus lisse ? 1. Wagnac. 3.E. 4. F. 3 4 5 6 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. É. D. Aubin.Avec les mêmes points de contrôle. Périé-Curnier 0% 3 4 5 6 76 .Salako. Périé-Curnier 0% 3 4 5 6 77 . Aubin. 3 4 5 6 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. 3. É.Salako. Wagnac. quel ordre de la BSpline donnerait l’équivalent d’une courbe de Bézier ? 1. 4.E. D. F. 2.Avec les mêmes points de contrôle. Principles of CAD/CAM/CAE Systems. Wagnac. 1999 78 .6.B. F. Périé-Curnier (u ) Pi i .k h N i 0 i Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. D. É. Aubin.Salako.k même fonction qu’une B-Spline (0  u  t max ) (u ) Tiré de KUNWOO LEE.7 Courbe NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) Expression générale  Généralisation de toutes les courbes n P(u )  h N i 0 n i i . B. Périé-Curnier 79 .7 Courbes NURBS Propriétés      n+1 points de contrôles Ordre k Degré : k-1 Le contrôle est local sur la courbe : chaque point affecte au maximum k segments de courbes Chaque segment de courbe est affecté par k points de contrôles Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. É. Aubin. D.Salako.E.6. F. Wagnac. la première valeur et la dernière valeur sont dupliqués k fois Avec un vecteur de nœuds non-périodiques. Périé-Curnier 80 . la somme des fonctions d’influences est toujours égale à 1 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.6.7 Courbes NURBS Propriétés (suite)     La première tangente a la même direction que le premier segment du polygone P1-P0.Salako. É. Wagnac. F. Aubin. Idem pour le dernier segment Pn-Pn-1 Dans le vecteur de nœuds.E. D.B. la courbe passe par le premier et le dernier point de contrôle Pour une valeur de paramètre donnée. B. Aubin. D.7 Courbes NURBS Propriété : effet de l’ordre sur une NURBS http://en. Périé-Curnier 81 .org/wiki/NURBS Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Wagnac.E. F.6.wikipedia.Salako. É. Périé-Curnier 25% 25% 25% 25% 82 1. É. 4. 2. 2. 3.Salako. 3. F. Découpler le degré du nombre de points Avoir le maximum de points pour calculer la courbe Augmenter le nombre de fonctions d’influences Connaitre les vecteurs vitesse aux début et fin de la courbe Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Quelle condition permet d’avoir un contrôle local de la courbe ? 1. Aubin. 4. Wagnac.E. . D. 4. 2.Quelle condition permet d’avoir un contrôle local de la courbe ? 1. F. 2. Périé-Curnier 25% 25% 25% 25% 83 1. Wagnac. Découpler le degré du nombre de points Avoir le maximum de points pour calculer la courbe Augmenter le nombre de fonctions d’influences Connaitre les vecteurs vitesse aux début et fin de la courbe Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin. É. D. 4. 3.Salako. . 3. B.7 Synthèse des courbes synthétiques : Hermite, Quintique, Bézier, B-spline, NURBS Type de courbe Cond. initiales Hermite cubique P0 , P1 , P0’, P1’ Quintique P0 , P1 , P0’, P1’, P0’’, P1’’, Bézier P0 , P1 , P2,…, Pn Équation Principales caractéristiques de la courbe Ordre Degré Tangence aux extrémités Contrôle P(u) = F1(u)P0 + F2(u)P1 + F3(u)P’0 +F4(u)P’1 ( 0≤ u ≤ 1) 4 3 P’(0) = P’0 P’(1) = P’1 Global P(u) = F1(u)P0 + F2(u)P1 + F3(u)P’0 + F4(u)P’1 + F5(u)P’’0 + F6(u)P’’1 6 5 P’(0) = P’0 P’(1) = P’1 Global n +1 n P’(0) = n(P1 – P0) P’(1) = n(Pn – Pn-1) Global k-1 ) Orienté selon (P1 – P0) et (Pn – Pn-1) Local k-1 Orienté selon (P1 – P0) et (Pn – Pn-1) Local ( 0≤ u ≤ 1) n P(u )   Bi , n (u ) Pi (0  u  1) (nbre de points) i 0 ( 0≤ u ≤ 1) B-Spline P0 , P1 , P2,…, Pn n (u )   N i , k (u ) Pi k Ordre i 0 Nurbs P0 , P1 , P2,…, Pn Ordre k n N P(u )  i 0 (0  u  t i ,k max (u ) Pi k (0  u  t ) n P(u )  h N i 0 n  i i ,k max (u ) Pi k (0  u  t max ) hi NCFAO Cours MEC3510 – Éléments de i , k (u ) © C.E. Aubin, É. Wagnac,i F.Salako, D. Périé-Curnier 0 84 Plan    A. Introduction B. Notions théoriques sur les courbes C. Notions appliquées Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier 85 Plan  C. Notions appliquées       C.1 C.2 C.3 C.4 C.5 C.6 Features de modélisation de courbes sur CATIA v5 Types de courbe disponibles Caractéristiques des principaux features de courbes Synthèse Outils d’analyse de courbe Évolution des outils de modélisation Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier 86 FS)  Coniques Cours MEC3510 – Éléments de CFAO Cercle. © C. D. Wagnac. De plus. certains de ces features sont aussi disponibles dans d’autres ateliers.E. Note : Cette liste n’est pas exhaustive. Aubin. WSD) Raccord de courbe Freestyle (atelier FS) Courbe isoparamétrique (ateliers GSD. GSD) Projection de courbe (ateliers WSD. É. Périé-Curnier etc. parabole.F.1 Features de modélisation de courbes disponibles sur CATIA V5  Création de courbes à partir de points Courbe (ateliers GSD. WSD) Légende : DSE : Digitized Shape Editor GSD : Generative Shape Design WSD : Wireframe and Surface Design FS : Freestyle Courbe 3D (ateliers DSE. FS) Connecteur de courbes (atelier FS) Courbe sur surface (atelier FS) Congé de raccordement (atelier FS) Intersection (ateliers WSD.Salako. GSD. 87 .C. FS) Courbe 2D (dans une esquisse)  Création de courbes à partir de courbes et surfaces existantes Courbe de raccordement (ateliers GSD. ellipse. hyperbole. É.Salako.2 Types de courbes disponibles sur CATIA V5 À chaque feature de modélisation de courbe est associé un type de courbe qui dicte les propriétés de la courbe résultante… Displayed type What is it ? s NurbsCurve Non Uniform Rational B-Spline Curve NupbsCurve Non Uniform polynomial B-Spline Curve PNupbs Parametric non rational curve on a surface SplineCurve Parametric non rational curve PSpline Parametric curve on a surface Autres types : PLine. Plane. MergedCurve. Voir l’aide de CATIA pour la liste complète Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Line. etc. F. Helix. Wagnac. Aubin.C. D. Périé-Curnier 88 . IntCurve. SplineCurve : une SplineCurve est une courbe paramétrique non rationelle passant par les points. Périé-Curnier 89 .2 Types de courbes disponibles sur CATIA V5 Quelques définitions…      NURBS : une NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) est une B-Spline non uniforme dont les poids. Le degré de cette courbe n’est pas renseigné dans CATIA. NUPBS : une NUPBS (Non-Uniform Polynomial B-Spline) est une NURBS dont les poids. sont unitaires (h¡ = 1). une parabole. D. C’est donc une B-Spline (ou une Bézier/quintique/Hermite dans certains cas).Salako. Aubin. Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Dans CATIA. sont des nombres rationels. É. PNUPBS : une PNUPBS est une courbe paramétrique non-rationelle NUPBS sur une surface. une ellipse.E. F. PSpline : une PSpline est une courbe paramétrique sur une surface. Le terme NUPBS est propre à CATIA.C. Wagnac. elle sert principalement à représenter exactement les coniques telles un cercle. qui multiplient les points de contrôle. qui multiplient les points de contrôle. etc. 2 .3.3. D. Wagnac.3 Caractéristiques des principaux features de courbe  C. É. Périé-Curnier 90 . WSD)  C.3.1 .2 Courbe 3D    (ateliers DSE.3.C.3. FS) C.Salako. F.par tous les points C.2.1 Courbe (ateliers GSD.2.3 Courbe 2D (dans l’esquisse) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E.par points de contrôle C. Aubin. WSD) Type : SplineCurve Données utilisateurs : n+1 points Propriétés        Courbe de degré non renseigné (cubique ou quintique?) Passe par les n+1 points Composée de n segments de courbe Possible de spécifier la direction. l’orientation et la tension de la tangente Aussi possible de spécifier l’orientation du vecteur de coubure (perpendiculaire à la tangente) et la valeur du rayon de courbure Formulation similaire à une courbe cubique d’Hermite si on spécifie les tangences aux extrémités Contrôle GLOBAL Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.C. F.1  Caractéristiques des principaux features de courbe Courbe    (ateliers GSD. Périé-Curnier 91 .E. É. Wagnac.3. Aubin. D.Salako. Périé-Curnier Direction tangente Point. WSD) Exemple : courbe avec tangente aux extrémités Droite.2 X = points de la courbe d’Hermite suivante : P(u) = [ 1 u u2 u3 ] 1 0 0 0 0 0 1 0 -3 -3 -3 -1 2 -2 1 1 0 3 3 -3 0 2 0 3 0 0 0 0 92 .2 Courbe tracée dans CATIA Sens de paramétrage Point.3.1 (dir. Wagnac.1 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe  (ateliers GSD.1 Direction tangente Droite. F. É. Aubin.E.Salako. D. Tangente) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.C. F. Périé-Curnier 93 . D.Salako.1 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe  (ateliers GSD.3. Wagnac.E. WSD) Exemple : effet de la tension en tangence La tension augmente/diminue l’effet de la tangence sur la forme de la courbe (correspond à multiplier la norme de la dérivée première par un scalaire) 4 Cours MEC3510 de CFAO Multiplication de –laÉléments tension par 4 © C. Aubin. É.C. Wagnac. D.E.3. Aubin.C. WSD) Exemple : ajout d’un rayon de courbure R = 4mm Direction du vecteur de courbure perpendiculaire au vecteur de tangence Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Périé-Curnier 94 .Salako. F. É.1 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe  (ateliers GSD. D. Périé-Curnier 95 . Aubin. É. WSD) Exemple : courbe multi-segments Pt1 Pt3 Segment 3 Segment 1 Segment 2 Pt4 Pt2 Courbe passant par 4 points  3 segments Analyse de courbure Continuité géométrique d’ordre 2 entre chaque segment (courbure continue) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.3. Wagnac.1 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe  (ateliers GSD.Salako. F.C.E. D.2 Courbe 3D (ateliers DSE.3. Aubin.par points de contrôle C.1 Courbe  C.3.3.3.3. Wagnac.E.2 Caractéristiques des principaux features de courbe  C.2.3 Courbe 2D (dans l’esquisse) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. F.C. FS)    (ateliers GSD.3. WSD) C. É.1 .2 .Salako.par tous les points C. Périé-Curnier 96 .2. F. Wagnac. FS) Type : NuPbs Curve Données utilisateurs : points de passage Propriétés  B-Spline d’interpolation (calcul des points de contrôle à partir des points de passage)     Ordre 6 Degré 5. Aubin.E.C. ordre 6 (≠ modifiable) Passe par les n+1 points Composée de n segments Contrôle global Degré 5 # de segments n Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.3. Périé-Curnier Contrôle Global 97 .1 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe 3D : par tous les points    (ateliers DSE.Salako.2. D. É. 3. Aubin.Salako.2. F.1 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe 3D : par tous les points  (ateliers DSE. D. É. FS) Exemples Données utilisateurs Propriétés de la courbe # pts contrôle (n+1) Ordre k Degré # de segments (n) Contrôle 2 6 5 1 Global 5 6 5 4 Global 6 6 5 5 Global 10 6 5 9 Global Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Périé-Curnier 98 .C.E. Wagnac. C. FS) Exemples (suite) 2 pts : Polygone de contrôle Affichage d’habillage 5 pts : 10 pts : Calcul des points de contrôle à partir des points de passage Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.3.Salako. Aubin. D.2. F.1 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe 3D : par tous les points  (ateliers DSE.E. Périé-Curnier 99 . É. Wagnac. En sélectionnant un point sur une courbe existante et en imposant une continuité en tangence/courbure Illustration du cas #1 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.C. É. FS) Exemple : contrôle de la tangence/courbure aux points 1.2 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe 3D : par tous les points  (ateliers DSE. En imposant une tangence/courbure au point désiré 2.E.2. F.Salako. Aubin. Périé-Curnier 100 . Wagnac.3. D. 3. il n’est pas nécessaire d’utiliser kmax > 6 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Salako. É. pour la plupart des applications. D. Aubin. Wagnac. En général.2.C. FS) Points de contrôle (n+1) Ordre maximal (kmax) Propriétés* : Ordre Degré # de segments Contrôle k = n+1 si n+1 < kmax k-1 n–k+2 Global k = kmax si n +1 ≥ kmax k-1 n–k+2 Local * Valables pour kmax = 6. Périé-Curnier 101 . F.2 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe 3D : par points de contrôle   Type : NuPbs Curve Données utilisateurs :    (ateliers DSE.E. la NUPBS par points de contrôle est équivalente à une courbe de Bézier (degré = n) et le contrôle est global (ateliers DSE.E. D.2 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe 3D : par points de contrôle  Exemples : Données utilisateurs Lorsque n+1 ≤ kmax (avec kmax = 6). Wagnac.C. É. F. Périé-Curnier 102 .Salako.2. FS) Propriétés de la courbe # pts contrôle (n+1) Kmax Ordre k Degré # de segments (n-k+2) Contrôle 2 6 2 1 1 Global 5 6 5 4 1 Global 6 6 6 5 1 Global 10 6 6 5 5 Local 15 6 6 5 10 Local Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.3. Aubin. FS) Exemple : contrôle de la tangence aux extrémités 1.3. D.E. Wagnac.2. É. En sélectionnant un point sur une courbe existante et en imposant une continuité en tangence/courbure Illustration du cas #1 t t 1 Courbe initiale Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. F.C.Salako.2 Caractéristiques des principaux features de courbe Courbe 3D : par points de contrôle   (ateliers DSE. Par la position des points de contrôle 2. Aubin. Périé-Curnier 1 Modification de la position du point 1 103 . 3 Courbe 2D (dans l’esquisse) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.C.par points de contrôle C. F.3.E. FS)    C.2 .3 Caractéristiques des principaux features de courbe   C.1 .3.2. Aubin.3.Salako. Périé-Curnier 104 . WSD) C.2.3.1 Courbe (ateliers GSD.3.2 Courbe 3D (ateliers DSE. Wagnac. D.3.par tous les points C. É. C. Périé-Curnier n Contrôle Global 105 . Aubin.3. Wagnac. F. É.3 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe 2D (dans l’esquisse)    Type : PSpline (parametric curve on a surface) Données utilisateurs : points de passage Propriétés      Courbe de degré non renseigné (cubique ou quintique?) Courbe planaire qui passe par les n+1 points Composée de n segments de courbe Possibilité de spécifier l’orientation et la direction de tangence.E.Salako. D. et le rayon de courbure à chaque point Contrôle GLOBAL Ordre Degré N/D N/D # de segments Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Aubin.3.E. D. F. É.3 Caractéristiques des principaux features de courbe  Courbe 2D (dans l’esquisse)  Exemple : contrôle de la tangence/courbure Coincidence entre la tangente et la droite Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Périé-Curnier 106 .C. Wagnac.Salako. 4 Feature de création de courbe Tableau Synthèse Courbes à partir de points Type Données de départ Équivalence Principales caractéristiques de la courbe Ordre Degré Tangence (TG) Courbure (CO) Contrôle Non renseigné Non renseigné TG : à chaque points. continuité avec une autre courbe Global Courbe 2D Esquisse PSpline TG : à chaque points. direction. tension CO : direction. direction. rayon Global Courbe 3D Par les points de contrôle NuPbS n+1 points Si n+1 < kmax . Aubin. orientation. orientation CO : rayon Local kmax si n +1 ≥ kmax n+1 points Similaire à Hermite si tg aux extrémités spécifiées Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Salako.E. Périé-Curnier Non renseigné Non renseigné Local 107 . Bézier n+1 si n+1 < kmax k-1 TG : aux extrémités. F. D. orientation. Wagnac. continuité avec une autre courbe CO : : aux extrémités. rayon Global Courbe SplineCurve n+1 points Similaire à Hermite si tg aux extrémités spécifiées Courbe 3D Par tous les points NuPbS n+1 points B-Spline d’interpolation 6 5 TG : à chaque points.C. tension CO : direction. É. direction. F.Salako.5 Outils d’analyse disponibles  Information géométrique  ateliers GSD et FreeStyle Indique les informations géométriques de la courbe (type.E. etc. nombre de segments. Aubin. Périé-Curnier 108 . É. D.Note : cet outil sera exploré au laboratoire C. ordre. Wagnac.) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. E. É. Périé-Curnier 109 . ainsi que les segments des courbes de type NUPBS Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. D. Wagnac. F.5 Outils d’analyse disponibles  Affichage d’habillage  ateliers GSD et FreeStyle Affiche les points et le polygone de contrôle. Aubin.Note : cet outil ne sera pas exploré au laboratoire C.Salako. D. É.E. F.Salako.5 Outils d’analyse disponibles  Analyse de courbure  ateliers GSD et FreeStyle Indique la courbure le long de la courbe (0 ≤u≤umax) Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.Note : cet outil sera exploré au laboratoire C. Périé-Curnier 110 . Aubin. Wagnac. Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Aubin. Wagnac.Note : cet outil sera exploré au laboratoire C. C0). F.Salako.5 Outils d’analyse disponibles  Connexion de courbes ateliers GSD et FreeStyle 0  G (distance) : Indique la distance entre les extrémités les plus proches des courbes sélectionnées (0 mm  G0. D. Périé-Curnier 111 . É.E. Périé-Curnier 112 .5 Outils d’analyse disponibles  Connexion de courbes  ateliers GSD et FreeStyle G1 (tangence) : Indique la différence d’angle entre les vecteurs tangents Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Wagnac.Note : cet outil sera exploré au laboratoire C. É. D. F.Salako.E. Aubin. 5 Outils d’analyse disponibles  Connexion de courbes   ateliers GSD et FreeStyle On a G1 si la différence d’angle est de 0° à la jonction.E. P’’(u)= ||P’(u)|| t connu Exemple : G1 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. Aubin. ni renseignée par le logiciel. É. Périé-Curnier ≠G1 113 . On ne peut pas conclure sur C1 car la norme de la tangente n’est pas spécifiée par l’utilisateur.C. F. Wagnac.Salako. D. Note : cet outil sera exploré au laboratoire C.5 Outils d’analyse disponibles  Connexion de courbes  Courbure : calcule un pourcentage représentant la différence de courbure à la jonction des courbes, selon l’équation: k 2  k1 ½ k1  k 2 Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier 114 C.5 Outils d’analyse disponibles  Connexion de courbes  On a G2 si les 3 conditions suivantes sont respectées : 1. Continuité G1 2. Le pourcentage est de 0% 3. Les vecteurs de courbure sont dans la même direction (courbe planaire, même direction indiquée par l’utilisateur, etc.) Exemple 1 : Pourcentage de 0% MAIS G1 non respecté  ≠ G2 Exemple 2 : G1, pourcentage de 0% MAIS vecteurs de courbure de directions différentes  ≠ G2 0mm direction du vecteur de courbure de P2 P1 Direction du vecteur de courbure de P1 13° 0mm 0% 0° 0% Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier tangente P1 et P2 P2 115 C.5 Outils d’analyse : Exemple Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C.E. Aubin, É. Wagnac, F.Salako, D. Périé-Curnier 116 catia. Aubin. Wagnac. D.com (voir la démo) 117 .Salako.C. Périé-Curnier  Ingénierie du contenu émotionnel  Création de forme esthétique et intuitive  Une seule solution. F. du concept au produit  Nouvelle approche p/r au design traditionnel Tiré de: www.E.6 Évolution des outils de modélisation de courbe & surfaces… Cours MEC3510 – Éléments de CFAO © C. É.
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