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POLITEXT 99Matemática discreta Josep Fàbrega Anna Sànchez .POLITEXT Francesc Comellas .Oriol Serra Matemática discreta EDICIONS UPC . La presente obra fue galardonada en el segundo concurso "Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.edicionsupc. 08034 Barcelona Tel. (Barcelona) Depósito legal: B-7. Primera edición: febrero de 2001 Diseño de la cubierta: Manuel Andreu © Los autores.es E-mail: edicions-upc@upc. bajo las sanciones establecidas en las leyes. . la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www. comprendidos la reprografía y el tratamiento informático. Agricultura 21. Nave 5. 2001 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya. SL Jordi Girona Salgado 31. Traducción al castellano de la obra original en catalán Matemàtica discreta. 2001 © Edicions UPC.es Producción: Grup Artyplan-Artimpres S. A. y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos. realizada por Gabriel Valiente.069-2001 ISBN: 84-8301-456-4 Quedan rigurosamente prohibidas. sin la autorización escrita de los titulares del copyright. 2001 © Gabriel Valiente. 08980 Sant Feliu de Ll. para la traducción. . . . . . . . . . . . 32 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001. . .1 Cardinales de conjuntos . . . . . . . .1 Selecciones ordenadas y no ordenadas . .3 Ecuaciones de recurrencia lineales 4. . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Algoritmos y máquina de Turing 1. . . . .3 Lenguaje algorítmico . . . . . . . . . . . . . . 2001. . . . © Los autores. . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Clasificación de algoritmos . .2 Funciones generadoras . . . . . . . . . . . . . . 3. Enumeración 25 2 Combinaciones y permutaciones 27 2. . . . . . . . 1 1 4 7 9 15 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . .2 Principio de inclusión-exclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Algunos ejemplos de aplicación . . . . .1 Ecuaciones de recurrencia . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Biyecciones. . . . . 27 2. . . . . . . . . . . . . . . .4 Análisis de algoritmos . . . . . .1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Propiedades de los coeficientes binomiales . . 73 74 78 84 89 . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . 49 50 51 58 64 4 Funciones generadoras 4. . . . Particiones . . . . . . . . .Índice General i Índice General Prólogo iv 1 Algoritmos 1. . . 1. . . . . . Números de Catalan. . . . . . . . . . . .4 El principio del palomar y el teorema de Ramsey . . . . . . 1. .4 Números combinatorios . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Comparación de algoritmos . . . 38 3 Principios básicos de enumeración 3. . . . . . . . . . . . . . . . . © Edicions UPC. . . . .6 El teorema de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 103 106 108 110 111 114 115 117 6 Árboles 6. .3 Número de árboles generadores . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. . . . . . . . . . . . .5 Apareamientos en grafos bipartitos . . . . . . . . . . . 5. . Estructuras algebraicas . . . . .2 Ciclos hamiltonianos . . . . . . . . .2 Caminos. . . . . . . .2 Árboles generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . © Edicions UPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Obtención de todos los árboles generadores 6. . . 5. . . . . . . . . 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Árboles . . . . .3 Conectividad . 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 124 127 128 132 133 . . . . . .4 Los teoremas de Menger .ii Índice General Teoría de grafos 101 5 Grafos y digrafos 5. . . .1 Relaciones . . . . . . .7 Planaridad: la fórmula de Euler . . . . . 2001. . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . .5 Representación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Flujos. . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . . . . . 199 © Los autores. 193 9. . 5. . . . . . . . . 7. conectividad y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Ciclos fundamentales . . . . .3 Operaciones entre grafos . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9 Introducción a las estructuras algebraicas 193 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. .2 El teorema del flujo máximo–corte mínimo 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . 8. . . . . .1 Grafos eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Árboles generadores de coste mínimo . . . . . 173 174 177 180 181 184 185 7 Circuitos y ciclos 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Digrafos . . . .6 Grafos y redes de interconexión . . . . . . . . . . .4 Análisis de redes eléctricas . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . .2 Aplicaciones . . . . . . . . . . 5.8 Caracterización de los grafos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . 141 141 149 156 162 . . . . . . . . conectividad y apareamientos 8. . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Redes de transporte . 3 Cuadrados latinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 289 305 314 Índice de materias 331 © Los autores. . . . .3 Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Diseños combinatorios . . . . . . . . . . . . . . © Edicions UPC.5 Enumeración de Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10 Grupos 10. . . . . . . . . . 12. . . . . . . . . . . . . .2 El anillo de los polinomios . . . . . . . . . . . . 12. . . . . 266 11. . . . . . . . . . . . . . . .3 Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . 2001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Definiciones y propiedades . . . . . . .1 Definiciones y propiedades 10. . . . . . .2 Grupos abelianos finitos . . . . . . 257 11. . . . . . . . . . . 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 12 Estructuras combinatorias 12. . . . . . . . . . 203 Estructuras algebraicas . . .Índice General 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 216 224 229 240 244 11 Anillos y cuerpos 257 11. . . 2001. . . . . 10. . . . .3 9. . . . . . .4 Digrafos de Cayley . . . . . . .4 iii Operaciones . . 10. . . . . . . .2 Geometrías finitas . . . . . 2001. Asimismo. la implantación de nuevos planes de estudio y la reforma de los existentes hace que la matemática discreta haya sido introducida como un elemento importante de la formación básica. queda mejor delimitada cuando se da una descripción de sus contenidos. Así. el progreso de la informática y de las técnicas de computación les ha dado un impulso decisivo y las ha convertido en una de las ramas de la matemática aplicada con más vitalidad. la teoría de grafos y las estructuras algebraicas discretas. El texto contiene material más que suficiente para cubrir dos cuatrimestres lectivos. se discuten principios básicos de enumeración y se presentan técnicas de enumeración más elaboradas basadas en las funciones generadoras y las ecuaciones de recurrencia.Prólogo v Prólogo La matemática discreta es una rama de las matemáticas que trata las estructuras finitas y numerables. Este impulso ha influido también en el diseño de los curricula en las enseñanzas de ingeniería y matemáticas alrededor del mundo. los conocimientos de matemáticas que se presuponen en el lector son los que corresponden a unos primeros cursos universitarios de álgebra y cálculo. El libro de texto que se propone ha sido pensado para servir de soporte a cursos básicos de matemática discreta. se van introduciendo también algunos temas clásicos de combinatoria como. Paralelamente. El contenido del libro se estructura en un capítulo inicial sobre algorítmica seguido de tres partes dedicadas a la enumeración. la teoría de grafos y las estructuras algebraicas. Aunque históricamente éstas eran áreas que no formaban un cuerpo estructurado. las estructuras combinatorias. En el capítulo inicial se introducen las nociones básicas de recursividad. . lenguajes algorítmicos y complejidad de algoritmos. la algorítmica es una herramienta imprescindible para la construcción de soluciones a los problemas que se tratan. forzosamente imprecisa. se hace un repaso de la combinatoria elemental. y facilita así una cierta flexibilidad en la elección de los temas a explicar. Esta definición. 2001. © Los autores. En este sentido. © Edicions UPC. Como cualquier texto de matemáticas. En la primera parte. las lineas básicas de las que se ocupa la matemática discreta son las técnicas de enumeración. los problemas al final de los capítulos y los ejercicios insertados en el texto constituyen un elemento importante del libro. Desde el punto de vista pedagógico se ha hecho un esfuerzo especial para presentar los temas de una forma simple pero rigurosa. en nuestro país. A grandes rasgos. que constituye un problema clásico en investigación operativa. En particular. se trata también la obtención de árboles generadores de coste mínimo. Se introducen en primer lugar los elementos básicos de la teoría y la terminología. 23 de marzo de 1994 © Los autores.vi Prólogo por ejemplo. en cierto sentido la clase más simple de grafos. la última parte del libro está dedicada a estudiar las estructuras algebraicas discretas. A continuación se tratan estructuras algebraicas definidas a partir de dos operaciones: anillos y cuerpos. En particular. En particular. El último capítulo de esta parte estudia tres temas aparentemente no relacionados. Todos ellos tienen numerosas aplicaciones a problemas de optimización y de asignación y en el diseño de redes de interconexión. entre otros. Finalmente. se estudia el anillo de polinomios y se aplica a la construcción de cuerpos finitos. queremos manifestar también nuestro agradecimiento al profesor Miquel Àngel Fiol Mora. Se describen las propiedades más significativas de los grupos cíclicos y de los grupos de permutaciones. desarreglos o la teoría de Ramsey. En este sentido. En el último capítulo se introducen los diseños combinatorios como modelos generales de estas estructuras. 2001. Después de introducir las operaciones binarias y sus propiedades. 2001. Sigue el estudio de la estructura cíclica de un grafo y su aplicación al análisis de redes eléctricas. La segunda parte presenta los temas básicos de la teoría de grafos. . conectividad de grafos y apareamientos en grafos bipartitos. Los autores quieren agradecer especialmente el interés con que el profesor José Luis Andrés Yebra ha revisado el manuscrito de este libro. Los autores Barcelona. a pesar de tener numerosas aplicaciones en áreas muy diversas. Las estructuras combinatorias estudian de manera sistemática las relaciones de incidencia entre determinados objetos y ciertos subconjuntos de estos objetos. así como a Javier Ozón Górriz. Sus correcciones y sugerencias han sido una ayuda muy valiosa. El capítulo se acaba con el estudio de cuadrados latinos y la construcción de conjuntos de cuadrados latinos mutuamente ortogonales. © Edicions UPC. se introducen las llamadas geometrías finitas y se particulariza en el estudio de planes afines y proyectivos finitos. las particiones de conjuntos y de enteros. se presentan los conceptos básicos de la teoría de grupos. pero que resultan estar estrechamente ligados: flujos en redes de transporte. y su relación con ciertos problemas de optimización combinatoria como pueden ser los problemas del viajante o del cartero chino. y se dedica una atención especial a la representación de grupos per medio de los grafos de Cayley. A continuación se estudian los árboles. Agradecemos también el soporte institucional de la Universitat Politècnica de Catalunya y la confianza depositada en el proyecto de este libro que se ha manifestado en el otorgamiento de una ayuda para su elaboración. También se tratan los problemas clásicos de existencia de circuitos eulerianos y ciclos hamiltonianos. 263 producto cartesiano. 184 aplicación. algoritmo de. 318 bosque.Índice de Materias 331 Índice de Materias 1–factor. 258 centro. 110 arista. 16 de inserción mínima. 150 caminos internamente disyuntos. 258 anulador por la izquierda. 120 autovalores de un grafo. 184 paralelas. 124 de decisión. 124 generador. 298 Binet–Cauchy. 2. 124 binario. 246 camino. 104 automorfismo. 9 anillo. 17 de inserción. 5 de burbujas. 103 arista-conectividad. 285 cociente. 154 genético. 110 hacia. identidad de. 153 algoritmo. 289 de un grafo. 139 arco. . 190 adyacente desde. 262 de Boole. 189 Bose. 199 biyectiva. teorema de. 284 euclídeo. 181 © Los autores. 210. 2001. 130 biyecciones. teorema de. 259 abeliano. 127 generador de coste mínimo. 121 Bézout. 184 completo. 110 Albertson. 285 apareamiento. lema de. 133 arborescencia. 156 recursivo. 213 de un grafo. 201 exhaustiva. 2001. 257 íntegro. 285 unitario. 271 BIBD. 304 Burnside. teorema de. 126 Bruch–Ryser–Chowla. 270 principal. 103. 201 inyectiva. 106 hamiltoniano. 201 árbol. 185 perfecto. © Edicions UPC. 189. 180 aristas independientes. 58 bloque. principio de. 284 digrafo. 177 simple. 285 Church–Turing. 202 conectividad. 127 cuerpo. 291 © Los autores. 64 diseño. 110 de Cayley. 174 característica. 28 complejidad espacial. 175 mínimo. 235 centro. 133 cuadrados latinos. 242 hamiltoniano. 131 correspondencia. 10 complemento de un grafo. 197 conjunto cociente. 197 clases laterales. 219 cociclo. teorema de. 210. 107. 111 unilateralmente. 10 temporal. 27 con repetición. 181 contracción. 180 conexo débilmente. 199 separador. teorema de. 194 corrientes de ciclo. 152 Dirichlet. 142 euleriano dirigido. 259 cardinales de conjuntos. 2001. 160 coeficiente. 158. 111 simétrico asociado a un grafo. 147 clase de equivalencia. 314 ortogonales. 161 hamiltoniano. . 131 Cayley. 39 coeficientes multinomiales. 111 congruencia módulo n. 164 corte s–t corte.332 Índice de Materias capacidad. 107 composición de aplicaciones. 146 diámetro. 56. 6 ciclo. 148 secuencia de. 106 fundamental. 50 Cauchy. 75. 296 de una arista. fórmula de. 111 Dirac. 28 sin repetición. 43 combinaciones. 266 coeficientes binomiales. hipótesis de. 260 de Bruijn digrafo de. teorema de. 160 coste. 38. 106 euleriano. 109 componentes. © Edicions UPC. 292 derivado. 89 descomposición de un grafo en subgrafos. 107 diferencia simétrica. 2001. 150 circuito. 80 propiedad de la adición. 303 dual. 289 complementario. 185 desarreglos. 75. 152 línea. 160 fundamental. 122 simétrico. 111 fuertemente. 229 Cayley. 148 defecto de un grafo bipartito. 316 cuerda. 31. 106 de Cayley. 213 Euclides algoritmo de. 258 dominio. 264 equilibrado. 281 endomorfismo. 108 completo. 245 estructura algebraica. 106 media. 62 Fleury. 274 funciones generadoras. 290 uniforme. 108 conexo. 242 © Los autores. 180 k–conexo. 175 Ford–Fulkerson algoritmo de. 103 d–regular. 65 espacio. . 80 fórmula multinomial. 107 divisores de cero. 290 regular. 177 función polinómica. 200 ecuaciones de recurrencia. 174 valor del. 78 geometría lineal finita. 208 cociente. 177 neto entrante. 107 333 fórmula del binomio. 105 secuencia de grados. 303 s-derivado. 266 de entrada. 108 ciclo. 292 isomorfo. diagramas de.Índice de Materias incompleto. © Edicions UPC. 168 flujo. 207 primitivo. 270 Euler fórmula de. 179 teorema de. 296 s-residual. 4. 180 r–partito. 212 de anillos. 301 simple. 84 elemento inverso. 105 k–arista conexo. 116 función φ de. 174 máximo. 109 camino. 2001. 110 máximo. teorema de. 35 factorial. 55 excentricidad. 207 neutro. 53 Erd˝os–Szekeres. 271 teorema de. 109 bipartito. 2001. 298 Eratóstenes. 120 grafo. 29 Ferrers. 297 simétrico. 174 neto saliente. 12. 74 lineales. 121 grado. 78 exponenciales. 305 giro. 110 de salida. 83 ordinarias. 292 distancia. 292 residual. 9 estabilizador. 105. 105 mímino. 35. 109 bipartito completo. algoritmo de. 213 epimorfismo. 238 cíclico. 264 morfismo. 163 Kuratowski. teorema de. 220 lazos. 221 ideal. 225 cociente. teorema de. 212 de anillos. 253 homomorfismo. 5 no determinista. 110. 113. teorema de. 224. 165 de incidencia. 261 bilateral. 17 Meyniel. 107 vértice-simétrico. 139 de impedancias. 121 vértice-transitivo. 105 Königsberg. 141 Kirchoff. 248 intersección de grafos. 105 isomorfismo. 112 de ciclos fundamentales. 115 subyacente. 230 diédrico. problema de los puentes de. 212 de anillos. 21 multigrafo. 242 de permutaciones. 128 Menger. 263 MTND. 153 MOLS. 212 de anillos. 240 producto cartesiano. 169 nulo. 110 euleriano. 220 de los cuaternones. teorema de. 262 índice de ciclos. 21 matriz de adyacencia. 241 simétrico. 109 invariante de un grafo. 230 Hall. 156 número ciclomático. teorema de. 264 Índice de Materias de grafos. 209 monomorfismo. 317 monoide. 2001. 221 presentación. 222 relaciones. . 109 planar. 111 trivial. 158 números combinatorios. 261 maximal. 263 canónico. 104 euleriano. 142 hamiltoniano. 119 Lagrange. 186 hipercubo.334 dirigido. 231 isomorfo. leyes de. 121 grupo. 164 de impedancias de ciclo. 4 determinista. 104 lista de incidencia. © Edicions UPC. 89 © Los autores. 290 de incidencia reducida. 142 mutación. 265 principal. 150 hipohamiltoniano. 2001. 183 mergesort. 159 de grados. 209. 182. 216 alternado. 264 de grupos. 114 máquina de Turing. 133 del viajante. 206 distributiva. 107 Ramsey. 138 principio de adición. 61 Pascal. D). 28 Petersen. 58. 91 conjugadas. 95 de Catalan. 77. 90 de Fibonacci. 69 del palomar. 64 © Los autores. 88 puente. 206 conmutativa. 312 proyectivo. 223 proporción áurea. 67 de Stirling. 92. 225. 268 irreductible. 39 permutación ciclo. 238 transposición. 253 de segundo tipo. . 59. 266 suma. 109 producto directo. 115 de los matrimonios. 307 de inclusión-exclusión. 266 335 característico. 269 mcm. 120 plano afín. 270 Prüfer. 186 del cartero chino. 156 polinomio. 275 radio. 96. 270 primo. 9 producto cartesiano. 32 particiones. 41 NP-C. 2001. 103. 108 quicksort. 206 órbita. 58.Índice de Materias de Bell. 193 de grafos. 77 de Ramsey. 86 divisor. 233 signatura. 50 de dualidad. 154 tipo NP. 151 palabras de alfabetos. 28 sin repetición. 245 orden. 235 permutaciones. 266 polinomios coprimos. 42 triangulares. 269 producto. 27 con repetición. grafo de. 76. triángulo de. 309 Ore. 21 operación binaria. 92 de primer tipo. teorema de. 203 asociativa. 62 de conjuntos. 306 población. teorema de. 168 del conector. 19 raíz. 92 de un entero. 20 procedimiento. © Edicions UPC. 51 criba. 64 problema (∆. 266 mcd. 92 piramidales. 21 tipo P. secuencia de. 2001. 304. 274 multiplicidad. 269 mónico. 268. 225 normal. 196 inversa. 103 variedades. 104 subgrupo. 152 secuencia de aumento. 109 vértice. 106. en grafos. 177 semigrupo. 142 recursividad. 103 teoría de grafos. 197 relación. 110 unión de grafos. 78 simulated annealing. 103 vértices y aristas incidentes. 2001. 103 apareados. teorema de. 200 euleriano. 298 subanillo. 194 binaria. teorema de. 200 t-diseño. 107 vértices adyacentes. 109 recorrido.336 Índice de Materias suma de grafos. 132 transversal. 194 de orden. 156 sistema de representantes diferentes. 118 de una arista. 187 Tutte. 115 de transporte. 184 independientes. 101 teorema de factorización. 9 red de interconexión. 219 generado. 209 series formales. . 13 transformación elemental. 104 generador. 160 subestructura. sistema de. 118 subespacio de ciclos. 158 Whitney. 2001. 289 vectores ortogonales. 219 suma binaria de grafos. 269 del flujo máximo–corte mínimo. 219 trivial. 294 tamaño. 187 Steiner. 260 subdivisión de un grafo. 153 torres de Hanoi. 177 tiempo. 9 torneo. 220 propio. 174 región. 116 relació de equivalencia. © Edicions UPC. 218 índice. 103 de corte. 184 © Los autores. 158 de cociclos. 211 subgrafo. 104 inducido.