1Capítulo 1 INTRODUCCIÓN Y ALCANCE DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS 1.1 Introducción Empezaremos este capítulo, discutiendo en forma breve el propósito y el poder de los métodos numéricos; así como sus limitaciones y, posteriormente, presentaremos una justificación para el estudio detallado de los mismos. En cada capítulo, primeramente se presentas los elementos teóricos básicos, con un lenguaje fácil de digerir y al final de cada exposición teórica, como un repaso de la teoría se resuelven varios ejercicios, con la finalidad de que los estudiantes puedan, posteriormente, adaptarlos a sus necesidades propias, en sus aplicaciones profesionales o de investigación. 1.2 ¿Qué son los métodos numéricos? Los métodos numéricos son una clase de técnicas para resolver una gran variedad de problemas matemáticos. Estos problemas pueden, naturalmente, tener su origen como modelos matemáticos o situaciones físicas. Este tipo de métodos son extraordinarios puesto que solamente son empleadas operaciones aritméticas y lógicas; de esta manera los cálculos pueden hacerse directamente o usando una computadora digital. Aunque en el sentido estricto del término, cualquier cosa, desde los dedos hasta un ábaco, pueden ser considerados como una computadora digital, sin embargo, aquí usaremos este término para referirnos a computadoras electrónicas, las cuales han sido usas razonablemente y en forma difusa, desde a mediados de 1950. Actualmente los métodos numéricos preceden a las computadoras 2 electrónicas por muchos años y, en realidad, muchos de los métodos usados generalmente datan, en forma virtual, desde el inicio de las matemáticas modernas; mas sin embargo, el uso de estos métodos fue relativamente limitado hasta el advenimiento de la calculadora mecánica de escritorio y posteriormente dramáticamente incrementada. En un sentido real, los métodos numéricos vinieron a revolucionar las técnicas de solución, de varios problemas complejos, con la introducción de la computadora electrónica. La combinación de métodos numéricos y las computadoras digitales han creado una herramienta de inmenso poder en el análisis numérico. Por ejemplo, los métodos numéricos son capaces de manejar la no linearidad, la geometría compleja y sistemas grandes de ecuaciones simultáneas que son necesarios para la simulación perfecta de muchas situaciones físicas reales. Las matemáticas clásicas, junto con las matemáticas aplicadas más ingeniosas no pueden competir con muchos de estos problemas en el nivel requerido por la tecnología de hoy en día. Como resultado, los métodos numéricos han desplazado el análisis con las matemáticas clásicas en muchas aplicaciones industriales y de investigación; sin que ello signifique que las instituciones deban dejar de incluir, en la formación de los estudiantes, esta temática. 1.3 Métodos anteriores a la aparición de la computadora Antes del uso de la computadora digital, había tres métodos diferentes que los ingenieros aplicaban a la solución de los problemas, a saber: 1. Soluciones exactas. Con frecuencia, estas soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente del comportamiento de algunos sistemas. Sin embargo, las soluciones analíticas pueden encontrarse sólo para una clase limitada de problemas. Estos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también a aquellos que tienen una geometría simple y pocas dimensiones. En consecuencia, las soluciones exactas tienen valor práctico limitado, porque la mayor parte de los problemas reales no son lineales, e implican formas y procesos complejos. 2. Soluciones gráficas. Estas soluciones tomaban la forma de grafos o nomogramas. Aunque las técnicas gráficas a menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Es más, las soluciones gráficas (sin ayuda de una computadora) son tediosas en extremo y 3 difíciles, de implementar. Finalmente, las técnicas gráficas están limitadas a aquellos problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos. 3. Cálculos manuales y reglas de cálculo. Aunque en teoría estas aproximaciones deberían ser perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en las prácticas, se presentan algunas dificultades. Los cálculos manuales son lentos y tediosos; además no existen resultados consistentes debido a que surgen equivocaciones cuando se efectúan las operaciones de esa forma. 1.4 Los métodos numéricos y la práctica de la ingeniería Desde finales de la década de 1940, la multiplicación y disponibilidad de las computadoras digitales han llevado a cabo una verdadera explosión en cuanto al uso y desarrollo de los métodos numéricos. Al principio, este crecimiento estaba algo limitado por el costo de acceso a computadoras grandes, por lo que, muchos ingenieros continuaban usando simples planteamientos analíticos en una buena parte de su trabajo. No es necesario mencionar que la reciente evolución de computadoras personales de bajo costo, ha dado a mucha gente un fácil acceso a poderosas capacidades de cómputo. Además, existe un buen número de razones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos, en ciencias e ingeniería: 1. Los métodos numéricos son herramientas extremadamente poderosas para la solución de problemas reales. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones lineales grandes, la no linealidad y geometrías complicadas (como ya se dijo antes), que son comunes en la práctica de la ingeniería aplicada y que, a menudo, son imposibles de resolver analíticamente. Por lo tanto, amplían la habilidad de quien los estudia para resolver problemas. 2. En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la ocasión de usar software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica en la que se basan los métodos que se discutirán en este trabajo; por lo que es necesario que el estudiante los vea (los métodos numéricos), como una respuesta a sus inquietudes. 4 3. Hay muchos problemas, en las aplicaciones reales, que no pueden plantearse al emplear programas “hechos”. Si se está versado en los métodos numéricos y se es un adepto a la programación de computadoras, entonces se tiene la capacidad de diseñar programas propios para resolver los problemas, sin tener que comprar un software costoso. 4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras personales. Es bien sabido que una manera efectiva de aprender a programar las computadoras es al escribir los programas. Como los métodos numéricos en su mayor parte están elaborados para implementarse en computadoras, resultan ideales para ese propósito. Aún más, están especialmente adaptados para ilustrar la potencia así como las limitaciones de las computadoras. Cuando el lector implemente con buen resultado los métodos numéricos en una computadora personal y los aplique para resolver problemas de otro modo resultan intratables, entonces tendrá una demostración tangible de cómo pueden ayudarle las computadoras para su desarrollo profesional. Al mismo tiempo, aprenderá a reconocer y controlar los errores de aproximación que son inesperables de los cálculos numéricos a gran escala. 5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas. Porque una función de los métodos numéricos es la de reducir las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas, ya que profundizan en los sistemas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. 1.5 ¿Hay límites para la capacidad de los métodos numéricos? Naturalmente que la respuesta a esta pregunta es un enfático “si”. Está a la vista de muchos investigadores, científicos e ingenieros quienes deberían conocer mejor, que si un problema no puede ser resuelto de ningún otro modo, debido a que, todos y cada uno tiene que estar frente a una computadora. Este estado de cosas (eventos) es indudablemente debido al enorme poder de los métodos numéricos los cuales hemos discutido en la sección anterior. Sin embargo, desafortunadamente es cierto que hay muchos problemas que son aún imposibles (en algunos casos deberíamos usar la palabra “impráctica”) de resolver usando métodos numéricos. Para algunos de esos problemas no exactos, el modelo matemático completo aún no ha sido encontrado, obviamente es imposible considerar una solución numérica. Otros problemas son simplemente tan enormes que su solución está más allá de los límites prácticos en términos de la tecnología actual, de las computadoras. Por 5 ejemplo, ha sido estimado que para obtener un detalle de la solución para problemas de flujo turbulento, en función del tiempo, que incluya los efectos de los remolinos más pequeños, requeriríamos del orden de 30 años. Esta estimación ha sido basada en la tecnología de 1968 y es probablemente más o tal vez un poco menor con la tecnología actual. Desde luego la pregunta completa de practicabilidad, frecuentemente depende de qué tanto se dispone para pagar la obtención de una respuesta. Algunos problemas son tan importantes que la industria o el gobierno está dispuesto a pagar muchos millones de dólares para obtener la capacidad computacional necesaria y ayudar a hacer práctica la solución de los problemas que previamente habían sido considerados con solución impráctica. En muchos casos, aunque los límites están constantemente reduciéndose, ahí permanecen muchos problemas, los cuales están en la investigación con la tecnología actual o en la formulación del modelo matemático o en términos de la capacidad computacional que hoy se tiene. 1.6 ¿Por qué estudiar métodos numéricos? Podría parecer extraña la pregunta; sin embargo, para los conocedores del poder de los métodos numéricos, que saben de su extenso uso en cada faceta de la ciencia, la tecnología y el gobierno; la pregunta es injustificada, ya que, en el estudio de la ciencia y la tecnología tienen una justificación inmediata, por lo que, mas bien se recomienda su uso en la licenciatura y postgrado, debido a que estos últimos tendrían pocas aportaciones si no hacen aplicaciones de éstos y de nada le servirían los equipos más modernos de cálculo. En muchos casos, el trabajo hecho por los métodos numéricos es altamente valorado, sin embargo, en el uso de programas y subprogramas inevitablemente se encontrarán dificultades. Estas dificultades pueden depender de muchas causas, incluyendo las siguientes: a) Una situación física compleja no puede ser exactamente simulada por un modelo matemático (esto es un punto extremadamente crucial, pero está fuera del alcance de la presente discusión). b) El método numérico no libera completamente todas las situaciones. c) El método numérico no está completamente libre de error. d) El método numérico no es óptimo para todas las situaciones. 6 Las dificultades con los métodos numéricos pueden resultar en un programa pre- empaquetado o un subprograma de librería produciendo resultados erróneos o no tener los resultados esperados. En adición, el usuario registra subprogramas de librería para ejecutar o hacer ciertas tareas para encontrar una variedad de subprogramas y números que generalmente son aplicados, pero el material descriptivo rara vez dará algún indicador de la eficiencia del subprograma o su conveniencia para resolver el problema en específico. El usuario con cualquiera de esos problemas, pero que no tiene el conocimiento de métodos numéricos, debería buscar la información necesaria (quizá un analista numérico), si de verdad es un asesor evaluado. Sin embargo, en esta situación podría ser difícil que el usuario planteara las preguntas adecuadamente y, en consecuencia la respuesta podría no ser la más adecuada, puesto que la experiencia de los dos podría quizá sea bastante diferente. Podemos ver de esta manera que, existe una fuerte justificación para que el científico o el ingeniero adquieran conocimientos de los métodos numéricos. Este conocimiento capacita al usuario de un computador, a seleccionar, modificar y programar un método para una tarea específico, así como en la selección de programas y subprogramas pregrabados de la librería y hacer posible, para el usuario, la comunicación con un especialista eficiente y de modo inteligente buscar ayuda para un problema particularmente difícil. Finalmente deberían ser reorganizado, el gran volumen de los que han sido llamados “métodos desarrollados” (cuyo objetivo es escribir programas para simular problemas físicos complejos) hecho por ingenieros y científicos y no por analistas numéricos. Obviamente, las técnicas numéricas más eficientes deberían ser empleadas exactamente en tal trabajo y el conocimiento completo de métodos numéricos es esencial para ingenieros y científicos en tales proyectos. A continuación se discuten, brevemente, algunos tópicos relevantes de las herramientas de cálculo mencionadas: las computadoras electrónicas. 1.7 Lenguajes de computadora La mayoría de los lectores de este libro, tendrá en mente alguna idea en programación, en un lenguaje de “alto nivel” para computadora, tal como FORTRAN, ALGOL o BASIC. Esos lenguajes de programación permiten, al usuario, 7 escribir programas en una forma en la que incluye fórmulas algebraicas y proposiciones lógicas en inglés, para instrucciones de entrada y salida. Tales lenguajes de alto nivel son virtualmente independientes de la máquina en la cual correrá el programa. Mediante el uso de un programa de computadora llamado compilador, el programa de alto nivel puede ser convertido al código fundamental de la máquina con lo que el programa será actualmente ejecutado. Para la mayoría de los casos, es usado el lenguaje de programación FORTRAN IV. Con algunas excepciones el ALGOL raras veces es usado para cálculos científicos, pero es extremadamente usado como un lenguaje internacional para describir algoritmos. El BASIC es un lenguaje popular para uso de sistemas de tiempo compartido y usualmente es usado para tareas programadas relativamente simples. Otros lenguajes de alto nivel para uso científico son APL (también usa, razonablemente el tiempo compartido y conveniente tanto para tareas de muy simples hasta sofisticadas), MAD (con las mismas limitantes que el ALGOL) y PL-1 (un lenguaje actualmente poderoso de interés principal para cálculos científicos). La aparición de cada nuevo lenguaje de programación es bien recibida por un buen promedio de usuarios. Estos lenguajes imponen nuevas reglas que tienen que ser aprendidas y posiblemente confundidas con otros lenguajes. Sin embargo, cualquier perdona razonablemente flexible encontrará pocas dificultades en adaptarse a un nuevo lenguaje si es necesario. Lo más importante es la economía, los programas de computadora largos son muy caros y la conversión de esos programas a otro lenguaje puede ser la mejor tarea, pero involucrará muchos meses de trabajo. Esta es una de las razones principales por las que FORTRAN IV es el lenguaje estándar en aplicaciones de la ciencia y únicamente debe desplazarse hacia el futuro. 8 9 Capítulo 2 APROXIMACIONES Y ERRORES 2.1 Introducción Las técnicas numéricas conducen a aproximaciones en sus resultados, ya que, éstas se usan como una alternativa de solución cuando el problema por resolver no tiene un modelo matemático de solución o aún teniéndolo la respuesta esperada no es encontrada con los métodos analíticos. Por consiguiente, los errores forman parte intrínseca de los métodos numéricos, debido a que éstos son sólo una aproximación de la solución a un problema. En la práctica profesional, los errores pueden resultar costosos y en algunas ocasiones catastróficos, debido a que por un error se puede perder hasta la vida si una estructura o un dispositivo llegan a fallar. Las fuentes de errores pueden ser instrumentales, por imperfecciones o desajustes del equipo usado en la toma de medidas; personales que se producen por la falta de habilidad del observador para leer, con exactitud, los instrumentos y de cálculo. En el presente capítulo se cubren varios aspectos que identifican, cuantifican y minimizan los errores. Dos de los errores más comunes son los de redondeo y de truncamiento. Los primeros se deben a que el equipo de cálculo usado, sólo puede representar cantidades con un número finito de dígitos. Los errores por truncamiento, representan la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico. Desde luego que no dejan de discutirse, brevemente, los errores por equivocación, que son debidos a una mala formulación de modelos, así como los errores por incertidumbre de la obtención de datos. 10 2.2 Cifras significativas El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar el grado de confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos, más un dígito estimado que se pueda usar en los instrumentos no digitales. Los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal, así que, los siguientes números tienen cuatro cifras significativas. 0.000 018 45 0.000 184 5 0.001 845 Cuando se incluyen ceros en números muy grandes, no se ve claro cuantos de ellos son significativos, si es que los hay. Por ejemplo, el número 45300 puede tener tres, cuatro o cinco dígitos significativos, dependiendo si los ceros se conocen con exactitud. La incertidumbre se puede desechar usando la notación científica; por lo que, 4.53 x10 4 , 4.530 x 10 4 y 4.5300 x 10 4 muestran que el número en cuestión, tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas. Las implicaciones que se tienen en el estudio de los métodos numéricos son: 1) Debe especificarse claramente la tolerancia en los cálculos, por ejemplo, se puede decidir que la aproximación sea aceptable siempre y cuando sea correcta hasta cuatro cifras significativas, o sea que, debe existir seguridad que las primeras cuatro cifras son correctas. 2) Aunque ciertas cantidades (t, e, 2 ), representan números específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos. Por ejemplo, el número t es igual a 3.141 592 653 589 793 238 462 643... hasta el infinito. De aquí que estos números siempre contendrán el error por redondeo, puesto que los dígitos desplegados en una computadora (o en una calculadora de bolsillo) siempre es una cantidad finita comprendida entre siete y catorce cifras significativas. 11 2.3 Definiciones de error Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Éstos incluyen errores de truncamiento, que resultan de presentar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, así como a los errores de redondeo, que se originan al representar en forma aproximada números exactos. Por consiguiente, la relación entre un resultado exacto (X v ) y el aproximado (X a ) está dada por: v Xa Xv c + = (2-1) De lo anterior se sigue que el error (c v ) se puede calcular con, Xa Xv v ÷ = c (2-2) que, generalmente, es de más interés el valor absoluto de dicho error; ya que lo que realmente se quiere medir es la cercanía del valor aproximado (X a ) al valor exacto (X v ). En general, en situaciones reales, es difícil conocer el valor verdadero a priori; por lo que, casi siempre se hablará de error relativo y error relativo porcentual, que se obtienen con las relaciones, Vv Ev Er = , error relativo (2-3.1) Vv Ev Er = *100, error relativo porcentual (2-3.2) En la aplicación de los métodos numéricos, se encontrará que usan esquemas iterativos para aproximar resultados. En tales casos, el error se calcula de la siguiente manera: 100 1 1 x Xa Xa Xa i i i v | | . | \ | ÷ = + + c (2-4) donde Xa i+1 , es la aproximación actual Xa i , corresponde a la aproximación previa. 12 Note usted que la ecuación (2-4) puede conducir a valores positivos ó negativos, si la aproximación previa o el valor aproximado es mayor que la aproximación actual o que V v . Entonces, el valor del error (o del error relativo) es negativo y, positivo en caso contrario. A menudo, cuando se realizan cálculos, puede no importar mucho el signo del error, si no más bien su valor absoluto, para compararlo con una tolerancia prefijada c t , la cuál depende de la exactitud requerida en los resultados. Cuando es así, los cálculos se repiten hasta que el valor absoluto del error sea igual ó menor que dicha tolerancia. |c v |≤ c t (2-5) debido a que, cuando se cumple la relación anterior, se considera que el resultado obtenido está dentro de un nivel aceptable fijado previamente. 2.3.1. Errores de redondeo En la sección (2-2) se mencionó que, los errores de redondeo se deben a que las computadoras, sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes; por ejemplo, si sólo guardan siete (7) cifras significativas y los cálculos involucran al número t, la computadora sólo almacena y usa 3.141592, omitiendo las cifras restantes y, por consiguiente, genera un error de redondeo de: c v = 0.000 000 650 Siendo ésta, una de las varias formas que utiliza una computadora para redondear números. Esta técnica de retener sólo las primeras siete cifras se le llama truncamiento en el ambiente de computación; de preferencia se le llamará de corte para distinguirlos de los errores de truncamiento que se analizarán en la siguiente sección. Un corte ignora las cifras restantes, de la representación decimal completa; por ejemplo, para el caso anterior, el octavo dígito significativo es 6. Por lo tanto, t se representa de manera más exacta como 3.141 593, mientras que con el corte fue 3.141 592. De esta forma el error, por redondeo sería: c v = 0.000 000 350 Desde luego que las computadoras, se pueden desarrollar para redondear números de acuerdo con las reglas de redondeo, como la que se acaba de aplicar, aunque esto agrega costo computacional. 13 2.3.2. Reglas de redondeo Las siguientes reglas pueden aplicarse al redondear números, cuando se realizan cálculos a mano. Primera: En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno, si el primer dígito descartado es mayor de “5”; de otra manera se deja igual, pero si el primer dígito descartado es “5” ó “5” seguido de ceros, entonces el último dígito retenido se incrementa en uno, sólo si es par. Segunda: En la suma y la resta, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que, el último dígito retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los números que están sumando o restando. Nótese que un dígito en la columna de las centésimas es más significativo que uno de la columna de las milésimas. Tercera: Para la multiplicación y para la división, el redondeo es tal que, la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación. Cuarta: Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado de las multiplicaciones o de las divisiones. o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas, es decir, Multiplicación Ó División Multiplicación Ó División + _ Suma Ó Resta Suma Ó Resta X / 14 en ambos casos, se ejecutan las operaciones entre paréntesis y el resultado se redondea, antes de proceder con otra operación, en vez de redondear únicamente el resultado final. Ejemplo 2.1 Ilustración de las reglas de redondeo. a) Errores de redondeo. Redondear los números dados, al número de cifras significativas indicadas. Número Inicial Cifras significativas Número redondeado 5.6723 3 5.67 10.406 4 10.41 7.3500 2 7.4 7.4500 2 7.4 88.216500 5 88.216 1.25001 2 1.3 b) Sumas y restas b.1. Evalúese 2.2 –1.768, redondeando a una cifra significativa 2.2 – 1.768 = 0.432 que redondeado es -- 0.4 b.2. Evalúese 4.68x10 -7 + 8.3x10 -4 – 228x10 -6 . Conviene expresar los números con un mismo exponente, así que, 0.00468x10 -4 + 8.3x10 -4 .2.28x10 -4 = 6.02468x10 -4 De esta manera, se puede ver claramente que el 3 (del 8.3) es el último dígito significativo retenido, por lo que, la respuesta se redondea de la siguiente manera. 6.02468x10 -4 para a 6.0x10 -4 c) Multiplicación y división c.1. Evaluar 0.0642 x 4.8 15 0.0642x4.8=0.30816 0.31 c.2. Ahora evalúe 945/0.3185 945 /0.3185 = 2 967.032 967....2 967 d) Combinaciones d.1. Calcular |15.2(2.8 x10 -4 )| + |(8.456x10 -4 ) –0.177 | Primero efectúense la multiplicación y la resta que están dentro de los corchetes: |4.256 x10 -3 | + |-176.1544x10 -3 | Ahora, antes de sumar, se redondean las cantidades encerradas: |4.3x10 -3 | + |-176.15x10 -3 | = -171.85x10 -3 -171.8x10 -3 d.2. Evalúese 8 . 5 10 672 . 2 10 7 . 8 10 740 . 6 3 7 5 + ÷ ÷ ÷ x x x Igualando los exponentes, se tiene: 3 3 7 7 10 0058 . 0 10 672 . 2 10 7 . 8 10 674 x x x x + ÷ ÷ ÷ redondeando queda: 8 3 7 10 ... 483196 . 2 10 678 . 2 10 665 ÷ ÷ = x x x 2.3.3. Errores de truncamiento Son aquellos que se presentan al aproximar funciones analíticas por medio de algunos términos de una serie infinita; esto se hace frecuentemente en los métodos numéricos cuando es difícil realizar operaciones con alguna función complicada y se toman en su lugar los primeros términos de una serie que aproxima 16 la función, truncando los demás. También se presenta cuando se utilizan números irracionales, tales como: \2 , e, t, etc., ya que para trabajar con ellos se toma un número determinado de cifras significativas y se truncan las demás. Ejemplo 2.2 El número e, base de los logaritmos neperianos, con cinco cifras decimales, es igual a 2.71828; calcular el error absoluto y el error relativo en el que se incurre en cada caso, al tomar hasta el primero, segundo, tercero y cuarto términos de la serie ¿ · = = 1 ! 1 k k e Solución a) Tomando hasta el primer término 1 ! 0 1 ! 1 0 0 = = = ¿ = k k e En consecuencia, el error absoluto es, c v = |2.71828 –1 |= 1.71828 y el error relativo c r , en porcentaje resulta, ( ) 0 0 212 . 63 100 71828 . 2 1 71828 . 2 = ÷ = r c b) Si se toma hasta el segundo término de la serie, se tendrá 2 ! 1 1 ! 0 1 ! 1 1 0 = + = = ¿ = k k e De aquí se concluye que, c v = 0.71828 y c r = 0.26424 = 26.424% c) Ahora, tomando hasta el tercer término ¿ = = + + = = 2 0 5 . 2 ! 2 1 ! 1 1 ! 0 1 ! 1 k k e Este resultado conduce a, c v = 0.21828 y c r = 0.0803 = 8.03% 17 d) Tomando hasta el cuarto término, se tiene ¿ = = + + + = = 3 0 6667 . 2 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 ! 0 1 ! 1 k k e con lo que se llega a, c v = 0.05161 y c r = 0.01899 = 1.9 % 2.4. Limitaciones en la exactitud de los datos experimentales El científico debe trabajar con datos dignos de confianza. En esta sección describimos algunas de las razones por las cuales los datos pueden resultar defectuosos. 2.4.1. Error humano Este puede deberse al descuido, donde quizás simplemente es una mala lectura en una escala. Las lecturas repetidas de la misma cantidad a menudo revelan este tipo de error. El error en una técnica es muy difícil de detectar, pues se comete en todas las medidas tomadas en la misma forma. Una falla común en este tipo de error es el paralaje. Este ocurre, por ejemplo, cuando se está leyendo la indicación de una aguja, en una escala (v.gr., en un cronómetro). La figura 2.1-a, muestra tal aguja vista desde arriba. La figura 2.1-b, es una vista de planta. Claramente se nota que la lectura Rc, de la escala, es correcta y, para obtener este resultado el ojo del observador debe estar colocado directamente arriba de la aguja, en el punto Ec. En cualquier otra posición, digamos Ew, se tomará una lectura de escala Rw, incorrecta. Con experiencia y cuidado uno se vuelve más apto para evitar errores como estos. El diseño de los instrumentos puede también ayudar en este aspecto. Para evitar el paralaje, por ejemplo, muchos cuadrantes incorporan un espejo a lo largo de toda la escala- colocando el ojo en tal forma que la aguja y su reflexión queden superpuestas, de esta manera el ojo queda directamente arriba de la guja; es decir, la lectura tomada será como la Rc (la correcta). Para reducir aún más el error, en la lectura, algunos instrumentos actuales dan la lectura en forma digital. 18 2.4.2. Limitaciones instrumentales Los instrumentos tienen sus propias limitaciones inherentes. Algunas son obvias, como el caso de las reglas de madera, donde uno puede ver a simple vista que las divisiones no están igualmente espaciadas. Sin embargo, piezas más sofisticadas de equipo, pueden estar sujetas a varias fuentes de error. Tomen, por ejemplo un microscopio. Aunque los microscopios, fueron diseñados primeramente para observar objetos pequeños, algunas veces es necesario medir el tamaño del objeto. La exactitud de tales medidas depende de un número de factores-la rigidez de la columna que sostiene los lentes, la rigidez con la cual el espécimen se fija en la platina y la exactitud con la cual las divisiones han sido gravadas en la escala. Las platinas de algunos microscopios se mueven rotando un tornillo calibrado; cada vuelta completa corresponde a un cierto movimiento de la platina (figura 2.2). La exactitud de la medida hecha, en tales instrumentos, depende de la uniformidad de la rosca del tornillo. A menudo también sucede, que cuando la platina se ha movido alguna distancia en una dirección, ésta no responde inmediatamente cuando el tornillo se mueve en sentido contrario. Esto se llama retroceso. Por consiguiente, se darán lecturas diferentes, dependiendo de la dirección en la cual el microscopio se acerca a determinada posición. Desde luego que esta dificultad se puede evitar Fig. 2.1-b Fig. 2.1-a 19 simplemente aproximándose a la posición de la medida, siempre en un mismo sentido. Fig. 2.2. Microscopio de laboratorio Problemas de este capítulo 2.1 La expansión en serie de Maclaurin para la función cos(x) es: ... ! 10 ! 8 ! 6 ! 4 ! 2 1 ) cos( 10 8 6 4 2 + ÷ + ÷ + ÷ = x x x x x x Iniciando con el primer término cos(x) =1; agréguense los términos uno a uno para estimar cos(t/3). Después de agregar cada término, calcúlense los errores porcentuales relativos, exactos y aproximados. 2.2 Repetir los cálculos del problema anterior, pero ahora usando la serie de Maclaurin para el seno(x): ... ! 11 ! 9 ! 7 ! 5 ! 3 ) ( 11 9 7 5 3 + ÷ + ÷ + ÷ = x x x x x x x seno y estime el seno(t/2). 20 2.3. Úsense los términos en serie de Taylor de cero a tercer orden para estimar f(3), para f(x) = 25x 3 –6x 2 + 7x – 88 usando como punto base x = 2. Calcule el error relativo porcentual correcto para cada aproximación. 21 Capítulo 3 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 3.1 Introducción Un problema muy común en el campo de ciencias e ingeniería, es la solución de una situación física que pueda ser representada por una ecuación del tipo f(x) = 0. Por consiguiente, en este capítulo se expondrán algunos métodos para encontrar la solución a esas ecuaciones. Antes de hacer la presentación de los métodos numéricos de solución, es importante tener claridad del concepto de raíz ó solución de una ecuación. Pues bien, encontrar una solución ó una raíz real de una ecuación, es hallar el valor de la variable independiente x, que anule el valor de la función f(x), que se exprese en términos de la variable citada. En otras palabras, si la función se desarrolla en el plano cartesiano xy, la solución real de esa función es el valor de x que corresponda a la intercepción del eje de las abscisas con la curva definida por la función f(x), como se muestra en Fig. 3.1. Si la curva no corta al eje x, entonces, la ecuación no tiene una solución real, pero puede tener raíces imaginarias, que no serán tratadas en este libro. En particular, si la ecuación a resolver es un polinomio, entonces, debemos considerar, en estricto, la siguiente definición: Sea f(x) e C[x], con gr f(x) = n ≥1 y f(x) = a n x n + ... + a 1 x + a 0 y se dice que c e C es raíz de f(x), si f(c) = 0; es decir, si a n c n + ... + a 1 c + a 0 = 0 22 también es interesante, para la solución de polinomios, tener presente el teorema fundamental del álgebra, cuyo enunciado es “si f(x) e C[x], con gr f(x) = n ≥1, entonces, f(x) tiene al menos una raíz compleja ( real o imaginaria); además del siguiente corolario: si f(x) e C[x], con gr f(x) = n ≥1, entonces, f(x) tiene n raíces (no necesariamente diferentes)”. Por otra parte, actualmente las calculadoras de bolsillo resuelven los polinomios, encontrando los ceros de esas funciones; sin embargo, los métodos que se presentan tienen la ventaja de resolver cualquier función f(x) sin importar del tipo que sea, siempre y cuando tenga raíces reales. De acuerdo a las definiciones dadas, para encontrar una solución real, las ecuaciones, sin importar que representen un polinomio u otra cualquiera, deben ser representadas en la forma: f(x) = 0 (3-1) Algunos ejemplos de las ecuaciones que se resolverán en este capítulo, son: 5 6 ) ( 2 + ÷ = x x x f 50 . 1 2 ) ( 2 ÷ + = gy y y f 1 ) 2 ( ) ( 4 ÷ ÷ = ÷ x e x f x 4 ) ( ) ( 2 ÷ = x sen x x f senx x x f ÷ = 5 . 0 ) ( 01 . 0 ) 01 . 0 2000 05 . 0 cos( ) ( 2 005 . 0 ÷ ÷ = ÷ R e R f R ( ) 4 . 0 f Re Log 4 f 1 ÷ = ( ) 2 1 x 2 . 0 x 3 sin e ) x ( f ÷ = ÷ 23 3.2 Características de los métodos numéricos Los métodos que se presentan reciben el nombre genérico de aproximaciones sucesivas, los cuales desarrollan su convergencia mediante la aplicación de una fórmula de recurrencia. Se les da este nombre porque a partir de una primera aproximación, se obtiene otra aproximación mejor, en general, más cercana a la solución. Desde luego que, aunque reciben tal nombre, cuando el método converge, la solución es tan satisfactoria como la solución exacta, siendo la única limitación la exactitud proporcionada por el número de dígitos empleados en el cálculo, o sea que, depende del error por redondeo o por truncamiento que se admita. A continuación se describen los métodos: Aproximaciones sucesivas, Bisección, Monte Carlo, Falsa Posición, Newton-Raphson, Newton Modificado y Secante. Estos métodos son aplicables tanto a ecuaciones algebraicas y trascendentes como a ecuaciones no lineales; es decir, se podrán solucionar, ecuaciones como las listadas en la página anterior. Sin embargo, si la ecuación a resolver, no tiene respuesta en los reales, el mejor método fallará, ya que los métodos que se presentan están estructurados para encontrar las raíces reales de una ecuación. A modo de sugerencia se señala que, en las aplicaciones a problemas reales, una buena dosis de experiencia será un apoyo de decisión importante, ya que, las soluciones resuelven, algebraicamente una ecuación, pero no toman en cuenta las situaciones reales del problema. 3.3 Método de aproximaciones sucesivas Este método consiste en proponer un valor inicial – aproximado a la solución - y, a partir de él obtener un valor mejorado de la raíz que es sometido a una prueba de convergencia, es decir, de aproximación y, si dicha prueba es superada, entonces, el valor obtenido es la respuesta buscada; en caso de que no se cumpla la condición de convergencia, con el nuevo valor se repite el proceso, tantas veces como sea necesario. Para derivar una ecuación recursiva que permita realizar este proceso, se plantea la siguiente estrategia. La ecuación (3-1) no cambia si se suma, miembro a miembro, el término “x”, quedando: x x f x + = ) ( (3-2) 24 si el miembro derecho es otra función que se define como g(x), entonces ecuación (3-2) se transforma en: ) (x g x = (3-3) Es notorio que cualquier ecuación de la forma (3-1) puede expresarse como ecuación (3-3). Como se ha dicho con anterioridad, si x = x r es una raíz, entonces se cumplirá que f(x r ) = 0 por lo que ecuación (3-3) queda: ) ( r r x g x = (3-4) Este método consiste en sustituir un valor inicial de la variable independiente x 0 , aproximado a la raíz, en el segundo miembro de ecuación (3-3). Si este valor propuesto es la raíz, resultará que se cumple (3-4), o sea que, ) ( 0 0 x g x = En las aplicaciones es difícil que lo anterior ocurra en x = x 0 , ya que, el valor inicial propuesto es solo, en el mejor de los casos, un valor cercano a la raíz, por tanto resultará que esto no siempre se cumple la primer vez, por lo que, puede escribirse, ) ( 0 0 x g x = o más propiamente, ) ( 0 1 x g x = donde x 1 será la nueva aproximación de la raíz. Si ahora se sustituye x 1 en el segundo miembro de (3-3), se obtendrá un valor más cercano a la raíz. Como esta es la segunda sustitución que se hace, puede escribirse, ) ( 1 2 x g x = tomando en cuenta que se repite el proceso, pero ahora con x 2 , para obtener x 3 , luego con x 3 para generar x 4 y, así sucesivamente, hasta sustituir x n para obtener x n+1 ; entonces el proceso descrito, se puede generalizar con la ecuación, 25 ) ( 1 n n x g x = + (3-5) La ecuación (3-5) es la ecuación recursiva del método numérico de aproximaciones sucesivas. El diagrama de flujo de este proceso iterativo, se muestra en figura D3.1. Fig. D3.1 Diagrama de flujo del método de aproximaciones sucesivas Un criterio sano de convergencia es que la diferencia, en valor absoluto, entre dos valores consecutivos, proporcionados por este proceso, será cada vez más pequeña, es decir, x n+1 será cada vez más cercano a x n , sin embargo, puede medirse dicha convergencia con ecuación (2-4), cuando se haya prefijado el error tolerable. inicio f (x), x 0 , c Hacer x = x 0 Calcular g(x) = f(x) +x ¿ x =g(x)? Escribir x si no fin 26 Finalmente, el estudiante debe saber que este método no siempre converge, por lo que, no será un error de cálculo el hecho de que encuentre, en algunos casos, esta situación; tampoco se tiene la certeza de que el problema no tenga solución real. Cuando esto ocurra, se recomienda el uso de otro método numérico y hacer un bosquejo del problema que se esté resolviendo; por lo que este método se presenta como un elemento de conocimiento, para el estudioso. Ejemplo 3.1 Obtener una raíz, por el método de aproximaciones sucesivas, de la ecuación. x e x f x ÷ = ÷ ) ( (Fig. E3.1) Solución. Sumando x, miembro a miembro, la ecuación toma la forma (3-5): n x n e x ÷ + = 1 proponiendo un valor inicial de x 0 = 0, el valor de x 1 = e -0 = 1. Como este valor calculado es diferente al valor supuesto, entonces, x 1 no es una raíz y, se repite el proceso, ahora con x 1 para obtener x 2 = e -1 = 0.3679; repitiendo con x 2 , se obtiene, para x 3 , = e -0.3679 = 0.6922 y, así, sucesivamente. La convergencia se obtuvo para x = 0.5671, confirmando lo indicado por la gráfica del ejemplo. Ejemplo 3.2 Por el mismo método, obtener una raíz de la ecuación: 1 2 1 ) cos( ) ( + ÷ = x x x f (Fig. E3.2) Solución. La forma recursiva es, en este caso: 1 2 1 ) cos( 1 + + = + n n n x x x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 V a l o r e s d e f ( x ) Valores de x Figura E3.1 27 iniciando con x 0 = 0, se obtiene: 2 1 ) 0 ( 2 1 ) 0 cos( 1 = + + = x 584 . 1 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 cos( 2 = + + = x Los siguientes valores son: 1.779,…, 1.714, 1.714 entonces, x = 1.714 radianes (valor que se repite) es una raíz 3.4 Método de Bisección o de Bolzano Éste es un método sencillo, pero lentamente convergente, para determinar un cero de f(x), cuando ésta es continua. Se basa en el teorema del valor intermedio para funciones continuas, según el cual un intervalo [a, b] en cuyos puntos extremos f tiene signos opuestos, por ejemplo f(a) > 0, f(b) < 0, debe contener un cero de f [figura 3.2]. Esto sugiere el método de bisección repetida del intervalo y, en cada paso, tomar aquella mitad que también satisfaga esa condición. De donde, se tiene el algoritmo que sigue: Algoritmo: Método de Bisección Cuando es dada una función f(x) continua sobre un intervalo [a 0 , b 0 ] y que satisface f(a n ).f(b n ) < 0 Para n = 0, 1, 2, … y hasta terminar: Calcular ( ) n n b a c + = 2 1 Si f(c) =0, acéptese c como una solución y deténgase el procedimiento, en caso contrario, continúese. Si f(a n ).f(c) < 0, hágase a n+1 = a n , b n+1 = c. De lo contrario a n+1 = c, b n+1 = b n . Entonces, f(x) = 0 para algún x en [a n+1 , b n+1 ]. Prueba de terminación. Si f( c) ± 0, entonces compárese el error relativo de dos iteraciones consecutivas de “c” y si, es menor que cierta tolerancia deténgase el proceso. -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 4 5 6 V a l o r e s d e f ( x ) Valores de x Figura E3.2 28 ? 1 1 c < ÷ + + n n n c c c En figura D3.2 se muestra la rutina de este método. Fig. D.3.2 Diagrama de flujo del método de Bisección inicio a, b, c Calcular f(a) y f(b) f(a)*f(b) < 0 ? no Calcular ) ( 2 1 b a c + = si Sea F = f(c) ? c s F F*f(a) < 0 ? no si Escribir x fin si b = c a = c c es el error admisible. x = c 29 La exactitud de una respuesta depende de la aplicación real del problema; por ejemplo, si la solución representa la superficie de un terreno y la unidad de medida es el metro, con sólo un decimal exacto se tendría una excelente aproximación; sin embargo, si el problema a resolver representa, en la situación real, la medida del diámetro de un pistón de un automotor, entonces, seguramente, si el metro es la unidad de medida, una aproximación al milímetro será requerida, es decir, aquí se exigirían, al menos, tres decimales exactos; etc. Ejemplo 3.3 Encontrar, por el método de bisección, una raíz de la siguiente ecuación. Presente el resultado con tres decimales exactos. f(x) =x 3 –1.412x 2 +0.098 (Fig. E3.3) Solución. Se proponen los valores: a = 0 y b = 1; obteniendo: f(a) = f(0) = (0) 3 –1.412(0) 2 + 0.098 = 0.098 y f(b) = f(1) = (1) 3 –1.412(1) 2 + 0.098 = -0.314. Puesto que f(a) y f(b) tienen signos diferentes, se cumple la condición de arranque, por lo que en el intervalo [0, 1] existe una raíz real. Ahora, c = ½( 0 + 1 ) = 0.50, con lo que f(c) = f(0.5 ) = -0.4830. De acuerdo a este resultado, f(c) está muy lejano de cero, pero como tiene el mismo signo que f(b), se cambia b por el valor de c y se repite el proceso, es decir: c = ½( 0 + 0.5 ) = 0.25 y f(c ) = f( 0.25 ) = 0.02538. En esta ocasión se cambia a por c; esto es, para la siguiente iteración a = 0.25 y b = 0.50, obteniendo c = 0.375 y f(c) = f(0.375) = -0.04783. Este resultado obliga a cambiar b, etc. La convergencia se obtuvo para c = 0.2964, correspondiendo a la primer raíz positiva de la ecuación. f ( x ) x Fig. 3.2 método de BISECCIÓN f(x) f(a) f(b) a b c -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 V a l o r e s d e f ( x ) Valores de x Figura E3.3 30 Ejemplo 3.4 Resolver, por el método de bisección, la ecuación: 01 . 0 ) 01 . 0 2000 05 . 0 cos( ) ( 2 005 . 0 ÷ ÷ = ÷ R e R f R (Fig.E3.4) Solución. Se propone a = 0.0 y b = 400; por consiguiente, f(a) = 01 . 0 ) ) 0 ( 01 . 0 2000 05 . 0 cos( 2 ) 0 ( 005 . 0 ÷ ÷ ÷ e = - 0.6273 f(b) = f(400) = 01 . 0 ) ) 400 ( 01 . 0 2000 05 . 0 cos( 2 ) 400 ( 005 . 0 ÷ ÷ ÷ e = 0.0631. De acuerdo a los resultados obtenidos, existe una raíz en [0, 400]. Es notorio que más cerca de 400 que de cero. El punto medio es c = 200 y con este valor se tiene que f(c) = f(200) = - 0.1631, por lo que el cambio debe ser para a = c = 200, debido a que f(a) fue negativo y b no cambia en la presente iteración. El resumen de estos resultados es: a b f(a) f(b) c f(c) cambia 0.0000 400.0000 -0.62727 0.06312 200.00000 -0.1630919 a 200.0000 400.0000 300.00000 -0.0295026 a - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 328.1250 328.2227 328.17383 0.0000223 b 328.1250 328.1738 328.14941 -0.0000020 a Por lo que, una raíz aproximada es R = 328.14941 radianes. 3.5 Método de Falsa Posición (Regula falsi) En el método de falsa posición (regula falsi) para resolver f(x) = 0, se aproxima la curva de f mediante una cuerda, como se muestra en figura 3.3. Esta cuerda se interseca con el eje x en el punto a 1 = c, dado por: -0.40 -0.35 -0.30 -0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0 100 200 300 400 500 V a l o r e s d e f ( R ) Valores de R Figura E3.4 31 ) ( . ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 a f a f b f a b a c ÷ ÷ ÷ = (3-6) Figura 3.3 Método de falsa posición (regula falsi) X Y a 0 b 0 a 1 f(a 0 ) f(b 0 ) Este es el primer paso. En el segundo, se detiene el procedimiento si f(c) = 0; si no es así, utilizando el intervalo [a 0 , c], si f(a 0 ).f( c) < 0 ó [c, b 0 ], si f(a 0 )f(c ) > 0,se determina la intersección de la cuerda correspondiente como se hizo con anterioridad, y así sucesivamente. Este método siempre es convergente para funciones continuas pero, por lo general, sólo es de primer orden. Algoritmo: Método de falsa posición Dada una función f(x) continua sobre un intervalo [a 0 , b 0 ] y tal que f(a 0 )f(b 0 ) < 0. Para n = 1, 2, … y hasta terminar: Calcúlese ) ( . ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 a f a f b f a b a c ÷ ÷ ÷ = - Si f(c) = 0, acéptese c como una solución y deténgase el procedimiento. En caso contrario, continúese. - Si f(a n ).f( c) < 0, hágase a n+1 = a n , b n+1 = c. De lo contrario, a n+1 = c, b n+1 = b n . - Entonces, f(x) = 0 para algún x en [a n+1 , b n+1 ]. 32 - Prueba de terminación. Como el método siempre converge, si f( c) ± 0, entonces compárese el error relativo de dos iteraciones consecutivas de “c” y si, es menor que cierta tolerancia deténgase el proceso. - ? 1 1 c < ÷ + + n n n c c c En figura D3.3 se muestra el diagrama de flujo de este método. Fig. D.3.3 Diagrama de flujo: método FALSA POSICION inicio a, b, c Fa=f(a) Fb=f(b) Fa*Fb < 0 ? no ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ = Fa Fb Fa a b a c ) ( si F = f(c) ? c s F Fa*f(a)< 0 ? no si Escribir x fin si b = c a = c c es el error tolerable. Fb=F no Fa=F Hacer: x = c 33 Ejemplo 3.5 El movimiento de una estructura se define, para una oscilación amortiguada, mediante la ecuación: ) cos( 10 wt e y kt ÷ = (Fig. E3.5) donde k =0.50 y w = 2. Obtenga una raíz aplicando el método de Falsa Posición. Solución. De acuerdo a la gráfica, la primer raíz positiva puede encontrarse con los valores: a = 0 y b = 1.5; con los que se obtiene, f(a)= 00 . 10 )) 0 ( 2 cos( 10 ) 0 ( 5 . 0 = ÷ e y f(b) = 6764 . 4 )) 5 . 1 ( 2 cos( 10 ) 5 . 1 ( 5 . 0 ÷ = ÷ e ; es decir, se cumple la condición f(a)*f(b) < 0. El valor de t, según ecuación (3-7) es, 0220 . 1 10 6764 . 4 ) 10 ( * ) 0 5 . 1 ( 0 ) ( ) ( ) ( * ) ( = ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ = a f b f a f a b a t f(t)= 7344 . 2 )) 022 . 1 ( 2 cos( 10 ) 022 . 1 ( 5 . 0 ÷ = ÷ e por ser f(t) de signo negativo, cambia b y el valor de a, no cambia para la siguiente iteración. El valor de t es ahora t = 0.8023 y f(0.8023) = - 0.2300; nuevamente cambia b = 0.8023, etc. Los resultados a que se llegó se muestran en la tabla siguiente: a b f(a) f(b) t f(t) cambia 0.000 1.500 10.000 -4.676 1.022 -2.734 b 0.000 1.022 10.000 -2.734 0.803 -0.230 b 0.000 0.803 10.000 -0.230 0.785 0.012 a 0.785 0.803 0.012 -0.230 0.785 0.000 b 0.785 0.785 0.012 0.000 0.785 0.000 De acuerdo a los datos anteriores, una raíz es t = 0.785 segundos. -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.5 34 Ejemplo 3.6 Encuentre una raíz positiva de la ecuación ) ( 5 . 0 ) ( x sen x x f ÷ = , Fig. E3.6. Use el método de Falsa Posición, con a = 1.5 y b = 2.5, para probar la condición inicial. Solución. Para a = 1.5, f(a) = ) 5 . 1 ( ) 5 . 1 ( 5 . 0 sen ÷ = -0.2475 y con b = 2.5, f(b) = 0.6515. Por ser, estos valores de signos contrarios, se cumplió la condición de arranque y se obtuvo, de ecuación (3-7), c = 1.7753 radianes, por consiguiente, f(c) = ) 7753 . 1 ( ) 7753 . 1 ( 5 . 0 sen ÷ = - 0.0915. De acuerdo a este resultado, el valor actual de a debe cambiar por el valor de c, así que a = 1.7753 radianes y puesto que b no cambia, se tiene que b = 1.50 radianes. Continuando de esta forma, se llegó a los resultados que se muestran en la siguiente tabla. a b f(a) f(b) C f(c) Cambia 1.500 2.500 -0.247 0.652 1.775 -0.092 a 1.775 2.500 -0.092 0.652 1.865 -0.025 a 1.865 2.500 -0.025 0.652 1.888 -0.006 a 1.888 2.500 -0.006 0.652 1.894 -0.001 a 1.894 2.500 -0.001 0.652 1.895 0.000 a 1.895 2.500 0.000 0.652 1.895 0.000 a Una raíz es x =1.895 radianes, debido a que este valor se repite y, además, hace que f(x) sea igual a “cero”, como se observa en el último renglón. 3.6. Método de Monte Carlo Otra variante de los dos métodos anteriores es el método de Monte Carlo. Éste, parte de los mismos principios que aquellos; es decir, se requiere de dos puntos de apoyo, uno a y el otro b, de tal manera que f(a) y f(b) tengan signos distintos, para que cumplan la condición de arranque dada en figuras 3.2 y 3.3. La secuencia de cálculo es la misma que en los dos métodos vistos, sólo cambia la manera de estimar el valor de “c”, el cual se calcula como función de a y b, así como de un número aleatorio, según ecuación (3-7) El proceso de este método es como se describe a continuación: -1 0 1 1 2 2 3 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.6 35 1. Dados a y b, tales que f(a).f(b) < 0; se escoge un número aleatorio, x al , con distribución de probabilidad uniforme, que se encuentre entre cero y 0.99 (estos números pueden, inclusive, generaqrse con una calculadora). 2. Se calcula c con la fórmula, ) ( a b x a c al ÷ + = (3-7) 3. Al igual que en los dos métodos anteriores, se calcula f(c) para comparar su valor con cero o la tolerancia, c. Si es diferente de él o no cumple con la tolerancia, en el error, prefijada, entonces, se hace el cambio adecuado – tal y como se realizó en el método de bisección - y se repite el proceso a partir del paso 2, hasta que se encuentre la solución. El diagrama de flujo es similar al dado en Fig. D3.1, sólo debe cambiarse el bloque que indica el cálculo de c, el cual se sustituye por ecuación (3-7). Ejemplo 3.7 Encuentre una raíz positiva de f(x) = tan(x) –2x, por el método de Monte Carlo (Fig. E3.7). Use x al = 0.5361 y el resultado debe tener tres decimales exactos. Solución. Para garantizar tres decimales exactos, la tolerancia debe ser c =0.0001. Si a = 1 y b = 1.5, se tiene: f(a)=f(1 ) = tan(1)-2(1) = -0.4426 y f(b) = f(1.5 )= tan( 1.5 ) –2(1.5) = 11.1014 Se observa que los valores propuestos son adecuados, ya que f(a).f(b) < 0; por lo que, c = 1+ 0.5361(1.5-1) = 1.268 y f(1.268) = 0.665, quedando el segmento [1, 1.268], para la siguiente iteración. Ahora c = 1.144 y f(1.44) = -0.090, entonces el segmento donde se encuentra una raíz es [1.144,1.268], etc. Continuando con el proceso descrito se llegó, manualmente, a los siguientes resultados: A b f(a) f(b) c f(c) cambia 1.000 1.500 -0.443 11.101 1.268 0.665 B 1.000 1.268 1.144 -0.090 A -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.7 36 1.144 1.268 1.210 0.233 B 1.144 1.210 1.179 0.065 B 1.144 1.179 1.163 -0.012 A 1.163 1.179 1.172 0.028 b 1.163 1.172 1.168 0.009 b 1.163 1.168 1.165 -0.001 a 1.165 1.168 1.167 0.005 b 1.165 1.167 1.166 0.002 b 1.165 1.166 1.166 0.001 b En este caso una raíz, aproximada, es x = 1.166 Ejemplo 3.8 Encontrar una raíz de la ecuación f(x) = x – 4sen(x), por el método de Monte Carlo (Fig. E3.8). Solución. Se probó con a = 1 y b =2; con los que se obtuvo f(a) = 1-4seno(1) = -2.366 y f(b) = -1.637. Al no cumplirse la condición de arranque, se propusieron otros valores, siendo a = 2 y b =3. Se obtuvo, f(a) =-1.6372 y f(b) = f(3) = 2.4355. De acuerdo con estos resultados, en el segmento |2,3| se debe encontrar una raíz. Usando x al = 0.2850 y siguiendo el mismo proceso que el ejemplo anterior, se obtuvo una raíz en c = 2.474 radianes; algunas iteraciones se muestran abajo. a B f(a) f(b) C f(c) Cambia 2.000 3.000 -1.637 2.436 2.285 -0.737 a 2.285 3.000 -0.737 2.436 2.489 0.059 b 2.285 2.489 -0.737 0.059 2.343 -0.522 a 2.343 2.489 -0.522 0.059 2.385 -0.362 a 2.385 2.489 -0.362 0.059 2.414 -0.245 a 2.473 2.475 -0.005 0.001 2.474 -0.003 a 2.474 2.475 -0.003 0.001 2.474 -0.002 a 2.474 2.475 -0.002 0.001 2.474 -0.001 a 2.474 2.475 -0.001 0.001 2.474 0.000 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.8 37 3.7. Método de Newton – Raphson Considere un punto x 0 , el cual no es una solución de la función f(x), pero es razonablemente cercano a una raíz. Expandiendo f(x) en una serie de Taylor alrededor de x 0 , queda. + + ' ' ÷ + ' ÷ + = ... ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 0 0 0 x f x x x f x x x f x f (3-8) Si f(x) = 0, entonces, x es una raíz y el lado derecho de ecuación (3-8) constituye una ecuación para obtener esa raíz. Desafortunadamente, la ecuación (3-8) es un polinomio de grado infinito. Sin embargo, un valor aproximado de la raíz x puede ser obtenido, tomando solamente los dos primeros términos de la serie anterior, quedando, ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 x f x x x f ' ÷ + = Resolviendo para x, se tiene, ) 0 0 0 ( ) ( x f x f x x ' ÷ = (3-9) Ahora x representa una mejor aproximación de la raíz y puede reemplazarse por x 0 en ecuación (3-9), para proporcionar una raíz más exacta, en la siguiente iteración. La expresión general de este método puede, por consiguiente, escribirse como: ) ( ) ( 1 n n n n x f x f x x ' ÷ = + (3-10) donde el subíndice n denota valores obtenidos en la n-ésima iteración y n+1 indica valores encontrados en la iteración (n+1). Este proceso iterativo convergerá a la raíz para la mayoría de las funciones y, sino converge, será por su extremada rapidez. El diagrama de flujo de este método, se muestra en Fig. D3.4. El proceso es terminado cuando la magnitud de cambio, calculado en el valor de la raíz, h, es más pequeño que alguna cantidad c predeterminada. Esto hace que dos valores consecutivos de la variable independiente se repitan. 38 No obstante su rápida convergencia, el método de Newton tiene algunas dificultades con ciertos tipos de funciones. Estas dificultades pueden superarse y hacer un uso más inteligente de este poderoso método, considerando una interpretación gráfica del proceso. La Fig. 3.4 muestra la primer iteración para una función típica. La siguiente suposición para la raíz x 1 , es la intersección con el eje x de una línea recta tangente a la función en el punto de coordenadas (x 0 , f(x 0 )) El valor de x 1 es más cercano a la raíz que el valor supuesto inicialmente x 0 y, es claro que iteraciones sucesivas convergerán rápidamente a la raíz. FIG. D3.4 Diagrama de flujo para el método de Newton Raphson x 0 , c x = x 0 Fun = f(x) Df = f „(x) h = - Fun/Df x = x + h ¦h¦sc ? Escribir x si Inicio Fin f ( x ) x Fig. 3.4 Primer iteración del método de Newton R. x o f(x o ) x 1 39 Ahora considere la siguiente función simple oscilatoria (Fig. 3.5). La primer suposición x 0 , es razonablemente cercana a la raíz A. Sin embargo, la línea tangente corta al eje de las abscisas en x 1 , la cual es cercana a la raíz B. La siguiente iteración produce x 2 , y es claro que el método de Newton, en un valor inicial no cercano a una raíz, puede resultar convergente para una raíz distante. No hay una forma simple para evitar este tipo de comportamiento con ciertas funciones. Sin embargo, un bosquejo superficial o tabulación de la función discutida anteriormente, por lo general será suficiente para permitir la primer suposición en la cual el método eventualmente dará las raíces deseadas, es decir, x 0 deberá proponerse lo más cercano posible a la raíz deseada. En cualquier caso, esos puntos asegurarán que el programador está conciente de cualquiera de las raíces, para las cuales el método puede haber fallado. El método de Newton también tiene una tendencia a caer en un máximo o en un mínimo de una función y, entonces, la tangente de pendiente cero se dirige fuera de la región de interés, ya que es paralela al eje x. El algoritmo puede también ocasionalmente oscilar hacia atrás o hacia delante, entre dos regiones que contienen raíces para un número bastante grande de iteraciones, encontrando después una u otra raíz. Estas dificultades pueden ser evitadas fácilmente con algún conocimiento previo del comportamiento de la función. Desde luego, si la función no oscila, como la descrita en figura 3.5, entonces, el método de Newton, encontrará una raíz sin mayor dificultad, siguiendo la rutina dada en el algoritmo D3.4. Fig. 3.5 Función oscilatoria X f ( x ) A B x 0 x 1 x 2 40 Ejemplo 3.9 Encuentre una raíz de la ecuación 2 10 ) ( 2 + ÷ = x e x f x , usando el método de Newton. Solución. Puesto que f „(x) = e x –20x. Iniciando con un valor de x 0 = 0.0, se calculó la función y derivada, respectivamente, obteniendo: 2 10 ) ( 2 0 0 0 + ÷ = x e x f x 00 . 3 2 ) 0 ( 10 2 0 = + ÷ = e f „(x 0 ) = e 0 –20(0)= 1.00 00 . 3 1 3 ) ( ) ( 0 0 ÷ = ÷ = ' ÷ = x f x f h N y de ecuación (3-10), se concluye que el valor aproximado de x, es: 00 . 3 00 . 3 00 . 0 ) ( ) ( 1 0 0 0 1 0 ÷ = ÷ = = ' ÷ = + x x f x f x x como el valor absoluto de h N (3.00), es muy grande, entonces x = -3.00 no es una raíz y se repite el proceso deteniéndolo cuando dos valores consecutivos se repitan. La tabla siguiente muestra los resultados obtenidos. x f(x) f´(x) h 0.0000 3.0000 1.0000 -3.0000 -3.0000 -87.9502 60.0498 1.4646 -1.5354 -21.3585 30.9229 0.6907 -0.8447 -4.7051 17.3233 0.2716 -0.5731 -0.7203 12.0252 0.0599 -0.5132 -0.0348 10.8620 0.0032 -0.5100 -0.0001 10.7998 0.0000 -0.5100 0.0000 10.7996 0.0000 -0.5100 --- raíz -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.9 41 Ejemplo 3.10 Resolver la ecuación f(x) = e -x/4 (2-x)-1 (Fig. E3.10), por el método de Newton Raphson. Obtenga el resultado con cuatro decimales exactos. Solución. Como en el caso anterior, la primer derivada de esta ecuación es, ) 6 ( 4 1 ) ( 4 ÷ = ' ÷ x e x f x Para manejar cuatro decimales exactos, se requiere que la tolerancia sea c=0.00001. Con esta aclaración, se iniciaron cálculos similares al ejemplo anterior y se obtuvo, con x 0 = 0 f(x 0 ) = e -0/4 (2-0)-1=1.0000 5000 . 1 ) 6 0 ( 4 1 ) ( 4 0 0 ÷ = ÷ = ' ÷ e x f 66667 . 0 5 . 1 1 ) ( ) ( 0 0 = ÷ ÷ = ' ÷ = x f x f h N 6667 . 0 66667 . 0 0 ) ( ) ( 1 0 0 0 1 0 = + = = ' ÷ = + x x f x f x x De acuerdo al algoritmo dado en Fig. D3.4, se observa que 0.6667, que es el valor absoluto de h N , no es menor que 0.00001, por lo que, se repite el proceso con x 1 , llegando a, f(x 1 ) = e -0.6667/4 (2-0.6667)-1=0.12 y 1290 . 1 ) 6 6667 . 0 ( 4 1 ) ( 4 6667 . 0 1 ÷ = ÷ = ' ÷ e x f -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.10 42 1140 . 0 ) ( ) ( 1 1 = ' ÷ = x f x f h N ; 7806 . 0 1140 . 0 6667 . 0 ) ( ) ( 2 1 1 1 1 1 = + = = ' ÷ = + x x f x f x x nuevamente se nota que 0.114 es mayor que el error, por lo que, se debe repetir el procedimiento, pero ahora con x = 0.7806. Puede probarse que siguiendo este proceso se llega, finalmente a la raíz de x = 0.7836. 3.8. Método de Newton – Modificado La dificultad del método de Newton Raphson, en el comportamiento de una función con raíces múltiples obliga a considerar una modificación del método discutido por Ralston. Como primero se desean encontrar las raíces de una función f(x). Definimos una función nueva U(x), dada por: ) ( ) ( ) ( x f x f x U ' = (3-11) Se observa que la función U(x) tiene las mismas raíces que f(x), debido a que, cuando f(x) es igual a cero, entonces U(x) se vuelve cero. Suponiendo ahora que f(x) tiene una raíz múltiple en x = c de multicidad r. | Esto podría ocurrir, por ejemplo, si f(x) contiene un factor (x-c) |. Entonces, podría fácilmente demostrarse que U(x) tiene una raíz en x = c de multicidad r, o una raíz simple. Puesto que el método de Newton Raphson es efectivo para raíces simples, podemos aplicar el método de Newton para resolver U(x) en lugar de f(x). De esta manera, la ecuación recursiva de este método queda, ) ( ) ( 1 n n n n x U x U x x ' ÷ = + (3-12) derivando la función auxiliar U(x), dada por ( 3-11),queda, | | 2 ) ( ) ( ). ( 1 ) ( x f x f x f x U n ' ' ' ÷ = ' (3-13) 43 El algoritmo de este método es idéntico al mostrado en Fig.D3.4, sólo se sustituye el bloque de f(x) por U(x) y f „(x) por U „(x); conservando el mismo rango de convergencia que el método referido, siendo indiferente de la multicidad de la raíz. Ejemplo 3.11 Resolver, por el método de Newton modificado, con una exactitud de tres decimales exactos, la siguiente ecuación, 1 ) cos( ) ( 2 + ÷ + = x e x x f x (Fig. E3.11) Solución. La ecuación (3-12) exige las dos primeras derivadas de f(x), las cuales son, en este caso: f „(x) =-sen(x) + e x –2x f “(x) = -cos(x) + e x -2 proponiendo x 0 = 1, se obtuvieron los siguientes valores, para la primer iteración: f(x) =cos(1) + e 1 – (1) 2 + 1 = 3.2586 f „(x) = -sen(1) + e 1 –2(1) = -0.1232 f “(x) = -cos(1) + e 1 –2 = 0.1780 ahora, de ecuaciones ( 3-11) y ( 3-13) se tiene, 4519 . 26 123 . 0 259 . 3 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 ÷ = ÷ = ' = x f x f x U | | 2168 . 37 ) 123 . 0 ( ) 178 . 0 )( 259 . 3 ( 1 ) ( ) ( ). ( 1 ) ( 2 2 0 0 0 0 ÷ = ÷ ÷ = ' ' ' ÷ = ' x f x f x f x U 7108 . 0 2168 . 37 4519 . 26 ) ( ) ( 0 0 ÷ = ÷ ÷ ÷ = ' ÷ = x U x U h y de ecuación ( 3-12), el nuevo valor de x es, 44 2892 . 0 2168 . 37 4519 . 26 1 ) ( ) ( 0 0 0 1 0 = ÷ ÷ ÷ = ' ÷ = + x U x U x x Tomando en cuenta la prueba de convergencia; se observa que el valor absoluto del cociente U(x 0 )/U„(x 0 ) = 0.7108 es mayor que el error admisible, se concluye que el valor de x 1 obtenido, no es la raíz y, en consecuencia, se repite el proceso a partir de x 1 , llegando, ahora, al os siguientes resultados, f(x 1 ) = 3.2102 f „(x 1 ) = 0.4717 f “(x 1 ) = -1.6230 U(x 1 ) = 6.8057 U´(x 1 ) = 24.4175 h = 0.2787 y x 2 = 0.0105 Nuevamente se observa que el valor absoluto de h es muy grande y se repitió el procedimiento, descrito, pero ahora con x 1 = 0.0105, para obtener x 2 , después con x 2 para estimar x 3 , etc. llegando la siguiente raíz: x = -1.2605. Ejemplo 3.12 Con el uso del método de Newton Modificado, encuentre una raíz de la ecuación, f(x) = cos(x)cosh(x)-1 (Fig. E3.12) Solución. Como en el caso anterior, se obtuvieron las dos primeras derivadas de f(x) y se propusieron dos valores diferentes de x para encontrar dos raíces, por ejemplo, para Iniciando con x 0 = 5, se obtuvo: f(x) = cos(x)cosh(x)-1 = 20.0506 f „(x) = cos(x)senh(x)-sen(x)cosh(x) = 92.2104 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 -2 -1 0 1 2 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.11 45 f”(x) = -2sen(x)senh(x) = 142.3105 U(x= = 0.2174 U´(x) = 0.6644 h = -0.3273 etc. x f(x) f´(x) f´´(x) U U´ h 5.0000 20.0506 92.2104 142.3105 0.2174 0.6644 -0.3273 4.6727 -3.1212 51.3364 106.8958 -0.0608 1.1266 0.0540 4.7267 -0.1922 57.2673 112.9015 -0.0034 1.0066 0.0033 4.7300 -0.0006 57.6443 113.2725 0.0000 1.0000 0.0000 4.7300 raíz -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.12 3.9. Método de la secante Este método es, esencialmente, una modificación del método convencional de Newton - Raphson con la derivada reemplazada por una expresión diferente. Esto es ventajoso, si la función a resolver es difícil de derivar y, desde luego que, es también conveniente para programar, en el sentido de que solamente es necesario suplir un subprograma de función en el método, en lugar de subprogramas para ambas, función y derivada. Reemplazando la derivada en ecuación (3- 9), por el 46 concepto elemental de tangente – recuerde, tangente es igual a la primer derivada- resulta, por lo que: | | n n n n n n D x f x f x f x x / ) ( ) ( ) ( 1 1 ÷ + ÷ ÷ = (3-14) donde D n = x n – x n-1 . Fig. 3.6 Método de la SECANTE X f ( x ) Para usar este método, f(x n-1 ) y f(x n ) deben ser conocidas. El primero es el valor de la función dos iteraciones anteriores a la presente. Puesto que no hay tal valor, serán disponibles para la primer iteración, dos valores iniciales supuestos, cercanos entre ellos, que denominaremos x 0 y x 00 , para los cuales se han calculado los valores numéricos de las funciones, como se muestra en figura 3.6, que deberán ser proporcionados al algoritmo (Fig.D3.5). Para la mayoría de las funciones, el método de la secante no convergerá tan rápido como el método convencional de Newton, pero su ventaja es un tanto más importante por la velocidad decreciente de la convergencia. Si la primer derivada de f(x) consume mucho tiempo para su evaluación, este método puede requerir menos tiempo de cómputo que el método de Newton. La primer iteración de este método se muestra en figura 3.6, donde se ha iniciado con los valores x 00 y x 0 , el cuál aproxima la raíz a x 1 , como el cruce de la recta secante con el eje x. En la siguiente iteración se elimina x 00 y f(x 00 ), entrando x 1 con f(x 1 ), para hacer pareja con el punto [x 0 , f(x 0 )], que definirán la nueva tangente. Esta recta cortará al eje x en x 2 , la cual x 00 x 0 f(x 00 ) f(x 0 ) raíz f(x) 47 es la segunda aproximación a la raíz. Si este valor no es la solución, se elimina el punto [x 0 , f(x 0 )], quedando ahora, los puntos [x 1 , f(x 1 )] y [x 2 , f(x 2 )], por donde se trazará la nueva tangente que, obviamente, permitirá encontrar x 3 , etc. Fig. D3.5 Diagrama de flujo para el método de la secante x 00 , x 0 , c o = x 0 – x 00 x = x 0 FAN=f(x 00 ) FAC= f(x) o u FAN FAC tg ÷ = o= - FAC/tgu x = x+o |o|sc ? x si no inicio FIN FAN=FAC 48 Ejemplo 3.13 Encuentre al menos una raíz, usando el método de la secante, de la ecuación, 25 . 31 5 2 5 ) 5 . 1 5 ( ) 5 . 1 5 ( ) ( 3 2 ÷ ( ¸ ( ¸ + + + = y y y y y y f Solución. Desarrollando el proceso dado en el diagrama de flujo (Fig. D3.5), se tiene: Paso 1. Sea y n-1 = 4 e y n = 4.5 Paso 2. f(y n-1 ) = f(4) = 647 . 44 25 . 31 ) 4 ( 6056 . 3 5 ) 4 ))( 4 ( 5 . 1 5 ( ) 4 ))( 4 ( 5 . 1 5 ( 3 2 = ÷ ( ¸ ( ¸ + + + f(y n ) = 917 . 65 25 . 31 ) 5 . 4 ( 6056 . 3 5 ) 5 . 4 ))( 5 . 4 ( 5 . 1 5 ( ) 5 . 4 ))( 5 . 4 ( 5 . 1 5 ( ) 5 . 4 ( 3 2 = ÷ ( ¸ ( ¸ + + + = f Paso 3. tan(u)= 5409 . 42 5 . 4 4 917 . 65 647 . 44 ) ( ) ( 1 1 = ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ n n n n y y y f y f Paso 4. El cociente de 5495 . 1 5409 . 42 917 . 65 ÷ = ÷ = s h Paso 5. El nuevo valor de y es: 9505 . 2 ) 5495 . 1 ( 5 . 4 1 = ÷ + = + = + s n n h y y Paso 6. El valor absoluto de h s (1.5495) es muy grande, concluyendo que y = 2.9505 no es una raíz, por lo que se repetirá el proceso eliminando el valor más lejano de la variable independiente (y = 4.00); es decir, con los valores de y = 4.5 e y = 2.9505, llegando, en esta ocasión, a los siguientes resultados, f(4.5) = 65.9167 f(2.9505) = 9.5722 tan(u)= 36.3633 hs = - 0.3622 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 0 1 2 3 4 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.13 49 y = 2.6873 Puesto que el valor absoluto de h s , es aún muy grande, se repite el proceso con y = 2.9505 e y = 2.6873, con los que se llegó a, f(2.9505) = 9.5722 f(2.6873) = 2.6661 tan(u)= 26.2349 hs = - 0.1016 y = 2.5856 Al repetir el proceso con y = 2.6873 e y = 2.5856, se obtuvieron los siguientes resultados: f(2.5856) = 0.191; tan(u)= 24.357 y hs = - 0.008, por lo que, y nuevo = 2.578, valor diferente a 2.5856, pero muy cercano a él. Repitiendo el proceso con y = 2.5856 e y = 2.578, se obtuvieron los siguientes valores: f(2.578) = 0.004 tan(u)= 23.803, hs =0.000 y = 2.578 (igual al último de los dos que se usaron), por lo que, esta es una raíz de la ecuación que se propuso resolver, confirmando la gráfica este resultado. Ejemplo 3.14 Resolver, por el método de la Secante, la ecuación (figura E3.14): 12 4 ) 8 ( 4 ) ( 2 + ÷ = x x x f Igual que en el problema anterior, se procedió como sigue: Paso 1. Se propone que x n-1 = 0.0 y x n = 2.00 Paso 2. f(x n-1 ) = 12 4 ) 8 ( 4 0 ) 0 ( 2 + ÷ = 5.00 f(x n ) = 12 4 ) 8 ( 4 2 ) 2 ( 2 + ÷ = 140.00 50 Paso 3. tan(u)= 00 . 2 00 . 0 00 . 140 00 . 5 ) ( ) ( 1 1 ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ n n n n x x x f x f = 67.500 Paso 4. El cociente de ÷ = ÷ = ÷ = 500 . 67 00 . 140 ) tan( ) ( u n s x f h 2.0741 Paso 5. El nuevo valor de x es: = ÷ = + = + 0741 . 2 00 . 2 1 s n n h x x -0.0741 Se observa que el valor absoluto de hs (2.0741) es muy grande, por lo que, se repite el procedimiento, pero ahora con x n = 2.00 y x n+1 = -0.0741. En esta ocasión se obtuvieron los siguientes resultados: Paso 1. Sea x n = 2.0 y x n+1 =-0.0741 Paso 2. f(x n ) = f(2.0) = 140.00 y f(x n+1 ) = f(-0.0741) = 5.5951 Paso 3. tan(u)= ) 0741 . 0 ( 00 . 2 5951 . 5 00 . 140 ) ( ) ( 1 1 ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ n n n n x x x f x f = 64.8024 Paso 4. El cociente de ÷ = ÷ = ÷ = 8024 . 64 5951 . 5 ) tan( ) ( u n s x f h =0.0863 Paso 5. El nuevo valor de x es: = + = + + s n n h x x 1 2 -0.1604 Repitiendo reiteradamente este proceso se llegó a la raíz x = 0.500. Con otro par de valores (x = 1 y x = 1.5), se llegó a la raíz de x = 1.292. -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -2 -1 0 1 2 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E3.14 51 Problemas propuestos 3.1 El tirante normal en un canal de forma trapezoidal, que tiene una pendiente lateral de k = 2 y un ancho en la base de 5 metros, se calcula con la ecuación: 25 . 31 5 2 5 ) 2 5 ( ) 2 5 ( ) ( 3 2 ÷ ( ¸ ( ¸ + + + = y y y y y y f a) Use el método de falsa posición para estimar y, con c = 0.001 b) Aplique el método de la secante, con x 00 = 2 y x 0 = 2.2 y con el mismo error que en el inciso a. 3.2 Resuelva la ecuación, dada en problema 3.1 a) Usando el método de bisección, con una precisión de dos decimales exactos. b) Ahora use el método de Monte Carlo con x al = 0.6981, con la misma precisión que en el inciso anterior. 3.3 Resuelva la siguiente ecuación, por tres métodos diferentes, aceptando un error de c = 0.001: 035 . 3 012 . 0 50 . 12 2 ) ( 2 3 / 2 2 2 ÷ | . | \ | + + = AR Q gA Q y y f para Q = 25 m 3 /s; A =2.5y +0.8y 2 ; R= A/P, donde P = 2.5 +2y 2 1 k + ; k = 0.8 3.4 Localice la raíz positiva de f(x) = 0.5x – sen(x). Use el método de Newton Raphson y el método de la secante. En ambos casos, acepte una tolerancia de 0.0001 3.5 La concentración de la bacteria contaminante C en un lago decrece de acuerdo con la relación: t t e e C 1 . 0 2 20 80 ÷ ÷ + = Determínese el tiempo requerido para que la bacteria se reduzca a 10, usando a) el método gráfico y b) el método de Newton Raphson. Compare resultados. 52 3.6 El movimiento de una estructura se define mediante la siguiente ecuación, para una oscilación amortiguada: ) 2 cos( 10 5 . 0 t e y t + = ÷ a) Úsese el método gráfico, para obtener una estimación inicial del tiempo necesario para que el desplazamiento baje hasta 4. b) Use el método de Newton Raphson para determinar una raíz con un error relativo del 0.01%. c) Aplique el método de la secante para determinar la raíz con el mismo error relativo que se pide en el inciso anterior. 3.7 Una corriente oscilatoria, en un circuito eléctrico, se describe mediante: ) 2 ( 10 t sen e I t t ÷ = en donde t está dado en segundos. Determínense todos los valores de t, tales que I =2. Use dos métodos diferentes para encontrar la solución y compare los resultados. 3.8 Resuelva por dos métodos diferentes, la ecuación: 5 ) cos( 3 ) ( cos 8 ) ( 2 ÷ + = x x x f los resultados obtenidos, se desea que tengan un error relativo igual o menor al 0.01%. 3.9 Aplique tres métodos para resolver la ecuación: 12 4 ) 8 ( 4 ) ( 2 + ÷ = x x x f . Se acepta un error relativo del 0.01%. 3.10 Aplique el método de Newton y, posteriormente, el método de Monte Carlo, para resolver la ecuación: 2 ) ( 3 2 cos 4 ) ( ÷ + | . | \ | = x sen x x f t 53 con un error relativo, para la variable independiente, de 0.0001 3.11 Determine las raíces de la siguiente ecuación, ) ( 2 1 ) ( 3 x sen e x f x ÷ = , usando el método de falsa posición, con una aproximación de tres decimales exactos. 3.12 Resuelva la ecuación dada, por el método de falsa posición y por el de secante, con una tolerancia de tol = 0.0001 ) 3 ( ) cos( 5 ) ( 4 ) ( 2 + + = x Ln x x sen x f 3.13 Aplicando el método de Newton – Raphson, encuentre una raíz de la ecuación, dada en seguida: 751 . 27 572 . 4 315 . 26 2 = + y y 3.14 Mediante el método de secante, resuelva ( para p máx ), la siguiente ecuación: ) 60 )( ( 10 2 6 1 10 1 15000 máx p x máx máx e p p ÷ ÷ | . | \ | ÷ + = 3.15 Haga un programa de computadora, para resolver cualquier ecuación que tenga la forma f(x) = 0. Si lo desea, aplique el programa a cualquier ecuación de las dadas arriba y compare los resultados obtenidos con los cálculos manuales. 3.16 Grafique la siguiente función y encuentre una raíz por dos métodos diferentes. 3.17 ) 2 ( ) 2 ( 4 ) ( 3 / 1 x sen x x f + ÷ = 54 3.18 Mediante el método de secante resuelva la ecuación dada a continuación. ) ( 5 ) 3 ln( 4 ) ( 2 x sen x x x f + + ÷ = 3.19 Aplique el método de Newton Raphson para encontrar una raíz de la ecuación: 1000 ) ( 2 ÷ + = x e x f x 3.20 Aplique el método de Newton Modificado, para encontrar todas las raíces de la ecuación dada con una aproximación de e = 0.001 20 100 2 ) ( 2 3 ÷ + + = x x x x f 3.21 Aplique el método de falsa posición para encontrar una raíz de la ecuación dada con una aproximación de e = 0.001 3 ) 3 ln( ) ( ) ( x x x sen e x f x + + = 3.22 Aplique el método de de la secante para encontrar el diámetro, D, de una tubería sencilla, dada por la ecuación: ( ) | | . | \ | + + ÷ = L N D Log g D C D D f 2 5 ) ( 86 . 8 2 ) ( , con C= H g Q 2 2 8 t para los siguientes datos: Q = 0.062366 m 3 /s, H = 4.00 m, L = 500 m, N = 35 55 Capítulo 4 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.1 Introducción La solución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales, consume una fracción de tiempo de cálculo significante en un equipo de cómputo. La solución de tales sistemas, permite la aplicación a una gran variedad de problemas, incluyendo la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales, análisis estructural, análisis de trabajo neto, optimización y análisis de datos. Los sistemas consisten de un gran número de ecuaciones simultáneas y se deberá seleccionar el mejor método para cualquier problema dado. Puesto que las técnicas básicas del álgebra matricial son requeridas en este capítulo, tal como veremos más tarde, se empieza con una discusión de la terminología y operaciones matriciales. 4.2 Conceptos y operaciones básicas con matrices. 4.2.1.Introducción Una matriz es definida, en este contexto, como un arreglo rectangular de números, caracterizada por el número de renglones y el número de columnas. Por tanto, ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = 1 1 4 1 2 6 9 1 3 2 1 1 1 3 4 5 0 2 7 8 4 1 7 1 A 56 es una matriz de 4 renglones y 6 columnas. Cualquier elemento dado de la matriz A será denotado por a ij , donde i es la localización en el renglón y j su localización en columna. Así, a 23 = 5. Nuestro interés primario será con matrices cuadradas y matrices de dimensión columna 1 o con dimensión en renglón 1. Matrices con dimensión 1 en columna, tal como, ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 8 5 3 7 2 B son referidas como vectores columnas, mientras que las matrices con dimensión 1 en el renglón, tal como | | 2 5 3 1 ÷ = F son llamados vectores renglón. Las matrices cuadradas pueden tener ciertas configuraciones especiales que son de interés en ingeniería. Podríamos ilustrar con una matriz de 4x4. Todas las exposiciones son aplicables a matrices cuadradas de cualquier tamaño. Considere, ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 c c c c c c c c c c c c c c c c C La diagonal consistente de c 11 , c 22 , c 33 y c 44 es llamada la diagonal principal de la matriz. La matriz es llamada simétrica sí c ij = c ji . Una matriz triangular superior es aquella en la cual todos los elementos debajo de la diagonal son cero. Por tanto, ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 44 34 33 24 23 22 14 13 12 11 c c c c c c c c c c C 57 es triangular superior. Note que cuando los bloques de elementos son cero hay simplemente blancos en la representación de la matriz. Una matriz triangular inferior es aquella en la cual todos los elementos arriba de la diagonal son cero, como: ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 44 43 42 41 33 32 31 22 21 11 c c c c c c c c c c C Una matriz diagonal es aquella en la que todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal. Una matriz diagonal particularmente importante es ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I la cual es llamada matriz unitaria o matriz identidad. Una matriz bandeada tiene todos los elementos cero excepto para una banda centrada en la diagonal principal. Por consiguiente, el siguiente arreglo matricial es una matriz tridiagonal también llamada matriz bandeada, en este caso con tres bandas. ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 44 43 34 33 32 23 22 21 12 11 c c c c c c c c c c C Una matriz transpuesta es aquella que convierte sus renglones en columnas y sus columnas en renglones. Así, por ejemplo, la transpuesta de la matriz de 4x4 que hemos presentado para la discusión, es ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 44 34 24 14 43 33 23 13 42 32 22 12 41 32 21 11 c c c c c c c c c c c c c c c c C T 58 Una matriz aumentada resulta cuando a la matriz original se le agrega una o más columnas, por ejemplo, las dos siguientes matrices son aumentadas. ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 4 3 2 1 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 b b b b c c c c c c c c c c c c c c c c C se agregó el vector de términos constantes del sistema original de ecuaciones lineales. ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 c c c c c c c c c c c c c c c c C en este caso se agregó la matriz identidad. 4.2.2. Operaciones con matrices Podemos ahora definir algunas de las operaciones básicas con matrices. La adición matricial es representada como |S|= |A| + |B| (4-1) se realiza sumando los elementos correspondientes de cada matriz, así por ejemplo, S ij = a ij + b ij (4-1.1) Para i = 1, 2, 3, ..., m y j = 1, 2, 3, ..., n. De manera similar, la resta de dos matrices, A y B se representa |C| = |A| - |B| (4-2) Obteniendo la matriz C restando los elementos correspondientes de cada matriz, es decir, 59 c ij = a ij – b ij (4-2.1) Para i = 1, 2, 3, ..., m y j = 1, 2, 3, ..., n. De acuerdo a estas definiciones, se concluye que la suma y resta de matrices se puede llevar a cabo, si y solo si, las matrices a sumar o restar tienen la misma dimensión. La multiplicación de una matriz |C| por un escalar k se obtiene multiplicando cada elemento de |C| por el escalar k, así que, |G|=k|C| Si la matriz |C| está dada por ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 c c c c c c c c c c c c c c c c C entonces, k[C] se escribe como ( ( ( ( ¸ ( ¸ = 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 c c c c c c c c c c c c c c c c k C Sin embargo, el producto de dos matrices se simboliza como |C|=|A||B| y se define ¿ = = n k kj ik ij b a c 1 (4-4) donde n es la dimensión de las columnas de |A| y de los renglones de |B|. En otras palabras, el número de columnas de la primer matriz, debe ser igual al número de renglones de la segunda matriz, de otra manera no puede efectuarse la multiplicación matricial. 60 Aunque la multiplicación matricial es posible, en términos de (4-4), la división matricial aun no está definida. Sin embargo, si una matriz |C| es cuadrada, hay otra matriz |C| -1 , llamada inversa de |C| tal que su producto es la matriz identidad, como se muestra abajo. |C||C| -1 = |C| -1 |C| = |I| (4-5) 4.3 Métodos de solución Los métodos analíticos de solución, no siempre son recomendables para la solución de sistemas grandes de ecuaciones algebraicas lineales; ya que, su metodología podría parecer difícil, aunque realmente no lo sea. Por ejemplo, si un sistema de ecuaciones simultáneas de 8x8 ó menor, es resuelto por determinantes, la solución se obtiene con cierta facilidad, pero para sistemas más grandes, este método resulta de cierta manera, dificultoso. Sin embargo, un método numérico asociado a un equipo de cómputo “grande”, permite resolver sistemas de ecuaciones de grandes dimensiones, en poquísimo tiempo de cálculo. Los métodos numéricos que se presentan, son esencialmente sencillos de programar, por lo que, será un pasatiempo divertido para los estudiosos. Actualmente hay varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, pero en este libro se dan aquellos que facilitan el trabajo del ingeniero y que permiten el uso de equipo electrónico moderno. Aunque en el presente capítulo sólo se resuelven, a manera de ilustración algunos ejemplos, haciendo cálculos manuales, en las aplicaciones de ingeniería se resolverán sistemas grandes de ecuaciones lineales, en donde, la limitante podría ser la capacidad del equipo de cómputo disponible. Sin embargo, en la actualidad esa ya no es una dificultad, debido a los avances tecnológicos en el ramo de las máquinas electrónicas. 4.3.1 Eliminación completa de Gauss – Jordan. Sistemas cuadrados Para estos sistemas, la matriz de coeficientes A es de orden nxn, es decir, el número de renglones es igual al número de columnas. 61 En notación matricial, un sistema de ecuaciones lineales, se representa como. ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ m m mn m m m n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a . . . . . . . . . . . 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 (4-7) por lo que, las siguientes dos simbolizaciones son equivalentes: | | | | | | 1 1 mx mx mxn B X A = ó simplemente, | || | | | B X A = . La aplicación del método de eliminación completa de Gauss & Jordan, consiste de los siguientes pasos: Paso 1. Escribir el sistema (4-7), como un sistema aumentado, quedando: | | B A (4-8) Paso 2. Seleccionar, de la diagonal principal de A, el Pivote; para lo cual se viaja por dicha diagonal de izquierda a derecha, de esta manera, el primer elemento seleccionado será el coeficiente a 11 , en segundo lugar el a 22 , en tercer lugar el elemento a 33 y, así sucesivamente, hasta llegar al elemento a nn . Paso 3. Dividir los elementos del renglón con pivote por el coeficiente seleccionado, esto es, la primer vez, el renglón número 1 entre a 11 , con lo cual queda transformado. Paso 4. Los demás elementos de la matriz A, que no están en renglón con pivote, se transforman con la ecuación, 62 ) ( * Lj LL iL ij t ij a a a a a ÷ = (4-9) Paso 5. Los elementos que están en B, se transforman con una ecuación equivalente a la anterior, que se escribe como, ) ( * L LL mL m t m b a a b b ÷ = (4-10) donde o t ij a es el elemento que estará en el renglón “i” y en la columna “j”, pero transformado. o * LL a es el elemento pivote, como está en la diagonal principal, su renglón coincide con su columna. o iL a corresponde al elemento que está en el mismo renglón que el elemento por transformar y en la misma columna que el pivote. o mL a es el elemento de A que está en el mismo renglón que b m y en la columna donde está el pivote. o Lj a elemento que está en el mismo renglón que el pivote y en la misma columna que el elemento por transformar. o L b elemento de B que está en la columna de b m , pero en el renglón pivote. En este momento, el sistema (4-8) se ha transformado en otro sistema equivalente, que se denotará por, | | B A ' ' (4-11) Paso 6. Se repiten los pasos 2-5, tantas veces como elementos tenga la diagonal principal, es decir, hasta que en lugar de la matriz de coeficientes A se tenga la matriz identidad I, teniendo ahora el último sistema equivalente, como: | | sol B I ( 4-12) donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A y B sol es la solución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales. El diagrama de flujo se puede ver en Fig. D4.1. 63 Fig. D4.1 Diagrama de flujo del método de eliminación completa de Gauss – Jordan. Inicio Definir: | a ij | y | b i | i,j =1, . . ., n ¿,a ij ,= 0? El sistema no tiene solución úni- ca. no si L = 0 L = L +1 ¿a LL =0 ? Cambiar el orden de ecuaciones no Fin ¿i =L? n j i b a a b b a a a a a i LL iL i t i Lj LL iL ij t ij ,..., 1 , ) ( ) ( = ÷ = ÷ = n j a b b a a a LL L t L LL Lj t Lj ,..., 1 = = = si si no ¿L =n? x i = b i J=1, . .., n Fin si no o o 64 Prob. 4.1 El siguiente sistema de 3x3, se resuelve por el método de eliminación completa de Gauss – Jordan. 16x 1 + 4x 2 + 6x 3 = 60 2x 1 -18x 2 + 4x 3 = 2 4x 1 + 6x 2 + 12x 3 = 62 Solución. Primero se escribe la matriz aumentada, seleccionando en ella el primer pivote de la diagonal principal, siendo en este caso el a 11 = 16. También se identificaron los renglones para facilitar la aplicación, es decir, los elementos 16, 4, 6 y 60, forman el primer renglón; etc. ¸ ( ( ( ¸ ( ÷ 62 2 60 12 6 4 4 18 2 6 4 16 De acuerdo al método planteado, el pivote es, en esta ocasión, el elemento a 11 = 16; por lo que, el renglón uno (R 1 ), se dividió por 16, quedando, 16/16 = 1.00; 1/4; 3/8 y 15/4. Los demás elementos del arreglo anterior que no están en el renglón R 1 , se transformaron con ecuación (4-10). Por ejemplo, los elementos del renglón R 2 quedan, Elemento a 21 (i = 2 y j = 1), t a 21 = 000 . 0 ) 16 ( 16 2 2 ) ( 11 * 11 21 21 = ÷ = ÷ a a a a Elemento a 22 .(i = 2, j =2) t a 22 = ÷ = ) ( 12 * 11 21 22 a a a a 5000 . 18 ) 4 ( 16 2 18 ÷ = ÷ ÷ Elemento a 23 (i = 2, j = 3) = t a 23 ) ( 13 * 11 21 23 a a a a ÷ ) 6 ( 16 2 4 ÷ = = 3.250 Elemento b 2 (m = 2, j = 4), de ecuación (4- 11) 65 ) ( * L LL mL m t m b a a b b ÷ = = 500 . 5 ) 60 ( 16 2 2 ÷ = ÷ Para los elementos del R 3 , se hizo: Elemento a 31 (i = 3 y j = 1), t a 31 = 000 . 0 ) 16 ( 16 4 4 ) ( 11 * 11 31 31 = ÷ = ÷ a a a a Elemento a 32 (i = 3 y j = 2) t a 32 = ÷ = ) ( 12 * 11 31 32 a a a a 000 . 5 ) 4 ( 16 4 6 = ÷ Elemento a 33 (i = 3 y j = 3) = t a 33 ) ( 13 * 11 31 23 a a a a ÷ ) 6 ( 16 4 12 ÷ = = 10.500 Elemento b 3 (m = 3, j = 4), según ecuación (4-11) ) ( * L LL mL m t m b a a b b ÷ = 000 . 47 ) 60 ( 16 4 62 = ÷ = Hasta aquí se ha hecho la transformación del arreglo original ampliado, obteniendo el primer sistema equivalente, el cual queda como, ¸ ( ( ( ¸ ( ÷ ÷ 000 . 47 500 . 5 750 . 3 500 . 10 000 . 5 000 . 0 250 . 3 500 . 18 000 . 0 375 . 0 250 . 0 000 . 1 En este nuevo sistema, se escoge como segundo pivote al elemento a 22 = - 18.500 con el que se obtuvo el siguiente sistema equivalente: ¸ ( ( ( ¸ ( ÷ 514 . 45 297 . 0 676 . 3 378 . 11 000 . 0 000 . 0 176 . 0 000 . 1 000 . 0 419 . 0 000 . 0 000 . 1 66 Para el último pivote (a 33 = 11.375), se llegó a, finalmente: ¸ ( ( ( ¸ ( 0 . 4 0 . 1 0 . 2 000 . 1 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 1 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 1 , de donde se desprende la solución: x 1 = 2; x 2 = 1 y x 3 = 4 Prob. 4.2 Por el mismo método, se muestra la solución de un sistema de cuatro ecuaciones simultáneas. Con la finalidad de no repetir la explicación y que el estudiante compruebe los cálculos, se presentan los resultados finales a que se llegó partiendo del sistema ampliado, es decir, que en la última columna se incluyen los términos independientes: ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ¸ ( ¸ 504 601 970 1970 20 7 4 3 15 10 8 10 22 20 15 10 50 40 25 20 z y x w ; sistema original, en su representación matricial. ¸ ( ( ( ( ¸ ( 504 601 970 1970 20 7 4 3 15 10 8 10 22 20 15 10 50 40 25 20 ; matriz aumentada Seleccionando pivotes a los elementos de la diagonal principal y aplicando la eliminación completa de Gauss – Jordan; se escriben a continuación los sistemas equivalentes obtenidos. Se deja al estudiante la tarea de verificar esos resultados, con el objeto que le sirva de práctica. ¸ ( ( ( ( ¸ ( ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 50 . 208 00 . 384 00 . 15 50 . 98 50 . 12 00 . 1 25 . 0 0 0 . 10 0 . 10 50 . 4 0 0 . 3 00 . 0 50 . 2 0 50 . 2 00 . 2 25 . 1 1 ~ ¸ ( ( ( ( ¸ ( ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 00 . 210 00 . 411 00 . 6 00 . 106 80 . 12 00 . 1 00 . 0 0 40 . 15 0 . 10 00 . 0 0 20 . 1 00 . 0 00 . 1 0 00 . 4 00 . 2 00 . 0 1 67 ¸ ( ( ( ( ¸ ( ÷ ÷ 90 . 168 10 . 41 00 . 6 80 . 23 26 . 11 00 . 0 00 . 0 0 54 . 1 00 . 1 00 . 0 0 20 . 1 00 . 0 00 . 1 0 92 . 0 00 . 0 00 . 0 1 ~ ¸ ( ( ( ( ¸ ( 0 . 15 0 . 18 0 . 12 0 . 10 00 . 1 00 . 0 00 . 0 0 00 . 0 00 . 1 00 . 0 0 00 . 0 00 . 0 00 . 1 0 00 . 0 00 . 0 00 . 0 1 La solución es: w = 10; x = 12; y = 18 y z = 15 4.3.1 Eliminación completa de Gauss – Jordan. Sistemas de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas. Elementos teóricos Sea el sistema, m n mn m m m n n n n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a = + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = + + + + = + + + + ... ... ... 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 (4-13) un sistema no homogéneo, con b m = 0 y m = n. Si se forma un nuevo sistema de m ecuaciones con n incógnitas, se igualan a cero las restantes ( n – m) incógnitas y se encuentra la solución al nuevo sistema así obtenido, se dirá que es básica, si en ella todos los resultados son diferentes a cero, en caso contrario se dirá que es degenerada. Teorema 4.1 Una condición necesaria y suficiente para que una solución básica no sea degenerada es de que, exista independencia lineal entre el vector de los términos independientes y cualquier grupo de ( m-1 ) vectores columna, de la matriz de los coeficientes. Los grupos de soluciones básicas de estos sistemas, se obtienen con la combinación que resulte de, ! )! ( ! m m n n n m ÷ = | | . | \ | (4-14) 68 Para encontrar cada solución básica dada por (4-14), se recomienda el uso del método de Gauss & Jordan, explicado anteriormente, modificando ecuación ( 4-10 ), para quedar como, ) ( * Lj LK iK ij t ij a a a a a ÷ = (4 –15) donde * LK a es el pivote. En este caso, se inicia seleccionando como pivote, el coeficiente a ij asociado a una variable del grupo de solución y se aplica el proceso del método de Gauss & Jordan, obteniendo un nuevo sistema equivalente, como antes. A continuación se escoge como siguiente pivote, otro coeficiente a ij que no esté en el mismo renglón que el anterior, asociado a la siguiente variable, del grupo de solución, para aplicar nuevamente la rutina del método que nos ocupa. Si aún no han sido seleccionados todos los coeficientes a ij correspondientes a las variables de una solución básica, se continúa como antes, tomando en cuenta que ningún pivote debe estar en el mismo renglón que otro. Al concluir esto, se ha obtenido una solución básica. Para obtener la siguiente solución básica, se tienen dos caminos: Repetir todo el proceso anterior desde el inicio, como si aún no se hubiera iniciado ó partir del último sistema equivalente, seleccionando adecuadamente el siguiente pivote, de tal forma que permita entrar a la base el grupo de variables que conformarán otra solución básica. Continuando así hasta obtener todas las soluciones dadas por (4- 14). Prob. 4.3. En este ejemplo se resuelve un sistema de 2 ecuaciones y 4 incógnitas, obteniendo las soluciones básicas del sistema. 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 20 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 16 Solución. Puesto que se trata de un sistema de dos ecuaciones (m =2) y cuatro incógnitas (n = 4), el número de soluciones básicas es, de acuerdo a (4-14) es, en este caso: 6 ! 2 )! 2 4 ( ! 4 = ÷ = | | . | \ | n m 69 que pueden sintetizarse como las siguientes combinaciones: x 1 x 2 , x 1 x 3 , x 1 x 4 ; así como, x 2 x 3 , x 2 x 4 ; x 3 x 4 . Para incidir en la primer solución, primero será escogido, del arreglo inicial, como pivote a 11 y luego a 22 , con lo cual se tendrá la primer solución básica. ( ) ( ¸ ( ¸ 16 20 2 4 2 3 4 3 3 2 . .b v Igual que en los casos normales de la aplicación del método de Gauss- Jordan, el primer renglón se dividió por 2 (pivote) y, los elementos del renglón R 2 se transformaron con la ecuación ( 4-15 ), con L = 1 y K =1, quedando: ( ) ( ¸ ( ÷ ¸ ÷ ÷ ÷ 14 10 4 5 . 0 5 . 2 0 2 5 . 1 5 . 1 1 1 x En este sistema equivalente, se seleccionó como pivote al elemento a 22 , por lo que x 2 entró a la base. Los elementos del renglón R 2 se dividieron por el valor numérico del pivote y los elementos del renglón R 1 se transformaron con ecuación (4-15). Se hace notar que L = 2 y K =2, llegando a: ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ 6 . 5 6 . 1 6 . 1 2 . 0 1 0 4 . 0 2 . 1 0 1 2 1 x x Puesto que x 1 y x 2 están en la base, la primer solución básica es: x 1 = 1.60 y x 2 = 5.60 Para encontrar la segunda solución, que corresponde a la combinación x 1 x 3 , se marcó como pivote el coeficiente relacionado con x 3 , ya que x 1 está en la base. La transformación quedo como sigue: ( ) ( ¸ ( ÷ ¸ ÷ ÷ 28 32 8 1 5 0 10 0 6 1 3 1 x x Por consiguiente, la segunda solución básica, x 1 = -32 y x 3 = 28. La tercer solución se obtuvo al seleccionar a 24 (=8.00) como pivote, puesto que corresponde a la combinación x 1 x 4 y x 1 ya está en la base. Llegando al siguiente sistema equivalente: 70 ( ) ( ¸ ( ¸ 5 . 3 3 0 . 1 125 . 0 625 . 0 0 0 . 0 250 . 1 25 . 0 1 4 1 x x De la misma manera se fueron obteniendo las siguientes soluciones básicas, es decir, se seleccionó adecuadamente el pivote para que entrara a la base la variable de interés, llegando a los siguientes sistemas equivalentes: ( ) ( ¸ ( ÷ ¸ ÷ ÷ 4 12 0 . 1 3 . 0 5 . 2 0 . 0 5 1 0 . 4 4 2 x x ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ 333 . 1 333 . 5 333 . 0 0 . 1 . 0 833 . 0 667 . 1 0 . 0 1 167 . 0 3 2 x x ( ¸ ( ¸ ÷ 4 . 2 2 . 3 0 . 0 0 . 1 . 20 . 0 80 . 0 0 . 1 0 . 0 60 . 0 10 . 0 3 4 x x Un resumen final de todas las soluciones básicas obtenidas, para el sistema propuesto es: No.Sol. x 1 x 2 x 3 x 4 1 1.60 5.60 0.00 0.00 2 -32.00 0.00 28.00 0.00 3 3.00 0.00 0.00 3.50 4 0.00 12.00 0.00 -4.00 5 0.00 5.33 1.33 0.00 6 0.00 0.00 2.40 3.20 Prob. 4.4 Encuentre las soluciones básicas del siguiente sistema lineal, de tres ecuaciones con cuatro incógnitas. 2x 1 -5x 2 + 3x 3 + 6x 4 = 61 -x 1 + 2x 2 - 4x 3 + 5x 4 = 52 3x 1 + 7x 2 - 4x 3 - 10x 4 = 50 Solución. En este caso m = 3 y n = 4; por lo que, ecuación (4-14) indica que el presente sistema tiene 4 soluciones básicas que corresponden a las 71 combinaciones: x 1 x 2 x 3 ; x 1 x 2 x 4 ; x 1 x 3 x 4 y x 2 x 3 x 4 . A continuación se obtienen estas soluciones, aplicando el método de Gauss & Jordan, con auxilio de ecuación (4-15). Note usted que se agregó una columna a la izquierda, para identificar la variable que entra a la base; así como encabezado de columnas para facilidad de localización de los elementos del arreglo matricial. El pivote está marcado, en cada sistema equivalente, con letras negritas. v.b. x 1 x 2 x 3 x 4 b m * 2.000 -5.000 3.000 6.000 61.000 * -1.000 2.000 -4.000 5.000 52.000 * 3.000 7.000 -4.000 -10.000 50.000 X 1 1.000 -2.500 1.500 3.000 30.500 * 0.000 -0.500 -2.500 8.000 82.500 * 0.000 14.500 -8.500 -19.000 -41.500 X 1 1.000 0.000 14.000 -37.000 -382.000 X 2 0.000 1.000 5.000 -16.000 -165.000 * 0.000 0.000 -81.000 213.000 2351.000 X 1 1.000 0.000 0.000 -0.185 24.346 X 2 0.000 1.000 0.000 -16.000 -165.000 X 3 0.000 0.000 1.000 -2.630 -29.025 X 1 1.000 0.000 -0.070 0.000 26.390 X 2 0.000 1.000 0.125 1.000 11.601 X 4 0.000 0.000 -0.380 1.000 11.038 X 1 1.000 0.563 0.000 0.563 32.925 X 3 0.000 8.000 1.000 8.000 92.808 * 0.000 3.042 0.000 4.042 46.331 X 1 1.000 0.139 0.000 0.000 26.468 X 3 0.000 1.979 1.000 0.000 1.115 72 X 4 0.000 0.753 0.000 1.000 11.462 X 2 7.175 1.000 0.000 0.000 189.909 X 3 -14.200 0.000 1.000 0.000 -374.733 X 4 -5.400 0.000 0.000 1.000 -131.467 Cada solución básica puede deducirse de cada sistema que presenta tres variables en la base, por ejemplo, la primer solución básica es: X 1 = 24.346 X 2 =-165.000 X 3 = -29.025 4.3.2 Método de matriz inversa Este método se aplica única y exclusivamente a los sistemas de ecuaciones lineales cuadrados (m = n). Partiendo de un arreglo como el dado por (4-8), con la siguiente modificación: | | I A (4–16) donde [I] es una matriz identidad del mismo orden que la matriz [A]. La aplicación del método de Gauss – Jordan a este arreglo, facilita grandemente la obtención de la matriz inversa de [A] que se denota por A -1 . Puesto que son seleccionados todos los elementos de la diagonal principal como pivotes. Al finalizar, la ecuación ( 4-16) tiene la forma: | | 1 ÷ A I (4–17) Para encontrar la solución al sistema de ecuaciones simultáneas, se multiplica la inversa obtenida por los términos independientes del sistema, es decir: | | B A A B X * 1 ÷ = = (4-18) Aquí |X|, representa el vector que contiene las incógnitas en columna. 73 B es el vector columna, de términos independientes A -1 la matriz inversa de la matriz de coeficientes Prob. 4.5 Para el sistema de ecuaciones simultáneas dado a continuación, obtenga la inversa y posteriormente la solución del sistema. 6.122x + 1500.500 y = 1506.622 2000x + 3y = 2003 Solución. El sistema ampliado es, en este problema, 6.1220 1500.5000 1.00000000 0.00000000 2000.0000 3.0000 0.00000000 1.00000000 Primer pivote: a 11 = 6.122. Aplicando la transformación de Gauss – Jordan, se tiene, 1.0000 245.0996 0.16334531 0.00000000 0.0000 -490196.2813 -326.69062398 1.00000000 Ahora con el pivote a 22 = -490196.281, se llega al siguiente sistema equivalente, 1.00 0.00 -0.00000100 0.00050000 0.00 1.00 0.00066645 -0.00000204 Por tanto, la matriz inversa es, | | ( ¸ ( ¸ ÷ + + ÷ = ÷ 00000204 . 0 00066645 . 0 00050000 . 0 00000100 . 0 1 A La solución del sistema se obtiene aplicando el producto matricial dado por (4-19), es decir: ( ¸ ( ¸ ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ( ¸ ( ¸ 000 . 2003 622 . 1506 * 00000204 . 0 0006645 . 0 00050000 . 0 00000100 . 0 2 1 x x De donde se obtiene que, x = 1.000 e y = 1.000, como solución del sistema compuesto por estas dos ecuaciones simultáneas. 74 Prob. 4.6 Como problema alterno se resuelve un sistema de 5x5, presentando sucesivamente los sistemas equivalentes. Sea el sistema: 8x 1 + 3x 2 – 9x 3 + 7x 4 + 4x 5 = 10 2x 1 - x 2 + 6x 3 + 17x 4 + x 5 = 21 4x 1 + 3x 2 – 7x 3 + x 4 + 6x 5 = 10 12x 1 - x 2 + 6 x 3 + 14x 4 + 2x 5 = 28 7x 1 + 6x 2 + x 3 + 9x 4 + 10x 5 = 38 La matriz ampliada, del sistema anterior es, 8.000 3.000 -9.000 7.000 4.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2.000 -1.000 6.000 17.000 1.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 4.000 3.000 -7.000 1.000 6.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 12.000 -1.000 6.000 14.000 2.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 7.000 6.000 1.000 9.000 10.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 Con pivote en a 11 y aplicando el proceso de Gauss- Jordan, se obtuvo el primer sistema equivalente: 1.000 0.375 -1.125 0.875 0.500 0.125 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -1.750 8.250 15.250 0.000 -0.250 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.500 -2.500 -2.500 4.000 -0.500 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 -5.500 19.500 3.500 -4.000 -1.500 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 3.375 8.875 2.875 6.500 -0.875 0.000 0.000 0.000 1.000 Tomando los pivotes subsecuentes en a 22 , a 33 , a 44 y a 55 , se fueron generando, los sistemas equivalentes siguientes, 1.000 0.000 0.643 4.143 0.500 0.071 0.214 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 -4.714 -8.714 0.000 0.143 -0.571 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 4.571 10.571 4.000 -0.714 0.857 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -6.429 -44.429 -4.000 -0.714 -3.143 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 24.786 32.286 6.500 -1.357 1.929 0.000 0.000 1.000 1.000 0.000 0.000 2.656 -0.063 0.172 0.094 -0.141 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 2.188 4.125 -0.594 0.313 1.031 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 2.313 0.875 -0.156 0.188 0.219 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -29.563 1.625 -1.719 -1.938 1.406 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -25.031 -15.188 2.516 -2.719 -5.422 0.000 1.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.084 0.017 -0.080 -0.014 0.090 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 4.245 -0.721 0.169 1.135 0.074 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 1.002 -0.291 0.036 0.329 0.078 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 -0.055 0.058 0.066 -0.048 -0.034 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -16.563 3.971 -1.078 -6.613 -0.847 1.000 75 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.037 -0.086 -0.048 0.086 0.005 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.297 -0.107 -0.560 -0.143 0.256 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 -0.050 -0.029 -0.071 0.027 0.061 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.045 0.069 -0.026 -0.031 -0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 -0.240 0.065 0.399 0.051 -0.060 Por lo que la inversa de A, es: | | ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ + + + ÷ ÷ + = ÷ 060 . 0 051 . 0 399 . 0 065 . 0 240 . 0 003 . 0 031 . 0 026 . 0 069 . 0 045 . 0 061 . 0 027 . 0 071 . 0 029 . 0 050 . 0 256 . 0 143 . 0 560 . 0 107 . 0 297 . 0 005 . 0 086 . 0 048 . 0 086 . 0 037 . 0 1 A Nuevamente de ecuación (4-19), la solución es: ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ + + + ÷ ÷ + = ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ 0990 . 2 6503 . 0 2221 . 1 8565 . 0 6852 . 0 38 28 10 21 10 * 060 . 0 051 . 0 399 . 0 065 . 0 240 . 0 003 . 0 031 . 0 026 . 0 069 . 0 045 . 0 061 . 0 027 . 0 071 . 0 029 . 0 050 . 0 256 . 0 143 . 0 560 . 0 107 . 0 297 . 0 005 . 0 086 . 0 048 . 0 086 . 0 037 . 0 5 4 3 2 1 x x x x x 4.3.3 Método de Jacobi Este método iterativo, en la solución de sistemas de ecuaciones lineales cuadrados es muy similar al método de aproximaciones sucesivas para resolver ecuaciones no lineales; porque en general, parte de una solución supuesta para obtener la siguiente solución, seguramente más cercana a la solución real, del sistema. A esta solución aproximada se le aplica el criterio de convergencia relativa y, si lo cumple, la solución obtenida es aceptada, en caso contrario, se repite el proceso, pero ya no se supone una solución, más bien se parte de esta última solución. La estrategia que permite resolver un sistema de ecuaciones lineales, por este método, es el siguiente: 76 1. Se despeja x 1 de la ecuación número 1, del sistema a resolver; x 2 de la ecuación número 2; x 3 de ecuación número 3; etc. Este sistema se le denomina sistema recursivo. Si el sistema dado es de n ecuaciones, entonces se tiene, un sistema recursivo como el siguiente: 11 1 3 13 2 12 1 1 1 ... a x a x a x a b x k n n k k k ÷ ÷ ÷ ÷ = + 22 2 3 23 1 21 2 1 2 ... a x a x a x a b x k n n k k k ÷ ÷ ÷ ÷ = + 33 2 2 32 1 31 3 1 3 ... a x a x a x a b x k n n k k k ÷ ÷ ÷ ÷ = + (4-19) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - nn k n n n k n k n n k n a x a x a x a b x 1 1 , 2 2 1 1 1 ... ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ = 2. Se empieza el proceso, proponiendo una solución inicial que se denota por 0 j X 3. Se sustituye este vector en el sistema recursivo, empezando por calcular x 1 . Después se calcula x 2 ; luego x 3 y así, sucesivamente hasta calcular todas las incógnitas, cuyo vector se simboliza por, 1 j X 4. Se checa la convergencia con, ? 1 1 c s ÷ + ÷ k j k j k j X X X (4-20) Para la primera vez queda: 77 ? 1 0 1 c s ÷ j j j X X X 5. Si esta condición es cumplida se detiene el proceso, en caso contrario se repiten los pasos 3 y 4, entrando con los valores del vector 1 j X , con lo que se obtiene el vector 2 j X , para el cual se revisa, nuevamente la convergencia, entre estos dos últimos vectores; de cumplirse, este vector 2 j X es la solución y se detiene el proceso, de no ser así, se repite la secuencia de pasos 3 y 4, deteniendo el proceso hasta que se cumpla la condición de convergencia; esto es, hasta que dos vectores consecutivos se repitan. Prob. 4.7 Como problema alterno se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, usando el método de Jacobi. 8x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 30 x 1 – 9x 2 + 2x 3 =1 2x 1 + 3x 2 +6x 3 = 31 Solución. En este caso el sistema recursivo es: 8 3 2 30 3 2 1 1 k k k x x x ÷ ÷ = + 9 2 1 3 1 1 2 ÷ ÷ ÷ = + k k k x x x 6 3 2 31 2 1 1 3 k k k x x x ÷ ÷ = + Usando como solución inicial 0 j X = | 1, 1, 1|, se obtuvieron los siguientes resultados: 125 . 3 8 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 30 1 1 = ÷ ÷ = x 78 222 . 0 9 ) 1 ( 2 1 1 1 2 = ÷ ÷ ÷ = x 333 . 4 6 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 31 1 3 = ÷ ÷ = x Con estos valores, 1 j X = |3.125, 0.222, 4.333|, la segunda iteración, es: 070 . 2 8 ) 333 . 4 ( 3 ) 222 . 0 ( 2 30 2 1 = ÷ ÷ = x 199 . 1 9 ) 333 . 4 ( 2 125 . 3 1 2 2 = ÷ ÷ ÷ = x 014 . 4 6 ) 222 . 0 ( 3 ) 125 . 3 ( 2 31 2 3 = ÷ ÷ = x Repitiendo el mismo proceso, se llegó a la siguiente solución: x 1 = 2.0; x 2 = 1.0 y x 3 = 4.0. Prob. 4.8 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Jacobi, aceptando un error c =1x10 -3 . 12x 1 - x 2 + 3x 3 = 8 x 1 + 7x 2 - 3x 3 =-51 4x 1 - 4x 2 + 9x 3 = 61 Su sistema recurrente es: 12 3 8 3 2 1 1 k k k x x x ÷ + = + 7 3 51 3 1 1 2 k k k x x x + ÷ ÷ = + 79 9 4 4 61 2 1 1 3 k k k x x x + ÷ = + Partiendo con el vector inicial {8/12, -51/7, 61/9}, se obtuvieron los siguientes resultados: n X 1 x 2 x 3 0 0.667 -7.286 6.778 1 -1.635 -4.476 3.243 2 -0.517 -5.662 5.515 3 -1.184 -4.848 4.491 4 -0.860 -5.192 5.149 5 -1.053 -4.956 4.853 6 -0.959 -5.056 5.043 7 -1.015 -4.987 4.957 8 -0.988 -5.016 5.013 9 -1.004 -4.996 4.988 10 -0.997 -5.005 5.004 11 -1.001 -4.999 4.996 12 -0.999 -5.001 5.001 13 -1.000 -5.000 4.999 14 -1.000 -5.000 5.000 Llegando, en este caso, a la solución: x 1 = -1; x 2 = -5 y x 3 = 5 4.3.4 Método de Gauss – Seidel Es el método iterativo más usado y permite manejar un acercamiento a la solución, tanto, como sea requerido, es decir, puede prefijarse un error admisible ( c ). Este método es muy similar al método de Jacobi, sin embargo, es preferible por ser más dinámico, ya que al calcular cada variable usa su valor actual en el cálculo de las demás incógnitas, como se verá en las aplicaciones. La rutina de cálculo, en la aplicación de este método, consiste de los siguientes pasos: 1. Al igual que en el método de Jacobi se obtiene el sistema recursivo, cuyo cambio sólo consiste en la actualización del valor de la variable calculada. 11 1 3 13 2 12 1 1 1 ... a x a x a x a b x k n n k k k ÷ ÷ ÷ ÷ = + 80 22 2 3 23 1 1 21 2 1 2 ... a x a x a x a b x k n n k k k ÷ ÷ ÷ ÷ = + + 33 2 1 2 32 1 1 31 3 1 3 ... a x a x a x a b x k n n k k k ÷ ÷ ÷ ÷ = + + + (4-21) 44 4 1 2 42 1 1 41 4 1 4 ... a x a x a x a b x k n n k k k ÷ ÷ ÷ ÷ = + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - nn k n n n k n k n n k n a x a x a x a b x 1 1 1 , 1 2 2 1 1 1 1 ... + ÷ ÷ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ = Si al formular el sistema recursivo, algún elemento de la diagonal principal es cero, se recomienda intercambiar las ecuaciones de tal forma de eliminar esta dificultad y, entonces, formar el sistema recurrente. 2. Se propone una solución inicial, denotada por 0 j X 1. Se sustituye este vector en el sistema recursivo, empezando por calcular x 1 . Con este valor actualizado de x 1 y los demás valores propuestos en paso 2, se calcula x 2 ; dejando actualizado también la variable x 2 , que será usado junto con x 1 y los demás valores propuestos ( aún no actualizados ), para calcular x 3 y así, sucesivamente hasta obtener el vector total actualizado que será simbolizado como, 1 j X 2. Se checa la convergencia con ecuación (4-20), de igual forma que se hizo en el método de Jacobi. 3. Si esta condición es cumplida se detiene el proceso, en caso contrario se repiten los pasos 3 y 4, entrando con los valores del vector 1 j X , con lo que se 81 obtiene el vector 2 j X revisándose nuevamente la convergencia, entre estos dos últimos vectores; de cumplirse, este vector 2 j X es la solución y se detiene el proceso, de no ser así, se repite la secuencia de pasos 3 y 4, deteniendo el proceso hasta que se cumpla la condición de convergencia; esto es, hasta que dos vectores consecutivos se repitan. Prob. 4.9 Resuélvase, por el método de Gauss - Seidel, el siguiente sistema de ecuaciones lineales. 3x 1 – 0.1x 2 – 0.2x 3 =7.85 Ec. (1) 0.1x 1 + 7x 2 – 0.3x 3 =-19.3 Ec. (2) 0.3x 1 – 0.2x 2 + 10x 3 =71.4 Ec. (3) Solución. El sistema recursivo queda: 3 2 . 0 1 . 0 85 . 7 3 2 1 1 k k k x x x + + = + 7 3 . 0 1 . 0 3 . 19 3 1 1 1 2 k k k x x x + ÷ ÷ = + + 10 2 . 0 3 . 0 4 . 71 1 2 1 1 1 3 + + + + ÷ = k k k x x x Si se propone como vector solución inicial es 0 j X ={1,0,1}, entonces, de la sustitución en el sistema recursivo se llega a ( en la primer iteración ): 6833 . 2 3 05 . 8 3 ) 1 ( 2 . 0 ) 0 ( 1 . 0 85 . 7 1 0 1 = = + + = + x 7526 . 2 7 ) 1 ( 3 . 0 ) 6833 . 2 ( 1 . 0 3 . 19 1 0 2 ÷ = + ÷ ÷ = + x 82 0044 . 7 10 ) 7526 . 2 ( 2 . 0 ) 6833 . 2 ( 3 . 0 4 . 71 1 0 3 = ÷ + ÷ = + x Hemos llegado al vector 1 j X ={2.6833,-2.7526,7.0044}; el cual es diferente al vector inicial, por consiguiente, repetimos el mismo proceso tomando estos valores como iniciales, obteniendo (en la segunda iteración): 9919 . 2 3 9756 . 8 3 ) 0044 . 7 ( 2 . 0 ) 7526 . 2 ( 1 . 0 85 . 7 1 1 = = + ÷ + = + k x 4997 . 2 7 ) 0044 . 7 ( 3 . 0 ) 9919 . 2 ( 1 . 0 3 . 19 1 2 ÷ = + ÷ ÷ = + k x 0002 . 7 10 ) 4997 . 2 ( 2 . 0 ) 9919 . 2 ( 3 . 0 4 . 71 1 3 = ÷ + ÷ = + k x Ahora el nuevo vector es: 2 j X ={2.9919,-2.4997, 7.0002}. Procediendo reiteradamente, se llega a los siguientes valores: x 1 x 2 x 3 1 0 1 2.6833333 -2.7526190 7.0044476 2.9918759 -2.4996933 7.0002499 3.0000269 -2.4999897 6.9999994 3.0000003 -2.5000000 7.0000000 2.999999998 -2.5 7 3 -2.5 7 Se concluye que la solución es x 1 = 3; x 2 = -2.5 y x 3 = 7, debido a que el último vector y antepenúltimo, se repiten; por lo que, la solución es exacta. Prob. 4.10 En seguida se resuelve, por el método de Gauss- Seidel el siguiente grupo de ecuaciones simultáneas. 7 . 34 11 2 29 . 17 4 3 . 7 2 6 70 . 8 5 2 2 2 2 = + + + = + + ÷ = ÷ + ÷ = + + + z y x w z y x w z y x w z y x w 83 Solución. Se trata de un sistema de ecuaciones no lineales, sin embargo, puede aplicarse el método de Gauss- Seidel debido a que este sistema es cuadrado y en la diagonal principal se tienen variables lineales. El sistema recursivo es: 5 ) ( 7 . 8 2 1 k k k k z y x w ÷ ÷ ÷ = + 6 2 ) ( 3 . 7 1 2 1 k k k k z y w x ÷ + + ÷ = + + 4 ) ( 29 . 17 1 2 1 1 1 + + + + ÷ + ÷ = k k k k z x w y 11 ) ( ) ( 2 7 . 34 1 2 1 1 1 + + + + ÷ ÷ ÷ = k k k k y x w z Proponiendo como vector inicial 0 j X = | 1.740, -1.217, 4.323, 3.155|, se llegó a los siguientes resultados: Primer iteración: 052 . 0 5 155 . 3 323 . 4 ) 217 . 1 ( 7 . 8 2 1 ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ = + k w 301 . 0 6 155 . 3 ) 323 . 4 ( 2 ) 052 . 0 ( 3 . 7 2 1 ÷ ÷ + ÷ + ÷ = + k x 758 . 1 4 ) 155 . 3 ( ) 301 . 0 ( ) 052 . 0 ( 29 . 17 2 1 = ÷ ÷ + ÷ ÷ = + k y 910 . 2 11 ) 758 . 1 ( ) 301 . 0 ( ) 052 . 0 ( 2 7 . 34 2 1 = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = + k z Repitiendo el proceso, para otras iteraciones, se llegó a los resultados que se muestran en la tabla 1E4.10. Como los valores en la iteración 22 se repiten con los de la 21, se detiene el proceso y la solución es: w = 0.614; x = -0.850: y = 2.243 y z = 2.663; considerada exacta en los tres decimales. 84 Tabla 1E4.10 ITRE (k) w x y z 0 1.74 -1.217 4.323 3.155 1 -0.052 -0.301 1.758 2.910 2 0.788 -1.012 1.797 2.810 3 0.614 -1.023 1.999 2.773 4 0.576 -0.957 2.078 2.744 5 0.592 -0.923 2.121 2.722 6 0.601 -0.903 2.155 2.705 7 0.605 -0.888 2.179 2.694 8 0.608 -0.878 2.197 2.685 9 0.610 -0.870 2.210 2.679 10 0.611 -0.864 2.219 2.674 11 0.612 -0.860 2.226 2.671 12 0.613 -0.857 2.231 2.669 13 0.613 -0.855 2.234 2.667 14 0.613 -0.854 2.237 2.666 15 0.614 -0.853 2.238 2.665 16 0.614 -0.852 2.240 2.664 17 0.614 -0.851 2.241 2.664 18 0.614 -0.851 2.242 2.663 19 0.614 -0.851 2.242 2.663 20 0.614 -0.850 2.242 2.663 21 0.614 -0.850 2.243 2.663 22 0.614 -0.850 2.243 2.663 Prob. 4.11 Obtener las primeras siete iteraciones, usando el método de Gauss- Seidel, aplicadas al siguiente grupo de ecuaciones, aceptando un error relativo de e r =1x10 -3 . 8x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 30 x 1 – 9x 2 + 2x 3 =1 2x 1 + 3x 2 +6x 3 = 31 Solución. En este caso el sistema recursivo es: 85 8 3 2 30 3 2 1 1 k k k x x x ÷ ÷ = + 9 2 1 3 1 1 1 2 ÷ ÷ ÷ = + + k k k x x x 6 3 2 31 1 2 1 1 1 3 + + + ÷ ÷ = k k k x x x Usando como solución inicial 0 j X = |1, 1, 1|, se llegó a los siguientes resultados, para la primer iteración, 1250 . 3 8 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 30 1 1 1 0 1 = = ÷ ÷ = + x x 4583 . 0 9 ) 1 ( 2 ) 1250 . 3 ( 1 1 2 1 0 2 = = ÷ ÷ ÷ = + x x 8959 . 3 6 ) 4583 . 0 ( 3 ) 1250 . 3 ( 2 31 1 3 1 0 3 = = ÷ ÷ = + x x La prueba de convergencia, indica que el error relativo es: 3 1 1 1 10 1 680 . 0 1250 . 3 1 1250 . 3 , ÷ + + > = ÷ = ÷ ÷ ÷ x queda x para X X X k j k j k j 3 2 1 1 10 1 1820 . 1 4583 . 0 1 4583 . 0 , ÷ + + > = ÷ = ÷ ÷ ÷ x queda x para X X X k j k j k j 3 3 1 1 10 1 7433 . 0 8959 . 3 1 8959 . 3 , ÷ + + > = ÷ = ÷ ÷ ÷ x queda x para X X X k j k j k j 86 Las siguientes iteraciones condujeron a los resultados que se muestran en la tabla 1E4.11. De donde se desprende que la solución exacta es: x 1 = 2; x 2 = 1 y x 3 = 4 Tabla E4.11 Resumen de resultados k x 1 x 2 X 3 Er (x1) Er (x2) Er (x3) 0 1 1 1 1 3.1250 0.4583 3.8958 0.6800 1.1818 0.7433 2 2.1745 0.9962 3.9437 0.4371 0.5399 0.0121 3 2.0220 0.9899 3.9977 0.0754 0.0064 0.0135 4 2.0034 0.9999 3.9989 0.0093 0.0099 0.0003 5 2.0004 0.9998 3.9999 0.0015 0.0000 0.0003 6 2.0001 1.0000 4.0000 0.0002 0.0002 0.0000 7 2.0000 1.0000 4.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4.3.4.1 Método de Gauss Seidel con relajaciones Originalmente las relajaciones se desarrollaron como una técnica de cálculo manual muy sofisticada, para resolver iterativamente grandes sistemas de ecuaciones lineales. La aproximación no es conveniente, en esas condiciones, para su uso en una computadora digital porque la lógica requerida es extensa. Sin embargo, al cambiar algunos de los conceptos originales por otros más simples, fue posible combinarse con el método de Gauss- Seidel obteniendo el conocido método de relajaciones, el cual se explica brevemente a continuación. El método consiste básicamente en el cálculo del valor de cada incógnita, por la iteración de Gauss- Seidel (sistematizado en el diagrama de flujo dado en Fig. D4.2) y, entonces, se modifica el valor así obtenido antes de detener el proceso. La ecuación fundamental para la relajación es: ( ) ( ) { } k i k i k i k i x x x x ÷ + = + + * 1 ) ( ) 1 ( ì (4-22) En esta ecuación la cantidad * ) 1 ( + k i x es el valor de la incógnita obtenida en la iteración actual del método de Gauss- Seidel; mientras que, ì es un número positivo que varía entre 0 y 2 y es llamado factor de relajación. El efecto de este factor puede ser visto más fácilmente si ecuación (4-22) se escribe como: ) ( * ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( k i k i k i x x x ì ì ÷ + = + + (4-23) 87 Fig. D4.2 Diagrama de flujo del método de Gauss – Seidel con relajaciones INTRODUCIR a ij , X i , b i , n, ì, c i, j = 1, . . ., n m ÷ 0 i ÷1 TEMP ÷ b i j ÷ 1 ¿ Es i = j? TEMP ÷ TEMP –x i *a ij ¿ Es j = n? j÷j +1 n n s TEMP ÷TEMP/a ij ,TEMP-x i , >c? m ÷ m +1 x i ÷ x i + ì (TEMP –x i ) s ¿ es i = n? ¿ es m = 0? s FIN s n i ÷ i + 1 s INICIO 88 Si el factor de relajación, ì= 1, entonces, el valor de la incógnita calculado por Gauss Seidel no se modifica. Para 0 < ì < 1, el valor actual obtenido por Gauss – Seidel es ponderado por el valor anterior. Este rango se conoce como de baja relajación¸ sin embargo, si 1 < ì 2, el rango es de sobre-relajación y el valor actual es esencialmente extrapolado más allá del valor dado por Gauss- Seidel. Se tiene probado que para ì > 2, el proceso diverge, por lo que no es recomendable su selección. En muchos de los casos conviene proponer factores de relajación comprendidos en el rango de 0 a 1, sin embargo, esto no necesariamente garantiza una rápida convergencia del método, ya que, el vector inicial con que se empiece a desarrollar el método de Gauss- Seidel, es otro factor que influye en la convergencia del método. Con todas las dificultades que pueda representar la selección del factor de relajación, ì, el uso del mismo, siempre servirá para acortar el camino de la solución de un sistema de ecuaciones lineales y, algunos casos, de sistemas cuadrados de sistemas no lineales, como se verá en las aplicaciones, aunque éste no haya sido el objetivo de esta sección, ya que, los métodos aquí presentados y en la literatura técnica consultada, el propósito primario es la solución de sistemas de ecuaciones lineales, que tienen muchas aplicaciones en el área de ingeniería. Prob. 4.12 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando el método de Gauss-Seidel con relajaciones, aceptando un error c =1x10 -3 y un factor de relajación l= 0.64 4x + y 2 + z = 11 x + 4y + z 2 = 18 x 2 + y + 4z = 15 Solución. El sistema recursivo (paso 1) queda, para este sistema, como: 4 ) ( 11 2 1 k k k z y x ÷ ÷ = + 4 ) ( 18 2 1 1 k k k z x y ÷ ÷ = + + 4 ) ( 15 1 1 2 1 + + + ÷ ÷ = k k k y x z 89 Paso 2. Proponiendo como solución inicial, x 0 = 11/4= 2.750; y 0 = 18/4= 4.500 y z 0 = 15/4=3.750, se tienen los siguientes valores, Paso 3. La sustitución, para Gauss-Seidel, queda: 250 . 3 4 ) 4 / 15 ( ) 4 / 18 ( 11 2 1 ÷ = ÷ ÷ = x Para la ecuación relajante ) ( * ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( k i k i k i x x x ì ì ÷ + = + + , tomando un factor l = 0.64, se tiene: x 1 =0.64(-3.25)+(1-0.64)(2.75) = -1.09 Ahora ya se puede calcular y 1 de la ecuación recursiva: 257 . 1 4 ) 75 . 3 ( ) 09 . 1 ( 18 2 1 = ÷ ÷ ÷ = y De la ecuación relajante: y 1 =0.64(1.257)+(1-0.64)(4.5) = 2.424 847 . 2 4 424 . 2 ) 09 . 1 ( 15 2 1 = ÷ ÷ ÷ = z De la ecuación relajante: z 1 = 0.64(2.847)+(1-0.64)(3.75) = 3.172 Con estos valores se repite el proceso antes descrito. Los resultados a que se llegó son: K X Xr Y Yr Z Zr 0 2.750 4.500 3.750 1 -3.250 -1.090 1.257 2.424 2.847 3.172 2 0.488 -0.080 2.005 2.156 3.209 3.196 3 0.789 0.476 1.827 1.946 3.207 3.203 4 1.003 0.813 1.732 1.809 3.132 3.158 90 5 1.143 1.024 1.751 1.772 3.045 3.086 6 1.194 1.133 1.837 1.813 2.976 3.015 7 1.174 1.159 1.937 1.893 2.941 2.968 8 1.113 1.129 2.016 1.971 2.938 2.949 9 1.041 1.073 2.058 2.027 2.956 2.953 10 0.985 1.017 2.066 2.052 2.979 2.970 11 0.955 0.977 2.051 2.051 2.998 2.988 12 0.951 0.961 2.028 2.036 3.010 3.002 13 0.963 0.962 2.006 2.017 3.014 3.010 14 0.980 0.974 1.991 2.001 3.013 3.012 15 0.996 0.988 1.985 1.991 3.008 3.009 16 1.007 1.000 1.986 1.988 3.003 3.005 17 1.011 1.007 1.990 1.989 2.999 3.001 18 1.010 1.009 1.996 1.993 2.997 2.999 19 1.007 1.008 2.000 1.998 2.997 2.997 20 1.003 1.005 2.003 2.001 2.997 2.997 21 1.000 1.001 2.004 2.003 2.999 2.998 22 0.998 0.999 2.003 2.003 3.000 2.999 23 0.997 0.998 2.002 2.002 3.000 3.000 24 0.998 0.998 2.001 2.001 3.001 3.000 25 0.999 0.998 2.000 2.000 3.001 3.001 26 1.000 0.999 1.999 2.000 3.000 3.001 27 1.000 1.000 1.999 1.999 3.000 3.000 28 1.001 1.000 1.999 1.999 3.000 3.000 29 1.001 1.000 2.000 2.000 3.000 3.000 30 1.000 1.000 2.000 2.000 3.000 3.000 31 1.000 1.000 2.000 2.000 3.000 3.000 De aquí se concluye que la solución es: x = y = 1/2z =1. 91 Problemas propuestos 4.1 Escribir un programa de computadora para resolver un grupo de ecuaciones lineales simultáneas por el método de Eliminación completa de Gauss - Jordan. Suponer que la maximización del pivote no es requerida. El programa debe ser capaz de resolver sistemas de ecuaciones de cualquier tamaño, pero no mayor de 20x20. 4.2 Escribir un programa de computadora para resolver un sistema de ecuaciones lineales simultáneas por el método iterativo de Gauss - Seidel ó por puntos de relajación. El programa debe ser capaz de resolver sistemas de ecuaciones de cualquier tamaño, pero no mayor de 20x20. La entrada debe incluir la solución inicial, para las variables no conocidas, el criterio de convergencia (el cual puede ser absoluto o relativo, como se prefiera) y el factor de relación. 4.3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando eliminación completa de Gauss - Jordan. ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ 27 12 15 4 9 1 3 4 2 7 2 3 3 2 1 x x x 4.4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales, usando el programa de computadora escrito en el problema 4.1: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 34 10 13 8 24 17 47 9 1 7 2 1 2 7 1 4 1 11 8 9 2 1 1 2 7 1 3 4 2 1 7 2 3 1 1 11 6 1 5 7 1 2 2 9 1 15 9 1 1 8 3 2 4 6 5 3 7 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x 4.5 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método iterativo de Gauss & Seidel; así también por el método de Jacobi. Compare el número de iteraciones para obtener la solución, si converge. 92 a) ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ 87 19 47 20 15 3 1 4 1 2 1 7 z y x b) ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ 37 21 12 2 3 7 2 1 4 3 2 9 12 4 1 3 4 2 10 1 z y x w 4.6 Resolver el sistema tridimensional dado, usando la iteración de Gauss & Seidel, mediante el programa escrito en 4.2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 15 15 15 15 15 15 15 15 15 27 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x x 4.7 Resolver el problema 4.4 usando relajación, con los factores de 1.3, 1.6 y 1.8. Compare, en cada caso, el número de iteraciones requeridas y diga ¿cuál es mejor, el método iterativo de Gauss & Seidel o el método iterativo con relajaciones? 4.8 En los siguientes problemas obtenga las soluciones básicas, indicando si existe degeneración, inconsistencia o redundancia. a) x 1 + 3x 2 –x 3 + x 4 =4 b) 3x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 = 10 2x 1 –6x 2 + 6x 3 –x 4 = -6 x 1 + x 2 - 2x 3 + 3x 4 = 16 d) 5x 1 - 2x 2 + 7x 3 - x 4 =21 e) 7x 1 - 2x 2 + x 3 - 4x 4 =15 2x 1 + x 2 - 3x 3 –x 4 = 20 3x 1 + 3x 2 -4x 3 + 2x 4 = -18 14x 1 - 4x 2 + 2x 3 - 8x 4 = 18 16x 1 + 2x 2 -6x 3 + 2x 4 = 16 93 Capítulo 5 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 5.1 Introducción Las observaciones y los experimentos científicos se registran, en forma tabular, como puntos discretos; de igual manera ocurre con los resultados de cálculos numéricos para una función. Estos puntos, extendidos a lo largo de la variable independiente, conducen a gráficas como la mostrada en figura 5.1. Los valores de la función f(x) pueden estar espaciados en forma constante o no, a lo largo del eje horizontal. En este capítulo se discutirán los métodos y técnicas para estimar el valor de la función f(x) entre puntos tabulados; es decir, se interpolarán valores de la función f(x) no conocidos, a partir de un grupo de datos obtenidos de una investigación o experimento. La interpolación puede ser lineal ó polinomial; la primera de ellas, se aplica para dos puntos consecutivos siempre y cuando, la gráfica de los puntos dados describan aproximadamente una línea recta; sin embargo, la interpolación polinomial es aplicada para los puntos cuya gráfica no describe una recta. V a l o r e s d e f ( x ) Variable independiente X Figura 5.1 puntos discretos 94 5.2 Interpolación lineal Cuando se aplica esta interpolación, se asume que los puntos consecutivos, de coordenadas (x i , y i ) y (x i+1 , y i+1 ) se unen con una recta, como se muestra en figura 5.2. Estos puntos consecutivos, son dos cualesquiera de la información dada u obtenida, entre los cuales está el punto no conocido. Fig. 5.2 Representación gráfica de interpolación lineal Con base en la figura anterior y de acuerdo con la geometría elemental, el valor de f(x) puede obtenerse con ecuación de una recta. f(x) = f(x i ) + ( ) i i i i i x x x x x f x f ÷ ÷ ÷ + + 1 1 ) ( ) ( (5-1) donde f(x) es el valor de la función para cualquier valor de x que se encuentre entre x i y x i+1 . Ejempo 5.1 Dados los siguientes datos, obtenga el valor de f(x) x = 2.9 x –1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 7 4.98 3.01 1 -1 -3 -4.89 -7 Solución. La gráfica muestra que es correcto aplicar interpolación lineal, ya que, los datos se ajustan a una línea recta. Para aplicar ecuación (5-1), se tiene que x i = 2, con f(x i ) = 1 y x i+1 = 3, con f(x i+1 ) = -1; entonces: 95 ( ) ( ) ( ) ( ) 80 . 0 2 2 3 1 1 1 ) 9 . 2 ( ) ( ) ( 9 . 2 1 1 ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ + = ÷ ÷ ÷ + = + + x f x x x x x f x f x f f i i i i i i Figura del problema 5.1 -8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x f ( x ) 5.3 Interpolación polinomial La interpolación polinomial se usa cuando al graficar, la base de datos, los puntos no se pueden ajustar a una recta, como ya se dijo antes. Es claro que para la figura 5.1, este tipo de interpolación sería el más apropiado, ya que, la función f(x) describe una curva. Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como datos, los cuales se muestran comúnmente como una tabla de valores o se toman directamente de una función dada. La interpolación de los datos puede hacerse mediante un polinomio algebraico, las funciones spline, una función racional o las series de Fourier, entre otras posibles formas. La interpolación polinomial es uno de los temas más importantes en métodos numéricos, ya que la mayoría de los demás modelos numéricos se basan en esa forma de interpolación. Por ejemplo, los modelos de integración numérica se obtienen integrando fórmulas de interpolación polinomial y, los modelos de diferenciación numérica se obtienen derivando las interpolaciones polinomiales. Los datos obtenidos mediante una medición pueden interpolarse, pero en la mayoría de los casos no es posible una interpolación directa debido a los errores 96 aleatorios implicados en la propia medición. Así pues, el ajuste de una curva a los datos obtenidos de esta forma, se describe un la segunda sección de este capítulo. 5.3.1 Interpolación de Lagrange En algunas ocasiones los datos obtenidos no contienen un cambio constante en la variable independiente, ya que muchas de las veces no es posible recabar la información de esa manera. Si además, los valores puntuales no se agrupan en una recta (Fig. 5.1), con mayor razón la interpolación lineal no es la más apropiada. En este caso se debe usar una interpolación polinomial, a la cual corresponde la fórmula de Lagrange. Considere una serie de puntos de coordenadas [x i , f(x i )] donde las x i no están, en general, igualmente espaciados e i puede tomar todos los valores enteros de 0 a n (lo que indica que hay n+1 de esos puntos). Un ejemplo típico es mostrado en la figura 5.3, para n = 9 (tabla 5.1). Como se verá después con más detalle, un polinomio de orden n que pasa a través de n+1 puntos es único. Esto significa que, independientemente de la fórmula de interpolación que se aplique, todas las interpolaciones polinomialeas que se ajustan a los mismos datos son matemáticamente idénticas. TABLA 5.1 Información con espacios diferentes I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x i 2 4 6 7 9 11 13 14 15 f(x i ) 8 12 7 6 7.4 7 17 20 18 Fig. 5.3. Gráfica de puntos con espacios desiguales 97 Supóngase que se tienen n+1 puntos, tales como: x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 --------x n-1 x n f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 -------- f n-1 f n donde x 0 , x 1 , ... son las abscisas de los puntos, dados en orden creciente; los espacios entre ellos son arbitrarios, como ya se dijo. El polinomio de orden n que pasa a través de los n+1 puntos se puede escribir en una serie de potencias. g(x) = a 0 +a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a n x n (5-2) donde los a i son coeficientes. El ajuste de la serie de potencias a los n+1 puntos dados, da un sistema de ecuaciones lineales. n n x a x a x a a f 0 2 0 2 0 1 0 0 ... + + + + = n n x a x a x a a f 1 2 1 2 1 1 0 1 ... + + + + = n n x a x a x a a f 2 2 2 2 2 1 0 2 ... + + + + = (5-3) . . . n n n n n n x a x a x a a f + + + + = ... 2 2 1 0 Aunque los coeficientes a i pueden determinarse resolviendo el sistema de ecuaciones, se deja para el ajuste de curvas esta tarea, por lo pronto se aplicará la interpolación de Lagrange y las fórmulas de Gregory- Newton, para efectuar la interpolación polinomial. En particular, para la interpolación de Lagrange, considere el producto de los factores dados por: V 0 (x) =(x-x 1 )(x-x 2 )...(x-x n ) (5-4) que se refieren a los n+1 puntos dados antes. La función V 0 es un polinomio de orden n de x y se anula en x = x 1 , x 2 , ..., x n . Si se divide V 0 (x) entre V 0 (x 0 ), la función resultante ) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 1 0 2 1 0 0 0 0 n n x x x x x x x x x x x x x V x V x P ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = (5-5) 98 toma el valor de uno para x = x 0 , y de cero para x = x 1 , x = x 2 , ..., x = x n . En forma análoga puede escribirse ) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 0 1 2 0 1 1 1 1 n n x x x x x x x x x x x x x V x V x P ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = (5-6) siendo el valor de uno para x = x 1 , y de cero para x = x 1 , x = x 2 , ..., x = x n . En general, puede escribirse ) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 n i i i n i i i i x x x x x x x x x x x x x V x V x P ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = (5-7) donde el numerador no incluye (x = x i ) y el denominador omite (x i –x). La función V i (x) es un polinomio de orden n y toma el valor de uno en x = x i y cero en x = x j , para j=i. Así, si multiplicamos V 0 (x), V 1 (x), V 2 (x),..., V n (x) por f 0 , f 1 , f 2 ,..., f n , respectivamente y las sumamos, el resultado será un polinomio cuando más de orden n e igual a f i para cada i = 0 hasta i = n. La fórmula de interpolación de Lagrange, así obtenida se escribe como: g(x)= P 0 (x)f 0 + P 1 (x)f 1 + P 2 (x)f 2 + ... + P n (x)f n (5-8) Ejemplo 5.2 Si se tienen los datos dados en la tabla de abajo, interpole mediante la fórmula de Lagrange, para estimar f(7). I 0 1 2 3 Xi 1 2 4 8 f(xi) 1 3 7 11 Solución. Sustituyendo x = 7 en ecuaciones (5-5), (5-6) y (5-7), se llega a los siguientes resultados: 71429 . 0 ) 8 1 )( 4 1 )( 2 1 ( ) 8 7 )( 4 7 )( 2 7 ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = x V x V x P 500 . 1 ) 8 2 )( 4 2 )( 1 2 ( ) 8 7 )( 4 7 )( 1 7 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = x V x V x P 99 250 . 1 ) 8 4 )( 2 4 )( 1 4 ( ) 8 7 )( 2 7 )( 1 7 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = x V x V x P 53571 . 0 ) 4 8 )( 2 8 )( 1 8 ( ) 4 7 )( 2 7 )( 1 7 ( ) ( ) ( ) ( 3 3 3 3 = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = x V x V x P sustituyendo en ecuación (5-8), se tiene, finalmente: g(x)= (0.71429)(1) + (-1.500)(3) + (1.2500)(7) + (0.53571)(11) = 10.85710 o sea que f(7) ~ 10.85710 Ejemplo 5.3 Las densidades de sodio para tres temperaturas están dadas como sigue: I Temperatura ( 0 C) Densidad ( kg/m 3 ) 0 94 929 1 205 902 2 371 860 a) Escriba la fórmula de interpolación de Lagrange que se ajusta a los tres datos b) Determine la densidad para una temperatura, T = 251 0 C utilizando la fórmula obtenida en el paso anterior. Solución a) Ya que el número de datos es tres, el orden de la fórmula de Lagrange es n=2, por lo que ésta queda, + ÷ ÷ ÷ ÷ = ) 929 ( ) 371 94 )( 205 94 ( ) 371 )( 205 ( ) ( T T x g + ÷ ÷ ÷ ÷ ) 902 ( ) 371 205 )( 94 205 ( ) 371 )( 94 ( T T ) 860 ( ) 205 371 )( 94 371 ( ) 205 )( 94 ( ÷ ÷ ÷ ÷ T T Solución b) Sustituyendo T = 251 0 C en el polinomio anterior, se tiene g(x) = 890.55612 kg/m 3 100 5.3.2 Interpolación polinomial, mediante fórmulas de Gregory – Newton Las fórmulas de Gregory y Newton son recomendadas cuando la variación de la variable independiente es constante (Ax = constante). Su aplicación se apoya fuertemente en las diferencias finitas de los valores de la función f(x). Se usan diferencias finitas hacia delante, simbolizadas con Af, cuando el valor de la variable independiente x, para el cual se requiere estimar la función, queda ó se localiza cerca del inicio del rango de valores dados; sin embargo, cuando el valor buscado queda cerca del final de este rango, se usan diferencias finitas hacia atrás, que se simbolizan con Vf. Por otra parte, cuando la función a estimar se localiza muy cerca del centro del rango de valores dados, se usan diferencias finitas centrales, cuyo símbolo es of. 5.3.2.1 Fórmula con diferencias hacia adelante Si se considera que los valores dados están distribuidos como se muestra en la figura 5.4, donde la variación de x es h y, si la función es analítica, de la serie de Taylor se puede escribir, para x = 0: ... ) 0 ( ' " ! 3 ) 0 ( " ! 2 ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( 3 2 + + + + = f x f x xf f x f + (5-9) Aunque ninguno de los valores para las derivadas son conocidos, puede escribirse que: Fig. 5.4 Gráfica de datos con espacios de paso iguales 101 ) ( ) 0 ( " 2 ) 0 ( ' 2 0 h f h h f f 0 + ÷ A = (5-10) con lo cual, ecuación (5-9) queda como, n n i h n jh x x f h h x h x h x x f h h x h x x f h h x x f h x x f x f ! ) ( ... ! 4 ) 3 )( 2 )( ( ! 3 ) 2 )( ( ! 2 ) ( ) ( ) ( 1 1 0 4 4 0 3 3 0 2 2 0 0 ÷ + + A ÷ ÷ ÷ + + A ÷ ÷ + A ÷ + A + = H ÷ = (5-11) la cual es llamada fórmula de interpolación de Gregory – Newton con diferencias hacia delante. Las diferencias se obtienen de una tabla de diferencias finitas hacia delante, desde luego. El subíndice “0” se refiere al valor de las diferencias que se encuentran en el renglón base, el cual corresponde al primer valor de x en el intervalo donde se encuentra el valor para el cual deseamos interpolar; por ejemplo, si un grupo de valores está dado desde x =-2 hasta x = 5, con h = 1 y se desea estimar f(-1.8) que no esté en la tabla de valores; el valor de x = -1.8 está en el intervalo |-2,-1|, por lo que x 0 = -2; es decir, el renglón base es el que tiene como x = x 0 . Ejemplo 5.4 Para los datos de la tabla E5.4 cuya gráfica se muestra en figura 1E5.1, determine f(1.1) x 0 1 2 3 4 5 f(x) -7 -3 6 25 62 129 Solución. Como x int = 1.1 se encuentra al inicio del rango de información dado y Δx es constante, se usarán diferencias finitas hacia delante (tabla E5.4) donde se -20 0 20 40 60 80 100 120 140 0 1 2 3 4 5 6 f ( x ) X 102 observa que el renglón base es aquel que tiene x = 1, por consiguiente x = 1.1-1 = 0.1 Tabla E5.4 Diferencias finitas hacia delante. x f(x) Af A 2 f A 3 f A 4 f A 5 f 0 -7 4 5 5 3 1 1 -3 9 10 8 4 Renglón base 2 6 19 18 12 3 25 37 30 4 62 67 5 129 De ecuación (5-11) y con datos de tabla E5.4, se tiene: ) 8 ( ) 1 ( ! 3 ) 2 1 . 0 )( 1 1 . 0 ( 1 . 0 ) 10 ( ) 1 ( ! 2 ) 1 1 . 0 ( 1 . 0 ) 9 ( 1 1 . 0 ) 3 ( ) 1 . 0 ( 3 2 ÷ ÷ + ÷ + + ÷ = f 40465 . 2 ) 4 ( ) 1 ( ! 4 ) 3 1 . 0 )( 2 1 . 0 )( 1 1 . 0 ( 1 . 0 4 ÷ = ÷ ÷ ÷ + 5.3.2 2 Fórmula con diferencias finitas hacia atrás Una fórmula enteramente similar se puede obtener con diferencias hacia atrás, la cual queda, ahora como: + V + + + V + + V + = 0 3 3 0 2 2 0 0 ! 3 ) 2 )( ( ! 2 ) ( ) ( ) ( f h h x h x x f h h x x f h x x f x f ( )( )( ) 0 1 1 0 4 4 ! ) ( ... . ! 4 3 2 f h n jh x x f h h x h x h x x n n n i V + + + V + + + H ÷ = (5-12) en este caso, se considera que el recorrido, del eje “x”, se realiza en sentido contrario al convencional y, el renglón base queda determinado de la misma forma que con diferencias hacia delante; es decir, corresponde al primer valor del intervalo 103 donde se encuentra el valor para el cual deseamos interpolar, encontrado en el sentido del recorrido. Finalmente, el valor x de la fórmula, se calcula (si el valor de x para el cual deseamos interpolar se simboliza por x int ): x = x int – x 0 (5-13) Ejemplo 5.5. Para los valores del ejempo 5.4, se desea estimar el valor de la función f(x) para cuando x = 4.5, mediante la interpolación más apropiada. Tabla E5.5 valores de la función f(x) x 0 1 2 3 4 5 f(x) -7 -3 6 25 62 129 Solución. De acuerdo con la figura, es notorio que debe realizarse una interpolación polinomial; además, se observa que ∆x es constante, por lo que será apropiado aplicar una de las fórmulas de Gregory Newton. En particular, la de diferencias finitas hacia atrás, cuya tabla se muestra a continuación. X f(x) Vf V 2 f V 3 f V 4 f V 5 f 0 -7.0 1 -3.0 4.0 2 6.0 9.0 5.0 3 25.0 19.0 10.0 5.0 4 62.0 37.0 18.0 8.0 3.0 5 129.0 67.0 30.0 12.0 4.0 1.0 En la tabla de diferencias se ha marcado con negritas el renglón base, por lo que, es fácil identificar x 0 = 5 (x = 4.5– 5=-0.5), f(0) = 129, etc. Por lo que de ecuación (5.12) se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 817 . 90 ) 1 ( ) 1 ( ! 5 ) 5 . 3 )( 5 . 2 )( 5 . 1 ( 5 . 0 ( 5 . 0 4 1 ! 4 ) 5 . 2 )( 5 . 1 )( 5 . 0 ( 5 . 0 12 1 ! 3 ) 5 . 1 )( 5 . 0 ( 5 . 0 30 1 ! 2 ) 5 . 0 ( 5 . 0 67 1 5 . 0 129 ) 5 . 4 ( 5 4 3 2 = ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + = f 104 5.3.2.3 Interpolación con diferencias centrales Hay ocasiones en que el valor de la variable independiente, para el cual se requiere interpolar, está cerca de la parte central del conjunto de datos. En este caso, se tendrá una mejor aproximación, si se usan diferencias centrales simbolizadas con of 0 . Sin embargo, las diferencias hacia adelante proporcionan buenos resultados. Para la estimación de f(x), por diferencias centrales, existen varias fórmulas estudiadas. Dos de las más socorridas, por su sencillez, son: Fórmula de Stirling ... ) ( ! 5 ) 1 )( 1 ( ) ( ! 4 ) 1 ( ) ( ! 3 ) 1 ( ) ( ! 2 ) ( ) 0 ( ) ( 0 5 2 2 0 4 2 2 0 3 2 0 2 2 0 + ÷ ÷ + ÷ + ÷ + + + = f x x x f x x f x x f x f x f x f o o o o o (5-14) Fórmula de Bessel ... ) ( ! 5 ) )( ( ) ( ! 4 ) )( ( ) ( ! 3 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 5 4 9 2 4 1 2 0 4 4 9 2 4 1 2 0 3 4 1 2 0 2 4 1 2 0 + ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ + ÷ + + = f x x x f x x f x x f x f x f x f o o o o o (5-15) En esta sección será aplicada la fórmula de Bessel; para ello se requiere que el valor de x (obtenido con la fórmula 5-13) debe estar en el rango de ± 0.25. Si los datos tienen espaciamientos mayores que este valor, entonces se recomienda que se sub-dividan los intervalos; primero a la mitad con valores de f(x) igual al promedio de los que se tienen en cada intervalo y se hace la prueba del valor de x, en caso que sea cumplida se aplica la ecuación directamente, pero de no ser así, se hace otra partición, hasta que se cumpla la condición. Ejemplo 5.6. Para los datos del ejemplo 5.5, se desea interpolar para estimar f(2.7). 105 Solución. Puesto que el intervalo general de valores está dado para 0 s x s 5, entonces x = 2.7 está muy cerca del centro de este rango de valores, por lo que, la fórmula de Bessel dará buen resultado. Una tabla inicial será. Tabla E5.6 Muestra de datos cuando se realizan diferencias centrales x f(x) of o 2 f o 3 f o 4 f o 5 f 0 -7 4 1 -3 5 9 5 2 6 10 3 Reng-Base 19 8 1 3 25 18 4 37 12 4 62 30 67 5 129 Tomando en cuenta que el renglón base es el señalado con x 0 = 2, entonces x =2.7-2.0 = 0.70>0.25. Se observa que no se cumple la condición y por tanto, es necesario dividir los intervalos de Ax a la mitad y calcular los valores de f(x) como la media de los valores presentes. Los resultados a que se llegó se presentan en la siguiente tabla. x f(x) of o 2 f o 3 f o 4 f o 5 f 0 -7 0.5 -5 4 1 -3 6.5 5 1.50 1.50 9 7.5 5 2 6 14 10 6.5 3 2.50 15.50 19 14 8 3.5 1 3 25 28 18 10 4 3.50 43.50 37 24 12 4 62 52 30 4.50 95.50 67 5 129 106 En esta ocasión el renglón base está a una distancia de 0.20 de x = 2.7, por lo que se cumple la condición y puede aplicarse la fórmula de interpolación para diferencias centrales, quedando: 84245 . 17 ) 1 ( ! 5 ) 2 . 0 )( 2 . 0 ( 2 . 0 ) 5 . 3 ( ! 4 ) 2 . 0 )( 2 . 0 ( ) 8 ( ! 3 ) 2 . 0 ( 2 . 0 ) 14 ( ! 2 ) 2 . 0 ( ) 19 ( 2 . 0 5 . 15 ) 2 . 0 ( ) 5 . 2 ( 4 9 2 4 1 2 4 9 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 = ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ + ÷ + + = = f f 5.4 Ajuste de curvas- Aproximación funcional Método de mínimos cuadrados Cuando se tienen parejas de valores (x, y), tabulados como los dados en tabla 5.1, y se quiere estimar el valor de la función f(x) solamente para un valor de la variable independiente x, el problema se resuelve con la interpolación o extrapolación, según que el valor por estimar se encuentre entre o fuera de los datos discretos conocidos, respectivamente. Sin embargo, en muchos de los casos se desea tener una ecuación que represente todos esos datos y que con sólo proponer (en ella) valores de x se obtengan los valores de la función de manera inmediata. Esta ecuación puede ser un polinomio de grado n [representado por g(x)] ó una función especial que se determina con ayuda de la experiencia del investigador. Puesto que g(x) no pasará, en general, por todos los puntos (Fig. 5.5), existirá un error c entre g(x) y f(x); por lo que será necesario proponer un método que minimice dicho error. El método de mínimos cuadrados garantiza este requisito y con esas definiciones, la magnitud de la distancia local está dada por: ) ( ) ( ) ( x g x f x d ÷ = (5-16) Si hacemos esta práctica para cada punto y, tomando en cuenta que, el cuadrado de esta diferencia será aún más pequeña, entonces el error total simbolizado por E, para todos los puntos puede escribirse: 107 | | ¿ ¿ = = = = ÷ = = n i i n i i i x f x g x d E 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( (5-17) que debe ser minimizado. Fig. 5.5 Puntos discretos con línea de tendencia Considerando que g(x) corresponde a un polinomio de grado l, ecuación (5- 17) se transforma en: | | 2 4 4 3 3 2 2 1 0 1 ... ) ( l l n i x a x a x a x a x a a x f E + + + + + + ÷ = ¿ = (5-18) que también puede escribirse: | | 2 4 4 3 3 2 2 1 0 1 ) ( ... x f x a x a x a x a x a a E l l n i ÷ + + + + + + = ¿ = (5-19) por estar entre paréntesis un valor absoluto. La minimización del cuadrado del error E, puede obtenerse igualando a cero la primer derivada parcial de E calculada para cada coeficiente a i , en virtud de la propiedad del cálculo diferencial. 0 ... 2 1 0 = c c = c c = c c = c c l a E a E a E a E (5-20) 108 Para ilustrar el desarrollo, paso a paso, de la forma de estas ecuaciones se realiza la primer derivación de las ecuaciones dadas en (5-20). De esta manera se tiene, para la primer constante a 0 . | | | | ) ( ... ) ( ... 2 2 2 1 0 0 1 3 3 2 2 1 0 0 i l l n i i l i l i i x f x a x a x a a a x f x a x a x a x a a a E ÷ + + + + c c ÷ + + + + + = c c ¿ = | | 0 ) 1 ( ) ( ... 2 1 3 3 2 2 1 0 0 = ÷ + + + + + = c c ¿ = n i i l i l i i x f x a x a x a x a a a E Dividiendo por 2 e introduciendo el símbolo sumatoria dentro del paréntesis y pasando al segundo miembro f(x i ), queda: ) ( ... 1 1 3 1 3 2 1 2 1 1 1 0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ = = = = = = = ( ¸ ( ¸ + + ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ + n i i l n i l i n i i n i i n i i n i x f a x a x a x a x a El desarrollo del primer término de esta ecuación es: ( ) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 ... 1 1 1 ... na a a a a a a a n i = + + + + = + + + + + = ¿ = por lo que la ecuación final queda como: ) ( ... 1 1 3 1 3 2 1 2 1 1 0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ = = = = = = ( ¸ ( ¸ + + ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ + n i i l n i l i n i i n i i n i i x f a x a x a x a x na y así para las demás derivadas planteadas en ecuaciones (5-20), llegando al arreglo matricial siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ = ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ + + + + i l i i i i i i l l i l i l i l i l i i i i l i i i i l i i i x f x x f x x f x x f a a a a x x x x x x x x x x x x x x x n 2 2 1 0 2 2 1 2 4 3 2 1 3 2 2 . 109 Para funciones especiales (trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.), se sustituye en ecuación (5-19), la ecuación especial correspondiente, derivando la ecuación resultante, tantas veces como constantes contenga dicha función; originando una ecuación por cada constante. Por ejemplo, si la función especial es g(x) = A + Bsen(x), entonces, ecuación (5-19) se transforma en: | | 2 1 ) ( ¿ = ÷ + = n i i i x f Bsenx A E (5-21) y el sistema de ecuaciones se obtiene al derivar parcialmente, primero con respecto a la constante A y, después, con respecto de la constante B, como se muestra a continuación. A E c c = | | | | 0 ) ( ) ( 2 1 = ÷ + c c ÷ + ¿ = i i n i i i x f Bsenx A A x f Bsenx A como | | 1 ) ( = ÷ + c c i i x f Bsenx A A A E c c = | | 0 ) 1 ( ) ( 2 1 = ÷ + ¿ = n i i i x f Bsenx A de donde, la ecuación resultante queda: ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ + ¿ ¿ = = n i i n i i x f B senx nA 1 1 ) ( Ecuación 1 La derivada parcia con respecto a B es: B E c c = | | | | 0 ) ( ) ( 2 1 = ÷ + c c ÷ + ¿ = i i n i i i x f Bsenx A B x f Bsenx A dado que, | | i i i senx x f Bsenx A B = ÷ + c c ) ( 110 B E c c = | | 0 ) ( 2 1 = ÷ + ¿ = i n i i i senx x f Bsenx A llegando a, ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ ¿ ¿ ¿ = = = n i i i n i i n i i x f senx B x sen A senx 1 1 2 1 ) ( Ecuación 2 Cuando la función especial es g(x) = ae bx , ó g(x) = ax b , ecuación (5-19) queda, respectivamente. | | 2 1 ) ( ¿ = ÷ = n i i bx x f ae E | | 2 1 ) ( ¿ = ÷ = n i i d x f cx E En estos casos, si la derivación representa problemas para el estudiante, se recomienda linearizar la ecuación propuesta mediante la aplicación de logaritmos. g(x) = ae bx , se transforma en ---- Ln g(x) = Lna + bx -- y = b + mx ( 5-22 a ) g(x) = cx d , se transforma en ----- Ln g(x) = Lnc + dLnx - y =b + mx ( 5-22 b ) Ejemplo 5.7 Obtenga el mejor polinomio de ajuste, para los siguientes datos: X 2.10 6.22 7.17 10.52 13.68 f(x) 2.90 3.85 5.80 5.76 7.74 Solución. Puesto que los datos están alineados aproximadamente en una línea recta (ver figura), se puede ajustar con un polinomio de grado l = 1; por lo que, el sistema que permite obtener los coeficientes de ajuste a 0 y a 1 , es: ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ ( ¸ ( ¸ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ i i i i i i f x f a a x x x n 1 0 2 . 111 Figura del problema 5.7 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x f ( x ) Para la información dada, los coeficientes de dicho sistema son: ¿ = n i i x 1 =2.10 + 6.22 + 7.17 + 10.52 + 13.68 = 39.69 ¿ = n i i x 1 2 = (2.10) 2 + (6.22) 2 + (7.17) 2 + (10.52 ) 2 + (13.68) 2 = 392.3201 ¿ = n i i x f 1 ) ( = 2.90 + 3.85 + 5.80 + 5.76 + 7.74 = 26.05 ¿ = n i i i x f x 1 ) ( =(2.10)(2.90)+(6.22)(3.85)+…+(13.68)(7.74)=238.1014 Sustituyendo en dicho sistema, n = 5 y demás sumatorias obtenidas, se encontró la solución, para las constantes: ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ ( ¸ ( ¸ 1014 . 238 05 . 26 . 3201 . 392 69 . 39 69 . 39 5 1 0 a a a 0 = 1.99245475589 y a 1 = 0.405334497873 de esta manera, el polinomio de ajuste es: g(x) = 1.99245475589+ 0.405334497873x 112 Ejemplo 5.8. Dados los siguientes datos: X 0 1.0 1.5 2.3 2.5 4.0 5.1 6.0 6.5 7.0 8.1 9.0 f(x) 0.2 0.8 2.5 2.5 3.5 4.3 3.0 5.0 3.5 2.4 1.3 2.0 continuación X 9.3 11.0 11.3 12.1 13.1 14.0 15.5 16.0 17.5 17.8 19.0 20.0 f(x) -0.3 -1.3 -3.0 -4.0 -4.9 -4.0 -5.2 -3.0 -3.5 -1.6 -1.4 -0.1 a) Determine el grado del polinomio de ajuste, mediante el método gráfico y posteriormente obtenga, usando el criterio de mínimos cuadrados, el polinomio de referencia. b) Revise si el gráfico puede ajustarse mediante una función especial. De ser así, obtenga dicha función. c) Haga una gráfica donde se encuentren dibujados los datos, el polinomio de ajuste obtenido en a) y la función especial determinada en b). Solución a). De la gráfica, de los datos, se concluye que, el polinomio de ajuste debe ser de tercer grado (l = 3), ya que, para el rango de información se nota que los puntos interceptan tres veces el eje x, por lo que el polinomio propuesto es: g 1 (x) = a 0 + a 1 x +a 2 x 2 + a 3 x 3 . Para obtener los coeficientes de este polinomio se aplica el método de mínimos cuadrados. El sistema a resolver es: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ) ( ) ( ) ( ) ( . 3 2 3 2 1 0 6 5 4 3 5 4 3 2 4 3 2 3 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x f x x f x x f x x f a a a a x x x x x x x x x x x x x x x n Tomando en cuenta que son 24, desarrollando las sumatorias y productos indicados, se llegó a: 113 ¿ = n i i x 1 = 0.0 + 1 + 1.5 + ...+ 19 + 20 = 229.50 ¿ = n i i x 1 2 = (0) 2 + (1) 2 + (1.5) 2 +...+ ( 19 ) 2 + (20) 2 = 3,060.20 ¿ = n i i x 1 3 = (0) 3 + (1) 3 + (1.5) 3 + ... + ( 19) 3 + ( 20) 3 = 46,342.79 ¿ = n i i x 1 4 =(0) 4 + (1) 4 + (1.5) 4 + ...+ ( 19) 4 + (20) 4 = 752,835.21 ¿ = n i i x 1 5 =(0) 5 + (1) 5 + (1.5) 5 + ...+ ( 19) 5 + (20) 5 = 12,780,147.70 ¿ = n i i x 1 6 =(0) 6 + (1) 6 + (1.5) 6 + ...+ ( 19) 6 + (20) 6 = 223,518,116.77 ¿ = n i i x f 1 ) ( = 0.2+ 0.8 + 2.5 +...+ (-1.4) + (-0.1) = -1.30 ¿ = n i i i x f x 1 ) ( =(0)(0.2)+ ( 1.0)(0.8)+ (1.5)(2.5)+ ...+ (19)(-1.4)+ (20)(-0.1) = -316.88 ¿ = n i i i x f x 1 2 ) ( =(0) 2 (0.2)+ ( 1.0) 2 (0.8)+ (1.5) 2 (2.5)+ ...+ (19) 2 (-1.4)+ (20) 2 (-0.1) = -6,037.242 ¿ = n i i i x f x 1 3 ) ( =(0) 3 (0.2)+ ( 1.0) 3 (0.8)+ (1.5) 3 (2.5)+ ...+ (19) 3 (-1.4)+ (20) 3 (-0.1) = -9,943.3597 ( ( ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ ÷ ÷ = ( ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ( ¸ ( ¸ 597 . 99433 242 . 6037 88 . 316 30 . 1 . 77 . 223518116 70 . 12780147 21 . 752835 79 . 46342 70 . 12780147 21 . 752835 79 . 46342 2 . 3060 21 . 752835 79 . 46342 2 . 3060 6 . 229 79 . 46342 2 . 3060 2 . 229 24 3 2 1 0 a a a a 114 La solución de este sistema, mediante el método de eliminación completa de Gauss- Jordan conduce a los siguientes resultados: a 0 =-0.35934718 a 1 = 2.3051112 a 2 = -0.35319014 a 3 = 0.01206020 por tanto, el polinomio de ajuste es, g 1 (x) =-0.35934718+ 2.3051112X -0.35319014X 2 + 0.01206020X 3 . Solución b) La gráfica sugiere el uso de una función trigonométrica, tal como el seno. Podría proponerse, entonces, la función especial: ) 10 ( ) ( 2 x Bseno A x g t + = ya que, el período debe tomarse como 20. Del criterio de mínimos cuadrados, se puede escribir, según ecuación (5-21): 2 1 ) ( ) 10 ( ¿ = ( ¸ ( ¸ ÷ + = n i i i x f x Bseno A E t llegando al siguiente sistema, ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ + ¿ ¿ = = n i i n i i x f B x seno nA 1 1 ) ( ) 10 ( t (a) ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ + ( ¸ ( ¸ ¿ ¿ ¿ = = = n i i i n i i n i i x f x seno B x seno A x seno 1 1 2 1 ) ( ) 10 ( ) 10 ( ) 10 ( t t t (b) por un procedimiento similar al inciso anterior, se llega a, 24A + 1.1328096B = -1.300, para ecuación (a) 1.1328096A + 11.053666B = 47.515395, para ecuación (b) 115 resolviendo el sistema se tienen los siguientes valores para las constantes, A= -0.25831225 y B = 4.3250821 por lo que, el polinomio de ajuste queda, ) ( 2 x g = -0.25831225 + 4.3250821 ) 10 ( x seno t La gráfica siguiente muestra una vista de conjunto, es decir, los datos, el polinomio g 1 (x) y la función g 2 (x), con el objeto de visualizar la bondad de las propuestas de solución. Cabe señalar que ambas soluciones son consistentes quedando a juicio del investigador la selección final de alguna de ellas. gráfica de conjunto del prob. 5.6 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 0 5 10 15 20 25 x f ( x ) dato g1(x) g2(x) Ejemplo 5.9 Ajuste los datos dados en la siguiente tabla, a una ecuación de potencias. 116 x f(x) 1 0.5 2 1.7 3 3.4 4 5.7 5 8.4 Solución. El modelo de una ecuación de potencias es: 2 2 ) ( b x a x g = la cual se puede linearizar aplicando logaritmos a ambos miembros de la igualdad. Ln g(x) = lna 2 + b 2 |ln x| que corresponde a la ecuación de a recta: Y = B + mX Por comparación de estas dos ecuaciones se tiene que, Lng(x) = Y; B = lna 2 ; X = ln x, y m = b 2 ; por consiguiente, se organizaron los datos, como se sigue, para determinar los valores de las constantes, a 2 y b 2 DATOS ORIGEN Ln(x) Ln(f) X f(x) X Y X 2 XY 1 0.500 0.000 -0.693 0.000 0.000 2 1.700 0.693 0.531 0.480 0.368 3 3.400 1.099 1.224 1.207 1.344 4 5.700 1.386 1.740 1.922 2.413 5 8.400 1.609 2.128 2.590 3.425 SUMAS---> 4.787 4.930 6.200 7.550 Considerando que los datos, de las columnas 3 y 4, se ajustan a una recta y resolviendo por el método de mínimos cuadrados, se llega al siguiente sistema. n = 5; ¿xi = 4.7875; ¿f(xi) = 4.930; ¿ = 2 i x 6.1995 y ¿xi*f(xi) = 7.5503. ( ¸ ( ¸ = ( ¸ ( ¸ ( ¸ ( ¸ 5503 . 7 9300 . 4 . 1995 . 6 7875 . 4 7875 . 4 5 1 0 a a 117 cuya solución es: a 0 =B = lna 2 = -0.69074 y a 1 = m = b 2 = 1.75116 por consiguiente, la recta de ajuste queda ln g(x)=-0.69073876 + 1.75116lnx sacando antilogaritmos, se obtuvo, g(x) = 0.5012x 1.75116 Con el objeto de verificar la bondad del ajuste obtenido, en la figura siguiente se muestra una gráfica de conjunto, donde se observa que los valores obtenidos con g(x) son, prácticamente, los mismos que los datos iniciales, por lo que, se dice que se logró un “buen ajuste”. Figura del problema 5.9(datos iniciales) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 0 1 2 3 4 5 6 x f ( x ) Serie1 g(x) Ejempo 5.10 Ajuste los siguientes datos a un polinomio de segundo grado. X F(x) continuación x F(x) continuación X F(x) -3.20 8.80 -0.70 -2.20 +1.80 -0.60 -2.70 5.60 -0.20 -2.80 +2.30 1.00 -2.20 2.90 +0.30 -3.00 +2.80 3.40 118 -1.70 0.75 +0.80 -2.80 +3.30 6.30 -1.20 -1.00 +1.30 -2.00 +3.80 9.50 El polinomio de ajuste tiene la forma: 2 2 1 0 ) ( x a x a a x g + + = por lo que, el sistema representativo de este ajustes es: ( ) ( ) ( ) ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ i i i i i i i i i i i i i x f x x f x x f a a a x x x x x x x x n . . . 2 2 1 0 4 3 2 3 2 2 Donde al sustituir (n = número de datos = 15; ¿ = , 50 . 4 i x ¿ = 35 . 71 2 i x , ¿ = 405 . 63 3 i x , ¿ = 422 . 622 4 i x , etc.), se llegó a: ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ¸ ( ¸ ( ( ( ¸ ( ¸ 857 . 374 255 . 14 850 . 23 . 422 . 622 405 . 63 35 . 71 405 . 63 35 . 71 50 . 4 35 . 71 50 . 4 15 2 1 0 a a a cuya solución, por eliminación completa de Gauss Jordan, es: a 0 = -3.005, a 1 = -0.497 y a 2 = 0.997 Por lo que, el polinomio de ajuste es: 2 997 . 0 497 . 0 005 . 3 ) ( x x x g + ÷ ÷ = 5.5 Aproximación a funciones contínuas Las mejores aproximaciones para funciones continuas, usualmente son consideradas para ser aproximaciones que minimicen el error en el sentido del minimax. Desafortunadamente, a menudo es muy difícil encontrar la mejor aproximación para una cierta clase de función dada; sin embargo, deberíamos 119 invocar a la experiencia para tener una aproximación que sea la mejor. Por ejemplo, en lugar de encontrar la mejor aproximación para una función cuadrática podríamos haber aproximado con una cuadrática que siempre será razonablemente cercana a la mejor cuadrática. Las buenas aproximaciones para funciones continuas, usualmente tienen un error d(x) que oscila alrededor de cero en la región de interés, ya que, las magnitudes positivas son aproximadamente iguales a las magnitudes negativas. La forma más común y simple de aproximación para una función continua es con algún tipo de polinomial. En efecto, siempre que es usada una representación en serie de potencias para calcular una función, entonces, la aproximación polinomial está siendo usada, puesto que, la serie de potencias debería ser truncada en algún punto y, una serie de potencias truncada es siempre una polinomial. Empezaremos nuestra discusión de la aproximación a funciones continuas mediante el examen de un método para improvisar la efectividad del truncado de las series de potencias, ó en otras palabras, de obtener la mejor exactitud con pocos términos. Esta práctica es llamada una serie de potencias telescópica o economización. Como veremos, también tiene aplicaciones directas a la aproximación de cualquier polinomial. 5.5.1 Economización de Chebyshev Los polinomios de Chebyshev se pueden expresar de dos formas distintas, pero equivalentes; una utiliza funciones coseno y la otra serie de potencias. En el primer caso, el polinomio de Chebyshev normalizado de orden K, se define como: ( ) ( ) | | x k x T k 1 cos cos ÷ = , para 1 1 s s ÷ x (5-23) Puesto que la función coseno se anula en ± t/2; ± 3t/2; ± 5t/2; ± 7t/2,..., las raíces de un polinomio de Chebyshev de orden K satisfacen la ecuación, K n n K x K n ..., 3 , 2 , 1 , * 2 1 ) ( cos 1 = | . | \ | ÷ + = ÷ t (2-24) ó más explícitamente: 120 | | . | \ | ÷ + = t * ) 2 1 ( cos K n K x n , n = 1, 2, 3,..., K (2-25) Por ejemplo, si K = 2, entonces esta ecuación conduce a, 86602 . 0 * 3 ) 1 2 1 3 ( cos 1 ÷ = | | . | \ | ÷ + = t x 00000 . 0 * 3 ) 2 2 1 3 ( cos 2 = | | . | \ | ÷ + = t x En segundo caso, los términos de los polinomios de Chebyshev, son generados por con la ecuación recurrente: T n+1 (x) = 2xT n (x) –T n-1 (x) (5-26) Requerimos tener presente estos polinomios para propósitos de aplicación. Algunos términos son. T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) =2x 2 –1 T 3 (x) = 4x 3 - 3x T 4 (x) = 8x 4 –8x 2 +1 (5-27) T 5 (x) = 16x 5 –20x 3 +5x T 6 (x) = 32x 6 –48x 4 +18x 2 –1 T 7 (x) = 64x 7 –112x 5 + 56x 3 – 7x T 8 (x) = 128x 8 – 256x 6 +160x 4 – 32x 2 +1 Recuerde que estos polinomios tienen una magnitud máxima de 1 en el intervalo de –1 s x s 1. Para nuestros propósitos, también es interesante invertir esos polinomios para listar las potencias de x en términos de T n (x); quedando: 121 1 = T 0 x = T 1 x 2 = ½ (T 0 + T 2 ) x 3 = ¼ (3T 1 + T 3 ) x 4 = 1/8(3T 0 + 4T 2 + T 4 ) ( 5-28 ) x 5 = 1/16(10T 1 + 5T 3 + T 5 ) x 6 = 1/32(10T 0 + 15T 2 + 6T 4 + T 6 ) x 7 = 1/64 (35T 1 + 21T 3 + 7T 5 + T 7 ) x 8 = 1/128(35T 0 + 56T 2 + 28T 4 + 8T 6 + T 8 ) Note usted que los Tn(x) fueron escritos simplemente como Tn Los polinomios de Chebyshev se pueden aplicar en cualquier rango distinto de –1 s x s 1, si se transforma primero a él, el rango de interés. Si este rango está dado por a s x s b, la transformación está dada por; a b a b y x ÷ ÷ ÷ = 2 , –1 s x s 1 ( 5-29 ) ó en forma equivalente, 2 ) ( b a x a b y + + ÷ = , a s y s b ( 5-30 ) por consiguiente, al sustituir los puntos de Chebyshev x n en | -1, 1 | dados por ( 5- 25 ), en la ecuación ( 5-30 ), los puntos de Chebyshev y n en | a, b | son, ( ¸ ( ¸ + + | | . | \ | ÷ + ÷ = b a K n K a b y n t * ) ( cos ) ( 2 1 2 1 , n= 1,2, 3, ..., K ( 5-31 ) Como ejemplo, considere una función e -x , que puede ser representada por una serie de potencias, como e -x = 1 –x + ... ! 6 ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 6 5 4 3 2 ÷ + ÷ + ÷ x x x x x ( 5-32) Si la serie alternativa (e -x = 1 –x + ...) es truncada después del término en x 5 , el error no será mayor de 1.6152x10 -3 . Usando la representación de las 122 polinomiales de Chebyshev de las potencias de x, el truncado de la función (e -x = 1 –x + ..) puede escribirse como | | | | | | | | 1 5 3 1 16 1 4 2 0 8 1 3 1 4 1 2 0 2 1 1 0 ) 5 10 ( ! 5 1 ) 4 3 ( ! 4 1 ) 3 ( ! 3 1 ) ( 2 1 c + + + ÷ + + + + ÷ + + ÷ = ÷ T T T T T T T T T T T T e x ( 5-33 ) donde c 1 tiene una magnitud máxima de 1.1652x10 -3 . Agrupando términos, se obtiene, e -x ~ 1.2656250T 0 –1.1302083T 1 + 0.2708333T 2 – 0.0442798T 3 + 0.0052083T 4 – 0.0005208T 5 ( 5-34 ) Ahora podemos hacer valer el factor de que la magnitud de Tn es 1 (sobre – 1 s x s 1). Si truncamos la expresión anterior después del término que involucra T 3 , acumularemos un error adicional no mayor que la suma de las magnitudes de los coeficientes de T 4 y T 5 , o sea 0.0052083 + 0.0005208 = 0.0057291. Ahora e -x ~ 1.2656250T 0 –1.1302083T 1 + 0.2708333T 2 – 0.0442798T 3 ( 5-35 ) La magnitud del error máximo posible en ecuación anterior, es la suma de la magnitud máxima del error de truncamiento de la serie original, la cual fue de 0.0016152 y la máxima magnitud del error en el truncamiento fue de 0.0057291. Esta suma es de 0.0073444. Las polinomiales de Chebyshev en la expresión de arriba pueden escribirse en términos de x, con lo cual queda como: e -x ~ 1.2656250(1)–1.1302083(x) + 0.2708333(2x 2 –1)– 0.0442798(4x 3 – 3x) desarrollando y agrupando términos, se llega a e -x ~ 0.9947917 –0.9973959x + 0.5416667x 2 – 0.1770832x 3 ( 5-36 ) Estos expresión de aproximación de cuatro términos, es muy similar a los primeros cuatro términos de la serie original (5-32) excepto que el error máximo de (5-36) es de 0.0073444 comparado con un error máximo posible de 0.0516152 para los primeros cuatro términos de la serie original. En efecto, si tomamos cinco términos de la serie (5-32), el error máximo posible será de 0.00994895, el cual aún es más grande que el máximo error posible dado por la expresión de cuatro términos de (5-36). Esta expresión es llamada serie telescópica de potencias ó serie 123 economizada. Si más términos de la serie original de Taylor son tomados antes de que sea truncada, entonces los coeficientes de la aproximación de cuatro términos (5-36) cambiarán ligeramente y la aproximación puede ser más exacta. Es importante notar que no hay garantía de que (5-36) sea la mejor aproximación para e -x , no obstante puede indicar una buena aproximación. En el caso de (5-36), la serie telescópica de e -x , requiere dos términos menos que la serie original para obtener la misma exactitud. Los ahorros en general, son altamente dependientes del número de términos de la serie original de potencias. La economización de series convergentes rápidamente (tales como la serie para e -x ) proveen relativamente modestas ganancias, mientras que la forma economizada de muchas series de convergencia lenta pueden proveer exactitud con un mínimo de términos que podría requerir cientos de términos de la serie original. Este procedimiento de economización puede ser usado para aproximar cualquier polinomial con una polinomial de orden inferior sobre cualquier intervalo finito. Ejemplo 5.11. Usando economización de Chevyshev, encontrar una aproximación lineal para la función: 3 2 ) ( 2 + ÷ = y y y f Sobre el intervalo 10 0 s s y Solución. Primero mapeamos el intervalo 1 1 s s ÷ y mediante la transformación dada por (5-29), es decir: a b a b y x ÷ ÷ ÷ = 2 = 1 5 0 10 0 10 2 ÷ = ÷ ÷ ÷ y y Con lo cual se tiene que: y = 5(x+ 1) Por consiguiente, la ecuación por transformar queda: f 1 (x) = |5(x + 1)| 2 -2|5(x + 1)| + 3 = 25x 2 + 40x + 18 124 Puesto que f 1 (x) está definida, ahora, sobre -1 s x s 1, podemos proceder a usar la economización de Chebyshev. Rescribiendo las potencias de x en términos de los Tn(x), se tiene: 2 1 0 0 1 2 0 1 2 25 40 2 61 18 40 ) ( 2 1 25 ) ( T T T T T T T x f + + = + + ( ¸ ( ¸ + = A partir de aquí podemos encontrar la aproximación lineal por eliminación del término en T 2 . Esta aproximación tiene un error máximo posible de magnitud igual al coeficiente de T 2 , es decir, c = 25/2 = 12.50. Entonces, 1 0 1 40 2 61 ) ( T T x f + = o en términos de “x”, se tiene: x x f 40 2 61 ) ( 1 + = reconvirtiendo a una función de “y”, recordando que x = 5 / y –1, se tiene: y y y g 8 2 19 ) 1 5 ( 40 2 61 ) ( + ÷ ~ ÷ + = Esta es la aproximación lineal requerida, la cual podría tener un error hasta de 12.5. Problemas propuestos 5.1 La siguiente función tabulada representa puntos de una polinomial. ¿Cuál es el grado de la polinomial?¿Cuál es el coeficiente de la potencia más alta de x? I Xi f(xi) 1 0 -7 2 1 -4 3 2 5 125 4 3 26 5 4 65 6 5 128 5.2 La siguiente función tabulada representa puntos de una polinomial. ¿ Cuál es el grado de la polinomial? I xi f(xi) 1 0 0 2 1 -2 3 2 -8 4 3 0 5 4 64 6 5 250 7 6 648 8 7 1372 5.3 Preparar una tabla de diferencias finitas hacia delante y otra tabla de diferencias finitas hacia atrás, para la siguiente función tabulada: I xi f(xi) 1 1 6 2 2 10 3 3 46 4 4 138 5 5 430 Ahora, suponiendo que la función es una polinomial, llenar todos los espacios en blanco en la tabla e interpolar para f(4.31) usando la fórmula de interpolación para diferencias finitas hacia delante con x = 4 como renglón base. 5.4 Dada la siguiente función tabulada: i Xi f(xi) 1 0.0 -3.000 2 0.3 -0.742 126 3 0.6 2.143 4 0.9 6.452 5 1.2 14.579 6 1.5 31.480 7 1.8 65.628 Encontrar a) f(1.09); b) f( 0.93); c) f(1.42); d) f(0.21). 5.5 Usando interpolación de Lagrange, encontrar f(4.3) para la siguiente función: i xi f(xi) 1 0.0 0.0 2 1.0 0.569 3 2.0 0.791 4 3.8 0.224 5 5.0 -0.185 5.6 Dada la siguiente función tabulada I Xi f(xi) 1 1 150 2 2 36.75 3 3 17.33 4 4 9.19 Prepare una tabla de diferencias hacia atrás y otra hacia delante. Después interpole para encontrar a) f( 1.1) y b) f(3.9) 5.7 Determine una función lineal ajustada a los siguientes datos, mediante el método de mínimos cuadrados: I Xi f(xi) 1 1.0 2.0 2 1.5 3.2 3 2.0 4.1 127 4 2.5 4.9 5 3.0 5.9 5.8 Igual que en el caso anterior, pero para los siguientes datos: i xi f(xi) 1 0.1 9.9 2 0.2 9.2 3 0.3 8.4 4 0.4 6.6 5 0.5 5.9 6 0.6 5.0 7 0.7 4.1 8 0.8 3.1 9 0.9 1.9 10 1.0 1.1 5.9 Dados los siguientes datos, ajuste a una línea recta esos datos, usando el criterio de mínimos cuadrados: i xi f(xi) 1 1.1 50 2 2.9 43 3 4.3 28 4 6.2 25 5 8.1 22.7 6 9.6 16.9 7 12 7.4 5.10 Ajuste una función cuadrática a los siguientes datos y grafique la curva ajustada junto con los puntos dados: i xi f(xi) 1 0.000 0.00 2 0.200 7.78 3 0.400 10.68 128 4 0.600 8.37 5 0.800 3.97 6 1.000 0.00 5.11 Ajuste un polinomio cúbico a los datos del problema anterior y diga usted, cual es el mejor ajuste. Haga una gráfica de conjunto, para los dos problemas. 5.12 Ajuste los datos de la tabla siguiente: I xi f(xi) 1 0.1 0.0000 2 0.2 1.1220 3 0.3 3.0244 4 0.4 3.2568 5 0.5 3.1399 6 0.6 2.8579 7 0.7 2.5140 8 0.8 2.1639 9 0.9 1.8358 A la función: ) 2 ( ) ( ) ( 3 2 1 0 x sen a x sen a x a a x g t t + + + = Recuerde iniciar con ecuación ( 5-19 ), donde en vez de sustituir el polinomio de grado l, tiene usted que emplear la función propuesta arriba y posteriormente derivar con respecto a cada uno de los coeficientes, para obtener el sistema de ecuaciones que permitan estimar los coeficientes de la función g(x). 5.13 Dados los siguientes datos: I xi f(xi) 1 1.2 2.1 2 2.8 11.5 129 3 4.3 28.1 4 5.4 41.9 5 6.8 72.3 6 7.9 91.4 Usando el criterio de mínimos cuadrados, ajustar a una función de la forma g(x) =Ax B 5.14 Dados los siguientes datos, ajustar una función de la forma g(x) =Ce Dx para estos, usando el criterio de mínimos cuadrados. I xi f(xi) 1 0.00 1.37 2 0.50 1.48 3 1.25 2.09 4 2.00 2.77 5 2.70 3.60 6 3.00 4.10 7 3.50 4.88 8 3.90 6.01 9 4.75 7.95 10 5.25 9.90 5.15 Encontrar una expresión de aproximación de tres términos para seno(x) sobre –1 s x s 1 por economización de Chebyshev de la serie de Taylor. Truncar la serie original después del cuarto términos. Evaluar el error máximo en la aproximación de tres términos y comparar éste con el error máximo que podría resultar si los tres primeros términos de la serie de Taylor fueron usados. 5.16 Encontrar una aproximación cuadrática para f(y) = y 4 – 2y 3 + y –6 130 sobre el intervalo –1 s y s 2 usando economización de Chebyshev. Dar un límite para el error de estas aproximación. Si está disponible una computadora, grafique el error como una función de y sobre el intervalo de interés. 5.17 Ajuste los datos del ejemplo 5.6 a la función g 3 (x) = Cseno(Dx) 5.18 Escriba un Programa de computadora para resolver la fórmula de interpolación de Gregory Newton, con diferencias finitas hacia delante. El programa debe requerir cuando menos 8 parejas de valores (x, y), con variación de x constante; así como el valor de x para el cual se desea interpolar. La salida debe incluir los datos administrados, la tabla de diferencias finitas y el valor interpolado de f(x). 5.19 Escriba un Programa de computadora para resolver la fórmula de interpolación de Gregory Newton, con diferencias finitas hacia atrás. El programa debe requerir cuando menos 8 parejas de valores (x, y), con variación de x constante; así como el valor de x para el cual se desea interpolar. La salida debe incluir los datos administrados, la tabla de diferencias y el valor interpolado de f(x). 5.20 Escriba un Programa de computadora para resolver la fórmula de interpolación de Lagrange. La entrada de datos debe requerir cuando menos 8 parejas de valores (x, y), con variación de x arbitraria; así como el valor de x para el cual se desea interpolar. La salida debe incluir solamente los datos administrados y el valor interpolado de f(x). 131 Capítulo 6 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6.1 Introducción La definición pura del término integración, indica que su significado es “ unir todas las partes en un todo; juntar todas las partes en una, indicar la cantidad total, etc,...”. El modelo matemático que representa esta acción, está dado por: } dx x f ) ( o } b a dx x f ) ( La primera de ellas es una integral indefinida y la segunda una integral definida. En este capítulo se resuelven numéricamente las integrales definidas, las cuales representan el área bajo la curva encerrada por la función f(x), el eje x y por las verticales acotadas por x = a y x = b, como se muestra en la figura 6.1. Figura 6.1 Representación gráfica de la integral definida 132 6.2 Elementos teóricos De acuerdo con el teorema fundamental de la integral, una integral definida se evalúa como: } b a dx x f ) ( = b a x F ) ( (6-1) en donde F(x) es la integral de f(x), esto es, cualquier función, tal que su derivada F‟(x) = f(x). F(x) también recibe el nombre de antiderivada de f(x). El valor numérico de la integral se obtiene sustituyendo los límites de integración. } b a dx x f ) ( = b a x F ) ( = F(b) – F(a) (6-2) Los métodos de integración analítica, permiten encontrar F(x). Por ejemplo, si se evalúa la integral } + ÷ + ÷ + 8 . 0 0 5 4 3 2 ) 400 900 675 200 25 2 . 0 ( dx x x x x se obtiene que F(x)= 6 5 4 3 2 6 400 180 75 . 168 3 200 5 . 12 2 . 0 x x x x x x + ÷ + ÷ + + C.; donde C es una constante de integración, es decir, la primitiva de una función dada no es única, por ejemplo, x 2 , x 2 +5 y x 2 -4.5 son todas ellas primitivas de f(x) = 2x, ya que, ) 5 . 4 ( ) 5 ( ) ( 2 2 2 ÷ = + = x dx d x dx d x dx d . Todas las antiderivadas de f(x) = 2x quedan incluidas en F(x) = x 2 + C. De ecuación (6-2), F(a)= 0 y F(b) = 1.64053334, por lo que, el valor de la integral es: I = 1.64053334. Este valor es igual al área bajo el polinomio f(x) y las verticales x = a = 0 y x = b = 0.8. Sin embargo, hay ocasiones en que es muy difícil o imposible obtener F(x), por lo que, no será fácil evaluar la integral. En estos casos se recomienda aplicar una técnica numérica que permita estimar la integral que, con los procedimientos ordinarios no es posible resolver. En el presente capítulo se muestran los métodos numéricos que sirvan para obtener el área, ya que de acuerdo a lo dicho en líneas anteriores, si se encuentra una forma simple de estimar el área por procesos geométricos, se tendrá una estimación de la integral. Por ejemplo, si bajo la curva definida por f(x), el eje x y las 133 verticales x = a y x = b, se trazan rectángulos como figuras de apoyo para evaluar el área bajo la curva, el método recibe el nombre de rectangular; de ser trapecios la figuras que se tracen, el método se denomina trapecial; cuando se ajustan parábolas a la curva, se dice que el método es parabólico, etc. Estas técnicas numéricas usadas, son de gran utilidad donde la dificultad analítica es muy notable o donde sea imposible la evaluación de las integrales mediante los procedimientos ordinarios. 6.3 Métodos de solución 6.3.1 Método rectangular Con este método se estima el área bajo la curva de figura 6.1, colocando rectángulos en el ára ddefinida por f(x), el eje x y las verticales x = a y x =b, como se muestra en figura 6.2, donde se observa que: cada área a i se puede calcular como el área de un rectángulo que tiene por base Δx y por altura f(x i *), por tanto: Figura 6.2 Aproximación de la integral – regla rectangular ) ( . * 1 1 x f x a A = ) ( . * 2 2 x f x a A = ) ( . * 3 3 x f x a A = … ) ( . * n n x f x a A = La integral se aproxima como la suma de las áreas rectangulares parciales, es decir: 134 | | ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( * * 2 * 1 1 * n n i i b a x f x f x f n a b x f n a b dx x f + + + ÷ ~ ÷ ~ ¿ } = (6-3) Observe que x i * es el punto medio de Dx [Dx = (b-a)/n], de tal forma que x 1 * = a +0.5Dx; x 2 * = x 1 * + Dx; x 3 * = x 2 * + Dx; etc. Ejemplo 6.1 Resuelva la integral definida dada, usando la regla rectangular con 10 rectángulos (n = 10). dx x x } ÷ + 4 0 2 ) 1 2 ( Solución. De acuerdo con ecuación (6-3), es necesario calcular Δx y los valores de x i * para poder obtener f(x i * ). 4 . 0 = ÷ = A n a b x Dado que x 1 * = a + 0.5Δx = 0 + 0.2 = 0.2 ÷ f(0.2) = (0.2) 2 +2(0.2) -1 = -0.56 x 2 * = x 1 * + Δx = 0.20 + 0.4 = 0.6÷ f(0.6) = 0.56 X 3 * = x 2 * + Δx = 1.0÷ f(1.0) =2.00, etc. En la tabla siguiente se presenta un resumen de estos resultados. 0.20 -0.56 0.60 0.56 1.00 2.00 1.40 3.76 1.80 5.84 2.20 8.24 2.60 10.96 3.00 14.00 3.40 17.36 3.80 21.04 Suma 83.20 -5 0 5 10 15 20 25 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 V a l o r e s d e f ( X ) Valores de X Figura E6.1 135 Sustituyendo en (6-3): | | 2 28 . 33 04 . 21 36 . 17 ... 56 . 0 56 . 0 4 . 0 ) ( u dx x f b a = + + + + ÷ ~ } Ejemplo 6.2 Use la regla rectangular para resolver evaluar la integral, dada a continuación con 25 rectángulos. } + ÷ 5 0 ) 1 2 ( dx e senx x Solución. Para los límites de integración y el número de rectángulos, Δx vale: 2 . 0 25 0 5 = ÷ = Ax x 1 * = 0 + 0.2/2 = 0.10; x 2 * = x 1 * + 0.2 = 0.30; x 3 * = x 2 * + 0.2 = 0.5, etc. f(x) = 2seno(x) –e x +1 x* f(x*) continuación 0.1 0.094 x* f(x*) 0.3 0.241 2.700 -13.025 0.5 0.310 2.900 -16.696 0.7 0.275 3.100 -21.115 0.9 0.107 3.300 -26.428 1.1 -0.222 3.500 -32.817 1.3 -0.742 3.700 -40.507 1.5 -1.487 3.900 -49.778 1.7 -2.491 4.100 -60.977 1.9 -3.793 4.300 -74.532 2.1 -5.440 4.500 -90.972 2.3 -7.483 4.700 -110.947 2.5 -9.986 4.900 -135.255 suma -30.615 suma -673.048 De la aplicación de ecuación (6-3) se obtiene: | | 2 5 0 326 . 140 ) 048 . 673 ( 615 . 30 2 . 0 ) 1 2 ( u dx e senx x ÷ = ÷ + ÷ ~ + ÷ } 136 6.3.2 Método trapecial Con base en la figura 6.3 en la que se han trazado n trapecios de altura Ax; se estiman las áreas a i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n) y posteriormente se suman para obtener el área total, la cual será aproximadamente igual a la integral. Fig.6.3 Estimación del área –método trapecial | | ) ( ) ( 2 1 0 1 x f x f x a + A = | | ) ( ) ( 2 4 3 4 x f x f x a + A = | | ) ( ) ( 2 2 1 2 x f x f x a + A = - - - - - - - - - - - - - - - - - | | ) ( ) ( 2 3 2 3 x f x f x a + A = | | ) ( ) ( 2 1 n n n x f x f x a + A = ÷ Puesto que } b a dx x f ) ( = a 1 +a 2 +a 3 + a 4 + . . .+ a n = ¿ = n i i a 1 y tomando en cuenta que f(x 0 ) = f(a) y f(xn) = f(b), se tiene que: ( ¸ ( ¸ + A + + A = ¿ } ÷ = ) ( ) . ( 2 ) ( 2 ) ( 1 1 b f j x a a f x dx x f n j b a (6- 4) 137 n a b x ÷ = A (6- 4.1) donde n es el número de trapecios en que se ha dividido el área total. Se observa que si n tiende a infinito, Ax tiende a cero y, en consecuencia, el valor obtenido con ecuación (6-4) será más próximo al valor exacto de la integral. El diagrama de flujo de este método está dado en Fig. D6.1 6.3.2.1 Error en el método trapecial Cuando se emplea un solo trapecio (Fig. 6.4) para estimar la integral bajo una curva f(x), se incurre en un error que puede ser sustancial. Una estimación del error por truncamiento, de una sola aplicación de la regla trapezoidal está dada por: ) )( ( " 12 1 a b f E t ÷ ÷ = ç (6-5) donde ç es un punto cualquiera dentro del intervalo de integración; para efectos prácticos podría ser el punto medio del segmento ab . La ecuación anterior indica que si la función que se está integrando es lineal, el método trapecial proporcionará valores exactos, ya que, la segunda derivada de una recta es cero; de otra manera ocurrirá un error. Fig. 6.4 Estimación de la integral con un solo trapecio Por otra parte, cuando se usan varios segmentos de líneas rectas, el error total se obtiene sumando los errores de cada segmento, llegando a: f(x) x x=a x = b 138 ¿ = ÷ ÷ = n i i v f n a b E 1 3 3 ) ( " 12 ) ( ç (6-6) en donde f ”(ç i ) es la segunda derivada de la función a integrar, evaluada en el punto ç i localizado dentro del segmento i. Ejemplo 6.3 Resuelva la integral del ejemplo 6.1 usando el método trapecial con 10 segmentos (n = 10); calcule el error con ecuación (6-6) y, finalmente, compare sus resultados con el que se obtenga en forma analítica. a, b, n S 2 = 0 n a b x ÷ = A j=1 x(j) = a F=f(x(j)) j= j +1 x(j) = x(j-1) +Ax x(j)<b ? F(j ) =f(x(j)) S 2 = S 2 +2F(j) si x= b Fb = f(x) SUM= F+Fb+S 2 SUM x A 2 A = A FIG. D6.1 METODO TRAPECIAL β β FIN 139 dx x x } ÷ + 4 0 2 ) 1 2 ( Solución. De acuerdo con (6-4.1) Ax = (4-0)/10=2/5. La función a integrar es f(x) = x 2 +2x-1, por lo que, f(a) = -1.00 y f(b) = 23.00. Con estos datos ecuación (6-4) queda: ( ¸ ( ¸ + + + ÷ = ÷ + ¿ } = 9 1 4 0 2 23 ) 4 . 0 0 ( 2 00 . 1 2 5 / 2 ) 1 2 ( j j f dx x x donde: 6 . 72 ) 6 . 3 ( ... ) 8 . 0 ( ) 4 . 0 ( ) 4 . 0 ( ) 4 . 0 0 ( 9 1 1 10 1 = + + + = ( ¸ ( ¸ = + ¿ ¿ = ÷ = f f f j f j f j j por tanto, el valor aproximado de la integral es: } ÷ + 4 0 2 ) 1 2 ( x x = | | 00 . 23 ) 6 . 72 ( 2 0 . 1 2 4 . 0 + + ÷ = 33.44 u 2 . Para calcular el error se elaboró la tabla E6.3 y se estimó, de acuerdo con ecuación (6-6) en: ¿ = ÷ = n i i v f n a b E 1 3 3 ) ( " 12 ) ( ç = = ÷ ÷ ) 20 ( * ) 10 ( 12 ) 0 4 ( 3 3 -0.1066666667 por lo que, un resultado más preciso de la integral que se está evaluando, es, } ÷ + 4 0 2 ) 1 2 ( x x =33.44-0.1066666667 =33.333 u 2 . La solución analítica, que en este ejemplo puede obtenerse, es: } ÷ + 4 0 2 ) 1 2 ( x x = | 3 / 100 3 1 4 0 2 3 = ÷ + x x x u 2 . 140 Tabla 1E6.3 Datos para calcular el término medio de ecuación (6-4) y el error según ecuación (6-6). j 0.4j f(0.4j) n ç F”(ç) 1 0.40 -0-04 1 0.2 2 2 0.80 1.24 2 0.6 2 3 1.20 2.84 3 1.0 2 4 1.60 4.76 4 1.4 2 5 2.00 7.00 5 1.8 2 6 2.40 9.56 6 2.2 2 7 2.80 12.44 7 2.6 2 8 3.20 15.64 8 3.0 2 9 3.60 19.16 9 3.4 2 72.60 10 3.8 2 Ejemplo 6.4 Resolver el siguiente problema que corresponde a la fuerza sobre el mástil de un velero de carreteras (aplicación a ingeniería civil), representado por la integral: } ÷ | . | \ | + = 30 0 ) 30 / 2 ( 5 200 dz e z z F z Se resuelve aplicando el método trapecial con n = 30 Solución. Identificación de elementos: f(z) = ) 30 / 2 ( ) 5 200 z e z z ÷ | | . | \ | + a = 0 ÷ f(a)= ) 30 / 0 * 2 ( ) 0 5 0 200 ÷ | | . | \ | + e = 0.0000 b = 30 ÷ f(b)= ) 30 / 30 * 2 ( ) 30 5 30 200 ÷ | | . | \ | + e =23.20033427 Si se usan 30 trapecios (n = 30), entonces Az = 1. La parte intermedia de ecuación (6-4) es (con datos de tabla 1E6.3): 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 10 20 30 40 V a l o r e s d e f ( z ) Valores de z Figura E6.3 141 ( ¸ ( ¸ = A + ¿ ¿ = ÷ = 29 1 1 1 ) * 1 ( 2 ) . ( 2 j n j j f j z a f = 2(1, 465.533478)= 2,931.066957 Con esta información la ecuación (6-4) conduce al valor: } ÷ | . | \ | + = 30 0 ) 30 / 2 ( 5 200 dz e z z F z = | | = + + 20033427 . 23 066957 . 2931 0 2 1 1, 477.133646 u 2 En este caso no es fácil encontrar la solución analítica, como en el caso anterior, por lo que, se recomienda incrementar el número de trapecios para mejorar la solución. Tabla 1E6.4 Cálculo de los valores de f(z) Z f(z) Continuación 0 0.000 z f(z) 1 31.184 16 52.442 2 50.010 17 49.757 3 61.405 18 47.143 4 68.083 19 44.613 5 71.653 20 42.176 6 73.126 21 39.835 7 73.160 22 37.594 8 72.203 23 35.455 9 70.561 24 33.417 10 68.456 25 31.479 11 66.042 26 29.639 12 63.435 27 27.894 13 60.717 28 26.242 14 57.951 29 24.678 15 55.182 30 23.200 6.3.3 Métodos de Simpson El método de Simpson permite conectar puntos de una curva con polinomios de orden superior, por ejemplo, si hay un punto medio entre f(a) y f(b), pueden conectarse los tres puntos con una parábola, generando el método parabólico (Fig. 6.5). Sin embargo, si existen dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), entonces los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer grado, etc. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les 142 llama reglas de Simpson. Este método proporciona una aproximación más precisa que la regla trapezoidal, ya que se unen puntos consecutivos mediante curvas. Fig. 6.5 Representación gráfica del método de Simpson 6.3.3.1Método parabólico Consiste, como se dijo, en conectar grupos sucesivos de tres puntos (a, b y c), como se muestra en figura 6.5, mediante parábolas. Suponiendo que el punto medio (x 1 ) coincide con el eje de las ordenadas [a = -Δx, x 1 = 0, x 2 = Δx], la integral de la parábola es: ) .( . 2 ) ( 3 2 2 3 ) ( 3 2 3 2 x c x a cx x b x a dx c bx ax x x x x A + A = + + = + + A A ÷ A A ÷ } (6-7) Para encontrar las constantes a y c, se sustituyen las coordenadas de los puntos a, b y c, obteniendo: f(a) =a(-Ax) 2 +b(-Ax)+c f(b)=a(0) 2 +b(0)+c f( c )= a(Ax) 2 +b(Ax)+c La solución simultánea, de estas tres ecuaciones, permite encontrar los valores de las constantes a, b y c, quedando como se muestra a continuación. 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( x c f b f a f a A + ÷ = a b c 143 ) ( 2 ) ( ) ( x a f c f b A ÷ = (6-8) c = f(b) sustituyendo estos valores en ecuación (6-7), resulta finalmente que: | | ) ( ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 c f b f a f x dx c bx ax x x + + A = + + } A A ÷ Para no confundir f(b) con f(b), es conveniente escribir, en forma general, y i = f(a); y i+1 = f(b) y y i+2 = f(c); con lo que, ecuación ( 6-7 ) se transforma en: | | 2 1 2 4 3 ) ( + + A A ÷ + + A = + + } i i i x x y y y x dx c bx ax (6-9) Si i = 0, ecuación (6- 9) queda: | | 2 1 0 2 4 3 ) ( y y y x dx c bx ax x x + + A = + + } A A ÷ (6- 10) Con un razonamiento similar se puede concluir que si al área bajo la curva se divide en n sub-áreas (arriba fue n = 2, por lo que n tiene que ser par), entonces, una ecuación general, para encontrar el área bajo la curva por el método numérico de Simpson – cuya rutina de cálculo se muestra en figura D6.2- puede escribirse de la forma siguiente. ( ¸ ( ¸ + A + + A + + A = ¿ ¿ } ÷ = ÷ = ) ( ) ( 2 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ,... 6 , 4 , 2 1 ,... 5 , 3 , 1 b f xj a f xj a f a f x dx x f n j n j b a (6-11) 6.3.3.2 Error en el método parabólico En este caso, el error se puede estimar con una ecuación del tipo (6-6), es decir: 144 ¿ = A ÷ = n i i IV v f x E 1 5 ) ( 180 ) ( ç (6-12) donde ç i puede estimarse para los puntos medios de cada Ax. Si se conoce el valor exacto de la integral, entonces es conveniente que (6-12) se escriba como ) ( 4 5 180 ) ( IV v f n a b E ÷ ÷ ÷ = (6-13) Ejemplo 6.5 Resolver el problema 6.3 por el método de Simpson, usando las mismas áreas que en aquél (n = 10). Solución. Con los datos de la tabla 6.3 se concluye que: j 0.4j f(0.4j) 1 0.40 -0-04 2 0.80 1.24 3 1.20 2.84 4 1.60 4.76 5 2.00 7.00 6 2.40 9.56 7 2.80 12.44 8 3.20 15.64 9 3.60 19.16 72.60 = ¿ = 9 ) * 4 . 0 ( impar j j f 41.40 (cantidades en negritas) y = ¿ = 8 ) * 4 . 0 ( par j j f 31.20 por lo que, de ecuación (6-12), se llega a: } ÷ + 4 0 2 ) 1 2 ( x x | | 00 . 23 ) 20 . 31 ( 2 40 . 41 ( 4 1 3 4 . 0 + + + ÷ = = 33.333 u 2 . La cual corresponde al valor exacto de la integral, ya que, la función por integrar está representada por una ecuación de segundo grado. Otra forma de observar que 145 100/3 es valor exacto de la integral es por observación directa de ecuación (6-13), la cual indica que el error es cero, debido a que la f IV (x) es nula. S 1 = 0 S 2 = 0 n a b x ÷ = A j=1 x(j) = a F=f(x(j)) j= j +1 j< n +1 SUM=S+S 1 +S 2 S=F+f(b) Xj =x(j-1)+Ax S1=S1+2f(xj) SUM x A 3 A = A j es Par? S=S 2 +4f(xj) N S = a, b, n, FIG. D6.2 METODO DE SIMPSON Inicio Fin S 146 Ejemplo 6.6 Use la regla de Simpson para evaluar la integral } + 2 / 0 2 ) 1 ( t senx dx , con n = 10. Figura del problema 6.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f ( x ) Solución. En cualquier caso, primero deben conocerse los límites y la función que se integra, así que: Límite inferior a = 0 Límite superior b = t/2 La función a integrar es, f(x) = 2 ) 1 ( 1 senx + , con lo que f(a) = f(0)= 1.0000 f(b) =f(t/2) = 0.2500 Para n = 10, Ax = t/20 Ahora, con datos de tabla 1E6.6 se puede escribir, ( ¸ ( ¸ + ¿ = ) * 20 0 ( 4 9 ,... 5 , 3 , 1 j f j t =4(2.096)= 8.3864 y ( ¸ ( ¸ + ¿ = 8 ,... 6 , 4 , 2 ) * 20 0 ( 2 j j f t = 2(1.5486)= 3.0972 sustituyendo en ecuación (6-12), se tiene: | | 2 2 / 0 2 66673 . 0 2500 . 0 ) 5486 . 1 ( 2 ) 0966 . 2 ( 4 0000 . 1 3 20 / ) 1 ( u senx dx = + + + = + } t t 147 Tabla 1E6.6 j x f(x) Identificación 0 0.0000 1.0000 f(a) 1 0.1571 0.7478 J impar 2 0.3142 0.5836 J par 3 0.4712 0.4730 J impar 4 0.6283 0.3967 J par 5 0.7854 0.3431 J impar 6 0.9425 0.3056 J par 7 1.0996 0.2796 J impar 8 1.2566 0.2627 J par 9 1.4137 0.2531 J impar 10 1.5708 0.2500 f(b) 6.3.4 Método de Romberg Esta técnica poderosa y eficiente, de integración numérica, está basada en el uso de la regla trapezoidal combinada con la extrapolación de Richardson. Debido a que para aplicar esta extrapolación, es necesario conocer la forma general de los errores para la regla trapecial. En el curso de la derivación del método de Romberg, no se consideraron dichos términos, los cuales incluyen el término dominante 0(Ax) 2 . La derivación de estos términos es muy lenta y no será dada aquí, pero los detalles son dados por Ralston. El resultado es que la regla trapezoidal puede ser escrita como: ( ¸ ( ¸ + A + A + A + + + A = ¿ ÷ = ... ) ( ) ( ) * ( 2 ) ( ) ( 2 4 2 1 1 x D x C j x a f b f a f x I n j (6-14) donde C, D, E, etc., son funciones de f(x) y sus derivadas, pero no son funciones de Ax. Los términos involucran los anteriores Ax de orden superior conteniendo el error. Si se le llama ( ¸ ( ¸ + A + + A = ¿ ÷ = ) ( ) * ( 2 ) ( 2 1 1 _ b f j x a f a f x I n j , entonces, ecuación (6-14) puede ser escrita como: ÷ A ÷ A ÷ A ÷ = 6 4 2 _ ) ( ) ( ) ( x E x D x C I I (6-15) 148 Considerando ahora dos valores de Ax, Ax 1 y Ax 2 . Si denotamos los valores correspondientes de _ I por 1 _ I e _ 2 I , respectivamente, para Ax 1 y Ax 2 ; la ecuación (6- 15) conduce a, ÷ A ÷ A ÷ A ÷ = 6 1 4 1 2 1 1 _ ) ( ) ( ) ( x E x D x C I I (6-16) ÷ A ÷ A ÷ A ÷ = 6 2 4 2 2 2 2 _ ) ( ) ( ) ( x E x D x C I I (6-17) Si en ecuaciones anteriores, se considera primero que Ax 1 =2Ax 2 , entonces, (6-16) se transforma en, ÷ A ÷ A ÷ A ÷ = 6 1 4 1 2 1 1 _ ) ( 64 ) ( 16 ) ( 4 x E x D x C I I (6-18) Si ahora se multiplica (6-17) por 4, se sustrae (6-18) y se divide por 3, se obtiene, + A + A + = ÷ 6 2 4 2 1 _ 2 _ ) ( 20 ) ( 4 3 4 x E x D I I I (6-19) El término (Ax) 2 fue eliminado y el valor de la integral se aproxima con el término 0(Ax) 4 . La extrapolación de este tipo es llamada extrapolación de Richardson. Si ahora evaluamos _ 3 I ,donde Ax 3 = 2 1 Ax 2 y extrapolando _ 2 I y _ 3 I , se llega a, + A + A + = ÷ 6 2 4 2 2 _ 3 _ ) ( 20 ) ( 4 3 4 x E x D I I I (6-20) Entre ecuaciones (6-20) y (6-21), puede eliminarse el término (Ax) 4 , para obtener una estimación de la integral exacta para el término 0(Ax) 6 . Por consiguiente, para cada nueva evaluación de ÷ I , puede ser eliminado un término más en el error, por extrapolación. Este procedimiento sistemático es llamado integración de Romberg. Debido a que para describir el algoritmo en detalle, se adopta una nueva notación, la regla trapezoidal, en forma generalizada, puede escribirse de la siguiente manera: 149 ( ¸ ( ¸ + A + + A = ¿ = ) ( ) * ( 2 ) ( 2 1 ) , 1 ( b f j x a f a f x T l j k (6-21) donde ) 1 ( 2 ÷ ÷ = A k a b x (6-22) 1 2 ) 1 ( ÷ = ÷ k l (6-23) El número de paneles (trapecios), en T (1,k) está dado por 2 k-1 . Por tanto, | | ) ( ) ( 2 ) 1 , 1 ( b f a f a b T + ÷ = , con Ax =b-a y l = 0 ( ¸ ( ¸ + ÷ + + ÷ = ) ( ) 2 ( 2 ) ( 4 ) 2 , 1 ( b f a b a f a f a b T , con Ax = 2 a b ÷ y l = 1 ( ¸ ( ¸ + | . | \ | ÷ + + ÷ = ¿ = ) ( . 4 2 ) ( 8 3 1 ) 3 , 1 ( b f j a b a f a f a b T j , con Ax = 4 a b ÷ y l = 3 ( ¸ ( ¸ + | . | \ | ÷ + + ÷ = ¿ = ) ( . 8 2 ) ( 16 7 1 ) 4 , 1 ( b f j a b a f a f a b T j , con Ax = 8 a b ÷ y l = 7 ( ¸ ( ¸ + | . | \ | ÷ + + ÷ = ¿ = ) ( . 16 2 ) ( 32 15 1 ) 5 , 1 ( b f j a b a f a f a b T j , con Ax = 16 a b ÷ y l = 15 ( ¸ ( ¸ + | . | \ | ÷ + + ÷ = ¿ = ) ( . 32 2 ) ( 64 31 1 ) 6 , 1 ( b f j a b a f a f a b T j , con Ax = 32 a b ÷ y l = 31 150 La extrapolación se obtiene con: 1 4 4 1 ) , 1 ( ) 1 , 1 ( 1 ) , ( ÷ ÷ = ÷ ÷ + ÷ ÷ L K L K L L K L T T T (6-24) por ejemplo, para la columna 2 (L =2), se reduce a, 3 4 ) 1 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 2 ( T T T ÷ = y 3 4 ) 2 , 2 ( ) 3 , 2 ( ) 2 , 2 ( T T T ÷ = , etc., para la columna 3 (L =3), se tiene: 15 16 ) 1 , 2 ( ) 2 , 2 ( ) 1 , 3 ( T T T ÷ = , etc., Los resultados anteriores pueden ser ordenados en el siguiente arreglo matricial. T(1,1) T(1,2) T(2,1) T(1,3) T(2,2) T(3,1) T(1,4) T(2,3) T(3,2) T(4,1) (6-25) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ T(L-1,1) T(1,L) T(2,L-1) T(3,L-2) … T(L-1,2) T(L,1) Los valores extrapolados a lo largo de la diagonal, convergerán a la respuesta correcta mucho más rápidamente que los valores proporcionados por la regla trapezoidal, en la primer columna. Para detener el proceso se aplica la prueba de convergencia relativa, sobre los dos últimos valores de la diagonal. s ÷ ÷ ) 1 , ( ) 1 , 1 ( ) 1 , ( L L L T T T tol (6-26) donde tol es la tolerancia admitida en la exactitud prefijada, si ésta es cero significa que no se admite error en la solución. 151 El procedimiento, para una fácil aplicación del método numérico de Romberg, consiste de los siguientes pasos: 1. Con ecuación (6- 21) Calcular T (1,1) y T (1,2) . 2. Con ecuación ( 6-24) calcular T ( 2,1) 3. Comparar los dos últimos elementos de la diagonal, en esta ocasión T (2,1) con T (1,1) , 4. Aplicando prueba dada por (6-26). Si se cumple la condición, entonces, T (2,1) es el valor de la integral; en caso contrario, se desarrolla el siguiente renglón 5. Calcular T (1,3) , T (2,2) y T (3,1) 6. Repetir paso 3 comparando T (3,1) con T (2,1) , mediante ecuación (6-26); de cumplirse, T (3,1) es el valor aproximado de la integral, de otra manera se repite el proceso para el siguiente renglón. El diagrama de flujo correspondiente al método de Romberg, puede consultarse en Fig. D6.3. Ejemplo 6.7 Resolver la integral } + + ÷ 8 0 3 4 ) 1 2 4 8 5 ( dx x x x (ver figura del ejemplo), con un margen de error igual o menor que el 0.001%, de acuerdo al método de Romberg. Solución. Este polinomio puede ser integrado analíticamente, dando un resultado de 72 u 2 y la integración de Romberg debería aportar una respuesta en solamente unas cuantas extrapolaciones. Se observa que: 1 2 4 8 5 ) ( 3 4 + + ÷ = x x x x f a = 0, por tanto, f(a) =f(0) = 1 ) 0 ( 2 ) 0 ( 4 ) 0 ( 8 5 3 4 + + ÷ = 1 b = 8, así que, f(b) =f(8) = 1 ) 8 ( 2 ) 8 ( 4 ) 8 ( 8 5 3 4 + + ÷ =529 | | 529 1 2 0 8 ) 1 , 1 ( + ÷ = T = 2,120 | | = + + ÷ = 529 ) 4 ( 2 1 4 0 8 ) 2 , 1 ( f T 712 152 Fig. D6.3. Diagrama de flujo del método de Romberg a, b, tol T(1,1)= | | ) ( ) ( 2 b f a f a b + ÷ T(1,2)= ( ¸ ( ¸ + ÷ + + ÷ ) ( ) 2 ( 2 ) ( 4 b f a b a f a f a b T(2,1)= | | ) 1 , 1 ( ) 2 , 1 ( 4 3 1 T T ÷ J=3 1 2 / ) ( ÷ ÷ = A J a b x x=a-Ax n=2 (J-2) SUM = 0 i = 1 x =x +2Ax SUM = SUM + f(x) “i”=n? i=i+1 T(1,J)=T(1,J-1)/2+SUM*Ax L=2 K=J+1-L 1 4 4 1 , 1 1 , 1 1 ÷ ÷ = ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ L K L K L L K L T T T L=J? L=L+1 tol T T T J J J s ÷ ÷ 1 , 1 , 1 1 , Escribir 1 , ) ( J b a T dx x f } = J=J+1 N S S N N o o o 153 Ahora, de ecuación (6-25), la extrapolación resulta ser: 66667 . 242 3 2120 ) 712 ( 4 3 4 ) 1 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 2 ( = ÷ = ÷ = T T T Si se efectúa la prueba de convergencia sobre la diagonal [T(1,1) y T(2,1)], dada por ecuación (6-26), se obtiene un valor de 7.736, por lo que debe continuarse el proceso, es decir es necesario calcular el siguiente renglón del arreglo matricial, lo cual se hace a continuación. ( ¸ ( ¸ + + ÷ = ¿ = 529 ) * 4 8 ( 2 1 8 0 8 3 1 ) 3 , 1 ( j j f T = ( ¸ ( ¸ + + ¿ = 529 ) 2 ( 2 1 3 1 j j f =240 extrapolando para T(1,2) y T(1,3), con ecuación (6-25), se obtuvo: 666667 . 82 3 712 240 * 4 ) 2 , 2 ( = ÷ = T y 72 15 66667 . 242 66667 . 82 * 16 ) 1 , 3 ( = ÷ = T La prueba de convergencia indica que el error relativo es igual a 2.37, por lo que se calculó el siguiente renglón, aplicando ecuaciones (6-22) y (6-25), obteniendo los siguientes resultados. 72 72 67 . 72 5 . 114 72 67 . 82 240 67 . 242 712 2120 la convergencia resulta, para esta cuarta línea, 0 72 72 72 = ÷ , por lo tanto, el valor exacto de la integral es 72, es decir, puede escribirse la solución como, 2 8 0 3 4 72 ) 1 2 4 8 5 ( u dx x x x = + + ÷ } 154 Ejemplo 6.8 Resolver la siguiente entegral por el método de Romberg } ÷ | . | \ | + = 30 0 ) 30 / 2 ( 5 200 dz e z z F z Solución. Primeramente se identifican los límites de integración y la función por integrar: Para este caso se tiene que: f(z) = ) 30 / 2 ( ) 5 200 z e z z ÷ | | . | \ | + a = 0, por tanto:f(a)= ) 30 / 0 * 2 ( ) 0 5 0 200 ÷ | | . | \ | + e = 0.0000 b = 30, por consiguiente:f(b)= ) 30 / 30 * 2 ( ) 30 5 30 200 ÷ | | . | \ | + e =23.20033427 Siguiendo el mismo procedimiento que el ejemplo 6.7, se llegó a los resultados siguientes: 348.005 1001.731 1219.640 no conv 1320.585 1426.869 1440.685 no conv 1435.007 1473.148 1476.233 1499.665 no conv 1468.644 1479.857 1480.304 1480.933 1480.859 no conv 1477.548 1480.515 1480.559 1480.628 1480.627 1480.627 no conv 1479.811 1480.565 1480.568 1480.572 1480.572 1480.572 1480.572 1480.379 1480.568 1480.568 1480.569 1480.569 1480.569 1480.569 1480.569 Por tanto: 2 30 0 ) 30 / 2 ( 569 . 1480 5 200 u dz e z z F z ~ | . | \ | + = } ÷ 6.9 Use el método de Romberg para resolver la integral, dada a continuación con tres decimales exactos. 155 } + ÷ 5 0 ) 1 2 ( dx e senx x Solución. Sabiendo que 1 2 ) ( + ÷ = x e senx x f y a = 0, b = 5, se procedió igual que en el ejemplo anterior, llegando a, 000 . 0 ) 0 ( ) ( = = f a f 3310077 . 149 ) 5 ( ) ( ÷ = = f b f -373.328 -211.628 -157.728 -159.885 -142.637 -141.631 -145.795 -141.099 -140.996 -143.234 -142.190 -140.988 -140.981 -140.970 -140.962 -141.283 -140.981 -140.980 -140.980 -140.980 -140.980 -141.056 -140.981 -140.980 -140.980 -140.980 -140.980 -140.980 En este caso } + ÷ 5 0 ) 1 2 ( dx e senx x =-140.980 u 2 . Figura del problema 6.9 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 x f ( x ) 6.3.5 Cuadratura de Gauss La cuadratura Gaussiana es un método de integración numérica muy poderoso, el cual emplea espacios de intervalos desiguales, a diferencia de los métodos trapecial y de Simpson que son de aplicación inmediata para intervalos 156 constantes, aunque también se pueden aplicar con ciertas reservas. Debido a que la regla trapecial debe pasar a través de los puntos límites, uniendo con un segmento de recta los puntos con coordenadas [a, f(a)] y [b, f(b)]; existen casos como el de la figura 6.6, en donde la fórmula genera un error muy grande. Ahora, supóngase que la restricción de fijar los puntos base se elimina y se va a evaluar libremente el área bajo el segmento de línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva, colocando estos puntos de manera que dicha línea minimice el error en el cálculo del área (Fig. 6.7), por lo que, el valor de integral será más exacto. La cuadratura gaussiana usa esta estrategia. Las fórmulas particulares de cuadratura gaussiana descritas en esta sección se llaman fórmulas de Gauss- Legendre. Aunque la derivación de estas fórmulas no son objeto de este libro, se obtiene aquí la fórmula de Gauss –Legendre basada en dos puntos, como ilustración. Fig. 6.6 Regla trapezoidal usando un solo trapecio 6.3.5.1 Derivación de la fórmula de Gauss- Legendre basada en dos puntos Se observa en figura 6.6 que el área del trapecio es, ) ( 2 ) ( ) ( a b b f a f I ÷ + = que puede escribirse como I ~ c 1 f(x 1 ) + c 2 f(x 2 ) (6-27) f(x) x x=a x = b f(a) f(b) ERROR 157 En donde c 1 y c 2 son incógnitas. Sin embargo, en contraste a la regla trapezoidal que usa como puntos extremos a y b, los argumentos de la función x 1 y x 2 ahora no están a los puntos extremos a y b, sino que son incógnitas (Fig.6.8). Por lo tanto, se tiene un total de cuatro incógnitas que se deben evaluar y, por consiguiente, se requieren de cuatro condiciones para determinarlos exactamente. Se pueden obtener dos de estas condiciones suponiendo que la ecuación (6-27) ajusta exactamente la integral de una constante (y = 1) y de una función lineal (y = x). Entonces, para llegar a las otras dos condiciones, se extiende este razonamiento al suponer que también se ajusta la integral a una función parabólica (y = x 2 ) y a una función cúbica (y = x 3 ). Haciendo esto, se determinan las cuatro incógnitas conviniendo en derivar una fórmula de integración de doble punto que es exacta para cúbicas. Las cuatro ecuaciones por resolver son: Fig. 6.7 Segmento de recta compensando áreas. 2 1 ) ( ) ( 1 1 2 2 1 1 = = + } + ÷ dx x f c x f c (6-28) 0 ) ( ) ( 1 1 2 2 1 1 = = + } + ÷ xdx x f c x f c (6-29) 3 2 ) ( ) ( 1 1 2 2 2 1 1 = = + } + ÷ dx x x f c x f c (6-30) 0 ) ( ) ( 1 1 3 2 2 1 1 = = + } + ÷ dx x x f c x f c (6-31) La solución simultánea de estas ecuaciones (se deja la demostración al lector), es: c 1 = c 2 = 1 f(x) x 158 x 1 = -x 2 = - 3 1 por lo que, ecuación (6-27) queda, I ~ 1f(- 3 1 ) + 1f( 3 1 ) ( 6-32 ) Fig. 6.8 Gráfica para deducir la fórmula de Gauss- Legendre. Que es la ecuación de Gauss- Legendre basada en dos puntos. Como se observa se llega al resultado interesante de que la suma de la función valuada en x 1 y x 2 lleva a una estimación de la integral con una exactitud de tercer orden. Es interesante observar que los límites de integración de ecuaciones (6-28 a 6-31), van desde –1 a +1. Esto se hizo para simplificar la aritmética y hacer la formulación tan general como sea posible. Un simple cambio de la variable se puede usar para trasladar otros límites de integración en esta forma. Por ejemplo, suponiendo que la nueva variable x t está dada en función de la variable original x, en forma lineal, entonces puede escribirse que: x = a 0 + a 1 x t (6-33) Puesto que cuando x = a, x t = -1 y para x = b, x t = +1, se tiene: 2 0 a b a + = y que 2 1 a b a ÷ = , con lo que, ecuación ( 6-33 ) se transforma en: f(x) x -1 x 1 x 2 1 F(x 2 ) F(x 1 ) 159 i t a b a b x 2 2 ÷ + + = (6-34) entonces: dx = i dt a b 2 ÷ (6-35) En muchas ocasiones esta transformación dificulta, aparentemente, los cálculos, por lo que una forma más práctica para resolver una integral es aproximándola con: ¿ } = ÷ ~ m k k k b a x f w a b dx x f 1 ) ( 2 ) ( (6-36) donde los w k son los factores de peso, las x k son los m puntos con espacios desiguales y corresponde al número de puntos para los cuales la función f(x) será evaluada. La ecuación equivalente a la (6-34) es, en este caso: k a b a b x ç 2 2 ÷ + + = (6-37) los valores de ç k con sus correspondientes pesos w k , fueron obtenidos para valores de m de 2 a 256. (Los ç k son los m ceros del m-avo grado de las polinomiales de Legendre). En el apéndice B se encuentran valores de ç k y w k , desde m = 2 y m = 24 (una listade los primeros cuatro puntos se muestra en tabla 6.1). Tabla 6.1 Ceros (e k ) y pesos (w k ) n Ceros, e k Pesos, w k 2 3 1 ± 1 3 0 5 3 ± 8/9 5/9 4 35 / ) 120 15 ( ÷ ± 35 / ) 120 15 ( + ± 0.6521451549 0.3478548451 Después deseleccionar el valor de m, los valores de x k correspondientes a los ç k pueden ser encontrados de (6-37) y, finalmente, usar (6-36) para estimar la integral. 160 Ejemplo 6.10 Resolver la integral } 2 / 0 2 cos t xdx x , usando la cuadratura de Gauss- Legendre con m = 4. Solución. Del apéndice B se encuentra que los ceros y los pesos son, n ± c k w k 2 0.5773502692 1.0000000000 3 0.0000000000 0.7745966692 0.8888888889 0.5555555556 4 0.3399810436 0.8611363116 0.6521451549 0.3478548451 De ecuación (6-37) los valores de las x k son, ç 2 2 1 a b a b x ÷ + + = = 052418651 . 1 ) 3399810436 . 0 ( 4 4 = + + t t ç 2 2 2 a b a b x ÷ + + = = 5183776762 . 0 ) 3399810436 . 0 ( 4 4 = ÷ + t t ç 2 2 3 a b a b x ÷ + + = = 461733041 . 1 ) 8611363116 . 0 ( 4 4 = + + t t ç 2 2 4 a b a b x ÷ + + = = 1090632858 . 0 ) 8611363116 . 0 ( 4 4 = ÷ + t t Los correspondientes valores de f(x) son: 5487769211 . 0 ) 052418651 . 1 cos( ) 052418651 . 1 ( cos ) ( 2 1 2 1 1 = = = x x x f 2334126957 . 0 ) 5183776762 . 0 cos( ) 5183776762 . 0 ( cos ) ( 2 2 2 2 2 = = = x x x f 2325698375 . 0 ) 461733041 . 1 cos( ) 461733041 . 1 ( cos ) ( 2 3 2 3 3 = = = x x x f 1 0118241273 . 0 ) 1090632858 . 0 cos( ) 1090632858 . 0 ( cos ) ( 2 4 2 4 4 = = = x x x f Finalmente, de ecuación (6-36), se tiene que el valor aproximado de la integral es, 161 ¿ = ÷ = m k k k x f w a b I 1 _ ) ( 2 = ¿ = = 4 1 _ ) ( 4 k k k x f w I t | | 467402066 . 0 5951147936 . 0 4 _ = = t I u 2 467402066 . 0 cos 2 / 0 2 ~ } t xdx x Ejemplo 6.11 Resolver la integral } + ÷ + ÷ + 8 . 0 0 5 4 3 2 ) 400 900 675 200 25 2 . 0 ( dx x x x x x . Primero use ecuaciones (6-35) y (6-36) y, posteriormente aplique ecuaciones (6-38) y (6-37). En ambos casos use m = 2, es decir, para el primer caso apóyese en ecuación (6-33). Figura del problema 6.12 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 x f ( x ) Solución. Haciendo el cambio de variable de tal forma que los límites sean desde –1 hasta +1. De ecuación (6-35) se tiene: x = 0.4 + 0.4x t . y de ecuación (6-36) dx = 0.40 dx t sustituyendo en la integral por resolver, ésta queda: } + ÷ + ÷ + ÷ + 1 1 5 4 3 2 ) 4 . 0 )( 400 900 675 200 25 2 . 0 ( t t t t t t dx x x x x x 162 puesto que para dos puntos es válida ecuación (6-33), en la que sólo basta calcular la función transformada en x 1 = -x 2 = -1/\3; pueden estimarse las variables así: x 1 = 0.4 + 0.4x t .=0.4+0.4(-0.5773502692)=0.1690598923 y x 2 = 0.4 + 0.4x t . = 0.4+0.4(+0.5773502692)=0.6309401077 por tanto f(x 1 )= 1.291851362*.4=0.5167404544 f(x 2 )= 3.264553074*.4=1.3058212300 usando (6-33),se tiene, I = 0.5467405448+1.3058212300 = 1.822562 Ahora se resuelve como en el ejemplo 6.8. De tabla 6.3 se encuentran los ceros y los pesos como, k ç k w k 1 + 0.5773502692 1.0000000 2 - 0.5773502692 1.0000000 De ecuación (6-38) los valores de las x k resultaron, ç 2 2 1 a b a b x ÷ + + = = = ÷ + ) 5773502692 . 0 ( 4 . 0 40 . 0 0.16900598923 ç 2 2 2 a b a b x ÷ + + = = = + + ) 5773502692 . 0 ( 4 . 0 40 . 0 0.6309401077 Los correspondientes valores de f(x) son, 5 4 3 2 400 900 675 200 25 2 . 0 ) ( x x x x x x f + ÷ + ÷ + = = + ÷ + ÷ + = 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 400 900 675 200 25 2 . 0 ) ( x x x x x x f 1.29185136 = + ÷ + ÷ + = 5 2 4 2 3 2 2 2 2 2 400 900 675 200 25 2 . 0 ) ( x x x x x x f 3.264593082 Finalmente, de ecuación (6-36), se tiene que el valor aproximado de la integral es, 163 ¿ = ÷ = m k k k x f w a b I 1 _ ) ( 2 = ¿ = 2 1 ) ( 4 . 0 k k k x f w I= ¿ = 2 1 ) ( 4 . 0 k k k x f w =0.4(4.556444442)=1.822577777, por tanto, } + ÷ + ÷ + 8 . 0 0 5 4 3 2 ) 400 900 675 200 25 2 . 0 ( dx x x x x x = 1.822577777 u 2 . Problemas propuestos Resolver los siguientes problemas por los métodos que se indican a la derecha 6.1 | | } + 20 / 3 0 ) 1 5 ( t dx x sen , método trapecial (n = 20) 6.2 } 4 0 2 dx xe x , método de Simpson con n = 10 6.3 } + 3 0 2 1 dx x senx e x , método trapecial con n =12 6.4 } ÷ + 3 3 2 2 1 2 dx x , método de Simpson con n = 8 6.5 } + t 0 ) 5 8 ( dx senx , método de Romberg con tol = 0.0001 6.6 dx x } 1 0 5 . 2 3 . 15 , método de Romberg con tol = 0.001 6.7 } + ÷ + 10 0 4 2 ) 5 6 2 10 ( dx x x x , cuadratura de Gauss con m =3 y analíticamente. 6.8 dx x x x ) 3 4 1 ( 5 3 5 3 + ÷ ÷ } ÷ , cuadratura de Gauss con m = 4 164 6.9 } ÷ 2 / 0 2 25 . 0 1 t dx x sen senx , por todos lo métodos y compare resultados. 6.10 } + 1 0 1 dx e e x x , por todos los métodos y compare resultados. En los problemas siguientes (6.11 a 6.16), primero trate de resolverlos con sus conocimientos de cálculo integral, es decir, use los métodos analíticos para encontrar la solución. Podrá comprobar que son difíciles de resolver, por no decir imposibles; si es así, aplique el método numérico que le asegure un resultado satisfactorio. 6.11 } 2 / 3 2 / t t dx x senx , por dos métodos y compare resultados. 6.12 } + 2 0 4 1 dx x , por dos métodos y compare resultados. 6.13 } + 8 . 1 0 3 1 dx x , por dos métodos y compare resultados. 6.14 } ÷ 1 0 3 2 1 dx x , por dos métodos y compare resultados. 6.15 } + 2 0 3 1 x dx , por dos métodos y compare resultados. 6.16 } 2 / 0 t dx senx , por dos métodos y compare resultados. 6.17 Demuestre, por integración, que el valor exacto de dx x } ÷ 2 0 2 4 =t 6.18 Resuelva, por el método de Simphson (n =20) y Romberg (ε = 0.001), la integral: dx x e } 5 2 5 165 Capítulo 7 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 7.1 Generalidades Una ecuación diferencial se define como aquella ecuación que involucra derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en: Ecuaciones diferenciales ordinarias y, Ecuaciones diferenciales parciales Ejemplos: 0 2 2 2 = | . | \ | + dx dy xy dx y d , ecuación diferencial ordinaria ) ( 3 5 2 2 4 4 t sen x dx y d dx y d = + | | . | \ | + , ecuación diferencial ordinaria U t U s U = c c + c c , ecuación diferencial parcial 0 2 2 2 2 2 2 = c c + c c + c c z U y U x U , ecuación diferencial parcial 166 Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n, con variable dependiente y y variable independiente x, es una ecuación diferencial que puede ser expresada, en la forma: ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( 1 1 1 1 0 x b y x a dx dy x a dx y d x a dx y d x a n n n n n n = + + + + ÷ ÷ ÷ para a 0 (x) = 0. Ejemplos: 0 6 5 2 2 = + + y dx dy dx y d x xe dx dy x dx y d x dx y d = + + 3 3 3 2 4 4 Observaciones Primera: La variable dependiente y y sus derivadas ocurren solamente a la primer potencia. Segunda: No hay productos de y y/o cualquiera de sus derivadas. Tercera: La variable dependiente y no es función trascendente. Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es aquella que, no cumple una o todas las recomendaciones anteriores, por ejemplo, 0 5 5 2 2 2 = + + y dx dy dx y d 0 6 ) ( 5 2 2 2 = + + y dx dy y dx y d 0 6 5 2 2 = + + y dx dy y dx y d 167 La aproximación numérica, a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, es notable en el sentido de que cualquiera de la enorme variedad de técnicas numéricas disponibles pueden ser aplicadas, virtualmente a cualquier ecuación diferencial. En las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales y, en las condiciones de frontera o condiciones iniciales, rara vez se requiere modificación a las técnicas numéricas. La técnica numérica posteriormente puede ser virtualmente cambiada, sin tomar en consideración la ecuación diferencial por ser resuelta, desde luego, en marcado contraste al problema de dificultad para encontrar una solución analítica exacta, a una ecuación diferencial. De igual manera los sistemas lineales pueden, algunas veces, presentar grandes obstáculos para encontrar una técnica analítica adecuada y algunas ecuaciones diferenciales lineales; la mayoría no lineales, son virtualmente imposibles de resolver con los métodos analíticos exactos. Posteriormente es posible encontrar soluciones aproximadas a tales problemas, pero la exactitud de las soluciones aproximadas puede, rara vez, ser propiamente adecuada. Mientras que las técnicas numéricas, para ecuaciones diferenciales ordinarias son muy poderosas y pueden ser aplicadas a una gran variedad de problemas, debe tenerse presente que tales métodos pueden tener dificultades inherentes propias, como se verá más adelante. En esta sección introducimos ciertas bases, de métodos numéricos, para la aproximación de la solución de un problema de valor inicial, que se presenta con el siguiente modelo matemático: ) , ( y x f dx dy = (7-1) y la condición inicial y(x 0 ) = y 0 (7-2) Los métodos numéricos emplean la ecuación diferencial (7-1) y la condición inicial (7-2), para obtener aproximaciones de los valores de y correspondientes a varios valores seccionados de x. Para ser más explícito, sea denotada por y la solución del problema y h un incremento positivo de x. La condición inicial (7-2) nos expresa que y = y 0 en x = x 0 . Un método numérico empleará la ecuación diferencial (7-1) y la condición inicial (7-2) para aproximar, sucesivamente los valores de y en x 1 = x 0 + h, x 2 = x 1 + h, etc. Denotaremos esos valores aproximados de y por y 1 , y 2 , y 3 , ..., respectivamente; es decir, denotamos por y n el valor aproximado de y en x = 168 x n = x 0 + nh (n = 1, 2, 3, 4,...,). Ahora todo lo que conocemos, acerca de y antes de iniciar es que y = y 0 en x = x 0 . Con el objeto de empezar, necesitamos un método que requiera solamente el valor de y n a fin de obtener el siguiente valor de y, es decir, y n+1 . Podemos aplicar tal método con n = 0 y usar el valor de y 0 para estimar el valor de y 1 . Un método que use solamente y n para encontrar y n+1 y que, por lo tanto, nos permita iniciar, es llamado método de arranque. Una vez que hemos usado un método de arranque para obtener y 1 , podemos repetir con n = 1 para obtener y 2 , con n =2, para encontrar y 3 y, así sucesivamente. Sin embargo, una vez que se han calculado varios valores de y, frecuentemente es conveniente cambiar a un método, en el cual se use y n y uno o más valores anteriores y n-1 , y n-2 ,...para encontrar el siguiente valor de y n+1 . Tal método que nos permita continuar, una vez que hemos conseguido iniciar suficientemente, es llamado método de continuación. La mayoría de nuestra atención, en este texto, será para los métodos de arranque. Nuestro principal objetivo, en esta sección, es presentar los detalles de ciertos métodos básicos para resolver problemas de valor inicial de primer orden. En general, no deberíamos considerar la justificación teórica de esos métodos, ni deberíamos entrar en discusiones detalladas de temas, tales como error y exactitud. A continuación se presenta un problema simple de valor inicial que podría usarse para propósito de ilustración a lo largo de esta sección. Sea el problema: dx dy = 2x + y (7-3) con y(0) = 1 (7-4) Se observa que se trata de una ecuación diferencial lineal y, por consiguiente, puede ser resuelta de manera exacta. De acuerdo con los métodos analíticos, la solución exacta queda. x Ce x y + + ÷ = ) 1 ( 2 (7-5) donde C es una constante arbitraria. Aplicando la condición inicial (7-4), se encuentra que C = 3, por tanto, la solución exacta de es: x e x y 3 ) 1 ( 2 + + ÷ = (7-6) Se ha escogido este problema sencillo para propósitos ilustrativos, por dos razones importantes. Primera, la ecuación diferencial (7-3) es simple, a fin de que 169 los métodos numéricos pueden serle aplicados sin involucrar una introducción a la computación, la cual podría oscurecer los pasos importantes del método, para un principiante. Segunda, puesto que la solución exacta (7-6), del problema, ha sido encontrada podemos comparar los valores numéricos obtenidos con la solución aproximada y los de la solución exacta, con lo que se puede aumentar alguna comprensión en la veracidad de los métodos numéricos. Por supuesto, en la práctica no deberíamos resolver una ecuación diferencial lineal tan simple con un método numérico. Los métodos de esta sección son diseñados para ecuaciones diferenciales, que no pueden ser resueltas exactamente o para aquellas que prácticamente son difíciles de resolver. 7.2 Métodos de solución En esta sección, se presentan técnicas numéricas para resolver ecuaciones diferenciales no lineales o ecuaciones diferenciales lineales que tengan dificultades para su resolución con los métodos analíticos tradicionales. Entre ellos se discuten los siguientes: Euler Euler modificado Heun Runge-Kutta 1. Segundo orden 2. Tercer orden 3. Cuarto orden 4. Orden superior Después de la presentación de estos métodos, se resuelven problemas para un mejor entendimiento de los mismos. 7.2.1 Método de Euler Consideremos que la ecuación diferencial (7-1) se escribe en diferencias finitas hacia delante, es decir: 170 ) , ( 1 i i i i y x f x y y = A ÷ + (7-7) despejando y i+1 , se tiene: ) , ( . 1 i i i i y x f x y y A + = + (7-8) Ecuación (7-8) es conocida como ecuación de Euler. Note usted que f(x i , y i ) representa la ecuación diferencial por resolver, por lo que, ecuación (7-8) puede escribirse también como: y x y y i i ' A + = + . 1 (7-9) La ventaja de esta ecuación es que es muy fácil de aplicar, ya que la parte derecha es conocida, puesto que para i = 0 se conoce la condición inicial dada por (7-2) el método de Euler proporciona y 1 mediante una extrapolación lineal, dentro del intervalo Ax (Fig. 7.1). Una vez conocido y 1 y x 1 = x 0 + Ax; con estos nuevos valores se obtiene y 2 y x 2 = x 0 + 2Ax y así sucesivamente. Sin embargo, se ha observado que para Ax grandes, las estimaciones de y i+1 , tienen mucho error al comparar los resultados obtenidos con los valores que arroja la solución exacta; de esta manera, su aplicación sólo se hará para tener una aproximación inicial de la solución y para aplicaciones de gran trascendencia se recomienda el uso de otro método ó hacer que Ax tienda a cero. O predicho O exacto x i x i+1 error Fig. 7.1 Método de Euler x y 171 La solución numérica de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) incluye dos tipos de errores: 1. Errores por truncamiento, causados por la naturaleza de los métodos empleados en la aproximación a los valores de y, y 2. Errores por redondeo, causados por lo limitado de dígitos o de cifras significativas que puede retener la computadora usada. 7.2.1.1 Análisis de error en el Método de Euler Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera está compuesta por un error de truncamiento local, que resulta al aplicar un paso del método; la segunda es un error de propagación que resulta de las aproximaciones producidas durante los anteriores. La suma de los dos errores es el error de truncamiento global. El error de truncamiento se puede obtener derivando el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor, alrededor del punto inicial (x i , y i ). n n n i i i i i R x n y x y x y y y + A + + A ' ' + A ' + = + ) ( ! ... ) ( 2 ) ( 2 1 (7-10) donde Ax = x i+1 –x i y R n es el término residual definido como: 1 1 ) ( )! 1 ( ) ( + + A + = n n n x n y R ç (7-11) en esta ecuación ç, está dentro del intervalo definido por x i y x i+1 . Se puede desarrollar una forma alternativa, sustituyendo la ecuación (7-1) en las ecuaciones (7-10) y (7-11), quedando: ) ( ) ( ! ) , ( ... ) ( ! 3 ) , ( ) ( 2 ) , ( ) , ( 1 ) 1 ( 3 2 1 + ÷ + A + A + + A ' ' + A ' + A + = n n i i n i i i i i i i i x x n y x f x y x f x y x f x y x f y y u (7-12) donde u(Ax n+1 ) especifica que el error de truncamiento local es proporcional al tamaño del paso elevado a la (n+1)-ésima potencia. Comparando ecuación (7-8) con ecuación (7-12), se nota que el error de truncamiento local Ev, está dado por: 172 ) ( ) ( ! ) , ( ... ) ( 2 ) , ( 1 ) 1 ( 2 + ÷ A + A + + A ' = n n i i n i i v x x n y x f x y x f E u (7-13) para un Ax suficientemente pequeño, los errores dados por esta ecuación decrecen a medida que el orden crece y, el resultado, a menudo se representa por: 2 ) ( 2 x y E i a A ' ' = (7-14.1) ó 2 ) ( x E a A =u (7-14.2) donde E a es el error de truncamiento local aproximado. Aunque la serie de Taylor es un medio para cuantificar el error en el método de Euler, tiene muchas limitaciones asociadas con su uso para este propósito, entre las cuales pueden citarse: 1) La serie de Taylor sólo proporciona una aproximación local del error por truncamiento, es decir, el error generado durante el primer paso del método. No proporciona una medida de la propagación y, por ello, no es posible estimar el error global por truncamiento. 2) En problemas reales, usualmente se trata con funciones más complicadas que un simple polinomio; por consiguiente, las derivadas necesarias para evaluar la serie de Taylor no siempre son fáciles de obtener. Aunque estas limitaciones no ayudan en el análisis exacto de errores en la mayor parte de los problemas prácticos, esta serie proporciona una idea valiosa del comportamiento del método de Euler. De acuerdo con ecuación (7-14), se ve que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso (Ax) y la primer derivada de la ecuación diferencial. Estas observaciones conducen a las siguientes conclusiones: 1. El error se puede reducir disminuyendo Ax. 2. El método proporciona predicciones libres de error, si la función fundamental (es decir, la solución de la ecuación diferencial ) es lineal, 173 ya que la segunda derivada de una línea recta es nula. De aquí que el método de Euler se conozca como método de primer orden. Ejempo 7.1 Se resuelve la ecuación diferencial ordinaria dada por (7-3) y la condición inicial (7-4), con Δx = 0.5 y xfinal = 5 y x dx dy + = 2 con y(0) = 1 Inicio y 0 , x 0 , Ax, x f Definir f(x, y) i = 0 Escribir x i , y i F i = f(x i , y i ) y i+1 = y i + Ax*F i i = i +1 x i = x i-1 + Ax x i , y i x i sx f ? fin N S β β DIAGRAMA DE FLUJO: MÉTODO DE EULER 174 Solución. Como se dijo en la sección 7.1, la ecuación diferencial propuesta como ejemplo, tiene como solución exacta: x e x y 3 ) 1 ( 2 + + ÷ = , que servirá para comparar los resultados obtenidos y poder cuantificar la exactitud del método de Euler. Para este ejemplo, f(x i , y i ) = 2x i +y i ; el punto inicial conocido es x 0 = 0 y y 0 = 1. De acuerdo con el valor de Δx, los valores consecutivos de x serán: 0, 0.5, 1, 1.5, 2,2.5, etc. Con la información anterior la ecuación (7-8) se escribe como: ( ) i i i i y x y y + + = + 2 5 . 0 1 sustituyendo las condiciones iniciales, se obtiene y 0+1 = y 0 + 0.5*(2x 0 + y 0 ) = 1 + 0.5|2(0)+1| = 1.50 Ahora, con estos valores se obtiene: y 2 = y 1 + 0.5*(2x 1 + y 1 ) = 1.5 + 0.5|2(0.5)+1.5|= 2.75, etc. Para calcular los valores exactos se sustituyen los mismos valores de x usados en el método de Euler y se obtienen los valores de y. Por ejemplo, para x = 0, se tiene: x e x y 3 ) 1 ( 2 + + ÷ = =-2(0+1)+3e 0 = -2(0+1) +3(1) = 1 Continuando de la manera descrita, se llegó a los resultados. x y Euler y Exacta E(%) 0.000 1.000 1.000 0.00 0.500 1.500 1.946 22.93 1.000 2.750 4.155 33.81 1.500 5.125 8.445 39.31 2.000 9.188 16.167 43.17 2.500 15.781 29.547 46.59 3.000 26.172 52.257 49.92 3.500 42.258 90.346 53.23 4.000 66.887 153.794 56.51 4.500 104.330 259.051 59.73 5.000 160.995 433.239 62.84 175 Note usted que este método es muy aproximado, ya que existe un alto porcentaje de error. En seguida se presenta una gráfica de conjunto, para tener en forma objetiva la solución y reflejar el error relativo. Figura del problema 7.1(Euler) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 x f ( x ) YEuler YExacata 7.2.1.2 Modificaciones y mejoras al Método de Euler Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada, al principio del intervalo (Ax), se supone que se aplica a través del intervalo entero, lo cual es falso, ya que, se predice el valor de y i+1 con una recta (Fig. 7.1). Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este inconveniente, que por su sencillez se describen a continuación. 7.2.2 Método mejorado del polígono – Euler modificado Este método usa el método de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo, es decir: ) , ( * 2 1 2 / 1 i i i i y x f x y y A + = + (7-15) con este valor se calcula la pendiente en el punto medio de Ax ( Fig. 7.2, a). 176 ) , ( 2 / 1 2 / 1 1 + + + = ' i i i y x f y (7-16) la cual se supone representa una aproximación válida de la pendiente promedio en el intervalo completo Ax. Ahora esta pendiente se usa en la ecuación predictora de Euler para extrapolar linealmente de xi a x i+1 ; por lo que: y i+1 = y i + Ax ) , ( 2 / 1 2 / 1 + + i i y x f (7-17) El método del polígono mejorado es superior al método de Euler, ya que éste utiliza una aproximación de la pendiente en el punto medio del intervalo de predicción. O aprox O exac x i x i+1/2 Fig. 7.2 Esquema gráfico del método de Euler modificado x y ) , ( 2 / 1 1 2 / 1 + + = y x f Pendiente i x i x i+1 x y ) , ( 2 / 1 1 2 / 1 1 + + = y x f Pendiente a) b) 177 Ejemplo 7.2 Se resuelve la ecuación diferencial ordinaria del ejemplo 7.1 con el objeto de observar la mejoría de este método. La ecuación (7-15) y la (7-17) se escriben, respectivamente: | | i i i i y x y y + + = + 2 ) 5 . 0 ( 2 1 2 / 1 | | 2 / 1 1 ) 25 . 0 ( 2 5 . 0 + + + + + = i i i i y x y y De las condiciones iniciales se obtienen los siguientes valores: | | 25 . 1 1 ) 0 ( 2 ) 5 . 0 ( 2 1 1 2 / 1 0 = + + = + y | | 875 . 1 25 . 1 ) 25 . 0 0 ( 2 5 . 0 1 1 = + + + = y El valor exacto es: 946 . 1 3 ) 1 5 . 0 ( 2 5 . 0 = + + ÷ = e y Para estos valores el error relativo es: % 65 . 3 100 ) 946 . 1 / ) 875 . 1 946 . 1 (( = ÷ x abs De la misma forma se obtuvieron los demás valores, cuyo resumen se muestran en la tabla 1E7.2, dada a continuación. Tabla 1E7.2 f(xi + yi) método de Euler modificado x yi 2xi + yi y(i+1/2) yexac Er(%) 0.00 1.000 1.000 1.250 1.000 0.000 0.50 1.875 2.875 2.594 1.946 3.657 1.00 3.922 5.922 5.402 4.155 5.607 1.50 7.873 10.873 10.591 8.445 6.773 2.00 14.919 18.919 19.648 16.167 7.722 2.50 26.993 31.993 34.991 29.547 8.646 3.00 47.238 53.238 60.548 52.257 9.603 3.50 80.762 87.762 102.703 90.346 10.608 4.00 135.864 143.864 171.830 153.794 11.659 4.50 226.029 235.029 284.786 259.051 12.747 5.00 373.172 433.239 13.865 Es notoria la mejoría se este método comparado con el método de Euler tradicional. Mientras en aquel tiene un error relativo de 62.84%, éste sólo tiene el 13.865%. 178 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 1 2 3 4 5 V a l o r e s d e y ( x ) Variable independiente X Yeuler mejorado yexac 7.2.3 Método de Heun Este método calcula las dos derivadas en el intervalo Δx, una en el punto inicial (x i , y i ) y otra en el punto final del intervalo (x i+1 , y i+1 ). En seguida se promedian las dos derivadas con lo que se obtiene una aproximación mejorada, de la pendiente en el intervalo completo (Fig. 7.3). O O x i x i+1 x y ) , ( 1 1 E i i y x f + + ) , ( i i y x f 179 El método estándar se detendría en este punto, sin embargo, en el método de Heun, esta ecuación sólo es una predicción intermedia, por lo que se llama ecuación predictora. Con este valor se calcula una pendiente aproximada al final del intervalo, esto es: ) , ( 1 1 1 E i i i y x f y + + + = ' (7-18) En el método de Euler, la pendiente al principio de un intervalo, se estima con, ) , ( i i i y x f y = ' la cual se usa para extrapolar linealmente a y i+1 , quedando: ) , ( * 1 i i i E i y x f x y y A + = + (7-19) Tomando en cuenta que la pendiente promedio, es la pendiente que se extrapola para predecir el valor final de y i+1 , entonces la ecuación de Euler se transforma en: ( ¸ ( ¸ + A + = + + + 2 ) , ( ) , ( 1 1 1 E i i i i i i y x f y x f x y y (7-20) Fig. 7.3 Método de Heun O x i x i+1 x y 2 ) , ( ) , ( 1 1 E i i i i y x f y x f + + + 180 que se llama ecuación correctora. En consecuencia, el método de Heun es un método predictor – corrector; por esta razón es común encontrar representado este método como: Predictor- ) , ( * 1 i i i E i y x f x y y A + = + (7-8.1) Corrector ( ¸ ( ¸ + A + = + + + 2 ) , ( ) , ( 1 1 1 E i i i i i i y x f y x f x y y (7-20) Para calcular el error de dos iteraciones consecutivas se usa el criterio del error relativo, dado por: j i j i j i a y y y 1 1 1 1 + ÷ + + ÷ = c (7-21) Inicio x 0 , y 0 Ax, x f Definir f(x, y) Escribir x, y k 1 = Axf(x, y ) y E = y + k 1 k 2 =Axf(x+Ax, y E ) x = x + Ax x, y x s x f ? fin N S DIAGRAMA DE FLUJO METODO DE HEUN ( ) 2 1 2 1 k k y y + + = 1 1 181 Ejemplo 7.3 Se resuelve la misma ecuación diferencial de los ejemplos anteriores. Para esta aplicación, se usa ecuación (7-8.1) como predictor y ecuación (7-20) como corrector. Se tiene que: f(x i , y i ) = 2x i + y i ; y(0) =1 y Ax = 0.5. Por lo que la adaptación, del problema a resolver, queda. i i i i y x y x f + = 2 ) , ( Predictor- ) 2 ( 5 . 0 1 i i i E i y x y y + + = + (7-8.1) Corrector ( ¸ ( ¸ + + = + + + 2 ) , ( ) , ( 5 . 0 1 1 1 E i i i i i i y x f y x f y y (7-20) con E i i E i i y x y x f 1 1 1 1 2 ) , ( + + + + + = Iniciando con y 0 =1 y x 0 = 0 (valores iniciales), se tiene, i i i i y x y x f + = 2 ) , ( = 2(0) + 1 = 1.00 ) , ( * 1 i i i E i y x f x y y A + = + = 1 + 0.5*(1) = 1.50 E i i E i i y x y x f 1 1 1 1 2 ) , ( + + + + + = = 2(0.5) + 1.50 = 2.50 El corrector conduce a, Corrector y i+1 = 1.0 + 0.50 875 . 1 2 50 . 2 00 . 1 = ( ¸ ( ¸ + Repitiendo nuevamente el proceso, con x 1 = 0.5 y y 1 = 1.875, se tienen los siguientes resultados, i i i i y x y x f + = 2 ) , ( = 2(0.5) + 1.875 = 2.875 E i y 1 + = 1.875 + 0.5*(2.875) = 3.3125 182 E i i E i i y x y x f 1 1 1 1 2 ) , ( + + + + + = = 2(1.0) + 3.3125 = 5.3125 Por consiguiente, el corrector proporciona el valor: Corrector y i+1 = 1.875 + 0.50 9219 . 3 2 3125 . 5 875 . 2 = ( ¸ ( ¸ + , etc. Es notorio que, los resultados obtenidos son los mismos que los que el método de Euler modificado, por lo que, no se consideró necesario escribirlos, ni graficarlos; ya que, tanto la tabulación como la gráfica son las mismas. 7.2.4 Métodos de Runge-Kutta Los métodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquema completo de la serie de Taylor, sin requerir del cálculo de las derivadas de orden superior. Existen muchas variaciones de estos métodos, pero todas ellas se pueden ajustar a la ecuación. x x y x y y i i i i A A u + = + ) , , ( 1 (7-22) donde u(x i , y i , Ax) se le llama función de incremento y puede interpretarse como el promedio de la pendiente sobre el intervalo Ax. La función de incremento se puede generalizar con: u= a 1 k 1 + a 2 k 2 + a 3 k 3 + . . . + a n k n (7-23) en esta ecuación las a n son constantes y las k n quedan definidas como: k 1 = f(x i , y i ) (7-24) k 2 = f(x i + p 1 Ax, y i + q 11 k 1 Ax) (7-25) k 3 = f(xi + p 2 Ax, y i + q 21 k 1 Ax + q 22 k 2 Ax) (7-26) . . . k n = f(x i +p n-1 Ax, y i + q n-1,1 k 1 Ax + q n-1,2 k 2 Ax + . . .+q n-1 , n-1 k n-1 Ax ) (7-27) 183 Obsérvese que las k son relaciones recurrentes; o sea que, k 1 aparece en la ecuación de k 2 . En el cálculo de k 3 aparecen k 1 y k 2 , etc. Esta recurrencia hace que los métodos de Runge - Kutta sean fáciles de programar. Se pueden desarrollar varios métodos de Runge - Kutta empleando una cantidad diferente de términos en la función de incremento (7-23), especificados por n. Por consiguiente el método de Runge - Kutta de primer orden con n = 1, corresponde al método de Euler. Una vez que se ha escogido n, los valores de las constantes a, de p y q se evalúan igualando la ecuación (7-22) a los términos en una expansión de la serie de Taylor. Por consiguiente, n representa, por lo general, el orden del método, al menos en los métodos de orden menor que el cuarto. 7.2.4.1 Método de Runge-Kutta de segundo orden La versión de segundo orden (n = 2), de acuerdo con (7-22), es ( ) 2 2 1 1 1 k a k a x y y i i + A + = + (7-28) donde k 1 = f(x i , y i ) (7-29) k 2 = f(x i + p 1 Ax, y i + q 11 k 1 Ax ) (7-30) de la serie de Taylor se concluye (ver apéndice A), que: a 1 + a 2 = 1 a 1 p 2 = 2 1 a 2 q 11 = 2 1 En este caso y debido a que se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas, se debe suponer el valor de una de ellas, para determinar las otras tres; por ejemplo, si se propone el valor de a 2 , entonces resulta que: a 1 =1- a 2 y, (7-31) 184 p 1 = q 11 = 2 2 1 a (7-32) De lo anterior se concluye que existe un número infinito de métodos de Runge-Kutta de segundo orden, ya que, se puede escoger una cantidad infinita de valores para a 2 ; con la garantía de que cada versión llevaría a los mismos resultados, si la solución de la EDO es cuadrática, lineal o constante; es decir, que f(x, y) sea cuando más lineal. 7.2.4.1.1 Método de Runge-Kutta de segundo orden con a 2 =1/2 -Método de Heun con un corrector simple En este caso, ecuaciones (7-31) y (7-32) conducen a los siguientes valores: a 1 =1/2, p 1 =q 11 =1; por lo tanto, ecuaciones (7-28) a (7-30) se transforman en, ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 k k x y k k x y y i i i + A + = + A + = + (7-33) donde k 1 = f(x i , y i ) (7-34) k 2 = f(x i +Ax, y i + k 1 Ax ) (7-35) Obsérvese que k 1 es la pendiente al principio del intervalo y k 2 es la pendiente al final Ax. Por tanto, este método corresponde al método de Heun con una sola iteración del corrector. 7.2.4.1.2 Método de Runge-Kutta de segundo orden con a 2 =1-Método del polígono Para a 2 = 1, ecuaciones (7-31) y (7-32) indican que a 1 = 0 y p 1 =q 11 =1/2; por lo que, ecuación (7-28) conduce a: 2 1 xk y y i i A + = + (7-36) donde 185 k 1 = f(x i , y i ) (7-37) y de (7-30) se tiene que k 2 = f(x i + 2 1 Ax, y i + 2 1 k 1 Ax ) (7-38) Con estas características, se observa que este conjunto de ecuaciones corresponde al método mejorado del polígono, es decir, es el método de Euler modificado. 7.2.4.1.3 Método de Runge-Kutta de segundo orden con a 2 =2/3-Método de Raltson En Raltson (1962) y Rabinowitz (1978) llegaron a la conclusión que escoger a 2 = 2/3 minimiza el error de truncamiento de los algoritmos de RK de segundo orden. Note usted que, en este caso, a 1 = 1/3 y p 1 =q 11 =3/4 [según ecuaciones (7- 31) y (7-32)], por lo que, (7-28) conduce a: ) 2 ( 3 1 2 1 1 k k x y y i i + A + = + (7-39) donde k 1 = f(x i , y i ) (7-40) y ecuación (7-30) se escribe como: k 2 = f(x i + 4 3 Ax, y i + 4 3 k 1 Ax ) (7-41) Ejemplo 7.3 Solución usando métodos de RK de orden 2 a)Heun con un corrector simple (a 2 =1/2) Las ecuaciones (7-33) a (7-35), adaptadas a la ecuación diferencial que se está resolviendo, son: 186 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 / 5 . 0 k k y k k x y y i i i + + = + A + = + con k 1 = 2x i + y i k 2 = 2(x i +0.5) + (y i + 0.5k 1 ) sustituyendo condiciones iniciales ( y 0 = 1 y x 0 = 0 ), se obtiene, k 1 = 2x i + y i =2(0) + 1.0 = 1.00 k 2 = 2(0 +0.5) + (1 + 0.5*1)= 2.50 ahora, con la ecuación predictora, se obtiene: ( ) 2 1 0 1 0 2 / 5 . 0 k k y y + + = + =1.0 + 0.25*(1.0 + 2.50) =1.875 Repitiendo con x 1 = 0.50 e y 1 = 1.875: k 1 = 2x i + y i =2(0.5) + 1.875 = 2.875 k 2 = 2(0.5 +0.5) + (1.875 + 0.5*2.875 )= 5.3225 ( ) 9218 . 3 ) 325 . 5 875 . 2 ( * 25 . 0 875 . 1 2 / 5 . 0 2 1 1 2 = + + = + + = k k y y El proceso se repite reiteradamente para estimar otros valores. En este caso se llegó a: x y Exacta y KR-2 K 1 =f(x, y) K 2 E r(%) 0.00 1.00 1.00 1.00 2.50 0.0 0.50 1.95 1.88 2.88 5.31 3.7 1.00 4.15 3.92 5.92 9.88 5.6 1.50 8.45 7.87 10.87 17.31 6.8 2.00 16.17 14.92 18.92 29.38 7.7 2.50 29.55 26.99 31.99 48.99 8.6 3.00 52.26 47.24 53.24 80.86 9.6 3.50 90.35 80.76 87.76 132.64 10.6 4.00 153.79 135.86 143.86 216.80 11.7 4.50 259.05 226.03 235.03 353.54 12.7 5.00 433.24 373.17 383.17 575.76 13.9 187 b) método mejorado del polígono (a 2 = 1) En este caso las ecuaciones (7-36), (7-37) y (7-38) quedan, respectivamente: 2 1 xk y y i i A + = + = 2 5 . 0 k y i + y k 1 = f(x i , y i ) = 2x i + y i k 2 = f(x i + 2 1 Ax, y i + 2 1 k 1 Ax )= 2(xi + 0.25) + ( yi + 0.25k 1 ) partiendo de y = 1 y x = 0, así como Ax = 0.50, se obtienen los siguientes valores: k 1 = 2(0) + 1 = 1 k 2 = 2(0 + 0.25) + (1 + 0.25*1) =1.75 y 1 = 1 + 0.5*(1.75) = 1.875 Para otros valores se repite el proceso, ahora con x = 0.5 e y =1.875, obteniendo. k 1 = 2(0.5) + 1.875 = 2.875 k 2 = 2(0.5 + 0.25) + (1.875 + 0.25*2.875)) =4.09 y 1 = 1.875 + 0.5*(2.875) = 3.92 de la misma forma se obtuvieron los demás resultados, los cuales se resumen a continuación: X y Exacta y KR-2(a2=1) K 1 =f(x, y) K 2 E r(%) 0.00 1.000 1.000 1.000 1.750 0.0 0.50 1.946 1.875 2.875 4.094 3.7 1.00 4.155 3.922 5.922 7.902 5.6 1.50 8.445 7.873 10.873 14.091 6.8 2.00 16.167 14.919 18.919 24.148 7.7 2.50 29.547 26.993 31.993 40.491 8.6 3.00 52.257 47.238 53.238 67.048 9.6 3.50 90.346 80.762 87.762 110.203 10.6 4.00 153.794 135.864 143.864 180.330 11.7 4.50 259.051 226.029 235.029 294.286 12.7 5.00 433.239 373.172 383.172 479.465 13.9 Como se observa, los resultados son iguales a los obtenidos por Heun. 188 c) Método de Raltson (a 2 = 2/3) La adaptación de las ecuaciones (7-39), (7-40) y (7-41), al problema por resolver, es, ) ( 2 3 2 1 3 1 1 k k x y y i i + A + = + = ) 2 ( 3 5 . 0 2 1 1 k k y y i i + + = + donde k 1 = f(x i , y i ) = 2x i + y i k 2 = f(x i + 4 3 Ax, y i + 4 3 k 1 Ax ) =2(x i +0.75*.5)+(y i + 0.75*.5k 1 ) Iniciando con el punto conocido x 0 =0, y 0 =1, se obtiene, k 1 = 2(0)+1 = 1 k 2 = 2(0+0.375)+(1+0.375*1) = 2.125 y 1 = 1 + 0.5/3*(1 + 2*2.125) = 1.875 Igual que en todos los métodos de RK de orden 2; el resumen se muestra en la tabla siguiente. X y Exacta y KR-2 (a 2 =2/3) K 1 =f(x, y) K 2 E r(%) 0.00 1.000 1.000 1.000 2.125 0.0 0.50 1.946 1.875 2.875 4.703 3.7 1.00 4.155 3.922 5.922 8.893 5.6 1.50 8.445 7.873 10.873 15.700 6.8 2.00 16.167 14.919 18.919 26.763 7.7 2.50 29.547 26.993 31.993 44.740 8.6 3.00 52.257 47.238 53.238 73.953 9.6 3.50 90.346 80.762 87.762 121.423 10.6 4.00 153.794 135.864 143.864 198.563 11.7 4.50 259.051 226.029 235.029 323.915 12.7 5.00 433.239 373.172 383.172 527.612 13.9 La figura es similar a la inmediata anterior, ya que no hay cambios sustanciales en el valor de “y” calculados. 189 7.2.4.1.4 Método de Runge-Kutta de tercer orden Se puede llevar a cabo una derivación análoga a la del método de segundo orden, para n = 3. Los resultados de esta deducción a través de la serie de Taylor, indica que se llega a un sistema de seis ecuaciones con ocho incógnitas, por consiguiente se deben suponer valores a dos incógnitas, para poder resolver el sistema. La versión más común que resulta se escribe como: | | 3 2 1 1 4 6 k k k x y y i i + + A + = + (7-42) donde ) , ( 1 i i y x f k = (7-43) ) 2 1 , 2 1 ( 1 2 xk y x x f k i i A + A + = (7-44) ) 2 , ( 2 1 3 xk xk y x x f k i i A + A ÷ A + = (7-45) Se hace notar que los métodos de RK de tercer orden tienen errores globales de 0(Ax 4 ) y conducen a resultados exactos cuando la solución a la ecuación diferencial ordinaria es de tercer orden. El diagrama de fujo se muestra en figura D7.2. Ejemplo 7.4 Se resuelve la EDO de los ejemplos anteriores. La ecuación (7-42) predice los valores de y al final de cada intervalo, con apoyo de las ecuaciones (7- 43), (7-44) y (7-45). La sustitución de la ecuación diferencial a resolver las transforma en: | | 3 2 1 1 4 ) 5 . 0 ( 6 1 k k k y y i i + + + = + y k 1 = f(x i , y i ) = 2x i + y i k 2 = f(x i + 2 1 Ax, y i + 2 1 k 1 Ax ) = 2(x i + 0.25)+(y i +0.25k 1 ) ) 2 , ( 2 1 3 xk xk y x x f k i i A + A ÷ A + = =2(x i +0.5) + (y i -0.5*k 1 +k 2 ) Para las condiciones iniciales dadas, la primer iteración, arroja los valores. 190 k 1 = f(x i , y i ) = 2x i + y i =2(0)+1 = 1 k 2 = f(x i + 2 1 Ax, y i + 2 1 k 1 Ax ) = 2(x i + 0.25)+(y i +0.25k 1 ) =1.75 ) 2 , ( 2 1 3 xk xk y x x f k i i A + A ÷ A + = =2(x i +0.5) + (y i -0.5*k 1 +k 2 ) =3.25 Finalmente, el valor de y, al final del primer intervalo (x = 0.50), es. | | 3 2 1 1 4 ) 5 . 0 ( 6 1 k k k y y i i + + + = + | | 9375 . 1 25 . 3 ) 75 . 1 ( 4 1 ) 5 . 0 ( 6 1 1 = + + + = , etc, A continuación se muestra el resumen de resultados y la gráfica de conjunto correspondiente. x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 y 1 1.95 4.16 8.45 16.17 29.55 52.26 90.35 153.79 259.05 433.24 Y rk3 1 1.94 4.13 8.38 16.01 29.23 51.63 89.14 151.51 254.82 425.50 E% 0 0.44 0.69 0.84 0.96 1.08 1.21 1.34 1.48 1.63 1.79 Figura del problema 7.1(RK-3) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 x f ( x ) Yexacta YRK-3 191 7.2.4.1.5 Método de Runge-Kutta de cuarto orden Los métodos de RK más populares, por su exactitud y sencillez, son los de cuarto orden. Al igual que en los métodos anteriores, existe un número infinito de Inicio y, x, h, x f Definir f(x, y) Escribir x, y x = x + h x, y x s x f ? fin N S FIG.D7.2 DIAGRAMA DE FLUJO METODO DE RK-3 ) , ( 1 y x f k = ) , ( 1 y x f k = ) , ( 1 2 1 2 1 2 hk y h x f k + + = ) 2 , ( 2 1 3 hk hk y h x f k + ÷ + = ( ) 3 2 1 6 4 k k k y y h + + + = Ax = h f(x, y) = Ec. x, y = cond. Inic. SUB KK SUB KK RETURN 192 versiones. Sin embargo, el método clásico de RK de cuarto orden es el representado por el siguiente grupo de ecuaciones. | | 4 3 2 1 1 ) ( 2 6 k k k k x y y i i + + + A + = + (7-46) donde ) , ( 1 i i y x f k = (7-47) ) , ( 1 2 1 2 1 2 xk y x x f k i i A + A + = (7-48) ) , ( 2 2 1 2 1 3 xk y x x f k i i A + A + = (7-49) ) , ( 3 4 xk y x x f k i i A + A + = (7-50) Eejmplo 7.5 Solución por el método de Runge Kutta de orden 4 Para la aplicación de este método se usan las ecuaciones (7-46) a (7-50), que al sustituir el valor de Ax dado, quedan de la siguiente forma. | | 4 3 2 1 1 ) ( 2 6 5 . 0 k k k k y y i i + + + + = + donde ) , ( 1 i i y x f k = = 2x i + y i ) , ( 1 2 1 2 1 2 xk y x x f k i i A + A + = = 2(x i + 0.25) + (y i + 0.25*k 1 ) ) , ( 2 2 1 2 1 3 xk y x x f k i i A + A + = = 2(x i + 0.25) + (y i + 0.25*k 2 ) ) , ( 3 4 xk y x x f k i i A + A + = =2(x i + 0.5) + (y i + 0.5*k 3 ) Puede comprobarse que al sustituir las condiciones iniciales y procediendo igual que el método anterior, se llegó a los siguientes valores. ) , ( 1 i i y x f k = = 2x i + y i = 2(0) +1 = 1.00 ) , ( 1 2 1 2 1 2 xk y x x f k i i A + A + = = 2(0 +0.25) + (1+.25*1) =1.75 193 ) , ( 2 2 1 2 1 3 xk y x x f k i i A + A + = = 2(0+0.25) + (1+.25*1.75) =1.94 ) , ( 3 4 xk y x x f k i i A + A + = = 2(0+.5) + (1+.5*1.94) =2.97 De (7-46) | | 95 . 1 97 . 2 ) 94 . 1 75 . 1 ( 2 1 6 5 . 0 1 1 0 = + + + + = + y Repitiendo el proceso, cada vez, con los nuevos valores se llegó a los siguientes resultados: x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 y 1 1.95 4.16 8.45 16.17 29.55 52.26 90.35 153.79 259.05 433.24 Y rk4 1 1.95 4.15 8.44 16.15 29.52 52.19 90.23 153.57 258.63 432.47 E% 0 0.04 0.07 0.08 0.09 0.11 0.12 0.13 0.15 0.16 0.18 Se observa que el error máximo es, solamente del 0.18 %; es decir, la solución es, prácticamente, exacta. Es seguro que se tenga una mejora usando un Δx más pequeño. Figura del problema 7.1(RK-4) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 x f ( x ) Yexacta YRK-4 194 Inicio y, x, h, x f Definir f(x, y) Escribir x, y x = x + h x, y x s x f ? fin N S DIAGRAMA DE FLUJO METODO DE RK-4 ) , ( 1 y x f k = ) , ( 1 y x f k = ) , ( 1 2 1 2 1 2 hk y h x f k + + = ) 2 , ( 2 1 2 1 3 hk y h x f k + + = ( ) 4 3 2 1 6 2 2 k k k k y y h + + + + = ) , ( 3 4 hk y h x f k + + = Ax = h f(x, y) = Ec. x, y = cond. Inic. 195 7.2.4.1.6 Método de Runge-Kutta de orden superior Donde se requiera de mayor exactitud, aunque el método de RK de cuarto orden es muy exacto, se recomienda el método de Runge-Kutta de quinto orden, Butcher (1964). Butcher encontró que los valores de y se obtienen con: | | 6 5 4 3 1 1 7 32 12 32 7 90 k k k k k x y y i i + + + + A + = + (7-51) en la que ) , ( 1 i i y x f k = 7-52) ) , ( 1 4 1 4 1 2 xk y x x f k i i A + A + = (7-53) ) , ( 2 8 1 1 8 1 4 1 3 xk xk y x x f k i i A + A + A + = (7-54) ) , ( 3 2 2 1 2 1 4 xk xk y x x f k i i A + A ÷ A + = (7-55) ) , ( 4 16 9 1 16 3 4 3 5 xk xk y x x f k i i A + A + A + = (7-56) ) , ( 5 7 8 4 7 12 3 7 12 2 7 2 1 7 3 6 xk xk xk xk xk y x x f k i i A + A ÷ A + A + A ÷ A + = (7-57) Ejempo 7.6 Solución por el método de RK-Orden superior (Método de quinto orden) En este caso, las ecuaciones a usarse son de (7-51) a (7-57), las cuales quedan para este problema como, | | 6 5 4 3 1 1 7 32 12 32 7 90 5 . 0 k k k k k y y i i + + + + + = + en la que ) , ( 1 i i y x f k = = 2x i + y i ) , ( 1 4 1 4 1 2 xk y x x f k i i A + A + = = 2(x i +0.125) +(y i +0.125*k 1 ) 196 ) , ( 2 8 1 1 8 1 4 1 3 xk xk y x x f k i i A + A + A + = =2(x i +0.125)+(y i +0.0625*(k 1 +k 2 )) ) , ( 3 2 2 1 2 1 4 xk xk y x x f k i i A + A ÷ A + = =2(x i +0.25)+(y i –0.25k 2 +0.5k 3 ) ) , ( 4 16 9 1 16 3 4 3 5 xk xk y x x f k i i A + A + A + = =2(x i +0.375)+(y i +0.09375k 1 +0.28125k 4 ) ) , ( 5 7 8 4 7 12 3 7 12 2 7 2 1 7 3 6 xk xk xk xk xk y x x f k i i A + A ÷ A + A + A ÷ A + = =2(x i + 0.5) + ( y i -1.5/7k 1 + 1/7*k 2 + 6/7*k 3 - 6/7*k 4 + 4/7*k 5 ) Sustituyendo, como siempre - en ecuaciones anteriores - las condiciones iniciales, se llegó a los siguientes resultados. ) , ( 1 i i y x f k = = 1.000 ) , ( 1 4 1 4 1 2 xk y x x f k i i A + A + = = 1.375 ) , ( 2 8 1 1 8 1 4 1 3 xk xk y x x f k i i A + A + A + = = 1.398 ) , ( 3 2 2 1 2 1 4 xk xk y x x f k i i A + A ÷ A + = = 1.855 ) , ( 4 16 9 1 16 3 4 3 5 xk xk y x x f k i i A + A + A + = = 2.366 ) , ( 5 7 8 4 7 12 3 7 12 2 7 2 1 7 3 6 xk xk xk xk xk y x x f k i i A + A ÷ A + A + A ÷ A + = = 2.942 | | 6 5 4 3 1 1 7 32 12 32 7 90 5 . 0 k k k k k y y i i + + + + + = + = 1.946 Repitiendo el proceso, es decir, con x 1 = 0.5 e y 1 =1.946 y, así para los valores subsecuentes, se llegó a: x y Exacta k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 Y RK-5 E(%) 0.000 1.000 1.000 1.375 1.398 1.855 2.366 2.942 1.000 0.000 0.500 1.946 2.946 3.564 3.603 4.357 5.198 6.148 1.946 0.000 1.000 4.155 6.155 7.174 7.238 8.480 9.867 11.434 4.155 0.000 1.500 8.445 11.445 13.126 13.231 15.279 17.565 20.149 8.445 0.000 2.000 16.167 20.167 22.938 23.111 26.488 30.258 34.518 16.167 0.000 2.500 29.547 34.548 39.116 39.402 44.969 51.184 58.208 29.548 0.000 3.000 52.257 58.257 65.789 66.260 75.439 85.686 97.267 52.257 0.000 3.500 90.346 97.347 109.765 110.541 125.676 142.569 161.663 90.347 0.000 4.000 153.794 161.795 182.270 183.549 208.503 236.355 267.835 153.795 0.001 4.500 259.051 268.053 301.810 303.919 345.060 390.981 442.883 259.053 0.001 5.000 433.239 433.242 0.001 197 Problemas propuestos Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias, por el método que se indica: Problema Ecuación diferencial Método de solución 7.1 1 ) 0 ( = = y x y dx dy RK-2, At=0.5 y t final = 10 RK-4, At=0.5 y t final = 10 Grafique los resultados 7.2 1 ) 0 ( 2 = + = y x y dx dy RK-3, Euler y graficar los resultados. Ax=0.2 y x final =4 7.3 1 ) 0 ( ) ( 2 ÷ = + = y t x dt dy Heun y RK-3. Grafique los resultados At=0.2 y t final = 3 7.4 3 ) 0 ( 4 = ÷ = y xy y x dx dy Euler, At = 0.5 y t final = 3 RK-4, At = 0.5 y t final = 3 Haga una gráfica 7.5 0 ) 0 ( 1 2 = = + y y dt dy Heun, At= 1 y t final = 10 RK-4, At=1 y t final = 10 7.6 16 ) 0 ( 05 . 0 1 . 0 = ÷ = h h dt dh Heun, At= 10 y h final = 0 RK-4, At= 10 y h final = 0 Haga una gráfica 7.7 1 ) 0 ( 2 = ÷ = y y yx dx dy RK-3, Ax= 0.5 y x final = 10 Euler, Ax= 0.5 y x final = 10 Haga una gráfica 7.8 3 ) 0 ( 4 = = ÷ y y t y dt dy RK-2, Ax= 0.5 y x final = 15 RK-4, Ax= 0.5 y x final = 15 Euler, Ax= 0.5 y x final = 15 7.9 Haga un programa de computadora, en compilador FORTRAN ó GWBASIC, para el método de RK de orden 4, que resuelva todos los problemas anteriores. 198 Problema Ecuación diferencial Método de solución 7.10 1 ) 0 ( 1 = = + y ty dt dy Heun, At= 1 y t final = 10 RK-4, At= 1 y t final = 10 Haga una gráfica 7.11 2 . 1 ) 5 . 2 ( 0 = = + y y dx dy Euler, Ax= 0.5 y x final = 10 RK-3, At= 0.5 y x final = 10 Haga una gráfica de conjunto si la solución exacta es y=3/x Calcule el error relativo. 7.12 1 ) 0 ( 3 = = + ÷ y e y dt dy t Euler, At= 0.2 y t final = 3 RK-3, At= 0.2 y t final = 3 Haga una gráfica 7.13 5 . 0 ) 0 ( ) 1 ( 2 = ÷ = y t dt dy RK-2, At= 0.5 y x final = 8 RK-4, At= 0.5 y x final = 8 Euler, At= 0.5 y x final = 8 7.14 1 ) 0 ( 0 = = + y y y dt dy RK-3, Ax= 0.5 y x final = 10 Heun, Ax= 0.5 y x final = 10 Euler, Ax= 0.5 y x final = 10 7.15 1 ) 0 ( ) ( = = + y t sen y dt dy Heun y RK-3. Grafique los resultados At=0.2 y t final = 5 7.16 0 ) 0 ( 5 3 = + = y y dt dy RK-2, Ax= 0.5 y x final = 5 RK-4, Ax= 0.5 y x final = 5 Euler, Ax= 0.5 y x final = 5 7.17 1 ) 0 ( 1 = = + y ty dt dy Euler, At= 0.10 y t final = 7 RK-3, At= 0.10 y t final = 7 Haga una gráfica 7.18 0 ) 0 ( 1 = + = y ty dt dy Heun, At= 0.1 y t final = 6 RK-4, At= 0.1 y t final = 6 Haga una gráfica 7.20 Haga un programa de computadora, en compilador FORTRAN ó GWBASIC, para los métodos de RK de orden 3 y Heun, que resuelva todos los problemas 7.10- 7.18. 199 BIBLIOGRAFÍA 1. Robert W. Hornbeck,Ph.D./NUMERICAL METHODS/QPI (QUANTUM PUBLISHERS, INC.) 2. Steven C. Chapra y Raymond P. Canale/METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS/McGraw-Hill. 3. Shoichiro Nakamura/ METODOS NUMERICOS APLICADOS CON SOFTWARE/PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A. 4. Luthe.Olivera.Schutz/ MÉTODOS NUMÉRICOS/Limusa 5. Erwin Kreyszig/ MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA VOL.1/Limusa. 6. Leithold/ EL CÁLCULO con Geometría Analítica/Harla 7. Michael Spivak/ CÁLCULO INFINITESIMAL/Ediciones RPLA,S.A. 8. Shepley L. Ross/ DIFFERENTIAL EQUATIONS- Segunda edición/ Jhon Wiley & Sons, Inc. 9. Frank Ayres, Jr & Elliot Mendelson/ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL/ Mc Graw-Hill 10. Luciano Couder, Alonso/ TEORIA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS/Limusa. 200 APÉNDICE A SERIE DE TAYLOR A.1 Introducción La serie de Taylor es la base de los métodos numéricos. Muchas de las técnicas numéricas son derivadas directamente de la Serie de Taylor, como son los estimadores de errores involucrados en esas técnicas. Aunque se supone que el lector está familiarizado con la Serie de Taylor, se consideró necesario dar algunos elementos teóricos de la misma. A.2 Definición Sea f(x) una función tal que f(x) y sus n primeras derivadas sean continuas en el intervalo cerrado |a-b|. Además, f n+1 (x) existe para toda x en el intervalo abierto (a, b); entonces, hay un número ç en el intervalo abierto (a, b) tal que ) ( )! 1 ( ) ( ) ( ! ) ( ... ) ( ! 3 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 3 2 ç + + + ÷ + ÷ + + ' ' ' ÷ + ' ' ÷ + ' ÷ + = n n n n f n a b a f n a b a f a b a f a b a f a b a f b f (A-1) La ecuación anterior también es válida si b < a; en tal caso |a-b| se reemplaza por |b-a| y (a, b) por (b, a). Nótese que cuando n = 0, ecuación (A-1) se transforma en: ) )( ( ) ( ) ( a b f a f b f ÷ ' + = ç 201 donde ç está entre a y b. Esto corresponde al teorema del valor medio. Si en (A-1) b es sustituida por x, se obtiene la fórmula de Taylor, quedando: ) ( )! 1 ( ) ( ) ( ! ) ( ... ) ( ! 3 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ! 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 3 2 ç + + + ÷ + ÷ + + ' ' ' ÷ + ' ' ÷ + ' ÷ + = n n n n f n a x a f n a x a f a x a f a x a f a x a f x f (A-2) donde ç está entre a y x. Indicando con esto que el valor de una función f(x) puede ser expresado en la región de x cerca de x = a, por la serie infinita de potencias. El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene cuando a = 0, en ( A- 2) es: ) ( )! 1 ( ) 0 ( ! ... ) 0 ( ! 3 ) 0 ( ! 2 ) 0 ( ! 1 ) 0 ( ) ( 1 1 ) ( 3 2 ç + + + + + + ' ' ' + ' ' + ' + = n n n n f n x f n x f x f x f x f x f (A-3) donde ç está entre 0 y x. Esta fórmula se denomina fórmula de Maclaurin, en honor al matemático escocés Colin Maclaurin (1698- 1746). Sin embargo, la fórmula fue obtenida anteriormente por Taylor y otro matemático inglés, James Stirlin (1692- 1770). Al polinomio que resulta en (A-2) y en (A-3) al quitar el residuo, se conocen como polinomio de Taylor y polinomio de Maclaurin, respectivamente. Por lo que, una función f(x), se puede aproximar por medio de un polinomio de Taylor en un número a o bien por un polinomio de Maclaurin. Ejemplo A.1. Se calcula el polinomio de Maclaurin de n-ésimo grado, para la función exponencial natural. Si f(x) = e x , todas las derivadas f(x) en x son e x y sus valores en x = 0 son unitarios; por tanto, de (A-3), se tiene: ! ... ! 3 ! 2 1 ) 1 ( ! ... ) 1 ( ! 3 ) 1 ( ! 2 ) 1 ( ! 1 1 ) ( 3 2 3 2 n x x x x n x x x x x p n n n + + + + + = + + + + + = por tanto, 202 ! ... ! 3 ! 2 1 3 2 n x x x x e n x + + + + + = (A-4) Así, los primeros cuatro polinomios de Maclaurin, de la función exponencial, son: 1 ) ( 0 = x p ! 1 1 ) ( 1 x x p + = ! 2 1 ) ( 2 2 x x x p + + = ! 3 ! 2 1 ) ( 3 2 3 x x x x p + + + = En las siguientes figuras se muestra, gráficamente, la aproximación que se tiene al incrementar los términos del polinomio de Maclaurin. No olvide que este polinomio es un caso especial del polinomio de Taylor. -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -1 0 1 2 x f ( x ) f(x)=ex Po=1 P1(x)=1+x P2(x) P3(x) Figura del ejemplo A.1 Ejemplo A-2. Ahora se determina el polinomio de Maclaurin de n-ésimo grado, para la función senox. Si f(x) = seno(x), entonces; X F(x) f‟(x) f”(x) f‟”(x) f iv (x) f v (x) f vi (x) senx cosx -senx -cosx senx cosx -senx 0 0 1 0 -1 0 1 0 Etc. 203 De (A-3) se llega a, )! 1 2 ( ) 1 ( .. ! 7 ! 5 ! 3 ! 1 0 ) ( 1 2 1 7 5 3 ÷ ÷ + + ÷ + ÷ + = ÷ ÷ n x x x x x x p n n n es decir, )! 1 2 ( ) 1 ( .. ! 7 ! 5 ! 3 ! 1 1 2 1 7 5 3 ÷ ÷ + + ÷ + ÷ = ÷ ÷ n x x x x x senx n n (A-5) Así 0 ) ( 0 = x p ! 1 0 ) ( 1 x x p + = ! 1 0 ) ( 2 x x p + = ! 3 ! 1 0 ) ( 3 3 x x x p ÷ + = 6 ! 1 0 ) ( 3 4 x x x p ÷ + = 120 6 ! 1 0 ) ( 5 3 5 x x x x p + ÷ + = =P 6 8 7 5 3 7 5040 120 6 ! 1 0 ) ( p x x x x x p = ÷ + ÷ + = A continuación se grafican P 1 , P 5 y P 7 204 Ejemplo A-3. Con los resultados de los ejemplos anteriores, (A-4) y (A-5), encontrar e 0.5 , e senx , e 2 , e -1 y sen2x. Solución. Según (A-3) la función e x (x en radianes) se aproxima por: ! ... ! 6 ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 1 6 5 4 3 2 n x x x x x x x e n x + + + + + + + + = por lo que, puede escribirse: para x = 0.5 = + + + + + + + + = ! 5 . 0 ... ! 6 5 . 0 ! 5 5 . 0 ! 4 5 . 0 ! 3 5 . 0 ! 2 5 . 0 5 . 0 1 6 5 4 3 2 5 . 0 n e n para x = senx ! ... ! 6 ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 1 6 5 4 3 2 n senx senx senx senx senx senx senx e n senx + + + + + + + + = para x = 2 = + + + + + + + + = ! 2 ... ! 6 2 ! 5 2 ! 4 2 ! 3 2 ! 2 2 2 1 6 5 4 3 2 2 n e n y para x = -1 = ÷ + + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + = ÷ ! ) 1 ( ... ! 6 ) 1 ( ! 5 ) 1 ( ! 4 ) 1 ( ! 3 ) 1 ( ! 2 ) 1 ( 1 1 6 5 4 3 2 1 n e n Ahora de (A-5) Para x=2x )! 1 2 ( ) 2 ( ) 1 ( .. ! 7 ) 2 ( ! 5 ) 2 ( ! 3 ) 2 ( ! 1 2 2 1 2 1 7 5 3 ÷ ÷ + + ÷ + ÷ = ÷ ÷ n x x x x x x sen n n 205 Ejemplo A-4. Encontrar la expansión en la serie de Taylor cerca de x = 0 para la función f(x) = log e (1-x ). Cuál es el radio de convergencia de esta serie? Solución. La función y sus derivadas son: f(x) = log e ( 1-x), si a = 0--- f(a) =log e (1) x x f ÷ ÷ = ' 1 1 ) ( si x = a = 0 f „ (a) = -1 2 ) 1 ( 1 ) ( x x f ÷ ÷ = ' ' si x = a = 0 - f “ (a) = -1 3 ) 1 ( 2 ) ( x x f ÷ ÷ = ' ' ' si x = a = 0 f “‟(a) = -2 4 ) 1 ( 6 ) ( x x f IV ÷ ÷ = si x = a = 0 - f IV (a) = -6 ………………… De A-2, se tiene: log e (1-x)= log e (1) + x(-1) + ... ) 6 ( ! 4 ) 2 ( ! 3 ) 1 ( ! 2 4 3 2 + ÷ + ÷ + ÷ x x x log e (1-x)= -x - ... 4 3 2 4 3 2 ÷ ÷ ÷ x x x Para encontrar el radio de convergencia de la serie, aplicamos la prueba: x n nx n x n x lím x n n x = + = + · > ÷ + · > ÷ ÷ 1 lim 1 1 Esta prueba indica que la serie converge absolutamente, si este radio es menor que 1. De este modo, el radio de convergencia de la serie es , x , < 1. La prueba hecha no nos indica que si , x , = 1, pero notamos que si x = +1, entonces, tenemos el negativo de, 206 ... 4 1 3 1 2 1 1 + + + + la cuales la conocida serie divergente armónica. Si x = -1, tenemos la serie, ... 4 1 3 1 2 1 1 + ÷ + ÷ la cuál es convergente. Por tanto, la serie es convergente para –1 s x < 1. 207 Apéndice B Ceros (c k ) y pesos (w k ) de la cuadratura de Gauss Legendre n ± c k w k 2 0.5773502692 1.0000000000 3 0.0000000000 0.7745966692 0.8888888889 0.5555555556 4 0.3399810436 0.8611363116 0.6521451549 0.3478548451 5 0.0000000000 0.5384693101 0.9061798459 0.5688888889 0.4786286705 0.2369268850 6 0.2386191861 0.6612093865 0.9324695142 0.4679139346 0.3607615730 0.1713244924 7 0.0000000000 0.4058451514 0.7415311856 0.9491079123 0.4179591837 0.3818300505 0.2797053915 0.1294849662 8 0.1834346425 0.5255324099 0.7966664774 0.9602898565 0.3626837834 0.3137066459 0.2223810345 0.1012285363 9 0.0000000000 0.3242534234 0.6133714327 0.8360311073 0.9681602395 0.3302393550 0.3123470770 0.2606106964 0.1806481607 0.0812743884 10 0.1488743390 0.4333953941 0.6794095683 0.8650633667 0.9739065285 0.2955242247 0.2692667193 0.2190863625 0.1494513492 0.0666713443 12 0.1252334085 0.3678314990 0.5873179543 0.7699026742 0.9041172564 0.9815606342 0.2491470458 0.2334925365 0.2031674267 0.1600783285 0.1069393260 0.0471753364 208 Ceros y pesos de la cuadratura de Gauss Legendre (continuación..) N ± c k w k 16 0.0950125098 0.2816035508 0.4580167777 0.6178762444 0.7554044084 0.8656312024 0.9445750231 0.9894009350 0.1894506105 0.1826034150 0.1691565194 0.1495959888 0.1246289713 0.0951585117 0.0622535239 0.0271524594 20 0.0765265211 0.2277858511 0.3737060887 0.5108670020 0.6360536807 0.7463319065 0.8391169718 0.9122344283 0.9639719273 0.9931285992 0.1527533871 0.1491729865 0.1420961093 0.1316886384 0.1181945320 0.1019301198 0.0832767416 0.0626720483 0.0406014298 0.0176140071 24 0.0640568929 0.1911188675 0.3150426797 0.4337935076 0.5454214714 0.6480936519 0.7401241916 0.8200019860 0.8864155270 0.9382745520 0.9747285560 0.9951872200 0.1279381953 0.1258374563 0.1216704729 0.1155056681 0.1074442701 0.0976186521 0.0861901615 0.0733464814 0.0592985849 0.0442774388 0.0285313886 0.0123412298 2 electrónicas por muchos años y, en realidad, muchos de los métodos usados generalmente datan, en forma virtual, desde el inicio de las matemáticas modernas; mas sin embargo, el uso de estos métodos fue relativamente limitado hasta el advenimiento de la calculadora mecánica de escritorio y posteriormente dramáticamente incrementada. En un sentido real, los métodos numéricos vinieron a revolucionar las técnicas de solución, de varios problemas complejos, con la introducción de la computadora electrónica. La combinación de métodos numéricos y las computadoras digitales han creado una herramienta de inmenso poder en el análisis numérico. Por ejemplo, los métodos numéricos son capaces de manejar la no linearidad, la geometría compleja y sistemas grandes de ecuaciones simultáneas que son necesarios para la simulación perfecta de muchas situaciones físicas reales. Las matemáticas clásicas, junto con las matemáticas aplicadas más ingeniosas no pueden competir con muchos de estos problemas en el nivel requerido por la tecnología de hoy en día. Como resultado, los métodos numéricos han desplazado el análisis con las matemáticas clásicas en muchas aplicaciones industriales y de investigación; sin que ello signifique que las instituciones deban dejar de incluir, en la formación de los estudiantes, esta temática. 1.3 Métodos anteriores a la aparición de la computadora Antes del uso de la computadora digital, había tres métodos diferentes que los ingenieros aplicaban a la solución de los problemas, a saber: 1. Soluciones exactas. Con frecuencia, estas soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente del comportamiento de algunos sistemas. Sin embargo, las soluciones analíticas pueden encontrarse sólo para una clase limitada de problemas. Estos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también a aquellos que tienen una geometría simple y pocas dimensiones. En consecuencia, las soluciones exactas tienen valor práctico limitado, porque la mayor parte de los problemas reales no son lineales, e implican formas y procesos complejos. 2. Soluciones gráficas. Estas soluciones tomaban la forma de grafos o nomogramas. Aunque las técnicas gráficas a menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Es más, las soluciones gráficas (sin ayuda de una computadora) son tediosas en extremo y 3 difíciles, de implementar. Finalmente, las técnicas gráficas están limitadas a aquellos problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos. 3. Cálculos manuales y reglas de cálculo. Aunque en teoría estas aproximaciones deberían ser perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en las prácticas, se presentan algunas dificultades. Los cálculos manuales son lentos y tediosos; además no existen resultados consistentes debido a que surgen equivocaciones cuando se efectúan las operaciones de esa forma. 1.4 Los métodos numéricos y la práctica de la ingeniería Desde finales de la década de 1940, la multiplicación y disponibilidad de las computadoras digitales han llevado a cabo una verdadera explosión en cuanto al uso y desarrollo de los métodos numéricos. Al principio, este crecimiento estaba algo limitado por el costo de acceso a computadoras grandes, por lo que, muchos ingenieros continuaban usando simples planteamientos analíticos en una buena parte de su trabajo. No es necesario mencionar que la reciente evolución de computadoras personales de bajo costo, ha dado a mucha gente un fácil acceso a poderosas capacidades de cómputo. Además, existe un buen número de razones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos, en ciencias e ingeniería: 1. Los métodos numéricos son herramientas extremadamente poderosas para la solución de problemas reales. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones lineales grandes, la no linealidad y geometrías complicadas (como ya se dijo antes), que son comunes en la práctica de la ingeniería aplicada y que, a menudo, son imposibles de resolver analíticamente. Por lo tanto, amplían la habilidad de quien los estudia para resolver problemas. 2. En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la ocasión de usar software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica en la que se basan los métodos que se discutirán en este trabajo; por lo que es necesario que el estudiante los vea (los métodos numéricos), como una respuesta a sus inquietudes. 4 3. Hay muchos problemas, en las aplicaciones reales, que no pueden plantearse al emplear programas “hechos”. Si se está versado en los métodos numéricos y se es un adepto a la programación de computadoras, entonces se tiene la capacidad de diseñar programas propios para resolver los problemas, sin tener que comprar un software costoso. 4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras personales. Es bien sabido que una manera efectiva de aprender a programar las computadoras es al escribir los programas. Como los métodos numéricos en su mayor parte están elaborados para implementarse en computadoras, resultan ideales para ese propósito. Aún más, están especialmente adaptados para ilustrar la potencia así como las limitaciones de las computadoras. Cuando el lector implemente con buen resultado los métodos numéricos en una computadora personal y los aplique para resolver problemas de otro modo resultan intratables, entonces tendrá una demostración tangible de cómo pueden ayudarle las computadoras para su desarrollo profesional. Al mismo tiempo, aprenderá a reconocer y controlar los errores de aproximación que son inesperables de los cálculos numéricos a gran escala. 5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas. Porque una función de los métodos numéricos es la de reducir las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas, ya que profundizan en los sistemas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. 1.5 ¿Hay límites para la capacidad de los métodos numéricos? Naturalmente que la respuesta a esta pregunta es un enfático “si”. Está a la vista de muchos investigadores, científicos e ingenieros quienes deberían conocer mejor, que si un problema no puede ser resuelto de ningún otro modo, debido a que, todos y cada uno tiene que estar frente a una computadora. Este estado de cosas (eventos) es indudablemente debido al enorme poder de los métodos numéricos los cuales hemos discutido en la sección anterior. Sin embargo, desafortunadamente es cierto que hay muchos problemas que son aún imposibles (en algunos casos deberíamos usar la palabra “impráctica”) de resolver usando métodos numéricos. Para algunos de esos problemas no exactos, el modelo matemático completo aún no ha sido encontrado, obviamente es imposible considerar una solución numérica. Otros problemas son simplemente tan enormes que su solución está más allá de los límites prácticos en términos de la tecnología actual, de las computadoras. Por ya que. el trabajo hecho por los métodos numéricos es altamente valorado.5 ejemplo. la pregunta es injustificada. Esta estimación ha sido basada en la tecnología de 1968 y es probablemente más o tal vez un poco menor con la tecnología actual. En muchos casos. mas bien se recomienda su uso en la licenciatura y postgrado. 1. la tecnología y el gobierno. por lo que. debido a que estos últimos tendrían pocas aportaciones si no hacen aplicaciones de éstos y de nada le servirían los equipos más modernos de cálculo. que incluya los efectos de los remolinos más pequeños. en el uso de programas y subprogramas inevitablemente se encontrarán dificultades.6 ¿Por qué estudiar métodos numéricos? Podría parecer extraña la pregunta. Desde luego la pregunta completa de practicabilidad. requeriríamos del orden de 30 años. frecuentemente depende de qué tanto se dispone para pagar la obtención de una respuesta. sin embargo. Algunos problemas son tan importantes que la industria o el gobierno está dispuesto a pagar muchos millones de dólares para obtener la capacidad computacional necesaria y ayudar a hacer práctica la solución de los problemas que previamente habían sido considerados con solución impráctica. Estas dificultades pueden depender de muchas causas. ahí permanecen muchos problemas. para los conocedores del poder de los métodos numéricos. en el estudio de la ciencia y la tecnología tienen una justificación inmediata. ha sido estimado que para obtener un detalle de la solución para problemas de flujo turbulento. que saben de su extenso uso en cada faceta de la ciencia. aunque los límites están constantemente reduciéndose. En muchos casos. en función del tiempo. incluyendo las siguientes: a) Una situación física compleja no puede ser exactamente simulada por un modelo matemático (esto es un punto extremadamente crucial. c) El método numérico no está completamente libre de error. . b) El método numérico no libera completamente todas las situaciones. d) El método numérico no es óptimo para todas las situaciones. los cuales están en la investigación con la tecnología actual o en la formulación del modelo matemático o en términos de la capacidad computacional que hoy se tiene. pero está fuera del alcance de la presente discusión). sin embargo. las técnicas numéricas más eficientes deberían ser empleadas exactamente en tal trabajo y el conocimiento completo de métodos numéricos es esencial para ingenieros y científicos en tales proyectos. El usuario con cualquiera de esos problemas. tendrá en mente alguna idea en programación. existe una fuerte justificación para que el científico o el ingeniero adquieran conocimientos de los métodos numéricos.7 Lenguajes de computadora La mayoría de los lectores de este libro. en consecuencia la respuesta podría no ser la más adecuada. Podemos ver de esta manera que. ALGOL o BASIC. en esta situación podría ser difícil que el usuario planteara las preguntas adecuadamente y. Este conocimiento capacita al usuario de un computador. A continuación se discuten. Esos lenguajes de programación permiten. la comunicación con un especialista eficiente y de modo inteligente buscar ayuda para un problema particularmente difícil. debería buscar la información necesaria (quizá un analista numérico). algunos tópicos relevantes de las herramientas de cálculo mencionadas: las computadoras electrónicas. 1. Sin embargo. el gran volumen de los que han sido llamados “métodos desarrollados” (cuyo objetivo es escribir programas para simular problemas físicos complejos) hecho por ingenieros y científicos y no por analistas numéricos. a seleccionar. así como en la selección de programas y subprogramas pregrabados de la librería y hacer posible. el usuario registra subprogramas de librería para ejecutar o hacer ciertas tareas para encontrar una variedad de subprogramas y números que generalmente son aplicados. al usuario. En adición. para el usuario. pero el material descriptivo rara vez dará algún indicador de la eficiencia del subprograma o su conveniencia para resolver el problema en específico. Finalmente deberían ser reorganizado. modificar y programar un método para una tarea específico. tal como FORTRAN. pero que no tiene el conocimiento de métodos numéricos.6 Las dificultades con los métodos numéricos pueden resultar en un programa preempaquetado o un subprograma de librería produciendo resultados erróneos o no tener los resultados esperados. puesto que la experiencia de los dos podría quizá sea bastante diferente. Obviamente. en un lenguaje de “alto nivel” para computadora. brevemente. si de verdad es un asesor evaluado. . La aparición de cada nuevo lenguaje de programación es bien recibida por un buen promedio de usuarios. Esta es una de las razones principales por las que FORTRAN IV es el lenguaje estándar en aplicaciones de la ciencia y únicamente debe desplazarse hacia el futuro. Lo más importante es la economía. Estos lenguajes imponen nuevas reglas que tienen que ser aprendidas y posiblemente confundidas con otros lenguajes. el programa de alto nivel puede ser convertido al código fundamental de la máquina con lo que el programa será actualmente ejecutado. Para la mayoría de los casos. para instrucciones de entrada y salida. El BASIC es un lenguaje popular para uso de sistemas de tiempo compartido y usualmente es usado para tareas programadas relativamente simples. los programas de computadora largos son muy caros y la conversión de esos programas a otro lenguaje puede ser la mejor tarea. pero es extremadamente usado como un lenguaje internacional para describir algoritmos. Otros lenguajes de alto nivel para uso científico son APL (también usa. Sin embargo. MAD (con las mismas limitantes que el ALGOL) y PL-1 (un lenguaje actualmente poderoso de interés principal para cálculos científicos). cualquier perdona razonablemente flexible encontrará pocas dificultades en adaptarse a un nuevo lenguaje si es necesario. Con algunas excepciones el ALGOL raras veces es usado para cálculos científicos. Mediante el uso de un programa de computadora llamado compilador. . pero involucrará muchos meses de trabajo. razonablemente el tiempo compartido y conveniente tanto para tareas de muy simples hasta sofisticadas). es usado el lenguaje de programación FORTRAN IV.7 escribir programas en una forma en la que incluye fórmulas algebraicas y proposiciones lógicas en inglés. Tales lenguajes de alto nivel son virtualmente independientes de la máquina en la cual correrá el programa. 8 . que son debidos a una mala formulación de modelos. . los errores forman parte intrínseca de los métodos numéricos. sólo puede representar cantidades con un número finito de dígitos. con exactitud. Los errores por truncamiento. por imperfecciones o desajustes del equipo usado en la toma de medidas.9 Capítulo 2 APROXIMACIONES Y ERRORES 2. así como los errores por incertidumbre de la obtención de datos. Por consiguiente. En la práctica profesional. Los primeros se deben a que el equipo de cálculo usado. brevemente. los instrumentos y de cálculo.1 Introducción Las técnicas numéricas conducen a aproximaciones en sus resultados. Desde luego que no dejan de discutirse. personales que se producen por la falta de habilidad del observador para leer. representan la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico. cuantifican y minimizan los errores. los errores por equivocación. debido a que éstos son sólo una aproximación de la solución a un problema. En el presente capítulo se cubren varios aspectos que identifican. los errores pueden resultar costosos y en algunas ocasiones catastróficos. ya que. Las fuentes de errores pueden ser instrumentales. éstas se usan como una alternativa de solución cuando el problema por resolver no tiene un modelo matemático de solución o aún teniéndolo la respuesta esperada no es encontrada con los métodos analíticos. debido a que por un error se puede perder hasta la vida si una estructura o un dispositivo llegan a fallar. Dos de los errores más comunes son los de redondeo y de truncamiento. más un dígito estimado que se pueda usar en los instrumentos no digitales. 2 ). e. hasta el infinito. Las implicaciones que se tienen en el estudio de los métodos numéricos son: 1) Debe especificarse claramente la tolerancia en los cálculos. cuatro y cinco cifras significativas. 4. ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal. cuatro o cinco dígitos significativos. 0.. por ejemplo. Por ejemplo. se puede decidir que la aproximación sea aceptable siempre y cuando sea correcta hasta cuatro cifras significativas. los siguientes números tienen cuatro cifras significativas. .10 2. dependiendo si los ceros se conocen con exactitud.2 Cifras significativas El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar el grado de confiabilidad de un valor numérico. el número es igual a 3. no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos. debe existir seguridad que las primeras cuatro cifras son correctas.001 845 Cuando se incluyen ceros en números muy grandes. Los ceros no siempre son cifras significativas. puesto que los dígitos desplegados en una computadora (o en una calculadora de bolsillo) siempre es una cantidad finita comprendida entre siete y catorce cifras significativas.141 592 653 589 793 238 462 643.. si es que los hay. 2) Aunque ciertas cantidades (.5300 x 104 muestran que el número en cuestión. tiene tres. representan números específicos.53 x104. el número 45300 puede tener tres. o sea que.000 018 45 0. así que. De aquí que estos números siempre contendrán el error por redondeo. La incertidumbre se puede desechar usando la notación científica.000 184 5 0. El número de cifras significativas es el número de dígitos. 4.530 x 104 y 4. no se ve claro cuantos de ellos son significativos. por lo que. Por ejemplo. el error se calcula de la siguiente manera: v Xa i 1 Xa i Xa i 1 x100 (2-4) donde Xai+1. es la aproximación actual Xai. es de más interés el valor absoluto de dicho error. es difícil conocer el valor verdadero a priori. ya que lo que realmente se quiere medir es la cercanía del valor aproximado (Xa) al valor exacto (Xv).3 Definiciones de error Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.2) En la aplicación de los métodos numéricos. que resultan de presentar aproximadamente un procedimiento matemático exacto. Por consiguiente. . Éstos incluyen errores de truncamiento. En general. casi siempre se hablará de error relativo y error relativo porcentual.1) Er (2-3. corresponde a la aproximación previa. error relativo Vv Ev *100. En tales casos.11 2. Er Ev . error relativo porcentual Vv (2-3. se encontrará que usan esquemas iterativos para aproximar resultados. v Xv Xa (2-2) que. que se originan al representar en forma aproximada números exactos. por lo que. la relación entre un resultado exacto (Xv) y el aproximado (Xa) está dada por: Xv Xa v (2-1) De lo anterior se sigue que el error (v) se puede calcular con. así como a los errores de redondeo. que se obtienen con las relaciones. generalmente. en situaciones reales. sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. . puede no importar mucho el signo del error. positivo en caso contrario.141592. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Errores de redondeo En la sección (2-2) se mencionó que. Un corte ignora las cifras restantes. los errores de redondeo se deben a que las computadoras. mientras que con el corte fue 3. el octavo dígito significativo es 6.1. v≤ t (2-5) debido a que.12 Note usted que la ecuación (2-4) puede conducir a valores positivos ó negativos. la cuál depende de la exactitud requerida en los resultados. la computadora sólo almacena y usa 3. el valor del error (o del error relativo) es negativo y. A menudo. se representa de manera más exacta como 3. aunque esto agrega costo computacional. los cálculos se repiten hasta que el valor absoluto del error sea igual ó menor que dicha tolerancia.000 000 350 Desde luego que las computadoras. De esta forma el error. de preferencia se le llamará de corte para distinguirlos de los errores de truncamiento que se analizarán en la siguiente sección. 2.141 593. de la representación decimal completa. si sólo guardan siete (7) cifras significativas y los cálculos involucran al número . se considera que el resultado obtenido está dentro de un nivel aceptable fijado previamente. genera un error de redondeo de: v = 0. por redondeo sería: v = 0. por ejemplo. por consiguiente. Esta técnica de retener sólo las primeras siete cifras se le llama truncamiento en el ambiente de computación. para compararlo con una tolerancia prefijada t. para el caso anterior. Cuando es así. Por lo tanto. una de las varias formas que utiliza una computadora para redondear números. si la aproximación previa o el valor aproximado es mayor que la aproximación actual o que Vv. por ejemplo.000 000 650 Siendo ésta.3.141 592. como la que se acaba de aplicar. cuando se cumple la relación anterior. cuando se realizan cálculos. omitiendo las cifras restantes y. si no más bien su valor absoluto. Entonces. se pueden desarrollar para redondear números de acuerdo con las reglas de redondeo. Nótese que un dígito en la columna de las centésimas es más significativo que uno de la columna de las milésimas. el redondeo se lleva a cabo de forma tal que. cuando se realizan cálculos a mano.13 2. si el primer dígito descartado es mayor de “5”. el último dígito retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los números que están sumando o restando. sólo si es par.3. Reglas de redondeo Las siguientes reglas pueden aplicarse al redondear números. entonces el último dígito retenido se incrementa en uno. El último dígito que se conserva se aumenta en uno. es decir. Se puede sumar o restar el resultado de las multiplicaciones o de las divisiones. la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación. Multiplicación Ó División + Multiplicación Ó División _ o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas. Segunda: En la suma y la resta. se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. Suma Ó Resta X Suma Ó Resta . Tercera: Para la multiplicación y para la división. pero si el primer dígito descartado es “5” ó “5” seguido de ceros. de otra manera se deja igual. el redondeo es tal que. Primera: En el redondeo. existen dos casos generales. Cuarta: Para combinaciones de las operaciones aritméticas.2. 1.2 – 1. 6.4 88.406 7.768.6723 10.68x10-7 + 8.3 b) Sumas y restas b.3500 7. redondeando a una cifra significativa 2.02468x10-4 para a 6.2. 0.216500 1.3x10-4 . por lo que. Evalúese 4. al número de cifras significativas indicadas. antes de proceder con otra operación. se ejecutan las operaciones entre paréntesis y el resultado se redondea.1 Ilustración de las reglas de redondeo. la respuesta se redondea de la siguiente manera.02468x10-4 De esta manera.2 –1.2.00468x10-4 + 8.28x10-4 = 6.4 b.4500 88.41 7. Evaluar 0.25001 Cifras significativas 3 4 2 2 5 2 Número redondeado 5.8 . así que. Número Inicial 5.4 7. se puede ver claramente que el 3 (del 8. Conviene expresar los números con un mismo exponente. en vez de redondear únicamente el resultado final. Redondear los números dados.432 que redondeado es -- 0.0642 x 4.768 = 0.14 en ambos casos. Ejemplo 2. a) Errores de redondeo.67 10.1.0x10-4 c) Multiplicación y división c. Evalúese 2.3x10-4 – 228x10-6.3) es el último dígito significativo retenido.216 1. 740 x10 5 8.3x10-3 + -176.456x10-4 ) –0. Calcular 15.x10 8 2.0058 x10 3 redondeando queda: 665 x10 7 2.672 x10 3 5.483196.1544x10-3 Ahora.2 967 d) Combinaciones d.678 x10 3 2.032 967.3185 = 2 967..8x10-3 d.85x10-3 -171..8 x10-4) + (8.15x10-3 = -171.15 0..7 x10 7 2.7 x10 7 2. Errores de truncamiento Son aquellos que se presentan al aproximar funciones analíticas por medio de algunos términos de una serie infinita.672 x10 3 0.2.3185 945 /0. esto se hace frecuentemente en los métodos numéricos cuando es difícil realizar operaciones con alguna función complicada y se toman en su lugar los primeros términos de una serie que aproxima .8=0.0642x4.. Ahora evalúe 945/0. antes de sumar.3.30816 0.1.2. se tiene: 674 x10 7 8. Evalúese 6.256 x10-3 + -176.2(2.8 Igualando los exponentes.31 c. se redondean las cantidades encerradas: 4..3.177 Primero efectúense la multiplicación y la resta que están dentro de los corchetes: 4. calcular el error absoluto y el error relativo en el que se incurre en cada caso.0803 = 8. el error absoluto es. base de los logaritmos neperianos. etc. v = 0.16 la función. v = 2.71828 y el error relativo r. tercero y cuarto términos de la serie e 1 k 1 k! Solución a) Tomando hasta el primer término e 1 1 1 0! k 0 k! 0 En consecuencia. en porcentaje resulta. segundo.71828. al tomar hasta el primero. tales como: 2 . e. ya que para trabajar con ellos se toma un número determinado de cifras significativas y se truncan las demás.212 00 2.5 0! 1! 2! k 0 k! 2 Este resultado conduce a.26424 = 26.71828 y r = 0. También se presenta cuando se utilizan números irracionales. . truncando los demás. se tendrá e 1 1 1 2 0! 1! k 0 k! 1 De aquí se concluye que.71828 b) Si se toma hasta el segundo término de la serie.71828 1 100 63. r 2. v = 0..03% . Ejemplo 2.21828 y r = 0.71828 –1 = 1.2 El número e. tomando hasta el tercer término e 1 1 1 1 2.424% c) Ahora. es igual a 2. con cinco cifras decimales. pues se comete en todas las medidas tomadas en la misma forma.gr.1-b. digamos Ew. Limitaciones en la exactitud de los datos experimentales El científico debe trabajar con datos dignos de confianza. Claramente se nota que la lectura Rc. de la escala. Error humano Este puede deberse al descuido. El error en una técnica es muy difícil de detectar. se tiene e 1 1 1 1 1 2. es una vista de planta.colocando el ojo en tal forma que la aguja y su reflexión queden superpuestas.1. muchos cuadrantes incorporan un espejo a lo largo de toda la escala. Una falla común en este tipo de error es el paralaje. la lectura tomada será como la Rc (la correcta). cuando se está leyendo la indicación de una aguja. La figura 2. v = 0.05161 y r = 0. 2. en una escala (v. En esta sección describimos algunas de las razones por las cuales los datos pueden resultar defectuosos. Este ocurre.01899 = 1. La figura 2. es decir. en el punto Ec.. Para evitar el paralaje. en la lectura. . Para reducir aún más el error. muestra tal aguja vista desde arriba. incorrecta.4. por ejemplo. En cualquier otra posición. por ejemplo. de esta manera el ojo queda directamente arriba de la guja. para obtener este resultado el ojo del observador debe estar colocado directamente arriba de la aguja. en un cronómetro). donde quizás simplemente es una mala lectura en una escala.17 d) Tomando hasta el cuarto término. Con experiencia y cuidado uno se vuelve más apto para evitar errores como estos.9 % 2. El diseño de los instrumentos puede también ayudar en este aspecto. es correcta y. se tomará una lectura de escala Rw. algunos instrumentos actuales dan la lectura en forma digital. Las lecturas repetidas de la misma cantidad a menudo revelan este tipo de error.1-a.6667 0! 1! 2! 3! k 0 k! 3 con lo que se llega a.4. dependiendo de la dirección en la cual el microscopio se acerca a determinada posición. Las platinas de algunos microscopios se mueven rotando un tornillo calibrado. Por consiguiente. como el caso de las reglas de madera. pueden estar sujetas a varias fuentes de error.2). ésta no responde inmediatamente cuando el tornillo se mueve en sentido contrario. Tomen. piezas más sofisticadas de equipo.1-b 2. por ejemplo un microscopio. algunas veces es necesario medir el tamaño del objeto. Desde luego que esta dificultad se puede evitar .2. Esto se llama retroceso. La exactitud de tales medidas depende de un número de factores-la rigidez de la columna que sostiene los lentes. que cuando la platina se ha movido alguna distancia en una dirección. A menudo también sucede. la rigidez con la cual el espécimen se fija en la platina y la exactitud con la cual las divisiones han sido gravadas en la escala.18 Fig. Aunque los microscopios. 2. depende de la uniformidad de la rosca del tornillo. Algunas son obvias.1-a Fig. donde uno puede ver a simple vista que las divisiones no están igualmente espaciadas. La exactitud de la medida hecha. se darán lecturas diferentes. en tales instrumentos. fueron diseñados primeramente para observar objetos pequeños. Limitaciones instrumentales Los instrumentos tienen sus propias limitaciones inherentes. 2. cada vuelta completa corresponde a un cierto movimiento de la platina (figura 2. Sin embargo.4. 2! 4! 6! 8! 10! Iniciando con el primer término cos(x) =1. 2.2.. siempre en un mismo sentido. 2...2 Repetir los cálculos del problema anterior. agréguense los términos uno a uno para estimar cos(/3).19 simplemente aproximándose a la posición de la medida. pero ahora usando la serie de Maclaurin para el seno(x): seno( x) x x 3 x 5 x 7 x 9 x11 . . Después de agregar cada término. Microscopio de laboratorio Problemas de este capítulo 2. 3! 5! 7! 9! 11! y estime el seno(/2).. Fig.1 La expansión en serie de Maclaurin para la función cos(x) es: x 2 x 4 x 6 x 8 x10 cos( x) 1 . calcúlense los errores porcentuales relativos. exactos y aproximados. para f(x) = 25x3 –6x2 + 7x – 88 usando como punto base x = 2.20 2. Calcule el error relativo porcentual correcto para cada aproximación.3. . Úsense los términos en serie de Taylor de cero a tercer orden para estimar f(3). si f(c) = 0. con gr f(x) = n ≥1 y f(x) = anxn + . Pues bien. como se muestra en Fig. debemos considerar. es hallar el valor de la variable independiente x..21 Capítulo 3 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 3. Si la curva no corta al eje x. 3. encontrar una solución ó una raíz real de una ecuación. Antes de hacer la presentación de los métodos numéricos de solución. la solución real de esa función es el valor de x que corresponda a la intercepción del eje de las abscisas con la curva definida por la función f(x). En particular. pero puede tener raíces imaginarias.. en este capítulo se expondrán algunos métodos para encontrar la solución a esas ecuaciones. es la solución de una situación física que pueda ser representada por una ecuación del tipo f(x) = 0. si la ecuación a resolver es un polinomio. entonces. si ancn + . En otras palabras.1.1 Introducción Un problema muy común en el campo de ciencias e ingeniería.. que no serán tratadas en este libro. entonces. que se exprese en términos de la variable citada.. + a1c + a0 = 0 . la ecuación no tiene una solución real. es importante tener claridad del concepto de raíz ó solución de una ecuación. Por consiguiente. si la función se desarrolla en el plano cartesiano xy. + a1x + a0 y se dice que c C es raíz de f(x). en estricto. que anule el valor de la función f(x). es decir. la siguiente definición: Sea f(x) C[x]. además del siguiente corolario: si f(x) C[x]. cuyo enunciado es “si f(x) C[x]. siempre y cuando tenga raíces reales. para la solución de polinomios. con gr f(x) = n ≥1.005R cos(0.4 f (x) e 0. Por otra parte. sin embargo.5x senx f ( R) e0.01 1 f 4Log Re f 0.05 2000 0.50 gy 2 f ( x) e (2 x) 1 f ( x) x 2 sen( x) 4 f ( x) 0. De acuerdo a las definiciones dadas.2x sin 3x 1 2 . sin importar que representen un polinomio u otra cualquiera. tener presente el teorema fundamental del álgebra. para encontrar una solución real. actualmente las calculadoras de bolsillo resuelven los polinomios. las ecuaciones. con gr f(x) = n ≥1. deben ser representadas en la forma: f(x) = 0 (3-1) Algunos ejemplos de las ecuaciones que se resolverán en este capítulo. encontrando los ceros de esas funciones.22 también es interesante.01R2 ) 0. f(x) tiene n raíces (no necesariamente diferentes)”. entonces. son: f ( x) x 2 6 x 5 f ( y) y x 4 2 1. los métodos que se presentan tienen la ventaja de resolver cualquier función f(x) sin importar del tipo que sea. entonces. f(x) tiene al menos una raíz compleja ( real o imaginaria). depende del error por redondeo o por truncamiento que se admita. A modo de sugerencia se señala que. Para derivar una ecuación recursiva que permita realizar este proceso. Se les da este nombre porque a partir de una primera aproximación. La ecuación (3-1) no cambia si se suma. ya que los métodos que se presentan están estructurados para encontrar las raíces reales de una ecuación. Estos métodos son aplicables tanto a ecuaciones algebraicas y trascendentes como a ecuaciones no lineales. algebraicamente una ecuación. con el nuevo valor se repite el proceso. de aproximación y. se podrán solucionar. Newton Modificado y Secante. una buena dosis de experiencia será un apoyo de decisión importante. las soluciones resuelven. ecuaciones como las listadas en la página anterior. siendo la única limitación la exactitud proporcionada por el número de dígitos empleados en el cálculo. el mejor método fallará. pero no toman en cuenta las situaciones reales del problema. quedando: x f ( x) x (3-2) . ya que. miembro a miembro. se obtiene otra aproximación mejor. el valor obtenido es la respuesta buscada. es decir. entonces. Falsa Posición. no tiene respuesta en los reales. en general. se plantea la siguiente estrategia. es decir. los cuales desarrollan su convergencia mediante la aplicación de una fórmula de recurrencia. aunque reciben tal nombre. cuando el método converge. en caso de que no se cumpla la condición de convergencia. si la ecuación a resolver. el término “x”.3 Método de aproximaciones sucesivas Este método consiste en proponer un valor inicial – aproximado a la solución . o sea que. Monte Carlo.23 3. 3. si dicha prueba es superada. más cercana a la solución. Bisección. Newton-Raphson.2 Características de los métodos numéricos Los métodos que se presentan reciben el nombre genérico de aproximaciones sucesivas. la solución es tan satisfactoria como la solución exacta. en las aplicaciones a problemas reales. tantas veces como sea necesario.y. A continuación se describen los métodos: Aproximaciones sucesivas. a partir de él obtener un valor mejorado de la raíz que es sometido a una prueba de convergencia. Desde luego que. Sin embargo. luego con x3 para generar x4 y. puede escribirse. ya que. hasta sustituir xn para obtener xn+1. Como esta es la segunda sustitución que se hace. x1 g ( x0 ) donde x1 será la nueva aproximación de la raíz. aproximado a la raíz. Si ahora se sustituye x1 en el segundo miembro de (3-3). Si este valor propuesto es la raíz. así sucesivamente. Como se ha dicho con anterioridad. . en el segundo miembro de ecuación (3-3). un valor cercano a la raíz. en el mejor de los casos. entonces ecuación (3-2) se transforma en: x g (x) (3-3) Es notorio que cualquier ecuación de la forma (3-1) puede expresarse como ecuación (3-3). x0 g ( x0 ) o más propiamente. se obtendrá un valor más cercano a la raíz. puede escribirse. o sea que. x2 g ( x1 ) tomando en cuenta que se repite el proceso. pero ahora con x2. por lo que. si x = xr es una raíz. entonces se cumplirá que f(xr) = 0 por lo que ecuación (3-3) queda: xr g ( xr ) (3-4) Este método consiste en sustituir un valor inicial de la variable independiente x0. se puede generalizar con la ecuación. el valor inicial propuesto es solo. resultará que se cumple (3-4). para obtener x3. entonces el proceso descrito. por tanto resultará que esto no siempre se cumple la primer vez.24 si el miembro derecho es otra función que se define como g(x). x0 g ( x0 ) En las aplicaciones es difícil que lo anterior ocurra en x = x0. puede medirse dicha convergencia con ecuación (2-4). . Hacer x = x0 Calcular g(x) = f(x) +x ¿ x =g(x)? si Escribir x no fin Fig. D3. El diagrama de flujo de este proceso iterativo.25 xn1 g ( xn ) (3-5) La ecuación (3-5) es la ecuación recursiva del método numérico de aproximaciones sucesivas. inicio f (x).1. sin embargo.1 Diagrama de flujo del método de aproximaciones sucesivas Un criterio sano de convergencia es que la diferencia. cuando se haya prefijado el error tolerable. proporcionados por este proceso. es decir. será cada vez más pequeña. se muestra en figura D3. xn+1 será cada vez más cercano a xn. entre dos valores consecutivos. en valor absoluto. x0. Como este valor calculado es diferente al valor supuesto. sucesivamente. f ( x) e x x (Fig. repitiendo con x2.2) xn1 cos( xn ) 1 xn 1 2 . La forma recursiva es. se obtiene. en este caso: (Fig. no será un error de cálculo el hecho de que encuentre. Figura E3.1 Obtener una raíz.5671. en algunos casos. ahora con x1 para obtener x2 = e-1 = 0. la ecuación toma la forma (3-5): xn1 e xn proponiendo un valor inicial de x0 = 0. se repite el proceso.5 1 1. tampoco se tiene la certeza de que el problema no tenga solución real. La convergencia se obtuvo para x = 0. Ejemplo 3.3679 = 0. por lo que este método se presenta como un elemento de conocimiento. E3.6922 y. entonces.26 Finalmente. para el estudioso. Sumando x.5 2 -1 Ejemplo 3. así.1) Solución.3679. para x3. Cuando esto ocurra. x1 no es una raíz y.2 Por el mismo método. = e-0. esta situación. de la ecuación. el estudiante debe saber que este método no siempre converge.1 6 5 4 Valores de f(x) 3 2 1 0 -0. por lo que. por el método de aproximaciones sucesivas. E3. se recomienda el uso de otro método numérico y hacer un bosquejo del problema que se esté resolviendo. el valor de x1 = e-0 = 1. obtener una raíz de la ecuación: 1 f ( x) cos( x) x 1 2 Solución.5 -1 0 -2 -3 Valores de x 0. miembro a miembro. confirmando lo indicado por la gráfica del ejemplo. se tiene el algoritmo que sigue: Algoritmo: Método de Bisección Cuando es dada una función f(x) continua sobre un intervalo [a 0. Se basa en el teorema del valor intermedio para funciones continuas. f(x) = 0 para algún x en [an+1. Si f(an). x = 1.714 entonces. bn+1 = c.2 5 4 Valores de f(x) 1 x1 cos(0) (0) 1 2 2 1 x2 cos(2) (2) 1 1. . De lo contrario an+1 = c. entonces compárese el error relativo de dos iteraciones consecutivas de “c” y si. se obtiene: 6 Figura E3. 1.779. De donde.2].f(bn) < 0 Para n = 0. Entonces. hágase an+1 = an.584 2 3 2 1 0 -1 0 -2 -3 Valores de x 1 2 3 4 5 6 -1 Los siguientes valores son: 1.4 Método de Bisección o de Bolzano Éste es un método sencillo. para determinar un cero de f(x). bn+1]. cuando ésta es continua. 2. según el cual un intervalo [a. es menor que cierta tolerancia deténgase el proceso. bn+1 = bn. 1. pero lentamente convergente. b0] y que satisface f(an). continúese. en cada paso. 1. acéptese c como una solución y deténgase el procedimiento. Prueba de terminación.f(c) < 0. Esto sugiere el método de bisección repetida del intervalo y.714. f(b) < 0. b] en cuyos puntos extremos f tiene signos opuestos. … y hasta terminar: Calcular c 1 2 an bn Si f(c) =0.…. tomar aquella mitad que también satisfaga esa condición.714 radianes (valor que se repite) es una raíz 3. por ejemplo f(a) > 0. Si f( c) ± 0.27 iniciando con x0 = 0. debe contener un cero de f [figura 3. en caso contrario. 2 se muestra la rutina de este método. D. Calcular f(a) y f(b) f(a)*f(b) < 0? si Calcular no c 1 ( a b) 2 Sea F = f(c) F ? no si x=c a=c F*f(a) < 0? si b=c Escribir x fin Fig.28 cn1 cn ? cn1 En figura D3. inicio es el error admisible. a. b.2 Diagrama de flujo del método de Bisección .3. 1] existe una raíz real.3 Encontrar. con sólo un decimal exacto se tendría x c b una excelente aproximación. Se proponen los valores: a = 0 y b = 1.04783. sin a embargo. etc.375 y f(c) = f(0.2964. obteniendo c = 0. .412(0) + 0. una aproximación al milímetro será requerida. se cambia b por el valor de c y se repite el proceso.5 -1 -2 -3 Valores de x 0 0.4830. aquí se exigirían.25 y b = 0. entonces. la f(b) medida del diámetro de un pistón de un automotor. por lo que en el intervalo [0.29 La exactitud de una respuesta f(x) depende de la aplicación real del f(a) problema.3 4 3 2 f(x) =x –1.098 = 0. correspondiendo a la primer raíz positiva de la ecuación. si el metro es la unidad de medida. 3 2 0 -0.25 ) = 0.375) = -0. De acuerdo a este resultado. 3.5 1 1. se cumple la condición de arranque.412(1)2 + 0.3) Valores de f(x) Figura E3. para la siguiente iteración a = 0.5 ) = 0. es decir: c = ½( 0 + 0. (Fig.098 y f(b) = f(1) = (1)3 –1.5 2 -1 Puesto que f(a) y f(b) tienen signos diferentes. etc.2 método de BISECCIÓN seguramente.412x +0.50.50. es decir. si el problema a resolver representa.02538. una raíz de la siguiente ecuación. obteniendo: f(a) = f(0) = (0) –1. pero como tiene el mismo signo que f(b). Este resultado obliga a cambiar b. Presente el resultado con tres decimales exactos. esto es. al menos. f(c) está muy lejano de cero. Ahora. en la situación real. Fig. por el método de bisección. por ejemplo. E3.25 y f(c ) = f( 0. La convergencia se obtuvo para c = 0.314. tres decimales exactos.098 3 2 1 Solución. f(x) Ejemplo 3.098 = -0. c = ½( 0 + 1 ) = 0.5 ) = -0. En esta ocasión se cambia a por c. con lo que f(c) = f(0. si la solución representa la superficie de un terreno y la unidad de medida es el metro. 40 Valores de R cos(0.3.0 y b = 400.35 -0.0295026 a -----------------------------------------------------------328.05 2000 0. por el método de bisección. 3.0631.30 Ejemplo 3.17383 0.00 Figura E3.06312 200.01 = 0. por consiguiente.0000 400.00000 -0. se aproxima la curva de f mediante una cuerda.4) Solución.10 0.30 -0.0000020 a Por lo que.01(0) ) 0. El punto medio es c = 200 y con este valor se tiene que f(c) = f(200) = 0.1631.01 (Fig.14941 radianes.0000 400. por lo que el cambio debe ser para a = c = 200.05 0.62727 0. debido a que f(a) fue negativo y b no cambia en la presente iteración. 400]. dado por: .4 100 200 300 400 500 f ( R) e 0. una raíz aproximada es R = 328. De acuerdo a los resultados obtenidos. la ecuación: Valores de f(R) 0. Es notorio que más cerca de 400 que de cero.15 -0.6273 0.01 = 2 f(b) = f(400) = e 0.05 2000 0.1738 328. como se muestra en figura 3.5 Método de Falsa Posición (Regula falsi) En el método de falsa posición (regula falsi) para resolver f(x) = 0.0000223 b 328.1250 328. El resumen de estos resultados es: a b f(a) f(b) c f(c) cambia 0. Esta cuerda se interseca con el eje x en el punto a1 = c.00000 -0.05 2000 0.0000 300.20 -0.1630919 a 200.2227 328.4 Resolver.1250 328.E3. f(a) = e 0. existe una raíz en [0.01R 2 ) 0. Se propone a = 0.005R cos(0.14941 -0.25 -0.01(400) 2 ) 0.005( 0 ) -0.0000 -0.005( 400) cos(0.10 -0.15 0.05 0 -0. f(x) = 0 para algún x en [an+1.f( c) < 0 ó [c. utilizando el intervalo [a0. Algoritmo: Método de falsa posición Dada una función f(x) continua sobre un intervalo [a0. 2. c]. f (a0 ) f (b0 ) f (a0 ) (3-6) Y f(b0) a0 a1 X b0 f(a0) Figura 3. b0] y tal que f(a0)f(b0) < 0. En caso contrario. continúese. sólo es de primer orden.31 c a0 b0 a0 .3 Método de falsa posición (regula falsi) Este es el primer paso. Entonces. si f(a0). an+1 = c. En el segundo. Para n = 1. y así sucesivamente. si no es así. f (a0 ) f (b0 ) f (a0 ) Si f(c) = 0.f( c) < 0. por lo general. bn+1 = bn.se determina la intersección de la cuerda correspondiente como se hizo con anterioridad. Si f(an). acéptese c como una solución y deténgase el procedimiento. se detiene el procedimiento si f(c) = 0. … y hasta terminar: Calcúlese c a0 b0 a0 . hágase an+1 = an. si f(a0)f(c ) > 0. bn+1 = c. . b0]. Este método siempre es convergente para funciones continuas pero. De lo contrario. bn+1]. inicio a. es el error tolerable. cn1 cn ? cn1 En figura D3.3 se muestra el diagrama de flujo de este método. Fa=f(a) Fb=f(b) Fa*Fb < 0 ? si (b a ) Fa c a Fb Fa no F = f(c) Fa=F F ? no si Hacer: x = c no a=c Fa*f(a)< 0? Escribir x si fin Fb=F b=c Fig. b. si f( c) ± 0. Como el método siempre converge.3.32 Prueba de terminación. es menor que cierta tolerancia deténgase el proceso.3 Diagrama de flujo: método FALSA POSICION . entonces compárese el error relativo de dos iteraciones consecutivas de “c” y si. D. una raíz es t = 0.000 0. -8 Valores de X Solución.012 0.8023) = .8023.6764 .5 8 6 y 10e kt cos(wt ) (Fig.8023 y f(0. .022 0.000 10.785 0.676 -2. según ecuación (3-7) es.00 y f(b) = 10e 0. para una oscilación amortiguada.5 0) * (10) t a 0 4.5(0) cos(2(0)) 10.785 0.785 segundos. la primer raíz positiva puede encontrarse con los valores: a = 0 y b = 1. se cumple la condición f(a)*f(b) < 0. El valor de t.5 El movimiento de una estructura se define.000 0.5) cos(2(1.230 0. El valor de t es ahora t = 0.230 -0.230 0.000 0.2300.000 0.000 10.022)) 2.000 cambia b b a b De acuerdo a los datos anteriores.50 y w = 2. De acuerdo a la gráfica. con los que se obtiene.33 Ejemplo 3.000 t 1.5)) 4.012 f(b) -4.785 f(t) -2. mediante la ecuación: Valores de f(X) 12 10 Figura E3.5) 4 2 0 -1 -2 0 1 2 3 4 5 6 -2 -4 donde k =0.803 0.785 0. nuevamente cambia b = 0.000 0.022) cos(2(1.5(1. Obtenga una raíz -6 aplicando el método de Falsa Posición. cambia b y el valor de a.5(1.6764 10 1. etc.022 0. Los resultados a que se llegó se muestran en la tabla siguiente: a 0. (b a) * f (a) (1.785 b 1.734 -0.7344 por ser f(t) de signo negativo. f(a)= 10e 0.0.803 0.803 0. E3.785 f(a) 10.0220 f (b) f (a) f(t)= 10e 0.5. es decir.012 0.500 1.734 -0. no cambia para la siguiente iteración. La secuencia de cálculo es la misma que en los dos métodos vistos. Por ser.500 -0. de ecuación (3-7). por consiguiente.6. se llegó a los resultados que se muestran en la siguiente tabla.000 0.3.895 -0.2 y 3. con a = 1.5.5 y b = 2. f(c) = 0.6 3 3 E3.895 2.895 1.652 0. f(b) = 0. como se observa en el último renglón.247 -0. parte de los mismos principios que aquellos. Método de Monte Carlo Otra variante de los dos métodos anteriores es el método de Monte Carlo. De acuerdo a este resultado.5(1.000 Una raíz es x =1.500 2.5) = -0.652 0. uno a y el otro b.5(1.652 0.895 radianes.865 1.006 -0.50 radianes.888 1. el cual se calcula como función de a y b.652 0.894 1.6 Encuentre una raíz positiva de la ecuación f ( x) 0. a = 1.652 1.000 0.500 2.500 1.500 2. según ecuación (3-7) El proceso de este método es como se describe a continuación: . Valores de f(X) Figura E3.092 -0. así como de un número aleatorio. f(a) = 0.0915.894 1.775 1.0.888 1. para probar la condición inicial.500 2.6.5) sen(1. 3.5x sen( x) . Fig.6515. se tiene que b = 1.025 -0.500 2. además.5.7753 radianes.775 1. Use el método de Falsa Posición. así que a = 1.092 -0. c = 1.001 0. de tal manera que f(a) y f(b) tengan signos distintos.025 -0.006 -0. estos valores -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 Valores de X de signos contrarios. Solución.7753) = .652 0.2475 y con b = Para 2 2 1 1 0 2. para que cumplan la condición de arranque dada en figuras 3.001 0. se cumplió la condición de arranque y se obtuvo.7753 radianes y puesto que b no cambia. debido a que este valor se repite y.5. Continuando de esta forma. hace que f(x) sea igual a “cero”.865 1.7753) sen(1. a b f(a) f(b) C f(c) Cambia a a a a a a 1. el valor actual de a debe cambiar por el valor de c. se requiere de dos puntos de apoyo.34 Ejemplo 3. es decir. Éste. sólo cambia la manera de estimar el valor de “c”. 1.4426 y f(b) = f(1.5 ) –2(1. por el método de Monte Carlo (Fig.1. ya que f(a).000 b 1.7 3 4 2 1 0 -1 -1 0 1 2 Ejemplo 3. se hace el cambio adecuado – tal y como se realizó en el método de bisección .090. Continuando con el proceso descrito se llegó.5-1) = 1. -2 -2 -3 -4 Valores de X Solución. 1. E3. entonces.144. c = 1+ 0. el cual se sustituye por ecuación (3-7).5.443 f(b) 11. xal. inclusive.144 f(c) cambia 0. entonces el segmento donde se encuentra una raíz es [1.f(b) < 0.1014 Se observa que los valores propuestos son adecuados. manualmente.7 Encuentre una raíz positiva de f(x) = tan(x) –2x. tales que f(a). Si a = 1 y b = 1. Use xal = 0. El diagrama de flujo es similar al dado en Fig. D3.f(b) < 0. Dados a y b.144 y f(1. la tolerancia debe ser =0. Si es diferente de él o no cumple con la tolerancia. etc.35 1.000 1.7). prefijada. por lo que. hasta que se encuentre la solución.665.0001. a los siguientes resultados: A 1.268) = 0.268 y f(1.5) = 11. Se calcula c con la fórmula. 2. generaqrse con una calculadora).99 (estos números pueden.090 A .500 1.5361(1.5361 y el resultado debe tener tres decimales exactos. se tiene: f(a)=f(1 ) = tan(1)-2(1) = -0. quedando el segmento [1.y se repite el proceso a partir del paso 2.268 f(a) -0.268].665 B -0. c a xal (b a) (3-7) 3.268 1.5 )= tan( 1. con distribución de probabilidad uniforme. Al igual que en los dos métodos anteriores. que se encuentre entre cero y 0.101 c 1. Valores de f(X) Figura E3.268]. sólo debe cambiarse el bloque que indica el cálculo de c. para la siguiente iteración. Ahora c = 1. en el error.44) = -0. se calcula f(c) para comparar su valor con cero o la tolerancia. . Para garantizar tres decimales exactos. se escoge un número aleatorio. 165 1.8 3 2 1 0 Solución. Se obtuvo.163 1.003 -0.065 -0.737 -0.002 0.637.172 1.179 1. por el método de Monte Carlo (Fig. Valores de f(X) Figura E3.474 2.475 f(a) -1.009 -0.000 3.414 2.268 1.059 0.168 1. De acuerdo con estos resultados.4355.163 1.285 2. Se probó con a = 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 y b =2.473 2.385 2.000 2.166 1.36 1.144 1. en el segmento 2.285 2.475 2.489 2. es x = 1.522 -0.474 radianes.168 1.474 2.475 2.737 0.436 2.003 -0. siendo a = 2 y b =3.436 0.245 -0.059 0.163 1.166 0.001 C 2.028 0.001 0.001 0.6372 y f(b) = f(3) = 2. algunas iteraciones se muestran abajo.233 0.362 -0. Al no cumplirse la condición de arranque. a 2.8 Encontrar una raíz de la ecuación f(x) = x – 4sen(x).522 -0. Usando xal = 0.210 1.474 2.059 -0.637 -0.166 Ejemplo 3.163 1.474 f(c) -0.475 2.172 1.489 2.000 2.002 -0. E3.385 2.489 2.343 2.005 0.167 1. se obtuvo una raíz en c = 2. f(a) =-1.001 0.285 2.179 1.001 f(b) 2.210 1.144 1.362 -0.002 -0. aproximada.001 0.343 2.001 B B A b b a b b b En este caso una raíz.012 0.165 1.474 B 3.2850 y siguiendo el mismo proceso que el ejemplo anterior.8).168 1.489 2.474 2.179 1. con los que se obtuvo -2 f(a) = 1-4seno(1) = -2.366 y -3 Valores de X f(b) = -1.737 -0.001 0.005 -0.000 Cambia a b a a a a a a .165 1. se propusieron otros valores.474 2.3 se debe encontrar una raíz.166 1.144 1.165 1.167 1.059 0. Desafortunadamente. Este proceso iterativo convergerá a la raíz para la mayoría de las funciones y. pero es razonablemente cercano a una raíz. El diagrama de flujo de este método. se muestra en Fig. 0 f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) Resolviendo para x. por consiguiente. Expandiendo f(x) en una serie de Taylor alrededor de x0. D3. quedando. el cual no es una solución de la función f(x). queda.. en la siguiente iteración.7. Sin embargo. se tiene. calculado en el valor de la raíz. .37 3. f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) . Esto hace que dos valores consecutivos de la variable independiente se repitan. la ecuación (3-8) es un polinomio de grado infinito. 2! (3-8) Si f(x) = 0. El proceso es terminado cuando la magnitud de cambio. entonces. sino converge. x x0 f ( x0 ) f ( x0) (3-9) Ahora x representa una mejor aproximación de la raíz y puede reemplazarse por x0 en ecuación (3-9). será por su extremada rapidez. tomando solamente los dos primeros términos de la serie anterior.. es más pequeño que alguna cantidad predeterminada. un valor aproximado de la raíz x puede ser obtenido. para proporcionar una raíz más exacta. x es una raíz y el lado derecho de ecuación (3-8) constituye una ecuación para obtener esa raíz. h. Método de Newton – Raphson Considere un punto x0.4. La expresión general de este método puede. escribirse como: x n 1 x n f ( xn ) f ( x n ) (3-10) donde el subíndice n denota valores obtenidos en la n-ésima iteración y n+1 indica valores encontrados en la iteración (n+1). f(x0)) El valor de x1 es más cercano a la raíz que el valor supuesto inicialmente x0 y. 3.4 muestra la primer iteración para una función típica. 3. es la intersección con el eje x de una línea recta tangente a la Fig. Estas dificultades pueden superarse y hacer un uso más inteligente de este poderoso método. es claro que iteraciones sucesivas convergerán rápidamente a la raíz.38 No obstante su rápida convergencia. x = x0 Fun = f(x) Df = f „(x) h = .Fun/Df x=x+h h si Escribir x f(x) Fin FIG. D3. el método de Newton tiene algunas dificultades con ciertos tipos de f(x ) funciones.4 Diagrama de flujo para el método de Newton Raphson . o Inicio x0.4 Primer iteración del método de Newton R. considerando x una interpretación gráfica del proceso. La siguiente suposición para la raíz x1. función en el punto de coordenadas (x0. La xo x1 Fig. No hay una forma simple para evitar este tipo de comportamiento con ciertas funciones. la cual es cercana a la raíz B. x0 deberá proponerse lo más cercano posible a la raíz deseada.5 Función oscilatoria . el método de Newton. encontrando después una u otra raíz.5). y es claro que el método de Newton. f(x) x0 A x1 B X x2 Fig. La primer suposición x0. El algoritmo puede también ocasionalmente oscilar hacia atrás o hacia delante. siguiendo la rutina dada en el algoritmo D3.4. Desde luego. es decir. un bosquejo superficial o tabulación de la función discutida anteriormente. la tangente de pendiente cero se dirige fuera de la región de interés. El método de Newton también tiene una tendencia a caer en un máximo o en un mínimo de una función y. si la función no oscila. la línea tangente corta al eje de las abscisas en x1. Estas dificultades pueden ser evitadas fácilmente con algún conocimiento previo del comportamiento de la función. 3. entonces. por lo general será suficiente para permitir la primer suposición en la cual el método eventualmente dará las raíces deseadas. En cualquier caso. 3. esos puntos asegurarán que el programador está conciente de cualquiera de las raíces. ya que es paralela al eje x. puede resultar convergente para una raíz distante. La siguiente iteración produce x2.39 Ahora considere la siguiente función simple oscilatoria (Fig. es razonablemente cercana a la raíz A. entonces. como la descrita en figura 3.5. entre dos regiones que contienen raíces para un número bastante grande de iteraciones. encontrará una raíz sin mayor dificultad. para las cuales el método puede haber fallado. Sin embargo. Sin embargo. en un valor inicial no cercano a una raíz. 8620 10.7203 -0.0599 0. es: x01 x0 f ( x0 ) x1 0.0348 -0.0001 0.00 f ( x0 ) como el valor absoluto de hN (3.9229 17. Solución.0252 10.5100 f(x) 3.5731 -0.4646 0.5354 -0.00 y de ecuación (3-10).40 Ejemplo 3.7998 10.3585 -4. es muy grande.7996 h -3. se calculó la función y derivada. usando el método de Newton.0000 0. Puesto que f „(x) = ex –20x.raíz f´(x) 1.0000 .00 3.0032 0.5132 -0.9 60 40 20 Valores de f(X) 0 -3 -2 -1 0 -20 1 2 3 4 5 6 7 8 -4 -40 -60 -80 -100 -120 Valores de X e 0 10(0) 2 2 3.7051 -0.8447 -0.0. x 0.0000 --. entonces x = -3.3233 12.0000 60.9502 -21. respectivamente.00). La tabla siguiente muestra los resultados obtenidos.5100 -0.6907 0.9 Encuentre una raíz de la ecuación x 2 f ( x) e 10 x 2 .2716 0. obteniendo: 2 f ( x0 ) e 10 x0 2 x0 Figura E3.00 no es una raíz y se repite el proceso deteniéndolo cuando dos valores consecutivos se repitan. Iniciando con un valor de x0 = 0.0000 -1.5100 -0.00 3.0000 1.00 hN f ( x0 ) 3 3.0000 -87. se concluye que el valor f ( x0 ) 1 aproximado de x.0000 -3.00 f „(x0) = e0 –20(0)= 1.0498 30. 6667 6) 1. E3. con x0 = 0 f(x0) = e-0/4(2-0)-1=1.6667 f ( x0 ) x01 x0 De acuerdo al algoritmo dado en Fig. llegando a. por el método de Newton Raphson. Solución. Como en el caso anterior.6667/4(2-0. que es el valor absoluto de hN.66667 f ( x0 ) 1. D3.10 4 3 2 1 0 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 5 6 Valores de X 1 x f ( x) e 4 ( x 6) 4 Para manejar cuatro decimales exactos. Figura E3. la primer derivada de esta ecuación es.00001.4.41 Valores de f(X) Ejemplo 3. se iniciaron cálculos similares al ejemplo anterior y se obtuvo.0000 1 0 f ( x0 ) e 4 (0 6) 1.6667. no es menor que 0. se repite el proceso con x1.10 Resolver la ecuación f(x) = e-x/4(2-x)-1 (Fig. por lo que. Con esta aclaración.00001.6667)-1=0. f(x1) = e-0. se requiere que la tolerancia sea =0.1290 4 .66667 0.5000 4 hN f ( x0 ) 1 0.66674 e (0.5 f ( x0 ) x1 0 0. se observa que 0. Obtenga el resultado con cuatro decimales exactos.12 y f ( x1 ) 1 0.10). cuando f(x) es igual a cero. pero ahora con x = 0. o una raíz simple. dada por: U ( x) f ( x) f ( x) (3-11) Se observa que la función U(x) tiene las mismas raíces que f(x). por ejemplo. Suponiendo ahora que f(x) tiene una raíz múltiple en x = c de multicidad r. dada por ( 3-11). f ( x) f ( x)2 (3-13) .1140 0. en el comportamiento de una función con raíces múltiples obliga a considerar una modificación del método discutido por Ralston. Entonces. debido a que. Método de Newton – Modificado La dificultad del método de Newton Raphson. Puede probarse que siguiendo este proceso se llega. De esta manera. Esto podría ocurrir. Puesto que el método de Newton Raphson es efectivo para raíces simples. se debe repetir el procedimiento. la ecuación recursiva de este método queda.7806. x n 1 x n U ( xn ) U ( x n ) (3-12) derivando la función auxiliar U(x).8.7806 f ( x1 ) nuevamente se nota que 0. 3. podemos aplicar el método de Newton para resolver U(x) en lugar de f(x).queda. si f(x) contiene un factor (x-c) .42 hN f ( x1 ) 0. entonces U(x) se vuelve cero.6667 0. U ( x) 1 f ( x n ). Como primero se desean encontrar las raíces de una función f(x).114 es mayor que el error.7836. finalmente a la raíz de x = 0. por lo que.1140 . f ( x1 ) x11 x1 f ( x1 ) x2 0. Definimos una función nueva U(x). podría fácilmente demostrarse que U(x) tiene una raíz en x = c de multicidad r. Ejemplo 3. La ecuación (3-12) exige las dos primeras derivadas de f(x).259 26.4519 f ( x0 ) 0. E3. sólo se sustituye el bloque de f(x) por U(x) y f „(x) por U „(x).123) 2 f ( x0 ) U ( x0 ) 1 h U ( x0 ) 26. las cuales son.2168 y de ecuación ( 3-12). se obtuvieron los siguientes valores.4519 0.1780 ahora. por el método de Newton modificado.4.2168 2 (0.1232 f “(x) = -cos(1) + e1 –2 = 0.11 Resolver. el nuevo valor de x es. con una exactitud de tres decimales exactos.178) 1 37.7108 U ( x0 ) 37. siendo indiferente de la multicidad de la raíz. en este caso: f „(x) =-sen(x) + ex –2x f “(x) = -cos(x) + ex -2 proponiendo x0 = 1.259)(0.2586 f „(x) = -sen(1) + e1 –2(1) = -0. U ( x0 ) f ( x0 ) 3. conservando el mismo rango de convergencia que el método referido.43 El algoritmo de este método es idéntico al mostrado en Fig.11) Solución.D3. f ( x) cos( x) e x x 2 1 (Fig. f ( x0 ) (3.123 f ( x0 ). . para la primer iteración: f(x) =cos(1) + e1 – (1)2 + 1 = 3. de ecuaciones ( 3-11) y ( 3-13) se tiene. la siguiente ecuación. en consecuencia.0 0.0 2. etc. para Iniciando con x0 = 5. se repite el proceso a partir de x1. llegando.2104 . después con x2 para estimar x3.2605. no es la raíz y. se obtuvo: f(x) = cos(x)cosh(x)-1 = 20.4175 h = 0. al os siguientes resultados. se observa que el valor absoluto del cociente U(x0)/U„(x0) = -2 -1 1 0.5 1.12 Con el uso del método de Newton Modificado. Ejemplo 3.0105 2 Nuevamente se observa que el valor absoluto de h es muy grande y se repitió el procedimiento.5 Valores de X Tomando en cuenta la prueba de convergencia. se concluye que el valor de x1 obtenido.5 3. encuentre una raíz de la ecuación.0506 f „(x) = cos(x)senh(x)-sen(x)cosh(x) = 92.2787 y x2 = 0. pero ahora con x1 = 0.4717 f “(x1) = -1.2892 U ( x0 ) 37.2102 f „(x1) = 0.44 x01 U ( x0 ) 26. Como en el caso anterior.0 -1. ahora.0 1.2168 Valores de f(X) Figura E3. se obtuvieron las dos primeras derivadas de f(x) y se propusieron dos valores diferentes de x para encontrar dos raíces.4519 x0 1 0. E3.0 3. por ejemplo.5 0. descrito.5 2.11 4.0105.0 -0.7108 es mayor que el error admisible. para obtener x2.5 0 -1.12) Solución.8057 U´(x1) = 24. llegando la siguiente raíz: x = -1. f(x1) = 3. f(x) = cos(x)cosh(x)-1 (Fig.6230 U(x1) = 6. 2725 U 0.12 25 20 15 Valores de f(X) 10 5 0 -5 0 -10 -15 -20 -25 Valores de X 1 2 3 4 5 6 7 8 3.3273 etc. Reemplazando la derivada en ecuación (3.Raphson con la derivada reemplazada por una expresión diferente.3273 0.0006 4.3105 106.0000 Figura E3. por el . x f(x) 5.1922 4.0000 h -0. función y derivada. en lugar de subprogramas para ambas. Esto es ventajoso.0066 1. si la función a resolver es difícil de derivar y. en el sentido de que solamente es necesario suplir un subprograma de función en el método.2104 51.0540 0. una modificación del método convencional de Newton .45 f”(x) = -2sen(x)senh(x) = 142.2673 57.9.1212 4.7267 -0.7300 raíz f´(x) 92.3364 57.0000 U´ 0.6644 1. esencialmente. desde luego que.6644 h = -0.0506 4.6443 f´´(x) 142.0608 -0.8958 112.7300 -0. Método de la secante Este método es.9015 113.0034 0.0000 20.2174 U´(x) = 0.3105 U(x= = 0.0033 0.9).6727 -3. es también conveniente para programar.2174 -0.1266 1. Si la primer derivada de f(x) consume mucho tiempo para su evaluación. la cual . como se muestra en figura 3. 3. entrando x1 con f(x1).46 concepto elemental de tangente – recuerde. por lo que: xn1 xn f ( xn ) f ( xn ) f ( xn1 )/ Dn (3-14) donde Dn = xn – xn-1. f(x0)]. donde se ha iniciado con los valores x00 y x0.5). como el cruce de la recta secante con el eje x.D3. f(xn-1) y f(xn) deben ser conocidas. para los cuales se han calculado los valores numéricos de las funciones. cercanos entre ellos. pero su ventaja es un tanto más importante por la velocidad decreciente de la convergencia. tangente es igual a la primer derivadaresulta. La primer iteración de este método se muestra en figura 3. dos valores iniciales supuestos. el método de la secante no convergerá tan rápido como el método convencional de Newton.6. En la siguiente iteración se elimina x00 y f(x00). que denominaremos x0 y x00. el cuál aproxima la raíz a x1. Puesto que no hay tal valor.6. Esta recta cortará al eje x en x 2. que deberán ser proporcionados al algoritmo (Fig. serán disponibles para la primer iteración. que definirán la nueva tangente. El primero es el valor de la función dos iteraciones anteriores a la presente. este método puede requerir menos tiempo de cómputo que el método de Newton. para hacer pareja con el punto [x0. Para la mayoría de las funciones. f(x00) f(x) f(x0) raíz X x00 x0 f(x) Fig.6 Método de la SECANTE Para usar este método. Si este valor no es la solución. se elimina el punto [x0. D3. inicio x00. quedando ahora. por donde se trazará la nueva tangente que.FAC/tg x = x+ no FAN=FAC ? si x FIN Fig. f(x0)].47 es la segunda aproximación a la raíz.5 Diagrama de flujo para el método de la secante . f(x1)] y [x2. x0. = x0 – x00 x = x0 FAN=f(x00) FAC= f(x) tg FAC FAN = . f(x2)]. permitirá encontrar x3. etc. obviamente. los puntos [x1. f(yn-1) = f(4) = (5 1. 0 Valores de f(X) -10 0 1 2 3 4 f(4.5722 tan()= 36.6056(4.917 5 3.5(4))(4) 3 Paso 2.5 (1.5) 31.3622 -20 -30 -40 Valores de X . de la ecuación.9167 f(2.5 (5 1.6056(4) (5 1.3633 hs = . concluyendo que y = 2. con los valores de y 20 = 4.5) (5 1. es decir.9505 no es una raíz.5 e y = 2.25 5 2 5y Solución.647 5 3.5(4. El valor absoluto de hs (1.13 más lejano de la variable independiente 30 (y = 4. tan()= f ( y n1 ) f ( y n ) 44.5495) 2. El cociente de hs 65. a los siguientes resultados.5495) es muy grande.5))(4.5 y) y 31.917 1. llegando.5409 y n1 y n 4 4.5) = 65.48 Ejemplo 3. Desarrollando el proceso dado en el diagrama de flujo (Fig.5(4))(4) 31.9505 Paso 6.5) 2 2 Paso 3.0.25 65.5409 Paso 5.647 65.5) 3 f(yn) = f (4.5495 42. por lo que se repetirá el proceso eliminando el valor Figura E3.5(4. (5 1.5 Paso 4. El nuevo valor de y es: y n1 y n hs 4.9505.25 44. usando el método de la secante.5). Sea yn-1 = 4 e yn = 4.13 Encuentre al menos una raíz.9505) = 9. D3.5))(4.917 42. se tiene: 2 3 Paso 1. en esta 10 ocasión.5 y ) y f ( y) (5 1.00). 0.5856) = 0.578. con los que se llegó a.357 y hs = . pero muy cercano a él.5856. por lo que.00 f(xn) = 4 2( 2) (8)4 2 12 = 140. valor diferente a 2.578 (igual al último de los dos que se usaron). esta es una raíz de la ecuación que se propuso resolver. se obtuvieron los siguientes valores: f(2.008.6661 tan()= 26.14): f ( x) 4 2 x (8)4 x 12 Igual que en el problema anterior.5722 f(2. Repitiendo el proceso con y = 2.0 y xn = 2.5856 Al repetir el proceso con y = 2. confirmando la gráfica este resultado. se procedió como sigue: Paso 1.6873 e y = 2.6873. por lo que.1016 y = 2.49 y = 2. f(2. ynuevo = 2.578.9505 e y = 2.000 y = 2.803.00 Paso 2.6873 Puesto que el valor absoluto de hs.00 . tan()= 24.5856 e y = 2. se repite el proceso con y = 2.14 Resolver. Se propone que xn-1 = 0.578) = 0.9505) = 9.5856. se obtuvieron los siguientes resultados: f(2.004 tan()= 23. f(xn-1) = 4 2( 0) (8)4 0 12 = 5.2349 hs = . la ecuación (figura E3.0.191. Ejemplo 3. por el método de la Secante. hs =0. es aún muy grande.6873) = 2. 00 5.0741 -0.00 tan()= xn 1 xn 0.292.14 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 0 -10 Valores de X Paso 4.0863 tan( ) 64.5). = Valores de f(X) f ( xn1 ) f ( xn ) 5.00 hs 2.8024 xn1 xn 2.00 67. se llegó a la raíz de x = 1. El nuevo valor de x es: xn1 xn hs 2.00 y xn+1 = -0. En esta ocasión se obtuvieron los siguientes resultados: Paso 1. El nuevo valor de x es: xn2 xn1 hs -0.50 Paso 3.00 2.0741 tan( ) 67.00 140. f(xn) = f(2.00 2.500 Figura E3.5951 Paso 3. El cociente f ( xn ) 140.0) = 140.0741 Se observa que el valor absoluto de hs (2.0741) es muy grande.0 y xn+1=-0. Con otro par de valores (x = 1 y x = 1.1604 Repitiendo reiteradamente este proceso se llegó a la raíz x = 0.0741) = 5.5951 =0. .500 de -2 -1 1 2 Paso 5. se repite el procedimiento. Sea xn = 2. pero ahora con xn = 2.5951 = 64. El cociente de hs Paso 5. por lo que.8024 Paso 4.0741.0741) f ( xn ) 5.00 (0. tan()= f ( xn 1 ) f ( xn ) 140.500.0741 Paso 2.00 y f(xn+1) = f(-0. 5 La concentración de la bacteria contaminante C en un lago decrece de acuerdo con la relación: 2 C 80e2t 20e0. con la misma precisión que en el inciso anterior. con = 0. acepte una tolerancia de 0. Compare resultados.5x – sen(x).012Q f ( y) y 12.035 2 2/3 2 gA AR para Q = 25 m3/s.50 3. se calcula con la ecuación: (5 2 y ) y 3 f ( y ) (5 2 y ) y 31.001 b) Aplique el método de la secante.2 y con el mismo error que en el inciso a. dada en problema 3.1t Determínese el tiempo requerido para que la bacteria se reduzca a 10. que tiene una pendiente lateral de k = 2 y un ancho en la base de 5 metros. con x00 = 2 y x0 = 2.25 5 2y 5 a) Use el método de falsa posición para estimar y.1 El tirante normal en un canal de forma trapezoidal. con una precisión de dos decimales exactos.6981.5y +0. Use el método de Newton Raphson y el método de la secante. aceptando un error de = 0. donde P = 2.3 Resuelva la siguiente ecuación.8y2.51 Problemas propuestos 3.2 Resuelva la ecuación.4 Localice la raíz positiva de f(x) = 0. k = 0.8 3.0001 3.1 a) Usando el método de bisección. .5 +2y 1 k 2 . A =2. R= A/P. 3. usando a) el método gráfico y b) el método de Newton Raphson. b) Ahora use el método de Monte Carlo con xal = 0.001: 2 Q2 0. 3. por tres métodos diferentes. En ambos casos. 3.01%. tales que I =2. la ecuación: f ( x) 8 cos 2 ( x) 3 cos( x) 5 los resultados obtenidos. Determínense todos los valores de t.10 Aplique el método de Newton y. 3. para resolver la ecuación: x f ( x) 4 cos 3sen(x) 2 2 .8 Resuelva por dos métodos diferentes. el método de Monte Carlo.7 Una corriente oscilatoria. para una oscilación amortiguada: y 10e0. en un circuito eléctrico. 3. Use dos métodos diferentes para encontrar la solución y compare los resultados. 3.52 3. se describe mediante: I 10et sen(2t ) en donde t está dado en segundos. para obtener una estimación inicial del tiempo necesario para que el desplazamiento baje hasta 4. c) Aplique el método de la secante para determinar la raíz con el mismo error relativo que se pide en el inciso anterior. Se acepta un error relativo del 0. se desea que tengan un error relativo igual o menor al 0. b) Use el método de Newton Raphson para determinar una raíz con un error relativo del 0.01%.5t cos(2t ) a) Úsese el método gráfico.6 El movimiento de una estructura se define mediante la siguiente ecuación.01%.9 Aplique tres métodos para resolver la ecuación: f ( x) 42 x (8)4 x 12 . posteriormente. 572 y 2 27. dada en seguida: 26. con una tolerancia de tol = 0.0001 1 3.12 Resuelva la ecuación dada. f ( x) e 3 sen( x) . la siguiente ecuación: 15000 1 pmáx 6 pmáx 1e 2 x10 ( p máx )( 60) 10 3. de 0.11 Determine las raíces de la siguiente ecuación. usando el 2 método de falsa posición. Si lo desea.17 f ( x) 4( x 2)1/ 3 sen(2 x) . para la variable independiente.53 con un error relativo.0001 x f ( x) 4sen( x) 5 cos( x) Ln( x 2 3) 3. resuelva ( para pmáx ).14 Mediante el método de secante. con una aproximación de tres decimales exactos. 3.13 Aplicando el método de Newton – Raphson. por el método de falsa posición y por el de secante. aplique el programa a cualquier ecuación de las dadas arriba y compare los resultados obtenidos con los cálculos manuales. encuentre una raíz de la ecuación.315 4. 3.15 Haga un programa de computadora.16 Grafique la siguiente función y encuentre una raíz por dos métodos diferentes. para resolver cualquier ecuación que tenga la forma f(x) = 0. 3.751 y 3. 22 Aplique el método de de la secante para encontrar el diámetro. H = 4. N = 35 .001 f ( x) x3 2 x 2 100 x 20 3. f ( x) x 2 4 ln(3x) 5sen( x) 3.00 m. de una tubería sencilla.86Log ( D) N 2 para los siguientes datos: Q = 0.21 Aplique el método de falsa posición para encontrar una raíz de la ecuación dada con una aproximación de e = 0. con C= g 2 H 8.19 Aplique el método de Newton Raphson para encontrar una raíz de la ecuación: f ( x) e x x 1000 2 3. dada por la ecuación: 8Q 2 2g f ( D) D 5 C D L .18 Mediante el método de secante resuelva la ecuación dada a continuación.20 Aplique el método de Newton Modificado.062366 m3/s.54 3.001 f ( x) e x sen( x) ln(3x) x3 3. para encontrar todas las raíces de la ecuación dada con una aproximación de e = 0. D. L = 500 m. tal como veremos más tarde. optimización y análisis de datos. Por tanto.55 Capítulo 4 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4. Puesto que las técnicas básicas del álgebra matricial son requeridas en este capítulo. consume una fracción de tiempo de cálculo significante en un equipo de cómputo. análisis estructural. 1 7 1 2 0 5 A 1 1 2 6 2 1 4 8 7 4 3 1 3 1 9 4 1 1 . como un arreglo rectangular de números. 4. en este contexto.2. análisis de trabajo neto. se empieza con una discusión de la terminología y operaciones matriciales. incluyendo la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales. Los sistemas consisten de un gran número de ecuaciones simultáneas y se deberá seleccionar el mejor método para cualquier problema dado. permite la aplicación a una gran variedad de problemas. La solución de tales sistemas. 4.2 Conceptos y operaciones básicas con matrices.Introducción Una matriz es definida.1 Introducción La solución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales. caracterizada por el número de renglones y el número de columnas.1. tal como. c22. Todas las exposiciones son aplicables a matrices cuadradas de cualquier tamaño. a23 = 5. tal como F 1 3 5 2 son llamados vectores renglón. 2 7 B 3 5 8 son referidas como vectores columnas. c11 c12 c c C 21 22 c 31 c 32 c 41 c 42 c13 c14 c 23 c 24 c 33 c 34 c 43 c 44 La diagonal consistente de c11.56 es una matriz de 4 renglones y 6 columnas. c11 c12 c 22 C c13 c14 c 23 c 24 c 33 c 34 c 44 . Nuestro interés primario será con matrices cuadradas y matrices de dimensión columna 1 o con dimensión en renglón 1. mientras que las matrices con dimensión 1 en el renglón. Cualquier elemento dado de la matriz A será denotado por aij. Las matrices cuadradas pueden tener ciertas configuraciones especiales que son de interés en ingeniería. Considere. Matrices con dimensión 1 en columna. Por tanto. Una matriz triangular superior es aquella en la cual todos los elementos debajo de la diagonal son cero. Así. Podríamos ilustrar con una matriz de 4x4. donde i es la localización en el renglón y j su localización en columna. La matriz es llamada simétrica sí cij = cji. c33 y c44 es llamada la diagonal principal de la matriz. como: c11 c c C 21 22 c 31 c 32 c 41 c 42 c 33 c 43 c 44 Una matriz diagonal es aquella en la que todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal. en este caso con tres bandas. el siguiente arreglo matricial es una matriz tridiagonal también llamada matriz bandeada. por ejemplo. es c11 c 21 c 32 c c 22 c 32 C T 12 c13 c 23 c 33 c14 c 24 c 34 c 41 c 42 c 43 c 44 . Por consiguiente. Así. Note que cuando los bloques de elementos son cero hay simplemente blancos en la representación de la matriz.57 es triangular superior. c11 c12 c c C 21 22 c 32 c 34 c 44 c 23 c 33 c 43 Una matriz transpuesta es aquella que convierte sus renglones en columnas y sus columnas en renglones. Una matriz bandeada tiene todos los elementos cero excepto para una banda centrada en la diagonal principal. la transpuesta de la matriz de 4x4 que hemos presentado para la discusión. Una matriz triangular inferior es aquella en la cual todos los elementos arriba de la diagonal son cero. Una matriz diagonal particularmente importante es 1 0 I 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 la cual es llamada matriz unitaria o matriz identidad. es decir.B (4-2) Obteniendo la matriz C restando los elementos correspondientes de cada matriz.1) De manera similar. (4-1.2.. 4. 2.. La adición matricial es representada como S= A + B (4-1) se realiza sumando los elementos correspondientes de cada matriz. la resta de dos matrices.2. así por ejemplo. c11 c12 c c C 21 22 c31 c32 c 41 c 42 c13 c 23 c33 c 43 c14 c 24 c34 c 44 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 en este caso se agregó la matriz identidad. 3. Operaciones con matrices Podemos ahora definir algunas de las operaciones básicas con matrices. . m y j = 1. las dos siguientes matrices son aumentadas. .. por ejemplo.. n. .58 Una matriz aumentada resulta cuando a la matriz original se le agrega una o más columnas. Sij= aij + bij Para i = 1.. c11 c12 c c C 21 22 c31 c32 c 41 c 42 c13 c 23 c33 c 43 c14 c 24 c34 c 44 b1 b2 b3 b4 se agregó el vector de términos constantes del sistema original de ecuaciones lineales. 2. 3. A y B se representa C = A .. . G=kC Si la matriz C está dada por c11 c12 c c C 21 22 c 31 c 32 c 41 c 42 c13 c14 c 23 c 24 c 33 c 34 c 43 c 44 entonces. m y j = 1.59 cij= aij – bij Para i = 1. de otra manera no puede efectuarse la multiplicación matricial.. La multiplicación de una matriz C por un escalar k se obtiene multiplicando cada elemento de C por el escalar k. 2. 3. (4-2..1) De acuerdo a estas definiciones. . el producto de dos matrices se simboliza como C=AB y se define cij aik bkj k 1 n (4-4) donde n es la dimensión de las columnas de A y de los renglones de B. el número de columnas de la primer matriz.. se concluye que la suma y resta de matrices se puede llevar a cabo. . si y solo si. 3. n. así que. las matrices a sumar o restar tienen la misma dimensión.. . k[C] se escribe como c11 c12 c c C k 21 22 c 31 c 32 c 41 c 42 c13 c14 c 23 c 24 c 33 c 34 c 43 c 44 Sin embargo. 2. En otras palabras. debe ser igual al número de renglones de la segunda matriz.. son esencialmente sencillos de programar.3. pero en este libro se dan aquellos que facilitan el trabajo del ingeniero y que permiten el uso de equipo electrónico moderno. si una matriz C es cuadrada. ya que.1 Eliminación completa de Gauss – Jordan. debido a los avances tecnológicos en el ramo de las máquinas electrónicas. por lo que. en la actualidad esa ya no es una dificultad. Los métodos numéricos que se presentan. en las aplicaciones de ingeniería se resolverán sistemas grandes de ecuaciones lineales. la matriz de coeficientes A es de orden nxn. Sin embargo. el número de renglones es igual al número de columnas.3 Métodos de solución Los métodos analíticos de solución. es resuelto por determinantes. . dificultoso. 4. hay otra matriz C-1. pero para sistemas más grandes. Sistemas cuadrados Para estos sistemas.60 Aunque la multiplicación matricial es posible. un método numérico asociado a un equipo de cómputo “grande”. Aunque en el presente capítulo sólo se resuelven. en poquísimo tiempo de cálculo. Sin embargo. como se muestra abajo. la limitante podría ser la capacidad del equipo de cómputo disponible. haciendo cálculos manuales. permite resolver sistemas de ecuaciones de grandes dimensiones. Actualmente hay varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. si un sistema de ecuaciones simultáneas de 8x8 ó menor. este método resulta de cierta manera. CC-1 = C-1C = I (4-5) 4. llamada inversa de C tal que su producto es la matriz identidad. en donde. la división matricial aun no está definida. su metodología podría parecer difícil. a manera de ilustración algunos ejemplos. Sin embargo. Por ejemplo. no siempre son recomendables para la solución de sistemas grandes de ecuaciones algebraicas lineales. aunque realmente no lo sea. en términos de (4-4). será un pasatiempo divertido para los estudiosos. la solución se obtiene con cierta facilidad. es decir. Dividir los elementos del renglón con pivote por el coeficiente seleccionado. en tercer lugar el elemento a33 y. en segundo lugar el a22. . consiste de los siguientes pasos: Paso 1. el Pivote. . quedando: A B (4-8) Paso 2. con lo cual queda transformado. Escribir el sistema (4-7). am 3 . se representa como. Paso 4. las siguientes dos simbolizaciones son equivalentes: Amxn X mx1 Bmx1 ó simplemente. el primer elemento seleccionado será el coeficiente a11. el renglón número 1 entre a11. de esta manera. Seleccionar. a2 n x2 b2 . se transforman con la ecuación. . amn xm bm (4-7) por lo que. de la diagonal principal de A. un sistema de ecuaciones lineales. La aplicación del método de eliminación completa de Gauss & Jordan. como un sistema aumentado.61 En notación matricial. hasta llegar al elemento ann. esto es. . Los demás elementos de la matriz A. AX B . am 2 a13 a23 a33 . que no están en renglón con pivote. Paso 3. . a11 a 21 a31 . la primer vez. así sucesivamente. am1 a12 a22 a32 . a3n x3 b3 . para lo cual se viaja por dicha diagonal de izquierda a derecha. a1n x1 b1 . como está en la diagonal principal. el sistema (4-8) se ha transformado en otro sistema equivalente. hasta que en lugar de la matriz de coeficientes A se tenga la matriz identidad I. su renglón coincide con su columna. . se transforman con una ecuación equivalente a la anterior.1. como: I B sol ( 4-12) donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A y Bsol es la solución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales. o amL es el elemento de A que está en el mismo renglón que bm y en la columna donde está el pivote.62 t aij aij aiL (aLj ) * aLL (4-9) Paso 5. o aLj elemento que está en el mismo renglón que el pivote y en la misma columna que el elemento por transformar. es decir. El diagrama de flujo se puede ver en Fig. tantas veces como elementos tenga la diagonal principal. A B (4-11) Paso 6. * o aLL es el elemento pivote. o aiL corresponde al elemento que está en el mismo renglón que el elemento por transformar y en la misma columna que el pivote. teniendo ahora el último sistema equivalente. D4. que se denotará por. que se escribe como. o bL elemento de B que está en la columna de bm. Se repiten los pasos 2-5. Los elementos que están en B. t bm bm amL (bL ) * aLL (4-10) donde t o aij es el elemento que estará en el renglón “i” y en la columna “j”. En este momento. pero en el renglón pivote. pero transformado. . .. n ¿aij 0? si no El sistema no tiene solución única..63 Inicio Definir: aij y bi i. n t aij aij no aiL (aLj ) aLL bit bi aiL (bi ) aLL i... n Fin no Fig.j =1. .. L=0 Fin t aLj L = L +1 aLj aLL bL aLL si ¿i =L? si ¿aLL0 ? no Cambiar el orden de ecuaciones t bL j 1. .1 Diagrama de flujo del método de eliminación completa de Gauss – Jordan. ... .. n ¿L =n? si xi = bi J=1. ... D4. j 1. en esta ocasión. 6 y 60. 3/8 y 15/4. quedando.000 * a11 16 Elemento a22. 4. los elementos del renglón R2 quedan. 16x1 + 4x2 + 6x3 = 60 2x1 -18x2 + 4x3 = 2 4x1 + 6x2 + 12x3 = 62 Solución. j = 3) t a23 a23 2 a21 (a13 ) 4 (6) = 3. forman el primer renglón. Primero se escribe la matriz aumentada.5000 * 16 a11 Elemento a23 (i = 2. los elementos 16. 16 4 6 60 2 18 4 2 4 6 12 62 De acuerdo al método planteado. También se identificaron los renglones para facilitar la aplicación.00. seleccionando en ella el primer pivote de la diagonal principal.250 * 16 a11 Elemento b2 (m = 2.11) . se transformaron con ecuación (4-10). j = 4).1 El siguiente sistema de 3x3. se dividió por 16. 16/16 = 1. Los demás elementos del arreglo anterior que no están en el renglón R1. 4. es decir.(i = 2. se resuelve por el método de eliminación completa de Gauss – Jordan. siendo en este caso el a11 = 16.64 Prob. por lo que. j =2) t a22 a22 2 a21 (a12 ) 18 (4) 18. t a21 = a21 a21 2 (a11) 2 (16) 0. de ecuación (4. Elemento a21 (i = 2 y j = 1). etc. el renglón uno (R1). el elemento a11 = 16. el pivote es. 1/4. Por ejemplo. 500 0.500 * 16 aLL Para los elementos del R3.750 0.375 3.000 0.000 * a11 16 Elemento a32 (i = 3 y j = 2) t a32 a32 4 a31 (a12 ) 6 (4) 5.000 18.250 5.000 En este nuevo sistema.419 3.000 10.000 * 16 a11 Elemento a33 (i = 3 y j = 3) t a33 a23 4 a31 (a13 ) 12 (6) = 10.000 1. según ecuación (4-11) t bm bm 4 amL (bL ) 62 (60) 47.250 0.65 t bm bm 2 amL (bL ) = 2 (60) 5. obteniendo el primer sistema equivalente.176 0. se hizo: Elemento a31 (i = 3 y j = 1).000 11. t a31 = a31 a31 4 (a11) 4 (16) 0.500 con el que se obtuvo el siguiente sistema equivalente: 1.676 0.000 0.000 0.000 5.000 0. 1.500 * 16 a11 Elemento b3 (m = 3.000 0.500 47.500 3. j = 4).514 . se escoge como segundo pivote al elemento a22 = 18. el cual queda como.378 45.000 * 16 aLL Hasta aquí se ha hecho la transformación del arreglo original ampliado.297 0. 0 10.20 6.00 12. 10 8 10 15 y 601 3 4 7 20 z 504 20 25 40 50 1970 10 15 20 22 970 .80 210.00 0. 0.00 0 1.000 1.25 0 0.00 2.00 10.00 1.50 98. que en la última columna se incluyen los términos independientes: 20 25 40 50 w 1970 10 15 20 22 x 970 . sistema original. es decir. se llegó a. 4.0 0.000 0.2 Por el mismo método.00 1.50 0.000 1.000 4.50 0 4.50 0 0.00 106. finalmente: 1.375).00 1.0 de donde se desprende la solución: x1 = 2. se presentan los resultados finales a que se llegó partiendo del sistema ampliado.00 4.66 Para el último pivote (a33 = 11.000 0.0 15. en su representación matricial. se muestra la solución de un sistema de cuatro ecuaciones simultáneas.00 3.0 .00 .00 2.25 1 2. x2 = 1 y x3 = 4 Prob.000 1. con el objeto que le sirva de práctica.000 0.0 15.000 0.00 0.0 384.40 411. matriz aumentada 10 8 10 15 601 3 4 7 20 504 Seleccionando pivotes a los elementos de la diagonal principal y aplicando la eliminación completa de Gauss – Jordan. se escriben a continuación los sistemas equivalentes obtenidos.00 0 0 2.50 208. 1 1.50 10.00 0. Se deja al estudiante la tarea de verificar esos resultados. Con la finalidad de no repetir la explicación y que el estudiante compruebe los cálculos.000 2.00 12. 67 1 0 0 0 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.92 0.00 1.20 1.00 1.54 0.00 11.26 1 23.80 6.00 0 0 41.10 168.90 0 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 10.0 12.0 18.0 15.0 La solución es: w = 10; x = 12; y = 18 y z = 15 4.3.1 Eliminación completa de Gauss – Jordan. Sistemas de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas. Elementos teóricos Sea el sistema, a11x1 a12 x2 a13x3 ... a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a23x3 ... a2 n xn b2 am1 x1 am 2 x2 am 3 x3 ... amn xn bm (4-13) un sistema no homogéneo, con bm 0 y m n. Si se forma un nuevo sistema de m ecuaciones con n incógnitas, se igualan a cero las restantes ( n – m) incógnitas y se encuentra la solución al nuevo sistema así obtenido, se dirá que es básica, si en ella todos los resultados son diferentes a cero, en caso contrario se dirá que es degenerada. Teorema 4.1 Una condición necesaria y suficiente para que una solución básica no sea degenerada es de que, exista independencia lineal entre el vector de los términos independientes y cualquier grupo de ( m-1 ) vectores columna, de la matriz de los coeficientes. Los grupos de soluciones básicas de estos sistemas, se obtienen con la combinación que resulte de, n n! (n m)!m! m (4-14) 68 Para encontrar cada solución básica dada por (4-14), se recomienda el uso del método de Gauss & Jordan, explicado anteriormente, modificando ecuación ( 4-10 ), para quedar como, t aij aij aiK (aLj ) * aLK (4 –15) * donde a LK es el pivote. En este caso, se inicia seleccionando como pivote, el coeficiente a ij asociado a una variable del grupo de solución y se aplica el proceso del método de Gauss & Jordan, obteniendo un nuevo sistema equivalente, como antes. A continuación se escoge como siguiente pivote, otro coeficiente aij que no esté en el mismo renglón que el anterior, asociado a la siguiente variable, del grupo de solución, para aplicar nuevamente la rutina del método que nos ocupa. Si aún no han sido seleccionados todos los coeficientes aij correspondientes a las variables de una solución básica, se continúa como antes, tomando en cuenta que ningún pivote debe estar en el mismo renglón que otro. Al concluir esto, se ha obtenido una solución básica. Para obtener la siguiente solución básica, se tienen dos caminos: Repetir todo el proceso anterior desde el inicio, como si aún no se hubiera iniciado ó partir del último sistema equivalente, seleccionando adecuadamente el siguiente pivote, de tal forma que permita entrar a la base el grupo de variables que conformarán otra solución básica. Continuando así hasta obtener todas las soluciones dadas por (414). Prob. 4.3. En este ejemplo se resuelve un sistema de 2 ecuaciones y 4 incógnitas, obteniendo las soluciones básicas del sistema. 2x1 + 3x2 + 3x3 + 4x4 = 20 3x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4 = 16 Solución. Puesto que se trata de un sistema de dos ecuaciones (m =2) y cuatro incógnitas (n = 4), el número de soluciones básicas es, de acuerdo a (4-14) es, en este caso: n 4! (4 2)!2! 6 m 69 que pueden sintetizarse como las siguientes combinaciones: x1x2, x1x3, x1x4; así como, x2x3, x2x4; x3x4. Para incidir en la primer solución, primero será escogido, del arreglo inicial, como pivote a11 y luego a22, con lo cual se tendrá la primer solución básica. v.b. 2 3 3 2 3 4 4 20 2 16 Igual que en los casos normales de la aplicación del método de Gauss- Jordan, el primer renglón se dividió por 2 (pivote) y, los elementos del renglón R2 se transformaron con la ecuación ( 4-15 ), con L = 1 y K =1, quedando: x1 1 0 1.5 1.5 2 10 2.5 0.5 4 14 En este sistema equivalente, se seleccionó como pivote al elemento a 22, por lo que x2 entró a la base. Los elementos del renglón R2 se dividieron por el valor numérico del pivote y los elementos del renglón R1 se transformaron con ecuación (4-15). Se hace notar que L = 2 y K =2, llegando a: x1 x 2 1 0 0 1 1.2 0.4 1.6 0.2 1.6 5.6 Puesto que x1 y x2 están en la base, la primer solución básica es: x1 = 1.60 y x2 = 5.60 Para encontrar la segunda solución, que corresponde a la combinación x1x3, se marcó como pivote el coeficiente relacionado con x3, ya que x1 está en la base. La transformación quedo como sigue: x1 x 3 1 0 6 5 0 1 10 32 8 28 Por consiguiente, la segunda solución básica, x1 = -32 y x3 = 28. La tercer solución se obtuvo al seleccionar a24 (=8.00) como pivote, puesto que corresponde a la combinación x1x4 y x1 ya está en la base. Llegando al siguiente sistema equivalente: 70 x1 x 4 1 0 0.25 1.250 0.0 3 0.625 0.125 1.0 3.5 De la misma manera se fueron obteniendo las siguientes soluciones básicas, es decir, se seleccionó adecuadamente el pivote para que entrara a la base la variable de interés, llegando a los siguientes sistemas equivalentes: x2 x 4 x2 x 3 x4 x 3 4.0 2.5 0.167 0.833 0.10 0.80 1 0. 5 0.0 12 3 1.0 4 1 0.0 0. 1.0 0.333 1.333 1.667 5.333 0.60 0.0 1.0 3.2 0.20. 1.0 0.0 2.4 Un resumen final de todas las soluciones básicas obtenidas, para el sistema propuesto es: No.Sol. 1 2 3 4 5 6 x1 1.60 -32.00 3.00 0.00 0.00 0.00 x2 5.60 0.00 0.00 12.00 5.33 0.00 x3 0.00 28.00 0.00 0.00 1.33 2.40 x4 0.00 0.00 3.50 -4.00 0.00 3.20 Prob. 4.4 Encuentre las soluciones básicas del siguiente sistema lineal, de tres ecuaciones con cuatro incógnitas. 2x1 -5x2 + 3x3 + 6x4 = 61 -x1 + 2x2 - 4x3 + 5x4 = 52 3x1 + 7x2 - 4x3 - 10x4 = 50 Solución. En este caso m = 3 y n = 4; por lo que, ecuación (4-14) indica que el presente sistema tiene 4 soluciones básicas que corresponden a las 500 X1 X2 * 1. El pivote está marcado.000 0.000 4.000 0.380 0.000 0.000 1.000 0.000 -29.500 3.000 26.000 0.b.000 0.000 0.000 7.000 -1.500 1. con auxilio de ecuación (4-15).000 0.000 1.000 1.000 x2 -5.000 -165. con letras negritas.601 11. * * * x1 2.500 -8.563 8.000 -16.000 213.000 52.000 0.808 46.000 -37.500 -0.070 0.000 50.000 -2. en cada sistema equivalente.000 0.979 0.000 0.000 bm 61.000 -0. A continuación se obtienen estas soluciones.000 -0. para identificar la variable que entra a la base.125 -0.139 1.025 X1 X2 X4 1.000 5.042 0.390 11.000 1.000 X1 * * 1.000 0.000 0.500 82.000 2351.000 0.000 0.042 32. x1x2x4.630 24.000 3.000 2.563 8.000 26.000 0.000 14.000 0.000 -19.000 1. v.000 x3 3. x1x3x4 y x2x3x4.468 1.000 0.000 3.000 0.000 0.925 92.000 30.331 X1 X3 1.000 -2.000 1.500 14. aplicando el método de Gauss & Jordan. Note usted que se agregó una columna a la izquierda.346 -165.185 -16.000 0.000 -4.500 -2.71 combinaciones: x1x2x3.000 -81.000 0.000 0.000 8.000 0.000 5.000 1.000 -382.000 0.115 .000 -4.038 X1 X3 * 1.000 x4 6.000 -10.500 -41.000 1. así como encabezado de columnas para facilidad de localización de los elementos del arreglo matricial.000 X1 X2 X3 1. con la siguiente modificación: A I (4–16) donde [I] es una matriz identidad del mismo orden que la matriz [A].72 X4 0.462 X2 X3 X4 7.000 0. se multiplica la inversa obtenida por los términos independientes del sistema.175 -14.000 189.3. Al finalizar.2 Método de matriz inversa Este método se aplica única y exclusivamente a los sistemas de ecuaciones lineales cuadrados (m = n).909 -374. Partiendo de un arreglo como el dado por (4-8).000 0.733 -131.400 1.467 Cada solución básica puede deducirse de cada sistema que presenta tres variables en la base.753 0.000 1.346 X2 =-165.000 X3 = -29.000 0.025 4.000 0. es decir: X B A1 * B A (4-18) Aquí X.200 -5.000 0.000 0.000 11.000 1. .000 1. facilita grandemente la obtención de la matriz inversa de [A] que se denota por A-1.000 0. La aplicación del método de Gauss – Jordan a este arreglo. la primer solución básica es: X1 = 24. por ejemplo. Puesto que son seleccionados todos los elementos de la diagonal principal como pivotes. la ecuación ( 4-16) tiene la forma: I A 1 (4–17) Para encontrar la solución al sistema de ecuaciones simultáneas. representa el vector que contiene las incógnitas en columna. El sistema ampliado es.73 B es el vector columna.00000000 1.122x + 1500.00000100 0.0996 0.00000000 0.5000 3.1220 2000.00000000 0.2813 -326.0000 -490196.0000 1500. 6.281.00050000 -0.000. 4.500 y = 1506.00 0. 1.622 2000x + 3y = 2003 Solución.122. 0 00050000 A 0. obtenga la inversa y posteriormente la solución del sistema.00000204 Por tanto. de términos independientes A-1 la matriz inversa de la matriz de coeficientes Prob.0000 1. 1.00066645 0.000 e y = 1. .. Aplicando la transformación de Gauss – Jordan.00050000 1506.00000000 1.00000100 0.00 1. como solución del sistema compuesto por estas dos ecuaciones simultáneas. se llega al siguiente sistema equivalente. se tiene.00000000 Primer pivote: a11 = 6..00000000 Ahora con el pivote a22 = -490196.622 * x 0. la matriz inversa es.5 Para el sistema de ecuaciones simultáneas dado a continuación.00000204 2003. x = 1.000 2 De donde se obtiene que.00000100 0.16334531 0. es decir: x1 0.00 0. en este problema.00 -0. 6.0000 245.00000204 0 00066645 1 La solución del sistema se obtiene aplicando el producto matricial dado por (4-19).0006645 0.69062398 0. 000 0.516 -2.000 0.080 -0.000 0.000 2.074 0.000 1.000 6.000 1.000 0.000 0.714 -8.000 0.084 0.000 0.000 0.000 0.857 -4.000 0.000 0.000 0.500 0.000 0.000 0.750 8.000 0.000 0.000 0.714 -3.188 4.000 4.500 -5.000 0.219 0.313 1.000 1.291 0.000 0.000 0.000 1.214 0.125 -0.000 1.156 0. presentando sucesivamente los sistemas equivalentes.000 -0.000 0.055 0.078 1.000 0.571 4.135 0.375 -1.000 0.000 0.875 0.143 1.000 4.Jordan.000 0.031 -15.000 1.143 6.000 12.000 1.000 Con pivote en a11 y aplicando el proceso de Gauss.078 -6.000 6.721 0.000 -4.000 1.188 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.250 -0.000 0.000 0.000 10.048 -0.000 0.000 0.500 -1.000 0.429 -44.000 0.500 -2. se fueron generando.500 3.000 2.000 -9.000 0.250 15.000 2.000 0.719 -5.031 1.000 0.000 4.714 0.x2 + 6 x3 + 14x4 + 2x5 = 28 7x1 + 6x2 + x3 + 9x4 + 10x5 = 38 La matriz ampliada.375 8.000 1.188 2.000 2.017 -0.000 0.002 -0.014 0.313 0.066 -0.000 0.000 1.000 0.000 2.000 0.000 1.000 0.034 0.875 0.875 -1.000 9.000 0.000 -0.250 1.000 0.000 1.74 Prob.000 6.000 0.000 0.643 4.071 0.613 -0.000 1.000 0.000 0.329 0.594 0.000 1.357 1.000 0.000 3.000 0.141 0.406 0.000 0.656 -0.000 0.571 0.000 0.000 6.000 1. se obtuvo el primer sistema equivalente: 1.000 0.000 0.000 0.000 -6.500 -0. a33.000 1. Sea el sistema: 8x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 + 4x5 = 10 2x1 .847 .000 0.000 7.929 0.000 0.500 -2.063 0.000 0.000 0.000 0.000 17.125 -0. del sistema anterior es.719 -1.000 -7.143 -0.571 10.000 1.500 0.169 1. 4.500 3.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.058 0.245 -0.938 1.000 0.714 0.625 -1.6 Como problema alterno se resuelve un sistema de 5x5.000 0.500 19.000 -1.000 -1.000 Tomando los pivotes subsecuentes en a22.090 0.094 -0.875 -0.786 32.000 4.000 1.000 0.422 0.x2 + 6x3 + 17x4 + x5 = 21 4x1 + 3x2 – 7x3 + x4 + 6x5 = 10 12x1 .000 0.000 0.000 0.000 0.000 7.286 0. 8. 1.429 0.000 0.000 0.000 -29.000 0.000 0.000 0.000 0.875 2.000 0.563 1.000 1.000 24.000 0.563 3.172 0.000 4.000 -4. a44 y a55.000 1.036 0. los sistemas equivalentes siguientes.500 -1.000 3.000 -0.500 0.000 1.000 0.971 -1.000 -25.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 -16.000 6.000 0.000 0.000 14.000 0.000 1.000 0.000 0.125 0. 037 0. es el siguiente: .000 0.061 0. se repite el proceso.107 -0.037 -0. porque en general.3. si lo cumple.031 0.045 0.037 0.3 Método de Jacobi Este método iterativo. es: A 1 0.000 0.000 0.000 0. parte de una solución supuesta para obtener la siguiente solución.027 0.003 28 0.143 0.000 0.045 0.071 0.071 0.000 0.086 0. la solución es: x1 0.026 0.005 0.031 -0.086 0.256 0.000 0.107 0.050 -0.000 0.560 0. en caso contrario.000 0.000 0.000 1.6503 x5 0.065 0.000 0.107 0. del sistema.026 -0.045 0.2221 x4 0.003 0.027 0.086 -0.069 0.029 0.065 0.143 0.051 0.048 0.240 0.071 0.560 0.000 0. A esta solución aproximada se le aplica el criterio de convergencia relativa y.086 0.000 1.256 0.029 0.069 0.031 0.026 0.297 0.399 0.027 0.297 0.000 0.005 0.051 0. en la solución de sistemas de ecuaciones lineales cuadrados es muy similar al método de aproximaciones sucesivas para resolver ecuaciones no lineales.005 10 0.000 -0.003 1.000 1.000 0.029 -0.000 0.048 0.000 0. la solución obtenida es aceptada.048 0.256 21 2 0. más bien se parte de esta última solución. por este método.060 38 2.065 0.050 0.240 0.061 0.060 Por lo que la inversa de A.086 0.297 -0.000 -0.8565 x3 0. seguramente más cercana a la solución real.000 0.061 * 10 1.060 Nuevamente de ecuación (4-19).0990 4.069 -0.000 0.399 0.6852 x 0.560 -0.143 0.000 0.75 1.050 0.000 0.086 0. La estrategia que permite resolver un sistema de ecuaciones lineales.051 -0. pero ya no se supone una solución.240 0.399 0. a2 n xn a22 x k 1 3 k k b3 a31x1k a32 x2 . Se sustituye este vector en el sistema recursivo. proponiendo una solución inicial que se denota por X0 j 3. etc. x3 de ecuación número 3.76 1. n 1 xn 1 ann 2... Se despeja x1 de la ecuación número 1.. empezando por calcular x 1.. X1 j 4. luego x3 y así. a2 n xn a33 (4-19) k xn 1 ---------------------k k bn an1 x1k an 2 x2 . cuyo vector se simboliza por.. x2 de la ecuación número 2. X k X k 1 j j X k 1 j ? (4-20) Para la primera vez queda: . Después se calcula x2. un sistema recursivo como el siguiente: k 1 1 k k k b1 a12 x2 a13x3 . del sistema a resolver. an... Este sistema se le denomina sistema recursivo. sucesivamente hasta calcular todas las incógnitas. Se empieza el proceso.. Se checa la convergencia con. Si el sistema dado es de n ecuaciones. a1n xn a11 x k x2 1 k k b2 a21x1k a23x3 . entonces se tiene. deteniendo el proceso hasta que se cumpla la condición de convergencia. de cumplirse. este vector X 2 es la solución j y se detiene el proceso.125 8 . de no ser así. j entre estos dos últimos vectores. se repite la secuencia de pasos 3 y 4. usando el método de Jacobi.7 Como problema alterno se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales. 4. nuevamente la convergencia. En este caso el sistema recursivo es: x1k 1 k k 30 2 x2 3x3 8 x k 1 2 k 1 x1k 2 x3 9 k x3 1 k 31 2 x1k 3x2 6 Usando como solución inicial X 0 = 1. se obtuvieron los siguientes j resultados: 1 x1 30 2(1) 3(1) 3. en caso contrario se repiten los pasos 3 y 4. Prob. 8x1 + 2x2 + 3x3 = 30 x1 – 9x2 + 2x3 =1 2x1 + 3x2 +6x3 = 31 Solución. 1. esto es. hasta que dos vectores consecutivos se repitan. para el cual se revisa.77 X1 X 0 j j X1 j ? 5. entrando con los valores del vector X 1 . Si esta condición es cumplida se detiene el proceso. 1. con lo que se j obtiene el vector X 2 . Prob.125 2(4. la segunda iteración.78 x1 2 1 1 2(1) 0.333) 1.x2 + 3x3 = 8 x1 + 7x2 .222. aplicando el método de Jacobi. x2 = 1.8 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.222) 4. se llegó a la siguiente solución: x1 = 2.0. X 1 = 3. 12x1 . 4.333.125) 3(0.3x3 =-51 4x1 .070 8 1 3. aceptando un error =1x10-3.4x2 + 9x3 = 61 Su sistema recurrente es: x1k 1 k k 8 x2 3x3 12 k x2 1 k 51 x1k 3x3 7 .199 9 2 x2 2 x3 31 2(3. 0.222 9 1 x3 31 2(1) 3(1) 4.0.014 6 Repitiendo el mismo proceso. es: j x12 30 2(0. 4.125.333) 2.222) 3(4.0 y x3 = 4.333 6 Con estos valores. La rutina de cálculo.000 x2 -7. a1n xn a11 .996 -5. es preferible por ser más dinámico.778 3.000 -1. es decir.848 -5. en la aplicación de este método.662 -4.491 5. como sea requerido.988 -1. cuyo cambio sólo consiste en la actualización del valor de la variable calculada.005 -4. a la solución: x1 = -1. se obtuvieron los siguientes resultados: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X1 0.001 -5.053 -0.004 4.997 -1.192 -4.988 5.001 -0.4 Método de Gauss – Seidel Es el método iterativo más usado y permite manejar un acercamiento a la solución.957 5..517 -1. Al igual que en el método de Jacobi se obtiene el sistema recursivo.999 -5. ya que al calcular cada variable usa su valor actual en el cálculo de las demás incógnitas. x2 = -5 y x3 = 5 4. tanto. x1k 1 k k k b1 a12 x2 a13x3 . en este caso.016 -4.149 4.860 -1.987 -5.000 -5.043 4.959 -1.956 -5.013 4. sin embargo. como se verá en las aplicaciones.996 5. Este método es muy similar al método de Jacobi.015 -0. consiste de los siguientes pasos: 1..667 -1.184 -0.999 5.79 x k 1 3 k 61 4 x1k 4 x2 9 Partiendo con el vector inicial 8/12.001 4.000 x3 6.000 Llegando.635 -0.515 4.056 -4.3.243 5.004 -0. puede prefijarse un error admisible ( ).286 -4. 61/9.476 -5.999 -1.853 5. -51/7. sucesivamente hasta obtener el vector total actualizado que será simbolizado como. se calcula x2.. n 1 xn 1 x ann Si al formular el sistema recursivo. con lo que se j . empezando por calcular x1. dejando actualizado también la variable x2. a2 n xn a22 k x3 1 k k b3 a31x1k 1 a32 x2 1 ... a2 n xn a33 (4-21) k x4 1 k k b4 a 41 x1k 1 a 42 x2 1 . Con este valor actualizado de x1 y los demás valores propuestos en paso 2. para calcular x3 y así. Se propone una solución inicial. denotada por X 0 j 1.. en caso contrario se repiten los pasos 3 y 4.. X1 j 2. 3. Se checa la convergencia con ecuación (4-20). Se sustituye este vector en el sistema recursivo.80 x k 1 2 k k b2 a21x1k 1 a23x3 . se recomienda intercambiar las ecuaciones de tal forma de eliminar esta dificultad y.. a 4 n xn a 44 k 1 n ------------------------k k 1 bn an1 x1k 1 an 2 x2 1 .. de igual forma que se hizo en el método de Jacobi. entrando con los valores del vector X 1 . an. entonces. que será usado junto con x1 y los demás valores propuestos ( aún no actualizados ). formar el sistema recurrente. Si esta condición es cumplida se detiene el proceso.. algún elemento de la diagonal principal es cero. 2. 3(1) 2. se repite la secuencia de pasos 3 y 4.1.81 obtiene el vector X 2 revisándose nuevamente la convergencia.1x2 0.85 0. 3x1 – 0.Seidel. deteniendo el proceso hasta que se cumpla la condición de convergencia. de cumplirse.1x1k 1 0.2 x2 1 10 Si se propone como vector solución inicial es X 0 =1.3 0.7526 7 .1x1 + 7x2 – 0. de no ser así.05 2. (1) Ec. entre estos j dos últimos vectores.85 0. este vector X 2 es la solución y se j detiene el proceso.1x2 – 0. esto es.3x3 7 x k 1 3 k 71. (3) Solución.4 Ec.0.3x1 – 0.3x1k 1 0. el siguiente sistema de ecuaciones lineales. hasta que dos vectores consecutivos se repitan.6833 3 3 0 x2 1 19.2 x3 3 k x2 1 k 19. de la j sustitución en el sistema recursivo se llega a ( en la primer iteración ): x101 7. por el método de Gauss .9 Resuélvase. (2) Ec.3x3 =-19.1(2. entonces. El sistema recursivo queda: x1k 1 k k 7.2x2 + 10x3 =71. Prob.85 0.4 0.3 0. 4.3 0.6833) 0.2(1) 8.1(0) 0.2x3 =7. 7. la solución es exacta. se llega a los siguientes valores: x1 1 2.5 x3 1 7.4 0.4997) 7. debido a que el último vector y antepenúltimo.9919 3 3 k x2 1 19.9918759 3.999999998 3 x2 0 -2.7526) 0.70 w2 6 x 2 y z 7.4999897 -2.6833333 2.2(7.5000000 -2.4997 7 71. x2 = -2. 4. obteniendo (en la segunda iteración): x1k 1 7.2(2.6833) 0. Prob. por el método de Gauss.3(2.0044476 7.3(7.0000269 3.29 2 w x y 2 11z 34.3 0.9756 2.1(2.9999994 7. por lo que.1(2.7526.7 .3 w x 4 y z 2 17.7526190 -2.9919.10 En seguida se resuelve.82 0 x3 1 71.-2.0000003 2. por consiguiente.3(2.0002 10 k x3 1 Ahora el nuevo vector es: X 2 =2. Procediendo j reiteradamente.2(2.9919) 0. el cual es diferente al j vector inicial.0044.0044) 8.0044 10 Hemos llegado al vector X 1 =2. 7.5 y x3 = 7.4997.0000000 7 7 Se concluye que la solución es x1 = 3.0044) 2.9919) 0.4 0.7526) 7.85 0.0002499 6.-2.4996933 -2. repetimos el mismo proceso tomando estos valores como iniciales.6833. 5w x 2 y z 8.5 -2. se repiten.0002.Seidel el siguiente grupo de ecuaciones simultáneas. considerada exacta en los tres decimales. Se trata de un sistema de ecuaciones no lineales.7 2(0.217.758 4 34.83 Solución.614.758) 2 2. Como los valores en la iteración 22 se repiten con los de la 21. 3.910 11 x k 1 y k 1 z k 1 Repitiendo el proceso.7 ( x 2 ) k y k z k 5 7.7 (1.301 6 17.052) (0. 4. x = -0.155.301) (3. se llegó a los resultados que se muestran en la tabla 1E4.29 wk 1 x k 1 ( z 2 ) k 1 4 x k 1 y k 1 z k 1 34. se llegó j a los siguientes resultados: Primer iteración: wk 1 8.243 y z = 2.323) 3.155 0.052) 2 2(4.3 ( w2 ) k 1 2 y k z k 6 17.323. se detiene el proceso y la solución es: w = 0. puede aplicarse el método de Gauss.217) 2 4.10.7 2wk 1 ( x) k 1 ( y 2 ) k 1 11 Proponiendo como vector inicial X 0 = 1.740. .Seidel debido a que este sistema es cuadrado y en la diagonal principal se tienen variables lineales. sin embargo.850: y = 2.052 5 7.155 0.663.052) (0.3 (0.29 (0. para otras iteraciones.301) (1. El sistema recursivo es: k 1 w 8.155) 2 1. -1.323 3. En este caso el sistema recursivo es: .850 y 4.210 2.242 2.078 2.888 -0.197 2.84 Tabla 1E4.610 0.664 2.663 2.857 -0.612 0.860 -0.237 2.592 0.664 2.851 -0.614 0.576 0.864 -0. usando el método de GaussSeidel.758 1.614 0.219 2.705 2.613 0.614 0.242 2.679 2.685 2. aplicadas al siguiente grupo de ecuaciones.870 -0.999 2.613 0.238 2.878 -0.663 Prob.923 -0.851 -0.722 2.231 2.023 -0.788 0.217 -0.669 2.614 0.614 0.614 0.850 -0.613 0.611 0.234 2.851 -0.226 2.243 2.903 -0.852 -0.608 0.121 2.665 2.614 0.052 0.855 -0.241 2.605 0.674 2.853 -0.810 2.957 -0.850 -0.663 2.601 0.11 Obtener las primeras siete iteraciones.663 2.179 2.744 2.240 2.910 2. 4.155 2.854 -0.614 0.667 2.301 -1. aceptando un error relativo de er =1x10-3.323 1.663 2.242 2.773 2.797 1.694 2.74 -0.012 -1.243 z 3.671 2.614 x -1.155 2.10 ITRE (k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 w 1. 8x1 + 2x2 + 3x3 = 30 x1 – 9x2 + 2x3 =1 2x1 + 3x2 +6x3 = 31 Solución.666 2. 680 1x103 k 1 Xj 3.8959 .4583 2 9 0 x2 1 0 x3 1 31 2(3. para la primer iteración.4583 X k 1 X k 3.4583) 1 x3 3.1250) 3(0. 1.1250 1 j j .8959 1 j j .1250) 2(1) x1 0.8959 6 La prueba de convergencia. para x1 queda 0. indica que el error relativo es: X k 1 X k 3.85 x k 1 1 k k 30 2 x2 3x3 8 k x 2 1 k 1 x1k 1 2 x3 9 k x3 1 k 31 2 x1k 1 3x2 1 6 Usando como solución inicial X 0 = 1.7433 1x103 k 1 Xj 3.1820 1x103 k 1 Xj 0.4583 1 j j . 1. se llegó a los siguientes j resultados. para x2 queda 1.1250 X k 1 X k 0. x101 30 2(1) 3(1) 1 x1 3. para x3 queda 0.1250 8 1 (3. mientras que.0000 X3 1 3.0000 0.0064 0.0034 2.0000 x2 1 0.1745 2.8958 3.0002 0.1818 0. para su uso en una computadora digital porque la lógica requerida es extensa.3.0001 2.2) y. se modifica el valor así obtenido antes de detener el proceso.4583 0.0220 2. Sin embargo. fue posible combinarse con el método de Gauss. De donde se desprende que la solución exacta es: x1 = 2.1250 2.0003 0.0000 Er (x3) 0.0002 0.9899 0.6800 0. D4.0000 Er (x1) 0. El efecto de este factor puede ser visto más fácilmente si ecuación (4-22) se escribe como: xi( k 1) xi( k 1)* (1 ) xi( k ) (4-23) .4. al cambiar algunos de los conceptos originales por otros más simples. x2 = 1 y x3 = 4 Tabla E4.9437 3.11.Seidel.11 Resumen de resultados k 0 1 2 3 4 5 6 7 x1 1 3.0000 0.9998 1.5399 0.0000 4.9989 3.9999 4.0003 0.9962 0.9977 3.86 Las siguientes iteraciones condujeron a los resultados que se muestran en la tabla 1E4.7433 0. en esas condiciones. es un número positivo que varía entre 0 y 2 y es llamado factor de relajación. La ecuación fundamental para la relajación es: xi( k 1) xi( k ) xik 1* xik (4-22) En esta ecuación la cantidad xi( k 1)* es el valor de la incógnita obtenida en la iteración actual del método de Gauss.0000 1.Seidel obteniendo el conocido método de relajaciones.4371 0.0121 0.0754 0. por la iteración de Gauss. El método consiste básicamente en el cálculo del valor de cada incógnita. entonces.9999 0. para resolver iterativamente grandes sistemas de ecuaciones lineales.0000 Er (x2) 1.0093 0.0015 0.0135 0.1 Método de Gauss Seidel con relajaciones Originalmente las relajaciones se desarrollaron como una técnica de cálculo manual muy sofisticada.0004 2.0099 0. La aproximación no es conveniente. el cual se explica brevemente a continuación.0000 4.Seidel (sistematizado en el diagrama de flujo dado en Fig. 87 INTRODUCIR aij. j = 1. i. bi. . n. n m0 i 1 TEMP bi j1 INICIO ¿ Es i = j? n TEMP TEMP –xi*aij s n jj +1 ¿ Es j = n? s TEMP TEMP/aij n TEMP-xi ? s m m +1 xi xi + (TEMP –xi ) ii+1 ¿ es i = n? s ¿ es m = 0? s FIN Fig. .2 Diagrama de flujo del método de Gauss – Seidel con relajaciones . . . D4.. Xi. 12 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones. de sistemas cuadrados de sistemas no lineales. aceptando un error =1x10-3 y un factor de relajación l= 0. para este sistema. si 1 < 2. como se verá en las aplicaciones.Seidel. el proceso diverge.Seidel. los métodos aquí presentados y en la literatura técnica consultada. = 1. En muchos de los casos conviene proponer factores de relajación comprendidos en el rango de 0 a 1. el valor actual obtenido por Gauss – Seidel es ponderado por el valor anterior. 4. sin embargo. por lo que no es recomendable su selección. es otro factor que influye en la convergencia del método. el uso del mismo. el propósito primario es la solución de sistemas de ecuaciones lineales. siempre servirá para acortar el camino de la solución de un sistema de ecuaciones lineales y. esto no necesariamente garantiza una rápida convergencia del método. como: x k 1 11 ( y 2 ) k z k 4 18 x k 1 ( z 2 ) k 4 y k 1 z k 1 15 ( x 2 ) k 1 y k 1 4 . que tienen muchas aplicaciones en el área de ingeniería. Prob. el rango es de sobre-relajación y el valor actual es esencialmente extrapolado más allá del valor dado por Gauss. aplicando el método de Gauss-Seidel con relajaciones.88 Si el factor de relajación. Se tiene probado que para > 2. el valor de la incógnita calculado por Gauss Seidel no se modifica. Este rango se conoce como de baja relajación¸ sin embargo. algunos casos.64 4x + y2 + z = 11 x + 4y + z2 = 18 x2 + y + 4z = 15 Solución. Con todas las dificultades que pueda representar la selección del factor de relajación. Para 0 < < 1. ya que. . entonces. El sistema recursivo (paso 1) queda. aunque éste no haya sido el objetivo de esta sección. el vector inicial con que se empiece a desarrollar el método de Gauss. ya que. 424 z1 15 (1.203 3.500 1.64)(4.25)+(1-0. Los resultados a que se llegó son: K 0 1 2 3 4 X 2.64)(3.847 4 De la ecuación relajante: z1 = 0.750.172 3.732 Yr 2.488 0.09) 2 2.5) = 2.196 3.75)2 y 1.64)(2.809 Z 3.005 1. x0 = 11/4= 2.257 4 1 De la ecuación relajante: y1 =0.847 3. para Gauss-Seidel.257)+(1-0. se tiene: x1 =0.789 1. tomando un factor l = 0.476 0.813 Y 4. se tienen los siguientes valores.090 -0.500 y z0 = 15/4=3.158 .172 Con estos valores se repite el proceso antes descrito.080 0.09 Ahora ya se puede calcular y1 de la ecuación recursiva: 18 (1.827 1. Paso 3. queda: 11 (18 / 4) 2 (15 / 4) x 3.207 3.003 Xr -1.250 0.09) (3.424 2.424 2.250 4 1 Para la ecuación relajante xi( k 1) xi( k 1)* (1 ) xi( k ) .64(2.209 3.75) = 3.64(-3. La sustitución.75) = -1.257 2.750 -3.64(1.89 Paso 2.156 1. y0 = 18/4= 4.750 2.847)+(1-0. Proponiendo como solución inicial.132 Zr 3.946 1.64.750. 999 1.971 2.997 2.007 1.988 1.000 3.996 2.017 0.058 2.961 0.988 1.007 1.000 2.949 2.003 2.979 2.143 1.996 1.997 2.041 0.937 2.010 3.174 1.837 1.000 3.000 2.001 3.008 3.998 0.988 3.001 1.066 2.002 2.999 3.941 2.000 3.010 1.980 0.051 2.001 3.010 3.893 1.086 3.997 0.000 3.001 1.000 1.000 3.014 3.000 1.000 1.985 1.003 1.991 1.970 2.997 2.968 2.999 0.938 2.974 0.999 2.000 1.051 2.052 2.000 3.129 1.002 2.997 2.036 2.985 0.013 3.001 2.007 1.998 0.005 3.006 1.001 2.000 2.000 2.991 1.813 1.113 1.997 2.045 2.000 2.004 2.003 2.015 2.998 0.009 1. .772 1.000 3.962 0.953 2.999 2.159 1.001 3.027 2.001 0.000 1.751 1.955 0.000 1.990 1.000 3.000 1.000 3.001 2.999 3.998 0.016 2.999 1.000 3.963 0.951 0.000 3.000 0.993 1.989 1.005 1.001 1.000 2.133 1.009 3.003 2.000 De aquí se concluye que la solución es: x = y = 1/2z =1.028 2.998 2.956 2.017 2.000 1.977 0.90 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1.024 1.073 1.998 0.998 3.008 1.000 1.003 2.000 3.003 2.998 2.999 1.000 3.002 3.000 1.194 1.000 1.999 1.999 2.999 1.001 2.000 3.000 1.000 3.000 1.001 3.012 3.011 1.986 1.976 2.999 2. como se prefiera) y el factor de relación.Seidel ó por puntos de relajación.4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales.1 Escribir un programa de computadora para resolver un grupo de ecuaciones lineales simultáneas por el método de Eliminación completa de Gauss .1: 4 2 3 8 x1 47 3 5 6 1 1 9 15 1 9 2 x 2 17 2 1 7 5 1 6 11 x 3 24 3 2 7 1 2 x 4 8 1 1 4 3 1 7 2 1 1 x 5 13 9 8 11 1 4 1 x 6 10 2 7 2 1 2 7 1 9 x 7 34 4. Compare el número de iteraciones para obtener la solución.3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando eliminación completa de Gauss . así también por el método de Jacobi. El programa debe ser capaz de resolver sistemas de ecuaciones de cualquier tamaño.Jordan. 3 2 7 x1 15 2 4 3 x 12 2 1 9 4 x 3 27 4. el criterio de convergencia (el cual puede ser absoluto o relativo. pero no mayor de 20x20. 4. pero no mayor de 20x20. . 4. El programa debe ser capaz de resolver sistemas de ecuaciones de cualquier tamaño.91 Problemas propuestos 4. Suponer que la maximización del pivote no es requerida. usando el programa de computadora escrito en el problema 4. si converge. La entrada debe incluir la solución inicial.Jordan.5 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método iterativo de Gauss & Seidel. para las variables no conocidas.2 Escribir un programa de computadora para resolver un sistema de ecuaciones lineales simultáneas por el método iterativo de Gauss . 8x4 = 18 e) 7x1 . con los factores de 1.2x2 + x3 .92 a) 7 1 2 x 47 1 4 1 y 19 3 15 20 z 87 b) 1 10 3 1 9 2 1 2 2 4 w 2 4 12 x 12 3 4 y 21 7 3 z 37 4. a) x1 + 3x2 –x3 + x4 =4 2x1 –6x2 + 6x3 –x4 = -6 b) 3x1 – 2x2 + x3 .3. inconsistencia o redundancia.2x4 = 10 x1 + x2 .7 Resolver el problema 4. el método iterativo de Gauss & Seidel o el método iterativo con relajaciones? 4. indicando si existe degeneración. el número de iteraciones requeridas y diga ¿cuál es mejor.2x2 + 7x3 . 1. mediante el programa escrito en 4.4x4 =15 3x1 + 3x2 -4x3 + 2x4 = -18 16x1 + 2x2 -6x3 + 2x4 = 16 .4 usando relajación.6 y 1.2x3 + 3x4 = 16 d) 5x1 .6 Resolver el sistema tridimensional dado.x4 =21 2x1 + x2 . en cada caso. Compare.4x2 + 2x3 . usando la iteración de Gauss & Seidel.3x3 –x4 = 20 14x1 .8.2 0 0 0 0 0 0 0 0 x1 27 4 1 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 x 2 15 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 x 3 15 0 1 4 1 0 0 0 0 0 x 4 15 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 x 5 15 0 0 0 1 4 1 0 0 0 x 6 15 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 x 7 15 0 0 0 0 0 1 4 1 0 x8 15 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 x 9 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 x10 15 4.8 En los siguientes problemas obtenga las soluciones básicas. a lo largo del eje horizontal. Estos puntos. la gráfica de los puntos dados describan aproximadamente una línea recta. sin embargo. La interpolación puede ser lineal ó polinomial.1. Figura 5. es decir. en forma tabular. En este capítulo se discutirán los métodos y técnicas para estimar el valor de la función f(x) entre puntos tabulados. la primera de ellas. se aplica para dos puntos consecutivos siempre y cuando. extendidos a lo largo de la variable independiente.1 puntos discretos Valores de f(x) Variable independiente X . como puntos discretos. conducen a gráficas como la mostrada en figura 5. la interpolación polinomial es aplicada para los puntos cuya gráfica no describe una recta. se interpolarán valores de la función f(x) no conocidos.1 Introducción Las observaciones y los experimentos científicos se registran.93 Capítulo 5 INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS 5. de igual manera ocurre con los resultados de cálculos numéricos para una función. Los valores de la función f(x) pueden estar espaciados en forma constante o no. a partir de un grupo de datos obtenidos de una investigación o experimento. con f(xi+1) = -1. Para aplicar ecuación (5-1). entre los cuales está el punto no conocido. como se muestra en figura 5. Fig.89 -7 Solución. obtenga el valor de f(x) x = 2. ya que. yi+1) se unen con una recta.98 3. 5. Ejempo 5. de coordenadas (xi. La gráfica muestra que es correcto aplicar interpolación lineal. con f(xi) = 1 y xi+1 = 3. el valor de f(x) puede obtenerse con ecuación de una recta.2 Representación gráfica de interpolación lineal Con base en la figura anterior y de acuerdo con la geometría elemental.2 Interpolación lineal Cuando se aplica esta interpolación. yi) y (xi+1.94 5. entonces: . f(x) = f(xi) + f ( xi 1 ) f ( xi ) x xi xi 1 xi (5-1) donde f(x) es el valor de la función para cualquier valor de x que se encuentre entre xi y xi+1. son dos cualesquiera de la información dada u obtenida. Estos puntos consecutivos.9 x –1 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 7 4.2. los datos se ajustan a una línea recta. se asume que los puntos consecutivos.1 Dados los siguientes datos. se tiene que xi = 2.01 1 -1 -3 -4. Es claro que para la figura 5. una función racional o las series de Fourier.3 Interpolación polinomial La interpolación polinomial se usa cuando al graficar. ya que la mayoría de los demás modelos numéricos se basan en esa forma de interpolación.0 2.0 -8. los modelos de diferenciación numérica se obtienen derivando las interpolaciones polinomiales.0 0 x 1 2 3 4 5 6 7 Figura del problema 5. este tipo de interpolación sería el más apropiado. entre otras posibles formas. Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como datos. la función f(x) describe una curva. Por ejemplo. los modelos de integración numérica se obtienen integrando fórmulas de interpolación polinomial y.0 0.0 6.9) 1 1 1 x 2 0.0 4.0 -6. pero en la mayoría de los casos no es posible una interpolación directa debido a los errores . la base de datos. como ya se dijo antes. ya que.1.95 f 2.9 f xi f ( xi 1 ) f ( xi ) x xi xi 1 xi f (2. las funciones spline. los cuales se muestran comúnmente como una tabla de valores o se toman directamente de una función dada.80 3 2 f(x) 8. La interpolación polinomial es uno de los temas más importantes en métodos numéricos.1 5. Los datos obtenidos mediante una medición pueden interpolarse. los puntos no se pueden ajustar a una recta.0 -4. La interpolación de los datos puede hacerse mediante un polinomio algebraico.0 -2 -1 -2. 1 Interpolación de Lagrange En algunas ocasiones los datos obtenidos no contienen un cambio constante en la variable independiente. Si además. 5. todas las interpolaciones polinomialeas que se ajustan a los mismos datos son matemáticamente idénticas.1).3.3. Como se verá después con más detalle. a la cual corresponde la fórmula de Lagrange. Así pues. un polinomio de orden n que pasa a través de n+1 puntos es único.96 aleatorios implicados en la propia medición. se describe un la segunda sección de este capítulo. Un ejemplo típico es mostrado en la figura 5.1 Información con espacios diferentes I 0 1 2 3 4 xi 2 4 6 7 9 f(xi) 8 12 7 6 7. igualmente espaciados e i puede tomar todos los valores enteros de 0 a n (lo que indica que hay n+1 de esos puntos). 5. Gráfica de puntos con espacios desiguales . para n = 9 (tabla 5. TABLA 5. Considere una serie de puntos de coordenadas [xi.1). el ajuste de una curva a los datos obtenidos de esta forma. f(xi)] donde las xi no están. ya que muchas de las veces no es posible recabar la información de esa manera. en general.3. independientemente de la fórmula de interpolación que se aplique.4 5 11 7 6 13 17 7 14 20 8 15 18 Fig. 5. los valores puntuales no se agrupan en una recta (Fig. Esto significa que. con mayor razón la interpolación lineal no es la más apropiada. En este caso se debe usar una interpolación polinomial. 2 n f 0 a0 a1 x0 a2 x0 ... an x0 f1 a0 a1x1 a2 x12 . El polinomio de orden n que pasa a través de los n+1 puntos se puede escribir en una serie de potencias. El ajuste de la serie de potencias a los n+1 puntos dados. 2 n f n a0 a1xn a2 xn .. La función V 0 es un polinomio de orden n de x y se anula en x = x1. son las abscisas de los puntos. Si se divide V0(x) entre V0(x0).... tales como: x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 --------xn-1 xn f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 -------.. an x2 (5-3) . como ya se dijo. dados en orden creciente.. g(x) = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + . an xn Aunque los coeficientes ai pueden determinarse resolviendo el sistema de ecuaciones. . .... la función resultante P0 ( x) V0 ( x) ( x x1 )( x x2 ).. da un sistema de ecuaciones lineales. an x1n 2 n f 2 a0 a1 x2 a2 x2 . se deja para el ajuste de curvas esta tarea. . por lo pronto se aplicará la interpolación de Lagrange y las fórmulas de Gregory.. x1. xn... los espacios entre ellos son arbitrarios. para la interpolación de Lagrange. x2.fn-1 fn donde x0..Newton.97 Supóngase que se tienen n+1 puntos. considere el producto de los factores dados por: V0(x) =(x-x1)(x-x2). para efectuar la interpolación polinomial.. En particular... ..(x-xn) (5-4) que se refieren a los n+1 puntos dados antes.( x0 xn ) (5-5) ..( x xn ) V0 ( x0 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ). + anxn (5-2) donde los ai son coeficientes. . y de cero para x = x1.. La fórmula de interpolación de Lagrange.. Vn(x) por f0. interpole mediante la fórmula de Lagrange... x = xn..98 toma el valor de uno para x = x0. . La función Vi(x) es un polinomio de orden n y toma el valor de uno en x = xi y cero en x = xj. x = x2. se llega a los siguientes resultados: P0 ( x) V0 ( x) (7 2)(7 4)(7 8) 0. I Xi f(xi) 0 1 1 1 2 3 2 4 7 3 8 11 Solución. puede escribirse Pi ( x) Vi ( x) ( x x1 )( x x2 ).. En forma análoga puede escribirse P ( x) 1 V1 ( x) ( x x0 )( x x2 ).. respectivamente y las sumamos.( xi xn ) (5-7) donde el numerador no incluye (x = xi ) y el denominador omite (xi –x). + Pn(x)fn (5-8) Ejemplo 5. para estimar f(7). así obtenida se escribe como: g(x)= P0(x)f0 + P1(x)f1 + P2(x)f2 + .( x xn ) V1 ( x1 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ). V1(x). f2.71429 V0 ( x0 ) (1 2)(1 4)(1 8) P ( x) 1 V1 ( x) (7 1)(7 4)(7 8) 1.2 Si se tienen los datos dados en la tabla de abajo. si multiplicamos V0(x).. Así.( x1 xn ) (5-6) siendo el valor de uno para x = x1.. x = xn.( x xn ) Vi ( xi ) ( xi x1 )( xi x2 ).500 V1 ( x1 ) (2 1)(2 4)(2 8) . V2(x). (5-6) y (5-7).. f1. En general. fn...... y de cero para x = x1.... para ji.. x = x2.. Sustituyendo x = 7 en ecuaciones (5-5)... el resultado será un polinomio cuando más de orden n e igual a fi para cada i = 0 hasta i = n.. . 71429)(1) + (-1.250 V2 ( x2 ) (4 1)(4 2)(4 8) V3 ( x) (7 1)(7 2)(7 4) 0. T = 251 0C utilizando la fórmula obtenida en el paso anterior. se tiene.99 P2 ( x) V2 ( x) (7 1)(7 2)(7 8) 1.500)(3) + (1. por lo que ésta queda. g ( x) (T 205)(T 371) (T 94)(T 371) (929) (902) (94 205)(94 371) (205 94)(205 371) (T 94)(T 205) (860) (371 94)(371 205) Solución b) Sustituyendo T = 251 0C en el polinomio anterior.3 Las densidades de sodio para tres temperaturas están dadas como sigue: I 0 1 2 Temperatura ( 0C) 94 205 371 Densidad ( kg/m3) 929 902 860 a) Escriba la fórmula de interpolación de Lagrange que se ajusta a los tres datos b) Determine la densidad para una temperatura. finalmente: g(x)= (0.53571 V3 ( x3 ) (8 1)(8 2)(8 4) P3 ( x) sustituyendo en ecuación (5-8).53571)(11) = 10.55612 kg/m3 .2500)(7) + (0. se tiene g(x) = 890.85710 Ejemplo 5. el orden de la fórmula de Lagrange es n=2.85710 o sea que f(7) 10. Solución a) Ya que el número de datos es tres. 100 5. cuyo símbolo es f.3. se usan diferencias finitas hacia atrás.3..4. de la serie de Taylor se puede escribir. para el cual se requiere estimar la función.. para x = 0: x2 x3 f ( x) f (0) xf ' (0) f " (0) f " ' (0) . cuando la función a estimar se localiza muy cerca del centro del rango de valores dados. se usan diferencias finitas centrales. 5. cuando el valor buscado queda cerca del final de este rango. cuando el valor de la variable independiente x. + 2! 3! (5-9) Fig.2. simbolizadas con f. que se simbolizan con f.4 Gráfica de datos con espacios de paso iguales Aunque ninguno de los valores para las derivadas son conocidos. puede escribirse que: . donde la variación de x es h y.2 Interpolación polinomial. mediante fórmulas de Gregory – Newton Las fórmulas de Gregory y Newton son recomendadas cuando la variación de la variable independiente es constante (x = constante). queda ó se localiza cerca del inicio del rango de valores dados.1 Fórmula con diferencias hacia adelante Si se considera que los valores dados están distribuidos como se muestra en la figura 5. si la función es analítica. sin embargo. Se usan diferencias finitas hacia delante. Su aplicación se apoya fuertemente en las diferencias finitas de los valores de la función f(x). 5. Por otra parte. el valor de x = -1.-1. Las diferencias se obtienen de una tabla de diferencias finitas hacia delante. 4!h 4 n!h n (5-11) la cual es llamada fórmula de interpolación de Gregory – Newton con diferencias hacia delante.8 está en el intervalo -2. x x ( x h) 2 x( x h)( x 2h) 3 f ( x) f ( x0 ) f 0 f0 f0 2 h 2!h 3!h 3 x ( x jh ) i 1 n 1 x( x h)( x 2h)( x 3h) 4 f 0 . por lo que x0 = -2. si un grupo de valores está dado desde x =-2 hasta x = 5. El subíndice “0” se refiere al valor de las diferencias que se encuentran en el renglón base.. se usarán diferencias finitas hacia delante (tabla E5. el cual corresponde al primer valor de x en el intervalo donde se encuentra el valor para el cual deseamos interpolar.4 Para los datos de la tabla E5. Ejemplo 5.4) donde se . el renglón base es el que tiene como x = x0.4 cuya gráfica se muestra en figura 1E5. ecuación (5-9) queda como.1.8) que no esté en la tabla de valores. desde luego.1 se encuentra al inicio del rango de información dado y Δx es constante. con h = 1 y se desea estimar f(-1. es decir. por ejemplo..1) 140 120 100 x 0 1 2 3 4 5 f(x) -7 -3 6 25 62 129 80 f(x) 60 40 20 0 -20 0 1 2 3 X 4 5 6 Solución. determine f(1. Como xint = 1.101 f ' (0) f 0 h f "(0) (h 2 ) h 2 (5-10) con lo cual. 3.1-1 = 0. se considera que el recorrido.1 1)(0.1 Tabla E5. f 0 .1(0.4.1 1) 0.102 observa que el renglón base es aquel que tiene x = 1. el renglón base queda determinado de la misma forma que con diferencias hacia delante.1(0.4 Diferencias finitas hacia delante.. la cual queda. se tiene: f (0. por consiguiente x = 1. es decir.1 2) (9) (10) (8) 2 1 2!(1) 3!(1)3 0.1 1)(0. x f(x) f 2f 3f 4f 5f 0 -7 4 5 5 3 1 1 -3 9 10 8 4 Renglón base 2 6 19 18 12 3 25 37 30 4 62 67 5 129 De ecuación (5-11) y con datos de tabla E5.1(0.1 3) (4) 2.1) (3) 0.. del eje “x”. 4!h 4 x ( x jh ) i 1 n1 n!h n n f0 (5-12) en este caso.1 2)(0.2 2 Fórmula con diferencias finitas hacia atrás Una fórmula enteramente similar se puede obtener con diferencias hacia atrás.1 0. se realiza en sentido contrario al convencional y. corresponde al primer valor del intervalo .40465 4!(1) 4 5. ahora como: x x ( x h) 2 x( x h)( x 2h) 3 f ( x) f ( x0 ) f 0 f0 f0 2 h 2!h 3!h 3 xx h x 2h x 3h 4 . 5). se desea estimar el valor de la función f(x) para cuando x = 4.0 5.5)(2. encontrado en el sentido del recorrido.5(02.5– 5=-0.0 6. Por lo que de ecuación (5.0 f f f f 5. el valor x de la fórmula.0 En la tabla de diferencias se ha marcado con negritas el renglón base.5) 30 0.5.0 18.817 4 5!(1)5 4!1 .5 67 0.5)(3.5)(2.103 donde se encuentra el valor para el cual deseamos interpolar.0 1.0 62. Para los valores del ejempo 5. la de diferencias finitas hacia atrás. se observa que ∆x es constante.5) 12 1 2!1 3!1 0. X 0 1 2 3 4 5 f(x) -7.0 -3.5.53)(1.0 12. En particular. es fácil identificar x0 = 5 (x = 4. etc. cuya tabla se muestra a continuación.0 25.5) (1) 90.0 19.5(0.0 129.0 9. por lo que. Tabla E5.5(0.0 3.5) 4 0. por lo que será apropiado aplicar una de las fórmulas de Gregory Newton.5 valores de la función f(x) x 0 1 2 f(x) -7 -3 6 3 25 4 62 5 129 Solución. De acuerdo con la figura. es notorio que debe realizarse una interpolación polinomial. se calcula (si el valor de x para el cual deseamos interpolar se simboliza por xint): x = xint – x0 (5-13) Ejemplo 5.12) se obtiene: f (4.5(0. f(0) = 129.0 f 4.0 37.0 67.0 30.5(1.5)(1. mediante la interpolación más apropiada.0 10.5) 129 0. Finalmente.4. además.0 8.0 4. por su sencillez. pero de no ser así. entonces se recomienda que se sub-dividan los intervalos. Sin embargo. se hace otra partición. En este caso. Para los datos del ejemplo 5. para ello se requiere que el valor de x (obtenido con la fórmula 5-13) debe estar en el rango de 0. si se usan diferencias centrales simbolizadas con f0. Dos de las más socorridas.. . por diferencias centrales. son: Fórmula de Stirling f ( x) f (0) x(f 0 ) x2 2 x( x 2 1) 3 ( f 0 ) ( f 0 ) 2! 3! (5-14) x 2 ( x 2 1) 4 x( x 2 1)( x 2 1) 5 ( f 0 ) ( f 0 ) . primero a la mitad con valores de f(x) igual al promedio de los que se tienen en cada intervalo y se hace la prueba del valor de x. existen varias fórmulas estudiadas.3. 4! 5! Fórmula de Bessel ( x 2 14 ) 2 x ( x 2 14 ) 3 f ( x) f (0) x(f 0 ) ( f 0 ) ( f 0 ) 2! 3! (5-15) ( x 14 )( x 9 4 ) 4 x( x 14 )( x 9 4 ) 5 ( f 0 ) ( f 0 ) . para el cual se requiere interpolar.25.3 Interpolación con diferencias centrales Hay ocasiones en que el valor de la variable independiente.5.104 5. 4! 5! 2 2 2 2 En esta sección será aplicada la fórmula de Bessel. las diferencias hacia adelante proporcionan buenos resultados.6.7). está cerca de la parte central del conjunto de datos. hasta que se cumpla la condición. Para la estimación de f(x).. Ejemplo 5... se tendrá una mejor aproximación. Si los datos tienen espaciamientos mayores que este valor. en caso que sea cumplida se aplica la ecuación directamente.2. se desea interpolar para estimar f(2. 5 4 1 .50 3 3.5 9 14 19 28 37 52 67 2f 3f 4f 5f 5 7.50 6 15.50 2 2. Puesto que el intervalo general de valores está dado para 0 x 5.50 4 4. la fórmula de Bessel dará buen resultado. Los resultados a que se llegó se presentan en la siguiente tabla. por lo que. x 0 0.6 Muestra de datos cuando se realizan diferencias centrales x f(x) f 2f 3f 4f 5f 0 -7 4 1 -3 5 9 5 2 6 10 3 Reng-Base 19 8 1 3 25 18 4 37 12 4 62 30 67 5 129 Tomando en cuenta que el renglón base es el señalado con x0 = 2.50 25 43.25. Una tabla inicial será. entonces x =2. es necesario dividir los intervalos de x a la mitad y calcular los valores de f(x) como la media de los valores presentes.105 Solución.0 = 0.70>0.7 está muy cerca del centro de este rango de valores. entonces x = 2.5 1 1.50 62 95.5 10 14 18 24 30 5 6. Se observa que no se cumple la condición y por tanto.7-2.5 8 10 12 3 3.50 129 f 4 6. Tabla E5.50 5 f(x) -7 -5 -3 1. la magnitud de la distancia local está dada por: d ( x) f ( x) g ( x) (5-16) Si hacemos esta práctica para cada punto y.2) 15. en general. por lo que se cumple la condición y puede aplicarse la fórmula de interpolación para diferencias centrales. y). Esta ecuación puede ser un polinomio de grado n [representado por g(x)] ó una función especial que se determina con ayuda de la experiencia del investigador.2(19) (14) (8) 2! 3! (0.2(0.5) f (0. tomando en cuenta que.Aproximación funcional Método de mínimos cuadrados Cuando se tienen parejas de valores (x. respectivamente.22 14 ) f (2.5) (1) 17. Sin embargo.84245 4! 5! 5.5). Puesto que g(x) no pasará.7. tabulados como los dados en tabla 5.20 de x = 2.2(0.106 En esta ocasión el renglón base está a una distancia de 0.22 14 )(0. y se quiere estimar el valor de la función f(x) solamente para un valor de la variable independiente x. quedando: (0. existirá un error entre g(x) y f(x). el cuadrado de esta diferencia será aún más pequeña.1.4 Ajuste de curvas. en muchos de los casos se desea tener una ecuación que represente todos esos datos y que con sólo proponer (en ella) valores de x se obtengan los valores de la función de manera inmediata.22 9 4 ) (3. entonces el error total simbolizado por E. para todos los puntos puede escribirse: .5 0.22 14 ) 0. por todos los puntos (Fig. el problema se resuelve con la interpolación o extrapolación.22 14 )(0. 5. El método de mínimos cuadrados garantiza este requisito y con esas definiciones. por lo que será necesario proponer un método que minimice dicho error.22 9 4 ) 0. según que el valor por estimar se encuentre entre o fuera de los datos discretos conocidos. 5.5 Puntos discretos con línea de tendencia Considerando que g(x) corresponde a un polinomio de grado l.. al xl i 1 n 2 (5-18) que también puede escribirse: E a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4 . ecuación (517) se transforma en: E f ( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 a4 x 4 ..107 E d 2 ( xi ) g ( x) f ( x) i 1 i 1 i n i n 2 (5-17) que debe ser minimizado... al xl f ( x) i 1 n 2 (5-19) por estar entre paréntesis un valor absoluto.. en virtud de la propiedad del cálculo diferencial.. Fig. puede obtenerse igualando a cero la primer derivada parcial de E calculada para cada coeficiente ai. 0 a0 a1 a 2 al (5-20) . La minimización del cuadrado del error E. E E E E . .. llegando al arreglo matricial siguiente: n xi xi2 xl i xil 1 x x x i 2 i 3 i xil 2 x x x 2 i 3 i 4 i x x x a 0 f xi a1 xi f xi .. de la forma de estas ecuaciones se realiza la primer derivación de las ecuaciones dadas en (5-20). queda: n n n n n a0 xi a1 xi2 a2 xi3 a3 . n E 2 a0 a1x a2 xi2 a3 xi3 .....108 Para ilustrar el desarrollo.. al xl f ( xi ) a0 i 1 a0 n E 2 a0 a1 x a2 xi2 a3 xi3 . a0 a0 1 1 1 .. xil al f ( xi ) i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n El desarrollo del primer término de esta ecuación es: a i 1 n 0 a0 a0 a0 a0 .. para la primer constante a0. al xil f ( xi ) (1) 0 a0 i 1 Dividiendo por 2 e introduciendo el símbolo sumatoria dentro del paréntesis y pasando al segundo miembro f(xi). paso a paso. 1 na0 por lo que la ecuación final queda como: n n n n n na0 xi a1 xi2 a2 xi3 a3 . al xil f ( xi ) a0 a1x a2 x 2 . xil al f ( xi ) i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 y así para las demás derivadas planteadas en ecuaciones (5-20).... De esta manera se tiene. a 2 xi2 f xi xi2l al xil f xi l i l 1 i l 2 i .. si la función especial es g(x) = A + Bsen(x). etc. la ecuación resultante queda: n n nA senxi B f ( xi ) i 1 i 1 La derivada parcia con respecto a B es: Ecuación 1 n E = 2 A Bsenxi f ( xi ) A Bsenxi f ( xi ) 0 B B i 1 dado que. n E = 2 A Bsenxi f ( xi ) A Bsenxi f ( xi ) 0 A A i 1 como A Bsenxi f ( xi ) 1 A n E = 2 A Bsenxi f ( xi )(1) 0 A i 1 de donde. originando una ecuación por cada constante. A Bsenxi f ( xi ) senxi B . tantas veces como constantes contenga dicha función. como se muestra a continuación. derivando la ecuación resultante. ecuación (5-19) se transforma en: E A Bsenxi f ( xi ) i 1 n 2 (5-21) y el sistema de ecuaciones se obtiene al derivar parcialmente. se sustituye en ecuación (5-19). logarítmicas. primero con respecto a la constante A y. después. con respecto de la constante B. Por ejemplo. entonces.).109 Para funciones especiales (trigonométricas. la ecuación especial correspondiente. exponenciales. 90 6. por lo que. el sistema que permite obtener los coeficientes de ajuste a0 y a1. ecuación (5-19) queda. ó g(x) = axb.a f x a x f i 2 i 0 i 1 i i . E ae f ( xi ) bx i 1 n 2 E cx f ( xi ) d i 1 n 2 En estos casos. se transforma en ---- Ln g(x) = Lna + bx -- y = b + mx ( 5-22 a ) g(x) = cxd. se puede ajustar con un polinomio de grado l = 1. Puesto que los datos están alineados aproximadamente en una línea recta (ver figura).110 n E = 2 A Bsenxi f ( xi )senxi 0 B i 1 llegando a.74 Solución. para los siguientes datos: X f(x) 2.68 7. g(x) = aebx. n n n senxi A sen 2 xi B senxi f ( xi ) i 1 i 1 i 1 Ecuación 2 Cuando la función especial es g(x) = aebx.52 5.22 3. se transforma en ----- Ln g(x) = Lnc + dLnx - y =b + mx ( 5-22 b ) Ejemplo 5. es: n x i x .17 5.10 2. respectivamente.7 Obtenga el mejor polinomio de ajuste. se recomienda linearizar la ecuación propuesta mediante la aplicación de logaritmos.85 7.80 10.76 13. si la derivación representa problemas para el estudiante. 76 + 7.10)(2.74 = 26.85)+…+(13.05 i 1 i x f ( x ) =(2.05 5 39. a 238.0 7.10)2 + (6.22)(3.111 9.52 + 13. n = 5 y demás sumatorias obtenidas.0 6.10 + 6.22 + 7.0 0 f(x) x 2 4 6 8 10 12 14 16 Figura del problem a 5.1014 i 1 i i n Sustituyendo en dicho sistema.0 3.90 + 3.0 2.68 = 39.0 4.99245475589+ 0.3201.52 )2 + (13.69 a0 26.80 + 5.0 5.405334497873 de esta manera.68)2 = 392.85 + 5.68)(7. los coeficientes de dicho sistema son: x =2.74)=238.405334497873x .7 Para la información dada.0 0.0 1. el polinomio de ajuste es: g(x) = 1.17 + 10.69 i 1 i n x i 1 n n 2 i = (2. para las constantes: 39.90)+(6.1014 1 a0 = 1.3201 f ( x ) = 2. se encontró la solución.69 392.22)2 + (7.17)2 + (10.99245475589 y a1 = 0.0 8. 3 9. c) Haga una gráfica donde se encuentren dibujados los datos.3 -3. usando el criterio de mínimos cuadrados.3 continuación 11.0 4. por lo que el polinomio propuesto es: g1(x) = a0 + a1x +a2x2 + a3x3. se concluye que.2 1. el polinomio de ajuste obtenido en a) y la función especial determinada en b). mediante el método gráfico y posteriormente obtenga.5 3.0 15.0 11. b) Revise si el gráfico puede ajustarse mediante una función especial. el polinomio de referencia.0 -1. obtenga dicha función.3 2. De ser así.5 16.5 4. x 2 f ( x ) 5 xi a2 i i 6 x3 f ( x ) xi a3 i i Tomando en cuenta que son 24.5 2.5 -1.3 12. Solución a).8.3 5.0 5.0 -3.1 13. el polinomio de ajuste debe ser de tercer grado (l = 3).0 17.0 2.1 a) Determine el grado del polinomio de ajuste.5 7. para el rango de información se nota que los puntos interceptan tres veces el eje x.1 14. El sistema a resolver es: n xi x2 i x3 i x x x a i 2 i 3 i 0 x x 2 i 3 i x x 3 i 4 i 4 i x x 5 i f ( xi ) 4 xi a1 xi f ( xi ) .3 -0.0 20.4 8.5 2.0 6.6 -1.1 3.5 17. se llegó a: .0 -5.0 6. desarrollando las sumatorias y productos indicados.8 19. ya que.4 -0.0 -4.0 2.8 1.112 Ejemplo 5. de los datos.0 -4.0 X f(x) 9. De la gráfica.0 0.2 -3. Para obtener los coeficientes de este polinomio se aplica el método de mínimos cuadrados.5 2.1 1.5 3.9 -4. Dados los siguientes datos: X f(x) 0 0. 1) = -316.242 x i 1 n 3 i f ( xi ) =(0)3(0.5)6 + .242 46342.4)+ (20)(-0.+ ( 19)6 + (20)6 = 223.5 + .2)+ ( 1.79 x i 1 n 4 i =(0)4 + (1)4 + (1.037.5)2(2.+ (19)(-1..3597 229..21 a1 316.5)+ .5)3 + .30 i 1 i x f ( x ) =(0)(0.4)+ (20)3(-0..2)+ ( 1.+ ( 19)5 + (20)5 = 12.6 3060.88 .. + ( 19)3 + ( 20) 3 = 46.1) = -9.113 x = 0.5)(2..20 x i 1 3 i = (0)3 + (1)3 + (1.2 46342.4) + (-0.116.518.79 752835.2 3060.70 x i 1 n n 6 i =(0)6 + (1)6 + (1..+ 19 + 20 = 229.79 752835..77 a3 99433.70 223518116.835.943.342..2+ 0.8)+ (1.+ ( 19 )2 + (20)2 = 3.4)+ (20)2(-0.+ ( 19)4 + (20) 4 = 752.8 + 2..77 f ( x ) = 0.0)3(0.2)+ ( 1.5)2 +.79 752835.50 i 1 i n x i 1 n n 2 i = (0)2 + (1)2 + (1.70 a 2 6037.5)+ .5)5 + ..1) = -6.8)+ (1.8)+ (1.+ (-1...79 a 0 1.780..2 46342.597 ..+ (19)3(-1.88 i 1 i i n x i 1 n 2 i f ( xi ) =(0)2(0.060..1) = -1...5 +.21 12780147.30 24 229..21 x i 1 n 5 i =(0)5 + (1)5 + (1..+ (19)2(-1.5)4 + .147.2 46342.0)(0.5)+ .0 + 1 + 1.5)3(2.21 12780147. 3060..0)2(0. 3051112 a2 = -0. mediante el método de eliminación completa de Gauss.Jordan conduce a los siguientes resultados: a0 =-0. para ecuación (b) (b) . para ecuación (a) 1.053666B = 47. se llega a.114 La solución de este sistema. la función especial: g 2 ( x) A Bseno( x 10 ) ya que. Del criterio de mínimos cuadrados. n n nA seno( xi ) B f ( xi ) 10 i 1 i 1 (a) n n n seno(10 xi ) A seno2 (10 xi ) B seno(10 xi ) f ( xi ) i 1 i 1 i 1 por un procedimiento similar al inciso anterior. entonces.35319014 a3 = 0.300.1328096B = -1. el polinomio de ajuste es. g1(x) =-0.35319014X2 + 0.3051112X -0. tal como el seno.35934718 a1 = 2.35934718+ 2. el período debe tomarse como 20.515395. Podría proponerse. Solución b) La gráfica sugiere el uso de una función trigonométrica.01206020X3. 24A + 1. se puede escribir. según ecuación (5-21): E A Bseno( xi ) f ( xi ) 10 i 1 n 2 llegando al siguiente sistema.01206020 por tanto.1328096A + 11. el polinomio de ajuste queda. . dato g1(x) g2(x) 6.0 f(x) x 0 5 10 15 20 25 -2.25831225 + 4.9 Ajuste los datos dados en la siguiente tabla.0 0. 5.25831225 y B = 4.0 -4.0 4. los datos.3250821 por lo que.0 2.3250821 seno( x ) 10 La gráfica siguiente muestra una vista de conjunto. con el objeto de visualizar la bondad de las propuestas de solución.0 gráfica de conjunto del prob. A= -0. el polinomio g1(x) y la función g2(x).115 resolviendo el sistema se tienen los siguientes valores para las constantes.6 Ejemplo 5. es decir. a una ecuación de potencias. g 2 ( x) = -0.0 -6. Cabe señalar que ambas soluciones son consistentes quedando a juicio del investigador la selección final de alguna de ellas. 116 x 1 2 3 4 5 f(x) 0.5 1.7 3.4 5.7 8.4 Solución. El modelo de una ecuación de potencias es: g ( x) a2 xb2 la cual se puede linearizar aplicando logaritmos a ambos miembros de la igualdad. Ln g(x) = lna2 + b2 ln x que corresponde a la ecuación de a recta: Y = B + mX Por comparación de estas dos ecuaciones se tiene que, Lng(x) = Y; B = lna2; X = ln x, y m = b2; por consiguiente, se organizaron los datos, como se sigue, para determinar los valores de las constantes, a2 y b2 DATOS X 1 2 3 4 5 ORIGEN f(x) 0.500 1.700 3.400 5.700 8.400 SUMAS---> Ln(x) X 0.000 0.693 1.099 1.386 1.609 4.787 Ln(f) Y -0.693 0.531 1.224 1.740 2.128 4.930 X 0.000 0.480 1.207 1.922 2.590 6.200 2 XY 0.000 0.368 1.344 2.413 3.425 7.550 Considerando que los datos, de las columnas 3 y 4, se ajustan a una recta y resolviendo por el método de mínimos cuadrados, se llega al siguiente sistema. n = 5; xi = 4.7875; f(xi) = 4.930; xi2 6.1995 y xi*f(xi) = 7.5503. 4.7875 a0 4.9300 5 4.7875 6.1995. a 7.5503 1 117 cuya solución es: a0 =B = lna2 = -0.69074 y a1 = m = b2= 1.75116 por consiguiente, la recta de ajuste queda ln g(x)=-0.69073876 + 1.75116lnx sacando antilogaritmos, se obtuvo, g(x) = 0.5012x1.75116 Con el objeto de verificar la bondad del ajuste obtenido, en la figura siguiente se muestra una gráfica de conjunto, donde se observa que los valores obtenidos con g(x) son, prácticamente, los mismos que los datos iniciales, por lo que, se dice que se logró un “buen ajuste”. 9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 0 f(x) Serie1 g(x) x 1 2 3 4 5 6 Figura del problema 5.9(datos iniciales) Ejempo 5.10 Ajuste los siguientes datos a un polinomio de segundo grado. X F(x) continuación x F(x) continuación X F(x) -3.20 8.80 -0.70 -2.20 +1.80 -0.60 -2.70 5.60 -0.20 -2.80 +2.30 1.00 -2.20 2.90 +0.30 -3.00 +2.80 3.40 118 -1.70 0.75 -1.20 -1.00 +0.80 -2.80 +1.30 -2.00 +3.30 6.30 +3.80 9.50 El polinomio de ajuste tiene la forma: g ( x) a0 a1 x a2 x 2 por lo que, el sistema representativo de este ajustes es: n xi xi2 x x x x x x i 2 i 3 i 2 i 3 i 4 i a 0 f xi . a1 xi . f xi a 2 xi2 . f xi Donde al sustituir (n = número de datos = 15; x 3 i 63.405 , x x i 4.50, x 2 i 71.35 , 4 i 622.422 , etc.), se llegó a: 4.50 71.35 a0 23.850 15 4.50 71.35 63.405 . a 14.255 1 71.35 63.405 622.422 a 2 374.857 cuya solución, por eliminación completa de Gauss Jordan, es: a0 = -3.005, a1 = -0.497 y a2 = 0.997 Por lo que, el polinomio de ajuste es: g ( x) 3.005 0.497 x 0.997 x 2 5.5 Aproximación a funciones contínuas Las mejores aproximaciones para funciones continuas, usualmente son consideradas para ser aproximaciones que minimicen el error en el sentido del minimax. Desafortunadamente, a menudo es muy difícil encontrar la mejor aproximación para una cierta clase de función dada; sin embargo, deberíamos 119 invocar a la experiencia para tener una aproximación que sea la mejor. Por ejemplo, en lugar de encontrar la mejor aproximación para una función cuadrática podríamos haber aproximado con una cuadrática que siempre será razonablemente cercana a la mejor cuadrática. Las buenas aproximaciones para funciones continuas, usualmente tienen un error d(x) que oscila alrededor de cero en la región de interés, ya que, las magnitudes positivas son aproximadamente iguales a las magnitudes negativas. La forma más común y simple de aproximación para una función continua es con algún tipo de polinomial. En efecto, siempre que es usada una representación en serie de potencias para calcular una función, entonces, la aproximación polinomial está siendo usada, puesto que, la serie de potencias debería ser truncada en algún punto y, una serie de potencias truncada es siempre una polinomial. Empezaremos nuestra discusión de la aproximación a funciones continuas mediante el examen de un método para improvisar la efectividad del truncado de las series de potencias, ó en otras palabras, de obtener la mejor exactitud con pocos términos. Esta práctica es llamada una serie de potencias telescópica o economización. Como veremos, también tiene aplicaciones directas a la aproximación de cualquier polinomial. 5.5.1 Economización de Chebyshev Los polinomios de Chebyshev se pueden expresar de dos formas distintas, pero equivalentes; una utiliza funciones coseno y la otra serie de potencias. En el primer caso, el polinomio de Chebyshev normalizado de orden K, se define como: Tk x cos k cos 1 x , para 1 x 1 (5-23) Puesto que la función coseno se anula en /2; 3/2; 5/2; 7/2,..., las raíces de un polinomio de Chebyshev de orden K satisfacen la ecuación, 1 K cos 1 ( xn ) K n * , n 1,2,3..., K 2 ó más explícitamente: (2-24) los términos de los polinomios generados por con la ecuación recurrente: Tn+1(x) = 2xTn(x) –Tn-1(x) de Chebyshev.120 ( K 1 n) 2 xn cos * . quedando: . Para nuestros propósitos. son (5-26) Requerimos tener presente estos polinomios para propósitos de aplicación. (3 1 1) 2 x1 cos * 0... K (2-25) Por ejemplo... también es interesante invertir esos polinomios para listar las potencias de x en términos de Tn(x). Algunos términos son. entonces esta ecuación conduce a. 2. T0(x) = 1 T1(x) = x T2(x) =2x2 –1 T3(x) = 4x3. 3.00000 3 En segundo caso.86602 3 (3 1 2) 2 x2 cos * 0. si K = 2.3x T4(x) = 8x4 –8x2 +1 T5(x) = 16x5 –20x3 +5x T6(x) = 32x6 –48x4 +18x2 –1 T7(x) = 64x7 –112x5 + 56x3 – 7x T8(x) = 128x8 – 256x6 +160x4 – 32x2 +1 (5-27) Recuerde que estos polinomios tienen una magnitud máxima de 1 en el intervalo de –1 x 1. K n = 1. 2! 3! 4! 5! 6! ( 5-32) Si la serie alternativa (e-x = 1 –x + .121 1 = T0 x = T1 x2 = ½ (T0 + T2) x3 = ¼ (3T1 + T3) x4 = 1/8(3T0 + 4T2 + T4) x5 = 1/16(10T1 + 5T3 + T5) x6 = 1/32(10T0 + 15T2 + 6T4 + T6) x7 = 1/64 (35T1 + 21T3 + 7T5 + T7) x8 = 1/128(35T0 + 56T2 + 28T4 + 8T6 + T8) Note usted que los Tn(x) fueron escritos simplemente como Tn ( 5-28 ) Los polinomios de Chebyshev se pueden aplicar en cualquier rango distinto de –1 x 1. los puntos de Chebyshev yn en a. el error no será mayor de 1..6152x10-3. ba –1 x 1 ( 5-29 ) ó en forma equivalente. b son. . y (b a) x a b . la transformación está dada por. Usando la representación de las . yn ( K 1 n) 1 2 (b a) cos * a b . en la ecuación ( 5-30 ). K ( 5-31 ) Como ejemplo. como e-x = 1 –x + x 2 x3 x 4 x5 x 6 . si se transforma primero a él... Si este rango está dado por a x b.. al sustituir los puntos de Chebyshev xn en -1.) es truncada después del término en x5.. el rango de interés. 2 K n= 1. considere una función e-x. 2 ay b ( 5-30 ) por consiguiente... x 2y b a .2. que puede ser representada por una serie de potencias. 1 dados por ( 525 ). 3. 0442798T3 ( 5-35 ) La magnitud del error máximo posible en ecuación anterior.9947917 –0.2656250(1)–1.1652x10 -3. Ahora e-x 1.0442798(4x3 – 3x) desarrollando y agrupando términos. Esta suma es de 0. Esta expresión es llamada serie telescópica de potencias ó serie .2656250T0 –1.122 polinomiales de Chebyshev de las potencias de x.0516152 para los primeros cuatro términos de la serie original.0052083 + 0. la cual fue de 0. Las polinomiales de Chebyshev en la expresión de arriba pueden escribirse en términos de x. e-x 1. se llega a e-x 0.0005208T5 ( 5-34 ) Ahora podemos hacer valer el factor de que la magnitud de Tn es 1 (sobre – 1 x 1).2708333T2 – 0. acumularemos un error adicional no mayor que la suma de las magnitudes de los coeficientes de T4 y T5.2708333(2x2 –1)– 0.1302083(x) + 0. con lo cual queda como: e-x 1.0073444. es la suma de la magnitud máxima del error de truncamiento de la serie original. si tomamos cinco términos de la serie (5-32).2708333T2 – 0.0442798T3 + 0. se obtiene. Agrupando términos. el cual aún es más grande que el máximo error posible dado por la expresión de cuatro términos de (5-36).9973959x + 0.1302083T1 + 0. es muy similar a los primeros cuatro términos de la serie original (5-32) excepto que el error máximo de (5-36) es de 0.0057291.0073444 comparado con un error máximo posible de 0. o sea 0.0005208 = 0.00994895.0057291.0052083T4 – 0.) puede escribirse como e x T0 T1 1 1 2 (T0 T2 ) 1 14 (3T1 T3 ) 1 18 (3T0 4T2 T4 ) 2 3! 4! 1 1 16 (10T1 5T3 T5 ) 1 5! ( 5-33 ) donde 1 tiene una magnitud máxima de 1. En efecto. el error máximo posible será de 0. el truncado de la función (e -x = 1 –x + . Si truncamos la expresión anterior después del término que involucra T 3..0016152 y la máxima magnitud del error en el truncamiento fue de 0.1770832x3 ( 5-36 ) Estos expresión de aproximación de cuatro términos.5416667x2 – 0.2656250T0 –1.1302083T1 + 0. encontrar una aproximación lineal para la función: f ( y) y 2 2 y 3 Sobre el intervalo 0 y 10 Solución. Primero mapeamos el intervalo 1 y 1 mediante la transformación dada por (5-29). Es importante notar que no hay garantía de que (5-36) sea la mejor aproximación para e-x.11.123 economizada. la serie telescópica de e-x. la ecuación por transformar queda: f1(x) = 5(x + 1)2 -25(x + 1) + 3 = 25x2 + 40x + 18 . no obstante puede indicar una buena aproximación. es decir: x 2 y b a 2 y 10 0 y 1 = ba 10 0 5 Con lo cual se tiene que: y = 5(x+ 1) Por consiguiente. entonces los coeficientes de la aproximación de cuatro términos (5-36) cambiarán ligeramente y la aproximación puede ser más exacta. son altamente dependientes del número de términos de la serie original de potencias. Ejemplo 5. Si más términos de la serie original de Taylor son tomados antes de que sea truncada. La economización de series convergentes rápidamente (tales como la serie para e -x) proveen relativamente modestas ganancias. En el caso de (5-36). requiere dos términos menos que la serie original para obtener la misma exactitud. mientras que la forma economizada de muchas series de convergencia lenta pueden proveer exactitud con un mínimo de términos que podría requerir cientos de términos de la serie original. Los ahorros en general. Usando economización de Chevyshev. Este procedimiento de economización puede ser usado para aproximar cualquier polinomial con una polinomial de orden inferior sobre cualquier intervalo finito. 50. se tiene: g ( y) 61 y 19 40( 1) 8 y 2 5 2 Esta es la aproximación lineal requerida. Esta aproximación tiene un error máximo posible de magnitud igual al coeficiente de T2. se tiene: 61 25 1 f1 ( x) 25 (T0 T2 ) 40T1 18T0 T0 40T1 T2 2 2 2 A partir de aquí podemos encontrar la aproximación lineal por eliminación del término en T2. recordando que x = y / 5 –1.5. podemos proceder a usar la economización de Chebyshev. sobre -1 x 1. Entonces. se tiene: f 1 ( x) 61 40 x 2 reconvirtiendo a una función de “y”. ahora. la cual podría tener un error hasta de 12. f 1 ( x) 61 T0 40T1 2 o en términos de “x”. Problemas propuestos 5.1 La siguiente función tabulada representa puntos de una polinomial.124 Puesto que f1(x) está definida. ¿Cuál es el grado de la polinomial?¿Cuál es el coeficiente de la potencia más alta de x? I 1 2 3 Xi 0 1 2 f(xi) -7 -4 5 . es decir. Rescribiendo las potencias de x en términos de los Tn(x). = 25/2 = 12. para la siguiente función tabulada: I 1 2 3 4 5 xi 1 2 3 4 5 f(xi) 6 10 46 138 430 Ahora. suponiendo que la función es una polinomial. llenar todos los espacios en blanco en la tabla e interpolar para f(4. 5. ¿ Cuál es el grado de la polinomial? I 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 0 1 2 3 4 5 6 7 f(xi) 0 -2 -8 0 64 250 648 1372 5.3 f(xi) -3.125 4 5 6 3 4 5 26 65 128 5.742 .000 -0.2 La siguiente función tabulada representa puntos de una polinomial.31) usando la fórmula de interpolación para diferencias finitas hacia delante con x = 4 como renglón base.3 Preparar una tabla de diferencias finitas hacia delante y otra tabla de diferencias finitas hacia atrás.0 0.4 Dada la siguiente función tabulada: i 1 2 Xi 0. d) f(0.2 1.7 Determine una función lineal ajustada a los siguientes datos.143 6.0 f(xi) 2.42).579 31.2 4.09).452 14.569 0. b) f( 0.0 f(xi) 0.9) 5.0 2.6 0.0 1.33 9.8 5.1) y b) f(3.9 1.791 0.3) para la siguiente función: i 1 2 3 4 5 xi 0.93).8 2. c) f(1.0 1.1 . mediante el método de mínimos cuadrados: I 1 2 3 Xi 1.0 3.224 -0.5 Usando interpolación de Lagrange.6 Dada la siguiente función tabulada I 1 2 3 4 Xi 1 2 3 4 f(xi) 150 36.628 Encontrar a) f(1.480 65.75 17. Después interpole para encontrar a) f( 1.185 5.5 1.19 Prepare una tabla de diferencias hacia atrás y otra hacia delante. 5.5 2.21). encontrar f(4.0 3.126 3 4 5 6 7 0.0 0. 1 9.400 f(xi) 0.9 5.0 4.4 5.1 0.6 5.8 0.7 16.4 0.127 4 5 2.200 0.7 0.5 3. usando el criterio de mínimos cuadrados: i 1 2 3 4 5 6 7 xi 1.3 6.0 4.3 0. ajuste a una línea recta esos datos.6 12 f(xi) 50 43 28 25 22.1 1.2 8.8 Igual que en el caso anterior.9 5.78 10.9 4.1 3.2 8. pero para los siguientes datos: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 0.5 0.4 6.9 1.1 5.00 7.9 9.9 1.9 Dados los siguientes datos.68 .2 0.6 0.9 5.9 7.0 f(xi) 9.000 0.1 2.10 Ajuste una función cuadrática a los siguientes datos y grafique la curva ajustada junto con los puntos dados: i 1 2 3 xi 0. 8579 2.8 f(xi) 2.97 0.1639 1.2 2.0000 1.2568 3. para obtener el sistema de ecuaciones que permitan estimar los coeficientes de la función g(x).00 5.9 f(xi) 0.1 11.5 0.000 8.5 .5140 2.1220 3.1 0.12 Ajuste los datos de la tabla siguiente: I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi 0. para los dos problemas.4 0. 5.128 4 5 6 0.800 1.2 0.3 0.11 Ajuste un polinomio cúbico a los datos del problema anterior y diga usted. tiene usted que emplear la función propuesta arriba y posteriormente derivar con respecto a cada uno de los coeficientes. 5.1399 2. donde en vez de sustituir el polinomio de grado l.600 0.0244 3.8 0. cual es el mejor ajuste.37 3.6 0. Haga una gráfica de conjunto.13 Dados los siguientes datos: I 1 2 xi 1.8358 A la función: g ( x) a0 a1x a2 sen(x) a3sen(2x) Recuerde iniciar con ecuación ( 5-19 ).7 0. 70 3. usando el criterio de mínimos cuadrados.9 28.00 3. ajustar una función de la forma g(x) =CeDx para estos.3 5.25 f(xi) 1. Evaluar el error máximo en la aproximación de tres términos y comparar éste con el error máximo que podría resultar si los tres primeros términos de la serie de Taylor fueron usados.01 7.09 2.37 1.14 Dados los siguientes datos.25 2.77 3.50 3.75 5.10 4.4 6.9 72. ajustar a una función de la forma g(x) =AxB 5. I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 0. 5.8 7.4 Usando el criterio de mínimos cuadrados.90 5.95 9.48 2.16 Encontrar una aproximación cuadrática para f(y) = y4 – 2y3 + y –6 .88 6.129 3 4 5 6 4.90 4.1 41.00 2.00 0.3 91.15 Encontrar una expresión de aproximación de tres términos para seno(x) sobre –1 x 1 por economización de Chebyshev de la serie de Taylor.50 1. Truncar la serie original después del cuarto términos.60 4. con variación de x arbitraria. con variación de x constante. así como el valor de x para el cual se desea interpolar. con diferencias finitas hacia atrás. El programa debe requerir cuando menos 8 parejas de valores (x. La salida debe incluir solamente los datos administrados y el valor interpolado de f(x). y). 5. La entrada de datos debe requerir cuando menos 8 parejas de valores (x. Dar un límite para el error de estas aproximación. La salida debe incluir los datos administrados. la tabla de diferencias finitas y el valor interpolado de f(x).18 Escriba un Programa de computadora para resolver la fórmula de interpolación de Gregory Newton. Si está disponible una computadora. así como el valor de x para el cual se desea interpolar. 5. y). grafique el error como una función de y sobre el intervalo de interés.20 Escriba un Programa de computadora para resolver la fórmula de interpolación de Lagrange. así como el valor de x para el cual se desea interpolar. El programa debe requerir cuando menos 8 parejas de valores (x. la tabla de diferencias y el valor interpolado de f(x).130 sobre el intervalo –1 y 2 usando economización de Chebyshev.19 Escriba un Programa de computadora para resolver la fórmula de interpolación de Gregory Newton.17 Ajuste los datos del ejemplo 5. con diferencias finitas hacia delante. con variación de x constante. . 5.6 a la función g3(x) = Cseno(Dx) 5. y). La salida debe incluir los datos administrados. . como se muestra en la figura 6. está dado por: f ( x)dx o b a f ( x)dx La primera de ellas es una integral indefinida y la segunda una integral definida.1.. juntar todas las partes en una.1 Representación gráfica de la integral definida . indica que su significado es “ unir todas las partes en un todo. indicar la cantidad total. Figura 6. El modelo matemático que representa esta acción.. las cuales representan el área bajo la curva encerrada por la función f(x).1 Introducción La definición pura del término integración.131 Capítulo 6 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6. el eje x y por las verticales acotadas por x = a y x = b. En este capítulo se resuelven numéricamente las integrales definidas.”. etc. si se evalúa la integral 0. donde C 3 6 es una constante de integración. cualquier función. Por ejemplo. por ejemplo. una integral definida se evalúa como: b a f ( x)dx = F ( x) a b (6-1) en donde F(x) es la integral de f(x). no será fácil evaluar la integral.8. Este valor es igual al área bajo el polinomio f(x) y las verticales x = a = 0 y x = b = 0. En el presente capítulo se muestran los métodos numéricos que sirvan para obtener el área. el eje x y las . Por ejemplo.64053334. Sin embargo. si se encuentra una forma simple de estimar el área por procesos geométricos.. F(a)= 0 y F(b) = 1. permiten encontrar F(x).64053334.2 Elementos teóricos De acuerdo con el teorema fundamental de la integral. se tendrá una estimación de la integral. tal que su derivada F‟(x) = f(x). F(x) también recibe el nombre de antiderivada de f(x). si bajo la curva definida por f(x).5 x 2 De ecuación (6-2). esto es. En estos casos se recomienda aplicar una técnica numérica que permita estimar la integral que.2 x 12. x2. es decir. Todas las antiderivadas de f(x) = 2x quedan dx dx dx 2 incluidas en F(x) = x + C. x2 +5 y x2-4.5) . d 2 d d ( x ) ( x 2 5) ( x 2 4. ya que de acuerdo a lo dicho en líneas anteriores. se obtiene que F(x)= 0.5 son todas ellas primitivas de f(x) = 2x. la primitiva de una función dada no es única. ya que. el valor de la integral es: I = 1.132 6. b a f ( x)dx = F ( x) a = F(b) – F(a) b (6-2) Los métodos de integración analítica.2 25x 200 x 0 2 675 x 3 900 x 4 400 5 )dx 200 3 400 6 x 168. por lo que. hay ocasiones en que es muy difícil o imposible obtener F(x). El valor numérico de la integral se obtiene sustituyendo los límites de integración. con los procedimientos ordinarios no es posible resolver.8 (0. por lo que.75 x 4 180 x 5 x + C. 3. 6. el método recibe el nombre de rectangular. de ser trapecios la figuras que se tracen. son de gran utilidad donde la dificultad analítica es muy notable o donde sea imposible la evaluación de las integrales mediante los procedimientos ordinarios. colocando rectángulos en el ára ddefinida por f(x).2 Aproximación de la integral – regla rectangular * a1 x. el eje x y las verticales x = a y x =b. etc.1 Método rectangular Con este método se estima el área bajo la curva de figura 6. es decir: . se dice que el método es parabólico.133 verticales x = a y x = b.1. f ( xn ) La integral se aproxima como la suma de las áreas rectangulares parciales.3 Métodos de solución 6. Estas técnicas numéricas usadas. f ( x1 ) * a2 x. el método se denomina trapecial. cuando se ajustan parábolas a la curva. como se muestra en figura 6. se trazan rectángulos como figuras de apoyo para evaluar el área bajo la curva. f ( x2 ) * * a3 x.2. f ( x3 ) … an x. donde se observa que: cada área ai se puede calcular como el área de un rectángulo que tiene por base Δx y por altura f(xi*). por tanto: Figura 6. 1 Resuelva la integral definida dada.56 X3* = x2* + Δx = 1..0) =2.04 Figura E6.0 f(1.2) = (0.00 2.2) -1 = -0.36 21.00 3.96 14.6 f(0. x ba 0.20 + 0.6) = 0.24 10.00.2)2 +2(0..00 4.80 2. En la tabla siguiente se presenta un resumen de estos resultados.5Δx = 0 + 0.00 3.40 3.2 = 0. de tal forma que x1* = a +0.00 1. 4 ( x 2 2 x 1)dx 0 Solución.00 5. etc. Ejemplo 6. 0.134 b a ba n ba f ( x)dx f ( xi* ) n f ( x1* ) f ( x2* ) .84 8.60 1. usando la regla rectangular con 10 rectángulos (n = 10). De acuerdo con ecuación (6-3).56 x2* = x1* + Δx = 0.60 3.20 0. etc.56 0. x3* = x2* + Dx. x2* = x1* + Dx.00 Suma 83. es necesario calcular Δx y los valores de xi* para poder obtener f(xi*).1 25 20 Valores de f(X) 15 10 5 0 -5 0.4 = 0.4 n Dado que x1* = a + 0.00 1.20 Valores de X .76 5. f ( xn* ) n i1 (6-3) Observe que xi* es el punto medio de Dx [Dx = (b-a)/n].80 -0.40 1.20 2.5Dx.56 2.00 3.2 f(0.00 17. 491 -3.615 continuación x* f(x*) 2.3 2.04 33.310 0.56 .9 2.3 1.100 -21. x3* = x2* + 0.977 4.5 suma f(x*) 0.100 -60.1 1.094 0.615 (673.500 -90.241 0.778 4.107 -0.10.025 2. x2* = x1* + 0. f(x) = 2seno(x) –ex +1 x* 0.048 De la aplicación de ecuación (6-3) se obtiene: (2senx e 0 5 x 1)dx 0.255 suma -673. Δx vale: x 50 0.700 -110.2 30..900 -135.793 -5.483 -9.507 3. (2senx e 0 5 x 1)dx Solución. dada a continuación con 25 rectángulos.972 4.2 = 0.135 Sustituyendo en (6-3): b a f ( x)dx 0.700 -40. Para los límites de integración y el número de rectángulos.440 -7.30.532 4. etc.5.817 3..1 0.36 21.4 0.9 1.7 0.900 -49.1 2.742 -1.696 3.326u 2 .115 3.2 = 0.2 25 x1* = 0 + 0.5 0.986 -30.900 -16.300 -26.5 1.7 1. 17.300 -74.2 Use la regla rectangular para resolver evaluar la integral.428 3.500 -32.947 4.048) 140.28u 2 Ejemplo 6.56 0.3 0.2/2 = 0.700 -13.275 0.487 -2.222 -0. 3 en la que se han trazado n trapecios de altura x.. n) y posteriormente se suman para obtener el área total. . j ) f (b) 2 j 1 (6. .6. 6.4) .3 Estimación del área –método trapecial a1 x f ( x0 ) f ( x1 ) 2 a4 x f ( x3 ) f ( x 4 ) 2 a2 x f ( x1 ) f ( x2 ) 2 x f ( x 2 ) f ( x3 ) 2 ----------------- a3 an n x f ( xn 1 ) f ( xn ) 2 Puesto que b a f ( x)dx = a1 +a2 +a3 + a4 + . Fig. 4. .+ an = ai y tomando en cuenta que i 1 f(x0) = f(a) y f(xn) = f(b). 2. 5.3.136 6. la cual será aproximadamente igual a la integral.2 Método trapecial Con base en la figura 6. se estiman las áreas ai (i = 1. se tiene que: b a f ( x)dx n1 x f (a) 2 (a x.. 3.. para efectos prácticos podría ser el punto medio del segmento ab . se incurre en un error que puede ser sustancial.2.3. el método trapecial proporcionará valores exactos. 6. de otra manera ocurrirá un error. Una estimación del error por truncamiento. la segunda derivada de una recta es cero. llegando a: .1 Error en el método trapecial Cuando se emplea un solo trapecio (Fig. f(x) x=a x=b x Fig. x tiende a cero y. de una sola aplicación de la regla trapezoidal está dada por: Et 1 f " ( )(b a) 12 (6-5) donde es un punto cualquiera dentro del intervalo de integración. 6. D6. el valor obtenido con ecuación (6-4) será más próximo al valor exacto de la integral.4) para estimar la integral bajo una curva f(x). El diagrama de flujo de este método está dado en Fig. ya que. La ecuación anterior indica que si la función que se está integrando es lineal.1) donde n es el número de trapecios en que se ha dividido el área total.137 x ba n (6.4 Estimación de la integral con un solo trapecio Por otra parte. en consecuencia.4. cuando se usan varios segmentos de líneas rectas. el error total se obtiene sumando los errores de cada segmento.1 6. Se observa que si n tiende a infinito. n β x ba n x= b j=1 Fb = f(x) x(j) = a SUM= F+Fb+S2 F=f(x(j)) j= j +1 A S2 = S2 +2F(j) x SUM 2 A x(j) = x(j-1) +x x(j)b ? si F(j ) =f(x(j)) FIN β FIG.1 METODO TRAPECIAL Ejemplo 6. evaluada en el punto i localizado dentro del segmento i. D6. calcule el error con ecuación (6-6) y.1 usando el método trapecial con 10 segmentos (n = 10). compare sus resultados con el que se obtenga en forma analítica. S2 = 0 a. b. .138 (b a)3 n Ev f "(i ) 12n3 i 1 (6-6) en donde f ”(i ) es la segunda derivada de la función a integrar.3 Resuelva la integral del ejemplo 6. finalmente. por lo que.6 j 1 9 por tanto.6) 72.1066666667 =33.1066666667 12(10)3 12n3 i 1 por lo que. es: (x 0 4 2 1 4 2 x 1) = x 3 x 2 x0 100 / 3 u2.4 1.139 4 ( x 2 2 x 1)dx 0 Solución.333 u2. es.3 y se estimó. La solución analítica..4 j ) 23 2 j 1 2 101 j 1 f (0 0. 2 Para calcular el error se elaboró la tabla E6. Con estos datos ecuación (6-4) queda: donde: 4 0 9 2/5 ( x 2 x 1)dx 1. La función a integrar es f(x) = x2 +2x-1.00 y f(b) = 23.8) .0 2(72. (x 0 4 2 2 x 1) =33. un resultado más preciso de la integral que se está evaluando. De acuerdo con (6-4.44-0. f (3. f(a) = -1. que en este ejemplo puede obtenerse..00 = 33.4) f (0.44 u2. 3 .00.1) x = (4-0)/10=2/5.00 2 f (0 0. el valor aproximado de la integral es: (x 0 4 2 2 x 1) = 0. de acuerdo con ecuación (6-6) en: Ev (b a)3 n (4 0)3 f " (i ) = * (20) -0.4 j) f (0.6) 23.4 j) f (0. 80 1.16 9 3.20033427 5 30) e Si se usan 30 trapecios (n = 30).4 2 5 2.0000 5 0) e 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 Valores de z 30 40 30 ( 2*30 / 30) b = 30 f(b)= 200 =23.4 Resolver el siguiente problema que corresponde a la fuerza sobre el mástil de un velero de carreteras (aplicación a ingeniería civil).3): .4j) n F”() 1 0.0 2 4 1.40 9.64 8 3.2 2 2 0.44 7 2.6 2 8 3.6 2 3 1.20 15. entonces z = 1.60 Ejemplo 6.00 7.2 2 7 2. La parte intermedia de ecuación (6-4) es (con datos de tabla 1E6.3 Datos para calcular el término medio de ecuación (6-4) y el error según ecuación (6-6).60 19.140 Tabla 1E6.3 70 Valores de f(z) z ( 2 z / 30) f(z) = 200 5 z ) e 0 ( 2*0 / 30) a = 0 f(a)= 200 = 0.40 -0-04 1 0.20 2. Identificación de elementos: 80 Figura E6.76 4 1.84 3 1.4 2 10 3.56 6 2.60 4.24 2 0.00 5 1.8 2 6 2. representado por la integral: 30 z ( 2 z / 30) F 200 dz e 0 5 z Se resuelve aplicando el método trapecial con n = 30 Solución.80 12.8 2 72.4j f(0. j 0.0 2 9 3. entonces los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer grado.653 6 73.951 15 55.000 1 31.594 23 35.176 21 39.456 11 66.894 28 26.435 13 60. por ejemplo.678 30 23. si existen dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b). por lo que. Tabla 1E6.533478)= 2.479 26 29.442 17 49.066957 23.141 n 1 29 2 f (a z. Sin embargo.405 4 68. pueden conectarse los tres puntos con una parábola. como en el caso anterior.4 Cálculo de los valores de f(z) Z f(z) 0 0. etc.20033427 1.561 10 68. se recomienda incrementar el número de trapecios para mejorar la solución.143 19 44.182 Continuación z f(z) 16 52.613 20 42.639 27 27. si hay un punto medio entre f(a) y f(b).3. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les .757 18 47.126 7 73. 465.3 Métodos de Simpson El método de Simpson permite conectar puntos de una curva con polinomios de orden superior.160 8 72. 477.835 22 37.184 2 50.417 25 31. 6.010 3 61.455 24 33.083 5 71.242 29 24. generando el método parabólico (Fig.133646 u2 e 0 2 5 z En este caso no es fácil encontrar la solución analítica.5). j ) 2 f (1 * j ) = 2(1.042 12 63.717 14 57.066957 j 1 j 1 Con esta información la ecuación (6-4) conduce al valor: 30 1 z ( 2 z / 30) F 200 dz = 0 2931.200 6.203 9 70.931. la integral de la parábola es: a 3 b 2 2 3 x (ax bx c)dx 3 x 2 x cx x 3 a(x) 2. en conectar grupos sucesivos de tres puntos (a. x2 = Δx]. permite encontrar los valores de las constantes a.1Método parabólico Consiste.3. a f (a) 2 f (b) f (c) 2(x) 2 . x1 = 0.(x) 2 x x (6-7) Para encontrar las constantes a y c. de estas tres ecuaciones. b a c Fig.142 llama reglas de Simpson. Este método proporciona una aproximación más precisa que la regla trapezoidal. b y c.5. Suponiendo que el punto medio (x1) coincide con el eje de las ordenadas [a = -Δx.3. quedando como se muestra a continuación. b y c. como se muestra en figura 6. obteniendo: f(a) =a(-x)2+b(-x)+c f(b)=a(0)2+b(0)+c f( c )= a(x)2+b(x)+c La solución simultánea.5 Representación gráfica del método de Simpson 6.c. b y c). como se dijo. 6. ya que se unen puntos consecutivos mediante curvas. mediante parábolas. se sustituyen las coordenadas de los puntos a. 10) Con un razonamiento similar se puede concluir que si al área bajo la curva se divide en n sub-áreas (arriba fue n = 2. con lo que.143 b f (c ) f ( a ) 2(x) (6-8) c = f(b) sustituyendo estos valores en ecuación (6-7).puede escribirse de la forma siguiente. b a f ( x)dx n 1 n2 x f (a) 4 f (a xj ) 2 f (a xj ) f (b) 3 j 1. entonces.. 4 .. es conveniente escribir. es decir: . 5.2.. para encontrar el área bajo la curva por el método numérico de Simpson – cuya rutina de cálculo se muestra en figura D6. 3.9) queda: x x (ax 2 bx c)dx x y0 4 y1 y2 3 (6. yi+1 = f(b) y yi+2 = f(c). el error se puede estimar con una ecuación del tipo (6-6). 6 .. una ecuación general.3.3. en forma general. yi = f(a). ecuación ( 6-7 ) se transforma en: x x (ax 2 bx c)dx x yi 4 yi 1 yi 2 3 (6-9) Si i = 0. ecuación (6. j 2 . resulta finalmente que: x x (ax 2 bx c)dx x f (a) 4 f (b) f (c) 3 Para no confundir f(b) con f(b).. (6-11) 6..2 Error en el método parabólico En este caso. por lo que n tiene que ser par). 20 por lo que. ya que.3 por el método de Simpson.4j) 1 0.60 19.00 = 33. la función por integrar está representada por una ecuación de segundo grado.76 5 2.16 72. 3 La cual corresponde al valor exacto de la integral.40 9. de ecuación (6-12).5 Resolver el problema 6.84 4 1.3 se concluye que: j 0.40 -0-04 2 0.4 * j ) 41. Solución. Con los datos de la tabla 6. se llega a: (x 0 4 2 2 x 1) 0.44 8 3.60 4.4 1 4(41.20 15.00 7.20 2.24 3 1.00 6 2.4 * j ) 31.56 7 2.20) 23.64 9 3. Si se conoce el valor exacto de la integral.80 12. entonces es conveniente que (6-12) se escriba como Ev (b a)5 ( IV ) f 180n 4 (6-13) Ejemplo 6.144 Ev (x)5 n IV f (i ) 180 i 1 (6-12) donde i puede estimarse para los puntos medios de cada x.40 (cantidades en negritas) y 8 9 j par f (0.80 1.4j f(0.333 u2.60 j impar f (0. usando las mismas áreas que en aquél (n = 10). Otra forma de observar que .40 2(31. Inicio a. la cual indica que el error es cero. b. n. D6. debido a que la f IV (x) es nula.145 100/3 es valor exacto de la integral es por observación directa de ecuación (6-13).2 METODO DE SIMPSON . S1= 0 S2 = 0 x ba n j=1 x(j) = a F=f(x(j)) j= j +1 j< n +1 S Xj =x(j-1)+x = S=F+f(b) SUM=S+S1+S2 A S=S2+4f(xj) N j es Par? S S1=S1+2f(xj) A x SUM 3 Fin FIG. 6.0000 f(b) =f(/2) = 0.0966) 2(1. f(x) = f(a) = f(0)= 1.5 1. j 2. primero deben conocerse los límites y la función que se integra..5486) 0.6 se puede escribir. con lo que (1 senx) 2 sustituyendo en ecuación (6-12)..0 0. con datos de tabla 1E6. se tiene: /2 0 dx / 20 1. 1 .146 Ejemplo 6.0 x Solución.6 Use la regla de Simpson para evaluar la integral = 10.5 2. 9 8 4 f (0 * j ) =4(2.0 0...66673u 2 2 (1 senx) 3 . con n (1 senx) 2 1.0972 20 20 j 1.3.5. x = /20 Ahora.3864 y 2 f (0 * j ) = 2(1.2500 Para n = 10.0 0.2500 0.. En cualquier caso. así que: Límite inferior a = 0 Límite superior b = /2 La función a integrar es.0000 4(2.6 0.8 0.2 1. f(x) /2 0 dx .5486)= 3.2 0.096)= 8.5 1.0 Figura del problem a 6.4 0. 4.. 0996 1. E. La derivación de estos términos es muy lenta y no será dada aquí..5836 0. son funciones de f(x) y sus derivadas.9425 1. D.2796 0. 2 j 1 (6-14) donde C.3431 0.2627 0.3142 0.. entonces. ecuación (6-14) 2 j 1 puede ser escrita como: I I C (x)2 D(x)4 E (x)6 _ (6-15) .2566 1.6283 0.7854 0.2531 0.6 j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 0.5708 f(x) 1.3056 0.4712 0.3. no se consideraron dichos términos. pero los detalles son dados por Ralston.1571 0. El resultado es que la regla trapezoidal puede ser escrita como: I n 1 x 2 4 f (a) f (b) 2 f (a x * j ) C (x) D(x) . Debido a que para aplicar esta extrapolación. Los términos involucran los anteriores x de orden superior conteniendo el error.0000 0. Si se le llama I _ n 1 x f (a) 2 f (a x * j ) f (b) .0000 0.4 Método de Romberg Esta técnica poderosa y eficiente.7478 0.4730 0. está basada en el uso de la regla trapezoidal combinada con la extrapolación de Richardson.. etc. los cuales incluyen el término dominante (x)2.3967 0. pero no son funciones de x. es necesario conocer la forma general de los errores para la regla trapecial.147 Tabla 1E6. de integración numérica.2500 Identificación f(a) J impar J par J impar J par J impar J par J impar J par J impar f(b) 6. En el curso de la derivación del método de Romberg.4137 1. 148 Considerando ahora dos valores de x. Si ahora evaluamos I 3 . en forma generalizada. se adopta una nueva notación. para cada nueva evaluación de I .donde x3 = 1 x2 y extrapolando I 2 y I 3 . (6-16) se transforma en. Este procedimiento sistemático es llamado integración de Romberg. 2 _ _ _ 4 I 3 I 2 I 4 D(x2 ) 4 20 E (x2 )6 3 _ _ (6-20) Entre ecuaciones (6-20) y (6-21). 4 I 2 I1 I 4 D(x2 )4 20 E (x2 )6 3 _ _ (6-19) El término (x)2 fue eliminado y el valor de la integral se aproxima con el término (x)4. puede ser eliminado un término más en el error. la regla trapezoidal. se sustrae (6-18) y se divide por 3. para x1 y x2. puede eliminarse el término (x)4. puede escribirse de la siguiente manera: . Si denotamos los valores correspondientes de I por I 1 e I 2 . la ecuación (615) conduce a. se llega a. x1 y x2. para obtener una estimación de la integral exacta para el término (x)6. Por consiguiente. se obtiene. por extrapolación. respectivamente. se considera primero que x1 =2x2. I 1 I 4C (x1 )2 16D(x1 )4 64E (x1 )6 _ (6-18) Si ahora se multiplica (6-17) por 4. _ _ _ I 1 I C (x1 )2 D(x1 )4 E (x1 )6 _ (6-16) I 2 I C (x2 )2 D(x2 )4 E (x2 )6 _ (6-17) Si en ecuaciones anteriores. Debido a que para describir el algoritmo en detalle. La extrapolación de este tipo es llamada extrapolación de Richardson. entonces. en T(1.149 T(1.3) 3 ba f (a) 2 8 j 1 ba ba f a . j f (b) . con x = yl=7 8 8 T(1. 4) 7 ba f (a) 2 16 j 1 ba ba f a . con x = yl=3 4 4 T(1.1) ba f (a) f (b) . con x =b-a y l = 0 2 ba ba ba f (a) 2 f (a 2 ) f (b) . con x = 2 y l = 1 4 T(1. k ) l x f (a) 2 f (a x * j ) f (b) 2 j 1 (6-21) donde x ba 2( k 1) (6-22) l 2( k 1) 1 (6-23) El número de paneles (trapecios).5) 15 ba f (a) 2 32 j 1 ba ba f a .k) está dado por 2k-1. T(1. j f (b) . con x = y l = 15 16 16 T(1. j f (b) .6) 31 ba f (a) 2 64 j 1 ba ba f a . 2) T(1. con x = y l = 31 32 32 . j f (b) . Por tanto. 150 La extrapolación se obtiene con: T( L .1) (6-25) Los valores extrapolados a lo largo de la diagonal. K 1) T( L 1.1) T(1. 2) 3 .2) T(L.1) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ T(L-1. etc.2) T(2. para la columna 3 (L =3).1) 15 .2) T(4.1) T( L 1.1) 3 y T( 2. sobre los dos últimos valores de la diagonal. para la columna 2 (L =2). K ) 4 L 1T( L 1. T( L .L) T(2.L-1) T(3. 2) T( 2.1) 4 T(1.2) T(3. K ) 4 L 1 1 (6-24) por ejemplo.1) 16T( 2.1) T(1. se reduce a.1) tol (6-26) donde tol es la tolerancia admitida en la exactitud prefijada. se tiene: T(3.1) T(1.3) T(2. etc.3) T( 2. . en la primer columna. convergerán a la respuesta correcta mucho más rápidamente que los valores proporcionados por la regla trapezoidal.. 2) 4 T( 2.L-2) … T(L-1.3) T(3.1) T( L .1) T(1.. Los resultados anteriores pueden ser ordenados en el siguiente arreglo matricial. 2) T(1. T(1. T( 2.4) T(2. si ésta es cero significa que no se admite error en la solución. Para detener el proceso se aplica la prueba de convergencia relativa. 4.151 El procedimiento. consiste de los siguientes pasos: 1. 2. 2) 80 1 2 f (4) 529 712 4 . Comparar los dos últimos elementos de la diagonal. D6. Ejemplo 6. T(3.1) con T(1.7 Resolver la integral (8 x 0 8 5 4 4 x3 2 x 1)dx (ver figura del ejemplo). El diagrama de flujo correspondiente al método de Romberg. dando un resultado de 72 u2 y la integración de Romberg debería aportar una respuesta en solamente unas cuantas extrapolaciones. Este polinomio puede ser integrado analíticamente.1) con T(2.120 2 T(1.1). Con ecuación (6. Solución. entonces. f(a) =f(0) = b = 8.1) 3.2) y T(3. Si se cumple la condición. Aplicando prueba dada por (6-26). Repetir paso 3 comparando T(3.3).1) 6.2).1).1) es el valor aproximado de la integral. T (2. mediante ecuación (6-26). para una fácil aplicación del método numérico de Romberg. Calcular T(1.1) y T(1.3. se desarrolla el siguiente renglón 5. en esta ocasión T(2.21) Calcular T(1. Con ecuación ( 6-24) calcular T( 2. de acuerdo al método de Romberg. de cumplirse.1) es el valor de la integral. por tanto. de otra manera se repite el proceso para el siguiente renglón. con un margen de error igual o menor que el 0. así que. T(2.001%. puede consultarse en Fig.1) 80 1 529 = 2. Se observa que: f ( x) 5 4 x 4 x3 2 x 1 8 5 4 (0) 4(0)3 2(0) 1 = 1 8 a = 0. en caso contrario. f(b) =f(8) = 5 4 (8) 4(8)3 2(8) 1 =529 8 T(1. 1) 3 T(1. K 1 TL 1.J-1)/2+SUM*x L=2 K=J+1-L J=3 TL K 4 L 1TL 1. Diagrama de flujo del método de Romberg .1)= 4T (1.152 a. tol ba f (a) f (b) 2 ba ba T(1. D6.3.2) T (1.1 tol i=1 Escribir S x =x +2x SUM = SUM + f(x) b a f ( x)dx TJ .J)=T(1.2)= f (a) 2 f (a 2 ) f (b) 4 1 T(2.1 TJ .1)= T(1.1 “i”=n? N i=i+1 Fig. b. K 4 L 1 1 x (b a) / 2 J 1 N L=L+1 x=a-x n=2(J-2) N J=J+1 SUM = 0 L=J? S TJ .1 TJ 1. 1) 3 4(712) 2120 242. 2120 712 242. lo cual se hace a continuación. es decir es necesario calcular el siguiente renglón del arreglo matricial.2) y T(1. 2) T(1. se obtuvo: T( 2. por lo que debe continuarse el proceso.37.1)].66667 242. para esta cuarta línea.67 72 114. la convergencia resulta.66667 72 15 La prueba de convergencia indica que el error relativo es igual a 2. obteniendo los siguientes resultados.153 Ahora.1) 16 * 82. T(1. el valor 72 exacto de la integral es 72.736.3) 3 3 80 8 1 2 f ( * j ) 529 = 1 2 f (2 j ) 529 =240 8 4 j 1 j 1 extrapolando para T(1.5 72.1) y T(2. se obtiene un valor de 7. aplicando ecuaciones (6-22) y (6-25).3). puede escribirse la solución como.1) 4 T(1.66667 3 Si se efectúa la prueba de convergencia sobre la diagonal [T(1.67 72 72 72 72 0 . 2) 4 * 240 712 82. de ecuación (6-25). con ecuación (6-25). la extrapolación resulta ser: T( 2. (8 x 8 0 5 4 4 x 3 2 x 1)dx 72u 2 . por lo tanto.67 240 82. dada por ecuación (6-26). es decir. por lo que se calculó el siguiente renglón.666667 y 3 T(3. 148 1468. dada a continuación con tres decimales exactos.379 1480.565 1480.568 1480.515 1479.685 1476.0000 5 0) e 30 ( 2*30 / 30) b = 30.005 1001.933 1480. Primeramente se identifican los límites de integración y la función por integrar: Para este caso se tiene que: z ( 2 z / 30) f(z) = 200 5 z ) e 0 ( 2*0 / 30) a = 0.572 1480.731 1219. . se llegó a los resultados siguientes: 348.644 1479.559 1480.569 1480.20033427 5 30) e Siguiendo el mismo procedimiento que el ejemplo 6.007 1473.568 no conv 1440.585 1426.572 1480.640 1320.304 1480.568 no conv 1499.665 1480.569 Por tanto: 30 z ( 2 z / 30) F 200 dz 1480.233 1480.859 no conv 1480.9 Use el método de Romberg para resolver la integral.857 1477.154 Ejemplo 6.572 1480.7. por consiguiente:f(b)= 200 =23.811 1480.569 1480.569 1480.627 no conv 1480.572 1480.627 1480.869 1435. por tanto:f(a)= 200 = 0.628 1480.569u 2 e 0 5 z 6.569 no conv 1480.8 Resolver la siguiente entegral por el método de Romberg 30 z ( 2 z / 30) F 200 dz e 0 5 z Solución.548 1480. 981 -140.981 -140.980 -140.962 -141.3310077 -373.980 -140.155 (2senx e 0 5 x 1)dx Solución.980 -140.728 -159. 10 0 -10 0.0 3.980 En este caso (2senx e 0 5 x 1)dx =-140.981 -140.980 -140. se procedió igual que en el ejemplo anterior.9 6.3.099 -140.328 -211.980 u2.0 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110 -120 -130 -140 -150 x 1.637 -141.0 5.628 -157.234 -142. b = 5.283 -140.970 -140.190 -140.000 f (b) f (5) 149.980 -140. llegando a.631 -145.795 -141.980 -140. Sabiendo que f ( x) 2senx e x 1 y a = 0.0 2.056 -140.980 -140. a diferencia de los métodos trapecial y de Simpson que son de aplicación inmediata para intervalos .996 -143.0 f(x) Figura del problem a 6. f (a) f (0) 0.980 -141.988 -140. el cual emplea espacios de intervalos desiguales.5 Cuadratura de Gauss La cuadratura Gaussiana es un método de integración numérica muy poderoso.0 4.885 -142. Legendre basada en dos puntos Se observa en figura 6. Las fórmulas particulares de cuadratura gaussiana descritas en esta sección se llaman fórmulas de GaussLegendre. por lo que.7). existen casos como el de la figura 6. se obtiene aquí la fórmula de Gauss –Legendre basada en dos puntos. f(a)] y [b. I f (a) f (b) (b a) 2 que puede escribirse como I c1f(x1) + c2f(x2) (6-27) .156 constantes. en donde la fórmula genera un error muy grande. aunque también se pueden aplicar con ciertas reservas. Ahora.1 Derivación de la fórmula de Gauss. La cuadratura gaussiana usa esta estrategia.6 Regla trapezoidal usando un solo trapecio 6. el valor de integral será más exacto. como ilustración.3. colocando estos puntos de manera que dicha línea minimice el error en el cálculo del área (Fig.6 que el área del trapecio es. supóngase que la restricción de fijar los puntos base se elimina y se va a evaluar libremente el área bajo el segmento de línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva.5.6. uniendo con un segmento de recta los puntos con coordenadas [a. 6. Aunque la derivación de estas fórmulas no son objeto de este libro. f(x) ERROR f(a) f(b) x=a x=b x Fig. 6. f(b)]. Debido a que la regla trapecial debe pasar a través de los puntos límites. se extiende este razonamiento al suponer que también se ajusta la integral a una función parabólica (y = x2) y a una función cúbica (y = x3).157 En donde c1 y c2 son incógnitas. Por lo tanto. se determinan las cuatro incógnitas conviniendo en derivar una fórmula de integración de doble punto que es exacta para cúbicas.8). Haciendo esto. c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 ) 1dx 2 1 1 (6-28) c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 ) xdx 0 1 1 (6-29) c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 ) x 2 dx 1 1 1 2 3 (6-30) c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 ) x3dx 0 1 (6-31) La solución simultánea de estas ecuaciones (se deja la demostración al lector). por consiguiente. sino que son incógnitas (Fig. 6. Se pueden obtener dos de estas condiciones suponiendo que la ecuación (6-27) ajusta exactamente la integral de una constante (y = 1) y de una función lineal (y = x). para llegar a las otras dos condiciones. en contraste a la regla trapezoidal que usa como puntos extremos a y b. se requieren de cuatro condiciones para determinarlos exactamente.7 Segmento de recta compensando áreas. Entonces. los argumentos de la función x 1 y x2 ahora no están a los puntos extremos a y b. Sin embargo. Las cuatro ecuaciones por resolver son: f(x) x Fig. es: c1 = c2 = 1 . se tiene un total de cuatro incógnitas que se deben evaluar y.6. 158 x1 = -x2 = - 1 3 por lo que. se tiene: (6-33) a0 ba 2 y que a1 ba . ecuación ( 6-33 ) se transforma en: 2 . entonces puede escribirse que: x = a0 + a1xt Puesto que cuando x = a. xt = -1 y para x = b. Que es la ecuación de Gauss.8 Gráfica para deducir la fórmula de Gauss. Por ejemplo. Como se observa se llega al resultado interesante de que la suma de la función valuada en x 1 y x2 lleva a una estimación de la integral con una exactitud de tercer orden. Un simple cambio de la variable se puede usar para trasladar otros límites de integración en esta forma. Esto se hizo para simplificar la aritmética y hacer la formulación tan general como sea posible. 6. suponiendo que la nueva variable xt está dada en función de la variable original x. Es interesante observar que los límites de integración de ecuaciones (6-28 a 6-31). xt = +1. I 1f(- 1 1 ) + 1f( ) 3 3 ( 6-32 ) f(x) F(x1) F(x2) -1 x1 x2 1 x Fig. con lo que.Legendre basada en dos puntos. ecuación (6-27) queda. en forma lineal. van desde –1 a +1.Legendre. los valores de xk correspondientes a los k pueden ser encontrados de (6-37) y.1 Ceros (ek) y pesos (wk) n 2 3 Ceros.159 x ba ba ti 2 2 (6-34) entonces: dx = ba dti 2 (6-35) En muchas ocasiones esta transformación dificulta. desde m = 2 y m = 24 (una listade los primeros cuatro puntos se muestra en tabla 6.6521451549 0. . en este caso: x ba ba k 2 2 (6-37) los valores de k con sus correspondientes pesos wk. finalmente. por lo que una forma más práctica para resolver una integral es aproximándola con: a b f ( x)dx ba m wk f ( xk ) 2 k 1 (6-36) donde los wk son los factores de peso. wk 1 8/9 5/9 5 1 3 0 4 3 (15 120 ) / 35 (15 120 ) / 35 0. ek Pesos.1). fueron obtenidos para valores de m de 2 a 256. En el apéndice B se encuentran valores de k y wk. La ecuación equivalente a la (6-34) es. usar (6-36) para estimar la integral. los cálculos. aparentemente. las xk son los m puntos con espacios desiguales y corresponde al número de puntos para los cuales la función f(x) será evaluada. (Los k son los m ceros del m-avo grado de las polinomiales de Legendre). Tabla 6.3478548451 Después deseleccionar el valor de m. 461733041) 0. usando la cuadratura de Gauss- Solución.3399810436) 1.10 Resolver la integral Legendre con m = 4.3399810436) 0.2325698375 2 f ( x4 ) x4 cos x4 (0. de ecuación (6-36).2334126957 2 f ( x3 ) x3 cos x3 (1.3399810436 0.1090632858)2 cos(0.7745966692 0.052418651)2 cos(1.1090632858) 0.5487769211 2 f ( x2 ) x2 cos x2 (0.5555555556 0.01182412731 Finalmente.8611363116 wk 1.8611363116) 0. /2 0 x 2 cos xdx . se tiene que el valor aproximado de la integral es.8611363116) 1.5183776762) 0.461733041 2 2 4 4 ba ba = (0.5183776762 2 2 4 4 ba ba = (0. Del apéndice B se encuentra que los ceros y los pesos son. x1 ba ba = (0. n 2 3 4 k 0.3478548451 De ecuación (6-37) los valores de las xk son.052418651) 0.052418651 2 2 4 4 x2 ba ba = (0.5183776762)2 cos(0.1090632858 2 2 4 4 x3 x4 Los correspondientes valores de f(x) son: f ( x1 ) x12 cos x1 (1.5773502692 0.461733041)2 cos(1.160 Ejemplo 6. .0000000000 0.0000000000 0.8888888889 0.6521451549 0. Haciendo el cambio de variable de tal forma que los límites sean desde –1 hasta +1.161 _ 4 ba m = I wk f ( xk ) I wk f ( xk ) 4 k 1 2 k 1 _ I /2 _ 4 0.5951147936 0.467402066 Ejemplo 6. De ecuación (6-35) se tiene: x = 0.2 0.0 0. ésta queda: 1 1 (0. posteriormente aplique ecuaciones (6-38) y (6-37). es decir.0 20.6 0.4 Figura del problem a 6.12 0.4)dxt f(x) 35.2 25 xt 200 xt2 675xt3 900 xt4 400 xt5 )(0.8 0 (0.8 x Solución. Primero use ecuaciones (6-35) y (6-36) y. y de ecuación (6-36) dx = 0.0 .0 10.4xt.0 0.0 25. 30.467402066 u2 0 x 2 cos xdx 0.0 5.2 25x 200 x 2 675 x3 900 x 4 400 x5 )dx .40 dxt sustituyendo en la integral por resolver. para el primer caso apóyese en ecuación (6-33).4 + 0.11 Resolver la integral 0.0 15.0 0. En ambos casos use m = 2. k 1 2 k + 0.3 se encuentran los ceros y los pesos como.291851362*. . f ( x) 0.4 + 0.264593082 Finalmente.5773502692 . se tiene que el valor aproximado de la integral es.40 0.6309401077 2 2 x2 Los correspondientes valores de f(x) son. = 0.4(0.5167404544 f(x2)= 3.0000000 De ecuación (6-38) los valores de las xk resultaron.se tiene.1690598923 y x2 = 0.3058212300 usando (6-33).6309401077 por tanto f(x1)= 1.4(-0. De tabla 6.3058212300 = 1.2 25x2 200 x2 675x2 900 x2 400 x2 3.162 puesto que para dos puntos es válida ecuación (6-33).264553074*.5773502692) 0.4=1.4=0. x1 ba ba = 0.40 0.822562 Ahora se resuelve como en el ejemplo 6. en la que sólo basta calcular la función transformada en x1= -x2 = -1/3.2 25x 200 x 2 675x3 900 x 4 400 x5 f ( x1 ) 0. pueden estimarse las variables así: x1 = 0.4xt.0.4+0.5773502692)=0.4(0.29185136 2 3 4 5 f ( x2 ) 0.2 25x1 200 x12 675x13 900 x14 400 x15 1.4xt.=0. I = 0.5773502692) 0.5773502692)=0.4 + 0.0000000 1.8.5467405448+1.16900598923 2 2 ba ba = 0.4+0.5773502692 wk 1.4(+0. de ecuación (6-36). 163 2 ba m = 0.4 wk f ( xk ) I wk f ( xk ) k 1 2 k 1 _ I= 0.4 wk f ( xk ) =0.4(4.556444442)=1.822577777, por tanto, k 1 2 0.8 0 (0.2 25x 200 x 2 675 x3 900 x 4 400 x5 )dx = 1.822577777 u2. Problemas propuestos Resolver los siguientes problemas por los métodos que se indican a la derecha 6.1 3 / 20 0 sen(5x 1)dx , método trapecial (n = 20) 6.2 4 0 xe 2 x dx , método de Simpson con n = 10 6.3 e x senx 0 1 x 2 dx , método trapecial con n =12 3 6.4 2 dx , método de Simpson con n = 8 3 1 2x 2 3 6.5 0 (8 5senx)dx , método de Romberg con tol = 0.0001 6.6 15.3 0 1 2.5 x dx , método de Romberg con tol = 0.001 6.7 10 0 (10 2 x 6 x 2 5 x 4 )dx , cuadratura de Gauss con m =3 y analíticamente. (1 x 4 x3 3x5 )dx , cuadratura de Gauss con m = 4 6.8 5 3 164 6.9 /2 senx 1 0.25sen 2 x 0 dx , por todos lo métodos y compare resultados. ex 6.10 dx , por todos los métodos y compare resultados. 0 1 ex 1 En los problemas siguientes (6.11 a 6.16), primero trate de resolverlos con sus conocimientos de cálculo integral, es decir, use los métodos analíticos para encontrar la solución. Podrá comprobar que son difíciles de resolver, por no decir imposibles; si es así, aplique el método numérico que le asegure un resultado satisfactorio. 6.11 3 / 2 /2 senx dx , por dos métodos y compare resultados. x 6.12 2 0 1 x 4 dx , por dos métodos y compare resultados. 6.13 1.8 0 1 x3 dx , por dos métodos y compare resultados. 1 x 2 dx , por dos métodos y compare resultados. dx 1 x3 6.14 1 3 0 6.15 2 0 , por dos métodos y compare resultados. 6.16 /2 0 senx dx , por dos métodos y compare resultados. 6.17 Demuestre, por integración, que el valor exacto de 2 0 4 x 2 dx = 6.18 Resuelva, por el método de Simphson (n =20) y Romberg (ε = 0.001), la integral: 5 2 5 ex dx 165 Capítulo 7 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 7.1 Generalidades Una ecuación diferencial se define como aquella ecuación que involucra derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican en: Ecuaciones diferenciales ordinarias y, Ecuaciones diferenciales parciales Ejemplos: d2y dy xy 0 , ecuación diferencial ordinaria 2 dx dx 2 d2y d4y 5 2 3x sen(t ) , ecuación diferencial ordinaria dx dx 4 U U U , ecuación diferencial parcial s t 2U 2U 2U 2 0 , ecuación diferencial parcial x 2 y 2 z 166 Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n, con variable dependiente y y variable independiente x, es una ecuación diferencial que puede ser expresada, en la forma: dny d n1 y dy a0 ( x) n a1 ( x) n1 ... a n1 ( x) a n ( x) y b( x) dx dx dx para a0(x) 0. Ejemplos: d2y dy 5 6y 0 2 dx dx d4y d3y dy x 2 3 x3 xe x 4 dx dx dx Observaciones Primera: La variable dependiente y y sus derivadas ocurren solamente a la primer potencia. Segunda: No hay productos de y y/o cualquiera de sus derivadas. Tercera: La variable dependiente y no es función trascendente. Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es aquella que, no cumple una o todas las recomendaciones anteriores, por ejemplo, d2y dy 5 5y2 0 2 dx dx d2y dy 5 y( ) 2 6 y 0 2 dx dx d2y dy 5y 6y 0 2 dx dx Denotaremos esos valores aproximados de y por y1. Posteriormente es posible encontrar soluciones aproximadas a tales problemas.. es notable en el sentido de que cualquiera de la enorme variedad de técnicas numéricas disponibles pueden ser aplicadas. que se presenta con el siguiente modelo matemático: dy f ( x. sucesivamente los valores de y en x1 = x0 + h. En esta sección introducimos ciertas bases. En las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales y. y3. a una ecuación diferencial. rara vez. La condición inicial (7-2) nos expresa que y = y0 en x = x0. de métodos numéricos. Un método numérico empleará la ecuación diferencial (7-1) y la condición inicial (7-2) para aproximar. sea denotada por y la solución del problema y h un incremento positivo de x. ser propiamente adecuada. De igual manera los sistemas lineales pueden. x2 = x1+ h. presentar grandes obstáculos para encontrar una técnica analítica adecuada y algunas ecuaciones diferenciales lineales.167 La aproximación numérica. sin tomar en consideración la ecuación diferencial por ser resuelta. para obtener aproximaciones de los valores de y correspondientes a varios valores seccionados de x. algunas veces. pero la exactitud de las soluciones aproximadas puede. es decir. . como se verá más adelante. desde luego. respectivamente. en marcado contraste al problema de dificultad para encontrar una solución analítica exacta. rara vez se requiere modificación a las técnicas numéricas. son virtualmente imposibles de resolver con los métodos analíticos exactos. para ecuaciones diferenciales ordinarias son muy poderosas y pueden ser aplicadas a una gran variedad de problemas. la mayoría no lineales. virtualmente a cualquier ecuación diferencial.. debe tenerse presente que tales métodos pueden tener dificultades inherentes propias. y ) dx y la condición inicial y(x0) = y0 (7-1) (7-2) Los métodos numéricos emplean la ecuación diferencial (7-1) y la condición inicial (7-2). Mientras que las técnicas numéricas. en las condiciones de frontera o condiciones iniciales. etc. denotamos por yn el valor aproximado de y en x = . La técnica numérica posteriormente puede ser virtualmente cambiada. para la aproximación de la solución de un problema de valor inicial. Para ser más explícito. a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. y2.. la solución exacta de es: y 2( x 1) 3e x (7-6) Se ha escogido este problema sencillo para propósitos ilustrativos. Sea el problema: dy = 2x + y dx con y(0) = 1 (7-3) (7-4) Se observa que se trata de una ecuación diferencial lineal y. De acuerdo con los métodos analíticos. es decir. una vez que se han calculado varios valores de y. Primera. Con el objeto de empezar. A continuación se presenta un problema simple de valor inicial que podría usarse para propósito de ilustración a lo largo de esta sección.. yn+1. la ecuación diferencial (7-3) es simple. podemos repetir con n = 1 para obtener y2.168 xn = x0 + nh (n = 1. por tanto. en este texto.. Aplicando la condición inicial (7-4). Ahora todo lo que conocemos. Una vez que hemos usado un método de arranque para obtener y1. en esta sección. por consiguiente.. a fin de que . necesitamos un método que requiera solamente el valor de yn a fin de obtener el siguiente valor de y. la solución exacta queda. se encuentra que C = 3. acerca de y antes de iniciar es que y = y0 en x = x0.para encontrar el siguiente valor de yn+1. tales como error y exactitud. y 2( x 1) Ce x (7-5) donde C es una constante arbitraria. Nuestro principal objetivo. puede ser resuelta de manera exacta.. por dos razones importantes. Un método que use solamente yn para encontrar yn+1 y que. Sin embargo. una vez que hemos conseguido iniciar suficientemente. ni deberíamos entrar en discusiones detalladas de temas. es llamado método de arranque. 4. Podemos aplicar tal método con n = 0 y usar el valor de y0 para estimar el valor de y1. será para los métodos de arranque. La mayoría de nuestra atención. Tal método que nos permita continuar.).. nos permita iniciar. para encontrar y3 y. por lo tanto. en el cual se use yn y uno o más valores anteriores yn-1. no deberíamos considerar la justificación teórica de esos métodos. En general. es presentar los detalles de ciertos métodos básicos para resolver problemas de valor inicial de primer orden. así sucesivamente. con n =2. 2. es llamado método de continuación. 3. frecuentemente es conveniente cambiar a un método. yn-2... que no pueden ser resueltas exactamente o para aquellas que prácticamente son difíciles de resolver.169 los métodos numéricos pueden serle aplicados sin involucrar una introducción a la computación. en la práctica no deberíamos resolver una ecuación diferencial lineal tan simple con un método numérico. Segundo orden 2. Entre ellos se discuten los siguientes: Euler Euler modificado Heun Runge-Kutta 1. ha sido encontrada podemos comparar los valores numéricos obtenidos con la solución aproximada y los de la solución exacta. Orden superior Después de la presentación de estos métodos. la cual podría oscurecer los pasos importantes del método. 7.1 Método de Euler Consideremos que la ecuación diferencial (7-1) se escribe en diferencias finitas hacia delante. Segunda. es decir: . Cuarto orden 4. 7. Los métodos de esta sección son diseñados para ecuaciones diferenciales. se resuelven problemas para un mejor entendimiento de los mismos. puesto que la solución exacta (7-6). del problema. se presentan técnicas numéricas para resolver ecuaciones diferenciales no lineales o ecuaciones diferenciales lineales que tengan dificultades para su resolución con los métodos analíticos tradicionales. para un principiante. Por supuesto.2 Métodos de solución En esta sección.2. Tercer orden 3. con lo que se puede aumentar alguna comprensión en la veracidad de los métodos numéricos. yi ) (7-8) Ecuación (7-8) es conocida como ecuación de Euler. de esta manera. dentro del intervalo x (Fig. . Una vez conocido y1 y x1 = x0 + x. ya que la parte derecha es conocida. se tiene: (7-7) yi 1 yi x. 7. puesto que para i = 0 se conoce la condición inicial dada por (7-2) el método de Euler proporciona y1 mediante una extrapolación lineal. Sin embargo. tienen mucho error al comparar los resultados obtenidos con los valores que arroja la solución exacta. por lo que. y (7-9) La ventaja de esta ecuación es que es muy fácil de aplicar.1). f ( xi .170 yi 1 yi f ( xi . y i ) x despejando yi+1.1 Método de Euler yi 1 yi x. yi) representa la ecuación diferencial por resolver. 7. las estimaciones de yi+1. Note usted que f(xi. ecuación (7-8) puede escribirse también como: y O predicho error O exacto xi xi+1 x Fig. con estos nuevos valores se obtiene y2 y x2 = x0 + 2x y así sucesivamente. su aplicación sólo se hará para tener una aproximación inicial de la solución y para aplicaciones de gran trascendencia se recomienda el uso de otro método ó hacer que x tienda a cero. se ha observado que para x grandes. 2.1. se nota que el error de truncamiento local Ev. sustituyendo la ecuación (7-1) en las ecuaciones (7-10) y (7-11). y 2. yi 1 yi yix yi y (n) (x) 2 . está dado por: . La primera está compuesta por un error de truncamiento local. alrededor del punto inicial (xi. está dentro del intervalo definido por xi y xi+1.171 La solución numérica de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) incluye dos tipos de errores: 1.1 Análisis de error en el Método de Euler Los errores de truncamiento se componen de dos partes. causados por la naturaleza de los métodos empleados en la aproximación a los valores de y. La suma de los dos errores es el error de truncamiento global. la segunda es un error de propagación que resulta de las aproximaciones producidas durante los anteriores. Errores por redondeo. Errores por truncamiento. i (x) n Rn 2 n! (7-10) donde x = xi+1 –xi y Rn es el término residual definido como: Rn y n 1 ( ) (x) n 1 (n 1)! (7-11) en esta ecuación . (x) n (x n 1 ) n! (7-12) donde (xn+1) especifica que el error de truncamiento local es proporcional al tamaño del paso elevado a la (n+1)-ésima potencia.. Comparando ecuación (7-8) con ecuación (7-12). El error de truncamiento se puede obtener derivando el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor.. que resulta al aplicar un paso del método. yi )x f ( xi . Se puede desarrollar una forma alternativa. yi ) (x) 2 (x)3 2 3! f ( n 1) ( xi . quedando: yi 1 yi f ( xi . yi). 7.. causados por lo limitado de dígitos o de cifras significativas que puede retener la computadora usada. yi ) f ( xi .. yi ) . yi ) 2 Ev (x) . tiene muchas limitaciones asociadas con su uso para este propósito.2) Aunque la serie de Taylor es un medio para cuantificar el error en el método de Euler. El error se puede reducir disminuyendo x. el resultado. es decir. (x) n (x n1 ) 2 n! (7-13) para un x suficientemente pequeño. usualmente se trata con funciones más complicadas que un simple polinomio. yi ) f ( n1) ( xi .. No proporciona una medida de la propagación y. . la solución de la ecuación diferencial ) es lineal. los errores dados por esta ecuación decrecen a medida que el orden crece y. por consiguiente.. De acuerdo con ecuación (7-14). Estas observaciones conducen a las siguientes conclusiones: 1. esta serie proporciona una idea valiosa del comportamiento del método de Euler. (7-14. por ello. 2. entre las cuales pueden citarse: 1) La serie de Taylor sólo proporciona una aproximación local del error por truncamiento. Aunque estas limitaciones no ayudan en el análisis exacto de errores en la mayor parte de los problemas prácticos. El método proporciona predicciones libres de error.1) Ea (x) 2 donde Ea es el error de truncamiento local aproximado. 2) En problemas reales. se ve que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso (x) y la primer derivada de la ecuación diferencial. las derivadas necesarias para evaluar la serie de Taylor no siempre son fáciles de obtener. a menudo se representa por: Ea ó yi (x) 2 2 (7-14. si la función fundamental (es decir. no es posible estimar el error global por truncamiento.172 f ( xi . el error generado durante el primer paso del método. xf yi+1 = yi + x*Fi Definir f(x. yi ) S β fin xi xf? N DIAGRAMA DE FLUJO: MÉTODO DE EULER Ejempo 7. Inicio β y0.1 Se resuelve la ecuación diferencial ordinaria dada por (7-3) y la condición inicial (7-4). yi Fi= f(xi. yi xi. con Δx = 0.5 y xfinal = 5 dy 2x y dx con y(0) = 1 . De aquí que el método de Euler se conozca como método de primer orden. x. x0. y) i = i +1 i=0 xi = xi-1 + x Escribir xi.173 ya que la segunda derivada de una línea recta es nula. 93 33.547 52.92 53.5= 2.125 9.5*(2x0 + y0 ) = 1 + 0.000 0.995 yExacta 1.52 xi yi sustituyendo las condiciones iniciales. etc.000 yEuler 1.000 2.00 22. Para este ejemplo.000 4.174 Solución. que servirá para comparar los resultados obtenidos y poder cuantificar la exactitud del método de Euler.5*(2x1 + y1 ) = 1.330 160.750 5.500 2.50 Ahora. con estos valores se obtiene: y2 = y1 + 0.172 42. 0. Por ejemplo. para x = 0.257 90.781 26. etc.73 62. el punto inicial conocido es x0 = 0 y y0 = 1.31 43.59 49. 2.52(0. la ecuación diferencial propuesta como ejemplo.5.5)+1.000 1.000 1. se llegó a los resultados.258 66.946 4. De acuerdo con el valor de Δx.1.051 433. x 0.2.500 4. los valores consecutivos de x serán: 0.500 5.500 3.84 . yi ) = 2xi +yi. 1. 1.81 39.75.500 1. f(xi.51 59.794 259.000 3.887 104.000 1.239 E(%) 0.5.5. se obtiene y0+1 = y0 + 0.500 2.188 15. Como se dijo en la sección 7.5 + 0.52(0)+1 = 1.23 56.346 153.167 29. se tiene: y 2( x 1) 3e x =-2(0+1)+3e0 = -2(0+1) +3(1) = 1 Continuando de la manera descrita.155 8.17 46. Con la información anterior la ecuación (7-8) se escribe como: yi1 yi 0. tiene como solución exacta: y 2( x 1) 3e x . Para calcular los valores exactos se sustituyen los mismos valores de x usados en el método de Euler y se obtienen los valores de y.445 16. 1). se predice el valor de yi+1 con una recta (Fig. ya que existe un alto porcentaje de error.0 3.2. .2 Método mejorado del polígono – Euler modificado Este método usa el método de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo.0 5.0 4.175 Note usted que este método es muy aproximado. yi ) 2 (7-15) con este valor se calcula la pendiente en el punto medio de x ( Fig. que por su sencillez se describen a continuación. al principio del intervalo (x). 7. a).0 2.0 x Figura del problema 7. En seguida se presenta una gráfica de conjunto. lo cual es falso. Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este inconveniente. se supone que se aplica a través del intervalo entero.1(Euler) 7.2 Modificaciones y mejoras al Método de Euler Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la derivada. ya que. es decir: 1 yi 1 / 2 yi x * f ( xi .2.1. YEuler 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 f(x) YExacata 0.2.0 1. 7. 7. para tener en forma objetiva la solución y reflejar el error relativo. 176 yi1 f ( xi 1 / 2 . yi 1 / 2 ) (7-17) y Pendiente f ( xi 1 / 2 . 7. . Ahora esta pendiente se usa en la ecuación predictora de Euler para extrapolar linealmente de xi a xi+1.2 Esquema gráfico del método de Euler modificado El método del polígono mejorado es superior al método de Euler. ya que éste utiliza una aproximación de la pendiente en el punto medio del intervalo de predicción. y11 / 2 ) O aprox O exac a) xi xi+1/2 x y Pendiente f ( x11 / 2 . yi 1 / 2 ) (7-16) la cual se supone representa una aproximación válida de la pendiente promedio en el intervalo completo x. por lo que: yi+1 = yi + x f ( xi 1 / 2 . y11 / 2 ) b) x xi xi+1 Fig. .5 1) 3e0.5 1.875 El valor exacto es: y 2(0.993 53. éste sólo tiene el 13. respectivamente: 1 yi1/ 2 yi (0.177 Ejemplo 7. cuyo resumen se muestran en la tabla 1E7.50 4.591 8.547 8.167 7. Tabla 1E7.00 1.50 2.648 16.875 5.52( xi 0.172 Es notoria la mejoría se este método comparado con el método de Euler tradicional.65% De la misma forma se obtuvieron los demás valores.1 con el objeto de observar la mejoría de este método.786 259.25) 1.703 90.50 1.000 1.00 2.402 4.00 0. dada a continuación.2.238 80.946 1.051 12.993 47.922 7.946 Para estos valores el error relativo es: abs((1.762 135.864 235.2 x 0.000 0.659 284.5)2(0) 1 1.25) yi1/ 2 De las condiciones iniciales se obtienen los siguientes valores: 1 y01/ 2 1 (0.865%.548 52.00 f(xi + yi) 2xi + yi 1.346 10.747 433.607 10.029 373.773 19.864 226.919 26.000 2. La ecuación (7-15) y la (7-17) se escriben.155 5.25 1.722 34.00 3.922 10.00 4. Mientras en aquel tiene un error relativo de 62.865 yi 1.603 102.000 2.875 3.830 153.946 3.445 6.2 Se resuelve la ecuación diferencial ordinaria del ejemplo 7.608 171.257 9.991 29.646 60.5)2 xi yi 2 yi1 yi 0.25 2 y1 1 0.875) / 1.873 18.946) x100 3.250 1.52(0 0.50 5.238 87.919 31.657 5.762 143.239 13.594 1.873 14.50 3.84%.029 método de Euler modificado y(i+1/2) yexac Er(%) 1.794 11. 178 Yeuler mejorado 500 450 400 350 300 250 yexac Valores de y(x) 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 Variable independiente X 7. yiE 1 ) O O f ( xi . yi+1). yi) y otra en el punto final del intervalo (xi+1. y i ) x xi xi+1 . y f ( xi 1 .2. En seguida se promedian las dos derivadas con lo que se obtiene una aproximación mejorada. 7. de la pendiente en el intervalo completo (Fig. una en el punto inicial (xi.3).3 Método de Heun Este método calcula las dos derivadas en el intervalo Δx. esto es: yi1 f ( xi 1 . yi f ( xi . yi ) la cual se usa para extrapolar linealmente a yi+1. yi ) (7-19) Tomando en cuenta que la pendiente promedio. yi ) f ( xi 1 . por lo que se llama ecuación predictora. esta ecuación sólo es una predicción intermedia. en el método de Heun. 7. yiE 1 ) (7-18) En el método de Euler. es la pendiente que se extrapola para predecir el valor final de yi+1. yiE 1 ) 2 O x xi xi+1 Fig. sin embargo. Con este valor se calcula una pendiente aproximada al final del intervalo. yi ) f ( xi1 . yiE1 ) yi1 yi x 2 (7-20) .179 y f ( xi .3 Método de Heun El método estándar se detendría en este punto. entonces la ecuación de Euler se transforma en: f ( xi . quedando: yiE 1 yi x * f ( xi . la pendiente al principio de un intervalo. se estima con. En consecuencia. yi ) f ( xi 1 . y x = x + x k1= xf(x. dado por: a yij1 yij1 1 yij1 (7-21) Inicio 1 x0. yE) Definir f(x.180 que se llama ecuación correctora. y yE = y + k1 1 S x xf? N DIAGRAMA DE FLUJO METODO DE HEUN fin . el método de Heun es un método predictor – corrector. por esta razón es común encontrar representado este método como: Predictor- yiE 1 yi x * f ( xi .1) f ( xi . y) y y 1 k1 k2 2 Escribir x. xf k2 =xf(x+x. y ) x. yiE 1 ) Corrector yi 1 yi x 2 (7-20) Para calcular el error de dos iteraciones consecutivas se usa el criterio del error relativo. y0 x. yi ) (7-8. 3125 .875) = 3. yi ) 2 xi yi = 2(0) + 1 = 1. yi ) 2 xi yi = 2(0. se tiene.00 2. yiE1 ) Corrector yi 1 yi 0.1) f ( xi . Para esta aplicación. y(0) =1 y x = 0.5. se tienen los siguientes resultados.50 1. Se tiene que: f(xi.875 y iE 1 = 1. y i ) 2 xi y i Predictor- yiE1 yi 0. yi ) f ( xi 1 .875. yiE 1 ) 2 xi 1 yiE 1 (7-20) Iniciando con y0 =1 y x0 = 0 (valores iniciales). con x1 = 0. yiE 1 ) 2 xi 1 yiE 1 = 2(0.00 yiE 1 yi x * f ( xi . se usa ecuación (7-8.1) como predictor y ecuación (7-20) como corrector. yi) = 2xi + yi.50 El corrector conduce a.181 Ejemplo 7.50 f ( xi 1 .5*(2. Por lo que la adaptación. queda. del problema a resolver.5) + 1.50 = 2.5 2 con f ( xi 1 .875 2 Repitiendo nuevamente el proceso. f ( xi .0 + 0.50 Corrector yi+1 = 1.5) + 1.3 Se resuelve la misma ecuación diferencial de los ejemplos anteriores. yi ) = 1 + 0.875 + 0. 1.875 = 2.5 y y1 = 1.5*(1) = 1. f ( xi . f ( xi .5(2 xi yi ) (7-8. yi + q11k1x) (7-24) (7-25) k3 = f(xi + p2x. yi . 7. pero todas ellas se pueden ajustar a la ecuación.875 5. tanto la tabulación como la gráfica son las mismas.2. . yi + q21k1x + q22k2x) (7-26) . La función de incremento se puede generalizar con: = a1k1 + a2k2 + a3k3 + .+qn-1.4 Métodos de Runge-Kutta Los métodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquema completo de la serie de Taylor. ni graficarlos. sin requerir del cálculo de las derivadas de orden superior.3125 Por consiguiente. . kn = f(xi +pn-1x.3125 Corrector yi+1 = 1.0) + 3. por lo que. .875 + 0. Existen muchas variaciones de estos métodos. ya que. + ankn (7-23) en esta ecuación las an son constantes y las kn quedan definidas como: k1 = f(xi.3125 = 5. yi.50 3. 2 Es notorio que.9219 . .2k2x + . no se consideró necesario escribirlos.n-1kn-1x ) (7-27) . . yiE 1 ) 2 xi 1 yiE 1 = 2(1.182 f ( xi 1 . x) se le llama función de incremento y puede interpretarse como el promedio de la pendiente sobre el intervalo x.1k1x + qn-1. . yi 1 yi ( xi . etc. los resultados obtenidos son los mismos que los que el método de Euler modificado. yi + qn-1. x)x (7-22) donde (xi. el corrector proporciona el valor: 2. yi) k2 = f(xi + p1x. se debe suponer el valor de una de ellas.Kutta de primer orden con n = 1.183 Obsérvese que las k son relaciones recurrentes. Una vez que se ha escogido n. yi) k2 = f(xi + p1x. yi + q11k1x ) de la serie de Taylor se concluye (ver apéndice A).1 Método de Runge-Kutta de segundo orden La versión de segundo orden (n = 2). de acuerdo con (7-22). (7-31) . k 1 aparece en la ecuación de k2.2. n representa.a2 y. es yi 1 yi xa1k1 a2 k 2 donde k1 = f(xi. especificados por n.4. Se pueden desarrollar varios métodos de Runge . etc. Por consiguiente el método de Runge . Esta recurrencia hace que los métodos de Runge . los valores de las constantes a. por ejemplo. al menos en los métodos de orden menor que el cuarto.Kutta empleando una cantidad diferente de términos en la función de incremento (7-23). si se propone el valor de a2. el orden del método. por lo general. En el cálculo de k3 aparecen k1 y k2. Por consiguiente. entonces resulta que: a1 =1. 7. o sea que. para determinar las otras tres. corresponde al método de Euler. que: a1 + a 2 = 1 a1p2 = 1 2 a2q11= 1 (7-28) (7-29) (7-30) 2 En este caso y debido a que se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas.Kutta sean fáciles de programar. de p y q se evalúan igualando la ecuación (7-22) a los términos en una expansión de la serie de Taylor. yi + k1x ) x k1 k 2 2 (7-33) (7-34) (7-35) Obsérvese que k1 es la pendiente al principio del intervalo y k2 es la pendiente al final x.1. que f(x.1.184 p1 = q11 = 1 2a 2 (7-32) De lo anterior se concluye que existe un número infinito de métodos de Runge-Kutta de segundo orden. ecuaciones (7-31) y (7-32) conducen a los siguientes valores: a1 =1/2.1 Método de Runge-Kutta de segundo orden con a2 =1/2 -Método de Heun con un corrector simple En este caso. ecuación (7-28) conduce a: yi 1 yi xk 2 donde (7-36) .2. lineal o constante. es decir. por lo tanto. yi 1 yi x 1 k1 1 k 2 yi 2 2 donde k1 = f(xi.2. p1=q11=1. ya que. yi) k2 = f(xi +x. ecuaciones (7-28) a (7-30) se transforman en. con la garantía de que cada versión llevaría a los mismos resultados. y) sea cuando más lineal.4. por lo que. se puede escoger una cantidad infinita de valores para a2. Por tanto.4.2 Método de Runge-Kutta de segundo orden con a2 =1-Método del polígono Para a2 = 1. ecuaciones (7-31) y (7-32) indican que a1 = 0 y p1=q11=1/2. 7. este método corresponde al método de Heun con una sola iteración del corrector. 7. si la solución de la EDO es cuadrática. 1. es decir. yi + 3 4 k1x ) (7-41) Ejemplo 7. a1 = 1/3 y p1=q11=3/4 [según ecuaciones (731) y (7-32)].2. es el método de Euler modificado.3 Solución usando métodos de RK de orden 2 a)Heun con un corrector simple (a2 =1/2) Las ecuaciones (7-33) a (7-35).4. adaptadas a la ecuación diferencial que se está resolviendo. Note usted que. yi) y de (7-30) se tiene que k2 = f(xi + 1 2 (7-37) x. en este caso. se observa que este conjunto de ecuaciones corresponde al método mejorado del polígono.185 k1 = f(xi. yi) y ecuación (7-30) se escribe como: k2 = f(xi + 3 4 (7-39) (7-40) x. por lo que. (7-28) conduce a: 1 yi 1 yi x(k1 2k 2 ) 3 donde k1 = f(xi.3 Método de Runge-Kutta de segundo orden con a2 =2/3-Método de Raltson En Raltson (1962) y Rabinowitz (1978) llegaron a la conclusión que escoger a2 = 2/3 minimiza el error de truncamiento de los algoritmos de RK de segundo orden. 7. son: . yi + 1 2 k1x ) (7-38) Con estas características. 5 / 2k1 k 2 2 2 con k1 = 2xi + yi k2 = 2(xi +0.6 6.3225 y2 y1 0.875 k2 = 2(0.50 5.5 +0.50 5.86 132.17 29.38 48.50 e y1 = 1.325) 3.26 90.24 53.64 216.92 18.00 1.5) + (1.45 16.875 0.03 373.92 5.5 / 2k1 k2 =1. se obtiene: y01 y0 0.99 31.9 . k1 = 2xi + yi =2(0) + 1.24 yKR-2 K1=f(x.80 353.76 87.0 + 0.50 ahora.00 1.00 yExacta 1.7 13.875 )= 5.50 2. y) 1.7 5.00 4.35 153.50 4.50 1. En este caso se llegó a: x 0.54 575.25 * (2.7 12.31 9.875 = 2.17 383.186 yi 1 yi x 1 k1 1 k 2 yi 0.9218 El proceso se repite reiteradamente para estimar otros valores.88 3.92 7.6 9.875 + 0.00 3. se obtiene.24 80.92 26.86 226.0 3.5 / 2k1 k2 1.6 10.76 Er(%) 0.5*1)= 2. con la ecuación predictora.8 7.76 135.31 29.7 8.5) + 1.87 10.15 8.05 433.5) + (yi + 0.00 1.875 5.87 14.88 2.5*2.5k1) sustituyendo condiciones iniciales ( y0 = 1 y x0 = 0 ).0 = 1.0 + 2.25*(1.875: k1 = 2xi + yi =2(0.95 4.88 17.86 143.00 0.00 1.00 2.50) =1.50 3.17 K2 2.875 Repitiendo con x1 = 0.5) + (1 + 0.79 259.00 k2 = 2(0 +0.99 80.03 235.6 11.55 52.99 47. 50 3. los cuales se resumen a continuación: X 0.25*1) =1.873 14.5 + 0.5*(2. los resultados son iguales a los obtenidos por Heun.00 3.50 4.000 1.172 383.864 180.5) + 1.762 110.6 11.203 153.875) = 3. y) K2 1. ahora con x = 0.946 1.50 2. respectivamente: yi 1 yi xk 2 = yi 0.172 479.875.875 2.048 90.286 433.7 8.00 0.167 14.0 3.8 7.875 4.257 47.148 29.7 5.902 8.00 2.75 y1 = 1 + 0.238 67.92 de la misma forma se obtuvieron los demás resultados.155 3.919 24.75) = 1. obteniendo.762 87.09 y1 = 1.875 + 0. así como x = 0.993 40.6 6.445 7.875 Para otros valores se repite el proceso.873 10.00 yExacta yKR-2(a2=1) K1=f(x.50 5. k1 = 2(0.919 18.25) + (1.875)) =4.50.7 13.094 4.000 1.25) + ( yi + 0.875 + 0. (7-37) y (7-38) quedan.922 7.051 226.922 5.7 12.238 53.5*(1.187 b) método mejorado del polígono (a2 = 1) En este caso las ecuaciones (7-36).864 143.25*2.9 Como se observa.750 1.25k1) partiendo de y = 1 y x = 0.50 1.465 Er(%) 0.00 4.091 16.794 135.993 31.875 k2 = 2(0.6 10.875 = 2.000 1. yi) = 2xi + yi k2 = f(xi + 1 2 x.491 52. se obtienen los siguientes valores: k1 = 2(0) + 1 = 1 k2 = 2(0 + 0. .029 235.6 9.25) + (1 + 0.029 294.330 259.547 26.00 1.346 80.5 e y =1.5k 2 y k1 = f(xi. yi + 1 2 k1x )= 2(xi + 0.239 373. 703 5. y) K2 1.50 2.50 3.423 143.051 433.6 9.257 90.00 2. X 0.75*.5)+(yi + 0.993 47.953 87.50 5.172 K1=f(x.167 29.7 13. al problema por resolver. se obtiene.125) = 1.700 18.155 8.50 4.9 La figura es similar a la inmediata anterior.864 198.873 15. k1 = 2(0)+1 = 1 k2 = 2(0+0.00 0.000 1. es.375*1) = 2.000 1.993 44.875 Igual que en todos los métodos de RK de orden 2.50 1. ya que no hay cambios sustanciales en el valor de “y” calculados.563 235. yi + 3 4 k1x ) =2(xi +0.794 259. y0 =1.188 c) Método de Raltson (a2 = 2/3) La adaptación de las ecuaciones (7-39). .7 5.8 7.172 527.7 8.864 226. yi) = 2xi + yi k2 = f(xi + 3 4 0.00 yExacta 1.75*.00 3.00 1. (7-40) y (7-41).875 3.445 16.125 2.238 80.375)+(1+0.875 4.893 10.919 26.6 11.238 73.5 (k1 2k 2 ) 3 x.946 4. el resumen se muestra en la tabla siguiente.763 31.029 373.0 3.915 383.919 26.7 12.6 6.762 121.239 yKR-2(a2=2/3) 1.762 135.740 53.5k1) Iniciando con el punto conocido x0 =0.00 4.922 7.922 8.873 14. yi 1 yi x( 1 k1 2 k 2 ) = yi 1 yi 3 3 donde k1 = f(xi.346 153.125 y1 = 1 + 0.5/3*(1 + 2*2.6 10.547 52.612 Er(%) 0.000 2.029 323. 25)+(yi+0. arroja los valores.189 7. Ejemplo 7.2. La ecuación (7-42) predice los valores de y al final de cada intervalo.5)k1 4k 2 k 3 6 y k1 = f(xi.5*k1+k2) Para las condiciones iniciales dadas. . indica que se llega a un sistema de seis ecuaciones con ocho incógnitas. para poder resolver el sistema. El diagrama de fujo se muestra en figura D7. La sustitución de la ecuación diferencial a resolver las transforma en: 1 yi 1 yi (0. yi) = 2xi + yi k2 = f(xi + 1 x.4 Se resuelve la EDO de los ejemplos anteriores.1.5) + (yi-0. yi xk1 2xk 2 ) (7-45) Se hace notar que los métodos de RK de tercer orden tienen errores globales de (x4) y conducen a resultados exactos cuando la solución a la ecuación diferencial ordinaria es de tercer orden. (7-44) y (7-45). la primer iteración. con apoyo de las ecuaciones (743). La versión más común que resulta se escribe como: yi 1 yi donde x k1 4k 2 k3 6 (7-42) k1 f ( xi . yi xk1 2xk 2 ) =2(xi +0. yi ) 1 1 k 2 f ( xi x.4. para n = 3.25k1) 2 2 k3 f ( xi x. por consiguiente se deben suponer valores a dos incógnitas. yi + 1 k1x ) = 2(xi + 0.2. Los resultados de esta deducción a través de la serie de Taylor. yi xk1 ) 2 2 (7-43) (7-44) k3 f ( xi x.4 Método de Runge-Kutta de tercer orden Se puede llevar a cabo una derivación análoga a la del método de segundo orden. 50). yi + 1 k1x ) = 2(xi + 0.0 16.48 4. 6 6 A continuación se muestra el resumen de resultados y la gráfica de conjunto correspondiente.13 0.63 5.0 2.0 433.79 Yexacta YRK-3 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0.1(RK-3) .5)1 4(1.23 1. yi) = 2xi + yi =2(0)+1 = 1 k2 = f(xi + 1 x.79 151.25k1) =1.05 254.0 f(x) x 1.25 1.0 5. x y Yrk3 E% 0 1 1 0 0.08 3.0 Figura del problema 7.5 8.94 0.17 16.45 8.55 29.96 2.14 1.5 259.24 425.44 1.5)k1 4k 2 k 3 1 (0.0 4.0 4.0 3.69 1.0 153.75 2 2 k3 f ( xi x.5*k1+k2) =3.21 3.190 k1 = f(xi. 1 1 yi 1 yi (0.25)+(yi+0.5 1.5 90.5) + (yi-0.82 1. es.5 29.34 4.50 1.16 4.0 52.35 89.63 1.38 0.26 51.84 2. yi xk1 2xk 2 ) =2(xi +0. al final del primer intervalo (x = 0.25 Finalmente.95 1.9375 .01 0. el valor de y. etc.75) 3.51 1. por su exactitud y sencillez. xf k1 f ( x.1. y hk1 2hk 2 ) RETURN SUB KK y y h k1 4k 2 k3 6 x=x+h x. x xf? N fin S FIG.2. y) Definir f(x. y x = h f(x. h.4. y) k 2 f ( x 1 h. son los de cuarto orden.D7. x. y) k1 f ( x. existe un número infinito de .2 DIAGRAMA DE FLUJO METODO DE RK-3 7. y 1 hk1 ) 2 2 Escribir x. x.5 Método de Runge-Kutta de cuarto orden Los métodos de RK más populares. y k3 f ( x h. Al igual que en los métodos anteriores.191 Inicio SUB KK y. y = cond. y) = Ec. Inic. 5 k1 2(k 2 k3 ) k 4 6 k1 f ( xi . yi 1 xk1 ) 2 2 (7-47) (7-48) (7-49) (7-50) k3 f ( xi 1 x.25) + (yi + 0.25*1) =1.25) + (yi + 0.5*k3) Puede comprobarse que al sustituir las condiciones iniciales y procediendo igual que el método anterior. yi xk 3 ) =2(xi + 0. yi 1 yi donde 0. yi 1 yi donde x k1 2(k 2 k3 ) k 4 6 (7-46) k1 f ( xi .75 2 2 . k1 f ( xi . yi 1 xk 2 ) = 2(xi + 0. yi ) = 2xi + yi = 2(0) +1 = 1.5) + (yi + 0. yi 1 xk1 ) = 2(0 +0.00 k 2 f ( xi 1 x.25*k2) 2 2 k 4 f ( xi x. yi ) k 2 f ( xi 1 x. yi xk 3 ) Eejmplo 7. yi ) = 2xi + yi k 2 f ( xi 1 x. quedan de la siguiente forma. yi 1 xk 2 ) 2 2 k 4 f ( xi x. Sin embargo.192 versiones.5 Solución por el método de Runge Kutta de orden 4 Para la aplicación de este método se usan las ecuaciones (7-46) a (7-50). el método clásico de RK de cuarto orden es el representado por el siguiente grupo de ecuaciones. se llegó a los siguientes valores. yi 1 xk1 ) = 2(xi + 0.25) + (1+.25*k1) 2 2 k3 f ( xi 1 x. que al sustituir el valor de x dado. 75) =1.0 5.0 Figura del problema 7.04 1.0 52.15 0.5 29.95 1.95 0. solamente del 0.55 29.19 0.23 0.57 0.13 4.5*1.18 %.5) + (1+.15 0. exacta.12 3. yi xk 3 ) = 2(0+.5 8.0 16.0 f(x) x 1.193 k3 f ( xi 1 x.94) 2.25*1.94 2 2 k 4 f ( xi x.08 2.05 258.0 4.5 1 2(1.16 5.11 3. Es seguro que se tenga una mejora usando un Δx más pequeño.1(RK-4) . cada vez.0 2. es decir.52 0.17 16.5 1.09 2.44 0.26 52.0 433.07 1.18 Se observa que el error máximo es.24 432. con los nuevos valores se llegó a los siguientes resultados: x y Yrk4 E% 0 1 1 0 0.0 3.45 8.35 90. la solución es.15 4.94) =2. yi 1 xk 2 ) = 2(0+0.47 0.97 De (7-46) y 01 1 0.75 1.25) + (1+.63 0.16 4.5 259.79 153.0 4.95 6 Repitiendo el proceso. Yexacta YRK-4 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0.0 153.5 90. prácticamente.97 1. h. y 1 hk1 ) 2 2 k 3 f ( x 1 h.194 Inicio y. y k1 f ( x. xf x = h f(x. x. Definir f(x. y 1 hk 2) 2 2 k 4 f ( x h. y) k1 f ( x. Inic. y) = Ec. y) k 2 f ( x 1 h. y S x xf? N fin DIAGRAMA DE FLUJO METODO DE RK-4 . x. y = cond. y hk 3 ) y y h k1 2k2 2k3 k4 6 x=x+h x. y) Escribir x. 2. las cuales quedan para este problema como. Butcher encontró que los valores de y se obtienen con: yi 1 yi en la que x 7k1 32k3 12k 4 32k5 7k 6 90 (7-51) k1 f ( xi . yi 7 xk1 7 xk 2 12 xk 3 12 xk 4 8 xk 5 ) 7 7 7 Ejempo 7. yi 1 xk1 ) 4 4 k3 f ( xi 1 x. Butcher (1964). yi 16 xk1 16 xk 4 ) 4 3 2 k 6 f ( xi x.125*k1) 4 4 . yi 1 yi en la que 0.4. yi 1 xk1 1 xk 2 ) 4 8 8 7-52) (7-53) (7-54) (7-55) (7-56) (7-57) k 4 f ( xi 1 x.1. yi ) k 2 f ( xi 1 x.125) +(yi +0. yi 1 xk1 ) = 2(xi +0. se recomienda el método de Runge-Kutta de quinto orden.6 Solución por el método de RK-Orden superior (Método de quinto orden) En este caso.5 7k1 32k3 12k 4 32k5 7k 6 90 k1 f ( xi . yi ) = 2xi + yi k 2 f ( xi 1 x.6 Método de Runge-Kutta de orden superior Donde se requiera de mayor exactitud. yi 1 xk 2 xk 3 ) 2 2 3 9 k5 f ( xi 3 x.195 7. aunque el método de RK de cuarto orden es muy exacto. las ecuaciones a usarse son de (7-51) a (7-57). yi 1 xk1 ) = 1.001 0.053 433.000 0. yi 16 xk1 16 xk 4 ) =2(xi +0.938 23.126 13.111 2.167 22.946 90 Repitiendo el proceso.981 442.6/7*k4 + 4/7*k5) Sustituyendo.547 34.000 16.398 1.239 k4 k5 k6 YRK-5 1.835 153.000 k 2 f ( xi 1 x.155 1.257 125.000 52.5 7k1 32k3 12k 4 32k5 7k 6 = 1.565 20. es decir.053 301.789 66.434 8.208 29.5) + ( yi -1.258 34.001 0.149 26.946 0.503 236.000 0.000 0.267 52. yi ) = 1.375 4 4 k3 f ( xi 1 x.357 5.000 433.663 90.548 75. yi 1 xk 2 xk 3 ) = 1.347 208.366 2.000 0. yi 1 xk1 1 xk 2 ) =2(xi +0.942 1.001 .000 153.969 51.375)+(yi +0. yi 7 xk1 7 xk 2 12 xk 3 12 xk 4 8 xk 5 ) = 2.946 y. yi 1 xk 2 xk 3 ) =2(xi+0.500 2.28125k4) 4 3 2 k 6 f ( xi x.867 11.196 k3 f ( xi 1 x.445 13.883 259.155 7.000 1. k1 f ( xi .946 4.919 5. con x1 = 0.439 85.060 390.279 17.402 3.564 3.500 29. yi 1 xk1 1 xk 2 ) = 1.25)+(yi –0.000 1.5/7k1 7 7 7 + 1/7*k2 + 6/7*k3 . se llegó a: x yExacta k1 k2 k3 1.000 0.09375k1+0.las condiciones iniciales.445 11.231 1.174 7.000 0.480 9.000 0. como siempre .686 97.794 161.366 4 3 2 k 6 f ( xi x.500 90.765 110.000 1.5k3) 2 2 3 9 k5 f ( xi 3 x.548 39.270 183.125)+(yi+0. así para los valores subsecuentes.676 142.en ecuaciones anteriores .942 7 7 7 yi 1 yi 0.260 3.257 58.445 15.518 16.184 58.5 e y1 =1.051 268.257 65.355 267.855 2 2 3 9 k5 f ( xi 3 x.346 97.549 4.398 4 8 8 k 4 f ( xi 1 x.116 39.569 161.238 8.946 3.000 6.810 303.347 109.603 4.541 4.000 0.795 345.795 182.500 2. se llegó a los siguientes resultados.155 8.167 44.242 E(%) 0.25k2+0.500 259. yi 16 xk1 16 xk 4 ) = 2.000 0.167 20. yi 7 xk1 7 xk 2 12 xk 3 12 xk 4 8 xk 5 ) =2(xi + 0.148 4.0625*(k1+k2)) 4 8 8 k 4 f ( xi 1 x.488 30.198 6.375 1.855 2. 5 y tfinal = 3 Haga una gráfica Heun.5 y tfinal = 3 RK-4.2 y tfinal = 3 Euler. Grafique los resultados t=0. t= 1 y tfinal = 10 RK-4.5 y xfinal = 10 Haga una gráfica RK-2. x= 0.3 7. Euler y graficar los resultados. . t = 0. t = 0.9 Haga un programa de computadora. por el método que se indica: Problema Ecuación diferencial 7.7 7.5 y tfinal = 10 Grafique los resultados RK-3. t=0.5 y xfinal = 15 dy y 2x dx y (0) 1 dy (x t)2 dt y (0) 1 dy 4 x xy dx y y (0) 3 7.2 Método de solución RK-2. t=1 y tfinal = 10 Heun. x= 0.5 y xfinal = 15 Euler.8 7. t= 10 y hfinal = 0 RK-4.197 Problemas propuestos Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.05 h dt h(0) 16 dy yx 2 y dx y (0) 1 dy 4t y dt y y ( 0) 3 7. t= 10 y hfinal = 0 Haga una gráfica RK-3. x=0.6 7.4 7.5 y xfinal = 10 Euler.5 dy y2 1 dt y (0) 0 dh 0. x= 0. t=0.2 y xfinal =4 Heun y RK-3. en compilador FORTRAN ó GWBASIC. para el método de RK de orden 4.1 0.1 dy y x dx y (0) 1 7. x= 0. que resuelva todos los problemas anteriores.5 y tfinal = 10 RK-4. x= 0.5 y xfinal = 15 RK-4. x= 0. t= 1 y tfinal = 10 Haga una gráfica Euler.18 dy ty 1 dt y (0) 0 7. t= 1 y tfinal = 10 RK-4.20 Haga un programa de computadora.198 Problema Ecuación diferencial 7.5 y xfinal = 10 RK-3.18. t= 0.11 Método de solución Heun.16 7. t= 0. t= 0.5 y xfinal = 10 Heun.5 y xfinal = 8 RK-3. x= 0.107.5 y xfinal = 10 Euler.10 dy ty 1 dt y (0) 1 7.1 y tfinal = 6 RK-4.5 y xfinal = 5 RK-4.2 y tfinal = 3 Haga una gráfica RK-2. que resuelva todos los problemas 7.5 y xfinal = 8 RK-4. t= 0.10 y tfinal = 7 RK-3.1 y tfinal = 6 Haga una gráfica dy y0 dx y (2.5 y xfinal = 5 Euler.10 y tfinal = 7 Haga una gráfica Heun.14 7. x= 0. t= 0. t= 0.2 7.13 dy (t 2 1) dt y (0) 0.17 7. x= 0. .5) 1. x= 0.15 7. t= 0.5 y xfinal = 10 Haga una gráfica de conjunto si la solución exacta es y=3/x Calcule el error relativo.2 y tfinal = 5 RK-2.5 y xfinal = 10 Heun y RK-3.2 y tfinal = 3 RK-3. para los métodos de RK de orden 3 y Heun.5 y xfinal = 8 Euler. x= 0. x= 0. t= 0. Grafique los resultados t=0.12 dy 3 y e t dt y (0) 1 7.5 dy yy 0 dt y (0) 1 dy y sen(t ) dt y (0) 1 dy 3y 5 dt y (0) 0 dy ty 1 dt y (0) 1 7.5 y xfinal = 5 Euler. t= 0. Euler. en compilador FORTRAN ó GWBASIC. t= 0. ) METHODS/QPI (QUANTUM 2. Shepley L.1/Limusa. 8. Steven C. Erwin Kreyszig/ VOL.D. Ross/ DIFFERENTIAL EQUATIONS. Robert W. 3. Canale/METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS/McGraw-Hill.Schutz/ MÉTODOS NUMÉRICOS/Limusa 5.Segunda edición/ Jhon Wiley & Sons. Leithold/ EL CÁLCULO con Geometría Analítica/Harla 7.Ph. Michael Spivak/ CÁLCULO INFINITESIMAL/Ediciones RPLA. Jr & Elliot Mendelson/ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL/ Mc Graw-Hill 10. Inc. 4. Frank Ayres. MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA CON 6. Luciano Couder. Luthe./NUMERICAL PUBLISHERS. 9.A.S. Alonso/ TEORIA DE ECUACIONES . Chapra y Raymond P. Hornbeck. Shoichiro Nakamura/ METODOS NUMERICOS APLICADOS SOFTWARE/PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA.A.Olivera. ALGEBRAICAS/Limusa. INC. S.199 BIBLIOGRAFÍA 1. b) tal que f (b) f (a) (b a) f (a) (b a) 2 (b a)3 f (a) f (a) 2! 3! (b a) n ( n ) (b a) n 1 n 1 .1 Introducción La serie de Taylor es la base de los métodos numéricos. b).. Además. Nótese que cuando n = 0. A. Muchas de las técnicas numéricas son derivadas directamente de la Serie de Taylor. f (a) f ( ) n! (n 1)! (A-1) La ecuación anterior también es válida si b < a. hay un número en el intervalo abierto (a. como son los estimadores de errores involucrados en esas técnicas.. a). en tal caso a-b se reemplaza por b-a y (a. Aunque se supone que el lector está familiarizado con la Serie de Taylor. entonces.2 Definición Sea f(x) una función tal que f(x) y sus n primeras derivadas sean continuas en el intervalo cerrado a-b.200 APÉNDICE A SERIE DE TAYLOR A. fn+1(x) existe para toda x en el intervalo abierto (a. ecuación (A-1) se transforma en: f (b) f (a) f ( )(b a) . se consideró necesario dar algunos elementos teóricos de la misma. b) por (b. se obtiene la fórmula de Taylor. de (A-3). en honor al matemático escocés Colin Maclaurin (1698. se conocen como polinomio de Taylor y polinomio de Maclaurin. para la función exponencial natural. respectivamente. por tanto. se puede aproximar por medio de un polinomio de Taylor en un número a o bien por un polinomio de Maclaurin. Indicando con esto que el valor de una función f(x) puede ser expresado en la región de x cerca de x = a. Al polinomio que resulta en (A-2) y en (A-3) al quitar el residuo.. (1) 1 x . Por lo que. se tiene: x x2 x3 xn x 2 x3 xn pn ( x) 1 (1) (1) (1) . la fórmula fue obtenida anteriormente por Taylor y otro matemático inglés. 1! 2! 3! n! 2! 3! n! por tanto. Esto corresponde al teorema del valor medio. Se calcula el polinomio de Maclaurin de n-ésimo grado. Ejemplo A..1. quedando: ( x a) ( x a)2 ( x a )3 f (a) f (a) f (a) 1! 2! 3! ( x a)n ( n ) ( x a) n 1 n 1 . Sin embargo.201 donde está entre a y b. Esta fórmula se denomina fórmula de Maclaurin. El caso especial de la fórmula de Taylor que se obtiene cuando a = 0. ..1746). f (a) f ( ) n! (n 1)! f ( x) f (a ) (A-2) donde está entre a y x. todas las derivadas f(x) en x son ex y sus valores en x = 0 son unitarios. por la serie infinita de potencias... Si en (A-1) b es sustituida por x. James Stirlin (16921770). f (0) f n 1 ( ) n! (n 1)! f ( x) f (0) (A-3) donde está entre 0 y x. Si f(x) = ex.. en ( A2) es: x x2 x3 f (0) f (0) f (0) 1! 2! 3! xn (n) x n 1 ... una función f(x). 202 x 2 x3 xn e 1 x . los primeros cuatro polinomios de Maclaurin.1 Ejemplo A-2. gráficamente. son: p0 ( x) 1 x2 p2 ( x) 1 x 2! p1 ( x) 1 x 1! x 2 x3 p3 ( x) 1 x 2! 3! En las siguientes figuras se muestra.. para la función senox. X 0 Etc. 2! 3! n! x (A-4) Así.. de la función exponencial. Ahora se determina el polinomio de Maclaurin de n-ésimo grado. Si f(x) = seno(x). la aproximación que se tiene al incrementar los términos del polinomio de Maclaurin. F(x) senx 0 f‟(x) cosx 1 f”(x) -senx 0 f‟”(x) -cosx -1 fiv(x) senx 0 fv(x) cosx 1 fvi(x) -senx 0 f(x) . entonces. 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 -1 -2 f(x)=ex Po=1 P1(x)=1+x P2(x) P3(x) 0 1 2 x Figura del ejemplo A. No olvide que este polinomio es un caso especial del polinomio de Taylor. 203 De (A-3) se llega a, x x3 x5 x 7 x 2 n 1 n 1 pn ( x) 0 .. (1) 1! 3! 5! 7! (2n 1)! es decir, senx x x3 x5 x 7 x 2 n 1 .. (1) n 1 1! 3! 5! 7! (2n 1)! (A-5) Así p0 ( x) 0 p1 ( x) 0 x 1! x x3 1! 3! x x3 x5 =P6 1! 6 120 p2 ( x) 0 x 1! x x3 1! 6 p3 ( x) 0 p4 ( x) 0 p5 ( x) 0 p7 ( x) 0 x x3 x5 x7 p8 1! 6 120 5040 A continuación se grafican P1, P5 y P7 204 Ejemplo A-3. Con los resultados de los ejemplos anteriores, (A-4) y (A-5), encontrar e0.5, esenx, e2, e-1 y sen2x. Solución. Según (A-3) la función ex (x en radianes) se aproxima por: x 2 x3 x 4 x5 x 6 xn e x 1 x ... 2! 3! 4! 5! 6! n! por lo que, puede escribirse: para x = 0.5 0.5 e 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.5n 1 0.5 ... 2! 3! 4! 5! 6! n! para x = senx e senx 1 senx senx 2 senx3 senx 4 senx5 senx6 senx n ... 2! 3! 4! 5! 6! n! para x = 2 e2 1 2 22 23 24 25 26 2n ... 2! 3! 4! 5! 6! n! y para x = -1 e1 1 1 (1) 2 (1)3 (1) 4 (1)5 (1)6 (1) n ... 2! 3! 4! 5! 6! n! Ahora de (A-5) Para x=2x sen2 x 2 x ( 2 x)3 ( 2 x)5 ( 2 x) 7 (2 x) 2 n 1 .. (1) n 1 1! 3! 5! 7! (2n 1)! 205 Ejemplo A-4. Encontrar la expansión en la serie de Taylor cerca de x = 0 para la función f(x) = loge (1-x ). Cuál es el radio de convergencia de esta serie? Solución. La función y sus derivadas son: f(x) = loge ( 1-x), si a = 0--- f(a) =loge (1) si x = a = 0 f „ (a) = -1 f ( x) 1 1 x 1 (1 x) 2 2 (1 x)3 6 (1 x) 4 f ( x) si x = a = 0 - f “ (a) = -1 f ( x) si x = a = 0 f “‟(a) = -2 f IV ( x) si x = a = 0 - fIV(a) = -6 ………………… x2 x3 x4 (1) (2) (6) ... 2! 3! 4! De A-2, se tiene: loge (1-x)= loge (1) + x(-1) + x 2 x3 x 4 ... 2 3 4 loge (1-x)= -x - Para encontrar el radio de convergencia de la serie, aplicamos la prueba: x n 1 nx lím n 1 lim x n x n 1 x x n Esta prueba indica que la serie converge absolutamente, si este radio es menor que 1. De este modo, el radio de convergencia de la serie es x < 1. La prueba hecha no nos indica que si x = 1, pero notamos que si x = +1, entonces, tenemos el negativo de, 206 1 1 1 1 ... 2 3 4 la cuales la conocida serie divergente armónica. Si x = -1, tenemos la serie, 1 1 1 1 ... 2 3 4 la cuál es convergente. Por tanto, la serie es convergente para –1 x < 1. 2369268850 0.207 Apéndice B Ceros (k ) y pesos (wk ) de la cuadratura de Gauss Legendre n wk k 2 0.3123470770 9 0.1713244924 0.5384693101 0.5773502692 1.7745966692 0.0000000000 0.9041172564 0.5555555556 4 0.1834346425 0.9739065285 0.3607615730 0.4679139346 6 0.9602898565 0.3678314990 0.6521451549 0.0666713443 0.3626837834 0.2190863625 0.4333953941 0.0000000000 0.8650633667 0.5873179543 0.9815606342 0.3242534234 0.0000000000 0.7415311856 0.0471753364 .3137066459 8 0.3478548451 0.6794095683 0.5255324099 0.3399810436 0.2386191861 0.1069393260 0.2334925365 12 0.2692667193 10 0.2797053915 0.1494513492 0.9061798459 0.4786286705 0.3302393550 0.8360311073 0.8888888889 0.2606106964 0.9491079123 0.0000000000 0.7966664774 0.8611363116 0.1294849662 0.3818300505 7 0.1806481607 0.1252334085 0.0000000000 3 0.6133714327 0.7699026742 0.5688888889 5 0.4058451514 0.2955242247 0.0812743884 0.1488743390 0.9324695142 0.4179591837 0.2031674267 0.6612093865 0.1012285363 0.9681602395 0.2223810345 0.2491470458 0.1600783285 0. 0271524594 0.1181945320 0.1420961093 0..0626720483 0.0176140071 0.5108670020 0.0733464814 0.2816035508 0.0950125098 0.0861901615 0.5454214714 0.0765265211 0.1527533871 0.1279381953 0.6480936519 0.9122344283 0.9747285560 0.7401241916 0.0832767416 0.8391169718 0.8656312024 0.9445750231 0.8200019860 0.1216704729 0.1691565194 0.4580167777 0.0622535239 0.0592985849 0.9382745520 0.1491729865 0.1911188675 0.9931285992 0.0976186521 0.2277858511 0.1316886384 0.0640568929 0.7554044084 0.0406014298 0.3150426797 0.1826034150 0.1074442701 0.1495959888 0.6178762444 0.6360536807 0.1019301198 0.9894009350 0.1246289713 0.0123412298 16 20 24 .7463319065 0.3737060887 0.0951585117 0.1155056681 0.1258374563 0.9639719273 0.208 Ceros y pesos de la cuadratura de Gauss Legendre (continuación.0285313886 0.8864155270 0.9951872200 wk 0.1894506105 0.0442774388 0.) N k 0.4337935076 0.