Mécanique de StructuresNotes de Cours : Mécanique de Structures Cycle Ingénieur: GM/GE/GI Kissi Benaissa Enseignant Chercheur en Génie Civil ENSAM de Casablanca, Maroc
[email protected] Année Universitaire: 2015/2016 1 Mécanique des Structures Chapitre 5 : Principe de superposition; Systèmes hyperstatiques ; Flexion déviée Année Universitaire: 2015/2016 2 Mécanique des Structures Principe de Superposition Le principe s’applique de la même manière à toutes les grandeurs étudiées : actions exercées par les appuis, efforts tranchants, moments fléchissant, contraintes et déformations. On part du principe que l’addition de deux états d’équilibre est elle aussi un état d’équilibre. Inversement, un problème complexe (avec de nombreuses charges différentes) peut être décompose en la somme de plusieurs problèmes simples (par exemple faciles à résoudre avec un formulaire), tous en état d’équilibre. Année Universitaire: 2015/2016 3 Mécanique des Structures Principe de Superposition Exemple : poutre sur deux appuis soumise à une charge concentrée en son milieu et à une charge répartie q sur toute sa longueur. L’étude de cette poutre se ramène à l’addition, ou la superposition, des exemples 1 et 2. Année Universitaire: 2015/2016 4 Mécanique des Structures Principe de Superposition a) Actions exercées par les appuis Année Universitaire: 2015/2016 5 Mécanique des Structures Principe de Superposition b) Efforts tranchants T = T1 + T2 (en tout point : addition algébrique) Tac = T1ac + T2ac = 500 + (500 - 250x) = 1 000 - 250x Tcb = Tcb1 + T2cb = - 500 + (500 - 250x) = - 250x Année Universitaire: 2015/2016 6 Mécanique des Structures Principe de Superposition c) Moments fléchissant Mf = Mf1+ Mf2 (en tout point : addition algébrique) Année Universitaire: 2015/2016 7 Mécanique des Structures Principe de Superposition d) Contraintes Année Universitaire: 2015/2016 8 Mécanique des Structures Principe de Superposition e) Déformations Comme les contraintes et les autres grandeurs (T, M, etc.), les déformations s’ajoutent algébriquement en tout point. Flèches maximale en C Année Universitaire: 2015/2016 9 Mécanique des Structures Système Hyperstatique Un système, ou une poutre, est dit hyperstatique chaque fois que les actions de contact exercées par les liaisons ne sont pas calculables à partir des équations du principal fondamental de la statique. Les actions ne pourront être déterminées qu’après écriture d’autres équations obtenues à partir des déformations du système. Année Universitaire: 2015/2016 10 Mécanique des Structures Système Hyperstatique Exemple: Année Universitaire: 2015/2016 11 Mécanique des Structures Système Hyperstatique Méthode par superposition Exemple: Poutre sur trois appuis avec charge répartie q Année Universitaire: 2015/2016 12 Mécanique des Structures Système Hyperstatique a) Étude statique A+B+C=qL (1) A = B (par symétrie) On a deux équations à trois inconnues : le système est dit hyperstatique d’ordre 1. Année Universitaire: 2015/2016 13 Mécanique des Structures Système Hyperstatique b) Système isostatique associé Afin de pouvoir appliquer le théorème de superposition, remplaçons l’appui C par la charge C qu’il exerce, en remarquant que C doit avoir une intensité suffisante pour entraîner une flèche nulle en C : y = 0. Notons que l’on pourrait procéder de façon analogue avec les appuis A et B. C présente l’avantage de donner un problème symétrique plus simple à résoudre. C devient une donnée du problème et les équations de la statique s’écrivent : qL 1 A= B= − C 2 2 Année Universitaire: 2015/2016 14 Mécanique des Structures Système Hyperstatique c) Théorème de superposition CL3 − qL4 yc yc1 = yc 2 = 48 EI 384 EI CL3 qL4 L3 5qL yc = yc1 + yc 2 = − = (C − )=0 48 EI 384 EI 48 EI 8 5qL 3qL C= A= B= 8 16 Année Universitaire: 2015/2016 15 Mécanique des Structures Système Hyperstatique d) Résultats et diagrammes Le moment fléchissant maximal apparaît en C : Année Universitaire: 2015/2016 16 Mécanique des Structures Système Hyperstatique Méthode par intégration La méthode reprend le principe des intégrations successives à partir de: M f = (− / +) EIy '' par symétrie : A = B = F/2 et MA = MB. Année Universitaire: 2015/2016 17 Mécanique des Structures Système Hyperstatique Les conditions limites à l’encastrement A permettent de déterminer les constantes C1, et C2. Pour x = 0, y = 0, ce qui donne C2= 0. De même, la pente de la tangente en A est nulle ; y’AC= 0, ce qui donne C1 = 0. De plus, au centre de la poutre, pour x = L/2, la pente de la tangente en C est nulle : Année Universitaire: 2015/2016 18 Mécanique des Structures Flexion déviée Année Universitaire: 2015/2016 19 Mécanique des Structures Flexion déviée L’étude de la flexion déviée, du type de celle indiquée par la figure ci- dessous, se ramène à la superposition ou à l’addition (vectorielle) de deux flexions simples, définies à partir des plans de symétrie. Année Universitaire: 2015/2016 20 Mécanique des Structures Flexion déviée 1. Contraintes Année Universitaire: 2015/2016 21 Mécanique des Structures Flexion déviée Remarque Dans le cas de la figure (yA > 0 ; zA > o ; Mfy > o ; Mfz > 0 , Mfy engendre des contraintes positives en A (contraintes de traction), alors que Mfz donne des contraintes négatives (contraintes de compression), ce qui explique le signe moins de la formule indiquée. Année Universitaire: 2015/2016 22 Mécanique des Structures Flexion déviée Plan neutre (NN) ou axe neutre Le plan neutre est le plan ou les contraintes sont nulles : Année Universitaire: 2015/2016 23 Mécanique des Structures Flexion déviée Exemple: Un profilé IPN de 200 supporte un moment fléchissant M, de 5 000 Nm, dont la direction est inclinée de 300 par rapport à l’axe z. Déterminons les contraintes en A, B, C et D et les contraintes maximales dans la section. Iy = 117 cm4 Iz = 2 140 cm4 yA=100 ; zA=-45 ; yB= - 100 ; zB=45 ; yC= - 100 ; zC= - 45 ; yD=100 ; zD=45 ; Année Universitaire: 2015/2016 24 Mécanique des Structures Flexion déviée Exemple.2 Un profilé UAP de 250 est soumis à un moment fléchissant Mf de 2 000 Nm dont la direction est inclinée de 100 par rapport à l’axe z. Les axes y et z sont les axes principaux d’inertie de la section du profilé. Déterminons les contraintes aux points A et B. Les dimensions du profilé sont: Iy = 296,7 cm4 et Iz = 4 136 cm4. Coordonnées des points A et B dans le système d’axes (G, y, z) : yA = - 125 ; zA, = 60,4 mm yB = 125 ; zB= - 24,6 mm Année Universitaire: 2015/2016 25 Mécanique des Structures Flexion déviée Poutres non symétriques La poutre ne possédant aucun plan de symétrie, le premier travail consistera à déterminer les axes principaux d’inertie (U, V) de la section . 2.I zy tg 2β = I y − Iz Plan neutre (ou axe neutre) NN : Année Universitaire: 2015/2016 26 Mécanique des Structures Flexion déviée Exemple:: une cornière à ailes inégales 150 X 100 X 10 supporte un moment fléchissant Mf de 2 000 Nm dans la direction z. Déterminons les contraintes aux points A,B et C. Coordonnées des points A, B, C dans le système d’axes (G, U, V) : VA=26,8mm;UA=103;VB=52,5;UB=-75;Vc=-41;Uc=-34 IZ = 552 cm4 ; IY = 198 cm4 ; IU = 113 cm4 ; IV = 637 cm4. Année Universitaire: 2015/2016 27 Mécanique des Structures Merci de votre attention Année Universitaire: 2015/2016 28