Evidencia de aprendizaje.Aplicación de la derivada Resuelve los siguientes ejercicios: 150 cm 1. Un alambre de se corta para formar un cuadrado y un triángulo equilátero, ¿Cómo se debe cortar el alambre para que las figuras que se formen sean de área máxima? Sea x el lado del cuadrado y El área del cuadrado es A=x El área del triángulo es b∙ h 2 y el lado del triángulo equilátero. 2 Se calcula la altura de la manera siguiente: el triángulo equilátero tiene 60º en cada ángulo, y la altura es el lado por el seno de 60. Entonces el área es: ( ) y ( y ) sen 60 ª 3 = y2 √ 2 4 El área total es: 2 A=x + y 2 ( √43 ) Esta función es de dos variables, pero se puede hacer de una: 4 x +3 y=150 4 x =150−3 y x= 150−3 y 4 El área es: ( 150−3 y )2 2 √ 3 A ( y )= +y 16 4 ( ) Derivaremos e igualaremos a cero para calcular los extremos relativos: A ' ( y )=0 2 ( 150−3 y ) (−3 ) √ 3 =0 +2 y 16 4 ( ) ( ) 3 3 −( )(150−3 y)+ y √ =0 8 2 ( ) −225 9 y √ 3 =0 + +y 4 8 2 y [ ] y [ 9+ 4 √ 3 ] 225 = 9 √ 3 225 + = 8 2 4 8 4 . Por lo tanto el área quemada es una función del tiempo a través del radio.25177413 cm 9+ 4 √ 3 28. esto quiere decir que en un minuto aumenta 5m el radio. Un incendio en un pastizal seco se propaga en forma circular con una 5 m/min velocidad de .25177413 150−3( ¿) ¿ ¿ (150−3 y ) x= =¿ 4 Por lo tanto: lado del triángulo=28. ¿Con qué velocidad crece el área quemada cuando 60 m el radio es igual a ? La velocidad de 5 m/min se refiere a todas las direcciones.y [ 9+4 √ 3 ]=450 Entonces tenemos que: y= 450 =28.25177413 cm lado del cuadrado=16. .3111694 cm 2. b) 14. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes al círculo manera que ambas tangentes pasen por el punto Las rectas tienen un vector director es: (a .2 x 2 y 2 100 de tal . con lo cual su ecuación vectorial .El radio se considera como r (t) y es r (t)=5 t 25t (¿¿ 2)=25 π t 2 2 A (t)=π [ r ( t ) ] =π ¿ La velocidad instantánea es la derivada del área quemada respecto del tiempo: v (t )= A '(t )=50 π t 2 Calculamos el instante en que el radio es 60 m : r (t)=5 t=60 t=12 min v (12)=25 π (122 )=3600 π m 2 /min 3. 2+bt ) Si a fuera cero tendríamos puntos 14.r :(14.b)=(14 +at . 2+ ct) Calculemos la intersección con la circunferencia (14+t )2+(2+ct )2 =100 196+28 t+ t 2 +4 + 4 ct+ c (2t 2 )=100 (1+c 2)t 2+(28+ 4 c)t+ 100=0 a . quedando de la siguiente manera: a b b ( . c) y los puntos tienen la expresión (14+t . c) El Vector director de las rectas es (1. ) a a a Lo cual podemos expresar como (1.2+tb ) entonces no habría ¿ intersección con la circunferencia ya que 142 +(2+ tb)2=196+(2+tb)2 >100 Por consiguiente a no puede ser cero con lo cual podemos dividir entre las coordenadas del vector.2)+ t( a . )=(1. entonces es necesario que: 2 2 (28+ 4 c) −400(1+ c )=0 784+224 c+16 c2 −400−400 c 2=0 −384 c 2+224 c+ 384=0 2 384 c −224 c−384=0 Se simplifica entre 32 12 c2 −7 c−12=0 c= c= [ 7 ± √ 49+ 576 ] 24 [ 7 ± √( 625 ) ] 24 . La respuesta única se da cuando el discriminante es nulo.La solución es: t= −28−4 c ± √ (28+ 4 c)2 −400(1+ c2 ) 2+2 c 2 Lo que nos interesa de esa ecuación es que debe haber una sola respuesta para que la intersección recta circunferencia sea un solo punto y entonces son tangentes. −3) Las ecuaciones son: r 1: x=14 +3 t y=2+ 4 t r 2: x=14 +4 t y=2−3 t .−3 /4) Se pueden hacer enteros multiplicando por el denominador: (3. 4 /3) y (1.c= ( 7 ±25 ) 24 c 1= 32 −18 y c 2= 24 24 c 1= 4 −3 y c 2= 3 4 Los vectores de las tangentes son: (1. 4) y (4. Gráfica la siguiente curva f ( x) 2 3x x 3 Es un polinomio. -1. Se puede calcular las intersecciones con los ejes. R .4. 2 o -2. está definida en todo . derivable y no tiene asíntotas. como todos los polinomios. Para los cortes con el eje x hay que resolver 3 x −3 x−2=0 Probamos si hay una solución entera. sería 1. es continua.2) . Se comprueba que -1 lo es 3 (−1) −3 ∙(−1)−2=−1+3−2=0 Dividimos por división sintética 1 0−3−2 −1−11 2 1−1−2∨0 −1−12 1−2∨0 f ( x)=(x+ 1)( x +1)( x−2) Las intersecciones con el eje y son (−1. Con las aplicaciones de la derivada.El x −1 es raíz doble. ∞) Calculamos f ' (−2)=12−3=9>0 f ' (0)=−3 ≤0 la función crece. en El corte con en eje y es y=−2 . . f ' (2)=12−3=9>0 la función crece.1) Calculamos (1. entonces esto significa que la función es tangente al eje −1 . Calculamos la derivada primera: f ( x)=x 3−3 x – 2 f ' (x)=3 x 2 – 3 Veamos las raíces de la derivada: 3 x2 −3=0 3 x2 =3 x 2=1 x=± 1 En el intervalo: (−∞. la función decrece.−1) Calculamos (−1. Los puntos concretos son: Máximo relativo: Mínimo relativo: (−1.13 −3(1)−2)=(1.(−1)3−3(−1)−2)¿=(−1. x=1 es mínimo relativo.La derivada segunda es: f ' ' ( x)=6 x f ' ' (−1)=−6< 0 Entonces f ' ' (1)=6>0 Entonces x=−1 es máximo relativo.−4) También se puede calcular la concavidad: f ' ' ( x)=6 x Si x< 0 la derivada segunda es negativa entonces es cóncava hacia abajo Si x> 0 la derivada segunda es positiva entonces es cóncava hacia arriba La grafica es la siguiente: . 0) (1 .