Actividad 3Calculo Diferencial Cortes Cruz Carlos Yair Unidad 4 Actividad 3 Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here. 1 Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas de máximos y mínimos, así como su representación gráfica de una función. 1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura: Hallar las dimensiones de dicho cilindro. El cilindro tendrá un radio r y una altura h. Con lo cual su volumen será: Pero el hecho de estar inscrito en el cono hace que a cada radio del cilindro le corresponde una única altura y viceversa Si incrementamos r en 10 dismininuye h en 24 Si incrementamos r en x disminuye h en Luego podemos poner el volumen solo en función del radio [ ] ( ) Y ahora derivamos e igualamos a 0 para calcular el máximo ( ) Una solución es Y la otra La derivada segunda es Actividad 3 Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here. 2 ( ) Luego es mínimo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego máximo Y ahora calculamos la altura ( ) Luego la solución es 2. Dada la función 2 ( 3 ) f x x x y el punto 0 5, 5 P hallar el punto sobre la gráfica de ( ) f x que está más cerca de 0 P . Los puntos de la función tendrán la forma Y su distancia al punto es √ Luego podemos usar cando calculamos máximos o mínimos de una raíz cuadrada es que los máximos-mínimos de la raíz cuadrada están en la misma coordenada x que los máximos-mínimos de la función sin la raíz. Luego suprimimos esa raíz para hacer este cálculo Derivamos e igualamos a cero Supondremos que tiene solución entera. Entonces será divisor de y podrá ser Para x=1 Para Para x=2 Luego x= 2 es una solución, veamos si hay otras dividiendo por división sintética 2 -9 20 -20 2 4 -10 20 Actividad 3 Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here. 3 ---------------- 2 -5 10 | 0 Parece que tendrá raíces reales, el discriminante es Negativo, luego no hay raíces Solo x=2 puede ser el mínimo La derivada segunda es Positiva, luego es un mínimo. Las coordenadas del punto más cercano son 3. Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100 y cuyo producto sea máximo. Sean x e y los dos números. Como Tenemos Luego los dos números son Y su producto es Calculemos el máximo de esa función derivando e igualando a cero Y es un máximo porque la derivada segunda es negativa Y el valor de y es Luego los dos números son el mismo 50 y 50. 4. En un río de 250mde ancho están ubicados dos puntos A y B uno frente a otro y del mismo lado de B hay un tercer punto C ubicado a 500m de tal forma que el segmento AB es perpendicular a BC. Una compañía de energía eléctrica quiere tender un cable desde A hasta C parando por el punto D, como lo muestra a figura: Actividad 3 Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here. 4 Si el costo por metro del cable bajo tierra es 30% más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se debe tender el cable para que el costo sea mínimo? Sea x la distancia BD Los metros bajo el agua serán √ √ √ Los metros bajo tierra serán Si al metro bajo agua le damos un precio de 1, el metro bajo tierra vale 0.7 Luego el costo total es √ Derivamos e igualamos a cero para hallar los extremos relativos √ √ √ Elevamos al cuadrado √ A razón de que √ Luego hay un único extremo relativo y tiene que ser mínimo porque hay puntos donde el costo se puede elevar tanto como queramos. Luego al punto D está a de B 5. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva 3 ( 4 ) f x x x . La función es un polinomio, luego está definido en todo R, es continua y no tiene asíntotas. Tiene simetría central por ser todos los términos impares con lo cual Los cortes con el eje X son Actividad 3 Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here. 5 Y el corte con el eje Y es La derivada primera es Los puntos críticos son √ √ La derivada segunda es En √ es f ''(x) negativa. Luego es un máximo Y en √ es f ''(x) positiva, luego es un mínimo En √ es f '(x) positiva luego la función crece En √ √ por ejemplo en 0 f'(0) = -4 es negativa luego la función decrece Y en √ es positiva como lo prueba el hecho que el límite en es luego la función crece. Y la derivada segunda Es negativa en luego la función es cóncava hacia abajo. Es positiva en luego la función es cóncava hacia arriba. Y esta es la gráfica. 6. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva ( ) sen 2 f x x x . Es una función continua, tiene un corte con los ejes en el punto (0, 0) y los otros son difíciles de calcular. No tiene asíntotas de ningún tipo. Veamos los máximos, mínimos, zonas de crecimiento y decrecimiento, para ello la derivamos e igualamos a cero Actividad 3 Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here. 6 En tomamos x=0 entonces luego f es decreciente En tomamos entonces luego f creciente En tomamos entonces luego f decreciente En tomamos entonces luego f creciente En tomamos entonces luego f es decreciente En tenemos uego f cóncava hacia arriba En tenemos luego f cóncava hacia abajo En es cóncava hacia arriba En es cóncava hacia abajo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y todos estos máximos, mínimos, crecimientos, decrecimientos y concavidades se repiten cada Actividad 3 Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here. 7 7. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva 4 2 4 ( ) 4 f x x x Derivando su primera derivada Luego su segunda derivada Aplicando que Entonces los números críticos son √ √ Los valores de la segunda derivada Es un máximo local (√) (√) Estos son mínimos locales Entonces la gráfica es: 8. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva 1 ( 1 ) x f x x . Es una función definida en todo R menos en x=1. Tiene el corte con el eje X en x=-1 Y el corte con el eje Y en Tiene asíntota vertical en x = 1 La derivada es Es siempre negativa luego siempre es decreciente y no tiene máximos ni mínimos realtivos. La derivada segunda es En por ejemplo es cóncava hacia abajo En por ejemplo es cóncava hacia arriba. Actividad 3 Error! Use the Home tab to apply Título 1 to the text that you want to appear here. 8