Calculo DiferencialUnidad 3 Evidencia de aprendizaje Aplicación de la derivada 1. f ( x )=−x 4 Si x ≤ 0 f ( x )=x 4 Si x> 0 f ' ( 0 )=−4 x 3=4 (0)3=0 f ' (0)=4 x 3=4( 0)3 =0 f ' ' ( 0 )=−12 x 2=12( 0)3 =0 f ' ' (0)=12 x 2=12(0)3=0 f ' ' ' ( 0 ) =−24 x=12(0)=0 f ' ' ' ( 0)=24 x=12(0)=0 f ' ' '' ( 0 )=−24=−24 f ' ' '' (0)=24=24 . Dada la función: x4 4 x f ( x) si x 0 si x 0 f '(0) f ''(0) f '''(0) 0 Muestre que f (4) (0) . ¿Existe ? Se derivan sucesivamente las funciones que se obtienen las funciones que se obtienen a partir de la función original. 2. Considere la función: x 2 4 x 8 si x 3 si x 3 ax b f ( x) a Hallar el valor de f '(3) b y para que exista. Una función es derivable en un punto si es continua en él f ( x )=x 2−4 x+ 8 Si x=3 f ( 3 ) =(3)2−4(3)+8 f ( 3 ) =5 2 lim x −4 x+ 8=5 x→ 3 Si x → 3+¿ ax +b=3 a+b lim ¿ ¿ Entonces +¿ x → 3 ax +b 2 lim x −4 x+ 8=lim ¿ x→ 3 ¿ 5=3 a+ b Por lo tanto f ' ( 3) debe ser igual por la izquierda y por la derecha f ' ( x 2−4 x+8 )=2 x−4 .Al ser diferentes los resultados tenemos que la cuarta derivada no existe. ¿Cuál es el valor de f ( x0 h) 2h ? . Supóngase que y que Por definición f ( x 0+ h )−f ( x 0 ) f ' ( x 0 )=lim h h →0 Siendo 6=lim h→0 Si f ' ( x 0 )=6 f ( x 0 +h ) −f ( x 0 ) h f ( x 0 ) =0 6=lim h→0 sustituimos f ( x 0 +h ) −0 h Por lo tanto lim f '( x0 ) 6 h 0 .' f ( ax +b ) =a Por lo que a=2 x−4 a=2(3)−4 a=2 Sustituyen a=2 en la igualdad de límites: 5=3 a+ b 5=3 (2)+b 5=6 +b 5−6=b b=−1 f ( x0 ) 0 3. Muestre que la función satisface la relación: a con b y son constantes f ''( x) 4 f '( x) f ( x) 0 . 2x 2x y=a e cosx+b e senx Factorizamos: y=e2 x ( acosx+ bsenx) Primero derivada ' 2x 2x y =2 e ( acosx +bsenx )+ e (−asenx + bcosx) .lim h→0 f ( x 0 +h ) =6 h Factorizamos lim h→0 f ( x 0 +h ) 2h f ( x 0+ h ) 1 lim 2 h →0 h ( Si lim f ( x 0 +h ) 2h h→ 0 ) =6 Entonces f ( x 0 +h ) 1 lim = (6 ) 2h 2 h→0 lim h→0 f ( x 0 +h ) 2h =3 y ae 2 x cos x be 2 x sen x 4. ' 2x y =e [(2 a+b) cosx+(2b−a)senx] Segunda derivada −( 2 a+b ) senx+ ( 2b−a ) cosx y =2e 2 x [ ( 2a+ b ) cosx+ ( 2 b−a ) senx ] +e 2 x ¿ '' y ' '=e2 x [ ( 3 a+ 4 b ) cosx+ ( 3 b−4 a ) senx] Comprobamos f ' ' ( x )−4 f ' ( x ) +f ( x )=0 e 2 x [ (3 a+4 b ) cosx+ ( 3 b−4 a ) senx]−4 e 2 x [(2 a+b)cosx+(2 b−a) senx ]+ e 2 x (acosx +bsenx )=0 e 2 x [ (3 a+4 b−8 a−4 b+ a ) cosx+ ( 3 b−4 a−8 b+ 4 a+ b ) senx]=0 2x e [ (−4 a ) cosx+ (−4 b ) senx]=0 −4 e 2 x [ ( a ) cosx+ ( b ) senx ]≠ 0 La ecuación no se cumple a menos que a y b sean iguales a 0.. En el caso de tener dos funciones derivables en ( f 1 ∙ f 2 ) '( x0 ) f '1 ∙ f 2 + f 1 ∙ f 2 ' . Sean un conjunto finito de funciones derivables en una fórmula para x0 f1 L f n '( x0 ) y demostrarla por inducción matemática. proponer x0 . f n ( x) 5. f1 ( x). . Supongamos que se cumple para el producto de n funciones: ' ( f 1 ∙ f 2 ∙∙ ∙ f n ∙ f n +1) ( x 0 ) (f 1 ∙ f 2 ∙∙ ∙ f n )' ∙ f n+1 + f 1 ∙ f 2 ∙ ∙∙ f n ∙ f ' n+1 ( x 0 ) f '1 ∙ f 2 ∙∙ ∙ f n ∙ f n+1 +f 1 ∙ f '2 ∙ ∙∙ f n ∙ f n+1 +¿ .. cada uno de ellos con una de las funciones derivadas y las otras sin derivar. .En el caso de tener tres funciones derivables en x0 ' ( f 1 ∙ f 2 ∙ f 3 ) ( x0 ) f f (¿ ¿ 1 ∙ f 2) ∙ f 3 ' (¿ ¿ 1∙ f 2) ' ∙ f 3 +¿ ¿ ' ' f 1 ∙ f 2 ∙ f 3 +f 1 ∙ f 2 ∙ f 3 +f 1 ∙ f 2 ∙ f 3 ' La derivada del producto de varias funciones es una suma de productos. +f 1 f 2 ∙ ∙∙ f n ∙ f n+1 Queda demostrada la fórmula de que la derivada del producto es una suma de productos. en cada x0 una de las cuales esta derivada una función tal que existe en y las otras están sin derivar.