UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA 2008-ICURSO: METODOS CUANTITATIVOS INTERVALOS DE CONFIANZA Definición de Intervalo de Confianza. Un Intervalo de Confianza sirve para indicar entre qué valores estaría comprendido el valor verdadero (parámetro: , , etc.) de algún parámetro o característica de la población utilizando estadígrafos (promedio muestral ( x ), proporción muestral ( p ), etc.) y un nivel de confianza 1 . Se pueden responder preguntas como: Con un nivel de confianza del 95%, ¿entre qué valores estaría el promedio poblacional? Con una probabilidad del 99%, ¿entre qué valores estaría el promedio poblacional? Con una confianza del 95%, ¿entre qué valores estaría la proporción poblacional? Con una probabilidad del 90%, ¿entre qué valores estaría la proporción poblacional? Establecer los límites, con un 95% de confianza, para la verdadera proporción poblacional. Establecer los límites, con un 95% de confianza, para la verdadera media poblacional En esta parte del curso se estudiará intervalos de confianza para promedios poblacionales e intervalos de confianza para proporciones poblacionales. Definiciones necesarias para elaborar un intervalo de confianza. Límites de Confianza: Son los límites (Límite Inferior y Límite Superior) que indica entre qué valores estaría el valor del parámetro con un nivel de confianza 1 . 1 , Nivel de confianza: El nivel de confianza indica con que probabilidad estaríamos seguros de que el parámetro esté contenido en los límites de confianza ya definidos. Valores tabulares para la media poblacional y proporción poblacional utilizando el valor de Z: Z� � Z tabular : 1 �, es el valor tabular con un 1 nivel de confianza. Los valores de � � 2� Z tabular provienen de la Distribución Normal Estándar o Distribución Z. En nuestro caso se utilizará este valor tabular para intervalos de confianza para la media conociendo la varianza poblacional 2 y para intervalos de confianza para la proporción . Valores tabulares para la media poblacional se utiliza el valor de t tabular: t� t tabular : 1 , n 1�, es el valor tabular con un 1 nivel de confianza donde � � n es el � 2 � tamaño de la muestra y a n-1 se conoce como los grados de libertad. Los valores de t tabular provienen de la Distribución t de Student con n-1 grados de libertad. Los valores tabulares se encuentran el la tabla de la Distribución t de Student. De acuerdo a la tabla con la que se trabaja, los valores tabulares se buscan considerando un nivel de 1 UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA 2008-I CURSO: METODOS CUANTITATIVOS significación con dos colas. Este valor tabular se usa en los intervalos de confianza para la media donde se desconoce la varianza poblacional 2 . Intervalos de confianza para la media poblacional cuando la VARIANZA POBLACIONAL 2 ES CONOCIDA. Este intervalo se utiliza cuando quiere saber entre qué valores está contenido el parámetro con un nivel de confianza 1 conociendo el valor de la varianza poblacional 2 . El intervalo de confianza para la media poblacional determina, utilizando un nivel de confianza 1 es: Límite Inferior de Confianza: LIC = X Z � � �1 � n � 2� Límite Superior de Confianza: LSC = X + Z � � 1 � n � � 2� /2 /2 1- Z Z� � Z� � 1 � � 1 � � � 2� � 2� /2 /2 1- X LIC ( ) LSC ( ) Intervalos de confianza para la media poblacional cuando la VARIANZA POBLACIONAL ES DESCONOCIDA. Este intervalo se utiliza cuando se quiere saber entre qué valores está contenido el parámetro con un nivel de confianza 1 y se desconoce la varianza poblacional 2 UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA 2008-I CURSO: METODOS CUANTITATIVOS 2 . En lugar de utilizar la varianza poblacional, se usa la varianza muestral S 2 . Se supone que la variable en estudio tiene una distribución normal. El intervalo de confianza para la media poblacional determina, utilizando un nivel de confianza 1 es: S Límite Inferior de Confianza: LIC = X t� � 1 , n 1� � � 2 � n S Límite Superior de Confianza: LSC = X + t� � 1 , n 1� n � � 2 � /2 /2 1- t n 1 t� � t� � 1 , n 1� � 1 , n 1� � � 2 � � 2 � /2 /2 1- X LIC ( ) LSC ( ) Para este caso, la utilización de las fórmulas para hallar los límites de confianza se hacen a partir de la utilización de los valores tabulares de la distribución t, la desviación estándar muestral, el promedio muestral y el tamaño de la muestra. Intervalos de confianza para la proporción poblacional El intervalo de confianza para la proporción poblacional se determina utilizando un nivel de confianza 1 y considerando que el tamaño de la muestra sea mayor o igual que 30 n 30 . 3 UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA 2008-I CURSO: METODOS CUANTITATIVOS p (1 p ) Límite Inferior de Confianza: LIC = p Z � � 1 � � � 2� n p (1 p) Límite Superior de Confianza: LSC = p + Z � � 1 � � � 2� n /2 /2 1- Z Z� � Z� � 1 � � 1 � � � 2� � 2� /2 /2 1- p LIC ( ) LSC ( ) Ejemplos. Ejemplo de un intervalo de confianza para la media poblacional con varianza poblacional conocida. 4 UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA 2008-I CURSO: METODOS CUANTITATIVOS Se tiene una muestra aleatoria de 72 artículos que tienen un peso promedio 35 gr. (peso promedio muestral) y desviación estándar poblacional de 4.8 gr. Obtenga los límites de confianza con un 95% de probabilidad para la media poblacional. X = 35 ; = 4.8 ; n = 72 ; Si 1 = 0.95 entonces = 0.05 Z � �= Z � = Z 0.975 = 1.96 0.05 � 1 � � 1 � � � 2� � 2 � �4.8 � LIC = X Z � 0.05 � = 35 1.96 � �= 33.89 1 � � n � 72 � � 2 � �4.8 � LSC = X + Z � 0.05 � = 35 + 1.96 � �= 36.11 1 � � 2 � � n � 72 � P 33.89 � �36.11 = 0.95 Con un nivel del 95% de confianza se puede decir que el verdadero peso promedio de los artículos está contenido entre los 33.89 y 36.11 gr. Ejemplo de intervalo de confianza para la media poblacional con varianza poblacional desconocida. Se tiene una muestra aleatoria de 31 artículos que tienen un peso promedio 35 gr. (peso promedio muestral) y desviación estándar de 4.2 gr. (desviación estándar muestral). Obtenga los límites de confianza con un 95% de probabilidad para la media poblacional. X = 35 ; S = 4.2 ; n = 31 ; Si 1 = 0.95 entonces = 0.05 ; t� 0.05 � = 2.042 1 � ,30 � � 2 � S �4.2 � LIC = X t 0.975,30 = 35 2.042 � �= 33.46 n � 31 � S �4.2 � LSC = X + t 0.975,30 = 35 + 2.042 � �= 36.54 n � 31 � P 33.46 � �36.54 = 0.95 Con un nivel del 95% de confianza se puede decir que el verdadero peso promedio de los artículos está contenido entre los 33.46 y 36.54 gr. Ejemplo de intervalo de confianza para la proporción poblacional. Una investigación efectuada a 400 familias de clase media reveló que en la realización de fiestas familiares, un 62% prefería el aguardiente a cualquier otra clase de licor. Determine los límites de confianza a un 90%. 5 UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA 2008-I CURSO: METODOS CUANTITATIVOS n = 400 ; Si 1 = 0.90 entonces = 0.10 ; p = 0.62 Z � �= Z� = Z 0.95 = 1.645 0.10 � 1 � � 1 � � � 2� � 2 � p (1 p ) 0.62(1 0.62) LIC = p Z � 0.10 � = 0.62 1.645 = 0.58 1 � � � 2 � n 400 p(1 p) 0.62(1 0.62) LSC = p + Z � 0.10 � = 0.62 + 1.645 = 0.6599 1 � � � 2 � n 400 P 0.58 0.6599 = 0.90 Con un nivel del 90% de confianza se puede decir que el verdadero porcentaje de familias de clase media que prefieren el agua ardiente a otro licor está contenido entre el 58% y 65.99% Ejercicios. 1. El decano de una escuela superior de administración de empresas desearía estimar la proporción de estudiante que tienen acceso a una computadora personal fuera de la universidad (ya sea en casa o en el trabajo). Una muestra de 150 estudiantes reveló que 105 de ellos tienen acceso a una computadora fuera de la escuela. Estime un intervalo de confianza del 90% de la verdadera proporción de la población de estudiantes que tienen acceso a una computadora personal fuera de la universidad. Resp: (0.6384, 0.7616) 2. Un fabricante de artículos metálicos, con el fin de controlar la exactitud de los mismos, tomó una muestra al azar de 10 y los midió con toda precisión. Suponiendo que las medidas se ajustan a una distribución normal y fueron: 0.99, 1.04, 0.98, 0.97, 1.02, 1.01, 0.99, 0.95, 1.03, 1.02 centímetros. Estime con un 90% de confianza los límites para la media. Resp: (0.9834, 1.0166) 3. Suponga que la estatura de los hombres de una ciudad tiene una desviación estándar de 2.48 cm. Se miden a 100 estudiantes hombres, que fueron elegidos aleatoriamente, obteniéndose una media de 168.52 cm. Determine los límites de confianza a un 99% para la estatura media de los hombres de una ciudad. Resp: (167.88, 169.16) 6