Matrices y DeterminantesLuis Alberto Vargas Añamaco lav@NET
[email protected] 7 de agosto de 2017 Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 1 / 26 Matrices Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m renglones y n columnas a11 a12 ··· a1j ··· a1n a21 a22 ··· a2j ··· a2n .. .. .. .. . . . . A= a i1 a i2 ··· aij ··· ain .. .. .. .. . . . . am 1 am 2 ··· amj ··· amn Una manera compacta: A = (aij ) donde aij ∈ R Si m = n, tenemos una matriz cuadrada. Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 2 / 26 De nición Una matriz cuadrada A = (aij), en donde cada término fuera de la diagonal principal es igual a cero, es decir, aij = 0 para i 6= j , es una matriz diagonal. De nición Una matriz diagonal A = (aij ), en donde todos los términos de la diagonal principal son iguales, es decir, aij = c para i = j y aij = 0 para i 6= j , es una matriz escalar. De nición Dos Matrices A = (aij ) y B = (bij ) son iguales si 1 Son de la misma dimensión. 2 Las entradas correspondientes son iguales aij = bij Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 3 / 26 Operaciones con matrices De nición Si A = (aij ) y B = (bij ) son dos matrices m × n, la suma de A y B es la mtriz: A + B = C de m × n, donde: cij = aij + bij Es decir, C se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B . De nición Si A = (aij ) es una matriz m × n y r es un número real, el múltiplo escalar de A por r es la mtriz: rA = B de m × n, donde: bij = raij Es decir, B se obtiene multiplicando cada elemento de A por r . Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 4 / 26 Transpuesta de una matriz De nición Si A = (aij ) es una matriz m × n, la matriz AT = (bij ) de n × m, donde: bij = aji es la transpuesta de A. En consecuencia, las entradas en cada la de AT son las entradas correspondientes en la columna de A. Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 5 / 26 Multiplicación de matrices De nición Si A = (aij ) es una matriz m × p y B = (bij ) es una matriz p × n, el producto de A por B , que se denota mediante AB , es la matriz C = (cij ) de m × n, de nida como: cij = ai 1 b1j + ai 2 b2j + · · · + aip bpj (1) p (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n) (2) X = aik bkj k=1 Observe que el producto de A y B sólo está de nido cuando el número de las de B es exactamente igual al número de columnas de A, también: cij = li (A) · colj (B) Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 6 / 26 Propiedades de la suma Teorema Sean A, B, C y D matrices de m × n 1 A+B =B +A 2 A + (B + C ) = (A + B) + C 3 Existe una única matriz O de m × n tal que A+O =A La matriz O se denomina neutro aditivo de m × n, matriz nula o matriz cero. 4 Para cada matriz A de m × n, existe una única matriz −A de m × n tal que A + (−A) = O La matriz −A se llama inverso aditivo o negativo de A. Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 7 / 26 Propiedades de la multiplicación Teorema 1 Si A, B y C son matrices de tamaños apropiados: A(BC ) = (AB)C 2 Si A, B y C son matrices de tamaños apropiados: A(B + C ) = AB + AC 3 Si A, B y C son matrices de tamaños apropiados: (A + B)C = AC + BC Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 8 / 26 Propiedades de la multiplicación por escalar Si r y s son números reales y A, B matrices: 1 r (sA) = (rs)A 2 (r + s)A = rA + sA 3 r (A + B) = rA + rB 4 A(rB) = r (AB) = (rA)B Propiedades de la transpuesta Si r es un escalar y A, B matrices: 1 (AT )T = A 2 (A + B)T = AT + B T 3 (AB)T = B T AT 4 (rA)T = r (A)T Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 9 / 26 De nición Una matriz A = (aij ) cuyas entradas son números reales es simétrica si AT = A Es decir, A es simétrica si es una matriz cuadrada para la cual aij = aji De nición La matriz escalar de n × n cuyas entradas de la diagonal son todas iguales a 1, es la matriz identidad de orden n: 1 0 ··· 0 0 1 ··· 0 In = . .. .. .. . . 0 0 ··· 1 Si A es una matriz de m × n, entonces Im A = AIn = A Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 10 / 26 Potencias de una matriz Sea la matriz cuadrada A. Si p es un entero positivo, de nimos la potencias de una matriz: Ap = AA · · · A} | {z p veces Si A es n × n, tenemos. A0 = In Si tenemos enteros no negativos p, q 1 Ap Aq = Ap+q 2 (Ap )q = Apq 3 (cA)p = c p Ap , c es un escalar Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 11 / 26 Sistema de ecuaciones lineales Sea el sistema de m ecuaciones lineales con n variables: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2 ··· am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = bm El cual puede ser representado matricialmente: a11 a12 a13 · · · a1n x1 b1 a21 a22 a23 · · · a2n x2 b2 .. .. .. .. .. .. = .. . . . . . . . am 1 am 2 am 3 · · · amn xn bm AX = B Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 12 / 26 Forma escalonada reducida por las Una matriz A de m × n está en forma escalonada reducida por las cuando: 1 Todas las las que constan sólo de ceros, si las hay, están en la parte inferior de la matriz. 2 La primera entrada distinta de cero de la la, al leer de izquierda a derecha, es un 1. Esta entrada se denomina entrada principal o uno principal de su la. 3 Para cada la que no consta sólo de ceros, el uno principal aparece a la derecha y abajo de cualquier uno principal en las las que le preceden. 4 Si una columna contiene un uno principal, el resto de las entradas de dicha columna son iguales a cero. Se dice que una matriz de m × n que satisface las tres primeras propiedades (1), (2) y (3) está en la forma escalonada por las. Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 13 / 26 Operaciones elementales por las Cualquiera de las siguientes es una operación elemental por las sobre una matriz A de m × n: 1 Intercambiar dos las de A. 2 Multiplicar una la de A por una constante no nula. 3 Sumar el múltiplo de una la a otra la de A. De nición Se dice que una matriz A de m × n es equivalente por las a una matriz B de m × n, si B se puede obtener al aplicar a la matriz A una serie nita de operaciones elementales por la. Teorema Toda matriz de m × n es equivalente por las a una matriz en forma escalonada por las. Toda matriz de m × n es equivalente por las a una única matriz en forma escalonada reducida por las. Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 14 / 26 Pivoteo Un algoritmo para obtener la matriz en forma escalonada reducida por las: Sea A una matriz m × n 1 Determinar el pivote, app 6= 0, al explorar la columna p . Puede ser necesario intercambiar dos las. Esta búsqueda se hace a continuación de la la p . 2 Identi ca la entrada no nula a eliminar, aip . 3 Realiza la siguiente operación sobre esta la: s × a × Fp + b × Fi Donde: mcm(|app |, |aip |) a= |app | mcm(|app |, |aip |) b= |aip | s = (−1) × signo(app ) × signo(aip ) Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 15 / 26 Eliminación de Gauss El procedimiento de eliminación gaussiano para resolver AX = B , es: 1 Formar la matriz aumentada [A|B] 2 Por medio de operaciones elementales por las, obtener una forma escalonada por las. 3 Resolver el sistema lineal anterior por medio de la sustitución regresiva hacia atrás Las las que constan únicamente de ceros pueden ignorarse, ya que la ecuación correspondiente será satisfecha por cualesquiera valores de las incógnitas. Ejemplo: x + y + 2z − 5w = 3 x + 2y + 3z = 9 2x + 5y − z − 9w = −3 2x − y + z = 8 2x + y − z + 3w = −11 3x − z = 3 x − 3y + 2z + 7w = −5 Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 16 / 26 Reducción de Gauss-Jordan Sea el sistema lineal AX = B , el procedimiento de reducción de Gauss-Jordan es: 1 Formar la matriz aumentada [A|B] 2 Por medio de operaciones elementales por las, obtener una matriz escalonada reducida por las. 3 Resolver el sistema lineal anterior, de forma directa, analizando cada la. Ejemplos: x + y + 2z − 5w = 3 x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 2 2x + 5y − z − 9w = −3 x1 + 2x2 + x3 − 3x4 + x5 + 2x6 = 3 2x + y − z + 3w = −11 x1 + 2x2 − 3x4 + 2x5 + x6 = 4 x − 3y + 2z + 7w = −5 3x1 + 6x2 + x3 − 9x4 + 4x5 + 3x6 = 9 Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 17 / 26 Sistemas Homogéneos Un sistema lineal de la forma: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = 0 ··· am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = 0 es un sistema homogéno. La solución x1 = x2 = · · · = xn = 0 del sistema homogéneo, se conoce como solución trivial. Una solución no trivial es cuando no todas las xi son nulas. Un sistema homogéneo siempre es consistente. Un sistema homogéneo de m ecuaciones con n variables siempre tiene una solución no trivial si m < n. Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 18 / 26 Determinante a11 a12 Sea A = una matriz de 2 × 2. Su determinante es: a21 a22 a11 a12 |A| = = a11 a22 − a12 a21 a21 a22 a11 a12 a13 Sea A = a21 a22 a23 una matriz de 3 × 3. Su determinante es: a31 a32 a33 a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 19 / 26 Propiedades del determinante Teorema 1 Los determinantes de una matriz y de su transpuesta son iguales: det AT = det A. 2 Si la matriz B se obtiene intercambiando dos las o intercambiando dos columnas de A entonces det B = − det A. 3 Si dos las (columnas) de A son iguales, entonces det A = 0. 4 Si una la (columna) de A consta sólo de ceros, entonces det A = 0 5 Si B se obtiene a partir de A multiplicando una la (columna) de A por un número real c , entonces det B = c det A. 6 Si B = (bij ) se obtiene de A = (aij ) sumando a cada elemento de la r -ésima la (columna) de A una constante c por el elemento correspondiente de la s -ésima la (columna) r 6= s de A, entonces det B = det A. 7 Si una matriz A = aij es triangular superior (inferior), entonces det A = a11 a22 · · · ann . Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 20 / 26 Cofactor De nición Sea M una matriz n × n y sea Mij la matriz de (n − 1) × (n − 1) que se obtiene de A eliminando la la i y la columna j . Mij se llama el menor ij de A. De nición Sea A una matriz de n × n. El cofactor ij de A, denotado por Aij , esta dado por Aij = (−1)i+j |Mij | Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 21 / 26 Matriz de cofactores Dada una matriz (aij )n×n , su matriz de cofactores es (Aij )n×n : a11 a12 · · · a1n A11 A12 · · · A1n a21 a22 · · · a2n A21 A22 · · · A2n A= . .. .. .. , cof A = .. .. .. .. .. . . . . . . . am1 am2 · · · amn Am1 Am2 · · · Amn De nición Sea A una matriz de n × n. El determinante de A, denotado por det A o |A|, está dado por: det A = |A| = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 + · · · + ain Ain n X = aik Aik k=1 Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 22 / 26 Matriz adjunta De nición La Matriz adjunta de A, es la transpuesta de su matriz de cofactores. adj A = cof AT = (cof A)T Teorema Sea A una matriz n × n. Entonces det A 0 0 0 ··· 0 det A 0 ··· 0 (A)(adj A) = 0 0 det A 0 ··· = (det A)I .. .. .. .. .. . . . . . 0 0 0 ··· det A Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 23 / 26 Inversa de una Matriz De nición la inversa de una matriz cuadrada A, es otra matriz, A−1 , tal que AA−1 = A−1 A = I Teorema Sea A una matriz n × n. Entonces A es invertible si y sólo si det A 6= 0. Si det A 6= 0, entonces 1 A−1 = adj A det A Si una matriz A no tiene inversa, se dice que es singular. Una matriz no singular es por tanto invertible. Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 24 / 26 Propiedades de la Inversa 1 Si A es na matriz no singular, entonces A−1 es no singular y (A−1 )−1 = A 2 Si A y B son matrices no singulares, entonces AB es no singular y (AB)−1 = B −1 A−1 3 Si A es una matriz no singular, entonces (AT )−1 = (A−1 )T Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 25 / 26 Procedimiento práctico para determinar A−1 1 Formar la matriz aumentada de n × 2n, [A|In ] 2 Transformar la nueva matriz a su forma escalonada reducida por las mediante operaciones elementales por las. 3 Así obtenemos [C |D] 1 Si C = In entonces D = A−1 2 Si C 6= In , entonces C tiene una la de ceros. En este caso, A es singular y A−1 no existe. Luis Alberto Vargas Añamaco ( lav@NET Matrices y Determinantes
[email protected] ) 7 de agosto de 2017 26 / 26 Documents Similar To matrises algebra lineal.pdfSkip carouselcarousel previouscarousel nextGuía sistemas de ecuaciones FRA versión final.pdfalige-1ALI_U3_RC_ JUGHMatrices y Determinantes, Maco.Solucion Practica Calificada2Matriz InversaSÍLABO DE MATEMÁTICA BÁSICA I.UPT_2016-II.pdfMatricesbilo mateTrabajo de Matematica (Matrices)TC_2_100401A_G47Repartidos 2013 MATB 6ECO Clase Met. Cuant. t1PLAN ANUAL, BLOQUE Y CLASE Matematicas 2do1 - Álgebra12040020.pdfProyecto MATE Final Matrices FinalTema 1. MatricesMatrices Y DeterminantesTaller Preparcial 1Bach 2 CienciasCap.1 Texto Guia.pdfClasificación de sistemasNotas aclaratorias sobre Rango de Matrices, Soluciones de Sistemas de Ecuaciones LinealesPDFMN_SistemasLineales_v1.0.3 (1)matrices.pdfÃlgebra Matricial (part II)55931747 Metodo de Eliminacion de GaussMATEMATICA IIFooter MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsLegalTermsPrivacyCopyrightSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaSign up to vote on this titleUsefulNot usefulMaster your semester with Scribd & The New York TimesSpecial offer for students: Only $4.99/month.Master your semester with Scribd & The New York TimesRead Free for 30 DaysCancel anytime.Read Free for 30 DaysYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK